Apostila Matematica Financeira

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Título: Matemática Financeira e Comercial
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
Editora: CopyMarket.com, 2000
Matemática Financeira e Comercial
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
Matemática
Financeira e
Comercial
Conteúdo Programático
Capítulo 1 - Razão
1 - Introdução
2 - Razão
2.1 - Razões inversas.
x Exercícios de fixação
x Exercícios propostos.
Capítulo 2 - Proporção
Carlos Eduardo
Epprecht; Roberto
Minello
1 - Introdução
2 - Proporção
2.1 - Definição
2.2 - Propriedade fundamental das proporções
2.3 - Outras propriedades das proporções
2.4 - Quarta proporcional.
2.5 - Proporção contínua
2.6 - Terceira Proporcional.
Capítulo 3 - Grandezas proporcionais e Divisão proporcional.
1 - Introdução
2 - Grandezas diretamente proporcionais.
3 - Grandezas inversamente proporcionais.
Capítulo 4 - Regra de Sociedade
1 - Introdução
2 - Casos de Regra de Sociedade.
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Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
i
5 - Taxas equivalentes
6 - Prazo médio.
7 -Taxa Média
Capítulo 5 - Regra de três simples
1 - Introdução
2 - Tipos de grandezas
2.1 - Grandezas diretamente proporcionais
2.2 - Grandezas inversamente proporcionais.
Capítulo 11 - Descontos Simples
1 - Introdução
2 - Tipos de descontos
2.1 - Descontos comercial, bancário ou por fora
2.2 - Valor atual comercial
2.3 - Desconto racional ou desconto por dentro
2.4 - Valor atual racional
2.5 - Relação entre desconto comercial e o desconto racional.
3 - Taxa de juros simples e taxa de descontos simples.
3.1 - Taxa de juro simples
3.2 - Taxa de desconto simples
4 - Fluxo de caixa e Equivalência de capitais.
4.1 - Fluxo de caixa.
4.2 - Equivalência de capitais.
Capítulo 6 - Regra de três composta
1 - Introdução
Capítulo 7 - Médias
1 - Introdução
2 - Tipos de Médias.
2.1 - Média Aritmética
2.2 - Média Geométrica
2.3 - Média ponderada
2.4 - Média harmônica
Capítulo 12 - Logaritmos.
1 - Introdução
2 - Definição
3 - Propriedades dos logaritmos
4 - Mudança de base
5 - Função logarítmica
6 - Logaritmos decimais
6.1 - Característica
6.2 - Mantissa
Capítulo 8 - Porcentagem.
1 - Introdução
2 - Elementos de cálculo percentual.
Capítulo 9 - Operações sobre mercadorias
1 - Introdução
2 - Vendas com lucro
2.1 - Sobre o preço de custo
2.2 - Sobre o preço de venda
3 - Vendas com prejuízo
3.1 - Sobre o preço de custo
3.2 - Sobre o preço de venda.
Capítulo 13 - Juros compostos.
1 - Introdução
2 - Taxas equivalentes
3 - taxa efetiva e nominal
3.1 - Taxa nominal
3.2 - Cálculo de taxa efetiva
x Exercício de fixação
x Exercício propostos.
Capítulo 10 - Juros Simples.
1 - Introdução
2 - Regime de capitalização
2.1 - Regime de capitalização simples.
3 - Cálculo de juros simples e montante.
4 - Taxas proporcionais
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ii
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iii
Capítulo 14 - Desconto Composto
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1 - Introdução
2 - Desconto racional composto
1. Razão
Capítulo 15 - Capitalização e Amortização
1 - Introdução
2 - Capitalização Composta
2.1 - Rendas imediatas
2.1.1 - Fórmula do montante de uma renda imediata
2.2 - Rendas antecipadas
2.2.1 - Fórmula de um montante de uma renda antecipada.
3 - Amortização Composta
3.1 - Renda imediata
3.1.1 - Fórmula do valor atual de uma renda imediata
3.2 - Renda Antecipada
3.2.1 - Fórmula do valor atual de uma renda antecipada
3.3 - Rendas diferidas
1. Introdução
Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos.
Esporte
Judô
Futebol
Natação
Handebol
Basquete
Nenhum esporte
Capítulo 16 - Empréstimos.
No de alunos
50
150
200
50
60
90
Vamos analisar os dados da tabela acima através de alguns quocientes:
1 - Introdução
2 - Sistema Francês
2.1 - Montagem de uma planilha de amortização
2.1.1 - Tabela Price
2.2 - Sistema de amortização constante
2.2.1- Cálculo do saldo devedor
2.3 - Sistema de amortização misto
200
a) número de alunos que praticam natação
número de alunos da escola
600
Significado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natação.
1
3
50 1
b) número de alunos que praticam judô
número de alunos que jogam futebol
150 3
Significado: O número de alunos que jogam futebol é triplo do número de alunos que praticam judô.
c) número de alunos que praticam esporte
510
número de alunos da escola
600
Significado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes.
17
20
2. Razão
Dados dois números racionais a e b, com b 0, chamamos de razão ao quociente de a para b.
a
Indicamos razão por
ou a : b, onde a é o antecedente e b é o conseqüente.
b
2.1. Razões inversas
Duas razões são denominadas de inversas, quando o produto entre elas é igual a um.
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iv
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1
Exemplo:
comprimento real
2 1
2 1
e x
1
1 2
1 2
1
400
Exercícios resolvidos
1
600
25
x
600y = 75
1) Estabeleça as razões entre os números abaixo:
2 e 10;
x = 25 x 400
x = 10.000cm ou
x = 100m
1 3
e
2 4
0,1 e 0,01;
y
75
y
75
y
600
0,125m ou
y 12,5cm
Solução:
A razão entre 2 e 10 é
2
10
A razão entre 0,1 e 0,01 é
1
5
5) O estado de Goiás tem uma área aproximada de 341.289km2. De acordo com o censo de 1991 esse
estado tinha uma população, aproximada, de 4.012.562 habitantes. Qual é a densidade demográfica
desse estado?
0,1
10
0,01
1
1 3
A razão entre
e
é 2
3
2 4
4
1 4
x
2 3
Solução:
4
6
densidade demográfica = número de habitantes
área
2
3
densidade demográfica
4.012.562
hab
11,76
341.289
km 2
2) Calcule a velocidade média de um trem que percorre 120km em 3h.
Solução:
Exercícios de fixação
Chamamos de velocidade média ao quociente entre a variação de espaço e a variação de tempo.
1) Calcule a razão entre os números:
Vm
'S
Vm
't
120
3
a) 3 e 21
40Km / h
Significado: em cada 1 hora o trem percorre 40Km.
b) 0,333 ... e 2,1
c)
1 1
e
2 3
2) Determine a razão entre a terça parte de 0,12 e o dobro de 0,1.
4) (L.A.O.-SP) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas.
Escala
1:250
1:400
1:600
Medida do desenho
10cm
25cm
y
3) Determinar a razão entre 4cm2 e 2dm2.
Medida real
25m
x
75m
4) (Unifor-CE) Se a razão entre dois números é
parte do segundo é igual a:
1
1
b)
a)
9
3
As medidas x e y são respectivamente:
c) 1
3
, a razão entre o quíntuplo do primeiro e a terça
5
d) 9
e) n.r.a.
Solução:
5) Calcule a razão entre os volumes de dois cubos de aresta de medida 1cm e 2cm, respectivamente.
Escala = comprimento no desenho
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2
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3
6) (UDF) Um estado brasileiro tem a população de 10 milhões de habitantes e uma média de 40
hab/km2. Qual é a sua superfície?
a) 100.000km2
b) 250.000km2
c) 500.000km2
d) 1.000.000km2
e) n.r.a.
3) Num concurso público, havia 6.000 candidatos. Tendo sido aprovados 1.200, a razão entre o número
de reprovados e o número de candidatos é de:
4) Multipliquei o antecedente de uma razão por 5 e dividi seu conseqüente por 2. A razão ficou:
7) (TRF) Uma estrada está representada por 15 cm num mapa de escala
dessa estrada é:
a) 3km
b) 30km
c) 300m
d) 3.000cm
1
. O comprimento real
20.000
e) 30.000dam
8) (ESPCEX) Um trem com a velocidade de 45 km/h, percorre certa distância em 3,5h. Nas mesmas
condições com a velocidade de 60km/h, quanto gastará para percorrer a mesma distância?
a) dividida por 2
b) multiplicada por 5
c) dividida por 10
d) multiplicada por 10
e) n.r.a.
5) (EPCAR) Chama-se densidade demográfica a razão entre o número de habitantes de uma região e a
área da mesma. Assim sendo, se a área do Distrito Federal for de 5.800km2 aproximadamente e sua
densidade demográfica for de 203 hab/km2, então o número de habitantes deverá ser:
a) superior a 1,5 x 106
b) inferior a 1,1 x 106
c) superior a 1,3 x 106
d) exatamente a 1,3 x 106
e) aproximadamente 1,2 x 106
9) (Fatec-96) Um terreno retangular tem 170m de perímetro. Se a razão entre as medidas é 0,7, então a
área desse terreno, em metros quadrados, é igual a:
6) (TTN) Num mapa, cuja escala é
10) (IBGE) Observe o mapa de um sítio na escala 1:10.000
1
, a estrada Belém-Brasília tem 67cm. Calcular, em km, a
3.000.000
distância real.
7) (TTN) Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo Horizonte, de 729km, em 7h e 30min.
Qual a sua velocidade média?
8) (UFMG) Dois caminhões-tanque carregam o mesmo volume de misturas de álcool e gasolina. A
mistura de um contém 3% de álcool, e a do outro, 5% de álcool. Os dois caminhões descarregam suas
cargas em um reservatório que estava vazio. A razão do volume de álcool para o de gasolina na mistura
formada no reservatório, após os caminhões terem descarregado:
O proprietário do sítio pretende cercá-lo com três voltas de arame. A quantidade de arame que ele vai
gastar é igual a:
a) 1.800m
b) 2.000m
c) 3.600m
d) 4.200m
e) 5.400m
a)
a) 1
c) 0,333 ... e 0,666 ...
d)
1 5
e
3 3
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b) 1
c) 2
d) 3
c)
1
16
d)
1
12
e) n.r.a.
c) 1
d) 1
50
40
500
e) n.r.a.
10) Dois números inteiros são tais que um deles é igual à quarta parte do outro. A razão entre o menor
desses números e a soma dos dois números pode ser expressa pela fração:
a)
2) (E.E.Aer) O produto de duas razões inversas é igual a:
a) 0
1
24
b) 1
400
1) Determine a razão entre os números.
b) 1,2 e 0,02
b)
9) O proprietário de um terreno de 1.000m2 deseja construir uma horta com 4 canteiros de 50dm2 cada
qual. A que fração do terreno corresponde a área total ocupada pela horta?
Exercícios propostos
a) 2 e 6
1
25
1
5
b)
1
3
c)
3
4
d)
2
3
e) n.r.a.
e) n.r.a.
4
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5
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1)
a)
b)
c)
2
6
comprimento no desenho
1

°escala
compriment
o
real
3
.
000
.000
6) ®
°
ou
x 2.010km
¯ x 201.000.000cm o
1

12
126 10010
.
10

2
10
2
0,02
100
1,2
3
1
1 3
93 x
6
2
3 2
0,666...
9
3
0,333...
1 3
d) 3 x
5
3 5
3
7) Vm
60
8)
1
2
's
Vm
't
5
3% de álcool
e
97% de gasolina
5% de álcool
e
95% de gasolina
8% de álcool
e
192% de gasolina
a
k
b
4) k
a
k
b
4800
k
6000
5xa
k
b
2
k
a alternativa correta é a
b
4 x 50
k
100.000
200
k
100.000
1
500
b
4
5
5xax2
k
b
a
.10
b
1

°a 4 b b 4a
°
a
a
°
10) ®k
k
k
ab
a 4a
°
°a alternativa correta é a a
°
¯
d
número de habitantes
número de habitantes

203

°densidade demográfica
5800
área
°°
o
o
5) ® n de habitantes 5800 x 203 n de habitantes 1.177.400
°a alternativa correta é a
e
°
¯°
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1
24
8%
k
192%
b
k
km
h
caminhão A:
Como no concurso haviam 6000 candidatos, sendo 1200 aprovados. O número de reprovados será:
6000 – 1200 = 4800, logo a razão será:
97,20
caminhão B:
k
1
729 x 2
Vm
15
729
Vm
15
2
9) 1000 m2 = 100.000 dm2
3)
67 x 3.000.000
3
1
2)
67
x
x
6
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1a
k
5a
1
5
7
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x
5
1) Calcular o valor de x na proporção:
Solução: 10 x x
2. Proporção
Resposta: x
60
x
10
5 x 12 x
12
10
6
6
2) Determinar o valor de y na igualdade:
y 5
6
3
2
Solução : 2(y - 5) 3 x 6 2y - 10 18 2y 18 10 2y 28 y
1. Introdução
28
y 14
2
Resposta: y 14
A proporção é assunto de muita importância na matemática, como também, na vida.
Todo o estudo de aritmética que fazemos tem por base a razão e a proporção, mostrando ao
aluno suas aplicações práticas.
3) Obter o valor de x na proporção:
2. Proporção
Solução:
2.1. Definição
3
3 2
6
Chama-se de proporção a toda sentença que indica uma igualdade entre duas razões.
2
3x x
x
2
3

5
x
6
2x
3
1 1
2 3
2
x
5
3x x
6
10
x
6
10
6 x
3
1
10 1
x x
6 3
10
x
18
5
9
Podemos representar as proporções das seguintes maneiras:
a
b
c
d
ou a : b = c : d ou a : b :: c : d
1) (ETAM-81) A proporção
com (a, b, c, d racionais, não nulos).
Lê-se: “a está para b assim como c está para d ”
a)
a
c
b
d
b)
a
b
a
b
d
c
c
pode também ser escrita:
d
b
a
c)
c
d
d
c
a
b
1
c) 2
1
3
4
x
d)
e) n.r.a.
2.2. Propriedade fundamental das proporções
2) Calcule o valor de x na proporção:
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e vice-versa.
a
b
c
bxc
d
a x d (a; b; c; d z 0)
x
2
1
3
0,5
2
1
x
3) O valor de x na proporção
x
a)
b)
Numa proporção os termos são a, b, c, d e de acordo com essa propriedade b e c são os meios e a e d
são os extremos.
Exemplo:
2
3
4
6
3x 4
=
2x 6
2
produto
produto
dos meios dos extremos
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8
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3
1
3
5
2
1 1
d) 2 3
2
x
1
4
1
4 é?
9
2.3. Outras propriedades das proporções:
1) (PUC) Qual das seguintes equivalências é verdadeira:
P1 - Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos
conseqüentes, assim como um antecedente qualquer está para o respectivo conseqüente.
a
b
c
ab

d
a
b)
a
b
c
ac
d
c)
a
b
c
ac
d
a)
d)
cd
c
a
b
cd
d c
x
M
a; b; c; d z 0
c
d
4
x
a
b
cd
c
a
b
a b
° a
°
c
®ou
d
°a b
°
¯ b
cd
c
a; b; c; d z 0
cd
d
3
1
2
2
=
c
d
a b
° a
°
c
®ou
d
°a b
°
¯ b
2
1
3
3) Determinar valor de M na proporção:
12
a; b; c; d z 0
P2 - Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o 1o ou para o 2o,
assim como a soma dos dois últimos termos está para o 3o ou 4o termo.
x
2,25
1
5
§ 1· 1
b) ¨1 ¸ y
© 2¹ 2
c)
a
b
ac
°b d
°
c
®ou
d
°ac
°
¯b d
bd
2) Calcule o termo desconhecido nas proporções abaixo:
a)
a
b
bd
c
ac

d
bd
a
b
a
b
ac
°b d
°
c
®ou
d
°ac
°
¯b d
(0,25)1/2
P3 - Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim
como o quadrado de um antecedente qualquer está para o quadrado do respectivo conseqüente.
0,666...
a
b
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a; b; c; d z 0
cd
d
10
ac
°
bd
c
°°
®ou
d
° ac
°
°¯ bd
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a2
b2
a; b; c; d z 0
c2
d2
11
Proporções múltiplas:
Quando temos uma igualdade de três ou mais razões, dizemos que se trata de uma proporção múltipla.
Consideremos a série de razões iguais:
a
b
c
d
e
f
g
h
a
b
/ , então temos que:
c
d
e
f
g
h
a c e g /
b d f h /
/
1) Calcule x e y na proporção
4
6
6
é uma proporção múltipla pois:
9
246
369
246
3 69
2
°3
°
°ou
°° 4
®
°6
°ou
°
°6
°¯ 9
12
°18
°
°ou
12 °°12
e ®
18 °18
°ou
°
°12
°¯18
x
2
e
f
x
5 x 30 x 6
2
y
5 y 45 y 9
3
2
3
x
7
y
, onde x - y = 40.
2
Solução:
Pela propriedade P1, temos que:
4
6
x
7
6
9
x y
°° 7 2
y
®
2
°x y
¯° 7 2
x
40

7
5
y
40

2
5
x
5 x 280 x 56
7
y
5 y 80 y 16
2
Resposta: x = 56 e y = 16.
3) Determine os valores de p e q na proporção
p
q
8
, onde p + q = 132.
3
Solução:
Observe que as incógnitas agora são antecedente e conseqüente (e não antecedentes, como nos
exercícios anteriores), por isso, aplicaremos a propriedade P2.
1)
ace
bd f
a
b
c
d
e
f
2)
ace
bd f
a
b
c
d
e
f
3)
ace
bd f
a
b
c
d
e
f
4)
ace
bd f
a
b
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x 15

2
5
y 15

3
5
2) Calcule o valor de x e de y na proporção
e observando as propriedades P1 e P2, podemos escrever:
c
d
x y
y
°° 2 3
®
3
°x y
°¯ 2 3
Resposta: x = 6 e y = 9
Generalizando, dada a série de razões iguais:
c
d
y
, sabendo que x + y = 15.
3
Aplicando a propriedade P1, temos:
De fato
a
b
x
2
Solução:
Exemplo:
2
3
p q 8 3 132

p
8
8 °° p
®
3 ° p q 8 3 132

q
3
¯° q
Resposta: p = 96 e q = 36.
p
q
e
f
11
11 p 1056 p 96
8
11
11q 396 q 36
3
4) Obter os valores de a e b na proporção
12
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a
b
5
, sabendo que a - b = 12.
4
13
8
a b c a
° 5 2 1 5 4
°
8
°a b c b

®
5 2 1 2
4
°
abc 8
8
°a b c c

° 5 2 1 1
4
¯
Resposta: a = 10, b = 4 e c = 2.
a
5
Solução:
a
b
a b
5 °° a
®
4 °a b
°¯ b
5 4 12

5
a
5 4 12

4
b
1
a 60
5
1
b 48
4
x
2
5) Uma substância química é composta de ouro e ferro na proporção 2 partes de ouro para cada 3 de
ferro.
Para fabricar 30g dessa substância, quantos gramas de ouro e de ferro serão necessários?
Solução:
y
3
e
x y
x y
°° 2 3
®
x y
30 °°
¯23
30
x

2
5
y
30

3
5
c
1
a
4a 40 a 10
5
b
4b 16 b 4
2
c
4c 8 c 2
1
7) Calcule os valores de x e y na proporção abaixo:
Resposta: a = 60 e b = 48.
x
2
b
2
e
x
5 x 60 x 12
2
y
5 y 90 y 18
3
y
e xy = 96
4
Solução:
Aplicando a propriedade P3, teremos:
x x y x2
96 x 2
4 x 96

8 x 2 4 x 96 x 2
x 2 48 x
48
°
2
x
2
4
2
8
4
8
°
°° x 4 3
e
®
2
2
96 x 16
° x x y y 96 y
xy 96
y 2 12 x 16
8 y 2 96 x 16 y 2
° 2 x 4 42
8 16
8
°
°¯ y
12 x 16 y 8 3
x
2
y
4
Resposta: x
Resposta: A substância química é formada por 12g de ouro e 18g de ferro.
4 3 e y
8 3
4) Encontre o valor de a e b, onde
6) Calcule os valores desconhecidos.
5) Calcular x e y na proporção
a b c
°
®5 2 1
°̄a b c 8
x
3
a
6
b
e a b 2
2
y
, sabendo-se que x + y = 30.
2
6) Calcule o valor de x e y na proporção
Solução:
Aplicando a propriedade das proporções múltiplas, teremos:
x
y
2
, sabendo-se que x + y = 15.
3
7) Calcule dois números positivos cujo produto é 24 e a razão entre eles é 2 : 3.
8) A razão entre a idade do filho e a do pai é de 1 : 3. Sabendo-se que a soma das idades é 72 anos,
calcule a idade do filho.
9) Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser
ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será:
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14
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15
x
10) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que
2
x
11) Calcule o valor de x, y e z onde:
5
y
2
y
3
11) O complemento de um ângulo está para o seu suplemento assim como 1 : 3. Calcular a medida do
ângulo.
z
, o valor de x é:
4
12) A razão entre os dois números é 3 : 8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, o maior
deles é:
z
e x - y - z = 6.
1
12) (E.E.Aer) O denominador de uma fração supera de 3 unidades o numerador; aumentando-se os
2
. Calcule o numerador da fração.
termos da fração de 1, a fração obtida resulta igual a
3
13) As dimensões de um terreno retangular estão na razão
5
. Se a área do terreno é de 1000m2, então
8
13) Determinar os valores de a, b e c, onde
a
7
b
5
c
2
e a + b - c = 60.
14) (Banco do Brasil) Uma herança de R$ 101.500,00 deve ser dividida entre três pessoas, de modo que
3
2
da parte da terceira. Quanto
da parte da segunda e aos
a parte da primeira corresponda aos
4
5
tocará a cada uma das três pessoas?
sua maior dimensão, em metros, mede:
14) (L.A.O. - SP) Misturando suco concentrado e água na proporção de uma parte de suco para três de
água, fizemos 24 litros de refresco. Se tivéssemos misturado a mesma quantidade de suco
concentrado na proporção de 2 partes de suco para 5 de água, quantos litros de refresco teríamos
conseguido?
Sendo a, b e c três números racionais diferentes de zero, denomina-se de quarta proporcional desses
a c
números um número x, tal que:
b x
4) (TCF) Sendo
a
2
n.r.a
a)
a
2
Exemplo:
Calcular a quarta proporcional dos números 2; 5 e 8.
b
, então :
5
ab
7
b)
b
5
ab
2
c)
a
2
ab
5
x
3
y
, sabendo que x - y = 5.
2
x
y
2
, sabendo que x + y = 10.
3
7) Se
x
7
d)
b
5
ab
10
Solução:
e)
Temos:
8
2x
x
40 x
20
É toda proporção cujos meios são iguais.
Exemplo:
1
3
3
9
3
cuja diferença entre seus termos é 10?
2
9) (ETF-SP) Se 760 litros de uma mistura contém álcool e água na razão 14 : 5, então o número de
litros de álcool na mistura é:
2.6. Terceira proporcional
É uma proporção contínua.
10) O número que diminuído de 3 unidades está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6 é:
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2
5
2.5. Proporção contínua
y
e xy 189 , então x - y vale:
3
8) Qual a fração equivalente a
2.4. Quarta proporcional
Sendo a e b dois números racionais, não nulos, denomina-se de terceira proporcional desses números
um número x tal que:
16
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17
a
Exemplo:
b
b
x
15) Calcule a quarta proporcional entre os números:
Obter a terceira proporcional dos números 2 e 4.
a) 1; 2 e 5
b)
Solução:
2
4
1 1 1
; e
2 3 4
c) 0,1 ; 2 e
1
2
16) Calcule a terceira proporcional entre os números:
4
16
2 x 16 x
x 8
2
x
a) 2 e 3
b) 2 e
1
2
c)
1 1
e
2 5
1) Calcular a quarta proporcional dos números 6; 5 e 9.
Resolução:
6
5
CAPÍTULO 2 – Proporções
9
6x = 5 9 6x = 45 x = 7,5
x
1) a
2) Determinar a terceira proporcional dos números 2 e 12:
2) a)
Solução:
2
12
12
2x = 12 x 12 2x = 144 x = 72
x
1
5
§
b) ¨1 ©
x
5x
2,25
1· 1
¸:
2¹ 2
15) (EPCAR) A quarta proporcional entre 12; 8 e
a) 20
b)
5
2
c)
5 3
2
x
°
1
°2 2
°°
c) ®
° x
°
° 3
°¯ 2
75
d) 20 3
e) 40 3
16) A terceira proporcional entre 2 e 7 é:
a)
49
3
b)
49
2
c) 25,5
d) 26
b) 1,6
c) 5,0
d) 7,2
3
4
2
1
x
2
3
2
1
3
2,25
x
5
4
3
xx
x
2
4x
0,45
1
3
xx
2
2
2 x
9
x
2
9
2 x
5
3
2
x
3
2
2x
2
x
3
4
3

5
3
xx
5
3
3
3x
3
5
xx
2
3
9 3
x x
2 5
27
x
10
2,7
e) n.r.a.
12 0,251 / 2
0,25
12
°

6
0,666 /
M
°M
°
9
3) ®
° M x 0,25 12 x 6 M x 0,25
°
9
°
¯
17) (E.E.Aer) A terceira proporcional entre os números 5 e 6 é:
a) 0,5
2,25 x
e) n.r.a.
72
1
xM 8 M
9
2
8
M 8 x 2 M 16
1
2
4) a
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18
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19
x y
°° 3 2
5) ®
°x y
°¯ 3 2
x
5

3
1
y
5

2
1
x y
°° x
6) ®
°x y
¯° y
2 3 10

2
x
2 3 10

3
y

°
°
°um ângulo o D
°
q
°complement o o 90 D
°°
11) ®sup lemento o 180q D
° q
1
° 90 D
1 x §¨180q D ·¸ 3 x §¨ 90q D ·¸ 180q D 270q 3D
°
q D 3
©
©
¹
¹
180
°
°
q
° D 3D 270q 180q 2D 90q D 90 D 45q
2
¯°
x
x 15
3
y
y 10
2
20
5
5 x x 10 x 2 5 x x 20 x
x 4
5
2
30
5
5 x y 10 x 3 5 x y 30 y
y 6
5
3
x y
° 7 3 e x x y 189
°
°x x y x2
189 x 2
49 x 189

21 x x 2 49 x 189 x 2

°
2
x
21 49
7
3
21
°
7
°
2 441 x 2
°
441 x 21
7) ® x
°
2
2
x
x
y
y
y
9 x 189
189
°

21 x y 2 9 x 189 y 2

°7x3
2
21
9
21
3
°
°
2 81 y 2
81 y 9
° y
°¯O valor de x - y 21 - 9 12
3
a 3
°b 8 a 8 x b
°
°b 2a 42 b 2 x 3 x b 42 b 42 b 6 x b 42
°
8
8
°
168
42
4b 3b 168
° b 3
12) ® x b

