Wachstumsmodelle und Differentialgleichungen, Facharbeit

Spessart-Gymnasium Alzenau
Kollegstufenjahrgang 2005/2007
FACHARBEIT
aus dem Fach Mathematik
Thema:
Wachstumsmodelle und Differentialgleichungen
Verfasser der Facharbeit:
Sascha Roth
Leistungskursbezeichnung:
Mathematik
Kursleiter:
StR Klemm D.
Abgabetermin:
26. Januar 2007
Abgegeben am
24. Januar 2007
Mündliche Prüfung abgelegt am ............................
Erzielte Punkte der schriftlichen Arbeit:
Erzielte Punkte der mündlichen Prüfung:
Gesamtpunktzahl (3-fach schriftlich + mündlich = 4-fache Wertung):
Doppelte Wertung (= 4-fache Wertung geteilt durch 2, gerundet):
Aus der einfachen Wertung (= 4-fache Wertung geteilt durch 4, gerundet):
ergibt sich für die Gesamtleistung die Note ........, in Worten: ................................
Unterschrift des Kursleiters:
..........................................
Inhaltsverzeichnis
1. Differentialgleichungen als Werkzeug der
Naturwissenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Einfache Wachstumsmodelle. . . . . . . . . . . . . . 5
2. 1 Mathematische Betrachtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. 2 Beispiel 1: Amöbenpopulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Räuberbeute-Modell nach Volterra-Lotka. . 8
3. 1 Biologische Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. 2 Mathematische Betrachtung des Modells von Lotka und Volterra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. 3 Beispiel 2: Räuber-Beute-Simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. Mathematische Modelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5. Literaturverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6. Quellenverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7. Anlagen-CD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8. Erklärung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2
1. Differentialgleichungen als
Werkzeug der Naturwissenschaften
Folgende Aufgabe dürfte jedem Schüler bekannt sein: „Lösen Sie eine
Gleichung nach der Unbekannten auf.“ Gerade während der Schulzeit trifft
man ständig auf solche Aufgaben. Man soll Nullstellen, Extrempunkte oder
Wendepunkte von Polynomen, gebrochen-rationalen Funktionen oder
Ähnlichem berechnen. Die Aufgabe liegt also darin, eine (oder mehrere)
Unbekannte (meist wird diese mit x bezeichnet) einer Funktion, die gegeben ist, zu bestimmen.
Im Gegensatz dazu besteht die Aufgabe bei den Differentialgleichungen
darin, dass die Funktion f(x) aus einer Gleichung errechnet werden soll, in
der eine oder mehrere ihrer Ableitungen (f'(x), f''(x), usw.) vorkommen
können.
Ein einfaches Beispiel1 hierfür ist die Gleichung f'(x) = f(x). Es ist also die
Funktion gesucht, deren Ableitung (d.h. deren Steigung) in jedem Punkt
gleich dem eigentlichen Funktionswert ist. Es ist bekannt, dass dieses Kriterium nur die Exponentialfunktion erfüllt, jedoch mit beliebigem Vorfaktor.
Alle Funktionen der Form f(x) = cex besitzen also die gewünschte Eigenschaft (erfüllen die Gleichung), wobei c jede beliebige reelle Zahl sein darf.
Gut zu erkennen ist hier, dass eine Differentialgleichung nicht eindeutig
lösbar sein muss, da es durch die verschiedenen Möglichkeiten für c unendlich viele Lösungen gibt. (Eine weitere Betrachtung dieser sehr einfachen Differentialgleichung enthält das Kapitel „Einfache Wachstumsmodelle“)
Gibt man zusätzlich zu der Differentialgleichung noch einen speziellen
Punkt vor, soll z.B. f(0) = 1 sein, so erhält man statt den unendlich vielen
Lösungen f(x) = cex nur noch eine: f(x) = ex. Ein solches Problem (eine Differentialgleichung und ein vorgegebener Punkt) bezeichnet man als "Anfangswertproblem".
