Versuchsanleitung

TU Ilmenau
Physikalisches Grundpraktikum
Versuch M5
Institut
für
Physik
Schallgeschwindigkeit in Gasen
Seite 1
1.
Aufgabenstellung
1.1. Die Schallgeschwindigkeit und der Adiabatenexponent von Luft und Kohlendioxid sind mithilfe
eines Kundtschen Rohres zu bestimmen.
1.2. Für Luft ist die Schallgeschwindigkeit zusätzlich mit einem Quinckeschen Interferenzrohr zu ermitteln.
Literatur:
2.
Stroppe, H.
Physik für Studenten der Natur- und Technikwissenschaften
Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag
11. Auflage 1999, S. 149, S. 314-317, S. 320-327
Eichler, H. J.,
Kronfeldt, H.-D.,
Sahm, J.
Das Neue Physikalische Grundpraktikum
Springer Verlag Berlin Heidelberg
2. Auflage 2006, S. 118-122
Walcher, W.
Praktikum der Physik
B. G. Teubner Stuttgart Leipzig Wiesbaden
8. Auflage 2004, S. 98-104
Grundlagen
Als Schall bezeichnet man die wellenförmige Ausbreitung der Auslenkung eines Teilchens von der
Gleichgewichtslage in einem elastischen Medium. Je nach Kopplungsbedingungen der Teilchen untereinander kann die Ausbreitungsrichtung hierbei in Schwingungsrichtung der Teilchen zeigen (Longitudinalwelle) oder senkrecht dazu (Transversalwelle). In Gasen können sich aufgrund der freien Verschiebbarkeit der Moleküle nur Longitudinalwellen ausbilden.
Beschränkt man sich auf eine Ortsdimension der Auslenkung eines kleinen Gasvolumens und die daraus resultierenden Geschwindigkeits- und Druckgradienten v '(x , t ) und p '(x , t ) , so lassen sich für diesen Vorgang Wellengleichungen herleiten, beispielsweise für den Druck
p '' ( x , t ) =
ρ
 ( x , t )
p
K
(1)
v '' ( x , t ) =
ρ
v( x , t ) .
K
(2)
oder für die Geschwindigkeit
In (1) und (2) bedeuten K - der Kompressionsmodul des Mediums und ρ - seine mittlere Massedichte.
Lösungen dieser partiellen Differentialgleichungen sind unter anderem harmonische Funktionen der
Form:
p (=
x , t ) pˆ sin ( ωt  kx )
(3)
v (=
x , t ) vˆ sin ( ωt  kx ) .
(4)
bzw.
p̂ und v̂ sind hierbei die Amplituden der Schallwelle für Schalldruck und Schallschnelle, ω = 2π f ihre
Kreisfrequenz und k = 2π λ der Wellenvektorbetrag.
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Aus (1) bzw. (2) folgt die für das Ausbreitungsmedium charakteristische Phasengeschwindigkeit:
c=
K
.
ρ
(5)
Im Falle von Schallwellen in einem Gas, bei dem die Druckschwankungen so schnell erfolgen, dass die
Zustandsänderungen adiabatisch ablaufen, gilt wegen K = κ p :
c=
κp
,
ρ
(6)
wobei κ der Adiabaten- oder Isentropenexponent des betrachteten Gases ist. Für ideale Gase folgt aus
der thermischen Zustandsgleichung mit der spezifischen Gaskonstanten RS :
pV =
m RS T ⇒ p =
ρ RS T
(7)
und daraus
c=
κ RS T .
(8)
Die Phasengeschwindigkeit ist also temperaturabhängig. Für alle Wellen gilt folgender Zusammenhang zwischen Phasengeschwindigkeit c , Frequenz f und Wellenlänge λ :
c=
ω
=λf.
k
(9)
2.1. Stehende Wellen
Die Überlagerung zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude, aber
entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung gelingt am einfachsten durch Reflexion an einem Hindernis, im Falle
von Schallwellen an einer festen Wand
an der Stelle x = 0 (Abb. 1). Welle 1
1
2
x
0
Abb. 1: Reflexion einer Welle am Hindernis
möge sich entgegen der eingezeichneten x-Richtung auf das Hindernis zubewegen, Welle 2 wurde reflektiert und erfuhr dabei eine noch unbekannte Phasenverschiebung ϕ . Als
Überlagerung beider Wellen erhält man:
v ( x=
, t ) vˆ sin ( ωt + kx ) + vˆ sin ( ωt − kx + ϕ )
ϕ
ϕ


= 2vˆ sin  ωt +  cos  kx − 
2
2


(10)
und eine analoge Gleichung für den Schalldruck. Gl. (10) ist die mathematische Beschreibung einer
stehenden Welle. Die Phase der Welle wandert nicht mehr mit der Geschwindigkeit c entlang der xAchse, sondern an jedem Ort vollführen die Gasteilchen Schwingungen mit der ortsabhängigen
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Amplitude 2vˆ cos(kx − ϕ 2) . Die Nullstellen dieser Funktion markieren die feststehenden Knoten der
stehenden Welle, ihr räumlicher Abstand beträgt λ 2 .
