Didaktik der Grundschulmathematik II

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Didaktik der Mathematik
Universität Würzburg
Didaktik der
Grundschulmathematik II
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05
4.1
Jürgen Roth
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 4: Didaktik der Geometrie
4.1 Geometrie in der GS – Was und warum?
4.2 Raumvorstellung – Räumliches Denken
4.3 Begriffsbildung in der Geometrie
4.4 Geometrische Kompetenzen bei
Grundschülern
4.5 Räumliche Objekte
4.6 Ebene Figuren
4.7 Symmetrie
4.8 Messen
4.9 Zeichnen
4.2
4.3
4.4
4.13
4.47
4.64
4.74
4.107
4.124
4.143
4.163
Jürgen Roth
Kapitel 4:
Didaktik der
Geometrie
4.3
Jürgen Roth
4.1 Geometrie in der GS
Was und warum?
4.4
Jürgen Roth
Was ist Geometrie?
Geometrie ist die Wissenschaft vom uns umgebenden Raum.
• Geometrie ist das älteste mathematische Teilgebiet. Viele
Jahrhunderte lang war Mathematik im wesentlichen Geometrie.
• Zunächst war Geometrie einen (reinen) Naturwissenschaft.
• Die alten Griechen entdeckten die Macht des Denkens:
Man kann durch reines Denken Erkenntnisse erzielen!
• Das Denken folgt gewissen Regeln, den Gesetzen der Logik:
Wenn die Voraussetzungen eines logischen Schlusses gegeben
sind, dann gilt automatisch auch die Folgerung.
• Die Griechen entdeckten die Logik und damit auch die
Möglichkeit der Mathematik.
• Im Mittelalter gab es den Ausdruck „more geometrico” („nach
geometrischer Art”). Damit wurden Argumentationsketten
bezeichnet, die streng logisch aufgebaut waren.
4.5
Jürgen Roth
Grundideen der (Elementar-)Geometrie
•
Geometrische Formen und ihre Konstruktion im uns
umgebenden dreidimensionalen Raum
•
Operationen mit Formen
•
Koordinaten
•
Messen
•
Muster / Strukturen
•
Formen in der Umwelt und ihre Beziehungen mit Hilfe
der Geometrie beschreiben
•
Geometrisieren
•
Begründen und Beweisen
4.6
Jürgen Roth
Warum Geometrie in der Grundschule?
• Fast jedes Denken, jede kognitive
Kompetenz bedient sich visueller
geometrischer Stützen.
• Fähigkeit, zur Umwelterschließung
Î vorwiegend geometrische
Struktur des Raumes
• Vorbereitung auf die Geometrie
in den Sekundarstufen
• …
4.7
Jürgen Roth
Lehrplan Geometrie 1. Klasse
Raumerfahrung und -vorstellung
• Lagebeziehungen am eigenen
Körper erfahren und erfassen.
• Die Lage von Gegenständen
im Raum erfassen und
beschreiben.
• Beziehungen von Gegenständen
– zum eigenen Körper
– zueinander
•
•
Wege im Raum realisieren
und beschreiben
Begriffe der räumlichen Lage
sicher gebrauchen
oben – unten, über – unter – auf,
hinten – vorne, hinter – vor, links (von) –
rechts (von), zwischen – neben
Flächenformen
• entdecken
• untersuchen, beschreiben,
benennen und herstellen
• nach selbst gefundenen und
vorgegebenen Kriterien
vergleichen und klassifizieren
• Fachbegriffe:
–
–
–
–
Viereck, Rechteck, Quadrat
Dreieck
Kreis
*Drachen, Raute
• Figuren, Muster, Parkette und
Ornamente aus geometrischen
Grundformen zusammensetzen und beschreiben
4.8
Jürgen Roth
Flächen- und Körperformen
•
•
Mit Flächenformen handeln
•
Körperformen in der Umwelt
entdecken
– von verschiedenen
Standorten aus
•
Mit Körpermodellen handeln
Körpermodelle herstellen
– aus der Vorstellung
•
Körperformen untersuchen,
beschreiben, benennen, nach
selbst gefundenen und
vorgegebenen Kriterien
vergleichen und klassifizieren
•
Fachbegriffe:
Die Lage von Gegenständen
im Raum erfassen und
beschreiben
•
Wege im Raum beschreiben
•
Begriffe der räumlichen Lage
sicher gebrauchen
– Würfel, Quader, Kugel
– Ecke, Kante, Fläche
4.9
Jürgen Roth
• Körperformen untersuchen,
beschreiben, vergleichen,
klassifizieren und benennen und
daran bekannte Flächenformen
entdecken
• Körperformen in der Umwelt
entdecken
• Der Würfel als geometrische
Körperform
• Modelle herstellen
• Eigenschaften an Modellen
erschließen (Ecken, Kanten,
quadratische Flächen)
• Zusammenhang zwischen Netzen
und Würfel konkret und in der
Vorstellung erkunden
• Fachbegriffe:
– Zylinder, Pyramide, Kegel
– rechter Winkel
• Grundrisse und Lagepläne lesen
• Wege in Plänen beschreiben
