x - PET Engenharia Elétrica

Plano Básico
Equações Diferenciais
PET ENGENHARIA ELÉTRICA
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL
ORIENTADOR: LEONARDO OLÍMPIO LOPES
Felipe Pontes
Samara Fava
Rafael Martins
Hydelo Wagner
Robson Cardoso
Fortaleza, 02 de fevereiro de 2007.
TRANSFORMADA
DE
LAPLACE
INTRODUÇÃO - TL

Ferramenta utilizada na resolução de muitos problemas práticos
de engenharia envolvendo sistemas mecânicos ou elétricos em
que atuam agentes impulsivos ou descontínuos.

Utilidade decorrente da necessidade de representar funções
temporais no domínio da freqüência complexa;

Por meio da mesma, as equações diferenciais que descrevem um
modelo físico podem ser resolvidas através de uma manipulação
algébrica;
INTRODUÇÃO
DEFINIÇÕES IMPORTANTES

A Transformada de Laplace de f(t), que será simbolizada por
L{f(t)} = F(s) se define pela equação

L{ f (t )}  F ( s)   e  st f (t )dt.
0

A Integral imprópria acima deve convergir para um valor limite. Tal
convergência ocorre para determinadas condições.

Uma função f(t) é seccionalmente contínua num intervalo qualquer
se o intervalo puder se dividido num número finito de pontos de modo
que:
- f(t) seja contínua em cada subintervalo aberto
- f(t) tem um limite finito nas fronteiras de cada subintervalo.
DEFINIÇÕES IMPORTANTES
Teorema:
A transformada de Laplace de uma função existe se for
convergente. Para tal, é suficiente que satisfaça as seguintes
condições:


f(t) seja seccionalmente contínua no intervalo 0 ≤ t ≤ A para
qualquer A positivo.
|f(t)| ≤ Keat quando t ≤ M. Nesta desigualdade, K, a e M são
constantes reais, K e M necessariamente positivas (ordem
exponencial).
Teorema da Unicidade:
Sejam f(t) e g(t) funções convergentes, então:
L{ f (t )}  L{g (t )}  f (t )  g (t )
EXEMPLOS
Seja f(t) = 1, t ≥ 0. Então



1
L{e }   e dt   e  st dt  , s  0
s
0
0
 st
at
Seja f(t) = eat, t ≥ 0. Então



L{e }   e e dt   e ( s a )t dt 
at
 st at
0

0
1
,s0
sa
Seja f(t) = sen(at), t ≥ 0. Então

L{sen(at )}  F ( s)   e  st sen(at )dt
0
 e  st cos at A s A

a
 st
 st
F ( s)  lim  e sen(at )dt  lim 
  e cos atdt  
A0
A0
a
a0

 s ²  a ²
0
0
A
PROPRIEDADES DA TL
1.
Linearidade (Operador Linear):
L{c1 f1 (t )  c2 f 2 (t )}  c1L{ f1 (t )}  c2 L{ f 2 (t )}.
2.
Ao sofrer um Deslocamento:
L{ f (t  a)}  e at F (s)
3.
Ao sofrer uma Mudança de escala:
L{ f (at )} 
1 s
F  , a  0
a a
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
VALOR INICIAL
A utilidade da TL na resolução de problemas de valor inicial com equações
diferenciais de coeficientes constantes baseia-se no fato de a transformada
f´ ter uma relação simples com a transformada de f.
Teorema 1:
Seja f uma função contínua e f ´ uma função seccionalmente contínua em
qualquer intervalo 0 ≤ t ≤ A. Supondo, além disso, que existem as
constantes K, a e M tais que |f(t)| ≤ Keat para t ≥ M. Então L{f ´(t)} existe
para s > a e, além disso,
L{ f ´(t )}  sL{ f (t )}  f (0),
 df 
L   sF ( s)  f (0).
 dt 
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
VALOR INICIAL
Se f´ e f´´ satisfazem as mesmas condições impostas por f
e f’, a
transformada de Laplace para f´´ também existe (para s> a) e é dada por:
L{ f ´´(t )}  s² L{ f (t )}  sf (0)  f ´(0)
Teorema 2:
Sejam f´, f´´, ..., f(n-1) funções contínuas e f(n) seccionalmente contínua em
qualquer intervalo 0 ≤ t ≤ A. Supondo, além disso, que existem as
constantes K, a e M tais que |f(t)| ≤ Keat, |f´(t)| ≤ Keat, ..., |f (n-1)(t)| ≤ Keat
para t ≥ M. Então L{f (n)(t)} existe para s >a e é dada por
TL{ f ( n) (t )}  s nTL{ f (t )}  s n1 f (0)  ...sf ( n2) (0)  f ( n1) (0).
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
VALOR INICIAL
Exemplo:
Seja o seguinte modelo de um sistema:
y´´ ay´  by  r(t)
y(0)  k0; y´(0)  k1
 r(t)  entrada do sistema
 y(t)  resposta à entrada do sistema

1° Passo: Aplicar a transformação de laplace da derivada
(Teorema 2, com n = 2):
s²Y (s)  sy(0)  y´(0)  a[sY (s)  y(0)]  bY (s)  R(s)
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
VALOR INICIAL

2° Passo: Resolução algébrica da equação obtida no primeiro
passo e Substituição dos valores iniciais:
(s²  as  b)Y (s)  (s  a) y(0)  y´(0)  R(s)
 Y ( s) 

(as  b)k 0  ak 1
R( s )

as 2  bs  c
as 2  bs  c
3° Passo: Decomposição da equação em frações parciais, cujas
transformadas inversas tabeladas permitem obter a resposta
desejada.
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
VALOR INICIAL
Exemplo de Cálculo da Transformada Inversa:
Calcule a Transformada Inversa de:
F ( s) 
Expandindo em frações parciais:
s3
A
B
F ( s) 


