DESENVOLVIMENTOS DE TAYLOR Seja f(x) uma funç˜ao n vezes

DESENVOLVIMENTOS DE TAYLOR Seja f(x) uma funç˜ao n vezes

DESENVOLVIMENTOS DE TAYLOR
Seja f (x) uma função n vezes diferenciavel num domı́nio D.
Chama-se polinómio de Taylor de grau n da função f (x) no ponto a ∈ D ao único
polinómio,
Pan (x) = f (a) + f 0 (a) (x − a) +
f 00 (a)
f (n) (a)
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n ,
2!
n!
cujas derivadas no ponto a coincidem com as derivadas de f (x) até à ordem n.
Para ver que
dk
[Pan (x)]x=a = f (k) (a) ,
k
dx
para k = 0, 1, 2, · · · , n ,
basta observar que a derivada de ordem k, no ponto a, da função polinomial Pan (x) é
(m)
obtida somando as derivadas de ordem k dos vários monómios f m!(a) (x − a)m , e que
dk
[(x − a)m ]x=a =
dxk
m!
0
se
se
k=m
.
k 6= m
Chama-se resto de Taylor de ordem n da função f (x) no ponto a ao erro
R(x) = f (x) − Pan (x) ,
que se comete ao aproximar f (x) pela função polinomial Pan (x). As derivadas da
função resto no ponto a anulam-se até à ordem n:
R(k) (a) = f (k) (a) − (Pan )(k) (a) = 0 ,
para k = 0, 1, 2, · · · , n .
O erro de ordem n, R(x), é um infinitésimo de (x − a)n quando x → a:
R(x) = o ( (x − a)n )
(x → a)
⇐⇒
R(x)
=0,
x→a (x − a)n
lim
limite que é verificado por n aplicações sucessivas da regra de Cauchy, ao fim das
quais a indeterminação 00 desaparece e se obtem o valor limite n!0 = 0.
1
APROXIMAÇÃO LINEAR
Chama-se aproximação linear de f (x) no ponto a à função
y = f (a) + f 0 (a) (x − a) ,
definida algébricamente pelo polinómio de Taylor de grau 1 de f (x) no ponto a.
APROXIMAÇÃO QUADRÁTICA
Chama-se aproximação quadrática de f (x) no ponto a à função
y = f (a) + f 0 (a) (x − a) +
f 00 (a)
(x − a)2 ,
2!
definida algébricamente pelo polinómio de Taylor de grau 2 de f (x) no ponto a.
2
APROXIMAÇÃO CÚBICA
Chama-se aproximação cúbica de f (x) no ponto a à função
y = f (a) + f 0 (a) (x − a) +
f 00 (a)
f 000 (a)
(x − a)2 +
(x − a)3 ,
2!
3!
definida algébricamente pelo polinómio de Taylor de grau 3 de f (x) no ponto a.
REFERÊNCIAS
As três imagens neste texto foram feitas com base num applet do curso Calculus
with Applications do MIT, de D. J. Kleitman, no site:
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/
18-013ACalculus-with-ApplicationsFall2001/CourseHome/index.htm
Pode ver o applet online clicando aqui.
Pode também ver o curso, contendo outros applets, clicando aqui.
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