Aufgabenskript Finanzmathematik

Transcrição

Prof. Dr. Günter Hellmig
Aufgabenskript
Finanzmathematik
Inhalt:
Aufgabe 1-2:
Einfache nachschüssige Zinsen
Aufgabe 3:
Einfache vorschüssige Zinsen
Aufgabe 4-15:
Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Aufgabe 16-21:
Zinseszinsen bei Zinsauszahlung (ohne Investitionsrechnung)
Aufgabe 22-24:
Zinseszinsen bei Zinsauszahlung, speziell Investitionsrechnung
Aufgabe 25-34:
Rentenrechnung: nachschüssig und vorschüssig
Aufgabe 35-47:
Tilgungsrechnung: Ratentilgung und Annuitätentilgung
Aufgabe 48-50:
Abschreibungsrechnung: linear und geometrisch-degressiv
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript Finanzmathematik
___________________________________________________________________________________
1. Ein Kunde erhält eine Rechnung über 60000 Euro; die Rechnung ist
wahlweise nach 90 Tagen (ohne Skonto) oder nach 30 Tagen
(3% Skonto) zahlbar (Jahr = 360 Tage).
Wie hoch ist der äquivalente nachschüssige Jahreszinssatz, wenn der
Kunde nach 30 Tagen zahlt?
b) Der Kunde vereinbart, dass die Rechnung als erledigt gilt, wenn er
bereits nach 20 Tagen genau 58000 Euro bezahlt. – Wie hoch ist der
äquivalente nachschüssige Jahreszinssatz?
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Thema: Einfache nachschüssige Zinsen
Berechnung bei unterjähriger Laufzeit („Skonto“)
Lösung:
a)
a)
T 

⋅i
K n = K o ⋅ 1 +
 360 
60 

60000 = (60000 − 60000 ⋅ 0,03) ⋅ 1 +
⋅i
 360 
60
60000 = 58200 + 58200 ⋅
⋅i
360
60
1800 = 58200 ⋅
⋅i
360
i = 0,18557
p = 18,56
b)
T 

⋅i
K n = K o ⋅ 1 +
 360 
70 

60000 = 58000 ⋅ 1 +
⋅i
 360 
70
60000 = 58000 + 58000 ⋅
⋅i
360
70
2000 = 58000 ⋅
⋅i
360
i = 0,17734
p = 17,73
___________________________________________________________________________________
2. Ein Kunde erhält eine Rechnung über 90000 Euro; die Rechnung ist
wahlweise nach 90 Tagen (ohne Skonto) oder nach 60 Tagen
(1,2% Skonto) zahlbar (Jahr = 360 Tage).
Wie hoch ist der äquivalente nachschüssige Jahreszinssatz, wenn der
Kunde nach 60 Tagen zahlt?
b) Der Kunde vereinbart, dass die Rechnung als erledigt gilt, wenn er
bereits nach 40 Tagen genau 88000 Euro bezahlt. – Wie hoch ist der
äquivalente nachschüssige Jahreszinssatz?
c) Welchem Skontosatz würde dieser Jahreszinssatz entsprechen?
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Thema: Einfache nachschüssige Zinsen
Lösung:
a)
a)
T 

⋅i
K n = K o ⋅ 1 +
 360 
30 

90000 = (90000 − 90000 ⋅ 0,012 ) ⋅ 1 +
⋅i
 360 
30
90000 = 88920 + 88920 ⋅
⋅i
360
30
1080 = 88920 ⋅
⋅i
360
i = 0,14575
p = 14,58
b)
c)
T 

⋅i
K n = K o ⋅ 1 +
 360 
50 

90000 = 88000 ⋅ 1 +
⋅ i
 360 
50
90000 = 88000 + 88000 ⋅
⋅i
360
50
2000 = 88000 ⋅
⋅i
360
i = 0,16364
p = 16,36
T 

⋅i
K n = K o ⋅ 1 +
 360 
50


90000 = (90000 − 90000 ⋅ s ) ⋅ 1 +
⋅ 0,16364 
 360

90000
= 90000 − 90000 ⋅ s
50
1+
⋅ 0,16364
360
88000 = 90000 − 90000 ⋅ s
s = 0,02222
s = 2,22
(s=Skontosatz)
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3. a)Zwischen zwei Privatleuten wird ein Darlehen mit folgenden
Konditionen vereinbart: Rückzahlungsbetrag 12000 Euro,
vorschüssige einfache Zinsen von 5%. – Wie hoch ist der
Auszahlungsbetrag, wenn das Darlehen ein halbes Jahr läuft?
- Zusatzfrage: Wie hoch wäre der Auszahlungsbetrag, wenn das
Darlehen ein ganzes Jahr laufen würde? Und wie hoch wäre dann
der Effektivzins?
b)Eine Schuld von 35800 Euro wird mit zwei Wechseln getilgt. Der
erste Wechsel ist in 15 Tagen fällig, seine Höhe beträgt 6800
Euro; der zweite Wechsel ist in 151 Tagen fällig. - Wie hoch ist
dieser zweite Wechsel, wenn der Diskontsatz jeweils 9% beträgt?
(Jahr = 365 Tage)
- Zusatzfrage: Wie hoch wäre dieser zweite Wechsel, wenn der
Diskontsatz jeweils 8% betragen würde?
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Thema: Einfache vorschüssige Zinsen
Berechnung insbes. bei unterjähriger Laufzeit („Wechsel“)
Lösung:
a)
K0 = Kn · (1 – n · iV)
K0 = 12000 · (1 – 0,5 · 0,05) = 11700
K0 = Kn · (1 – n · iV) = 12000 · (1 – 1 · 0,05) = 11400
ie =
b)
Z
K0
=
600
= 0,05263
11400
⇒
pe = 5,263
T1 · i )
K0A = KnA · (1 – 365
V
15
K0A = 6800 · (1 – 365 · 0,09)
K0A = 6800 · 0,996301 = 6774,85
K0B = 35800 – 6774,85 = 29025,15
T2 · i ) ⇒ KB = KB : (1 – T2 · i )
K0B = KBn · (1 – 365
V
V
n
0
365
151
KBn = 29025,15 : (1 – 365 · 0,09)
KBn = 29025,15 : 0,962767 = 30147,64
T1 · i )
K0A = KnA · (1 – 365
V
15
K0A = 6800 · (1 – 365 · 0,08)
K0A = 6800 · 0,996712 = 6777,64
K0B = 35800 – 6777,64 = 29022,36
T2 · i ) ⇒ KB = KB : (1 – T2 · i )
K0B = KBn · (1 – 365
V
V
n
0
365
151
KBn = 29022,36 : (1 – 365 · 0,08)
KBn = 29022,36 : 0,966904 = 30015,76
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4.a) Ein Vater gibt seinem Sohn einen Kredit für 4 Jahre zu 4%
einfache Zinsen. Wie hoch ist der Rückzahlungsbetrag, wenn der
Kredit 25000 Euro ausmacht?
- Zusatzfrage: Wie hoch wäre der Rückzahlungsbetrag, wenn der
Kredit nur 15000 Euro ausgemacht hätte?
b) Auf ein Sparbuch werden am 30.06.02 8000 Euro eingezahlt; der
Jahreszinssatz ist 2%. Welcher Betrag steht zur Verfügung, wenn
das Sparbuch am 01.07.05 aufgelöst wird? (Es wird taggenau
gerechnet; der Einzahlungstag ist kein Zinstag, der
Auszahlungstag ist hier ausnahmsweise auch kein Zinstag.)
- Zusatzfrage: Welcher Betrag würde zur Verfügung stehen, wenn
das Sparbuch erst am 01.07.06 aufgelöst würde?
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Thema: Einfache nachsch. Zinsen sowie Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Berechnung insbes. der gemischten Verzinsung
Lösung:
a)
Kn = K0 ⋅ (1 + n ⋅ i)
Kn = 25000 ⋅ (1 + 4 ⋅ 0,04) = 25000 ⋅ 1,16
Kn = 29000
Kn = 15000 ⋅ (1 + 4 ⋅ 0,04) = 15000 ⋅ 1,16
Kn = 17400
b)
T1 ⋅ i) ⋅ (1 + i)n ⋅ (1 + T2 ⋅ i)
Kn = K0 ⋅ (1 + 365
365
184
181
184
181
Kn = 8000 ⋅ (1 + 365 ⋅ 0,02) ⋅ (1 + 0,02)2 ⋅ (1 + 365 ⋅ 0,02)
Kn = 8000 ⋅ 1,0101 ⋅ 1,0404 ⋅ 1,0099
Kn = 8490,50
Kn = 8000 ⋅ (1 + 365 ⋅ 0,02) ⋅ (1 + 0,02)3 ⋅ (1 + 365 ⋅ 0,02)
Kn = 8000 ⋅ 1,0101 ⋅ 1,0612 ⋅ 1,0099
Kn = 8660,31
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5. Eine Bank bietet einen Sparbrief „mit Zinsansammlung“ zu folgenden
Konditionen an:
1. Jahr: 2,50 %; 2. Jahr: 3,00 %; 3. Jahr: 4,00 %; 4. Jahr: 4,50 %
a) Berechnen Sie den Effektivzins (Prozent mit drei Nachkommastellen)!
- Zusatzfragen: Wie hoch ist
(1) der gesamte Wertzuwachs (Prozent),
(2) der durchschnittliche Wertzuwachs (Prozent)?
(3) Warum ist der durchschnittliche Wertzuwachs (Prozent)
grundsätzlich höher als der Effektivzins (Prozent)?
b) Variante: Berechnen Sie – bei einer Kapitalanlage von 20000 Euro –
den Effektivzins, wenn am Ende des vierten Jahres noch ein Bonus
von 200 Euro hinzukommen würde.
- Zusatzfrage: Wie hoch müsste dieser Bonus sein, damit ein
Effektivzins von 4,00 % erreicht wird?
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Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung
Lösung:
K
a) q = n n = n q1 ⋅ q2 ⋅ ... ⋅ qn
K0
q = 4 1,025 ⋅ 1,030 ⋅ 1,040 ⋅ 1,045 = 1,03497
pe = 3,497
Kn − K0
⋅ 100 = (q1 ⋅ q2 ⋅ ... ⋅ qn − 1) ⋅ 100
K0
z = (1,025 ⋅ 1,030 ⋅ 1,040 ⋅ 1,045 − 1) ⋅ 100 = 14,739
z =
z
n
14,739
z =
= 3,685
4
z =
Begründung: Der durchschnittliche Wertzuwachs wird auf das
(niedrige) Anfangskapital bezogen, während der Effektivzins auf das
(höhere) jeweilige Kapital bezogen wird.
Z
K
b) q = n n = n q1 ⋅ q2 ⋅ ... ⋅ qn +
K0
(Z=Bonus)
K0
q = 4 1,025 ⋅ 1,030 ⋅ 1,040 ⋅ 1,045 +
200
= 1,03722
20000
pe = 3,722
Z
K
q = n n = n q1 ⋅ q2 ⋅ ... ⋅ qn +
K0
K0
1,04 = 4 1,025 ⋅ 1,030 ⋅ 1,040 ⋅ 1,045 +
Z
20000
Z
20000
Z = (1,16986 − 1,14739) ⋅ 20000 = 449,40
1,16986 = 1,14739 +
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6. a)Simon Sparfuchs kauft einen zweijährigen Finanzierungsschatz zum
Kurswert von 466,70 Euro. Der Nominalwert beträgt 500 Euro. – Wie
lautet der genaue Wert für:
(1) Verkaufszinssatz (Prozent) ................ Lösung: 3,330
(2) Rendite (Prozent) ......................... Lösung: 3,506
(3) durchschnittlicher Wertzuwachs (Prozent)... Lösung: 3,568
b)Er kauft außerdem einen einjährigen Finanzierungsschatz zum
Kurswert von 481,90 Euro. Der Nominalwert beträgt 500 Euro. – Wie
lautet der genaue Wert für:
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Berechnung diverser Kennziffern
Lösung (siehe oben) und Nebenrechnungen (siehe unten):
a) (1) K0 = Kn ⋅ (1 − n ⋅ iV )
(2) q e =
n
(3) z =
Kn
K0
Kn − K0
K0
n
b) (1) K0 = Kn ⋅ (1 − n ⋅ iV )
(2) q e =
(3) z =
n
Kn
K0
Kn − K0
K0
n
33,30
1000,00
500,00
→ ie = 2
−1
466,70
→ iV =
→ z =
33,30
933,40
18,10
500,00
500,00
→ ie = 1
−1
481,90
→ iV =
→ z =
18,10
481,90
___________________________________________________________________________________
7. a)Die einjährigen Finanzierungsschätze haben einen Nominalwert von
500 Euro und wurden im Januar 2008 für 481,70 Euro verkauft.
Wie hoch ist der genaue Wert für:
b)Die zweijährigen Finanzierungsschätze haben einen Nominalwert von
500 Euro und wurden im Januar 2008 für 465,40 Euro verkauft.
Wie hoch ist der genaue Wert für:
c)Wenn bei den zweijährigen Finanzierungsschätzen der Verkaufszinssatz, der durchschnittliche Wertzuwachs und die Rendite
gegenübergestellt wird: Warum ist hierbei stets ...
der Verkaufszinssatz (Prozent) am kleinsten? – Antwort:
weil das (hohe) Endkapital als Berechnungsbasis dient
der durchschnittliche Wertzuwachs (Prozent) am größten?- Antwort:
weil das (niedrige) Anfangskapital als Berechnungsbasis dient
die Rendite (Prozent) „mittelgroß“? – Antwort:
weil ein mittelgroßer Kapitalstand der Berechnungsbasis
entspricht
d)Welcher weitere finanzmathematische Fachausdruck ist möglich
für....
Verkaufszinssatz (Prozent)?
Antwort: vorschüssiger einfacher Zinssatz
durchschnittlicher Wertzuwachs (Prozent)?
Antwort: nachschüssiger einfacher Zinssatz
Rendite (Prozent)?
Antwort: Effektivverzinsung
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Berechnungen und Verständnisfragen zu diversen Zins-Kennziffern
Lösung: (siehe oben in Kursiv- und Fettdruck)
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8. Ein Kapital von 17800 Euro wird am 1. Januar 2006 bis zum 1. Januar
2011 angelegt. - Wie hoch ist das Endkapital, wenn vereinbart wird:
jährliche Verzinsung (Jahreszinssatz = 4 Prozent)
vierteljährliche Verzinsung (Vierteljahreszinssatz = 1 Prozent)
Welches Anfangskapital hätte bei Frage b) ausgereicht, um zu
demselben Endkapital wie in Frage a) zu kommen?
d) Welches Anfangskapital wäre bei Frage a) nötig gewesen, um zu
demselben Endkapital wie in Frage b) zu kommen?
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Berechnung insbes. bei unterjähriger Zinsperiode
Lösung:
a)
b)
c)
a)
K n = K 0 ⋅ (1 + i )
5
K n = 17800 ⋅ (1 + 0,04)
K n = 21656,42
n
( )
b) K n = K 0 ⋅ 1 +
i
m
m⋅n
 0,04 

