Untitled

Jorge Valadares
José Maria Tavares
GRANDEZAS E MEDIDAS
Universidade Aberta
2002
Capa: Francisco Tellechea
Copyright
©
UNIVERSIDADEABERTA-2002
Palácio Ceia· Rua da Escola Politécnica, 147
1269-00 1 Lisboa
DL: 185386/02
ISBN: 972-674--379-6
Grandezas e Medidas
7
Introdução
1. Grandezas, Medições e Unidades
J I
Objectivos
13
Noção de Grandeza
17
Tipos de Grandezas e sua medição
17
A medição efectiva
21
Condições para que possa realizar-se uma medição efectiva
25
Grandezas vectoriais e grandezas escalares
31
Símbolos das grandezas
36
Unidades de medida
36
Unidades e símbolos de unidades
39
Recomendações respeitantes aos nomes e símbolos d e unidades
43
Respostas às questões de auto-avaliação
2. Sistemas de Unidades
49
Objectivos
51
Grandezas fundamentais e grandezas derivadas. Equações de definição.
Escolha de um sistema de unidades.
57
O s sistemas coerentes d e unidades
60
O S istema Internacional de Unidades como sistema absoluto e coerente
60
A adopção do Sistema Internacional de Unidades
61
As unidades de base do Sistema Internacional de Unidades
60
Outras Unidades SI
71
Respostas às questões de auto-avaliação
3. As Dimensões das Grandezas
77
Objectivos
79
Introdução
79
Dimensão de uma grandeza
5
79
Sistemas de grandezas
81
Classes d e sistemas d e unidades
84
Definição de dimensão de uma grandeza
89
A lgumas propriedades d a dimensão
94
Homogeneidade dimensional
96
Análise dimensional
1 03
Respostas às questões de auto-avaliação
4. Erros e Incertezas nas Medições
11 3
Objectivos
115
Introdução
11 8
Instrumentos de medição
1 22
Erros em medições
1 26
Análise estatística de erros aleatórios
129
Propagação de erros
1 32
Algarismos significativos
139
Respostas à s questões d e auto-avaliação
Apêndice
147
Apêndice 1.
Símbolos Recomendados pela ISO para as Principais
Grandezas Físicas
Apêndice 2.
Histór ia das Unidades de Medida e dos Sistemas de
Unidades
6
157
A medição do tempo
15 8
A medição do espaço
1 61
A medição de outras grandezas
1 63
A evolução histórica dos sistemas de unidades
171
A evolução das unidades no nosso país (breve síntese)
1 75
Bibliografia
Fi·
411
INTRODUÇÃO
Ao escrevermos este livro intitulado Grandezas e Medidas, procurámos em primeiro lugar que ele
correspondesse ao conteúdo de uma disciplina, com o mesmo nome, do Departamento de Ciências
Exactas e Tecnológicas da Universidade Aberta, e da qual somos os professores responsáveis.
Acreditamos que o conteúdo do livro também poderá interessar a todas as pessoas que necessitem
de colher informação sobre as grandezas e suas unidades, sobre as normas internacionais que a elas
dizem respeito, sobre as medições das grandezas e os erros e incertezas a elas inerentes, sobre as dimensões
das grandezas e a análise dimensional e, ainda, sobre os sistemas de unidades, com particular relevância
para o Sistema Internacional de Unidades (SI), aprovado na 10.a Conferência Geral de Pesos e Medidas
(CGPM), em 1954 e cujo uso foi legalizado em Portugal através do decreto-lei N.o 427/83. Ao escrever
este livro, consultámos, transcrevemos e respeitámos as normas emanadas da International Standard
Organization
(ISO) e que de algum modo estão relacionadas com o conteúdo do livro. Esta é a
organização internacional com poderes na questão da simbologia e normalização de grandezas e unidades
e Portugal é membro de pleno direito dela. Respeitámos também o Vocabulário Internacional de
Metrologia (VIM) estabelecido por um grupo de trabalho misto presidido pelo Director do Bureau
Internacional de Pesos e Medidas.
No que diz respeito à faceta metodológica, procurámos facilitar o mais possível a aprendizagem
do aluno simplificando a linguagem quer no que se refere à construção das frases quer no que respeita
à forma de desenvolvimento do conteúdo científico do discurso. Tivemos em conta algumas regras
pedagógicas bastante consensuais sobre os manuais escritos para o ensino a distância. Assim, procurámos
colocar ao longo do texto questões de auto-avaliação para que o estudante possa ir regulando a sua
própria aprendizagem. Para tal, ele deverá primeiro tentar resolver as questões e só depois confrontar as
suas tentativas com as nossas resoluções. Estas foram trabalhadas de modo a prever e a responder a
bloqueios possíveis do aluno. Também formulámos objectivos bastante claros, no início de cada capítulo,
para que cada aluno saiba «para onde deve caminhar», mas procurando tirar-lhe todo o carácter
excessivamente comportamentalista e limitativo inerente às grandes listagens de objectivos de tarefas.
Assim, os objectivos mais importantes, aqueles que os alunos mais deverão ter bem presentes, são os
objectivos gerais que nós operacionalizamos através de amostras não exaustivas de tarefas que os balizam
e ajudam a esclarecer. Estas tarefas serão algumas das que os alunos terão de realizar em situação de
7
F
7
te
exame, mas não esgotam de modo algum todo o tipo de tarefas que poderão ser exigidas, pois, caso
contrário, estaríamos a transformar uma disciplina universitária a nível de desenvolvimento de capacidades
dos estudantes em transferir aprendizagens para situações com algo de novo (os autênticos problemas)
numa disciplina sem qualquer interesse formativo e inadequada a um ensino universitário.
Esperando que este livro seja útil a vários estudantes e leitores, colocamo-nos à disposição de
receber todas as críticas construtivas que queiram endereçar-nos e que antecipadamente agradecemos.
Os AUTORES
8
1. Grandezas, Medições e Unidades
iii
Objectivos
Apreender significativamente e em profundidade o conceito de grandeza:
Referir a condição de existência de uma grandeza.
Distinguir as grandezas entre diversas variáveis.
Apresentar exemplos de grandezas vectoriais e escalares.
Fundamentar a separação entre grandezas vectoriais e escalares.
Etc.
Interiorizar noções importantes relacionadas com as medições e as
unidades de medida:
Indicar os significados de prinCIpIO de medição, método de
medição e procedimento de medição.
Distinguir os significados de medição e medida.
Distinguir os termos que se referem a grandezas, medições,
medidas, valores numéricos e unidades em frases em que ocorram
simultaneamente.
Indicar as condições necessárias para que uma grandeza possa ser
medida efectivamente.
Distinguir medições efectivas e escalares de grandezas.
Explicar em que consiste uma medição efectiva directa.
Explicar em que consiste uma medição efectiva indirecta.
Etc.
Conhecer as normas das organizações nacionais e internacionais que se
dedicam à normalização e à metrologia, em particular as da
International
Standard Organization (ISO)
Aplicar as recomendações respeitantes aos nomes e símbolos das
grandezas.
Utilizar as regras para os nomes e símbolos das unidades.
1 1
"Tenho dito muitas vezes: quando podemos med ir aquilo sobre
que falamos e o podemos expri mir em números, então conhe­
cemos algo acerca do assunto. Quando, porém, não o podemos
expri mir em números, o nosso conheci mento é pouco satisfatório
e i nfrutífero. Pode ser tão somente um começo de conheci mento,
mas dificilmente o nosso pensamento se pode considerar como
tendo atingido o estágio científico, qualquer que seja o assunto".
Lord KELVIN (William Thomson, físico britânico, 1824-1907)
1.1
Noção de grandeza
Quando observamos um corpo ou um fenómeno há aspectos qualitativos e
quantitativos que despertam a nossa atenção. Anotamos os tipos de
materiais envolvidos, a sua cor e odor, mas também, por exemplo, as
porções do espaço que ocupam esses materiais. Há um grande número de
características dos corpos que, ao longo dos tempos, foi possível ir
quantificando cada vez mais objectivamente. É o caso, por exemplo, da
massa dos corpos, para cuja medição foi inventada a balança. A massa de
um corpo começou por ser identificada com a noção vaga de quantidade
de matéria (grandeza hoje já claramente diferenciada da massa), foi (e
ainda o é, por muitas pessoas) confundida com outra grandeza chamada
peso, mas hoje já adquiriu um significado bastante evoluído, altamente
diferenciado e muito claro na Física Moderna. Outras variáveis, como a
inteligência, a dor, e muitas mais do foro psicológico e moral, têm
resistido a técnicas de medição tão objectivas e, como tal, o seu
conhecimento é mais subjectivo, ainda que não menos importante.
Neste Curso, iremos associar o termo
grandeza
àquelas características
que, para além de poderem ser caracterizadas qualitativamente, são
objectivamente mensuráveis. E, deste modo, iremos adoptar a definição de
grandeza que consta do Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM),
cuja versão portuguesa foi publicada já em
2.a
edição pelo Instituto
Português da Qualidade.
13
H:.S·I ID.S ·2
ckg.s·2 J=1D2
Q
S m2 m3
�
c:
N =1D.kg .s -2
�=1D2
kg.s·3
lfiS·2 kg.s ·2
Essa definição é a seguinte:
Grandeza (mensurável) é o "atributo de um fenómeno, corpo ou substân­
cia susceptível de ser caracterizado qualitativamente e determinado quanti­
tativamente" (IPQ,
1996, p.
14).
o termo grandeza fica assim associado à ideia de variável mensurável e é
aplicado ora com um
Assim,
significado geral ora com um significado particular.
por exemplo,
quando falamos no comprimento,
na massa
volúmica, na diferença de potencial, na temperatura, na concentração
molar, na concentração de quantidade de matéria, estamos a referir-nos a
grandezas em sentido geral.
Pelo contrário, quando falamos no tempo de duração de um dado movi­
mento, na massa de um certo lingote de ferro, na concentração molecular
14
•
ta
de um determinado reagente, na concentração em massa de um outro
reagente, etc., estamos a lidar com grandezas particulares.
Os filósofos da ciência operacionalistas desvalorizam as grandezas em
sentido geral e apenas dão importância às grandezas particulares, mas
neste Curso ambas são consideradas importantes, por razões que se
prendem com as noções relacionadas com os sistemas de grandezas, com
as dimensões das grandezas, etc.
AA 1. 1
São dadas as seguintes grandezas:
pressão atmosférica; temperatura de uma criança; pH de uma água;
intensidade da corrente; rapidez média.
Quais delas têm u m significado geral e quais têm u m significado
particular?
O facto de uma grandeza, tal como a encaramos no sentido geral neste
trabalho (o comprimento, por exemplo), ser por natureza mensurável,
obriga a que, em condições bem determinadas, assuma singularidades
igualmente bem determinadas, que são grandezas da mesma espécie,
encaradas agora no sentido particular do termo (os comprimentos das mais
diversas barras, por exemplo). A determinação destas grandezas de uma
dada natureza (ou de uma dada espécie, como também se diz) é efectuada
dentro dos limites da incerteza que advêm dos instrumentos e do
procedimento adoptado nessa determinação. O facto de uma grandeza ser
por natureza mensurável impõe, também, que possamos estabelecer a
compaTação entre grandezas da mesma natureza, isto é, qUé possamos
d i ze r qual é a grandeza maior (» ou menor «), estabelecendo assim uma
relação de ordem.
Em suma:
A condição de existência de uma grandeza G (no sentido geral) é que seja
possível estabelecer entre duas quaisquer grandezas, G1 e G2, da mesma
natureza, uma relação de ordem, isto é, dizer significativamente que
15
Se assim não for, poderemos estar perante uma variável, mas não perante
uma grandeza. Com efeito, tal como impõe a definição de grandeza que
demos, é necessário que possamos estabelecer a comparação entre
grandezas da mesma espécie através de uma
relação de ordem.
AA 1.2
A cor dos olhos é considerada uma variável em Estatística. Trata-se de
uma grandeza?
As vanaveis qualitativas que se consideram nos estudos estatísticos,
assumem valores diferentes, mas não satisfazem esta
1.a condição.
Consequentemente, não são mensuráveis, logo não são grandezas. Por
exemplo: a variável género assume os «valores» m (masculino) e f
(feminino), mas não tem sentido dizer, por exemplo, que m>f.
AA 1.3
Considere as
seguintes
variáveis:
peso; diferença de potencial
eléctrico; personal idade, capacidade de um vaso; carácter; aceleração
de um carro.
1 .3 . 1
Quais delas não são grandezas e porquê?
1.3.2
Quais são grandezas no sentido geral e quais são grandezas no
sentido particular?
16
1.2
Tipos de grandezas e sua medição
1.2.1
A medição efectiva
Por medição de uma grandeza associada a um dado fenómeno, corpo ou
substância, entende-se o conjunto de operações que têm por objectivo
determinar o valor dessa grandeza. (op. cit, p.
20).
A ciência da medição
chama-se Metrologia e repercute-se nos domínios das mais variadas
ciências e da tecnologia.
AA 1.4
São dadas as seguintes grandezas: densidade relativa; peso ; massa
volúmica; resistência à penetração.
l
Quais delas dizem respeito a corpos e quais dizem respeito a
substâncias?
A toda a medição está sempre associado um princípio, um método e um
procedimento.
o
prinâpio da mediç.!ir' '::.0. nsiste no fundamento científico da mesma.
exemplo: se medimos
a
Por
temperatura de um corpo recorrendo a um
termopar I , o princípio consiste no efeito termoeléctrlco que fundamenta o
funcionamento dos termopares. Se, porém, medirmos a temperatura do
mesmo corpo usando um termómetro de gás a pressão constante, o
princípio da medição já é a dilatometria dos gases a pressão constante,
regulada por uma lei estabelecida pelo cientista francês Louis Gay-Lussac
(1778-1850).
As duas medições não conduzem exactamente ao mesmo
valor, o que mostra a importância do princípio em que assenta a medição.
1 Tennopar
é o nome dado a
um conjunto de dois condu·
tores
de
metais
diferentes
ligados entre si e :uja junção
é
aquecida para se produzir uma
diferença de potencial entre as
extremidades livres,
que de·
pende da temperatura.
usar·se,
entre
outras
Pode
finali­
dades, para medir esta.
o
método de uma medição consiste na sequência lógica de operações que
nela são utilizadas, descritas de um modo genérico (VIM, p. 20). Assim,
por exemplo, quando se
trata
de efectuar uma
medição relativa
comparando duas grandezas com base num dado instrumento, podemos
recorrer ao
método de desvio,
comparando os desvios que as duas
17
grandezas provocam na agulha desse instrumento. Porém, se não existir a
garantia de uma proporcionalidade directa entre as referidas grandezas e
os desvios da agulha, teremos de recorrer ao
método do zero,
no qual já
não é necessário conhecer a lei dos desvios, pois a medição é feita de
modo que o instrumento de medida seja sempre levado ao zero.
o
procedimento de medição é o conjunto de operações que dizem respeito
a uma determinada medição, já não descritas de um modo genérico, mas
sim de um modo suficientemente detalhado. Esta descrição consta muitas
vezes de um documento ou parte de um documento e é pormenorizada ao
ponto de permitir tornar inteligível essas operações a todos aqueles que
terão que as executar ou analisar a sua execução.
(idem)
Vamos começar por analisar a grandeza comprimento. Suponhamos que
queremos medir o
comprimento desta página.
Que fazemos? Usamos uma
régua e, com ela, comparamos directamente o comprimento da página com
o milímetro, a unidade menor das que constam da graduação da régua. No
fundo estamos a comparar directamente uma grandeza (o comprimento da
página) com outra grandeza da mesma natureza (outro comprimento, o
milímetro) que foi convencionada como uma das várias unidades
conhecidas de comprimento. Estamos a ver quantas vezes o comprimento
designado por milímetro «cabe» dentro do comprimento desta página.
Uma medição deste tipo é por nós designada como
medição efectiva
directa.
Analisemos agora, por exemplo, a medição da grandeza área. Vamos
supor que pretendemos medir a área desta página. Também poderíamos
proceder de modo análogo. Poderíamos arranjar quadradinhos com
1
centímetro de lado, cuja área, a que chamamos centímetro quadrado,
tomaríamos para unidade, justapor os �adradinhos ao lado uns dos
outros, e ver quantos quadradinhos eram necessários para preencher toda a
superfície da página. Estaríamos, uma vez mais, a praticar uma
medição
efectiva directa, pois estaríamos a comparar directamente a área da página
com outra área que se considerou convencionalmente como unidade de
área, o centímetro quadrado.
Mas não é em geral por este processo que nós medimos a área da página.
Tirando partido dos nossos conhecimentos matemáticos, sabemos que a
página tem a forma de um rectângulo. Ora, também aprendemos na
Matemática que a área,
A,
do rectângulo é directamente proporcional às
medidas dos seus lados:
A= kxaxb
18
[1.2]
iiitrt
em que
a é a medida de um dos lados do rectângulo e b a medida do outro.
Mediante a escolha de unidades convenientes, é possível fazer com que a
constante de proporcionalidade seja
1, ou seja que se tenha simplesmente:
A= axb
[1.3]
(voltaremos a este assunto com mais detalhe ao estudar a análise
dimensional).
o nosso procedimento consiste, pois, em efectuar duas medições efectivas
directas dos lados,
a e b,
da página e utilizar a expressão anterior para
obter a medida da área da página. Dizemos, neste caso, que efectuámos
uma
medição efectiva indirecta.
Em resumo:
A medição efectiva consiste em comparar, directa ou indirectamente, a
grandeza a medir com outra da mesma natureza e cujo valor se escolheu
para unidade.
Na medição directa de uma grandeza
G,
a comparação é imediata: vê-se
quantas vezes uma outra grandeza, u, que tomamos para unidade, cabe na
grandeza
G.
Na medição indirecta, como é por exemplo a medição vulgar da área de
uma chapa circular, do volume de uma esfera de uns rolamentos, da
rapidez média com que um carro se deslocou entre duas localidades e de
tantas outras grandezas,
a comparação não é imediata:
medem-se
directamente outras grandezas relacionadas com a grandeza a medir
através de uma expressão conhecida e, em seguida, recorre-se a esta
expressão que relaciona a grandeza a medir indirectamente com as
grandezas medidas directamente.
Em qualquer dos casos, e tratando-se de uma medição efectiva, estabelece­
-se sempre uma relação do tipo,
{G}=
G
u
[IA]
ou, o que é equivalente,
G ={ G}u
[1.5]
que significa o seguinte: o valor (ou medida) da grandeza G é igual ao
produto de um número,
grandeza
G
é
{G}
{G},
pela unidade, u, ou, dito de outro modo, a
vezes maior do que a unidade, u. O número
{G}
19
designa-se por
valor numérico
da grandeza G no sistema de unidades a
que pertence u.
Uma observação muito importante é a seguinte: a grandeza G só fica
convenientemente medida, se conhecermos o seu valor numérico e a
unidade em que é expresso. Se dissermos que o comprimento de uma
página é
20
cm, a medida da página está bem expressa. Se dissermos
apenas que a medida da página é
pois sabemos que ela é
20,
esta afirmação não tem significado,
20 vezes superior a uma unidade, mas não sabemos
qual é esta, pois tal informação não foi prestada.
Em resumo:
o valor (ou medida) de uma grandeza G é dada pelo produto de um valor
numérico por uma unidade de medida:
G ={ G}u
[1.5]
Concretizando para um volume, tem-se, por exemplo:
v=
onde o valor numérico é
30 dm3 30x1 dm3
=
30 e a unidade 1 dm3•
Não devemos confundir os termos
medição,
ou acto de medir, e
medida,
ou resultado da medição.
AA 1.5
o valor da área de uma determinada superfície é dada por
A
1 .5. 1
=
2
50 c m
Expri ma de modo explícito este valor na forma de um produto.
1 . 5 . 2 Exprima o mesmo valor na forma de um produto, mas em que é
2
usada a nova unidade mm .
1 .5.3 Estabeleça a relação que existe entre os diversos valores
numéricos e as respecti vas unidades referentes ao mesmo valor.
Que conclui?
20
1.2.2
Condições para que possa realizar-se uma medição efectiva
Uma vez entendido em que consiste a medição efectiva, é altura de
assumir a consciência que nem todas as medições que efectuamos são
efectivas.
A medição efectiva de uma grandeza G pressupõe três
condições que têm de coexistir:
A primeira condição para uma grandeza de uma dada natureza ser
efectivamente mensurável é que seja possível comparar as diferenças de
duas grandezas dessa mesma natureza, isto é, estabelecer relações do tipo
Só deste modo poderemos atribuir significado físico a toda e qualquer
variação da grandeza G.
Esta condição é verificada,
por exemplo, pelas variáveis que, em
Estatística, são conhecidas por variáveis de intervalo. A temperatura
medida pelos termómetros Celsius é uma variável de intervalo. Com
efeito, tem sentido físico escrever-se que a variação da temperatura de
80,0 °C para 85,0
87,5 °C, isto é:
°C é igual à variação da temperatura de
82,5
°C para
87,5 °C 82,5 °C = 85,0 °C - 80,0 °C
-
Esta variação corresponde praticamente ao mesmo fornecimento de
energia e implica, se for um gás ideal monoatómico, como o hélio, por
exemplo, a mesma variação da energia cinética média das suas moléculas
monoatómicas.
A medição da temperatura com um termómetro Celsius faz com que, de
facto, a temperatura seja uma grandeza, mas esta medição Celsius não é
uma medição efectiva. E não o é, porque não satisfaz às duas condições
que se seguem.
De facto, há uma segunda condição para que uma medição seja efectiva e
que é a seguinte: o valor zero que é medido terá de ser um zero real, um
zero que corresponde a um efectivo anulamento da grandeza, e não um
zero meramente convencional.
21
*
Ma
Ora, na temperatura Celsius, o valor zero não corresponde a um autêntico
anulamento da grandeza. Tanto assim é que há temperaturas inferiores a
esse valor. E isto porque, para o valor () = O °C, as moléculas de um gás
como o hélio ainda possuem agitação, ainda têm energia cinética
molecular, cujo valor médio está relacionado com a temperatura que não
é, portanto, nula. Só assume nesta escala de temperaturas o valor nulo
porque se convencionou atribuir o valor O °C à temperatura do gelo
fundente à pressão normal. Trata-se, pois, de uma mera convenção.
Na escala de Farenheit, a temperatura do gelo fundente à pressão normal
já não é zero: é
32 DF.
Um outro exemplo idêntico ao da medição da temperatura Celsius é o da
medição da energia potencial do sistema formado pela Terra e uma
partícula à sua volta. Uma partícula é um corpo do qual podemos
desprezar as suas dimensões e não ter em conta a sua estrutura interna,
dadas as características do fenómeno em que está envolvido. A partícula
está, pois, sujeita ao campo gravítico terrestre. Quando a partícula se
encontra ao nível do mar, consideramos muitas vezes a energia potencial
gravítica nula nessa situação. Porém, trata-se de um zero convencional. Há
uma outra escala mais geral em que o zero da energia potencial se faz
corresponder convencionalmente à situação em que a partícula está a uma
distância infinita da Terra (Ep = O no infinito). Nesta escala, a energia
potencial ao nível do mar já deixa de ser nula para passar a ser
determinada pela expressão
E P = -G mTm
r
[1.9]
T
onde G é a constante de gravitação universal,
massa da partícula e
T
m
a massa da Terra,
a
rT o raio da Terra. Substituindo valores obtém-se uma
energia potencial que é negativa (e não nula) à superfície da Terra.
22
m
w
Uma escala
À altura «infinita»
À altura h
i
Nível do mar
Outra escala
o
CmTmh
rT (rT +h)
O
-C mTm
rT +h
_C mTm
rT
A medição da temperatura com a escala Celsius, ou a medição da energia
potencial com qualquer das escalas (aquela em que o zero corresponde à
partícula no infinito e aquela em que o zero corresponde à partícula à
superfície da Terra) são exemplos do que designamos por
medição
escalar.
AA 1.6
Verifique que a variação da energia potencial gravítica de um corpo
quando este passa do n ível do mar para uma di stância «infinita» da
Terra (na prática, para u ma distânci a muito grande da Terra) é igual
nas duas escalas anteriormente definidas.
Finalmente, há uma terceira condição para que uma grandeza de uma
dada natureza seja medida efectivamente. É a seguinte:
Que o quociente de duas grandezas dessa mesma natureza seja uma
constante independente da unidade adoptada:
23
1l1iWJJi&&4444
[ l .1O]
com
k constante, sej a qual for a unidade da grandeza.
As variá veis estatísticas do tipo
ratio
são bons exemplos de grandezas
medidas efectivamente. É o caso da área de um distrito, por exemplo.
Assim, se soubermos que a área do distr ito de Vila Real é 4305 km2 e a
área do distrito de Braga é
2695 km2
, o quociente destas duas áreas será
sempre igual a
A Vila Real
A Braga
4305 km 2
2695 km2
=
1,597
quer essas áreas estej am expressas em km2, em hectares ou em qualquer
outra unidade.
Em suma:
Uma grandeza de uma dada natureza, para ser medida efectivamente, terá
de obedecer a três condições:
1.a
que sej a possível comparar as diferenças de duas grandezas dessa
natureza, isto é, estabelecer relações do tipo
2.a
que o valor zero da grandeza sej a um zero real, um zero que
corresponde a um efectivo anulamento da grandeza, e não um zero
meramente convenc ional.
3.a
que o quociente de duas grandezas dessa natureza sej a uma constante
independente da unidade adoptada:
[1 .10]
com k constante, sej a qual for a unidade da grandeza.
24
AA 1.7
A temperatura de um corpo também pode ser med ida em graus
Réaumur. O c ientista francês René
Réaumur
dividiu em 80 DR o
i ntervalo de temperaturas entre o ponto de congelação da água pura e
o ponto de ebul ição desse mesmo l íquido, atribuindo o valor 80 DR a
esta última. Esta medição é efectiva ou escalar? Apresente uma
justificação.
AA 1.8
A medição do volume de u m recipiente é u ma medição efectiva ou
uma medição escalar? Fundamente a resposta.
1.2.3
Grandezas vectoriais e grandezas escalares
Uma c lassificação das grandezas que é importante conhecermos é a que
di sti ngue as grandezas escalares das grandezas vectoriai s , para já não
falarmos na generalização destas, as grandezas tensoriais, muito impor­
tantes na F ísic a Moderna.
As
grandezas escalares
são as que ficam completamente determinadas
pelo valor numérico e a unidade em que esse valor está expresso.
Exemplos:
A grandeza comprimento é escalar, poi s se afirmarmos que a largura de
um corredor é de
2,30 m todos ficamos completamente esclarecidos acerca
do significado e do valor desta grandeza. Também é esc al ar a grandeza
massa volúmica, porque ao afirmarmos que a massa volúmica do ferro é
7,8 g/cm3, ficamos a conhecer tudo acerc a desta grandeza específica do
ferro.
25
p
As
grandezas vectOrlaLS,
M4A
pelo contrário,
não
ficam completamente
determinadas com o conhecimento do resultado da sua medição. Trata-se
de grandezas que têm inerente uma direcção e um
sentido nessa direcção.
Para que uma grandeza vectorial fique determinada, torna-se necessário
conhecer, além do valor numérico e da unidade em que se exprime
(medida da grandeza) , a direcção e o sentido nesta direcção.
Ela é ,
portanto, definida pelos seguintes elementos: a direcção, o sentido e o
resultado da sua medição (valor ou medida da grandeza). Uma grandeza
vectorial representa-se por um vector.
Não devemos confundir direcção e sentido. São conceitos distintos. A
direcção de uma recta é a propriedade que ela tem de c omum com todas as
rectas que lhe são paralelas. Quando olhamos, numa determinada direcção,
um objecto longínquo, estamos ao mesmo tempo a olhar num determinado
sentido. Se rodarmos exactamente de
180 0,
estaremos a olhar na mesma
direcção, mas em sentido oposto.
A figura j unta mostra algumas grandezas vectoriais : uma força, uma
velocidade e uma aceleração.
Norte
F
a
v
Este
A força tem direcção Oeste-Este e sentido para Este. A velocidade tem
direcção Norte-Sul e sentido para Sul. A aceleração tem a direcção
sudoeste- nordeste e o sentido para nordeste.
