2 Kostenfunktionen

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2 Kostenfunktionen
Durch die Kostenfunktion K(x) ist der Zusammenhang zwischen Produktionsmenge x (Output; Beschäftigung in ME) und den Gesamtkosten K(x) (in GE) für die Produktion von x ME definiert.
2.1 Gesamtkostenfunktion
Die Gesamtkosten sind die Summe der in einem bestimmten Zeitraum, für die Herstellung eines Artikels,
anfallenden betrieblichen Kosten.
Der Gesamtbetrag K(x), der zur Herstellung von x Einheiten einer Ware erforderlich ist, wird als Gesamtkosten bezeichnet. Diese Gesamtkosten setzen sich aus den Gesamtfixkosten Kf = F und den gesamten
variablen Kosten Kv(x) zusammen. Eine strenge Trennung zwischen Fixkosten und variablen Kosten ist oft
nicht möglich.
Unter den Fixkosten Kf = K(0) versteht man alle Kosten, die unabhängig von der erzeugten Menge sind.
Dazu gehören: Steuern für Grundstücke und Gebäude; Grundgebühren für Gas, Wasser, Strom, Telefon,
usw.; Mieten; Versicherungsprämien; Unterhaltskosten für Maschinen; Gehälter der Vorstandsmitglieder...
Die Fixkosten fallen auch bei Stillstand der Produktion an und werden auch als Kosten der Produktionsbereitschaft bezeichnet.
Variable Kosten werden nur durch die laufende Produktion und somit durch die erzeugte Menge bestimmt.
Dazu gehören: Rohstoffkosten; Energiekosten; Arbeitskosten usw....
Bei Produktionsstillstand fallen keine variablen Kosten an.
Die Kostenwerte werden mit meist erheblichem Rechenaufwand aus der innerbetrieblichen Kostenrechnung
in Tabellenform geliefert. Die dazupassende Funktionsgleichung wird dann aus den Wertepaaren berechnet.
Da die Wertepaare meist nicht alle auf einer gemeinsamen Funktion liegen, erhält man eine "hinreichend
genaue" Funktion häufig durch Regressionsrechnung.
Kf = K(0) = F
Kv = K(x) - K(0)
K(x) = Kv(x) + Kf
Fixkosten
variable Kosten Kv(0) = 0
Gesamtkosten = variable Kosten + Fixkosten
Beispiele für häufig auftretende Kostenfunktionen:
Die einfachste, aber in der Praxis häufig verwendete Kostenfunktion ist die
lineare Kostenfunktion:
K(x) = k · x + F
k… proportionale Kosten, Kosten pro Produktionseinheit ohne Fixkostenanteil
Kv(x) = k · x
Kostenfunktion dritten Grades (Ertragsgesetzliche Kostenfunktion, intensitätsmäßige Anpassung)
K(x) = a·x³ + b·x² + c·x + F (a,c,F > 0 ; b < 0)
Der Definitionsbereich der Funktionen ist 0 ≤ x ≤ C.
C ist die Kapazität; d.h. die pro Produktionsperiode normalerweise maximal herstellbare Menge.
2.1.1 Kostenmodell bei zeitlicher Anpassung
Eine Erhöhung der Produktion wird durch Erhöhung der Arbeitszeit und eine längere Ausnutzung der
Maschinen erreicht. Solange dies unterhalb der 100%-igen Auslastungsgrenze M erfolgt, entwickeln sich
die variablen Kosten proportional zur Stückzahl.
Die Kostenfunktion ist linear.
Wird die 100%-ige Auslastung M überschritten (längere Arbeitszeit durch Überstunden), steigen die
variablen Kosten progressiv.
Beispiel:
Ein Betrieb hat Fixkosten von 400 GE pro Monat. Die monatliche Kapazität beträgt M = 1000 ME und die
proportionalen Kosten betragen 4 GE pro ME.
Daraus ergibt sich eine lineare Kostenfunktion von K(x) = 4·x + 400
für 0 ≤ x ≤ 1000
(Kostenfunktion_zeitl_Anpassung.tii)
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Wird die Kapazität überschritten, müssen z.B. Überstunden gemacht werden. Dadurch steigen die Kosten
überproportional.
Die quadratische Kostenfunktion sei für x > 1000: K(x) = 0.002·x² + 2400
für x > 1000
2.1.2 Kostenmodell bei quantitativer Anpassung
Bei diesem Modell erfolgt die Erhöhung der Produktion durch den Einsatz zusätzlicher Arbeitskräfte und
zusätzlicher Betriebsmittel. Da die Produktionsfaktoren meist nicht beliebig teilbar sind, erfolgt die Anpassung in Sprüngen.