K n = 17800 ⋅ 1 +
4 

K n = 21719,38
4⋅5
( )
i
c) K n = K 0 ⋅ 1 +
m
m⋅n
(
21656,42 = K0 ⋅ 1 +
0,04
4
)
4⋅5
K 0 = 17748,40
d)
K n = K0 ⋅ (1 + i )
n
21719,38 = K0 ⋅ (1 + 0,04 )
K 0 = 17851,75
5
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9. Ein Kapital von 27800 Euro wird am 1. Januar 2006 bis zum 1. Januar
2012 angelegt. - Wie hoch ist das Endkapital, wenn vereinbart wird:
jährliche Verzinsung (Jahreszinssatz = 5 Prozent)
vierteljährliche Verzinsung (Vierteljahreszinssatz = 1,25 Prozent)
Welches Anfangskapital hätte bei Frage b) ausgereicht, um zu
demselben Endkapital wie in Frage a) zu kommen?
d) Welches Anfangskapital wäre bei Frage a) nötig gewesen, um zu
demselben Endkapital wie in Frage b) zu kommen?
e) Definieren Sie kurz: Unterjährige Verzinsung.
f) Definieren Sie kurz: Stetige Verzinsung.
g) Schreiben Sie die Formel für die stetige Verzinsung als Grenzwert
der unterjährigen Verzinsung!
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Berechnungen und Verständnisfragen zur unterjähr. Zinsperiode
Lösung:
a)
b)
c)
a)
K n = K0 ⋅ (1 + i )
6
K n = 27800 ⋅ (1 + 0,05)
K n = 37254,66
n
( )
i
b) K n = K 0 ⋅ 1 +
m
m⋅ n
 0,05 

K n = 27800 ⋅ 1 +
4 

K n = 37456,36
( )
(
c) K n = K 0 ⋅ 1 +
i
m
4⋅6
m⋅ n
37254,66 = K 0 ⋅ 1 +
0,05
4
)
4⋅6
K 0 = 27650,30
d)
K n = K0 ⋅ (1 + i )
n
37456,36 = K 0 ⋅ (1 + 0,05)
6
K 0 = 27950,51
e) Unterjährige Verzinsung: Zinsperioden sind kleiner als 1 Jahr
f) Stetige Verzinsung: Zinsperioden sind „unendlich klein“
( )
i
g) K n = lim K 0 ⋅ 1 +
m →∞
m
m ⋅n
___________________________________________________________________________________
10.Ein Kapital wächst gemäß einer bestimmten Verzinsungsmethode in
5 Jahren von 7000 Euro auf 9000 Euro. – Bestimmen Sie jeweils den
zugrunde liegenden Jahres- bzw. Quartalszinssatz (Prozent, drei
Nachkommastellen), wenn folgende Verzinsungsmethode gilt:
a) Jährliche Zinsperiode
Lösung:
„normale“ Verzinsung.............
Jahreszinssatz = 5,155
einfache Verzinsung..............
vorschüssige Verzinsung..........
b) Vierteljährliche Zinsperiode
Lösung:
Quartalszinssatz = 1,265
___________________________________________________________________________
n
a)
→ 9000 = 7000 · q5
Kn = K0 ⋅ q
q =
b)
5
9000
7000
= 1,051547
→
p = 5,155
Kn = K0 ⋅ (1 + n ⋅ i)
→ 9000 = 7000 · (1 + 5 · i)
 9000

− 1 : 5
i = 
 7000

= 0,057143
K0 = Kn ⋅ (1 − n ⋅ iV )
→ 7000 = 9000 · (1 - 5 · iV)
7000 

iV = 1 −
 :5
9000 

m ⋅n
Kn = K0 ⋅ q R
qR =
4⋅5
9000
7000
= 0,044444
→
→
p = 5,714
pV= 4,444
→ 9000 = 7000 · q4R⋅5
= 1,012645002
→
pR= 1,265
Kn = K0 ⋅ (1 + m ⋅ n ⋅ iR)→ 9000 = 7000 · (1 + 4 · 5 · iR)
 9000

− 1  : (4 ⋅ 5)
iR = 
7000


= 0,014286
K0 = Kn ⋅ (1 − m ⋅ n ⋅ iVR )
→ 7000 = 9000 · (1 – 4 · 5 · iVR)
7000 

iVR = 1 −
 : (4 ⋅ 5)
9000 

= 0,011111
→
pR = 1,429
→ pVR = 1,111
___________________________________________________________________________________
11.Zacharias Zinsfuß hat ein Guthaben, das aufgrund einer bestimmten
Verzinsungsmethode in 6 Jahren von 9000 Euro auf 12000 Euro
angewachsen ist. – Wie hoch ist der betreffende Jahres- bzw.
Quartalszinssatz (Prozent, drei Nachkommastellen), wenn folgende
Verzinsungsmethode gegolten hat:
a) Jährliche Zinsperiode
Lösung:
b) Vierteljährliche Zinsperiode
Lösung:
___________________________________________________________________________________
n
a)
→ 12000 = 9000 · q6
Kn = K0 ⋅ q
q =
b)
6
12000
9000
= 1,04911506
→
p = 4,912
Kn = K0 ⋅ (1 + n ⋅ i)
→ 12000 = 9000 · (1 + 6 · i)
 12000

i = 
− 1 : 6
 9000

= 0,0555555
K0 = Kn ⋅ (1 − n ⋅ iV )
→ 9000 = 12000 · (1 - 6 · iV)
9000 

iV = 1 −
 :6
12000 

m ⋅n
Kn = K0 ⋅ q R
qR =
4 ⋅6
12000
9000
= 0,041667
→
→
p = 5,555
pV= 4,167
→ 12000 = 9000 · q4R⋅6
= 1,012059
→
pR= 1,206
Kn = K0 ⋅ (1 + m ⋅ n ⋅ iR)→ 12000 = 9000 · (1 + 4 · 6 · iR)
 12000

