Das Prinzip von Cavalieri

thema
VERITAS-VERLAG, Linz/Nina Autengruber
Das Prinzip von Cavalieri
Es ist anschaulich klar, dass die drei
Stöße gleich vieler 2-Cent-Stücke gleiches
Volumen haben.
Bereits im 17. Jahrhundert formulierte
Bonaventura Francesco Cavalieri diese
Grundidee in folgendem Prinzip.
Prinzip von Cavalieri:
paralZwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn jede Schnittebene
en
gleich
lel zur Grundebene in gleicher Schnitthöhe beider Körper den
Flächeninhalt hat.
Volumen schiefer Pyramiden und Kegel
h
q (y)
Wir können das gleiche Prinzip auf den Rauminhalt von geraden und schiefen
Drehkegeln mit gleichem Basisradius und gleicher Höhe anwenden: Sie hah
ben alle das gleiche Volumen V =
chen q (y) übereinstimmen.
∫ q (y) dy, da sie in allen Querschnittsflä-
0
h
q (y)
1/8 l
1/8 l
h
q (y)
2 Vergleiche mit dem Flächeninhalt von Dreiecken und formuliere dieses Prinzip für Dreiecke
mit gleicher Basislänge c und gleicher Höhe hc!
Shotshop.com/Uwe Moser
1 Formuliere einen analogen
Satz für das Volumen schiefer
Prismen und schiefer Pyramiden!
72
22818_ThemaMathe8.indb 72
05.12.12 17:57
Volumen einer Halbkugel
Wir berechnen das Volumen einer Halbkugel, indem wir einen
gleich hohen Körper mit gleicher Grundfläche, nämlich einen
Drehzylinder wählen. Aus ihm schneiden wir einen auf der Spitze
stehenden Drehkegel aus, dessen Basiskreis mit dem Deckkreis
des Drehzylinders übereinstimmt.
r
h
R
Nun wollen wir zeigen, dass der Flächeninhalt jeder Schnittfigur
in gleicher Höhe für beide Körper gleich groß ist. Die Schnittfigur
in einer bestimmten Höhe ist bei den Abbildungen rechts als rote
Strecke eingezeichnet.
Für die Schnittfläche der Halbkugel gilt:
2
A = r 2 ∙ π = (√ R2 − h2) π = (R2 − h2) π
Für die Schnittfläche des Vergleichskörpers gilt:
A = R2 π − h2 π = (R2 − h2) π
Die beiden Schnittfiguren haben den gleichen Flächeninhalt!
R
h
h
Somit haben beide Körper das gleiche Volumen. Wir berechnen
dieses durch das Volumen des Drehzylinders abzüglich des
R
2
2 R3 π
Volumens des Drehkegels: VHalbkugel = R2 π ∙ R − R π ∙ R = 3
3
3
Für das Volumen der Kugel erhalten wir das bekannte Ergebnis: VKugel = 4 R π
3
Volumen allgemeiner Rotationskörper
Das obige Beispiel legt nahe, das Prinzip von Cavalieri auch für
Flächeninhalte anzuwenden. Dazu bestimmen wir den Inhalt einer von zwei Kurven begrenzten Fläche: Die Schnittpunkte der
Kurven f (x) und g (x) legen das gemeinsame Intervall [a; b] fest.
Somit werden alle Flächeninhalte über diesem Intervall berechnet.
y
f
picturedesk.com/Österr. Nationalbibliothek
g
h=f−g
x
3 Begründe die Beziehung Af − Ag = Af−g analog zum Prinzip
von Cavalieri.
4 Vergleiche mit dem bestimmten Integral:
b
b
b
∫ [f (x) − g (x)] dx = ∫ f (x) dx − ∫ g (x) dx
a
a
a
5 Gib eine analoge Formel für das bestimmte Integral an, mit
dem der Rauminhalt eines von zwei Kurven f(x) und g(x) festgelegten Rotationskörpers berechnet wird!
Der italienische Mathematiker Bonaventura Francesco
Cavalieri (1598–1647) entwickelte schon zu seiner
Zeit Grundideen zur Integralrechnung.
Das Prinzip von Cavalieri ist
seit langer Zeit bekannt. Bereits Archimedes und Kepler
bereiteten die Überlegungen von Cavalieri in Bezug
auf das Kugelvolumen vor.
73
22818_ThemaMathe8.indb 73
05.12.12 17:57