Praktikum Experimentelle Modalanalyse
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Praktikum Experimentelle Modalanalyse
Praktikum Experimentelle Modalanalyse (Structural Testing) Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA 2 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse Inhalt Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 3 4 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse Vorwort Das Studium der Strukturdynamik ist entscheidend zum Verständnis eines jeglichen technischen Produkts. Ob wir es mit Leiterplatten oder Hängebrücken, CNC-Fräsen, Flug- oder Fahrzeugen zu tun haben, dynamisches Verhalten ist wichtig für den dauerhaften und für den Nutzer zufriedenstellenden Betrieb. Die Modalanalyse auf Basis der Daten von Schwingungsanalysen liefert uns eine Beschreibung der Struktur, die für Designspezifikationen ausgewertet werden können. Sie erlaubt es uns auch, das zugehörige FE-Modell zu verifizieren, mit dem wir die Effekte von Strukturmodifikationen untersuchen oder voraussagen können wie sich die Struktur unter geänderten Betriebsbedingungen verhält. Eine vereinfachte Definition der Modalanalyse kann beschrieben werden durch den Vergleich zu der Frequenzanalyse. Bei der Frequenzanalyse wird ein komplexes Signal in eine Reihe von einfachen Sinuswellen mit individuellen Frequenz- und Amplituden-Parametern aufgelöst. Bei der Modalanalyse wird ein komplexes Bewegungsmuster (einer schwingenden Struktur) aufgelöst in eine Reihe von einfachen Schwingungsmustern mit individuellen Frequenz- und Dämpfungsparametern. Ein strenger mathematischer Ansatz zu diesem Thema liegt außerhalb des Rahmens dieses Skriptums. Wo notwendig, werden die mathematischen Definitionen einfach zitiert, um die intuitive Einführung zu unterstützen. In der praktischen Anwendung wird der Leser eine der fertigen Softwarelösung nutzen. Insbesondere bei größeren und komplexeren Strukturen ist dies ein ressourcenschonender Vorteil. Für das globale Verständnis der experimentellen Modalanalyse und der Betriebsschwingungsanalyse (operationelle Modalanalyse) soll dieses Skriptum beitragen. Der Markt bietet eine Reihe von Softwarelösungen zur experimentellen Modalanalyse sowie zur Betriebsschwinganalyse an. Hier eine Empfehlung auszusprechen ist nicht möglich. Oft stehen die jeweiligen Softwareprodukte in einem direkten Zusammenhang mit dem verwendeten System zur Messung der erforderlichen Kräfte und Schwingungen. Nicht unerwähnt bleiben soll an dieser Stelle die Toolbox EasyMod und für die Visualisierung EasyAnim. EasyMod ist für MATLAB® und Scilab verfügbar. EasyMod und EasyAnim wurden an der Universität von Mons von Prof. Dr. Ir. Georges KOUROUSSIS entwickelt. EasyMod and EasyAnim darf unter den Bedingungen der GNU General Public License frei modifiziert und distributiert werden. Umgang mit diesem Skript Kapitel 2 enthält die verschiedenen Modelle und deren mathematischen Grundlagen. Diese dienen dem globalen Verständnis der experimentellen Modalanalyse. Sollte eine experimentelle Modalanalyse nicht zu eindeutigen Ergebnissen führen, dann kann unter Zuhilfenahme des ein oder anderen Modells das Ergebnis zur Eindeutigkeit geführt werden. Für den Abgleich eines FE-Models ist der Inhalt dieses Kapitel ebenso erforderlich. Kapitel 3 widmet sich einem konkreten Beispiel der experimentellen Modalanalyse. Für das Praktikum „Experimentelle Modalanalyse“ ist für die Vorbereitung dieses Kapitel erforderlich. Aus Kapitel3 können die Arbeitsprozesse für den versuchstechnischen Umgang mit der experimentellen Modalanalyse und Btriebsschwinganalyse abgeleitet werden. Kapitel 4 widmet sich jenen Themen, die in der Praxis auftreten, wenn komplexe Strukturen und/oder „unsaubere“ Messungen zusätzliche Maßnahmen erfordern, um ein Ergebnis der experimentellen Modalanalyse zu finden. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 5 1Einführung Im Betrieb unterliegen alle Maschinen, Fahrzeuge ... dynamischen Kräften, die Schwingungen erzeugen. Sehr oft müssen diese Vibrationen untersucht werden, entweder weil sie ein unmittelbares Problem verursachen oder die Struktur abgestimmt werden muss. Egal warum, wir müssen die Struktur auf eine Weise quantifizieren, so dass ihr Einfluss auf die Faktoren wie Leistung und Betriebsfestigkeit bewertet werden kann. Mit dem Einsatz der Signalanalyse können wir die Schwingungen der sich bewegenden Struktur messen und eine qualifizierende Analyse durchführen. Mit einem Spektrogramm kann die Spezifikation verglichen werden. Diese Art des Tests liefert Resultate die nur relevant für die gemessenen Bedingungen sind. Das Ergebnis ist ein Produkt aus der Strukturresonanz und dem Spektrum einer unbekannten Anregungskraft. Es gibt keinen oder nur wenig Aufschluss über die Charakteristik der Struktur selbst. Eine alternative Vorgehensweise ist die Systemanalysemethode bei der eine abtastsynchrone zweikanalige Messung genutzt wird, um das Verhältnis der Resonanz zu der gemessenen Eingangskraft zu messen. Die „Frequency response function“ (FRF) Messung entfernt das Kraftspektrum aus den Daten und beschreibt die inhärente Strukturreaktion zwischen den Messpunkten. Aus einer Reihe FRF-Messungen an definierten Stellen einer Struktur können wir ein Bild ihrer Resonanz aufbauen. Die Methode, die hierfür genutzt wird, ist die Modalanalyse. Als Beispiel verwenden wir einen einseitig eingespannten Stab. Dieser weist keine Fertigungstoleranzen auf, er besteht aus einem einzigen Bauteil und kann daher sehr gut auf mathematischem Weg beschrieben werden. Messung und Rechnung müssen in diesem Beispiel sehr nahe beieinander liegen. Anhand eines solchen Experiments können wir die Methode der expermimentellen Modalanalyse, die erforderlichen Messungen und Analysen auf ihren Wahrheitsgehalt überprüfen. 