26
Como há grandezas que resultam de operações (somas, diferenças, produ­
tos e quocientes) de outras grandezas, vectoriais e/ou escalares, é
importante que se tenha em conta as operações entre grandezas. A soma e
diferença de duas grandezas vectoriais é uma outra grandeza vectorial:
Assim, na figura anterior, a velocidade v é a soma das duas velocidades VI
e V2 :
[ 1 . 1 1]
E, na mesma figura, a velocidade v2 é a diferença das duas velocidades v
e VI:
[ 1 . 1 2]
U ma grandeza qualquer que sej a dada pelo produto de uma grandeza
vectorial por outra escalar é sempre uma grandeza vectorial. Assim, por
exemplo, a quantidade de movimento ou momento linear de um auto­
móvel na estrada é uma grandeza vectorial ( p ) por ser o produto da massa
do automóvel, que é uma gr andeza escalar , pela sua velocidade, que é uma
grandeza vectorial :
-
-
p = mv
[ 1 . 1 3]
Já, no que se refere ao produto de duas grandezas vectoriais, o problema é
mais complicado. Há dois produtos de grandezas vectoriais:
U m deles é o produto interno ou produto escalar que tem
como resultado uma grandeza escalar.
o outro é o produto externo ou produto vectorial cUJo
resultado é uma grandeza vectorial.
27
Produto interno (ou escalar) de dois vectores
o produto interno (ou escalar) de dois vectores ã e b é o escalar
lãl .lbl . cosB em que o argumento do coseno é o â ngulo entre os
vectores ã e b .
Representa-se este produto interno por:
-
-
ã . b (ler" ã interno b ")
Tem-se, então
-
-
ã . b =lãl .lbl. cosB
[ 1 . 1 4]
o produto Ib I. cos e representa a componente do vector b sobre
o eixo orientado segundo ã . Designa-se por componente
interna de b sobre ã .
Vemos, então, que se calcula u m produto interno de vectores
multiplicando o módulo de um pela componente interna do
outro sobre ele.
F acilmente se mostra que:
(i)
A condição necessária e suficiente para que dois vectores
não nulos sej am perpendiculares é que o seu produto
interno seja nulo.
(ii)
O produto escalar de um vector por �; próprio, também
chamado o quadrado de um vector, é igual ao quadrado
do módulo desse vector.
28
Produto externo (ou vectorial) de dois vectores
Define-se o produto externo (ou vectorial) de dois vectores
b como um novo vector
ãe
v tal que:
é perpendicular ao plano que contém os vectores
ãe b ;
tem o sentido dado pela regra do triedro directo (colocam-se
os dedos
polegar,
indicador e médio da mão
direita
perpendiculares entre si; estando o polegar no sentido do
pri meiro vector do produto e o indicador no sentido do
segundo, o dedo médio aponta no sentido do produto
externo);
tem o módulo dado pelo produto dos módulos dos vectores
ã e b e do seno do ângulo que os vectores formam;
o produto externo de
"ã externo de
b
".
ã
e
b exprime-se
por
ãx b e
v
ãxb
lê-se
Escreve-se então
v
=
ãxb
[ 1.15]
Em módulo tem-se
Ivl=lãl. lbl . sin e
[ 1.16]
j
=
29
As grandezas vectoriais também se medem e também se exprimem nas
suas unidades. Porém, o que se mede e se exprime nas u nidades é apenas o
módulo da grandeza. Portanto a expressão 1 . 5
G ={G}u
só é válida para o módulo da grandeza vectorial, que cada vez maIS é
designado por magnitude da grandeza (ver secção 1 . 3 .1 ) .
AA 1.9
São dadas as seguintes grandezas:
Momento angular: produto do momento de inércia, grandeza
escalar, pela veloc idade angular, vectorial .
Momento de uma força em relação a u m ponto: produto externo
de u m vector-posição por uma força.
Momento de uma força em relação a u m eixo: produto i nterno do
momento de u ma força em relação a u m ponto qualquer do eixo
pelo vector unitário (vector de magnitude 1 ) do eixo.
Intensidade de u ma corrente estac ionária num fio condutor: a
grandeza que se obtém dividindo a carga eléctrica que atravessa
uma secção recta qualquer do condutor pelo tempo de travessia.
Quais são grandezas vectoriais e quai s são grandezas escalares?
30
1.2.4
Símbolos das grandezas
Tal como afirmámos no prefácio deste l ivro, as designações e a simbo­
logia que de algum modo estão rel acionadas com as grandezas e as suas
medições estão sujeitas a normas internacionais que procuramos respeitar.
O carácter convencional que tem toda a área de conhecimento que diz
respeito às grandezas e suas medições manifestar-se-á de modo eloquente
nesta secção e nas seguintes.
H á que distinguir, com toda a clarez a, os símbolos das grandezas das
abreviaturas dos nomes das grandez as. As abreviaturas dos nomes das
grandezas, como formas reduz idas de traduzir esses nomes, variam
obviamente com a l íngua. Um exempl o : a grandeza força electromotriz
tem a abreviatura f.e.m., mas a mesma grandeza, na l íngua i nglesa,
designa-se por
electromotive force,
pelo que, nessa língua, é escrita
abreviadamente por e.mJ .
Porém, os símbolos das grandezas não são abreviaturas e, como tal , não
variam com a l íngua. Não sendo abreviat uras das pal avras que traduzem as
grandezas, os símbolos
não podem ser acompanhados de qualquer
ponto (excepto o ponto final , se o símbolo surgir no final de uma frase,
sendo preferível nessa circunstância escrever-se o nome da grandeza por
extenso).
utra regra internacionalmente consagrada pela ISO é esta: quando
i mpressos, os símbolos das grandezas deverão ser escritos sempre e m
caracteres itál icos, que, como sabemos, são caracteres incl i nados.
Uma
Se as grandezas são vectoriais há duas alternat ivas: ou se i mprimem os
seus símbolos em i tálico negro sem seta ou em itál ico normal com uma
pequena seta por cima.
A tabela
1.1, na página seguinte, mostra alguns exemplos.
31
Tabela 1.1
Grandeza
Símbolo
V
Volume
m
Massa
Comprimento de trajectória (length oipath)
Força
Velocidade
 ngulo plano
s
F,
v,
F
v
e
Muitas vezes, no mesmo texto, aparecem várias grandezas singulares da
mesma natureza, por exemplo, três forças distintas aplicadas no mesmo
corpo. S urge, então, a necessidade de distinguir essas grandezas e, para tal,
recorre-se a índices. Porém, ao contrário dos símbolos das grandezas que
devem ser i mpressos em caracteres i tálicos, os símbolos dos índices
deverão ser escritos em caracteres redondos. Exceptua-se o caso em que os
próprios índices também representam grandezas, pois então serão escritos
também a itálico.
Também é possível, para distinguir duas grandezas da mesma natureza,
recorrer à letra maiúscula, sempre que não haja que se usar, no mesmo
texto, esta letra para exprimir a grandeza para a qual ela é recomendada.
A tabela 1.2 mostra alguns exemplos de símbolos de grandezas com
índices.
32
eM
H'f'"IFiFit5ft'6
Tabela 1.2
Grandeza
Símbolo
VA
Volume da partícula A
Massa da partícula B
I11B
Força 1
FI
Força 2
F2
Capacidade térmica mássica a pressão constante
cp
Capacidade térmica mássica a vol ume constante
Cv
I
Comprimento menor
L
Comprimento maior
(
se não tiver que se usar para a
indutância)
As grandezas periódicas, que variam sinusoidal mente com o tempo,
apresentam diversos tipos de valores que importa distinguir. Os símbolos
recomendados para esses valores, exemplificando com a diferença de
potencial , são os que constam da tabela seguinte :
Tabela 1.3
DIFERENÇA DE POTENCIAL PERIÓDICA
Valor instantâneo
u
Valor eficaz
U
U
Valor máximo
Valor médio
(Umáx)
-
U ou <u>
Assim, por exemplo, a variação sinusoidal com o tempo da grandeza
corrente eléctrica (em corrente alternada) deverá ser traduzida do seguinte
modo:
33
i
=
i cos (úJt
Nesta expressão,
i
-
q»
=
-fi! cos (úJt
-
q»
[ 1. 1 7]
traduz o valor instantâneo da corrente eléctrica (em
corrente alternada), i o valor máximo dessa corrente eléctrica,
eficaz ,
(1) a
I
o valor
frequênci a angular ou pulsação da corrente, q> a diferença de
fase, designando a diferença
((1)t
-
cp) a chamada fase da corrente.
Ainda a propósito das grandezas periódicas, será conveniente distinguir os
adject ivos alternada e pulsatória. Uma grandeza alternada é aquela em que
o seu valor médio é nulo. Assim a grandeza corrente eléctrica, em corrente
alternada, obedece à expressão
2
T=�
A expressão traduz o integral
que
traduz
o
=
O
2
[ 1 .18]
modo
como a intensidade depende do
tempo,
Si( t )dt
To
(um operador matemático) da
função
T
i (I), calculado de O
a
T
onde Ttraduz o período da corrente eléctrica.
(período), e a dividir pelo valor
do próprio período.
Ao contrário, uma grandeza pulsatória é também uma grandeza periódica
mas em que o seu valor médio não é nulo.
Terminamos esta secção dedicada às grandezas, referindo, no quadro
seguinte, a notação correcta que deve ser uti l izada para as operações com
grandez as, com base em exemplos concretos:
Tabela 1.4
Operação com grandezas
Produto
da
velocidade
massa
pela
magnitude
Símbolo
da
Quociente da magnitude da força pela massa
Produto escalar (ou interno) da força pelo
deslocamento
Produto vectorial (ou externo) do vector de
posição pela força
34
mv , m· v
F
-
m
,
,
m.v
,
m
Fim ou
F·Ôr
rX F
v
ou mxv
Fm,l
No Apêndice 1 i ndicam-se os símbolos recomendados pela ISO para as
principai s grandezas físicas e respectivas unidades.
AA 1.10
Diga quais dos símbolos das grandezas i ntensidade de corrente, massa,
velocidade, volume e distância, que a segui r se escrevem, estão
incorrectos e porquê?
I,
m,
v, V, d
AA 1.1 1
Verifique o s símbolos d e grandezas que s e seguem:
Rapidez de A �
vA
Capacidade térmica mássica a pressão constante �
Quantidade de movimento
�
cp
p
Peso � P
Quais estão incorrectos e porquê?
35
1.3
Unidades de medida
1.3. 1
Unidades e símbolos de unidades
A medição de uma grandeza conduz-nos a uma magnitude ou quantidade a
que se chama o valor da grandeza (VIM, 1996 , p . 18). O valor de uma
grandeza é, em geral (exceptuam-se as grandezas adimensionai s de que
trataremos adi ante) constituído por um número (o valor numéri co)
acompanhado de uma unidade. T ambém se designa algumas vezes por
medida da grandeza, embora esta ú ltima designação tenda a cair em
desuso por se confundir com medição (operação de medir).
Como exemplos de valores de grandezas temos os segui ntes:
•
Volume de uma caixa: 0,729 m3
•
Quantidade de matéri a num frasco de mercúrio: 0,01 28 moI ou
12,8 mmol
•
Temperatura de uma arca fri gorífica : -18
o
C.
Note-se que os valores das grandezas podem ser posi ti vos, negativos ou
nulos e poderão ser expressos de várias formas. Os valores das grandezas
adi mensionais (veremos à frente o signi ficado deste conceito) são números
puros. Tal é o caso da densidade relativa, por exemplo. A densidade
relativa de uma substância é definida pela raz ão entre a massa volúrnica
(massa por unidade de volume) dessa substância e a massa volúmica de
outra substância padrão:
dsubstância
Psubstância
Ppadrão
[1.19]
A unidade de densidade relativa será, pois:
kg. m-3
3
kg.m-
--=-
=
1
Assim, a densidade relativa de um determinado óleo será 0,8
36
x
1= 0,8.
Ao referirmo-nos às grandezas vectoriais, como por exemplo a força, a
palavra valor da grandeza deverá ser evitada, pois o valor é uma grandeza
escalar algébrica, podendo ser negativa, enquanto que n ão há vectores
negativos. A respeito das grandezas vectoriais, quando nos queremos
referir à sua medida, a designação correcta (Norma ISO 3 1 -11 : 199 2 (E),
p. 21) é magn itude da grandez a. No caso da velocidade, os ingleses têm
um nome especial para a sua magnitude,
speed,
que poderemos traduz ir
por rapidez ou celeridade.
IFI, mas a
referida norma I S O , na coluna de notas e exemplos, diz que I FI é também
A magn i tude da força, por exemplo, designa-se por F ou
usado.
Os autores deste l ivro recomendam, porém, que no caso em que muitas
grandezas vectoriais apareçam na mesma fórmula, se evite o uso das duas
últimas notações, já que tornam as expressões matemáticas desneces­
sariamente mais «carregadas» e confusas para os alunos.
No caso das grandez as que nós sujeitamos a uma medição efectiva (ver
secções 1.2.1 e 1 . 2 . 2 ) , já vimos que a grandeza em si é igual a um produto
de dois factores, o valor numérico e a unidade:
Grandeza
=
valor numérico
x
unidade
[ 1. 20]
O valor numérico de uma grandeza medida efectivamente é, portanto, o
quociente do valor da grandeza pela unidade utilizada na sua expressão
(Idem, p. 19). Tem-se, como vimos
[1.21 ]
ou seja:
G={G}u
[1.22]
Quer dizer: quando escrevemos
l
=
12 cm
o valor numérico do comprimento é 12, a unidade é o cm, e a expressão
anterior sign i fica que se trata de um comprimento efectivamente 12 vezes
maior do que o centímetro.
37
A unidade (de medida) de uma grandeza é, ela própria, uma grandeza e
desempenha, como vemos, um papel decisivo na medição. A sua
definição, de acordo com o V IM (p. 1 5 ) é a seguinte:
Grandeza
particular, definida e adoptada por convenção, com a
qual outras grandezas da mesma natureza são comparadas com
vista a exprimir a sua magnitude relativamente a essa grandeza.
Toda a unidade tem um nome e um símbolo próprios, cuj a escrita obedece
a regras. Assim, por exemplo, a grandeza comprimento tem como
unidades o metro, o milímetro ou o quilómetro, e a grandeza trabalho tem
como unidades o joule e o erg, por exemplo.
Cada grandeza tem a sua unidade em cada sistema, mas poderão surgir
grandezas distintas com unidades do mesmo nome e símbolo. É o caso,
por exemplo, das grandezas trabalho e energia que têm as mesmas
unidades Uoule no Sistema Internacional, erg, electrão-volt, etc . ) . Ao
estudarmos a dimensionalidade das grandezas veremos que isso só poderá
suceder com grandezas da mesma dimensão.
AA 1.12
No sistema de grandezas que está na base do S istema Internacional de
Unidades (SI) :
a i ntensidade ou magnitude da força constante que actua numa
partícula é dada pel o produto da massa da partícula pela
magnitude da sua aceleração;
a magnitude da aceleração é igual ao quociente da magnitude da
variação da veloc idade (exprime-se em metros por segundo) pel o
intervalo em que esta ocorre (exprime-se em segundos).
1 . 1 2. 1
2
Mostre que a unidade de aceleração no SI é o m . s· .
1 . 1 2.2
Relacione a unidade de força, o newton, com o metro, o
quilograma e o segundo, no SI.
38
f@
l .3.2
Recomendações
respeitantes
aos
nomes
e
símbolos
de
unidades
Os nomes das unidades devem escrever-se em caracteres redondos (são
direitos) e com letras minúsculas, mesmo que derivem de nomes de
c ientistas :
Exemplos : quilograma, newton, pascal, watt, hertz.
Quando derivam de nomes de c ientistas, as designações das unidades
respeitam totalmente a grafia original, pelo que é totalmente incorrecto
(ainda que frequente em certos círculos) usarem-se formas aportuguesadas
como vátio, óhmio, etc.
De acordo com as normas emanadas do B IPM (Bureau lnternational des
Poids et Mesures), os nomes das unidades, a partir de dois (inclusivé),
admitem plural como outras palavras.
Exemplos: três metros, quatro quilogramas, 1 ,8 volt, 2,5 miliamperes,
6 X 10-2 segundo, etc . (Almeida, 1997, p . 44) .
Os símbolos das unidades devem sempre ser escritos em caracteres
redondos (são direitos) e sempre em letra minúscula, excepto quando
derivam dos nomes de cientistas que se escrevem, então, em maiúsculas
(se uma só letra) ou com a primeira letra em maiúsculas (se mais do que
uma letra).
Exemplos: s (segundo), g (grama), kg (quilograma), A (ampere), Pa
(pascal), W (watt) .
Quando temos várias unidades iguais, o símbolo da unidade mantém-se
i nvariável, não passa ao plural, pelo que não leva nem a letra s nem
qualquer ponto a seguir (excepto o ponto final da frase):
Exemplos: 3 km, 8 ms (milisegundos, e não metros), 3 , 8 A.
Ao referir unidades que resultam da combinação de outras duas ou mais, é
incorrecto misturar nomes e símbolos:
Exemplos: metro por segundo, m/s (é incorrecto escrever metro/s ou
m/segundo ).
Um erro frequente consiste no esquecimento de que as unidades, em si,
são também grandezas e, como tal, terão de obedecer às regras
39
tMMM%PM'#&i'%9&i&*Mt
MLd'iW+
#
W#b ii
matemáticas como quaisquer outras variáveis ou constantes. Assim, por
exemplo, quando queremos traduzir o dobro de quatro metros, escrevemos
2
x
4
m. Mas se nos referimos ao produto de dois metros por quatro
metros, então teremos de escrever 2 m x4 m.
Vejamos um outro exemplo: ao exprimirmos que o valor de uma corrente
está compreendido entre 2,0 mA e 3,0 mA, sendo o valor conven­
cionalmente verdadeiro 2,5 mA, deveremos escrever (2,5 ± 0,5) mA e não
2,5 ± 0,5 mA (são expressões matematicamente distintas).
No quadro que se segue refere-se a notação correcta que deve ser utilizada
para as operações com unidades, com base em exemplos concretos:
Tabela 1 .5
Operação com unidades
Símbolo
N·m ,
Produto do newton pelo metro
J
-
Quociente do joule pelo segundo
S
Quociente do metro por segundo
pelo segundo
N.m , ou N m (não Nm nem Nxm)
I
, J/s , J.s- ,
m/s
2
ou m.s-
2
I
ou J S- I ( não JS- nem Jxs- I )
2
2
ou m S- ( não m/s/s nem mxs- )
Tal como já se disse, no Apêndice 1 indicam-se os símbolos recomen­
dados pela ISO para as principais grandezas físicas e respectivas unidades.
AA 1.13
São dadas a seguir as representações das unidades metro, quilograma,
metro por segundo, watt por hora, pascal segundo:
M
;
I
I
Kg ; ms- ; w h- ; Pa s
Indique quais estão erradas e porquê.
40
A
terminar esta
secção
vamos
expnmlr
os
valores,
no
Sistema
Internacional de Unidades, de algumas quantidades que são constantes
físicas fundamentais. O objectivo é não só exemplificar as regras referidas,
mas também realçar uma regra mais, que diz respeito à escrita dos valores
numéricos.
Tabela 1.6
Quantidade
Símbolo da
grandeza
Valor da grandeza
299 792 4 5 8
m S
-I
Velocidade da luz no vácuo
c
Constante eléctrica
tO
Constante de gravitação newto-
C
I
6,67 3 x 1 0 - 1 1 m 3 k g-
Constante de P lanck
h
6 ,626 068 76 x 1 0- 3 4 J s
Carga elementar
e
1 ,602 1 76 462 x 1 0- 1 9 C
nlana
Massa do electrão
Razão entre as massas da partícula alfa e do electrão
l1I
e
ma/m e
8 , 854 1 87 8 1 7 x 1 0- 1 2 F mS·
I
2
9, 1 09 3 8 1 8 8 x 1 0-3 1 k g
7 294,299 508
Tal como vemos neste quadro, os algarismos dos valores numéricos são
expressos em caracteres direitos, separados em grupos de três, a contar do
sinal decimal, para a esquerda e para a direita.
41
RESPOSTAS ÀS QUESTÕES DE AUTO-AVALIAÇÃO
AA 1.1
Com significado geral : pressão atmosférica; intensidade da corrente; rapidez média.
Com significado particular: temperatura de u ma criança; pH de uma água.
AA 1.2
Não, porque não podemos afirmar que a cor verde é maior, menor ou igual a
outra qualquer cor.
AA 1.3
1 .3 . 1
Personalidade e carácter pois não podemos estabelecer para qualquer
delas uma relação de ordem: maior, menor ou igual .
1 .3.2
Grandezas no sentido geral : peso; diferença de potencial eléctrico.
Grandezas no sentido particular: capacidade de um vaso; aceleração de
um carro.
AA 1.4
Com respeito a corpos temos: peso.
Com respeito a substâncias : densidade rel ativa; massa volúmica; resistência à
penetração.
AA 1.5
1 .5 . 1
A
=
5 0 x 1 c m2
1 .5 .2
A
=
50 x ( l O m mi = 50
1 .5 . 3
Como 50
x
1 cm
2
=
50
x
x
10
2
10
2
X
x
I mm
2
?
I mm-
temos
50
43
Como vemos neste exemplo, os valores numéricos estão entre si na razão
inversa das respectivas unidades (se a unidade aumenta um celto número
de vezes, o valor numérico diminui esse mesmo número de vezes e vice­
versa).
AA 1.6
A variação da energi a potencial do nível do mar até à altura «infi nita» (ver figura
da página 23) é:
Numa das escalas
Na outra escala
O - (-G m T m )
rT
=
G mT m
rT
AA 1.7
É uma medição escalar pois o zero da escala acaba por resultar também de
convenções adoptadas e não corresponde à ausência de temperatura.
AA 1.8
É uma medição efectiva poi s satisfaz às três condições para que a medição sej a
desse tipo:
É possível comparar doi s volumes. Por exemplo :
'
'
2 0 cm - 1 5 c m
=
'
'
4 0 cm - 35 cm
o zero é real .
o quociente de dois volumes não depende da unidade escolhida. Por
exemplo:
36 cm 3
9 cm 3
44
36 x 1 0 -3 dm 3
9 x l O-3 dm 3
e
AA 1.9
Momento angular - grandeza vectorial (pois é o produto de uma grandeza
vectorial por uma escalar) .
Momento de uma força em relação a um ponto - grandeza vectorial (pois é o
produto externo de duas grandezas vectoriais).
Momento de uma força em relação a um eixo- grandeza escalar (pois é o produto
interno de duas grandezas vectoriais).
Intensidade de uma corrente eléctrica - grandeza escalar (pois é o quociente de
duas grandezas escalares) .
AA 1. 10
I
incorrecto, pois não está em itálico.
v
incorrecto, pois não está em i tál ico.
V
i ncorrecto, pois o volume não é uma grandeza vectorial .
incorrecto, pois não está em itálico.
d
AA 1.11
VA
incorrecto, pois o índice A não deve estar em itálico (dado que se refere
a um corpo e não a uma grandeza) .
Cp
incorrecto, pois o índ ice p deve estar em i tálico (por ser u ma grandeza) .
P
incorrecto, pois o peso é um grandeza vectorial (é uma força), l ogo o
símbolo devia ter u ma seta em cima ou estar em i tál ico negro.
AA 1 . 12
1 . 1 2. 1
De acordo com a segunda informação prestada tem-se
a =
magnitude da variação de velocidade
intervalo de tempo
t.. v
- _
t.. t
4S
2. Sistemas de Unidades
Objectivos
Util izar correctamente o Sistema Internacional de Unidades - S I como
sistema absoluto, coerente e racionalizado de unidades:
Exempl ificar diversos tipos de sistemas de unidades.
Reconhecer o carácter arbitrário da adopção dos sistemas de
unidades.
Definir critérios subj acentes à construção de um sistema de
unidades.
Separar grandezas de base de grandezas derivadas, j ustificando a
referida separação.
Apresentar
argumentos
válidos
que justifiquem
a
adopção
universal de um sistema de unidades.
Reconhecer as definições dos padrões próprios das unidades de
base do Sistema Internacional .
Apresentar as equações de definição de algumas unidades
derivadas SI.
Utilizar racionalmente as equações de definição conhecidas para
definir as respecti vas unidades derivadas.
Etc.
Utilizar correctamente as normas das organizações nacionais e inter­
nacionais que se dedicam à normalização e à metrologia, em particular as
da International Standard
Organization (ISO).
49
"Ainda que o material publicado no mundo possa ser escrito em
diferentes linguagens, o uso de um conjunto de unidades
internacionalmente aceite e de símbolos internacionalmente
reconhecidos para as grandezas físicas aumenta a capacidade de
estas serem mais geralmente compreendidas ."
E. Richard Cohen, i n Encyclopedia of Physics, Ed. de
Rita G. Lerner e George L. Trigg, Second Edi tion,
VCH Publ i shers, Inc., p. 1 21 7.
2.1
Grandezas e unidades de base e grandezas e unidades
derivadas. Definição das unidades dos sistemas
Para constituir um sistema de unidades começamos por reunir previamente
grandezas e formar com elas um sistema de grandezas. Este é um conjunto
de grandezas, no sentido geral, entre as quais há relações definidas (VIM,
1 996, p. 1 4). Dessas grandezas, umas são consideradas independentes
entre si e designadas por grandezas de base e outras vão relacionar-se
directa ou indirectamente com as grandezas de base e chamam-se grande­
zas derivadas. Uma vez constituído um sistema de grandezas teremos
então de adoptar uma unidade para cada grandeza de base. Essas unidades
das grandezas de base chamam-se unidades de base do sistema. As
unidades das grandezas derivadas, uma para cada grandeza, chamam-se
unidades derivadas.
As expressões que relacionam as grandezas derivadas com outras
grandezas e que estão na base da sua dependência das grandezas de base
são características de cada sistema de grandezas. Estas relações vão depois
servir de definição às unidades derivadas dos sistemas de unidades que
têm subjacente esse sistema de grandezas. Designam-se por equações de
definição das unidades derivadas.
Assim, por definição, um sistema de unidades não é mais do que um
conjunto de unidades de base, em conjunto com unidades derivadas,
definidas de acordo com determinadas regras válidas para cada caso.
(VIM, 1 996, p. 1 6). As unidades de base definem-se com base em
protótipos (também chamados padrões). As unidades derivadas defi nem-se
a partir das equações de definição.
51
Vamos concretizar o que acabámos de dizer. Por simplicidade vamos, por
agora, cingir-nos ao domínio da Mecânica e vamos considerar como
exemplo um sistema cuj as grandezas fundamentais são o comprimento, a
força e o tempo. O sistema de grandezas não está definido pois falta
estabelecer as relações de dependência das grandezas derivadas, relações
como A
r-,
=
V
=
P , v = !:li , etc. Num sistema de grandezas destes
!:lt
baseia-se o antigo sistema de unidades MKpS. Estas letras são as iniciais
das unidades de base: metro, quilograma-peso e segundo. Temos, então,
para o MKpS as seguintes unidades:
Tabela 2.1
Grandeza de base
Unidade de base
compri mento
metro
tempo
segundo
força
quil ograma-peso (ou quilograma-força)
Para as u nidades de base acabadas de escolher arranj aram-se protótipos
capazes de as materializar e perpetuar. Por exemplo, para o quilograma­
-peso, o protótipo que se considerou foi o peso do quilograma-padrão
internacional (um corpo a que adiante nos referiremos e cuja massa é
exactamente 1 kg). Portanto, o quilograma-peso é, por sua própria
definição, o peso do quilograma-padrão (um corpo de massa 1 kg) . Se
identificarmos, em primeira aproximação, o peso de um corpo com a força
com que é atraído para a Terra, o quilograma-peso ou quilograma-força
será a força com que o quilogrma-padrão é atraído para a Terra.
As unidades derivadas são definidas com base nas equações de
definição, como dissemos. Assim, no sistema MKpS a equação de
definição da unidade de velocidade é a relação atrás referida
v = !:li
-
!:lt
52
[2. 1 ]
em que !11 representa o comprimento de uma porção rectilínea de
trajectória percorrida em movimento uniforme I por um corpo qualquer no
intervalo de tempo !1t (a letra grega !1 usa-se sistematicamente para
representar um intervalo ou uma variação , isto é, !1x representa uma
variação da variável x).
Fazendo, então, !11
definição,
=
V
1 m e !1t
1m
= - =
1s
I
=
I Designa-se por movimento
uni forme
todo
e
qualquer
movimento cuja rapidez (ou
magnitude da velocidade) é
constante.
