Apostila básica de Matemática Financeira

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Apostila básica de Matemática Financeira
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA
COMERCIAL E FINANCEIRA
(Indicado para as Áreas: Economia, Administração,
Contabilidade, Matemática e Preparação para Concursos)
Conceitos Básicos
Aplicações
Uso de tabelas financeiras
Uso da calculadora HP-12C
Uso da planilha EXCEL
Prof. Ilydio Pereira de Sá
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
1) Introdução:
Todos nós sabemos da importância da Matemática Comercial e Financeira
na vida de todas as pessoas. Economistas, Administradores de Empresa,
Professores, Empresários, Estudantes, Candidatos a Concursos Públicos,... todos
precisam estar familiarizados e atualizados com seus conceitos fundamentais.
Normalmente o que acontece na maioria dos cursos de graduação é que
aprendemos, de forma muito rápida, a usar a máquina na obtenção das respostas
dos problemas principais e, quase sempre, não sabemos ao menos o que
estamos fazendo e os conceitos que estão envolvidos na solução do problema.
Em nosso curso, procuraremos usar uma linguagem simples, com
exemplos do mercado financeiro brasileiro, enfocando sempre os conceitos
matemáticos envolvidos em cada tópico estudado.
As aplicações da Matemática Financeira serão abordadas através do uso
de tabelas financeiras (mostradas em anexo, no final da apostila), da calculadora
HP-12C ou do uso da planilha Excel.
HP 12 C
"Aprender é descobrir aquilo que você já sabe.
Fazer é demonstrar que você o sabe.
Ensinar é lembrar aos outros que eles sabem tanto quanto você".
(Richard Bach)
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2) RESUMO DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES DA
CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C
2.1)
Apresentação da HP 12-C
•
A HP 12-C apresenta três funções, uma na cor branca que é a função
primária, onde se encontram os algarismos e outras inscrições; uma na
função amarela cujas inscrições encontram-se logo acima do teclado e para
usá-la se faz necessário acionar antes a tecla “f” situada ao lado do ON, e
outra na função azul, que encontra-se na parte inferior do teclado, e para
utilizá-la aciona-se a tecla “g”, situada ao lado da tecla “f”.
•
Para facilitarmos a identificação das teclas na máquina, vamos sempre nos
referir a linhas e colunas da ESQUERDA para a DIREITA. Como exemplo, a
primeira coluna na máquina começa com n e a primeira linha também. A
Quinta coluna começa com FV e a terceira linha com R/S. A oitava coluna com
a terceira linha corresponde ao algarismo 2.
•
Quando no visor surgir um asterisco piscando, significa que as baterias da
máquina precisam ser substituídas sob pena de danificação dos circuitos
eletrônicos.
•
Mantenha no visor da máquina um “c” minúsculo que é conseguido
pressionando STO (quarta coluna, última linha) e EEX (sexta coluna, segunda
linha). Isso deve ser feito para que os juros calculados nas frações de tempo
sejam feitos de acordo com a convenção exponencial (juros compostos), que
atende ao mercado brasileiro.
•
PONTO E VÍRGULA
A notação americana para números decimais é com um ponto separando as
casas decimais da parte inteira, assim: 1 230.45 representa 1230,45. A
notação brasileira é com uma vírgula separando os centavos dos reais. Para
passarmos a máquina para operar de acordo com a notação brasileira você
deve fazer o seguiinte:
Com a máquina desligada, mantenha pressionado o ponto (oitava coluna com
última linha) e ligue a máquina. Se estava com ponto surgiu a vírgula com este
procedimento, se estava com vírgula volta para o ponto da notação
americana.
•
QUANTIDADE DE CASAS DECIMAIS
Para trabalharmos com 2, 3, 4 ou mais casas decimais, devemos utilizar a
tecla função “f” (Segunda coluna com última linha). Para colocarmos no visor 6
casas decimais, pressione f e logo em seguida o algarismo 6 na função
branca. Para 2 casas pressione F e em seguida 2 na função branca. Lembrese que este formato só arredonda no visor, para os registros internos e
operações da máquina ela continua a considerar todas as casas decimais.
•
PILHA OPERACIONAL
Na HP 12-C os registradores (memórias) da chamada “pilha” operacional são
quatro, a saber: X, Y, Z e T. É a chamada notação Polonesa. Este recurso
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facilita uma cadeia de cálculos que funciona mais ou menos como um
rascunho através destes registradores adicionais. É o chamado cálculo do
número pendente. Para ilustramos este enunciado observe a seguir:
a
b
c
T
4
3
Z
3
2
Y
2
1
X
1
1
Na coluna “a” verificamos os quatro registradores X,Y,Z e T. Na coluna “b”
verificamos os lançamentos que foram efetuados ocupando os diversos
registradores, que foi conseguido da seguinte forma: 4 enter 3 enter 2 enter 1.
Quando digitamos 4 este foi para o registrador X e ao pressionarmos ENTER o
algarismo quatro foi copiado no registrador Y e continuou disponível no visor
que corresponde ao registrador X. Ao digitarmos 3 e pressionarmos ENTER o 4
foi copiado no registrador Z, o 3 para o registrador Y e continuou disponível no
visor que é o X. Ao digitarmos 2 e pressionarmos ENTER, o 4 foi copiado no T,
o 3 no Z, o 2 no Y e continuou disponível no X que corresponde ao visor. Ao
digitarmos agora o algarismo 1 simplesmente, teremos a substituição do 2 no
registrador X pelo 1. Conferindo os números nos respectivos registradores,
pressionaremos agora a tecla R (terceira coluna com terceira linha). No
primeiro comando veremos no visor o algarismo 2 (Y), no segundo comando o
algarismo 3 (Z), no terceiro comando o algarismo 4 (T) e no quarto comando o
algarismo 1 (X) que foi o ponto de partida.
Na coluna “c” verificamos que agora o 1 foi copiado no Y. Isto significa que
partindo do último comando da coluna “a” após a digitação do algarismo 1, foi
pressionado ENTER. O 2 foi copiado para o Z, o 3 para o T e algarismo 4 foi
perdido.
É importante a compreensão deste mecanismo para facilitar uma série de
cálculos com utilização de números pendentes. Exemplo: 4+[4-(9/3)]. Na HP a
sequência utilizando os recursos da pilha operacional: 4 enter 4 enter 9 enter 3
divide menos mais visor = 5.
•
TROCAR REGISTRO DE “X” POR “Y” E “Y” POR “X”.
Por exemplo, se ao comandar na HP a divisão de 20 por 5, foi introduzido
primeiro o 5 e depois o 820. Para resolver o problema evitando assim nova
digitação, deve-se pressionar a tecla x <> y (Quarta coluna, terceira linha). 5
enter 20 x <> y divide visor = 4. Essa tecla pressionada faz a inversão dos
valores digitados.
2.2) Teclado - Principais Funções
•
ON
ligar e desligar;
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Teclas Financeiras
•
n
prazo e/ou número de capitalizações;
•
i
taxa de juros;
•
PV
valor presente/atual/principal ou capital; (Present Value)
•
FV
valor futuro/montante ou valor nominal; (Future Value)
•
PMT
prestação ou pagamento (Periodic Payment)
Teclas da Taxa de Retorno
•
CFo
significa fluxo de caixa do momento zero ou inicial;
•
CFj
fluxo de caixa nos períodos seguintes;
•
Nj
repete fluxos iguais e consecutivos;
•
IRR
significa a taxa interna de retorno (TIR);
•
NPV
valor presente líquido
Tabulação de Casas Decimais
•
Para apresentar no visor o número de casas decimais desejadas,
pressione a tecla AMARELA - f e o número referente a quantidade de
casas ( de 0 a 9 );
•
A tecla Clx - clear é usada para limpar somente os números do visor. Se
pressionado as teclas f Clx , todos os registros serão deletados.
Inversão de sinais
•
Para alterar o número de: positivo para negativo ou vice-versa, basta
pressionar a tecla CHS
Função Calendário
•
Para encontrar datas futuras ou passadas e o dia da semana
correspondente, pressione as teclas g e D.My . Na seqüência introduza a
data conhecida, separando o dia e o mês pela tecla ., e pressione a tecla
ENTER. Digite o número de dias correspondente ao intervalo de tempo e
pressione as teclas g DATE na seqüência.
OBS: Na primeira vez que for usar a máquina você deve clicar na tecla g e,
em seguida, a tecla D.My, para que o formato da data fique adequado ao
padrão Brasileiro (dia, mês, ano). Irá surgir no visor da máquina a sigla D.My,
que indica tal notação.
Dia da semana : Ex.:17.06.2000 - Digite 17. 062000, ENTER 0 (zero) g DATE
= 17.06.2000 6 (sábado)
•
1 - segunda-feira;
•
2 - terça-feira;
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•
3 - quarta-feira;
•
4 - quinta-feira;
•
5 - sexta-feira;
•
6 - sábado;
•
7 - domingo
TECLAS CLEAR
CLx
==> Clear x ==> Limpa O Visor
f CLEAR FIN ==> Apaga os registradores financeiros, a saber: .N, I, PV, PMT,
FV
f CLEAR REG ==> Apaga todos os registros.
OPERAÇÕES BÁSICAS
+
-
x
:
yx
X
EXEMPLOS
1) 87 + 35 = ?
PRESSIONAR NA HP:
87 ENTER 35 + ==> 122
2) 55 - 43 = ?
PRESSIONAR NA HP:
55 ENTER 43 - ==> 12
3) 130 x 43 = ?
PRESSIONAR NA HP:
130 ENTER 43 x ==> 5.590
4) 847,30 : 59 = ?
PRESSIONAR NA HP:
847,30 ENTER 59 : ==> 14,36
3
5) 80 = ?
PRESSIONAR NA HP:
80 ENTER 3 y x
6) 1356 = ?
PRESSIONAR NA HP:
1356 g
==> 512.000
x ==> 36,82
(SÓ UTILIZAMOS ESTA FUNÇÃO QUANDO FOR RAÍZ QUADRADA)
Ou podemos transformar a raiz em potenciação, assim:
1356 ENTER 2 1/x y x ==> 36,82
O que você fez ao digitar o 2, seguido de 1/x foi transformar o número 2 na fração
½, que é o expoente correspondente à raiz quadrada.
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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE SOBRE O CÁLCULO DA RADICIAÇÃO
NA HP-12C
O cálculo das demais raízes deve ser feito transformando-as em potências de
1
expoentes fracionários. Ex:
==> 6,69
3
300 = 300 3
Na HP-12C, 300 ENTER 3 1/x y x
COMO OPERAR AS “MEMÓRIAS” DA HP-12C ?
•
•
•
•
•
•
PARA ARMAZENAR
==> STO (STORE)
PARA RECUPERAR
==> RCL (RECALL)
PARA APAGAR
==> COLOCAR ZERO SOBRE
PARA SUBSTITUIR
==> COLOCAR O NOVO NÚMERO
PARA APAGAR “TUDO” ==> f CLEAR REG
PARA CALCULAR COM NÚMEROS NA MEMÓRIA:
• SOMENTE OPERAÇÕES ARITMÉTICAS
• COMO CONSTANTE
APLICAÇÃO
Vamos supor que eu queira “guardar” na memória da máquina, alguns dados
(somente numéricos, não esqueça). Em seguida, (posso até desligá-la) e
recuperar ou mesmo modificar os dados guardados.
COMO FAZER ISTO NA HP-12C ?
VAMOS ARMAZENAR O SEGUINTE:
O valor do dólar paralelo de hoje ==> 2,70 na memória 1
O telefone do João ==> 22125765 na memória 2
O telefone do Maria ==> 36061234 na memória 3
FAZER NA HP-12C:
2,70 STO 1 22125765 STO 2
36061234 STO 3
(Já guardou tudo)
PARA RECUPERAR O QUE FOI ARQUIVADO, FAZER:
RCL 1 ==> APARECE NO VISOR 2,70
RCL 2 ==> APARECE NO VISOR 22125765
RCL 3 ==> APARECE NO VISOR 36061234
Dificuldades reais podem ser resolvidas;
apenas as imaginárias são insuperáveis."
Theodore N. Vail
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TIPOS DE ERRO QUE PODEM APARECER NO VISOR DA HP 12C
ERROR 0 => OPERAÇÃO IMPRÓPRIA ENVOLVENDO O ZERO
ERROR 1 => ULTRAPASSAGEM DA CAPACIDADE DO REGISTRADOR DE
ARMAZENAMENTO
ERROR 2 => DADOS IMPRÓPRIOS NOS REGISTRADORES ESTATÍSTICOS
ERROR 3 => FLUXO DE CAIXA:
CÁLCULO MUITO COMPLEXO INTRODUZA UMA ESTIMATIVA DE JUROS E PRESSIONE RCL g R/S
ERROR 4 => ENDEREÇAMENTO IMPRÓPRIO À MEMÓRIA
ERROR 5 => JURO COMPOSTO - INTRODUÇÃO ERRADA - TROCAR SINAIS
ERROR 6
=> ANÁLISE DE FLUXO DE CAIXA, DESCONTADO INTRODUÇÃO ERRADA DOS DADOS
ERROR 7 => IRR - NÃO EXISTE SOLUÇÃO
ERROR 8 => CALENDÁRIO - INTRODUÇÃO ERRADA DOS DADOS
ERROR 9 => MAU FUNCIONAMENTO DA HP
PR ERROR => MEMÓRIA CONTÍNUA APAGADA - FALHA NA ALIMENTAÇÃO
* PISCANDO NA PARTE INFERIOR ESQUERDA DO VISOR => PILHA FRACA
"Há grandes homens que fazem com que todos se sintam pequenos. Mas o
verdadeiro grande homem é aquele que faz com que todos se sintam grandes."
(Gilbert Keith Chesterton, escritor inglês)
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3) A Matemática Financeira e o Dinheiro – Os fatores
de correção.
Fonte: Revista Veja – Edição 1755 de 12 de junho de 2002
A reportagem acima, extraída da revista Veja, é uma excelente “entrada” para a
introdução do conceito de fatores correção. Após discutirmos os seus usos,
voltaremos a ela, verificando a veracidade dos dados que estão na reportagem.
Ousamos mesmo dizer que o uso adequado dos fatores de correção é o maior
segredo da Matemática Financeira, como procuraremos mostrar ao longo dessa
Unidade de nosso curso.
Muita gente acha que a “Matemática do dinheiro” serve só para pagarmos nossas
contas, conferir trocos, coisas desse tipo. Mas não é somente isso, sabemos que
o dinheiro, as transações bancárias ou comerciais, estão cada vez mais presentes
na vida de todas as pessoas.
Se perguntarmos a uma pessoa qual o valor de 100 dólares, mais 100 marcos,
mais 100 reais, ela provavelmente dirá que primeiramente precisamos converter
todos esses valores para uma mesma moeda, antes de efetuarmos a soma.
Analogamente, precisamos tomar cuidado com valores monetários no tempo.
Será que 3 parcelas de 100 reais, pagas com intervalos de 30 dias, correspondem
a um único pagamento de 300 reais, numa Economia com inflação?
Infelizmente, a maioria dos livros de matemática ignora este fato, assim como
ignoram também a inflação. Esse tipo de erro é encontrado tanto em textos para o
Ensino Fundamental e para o Ensino Médio.
Você deve concordar comigo que, sem a Matemática, não conseguiríamos
entender nossos contracheques, calcular nossos aumentos de salário, identificar
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os produtos que aumentaram demasiadamente de preço, constatar e criticar as
propagandas enganosas, reivindicar nossos direitos trabalhistas, ou mesmo
escolher a opção mais rentável para um investimento qualquer.
Dessa forma, iremos agora abordar um conteúdo da Matemática que
normalmente é ignorado na maioria das escolas ou mesmo currículos brasileiros –
a Matemática Comercial e Financeira.
Nossa abordagem inicial será através de um importante “segredo” da “Matemática
do dinheiro” – os fatores de correção. Você irá constatar rapidamente que, este
conceito, é a base de quase tudo o que se estuda na Matemática Comercial e
Financeira e, com o auxílio de uma calculadora simples, você poderá entender e
resolver uma grande quantidade de problemas que estão no nosso cotidiano.
3.1 ) O GRANDE SEGREDO DA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA:
OS FATORES DE CORREÇÃO
Temos a certeza de que o mais simples e também o mais importante conceito de
matemática financeira é o conceito de FATOR DE CORREÇÃO. O domínio deste
conceito será fundamental para que se possa acompanhar todo o curso.
FATOR DE CORREÇÃO:
Vamos imaginar que uma mercadoria será aumentada em 23%. Você
poderá descobrir o novo preço de vários modos distintos:
1) Multiplicando o preço antigo por 23 e dividindo por 100, somando o
resultado com o preço antigo;
2) Multiplicando o preço antigo por 0,23 e somando o resultado com o
preço antigo;
3) Simplesmente multiplicando o preço antigo por 1,23.
O número 1,23 do exemplo é denominado fator de correção para um acréscimo
de 23 % e foi obtido a partir de 100 % (preço antigo) mais 23 % (aumento). Em
seguida dividimos por 100 para obter a forma de número decimal. A taxa 23% é a
taxa percentual e a taxa 0,23 (i), é denominada taxa unitária.
OBS: Salvo qualquer menção em contrário, sempre que em alguma fórmula
de nosso curso usarmos o símbolo i, estaremos nos referindo à taxa
unitária e não à percentual.
Se, no exemplo apresentado o preço fosse diminuído em 23 %, o fator seria 0,77,
pois 100 % menos 23 % é igual a 77 %. Concluímos que os fatores que
representam aumentos são maiores que 1 e os que representam reduções são
menores que 1.
F = (100 + k ) :100
(Fator de Aumento de k%)
ou F = 1 + i
F = (100 - k ):100
(Fator de Redução de k%)
ou F + 1 - i
Vamos exercitar um pouco:
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1) Transforme as taxas percentuais em unitárias e vice-versa.
Taxa Percentual
23%
Taxa Unitária
0,345
2,56%
0.0098
2345%
6
2) Complete o quadro agora, transformando as taxas nos respectivos fatores
de correção, e vice-versa.
Taxa de aumento
2,56 %
Fator de Correção
1,098
56,9 %
3
345,9 %
5,897
EXEMPLOS:
Flash Nº 1:
O senhor Enkren Kado, gerente de um supermercado, tem que aumentar os
preços de todos os produtos de um setor em 3,25 %. Qual o fator de aumento?
Quanto passará a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00?
SOLUÇÃO :
Fator de aumento : 1,0325 [(100 % + 3,25 %) : 100]
Novo preço : R$ 61,95 ( 60,00 x 1,0325 )
Flash nº 2:
Vinícius, em Setembro, obteve uma correção salarial de 5,65 %, sobre o salário
de Agosto, passando a receber R$ 422,60. Quanto recebia em Agosto?
SOLUÇÃO:
A x 1,0565 = 422,60
A = 422,60 : 1,0565 = 400,00.
Logo, em agosto Vinícius recebia R$ 400,00
Flash nº 3:
Um remédio estava custando R$ 3,40, e passou a custar R$ 4,70. Qual o fator de
correção e qual o percentual de aumento?
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SOLUÇÃO :
3,40 x F = 4,70
F = 4,70 : 3,40 = 1,3824 (Fator de correção)
1,3824 x 100 - 100 = 38,24 % (Aumento)
Flash nº 4:
Uma loja está vendendo um produto com um desconto à vista de 15 %, ou então
com pagamento normal , sem desconto, com um cheque pré-datado para 30 dias.
Quanto estará pagando de juros , em um mês, o cliente que optar pela segunda
forma de pagamento?
