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Professor João Mendes
Matemática e
suas Tecnologias
MATEMÁTICA
CALENDÁRIO NOSSO DE CADA DIA
O calendário gregoriano, nosso atual calendário, tem suas bases
nos calendários romanos. As calendas, no antigo calendário romano,
eram o primeiro dia de cada mês quando ocorria a Lua nova, dia em
que as contas eram pagas. De calendae, os romanos criaram o adjetivo
calendarius, relativo às calendas, e o substantivo calendarium, com o
qual designavam o livro de contas diárias e, mais tarde, o registro de
todos os dias do ano. O provérbio “fica para as calendas gregas” significa
“nunca, em tempo algum”, porque os gregos não tinham calendas, as
calendas eram romanas.
Atribui-se a Rômulo, o fundador lendário de Roma (753 a.C.), a
instituição do calendário romano primitivo. Nesse calendário, o ano
tinha 304 dias, distribuídos em 10 meses lunares, seis de 30 dias e
quatro de 31, sendo bastante considerável a sua diferença em relação
ao ano trópico (365,2422 dias solares médios, ou 365 d 5 h 48 m 46 s).
O ano começava em março, a princípio na primavera, mas depressa o
equinócio distanciou-se do calendário.
Segundo a tradição, Numa Pompílio, sucessor de Rômulo e
discípulo de Pitágoras, intentou fazer concordar o calendário com o ano
solar, acrescentando dois meses, janeiro e fevereiro, respectivamente
de 29 e 28 dias, mediante a diminuição de um dia aos meses de 30 dias
(os números pares eram considerados nefastos pelos romanos). Com
essa modificação, o ano ganhou 57 dias e perdeu 6, aumentando em
51, passando a ter 355 dias (número ímpar, livre de um caráter nefasto)
distribuídos em 12 meses, com a seguinte nomenclatura:
1. Mars (março, 31 dias)
2. Aprilis (abril, 29 dias)
3. Maius (maio, 31 dias)
4. Junius (junho, 29 dias)
5. Quintilis (mês cinco, julho, 31 dias)
6. Sextilis (mês seis, agosto, 29 dias)
7. September (mês sete, setembro, 29 dias)
8. October (mês oito, outubro, 31 dias)
9. November (mês nove, novembro, 29 dias)
10. December (mês dez, dezembro, 29 dias)
11. Januarius (janeiro, 29 dias)
12. Februarius (fevereiro, 28 dias)
Mês intercalar: Mercedonius (22 ou 23 dias)
As denominações dos dez primeiros meses foram atribuídas
a Rômulo, que teria consagrado o primeiro ao seu pai divino, Marte
(março), deus da vegetação e, depois, da guerra. É muito incerta a
etimologia dos nomes dos meses de abril, maio e junho. Já os meses
que lhes seguem foram assim chamados meramente de acordo com
sua ordem de sucessão. Janus, o deus bifronte e uma das mais antigas
divindades romanas, deu o seu nome ao mês de janeiro (Januarius).
O mês de fevereiro (Februarius) foi consagrado a festas de purificação
dos mortos, as februa, das quais se originou o seu nome. Por lembrar os
mortos, Fevereiro era o único mês com um número par de dias, nefasto.
Ainda hoje, no horóscopo, o ano começa em março (signo de Áries) e
termina em fevereiro (signo de Peixes).
nº
30
Na alteração feita por Numa Pompílio, um 13º mês, denominado
Mercedonius, com 22 ou 23 dias, de acordo com as necessidades,
deveria ser intercalado de dois em dois anos. A incumbência de intercalar
esse mês era dos pontífices; porém, para antecipar a investidura dos
cônsules, por motivos políticos, adiantaram para o mês de janeiro o
começo do ano, desordenando o calendário. Os meses sem nomes
específicos, setembro (mês sete), outubro (mês oito), novembro (mês
nove) e dezembro (mês dez) passaram a ser os meses nove, dez, onze
e doze, respectivamente, deixando para trás a sucessão natural dos
meses.
