Clifford-Algebra oder Geometrische Algebra

Clifford-Algebra oder Geometrische Algebra
Susanne Apel
10. Juni 2010
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Übersicht
1
2
Motivation
Die Operationen der Clifford-Algebra C`n
Das äußere (aufspannende) Produkt ∧
Das innere Produkt
Das geometrische Produkt
3
Zwei Beispiele
R2 oder C - C`2
R3 oder H - C`3
4
Anwenden für geometrische Modelle
Der konforme Raum PKn
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Inhalt
1
2
Motivation
Die Operationen der Clifford-Algebra C`n
Das äußere (aufspannende) Produkt ∧
Das innere Produkt
Das geometrische Produkt
3
Zwei Beispiele
R2 oder C - C`2
R3 oder H - C`3
4
Anwenden für geometrische Modelle
Der konforme Raum PKn
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Motivation
Einbetten von geometrischen Strukturen in höherdimensionale Räume
↝ zB. projektive Geometrie
∃ andere solche Modelle
2
1 Homogene Koordinaten der Ebene
Unterräume repräsentieren
geometrische Objekte
z
P
R2 → {(x, y, z) ∈ R3 : z = 1}
l
y
x
Abb. 1.1 Einbettung der euklidische Ebene im R3 .
Rechnen mit Unterräumen sinnvoll!
1.1 Punkte
Die Idee hinter homogenen Koordinaten ist es, die euklidische Ebene in den
Susanne
Clifford-Algebra
Geometrische Algebra
dreidimensionalen
Raum Apel
R3 einzubetten – und zwar
so, dass sie oder
den Null-
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Wir kennen von den Rechenregeln im RPn :
Join P von R und S (Rang r und s mit r + s ≤ n) hat Rang r + s mit
Pλ = ∑ σ(τ, µ) ⋅ Rτ ⋅ Sµ
τ ∈Λr ,n
µ∈Λr ,n
τ ∪µ=λ
und
Meet Q von R und S (r + s ≥ n) hat Rang r + s − n mit
Qλ = ∑ σ(µ ∖ λ, τ ∖ λ) ⋅ Rµ ⋅ Sτ
λ=µ∩τ
µ∈Λr ,n
τ ∈Λs,n
aus der Grassmann-Algebra.
Jetzt: Clifford-Algebra oder Geometrische Algebra.
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Inhalt
1
2
Motivation
Die Operationen der Clifford-Algebra C`n
Das äußere (aufspannende) Produkt ∧
Das innere Produkt
Das geometrische Produkt
3
Zwei Beispiele
R2 oder C - C`2
R3 oder H - C`3
4
Anwenden für geometrische Modelle
Der konforme Raum PKn
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Grundsetup
Wir werden brauchen:
ein Vektorraum, sagen wir Rn .
ein symmetrische Bilinearform ∗, sagen wir, das
Standardskalarprodukt.
Die Vektoren in Rn werden unsere Grundbausteine für Weiteres sein.
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Inhalt
1
2
Motivation
Die Operationen der Clifford-Algebra C`n
Das äußere (aufspannende) Produkt ∧
Das innere Produkt
Das geometrische Produkt
3
Zwei Beispiele
R2 oder C - C`2
R3 oder H - C`3
4
Anwenden für geometrische Modelle
Der konforme Raum PKn
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Definition von ∧
Definition
Das äußere Produkt ∧ ist assoziativ, antikommutativ und vollständig
multilinear. Genauer:
Ass: (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) = a ∧ b ∧ c
AnK: a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ai ∧ aj ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ am = (−1) (a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ aj ∧ ai ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ am )
⇒ a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ a ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ a ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ am = 0
ML: a1 ∧⋅ ⋅ ⋅∧(λb+µc)∧⋅ ⋅ ⋅∧am = λ a1 ∧⋅ ⋅ ⋅∧b∧⋅ ⋅ ⋅∧am + µ a1 ∧⋅ ⋅ ⋅∧c∧⋅ ⋅ ⋅∧am
Das gilt sogar allgemeiner, wenn b und c selbst wieder äußere
Produkte von Vektoren sind.
