osciladores senoidais

OSCILADORES SENOIDAIS
Duas técnicas principais são utilizadas para a geração de senoides:
1) Osciladores lineares:
Consistem, basicamente, de um amplificador com realimentação positiva onde a rede
β é um circuito seletivo (RC ou LC).
2) Conformadores de senóide:
A senóide é obtida pela conformação de uma onda triangular.
OSCILADORES SENOIDAIS LINEARES
s1 + Σ
Amplificador
s2
s3
A(s )
Af (s ) =
1 − β (s )A(s )
A
+
s4
Rede β (seletiva)
realimentação positiva
Ganho de malha (“loop gain”)
+
Amplificador
Σ
A
+
vr
x
Rede β (seletiva)
L(=
s)
+
Vr
= β (s )A(s )
Vt
~ vt
-
Critério de Barkhausen:
Para haver oscilação senoidal
β ( j ωo )A( j ω=
) 1
o
⇒
 βA = 1


β A = 0o

“Na frequência de oscilação ωo, o ganho de malha deve ter fase 0o e módulo unitário.“
Intuitivamente, se o sinal de retorno (Vr) for igual, em módulo e fase, ao sinal de
transmissão (Vt), a saída Vo será sustentada mesmo sem a presença do sinal de entrada do
amplificador.
L( j ωo )
=
Vr ( j ωo )
= 1
Vt ( j ωo )
(1.1)
Deve-se notar que a oscilação ocorre somente na frequência (ωo ) onde a fase do ganho de
malha ( β A ) for 0o.
( )
( )
Seguindo este raciocínio intuitivo, se L j ωo < 1 , a oscilação não se sustenta e se L j ωo > 1 a
amplitude de Vr crescerá até que o amplificador entre na região de saturação, resultando numa
senóide com distorção.
Uma visão alternativa para o estudo dos osciladores senoidais consiste na determinação dos
pólos da função de transferência
Af (s ) =
A(s )
1 − β (s )A(s )
(1.2)
Os pólos de Af(s) estão localizados nas raízes do polinômio do denominador da função de
rtransferência (equação característica):
1 − β (s )A(s ) =
0
(1.3)
Por exemplo:
A(s ) ≡ K
e
β (s ) ≡
s
s 2 + bs + 1
jω
K =b
1 − β (s )A(s ) =
0
1−K
s
=
0
s 2 + bs + 1
σ
s 2 + bs + 1 − Ks =
0
(
)
s2 + b − K s + 1 =
0
(1.4)
Para que o circuito produza oscilações sustentadas na frequência ωo , as raízes devem estar
localizadas em s = ± jωo .
Oscilação não sustentada
jω
σ
Oscilação sustentada
jω
σ
Oscilação sustentada, com distorção
jω
σ
Limitação do amplificador
CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS:
Para garantir oscilação senoidal as raízes do polinômio 1 − β ( s ) A( s ) devem estar localizadas
exatamente sobre o eixo jω . Significa dizer que ao longo do tempo β ( s ) e A( s ) não podem
sofrer alterações sob pena de parar de oscilar ou distorcer.
Sabemos que as características do circuito sofrem alterações por efeito de temperatura,
envelhecimento, etc... Desta forma, para construir um oscilador senoidal devemos utilizar
algum mecanismo de controle do ganho do amplificador.
São duas as preocupações básicas:
1) Garantir que o circuito sempre oscilará. Para isto, devemos garantir β A ligeiramente
maior que a unidade na frequência ωo . Isto posicionará os pólos no semiplano lateral
direito (SLD) do plano complexo s.
β A > 1 ⇒ oscilação garantida (com distorção)
2) Garantir que β A = 1 quando a amplitude do sinal de saída atingir um valor desejado.
β A v =1
o
Com esta técnica, os pólos são inicialmente posicionados no SLD do plano s, garantindo o
processo de oscilação e, posteriormente, á medida que a amplitude do sinal de saída
aumenta (em módulo), os pólos vão se deslocando, suavemente, na direção do eixo jω ,
evitando a distorção.
jω
Posição final
βA = 1
Ação do mecanismo de
controle do ganho A
Posição inicial
βA ≥ 1
σ
Um circuito de controle eficiente:
Inclinação:
 Rf / / R4 
1+