( s  1)( s  2) s  1 s  2
A  2; B  1
Podemos escrever F(s) como sendo:
F ( s) 
2
1

s 1 s  2
A partir de valores tabelados, temos que:
f (t )  2et  e2t
s3
s ²  3s  2
TABELA - TRANSFORMADAS
FUNÇÕES DEGRAU
 Algumas entre as mais interessantes aplicações elementares do
método da transformadas aparecem na resolução de equações
diferenciais lineares com funções de entradas descontínuas ou
impulsivas.
A função degrau unitário é definida por:
0,
uc (t )  
1,
t  c,
t  c,
c  0.
FUNÇÕES DEGRAU
Em termos da função degrau podemos escrever uma função g(t)
correspondente a f(t) da forma conveniente:
g (t )  uc(t ) f (t  c)
A Transformada de Laplace de uc é fácil de determinar:


e  sc
L{uc(t )}   e uc(t )dt   e .1dt 
s
0
c
 st
 st
Teorema 3:
Se F(s) = L{f(t)} existe para s >a e se c é uma constante positiva:
uc(t ) f (t  c)  L1{ecs F (s)}
FUNÇÕES IMPULSO
o Em algumas aplicações, é necessário tratar fenômenos de
natureza impulsiva, por exemplo, forças de módulo grande
que atuam por um curto período de tempo.
o O impulso unitário não-deslocado é 0, exceto para t = 0,
onde seu valor tende a infinito. Porém, a sua área tende a 1.
 (t )  0, t  0




  (t )dt   (t )dt  1
FUNÇÕES IMPULSO
A transformada de Laplace para o impulso em t = 0 é dada por:


0

L{ (t )}    (t )e  st dt    (t )e  s 0 dt  1
O impulso pode ser deslocado e a transformada de Laplace é
dada por:

L{ (t  a)}    (t  a)e dt 
0
 st
a 
a 
 sa
 sa

(
t

a
)
e
dt


(
t

a
)
e
dt

e


a 
 st
a 
FUNÇÕES IMPULSO
Exemplo:
Encontre a solução do problema de valor inicial:
2 y´´ y´2 y   (t  5)
y(0)  0; y´(0)  0
Aplicando a transformada de Laplace para a equação diferencial:
(2s ²  s  2)Y (s)  e5s
Assim,
e 5 s
1
Y ( s) 
2 ( s  1 / 4)²  15 / 16
FUNÇÕES IMPULSO
Cálculo da Transformada Inversa:
De valores tabelados, sabemos que:
1/ 2
2 t / 4
4
L {
}
e sen(
t)
( s  1 / 4)²  15 / 16
15
15
1
Do Teorema 3 visto anteriormente, concluímos que:
2  ( t 5 ) / 4
15
L {Y ( s)}  u 5(t )
e
sen
(t  5)
4
15
1
CONVOLUÇÃO

Teorema:
Se ambas F(s) = L{f(t)} e G(s) = L{g(t)} existem para s>0, então:
H ( s)  F ( s )G ( s)  L{h(t )}, s  a
h(t )  f (t ) g (t )
t
t
0
0
h(t)   f (t   ) g ( )d   g (t   ) f ( )d
A função h é conhecida como a convolução de f e g.
De acordo com este teorema, a transformada da convolução de
duas funções, ao invés da transformada do produto usual f(t)g(t),
é dada pelo produto das transformadas separadas.
CONVOLUÇÃO

Propriedades da Convolução:
f *g  g* f
(comutatividade)
f * ( g1  g 2)  f * g1  f * g 2 (distributi vidade)
( f * g ) * h  f * ( g * h)
(associativ idade )
As convoluções aparecem em diversas aplicações onde o
comportamento do sistema em qualquer instante t não depende
apenas do estado no instante t, mas também da história de seus
estados passados.
APLICAÇÃO: CIRCUITOS
ELÉTRICOS
Problema:
 Determinar a tensão nos terminais do capacitor para uma entrada
impulsiva, vez que a Vc(0) = 0 e I(0) = 0.
APLICAÇÃO: CIRCUITOS
ELÉTRICOS
As equações diferenciais que descrevem o circuito são as
seguintes:
di
 Vc  L  Ri  0
dt
Vc  Vi
dVc

iC
0
R
dt
As transformadas de Laplace das 2 equações acima são
dadas por:
Vc ( s)
Vi ( s)

 I ( s)  C[ sVc( s)  v(0)] 
R
R
 Vc ( s)  L[ sI ( s)  i(0)]  2 I ( s)  0
APLICAÇÃO: CIRCUITOS
ELÉTRICOS
Substituindo
equações:
os
valores
de
R,L,C
e
rearranjando
as
Vc ( s)
1
Vi ( s) v(0)
 I ( s)  sVc( s) 

(1)
2
2
R
2
V ( s)  Li(0)
I ( s) 
(2)
2s  2
Substituindo 2 em 1:
s 1
s 1
2
V ( s) 
Vi ( s) 
v(0) 
i(0)
s ²  2s  2
s ²  2s  2
s ²  2s  2
APLICAÇÃO: CIRCUITOS
ELÉTRICOS
Uma vez que v(0)=0 e i(0)=0 (condições iniciais dadas) e Vi(s) = 1:
s 1
V ( s) 
s ²  2s  2
Calculando, em seguida, a inversa da transformada obtemos:
V (t )  exp( t ) cos(t )
Aplicação - Laplace
Apresentação do motor de corrente contínua
 Equacionamento no domínio do tempo
 Equacionamento no domínio da freqüência
(Transformada de Laplace)
 Obtenção da função de transferência
 Simulação