− 1 : (4 ⋅ 6)
iR = 
 9000

= 0,013888
K0 = Kn ⋅ (1 − m ⋅ n ⋅ iVR )
→ 9000 = 12000 · (1 – 4 · 6 · iVR)
9000 

iVR = 1 −
 : (4 ⋅ 6)
12000 

= 0,010417
→
pR = 1,389
→ pVR = 1,042
___________________________________________________________________________________
12.a)Die „Partnerbank“ bietet Sparbriefe an: Nennwert = 3000 Euro;
Jahreszinsen = 105 Euro, diese werden anteilig halbjährlich zugeschlagen. – Zu berechnen ist (Prozent, drei Nachkommastellen):
(1)
(2)
(3)
(4)
nomineller Zinssatz
Lösung:
relativer Zinssatz
Lösung:
effektiver Zinssatz
Lösung:
Zusatzfrage zum effektiven Zinssatz:
Wie hoch ist hierzu der konforme Zinssatz?
Lösung:
b) Die “Konkurrenzbank“ bietet andere Sparbriefe an: Effektiver
Zinssatz = 3,6 %, die Zinsen werden anteilig dritteljährlich zugeschlagen. – Zu berechnen ist (Prozent, drei Nachkommastellen):
(1)
(2)
(3)
(4)
konformer Zinssatz
Lösung:
nomineller Zinssatz
Lösung:
Jahreszinsen (Nennwert = 4000 Euro)
Lösung:
Zusatzfrage zum nominellen Zinssatz:
Wie hoch ist hierzu der relative Zinssatz?
Lösung:
c) Es ist allgemein zu definieren:
(1) nomineller Zinssatz
(2) relativer Zinssatz
(3) effektiver Zinssatz
(4) konformer Zinssatz
___________________________________________________________________________________
Lösung:
= 105
a) (1) iN = Z
K
3000
= 0,035
2
(2) iR = iN
m
m
2
= 0,035
→ 3,500
= 0,0175
→ 1,750
= 1,03531
→ 3,531
=
(1 + 0,0175)
(4) qK = m qe
=
2
1,03531
= 1,0175
→ 1,750
b) (1) qK = m qe
=
3
1,036
= 1,01186
→ 1,186
(2) iN = iK ⋅ m
= 0,01186 ⋅ 3
= 0,03558
→ 3,558
(3) Z = iN ⋅ K
= 0,03558 ⋅ 4000
(4) iR = iN
m
= 0,03558
(3) q e = (1 + i R )
3
→ 142,32
= 0,01186
→ 1,186
c) (1) Nomineller Zinssatz = Jahreszinssatz, der sich aus dem
Verhältnis zwischen jährlichem Zinsbetrag und Nennwert ergibt
(2) Relativer Zinssatz = Unterjähriger Zinssatz, der dem nominellen
(bzw. effektiven) Jahreszinssatz gemäß dem Zeitanteil
proportional ist
(3) Effektiver Zinssatz = Jahreszinssatz, der das Anwachsen eines
gegebenen Anfangskapitals bis zu einem gegebenen Endkapital
nach dem Zinseszinsprinzip darstellt und dabei neben dem
nominellen Zinssatz auch alle anderen zinsrelevanten Faktoren
einbezieht
(4) Konformer Zinssatz = Unterjähriger Zinssatz, der dem effektiven
(bzw. nominellen) Jahreszinssatz gemäß dem Zinseszinsprinzip
äquivalent ist
___________________________________________________________________________________
13.a)Alfons Altreich kauft einen Sparbrief zu folgenden Konditionen:
Nennwert = 2000 Euro, Jahreszinsen = 80 Euro, vierteljährlicher
anteiliger Zinszuschlag. – Wie hoch ist (Prozent, drei Nachkommastellen):
Lösung:
Lösung:
Lösung:
(4) Zusatzfrage zum effektiven Zinssatz:
Wie hoch ist hierzu der konforme Zinssatz? Lösung:
b) Norbert Neureich kauft einen anderen Sparbrief: Effektivzinssatz
= 3,9 %, zweimonatlicher anteiliger Zinszuschlag. – Wie hoch ist
(Prozent, drei Nachkommastellen):
Lösung:
Lösung:
(3) Jahreszinsen (Nennwert = 5000 Euro)
Lösung:
(4) Zusatzfrage zum nominellen Zinssatz:
Wie hoch ist hierzu der relative Zinssatz? Lösung:
c) Es ist allgemein zu definieren:
___________________________________________________________________________________
Lösung:
= 80
a) (1) i N = Z
K
2000
= 0,04
4
(2) iR = i N
m
(3) qe = (1 + i R )
m
4
= 0,04
→ 4,000
= 0,01
→ 1,000
= 1,04060
→ 4,060
=
(1 + 0,01)
(4) q K = m q e
=
4
1,04060
= 1,01
b) (1) q K = m q e
=
6
1,039
= 1,00640
→ 0,640
(2) iN = iK ⋅ m
= 0,00640 ⋅ 6
= 0,03838
→ 3,838
(3) Z = i N ⋅ K
= 0,03838 ⋅ 5000
(4) iR = i N
m
= 0,03838
6
→ 1,000
→ 191,90
= 0,00640
→ 0,640
c) (1) Nomineller Zinssatz = Jahreszinssatz, der sich aus dem
Verhältnis zwischen jährlichem Zinsbetrag und Nennwert ergibt
(2) Relativer Zinssatz = Unterjähriger Zinssatz, der dem nominellen
(bzw. effektiven) Zinssatz gemäß dem Zeitanteil proportional
ist
(3) Effektiver Zinssatz = Jahreszinssatz, der das Anwachsen eines
gegebenen Anfangskapitals bis zu einem gegebenen Endkapital
nach dem Zinseszinsprinzip darstellt und dabei neben dem
nominellen Zinssatz auch alle anderen zinsrelevanten Faktoren
einbezieht
(4) Konformer Zinssatz = Unterjähriger Zinssatz, der dem effektiven
(bzw. nominellen) Zinssatz gemäß dem Zinseszinsprinzip
äquivalent ist
___________________________________________________________________________________
14.Wolfgang Wucherpfennig kauft ein Wertpapier „mit Zinsansammlung“
für 505 Euro. Das Wertpapier hat einen Nominalwert von 500 Euro,
eine Nominalverzinsung von 4,6 %, eine Laufzeit von 8 Jahren und
einen Rücknahmepreis von 495 Euro. - Berechnen Sie (in Prozent mit
3 Nachkommastellen):
a) Wie hoch ist die Effektivverzinsung?
b) Wie hoch wäre die Effektivverzinsung im Falle eines anteiligen
halbjährlichen Zinszuschlags?
___________________________________________________________________________________
Effektivverzinsung bei Emissions- und Tilgungskursen
Lösung:
a)
n
K ⋅ q + T − K0
q = n 0
E
500 ⋅ 1,0468 + 495 − 500
q = 8
505
q = 8 1,40893 = 1,04379
pe = 4,379
b)
m ⋅n
K ⋅ qR + T − K0
q = n 0
E
500 ⋅ 1,0232⋅8 + 495 − 500
q = 8
505
q = 8 1,41469 = 1,04432
pe = 4,432
___________________________________________________________________________________
15.Ein Wertpapier „mit Zinsansammlung“ hat eine Nominalverzinsung von
4,4 %, einen Emissionskurs von 101 und eine Laufzeit von 10 Jahren.
Berechnen Sie (in Prozent mit 3 Nachkommastellen):
a) Wie hoch ist die Effektivverzinsung bei einem Tilgungskurs von 101?
b) Wie hoch ist die Effektivverzinsung, wenn der Tilgungskurs 99
beträgt?
c) Wie hoch wäre bei Frage b) die Effektivverzinsung, wenn hier
anteiliger vierteljährlicher Zinszuschlag gelten würde?
___________________________________________________________________________________
Lösung:
a)
n
K ⋅ q + T − K0
q = n 0
E
100 ⋅ 1,04410 + 101 − 100
q = 10
101
q = 101,53284 = 1,04364
pe = 4,364
b)
K0
q = n
⋅ qn + T − K0
E
100 ⋅ 1,04410 + 99 − 100
q = 10
101
q = 101,51304 = 1,04228
pe = 4,228
c)
m ⋅n
K0 ⋅ qR + T − K0
q = n
E
100 ⋅ 1,0114⋅10 + 99 − 100
q = 10
101
q = 101,52374 = 1,04302
pe = 4,302
___________________________________________________________________________________
16.Gerhard Gernereich kauft bei seiner Bank zwei Obligationen zu
folgenden Konditionen: Nennwert = 100, Verzinsung 3 %, jährliche
Zinsauszahlung, Emissionskurs 101 %, Tilgung nach 3 Jahren zum Kurs
102 %, jederzeit Rückgabemöglichkeit zum Nennwert.
Eine der beiden Obligationen gibt er nach 2 Jahren zurück.
Berechnen Sie die Rendite! (Prozent, drei Nachkommastellen!)
b) Die andere Obligation behält er bis zum Tilgungszeitpunkt.
Bestätigen Sie, dass die Rendite zwischen 3,28 % und 3,29 % liegt!
(Nachvollziehbare Rechnung!)
- Zusatzfrage: Liegt die genaue Rendite näher bei 3,28 % oder bei
3,29 %? Begründung!
___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen bei Zinsauszahlung
Berechnungen und Verständnisfragen zur Effektivverzinsung
Lösung:
a)
Ko ⋅ i + Ko ⋅ i + ... + Ko ⋅ i + T
2
n
n
q
q
q
q
100 ⋅ 0,03 100 ⋅ 0,03 100
0 = −101 +
+
+ 2
2
q
q
q
a) 0 = − E +
0 = −101⋅ q 2 + 3 ⋅ q + 103
3
103
2
⋅q −
=0
q −
101
101
( )
2
3
103
3
±
+
202
101
202
q = 1,02481 3
pe = 2,481
q=
q = −0,995110
⇒
pe = −199,5110
⇒
nicht definiert
Ko ⋅ i + Ko ⋅ i + ... + Ko ⋅ i + T
2
n
n
q
q
q
q
100 ⋅ 0,03 100 ⋅ 0,03 100 ⋅ 0,03 102
0 = −101 +
+
+
+ 3
2
3
q
q
q
q
b) 0 = − E +
0 = −101⋅ q 3 + 3 ⋅ q 2 + 3 ⋅ q + 105
0 ≅ −101 ⋅ 1,03283 + 3 ⋅ 1,03282 + 3 ⋅ 1,0328 + 105
0 < +0,030484
0 ≅ −101⋅ 1,03293 + 3 ⋅ 1,03292 + 3 ⋅ 1,0329 + 105
0 > −0,000920
Die genaue Rendite liegt näher bei 3,29 %, weil die Probe mit
3,29 zu einer besseren Übereinstimmung führt als mit 3,28.
___________________________________________________________________________________
17.Eine Bank bietet zweijährige und dreijährige Sparbriefe an
(Wert = 2000 Euro; jährliche Zinsauszahlung).
a) Der zweijährige Sparbrief bringt im ersten Jahr 70 Euro Zinsen,
im zweiten Jahr 80 Euro Zinsen. - Wie hoch ist die Effektivverzinsung? (Prozent, drei Nachkommastellen!)
b) Der dreijährige Sparbrief bringt im ersten Jahr 70 Euro Zinsen,
im zweiten Jahr 80 Euro Zinsen und im dritten Jahr 90 Euro
Zinsen. – Es ist zu bestätigen, dass die Effektivverzinsung
zwischen 3,98 % und 3,99 % liegt. (Nachvollziehbare Rechnung!)
- Zusatzfrage: Liegt die genaue Effektivverzinsung näher bei 3,98 %
oder bei 3,99 %? Begründung!
___________________________________________________________________________________
Berechnungen und Verständsnisfragen zur Effektivverzinsung
Lösung:
K0 ⋅ i1 + K0 ⋅ i2 + ... + K0 ⋅ in + T
2
n
n
q
q
q
q
70 80 2000
0 = −2000 + + 2 + 2
q q
q
a) 0 = − E +
0 = −2000 ⋅ q 2 + 70 ⋅ q + 2080
70
2080
2
⋅q −
=0
q −
2000
2000
( )
2
35
2080
35
q=
±
+
2000
2000
2000
q = 1,037454
pe = 3,745
q = −1,002454
⇒
pe = −200,2454
⇒
nicht definiert
K0 ⋅ i1 + K0 ⋅ i2 + ... + K0 ⋅ in + T
2
n
n
q
q
q
q
70 80 90 2000
0 = −2000 + + 2 + 3 + 3
q q
q
q
b) 0 = − E +
0 = −2000 ⋅ q3 + 70 ⋅ q 2 + 80 ⋅ q + 2090
0 ≅ −2000 ⋅1,03983 + 70 ⋅1,03982 + 80 ⋅1,0398 + 2090
0 ≅ +0,436554
0 ≅ −2000 ⋅1,03993 + 70 ⋅1,03992 + 80 ⋅1,0399 + 2090
0 ≅ −0,189661
Die genaue Effektivverzinsung liegt näher bei 3,99 %, weil die
Probe mit 3,99 zu einer besseren Übereinstimmung führt als mit
3,98.
___________________________________________________________________________________
18.Heinrich Hundertmark hat eine Obligation „mit Zinsauszahlung“
gekauft (Kaufpreis = 9500 Euro) und nach 2 Jahren wieder verkauft
(Verkaufspreis = 9700 Euro). Der Nominalwert war 10000 Euro, die
Nominalverzinsung war 3 %.
Berechnen Sie die Effektivverzinsung!
Berechnen Sie die Effektivverzinsung näherungsweise nach der
Bankenformel!
c) Warum führt die Bankenformel nur zu einem Näherungswert? (Zwei
Gründe!)
___________________________________________________________________________________
Berechnungen und Verständnisfragen zur Effektivverzinsung
Lösung:
a)
b)
K0 ⋅ i + K0 ⋅ i + ... + K0 ⋅ i + T
2
n
n
q
q
q
q
10000 ⋅ 0,03 10000 ⋅ 0,03 9700
0 = −9500 +
+
+ 2
2
q
q
q
a) 0 = − E +
0 = −9500 ⋅ q 2 + 300 ⋅ q + 10000
3
100
2
=0
q − ⋅q −
95
95
( )
2
3
100
3
±
+
190
95
190
q = 1,04189
pe = 4,189
q=
q = −1,010310
⇒
pe = −201,031
⇒
nicht definiert
p
T−E
⋅100 +
E
n
3
97 − 95
⋅ 100 +
pe =
95
2
pe = 4,158
b) pe =
c) Der Tilgungsgewinn wird nicht nach dem Zinseszinsprinzip umgerechnet
(sondern nach dem Prinzip der einfachen Verzinsung).
Der Tilgungsgewinn wird nicht auf den Emissionskurs bezogen
(sondern auf den Nominalkurs).
___________________________________________________________________________________
19.Eine Bank gibt eine Obligation „mit Zinsauszahlung“ heraus zu
folgenden Konditionen: Ausgabekurs = 96, Nominalverzinsung = 3 %,
Laufzeit = 2 Jahre, Rücknahmekurs = 98.
a) Berechnen Sie die Effektivverzinsung!
b) Berechnen Sie die Effektivverzinsung näherungsweise nach der
Bankenformel!
c) Warum führt die Bankenformel nur zu einem Näherungswert? (Zwei
Gründe!)
d) Wenn die Laufzeit nur 1 Jahr betragen hätte: Welche
Effektivverzinsung
(1) hätte sich nach der genauen Formel ergeben?
(2) hätte sich nach der Bankenformel ergeben?
___________________________________________________________________________________
Lösung:
K 0 ⋅ i + K 0 ⋅ i + ... + K 0 ⋅ i + T
2
n
n
q
q
q
q
100 ⋅ 0,03 100 ⋅ 0,03 98
0 = −96 +
+
+ 2
2
q
q
q
a) 0 = − E +
2
q −
3
101
⋅q −
=0
96
96
( )
2
3
101
3
q=
±
+
192
96
192
q = 1,04146
pe = 4,146
q = −1,01021
p
T−E
⋅100 +
E
n
pe = 4,125
b) pe =
⇒
⇒
pe = −201,021
pe =
⇒
nicht definiert
3
98 − 96
⋅ 100 +
96
2
c) Der Tilgungsgewinn wird nicht nach dem Zinseszinsprinzip
umgerechnet (sondern nach dem Prinzip der einfachen Verzinsung).
Der Tilgungsgewinn wird nicht auf den Emissionskurs bezogen
(sondern auf den Nominalkurs).
K 0 ⋅ i + K 0 ⋅ i + ... + K 0 ⋅ i + T
2
n
n
q
q
q
q
100 ⋅ 0,03 98
0 = −96 +
+
⇒
q = 1,05208
q
q
d)(1) 0 = − E +
pe = 5,208
p
T−E
⋅ 100 +
E
n
=
5
,
125
pe
(2) pe =
⇒
pe =
3
98 − 96
⋅ 100 +
96
1
___________________________________________________________________________________
20.Ein Sparbrief wird zu folgenden Konditionen ausgegeben:
Nennbetrag = 4000 Euro; Zinssatz = 2,1 Prozent; Emissionskurs =
99,5 Prozent; Tilgungskurs = 100,5 Prozent; Laufzeit = 2 Jahre.
