Comparing different gain scheduling control strategies

XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI)
Natal – RN, 25 a 28 de outubro de 2015
COMPARANDO DIFERENTES ESTRATÉGIAS DE CONTROLE PARA SISTEMAS
NÃO LINEARES INCERTOS BASEADAS EM ESCALONAMENTO DE GANHOS
Mateus Paresqui Berruezo∗, Leonardo A. B. Tôrres†, Reinaldo Martinez Palhares†
∗
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica – Universidade Federal de Minas Gerais
Av. Antônio Carlos 6627, 31270-901, Belo Horizonte, MG, Brasil
†
Departamento de Engenharia Eletrônica – Universidade Federal de Minas Gerais
Emails: [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract— In this paper, two recent approaches for dealing with approximation and control of nonlinear
systems with parametric uncertainties are presented and compared. These approaches are based on Linear
Parameter Varying (LPV) and polytopic fuzzy Takagi-Sugeno (TS) models, respectively. Details and peculiarities
of each approach are presented along the paper and a numerical example is presented to illustrate the performance
of each one.
Keywords—
Takagi-Sugeno fuzzy models, LPV models, Uncertainty, Gain scheduled control.
Resumo— Neste trabalho, são apresentadas e comparadas duas abordagens recentes para aproximação e
controle de sistemas não lineares com presenças de incertezas paramétricas. Essas abordagens são baseadas,
respectivamente, em modelos lineares por parâmetros variantes (LPV - do inglês Linear Parameter Varying)
e fuzzy Takagi-Sugeno (TS) com descrições politópicas. Detalhes e particularidades de cada abordagem são
apresentadas ao longo do texto e um exemplo numérico é utilizado para ilustrar a performance de cada uma.
Palavras-chave—
escalonado.
1
Modelos fuzzy Takagi-Sugeno, Modelos LPV, Incertezas paramétricas, Controle por ganho
Na modelagem TS, em geral as variáveis premissas
são variáveis de estado ou funções das mesmas. O
compensador paralelo distribuı́do fuzzy neste caso
pode ser especificado também como uma combinação convexa de controladores lineares locais ponderados de forma semelhante ao modelo fuzzy TS
para o sistema não linear (Guerra. et al., 2015).
Em Campos et al. discute-se conexões na obtenção de uma representação convexa para um modelo LPV dado via transformação produto tensorial (TP). O intuito neste último caso é que a
transformação TP, em conjunto com outros procedimentos, leve a uma representação TS do modelo
LPV.
Por outro lado, o método do ganho escalonado para modelos LPV consiste em obter controladores cujos ganhos variam conforme as regiões de operação da planta. Vantagens deste tipo
de controle incluem a estabilização e controle da
planta em uma ampla faixa de operação (Rugh
e Shamma, 2000). Claro que se pressupõe que o
sistema não linear é representado como um modelo LPV. Nesta representação, o novo modelo e
o controlador terão suas caracterı́sticas alteradas
de acordo com a evolução das variáveis de escalonamento (Rugh e Shamma, 2000). Desvantagens
neste último caso são a não trivialidade da transformação do sistema não linear em LPV e a falta
de soluções em alguns casos (Bruzelius, 2004). Variáveis de escalonamento normalmente são escolhidas como grandezas que contribuem significativamente na alteração da dinâmica do sistema. Se
estas variáveis forem completamente externas ao
sistema, ele é denominado LPV, caso algumas ou
Introdução
Há uma rica literatura propondo diferentes métodos para sı́ntese de controladores considerando
diferentes classes de sistemas não lineares em diferentes aplicações. Um passo crucial para este tipo
de metodologia diz respeito a se obter uma representação adequada para a classe de sistemas não
lineares, e em alguns casos são necessárias aproximações apropriadas nos intervalos de análise antes de proceder a sı́ntese de controle. Pode-se citar como estratégias de aproximação: linearização local em torno de pontos de operação; representação por sistemas variantes no tempo e mais
especificamente em subclasses na forma de sistemas com parâmetros variantes (LPV); modelos locais fuzzy Takagi-Sugeno (TS); aproximação polinomial multivariável; transformações fracionárias
lineares, dentre outras. A ideia é que dada uma
aproximação para a classe de sistemas não lineares, a sı́ntese de controle possa ser obtida considerando metodologias mais amigáveis e aplicáveis a estas diferentes aproximações. No entanto
há agravantes neste tipo de abordagem quando,
por exemplo, o modelo do sistema não linear a
ser aproximado apresenta incertezas paramétricas
– tornando a discussão mais desafiadora dependendo da aproximação.
Na modelagem fuzzy TS, o sistema não linear