R1 

VCC +
Vo
R2
D1
R1
Rf
R3
Vo
Vo+
Vi
R4
OUT
Vi
Inclinação:
 Rf 
1+

 R1 
D2
+
U1
R5
VCC -
Inclinação:
 Rf / / R3 
1+

R1 

Vo−
Para D1 e D2 cortados e aplicando superposição na determinação de VA e VB, tem-se:
A=
=
VA VCC
Vo
R
= 1+ f
Vi
R1
R3
R2
+ Vo
R2 + R3
R2 + R3
R5
R4
VB =
−VCC
+ Vo
R4 + R5
R4 + R5
A situação de D1 e D2 cortados ocorre para baixas amplitudes de Vo. Com o aumento da
amplitude ocorrerá a condução dos diodos D1 e D2, respectivamente nos semi-ciclos negativo e
positivo, colocando Rf em paralelo com R3 ou R4 e, consequentemente forçando a redução do
ganho. Os limites (vo+ e vo-) de condução de D1 e D2 são dados pelas expressões:
D1 conduz:
VA =
Vi − VD
V−
⇒ VA =o − VD
A
VB =
Vi + VD
V+
⇒ VB =o + VD
A
D2 conduz:
Assim:
VA =

Vo−
R3
R2 
− VD = VCC
+ Vo

A
R2 + R3
R2 + R3 

 R2


R3
1
Vo− 
− =
− VCC
+ VD 
R2 + R3
 R2 + R3 A 


Fazendo :
=
k
R3
R2 + R3
⇒
1− k )
(=
R2
R2 + R3
Vem:
A
Vo− =
−
( kVCC + VD )
A (1 − k ) − 1
Analogamente:
A
Vo+ =
−
( kVCC + VD )
A (1 − k ) − 1
onde,
R4
k=
R4 + R5
OBS.: Como a curva de condução do diodo é exponencial, as transições em torno de
Vo+ e Vo− são suaves, contribuindo para a redução da distorção.
OSCILADOR EM PONTE DE WIEN
A
Vo
Zs =R1 +
C1
Zp
R2
C2
sR C + 1
1
= 1 1
sC1
sC1
R1
R2
1
=
Z p R=
/
/
2
sC2 sR2C2 + 1
Zs
REDE β
Cálculo de βA:
A
+
Vt
−
Vo
Vr = A
Zs
Vr
A
β=
Zp
Zp
Z p + Zs
Vt
Zp
Vr
= A
Vt
Z p + Zs
R2
R2
sR2C2 + 1
sR2C2 + 1
A
=
β A A=
sR1C1 + 1
R2
( sR1C1 + 1)( sR2C2 + 1) + sR2C1
+
sC1
sR2C2 + 1
βA = A
sR2C1
s R1R2C1C2 + sR1C1 + sR2C2 + 1 + sR2C1
2
1
βA = A
sR1C2 +
R C
1
+ 1 + 2 +1
sR2C1 R2 C1
Aplicando o critério de Barkhausen:
Para s = jωo
βA = A
1


1   R1 C2
+
+ 1
j  ωo R1C2 −
+
ωo R2C1   R2 C1 

β A = 0o
ωo R1C2 −
1
=0
ωo R2C1
ωo =
⇒
1
R1R2C1C2
ou
⇒
1
fo =
2π R1R2C1C2
Nesta frequência, onde a β A = 0o , tem-se a condição de oscilação:
A
β A ω =ω =
o
1
1 ⇒
=
 R1 C2

+
+ 1

 R2 C1

A =+
1
R1 C2
+
R2 C1
Usando o amplificador com ganho controlado pela amplitude do sinal de saída:
VCC +
R2
D1
R1
Rf
ωo =
R3
Vo
R4
OUT
D2
1
RC
A =+
1
Rf
=+
3 δ
R1
+
U1
C
R5
R
VCC -
C
R
p.ex.:
δ = 0,03 A
Análise alternativa
R=
R=
R e C=
C=
C , vem:
1
2
1
2
Usando, por simplicidade,
β (s ) A (s ) =
A sRC
s R C + s ( 3RC ) + 1
2
2
2
Calculando as raízes de 1 − β ( s ) A ( s ) =
0
s 2R 2C 2 + s ( 3 − A ) RC + 1
A sRC
1− β (s ) A (s ) =
1− 2 2 2
=
=
0
s R C + s ( 3RC ) + 1
s 2R 2C 2 + s ( 3RC ) + 1
s 2R 2C 2 + s ( 3 − A ) RC + 1 =
0
=
s
− ( 3 − A ) RC ±
(3 − A)
2
2R C
2
2
R 2C 2 − 4R 2C 2
=
1 
− (3 − A) ±
2RC 
(3 − A)
2
− 4

raízes: reais
( 3 − A)
2
−4≥0
⇒
A2 − 6A + 9 − 4= 0
raízes: complexos conjugados:
⇒