• Lageskizzen erstellen
Achsensymmetrie
• Eigenschaften symmetrischer
Figuren entdecken
• Symmetrische Figuren
entdecken, erstellen, zeichnen
und beschreiben
• Symmetrien in der Umwelt
auffinden
• Fachbegriffe:
– Symmetrieachse,
– symmetrisch, deckungsgleich
Geometrische Figuren zeichnen
• Strecken exakt messen und
zeichnen
• Freihändig zeichnen
4.10
Jürgen Roth
• Karten, Lagepläne und Netzpläne lesen, Wege beschreiben
• Einen einfachen Grundriss, Lageplan maßstabsgetreu erstellen
• Maßstabsgetreue Grundrisszeichnungen, Pläne und Karten lesen
• Körperformen
– konkrete oder räumlich dargestellte Gegenstände und Körper
von verschiedenen Seiten betrachten
– Flächendarstellungen von Gegenständen und Körpern dem
Standort des Betrachters zuordnen
• Der Quader als geometrische Körperform
– Modelle herstellen
– Eigenschaften an Modellen erschließen; Würfel als
besonderen Quader erkennen (Ecken; Kanten; rechteckige
bzw. quadratische Flächen)
4.11
Jürgen Roth
– aus der Abwicklung von Quadermodellen Netze erschließen;
verschiedene Netze finden
– Quadernetze konkret und in der Vorstellung erproben
– Kippbewegungen am Quader
– Mit Einheitswürfeln bauen
• frei und nach Plan bauen
• Körperinhalte handelnd und in der Vorstellung vergleichen
Symmetrie
• Achsensymmetrische Figuren zeichnen
• Einfache Figuren nach Vorschrift verschieben bzw. drehen
• Eigenschaften der Drehsymmetrie entdecken
• Drehsymmetrie in der Umwelt auffinden
Geometrische Figuren zeichnen
• Linien und Strecken zeichnen, abmessen
• Mit Zeichendreieck und Zirkel zeichnen
• Freihändig zeichnen
4.12
Jürgen Roth
4.2 Raumvorstellung –
Räumliches Denken
4.13
Jürgen Roth
Raumvorstellung ist ein Intelligenzfaktor
Thurstone: Es gibt sieben Primärfaktoren der Intelligenz
1. Sprachverständnis
2. Wortflüssigkeit
3. Rechenfertigkeit
4. Wahrnehmungstempo
5. Räumliches Vorstellungsvermögen
6. Merkfähigkeit
7. Logisches Denken
4.14
Jürgen Roth
Komponenten des Räumlichen Denkens
Standpunkt
der
Probanten
Person
befindet
sich
außerhalb
Person
befindet
sich
innerhalb
Dynamische
Denkvorgänge
Räumliche Relationen
am Objekt veränderlich
Statische Denkvorgänge
Räumliche Relationen
am Objekt veränderlich;
Relation der Person
zum Objekt veränderlich
Veranschaulichung
Räumliche Beziehungen
Vorstellungsfähigkeit
von Rotationen
Räumliche Wahrnehmung
Räumliche Orientierung
Rechts-LinksUnterscheidung
Maier (1999)
4.15
Jürgen Roth
Räumliche Wahrnehmung
Fähigkeit die Senkrechte und Waagrechte identifizieren,
also räumliche Beziehungen in Bezug auf den eigenen
Körper erfassen zu können.
Beispiel: Wasseroberfläche
4.16
Jürgen Roth
Veranschaulichung (räuml. Visualisierung)
Fähigkeit, sich gedanklich Aktivitäten wie Verschieben,
Falten und Schneiden von räumlichen Objekten oder
n vorste
ellen zu kön
nnen.
Objektteilen
vorstellen
können.
Beispiel:
staben de
es
Welche Buchstaben
des
Schrägbilds entsprechen
ntsprechen
den Ziffern im Netz?
4.17
Jürgen Roth
Mentale Rotation
Fähigkeit, sich Rotationen von zwei- oder dreidimensionalen Objekten vorstellen zu können.
Beispiel:
Welche der vier
Figuren (a – d)
stimmen mit der
oben links überein?
4.18
Jürgen Roth
Räumliche Beziehungen
Fähigkeit räumliche Konfigurationen von mehreren
Objekten oder Objektteilen zu erfassen.
Beispiel:
Drei der vier Schrägbilder zeigen den selben Würfel.
Welches Bild zeigt einen anderen?
4.19
Jürgen Roth
Räumliche Orientierung
Fähigkeit, den Standort der eigenen Person, also die
Perspektive unter der etwas betrachtet wird, zu wechseln.
Beispiel:
Ein Urlauber ist mit dem Boot von
Westen kommend die Küste entlanggefahren. In welcher Reihenfolge hat
er die sechs Fotos aufgenommen?
4.20
Jürgen Roth
Visuelle Wahrnehmung
• Visuomotorische Koordination
• Figur-Grund-Diskriminierung
• Wahrnehmungskonstanz
• Wahrnehmung räumlicher Beziehungen
• Wahrnehmung der Raumlage
• Visuelle Unterscheidung
• Visuelles Gedächtnis
4.21
Jürgen Roth
Visuomotorische Koordination
Fähigkeit das Sehen mit dem eigenen Körper oder Teilen
des eigenen Körpers zu koordinieren.