a) Wenn es sich um einen Sparbrief „mit Zinsansammlung“ handelt: Wie
hoch ist die Effektivverzinsung? (Prozent mit 3 Nachkommastellen!)
b) Wenn es sich dagegen um einen Sparbrief „mit Zinsauszahlung“
handelt: Wie hoch ist dann die Effektivverzinsung? (Prozent mit
3 Nachkommastellen!)
___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen bei Zinsansammlung bzw. bei Zinsauszahlung
Lösung:
a)
n
q=n
K0 ⋅ q + T − K0
E
q=2
4000 ⋅1,0212 + 4020 − 4000
3980
4189,764
= 1,02601
3980
pe = 2,601
q=2
Ko ⋅ i + Ko ⋅ i + ... + Ko ⋅ i + T
2
n
n
q
q
q
q
4000 ⋅ 0,021 4000 ⋅ 0,021 4020
0 = −3980 +
+
+ 2
2
q
q
q
b) 0 = − E +
0 = −3980 ⋅ q2 + 84 ⋅ q + 4104
84
4104
2
⋅q −
=0
q −
3980
3980
42
±
3980
q = 1,02607
pe = 2,607
q=
( )
2
4104
42
+
3980
3980
q = −1,00496 ⇒
pe = −200,496
⇒
nicht definiert
___________________________________________________________________________________
21.Anton Anleger kauft einen Sparbrief zu folgenden Konditionen:
Nennbetrag = 2000 Euro; Zinssatz = 2,2 Prozent; Emissionskurs =
99,4 Prozent; Tilgungskurs = 100,6 Prozent; Laufzeit = 2 Jahre.
a) Wenn es sich um einen Sparbrief „mit Zinsauszahlung“ handelt: Wie
hoch ist die Effektivverzinsung? (Prozent mit 3 Nachkommastellen!)
b) Wenn es sich dagegen um einen Sparbrief „mit Zinsansammlung“
handelt: Wie hoch ist dann die Effektivverzinsung? (Prozent mit
3 Nachkommastellen!)
___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen bei Zinsauszahlung bzw. bei Zinsansammlung
Lösung:
Ko ⋅ i + Ko ⋅ i + ... + Ko ⋅ i + T
2
n
n
q
q
q
q
2000 ⋅ 0,022 2000 ⋅ 0,022 2012
0 = −1988 +
+
+ 2
2
q
q
q
a) 0 = − E +
0 = −1988 ⋅ q2 + 44 ⋅ q + 2056
44
2056
2
⋅q −
=0
q −
1988
1988
( )
2
22
2056
22
±
+
1988
1988
1988
q = 1,02809
pe = 2,809
q=
q = −1,00595 ⇒
pe = −200,595
b)
n
q=n
K0 ⋅ q + T − K0
E
q=2
2000 ⋅1,0222 + 2012 − 2000
1988
2100,968
= 1,02802
1988
pe = 2,802
q=2
⇒
nicht definiert
___________________________________________________________________________________
22.In einer Firma wird für 80000 Euro eine neue Maschine mit einer
Nutzungsdauer von 4 Jahren angeschafft. Die von der Maschine
verursachten Auszahlungen betragen im ersten Jahr 20000 Euro, im
zweiten Jahr 15000 Euro, im dritten Jahr 10000 Euro und im vierten
Jahr 20000 Euro. Die entsprechenden Einzahlungen sind im ersten
Jahr 30000 Euro, im zweiten Jahr 40000 Euro, im dritten Jahr 50000
Euro und im vierten Jahr 40000 Euro. Der Restwert beträgt 5000
Euro.
a) Falls ein Kalkulationszinssatz von 9 % gilt: Wie hoch ist der
Vermögensendwert?
b) Falls ein Kalkulationszinssatz von 7 % gilt: Wie hoch ist der
Vermögensendwert?
___________________________________________________________________________________
Thema: Zinseszinsen, speziell Investitionsrechnung
Berechnung des Vermögensendwertes
Lösung:
E1 − A1
E − A
E − A
R
+ 2 2 2 + ⋯ + n n n + nn
q
q
q
q
n
n −1
n −2
+ (E2 − A2) ⋅ q
+ ⋯ + (En − An ) + R n
Cn = − A0 ⋅ q + (E1 − A1) ⋅ q
a) C0 = − A0 +
4
3
2
Cn = −80000 ⋅ 1,09 + (30000 − 20000) ⋅ 1,09 + (40000 − 15000) ⋅ 1,09
+ (50000 − 10000) ⋅ 1,09 + (40000 − 20000) + 5000
4
3
2
Cn = −80000 ⋅ 1,09 + 10000 ⋅ 1,09 + 25000 ⋅ 1,09 + 40000 ⋅ 1,09 + 25000
Cn = − 1673,74
E1 − A1
E − A
E − A
R
+ 2 2 2 + ⋯ + n n n + nn
q
q
q
q
n
n −1
n −2
+ (E2 − A2) ⋅ q
+ ⋯ + (En − An ) + R n
Cn = − A0 ⋅ q + (E1 − A1) ⋅ q
b) C0 = − A0 +
4
3
2
Cn = −80000 ⋅ 1,07 + (30000 − 20000) ⋅ 1,07 + (40000 − 15000) ⋅ 1,07
+ (50000 − 10000) ⋅ 1,07 + (40000 − 20000) + 5000
4
3
2
Cn = −80000 ⋅ 1,07 + 10000 ⋅ 1,07 + 25000 ⋅ 1,07 + 40000 ⋅ 1,07 + 25000
Cn = + 3809,25
___________________________________________________________________________________
23.Der Unternehmer Gerhard Geldmacher kauft für 90000 Euro eine
Maschine, die eine Nutzungsdauer von 4 Jahren hat. Im ersten Jahr
werden für die Maschine Auszahlungen von 25000 Euro und
Einzahlungen von 30000 Euro veranschlagt, im zweiten Jahr sind es
entsprechend 20000 Euro und 45000 Euro, im dritten Jahr sind es
15000 Euro und 60000 Euro, im vierten Jahr sind es 25000 Euro und
50000 Euro; der Restwert beträgt 10000 Euro.
a) Es wird ein Kalkulationszinssatz von 6 % angenommen. – Wie hoch ist
der Vermögensendwert?
b) Es wird ein Kalkulationszinssatz von 8 % angenommen. - Wie hoch ist
der Vermögensendwert?
___________________________________________________________________________________
Berechnung des Vermögensendwertes
Lösung:
E1 − A1
E − A
E − A
R
+ 2 2 2 + ⋯ + n n n + nn
q
q
q
q
n
n −1
n −2
+ (E2 − A2) ⋅ q
+ ⋯ + (En − An ) + R n
Cn = − A0 ⋅ q + (E1 − A1) ⋅ q
a) C0 = − A0 +
4
3
2
Cn = −90000 ⋅ 1,06 + (30000 − 25000) ⋅ 1,06 + (45000 − 20000) ⋅ 1,06
+ (60000 − 15000) ⋅ 1,06 + (50000 − 25000) + 10000
4
3
2
Cn = −90000 ⋅ 1,06 + 5000 ⋅ 1,06 + 25000 ⋅ 1,06 + 45000 ⋅ 1,06 + 35000
Cn = + 3122,15
E1 − A1
E − A
E − A
R
+ 2 2 2 + ⋯ + n n n + nn
q
q
q
q
n
n −1
n −2
+ (E2 − A2) ⋅ q
+ ⋯ + (En − An ) + R n
Cn = − A0 ⋅ q + (E1 − A1) ⋅ q
b) C0 = − A0 +
4
3
2
Cn = −90000 ⋅ 1,08 + (30000 − 25000) ⋅ 1,08 + (45000 − 20000) ⋅ 1,08
+ (60000 − 15000) ⋅ 1,08 + (50000 − 25000) + 10000
4
3
2
Cn = −90000 ⋅ 1,08 + 5000 ⋅ 1,08 + 25000 ⋅ 1,08 + 45000 ⋅ 1,08 + 35000
Cn = − 3385,45
___________________________________________________________________________________
24.Ein Investitionsobjekt wird für 48200 Euro angeschafft. In den
ersten beiden Nutzungsjahren sind Einzahlungen in Höhe von 48000
bzw. 56000 Euro zu erwarten und Auszahlungen in Höhe von 23000 bzw.
26000 Euro.
a) Wie hoch ist der interne Zinsfuß?
b) Für das dritte Nutzungsjahr werden Einzahlungen von 50000 und
Auszahlungen von 40000 Euro veranschlagt.
(1) Wie hoch ist dann insgesamt der Kapitalwert (Zinssatz = 6%)?
(2) Wie hoch ist insgesamt der interne Zinsfuß? (Hinweis: Eine
explizite Ausrechnung ist nicht erforderlich. Es genügt die
implizite Darstellung des Ergebnisses und die verbale
Schilderung des abschließenden Rechengangs.)
___________________________________________________________________________________
Lösung:
E1 − A1
E − A
E − A
R
+ 2 2 2 + ... + n n n + nn
q
q
q
q
48000 − 23000
56000 − 26000
0
0 = −48200 +
+
+ 2
2
q
q
q
25000
30000
0 = 48200 +
+
q
q2
q2 − 0,518672 ⋅ q − 0,622407 = 0
a) 0 = − A0 +
q = 0,259336 ±
q = 1,089795
pe = 8,9795
0,2593362 + 0,622407
⇒
pe = −157,1123 ⇒ nicht definiert
E − A1
E − A
E − A
R
b)(1) C0 = − A0 + 1
+ 2 2 2 + ... + n n n + nn
q
q
q
q
48000 − 23000 56000 − 26000 50000 − 40000
0
+
+
+
C 0 = −48200 +
2
3
3
1,06
1,06
1,06
1,06
25000
30000
10000
+
+
C0 = −48200 +
2
1,06
1,06
1,063
C0 = 10480,99
q = −0,571123
E1 − A1
E − A
E − A
R
+ 2 2 2 + ... + n n n + nn
q
q
q
q
48000 − 23000
56000 − 26000
50000 − 40000
0
0 = −48200 +
+
+
+ 3
2
3
q
q
q
q
25000
30000
10000
0 = −48200 +
+
+
2
q
q
q3
q3 − 0,518672 ⋅ q2 − 0,622407 ⋅ q − 0,207469 = 0
(2) 0 = − A0 +
q =
3
0,518672 ⋅ q2 + 0,622407 ⋅ q + 0,207469
Durch ein Approximationsverfahren lassen sich drei
Diskontierungsfaktoren q bestimmen. Der (einzige) zulässige
Diskontierungsfaktor wird dann in den Zinssatz p umgerechnet.
___________________________________________________________________________________
25.a)Ein Junggeselle beschließt am Ende des Jahres 2003, 3000 Euro ab
sofort jeweils zum Jahresende auf ein Sparbuch einzuzahlen.
Welcher Betrag steht ihm am 01.01.09 zur Verfügung, wenn ihm 3%
Jahreszinsen gewährt werden?
- Zusatzfrage: Wie hoch wäre dann der entsprechende Barwert?
b) Ein Berufsanfänger möchte zu seiner Pensionierung (60. Geburtstag) über eine „stille Reserve“ von 200000 Euro verfügen. Wieviel
muss er zu Beginn eines jeden Lebensjahres vom 25. Geburtstag an
sparen, wenn ihm das Kreditinstitut 5% Zinsen gewährleistet?
- Zusatzfrage: Wieviel müsste er sparen, wenn die Pensionierung
erst mit dem 65. Geburtstag beginnen würde?
___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung, nachschüssig und vorschüssig
Berechnung von Rentenendwert, Rentenbarwert, Rentenrate
Lösung:
a)
qn − 1
(mit n=6)
q − 1
1,036 − 1
1,036 − 1
Rn = 3000 ⋅
= 3000 ⋅
1,03 − 1
0,03
Rn = r ⋅
Rn = 19405,23
Rn
(mit n=5)
qn
19405,23
19405,23
R0 =
=
5
1,1593
1,03
R0 =
R0 = 16739,12
b)
Rń
r
r
r
r
r
r
q −1
qn − 1
⇒
r = Rń ⋅
q − 1
q ⋅ (qn − 1)
1,05 − 1
= 200000 ⋅
1,05 ⋅ (1,0535 − 1)
0,05
= 200000 ⋅
1,05 ⋅ (1,0535 − 1)
= r ⋅ q ⋅
= 2108,90
1,05 − 1
1,05 ⋅ (1,0540 − 1)
0,05
= 200000 ⋅
1,05 ⋅ (1,0540 − 1)
= 200000 ⋅
= 1576,79
___________________________________________________________________________________
26.Für eine Lebensversicherung gelten folgende Konditionen:
Laufzeit = 12 Jahre, veranschlagte Nettoverzinsung = 3,5 %,
erwartete Auszahlungssumme = 60000 Euro.
a) Die Einzahlungen werden durch vorschüssige und regelmäßige
Jahresbeiträge geleistet. – Wie hoch ist dieser Jahresbeitrag?
b) Die Einzahlung wird zu Laufzeitbeginn durch einen Einmalbeitrag
geleistet. – Wie hoch ist dieser Einmalbeitrag?
___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung, nachschüssig
Berechnung von Rentenrate und Rentenbarwert
Lösung:
n
q -1
q -1
⇒
r = Rń ⋅ n
q -1
q
q -1
60000 1,035 - 1
2100
r=
⋅
=
12
1,035 1,035 - 1
1,035 ⋅ (1,03512 - 1)
r = 3970,08
a) Rń = r ⋅ q ⋅
b)
Rń
n
q
60000
R´0 =
12
1,035
R´0 = 39707,00
R´0 =
___________________________________________________________________________________
27.Ein Bauträger, der ein Grundstück erwerben will, erhält drei
Angebote. Welches Angebot ist für ihn am günstigsten, wenn ein
Kalkulationszinssatz von 5 Prozent angenommen wird?
(Nachvollziehbare Rechnung!)
a) Erstes Angebot: Regelmäßige Zahlung von 20000 Euro, 19 Jahre lang
jeweils zum Jahresende, Zahlungsbeginn im ersten Jahr.
b) Zweites Angebot: Regelmäßige Zahlung von 40000 Euro, 12 Jahre lang
jeweils zum Jahresanfang, Zahlungsbeginn im neunten Jahr.
c) Drittes Angebot: Einmalige Zahlung von 140000 Euro nach einem Jahr
und von 120000 Euro nach zwei weiteren Jahren.
___________________________________________________________________________________
Berechnung von Barwerten
Lösung:
a)
Rn =
Rn =
R0 =
R0 =
qn − 1
r ⋅
q −1
1,0519 − 1
20000 ⋅
= 610780,08
1,05 − 1
Rn
qn
610780,08
= 241706,42
1,0519
(mit n=19)
b)
qn − 1
q − 1
Rń
= r ⋅ q ⋅
Rń
= 40000 ⋅ 1,05 ⋅
R´0
R´0
Rń
qm
668519,31
=
1,0520
1,0512 − 1
= 668519,31
1,05 − 1
=
(mit n=12, m=20)
= 251957,90
c)
K0 = K0A + K0B = KnA ⋅
1
1
+ KBm ⋅ m
n
q
q
1
1
+ 120000 ⋅
1,05
1,053
K0 = 133333,33 + 103660,51 = 236993,85
(mit n=1, m=3)
K0 = 140000 ⋅
(am günstigsten)
___________________________________________________________________________________
28.Witwe Bolte will ihr Häuschen verkaufen. Drei Interessenten melden
sich. Welcher Interessent macht für sie das günstigste Angebot,
wenn der Kalkulationszinssatz 4 Prozent beträgt? (Nachvollziehbare
Rechnung!)
a) Erster Interessent: Regelmäßige Zahlung von 30000 Euro, 11 Jahre
lang jeweils zum Jahresende, Zahlungsbeginn im ersten Jahr.
b) Zweiter Interessent: Regelmäßige Zahlung von 50000 Euro, 9 Jahre
lang jeweils zum Jahresanfang, Zahlungsbeginn im zehnten Jahr.
c) Dritter Interessent: Einmalige Zahlung von 140000 Euro nach zwei
Jahren und von 150000 Euro nach einem weiteren Jahr.
___________________________________________________________________________________
Berechnung von Barwerten
Lösung:
a)
Rn =
Rn =
R0 =
R0 =
qn − 1
r ⋅
q −1
1,0411 − 1
30000 ⋅
= 404590,54
1,04 − 1
Rn
qn
404590,54
= 262814,30
1,0411
b)
qn − 1
q − 1
Rń
= r ⋅ q ⋅
Rń
= 50000 ⋅ 1,04 ⋅
R´0
=
R´0
Rń
qm
550305,36
=
1,0418
1,049 − 1
= 550305,36
1,04 − 1
(mit n=9, m=18)
= 271646,20
(am günstigsten)
c)
K0 = K0A + K0B = KnA ⋅
1
1
+ KBm ⋅ m
n
q
q
1
1
+ 150000 ⋅
2
1,04
1,043
K0 = 129437,87 + 133349,45 = 262787,32
K0 = 140000 ⋅
(mit n=2, m=3)
___________________________________________________________________________________
29.Ein Sparvertrag wird regelmäßig seit dem 31.12.2001 mit einer
jährlich-nachschüssigen Zahlung von 2000 Euro bedient; der Zinssatz
ist 4 %. – An welchem Datum ist das Sparziel von 50000 Euro
erreicht? (Rechnung erforderlich!)
___________________________________________________________________________________
Berechnung der Laufzeit und des entsprechenden Kalenderdatums
Lösung:
n
Rn = r ⋅
q −1
q −1
⇒
n
R
q = n ⋅ (q − 1) + 1
r
 50000