1.1 FRF - Frequency Response Function Als frequency responce function (FRF, H) wird das Verhältnis der Antwort (A) zur Anregung (E) verstanden. [F-001] 4 6 5 3 4 2 3 1 2 0 1 -1 0 -1 0.2 6 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 [Bild-001] Zeitsignal einer Anregung -2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 [Bild-002] Zeitsignal einer Antwort Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 60 50 40 30 20 10 0 10 0 10 -1 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 [Bild-003] Betragsspektrum der Antwort 10 -2 10 -3 0.01 0.009 10 -4 0.008 0 200 400 600 800 1000 1200 0.007 0.006 [Bild-005] Betragsspektrum der FRF 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 0 500 1000 1500 2000 2500 [Bild-004] Betragsspektrum der Anregung [Bild-001] bis [Bild-005] stellt schematisch den mathematischen Weg für die Ermittlung der FRF dar. Benötigt werden dafür die komplexen FFTs aus Antwortsignal und Anregungssignal. Die frequency response function, auch als Übertragungsfunktion (H) bezeichnet, ist komplex, so dass für die weitere Betrachtung die Beträge und Phasenwinkel ermittelt werden müssen. 2 Alle Strukturen weisen ein dynamisches Verhalten auf Grundlagen der experimentellen Modalanalyse Die Übertragungsfunktion einer beliebigen Struktur zeigt Resonanzen in einer Abfolge von Höchstwerten. Den individuellen Höchstwerten können einzelne identifizierbare Frequenzen zugeordnet werden, wobei jede einzelne typisch ist für eine „single degree of freedom“ (SDOF) Struktur. Wenn die verteilten Höchstwerte in der Übertragungsfunktion mit ausreichend hoher Frequenzauflösung analysiert werden, findet man mehrere Resonanzfrequenzen. Das deutet auf eine Struktur, die sich verhält als wenn sie mehrere SDOF-Unterstrukturen wäre. Das ist die Basis für die Modalanalyse mit der das dynamische Verhalten einer Struktur analysiert werden kann, indem man alle Resonanzen identifiziert und in ihrer Schwingform auswertet. Unserem Beispiel, der einseitig eingespannte Stab, ist eine leicht gedämpfte Struktur. Wenn der Stab angeschlagen wird produziert er eine sichtbare tieffrequente Schwingung sowie eine bestimmte Anzahl von höheren, jedoch nicht mehr sichtbaren, Schwingungen. Es scheint, dass der Stab die Energie aus dem Anschlag speichert und sie umwandelt durch Schwingungen bei bestimmten diskreten Frequenzen. Aus [Bild-005] können wir die Resonanzfrequenzen f1 = 8 Hz (die sichtbare Schwingform), f2 = 39 Hz, f3 = 109 Hz, f4 = 220 Hz, f5 = 362 Hz, f6 = 545 Hz und f7 = 747 Hz herauslesen. Die Modellrechnung hierzu ergibt nicht ganz die gleichen Resonanzfrequenzen. Die Begründung für die Differenzen sind in der Parametrierung der FFT sowie der erzielbaren Messgenauigkeit zu suchen. In obigen Darstellungen wurde z.B. mit einer Frequenzauflösung df = 1 Hz und einem Rechteckfenster die FFT berechnet. Eine andere Fensterfunktion würde eine bessere Frequenzgenauigkeit erzielen. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 7 Jede der ermittelten Resonanzfrequenzen repräsentiert ein schwingfähiges System aus Masse, Feder und Dämpfung. [Bild-006]Schwingfähiges System bestehend aus einer Masse m, einer Feder mit der Steifigkeit k und einem Dämpfer mit der Dämpfung c. x m k c Zum besseren Verständnis der Zusammenhänge führen wir neben dem Zeit- und Frequenzbereich den Modalbereich ein. Im Frequenzbereich gibt uns die Analyse des Zeitsignals ein Spektrum mit einer Serie von Höchstwerten, die als eine Reihe von SDOF-Resonanzspektra interpretiert werden können. Im Modalbereich werden die Resonanzen (z.B. unseres Demo-Stabes) als ein Modalmodell, das aus einer Reihe von SDOF-Modellen konstruiert wurde interpretiert. Jedes SDOF-Modell wird mit einer Frequenz und einer Schwingform assoziiert, welche durch die Parameter - (Modal)Frequenz - (Modal)Dämpfung - (Modal)Schwingform - (Modal)Masse beschrieben wird. Die Modalanalyse ist der Prozess, bei dem die Modalparameter einer Struktur für alle Formen im zu betrachtenden Frequenzspektrum bestimmt wird. Das Ziel ist, diese Parameter so zu nutzen, um ein Modalmodell der Resonanz zu konstruieren. Jede dynamische angeregte Struktur kann als gewichtete Summe seiner Schwingformen dargestellt werden. Jede einzelne Schwingform kann mit einem SDOF-Modell dargestellt werden. 2.1 Single-degree-of-freedom (SDOF) Modell (Einmassen-Schwing-Modell) Jeder Spitzenwert oder (Modal-)Wert in einer Strukturresonanz kann mit einem SDOF-Modell dargestellt werden. Diese Modelle sind nicht dazu gedacht physikalische Strukturen darzustellen, sondern sie dienen als Instrument zur Interpretation dynamischen Verhaltens (eingeschränkt durch eine Reihe von Annahmen und Randbedingungen). Sie helfen, das Verhalten der Strukturen zu verstehen und die dynamischen Eigenschaften der Strukturen mit wenigen Parametern zu beschreiben. Ein analytisches Modell kann im physikalischen Bereich konstruiert werden. Es ist ein abstraktes System das aus einer Punktmasse (m). besteht, unterstützt von einer masselosen linearen Feder (k), verbunden mit einem linearen Dämpfer (c). Die Masse ist eingeschränkt, so dass sie sich nur in eine Richtung (x) bewegen kann – ein Einfreiheitsgradsystem (SDOF- Single-degree-of-freedom). Das zugehörige mathematisches Modell im Bereich Zeit kann abgeleitet werden, in dem man Newton`s Zweites Gesetz auf das analytische Modell anwendet. Bei der Gleichsetzung der internen Kräfte (Trägheit, Dämpfung und Elastizität) mit der externen (Anregungs)-Kraft, erhalten wir das Modell [F-002] welches eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist. Ein Modell, das mathematisch besser überschaubar und praxisorientierter im Bezug auf Messdaten ist, kann aus dem Frequenzbereich ermittelt werden. 