Beispiel:
Zeichne nach!
4.22
Jürgen Roth
Figur-Grund-Diskriminierung
Fähigkeit aus einem komplexen Hintergrund bzw. einer
Gesamtfigur eingebettete Teilfiguren zu erkennen und zu
isolieren.
Diese Fähigkeit benötigt man u. a. um sich auf einer Schulbuchseite
zurechtzufinden oder einen Gegenstand aus einem Regal zu holen.
Beispiel:
Färbe das Rechteck!
4.23
Jürgen Roth
Wahrnehmungskonstanz
Fähigkeit Figuren in verschiedenen Größen, Anordnungen, räumlichen Lagen oder Färbungen wieder zu
erkennen und von anderen Figuren zu unterscheiden.
Beispiel:
4.24
Jürgen Roth
Wahrnehmung räumlicher Beziehungen
Fähigkeit Beziehungen zwischen räumlichen Objekten zu
erkennen und zu beschreiben.
Beispiel: Wo steht der Quader?
4.25
Jürgen Roth
Wahrnehmung der Raumlage
Fähigkeit zum Erkennen der Raum-Lage-Beziehung eines
Gegenstandes zum Standpunkt der Person, die diesen
Gegenstand wahrnimmt.
Beispiele:
1. Drei-Berge-Versuch von Piaget
2.
4.26
Jürgen Roth
Visuelle Unterscheidung
Fähigkeit nicht nur Gemeinsamkeiten sondern auch
Unterschiede zwischen Objekten zu erkennen.
Beispiele:
1. Sortieren und Klassifizieren geometrischer Körper
2.
4.27
Jürgen Roth
Visuelles Gedächtnis
Fähigkeit charakteristische Merkmale eines nicht mehr
präsenten Objektes vorstellungsmäßig auf andere
präsente Objekte zu beziehen.
Beispiele:
felförmigen
1. Würfelförmigen
stein suchen
n.
Baustein
suchen.
2.
4.28
Jürgen Roth
Kopfgeometrie
Senftleben_Erkundungen_zur_Kopfgeometrie
Eine Möglichkeit zur Förderung des räumlichen
Vorstellungsvermögens ist die Kopfgeometrie.
– Kopfgeometrie ist hilfsmittelfreie Geometrie,
sie kommt ohne gegenständliche Modelle oder
Bilder aus.
– Nur Vorstellungen über geometrische Objekte
und sprachlich formuliertes Wissen über sie
bilden das „Handwerkszeug” zum Lösen kopfgeometrischer Aufgaben.
– Die Aufgaben werden mündlich oder schriftlich
(evtl. auch bildhaft oder handelnd) gestellt,
aber nur im Kopf gelöst (ohne Papier & Bleistift, Computer …)
– Die Ergebnisse werden mündlich oder schriftlich dargestellt.
4.29
Jürgen Roth
Kopfgeometrie Ù Kopfrechnen
Kopfrechnen und Kopfgeometrie unterscheiden sich
wesentlichen voneinander!
– Kopfrechnen:
An elementaren Aufgaben werden Algorithmen
abgearbeitet und automatisiert.
– Kopfgeometrie:
Das Lösen geometrischer Aufgaben im Kopf
erfordert die Fähigkeit sich geometrische
Gebilde vorstellen zu können, ihre Lage, ihre
Größe und ihre Form zu variieren, sie zu
kombinieren und dabei das Wissen über sie
anzuwenden.
4.30
Jürgen Roth
Kopfgeometrie besteht aus drei Phasen
1. Phase: Vorstellung der Fragestellung
• Sprache
• Sprache + Gestik
• Sprache + Bild bzw. Modell
2. Phase: Räumliches Vorstellen, Operieren im Kopf
3. Phase: Präsentation der Ergebnisse
• Sprache
• Sprache + Gestik
• Sprache + Bild bzw. Modell
In Abhängigkeit von den Mitteln, die in der 1. und 3. Phase erlaubt
sind ergibt sich einen Abfolge des Schwierigkeitsgrades.
4.31
Jürgen Roth
Kopfgeometrie muss vorbereitet werden!
•
PIAGET (1971):
Das Denken basiert auf verinnerlichte Handlungen.
•
Empirische Untersuchungen belegen: Der handlungsorientierte
und experimentelle Einsatz von Modellen ist für die Entwicklung
der Raumvorstellung im Geometrieunterricht äußerst wichtig ist.
•
Durch sinnliche Wahrnehmungen entstehen Vorstellungsbilder,
die auch ohne das Vorhandensein der realen Objekte verfügbar
sind und gedanklich verändert werden können.
•
Die Schüler sollten durch operative Aktivitäten auf niedrigerer
Stufe (z. B. Arbeiten mit konkreten Materialien, Anfertigen von
Zeichnungen, … ) ausreichend Gelegenheit zur Ausbildung und
Stärkung ihrer räumlichen Vorstellungen bekommen.
