UNIVERSIDADE SANTA CECÍLIA – UNISANTA PÊNDULO DE

UNIVERSIDADE SANTA CECÍLIA – UNISANTA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
PÊNDULO DE FOUCAULT
Santos – SP
2007
UNIVERSIDADE SANTA CECÍLIA – UNISANTA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
HANDERSON OLEGÁRIO
MARCUS VINICIUS
RODRIGO DANZI
RODRIGO DE CAMPOS MANOEL
THIAGO TADEU RODRIGUES
PÊNDULO DE FOUCAULT
Trabalho
de
Conclusão
de
Curso
apresentado como exigência parcial para
obtenção do título de Engenheiro Mecânico à
Comissão Julgadora, sob a supervisão do
Professor Valmir Demarchi.
Santos – SP
2007
AGRADECIMENTOS
Dirigimos nossos agradecimentos a Deus, pois sem Ele nada seria possível. Aos
nossos pais, pelo amor, carinho e bons valores que nos ensinaram. À nossa
família e às nossas namoradas, pela companhia e apoio. Um agradecimento
especial aos nossos professores, sem exceção, pela paciência, dedicação e
atenção. Um agradecimento especial se faz necessário aos Mestres Marcelo,
Morila, Molinari, Demarchi e Moino, que nos incentivaram e nos orientaram na
conclusão deste trabalho. Agradecemos também ao nosso colega Thiago Oliveira,
pelo fundamental auxílio na análise dimensional pelo Método dos Elementos
Finitos.
RESUMO
Pode-se considerar o Pêndulo de Foucault como um dos maiores e mais
importante experimentos científicos já realizados até a atualidade. Idealizado pelo
francês Leon Foucault, o pêndulo montado no Phantéon francês em 26 de março
de 1851, conseguiu demonstrar que a Terra gira em torno do seu próprio eixo e ao
redor do sol, e não o contrário.
À força responsável pela oscilação do Pêndulo de Foucault, entre outros
movimentos, dá-se o nome de Força de Coriolis, em homenagem ao físico francês
Gaspard-Gustave Coriolis, que a descobriu em 1835.
Esta força é responsável pelo sentido de rotação da água ao descer por um ralo,
pelo movimento das tempestades na Terra e, na engenharia mecânica, é
essencial em diversos aspectos, como: projetos de tubulações com alta diferença
de Energia Potencial, equipamentos mecânicos que trabalham em rotação, para o
traçamento de rotas de vôos, entre outras aplicações.
Para realizarmos a reprodução da experiência de Foucault, recorremos aos
nossos conhecimentos adquiridos ao longo do curso de Engenharia Mecânica,
especificamente nas disciplinas de Física, Resistência dos Materiais e Mecânica
de Vibrações.
Da Física, retiramos os conceitos de gravitação; da Resistência dos Materiais,
retiramos os conceitos de dimensionamento de estruturas e o sistema de cálculos
pelo Método dos Elementos Finitos e, da Mecânica de Vibrações, retiramos os
conceitos de oscilação, oscilação harmônica e a própria força de Coriolis.
LISTA DE FIGURAS E TABELAS
FIGURA 1 – Léon Foucault
7
FIGURA 2 – Gaspard Gustave Coriolis
10
FIGURA 3 – Efeito Coriolis na superfície terrestre
13
FIGURA 4 – Demonstração da força de Coriolis em uma superfície circular
14
FIGURA 5 – Pêndulo de Foucault na Universidade Santa Cecília
19
FIGURA 6 – Idéias e projetos parciais
21
FIGURA 7 – Perspectiva do projeto final
22
FIGURA 8 – Visualização em 3D do projeto final
23
FIGURA 9 – Perspectiva de aplicação da carga axial
26
FIGURA 10 – Perspectiva de deformação após a aplicação da carga axial
27
FIGURA 11 – Deformação após a aplicação da carga axial e tangencial
28
FIGURA 12 – Perfil tubular quadrado
29
FIGURA 13 – Rolamento autocompensador axial – vista perfil
29
FIGURA 14 – Bola de boliche
30
FIGURA 15 – Pino de Aço
31
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS
5
1 INTRODUÇÃO
7
2 JEAN BERNARD LÉON FOUCAULT
8
3 GASPARD-GUSTAVE CORIOLIS
11
4 A FORÇA DE CORIOLIS
13
5 PÊNDULO DE FOUCAULT
17
6 DEMONSTRAÇÃO NA UNISANTA
20
6.1 Reconstrução e Materiais
22
6.1.1 Observação de Experiências já Realizadas
22
6.1.2 Idéias
22
6.1.3 Projeto
23
6.1.4 Cálculos – Método dos Elementos Finitos
25
6.1.5 Materiais
29
7 CONCLUSÃO
32
8 ANEXOS
33
8.1. Anomalias no Pêndulo de Foucault
9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
10 COMPACT DISC
33
35
CONTRA-CAPA
1 INTRODUÇÃO
Antes da aplicação prática e correta dos conceitos de engenharia na fabricação de
equipamentos mecânicos, construções civis, equipamentos elétricos e
desenvolvimento de novos materiais, muitos outros conceitos precisam ser
adquiridos, como o cálculo diferencial e integral, os fenômenos físicos, entre
outros.