1
vgl http://mathematik.de/mde/information/landkarte/gebiete/differentialgleichungen/differentialgleichungen.html
aufgerufen am 06.01.2007, 15:09 Uhr
3
Natürlich ist dies nur ein sehr einfaches Beispiel einer Differentialgleichung. Andere Möglichkeiten wären auch Gleichungen der Form
5f'''(x)f'(x) - 2[f(x)''/f'(x)] = 17f(x)2, oder ähnliche Gleichungen mit beliebig
vielen und beliebig hohen Ableitungen.
Dass man zu solchen Überlegungen und Gleichungen gelangte, ist kein
Zufall oder mathematische Spielerei. Differentialgleichungen beschreiben
viele Situationen der Wirklichkeit, gerade in der Physik. Aber nicht nur in
physikalischen und technischen Systemen spielen sie eine große Rolle,
sie finden auch Verwendung in den Wirtschaftswissenschaften oder werden in der Biologie zum Modellieren von Wachstumsmodellen zur Hilfe
genommen.
In der nachfolgenden Arbeit soll auf diesen Teilaspekt der Differentialgleichungen eingegangen werden. Betrachtet werden Differentialgleichungen
in einfachen Wachstumsmodellen und im Räuber-Beute-System nach Volterra-Lotka.
2 http://mathematik.de/mde/information/landkarte/gebiete/differentialgleichungen/differentialgleichungen.html
4
2. Einfache Wachstumsmodelle
2. 1 Mathematische Betrachtung
Man betrachte eine Population - eine räumlich und zeitlich abgrenzbare
Einheit gleichartiger Organismen (Mikroorganismen, Tiere, Pflanzen, Menschen), die miteinander in einem regelmäßigen genetischen Austausch
stehen.3 Die Größe der Population, d. h. die Anzahl der Individuen, wird
mit x bezeichnet. Lotka hat 1925 auch andere Vorschläge gemacht, z. B.
könnte x auch die Dichte, oder die gespeicherte Energie der Population
ausdrücken. Bei einfachen Modellen genügt jedoch die Betrachtung der
Individuenzahl.
Die Änderung der Populationsgröße x wird durch die Wachstumsrate ρ
beschrieben. Es gibt zwei Möglichkeiten ρ zu deuten:
Im diskreten Modell wird x als Funktion
x : N → R+ = [0, ∞[ (oder x : N → N)
aufgefasst; d. h. x(t) ist die Populationsgröße zum Zeitpunkt t = 0, 1, 2, 3, ...
Der Zuwachs zwischen den Zeitpunkten t und t+1 wird durch die Differenzenfunktion
∆x : N → R mit ∆x(t) = x(t + 1) − x(t)
beschrieben. Die Wachstumsrate ρ(t) zum Zeitpunkt t ist der Differenzenquotient ∆x(t) geteilt durch den Bestand x(t),
ρ=
∆x
: N → R̄ = [−∞, ∞]
x
Im kontinuierlichen Modell fasst man x als Funktion x : R+ → R+ auf und
ersetzt den Differenzenquotienten durch die Ableitung
x(t + u) − x(t)
;
u→0
u
x! = lim
3 http://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Populat_Modelle/population_einf.html, aufgeru-
fen am 28.12.2006
5
die Wachstumsrate ist dann durch die Funktion ρ : R+ → R̄ ,
ρ=
x!
,
x
gegeben. Kontinuierliche Modelle sind zwar Idealisierungen, die aber fast
immer zu rechtfertigen und mathematisch leichter zu handhaben sind.4
(Was mathematische Modelle sind und wollen, wird im letzten Kapitel dieser Arbeit erörtert.)
2. 2 Beispiel 1: Amöbenpopulation
Anhand eines Beispiels soll die Herleitung des diskreten Wachstumsmodells noch einmal anschaulich dargestellt werden.
Die Vermehrung von Amöben in einem Aquarium wird von Biologen untersucht. Zu Beginn dieses Experimentes befinden sich 50 Amöben im Aquarium. Nach jeweils zwei Tagen wird die Anzahl der vorhanden Tierchen
neu bestimmt.
