Musterlösung zur Nachklausur Lineare Algebra I

Musterlösung zur Nachklausur Lineare Algebra I
Aufgabe 1 (5 Punkte):
Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile
genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten Sie 0,5 Punkte, für jede falsche
0 Punkte. Eine Begründung ist nicht erforderlich.
wahr
falsch
X
¤
Gl(3, R) ist eine kommutative Gruppe.
¤
X
Es gibt keine Gruppe mit genau 13 Elementen.
¤
X
Es gibt einen Körper mit nur einem Element.
¤
X
Jede Basis des C-Vektorraums C3 besteht aus genau 3 Vektoren.
X
¤
Die Abbildung N → N, n 7→ n + (−1)n ist bijektiv.
X
¤
Die Abbildung R2 → R, (x, y) 7→ max{x, y} ist R-linear.
¤
X
  
0
1
   
Die Vektoren  2  ,  0  sind linear unabhängig im
3
0
3
Q-Vektorraum Q .
¤
X
Seien f, g : R3 → R3 R-lineare Abbildungen mit f ◦ g = id.
Dann gilt auch g ◦ f = id.
X
¤
Es gibt Matrizen M, M ′ ∈ R2×2 mit det(M · M ′ ) ̸= det(M ′ · M ).
¤
X
Die Relation auf R \ {0}
x ∼ y :⇐⇒ x · y > 0 (x, y ∈ R \ {0})
ist eine Äquivalenzrelation.

Aufgabe 2 (5 Punkte):
Geben Sie das richtige Ergebnis an. Eine Begründung ist nicht erforderlich.
a) Berechnen Sie die Determinante folgender reeller Matrix.


0 1 2


det( 2 1 0 ) = 4
1 2 1
(1 P.)
b) Bestimmen Sie die Matrix von f : R2 → R2 , (x, y) 7→ (−2x − y, 3y) bezüglich
folgender Basis von R2 .
( ) (
)
1
1
X=(
,
)
1
−1
)
(
0 −2
Af,X,X =
(1 P.)
−3 1
c) Bestimmen Sie die inverse Matrix in R2×2 .
(
)−1 (
)
1 1
2 −1
=
1 2
−1 1
d) Geben Sie einen Vektor v ∈ R3 mit folgender Eigenschaft an.

 

3
1

 