pode ser transformado em uma combinação convexa de sistemas lineares locais, ponderados por
regras fuzzy com antecedentes dados por variáveis
de escalonamento (variáveis premissas) e regidas
por funções de pertinência (Guerra. et al., 2015).
1047
XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI)
todas as variáveis de escalonamento sejam funções
dos estados do sistema, ele é denominado quaseLPV (q-LPV).
Em ambos os modelos TS e LPV usualmente
tem sido propostas abordagens para o controle baseadas em desigualdades matriciais lineares (LMI
- do inglês Linear Matrix Inequalities) e condições de estabilidade construı́das a partir de funções de Lyapunov. Há diversos métodos na literatura no tocante a modelos LPV (sem descrição politópica para as incertezas) com técnicas de amostragem no espaço das variáveis de escalonamento
(veja (Bruzelius, 2004), (Marcos e Balas, 2004)
e referências internas). Já nos modelos TS, as
LMIs são descritas por combinações dos modelos
locais lineares (Tanaka e Wang, 2001), (Campos
et al., 2013).
A ideia principal neste artigo é lançar luz sobre possı́veis comparações e conexões no projeto
de controle por ganho escalonado para modelos
LPV e controle para modelos fuzzy TS no contexto
de aproximações viáveis para classes de sistemas
não lineares com a presença de incertezas paramétricas e cujos modelos aproximados possam carregar uma estrutura apropriada para a descrição de
incerteza.
2
é também incerta, objetivando representar as incertezas paramétricas originalmente presentes no
sistema não linear que se refletem nos parâmetros dos modelos lineares locais associados a diferentes regiões de operação. Trata-se de uma representação multimodelo do sistema, um politopo
para a região de operação e outro para as incertezas. Essa representação multimodelo é ilustrada
na Fig. 1.
Figura 1: Representação multimodelo do sistema
não linear.
Modelagem LPV e TS para Sistemas
Incertos
2.1
Este tipo de representação pode introduzir algum grau de conservadorismo, pois é possı́vel que
sejam consideradas combinações de vértices que
não seriam observadas na prática. Uma alternativa seria considerar condições relaxadas baseadas
em funções de Lyapunov dependentes de parâmetros (Oliveira et al., 2009), mas isto está fora do
escopo que se pretende neste trabalho. A ideia
é estabelecer comparações sob um mesmo cenário
no contexto de funções de Lyapunov quadráticas.
Busca-se o projeto de uma lei de controle por
realimentação linear de estados, com matriz de ganho que é escalonada valendo-se do conhecimento
das variáveis de escalonamento ρ(t) ∈ Ω, dada por
Modelo LPV Incerto
Considere o sistema LPV incerto a tempo contı́nuo:
ẋ(t) = Â(ρ(t))x(t) + B̂(ρ(t))u(t)
(1)
y(t) = Ĉ(ρ(t))x(t) + D̂(ρ(t))u(t),
no qual x ∈ Rn é o vetor de estados, u ∈ Rm é
o vetor de entradas de controle, y ∈ Rl é o vetor
de saı́das mensuráveis e ρ(t) ∈ Ω ⊂ Rp é o vetor
de variáveis de escalonamento (parâmetros) medidas on-line e sua dependência com o tempo será
desconsiderada para simplificação da notação.
Considere em (1) que as matrizes Â, B̂, Ĉ,
D̂ incorporam incertezas paramétricas na forma
politópica da forma:
Φ̂(ρ) =
X
N
Â(ρ) B̂(ρ)
Â
=
αi (ρ) i
Ĉ(ρ) D̂(ρ)
Ĉi
i=1
Φ̂i (ρ) =
j=1
Aij
βij
Cij
Bij
=
Dij
M
X
βij Φij ,
(2)
j=1
(3)
PN
em que K(ρ) = i=1 αi (ρ)Ki , para matrizes Ki
a serem determinadas.
B̂i
,
D̂i
PN
sendo que Φ̂(ρ) =
com
i=1 αi (ρ)Φ̂i (ρ),
PN
i=1 αi (ρ) = 1, αi (ρ) ≥ 0, ∀i = 1, . . . , N , ρ ∈ Ω;
e
M
X
u(t) = K(ρ)x(t),
2.2
Modelo TS Incerto
Considere que a i-ésima regra de um modelo fuzzy
TS incerto a tempo contı́nuo com r regras seja
dado por:
Se ρ1 (t) é M1i E . . . E ρp (t) é Mpi , Então:
ẋ(t) = (Ai + ∆Ai )x(t) + (Bi + ∆Bi )u(t)
y(t) = (Ci + ∆Ci )x(t) + (Di + ∆Di )u(t),
PM
com j=1 βij = 1, βij ≥ 0, ∀j = 1, . . . , M . Desta
maneira cada matriz de um respectivo vértice i
(4)
sendo ρ1 (t), . . . ,ρp (t) as variáveis premissas (ou
variáveis de escalonamento); Mki , k = 1, . . . ,p, são
1048
XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI)
conjuntos fuzzy; e as incertezas matriciais ∆Ai ,
∆Bi , ∆Ci e ∆Di tem norma limitada.
Considerando o compensador paralelo distribuı́do (PDC - do inglês Parallel Distributed Compensation) obtém-se a i-ésima regra do controlador:
2.4
Note que se pode decompor os blocos de incertezas
em (4) da forma:
Se ρ1 (t) é M1i E . . . E ρp (t) é Mpi , Então:
Portanto o modelo pode ser reescrito em uma
forma similar a (1) e (3):
ẋ(t) =
hi (ρ){Âi x(t) + B̂i u(t)},
y(t) =
hi (ρ){Ĉi x(t) + D̂i u(t)},
i=1
u(t) = K(ρ)x(t) =
r
X
hi (ρ)Ki
i=1
!
x(t),
(10)
Tij − 2Q2 < 0, ∀i < j sujeito a hi ∩ hj 6= ∅,
(11)
sendo que Tij é descrito em (12) e