Anzahl der
Tage
0
2
4
6
8
10
12
14
Anzahl der
Amöben
50
65
84
109
141
183
283
309
Tabelle 1: Beobachtungsergebnis nach 14 Tagen
Bezeichnungen:
n(t): momentane Anzahl der Tierchen nach t Tagen, z. B. ist n(12) = 283
∆n: Zuwachs der Tierchen in der Zeitspanne ∆t
In den ersten beiden Tagen nach Beginn des Experiments kommen 15
neue Tierchen hinzu (∆n = n(2) - n(0) = 15)
In der gleichen Zeitspanne ∆t zwischen dem 6. und 8. Tag beträgt der Zuwachs schon ∆n = 32 Amöben.
4 vgl. http://www.staff.uni-mainz.de/pommeren/Artikel/Oekosim.pdf, Seite 5; aufgerufen am 27.12.2006
6
∆n
(Neuzuwachs ∆n pro Zeitspanne ∆t) nimmt hier
∆t
ständig zu, es liegt eine stark beschleunigte Wachstumsentwicklung vor.
Die Zuwachsrate
Dieser Wachstumsprozess ist soweit mathematisch aufbereitet, dass die
Formulierung der gesuchten Differenzialgleichung leichter fällt. Durch
∆n
Auswertung von Tabelle 1 folgt eine neue Tabelle für die Zuwachsrate ∆t
der Amöbenentwicklung:
Zeitspanne
0. - 2. Tag
6. - 8. Tag
12. -14. Tag
Amöbenzahl am Anfang
der Zeitspanne
50
109
283
Zuwachsrate
7,5
16
35,5
(Amöben pro Tag)
Tabelle 2: Amöbenentwicklung
n(8) − n(6)
∆n
= 16 . Das Verhältnis k =
: n(t)
2
∆t
ergibt für jeden der drei Tabellenspalten den gleichen Wert k = 0,15 (ge-
Auswertungsbeispiel:
rundet). Es lässt sich also erkennen, dass die Zuwachsrate proportional
∆n
zur Amöbenzahl wächst: n(t) :
∼ n(t).
∆t
∆n
Umschreibung dieser Proportionalität als Gleichung (1):
= k · n(t).
∆t
k ist hierbei aus der Tabelle ermittelte Konstante.
Betrachtet man nun den Fall, wenn ∆t sehr klein wird, schreibt man dt statt
dn
∆t und entsprechend dn statt ∆n. Somit wird Gleichung (1) zu:
= k · n(t).
dt
Dies wiederum ist eine Differenzialgleichung 1. Ordnung, wobei die Ableitung der Funktion n = n(t) in der Leibniz-Schreibweise erscheint. Formulierung in der Schreibweise nach Newton: n‘ = k · n(t).5
Die Lösungsfunktion n(t) beschreibt den Wachstumsverlauf der vorliegenden Amöbenpopulation. Es handelt sich hierbei um die e-Funktion
n(t) = c · ert, mit dem Anfangswert c = 50 und Wachstumsrate (gerundet)
r = 0,15.
5 vgl. gesamtes Beispiel 1: Müller, Rost, Wolf: Das große Mathematik Buch, Bad Schwartau(Neue Auflage), 2005
7
3. Räuberbeute-Modell nach
Volterra-Lotka
3.1 Biologische Beschreibung des Modells
Um vom einfachen Beispiel der Amöben zu komplexeren Modellen zu
kommen, braucht es für ein besseres Verständnis eine kurze Erklärung
der biologischen Gegebenheiten.
Abbildung 1 zeigt historische Aufzeichnungen der Hudson-Bay-Company
über den Eingang der Felle von Luchsen und Schneeschuhhasen. Man kann starke und regelmäßige Schwankungen mit einer Periode von
knapp zehn Jahren beobachten.
„Je mehr Beutetiere vorhanden sind, desto mehr Räuber finden Nahrung.