As alterações promovidas no calendário por Pompílio não foram
suficientes para uma perfeita sincronia entre o calendário e as estações
do ano, apenas retardaram a defasagem. No fim da república romana,
as festas não eram mais celebradas nas estações próprias: em 46 a.C.,
a diferença entre o calendário e o ano trópico chegara a oitenta dias,
levando Júlio César, então pontífice máximo e no auge do seu poder
ditatorial, a promover nova reforma no calendário.
Júlio César encarregou o astrônomo alexandrino Sosígenes de
elaborar um novo calendário, que ficou conhecido como calendário
juliano, isto é, de Júlio César. Sosígenes fixou a duração do ano médio
em 365,25 dias (ou 365 dias e 6 horas), embora soubesse ser esse
valor um pouco maior que o real. Com essa fixação, o ano passou a
ter normalmente 365 dias; e de quatro em quatro anos as 6 horas
remanescentes formariam um novo dia (4 X 6 horas = 24 horas = 1 dia). Esse
dia suplementar seria colocado no VI (sexto) dia antes das calendas de
fevereiro, deixando esse mês com dois sextos dias antes do pagamento
das contas de fevereiro, bom para quem iria pagar, ruim para quem iria
receber. Tal fato gerou a atual denominação de ano bissexto ao ano
de 366 dias. Na época, esse duplo sexto dia ficava entre 23 e 24 de
fevereiro, posição que só foi modificada para a atual (29 de fevereiro)
no calendário gregoriano. No calendário juliano, todos os anos múltiplos
de 4 (terminados em 00, 04, 08, 12, ..., 96) eram considerados bissextos
(com 366 dias).
O ano de 46 a.C., apelidado de ano da confusão, teve sua duração
prolongada (445 dias) e o ano de 45 a.C. começou regularmente em
1° de janeiro (início definitivo do ano), já no calendário juliano. Os
nomes dos meses continuaram os mesmos, porém com as respectivas
quantidades de dias alteradas, até que, mais tarde, em homenagem a
Júlio César e Octávio Augusto, Quintilis (mês cinco) foi denominado
Julius (julho, 31 dias) e Sextilis (mês seis), Augustus (agosto, 31 dias).
Desde então, passamos a ter dois meses seguidos de 31 dias, não fazia
sentido um dos pontífices ficar com mais dias que o outro.
O excesso de 0,0078 dias (11 minutos e 14 segundos) em relação
ao ano trópico (que é de 365,2422 dias e não 365,2500) fez que o ano
juliano excedesse aquele em 0,78 dia em um século. Em quatro séculos,
a diferença era de 3,12 dias, fazendo avançar, nessa razão, o equinócio
da primavera. Como o domingo de páscoa deveria ser o primeiro depois
da primeira lua cheia que se seguisse ao equinócio da primavera, a
decalagem deste deslocava cada vez mais para o verão a celebração da
principal festa religiosa cristã. Na Idade Média, tal fato evidenciou-se e
preocupou o Concílio de Constança
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Em 24 de fevereiro de 1584 foi promulgado pelo Papa Gregório
XIII (1502-1585) o calendário gregoriano. Para corrigir o excesso de dias
sobre o ano trópico verificado no calendário juliano, suprimiram-se dez
dias em 1582, passando-se do dia 4 de outubro (festa de São Francisco
de Sales) para o dia 15 (festa de Santa Teresa de Ávila), de maneira que
o equinócio passasse de 11 de março (1582) para 21 de março (1583).
Como o deslocamento do equinócio provinha da intercalação de um dia a
mais, em cada 128 anos, tentou-se corrigir tal erro mediante a supressão
de três anos bissextos em cada 400 anos, abolindo-se os anos bissextos
seculares (que fecham os séculos, terminados em 00), cujas centenas
não fossem divisíveis por 4. Deixaram, assim, de ser bissextos os
anos 1700, 1800 e 1900 (17, 18 e 19 centenas não são divisíveis por 4)
e continuaram bissextos os anos 1600 e 2000 (16 e 20 centenas são
divisíveis por 4).