8 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 2.2 Das SDOF-Modell im Frequenzbereich Im Frequenzbereich kann ein Modell definiert werden mit der Übertragungsfunktion H(ω) in Bezug auf Masse, Federsteifigkeit und Dämpfungscoeffizient, welches sich aus [F-003] berechnet. Betrachten wir das Verhalten dieses Modells unter sinusförmiger Anregung, um zu sehen, wie sich der Betrag der Übertragungsfunktion |H(ω)| und die Phase ∢ H(ω) verhalten, wenn die Frequenz ansteigt. Die statische Einfederung wird über die Federsteifigkeit definiert. Bei Frequenzen unterhalb ω0 wird die Übertragungsfunktion von der Feder dominiert und befindet sich in der Phase der Anregung. Wenn die Frequenz steigt hat die Trägheitskraft der Masse einen steigenden Einfluss. In der Resonanzfrequenz ω0 (ω0 = k/m die ungedämpfte Eigenschwingung) heben sich Masse und Feder gegenseitig auf, die Übertragungsfunktion wird nur von dem Dämpfungsglied kontrolliert, und sie ist hoch. Bei ω0 beträgt der Phasenwinkel -90°. Bei Frequenzen höher als ω0 übernimmt das Masseglied die Kontrolle, das System verhält sich wie eine einfache Masse, die Übertragungsfunktion nimmt ab und die Übertragungsfunktion verzögert die Anregung um 180°. [Bild-007] SDOF-Modell im Frequenzbereich Das FRF (oder black-box) Modell ist nicht parametrisch. Es basiert auf der Definition H(ω). [F-004] Die Übertragungsfunktion H( jω) ist das Verhältnis von output/input Spektrum und variiert als eine Funktion der Frequenz (ω). Dieses Modell verbindet das analytische SDOF-Modell mit praktischen Messungen. [Bild-008] FRF (black-box) Modell Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 9 In realen Strukturen haben wir gewöhnlich nur wenig oder gar keine Information über Massen-, Steifigkeitsund Dämpfungsverteilung. Das nächste Modell ist eine praktische Verbindung zwischen Theorie und Messungen. 2.3 Das Modal-Parameter-Modell Es ist aufgebaut mit zwei Parametern, die von FRF-Messungen gewonnen werden können. H( jω) ist darin als Term des Pols (p), dem Residuum (R) und deren Konjugierte (p* and R*) definiert. Der Pol und das Residuum selbst sind räumliche Parameter. [F-005] 10 0 [F-006] [F-007] 10 -1 [F-008] 10 -2 [F-009] [F-010] 10 -3 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 180 190 200 210 220 230 240 250 260 [F-011] Der Pol ist eine komplexe Zahl. Der numerische Wert seines Realteils (σ) ist die Dämpfungsrate mit der die gedämpfte Schwingung abklingt. Dies zeigt sich auf der Impulsantwort im Zeitbereich. Im Frequenzbereich stellt σ die Hälfte der - 3 dB Bandbreite der Resonanzspitze dar. Der Imaginärteil des Pols ist die Modalfrequenz, die Eigenfrequenz ωd der gedämpften Schwingung. Das Residuum im SDOF-System ist der Imaginärteil, der die Größe des Modalwertes ausdrückt. Wie in [Bild-009] dargestellt, können beide, der Pol und das Residuum, aus der FRF ermittelt werden. 100 50 0 -50 -100 -150 170 150 100 50 0 -50 -100 Der Pol enthält zwei der auf Seite 8 gelisteten Modalparameter, (Modal)Dämpfung und (Modal) Frequenz. Der Pol wird im Betragsspektrum aus der Resonanzspitze bei ωd und im Phasenverlauf der FRF als „Phasensprung“ ermittelt. -150 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 × 10 4 [Bild-009] Modal-Parameter-Modell Das Residuum ist ein mathematisches Koncept und hat keine direkte Interpretation im physikalischen Sinn. Das Residuum steht in Beziehung zum dritten Modalparameter, der (Modal)Schwingform . Die Magnitude der Schwingform ergibt sich nicht allein aus dem Residuum. Es ist das Verhältnis des Residuums zur Dämpfungsrate. [F-012] 10 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 2.4 Multiple-degree-of-freedom (MDOF) Modell, das reale Schwingungssystem Die bisherigen Modelle beschäftigen sich mit dem Einmassen-Schwingsystem, dem SDOF-Fall. Reale Strukturen schwingen an vielen miteinander gekoppelten Stellen, also in vielen Freiheitsgraden. Um eine Messung auf einer realen Struktur durchzuführen müssen wir die Anregung und Antwort zwischen zwei Punkten messen. Aber, jeder Punkt hat bis zu sechs mögliche Freiheitsgrade sich zu bewegen. Ein Freiheitsgrad (degree-of-freedom/ DOF) ist ein Messpunkt und eine Richtung auf einer Struktur. Der Index i wird benutzt, um den Antwort-DOF anzugeben, und mit j ein Anregungs-DOF. Zusätzliche Indices x,y und z werden genutzt, um die Wirkrichtung anzuzeigen. [F-012] Das MDOF-FRF-Modell betrachtet Hij(ω) als die Summe der SDOF FRFs, je eine für jede einzelne Mode innerhalb des betrachteten Frequenzbereichs, wobei r die Moden-Nummer und m die Anzahl der Moden im Modell darstellt. [F-013] MDOF-FRF-Modell Das MDOF-Modalparametermodell defniniert Hij(ω) bezüglich der Pole und Residuen der einzelnen Moden. Die (Modal)Frequenz und (Modal)Dämpfung sind globale Eigenschaften der untersuchten Struktur. Der Pol hat lediglich eine Moden-Nummer (r) und ist unabhängig von den DOF. Das Residuum ist eine lokale Eigenchaft. Der Index (ijr) bezieht es auf einen dezidierten DOF einer dezidierten Mode. [F-014] MDOF-Modalparametermodell [Bild-010]Hammermessung an einem Einseitig eingespannten Stab. Anregung mit einem Impulshammer an der Position j bei gleichzeitiger Messung der Strukturantwort an Position i. 10 0 10 -1 10 -2 r=1 r=2 r=3 r=4 r=5 r=6 r=7 10 -3 10 -4 0 200 400 600 800 1000 1200 [Bild-011]Zu [Bild-010] gehörige MDOF-FRF mit den erkennbaren Polen r=1 bis r=7 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 11 FRF eines Einmassenschwingsystems (Tilger) |H| 10 -2 10 -3 10 -4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 150 100 Phase 50 0 -50 -100 -150 -200 2.5 [Bild-012] Jeder einzelne Pol wird als SDOF-Modell betrachtet. Die Summe aller einzelnen Pole ergibt das MDOF-Modell. Was versteht man unter einer Schwingform? Eine Schwingform ist das Ablenkungsmuster eines Poles. Es ist weder greifbar noch leicht zu beobachten. Es ist ein abstrakter mathematischer Parameter der ein Ablenkungsmuster definiert als wenn diese singuläre Schwingung existiert. Isoliert von allen anderen Schwingungen in der Struktur. Die tatsächliche Auslenkung an jeder Stelle, wird immer eine Kombination von allen Schwingformen sein, mit einer harmonischen Anregung nahe an einer (Modal)Frequenz. Ungeachet dessen ist eine Schwingform die inhärente dynamische Eigenschaft einer frei schwingenden Struktur. Schwingformen werden in der Modalanalyse mit einer Raumauflösung abgetastet, abhängig von der Anzahl der benutzten DOF. Im allgemeinen werden sie nicht direkt gemessen, sondern durch die FRFs zwischen den DOFs bestimmt. Eine abgetastete Schwingform wird als Schwingformvektor Ψr, dargestellt, wobei r die Nummer des Pol ist. Die Elemente Ψir des Schwingformvektors sind die relativen Verschiebungen jedes DOFi. Es sind komplexe Zahlen, die Magnitude und Phaseverschiebung beschreiben. Schwingform 0.05 data1 6th degree Normierte Auslenkung 0 -0.05 -0.1 12 0 100 200 300 400 500 Stab (horizontal) 600 700 800 900 1000 [Bild-013] Eine Schwingform des Demo-Stabes. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse Die Schwingformen werden in zwei Klassen aufgeteilt. Normale Schwingformen Diese werden charakterisiert durch die Tatsache, dass alle Teile der Struktur sich entweder in Phase bewegen oder 180° phasenversetzt. Die modalen Verschiebungen Ψir sind daher real und sind positiv oder negativ. Normale Schwingformen kann man sich als stehende Welle mit festen Knotenlinien vorstellen. Komplexe Schwingformen Komplexe Schwingformen können jede Phasenbeziehung zwischen unterschiedlichen Teilen der Struktur haben. Die modalen Verschiebungen Ψir sind komplex und können einen beliebigen Phasenwert haben. Komplexe Schwingformen können als Wellen ohne feste Knotenlinien betrachtet werden. Wo man normale/komplexe Schwingformen erwartet Die Dämpfungsverteilung in einer Struktur bestimmt ob die Schwingformen normal oder komplex sind. Wenn eine Struktur eine sehr geringe oder keine Dämpfung hat zeigt sie normale Schwingformen. Strukturen mit starker lokaler Dämpfung, wie Automobilkarosserien mit Schweißpunkten und Stoßdämpfern, haben komplexe Schwingformen. Warnung: Aus „unsauberen“ Messungen abgeleitete Schwingformen können komplexe Schwingformen ausweisen, obwohl es sich um normale Schwingformen handelt. Zusammenhang zwischen Residuum und Schwingform Aus [F-012] erkennen wir, dass das Residuum proportional zur Magnitude der FRF ist. Bei einer (Modal)Frequenz (ωdr) ist die Magnitude [F-015] Das Residuum einer dezidierten Mode (r) ist proportional zu dem Produkt der Modalverschiebung Ψir (Anwort) und Ψjr (Anregung). [F-016] 2.6 Skalierung der Schwingform Der Schwingformvektor Ψr definiert die relative Verschiebung in jedem Freiheitsgrad, die Werte der VektorElemente Ψir sind nicht eindeutig. Aus den FRF-Messungen bestimmen wir die Residuen. Die Beziehung zwischen Residuum und den verbundenen Modalverschiebungen ermöglicht es uns, eine Skalierungskonstante ar für jeden Mode zu bestimmen. So dass [F-017] wobei Φir und Φjr die skalierten Modalverschiebungen sind. Für Messungen mit immer gleichem Anregungspunkt (driving-point measurements / Anregungspunkt-Messung) ergibt sich am Anregungspunkt: [F-018] Die mathematische Beschreibung der Modalanalyse erfordert einen Zusammenhang zwischen dem Schwingformvektor Φr und der (Modal)Masse Mr. Wenn wir dies auf den Fall SDOF, mit nur einer Verschiebung und einer Masse, anwenden, können wir die Skalierungskonstante ar ermitteln. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 13 Die (Modal)Masse steht nicht in Beziehung zu der Masse der Struktur und kann nicht gemessen werden. Es ist ein mathematisches Mittel, das jeden Wert außer Null annehmen kann. Wir können ihren Wert wählen um dann ar zu berechnen. Zur Vereinfachung arbeiten wir mit der Modalmassensklalierung (Mr = 1). Aus der driving-point Messung erhalten wir Rjjr für jeden Mode. Über die berechneten ar Werte, erhalten wir die skalierten Anregungspunktverschiebungen Φjr. Aus der FRF-Messung sind wir dann in der Lage die Werte von Φir zu skalieren und skalierte Schwingformen darzustellen. 14 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 3 Beispiel experimentelle Modalanalyse Als Beispiel für eine experimentelle Modalanalyse wählen wir einen einseitig eingespannten Stab. Dieser ist leicht mathematisch nachzubilden. Aus der Modellrechnung ergaben sich die Eigenfrequenzen: f1 = 6,3 Hz f2 = 39,4 Hz f3 = 110,9 Hz f4 = 218,2 Hz f5 = 361,5 Hz f6 = 538,7 Hz f7 = 743,9 Hz Die Aufgabe ist, anhand der experimentellen Modalanalyse die Frequenzen und Schwingformen zu bestimmen und zu visualisieren. [Bild-014] Der „Demo-Stab“ Mittels eines Impulshammers wird der Stab an verschiedenen Punkten j angeregt. Die Anregung erfolgt impulsartig. An einer festen Position i wird die Antwort mittels eines Beschleunigungsaufnehmers gemessen. Die Messung der Anregung und der jeweiligen Antwort müssen abtastsynchron erfolgen. Nur so kann eine korrekte FRF ermittelt werden. Da Schwingformen symmetrisch vorliegen können, wurde für die Anregungspositionen eine Aufteilung nach dem „goldenen Schnitt“ gewählt. Jede andere asymmetrische Aufteilung wäre auch möglich. Symmetrische Aufteilungen jedoch sollten gemieden werden, da hier, falls an einer Position ein Schwingungsknoten erfasst wird, die zugehörige Resonanzfrequenz an mehreren Positionen nicht erfasst werden kann. P1 70 mm P9 420 mm P2 120 mm P10 505 mm P3 150 mm P11 555 mm P4 235 mm P12 695 mm P5 290 mm P13 780 mm P6 320 mm P14 830 mm P7 340 mm P15 860 mm P8 390 mm P16 945 mm [Bild-015] Tabelle: Abstände der Messpunkte zur Einspannung am Demo-Stab Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 15 3.1Anregungssignal Als Anregungssignal wählen wir den Impulshammer. Dieser erzeugt, bei guter Handhabung, einen Dirac ähnlichen Impuls. Andere Anregungsformen sind möglich und werden je nach konkreter Aufgabenstellung auch entsprechend genutzt. Grundsätzlich ist bei der Anregungsform darauf zu achten, dass für die experimentelle Modalanalyse eine korrekte FRF-Messung erforderlich ist. Benötigt wird die Übertragungsfunktion Hij(ω). Dies ist sicher zu stellen. Anderenfalls wird das Ergebnis der experimentellen Modalanalyse Frequenzen und Schwingformen ermitteln, die nicht mit der Realität übereinstimmen. Auch für die experimentelle Modalanalyse gilt, dass die Methode selbst kein falsches Ergebnis erzeugt. Naturgemäß variieren manuell durchgeführte Hammerschläge. Dies führt zu Schwankungen in den hierdurch erzeugten Anregungen und Antworten. Es wird zwar mit der FRF ein Verhältnis gebildet, trotzdem ergibt sich