(Ai + Bi Ki )T P + ∗
T

P
Dai

T

Sii = 
P
Dbi

Eai
Ebi Ki
∗
−I
0
0
0
∗
∗
−I
0
0
∗
∗
∗
2
−γai
I
0

∗
∗ 

∗ 

∗ 
2
−γbi
I
Λ = (Ai + Bi Kj )T P + (Aj + Bj Ki )T P + ∗,
Controle LPV robusto
Considerando a lei de controle por realimentação
de estados (3), o modelo em malha fechada do sistema (1) com incertezas é dado por (desconsidere
neste momento y(t)):
h
i
ẋ(t) = Â(ρ) + B̂(ρ)K(ρ) x(t) = Âcl x(t).
Q1 = diag(Q0 , 0, 0, 0, 0),
Q2 = diag(Q0 , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0).
O termo s indica o número de regras simultâneas
que são ativadas para todo tempo de análise t. Já
a condição hi ∩ hj 6= ∅ impõe que a LMI só deve
ser considerada para regras cujas funções de pertinência se sobrepõem. A demonstração do teorema
se encontra em (Tanaka e Wang, 2001).
Para se garantir estabilidade quadrática segundo
Lyapunov, basta que exista P = P T > 0 que satisfaça:
ÂTcl P + P Âcl < 0.
(9b)
Sii + (s − 1)Q1 < 0, s > 1,
(6)
Qp
i
, ωi (ρ) =
sendo hi (ρ) = Prωi (ρ)
k=1 µk (ρ),
ω
(ρ)
i
i=1
Pr
i=1 hi (ρ) = 1 e hi (ρ) ≥ 0, ∀i = 1, . . . , r, em que
µik é o grau de pertinência da variável de escalonamento ρ ∈ Ω ao conjunto Mki ; Âi = Ai + ∆Ai ,
B̂i = Bi + ∆Bi , Ĉi = Ci + ∆Ci , D̂i = Di + ∆Di .
2.3
(9a)
∆Bi = Dbi ∆bi (t)Ebi ,
Teorema 2 (Tanaka e Wang, 2001): O sistema fuzzy TS em (4) é estabilizável via controle
PDC (2.2) se existirem matrizes P = P T > 0 e
Q0 ≥ 0 tais que:
(5)
i=1
r
X
∆Ai = Dai ∆ai (t)Eai ,
−1
tais que ∆ai (t) = ∆Tai (t), k∆ai (t)k ≤ γai
e
−1
T
∆bi (t) = ∆bi (t), k∆bi (t)k ≤ γbi . O resultado a
seguir estabelece a condição de estabilizabilidade
para este caso.
u(t) = Ki x(t),
r
X
Controle fuzzy robusto
3
(7)
Estudo de caso
As técnicas apresentadas anteriormente serão avaliadas considerando o pêndulo amortecido motorizado, ilustrado na Fig. 2.
O problema de se encontrar uma matriz constante P , simétrica e definida-positiva, que satisfaça (7), ∀ρ ∈ Ω, é equivalente a se encontrar a
mesma matriz P considerando apenas as matrizes
Âi , B̂i e Ki associadas aos vértices de uma descrição politópica do problema.
PN Neste contexto,
considerando que K(ρ) = i=1 αi (ρ)Ki , pode-se