Entretanto, devido à grandiosidade do conteúdo das disciplinas acadêmicas,
muitos pontos são somente comentados, porém, não são explorados e
aprofundados. Por este motivo, realizamos esta pesquisa para compreender com
propriedade o fenômeno físico em questão: a força de Coriolis.
Por meio da reprodução da experiência do pêndulo de Foucault, aliamos o
conhecimento teórico adquirido no decorrer do curso acadêmico e intentamos
demonstrar a atuação da força de Coriolis e sua real importância para a
Engenharia.
Para a pesquisa dos conceitos e realização da experiência, o grupo utilizou como
fonte de informação a pesquisa dos teóricos (falar quais são os teóricos),
publicações, consulta a mestres e doutores em Física e Engenharia, consultas à
rede mundial de computadores Internet e uma visita ao Phantéon em Paris,
França.
Os capítulos a seguir, obedecem à cronologia da pesquisa e discussão dos
fenômenos, sendo que, o primeiro, traz a biografia de Jean Bernard Léon
Foucault, idealizador da experiência em março de 1851.
2 Jean Bernard Léon Foucault
Figura 1 – Jean Bernard Léon Foucault
Físico francês, filho de publicitários, Jean Bernard Léon Foucault (Figura 1),
nasceu no dia 18 de setembro de 1819. Após receber a educação básica em sua
própria casa, Léon Foucault estudou medicina, abandonando-a rapidamente para
se dedicar aos estudos em Física. Amante de fotografias, concomitantemente a
esses estudos, dedicou parte de sua atenção a aprender as técnicas de LouisJacques-Mandé Daguerre1.
Com Hippolyte Fizeau2, Foucault comprovou que a intensidade da luz do sol,
comparada com o carbono no arco de lâmpada e o cal contido na chama de um
tubo de oxi-hidrogênio, associado às interferências da radiação infravermelha e à
1
Artista e Químico francês, inventor do Dagurerreotype, processo fotográfico no qual a imagem é
exposta diretamente contra um espelho polido composto por partículas pratas de vapor,
depositadas por vapor de iodo aquecido. Este processo permite a obtenção da fotografia sem
utilização de um negativo.
2
Físico francês que, além de estudar processos fotográficos, dedicou seu tempo ao estudo da
interferência da luz e do calor nos corpos. Em 1848, descobriu o Efeito Doppler em ondas
eletromagnéticas. Em 1849, juntamente com Léon Foucault, publicou os primeiros resultados
obtidos para o estudo para determinação da velocidade da luz, e, em 1850 juntamente com E.
Gounelle mediu a velocidade da eletricidade.
radiação da luz, diferem grandiosamente em caminhos e comprimentos na luz de
polarização cromática.
Em 1840, Léon Foucault contribuiu para o Comptes Rendus, um periódico
publicado pela Academia de Ciências francesa. Nele descreveu um regulador
eletromagnético para o arco de lâmpada elétrico. Em 1850, utilizou um
estereoscópio semelhante ao usado por Sir Charles Wheaststone3 e demonstrou a
velocidade da luz4 no ar e na água, comprovando que a velocidade da luz no
meio, é inversamente proporcional ao seu índice de refração.
A demonstração do movimento da Terra, em 1851, por Foucault revolucionou as
teorias até então vigentes. Ele o fez por meio da oscilação de um plano longo e
pesado suspenso livremente no Panthéon, em Paris.
No ano seguinte inventou e construiu o primeiro giroscópio para auxiliar na
comprovação de seus experimentos sobre a rotação da Terra. Em 1855 foi
agraciado com a Copley Medal5 pela Real Sociedade de Londres (Real Society of
London). Em setembro de 1855, descobriu que a força requerida para a rotação
de um disco de cobre, transforma sua borda entre os pólos de um ímã. O disco se
aquece pela corrente de eddy ou “correntes de Foucault”, induzidas no metal.
Foucault inventou em 1857 o polarizador, o qual carrega seu nome. No ano
seguinte, desenvolveu um método para dar ao espelho refletor do telescópio, a
forma esférica e parabólica para, juntamente com Wheastone, em 1862,
determinar a velocidade da luz em 298.000 km/s (aproximadamente 185.000
milhas/s). Este valor é 10.000 km/s menor que o obtido no experimento anterior e
somente 0,6% fora do valor utilizado atualmente.
No mesmo ano de 1862, Léon Foucault foi nomeado membro do Bureau des
Longitudes e membro oficial honorário da Legião da Honra – Legion of Honour.