SOLUÇÃO :
Vamos supor que o produto custe 100 dólares. Para quem pagar à vista ele
custará 85 dólares (15 % de desconto). Para quem escolher o cheque pré-datado,
estará, na realidade pagando 100 dólares por algo que custa 85 dólares.
Logo o fator de correção inserido neste aumento é: 100 : 85 = 1,1765, o que
corresponde ao pagamento de 17,65 % de juros em um mês.
RESUMINDO OS CONCEITOS ESTUDADOS NA UNIDADE:
Dado um fator de aumento, devemos subtrair 1 dele, para
conhecer o aumento havido.
Exemplos:
Fator de aumento
1,45
1,953
1,065
2, 86
Aumento gerado
1,45 – 1 = 0,45
1,953 – 1 = 0,953
1,065 – 1 = 0,065
2,86 – 1 = 1,86
Percentual de aumento
45%
95,3%
6,5%
186%
Dado um fator de redução, devemos subtraí-lo de 1 para
conhecer a redução ou desconto havido.
Exemplos:
Fator de redução
0,45
0,95
0,76
0, 86
Redução gerada
1 – 0,45 = 0,55
1 – 0,95 = 0,05
1 – 0,76 = 0,24
1 – 0,86 = 0,14
Percentual de redução
55%
5%
24%
14%
Você reparou que:
Todo fator de aumento é um número superior a 1?
O fator de aumento pode ser obtido pela soma (100% + taxa de
aumento percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal?
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Exemplo: fator de aumento para um acréscimo de 24% = 100% + 24% =
124% = 124 /100 = 1,24.
Todo fator de redução é um número inferior a 1?
O fator de redução pode ser obtido pela subtração (100% - taxa de
aumento percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal?
Exemplo: fator de redução para uma perda de 24% = 100% - 24% =
76% = 76 /100 = 0,76.
Aumentos ou reduções (ou mistura dos dois) consecutivos, devem ser
calculados pelo PRODUTO DOS FATORES DE CORREÇÃO, e não
pela soma das taxas a eles correspondentes?
Exercícios de Fixação:
1) Qual o fator de correção correspondente a um aumento de 34,5 %?
a) 3,45 b) 4,45 c) 1,345 d) 2,345
2) Qual o aumento gerado pelo fator de 2,4567?
a) 245,67% b) 345,67% c) 145% d) 145,67% e) 95,87%
3) Um preço aumentou de 120 para 150 reais. Qual o percentual de aumento
correspondente?
a) 47% b) 25% c) 35% d) 45% e) 34%
4) Um preço reduziu de 150 para 120 reais. Qual o fator de redução e qual o
percentual de redução correspondente?
a) 25% b) 15% c) 10% d) 40% e) 20%
5) Qual o aumento acumulado, gerado por dois aumentos consecutivos de 30 %?
a) 40% b) 60% c) 69% d) 65% e) 62%
6) Qual a redução acumulada, gerada por dois descontos consecutivos de 30 %?
a) 51% b) 60% c) 54% d) 69% e) 62%
7) Num certo mês, a aumento das mensalidades escolares foi de 42,7%. Se em
uma escola essa mensalidade passou a ser de R$ 92,76, qual era o valor antes
do aumento?
a)R$ 53,15 b)R$ 65,00 c) R$ 58,20 d) R$49,90 e) R$ 62,40
8) O preço de uma mercadoria subiu 300 %. Calcule que porcentagem se deve
reduzir do seu preço atual, de modo a retornar ao seu valor de antes do aumento?
a) 25 % b) 75 % c) 300 % d) 400 %
e) 20 %
9) Um funcionário teve um reajuste de 34% num certo mês; no mês seguinte um
novo reajuste de 38%, passando a receber R$ 221,90. Quanto recebia antes
desses dois reajustes (aproximadamente)?
a)R$120,00 b)R$90,80 c)R$118,00 d)R$124,80 e)R$ 132,00
10) Uma mercadoria sofreu três reduções sucessivas de 12%; 14% e 24%. Qual a
redução total acumulada?
a) 50 % b) 48 % c) 52 % d) 42,48 % e) 43,89 %
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11) Qual a inflação acumulada de um trimestre cujas taxas mensais foram: 34%:
38 % e 40%?
a) 112% b) 132,56% c) 158,88% d) 145,78% e) 122%
12) (Telerj - 1994)
Uma loja vende seus artigos com pagamento em duas prestações, "sem juros". A
primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após.
Entretanto, um desconto de 25 % é concedido se o cliente pagar à vista. Na
realidade, essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de taxa igual a:
a) 100 % b) 75 % c) 50 % d) 25 % e) 12,5 %
13) (TRT - 1993) Uma loja vende seus produtos com pagamentos em duas
prestações mensais iguais, "sem juros". A primeira prestação é paga no ato da
compra e a segunda, um mês após. Entretanto um desconto de 10 % é
concedido se o cliente pagar à vista. Na realidade, essa loja cobra, nas vendas à
prazo, juros mensais de :
a) 10 %
b) 20 %
c) 25 % d) 30 % e) 50 %
14) (TRT - 1993)
Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste salarial de 50 %
sobre os salários de abril, descontadas as antecipações. Como ela havia recebido
em maio uma antecipação de 20 % (sobre o salário de abril), a percentagem do
aumento obtido em junho, sobre o salário de maio, é de:
a) 20 %
b) 25 % c) 30 % d) 35 % e) 40 %
15) (Telerj - 1993)
Aumentando-se o raio de uma esfera em 100 %, de quanto aumenta o seu
volume?
a) 100 % b) 300 % c) 500 % d) 700 % e) 800 %
16) (Telerj - 1993)
Uma mercadoria teve seu preço aumentado em 20 %. Em seguida, o novo preço
foi rebaixado em 20 %. O preço final da mercadoria, em relação ao preço inicial é:
a) igual b) 4 % maior c) 4 % menor d) 8 % maior e) 8 % menor
17) A inflação acumulada de um bimestre está em 13,5% e no mês seguinte
acusou uma taxa de 5,6%. Qual a inflação acumulada no trimestre em questão?
a) 19,856% b) 18,965% c) 21,4% d) 23,34% e) 19,65%
18) Uma bondosa loja oferece um desconto à vista de 30%, ou então o preço
normal, dividido em duas parcelas iguais, sendo a primeira no ato da compra e a
segunda um mês após. Quanto está pagando de juros nesse mês, a pessoa que
escolheu a segunda opção de pagamento?
a) 120% b) 150% c) 135% d) 145% e) 200%
19) Mostre que a taxa de ganho real (descontada a inflação) da caderneta de
poupança, durante os oito anos do plano real (ver notícia na introdução da
Unidade) foi de 30%.
20) Mostre que a perda do dólar, nesse mesmo período citado na notícia, foi de
7%.
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14
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GABARITO: (PORCENTAGEM / FATORES DE CORREÇÃO)
1) C
6) A
11) C
16) C
2) D
7) B
12) A
17) A
3) B
8) B
13) C
18) B
4) E
9) A
14) B
5) C
10) D
15) D
Para descontrair...
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15
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4) MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA:
CONCEITOS BÁSICOS – JUROS E DESCONTOS
4.1) Terminologias e Representações Iniciais
Capital (C) ou Valor Presente (VP) – É o valor envolvido em uma transação, na
data focal zero. No excel (versão portuguesa) o capital é representado por VP, na
calculadora HP 12C ele é notado por PV (Presente Value).
Montante ou Valor Futuro (VF) – Representa o valor resultante de uma
transação financeira, sendo dessa forma referenciado a uma data futura. No Excel
é representado por VF e na HP-12C, por FV (Future Value).
Prazo ou número de períodos (n) - Uma operação financeira pode envolver um
único período de tempo, como por exemplo o CDB (certificado de depósito
bancário). Podemos ter ainda frações ou múltiplos desse período, que
representaremos por n. O Excel usa a representação nper (number of periods).
Juros (j) – É a remuneração exigida na utilização de capital de terceiros. Os juros
recebidos representam um rendimento e os juros pagos representam um custo.
OBS: O montante corresponde à soma do capital com os juros, ou seja,
M = C + j ou ainda VF = VP + j
Taxa de juros (i) – É a razão entre o valor do juro de um período e o capital
emprestado ou aplicado. A taxa pode ser expressa em sua forma percentual ou
unitária. Ex: 15 % (forma percentual) ou 0,15 (forma unitária). Nas fórmulas que
estudaremos em nosso curso, a representação i estará significando a taxa
unitária ou centesimal.
Na planilha Excel, podemos usar um artifício para que a tabela apresente para
nossa leitura a forma percentual (melhor de ser entendida por todos), mas que ela
opere com a forma unitária em suas fórmulas. Basta proceder da seguinte
maneira:
Digamos que você queira representar a taxa 18%, na célula B2, da planilha:
1) digite na célula o valor 0,18 (taxa unitária correspondente) na célula B2.
2) clique no símbolo de % da barra de ferramentas do Excel.
3) O Excel vai exibir 15% e vai operar 0,15 nas fórmulas que você utilizar.
No exemplo abaixo estamos representando um capital de 100 reais, aumentado
de 18%. Verifique que na célula B3 nós inserimos uma fórmula (isso é feito
clicando-se primeiro no sinal de =). Fizemos a fórmula =B1*(1+B2).
Engraçado, costumam dizer que eu tenho sorte.
Só sei que quanto mais eu me preparo, mais sorte eu tenho
(Anthony Robbins)
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Note pelo resultado apresentado que na célula B3, o Excel multiplicou 100 por
1,18 ou seja, a fórmula que usamos multiplicou 100 por (1 + 0,18), que nada mais
é do que o fator de correção para um acréscimo de 18%.
OBS: A planilha Excel utiliza os seguintes operadores aritméticos:
+ para adição
- para subtração
* para multiplicação
/ para divisão
^ para potenciação.
Na calculadora HP-12C, temos uma tecla específica para porcentagem e,
poderíamos ter seguido a seguinte seqüência para este exemplo:
100
ENTER
15
%
+
15,00 (total do acréscimo)
115,00 (Montante ou Valor Futuro)
A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para
satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos
homens. (Descartes)
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4.2) INFLAÇÃO – CÁLCULO DE ÍNDICES
Inflação é o processo de crescimento generalizado e contínuo
dos preços e serviços de uma economia.
Dentre os principais problemas que a inflação ocasiona a uma economia estão o
crescimento diferenciado dos preços, o qual beneficia uns e prejudica a outros, e
o aumento dos custos de transação determinado pelas distorções que o processo
inflacionário ocasiona ao sistema de preços.
4.2.1) Os números índices
Mede-se a inflação através de indicadores ou índices que tentam refletir o
aumento de preços de um setor em particular ou de um segmento de
consumidores. Efetivamente, existem diversos índices que são calculados para o
atendimento a várias finalidades.
Os índices de preços ao ``consumidor" tentam medir a inflação média de um
conjunto de produtos e serviços que se pressupõe sejam os adquiridos por um
consumidor com determinadas características de renda.
A) Introdução:
Os números índices são um importante instrumento para sintetizar modificações
em variáveis econômicas durante um período de tempo . Esses números indicam
a variação relativa no preço, na quantidade , ou no valor (preço x quantidade)
entre um ponto anterior no tempo (período-base) e, um período qualquer,
normalmente o atual. Por exemplo, se uma pessoa percebe que o preço de um
produto atualmente é o quíntuplo do que custava há dois anos, está fazendo uso
de certo tipo de número índice comparativo.
Quando um só produto está em jogo, o índice é dito índice simples, enquanto
que uma comparação que envolva um grupo de artigos é chamada de índice
composto.
Nos índices compostos é necessário não só incluir as variações de preços, mas
também as variações de quantidades, a fim de que possamos ter um quadro mais
preciso da variação global.
Em resumo, podemos destacar:
Um número índice é usado para indicar variações relativas em quantidades,
preços, ou valores de um artigo, durante um dado período de tempo.
Um número índice é a razão usada para avaliar a variação entre dois períodos de
tempo.
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18
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B) Números Índices Simples:
Um número índice simples avalia a variação relativa de um único item ou variável
econômica entre dois períodos de tempo.
Ele é calculado como a razão entre preço, quantidade ou valor num dado período
para o correspondente preço, quantidade ou valor num período-base.
Podem-se calcular números índices, chamados de relativos de preço, quantidade
e valor, mediante as seguintes fórmulas:
pn
.100
p0
qn
.100
relativo de quantidade =
q0
pn .qn
.100
relativo de valor =
p0 .q0
relativo de preço =
po é o preço de um item no ano-base.
qo é a quantidade de um item no ano-base.
pn é o preço de um item em determinado ano
qn é a quantidade de um item em determinado ano.
Exemplo:
A empresa Kobra Karo S.A, em 1992 vendeu 300 unidades do produto "X",
cobrando 20 dólares por peça e, em 1993, vendeu 450 unidades do mesmo
produto, cobrando 25 dólares por peça. Determinar os relativos de preço,
quantidade e valor em 1993, tomando como base 1992.
Solução:
É usual a notação 1992 = 100, para denotar que 1992 é o ano base.
25
Relativo de preço - p92 93 = .100 = 125
20
450
Relativo de quantidade - q 92 93 =
.100 = 150
300
450.25
Relativo de valor - v92 93 =
.100 = 187,5
300.20
Obs: Devemos notar que houve um aumento de 25 % no preço, em relação ao
ano base, uma aumento de 50 % na quantidade e um aumento de 87,5 % no
valor. O aumento do valor é , portanto, o aumento acumulado do aumento de
preço pelo aumento de quantidade, ou seja , o produto dos índices de preço e
quantidade é o índice de valor: ( 1,25 x 1,5 = 1,875 ).
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19
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C) Relativos em Cadeia:
O relativo em cadeia é o índice de base fixa, ou seja, todos os relativos são
calculados tomando-se por base uma determinada época.
Exemplo:
Vamos supor um bem de consumo que apresentou no período 1990/1993 os
seguintes preços (em dólares): 40 , 45, 50, 65. Os relativos em cadeia, tomando
como base o ano de 1990, serão:
45
.100 = 112,5
40
50
p90 92 = .100 = 125
40
65
p90 93 = .100 = 162,5
40
p90 91 =
Poderíamos compor a seguinte tabela com os preços nos referidos anos e os
relativos em cadeia, ano base 1990.
ANOS
1990
1991
1992
1993
PREÇOS
40
45
50
65
RELATIVOS
100
112,5
125
162,5
D) Elos de Relativos:
Vários relativos formam elos quando cada um deles é calculado tomando por
base o período anterior, é o que chamamos de base móvel.
É usual, nesse caso, não representarmos o relativo do primeiro período, já que
não existe anterior como referência.
Exemplo:
Vejamos, com os mesmos dados do exemplo anterior, como ficariam os elos
de relativos.
45
50
65
p90 91 =
.100 = 112,5
p91 92 = .100 = 111,11
p92 93 = .100 = 130
40
45
50
Teremos agora a seguinte tabela de preços e elos de relativos:
ANOS
PREÇOS
RELATIVOS
1990
40
l-
1991
45
112,5
1992
50
111,11
1993
65
130
E) Índices Agregativos:
Os índices que estudamos até agora servem apenas para caracterizar a marcha
de preços referentes a um único bem. No entanto a variação de preços
normalmente exige a observação da variação de um conjunto de bens, como no
caso do cálculo da variação da cesta básica. Para atingirmos esse objetivo,
lançamos mão de um novo tipo de índice, denominado agregativo.
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O índice agregativo poderá ser simples: Médias de relativos (aritmética,
geométrica ou harmônica) ou indice agregativo simples, se todos os bens
tiverem a mesma importância no seu cálculo, ou ponderado: Médias
Ponderadas de relativos (aritmética, geométrica ou harmônica) ou índices
ponderados de Paasche, de Laspeyres ou Fischer, se os bens tiverem
importância ou pesos diferenciados no cálculo do índice.
O índice agregativo simples é a razão entre a soma dos preços ou
quantidades numa época qualquer e a soma dos preços ou quantidades na
época base.
qt
pt
x100
x100 ou
I as =
q0
p0
O índice agregativo simples e as médias simples apresentam a vantagem de um
cálculo simplificado e a desvantagem de considerarem todos os bens com a
mesma importância no cálculo do índice.
Exemplo:
Completar a tabela de preços abaixo com os relativos de preço, considerando o
ano de 1993 como base, em seguida, calcular o índice agregativo simples,
referentes aos preços dos bens da tabela, 1993,1994.
Mercadoria (espécie)
Preço em 1993
Preço em 1994
A
40,00
50,00
B
50,00
100,00
C
120,00
200,00
Total
210,00
350,00
Solução:
Ias = 350 : 210 = 1,67 ou 167 %.
Índices agregativos ponderados - Fórmulas de Laspeyres e de Paasche:
No cálculo do índice agregativo simples, todos os itens são colocados com uma
mesma importância ou peso. Sabemos, porém, que na prática isso não acontece;
há bens de importância maior do que outros, no cálculo de um índice . Evitamos
tais distorções atribuindo a cada item a importância que lhe cabe através de
coeficientes de ponderação e as médias de índices passam a ser ponderadas.
De acordo com o que consideramos como peso e com o tipo de média utilizada,
temos também algumas variantes de fórmulas para o cálculo de tais índices
agregativos. Iremos estudar , basicamente, duas dessas fórmulas (Laspeyres e
Paasche).
"O Índice de Laspeyres" ou Método da Época Básica
É o índice ponderado dos relativos (preços ou quantidades), sendo os pesos da
ponderação os valores (preço x quantidade) do ano base. Ou seja, é a média
aritmética ponderada dos relativos de preços, ponderados aos valores do
ano base.
A fórmula para o índice de Laspeyres, referente aos preços será:
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21
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Lp 0,t =
pt
xp 0 q 0
p0
p 0 q0
Ou então, simplificada, nos dá:
L0,t =
pt q 0
p0 q0
Obs: Poderíamos obter também o índice de Laspeyres referente à quantidades,
bastando permutar p por q na fórmula simplificada.
Exemplo:
Considere a tabela abaixo e calcule o índice ponderado de preços de Laspeyres,
tomando 1991 como ano base.
BENS
1991
1992
preços
quantidades
preços
quantidades
A
200
4
280
3
B
400
3
560
3
C
150
8
300
12
Lp 91 92 =
280.4 + 560.3 + 300.8 1120 + 1680 + 2400
=
= 1,625 ou 162,5
200.4 + 400.3 + 150.8 800 + 1200 + 1200
"O Índice de Paasche" ou Método da Época Atual
Este índice é calculado pela média harmônica ponderada dos relativos
(preços ou quantidades), ponderados aos valores do ano dado.
O índice de Paasche, referente aos preços, com as devidas simplificações, será:
Pp0 t =
pt qt
p 0 qt
Vale a mesma observação que fizemos no caso anterior, ou seja, o índice de
Paasche de quantidade seria obtido permutando-se p por q na fórmula anterior.
Exemplo:
Calcule o índice ponderado de preços de Paasche, ano base 1991, usando a
mesma tabela do exemplo anterior:
Pp91 92 =
280.3 + 560.3 + 300.12 840 + 1680 + 3600
=
= 1,70 ou 170
200.3 + 400.3 + 150.12 600 + 1200 + 1800
Observação: Existe ainda o importante índice de Fischer que é a média
geométrica dos dois índices anteriores: Laspeyres e Paasche.
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Para o exemplo apresentado, o índice de Fischer seria:
Fp91 92 = 1,625.1,70 = 1,66
ou 166
OBS: A existência de distintos índices, significa que a seleção do índice
mais apropriado para medir a ``inflação'' relevante para uma pessoa ou
empresa é em si um problema complicado pois não necessariamente os
índices disponíveis refletem a variação de preços relevante para cada caso
em particular.