Die rücklaufende Welle in Abb. 1 wurde durch Reflexion an einem festen Ende erzeugt, die stehende
Welle muss also für die Schallschnelle an der Stelle x = 0 einen Knoten aufweisen. Man sieht leicht,
dass in diesem Fall der Phasenwinkel ϕ = π beträgt.
2.2. Interferenz von Wellen
Teilt man eine Schallwelle geeignet in zwei Wellenzüge auf und lässt diese unterschiedliche Wegstrecken s1 und s2 durchlaufen, dann führt eine nachfolgende Überlagerung zur Interferenz. Beide Wellenzüge haben dieselbe Frequenz und Amplitude, darüber hinaus sind die Phasenbeziehungen zwischen ihnen zeitlich und räumlich konstant (Kohärenz). Man erhält im Falle von Schallwellen, beispielsweise für den Schalldruck:
pges =
(t ) pˆ sin ( ωt − ks1 ) + pˆ sin ( ωt − ks2 )
(11)
= pˆ sin ( ωt + α1 ) + sin ( ωt + α2 ) 
und daraus
{
}
2
pˆges
= 2pˆ 2 1 + cos ( α2 − α1 =
) 2pˆ2 1 + cos k ( s2 − s1 ) .
(12)
Das Quadrat der resultieren Schalldruckamplitude ist der Schallintensität proportional, diese kann also
Werte zwischen Null und dem Vierfachen der Intensität einer ursprünglichen Teilwelle annehmen.
Auslöschung oder maximale Abschwächung findet man für
∆s = s2 − s1 =
(2n + 1)
λ
2
(n =
0,1, 2,) ,
(13)
maximale Verstärkung tritt bei
∆s = n λ
(14)
auf.
3.
Messanleitung und Auswertung
3.1. Kundtsches Rohr
Das Kundtsche Rohr ist eine gasgefüllte, horizontal befestigte Glasröhre, in deren Innern sich fein verteiltes Korkmehl befindet. Ein Ende des Rohres wird durch einen Stopfen fest verschlossen, vom anderen Ende wird die Gassäule im Rohr mit einem Lautsprecher zum Schwingen angeregt. Damit sind die
Randbedingungen für die stehende Schallwelle festgelegt:
•
•
Am festen Ende muss sich ein Knoten der Schallschnelle befinden.
Im Resonanzfall muss sich am Lautsprecher ein Bauch der stehenden Welle ausbilden.
In Abb. 2 sind die beiden Schwingungszustände maximaler Elongation der stehenden Welle gezeichnet,
die zeitlich durch ∆t =T 2 =π ω getrennt sind. Zur Überlagerung kommen, abweichend von Abb. 1,
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die vom Lautsprecher nach rechts laufende Welle und die vom Stopfen aus nach links laufende, reflektierte Welle.
Lautsprecher
Stopfen
λ
4
λ
2
l
Abb. 2: Maximale Elongation (Einhüllende) der stehenden Welle als Funktion des Ortes
Eine stehende Welle lässt sich also nur für bestimmte Längen l der Gassäule realisieren:
λ λ
λ
l =n ⋅ + =( 2n + 1 ) ⋅
2 4
4
( n =0,1, 2,) .
(15)
Da l fest gegeben ist, findet man die Resonanzbedingungen durch Variation der Frequenz der dem
Lautsprecher zugeführten Wechselspannung. Die optimale Ausbildung der stehenden Welle lässt sich
optisch am Verhalten des Korkmehls und akustisch über die Lautstärke verfolgen. Für die Bestimmung
der zugehörigen Wellenlängen verdreht man das Glasrohr um etwa 45° , damit das Korkmehl durch
Wechselwirkung mit der Schallwelle in den Bäuchen auf den Boden zurückrutscht.