1
 A =⇒

A =5 ⇒

1
s1 =
−
RC
1
s2 =
RC
raízes: sobre o eixo imaginário:
A=
3 ⇒
1<A<5
1
s=
±j
RC
jω
1
j
RC
raízes:
complexos conjugados
raízes: reais
A=3
A=1
A=5
σ
−
1
5
1
RC
1
RC
A
−j
1
RC
Oscilador em ponte de Wien com controle de frequência.
VCC +
C1
R1
Vx
R6
D1
A
R7
U1
+
R3
Vo
OUT
-
R7
R2
C2
D2
-
R4
R5
OUT
R6
+
U2
VCC -
Observe que o caminho de realimentação positiva é o que passa pela associação em
série de R1 e C1 e a impedância de entrada R2, do amplificador A, é a impedância vista por C2
formando a ponte de Wien. Desta forma, esta estrutura apresenta a mesma frequência e
condição de ocilação da estrutura analisada anteriormente:
wo =
1
R1 R2C1C2
e
1
A =+
R1 C2
+
R2 C1
Entretanto, a estrutura do amplificador é diferente e, conseqüentemente, o ganho Av
será diferente. O sinal que chega em vx é amplificado passando por dois caminhos distintos.
Assim, o sinal de saída vo pode ser obtido aplicando-se superposição, Isto é, o sinal de saída
será a soma das contribuições de vx amplificadas em cada um dos caminhos:
 R 
 R  R 
vo = vx 1 + 5  + vx  − 3   − 5 
 R4 
 R2   R4 
vo
R R R
1+ 3 5 + 5
=
Av =
vx
R2 R4 R4
Por inspeção, verificamos que a escolha conveniente de R3, R4 e R5 fará com que o
ganho Av ajustado no amplificador seja sempre igual ao ganho A da condição de oscilação,
para qualquer valor de R2. Assim, variando R2, a condição de oscilação é mantida enquanto a
frequência de oscilação varia, desde que os componentes sejam ajustados seguindo o critério:
R5 C2
R
=
=
e R3 5 R1
R4 C1
R4
Oscilador em ponte de Wien com controle de amplitude alternativo.
D1
Rx
D2
R1
Rf
U1
-
Vo
OUT
+
C
C
R
R
Neste circuito, a tensão instantânea sobre Rf depende da amplitude de vo. Os diodos só
começam a conduzir quando esta tensão for maior que vd (≈ 0,6V). A partir desta amplitude, o
resistor Rx, em série com a resistência dinâmica do diodo, é colocado em paralelo com o
resistor Rf, reduzindo o ganho do amplificador, limitando a amplitude do sinal de saída no valor
ajustado através de Rx.
Oscilador por desvio de fase (“phase shift oscilator”)
Rf
C
+
+
Vr
Vt
−
−
C
C
-
R
i1
i2
R
OUT
i3
+
Vo
U1
terra virtual
Para verificar a frequência e condição de oscilação desta estrutura, devemos abrir a
malha de realimentação positiva e determinar a função de transferência A(s)β(s) e aplicar o
critério de Barkhausen. Observando o circuito, vemos que existem dois ramos de
realimentação e ambos conduzem sinal realimentado para a entrada (–) do amplificador
operacional, o que caracterizaria a existência, somente, de realimentação negativa. Entretanto,
a rede RC do outro ramo de realimentação provoca um desvio na fase do sinal realimentado.
Desta forma, em determinadas condições a serem determinadas, por esta malha, o critério de
barkausen pode ser atendido, fazendo com que o circuito oscile. Para esta análise, a malha
que deve ser aberta para determinação da frequência e condição de oscilação é a malha que
contem a rede RC.
Interrompendo o circuito conforme indicado na figura e aplicando um sinal Vt, a função de
transferência
A(s)β(s) pode ser obtida utilizando o método das malhas para análise de
circuitos:
1
+R
sC
−R
−R
1
+ 2R
sC
−R
0
i3
vt
0
0
R 2 vt
=
2
1
 1
  1