4.3) Valores nominais x valores reais
Em estudos e aplicações práticas envolvendo análise e comparação de valores
monetários em períodos de tempo distintos, é necessário que esses valores,
antes da análise, sejam corrigidos do efeito da inflação. É o que costumamos
denominar de transformação de valores nominais em reais. No cálculo desses
valores reais de ganhos ou perdas, poderemos usar os fatores de correção que
estudamos anteriormente, como mostraremos a seguir.
Dessa forma, podemos dizer que uma taxa de correção nominal é a que tem
inserida no seu cálculo a inflação do período.
Uma taxa real de correção é aquela em que a inflação do período foi
“desencaixada”, ou seja, representa a variação (ganho ou perda) sobre a inflação.
Vejamos alguns exemplos:
1) No ano de 2000 o salário de um trabalhador era de R$ 450,00 e em 2001
passou a receber R$ 549,00.
a) Qual a correção “nominal” que este salário recebeu?
b) Qual a correção “real”, supondo que a inflação acumulada do período tenha
sido de 18%?
SOLUÇÃO:
a) Usando os fatores de correção, temos que a taxa nominal de correção foi de
(549 : 450 – 1 = 0,22 ou 22%.
b) O salário corrigido pela inflação seria de 450 x 1,18, ou seja, R$ 531,00. Logo,
o ganho real foi o que transformou 531 reais em 549 reais, ou seja, o que se
estabeleceu acima da inflação. Dessa forma, a taxa real de correção foi de
(549 : 531) – 1 = 0,034 (aproximadamente) ou 3,4%.
Verifique que tal taxa (ganho ou perda real) pode ser obtida diretamente dos
fatores de correção (nominal e de inflação), mediante a seguinte relação:
ir =
(1 + 1n )
1
(1 + ii )
No nosso exemplo, teríamos:
1,22
ir =
1 0,034
1,18
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2) Vimos, na introdução do capítulo (reportagem de Veja), que a inflação
acumulada nos oito anos de plano real foi de 179%. Qual a taxa de perda salarial
de um funcionário público, que não teve qualquer reajuste nesses oito anos?
SOLUÇÃO 1:
Imaginemos (para facilitar os cálculos) que esse funcionário ganhasse 100 reais,
no início do plano. Para que seu salário “acompanhasse” a inflação (e sem
qualquer ganho real), deveria estar recebendo agora 279 reais (100 + 179). Como
ele continua recebendo os mesmos 100 reais, a sua perda está representada por
179 reais, sobre os 279 que deveria estar recebendo (no mínimo), ou seja: 179 :
279 = 0,642 ou 64,2%, aproximadamente.
SOLUÇÃO 2:
Aplicando a fórmula que apresentamos anteriormente, teríamos:
ir =
1,00
1 0,642 ou 64,2%.
2,79
É bom lembrar que o fator 1,00 significa que não houve correção salarial.
O fator 2,79, representa um fator de aumento para 179% (fator de inflação)
4.4) Juros Simples e Juros Compostos (Progressões Aritméticas
e Progressões Geométricas)
Nesta seção introduziremos alguns conceitos elementares de matemática
financeira (e nem sempre aproveitados na escola básica), associados a
processos de crescimento que utilizam progressão aritmética e geométrica.
Na matemática financeira, uma série de valores pode ter a sua variação
(crescimento ou decrescimento) associada a progressões aritméticas (juros
simples) ou geométricas (juros compostos).
Em qualquer um desses casos, esta série de valores tem como ponto de partida
um valor inicial (período 0), que denominaremos C0.
4.4.1) Crescimento em PA (Juros Simples)
Os juros simples se caracterizam pelo fato de que o valor que é acrescido ao
valor inicial a cada período é sempre constante e determinado por i . C0. Dessa
forma, fica caracterizada na seqüência dos montantes obtidos, uma Progressão
Aritmética, de razão igual a i . C0.
Temos que i é a taxa unitária de juros simples (ou taxa de crescimento
aritmético). Ou seja, ao final de n períodos, teremos um acréscimo de C0.ni
Sendo assim, o montante final de uma aplicação a juros simples, pode ser
representado por:
M = C 0 + C 0 .ni = C 0 .(1 + ni)
Vejamos alguns exemplos:
1) Qual o montante final de uma aplicação de R$ 5000,00, a juros simples
contratados à 1,5% ao mês, por 10 meses?
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Solução:
i = 0,015
n = 10
C 0 = 5000
M = 5000 . (1 + 0,015 x 10) = 5000 x 1,15 = 5750 reais.
Comentário: Como se trata de juros simples, poderíamos ter calculado o ganho
fixo mensal, que é igual a 0,015 x 5000 = 75 reais, e multiplicar esse ganho pelo
número de meses (10 x 75 = 750 reais de juros). Logo, teríamos que o montante
será igual a 5000 + 750 = 5750 reais.
Devemos incentivar a nossos alunos novas descobertas, para que eles não se
sintam presos ao uso de fórmulas, poderíamos inclusive, mostrar, após as suas
tentativas que o que ocorreu nada mais foi que um acréscimo de 15% (1,5% x 10)
aos 5000 reais iniciais. Isso corresponde ao fator de correção, estudado
anteriormente, que é igual a 1,15.
2) Qual a taxa mensal de juros simples que, em uma aplicação por 8 meses,
elevou um capital de R$ 3 000,00 para R$ 3 780,00?
Solução:
3000 x (1 + 8i) = 3780
1 + 8i = 3780 : 3000 = 1,26
8i = 0,26 ou i = 0,26 : 8 = 0,0325 ou ainda 3,25% ao mês.
Na realidade, o que fizemos neste exemplo, foi a obtenção do fator de correção
correspondente a um aumento de 3000 para 3780 reais, ou seja, 3780 : 3000 que
é igual a 1,26. Esse fator corresponde a uma taxa de 26 % para os 8 meses da
aplicação, logo, acarreta uma taxa de 3,25% ao mês.
Uso da HP 12C para o cálculo de juros simples
•
entre com o número de dias n
•
entre com a taxa anual i
•
entre com o valor principal CHS PV
•
tecle f INT : obtém-se os juros
•
tecle + para obter o montante.
Obs.: esta é uma regra geral para o uso da HP 12C para o cálculo de juros
simples: o período deve ser expresso em dias, e a taxa de juros deve ser a taxa
anual.
Exemplo:
Determine os juros produzidos e o montante ao final de 8 meses, de um capital de
$1500,00 aplicados à taxa de juros simples de 40% a.a.
Na HP:
240 n
40 i
1500 CHS PV
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f INT resultado no visor: 400
+ resultado no visor: 1900
Resp: Juros = $400,00 e Montante = $1900,00
Juro Exato e Juro Comercial:
Quando falamos que um juro é exato, estamos nos referindo ao cálculo efetuado
considerando-se o número de dias exatos do calendário. Por outro lado, quando
falamos em juro comercial, estamos supondo uma convenção do mercado que
considera todos os meses com 30 dias e o ano com 360 dias. No contexto dos
juros simples, normalmente o que se considera é o juro comercial.
A calculadora HP-12C possui uma programação para o cálculo do número de dias
ocorridos entre duas datas. Você deve verificar primeiro se no visor da máquina
ela exibe o código D.MY, que significa que a data está programada para o formato
dia/mês/ano. Caso este código não esteja apresentado no visor, você deve digitar
g D.MY, para que ela apresente este formado (vai surgir no visor D.MY). Como
esta calculadora apresenta várias memórias fixas (pilhas), o cálculo do número de
dias é feito automaticamente das duas maneiras: o número exato de dias
(memória X) e o número de dias na convenção do juro comercial (memória Y).
Vejamos um exemplo de como é feito este cálculo.
Vamos supor que você queira obter o número de dias decorridos de 12 de março
de 2002 até 20 de abril de 2002.
Na HP-12C, faríamos:
ENTER
12.032002 (digitação da data 12 de março de 2002)
20.042002 (digitação da data 20 de abril de 2002)
g
DYS
A máquina vai indicar no visor o número 39, que indica o número de dias entre as
duas datas. Caso você queira o número de dias, de acordo com a convenção do
ano comercial, deve calcar a tecla
que passa a exibir o número existente
X <> Y
na pilha Y.
Nesse caso, teríamos 38 dias, contados na convenção do ano comercial.
Na planilha EXCEL, temos uma forma de obter o número de dias na base do ano
comercial, usando a função DIAS360, cuja sintaxe é:
=DIAS360(“12/03/2002”;“20/04/2002”), vejamos o que apareceria numa célula se
digitássemos esta função:
"Só existe uma coisa melhor do que fazer novos amigos: conservar os velhos."
Elmer G. Letterman
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Número de dias decorridos entre 12 de
março de 2002, até 20 de abril de 2002,
pela convenção do ano comercial.
Exemplo: Uma aplicação de valor inicial de R$ 4000,00 foi feita de 12 de junho de
2001, até 23 de agosto de 2001, regime de juros simples, sob taxa de 9% ao mês.
Obtenha o valor do montante final, considerando:
a) Juro Exato
b) Juro Comercial
Solução:
Na HP-12C, teremos:
a) Juro Exato
12.062001
ENTER
23.082001
g
4000
ENTER
9
%
30 :
72
DYS
72 (dias, pelo calendário)
360,00 (total de juros para um mês)
12,00 (total de juros, por dia)
X
864,00 (total de juros para os 72 dias)
+
4864,00 (montante final)
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ENTER
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b) Juro Comercial
12.062001
23.082001
g
4000
ENTER
10
%
30 :
71
DYS
X <> Y
71 (dias, pelo ano comercial)
360,00 (total de juros para um mês)
12,00 (total de juros, por dia)
X
+
ENTER
852,00 (total de juros para os 72 dias)
4852,00 (montante final)
Reflita e tente responder:
1) Você conhece, no mercado financeiro brasileiro,
alguma aplicação que tenha o comportamento de
juros simples?
2) Por que será que os nossos livros da escola
fundamental ou mesmo do ensino médio raramente
mencionam os juros compostos, ficando com um
enfoque superficial dos juros simples (que quase não
estão presentes na vida dos brasileiros)?
4.4.2) Crescimento em PG (Juros Compostos)
Nos juros compostos (com taxa fixa i) iniciamos o processo de crescimento com o
valor C0 . Ao final de um período esse valor é corrigido pela taxi i, ficando
determinado por C0 . (1 + i). Assim, sucessivamente, cada valor é obtido pelo
anterior multiplicado pelo fator de correção (1 + i), o que caracteriza uma
progressão geométrica de razão (1 + i). Dessa forma, podemos generalizar para n
períodos, dizendo que o montante M, de uma aplicação a juros compostos com
taxa fixa i, ao período, durante n períodos, pode ser obtido por:
M = C 0 .(1 + i) n
De forma resumida, podemos dizer que um capital C está aplicado a juro
composto, num prazo de n períodos, se, no final de cada período, o juro
produzido é incorporado ao capital, passando também a render novos juros.
Quando o juro é incorporado ao capital, no final de cada período, dizemos que
ocorreu uma capitalização. Logo ... juros compostos = juros capitalizados.
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28
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Exemplo:
Suponhamos que uma pessoa tome emprestada, a juro composto, a importância
de R$2000,00, pelo prazo de 4 meses, sob taxa de 15% ao mês. Qual será o
valor a ser pago como juros, decorrido este prazo?
SOLUÇÃO:
2000(15% 15% 15%
15% ) M=?
4
M= 2000 . 1,15 . 1,15 . 1,15 . 1,15 = 2000. (1,15) = 2000 . 1,749 = 3498,00.
Juros pagos = 3498,00 - 2000,00 = R$1498,00
4
Na calculadora científica, você poderia calcular a potência (1,15) e, em seguida,
multiplicar o resultado por 2000.
Na HP-12C, ou numa máquina financeira qualquer, você pode usar diretamente o
teclado financeiro, observando a simbologia que já comentamos anteriormente,
bem como uma convenção de usar sinais contrários para entradas e saídas
(troca-se o sinal de um valor, apertando a tecla CHS).
No nosso exemplo faríamos:
2000 CHS
15
4
FV ?
PV
i
n
Dessa forma, surgiria no visor o valor R$ 3498,00, que é o montante procurado.
4
OBS: O valor (1,15) poderia ser obtido de uma tabela financeira, na interseção
da coluna relativa à taxa de 15%, com o prazo n=4. (Ver tabela 1 no final da
apostila). Esse recurso das tabelas costuma ser explorado em concursos
públicos. Podemos também usar a planilha Excel, como mostraremos mais
adiante em nosso curso.
Pelo MS-Excel, teríamos que usar a função correspondente (nesse caso, a função
VF, de valor futuro). O símbolo fx, que aparece na barra de tarefas, indica as
funções disponíveis. Vejamos como aparece no Excel.
“Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia
vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.”
(Lobachevsky)
Prof. Ilydio Pereira de Sá
29
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
Lembre-se que primeiramente você deverá clicar no símbolo fx, de função,
escolher a opção financeira e em nome de função, clicar em VF (Valor futuro).
Obs: Se a taxa fosse variável, o montante deveria ser calculado multiplicando-se
o capital inicial por todos os fatores de correção correspondentes às taxas
periódicas (como acontece nas cadernetas de poupança).
Exemplificando: Um investidor aplicou R$ 1000,00 em um Fundo de Renda Fixa,
durante 4 meses, obtendo as seguintes rentabilidades mensais: 4,53%; 3,56%;
5,62% e 4,85%. Qual o valor do saldo obtido por ele, ao final desse quadrimestre?
SOLUÇÃO:
Lembrando dos fatores de correção que estudamos no início de nosso curso,
teremos a solução:
M = 1000 . 1,0453 . 1,0356 . 1,0562. 1,0485 = 1198,80.
Na HP-12C, poderíamos também usar a tecla %, procedendo da seguinte
maneira:
1000 ENTER
4,53 %
+
3,56 %
+
5,62 %
+
4,85 %
+ 1198,80
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30
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
Taxa Efetiva e Taxa Nominal
a) Taxa Efetiva
Uma taxa é denominada efetiva quando já está referida ao período de
capitalização. Por exemplo 5% ao mês, capitalizados mensalmente é um exemplo
de taxa efetiva. 1200% ao ano, com capitalização anual é outro exemplo de taxa
efetiva.
b) Taxa Nominal
A taxa nominal está referida a um período distinto do período de capitalização, e
a mudança necessária é feita através de uma proporção, como nos juros simples.
Por exemplo, uma taxa nominal de 120% ao ano, com capitalização mensal, será
transformada para efeito de cálculos em 120% : 12 = 10 % ao mês.
IMPORTANTE:
Nas situações de juros compostos, sempre que a taxa não estiver referida à
mesma unidade que o período de capitalização, ela deve ser considerada como
taxa nominal, e, todas as transformações necessárias devem ser feitas como em
juros simples (proporcionalmente).
Exemplo:
Qual o montante produzido por R$5000,00, aplicado sob juros compostos
trimestrais, taxa de 240% ao ano, durante 1 ano?
SOLUÇÃO:
Como 240% ao ano é taxa nominal pois a capitalização é trimestral, devemos
dividi-la por 4 para transformar em trimestral. (240 : 4 = 60% a.t). Devemos
também considerar n=4 pois 1 ano = 4 trimestres.
4
M = 5000 . (1,6) = 5000 . 6,5536 =32 768,00.
RESPOSTA: O montante é de R$32 768,00
Taxas Equivalentes:
São aquelas que, aplicadas ao mesmo principal, durante o mesmo prazo, no
regime de juros compostos, produzem os mesmos montantes. Por exemplo 20%
ao mês, sob juros compostos, é uma taxa equivalente a 44% ao bimestre.
Verifiquemos o que acontece, quando aplicadas a um capital de 100 reais.
100
100
20% 120
44%
20%
144 (aplicando-se juros de 20% a m)
144 (juros de 44% ao bimestre)
IMPORTANTE:
Como os capitais e os montantes serão iguais, poderemos obter as taxas
equivalentes através de igualdades geradas pelos fatores de correção, elevados
aos expoentes convenientes. Ou seja:
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31
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(Fa )1 = (Fm )12 = (Fd )360 = (Fs )2 = ......
Sendo :
Fa = Fator de correção anual ;
Fm = Fator de correção mensal;
Fd = Fator de correção diário ;
Fs = Fator de correção semestral
Exemplos:
A) Qual a taxa mensal, equivalente para juros compostos a 2% ao dia?
SOLUÇÃO:
Fm = (Fd)30 = (1,02)30 = 1,811361 (Ver tabela 1, na interseção da coluna 2% com
n=30). Logo este fator corresponde a uma taxa de 81,1361% ao mês.
Na calculadora, descobriríamos diretamente o valor da potência, subtraindo 1, do
valor obtido.
B) Qual a taxa trimestral, equivalente para juros compostos, a 242,102% ao ano?
SOLUÇÃO:
(Ft )4 = Fa , logo (Ft )4
correção?).
= 3,42102 (lembra do “segredinho” dos fatores de
Basta agora procurarmos na tabela 1, dos juros compostos, na linha do expoente
n=4 o valor 3,42102, o que acontecerá na interseção da coluna referente à taxa
de 36%.
Resposta: 242,102% ao ano é equivalente a 36% ao trimestre.
Na calculadora, obteríamos a raiz quarta de 3,42102, que será aproximadamente
igual a 1,36, o que corresponde à taxa de 36%. É sempre bom lembrar que esse
0.25
cálculo é feito transformando-se a relação (Ft )4 = 3,42102 em F = (3,42102) .
Com base nas equações exponenciais que se formam na busca de taxas
equivalentes, podemos estabelecer a seguinte regra geral, com auxílio da
calculadora HP-12C:
Q
taxa
[(
+ 1) T 1]x100
100
onde: Q = período de tempo que eu Quero, em dias.
T = período de tempo que eu Tenho, em dias.
Aplicação Prática da Fórmula, Com A Hp-12C
1) Qual A Taxa Equivalente ao ano de 3,54% ao mês ?
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32
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360/30
{[(3,54 + 1)
- 1]
100
x 100}
A seqüência na HP-12C é:
x
3,54 ENTER 100 : 1 + 360 ENTER 30 : Y
1 - 100 x ==> 51,8091% a.a.
É óbvio que você não precisaria dessa fórmula, bastando observar que um ano
corresponde a 12 meses. O uso da fórmula acima tem apenas a vantagem de ser
geral, para todas as situações encontradas.
Poderíamos, simplesmente, ter feito na HP-12C:
x
3,54 ENTER 100 : 1 + 12 Y 1 - 100 x ==> 51,8091% a.a.
2) Qual a taxa ao mês equivalente a 45% ao ano ?
30/360
- 1]
{[(45,00 + 1)
100
x 100}
A seqüência na HP-12C é:
x
45 ENTER 100 : 1 + 30 ENTER 360 : Y
1 - 100 x ==> 3,1448% a.m.
Aqui podemos utilizar a tecla 1/x pois a divisão de 30/360 é igual a 1/12.
Toda vez que o numerador for 1, podemos utilizar a tecla 1/x, que nos fornecerá o
inverso do número que queremos.
Fazemos, então, na HP-12C:
x
45 ENTER 100 : 1 + 12 1/X Y 1 - 100 x ==> 3,1448% a.m.
Para o cálculo de taxas equivalentes, você pode programar uma fórmula na
planilha Excel, como mostraremos a seguir.
Introduza:
1. a taxa percentual de juros (dada) – digitar em A4
2. prazo da taxa fornecida em número de dias – digitar em B4
3. prazo da taxa desejada em número de dias – digitar em C4
4. Em D4, inserir a fórmula (digitando o sinal de igual) = (1 + A4)^(C4/B4) – 1
A taxa equivalente será calculada e inserida automaticamente na célula D4. Esta
célula deve ser formatada para exibir porcentagem, indicando o número de casas
decimais desejado. No exemplo a seguir, pedimos 4 casas decimais.