ein Rest an Messunsicherheit und Streuung. Auch die anderen möglichen Anregungsvarianten sind nicht frei von Messunsicherheit und Streuung. Vergleich von fünf Hammerschlägen 1400 1200 1000 Kraft [N] 800 600 400 200 0 0.2 0.3 0.4 0.5 Messzeit ab START [S] 0.6 0.7 0.8 [Bild-016] Zeitsignal von fünf Hammerschlägen [Bild-016] zeigt den Zeitsignalausschnitt 0,2 S bis 0,8 S von fünf „Hammerschlägen“. Zu erwarten wären fünf einzelne Impulse. Wir sehen jedoch sieben. Merkwürdig ist auch, dass fünf der sieben Impulse die gleiche Impulsmagnitude aufweisen. Zudem zeigt sich ein zeitlicher Versatz der Impulse untereinander Bei den „zusätzlichen“ Impulsen handelt es sich um unsaubere Schläge, die Doppelimpulse erzeugt haben. Diese Problematik lässt sich durch Übung oder einer alternativen Anregung beseitigen. Die Anregung mit Impulshammer ist jedoch jene mit der einfachsten operativen Durchführung. Die gleichen Impulsmagnituden sind ein Problem des Messbereichs. Hier ist dafür zu sorgen, dass mit geeigneter Messverstärkung und Messbereich gemessen wird. Der ungleiche zeitliche Versatz zwischen den einzelnen Zeitsignalen wird durch die Triggerung der Messung eliminiert. 3.2Antwortsignal Für die Sensorik zur Messung des Antwortsignals eignen sich alle Aufnehmer, die in der Lage sind, den erforderlichen Frequenzbereich aufzulösen. Es ist jedoch zu bedenken, dass ein Ergebnis der experimentellen Modalanalyse die Visualisierung der Schwingform ist. Hierzu werden Daten der Auslenkung in mm enthalten. Falls erforderlich muss demnach auf die Auslenkung umgerechnet werden. Typische Sensorik für die experimentelle Modalanalyse ist der Beschleunigungsaufnehmer [ m/s2]und das Laservibrometer [mm/s]. 16 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse Antwortsignalverlauf 400 Schwinggeschwindigkeit [mm/s] 300 200 100 0 -100 -200 -300 0 0.5 1 1.5 Messzeit ab START [S] 2 2.5 3 [Bild-017] Zeitsignal einer Impulsantwort 3.3 Auswahl der Messungen und Beseitigung von zufälliger Messunsicherheit und Streuung Zeitsignale von Messungen eignen sich nur dann für eine Mittlung, wenn diese kohärent sind. Bei normalen Messungen ist dies i.d.R. nicht gegeben. Da die einzelnen Messungen bei impulsartiger Anregeung (z.B. dem Hammerschlag) jedoch einen zeitlich gleichartigen Verlauf haben, können diese auch zueinander kohärent sein. Mit der Prüfung dieser steht uns ein Kriterium für die Schlagauswahl zur Verfügung. Die Kohärenz ist ein Maß für den Grad der linearen Abhängigkeit zweier Zeitsignale x(t) und y(t) über der Frequenz. Sie ist mathematisch gesehen nichts anderes als das Betragsquadrat des normierten mittleren Kreuzleistungsspektrums. Sie berechnet sich zu [F-019] Dargestellt wird typischerweise bei einem Kohärenzspektrum der Realteil der Kohärenz. Wird der Verlauf der Kohärenz über die Signaldauer benötigt, ist der Mittelwert der Kohärenz heranzuziehen. Die Kohärenz weist einen Wertebereich zwischen 0 und 1 auf. Für eine gute Signalübereinstimmung sollte die Kohärenz außerhalb der Resonanzbereiche möglichst nahe 1 sein. Nur mit sehr viel Übung wird es gelingen bei manuell eingebrachten Impulsanregungen eine durchgängige Kohärenz = 1 zu erhalten. Das Kohärenzspektrum liefert auch eine Aussage darüber welche Frequenzauflösung und welche Window-Funktion für die zugrundeliegende FFT sich am geeignetsten darstellen wird. Für die Berechnung der Kohärenz und der FFTs für die FRFs sollten daher gleiche Frequenzauflösung und die gleiche Window-Funktion verwendet werden. Nach der Auswahl der geeigneten Hammerschläge werden die Zeitsignale der Anregung und der Antwort gemittelt. Auch andere Methoden zur Stabilisierung der Messergebnisse sind möglich, z.B die Mittelung erst mit den Ergebnissen der FRFs durchzuführen. Für die weiteren Berechnungen stehen anschließend ein Anregungssignal ej(t) sowie ein Antwortsignal ai(t) zur Verfügung. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 17 Kohärenzspektrum mit Frequenzauflösung 0.5 Hz 1 0.9 normierte Kohärenz (Realteil) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 100 200 300 400 500 Frequenz [Hz] 600 700 800 900 1000 [Bild-018]Kohärenzspektrum (Mittlung über fünf Impulsanregungen) - Die Eignung dieser Zeitsignale für die Mittlung bei anschließender FFT (bei gleicher Parametrierung) ist nur bedingt gegeben. Kohärenzspektrum mit Frequenzauflösung 2 Hz 1 0.9 normierte Kohärenz (Realteil) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 100 200 300 400 500 Frequenz [Hz] 600 700 800 900 1000 700 800 900 1000 [Bild-019]Kohärenzspektrum (der gleichen Zeitsignale) bei einer Frequenzauflösung von 2 Hz. Kohärenzspektrum 1 0.9 normierte Kohärenz (Realteil) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 18 0 100 200 300 400 500 Frequenz [Hz] 600 [Bild-020]Kohärenzspektrum einer ungeeigneten Zeitsignalkombination. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 3.4 Transformation der Zeitsignale in den Frequenzbereich (Fast-Furier-Transformation, FFT) Für die Nutzung der FFT zur Transformation aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich sind drei Parameter von entscheidender Bedeutung: 1. Abtastrate (Samples/s): Sie legt über das Abtasttheorem (2,56) die maximal mögliche Analysefrequenz fest 2. Frequenzauflösung (Hz, 1/s): Der Kehrwert hierzu ergibt die Blockzeit (s). Die Blockzeit multipliziert mit der Abtastrate ergibt die Blockgröße (blocksize) bzw. die Anzahl der Messwerte für die FFT (nfft). nfft/2 wiederum stellt die Anzahl der Frequenzlinien dar. 3. Das Fenster (Window, Window-Function): Es nimmt eine Gewichtung des Zeitsignals vor und ist erforderlich, um Frequenz- und Pegelgenauigkeit zu erreichen. Es nimmt allerdings auch Einfluss auf die Frequenz- und Pegelgenauigkeit. Während Abtastrate und Frequenzauflösung Parameter sind, die mehr oder minder nach Bedarf und Wunsch frei gewählt werden können, beeinflusst die Wahl der Window-Function erheblich das Gesamtergebnis. Anregung: Zeitsignal e(t) 1400 1200 1000 Kraft [N] 800 600 400 200 0 Schwinggeschwindigkeit [mm/s] 0 0.5 1 Messwerte 1.5 2 2.5 × 10 4 Antwort: Zeitsignal a(t) 500 400 300 200 100 0 -100 -200 -300 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Zeit [s], Abtastrate: 51200 Hz, Frequenzauflösung: 2 Hz 0.35 0.4 0.45 0.5 [Bild-021]Anregungszeitsignal e(t) sowie Antwortzeitsignal a(t), die in der weiteren Betrachtung für die Wahl der Window-Function verwendet werden. Für die Bewertung der optimalen Window-Function nutzen wir die beiden Zeitsignale aus [Bild-021]. Bewertet werden die beiden gängigen Window-Functions „hanning“ und „flattop“. Beides sind Window-Functions die in jeder industriell verfügbaren FFT-Analyse bereit gestellt werden. Zusätzlich in die Bewertung fließen zwei Window-Functions ein, deren MATLAB®-Code auf http://schwingungsanalyse.com zur Verfügung gestellt wird. Hierbei handelt es sich um Fensterungen, die ein Rechteck (Rect) mit einer Abklingfunktion verknüpfen. Wahlweise linear, exponentiell oder als Sinusfunktion. Bei den Fenstern kann die wirksame Länge des Rechtecks per Übergabeparameter eingestellt werden. Auf diesem Weg wird die Gewichtung des Zeitsignals, das Fensterverhalten, auf die Triggerbedingung und das dynamische Verhalten der analysierten Struktur angepasst. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 19 hanning Window-Function 1.2 2 1 1 1 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 0.2 0 0 0 0 0 0.5 1 1.5 Messwerte 2 2.5 × 10 4 -0.2 0 0.5 1 1.5 Messwerte 2 2.5 × 10 4 -0.2 0 0.5 1 1.5 Messwerte 2 2.5 × 10 4 -0.2 1400 1400 1400 1200 1200 1200 1200 1000 1000 1000 1000 800 800 800 800 600 600 600 600 400 400 400 400 200 200 200 200 0 0 0 0 -200 -200 -200 -200 Anregungssignal [N] 1400 0 0.1 0.2 0.3 Zeit [s] 0.4 0.5 0 0.1 0.2 0.3 Zeit [s] 0.4 0.5 0 0.1 0.2 0.3 Zeit [s] 0.4 0.5 500 500 500 400 400 400 400 300 300 300 300 200 200 200 200 100 100 100 100 0 0 0 0 -100 -100 -100 -100 -200 -200 -200 -200 -300 -300 -300 Antwortsignal [mm/s] 500 0 0.1 0.2 0.3 Zeit [s] 0.4 0.5 3 10 0 0.1 0.2 0.3 Zeit [s] 0.4 0.5 3 10 0 0.1 0.2 0.3 Zeit [s] 0.4 0.5 3 -300 10 10 2 10 2 10 1 10 1 10 1 10 1 10 0 10 0 10 0 10 0 10 -1 10 -1 10 -1 10 -1 |H| [(mm/s)/N] 10 2 0 200 400 Frequenz [Hz] 600 800 10 -2 0 200 400 Frequenz [Hz] 600 800 10 -2 0 200 400 Frequenz [Hz] 600 800 10 -2 200 200 200 150 150 150 150 100 100 100 100 50 50 50 50 0 0 0 0 -50 -50 -50 -50 -100 -100 -100 -100 -150 -150 -150 -150 -200 -200 -200 Phasenwinkel [°] 200 0 200 400 Frequenz [Hz] 600 800 0 200 400 Frequenz [Hz] 600 800 0 200 400 Frequenz [Hz] 600 800 0 0.5 0 0.1 0 0.1 -t 1 1.5 2 0.2 0.3 0.4 0.5 0.2 0.3 0.4 0.5 Messwerte Zeit [s] Zeit [s] 2.5 × 10 4 3 10 2 10 -2 e 1.2 1 10 20 sin 1.2 0.8 -0.2 flattop 1.2 -200 0 200 0 200 400 600 800 400 600 800 Frequenz [Hz] Frequenz [Hz] [Bild-022]Auswirkung der Window-Function auf das Ergebnis der FRF. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse Wie wir [Bild-022] entnehmen können, ist es kontraproduktiv, für die erforderliche Fensterung der Signale die in der Anwendung der FFT sonst üblichen Window-Functions „hanning“ und „flattop“ (oder ähnliche) zu verwenden. Wie wir sehen, wird hier das Anregungs- sowie das Antwortsignal derart verändert, dass keine verwendbare FRF berechnet werden kann. Geeignete Window-Functions sind jene, die zu Beginn des Fensters den Gewichtungsfaktor 1 aufweisen. Im Frequenzbereich 380 Hz bis 500 Hz weisen auch die beiden FRFs mit optimaler Fensterung nicht ganz „saubere“ Ergebnisse auf. Wenn wir diesen Frequenzbereich in einer Kohärenz-Rechnung mit Frequenzauflösung 2 Hz (wie hier in der FRF) betrachten, dann erkennen wir, dass dieser Frequenzbereich verminderte Kohärenzwerte aufweist. 3.5 FRFs berechnen sowie die Pole lokalisieren Aus jedem Signalpaar, Anregung ej(t) sowie Antwort ai(t), wurden die zugehörigen FFTs Ej(ω) sowie Ai(ω) ermittelt. Im nächsten Bearbeitungsschritt der experimentellen Modalanalyse werden hieraus die FRFs Hij(ω) bestimmt. FRF Anregungspunkt 15 zu Antwortmesspunkt 10 10 -5 2 |H| [m/s / N] 10 -6 10 -7 10 -8 10 -9 0 100 200 300 400 Frequenz f [Hz] 500 600 700 800 [Bild-023] Betrag |H| der FRF aus Antwort am Messpunkt 10 und Anregung am Schlagpunkt 15 (Demo-Stab) Aus [Bild-023] der FRF unseres Demo-Stabs mit Messpunkt 10 und Schlagpunkt 15 erkennen wir insgesamt acht Resonanzbereiche. Ob dies tatsächlich zu Moden zugehörige Pole sind, lässt sich aus der Betragsdarstellung alleine nicht feststellen. FRF Anregungspunkt 15 zu Antwortmesspunkt 10 200 X: 744 Y: 179.8 150 100 Phasenwinkel [°] 50 0 -50 -100 -150 -200 0 100 200 300 400 Frequenz f [Hz] 500 600 700 800 [Bild-024] Phasenwinkel der FRF aus Antwort am Messpunkt 10 und Anregung am Schlagpunkt 15 (Demo-Stab) Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 21 Ein Resonanzpunkt liegt immer dann vor, wenn im Betragsspektrum eine Spitze und im Phasenspektrum ein Phasensprung zu erkennen ist. Als Phasensprung wird das Verhalten bezeichnet, wenn der Phasenwinkel sprunghaft seinen Wert ändert. Insbesondere zwischen den Winkeln 0° und -90° und umgekehrt sowie von 180° nach 90° und -180° nach -90°. Zu beachten ist dabei, dass die Winkel -180° und 180° im Diagramm zwar einen Sprung darstellen, dies tatsächlich jedoch kein Sprung ist. In einer Darstellung als Polardiagramm würde dies deutlich werden. Werten wir mit der Curserfunktion unseres Messgeräts bzw. Auswertesoftware das Betragsspektrum aus, dann finden wir bei den Frequenzen 8, 38, 58, 220, 296, 364, 546 und 748 Hz jeweils eine erkennbare Resonanz, die einen Pol darstellen könnte. Wenn wir im zugehörigen Phasenspektrum die Phasensprünge ermitteln ergeben sich die Frequenzen 6, 40 ,80, 220, 338, 364, 540, 694 und 744 Hz. Acht gefundene Resonanzfrequenzen aus dem Betragsspektrum stehen neun aus dem Phasenspektrum gegenüber. Vergleichen wir mit etwas Frequenztoleranz die beiden Ergebnisse so finden wir mit den Resonanzpunkten (-bereiche) bei f = 6..8, 38..40, 220, 364, 540..546, 744..748 Hz sechs der sieben berechneten Resonanzen. Es fehlt die Resonanz bei 110 Hz. Das ist nicht ungewöhnlich. Zum einen kann es sich hierbei um die Auswirkung eines Messfehlers handeln, andererseits besteht die Möglichkeit, dass sie der Mess- bzw. Anregungspunkt in einem „Knoten“ der zugehörigen Schwingform befunden hat, und daher diese Mode nicht angeregt wurde. Zu jeder der Hij(ωdr) – im Beispiel des Demo-Stabs insgesamt 16 – werden für die weitere Berechnungen die Pole mit den Werten zu Frequenz, Betrag der Übertragungsfunktion, Realteil und Imaginärteil benötigt. Für den Demo-Stab liegen diese Werte zum Download bereit. 