Die Population der Räuber nimmt verschoben zur Population der Beutetiere zu. Durch die Vernichtung der Beutetiere sinkt auf Grund der fehlenden
Nahrung die Anzahl der Räuber. Zwischen Räuber und Beutetier entwickelt sich ein biologisches Gleichgewicht, das die Populationsdichten der
betreffenden Arten in Grenzen hält.“ 6
Abbildung 17 : Aufzeichnung der Hudson-Bay-Company über den Eingang von Fellen von
Luchsen (rot) und Schneeschuhhasen (grün)
6 http://de.wikipedia.org/wiki/Räuber-Beute-System, aufgerufen am 02. Januar 2007
7
http://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Populat_Modelle/population_einf.html
8
Einflussfaktoren auf die Populationsgröße sind:
• Zahl der Feinde, denen Organismen als Nahrung dienen
• Menge der zur Verfügung stehenden Nahrung
• Zahl der Versteckmöglichkeiten, die eine ungestörte Aufzucht der Jungen ermöglichen
• Toleranz gegenüber den eigenen Artgenossen
• Eingriffe durch den Menschen (Jagd, Fischerei, Holzwirtschaft, Pestizide, Straßenbau, ...)“ 8
Unter der Annahme, dass die Größe des Fangs dem Bestand der jeweiligen Tierart proportional ist, drängt sich unweigerlich die Vermutung auf,
dass die Bestände von Luchsen und Hasen einer geheimnisvollen mathematischen Gesetzmäßigkeit folgen, die sich nicht aus dem Rhythmus
der Jahreszeiten erklärt.
Diese Gesetzmäßigkeiten wurden 1925 und 1926 unabhängig voneinander von dem östereichisch-amerikanischen Mathematiker Alfred James
Lotka und dem italienischen Mathematiker und Physiker Vito Volterra formuliert. Die Lotka-Volterra-Regeln bzw. Gesetze umfassen drei Gesetze
zur quantitativen (lat. quantum: wie viel oder wie groß) Beschreibung der
Populationsdynamik in der Räuber-Beute-Beziehung.
Diese Gesetze lauten wie folgt:
„1. Gesetz der periodischen Zyklen: Die Individuenzahl von Beute und
Räuber schwankt (bei ansonsten konstanten Bedingungen) periodisch,
dabei sind die Maximaphasen verschoben.
2. Gesetz der konstanten Population: Langfristig bleiben die Durchschnittsgrößen von Räuber- und Beute-Population konstant.
3. Gesetz des schnelleren Wachstums der Beutepopulation:
Werden Beute- und Räuberdichte verringert, (z. B. durch Pestizide,) so
erholt sich die Beutepopulation schneller.“9
8 http://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Populat_Modelle/population_einf.html
9 vgl. Aufzeichnung des Leistungskurs Biologie Kobler Schuljahr 2005/2007 am 22.06.2006
9
3. 2 Mathematische Betrachtung des Modells
von Lotka und Volterra
Im vorhergehenden Kapitel werden die Beziehungen, die Lotka und Volterra herausfanden, aus biologischer Sicht aufarbeitet. Nachfolgend soll das
Differentialgleichungssystem mathematisch betrachtet werden.
Die zwei Gleichungen lauten:
(1) x! (t) = a1 · x(t) − b1 · x(t) · y(t)
(2) y ! (t) = b2 · x(t) · y(t) − a2 · y(t)
Durch einfache mathematische Umstellung von (2) erhält man eine übersichtlichere Darstellungsweise:
(1) x! (t) = a1 · x(t) − b1 · x(t) · y(t)
(2) y ! (t) = −a2 · y(t) + b2 · x(t) · y(t)
Kurze Erläuterung der Terme:
x(t) entspricht der Größe der Beutepopulation; dementsprechend ist y(t)
die Größe der Räuberpopulation.
x‘(t) und y‘(t) sind die zeitlichen Änderungen der Räuber- und Beutepopulationen. Die Konstanten der Gleichung (1) sind a1 Zuwachsrate der Beute
und b1 Wahrscheinlichkeit für Beutefang. In Gleichung (2) beschreiben -a2
die Sterberate der Räuberpop und b2 die Reproduktionsrate der Räuberpopulation.