•
Bei Vorstellungsproblemen sollte, auf die handelnde Ebene mit
Materialen zurückgegriffen werden.
4.32
Jürgen Roth
Papierfalten (im Kopf)
Wie sieht das aufgefaltete Papier
nun aus?
falten
einschneiden
Quadrat
falten
4.33
Jürgen Roth
Wie sieht das
aufgefaltete
Papier jeweils
anschließend
aus?
4.34
Jürgen Roth
Lösungen
4.35
Jürgen Roth
Methodische Anmerkungen
•
Abstufung des Schwierigkeitsrades
(bei „Faltaufgaben“ z. B. zunächst nur einmal falten)
•
Bei Schwierigkeiten evtl. Kontrollinformationen anbieten von
denen nur eine richtig ist.
4.36
Jürgen Roth
Methodische Anmerkungen
•
•
Kontrollfragen der Lehrerin
– Wie viel Schichten Papier liegen nach dem Falten
übereinander?
– Wo befinden sich beim zusammengefalteten Papier
• die Faltachsen?
• die Ränder des aufgefalteten Blattes?
– Wie würde das aufgefaltete Blatt aussehen, wenn man nach
dem Falten nur die Ecken abgeschnitten hätte?
Vorstellungen konkretisieren
– Beim vorgestellten Operieren die Augen schließen.
(Keine Ablenkung durch Umwelt bzw. statische Aufgabenstellungen.)
– Vorstellend kinästhetisch arbeiten.
Z. B. ein imaginäres Blatt mit den Händen falten, Schnitte ausführen
(z. B. durch deuten mit dem Zeigefinger auf die Schnittkanten).
Solche Vorstellungen helfen wirklich! Probieren Sie es aus.
4.37
Jürgen Roth
Würfelschnitte
Lassen sich die Schnittflächen der geschnittenen
Würfel mit einem Schnitt erzeugen?
4.38
Jürgen Roth
Würfelschnitte - Lösungshinweis
4.39
Jürgen Roth
4.40
Jürgen Roth
Würfelteile
Welche der acht
Teile lassen sich
zu einem Würfel
zusammensetzen?
A – C; B – H; D – F; E – G
Drei-Tafel-Bilder
Existiert der
jeweilige Körper?
4.41
Jürgen Roth
Verdecktes Viereck
Um welche Vierecke könnte es sich jeweils handeln?
4.42
Jürgen Roth
Körperansichten
Aus welcher Richtung siehst du die Körper im linken Bild so?
4.43
Jürgen Roth
4.44
Jürgen Roth
Puzzle
Entwicklung des Räumlichen Denkens (Piaget)
Präoperationale Phase
Konkret-operationale Phase
(ca. 2 bis ca. 7 Jahre)
(ab ca. 7 Jahre)
Topologische Beziehungen
Kategoriale Relationen
• offen / geschlossen
• verbunden / unverbunden
• innen / außen
• nah / fern …
Projektive Beziehungen
Ordnungsrelationen
• A kommt vor B
• X liegt rechts von Y …
Relativität der Standpunkte
Euklidische Beziehungen
Distanzrelationen
• Konstruktion von Linien
• Figur, Körper
• konstante Maßeinheit
• Konstantes Bezugssystem
4.45
Jürgen Roth
Entwicklung des Räumlichen Denkens (Piaget)
4.46
Jürgen Roth
4.3 Begriffsbildung
in der Geometrie
4.47
Jürgen Roth
Was ist ein Begriff?
Begriffe
– sind die Bausteine menschlichen Wissens,
– bezeichnen keinen Einzelobjekte sondern
charakterisieren eine ganze Klasse von Objekten,
– können durch
• Konstruktion (genetische Definition),
• Abstraktion (Konventionaldefinition) oder
• Spezifikation aus einem Oberbegriff (Realdefinition)
gewonnen werden,
– verdichten Informationen,
– organisieren das Verhalten,
– sind die Grundlage der sprachlichen Kommunikation,
– beeinflussen die Leistungen des Gedächtnisses und
das Problemlösen.
4.48
Jürgen Roth
Rolle von Begriffen
Leitbegriff eines Themenstrangs
• Figur, Messen …
Schlüsselbegriff einer Unterrichtssequenz
• Symmetrie, Vierecke …
Zentraler Begriff einer Unterrichtseinheit
• Begriff, der in der Unterrichtseinheit erarbeitet wird.
• rechter Winkel, Symmetrieachse …
Arbeitsbegriff
• Benennung, um über Sachverhalte überhaupt
ohne Umschreibung sprechen zu können.
• Arbeitsbegriffe werden im Unterricht durch den
Gebrauch vertraut.
4.49
Jürgen Roth
Stufen des Begriffsverständnisses
1. Intuitives Begriffsverständnis
Rechteck
• Der Begriff als Phänomen.
• Beispiele kennen.
2. Inhaltliches Begriffsverständnis
• Der Begriff als Träger von Eigenschaften
• Eigenschaften kennen.
Seiten
3. Integriertes Begriffsverständnis
• Der Begriff als Teil eines Begriffsnetzes
• Beziehungen von Eigenschaften untereinander
und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen.