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Wozu?
ein Beispiel:
a ∧ b ∧ (λa + µb) = λ ⋅ a ∧ b ∧ a + µ ⋅ a ∧ b ∧ b = 0
Allgemeiner:
a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ am = 0 ⇔ a1 . . . am sind linear abhänging.
Annahme:
a1 . . . am linear unabhänging. Dann:
a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ am ∧ am+1 = 0
⇔ am+1 liegt im von a1 . . . am aufgespannten Teilraum von Rn
⇒ a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ am stellt den von a1 , . . . , am aufgespannten Untervektorraum
dar!
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Man kann zeigen:
a1 , . . . , am und b1 , . . . , bm spannen genau dann den gleichen Unterraum
auf, wenn:
a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ am = λ b1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ bm
wobei für ein λ ≠ 0.
(Dabei stellt sich λ as Determinante der Übergangsmatrix heraus)
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Wie rechne ich damit? Wie kann ich äußere Produkte
vergleichen?
Sei e1 , . . . , en die Standard-Basis des Rn .
Dann wird die x1 x2 -Ebene“ durch e1 ∧ e2 repräsentiert.
”
im R3 : von (a, b, c)T und (A, B, C )T aufgespannte Ebene
(a, b, c)T ∧ (A, B, C )T = (a e1 + b e2 + c e3 ) ∧ (A e1 + B e2 + C e3 )
= a A e1 ∧ e1 + a B e1 ∧ e2 + a C e1 ∧ e3
´¹¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹¶
=0
+ b A e2 ∧ e1 + b B e2 ∧ e2 + b C e2 ∧ e3
´¹¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹¶
=0
+ c A e3 ∧ e1 + c B e3 ∧ e2 + c C e3 ∧ e3
´¹¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹¶
=0
= (a B − b A) e1 ∧ e2 + (a C − c A) e1 ∧ e3 + (b C − c B) e2 ∧ e3
↝ vgl. Kreuzprodukt: die Unterschiede erklären sich dadurch, dass für ×
das Skalarprodukt zum Test auf Unterraummitgliedschaft verwendet wird.
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Eine Basis für C`n
Ô⇒ die ei1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ eik ’s bilden Basis“ und heißen blades.
”
C`n : alle Linearkombinationen von blades, d.h. diese bilden eine Basis!
für den R3 :
k
0
1
2
3
Name
Skalar
Vektor
Bivektor
Trivektor/Pseudoskalar
blades
1
e1 , e2 , e3
e1 ∧ e2 , e1 ∧ e3 , e2 ∧ e3
e1 ∧ e2 ∧ e3
(kn)
1
3
3
1
vgl. RPn
Lin.Komb.’en von blades vom Grad k heißen k-Vektor!
C`n ist ∑ni=0 (ni) = 2n -dimensionaler Vektorraum
Insbesondere: Auch Linearkombinationen von blades verschiedenen
Grades liegen in C`n ! - manche können wir interpretieren
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Inhalt
1
2
Motivation
Die Operationen der Clifford-Algebra C`n
Das äußere (aufspannende) Produkt ∧
Das innere Produkt
Das geometrische Produkt
3
Zwei Beispiele
R2 oder C - C`2
R3 oder H - C`3
4
Anwenden für geometrische Modelle
Der konforme Raum PKn
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Das innere Produkt:
Definition:
a ⋅ b ∶= a ∗ b
λ ⋅ X ∶= 0
∀ Vektoren a, b
∀λ ∈ R, X ∈ C`n
Seien a1 , . . . , ak und x Vektoren. Dann:
x ⋅ (a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) ∶ =
(x ∗ a1 ) (a2 ∧ a3 ∧ a4 ∧ . . . ak )
− (x ∗ a2 ) (a1 ∧ a3 ∧ a4 ∧ . . . ak )
+ (x ∗ a3 ) (a1 ∧ a2 ∧ a4 ∧ . . . ak )
− ...
k
= ∑ [(−1)i (x ⋅ ai ) a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ âi ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ]
i=1
⋮
⋅ ist Grad-erniedrigend!