Apresentação do motor de corrente
contínua
Equacionamento no domínio do tempo
Equação elétrica do M.C.C.
dia (t )
va (t )  Ra ia (t )  La
 e(t )
dt
•va (t) = tensão de armadura
•Ra = Resistência de armadura
•Ia (t) = corrente de armadura
•La= Indutância de armadura
•e(t) = Força contra-eletromotriz
Equacionamento no domínio do tempo
Equação mecânica do M.C.C.
d (t )
T (t )  J
 f (t )
dt
T(t) = Torque
J = Momento de inércia
ω(t) = Velocidade angular
f = coeficiente de atrito viscoso
Equacionamento no domínio do tempo
Equações eletromecânicas do M.C.C.
T (t )  kia (t )
e(t )  k (t )
kΦ = Constante da força contra-eletromotriz
Equacionamento no domínio da freqüência
(Transformada de Laplace)
Aplicando-se a transformada de Laplace nas equações no
domínio do tempo, obtiveram-se as equações no domínio da
freqüência:
Va (s)  Ra I a (s)  sLa I a (s)  E(s)
T (s)  Js(s)  f(s)
T ( s)  kI a ( s)
E ( s)  k ( s)
Obtenção da função de transferência
Função de transferência de um sistema é a representação das equações
elétricas e mecânicas obtida através da relação entre a saída e a entrada do
sistema.
Das equações anteriores, tem-se que:

I a ( s)
1

Va ( s)  E ( s) sLa  Ra
 ( s)
T ( s)

1
Js  f
T (s)
 k
I a (s)
E ( s)
 k
 ( s)
Obtenção da função de transferência
Unindo os blocos anteriores, chega-se ao seguinte diagrama de blocos:
Sendo a entrada do sistema a tensão aplicada à armadura do motor e a saída que
se queira, a velocidade, tem-se que a função de transferência é:
 ( s)
k

Va ( s) La Js 2  ( Ra J  La f ) s  Ra f  (k ) 2
Simulação
Utilizando-se o Matlab/Simulink, foi simulado o sistema do motor
de corrente contínua mostrado anteriormente.
Os valores utilizados foram: Ra = 2.17Ω, La = 46.34mH, J = 1.87, f = 0.1 e kΦ = 1.9
Simulação
Simulação
Simulação
Simulação
Agora, os valores utilizados foram: Ra = 0.217Ω, La = 46.34mH, J = 1.87, f = 0.1 e kΦ = 1.9
Simulação
Simulação
Equações
Diferenciais
Parciais e Séries de
Fourier
Apresentação
Problemas de Valores de Contorno para
Fronteiras com Dois Pontos
 Séries de Fourier
 Teorema de Convergência de Fourier
 Condução de Calor em uma Barra

Problemas de Valores de Contorno para
Fronteiras com Dois Pontos



y’’+ p(x)y’ + q(x)y = g(x)
Condições de contorno: y(α) = y0 , y(β) = y1 .
Resolução: Encontrar y como função de x (solução geral da
equação diferencial) e usar as condições de contorno para
determinar os valores das constantes arbitrárias.
Problemas de Valores de Contorno para
Fronteiras com Dois Pontos

Problemas de contorno lineares:
- Homogêneos: se g(x) = 0 para todo x e se y0 e y1 também são
nulos. Pode ter somente a solução trivial ou outras soluções
não-triviais.
- Não-homogêneos: caso contrário. Pode ter só uma solução,
nenhuma ou infinitas soluções.
Séries de Fourier

Se uma função f(x) é periódica de período 2L e é integrável
de no intervalo [-L,L], ela pode ser expressa como uma série
infinita de senos e/ou cossenos:
a0  
mx
mx 
f ( x)     am cos
 bm sen

2 m1 
L
L 

A série de Fourier associa-se com o método de separação das
variáveis e com as equações diferenciais parciais.

-
Propriedades das funções seno e cosseno:
Periodicidade
As funções sen e cos(mπx/L) têm período fundamental T = 2L/m.
L
0, m  n
mx
nx
cos
dx  
  cos
L
L
 L, m  n
 L

 L
mx
nx
sen
dx  0
(u, v)   u ( x)v( x)dx  0   cos
L
L
 L

L
0, m  n
mx
nx
  sen
sen
dx  
L
L
 L
 L, m  n
Ortogonalidade
Produto interno nulo:
-
-
As fórmulas de Euler-Fourier
Se a série de Fourier converge para uma função f(x), tem-se que
a0  
mx
mx 
   am cos
 bm sen
f(x) =

2 m1 
L
L 
Como conseqüência das condições de ortogonalidade, pode-se encontrar a
relação entre os coeficientes am, bm e f(x):
1
mx
am   f ( x) cos
dx, m  0,1,2,...
L L

L
1
mx
bm   f ( x) sen
dx, m  1,2,3,...
L L

L
Funções pares e ímpares
-
Função par: f(-x) = f(x)
- Função ímpar: f(-x) = -f(x)
Pelas propriedades das funções pares e ímpares, tem-se que:
-
a0  
mx 
   am cos
f par: f ( x) 

2 m1 
L 
-
mx 
f ímpar: f ( x)    bm sen

L 
m 1 

Exemplo

Fazer o desenvolvimento de Fourier para a função periódica f(x) = |x|,
definida sobre [−π , π].
Solução: Período = 2π => L = π.


0

Pela fórmula:
1
0.x
1
1
1
a0   | x | cos
dx   | x |dx    xdx   xdx  
 

 
 
0

0

1
mx
1
1
4
am   | x | cos
dx   x cos(mx)dx   x cos(mx)dx  2 , para m
 

 
0
n

ímpar ou zero para m par.
bm 
1


| x | sen

mx

dx 
1

0
1

 xsen(mx)dx    xsen(mx)dx  0.

0
a0  
mx
mx   4   1
mx 
   am cos
 bm sen
Assim, f(x) =
     2 cos

 
2 m1 
L
L  2  m1  m
f ( x) 


2

4
1
1
(cos( x)  cos(3x)  cos(5 x)  ...)