Vamos verificar o exemplo 2, resolvido anteriormente, feito agora pela fórmula do
Excel.
Qual a taxa ao mês equivalente a 45% ao ano
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Gráfico Comparativo: Juros Simples X Juros Compostos
Vamos supor o crescimento dos juros (simples e compostos) relativos a um
capital inicial (principal) de 100 reais, sob taxa de 10% ao mês.
Normalmente as pessoas têm a impressão de que os juros compostos, por serem
acumulativos, sempre superam aos valores calculados a juros simples. Se
analisarmos com atenção o gráfico seguinte, veremos que nem sempre essa
afirmação é verdadeira.
No gráfico acima, percebe-se que, antes do primeiro período os juros simples têm
valores superiores aos valores correspondentes dos juros compostos.
Como confirmação, vejamos o cálculo dos juros obtidos pelos 100 reais de nosso
gráfico, em 15 dias de aplicação (0,5 mês).
a) Cálculo dos juros simples – j = 100 x 0,5 x 0,1 = 5 reais
0,5
b) Cálculo dos juros compostos – j = 100 x (1,1) – 100 = 4,88 reais.
Você pode verificar que, nesse caso, como o prazo foi inferior a 1 período de
capitalização (no caso mês), o valor do juro simples foi maior que o valor obtido a
juro composto.
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EXERCÍCIOS: JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS
1) O capital de R$ 360,00 foi colocado a juros simples durante 3 anos e 2 meses,
sob taxa de 0,5 % ao mês. Qual o montante final?
a) R$ 68,40 b)R$ 428,40 c)R$ 542,60 d) R$ 654,00 e) R$ 420,00
2) Qual foi a taxa anual a que foi aplicado um capital de R$150,00, durante 60
dias, para produzir, a juros simples, um montante de R$153,00?
a) 8%
b) 10% c) 12% d) 15% e) 20%
3) Qual o montante produzido por R$2500,00, aplicados sob taxa efetiva de 12%
ao trimestre, em 15 meses?
a)R$ 4405,85
b)R$ 6403,24 c)R$ 5405,45 d)R$ 4000,00 e) R$ 4800,00
4) Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a juros simples de 5%
ao mês, triplique de valor?
a) 3 anos 4 meses
b) 2 anos
c) 5 anos 4 meses
d) 1ano 4 meses
e) 3 anos 6 meses
5) Dr. Fernandinho pagou R$1 728,00 por um empréstimo no Banco Tofer-Rado
S.A. O prazo da operação foi de 3 meses e a taxa efetiva de juros compostos foi
de 20% ao mês. Qual foi o valor do empréstimo?
a) R$800,00 b) R$1 200,00 c)R$1 000,00 d) R$980,00 e) R$1 150 ,00
6) O preço de uma mercadoria era R$ 2800,00, ou então, uma entrada de 20% e
mais um pagamento de R$ 2688,00, após 40 dias. financiamento a juros simples.
Qual a taxa anual de juros que está sendo cobrada pela loja?
a) 120% b) 130% c) 140% d) 170% e) 180%
7) Apliquei um capital a juros simples de 4% ao mês, durante 2 meses e, em
seguida, reapliquei o montante por 6 meses, a juros simples de 5% ao mês. Qual
o capital inicial, se o montante final foi de R$30 888,00?
a) R$20 000,00
b) R$25 000,00
c) R$18 000,00
d) R$ 20 800,00
e) R$22 000,00
8) (TRT - 1990)
Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$2700,00, dispondo de
R$9000,00 de capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser
aplicado no prazo de 5 meses?
a) 10% b) 5% c) 3% d) 8% e) 5,5%
9) Um investidor aplicou R$600 000,00 a juros compostos mensais, durante 2
anos e recebeu um montante de R$3 804 708,60. Qual foi a taxa da operação?
a) 8% a.m b) 9% a.m c) 10% a.m d) 5% a.m e) 6% a.m
10) O juro e o montante em uma aplicação a juros simples estão entre si, como 4
está para 20. O tempo de aplicação foi de 5 anos. Qual a taxa anual do
investimento?
a) 3 % b) 4 % c) 5 % d) 6 % e) 7 %
11) Qual a taxa anual, equivalente para juros compostos, a 20% ao bimestre?
a) 120% b) 150% c) 198,60 d) 180% e) 210,6%
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35
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
12) Qual a taxa bimestral, equivalente para juros compostos, a 131,3060% ao
ano?
a) 12% b) 13% c) 14% d) 15% e) 20%
13) Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros
compostos equivalente mensal.
a) 3% b) 3,1% c) 3,01% d) 2,8% e) 3,5%
14) Ao final de quanto tempo, aproximadamente, os juros compostos produzidos
por certo capital são iguais à metade deste, se usarmos a taxa de 8% a.a, com
capitalização anual?
a) 6 anos b) 9 anos c) 7anos d) 8 anos e) 5 anos
15) (Banco do Brasil)
Certo capital, acrescido do juro simples resultante de sua aplicação durante 8
meses, eleva-se a $ 231 000,00. O mesmo capital, acrescido dos juros simples
resultantes de 13 meses de aplicação, à mesma taxa, eleva-se a $ 234 750,00.
Qual a taxa anual da aplicação?
a) 1 % a.a b) 2% a.a c) 2,5 % a.a d) 3 % a.a
e) 4 % a.a
16) O capital de R$ 37 500,00 é colocado ao regime de capitalização composta
sob taxa efetiva de 9% ao trimestre. No fim de um certo tempo o montante atingiu
R$ 62 891,25. Calcular o número de meses que foram necessários.
a) 12 b) 21 c) 15 d) 18 e) 19,5
17) Um investimento obteve um ganho nominal de 34%, num período de inflação
correspondente a 28%. Qual a taxa real dos juros recebidos por esse
investimento?
a) 6% b) 5,23% c) 4,69% d) 3,98% e) 4,5%
A tabela a seguir, se refere às questões, de 18 a 20 e se refere a preços
praticados e quantidades produzidas de três artigos, em 2005 e 2006.
2005
Artigos
Preço unitário
(dólares)
A
3,00
B
6,00
C
4,00
Fonte: Dados hipotéticos
Quantidades
(toneladas)
2
5
7
2006
Preço unitário
(dólares)
4,00
6,00
5,00
Quantidades
(toneladas)
4
6
3
18) Calcular o índice de Laspeyres para os preços de 2006, tomando como base
o ano de 2005.
a) 121,63 % b) 114,06 % c) 128,32 % d) 133,44 % e) 138,28 %
19) O índice de Paasche para os preços de 2006, tomando como base o ano de
2005.
a) 121,45 % b) 134,56 % c) 113,78 % d) 109,78 5 e) 111,67 %
20) Calcular o índice agregativo simples para os preços de 2006, tomando como
base o ano de 2005.
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a) 110,26 %
b) 120,32 %
c) 116,67 5
d) 115,38 %
e) 121,67 %
GABARITO
01) B
06) E
11) C
16) D
02) C
07) E
12) D
17) C
03) A
08) C
13) A
18) B
04) A
09) A
14) A
19) E
05) C
10) C
15) E
20) D
4.5) Desconto Simples
Desconto é o valor a ser deduzido de um título, calculado a juros simples, por
antecipação do resgate. O desconto poderá ser por fora, ou por dentro, conforme
calculado sobre o valor nominal do título ou sobre o valor atual ( valor presente ou
valor de resgate ).
A) Desconto por Fora
(Bancário ou Comercial)
É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor
nominal ( ou valor de face ) do papel.
Podemos resolver os exercícios de desconto por fora de modo análogo ao
procedimento que adotamos em operações comerciais de lucro sobre o preço de
venda (Regra de Três) (Nominal = 100 %).
B)Desconto por Dentro
(Racional ou Real)
É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor atual (
ou valor de resgate ) do papel. Podemos resolver os exercícios de desconto por
dentro de modo análogo ao procedimento que adotamos em operações
comerciais de lucro sobre o preço de custo (Regra de Três) (Atual = 100 %).
Exemplo 1:
Um título de R$2 000,00 será descontado a 12 % ao mês, 2 meses antes do
vencimento. Determinar o valor atual ( ou valor de resgate ), considerando:
a) Desconto simples bancário.
Solução:
N = 2 000 , taxa de desconto = 12 . 2% = 24%
A(x)
(76%)
D
(24%)
N( 2 000)
(100%)
(N-D=A)
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2 000..................... 100%
x ........................76%
x=
2000 x 76
= 1520 reais
100
b) Desconto simples racional.
Solução:
A(x)
d
(100%)
(24%)
(A+d=N)
N( 2 000)
(124%)
2 000
124%
x
100%
2000x100
= 1612,90 reais
x=
124
Observações:
1. Na prática o que existe é o desconto por fora (bancário) (você pode imaginar o
motivo, observando o exemplo anterior).
Logo, se em uma situação-problema qualquer não for mencionado o tipo de
desconto simples utilizado , você deve usar o desconto por fora.
Equivalência de Capitais – Operação de Descontos Simples
Dois capitais representados por papéis ou títulos financeiros serão equivalentes
para uma determinada data, sujeitos a juros simples, se os valores atuais, nesta
data (data zero ou focal) , forem iguais.
Exemplo 2:
Qual o valor nominal de um papel com vencimento para 45 dias, sob taxa de 30%
ao mês, e que é equivalente a outro título de R$ 600,00, para 15 dias, sob taxa de
40 % ao mês (descontos simples comerciais)?
Solução:
A) Título dado: N = 600 ; i = 40% ao mês, n = 15 dias, logo a taxa global do
desconto será de 20%.
A
80%
D
20%
Logo, teremos A =
N=600
100%
80x600
= 480,00
100
B) Título equivalente procurado:
A = 480, i = 30 % ao mês, n = 45 dias, logo a taxa simples corresponde a 1 % ao
dia e a uma taxa global de 45 %.
"Não se pode ensinar tudo a alguém,
pode-se apenas ajudá-lo a encontrar por si mesmo."
Galileu Galilei, astrônomo italiano
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A = 480
55%
D
45%
Então, teremos: N =
N=?
100%
480x100
= 872,73 reais
55
EXERCÍCIOS
1) (Fiscal de Posturas - RJ - 1992)
Um título de valor nominal de $500 000,00 foi descontado 60 dias antes de seu
vencimento, à taxa simples de desconto de 10% ao mês. O valor líquido do título
é:
a) $ 400 000,00 b) $ 50 000,00 c) $ 100 000,00 d) $30 000,00 e) $ 300 000,00
2) (Banco do Brasil - 1992)
Calcule o desconto por fora de um título de valor nominal igual a $550 000,00
antecipado em 120 dias à taxa de 3,5 % ao mês.
a) $ 60 000,00
b) $ 58 000,00
c)r$ 77 000,00
d) $ 30 000,00
e) Cr$ 300 000,00
3) Qual o valor atual de um título que, descontado por dentro a 8% ao mês,
faltando 2 meses e 15 dias para vencer, produziu desconto simples de
R$ 120 000,00?
a) R$480 000,00
b)R$ 600 000,00
c) R$ 640 000,00
d) R$ 720 000,00
e) R$ 580 000,00
4) (Banco Central - 1990)
Um título de valor nominal de $ 600 000,00 foi descontado à taxa de 18% ao
mês, 15 dias antes do vencimento (desconto comercial simples). O banco cobrou
uma comissão de 3 % sobre o valor nominal do título. Qual o valor líquido
recebido?
a)$ 565 000,00
b)$ 549 000,00
c)$ 537 000,00
d) $ 528 000,00
e) Cr$ 465 000,00
5) (Banco Central - 1990)
Um título foi descontado à taxa de 20 % ao mês, um mês antes do vencimento,
desconto simples racional ou por dentro. Se o valor líquido recebido foi de
$
1200,00, qual era o valor nominal?
a)$1970,00 b)$1800,00 c)$ 1400,00 d)$1440,00 e)$ 1600,00
6) Um título, no valor de R$ 12 000,00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou
reduzido a R$ 9 000,00. Qual foi a taxa mensal aplicada nesta operação de
desconto bancário?
a) 6%
b) 4% c) 5%
d) 3%
e) 10%
7) Um título produziu desconto simples igual a 0,3 do valor nominal, faltando 2
meses e 15 dias para o vencimento. Qual a taxa do desconto?
a) 10 % a.m b) 12 % a.m c) 6 % a.m d) 8 % a.m e) 5 % a.m
8) Uma promissória descontada por dentro a 3 meses do vencimento, à taxa de
7% ao mês, sofreu redução de R$630,00. Qual o valor nominal?
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39
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a) R$3630,00
b) R$3500,00 R$ 6300,00 d) R$ 3640,00 e) R$ 5350,00
9) Um título, de valor nominal de R$12 000,00, descontado racionalmente a
36% ao mês, 20 dias antes do vencimento, será substituído por outro, para 45
dias, sob taxa de 40 % ao mês, desconto também racional. Qual será o valor
nominal desse novo título (desprezados os centavos)?
a) R$ 15 483,00
b) R$ 16 000,00
c) R$ 18 200,00
d) R$ 23 400,00
e) R$ 14 760,00
10) (TTN - 1989)
Utilizando o desconto racional (36% ao ano), o valor que devo pagar por um título
com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de
$ 29
500,00 , é de:
a) $ 24 000,00 b) $ 25 000,00 c) $ 27 500,00 d) $ 18 880,00 e) $ 24 190,00
11) Qual o valor nominal (aproximado) de um título, descontado a 15% ao mês,
com 90 dias de antecipação, e que é equivalente a um outro título, de
R$
4500,00, descontado a 18% ao mês, com 45 dias de antecipação?
a)R$ 5973,00 b)R$ 6780,00 c)R$ 7340,00 d)R$ 5890,00 e)R$ 4900,00
12) Qual o valor nominal de um título, descontado a 6% ao mês, com 10 dias de
antecipação e que substituirá dois títulos de R$4800,00 e R$5400,00,
descontados sob mesma taxa e com as respectivas antecipações de 30 dias e 45
dias, considerando todos os descontos envolvidos na operação como racionais?
a)R$8900,00
b)R$9672,00 c)R$7895,00 d)R$8566,00 e)R$6790,00
GABARITO
01) A
05) D
09) A
02) C
06) C
10) B
03) A
07) B
11) A
04) D
08) A
12) B
“O degrau da escada não foi inventado para repouso, mas apenas para sustentar o pé o
tempo necessário para que o homem coloque o outro pé um pouco mais alto.”
(Ruxley)
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40
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4.6) Descontos Compostos
A) O Conceito:
O desconto composto é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso
financeiro antes de seu vencimento ou o valor que o banco recebe pela
antecipação do resgate de um título, mas sob regime de juros compostos.
Na prática o que temos é o montante ou valor nominal do papel e o que queremos
é o capital inicial, ou valor atual, o que pode ser obtido pela própria fórmula do
cálculo do montante a juros compostos. A tal tipo de desconto denominamos
desconto composto racional, sendo que o desconto composto bancário
praticamente só existe na teoria, já que o que é utilizado em nosso País é o
desconto bancário simples.
B) Valor atual de um papel sujeito a desconto composto (racional):
n
n
Já sabemos que C . (1 + i) = M , agora teremos: A . (1 + i) = N
Ou seja:
A =
N
n
(1 + i)
-n
A = N . (1 + i)
ou
-n
OBS: Os valores de (1 + i) você poderá encontrar diretamente na tabela 2 (final
da apostila) e multiplicando-os por N, obter o valor atual A. Caso você queira pode
n
também usar a própria tabela 1, dos juros compostos e, dividindo N por (1 + i)
obter de outra forma o valor atual A.
Exemplo 1:
Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dívida
representada por um título cujo valor nominal é de R$1000,00. Sabendo-se que o
banco credor utiliza uma taxa de desconto composto de 3% ao mês, ache o valor
do desconto.
SOLUÇÃO:
-n
-3
A = N . (1 + i) ou A = 1000.(1,03) .
O fator poderá ser obtido na tabela 2, na interseção da coluna de 3% com a linha
de n=3.
Teremos então A= 1000.0,91514 = 915,14 , logo, o desconto será a diferença
1000 - 915,14 = R$84,86.
Na calculadora HP-12C, teríamos:
1000 CHS
FV
3
n
3
i
PV = ? 915,14 (APARECE NO VISOR)
CHS 1000 + 84,86 (APARECE NO VISOR)
Na planilha Excel, optaríamos pela função financeira VP, após clicar no símbolo
fx, indicativo de função, vejamos para esse exemplo, como ficaria a planilha, com
a respectiva fórmula.
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41
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EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Exemplo 2:
Um investidor, devedor de um título de R$1000,00, para 6 meses, deseja
substituí-lo por outro com vencimento para 10 meses, sendo que a taxa de juro
composto é de 4% ao mês. Achar o valor nominal do novo título.
SOLUÇÃO:
Trata-se de um caso de equivalência de capitais, e, como vimos em descontos
simples, os valores atuais devem ser iguais. No caso do desconto composto é
mais simples ainda, pois não há necessidade de retroagirmos à data zero,
bastando atualizar o capital, de acordo com o número de períodos entre as duas
datas.
1000
0
6
?
10
4
Logo, teremos: N= 1000.(1,04) = R$ 1169,86
C) Fluxo de Caixa:
Fluxo de caixa de uma empresa é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro,
previstas para um determinado período. O valor atual de um fluxo de caixa é a
soma algébrica dos valores atuais das entradas (positivas) e das saídas
(negativas).
Numa análise de investimentos , compras à prazo, e na matemática financeira em
geral, o conceito de fluxo de caixa é de grande importância, pois, atualizando as
entradas e saídas de dinheiro, fica fácil estimar se é ou não compensador um
determinado investimento.
"Aprender é descobrir aquilo que você já sabe.
Fazer é demonstrar que você o sabe.
Ensinar é lembrar aos outros que eles sabem tanto quanto você".
(Richard Bach)
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42
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Exemplo 2:
A empresa Tar-Russo S.A tem a seguinte previsão orçamentária para um
determinado período:
PAGAMENTOS RECEBIMENTOS
1/4
2000
1/2
3000
1 /10
5000
1/6
6000
1 / 11
9 000
Qual o valor do fluxo de caixa para 1 de janeiro, supondo a taxa de desconto
composto de 5% ao mês?
AF
J
F
A
J
O
N
1
3
5
9
10
-1
-5
-10
-3
-9
AF = Valor atual do fluxo = 3.(1,05) +6.(1,05) + 9.(1,05) - 2.(1,05) - 5.(1,05)
Mais uma vez, consultando a tabela 2, teremos:
AF= 3.(0,952381) + 6.(0,783526) + 9.(0,613913) - 2.(0,863838) - 5.(0,644609)
AF = 8,132795 . 1000 = R$ 8132,80.
Na HP-12C, temos uma seqüência específica para fluxos de caixa, através
das teclas azuis CF0, CFj, Nj, conforme veremos para o exemplo dado.
Pela HP:
Limpe as memórias: [F] [REG]
Entre com o valor inicial: 0 [G] [CFo]
Entre com as parcelas do fluxo:
3 000 [G] [CFj]
0 [G] [CFj]
2 000 [CHS][G] [CFj]
0 [G] [CFj]
6 000 [G] [CFj]
0 [G] [CFj] 3 [G] [Nj]
5000 [CHS][G] [CFj]
9000 [G] [CFj]
5 i
Calcule o valor presente líquido:[F] [NPV]
Visor:
0,00
0,00
3 000.00
0.00
-2 000.00
0.00
6000.00
3.00
-5000
9000.00
5
8132,80
Obs: Se todas as parcelas deste fluxo fossem iguais, o nosso cálculo seria
bastante simplificado, pois poderíamos recorrer a tabelas financeiras prontas
para amortizações e capitalizações compostas, conforme veremos nos capítulos
seguintes.