7b 168 b
b
7
1
4
4
° 1 4
72
3
3
°
°a 8 x b a 8 x 24 a 8 a 9
°
°R : O maior número é 24
¯°
a 3
° b 2 e a - b 10
°
° a b 3 2 10 1 a 30
° a
3
a 3
8) ®
° a b 3 2 10 1 b 20
° b
2
b 2
°
30
°R : A fração equivalente é
20
¯

água o y
x y 760
°álcool o x
°
760 19
° x y 14 5

19 x x 760 x 14 19 x x
°
9) ® x
14
x
14
° x y 14 5
760 19

19 x y 760 x 5 19 x y
°
y
5
y
5
°
°¯R : O número de litros de álcool é de 560 litros.
10)
x 3
x 1
5
6x 3 5x 1 6 x 18 5x 5 6x 5x
6
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a b c
°7 5 2
°
°a b c
13) ®
°7 5 2
°a b c
°7 5 2
¯
x
y
3.800 y
5 18 x
10.640
x 560
19
3.800
y 200
19
23
420
a
10 x a 60 x 7 10a 420 a
a 42
10
7
300
b
10 x b 60 x 5 10b 300 b
b 30
10
5
120
c
10 x c 60 x 2 10c 120 c
c 12
10
2

° x y z 101.500
°
°x 2 x y y 5 x x
°
5
2
°
3
4
°x
xzz
xx
4
3
°
°°
6 x 15 x 8 x 6 x 101.500
5
4
14) ® x x x 101.500

6
6
2
3
°
609.000
°
x 21.000
°29 x 609.000 x
29
°
° y 5 x x y 5 x 21.000 y 52.500
°
2
2
°
° z 4 x x z 4 x 21.000 z 28.000
°¯
3
3
14
5
10.640 x
a
60

7
10
60
b

5
10
60
c

2
10
24
20
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21
15) a)
1
2
1
b) 2
1
3
0,1
c)
2
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5
x 10
x
1
4 1xx
x
2
1 1
1
x xx
3 4
2
1
2 0,1 x x
x
2x
1
x
12
1
1

xx
2
10
1
12 x
1
2
1 2
x x
12 1
1
x
1
10
1 x
1
6
3. Grandezas Proporcionais e Divisão Proporcional
10
1. Introdução
16) a)
2
3
2
b)
1
2
1
c) 2
1
5
3
2x
x
9x
1
2 2x
x
9
2
1 1
x 2x
2 2
1
5 1 xx
x
2
Ocorrem no dia-a-dia situações que envolvem números tais como: tempo; espaço; velocidade;
pressão; massa; volume; salário; horas de trabalho; número de empregados etc. A cada uma dessas
situações mencionadas acima chamamos de grandeza.
1
x
4
1 1
1
x xx
5 5
2
1
4 x
2
1
x
25
1 1
x x
4 2
1
25 x
1
2
Assim, o número de horas de viagem realizado por um automóvel depende da sua velocidade e do
espaço a ser percorrido.
1
8
1 2
x x
25 1
As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
2. Grandezas diretamente proporcionais
2
25
2.1. Definição
Uma grandeza A é proporcional a uma grandeza B, quando as razões entre os elementos de A e os
seus correspondentes valores em B for uma constante, isto é, sendo A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2;
b3;...; bn), então:
K
a1
b1
a2
b2
a3
b3
....
an
bn
K é denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade;
Exemplo:
Sejam as sucessões de números (3; 4; 5; 6) e (6; 8; 10; 12)
K
3
6
1
2
K
4
8
1
2
K
Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é
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22
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5
10
1
2
K
6
12
1
2
1
.
2
23
2) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.
3. Grandezas inversamente proporcionais
Solução:
3.1. Definição
Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B, quando o produto de todos os
elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto é, se A = (a1; a2; a3;...; an) e
B = (b1; b2; b3;...; bn), então:
x y
x y 60 °
°23

x y
®
°x y
2 3
°¯ 2 3
x 60

2
5
60
y

3
5
x
5 x 120 x 24
2
y
5 y 180 y 36
3
K = a1 b1 = a2 b2 = ... = an bn
Exemplo:
3) Divida o número 20 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
1) Sejam as sucessões de números (1; 2; 4; 5) e (20; 10; 5; 4):
Solução:
K = 1 20 = 20
K = 2 10 = 20
K = 4 5 = 20
K = 5 4 = 20
x y
x
1
2
Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é 20.
20
y
1
3
x y
°1 1
° °2 3
®
°x y
°1 1
°¯ 2 3
20
x

1
3 2
2
6
20
y

1
3 2
3
6
20 6
20 x
x
2 x 24 2 x x 12

1
5
1
5
2
6
2
20 6
24
y
3 y 24 3 y y

y 8
1
5
3
3
4) Divida o número 56 em partes proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo proporcional a 1 e 4.
1) Verifique se as seqüências de números abaixo são diretamente ou inversamente proporcionais.
Solução:
a) (2; 4; 5) e (6; 12; 15)
x 2 x1 2
x 3 x 4 12
Solução:
Sendo K o fator de proporcionalidade mostraremos que a razão é uma constante.
K
2
6
4
12
5
15
x
y
2 12
x y 56
1
3
Logo, são diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é
x y x
2 12 2
112
56 x
14 x 56 x 2 x
x 8
14
14 2
x y
y
2 12 12
56 x 12
56 y
14 y 56 x 12 y
y
14
14 12
1
.
3
b) (1; 4; 10) e (20; 5; 2)
Solução:
K = 1 20 = 4 5 = 10 2 = 20
Logo, são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 20.
48
5) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e
4.
Solução :
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24
CopyMarket.com
25
1 1
3 3
1 1
y 2x
4 2
x 1x
x y
x
1
3
60
y
1
2
4) (E.E.Aer) Dividir 150m de seda em duas porções proporcionais aos números 2 e 3:
a) 40m e 110m
c) 50m e 100m
e) n.r.a.
b) 45m e 105m
d) 60m e 90m
x y
°1 1
° °° 3 2
®
°x y
°
°1 1
¯° 3 2
60 x 6
x

1
5
3
60
x

1
5
3
6
y
60

1
23
2
6
72
x
3
3 x 72 3 x x
y
60 x 6

1
5
2
2y
360
5
5) (CPFO) Dividindo-se 306 em partes diretamente proporcionais a 2; 5 e 11 resulta, respectivamente:
a) 34; 119; 153
c) 153; 61,2; 27,8
e) n.r.a.
b) 34; 85; 187
d) 80; 100; 126
6) Dividir o número 60 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
24
2 y 72 2 y y
72
y
2
7) (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente proporcionais aos números
5 3
e .
4 4
8) (Banco do Brasil) O lucro de determinada empresa foi dividido entre seus três sócios, na proporção
de 3; 5 e 9. Sabendo que o segundo sócio recebeu R$ 40.000,00 a mais do que o primeiro, perguntase qual foi o lucro total da empresa e quanto coube a cada um dos sócios.
1) A tabela abaixo relaciona o valor de uma máquina em dólares com o tempo decorrido, em anos, após
sua fabricação:
Valor (US$)
36
0
18.500
Tempo após a fabricação (anos)
1
2
3
18.000
17.500
17.000
4
16.500
9) (Banco do Brasil) A quantia de R$ 20.650,00 foi dividida entre duas pessoas, sendo que a primeira
recebeu na razão direta de 8 e na razão inversa de 3 e a segunda pessoa recebeu na razão direta de 9
e na razão inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa?
10) (Banco do Brasil) A importância de R$ 684.000,00 foi dividida entre duas pessoas. Sabendo que a
primeira recebeu na razão direta 7 e de 3 e que a segunda recebeu na razão direta de 9 e 4, calcular
a parte de cada uma.
De acordo com a tabela, é verdade que:
a) O tempo decorrido de fabricação é diretamente proporcional ao valor;
b) O valor é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a sua fabricação.
c) O tempo de fabricação e o valor são duas grandezas diretamente proporcionais;
d) O decréscimo anual do valor da máquina é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a
sua fabricação.
e) n.r.a.;
11) (TTN) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo
2 4
4
2
tempo diretamente proporcionais a e
e inversamente a
e
. Quantas balinhas cada
3 7
9
21
criança receberá?
12) Dados os gráficos cartesianos:
2) (PUC) Se (2; 3; x) e (8; y; 4) são duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:
a) x = 1 e y = 6
c) x = 1 e y = 12
e) n.r.a.
b) x = 2 e y = 12
d) x = 4 e y = 2
I)
II)
y
III)
y
y
3) Duas grandezas, velocidade e tempo, estão relacionadas conforme a tabela:
Vm (m/s)
t (s)
10
20
20
10
25
8
x
Aqueles que indicam, respectivamente, que y é diretamente proporcional a x; que y é inversamente
proporcional a x; e que só a variação de y é proporcional a variação de x são:
a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais?
b) Qual é a constante de proporcionalidade?
c) Construir o gráfico da velocidade em função do tempo.
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x
x
40
5
a) III; I; II
b) II; III; I
26
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c) I; III; II
d) III; II; I
e) n.r.a.
27
9) Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão,
de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um,
se as faltas foram 1; 2; 2; 3 e 5?
10) Divida o número 44 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3
e 5, respectivamente.
1) (PUC) Para que as sucessões (9; x; 5) e (y; 8; 20) sejam diretamente proporcionais, isto é, para que se
9 x 5
, os valores de x e y devem ser respectivamente:
verifiquem a igualdade
y 8 20
1 1
c) 2 e 5
d) 5 e 35
e) n.r.a.
a) 2 e 36 b) e
4 5
2) (F. Carlos Chagas) Se as seqüências (a; 2; 5) e (3; 6; b) são de números inversamente proporcionais e
a + m b = 10, então m é igual a:
a) 0,4
b) 1,0
c) 2,0
d) 2,5
e) 5,0
3) Duas grandezas, espaço e tempo, estão relacionados conforme a tabela abaixo:
s (m)
t (s)
40
2
60
3
80
4
Responda as perguntas abaixo:
a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais?
b) Qual a constante de proporcionalidade?
c) Esboçar o gráfico do espaço em função do tempo.
respectivamente:
a) 130; 220; 110
b) 120; 180; 360
c) 360; 180; 120
d) 330; 220; 110
5
9 x
° y 8 20
°
°9
5
9 1

y 9 x 4 y 36
°
1) ® y 20
y 4
°x
5
°
20 x x 8 x 5 20 x x 40 x
° 8 20
°A alternativ a correta é
a
¯
40
X
20
2
3a 2 x 6 5b
°
°3a 12 a 12 a 4
3
°
°
12
2) °
®12 5b b
5
°
12
°
a
mb
10
4mx

10 20 12m 50 12m 30 m
°
5
°
°¯A alternativa correta é a d
100
5
4) (Mack) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos números
1 1 1
, e , obtém-se
2 3 6
e) n.r.a.
30
m
12
5
2
3) a) essas grandezas são diretamente proporcionais
b) k
vm
c)
's
't
40
2
60
3
80
4
100
5
20
km
h
s(m)
60
5) (Osec) A importância de R$ 780.000,00 deve ser dividida entre os três primeiros colocados de um
concurso, em partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos por eles, que são 50; 43 e
37, respectivamente. Determinar a importância que caberá a cada um.
40
6) Dividir o número 40 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
2 3
7) (FEI) Dividir 46 em partes inversamente proporcionais a 1 e 1,3.
t(s)
8) (Banco do Brasil) Distribua 192 bolas entre quatro crianças, de tal modo que a segunda receba 15
bolas a mais do que a primeira, a terceira 6 bolas a mais que a segunda, e a quarta, 11 a mais que a
terceira.
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28
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29
x y z 660
°
°x y z
°1 1 1
°2 3 6
°
660
660 x 6
660
x
°xyz
2x
2x x

x 330
°1 1 1 1
3 2 1
6
2
° 6
4) °® 2 3 6 2
y
660
660
°xyz
3y y

y 220
°1 1 1 1
6
3
°
6
°2 3 6 3
660
660 x 6
660
z
z
°xyz
6z z

z 110
°1 1 1 1
3 2 1 1
6
6
° 6
6
°2 3 6 6
°¯A alternativ a correta é a d
x y z 780.000
°
y
z
°x
° 50 43 37
° xyz
x
780.000
°

130
° 50 43 37 50
°° x 300.000
5) ®
y
780.000
° xyz

° 50 43 37 43
130
° x 258.000
°
° xyz
z
780.000

°
130
° 50 43 37 37
°¯ z 222.000
x y 40
°
°x y
°1 1
°2 3
°
°
x
40
6) ® x y

3 2
°1 1 1
°2 3 2
6
°
° x y y 40
3 2
°1 1 1
°¯ 2 3 3
6
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a b 46
°
b
a
b
°a

1
1 10
°1
° 1 1,3
1 13
°
° ab
46 x 13
46
a
a
7) ®

a a 26
13 10 1
23
° 1 10 1
° 1 13
13
°
13b
46 x 13 13b
13
46
b
° ab

xb
° 1 10 10
13 10
10
23
10
10
° 1 13 13
13
¯
x
130 x
50
50 x 780.000 x
50 x 780.000

130
y
130 y
43
43 x 780.000 y
43 x 780.000

130
37 130 z
37 x 780.000 z
2x
40 x 6
5
2x 8 x 6
2x 2x
3y
40 x 6
5
3y 8 x 6
3y 3y
48 x
48 y
48
y
3
a b c d e 152 . 000
°a
b
c
d
e
°
1
1
1
1
°1
°1
2
2
3
5
°
a
152 . 000
° a b c d e

°1 1
30 15 15 10 6
1
1
1
1
° 30
2
2
3
5
1
°1
152 . 000 x 30
°
a
a
.
60
000

°
76
°
°° b
a
2 b 60 . 000 b 30 . 000

9) ® 1
°2
°
°c
a 2 c 60 . 000 c 30 . 000
°1
°
2
°
°d
a 3 d 60 . 000 d 20 . 000
°1
°
°3
°e
a 5 e 60 . 000 e 12 . 000
°
°1
¯° 5
24
16
26 x 10
b
13
20
a b c d 192
°
°b a 15
°c b 6 c a 15 6 c a 21
°
°d c 11 d a 21 11 d a 32
°a a 15 a 21 a 32 192 4a 68 192
°
8) ®
124
31
° 4a 192 68 4a 124 a
4
°
°b a 15 b 31 15 b 46
°c b 6 c 46 6 c 52
°
°d c 11 d 52 11 d 63
°
¯R : As crianças vem receber respectivamente : 31 bolas; 46 bolas; 52 bolas; 63 bolas
37 x 780.000

130
48
x
2
26 b
30
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a
31
a b 44
°
°a o 1 x 1
°
3
°
°b o 2 x 1
°°
5
10) ® a b a
°
°1 2 1
°3 5 3
°ab b
°
2
°1 2
°¯ 3 5
5
1½
3 °° a
¾
2° 1
5 °¿ 3
44
56
15
44

56
15

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b
2
5
3a
44 x 15
11
5
44 x 15
xb
2
11
3a 60
3a a
5
x b 60
2
60
a
3
5
xb b
2
20
60 x 2
b
5
4. Regra da Sociedade
24
1. Introdução
Entendemos por regra de sociedade um grupo de pessoas que se reúnem, cada qual tendo um capital
para ser aplicado por um período de tempo, numa atividade comercial podendo ocorrer lucros ou
prejuízos.
Os problemas de regra de sociedade serão resolvidos através das aplicações dos casos de divisões em
partes diretamente proporcionais.
2. Casos de Regra de Sociedade
1o ) Capitais iguais e tempos diferentes
Neste caso, o lucro ou prejuízo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais aos
tempos de permanência dos sócios.
Exemplo:
1) Três pessoas formam uma sociedade permanecendo o primeiro durante 12 meses, o segundo 8
meses e o terceiro 6 meses.
Quanto ganhou cada um, se a sociedade apresentou um lucro de R$ 260.000,00?
Solução:
a + b + c = 260.000
a b c
12 8 6
Aplicando a propriedade das proporções teremos:
abc
a b c
260.000 a b c
12 8 6 12 8 6
26
12 8 6
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32
260.000
26
a
26a 12 260.000 a
12
12 260.000
a 120.000
26
260.000
26
b
26b 12 260.000 b
8
8 260.000
b 80.000
26
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33
260.000
26
c
26c 6 260.000 c
6
6 260.000
c 60.000
26
Solução:
a + b + c = 22.200
a
b
1.200 15 800 18
R.: O primeiro sócio recebeu R$ 120.000,00; o segundo R$ 80.000,00 e o terceiro R$ 60.000,00.
c
1.000 12
2o) Tempos iguais e capitais diferentes
O lucro ou prejuízo será dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios:
Exemplo:
1) Quatro pessoas formam uma sociedade de R$ 50,00; R$ 60,00; R$ 75,00 e R$ 25,00 respectivamente.
No fim de certo tempo, a sociedade apresentou um lucro de R$ 840,00. Quanto coube a cada sócio?
Solução:
a + b + c + d = 840
a
b
c
d
50 60 75 25
abc
a
b
c
18.000 14.400 12.000 18.000 14.400 12.000
22.200
a
b
c
44.400 18.000 14.400 12.000
22.200
a
1
a
18.000

2a 18.000 a
a 9.000
44.400 18.000
2 18.000
2
22.200
b
1
b
14.400

2b 14.400 b
b 7.200
44.400 14.400
2 14.400
2
22.200
c
1
c
12.000

2c 12.000 c
c 6.000
44.400 12.000
2 12.000
2
abcd
a
b
c
d
50 60 75 25 50 60 75 25
840 a
b
c
d
210 50 60 75 25
840 a
42.000
210a 50 x 840 210a 42.000 a
a 200
210 50
210
840 b
50.400
210b 60 x 840 210b 50.400 b
b 240
210 60
210
840 c
63.000
210c 75 x 840 c
c 300
210 75
210
840 d
21.000
210d 25 x 840 210d 21.000 d
d 100
210 25
210
3o) Tempos diferentes e capitais diferentes
4) “A”, ”B” e ”C” formaram uma sociedade, o sócio “A” entrou com o capital de R$ 2.000,00, sócio
“B” com R$ 1.500,00 e o sócio “C” R$ 1.200,00 e tiveram um prejuízo de R$ 12.000,00. Sabendo
que “A” ficou na sociedade 4 meses, “B” 8 meses, “C” 6 meses, qual foi o prejuízo de cada um?
1) Três pessoas desejam formar uma sociedade, entrando o primeiro com o capital de R$ 1.200,00, o
segundo com R$ 800,00 e o terceiro com R$ 1.000,00. Calcule o lucro de cada sócio, sabendo que o
lucro total da empresa foi de R$ 6.000,00.
2) Dois sócios ao constituírem uma sociedade entraram, respectivamente, com os capitais de R$
4.000,00 e R$ 6.000,00. Na divisão do lucro, o segundo recebeu R$ 600,00 a mais que o primeiro.
Quanto recebeu cada sócio?
3) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro sócio permanece 2 meses, o segundo 3 meses, o
terceiro 5 meses. Sabendo que o lucro total foi de R$ 6.000,00, calcule o lucro de cada sócio.
Os lucros ou prejuízos serão divididos em partes diretamente proporcionais aos produtos do tempo
pelo capital respectivo de cada sócio.
Exemplo:
1) Uma empresa teve lucro de R$ 22.200,00. O primeiro sócio empregou R$ 1.200,0 durante 1 ano e 3
meses, o segundo sócio R$ 800,00 por 1 ano e meio; o terceiro sócio R$ 1.000,00 durante 1 ano.
Qual foi o lucro de cada sócio?
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34
5) (Banco do Brasil) Na constituição de uma sociedade, o sócio A entrou com R$ 51.000,00; B com R$
85.000,00; C com R$ 153.000,00 e o D com R$ 221.000,00. Ao ser distribuído o lucro final do
exercício, proporcionalmente às cotas do capital de cada sócio, D recebeu de lucro R$ 1.200,00.
Calcule o lucro total e a parcela que coube a A; B e C.
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35
6) Três sócios A; B; C investiram R$ 9.000,00 num negócio que deu de lucro R$ 12.000,00. O sócio A
1
1
entrou do capital, B entrou com do capital e C com o restante.
2
3
Determinar a parte do lucro que cabe ao sócio B.
1) Uma sociedade constituída por duas pessoas obteve R$ 1.800,00 de lucro total. O primeiro sócio
entrou com um capital de R$ 300,00, o segundo sócio com R$ 600,00. Qual o lucro que coube a
cada sócio?
2) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro entrou com o capital de R$ 1.200,00, o segundo
com R$ 1.500,00, o terceiro com R$ 2.000,00. Ao fim de 1 ano resolveram desfazer a sociedade, pois
havia acumulado um prejuízo de R$ 6.000,00. Calcular o prejuízo de cada sócio.
3) Repartir o lucro de R$ 6000,00 entre dois sócios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou
R$ 1.000,00 na sociedade durante 2 meses e que o segundo aplicou R$ 1.500,00 durante 4 meses.
4) (TTN) Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de R$
28.000,00. O sócio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o sócio B empregou R$
15.000,00 durante 1 ano.
Calcule o lucro do sócio A.
5) Um prêmio de R$ 900,00 deve ser distribuído entre três pessoas de modo que a segunda receba o
dobro da primeira e a terceira o triplo da segunda. Quanto a segunda recebeu?
6) (Banco do Brasil) Em uma certa sociedade, os capitais de A e B estão entre si como 3 está para 5.
Sabendo-se que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses, respectivamente, e que a
sociedade teve prejuízo de R$ 311.100,00, calcular o prejuízo de cada sócio.
a b 1.800
° a
b
°
° 300 600
° ab
a
b
°
° 300 600 300 600
1) ®
a
°1.800
900a 300 x 1.800 900a
° 900
300
°1.800
b
°
900b 600 x 1.800 900b
° 900
600
° b 1.200
¯
540.000
a
900
1.080.000
1.080.000 b
900
540.000 a
a b c 6.000
°
b
c
° a
°1.200 1.500 2.000
°
abc
a
b
c
°
°°1200 1500 2000 1.200 1.500 2.000
2) ® 6000
1200 x 6000
a
a 1.531,91
° 4700 1200 4700a 1200 x 6000 a
4700
°
b
1500 x 6000
° 6000
a 1.914,89
° 4700 1200 4700b 1500 x 6000 b
4700
°
c
2000 x 6000
° 6000
4700c 2000 x 6000 c
a 2.553,19
°¯ 4700 2000
4700
a b 6000
°
b
a
b
° a

°1000 x 2 1500 x 4
2000 6000
°
3) ®
6000
ab
a
a
° 2000 6000 2000 8000 2000 8a 6 x 2000 a
°
b
36000
° 6000
a 4.500
°¯ 8000 6000 8b 6 x 6000 a
8
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36
600
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12000
a
8
1.500
37
a b 28.000
°
a
b
a
b
°

° 9.000 x 15 15.000 x 12
135.000 180.000
°
ab
a
a
28.000
28
°

315.000 135.000
315
°°135.000 180.000 135.000
4) ®
28 x 135.000
a 12.000
° 315a 28 x 135.000 a
315
°
b
b
28
° 28.000
° 315.000 180.000 315 180.000
°
° 315b 28 x 180.000 a 28 x 180.000 a 16.000
°¯
315
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a

135.000
5. Regra de Três Simples
1. Introdução
São problemas onde relacionamos duas grandezas podendo ser diretamente ou inversamente
proporcionais. Para solução dos mesmos consiste em formar com três valores conhecidos e a incógnita
procurada, uma proporção e dela tiramos o valor desejado.
a b c 900
°b 2a
°
°c 6a
°
5) ®
900
a
°a 2a 6a 900 9a 900 a
9
°
2

2
x
100

200
b
a
b
b
°
°R : A segunda pessoa recebeu R$ 200,00
¯
2. Tipos de grandezas.
2.1. Grandezas diretamente proporcionais
100
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a
outra grandeza aumenta ou diminui na mesma razão.
Exemplo:
1) Um automóvel fez 120Km com 10 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse automóvel
gastaria para percorrer 200Km?
3
c
c2
c1 3
1
c1
x c2
°c
5
3
5
5
° 2
°p1 p2 311.100
°
p2
311.100
° p1 p2 p1 p 2 p2 311.100