9
25
Análise da aproximação:
Teorema de Convergência de Fourier


Suposições:
f e f’ são seccionalmente contínuas no intervalo –L ≤ x < L;
f está definida fora do intervalo –L ≤ x < L;
f é periódica com período 2L.
Teorema: A série de Fourier converge para f(x) em todos os
pontos onde f é contínua e converge para [f(x+) + f(x-)]/2
em todos os pontos onde f é descontínua.
Exemplo

0, L  x  0
Seja f ( x)  
e seja f definida fora desse intervalo
L,0  x  L
de forma que f(x+2L) = f(x) para todo x. Encontrar a série de
Fourier dessa função e determinar onde ela converge.

Solução:
Análise da continuidade. Converge?
Pela fórmula,
L
L
1
a0   f ( x)dx   dx  L
L L
0
1
mx
mx
am   f ( x) cos
dx   cos
dx  0, m  0
L L
L
L
0
L
L
1
mx
mx
L
2 L , para m ímpar ou
bm   f ( x) sen
dx   sen
dx 
(1  cos m ) 
L L
L
L
m
m
0
L
zero para m par.
Portanto,
L
Fenômeno de Gibbs.
Condução de Calor em uma Barra
Problema:




Barra de seção reta uniforme e material homogêneo;
Lados perfeitamente isolados;
u(x,0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L, onde f é uma função dada;
u(0,t) = 0, u(L,t) = 0, t > 0.
Equação do calor: α2uxx = ut
0 < x < L, t >0, onde α2 é uma
constante conhecida como
difusividade térmica e depende apenas do material do qual é feita a
barra.
Por hipótese: u(x,t) = X(x)T(t). Mas como α2uxx = ut → α2X’’T = XT’.
Separando variáveis:

X ''
1 T'
 2
 
X  T
Obtém-se, então, as seguintes equações diferenciais ordinárias:
''

X
  X  0(1)
 '
2

T


T  0(2)

Com as condições iniciais, encontra-se que X(0) = 0 e X(L) = 0.
Resolvendo-se (1), encontra-se que as soluções não-triviais são as
Autofunções
X n ( x)  sen(nx / L), n  1,2,3,...
Associadas aos autovalores λn = n2π2/L2, n = 1, 2, 3, ...
Substituindo λ na equação (2), observa-se que T(t) é proporcional a
exp(-n2π2α2t/L2).
Dessa forma, concluiu-se que u ( x, t ) 

c e
n 1
 n 2 2 2t / L2
n
nx
sen(
)
L
Ora, mas como u(x,0) = f(x), encontram-se os coeficientes cn em
função de f(x) pela seguinte relação:
2
nx
cn   f ( x)sen(
)dx
L0
L
L
Que é exatamente a série de Fourier em senos de f.
Exemplo

Encontrar a temperatura u(x,t) em qualquer instante em uma barra de
metal de comprimento é de 50cm, que está a uma temperatura uniforme
inicial de 20°C em toda a barra e cujas extremidades são mantidas a 0°C
para todo t > 0.
Solução:
Seja L = 50 e f(x) = 20 para 0 < x < 50. Logo, aplicando diretamente na

fórmula de u(x,t) e cn, tem-se que
e
Exemplo
Substituindo cn em u(x,t), encontra-se:
Para α2 = 1:
Sistemas de Equações
Lineares de Primeira
Ordem
Apresentação

Conceitos Básicos

Sistemas Lineares Homogêneos com Coeficientes
Constantes



1º Caso: Autovalores Reais Distintos
2º Caso: Autovalores Complexos
3º Caso: Autovalores Repetidos
Conceitos Básicos

Seja um sistema de equações lineares de primeira
ordem:
 x'1  p11(t ) x1  ...  p1n (t ) xn  g1 (t )


 x'  p (t ) x  ...  p (t ) x  g (t )
n1
1
nn
n
n
 n

Esse sistema pode ser escrito na forma matricial:
 x'1   p11  p1n  x1   g1 (t ) 
  
  

              
 x'   p  p  x   g (t ) 
nn  n   n
 n   n1

Conceitos Básicos

De forma simplificada:
x'  P(t)x  G(t)

Considere a equação homogênea:
x' P(t)x

Resolvendo-a, as soluções serão:
 x11(t ) 
 x1k (t ) 




(1)
(k)
x (t)    ,, x (t)    
 x (t ) 
 x (t ) 
 n1 
 nk 
Conceitos Básicos

Teorema:


Se as funções vetoriais x(1) e x(2) são soluções do
sistema, então a combinação linear c1x(1) + c2 x(2)
também é solução quaisquer que sejam c1 e c2.
Pelo princípio da superposição, x também é
solução:
x = c1x(1) + c2 x(2) + ... + ck x(k)
Sistemas Lineares Homogêneos com
Coeficientes Constantes

Seja uma matriz constante n x n. Então, tem-se o sistema:
x'  Ax

Note que se n=1, o sistema se reduz a uma única equação
de primeira ordem:
dx
 ax
dt

Sua solução é:
x  ce
at
Sistemas Lineares Homogêneos com
Coeficientes Constantes

Procedendo por analogia ao tratamento de equações
diferenciais de segunda ordem, deve-se encontrar uma
solução da forma:
rt
x  ξe

Em que o vetor ξ e o expoente r são constantes e devem
ser determinados.

Substituindo a solução na equação x’ = Ax:
rξe rt  Aξe rt
Sistemas Lineares Homogêneos com
Coeficientes Constantes

Cancelando o termo não nulo ert, tem-se:
(A  rI)ξ  0

Em que I é a matriz identidade n x n.