1 s, obtém-se a partir da equação de
m1s
=
I
m.s·
I
[2.2]
A unidade derivada de velocidade, no MKpS é o metro por segundo, cujo
símbolo é o m1s o u, o que é matematicamente equivalente (dado que uma
potência em denominador pode passar para numerador com o expoente
simétrico), o m.s·l.
E a definição desta unidade metro por segundo é simples: é a magnitude
da veloc idade de um corpo que, em movimento uniforme e rectilíneo, vai
percorrendo um metro em cada segundo.
Observe-se que para definirmos a unidade de velocidade recorremos a um
fenómeno onde a grandeza velocidade se mantém constante: o movimento
rectilíneo e uniforme.
2 De2igna-se por movimento
recti lín(!o
O mesmo sucede com as unidades derivadas das outras grandezas. Assim
para definirmos a unidade da grandeza aceleração, o metro por segundo
quadrado, recorremos ao movimento rectilíneo uniformemente acelerado2,
pois nele a aceleração permanece constante.
acelerado
uniformemente
todo
e qualquer
movimento em linha recta e
em
que
móvel
mentos
a
vai
velocidade
do
sofrendo
au­
iguais
em
iguais
intervalos de tempo
de grandezas subjacente ao sistema MKpS recorre-se à
seguinte expressão para definir a aceleração constante de uma partícula em
movimento rectilíneo uniformemente acelerado:
No sistema
!1v
a =-
!1t
[2.3]
Pois é esta a equação de definição da unidade de aceleração no sistema
53
AA 2.1
Num movimento rectilíneo uniformemente acelerado, a aceleração
permanece constante e a sua magnitude pode obter-se pela equação
a=
�v
�t
-
[2.3]
onde tlv é a variação da magnitude da velocidade no intervalo de
tempo tlt.
Sendo esta a equação de definição do metro por segundo quadrado,
definir esta unidade de aceleração.
É claro que a escolha das equações de definição das unidades derivadas de
um sistema de unidades tem um carácter arbitrário. Esta arbitrariedade
resulta do modo, também arbitrário, como são relacionadas as grandezas
ao constituir-se o sistema de grandezas subj acente a esse sistema de
unidades.
Assim, por exemplo, no que respeita à grandeza velocidade, nada i mpedia
ter-se adoptado a relação
v=
0,0 1
�
l
M
[2.4]
entre as grandezas velocidade, comprimento e tempo do sistema de
grandezas.
Seria esta então a equação de definição da unidade de velocidade num
sistema de unidades baseado nesse sistema de grandezas e a unidade de
velocidade desse sistema de unidades já seria, não o metro por segundo,
mas sim o centímetro por segundo, definido como a magnitude da
velocidade de um corpo que percorre rectilineamente a distância de um
centímetro em cada segundo (voltaremos a este assunto com mais detalhe
no capítulo dedicado à análise dimensional das grandezas).
54
AA2.2
Mostrar que a equação de definição está em coerência com as
unidades referidas: metro, segundo e centímetro por segundo.
Estamos em condições de concluir que no processo de estabelecimento de
um sistema de unidades há uma tripla arbitrariedade.
Com efeito, é arbitrária a adopção das grandezas de base do sistema de
grandezas que está subj acente a esse sistema de unidades. No exemplo
anterior podíamos ter optado pela grandeza de base massa, em vez da
força. Claro que isso implicaria uma escolha de uma unidade de base
diferente, definida com base num padrão de massa (o quilograma padrão
de que adiante falaremos) e não com base num padrão de força.
É também arbitrária a escolha dos próprios padrões de definição das
unidades de base. Assim, por exemplo, no M KpS definiu-se o quilograma­
-peso ou quilograma-força como o peso do quilograma-padrão (tem a
massa convencional de 1 kg). A definição não contempla o local onde é
medido esse peso do quilograma. Ora sabemos que este peso varia de
lugar para lugar da Terra: diminui com a altitude pois aumenta a distância
do quilograma-padrão ao centro de gravidade da Terra, e aumenta com a
latitude pois, devido ao achatamento polar da Terra, quanto mais perto dos
pólos terrestres estiver o quilograma-padrão, mais perto do centro de
gravidade da Terra se situará. Ora, ao adoptar-se o sistema M KpS , podia
perfeitamente ter-se optado (e com vantagem) por uma unidade de força
invariável. Bastava, por exemplo, ter-se definido o quilograma-força do
seguinte modo: peso do quilograma-padrão ao nível do mar e à latitude de
45 Esta unidade, aliás, chegou a ser definida pela 3 .a Conferência Geral
de Pesos e Medidas, em 1 90 1 , em Paris. Foi estabelecido nesta
Conferência que a aceleração da gravidade ao nível do mar e à latitude de
45 °, designada por aceleração da gravidade normal, tem o valor
0.
go
=
9,806 65 mls2
[2.5]
55
Esta constante é um valor médio que foi adoptado convencionalmente e
poderia perfeitamente ter servido para definir um quilograma-força
constante pela equação
1 kgf
=
1 kg x go
[2.6]
(Está-se a utilizar a equação fundamental do movimento que traduz a
2.a lei de Newton, F = m. a).
No texto histórico do Apêndice 2 pode ver-se que o padrão da unidade de
comprimento conhecida por metro variou ao longo dos anos, ou sej a
variou a definição de metro. O mesmo sucedeu ao segundo e a outras
unidades.
Finalmente, também j á se realçou que é em parte arbitrária a escolha das
equações utilizadas para relacionar entre si as grandezas do sistema de
grandezas subj acente, as quais vão servir de equações de definição das
unidades derivadas a partir das unidades de base. A arbitrariedade
acontece, em particular, no que respeita ao factor de proporcionalidade
adoptado. Assim por exemplo, no caso da grandeza velocidade,
poderíamos ter escolhido como equação de definiç ão da unidade desta
grandeza a seguinte:
v =
1 000 �l
M
AA2.3
Por coerência com as unidades de distância e tempo, o metro e o
segundo respectivamente, a adoptar esta última equação de definição,
a que unidade de velocidade corresponderia? Justifique.
Em face do exposto conclui-se que é possível construir-se um número
imenso de sistemas de unidades (Valadares, in Almeida, 1997). A adopção
de um sistema de unidades, ainda que arbitrária, é grandemente limitada
pelo facto de ter de satisfazer a determinados critérios. Estes são os
seguintes:
56
Critério de simplicidade
As unidades de base adoptadas devem
ter padrões simples, de fácil reprodução e (ou) verificação, valores
adequados (cómodos) e serem independentes entre si. As equações
de definição das unidades derivadas devem ser tão simples quanto
possível .
-
Critério de exactidão
-
A s unidades devem ser definidas d e modo
bastante exacto.
Os padrões das unidades de base
deverão ser tanto quanto possível invariáveis.
Critério de invariabilidade
-
As unidades de medida derivadas deverão
ser expressas como um produto de potências das unidades de base,
com factor de proporcionalidade de valor 1.
Critério de coerência
-
AA2.4
Um sistema que possui as unidades m, kg, s, m s·', g cm S·2 é um
s istema que obedece ao critério de coerência?
2.2
Os sistemas coerentes de unidades
Ao longo da história da ciência e da técnica surgiram diversos sistemas de
unidades.
Cingindo-nos ao domínio da Mecânica, um dos sistemas de unidades
muito util izado foi o sistema CGS, cuj a designação deriva das iniciais de
centímetro, grama e segundo, as suas unidades de base para a Mecânica.
Trata-se de um sistema de unidades absoluto ou sistema de unidades
físico, pois as unidades de base são absolutas, no sentido de serem
invariáveis de lugar para lugar. Em consequência, as unidades derivadas,
que acabam por ser produtos de potências das unidades de base, também
não variam de local para local.
57
Um outro sistema muito utilizado e a que já nos referimos foi o sistema
M KpS, nome derivado das suas unidades de base da Mecânica: o metro, o
quilograma-peso e o segundo. Trata-se de um sistema de unidades
gravitacional ou sistema de unidades técnico, em virtude de uma das
unidades de base, o quilograma-peso (e todas as outras dela derivadas)
variarem de lugar para lugar. Com efeito, o quilograma-peso foi definido
como o peso do quilograma-padrão, pelo que varia de local para local, de
acordo com a lei da atracção universal de Newton.
o
critério de invariabilidade atrás referido levou à rejeição dos sistemas de
unidades gravitacionais e à preferência pelos sistemas de unidades
absolutos, em que as unidades são invariáveis.
Para além da condição de serem absolutos, exige-se hoje que os sistemas
sejam coerentes. Mas o que é afinal um sistema de unidades coerente?
Um sistema de unidades coerente é um sistema de unidades que obedece
ao critério de coerência atrás referido: as unidades derivadas deverão ser
expressas como um produto de potências das unidades de base, com factor
de proporcionalidade de valor 1 .
Um outro sistema coerente que veio substituir com vantagem o sistema
MKpS é o sistema MKS . A tabela seguinte indica-nos as suas unidades de
base para a área da Mecânica:
Tabela 2.2
Grandeza
Unidades de base do MKS
Nome
Símbolo
metro
m
massa
quil ograma
kg
tempo
segundo
s
comprimento
Conforme veremos ao estudar o Sistema Internacional de Unidades (SI),
este conjunto de unidades de base do MKS, referentes à área da Mecânica,
é idêntico ao conjunto de unidades de base do SI, referentes à mesma área.
O Sistema MKS da Mecânica pode, de facto, considerar-se um subsistema
do Sistema Internacional de Unidades, já que, no que respeita à Mecânica,
as suas unidades são perfeitamente equivalentes.
58
Vamos agora ver algumas unidades mecânicas derivadas deste sistema
absoluto MKS.
Tabela 2.3
Grandeza
Algumas unidades derivadas do MKS
Nome
Símbolo
metro quadrado
m2
metro cúbico
m3
velocidade
metro por segundo
m.s·t
aceleração
metro por segundo quadrado
2
m.s·
frequência
hertz
Hz
quil ograma por metro cúbico
kg.m·3
área
volume
massa volúmica
N
força
newton
pressão
pascal
Pa
trabalho
j oule
J
potência
watt
W
=
m·t.kg.s·2
=
=
m.kg.s·2
m2.kg.s· 2
=
m2.kg.s·3
Observe-se que a unidade da grandeza força é o newton, cuj a equação de
definição é, simplesmente,
F=
m.a
[2.7]
e que essa unidade é dada pelo produto de potências
1N
=
1
m.kg.s·2
J
F
[2.8]
onde não aparece qualquer coeficiente numérico diferente de 1 3 .
Com efeito, a unidade de força, de acordo com a sua equação de definição
é o produto da unidade de massa, o kg, pela unidade de aceleração, m.s·2.
Tem-se, então:
1 N
=
1 kg x 1 m.s·2
=
1 kg.m.s·2
Não
a
[2.9 ]
devemos
equação
=
confundir
de
definição
ma com a lei física da
Mecânica
clássica,
tradu­
zida pela mesma expressão.
pois esta tem determinados
pressupostos subjacentes que
lhe
conferem
um
estatuto
epistemológico diferente.
A
di ferença entre a equação de
definição e a lei não cabe,
porém,
no
âmbito
deste
curso.
e a ordem dos factores do produto é arbitrária!
59
A propósito, é importante notar que as grandezas e as unidades são
entidades físicas, porque dizem respeito a coisas do mundo físico em que
vivemos, nem sempre concretas e tangíveis. Porém, elas comportam-se
como entidades matemáticas para efeito de cálculo, obedecendo rigoro­
samente às operações matemáticas conhecidas (soma, produto, quociente,
etc).
AA2.5
A equação de definição da grandeza pressão é p
=
F
S
-
onde F é a
força que actua uniformemente e perpendicularmente na superfície de
área S. Fundamente a unidade de pressão da tabela anterior e defina-a.
2.3
O Sistema Internacional de Unidades como sistema
absoluto e coerente
2.3.1 A adopção do Sistema Internacional de Unidades
Durante muito tempo multiplicaram-se as unidades de medida, diferindo
de país para país e até mesmo dentro do mesmo país. Com o incremento
das relações comerciais e o desenvolvimento da indústria a situação
tornou-se a determinada altura insustentável, sentindo-se a necessidade
premente de uma uniformização. O impulso decisivo no sentido desta foi
dado pela Revolução Francesa. De facto, o decreto da Convenção de 1 de
Agosto de 1 793 estipulou a criação de um Sistema de Pesos e Medidas
baseado na medição do meridiano terrestre e na divisão decimal. Isto teve
como consequência que o metro, uma das unidades de base do sistema
métrico, tivesse sido estabelecido logo dois anos depois, em 1795.
Esta primeira definição do metro, como décima milionésima parte do
quarto do meridiano terrestre, começou já no século passado a ser
considerada pouco exacta (os meridianos não são exactamente iguais),
uma das razões pelas quais em 1 875 foi assinada a chamada Convenção
Internacional do Metro, que materializou o metro-padrão numa barra de
60
platina iridiada. Como a essa Convenção aderiram desde logo diversos
países, internacionalizou-se a seguinte definição de metro: distância, a
O °C e à pressão normal, entre dois traços marcados perto das
extremidades de uma barra de platina iridiada que está guardada em
Sevres, perto de Paris.
De então para cá a Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM) passou
a realizar-se, tendo a de 1 889 sancionado a definição anterior.
Em 1948 realizou-se a 9.a CGPM a qual, tendo por base um pedido da
União Internacional de Física Pura e Aplicada (IUPAP), resolveu propor
ao Comité Internacional de Pesos e Medidas (CIPM) a realização de um
inquérito oficial para reunir "as opiniões dos meios científicos, técnicos e
pedagógicos de todos os países, para que fosse estabelecido um sistema
prático de unidades de medida susceptível de ser adoptado por todos os
países signatários da Convenção do Metro" (Almeida, 1997, p. 1 9) .
A IUPAP, no referido pedido, recomendava como base de trabalho o
sistema absoluto M KS cujas unidades fundamentais são, como vimos
atrás, o metro, o quilograma (unidade de massa) e o segundo.
A adopção deste novo «sistema prático de unidades» acabou por resultar
de uma resolução da 1 O.a CGPM, que teve lugar em 1954. Este sistema
passou a designar-se por S istema Internacional de Unidades, com a abre­
viatura SI (sem pontos!), em consequência da resolução 12 da l 1.a CGPM,
que decorreu em 1960. A adopção do SI viria a ser confirmada por uma
outra resolução da 14.a CGPM, que se realizou em 1 97 1 .
Em Portugal, bem como em todos os outros países que aderiram à
chamada Convenção do metro, o S I tem actualmente um estatuto de lei.
De facto, o Decreto-Lei n.o 427/83 de 7 de Dezembro determinou a
adopção, no nosso país, desse sistema de unidades.
2.3.2 As unidades de base do Sistema Internacional de Unidades
As unidades de base adoptadas para o S istema Internacional de Unidades
(SI) e respectivas grandezas são as seguintes:
61
Tabela 2.4
Grandeza
-
Unidades de base SI
Nome
Símbolo
metro
m
massa
quil ograma
kg
tempo
segundo
s
i ntensidade da corrente eléctrica
ampere
A
temperatura termodinâmica
kelvin
K
i ntensidade l umi nosa
candeia
cd
quantidade de matéri a
mole
moi
compri mento
De acordo com a Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), que é a
autoridade máxima no que respeita aos nomes, símbolos e definições de
unidades, as definições actuais das unidades (de medida) de base do SI são
as seguintes, figurando entre parêntesis as resoluções que as
determinaram:
•
O metro é o comprimento do trajecto percorrido no vazio pela luz
durante um intervalo de tempo de 1 /299 792 458 do segundo
( 17 CGPM - 1 983 - Resolução 1 )
3
•
O quilograma é a unidade de massa e é igual à massa do protótipo
internacional do quilograma (3 CGPM - 1 90 1 - p. 70 das Actas).
3
o
protótipo internacional do quilograma é materializado por um corpo
cilíndrico de platina iridiada (90 % de platina e 1 0 % de irídio), de
diâmetro e altura i guais a 39 mm e que está arquivado em Sevres (França)
ao cuidado do Bureau Internacional des Pois et Mesures (BIPM), que
funciona sob a dependência da CGPM. Foi entregue uma cópia deste
protótipo internacional a cada um dos países signatários da Convenção do
Metro, tendo cabido a Portugal a cópia n° 1 0 (depositada na Repartição de
Pesos e Medidas) .
62
Fotografia do protótipo
i nternacional do quilograma
•
O segundo é a duração de 9 1 92 63 1 770 períodos da radiação
correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado
fundamental do átomo de césio 1 3 3 ( 1 3 .a CGPM
1 967
Resolução 1 ) .
-
•
-
O ampere é a intensidade de uma corrente constante que, mantida
em dois condutores paralelos, rectilíneos, de comprimento infinito,
de secção circular desprezável e colocados à distância de
1 m um do outro, no vazio, produziria entre estes condutores uma
força igual a 2 x 1 0-7 N por metro de comprimento (9.a CGPM
1 948 Resolução 7).
-
-
•
O kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a fracção
1 /273, 1 6 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água
(l3a CGPM 1 967 Resolução 4).
-
•
-
A candeia é a intensidade luminosa, numa direcção dada, de uma
fonte que emite uma radiação monocromática de frequência
540 x 1 012 Hz e cuj a intensidade energética nessa direcção é
1 /683 W.S(14 (l6.a CGPM 1 979 Resolução 3).
-
-
4
o
W.S(I é o símbolo da
unidade
watt
diano (ver p.
•
A mole é a quantidade de matéria de um sistema contendo tantas
entidades elementares quantos os átomos que existem em 0,0 1 2 kg
de carbono 1 2; quando se utiliza a mole, as entidades elementares
devem ser especificadas e podem ser átomos, moléculas, iões,
por
66).
esterra­
63
electrões, outras partículas ou agrupamentos especificados de tais
partículas ( 1 4 a CGPM 1971 Resolução 3).
-
-
AA2.6
o metro, como uma das unidades de base do antigo s istema métrico,
em que época foi estabelecido?
A.
B.
Meados do século 17.
F inais do século 18.
C.
F inais do século 19.
D.
Meados do século 20.
2.3.3 Outras unidades SI
Para além das unidades (de medida) de base do SI que atrás referimos,
existem também todas as unidades (de medida) derivadas, as quais dizem
respeito às mais variadas grandezas derivadas. A tabela seguinte mostra
alguns exemplos:
Tabela 2.5
Grandeza
Nome
Símbolo
metro quadrado
m-
aceleração
metro por segundo quadrado
m.s
massa volúmica
quilograma por metro cúbico
kg.m-3
volume mássico
metro c úbico por quilograma
m3 .kg-1
j oule por kelvin mole
J.K1 .morl
ampere por metro quadrado
A .m-2
metro cúbico por mole
m3.morl
área
capacidade térmica molar
densidade de corrente eléc trica
volume mol ar
64
Unidades SI derivada
?
·2
Há diversas unidades derivadas que possuem nomes e símbolos especiais.
Vej amos alguns exemplos:
Tabela 2.6
Grandeza
Unidades SI derivadas
Nome
Símbolo
hertz
Hz
força
newton
N
pressão
pascal
Pa
energi a
joule
J
potênci a
watt
W
coulomb
C
diferença de potenc ial ou tensão
volt
V
capac idade eléctrica
farad
F
resi stência eléctri c a
ohm
Q
siemens
S
weber
W
densidade de fluxo magnético
tesla
T
i ndutânc i a
henry
H
grau Celsi us
°C
lúmen
1m
lux
Ix
becquerel
Bq
gray
Gy
frequênc i a
carga eléctrica
condutância
fluxo magnético
temperatura Celsius
fluxo luminoso
i luminação l umi nosa
actividade (de uma fonte radi oactiva)
dose de radiação absorvida
Em 1 980, o Comité Internacional de Pesos e Medidas (CIPM) decidiu
interpretar como unidades derivadas sem dimensões, as anteriormente
chamadas unidades suplementares. Estas unidades e as respectivas
grandezas são as seguintes:
65
Tabela 2.7
Grandeza
Unidades SI derivadas sem dimensões
Nome
Símbolo
ângulo plano
radi ano
rad
ângulo sólido
esterradi ano
sr
As definições destas duas unidades, estabelecidas pela Resolução 1 2 da
ll.a CGPM, de 1 960, são as seguintes:
o radiano é o ângulo plano compreendido entre dois ralOS que, na
circunferência de um círculo, intersectam um arco de comprimento igual
ao raio desse círculo:
B=i
r
[2. 1 0]
é o ângulo sólido que, tendo o vértice no centro de uma
esfera, intersecta na superfície desta uma área igual à de um quadrado
tendo por lado o raio da esfera :
o esterradiano
(a) o ângulo (plano) ao centro é de 1 radiano porque o arco circ ular AB que l imita
tem um comprimento igual ao raio da circunferência;
(b) o ângulo (sólido) ao centro é de I esterradiano porque a superfíci e S circ ular que
limita tem por área o quadrado do raio da c ircunferê ncia.
66
Em coerência com a interpretação do CIPM, de 1 980, anteriormente
referida, a unidade coerente quer para o ângulo plano quer para o ângulo
sólido é 1 . No entanto, é considerado conveniente o uso dos nomes
especiais radiano e esterradiano e respectivos símbolos, em muitos casos
práticos (Norma ISO 3 1 -0; 1 992(E), p. 5). Assim, por exemplo, podemos
considerar, em alternativa, as seguintes unidades:
Tabela 2.8
Grandeza
Símbolo da unidade
velocidade angular
radls ou s·'
aceleração angular
2
2
rad/s ou S·
i ntensidade energética
W.sr"'
luminânc i a energétic a
2
W.sr"'.m·
Há também um terceiro tipo de unidades de medida designadas por
unidades fora do sistema por não pertencerem ao SI (nem a qualquer outro
sistema de unidades). S ão exemplos o electrão-volt ( 1 ,602 1 8 x 1 0 · 9 J),
que é uma unidade de energia ainda muito utilizada e as conhecidas
unidades de tempo, o dia (d), a hora (h) e o minuto (min).
'
Fazemos notar que, ao contrário do que se vê frequentemente, mesmo em
trabalhos científicos, o símbolo do minuto é min e não m (símbolo do
metro) . É incorrecto, pois, escrever 3 h e 4 m, pois não há intervalos de
tempo de 3 horas e 4 metros!
As unidades SI admitem múltiplos e submúltiplos decimais, de modo a
evitar-se o uso de representações de números com muitos zeros. Para
escrever esses múltiplos e submúltiplos das unidades S I, existem os
chamados prefixos S I que constam das tabelas seguintes:
67
Tabela 2.9
Factores
Prefixos de múltiplos
Nome
Símbolo
yotta
Y
zetta
Z
exa
E
5
101
peta
P
2
101
tera
T
109
glga
G
10 6
mega
M
10 3
quilo
k
2
10
hecto
h
10
deca
da
102
4
21
10
101
8
AA2.7
A quantos terametros é igual um exametro?
68
Tabela 2.10
Factores
Prefixos de submúltiplos
Nome
Símbolo
1
deci
d
2
10-
centi
c
10-3
mili
m
1 0-6
mIcro
f-l
10-9
nano
TI
2
10-1
pico
P
15
10-
fento
f
ato
a
21
1 0-
zepto
z
24
10-
yocto
y
10-
1 0-1
8
AA2.8
Um centisegundo quantos nanosegundos são?
Quer o nome quer o símbolo de um múltiplo ou submúltiplo de uma
unidade SI já não diz respeito a uma unidade SI (que é única) . Esse
múltiplo ou submúltiplo forma-se juntando (sem qualquer intervalo) o
prefixo ao nome ou ao número. Vej amos alguns exemplos:
quilowatt
-
kW
nanosegundo - ns
picofarad - pF
gigawatt GW
-
69
No caso da unidade SI de massa, o quilograma, como já de si tem um
prefixo, o quilo, os seus múltiplos e submúltiplos são construídos com
base no grama, já que em caso algum são admitidos dois prefixos
seguidos:
gigagrama - Gg (e não Mkg)
micrograma - Ilg (e não nkg)
A escolha do múltiplo ou submúltiplo de uma unidade SI é ditada por
razões de comodidade. Em geral escolhe-se de modo que o valor numérico
da grandeza fique situado entre 0, 1 e 1 000. Assim, por exemplo, a
temperatura de 4500 K poderá ser escrita na forma 4,5 kK.
AA2.9
Reduza a metros quadrados as seguintes áreas:
70
RESPOSTAS ÀS QUESTÕES DE AUTO-AVALIAÇÃO
AA2.1
De acordo com o enunciado tem-se
a=
tlv
-
tl!
Se fizermos
�v = I m
-I
S
e �t = 1 s
vem
a=
1 m s-I
--
Is
_o
=lm s­
Metro por segundo quadrado é a magnitude da aceleração de uma partícula com
movimento rectilíneo uniformemente acelerado cuja velocidade aumenta de
J m
S
-I
em cada segundo.
AA2.2
Consideremos, então, a relação [2.4]:
v = O , 01
�l
/}.t
Fazendo
�l= I m = 100 cm e �t = I s
vem
1 00cm
1 cm
I
v=O,OI --- = -- =Jcms' =Icrn/s
1s
1s
AA2.3
Ao quilómetro por segundo. Com efeito, consideremos a relação dada
/}.!
v=1 000/}.t
71
Fazendo
f'1l= 1 m e f'1t = 1 s
vem
v =
1 000
1m
=
1000 m
1s
Is
=
1 km
1s
=
I km S·
I
=
I kmJs
AA 2.4
·2
Não porque a unidade g cm S é exp'essa em função das u nidades de base, metro
(m), quilograma (kg) e segundo (s) do seguinte modo:
lcm
10� m
I ocr cm s'- = I gx -- = 10-'> k ocrx -Is2
Is2
?
.
10-) kg m s'2
=
Há uma relação de uma unidade derivada com as unidades fundamentais que usa
um factor de proporcionalidade diferente da unidade ( 1 0.5).
AA 2.5
De acordo com o enunciado tem-se
F
p=S
Se fizermos
2
F = 1 N e S= 1 m
vem
·2
1 N = 1 m kg S 1 ·1
m k gs
1
1 m2
m-
-p=
.
2
?
Pascal é a pressão exercida pela força de
newton quando actua
perpendicularmente e uniformemente numa superfície de área 1 metro quadrado.
AA 2.6
Opção B. (ver secção 2.3.1).
72
AA 2.7
I Em= 1 018 m
1 Tm = 1 012 m
1 Em
lTm
=
18
10 m
1012m
=
106
1 Em= 106Tm
É igual a 106 (um milhão) de terametros.
AA 2.8
I cs = 1 0-2
I cs
=
S
1 07 ns
É igual a 107 (dez milhões) de nanosegundos.
AA 2.9
73
3. As Dimensões das Grandezas
Objectivos
Compreender significativamente o conceito de dimensão de uma grandeza:
Indicar como se constrói um sistema de grandezas.
Definir classe de sistemas de unidades.
Relacionar as mudanças de unidades das grandezas derivadas com as
mudanças de unidades das grandezas de base.
Explicar em que consiste a invariância das leis físicas no contexto das
mudanças de sistemas de unidades.
- Etc.
Caracterizar algumas das propriedades da dimensão das grandezas:
Relacionar a dimensão de uma grandeza derivada com as dimensões das
grandezas de base.
Indicar o que são os expoentes dimensionais.
Distinguir dois tipos de grandezas adimensionais.
Identificar grandezas dimensionalmente dependentes e independentes.
Exemplificar grandezas de natureza diferente com as mesmas dimensões.
- Etc.
Aplicar, a casos concretos, o princípio de homogeneidade di mension al:
Mostrar que relações de grandezas dadas são necessariamente incorrectas.
Reconhecer as potencialidades e limitações na verificação da correcção
de relações entre grandezas.
Compreender algumas noções básicas relacionadas com a análise dimensional:
Enunciar o teorema n.
Indicai os contextos de aplicabilidade do teorema n.
Utilizar, em casos simples, o teorema n, para eliminar e/ou simplificar
relações genéricas entre grandezas.
77
3.1
Introdução
No início deste manual foi introduzida a noção de grandeza. Esta noção é
fundamental, uma vez que a Ciência se tem construído, em grande parte, através
do estabelecimento de relações entre grandezas.