Es verallgemeinert die gegebene Bilinearform ∗
Man kann zeigen: ⋅ ist wohldefiniert und linear (nicht assoziativ)
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Was macht das innere Produkt?
k
Erinnnerung: x ⋅ (a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) ∶= ∑ [(−1)i (x ⋅ ai ) a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ âi ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ]
i=1
o.B.d.A. ⌣
¨ : a1, . . . , ak paarweise ”orthonormal“ (bzgl. ∗), d.h.
ai ∗ ai = ±1
x = x∥ + x⊥
⇒ x∥ = x1 a1 + ⋅ ⋅ ⋅ + xk ak
Frage: wann ist z ∧ (x ⋅ a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) = 0?
z = z1 a1 + ⋅ ⋅ ⋅ + zk ak
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wann ist z ∧ (x ⋅ a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) = 0?
z ∧ (x ⋅ a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak )
k
= (z1 a1 + ⋅ ⋅ ⋅ + zk ak ) ∧ (∑(−1)i (x ⋅ ai ) a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ âi ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak )
i=1
k
= ∑(−1)i (±)xi (z1 a1 + ⋅ ⋅ ⋅ + zk ak ) ∧ (a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ âi ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak )
i=1
k
= ∑(−1)i (±)xi zi ai ∧ a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ âi ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak
i=1
k
= ∑(−1)i (−1)i (±)xi zi a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ai ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak
i=1
k
= (∑(±)xi zi ) a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak
i=1
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Was macht das innere Produkt?
k
Erinnnerung: x ⋅ (a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) ∶= ∑ [(−1)i (x ⋅ ai ) a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ âi ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ]
i=1
o.B.d.A. ⌣
¨ : a1, . . . , ak paarweise ”orthonormal“ (bzgl. ∗), d.h.
ai ∗ ai = ±1
x = x∥ + x⊥
⇒ x∥ = x1 a1 + ⋅ ⋅ ⋅ + xk ak
Frage: wann ist z ∧ (x ⋅ a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) = 0?
z = z1 a1 + ⋅ ⋅ ⋅ + zk ak
⋮
⋮
k
z ∧ (x ⋅ a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) = ∑(±)xi zi a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak
i=1
⇒ z ∧ (x ⋅ a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) = 0 ⇔ z ∈ span(a1 , . . . , ak ) und z ⊥ x∥
⇒ x ⋅ a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak zieht x∥ orthogonal von a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ab!
⋅ ist wohldefiniert ⇒ ⋅ rechnet implizit mit einer passenden Basis“
”
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Das innere Produkt:
Definition:
a ⋅ b ∶= a ∗ b
λ ⋅ X ∶= 0
∀ Vektoren a, b
∀λ ∈ R, X ∈ C`n
Seien a1 , . . . , ak und x Vektoren. Dann:
x ⋅ (a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) ∶=
k
i
∑ [(−1) (x ⋅ ai ) a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ âi ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ]
i=1
Seien a1 , . . . , ak und b1 , . . . , bl Vektoren, l > k. Dann:
(a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) ⋅ (b1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ bl ) ∶= a1 ⋅ (a2 ⋅ ( . . . ⋅ (ak ⋅ (b1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ bl ))))
- ein (l − k)-Vektor.
für (a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) ⋅ x und (b1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ bl ) ⋅ (a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) symmetrische“
”
Ausdrücke
⋅ linear
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Die zwei Bedeutungen eines Multivektors
x ⋅ (a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) = ∑ki=1 (−1)i (x ⋅ ai ) a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ âi ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak
x ⋅ a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak = 0 ⇐⇒ x steht auf allen ai ’s senkrecht
Zusammenfassend:
a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak repräsentiert
mit ∧ den Raum P = span(a1 , . . . , ak )
mit ⋅ den Raum P ⊥
Darstellung von P bezüglich ∧: primal
Darstellung von P bezüglich ⋅: dual
nächstes Ziel: eine ∧-Darstellung für P ⊥ .
D.h. P orthogonal vom Rn abziehen:
(a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak ) ⋅ (e1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ en ) =∶ (a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak )∗ berechnen.