⋅ (1,04 − 1) + 1
lg 
2000

n= 
lg 1,04
n=
lg 2
lg 1,04
n = 17,673
⇒ 31.12.2018
⇒


lg  R n ⋅ (q − 1) + 1
r

n= 
lg q
___________________________________________________________________________________
30.a)Volker Vorsorge schließt einen Ratensparvertrag für 20 Jahre ab
(Zinssatz = 3,5 %). Er verpflichtet sich zu regelmäßigen
Zahlungen in Höhe von 1000 Euro, zusätzlich leistet er bei
Vertragsabschluss eine Sonderzahlung von 5000 Euro.
(1) Wie hoch ist der gesamte Endbetrag, wenn die regelmäßigen
Zahlungen nachschüssig geleistet werden?
(2) Wie hoch wäre der gesamte Endbetrag bei vorschüssigen
Zahlungen?
b)Friedrich Sparfreund will ein Kapital von 100000 Euro aufbauen
und deshalb regelmäßig jährlich-nachschüssig, erstmals am
31.12.2006, einen bestimmten Sparbeitrag zahlen (Zinsen = 4,5 %).
(1) Wenn die Zahlung letztmals am 31.12.2020 erfolgen soll:
Wie hoch müsste der Sparbeitrag sein?
(2) Es kann aber nur ein halb so hoher Sparbeitrag aufgebracht
werden: An welchem Datum müsste dann letztmals die Zahlung
erfolgen? (Rechnung erforderlich!)
___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung
Lösung:
n
n
a)(1) K n + R n = K 0 ⋅ q + r ⋅
q −1
q −1
20
1,035 − 1
1,035 − 1
= 38228,63
K n + R n = 9948,944 + 28279,682
20
K n + R n = 5000 ⋅ 1,035 + 1000 ⋅
n
(2) K n + R ń = K 0 ⋅ q + r ⋅ q ⋅
n
q −1
q −1
20
1,035 − 1
20
´
+
=
5000
⋅
+
1000
⋅
1
,
035
⋅
1
,
035
Kn R n
1,035 − 1
= 39218,41
K n + R ń = 9948,944 + 29269,471
n
b)(1) R n = r ⋅
q −1
q −1
r = 100000 ⋅
⇒
r = Rn ⋅
q −1
n
q −1
1,045 − 1
15
1,045 − 1
r = 4811,38
n
q −1
n
R
⇒
q = n ⋅ (q − 1) + 1
q −1
r
 100000