4. Formales Begriffsverständnis
• Einbettung des Begriffs in einen
axiomatischen Aufbau der Geometrie.
4.50
Jürgen Roth
Modelle langfristigen Begriffslernens
Lernen durch Ansammeln
Weitgehend isolierte Einzelheiten.
Lernen als Ersteigen von Stufen
Reflexion und Analyse bereits erworbenen Wissens
führt zu Wissen höherer Qualität. Î Höhere Stufe
(u. U. mehrere Stufen nacheinander)
Lernen durch Erweiterung
Neue Objekte beseitigen Grenzen, auf die man beim
operieren mit den bisherigen Objekten stößt.
Î Vertrautes wird nun in neuem Licht gesehen.
4.51
Jürgen Roth
Begriffe als …
Quelle von Problemstellungen
Umkreis Î Welche Polygone besitzen einen Umkreis?
Mittel zur Präzisierung von Problemstellungen
„Wann sind Figuren ähnlich?“ Î Ähnlichkeitsabbildung
Lösungshilfe für Probleme
Dreieckskonstruktion Î Ortslinie
Lösungen von Problemen
Schnittfläche beim Schneiden einer Wurst Î Ellipse
Mittel zur Sicherung von Problemlösungen
Wo liegen die Orte, von denen man eine Strecke
unter einem rechten Winkel sieht? Î Thaleskreis
4.52
Jürgen Roth
Verstehen eines Begriffs
Lernende haben einen Begriff verstanden, wenn sie
• Bezeichnung des Begriffs kennen,
• Beispiele angeben und jeweils begründen können,
warum es sich um ein Beispiel handelt,
• begründen können, weshalb etwas nicht unter einen
Begriff fällt,
• charakteristische Eigenschaften des Begriffs kennen,
• Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen.
4.53
Jürgen Roth
Erarbeiten eines Begriffs
•
Erfahrungen zum Begriff sammeln
•
Objekte darbieten
•
Merkmale entdecken
•
Definition erarbeiten
•
• Handlungen (enaktive Repräsentation)
• Beispiele für Begriffe
(ikonische Repräsentation)
• Prinzip der Variation
• Prinzip des Kontrasts
• Sprache (benennen, beschreiben)
•
•
•
•
Charakterisierende Definition
Genetische Definition
Oberbegriff angeben
Definierende Eigenschaft Ù notwendige und
hinreichende Bedingung für den Begriff
Kritisch Reflektieren
• Definition durch möglichst „schwache“ Forderung
• Bezeichnung: Herkunft / evtl. Abgrenzung gegen Umgangssprache
4.54
Jürgen Roth
Unterrichtsphasen bei zentralen Begriffen
Einstieg
In einem geeigneten Problemkontext können ersten
Vorstellungen vom Begriff entwickelt werden.
Erarbeitung
Umfang und Inhalt des Begriffs werden herausgearbeitet.
Sicherung
Beispiele und Gegenbeispiele helfen den Begriff gegen
andere Begriffe abzugrenzen und die Existenzfrage zu
klären.
Vertiefung
Es werden Querverbindungen zu anderen Begriffen
hergestellt und Spezialfälle (insbesondere Grenzfälle)
betrachtet. (Z. B. auch Variation der definierenden
Eigenschaften.)
Vertiefung & Sicherung Î Verankerung in der kognitiven Struktur
4.55
Jürgen Roth
Beispiel: Tangente an einen Kreis
Einstieg:
Wie viele Punkte können ein Kreis und eine Gerade
gemeinsam haben?
Erarbeitung:
Ergebnisse:
Tangente, Berührpunkt,
Sekante, 2 Schnittpunkte,
Passante, keine gem. Punkte.
Sicherung: Tangente zeichnen!
Vertiefung: Besitzt die Figur aus Kreis und
Tangente eine Symmetrieachse?
Î Tangente steht senkrecht auf
dem Berührpunktradius.
Wie kann man die Tangente
konstruieren?
4.56
Jürgen Roth
Beispiel: Tangente an einen Kreis
Vertiefung: Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den
Punkt P?
Skizziere Sie!
Wie kann man die Tangenten konstruieren?
M
P
4.57
Jürgen Roth
van-Hiele-Modell
Pierre und Dina van Hiele beschreiben fünf Denkebenen,
die bei der Entwicklung des geometrischen Denkens durchlaufen werden.
0. Niveaustufe:
Anschauungsgebundenes Denken
1. Niveaustufe:
Analysieren geometrischer Figuren und Beziehungen
2. Niveaustufe:
Erstes Ableiten und Schließen
3. Niveaustufe:
Geometrisches Schließen / Deduktion
4. Niveaustufe:
Strenge, abstrakte Geometrie
4.58
Jürgen Roth
0. Anschauungsgebundenes Denken
•
•
•
•
Räumliche Beziehungen werden nur in der unmittelbaren
Umgebung von den Schülern erfasst.
Geometrische Figuren werden als Ganzheiten gesehen,
Einzelheiten oder Eigenschaften werden noch nicht erfasst.