⟨ 2  ,  −5 ⟩ ⊕ ⟨v⟩ = R3
2
−3
 
1
 
v= 0 
0
(1 P.)
(1 P.)
(Korrekte Lösungen sind die Vektoren (v1 , v2 , v3 ) mit v1 + v2 + v3 ̸= 0.)
e) Schreiben Sie die komplexe Zahl in der Form a + bi mit a, b ∈ R.
1+i
=i
1−i
(0,5 P.)
f) Sei V ein R-Vektorraum der Dimension 5. Geben Sie die Dimension des Dualraums an.
dimR (V ∗ ) = 5
(0,5 P.)
Aufgabe 3 (4 Punkte):
Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum und f : V → V eine R-lineare Abbildung.
a) Zeigen Sie: Kern(f ) ⊆ Kern(f ◦ f ), Bild(f ◦ f ) ⊆ Bild(f )
(1 P.)
b) Beweisen Sie:
(1 P.)
dimR (Kern(f ◦ f )) − dimR (Kern(f )) = dimR (Bild(f )) − dimR (Bild(f ◦ f ))
c) Geben Sie mit Begründung eine R-lineare Abbildung g : R2 → R2 an, für die
dimR (Kern(g ◦ g)) − dimR (Kern(g)) = 0 gilt.
(1 P.)
d) Bestimmen Sie dimR (Kern(h◦h))−dimR (Kern(h)) für die R-lineare Abbildung
h : R2 → R2 , (x, y) 7→ (3x − 9y, x − 3y).
(1 P.)
Lösung:
a) v ∈ Kern(f ) =⇒ f (v) = 0 =⇒ f (f (v)) = 0 =⇒ v ∈ Kern(f ◦ f )
(0,5 P.)
Sei v ∈ Bild(f ◦f ). Dann existiert w ∈ V mit f ◦f (w) = v. Wegen f (f (w)) = v
gilt v ∈ Bild(f ).
(0,5 P.)
b) Laut Dimensionsformel gilt dimR (Bild(f )) + dimR (Kern(f )) = dimR (V ) und
dimR (Bild(f ◦ f )) + dimR (Kern(f ◦ f )) = dimR (V ).
(0,5 P.)
⇒ dimR (Bild(f ◦ f )) + dimR (Kern(f ◦ f )) = dimR (Bild(f )) + dimR (Kern(f ))
⇒ dimR (Kern(f ◦ f )) − dimR (Kern(f )) = dimR (Bild(f )) − dimR (Bild(f ◦ f ))
(0,5 P.)
c) Sei g := id : R2 → R2 die Identität (d.h. g(x) = x für alle x ∈ R2 ). Diese
Abbildung ist bekanntlich R-linear. Wir erhalten
dimR (Kern(g ◦ g)) − dimR (Kern(g)) = dimR (Kern(id ◦ id)) − dimR (Kern(id)) =
dimR (Kern(id)) − dimR (Kern(id)) = 0.
(1 P.)
(Es gibt viele Abbildungen mit den geforderten Eigenschaften.)
d) h ◦ h(x, y) = h(3x − 9y, x − 3y) =
(
)
3(3x − 9y) − 9(x − 3y), (3x − 9y) − 3(x − 3y) = (0, 0).
Somit gilt Kern(h ◦ h) = R2 und dimR (Kern(h ◦ h)) = 2.
¯
}
{
Kern(h) = (x, y) ∈ R2 ¯ (3x − 9y, x − 3y) = (0, 0) =
¯
¯
}
} {
{
(x, y) ∈ R2 ¯ x = 3y = (3y, y) ∈ R2 ¯ y ∈ R .
Basis für Kern(h): (3, 1). Somit gilt dimR (Kern(h)) = 1.
Wir erhalten dimR (Kern(h ◦ h)) − dimR (Kern(h)) = 2 − 1 = 1.
(0,5 P.)
(0,5 P.)
Aufgabe 4 (2 Punkte):
Sei K ein Körper. Beweisen Sie:
(
)
(
) (
)
a b
0
1
0
1
a) Sei M =
∈ K 2×2 mit M ·
=
· M.
c d
0 0
0 0
Dann gilt a = d und c = 0.
(
(
)
) (
)
a b
0
0
0
0
b) Sei M =
∈ K 2×2 mit M ·
=
· M.
c d
1 0
1 0
(0,5 P.)
Dann gilt a = d und b = 0.
¯
{
}
{
2×2 ¯
′
′
′
2×2
c) M ∈ K
=
¯ M · M = M · M für alle M ∈ K
(0,5 P.)
(
a 0
0 a
)
¯
}
¯
¯a ∈ K
(1 P.)
Lösung:
(
) (
)(
) (
)(
) (
)
0 a
a b
0 1
0 1
a b
c d