Estas relações apresentam estatutos epistemológicos distintos: podem ser leis,
definições de grandezas a partir de outras e mesmo relações empíricas válidas
apenas num determinado contexto. Embora haja alguma discussão sobre o estatuto
epistemológico das relações existentes, ela está ausente na ciência do "dia a dia"
e no seu ensino. Ao longo deste capítulo, por uma questão de economia de
linguagem e porque nada do que iremos explicar é dependente desse estatuto,
designaremos todas essas relações como leis físicas porque são válidas para as
chamadas ciências físicas e outras com estas relacionadas.
Tal como vimos nos capítulos anteriores, todas as grandezas se exprimem
quantitativamente através de valores numéricos dependentes de um sistema de
unidades pré-definido e convencional. Será então que as leis físicas, sendo relações
entre grandezas, também são afectadas pelas escolhas dos sistemas de unidades
pat1iculares em que se exprimem as grandezas nela envolvidas?
A resposta mais imediata (e correcta) à questão anterior é não. De facto, é de
esperar que as leis físicas apresentem um carácter universal e que sejam
independentes das escolhas dos sistemas de unidades. O conceito de energia,
por exemplo, e a sua relação com outras grandezas não pode depender da escolha
do centímetro ou do metro para medir os comprimentos. Diz-se, assim, que as
leis físicas são invariantes relativamente a mudanças de unidades. É esta invariância
e as suas consequências que iremos estudar ao longo deste capítulo. O ponto
central de todo este capítulo é a noção de dimensão de uma grandeza. A dimensão
de uma grandeza surge naturalmente depois de se definir os conceitos de sistema
de grandezas e de classes de sistemas de unidades.
3.2
Dimensão de uma grandeza
3.2.1 Sistemas de grandezas
Um sistema de grandezas é definido como um conjunto de grandezas, no sentido
geral, entre as quais existem relações definidas (VIM, 1 996).
Num sistema de grandezas estão definidos dois tipos de grandezas (VIM, 1 996):
grandezas de base: aquelas que são consideradas, por convenção, como
funcionalmente independente�;
79
- grandezas derivadas: aquelas que são função das grandezas de base desse
sistema.
As relações entre grandezas de um sistema de grandezas são obtidas de leis
físicas, resultando assim da generalização de relações entre grandezas particulares.
Por exemplo, em detenninados sistemas de grandezas a área é definida como o
quadrado do comprimento, o que corresponde a generalizar a relação entre o
comprimento do lado e a área de um quadrado.
A fim de ilustrar a noção de sistema de grandezas vamos construir um sistema de
grandezas simples. Para tal, vamos escolher as grandezas complimento (l), tempo
(t), velocidade (v), aceleração (a), massa (m), força (F), etc. e adoptar como
grandezas de base, por exemplo, o comprimento (l), a massa (m) e o tempo (t),
as quais, para os fenómenos físicos com que lidamos no dia a dia, podem
considerar-se funcionalmente independentes. Vamos, de seguida, escolher as
relações que nos permitem definir as grandezas derivadas. Estas relações, que
correspondem a generalizações de leis físicas existentes entre grandezas
particulares, podem ser, por exemplo: v = IIt; a vlt ; F = ma; etc. Reescrevendo
as relações escolhidas de modo a obter as grandezas derivadas v, a F, etc., em
função das grandezas de base I, t e m,obtém-se: v = lIt; a = lIt2; F mllr2; etc.
=
=
A construção de um sistema de grandezas consta assim de três passos: (i) escolha
das grandezas do sistema; (ii) escolha das grandezas de base, e (iii) escolha das
relações entre grandezas que permitem definir as grandezas derivadas e exprimi­
-las em função das grandezas de base. Cada um destes passos é independente e
escolhas diferentes em cada um deles vão originar diferentes sistemas de grandezas.
Esta possibilidade pode ser colocada em evidência retomando o exemplo simples
dado anteriormente.
passo (i) poderia ser diferente se tivessemos escolhido um outro grupo de
grandezas para formar o sistema.
o
o passo (ii) também poderia ser diferente:
poderíamos escolher como grandezas
de base, por exemplo, o comprimento (I), a força (F) e o tempo (t).
Finalmente, as relações entre as grandezas escolhidas poderiam também ser
diferentes. Para vermos que assim é, utilizamos o exemplo da relação entre a
força e as outras grandezas, recorrendo a duas leis físicas distintas resultantes dos
trabalhos de Isaac Newton:
1 ) A intensidade da força (F) que actua num corpo é proporcional ao produto
da massa do corpo (m) pel a aceleração do corpo (a):
(3. 1)
80
2)
A força gravítica (F ) com que dois corpos se atraem é proporcional ao
produto das suas massas (m e M) dividido pelo quadrado da distância (d) a
que se encontram:
G
D -k 2
rG
mM
(3.2)
-d2
No sistema de grandezas anteriormente construído, a relação entre força, massa
e aceleração foi obtida a partir de (3.1) (fazendo kl 1 ). Seria possível construir
um outro sistema de grandezas escolhendo uma relação entre a força e as restantes
grandezas a partir de (3.2): por exemplo, F = m2/F (i.e. fazendo � = 1 em (3.2)).
=
A.A.3.1
Construa 3 sistemas de grandezas d iferentes para o comprimento, a
massa, o tempo, a velocidade, a aceleração e a força, utilizando escolhas
diferentes para as grandezas de base. Escreva, para cada um dos sistemas,
a relação entre cada uma das grandezas derivadas e as grandezas de
base.
3.2.2 Classes de sistemas de unidades
A construção de sistemas de grandezas é realizada com a finalidade de definir
sistemas de unidades.
Um sistema de unidades é definido através de dois passos:
(i) escolha de um determinado sistema de grandezas;
(ü) escolha das unidades das grandezas de base desse sistema de grandezas,
a que chamamos unidades de base ou fundamentais.
Estes dois passos são, novamente, independentes: é possível escolher unidades
de base diferentes escolhendo um mesmo sistema de grandezas; e é também
possível ter sistemas de grandezas diferentes e, no entanto, as mesmas unidades
de base (desde que, é claro, os sistemas de grandezas tenham as mesmas grandezas
de base).
81
Já as unidades das grandezas derivadas, designadas simplesmente por unidades
derivadas, não são escolhidas, mas i mediatamente determinadas pelas duas
escolhas anteriores, uma vez que num sistema de grandezas as relações entre as
grandezas derivadas e as de base já estão definidas.
A possibilidade de construir diferentes sistemas de unidades associados ao mesmo
sistema de grandezas, vai permitir i ntroduzir a noção de classe de sistemas de
unidades, que será fundamental para introduzir a definição de dimensão de forma
precIsa:
Uma classe de sistemas de unidades é o conj unto de todos os
sistemas de unidades definidos a partir do mesmo sistema de
grandezas.
Uma consequência imediata desta definição é que a diferença entre dois sistemas
de unidades da mesma classe reside apenas na magnitude das unidades de base
(escolhida no passo ii). Por seu lado, dois sistemas de unidades não pertencerão
à mesma classe se tiverem sido construídos a partir de sistemas de grandezas
diferentes. Vej amos alguns exemplos elucidativos, sobre a pertença ou não de
diferentes sistemas de unidades à mesma classe.
Comecemos por um exemplo simples de dois sistemas de unidades que não
pertencem à mesma classe, a parte da mecânica do SI (MKS) e o sistema MKp S.
Estes sistemas de unidades são construídos a partir de sistemas de grandezas que
diferem na escolha das grandezas de base: o MKS é construído a partir de um
sistema em que as grandezas de base são o comprimento, a massa e o tempo; por
sua vez, o M KpS é construído a partir de um sistema de grandezas em que as
grandezas de base são o comprimento, a força e o tempo. Assim, estes dois
sistemas de unidades pertencem a diferentes classes porque os sistemas de
grandezas a que estão associados apresentam grandezas de base diferentes.
Como vimos na secção anterior, é possível sistemas de grandezas diferirem não
nas grandezas de base, mas nas relações entre as grandezas derivadas e as de
base. Como exemplo, tomemos dois sistemas de grandezas em que a relaç ão
entre a força e as grandezas de base comprimento, massa e tempo (as mesmas
para os dois sistemas) é definida a partir de (3. 1 ) num caso (sistema de grandezas
1 ) e a partir de (3.2) no outro (sistema de grandezas 2). Suponhamos agora que
se pretende construir dois sistemas de unidades, um com base no sistema de
grandezas 1 e outro com base no sistema de grandezas 2. Como os dois sistemas
têm as mesmas grandezas de base, é possível escolher as mesmas unidades de
base para ambos os sistemas de unidades. No entanto, estes sistemas de unidades
não pertencem à mesma classe uma vez que foram definidos a partir de sistemas
de grandezas diferentes. A diferença essencial entre os dois sistemas de unidades
82
está na definição de força unitária. Num caso (sistema de grandezas 1 ) a força
unitária será a força que actuando num objecto de massa unitária lhe provoca uma
aceleração unitária; no outro (sistema de grandezas 2) será a força de atracção
gravítica entre dois corpos de massa unitária que se encontram a uma distância
unitária. Este exemplo serve para clarificar um ponto importante: o facto de dois
sistemas de unidades corresponderem a sistemas com as as mesmas grandezas
de base não implica que pertençam à mesma classe de sistemas de unidades.
É decisivo o modo como as unidades derivadas se relacionam com as unidades
fundamentais. Por outras palavras: são fundamentais as equações de definição
das unidades derivadas.
Finalmente, como exemplo de sistemas de unidades pertencentes à mesma classe,
podem referir-se os sistemas CGS e MKS . Na verdade, estes sistemas são
construídos a partir do mesmo sistema de grandezas e só diferem na escolha das
unidades de base: metro, quilograma e segundo no MKS, e centímetro, grama e
segundo no CGS . As unidades derivadas são definidas com base nas mesmas
equações de definição.
AA 3.2
Considere um s istema de grandezas em que a velocidade, v, e o tempo,
t, são grandezas de base, e em que a grandeza derivada comprimento, l,
se relaciona com as grandezas de base através de
l = v t.
a)
Suponha que, a partir deste sistema de grandezas, se define um
s istema de unidades em que a unidade da velocidade é a velocidade
da luz no vazio e a u nidade de tempo é o ano. A que corresponde um
comprimento de valor numérico X neste sistema?
b) Construa um sistema de unidades da mesma c lasse do que o definido
em a).
83
3.2.3 Definição de dimensão de uma grandeza física
Um dos problemas mais abordados no estudo de sistemas de unidades é a
habitualmente chamada "mudança de unidades". Vamos agora deter-nos na
formalização das mudanças de unidades, pois será ela, juntamente com a definição
já dada de classe de sistemas de unidades, que nos permitirá definir dimensão de
uma grandeza física.
Mudança de unidades para as grandezas de base
Comecemos com um exemplo simples. Quanto vale, no sistema CGS, um compri­
mento de valor 1 0 m? A resposta é óbvia e é obtida a partir da relação conhecida
entre as unidades de comprimento do SI e do CGS : como 1 m 1 00 cm, então
1 0 m 1 000 cm. Este exemplo pode ser generalizado e descrito com a linguagem
mais elaborada introduzida neste livro. Suponhamos que um comprimento tem
valor numérico { X) } no SI. Qual será o valor numérico { X2 } desse comprimento
no sistema CGS? Utilizando o facto de a unidade de comprimento do S I ser
1 00 vezes maior do que a unidade de comprimento do CGS, obtém-se
{ X2 } 1 00 { X) } ) .
=
=
I
Rever a questão
1 .5.3.
=
É possível assi m generalizar estes exemplos para quaisquer dois sistemas de
unidades em que uma das unidades de base seja de comprimento. Considerem­
se dois sistemas de unidades, 1 e 2, nestas condições. As unidades de comprimento
dos sistemas 1 e 2 são, respectivamente, u ) e u 2 e relacionam-se por u ) L u 2,
sendo L um número real. Então, se um determinado comprimento tiver valor
numérico { X ) } no sistema de unidades 1 , o seu valor numérico no sistema de
unidades 2 será { X2 } L { X ) } . Estabelece-se assim uma lei de transformação
dos valores numéricos dos comprimentos entre sistemas de unidades.
=
=
o que acabou de ser explicado sobre o comprimento em sistemas de unidades
que têm como unidade de base uma unidade de comprimento, pode ser aplicado
a qualquer outra grandeza de base: a massa, o tempo, etc.
AA 3.3
Qual é o valor numérico no SI de um comprimento cujo valor numérico
no CGS é l O? Identifique o factor numérico L que permite realizar a
transformação de qualquer comprimento do CGS para o SI.
84
AA 3.4
C o mo calcularia os valores n u méricos de massas no CGS , se soubesse
os seus valores no SI?
Mudanças de unidades para as grandezas derivadas
Os exemplos e definições anteriores foram restritos às transformações dos valores
numéricos de grandezas de base entre diferentes sistemas de unidades. Vamos
agora formalizar a mudança de unidades para grandezas derivadas, tentando
relacioná-la com as mudanças de unidades para as grandezas de base.
Para isso, voltemos a considerar os sistemas SI e CGS e o exemplo simples das
áreas. Se uma área tiver valor { A I } no SI, qual será o seu valor {A 2 } no CGS?
Mais uma vez, a solução do problema encontra-se na relação entre as
unidades de área do SI e do CGS: 1 m 2 = 1 0000 cm2 e consequentemente
{AJ 1 0000 {A I } ' É possível, no entanto, resolver este problema de maneira
equivalente colocando em evidência a sua relação com a transformação dos valores
numéricos do comprimento entre estes dois sistemas. De facto, a única diferença
relevante entre o SI e o CGS é a escolha de unidades diferentes para as mesmas
grandezas de base. No caso do comprimento essas unidades relacionam-se por
1 m = 1 00 cm. Como os dois sistemas de unidades foram definidos a partir do
mesmo sistema de grandezas (os sistemas pertencem à mesma classe), a unidade
de áre a de fi ne s e de igu al modo a partir da unidade de comprimento e então os
valores das áreas que estamos a considerar relacionam-se por {A2 } = 1 002 { A I } '
=
-
Este exemplo pode ser generalizado. Considerem-se dois sistemas de unidades
pertencentes à mesma classe, 1 e 2, associados a um sistema de grandezas em
que o comprimento é uma grandeza de base e a área uma grandeza derivada. As
unidades de comprimento dos sistemas 1 e 2 são, respectivamente, U I e u 2 e
relacionam-se por U I = L u2 ' sendo L um número real. Então, se uma determinada
área tiver valor numérico {A I } no sistema de unidades 1 , o seu valor numérico no
sistema de unidades 2 será {A 2 } = U { A I } '
Para as outras grandezas derivadas poderiam construir-se exemplos idênticos.
É sempre possível relacionar o valor numérico de qualquer grandeza derivada
num si stema de unidades com
l or numérico dessa grandeza num outro sistema
O va
85
de unidades da mesma classe, utilizando apenas uma função dos factores numél1cos
que relacionam as unidades de base dos dois sistemas. Nos exemplos dados
sobre o comprimento e a área o único destes factores utilizado é L (o factor que
permite relacionar as unidades do comprimento dos dois sistemas): no caso do
comprimento essa função é L e no caso da área essa função é U.
o que é a dimensão de uma grandeza?
Podemos agora passar a definir o conceito de dimensão de uma grandeza, o
essencial de todo este capítulo.
Dimensão de uma grandeza (ou função dimensão de uma
grandeza) é a função que determina o factor pelo qual o valor
numérico dessa grandeza num sistema de unidades tem de ser
multiplicado para se obter o valor numérico dessa mesma
grandeza num outro sistema de unidades da mesma classe, a
partir da relação entre as unidades de base.
Existem duas notações habituais para representar a dimensão de uma grandeza.
Assim, a dimensão de uma grandeza G é denotada por
dim G
ou por [G]
A definição de dimensão apresenta várias consequências que iremos estudando
ao longo deste capítulo. Neste momento convém destacar que a dimensão de
uma grandeza depende do sistema de grandezas associado à classe de
sistemas de unidades considerada. Uma consequência imediata é a de que uma
mesma grandeza pode apresentar dimensões diferentes em diferentes classes de
sistema de unidades.
A função dimensão de uma grandeza tem de ser expressa a partir dos factores
que relacionam as unidades de base de quaisquer dois sistemas de unidades da
mesma classe. Na classe de sistemas de unidades do SI as unidades de base são
as de comprimento, massa, tempo, corrente eléctrica, temperatura termodinâmica,
quantidade de matéria e intensidade luminosa. Convencionou-se designar os
factores pelos quais se transformam as unidades de base dos sistemas de unidades
pertencentes a esta classe através de determinadas letras maiúsculas escritas em
caracteres direitos:
86
Grandeza de base
Factor de transformação
comprimento
L
massa
M
tempo
T
corrente eléctrica
I
temperatura termodinâmica
8
quantidade de matéria
N
intensidade l uminosa
J
Da definição de dimensão resulta imediatamente que cada um destes factores de
transformação é a dimensão da respectiva grandeza de base. No exemplo que j á
foi dado de dois sistemas e m que as unidades de comprimento se relacionavam
por u 1 = L u2 , vimos que os valores numéricos de comprimento se relacionavam
por { X2 } = L {X1 } . Logo, a dimensão da grandeza de base comprimento será L.
Como o símbolo habitualmente usado para representar a grandeza comprimento
é !, a tradução simbólica desta frase resulta em,
[l] = L
ou
dim l = L .
Da mesma forma se poderia proceder para todas as restantes grandezas de base.
É em função das dimensões das grandezas de base (ou factores de transformação
das grandezas de base) que se representam as dimensões (ou factores de
transformação) das grandezas derivadas. Os valores numéricos de uma área, em
classes de sistemas de unidades construídos a partir de sistemas de grandezas em
que o comprimento é uma grandeza de base, relacionam-se, como já vimos,
através de um factor U. Por isso se diz que a dimensão da g randeza área (A) é
U. Simbolicamente, tem-se:
dim A = U ou
[A] = U
Vamos dar mais um exemplo de como se calcula a função dimensão para grandezas
derivadas 2 , usando o caso da velocidade. A unidade desta grandeza derivada é
definida a partir das unidades do comprimento e do tempo: é o valor constante da
velocidade com que um corpo percorre uma unidade de comprimento durante
uma unidade de tempo. Esta escolha é determinada pelo sistema de grandezas
, De agora em diante, sem­
pre que não for dito o con­
trário, consi derar-se-ão sis­
temas d a mesma classe d o
SI.
87
escolhido em que a velocidade se relaciona com as grandezas de base
comprimento (I) e tempo (t) através da expressão
v=lIt.
(3.3)
Um raciocínio semelhante ao efectuado anteriormente para a área, envolvendo
relações genéricas entre as unidades de comprimento e tempo de dois sistemas
de unidades da mesma classe associados a um sistema de grandezas em que o
comprimento e o tempo são grandezas de base, permitiria deduzir qual a dimensão
da velocidade . No entanto, a função dimensão apresenta propriedades que
permitem realizar este "cálculo" de uma forma muito mais expedita. Suponhamos
que, na classe de sistemas de unid" des considerada, existe uma relação entre
uma grandeza G e n grandezas G I , G2, , Gn, do tipo,
•.
(3 .4)
A dimensão da grandeza G relaciona-se com as d!mensões das grandezas G I , G2
. . . ,G n da seguinte forma,
(3.5)
Ou seja: a função dimensão da grandeza G respeita formalmente a expressão que
relaciona essa grandeza com as outras grandezas de que depende.
Para calcular a dimensão da velocidade basta combinar a expressão (3.3) com a
propriedade da dimensão expressa por (3.5). Essa dimensão será pois,
[v] = [L] [t] " 1
U ma vez que l é um comprimento e t é um tempo, teremos então
[v] = L T I
(3.6)
Vemos assim que, apesar da definição de dimensão necessitar da consideração
de factores de transformação entre as unidades de base (o que a torna um pouco
abstracta), a determinação da dimensão de uma dada grandeza numa classe de
sistemas de unidades é simples desde que sej a conhecida uma relação como
( 3 . 3 ) entre essa grandeza e as grandezas de base.
88
AA3.5
A pressão (P) é uma grandeza que se defi n e , na classe de s i stemas de
un idades a que pertencem o CGS e o S I , como uma força por unidade
de área (a equação de defi n ição da pressão é p
=
FIA ) . Como se
relacionam as un idades de pressão do SI (Pa - pascal) e do CGS (bária)?
3.2.4 A lgumas propriedades da dimensão
A expressão (3.5) revela a primeira propriedade da função dimensão que é
conveniente reter: a dimensão de qualquer grandeza física numa dada classe de
sistema de unidades é um monórnio de potências das grandezas de base.
No sistema internacional isto quer dizer que a dimensão de qualquer grandeza G
é representada como,
(3.7)
As letras gregas a, �, y . . . são os chamados expoentes dimensionais da grandeza
G. Para uma grandeza G, numa determinada classe de sistemas de unidades, os
expoentes dimensionais tomarão valores constantes (números reais - negativos,
positivos ou nulos) que definirão completamente a dimensão dessa grandeza.
A igualdade (3.7) é demonstrável.
grandezas, apelidadas de adimensionais (sem dimensões), que se
representam apenas por valores numéricos sem qualquer unidade associada. Essas
grandezas podem ser definidas de duas formas: pela razão entre duas grandezas
da mesma natureza e, consequentemente, com a mesma dimensão; ou pela
combinação d e v ári as grandezas de natureza e dimensões distintas, mas, como
adiante veremos, dimensionalmente dependentes.
Existem certas
o ângulo é uma dessas grandezas:
ao afirmar-se que um ângulo mede a radianos
(a rad) quer-se dizer que a razão entre os comprimentos do arco e do raio de
circunferência correspondentes a esse ângulo tem valor numérico a (ver figura 3. 1 ).
Mesmo que o ângulo sej a medido em graus continua a ser uma grandeza
adimensional definida a partir de uma razão entre dois comprimentos: um ângulo
de 1 .0 é o correspondente, em radianos, à razão entre o comprimento de um arco
de circunferência 360 vezes inferior ao perímetro desta e o comprimento do raio
da circunferência.
89
r
-
raIO
Figura 3 . 1 - Representação esquemática de um arco de comprimento s p ertencente a uma
circunferência com raio de comprimento r, a fim de colocar em evidência o
carácter adimensional do ângulo a. Em radianos, o valor do ângulo a é dado
por s/r.
Um outro exemplo de grandeza adimensional é o da densidade relativa. A densidade
relativa do material de que é feito um objecto que ocupa um volume V, é definida
como a razão entre a massa desse objecto e a massa de uma porção de uma
substância padrão que ocupa o mesmo volume Ve se encontra em determinadas
condições de pressão e temperatura. A densidade relati va de um sólido ou de um
líquido é, em geral, definida a partir da razão entre a massa de uma porção desse
sólido, ou líquido, e a massa do mesmo volume de água à temperatura de 4 °C e
à pressão atmosférica normal.
Verificamos assim que o valor numérico de qualquer grandeza adimensional que
seja definida pela razão entre duas grandezas da mesma natureza é dependente
não da escolha do sistema de unidades mas sim de um "padrão" de comparação.
Portanto, uma vez definida, sem ambiguidades, a própria grandeza adimensional,
o valor numérico desta vai ser independente do sistema de unidades. Sendo este
tipo de grandezas adimensionais definidas através de uma razão entre grandezas
da mesma natureza (e portanto da mesma dimensão) é fácil mostrar (utilizando
3.5) que estas grandezas adimensionais têm dimensão 1 . Além disso, podemos
também afirmar que para uma grandeza adimensional todos os expoentes
dimensionais são nulos.
É possível ainda construir grandezas adimensionais a partir da combinação de
potências de várias (mais de duas) grandezas com diferentes naturezas e dimensões.
Estas grandezas adimensionais têm também dimensão 1 , todos os seus expoentes
dimensionais são nulos e o seu valor numérico permanece inalterado em mudanças
de unidades dentro da mesma classe de sistemas de unidades. Considere-se,
como exemplo, as seguintes grandezas: a velocidade, v, a pressão, p, e a massa
volúrnica p (a massa volúrnica de um corpo é, por definição, a razão entre a sua
massa, m, e o seu volume, V: p m / V). Será possível construir uma grandeza
adimensional a partir de um produto destas três grandezas se existirem (pelo
menos) três números reais x, y e z que tomem verdadeira a seguinte igualdade:
=
90
Esta igualdade pode ser reescrita utilizando as dimensões das grandezas envolvidas,
e verifica-se se for possível resolver o seguinte sistema de equações:
{
x+ Z =
O
- 3x + y - z = 0
- y - 2z = O
Demonstra-se facilmente que este sistema é possível desde que x = -z e y = -2z .
O fac t o de o s i s t e m a de
Assim, pode-se definir uma3 grandeza adimensional a partir da pressão, da
j
densidade e da veloc idade , e estas grandezas dizem-se dimensionalmente
equações ter i n f i n i tas solu­
dependentes.
ções quer apenas d i zer que
as p o t ê n c i a s d a g r a n d e z a
adimensional serâo também
As grandezas G 1 , G2, . . , G" são dimensionalmente dependentes quando é possível
adimens i o n a i s .
a partir de um produto de potências de todas estas grandezas (todas de expoente
não nulo) construir uma grandeza adimensional. Reciprocamente, as grandezas
G 1 , G2, · · ,G" dizem-se dimensionalmente independentes quando é impossível a
partir de um produto de potências (de expoente não nulo) dessas grandezas definir
qualquer grandeza adimensional.
A combinação da definição de grandeza adimensional com a propriedade das
dimensões expressa através de (3.7) permite afirmar que celto tipo de relações
entre grandezas são impossíveis em qualquer sistema de grandezas. Por exemplo,
não é possível que uma grandeza G1 se relac ione com uma grandeza não
adimensional G2 através de G 1 = log ( G2) , G 1 = exp (G), etc . De modo mais
geral, só é possível haver relações do tipo G 1 = f (G2) em que f ( G) não é u ma
potênci a de G2, se tanto G1 como G2 forem adimensionais.
A. A3.6
Determine os expoentes d i mensionais das seguintes grandezas: área,
volume, velocidade, força e pressão.
91
A. A3.7
Uti l ize a defi n ição de ângulo, ilustrada na figura 3. J , para mostrar que
esta grandeza é ad i mensional .
A. A3.8
Mostre que não é possível obter uma grandeza adi mensi onal a partir do
produto de potências das g randezas força, massa volúmica e veloc idade
( i .e. estas grandezas são d i mensional mente i ndependentes) .
A. A3.9
Mostre que a part i r de um produto de potênc i as das grandezas energia
( v e r 3 . 8 ) , fo rça e c o mp ri me n t o é p o s sível defi n i r u m a g randeza
adi mensional ( i .e. estas g randezas são dimensional mente dependentes) .
, Neste contexto, definimos
d u as grandezas fís i c a s da
mesma natureza como d u as
grandezas que, embora dis­
ti ntas,
são
comparáveis
( p o d e estabelecer-se e n t re
elas uma relação de ordem) .
Convém também referir que a dimensão de uma grandeza não a define
completamente e nem sequer define a natureza física dessa grandeza4• Existem
grandezas (para além do exemplo óbvio das grandezas adimensionais) que têm a
mesma dimensão mas naturezas distintas. Para clarificar este ponto vamos
considerar três grandezas (energia cinética, trabalho de uma força e momento de
uma força) e as suas dimensões na classe de sistemas de unidades a que pertence
o SI. A energia cinética é uma grandeza que representa a energia possuída por um
objecto pelo facto de se movimentar. A energia cinética E de um objecto de
massa m, animado com uma velocidade v, é dada por
(3.8)
o trabalho de uma força é a grandeza que representa a energia adquirida por um
objecto por acção de uma forç a que sobre ele actua. O trabalho W de uma força
92
c onstante de intensidade
F
que actua n u m obj ecto provocando-l he u m
deslocamento d e um comprimento d no sentido da força é dado por,
W= Fd
(3.9)
o momento d e uma força é uma grandeza definida para traduzir a sua capacidade
de provocar movimentos de rotação num corpo. Permite explicar porque é que,
para obter o mesmo tipo de movimento de rotação de uma porta (mesma
velocidade e aceleração), teremos de utilizar uma força de intensidade cada vez
maior se a aplicarmos num ponto cada vez mais próximo do seu eixo de rotação.