lg 
⋅ (1,045 − 1) + 1
2405,69

n= 
lg 1,045
lg 2,870565
n=
= 23,957
lg 1,045
⇒ 31.12.2029
(2) R n = r ⋅
⇒


lg  R n ⋅ (q − 1) + 1
r

n= 
lg q
___________________________________________________________________________________
31.Sascha Sparfreund, der auf seinem Konto ein Startguthaben von
100000 Euro hat, will nach einem Sparplan am Ende eines jeden
Jahres noch 10000 Euro zuzahlen. Der Zinssatz beträgt 4,4 %.
a) Wann beträgt der Kontostand rechnerisch 400000 Euro?
(Formelmäßige Berechnung mit 3 Nachkommastellen!)
b) Wie hoch ist der Kontostand zu Beginn des in Frage a) berechneten
Jahres?
c) Welchen Wert hat das Konto tatsächlich an dem in Frage a)
berechneten Termin?
___________________________________________________________________________________
Berechnungen aufgrund der „Sparkassenformel“
Lösung:
a)
n
Kn + Rn = K0 ⋅ q + r ⋅
qn − 1
q −1
1,044n − 1
1,044 − 1
n
400000 ⋅ 0,044 = 100000 ⋅ 1,044 ⋅ 0,044 + 10000 ⋅ 1,044n − 10000
27600 = 14400 ⋅ 1,044n
400000 = 100000 ⋅ 1,044n + 10000 ⋅
b)
1,044n = 1,916667
lg 1,916667
n =
= 15,1090
lg 1,044
qn − 1
n
Kn + Rn = K0 ⋅ q + r ⋅
q −1
K15
K15 + R15
c)
1,04415 − 1
1,044 − 1
= 190768,86 + 206292,86 = 397061,72
+ R15 = 100000 ⋅ 1,04415 + 10000 ⋅
Kn = K0 ⋅ (1 + n ⋅ i)
K n = 397061,72 ⋅ (1 + 0,1090 ⋅ 0,044 ) = 398966,03
___________________________________________________________________________________
32.Von einem Geldvermögen, das 200000 Euro ausmacht und zu 4,5 %
Zinsen angelegt ist, werden nach einem Auszahlungsplan jährlich
nachschüssig 15000 Euro entnommen.
a) Wann hat das Geldvermögen rechnerisch den Wert Null?
(Formelmäßige Berechnung mit 3 Nachkommastellen!)
b) Wie hoch ist das Geldvermögen zu Beginn des letzten Jahres?
c) Welchen Wert hat das Geldvermögen tatsächlich an dem in Frage a)
berechneten Termin?
d) Der (scheinbare) Widerspruch, der sich zwischen den Antworten zu a)
und zu c) ergibt, ist darzustellen und aufzuklären. (Genaue
Antwort!)
e) Wenn das Geldvermögen am 1. Januar 2007 angelegt worden wäre:
(1) Welchem genauen Kalenderdatum entspricht der in Frage b)
berechnete Termin?
(2) Welcher Entnahmebetrag steht tatsächlich am 31. Dezember des
letzten Jahres zur Verfügung?
(3) Welchem genauen Kalenderdatum entspricht der in Frage a)
berechnete Termin? (Taggenaue Rechnung!)
___________________________________________________________________________________
Lösung:
a)
n
Kn − Rn = K0 ⋅ q − r ⋅
qn − 1
q − 1
1,045n − 1
1,045 − 1
n
0 = 200000 ⋅ 1,045 ⋅ 0,045 − 15000 ⋅ 1,045n + 15000
0 = −6000 ⋅ 1,045n + 15000
0 = 200000 ⋅ 1,045n − 15000 ⋅
1,045n = 2,5
lg 2,5
n =
= 20,8168
lg 1,045
b)
n
Kn − Rn = K0 ⋅ q − r ⋅
qn − 1
q − 1
1,04520 − 1
1,045 − 1
= 482342,81 − 470571,34 = 11771,47
20
K20 − R20 = 200000 ⋅ 1,045 − 15000 ⋅
K20 − R20
c)
Kn = K0 ⋅ (1 + n ⋅ i)
Kn = 11771,47 ⋅ (1 + 0,8168 ⋅ 0,045) = 12204,14
d)
Bei der Antwort zu a) ist am berechneten Stichtag das
Geldvermögen gleich Null, weil die Rentenrate anteilig dem
Jahresablauf zugerechnet wird. Dagegen ist bei der Antwort zu c)
am Stichtag das Geldvermögen größer als Null, weil die
Rentenrate erst dem Jahresende zugerechnet wird.
e)(1) 2007 + 20 = 2027 → 1. Januar 2027
(2) Kn = K0 ⋅ qn → Kn = 11771,47 ⋅ 1,0451 = 12301,19
(3) n = T : J
→ T = n ⋅ J = 0,8168 ⋅ 365 = 298,132
298,132 = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 25,132
26. Oktober 2027
___________________________________________________________________________________
33.Die jährliche nachschüssige Erbpacht für ein Grundstück beträgt
6000 Euro; der Zinssatz lautet 4%.
Welchen Wert hat das Grundstück bei Vertragsabschluss,
a) wenn die Laufzeit 49 Jahre beträgt,
b) wenn die Laufzeit unbegrenzt ist,
c) und wie wären beide Fragen bei Vorschüssigkeit zu beantworten?
___________________________________________________________________________________
Berechnungen insbes. zur ewigen Rente
Lösung:
a)
qn − 1
q − 1
5,833349
1,0449 − 1
Rn = 6000 ⋅
= 6000 ⋅
0,04
1,04 − 1
Rn = r ⋅
Rn = 875002,41
Rn
qn
875002,41
R0 =
1,0449
R0 =
R0 = 128048,83
b)
1
r
qn − 1
⋅ r ⋅
=
R = lim
n → ∞ qn
q − 1
q − 1
6000
R*0 =
1,04 − 1
*
R0 = 150000
*
0
c)
qn − 1
´
= Rn ⋅ q
Rn = r ⋅ q ⋅
q − 1
Rń = 875002,41 ⋅ 1,04 = 910002,51
Rń
=
= R0 ⋅ q
R´
0
qn
R´
0 = 128048,83 ⋅ 1,04 = 133170,78
r ⋅q
= R*0 ⋅ q
R´0 * =
q −1
R´0 * = 150000 ⋅ 1,04 = 156000
___________________________________________________________________________________
34.Siegfried Sorglos schließt eine Lebensversicherung ab. Die
beträgt 12 Jahre, die Beiträge sind vorschüssig zu zahlen,
Verzinsung wird mit 3 % veranschlagt, die Auszahlungssumme
50000 Euro betragen. – Angenommen, es handelt sich hierbei
Lebensversicherung ...
Laufzeit
die
soll
um eine
mit regelmäßiger jährlicher Beitragszahlung: Wie hoch ist dann der
Jahresbeitrag?
b) mit Einmalbeitrag (Zahlung zu Laufzeitbeginn): Wie hoch ist dann
der Einmalbeitrag?
c) mit abgekürzter jährlicher Beitragszahlung (Zahlung 5 Jahre, danach
7 Jahre Beitragsfreiheit): Wie hoch ist dann der Jahresbeitrag?
d) mit regelmäßiger monatlicher Beitragszahlung und monatlichem
anteiligen Zinszuschlag: Wie hoch ist dann der Monatsbeitrag?
___________________________________________________________________________________
Lösung:
a)
a) Rń = r ⋅ q ⋅
n
q -1
⇒
q -1
50000
1,03 - 1
⋅
12
1,03
1,03 - 1
r = 3420,49
r=
b)
n
Kn = K0 ⋅ q
⇒
q -1
r = Rń ⋅ n
q
q -1
1500
=
1,03 ⋅ (1,0312 - 1)
R´0 =
Rń
n
q
50000
12
1,03
R´0 = 35068,99
R´0 =
n
q -1 m
c) Rń = r ⋅ q ⋅
⋅q
q -1
⇒
q -1
r = Rńm ⋅ n
q⋅q
q -1
(m = beitragsfreie Jahre)
50000
1,03 - 1
⋅
7
5
1,03 ⋅ 1,03
1,03 - 1
1500
r=
8
5
1,03 ⋅ (1,03 - 1)
r=
r = 7434,44
d) R´mn = r ⋅ qR ⋅
qRmn - 1
⇒
qR - 1
50000
1,0025 - 1
r=
⋅
1,0025 1,002512•12 - 1
r = 288,17
qR - 1
r = R´mn ⋅ mn
qR
qR - 1
(m = Monate)
___________________________________________________________________________________
35.Otto Oberfleiß hat eine Gehaltserhöhung bekommen, die 4000 Euro im
Jahr ausmacht. Er will nun entweder einen fünfzehnjährigen
Ratensparvertrag abschließen oder einen fünfzehnjährigen Kredit
aufnehmen, wobei jeweils ein Zinssatz von 4,25 % gilt:
a) Falls er einen Ratensparvertrag abschließt und den Erhöhungsbetrag
für die jährlichen Einzahlungen verwendet:
(1) Wie hoch ist die Auszahlungssumme bei nachschüssigen
Einzahlungen?
(2) Wie hoch wäre die Auszahlungssumme bei vorschüssigen
Einzahlungen?
b) Falls er einen Kredit aufnimmt und den Erhöhungsbetrag für die
konstanten Tilgungsraten verwendet:
(1) Wie hoch ist der Kredit bei nachschüssigen Tilgungsraten?
(2) Wie hoch wäre der Kredit (netto) bei vorschüssigen
Tilgungsraten?
___________________________________________________________________________________
Thema: Rentenrechnung und Tilgungsrechnung
Berechnungen zum Rentenendwert und zur Anfangsschuld
Lösung:
qn − 1
q − 1
1,042515 − 1
Rn = 4000 ⋅
= 81598,64
1,0425 − 1
a)(1) Rn = r ⋅
(2) R ′n = r ⋅ q ⋅
qn − 1
q − 1
R ′n = 4000 ⋅ 1,0425 ⋅
1,042515 − 1
= 85066,58
1,0425 − 1
S0
→
S0 = n ⋅ T
n
S0 = 15 ⋅ 4000 = 60000
b)(1) T =
S0
→
S0 = n ⋅ T
n
S0 = 15 ⋅ 4000 = 60000
S0 − T = 60000 − 4000 = 56000
(2) T =
___________________________________________________________________________________
36.Ein Angestellter kann mit einer Gehaltserhöhung rechnen, die 3000
Euro im Jahr ausmacht.
a) Falls er einen zwanzigjährigen Kredit aufnimmt (Zinssatz = 4,5
Prozent) und die Gehaltserhöhung für die konstanten Tilgungsraten
verwendet:
(1) Wie hoch ist der Kredit bei nachschüssigen Tilgungsraten?
(2) Wie hoch wäre der Kredit (netto) bei vorschüssigen Tilgungsraten?
b) Falls er stattdessen einen zwanzigjährigen Ratensparvertrag
abschließt (Zinssatz = 4,5 Prozent) und die Gehaltserhöhung für die
jährlichen Einzahlungen verwendet:
(1) Wie hoch ist die Auszahlungssumme bei nachschüssigen
Einzahlungen?
(2) Wie hoch wäre die Auszahlungssumme bei vorschüssigen
Einzahlungen?
c) Wie hoch ist bei den Teilfragen zu b) jeweils der Rentenbarwert?
___________________________________________________________________________________
Berechnungen zur Anfangsschuld und zum Rentenendwert
Lösung:
S0
→
S0 = n ⋅ T
n
S0 = 20 ⋅ 3000 = 60000
a)(1) T =
S0
→
S0 = n ⋅ T
n
S0 = 20 ⋅ 3000 = 60000
S0 − T = 60000 − 3000 = 57000
(2) T =
qn − 1
b)(1) Rn = r ⋅
q − 1
1,04520 − 1
Rn = 3000 ⋅
= 94114,27
1,045 − 1
(2) R ′n = r ⋅ q ⋅
R ′n
c)
R0 =
R′0 =
qn − 1
q − 1
= 3000 ⋅ 1,045 ⋅
1,04520 − 1
= 98349,41
1,045 − 1
94114,27
Rn
=
= 39023,81
n
q
1,04520
98349,41
R′n
=
= 40779,88
n
q
1,04520
___________________________________________________________________________________
37.a)Theodor Tausendgeld hat 10 Jahre lang, jeweils nachschüssig, 1200
Euro auf ein Konto gezahlt (Zinssatz = 5 %).
(1) Wie hoch ist das Endkapital?
(2) Um wieviel wächst der Wert der Rente im letzten Jahr?
b)Aufgrund eines Computerfehlers erhält er bei Vertragsablauf nicht
das Endkapital, sondern eine Mitteilung, dass der Betrag für ihn
als Schuld ausgewiesen würde, welche er nun in weiteren 10 Jahren
in gleichen Raten abzutragen hätte (Zinssatz = 6 %): Wie hoch
wäre dann die Annuität im letzten Jahr?
___________________________________________________________________________________
Berechnungen zum Rentenendwert und zur Annuität
Lösung:
a)(1)
Rn
R10
R10
qn − 1
= r ⋅
q − 1
1,0510 − 1
= 1200 ⋅
1,05 − 1
= 15093,47
(2)
qn − 1
qn − 1 − 1
− r ⋅
Rn − Rn − 1 = r ⋅
q −1
q −1
10
1,05 − 1
1,059 − 1
− 1200 ⋅
R10 − R9 = 1200 ⋅
1,05 − 1
1,05 − 1
R10 − R9 = 15093,47 − 13231,88
R10 − R9 = 1861,59
b)
S0
⋅ [1 + (n − t + 1) ⋅ i]
n
15093,47
=
⋅ [1 + (10 − 10 + 1) ⋅ 0,06]
10
15093,47
=
⋅ 1,06
10
= 1599,91
At =
A10
A10
A10
___________________________________________________________________________________
38.a)Auf einen Sparvertrag sind 12 Jahre lang, jeweils nachschüssig,
1000 Euro eingezahlt worden (Zinssatz = 4 %).
(1) Wie hoch ist das Endkapital?
(2) Um wieviel wächst der Wert der Rente im letzten Jahr?
b)Wenn bei Vertragsablauf irrtümlich nicht das Endkapital
ausgezahlt wird, sondern dieser Betrag als Schuld deklariert
würde, die nach weiteren 12 Jahren in gleichen Raten abzutragen
wäre (Zinssatz = 5 %): Wie hoch wäre dann die Annuität im letzten
Jahr?
___________________________________________________________________________________
Berechnungen zum Rentenendwert und zur Annuität
Lösung:
a)(1)
Rn
R12
R12
qn − 1
= r ⋅
q − 1
1,0412 − 1
= 1000 ⋅
1,04 − 1
= 15025,81
(2)
qn − 1
qn − 1 − 1
− r ⋅
q −1
q −1
12
1,04 − 1
1,0411 − 1
= 1000 ⋅
− 1000 ⋅
1,04 − 1
1,04 − 1
= 15025,81 − 13486,35
= 1539,46
Rn − Rn − 1 = r ⋅
R12 − R11
R12 − R11
R12 − R11
b)
S0
⋅ [1 + (n − t + 1) ⋅ i]
n
15025,81
=
⋅ [1 + (12 − 12 + 1) ⋅ 0,05]
12
15025,81
=
⋅ 1,05
12
= 1314,76
At =
A12
A12
A12
___________________________________________________________________________________
39.Eine Hypothek von 50000 Euro soll in 25 Jahren in gleichbleibenden
Annuitäten getilgt werden, der Zinssatz ist 6 Prozent. – Der
Tilgungsplan ist für die nachstehenden drei Jahre auszufüllen:
Jahr
Anfangsschuld
Zinsen
Tilgung
Annuität
Restschuld
1
13
25
___________________________________________________________________________________
Thema: Tilgungsrechnung (Annuitätentilgung)
Berechnung des Tilgungsplans
Lösung:
Jahr
Anfangsschuld
1
13
3911,34
49088,66
34625,82
2077,55
1833,79
3911,34
32792,03
3689,94
221,40
3689,94
3911,34
0,00
Zt = S0 ⋅ q − q
t −1
Tt = S0 ⋅ q ⋅
n
A = S0 ⋅ q ⋅
Restschuld
911,34
t
n
Annuität
3000,00
q −q
St = S0 ⋅ n
q −1
(
Tilgung
50000,00
25
n
Zinsen
)⋅ qq −−11
t −1
q −1
n
q −1
q −1
n
q −1
n