↝ die ∗-Operation heißt Duales
↝ Verallgemeinerung der Dualität
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Ein Beispiel
Schnitt von 2 Ebenen im R3
gegeben: A und B primale Darstellung von Ebenen
Idee: wir ziehen etwas von A ab.
das, was nicht in B ist, von A abziehen ↝ B ∗ ⋅ A
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
B∗
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Schnitt von Unterräumen - in der dualen Darstellung
gegeben: A = a1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ak , B = b1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ bl als duale Darstellung der
Räume P bzw. U.
gesucht: duale Darstellung von P ∩ U
Wir wissen:
x∈P ∩U
⇔ x ⋅ A = 0 und x ⋅ B
⇔ x steht senkrecht auf a1 , . . . , ak und auf b1 , . . . , bl
⇔ x ⋅ (A ∧ B) = 0
Ô⇒ A ∧ B ist die duale Repräsentation von P ∩ U.
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Inhalt
1
2
Motivation
Die Operationen der Clifford-Algebra C`n
Das äußere (aufspannende) Produkt ∧
Das innere Produkt
Das geometrische Produkt
3
Zwei Beispiele
R2 oder C - C`2
R3 oder H - C`3
4
Anwenden für geometrische Modelle
Der konforme Raum PKn
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Definition
Das geometrisch Produkt ist eine Kombination der vorherigen beiden
Produkte
Das geometrische Produkt
Seien a und b Vektoren. Dann: ab ∶= a ⋅ b + a ∧ b
⇒ a ⋅ b = 21 (ab + ba) und a ∧ b = 12 (ab − ba)
Allgemeiner:
xA = x ⋅ A + x ∧ A
für x Vektor und A ein k-Vektor
Das geometrische Produkt - (definierende) Eigenschaften
Algebra, d.h. bilineare Multiplikation auf innerhalb eines Vektorraums
∃ eine 1
geometrisch Produkt ist assoziativ
λA = Aλ
aa ∈ R
Gradbegriff“
” Susanne Apel
(für λ ∈ R, A Element der Algebra)
(für a Vektor“)
”
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Invertieren und zerlegen
⇒
falls aa ≠ 0, dann:
a
a
∥a∥2
=
1
aa
∥a∥2
=1
⇒ a invertierbar (Inverses ist Inversion an der Einheitssphäre)
Das geometrische Produkt kann Vektoren zerlegen:
Sei A eine primäre Repräsentation eines Unteraums, x = x∥ + x⊥ ein
Vektor. Dann:
xA = x ⋅ A + x ∧ A
= (x∥ + x⊥ ) ⋅ A + (x∥ + x⊥ ) ∧ A
= (x∥ ⋅ A + x∥ ∧ A) + (x⊥ ⋅ A + x⊥ ∧ A)
⇒ x∥ = (x ⋅ A)A−1
und
x⊥ = (x ∧ A)A−1 (falls A−1 existiert)
⇒ geom. Prod. für Spiegelungen und Drehungen interessant!
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Eine Berechnung
gegeben: x, n Vektoren, n normiert.
⇒ x ∶= x∥ + x⊥
berechne: nxn = n(x∥ + x⊥ )n = nx∥ n + nx⊥ n
= n(x∥ ⋅ n + x∥ ∧ n ) + n( x⊥ ⋅ n +x⊥ ∧ n)
²
²
=0
= n ⋅ (x ⋅ n) + n ∧ (x ⋅ n)
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
∥
=0
∥
=(x∥ ⋅n)n
=0
+
(n ⋅ x⊥ )n − (n ⋅ n) x⊥ + n ∧ x⊥ ∧ n
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹¶
=0
=0
=1
= x −x
∥
⊥
⇒ Wir haben eine Spiegelung an n berechnet!