Exemplo 3:
Uma pessoa compra um aparelho eletrodoméstico e paga 3 prestações mensais
iguais e consecutivas de R$500,00, cada uma, sem entrada, vencendo a primeira,
um mês após a compra. Supondo uma taxa efetiva de juro composto de 15% ao
mês, ache o preço à vista do aparelho.
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43
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SOLUÇÃO:
?
0
1
2
3
500
500
500
-1
-2
A = 500.(1,15) + 500.(1,15)
-3
+ 500.(1,15) = R$1141,61 (Confira)
Pela HP-12C, teríamos:
Visor:
Limpe as memórias: [F] [REG]
Entre com o valor inicial: 0 [G] [CFo]
Entre com as parcelas do fluxo:
500 [G] [CFj] 3 [G] [Nj]
15 i
Calcule o valor presente líquido:[F] [NPV]
0,00
0,00
3.00
15
1141,61
Importante:
• O que vimos no exemplo anterior é um caso de financiamento denominado
sistema Francês ou Price, e que possui as características:
- Primeiro pagamento um período após a compra.
- Parcelas iguais.
- Taxa efetiva mensal.
- Pagamentos no final de cada período.
Estudaremos mais detalhadamente este sistema , bem como outros, no capítulo
final do nosso curso (Sistemas de Amortização).
• Denominamos TAXA INTERNA DE RETORNO (Tir) à taxa que zera o fluxo de
caixa, ou seja: O somatório de todas as entradas é igual ao somatório de todas
as saídas, numa data qualquer.
A determinação da taxa interna de retorno recairá sempre na solução de uma
equação polinomial, na incógnita i ou na incógnita F (F = 1 + i), bastando levar
todas as entradas e saídas monetárias para uma mesma data, igualando-se
em seguida o somatório das entradas, com o somatório das saídas.
"Somos o que fazemos, mas somos, principalmente,
o que fazemos para mudar o que somos."
(Eduardo Galeano)
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44
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Exemplo 4:
(AFTN - 1991)
A uma taxa de 25% ao período, uma quantia de 100 no fim do período t, mais
uma quantia de 200 no fim do período t+2, são equivalentes, no fim do período
t+1, a uma quantia de:
a) 406,25
b) 352,50
c) 325 d) 300 e) 285
SOLUÇÃO:
200
100
t
t+1
t+2
?
Este é o típico exercício que denominamos , “valor do dinheiro no tempo”,
onde verificamos que o valor 100 terá de ser “corrigido” em um período
(multiplicado por 1,25), enquanto que o valor 200 deverá ser atualizado em um
período (dividido por 1,25).
Logo, a resposta será: 100 . 1,25 + 200 : 1,25 = 285 (opção E)
Note que 25% nada mais é do que a TAXA INTERNA DE RETORNO desse fluxo.
DICA IMPORTANTE:
Arriscamos a dizer que, tudo em Matemática Financeira, com capitalização
composta está escorado no que vimos no exercício anterior, ou seja, no valor do
dinheiro no tempo.
Podemos inclusive fixar que, quando o valor está se “deslocando” para a direita
n
na linha do tempo, devemos multiplicá-lo por F , sendo n o número de períodos
deslocados e F o fator de correção da taxa fixa vigente.
Nos casos em que um valor está se deslocando para a esquerda na linha do
tempo, devemos atualizá-lo, dividindo-o por
Fn
ou multiplicando-o por
F
n
.
Exemplo 5:
Qual a taxa interna de retorno do fluxo representado abaixo?
1500
1000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4000
SOLUÇÃO:
Fazendo-se 1 + i = F, vamos equacionar na variável F.
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45
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
Levando-se todos os valores para uma mesma data, data 4, por exemplo e
igualando-se a zero a soma algébrica das entradas e saídas, teremos:
4
2
1000 x F + 1500 x F – 4000 = 0 ou então:
4
2
4
2
2 F + 3 F – 8 = 0, que é uma equação biquadrada. Fazendo-se F = y . teremos:
2
2 y + 3 y – 8 = 0 ou y =
3 ± 9 4.2.( 8)
=
4
Logo, o fator de correção F será igual a
3 ± 73
=
4
3 ± 8,544
= 1,386
4
1,386 = 1,177
Então teremos 1 + i = 1,177 ou i = 0,177 ou 17,7%
Poderíamos, como fizemos no cálculo do valor presente líquido de um fluxo de
caixa, obter a taxa interna de retorno de um fluxo, com auxílio da tecla irr, da HP12C.
Vejamos, para o exemplo acima, como seria o cálculo da taxa interna de retorno.
Limpe as memórias: [F] [REG]
Entre com o valor inicial: 1000 [G] [CFo]
Entre com as parcelas do fluxo:
0 [G] [CFj]
1500 [G] [CFj]
0 [G] [CFj]
4000 [CHS] [G] [CFj]
Calcule a taxa interna de retorno:[F] [irr]
Visor:
0,00
1000,00
0.00
1500
0.00
-4000.00
17,73
APLICAÇÃO – ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
A partir da montagem de um fluxo de caixa podemos facilmente calcular, com a
ajuda da HP-12C, a viabilidade de um projeto.
Quando uma empresa ou uma pessoa deseja investir em um projeto, ela tem
paralelamente outras opções, como por exemplo, a própria atividade produtiva, ou
o mercado financeiro. Chamamos de custo de oportunidade de uma empresa
ou pessoa, o retorno certo que ela teria sem investir em novos projetos.
Um investimento será viável se seu retorno for maior que o de qualquer outro tipo
de aplicação, quando empregada a mesma quantia. Para sabermos isto basta
montar um fluxo com o investimento efetuado e as receitas e economias
esperadas, além da taxa mínima de retorno desejada (deverá ser maior que seu
custo de oportunidade). A partir deste fluxo entraremos com os dados na HP-12C
e calcularemos o Valor Presente Líquido (NPV), que será o resultado na data de
hoje de todas as saídas e entradas, considerando-se taxa mínima de retorno
desejada. Se o valor do NPV for positivo significa que o investimento é viável e a
taxa de retorno é ainda maior que a desejada. Se o valor for igual a zero, significa
que o investimento retornará exatamente o desejado e, portanto, é viável. Se o
valor for negativo, o retorno não será o mínimo desejado, valendo mais a pena
investir no mercado financeiro ou na produção.
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46
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
Exemplo: Ana tem R$ 10 000,00 aplicados no banco pelos quais recebe 4 %
a.m.. Ela deseja abrir uma pequena confecção, mas antes quer saber se o
investimento valerá a pena. Ela montou o seguinte fluxo de caixa e considera que
o
mínimo
de
retorno
desejável
seria
de
8
%
a.m.
Verifique se o investimento é viável.
Pela HP:
Limpe as memórias: [F] [REG]
Entre com o valor inicial: 6 000 [CHS] [G] [CFo]
Entre com as parcelas do fluxo:
4 000 [CHS] [G] [CFj]
2 000 [G] [CFj] 2 [G] [Nj]
3 000 [G] [CFj]
2 000 [G] [CFj]
1 000 [CHS] [G] [CFj]
2 000 [G] [CFj] 2 [G] [Nj]
3 000 [G] [CFj]
Entre com a taxa de retorno esperada: 8 [i]
Calcule o valor presente líquido:[F] [NPV]
Calcule a taxa interna de retorno: [F] [IRR]
Visor:
0.00
-6 000.00
-4 000.00
2.00
3 000.00
2 000.00
-1 000.00
2.00
3 000.00
8.00
282.99
8.67%
Logo, este investimento é viável, pois NPV é positivo e IRR é maior que 8 %.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Calcule o valor atual de um título, de valor nominal igual a R$9000,00 ,
liquidado 2 meses antes do vencimento, sendo a taxa de desconto composto de
4% ao mês.
a) R$8429,00 b) R$7854,36 c) R$8321,00 d) R$6789,29 e) R$5467,80
2) O valor atual de uma nota promissória é de R$4200,00. Qual o seu valor
nominal, sabendo que ela vencerá dentro de 120 dias e que a taxa efetiva de juro
composto, utilizada no cálculo, foi de 3% ao mês?
a) R$4727,14 b) R$4367,90 c) R$4704,00 d) R$4678,95 e) R$5300,00
3) Um título, de valor nominal igual a R$2000,00 , foi liquidado 6 meses antes do
vencimento, por R$1332,68. Ache a taxa do desconto composto mensal utilizada
nesta operação.
a) 2% b) 3% c) 4% d) 6% e) 7%
4) Uma nota promissória, de valor de face R$71 500,00, foi paga antes do
vencimento, por R$63 526,62. Ache o prazo de antecipação dessa operação,
sabendo que foi utilizada uma taxa de desconto composto de 3% ao mês.
a) 3 meses b) 4 meses c) 5 meses d) 6 meses e) 7 meses
5) Uma pessoa, devedora de um título de R$ 8200,00 para 4 meses, deseja
substituí-lo por outro com vencimento para 8 meses. Supondo uma taxa de
desconto composto de 5% ao mês, calcule o valor nominal do novo título.
a) R$9967,15 b) R$9840,00 c) R$10 000,00 d) R$9876,55 e) R$8999,90
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47
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6) Um gerente de uma pequena empresa deveria pagar, hoje, a um banco, a
importância de R$20 000,00. Não podendo efetuar o pagamento , propõe ao
banco dois pagamentos iguais, dentro de 2 e 3 meses, respectivamente.
Utilizando uma taxa de desconto composto de 7% ao mês, quais serão os valores
nominais desses dois novos títulos?
a) R$12006,78 b) R$11234,56 c) R$9899,00 d) R$11836,16 e) R$11000,00
7) Uma loja está vendendo um equipamento em 2 prestações mensais, iguais e
consecutivas de R$1200,00 cada, sem entrada. Supondo uma taxa efetiva de juro
composto de 6% ao mês, ache o valor à vista desse equipamento.
a) R$2520,00 b) R$3250,00 c) R$2200,00 d) R$2890,00 e) R$3100,00
8) Calcular o valor atual de um título de R$7000,00, resgatado a 3 meses do
vencimento, sob desconto racional composto de 4% ao mês.
a) R$6222,97 b) R$6124,90 c) R$6160,00 d) R$6384,29 e) R$6494,35
9) O valor nominal de um título é de R$2000,00. Seu portador deseja descontá-lo
1 ano e 3 meses antes do seu vencimento. Calcule o valor de resgate, sabendo
que a taxa de desconto composto é de 28% ao ano, capitalizados
trimestralmente.
a) R$1245,87 b) R$1425,97 c) R$1383,63 d) R$1300,00 e) R$1292,44
10) Calcule o desconto composto sofrido por um título, de valor nominal igual a
R$3800,00, resgatado 8 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de
desconto de 30 % ao ano, com capitalização bimestral.
a) R$685,29 b) R$673,73 c) R$678,90 d) R$621,24 e) R$601,28
11) (AFTN - 1991)
Um “Commercial Paper” , com valor de face de US$1,000,000.00 e vencimento
daqui a 3 anos, deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10%
ao ano e considerando o desconto racional composto, obtenha o valor do resgate.
a)US$751,314.80
b)US$750,000
c)US$748,573
d)US$729,000
e)US$700,000.00
12) Duas promissórias, uma de R$40 000,00, vencível em 120 dias, e a outra de
R$90 000,00, vencível em 180 dias, deverão ser substituídas por uma única
promissória, vencível em 90 dias. Qual o valor nominal da nova promissória, no
regime de juro composto, à taxa de 3% ao mês?
a)R$122 430,00 b)R$132 420,00 c)R$110 000,00 d)R$121 197,70 e)R$117 496,00
13) Daniela comprou um exaustor e vai pagá-lo em duas prestações: a primeira,
de R$180,00, um mês após a compra, e a segunda, de R$200,00, dois meses
após a compra. Sabendo que estão sendo cobrados juros de 25% ao mês, sobre
o saldo devedor, podemos afirmar que o preço à vista do aparelho era de:
a)R$138,00 b)R$237,50 c)R$272,00 d) R$285,00 e) R$304,00
14) Uma geladeira pode ser comprada à vista por R$2000,00 ou em 3 prestações
mensais iguais, sendo a primeira delas paga no ato da compra. Se o vendedor
cobra juros de 30% ao mês, sobre o saldo devedor, o valor de cada prestação é,
aproximadamente igual a:
a)R$827,00 b)R$847,00 c) R$867,00 d) R$887,00 e) R$907,00
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48
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
15) Uma empresa tomou emprestada de um banco, por 6 meses, a quantia de
$1000 000,00 à taxa de juros compostos de 19,9% ao mês. No entanto, 1 mês
antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago,
se o banco opera com uma taxa de desconto racional composto de 10% ao mês?
(Considere que 1199
, 6 2,97 )
a)$2 400 000,00 b)$2 500 000,00 c)$2 600 000,00 d)$2 700 000,00
GABARITO
(Descontos Compostos)
01) C 02) A 03) E 04) B 05) A
06) D 07) C 08) A 09) B 10) B
11) A 12) D 13) C 14) B 15) D
5) CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTAS
Rendas Certas ou Anuidades
5.1) Introdução:
Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar periodicamente
certa quantia em uma caderneta de poupança, por exemplo; quando queremos
comprar um bem qualquer, podemos fazê-lo em prestações a serem pagas
periodicamente.
Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar um dívida depositando ou
pagando certa quantia, em épocas distintas. No primeiro caso temos uma
CAPITALIZAÇÃO e no segundo, uma AMORTIZAÇÃO. Estudaremos, neste
capítulo como calcular: juros, parcelas , montantes futuros ou valores atuais
envolvidos nestas duas operações.
5.2) Rendas:
A sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas distintas, destinados a
formar um capital ou a pagar uma dívida é o que denominamos de RENDA.
As parcelas ou depósitos são denominados termos da renda (nas calculadoras
financeiras representados pela tecla PMT). O intervalo entre dois termos
consecutivos é denominado período da renda. Quando todos os períodos são
iguais , a renda é denominada periódica.
As rendas podem ainda ser caracterizadas como
Rendas Certas - Uma renda é denominada certa quando todos os seus
elementos: número de parcelas, período, valores das parcelas, vencimentos, etc.
podem ser pré-fixados. Caso contrário ela é dita renda aleatória. A preocupação
do nosso curso será com as rendas Certas ou Anuidades.
OBS: Se todas as parcelas que constituem a renda são iguais, ela é denominada
Constante (Série Uniforme), caso contrário ela é dita variável.
Quanto à data do vencimento de cada parcela, a renda pode ser classificada em:
Imediata ou Postecipada (quando as parcelas vencem no final de cada período,
à partir do primeiro); Antecipada (quando as parcelas vencem no início de cada
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período, à partir do primeiro) ou Diferida (quando o vencimento do primeiro termo
se dá no fim de um determinado número de períodos, denominado carência.
5.3) Capitalização Composta:
Neste item vamos estudar a determinação do montante constituído por depósitos
periódicos, de quantias constantes (séries uniformes) sobre as quais incide a
mesma taxa.
5.3.1) Renda Imediata
(Postecipada - modelo básico)
Esse é o caso fundamental de capitalização composta, sendo que os demais
casos que estudaremos são meras conseqüências deste.
Neste caso, o investidor deposita, no fim de cada período, à partir do primeiro,
uma parcela fixa, sob taxa constante de juros compostos, durante um número
determinado de períodos.
Inicialmente, antes de estudarmos qualquer fórmula, ou tabela financeira
específica, vamos analisar um exemplo simples inicial.
Sr. “Charles” deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5 meses, a
quantia de R$ 1000,00. Calcule o montante da renda acumulada, imediatamente
a pós o último depósito, sabendo que o banco está pagando juros de 20% ao
mês.
O fluxo de caixa abaixo esquematiza o nosso exemplo:
M
0
1
1000
2
3
4
5
1000 1000 1000 1000
Teremos o seguinte montante final (soma dos montantes produzidos por cada
uma das parcelas)
M = 1000 + 1000.(1,2) + 1000.(1,2)2 + 1000.(1,2)3 + 1000.(1,2)4 =
2
3
4
M = 1000.(1 +1,2 + 1,2 + 1,2 + 1,2 ) = 1000 . 7,4416 = R$7441,60
Na calculadora HP-12C, lembrando-se da simbologia usada para cada elemento,
teríamos:
1000 [CHS] PMT
5 n
20 i
FV = ? 7441,60
Obs: Pelo exemplo dado, verificamos o esforço e o trabalho “braçal”
necessários para os cálculos. Vamos agora conhecer uma fórmula e um
fator que já se encontra tabelado para esses casos, de modo a atenuar todo
esse trabalho.
Consideraremos:
T- Termo (Valor de cada depósito periódico)
n - Número de períodos
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i-Taxa unitária da operação
F = 1 + i - Fator de correção periódico
2
3
n-1
M = T . (1 + F + F + F + .. + F )
Verificamos que a soma entre parênteses é a soma dos n termos de uma
progressão geométrica de razão F.
Como a soma dos termos de uma PG é dada pela fórmula: S =
a n . q - a1
q - 1
teremos , nesse caso:
F n 1. F -1
ou então
S=
F - 1
Fn - 1
S=
i
Fn - 1
A expressão
é denominada “fator de acumulação de capital” e é
i
representado pelo símbolo sn¬i . Desse modo, a nossa fórmula para o cálculo do
montante de uma capitalização composta, no modelo básico ou imediato será:
M=T .
sn¬i
Essa forma de calcular, exige a consulta a uma tabela específica (veja no final da
apostila), muito usada em concursos onde as máquinas não são permitidas.
EXEMPLOS:
1) Deposito em um banco, no fim de cada mês, a importância de R$800,00, a
juros compostos de 3% ao mês. Quanto terei acumulado no fim de um ano?
SOLUÇÃO:
Como é um modelo imediato ou postecipado, teremos:
M = 800 .
sn¬i , sendo que nesse caso n = 12 e i = 3%
Tabe a 3
De acordo com a tabela 3, teremos: M = 800 . 14,192030 = R$ 11 353,62
Pela HP-12C, teríamos:
800 [CHS] PMT
12 n
3 i
FV = ? R$ 11 353,62
Na planilha Excel, teríamos a função FV, agora incluindo os valores das parcelas
de depósitos (PMT), o que não ocorreu no caso dos juros compostos, que essa
parcela ficou em branco.
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Observe que onde temos escrito tipo, colocamos o número zero que indica as
séries postecipadas (que é o caso), caso seja uma série antecipada, como
estudaremos em seguida, indicaríamos o número 1.
2) (AFTN 1991)
Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de R$12 000,00,
ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de
4% e que o primeiro depósito é feito ao fim do primeiro mês?
SOLUÇÃO:
Verificamos que se trata de uma capitalização composta imediata ou postecipada,
com 12 períodos e taxa periódica de 4%, faltando o valor de cada parcela fixa ou
termo T.
Logo: T . sn¬i = 12 000 e , de acordo com a tabela 3, teremos:
T . 15,025805 = 12 000, logo T = 12 000 : 15,025805 = 798,63
Na HP-12C, teríamos:
12000 [CHS] FV
12 n
4 i
PMT = ? R$ 798,63
Na planilha Excel, teríamos agora que escolher a função pagamento (PGT0) :
“Nunca será um verdadeiro matemático aquele que não for um pouco de poeta.”
(Karl Weierstrass)
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3) Quanto uma firma deve depositar, no fim de cada mês, a uma taxa de 60% ao
ano, capitalizados mensalmente, para dispor, no fim de um ano, do montante de
R$50 000,00?