° c1 c 2
3
8
c
c
c
c
1
2
2
2
6) ®
x c2 c2
x c2
5
5
°
°
311.100 x 5
p 2 194.437,50
° p2
8
°
°p1 p2 311.100 p1 194.437,50 311.100
°
¯ p1 311.100 194.437,50 p1 116.662,50
Distância
120
200
p2

c2
120
200
10
120 x
x
litros de gasolina
10
x
200 x 10 120 x
2000 x
2000
x
120
16,66 litros de gasolina
2.2. Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando - se uma delas, a outra
diminui na mesma razão que a primeira aumentou e vice-versa.
Exemplo:
1) Um ônibus com a velocidade 60Km/h percorre a distância entre duas cidades em 3h. Que tempo
levará, se aumentar a velocidade média para 90Km/h?
velocidade média
60
90
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38
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tempo
3
X
velocidade média
60
90
tempo
x
3
39
60
90
x
90 x
3
60 x 3 90 x
180
x
90
180 x
2h
1) (ETF-SP) Uma pessoa ingere em um dia 1,5 L de água. Em 15 dias, ingerirá:
a) 30 L
b) 22,5 L
c) 20 L
d) 27,5 L
e) n.r.a.
2) Um operário constrói um muro em 10 dias trabalhando 8h por dia. Quanto tempo leva o mesmo
operário para construir o mesmo muro trabalhando 10h por dia?
1) Se 4 operários tecem 200m de tecido por dia, quantos metros tecerão 6 operários?
Solução:
Indicando por x a quantidade de metros que tecerão os 6 operários, temos a seguinte disposição prática:
no de operários
4
6
metros de tecido
200
x
Se 4 operários tecem 200m, mais a operários tecerão mais metros.
Nesse exemplo as grandezas são: número de operários e metros de tecido, assinalamos essa variação na
disposição prática, através de flechas do mesmo sentido. A proporção resultante será:
4
6
200
4x
x
200 x 6 4 x
1200 x
1200
x
4
3) Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, têm respectivamente 16 e 32 dentes. Quantas voltas
dará a menor, enquanto a maior dá 10?
4) (ETF-SP) Para ladrilhar o piso de uma cozinha de 8,5m2 de área, foram empregadas 250 lajotas de
cerâmica. O número de lajotas iguais necessário para ladrilhar uma garagem retangular com 5m de
comprimento e 2,72, de largura é?
a) 40
b) 340
c)390
d)400
e)460
5) (ETF-SP) Num livro de 192 páginas, há 32 linhas em cada página. Se houvesse 24 linhas por página,
o número de páginas do livro seria:
a) 256
b) 144
c) 320
d) 240
e) 128
300m
Resposta: 6 operários tecerão 300 metros de tecido.
2) Seis operários levam 12 dias para executar uma obra, 4 operários, em quanto tempo farão o mesmo
trabalho?
no de operários
6
4
6) (ETF-SP) Um piloto dá uma volta completa no circuito em 1min 35seg. Para completar 54 voltas, ele
levará em média:
a) 1h 25min 30seg.
b) 1h 31,5min.
c) 1h 31min.
d) 31,5min.
e) 315min.
7) (ESA) Um automóvel gasta 10 litros de combustível para percorrer 65Km. Num percurso de 910Km
a quantidade consumida em litros de combustível será de:
a)1,4
b) 14
c) 140
d) 240
e) 1400
dias
12
x
É óbvio que 6 operários levam 12 dias, menos operários demorarão mais dias para a execução da obra.
Como o tempo necessário para realizar o trabalho é inversamente proporcional ao número de operários
empregados, indicamos essa variação com flechas de sentidos opostos. Invertendo a primeira razão
§ 4 · , para que as flechas fiquem com o mesmo sentido, e teremos a seguinte proporção:
¨ ¸
8) Uma torneira jorra 1.035,5 litros de água por hora e enche certo reservatório em 12h. Determine em
quanto tempo outra torneira, que jorra 20 litros por minuto, encheria o mesmo reservatório.
©6¹
no de operários
4
6
4
6
12
4x
x
9) Um relógio atrasa 1min.10seg. em 10h de funcionamento. Quanto atrasará em 2 dias?
dias
12
x
12 x 6 4 x
72 x
72
x
4
10) Uma fábrica tem y de homens para execução de um trabalho em d dias, tendo contratado mais r
homens para executar o mesmo trabalho. Em quantos dias o trabalho estará executado?
d r
d r
yd
d
yd
a)
dias
b)
dias
c)
dias.
dias
d)
dias
e)
y
yr
yr
ry
dy
18dias
Resposta: 4 operários executaram a obra em 18 dias
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40
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41
1) Uma pessoa datilografa um trabalho, com 42 toques por minutos, em 2h. Quantos toques por
minuto seriam necessários para essa pessoa realizar o mesmo trabalho em 6h?
2) Qual o tempo gasto por 2 homens para executar um trabalho que 4 homens, nas mesmas condições,
executam em 10 dias?
3) Um ônibus com a velocidade de 80Km/h vai da cidade A até a cidade B em 2h. Nas mesmas
condições e com a velocidade de 100Km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma
distância?
1) n º de toques
h
42
2
x
6
42
x
2)
4) (E.E.Aer-) A roda maior de uma engrenagem tem 75cm de raio e dá 900 voltas, enquanto a roda
menor dá 1500 voltas. Qual é o raio da roda menor?
5) (UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3h de trabalho.
Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900m2?
a) 7 h.
b) 5 h.
c) 9 h.
d) 4 h.
e) n.r.a
6) Uma turma de operários executa um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade é 0,1, em 10 dias. Em
quantos dias essa mesma turma faria um outro trabalho cujo coeficiente de dificuldades fosse 0,15?
asfaltarem
3
5
2
3
de uma determinada estrada . Para se
dessa mesma estrada, são necessários:
a) 7 dias e 12 h.
b) 15 dias
c) 20 dias
d) 22 dias e 12h.
10
2
x
4
x
2
10
Vm
h
80
2
100
x
40
x
2
40 x
80
x
100
2
80
100
x
10 x
2
4)
Raio
252 x
252
x
2
126
dias
4
3)
16 x
1,6h x
20
1h 36min
e) 45 dias
2
da anterior, faria o mesmo percurso em?
5
10) Um acampamento com 10 soldados dispõem de víveres para 3 meses. Tendo chegado mais 20
soldados ao acampamento, por quanto tempo estará abastecido o acampamento?
x
75
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horas
x
2x
10
9) (CPFO-) Um motociclista fez o percurso de 40Km entre duas cidades em 35 minutos. Se sua
velocidade fosse igual a
42 x 6 2x
4
2
7) (ETF-SP) A cantina da escola possuía um estoque de “hamburguer” a ser vendido a 1800 alunos
durante 15 dias. Tendo havido uma greve no metrô, alguns alunos faltaram e o estoque de
“hamburguer” se tornou suficiente para mais 5 dias. O número de alunos faltosos foi de:
a) 1350
b) 900
c) 750
d) 450
e) 350
8) (UFB)São necessários 25 dias para que sejam asfaltados
2
2x
6
42
voltas
75
900
x
1500
x
900
75
1500
900
15x
1500
CopyMarket.com
9 x 75 x
9 x 75
x
15
45
43
5)
área
hora
5100
3
11900
x
9) Vm
's
Vm
't
Vm
5.100
11.900
6)
3
51x
x
3 x 119 51x
coeficiente
357 x
357
x
51
7h
dias
de dificuldade
0,1
0,15
7)
0,1
10
0,15
x
10
0,1x
x
10 x 0,15 x
alunos
68,57
27,42
10 x 0,15
x
0,1
1800
15
x
20
x
15
20
x
15
20 x 15 x 1800 x
1800 20
1800 - 1350 450
d
25
x
dias
asfalto
25
2
3
x
3
5
2
3 2x
3
3
5
CopyMarket.com
25 x
3
2
x
5
3
15 x 1800
x
20
15 2x
10
30
1350
45 x
22,5dias ou x
22dias e 12h
2400
Vm
35
68,57km / h
tempo
68,57
7
12
27,42
x
68,57
x
27,42
7
12
7
x
2742x 6857 x
12 x 2742x 6857 x 7 32.904 x
7
12
12
47.777
x 1,46h x 1h 27min 36seg
32.904
10) n º de soldados
dias
1800
8)
x
15dias
40
Vm
35
60
tempo
10
3
30
x
10
x
30
3
x
30 x
3
30 x
47.999
1 mês
d
44
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45
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(1o Grupo)
2h
x
2
x
2
50 4
x
x
100 3
(2o Grupo)
50 objetos
100 objetos
2
1 42
x

x
2 3
2 2x
3
6x
(3o Grupo)
4 dias
3 dias
6
x
2
3
6. Regra de Três Composta
1. Introdução
metros de profundidade
160
200
Consideremos o problema abaixo
1) Um operário, trabalhando 2h por dia fabrica 50 objetos em 3 dias. Quantas horas deveria trabalhar
para fabricar 100 objetos em 4 dias?
Solução: Temos a seguinte disposição prática
(1o Grupo)
2h
x
2) Na perfuração de um poço de 160m de profundidade, 40 operários levaram 21 dias. Quantos dias 30
operários levariam na perfuração de 200m de um poço igual ?
(2o Grupo)
50 objetos
100 objetos
(3o Grupo)
3 dias
4 dias
no de operários
40
30
dias
21
x
Observando as grandezas acima (profundidade e dias necessários), então essas grandezas são
diretamente proporcionais, portanto as flechas devem ter o mesmo sentido . Com relação a número de
operários e dias necessários, podemos dizer que essas grandezas são inversamente proporcionais,
portanto as flechas devem ter sentidos contrários.
Para resolução do problema é necessário que todas as grandezas tenham flechas com o mesmo
sentido.
Para resolvermos o problema proposto, comparamos cada grupo de valores com o grupo em
que está o x (no exemplo, o 1o grupo), colocando uma flecha de formato diferente das demais para
servir como termo de comparação. Nessa comparação devemos observar o grupo a ser analisado com o
grupo que tem a variável x, sem a preocupação com os demais grupos.
160 30
x
200 40
160
30
21
200
40
x
21
4 3
x
x
5 4
21
3

x
5
21 3 x
x
5 x 21 3 x
105 x
105
x
3
35dias
a) Comparando o 1o grupo com o 2o grupo
Se
2h um operário faz
x
50 objetos
100 objetos
Portanto, se em 2h um operário faz 50 objetos, mais objetos para fabricar serão necessários
mais horas.
Regra de três direta
flechas com o mesmo sentido
b) Comparando o 1o grupo com o 3o grupo
Se
2h um operário faz em
x
1) Com 16 máquinas de costura, aprontaram-se 80 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas
máquinas serão necessárias para confeccionar 240 uniformes em 24 dias?
2) Com uma bomba elétrica, eleva-se 2100 litros de água à altura de 6m em 60 min. Quanto tempo
empregará essa bomba para elevar 6300 litros à altura de 4m?
3) Se 15 operários fazem uma casa em 12 dias, trabalhando 4h por dia, quantos operários serão
necessários para fazer a mesma obra em 8 dias, trabalhando 5h por dia?
3 dias
4 dias
4) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6h por dia. Se o
mesmo grupo trabalhar 8h por dia, a estrada será concluída em?
Ora, se em 2h um operário leva 3 dias, mais dias menos horas o operário vai precisar.
Regra de três inversa
flechas com sentido contrários.
5) Oito pedreiros levantam um muro em 10 dias, trabalhando 6h por dia. Quantas horas por dia
devem trabalhar 4 pedreiros para executarem o mesmo serviço em 6 dias?
Para a resolução final do problema, devemos deixar todas as grandezas com o mesmo sentido, e
neste exemplo, devemos inverter o sentido da flecha do 3o grupo; antes de formar a proporção:
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46
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47
9) Vinte operários, trabalhando 8h por dia, gastaram 18 dias para construir um muro de 300m.
Quanto tempo levará uma turma de 16 operários trabalhando 9h por dia para construir um muro
de 225m?
2
de um trabalho foram feitos por 24 operários em 10 dias, trabalhando 7 h. por dia. Em
5
quantos dias poderá terminar esse trabalho, sabendo-se que foram dispensados 4 operários, e os
restantes trabalham 6h por dia?
7) Seis operários, trabalhando 3h por dia, durante 2 dias, fazem 10m de muro. Quantos operários
serão necessários para fazer 20m de muro, se trabalharem 2h por dia, durante 4 dias?
10) Doze pedreiros constróem 27m2 de um muro em 30 dias, de 8h Quantas horas devem trabalhar
por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem 36m2 do mesmo muro?
8) (ESPCEX) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8h por dia. Quantas
famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4h por dia?
6) Os
9) Doze máquinas, trabalhando 8h por dia, fazem 9000m de tecido, em 15 dias. Considerando quinze
máquinas, quantas horas serão necessárias de trabalho por dia para se fazer 6000m de tecido em 10
dias?
10) Dez operários fazem 150m de uma construção em 18 dias de 8h de serviço.
operários farão dessa mesma obra em 15 dias, trabalhando 6h por dia?
1)
homens
dias
toneladas
15
30
3,6
20
x
5,6
Quantos metros 20
10
x
3,6
30
3
5,6
1) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se essa equipe for
aumentada para 20 homens em quantos dias conseguirá extrair 5,6 toneladas de carvão?
2) Uma equipe de 20 operários escava 640m3 de terra em 8h de trabalho. Para escavar 500m3 em 5h
de trabalho, de quantos operários deverá ser acrescida a equipe?
30
x
20 3,6
30
x

15 5,6
x
2)
operários
3) Três máquinas operando 8h por dia produzem 4.800 parafusos. Quantos parafusos seriam
produzidos por 7 máquinas que operassem 11h por dia?
4) (EPCAR) Certo motor consome 20 litros de óleo girando a 1500 rpm em 5h. Se esse motor
funcionar a 1800 rpm durante 3h, qual será o consumo do óleo?
5) (C.N.) Vinte operários constróem um muro em 45 dias, trabalhando 6h por dia. Quantos operários
serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8h por dia?
6) Um funcionário, trabalhando 8h por dia, produz 75 relatórios em 9 dias. Para que o mesmo
funcionário produza 65 relatórios em 6 dias, é necessário que ele aumente o seu trabalho diário de
um tempo correspondente a:
a) 3h 56min
b) 3h 42min c) 3h 10min d) 2h 50min e) 2h 24min.
7) (CEF-) Numa gráfica, 8 máquinas executaram um certo serviço em 5 dias, trabalhando 5h por dia.
Se somente 5 dessas máquinas trabalharem 8h por dia, executarão o mesmo serviço em?
a) 3 dias b) 4 dias
c) 5 dias
d) 6 dias
e) 7 dias
8) (Banespa) Um carro percorre 4320km em 5 dias, rodando em média 8h/dia. Quantos dias serão
necessários para percorrer 2916km, sabendo-se que a média a ser rodada é de 9h por dia?
a) 2 dias b) 3 dias
c) 4 dias
d) 4,5 dias
e) 6 dias
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48
20
x
72
72 x
84
30 x 84 x
m3
35dias
hora
20
640
8
x
500
5
20
640
5
x
500
8
640 5
20
x
x
500 8
30 x 84
x
72
3200
3200 x
4000
20 x 4000 3200 x
80.000 x
80.000
x
3.200
25
R: A equipe deverá ser acrescida de 5 operários.
3) máquinas
3 8
x
7 11
horas
parafusos
3
8
4800
7
11
x
4800
24

77
x
CopyMarket.com
4800
24 x
x
77 x 4800 x
77 x 4800
x
24
15.400
49
4) litros de óleo
20
x
rpm
horas
20
1500
5
x
1800
3
1500 5
20
x
1800 3
x
5) n º de
7500
7500 x
5400
20 x 5400 7500 x
108.000 x
108.000
x
7.500
x
5
8
x
5
5
5
8
8 5
x x
5 8
5
a alternativ a correta é a
c
14,4 litros
8) distância
dias
horas
dias
hora
20
45
6
4320
5
8
x
15
8
2916
x
9
x
45
6
4320
5
9
20
15
8
2916
x
8
operários
x
20
x
45 6
x
15 8
20
270
120x
120
20 x 270 120x
5400 x
5400
x
120
5 4320 9
5 38.880
x
38.880 x
x 2916 8
x 23.328
b
45
R: Para construir a terça parte do muro serão necessários 15 operários.
6) hora
relatório
116.640 x
116.640
x
38.880
3dias
dias
9) operários
8
75
9
x
65
6
8
75
6
x
65
9
8 75 6
8 450
x
450 x
x 65 9
x 585
ou x 10h 24min
5 x 23.328 38.880x
8 x 585 450 x
4.680 x
4680
x
450
10,4h
18
x
horas
dias
metros
20
8
18
300
16
9
x
225
16
9
18
300
20
8
x
225
43.200
43.200x
36.000
16 9 300
18
x x

20 8 225
x
18 x 36000 x
18 x 36.000
x
36.000
15dias
O funcionário deverá trabalhar 2h 24min a mais por dia.
A alternativa correta é a
e
10) pedreiros
7) máquina
dias
dias
hora
hora
8
5
5
5
x
8
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m2
50
12
27
30
8
16
36
24
x
16
27
24
8
CopyMarket.com
51
12
8
x
36
16 27 24
8
x
x

12 36 30
x
30
10.368
10.368x
12.960
x
8 x 12.960 x
8 x 12.960
x
10.368
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10h
7. Médias
1. Introdução
Muitas vezes os professores utilizam a média para calcular as notas bimestrais dos seus alunos.
Em estatística a média é utilizada como medida de posição central destacando a média aritmética como
uma das medidas de tendência central.
2. Tipos de Médias
2.1. Média Aritmética
A média aritmética de vários números é igual ao quociente da soma desses números pelo número
de parcelas.
Exemplo:
Calcular a média aritmética dos números de 2; 4 e 6 é:
ma
246
3
4
2.1. Média Geométrica
A média geométrica de vários números é a raiz, de índice igual ao número de fatores, do produto
desses números.
Exemplo:
Calcular a média geométrica dos números 4 e 25.
mg
4 x 25
100
10
2.3. Média Ponderada
A média ponderada é igual ao quociente da soma dos produtos de cada número pelo respectivo
peso, pela soma dos pesos.
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52
CopyMarket.com
53
Exemplo:
Solução:
a) m p
Calcule a média ponderada dos números 3; 4 e 5 cujo pesos são respectivamente 1; 2 e 2.
mp
3 x 1 4 x 2 5 x2
1 2 2
3 8 10
5
b) m p
21
4,2
5
A média harmônica de vários números é igual ao inverso da média aritmética dos inversos desses
números.
a)
0,01 e 4
b)
1
e 25
4
c)
1; 2 e 4
Exemplo:
Calcular a média harmônica dos números 2 e 4.
mh
1
2 1
4
2
1
1 1
2 4
2
1
3
4
2
1
1
3 1
x
4 2
1
3
8
8
3
Solução:
1) Calcular a média aritmética dos números abaixo:
a) 1; 2 e 3
b)
0,01 x 4
b) m g
1
x 25
4
1 1
;
2 3
3
4
100
0,04
25
4
1x 2 x 4
3
8
5
2
3
23
2
10
0,2
2,5
2
c) 0,1 e 2
4) Calcular a média harmônica dos números:
a) 2 e 3
1 2 3
3
6
3
2
1 1
2 3
2
3 2
6
2
1
0,1 2
2
1 2
10 1
2
b) m a
c) ma
a) m g
c) m g
Solução:
a) ma
13
4
3) Calculando a média geométrica dos números abaixo:
2.4. Média Harmônica
1
2 x1 3 x 2 2 6 8
1 2
3
3
2 x1 3 x1 4 x 2 2 3 8
11 2
4
b) 4; 5 e 6
5
6
2
1
Solução:
5x1
6 2
1 2
10
2
1
a) mh
5
12
21
10
2
1
21 1
x
10 2
21
20
b) m h
2) Calcular a média ponderada dos números abaixo:
1
3 2
6
2
1
1
1 1 1
4 5 6
3
1
1
1 12
2,4
5 5 1
5
5
x
6 6 2 12
2
1
1
1
1
1
15 12 10
37 37 1
37
x
60
60 60 3 180
3
3
1
1
180
37
4,86
5) A média aritmética dos 8 números de um conjunto é 20. Se o número 4 for retirado do conjunto,
qual será a nova média aritmética?
2 e 3 cujos respectivos pesos são 1 e 2
2; 3; 4 cujos respectivos pesos são 1; 1 e 2
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1
1 1
2 3
2
54
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55
Solução
a a ... a
1 2
8
8
7) (Banco do Brasil) A média aritmética dos 40 números de um conjunto é 70. Os números 10 e 16 são
retirados desse conjunto. A média aritmética dos números restantes é?
20
a)73
b) 82
c) 108
d) 219
e) nra.
a1 a2 ... a8 160
160 4
7
156
7
8) Sabe-se que a média aritmética entre 2 números a e b é igual a média geométrica, então, podemos
afirmar que:
22,28
a) a e b são primos entre si.
b) os dois números a e b são iguais.
c) a e b são números compostos.
1) Calcular a média aritmética dos números:
d) a e b são números diferentes.
a) 4; 6 e 8
b)
1
; 0,1; 2
2
c)
3 2 4
; ;
8 5 9
e) n.r.a..
9) (FAAP) Numa pequena empresa, com 20 funcionários, a disposição dos salários é a seguinte:
número de empregados
salário
12
R$ 600,00
5
R$ 700,00
3
R$ 1.000,00
2) Calcule a média ponderada dos seguintes números:
a) 7; 8; 9 cujos pesos respectivos são 1; 2 e 2.
b) 11; 8 e 3 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 4.
Qual o salário médio dos empregados dessa empresa?
c) 15; 18 e 32 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 3
3) Calcule a média geométrica dos números:
a) 4 e 100
1) (C.N.) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as fórmulas da coluna da direita,
sendo a e b números inteiros positivos quaisquer, tem-se:
b) 0,45 e 0,05
c) 4 e 9
7 28
I - média harmônica dos números a e b;
a)
ab
4) Calcular a média harmônica dos números 4 e 6.
II - Média ponderada dos números a e b;
b)
a
b
5) (EPCAR) A média aritmética dos números que aparecem no quadro; é:
III - Média geométrica entre os números a e b;
c)
ab
2
lV - O produto do mdc pelo mmc de a e b;
d)
2ab
ab
V - Média aritmética simples entre a e b;
e)
a.b
103,4
a) 54,86
b) 55,806
121,63
c)6,8
41,2
8,75
d)56,853
9,285
e) 56,853
6) Achar as médias aritméticas e ponderadas entre os números 0,63; 0,45; 0,12, sabendo-se que os
respectivos pesos são 1; 2 e 7.
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56
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57
a)
b)
c)
d)
e)
( I; b ); ( II; c ); ( IV; e)
( I; d ); ( II; c ); ( V; b )
( I; d ); ( III; a ); ( IV; e)
( II; c ); ( III; a ); ( IV; e )
n.r.a.
a) 1
b) 6
c) 6,4
d) 8
1)
c
2)
a b
° 2
°
°m
° h
®
° ab
°
° 10
°mg
¯
e) n.r.a.
3) Colocar em ordem de grandeza crescente a média aritmética; a média geométrica e a média
harmônica dos números 6 e 12.
4) A média aritmética de 11 números é 40. Se dois números, 4 e 6 forem retirados qual será a nova
média?
b)
abc
ab
c)
ab
2c
d)
e) n.r.a.
b) 7; 8; 8; 10; 12
c) 3,2; 4; 0,75; 2,13; 4,75
d) 70; 75; 76; 80; 82; 83; 90
8
5)
mp
6)
1
1

°mh
1 1 1
bc ac ab
°
°
a b c
abc
®
3
3
°
1
°
°¯a alternativ a correta é a
d
7)
a) ma
8) Calcule a média geométrica.
a) 8; 15; 10; 12
b) 3; 4; 5; 6; 7; 8
64
4)
7) Calcule a média aritmética;
a) 3; 4; 1; 6; 5; 6
20
a1 a2 / a11
°
11
°
®a1 a 2 / a11
°
430
°440 10
9
¯
e)n.r.a
3abc
bc ac ab
10 a b
3)
6) A média harmônica entre os números a; b e c;
2abc
ab
d) 8
2ab
2ab 32
ab
20
5
32
ab 64
5
6 12