Geometrische Bezeichnungen bzw. Namen können gelernt
werden und anschauliche Unterscheidungen zwischen
ebenen Figuren oder Körperformen sind möglich, ohne dass
spezifische Eigenschaften miteinander verglichen werden.
Auf dieser Stufe ist das
geometrische Arbeiten
weitgehend materialgebunden.
4.59
Jürgen Roth
1. Analysieren geom. Figuren & Beziehungen
•
•
•
Durch Handlungserfahrungen und genaueres Betrachten
können Schüler Einzelaspekte geometrischer Figuren
unterscheiden und feinere Klasseneinteilungen vornehmen
(z. B. zwischen den Dreiecksformen).
Beziehungen zwischen Figuren (z. B. Rechteck - Quadrat) und
Eigenschaften oder Größen (z.B. Umfang - Flächeninhalt)
sind noch nicht einsehbar.
Beispiele:
– Geometrische Figuren
durch Aufzählen ihrer
Eigenschaften beschreiben.
– Spiegelachsen in Figuren
durch Falten, Legen u. a.
herstellen bzw. bestimmen.
4.60
Jürgen Roth
2. Erstes Ableiten und Schließen
•
•
•
•
Beziehungen zwischen den Eigenschaften einer Figur und
den Eigenschaften verwandter Figuren können erkannt
werden.
Es sind Klasseninklusionen möglich und geometrische
Definitionen verständlich.
Dieses Verständnis erwächst aus experimentellen
Erfahrungen, nicht über geometrische Axiome.
Beispiele:
– Vergleich der Eigenschaften von Quadrat und Rechteck.
Î Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck.
– Bewusstes Verändern von Viereckformen am Geobrett.
4.61
Jürgen Roth
3. Geometrisches Schließen/ Deduktion
•
•
•
Diese und die nächste Niveaustufe sind für das Geometrielernen im Grundschulalter nicht mehr relevant!
Schlussfolgerungen als Grundlagen eines geometrischen
Systems werden verstanden und angewandt.
Zwischen geometrischen Axiomen, Definitionen, Sätzen,
Beweisen u. a. kann unterschieden werden.
4. Strenge, abstrakte Geometrie
•
Arbeiten in einem Axiomensystem und Vergleichen bzgl.
verschiedener geometrischer Theorien.
4.62
Jürgen Roth
van-Hiele-Modell Schlussbemerkungen
•
Von besonderer Bedeutung auf den ersten Stufen des
geometrischen Denkens ist für die VAN HIELES das
Sammeln von Erkenntnissen über Handlungserfahrungen
mit konkreten Materialien.
•
Falten, Schneiden, Auslegen, Zerlegen, Kleben, Bemalen,
Pflastern, Einpassen usw.
•
Dabei kommt es darauf an, dass diese Materialien nicht
einfach nur Spielzeuge sind, sondern dass die Schüler
damit denkend handeln.
•
Achtung:
– Das Denkniveau ist Kontext- und Aufgabenabhängig!
– Eine Zuordnung zu Klassenstufen ist nicht möglich!
– Anforderungen müssen dem aktuellen Denkniveau
der Schülerinnen und Schüler angepasst werden!
4.63
Jürgen Roth
4.4 Geometrische
Kompetenzen bei
Grundschülern
4.64
Jürgen Roth
Test zu den Geometrischen Fähigkeiten
2 Wochen nach Beginn des 1. Schuljahres
Richtige Lösungen:
Richtige Lösungen:
CZ
D
CZ
D
97 %
98 %
68 %
18 %
4.65
Jürgen Roth
Richtige Lösungen:
Richtige Lösungen:
CZ
D
CZ
D
95 %
82 %
73 %
55 %
4.66
Jürgen Roth
Richtige Lösungen:
Richtige Lösungen:
CZ
D
CZ
D
66 %
57 %
44 %
44 %
4.67
Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule
3./4. Klasse
4.68
Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule
3./4. Klasse
4.69
Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule
3./4. Klasse
4.70
Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule
3./4. Klasse
4.71
Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule
3./4. Klasse
4.72
Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule
3./4. Klasse
4.73
Jürgen Roth
4.5 Räumliche
Objekte
4.74
Jürgen Roth
Die Umwelt ist dreidimensionalen!
• im Raum
– an Grenzen Stoßen (Ecken, Kanten, …)
• außerhalb geschlossener Räume
– vieles wird nur in Teilen erfasst
• Objekte als Ganzes
– geometrische Körperformen
– vielfältige Aktivitäten
– Eigenschaften analysieren
4.75
Jürgen Roth
4.76
Jürgen Roth
Körperansichten
Wer sieht was?
