Cap. 12 – Testes Qui- Quadrados e Testes Não
Transcrição
Cap. 12 – Testes Qui- Quadrados e Testes Não
Cap. 12 – Testes QuiQuadrados e Testes Não-Paramétricos Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-1 Final de curso... tempo de recordar : ) Cap. 9 – Fundamentos de testes de hipóteses Teste z para média com σ conhecido e teste t para σ desconhecido Testes unicaudais Teste z para proporções Cap. 10 – Testes para duas amostras Comparações de médias de duas populações independentes e populações relacionadas (testes z e t) Comparações de proporções (teste z) Teste F para a diferença entre duas variâncias Cap. 11 – Análise da Variância ANOVA de fator único – diferenças entre mais de duas médias aritméticas Múltiplas comparações – o procedimento de Tukey-Kramer Teste de Leven para a homogeneidade das variâncias ANOVA de dois fatores – efeitos dos fatores e da interação Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-2 Objetivos do Cap. 12 Neste capítulo, você aprenderá: Como e quando utilizar o teste qui-quadrado para tabelas de contingência Como utilizar o procedimento de Marascuilo para determinar diferenças em pares, ao avaliar mais de duas proporções Como e quando utilizar o teste de McNemar Como e quando utilizar testes não paramétricos Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-3 Tabelas de Contingência Tabelas de Contingência Útil em situações envolvendo múltiplas proporções Usada para classificar as observações de uma amostra de acordo com duas ou mais características Também conhecida como tabela de classificação cruzada. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-4 Exemplo de Tabela de Contingência “Destro ou canhoto” x Sexo Habilidade: Canhoto x Destro Sexo: Masculino x Feminino 2 categorias para cada variável, então a tabela será 2 x 2 Suponha que examinemos uma amostra de 300 estudantes Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-5 Exemplo de Tabela de Contingência Resultados da amostra organizados em uma tabela de contingência: Sexto Tamanho amostra = n = 300: 120 Mulheres, 12 são canhotas 180 Homens, 24 são canhotos Canhoto x Destro F M Canhoto 12 24 36 Destro 108 156 264 120 180 300 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-6 Exemplo de Tabela de Contingência H0: π1 = π2 (Proporção de homens canhotos é igual à proporção de mulheres canhotas) H1: π1 ≠ π2 (As proporções não são iguais – Ser canhoto ou destro não é independente do sexo) Se H0 é verdadeira, então a proporção de mulheres canhotas deveria ser a mesma que a proporção de homens canhotos. As duas proporções acima deveriam ser iguais à proporção de canhotos na população como um todo. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-7 Estatística de Teste QuiQuadrado A estatística de teste Qui-quadrado é: 2 (f f ) o e χ2 fe todas células onde: fo = frequencia observada em uma célula particular fe = frequência esperada para aquela célula se H0 é verdadeira 2 para o caso de tabelas 2 x 2 tem 1 grau de liberdade Premissa: cada célula da tabela de contingência tem uma frequencia esperada de pelo menos 5 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-8 Teste Qui-Quadrado para diferença entre duas proporções A estatística de teste 2 segue aproximadamente uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade Regra de Decisão: Se 2 > 2S, rejeita H0, caso contrário, não rejeita H0 0 Não rejeita H0 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Rejeita H0 2 2S Chap 12-9 Calculando a proporção geral estimada A proporção geral é: 120 Mulheres, 12 são canhotas 180 Homens, 24 são canhotos X1 X 2 X p n1 n2 n Aqui: 12 24 36 p 0.12 120 180 300 A proporção geral de canhotos estimada na população é de 0.12, ou seja, 12% Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-10 Encontrando as frequências esperadas Para obter a frequência esperada de mulheres canhotas, multiplique a proporção geral de canhotos pelo número total de mulheres Para obter a frequência esperada de homens canhotos, multiplique a proporção geral de canhotos pelo número total de homens Se as duas proporções são iguais, então P(Canhotas | Mulheres) = P(Canhotos | Homens) = .12 i.e., esperaríamos que (.12)(120) = 14.4 mulheres canhotas (.12)(180) = 21.6 homens canhotos Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-11 Frequências observadas x esperadas Sexo Canhoto x Destro F M Canhoto Observado = 12 Esperado = 14.4 Observado = 24 Esperado = 21.6 36 Observado = 108 Observado = 156 Esperado = 105.6 Esperado = 158.4 264 Destro 120 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. 