Zusammenfassung

Pädagogische Hochschule
Ludwigsburg
Jochen Weber/Sven Tittel
5. Semester / 1. Semester
WS 2001 / 2002
Schriftliche Ausarbeitung des Referats
im Rahmen des Fachdidaktischen Hauptseminars:
Raumgeometrie und Funktionen
unter der Leitung von Herrn Wölpert, Frau Vogel und Frau Bescherer.
Referatsthema:
Satz von Cavalieri
Lernbereich / Fach:
Mathematik
Datum:
08.01.2002
Zeit:
14.15 Uhr - 15.45 Uhr
vorgelegt von:
Sven Tittel und Jochen Weber
Inhalt
1.
Kurzbiographie von Francesco Bonaventura Cavalieri ............3
2.
Vorstellung des Satzes von Cavalieri ...............................................3
3.
Beweisführung .........................................................................................4
3.1
Anschauliche Begründung mit Hilfe von Bierdeckeln ............................................ 4
3.2
Anschauliche Begründung mit Computerprogramm Euklid................................. 4
3.3
Mathematischer Beweis am Beispiel Pyramide / Kegel .......................................... 5
4.
Anwendungsbeispiele ............................................................................8
4.1
Spezialfall: Berechnung des Volumens einer Pyramide.......................................... 8
4.1.1
Vorbetrachtung ....................................................................................................... 8
4.1.2.
Nach Zerlegung eines Würfels in 6 kongruente Pyramiden................................ 9
4.1.3.
Nach Zerlegung eines dreiseitigen Prismas in 3 Pyramiden ............................. 10
4.2.
Bestimmung des Kugelvolumens mit Hilfe des Satzes von Cavalieri .................. 11
1. Kurzbiographie von Francesco Bonaventura Cavalieri
Cavalieri wurde 1598 in Mailand geboren. Er war ein italienischer Mathematiker und
Astronom. Er war ein Schüler Galileis und Jesuit. Ab 1629 war Cavalieri Professor in
Bologna. 1635 schrieb er sein Hauptwerk “Geometria indivisiblibus continuorum nova
quadam ratione promota”, in dem er auch das Cavalierische Prinzip erläuterte. Das
Cavalierische Prinzip war schon Archimedes bekannt, was sich in der Bestimmung des
Kugelvolumens später zeigen wird. 1632 beschäftigte sich der italienische Mathematiker mit
der Inhaltsbestimmung des spärischen Dreiecks, 1639 arbeitete er an der Flächenberechnung
unter den höheren Parabeln. Am 30.11.1647 starb Cavalieri in Bologna.
2. Vorstellung des Satzes von Cavalieri
Stehen zwei Körper auf derselben Grundebene und schneidet jede dazu parallele Ebene beide
Körper in flächeninhaltsgleichen Figuren, dann haben die beiden Körper gleiches Volumen.
Zwei Körper sind demnach volumengleich, wenn sie folgende Bedingungen erfüllen:
1. die Grundflächen besitzen gleichen Inhalt und befinden sich in derselben Ebene
2. die Deckflächen haben ebenfalls gleichen Inhalt und liegen in der gleichen Ebene (d.h.
die Körper sind höhengleich)
3. jede zur Grundebene parallele Ebene schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche
Flächen aus
Frage: Was kann man daraus folgern?
Die Körper müssen keine gleiche Form haben, entscheidend ist lediglich die Gleichheit der
Flächeninhalte der Querschnitte in gleicher Höhe/ jeder Höhe.
3. Beweisführung
3.1 Anschauliche Begründung mit Hilfe von Bierdeckeln
Aus runden Bierdeckeln werden zwei gleich hohe Kreiszylinderstapel gebaut. Da beide Stapel
aus gleich vielen Bierdeckeln bestehen, haben sie gleiches Volumen. Man kann nun einen
Kreiszylinderstapel verschieben. Es entsteht ein Körper, der immer noch dieselbe Höhe hat,
wie der gerade Kreiszylinderstapel. Aufgrund des Satzes von Cavalieri hat der schiefe Körper
immer noch gleiches Volumen, wie der Kreiszylinder. Diesen Sachverhalt kann man an
diesem Beispiel auch mit bloßem Auge sehen, ohne das Prinzip von Cavalieri zu kennen.