Em 1864, foi nomeado membro estrangeiro da Sociedade Real de Londres e, no
ano seguinte, um membro da seção mecânica do Instituto. Em 1865, tornaram-se
mais intensos seus estudos para modificar o regulador do Watt e para a criação de
um novo equipamento que regulasse a luz elétrica.
3
Cientista e inventor inglês foi responsável pelo desenvolvimento do telégrafo e por muitas
descobertas, entre elas o estereoscópio (instrumento utilizado para mostrar uma imagem tridimensional).
4
A velocidade da luz no vácuo é uma importante constante física denominada pela letra c. No
sistema métrico a constante c é exatamente 299.792.458 metros por segundo.
5
A Copley Medal é o maior prêmio concebido pela Real Society of London. Os agraciados com
este prêmio se alternam em ciências físicas e ciências biológicas. O vencedor deste prêmio recebe
uma medalha coberta de prata e ouro, acompanhada de uma quantia de £5000.
Foucault faleceu em 11 de fevereiro de 1868, vítima de uma esclerose múltipla
rapidamente desenvolvida. Seu corpo foi cremado e sua cripta encontra-se no
Cemetière de Montmarte em Paris. [1], [2], [6], [8], [12] e [13].
3 Gaspard-Gustave Coriolis
Figura 2 – Gaspard-Gustave Coriolis
Gaspard - Gustave Coriolis nasceu em 21 de maio de 1792 em Paris, França.
Provindo de uma família aristocrática, ingressou na Ècole Polytechnique, em 1808
e continuou seus estudos na Ècole des Ponts et Chaussées, onde estudou
mecânica e matemática aplicada à engenharia.
Iniciou a sua atividade docente em 1816, como professor assistente de Análise e
Mecânica na Ècole Polytechnique. Foi professor de mecânica na École Centrale
des Arts et Manufactures entre 1829 e 1836 e, em 1832, tornou-se professor de
mecânica na École des Ponts et Chaussées. Em 1836, foi nomeado diretor de
estudos na École Polytechnique e aí desenvolveu importantes estudos sobre a
força centrífuga.
Coriolis foi um professor notável e contribuiu decisivamente para a sistematização
do ensino da mecânica por meio da introdução de termos e definições próprias.
De seus estudos, destacam-se as primeiras definições precisas de trabalho e
energia cinética, publicadas em 1929 no artigo “Du calcul de l’effet des machines”.
O nome de Coriolis está intrinsecamente associado à descoberta do fenômeno
batizado com seu nome: o efeito de Coriolis.
No artigo “Sur les équations du movement relatif des systèmes de corps” (1835),
Coriolis desenvolveu um princípio matemático para descrever o movimento dos
objetos em relação a um referencial não inercial, em rotação uniforme, tal como a
Terra.
A descoberta de Coriolis permitiu explicar a circulação de ar em torno de um
centro de altas ou baixas pressões com um deslocamento, cujo sentido é
dependente do hemisfério onde se processa o fenômeno. Essa descoberta foi
fundamental para o desenvolvimento das ciências atmosféricas.
Desenvolveu ainda uma nova medida – o “dinamode” (que equivale a 1000 kg-m),
e publicou as obras "Théorie mathématique du jeu de billard" (1835) e "Traité de la
mécanique des corps solides" (1844) e escreveu diversos artigos científicos para o
"Dictionnaire de l'
industrie". Faleceu em 19 de setembro de 1843 em Paris,
França. [1], [4] e [8].
4 A FORÇA DE CORIOLIS
Em meados de 1851, a comunidade científica e a Academia de Ciências da
França possuíam duas opções plausíveis: aceitar o que Foucault havia provado
por meio de suas teorias e experimentos ou provar a lei da cinética sem a
utilização de equações ou derivações matemáticas.
Em resposta à prova de Foucault, os matemáticos buscaram em teorias descritas
e comprovadas a explicação do fenômeno do pêndulo de Foucault e os seus
resultados.
Até então, a maioria dos importantes matemáticos dos séculos XVII, XVIII e XIX
havia publicado trabalhos que explicavam o fenômeno de reação do pêndulo
sobre a rotação da Terra. Em vista disso, Gapaillard explicou o trabalho de
Foucault e, com isso, causou uma divisão entre dois campos dentro da Academia
de Ciências: de um lado, os analistas e do outro, os sintesistas.
O primeiro grupo acreditava na matemática pura e na geometria, enquanto que o
segundo grupo buscava explicações dos fenômenos em termos cinemáticos do
movimento dos objetos, isto é, dos movimentos físicos. Entretanto, na
interpretação teórica de Foucault, ambas as escolas não levaram em conta o
trabalho e o conhecimento do físico francês Gaspard-Gustave Coriolis, que
falecera oito anos antes da demonstração de Foucault.
A força de Coriolis, também conhecida como aceleração de Coriolis, é uma
tradicional derivação da coordenada de transformação e afeta os corpos em
rotação. Ela é similar à outra força relacionada à rotação dos corpos: a centrífuga.