Solução:
Temos agora uma capitalização composta, imediata, com M = R$ 50 000,00 ,
n=12 e i = 60% : 12 = 5% ao mês. Pela fórmula, temos ainda:
T . sn¬i = 50 000 e de acordo com a tabela 3, dos fatores de capitalização, para
n=12 e i=5%, teremos:
T . 15,917127 = 50 000 ou
T = 50 000 : 15,917127 = 3141,27
Resp. Deve depositar R$ 3 141,27 mensalmente.
Na planilha Excel, usando novamente a função pagamento (PGTO), teríamos:
"Quando você precisa tomar uma decisão e não toma,
está tomando a decisão de não fazer nada."
William James
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5.3.2) Montante de uma renda Antecipada.
Neste caso os depósitos periódicos constantes ocorrem no início de cada período,
n parcelas de valor T, a uma taxa unitária i, referida à mesma unidade do período
constante de aplicação. O montante final é exigível um período após a última
aplicação.
M
0
T
1
2
3
4
T
T
T
T
...
n-1
T
n
T
A maneira mais prática de calcular o montante acumulado com os n depósitos
antecipados é calcular o montante como se fosse uma renda postecipada e
multiplicar a resposta obtida por (1 + i), que é o nosso fator de correção referente
à taxa do investimento. Note que ao multiplicarmos este caso pelo fator F,
estaremos “deslocando” cada depósito T de um período para a direita, o que
transformará este caso no anterior.
Mant = T .
sn¬i . F
EXEMPLOS:
1) Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, durante 5
meses, a quantia de R$1000,00. Calcule o montante da renda, sabendo
que essa financeira paga juro de 2% ao mês, capitalizados mensalmente.
Solução:
Como é um caso de renda antecipada, teremos
Mant = T .
sn¬i . F ou então:
1000 . sn¬i . 1,02 =
1000 . 5,20404 . 1,02 = 5308,12
Tabela 3
Na HP-12C, no caso das rendas antecipadas basta modificar o modo de trabalho
para que apareça no visor a palavra BEGIN e isso é feito calcando-se a tecla g,
seguida da tecla BEG. (teclas azuis).
Para o exemplo anterior, teríamos:
g BEG (para operar no modo antecipado)
1000 [CHS] PMT
5 n
2
i
FV = ? 5308,12
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Na planilha Excel, procedemos como fizemos nas rendas postecipadas,
escolhendo para tipo o número 1.
Para o exemplo acima, teremos:
2) Quanto se deve depositar, no início de cada semestre, numa instituição
financeira que paga 18% ao ano, para constituir , um semestre após a última
aplicação, um montante de R$ 500 000,00, após 3 anos de depósitos, sendo que
os juros são capitalizados semestralmente?
Solução:
Trata-se de uma capitalização composta antecipada, onde a taxa nominal é de
18% ao ano, como a capitalização é semestral, utilizaremos a taxa de 9% ao
semestre.
T . sn¬i .1,09 = 500 000 , como o período de 3 anos corresponde a 6 semestres,
procuraremos na tabela 3 a linha n=6 e i = 9% e encontraremos o valor 7,52333.
T . 7,52333 . 1,09 = 500 000, ou seja T . 8,2004297 = 500 000
Teremos ,
T = 500 000 : 8,2004297 = 60 972,41
Resp. Cada um dos 6 depósitos deverá ser de R$ 60 972,41
Na HP-12C, teríamos:
Colocar em modo antecipado, teclando g BEG.
500 000 [CHS] FV
9
i
6
n
PMT = ? 60 972,40
Na planilha Excel, neste caso, escolheremos novamente a função financeira
PAGAMENTO (PGTO), com o indicativo de tipo 1, já que se trata de uma caso
antecipado.
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5.4) AMORTIZAÇÃO COMPOSTA:
Vamos agora aprender como calcular o valor atual de uma dívida (ou de um
empréstimo, ou o valor à vista de uma mercadoria) , que será paga em
prestações periódicas constantes, sobre as quais incide a mesma taxa.
5.4.1) Valor Atual de uma Renda Imediata (Postecipada)
É o nosso modelo básico, como no capítulo anterior, todos os demais casos
recairão nesse.
Para determinar o valor atual de uma dívida a ser amortizada em n parcelas
iguais e periódicas postecipadas, basta retroagir cada parcela à data zero, como
fizemos nos fluxos de caixa dos descontos compostos.
Vejamos um exemplo introdutório, antes de estudarmos uma maneira mais prática
com as tabelas específicas para este caso.
Vamos determinar o valor da dívida que está sendo amortizada em 5 prestações
mensais de R$1000,00, postecipadas, sob taxa de 2% ao mês, sobre o saldo
devedor.
Analisemos o fluxo de caixa desta situação:
A=?
0
1
2
3
4
5
1000 1000 1000 1000 1000
Retroagindo à data zero, como já estudamos anteriormente, teremos:
A= 1000 .1,02 1 + 1000.1,02 - 2 + 1000.1,02 - 3 + 1000.1,02 - 4 + 1000.1,02 - 5
Consultando a tabela 2, de desconto composto, teremos:
A = 980,39 + 961,17 + 942,32 + 933,85 + 905,73 = 4713,46
OBS: Verifique que, da mesma forma que na capitalização composta, poderíamos
ter colocado “em evidência” o termo 1000, e os valores que apareceriam
somados entre parênteses constituiriam também uma PG. Estas somas das PGs
que se obtém também se encontram tabeladas (Tabela 4) e são denominadas
a
fatores de amortização (Símbolo
n¬i ).
Generalizando o que vimos no exemplo introdutório deste capítulo, para
pagamentos postecipados e periódicos sob taxa i%, teremos
A = T . F -1 + F -2 + F -3 + ....F -n
(
= T.
an¬i
n
)
Se nós calcularmos a soma dos termos da PG que surgiu entre parênteses,
aplicando a fórmula respectiva, obteremos:
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an¬i =
Fn - 1
i . Fn
Você não precisa “decorar” esta última fórmula apresentada, mas ela será útil
para obtermos fatores de amortização não tabelados.
Exemplos:
1) Qual a quantia amortizada após o pagamento de 20 prestações de R$300,00,
num financiamento pelo modelo Price (modelo básico postecipado), à base de 6%
ao mês?
Solução: Tabela 4, n=20 e i =6%
A = T.
an¬i = 300 . 11,469921 = 3440,98
A solução pela HP-12C, seria:
Colocar a máquina na operação pelo modelo postecipado g END. (nada
aparecerá no visor, já que este é o padrão).
300 [CHS] PMT
6
i
20 n
PV = ? 3440,98
Na planilha Excel, teríamos que escolher a função financeira VALOR PRESENTE
VP. Com a digitação do zero na opção tipo, já que estamos diante de um modelo
postecipado.
2) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 100 000,00 para ser pago em 8
prestações iguais, mensais e postecipadas , sob taxa de juro composto de 7% ao
mês. Qual o valor de cada prestação?
T. an¬i = 100 000
Solução:
ou T . 16,628251 = 100 000
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Tábua 4, para
7% e n = 8
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T = 100 000 : 5,9713 = 1674,68
As prestações serão de R$ 1674,68
Na HP-12C, teríamos:
100 000 [CHS] PV
8
n
7
i
PMT = ? 1674,68
Na planilha Excel, teremos agora que escolher a função financeira PAGAMENTO
(PGTO).
3) Uma copiadora está sendo vendida por R$10 000,00 à vista ou em 10
prestações mensais, iguais e consecutivas (Price) de R$ 1404,00, sem entrada.
Qual a taxa de juro mensal desse financiamento?
1404 .
Solução:
an¬i = 10 000, logo
an¬i = 10 000 : 1404 = 7,122507
Se você procurar este valor na tabela 4, na linha correspondente a n=10, não
encontrará e terá de fazer um cálculo aproximado, que é a interpolação linear. A
interpolação linear é feita através de Regra de três, formada a partir das
diferenças entre os valores da tabela, adjacentes ao valor procurado.
6%
i%
7%
7,360087
7,122507
7,023581
Teremos, então a seguinte regra de três das diferenças:
1% ___________ 0,336506 (7,360087 - 7,023581)
x
____________ 0,237580 (7,360087 - 7,122507)
x = 0,237580 : 0,336506 = 0,71
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Logo, a taxa procurada é de aproximadamente 6,71% ao mês (6% + 0,71%).
É claro, que na HP-12C, teríamos um cálculo direto, bastando fazer:
10 000 [CHS] PV
10
n
1404 PMT
i = ? 6,70 %
Na planilha Excel, teremos a opção da escolha da função TAXA.
5.4.2) Valor Atual de uma Renda Antecipada:
Se os pagamentos de cada parcela forem efetuados no início de cada período ,
teremos uma renda antecipada e valem as mesmas considerações do montante
da renda antecipada, ou seja, o cálculo que vimos anteriormente deverá ser
multiplicado pelo fator de correção F, correspondente à taxa do financiamento.
Aant = T .
an¬i . F
Exemplo:
Uma geladeira pode ser comprada à vista por R$2000,00 ou em 3 prestações
mensais iguais , sendo que a primeira delas é paga no ato da compra. Se o
vendedor cobra juros de 4% ao mês, sobre o saldo devedor, o valor de cada
prestação será:
Solução:
Como se trata de renda antecipada, teremos:
2000 = T. an¬i . 1,04 , logo , teremos:
2000 = T . 2,775091 . 1,04 ou
T = 2000 : 2,88609 = 692,98
Na HP-12C, mais uma vez, colocaríamos a máquina em operação no modo
antecipado (g BEG), em seguida, teclando:
2000 [CHS] PV
3
n
4
i
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PMT = ? 692,98
Na HP-12C, teremos de escolher a função PAGAMENTO (PGTO), com a
identificação do código 1, para o item tipo, já que agora estamos diante de uma
renda ANTECIPADA.
5.4.3) Valor Atual de uma Renda Diferida:
Quando uma compra ou empréstimo tem uma carência de k períodos , ou seja, o
primeiro pagamento é efetuado no período k + 1, devemos calcular o valor atual
como se a data zero (focal) fosse o período k, em seguida devemos retroagir ao
k
zero original, bastando dividir o valor obtido por F .
Adif =
A’
T.an ¬ i
Fk
A
0
.....
k
k+1
k+2
k+3
T
T
T
Obs: Tome cuidado para não confundir o prazo de carência com a data do
primeiro pagamento. Por exemplo, se o primeiro pagamento for efetuado 6 meses
após a compra, com pagamentos mensais, a carência será de 5 meses, pois o
que nos serve como comparação é o modelo básico e, nele, o primeiro
pagamento seria efetuado 1 mês após a compra e a carência será igual a 5
meses que é a diferença entre 6 e 1.
Exemplo: Uma compra foi efetuada em 4 parcelas de R$500,00, com o primeiro
pagamento feito a 3 meses da compra, sob taxa de 20% ao mês. Qual o valor à
vista , na data da compra?
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Solução:
É uma compra com carência de 2 meses, logo, faremos o cálculo normal do valor
2
atual na data 3, com n=4 e i = 20%, depois dividimos o resultado pelo fator (1,2) .
A’ = 500 .
an¬i = 500 . 2,588734 (Tabela 4) = 1294,37
2
A = 1294,37 : (1,2) = 898,87
EXERCÍCIOS(CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTAS)
1) (Fiscal de Rendas - RJ - 1987)
O preço de um automóvel e de R$50 000,00. Um comprador ofereceu
R$20 000,00 de entrada e o pagamento do saldo restante em 12 prestações
mensais iguais, sob taxa de juro composto de 5% ao mês. O valor de cada
prestação, desprezados os centavos, é:
a) R$3 684,70 b) R$2 584,70 c) R$3 184,70 d) R$3 084,70 e) R$3 384,70
2) (Fiscal de Rendas - RJ - 1987)
Uma roupa é vendida por R$400,00 à vista ou financiada em 5 prestações
mensais iguais, sem entrada. A taxa de juros é de 24% a.a, pelo sistema Price
(taxa nominal). A primeira prestação vence 1 mês após a compra. O valor da
prestação, desprezados os centavos, e a taxa de juro efetiva cobrada, em termos
anuais, são, respectivamente:
a)R$84,80; 24,8% b)R$85,80; 26,8% c)R$87,80; 26,8% d)R$84,80; 26,8%e) R$85,80 e 24,8%
3) Uma pessoa deposita num banco, no fim de cada mês, a quantia de R$450,00.
Calcular o montante, ao fim de 2 anos, sabendo-se que os juros são nominais de
24% a.a, com capitalização mensal.
a)R$13 689,83 b)R$12 345,00 c)R$14 356,78 d)R$12 345,90 e)R$16 780,00
4) Quanto se deve depositar, no fim de cada trimestre, a juros de 28% a.a, para,
ao fim de 1 ano e meio, obter-se o disponível de R$800000,00, sendo
capitalização trimestral?
a)R$112 345,00 b)R$111 836,00 c)R$115 450,00 d)R$97 890,00 e)R$123 890,00
5) Calcular o valor atual de uma renda imediata, constituída por pagamentos
trimestrais iguais a R$4 800,00, à taxa de 36%a.a, durante 2 anos, capitalizados
trimestralmente.
a)R$23 789,00 b)R$24 56 7 ,80 c)R$25 600,00 d)R$26 567,13 e)R$28 900,00
6) Uma máquina de R$8 500,00 é vendida com 15% de entrada e 8 prestações
mensais imediatas de R$1000,00. Calcular a taxa de juro composto mensal
cobrada pela loja.
a) 3,5%
b) 2,39% c) 2,78 % d) 2,329% e) 3,21%
7) Um imóvel foi adquirido com R$70 000,00 de entrada e 20 prestações mensais
postecipadas de R$9 000,00 cada uma. Calcular o custo, à vista do imóvel,
sabendo que a taxa de juros compostos cobrada é de 25% ao mês.
a)R$230 000,00 b)R$105 584,94 c)R$156 786,00 d)R$134 567,80
e)R$219 000,00
8) Calcular o montante final, acumulado por 10 depósitos mensais imediatos de
R$1 500,00, sob taxa de juro composto mensal de 10%.
a) R$24 560,00
b) R$32 600,00
c) R$24 566,35
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d) R$23 906,13
e) R$21 900,00
61
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9) Qual seria o montante do exercício anterior, se as parcelas fossem
antecipadas, sujeitas às mesmas condições?
a) R$26 790,00
b) R$24 500,00
c) R$26 296,75
d) R$28 000,00
e) R$32 500,00
10) Na porta de um banco lia-se: “ Deposite mensalmente R$100,00 e, após 24
meses, retire R$3 442,65”. Qual a taxa mensal de juro composto que o banco
está remunerando esse investimento?
a) 1% b) 2% c) 3% d) 4% e) 5%
11) Qual o valor da prestação mensal de um financiamento de R$3 500,00, feito
em 10 meses, modelo básico a 2% ao mês?
a) R$389,64
b) R$432,68 c) R$345,50 d)R$380,00 e) R$239,89
12) Qual o valor atual de uma renda antecipada de 9 parcelas iguais a R$120,00,
com taxa de 3% ao período?
a) R$845,00 b) R$980,70 c) R$1230,00 d) R$975,90 e) R$962,36
13) Calcular o valor atual de uma renda mensal, postecipada, de 12 termos iguais
a R$200,00, com carência de 4 meses, sendo 5% ao mês a taxa de juros
compostos?
a)R$1458,36 b)R$1560,00 c)R$1562,00 d)R$1235,89 e)R$1469,89
14) Uma pessoa aplicou R$1500,00 e, após 36 meses , recebeu a soma total de
R$6155,90. Que depósitos mensais postecipados, nesse período, produziriam a
mesma soma, se os juros compostos, sobre o saldo credor, fossem beneficiados
com a mesma taxa da primeira hipótese?
a) R$82,35 b) R$123,00 c)R$79,33 d) R$92,00 e) R$75,00
15) Um microcomputador, que está custando R$4 800,00 à vista, foi vendido em
3 prestações mensais iguais e consecutivas, sem entrada. Sabendo-se que a
primeira prestação só será paga 30 dias após a compra, o valor da prestação
mensal, à taxa de juros compostos de 13% ao mês, será de: (desprezar os
centavos no resultado final)
a) R$2032,00 b) R$1799,00 c)R$2877,00 d) R$1613,00 e) R$2546,00
16) Uma imobiliária oferece, em lançamento, uma pequena chácara, nas
seguintes condições:
1) Entrada: R$2 0 000,00
2) 36 prestações mensais de R$1000,00
3) 2 parcelas intermediárias semestrais de R$4000,00(6º mês e 12º mês).
Qual o preço à vista da chácara, uma vez que a taxa efetiva de juros compostos
de mercado é de 10% ao mês?
a) R$32 450,00 b) R$33 208,00 c) R$43 200,00 d) R$34 580,00 e) R$56 500,00
17) A loja “Kobra Karo” está com uma promoção sensacional:
- à vista, com 30% de desconto
-à prazo, com um pequeno acréscimo de 20%, em 3 prestações mensais iguais,
sendo a primeira no ato da compra.
Qual a taxa de juro mensal, efetivamente cobrada pela loja?
a) 20% b) 25% c) 30% d) 40% e) 100%
Prof. Ilydio Pereira de Sá
62
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
18) Daniela comprou um exaustor e vai pagá-lo em duas prestações:
R$180,00, um mês após a compra
R$200,00, dois meses após a compra.
Sabendo-se que estão sendo cobrados juros de 25% sobre o saldo devedor,
podemos afirmar que o preço à vista do aparelho era de:
a) R$138,00 b) R$237,50 c) R$272,00 d) R$285,00 e) R$304,00
19) Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$900,00,
necessárias para se ter um montante de R$11 863,00, considerando-se uma taxa
efetiva de 6% ao bimestre e uma renda imediata.
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
20) Quantos pagamentos bimestrais antecipados de R$40 838,00 são
necessários para amortizar uma dívida de R$150 000,00, com juros de 36% ao
ano, com capitalização bimestral?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
GABARITO
(Capitalização e Amortização Compostas)
01) E
06) D
11) A
16) B
02) D
07) B
12) E
17) E
03) A
08) D
13) A
18) C
04) B
09) C
14) C
19) D
05) D
10) C
15) A
20) B
"Nós geralmente descobrimos o que fazer percebendo aquilo que não devemos
fazer. E provavelmente aquele que nunca cometeu um erro
nunca fez uma descoberta."
(Samuel Smiles)
Prof. Ilydio Pereira de Sá
63
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
6) Sistemas de Amortização
Amortização Constante (SAC)
Price (ou Francês)
Amortização Misto (SAM)
Alemão
Amortização Crescente (SACRE)
Introdução
Pagamento único
Pagamentos variáveis
Americano
Chave da casa própria
Saiba como conseguir seu crédito imobiliário
CRISTIANE CORREA
Comprar a tão sonhada casa própria pode dar uma tremenda dor de cabeça. A
burocracia para conseguir a liberação do Fundo de Garantia (FGTS) e a
concessão de crédito podem tornar o caminho até o novo imóvel mais longo do
que se imagina. "Evitar o vaivém de documentos é fundamental para agilizar o
financiamento", aconselha Ana Paula Albuquerque, sócia da GA Consultoria
Imobiliária. Mesmo assim, os prazos variam de banco para banco. Só para se ter
idéia, a aprovação de crédito pode levar entre 3 e 15 dias, enquanto a liberação
de recursos chega a variar entre 30 e 90 dias. Outro fator importante a observar é
o sistema de amortização que será usado. Os bancos normalmente empregam o
Price, mas a Caixa Econômica Federal oferece também o Sacre (Sistema de
Amortização Crescente). A prestação inicial no Sacre pode comprometer até 30%
da renda do mutuário (e vai diminuindo), enquanto no sistema Price o
comprometimento inicial é de 25% (e mantém-se nesse nível). Ou seja: quem
preferir bancar prestações mais "pesadas" no início do financiamento pode optar
pelo Sacre que a CEF adota, mas para aqueles que desejarem efetuar
pagamentos iguais (descontada a TR) o sistema Price é a melhor alternativa.