(1) Das Produkt a1 x(t) stellt dann die Vermehrung der Beutepopulation
x(t) dar, die durch das Produkt b1 x(t) y(t), nämlich dem „Gefressenwerden“ der Beutepopulation, verkleinert wird.
(2) Bei dem Produkt -a2 y(t) handelt es sich um das Sterben der Räuberpopulation, was durch das negative Vorzeichen bei a2 anschaulich beschrieben wird, die aber durch die Vermehrung der Räuberpopulation
b2 x(t) y(t) gedämpft wird. So verdeutlicht das Produkt x(t) y(t) bildlich gesprochen die „Begegnungshäufigkeit“ zwischen Räuber und Beute.
10
Lösung der Differentialgleichungen von Volterra-Lotka
Um diese gekoppelten Differentialgleichungen zu lösen, gibt es es prinzipiell zwei Möglichkeiten: Eine analytische oder numerische Lösung. Kurz
zu analytischen Lösungen: Sie sind meist sehr kompliziert und es gibt Differentialgleichungen, die nicht analytisch gelöst werden können.10
Numerische Lösungen sind einfacher (aber auch ungenauer): Es wird versucht mit Hilfe von „Konstruktionen und Analyse von Algorithmen für kontinuierliche mathematische Probleme“11 eine Lösung zu finden, d.h. in unserem konkreten Fall durch ein Nährungsverfahren nach Runge-Kutta.
Nachfolgend soll überblicksartig erläutert werden, wie dieses Verfahren
funktioniert, und zum Schluss auf die Lotka-Volterra-Gleichungen angewandt werden.
Dazu beginnt man am Besten mit dem einfachsten, aber auch am wenigsten genauen Verfahren, das von Euler-Cauchy stammt. Gegeben ist der
aktuelle Wert Z(to) zum Zeitpunkt to , d.h. anschaulich: ein Anfangspunkt
Punkt A(to;Z(to)). Zusätzlich geht man von einer Differentialgleichung
Z'(t) = f(t ; Z(t)) für die momentane Änderungsrate Z'(t) aus bzw. - anschaulich gesprochen - für die Steigung m(t) = Z'(t) zu einem beliebigen
Zeitpunkt t.12
Aus den obigen Angaben (Punkt A und Steigung m(to) im Punkt A) lässt
sich mit Hilfe eines „Steigungsdreiecks“ eine lineare Funktion P und dadurch ein Prognosen-Punkt P(to + ∆t) = Z(t0) + ∆t · Z‘(t0) für den leider
unbekannten tatsächlichen Wert Z(to + ∆t) abschätzen.
(siehe dazu auch Abbildung 2)
∆P
P (t0 + ∆t) − P (t0 )
= P ! (t0 ) =
= m(t0 )
∆t
∆t
⇔ P (t0 + ∆t) = P (t0 ) + m(t0 ) · ∆t
10 vgl. http://www.gypsymoth.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/lec10/lotka.html; aufgerufen am 17.01.2007
11 http://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Mathematik; aufgerufen am 17.01.2007
12
vgl. http://www.learn-line.nrw.de/angebote/modell/euler.htm#top; aufgerufen am 17.01.2007
11
Abbildung 2: Veranschaulichung des Euler-Cauchy-Verfahren13
Die Euler-Cauchy-Abschätzung kann verbessert werden, indem man anstatt des gesamten Zeitintervalls ∆t das halbierte verwendet. Häufig findet
das sog. Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung gebrauch, bei dem mit vier
Zwischenschritten eine verbesserte Schätzung ermöglicht werden soll. In
dieser Arbeit wird das Verfahren mit nur zwei Zwischenschritten (2. Ordnung) durchgeführt, da diese Abschätzung für das folgende Beispiel 2
schon ausreichend genau ist.
