Funktionsgleichungen bestimmen Polynome 1
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Funktionsgleichungen bestimmen Polynome 1
Bernd Sumpf Eichberg1 • 07987 Reudnitz 03661/435814 • [email protected] Funktionsgleichungen bestimmen Polynome 1.) Bestimmen Sie die Gleichung eines Polynoms vierten Grades, von dem folgendes bekannt ist: Der Graph dieser Funktion hat einen horizontalen Wendepunkt W(0;4). Die Funktion hat bei P(3;2,75) ein lokales Extremum. 2.) Bestimmen Sie die Gleichung eines Polynoms dritten Grades, von dem folgendes bekannt ist: Der Graph dieser Funktion hat einen Wendepunkt W(0;1). Die Funktion hat bei P(1;3) ein lokales Extremum. 3.) Bestimmen Sie die Gleichung eines Polynoms vierten Grades, von dem folgendes bekannt ist: Der Graph dieser Funktion hat einen horizontalen Wendepunkt W(2;4). Die Funktion hat bei P(1;2,75) ein lokales Extremum. 4.) Bestimmen Sie die Gleichung eines Polynoms möglichst geringen Grades, von dem folgendes bekannt ist: Die Funktion hat genau drei lokale Extremstellen bei x=1, x=1 und x=3. f(0) = 0; f(1) = 1,75 Bernd Sumpf Eichberg1 • 07987 Reudnitz 03661/435814 • [email protected] Lösungen: 1.) allgemeine Funktionsgleichung: f(x) = a∙x4 + b∙x³ + c∙x² + d∙x + e f'(x) = 4∙a∙x³ + 3∙b∙x² + 2∙c∙x + d f“(x) = 12∙a∙x² + 6∙b∙x + 2∙c erste Bedingung: f(0)=4 und f'(0)=0 und f“(0)=0 zweite Bedingung: f(3)=2,75 und f'(3)=0 Gleichungssystem: a∙04+ b∙0³ + c∙0² + d∙0 + e = 4 4∙a∙0³ + 3∙b∙0² + 2∙c∙0 + d = 0 12∙a∙0² + 6∙b∙0 + 2∙c = 0 a∙34 – b∙3³ + c∙3² – d∙3 + e = 2,75 4∙a∙(3)³ +3∙b ∙3² + 2∙c∙3 + d = 0 // // // // // f(0)=4 f'(0)=0 f“(0)=0 f(3)=2,75 f'(3)=0 // // // // f(0)=1 f“(0)=0 f(1)=3 f'(1)=0 Lösung: e = 4 d = 0 c = 0 81∙a – 27∙b = 6,75 108∙a + 27∙b = 0 a = 0,25 b = 1 f(x) = 0,25∙x 4 x³ 4 2.) a∙0³ + b∙0² + c∙0 + d = 1 6∙a∙0 + 2∙b = 0 a∙1³ + b∙1² + c∙1 + d = 3 3∙a∙1² + 2∙b∙1 + c = 0 d = 1 b = 0 a + c = 2 3∙a + c = 0 a = 1 c = 3 f(x) = x³ – 3∙x 1 Bernd Sumpf 3.) Eichberg1 • 07987 Reudnitz 16∙a – 8∙b + 4∙c – 2∙d + e = 4 32∙a + 12∙b 4∙c + d = 0 48∙a – 12∙b + 2∙c = 4 a + b + c + d + e = 2,75 4∙a + 3∙b + 2∙c + d = 0 03661/435814 • [email protected] // // // // // f(2) = 4 f'(2) = 0 f“(2) = 0 f(1) = 2,75 f'(1) = 0 a = 0,25 b = 1 c = 0 d = 4 e = 0 f(x) = 0,25∙x 4 + 1∙x³ – 4∙x 4.) Die erste Ableitung hat genau drei Nullstellen, ist also mindestens dritten Grades. Damit muss die eigentliche Funktion mindestens vierten Grades sein. Wegen den Extremstellen muss die erste Ableitung die Form f'(x) = k∙(x+1)∙(x1)∙(x3) haben // k ≠ 0 beliebig ausmultipliziert ergibt sich f'(x) = k∙(x³ – 3∙x² – x + 3) und damit für die Funktion: f(x) = k∙(0,25∙x 4 – x³ 0,5∙x² + 3∙x) + C , // C ist irgendeine Zahl Wegen f(0) = 0 gilt C = 0; und wegen f(1) = 1,75 also k∙(0,2510,5+3)=1,75 ist k=1 f(x) = 0,25∙x 4 – x³ 0,5∙x² + 3∙x /* Nachdem man erkannt hat, dass die Funktion vierten Grades ist, führt auch ein Gleichungssystem zum Erfolg: 4∙a + 3∙b – 2∙c + d = 0 //f'(1) = 0 4∙a + 3∙b + 2∙c + d = 0 //f'(1) = 0 108∙a + 27∙b + 6∙c + d = 0 //f'(3) = 0 e = 0 //f(0) = 0 a + b + c + d + e = 1,75 //f(1) = 1,75 */