180 300 Chap 12-12 Teste Qui-Quadrado para diferença entre duas proporções Sexo Canhoto x Destro F M Canhoto Observado = 12 Esperado = 14.4 Observado = 24 Esperado = 21.6 36 Destro Observado = 108 Esperado = 105.6 Observado = 156 Esperado = 158.4 264 120 180 300 A estatística de teste é: ( fo fe )2 fe todas células 2 (12 14.4) 2 (108 105.6) 2 (24 21.6) 2 (156 158.4) 2 0.7576 14.4 105.6 21.6 158.4 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-13 Teste Qui-Quadrado para diferença entre duas proporções A estatística de teste é 2 0.7576 , S2 com 1 g.l. 3.841 Regra de decisão: Se 2 > 3.841, rejeita H0, senão, não rejeita H0 =.05 0 Não rejeita H0 Rejeita H0 2 2S=3.841 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Aqui, 2 = 0.7576 < 2S = 3.841, então não rejeita H0 e conclui que não há evidências suficientes de que as duas proporções sejam diferentes. Chap 12-14 Teste 2 para diferenças entre mais de duas proporções O teste 2 pode ser extendido para o caso de mais de duas populações independentes: H0: π1 = π2 = … = πc H1: Nem todos os πj são iguais (j = 1, 2, …, c) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-15 Estatística de Teste QuiQuadrado 2 ( f f ) 2 o e fe all cells onde: fo = frequência observada em uma das células de uma tabela 2 x c (2 linhas e c colunas) fe = frequência esperada em uma célula se H0 é verdadeira 2 para a tabela 2 x c tem (2-1)(c-1) = c - 1 graus de liberdade Premissa: cada célula da tabela de contingência tem frequência esperada de pelo menos 1 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-16 Calculando a Proporção Geral Estimada X 1 X 2 ... X c X A proporção geral é: p n1 n2 ... nc n As frequências esperadas em cada célula para as c categorias são calculadas como no caso da tabela 2 x 2, e a regra de decisão é a mesma: Regra de Decisão: Se 2 > 2S, rejeita H0, caso contrário, não rejeita H0 Onde 2S é de uma distribuição qui-quadrado com c – 1 graus de liberdade Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-17 Teste 2 com mais de duas proporções: Exemplo O compartilhamento de informações de pacientes é uma questão controversa na área de saúde. Uma pesquisa feita com 500 indivíduos perguntou se havia objeções ao compartilhamento de dados entre seguradoras, farmácias e médicos pesquisadores. Os resultados são resumidos na tabela seguinte: Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-18 Teste 2 com mais de duas proporções: Exemplo Organização Objeção ao Seguradoras Farmácias compartilha mento? Sim 410 295 Não 90 205 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Médicos Pesquisadores 335 165 Chap 12-19 Teste 2 com mais de duas proporções: Exemplo A proporção X 1 X 2 ... X c 410 295 335 p 0.6933 n1 n2 ... nc 500 500 500 geral é: Organização Objeção ao Seguradoras compartilhamento? Farmácias Médicos Pesquisadores Sim fo = 410 fe = 346.667 fo = 295 fe = 346.667 fo = 335 fe = 346.667 Não fo = 90 fe = 153.333 fo = 205 fe = 153.333 fo = 165 fe = 153.333 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-20 Teste 2 com mais de duas proporções: Exemplo Organização Objeção? Seguradoras Farmácias Médicos Pesquisadores Sim f o f e 2 f o f e 2 f o f e 2 fe Não f o f e 2 fe 11.571 fe 26.159 f o f e 2 fe 7.700 17.409 fe 0.3926 f o f e 2 fe 0.888 2 ( f f ) A estatística de teste 2 o e 64.1196 fe todas as células qui-quadrado é: Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-21 Teste 2 com mais de duas proporções: Exemplo H0: π1 = π2 = π3 H1: Nem todos os πj são iguais (j = 1, 2, 3) Regra de decisão: Se 2 > 2S, rejeita H0, caso contrário, não rejeita H0 2S = 5.991 vem da distribuição qui-quadrado com dois graus de liberdade. Conclusão: Como 64.1196 > 5.991, rejeita-se H0 e você conclui que pelo menos uma das proporções de respondentes que fizeram objeção ao compartilhamento de seus dados é diferente entre as organizações. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-22 O procedimento de Marascuilo O procedimento de Marascuilo permite fazer comparações entre todos os pares. Primeiro, calcule as diferenças observadas pj pj’ entre todos os pares das c(c-1)/2 células. Segundo, calcule o intervalo crítico correspondente para o procedimento de Marascuilo. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-23 O procedimento de Marascuilo Intervalo crítico para o procedimento de Marascuilo : Intervalo Crítico 2 S Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. p j (1 p j ) nj p j / (1 p j / ) n j/ Chap 12-24 O procedimento de Marascuilo Calcule um intervalo crítico para cada par de comparações entre as proporções da amostra. Compare cada um dos c(c - 1)/2 pares de proporções na amostra com seu intervalo crítico correspondente. Declare a diferença entre proporções significante se a diferença absoluta no par de proporções |pj – pj’| for maior que o intervalo crítico correspondente. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-25 O procedimento de Marascuilo Exemplo Organização Objeção? Seguradoras Farmácias Médicos Pesquisadores Sim 410 P1 = 0.82 295 P2 = 0.59 335 P3 = 0.67 Não 90 205 165 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-26 O procedimento de Marascuilo Exemplo TABELA DE MARASCUILO Proporções Diferenças Absolutas Intervalo Crítico | Group 1 - Group 2 | 0.23 0.06831808 | Group 1 - Group 3 | 0.15 0.0664689 | Group 2 - Group 3 | 0.08 0.074485617 Conclusão: Como cada diferença absoluta é maior que o intervalo crítico correspondente, você conclui que cada proporção é significativamente diferente das outras duas. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-27 Teste de Independência 2 Semelhante ao teste 2 para igualdade entre mais de duas proporções, mas extende o conceito a tabelas de contingência com r linhas e c colunas H0: As duas variáveis categóricas são independentes (i.e., não há nenhuma relação entre elas) H1: As duas variáveis categóricas são dependentes (i.e., existe uma relação entre elas) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-28 Teste de Independência 2 A estatística de teste Qui-Quadrado é: 2 ( f f ) o e 2 fe todascélulas onde: fo = frequência observada em uma célula particular da tabela r x c fe = frequência esperada em uma célula se H0 é verdadeira 2 para uma tabela r x c tem (r-1)(c-1) graus de liberdade Premissa: cada célula da tabela de contingência tem frequência esperada de pelo menos 1 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-29 Frequências Esperadas Frequências esperadas em cada célula: total da linha total da coluna fe n Onde: Total da linha = soma do total de frequências naquela linha Total da coluna = soma do total de frequências naquela coluna n = tamanho total da amostra Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-30 Regra de Decisão A regra de decisão é: Se 2 > 2S, rejeita-se H0, caso contrário, não rejeita H0 Onde 2S vem da distribuição qui-quadrado com (r – 1)(c – 1) graus de liberdade Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-31 Exemplo: Teste de Independência O plano de refeições selecionado por 200 estudantes é mostrado abaixo: Tipo Menu No. de refeições por semana 20/sem. 10/sem. nenhuma Total Saudável 24 32 14 70 Sofist. 22 26 12 60 Junior 10 14 6 30 Senior 14 16 10 40 70 88 42 200 Total Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-32 Exemplo: Teste de Independência A hipótese a ser testada é: H0: No. de refeições e tipo do menu são independentes (i.e., não há nenhuma relação entre eles) H1: No. de refeições e tipo do menu são dependentes (i.e., há relação entre eles) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-33 Exemplo: Teste de Independência Frequências esperadas em cada célula se H0 é verdadeira: Exemplo p/ uma célula: total linha x total coluna fe n 30 70 10.5 200 Tipo Menu No. de refeições por semana 20/sm. 10/sm. 0 Total Saudável 24.5 30.8 14.7 70 Sofist. 