3.2 Anschauliche Begründung mit Computerprogramm Euklid
Mit Hilfe von Euklid, kann man auf anschauliche Weise das Prinzip von Cavalieri am
Computer verdeutlichen. In der Konstruktion sind die Schnittebene sowie die Spitzen beider
Körper verschiebbar. Des weiteren kann ein Berechnungsfeld eingeblendet werden, das den
Flächeninhalt beider Schnittflächen ausgibt. Verschiebt man nun die Schnittebene wird
ersichtlich, dass die Inhalte beider Schnittflächen immer gleich sind, auch wenn hierzu noch
die Spitze einer Pyramide verschoben wird.
3.3 Mathematischer Beweis am Beispiel Pyramide / Kegel
Der Satz von Dehn ( 1901 ) besagt, dass zwei rauminhaltsgleiche Polyeder im Allgemeinen
weder zerlegungs- noch ergänzungsgleich sind. Hieraus folgt, dass der Rauminhalt von
Spitzkörpern in der Regel durch eine Intervallschachtelung bestimmt wird. Hierzu verwendet
man umbeschriebene und einbeschriebene Treppenkörper aus Prismen oder Zylinder.
Die Grundflächen der Treppenkörper sind ähnlich zur Grundfläche. Für ihren Flächeninhalt
ergibt sich nach dem 2. Strahlensatz für k = 1,2,...,n
 k *h  k²
Ak : AG = 
: h ² =
 n
 n²
Volumen Vu der umbeschriebenen Treppenkörper ( n – Stufen ):
h 1²
h 2²
h 3²
h n²
h 1
Vu = AG * * + AG * * + AG * * + ... + AG * * = AG * * * (1² + 2² + 3² + ... + n ² )
n n²
n n²
n n²
n n²
n n²
Volumen Ve der einbeschriebenen Treppenkörper ( (n-1) – Stufen )
h 1²
h 2²
h 3²
h (n − 1)²
Ve = AG * * + AG * * + AG * * + ... + AG * *
n n²
n n²
n n²
n
n²
h 1
= AG * * * (1² + 2² + 3² + ... + (n − 1)² )
n n²
Das Volumen V Pyr liegt zwischen dem Volumen Ve der einbeschriebenen Treppenkörper und
dem Volumen Vu der umbeschriebenen Treppenkörper ⇒ Ve < V Pyr < Vu .
Betrachtet man nun den Grenzwert der Differenz
lim(Vu − Ve ) = lim AG * h *
n →∞
n →∞
1
=0
n
sieht man, dass eine Intervallschachtelung für das Volumen der Pyramide vorliegt. Über die
Intervallschachtelung wird in der Schule die Integralrechnung eingeführt. Unter dem Integral
versteht man also den Grenzwert der Unter- bzw. der Obersummen.
Bevor wir uns diesen Grenzwert anschauen, sollte man folgende Summe s(n)=1²+2²+3²+...+n²
betrachten, da diese für die Grenzwertbestimmung entscheidend ist.