Essa última equação determina os autovalores e os
autovetores da matriz A.
1º Caso: Autovalores Reais Distintos

Considere o sistema:

Procura-se uma solução na forma:
 1 1
x
x'  
 4 1
x  ξe

rt
Substitiuindo na equação:
1  1   0 
1  r
    
( A  rI)ξ  0  
 4 1  r   2   0 
1º Caso: Autovalores Reais Distintos

Fazendo o determinante da matriz dos coeficientes igual a
zero:
1 r
1
 0  r 2  2r  3  0
4 1 r

Então, os autovalores são r1=3 e r2 = -1. Assim:
1
r1  3   2  21  ξ   
 2
 1 
(2)
r2  1   2  21  ξ   
  2
(1)
1º Caso: Autovalores Reais Distintos

Assim, as soluções são:
x
(1)
x (2)
 1  3t 
  e 
 1  3t
 1  t
 2

  x  c1  e  c2  e
 1  t 
 2
  2
  e

  2 
 x1  c1e3t  c2 e t

 x2  2c1e3t  2c2 e t
1º Caso: Autovalores Reais Distintos

Assim, pode-se traçar o plano de fases, plano x1x2, do
sistema com suas trajetórias.

Cada trajetória corresponde a uma solução com suas
constantes c1 e c2 correspondentes.

c1 e c2 dependem das condições iniciais do sistema.
1º Caso: Autovalores Reais Distintos
 1 1
x
x'  
 4 1




r1=3 r2=-1.
Autovalores têm sinais opostos  x=0  Ponto de sela
Ponto de sela  assintoticamente instáveis.
Por exemplo, quando c1 = 1 e c2 = 0:
x1  e3t 

 reta x1  2 x2
3t 
x2  2e 

1º Caso: Autovalores Reais Distintos
3
2
x
x'  

2

2




r1=-1 r2=-4.
Autovalores são distintos e têm mesmo sinal  x=0  Nó


Sinal negativo  Nós assintoticamente estáveis.
Sinal positivo  Nós assintoticamente instáveis.
2º Caso: Autovalores Complexos

Seja o autovalor r e seu autovetor associado:
r    i
 (1)  a  ib

Tem-se que a solução x(1) é:
x (1)  a  ib e  i t  a  ib e t (cos t  i sin t )
x (1)  e t (a cos t  b sin t )  ie t (a cos t  b sin t )
x (1)  u (t )  iv (t )
t
u(t)  Re{x }  e (a cos t  b sin t )
(1)
t
v(t)  Im{x }  e (a cos t  b sin t )
(1)
2º Caso: Autovalores Complexos



Exemplo:
Seja o sistema:
 1

x'   2
  1


1 
x
1
 
2
Os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes
são:
1
1
(1)
r1    i  ξ   
2
i
1
1
( 2)
r2    i  ξ   
2
i
2º Caso: Autovalores Complexos

Um conjunto fundamental de soluções é:
x

x
(1)
1 ( 1/ 2i )t
  e
i 
x
(2)
 1  ( 1/ 2i )t
  e
i
Para encontrar um conjunto de soluções reais, deve-se
achar a parte real e imaginária de x(1) ou de x(2).
(1)
 e t / 2 cos t   e t / 2 sin t 
1 t / 2
  i t / 2

  e (cos t  i sin t )   t / 2
  e cos t 
i

e
sin
t
 

 

t / 2  cos t 
t / 2  sin t 
 v(t )  e 
'
u(t )  e 
  sin t 
 cos t 
2º Caso: Autovalores Complexos

Então, tem-se a solução real:
x  c1u(t )  c2 v(t )
x  c1e
t / 2
 cos t 
t / 2  sin t 

  c2 e 

  sin t 
 cos t 
 x1  e t / 2 (c1 cos t  c2 sin t )

 x2  e t / 2 (c1 sin t  c2 cos t )
2º Caso: Autovalores Complexos
 1

x'   2
  1



r1=-1/2+i r2=-1/2-i.
Autovalores são complexos com parte real negativa:



1 
x
1
 
2
x=0  Ponto espiral, assintoticamente estável.
Se Autovalores são complexos com parte real positiva:

x=0  Ponto espiral, assintoticamente instavel.
2º Caso: Autovalores Complexos
 0 1
x
x'  
 1 0 


r1=i r2=-i.
Autovalores são complexos com parte real nula:

x=0  Centro, estável, mas não assintoticamente.
3º Caso: Autovalores Repetidos

Seja o sistema:

A matriz dos coeficientes possui um autovalor r = 2 com
multiplicidade 2.

1  1
x
x'  
1 3 
Assim, só possui um autovetor associado:
r1  r2  2  ξ
(1)
1
  
  1
3º Caso: Autovalores Repetidos

Então, tem-se uma primeira solução:
x

(1)
 1  2t
  e
  1
A segunda solução será da forma:
x  ξte 2t  ηe2t

Substituindo na equação x’=Ax:
2ξte 2t  (ξ  2ηe2t )  A(ξte 2t  ηe2t )
3º Caso: Autovalores Repetidos

Igualando os coeficientes de te2t e e2t:
( A  2I)ξ  0 (I)
( A  2I) η  ξ (II)


(I) é satisfeita se ξ for um autovetor associado ao autovalor
2 da matriz A. Assim:
(II):
1
ξ   
  1
1  2  1  1   1    1  1 1   1 

      
    
3  2  2    1  1 1  2    1
 1
3º Caso: Autovalores Repetidos

Então:
 1   2  1
Se 1  k   2  k  1
 k  0 1
     k  
η  
  1  k    1   1

E a solução será:
 1  2t  0  2t
 1  2t
x   te   e  k  e
  1
  1
  1
3º Caso: Autovalores Repetidos
 1  2t  0  2t
 1  2t
x   te   e  k  e
  1
  1
  1

O último termo é um múltiplo do primeiro termo, podendo
ser ignorado.

