Getriebe: Übersetzung, Wirkungsgrad

Institut für Elektrotechnik
Rechenübungen zu Elektrische Antriebstechnik
Version 1.1, 03/2003
Arbeitsunterlagen
Getriebe: Übersetzung, Wirkungsgrad
Der Einsatz des Getriebes dient der Übertragung von mechanischer Leistung bei Änderung
von Moment bzw. Drehzahl und der Winkelgeschwindigkeit.
Abtriebsseite
F2
ω2
Antriebsseite
ω1
r2
r1
F1
1. Übersetzungsverhältnis
a. ideales Getriebe :
Vereinbarung der Nomenklatur:
Index 1.... Antriebsseite
Index 2.....Abtriebsseite
P1 = P2 (Elektrische Zwillingsbruder = Transformator)
Für das ideale Getriebe gilt daher: M1 ω1 = M 2 ω 2
Definition für das Übersetzungsverhältnis : ü =
ω1 M 2
=
ω 2 M1
ü > 1:
Übersetzung ins Langsame (bzgl. Drehzahl oder Winkelgeschwindigkeit);
Abtriebsseite hat größeres Moment („Übersetzung“)
ü < 1:
Übersetzung ins Schnelle (bzgl. Drehzahl oder Winkelgeschwindigkeit);
Abtriebsseite hat kleineres Moment („Untersetzung“)
Eine weitere Leistungsbetrachtung führt zur Abhängigkeit des Übersetzungsverhältnisses
von den Radien r1 und r2 :
P1 = F1 v 1 = F1 r1 ω1 = F2 r2 ω 2 = F2 v 2 = P2
mit F1 = F2 = konst
folgt r1 ω1 = r2 ω 2 d.h. v 1 = v 2
ü=
ω1 r2
=
ω 2 r1
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ü > 1:
Übersetzung ins Langsame (bzgl. Drehzahl oder Winkelgeschwindigkeit);
Abtriebsseite hat größeren Radius
ü < 1:
Übersetzung ins Schnelle (bzgl. Drehzahl oder Winkelgeschwindigkeit);
Abtriebsseite hat kleineren Radius
b. reales Getriebe:
Die Leistungsbilanz beinhaltet Verluste im Getriebe. Daher gilt: P1 ≠ P2
Der Wirkungsgrad des Getriebes berechnet sich mit:
η=
P1
<1
P2
Leistung auf der Abtriebsseite : P2 = P1 η G
Mit der Beziehung M 2 ω 2 = M1 ω1η G erhält man das Moment (nicht die Drehzahl !) auf der
Abtriebsseite um den Wirkungsgrad vermindert :
M2 = M1
ω1
η G = M1 ü ηG
ω2
2. Trägheitsmoment
Die Wirkung der mit veränderlicher Winkelgeschwindigkeit bewegten Massen wird mit dem
Trägheitsmoment beschrieben. An dieser Stelle wird das wirksame Trägheitsmoment eines
Getriebes berechnet.
a. Trägheitsmoment des Getriebes auf die Antriebsseite bezogen
Das gesamte Trägheitsmoment des Getriebes auf die Antriebsseite bezogen wird wie folgt
berechnet :
dω1
dt
dω 2
Bewegungsgleichung der Abtriebsseite : F2 r2 − M 2 = J 2
dt
Bewegungsgleichung der Antriebsseite : M1 − F1 r1 = J1
Die Angriffskräfte sind gleich : F1 = F2 (siehe schematische Darstellung)
Die Gleichung für die Antriebsseite mit der berücksichtigten Abtriebsseite lautet :
J dω 2 M 2
dω1
M1 − ( 2
−
) r1 = J1
r2
r2 dt
dt
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ω1 M 2 r2
=
=
ω 2 M1 r1
und einigen Zwischenschritten,
Mit der Definition ü =
dω 2
r
dω1
− M 2 ) 1 = J1
dt
r2
dt
dω 2
dω1
ω
M1 − (J 2
− M 2 ) 2 = J1
dt
ω1
dt
dω 2 ω 2
dω1
ω
M1 − M 2 2 = J 2
+ J1
dt ω1
dt
ω1
M1 − (J 2
2
 dω
dω 2 r1dt
ω 2   r1 
=
in die Gleichung M1 − M2
bzw. mit
=   J 2 + J1  1
 dt
ω1   r2 
dω1 r2 dt


eingesetzt, erhält man :
 r 2
 dω
ω
M1 − M2 2 =   1  J 2 + J1  1
 dt
ω1   r2 


M1 −
J=
M2  J2
 dω
=  2 + J1  1
ü
ü
 dt
J2
ü2
Bewegungsgleichung für die Antriebsseite
+ J1 ... wirksames auf die Antriebsseite bezogenes Trägheitsmoment
b. Trägheitsmoment des Getriebes auf die Abtriebsseite bezogen
Auf analoge Weise läßt sich die Bewegungsgleichung auf die Abtriebsseite berechnen:
(
ü M1 − M2 = J 2 + ü 2 J1
) ddtω
2
Das wirksame Trägheitsmoment lautet dann :
J = ü 2 J1 + J 2 ... wirksames auf die Abtriebsseite bezogenes Trägheitsmoment
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