Ambos os casos, porém, admitem o uso do FGTS para pagamento da dívida.
Vale lembrar que para imóveis de alto padrão, que exijam financiamento mais
elevado, o mercado oferece outro tipo de financiamento: a Carteira Hipotecária. O
problema é que nessas operações não se permite o uso do Fundo de Garantia.
Dicas
Quer fazer um teste de como ficaria o seu financiamento? Os sites da Caixa
Econômica Federal (www.caixa.gov.br) e do Bradesco (www. bradesco.com.br)
têm ótimos simuladores. É só colocar dados como valor do imóvel e prazo de
amortização.
O BankBoston oferece um complemento exclusivo: seguro-desemprego. O
mutuário paga mensalmente 3% sobre o valor da prestação e, em caso de ficar
desempregado, tem a garantia de que serão quitadas seis parcelas.
Fique atento às taxas cobradas pelos bancos, que podem variar em mais de
100%. Para a avaliação do imóvel, há bancos que cobram R$ 200 e outros que
cobram R$ 350. No caso da taxa de cadastro e jurídica, a diferença é ainda maior:
de R$ 200 a R$ 450.
(Isto É – On-line – 1584)
Prof. Ilydio Pereira de Sá
64
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
6.1) Introdução à amortização
Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos
periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que
cada prestação corresponde à soma de uma parcela de amortização da dívida,
com a parcela de juros. É importante destacar que:
Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!
Os principais sistemas de amortização são:
1. Sistema de Pagamento único
Conceito: Um único pagamento no final.
2. Sistema de Pagamentos variáveis
Conceito: Vários pagamentos diferenciados.
3. Sistema Americano
Conceito: As prestações representam apenas as parcelas de juros, com
exceção da última, onde a dívida é amortizada integralmente.
4. Sistema de Amortização Constante (SAC)
Conceito: A amortização da dívida é constante e igual em cada período.
5. Sistema Price ou Francês (PRICE)
Conceito: Os pagamentos (prestações) são iguais.
6. Sistema de Amortização Misto (SAM)
Conceito: Os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price.
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento será a soma do valor
amortizado com os juros do saldo devedor, isto é:
Pagamento = Amortização + Juros
Vamos observar uma série de exemplos, baseados num financiamento
hipotético de R$300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal
de 4%.
Usaremos como base para nossos sistemas uma planilha de custos, como a que
apresentamos abaixo:
n
Juros
Sistema de Amortização
Amortização do
Pagamento Saldo devedor
Saldo devedor
300.000,00
0
1
2
3
4
5
Totais
300.000,00
1) Sistema de Pagamento Único
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0
65
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
Conceito: O devedor paga o Montante = Capital + Juros compostos da dívida em
um único pagamento ao final de n=5 períodos. O Montante pode ser calculado
pela tradicional fórmula:
M = C.(1+i)n
Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a
prazo fixo com renda final.
n
0
1
2
3
4
5
Totais
Sistema de Pagamento Único
Amortização do
Juros
Pagamento Saldo devedor
Saldo devedor
0
12.000,00
12.480,00
12.979,20
13.498,37
14.038,30
64.995,87
0
0
300.000,00
300.000,00
364.995,87
364.995,87
300.000,00
312.000,00
324.480,00
337.459,20
350.957,57
0
2) Sistema de Pagamentos Variáveis
Conceito: O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a
sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os
juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período.
Uso: Cartões de crédito.
Combinação: Foi acertado que o devedor pagará a dívida da forma:
No final do 1o. mês: R$ 30.000,00 + juros
No final do 2o. mês: R$ 45.000,00 + juros
No final do 3o. mês: R$ 60.000,00 + juros
No final do 4o. mês: R$ 75.000,00 + juros
No final do 5o. mês: R$ 90.000,00 + juros
"Quando o homem começa com certezas, termina com dúvidas, mas se ele se
contenta em começar com dúvidas, terminará com a certeza."
(Francis Bacon)
Prof. Ilydio Pereira de Sá
66
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
Sistema de Pagamentos Variáveis
n
Juros
0
1
2
3
4
5
Totais
0
12.000,00
10.800,00
9.000,00
6.600,00
3.600,00
42.000,00
Amortização do
Saldo devedor
0
30.000,00
45.000,00
60.000,00
75.000,00
90.000,00
300.000,00
Pagamento
Saldo devedor
0
42.000,00
55.800,00
69.000,00
81.600,00
93.600,00
342.000,00
300.000,00
270.000,00
225.000,00
165.000,00
90.000,00
0
3) Sistema Americano
Conceito: O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final
de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No
final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5º período.
n
Juros
0
1
2
3
4
5
Totais
0
12.000,00
12.000,00
12.000,00
12.000,00
12.000,00
60.000,00
Sistema Americano
Amortização do
Pagamento Saldo devedor
Saldo devedor
0
300.000,00
300.000,00
0
12.000,00
12.000,00
12.000,00
12.000,00
312.000,00
360.000,00
300.000,00
300.000,00
300.000,00
300.000,00
300.000,00
0
4) Sistema de Amortização Constante (SAC)
Conceito: O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as
amortizações são sempre constantes e iguais.
n
0
1
2
3
4
5
Totais
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Amortização do
Saldo
Juros
Pagamento
Saldo devedor
devedor
0
12.000,00
9.600,00
7.200,00
4.800,00
2.400,00
36.000,00
0
60.000,00
60.000,00
60.000,00
60.000,00
60.000,00
300.000,00
0
72.000,00
69.600,00
67.200,00
64.800,00
62.400,00
336.000,00
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300.000,00
240.000,00
180.000,00
120.000,00
60.000,00
0
67
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5) Sistema Price (Sistema Francês)
Conceito: Todas as prestações (pagamentos) são iguais.
Uso: Financiamentos em geral de bens de consumo.
Cálculo: O cálculo da prestação Prest é o produto do valor financiado Vfin =
300.000,00 pelo coeficiente Coef ( an¬i ), obtido na fórmula:
n
n
Coef = [i.(1+i) ]÷[(1+i) -1]
(Como já estudado no capítulo das amortizações compostas)
onde i é a taxa ao período e n é o número de períodos. Para esta tabela, o
cálculo fornece:
Prest = Coef × VFin = 67.388,13
n
0
1
2
3
4
5
Totais
Sistema Price (ou Sistema Francês)
Amortização do
Juros
Pagamento
Saldo devedor
0
12.000,00
9.784,47
7.480,32
5.084,01
2.591,85
36.940,65
0
55.388,13
57.603,66
59.907,81
62.304,12
64.796,28
300.000,00
0
67.388,13
67.388,13
67.388,13
67.388,13
67.388,13
336.940,65
Saldo
devedor
300.000,00
244.611,87
187.008,21
127.100,40
64.796,28
0
OBSERVAÇÃO: CÁLCULO DO SALDO DEVEDOR, NO SISTEMA FRANCÊS,
APÓS PAGAMENTO DE K PARCELAS.
Note que seria extremamente trabalhoso que, para determinarmos os elementos
de uma das linhas da planilha, tivéssemos de preencher toda a planilha.
Verifique que o preenchimento de uma linha qualquer só depende do saldo
devedor da linha anterior e da prestação, que é constante.
Perceba também que o saldo devedor após o pagamento de k parcelas, será
igual ao valor atual imediato das (n – k) parcelas restantes, ou seja:
SD = T . a (n - k) ¬ i
Vejamos como exemplo qual seria na planilha anterior o saldo devedor após o
pagamento de 2 prestações:
Este saldo deverá ser o valor atual imediato das 3 (5 -2) parcelas restantes, ou
seja:
SD = 67388,13. 2,775091
(ver tabela 4) = 187008,19
O que confirma o valor que estava na tabela, para o saldo devedor,
correspondente ao pagamento de duas parcelas (n=2).
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68
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
Convém reforçar que tal valor seria usado em exercício, como valor de referência
para o cálculo dos elementos contidos na parcela 3 do financiamento.
Exemplo 1 :
Calcular a parcela de amortização, inserida no pagamento da 4ª parcela de um
financiamento de R$ 20 000,00 , pelo sistema Price, composto de 10 parcelas
mensais com juros de 5% ao mês?
a) Cálculo da prestação:
a
b) T = 20 000 : n¬i , sendo
n=10 e i=5% (Tabela 4) ,
T = 20 000 : 7,721735 = 2 590,00
b) Como estamos procurando a amortização inserida na 4ª parcela, teremos de
calcular o saldo devedor após o pagamento de 3 parcelas, e de acordo com o que
vimos anteriormente, teremos:
a
SD = 2 590 . n¬i , onde n = 7 (10 - 3) e i = 5%
SD = 2 590 . 5,786373 = 14 986,70
O juro da 4ª parcela será de 5% de 14 986,70 = 749,34
Finalmente, a amortização procurada será de
2590,00 - 749,34 = 1840,66.
Exemplo 2:
(Fiscal de Atividades Econômicas - RJ - 1992)
Considere o sistema Francês de Amortização. Uma quantia de R$ 400 000,00
deverá ser paga em 10 prestações mensais iguais, sob taxa de juros compostos
de 12% ao mês. Se no mês 4 a prestação vale R$70793,60, a cota de
amortização no mês 1 é de:
Solução:
Como no sistema Francês, a prestação é constante, teremos que a primeira
prestação também é de R$ 70 793,60.
Precisamos obter o valor do juro da primeira prestação, que é calculado sobre o
saldo devedor integral da dívida ,R$ 400 000,00.
Logo, juro da primeira parcela = 0,12 . 400 000 = 48 000,00
Finalmente, a cota de amortização pedida será: 70 793,60 - 48 000,00
= 22 793,60
SISTEMA PRICE E A HP-12C
A calculadora HP-12C já está programada para obtermos todos os elementos da
planilha do Sistema Francês de Amortização. A tecla AMORT, em combinação
com as demais teclas financeiras, nos permitirá esse cálculo, como mostraremos
em dois exemplos.
Exemplo 1:
Um empréstimo de R$ 3000,00 deve ser liquidado em 4 prestações mensais,
iguais, postecipadas e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada
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69
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nessa operação é de 6% ao mês, calcular o valor das prestações, das parcelas de
amortização, dos juros contidos em cada prestação e do saldo devedor após cada
pagamento.
HP-12C
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
Limpa todos os registros
f CLEAR REG
0,00
Introduz o valor emprestado
3000 CHS PV
-3000,00
Introduz o nº de prestações
4
n
4,00
Introduz a taxa percentual de juros
6 i
6,00
Exibe o valor das prestações
PMT
865,77
Exibe a parcela de juros na 1ª prestação
1 f AMORT
180,00
X >< Y
685,77
Exibe a parcela de amortização na 1ª prestação
-2314,23
Exibe o saldo devedor após o pagamento da 1ª
prestação.
138,85
726,92
Exibe a parcela de juros na 2ª prestação
Exibe a parcela de amortização na 2ª prestação
-1587,31
Exibe o saldo devedor após o pagamento da 2ª
prestação.
1 f AMORT
X >< Y
95,24
770,53
Exibe a parcela de juros na 3ª prestação
Exibe a parcela de amortização na 3ª prestação
RCL
-816,78
Exibe o saldo devedor após o pagamento da 3ª
prestação.
49,01
816,76
Exibe a parcela de juros na 4ª prestação
Exibe a parcela de amortização na 4ª prestação
-0,02
Exibe o saldo devedor após o pagamento da 4ª
prestação - final.
RCL
PV
1 f AMORT
X >< Y
RCL
PV
PV
1 f AMORT
X >< Y
RCL
PV
OBSERVAÇÃO: O saldo devedor final deveria ter sido zero. O resíduo que
encontramos (2 centavos) deve-se exclusivamente aos arredondamentos que
fizemos.
Você deve estar pensando que, caso fosse um número muito grande de
prestações, mesmo com a HP-12C, teríamos que montar toda a planilha, para a
obtenção de informações após o pagamento de algumas prestações. Isso não é
necessário, podemos ir diretamente à prestação desejada, mediante o processo
que mostraremos no exemplo seguinte.
Exemplo 2:
Uma pessoa obteve financiamento de R$ 10 000,00 para a compra de um veículo,
tabela Price, para pagamento em 18 prestações mensais postecipadas.A taxa de
juros cobrada sobre o saldo devedor foi de 5,25 % ao mês. Calcule o valor das
prestações, a soma das parcelas de juros pagas, a soma das parcelas de
amortização pagas e o saldo devedor, após o pagamento das primeiras 6
prestações.
Prof. Ilydio Pereira de Sá
70
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
HP-12C
TECLAS
f CLEAR REG
10 000 CHS PV
18
n
5,25
i
PMT
VISOR
0,00
-10 000,00
18,00
5,25
872,25
SIGNIFICADO
6 f AMORT
2856,63
Limpa todos os registros
Introduz o valor emprestado
Introduz o nº de prestações
Introduz a taxa percentual de juros
Exibe o valor das prestações
Exibe o total de juros pagos, nas 6 primeiras
prestações.
X >< Y
2376,87
Exibe o total amortizado, após o pagamento das 6
primeiras prestações.
RCL
-7623,13
Exibe o saldo devedor após o pagamento das 6
primeiras prestações.
PV
6) Sistema de Amortização Misto (SAM)
Conceito: Cada prestação (pagamento médio) é a média aritmética das
prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização
Constante (SAC).
Uso: Alguns financiamentos do Sistema Financeiro.
Cálculo:
PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2
n
PSAC
PPrice
PSAM
1
2
3
4
5
72.000,00
69.600,00
67.200,00
64.800,00
62.400,00
67.388,13
67.388,13
67.388,13
67.388,13
67.388,13
69.694,06
68.494,07
67.294,07
66.094,07
64.894,07
n
0
1
2
3
4
5
Totais
Sistema de Amortização Misto (SAM)
Amortização do
Saldo
Juros
Pagamento
Saldo devedor
devedor
0
12.000,00
9.692,24
7.340,16
4.942,01
2.495,93
36.470,34
0
57.694,06
58.801,83
59.953,91
61.152,06
62.398,14
300.000,00
0
69.694,06
68.494,07
67.294,07
66.094,17
64.894,07
336.470,94
300.000,00
242.305,94
183.504,11
123.550,20
62.398,14
0
“Se A é o sucesso, então é igual a X mais Y mais Z. O trabalho é X; Y é o
lazer; e Z é manter a boca fechada.”
(Albert Einstein)
Prof. Ilydio Pereira de Sá
71
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
7) Sistema de Amortização Crescente (SACRE)
Sistema exclusivo da Caixa Econômica Federal, foi desenvolvido com o objetivo
de permitir uma amortização mais rápida, reduzindo a parcela de juros sobre o
saldo devedor. Por esse sistema, a prestação inicial pode comprometer até 30%
da renda. Ao longo do contrato, o valor das prestações diminui.
Pelo Sacre, a correção das prestações é feita anualmente nos dois primeiros anos
do contrato, podendo ocorrer trimestralmente a partir do terceiro ano. No final de
cada ano, a Caixa levanta o saldo devedor e aplica a correção pela variação do
índice de reajuste da Caderneta de Poupança (atualmente, a TR) e por taxas de
juros de 6% a 12%, de acordo com a modalidade de financiamento obtida.
O prazo máximo de financiamento pelo Sacre é de 20 anos (imóveis para classe
média) e 25 anos (unidades populares). No final do contrato, realizado pelo
sistema, não há resíduos a serem pagos pelo comprador.
Veja agora, como fica um financiamento de 120 meses pelo Sistema Sacre para
um imóvel no valor de R$ 50000,00.
Para este cálculo, foi utilizada uma taxa de juros anuais de 12% e uma TR mensal
projetada para o período de 0,2149%. Não foi considerado o percentual cobrado
pelo seguro.
a) Verifique que as prestações são sempre fixas num período de 12 meses,
quando são corrigidas sempre pela mesma fórmula:
b) Prestação = saldo devedor x {( 1/n ) + ( taxa juros mês/100)}, exemplificando:
Prestação = 50.000 x { ( 1/120 ) + ( 0,12 / 12 ) } = 916,67
Utilizando nesta fórmula o saldo devedor como valor total do financiamento, você
obterá o valor da sua primeira parcela. Considere n como sendo o período total
do financiamento menos o período já pago. Neste exemplo, para a primeira
parcela n é igual a 120. Para a 13ª parcela utilize um n igual a 108.
c) O saldo devedor do financiamento é corrigido mensalmente pela TR
(0,21490%). Desta forma, você primeiro corrige o saldo devedor, depois diminui
a parcela da amortização, e assim, terá o saldo devedor corrigido.
d) Cálculo do valor mensal dos juros que você paga:
Valor juros mensal = taxa juros mês x saldo devedor mês x TR
c) Cálculo do valor da amortização do seu financiamento:
Valor amortização = prestação - valor juros mês.
"Ter razão é fácil. Perceber que os outros a têm - eis o problema."
(M. Silva Brito)
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72
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EXERCÍCIOS
1) Qual o valor da prestação de um empréstimo de R$10 000,00 a ser pago, sem
carência, em 8 parcelas à base de 5% ao mês, pelo sistema Francês?
a) R$1 321,41 b) R$1 547,21 c) R$1 532,61 d) R$1 345,00 e) R$ 1 675,45
2) Um empréstimo de R$15 000,00, pelo sistema Francês de amortização, deve
ser pago em 1 ano, sem carência, à base de 4% ao mês de juros sobre o saldo
devedor. Calcular a parcela de amortização contida no pagamento da oitava
prestação.
a) R$ 1313,67 b) R$ 1598,28 c) R$ 1284,61 d) R$ 1124,21 e) R$ 2345,65
3) Qual o valor da quinta prestação de um financiamento de R$20 000,00 , pelo
sistema SAC , em 8 parcelas , sem carência , e com taxa de 3% ao mês?
a) R$ 2 875,00 b) R$ 2 950,00 c) R$ 2 320,00 d) R$ 2 800,00 e) R$ 3 025,00
4) Uma empresa vende um apartamento cujo preço à vista é de R$100 000,00,
financiado em 5 prestações mensais , à taxa de juros compostos de 10 % ao mês,
pelo sistema SAC. Sabendo que a financiadora exige 20% de entrada e que a
primeira prestação vence no final do primeiro mês, a última prestação mensal
será de:
a) R$ 17 000,00 b) R$ 17 200,00 c) R$ 17 400,00 d) R$ 17 600,00 e) R$ 20 000,00
5) Um microcomputador é vendido pelo preço à vista de R$2000,00, mas pode
ser financiado com 20% de entrada e uma taxa de juros de 96% ao ano, tabela
Price. Sabendo-se que o financiamento deve ser amortizado em 5 prestações
mensais, o total de juros pago pelo comprador é de, aproximadamente:
a) R$4 107,37 b) R$4 082,39 c) R$4 128,00 d) R$ 4 036,52 e) R$4 202,25
6) O banco “ Kerotudo” S.A empresta R$120 000,00 entregues no ato, sem prazo
de carência. Sabendo-se que o banco utiliza o Sistema Francês de Amortização,
que a taxa de juros é de 20% ao mês, com capitalização mensal, e que o Banco
quer a devolução em 20 prestações mensais, pede-se o valor da primeira cota de
amortização.
a) R$ 642,78 b) R$ 6 427,00 c) R$ 8 567,00 d) R$ 789,80 e) R$ 4 567,40
7) Um empréstimo de R$2000,00 será saldado em 20 amortizações mensais
iguais (Sistema SAC), tendo sido contratada a taxa de juros compostos de 25%
ao mês. Qual o saldo devedor após o pagamento da nona parcela, sabendo-se
que não houve prazo de carência?
a) R$ 900,00 b) R$ 1 100,00 c) R$ 1 250,00 d) R$ 1 120,00 e) R$ 800,00
8) Qual a parcela de juros incluída na nona prestação do exercício anterior?
a) R$250,00 b) R$320,00 c) R$300,00 d) R$430,00 e) R$540,00
9) A tabela abaixo representa uma planilha de um financiamento pelo sistema
Price. Complete a planilha e calcule a soma dos juros pagos no empréstimo.