Muitos cientistas as chamam de “forças fictícias”, visto que o corpo afetado por
estas não é empurrado por algo material, porém, uma pessoa em rápida rotação
sente a força centrífuga com sendo real.
Na Terra, a força de Coriolis atua mudando a direção do movimento do corpo para
a direita, no hemisfério norte e, para a esquerda, no hemisfério sul. Esta deflexão
está presente desde a grande escala da circulação atmosférica, no
desenvolvimento de furacões, tempestades e brisas marítimas, até em um simples
torneio de baseball: uma bola rebatida horizontalmente a uma velocidade de 25
m/s em uma distância inferior a 20 m, nos Estados Unidos da América, desviará
em 1,5 cm para direita, devido à força de Coriolis.
A relação entre a aceleração e o vetor B, em um sistema de coordenadas fixas
relativas para as estrelas (f) e o sistema (r) girando com a velocidade angular é:
O procedimento é para aplicar (1) primeiro para a posição do vetor r, quando para
velocidade v é aplicada a velocidade vr. Combinando expressões e chegando a
uma expressão para aceleração absoluta a, temos:
Qual para um observador girando é composto ao observador à aceleração ar. A
aceleração de Coriolis depende da velocidade e da aceleração centrífuga x ( x
r), qual somente depende da posição. Para um movimento horizontal dado, a
deflexão mais forte está nos pólos e a deflexão não horizontal está no equador,
para o movimento oposto vertical é verdadeiro, como mostra figura 4.
Figura 3. Efeito da Força de Coriolis na Superfície Terrestre.
Uma maneira simples de explicar a ação do efeito Coriolis, é tomar como exemplo
uma pessoa em posição ereta sob o centro da superfície de um disco em rotação:
se esta pessoa se mover no sentido da borda externa do disco, uma força na
direção perpendicular do movimento do disco agirá sobre está pessoal. Esta é à
força de Coriolis em ação.
Tomando-se o mesmo exemplo, pode-se afirmar que o efeito Coriolis age das
seguintes maneiras: se a superfície estiver girando no sentido anti-horário e a
pessoa se mover para o lado interno da superfície, esta pessoa sentirá uma força
a empurrando para o lado direito. Caso a superfície esteja girando no sentido
horário, esta pessoa sentirá uma força a empurrando para o lado esquerdo. Figura
5.
Figura 4. Demonstração da força de Coriolis.
O exemplo acima é claramente observado quando se coloca corpos em descanso
sobre uma superfície em rotação. Todos os corpos sentirão uma força os
impulsionando para fora e não o contrário. Tem-se a força centrífuga em ação.
O conhecimento da força de Coriolis é de fundamental importância para a
Engenharia, especificamente para a Mecânica, pois, todos os projetos de
equipamentos mecânicos envolvem rotação. Na artilharia também é
imprescindível, pois, as munições lançadas pelos canhões no hemisfério norte
tendem a desviar para o leste e, contrariamente, as munições lançadas pelos
canhões no hemisfério sul, tendem a desviar para o oeste. Na Engenharia
Aeronáutica, o conhecimento da existência da força de Coriolis é de fundamental
importância, como pode ser observado no exemplo abaixo:
Exemplo:
O planeta Terra completa uma rotação em 24 horas. A linha do equador possui
aproximadamente 40234 km de circunferência. Quando uma pessoa está sob a
linha do equador, ela estará se movendo a uma velocidade de 1677 km/h durante
a rotação da Terra. A 27 graus, no sul do estado da Flórida, a velocidade desta
pessoa será de aproximadamente 1497 km/h, e, em Barrow no Alasca, a 71 graus
norte, sua velocidade será de 547 km/h. Exatamente no Pólo Norte, a velocidade
será igual a zero. Um avião, que voa do sul da Flórida com destino a Barrow, terá
que adicionar 950 km na direção leste em seu plano de vôo. Esta diferença é
devido à diferença de 1497 e 547 km, e existe porque a Terra cessa seu
movimento de rotação.
Conclui-se, portanto, que é inteiramente plausível a utilização do efeito de Coriolis
para explicar a oscilação do pêndulo de Foucault. [1], [4], [8], [9] e [13]
5 PÊNDULO DE FOUCAULT
O Pêndulo de Foucault, assim chamado em referência ao físico francês Jean
Bernard Léon Foucault, é uma experiência concebida para demonstrar a rotação
da Terra em relação a um referencial, bem como a existência da força de Coriolis.
A primeira demonstração data de 1851, quando um pêndulo foi fixado ao teto do
Panthéon em Paris.
A originalidade do pêndulo reside no fato de possuir liberdade de oscilação em
qualquer direção, ou seja, o plano pendular não é fixo. A rotação deste se dá com
a rotação da Terra e sua velocidade e direção de rotação permitem, igualmente,
determinar a latitude do local da experiência sem nenhuma observação
astronômica exterior.