estabelecer o resultado a seguir para o cômputo do
ganho de controle utilizando as tradicionais mudanças de variáveis X = P −1 e Yi = Ki X aplicadas em (7).
u
l
θ
m
Teorema 1 Se existir uma matriz X = X T > 0
e N matrizes Yi tais que, ∀i = 1, . . . , N , ∀j =
1, . . . , M :
T
XATij + YiT Bij
+ Aij X + Bij Yi < 0,
Figura 2: Pêndulo amortecido motorizado.
As equações do sistema são dadas por:
(8)
ẋ1 = x2 ,
g
b
1
ẋ2 = − sin(x1 ) −
x2 +
u,
2
l
ml
ml2
então o sistema LPV, com incertezas da forma
em (2), é estabilizável com Ki = Yi X −1 .
1049
(13)
XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI)

Λ
T
 Dai
 TP
 Dbi P
 T
 Daj P
 T
Tij = 
 Dbj P
 Eai

Ebi Kj

 Eaj
Ebj Ki
∗
−I
0
0
0
0
0
0
0
∗
∗
−I
0
0
0
0
0
0
∗
∗
∗
−I
0
0
0
0
0
∗
∗
∗
∗
−I
0
0
0
0
∗
∗
∗
∗
∗
2
−γai
I
0
0
0
sendo que x1 = θ ∈ (−π,π) denota o ângulo da
haste do pêndulo; x2 = θ̇ ∈ R é a velocidade angular da haste; b > 0 é o coeficiente de atrito viscoso; m é a massa do pêndulo; l é o comprimento
da haste rı́gida de massa desprezı́vel; g = 9,8 m/s2
é a constante gravitacional; e u é o torque aplicado pelo motor na haste. O objetivo é manter o pêndulo em um determinado ângulo fixo
ref
6= 0. Observa-se que a dinâmica do
xeq
1 = θ
erro pode ser escrita como:
ė1
ė2
=
=
e2 ,
− gl sin(e1 + xeq
1 )
− mlb 2 e2 + ml1 2 u,
=
=
ẋint
=
e2 ,
− gl sin(e1 + xeq
1 )
− mlb 2 e2 + ml1 2 u,
e1 ,
ė1
ė2
ẋint
(14)
0
A(e1 ) = − gl ρ1 (t)
1
com
ρ1 (t) =
3.1.1
(15)
que depende somente de e1 . Porém, note que as
condições incluem θref = xeq
1 6= 0 e e1 ∈ (−π,π), o
que gera:
lim
e1 →0+ ou e1 →0−
(12)
b
ml2 x2
(16)
1
− mlb 2
0



0
0
0 , B =  ml1 2  , (17)
0
0
sin(e1 )
1 − cos(e1 )
cos(xeq
sin(xeq
1 )−
1 ).
e1
e1
O termo não linear é agora limitado para todo
intervalo e1 ∈ (−π,π), e pode ser aproximado
por regras TS ou por técnicas LPV politópicas.
Nos resultados apresentados a seguir adotou-se
que o ângulo final a ser atingido pela haste é de
xeq
1 = π/3 rad, o valor nominal da massa do pêndulo é 1 Kg, o comprimento da haste é 0,5 m e o
coeficiente de atrito viscoso é 1 Kg m2 .
Uma possı́vel representação quase-LPV para (15)
é da forma:




0
1
0
0
eq
A(e1 ) = − gl sin(e1e+x1 ) − mlb 2 0 , B =  ml1 2  ,
1
0
1
0
0
sin(e1 +
e1
= e2 ,
= − gl sin(e1 + xeq
1 )−
+ ml1 2 v + ml1 2 ueq ,
= e1 ,

Modelagem quase-LPV do sistema
xeq
1 )

∗
∗ 

∗ 

∗ 

∗ 

∗ 

∗ 

∗ 
2
−γbj
I
eq
com ueq = mgl sin(xeq
1 ), e v = u − u . Note que o
sistema continua algebricamente inalterado. Após
algumas manipulações em (16), obtém-se as novas
matrizes:
em que u = k1 e1 + k2 e2 + k3 xint + ueq .
3.1
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
2
−γaj
I
0
Obviamente esta aproximação não é válida e induzirá a erros grosseiros no modelo TS ou LPV. Uma
possı́vel maneira de se contornar esse problema é
reescrever (15) da forma:
em que se considerou e1 = x1 − xeq
1 e e2 = x2 −
ẋeq
=
x
.
2
1
A entrada de equilı́brio para (14) é dada por
ref
eq
ueq = mgl sin(xeq
6=
1 ) = mgl sin(θ ), tal que u
ref
0, se θ 6= 0. Isto é, quando o pêndulo atinge
um ângulo desejado que é não nulo, é necessário aplicar um torque fixo para que ele se mantenha parado. Garantir essa condição corresponde a
modificar a ação de controle, adicionando ueq , i.e.
u = k1 e1 +k2 e2 +ueq . Entretanto essa estratégia é
pouco robusta, pois ueq depende dos parâmetros
incertos do sistema. Uma alternativa é considerar a adição de uma ação integral, além da ação
de controle ueq ≡ ueq
nom calculada considerando os
parâmetros nominais:
ė1
ė2
∗
∗
∗
∗
∗
∗
2
−γbi
I
0
0
Modelo LPV politópico
A partir de (17), e notando que e1 está definido em
um intervalo conhecido, pode-se obter os limites
para ρ1 em uma representação politópica. Isto
é, ρ1 ∈ (ρ1 ,ρ1 ) = (−0.8696,0.5518), e o sistema
LPV politópico é descrito por A(ρ1 ) = α1 (ρ1 )A1 +
α2 (ρ1 )A2 e B(ρ1 ) = α1 (ρ1 )B1 + α2 (ρ1 )B2 , com:


0
1
0
g
−b
Ai = ρ1i l ml
(18)
0 , i = 1,2,
2
1
0
0


0
Bi =  ml1 2  , i = 1,2,
0
e ρ11 = ρ1 , ρ12 = ρ1 , α1 (ρ1 ) =
= +∞ ou − ∞.
α2 (ρ1 ) =
1050
ρ1 (t)−ρ1
ρ1 −ρ1 ,
ρ1 −ρ1 (t)
ρ1 −ρ1
,
satisfazendo α1 (ρ1 ), α2 (ρ1 ) ≥ 0
XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI)
1 , 2 ∈ [−1,1], tem-se uma representação de variação em percentagem do valor de z1 e z2 . Decompondo individualmente cada matriz incerta Âi e
B̂i , obtém-se para a primeira regra (considere que
ξ = −0,5513 g, então:
e α1 (ρ1 ) + α2 (ρ1 ) = 1. As incertezas são tratadas
de maneira muito similar, porém requerem uma
modificação em cada um dos vértices A1 , B1 , A2 e
B2 . Para isso considere que os parâmetros incertos são limitados da forma: m ∈ [m,m] e l ∈ [l,l].
Portanto cada vértice do sistema LPV deve permitir as combinação das incertezas em m e l, i.e., 22
combinações gerando 4 vértices. Tomando como
exemplo a matriz A1 :
Â1 = A1 + ∆A1 = A1 + Da1 ∆a1 Ea1

 

