Prinzip von Cavalieri Beispiel - JP-G.de
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Mathematik für Physiker 2b WS 2010/2011 Prinzip von Cavalieri Sei M ⊆ Rp × Rq Lebesgue-messbar ⇒ Für fast jedes y0 ∈ Rq ist My0 messbar. My0 = {x ∈ Rp | (x, y0 ) ∈ M } Und es gilt: Z µp×q (M ) = Rq µp (My )dy Beispiel Sei K ⊆ R3 ein Kegel mit dem Einheitskreis als Grundfläche und Höhe h > 0. 1.0 0.5 0.0 -0.5 1.0 0.5 -1.0 0.0 -1.0 -0.5 -0.5 0.0 0.5 -1.0 1.0 Abbildung 1: Kegel Sinnvollerweise schneidet man den Kegel horizontal, d. h. Kz0 := (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ h − z0 und damit ist: Z vol3 (K) = [0,h] 1 π(h − z)2 dz = πh 3 [0,h] Z vol2 (Kz )dz =