Então, a segunda solução é:
 1  2t  0  2t
x (t)   te   e
  1
  1
( 2)
3º Caso: Autovalores Repetidos

A solução geral é:
x  c1x (1) (t)  c2 x ( 2) (t)
 1  2t  0  2t 
 1  2t
x  c1  e  c2  te   e 
  1
  1 
  1
2º Caso: Autovalores Complexos
1  1
x
x'  
1 3 


r1=2 r2=2.
Autovalores repetidos  x=0  Nó Impróprio


Sinal negativo  Nós assintoticamente estáveis.
Sinal positivo  Nós assintoticamente instáveis.
Equações Diferenciais
Não-Lineares e
Estabilidade
O Plano de Fases
Sistemas Autônomos e Estabilidade
Sistemas Quase-lineares
A Equação Predador-Presa
Atratores Estranhos
O Plano de Fase
x'  Ax
Autovalores
r1  r2  0
r1  r2  0
r2  0  r1
r1  r2  0
r1  r2  0
r1 , r2    i
det A  rI   0
det A  0
Tipo de Ponto Crítico
Estabilidade
Nó
Nó
Ponto de Sela
Nó Pr. Ou Impr.
Nó Pr. Ou Impr.
Ponto Espiral
Instável
Assim. Estável
Instável
Instável
Assim. Estável
Instável
Assim. Estável
Estável
  0,   0
r1  i , r2  i Centro
O Plano de Fase
r1  r2  0
r1  r2  0
r1  r2  0
r1  i , r2  i
r1 , r2    i
r2  0  r1
2
1
2
0
0
-1
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
r1  r2  0
1.5
Sistemas Autônomos e Estabilidade
•Sistemas autônomos têm F e G sem a variável t explicitamente.
dx
 F  x, y 
dt
dy
 G  x, y 
dt
•O caso mais simples de Sistemas autônomos é o sistema abaixo
em que a matriz A é constante.
x'  Ax
•A interpretação imediata para o comportamento de sistemas
autônomos.
Sistemas Autônomos e Estabilidade
Observe o comportamento de um sistema autônomo:
4
3.5
3
2.5
2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Observe o comportamento de um sistema que não é autônomo:
15
t=.5
t=1
10
t=.25
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Sistemas Autônomos e Estabilidade
•Ponto Crítico Estável
•Ponto Crítico Assintoticamente Estável
•Ponto Crítico Instável
Sistemas Quase-lineares
•Observemos um caso especial em que o ponto crítico é ligeiramente
modificado
O
r1  i , r2  i PERTURBAÇÃ


 r1 , r2    i
2
1
0
-1
-2
-1.5
  0  Instável
  0  Estável
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Sistemas Quase-lineares
x'  Ax
Autovalores
r1  r2  0
r1  r2  0
r2  0  r1
r1  r2  0
r1  r2  0
r1 , r2    i
  0,   0
r1  i , r2  i
det A  rI   0
det A  0
Tipo de Ponto Crítico
Estabilidade
Nó
Nó
Ponto de Sela
Nó Pr. Ou Impr.
Nó Pr. Ou Impr.
Ponto Espiral
Instável
Assim. Estável
Instável
Instável
Assim. Estável
Instável
Assim. Estável
-
-
Sistemas Quase-lineares
•Considere o sistema não linear abaixo
x'  f (x)
•Nosso objetivo é analisar os pontos críticos do sistema não-linear
x'  Ax  g(x)
•Ponto crítico (origem)
u  x  x0
•Então deve acontecer
 || g(x) ||
 || x ||  0

  F x, y  e Gx, y  forem 
quando x  0  

diferencia
veis
duas
vezes
 

•O sistema que obedece essa relação é denominado quase-linear
Sistemas Quase-lineares


Desenvolvimento em série de Taylor  F  x, y  
dx
dy 
, Gx, y  

dt
dt 
F x, y   F x0 , y0   FX x0 , y0 x  x0   FY x0 , y0  y  y0   1 x, y 
Gx, y   Gx0 , y0   GX x0 , y0 x  x0   GY x0 , y0  y  y0    2 x, y 
Observa-se que
F x0 , y0  , Gx0 , y0   0
1 x, y ,2 x, y   Desprezíveis perto do ponto crítico
Ficamos com
d  x  x0   FX x0 , y0  FY x0 , y0   x  x0 

  


dt  x  x0   GX x0 , y0  GY x0 , y0  x  x0 
Este é o sistema linear que aproxima o sistema não-linear na
vizinhança do ponto crítico
A equação Predador-Presa
•Este é o modelo em que uma espécie se alimenta da outra
espécie mais vulnerável. Há muitas aplicações para estes
modelos, principalmente em estudos ecológicos.
•No mundo real, poderíamos entender o comportamento das
populações de coelhos e raposas em uma floresta fechada.
•Existem várias formas do modelo predador-presa. No entanto
estamos interessados no modelo em que, na ausência do
predador, a população da presa se comporta segundo uma
equação logística.
A equação Predador-Presa
A equação logística tem a forma:
dy
dy
y

 r  ay  y 
 r 1   y
dt
dt
 K
r  Taxa intrínseca de crescimento
K  Capacidade ambiental de sustentação
6
Exemplo Numérico ( r  0,71 / ano; K  80,5.10 Kg )
7
y (kg)
15
x 10
Massa da população em função do tempo
0
1
10
5
0
2
3
4
t (anos)
5
6
7
A equação Predador-Presa
1. Na ausência do predador, a presa cresce segundo a equação
logística
dx
x

 xa  x   ax1  , y  0
dt
 K
2. Na ausência da presa
dy
 cy , x  0
dt
3. O número de encontros do predador e da presa é
proporcional ao produto das respectivas populações
dx
 xa  xx  xy  xa  x  y 
dt
dy
 cy  xy  y  c  x 
dt
a
Observação: 

c

A equação Predador-Presa
Encontrar os pontos críticos:
xa  x  y   0
y c  x   0
Vemos claramente que existem três pontos críticos:
0,0
a 
 ,0 
 
 c   a c 
 ,    
    



As derivadas parciais serão( F 
FX  a  2x  y
FY  x
G X  y
GY  c  x
dx
dy
,G 
dt
dt
):
A equação Predador-Presa
•Temos três pontos críticos do sistema linear para analisar.
O primeiro deles é a origem.
d  x a
   
dt  y   0
0  x 
 
 c  y 
Os autovalores e autovetores são:
r1  a, 
(1)
1
  ;
 0
r2  c, 
( 2)
 0
  
1
O ponto crítico em questão é um ponto de sela instável.
•O segundo ponto crítico é o ponto  a ,0  .


a

d u    a
   
dt  v   0




  u 
a  v 
c  

Os autovalores são: r1  a

a c
r2       0 (hipótese)
  