Princípio
Se considerar um ponto centrado ao nível do ponto de fixação do pêndulo, este
oscilará sempre no mesmo plano em relação a este ponto, no entanto, a Terra gira
em torno dele, o que é previsto e intuitivo se nos imaginarmos em um pólo. Em um
referencial habitual é o pêndulo que irá sofrer uma rotação.
O pêndulo deve ser inicialmente colocado em um dos pólos da Terra. Seu período
de rotação do plano pendular é inversamente proporcional ao seno da latitude
local.
Para simplificar, suporemos a amplitude das oscilações suficientemente pequena
para admitir que a massa oscilante do pêndulo se desloque horizontalmente.
Notemos Oxy pelo plano horizontal, com O sedo a posição da massa no repouso,
Ox o eixo horizontal dirigido para o leste (logo tangente ao paralelo) e Oy dirigido
para o norte (logo tangente ao meridiano). O terceiro eixo Oz será vertical dirigido
para cima.
Caso do Pêndulo Simples
Sem se levar em conta à rotação da Terra, as equações do movimento são as do
pêndulo simples, sistema 1, ou seja:
Sistema 1.
Onde
é a oscilação própria do pêndulo simples, equação 1, ou seja:
Equação 1.
Onde g é a aceleração da gravidade e l o comprimento do pêndulo.
A título de exemplo, se no instante t = 0 o pêndulo passa em O com uma
velocidade V0 segundo o eixo Ox, então a solução deste sistema é:
Sistema 2.
Caso do pêndulo de Foucault
Com a rotação da Terra, deve-se levar em conta a aceleração de Coriolis,
equação 2:
Equação 2.
Onde,
é a velocidade do pêndulo
é o vetor unitário no eixo de rotação terrestre
a velocidade de rotação angular da Terra
Essa velocidade de rotação
pêndulo.
é muito menor que a oscilação própria
Se nos encontramos à latitude , então o vetor
referencial Oxyz:
do
tem como componentes no
.
tem como componentes
componentes
, de modo que a aceleração de Coriolis terá os
.
As equações de movimento no plano Oxy tornam-se:
Sistema 3.
Supõe-se ainda que no instante t = 0 o pêndulo passe em O com a velocidade V0
no eixo Ox, então se pode verificar que as soluções x e y do sistema diferencial
são tais que:
Sistema 4.
Com:
Equação 3.
Pode-se escrever que:
Interpretação e comparação
exprime o fato que o pêndulo de Foucault oscila com
A quantidade
uma pulsação própria 0 ligeiramente diferente daquela do pêndulo simples, mas
como é muito pequeno em comparação com , a diferença entre e 0 é muito
pequena.
Mais remarcável, a oscilação se dá segundo a direção
que
roda lentamente segundo a pulsação sin ( ). [1], [2], [4], [8], [9], [12], [13] e [14].
6 DEMONSTRAÇÃO NA UNISANTA
A figura (Figura 1) nos traz a latitude que se encontra a cidade de Santos, os pólos
sul e norte, a linha do equador, com estes dados e utilizando-se da Lei dos Senos,
pode-se demonstrar o círculo descrito pela oscilação do pêndulo que será
construído na Universidade Santa Cecília – UNISANTA.
.
Figura 5. Pêndulo de Foucault na Universidade Santa Cecília.
Considerando a velocidade relativa do movimento no extremo sul e o extremo
norte do circulo descrito com raio r como é mostrado na figura
Considerando a inclinação da Terra, o extremo sul é mais distante da linha central
de rotação da Terra, e conseqüentemente, se moverá mais rapidamente do que o
extremo norte.
Fazendo a velocidade angular da Terra e R o raio da Terra, utilizando
trigonometria básica, observamos na figura que o centro do círculo se move com
velocidade R cos , onde =latitude de Santos (23 graus 56’ 26” Sul).
Observando na figura, que o ponto mais ao norte se move com velocidade R
cos + r sen , analogamente, o ponto mais ao sul, se move com velocidade R
cos – r sen .
A diferença entre a velocidade de qualquer um destes dois pontos e a velocidade
do centro do círculo é r sen .
Se o pendulo inicia seu movimento no plano norte-sul, a componente leste-oeste
da velocidade será semelhante à velocidade do centro do círculo. A circunferência
do circulo, como nós sabemos, é igual a 2 r.
Assim o período para o circuito completo será por volta de:
T = 2 r / r sen = 24 horas/ sen , porque = 2 / 24 horas, desde que a
Terra realize uma volta completa em 24 horas. [1], [2], [3] e [10]
6.1 RECONSTRUÇÃO E MATERIAIS
Para demonstração da existência da Força de Coriolis, será realizada a
construção, com os conhecimentos adquiridos ao longo do curso de graduação
em Engenharia Mecânica, de uma estrutura, que será utilizada como base para
um pêndulo e, com a oscilação deste pêndulo, a ação da força de Coriolis.
