05,0 - Xs4all

KLAUSUR
FONTYS INTERNATIONALE HOGESCHOOL ECONOMIE
ProgRESS-code:
SR2DAD02
Dozent(en):
Fachbereich:
OER 2002
Datum:
18.6.2004
F.Gerhäuser/P.Slaats
Zeit:
Hauptstudium Absatzwirtschaft
Seiten:
13.30-16.30 Uhr
10 Seiten
4 Tabellenblätter
3 Formelsammlung
Gebrauch von Lehrmitteln
Papier
O Nein
X Ja, und zwar
Taschenrechner
O Nein
X Ja
Skripte
X Nein
O Ja
Bücher
X Nein
O Ja,
Andere Lehrmittel
X Nein
O Ja
Klausuraufgaben
abgeben
O Nein
X Ja
X Schmierpapier
O Liniertes Papier
O Kariertes Papier
-
Wenn Sie für Ihre Lösung zu wenig Raum haben, schreiben Sie bitte auf der Rückseite weiter.
Erläutern Sie immer Ihre Lösung. Lösungen auf Schmierblättern werden nicht bewertet.
Teil 1
Teil 2
Anmerkungen: Teil 3
Teil 4
u.a. Wertung
Verteilungen
Schätzen und Testen
Regression und χ 2-Tests
Qualitätsmanagement
Bonus 10 Punkte
Name StudentIn:
Studentennummer:
23 Punkte
22 Punkte
22 Punkte
23 Punkte
Note: (Anzahl Punkte +10) / 10
OER: 2002
Klasse:
ProgResscode: SR2DAD02 Dozent:
Lösung
ProgRESS-code: SR2DAD02 OER 2002
Datum: 18.6.2004
Seite 2
Teil 1 Verteilungen.
Geben Sie alle Lösungen auf vier Nachkommastellen genau.
Aufgabe 1. (23 Punkte)
Das berühmte, Kölner Colonia Duett, bekannt durch u.a. "Zimmermann, du Ei" hat voriges Jahr
genügend Geld verdient mit seiner Hühnerfarm mit 10.000 Hühnern der Kölner Superrasse
„Colonia-Huhn“. Alle Hühner werden geschlachtet, tiefgefroren und verkauft.
Das Gewicht der Hühner nähert sich einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 1920
Gramm und einer Standardabweichung von 150 Gramm.
Die Hühner werden in drei Klassen eingeteilt:
Klasse A: Das "Colonia Grillhühnchen", wenn das Huhn weniger als 1800 Gramm wiegt.
Klasse B: Das "Colonia Brathuhn", wenn das „Huhn zwischen 1800 Gram und 2000 Gram wiegt.
Klasse C: Das "Colonia Suppenhühner", wenn das Huhn mehr als 2000 Gramm wiegt.
a.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig gewähltes Huhn kein Colonia
Brathuhn ist. 2 Punkte
x ~ N ( 1920 ; 150 )

2000 − 1920 

1920 − 1800 
P[1800 < x < 2000 ] = P[x ≤ 2000 ] − P[x ≤ 1800 ] = Pz ≤
 − Pz ≤
=
150
150




P[z ≤ 0,53 ] − P[z ≤ −0,80 ] = 0,7019 − 0,2119 = 0,4900
b.
, also 1 - 0,4900 = 0,5100
Wir reden von einem "Imbiß Colonia Grillhühnchen", wenn das Gewicht des Huhnes zu
den 5% leichtesten Hühner gehört.
Errechnen Sie das Maximalgewicht eines Imbiß Colonia Grillhühnchens. 4 Punkte
x ~ N ( 1920 ; 150 )
Gewicht − 1920 

P[x < Gewicht ] = 0,05 ⇔ P z ≤
 = 0,0500 ⇔
150


Gewicht − 1920
= −1,64 ⇔ Gewicht = 1920 − 150 * 1,64 = 1674 Gramm
150
c.
Herr Hahn mag gerne Imbis Colonia Grillhühnchen und kauft beliebig 304 Colonia-Hühner.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter diesen 304 Hühnern mehr als 18
Imbiß Colonia Grillhühnchen befinden. 5 Punkte
k ~ Bin ( 304 ; 0,05 )
darf ersetzt werden durch
x ~ N ( 15,2 ; 14,44 ) = N ( 15,2 ; 3,8 )