21.0 26.4 12.6 60 Junior 10.5 13.2 6.3 30 Senior 14.0 17.6 8.4 40 70 88 42 200 Total Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-34 Exemplo: Teste de Independência O valor da estatística de teste é: ( fo fe )2 fe todascélulas 2 (24 24.5) 2 (32 30.8) 2 (10 8.4) 2 0.709 24.5 30.8 8.4 2S = 12.592 para α = .05 sendo a distribuição com (4 – 1)(3 – 1) = 6 graus de liberdade Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-35 Exemplo: Teste de Independência A estatística de teste é 2 0.709 , S2 com 6 g.l. 12.592 Regra de Decisão: Se 2 > 12.592, rejeita H0, caso contrário, não rejeita H0 =0.05 0 Não rejeita H0 Rejeita H0 2 2S=12.592 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Aqui, 2 = 0.709 < 2S = 12.592, então não rejeita H0 Conclusão: não há evidências suficientes de que haja relação entre o no. de refeições e o tipo do menu escolhido. Chap 12-36 Teste de McNemar Usado para testar diferenças entre duas proporções de amostras relacionadas (não independentes) A estatística de teste segue uma distribuição normal Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-37 Teste de McNemar Tabela de Contingência Condição (Grupo) 2 Condição (Grupo) 1 Sim Não Totais Sim A B A+B Não C D C+D Totais A+C B+D n Onde A = número de elementos que responderam sim às condições 1 e 2 B = número de elementos que responderam sim à condição 1 e não a 2 C = número de elementos que responderam não à condição 1 e sim a 2 D = número de elementos que responderam não às condições 1 e 2 n = número total de elementos da amostra Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-38 Teste de McNemar Tabela de Contingência Condição (Grupo) 2 Condição (Grupo) 1 Sim Não Totais Sim A B A+B Não C D C+D Totais A+C B+D n As proporções na amostra são: A B p1 n AC p2 n Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-39 Teste de McNemar Tabela de Contingência Condição (Grupo) 2 Condição (Grupo) 1 Sim Não Totais Sim A B A+B Não C D C+D Totais A+C B+D n As proporções na população são: π1 = proporção da população que respondeu sim à condição 1 π2 = proporção da população que respondeu sim à condição 2 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-40 Teste de McNemar Tabela de Contingência Para testar a hipótese: H0: π1 = π2 H1: π1 ≠ π2 Use a estatística de teste: Z BC BC Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-41 Teste de McNemar Exemplo Suponha que você pesquisou 300 proprietários de casas financiadas e perguntou se eles estariam interessados em um refinanciamento. Em um esforço para gerar negócios o banco responsável por estes financiamentos melhorou as condições dos financiamentos e reduziu os custos de conclusão dos mesmos. A amostra foi então novamente pesquisada. Determine se as mudanças nos termos do financiamento foram efetivas em gerar negócios para o banco. Os dados são resumidos a seguir: Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-42 Teste de McNemar Exemplo Respostas após mudanças Respostas antes da mudança Sim Não Totais Sim 118 2 120 Não 22 158 180 140 160 300 Totais Teste a hipótese (a um nível de significância igual a 0.05): H0: π1 = π2: As mudanças não foram efetivas H1: π1 diferente π2: As mudanças aumentaram o volume de negócios Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-43 Teste de McNemar Exemplo Respostas após mudanças Respostas antes da mudança Sim Não Totais A estatística de teste é: Sim 118 2 120 Não 22 158 180 140 160 300 Totais O valor crítico (.05 de significância) é Z = -1.96 Z BC BC 2 22 2 22 4.08 Como Z = -4.08 < -1.96, você rejeita H0 e conclui que as mudanças nos termos dos empréstimos aumentou significativamente o volume de negócios (a um nível de significância de 5%). Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-44 Teste da Soma das Classificações de Wilcoxon Testa as medianas de duas populações independentes As populações não precisam ter distribuição normal É um teste não paramétrico Útil quando apenas dados ordinais estão disponíveis Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-45 Teste da Soma das Classificações de Wilcoxon Pode ser usado quando ambos n1 , n2 ≤ 10 Calcule as classificações para as amostras combinadas n1 + n2 Se os tamanhos de amostra forem desiguais, estabeleça n1 como a amostra de menor tamanho O menor valor recebe classificação = 1, o maior valor classificação = n1 + n2 Para valores repetidos estabeleça a classificação como a média das classificações e atribua este valor às repetições Some as classificações para cada amostra: T1 e T2 Obtenha a estatística de teste, T1 (da menor amostra) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-46 Verificando as classificações A soma das classificações deve satisfazer à fórmula abaixo Use-a para verificar a soma de T1 e T2 n(n 1) T1 T2 2 onde n = n1 + n2 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-47 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Hipóteses e Decisão M1 = mediana da população 1; M2 = mediana da população 2 Estatística de teste = T1 (soma das classificações para a menor amostra) Teste bi-caudas Teste de cauda à esquerda Teste de cauda à direita H0: M1 = M2 H1: M1 ≠ M2 H0: M1 ≥ M2 H1: M1 < M2 H0: M1 ≤ M2 H1: M1 > M2 Rejeita Não Rejeita T1I Rejeita T1S Rejeita H0 se T1 ≤ T1I ou se T1 ≥ T1S Rejeita Não Rejeita T1I Rejeita H0 se T1 ≤ T1I Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Não Rejeita Rejeita T1S Rejeita H0 se T1 ≥ T1S Chap 12-48 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Exemplo com pequenas amostras Dados amostrais sobre a utilização da capacidade de produção (% da capacidade) de duas fábricas são coletados. As medianas destes percentuais são as mesmas para as duas fábricas? Para a fábrica A, os percentuais são 71, 82, 77, 94, 88 Para a fábrica B, os percentuais são 85, 82, 92, 97 Teste a igualdade das medianas populacionais a um nível de significância de 0.05 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-49 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Exemplo com pequenas amostras Capacidade Fábrica A Repetições na 3a. e 4a. posições Fábrica B Rank Fábrica A 71 1 77 2 82 3.5 82 3.5 85 5 88 6 92 94 7 8 97 Soma Classificações: Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Fábrica B 9 20.5 24.5 Chap 12-50 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Exemplo com pequenas amostras Fábrica B tem a menor amostra, então a estatística de teste é a soma das classificações na fábrica B: T1 = 24.5 Os tamanhos de amostra são: n1 = 4 (fábrica B) n2 = 5 (fábrica A) O nível de significância é α = .05 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-51 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Exemplo com pequenas amostras Valores críticos inferior e superior para T1 na Tabela E.8 no Apêndice: T1I = 11 e T1S = 29 n2 n1 OneTailed TwoTailed 4 5 .05 .025 .01 .005 .10 .05 .02 .01 12, 28 11, 29 10, 30 --, -- 19, 36 17, 38 16, 39 15, 40 4 5 6 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-52 = .05 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Exemplo com pequenas amostras n1 = 4 , n2 = 5 Teste Bi-caudal H0: M1 = M2 H1: M1 ≠ M2 Não Rejeita Rejeita T1I=11 Rejeita T1S=29 Rejeita H0 se T1 ≤ T1I = 11 ou se T1 ≥ T1S = 29 Estatística de teste (Soma das classificações para a menor amostra): T1 = 24.5 Decisão: Não rejeitar a α = 0.05 Conclusão: Não há evidências suficientes para afirmar que as medianas não são iguais. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-53 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Aproximação pela Normal Para grandes amostras, a estatística de teste T1 tem aproximadamente distribuição normal com média e desvio padrão: n1(n 1) μT1 2 n1 n2 (n 1) σ T1 12 Use a aproximação normal se n1 ou n2 > 10 Defina n1 como a menor das duas amostras Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-54 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Aproximação pela Normal A estatística de teste Z é: Z T1 μ T1 σT1 Onde Z segue aproximadamente uma distribuição normal padronizada Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-55 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Aproximação pela Normal Usando o exemplo anterior: Os tamanhos de amostra eram: n1 = 4 (fábrica B) n2 = 5 (fábrica A) O nível de significância era α = .05 