Resumindo, o calendário juliano considera bissexto todos os anos
múltiplos de 4; o calendário gregoriano, nosso atual calendário, assim
como o calendário juliano, considera bissexto todos os anos múltiplos de
4, exceto se terminar em 00. Os anos terminados em 00, no calendário
gregoriano, somente serão bissextos se forem divisíveis por 400 (4 centenas).
Quando o ano é bissexto, o dia extra, no calendário gregoriano, será
sempre o dia 29 de fevereiro. Sendo assim, Cabral chegou ao Brasil,
no litoral sul da Bahia (atual cidade de Porto Seguro), em 1500, num
ano bissexto, uma vez que o calendário em vigor era o juliano. Já se
o calendário em vigor fosse o gregoriano, 1500 não seria considerado
bissexto, uma vez que 1500 não é divisível por 400 (ou, se preferir, 15
centenas não é divisível por 4). O último ano secular (terminado em 00)
foi o ano 2000, ano este de 366 dias, pois é divisível por 400, isto é, o
ano 2000 teve o dia 29 de fevereiro. O próximo ano secular será o ano
2100, que não será bissexto, não terá o dia 29 de fevereiro, uma vez que
2100 não é divisível por 400.
Enciclopédia Mirador, calendário e pt.wikipedia.org – Adaptado.
Encontrando o dia da semana
Uma aplicação dos múltiplos de 7 se encontra na determinação do
dia da semana de determinada data. Observe que se hoje (dia zero) é,
por exemplo, uma terça-feira, daqui a 7, 14, 21, ... dias múltiplos de 7)
também será terça-feira, pois os dias da semana se repetem de 7 em 7
dias. Para uma melhor compreensão do tema, veja o seguinte exemplo.
“Hoje, 15 de setembro de 2012, sábado, está sendo comemorado o
69º aniversário de Dona Lourdes. Em que dia da semana ela nasceu?”
Comentários e solução:
Considerando hoje, 15 de setembro de 2012, o dia zero (sábado),
avançando ou recuando na semana uma quantidade de dias múltiplos de
7, cairemos novamente num sábado (mesmo dia do hoje do problema).
Observando, então, que 365 dias = 52 · (7 dias) + 1 dia, para cada um
dos 69 anos de Dona Lourdes, devemos recuar na semana apenas 1 dia.
Logicamente, para cada 29 de fevereiro do período em questão, devemos
recuar na semana mais um dia extra. De 15/09/2012 a 15/09/1943
(nascimento de Dona Lourdes) passamos pelo 29/fevereiro dos seguintes
anos: 2012 = 4 · (503), 2008 = 4 · (502), 4 · (501), ..., 1944= 4 · (486). Ao todo, são
503 – 486 + 1 = 18 dias 29 de fevereiro. Para encontrar o dia da semana
em que nasceu Dona Lourdes, basta recuar na semana um total de
69 + 18 = 87 dias. Como 87 dias = 12 · (7 dias) + 3 dias, recuar na semana
87 dias equivale a recuar apenas três dias. Veja o recuo:
Sábado (hoje)
0
Sexta
1
Quinta
2
Quarta
3
Logo, Dona Lourdes nasceu no dia 15 de setembro de 1943, numa
quarta-feira.
2
Exercícios
1. (JM) A República é proclamada num piscar de olhos.
de muita confusão, pouquíssimo sangue e
Numa
praticamente nenhuma participação popular, um punhado de
militares rebelados se alia a políticos da oposição para encerrar
abruptamente o quase cinquentenário reinado de D. Pedro II.
http: //veja.abril.com.br. (adaptado)
O feriado de 15 de novembro de 2012 cairá numa quinta-feira.