18,5 − 15,2 
P[k > 18 ] = 1 − P[k ≤ 18 ] ≈ 1 − P[x ≤ 18,5] = 1 − P z ≤
=
3,8


1 − P[z ≤ 0,87 ] = 1 − 0,8078 = 0,1922
ProgRESS-code: SR2DAD02 OER 2002
d.
Datum: 18.6.2004
Seite 3
Die tiefgefrorenen Hühner werden in einer Kiste verpackt. Das Gewicht der tiefgefrorenen
Hühner nähert sich einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 1600 Gramm und
einer Standardabweichung von 125 Gramm. Das Gewicht der Kiste nähert sich einer
Normalverteilung mit einem Mittelwert von 2,8 Kilogramm und einer Standardabweichung
von 250 Gramm.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebig gewählte Kiste mit 12 beliebig
gewählten tiefgefrorenen Hühnern mehr als 23 Kilogramm wiegt. 5 Punkte
x ~ N ( 1600 ; 125 ) und y ~ N ( 2800 ; 250 ) Definiere: s = x + x + .... + x + y
[
]
[
]
[]
E[s] = E x + x + .... + x + y = E[x ] + ... + E[x ] + E y = 1600 + ... + 1600 + 2800 = 22000
[]
V[s] = V x + x + .... + x + y = V[x ] + ... + V [x ] + V y = 125 2 + ... + 125 2 + 250 2 = 250000
⇔ σ s = 250000 = 500

23000 − 22000 
P[s > 23000 ] = 1 − P[s ≤ 23000 ] = 1 − Pz ≤
 = 1 − P[z ≤ 2,00] =
500


1 − 0,9772 = 0,0228
e.
Die Anzahl Colonia Brathühner, die pro Stunde verkauft wird, nähert sich einer Poissonverteilung mit einem Mittelwert von 3 Colonia Brathühnern pro Stunde. Die Anzahl Colonia
Suppenhühner, die pro Woche ( = 5 Tage ) verkauft wird, nähert sich einer Poissonverteilung mit einem Mittelwert von 80 Colonia Suppenhühnern pro Woche und die Anzahl
Colonia Grillhühner, die pro Tag ( = 8 Stunden ) verkauft wird, nähert sich einer Poissonverteilung mit einem Mittelwert von 24 Colonia Grillhühnern pro Tag.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer beliebig gewählten Zeitspanne von
zwei Stunden höchstens 20 Hühner verkauft werden. 5 Punkte
m ~ P( λ = 2 * 3 + 80 : 20 + 24 : 4 = 16 ) darf ersetzt werden durch
x ~ N ( 16 ; 16 ) = N ( 16 ; 4 )
20,5 − 16 

P[m ≤ 20 ] ≈ P[x ≤ 20,5 ] = P z ≤
 = P[z ≤ 1,13 ] = 0,8708
4


f.
Herr Zimmermann hat in seiner Tiefkühltruhe, durcheinander, 21 Colonia Grillhühner, 24
Colonia Brathühner und 30 Colonia Suppenhühner liegen. Für eine Suppe benötigt er 2
Suppenhühner. Er nimmt beliebig 8 Hühner aus der Tiefkühltruhe. Errechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit, dass er genau 2 Colonia Suppenhühner gewählt hat. 2 Punkte
k ~ Hyp ( 2 ; 8 ; 30 ; 75
)
 30   45 
  ⋅  
 2   6  435 • 8145060
P[k = 2] =
=
= 0,2100
1,687 • 10 10
 75 
 