O ponto crítico em questão é um ponto de sela instável.
A equação Predador-Presa
•O terceiro e mais importante ponto crítico é o ponto  c   a c  
 ,    
.
    
c
c 





 
 u 
d u  

  
  
dt  v   a  c
 v 
0 

 

Devemos resolver a equação do segundo grau para encontrar
os autovalores
 c

c  a  c 
c
c  a  c 
2

 r r 

0

r

r




0
   

   
 

Os autovalores são:
c
r
 c

 

 
2
2

a c
 c 
c

 
  4c   
  4ca


  
  
r
2
2
A equação Predador-Presa
Isso implica em:
Autovalores reais e negativos se
 c

 
2

  4ca  0

Autovalores complexos se
 c

 
2

  4ca  0

Em ambos os casos o ponto é assintoticamente estável. No
primeiro, temos um nó; no segundo, temos uma expiral.
Este resultado mostra que o número de predadores e de presas
tende a se equilibrar no terceiro ponto.
A equação Predador-Presa
Exemplo numérico
dx
 xa  x  y   x1  0,05 x  0,5 y 
dt
dy
 y  c  x   y  0,75  0,25 x 
dt
Observação:
a
c
 20   3


Pontos críticos: 0,0; 20,0; 3,1.7
d  x  1
   
dt  y   0
0  x 
   r1  0,75, r2  1  Ponto de Sela
 0,75  y 
d  u    1  10  u 
   
   r1  1, r2  4,25  Ponto de Sela
dt  v   0 4,25  v 
d  u    0,15
   
dt  v   0,425
 1,5  u 
r  0,075  0,7949i,
    1
0  v 
r2  0,075  0,7949i

 Espiral

A equação Predador-Presa
0,0
20,0
3,1.7
Equação Predador-Presa
Equação Predador-Presa
Equação Predador-Presa
4
3
1
1
0
-1
2
predador
predador
predador
2
0
0
-2
-2
-1
-3
-4
-10
-5
0
presa
5
10
-2
-1
0
1
presa
2
3
-5
0
presa
5
A equação Predador-Presa
Comparação entre os pontos críticos do sistema linear com o não-linear
Equação Predador-Presa
predador
6
4
2
0
0
5
Equação Predador-Presa
10
presa
15
Equação Predador-Presa
3
1
1
4
0
-1
2
-2
-3
-10
-5
0
presa
5
10
predador
Equação Predador-Presa
predador
predador
2
0
-1
0
-2
-2
-4
-5
0
presa
5
-1
0
1
presa
2
3
A equação Predador-Presa
Vejamos o comportamento das populações ao longo do tempo.
Equação Predador-Presa
8
presa
predador
predador,presa
6
4
2
0
0
10
20
30
40
tempo t
50
60
70
Caos e Atratores Estranhos
•Apesar de usarmos sempre exemplos do plano, os conceitos
aplicados anteriormente podem ser generalizados para espaços
com três ou mais dimensões.
•A diferença é que o número de casos é bem maior e ainda
temos dificuldades em entender um plano de fases com três
eixos
•Como se isso não bastasse, ainda existem fenômenos
estranhos e complicados que passam a aparecer mais
freqüentemente à medida em que o espaço aumenta.
Caos e Atratores Estranhos
As Equações de Lorenz
Um problema de meteorologia consiste em analisar o
comportamento de uma camada de fluido entre duas isotermas. A
camada de baixo é mais quente que a camada de cima.
Edward N. Lorenz propusera o modelo descrito a seguir:
dx / dt    x  y 
dy / dt  rx  y  xz
dz / dt  bz  xy
A variável x está relacionada ao movimento do fluido enquanto
que as variáveis y e z estão relacionadas a variação de
temperatura na horizontal e na vertical.
Caos e Atratores Estranhos
As Equações de Lorenz
Como de costume, devemos encontrar os pontos críticos.
  x  y   0  y  x
rx  y  xz  0  xr  1  z   0
 bz  xy  0  bz  x 2  0
Vemos que existem três pontos críticos:
P1 0,0
 br  1, br  1, r  1, r  1
P  br  1, br  1, r  1, r  1
P2
3
Utilizaremos   10 e
menos cansativa.
b  8 / 3 para tornar essa análise
Caos e Atratores Estranhos
As Equações de Lorenz
O primeiro ponto crítico
 x    10
d   
 y   r
dt   
t  0
10
1
0
 x 
 
 y 
 8 / 3  t 
0
0
Que tem os seguintes autovalores:
1  
8
3
2 
 11  81  40r
2
3 
 11  81  40r
2
Quando r<1, a origem é assintoticamente estável. No entanto
quando r>1, o terceiro autovalor torna-se positivo. Então a
origem passa a ser instável. Esse momento em que r passa a ser
maior que um indica o começo do movimento convectivo no
fluido.
Caos e Atratores Estranhos
As Equações de Lorenz
O segundo ponto crítico
 10
u 