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Spiegelungen
Zusammenfassend und weiterführend gilt:
Seien a, b, x Vektoren, n ein normierter Vektor. Dann:
nxn = x∥ − x⊥
Das zieht sich durch äußere Produkte, wir können also ganze Unterräume
spigeln. Z.B:
n(a ∧ b)n = (nan) ∧ (nbn)
man kann auch an (primalen) Unterräumen spiegeln:
Ax A = x∥ − x⊥ , wenn A primal und ∣A ⋅ A∣ = 1
⇒ Drehungen als Verkettung von Spiegelungen: ↝ mnanm
Allgemeinere Schreibweise:
RaR̃ wobei: ˜“ ↔ Reihenfolge umdrehen
”
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Inhalt
1
2
Motivation
Die Operationen der Clifford-Algebra C`n
Das äußere (aufspannende) Produkt ∧
Das innere Produkt
Das geometrische Produkt
3
Zwei Beispiele
R2 oder C - C`2
R3 oder H - C`3
4
Anwenden für geometrische Modelle
Der konforme Raum PKn
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Inhalt
1
2
Motivation
Die Operationen der Clifford-Algebra C`n
Das äußere (aufspannende) Produkt ∧
Das innere Produkt
Das geometrische Produkt
3
Zwei Beispiele
R2 oder C - C`2
R3 oder H - C`3
4
Anwenden für geometrische Modelle
Der konforme Raum PKn
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C`2
Eine Basis: 1,
ONB
e1 , e2 ,
e1 ∧ e2 = e1 e2
— e1 und e2 eine
Wir stellen fest:
(e1 e2 )(e1 e2 ) = −(e1 e2 )(e2 e1 ) = −e1 (e2 ⋅ e2 )e1 = −1
⇒ Die a + b e1 ∧ e2 – Spinoren – bilden Unteralgebra von C`n ≅ zu C!!!
Übersetzungsmechanismus von R2 nach C innerhalb C`2 :
e1 (α e1 + β e2 ) = α + β e1 e2
und zurück:
e1 (a + b e1 e2 ) = a e1 + b e2
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C`2
Drehungen
In C: Drehungen Multiplikation mit e θ e1 e2 = e θ i (falls i ∶= e1 e2 ).
⇒ Drehungen in R2 ⊂ C`2 (x ∈ R2 )
e1 (e1 x e θ i ) = e1 (e1 x e θ i ) = e1 (e 2 i e1 x e 2 i ) = (e1 e 2 i e1 ) x e 2 i = e − 2 i x e 2 i
θ
θ
θ
θ
θ
θ
D.h. mit R ∶= e − 2 i hat man den gedrehten Punkt wie oben als RxR̃
dargestellt.
θ
Was bedeutet ˜“ (↔ Reihenfolge umdrehen) hier?
”
̃
a + be
ã
+ ib = ̃
1 e2 = a + be2 e1 = a − ib ↝
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˜ ↔ Konjugation“
”
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Motivation
Die Operationen der Clifford-Algebra C`n
Das äußere (aufspannende) Produkt ∧
Das innere Produkt
Das geometrische Produkt
3
Zwei Beispiele
R2 oder C - C`2
R3 oder H - C`3
4
Anwenden für geometrische Modelle
Der konforme Raum PKn
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C`3 - C wiederfinden
Tabelle: Eine Basis
k
0
1
2
3
Name
Skalar
Vektor
Bivektor
Trivektor/Pseudoskalar
blades
1
e1 , e2 , e3
i ∶= e1 ∧ e2 , j ∶= e1 ∧ e3 , k ∶= e2 ∧ e3
e1 ∧ e2 ∧ e3
(kn)
1
3
3
1
auch: viele andere Bivektoren genauer: a ∧ b hat Rolle von i ∈ C, wenn a, b
ONB einer Ebene. Dann: a ∧ b = ab.
Operationen
Berechne e − 2 ab x e 2 ab , wobei x ∈ R3
θ
θ
Es zeigt sich: x⊥ bleibt unverändert, x∥ wird um θ gedreht.