4.77
Jürgen Roth
4.78
Jürgen Roth
Schloss Neuschwanstein
Schloss Neuschwanstein
4.79
Jürgen Roth
4.80
Jürgen Roth
Karten lesen und herstellen
Geostadt
4.81
Jürgen Roth
Karte lesen – Orientierung im Raum
4.82
Jürgen Roth
Karte lesen – Orientierung im Raum
4.83
Jürgen Roth
Aktivitäten
• Körperformen bauen
– mit heterogenem Material
– mit homogenem Material
• Körperformen ordnen und sortieren
(Modelle, Gebrauchsgegenstände, Bilder, …)
– kategoriesuchend
– kategoriegeleitet
Mögliche Vorgaben:
• Modell oder Abbildung als Prototyp
• Begriffswort und /oder klassenbildende Merkmale
Form / Anzahl der Flächen, Größe (Länge der Kanten),
Anzahl der Ecken, Größe der Winkel
4.84
Jürgen Roth
Mit Würfeln bauen
4.85
Jürgen Roth
4.86
Jürgen Roth
Mit Würfeln bauen
Mit Würfeln bauen
4.87
Jürgen Roth
4.88
Jürgen Roth
Körperformen
Würfel, Quader (Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel)
• Herstellen
– Vollkörper
(Kartoffel, Holzstab, Knet, Styropor)
– Kantenmodell
(Knetkugeln & Zahnstocher,
Trinkhalme und Pfeifenputzer,
Papier)
– Flächenmodell
(Aus Würfelnetzen: Vom Netz
zum Würfel & umgekehrt!)
– Erkennen von Würfelnetzen
– Würfelschnitte
– Netz Schrägbild
• Schrägbilder
– Schatten eines Kantenmodells
4.89
Jürgen Roth
4.90
Jürgen Roth
Vollkörperwürfel
Soma-Würfel
4.91
Jürgen Roth
4.92
Jürgen Roth
Würfel – Flächenmodell - Netz
Würfelnetze?
4.93
Jürgen Roth
4.94
Jürgen Roth
Würfelnetze?
Quader und Würfel
4.95
Jürgen Roth
4.96
Jürgen Roth
Quader und Würfel
Quader und Würfel
4.97
Jürgen Roth
4.98
Jürgen Roth
Quader
Quader
4.99
Jürgen Roth
4.100
Jürgen Roth
Schatten eines Kantenmodells
Körperformen
4.101
Jürgen Roth
4.102
Jürgen Roth
Körperformen
Körperformen
4.103
Jürgen Roth
Platonische Körper
Tetraeder
Dodekaeder
Hexaeder
Ikosaeder
Oktaeder
4.104
Jürgen Roth
Platonische Körper
4.105
Jürgen Roth
4.106
Jürgen Roth
Platonische Körper
4.6 Ebene Figuren
4.107
Jürgen Roth
Aktivitäten
• Legen
• freies Legen, Legen nach Vorgabe
• Auslegen, Umlegen vorgegebener Teile
– Material
• heterogen (Postkartenpuzzle, Tangram)
• homogen
(identische Quadrate Î alle Zwillinge, Drillinge, …)
• Falten
– Grundtechniken,
– ebene (und räumliche) Objekte,
– Faltbücher/-poster
• Spannen am Geobrett
4.108
Jürgen Roth
Legen und Zeichnen
4.109
Jürgen Roth
Legen mit Quadraten
Bau diese neun Formen aus Quadraten nach.
Welche Formen sind Vierlinge, Drillinge, Zwillinge?
4.110
Jürgen Roth
Legen mit Quadraten
4.111
Jürgen Roth
4.112
Jürgen Roth
Tangram
Tangram
4.113
Jürgen Roth
4.114
Jürgen Roth
Tangram
Geobrett
4.115
Jürgen Roth
4.116
Jürgen Roth
Geobrett
Geobrett
4.117
Jürgen Roth
Regelmäßige Vielecke – Zeichenuhr
4.118
Jürgen Roth
4.119
Jürgen Roth
4.120
Jürgen Roth
4.121
Jürgen Roth
4.122
Jürgen Roth
Ähnlichkeit
Ähnlichkeit
4.123
Jürgen Roth
4.7 Symmetrie
4.124
Jürgen Roth
Symmetrie in der Umwelt
4.125
Jürgen Roth
4.126
Jürgen Roth
M. C. Escher
M. C. Escher
4.127
Jürgen Roth
4.128
Jürgen Roth
M. C. Escher
Achsensymmetrie - Spiegeln
4.129
Jürgen Roth
4.130
Jürgen Roth
4.131
Jürgen Roth
4.132
Jürgen Roth
Spiegelbuch
Spiegelbuch
4.133
Jürgen Roth
4.134
Jürgen Roth
Drehsymmetrie
Drehsymmetrie
4.135
Jürgen Roth
4.136
Jürgen Roth
Drehsymmetrie
Verschieben, Spiegeln, Drehen
4.137
Jürgen Roth
4.138
Jürgen Roth
Spiegelsymmetrie
Verschiebungssymmetrie
4.139
Jürgen Roth
Verschieben, Spiegeln, Drehen
4.140
Jürgen Roth
Parkettierung
4.141
Jürgen Roth
4.142
Jürgen Roth
Parkettierung
4.8 Messen
4.143
Jürgen Roth
Stufen bei der Behandlung von Größen
1. Stufe: Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln
2. Stufe: Direktes Vergleichen von Repräsentanten
3. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter
Maßeinheiten
– ein drittes Objekt als Vermittler benutzen
– ein Objekt als selbst gewählte Einheit benutzen
4. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter
Maßeinheiten, Messen mit verschiedenen Messgeräten
5. Stufe: Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der
Maßeinheiten
6. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen
7. Stufe: Rechnen mit Größen
4.144
Jürgen Roth
Messen und Zeichnen
Zeichne Strecken von 3 cm, 5 cm, 6 cm und 9 cm Länge.