 1

0
+R
−R
+ R 
+ 2R  − 2R2 
+ R

sC
 sC
  sC

 sC

1
−R
+ 2R
−R
sC
1
0
−R
+R
sC
s 3 R 2C 3 R f
s 2 RC 2 R f
vr =
−i3 R f =
−
vt =
−
vt
2
1
3 ( sRC ) + 4 sRC + 1
3sRC +
+4
sRC
Aplicando o critério de Baerkhausen:
para : s = jwo
vr
β=
A =
vt
wo 2 RC 2 R f

1 
j  3wo RC −
+4
w
RC
o


β A = 0
3wo RC −
1
1
=0 ⇒ wo2 =
2
wo RC
3 ( RC )
⇒
wo =
1
3RC
Na frequência ωo tem-se a condição de oscilação:
β A w= w
o
wo2 RC 2 R f
4
4
1 ⇒ Rf = 2 2 =
=
=
1
wo RC
4
RC 2
2
3 ( RC )
⇒
12 R
Rf =
Usando o controle de ganho no amplificador:
VCC +
Rf
C
C
D1
C
R1
R2
-
R
Vo
OUT
R
+
U1
D2
R2
R1
VCC -
OSCILADORES LC
Oscilador Colpitts
VCC +
Considerar:
L→∞
R1
RB = R1 / / R2  rπ
C→∞
Q1
C→∞
R2
RE
C→∞
C2
C1
L
Circuito equivalente para o cálculo do ganho de malha (βA):
i b′ (srπ C2 + 1)
ib
Vc
rπ
hfe i b
sL
ro
Aplicando lei de Kirchoff no coletor ( Σi =0 ) :
i b′ (srπ C2 + 1) + hfe i b +
i b′ (srπ C2 + 1) + hfe i b +
Vc
=
0
 1 
ro / / 

 sC1 
i b′ [(srπ C2 + 1)sL + rπ ]
=
0
1
1

 + sC1 
 ro

1
sC1

1
sC2
ib′
rπ
1

i b′ (srπ C2 + 1) + hfe i b + i b′ [(srπ C2 + 1)sL + rπ ] ⋅ + sC1  =
0
r
 o

=
βA
i b′
=
ib
=
βA
i b′
=
ib
=
βA
i b′
=
ib
=
βA
i b′
=
ib
−hfe
1

(srπ C2 + 1) + [(srπ C2 + 1)sL + rπ ]  + sC1 
 ro

−hfe
1

(srπ C2 + 1) + s 2LC2rπ + sL + rπ  + sC1 
 ro

(
)
−hfe
srπ C2 + 1 + s 2LC2
rπ
r
sL
+ s 3LC1C2rπ +
+ s 2LC1 + π + srπ C1
ro
ro
ro
−hfe



 r
r
L
s 3LC1C2rπ + s 2  LC2 π + LC1  + s  rπ C2 + + rπ C1  + π + 1
ro
ro



 ro
Para s = jωo
=
βA
i b′
=
ib
=
βA
i b′
=
ib
−hfe



 r
r
L
− jωo3LC1C2rπ − ωo2  LC2 π + LC1  + jωo  rπ C2 + + rπ C1  + π + 1
ro
ro



 ro
−hfe
 



 r
r
L
j ωo  rπ C2 + + rπ C1  − ωo3LC1C2rπ  − ωo2  LC2 π + LC1  + π + 1
ro
ro


 ro
 

Aplicando o critério de Barkhausen:
β A = 0

ωo  rπ C2 +


2
L
ωo3 LC1C2rπ
+ rπ C1  =
ro



L
 rπ C2 + + rπ C1 
ro


2
ω
=
o
LC1C2rπ
⇒
2
ω
=
o
1
1
+
CC
C1C2 rπ ro
L 1 2
C1 + C2
Fazendo:
L
C1C2
 C1C2 rπ ro
C1 + C2
ωo2 ≅
1
1
=
CC
LCeq
L 1 2
C1 + C2
⇒
⇒
L
 rπ ro
C1 + C2
ωo ≅
1
LCeq
β A ω =ω = 1
o
βA
βA
−hfe
=