0
1 0
0
0
= ξz1 z2 0 + ξz1 1 z2 2  ×
1
0 0
0
0
δ1 (t)
0
1 0 0
,
0
δ2 (t) 0 1 0
A1 = (β11 A11 + β12 A12 + β13 A13 + β14 A14 ),
de (18), as matrizes A11 , A12 , A13 e A14 são obtidas substituindo-se l e m em A1 pela combinação
2 a 2 de seus limites no intervalo
variação. Note
Pde
4
que β1j ∈ [0,1] ∀j = 1, . . . , 4 e j=1 β1j = 1. Esta
mesma decomposição deve ser feita para as demais matrizes (i = 1, 2, 3 em (18)). Considerou-se
variação de 10% na massa do pêndulo e no comprimento da haste. Do Teorema 1 obtém-se as
seguintes matrizes de ganho para o controlador
LPV politópico K(ρ1 ) = α1 (ρ1 )K1 + α2 (ρ1 )K2 :
K1 = −41,2444 −4,0545 −15,2612 ,
K2 = −40,3348 −4,6224 −15,2612 .
B̂1 = B1 + ∆B1 = B1 + Db1 ∆b1 Eb1 =
  

0
0
0 0
0
z2  + 0 z2 2  δ1 (t)
.
0
δ2 (t) 1
0
0
0
Desta
forma
obtém-se
as
matrizes
Da1 , Ea1 , Db1 , Eb1 utilizadas na sı́ntese do
controlador fuzzy. Repetindo este procedimento
sucessivamente obtém-se todas as matrizes
necessárias para se lançar mão do Teorema 2.
Considerando novamente 10% de variação na
massa do pêndulo e no comprimento da haste,
obtém-se os ganhos abaixo, considerando 5 regras,
para o controlador PDC:
K1 = −9,7600 −2,3467 −12,4346 ,
K2 = −6,2173 −1,9322 −10,4341 ,
K3 = −8,0236 −2,2376 −11,9451 ,
K4 = −12,3613 −1,9322 −10,4341 ,
K5 = −15,1683 −2,3467 −12,4346 .
A simulação do pêndulo para o controle LPV,
para diversos valores de massa de pêndulo e comprimento de haste, é ilustrada na Fig. 3.
3.1.2
Modelo Fuzzy Takagi-Sugeno
O principal ponto da modelagem TS é obter as
regras que descrevem o sistema (1) da forma (4).
Para o caso especı́fico do sistema em (17) são descritas abaixo cinco regras triangulares escalonadas
por e1 para aproximar o termo não linear, evidenciadas na Fig. 4, gerando:


0
1
0
Ai = ρi gl ml1 2 0 , ∀i = 1...5,
1
0
0


0
Bi =  ml1 2  , ∀i = 1...5.
0
com coeficientes ρi dados na tabela 1.
i
ρi
1
-0,5513
2
-0,8667
3
-0,8100
4
0,3859
5
0,5513
Tabela 1: Valores de ρi para 5 regras.
As simulações para valores distintos da massa
do pêndulo e comprimento da haste estão ilustrados na Fig. 3. Comparando-se os resultados para
ambas as abordagens, verifica-se um menor tempo
de acomodação para o caso LPV, ao custo de uma
maior amplitude da ação de controle em relação
ao caso TS. Futuramente pretende-se aprimorar
essa comparação, incorporando-se aos problemas
de factibilidade nos Teoremas 1 e 2, limitantes superiores para o tempo de acomodação do sistema
controlado em malha fechada. Ainda, observa-se
que para a sı́ntese do controlador no caso LPV
foi necessário considerar 9 LMIs, e no caso TS 11
LMIs.
4
Para representar as incertezas paramétricas,
a ideia é re-escrevê-las da forma ˆl−1 = ẑ1 (t) e
(m̂ˆl2 )−1 = ẑ2 (t), tal que ẑ1 = z1 (1 + 1 δ1 (t))
e ẑ2 = z2 (1 + 2 δ2 (t)), com δ1 (t) e δ2 (t) elementos de uma matriz diagonal ∆(t), respeitando
os limites em norma, e z1 e z2 calculados de
acordo com os valores nominais dos parâmetros
incertos (Senthilkumar, 2010). Se as constantes
Conclusões
Este trabalho procurou apresentar um arcabouço
matemático de como aproximar uma classe de sistemas não lineares com incertezas paramétricas.
Abordou-se também a sı́ntese de controladores,
considerando modelos LPV e fuzzy TS. Foram
apresentadas semelhanças entre as duas técnicas,
como a abordagem LMI utilizada na sı́ntese e o
uso de variáveis de escalonamento/premissa para
1051
XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI)
ângulo desejado em menor tempo, mas com uma
oscilação maior, fato explicado pelos ganhos elevados do controlador. Neste trabalho foram utilizadas condições de estabilidade quadrática, mas a
discussão pode ser adaptada considerando resultados recentes para funções de Lyapunov dependentes de parâmetros, e outras relaxações na área
de controle robusto.
Ângulo, Velocidade Angular (Controlador LPV)
6
θ
.
θ̇
θ (rad), θ̇ (rad/s)
5
.
4
3
2
1
0
−1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
O presente trabalho foi realizado com o apoio financeiro da CAPES - Brasil.
Ângulo, Velocidade Angular (Controlador PDC)
TS)
2.5
θ
.
θ̇
2
θ (rad), θ̇ (rad/s)
Agradecimentos
Referências
1.5
.
1
Bruzelius, F. (2004). Linear parameter-varying
systems and approach to gain scheduling,
PhD thesis, Chalmers University of Technology, Göteborg, Sweden.
0.5
0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
Campos, V. C. S., Souza, F. O., Tôrres, L. A. B.
e Palhares, R. M. (2013). New stability conditions based on piecewise fuzzy Lyapunov
functions and tensor product transformations, IEEE Transactions on Fuzzy Systems
21: 748–760.
Figura 3: (a): Simulação com o controlador LPV
(b): Simulação com o controlador PDC
Funções de pertinência das regras TS
1
Campos, V. C. S., Tôrres, L. A. B. e Palhares,
R. M. (2015). Revisiting the TP model transformation: Interpolation and rule reduction,
Asian Journal of Control 17(2): 392–401.
0.9
0.8
Pertinência
0.7
Regra 1
Regra 2
Regra 3
Regra 4
Regra 5
0.6
0.5
0.4
Guerra., T. M., Sala, A. e Tanaka, R. K.
(2015).
Fuzzy control turns 50:
10
years later, Fuzzy Sets and Systems .
http://dx.doi.org/10.1016/j.fss.2015.05.005.
0.3
0.2
0.1
0
−4
−3
−2
−1
0
1
Erro de posição (rad)
2
3
Marcos, A. e Balas, G. (2004). Development of
linear-parameter-varying models for aircraft,
Journal of Guidance, Control, and Dynamics
27(2): 218–228.
4
Figura 4: Funções de pertinência da aproximação
TS para o pêndulo
Oliveira, R. C. L. G., Oliveira, M. C. e Peres, P.
L. D. (2009). Special time-varying Lyapunov function for robust stability analysis of
linear parameter varying systems with bounded parameter variation, IET Control Theory
& Applications 3: 1448–1461.
alterar os ganhos do controlador de acordo com
a região de operação. Em suma, as duas abordagens utilizam técnicas lineares, porém de maneiras distintas. As diferenças também são claras, e
encontram-se principalmente na estrutura do modelo aproximado e do controlador, evidenciadas
nas Seções 2.1 e 2.2. Considerando o exemplo
apresentado, ambas as técnicas apresentam bom
desempenho, sendo que a aproximação LPV pode
ser considerada mais simples. Nota-se ainda que
a sı́ntese de controle fuzzy TS requer um número
maior de LMIs ao contrário do que acontece no
controle LPV, porém isso não é regra e, no caso
LPV, o número de LMIs tende a crescer exponencialmente em função dos parâmetros de escalonamento e das incertezas. Em relação ao desempenho, a resposta com o controlador LPV atingiu o
Rugh, W. J. e Shamma, J. S. (2000). Research on
gain scheduling, Automatica 36(10): 1401–
1425.
Senthilkumar, D. (2010). Design of robust fuzzy
controllers for uncertain nonlinear systems,
PhD thesis, Indian Institute of Technology
Guwahati, Assam, India.
Tanaka, K. e Wang, H. O. (2001). Fuzzy control
systems design and analysis: a linear matrix
inequalities approach, John Wiley & Sons,
New York, United States of America.
1052