Die Fixkosten ändern sich in Sprüngen, aber auch die variablen Kosten können sich ändern.
Beispiel: Ein Unternehmer möchte Kopiergeräte für Privatkunden aufstellen. Dabei sind die Kosten pro
Kopie € 0.03. Die Kopierer werden nicht gekauft, sondern nur gemietet.
Der Mietpreis pro Woche beträgt € 150.- für jedes Gerät.
Die Geräte sind für maximal 12000 Kopien pro Woche ausgelegt. Bei einer höheren Anzahl von Kopien
müssen mehr Kopiergeräte gemietet werden. (Kostenfunktion_quantitat_Anpassung.tii)
Es liegen somit stückweise lineare Kostenfunktionen vor:
K(x) = 0.03·x + 150
für 0 ≤ x < 12000
K(x) = 0.03·x + 2·150
für 12000 ≤ x < 24000
K(x) = 0.03·x + 3·150
für 24000 ≤ x < 36000 usw.
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2.1.3 Kostenmodell bei intensitätsmäßiger Anpassung
Eine Produktionserhöhung wird durch eine höhere Arbeitsleistung (Arbeit pro Zeiteinheit) erreicht. Dies
kann beispielsweise geschehen, indem man die Laufgeschwindigkeit von Fließbändern erhöht oder die Taktfrequenz vergrößert. (Trommeln auf der Galeere)
Der Verlauf der Kostenfunktion ist in diesem Fall S-förmig.
Dieses Modell wird in der Mathematik am häufigsten verwendet.
Beispiel: Die Grafik zeigt das typische Verhalten einer Kostenfunktion dritten Grades:
K(x) = x3 - 8·x2 + 24·x + 50
Kv(x) = x3 - 8·x2 + 24·x
Kf = K(0) = F =50
Bei Anlauf der Produktion kommt es zu einem starken
Anstieg der Gesamtkosten, weil die variablen Kosten
stark steigen. Der gesamte Betrieb muss arbeiten, obwohl
Maschinen und Arbeiter nicht ausgelastet sind. Der Anstieg der Gesamtkostenfunktion verringert sich mit
wachsender Produktion (Bessere Ausnutzung der vorhandenen Kapazitäten).
Die Gesamtkosten sind degressiv.
Steigt die Produktion weiter wird die Menge xk (Wendepunkt) erreicht, bei der der Anstieg der Kostenfunktion
wieder wächst. Der Betrieb wird überlastet, was Zusatzkosten (Überstunden) verursacht. Der Anstieg der Kostenfunktion nimmt zu.
Die Kostenfunktion ist jetzt progressiv.
Der Wendepunkt (K''(x) = 0) der Kostenfunktion wird als
Kostenkehre (Übergang von progressiven zu degressiven Kosten) bezeichnet.
Die fixen Kosten sind konstant und von der Produktionsmenge unabhängig.
Die Kurve der Fixkosten ist daher eine Parallele zur x- Achse.
K’(x) = 3·x² - 16·x + 24
K’’(x) = 6·x - 16
Kostenkehre: xk = 2.67 ME .
Normalerweise haben die Kurven der Kostenfunktionen einen Verlauf, der der oben dargestellten Funktion
entspricht. Solche Kostenfunktionen werden als ertragsgesetzliche Kostenfunktionen bezeichnet.
Beispiel: Ertragsgesetzliche Kostenfunktion (kubische Polynomfunktion)
K(x) = a·x3 + b·x2 + c·x + d
a > 0, c > 0, d ≥ 0, b < 0 sowie b2 < 3·a·c
K(x) = x3 - 8·x2 + 24·x + 50
K(x) = 0.1·x3 - 5·x2 + 90·x + 100
K(x) = 0.1·x3 - 5·x2 + 80·x + 100
Fig.1
Fig.2
Fig.3
Fig. 3 nicht ertragsgesetzlich
(ertragsgesetzliche_Kostenfunktion.tii)
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In Spezialfällen (zur Vereinfachung der Rechnung), kann die Funktion auch linear oder quadratisch sein.
Beispiel: Stückweise definierte Kostenfunktion K(x) mit
für 0 ≤ x ≤ 5 [A ]
0.2 ⋅ x + 3
0.2 ⋅ x + 6
für 5 < x ≤ 10 [B]

K ( x ) = 0.5 ⋅ x + 3
für 10 < x ≤ 14 [C]
1
13
 ⋅ x2 +
für 14 < x ≤ 20 [D]
2
 56
(stuckweiseKosten.tii)
2.1.4 Durchschnittskosten
Dividiert man die Gesamtkostenfunktion K(x) durch die Produktionsmenge x, erhält man die Kosten k(x).