d
1
v
dt   
 w   8r  1 / 3
0
 u 
 
 8r  1 / 3  v 
 w 
8r  1 / 3
0
 
Que tem os autovalores com raízes da equação:
10
1
33  412  8r  10  160r  1  0
A solução desta equação depende de r da seguinte forma:
1<r<1,3456, existem três autovalores reais negativos (estável
na origem)
1,3456 <r<24,737, existe um autovalor real negativo e dois
complexos com a parte real negativa (estável em P1 ou P2)
24,737 <r, existe um autovalor real negativo e dois complexos
com a parte real positiva (instável)
Caos e Atratores Estranhos
As Equações de Lorenz
Parece que o problema está resolvido. Pois sabemos quais condições
levam o movimento do fluido a uma instabilidade.
Poderíamos pensar que no caso de r>24,737 a partícula colocada no
campo de trajetórias seria jogada longe, tendendo ao infinito do plano de
fases.
No entanto, para o modelo não linear, verifica-se que a estabilidade
existe e é complexa.
Equação de Lorenz
x
20
0
-20
0
10
20
30
40
50
t
60
70
80
90
100
Caos e Atratores Estranhos
As Equações de Lorenz
A fim de descobrir a razão desse fenômeno, seria interessante investigar
casos com r’s menores. Veja os gráficos abaixo para r=21 e r = 23.
Equação de Lorenz
x
20
0
-20
0
5
10
15
t
20
25
30
Equação de Lorenz
x
20
0
-20
0
10
20
30
t
40
50
60
Caos e Atratores Estranhos
As Equações de Lorenz
A figura abaixo mostra diversas situações no campo de direções do
problema.
r=5
r=10
5
8
4
6
3
4
2
2
3
4
5
2
3
4
r=15
5
6
7
10
20
r=25
15
40
20
10
0
5
-20
0
0
5
10
15
-40
-20
-10
0
Problemas de Valores
de Contorno e Teoria de
Sturm-Liouville

Objetivo
 Motivação
 Conceitos Básicos
 Aplicação: Problemas de Valores de Contorno
Não-Homogêneos
Objetivo

Generalizar o método de separação de variáveis para
resolução de equações diferenciais parciais
Motivação

Modelagem de Fenômenos Físicos:

Estudo de condução de calor em uma barra:


Propriedades Variáveis;
Presença de fontes de calor.
Conceitos Básicos


Determinação dos autovalores e autofunções de edo's
Teoria de Sturm-Liouville
Determinação dos autovalores
e autofunções de edo's

Motivação:
 Estudo de vibrações (freqüências naturais) transversais de
uma barra elástica;
 Estudo da tensão de cisalhamento numa coluna elástica;
 Determinação de soluções não-triviais de edo's
(autofunções).
Determinação de soluções nãotriviais de edo's (autofunções)

"Definição"
Seja a equação matricial Ax  λx. Esta admite a solução
x  0 para todo valor de λ, mas, para alguns valores de λ,
chamados autovalores, a equação tamb émadmite soluções
não nulas, chamadas autofunções.
Determinação de soluções
não-triviais de edo's
(autofunções)

Exemplo:
Seja o problema
y' '  λy  0
com condiçõesde contorno
y(0)  0 e y(  )  0.
Considereos casos λ  0, λ  0
e λ  0. Para λ  0, considerando
λ  μ 2 , temos y' '  μ 2 y  0 .
O polinômiocaracterístico é
r 2  μ 2  0, com raízes r  i
Assim, a solução geral assume a
forma y  c1 cos (x)  c2 sen(x).
Aplicandoas condiçõesde contorno,
obtemos c1  0 e c2 sen( )  0.
Já que procuramos por soluções
não nulas,c 2  0. Daí sen()  0.
Portanto,   n, n  1,2,3,...e, assim,
n  n 2 , n  1,2,3,...Finalmente, obtemos
as autofunções y n  sen(nx).
Teoria de Sturm-Liouville

Motivação:
Teoria de Sturm-Liouville

Definição
Seja a equação diferencial
[p ( x) y ' ] 'q( x) y  r ( x) y  0
definida no intervalo 0  x  1, junto com as
condições de contorno do tipo
a y (0)  a y ' (0)  0,
1
2
b y (1)  b y ' (1)  0
1
2
Teoria de Sturm-Liouville

Propriedades:
1.Todos os autovalores do problema de Sturm - Liouville
são reais.
2. Se 1 e  2 são duas autofunções do prob lemade
Sturm - Liouville e 1 e 2 os respectivos autovalores,
1
então  r ( x) 1 ( x) 2 ( x)dx  0.
0
3. Sejam Φ1 , Φ2 , ..., Φn as autofunçõe s normalizad as do problema
de Sturm - liouville.Suponha que f(x) sejam uma função tal que
f e f' sejam seccionalmente contínuas em 0  x  1, então f(x)
pode ser expandida em termos das autofunçõe s do problema
de Sturm - Liouville.
Aplicação: Problemas de Valores
de Contorno Não-Homogêneos
Considere o problema de equações diferencia is parciais o qual representa
a condução de calor numa barra a qual possui propriedad es variáveis e
está submetida a uma fonte de calor.
Aplicação: Problemas de Valores de
Contorno Não-Homogêneos
Como o problema (4), (6) é um problema de Sturm - Liouville, obtemos uma
seqüência de autovalore s e autofunçõe s normalizad as correspond entes.
Supondo que a solução u(x, t) possa ser expressa na forma de uma série de

autofunçõe s , obtemos u ( x, t )   bn (t ) n ( x) (7). Substituin do u(x, t) em (1), obtemos
n 1

 [b' (t )   b (t )   (t ) ] ( x)  0,
n
n 1
n
n
n
(8)
n
1
em que  n (t )   F ( x, t ) n ( x)dx.
0
Para a igualdade em (8) ser respeitada , é preciso que a quantidade dentro dos
colchetes seja nula para todo n. Então
b'n (t )  n bn (t )   n (t )  0, n  1,2,3,.... (9)
Para determinar completame nte bn (t ), precisamos de uma condição inicial
bn (0)   n , n  1,2,3,...
(10)
Fazendo t  0 em (7) e usando (3), temos


n 1
n 1
u ( x,0)   bn (0) n ( x)    n  n ( x)  f(x)
(11)
1
Portanto,  n   r ( x) f ( x) n ( x)dx, n  1,2,3,.... , e, apos resolver (9),
0

como já conhecemos bn (t ), obtemos a solução u ( x, t )   bn (t ) n ( x) .
n 1