Betrachtung der Summe s(n) der ersten n Quadratzahlen:
s(n) = 1²+2²+3²+...+n²
n
n²
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
s(n)
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
N³
1
5
14
30
55
91
140
204
285
385
506
650
819
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1331
1728
2197
s(n)/n³
1,00
0,63
0,52
0,47
0,44
0,42
0,41
0,40
0,39
0,39
0,38
0,38
0,37
n³/3
0,33
2,67
9,00
21,33
41,67
72,00
114,33
170,67
243,00
333,33
443,67
576,00
732,33
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
196
225
256
289
324
361
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
900
1015
1240
1496
1785
2109
2470
2870
3311
3795
4324
4900
5525
6201
6930
7714
8555
9455
2744
3375
4096
4913
5832
6859
8000
9261
10648
12167
13824
15625
17576
19683
21952
24389
27000
0,37
0,37
0,37
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,35
0,35
0,35
0,35
0,35
0,35
0,35
30
Y-Axis
Thousands
25
20
n
n³
15
n²
s(n)/n³
s(n)
n³/3
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
5
X-Axis
Grenzwert der umbeschriebenen Volumenkörper für n → ∞:
1
* (1² + 2² + 3² + ... + n ²) * AG * h
n →∞ n ³
lim
914,67
1125,00
1365,33
1637,67
1944,00
2286,33
2666,67
3087,00
3549,33
4055,67
4608,00
5208,33
5858,67
6561,00
7317,33
8129,67
9000,00
Hierzu betrachten wir folgenden Grenzwert gesondert:
1
1 1
n * (n + 1) * (2n + 1)
* (1² + 2² + 3² + ... + n ²) = lim * * n * (n + 1) * (2n + 1) = lim
n →∞ n ³
n →∞ n ³
n →∞
6
6*n*n*n
1
1
1
1
1
= lim * (1 + ) * (2 + ) = * 1 * 2 =
n →∞ 6
n
n
6
3
lim
Es folgt somit für den Grenzwert
1
lim Vu = * AG * h
n →∞
3
1
Also hat man somit gezeigt, dass das Volumen der Pyramide VPyr = * AG * h ist.
3
Wie oben schon erwähnt wurde auf diese Art und Weise die Integralrechnung in der Schule
eingeführt. Man kann somit den Beweis auf eine Zeile reduzieren:
h
V=
h
∫ A ( z)dz = ∫ A ( z )dz , da
1
z =0
2
A1 ( z ) = A2 ( z ) für 0 ≤ z ≤ h ist
z =0
4. Anwendungsbeispiele
4.1
Spezialfall: Berechnung des Volumens einer Pyramide
4.1.1 Vorbetrachtung
Es ist zu erst einmal nachzuweisen, dass alle Pyramiden mit gleicher Grundfläche und Höhe
gleiches Volumen besitzen.
Nach Cavalieri ist dies erfüllt, wenn in jeder Ebene parallel zur Grundfläche zwei Körper
flächengleiche Querschnitte aufweisen.
Zum Nachweis:
Jede Pyramide hat eine Spitze, welche als Zentrum einer räumliche zentrischen Streckung
aufgefasst werden kann. Der Streckungsfaktor k beschreibt hierbei das Verhältnis der Höhe h´
(Abstand der Bildebene von der Spitze) zur Gesamthöhe h der Pyramide.
k=
h´
h
Für die Flächen der Querschnitte gilt hierbei:
h´2
Bildfläche
=
= k2
2
h
Ur − / Grundfläche
Die Inhalte paralleler Schnittflächen verhalten sich also wie die Quadrate der Abstände der
Flächen von der Spitze.
Nimmt man nun zwei Pyramiden mit gleich großen Grundflächen und Höhen so folgt:
A1´ k 2 * A1 A1
=
=
=1
A2´ k 2 * A2 A2
da nach Voraussetzung A1 = A2 (Inhalt der Grundflächen)
Die Bedingungen des Prinzips von Cavalieri sind also erfüllt.
4.1.2. Nach Zerlegung eines Würfels in 6 kongruente Pyramiden
Die Zerlegung eines Würfels in 6 kongruente Pyramiden ergibt für die Inhalte der
Grundflächen G jeder dieser Pyramiden
G = a2
und für die Höhen h
h=
1
a.
2
Für das Volumen V einer dieser Pyramiden folgt somit:
1
1
1
1
1
VPyramide = VWürfel = a 3 = (a 2 * a ) = G * h
6
6
3
2
3
Da alle Pyramiden gleich sind, besitzen sie in jeder Höhe auch inhaltsgleiche Querschnitte
nach Cavalieri sind sie somit auch Volumengleich.
4.1.2. Nach Zerlegung eines Würfels in 3 kongruente Pyramiden
Die Zerlegung eines Würfels in 3 kongruente Pyramiden ergibt für den Flächeninhalt der
Grundflächen G der Pyramiden
G = a2
Die Höhe h beschreibt eine Seitenkante und ist demnach
h=a
Das Volumen V einer Pyramiden ergibt sich damit aus:
1
1
1
1
VPyramide = VWürfel = a 3 = (a 2 * a ) = G * h
3
3
3
3
Für diese 3 kongruenten Pyramiden sind wiederum die Bedingungen des Cavalierischen
Prinzips erfüllt.