Durch die oben erwähnte Halbierung von ∆t ergibt sich daraus für den
Punkt P folgende Gleichung: k = Z(t0) + 0,5·∆t·Z‘(t0) . k entspricht hier
dem Funktionswert in der Mitte des Intervalls ∆t. Im „zweiten Durchgang“
schätzt man mit Hilfe von k den Funktionswert am Ende des
Zeitintervalls ∆t:
P(to + ∆t) = Z(t0) + ∆t · Z‘(k). (siehe auch Abbildung 3)
13 vgl. http://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Populat_Modelle/Euler.gif und
http://www.learn-line.nrw.de/angebote/modell/modgif/euler1.gif; aufgerufen am 18.01.2007
12
Abbildung 3: Veranschaulichung des Runge-Kutta-Verfahrens14
Übertragen auf die Gleichungen von Volterra-Lotka bedeutet das:
Man schätzt zuerst die Beute- und Räuber-„Steigung“ (x‘ und y‘) in der Mitte des Zeitintervalls:
∆t
· (a1 · x(t) − b1 · x(t) · y(t))
2
∆t
(4) y ! (t) = y(t) +
· (b2 · x(t) · y(t) − a2 · y(t))
2
(3) x! (t) = x(t) +
Der zweite Schritt ist dann die Beute- und Räuber-„Steigung“ (x‘‘ und y‘‘)
am Ende des Zeitintervalls:
(5 x!! (t) = x(t) + ∆t · (a1 · x! (t) − b1 · x! (t) · y ! (t))
(6) y !! (t) = y(t) + ∆t · (b2 · x! (t) · y ! (t) − a2 · y ! (t))
14
vgl. http://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Populat_Modelle/RungeKutta.gif und
http://www.gypsymoth.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/lec10/grunge.gif; aufgerufen am 19.01.2007
13
Graphische Darstellung der Lotka-Volterra-Gleichungen
Mit Hilfe eines Tabellen-Kalkulationsprogramms (siehe Anlagen-CD:
lotka_volterra.xls) lassen sich die Funktionsgraphen der Beute- und Räuberpopulation zeichnen. Die Nährungswerte werden durch das oben beschriebene Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung berechnet.
3. 3 Beispiel 2: Räuber-Beute-Simulation
Es soll eine kleine Räuber-Beute-Simulation mit 200 Beutetieren und 10
Räubern (z. B. Hasen und Füchse) modelliert werden. Die Größen der jeweiligen Parameter sind Schätzungen auf Basis von natürlichen Beobachtungen.
Zuwachsrate der
Beute
0,08
a1
Wahrscheinlichb1
keit für Beutefang
0,002
Vermehrung der
Räuberpop.
b2
0,0004
Sterben der Räuberpop.
a2
0,2
Tabelle 2: Parameter15 der Simulation
Zur Darstellung dieser Simulation gibt es verschiedene Möglichkeiten. Hier
werden zwei vorgestellt:
1. Wie in den historischen Aufzeichnungen von Abbildung 1, kann man die
Individuenzahl abhängig von der Zeit t darstellen. (siehe Abbildung 4)
2. Oder es werden Räuber und Beute abhängig von einander dargestellt,
d. h. die Beuteanzahl auf der x-Achse und die Räuberanzahl auf der yAchse. (siehe Abbildung 5)
15 vgl. http://www.ecotronics.ch/download/excsimul.zip; aufgerufen am 18.01.2007 oder siehe Anlagen-CD
14
Räuber-Beute-Simulation
Anzahl der Beute
250
1000
200
800
600
150
400
100
200
50
0
1
74
147
220
Anzahl der Räuber
300
1200
0
366
293
Periode t = 365 Tage
Abbildung 4: Räuber-Beute-Simulation bezogen auf die Zeit.
Räuber-Beute-Simulation
160
150
140
130
120
Anzahl der Räuber
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100 1200
1300
1400
Anzahl der Beute
Abbildung 5: Räuber-Beute-Simulation als Vergleich Räuber und Beute.
Anmerkung: Abbildung 4, 5 wurden mit Hilfe der Exel-Datei lotka_volterra.xls erstellt.