9
°ma
2
°
°°mg
6 x 12
72 6 2 8,46
®
2
2
6
ab
x
x 12 144
°m
8
° h ab
18
18
°
¯°mh mg ma
5) Em um concurso público, três provas foram realizadas. Um candidato obteve nota 4 na primeira
prova, que tinha peso 3. Obteve nota 9 na segunda, que tinha peso 2 e nota 8 na terceira prova, que
tinha peso 5. Qual é a média desse candidato?
a)
c) 0,6
2) Sabendo-se que a média aritmética e a média harmônica entre dois números naturais valem,
respectivamente 10 e 32 pode-se dizer que a média geométrica entre esses números será igual a:
5
a)3,6
b) 2
9) Encontre a média harmônica.
40
440
4x39x28x5
3 25
12 18 40
10
70
10
7,0
1
bc ac ab
3abc
3abc
bc ac ab
a) 5; 7; 12; 15
10) Em certo mês, um aluno obteve em português as três notas 2,4 e 6. A nota mensal desse aluno,
calculada pela média ponderada, de pesos respectivamente iguais a 1, 2 e 2, excede sua nota mensal,
calculada pela média aritmética simples, de um valor igual a:
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58
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3 4 1 6 5 6
6
4,16
59
b) ma
7 8 8 10 12
5
c) ma
3,2 4 0,75 2,13 4,75
5
d) ma
70 75 76 80 82 83 90
7
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9
2,96
79,42
8. Porcentagem
8)
9)
a) mg
4 8 x 15 x 10 x 12
b) mg
6 3x 4x6x5x7 x8
mh
1
1 1 1
1
5 7 12 15
4
10) a alternativa correta é a
4 14.400
1. Introdução
10,95
6 12 x 30 x 56
1
84 60 35 28
420
4
É muito comum os veículos de comunicação apresentarem as seguintes expressões:
6 20.160
1
207
420
4
1
x a cesta básica teve um reajuste de 2,1%;
x os rendimentos da caderneta de poupança para este mês foi de 1,21%.
x 10% da população brasileira são fumantes.
5,39
1
207 1
x
420 4
1
207
1.680
1.680
207
Todos os enunciados acima podem ser expressos através de uma razão a qual denominamos de
porcentagem.
8,11
2. Elementos do cálculo percentual
Nos problemas de porcentagem, três elementos são importantes: O principal, que é o número
sobre o qual se deve calcular a porcentagem; a taxa de porcentagem, que é o número de partes que
devem ser tomadas em cada cem partes do principal e a porcentagem, que é total das taxas.
e
Exemplo:
1) Em uma sala de aula tem 35 alunos, sendo 20% de meninas. Quantas são as meninas dessa sala?
c xi
P
Principal (c) = 35
100
taxa (i) = 20%
porcentagem (P)
P
35 x 20
100
P
700
100
7
Exercícios resolvidos:
1) Calcular
a) 2% de 120
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60
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b) 1,5% de 150
1
c) % de 30
3
61
Solução:
3) O preço de um aparelho de som é de R$ 1.500,00. Se eu conseguir um desconto de 8%, quanto
pagarei por ele?
a) 2 % de 120
Principal = 120
taxa = 2%
Porcentagem = taxa x principal
240
2
x 120
Porcentagem =
100
100
Solução:
taxa = 100% - 8% = 92%
Principal = 1.500
92
Porcentagem =
x 1.500,00
100
2,4
Resposta: 2% de 120 é 2,4.
1380
Resposta: Pagarei pelo aparelho de som R$ 1.380,00.
b) 1,5 % de 150
Principal = 150
Taxa = 1,5 %
1,5
Porcentagem =
2,25
x 150
100
4) Uma fatura no valor nominal de R$ 400,00, foi quitada com dois descontos sucessivos sendo um de
2% e outro de 3%. Que taxa única de desconto daria o mesmo líquido?
Solução:
No caso de abatimentos sucessivos usamos a seguinte fórmula:
Resposta: 1,5% de 150 é 2,25.
i = 1 - (1 - i1) (1 - i2) (1 - i3) ... (1 - i n )
i = 1 - (1 - 0,02) (1 - 0,03)
i = 1 - (0,98) (0,97)
i = 1 - 0,9506
i = 0,0494
i = 4,94%
1
c) % de 30
3
Principal = 30
1
taxa %
3
Porcentagem =
Resposta:
1
3
100
x 30
10
100
5) Uma televisão sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual a porcentagem equivalente a esses dois
acréscimos?
0,1
1
% de 30 é 0,1.
3
Solução:
No caso de aumentos sucessivos usamos a seguinte fórmula:
2) Num concurso público compareceram 1.500 pessoas, sendo que 20% dos inscritos faltaram. Qual o
número total de candidatos inscritos?
Solução:
Consideramos x, o número de candidatos participantes do concurso e 80% é a porcentagem de
comparecimento.
X
1.500
x
1.500
100
80
100
80 x 150.00 x
80
6) A população de um município, com 60.000 habitantes cresce anualmente em 1%. Quantos
habitantes terá no final de dois anos?
150.00
80
1.875
Solução:
1º. ano: 60.000 .
Resposta: O número de candidatos é 1.875.
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i = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) ..., (1 + i n ) - 1
i = (1 + 0,1) (1 + 0,1) - 1
i = (1,1) (1,1) - 1
i = 1,21 - 1
i = 0,21
i = 21%
62
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1
100
600 60.000 600 60.600 hab.
63
2º. ano: 60.600
1
100
606 60.600 606
8) O preço de uma geladeira é de R$ 1.200,00. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um
acréscimo de 10% sobre o preço à vista. Dando 20% de entrada e pagando o restante em duas
prestações iguais, o valor de cada prestação será de:
61.206 hab
Resp. O número de habitantes no final de dois anos é de 61.206 hab.
9) (FEI) Num lote de 1.000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo
A e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças devem ser rejeitadas neste lote?
1) Quanto vale
a)
b)
c)
d)
10) (F. Objetivo) Aumentando-se, de 40%, os lados de um quadrado, sua área ficará aumentada de:
1% de 200 ?
2,3% de 25?
0,1% de 1,04?
2% de 400?
a) 45%
b) 20%
b) 9
c) 12
d) 15
e) 18
a) 1,04 A
b) 0,98 A
3) (10%) 2
a)100%
b) 20%
c) 5%
d) 1%
c) R$ 250,00
d) R$ 150,00
e) n.r.a
c) R$ 7.200,00
d) R$ 7.500,00
c) 47%
d) 47,8%
e) R$ 9.000,00
b) 75
c) 90
d) 87,5
e) 105
13) Uma sala de aula tem 40 alunos, sendo que15% dos alunos ficaram em recuperação. Calcule o
número de alunos aprovados sem recuperação.
e) 54,6%
1) O número 5,94 representa 18% de:
a) 36
b) 35
c) 34
d) 33
e) 32
2) Indique a opção que completa a igualdade (5%) 2 =
a) 25%
64
b)
1
%
4
c) 10%
d) 0,1%
e) 0,001%
3) (Fuvest) Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50 teve um aumento passando a custar R$ 13,50.
A majoração sobre o preço antigo é de:
a) 1%
7) João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 322.000,00, incluindo o
imposto sobre produtos industrializados (IPI). Sabendo-se que a alíquota do imposto é de 15% a.d.,
o valor do imposto foi de:
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a) 61
6) Certo ano, as taxas de inflação nos meses de maio, junho; e julho foram de 15%, 12% e 20%,
respectivamente. No período de maio a julho desse mesmo ano, a taxa de inflação acumulada foi de,
aproximadamente,
a) 15,7%
b) 45,2%
e) A
e) R$ 50,00
5) O abatimento que se faz sobre R$ 30.000,00 quando se concede um desconto de 20% e, a seguir,
mais um de 5% é:
a) R$ 5.700,00
b) R$ 6.900,00
c) 1,02 A
d) 0,96 A
12) (Banespa) Um pequeno silo de milho, perde 15% da carga pela ação de roedores. Vendeu-se 1/3 da
carga restante e ainda ficou com 42,5 toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas, antes da
ação dos roedores era:
4) Um trabalhador, após ter recebido um aumento de 25% no seu salário mensal, ficou recebendo a
quantia de R$ 1.000,00 mensais. Podemos assim afirmar que este trabalhador teve um aumento
mensal no seu salário de:
a) R$ 100,00
b) R$ 200,00
e) n.r.a.
11) A base de um retângulo de área A é aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do
novo retângulo formado é:
2) O número 1,35 corresponde a 15% de:
a) 6
c) 96%
d) 82%
b) 10%
c) 12,5%
d) 8%
e) n.r.a.
4) (ETF-SP) Um levantamento sócio-econômico entre os alunos da Federal, revelou que 22% das
famílias têm casa própria, 30% têm automóvel e 12% têm casa própria e automóvel. O percentual
dos que não têm casa própria nem automóvel é de:
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65
a) 46%
b) 54%
c) 30%
d) 40%
e) 60%
5) A expressão (10%)2 - (5%)2 é equivalente a:
a)7,5%
b)15%
c) 0,75%
d) 25%
e) nra
6) Supondo que nos três primeiros meses do ano a inflação foi de 5%; 4%; 10% respectivamente,
determinar, em porcentagens, a inflação acumulada no trimestre:
1) x
100
5,94
18
x
5,94
x
7) (UFV-MG) Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 140,00. Para iludir os consumidores,
o dono aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de
20%. Esse par de sapatos ficou aumentado de:
a) R$ 26,00
b) R$ 28,00
c) R$ 31,00
d) R$ 34,00
100
18 x 100.5,94 18 x
18
33
a alternativa correta é a d
2) 5%2
e) n.r.a.
594
18
594 x
§ 5 ·
¨
¸
© 100 ¹
2
§ 1 ·
¨ ¸
© 20 ¹
2
1
400
0,0025
a alternativa correta é a b
8) Certa partida de mercadorias foi vendida por R$ 21.516,30 com lucro de R$ 3.126,30 sobre o preço
de custo. Calcular de quantos por cento foi esse lucro.
3) 12,50
100
1,00
9) Após um aumento de 20%, um livro passa a custar R$ 180,00. O preço antes do aumento era:
a) R$ 170,00
b) R$ 144,00
c) R$ 160,00
d) R$ 150,00
12,50
1,00
e) n.r.a.
b) 45% dos eleitores
e) 66,6% dos eleitores
x
100
x
12,50
8%
10) (ETF-SP) Um plebiscito foi realizado na cidade A, para decidir sobre sua autonomia administrativa.
Dos 22.500 eleitores, 10% faltaram, 15% votaram em branco ou anularam o voto e, 4.500 votaram
não. Diante disso, conclui-se que votaram sim:
a) 11.250 eleitores
d) 55% dos eleitores
x
100
12,50 x
x
4) n (AUB) = n (A) + n (B) - n(A B)
n (AUB) = 22 + 30 - 12
n (AUB) = 40%
c) 51% dos eleitores
R.: O percentual dos que não têm casa própria e nem automóvel é de 60%.
a alternativa correta é a e
11) (Mack) Supondo que o preço K de um produto sofra 2 aumentos sucessivos de 10%, então esse
preço passará a ser R$ 363,00, mas, caso ele tenha dois abatimentos sucessivos de 10%, então
passará a ser M reais. Desta forma, K + M vale:
5)
1
1
100 400
2
§ 10 · § 5 ·
¸
¨
¸ ¨
© 100 ¹ © 100 ¹
4 1 3
% 0,75%
400 4
10% 2 5% 2
2
2
§1· § 1 ·
¨ ¸ ¨ ¸
© 10 ¹ © 20 ¹
2
a alternativa correta é a c
6) i = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) - 1
i = (1 + 0,05) (1 + 0,04) (1 + 0,1) - 1
i = (1,05) (1,04) (1,1) - 1
CopyMarket.com
66
CopyMarket.com
67
i = 0,2012
CopyMarket.com
i = 20,12%
7) 1,5 x 140 = 210
210 x 0,8 = 168
R.: O par de sapato teve aumento de R$ 28,00 em relação ao preço inicial.
9. Operações sobre Mercadorias
8) V = C + L
21.516,30 = C + 3.126,30
1. Introdução
C = 21.516,30 - 3.126,30
C = 18.390,00
L
C
3.124,30
18.390
Neste capítulo apresentaremos outros problemas de porcentagens, que ocorrem na vida
comercial, envolvendo as operações comerciais que podem gerar lucro ou prejuízo sobre o preço de
custo ou sobre o preço de venda.
0,17 ou 17%
2. Vendas com lucro
9) x
100
180
1,2
x
180
2.1. Sobre o preço de custo
2.2. Sobre o preço de venda
1
180
1,2 x 180 x
1,2
1,2
150
Exemplos:
1) Por quanto devo vender um aparelho de som que comprei por R$ 1.200,00 e desejo lucrar 30%
sobre a compra?
10) eleitores faltosos
22.500 x 0,1 = 2.250
votos brancos ou nulos
22.500 x 0,15 = 3.375
votaram não

Solução:
V = C+L
V: preço de venda
C: preço de custo
L: lucro
4.500
10.125
R: Deverei vender o aparelho por R$ 1.560,00
22.500 - 10.125 = 12.375
12.375
22.500
V = 1200+1200 0,3
V = 1200+360
V = 1.560
0,55 ou 55%
2) Comprei um quadro por R$ 4.500,00 e quero obter um lucro de 10% sobre o preço de venda. Por
quanto deverei vender esse quadro?
Solução:
11) K (1,1) (1,1) = 363
1,21K
363 K
363
K
1,21
C= R$ 4.500,00
L= 0,1 V
V?
300
M = 300 (1 - 0,1) (1 - 0,1) M = 300 0,9 0,9 M = 243
K + M = 300 + 243 = 543
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V = C+L
V = 4500+0,1V
1V-0,1V= 4500
0,9V=4500
4500
V
0,9
V = 5000
R: O quadro deverá ser vendido por R$ 5.000,00
68
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69
7) (Mauá) Um produto cujo custo foi de R$ 272,00 deve ser vendido com lucro de 15% sobre o preço
de venda. O preço de venda é:
a) R$ 280,00
c) R$ 300,00
e) R$ 400,00
b) R$ 320,00
d) R$ 350,00
3. Vendas com prejuízo
3.1. Sobre o preço de custo
3.2. Sobre o preço de venda
8) (EPC do Ar) Na venda de um certo objeto houve lucro de R$ 12,00 que correspondente a 16% do
preço de custo. Qual o preço de custo do objeto?
Exemplo:
1) Uma saca de batata foi vendida com um prejuízo de 15% sobre o preço de custo. Sabendo-se que
essa saca custou R$ 200,00. Qual foi o preço de venda?
Solução:
V: preço de venda V=C-P
C: preço de custo V= 200-0,15 200
P: prejuízo
V= 200-30
V= 170
10) Um comerciante vendeu uma geladeira de R$ 1.300,00 por R$ 850,00. Calcule a porcentagem do
seu prejuízo.
R: Logo, a saca de batata foi vendida por R$ 170,00.
2) Um automóvel custando R$ 5.500,00 foi vendido com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda.
Calcule o preço de venda.
V CP
V 5.500 0,1V
1V 0,1V 5.500
1,1V 5.500
V
V
1) Certa mercadoria foi vendida por R$ 1.560,00, com prejuízo de 12% sobre seu preço de custo. O
preço de custo dessa mercadoria é de :
2) Uma fatura no valor de R$ 800,00 sofreu abatimentos sucessivos de 5%; 6% e 10%. Calcule o valor
líquido da fatura.
3) Maria vendeu um relógio por R$ 650,00 com um prejuízo de 3,5% sobre o preço de compra. Para
que tivesse um lucro de 6% sobre o custo, ela deveria ter vendido por:
5.500
1,1
5.000
4) Joana vendeu um fogão com prejuízo de 6% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ela tenha
comprado o produto por R$ 650,00, o preço de venda foi de:
R: O preço de venda do automóvel foi de R$ 5.000,00
5) (TTN) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com lucro de 10%, em seguida, foi revendido por
R$ 20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um
percentual de:
1) Determinar por quanto se deve vender um objeto, comprado por R$ 350,00, para se obter um lucro
equivalente a 2,5% do custo.
2) Uma pessoa vendeu um carro por R$ 9.000,00 perdendo o equivalente a 10% do preço de compra .
Qual foi o preço de compra?
3) Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivale
aumentar o preço original em:
4) Um comerciante comprou uma partida de 10 sacas de batatas por R$ 2.100,00. Por quanto deve
vender cada saca para obter um lucro total de 15% sobre o preço de custo?
5) (Banco do Brasil) Calcule o prejuízo de certo comerciante que vendeu suas mercadorias por R$
36.394,40, perdendo nessa transação uma quantia equivalente a 3% do preço de custo.
6) Uma televisão foi vendida por R$ 1.050,00, com um prejuízo de 6,5% do preço de custo. Por quanto
deveria ser vendida, para se obter um lucro equivalente a 3% do custo?
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9) (Banco do Brasil) Uma pessoa vendeu um objeto por R$ 14.400,00, perdendo o equivalente a 10%
do preço de compra. Qual foi o preço de compra?
a) R$ 14.000,00
c) R$ 16.000,00
e) n.r.a
b) R$ 15.000,00
d) R$ 17.000,00
70
6) Um comerciante comprou várias peças de tecido por R$ 47.200,00 e uma partida de arroz por R$
35.100,00.Vendeu o tecido com 7% de prejuízo e o arroz, com 11,5% de lucro. Ao todo, ganhou ou
perdeu? Quanto?
7) Calcule o valor líquido de uma guia de recolhimento de imposto sindical, no valor de R$ 2.000,00,
que sofreu a redução de 12% sobre esse valor total, e, em seguida, outro abatimento de 6% sobre o
líquido da primeira redução.
8) Uma partida de arroz foi vendida por R$ 2.150,00, com um lucro de R$ 650,00 . Calcule a
porcentagem desse lucro em relação ao preço de custo.
9) Uma bicicleta no valor de R$ 650,00, foi vendida por R$ 350,00. De quantos por cento foi o
prejuízo?
10) João vendeu uma máquina de escrever por R$650,00 com prejuízo de 12% sobre o preço de
compra. Para que tivesse um lucro de 10% sobre o preço de custo, ele deveria ter vendido por:
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71
1)
1560
1560
0,12C
?
P
C
3)
L
800 (1 0,05) x (1 0,06) x (1 0,1)
L
L
800 x 0,95 x 0,94 x 0,9
642,96
V
P
650,00
3,5%C
C 0,035C
650,00
0,965C
650,00
C
0,965
673,57
10)
CP
P
0,06 V
V
C
V
650,00
?
V 650,00 0,06 x V
1,06V 650,00
650,00
1,06
16.500,00 0,1 x 16.500,00
1.650,00 5.850,00
2000,00 1 0,12 x 1 0,06
2000,00 x 0,88 x 0,94 R$1.654,40
V CL
2.150,00 C 650,00
C 2.150,00 650,00
C 1.500,00
L
C
650,00
1.500,00
30.000 X
V
P
C
L
R$650,00
0,12C
?
0,1C
30.000
X
650
V
613,20
7.500,00
14.850,00
46,15%
CP
650,00
C 0,12C
650,00
0,88C C
V
L
C
0,433 ou 43,3%
650,00 o 100
300,00 o X
650,00 100
X
300,00
650 X
CL
673,57 0,06 x 673,57
673,57 40,41
713,98
16.500,00 1.650,00 14.850
20.700,00 14.850,00 5.850,00
6)
9)
650,00
C
5)
8)
CP
V
C
4)
1772,72
P (1 i1) x (1 i2 ) x (1 i3 )
L
V
V
V
V
L
C 0,12C
0,88C
1560
C
0,88
C
2)
7) L
CP
V
1560
V
650,00
C
0,88
738,64
CL
V
738,64 0,1 x 738,64
V
812,50
0,5050 50,50%
7.500,00
Tecido
47.200,00 x 0,93
43.896,00
Arroz
35.100,00 x 1,115
39.136,50
R : Ganhou R$4.759,50
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0
1
n-1
n
O juro total dos n períodos será:
J = J 1 + J 2 + J 3 + ... + J n
1. Introdução
Quando emprestamos um capital a uma pessoa (física ou jurídica), recebemos de volta a quantia
emprestada mais uma quantia que denominamos de juros.
Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um
período de tempo determinado (n).
A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e será expresso em
porcentagem do capital.
Exemplos:
a) A taxa de juro de 5% a.d. - significa que o valor do juro é igual 5% do capital, por dia.
b) A taxa de juro de 20% a.m. - significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por mês.
J = Ci + Ci + C i = ... + C i
J = Cin
Para o caso do Montante teremos:
M =C+ J
M = C + Cin
M = C (1 + in )
Exercícios Resolvidos
1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00 colocado a taxa 1% a.m. durante 1 ano e
2 meses.
Dados:
J=?
J=C. i. n
C=R$ 2.000,00
J=2000 ⋅ 0,01 ⋅ 14
i=1% a.m.
J=280
n=1 ano 2 meses = 14 meses
R: Os juros obtidos serão de R$ 280,00.
Capital (principal ou valor presente)
É a quantia aplicada ou emprestada por um período de tempo.
Prazo (ou tempo)
É o período de aplicação do capital.
2) Um capital de R$4.000,00 rendeu em 1 mês a importância de R$1.000,00 de juros. Calcular a taxa.
Dados:
C=R$ 4.000,00
n= 1 mês
i=?
J=R$1.000,00
2. Regime de capitalização
O regime de capitalização pode ser simples ou composto.
J = C.i.n
1.000 = 4000.i.1
1.000 = 4000i
i=
2.1. Regime de capitalização simples
No regime de capitalização simples, a taxa de juro incide sobre o capital inicial, e no final de
cada período os juros obtidos serão iguais ao produto do capital pela taxa do período.
3. Cálculo do juros simples e montante.
Seja um capital (C) aplicado a uma taxa (i) por período, durante n períodos consecutivos, sob o
regime de capitalização simples.
74
1.000
i = 0,25 ou i = 25% a.m.
4.000
3) Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 200,00 para que renda R$ 80,00 de
juros, sendo a taxa 1% a.m.?
Solução:
C= R$ 200,00
J= R$ 80,00
i= 1% a.m.
n=?
Os juros formados no final de cada período serão iguais, e portanto teremos:
3
J 1 = J 2 = J 3 = .... = J n = C i
10. Juros Simples
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2
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J = C.i.n
80 = 200.0,01.n
80 = 2n
80
n = 40 meses ou 3 anos e 4 meses
n=
2
75
4) Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz em 1 ano e 1 mês, juros de R$ 650,00.
Solução:
i=1% a.m.
n=13 meses
J= R$ 650,00
i1
i
= 2
n1 n2
i2 1,5
=
i1 = 18% a.a.
12 1
J = C.i.n
650 = C.0,01.13
650 = C.0,13
650
C=
C = 5.000
0,13
5. Taxas equivalentes
Duas taxas são denominadas de equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, num
mesmo período de tempo, produzem juros iguais.
5) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado durante 2 anos e 6 meses a taxa de
0,5% a.m..
Solução:
M=?
C=R$ 1.200,00
n= 2 anos e 6 meses = 30 meses
i= 0,5% a.m.
Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00:
a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses.
b) a taxa de 1,5% a.a., durante 4 anos.
M=C(1+in)
M=1200(1+0,005 ⋅ 30)
M=1200(1+0,15)
M=1200 ⋅ 1,15
M= 1.380
Solução:
a)
J=?
C= R$ 1.000,00
i= 2% a.m
n= 3 meses
4. Taxas proporcionais
Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporção
com os seus respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade.
Assim, sendo teremos:
b)
J=?
C=R$ 1.000,00
i=1,5% a.a.
n=4 anos
J= C. i. n
J= 1000 ⋅ 0,02 ⋅ 3
J= 60,00
J=C. i. n
J=1000 ⋅ 0,15 ⋅ 4
J=60,00
Como os juros obtidos são iguais, podemos afirmar que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 1,5% a.a.
i1
i
= 2
n1 n2
6. Prazo médio
Exemplos:
Para o cálculo do prazo médio, mencionaremos quatro casos a saber:
1) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a.
a) Capitais e taxas iguais.
Solução:
i1
i
= 2
n1 n2
i1 24
=
12i1 = 24 i1 = 2% a.m.
1 12
Neste caso o prazo médio é calculado pela média aritmética simples dos prazos dados.
Exemplo:
1) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00, a taxa de 2% a.a., durante 2 meses e R$ 1.000,00, a mesma taxa,
durante 4 meses. Qual o prazo médio dessa aplicação?
2) Calcule a taxa anual proporcional a 1,5% a.m.
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Exemplo:
Solução:
2+4 6
= = 3 meses ( prazo médio )
2
2
76
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77
b) Capitais diferentes e taxas iguais
Quando os capitais são diferentes e as taxas iguais, o prazo médio é calculado pela média
aritmética ponderada dos prazos pelos capitais.
Exemplo:
Determine o prazo médio de aplicação de dois capitais, de R$ 1.200,00, e R$ 1.800,00, aplicadas durante
1 ano e 3 anos, respectivamente, a taxa iguais?
Solução:
Multiplicando os prazos pelos respectivos capitais.
1.1.200 = 1.200
3.
7. Taxa média
Sejam os capitais C1; C2; C3...Cn , aplicamos as taxa i1; i2; i3... respectivamente, durante o mesmo
período de tempo.
A taxa média im é obtida pela soma dos capitais acima, aplicados a esta taxa e no mesmo prazo,
obtendo um total de rendimentos idênticos as aplicações originais.
im =
1.800 5.400
=
3.000 6.600
C1 • i1 + C2 • i2 + Λ Λ Cn • in
C1 + C2 + Λ Λ + Cn
Exemplo:
1) João aplicou seu capital de R$ 7.000,00 da seguinte maneira:
Dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais teremos:
6.600
= 2,2 ano
3.000
R$ 1.500,00 a 2% a.m.
R$ 2.000,00 a 1,5% a.m.
R$ 3.500,00 a 2,5% a.m.
R: O prazo médio é de 2,2 anos.
Qual seria a taxa única, que poderia aplicar seu capital, para se obter o mesmo rendimento?
Solução:
c) Capitais iguais e taxas diferentes.
1500. 0,02 + 2000 . 0,015 + 3500. 0,025
1500 + 2000 + 3500
30 + 3 − +87,5
i=
= 0,0210
7000
i = 2,1%
i=
Quando os capitais são iguais e as taxas diferentes, a solução é idêntica ao caso anterior.
d) Capitais e taxas diferentes.
Quando os capitais e as taxas são distintos, o prazo médio é calculado pela soma dos produtos
dos capitais pelo tempo de aplicação e pela sua respectiva taxa dividida pela soma dos produtos do
capital por essa referida taxa de aplicação.
1) Determine os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado a taxa de 3% a.a. em 4
anos.
Exemplo:
Qual o prazo médio de aplicação de dois capitais:
R$ 800,00 em 20 dias a 1,5% a.a., R$ 1.000,00 a 2% a.a. em 30 dias?
Tempo
20
30
Capital
800
1.000
Taxas =
0,015
0,02
=
Exercício de fixação
2) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 5 meses a importância de R$ 1.800,00. Calcule a taxa anual.
Valor ponderado
240
600
840
3) Um capital de R$ 14.4000,00 aplicado a 22 % a.a. rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo
esteve empregado?
2
de seu capital em letras durante 90 dias, a taxa de 2,5% a.m.(juros
5
simples) e recebe R$ 9.600,00 de juros. Calcule o capital de aplicação desta pessoa.
4) Se uma pessoa aplica somente
Prazo médio =
Soma dos valores ponderados
Soma dos produtos dos capitais pela taxa
1
de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o
4
restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo de regime de capitalização. Sabendose que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros, mais do que a outra, o capital inicial era de:
5) Carlos aplicou
840
840
840
Prazo Médio =
=
=
= 26,25 dias
(800.0,015) + (1000.0,02) 12 + 20 32
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79
6) Um capital de R$ 8.000,00 foi dividido em 2 partes. A primeira parte foi investida a uma taxa de 1%
a.a., durante 2 anos e rendeu os mesmos juros que a segunda parte que fora investida a taxa de 1,5%
a.a. por 3 anos. Calcule o valor da parte menor.
6) Um capital foi aplicado da seguinte maneira: seus dois terços rendendo 4%a.a e a parte restante
rendendo 3% a.a. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de R$ 500,00.
Qual era o capital inicial?
7) A soma de um capital com os seus juros, aplicado durante 110 dias, à taxa de 7% a.a. é igual a R$
2.553,47. Determinar o valor dos juros, considerando-se o ano com 360 dias.
7) (EPCAR-81) Um capital foi colocado a render juros simples a uma taxa tal que após 10 meses o
capital e os juros reunidos se elevaram a R$ 13.440,00 e após 18 meses se elevaram a R$ 16.512,00.
Qual é o capital?
8) (Receita Federal) O prazo que duplica um capital aplicado a taxa de juros simples de 4% a.m. é:
a)1 ano
c) 20 meses
e) n.r.a.
b) 15 meses
d) 25 meses
8) (Sec. Mun.Fin-SP) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples e, ao final de 2 bimestres,
produziu o montante de R$ 16.320,00. A taxa mensal dessa aplicação foi de:
a) 2,2%
b) 3,6%
c) 4,2%
d) 4,8%
e) 6,6%
9) (TTN) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8
meses é:
9) O capital de R$ 3.000,00, aplicado à taxa anual de 1% no fim de 200 dias, produzirá o montante de:
10) Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montante será de R$ 63.000,00. Caso a
aplicação durasse 13 meses, o montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal empregada?
10) Colocaram-se a mesma taxa: R$ 800,00 durante 3 meses e R$ 200,00 durante 5 meses. A diferença
entre os juros é de R$ 700,00. Qual é a taxa?
11) Calcule a taxa anual proporcional a:
a) 2,5% a.m.
c) 1,2% a.m.
b) 3% a.t.
d) 3% a.s.
11) Ache a taxa mensal proporcional a:
a) 3,6% a.t.
b) 12% a.s.c
d) 12% a.a.
12) (Receita Federal) Aplicar um capital a taxa de juros simples de 5% a.m., durante 10 meses, é
equivalente a investir o mesmo capital por 15 meses a taxa de:
a) 7,5% a.m.
b) 3,33% a.m.
c) 3% a.m.
d) 12% a.a.
12) Calcule a taxa bimestral de juros simples, equivalente a 126% a.a.
13) Qual a taxa trimestral de juros simples equivalente a 10% a.a.?
14) Aplicou-se a juros simples os capitais de R$ 1.000,00 a 2% a.m., R$ 1.500,00 a 3% a.m. e R$
2.000,00 a 3,5% a.m. durante um mês. Qual foi a taxa média do investimento?
15) Qual o prazo médio para juros de R$ 2.000,00 em 30 dias a 1% a.d., R$ 2.500,00 a 2% a.d. em 40
dias.
1) Um capital de R$ 6.000,00 aplicando durante 2 meses, a juros simples, rende R$ 2.000,00.
Determinar a taxa de juros cobrada.
13) Sobre a taxa proporcional é correto afirmar:
a) Sempre se refere a juros exatos.
b) Normalmente refere-se a juros compostos.
c) Utilizado em equivalência de capitais a juros comerciais e compostos.
d) Dá nome aos contratos.
e) Refere-se a juros simples.
14) (FTE-93) Um banco efetuou os seguintes empréstimos com juros simples conforme tabela abaixo.
Calcule a taxa média mensal destas operações:
Principal(R$)
10.000,00
20.000,00
2) Calcular o juro e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 1 ano, a taxa de juros
simples de 0,5%a.m.
3) Em quanto tempo um capital colocado a 0,4% a.m., rende
) 2,4% a.d.
a) 10% a.m.
2
do seu valor?
5
4) (FAAP) Um investimento de R$ 24.000,00, foi aplicado parte a juros de 1,8% a.m., e parte a 3% a.m.
Se os juros mensais forem de R$ 480,00, quais as partes correspondentes do investimento?
b) 11% a.m.
Taxa mensal
20%
10%
c) 12% a.m.
Prazo (meses)
2
4
d) 13,33% a.m.
e) 15% a.m.
15) Três capitais iguais a R$ 2.000,00 foram aplicados a mesma taxa durante 2, 3 e 4 meses
respectivamente. Qual o prazo médio?
5) (Mack) A taxa de 4% ao mês (juros simples), R$ 200,00 dobrou de valor ao fim de:
a) 18 meses
c) 25 meses
e) 50 meses
b) 24 meses
d) 48 meses
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80
CopyMarket.com
81
1)
C = R $6.000,00
n = 2 me
J = R$2.000,00
i =?
2)
C = R $10.000,00
n = 1 ano = 12meses
i = 0,5% a.m.
6)
J = C• i• n
2.000 = 6.000 • i • 2
2.000 = 12.000i
2.000
1
i=
i = i = 0,166
12.000
6
i = 16,6% a.m.
J = C• i• n
J = 10.000 • 12 • 0,005
J = 600
i = 0,4% a.m
J = 0,4C
4)
7)
J = C• i• n
0,4C = C • 0,004 • n
n=
C=
0,4
n = 100 meses
0,004
C=
13.440 16.512
=
1 + 10i
1 + 18i
240
C1 = 20.000
0,012
C2 = 24.000 − C1
C2 = 24.000 − 20.000 C2 = 4.000
C1 =
CopyMarket.com
5,7i = 0,23
0,23
= 0,04
i=
5,7
i = 4% a.m.
J = C• i• n
400 = 200 • 0,04 • n
400
n = 50 meses
n=
8
16.512
1 + 18i
1 + 18i 16.512
=
1 + 10i 13.440
1 + 18i 1,23
=
1 + 10i
1
1(1 + 18i ) = 1,23(1 + 10i )
1 + 18i = 1,23 + 12,3i
18i − 12,3i = 1,23 − 1
0,012C1 = 240
C = 200
n=?
13.440
1 + 10i
M = C (1 + i • n )
16.512 = C(1 + 18i)
n = 18 meses
M = 16.512
C1 + C2 = 24.000 C2 = 24.000 − C1
J 1 + J 2 = 480
C1 • i1 • n + C2 • i2 • n = 480
i = 4% a.m.
J = 400
J 1 − J 2 = 500
M = C (1 + i • n )
13.440 = C(1 + 10i)
n = 10meses
M = 13.440
C1 • 0,018 • 1 + (24.000 − C1 ) • 0,03 • 1 = 480
0,018C1 + 720 − 0,03C1 = 480
0,018C1 − 0,03C1 = 480 − 720
− 0,012C1 = − 240(− 1)
5)
n = 1 ano
0,08C 0,03C
−
= 500 0,08C − 0,03C = 1500 0,05C = 1500
3
3
1500
C=
C = 30.000
0,05
M = 10.600,00
C=?
1
C2 = C
3
i2 = 3% a.a.
2C
0,08C
• 0,04 • 1 =
J1 =
3
3
1C
0,03C
J2 =
• 0,03 • 1 =
3
3
M = J +C
M = 600 + 10.000
3)
2
C1 = C
3
i1 = 4% a.m.
n = 1 ano
C=
82
13.440
13.440
13.440
13.440
=
C=
C=
C = 9.600,00
1 + 10i 1 + 10 • 0,04
1 + 0,4
1,4
CopyMarket.com
83
8)
M = C (1 + i • n )
16.320,00 = 15.000,00 (1 + 1• 4)
C = 15.000,00
n = 4 meses
M = 16.320,00
16.320,00
= 1 + 4i
15.000,00
1,088 − 1 = 4i
i=?
i1 0,024
=
i1 = 0,024 • 30 i1 = 0,72 i1 = 72% a.m.
30
1
0,088
= i i = 0,022 i = 2,2% a.m.
4
R: A alternativa correta é a
9)
a
M = C (1 + i • n)
C = 3.000,00
M =?
0,01
i=
360
n = 200 dias
12)
§ 0,01
·
M = 3.000¨1 +
• 200 ¸
© 360
¹
2 ·
§
M = 3000¨1 +
¸
© 360 ¹
1 ·
§
M = 3.000¨1 +
¸
© 180 ¹
J 1 = C • 0,05 • 10 = 0,5C
J 2 = C • i • 15
J = J2
0,5C = 15 • C • i
0,5
i=
i = 0,033 ou i = 3,3% a.m..
15
J 1 = 800 • i • 3 = 2.400i
J 2 = 200 • i • 5 = 1000i
b
13) a alternativa correta é a
e
14) im =
J 1 − J 2 = 700
2.400i - 1000i = 700
C1 • i1 + C2 • I2
C1 + C2
10.000 • 0,2 + 20.000 • 0,1
4.000
4
2
im =
im =
im =