4.1.3. Nach Zerlegung eines dreiseitigen Prismas in 3 Pyramiden
Nach der Zerlegung eines Prismas erhält man zwei gleiche Pyramiden und eine Schiefe.
Vergleicht man die Pyramiden (S,P,Q,R) und (R,T,S,U) miteinander, wird ersichtlich, das ihre
Grundflächen den selben Inhalt besitzen. Dies folgt aus der Tatsache, das bei einem Prisma
Grund- und Deckfläche gleich sind. Also:
A( P ,Q , R ) = A(T , S ,U )
Die Höhen beider Prismen ist ebenfalls gleich, sie entsprechen jeweils einer Seitenkante des
Prismas.
h( S , P ,Q , R ) = h( R ,T , S ,U ) = PS = RU
Nun vergleicht man die Pyramiden (T,R,U,S) und (T,Q,R,S) miteinander. Beide besitzen
wiederum inhaltsgleiche Grundflächen.
A(T , R ,U ) = A(T ,Q , R )
Die Höhen sind auch gleich und werden durch die Punkte Z,S und Z,S bestimmt. Der Punkt Z
befindet sich bei der Pyramide (T,R,U,S) innerhalb und bei der Pyramide (T,Q,R,S) außerhalb
des Körpers. S ist die gemeinsame Spitze.
h(T , R ,U , S ) = h(T ,Q , R , S ) = ZS = ZS
Somit folgt, dass das Volumen von Pyramide (S,P,Q,R) gleich dem von Pyramide (R,T,S,U)
ist, welches gleich dem von Pyramide (T,Q,R,S) ist. Also sind alle drei Pyramiden
inhaltsgleich.
V( S , P ,Q , R ) = V( R ,T , S ,U ) = V(T ,Q , R , S )
Dieses Ergebnis kann mit Hilfe des Computerprogramms Euklid nochmals verdeutlicht
werden. Indem man die Spitze einer der beiden Pyramiden nach außen zieht erkennt man, das
der Flächeninhalt der Schnittfläche gleich bleibt. Der Satz von Cavalieri bestätigt damit die
Gleichheit und somit auch die allgemeine Volumenformel für Pyramiden.
4.2. Bestimmung des Kugelvolumens mit Hilfe des Satzes von Cavalieri
Das Verfahren zur Bestimmung des Kugelvolumens geht auf Archimedes zurück, was zeigt,
dass Archimedes das Cavalierische Prinzip bereits schon gekannt hatte. Cavalieri ging von
einem Kreiszylinder aus, dessen Höhe gleich dem Radius r ist und entfernte daraus einen
Kreiskegel mit gleichem Radius und gleicher Höhe. Dies verglich er mit einer Halbkugel mit
Radius r.
Zu Zeigen ist nun A(1) = A(2), d.h. der Kreisring (A(1)) muss denselben Flächeninhalt haben
wie der Schnittkreis bei der Halbkugel (A(2)).
Flächeninhalt des Kreisringes:
A(1)= äußerer Kreisringinhalt – innerer Kreisringinhalt
= πr² - πx² = π*(r²-x²)
Flächeninhalt des Schnittkreises:
Zunächst benötigt man hierzu den Radius des Schnittkreises:
Nach dem Satz von Pythagoras gilt:
a² = r²-x²
⇒ A(2) = π*a² = π*(r²-x²)
⇒ A(1) = A(2), w.z.b.w.
Nach dem Satz von Cavalieri haben also der Restkörper und die Halbkugel gleiches Volumen:
Berechnung des Volumens des Restkörpers:
1
2
VR = VZyl − VKegel = πr ² * r − πr ² * r = π * r ³
3
3
2
4
⇒ VR = VHK = π * r ³ ⇒ VK = 2 * VHK = π * r ³
3
3