8
ProgRESS-code: SR2DAD02 OER 2002
Datum: 18.6.2004
Seite 4
Teil 2 Schätzen und Testen.
Aufgabe 2 (22 Punkte)
a.
Karl und Harrie besitzen zwei verschiedene Hühnerrassen. Die "Braunen Barnevelder" und
die "Weißen Federn". Karl wählt beliebig 61 Hühner. Es ergibt sich, daß er 25 „Braune
Barnevelder“ und 36 „Weiße Federn“ gewählt hat. Die 36 „Weißen Federn“ wiegen
insgesamt 84.960 Gramm. Karl darf davon ausgehen, daß sich das Gewicht der “Weißen
Federn” einer Normalverteilung annähert mit einer Standardabweichung von 280 Gramm.
Errechnen Sie ein 98%-Konfidenzintervall von µ , den Mittelwert des Gewichts von einer
„Weißen Feder“. (Lösung auf 2 Nachkommastellen genau). 4 Punkte
x=
84.960
= 2360; n = 36; σ = 280; z = 2,33
36
x−z*
σ
n
≤µ≤x+z*
σ
n
⇔ 2360 − 2,33 *
280
36
≤ µ ≤ 2360 + 2,33 *
280
36
⇔ 2251,27 ≤ µ ≤ 2468,73
b. Harrie behauptet, dass das Durchschnittsgewicht einer „Weißen Feder“, höchstens 2240
Gramm ist. Harrie darf davon ausgehen, daß sich das Gewicht der „Weißen Federn“ einer
Normalverteilung annähert mit einer bekannten Standardabweichung von 280 Gramm.
Karl möchte diese Behauptung anhand der Stichprobe (siehe Aufgabe a.) überprüfen.
Wählen Sie á=0,05. (Lösung auf 2 Nachkommastellen genau). 6 Punkte
H0 : µ ≤ 2240 
H : µ = 2240 
⇒ 0
H1 : µ > 2240 
H 1 : µ > 2240 
Annahmebereich:
← ;µ + z *
x ~ N( 2240 ; 280)
α = 0,05
x = 2360
σ 
280 
 ⇒ ← ; 2240 + 1,65 *
 ⇒ ← ; 2317,00]
n
36 
x = 2360 ∉ A , also H 0 wird abgelehnt.
Wir nehmen an dass das Durchschnittsgewicht einer „Weißen Federn“ mehr als 2240
Gramm ist.
ProgRESS-code: SR2DAD02 OER 2002
c.
Datum: 18.6.2004
Seite 5
Karl behauptet, dass der Anteil der „Braunen Barnevelder“ 50% ist. Harrie ist der Meinung,
dass dieser Anteilswert niedriger liegt. In einer beliebig gewählten Stichprobe im Umfang
von 100 Hühnern gab es 45 „Braune Barnevelder“. Überprüfen Sie anhand dieser
Stichprobe diese Behauptung. Wähle α = 0,05.
6 Punkte
H 0 : π = 0,50
H 1 : π < 0,50
k ~ Bin( 100 ; 0,50 )
α = 0,05
A = {g l ; ....; 100} wo g l die kleinste ganze Zahl wofür gilt:: P [k ≥ g l ] ≥ 0,95 .
P[k ≤ g l − 1] ≤ 0,05
P [k ≤ 41] ≤ 0,0443 und P[k ≤ 42] ≤ 0,0666 , also g l − 1 = 41 ⇒ g l = 42 und
A = {42 ;43 ; .....; 100} .
45 ∈ A also H 0 wird nicht abgelehnt.
Wir nehmen an dass den Anteilswert „Braunen Barnevelder“ 50% ist.
d. Harrie und Karl sind sich noch immer nicht einig über den Anteil „Braunen Barnevelder“.
Bekannt ist dass sie ungefähr 30.000 Hühner besitzen. Harrie möchte anhand einer
Stichprobe ein 95%-Konfidenzintervall für den Anteil „Braunen Barnevelder“ schätzen.
Außerdem akzeptiert er höchstens eine Abweichung von 2%.
Errechnen Sie den minimalen Stichprobenumfang. Berücksichtigen Sie auch die Ergebnisse
aus Aufgabe d, daß vor einigen Tagen in eine Stichprobe im Umfang von 100 Hühner 45
„Braunen Barnevelder“ gezogen würden. 6 Punkte
z = 1,96
z * p * (1 − p )
45
mit p =
,
n≥
a2
100
a = 0,02
2
n≥
45
55
*
100 100 = 2376,99 , also n = 2377
0,02 2
1,96 2 *
n = 2377 < 10% von 30.000 . Minimaler Stichprobenumfang ist 2377.
ProgRESS-code: SR2DAD02 OER 2002
Datum: 18.6.2004
Seite 6
Teil 3 Regression und χ 2 – Tests.
Aufgabe 3: (10 Punkte)
Die FIHE hat drei Studiengänge AW, BW und IBMS. Die Leitung der FIHE hat eine Übersicht
des letzten Jahres. In der Übersicht steht, wieviel Studenten und StudentInnen eingeschrieben
sind.
StudentIn
50
25
35
AW
BW
IBMS
Student
30
35
25
Die Leitung möchte, dass Sie untersuchen, ob die Studiengänge im Verhältnis der gleichen
Anteil StudentInnen und Studenten haben. Geben Sie jeweils eine ausführliche Begründung.
Wählen Sie für α=0,10.
χ 2 - Kontingenztest
H0 : Die Merkmale Studiengang und Geschlecht sind unabh&a&ngig voneinander.
&&ngig voneinander.
H1 : Die Merkmale Studiengang und Geschlecht sind abha
Beobachtet
AW
BW
IBMS
Summe
StudentIn
50
25
35
110
Student
30
35
25
90
Summe
80
60
60
200
Erwartet
AW
BW
IBMS
Summe
StudentIn
44
33
33
110
Student
36
27
27
90
Summe
80
60
60
200
χ2 =
(50 − 44 )2
+
(30 − 36 )2
+
(25 − 33 )2
+
44
36
33
36 36 64 64 4
4
=
+
+
+
+
+
= 6,40
44 36 33 27 33 27
(35 − 27 )2
27
+
(35 − 33 )2
33
+
(25 − 27 )2
27
(3-1)*(2-1) =2 * 1 = 2 Freiheitsgrade mit α = 0,10 ergibt den Wert 4,61
Also A = [ 0 ; 4,61 ]
χ 2 = 6,40∉
∉ A, also H0 ablehnen. Die Merkmale sind abhängig von einander.
ProgRESS-code: SR2DAD02 OER 2002
Datum: 18.6.2004
Seite 7
Aufgabe 4 (12 Punkte)
Herr Slaats möchte anhand nachstehender Daten errechnen, wieviel Fehler pro Klausur durch
einen Student gemacht werden, wenn die Anzahl richtig gelöster Übungsaufgaben pro
Quartester von diesem Studenten bekannt ist.
Student
Anzahl Aufgabe
Anzahl Fehler
1
2
3
4
5
6
7
8
6
18
12
25
15
22
21
13
33
10
39
6
42
5
48
2
Student
X
Y
XY
1
6
18
108
2
12
25
300
3
15
22
330
4
21
13
273
5
33
10
330
6
39
6
234
7
42
5
210
8
48
2
96
Summe
216
101
1881
Mittelwert
27
12,625
Geben Sie jeweils eine ausführliche Begründung
a.
X2
36
144
225
441
1089
1521
1764
2304
7524
Y2
324
625
484
169
100
36
25
4
1767
(X- X )2
441
225
144
36
36
144
225
441
1692
Errechnen Sie die Gleichung der Regressionsgeraden. Geben Sie die Lösungen auf drei
Nachkommastellen genau an. 3 Punkte
n
b=
n
n
n ⋅ ∑ xi ⋅ yi − ∑ xi ⋅ ∑ yi
i ==1
i ==1
n
n
i ==1
n
n ⋅ ∑ x i 2 − ∑ x i ⋅∑ x i
i ==1
i==1
=
8 ⋅ 1881 − 216 ⋅ 101
= − 0,500
8 ⋅ 7524 − 216 2
i==1
a = y − b ⋅ x = 12,625 − −0,5 ⋅ 27 = 26,125
Also die Gleichung der Regressionsgerade: y = 26,125 – 0,500x
b.
Errechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. Geben Sie die Lösung auf drei
Nachkommastellen genau an. 2 Punkte
n
r=
∑x
i==1
i
⋅ yi − n ⋅ x ⋅ y
2   n
2 
 n 2
 ∑ x i − n ⋅ x  ⋅  ∑ y 2i − n ⋅ y 
 i ==1
  i ==1