S0 = 50000
q = 1,06
n = 25
t = 1; 13; 25
___________________________________________________________________________________
40.Eine Hypothek von 100000 Euro soll in 25 Jahren in gleichbleibenden
Annuitäten getilgt werden, der Zinssatz ist 5,5 Prozent. – Der
Tilgungsplan ist für die nachstehenden drei Jahre auszufüllen:
Jahr
Anfangsschuld
Zinsen
Tilgung
Annuität
Restschuld
1
13
25
___________________________________________________________________________________
Berechnung des Tilgungsplans
Lösung:
Jahr
Anfangsschuld
1
Annuität
Restschuld
5500,00
1954,94
7454,94
98045,06
67967,23
3738,20
3716,74
7454,94
64250,49
7066,29
388,65
7066,29
7454,94
0,00
25
n
t
q −q
St = S0 ⋅ n
q −1
n
Zt = S0 ⋅ q − q
t −1
Tt = S0 ⋅ q ⋅
n
Tilgung
100000,00
13
(
Zinsen
A = S0 ⋅ q ⋅
)⋅ qq −−11
t −1
q −1
n
q −1
q −1
n
q −1
n















S0 = 100000
q = 1,055
n = 25
t = 1; 13; 25
___________________________________________________________________________________
41.Die Hilfsorganisation „Pomosch-Wostok“, die soziale Projekte in der
Ukraine unterstützt, bekommt ein Darlehen von 800000 Euro. Die
Rückzahlung soll in gleich bleibenden Annuitäten innerhalb von 15
Jahren erfolgen; der Zinssatz beträgt 3,5 %. Wie hoch ist im 8.
Jahr:
a) Anfangsschuld
b) Zinsen
c) Annuität
___________________________________________________________________________________
Berechnung von Anfangsschuld, Zinsen, Annuität
Lösung:
a)
qn − qt − 1
St − 1
qn − 1
1,03515 − 1,0358 − 1
S7 = 800000 ⋅
1,03515 − 1
= S0 ⋅
= 477465,33
b)
n
t −1
Zt = S0 ⋅ (q − q ) ⋅
q −1
qn − 1
15
8−1
Z8 = 800000 ⋅ (1,035 − 1,035 ) ⋅
1,035 − 1
1,03515 − 1
=
16711,29
=
69460,06
c)
A = S0 ⋅ qn ⋅
q −1
qn − 1
A = 800000 ⋅ 1,03515 ⋅
1,035 − 1
1,03515 − 1
___________________________________________________________________________________
42.Eine Entwicklungsgesellschaft erhält einen Kredit über 900000 Euro
zu einem Zinssatz von 4 Prozent und mit einer Laufzeit von
20 Jahren. Die Zahlungsverpflichtung des Kreditnehmers, die sich
aus Zinsen und Tilgung zusammensetzt, soll in jedem Jahr gleichhoch
sein. – Wie hoch ist im 12. Jahr:
a) Tilgung
b) Annuität
c) Restschuld
___________________________________________________________________________________
Berechnung von Tilgung, Annuität, Restschuld
Lösung:
a)
t −1
⋅
Tt = S0 ⋅ q
q − 1
qn − 1
12 − 1
⋅
T12 = 900000 ⋅ 1,04
1,04 − 1
1,0420 − 1
= 46527,81
b)
A = S0 ⋅ qn ⋅
q − 1
qn − 1
A = 900000 ⋅ 1,0420 ⋅
1,04 − 1
1,0420 − 1
= 66223,58
c)
qn − qt
qn − 1
1,0420 − 1,0412
= 900000 ⋅
1,0420 − 1
St = S0 ⋅
S12
= 445866,44
___________________________________________________________________________________
43.Stefan Schuldenmacher leistet für einen Kredit von 90000 Euro
mehrere Jahre lang Zinsen und Tilgung; die Zinsen des ersten Jahres
betragen 4500 Euro, die Tilgung des ersten Jahres beträgt 5000
Euro.
a)
b)
Wie hoch ist im Falle von Ratentilgung:
(1) Tilgungsdauer
Lösung:
(2) Anfangsschuld im 10.Jahr
Lösung:
(3) Zinsen im 10.Jahr
Lösung:
Wie hoch wäre im Falle von Annuitätentilgung:
Tilgungsdauer
Lösung:
___________________________________________________________________________________
Thema: Tilgungsrechnung (Ratentilgung und Annuitätentilgung)
Lösung:
90000
5000
10 −1
= 90000 ⋅ (1 - 18 )
S0
T
t −1
(2) St −1 = S0 ⋅ (1 - n )
a) (1) n =
(3) Zt = S0 ⋅ (1 n
b) A = S0 ⋅ q ⋅
t -1
n
)⋅i
n
9500
1,05
=
90000 ⋅ 0,05 1,05n - 1
19
⋅ 1,05n − 1 = 1,05n
9
)
19
19
⋅ 1,05n - = 1,05n
9
9
10
19
⋅ 1,05n =
9
9
1,05n = 1,9
n=
lg 1,9
lg 1,05
n = 13,155
= 90000 ⋅ (1 -
q -1
n
q -1
9500 = 90000 ⋅ 1,05n ⋅
(
=
1,05 - 1
n
1,05 - 1
10 -1
18
) ⋅ 0,05
=
18
=
45000
=
2250
___________________________________________________________________________________
44.Für einen Kredit (180000 Euro) sind mehrere Jahre lang Zinsen und
Tilgung zu leisten; die Zinsen des ersten Jahres betragen 9000
Euro, die Tilgung des ersten Jahres beträgt 10000 Euro.
a)
b)
Wie hoch ist im Falle von Ratentilgung:
(1) Tilgungsdauer
Lösung:
(2) Anfangsschuld im 9.Jahr
Lösung:
(3) Zinsen im 9.Jahr
Lösung:
Wie hoch wäre im Falle von Annuitätentilgung:
Tilgungsdauer
Lösung:
___________________________________________________________________________________
Thema: Tilgungsrechnung (Ratentilgung und Annuitätentilgung)
Lösung:
S0
T
t −1
(2) St −1 = S0 ⋅ (1 - n )
a) (1) n =
(3) Zt = S0 ⋅ (1 n
b) A = S0 ⋅ q ⋅
t -1
n
=
= 180000 ⋅ (1 -
1,05 - 1
n
1,05 - 1
n
19000
1,05
=
180000 ⋅ 0,05 1,05n - 1
(
)
19
19
⋅1,05n - = 1,05n
9
9
10
19
⋅1,05n =
9
9
1,05n = 1,9
n=
lg 1,9
lg 1,05
n = 13,155
9−1
18
)
= 180000 ⋅ (1 - 18 ) ⋅ 0,05
q -1
n
q -1
19
⋅ 1,05n - 1 = 1,05n
9
=
9-1
) ⋅i
19000 = 180000 ⋅1,05n ⋅
180000
10000
18
= 100000
=
5000
___________________________________________________________________________________
45.a)Heinrich Häuslebauer tilgt seine Hypothek (120000 Euro) 20 Jahre
lang mit konstanten Raten (4,75 % Zinsen). – Wie hoch ist im
12. Jahr:
(1) Anfangsschuld
(2) Zinsen
(3) Tilgung
(4) Annuität
(5) Restschuld
b)Egon Eigentümer tilgt seine Hypothek (100000 Euro) jährlich mit
7 % der Anfangsschuld (4 % Zinsen). - Am Ende des vorletzten
Laufzeitjahres wird die Hypothek vorzeitig abgewickelt.
(1) Um das wievielte Jahr handelt es sich; und wie hoch ist hier:
(2) Anfangsschuld
(3) Zinsen
(4) Tilgung
(5) Annuität
(6) Restschuld
___________________________________________________________________________________
Thema: Tilgungsrechnung (Ratentilgung)
Berechnungen insbes. bei nicht-ganzzahliger Tilgungsdauer
Lösung:
 t −1 