Diese Kosten k(x) geben an was die Produktion einer einzigen Einheit im Durchschnitt kostet, wenn insgesamt x Mengeneinheiten produziert werden.
Man definiert:
k (x) =
K (x)
x
Stückkostenfunktion; durchschnittliche Gesamtkosten
k v (x ) =
K v (x )
x
durchschnittliche variable Kosten
k f (x) =
Kf F
=
x
x
durchschnittliche fixe Kosten
Die durchschnittlichen Gesamtkosten erhält man durch Addition der durchschnittlichen variablen Kosten
und der durchschnittlichen fixen Kosten.
K(x ) K v (x) K f
=
+
⇒ k(x) = k v (x) + k f (x )
Aus K(x) = Kv(x) + Kf folgt
x
x
x
Beispiel:
K(x) = x3 – 8·x2 + 24·x + 50
k ( x ) = x 2 − 8 ⋅ x + 24 +
Kv(x) = x3 – 8·x2 + 24·x
(Durchschnittskosten.tii)
50
x
k v ( x ) = x 2 − 8 ⋅ x + 24
Kf(x) = K(0) = F = 50
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2.1.5 Betriebsoptimum
Die Durchschnittskosten an der Stelle xo im Punkt P(xo|K(xo)) der Gesamtkostenfunktion sind gleich dem
Anstieg der Verbindungsgeraden (OP).
K ( xo)
= tan(α)
xo
Der Anstieg der Geraden durch den Ursprung ist gleich der Größe der Durchschnittskosten.
Ist diese Ursprungsgerade Tangente an die Gesamtkostenkurve, dann ist der Anstieg minimal. Somit ergeben sich die geringsten Stückkosten an der Stelle xb.
Für die Durchschnittskosten gilt:
k ( xo) =
Betriebsoptimum BO
Das Betriebsoptimum ist die Erzeugungsmenge xb, bei der die Durchschnittskosten minimal sind. (Stückkostenminimum)
Die minimalen durchschnittlichen Gesamtkosten k(xb) heißen langfristige Preisuntergrenze (einschließlich
Fixkostenanteil). Die Herstellungskosten pro gefertigter Mengeneinheit sind minimal.
'
 K(x) 
Zur Berechnung des Betriebsoptimums ist die Gleichung 
 = 0 zu lösen.
 x 
K (x)
K' (x) ⋅ x − K(x )
= 0 ⇔ K ' (x) ⋅ x − K (x) = 0 ⇔ K' (x) =
2
x
x
Für das Betriebsoptimum BO gilt somit:
K’(x) = k(x) für x = xb
Beispiel: Berechnen Sie das Betriebsoptimum für K(x) = x3 – 8·x2 + 24·x + 50.
(Betriebsoptimum.tii)
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(Betriebsoptimum.tii)
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Grenzbetrieb
Ein Grenzbetrieb ist ein Betrieb, der ohne Gewinn, also gerade kostendeckend arbeitet. Man bestimmt, wie
weit man den Marktpreis (unter den Voraussetzungen des bestehenden Betriebes) absenken darf, dass dieser
Betrieb gerade noch kostendeckend arbeitet.
Nachdem im Betriebsoptimum BO die Stückkosten am geringsten sind, muss der Verkaufspreis po für den Grenzbetrieb gleich den Stückkosten im Betriebsoptimum sein.
po = k(xb)
Da dieser Preis die Kosten gerade deckt (inkl.
Gehalt des Vorstandsdirektors!) kann die Produktion langfristig fortgesetzt werden.
po = k(xb) wird auch als langfristige Preisuntergrenze bezeichnet.
(Grenzbetrieb.tii)
Minimalbetrieb
In Zeiten wirtschaftlicher Schwierigkeiten werden Produkte teilweise zu Preisen angeboten, die die Selbstkosten nicht mehr decken. Die Produktionsmenge, bei der eine Produktion gerade noch sinnvoll ist bezeichnet man als Betriebsminimum BM.
Der Erlös des zu verkaufenden Gutes soll hier gerade noch die variablen Kosten decken. Der Verkaufspreis
ist somit gleich den variablen Durchschnittskosten.
Analog zur Berechnung des Betriebsoptimums
wird hier das Minimum der variablen Durchschnittskosten gesucht und daraus die Produktionsmenge xv für den Minimalbetrieb berechnet.