A intensidade M do momento de uma força de intensidade F que é aplicada a um
objecto num ponto que se encontra a uma distânci a R do eixo de rotação éS,
M=FR
(3 . 1 0)
, R e s t r i ng i mo-nos ao c a s o
em que o vector posição do
ponto d e aplicação relativa­
m e n te ao eixo de rotação é
perpendic u l ar
Deixa-se ao leitor a demonstração de que e stas três grandezas têm a mesma
à força.
dimensão.
AA.3.10
M ostre que a s três grandezas defi nidas p o r
(3.8), (3.9)
e
(3. 10)
têm a
mesma d i mensão.
Este exemplo serve para ilustrar as seguintes propriedades gerais das dimensões
de grandezas :
(i) duas grandezas com a mesma natureza têm necessariamente a
mesma dimensão (trabalho e energia c inética, no exemplo anterior) ; (ii) duas
grandezas com a mesma dimensão não têm necessariamente a mesma natureza
(trabalho - ou energ i a - e momento de uma forç a, no exemplo anterior). Esta
segunda propriedade não nos deve surpreender se tivermos em conta a definição
que introduzimos para a dimensão de uma grandeza. A dimensão é apenas a
forma geral de um factor numérico que permite a mudança de unidades entre
s istemas de u n idades da mesma classe. Assim, o facto de duas grandezas
apresentarem a mesma dimensão dentro de uma classe de sistemas de unidades
apenas nos diz que o número pelo qual devemos multiplicar os valores numéricos
dessas grandezas num determinado sistema de unidades para obtermos os seus
valores numéricos num outro sistema de unidades da mesma classe é o mesmo.
A dimensão de uma grandeza exprime apenas a invariância da lei físi c a para
mudanças de sistemas de unidades da mesma classe.
Finalmente, convé m relembrar uma consequência i mediata da definição de
dimensão atrás referida: a dimensao de uma grandeza depende, em geral, do
93
sistema d e grandezas escolhido para definir a classe d e sistemas d e unidades. E m
particular, s e considerarmos dois sistemas d e unidades definidos a partir d e dois
sistemas de grandezas que têm grandezas de base diferentes, pelo menos algumas
grandezas apresentarão diferentes dimensões. Podemos tomar como exemplo, o
caso da forç a. No SI a sua dimensão é [F]=
MK
p
S, a sua dimensão é [F] = F.
É
M L T 2 . No sistema de unidades
c l aro que as leis físicas não podem ser
diferentes em d i ferentes sistemas de grandezas, mas esta invariância j á não é
expressa pela função dimensão.
3.3
Homogeneidade dimensional
A definição de dimensão de uma grandeza permite a construção de um poderoso
instrumento de análise de relações entre grandezas. Na verdade, as relações entre
grandezas num determinado sistema de grandezas não se esgotam naquelas que
são utilizadas para definir as unidades derivadas. Existem muitas outras "fórmulas"
(como muitas vezes se chamam) que tanto podem ter um carácter muito geral
como aplicar-se apenas a algumas situações particulares. Suponhamos então que
G e uma série de outras
G} , G2 . . . ,Gn , e que essa relação se pode representar, num determinado
existe uma relação entre uma determinada grandeza
grandezas
sistema de grandezas, através de uma função F de n variáveis,
(3. 1 1 )
Uma consequência imediata da definição de dimensão sobre a igualdade (3. 1
1) é
a de que a dimensão de cada um dos membros nela envolvidos tem de ser igual,
(3. 1 2)
A invariância das leis físicas relativamente a mudanças de unidades dentro de uma
mesma classe de sistemas de unidades exige que qualquer lei física obedeça ao
princípio de homogeneneidade dimensional definido por
(3. 1 2) . Dito de u m
modo mais simples, n a expressão de qualquer l e i física os dois termos d a igualdade
têm de ter a mesma dimensão.
Qualquer relação entre grandezas só é, portanto, correcta se verificar o princípio
de homogeneidade dimensional. No entanto, o princípio da homogeneidade
dimensional é apenas uma condição necessária, mas não suficiente: uma relação
entre grandezas pode respeitar o princípio da homogeneidade dimensional e não
ser "verdadeira".
A aplicação do princípio de homogeneidade dimensional pode ser i lustrada através
de exemplos simples. Suponhamos que alguém. que j á aprendeu geometria há
94
muito tempo, se recorda de várias fórmulas relacionadas com circunferências e
R, as
expressões relevantes no cálculo de perímetros, áreas e volumes são rrR2, 2rrR,
4/3rrR3 e 4rrR2, mas, devido à passagem do tempo, já não se recorda das
esferas. Assim, essa pessoa sabe que em c ircunferências e esferas de raio
correspondências correctas. O princípio de homogeneidade dimensional aj uda a
restabelecer essa correspondência por eliminação de hipóteses. Assim, a expressão
que representa o perímetro da circunferência de raio R terá de ter dimensão L, e
só pode ser portanto
2rrR. Por outro lado, a expressão correspondente ao volume
de uma esfera terá de apresentar dimensão U: das possibilidades dadas, a única
que pode ser correcta é 4/3rrR3. O princípio de homogeneidade dimensional não
vai, no entanto, permitir determinar qual das duas restantes expressões vai
corresponder à área do c írculo c ontido na c ircunferênci a de raio
corresponderá
à área da superfíc ie que
l imita a esfera de raio
R.
R
e qual
Estas duas
grandezas são ambas áreas e têm dimensão U e qualquer das expressões ainda
disponíveis, 4rrR2 e rrR2 , tem também dimensão de área. Ou sej a: tanto a escolha
rrR2 e área da superfíc ie esférica = 4rrR2", como a
da circunferência = 4rrR2 e área da superfície e s férica
rrR2"
"área da c ircunferênc i a
escolha "área
=
=
obedecem ao princípio de homogeneidade dimensional. No entanto, apenas uma
delas corresponde ao resultado correcto da geometria. Este exemplo ilustra que
o princípio de homogeneidade dimensional serve apenas para testar se uma dada
relação entre grandezas físicas pode estar correcta numa classe de s istemas de
unidades. Isto acontece porque, como j á vimos, em muitas leis físicas aparecem
constantes que são adimensionais. Estas constantes, qualquer que sej a o seu valor,
têm sempre dimensão igual a
1 . Consequentemente a sua contribuição na análise
das dimensões de relações entre grandezas é sempre a mesma, independentemente
do valor numérico concreto que tomam.
Existem, no entanto, algumas leis físicas que, em determinados si stemas de
grandezas, envolvem constantes com dimensões. Todas as constantes universais,
algumas das quais são apresentadas na tabela
leis físicas.
1 .6 (p. 4 1), surgem em determinadas
A aplicação do princípio de homogeneidade dimensional permite
determinar a sua dimensão num qualquer sistema de grandezas. Vamos considerar,
por exemplo, a lei de gravitação universal, expressa na c l asse de s istemas de
unidades do S I . Essa lei (ver equação
(3.2)) relac iona a força gravítica FG que
actua num obj ecto devido à presença de outro com as suas massas (m e M) e a
distância R entre eles,
(3. 1 3)
Nesta expressão G representa a constante de gravitação universal. Sendo uma lei
física, a relação anterior tem de obedecer ao princípio de homogeneidade
dimensional. A seguinte igualdade tem, por isso, de ser verificada:
95
[ ]
[F ] = [G]X mM
G
R2
(3. 1 4)
Considerando a classe de sistemas de unidades do SI podemos desenvolver esta
expressão. A dimensão da força é j á conhecida e a da razão entre o produto de
duas massas e o quadrado de uma distância é facilmente calculável, pelo que se
obtém a partir de
(3. 1 4),
(3. 1 5)
Fica assim determinada a dimensão da constante de gravitação uni versal na classe
de s istemas de unidades do S I .
A.A.3.11
Num movimento rectilíneo d e u m objecto e m que a aceleração é constante
(movimento rectilíneo e u n i formemente acelerado) é possível calcular o
espaço percorrido,
aceleração,
a,
lei:
s,
ao fi m de u m tempo t u t i lizando os valores da
e da veloc idade i n ic ial do objecto, vo ' através da seguinte
I
s = v o t + - at
2
2
Verifique a homogeneidade d i mensional desta expressão na classe de
s istemas de u n idades do SI.
3 .4
Análise dimensional
Vimos assim como a noção de dimensão, através do princípio de homogeneidade
dimensional, permite verificar se uma função
com n grandezas
F que relaciona uma grandeza G
GI , . . . ,Gn (ver equação 3. 1 1) é ou não aceitável. Vamos agora
supor que, por alguma razão (por experiência, por intuição, etc) se sabia que uma
determinada grandeza G se relacionava (em geral, ou no contexto de uma
experiência concreta) com outras grandezas G I , . . . Gn , mas que a forma dessa
relação (dada pela função F) era desconhecida. Será que a noção de dimensão
de uma grandeza permite descobrir qual é essa função? A resposta a esta questão
96
é, curiosamente, sim e não. A noção de dimensão não vai permitir determinar
completamente a função F, mas apenas (o que como veremos, já não é pouco)
limitar as possibilidades de escolha dessa função.
À fOlma de estudar problemas de Física (e de Engenharia) em que se tira partido
da dimensionalidade de grandezas a relacionar para determinar as restrições à
função que as relaciona chama-se análise dimensional. A análise dimensional é
particulalmente impoltante em celtos ramos da Engenharia, nomeadamente na
construção de modelos em estudos aerodinâmicos e hidrodinâmicos.
Neste livro vamos apenas enunciar o teorema fundamental da análise dimensional
e dar alguns exemplos simples da sua aplicação. Aos leitores interessados num
estudo mais aprofundado deste tema indica-se a referência Barenblatt, 1 996.
o teorema fundamental da análise dimensional é o teorema TI que aqui enunciare­
mos de uma forma tão simples quanto possível e sem o demonstrar. Consideremos
então a grandeza G e as grandezas G I , . . . ,G e suponhamos que a dimensão de
n
G é um produto de potências das dimensões de apenas k (k menor ou igual do
que n) dessas grandezas (todas não adimensionais). Designemos essas grandezas
por a i ' . . . a k e teremos,
(3. 1 6)
Suponhamos ainda que a partir das grandezas G I , . . . ,Gn era possível construir m
grandezas adimensionais TIl ' . . . TIm (i.e. que existiam m grupos de grandezas
dimensionalmente dependentes entre as n grandezas GI , . . . ,GJ Então, o teorema
TI afirma que a grandeza G será dada por
G - ai
-
PI
· · · ak
p,
"'(TI I ' · · · ' TI III )
'±'
(3. 1 7)
Assim, o problema de determinar uma função F de n variáveis é simplificado
utilizando o teorema TI: passa a ser necessário determinar uma função <l> de m
variáveis, em que m é menor ou igual a n. A importância deste teorema pode ser
posta em evidência através dos exemplos que a seguir daremos.
Consideremos, em primeiro lugar, o exemplo trivial da área de um círculo.
U m círculo é, como sabemos da geometria, completamente caracterizado pelo
seu raio. A sua área, A, será, consequentemente, apenas função do comprimento
do seu raio, R. O problema de determinar a área de um círculo a partir do
comprimento do seu raio é assim o problema de determinar a função F que relaciona
A com R,
A = F (R)
(3. 1 8)
97
A aplicação do teorema II a este caso concreto começa por relacionar a dimensão
de A com a dimensão de R (ver equação 3 . 1 6) : [A] [R] 2 . O segundo passo
consiste em verificar se é possível construir uma grandeza adimensional através
de um produto de potências das grandezas das quais A depende. Neste caso, A
depende apenas de uma grandeza, R, mas ainda assim é possível construir uma
grandeza adimensional, usando a potência J?O. Esta grandeza adimensional tem
sempre o mesmo valor (Ro=l) qualquer que sej a R. A aplicação do teorema II a
(3. 1 8) resulta assim em,
=
(3. 1 9)
A simplificação introduzida pelo teorema II na passagem de (3. 1 8) para (3. 1 9)
pode ser melhor entendida supondo que a fórmula da área de um círculo era
desconhecida e que se tinha de determinar por um método experimental. A função
F(R) teria de ser descoberta através da medição das áreas de vários círculos com
diferentes raios. A introdução da análise dimensional no problema de determinar
a função 3 . 1 8 permite descobrir esta função através de uma medida apenas. Medindo
a área de um c írculo de raio conhecido determina-se a constante <D( l ) e,
consequentemente, torna-se possível calcular as áreas de todos os círculos a
partir do conhecimento do seu raio, sem necessidade de as medir directamente. É
claro que este exemplo é meramente académico, uma vez que a relação entre a
área de um círculo e o seu raio é conhecida há muitas centenas de anos, mas
serve para ilustrar como a análise dimensional pode simplificar a abordagem a
certos fenómenos mais sofisticados em que as relações entre as grandezas
envolvidas são desconhecidas.
com a
vertical
esfera (massa m)
Figura.
98
3.2
-
Representação esquemática do pênd ulo gravítico.
Consideremos agora um exemplo um pouco mais complexo, o do período de um
pêndulo gravítico (ver figura 3 .2). Um pêndulo gravítico é um objecto formado
por uma partícula6 (em geral uma pequena esfera densa) de massa m, presa na
ponta de um fio de comprimento I. Este fio encontra-se preso "ao tecto" e
considera-se que a sua massa é desprezáveF. Todo o sistema se encontra sob a
acção da gravidade. Sabe-se que em certas condições (quando os atritos são
desprezáveis) o pêndulo, uma vez largado de um detenninado ângulo e relativamente
à vertical, vai executar um movimento periódico, caracterizado pelo tempo que
demora uma oscilação, T ( chamado período). Poder-se-ia, assim, avançar com a
hipótese de que esta grandeza, T, se relaciona com as restantes grandezas referidas
que caracterizam um pêndulo, por
6 Uma partícula
é a designa­
ção d a d a para u m c o r p o
qualquer cujas dimensões po­
dem ser des prezadas no es­
tudo do seu movimento. Não
tem de ser um corpo peque­
no.
7 Esta hipótese i n t roduz-se
apenas para s i m p l i fi c a r o
que vai ser dito a seguir. A i n ­
da que ela n ã o se veri ficas­
se. seria na mesma possível
aplicar a análise dimensional
T = F(l, m, e)
(3 .20)
A aplicação do teorema rI a este caso mostra, no entanto, que a igualdade anterior
é falsa, qualquer que sej a a função F. Na verdade, não é possível obter uma
grandeza com dimensão T através de potências das dimensões das grandezas I,
m e e. Isto quer dizer que em (3 .20) falta pelo menos uma grandeza da qual o
período do pêndulo tem de depender. O erro de (3 .20) toma-se óbvio se
pensarmos que o pêndulo só se vai movimentar se estiver sob a acção da gravidade,
i.e., se o corpo tiver pes08. A incorrecção verificada em (3 .20) pode assim ser
corrigida através da introdução de mais uma grandeza de que T depende, a
intensidade do peso, P:
T= F(l, m, P, e)
(3.2 1 )
As dimensões de I, m, P e e são conhecidas e é fácil ver que é possível combiná­
-las de modo a obter uma grandeza com a dimensão de T,
ao movimento d o pênd u l o .
8
Con vém recordar que o
peso de um corpo é uma for­
ça e q u e não deve ser con­
fundido com a sua massa. A
massa
de
um
corpo
é
i n va r i a n t e , não m u d a se o
corpo mudar de posição. Já
o p e s o d e pe n d e da a c ç ã o
gravít i c a d a Terra ( o u da
L u a , ou d e qualquer outro ob­
jecto d e grande massa que
estej a "próximo" do corpo)
e vai portanto variar com o
(3.22)
" I o c a l " em q u e
se e n c o n ­
tra.
Verifica-se por outro lado que, a partir dessas grandezas, é possível construir
apenas duas grandezas adimensionais: a constante Uá referida no exemplo anterior)
e a própria grandeza e que, sendo um ângulo, também é adimensional. O teorema
rI transforma, assim, (3.2 1 ), em
T
�
C; t
l/J( l , B)
(3 .23)
Esta expressão pode ainda ser mais simplificada se tivermos em conta a relação
entre o peso e a massa de um corpo, P = m g, onde g é a aceleração da gravidade
do local onde o pêndulo se encontra. A introdução desta relação em (3.23) resulta em
99
(3.24)
Verifica-se assim que a análise dimensional do problema do pêndulo gravítico
permitiu, em primeiro lugar, eliminar a hipótese traduzida por (3.20), conduzindo
a uma nova reflexão sobre o problema e à introdução da grandeza peso na
dependência do período. Este exemplo revela uma outra faceta da análise
dimensional: a sua capacidade de rejeitar, em determinadas circunstâncias, certas
relações entre grandezas propostas como possíveis. Em segundo lugar, a passagem
de (3.2 1 ) para (3.23) (ou (3.24)) representa a substituição da determinação de
uma função de 4 variáveis pela determinação de uma função de apenas uma
variável.
A. A.3.12
Um pêndul o de comprimento
1 ,0 m, colocado à superfíci e da Terra
2° com a vertical, u m
apresenta, quando l argado de um ângulo e
período T
=
2,0 s .
=
S abendo que a aceleração d a gravidade n a Lua é 6 vezes i n ferior à
aceleração da gravidade na Terra determine:
a)
o período deste pêndul o quando posto a osc i lar n a Lua, nas mesmas
condições ;
b)
o comprimento de u m pêndulo que, na Lua, quando largado de u m
ângulo d e 2°, apresenta u m período igual a 2,0 s .
Terminamos este capítulo com mais um exemplo de aplicação da análise
dimensional: vamos demonstrar o teorema de Pitágoras utilizando o teorema D.
Consideremos o triângulo rectângulo ABC representado na figura 3.3. Suponha­
mos que o ângulo associado ao vértice C é o ângulo recto e que o ângulo associado
ao vértice B é 8. O comprimento da hipotenusa é c, e os comprimentos dos
catetos adjacente e oposto ao vértice B são, respectivamente, a e b. O teorema
de Pitágoras traduz-se, assim, através da seguinte igualdade:
(3.25)
1 00
A
b
c
B
a
Figura 3.3
-
Triângulo rectângulo utilizado para demonstrar o teorema de Pitágoras. A, B e
C representam os vértices do triângulo e
a,
b e
c
os comprimentos dos seus
c
lados. O triângulo fica completamente definido pelos valores de
e de e (o
ângulo correspondente ao vértice B).
A demonstração deste teorema inicia-se através da aplicação do teorema rr ao
cálculo da área do triângulo. Uma vez que o ângulo e e o comprimento da
hipotenusa c definem completamente o triângulo rectângulo, a sua área, A , será
uma função destas duas grandezas,
A
= F(c,8)
(3 .26)
A área tem dimensão U,
c
tem dimensão
L
e o ângulo 8 é uma grandeza
adimensional. Resulta assim, do teorema rr, que
(3 .26) se pode simplificar e
escrever da seguinte forma:
A
= c2 <1>( 1 ,8)
(3 .27)
A demonstração prossegue através da divisão do triângulo inicialmente considerado
(figura 3.3) em dois triângulos semelhantes (figura 3 .4): esta divisão é efectuada
pela linha perpendicular à hipotenusa do triângulo principal que passa no vértice
C
(linha tracejada na figura 3 .4). Obtêm-se desta divisão dois novos triângulos
1 tem hipotenusa de comprimento a e o ângulo associado
ao vértice B é 8. O triângulo 2 tem hipotenusa de comprimento b e o ângulo
associado ao vértice C é 89. Os triângulos 1 e 2 ficam pois definidos através do
rectângulos. O triângulo
comprimento das respectivas hipotenusas e do ângulo associado a um dos seus
vértices. As respectivas áreas, A I e A z' serão, consequentemente: A I
Az
=
F(b, 8).
= F(a, 8) e
Estas expressões simplificam-se se lhes aplicarmos o teorema rr
(de fOlma totalmente semelhante ao efectuado para o triângulo principal),
•
Para verificar que este ân­
gulo é efectivamente
Az
= a 2<1>(1, B)
= b 2 <1> ( l B)
bas­
(i)
a
soma deste ângulo do triân­
gulo
2
com o ângulo a asso­
I
tem de ser
C do triân­
90°; (ii) o
triângulo I é,
90° - e.
ciado ao vértice
gulo
ângulo a no
de facto, a =
AI
e,
ta ter em conta que:
(3.28)
,
101
A área do triângulo principal é igual à soma das áreas dos triângulos 1 e 2
(A =AJ +A ) e, consequentemente, utilizando (3 .27) e (3.28), vem:
2
A eliminação do f actor comum a todos os membros desta igualdade, <P( 1 ,8),
resulta na obtenção da equação (3 .25) . Fica assim demonstrado o teorema de
Pitágoras através da utilização do teorema TI.
A
b
C
/
/
/
/
/
/
/
c:)
/
B
Figura 3.4
-
b
C
C
a
B
Representação esquemática da divisão do triângulo da figura 3.3 em dois
triângulos (1 e 2). Os triângulos 1 e 2 ficam completamente definidos pelos
comprimentos das respectivas hipotenusas,
a
e b, e pelo ângulo e.
A.A.3.13
Quando um objecto de massa m é largado de uma determinada altura
próxima da superfície da Terra, ele vai percorrer uma distância, d, em
um tempo, t. Supondo que a única força que actua no objecto durante a
sua queda é o peso, P , todas as grandezas enunciadas se relacionam por
d = F(m, P, t)
Utilize o teorema TI para simplificar a função F.
102
RESPOSTAS ÀS QUESTÕES DEAUTO-AVALIAÇÃO
A.A.3. 1
Para as 6 grandezas indicadas podemos efectuar uma série de escolhas para as
grandezas de base e para as derivadas. Nos exemplos que damos a seguir
escolhemos sempre 3 grandezas de base e utilizamos algumas das relações já
apresentadas no texto principal para determinar as grandezas derivadas em função
das grandezas de base.
1 . Grandezas de base: massa (m), velocidade (v) e tempo (r)
As grandezas derivadas são assim o comprimento (l), a aceleração (a) e a
força (F). Para determinar relações destas grandezas derivadas com as de
base utilizamos as equações v = lIt , a = vir e F = ma. A primeira destas
equações permite determinar imediatamente o comprimento em função do tempo
e da vel ocidade: i = vt. A segunda origina a relação entre a aceleração e as
grandezas de base, a = vlt. Finalmente, a combinação da segunda e terceira
equações, conduz à relação entre a força e as grandezas de base, F = mvlr.
2.
Grandezas de base: comprimento (l), força (F) e tempo (t)
As grandezas derivadas são assim a velocidade (v), a aceleração (a) e a massa
(m). Para determinar relações destas grandezas derivadas com as de base
utilizamos novamente as equações v = lIt ,a = vir e F= ma. A primeira destas
equações permite determinar imediatamente a velocidade em função do tempo
e do comprimento: v = i/t. A primeira e a segunda combinadas originam a rela­
ção entre a aceleração e as grandezas de base, a = I/t2. Finalmente, a combinação
da segunda e terceira equações, conduz à relação entre a massa e as grandezas
de base, m = F t21 i.
3.
Grandezas de base: F, m e t.
As grandezas derivadas são v, a e i. Para determinar relações destas grandezas
derivadas com as de base utilizamos novamente as equações v = ilt , a = vlt e
F = ma. Esta última equação permite a obtenção imediata de a = Fim.
A combinação das segunda e terceira equações conduz à obtenção de v em
função das grandezas de base, v = t Fim. E, finalmente, desta equação e de
v = lIt obtém-se i = t 2 Fim.
A.A3.2
a)
A unidade de comprimento neste sistema é definida a partir da relação i = vt.
Ou seja, neste sistema de unidades, a unidade de comprimento corresponde ao
comprimento percorrido pela luz no vazio durante um ano. Um comprimento de
103
valor numérico X neste sistema pode ser assim interpretado como o corres­
pondente à distância percorrida pela luz durante X anos. Note que esta unidade
de comprimento é muitas vezes utilizada para indicar distâncias a estrelas. Por
exemplo, a estrela mais próxima da Terra, Alfa Centauro, encontra-se a uma
distância de aproximadamente 4,3 anos-luz, o que quer dizer que ela corresponde
à distância percorrida pela luz em 4,3 anos.
b)
Um sistema de unidades da mesma classe do que o definido na alínea a), pode
ser construído escolhendo, pelo menos, uma unidade diferente para as mesmas
grandezas de base. Assim, se em vez de o ano escolhermos, por exemplo, o
segundo, construíremos um sistema de unidades da mesma classe. A unidade
para a velocidade mantém-se, mas a unidade de tempo tem uma magnitude
diferente. Neste novo sistema de unidades, a unidade de comprimento é o
segundo-luz, uma vez que é téimbém definida a partir da relação l
=
vt e
corresponde à distância percorrida pela luz em I s.
AA 3.3
o comprimento cujo valor numérico no CGS é 1 0 é um comprimento de 1 0 cm.
Logo, o seu valor numérico no S I é 0, 1 . A unidade de comprimento do CGS (UI) é
o centímetro e a unidade de comprimento do SI é o metro (u) . Estas duas unidades
0,0 1 u . Assim, o factor numéri:�o que permite realizar a
relacionam-se por UI
2
transformação de qualquer comprimento do CGS para o SI é L = 0,0 I .
=
AA 3.4
A unidade de massa do CGS é o grama (g) e a unidade de massa do SI é o quilograma
(kg) . Estas unidades relacionam-se por I kg = 1 000 g. Assim, conhecendo o valor
numérico de uma massa no S I, {mi}, é possível calcular o seu valor numérico no
CGS {m2}' utilizando {m2}= 1 000 {mi}'
AA3.5
A relação entre as unidades de pressão do S I e do CGS pode ser obtida a partir do
cálculo da dimensão desta grandeza nesta classe de sistemas de unidades. Na
verdade, a dimensão de uma grandeza é por definição o factor pelo qual se tem de
multplicar o valor numérico dessa grandeza num determinado sistema de unidades
para obter o seu valor numérico noutro sistema de unidades da mesma classe.
Portanto, a questão colocada pode ser respondida transformando, por exemplo, o
valor de 1 Pa (pressão unitária no S I) no correspondente valor em bárias (CGS ) .
Calculemos então a dimensão d a pressão d e modo a , posteriormente, podermos
calcular o factor que converte Pa em bárias. Utilizando a definição de pressão
dada no enunciado, temos que
104
[PJ = [F] [Ali
A dimensão da área é já conhecida, [A] = L2. A dimensão da força pode ser calculada
a partir de ( 3 . 1 ) (com k =l ) que é a equação de definição da força para estes
l
sistemas de unidades: [F]= [m] [a] = M [a] em que a é a aceleração e m a massa.
,
A dimensão da aceleração é obtida tendo em conta que a sua definição nesta
classe de sistemas de unidades é a = vlt (ver seccção 3 . 2 . 1 ) . Assim, a sua dimensão
será [a] = [V]Tl = L T2. Consequentemente, a dimensão da pressão é
o cálcul o do factor que converte Pa em bárias é efectuado a partir desta expressão
e do conhecimento dos valores numéricos de L, M e T quando se passa do SI para
o CGS. Estes factores são M = 1 000 (porque I kg = 1 000 g), L = 1 00 (porque
1 m = 1 00 cm) e T = I (porque em ambos os sistemas a unidade de tempo é o
segundo) . O factor de transformação que procuramos é 1 000/ 1 00 = 1 0 e conse­
quentemente 1 Pa = 1 0 bárias.
A.A3.6
Área: já vimos que a dimensão da área é U. Assim, os expoentes dimensionais
da área serão a = 2 e todos os restantes nulos.
Volume: o volume é definido, nos sistemas de grandezas mais usuais, através
de V = P, em que l é o comprimento. Consequentemente, a dimensão de V será,
[V] = [lF= U
Os expoentes dimensionais do volume são todos nu los excepto a que é igual a 3.
Velocidade: como se explica no texto principal, a dimensão da velocidade é
[v] = LTI. Consequentemente, os expoentes dimensionais da velocidade são
1, Y -1, sendo os restantes nulos.
ex
=
=
Força: a dimensão da força (ver A . A 3 . 5 ) é MLT2. Os expoentes dimensionais
são, portanto,
a
= I, � = 1 , Y = -2 e os restantes nulos.
Pressão: a dimensão da pressão é (ver A.A 3.5)
sionais são, portanto,
a
ML·IT2.
Os expoentes dimen­
= -I, � = 1 , Y = -2 e os restantes nulos.
A.A3.7
Na figura 3 . 1 , o ângu lo, a, é definido como a razão entre o comprimento do arco, s,
e o comprimento do raio, r. Assim, sendo
a
= sir teremos também
[a] = [s] / [r]
105
Como, [5] = [r] = L, então [ex] = I . Tendo dimensão 1, o ângulo é uma grandeza
adimensional .