Para tornar possível a realização da experiência e do objetivo proposto, o projeto
foi dividido em xxx partes, as quais estão descritas abaixo:
6.1.1 Primeira Parte: Observação de experiências já realizadas
Vide vídeos no Compact Disc em anexo.
6.1.2 Segunda Parte: Idéias
Figura 6. Idéias e projetos parciais.
6.1.3 Terceira Parte: Projeto
Figura 7. Perspectiva do projeto final.
Figura 8. Visualização em 3D do projeto final.
6.1.4 Quarta Parte: Cálculos – Método dos Elementos Finitos
Grande parte dos problemas de engenharia pode ser formulada através dos
princípios gerais da Mecânica do Contínuo. Este ramo da mecânica trata a matéria
como sendo um meio contínuo, ou seja, sem vazios interiores, desconsiderando
sua estrutura molecular. Este conceito permite a definição do ponto geométrico
(de volume igual a zero), por um limite matemático tal como a definição de
derivadas no cálculo infinitesimal, isto é, na mecânica do contínuo os princípios
físicos são descritos sob a forma de equações diferenciais.
A primeira etapa do processo de modelagem computacional de um fenômeno
físico consiste na identificação dos fatores que influenciam de maneira relevante
no problema, ou seja, no caso do Pêndulo de Foucault, os fatores influenciáveis
são:
- Geometria da barra de sustentação;
- Material de construção da sustentação;
- Posicionamento (ângulo) da barra de sustentação (estrutura);
- Carga (Peso) sustentada pela estrutura.
Como critério de cálculo para a análise estrutural para o projeto do pêndulo
proposto, foi utilizado o critério de von Mises.
O critério de von Mises, estabelece que a energia da distorção é a magnitude
determinante no fenômeno de plastificação, ou seja, na deformação plástica.
Assim sendo, o escoamento do material se inicia quando a energia de deformação
atinge um valor crítico.
Com o auxílio do software CosmosWorks,
foram realizadas as análises
construtivas estruturais para o pêndulo proposto, ou seja, realizou-se uma análise
do comportamento dos materiais e componentes que serão utilizados na
montagem (vide lista de materiais, página 29).
Para o peso suportado pela estrutura foi considerado o peso de 120 N do pêndulo
mais o peso dos componentes, que foi superestimado em 50% do peso do
pêndulo, ou seja, para o conjunto pêndulo + componentes o peso total utilizado
nos cálculos é de 180 N
Para as características geométricas da estrutura, do peso a ser suportado pela
estrutura, pelo critério de von Mises e para um número de 13656 nós – gerados
pelos próprio software utilizado na análise, os resultados obtidos foram:
- Coeficiente de Segurança mínimo = 1,7E4 (Figura 9).
- Local com maior esforço exigido em todas as barras = 5,46m (Figura 10).
- Tensão de Ruptura máxima = 1,68E4 N/m2 (Figura 11).
1 - Carga axial:
Figura 9. Perspectiva de aplicação da carga axial.
2 – Deformação após aplicação da carga axial por Von Mises:
Figura 10. Perspectiva de deformação após a aplicação da carga axial por Von Mises.
3 – Carga axial e tangencial por Von Mises:
Figura 11. Perspectiva de deformação após a aplicação da carga axial e tangencial por Von Mises.
6.1.5 Quinta Parte: Materiais
-Barra de Perfil Tubular Quadrado em Aço Carbono SAE 1020
Dimensões e Características:
l (comprimento) = 6m
h (altura) = 25mm
e (espessura) = 1,5mm
E (módulo de elasticidade) = 2,05E11 N/m2
2
esc (tensão de escoamento) = 2,83E8 N/m
2
rup (tensão de ruptura) = 4,25E8 N/m
Figura 12. Perfil tubular quadrado.
A escolha do perfil tubular quadrado deu-se pelo motivo de suas características e
propriedades mecânicas serem semelhantes as do perfil sólido de quadrado,
porém com peso específico e custo menor.
-Rolamento Autocompensador Axial
Características e Dimensões:
NSK Rolamento Axial de Esfera – Diâmetro Série I e Dimensão Série II
Di (diâmetro interno) = 10mm
De (diâmetro externo) = 24mm
Figura 13. Rolamento autocompensador – vista perfil.
A função do rolamento autocompensador axial é de não deixar o fio de nylon rodar
no seu próprio eixo, evitando assim a perda de energia, além de permitir o livre
movimento do pêndulo.
-Bola de Boliche
Peso 120N
Figura 14. Bola de Boliche.
Com o objetivo de deixar o fio totalmente esticado durante a oscilação e por
oferecer uma menor resistência ao ar.
- Pino de Aço Carbono SAE 1020
Dimensões e Características Construtivas:
Figura 15. Pino de Aço.
Possui o objetivo de suportar o suportar o peso do pêndulo, fixação do fio de nylon
e operar rotacionalmente com o rolamento.