30.000
30.000
30
15
im = 0,133 ou im = 13,3% a.m..
im =
1.400i = 700
700
1
i=
i = i = 0,5 i = 50% a.m.
1.400
2
11)
i1
i
= 2
n1 n2
0,12
i1 0,12
=
12i1 = 0,12 i1 =
i1 = 0,01 i1 = 1% a.m.
1 12
12
d)
181 ·
M = 3.000§¨
¸
© 180 ¹
M = 3.016,66
10)
i1
i
= 2
n1 n2
c)
i1
i2
a) n = n
1
2
3,6
i1 3,6
=
3i1 = 3,6 i1 =
i1 = 1,2% a.m.
1
3
3
15) Prazo médio =
2+3+4
= 3 meses.
3
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i1
i2
b) n = n
1
2
12
i1 12
=
6i1 = 12 i1 =
i1 = 2% a.m.
1 6
6
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84
85
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2. Tipos de desconto
2.1. Desconto comercial, bancário ou por fora
O desconto comercial incide sobre o valor nominal do título, e eqüivale ao juros simples onde o
capital inicial corresponde ao valor nominal do título de crédito.
dc = N i n
11. Desconto Simples
1. Introdução
dc: Valor do desconto comercial;
N: Valor nominal do título;
i: taxa de desconto;
n: tempo.
Na vida comercial e industrial as relações de compra e venda entre os negociantes ou
negociantes e consumidores podem ser a vista ou a prazo.
2.2. Valor Atual Comercial
Quando uma compra é feita a vista, a pessoa que adquire o bem, paga ao vendedor, em dinheiro
ou cheque no ato da mesma.
A=N-d
A = N - N in
No caso de uma compra a prazo, o comprador assume um compromisso em quitá-lo em uma
data futura.
A = N (1- in)
É normal que o credor receba um título de crédito que é o comprovante da sua dívida, caso o
mesmo deseje quitar antes da data de vencimento obterá um abatimento que é denominado de
desconto.
Os títulos de crédito mais conhecidos são: duplicatas; letras de câmbio; nota promissória.
Desconto (d): é o abatimento que se faz sobre um título de crédito, quando o mesmo é quitado
antes do seu vencimento;
Valor Nominal (N): é o valor do título quando quitado no dia do vencimento;
Valor Atual (A): é o valor líquido recebido (ou pago) antes do vencimento.
Exemplo:
Uma pessoa portadora de um título de crédito no valor de R$ 10.000,00 deseja resgatar o mesmo antes
de seu vencimento por R$ 8.000,00.
1) Calcular o desconto comercial de um título de crédito no valor R$ 2.000,00 à taxa 6% a.m., sendo
resgatado 2 meses e 10 dias antes do vencimento.
Solução:
dc = ?
N = R$ 2.000,00
0,06
i 0,06a.m
0,002a.d
30
n = 2 meses e 10 dias = 70 dias
2) Uma duplicata de R$ 6.000,00, foi resgatada 120 dias antes do seu vencimento, sofreu R$ 300,00 de
desconto por fora (comercial). Qual a taxa anual usada na operação?
Valor nominal (N): R$ 10.000,00
Valor atual (A): R$ 8.000,00
N = R$ 6.000,00
1
n= 120 dias = ano.
3
dc = R$ 300,00
i=?
Desconto: (d) = 10.000,00 - 8.000,00 = 2.000,00 d = R$ 2.000,00
O exemplo acima mostra as relações envolvidas em uma operação de desconto:
dc = N i n
300 = 6000 i
ou N = A + d
1
3
300 = 2.000 i i =
i=
d = N – A ou A = N - d
dc = N in
dc = 2.000 . 0,002 70
dc = 280
300
2000
3
i = 0,15 ou i = 15% a.a.
20
3) Calcular o valor atual de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.000,00 que, sofreu um
desconto comercial, a uma taxa de 3% a.m., 108 dias antes do vencimento.
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86
CopyMarket.com
87
A = N (1 - in)
3) (CEF) Uma nota promissória foi resgatada 5 meses antes do vencimento, sofrendo um abatimento
de R$ 30.000,00. Se o desconto foi comercial simples, a taxa de 48% a.a., o valor pago foi:
a)R$ 180.000,00
d) R$ 135.000,00
b)R$ 175.000,00
e) R$ 120.000,00
c)R$ 150.000,00
0,03
A = 1.000 (1 108)
30
A = 1.000 (1 - 0,108)
A = 1.000 (0,892)
A = 892
4) Os descontos comerciais de 2 títulos de créditos vencíveis em 90 dias, colocados a taxa de 3% a.a.,
somam R$ 200,00 e o desconto do primeiro excede o da segunda em R$ 50,00. Calcular os valores
nominais desses títulos.
dc1 = N1 i n
dc1 = N1 0,03 dc1 = N1
dc2 = N2 i n
0,03
1
dc2 = N2 0,03 dc2 = N2
4
4
dc1 + dc2 = 200 dc1 = 200 - dc2
dc1 = dc2 + 50
200 - dc2 = dc2 + 50
200 - 50 = 2 dc2
150
dc2 = 75
150 = 2 dc2 dc2 =
2
dc1 = 200 - dc2
dc1 = 200 - 75 dc1 = 125
0,03
dc1 = N1
4
0,03
4.125
125 = N1
4 125 = 0,03 N1 N1 =
4
0,03
4) Um título de crédito de R$ 1.200,00 tem valor líquido de R$ 1.000,00 quando descontada por fora 2
meses antes de seu vencimento. Qual é a taxa de vencimento?
5) (Banco do Brasil) Uma pessoa deseja obter um empréstimo de R$ 30.000,00 no prazo de 120 dias, a
6% a.m., de desconto comercial simples. Qual o valor do título para produzir aquela importância
líquida?
a)R$ 39.473,68
c) R$ 35.432,20
b)R$ 38.528,12
d) R$ 34.318,20
6) (Receita Federal)
simples. Sabendo
em dias, é:
a)120
c)100
O valor atual de uma duplicata é 5 vezes o valor de seu desconto comercial
que a taxa de desconto adotada é de 60% a.a., o vencimento do título, expresso
c) 130
d) 150
e) 140
2.3. Desconto Racional ou Desconto por dentro
É o desconto que incide sobre o valor atual de um título de crédito. Indicaremos desconto
racional por dr.
dr
Ar x i x n
1
Valor do Desconto Racional em função do Valor Nominal
Ar = N - dr
N1 = 16.666,67
2
Substituindo 2 em 1, teremos:
dr = (N - dr) i n
dr = N i n - dr i n
dr + dr i n = N i n
dr (1 + in) = N i n
N .i.n
dr =
1 i.n
0,03
4
0,03
300
75 4 = N2 0,03 300 = N2 0,03 N2 =
75 = N2
4
0,03
dc2 = N2
N2 = 10.000,00
2.4. Valor Atual Racional
Ar = N - dr
1) Calcule o valor nominal de certa nota promissória que, descontada 2 meses antes do vencimento, à
taxa de 1,5% a.m., de desconto comercial simples, deu um valor atual de R$ 2.100,00.
2) Uma nota promissória, com o valor nominal de R$ 10.000,00, foi resgatada 2 meses e 5 dias antes
de seu vencimento, utilizando a taxa de 36% a.a. Qual foi o desconto comercial?
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88
N .i.n
1 i.n
N (1 i.n) N .i.n
Ar
Ar =
1 i.n
Ar = N CopyMarket.com
N
1 i.n
89
2.5. Relação entre Desconto Comercial e o Desconto Racional
dc = N i n
dc
1 i.n
dr =
dr =

3) quociente entre os descontos comercial e racional é de 1,2. Qual será a taxa de juros se o prazo de
antecipação é de 4 meses.
N .i.n
1 i.n
d r (1 i.n)
dc
Nin
Nin
dc
dr
1 i.n
dc
dr
1 i.n
1) Um título de crédito de valor nominal de R$ 1.600,00 sofre um desconto racional simples a taxa de
1,5% a.m., 75 dias antes do seu vencimento. Calcule o desconto racional e o valor atual.
1,2 1 4i
1,2 1 4i
Solução:
N = R$ 1.600,00
i = 1,5% a.m.
n = 75 dias = 2,5 meses
0,2
N .i.n
dr =
1 i.n
1.600.0,015.2,5
dr
1 0,015.2,5
60
60
dr

dr
1 0,0375
1,0375
N
1 i x n
1600
Ar
1 0,015 x 2,5
Ar
Ar
57,83
0,5 ou i
5% a.m.
É a taxa que incide sobre o capital inicial.
1600
Ar
1 0,015 x 2,5
1600
Ar
1,0375
3.2. Taxa de desconto simples (id)
1.542,17
É a taxa que incide sobre o valor nominal de um título de crédito.
A taxa de juros simples e a taxa de desconto comercial são equivalentes, quando o valor atual
for igual ao capital e o montante como valor nominal.
Ou seja M = N e A = C
?
2
mês
3
i 1% a.m. 0,01 a.m.
d c d r 60
20 dias
N.i.n
60
N.i.n 1 i.n
2 N.0,01. 23
N.0,01. 3 1 0,01. 23
0,02N
3
0,2
i
4
3.1. Taxa de juro simples (ij)
Solução:
n
1 in
N .i.n
3. Taxa de juros simples e taxa de desconto simples
2) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título de crédito, é de R$ 60,00. O prazo
é de 20 dias e a taxa de 1% a.m. Calcular o valor nominal do título.
N
4i i
N .i.n
0,02N
3
1 0,02
3
60
60
0 , 02 N
3
0 , 02 N
3
1 0 , 02
3
60
0 , 02 N
3
0 , 02 N
3
0 , 02
3
60
0 , 02 N
0 , 02 N
3
.
3
3
3 , 02
0 , 02 N
0 , 02 N
60
3
3 , 02
0 , 02 . 3 , 02 N 0 , 02 . 3 N
3 . 3 , 02
0,0604 N - 0,06 N = 543,60 0,0004 N = 543,60 N =
543,60
A = N (1 - i n) C = N (1 - id n) =
M = C (1 + i n) N = C (1 + ij n)
1
N
C
= 1 + ij n
C
N
1
1 i j .n
2
60
Comparando 1 e 2 teremos:
60 . 3 . 3 , 02
3 . 3 , 02
1 id x n
1
id
1 ij x n
ij
(taxa de desconto)
1 ij x n
1 id x n
1
ij
1 ij x n
id
(taxa de juro)
1 id x n
N = 1.359.000,00
0,0004
CopyMarket.com
C
= 1 - 1d n
N
90
CopyMarket.com
91
1) Calcule a taxa de juro simples (mensal) equivalente a uma taxa de desconto comercial simples de
1% a.d., num prazo de 2 meses?
Solução:
12) Um título de crédito foi resgatado 60 dias antes de seu vencimento, sendo o valor nominal de R$
1.800,00. Sabendo-se que o desconto foi de R$ 200,00, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro
efetivo.
ij = ?
id = 1% = 0,01 a.d.
n = 2 meses = 60 dias
13) Uma duplicata foi descontada 3 meses antes do seu vencimento, a taxa de desconto comercial de
6% a.a. Qual a taxa de juro efetiva anual dessa operação?
ij
14) Complete o quadro abaixo:
id
1 id .n
0,01
ij
1 0,01.60
ij = 0,025 ou
ij = 2,5% a.d.
ij
0,01
ij
1 0,6
0,01
0,4
Taxa de desc.
Com.
3% a.m.
a)
b)
c)
Taxa de juro
efetiva
10% a.m.
10% a.d.
2% a.d.
2) Uma instituição financeira cobra uma taxa de juros simples de 6% a.m. para empréstimo de 30 dias.
Calcule a taxa de desconto comercial simples equivalente?
4. Fluxo de caixa e Equivalência de capitais
ij = 6% = 0,06 a.m.
4.1. Fluxo de caixa
n = 30 dias = 1 mês
id = ?
ij
ij =
1 i j .n
0,06
id
id
1 0,06.1
Prazo
10 dias
5 dias
Chamamos de fluxo de caixa a sucessão de pagamentos ou recebimentos ao longo do tempo.
Para uma melhor compreensão representaremos um diagrama de fluxo de caixa.
0,0566 id
5,66%a.m
0
1
2
3
4
5
períodos
Por Convenção:
7) Determine o valor atual racional e comercial de um título de R$ 6.500,00 resgatado 2 meses antes
do vencimento a taxa de 2% a.m.
x o eixo horizontal, orientado para a direita indica o período de tempo;
x as setas orientadas para cima indicam as saídas de caixa;
x as setas orientadas para baixo indicam as entradas de caixa;
8) O desconto comercial aplicado a uma letra de câmbio resgatada 5 meses antes do vencimento à taxa
de 1% a.m. foi de R$ 10,00. Qual será o valor do desconto se fosse racional?
Veja o exemplo de um diagrama de fluxo de caixa:
9) O valor atual racional simples de um título é igual a metade do seu valor nominal. Calcular a taxa de
desconto sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 2 meses.
1) Uma pessoa fez uma aplicação de R$ 5.000,00 e recebeu R$ 6.000,00 após 5 meses.
5.000
10) Uma duplicata foi submetida a dois tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma
taxa de 1% a.m., vencível em 90 dias com desconto comercial. No segundo caso, com desconto
racional, mantendo as demais condições. Sabe-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro,
foi de R$ 450,00. O valor nominal do título era de:
1
11) A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial de uma dívida é de R$ 120,00. O
valor nominal desse título, a 1% a.m., com antecipação de 1 mês é:
CopyMarket.com
92
2
3
4
5
meses
6.000
CopyMarket.com
93
4.2. Equivalência de Capitais
Dois ou mais capitais com datas de vencimentos distintas, são chamados de equivalentes
quando “transportados” para uma mesma data focal, a uma mesma taxa, produzem valores iguais.
Exemplo
1) Verificar se os capitais R$ 384,00, com vencimento para 1 mês e R$ 600,00 com vencimento para 5
meses, são ou não equivalentes pelo critério do desconto comercial simples a 10% a.m., na data focal 3.
N1 = R$ 1.000,00
n = 1 mês
N2 = R$ 1.200,00
n = 3 meses
N=?
n = 5 meses
i = 6% a.m.
A1 + A2 = A
N1 (1 - in) + N2 (1 - in) = N (1 - in)
1.000 (1 - 0,06 1) + 1.200 (1 - 0,06 3) = N (1 - 0,06 5)
1.000 0,94 + 1.200 0,82 = N (1 - 0,30)
940 + 984 = 0,7 N
1.924 = 0,7 N
1.924
N = 2.748,57
N=
0,7
600
3) Um comerciante possui dois títulos de créditos, sendo um no valor R$ 1.000,00 com vencimento
para 40 dias e o outro no valor de R$ 1.500,00 com vencimento para 60 dias. Necessitando de
dinheiro, decide descontá-las hoje, em um banco que efetua a operação a taxa de desconto comercial
de 6% a.m. Qual o valor recebido pelo comerciante pelos dois títulos?
meses
0
1
2
3
4
5
V = A1 + A2
data focal
40
)+ 1.500 (1 - 0,06 2)
30
V = 1.000 (1 - 0,08) + 1.500 (1 - 0,12)
V = 1.000 0,92 + 1.500 0,88
V = 920 + 1.320
V = 2.240
V = 1.000 (1 - 0,06
384
A= N(1-in)
A = 600(1-0,1.2) =480
384
384
A
N=
1 in 1 0,1.2 0,8
480
Exercícios Resolvidos
1) Um título de crédito de valor nominal de R$ 800,00, com vencimento para 45 dias é substituído por
outro para 60 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa de desconto comercial
simples é de 3% a.m.
A=A1+a2
x
x
800=
1 0,06 1 0,12
Solução:
N1 = R$ 800,00
n = 45 dias = 1,5 mês
N=?
n = 60 dias = 2 meses
i = 3% a.m.
4) Uma loja vende um eletrodoméstico por R$ 800,00. A prazo, pode-se pagar a mercadoria em 2
pagamentos mensais iguais; o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um desses
pagamentos, se foram adotados, na operação o desconto racional a taxa de 6% a.m. e a data focal a
do ato da compra?
A1 = A
N1 (1 - i n) = N (1 - i n)
800 (1 - 0,03 1,5) = N (1 - 0,03 2)
800 (1 - 0,045) = N (1 - 0,06)
800 0,955 = N 0,94
764 = N 0,94
764
N=
N = 812,77
0,94
x
x
1,06 1,12
800.1,06.1,12 = 1,12x + 1,06x
949,76 = 2,18x
949,76

x=
2,18
800 =
x = 435,67
2) Uma pessoa deve dois títulos de créditos: um no valor de R$ 1.000,00 com vencimento para 1 mês e
outro de R$1.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-lo no vencimento, propõe ao
credor substituí-los por um título único para 5 meses. Sabendo que a taxa de desconto comercial
simples é de 6% a.m., calcule o valor nominal do título único.
15) Um título de crédito no valor de R$ 800,00, com vencimento para 60 dias é substituído por outro
com vencimento para 90 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa de
desconto comercial simples é de 1% a.m.
CopyMarket.com
94
CopyMarket.com
95
16) Uma empresa vende mercadorias por R$ 5.730,00 à vista ou em dois pagamentos iguais, sendo o
primeiro para 30 dias e o segundo para 60 dias. Qual o valor das parcelas que a empresa aplica,
sendo a taxa de desconto comercial de 3% a.m.
17) Um lojista possui 2 duplicatas: uma de R$ 1.200,00 para 30 dias e a outra de R$ 600,00 para 60 dias.
Não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um único título para 5
meses. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 1% a.m. Calcular o valor nominal do título
único.
18) Uma loja vende uma bicicleta por R$ 800,00 à vista ou 10% de entrada e o restante para 30 dias.
Qual será o valor desse pagamento, se a loja opera, nas vendas à prazo, com taxa racional de 0,5%
a.m.
19) Uma papelaria vende R$ 350,00 em mercadorias. O pagamento pode ser a prazo em dois
pagamentos mensais e iguais; o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um desses
pagamentos, se forem adotados, na operação, o critério de desconto racional de 0,5% a.m. e a data
focal do ato da compra?
9) Resgatei um título em um banco que me pagou líquido de R$ 6.200,00. O resgate deu-se a 20 dias
antes do vencimento, a taxa de 3% a.m. pelo desconto racional. Qual é o valor nominal desse título?
10) Uma loja vende um guarda roupa à vista por R$ 3.000,00. A prazo, pode-se pagar em três
pagamentos mensais e iguais, o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um dos
pagamentos, se forem adotados, na operação, o desconto racional de 8% a.m. e como data focal a
do ato da compra?
1.
dc
N xi x n
dc
4.000 x 0,04 x 1 d c
dc
4.000 x 0,04 x 2 d c
320
dc
4.000 x 0,04 x 3 d c
480
soma 960
1) Uma empresa descontou três duplicatas no valor de R$ 4.000,00 cada, com vencimento para 30; 60
e 90 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 4% a.m., o
valor total do desconto, pelo regime de juros simples, em reais, foi de:
2) Um título de crédito no valor nominal de R$ 1.500,00, em 3 meses, tem como desconto comercial
R$ 300,00. Determine a sua taxa anual.
R.: O valor total do desconto foi de R$ 960,00
2.
4) (TTN) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui
a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$ 29.500,00 e desejo ganhar 36% a.a., é de:
a)R$ 24.000,00
d) R$ 18.800,00
b)R$ 25.000,00
e) R$ 24.190,00
c)R$ 27.500,00
N xixn
dc
300 1.500 x i x 0,25
300
3) Uma nota promissória foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento sendo à taxa de 6% a.a.
Sabendo-se que o valor atual comercial foi de R$ 800,00, qual seria seu valor nominal?
i
3.
Ac
800
6) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título pagável em 120 dias, a 1% a.m. é
igual à R$ 120,00. Determine o valor nominal, desconto comercial e o desconto racional.
800
800
N
7) Complete o quadro abaixo:
4% a.m.
Taxa de juros
60% a.m.
20% a.m.
4.
Prazo
10 dias
30 dias
8) Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de R$ 3.000,00 com 45 dias de prazo e outra de R$
8.400,00, pagável em 60 dias. O negociante quer substituir essas duas dívidas por uma única, com
30 dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 12% a.a., o valor nominal dessa
dívida será de:
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96
375i
300
i 0,8
375
i 80% a.a.
5) quociente entre o desconto comercial e o desconto racional é de 1,2. Qual será o prazo de
antecipação se a taxa de juros for de 5% a.a.?
Taxa de desc. com.
6% a.m.
160
N 1 i x n
1·
§
N ¨1 0,06 x ¸
6¹
©
N 1 0,01
N 0,99
800
N
0,99
808,08
N xixn
1 i x n
29.500 x 0,03 x 6
dr
dr
1 0,03 x 6
29.500 4.500 R$25.000
dr
A alternativa correta é a
CopyMarket.com
5.310
dr
1,18
4.500
b
97
N xi xn
N xi xn
1 i x n
1,2 1 i x n
5.
dc
dr
c)
1 i x n
0,2