A.A3.8
A grandeza adimensional com a forma mencionada só existiria se existissem três
números reais x,
y
e Z
(todos diferentes de zero) que permitissem obter,
[F]'[p]Y[v]'= I
(I)
As dimensões de F e de v já são conhecidas. A dimensão da massa volúmica é
facilmente calculada a partir da sua definição: sendo p = m/ V , em que
m
é a
massa e V o volume, tem-se [pJ = M L·3 . Consequentemente a igualdade ( I )
transforma-se em
o que dá origem ao sistema de equações,
+
{X Y
x
-
= O
{y
3 y + Z = O <==>
- 2x
-
z
= O
=
-
x
4x + Z = 0<==>
- 2x
-
z
= O
···
{
2x = O
<==>
{Y
= O
z
= O
x = O
Este sistema de equações tem, pois, como única solução x = Y = z = O. Consequen­
temente, não é possível obter uma grandeza adimensional a partir de um produto de
potências da força, massa volúmica e velocidade.
A.A3.9
Para mostrar que se pode definir desta forma uma grandeza adimensional basta
calcular três números reais, x,
y
e z, todos diferentes de zero, que permitam obter,
[E]'[F]Y[l]' = I
Nesta expressão E é a energia, F a força e lo comprimento. Utilizando as dimensões
destas grandezas, obtém-se
Daqui resulta o sistema de equações,
106
mmtt
X+y= O
{
2x +y+Z = O
�
-2x-2y = O
tiNI
{-
y--x
Z = -X
Este sistema tem pois diversas soluções em que x, y e z são diferentes de zero: para
definir a grandeza adimensional basta escolher o valor para uma das variáveis e
obter as outras através das relações y = -x e z = -x. Em particular, se escolhermos
x = 1 , então y =
z
= - 1 , e a grandeza E FI [-I é uma grandeza adimensional.
A.A3.1O
A dimensão da energia cinética, E, é,
[E]
=
[Yí m v2]= [1/2] [m] [vJ2
A dimensão da constante Y2 é 1 , a dimensão de m é M e a dimensão da velocidade,
já anteriormente calculada, é LTI. Portanto,
[E] = M U T2
A dimensão do trabalho, W, é,
[W]
=
[F d] = [F] [d]
Utilizando as dimensões da força e do comprimento, obtém-se,
[W] = M U T2
Finalmente, a dimensão do momento de uma força, M, é
[M] = [F][R]
=
MUT2
A.A3.11
A lei física dada no enunciado será dimensionalmente homogénea se todos os
termos da igualdade tiverem a mesma dimensão, i . e. se se verificar,
107
Sendo s um comprimento temos [s]
=
L. Para o produto de uma velocidade por um
tempo,vot, obtemos para a dimensão [vot] = [vo]T = L TI T = L. Finalmente para
o termo Y2 o t2, temos que [ 1 /2 o t2 ] = [o] T2 = L T2 T2 = L. Todos os termos têm
igual dimensão e por isso a expressão é dimensionalmente homogénea.
A.A3. 1 2
A expressão que é necessário utilizar para resolver este problema é a equação
( 3 . 24) do texto principal,
que relaciona o período t de um pêndulo gravítico com o seu comprimento, I, a
aceleração da gravidade do local onde o pêndulo se encontra, g, e o ângulo do qual
o pêndulo é largado, 8. Ao longo de todo este problema, o valor deste ângulo é
constante, 8 = 2°, pelo que também a função <I> será constante. A fim de simplificar
= <I> (I , ( ) ( para 8 = 2°) . A ex pressão
2
2
( 3 . 24) tomará ao longo deste problema a forma particular,
a notação chamaremos k a esta constante, k
(I)
No caso do pêndulo do enunciado, se considerarmos TT o seu período, lT o seu
comprimento e gT a aceleração da gravidade terrestre, a expressão geral ( I ) fica,
(2)
Nesta ex.pressão, apenas conhecemos os valores de IT e T ' IT = 1,0m e TT = 2,0s.
T
a)
Consideremos o período do pêndulo do enunciado quando colocado a oscilar na
Lua,
tL
'
e a aceleração da gravidade na Lua, gL' A relação (I) fica neste caso,
Utilizando o facto de a aceleração da gravidade na Lua ser 6 vezes inferior à
aceleração da gravidade na Terra, gL
em
108
=
gT /6, esta expressão transforma-se
Substituindo nesta expressão a equação (2) obtém-se,
Assim, o período do pêndulo na Lua será TL =j6 TT = 4,9 s.
b)
Considerando o comprimento deste novo pêndulo como 'L e uma vez que o seu
período é igual a tT, a equação ( 1 ) fica neste caso,
A manipulação desta expressão de modo a obter o comprimento em função das
restantes variáveis e a utilização do facto de gL = gT /6, resulta em,
A partir da equação (2) pode-se concluir que
e, consequentemente, 'L= '/6 = 0, 1 7 m.
A.A3.13
Para simplificar a função F utilizando o teorema fI é necessário encontrar, em
primeiro lugar, a combinação de potências das grandezas m, P e t cuja dimensão é
a mesma de d. Este passo realiza-se encontrando a solução para o sistema de
equações que resulta de
[d] = [mY [ PP [tF
Utilizando a dimensão já conhecida destas grandezas esta expressão é equivalente
a'
L
=
M< (MLT')'" T'
109
donde resulta o sistema de equações
{X
+ Y =O
y=l
{X
�
-2y + z=O
=-1
y=l
z=2
o segundo passo da simplificação de F consiste em verificar se é possível com
estas grandezas construir grandezas adimensionais, ou seja, resolver o sistema
resultante de [m]" [P]V [t]"'= l que é
A única solução deste sistema é Li = V = W = O e, consequentemente, a única gran­
deza adimensional que é possível construir com estas grandezas é uma constante
(a que chamaremos k). Logo, a aplicação do teorema n ao caso descrito no
enunciado permite concluir que,
ficando assim simplificada a função F.
110
4.
Erros e Incertezas nas Medições
Objectivos
Compreender algumas noções básicas relacionadas com as medições:
Explicar a impossibilidade de obter um valor verdadeiro para a medida
de uma grandeza.
Indicar os significados do valor convencionalmente verdadeiro e da
incerteza.
-
Explicar a estrutura conceptual de uma medição.
Indicar o objectivo de uma medição.
Etc.
Saber descrever apropriadamente o funcionamento de um instrumento de medição:
Identificar sinais de entrada e saída.
Mostrar a importância do processo de calibração.
Distinguir curva de calibração e característica de um instrumento de
medição.
Distinguir algumas propriedades de funcionamento do aparelho de
medição, tais como intervalo de funcionamento, sensibilidade, dispersão
e incerteza.
Etc.
Caracterizar os diferentes tipos de erro associados a uma medição:
Identificar as fontes de elTO numa medição.
Distinguir elTOS sistemáticos e erros aleatórios.
Identificar elTOS de leitura.
Indicar a vantagem da utilização do elTO relativo.
-
Etc.
Compreender a necessidade de efectuar uma análise estatística dos erros aleatórios:
-
Estimar uma medida a partir do valor médio e do desvio padrão de um
número elevado de medidas.
113
Definir grau de confiança e intervalo de confiança.
Estimar uma medida quando o número de medições afectadas por erros
aleatórios não é elevado.
Compreender aprofundadamente a relação entre os erros nas medições indirectas
e os erros nas medições directas:
Calcular erros de medições indirectas a partir de erros de medições
directas em casos simples.
Indicar a forma geral de estimar erros de medições indirectas em qualquer
caso.
Exprimir resultados de medições directas e indirectas através da correcta
manipulação dos algarismos significativos.
114
4.1
Introdução
Uma grandeza é, por definição, mensurável e, consequentemente, quando consi­
derada como um atributo particular de um corpo ou de um fenómeno, tem de ser
expressa por um valor numérico resultante da comparação com uma outra grandeza
da mesma natureza que se toma para unidade. A grandeza a medir é designada
por mensuranda e este processo de comparação chama-se medição. Ao longo
do presente capítulo iremos analisar com algum detalhe as principais características
deste processo.
As medições fazem parte do dia a dia humano: desde o bilhete de identidade (que
refere a altura do seu titular) até às compras que efectuamos envolvendo quilo­
gramas, litros, metros, etc. ou às contas da electricidade e do telefone que pagamos,
estamos rooeados de valores numéricos resultantes de medições. Um conhecimento
mínimo sobre a estrutura e as principais propriedades das medições é, pois,
benéfico para todos.
Os processos de medição podem ser muito simples ou muito complicados.
A medição de um comprimento com uma régua é um exemplo de um processo de
medição simples: envolve um instrumento e uma pessoa apenas. Certas medições
efectuadas em grandes laboratórios de Física são exemplos de processos de
medição muito complicados: envolvem centenas de aparelhos, centenas de pessoas
e investimentos de milhões de euros. No entanto, todas as medições, independen­
temente do seu grau de complexidade, apresentam a mesma estrutura: existe uma
grandeza a medir que "envia" um "sinal" para um instrumento de medição que,
por sua vez, traduz esse sinal para o observador fornecendo-lhe um valor para
essa grandeza. Aparentemente, o objectivo de qualquer medição parece ser sempre
o mesmo: a determinação do verdadeiro valor da grandeza a medir. O que veremos
ao longo deste capítulo é que a cadeia de processos que origina a obtenção do
valor da grandeza vai impedir o conhecimento do seu verdadeiro valor: será apenas
possível determinar u m intervalo de valores possíveis para a grandeza medida.
Este facto pode ser ilustrado, através de um exemplo simples. Suponhamos que
uma pessoa pretende medir a área de uma divisão da sua casa e que só dispõe
para o fazer de uma régua de 50 cm. Mede os lados da divisão utilizando várias
vezes a régua, e obtém um valor XI para a área. Uns tempos depois repete a
medição, mas usando uma fita métrica metálica e comprida, de tal maneira que só
necessita de utilizar este instrumento uma vez para cada lado da divisão. O valor
X obtido para esta segunda medição é diferente de XI' Intrigada, a pessoa resolve
2
repetir a medição e fá-lo num dia de calor: para seu espanto obtém um novo
valor, X · Para tentar resolver o problema, convida um amigo para repetir a
3
medição. Este traz uma outra fita métrica, mas obtém um valor X4 para a área.
Repete a medição com a fita métrica do dono da casa e, espantado, obtém um
valor X,. E assim sucessivamente, com outras réguas. outros amigos e outras
11 5
medições: por vezes os valores obtidos são iguais, mas em geral, são diferentes.
É fácil compreender que era pouco provável que estas medições resultassem no
mesmo valor: foram todas efectuadas em condições diferentes (diferentes
instrumentos, diferentes condições ambientais, diferentes observadores) e, sendo
assim, o processo de medição sofreu di versas influências. É claro que seria possível
ir tentando aperfeiçoar o processo de medição, escolhendo "réguas" mais precisas
e estáveis, ou aparelhos mais sofisticados cujo resultado da medição não
dependesse tanto do observador. Ainda assim, continuaria a ser impossível
determinar exactamente o verdadeiro valor da área, reduzindo-se apenas o
intervalo de valores possíveis para esta grandeza.
Chegamos assim ao primeiro resultado importante relativo à medição de grandezas:
é impossível determinar através de um processo de medição o verdadeiro
valor de uma grandeza. O resultado de uma medição é traduzido por um valor
convencionalmente verdadeiro para a grandeza e por uma i ncerteza associada,
proveniente de influências várias sobre o próprio processo de medição. Estes
dois valores definem o intervalo de valores possíveis para a mensuranda. Assim,
a medida de qualquer mensuranda é sempre uma expressão do tipo
MEDIDA
=
[VALOR CONVENCIONALMENTE VERDADEIRO ±INCERTEZA] [Unidade]
(4. 1 )
A figura 4. 1 pretende representar de uma forma esquemática u m qualquer processo
de medição. Num fenómeno físico está envolvida uma grandeza que se pretende
medir (mensuranda). Para tal utiliza-se um instrumento de medição que recebe
um sinal desse fenómeno e envia um outro sinal ao observador contendo o valor
convencionalmente verdadeiro da mensuranda. Todo os passos deste processo
são afectados pelas chamadas "grandezas de influência", que não são só factores
ambientais, "externos", mas incluem também factores intrínsecos ao aparelho de
medição e, por vezes, ao próprio observador. O observador deve realizar uma
avali ação dos erros originados por estas influências e determinar a incerteza
associada à medida.
o objectivo de uma medição tem, assim, de ser reequacionado. Não é a obtenção
de um valor verdadeiro para a mensuranda que está em causa, mas sim a de um
intervalo de valores possíveis. A "arte" de medir reside, pois, na utilização de
processos de medição em que a incerteza associada sej a "razoável", i .e., em que
sej a obtido um intervalo de valores satisfatórios para a grandeza que se pretende
medir. A realização de medições com significado pressupõe a capacidade de
associar uma incerteza ao valor obtido na medição. Esta capacidade provém do
conhecimento correcto do instrumento de medição, dos factores externos que
possam influenciar o fenómeno observado, da qualidade do instrumento usado e
da prática do observador, bem como do reconhecimento das limitações envolvidas.
A avaliação de todos estes factores resulta na determinação de vários erros que
afectam a medição efectuada; e, destes erros, é possível, finalmente, estimar
1 16
Incerteza
Grandezas de
influência
Fenómeno Físico
(grandeza
mensuranda)
\.
....
Entrada no 1M
Instrumento de
Medição ( 1 M)
Saída no 1M
Observador
Valor convencionalmente
verdadeiro da mensuranda
Figura. 4.1
-
Esquema geral
e
conceptual de um processo de medição e do seu resultado
(adaptado de A n tun e s S.D,
,
1994).
uma incelteza para a medida. Ao longo deste capítulo iremos identificar várias
fontes possíveis de erro, os vários tipos de erro presentes e a forma como, a
partir destes, se pode calcular a incerteza.
Convém, para fechar esta introdução, referir que uma medida pode ser "correcta"
sem que necessariamente tenha associada a menor incerteza possível. Voltemos
ao exemplo da área da divisão de uma casa para explicar este ponto, supondo
que os valores obtidos XI' ... Xs' rondavam todos os 20 m2• Como, usualmente,
as áreas de divisões de habitações se exprimem em metros quadrados, seria
inútil, embora possível, utilizar aparelhos de medição mais sofisticados do que os
referidos que diminuíssem a incerteza do valor medido, permitindo, por exemplo,
conhecer a área em cm2. Embora esta medida hipotética tivesse unia menor
i ncerteza, só seria mais correcta se se pretendesse conhecer com este detalhe
(cm2) o valor da área da divisão (o que não costuma suceder). Assim, o mais
importante ao realizar uma medição é obter uma estimativa correcta da incerteza
associada, para, posteriormente, poder melhorar o processo de medição, caso
essa incerteza não sej a satisfatória. Tanto para estimar a incerteza de uma
determinada medida como para escolher uma outra medição que conduza a uma
menor incerteza, é necessário conhecer a origem dos erros de medição e as suas
principais características.
1 17
4.2
Instrumentos de medição
Um instrumento de medição é um sistema que recebe um sinal de entrada originado
pela grandeza a medir (mensuranda) e emite para o observador um sinal de saída,
chamado sinal de medição. Este sinal de medição tanto pode corresponder a uma
grandeza da mesma natureza da mensuranda como a uma grandeza de natureza
diferente. No caso, por exemplo, da medição de um comprimento com uma régua,
o sinal de medição é o comprimento sobre a régua que corresponde ao compri­
mento que se pretende medir. A situação é diferente, por exemplo, no caso do
velocímetro de um carro, o instrumento de medição que formece uma estimativa
da rapidez instantânea de uma viatura. A grandeza mensuranda é uma rapidez
mas o sinal de medição é o ângulo de que se desloca o ponteiro do velocímetro.
Na maior parte dos instrumentos de medição, as variáveis de entrada e saída têm
naturezas diferentes.
A.A.4.1
Identifique as variáveis de entrada (mensuranda) e de saída (sinal de
saída) dos seguintes instrumentos de medição: termómetro de mercúrio
e biberão de bébé.
Em qualquer dos casos, o instrumento de medição realiza uma correspondência
bijecti va (ou de "um para um") entre o valor da mensuranda e o valor de um sinal
de medição (a este valor chama-se valor transformado de uma mensuranda) .
A realização desta correspondência só é possível porque o i nstrumento, antes de
ser utilizado para medir valores desconhecidos de grandezas, foi calibrado.
A calibração é a operação que, tomando como sinais de entrada valores conhecidos
da grandeza mensuranda (padrões de medida), regista os valores dos sinais de
saída correspondentes. Estas medições são efectuadas para várias grandezas
padrão, ficando assim feita uma correspondência entre vários valores da mensu­
randa X e vários valores transformados Y. A calibração termina com o estabele­
cimento de uma interpolação entre estes pontos de modo a construir a curva de
calibração, uma função que a cada valor X da mensuranda faz corresponder um
valor Y do sinal de medição (ver figura 4.2a) .
Voltando aos exemplos j á dados, a cal ibração d e uma régua corresponderia à
sua própria construção: marcação de uma escala de comprimentos (mm, por
exemplo) sobre um objecto l inear. A marcação desta escala só poderia ser
efectuada uti 1 izando comprimentos já con hecidos comprimentos padrão. No caso
,
118
do velocímetro a calibração consistiria em fazer a viatura deslocar-se com uma
rapidez conhecida (padrão) e verificar qual o deslocamento angular do ponteiro
correspondente a essa rapidez. Realizando esta operação para vários valores
conhecidos da rapidez obtém-se uma correspondência entre valores do
deslocamento angular do ponteiro e da rapidez que conduz ao desenho que todos
conhecemos deste instrumento.
A qualidade de um instrumento de medição depende criticamente da sua correcta
calibração. A utilização de instrumentos incorrectamente calibrados conduz à
realização de medições afectadas por erros sistemáticos a que nos referiremos
posteriormente. Estes erros são dificilmente detectáveis, uma vez que, em geral,
os utilizadores de instrumentos de medição não têm fácil acesso aos padrões que
permitem corrigir a calibração. A calibração correcta torna-se particularmente
importante no caso em que os instrumentos de medição são utilizados em
actividades económicas ou comerciais. Na verdade, a calibração incorrecta de
um instrumento pode ser prej udicial ou para o vendedor ou para o consumidor e
introduzir "injustiças" nas transacções comerciais. É por isso que em quase todos
os países existe uma instituição do Estado que procede à fiscalização (nalguns
casos periódica) da calibração destes instrumentos. Em Portugal, essa instituição
é, actualmente, o Instituto Português da Qualidade (IPQ). O leitor pode verificar
a realização desta actividade em múltiplos locais comuns: por exemplo, em cada
posto de abastecimento de gasolina encontra-se um selo do IPQ que refere a
data da última fiscalização e a data em que se deve efectuar a seguinte.
A calibração de um instrumento resulta na obtenção da curva de calibração, ou
sej a no estabelecimento de uma relação entre um contínuo de valores da
mensuranda, X, e um contínuo de valores do sinal de mediação, Y, para esse
instrumento (ver esquema da figura 4.2, a)).
y
a)
y
b)
x
x
Figura 4.2 - a) Curva de calibração de um instrumento de medição; os pontos represen­
tam os resultados da medição de vários valores padrão de X.
b) Característica de um instrumento de medição.
No entanto, esta função corresponde apenas a uma relação entre valores mais
prováveis de X e Y: ao valor mais provável de cada padrão faz-se corresponder o
valor mais provável do sinal de medição. Na verdade, numa calibração, várias
1 19
medições de cada um dos valores padrão de uma grandeza originam, em geral,
diferentes valores para as respostas Y, uma vez que o aparelho de medição sofre
sempre a acção de grandezas de influência. Por outro lado, os valores padrão
utilizados estão também afectados de inceltezas, i.e., estão definidos por intervalos
de valores. Finalmente, numa calibração utilizam-se apenas alguns valores padrão
(alguns valores pré-definidos de X): a resposta do instrumento de medição para
valores intermédios de X é estimada através de uma interpolação (as linhas que
unem os pontos na figura 4.2,b). Todos estes factores fazem com que da calibração
de um instrumento de medição resulte não uma função Y = F(X) (figura 4.2,a)
mas uma área como a representada na figura 4.2,b , chamada característica do
instrumento. A característica está definida em torno da c urva de calibração e
exprime o facto de um valor do sinal de medição corresponder a um intervalo de
valores da mensuranda e, recÍprocamente, o facto de um valor da mensuranda
corresponder a um intervalo de valores do sinal de medição.
A característica de um instrumento de medição permite definir, entre outras, as
seguintes propriedades:
•
Intervalo de funcionamento
•
Sensibilidade
•
Incerteza
•
Dispersão
Na figura 4.3 representam-se estas propriedades juntamente com o esquema da
característica de um aparelho de medição (figura 4.2,b).
Sensibilidade
Y
=
dispersão
incerteza
incerteza
<
Xo
x
Intervalo de funcionamento
Figura. 4.3 - Representação de algumas das propriedades de um instrumento de medição
subrt: u t:SyUt:lll<l Ú<l SU<l L:<lr<lClt:rÍsLiL:<l (<lÚ<lpWÚU úe Antunes, S.D.,
120
1994).
o intervalo de funcionamento de um instrumento de medição é o conjunto de
valores da mensuranda que o instrumento é capaz de medir. Num termómetro de
mercúrio, por exemplo, graduado entre os 3 5 oe e os 42 oe , o intervalo de
funcionamento é o conj unto de temperaturas superiores a 3 5 oe e inferiores a
42 o e .
A dispersão associada a um instrumento de medição representa o intervalo de
valores do sinal de medida, Y, obtido nas medições de uma mensuranda de valor
X o (ver figura 4 . 3 ) . A dispersão de um instrumento de medição só pode ser
deterITÚnada no processo de calibração uma vez que só aí se efectuam medidas
de mensurandas cujos valores são conhecidos (valores padrão). Na verdade,
como já foi dito, diferentes medições de um dado valor padrão da mensuranda,
X o' utilizando o mesmo instrumento de medição, resultarão na obtenção de vários
valores para o sinal de medição Y. Se estas medições forem repetidas várias vezes
obter-se-á uma distribuição dos valores de Y resultante das medições de X o 1 •
A incerteza associada a u m instrumento de medição é o intervalo de valores da
mensuranda compatível com um determinado valor do sinal de saída Yo obtido
numa medição (ver figura 4.3). Na utilização con·ente dos instrumentos de meclição,
o valor da incerteza deve ser estimado pelo observador, de diversas formas,
como adiante estudaremos.
I Para um n ú mero s u fi c i e n ·
temente elevado d e medidas.
esta dist ribuição assemelhar·
se·á a uma distri buição nor­
mal de valor médio (e mais
provável)
43).
Yo
(v e r
figura
A sensibilidade de um instrumento de medição é definida como o quociente entre
a variação da resposta do instrumento de medição e a variação correspondente
da mensuranda (na figura 4 .2,a) corresponderia à derivada de Y::::: F(X) ) . Na
prática, pode ser estimada a partir da razão entre a dispersão (�Y) e a incerteza
(� : �Y/M. A sensibilidade exprime a capacidade que o aparelho de medição
tem em dar respostas diferentes quando o valor da variável de entrada se modifica.
Assim, um aparelho de sensibilidade elevada apresentará sinais de saída de valores
muito diferentes mesmo se os sinais de entrada tiverem valores muito próximos.
A.A.4.2
Considere um termómetro de mercúrio capaz de medir temperaturas
entre os 3 5°C e os 42°C. A escala assinalada neste termómetro está
dividida em décimas de grau e o seu comprimento total é de 7 cm.
Identifique o intervalo de funcionamento deste aparelho e faça uma
estimativa da incerteza, da dispersão e da sensibilidade.
1 21
4.3
Erros em medições
A determinação da incerteza é uma parte fundamental do processo de medição.
A incerteza é estimada pelo observador a partir do conhecimento dos erros
efectuados numa medição. Nesta secção classificaremos os diversos tipos de
erro que podem surgir em qualquer medição. Estes erros são muitas vezes
designados por erros experimentais, uma vez que um dos âmbitos mais imp0l1antes
em que surgem é o das experiências científicas.
Os erros experimentais podem dividir-se em dois grandes grupos: elTOS sistemá­
ticos e erros acidentais, aleatórios ou estatísticos.
Os erros sistemáticos têm origem em influências ou perturbações que afectam
de forma igual todas as medições de uma mesma grandeza. A presença deste tipo
de erro implica que o valor da mensuranda obtido através de uma medição é
sempre ou menor ou maior do que o seu verdadeiro valor . Os erros sistemáticos
podem estar ligados ao observador, aos instrumentos de medição e aos factores
ambientais que influenciam esta.
Um exemplo de erro sistemático devido ao observador é o que ocorre na leitura
de certos aparelhos onde um ponteiro se movimenta sobre uma escala fixa (como
o já referido velocímetro de um automóvel) ou, recíprocamente, em que uma
escala se movimenta em relação a um "ponteiro" fixo (como, por exemplo, em
algumas balanças). Neste tipo de instrumentos o resultado da leitura depende da
posição em que o observador se encontra quando interpreta o sinal de saída do
instrumento de medição: se o observador mantiver uma dada posição em que não
olha para a escala perpendicularmente a esta, obterá, sistematicamente, um desvio
relativamente ao valor correcto (sempre maior ou menor dependendo da posição
em que se encontre).
A este
erro costuma chamar-se erro de paralaxe. Ele é
facilmente evitável através de um correcto posicionamento do observador e tende
a desaparecer com a existência de um cada vez maior número de instrumentos de
, Basta recordar q u e t a n t o
medição munidos de escalas digitais2•
o s velocí m e t r o s c o m o as
b a l anças
r e fe r i d a s
como
exemplo tendem a s e r subs­
t ituídas por aparelhos d i g i ­
tais, i.e., q u e fornecem o
valor medido sob a forma de
algarismos.
Os erros sistemáticos com origem nos instrumentos de medição estão associados
a uma calibração incon-ecta do instrumento ou a valores internos desse instrumento
que podem afectar a medição.
Como exemplo de erro sistemático devido a uma calibração incorrecta conside­
remos o caso de um termómetro de mercúrio que se pretende que funcione entre
os 20 °C e os 45 oe.
O termómetro foi calibrado fazendo corresponder a certas
temperaturas padrão os comprimentos de uma coluna de mercúrio: marcou-se no
termómetro o ponto correspondente a
20 °C e o ponto correspondente a 45 °C
e dividiu-se o segmento de recta que une esses dois pontos em, por exemplo,
250 divisões iguais. Suponhamos que, por engano de calibração, a última divisão
não corresponde, de facto, à temperatura de 45 oe
122
mas
à de 40 oe. Assin"l,
quando o termómetro nos indica 45°C, o valor da mensuranda será de 40 oe.
Este desvio para valores maiores do que os correctos obter-se-á para todas as
medições efectuadas com este termómetro (embora o valor absoluto deste desvio
diminua para menores temperaturas). Os erros devidos a calibrações incorrectas
não são fáceis de detectar pelo utilizador comum dos instrumentos de medição,
uma vez que, em geral, o utilizador não dispõe dos padrões necessários para
proceder à sua correcção.
Os erros sistemáticos provocados por uma característica interna do instrumento
de medição apelidam-se por vezes de erros instrumentais. Um exemplo de erro
instrumental é o que ocorre nos voltímetros, os instrumentos utilizados para medir
diferenças de potencial eléctrico. O facto de o voltímetro possuir necessariamente
uma resistência interna vai provocar o aparecimento de um erro sistemático que
só será desprezável se essa resistência interna for muito maior do que a resistência
da parte do circuito em que se mede a diferença de potencial.
Os erros acidentais, estatísticos ou aleatórios são os que se manifestam na
obtenção de valores diferentes na medição de uma mesma mensuranda (dispersão),
quando esta é medida várias vezes nas mesmas condições. No fundo, traduzem a
existência de grandezas de influência que não são controladas pelo observador
(seja por ignorância ou por incapacidade). Tal como os erros sistemáticos, podem
ter origem nos instrumentos de medição, nos observadores e em factores
ambientais.
