• Analises usando funções descritivas

MÉTODO DA FUNÇÃO DESCRITIVA
• Analises usando funções descritivas
• Os ciclos limites aparecem em sistemas de qualquer tipo, sejam de toda
natureza ou induzida. Os mais conhecidos são aqueles devido a
histerese, zonas mortas e controles on-off, que por sua vez são graves
devido à não-linearidade.
• O tratamento destes é facilitado com a utilização do conceito de
descritor de função, que aparece como uma extensão natural da análise
de freqüência realizado em sistemas lineares de sistemas não-lineares,
especialmente aqueles caracterizados por não linearidades graves.
• Além disso, o Critério de Nyquist é estendida para esses casos para
facilitar a análise de estabilidade.
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Introduçao
• O F. D. é uma extensão natural do método de
análise utilizado frequencia utilizado nos sistemas
lineares.
Suas principais limitações são que é um método
aproximado e serve essencialmente en sistemas
onde tem a suspeita da presença de ciclos limite.
• A . Exemplo: Ecuaçao de Van der Pol.
Considere o sistema descrito pela equação de
segunda ordem não-linear,
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• Obtêm-se uma equação linear usando a
transformada de Laplace:
• E uma equação não linear
• As duas funções são apresentadas na figura
seguinte
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• Fig 4.1 Van der Pol oscilador; a) diagrama equivalente, b) diagrama
equivalente com FD.
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• Assumindo que o sistema é constantemente
oscilante obter x = A sen wt e x´ = Aωcos wt
• Ao substituir esta expressão na definição de u é u
u= -x´x^2 tem-se:
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• onde u tem um terceiro harmônico. Se o bloco
linear é um paixa baixos ,a terceira harmónica
pode ser eliminada, de modo que u é:
• Isto implica que o bloco não-linear pode ser aproximada por
um bloco linear cujo ganho depende A. Fig. 4.1 (b).
Portanto, a entrada (x) e de saída (U) do bloco não-linear
pode relacionar-se,
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• Onde
• Para o caso de Van der Pol oscilador. esta função que
depende da amplitude do sinal de entrada e a função de
frequência de chamada descritor.
• Pela amplitude e frequência da oscilação é necessário
considerar o diagrama na Figura. 4.1 (b).
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• A solução desta equação complexa (partes reais e
imaginárias) é ω = 1 e A = 2, cujos valores não dependen
de α. Isto é, o sistema tem uma oscilação com uma
amplitude de A = 2 a uma frequência angular ω = 1,
independente da α.
• Para analisar a estabilidade do ciclo limite, pode-se obter a
equação característica (assumindo uma constante) a partir
da Figura 4.1 (b), que é:
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• cujos autovalores são
• Onde é visto que, se A <2 λ1,2 deve ter uma parte real
positiva,
de
modo
que
o
sistema
diverge e, portanto, a amplitude de oscilação aumenta, e se
A> 2 deve ter parte real λ1,2 tem parte real negativa, de
modo que o sistema tende a convergir e, portanto, a
amplitude de oscilação diminui. por assim, para A = 2 está
previsto um ciclo limite.
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• A Fig. 4.2 presenta as simulaçoes para α = 0.3, 0.5 y 2. Os
resultados mostran que α modifica os resultados pero o
análisis anterior no os presenta. Específicamente, en contrase que para valores pequenhos de α, os resultados
esperados se acercan na situaçao real.
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• Fig 4.2 Simulações para el oscilador de Van der Pol;
a) α = 0.3, b) α = 0.5, c) α = 2.
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• B. Aplicações de Domínio e simplificações.
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• O uso de funções que descrevem é limitado e seu uso deve
ser considerada em simplificações dos sistemas.
• A principal limitação é que os sistemas a serem analisadas
estão contidas nos esquemas, tal como é ilustrado na fig.
4.3 (a). As restrições e simplificações são os seguintes.
i Existe apenas uma não-linearidade. No caso de exixtir varias,
deve ser reduzida a uma única ou apenas ser considerada a
mais relevante.
ii O componente não-linear para ser invariante no tempo.