1 0,2 x n
0,041 0,2n 0,2
0,04 0,008n 0,2
0,008n 0,2 0,04
0,008n 0,16
0,16
n
n 20 meses
0,008
.
0,04
1,2 1 0,05n
1,2 1 0,05n
0,2
n
6.
0,05n
0,2
n
0,05
dc d r
4 anos
120
N xixn
120
1 i x n
N x 0,01 x 4
120
N x 0,01 x 4 1 0,01 x 4
0,04 N
120
0,04 N 1,04
1,04 x 0,04 N 0,04 N 120 x 1,04
8.
N xixn A1 A2
124,80
N
0,0016
7. a)
dc
N xi xn
dc
78.000 x 0,01 x 4
dr
N xixn
1 i x n
78.000 x 0,01 x 4
3.120
dr
dr
1 0,01 x 4
1,04
3.0001 0,015 8.400(1 0,02)
3.000
3.000 x 0,985 8.400 x 0,98
2.955 8.232
ij
b)
9.
id
id
CopyMarket.com
0,06
0,98
N
10.
0,375 id
N
N
1 0,02
1,02 x 6.200
N
6.324
2
3
6.200
ij
0,6
id
1,6
N x 0,99
N x 0,99
N
1 i x n
1 0,03 x
1 ij x n
0,6
id
1 0,6 x 1
Ar
6.200
0,06
ij
ij
1
1
0,02
1 0,06
3
0,0612 ou i j 6,12% a.m.
N 1 0,01 x 1
N (1 0,01)
11.187
N
0,99
N 11.300
78.000,00
0,06
ij
N 1 i x n
3.0001 0,01 x 1,5 8.4001 0,01 x 2
3.120
id
1 id x n
ij
A
N11 i x n N 2 x 1 in 0,0416 N 0,04 N 124,80
0,0016 N 124,80
N
ij
1 ij x n
id
37,5% a.m.
98
x
x
x
3.000
1 0,08 x 1 1 0,08 x 2 1 0,08 x 3
x
x
x
3.000
1,08 1,16 1,24
x x 1,16 x 1,24 x x 1,08 x 1,24 x x 1,08 x 1,16 3.000 x 1,08 x 1,16 x 1,24
1,08 x (1,16) x 1,24
1,08 x 1,16 x 1,24
1,4384 x 1,3392 x 1,2528x 4.660,42
4,0304x 4.660,42
4.660,42
x
x 1.156,32
4,0304
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99
CopyMarket.com
0 ,1
b) log 10
= x 10x= 0,1
1
10x =
10
10x = 10-1
x = -1
c) log
12. Logaritmos
5
1
1. Introdução
Os povos antigos indicavam quantidade através de pedrinhas ou faziam marcas em madeira ou
osso.
5
1
= x ( )x = 5
5
(5-1)x = 51/2
5-x = 51/2
1
-x=
2
1
x=2
Os cálculos aritméticos nessa época eram complicados de se efetuar.
Com o desenvolvimento do comércio, das navegações e da astronomia, no fim do século XVI,
foi necessário criar novos métodos que tornassem os cálculos mais simples.
Os logaritmos surgiram para facilitar os cálculos e graças aos matemáticos Henry Briggs e John
Napier que elaboraram as primeiras tábuas de logaritmos.
O logaritmo é utilizado em química para verificar se uma solução é ácida, básica ou neutra e em
matemática financeira para estudar juros compostos.
2. Definição
1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo:
1
a)log 12 =
b) log 4 2 =
c) log 5 5 =
d) log 50, 2 =
e) log 1 /216
1 / 100
f) log 10
=
3. Propriedades
Sendo a e b números reais e positivos, com a z 1, chama-se logaritmo de b na base a, o
expoente que se deve dar a base a de modo que a potência obtida seja igual a b.
Log a
(a; b R, b > 0; 0 < a z 1)
b - logaritmando
a - base do logaritmo
x - logaritmo
= log ba + log ca
Sendo (a; b; c R; 0 < a z 1; b > 0 e c > 0)
log a
b) log0,1 =
( a c )
b) Logaritmo do quociente
a) log 42 =
a) Logaritmo do produto
Sendo (a; b; c R; 0 < a z 1; b > 0 e c > 0)
Log ba = x ax = b
b
= log ba - log ca
c
c) Logaritmo da potência
c) log 1 /55 =
Sendo (0 < a z 1; b > 0 e D R)
Solução:
a) log 42 = x 2x = 4
2x = 22
x=2
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D
log = ba = D .log ba
100
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101
d) Logaritmo da raiz n - ésima
Sendo (0 < a z 1; b > 0 e n N*)
1) Sendo log2 z 0,3010 e log3 z 0,4771. Calcule o valor de log 62
1/ n
n
log a b = log ba =
1
. log ba
n
Solução:
log(2.3)
log 62
log 2
3
b) log ( )
2
0,3010 0,4771
# 2,59
0,3010
2) Dados log 3 = y . Calcular log 30
3
Solução:
1) Dados log2 # 0,3010 e log3 # 0,4771. Calcule:
a) log6 =
log 2 log 3
log 2
log 30
3
d) log 2 =
c) log4 =
log 30
log 3
log(3.10)
log 3
log 3 log10
log 3
y 1
y
Solução:
3) Simplificar:
a) log6 = log (2 3) = log2 + log3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781
(log32 ).(log32 )
3
b) log ( ) = log3 - log2 = 0,4771 - 0,3010 = 0,1761
2
Solução:
c) log4 = log2 = 2 log2 = 2 0,3010 = 0,6020
2
d)log 2 = log 2
1/ 2
log 3 log 2
.
log 2 log 3
1
= log2 = 0,5 0,3010 = 0,1505
2
1
1
b) (log54 ).(log25 )
log 4 log 5 1
.
log 5 log 2
2) Dados log2 # 0,3010; log3 # 0,4771 e log7 # 0,8451
log 2 2 1. log 5
.
log 5
log 2
2 log 2 1log 5
.
2
log 2
log 5
Calcule:
a) log9 =
b) log5 =
c) log6 =
e) log 6 =
f) log
g) log21 =
2
2
d) log12 =
3) Sendo log2 = m e log3 = n, calcule:
4. Mudança de base
As propriedades operatórias dos logaritmos são válidas somente para logaritmos que estão na
mesma base.
No caso de logaritmos de bases diferentes precisamos reduzir esses logaritmos para uma mesma
base.
log ba =
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log
log
a
c
a
c
onde: b > 0 ; 0< a z 1
;
0<cz1
a) log 12
2 =
b) log
=
c) log 34 =
d) log 18
4 =
e) log 3 6 =
27
f) log 12
=
4) Simplifique as expressões:
a) (log 32 ) (log
102
20
5
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3
2
)=
b) (log 53 ) (log
4
25
) (log 92 ) =
103
b) sistema neperiano
É o sistema cuja base vale e.
O número e é irracional e vale 2,71828...
Os logaritmos na base e são denominados de neperianos ou naturais.
5. Função logarítmica
Denominamos de função logarítmica a toda função do tipo:
f(x) = log ax ou y = log ax (0 < a z 1 e x > 0)
Exemplo:
log 7e = ln7
A função logarítmica pode ser classificada em crescente (a > 1) ou decrescente (0 < a z 1).
Gráficos
6.1. Característica e Mantissa
y = log 2x
x
log 2x
y
2
1
4
1
2
log 24
-2
1
log 22
-1
-1
1
log 12
0
-2
2
log 22
1
4
log 42
2
1
1
Característica de log y
1º. Caso: y t 1
¼ ½
Quando o y for um número maior ou igual a 1, a característica de log y é obtida pela quantidade de
algarismos que y apresenta na parte inteira e subtraindo uma unidade.
1) Determine a característica de:
a) log 300
b) log12,85
Solução:
y = log
x
1
4
1
2
x
12
log
a) log 300 Ⱥ c = 3 - 1 = 2
x
2
y
log12,85 Ⱥ c = 2 - 1 = 1
1
-2
2
1
-1
1
log 24
log 22
1
2
4
2º. Caso: 0 < y < 1
¼ ½
1
log 12
0
-1
2
log
1
4
-2
log
2
2
4
2
2
Quando y é um número compreendido entre 0 e 1, a característica de log y é obtida pela quantidade de
zeros que y apresenta antes do primeiro algarismo significativo.
6. Logaritmos decimais
a)log 0,001
b) log 0,12
Os sistemas de logaritmos são:
Solução:
a) sistema decimal
É aquele cuja base vale 10.
a) 0,001 têm três zeros antes do primeiro algarismo significativo; então a característica é -3;
Por volta de 1614, o matemático Henry Briggs elaborou a primeira tabela de logaritmos na base 10.
b) 0,12 tem um zero antes do primeiro algarismo significativo, então a característica é -1.
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104
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105
3) Assinale a alternativa falsa:
a) log1 = 0
6.2. Mantissa
x
)= logx – logy
y
b) log (
c) log
d) log (x y) = log x + log y
A mantissa é encontrada nas tábuas de logaritmos decimais.
Encontramos mantissas dos logaritmos decimais dos números inteiros compreendidos entre 1 e
1.000.
a
bD
D . log ba
e) n.r.a.
4) (PUC-RS) Se log2 = x e log3 = y, então log375 é:
a) y + 3x
c) y - x + 3
b) y + 5x
d) y - 3x + 3
e) 3 (x + y)
1) Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo:
a) log 500
5) O produto: (log 92 ) (log 52 ) (log 35 ) é igual a:
b) log 930
Solução:
a)0
a) log500
mantissa: 0,698970
b) 1
c) 10
d) 30
e)
6) São dados: log = a e log = b. O valor de log é:
a
b
b
a)
b)
c)
1 a b
1 a b
1 a b
b) log930
mantissa: 0,968483
1
2
d)
a
1 a b
e)
b
2a
5) Determine a característica de cada logaritmo a seguir:
1
10
a) log 100
c) log 231,6
e) log
b) log 0,001
d) log 5
f) log 32
1
2
a) log 2,61
c) log
b) log 0,012
d) log 20
e) log
12
5
f) log 2,168
8) Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo, consultando a tábua de logaritmos:
a) log13
c) log 0,2
b) log201
d) log 2,16
e) log25
o ,1
=
a) log 10
1
c) log 10, 225 =
b) log 3 3
d)log 8 2 =
e) log 182 =
2) (Fuvest) O valor da expressão:
(2) 2 3 27
é:
(3 5)0 log 42
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a) –7
b) –1
c) 1
d)2
e) 7
106
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107
1
2
-3x
1)
a) log 0,1 = x 10x = 0,1
10
10x
2)
1
=
-4 + 3
=
10
10x = 10-1
3) C
b) log 3 = x 3x = 3
3x = 31/2
4) log2 = x; log3 = y
1
x=
2
log375 = log (3 53) = log3 + log53 = log3 + 3 log5 =
1/25
c) log 0,2
= log 1/25 = log
1/25
x
x
x
5
log3 + 3
25
5
log5

log9
2
= x (2 )x = 8
1/8
( )
x
=
15
x
=
2
2
1/2
log 9
3
2
2
= 2
=
log 15
2
log
9
15
=
log 15
= 1
2
log
32
2
=
15
log 15
2 log
3
15
= b
2a
1/2
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log2 log5 log3
log2 log5
2.log3
15
2
( )
-3x
=
6) log 3 = a e log 2 = b
2
8
1
=
log5
a alternativa correta é a e
x = 6
1
log2
log3
log32
1 x = 3

log2 log5 log3
log2 log5
(21/2)x = 23
2
e) log 2 = x
3
5) (log 9 ) (log 2 ) (log 5 ) =
log2
8
5
2
(1)
x=2
d) log
= log3 + 3 (log10 - log2) =
2
2
=
( 10 )]
[
log3 + 3 (1 - log2) = log3 + 3 - 3 log2 = y - 3x + 3
1
(1)
5
( 1)
1/25
1/5
2/10
log 1/5
1
=
-1
1
6
a alternativa é a C
x = -1
3
-1
=
1 -2
x= Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
108
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e
109
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7)
a) log2,61 o c = 0
13. Juros Compostos
b) log0,012 o c = -2
1. Introdução
c) log0,5 o c = -1
No regime de capitalização composta os juros de cada período são calculados da seguinte
maneira:
d) log20 o c = 1
C = M0
e) log 12
=
log2,4 o c = 0
M1 = M 0 + J 1
1
J1 = M0.i
5
f) log2,168 o c = 0
M2 = M1 + J 2
2
J2 = M1.i
M3 = M2 + J3 ...
3
J3 = M2.i...
Calculando os montantes a partir da época zero e substituindo o resultado obtido, numa
época, tem-se no montante seguinte:
8)
M0 = C
M1 = M0 + M0 i = M0 (1 + i) = C (1 + i)
M2 = M1 + M1 i = M1 (1 + i) = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)2
M3 = M2 + M2 i = M2 (1 + i) = C (1 + i)2 (1 + i) = C (1 + i)3
a) log13
mantissa: 0,1139
Podemos escrever para a época n:
b) log201
Montante no final de n períodos:
M = C (1 + i)n
mantissa: 0,3032
Os juros obtidos no final de n períodos serão dados por:
c) log 0,2
J=M-C
J = C (1 + i)n - C
J = C [(1 + i)n - 1]
mantissa: 0,30103
d) log 2,16
mantissa: 0,33445
1) Um capital de R$ 2.000,00, foi aplicado a uma taxa de 2% a.m. durante 8 meses. Calcular o
montante.
e) log25
mantissa: 0,3979
1º. Processo (com o uso da tabela)
M = C (1 + i)n
C = R$ 2.000,00
i = 2% a.m. = 0,02 a.m. M = 2.000 (1 +
0,02)8
n = 8 meses
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111
M = 2.000 (1,02)8
M = 2.000 1,17
M = 2.343,32
2º. Processo: com uso de logaritmos.
M=?
2º processo : ( com o uso de logarítimos)
M= C.(1+i)n
4500 = 2000 (1+i)3
log 4500 = log [ 2000. (1+i)3]
n
M = C (1 + i)
M = 2.000 (1 + 0,02)8
M = 2.000 (1,02)8
log M = log [2.000 (1,02)8]
log M = log 2.000 + log (1,02)8
log M = log 2.000 + 8 log 1,02
log M = 3,3010 + 8 0,0086
log M = 3,3010 + 0,0688
log M = 3,3698 M = 10 3,3698= 2.343,15
log 4500 = log 2000 + log (1+i)3
log 4500 – log 2000 = log (1+i)3
log
2,25 = (1 + i)3
2,25 =
i=?
3
1 + i = 2,25 0,333...
1 + i = 1,31
i = 1,31 - 1
i = 0,31 a.m.
ou
i = 31% a.m.
4) Calcular os juros compostos de um capital de R$6.000,00 aplicado por 5 meses, a uma taxa 6%
a.a.
3) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos durante 3 meses, obtendo-se o montante
de R$ 4.500,00. Calcule a taxa mensal de aplicação.
M = R$ 4.500,00
(1 + i)3
3
Solução: com uso de logaritmos:
n=?
M = C (1 + i)n
C = R$ 3.000,00
i = 3% a.m. = 0,03 a.m.
6.000 = 3.000 (1 + 0,03)n
log6= log [3 (1,03)n]
M = R$ 6.000,00
log6 = log3 + log (1,03)n
log6 - log3 = n log (1,03)
log 6 log 3
n
log 1,03
0,77815 0,47712
n
23,5meses
0,0128
n = 3 meses
= log (1+i)3
log 2,25 = log (1 + i)3
2) Durante quanto tempo se deve aplicar um capital de R$ 3.000,00 a uma taxa de 3% a.m., para
produzir um montante de R$ 6.000,00.
Solução:
C = R$ 2.000,00
4500
2000
1,31 = 1+i
i = 1,31-1
i = 0,31 a. m.
i = 31% a. m.
Solução:
J=?
C = R$ 6.000,00
n = 5 meses
0,06
0,005a.m.
i = 6%a.a.=
12
n
J = C [(1 + i) - 1]
J = 6.000 [(1 + 0,005)5 - 1]
J = 6.000 [(1,005)5 - 1]
J = 6.000 [1,025 - 1]
J = 6.000 0,025
J = 151,50
n
M = C (1+ i)
4.500 = 2.000 (1 + i)3
4500 = (1 + i)3
2000
1) João colocou R$ 10.000,00 em um banco, a juros compostos de 8% a.a., capitalizados
anualmente. Ao final de 2 anos obteve juros no valor de:
2,25 = (1 + i)3
2,25 = 3 (1+i)3
3
2,25
1
3
2) Para um capital de R$ 200,00. Calcule o montante em cada caso:
a) n = 15 meses e i = 24% a.a.
b) n = 18 meses e i = 72% a.a.
=1+i
3) Para um capital de R$ 1.000,00. Calcule a taxa i em cada caso:
a) J = R$ 200,00 e n = 2 anos.
b) J = R$ 105,00 e n = 3 meses.
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113
4) Maria aplicou seu capital durante 3 anos, a taxa nominal de 12% a.a., no regime de juros simples.
Caso houvesse aplicado a juros compostos, à mesma taxa, com capitalização semestral, teria
recebido R$ 2.633,36 a mais.
Quanto recebeu de juros?
iM: taxa mensal de juros compostos;
it: taxa trimestral de juros compostos;
is: taxa semestral de juros compostos;
iA: taxa anual de juros compostos.
5) Qual o capital que, aplicado a juros compostos durante 3 meses, com capitalização anual, a taxa
de 5% a.a. produziu um montante de R$ 322.102,00?
6) Para um capital de R$ 3.000,00. Calcule n em cada caso:
a) J = R$ 918,00 e i = 8,5% a.m.
b) J = R$ 1.106,60 e i = 6,8% a.m.
1) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.?
7) Uma geladeira custa R$ 720,00 à vista e pode ser paga em duas prestações mensais iguais, sendo
paga a primeira prestação no ato da compra. Se os juros (compostos) são de 25% a.m., o valor de
cada prestação é de:
1,06
8) Um capital de R$ 3.000,00 esteve aplicado a taxa mensal de 2% a.m. num regime de
capitalização composta. Após um período de 5 meses, os juros dessa aplicação serão de:
(1 i s ) 2
1 + is = 1,0295
is = 1,0295 - 1
is = 0,0295 ou
is = 2,95% a.s.
9) Um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% a.a. Seu
montante final é:
a) 30% superior ao capital inicial;
b) 130% do valor do capital inicial;
c) aproximadamente 150% do capital inicial;
d) aproximadamente 133% do capital inicial.
2) Qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.?
10) Uma televisão foi adquirida através de um plano sem entrada em três prestações mensais e
iguais e consecutivas de R$ 120,00 cada uma, sendo a primeira a trinta dias da data da
celebração do contrato. Admitindo-se uma taxa de 5% a.m., e capitalização composta, o valor
desse bem na data do contrato é:
(1 + iA) = (1 + iM)12
1 + iA = (1 + 0,04)12
iA = (1,04)12 - 1
iA = 1,60103-1
iA = 0,60103 ou
iA = 60,10% a.a.
3. Taxa Nominal e Efetiva
2. Taxas equivalentes
Duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, em um
mesmo período de tempo, produzem montantes iguais.
Exemplo
Calcular o montante produzido por um capital de R$ 1.000,00 durante 1 ano, nas seguintes
condições:
a) 1% a.m.
(1 + iA) = (1 + is)2
1 + 0,06 = (1 + is)2
3.1. Taxa Nominal
É a taxa em que o período de capitalização é diferente do período a que se refere a taxa.
Exemplos
x 10% a.a. capitalizados trimestralmente;
x 15% a.a. capitalizados mensalmente;
b) 13% a.a.
a) M1 = C . (1+i)n => M1 = 1.000 (1+0,01)12 => M1 = 1.000 . (1,01)12 => M1 =1.000 . 1,13 => M1 = 1.130
b) M2 = C (1+i )n => M2 = 1.000 (1+0,13)1 => M2 = 1.000 . 1,13 => M2 = 1.130
As taxas são equivalentes pois produziram o mesmo montante ao final do período de aplicação.
3.2. Cálculo da taxa efetiva
i: taxa efetiva no período inteiro;
sendo
iK: taxa nominal correspondente a i;
K: número de capitalizações no período;
(1 + id)360 = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + iM)12 = (1 + iA)1
i
ik
k
id: taxa diária de juros compostos;
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3) O capital de R$ 10.000,00, colocado a juros compostos, capitalizados mensalmente, durante 3
meses, elevou-se no final desse prazo para R$ 15.000,00. Calcule a respectiva taxa de juros.
1) Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 6% a.a. capitalizada mensalmente?
4) Certo capital foi colocado a juros compostos de 12% a.a., com capitalização semestral, durante 2
anos. Sabendo que rendeu R$ 2.600,00 de juros, qual o montante obtido?
ik 0,06
0,005
k
12
i = 0,5% a.m.
i
5) Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 8% a.a., com capitalização trimestral, durante
1 ano e meio. Calcule os juros obtidos.
2) Qual a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 12% a.a., com capitalização mensal?
ik 0,12
0,01
k 12
i = 1% a.m.
(1 + iM)12 = (1 + iA)
(1 + 0,01)12 = 1 + iA
i
6) Um capital C foi aplicado, a juros compostos, a uma taxa i dada para um certo período. O
montante no fim de n períodos é M. O capital C pode ser determinado pela seguinte expressão:
M
M
b) M (1 + i)n
c)
d)
e) n.r.a.
a) M (1 - i)n
(1 i ) n
1 i) n
7) Uma pessoa precisa de R$ 6.000,00 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro com as seguintes
taxas de juros:
x 2% compostos trimestralmente;
x 2% compostos bimestralmente;
x 2% ao mês a juros simples.
iA = (1,01)12 - 1
iA = 1,13 - 1
iA = 0,13 ou
iA = 13% a.a.
Qual é a melhor opção?
11) Se uma caderneta de poupança, em regime de capitalização composta, apresentou um
rendimento de 12% num mês e 15% no mês seguinte, o rendimento total desse bimestre foi de:
8) Calcular a taxa anual de juros compostos, equivalente, a:
12) Ache a taxa efetiva de juros anuais equivalente as seguintes taxas efetivas:
a) 2% a.s.
b) 3% a.m.
9) Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondentes a 1,5% a.m.
a)10% a.s.
b) 5% a.t.
13) Qual a taxa bimestral equivalente aos juros compostos de 10% a.a.?
14) Qual a taxa anual equivalente aos juros compostos a 2% a.s.?
15) Um capital de R$ 1.000,00 vai ser aplicado a taxa de juros compostos de 2% a.t. ou 10% a.a.
Qual aplicação renderá mais?
16) Uma instituição financeira realiza um empréstimo a um cliente, sendo a taxa de juros compostos
de 12% a.a., com capitalização mensal. Pergunta-se:
a) Qual a taxa efetiva mensal a ser paga pelo cliente?
b) Qual a taxa efetiva anual a ser paga pelo cliente?
1) A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o
montante de:
a) R$ 10.358,00 c) R$ 10.378,00
e) n.r.a.
b) R$ 10.368,00 d) R$ 10.388,00
2) Considerando um depósito de R$ 5.000,00 em um banco que lhe pague juros compostos de 6%
a.a., calcule os juros e o montante após decorrido o prazo de 1 ano.
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1) C = R$ 5.000,00
M = ?
i = 20% a.m. = 0,2 a.m.
n = 4 meses
M
M
M
M
M
=
=
=
=
=
C (1 + i)n
5000 (1 + 0,2)4
5000 (1,2)4
5000 2,07
10.368,00
2) C = R$ 5.000,00
i = 6% a.a.
J = ?
M = ?
n = 1 ano
M = C (1 + i)n
M = 5000 (1 + 0,06)1
M = 5000 1,06
M = 5300
J = C [(1 + i)n - 1]
J = 5000 [(1 + 0,06)1 - 1]
J = 5000 [1,06 - 1]
J = 5000 0,06
J = 300,00
3) C = R$ 10.000,00
n = 3 meses
M = C (1 + i)n
15000 = 10.000 (1 + i)3
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M = R$ 15.000,00
i = ?
log15 = log [10 (1 + i)3]
log15 = log10 + log (1 + i)3
log15 - log10 = log (1 + i)3
log15
log (1 + i)3
=
10
log1,5 = log (1 + i)3
1,5 = (1 + i)3
3
1,5
3
1 i R.: A melhor opção é 2% ao mês a juros simples.
8) a)
3
1 + i = (1,5)0,333...
1 + i = 1,14
i = 1,14 - 1
i = 0,14
i = 14% a.m.
4) i
12
2
= 6% a.s. = C [(1 + i)n - 1]
n = 4 sem.
J = R$ 2.600,00
C=?
5) C = R$ 1.000, 00
i
n
8
4
= 2% a.t.
18
3
6 trimestre
C
2600 = C [(1 + 0,06)4 - 1]
2600 = C [(1,06)4 - 1]
2600 = C [1,26 - 1]
2600 = C 0,26
(1 + is)2 = 1 + iA
(1 + 0,1)2 = 1 + iA
(1,1)2 = 1 + iA
1,21 = 1 + iA
1,21 - 1 = iA
i = 0,21
i = 21% a.a.
b) (1 + it)4 = 1 + iA
(1 + 0,05)4 = 1 + iA
(1,05)4 = 1 + iA
1,22 = 1 + iA
1,22 -1 = iA
iA = 0,22
iA = 22% a.a.
9) taxa nominal: 1,5 x 12 = 18% a.a.
(1 + iA) = (1 + im)12
(1 + iA) = (1 + 0,015)12
(1 + iA) = (1,015)12
1 + iA = 1,20
iA = 1,20 - 1
iA = 0,20
iA = 20% a.a.
2600
0,26
M = J + C C = 10.000
M = 2.600 + 10.000
M = 12.600
J = C [(1 + i)n - 1]
J = 1000 [(1 + 0,02)6 - 1]
J = 1000 [(1,02)6 - 1]
J = 1000 [1,13 - 1]
J = 1000 0,13
J = 130
6) d
7) a)
i = 2% a.t.
n = 8 trimestres
C = R$ 6.000,00
J=?
b) i = 2% a.b.
n = 12 bim
C = R$ 6.000,00
J=?
J = C [(1 + i)n - 1]
J = 6000 [(1 + 0,02)8 - 1]
J = 6000 [(1,02)8 - 1]
J = 6000 [1,17 - 1]
J = 6000 0,17
J = 1.020
J = C [(1 + i)n - 1]
J = 6000 [(1 + 0,02)12 - 1]
J = 6000 [1,27 - 1]
J = 6000 0,27
J = 1.620
c) J = C i n
J = 6000 0,02 24
J = 2.880,00
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119
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Solução:
A ?
N R$1,200,00
n 2meses
i 1,5%a.m
A
A
14. Desconto Composto
1. Introdução
A idéia de desconto em juros compostos é igual ao regime de juros simples: corresponde ao
abatimento que uma pessoa física ou jurídica ganha ao quitar um título de crédito antes de seu
vencimento.
Desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
2) Determinar o desconto racional composto de um título de R$ 6.000,00 vencível em 2 anos, a taxa
de 2% a.a.
Solução:
N R$6.000,00
dr
n 2 anos
i 2%a.a.
dr
dr
N
(1 i ) n
6.000
6.000 (1 0,02) 2
6.000
6.000 1,0404
6.000 5.767,01
dr
232,99
Em desconto composto temos dois tipos: o racional e o comercial.
dr
Como o desconto comercial composto é pouco utilizado no sistema Financeiro Brasileiro,
ficaremos limitados ao estudo do desconto racional composto.
2. Desconto Racional Composto
É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual, quando uma dívida é
quitada antes de seu vencimento.
Como se trata de desconto racional, a fórmula para o valor atual pode ser obtida pela relação do
montante composto.
3) desconto racional composto de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.200,00 foi de R$
200,00. Sabendo que a taxa de desconto foi de 1,5% a.m., qual foi o prazo de antecipação do
pagamento?
N
R$1.200,00
dr
R$200,00
i 1,5%a.m
M = C (1 + i)n
fazendo M = N e C = A, teremos:
N
N A(1 i ) n ou Ar
(1 i ) n
dr N A
>
n
?
@
N
N 1 (1 i ) n
(1 i ) n
Simbologia utilizada em desconto composto:
N: Valor nominal;
Ar: Valor atual racional;
i; Taxa de desconto composto.
N
dr n 1200
(1 0,015) n
1200
200 1200 (1,015) n
1200
1000 (1,015) n
200 1200 (1,015)
n
(1,015) n
12
12
10
1,2
log(1,015) n log 1,2
n log(1,015) log 1,2
n
1) Calcule o valor atual de um título de crédito de R$ 1.200,00 quitado 2 meses antes de seu
vencimento, a taxa de desconto composto de 1,5% a.m.
N
(1 i ) n
10.(1,015) n
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N
Solução:
dr = N - A
dr
N
(1 i ) n
1.200
(1 0,015) 2
1.200
1.200