3.6 Schwingform bestimmen Die Schwingform wird aus der Auslenkung zu jeder Mode an allen Anregungs- und Antwortmesspunkten bestimmt. Die Darstellung der Schwingform ist normiert, was bedeutet, dass lediglich eine qualitative Aussage über die „Art“ der Schwingform möglich ist. Mehr ist diesbezüglich auch meist nicht nötig, denn zu quantitativen Aussagen bezüglich der Kräfte, Beschleunigungen und Schwingwege liefert die Schwingform den für die jeweilige Betrachtung erforderlichen Messpunkt. Als erstes berechnen wir uns für jede identifizierten Mode die Skalierungskonstante ar. Sie ist gültig für jeden Hij(ωdr). Daher ist eine Mittlung zulässig, welches den Betrag stabilisiert. [F-020] mit j, dem Imaginärteil und ωdr, der Kreisfrequenz (ω = 2πf) der Mode den wir betrachten wollen. Unter Beachtung von [F-017] ergibt sich das Residuum aus der Multiplikation der Skalierungskonstante mit den Auslenkungen am Anregungspunkt j und Antwortmesspunkt i. Andererseits rechnet sich der Betrag der Übertragungsfunktion nach [F-012] 22 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse Die Dämpfung σ ist bei einem eindeutig bestimmbaren Pol der Realteil der komplexen FRF. Die Dämpfung einer Struktur ist nicht zwangsweise in jedem Punkt gleich. In unserem Demo-Stab können wir jedoch von einer einheitlichen Dämpfung zu jeder Mode ausgehen. Wenn wir [F-012] nutzen, dann erhalten wir für das Rsiduum [F-021] Dieses benötigen wir zur Berechnung der Auslenkung. Da die Dämpfung per Definition ein positiver Wert ist, handelt es sich mathematisch um die Division der Magnitude der FRF mit dem Betrag des Realteils. Zu der Bedingung i=j, wenn Anregungspunkt und Antwortmesspunkt gleich sind, ergibt sich Rijr zu Rjjr sowie die Auslenkung Φir = Φjr. Daraus folgt, dass sich aus [F-017] [F-018] ergibt. Da wir Rjjr über [F-021] bestimmen können, ergibt sich für die Auslenkung im Antwortmesspunkt [F-022] Nachdem wir nun die Auslenkung im Antwortmesspunkt ermittelt haben, können wir über [F-023] die jeweilige Auslenkung der Mode in den Anregungspunkten ermitteln. Die Auslenkungsrichtung erhalten wir, wenn wir in der Gaußschen Zahlenebene die Lage des Vektors der komplexen Zahl betrachten. Das Vorzeichen des Imaginärteils gibt uns damit die Auslenkungsrichtung an. Auf diesem Weg lassen sich nun zu den einzelnen Moden die Auslenkungen an den Anregungs- und Antwortmesspunkten bestimmen. Bei einfachen Strukturen, wie unserem Demo-Stab, ist für die Visualisierung das Auftragen der Auslenkungen in ein Diagramm mit nachgeschaltetem Curve-Fitting ausreichend. Komplexere Strukturen mit komplexen Moden - Torsion, Biegung und deren Mischformen - werden erst dann verständlich, wenn die Schwingform mit einer 3D-Animation visualisiert wird. 8 Schwingform bei 40 Hz × 10 -4 data1 6th degree 6 Normierte Auslenkung 4 2 0 -2 -4 0 100 200 300 400 500 600 Stab (horizontal) [mm], 0 = Einspannung 700 800 900 1000 [Bild-025] Schwingform des Demo-Stabes in der zweiten Mode (40 Hz) Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 23 24 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 4 4.1Modalkopplung Lösungsansätze wenn Moden und Pole nicht eindeutig sind Modalkopplung ist der allgemeine Begriff, der benutzt wird, um anzuzeigen, wie stark die Resonanz bei einer Modalfrequenz durch die Beiträge anderer Moden beeinflusst wird. Leicht gekoppelte Moden - Einfache Strukturen Bei einer leicht gedämpften Struktur sind die Moden gut getrennt und können als leicht gekoppelt betrachtet werden. Solche Strukturen verhalten sich als SDOF-Systeme um die Modalfrequenzen herum. Wenn man diesen Strukturtyp testet, geben einfache Methoden sehr zuverlässige Ergebnisse. Einfachen Strukturen begegnet man beim trouble shooting, da die meisten Lärm-, Vibrations- und Ermüdungsprobleme bei wenig gedämpften Strukturen auftreten. Stark gekoppelte Moden - Komplexe Strukturen Bei Strukturen mit starker Dämpfung oder hoher modaler Dichte zeigen die FRFs keine klar getrennten Moden. Diese Moden bezeichnet man als stark gekoppelt und die Resonanzen sind Kombinationen mehrerer Moden. Komplexe Strukturen können weiterhin beschrieben werden wenn man eine Reihe diskreter Moden benutzt, aber die Methoden, die dazu benötigt werden, um die Modalparameter zu bestimmen, sind komplizierter. Was nimmt die Modalbeschreibung an? Kein Faktor wird uns hindern, eine Modalbeschreibung auf eine Struktur anzuwenden. Sie verkomplizit lediglich die erforderlichen Methoden. Eine Annahme, die wir treffen müssen, ist jedoch Linearität. Wir müssen annehmen, dass die Systeme, die wir prüfen, sich linear verhalten, so dass die Resonanz immer proportional zu der Anregung ist. Eine gemessene FRF hängt nicht ab vom Typ der Anregungswellenform. Ein umgekehrter Sinusoid bringt dasselbe Ergebnis wie eine Breitbandanregung. Eine gemessene FRF ist unabhängig von der Anregungsstufe. In einem linearen mechanischen System existiert eine bestimmte Symmetrie. Dies impliziert, dass die FRF gemessen zwischen zwei beliebigen DOF, unabhängig ist von dem, welches von ihnen für die Anregung oder Resonanz benutzt wird. 4.2 Sinnvolle Strukturen Im Allgemeinen werden sich Strukturen in der Auslenkung linear verhalten. Jedoch wird die Linearität gestört wenn die Auslenkungen so groß werden, so dass diese für eine Modalbeschreibung nicht benutzt werden kann. Wir müssen also annehmen, dass unsere Strukturen nicht anfangen zu schwingen bevor sie angeregt werden. Die Schwingungen werden verebben sobald die Anregung weggenommen wirdund die dynamischen Eigenschaften werden sich während der Messungen nicht verändern. Die Eigenschaften einiger Strukturen, insbesondere Leichtbaustrukturen, werden sich während eines Tests jedoch verändern. Bei längeren Testperioden können sich Struktureigenschaften aufgrund von Temperaturen sowie anderen Umwelteinflüssen ändern. Einige Strukturen können sich kontinuierlich ändern. Die Masse eines fliegenden Flugzeugs zum Beispiel wird sich kontinuierlich verringern, weil Treibstoff verbrannt wird. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 25 Spezifierung des Freiheitsgrads Ein freier Punkt hat im allgemeinen sechs Freiheitsgrade. Drei translatorisch und drei rotatorisch. Geeignete Messaufnehmer zur Ermittlung der rotatorischen Auslenkungen sind technisch nicht verfügbar. Jedoch sind die translatorischen Auslenkungen generell ausreichend, um die Bewegung zu beschreiben. Für die meisten Strukturen ist eine Reihe unregelmäßig verteilter Messpunkte in ein oder zwei Richtungen ausreichend. Wie viele Mess-/Anregungspunkte werden für einen Test benötigt? Die benötigte Anzahl Mess- und Anregungspunkte hängt ab von dem Zweck des Tests, der Geometrie und der Anzahl Moden im zu betrachtenden Frequenzbereich. Ein einfacher Test, um die vorausgesagten (Modal)Frequenzen analytisch zu verifizieren, benötigt nur wenige Punkte. Wenn der Zweck des Tests ist, ein mathematisches Modell zu verifizieren, dann müssen ausreichend Mess-/ Anregungspunkte benutzt werden. Die Anzahl der Mess-/Anregungspunkte muss so gewählt werden, dass die gesamte Dynamik der Struktur darstellbar ist. Es ist die geometrische Komplexität der Schwingform, die die Anzahl der benötigten Mess/Anregungspunkte bestimmt. 4.3 Die Mobilitätsmatrix Die individuellen FRF-Messungen können als die Elemente einer Matrix arrangiert werden, die als die Mobilitätsmatrix [H] bezeichnet wird. Jedes Element Hij(ω) stellt eine bestimmte FRF-Messung dar. Jede Matrixreihe beinhaltet FRFs mit einer gemeinsamen (Modal)Frequenz, während jede Spalte einen gemeinsamen Anregungpunkt hat. Die Diagonale von [H] beinhaltet eine Klasse von FRFs für die die (Modal) Frequenz und der Anregungspunkt dieselben sind. Dieses sind die FRF-Anregungspunkte. Die von der Diagonale abweichenden Elemente bilden die Transfer-FRFs. Minimal ausreichende Daten Die Anzahl der DOF in einem Test kann von zehn bis mehrere Hundert reichen. Die Matrix [H] kann deshalb enorm groß werden (wenn n = 100, beinhaltet [H] 10000 FRFs). Glücklicherweise hilft hier die Reziproziät und jede Information für eine lineare mechanische Struktur ist in einer kompletten Zeile oder kompletten Spalte von [H]. Die Anzahl der benötigten Messungen ist deshalb gleich zu der Anzahl der spezifizierten DOF. 4.4 Parameter-Abschätzung mit Curve-Fitting In unserem Demo-Stab sind die Moden nur leicht gekoppelt. Wir haben die Modal-Parameter bestimmt, in dem wir eine Anzahl von diskreten Werten von den FRF-Messungen genommen haben. Wenn die gemessenen Daten starke gekoppelte Moden anzeigen, oder wenn hohe Genauigkeit benötigt wird, können wir eine Modalanalyse durchführen, in der Curve-Fittings benutzt werden, um die Modal-Parameter mit höherer Genauigkeit zu bestimmen. Gold in = Gold out Der wichtigste Teil in der experimentellen Modalanalyse ist die Durchführung der Mobilitätsmessungen. Keine Kurvenanpassung kann verlässliche Parameter von schlechten Messungen ermitteln. Curve-Fitting wird dann benötigt, wenn mathematische Theorie auf praktische Messungen trifft. Die Theorie gibt uns eine mathematisch parametrisches Modell für die theoretische FRF einer Struktur. Unsere Messungen geben den realen FRF. Curve-Fitting ist der analytische Prozess um mathematische Parameter zu bestimmen, die nächstmöglich zu den gemessenen Daten passen. 26 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 4.5 Betrachtung der Vollständigkeit Aus theoretischer Sicht ist der Modalmodellansatz exakt, so lange keine Approximationen eingeführt werden. Aber wie gut ist das gemessene Modell? Angenommen, die initialen Annahmen der Linerarität, etc., sind wahr, gibt es einen potentiellen Fallstrick aufgrund des betrachteten Frequenzbereichs. Da wir den Frequenzbereich eines Tests limitieren müssen, sind nicht alle Moden der Struktur enthalten. In der Praxis werden oft die starren Körper-Moden, bei sehr niedrigen Frequenzen und jene Moden, die nur in lokalen Abschnitten der Struktur vorkommen, ignoriert. Wir versuchen auch den Frequenzbereich so niedrig wie möglich zu halten und nutzen zwar eine möglichst hohe, jedoch endliche Frequenzauflösung. Das bedeutet, dass wir die Beschreibung verkürzen, was zu einer reduzierten Genauigkeit des Modells, insbesondere zwischen den Polen, führt. Wir arbeiten mit einem begrenzten diskreten DOF-Set um die kontinuierliche Struktur zu beschreiben. Jedoch kann sich jeder Punkt der Struktur theoretisch in sechs Richtungen bewegen. Der Mangel an Messungen in einige dieser Richtungen und die endliche Zahl von Messpunkten, die man verwendet, führt zu einer räumlichen Kürzung. Eine experimentelle Modalanalyse kann nicht dafür verwendet werden die Effekte der Kräfte oder Modifikationen an Punkten/Richtungen vorherzusagen, an welchen keine Messungen durchgeführt wurden. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 27 5Literatur D. J. EWINS „Modal Testing: Theory and Practice“, Research Studies Press Ltd., Letchworth, Herts, England. K. ZAVERI „Modal Analysis of Large Structures - Multiple Exciter Systems“, Brüel&Kjaer BT 0001-12 IMAC Conference Papers „Proceedings of the International Modal Analysis Conference“, Union College, Schenectady, N.Y. 12308 SEM Journal „The International Journal of Analytical and Experimental Modal Analysis“, The Society for Experimental Me- chanics, Inc., School Street, Bethel, CT 06801 28 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 29 30 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse 31 32 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Experimentelle Modalanalyse