 r
r
−ωo2  LC2 π + LC1  + π + 1
ro

 ro
−hfe
=
C + C2 rπ C1 + C2 rπ
− 1
−
+ +1
C1 ro
C2
ro
−hfe
=
1

 rπ
rπ
1
LC
−
+ LC1  + + 1
C1C2  2 ro
 ro
L
C1 + C2
−hfe
=
1
 C2  rπ  C1  rπ
− 1+
 − 1+
 + +1
 C1  ro  C2  ro
=
βA
−hfe
hfe
=
=
1
C2 rπ C1
C2 rπ C1
−
−
+
C1 ro C2
C1 ro C2
Na prática:
hfe >
C2 rπ C1
+
C1 ro C2
Oscilador Hartley
VCC +
Considerar:
L→∞
R1
RB = R1 / / R2  rπ
C→∞
Q1
C→∞
RE
R2
C→∞
L1
L2
C
Circuito equivalente para o cálculo do ganho de malha (βA):
 rπ

+ 1
 sL2 
ib′
i b′ 
ib
1
sC
Vc
rπ
hfe i b
ro
Aplicando lei de Kirchoff no coletor ( Σi =0 ) :
 r

Vc
=
i b′  π + 1 + hfe i b +
0
ro / / ( sL1 )
 sL2

 r

 1
i b′  π + 1
+ rπ 
 r

 sL2
 sC
=
i b′  π + 1 + hfe i b + 
0
1
sL
 2

1
1 
 +

 ro sL1 
sL1

sL2
rπ
 r
1
 r

 1
1 
i b′  π + 1 + hfe i b + i b′  π + 1
+ rπ  ⋅ +
0
 =
sL
sC
r
sL
2
 sL2



1

 o
=
βA
=
βA
=
βA
−hfe
i b′
=
i b  rπ
1
  r
 1
1 
+ 1 +  π + 1
+ rπ  ⋅ +


 sL2
  sL2
 sC
  ro sL1 
−hfe
i b′
=
i b  sL2 + rπ   sL2 + rπ
 sL + r 
+ rπ  ⋅ 1 o 

+ 2
 sL2   s L2C
  sro L1 
−hfe
i b′
=
2
i b  sL + r   s rπ L2C + sL2 + rπ ( sL1 + ro ) 
π
2


+
s 3 ro L1L2C

 sL2  
(
i b′
βA
= =
ib
)
(
−hfe s 3 ro L1L2C
(s r L L C + s r r L C ) + (s r L L C + s L L
3
2
o 1 2
π o 1
3
2
π 1 2
1 2
(
)
+ s πrL1 + s 2rπ ro L2C + s orL2 + rπ ro
)
−hfe s 3 ro L1L2C
i b′
βA
= = 3
i b s ( ro + rπ ) L1L2C + s 2 ( L1L2 + rπ ro L1C + rπ ro L2C ) + s ( rπ L1 + ro L2 ) + rπ ro
=
βA
i b′
=
ib
(
−hfe s 3/ ro L1L2C
2
)
s 3 ( ro + rπ ) L1L2C + s 2 ( L1L2 + rπ ro L1C + rπ ro L2C ) + s ( rπ L1 + ro L2 ) +
2
rπ ro
s
Para s = jωo
i b′
βA
= =
ib
(
−hfe −ωo 2ro L1L2C
)
−ωo 2 ( ro + rπ ) L1L2C + jωo ( L1L2 + rπ ro L1C + rπ ro L2C ) + ( rπ L1 + ro L2 ) − j
rπ ro
ωo
)
i b′
βA
= =
ib
(
−hfe −ωo 2 ro L1L2C
)

rr 
−ωo 2 ( ro + rπ ) L1L2C + ( rπ L1 + ro L2 ) + j  ωo ( L1L2 + rπ ro L1C + rπ ro L2C ) − π o 
ωo 

Aplicando o critério de Barkhausen:
β A = 0
rr
π o
ωo ( L1L2 + rπ ro L1C + rπ ro L2C ) =
ωo
ωo2
rπ ro
=
⇒ ωo2
L1L2 + rπ ro L1C + rπ ro L2C
1
(L1 + L2 )C +
L1L2
rπ ro
Fazendo:
(L1 + L2 )C 
ωo2 ≅
L1L2
rπ ro
⇒
1
1
=
(L1 + L2 )C LeqC
L1L2
r r
(L1 + L2 )C π o
⇒
ωo ≅
1
LeqC
β A ω =ω = 1
o
βA
(
)
−hfe −ωo 2ro L1L2C
=
−ωo 2 ( ro + rπ ) L1L2C + ( rπ L1 + ro L2 )
−hfe ro
1
=
 rπ L1 + ro L2 
ro + rπ −  2

