Lista 3 - Jean Eduardo Sebold

Lista 3 - Integrais(Antiderivadas) e Integrais de Riemann
Prof. Dr. Jean Eduardo Sebold
Licenciatura em Quı́mica - Cálculo Diferencial e Integral I
IFC - Araquari, Santa Catarina
(A) Calcule as integrais usando mudança de variável(substituição):
Z
Z
sin(x)
2 −4x3
1.
xe
dx
dx
5.
2 + cos(x)
Z
Z
1
2
2.
cos (x)sin(x) dx
6.
dx
25 + x2
Z
Z
x2
3.
dx
7.
e5x dx
7 − x3
Z
Z √
3
4
1 + x2 x5 dx
4.
x cos(5x ) dx
8.
Z
9.
tg(x) dx
Z
10.
cos(3x) dx
Z
11.
Z
12.
x(4 + x2 )10 dx
√
sin( x)
√
dx
x
(B) Calcule as integrais(Integrais por Partes), seguindo as sugestões ao lado de cada item:
Z
Z
1.
ln(x) dx; u = ln(x) dv = dx
7.
xcos(5x) dx; u = x dv = cos(5x)dx
Z
2.
2
x ln(x) dx; u = ln(x) dv = x dx
Z
3.
−1
8.
Z
−1
xtg (x) dx; u = tg (x) dv = xdx
Z
4.
Z
5.
9.
1
1
x 2
dx; u = x dv =
dx
sin (x)
sin2 (x)
2x
2x
e cos(x) dx; u = e
Z
6.
Z
2
x
Z
10.
Z
11.
dv = cos(x)dx
xe−x dx; u = x dv = e−x dx
xex/2 dx; u = x dv = ex/2 dx
x2 cos(mx) dx; u = x2 dv = cos(mx)dx
x2 sin(πx) dx; u = x2 dv = sin(πx)dx
Z
x
(x + 1)e dx; u = x + 1 dv = e dx
12.
ln(2x + 1) dx; u = ln(2x + 1) dv = dx
(C) Calcule as integrais de funções racionais:
Z
Z
2x + 1
x5
1.
dx
5.
dx
x2 − 3x + 2
(x + 1)3
Z
Z
3x2 − 4x + 2
1
2.
dx
6.
dx
2
(1 + x)2 (x − 1)
x − a2
Z
Z 4
2x3 − 5x + 2
x − 2x2 + 4x + 1
dx
dx
3.
7.
x2 − 2x − 3
x3 − x2 − x + 1
Z
Z
3x6 + x4 + 1
2x2 − x + 4
4.
dx
8.
dx
x4 − 1
x3 + 4x
1
Z
4x2 − 3x + 2
dx
4x2 − 4x + 3
Z
1 − x + 2x2 − x3
dx
x(x2 + 1)2
9.
10.
(D) Calcule as integrais de Riemann interpretando em termos de área. Faça um esboço da área
calculada.
Z 3
Z 2
Z 3
x
( − 1) dx
1.
|x| dx
(3 − 2x) dx
3.
5.
2
0
−1
−1
Z 0
Z 2√
Z 10
√
(1 + 9 − x2 ) dx
2.
4.
4 − x2 dx
|x − 5| dx
6.
−3
−2
0
Z
f (x) dx ≤ M (b − a). Use esta propriedade
(E) Se m ≤ f (x) ≤ M para a ≤ x ≤ b, então m(b − a) ≤
para estimar as integrais abaixo.
Z 2
1
1.
dx
1 x
Z π/3
2.
tg(x) dx
b
a
Z
2
Z
−x
3.
xe
2
4.
π/4
(x3 − 3x + 3) dx
0
0
Z
2
5.
dx
√
Z
x3
3π/4
sin2 (x) dx
6.
+ 1 dx
π/4
0
(F) Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada das funções abaixo:
Z x
Z x
√
1. g(x) =
1 + 2t dt
3. g(x) =
ln(t) dt
0
Z
2. g(x) =
1
x
t2 sin(t) dt
Z
4. g(x) =
2
3
x
1
dt
t + t2
(G) Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as integrais abaixo:
Z 1
Z 8
Z 3
5
x4/5 dt
(4x + 3) dt
5.
3.
x dt
1.
−1
Z
5
6 dt
2.
0
2
Z
Z
2
(1 + 3x − x ) dt
4.
−2
4
8
x1/3 dt
6.
0
0
(H) Desenha a região envolvida pelas curvas dadas. Na sequência, calcule a área entre as curvas.
Integre com respeito à x ou à y.
1. y = x + 1, y = 9 − x2 , x = −1, x = 2
4. y = x2 , y = x4
2. y = sin(x), y = ex , x = 0, x = π/2
5. y = sin(πx/2), y = x
3. y = x, y = x2
6. y = |x|, y = x2
(I) Calcule as integrais impróprias:
Z +∞
Z +∞
1
1
1.
dx
5.
dx
2
1+x
2x
0
0
Z +∞
Z +∞
1
−x
2.
e dx
6.
dx;
p∈R
xp
0
1
Z +∞
Z +∞
1
−x
3.
e dx
7.
dx
2
−∞
−∞ 1 + x
Z +∞
Z −4
x
1
4.
dx
√
8.
dx
3
2
2
x+2
−∞ (1 + x )
1
2
Z
9.
0
Z
10.
0
2
1
√
dx
4 − x2
π/2
cos(x)
p
dx
sin(x)