A 1.165,05
1,03
(1,015) 2
A
120
CopyMarket.com
log 1,2
log 1,015
0,0792
0,0065
12,18 meses
121
4) Um título de crédito no valor de R$ 800,00 com vencimento para 4 meses, é substituído por outro
com vencimento para 2 meses. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., qual é o valor nominal
do novo título?
6) Um título de crédito no valor de R$ 1.800,00 foi resgatado antes do seu vencimento por R$
1.200,00. Calcular o tempo de antecipação do resgate, sabendo-se que a taxa do desconto foi de 2%
a.a., capitalizados anualmente.
Solução:
7) Uma pessoa, jurídica que deve um título de crédito de R$ 6.000,00 com vencimento para 2 meses,
deseja substituí-lo por outro com vencimento para 4 meses. Supondo uma taxa de desconto
composto de 1,5% a.m., calcule o valor nominal do novo título.
N
R$800,00
N' ?
4 meses
n
2 meses
i 2% a.m.
i
2% a.m.
n
A
8) Uma loja tem 2 títulos de crédito de valores nominais iguais a um de R$ 1.000,00 e R$ 1.200,00
com vencimentos para 1 mês e 2 meses respectivamente. Sabendo que o dono da loja não possui
dinheiro, propõe a substituição desses dois títulos por um só, dentro de 3 meses, e a taxa de
desconto composto de 2% a.m.. Qual é o valor nominal desse novo título?
A'
800
N'
(1 0,02) 4 (1 0,02) 2
800
N'
(1,02) 4 (1 0,02) 2
800
N'
(1,02) 4 (1,02) 2
800
N'
1,0824 1,0404
1,0824 N ' 1,0404 800
832,32
N'
N ' 768,96
1,0824
1) Desejo descontar um título de crédito de R$ 2.000,00 resgatado 2 meses antes de seu vencimento.
Qual o valor atual do mesmo, descontado a uma taxa de 10% a.a.?
2) Qual será o desconto composto que um credor dá pelo débito de R$ 1.600,00 com a antecipação de
1 ano, a taxa de 1,5% a.m.?
3) valor atual de um título é de R$ 1.300,00 e a taxa de desconto composto é de 2,5% a.a., com a
antecipação de 6 meses. Qual é o valor nominal do mesmo?
4) Uma loja resgata um título no valor de R$ 3.000,00 pelo valor atual de R$ 2.400,00. Como o tempo
de antecipação foi de 7 meses, qual é a taxa de desconto?
1) Um título de crédito de valor nominal igual a R$ 1.500,00 é quitado 2 meses antes do vencimento, a
taxa de desconto racional composto de 1% a.m. Calcule o valor atual do título.
2) Calcule o desconto composto de um título de crédito de R$ 2.000,00 que foi resgatado 3 meses
antes de seu vencimento, a taxa de 1,5% a.m.?
3) Complete o quadro abaixo.
Valor nominal
(R$)
500,00
400,00
800,00
Taxa
(% a.m.)
1
10
3
0,5
Período
(meses)
2
1
desconto composto
(R$)
5) Um título de crédito de R$ 1.800,00 com vencimento para 1 ano será substituído por outro para 2
anos. Calcular o valor nominal do novo título, empregando a taxa de 2% a.a. com capitalizações
semestrais.
6) Uma moto está sendo vendida com uma entrada de R$ 1.600,00 mais uma prestação de R$ 250,00
para 30 dias e outra de R$ 300,00 para 60 dias. Encontre o valor da moto, considerando a taxa de
juros de 2,5% a.m.
6) (Receita Federal) Um equipamento que custa, a vista R$ 1.400.000,00 está sendo vendido com
financiamento, nas seguintes condições: entrada igual a 30% do preço a vista e o saldo em duas
parcelas iguais, a taxa de juro compostos de 7% a.m. Se a primeira parcela deverá ser paga 30 dias
após o pagamento da entrada e a segunda parcela 60 dias após a primeira, o valor de cada parcela
deverá ser de:
600,00
40,00
200,00
4) Uma loja de tecidos resolve quitar um título de R$ 2.000,00 com a antecipação de 2 anos. A firma
credora do título propõe um pagamento de R$ 1.650,00 pela mesma. Qual a taxa de desconto
composto?
5) Recebi R$ 300,00 de desconto composto pela antecipação de 1 ano, de um título de crédito no
valor de R$ 1.800,00. Qual foi a taxa de desconto?
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122
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123
1) N = R$ 2.000,00
N
(1 i ) n
A=
n = 2 meses = ano
1
A= ?
A
6
A
2) dr = ?
n = 1 ano = 12 meses
i = 1,5% a.m.
dr
N
1%a.s.
N
N'
(1 i ) n (1 i ) n '
1800
N
(1 0,01) 2 (1 0,01) 4
1800
N'
(1 0,1) 2 (1,01) 4
1,04.1800
1800 N '
N'
1.835,29
1,02
1,02 1,04
i = 1% a.s.
A = A’
dr
dr
266,67
1.600 6)
250
300
(1 0,025)1 (1 0,025) 2
250
300
x 1600 1,025 (1,025) 2
300
x 1600 243,90 1,05
x 1600 243,90 285,71 x 2.129,61
x 1600 A = R$ 2.400,00
n = 7 meses
n = 6 meses = 0,5 ano
i=?
N
A
(1 i) n
N
1300
1 i) n
N
1300
(1,025)0,5
N
1300
1,01
1300 1.01.1300
2
2
2000
A 1969,78
1,02
i = 2,5% a.a.
N=?
i
N’ =
n = 4 sem.
N
(1 i ) n
1.600
(1 0,015)12
1.600
1600 1,20
1600 133,33
dr
dr
3) A = R$ 1.300,00
n = 2 sem.
2000
1
(1 0,1) 6
2000
1,1,.17
i = 10% a.a.
N = R$ 1.600,00
5) N = R$ 1.800,00
N
(1 i ) n
3000
240
(1 i ) 7
A
240 (1 i ) 7 3000
3000
(1 i ) 7
2400
7
(1 i ) 7
1 i 1,25
7
1
1,25
7
1 i 1,250,14
1 i 1,03
i 1,03 1
i 0,03
i 3% a.m.
7)
x
x
(1 0,07)1 (1 0,07) 2
x
x
1.400.000 420.000
1,07 (1,07) 2
1,07 x 1x
980.000
(1,07) 2
1.400.000
420.000 980.000 . (1,07) 2 2,07 x
1,14.980.000 2,07 x
1.117.200.000 2,07 x
1.117.200.000
x

2.07
N 1316,15
x = 539.710,14
4) N = R$ 3.000,00
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125
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0
1
2
3.........n-1
n
Considere o problema abaixo:
15. Capitalização e Amortização
1. Introdução
Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 200,00.
Determine o montante da renda, sabendo que essa instituição financeira paga juros compostos de 1%
a.m. capitalizados mensalmente.
Calculando o montante teremos:
Quando queremos constituir um capital, para aquisição de um bem qualquer, devemos
depositar periodicamente uma quantia fixa, em uma instituição financeira. Este exemplo é de
capitalização.
M = 200 + 200 (1 + 0,01) + 200 (1 + 0,01)2 + 200 (1 + 0,01)3 + 200 (1 + 0,01)4
M = 200 + [1 + (1 + 0,01) + (1 + 0,01)2 + (1 + 0,01)3 + (1 + 0,01)4]
Por amortização entendemos a ação de pagar uma dívida, em épocas distintas.
A sucessão de pagamentos para constituir um capital ou para amortizar uma divida é
denominada de renda.
As rendas podem ser classificadas da seguinte forma:
A soma dos termos entre colchetes é uma PG onde: a1 = 1 q = (1 + 0,01) e an = (1 +0,01)4
Calculando a soma teremos:
Sn
a) quanto ao prazo:
As rendas são denominadas temporárias quando o número de termos ou parcelas é finito e
perpétuas quando o número de termos é infinito.
b) quanto a periodicidade:
As rendas são denominadas periódicas quando o intervalo de tempo entre dois pagamentos
consecutivos são iguais e não periódicas quando esses intervalos são diferentes.
c) quanto ao valor dos termos:
a1 .(q n 1)
q 1
>
@
1. (1 0,01) 5 1
(1,01) 5 1
Sn
Sn
(1 0,01) 1
1,01
Calculando o montante:
Sn
1,05 1
Sn
0,01
0,05
Sn
0,01
5
M = C Sn
M = 200 5
M = 1.000
2.1.1. Fórmula do montante de uma renda imediata
As rendas são consideradas constantes quando todos os pagamentos são iguais. Em caso
contrário, ou seja, quando os pagamentos são diferentes entre si, são chamadas de rendas variáveis.
O montante M de uma renda certa é a soma dos montantes compostos de diversos pagamentos.
Mn = C + C (1 + i)1 + C (1 + i)2 + ............+ C (1+ i)n
2. Capitalização composta
Mn = C [1 + (1+ i) 2 + (1+ i)3 + ...............+ (1 + i)n]
2.1. Rendas imediatas
A soma dos termos acima formam uma PG, onde:
As rendas imediatas estão classificadas em antecipadas e postecipadas.
Uma renda é imediata postecipada quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem no final de cada
período.
Um fluxo de caixa seria:
T1
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T2
T3
Tn-1
Tn
126
a1 = 1 e q = 1 + i e an = (1 + i)n
Sn
a1 (q n 1)
q 1
Sn
1. (1 i ) n 1
Sn
1 i 1
>
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@
(1 i ) n 1
i
127
O montante será calculado pela fórmula:
ª (1 i ) n 1º
M C.«
»
i
¼
¬
3) Calcule a taxa em que uma pessoa efetuando depósitos mensais no valor de R$ 100,00 forma o
montante de R$ 530,91, ao fazer o quinto depósito.
Solução:
C = R$ 100,00
Mn = R$ 530,91
n = 5 meses
i=?
(1 i ) n 1
fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. Indicamos i
1
por S
n i
Mn = C.S
n i
530,91 = 100 S
5
S
Portanto a fórmula do montante vai ficar:
M=CS
n
=
5
i
5
i
S
i
i
530,91
100
=5,3091
1) Uma pessoa deposita R$ 600,00 mensalmente. Sabendo-se que esse capital foi aplicado a uma taxa de
1% a.m., quanto possuirá no final de um ano e meio?
Consultando a tabela financeira, para n = 5, S
Solução:
C = R$ 600,00
i = 1% a.m. = 0,01 a.m.
n = 18 meses
4) Quantas prestações mensais imediatas de R$ 150,00 devem ser colocadas a taxa de 1% a.m., a fim
de se formar um montante de R$ 922,80?
Mn = C S
n i
Mn = 600 S
18
Solução:
C = R$ 150,00
n=?
i = 1% a.m.
Mn = R$ 922,80
0,01
Mn = 600 19,6147
Mn = 11.768,82
Mn = C S
n i
922,80 = 150 S
S
2) Qual a importância que uma pessoa deve depositar em um banco, no final de cada semestre, a taxa
de 5% a.s., capitalizados semestralmente, de tal modo que ao fazer o sexto depósito forme o capital
de R$ 2.000,00?
= 5,3091, teremos i = 3% a.m.
5 i
=
n i
922,80
150
n 0,01
S
= 6,1520
n 0,01
Solução:
C=?
i = 5% a.s. = 0,05 a.s.
Mn = R$ 2.000,00
Mn = C S
n i
Consultando a tabela financeira para S
= 6,1520 e i = 1% a.m. teremos:
n i
2000 = C S
6
0,05
6,1520
2.000 = C 6,80191
2.000
C
C 294,04
6,80191
n=6
Logo serão necessárias 6 prestações mensais.
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128
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129
1) Determinar o valor da prestação que deverá ser capitalizada mensalmente, a 3% a.m. para que se
tenha, no final de 12 meses, um montante de R$ 4.000,00.
Mn + 200 = 200 S
n+1 i
2) Qual o montante de 5 aplicações mensais de R$ 800,00 cada uma, a taxa mensal de 1,5%?
__
Mn = 200 S
- 200
5+1 i
3) Quantos pagamentos de R$ 1.224,31 serão necessários, considerando uma taxa de 3% a.m. para
constituir um capital de R$ 6.500,00?
4) Uma pessoa que faz uma aplicação de R$ 1.000,00 em 10 meses, gera um montante de R$
12.578,00. Calcular a respectiva taxa mensal.
2.2. Rendas antecipadas
Denominamos de rendas antecipadas, quando os pagamentos ou recebimentos dos termos
ocorrem no início de cada mês respectivo.
No caso de capitalização antecipada começa a ocorrer, a partir do contrato, como mostra o
fluxo de caixa abaixo;
T1
T2
T3
0
1
2
T4 ................ Tn
3 .................. n-1
__
Mn = 200 (S
- 1)
5+1 i
__
Mn = 200 (S
- 1)
5+1 0,01
__
Mn = 200 (S
- 1)
6 0,01
__
Mn = 200 (6,15202 - 1)
__
Mn = 200 5,15202
__
Mn = 1.030,40
n
Uma pessoa deposita em uma caderneta de poupança R$ 200,00, no início de cada mês, durante
5 meses. Calcule o montante da renda, sabendo que essa instituição paga juros compostos de 1% a.m.,
capitalizados mensalmente.
Solução:
C = R$ 200,00
2.2.1. Fórmula de um montante de uma renda antecipada.
__
Mn = C (1 + i) + C (1 + i)2 + .......... + C (1 + i)n
Somando C a ambos os membros:
__
Mn + C = C + C (1 + i) + C (1 + i)2 + .......... C (1 + i) n
__
Mn + C = C [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ........... + (1 + i)n]
Observando o segundo membro da igualdade temos o montante de uma renda imediata de n+1
termos.
__
Mn + C = C S
n+1 i
n = 5 meses
i = 1% a.m. = 0,01 a.m.
__
Mn = ?
__
Mn é o montante de uma renda antecipada.
__
Mn = 200 (1+ 0,01)+ 200 (1+ 0,01)2 +200(1+ 0,01)3+200(1+ 0,01)4+200(1+ 0,01)5
Mn = C S
-C
n+1 i
__
Mn = C (S
- 1)
n+1 i
Somando 200 a ambos os membros:
__
Mn+200=200+200(1+0,01)+200(1+0,01)2+200(1+0,01)3+200(1+0,01)4+200(1+0,01)5
Observando o segundo membro da igualdade, teremos o montante de uma renda imediata de n + 1
termos:
__
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130
1) Determine o montante produzido por 8 parcelas de R$ 500,00 colocadas mensalmente a juros de
1,5% a.m. sendo a primeira parcela antecipada.
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131
3.000 = 405,74 (S
Solução:
C = R$ 500,00
n=8
i = 1,5% a.m.
3000
405,74
__
Mn = C (S - 1)
__
n+1 i
Mn = 500 (S
- 1)
8+1 0,015
__
Mn = 500 (S
-1
7 i
7,39 = S - 1
7 i
7,39 + 1 = S
- 1)
9 0,015
7 i
8,39 = S
__
Mn = 500 (9,5593 -1)
__
Mn = 500 8,5593
__
Mn = 4.279,65
7 i
Consultando a tabela financeira para S
= 8,39 e n = 7, teremos i = 6% a.t.
7 i
4) Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 350,00 são necessários para constituir um montante
de R$ 3.802,13 a taxa de 1,5% a.m. capitalizados mensalmente?
2) Uma pessoa deseja fazer depósitos no início de cada bimestre, em um banco que paga 12% a.a. para
constituir o montante de R$ 1.500,00 no fim de 1 ano sendo os juros capitalizados bimestralmente.
Solução:
C=?
M n R$1.500
n = 1 ano = 12 meses = 6 bim.
i = 2% ao bimestre
S
- 1)
7 i
Solução:
n=?
C = R$ 350,00
Mn = R$ 3.802,13
i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.
__
Mn = C
(S - 1)
n+1 i
M n = C.(S -1)
n+1 i
3.802,13 = 350 (S
- 1)
n+1 0,015
1.500= C.(S -1)
6+1 0,02
3.802,13
350
S
n+1 0,015 -1
1.500 = C.(S -1)
7 0,02
1.500 = C.(7,43428 – 1)
1.500 = C. 6,43428
1.500
C 233,13
C=
6,43428
10,86 = S
n+1 0,015
10,86 + 1 = S
n+1 0,015
11,86 = S
n+1 0,015
3) Uma empresa realizou 6 depósitos trimestrais antecipados de R$ 405,74 e obteve o montante de R$
3.000,00. Qual foi a taxa de juro?
Solução:
n = 6 trimestres
C = R$ 405,74
Mn = R$ 3.000,00
i=?
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Consultando a tabela financeira para S = 11,86 e i = 1,5% a.m., teremos n = 10.
Mn = C (S
-1)
n+1 i
n + 1 = 11
n = 11 - 1
n = 10
3.000 = 405,74 . (S
- 1)
6+1 i
132
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133
200
200
200
N
A4
A4
A4
A4 192,31
1,04
(1 I ) 4
(1 0,01) 4
(1,01) 4
O valor atual de uma renda é calculado pela soma dos valores atuais dos seus termos, assim sendo
teremos;
A4=
5) Uma pessoa deseja capitalizar de uma forma antecipada 5 prestações mensais de R$ 250,00 a 2%
a.m. Qual o montante ao final da aplicação?
6) Um montante de R$ 3.200,00 foi capitalizado em 6 parcelas mensais, a taxa de 2%a.m., sendo a
primeira capitalizada antecipadamente. Calcule o valor da prestação.
An = A1 + A2 + A3 + A4
An = 198,02 + 196,08 + 194,17 + 192,31
An = 780,58
3.1.1. Fórmula do valor atual de uma renda imediata
7) Calcule o número de termos de uma renda anual antecipada de termo R$ 250,00, cujo montante, a
taxa de 1% a.a. é de R$ 1.288,00.
Seja An o valor atual de uma renda e A1; A2 ...... An valores atuais dos seus termos. Calculando a soma
teremos:
3. Amortização composta
An = A1 + A2 + ........... + An
N
N
N
An
..... (1 i )1 (1 i ) 2
(1 i ) n
3.1. Renda imediata
ª 1
1
1 º
N«
..... »
1
(1 i ) 2
(1 i ) n ¼
¬ (1 i )
Considere o problema:
AN
Uma pessoa tem uma dívida e deseja amortizar em 4 prestações mensais de R$ 200,00, sendo 1% a.m. a
taxa de juros. Qual é o valor da dívida amortizada?
Os termos entre os colchetes formam uma PG onde: a1 =
Solução:
Calculando a soma dos termos teremos:
N = R$ 200,00
a1ªqn 1º
»¼
«¬
Sn
q1
i = 1% a.m. = 0,01 a.m.
n = 4 meses
1
O problema pede para calcular o valor atual das prestações na época zero. (no ato da compra e
assinatura de contrato).
N
A
(1 i ) n
Sn
O valor atual da primeira prestação é de:
A1=
N
A1
(1 I )1
200
A1
(1 0,01)1
A2=
N
A2
(1 I ) 2
200
A2
(1 0,01) 2
200
A2
(1,01) 2
200
A2
1,02
196,08
A3=
N
A3
(1 I ) 3
200
A3
(1 0,01) 3
200
A3
(1,01) 3
200
A3
1.03
194,17
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Sn
200
A1
1,01
ª
x«
1
1i ¬« 1in
1
1
1i
1º
»
1»
¼
1
Sn
1i
ª11in º
»
x«
«¬ 1in »¼
Sn
11i
1i
1
1
1
1
;q=
e an =
1 i
1 i
(1 i ) n
1i
ª11in º
»
x«
«¬ 1in »¼

i
1i
1 ª11in º 1i
1in 1
» x Sn
x«
1i «¬ 1in »¼ i
ix1in
(1 i ) n 1
é denominado de fator de amortização e indicamos por a
(1 i ) n .i
198,02
An = N a
134
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135
1) Calcule o valor de uma dívida que pode ser amortizada em 6 prestações mensais de R$ 120,00 cada
uma, sendo 1% a.m. a taxa de juros?
8) Calcule o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.200,00, nos seguintes casos:
Solução:
N = R$ 120,00
i = 1% a.m. = 0,01 a.m.
n = 6 meses
taxa de juros
a)2% a.m.
b) 5% a.t.
An = N . a
n i
An = 120 . a
6 0,01
An = 120 5,79548
prazo
18 meses
6 trimestres
9) Paguei 10 prestações de R$ 150,00 num financiamento feito a base de 1% a.m. Qual o valor da
dívida amortizada?
10) Comprei uma geladeira que à vista sairia por R$ 1.200,00, pagando em 6 prestações mensais de R$
221,52. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada no financiamento?
An = 695,46
11) Calcule o número de prestações mensais de R$ 245,32 pagarei uma dívida de R$ 1.500,00, se o
financiamento foi feito a base de 3,5% a.m.?
2) Qual o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações, um empréstimo de R$ 3.000,00 a
juros de 2% a.m.?
12) Uma chácara é colocada a venda por R$ 80.000,00 a vista ou a prazo nas seguintes condições: 20%
de entrada e o restante em 15 meses com juros de 2% a.m. Qual é o valor da prestação?
Solução:
An = R$ 3.000,00
N=?
i = 2% a.m.
n = 6 meses
a = 5,60143
An = N a
3.2. Renda Antecipada
n i
Considere o seguinte problema:
3.000 = N a
Uma pessoa deseja amortizar uma dívida com 4 prestações mensais antecipadas de R$ 150,00, sendo
1% ao mês a taxa de juros?
6 0,02
3.000 = N 5,60143
3.000
N
N=
5,60143
Solução:
535,58
N = R$ 150,00
3) Uma moto custa a vista, R$ 12.000,00. Para compra a prazo, é dado o seguinte plano de pagamento:
10% de entrada e o restante em 5 prestações mensais de R$ 2.494,53. Calcule a taxa de
financiamento.
n = 4 meses
A primeira prestação vai ser paga no ato da compra, portanto seu valor é igual a 150.
Solução:
An = 12.000 0,9 = 10.800 An = N a
n i
N = 2.494,53
n = 5 meses
10.800 = 2.494,53 a
i=?
5 i
10.800
a =
2.494,53
5 i
a
= 4,33
5 i
Consultando a tabela financeira para a
i = 1% a.m. = 0,01 a.m.
= 4,33 e n = 5, teremos i = 5% a.m.
5 i
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A1
A1
A2
A3
A4
N
(1 i ) n
N
(1 i ) n
N
(1 i )1
N
(1 i ) 2
N
(1 i ) 3
150
(1 0,01) 0
150
(1 0,01)1
150
(1 0,01) 2
150
(1 0,01) 3
150
150,51
1,01
150
148,51
1,01
150
150
(1,01) 2 1,02
150
(1,01) 3
150
1,03
Sn
147,06
1 ª 1
1º
x«
»
n
1i «¬ 1i 1»¼
Sn
Sn
1
1
1i
145,63
Sn
An
é o valor atual de uma renda antecipada assim sendo:
An
A1 A2 A3 A4
An
150 148,51 147,06 145,63
An
591,20
N
1 ª11in º
»
x«
1i «¬ 1in »¼
Sn
11i
1i
1 ª11in º
»
x«
1i «¬ 1in »¼