Considere-se o pêndulo gravítico (ver capítulo
3) e uma experiência em que se
procura determinar o período do seu movimento oscilatório utilizando um
cronómetro manual. Para isso, larga-se o pêndulo de uma posição, iniciando-se a
contagem do tempo e, depois de ele efectuar, por exemplo, duas oscilações
completas, pára-se o cronómetro. Repete-se várias vezes esta experiência,
registando o tempo medido, e tendo o cuidado de largar sempre o pêndulo da
mesma posição inicial. Verificar-se-á que os valores obtidos para o período em
cada medição serão , em geral, diferentes, o que se deve a diversos factores: o
accionamento (de início e paragem) do cronómetro pelo observador que não é
"exacto", a existência de movimentos de ar que afectam o movimento do pêndulo,
etc. No entanto, nenhum destes factores provocará um desvio sistemático do
valor obtido relativamente ao valor verdadeiro. Pelo contrário, numas medições o
valor obtido será superior e noutras inferior (porque, por exemplo, o observador
parou o cronóm�tro ligeiramente depois ou ligeiramente antes da passagem do
pêndulo pela posição final). Esta característica dos erros aleatórios permitirá,
como adiante veremos, efectuar o tratamento estatístico de um grande número de
medições efectuadas e obter assim o valor convencionalmente verdadeiro para a
mensuranda e a incerteza que está associada a este valor convencionalmente
verdadeiro resultante dos erros aleatórios, a que chamaremos erros estatísticos.
1 23
A.A.4.3
No exemplo anterionnente referido da experiência do pêndulo identifique
erros acidentais com origem no observador e em factores ambientais .
Só faz sentido falar de erros aleatórios quando o número d e medições efectuadas
para uma determinada grandeza, nas mesmas condições, é elevado (em geral
1 0) .
Quando o número de
medições é pequeno e, nomeadamente, quando é igual a
1 , um dos erros que se
considera-se que este número deve ser superior a
deve considerar é o chamado erro de leitura, que é o cometido ao ler a escala de um
instrumento de medição. Este erro é determinado pelo facto de a escala de um
instrumento de medição ter urna divisão mínima resultante da sua divisão, a chamada
menor divisão da escala. Numa régua, por exemplo, graduada em mm, essa menor
divisão é o mm e nos cronómetros digitais ela é, em geral, o centésimo de segundo.
O erro de leitura vale metade da menor divisão da escala em instrumentos de
medição em que a escala é contínua (como a régua, por exemplo) e é igual à
3 Deve-se, no entanto, refe­
rir que quando os cronóme­
tros d i g i t a i s são accionados
menor divisão da escala em instrumentos em que a escala é discreta (como nos
referidos cronómetros digitais3, por exemplo). Em muitos casos é possível, através
da repetição de medições, obter erros estatísticos inferiores ao erro de leitura.
manualmente tem de se con­
siderar u m o u t ro erro asso­
ciado: o que res ulta do cha­
mado tempo de reacção do
observador. Este erro desa­
parece
nos
c r o n ó m e t ro s
" automáticos" como os u t i ­
l i zados e m certas c o m pe t i ­
ções desportivas ( a t l e t i s mo.
Fórm u l a
I,
etc . ) , restando
só o erro d e leitura.
A.A.4.4
Imagine que mede um comprimento de 2,5 cm efectuando uma só leitura
numa régua graduada em milímetros. Represente o resultado desta
medição na seguinte fonna,
Medida = ( Valor convencionalmente verdadeiro
±
erro) unidade.
A determinação dos erros associados a uma medição é feita com vista a efectuar
uma estimativa da incerteza de que é afectado o valor convencionalmente
verdadeiro da mensuranda, Em termos dos erros, o resultado de uma medição
deve ser expresso da seguinte forma,
124
[ MEDIDAI
=
[VALOR FORNECIDO PELO 1 M ' +
ERRO DE LEITURA]
[unidade]
(ou -) ERRO S ISTEMÁTICO
A comparação desta expressão com a expressão
(4. 1 )
± ERRO ESTATÍSTICO
(4.2)
ou
J
I n slrumenlo de med ição.
da introdução leva
imediatamente à identificação do valor convencionalmente verdadeiro como sendo
o valor fornecido pelo instrumento de medição corrigido pela adição ou subtracção
(consoante o caso) do eno sistemático e à identificação da incerteza com o eno
estatístico ou eno de leitura.
Tanto na expressão (4. 1 ) como na expressão (4.2) a incerteza e os enos estão expres­
sos de forma absoluta, i.e, como grandezas com as mesmas unidades da grandeza
mensuranda. No entanto, é por vezes mais conveniente considerar os enos e a
incerteza relativos, i.e., as razões entre os seus valores absolutos e o valor conven­
cionalmente verdadeiro (expressa depois em percentagem). Esta representação
dos enos tem a vantagem de pennitir ter a noção da sua impOltância. Por exemplo,
uma incerteza absoluta de 0,5 cm na medição de dois comprimentos cujos valores
convencionalmente verdadeiros são 2 cm e 50 cm tem significados completamente
distintos, que são mais facilmente expressos através do cálculo da incerteza reIativa.
Esta vale
25% para o comprimento de 2 cm e 1 % para o comprimento de 50 cm.
Assim, a incerteza na detenninação do comprimento menor parece mais importante
uma vez que conesponde a 1;4 do valor convencionalmente verdadeiro.
A.A.4.5
Determine as incertezas relativas associadas aos valores convencio­
nalmente verdadeiros
1 ,0 cm, 5 , 6 cm e 20,2 cm, obtidos através da
medição (com uma só leitura) de três comprimentos com uma régua
cuja menor divisão da escala é o mm.
A.A. 4.6
Considere o termómetro incorrectamente calibrado que foi apresentado
como exemplo na página 1 22 desta secção. Suponha que foram efectua­
das três medições de temperatura com esse instrumento, e que os valores
lidos foram: 25°C, 30°C e 40°C. Determine o erro sistemático (absoluto e
relativo) associado a cada uma destas medidas.
125
=;:::r
4.4
Análise estatística de erros aleatórios
Referimos na secção anterior que certas medições se efectuam sob a acção de
grandezas de influência não controláveis pelo observador e que originam o
aparecimento de erros aleatórios, também chamados estatísticos ou acidentais.
Estes erros manifestam-se no facto de os valores obtidos para a mensuranda
serem umas vezes maiores e outras vezes menores do que o verdadeiro valor da
mensuranda. Nesta secção vamos ver como é que é possível, a partir de um
conjunto de medições efectuadas nas mesmas condições e afectadas por erros
aleatórios, determinar o valor convencionalmente verdadeiro da mensuranda e a
incerteza que afecta este valor.
Suponhamos então que foram efectuadas
N medições
de uma mensuranda
(N) 1 O) tendo-se obtido um conjunto de N valores: X I ' X2,
• • •
XN . Diz-se assim
que estamos na presença de uma disttibuição da variável X. A qualquer disttibuição
de uma variável podem ser associadas outras grandezas que a caracterizam. Estas
grandezas podem ser estimadas utilizando os valores conhecidos dessa disttibuição.
É possível, por exemplo, calcular o valor médio da disttibuição de X, representado
por
X . O valor médio é obtido, como se sabe, somando todos os valores Xi e
dividindo o resultado da soma por N:
r
X
=
XI + X2 + ·· · + XN
(4.3)
N
É também possível determinar uma medida da dispersão dos valores Xi em torno
da média da distribuição X
.
Esta medida da dispersão é traduzida por uma
grandeza chamada desvio padrão, designada pelo símbolo 5, e calculada da
seguinte forma:
s
126
=
l (x l - x y + (X 2 - xy + "
V
N-l
(
,+ XN
- xy
_
(4.4)
;=1
N-l
A.A.4.7
Considere duas experiências diferentes em que se mediram o seguinte
conjunto de valores para um determinado intervalo de tempo (por exemplo,
o período de oscilação de um dado pêndulo) :
Experiência 1 : 2, I O s; 2, 1 5 s; 2, 1 3 s; 2, 1 5 s; 2, 1 4 s; 2, 1 2 s; 2, 1 6 s; 2, 1 4 s;
2, 1 1 s; 2, 1 4 s; 2, 1 2 s;
Experiência 2: 2,2 1 s; 2, 1 2 s; 2, 1 5 s; 2, 1 0 s; 2, l l s; 2, 1 5 s; 2, 1 8 s; 2, 1 3 s;
2, 1 7 s ; 2, 1 4 s; 2 , l O s.
Determine o valor médio e o desvio padrão das distribuições da variável
intervalo de tempo associadas a cada uma destas experiências.
A determinação do desvio padrão é importante porque esta quantidade indica se
os valores Xi se centram mais ou se dispersam mais em torno da média
X.
De
facto, um mesmo valor médio pode ser obtido tanto com valores Xi muito afastados
da média como com valores Xi muito próximos dela, desde que (como se espera
que aconteça em experiências com erros aleatórios) haj a um número sensivel­
mente igual de valores acima e abaixo do valor médio para desvios semelhantes.
É o desvio
padrão a quantidade que indica se os valores Xi estão, em média,
muito próximos (pouca dispersão) ou muito afastados (dispersão elevada) do
valor X .
Uma vez calculados o valor médio
X
e o desvio padrão s associados aos valores
medidos (X) para a mensuranda, é possível realizar uma estimativa razoável do
valor convencionalmente verdadeiro desta e da incerteza que lhe está associada.
Na ausência de erros sistemáticos, o valor convencionalmente verdadeiro da
mensuranda X será igual a X e a incerteza associada será igual ao desvio padrão
s
dividido pela raiz quadrada do número de medidas, __ . Assim, a medida de
JN
uma mensuranda X resultante de um conjunto de N medições afectadas por erros
aleatórios (todas realizadas nas mesmas condições) é dada por,
Medida
=
[X
±
S
_
_
-lN
]
[unidade]
(4.5)
1 27
A.A.4.8
Considere o s resultados das duas experiências referidas em A . A A . 7 e
calcule a medida do tempo resultante de cada uma delas.
A compreensão mais completa da análise estatística de um conjunto de medições
afectadas por erros aleatórios que conduziu a (4.5) exige que se explique ainda
um outro conceito, o de intervalo de confiança. Na verdade, um resultado como
(4.5) não define completamente o intervalo de valores possíveis para a mensuranda,
mas apenas um intervalo de valores onde existe uma determinada probabilidade
(chamada grau de confiança) de se encontrar o verdadeiro valor da mensuranda.
Um intervalo de confiança é, assim, um conjunto de valores para a mensuranda
que contém, com uma determinada probabilidade (grau de confiança), o seu
verdadeiro valor.
, As afirmações q u e se se­
guem são apenas válidas para
d i s t ri b u i ç õ e s n o r m a i s d o s
resultados das medições.
D a d o o carácter e l e me n t a r
deste m a n u a l não j u s t i fica­
remos estas afirmações nem
demonstraremos as relações
entre o grau de confiança e
o grau de confiança associado a um determinado intervalo de confiança pode ser
determinado a partir do desvio padrãos . Por exemplo, a expressão (4. 5 )
corresponde a um grau d e confiança d e 68 , 3 % ; o u sej a o verdadeiro valor d a
grandeza X tem uma probabilidade d e 6 8 , 3 % d e pertencer ao intervalo (de con­
fiança) representado por essa expressão. É claro que aumentar o grau de confiança
implica alargar o intervalo de confiança, i.e., aumentar o número de valores
nele contidos. Pode-se mostrar que se considerarmos um intervalo de confiança,
o desvio padrão de que fare­
mos u s o . D i re m o s s im p les­
mente que nos casos e m que
é efectuado um n ú mero ele­
X
±
2
5
_
_
.JN
, então o grau de confiança será de 95 ,45% ; e que se expandirmos
vado de medições da mesma
m e n s u randa, a m a i o r i a das
distribuições dos valores ob­
o intervalo de confiança para X
t i d os tende para u ma d i stri­
b u ição normal.
±
3
5
_
_
.JN
, o grau de confiança aumentará para
99,7 % .
Quando o número d e medições d e uma mesma grandeza, efectuadas de forma
semelhante, e afectadas por erros aleatórios, não é muito elevado (N< 1 0), então
têm de se utilizar outros métodos para estimar a incerteza. Nestes casos, costuma­
se utilizar também a média dos valores medidos c omo estimativa do valor
convencionalmente verdadeiro. No que respeita à incerteza, podem-se escolher
duas estimativas:
(i) o maior dos módulos dos desvios dos valores X1 relativamente à média
X , isto é o valor máximo de entre todos os números IXI - X I
1 28
(ii) a média dos módulos dos desvios em relação à média X , ou sej a o
valor de:
inc ertez a =
1
N
I I x xl
N
-
_
i
i=1
-
Estes valores só devem, no entanto, ser utilizados se forem maiores do que o erro
de leitura. No caso de serem menores, deve-se tomar como valor para a incerteza
o erro de leitura. É claro que quando existe só uma medição, a incerteza só pode
ser igual ao erro de leitura.
4.5
Propagação de erros
As medidas de grandezas obtidas através de medições directas são muitas vezes
utilizadas no cálculo das medidas de outras grandezas que com elas estão
relac ionadas (medição indirecta) . O verdadeiro valor das grandezas medidas é
desconhecido: dispõe-se apenas de valores convencionalmente verdadeiros e de
incertezas, ou sej a, de um intervalo de valores possíveis para c ada uma dessas
grandezas. A utilização de valores medidos de grandezas no cálculo do valor de
outra grandeza resultará necessatiamente na obtenção não de um verdadeiro valor
para esta última mas de um intervalo de valores possíveis para ela. A esta
propriedade costuma-se chamar propagação de erros. Nesta secção explicaremos
como se efectua a estimativa do verdadeiro valor de uma grandeza e da sua
incerteza, quando essa grandeza está relacionada com outras grandezas cuj os
valores convencionalmente verdadeiros e as incertezas são conhecidos.
Principiemos com o exemplo da área de um rectângulo. S uponhamos que se
pretende saber a área de uma folha de papel rectangular. Utilizámos uma régua
graduada para medir os comprimentos dos seus lados e obtiveram-se os seguintes
resultados:
Medida do l ado 1
=
[XI
±
�X ) [cm]
Medida do lado 2
=
[X2
±
M2] [cm]
A área de um rectângulo é c alculada, como se sabe, através do produto dos
comprimentos dos seus lados. No entanto, o verdadeiro valor destes comprimentos
é desconhecido. Procede-se então multiplicando as medidas obtidas ou sej a,
O desenvolvimento desta expressão resulta em,
1 29
o termo M2 M I da expressão anterior é muito menor do que X2MI +X I M2
(só assim as medidas dos comprimentos têm significado) e, portanto, pode-se
ignorar. A expressão para a área do rectângulo simplifica-se e tem a seguinte
forma fmal:
Fica assim determinado o intervalo de valores possíveis para a área do rectângulo.
O valor convencionalmente verdadeiro para a área é X I X2, ou seja, o produto
dos valores convencionalmente verdadeiros dos comprimentos dos seus lados. A
incerteza é, por seu turno, não só uma função das incertezas associadas às medidas
dos lados, mas também dos valores convencionalmente verdadeiros dos seus
comprimentos :
X2MI +X I Mr
A.A .4.9
o raio de uma circunferênci a mede ( 5 ,20 ± 0,05) cm. Calcule o perímetro
da c ircunferência e a área do círculo que é por ela l imitado.
Formulemos, agora, o problema de uma forma geral. Suponhamos que uma
Y se relaciona com uma série de grandezas A J " .A N através de uma
função F conhecida, Y = F(A I ,
A N) . Consideremos ainda que foram medidos
grandeza
•
• • • •,
valores de A , . . . A , e que dessas medições resultaram intervalos de valores
I
N
possíveis para essas grandezas,
Pretendemos saber qual é O valor da grandeza Y, relacionada com as grandezas
Ai por meio da função F: qual é o seu valor covencionalmente verdadeiro e qual
é a incerteza associada. De uma maneira um pouco mais formal pretendemos
transformar a expressão
tipo Y =
Y = F(A lo ± M IO' . . . . A N O ± M No)' numa expressão do
Yo ± �Yo' O formalismo matemático que permite realizar esta passagem,
embora relativamente simples, excede um pouco o âmbito deste manual. Assim, a
resolução completa deste problema encontra-se destacada do texto principal na
caixa 4. 1 . Aqui convém apenas realçar que o cálculo do valor conven-cionalmente
verdadeiro para a grandeza dependente,
Yo' é feito pela introdução dos valores
convencionalmente verdadeiros das grandezas medidas na função que relaciona
1 30
estas grandezas: Yo = F(A 1 0 ' . . .A NO )' Já o c álculo da incerteza é um pouco mais
complexo e vai depender das diferentes derivadas parciais da função F (ver caixa
4. 1 ) . Note-se que, nalguns casos (como o dado no primeiro exemplo para a área
de um rectângulo), a estimativa da incerteza pode ser efectuada de forma equivalente
sem recorrer a essas noções mais sofisticadas.
.
CAIXA 4. 1
Estimativa do erro em medições indirectas
Considere-se o problema enunciado no texto principal, o de como transformar
uma expressão do tipo Y = F(A I O ± M Io' . .., A NO ± M NO ) numa expressão do
tipo
Este problema resolve-se efectuando uma expansão em série de Taylor da função
±
M IO ' . . . , A N O ± M N O) em torno do ponto (A J O' ..., A NO ) e supondo,
seguidamente, que todos os valores Mi O são pequenos. Esta expansão em série
de Taylor resulta em,
F (A I O
A consideração de que os valores de MiO são pequenos permite desprezar os
termos da série de Taylor não representados explicitamente nesta expressão (apenas
i mplicitamente através do símbolo . . . ). Além disso, o sinal ± pode ser colocado
em evidência desde que as derivadas parciais de F,
pelos seus módulos. Obtém-se, assim,
aF
aAI-
, sej am substituídas
Esta igualdade permite identificar imediatamente o valor convencionalmente
verdadeiro de Y,
13 1
e a incerteza associada a Y,
4.6
Algarismos significativos
A representação dos valores de grandezas resultantes de medições directas ou
indirectas é feita através de dois números reais, o valor convencionalmente verda­
deiro e a incerteza. A incerteza detennina o intervalo de valores possíveis para a
grandeza em torno do valor convencionalmente verdadeiro. A existência deste
intervalo de valores possíveis para a grandeza vai i mpor uma forma cOlTecta,
significativa, de escrever o valor convencionalmente verdadeiro dessa grandeza.
Suponhamos que se realizavam várias medições de um comprimento nas mesmas
condições, estimando-se o valor convencionalmente verdadeiro através da média
(por exemplo, 3 1 ,3 1 47923 m) e o valor da incerteza através do desvio padrão
(por exemplo, 0,02378456 m). A representação COlTecta do resultado desta
medida não é (3 1 ,3 1 47923 ± 0,02378456) m. Na verdade, o que é correcto é
anedondar a incerteza para um valor com um número "razoável" de algarismos e
proceder a um anedondamento coerente do valor da medida. Neste caso dever­
-se-ia arredondar a incerteza para 0,02 m e considerar o valor da medida como
3 1 ,3 1 m. Em geral, a incerteza e o valor medido devem ter o mesmo número de
casas decimais e não tem significado representar a incerteza com mais do que um
algarismo não nulo, por razões que passamos a explicar. Suponhamos que,
pretendendo aumentar o grau de confiança do resultado da medição, conside­
rávamos o valor da medida compreendido entre 3 1 ,29 1 m e 3 1 ,339 m. Vemos
imediatamente que os 2 primeiros algarismos, 3 e 1 , fazem parte do verdadeiro
valor da medida e que o terceiro algarismo por arredondamento será sempre 3 ;
isto é , ao considerarmos o valor 3 1 ,3 m o s algarismos são exactos. O algarismo
seguinte da medida, o dos centímetros, já é duvidoso pois 3 1 ,29 1 m anedonda-se
para 3 1 ,29 m e 3 1 ,339 m para 3 1 ,34 m. Já se trata, portanto, de um algarismo
aproximado. O algarismo seguinte, o dos milímetros, perde todo e qualquer
significado quando é celto que o algarismo anterior, o dos centímetros, já é
duvidoso. Os algarismos significativos são, apenas, os 4 primeiros : 3 , 1 , 3 e 1 .
1 32
A incerteza de 2 centímetros (0,02 m) faz com que o algarismo dos centímetros
sej a um algarismo aproximado. A medida deve ser expressa na forma,
(3 1 ,3 1
±
0,02) m,
se recorrennos aos algarismos significativos, ou na forma
3 1 ,3 m
se utilizarmos apenas os algarismos exactos.
Par·a formalizarmos e generalizarmos o conceito de algar"ismo significativo vamos
apresentar três definições:
Algarismo exacto de uma medida é todo aquele que corresponde a um
erro inferior a uma unidade da sua ordem decimal.
Algarismos aproximados de uma medida são todos os que não são
exactos.
Algarismos significativos de uma med ida são todos os algarismos
exactos mais o primeiro (o de maior ordem decimal) aproximado.
Um exemplo simples ajuda a compreender estas definições. Numa medição de
um comprimento com uma régua vulgar, cuja menor divisão é o milímetro, após
várias leituras, obteve-se para a medida (4 1 ,7 ± 0,2) mm. Os algarismos exactos
são o 4 e o 1 e o algarismo aproximado é o 7. Em qualquer das leituras, o
algarismo das décimas de milímetro foi sempre lido por estimati va e a incerteza
final mostra que não podemos fazer corresponder ao algarismo 7 (o das décimas
de milímetro) um eITO inferior a I décima de milímetro (a incerteza é 0,2 mm).
Logo, o algarismo 7 já é um algarismo aproximado, sendo o último dos algarismos
significativos. Se em vez da régua em milímetros usássemos um palmer (instrumento
que permite ler comprimentos da ordem de grandeza das centésimas de milímetro)
e, após várias leitura obtivessemos para o mesmo comprimento a medida
(4 1 ,70 ± 0,03) mm, já teríamos três algarismos exactos (4, 1 e 7) e quatro
algarismos significativos (4, 1 , 7 e O).
A representação de uma medida apenas com algarismos exactos é uma
manifestação do conhecimento da incerteza associada aos valores obtidos para a
grandeza. Este ponto é de tal fOlma importante e utilizado que, em muitos casos,
a escrita da incerteza é omitida uma vez que, a partir do número de algarismos
exactos com que é escrito o valor convencionalmente verdadeiro de uma grandeza,
é possível estimá-la. Já a escrita da medida com algarismos significativos obriga a
que seja apresentada a incerteza, pois não temos conhecimento exacto do último
algarismo da medida. Por exemplo, dizer que o valor numérico de um comprimento
é 4,5 m corresponde, sem necessidade de referir explicitamente a incerteza, a
dizer que esse comprimento está contido no intervalo ]4,4; 4,6[ (m).
1 33
A.A.4.1 0
A massa de um corpo foi medida e obteve-se o valor 2,00 kg. A massa
de um outro corpo foi medida com outro instrumento de medição tendo­
-se obtido o valor 2,0 kg. Os corpos têm a mesma massa? Comente.
o número de algarismos significativos do valor numérico de uma grandeza "conta­
-se" da seguinte forma:
da esquerda para a direita;
começa-se no primeiro algarismo não nulo e termina-se no primeiro
algarismo que é afectado pela incerteza; cada um destes algarismos do
valor numérico é um algarismo significativo;
se o primeiro algarismo da contagem anterior for igual ou superior a 5
faz-se-Ihe corresponder dois algarismos significativos.
A aplicação deste algoritmo à contagem dos algarismos significativos dos valores
numéricos 4 1 ,7 mm e 4 1 ,70 mm correspondentes ao exemplo já dado, é imediata:
4 1 ,7 tem três algarismos significativos (começa-se no 4 e termina-se no 7, que é
o primeiro algarismo afectado pela incerteza superior a uma undiade da sua ordem
decimal); 4 1 ,70 tem 4 algarismos significativos (começa-se no 4 e termina-se no
O, que é o primeiro algarismo afectado pela incerteza superior a uma unidade da
sua ordem decimal).
,
A.A.4. 1 1
Determine o número de algarismos significativos dos seguintes valores
de comprimentos:
1 ,2 1 0 m; 1 2 1 ,0 cm; 56,78 m; 1 00,4 m; 7 54,2 m.
134
Convém referir que quer o número de algarismos significativos quer o número de alga­
rismos exactos são, em muitos casos, mais facilmente colocados em evidência se for
utilizada a chamada notação científica, que procma representar os valores numéricos
das grandezas em potências de 10. Consideremos por exemplo o valor da massa da
Terra. Este valor é, em kg, 5 980 000 000 000 000 000 000 000. Esta
representação não é a mais adequada pois não permite saber se os 22 zeros
correspondem de facto a um valor medido (i.e. se a massa da Terra é conhecida
com 26 algarismos significativos) ou se, simplesmente, corTespondem à incerteza
dessa medida a partir dos 1 021 - 1 022 kg. A massa da Terra deve pois ser escrita
de uma maneira muito mais clara utilizando a notação científica, 5,98 x 1 024 kg.
Nesta representação fica mais claro que existe uma incerteza de aproximadamente
0,0 1 x l 024 kg na medida desta grandeza.
o número de algarismos significativos de uma medida está de acordo com a
ordem de grandeza da incerteza relativa que a afecta. Por incerteza relativa entende­
se o quociente da incerteza absoluta pelo valor convencionalmente aceite.
Vamos supor que medimos a massa de um corpo com duas balanças de
sensibilidades diferentes e que, depois de várias 1eitmas, se obtiveram os seguintes
valores,
(25 , 24 ± 0,02) mg
(25,247 ± 0,004) mg
A incerteza relativa da primeira medida foi 2/2524 e a sua ordem de grandeza é
1 0.3. A incerteza relativa da segunda medida foi 4/25247 sendo a sua ordem de
grandeza 1 0-4, ou sej a dez vezes menor. Há um acordo com o facto de a segunda
medida ter mais um algarismo significativo que a primeira.
A.A.4.12
Determine a incerteza relativa associada às seguintes medidas de dois
comprimentos,
( 20,4 ± 0,2) mm
( 8 1 ,2
± 0,3)
mm
Verifique que existe um acordo entre a ordem de grandeza das incertezas
relativas e o número de algarismos significativos.
135
A utilização de valores medidos directamente de outras grandezas (medição
indirecta) envolve, como j á vimos, uma incerteza nas medidas indirectas devido à
propagação dos erros. A estimativa desta incerteza "propagada" é realizada, de
forma rigorosa, através do método enunciado na secção anterior. No entanto, é
possível, através da correcta manipulação dos algarismos exactos e significativos
dos valores das grandezas medidas directamente, obter estimativas das incertezas
das medidas indirectas, i.e., representar estas com o número correcto de algarismos
significativos. Esta estimativa é realizada aplicando uma série de regras.
Enumeraremos algumas delas depois de as ilustrarmos com exemplos. O princípio
geral que rege a elaboração destas regras é o de que não é possível obter um
valor medido indirectamente (portanto resultante de cálculos) com uma incerteza
relativa de ordem de grandeza menor do que a de qualquer dos valores obtidos
em medições directas (utilizados nesse cálculo).
Comecemos por considerar o caso em que se pretende determinar a área de um
rec tângulo, conhecendo as medidas dos seus l ados. Suponhamos que, por
exemplo, essas medidas eram 1 2,4 cm (3 algarismos s ignificativos) e 5 ,7 1 cm
(4 algarismos significativos). O produto destes dois números é 70,804. No entanto,
70,804 cml não é um valor aceitável para a áre ..1 do rectângulo, uma vez que
representmia o conhecimento de uma área em milésimas de cm2 a partir de medidas
conhecidas até às décimas ou centésimas de cm. A contagem de algarismos
significativos permite tornear este problema se considtrarmos que o resultado
[mal tem de ter o mesmo número de algarismos significativos do que o comprimento
que os tem em menor número. O número mais próximo de 70,804 com 3 algarismos
significativos é 7 1 . Por isso, um valor correcto para a área do rectângulo é 7 1 cml.
Este exemplo resulta da regra de determinação dos algarismos significativos de
valores de grandezas que são obtidas por produtos (ou quocientes) de medidas:
o número de algarismos significativos dos valores calculados é igual ao
número de algarismos significativos do factor do cálculo que os tenha em
menor número.
A.A.4.13
Determine a rapidez média de um corpo que percorre 5 1 ,0 cm em 3 , 1
s.