(kv)’ = 0 ergibt xv: pm = kv(xv)
Trotz Betriebsminimum wird ein Betrieb weiterproduzieren, wenn entweder mit einer baldigen Absatzverbesserung gerechnet werden
kann, oder die Stillegungskosten höher sind als
der Verlust, der sich bei Weiterführung der Produktion ergibt.
Es besteht auch die Möglichkeit, dass ein Betrieb am Betriebsminimum weiterproduziert, wenn er die Fixkosten
auf andere produzierte Artikel abwälzen kann.
Der Verkaufspreis am Betriebsminimum wird auch als
kurzfristige Preisuntergrenze pm bezeichnet!
Grafisch erhält man die Erzeugermenge xv, für die die
durchschnittlichen variablen Kosten minimal sind, indem
man wieder eine Tangente an die Kostenfunktion legt.
Man geht in diesem Fall allerdings nicht vom Ursprung O
aus, sondern man geht vom Punkt F(0| K(0)) aus.
Der x-Wert des Berührpunktes ist dann der Wert xv.
(Minimalbetrieb.tii)
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Beispiel: Wie erhält man eine geeignete Kostenfunktion?
Ausgangspunkt sind - wie schon erwähnt - meist Datenpaare die die innerbetrieblichen Kostenrechnung in
Tabellenform liefert. Mit Hilfe der Regressionsrechnung können dann geeignete Funktionsterme gefunden
werden. (geeigneteKostenfunktion.tii)
x
0
1
2
4
5
6
7
K(x)
50
67
75
80
95
120
170
Geben Sie im ersten Schritt die gegebenen Datenpaare in Tabellenform in Ihr elektronisches Hilfsmittel ein,
berechnen Sie daraus eine kubische Regressionslinie und stellen Sie diese grafisch dar.
Je nach vorliegender Aufgabenstellung können die Koeffizienten dann auf „schönere” Werte gerundet werden. Vorsicht: kleine Änderungen der Koeffizienten können starke Änderungen des Kostenverlaufs verursachen. Meist ist nicht die nächste ganze Zahl die beste Annäherung.
Die beste Annäherung der Datenpunkte (mit „schönen” Koeffizienten) ist durch K(x) = x³ - 8·x² + 24·x + 50
gegeben.
Diese Kostenfunktion wurde im vorigen Beispiel mehrfach verwendet.
Beispiel: K = 0.1·x3 – 1.8·x2 + 14·x + 15
(MinimalbetriebII.tii)
Berechnen Sie das Betriebsoptimum BO (Vollkostenrechnung) und die langfristige Preisuntergrenze po!
Berechnen Sie kurzfristige Preisuntergrenze pm.
xb = 9.78 ME po = 7.49 GE
xv = 9 ME pm = 5.9 GE
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Beispiel: Lineare Kostenfunktion (BreakEvenPoint.tii)
Die Fixkosten eines Erzeugungsbetriebes betragen € 3000.- pro Woche. Die proportionalen Kosten betragen € 1.20 pro Stück.
Das Produkt wird um € 2.- verkauft.
Wir berechnen Kostenfunktion (linear), Erlösfunktion und die Gewinnfunktion.
Ausserdem wird der Break-Even-Point berechnet.
Öffnen Sie ein neues Arbeitsblatt in TI-InterActive! mit .
Schreiben Sie als Überschrift Lineare Kostenfunktion und öffnen Sie in einer neuen Zeile eine Math Box.
Alle Berechnungen in TI-InterActive! müssen in einer Math Box ausgeführt werden.
Klicken Sie auf
um die Math Box zu öffnen.
In die erste Math Box schreiben Sie die Gleichung der Kostenfunktion:
Schließen Sie die Eingabe mit
ab.
Normalerweise öffnet sich daraufhin sofort eine weitere Math Box .
Math Box
während der
Eingabe
Geben Sie hier die Definitionsgleichung der Erlösfunktion ein:
In eine dritte Math Box schreiben Sie die Gleichung der Gewinnfunktion:
Schließen Sie jede der Eingaben mit
ab.
Im nächsten Schritt wird der Break-Even-Punkt berechnet. Es gilt E(x) = K(x) oder G(x) = 0.
In TI-InterActive! verwendet man zum Lösen von Gleichungen den Befehl solve(Gleichung,Variable).
Schreiben Sie in weiteren Math Boxes:
Nach der Eingabe und
erhalten Sie sofort die Lösung der Gleichung, dh. den gesuchten x-Wert. Für
weitere Berechnungen sollte dieser Wert noch als Variable xb gespeichert werden.