Wie oben: R ∶= e − 2 ab — Rotor
θ
und: ab = α i + β j + γ k
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Der Rotor
wir berechnen den Rotor R explizit: (Erinnerung: ab = α i + β j + γ k)
θ
θ
θ
θ
θ
R ∶= e − 2 ab = cos (− )+ ab sin (− ) = cos ( )+ sin ( ) [−α i−β j−γ k]
2
2
2
2
Einschub: Quaternionen H
formal: Linkomb.’en α0 + α1 ĩ + α2 j̃ + α3 k̃ mit
ĩ2 = j̃2 = k̃2 = −1, ĩj̃ = k̃, j̃k̃ = ĩ, k̃ĩ = j̃
R3 : (α1 , α2 , α3 )T ∈ R3 ↔ α1 ĩ + α2 j̃ + α3 k̃ ∈ H
Drehungen: cos( 2θ ) + sin( 2θ ) [n1 ĩ + n2 j̃ + n3 k̃]
wobei θ Drehwinkel und n ∶= (n1 , n2 , n3 )T die Drehachse
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C`3 und H
C`3 -Drehungen:
R = cos (− 2θ ) + sin (− 2θ ) l = cos ( 2θ ) + sin ( 2θ ) [−α i − β j − γ k]
H-Drehungen: cos( 2θ ) + sin( 2θ ) [n1 ĩ + n2 j̃ + n3 k̃]
aber: ab Drehebene
⇒ ab
ist fast
n=a×b
(a, b, c)T ∧ (A, B, C )T =
(a B − b A) e1 ∧ e2 + (a C − c A) e1 ∧ e3 + (b C − c B) e2 ∧ e3
↝ ĩ ↔ e3 e2 = −k,
j̃ ↔ e1 e3 = j,
k̃ ↔ e2 e1 = i
⇒ eine zu H isomorphe Teilstruktur in C`3 !
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2
Motivation
Die Operationen der Clifford-Algebra C`n
Das äußere (aufspannende) Produkt ∧
Das innere Produkt
Das geometrische Produkt
3
Zwei Beispiele
R2 oder C - C`2
R3 oder H - C`3
4
Anwenden für geometrische Modelle
Der konforme Raum PKn
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Inhalt
1
2
Motivation
Die Operationen der Clifford-Algebra C`n
Das äußere (aufspannende) Produkt ∧
Das innere Produkt
Das geometrische Produkt
3
Zwei Beispiele
R2 oder C - C`2
R3 oder H - C`3
4
Anwenden für geometrische Modelle
Der konforme Raum PKn
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itself. In section 2.1.8 we already came across this distinction. A reflection in PE2 taken
as R3 represented something very unlike a reflection in the corresponding E2 .
Das Modell
2.2.1
Embedding Euclidean Space
Ziel: Rn in den Rn+2 einbetten
n
We will denote conformal space by K and represent it in Rn+1 . The additional dimension,
however, is this
a homogeneous
insbesondere:
ntime
= 3not(und
n = 1)dimension. For reasons that will become apparentn
later on, we will also denote the additional dimension by e+ ≡ en+1 . Euclidean space E
is embedded
in n+1
Kn via a stereographic projection. The embedding function will be denoted
n
by K and is defined as
zuerst: R → R
mittels stereographischer Projektion
∣
2
x2 − 1
⎛
⎞
K : x ∈ En #→ 2
x + 2
e+ ∈ Kn ≡ Rn+1 .
(2.5)
2
x
+
1
x +1
⎜ x2 +1 x ⎟
2
x2 −1
⎟
⎜
oder
kompakter
↝ x ↦ ⎜ All embedded
+ centered
e the origin of Kn .
points lie
on a hypersphere of
unit x
radius
on
x2 +1
x2 +1 +
∣ ⎟
⎟
⎜ Therefore,
⎠ ∈ En)& = 1.
⎝ x22 −1&K(x
(2.6)
x +1
Figure 2.11: Stereographic
projection
of Geometrische
points x, y ∈ Algebra
E1 onto unit circle in K110.
. Juni 2010
Susanne Apel
Clifford-Algebra
oder
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Das Modell
Ziel: Rn in den Rn+2 einbetten
insbesondere: n = 3 (und n = 1)
zuerst: Rn → Rn+1 mittels stereographischer Projektion
⎛ ∣ ⎞
⎜ x22+1 x ⎟
2
x2 −1
⎟
↝ x↦⎜
⎜ ∣ ⎟ oder kompakter x2 +1 x + x2 +1 e+
⎜
⎟
⎝ x22 −1 ⎠
x +1
wir rechnen lieber projektiv:
⎛ ∣ ⎞ ⎛ ∣ ⎞
⎜ x22+1 x⎟ ⎜ x ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎜
⎟
↝ x ↦⎜
⎜ 2 ∣ ⎟ = ⎜ 2∣ ⎟
⎜ x −1 ⎟ ⎜ x −1 ⎟
⎜ x2 +1 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ x2 +1 ⎠
2
x +
1 2
2 (x
− 1)e+ +
⇒ x ↦ x +
Susanne Apel
1 2
2 x e∞
1 2
2 (x
oder kompakter :
+ 1)e− = x +
+ e0 =∶ X
1 2
2x
(e+ + e− ) + 12 (e− − e+ )
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
Clifford-Algebra oder Geometrische Algebra
=∶e∞
=∶e0
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where we denoted the homogeneous dimension by e− , since e− · e− = −1 by definition.