Siehe Anlagen-CD.
15
4. Mathematische Modelle Was sie sind und was sie wollen
Die Frage, was diese ganze “Rechnerei” denn nun über die Wirklichkeit
aussagt, ist im bisherigen Verlauf der Arbeit unterdrückt worden, sie stellt
sich aber dennoch. Groß ist die Gefahr Modell und Wirklichkeit durcheinander zu bringen, kritische Distanz zum Modell ist angebracht.
Am wenigsten gefährlich ist die Anwendung im Bereich der Technik: Apparate werden so konstruiert, dass sie dem Modell möglichst genau entsprechen. Ganz anders ist es bei biologischen, wirtschafts- oder sozialwissenschaftlichen Betrachtungen. Zugrundeliegende Größen können hier schon
ungenau und umstritten sein, Wirkungen und Beziehungen äußerst kompliziert.
Grundsätzlich sieht das Verfahren mathematischer Modellierung wie folgt
aus:
Abbildung 6: Mathematische Modellierung 16
Für mathematische Modelle gibt es verschiedenste Ansätze: determinitische, stochastische, spieltheoretische, ..., nur keine perfekten. Der Ansatz,
der in der vorliegenden Arbeit verfolgt wird, dynamische Systeme/Differentialgleichungen, ist streng deterministisch: Der Zustand des Modells zu einem Zeitpunkt bestimmt alle zukünftigen Zustände eindeutig, ist reprodu16
http://www.staff.uni-mainz.de/pommeren/Artikel/Oekosim.pdf, Seite 20
16
zierbar und es “folgt unter den gleichen Voraussetzungen immer die gleiche Anweisung”.17
Aber das ist nicht die einzige grobe Vereinfachung. Wenn man sich das
vorgestellte Räuber-Beute-Modell kritisch ansieht, wurde einiges zur Vereinfachung angenommen:
• “Die Anzahl (oder Dichte) der Population ist durch eine Größe beschreibbar - Altersstruktur, Geschlechts- oder sonstige Unterschiede und
räumliche Verteilung werden vernachlässigt.
• Äußere Einflüsse werden nur in geringem Umfang berücksichtigt.
• Wechselwirkungen erleiden keine Zeitverzögerung und sind völlig
gleichmäßig über die Population verteilt.”18
• In der Simulation wird nicht berücksichtigt, dass zum Fortbestand einer
Art (auch nur theoretisch) mind. 2 Individuen noch vorhanden sein müssen und dass die Individuenzahl nur für positive Werte Sinn macht
Daher scheint es fast fragwürdig, ob es sich noch um ein sinnvolles Modell
handelt. Letztendlich kann die Rechtfertigung für ein bestimmtes Modell
aber immer nur der Erfolg sein, d. h., dass die Aussagen mit der Wirklichkeit übereinstimmen.
“Schwarz-Weiß-Denken ist hier völlig unangebracht; es muss eine Balance zwischen kritischer Distanz und vorsichtiger Akzeptanz hergestellt
werden.”19
17
http://de.wikipedia.org/wiki/Determinismus_%28Algorithmus%29, aufgerufen am 28.12.2006
18
http://www.staff.uni-mainz.de/pommeren/Artikel/Oekosim.pdf, Seite 22-23
19
http://www.staff.uni-mainz.de/pommeren/Artikel/Oekosim.pdf, Seite 24
17
5. Literaturverzeichnis
Aus Gründen der Verstänlichkeit können in der Fachliteratur (auch Internetseiten) verwendete Parameter in dieser Arbeit vereinheitlicht worden
sein. Deshalb ist es möglich, dass auch in direkt zitierten Textstellen Paramter ersetzt wurden, was allerdings nicht den Inhalt verändern.