-Fio de Nylon
O fio escolhido para o experimento foi o que possui diâmetro de 0,43mm para
carga de 30 lb, aproximadamente 13 kg.[11]
-Chapa de Aço Carbono SAE 1020
Dimensões e Características:
D (diâmetro) = 500mm
e (espessura) = ½” ou 12,7mm
Possui o objetivo de manter as barras da estrutura afastadas e sustentar / apoiar o
peso e o rolamento autocompensador axial. [5], [7], [10] e [11].
7 CONCLUSÃO
O Pêndulo de Foucault representa não só um dos maiores experimentos físico
realizados até hoje, representa também a possibilidade de inúmeros estudos
relativos a sua construção e aos fenômenos físicos nele contido.
Através de uma simples visita a sua sala no Phantéon, em Paris, o visitante
percebe o quantidade de segredos que ainda existem no universo e o quanto a
física, engenharia e matemática podem nos ajudar nas suas descobertas.
A curiosidade pelo entender como o universo e as leis que o regem funcionam
influenciaram os pesquisadores, físicos, matemáticos e engenheiros do passado,
e está mesma curiosidade é o que deve motivar os engenheiros atuais e das
próximas gerações. Afinal a engenharia também pode ser definida na ciência que
transforma um bem natural em um bem de consumo, visando criar facilidades e
conforto aos homens.
Com o auxilio de conceitos físicos e matemáticos de séculos passados e com o
auxílio das facilidades computacionais criadas a partir deste conhecimento
primário, o grupo conseguiu atingir seu objetivo no que se refere ao projeto básico
para reconstrução da experiência realizada por Foucault. Com os conhecimentos
adquiridos ao longo do curso, principalmente, nas disciplinas de Física,
Resistência dos Materiais e Mecânica de Vibrações ministradas pelos mestres,
respectivamente, Marcelo (FEI/UNISANTA), Morila (UNISANTA/UNIP) e Rodolfo
Molinari (UNISANTA/POLI-USP), de Engenharia Mecânica, o grupo conseguiu
dimensionar, quantificar e qualificar os materiais que podem ser utilizados na
construção do projeto.
Como resultados obtidos nas análises estruturais e dimensionais realizadas pelo
Método dos Elementos Finitos, já apresentadas (vide páginas 25 a 28), chega-se a
conclusão que o material escolhido, as forças propostas, os pinos e rolamentos
dimensionados, suportam, com alta tolerância numérica, o projeto proposto.
Com estás conclusões o Projeto do Pêndulo de Foucault pode ser construído com
segurança estrutural e de funcionamento no campus da UNISANTA.
8 ANEXOS
8.1 ANOMALIAS NO PÊNDULO DE FOUCAULT
(Extraído e traduzido do site www.elmundo.es/ciencia/pendulo - acessado em 21 de outubro de
2006)
Os cientistas registraram durante o eclipse solar da última quarta-feira, uma
variação no movimento do pêndulo instalado no Monastério de Kremsmünster.
A Agência Espacial Norte Americana, NASA, não saberá antes de 10 anos se o
eclipse afetou o pêndulo de Foucault.
A NASA realizou na quarta-feira, uma experiência com um resultado, em uma
primeira e rápida análise, surpreendente. No monastério austríaco de
Kremsmünster, próximo a Linz, cientistas de diversas partes do mundo viram
como o pêndulo de Foucault variava seu movimento durante o eclipse total do sol
na última quarta-feira.
No ano de 1851, o inventor do pêndulo, Jean Bernard Léon Foucault, demonstrou
que um pêndulo pode oscilar na mesma velocidade de rotação da Terra.
O pêndulo, que neste local, se move com uma oscilação de 11 graus, em um
determinado momento, o pêndulo moveu-se com uma velocidade mais rápido que
o normal. Cientistas renomados neste assunto foram consultados por este jornal,
disseram que os resultados precisam ser cuidadosamente analisados, pois se esta
variação na oscilação for confirmada, as leis da física poderiam vir a serem
revistas.
A NASA questiona: Terão os eclipses solares provocados alguns efeitos sobre o
pêndulo de Foucault?
Em 1954, Maurice Allais, afirmou que o pêndulo de Foucault mostrou um
comportamento peculiar durante um eclipse do Sol ocorrido naquele ano. “Se o
fato ocorrido for confirmado, nós estaremos diante de novas questões em torno
deste fenômeno”.
Afirma também que o mais indicado para verificar tal fenômeno seria aproveitar o
escurecimento do meio-dia no próximo eclipse solar a ser realizado em 11 de
agosto, para verificar se as teses lançadas por Allais se correspondiam com a
realidade.
No Futuro – A quarta-feira, o eclipse total do Sol sobre o monastério de
Kremsmüster, localizado no estado de Alta Áustria, alcançou graduação de
sombra de 102,8%. A sensação deste ponto de observação era que a Lua estava
maior que o Sol.