Felizmente, a maioria dos sistemas que geram ciclos limites
são independentes. Nestes casos, você pode usar o critério de
Nyquist extendido.
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iii É considerado apenas uma saída senoidal. Isto é
possível se o bloco linear na fig. 4.3 (a) é um
pasa baixos o que acontece na maioria dos sistemas
físicos.
iv A não-linearidade é impar. Esta restrição é apenas
para simplificar o análise e especificamente
Não podemos considerar termos dc.
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• Figura 4.3 Esquema par funções descritoras a) diagrama
geral, b) diagrama usando F. D ..
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C Definições básicas
Seja x (t) = Asen (wt) a entrada e u (t) a saída do
bloco não-linear, portanto,
Onde
Se considerar a primeira componente de u(t) entao:
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• Onde
• Em notação complexa tem-se:
• De modo semelhante ao conceito da resposta em
freqüência de F. T. (que é a relaçao da a entrada e
a saída) Defina-se a FD como:
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N (A, ω) do elemento não linear, tal como o
quociente entre a componente fundamental da saída
e entrada sinusoidal como se ilustra na fig. 4.3 (b).
Oseja:
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• Claramente, F.D. depende da entrada, e é evidente que é
uma função complexa. Para graficar pode ser utilizado os
dois eixos independentes asimm como a frequência ea
amplitude da sinal de entrada.
• No caso do bloco não-linear de Van der Pol oscilador desta
função é dada pela função:
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D. Cálculo das funções descritoras
• Exemplo 4.1
4.2 Não-linearidades as funções descritoras
A continuação são obtidas as funções descritoras dos
elementos não-lineares mais comuns na engenharia.
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Figura 4.4 F.D. do bloco não-linear on-off.
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Figura 4.5 F.D. do bloco não-linear saturação
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• Figura 4.6 F.D. do bloco não-linear zona morta e
back slash
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4.3 Análise de Sistemas utilizando funções descriptoras.
• Primeiro obtem-se a FD do bloco não-linear, em seguida,
deve-se concluir sobre a existência de ciclos limite e,
finalmente, sobre a sua estabilidade. Para estes fins devemse estender o critério de Nyquist para tais sistemas,
começando com uma revisão dos critérios Nyquist para
sistemas SISO
• A . Critério de Nyquist Estendido.
Para o sistema SISO apresentado na fig. 4.7 (a) tem-se uma
FT em LC dada pela expressão h(s)=kg(s)/(1+kg(s), onde os
zeros de (1+kg(s), são os polos de h(s) e demostrar os polos
de 1 + k·g(s) são também os polos de g(s).
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• Portanto, se se desejar ter um sistema estável, a função 1 +
k · g (s) não deve conter zeros no SPD. De outro jeito, o
critério de Nyquist indica se o contorno de Nyquist (γ)
inclui ηp polos e nz zeros da função 1 + k · g (s), então o
contorno transformado 1 + k · g (s) contém N = ηz - ηp
vezes origem. Portanto, se se desejar ter um
sistema estável deve ser que ηz = 0 e, portanto, se
desejasse um sistema estável, deve ter nz=0 e por tanto o
contorno transformado deve encerrar o origem N =-np
vezes.
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• Se ademais e considerado que o origem no
contorno transformado 1 + k·g(s) e o ponto -1/k,
pódese establecer o teorema de Nyquist como:
• Teorema: Se o contorno γ encerra ηp pólos da
função g (s), então o sistema em LC é estável,
se o contorno transformado de g (s) encerra N = ηp veces o ponto -1/k
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Figura 4.7 Diagramas para la estabilidad; a) en sistemas SISO b)
en sistemas con F.D., c) Criterio de Nyquist Extendido.
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Fugura 4.7 Diagramas para la estabilidad; a) en sistemas SISO, b) en sistemas con
F.D., c) Criterio de Nyquist Extendido.