Das Ergebnis der letzten Berechnung ist die Gleichung „x=3750“. Für weitere Berechnungen benötigen wir
nur den rechten Teil dieses Ausdrucks (momentan in ans gespeichert).
xb“ ein.
Geben Sie somit in eine neue Math Box den Befehl „right(ans)
Grafik:
Fügen Sie ein Grafikfenster mit
in Ihr Arbeitsblatt ein und tragen Sie die zu zeichnenden Funktionen in
die entsprechenden Eingabefelder ein.
Um auch die berechneten Punkte und die Gewinnzone zu zeichnen, klicken Sie auf Stat Plots.
Fügen Sie die Einträge, wie im Bild rechts unten angegeben, ein und formatieren Sie die Darstellungform.
Sie finden das fertige Dokument unter BreakEvenPoint_einfach.tii.
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Ihr fertiges Dokument könnte aussehen wie das Bild rechts.
Vergleichen Sie mit der Excel-Datei:
lineare_kosten_gewinn_band1.xls.
2.2 Grenzfunktion
df ( x )
f’(x) einer Funktion f(x) gibt die ungefähre Änderung der Funktion
x
an, wenn sich der x-Wert um eine Einheit ändert.
Da derartige Funktionen im wirtschaftlichen Bereich besondere Bedeutung haben tragen sie eigene Bezeichnungen Grenzfunktion oder Marginalfunktion.
Die Ableitungsfunktion f ' ( x ) =
Mathematisch bezeichnet man als Grenzfunktion f’(x) die
erste Ableitung der Funktion f(x).
Praktisch versteht man unter der Grenzfunktion ∆f die
Änderung des Funktionswertes, wenn man die unabhängige
Variable um eine Einheit vergrößert (∆x =1).
Die Grenz- oder Marginalfunktion einer ökonomischen Funktion f(x) kann durch ihre erste Ableitung f’(x)
beschrieben werden. Der Wert der Grenzfunktion gibt (angenähert) die Änderung der Funktion bei Änderung der unabhängigen Variablen um ∆x =1 an.
∏
Grenzfunktion: ✁f(x) = f(x + 1) − f(x) l f (x)
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2.2.1 Grenzkosten
Die Grenzkosten K’(x) geben (ungefähr) den Kostenzuwachs ∆K bezogen auf den Produktionszuwachs von
einer ME an.
Beispiel: K(x) = x³ - 8·x² + 24·x + 50
(GrenzkostenI.tii)
Wir vergleichen die Ableitungsfunktion K’(x) mit der Funktion ∆K = K(x+1) - K(x)
2.2.2 Grenzerlös
Die erste Ableitung E’(x) einer Erlösfunktion (Umsatzfunktion; Ausgabenfunktion) wird als Grenzerlösfunktion bezeichnet.
Beispiel:
pN(x) = 8 – 1.2·x
(GrenzerloesI.tii)
2
Erlös:
E(x) = 8·x – 1.2·x
Grenzerlös:
E’(x) = 8 – 2.4·x
Vergrößert man z.B. bei x = 5 ME die Absatzmenge um ∆X = 1, verringert sich der Erlös um 5.2 GE
(4 GE).
Beispiel: Für ein Produkt ist der Zusammenhang zwischen Absatzmenge x (in 100 Stück) und dem dazugehörigen Grenzerlös E’(x) gegeben.
Berechnen Sie mit Hilfe der linearen Regression die Grenzerlösfunktion E’(x) und daraus die Erlös- und die
Nachfragefunktion. (mindestens 3 Kommastellen) (Grenzerloes.tii)
x
3
4
5
7
10
E’(x)
77
66
56
36
15
E’(x) = -8.8636·x + 101.4091
− 8.8636 ⋅ x 2
E( x ) =
+ 101.4091 ⋅ x + c
2
E ( x ) − 8.8636 ⋅ x
p( x ) =
=
+ 101.4091
x
2
(c = 0, da E(0) = 0)
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Es sei hier nochmals auf den Zusammenhang zwischen Grenzerlös und Elastizität hingewiesen.
Es gilt die

1 

Gleichung von Amoroso und Robinson: E ' ( x ) = p( x ) ⋅ 1 +
ε( x ) 

Eine wichtige Folgerung aus der Gleichung von Amoroso und Robinson ist, dass genau am Punkt mit dem
maximalen Umsatz die Elastizität den Wert ε = −1 annimmt.
✒ = −1 :
✒ < −1 :
✒ > −1 :
p
E ∏ (x) = p − 1 = 0
E ∏ (x) > 0
E ∏ (x) < 0
Umsatz maximal
Umsatz wachsend
Umsatz fallend
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