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73
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N
0
1
2
3
4
5
6
total
Juro
Amort.
Prestação
SD
129 607,41
229 607,41
870 392,59
a) 377 644,46 b) 365 560,45 c) 445 325,80 d) 452 230,40 e) 214 458,90
10) O preço à vista de uma motocicleta é
essa moto com uma entrada de R$500,00
de R$487,78 (Price). Nessas condições,
financiamento foi de:
a) 151,8% b) 84% c) 84,23% c) 101,2%
de R$2500,00. Uma pessoa comprou
e o saldo financiado em 5 prestações
a taxa anual efetiva, cobrada nesse
e) 125,2%
11) (AFTN - 85)
Um micro computador é vendido pelo preço à vista de $2000,00, mas pode ser
financiado com 20% de entrada e a uma taxa de juros de 96% ao ano, Tabela
Price. Sabendo-se que o financiamento deve ser amortizado em 5 meses, o total
de juros pagos pelo comprador é de, aproximadamente:
a) $403,51 b) $407,51 c) $345,98 c) $324,78 e) $567,35
12) (AFTN -85)
Uma pessoa obteve um empréstimo de $120 000,00, a uma taxa de juros
compostos de 2% ao mês, que deverá ser pago em 10 parcelas iguais. O valor
dos juros a ser pago na oitava parcela é de:
a) $5,00
b) $51,00 c) $518,00 c) $456,00 e) $770,52
13) Um imóvel foi comprado por R$500 000,00, sendo metade pago à vista e o
restante pela tabela Price em 2 anos, a juros de 12% ao ano. Qual o saldo
devedor decorrido 1 ano?
a) R$132 453,00 b) R$120 730,00 c) R$115 180,00 d) R$128 730,00 e) R$143 780,00
14) Um imóvel de R$ 40 000,00 deverá ser pago em 20 parcelas, pelo sistema
SAC, com juros de 3% ao mês. Qual será o valor de 10a prestação?
a) R$4 670,00 b) R$2 660,00 c) R$2 340,00 d) R$2 765,00
15) Um banco empresta sob as seguintes condições:
a) Taxa nominal de juros de 6% ao ano.
b) Prestações semestrais.
c) Sistema Price ou Sistema SAC, dependendo de acordo prévio.
Pede-se, para um empréstimo de R$12 000,00, qual seria o valor da primeira
prestação pelo Sistema SAC, se pelo Price era de R$1406,77?
a) R$ 1560,00 b) R$1776,00 c) R$1512,00 d)R$1680,00 e) R$1726,00
“A Matemática é como um moinho de café que mói admiravelmente o que se lhe
dá para moer, mas não devolve outra coisa senão o que se lhe deu.”
(Faraday)
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GABARITO:
01) B 02) A 03) D 04) D 05) D
06) A 07) B 08) C 09) A 10) E
11) A 12) E 13) A 14) B 15) A
7) EXERCÍCIOS GERAIS, DE REVISÃO E REFORÇO
1) Uma pessoa colocou em um banco, a juros simples, uma certa quantia que,
depois de 10 meses, ficou elevada a $12 600,00 (capital e juros reunidos). Tendo
deixado essa soma no mesmo banco e nas mesmas condições, durante 2 anos e
6 meses, recebeu, finalmente $14 490,00. Qual foi a quantia primitivamente
colocada?
a) $10 000,00 b) $11 000,00 c) $12 000,00 d) $13 000,00 e) $14 000,00
2) Em 10 de junho desconta-se uma letra de $5 820,00 a se vencer em 26 de
julho. Calcular o valor líquido, sabendo-se que a taxa de desconto comercial
simples é de 6% ao ano.
a) $5 775,38 b) $5 445,90 c) $4 890,80 d) $4 990,70 e) $5 459,78
3) Uma letra de $ 8 000,00, pagável no dia 15 de junho, sofre um desconto
comercial simples, no dia 4 de abril precedente e fica reduzida a $7 904,00. Pedese a taxa anual cobrada pelo banco.
a) 4% b) 5% c) 8% d) 6% e) 9%
4) “Os Bancários de um certo Estado tiveram de 1984 a 1988 reajustes
salariais de 18%, 18%,44% e 40%, respectivamente. Em meados de 1988,
eles reivindicaram um reajuste extra, que recolocasse seus salários no nível
em que estariam caso tivessem sido utilizados, para os reajustes de 1984 e
1985 os índices de 31% e 42%.”
Diante dos dados acima, o percentual de reajuste extra reivindicado deveria ter
sido de, aproximadamente:
a) 25% b) 28% c) 29% d) 31% e) 33%
5) (AFTN - 96)
Uma empresa aplica $300,00 a juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A
taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é:
a) 4,6% b) 4,4% c) 5% d) 5,2% e) 4,8%
6) (AFTN - 96)
A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal é equivalente a uma taxa
trimestral de:
a) 60% b) 66,6% c) 68,9% d) 72,8% e) 84,4%
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75
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7) (AFTN - 96)
Um empréstimo de $20 900,00 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao
ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento
de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento no final do
primeiro trimestre e segundo vencimento no final do segundo trimestre). O valor
que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é:
a) $10 350,00 b) $10 800,00 c) $11 881,00 d) $12 433,33 e) $12 600,00
8) Qual o valor aproximado do montante acumulado imediatamente após o último
depósito de um investimento constituído de 10 termos constantes, postecipados,
de R$1000,00 com uma taxa fixa de 3% ao período?
a)R$11 464,00 b)R$12 000,00 c)R$11 890,00 d)R$12 500,00 e)R$10 000,00
9) Natália apresentou uma nota promissória de R$ 9000,00, para ser descontada
em um banco, 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de 5% ao mês. O banco
cobra ainda comissão de 3%. Qual o valor líquido que ela recebeu?
a) R$8200,00 b) R$7830,00 c) R$8500,00 d) R$7560,00 e) R$6890,00
10) Para encontrar o valor do resgate de uma certa aplicação financeira deve-se
utilizar a tabela abaixo e as instruções ao lado.
Dias
Índice
59
1,440
Exemplo: Resgate de R$1000,00
aplicado por 59 dias = 1000 . 1,440 =
60
1,445
R$1440,00.
61
1,450
62
1,472
63
1,478
De acordo com a tabela e o exemplo dado, por quantos dias esteve aplicado um
capital de R$ 8 000,00, cujo valor de resgate foi de R$11 600,00?
a) 59 b) 60 c) 61 d) 62 e) 63
11) (CVM – Inspetor – 1997)
Um capital é aplicado a juros compostos à taxa nominal de 30% ao ano, com
capitalização trimestral, durante dois anos e meio, originando um montante de
R$100 000,00. Qual foi o valor do capital aplicado?
A)R$47 674,00 B)R$48 102,00 C)R$48 519,00 D)R$70 683,00 E)R$76 923,00
12) (CVM – Inspetor – 1997)
Uma nota promissória no valor nominal de R$50 000,00 vence no dia 30 de abril.
Uma negociação para resgatá-la no dia 10 de abril, a uma taxa de desconto
comercial simples de 4,5% ao mês, implicaria um desembolso de
A)R$44 000,00 B)R$45 500,00 C)R$47 000,00 D)R$48 500,00 E)R$50 000,00
13) (CVM – Inspetor – 1997)
Os capitais de R$12 000,00 , R$20 000,00 e R$16 000,00 foram aplicados à
mesma taxa de juros simples, durante 9, 5 e 8 meses, respectivamente. A soma
desses capitais, isto é, R$48 000,00 para produzir um juro simples igual à soma
dos juros produzidos por aqueles capitais nos prazos respectivos, deveria ser
aplicada durante quantos meses?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
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76
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14) (CVM – Inspetor – 1997)
Um título com vencimento dentro de dez meses e de valor nominal de R$1000,00
é negociado hoje com um deságio de 21,88% sobre o seu valor nominal. Indique
a taxa mensal de juros compostos que representa o rendimento efetivo do título.
A) 2,188% B) 2,5% C) 21,88% D) 30% E) 34,389%
15) A taxa aparente de um investimento para um determinado período foi de
13,5% e a inflação correspondente ao mesmo período foi de 9,25%. A taxa real
deste investimento foi de...
A) 3,89% B) 4,25% C) 7,5% D) 3,45% E) 3,25%
16) Desejo receber, a juros simples, a quantia de R$ 3 200,00 à taxa de 18% a.a.
aplicando um capital durante 50 dias. Qual o capital a ser aplicado?
a) R$100 00,00 b) R$ 128 000,00 c) R$ 64 000,00
d) R$ 45 800,00 e) R$ 132 000,00
17) Um título vale R$ 20 000,00 no vencimento. Entretanto poderá ser resgatado
antecipadamente, com um desconto racional (por dentro) simples de 12,5 % ao
trimestre. Quanto tempo antes do vencimento o valor do resgate seria de
R$16 000,00?
a) 1,6 trimestres b) 4 meses c) 150 dias d) 5 meses
e) 6 meses
18) Um vendedor lucrou 25% na venda de 1/10 de seu estoque, lucrou 35% na
venda de 2/3 do que restou e lucrou 40% com a parte final. Qual a lucratividade
média que obteve nas transações?’
a) 35,5 % b) 40 % c) 29,8 % d) 34,6 % e) 33,9 %
19) Durante quanto tempo esteve aplicado um capital de R$ 1200,00 a juros
compostos mensais, sob taxa de 60% ao ano, de modo a gerar um montante de
R$ 2052,41?
a) 12 meses b) 11 meses c) 10 meses d) 8 meses e) 13 meses
20) Qual o valor líquido de um título, de R$ 2400,00, descontado comercialmente
sob taxa de 24% ao mês, com 5 dias de antecipação, sabendo-se que o banco
ainda cobra comissão de 1,5% sobre o valor nominal do papel?
a) R$2268,00 b) R$2350,00 c) R$2280,00 d) R$1980,00 e) R$2160,00
21) Uma mercadoria custou R$100,00. Para se obter um lucro de 20% sobre o
preço de venda, por quanto deverá ser vendida?
a)R$120,00 b) R$125,00 c) R$130,00 d) R$115,00 e) R$118,00
22) Durante quanto tempo deve ser aplicado um capital, a juros simples de 40%
ao trimestre, de modo a sextuplicar de valor?
a) 3 anos e meio
b) 4 anos c) 3 anos 3 meses 12 dias
d) 3 anos e 4 meses e) 3 anos 1 mês e 15 dias
23) Qual a entrada de dinheiro que equilibra o fluxo de caixa da figura abaixo, na
data zero, considerando uma taxa de mercado de 2% ao mês, capitalização
composta?
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77
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?
0
100
1
2
200
3
4
500
a) 561,88 b) 608,54 c) 571,13 d) 435,90
e) 690,00
24) Uma entrada de dinheiro no período k+1, capitalização composta de 14% ao
período, que equilibra duas saídas de R$5000,00, uma no período k e outra no
período k+2 será igual a:
a) R$ 10 000,00 b) R$ 10 234,00 c) R$10 085,96
d) R$ 10 000,00 e) R$ 9800,00
25) Uma mercadoria à vista custa R$ 1200,00 e à prazo custa 3 parcelas iguais
de R$500,00, sistema básico ou postecipado. Qual a taxa de juros que está sendo
cobrada sobre o saldo devedor (aproximadamente) ?
a) 10% b) 8% c) 5% d) 7,5% e) 12%
26) Uma pessoa conseguiu dividir o pagamento de uma dívida em 4 parcelas
iguais. Na primeira parcela “recebeu” um desconto de 25%; na segunda pagou
com um acréscimo de 45%; na terceira ficou estabelecido um novo desconto de
30% e na última um acréscimo de 28%. Qual o valor inicial de sua dívida se
pagou ao todo R$1306,25?
a)R$1200,00 b) R$1250,00 c) R$1300,00 d) R$1350,00 e) R$1400,00
27) Em quanto tempo R$ 120 000,00, aplicados a juros simples de 15% a.a
produziriam juros de R$ 80 000,00?
a) 4 a 3 meses b) 4a 2 meses 25 dias c) 4 a 5 meses 10 d d) 2 a 3 meses 10 d
e) 5 a
28) Uma letra de câmbio pagável em 19 de agosto, descontada por fora à taxa de
12% ao mês, no dia 3 de maio precedente, produziu R$20 726,00 líquidos. Qual o
valor nominal dessa letra (desprezando os centavos)?
a) R$35 890,00 b) R$36 489,00 c) R$34 560,00
d) R$28 900,00 e) R$32 120,00
29) O capital que, investido hoje a juros simples de 12 % a.a, se elevará a
R$ 1 296,00 no fim de 8 meses, é de:
a) R$1100,00 b) R$1000,00 c) R$1392,00 d) R$1200,00 e) R$1399,68
30) Comprei um carro usado por CR$ 3900,00. Paguei CR$ 900,00 no ato da
compra e mais um pagamento de R$4500,00, três meses após a compra. A taxa
anual de juros simples utilizada neste financiamento é :
a) 120 % b) 133 % c) 153 % d) 200% e) 184%
31) Qual a taxa equivalente anual correspondente a uma taxa bimestral de 12%,
capitalização composta?
a) 97,38% b) 102,34% c) 72% d) 98,45% d) 89,78%
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78
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32) Qual o valor atual de uma renda antecipada, constituída de 5 prestações
mensais de R$230,00 e sob taxa de 5% ao período (Desprezar os centavos) ?
a) R$1200,00 b) R$ 1045,00 c) R$ 980,00 d) R$ 945,00 e) R$ 1150,00
33) A tabela abaixo indica os reajustes que os funcionários de uma empresa
receberam nos meses de janeiro, fevereiro e março de um determinado ano, bem
como as taxas de inflação correspondentes a esses meses. Que reajuste
complementar deve ser dado, sobre os salários de março, de modo a que os
funcionários desta empresa zerem suas perdas?
REAJUSTE
5%
6%
13%
JANEIRO
FEVEREIRO
MARÇO
a) 13%
b) 12,3%
c) 11,4%
d) 10,5%
INFLAÇÃO
7%
10%
20%
e) 23%
34) Qual o montante acumulado por uma série uniforme de 12 parcelas
postecipadas, de R$500,00, sob taxa pré-fixada de 4,5% ao período?
a) R$6000,00 b) R$6890,00 c) R$7200,00 d) R$7732,00 e) R$7650,00
35) Qual a taxa real de um investimento que produziu taxa aparente de 34,5%,
num período de inflação acumulada de 30%?
a) 4,5% b) 5,42% c) 3,46% d) 2,45% e) 3,23%
GABARITO (EXERCÍCIOS DE REVISÃO E REFORÇO)
01) C
06) D
11) C
16) B
21) B
26) B
31) A
02) A
07) C
12) D
17) E
22) E
27) C
32) B
03) D
08) A
13) B
18) A
23) C
28) B
33) B
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04) E
09) B
14) B
19) B
24) C
29) D
34) D
05) E
10) C
15) A
20) A
25) E
30) D
35) C
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ANEXO: TABELAS FINANCEIRAS
TÁBUA 1
1%
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
(1 + i)
n
1,010000
1,020100
1,030301
1,040604
1,051010
1,061520
1,072135
1,082857
1,093685
1,104622
1,115668
1,126825
1,138093
1,149474
1,160969
1,172579
1,184304
1,196147
1,208109
1,220190
1,232392
1,244716
1,257163
1,269735
1,282432
1,295256
1,308209
1,321291
1,334504
1,347849
1,361327
1,374941
1,388690
1,402577
1,416603
1,430769
1,445076
1,459527
1,474123
1,488864
TÁBUA 2
(1 + i )
0,990099
0,980296
0,970590
0,960980
0,951466
0,942045
0,932718
0,923483
0,914340
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80
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
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81
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
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82
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
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83
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
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Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
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Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
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Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
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Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
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9,779051
89
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
BIBLIOGRAFIA
1. GITMAN, Lawrence J. - Princípios de Administração Financeira.
Editora Harbra, São Parulo, 1997.
2. LAUREANO et alli. Os Segredos da Matemática Financeira. Editora
Ática, São Paulo, 1995.
3. LIMA, Elon Lages e outros - A matemática do Ensino Médio – vol.
2. Coleção do Professor de Matemática – SBM, Rio de Janeiro –
1998.
4. PUCCINI, Abelardo de Lima – Matemática Financeira Objetiva e
Aplicada. Editora Saraiva, Editora Saraiva, Rio de Janeiro, 1998.
5. SEITER, Charles – Matemática para o Dia-a-Dia. Editora Campus,
Rio de Janeiro, 2000.
6. SHINODA, Carlos. Matemática Financeira para usuários do Excel.
Editora Atlas, São Paulo, 1998.
7. SOBRINHO, José Dutra V. Manual de Aplicações Financeiras HP
12 C. Editora Atlas, São Paulo, 1990.
8. TELECURSO 2000 – Fundação Roberto Marinho – Ensino Médio
9. TOSI, Armando José – Matemática Financeira com Utilização do
Excel 2000 (Aplicável também às versões 5.0, 7.0 e 97). Editora
Atlas, São Paulo, 2000.
Prof. Ilydio Pereira de Sá
E-mail: [email protected]
Site http://ilydiocarpe.sites.uol.com.br
Prof. Ilydio Pereira de Sá
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Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
O AUTOR
Ilydio Pereira de Sá é um professor carioca que se dedica há
mais de 30 anos ao ensino de Matemática e Estatística no Ensino
Fundamental, Médio e Superior. Tem atuado também no preparo de
candidatos aos diversos concursos públicos do País.
Licenciado em Matemática, pela UERJ, com cursos de extensão e
aperfeiçoamento em Matemática Financeira e Estatística e Mestrado
em Educação Matemática pela Universidade Santa Úrsula ,RJ.
Lecionou no Colégio Naval, na Rede Estadual de Ensino do Rio de
Janeiro, em diversos colégios e cursos preparatórios da Rede Particular
de Ensino (RJ) e foi consultor da LCM Consultoria e Treinamento, tendo
ministrado diversos cursos de Matemática Financeira e Estatística para
Empresas.
Atualmente é professor da UERJ, do Colégio Pedro II e da
Universidade Severino Sombra (Vassouras), onde leciona as disciplinas:
Didática da Matemática, Matemática Combinatória, Probabilidade e
Estatística, Tendências em Educação Matemática, Geometria Euclidiana
e Matemática Comercial e Financeira nos cursos de Licenciatura em
Matemática e Pós-Graduação em Educação Matemática. No curso de
Administração de Empresas ministra todas as disciplinas das áreas de
Matemática e Estatística.
O professor Ilydio é também o autor do livro “Matemática
Comercial e Financeira na Educação Básica” da Editora Sotese e subchefe do Departamento de Matemática e Desenho do Instituto de
Aplicação Fernando Rodrigues da Silveira (CAp / UERJ).
Prof. Ilydio Pereira de Sá
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