Qual é o dia da semana que completa corretamente o parágrafo
anterior?
a) segunda-feira
b) terça-feira
c) quarta-feira
d) quinta-feira
e) sexta-feira
2. A Terra completa uma volta ao redor do Sol em 365,242190
dias aproximadamente, e não em 365 dias. Para corrigir
essa diferença, existem os anos bissextos, com 366 dias.
Convencionou-se que um ano n é bissexto se, e somente se,
uma das seguintes condições for verificada:
condição 1: n é um múltiplo de 400.
condição 2: n é um múltiplo de 4 e n não é múltiplo de 100.
Com base nessa convenção, podemos afirmar que:
a) poderá haver um ano n bissexto, sem que n seja um múltiplo de 4.
b) se n, n ≥ 2012, é divisível por 4, então o ano n será bissexto.
c) o ano 2200 não será bissexto.
d) o ano 2400 não será bissexto.
e) o ano 2500 será bissexto.
3. (Enem 2ª aplicação/2010) Nosso calendário atual é embasado
no antigo calendário romano, que, por sua vez, tinha como
base as fases da lua. Os meses de janeiro, março, maio, julho,
agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias, e os demais, com
exceção de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 31 de março de
certo ano ocorreu em uma terça-feira.
Nesse mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 de outubro?
a) Domingo
b) Segunda-feira
c) Terça-feira
d) Quinta-feira
e) Sexta-feira
4. (Uerj) Os anos do calendário chinês, um dos mais antigos que a
história registra, começam sempre em uma lua nova, entre 21 de
janeiro e 20 de fevereiro do calendário gregoriano. Eles recebem
nomes de animais, que se repetem em ciclos de doze anos.
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A tabela a seguir apresenta o ciclo mais recente desse calendário.
Anotações
ANO DO CALENDÁRIO CHINÊS
Inicio no calendário gregoriano
Nome
31 – janeiro – 1995
porco
19 – fevereiro – 1996
rato
08 – fevereiro – 1997
boi
28 – janeiro – 1998
tigre
16 – fevereiro – 1999
coelho
05 – fevereiro – 2000
dragão
24 – janeiro – 2001
serpente
12 – fevereiro – 2002
cavalo
01 – fevereiro – 2003
cabra
22 – janeiro – 2004
macaco
09 – fevereiro – 2005
galo
29 – janeiro – 2006
cão
Admita que, pelo calendário gregoriano, uma determinada cidade
chinesa tenha sido fundada em 21 de junho de 1089 d.C., ano
da serpente no calendário chinês. Desde então, a cada 15 anos,
seus habitantes promovem uma grande festa de comemoração.
Portanto, houve festa em 1104, 1119, 1134 e assim por diante.
Determine, no calendário gregoriano, o ano do século XXI em
que a fundação dessa cidade será comemorada novamente no
ano da serpente.
a) 2042
b) 2045
c) 2049
d) 2054
e) 2060
5. (Enem) Considerando que o Calendário Muçulmano teve início em
622 da era cristã e que cada 33 anos muçulmanos correspondem
a 32 anos cristãos, é possível estabelecer uma correspondência
aproximada de anos entre os dois calendários, dada por:
(C = Anos Cristãos e M = Anos Muçulmanos)
a) C = M + 622 − M
33
622 

b) C = M − 622 +  C −
32 

M
c) C = M − 622 −  
 33 
d)
e)
622 

C = M − 622 +  C −
33 

M
C = M + 622 −  
 32 
FB no Enem – Nº 29 – Professor: Alexandre Lima
1
2
3
4
5
E
A
E
E
A
FB no Enem – Nº 30 – Professor: João Mendes
1
2
3
4
5
E
C
B
C
A
OSG.: 64301/12 - 19/09/2012
Dig.: Erbínio / Rev.: EC
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