 ωo L1L2C 
βA
=
βA
−hfe ro
=


r L +r L 
ro + rπ −  π 1 o 2 
 L1L2 
 L +L 
 1 2 
−hfe ro
=
 L2 
 L 
ro + rπ −  1 +  rπ −  1 + 1  ro
L1 

 L2 
L
L
hfe ro =
+ 2 rπ + 1 ro
L1
L2
Na prática:
hfe >
−hfe ro
=
1
 L2 
 L1 
ro + rπ −  1 +  rπ −  1 +  ro
L1 

 L2 
L1 L2 rπ
+
L2 L1ro
⇒
−hfe ro
1
=
L2
L1
− rπ − ro
L1
L2
L1 L2
hfe =
+ rπ
L2 L1
OSCILADOR A CRISTAL
Vr
A
Vt
Símbolo
Circuito Equivalente
L
R
Cs
Z3
XTAL
Z2
Z1
XTAL
Cp
Cp > > Cs
(s)
Z3=
1
sC p +
1
sL +
1
LCs
( Cs + C p )
s2 +
1
s LCs + 1
= 3
=
⋅
sCs
s LCs C p + s ( C p + Cs ) sC p 2
sC p + 2
s +
s LCs + 1
LCs C p
1
=
1
sCs
2
s = jω
1
Z3 ( jω ) =
−j
⋅
ωC p
1
LCs
( Cs + C p )
ω2 −
ω2 −
LCs C p
1 ω 2 − ωs 2
⋅
Z3 ( jω ) = − j
ωC p ω 2 − ω p 2




ωs 2 = 1

LCs


ω p > ωs


onde: 
 como C p >> Cs ⇒ 
ω p ≈ ωs


1
2
ω p =

Cs C p 

L

( Cs + C p ) 

Pode-se observar que Z3 ( jω ) = jX (ω ) . A reatância X (ω ) é indutiva na faixa ωs < ω < ω p . Então,
nesta faixa de frequência, o cristal se comporta como um indutor, e o circuito se torna um
oscilador Colpitts.
Curva de reatância do cristal:
X(ω)
Z 3 é indutivo para ωs < ω < ω p
indutivo
XTAL
≡
L
0
capacitivo
ω
ωs ωp
Calculando-se β A , obtém-se:
β=
A
Considerando
=
Z1
1
=
e Z2
jωC1
vr
AZ1Z 2
=
vt R ( Z1 + Z 2 + Z3 ) + Z 2 ( Z1 + Z3 )
1
, temos para a frequência ω = ωo :
jωC2
1
ω C1C2
βA=
 1
1
1  ωo2 − ωs2  
1
jR  −
−
−
+

 2
2 

 ωoC1 ωoC2 ωoC p  ωo − ω p   ωoC2
−A
2
o
 1
1  ωo2 − ωs2  
−
−
 2
2 

 ωoC1 ωoC p  ωo − ω p  
Aplicando o critério de Barkhausen:
β A = 0
1
1  ωo2 − ωs2 
1
+
+

=0
ωo C1 ωo C2 ωo C p  ωo2 − ω 2p 
Explicitando ωo2 , vem:

1 
Cs
=
ωo2
1 +
LCs  C + C1C2
p
C1 + C2



 , como C p  Cs


ωo2 
β A =1
−A
βA=
1
ωo C2
A
1
ω C1 C2
2
o

1
1  ωo2 − ωs2  
−
−
 2
2 

 ωo C1 ωo C p  ωo − ω p  
1
1
1  ωo2 − ωs2 
=+

 ⇒
C1 C1 C p  ωo2 − ω 2p 
A=
1+
=1
C1  ωo2 − ωs2 


C p  ωo2 − ω 2p 
como ω p ≅ ωs , então:
C
A= 1 + 1
Cp
 ω 2 − ωs2 
 o2
2 

 ωo − ω p 
( ≅−1)
⇒
C

−  1 − 1
A=
C

 p 
1
LCs