n 

 t −1 
⋅i
Zt = S0 ⋅ 1 −
n 

S0
T =
n
S0
At = ⋅ [1 + (n − t + 1) ⋅ i ]
n
t

St = S0 ⋅ 1 − 
 n
a)(1) St -1 = S0 ⋅ 1 −
(2)
(3)
(4)
(5)
S0
T
(2) St -1 = S0 − (t − 1) ⋅ T
(3) Zt = St -1 ⋅ i
b)(1) n =
 12 − 1 
= 54000

20 

 12 − 1 
= 2565
120000 ⋅ 1 −
 ⋅ 0,0475
20 

120000
= 6000
20
120000
⋅ [1 + (20 − 12 + 1) ⋅ 0,0475] = 8565
20
 12 
= 48000
120000 ⋅ 1 − 
 20 
= 120000 ⋅ 1 −
=
=
=
=
100000
= 14,3
7000
= 100000 − (14 − 1) ⋅ 7000
=
9000
= 9000 ⋅ 0,04
=
360
=
9000
9360
=
(4) T * = St -1
⇒ t = 14
(5) A * = Zt + T *
= 360 + 9000
=
(6) S*
t = St -1 − T *
= 9000 − 9000
=
0
___________________________________________________________________________________
46.Eine Hypothek von 150000 Euro soll in gleichbleibenden Raten
getilgt werden.
a) Die Tilgung erfolgt 15 Jahre lang; der Zinssatz beträgt 5,5 %.
Wie hoch ist im 7. Jahr:
(1) Anfangsschuld
(2) Zinsen
(3) Tilgung
(4) Annuität
(5) Restschuld
b) Die Tilgung erfolgt jeweils mit 8 % der Anfangsschuld; der Zinssatz
beträgt 4,5 %. - Am Ende des vorletzten Laufzeitjahres wird die
Hypothek vorzeitig abgewickelt.
(1) Um das wievielte Jahr handelt es sich; und wie hoch ist hier:
(2) Anfangsschuld
(3) Zinsen
(4) Tilgung
(5) Annuität
(6) Restschuld
___________________________________________________________________________________
Thema: Tilgungsrechnung (Ratentilgung)
Berechnung insbes. bei nicht-ganzzahliger Tilgungsdauer
Lösung:
 7 −1 
 t −1
= 150000 ⋅ 1 −
= 90000


n 
15 


 7 −1 
 t −1 
= 150000 ⋅ 1 −
 ⋅ 0,055
⋅i
Zt = S0 ⋅ 1 −
n 
15 


150000
S0
=
T =
n
15
150000
S0
=
⋅ [1 + (15 − 7 + 1) ⋅ 0,055]
At = ⋅ [1 + (n − t + 1) ⋅ i ]
n
15
7
t


= 150000 ⋅ 1 − 
St = S0 ⋅ 1 − 
 n
 15 
a) (1) St -1 = S0 ⋅ 1 −
(2)
(3)
(4)
(5)
S0
T
(2) St -1 = S0 − (t − 1) ⋅ T
(3) Zt = St -1 ⋅ i
b) (1) n =
=
4950
= 10000
= 14950
= 80000
150000
= 12,5
12000
= 150000 − (12 − 1) ⋅12000
= 18000
= 18000 ⋅ 0,045
=
=
(4) T * = St -1
⇒ t = 12
810
= 18000
(5) A * = Zt + T *
= 810 + 18000
= 18810
(6) S*
t = St -1 − T *
= 18000 − 18000
=
0
___________________________________________________________________________________
47.a) Eine Hypothek über 150000 Euro wird jährlich mit 10000 Euro
getilgt (Zinssatz = 10,5%). –Wie hoch ist am Ende des 13. Jahres
die Restschuld?
- Zusatzfrage: Wie hoch ist im 1. Jahr der Zinsbetrag sowie die
Annuität?
b) Ein Entwicklungsland erhält am 01.01.2003 einen Kredit über
20 Mio. Euro zu 3,5% Zinsen. Der Kredit soll durch Annuitätentilgung in 30 Jahren zurückgezahlt werden. – Wie hoch ist die
Restschuld am 01.01.2009?
- Zusatzfrage: Am 01.01. welchen Jahres ist die Restschuld nur
noch knapp halb so groß wie der Anfangskredit?
___________________________________________________________________________________
Lösung:
a)
b)
t
St = S0 ⋅ 1 − 

n
13 
 = 20000
15 
S13
= 150000 ⋅ 1 −
Z1
= S0 · i = 150000 · 0,105 = 15750
A1
= T + Z1 = 10000 + 15750 = 25750
St
= S0 ⋅ 
S6
= 20000000 ⋅ 
S6
= 20000000⋅ 
S6
= 17462296,60
St
= S0 ⋅ 
qt
= q n −  t  ⋅ (q n − 1)
 S0 
1,035t
= 1,03530 − 
1,035t
= 2,806794 – 0,5 · 1,806794

 q n − qt 

n
 q −1 
 1,03530 − 1,0356 

30
 1,035 − 1 
 2,806794 − 1,229255 

2,806794 − 1


 q n − qt 

n
 q −1 
S 
t
10000000 
30
 ⋅ (1,035 − 1)
 20000000 
1,035
= 1,903397
t
=
t
t
t
lg 1,903397
lg 1,035
0,279529
=
0,014940
= 18,710 < 19
⇒ 2022
___________________________________________________________________________________
48.Der Fabrikant Werner Wertschöpfer kauft eine Maschine und schreibt
diese binnen 4 Jahren auf 40,96 Prozent ihres Anfangswertes ab.
a) Wie lautet im Falle linearer Abschreibung der jährliche prozentuale
Abschreibungsbetrag? (Rechnung!)
b) Wie lautet dann die entsprechende Abfolge der Buchwerte?
c) In welchem Jahr wird die Maschine vollständig abgeschrieben sein?
(Antwortsatz!)
___________________________________________________________________________________
Thema: Abschreibungsrechnung (lineare Abschreibung)
Abschreibungsbetrag, Buchwerte und Abschreibungsdauer
Lösung:
a) Bn = B0 − n ⋅ A → A =
A =
B0 − Bn
n
1 − 0,4096
= 0,1476
4
A = 14,76 (Prozent)
b) B0
B1
B2
B3
B4
=
=
=
=
B0
B0
B0
B0
−
−
−
−
1A
2A
3A
4A
c) 0 = B0 − n ⋅ A
im 7. Jahr
=
=
=
=
=
1
1
1
1
1
→
-
1·0,1476
2·0,1476
3·0,1476
4·0,1476
n =
→ 100
→ 85,24
→ 70,48
→ 55,72
→ 40,96
1
= 6,775
0,1476
(Prozent)
(Prozent)
(Prozent)
(Prozent)
(Prozent)
___________________________________________________________________________________
49.Eine Maschine, die einen Anschaffungswert von 50000 Euro hat, wird
in 4 Jahren auf 6480 Euro abgeschrieben.
a) Wie lautet im Falle geometrisch-degressiver Abschreibung der
jährliche prozentuale Abschreibungssatz? (Rechnung!)
b) Wie lautet dann die entsprechende Abfolge der Buchwerte?
c) In welchem Jahr wird die Maschine vollständig abgeschrieben sein?
(Antwortsatz!)
___________________________________________________________________________________
Thema: Abschreibungsrechnung (geometrisch-degressive Abschreibung)
Abschreibungssatz, Buchwerte und Abschreibungsdauer
Lösung:
a) Bn = B0 ⋅ qn → q =
q =
4
n
Bn
B0
6480
= 0,6
50000
p = 40 (Abschreibungssatz)
b) B0
= 50000
B1 = B0 ⋅ q
2
B2 = B0 ⋅ q
3
B3 = B0 ⋅ q
= 50000·0,6
= 30000
= 50000·0,62
= 18000
3
= 50000·0,6
= 10800
4
B4 = B0 ⋅ q
= 50000·0,64
=
c) 0 = B0 ⋅ qn
→
n =
im Jahr „unendlich“
lg 0
lg 0,6
6480
___________________________________________________________________________________
50.a)Eine Maschine, die Anfang 2001 für 62500 Euro gekauft worden war,
hatte Anfang 2005 einen Buchwert von 25600 Euro.
(1) Wie hoch war – im Falle linearer Abschreibung – der jährliche
Abschreibungsbetrag (Euro)?
(2) Wie hoch war – im Falle geometrisch-degressiver Abschreibung
– der jährliche Abschreibungssatz (Prozent)?
b)Zwei Maschinen wurden zum gleichen Zeitpunkt und zum gleichen
Anschaffungspreis gekauft. Die erste Maschine wird jährlich um
1845 Euro linear abgeschrieben; die zweite Maschine wird jährlich
um 20 Prozent geometrisch-degressiv abgeschrieben. Nach vier
Jahren haben beide Maschinen denselben Buchwert.
(1) Wie hoch war der Anschaffungspreis?
(2) Wie hoch ist der Buchwert nach vier Jahren?
___________________________________________________________________________________
Thema: Abschreibungsrechnung (linear und geometrisch-degressiv)
Berechnung von diversen Kenngrößen
Lösung:
a)(1) Bn = B0 − n ⋅ A
25600 = 62500 – 4 ⋅ A
A =
62500 − 25600
4
A = 9225
(2) Bn = B0 ⋅ qn
25600 = 62500 ⋅ q4
25600
q = 4
= 0,8
62500
p = 20 (Abschreibungssatz)
b)(1) B0 − n ⋅ A = B0 ⋅ qn
4
B0 − 4 ⋅ 1845 = B0 ⋅ 0,8
B0 − 7380 = B0 ⋅ 0,4096
7380
B0 =
1 − 0,4096
B0 = 12500
(2) Bn = B0 − n ⋅ A
B4 = 12500 − 4 ⋅ 1845
B4 = 5120
Die Bearbeitungszeit für die voranstehenden Aufgaben
ist im Durchschnitt mit 15 Minuten zu veranschlagen.
Im einzelnen sind es – je nach Anzahl und Umfang der
Teilfragen – zwischen 10 und 20 Minuten.
*
Dieses Aufgabenskript resultiert aus Klausuren zur
Finanzmathematik aus den zurückliegenden Jahren.

Aufgabenskript Finanzmathematik

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