O meteorologista austríaco Georg Zapletal, dedicado na investigação, foi o
primeiro a anunciar o fenômeno: “Ocorreu algo extraordinário”. Por quê? “Não
temos nenhuma explicação ortodoxa que revele a razão deste fenômeno.”
Nenhum dos cientistas acreditava na possibilidade de mudança da oscilação do
pêndulo, porque, como é sabida, a oscilação obedece exclusivamente à força da
gravidade, e não tem nada a ver com a Lua que se interponha ou não entre o Sol
e a Terra, segundo informa Mônica Fokkelman.
A NASA possui um vídeo gravado com o ocorrido em Kremsmünster. O vídeo foi
enviado aos laboratórios da Agência Espacial Americana no estado de Alabama.
Em sua informação sobre o fenômeno estudado, os norte-americanos disseram
que: “Sendo bastante otimista, isto levará uma década para decifrar quais são as
razões que fazem variar o movimento do pêndulo de Foucault durante um eclipse
total do Sol”.
Mais Elementos – Mas a investigação não conta com todos os elementos
imprescindíveis para dar-se por concluída. Os cientistas querem averiguar um a
um todos os aspectos, mas primeiro se, esta variação no movimento do pêndulo
ocorreu somente na zona do eclipse, que ocorreu no centro da Europa e parte da
Ásia ou se, pelo contrário, se produziu em todo o mundo durante o tempo que
durou este fenômeno. Segundo, deve-se realizar uma nova observação nos
próximos quinze dias, quando a Lua sem encontra no ponto oposto ao que estava
no momento do eclipse.
A origem desta investigação, como já foi dito, está na mente de Maurice Allais,
que já plantou a possível influência destes afagues sobre o pêndulo. “Durante os
eclipses totais do Sol em 30 de junho de 1954 e de 22 de outubro de 1959,
observou desvios no plano de oscilação do pêndulo.” Allais, que nasceu em 1911,
ganhou o Prêmio Nobel de Economia em 1988.
As observações de Allais tiveram reconhecimento mundial, e este economista foi
homenageado em 1959 com o Prêmio Galabert da Sociedade Astronômica da
França e condecorado pela Fundação de Gravidade dos Estados Unidos.
As suas primeiras observações se realizaram sucessivos experimentos para tratar
de confirmá-las. Na Escócia (1954) e na Itália (1965) não se obtiveram resultados
satisfatórios. Em Boston (1970), o efeito descrito por Allais se repetiu. O mesmo
se sucedeu na Romênia em 1981. Nada de positivo se provou na Finlândia (1990)
e no México (1991). [3].
9 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
[1 ACZEL, Amir D. Pendulum, Léon Foucault and the Triumph of Science, 1
ed. Atria Books, New York, 2003 – ISBN: 0-7434-6478-8
[2] An Applied Physicist. Devorak Rudolf. França. Disponível em:
<http://www.obspm.fr/~expositions//L.Foucault/intro.html> Acessado em: 12 de
outubro de 2006.
[3] Anomalías en el péndulo de Foucault. El Mundo. España. Disponível em:
<http://www.elmundo.es/ciencia/pendulo/> Acessado em: 21 de outubro de 2006.
[4] Coriolis. Inglaterra. Disponível em:
<http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Coriolis.html> Acessado:
em 02 de novembro de 2006.
[5] Chumbadores. Brasil. Disponível em:
<http://www.bonier.com.br/chumbadores.htm> Acessado em 30 de outubro de
2006.
[6] Foucault. Wikipedia. Brasil. Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%AAndulo_de_Foucault_%28experi%C3%AAnci
a%29> Acessado em: 12 de outubro de 2006.
[7] Furukawa, Cláudio H; Sano, Walter. Pêndulo de Foucault para Demonstração
da Rotação da Terra. Ensino da Física, 13. p. 2-11, dezembro de 1991.
[8] Jean Bernard Léon Foucault. Wikipedia. USA. Disponível em:
<http://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%A9on_Foucault> Acessado em: 08 de
setembro de 2006.
[9] Physics. USA. Disponível em:
<http://www.physics.ohio-state.edu/%7Edvandom/Edu/newcor.html> Acessado:
em 13 de novembro de 2006.
[10] Sartarelli, José Carlos. Pêndulo de Foucault. Ciência e Cultura, 41. p. 318,
junho de 1989.
[11] Tabelas de Seleção de Fios. Brasil. Disponível em:
<http://www.pesca.com.br/mundodapesca/equipamentos/linhas.htm> Acessado
em: 30 de outubro de 2006.
[12] TECHINIQUES, Museé National. The Foucault Pendulum at The Phantéon,
Paris, France.
[13] TOBIN, Willian. The Life and Science of Léon Foucault. The Man who
Proved the Earth Rotates, Cambridge University Press, 2003 – ISBN: 0-52180855-3.
[14] TOBIN, Willian. Léon Foucault. Le Miroir et le Pendule, EDP-Sciences, Les
Ulis, France, 2002 – ISBN: 2-86883-615-1