Blatt 4 - Institut für Mathematik

Grundbegriffe der Mathematik
MA S400
Aufgabenblatt 4
Frühlingssemester 2016
Aufgabenblatt 4
40 Punkte
Aufgabe 1 (Karnaugh Diagram und logischer Schluss)
Wir betrachten die Grundmenge aller Vögel.
Gegeben sind die Prämissen
I Nicht alle Amseln sind Zugvögel.
II Zugvögel die grösser sind als Spatzen sind nicht Vegetarier.
III Alle Vögel die nicht grösser als Spatzen sind sind Vegetarier.
IV Amseln sind grösser als Spatzen.
a) Formuliere die Prämissen in Mengenschreibeweise
1
b) und erstelle das zugehörige Karnaugh-Diagramm
1
c) Beurteilen und begründen Sie nun die folgenden Schlüsse mit Hilfe des Diagrams
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Alle Zugvögel sind Vegetarier.
Es gibt Amseln die grösser als Spatzen sind, aber nicht Zugvögel sind.
Es gibt vegetarische Amseln die nicht Zugvögel sind.
Es gibt keine nicht vegetarischen Vögel, die weder grösser als Spatzen, noch Amseln sind
Es gibt vegetarische Amseln, die zwar grösser als Spatzen sind, aber dennoch Zugvögel sind
1
1
1
1
1
7
Aufgabe 2 (Gewinnumformungen)
Wir betrachten die Gleichung
√
√
√
−5x − 5 + −5x − 4 = x + 2
Bestimmen Sie
a) die Grundmenge in R
1
b) die Lösungsmenge
2
c) und kommentieren Sie den Lösungsweg.
1
4
Aufgabe 3 (Konstruktive Mengen)
Gegeben sind die Mengen
A ∶= {(x, y) ∈ R2 ∣ x2 + y 2 ≤ 4}
B ∶= {(x, y) ∈ R2 ∣ y < 1 − x2 /4}
C ∶= {(x, y) ∈ R2 ∣ x2 + (y + 1/2)2 > 9/4}
Stellen Sie die Mengen
a) A ∖ B,
3
b) A∆B∆C
6
je in einem x−y-Koordinatensystem mit Berücksichtigung der Ränder dar. (Verwenden Sie die folgende Notation:
● Eckpunkt gehört dazu, ○ Eckpunkt gehört nicht dazu, −−−−− Randlinie gehört dazu, − − − Randlinie gehört
nicht dazu.)
Aufgabe 4 (Relationen)
Wir betrachten die Relationen S, T, U in R2 gegeben durch:
UZH Institut für Mathematik, Dr. C. Albertini
Abgabe 06.05.2016 , 8:00 Uhr
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Grundbegriffe der Mathematik
MA S400
Aufgabenblatt 4
Frühlingssemester 2016
• xSy ∶ gdw (x−1)2 +(y+1)2 < 1
• xTy ∶ gdw x < y 2 − 1
• xUy ∶ gdw ∣y∣ ≤ ∣ cos(x)∣
a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertebereiche von S und T.
b) Bestimmen Sie die Relation xU
−1
2
y und ihren Defintions- und Wertebereich.
c) Stellen Sie die Lösungsmenge der Relationen S ∩T und U in je einem Koordinatensystem dar. (Verwenden
Sie die folgende Notation: ● Eckpunkt gehört dazu, ○ Eckpunkt gehört nicht dazu, −−−−− Randlinie gehört
dazu, − − − Randlinie gehört nicht dazu.)
1
4
7
Aufgabe 5
Auf einer Menschenmenge sind die Relationen K, S, B, U, V definiert durch:
• K: ist Kind von
• B: ist Bruder von
• S: ist Schwester von
• U ∶= K ○ S
• V ∶= K−1 ○ ((S ∪ B) ○ K)
a) Was bedeutet xU y und xV y?
2
b) Drücken Sie die Relation “ist Grosstante von” mit den Relationen K, B, S aus.
2
4
Aufgabe 6 (Injektivität und Surjektivität I)
Gegeben sind A ∶= {α, β, γ, δ, ϵ, ζ} und B ∶= {a, b, c, d, e}.
Funktionen f ∶ A → B definiert durch
f (α) = e,
und g ∶ B → A durch
f (β) = d,
g(a) = α,
f (γ) = c,
g(b) = δ,
f (δ) = b,
g(c) = γ,
f (ϵ) = a,
g(d) = β,
f (ζ) = e
g(e) = ϵ,
Begründen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind.
a) f ist injektiv.
d) g ist injektiv.
g) f ○ g ist injektiv.
b) f ist surjektiv.
e) g ist surjektiv.
h) f ○ g ist surjektiv.
c) f ist bijektiv.
f) g ist bijektiv.
i) f ○ g ist bijektiv.
3
Aufgabe 7 (Injektivität und Surjektivität II)
Überprüfen Sie ob die folgenden Funktionen injektiv und/oder surjektiv sind.
a) f ∶ R → {1},
b) f ∶ N → {−1, 1},
c) f ∶ [0, ∞[→ [0, ∞[,
1
x↦1
1
x ↦ cos(2 ⋅ π ⋅ x)
1
x↦x
d) f ∶ R → [0, ∞[,
1
x ↦ x2
e) f ∶ R ∖ {5} → R ∶
2
2x − 5
x↦
x−5
6
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Abgabe 06.05.2016 , 8:00 Uhr