4.145
Jürgen Roth
4.146
Jürgen Roth
Längen messen
Längen messen
4.147
Jürgen Roth
Flächen messen
Wie viele Meterfliesen (Quadratmeter)
passen ungefähr in das Klassenzimmer?
Wie viele Kinder können sich bequem auf eine Meterfliese stellen?
4.148
Jürgen Roth
Flächen messen
4.149
Jürgen Roth
Themenkreis Flächeninhalt
Flächeninhalt?!
Axiome des
Flächeninhalts
Flächenmessung
Seitenlängen
aus N
Flächenvergleich
Ergänzungsgleichheit
Zerlegungsgleichheit
Seitenlängen
aus Q+
Seitenlängen
aus R+
4.150
Jürgen Roth
Axiome des Flächeninhalts
1. Nichtnegativität:
Die Maßzahl A des Flächeninhalts ist nicht negativ.
At0
2. Normierung:
Ein Quadrat der Seitenlänge 1 LE hat den Flächeninhalt
A
1 LE2.
3. Additivität:
Der Flächeninhalt einer Figur ist gleich der Summe der
Flächeninhalte der Teilfiguren, in die die Fläche zerlegt
werden kann.
j k j z k Fj Fk
A(F)
A(F1 … Fn)
A(F1) … A(Fn)
4. Kongruenzaxiom:
Kongruente Figuren haben denselben Flächeninhalt.
4.151
Jürgen Roth
Rechtecksflächeninhalt (a,b N)
Flächenmessung:
b
Î Auslegen mit
Einheitsquadraten.
Î b Reihen, zu je a
Einheitsquadraten.
1 LE²
a
A = a ·b
4.152
Jürgen Roth
Rechtecksflächeninhalt ( pq, sr Q+)
1
p ·s r ·q
Q+
,
q ·s s·q
qs Teilstrecken
p
Zerlegung des Einheitsq
quadrates in (qs)² Teil1
quadrate des
LE²
(q·s)²
Flächeninhalts :
1
qs Teilstrecken
r
s
Flächenmessung:
Î Auslegen mit Teilquadraten des Einheitsquadrates.
Î p·s Reihen, zu je r·q Teilquadraten.
1
p sr q
A p sr q
q s2 q s q s
pr
q s
p r

q s
4.153
Jürgen Roth
Rechtecksflächeninhalt (a,b R)
B1
B2
a
b
^>an; An@`
^>bn; Bn@`
mit
an, bn, An, Bn Q

B3
B4
b4 b
b3 b
2
b1
^>anbn ; AnBn@`
ab
a1
a2
a3
a4
ist eine Intervallschachtelung
für den Flächeninhalt.
4.154
A2 A1
a
A4
A3
Jürgen Roth
Flächeninhaltsbestimmung
Rechteck
• Flächenmessung, d. h. Auslegen mit
Einheitsquadraten (bzw. Intervallschachtelung)
Dreieck
• Flächenvergleich
mit dem Rechteck
Polygon
• Triangulierung
(Einteilen in Dreiecke)
Kreis
• Intervallschachtelung
4.155
Jürgen Roth
4.156
Jürgen Roth
Kreisinhaltsbestimmung
Fläche eines Kontinents (Antarktika)
Schätze die Fläche der
Antarktis, indem du den
Maßstab der Karte
benutzt.
Schreibe deine
Rechnung auf und
erkläre, wie du zu deiner
Schätzung gekommen
bist.
(Du kannst in der Karte
zeichnen, wenn dir das
bei deiner Schätzung
hilft.)
Kilometer
PISA-Aufgabe
200 400 600 800
0
1000
4.157
Jürgen Roth
Idee: „Auslegen“ mit einer Einheitsfläche
Fläche mit Schelfeistafeln:
13 975 000 km2
Schätze die Fläche der
Antarktis, indem du den
Maßstab der Karte
benutzt.
Schreibe deine
Rechnung auf und
erkläre, wie du zu deiner
Schätzung gekommen
bist.
(Du kannst in der Karte
zeichnen, wenn dir das
bei deiner Schätzung
hilft.)
Kilometer
PISA-Aufgabe
200 400 600 800
0
1000
4.158
Jürgen Roth
Parallelogramm
4.159
Jürgen Roth
Parallelogramm
D
Parallelogrammflächen, die in F
der Länge einer Seite und der
zugehörigen Höhe übereinstimmen sind zerlegungsgleich.
Beweisidee:
ADF ~ BCE
Voraussetzung: [CD] [EF] z
F
C
E
E
B
A
C
D
A
B
4.160
Jürgen Roth
Flächeninhaltsbestimmung beim Trapez
4.161
Jürgen Roth
Volumen messen (Größenvorstellung)
4.162
Jürgen Roth
4.9 Zeichnen
4.163
Jürgen Roth
4.164
Jürgen Roth