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• Uma vantagem deste teorema é que ele permite que a
estabilidade necessária para derivar os valores de ganho
arbitrária k. Para estender os critérios acima mencionados
podem-se considerar que k é um número constante, que
não depende de ω e que pode ser complexo fig. 4.7 (c). Se
for este o caso, então o teorema acima é chamado o
teorema de Nyquist Estendido. Portanto, quando o sistema
mostrado na Fig. 4.3 (b) pode ser convertido em um como
apresentado na Fig. 4.7 (b), então pode-se aplicar o
teorema de Nyquist Estendido para deterninar a estabilidade
do ciclo limite onde o ganho k = N '(A) e G (jw) = g' (jw)
ou nos casos em que a função FD não dependem de w, pelo
qual k = N (A) e g(jw) = g (jw).
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B. Existência e Estabilidade de Ciclos-Limite.
• De acordo com a Fig. 4.3(b) tem-se que x(t) = y(t), u = N(A, ω)x, e y = g(jω)u, pelo que o
sistema cumple com:
• Portanto, se tem ciclos limite , elos tem que que
satisfazer a expressão acima.
• Note-se que a expressão acima é uma equação do
número complexo e, portanto, tem duas equações,
uma para a parte real e outra para a parte
imaginária, onde A e w podem ser determinados.
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• Graficamente, no caso de sistemas que podem tomar a
forma ilustrada na fig. 4.7 (b), ou em casos em que o FD é
independente de ω, podem ser plotados -1 / N (A) e G (jw)
separadamente ea interseção dessas curvas definem um
ciclo limite e estabilidade é observada pela extensão do
teorema estendido de Nyquist.
• De fato, se g (jw) não contém pólos instáveis, então os
pontos fechados pela Nyquist g (jw) são instáveis (a
amplitude aumenta) e os pontos não fechados pela Nyquist
g(jw) são estáveis (a amplitude diminui).
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• Por exemplo, os exemplos ilustrados na fig. 4,8
mostran os ciclos limite estáveis porque se se
considera que g (s) não contém os pólos instáveis ,
os pontos encerrados pelo teorema de Niquist,
aumenta A e os pontos não encerrados pelo
teorema disminui A, de modo que as oscilações
tendem a um ponto de intersecção.
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• Fig. 4.8 ciclo limite estável (as flechas nas curvas indicam aumento do
parâmetro ω en g (jw) e A en 1 / N (A)).
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Exemplo 4.2. Seja um sistema como o apresentado na figura
4.3 com um bloco linear dado:
kp = 122.76, um bloco não linear tipo zona morta, cuja FD é:
Com k = 1 y δ =20, Determine a ciclos limite e estabilidade
possível.
R/ ao considerar g1(jω) = –1/N(A) a seguirte equação é
obtida:
40
o qual pode ser simplificada para,
As seguintes equaçoes são obtidas:
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De onde A é obtido A = 40. Assim, de ter um um ciclo
límite, ele debería ter estes parámetros.
Para analizar la estabilidad veja-se a figura 4.9(a)
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Fig. 4.9 Ciclo límite da zona morta; a) y b) para g1(s), y c) y d) para g2(s).
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Fig. 4.9 Ciclo límite da zona morta; a) y b) para g1(s), y c) y d) para g2(s).
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• Como g1 (jw) não contém polos instáveis, os
pontos -1 / N (A), que não estão rodeados são
estáveis e, assim, diminuir A, pelo que ciclo limite é
instável, como mostrado na fig. 4.9 (b)
• Para a Fig.4.9(c)
Onde pode-se ver o ciclo límite com ω = 0.806 y A =
40.
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• A T. F., tem dois pólos instáveis pelo que os pontos -1 / N
(A) estão emcerrados por duas vezes no sentido contrario a
o são estáveis.
• Felizmente nesses pontos correspondem a uma diminuição
no A en -1 / N (A), de modo que o ciclo limite é estável (fig.
4.9 (d)).
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Confiabilidade do Método.
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Exemplo4.10
Fig. 4.10 Ciclo límite do oscilador de Van der Pol; a)
estabilidade, b) confiabilidade.
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