Bedienung des Funktionsgenerators 2502.50
•
•
Signalform:
Frequenz:
•
•
•
Offset:
Sweep:
Lautstärke:
Sinus
beliebig oberhalb 400Hz , der Frequenzstellknopf ist geschwindigkeitsempfindlich, d. h. eine Feineinstellung gelingt nur bei langsamem Verdrehen
aus, keine Gleichspannung überlagern
aus, keine Frequenzrampe
Beachten Sie den Lärmschutz! Lautsprecher bitte nur so weit ansteuern,
wie es für die Messung erforderlich ist, zum Ausmessen der Wellenlängen
bitte wieder reduzieren
Zunächst sucht man für das luftgefüllte Glasrohr mindestens 5 Resonanzfrequenzen und notiert die
Positionen aller beobachteten Knoten (vgl. Abb. 2). Die Berechnung von λ 2 erfolgt durch Mittelwertbildung der Abstände zwischen jeweils benachbarten Knoten. Die Schallgeschwindigkeit ergibt sich aus
Gl. (9), der Adiabatenexponent lässt sich mithilfe von Gl. (6) und den im Anhang angegebenen Gasdichten bestimmen.
Das Experiment wird danach sinngemäß mit Kohlendioxid als Füllgas für das Kundtsche Rohr wiederholt. Der Gasstrom ist bei vom Rohr abgezogenem Schlauch zunächst so schwach einzustellen, dass
kein Wegblasen des Korkmehls zu erwarten ist und wird während des Experimentes aufrechterhalten.
Anmerkung: Zwischen den verschiedenen Knoten bilden sich im Millimeterbereich Querrippen heraus.
Diese stehen in keine Beziehung zur Anregungsfrequenz (keine Oberwellen), sondern sind auf Zirkulationsströmungen zwischen Wand und Rohrachse zurückzuführen.
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Alle Ergebnisse sind einschließlich ihrer Unsicherheiten anzugeben und mit Tabellenwerten zu vergleichen.
Quinckesches Interferenzrohr
Das Interferenzrohr nach Quincke besteht aus zwei U-förmigen, ineinander geschobenen Metallrohren, die sich posaunenartig ausziehen lassen. Das fest montierte Rohr besitzt zwei gegenüber liegende
Rohransätze mit Schalltrichtern. In einem ist als Schallgeber ein Lautsprecher integriert, im zweiten als
Empfänger ein Messmikrofon
mit nachgeschaltetem MikroLautsprecher
fon-Impedanzwandler
und
Kopfhörerverstärker (Abb. 3).
Als Signalquelle für den Lautsprecher dient der Funktionsgenerator FG 110. Seine Bea
Mikrofon
dienung ähnelt der des Generators am Kundtschen Rohr.
Abb. 3: Quinckesches Interferenzrohr
Zur Feinverstellung der Frequenz drückt man jedoch den Stellknopf und wählt die zu ändernde Ziffer aus.
Strahlt man in die Eintrittsöffnung Schallwellen ein, dann teilen sich diese in zwei Wellenzüge, die die
Rohre in entgegengesetzter Richtung durchlaufen und sich am Ort der Austrittsöffnung wieder vereinigen. In völlig zusammengeschobenem Zustand ist die Weglängendifferenz ∆s zwischen den beiden
Teilwellen gleich Null. Zieht man das bewegliche Rohrstück um die Strecke a , ablesbar an der dabei
freigegebenen 30teiligen Zentimeterskala, aus, so beträgt die zusätzliche Wegdifferenz durch das rechte Rohr ∆s =2a und man kann mithilfe des Kopfhörers Orte maximaler Auslöschung oder Verstärkung
wahrnehmen.
Zunächst sucht man sich bei zusammengeschobenem Interferenzrohr eine Resonanzfrequenz oberhalb
von f = 1,5 kHz und zieht das rechte Rohrstück danach langsam aus. Zu notieren sind die Auszugsverlängerungen a1 , a2 ,  , an denen ein Minimum der Lautstärke wahrgenommen wird. Die Messung gelingt in der Regel am besten, wenn die Kopfhörerlautstärke so eingestellt wird, dass im Minimum nahezu kein Ton mehr wahrgenommen wird.
Die Berechnung der Wellenlänge ähnelt der von Versuchsteil 1, weil zwischen zwei benachbarten Positionen ai und ai −1 die gesamte Wegdifferenz ∆s um eine Wellenlänge vergrößert wurde, der Abstand
zwischen ihnen also λ 2 beträgt. Alternativ kann auch das Praktikumsprogramm für die Berechnung
der Wellenlängen verwendet werden, indem man in einem Bearbeitungsfenster für die lineare Regression die Werte ai über ihrer Ordnungszahl i aufträgt. Eine Ausgleichsgerade durch die so dargestellten Messwerte hat dann den Anstieg S = λ 2 .
Das Experiment ist danach für mindestens 4 weitere Frequenzen im Bereich bis f ≤ 4 kHz zu wiederholen. Wieder werden nach Gl. (9) Werte für die Schallgeschwindigkeit in Luft berechnet und im Rahmen
der Unsicherheiten mit dem Ergebnis des ersten Versuchsteils verglichen.