a)
=
=
=
0 c
c d
0 0
0 0
c d
0 0
=⇒ c = 0 und a = d
(0,5 P.)
(
) (
)(
) (
)(
) (
)
b 0
a b
0 0
0 0
a b
0 0
b)
=
=
=
d 0
c d
1 0
1 0
c d
a b
=⇒ b = 0 und d = a
(0,5 P.)
(
)
a b
c) “⊆”: Sei M =
∈ K 2×2 mit M · M ′ = M ′ · M für alle M ′ ∈ K 2×2 .
c d
Dann folgt aus den Aufgabenteilen a) und b) a = d, c = 0 und b = 0, d.h.
(
)
a 0
M=
.
(0,5 P.)
0 a
)
(
m
m
11
12
∈ K 2×2 gilt
“⊇”: Für alle a ∈ K und alle M ′ =
m21 m22
)
(
)
(
)
(
a
0
a 0
am
am
11
12
= M′ ·
.
(0,5 P.)
· M′ =
am21 am22
0 a
0 a
Aufgabe 5 (3 Punkte):
f1 , f2 : V → W seien R-lineare Abbildungen zwischen R-Vektorräumen V und W .
Wir definieren Uf1 ,f2 := {v ∈ V | f1 (v) = f2 (v)}.
a) Zeigen Sie, dass Uf1 ,f2 ein R-Untervektorraum von V ist.
(1,5 P.)
b) Beweisen Sie: Uf1 ,f2 ∩ Uf2 ,f3 ⊆ Uf1 ,f3
(0,5 P.)
c) Geben Sie mit Begründung R-lineare Abbildungen g1 , g2 , g3 : R → R mit
Ug1 ,g2 ∩ Ug2 ,g3 ̸= Ug1 ,g3 an.
(1 P.)
Lösung:
a) Wegen f1 (0) = 0 = f2 (0) gilt 0 ∈ Uf1 ,f2 und somit Uf1 ,f2 ̸= ∅.
(0,5 P.)
Für v, w ∈ Uf1 ,f2 gilt f1 (v) = f2 (v) und f1 (w) = f2 (w). Es folgt f1 (v + w) =
f1 (v) + f1 (w) = f2 (v) + f2 (w) = f2 (v + w) und somit v + w ∈ Uf1 ,f2 . (0,5 P.)
Für r ∈ R und v ∈ Uf1 ,f2 gilt f1 (rv) = rf1 (v) = rf2 (v) = f2 (rv) und daher
rv ∈ Uf1 ,f2 .
(0,5 P.)
b) Sei v ∈ Uf1 ,f2 ∩ Uf2 ,f3 . Wegen v ∈ Uf1 ,f2 gilt f1 (v) = f2 (v). Wegen v ∈ Uf2 ,f3
gilt f2 (v) = f3 (v). Wir erhalten f1 (v) = f2 (v) = f3 (v) und somit v ∈ Uf1 ,f3 .
(0,5 P.)
c) Seien g1 und g3 die Nullabbildung (d.h. g1 (x) = g3 (x) = 0 für alle x ∈ R).
Sei g2 die Identität (d.h. g2 (x) = x für alle x ∈ R). Diese Abbildungen sind
bekanntlich R-linear.
Wir erhalten Ug1 ,g2 ∩ Ug2 ,g3 = {0} ∩ {0} = {0} ̸= R = Ug1 ,g3 .
(1 P.)
(R-lineare Abbildungen g1 , g2 , g3 : R → R erfüllen genau dann Ug1 ,g2 ∩ Ug2 ,g3 ̸=
Ug1 ,g3 , wenn g1 = g3 ̸= g2 gilt.)
Benotung der Klausur:
Die Klausur ist bestanden, falls insgesamt mindestens 7,5 Punkte und bei den
Aufgaben 3 bis 5 zusammen mindestens 3 Punkte erreicht wurden. Bei bestandener
Klausur wird die Note gemäß folgender Tabelle festgelegt:
Punkte
18,5 - 19
17,5 - 18
16,5 - 17
15,5 - 16
14,5 - 15
13,5 - 14
12,5 - 13
11,5 - 12
10,5 - 11
7,5 - 10
Note
1,0 (sehr gut)
1,3 (sehr gut –)
1,7 (gut +)
2,0 (gut)
2,3 (gut –)
2,7 (befriedigend +)
3,0 (befriedigend)
3,3 (befriedigend –)
3,7 (ausreichend +)
4,0 (ausreichend)
Die Klausur ist nicht bestanden, falls insgesamt weniger als 7,5 Punkte oder bei
den Aufgaben 3 bis 5 zusammen weniger als 3 Punkte erreicht wurden. In diesem
Fall wird die Klausur mit 5,0 (nicht ausreichend) benotet.