1
Now it is also clear why we denoted the extra dimension introduced by Kn as e+ . Figure
PK
1
2.13 illustrates this embedding for a vector in E .
Figure 2.13: Embedding of a vector x ∈ E1 first in K1 and then in PK1 .
One immediate result that follows from the use of a homogeneous dimension with negative signature
is that
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Die Bilinearform ∗ für PKn
e1 ∗ e1 = ⋅ ⋅ ⋅ = en ∗ en = 1, e+ ∗ e+ = 1, e− ∗ e− = −1
(Minkowski-Raum)
Somit: e∞ , e0 ⊥ auf e1 , e2 , e3 ,
e0 ∗ e∞ = −1.
e0 ∗ e0 = e∞ ∗ e∞ = 0 und
Man kann ausrechnen:
x ∈ Rn ⇒ X2 = 0
⇒ Quadrik
insbesondere: X (als Punkt im R
zu X (∈ C`n+2 ) gehört!
n+2
) liegt im dualen Unterraum der
Welchen Raum repräsentiert X (bezüglich Rn ?)
A = a + 12 a2 e∞ + e0
X ⋅ A = (x + 12 x2 e∞ + e0 ) ⋅ (a + 21 a2 e∞ + e0 )
= x ⋅ a − 12 x2 − 12 a2
= − 12 (x − a)2 = − 12 ∥x − a∥2
⇒ X ⋅ A = 0 ⇔ A = X!!!
und: man kann Distanzen messen!
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Was sind die anderen Vektoren in C`n+2 ?
Erinnerung:
Punkt: X = x +
Annahme 1: Sei S = a +
a ∈ R3 ,
1 2
2 x e∞
+ e0
1 2
2
2 (a ∓ ρ ) e∞
+ e0 = A ∓ 12 ρ2 e∞ mit einem
Rechnung ergibt: S ⋅ X = ⋅ ⋅ ⋅ = − 21 ∥a − x∥2 ± 21 ρ2
⇒ S ⋅ X = 0 ⇔ ∥a − x∥2 = ±ρ2
⇒ S ⋅ X = 0 ⇔ x liegt auf Kreis/Sphäre mit Radius ρ (bzw. −ρ)
Außerdem:
Vorzeichen von S ⋅ X: Punkt innerhalb oder außerhalb!
Punkte sind Kugeln mit Radius 0!
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Was sind die anderen Vektoren in C`n+2 ?
Erinnerung:
Punkt: x +
1 2
2 x e∞
+ e0
Annahme 2: E = a − de∞ , a normiert
E⋅X=0⇔ a∗x=d
⇒ n − de∞ (n normiert) ↔
Abstand d zum Ursprung
Ebene mit Normalenvektor n und
E ⋅ X gibt Distanz an!
e∞ liegt auf E - (Hyper-)Ebenen sind Sphären durch ∞!
PKn ist eine Kreisgeometrie!
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An example of the OPNS of a bivector in C!(PK ) is shown in figure 2.15. Vectors
X, Y ∈ H1a span a 2d-subspace in PK1 , the plane NO(X ∧ Y) . However, the Euclidean
OPNS of X ∧ Y is the set of points on H1a that lie in NO(X ∧ Y) . These are simply the
points X and Y . Hence, NOE (X ∧ Y) is the point pair C −1 (X) and C −1 (Y) .
Punkte, Kugeln, Ebenen sind (duale) Untervektorräume!
Figure 2.15: OPNS of the outer product of two vectors X, Y ∈ PK1 .
3
Ab jetzt: PK
!