i
1i
ª11in º 1i
1in 1
» x Sn
x«
«¬ 1in »¼ i
ix1in
a
n i
Em renda antecipada ocorre um pagamento no ato da compra e teremos n-1 prestações, a pagar:
__
An - N = N a
n-1 i
__
an = N + N a
n-i i
N
N
N
...
(1 i )1 (1 i ) 2
(1 i ) n
Subtraindo (N) a ambos os membros:
1
N
N
An N N N ... (1 i ) n
(1 i )1 (1 i ) 2
N
N
N
An N
... (1 i )1 (1 i ) 2
(1 i ) n
An N
1
1i
(1 i ) n 1
(1 i ) n .i
3.2.1. Fórmula do valor atual de uma renda antecipada
An
a1ªqn 1º
»¼
«¬
q1
__
An = N (a + 1)
n-1 i
ª 1
1 º
1
N«
... »
1
(1 i ) n ¼
(1 i ) 2
¬ (1 i )
1) Determine o valor atual de uma anuidade antecipada de 8 termos mensais de R$ 150,00, sendo a
taxa de 2% ao mês.
Os termos entre colchetes formam uma PG onde:
1
1
1
; an
a1
eq
1 i
(1 i )1
(1 i ) n
Solução:
An ?
N R$150,00
n 8meses
i 2%a.m.
An = N . (a + 1 )
n-1 i
An = 150.(a
+1)
8-1 0,02
An = 150.(a
+1)
7 0,02
An = 150.(6,47199+1)
An = 150.7,47199
An = 1.120,80
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138
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139
15) Quantos pagamentos mensais antecipados de R$ 1.000,00 são necessários para se amortizar uma
dívida de R$ 6.795,50 sendo a taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente?
2) Calcule o valor da prestação mensal antecipada para amortizar, com 5 pagamentos, realizado numa
compra de R$ 600,00 sendo a taxa de juros de 1,5% a.m.
16) Uma televisão é vendida em 4 prestações mensais e iguais a R$ 300,00, sendo a primeira paga como
entrada. Se a taxa de juros do financiamento é de 8% ao mês, calcule o preço a vista?
Solução
An
R$600,00
n 5meses
i 1,5%a.m.
N ?
3.3. Rendas diferidas
An = N .(a +1)
n-1 i
600= N.(a +1)
5-1 0,015
600 = N. (a +1)
4 0,015
600 = N . (3,85438+1)
600
N 123,60
N=
4,854338
Em rendas diferidas o primeiro pagamento ocorre após um período de carência. O número de
períodos que antecede o primeiro vencimento é denominado de diferimento de renda.
Consideremos uma renda imediata de n termos e que apresenta um período de carência m,
como mostra o esquema abaixo:
T1
0
1
T2
2 .............m
T3...............Tn
m +1 m+2.......m+n-1
m+n
3) Quantas prestações semestrais antecipadas de R$ 120,00 serão necessárias para amortizar uma
dívida no valor de R$ 857,35 com taxa de 10% ao semestre?
Solução:
n=?
i = 10% ao semestre
N = R$ 120,00
An R$857,35
O valor atual de uma renda diferida de n termos com m períodos de carência é igual ao valor atual de
uma renda de m+n termos menos o valor atual da renda de m termos.
A n = N(a
+1)
n-1 i
857,35=120.(a +1)
n-1 0,1
857,35
a +1
120
n-1 0,1
7,14 = a +1
n-1 0,1
a
= 7,14 - 1
n-1 0,1
a
= 6,14
n-1 0,1
m/An = N (a
-a )
m+n i
m i
1) Qual o valor de uma dívida amortizada em 4 prestações mensais de R$ 200,00, sendo a taxa de
juros de 1% a.m., com uma carência de 2 meses?
Solução:
Indicamos renda diferida por m/An
Solução:
N = R$ 200,00
n = 4 meses
m = 2 meses
i = 1% a.m. = 0,01 a.m.
m/An = ?
Consultando a tabela financeira a = 6,14 e i = 10% teremos n-1 = 10
n-1 0,1
N=11
m/An = N (a
-a )
m+n i
m i
m/An = 200 (a
-a
)
4+2 0,01 2 0,01
m/An = 200 (a
-a
)
4+2 0,01 2 0,01
m/An = 200 (5,79548 - 1,97040)
13) Calcule o valor atual de uma renda antecipada de 6 parcelas iguais de R$ 200,00 sendo a taxa de juro
de 1% a.m.
m/An = 200 3,82508
m/An = 765,02
14) Uma pessoa realizou um financiamento de R$ 6.000,00 feito em 8 parcelas mensais iguais com taxa
de 2% ao mês. Calcular a parcela antecipada do financiamento.
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140
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141
1) Calcule o valor atual de uma renda de 6 termos mensais de R$ 180,00 com 2 meses de carência,
sendo a taxa de juro de 2% a.m.
1) Uma empresa deposita em uma caderneta de poupança R$ 50.000,00, no início de cada bimestre.
Sendo a taxa de 18% a.a., capitalizada bimestralmente, calcular o montante no fim de 1 ano.
Solução:
m/An = ?
m/An = N (a
-a )
N = R$ 180,00
m+n i
m i
n = 6 meses
m = 2 meses
m/An = 180 (a
-a )
i = 2% a.m. = 0,02
6+2 0,02 2 0,02
a.m.
m/An = 180 (a
-a )
6+2 0,02 2 0,02
2) Uma pessoa deseja formar um fundo de provisões de forma que, depois do 8o depósito, possua o
montante de R$ 1.500.000,00. Quanto deve depositar no fim de cada ano, em um banco que paga
juros compostos de 9% a.a.?
3) Determine o montante de uma renda trimestral, antecipada, de R$ 120,00 a taxa de 12% ao ano,
durante 2 anos?
4) Uma aplicação mensal de R$ 100,00 em 8 meses, gera um montante de R$ 958,00. Calcular a taxa
mensal.
m/An = 180 (7,32548 - 1,94156)
5) preço de uma moto à vista é de R$ 8.000,00. Um comprador dá 20% de entrada e o restante é
financiado a uma taxa de juros de 2% ao mês em 6 meses. Calcule o valor da prestação mensal.
m/An = 180 5,38
m/An = 969,10
2) Uma pessoa deseja amortizar uma dívida de R$ 3.000,00 com 5 prestações mensais. Qual o valor
dessas prestações, sendo a taxa de juros igual a 1% ao mês e a carência de 2 meses?
Solução:
m/An = R$ 3.000,00
N=?
i = 1% a.m. = 0,01 a.m.
n = 5 meses
m = 2 meses
6) Um terreno é vendido com R$ 3.500,00 de entrada e o restante em 14 prestações mensais de R$
300,00 cada. Calcular o valor à vista desse terreno, sendo usado a taxa de 24% ao ano, capitalizada
mensalmente.
7) Calcule o valor de 6 prestações mensais na compra de um eletrodoméstico cujo preço à vista é de
R$ 900,00, sabendo-se que o juro cobrado é de 1% ao mês e as prestações são antecipadas?
m/An = N (a
-a
)
m+n i
m i
3.000 = N . (a
-a
)
5+2 0,01 2 0,01
3.000 = N (a
-a )
6+2 0,02 2 0,02
8) Quantos pagamentos mensais antecipados de R$ 150,00 são necessários para uma dívida de R$
1.159,23, com taxa de juros de 12% ao ano, capitalizados mensalmente?
9) Uma televisão foi comprada com R$ 600,00 de entrada e 6 prestações mensais de R$ 100,00,
diferidas de 3 meses. Sendo os juros de 2% a.m., qual o preço a vista da televisão?
3.000 = N (6,72819 - 1,97040)
10) Determinar o valor atual de uma renda mensal de 7 termos iguais a R$ 200,00 com carência de 3
meses, sendo de 3% a.m. a taxa de juros.
3.000 = N . 4,75779
3.000
N
N = 630,54
4.75779
11) Uma agência vende um automóvel por R$ 12.000,00 e oferece dois planos de pagamentos:
Plano A: 10% de entrada e 10 prestações mensais iguais a R$ 1.140,29.
Plano B: 20% de entrada e 8 prestações mensais iguais de R$ 1.310,49.
17) Qual o valor de uma dívida assumida por uma empresa que pagou 8 prestações mensais de R$
850,00, a taxa de juros de 2% ao mês, com um período de carência de 3 meses?
Qual dos dois planos tem a menor taxa de juros mensais?
18) Qual o valor atual de uma dívida que deve ser amortizada em 5 prestações mensais de R$ 300,00,
sendo de 3% ao mês a taxa de juros e pagando a primeira prestação 3 meses depois de realizado o
empréstimo?
19) Uma loja em promoção anuncia: “compre e pague em 8 vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui
a 2 meses”. Se a taxa de financiamento é de 1,5% ao mês, qual é o valor da prestação de uma
secadora de roupa cujo preço a vista é de R$ 1.200,00?
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142
12) Dois automóveis iguais são vendidos por agências diferentes, de acordo com os planos abaixo:
Agência 1: R$ 5.000,00 de entrada e 20 prestações mensais de R$ 400,00;
Agência 2: R$ 3.000,00 de entrada e 30 prestações mensais de R$ 500,00;
Se a taxa de juros mensais de mercado for de 2%, qual das agências terá o menor preço à vista?
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143
__
Mn = C (S - 1)
n+1º i
4) C = R$ 100,00
C = R$ 50.000,00
i
18
6
__
Mn = C S
nº i
1) Mn = ?
3% a.b.
n = 6 bim.
Mn = R$ 958,00
958 = 100 (S - 1 )
9º i
Mn = 50.000 S
6º 0,03
i=?
958 = S -1
9º i
100
Mn = 50.000 6,46841
n = 8 meses
9,58 + 1 = S
9º i
S
= 10,58
9º i
Mn = 323.420,50
Consultando a tabela financeira p/ n = 9 e S
Mn = C S
nº i
2) C = ?
M = R$ 1.500.000,00
1.500.000 = C S
8º 0,09
5) Solução:
1.500.000 = C 11,02847
n = 8 meses
i = 9% a.a. = 0,09 a.a.
__
3) Mn = ?
An = 8.000 0,8 = 6.400
An = N a
nº i
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
6.400 = N a
6º 0,02
__
n = 6 meses
6.400 = N 5,60143
Mn = C (S
- 1)
n+1º i
__
N=?
N
1.500.000
C
11,02847
Mn = 120 (S
C = R$ 120,00
__
136,011,61
N = 6.400
N = 1.142,56
5,60143
- 1)
9º 0,03
6) Solução:
12
i=
= 3% a.a.
4
Mn = 120 (10,15911 -1)
n = 8 trimestres
Mn = 120 9,15911
__
__
entrada: R$ 3.500,00
An = N a
nº i
n = 14
An = 3.500 + 300 a
14º 0,02
N = R$ 300,00
An = 3.500 + 300 12,10625
Mn = 1.099,09
i=
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= 10,58, teremos i = 4%.
9º i
144
24
= 2% a.m.
12
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An = 7.131,87
145
7) Solução:
__
__
An = R$ 900,00
An = N (a
+1)
n-1º i
N=?
900 = N (a
10) m/An = N (a
m+nº i
N=
n=6
a ) =
mº i
m/An = 200 (a
7+3º 0,03
+1)
5º 0,01
a
) =
3º 0,03
m/An = 200 (a
- a
) =
3º 0,03
10º 0,03
900 = N (4,85343 +1)
i = 1% a.m.
-
m/An = 200 (8,53020 - 2,82861) =
900
N = 153,76
5,85343
m/An = 200 5,70159 =
8) n = ?
__
__
An = R$ 1.159,23
An = N (a + 1)
n-1º i
N = R$ 150,00
1.159,23 = 150 (a
+1)
n-1º 0,01
i=
12
= 1% a.m.
12
m/An = 1.140,32
Plano B:
11) Plano A:
1.159,23
= a
+1
150
n-1º 0,01
150
7,73 = a
+1
n-1º 0,01
a
= 7,73 - 1
n-1º 0,01
12.000 0,9 = 10.800
12.000 0,8 = 9,600
An = N a
nº i
An = N a
nº i
10.800 = 1.140,29 a
10º i
9.600 = 1.310,49 a
8º i
10.800
a
= 6,73
n-1º 0,01
Consultando a tabela financeira a
= 6,73 e i = 1%.
n-1º 0,01
n-1=7
9.600
a
=
10º i 1.140,29
a
=
8º i 1.310,49
a
= 9,47
10º i
a = 7,325
8º i
i = 1%
i = 2%
n=8
R.: O plano A tem a menor taxa.
9) 600 + 100 (a
6+3º 0,02
a
) =
3º 0,02
600 + 100 (a
9º 0,02
a
) =
3º 0,02
12)
Agência
Agência 1
5.000 + 400 a
=
20º 0,02
2
3.000 + 500 a
=
30º 0,02
600 + 100 (8,16224 - 2,8839) =
5.000 + 400 16,351433 =
3.000 + 500 22,396456 =
600 + 100 5,2783 =
5.000 + 6.540,57 = 11.540,57
3.000 + 11.198,23 = 14.198,23
600 + 527,83 = 1.127,83
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R.: Comprar o carro na agência 1 é a melhor opção.
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0
T
T
T ......
T
T
1
2
3 ...... n-1
n
A dívida será dade pela seguinte relação;
16. Empréstimos
D=Ra
n i
onde:
1. Introdução:
D - dívida inicial
Quando uma pessoa física ou jurídica realiza um empréstimo para aquisição de um bem
qualquer é esperada a devolução do capital acrescido de juros.
R - Prestação
Neste capítulo estudaremos as maneiras mais comuns de pagamento de uma dívida. São os
sistemas de amortização.
a
A distinção de um sistema de amortização do outro é a maneira de pagamento das prestações
podendo ser constantes, variáveis ou até únicas, sendo composta de duas partes: juros e amortização.
2. Planos de amortização de empréstimos.
- fator de amortização
n i
Exemplo:
1) Uma pessoa adquire uma dívida no valor de R$ 4.000,00, que deverá ser amortizada, pelo método
francês, com 5 prestações anuais, à taxa de 10% ao ano. Calcule o valor da prestação.
D = R$ 4.000,00
n=5
i = 10% a.a.
Quando quitamos um empréstimo, podemos abater no imposto de renda, os juros cobrados.
D=Ra
n i
4.000 = R a
5 0,1
4.000 = R 3,79079
Denominaremos a amortização (A) e o juro (J) que estão compondo a prestação (R).
R=A+J
R
Antes de estudarmos os principais sistemas de amortização, vamos definir alguns termos
importantes:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4.000
R 1.055,19
3,79079
2.1.1. Montagem de uma planilha de amortização
credor é o indivíduo que concede o empréstimo;
devedor ou mutuário é a pessoa que recebe o empréstimo;
IOF é o imposto sobre operações financeiras;
Amortização (A) é o pagamento em prestações de um capital emprestado;
Juros é a remuneração do capital;
Prestação (R) é a composição da amortização com juros.
Período 1
O valor da primeira prestação é de R$ 1.055,19 com uma taxa de juro de 10% ao ano sobre o
valor da dívida.
Os principais sistemas de amortização são: sistema francês; sistema de amortização constante;
sistema de amortização misto.
J1 = 10% de 4.000 J1 = 0,1 4.000 J1 = 400
A primeira amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e os juros.
A1 = 1.055,19 - 400 A1 = 655,19
2.1. Sistema Francês
No sistema francês de amortização o devedor paga, periodicamente as prestações que
compreendem os juros e a amortização da dívida, de modo que efetuado o último pagamento, a dívida
está quitada.
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148
O saldo devedor do período 1 (D1)
D1 = 4.000 - 655,19 D1 = 3.344,81
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149
Período 2
Representação gráfica:
Após o pagamento da 1a. prestação o saldo devedor é de R$ 3.344,81. Os juros serão de:
Prestação
J2 = 10% de 3.344,81 J2 = 0,1 3.344,81 J2 334,48
A segunda cota de amortização será calculada pela diferença entre a prestação e os juros do
período 2.
Amortização
Juros
A2 = 1.055,19 - 334,48 A2 = 720,71
D2 = 3.344,81 - 720,71 D2 = 2.624,10
1º
Período 3
2º
3º
4º
Período
J3 = 10% de 2.624,10 J3 = 0,1 2624,10 J3 = 262,41
A3 = 1.055,19 - 262,41 A3 = 792,78
D3 = 2.624,10 - 792,78 D3 = 1.831,32
Período 4
1) Uma dívida de R$ 10.000,00 deve ser paga, pelo sistema francês, mediante 6 prestações, a taxa de
juros de 3%. Calcular o valor da prestação.
J4 = 10% de 1.831,32 J4 = 0,1 1.831,32 J4 = 183,13
A4 = 1,055,19 - 183,13 A4 = 872,06
D4 = 1.831,32 - 872,06 D4 = 959,26
2) Um financiamento de R$ 12.000,00 é feito à taxa de 18% ao ano (tabela Price) e a liquidação em 5
meses. Construa a planilha de amortização.
Período 5
J5 = 10% de 959,26 J5 = 0,1 959,26 J5 = 95,93
A5 = 1.055,19 - 95,93 A5 = 956,26
D5 = 959,26 - 959,26 D5 = 0
Período (n)
0
1
2
3
4
5
Prestação (R)
Juros (Jn)
Amortização (An)
1.055,19
1.055,19
1.055,19
1.055,19
1.055,19
400
334,48
262,41
183,13
95,93
655,19
720,71
792,78
872,06
959,26
Saldo devedor (Dn)
4.000
3.344,81
2.624,10
1.831,32
959,26
__
1) Uma pessoa realizou um empréstimo de R$ 4.000,00 sabendo que a taxa de juros cobrada pela
instituição é de 12% ao ano e que a dívida deve ser quitada em 5 meses. Calcule o valor das
prestações pelo sistema Price.
2) Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 a um cliente, com base na tabela Price e a juros de
12% ao ano, para ser devolvido em 6 meses. Construir a planilha de amortização.
2.2. Sistema de Amortização Constante (SAC)
Neste sistema, como no anterior, o devedor paga o empréstimo em prestações periódicas,
englobando juros e amortização.
2.1.2. Tabela Price
O sistema Price de amortização é um caso particular do sistema de amortização francês e
apresenta as seguintes características:
a) os pagamentos das prestações são mensais;
b) a taxa de juros compostos é anual;
c) no cálculo é utilizada a taxa proporcional ao período considerado.
A diferença é que neste sistema, a amortização é constante em todos os períodos.
A amortização vai ser obtida pelo quociente do valor da dívida pelo número de períodos, em
que deve ser quitado o financiamento.
Exemplo:
1) Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, a taxa
de 3% ao ano. Construa o quadro de amortização.
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150
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151
Solução:
D = R$ 6.000,00
n=4
i = 3% ao ano
Pelo gráfico observamos que a amortização é constante, que o valor das prestações são
decrescente, e os juros decrescem em função do saldo devedor.
2.2.1. Cálculo do saldo devedor
Calculando o valor da amortização.
6.000
D
A= 1.500
A

A
4
n
O saldo devedor do período será calculado pelo saldo devedor do período anterior menos a
amortização.
Dn = Dn-1 - A
Período 1
J1 = D i J1 = 6.000 0,03 J1 = 180
R1 = J1 + A R1 = 180 + 1.500 R1 = 1.680
D1 = D - A D1 = 6.000 - 1.500 D1 = 4.500
Logo para:
n = 1 D1 = D - A
n = 2 D2 = D1 - A D2 = D - A - A D2 = D - 2A
n = 3 D3 = D2 - A D3 = D - 2A - A D3 = D - 2A - A D3 = D - 3A
Período 2
J2 = D1 i J2 = 4.500 0,03 J2 = 135
R2 = J2 + A R2 = 135 + 1.500 R2 = 1.635
D2 = D1 - A D2 = 4.500 - 1.500 D2 = 3.000
SDK = D - K A
Exemplo:
Período 3
J3 = D2 i J3 = 3.000 0,03 J3 = 90
R3 = J3 + A R3 = 90 + 1.500 R3 = 1.590
D3 = D2 - A D3 = 3.000 - 1.500 D3 = 1.500
1) Uma pessoa faz um empréstimo de R$ 6.000,00 em um banco através do SAC em 10 prestações
anuais, a taxa de 15% ao ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a sexta prestação.
Solução:
Período 4
J4 = D3 i J4 = 1.500 0,03 J4 = 45
R4 = J4 + A R4 = 45 + 1.500 R4 = 1.545
D4 = D3 - A D4 = 1.500 - 1.500 D4 = 0
Período (n)
0
1
2
3
4
D = R$ 6.000,00
n = 10
i = 15% ao ano i = 0,15 a.a.
Prestação (R)
Juros (Jn)
Amortização (An)
1.680
1.635
1.590
1.545
180
135
90
45
1.500
1.500
1.500
1.500
Saldo devedor (Dn)
6.000
4.500
3.000
1.500
---
Baseado no exemplo acima podemos fazer a representação gráfica.
D
A
N
6.000
A
10
600
SDk = D - K A
SD6 = 6.000 - 6.600
SD6 = 6.000 - 3.600
SD6 = 2.400
3) Elabore uma planilha de pagamento, baseado no SAC, correspondente a um financiamento de R$
10.000,00, a taxa de 1% a.m. a ser liquidado em 8 prestações mensais.
Prestação
Juro
Amortização
1º
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A
2º
3º
4º
nº
152
4) Um financiamento de R$ 5.000,00 é amortizado pelo sistema de amortização constante em 8
prestações mensais, a taxa de 2% a.m. Calcule:
a) a cota de amortização;
b) a primeira parcela de juros;
c) a primeira prestação;
d) saldo devedor após o pagamento da 4a prestação.
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153
Período
0
1
2
3
4
3) Na compra de uma casa, uma pessoa faz um empréstimo de R$ 60.000,00, a financeira utiliza a taxa
de juros compostos de 3% a.m. Essa importância será amortizada através do sistema de
amortização constante (SAC), em 6 prestações mensais. Construa a planilha de amortização.
4) Um financiamento de R$ 4.000,00 deverá ser pago em 8 prestações mensais e consecutivas,
vencendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro. Considerando que o financiamento seja
feito pelo SAC a uma taxa mensal de 2% a.m. Pede-se:
a) a cota de amortização;
b) juro pago na primeira prestação;
c) valor da primeira prestação;
d) o saldo devedor após o pagamento da 6a prestação.
Prestação
Juros
Amortização
1.577,35
1.577,35
1.577,35
1.577,38
500
392,27
273,76
143,40
1.077,35
1.185,08
1.303,98
1.433,98
Saldo devedor
5.000
3.922,65
2.737,57
1.433,98
---
b) Sistema de amortização constante
x neste sistema as amortizações serão calculadas pelo quociente da dívida inicial pelo número de
períodos.
D
n
x os juros serão calculados sobre o saldo devedor anterior.
x a prestação (R) será dada pela expressão:
R=A+J
A
2.3. Sistema de Amortização Misto (SAM)
O sistema de amortização misto é um sistema moderno, pois seus cálculos são feitos pela média
aritmética do sistema francês e do sistema de amortização constante.
x o saldo devedor do período (SDn) é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior
(SDn-1) e a amortização do período (A).
Exemplo:
SDn = SDn-1 – A
1) João fez um empréstimo de R$ 5.000,00, em um banco pelo SAM em 4 prestações anuais, a taxa de
10% ao ano. Construa a planilha para as seguintes situações:
a) sistema francês;
b) sistema de amortização constante;
c) sistema de amortização misto.
Solução:
a) Sistema francês
x as prestações são iguais e calculadas pela seguinte relação: R =
A=R-J
x o saldo devedor do período é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior e a
amortização do período.
R
R
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Juros
Amortização
1.750
1.650
1.500
1.350
500
375
250
125
1.250
1.250
1.250
1.250
Saldo devedor
5.000
3.750
2.500
1.250
---
x as amortizações serão obtidas pela média aritmética entre as amortizações do sistema francês e as do
sistema de amortização constante;
x os juros serão calculados sobre o saldo devedor anterior.
x a prestação (R) será dada pela expressão: R = A + J
x o saldo devedor do período (SDn) é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior
(SDn-1) e a amortização (A).
SDn = SDn-1 – A
Período (n)
0
1
2
3
4
D
5.000
R

a
a
n i
4 0,01
5.000
R 1.577,35
3,16987
Prestação
c) Sistema de amortização mista
D
a
n i
x o juro é calculado sobre o saldo devedor anterior;
x a amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e os juros do período
correspondente.
Dados:
D = R$ 5.000,00
n=4
i = 10% ao ano = 0,1 ao ano
Período
0
1
2
3
4
154
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Prestação (R)
Juros (Jn)
Amortização (An)
1.663,68
1.601,17
1.538,68
1.476,19
500
383,63
261,87
134,20
1.163,68
1.217,54
1.276,79
1.341,99
Saldo devedor (Dn)
5.000
3.836,32
2.618,78
1.341,99
---
155
5) Um financiamento de R$ 15.000,000 deve ser pago em 4 amortizações constantes mensais sem
carência. A taxa de juros é de 2% a.m. Construa a planilha de financiamento.
3) Solução
D = R$ 60.000,00
i = 3% a.m. i = 0,03 a.m.
Exercício proposto
A =
D
n
60.000
= 10.000
6
n=6
5) Um equipamento foi adquirido por R$ 12.000,00 e será pago em 6 prestações mensais, a taxa
de 2% a.m. Construa a planilha do SAM.
1)
D = Ra
5º 0,01
4.000 = R 4,85343
4.000
R=
4,85343
Período (n)
0
1
2
3
4
5
6
Juros (Jn)
Amortização (An)
11.800
11.500
11.200
10.900
10.600
10.300
1.800
1.500
1.200
900
600
300
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
4) D = R$ 4.000,00
R = 824,16
a) A
n=8
D = R$ 6.000,00
12
= 1% a.m.
12
4.000
8
500
c) R1 = J1 + A R1 = 80 + 500 R1 = 580
d) SDK = D - K A
K=6
D=Ra
nº i
D
n
Saldo devedor (Dn)
60.000
50.000
40.000
30.000
20.000
10.000
__
b) J1 = i D J1 = 0,02 4.000 J1 = 80
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
2)
i =
Prestação (R)
SD6 = 4.000 - 6. 500
A= ?
SD6 = 4.000 - 3.000
6.000 = R a
6º 0,01
SD6 = 1.000
n=6
5)
6.000 = R 5,79548
R=
Período (n)
0
1
2
3
4
5
6
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Período
0
1
2
3
4
5
6
6.000
R = 1.035,29
5.79548
Prestação (R)
Juros (Jn)
Amortização (An)
1.035,29
1.035,29
1.035,29
1.035,29
1.035,29
1.035,30
60
50,25
40,40
30,45
20,40
10,25
975,29
985,04
994,89
1.004,84
1.014,89
1.025,05
Saldo devedor (Dn)
6.000
5.024,71
4.039,67
3.044,78
2.039,94
1.025,05
–
156
CopyMarket.com
Prestação
Juros
Amortização
2.191,16
2.171,16
2.151,15
2.131,16
2.111,16
2.091,13
240
200,98
161,57
121,78
81,59
41
1.951,16
1.970,18
1.989,58
2.009,38
2.029,57
2.050,13
Saldo devedor
12.000
10.048,84
8.078,66
6.089,08
4.079,70
2.050,13
-
157
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TÁBUA DE LOGARITMOS
n
log
0
Tábuas e Tabelas
TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS
Meses
Jan.
Fev.
Mar.
Abr.
Mai.
Jun.
Jul.
Ago.
Set.
Out.
Nov.
Dez.
01
02
03
04
05
1
2
3
4
5
32
33
34
35
36
60
61
62
63
64
91
92
93
94
95
121
122
123
124
125
152
153
154
155
156
182
183
184
185
186
213
214
215
216
217
244
245
246
247
248
274
275
276
277
278
305
306
307
308
309
335
336
337
338
339
06
07
08
09
10
6
7
8
9
10
37
38
39
40
41
65
66
67
68
69
96
97
98
99
100
126
127
128
129
130
157
158
159
160
161
187
188
189
190
191
218
219
220
221
222
249
250
251
252
253
279
280
281
282
283
310
311
312
313
314
340
341
342
343
344
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
21
22
23
24
25
21
22
23
24
25
52
53
54
55
56
80
81
82
83
84
111
112
113
114
115
141
142
143
144
145
172
173
174
175
176
202
203
204
205
206
233
234
235
236
237
264
265
266
267
268
294
295
296
297
298
325
326
327
328
329
355
356
357
358
359
26
27
28
29
30
26
27
28
29
30
57
58
59
85
86
87
88
89
116
117
118
119
120
146
147
148
149
150
177
178
179
180
181
207
208
209
210
211
238
239
240
241
242
269
270
271
272
273
299
300
301
302
303
330
331
332
333
334
360
361
362
363
364
31
31
212
243
Dias
90
151
304
365
NOTA:
Se o ano for bissexto aumentar uma unidade ao resultado, caso o mês de fevereiro esteja incluído na contagem.
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158
n
Log
50
698970
100
n
000000
log
150
n
176091
log
200
n
301030
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1
2
3
4
5
6
7
8
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000000
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n
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-n
(1 + i)
a
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n
(1 + i)
r = 24%
(1 + i)
a
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S
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