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Anhang
ϑ in °C
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Dichte von Luft mit 60% relativer Luftfeuchte in kg/m³ bei angegebenen Drücken in hPa=mbar
910
920
930
940
950
960
970
980
990
1000
1,0955 1,1076 1,1197 1,1317 1,1438 1,1559 1,1680 1,1801 1,1922 1,2043
1,0914 1,1034 1,1155 1,1275 1,1396 1,1516 1,1637 1,1757 1,1878 1,1998
1,0873 1,0993 1,1113 1,1233 1,1353 1,1473 1,1593 1,1713 1,1833 1,1953
1,0832 1,0952 1,1071 1,1191 1,1311 1,1430 1,1550 1,1670 1,1789 1,1909
1,0791 1,0911 1,1030 1,1149 1,1268 1,1388 1,1507 1,1626 1,1745 1,1865
1,0751 1,0870 1,0989 1,1107 1,1226 1,1345 1,1464 1,1583 1,1702 1,1820
1,0710 1,0829 1,0947 1,1066 1,1184 1,1302 1,1421 1,1539 1,1658 1,1776
1,0670 1,0788 1,0906 1,1024 1,1142 1,1260 1,1378 1,1496 1,1614 1,1732
1,0629 1,0747 1,0865 1,0982 1,1100 1,1217 1,1335 1,1453 1,1570 1,1688
1,0589 1,0706 1,0823 1,0941 1,1058 1,1175 1,1292 1,1410 1,1527 1,1644
1,0549 1,0665 1,0782 1,0899 1,1016 1,1133 1,1250 1,1366 1,1483 1,1600
1,0508 1,0625 1,0741 1,0857 1,0974 1,1090 1,1207 1,1323 1,1440 1,1556
1,0468 1,0584 1,0700 1,0816 1,0932 1,1048 1,1164 1,1280 1,1396 1,1512
1,0427 1,0543 1,0659 1,0774 1,0890 1,1006 1,1121 1,1237 1,1353 1,1468
1,0387 1,0502 1,0618 1,0733 1,0848 1,0963 1,1079 1,1194 1,1309 1,1425
1,0346 1,0461 1,0576 1,0691 1,0806 1,0921 1,1036 1,1151 1,1266 1,1381
ϑ in °C
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
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28
29
30
910
1,6801
1,6742
1,6684
1,6625
1,6568
1,6510
1,6453
1,6396
1,6340
1,6285
1,6229
1,6174
1,6119
1,6065
1,6011
1,5958
Dichte von Kohlendioxid in kg/m³ bei angegebenen Drücken in hPa=mbar
920
930
940
950
960
970
980
990
1,6987 1,7173 1,7358 1,7544 1,7729 1,7915 1,8101 1,8287
1,6927 1,7112 1,7297 1,7482 1,7667 1,7852 1,8037 1,8222
1,6868 1,7052 1,7237 1,7421 1,7605 1,7790 1,7974 1,8159
1,6809 1,6993 1,7176 1,7360 1,7544 1,7727 1,7911 1,8095
1,6751 1,6934 1,7116 1,7299 1,7483 1,7666 1,7849 1,8032
1,6693 1,6875 1,7057 1,7240 1,7422 1,7604 1,7787 1,7969
1,6635 1,6817 1,6998 1,7180 1,7362 1,7544 1,7725 1,7907
1,6578 1,6759 1,6940 1,7121 1,7302 1,7483 1,7664 1,7846
1,6521 1,6701 1,6882 1,7062 1,7243 1,7423 1,7604 1,7784
1,6464 1,6644 1,6824 1,7004 1,7184 1,7363 1,7543 1,7723
1,6408 1,6587 1,6766 1,6946 1,7125 1,7304 1,7483 1,7663
1,6352 1,6531 1,6710 1,6888 1,7067 1,7245 1,7424 1,7603
1,6297 1,6475 1,6653 1,6831 1,7009 1,7187 1,7365 1,7543
1,6242 1,6420 1,6597 1,6774 1,6952 1,7129 1,7306 1,7484
1,6188 1,6365 1,6541 1,6718 1,6895 1,7071 1,7248 1,7425
1,6134 1,6310 1,6486 1,6662 1,6838 1,7014 1,7191 1,7367
Diese Versuchsanleitung ersetzt NICHT eine eigenständige Ausarbeitung des Grundlagenteils Ihres Versuchsprotokolls!
letzte Änderung: 19.04.2016
1000
1,8472
1,8407
1,8343
1,8279
1,8215
1,8152
1,8089
1,8026
1,7965
1,7903
1,7842
1,7781
1,7722
1,7662
1,7602
1,7543