Walz, Guido: Lexikon der Mathematik, Heidelberg, 2001
Müller, Thomas/ Rost, Hans-Peter/ Wolf, Diethart: Das große Mathematik
Buch, Bad Schwartau(Neue Auflage), 2005
Meschkowski, Herbert: Meyers Handbuch über die Mathematik, Mannheim, 1972
Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band
2, Braunschweig/Wiesbaden(10. Auflage), 2001
Wygodski, M. Ja.: Höhere Mathematik griffbereit, Braunschweig, 1973
Boyce, W. E. / DiPrima R. C.: Gewöhnliche Differentialgleichungen,
Einführung - Aufgaben - Lösungen, Heidelberg, 1995
Bachmann, Heinz: Einführung in die Analysis, Theorie - Aufgaben Ergebnisse, Inegrieren - Differenzieren II, Zürich(1.Auflage),1975
Barth / Mühlbauer / Nikol / Wörle: Mathematische Formeln und Definitionen, München(8.Auflage), 2004
Aufzeichnung des Leistungskurs Biologie Kobler Schuljahr 2005/2007 am
22.06.2006
18
6. Quellenverzeichnis
1. Computersimulation dynamischer Systeme dargestellt am Beispiel der
Räuber-Beute-Systeme und anderer Wachstumsmodelle aus der Ökologie: K. Pommerening, März 1987; aufgerufen am 28.12.2006
2. Walter, Thomas: Mathematische Vorkurs: Vorlesungsnotizen; Kapitel 5:
Einfache Differentialgleichungen: TU Darmstadt, 27.11.2006; aufgerufen am 28.12.2006
3. Gewöhnliche Differentialgleichungen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung;
aufgerufen am 12.09.2006 um 14:06 Uhr
4. Differentialgleichungen:
http://mathematik.de/mde/information/landkarte/gebiete/differentialgleic
hungen/differentialgleichungen.html; aufgerufen am 06.01.2007
5. Populationsmodelle:
http://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Populat_
Modelle/population_einf.html; aufgerufen am 28.12.2006
6. Räuber-Beute-System:
http://de.wikipedia.org/wiki/Räuber-Beute-System; aufgerufen am 02. Januar 2007
7. Lotka-Volterra Model:
http://www.gypsymoth.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/lec10/lotka.html;
aufgerufen am 17.01.2007
8. Numerische Mathematik:
http://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Mathematik; aufgerufen am 17.01.2007
19
9. Das Euler-Cauchy-Verfahren für kontinuierliche Systeme:
http://www.learn-line.nrw.de/angebote/modell/euler.htm#top; aufgerufen am 17.01.2007
10. Rothen, Silvia: Wo Fuchs und Hase sich Gute Nacht sagen - Mit Excel
ein Räuber-Beute-System simulieren;
http://www.ecotronics.ch/ecotron/excLotka.htm und
11. http://www.ecotronics.ch/download/excsimul.zip; aufgerufen am 19.01.2007
12. Determinismus (Algorithmus):
http://de.wikipedia.org/wiki/Determinismus_%28Algorithmus%29; aufgerufen am 28.12.2006
13. Grün, Günther: Mathematik in der Biologie, Seite 14;
http://www.theobio.uni-bonn.de/studies/files/mathbiogrun.pdf; aufgerufen am 17.01.2007
14. Volterra-Regeln: http://de.wikipedia.org/wiki/Volterra-Regeln; aufgerufen am 18.01.2007
7. Anlagen-CD
Die beiliegende CD-ROM enthält alle aufgeführten Quellenangaben in
gleicher nummerierter Reihenfolge. Internet-Seiten sind zur besseren Ansicht in das Portable Document Format (.pdf) konvertiert worden.
Zusätzlich findet sich auf der CD eine Exel-Datei lotka_volterra.xls, die zur
Simulation verwendet wurde. Die Facharbeit ist ebenfalls als PDF auf der
CD enthalten.
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8. Erklärung zur Facharbeit
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig
und ohne fremde Hilfe verfasst und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe. Insbesondere versichere
ich, dass ich alle wörtlichen und sinngemäßen Übernahmen aus
anderen Werken als solche kenntlich gemacht habe.
............................ den .......................
Ort
Datum
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...................................................
Unterschrift des Schülers