2.2.4 Representation of Geometric Entities in PK
3
Insbesondere:
Kreis:
Schnitt
von
Kugeln,
It is initially
easier to look
at the Euclidean
IPNS zwei
of blades in
PK . For a start, we will
3
also Vektorraum,
A = C(a)mit
=a+ ∧
a eberechenbar
+e ∈H .
consider a Euclidean vector a ∈ E3 with its conformal embedding
1 2
∞
2
o
3
a
Before we look at the Euclidean IPNS of this vector, we look at the general inner product
of A with another vector B ∈ H3a , given by
B = C(b) = b + b e + e ∈ H .
Wir kennen die
Dimensionen der Räume
1
2
2
∞
o
3
a
Wir können die primalen Darstellungen berechnen:
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Sphären berechnen:
PK3
A
A∧B
A ∧ e∞
A∧B∧C
A ∧ B ∧ e∞
A∧B∧C∧D
A ∧ B ∧ C ∧ e∞
A∧B∧C∧D∧E
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R3
Punkt a
Punktpaar (a, b)
Punktpaar (a, ∞)
Kreis durch a, b, c
Gerade durch a, b
Kugel durch a, b, c, d
Ebene durch a, b, c
Der gesamte R3
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Clifford Algebra und Quaternionen
geometrische
Transformationen
3
PK
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Lie und Lorenzgeometrie
In der Lorenzgeometrie ist ein Kreis:
in PK: a +
1 2
2 (a
1
2r
⎛1 − n⎞ −
⎜1 + n⎟ +
⎜
⎟
⎜ ∣ ⎟ +, wobei n ∶= r 2 − x2
⎜
⎟
⎜ x ⎟⋮
⎜
⎟
⎝ ∣ ⎠+
− r 2 ) e∞ + e0
e− ⎛ 2 (x + 1 − r )⎞
1 2
2 ⎟
e+ ⎜
⎜ 2 (x − 1 − r )⎟
⎟
∣
↝ e1 ⎜
⎜
⎟
⎟
⋮ ⎜
x
⎜
⎟
en ⎝
⎠
∣
1
2
e− ⎛ 2 (1 − n) ⎞
1
⎟
e+ ⎜
⎜ 2 (−1 − n)⎟
⎟
e1 ⎜
∣
⎜
⎟
⎟
⋮ ⎜
x
⎜
⎟
en ⎝
⎠
∣
1
2
=
vergleiche: Vorfaktor, Distanzen, zweite Komponente, Rolle der
Quadrik, niederdimensionale Sphären
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Weitere interessante Punkte:
RP3 wiederfinden (A ∧ e∞ )
Spiegelungen und Drehungen (bzgl. R3 ) ausdrücken
Kreisinversionen und somit Möbiusgeometrie:
Durch die stereographische Projektion wird eine Kreisinversion eine
66
Einfache
Spiegelung
Figure 2.17: Inversion of vector x in K1 .
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Implementierug - z.B. CLUCalc
Grundlegende Ergebnisse
! Interaktive, visuelle Entwicklung
! Kompakte Algorithmen (ca. 20-30%)
Visualisierung
! Schneller Prototyp und Test
schnell
programmierbar
! [Hildenbrand
et al. ICRA 2005]
! Erste Implementierung in Gaigen
Fehler
vermeiden
[Fontijne,
Dorst 2002]
! Zunächst 50 mal langsamer als die herkömmliche Lösung !
kürzerer Quellcode
rapid Prototyping
300 mal schneller als herkömmliche Lösung (mithilfe von Maple)
12.03.2010 | Technische Universität Darmstadt | Computer Science Department | Dietmar Hildenbrand | 41
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Literatur
Dr. Christian B.U. Perwass und Dietmar Hildenbrand
Aspects of Geometric Algebra in Euclidean, Projective and Conformal
Space
http://www.ks.informatik.unikiel.de/∼vision/doc/Publications/chp/TutDAGM03 TR v11.pdf,
2004
David Hestenes
New Foundations for Classical Mechanics
D. Reidel Publishing Company, 1986
Eckhard Hitzer
Geometric Algebra with Cinderella
http://sinai.apphy.u-fukui.ac.jp/gcj/software/GAcindy/GAcindy.htm,
1998
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