A estatística de teste era: T1 = 24.5 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-56 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Aproximação pela Normal μT1 σT1 n1(n 1) 4(9 1) 20 2 2 n1 n2 (n 1) 4 (5) (9 1) 4.082 12 12 A estatística de teste é: Z T1 μ T1 σT1 24.5 20 1.10 4.082 Z = 1.10 é menor que o valor crítico Z de 1.96 (for α = .05) então você não rejeita H0 – não há evidências suficientes para afirmar que as medianas são diferentes Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-57 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Testa a igualdade de mais do que duas medianas populacionais Útil quando a premissa da normalidade necessária a utilização da ANOVA de fator único é violada Premissas: As amostras são aleatórias e independentes A variável subjacente é contínua Os dados podem ser classificados As c populações têm a mesma variabilidade As c populações têm o mesmo formato Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-58 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Obtenha as classificações para cada valor na amostra combinada Caso haja valores repetidos, atribua a eles a média aritmética das classificações que receberiam se não fossem idênticos Some as classificações para cada um dos c grupos Calcule a estatística de teste H Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-59 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis A estatística de teste H de Kruskal-Wallis: (com c – 1 graus de liberdade) c T2 12 j H 3(n 1) n(n 1) j 1 n j onde: n = no. total de valores nas amostras combinadas c = no. de grupos Tj = Soma das classificações na jth amostra nj = Tamanho da jth amostra Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-60 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Complete o teste comparando o valor calculado de H com o valor crítico 2 da distribuição qui-quadrado com c – 1 graus de liberdade Regra de decisão 0 Não rejeita H0 2S Rejeita H0 Rejeitar H0 se a estatística de 2 teste H > 2S Caso contrário, não rejeita H0 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-61 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Exemplo Diferentes escritórios de uma mesma companhia têm quantidades de empregados diferentes? Tamanho (Chicago, C) Tamanho (Denver, D) Tamanho (Houston, H) 23 41 54 78 66 55 60 72 45 70 30 40 18 34 44 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-62 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Exemplo Diferentes escritórios de uma mesma companhia têm quantidades de empregados diferentes? Tamanho Ranking (Chicago, C) 23 41 54 78 66 2 6 9 15 12 = 44 Tamanho (Denver, D) Ranking Tamanho (Houston, H) Ranking 55 60 72 45 70 10 11 14 8 13 30 40 18 34 44 3 5 1 4 7 = 56 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. = 20 Chap 12-63 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Exemplo H 0 : Mediana C Mediana D Mediana H H A : as medianas populacionais não são todas iguais A estatística H é: c T2 12 j H 3(n 1) n(n 1) j 1 n j 12 44 2 56 2 20 2 3(15 1) 6.72 5 5 15(15 1) 5 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-64 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Exemplo Compare H = 6.72 com o valor crítico da distribuição qui- quadrado com 3 – 1 = 2 graus de liberdade e = .05: χ 5.991 2 S 2 Como H = 6.72 > χS 5.991 , rejeita H0 Há evidências de que as medianas dos nos. de empregados nos escritórios regionais são diferentes. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-65 Resumo do Capítulo Neste capítulo, nós vimos: Desenvolvimento e aplicação do teste 2 para diferença entre duas proporções Desenvolvimento e aplicação do teste 2 para diferenças entre proporções de mais de duas populações Teste 2 para independência Teste de McNemar para diferenças entre duas proporções em amostras relacionadas Utilização do teste da soma das classificações de Wilcoxon para diferenças entre duas medianas populacionais Pequenas amostras Para amostras maiores a aproximação Z Aplicação do teste H de Kruskal-Wallis para comparações entre medianas de múltiplas populações Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-66