=
1881 − 8 ⋅ 27 ⋅ 12,625
(7524 − 8 ⋅ 27 ) (1767 − 8 ⋅ 12,625 )
2
2
= −0,927
ProgRESS-code: SR2DAD02 OER 2002
c.
Seite 8
Errechnen Sie s 2ε . Geben Sie die Lösung auf drei Nachkommastellen genau an.
2 Punkte
s 2εε =
d.
Datum: 18.6.2004
∑y
2
i
− a∑ y i − b∑ x i y i
n− 2
=
1767 − 26 ,125 ⋅ 101 + 0,5 ⋅ 1881
= 11,479
6
Errechnen Sie ein 95%-Vorhersage-Intervall für X 0 = 24 . Wenn Sie Aufgabe c. nicht
gelöst haben, nehmen Sie dann für s 2ε = 11,479 . Geben Sie die Lösung auf drei
Nachkommastellen genau an. 5 Punkte
yc = 26,125 – 0,500 * 24 = 14,125
n = 8 , ergibt 6 Freiheitsgrade mit 95%, ergibt einen t-Wert 2,45
s f = s εε ⋅
(
)
)
2
x0 − x
1
1+ +
n ∑ xi − x
(
2
= 11,479 ⋅ 1 +
1
32
+
= 3,602
8 1692
yc − t ⋅ sf < y < yc + t ⋅ s f ⇔
14,125 – 2,45 * 3,602 < y < 14,125 + 2,45 * 3,602 ⇔
5,300 < y < 22,950
ProgRESS-code: SR2DAD02 OER 2002
Datum: 18.6.2004
Teil 4 Qualitätsmanagement.
Aufgabe 5 (12 Punkte)
Wenden Sie die Grundprinzipien des Total Quality Management an auf:
entweder:
- ein beliebiges Dienstleistungsunternehmen (z.B. Reisebüro)
oder:
- einen beliebigen Lebensmittelhersteller (z.B. bofrost)
(entscheiden Sie sich, ansonsten wird das erste gewertet)
Seite 9
ProgRESS-code: SR2DAD02 OER 2002
Datum: 18.6.2004
Seite 10
Aufgabe 6 (11 Punkte)
Stellen Sie die 7 Stör-(bzw.Einfluß-)größen auf Qualitätsregelkreise an einem geeigneten
Beispielunternehmen dar. Unterteilen Sie zu diesem Zweck vorher Ihr Beispielunternehmen in
die wesentlichen Regelkreise bzw. Prozesse und wählen Sie einen aus (z.B. Beschaffung,
Produktion, Distribution, F&E).