Nas operações em que o valor de uma grandeza é obtido exclusivamente a partir
do valor de outra, o número de algarismos significativos do resultado dever ser
i gual ao número de algarismos sign i ficativos do valor uti l i zado no seu cálcu l o .
[ 36
Exemplos de operações deste tipo são, entre outras, as potências, o logaritmo e
a exponencial6. Assim, por exemplo, se soubermos a área de um quadrado com
um determinado número de algarismos significativos conheceremos o comprimento
do seu lado com esse mesmo número de algarismos significativos.
6
Recorde do capítulo
3
que
certas operações só se p o ·
d e m rea l i zar sobre gra n d e ·
z a s a d i mensionais.
A.A.4.14
Calcule, recorrendo à máquina d e calcular e respeitando a s regras dos
algarismos s ignificativos, os seguintes valores numéricos:
M ; exp ( - 1 ,5 ) ; log (25,3)
Às duas regras j á enunciadas vamos acrescentar uma outra respeitante à utilização
de constantes na medição indirecta de grandezas. De facto, muitas das constantes
utilizadas na determinação, por meio de cálculos, de valores de grandezas são
números irracionais (como rr) ou, tendo sido medidas experimentalmente, são
conhecidas com alguma incerteza (como a constante de gravitação universal) .
Estas constantes devem ser utilizadas nos cálculos de tal forma que possuam pelo
menos mais um algarismo significativo do que o valor medido directamente que
apresente o maior número de algarismos significativos. Se, por exemplo, o raio de
um CÚ'culo for de 5 1 ,2 m (4 algarismos significativos) e pretendermos determinar
o seu perímetro basta utilizar 3 , 1 4 1 6 como aproximação para rr. Nestas condições,
ao produto de uma constante por um valor numérico aplica-se a regra dos
algarismos significativos de um produto. Se não for possível conhecer a constante
envolvida nos cálculos com uma incerteza inferior aos outros valores que nele
intervêm, então devem-se aplicar também à constante as outras regras
(nomeadamente a do produto).
Em muitos casos, a determinação dos valores de umas grandezas a partir dos
valores medidos directamente tem de ser efectuado através de uma sucessão de
cálculos. Neste caso, utiliza-se ainda uma outra regra que é a seguinte: nos cálculos
intermédios utilizam-se valores com mais um algarismo significativo do que o número
de algarismos significativos do resultado final . Consideremos, por exemplo, a
determinação do volume de um cilindro de altura 2 1 ,20 cm e cujo raio da base é
3 ,74 cm. O volume do cilindro pode ser calculado através do produto da sua
altura pelo quadrado do raio da base e por rr, daqui resultando o valor 93 1 ,5988 .
Para que o resultado venha expresso com os algarismos significativos que devem
ser considerados, vamos começar por ver que, neste caso, o resultado final só
pode ter 3 algarismos significativos, uma vez que um dos factores tem 3 algarismos
significativos e o outro 4. A constante rr deverá ser usada com 4 algarismos
significativos: 3, 1 42 . O quadrado de raio da base é 13 , 9 8 7 6 . Caso fosse o valor
. . .
1 37
final, aproveitaríamos 3 algarismos significativos ( 1 4,0), mas como é um valor
intermédio aproveitam-se 4 algarismos significativos ( 13 ,99). Multiplicando pela
altura (2 1 ,20) obtemos 296,588. Como ainda se trata de um valor intermédio
aproveitam-se 4 algarismos significativos (296,6).
Finalmente, o produto por n (3 1 ,42) dá 93 1 ,9 1 . . . Sendo o valor final só pode
ter 3 algarismos significativos. Consequentemente, o valor numérico do volume
do cilindro é 9,3 X 1 02 cm'. Foi necessário usar a notação científica para que
ficasse mais claro o número de algarismos significativos deste resultado. No caso
de serem usadas calculadoras (em que os valores numéricos são representados
com um número de algarismos significativos superior ao do resultado final) é
possível obter o valor final da grandeza medida indirectamente a partir da
representação, com o número de algarismos significativos correcto, do último
valor fornecido pela máquina sem quaisquer arredondamentos intermédios.
.
A .A.4.15
C o nsidere uma grandeza vectorial designada p o r magnitude da
quantidade de movimento e cuja magn itude é o produto da massa pela
velocidade. S abendo que o corpo referido em A . A A . 1 3 tem massa
3 , 1 5 kg determine a quantidade de movimento média desse corpo no
percurso referido em A.AA. 1 3 .
No cálculo de valores de grandezas a partir da soma e subtracção dos valores de
outras grandezas, o número de algarismos significativos do resultado é o que se
obtém do arredondamento desse resultado para a última unidade decimal
correspondente à parcela que tiver menos algarismos decimais. Assim, por exemplo,
suponhamos que temos de determinar o perímetro de u m rectângulo do qual
conhecemos os seguintes valores para as medidas dos lados, 8 1 ,24 cm e
20,2 cm. Somando os comprimentos de todos os lados obtém-se 202,88 cm.
No entanto, o valor do perímetro não pode ser conhecido até às décimas de
nUlímetro uma vez que um dos lados só é conhecido até ao nUlímetro. Logo, o
valor do perímetro do rectângulo tem de ser obtido pelo arredondamento de
202,88; ou sej a, é 202,9 cm.
Ainda que as regras dos algarismos significativos constituam um modo fácil de
apreciação da ordem de grandeza dos erros relativos e uma base simples de
iniciação ao cálculo aproximado, elas só pernUtem uma estimativa grosseira dos
erros e não indicam a acumulação das inceltezas absolutas.
1 38
RESPOSTAS ÀS QUES TÕES DE AUT O-AVALIAÇÃO
A.A 4.1
Num termómetro de mercúrio medimos a temperatura através de um comprimento
(o da coluna de mercúrio) . Assim, a mensuranda é uma temperatura e o sinal de
saída é um comprimento.
eom um biberão é possível medir o volume do líquido que lá se coloca através da
altura que este ocupa no biberão . A mensuranda é, neste caso, um volume e o sinal
de medição um comprimento.
A.A 4.2
o intervalo de funcionamente deste termómetro é o conjunto de temperaturas maiores
do que 3 5 oe e menores do que 42 oe .
No termómetro descrito, uma variação de 1 oe corresponde à variação de 1 cm no
comprimento da coluna de mercúrio. Para efectuar uma estimativa da incerteza
vamos imaginar que efectuamos uma medida. Em geral, a extremidade da coluna
de mercúrio estabilizará entre 2 pontos da escala separados por 0, 1 oe (por exemplo,
entre 37,5 oe e 37,6 0c) e para medida escol hemos aquele valor de que ela nos
parecer mais próximo. É claro que o valor da temperatura não será exactamente
3 7,5°e sendo necessário associar- lhe uma incerteza. Uma das estimativas possíveis
para a i ncerteza na temperatura é efectuada considerando que o intervalo de valores
possíveis para esta grandeza é o conjunto de todos os seus valores que correspondem
a valores da escala que estão mais próximos da divisão 37,5 oe . Ou seja, esta
medida seria ( 3 7 ,50
±
0,05 ) oe , o que corresponde a uma incerteza de 0,05 oe .
Uma estimativa da dispersão pode ser efectuada se considerarmos que a escala do
termómetro está dividida em mm e que uma determinada medida de temperatura
(37,5 oe, por exemplo) será obtida sempre que a coluna de mercúrio tiver um
comprimento maior do que 2,45 cm e menor do que 2,55 cm. Ou sej a, podemos
estimar a dispersão como 0,05 cm.
A sensibilidade pode ser estimada através da razão entre a dispersão e a incerteza
e será, consequentemente, 0,05cm/0,05 oe
=
l cml oe.
A.A 4.3
Na experiência do pêndulo podemos dar como exemplo de erro acidental com
origem no observador o atraso ou adiantamento que existe no accionamento do
cronómetro. Um factor ambiental que pode provocar erros aleatórios é o desloca­
mento de ar que pode afeclar o movi mento do pênd u l o .
1 39
A.A 4.4
o erro efectuado é um erro de leitura que corresponderá a metade da menor divisão
da escala da régua. Assim, o resultado desta medição é (2,50
±
0,05) cm.
A.A 4.5
A incerteza absoluta pode ser estimada como sendo o erro de leitura que no caso
desta régua é 0,05 cm. Assim, as incertezas relativas serão,
para a medida de 1 ,0 cm: 0,05/ 1 ,0
=
0,05
para a medida de 5 , 6 cm: 0,05/5 ,6
=
0,0089
para a medida de 20,2 cm: 0,05120,2
=
�
5%.
�
0,0025
0,89 % .
�
0,25 % .
A.A 4.6
A resolução deste exercício é mais clara se recorrermos ao auxílio de um gráfico
representando a curva de calibração descrita no texto principal.
Nas abcissas representa-se o valor da mensuranda (X) e nas ordenadas o valor lido
no termómetro ( Y). A correspondência entre o valor lido no termómetro ( y oC ) e o
valor da mensuranda (X °C) é feita através da curva de calibração. A curva de
calibração descrita no texto principal está representada por uma linha grossa e a
curva de calibração que seria a correcta através de uma linha tracejada. Como
exemplo de representação sobre o gráfico do erro sistemático, escolhemos a medida
de 40 oe .
A curva de calibração do termómetro descrito no texto principal e representada na
figura tem como equação
Y = 5/4 X
-
(1)
5
E s t a é a equação d a rec t a que p assa pelos pontos ( Xo' Yo)
(X1 , Y1 )
=
=
( 20,20) e
(40,45 ) , a partir dos quais foi efectuada a calibração.
Ao valor lido de 40 °C ( Y = 40 °C) no termómetro, corresponderá, por isso, o valor
de 36 °C da mensuranda (X = 36 °C) . Assim, ao ler um valor de 40 °c no termómetro
é necessário considerar um erro sistemático de -4 oe .
Em geral , à leitura de Y °c corresponderá um erro sistemático de LlX °c, calculado
a partir da diferença entre o valor de X correspondente a Y (equação ( 1 )) e Y:
LlX
140
=
4/5 Y + 4
-
Y � LlX
=
4- YI5
y f'C
45
40 �------��-
,
20
,
,
,
,
,
,
,
,
,-
,
,
,
,-
,-
,
,
,­
20
Assim, a uma leitura de 30 oe ( Y
,
,­
,
-
,
Curva de
c a l i bração
LlX
,
=
erro sistemático asso­
ciado a uma lei t u ra de
40 °C.
36
=
,
,
'
40
45
X f'C
30 Oe) corresponderá um erro sistemáti co de
-2 oe (M = -2 °C) e a uma leitura de 25 oe ( Y = 25 °C) um erro sistemático de - 1 oe
(M= - 1 ) .
A.A 4.7
o valor médio das distribuições obtidas nestas experiências calcula-se através da
expressão (4.3) do texto principal . Na experiência 1 obtém-se 2, 1 32727 . . . e na
experiência 2 o resultado é 2, 1 4 1 8 1 8 . . .
o desvio padrão é calculado uti l izando a expressão (4.4) do texto principal . Na
experiência I ele é 0,01 8488 . . . e na experiência 2 é 0,034876 . . .
Note que existem muitas máquinas de calcular e programas de computador que
apresentam a capacidade de efectuar estes dois cálculos de forma automática a
partir da simples i ntrodução da l i sta de valores medidos (máquinas ou programas
com funções associadas à estatística). A forma de real izar estes cálculos
automaticamente encontra-se, em geral , descrita nos respectivos manuais.
A.A 4.8
No exercício A.A.4.7 real izámos apenas cálculos matemáticos. Somente neste
problema vamos, a partir destes cálculos, estimar valores para o valor conven­
cional mente verdadeiro resultante das experiências descritas e para a incerteza
141
associada. Este passo é efectuado aplicando a expressão (4.5) aos resultados obtidos
em AA.4 . 7 e efectuando arredondamentos que tomem os resultados significativos
(ver secção 4.6). A incerteza associada às experiências é obtida através da divisão
do desvio padrão obtido em AA4.7 pela raiz quadrada do número de medições
(l I em ambos os casos) . Desta divisão resulta, para a experiência I, o valor numérico
0,00557434 . . . e para a experiência 2, o valor numérico 0,0 1 05 1 5 5 . . . A incerteza é
obtida a partir do arredondamento destes valores de forma a apresentarem apenas
um algarismo não nulo. Assim, na experiência 1 a incerteza será 0,006 s e na
experiência 2 será 0,01 s. Os valores convencionalmente verdadeiros são obtidos
dos valores médios das distribuições através do arredondamento destes últimos de
forma a que tenham o mesmo número de casas decimais da incerteza respectiva.
Assim, o valor convencional mente verdadeiro será 2, 1 33 s na experiência 1 e 2, 1 4 s
na experiência 2 .
A s medidas dos tempos podem, pois, ser expressas dos seguintes modos :
(2, 1 3 3 ± 0, 006) s; (2, 1 4 ± 0,0 I) s. Estas medidas mostram que os resultados da
experiência 1 são menos dispersos do que os resultados da experiência 2.
A.A 4.9
O perímetro, P, de uma circunferência é calculado a partir do comprimento R do
seu raio através de P
=
2 rrR. No caso presente, o valor de R foi medido e apresenta
uma incerteza associada M. Portanto, o perímetro terá também uma incerteza
associada, /1P que pode ser calculada por:
P ± /1P
=
2
n
(R ± /1 R)
<==>
P ± /1P
=
2
n
R±2
n
/1 R
Utilizando os valores dados no enunciado, arredondando a incerteza para apenas
um algarismo não nulo e arredondando P para um valor com o mesmo número de
casas decimais da incerteza, obtém-se:
P ± /1P = (32,7 ± 0,3) cm
A área do círculo, A, pode ser calculada a partir do comprimento do seu raio utilizando
A = n R2. No caso presente, dada a i ncerteza associada à medição de R, teremos
para a área :
A
±
M = n (R
±
/1 R) 2
Desenvolvendo esta expressão e desprezando o termo proporcional a (/1 R)2 obtém-se:
A±M
= n
R2 ± 2
n
R /1 R
Utilizando os valores fornecidos no enunciado e procedendo aos arredondamentos
devidos, o resultado final é:
A ±�
1 42
=
(85
±
2)
cm2
A.A 4. 1 0
Apesar de matematicamente os números 2,00 e 2,0 serem iguais, n o contexto das
medidas (neste caso, as massas de dois corpos), eles correspondem a valores
diferentes. A medida 2,00 kg corresponde a um valor para a massa contido no
intervalo ] 1 ,99;2,0 I [ (kg) . Por seu turno, a medida 2,0 kg corresponde a um valor
para a massa contido no intervalo ] 1 ,9 ;2, I [ (kg) . Não é possível pois afirmar que os
corpos têm a mesma massa. Apenas se pode concluir destas medidas que as massas
destes dois corpos diferem, no máximo, de O, I I kg (diferença entre o limite superior
de um dos intervalos e o limite inferior do outro intervalo) .
A.A 4 . 11
Aplicando as regras enunciadas no texto principal obtém-se:
1 ,2 1 0 m
-
4 algarismos significativos (o I , o 2 e o I exactos e o O,
aproximado) .
1 2 1 ,0 cm
-
4 algarismos significativos (o I , o 2 e o I são exactos e o O é
aproximado)
56,78 m
-
5 algarismos significativos (o 5 corresponde a 2 algarismos
exactos, o 6 e o 7 são algarismos exactos e o 8 é um algarismo
aproximado).
Com aplicação semelhante das regras dos algarismos significativos, obtém-se p ara
os restantes valores:
1 00,4 m
-
4 algarismos significativos.
754,2 m
-
5 algarismos significativos.
A.A 4.12
Para a medida (20,4
±
0,2) mm a incerteza relativa é 0,2/20,4 que é da ordem de
1 0.2 e para a medida (8 1 ,2 ± 0,3) mm a incerteza relativa é 0, 3/8 1 ,2 que é da ordem
de 1 0.3• Assim, a primeira medida, que tem 3 algarismos significativos, apresenta
uma incerteza relativa da ordem de 1 0.2, enquanto que a segunda, tendo mais um
algarismo sign ificativo (4) apresenta uma incerteza relativa que é uma ordem de
grandeza inferior ( l 0·3 ) .
143
A.A 4. 1 3
A rapidez média é obtida a partir da razão entre o espaço percorrido (tu) e o tempo
v =
demorado a percorrer esse espaço (Llt) :
LlsILlt. No presente caso tem-se Lls
=
5 1 ,0 cm (4 algarismos significativos) e Llt= 3 , 1 s (2 algarismos significativos) . O
cálculo de v efectua-se dividindo Lls por Llt e arredondando o valor desta razão para
um número que possua 2 algarismos significativos (o correspondente à medida
envolvida neste cálculo que tem menor número de algarismos significativos, o
intervalo de tempo. ) Assim, 5 I ,0/3, I
=
1 6,45 1 6 1 . . . ; arredondando este valor para
um número com 2 algarismos significativos obtém-se
v =
1 6 cm/s
A.A 4. 1 4
Com o auxílio de uma máquina de calcular obtém-se
.)1 ,25
=
1 , 1 1 803 . . . . Como só
podemos ter 3 algarismos significativos (o mesmo número de 1 ,25), o resu ltado é
.F,25
=
1 , 1 2.
Da mesma forma exp (- 1 , 5 )
=
0,223 1 30 . . , o que com dois algarismos significativos
.
se transforma em exp ( 1 , 5 ) = 0,22. Finalmente, log (25,3)
-
3 algarismos significativos fica log (25,3)
=
=
3 ,23080 . , o que com
.
.
3,23.
A.A 4. 1 5
A quantidade de movimento, p , é
p = m v
Utilizando os valores dados em A.A 4 . I 3 e nesta questão obtemos neste cálculo o
valor numérico 5 1 ,82258 . . Para descobrir quais os algarismos significativos do
.
resultado final é necessário ter em conta que
,0.s tem
m
tem 3 algarismos significativos,
3 algarismos sig n i fi c ativos e ,0.1 tem 2 algarismos significativos.
final só poderá ter 2 algarismos significativos. O valor de
v
O resultado
obtido em A.A 4. 1 3 ,
porque é um valor intermédio no cálculo, deve entrar com 3 algarismos significativos:
1 6,4 cm/s. Multiplicando pela massa (3, I 5 kg) obtemos 5 1 ,66 kg cm/s. O resultado,
porque só pode ter 2 algarismos significativos é 5
x
1 0 kg
x
cm/s. Note que teria
obtido o mesmo resultado se considerasse o valor fornecido pela «máquina»
(5 I ,8225 8 ) com 2 algarismos significativos.
1 44
APÊNDICE
Apêndice
1
-
Símbolos Recomendados pela ISO para as
Principais Grandezas Físicas
1
Esta e as outras tabelas que
se s e g u e m b a s e i a m - s e n a s
ISO
1 992, a
Normas I n ternac i o n a i s
31,
Espaço e tempo'
3.'
a
e d ição de
última que foi publ icada até
ao m o m e n t o .
Grandeza
ângulo (plano)
Símbolo
a, fJ, y, 8, rp
ângulo sólido
Q
comprimento
l, L
Grandeza
Símbolo
curvatura
X
A,
área
(5)
volume
V
largura
b
tempo, intervalo de tempo
t
altura
h
velocidade angular
úJ
aceleração angular
a
espessura
d,
s
velocidade
v, c, u , v, w
d, r
aceleração
a
aceleração da gravidade
g
comprimento de trajectória
distância
coordenadas cartesianas
S
x, y, z
--
p
raio de curvatura
Fenómenos periódicos
Grandeza
Símbolo
T
período, tempo periódico
freq uência
v
f,
Grandeza
vel ocidade de fase
velocidade de grupo
Símbolo
c, v,c
ljl
,vljl
Cg ,vg
frequência rotacional
n
coefic. de amortecimento
S
freq uência angular, p ulsação
úJ
decrescimento logarítmico
A
comprimento de onda
A.
coeficiente de atenuação
a
número de onda
cr
coeficiente de fase
j3
número de onda angular
k
coeficiente de propagação
r
1 49
Mecânica
Grandeza
Símbolo
Símbolo
massa
m
pressão
p
massa volúmica, densidade
p
tensão normal
(J
densidade relativa
d
tensão de corte (de cisalha-
volume mássico
v
densidade linear
PI
densidade superficial
PA ' Ps
I, J
momento de inércia
r
mento)
deformação linear
E, e
r
deformação de c i salhamento
módulo de elasticidade
E
c ompressibilidade
X
momento
p
factor de atrito estático
força
F
factor de atrito dinâmico
fl, (j)
viscosidade
77 (fl)
y, (J
peso
1 50
Grandeza
Fg ,
(P), (W)
f.1"
(Is)
impulso
1
tensão superficial
momento angular
L
energia
E
momento da força
M
trabalho
W
momento de um binário
M
potência
P
torque
M
eficiência
77
impulso angular
H
taxa de fluxo de massa
qm
Calor
Grandeza
te mperatura ter modinâ mica
t empe a
r tu a
r Ce lsiu s
T
t, e
c oefc
i iente de di ata
l çã o inear
l
c oeficient e de di ata
l çãocúbica
av, a
capaci dade tér mica
C
ca paci da deté rmica má ssica
c
ca paci da de té rmica
Oí
Símbolo
Grandeza
Símbolo
má ssica
a pre ssã oc on stante
.
cp
ent ropia
S
c oeficiente e
r ativ
l
o de pre ssão
lXp
entr opia má ssica
s
c oeficiente de pressão
fJ
ene rgta
E
XT
ene rgia ter modinâ mica
U
Xs
enta l pia
H
c ompre ssibi il da de
i soté rmica
c ompre ssibi il da de
i sent ró-
pica
ca lor,quanti da de de ca l or
Q
ener gia il vre de He l mholtz
A
ta xa de f u
l xo de ca lor
cp
ene rgia ilv re de Gibb s
G
c on dutivi da de té rmica
A (x)
coef. de tran sfe êr ncia de ca lor
K (k)
c oe .
f de i sola ment oté rmic o
M
re si stência té rmica
R
c on dutância té rmica
C
di u
f sivi da de té rmica
a
e
ene rgia má ssica
ene rgia t ermodinâ mica má sslca
h
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ener gia
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de
He l mholtz
má ssica
ener gia ivre
l
de Gibb s má ssic a
fun ção de Planck
u
f
a,
g
y
15\
Electricidade e magnetismo
Grandeza
c orre nte eléct irca
ca g
ra
e éct
l
irca, qua nt .
dc
e ect
l
irci da de
pe rmeabil ida de
J.1.
Q
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J.1.r
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de nsida de su pe rfic ai l de carga
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mome nt o mag nétic o
E
mag netiza ção
do ca mpo e éc
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t irc o
pote nc ai le él ct irc o
di e
f er nça de pote nc ai l,te nsão
f orça e el ctr omot riz
Símbolo
I
de nsi da de v olú mica de ca g
ra
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V,
rp
U, (V)
su sceptibi il da de mag nética
pola riza ção mag nét ca
i
l
rode nsi d. de e nergia e ect
mag nética
vect or de Poy nti ng
E
X,Xm
m
M,Hi
J, Bi
w
S
flu xoe éct
l
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R
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D
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G
P
C
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l
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ric o
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do ca mpo ma -
g nét ci o
f orça mag net omot riz
e
r utâ
l
nc ai
R, R m
P
pe rmeâ nc ai
A, (P)
P, (Pe)
i mpe dâ ncia
Z
H
reactâ ncia
X
F, Fm
a dmitâ ncia
y
x,Xe
fu
l xo mag nétic o
de nsi da de
de
fu
l xo mag né-
t ci o,i ndu ção mag nét ci a
i ndutâ nc ai ( pró pria)
i ndutâ nc ai mútua
c oefic ei nte de ac opla me nt o
152
Grandeza
Símbolo
M,
ljJ
su sce ptâ nc ai
B
B
potê ncia act va
i
( ou eficaz)
P
L
potê ncia a pa e
r nte
S, (Ps)
potê ncia e
r activa
Q, (PQ)
a
f ct or de potê nc ai
À.
Lmn
K
Luz
Grandeza
energia radiante
densidade de energia radiante
potência radiante
Símbolo
Q, W, (Qe)
Grandeza
eficácia luminosa
eficácia luminosa espectral
W
P, (jJ, ((jJe)
eficiência luminosa
Símbolo
K
K(Â)
V
intensidade radiante
I (le)
eficiência luminosa espectral
V(Â)
radiância
L (Le)
factor de absorção espectral
a(Â)
irradiância
E (Ee)
factor de reflexão espectral
p(Â)
factor de transmissão espectral
r(Â)
factor de radiância espectral
P( Â)
densidade óptica
D(Â)
emissi vidade
emissi vidade espectral
fluxo fotónico
lO
E(Â)
(jJ p'
(jJ
intensidade fotónica
Ip, I
coeficiente de atenuação linear
luminância fotónica
Lp, L
coeficiente de absorção linear
a
irradiância fotónica
Ep, E
índice de refracção
n
intensidade luminosa
I, (lv)
distância objecto
p
fluxo luminoso
(jJ , ($v)
distância imagem
'
p
quantidade de luz
Q, (Qv)
distância focal
f
luminância
L, (Lv)
vergência, potência da lente
iluminância
E, (Ev)
11
II!,
153
Som
Grandeza
pressão estática
Ps
pressão do som
P, (Pa)
velocidade do som
velocidade de grupo
densidade de energia sonora
potência sonora
c,
CCa)
eC g)
w,
(w,,)
P, Pa
Grandeza
nível de potência sonora
constante de tempo
r
coeficiente de atenuação
a
coeficiente de propagação
y
factor de dissipação
factor de reflexão
impedância acústica
Za
factor de transmissão
impedância mecânica
Zm
factor de absorção
impedânc. característica de
Zc
tempo de reverberação
Lp
Lw
6
I, J
nível de pressão sonora
Símbolo
coeficiente de amortecimento
intensidade sonora
um meio
154
Símbolo
LJ,1fI
R, (p)
r
a, eaa)
T
Apêndice 2
-
História das Unidades de Medida
e dos Sistemas de Unidades
1.
A medição do tempo
A necessidade de medir quantidades está ligada à história dos povos. A medição
do tempo surgiu naturalmente com o facto de o ser humano se dar conta de que
havia fenómenos periódicos no céu. No antigo Egipto, os sacerdotes serviram-se
de conhecimentos rudimentares de astronomia para acordarem na medição do
tempo em anos, cada um com 365 dias. O ano egípcio compreendia 12 meses de
30 dias e mais 5 dias "complementares".
o dia foi fixado em 24 horas, a hora em 60 minutos e o minuto em 60 segundos
(o uso deste valor 60 é uma herança dos babilónios, que adoptavam um sistema
de numeração de base 60).
Mas à medida que aumentou o progresso da ciência este conceito de ano foi-se
construindo e reestruturando, diferenciando e enriquecendo.
Assim, e para referirmos apenas alguns passos históricos notáveis, diremos que
em 47 a. C. Júlio César (c. 101-44) promulgou a refolma do calendário organizado
pelo astrónomo alexandrino Sosígenes. O ano juliano iniciava-se no dia 1 de
Janeiro e possuía 12 meses. Os meses ímpares tinham 3 1dias e os pares 30 dias,
excepto Fevereiro que possuia 29 dias. De 4 em 4 anos havia um ano bissexto
em que Fevereiro acrescentava mais um dia. Com isto julgava-se tomar o ano
coerente com o período da Terra em volta do Sol, estipulado em 365 dias e 6
horas. O ano juliano tinha pois este valor.
O imperadorAugusto deu o seu nome aAgosto e acrescentou-lhe 1 dia retirando­
o a Fevereiro, pelo que não alterou em nada o valor do ano.
Posteriolmente, a partir do século X II I, iniciaram-se estudos astronómicos de
maior precisão, que vieram a detectar uma diferença, por excesso, do ano juliano
em relação ao período da Terra em volta do Sol de 11 minutos e 9 segundos.
A data do equinócio da Primavera foi alterada de 25 de Março para 21 do mesmo
mês, à data do Concílio de Niceia e, posteriormente, em 1583, para 11 de Março.
Consciente do facto de todos os estudos apontarem no sentido de o calendário
juliano apresentar erros considerados grosseiros para a sua época, o papa Leão
X, no séc. XV I, pediu a colaboração das universidades e dos astrónomos para a
correcção do calendário juliano. Finalmente o papa Gregório Xli aprovou, em
4 de Fevereiro de 1582, um novo calendário a que para sempre ficou ligado o
seu nome: o calendário gregoriano. O equinócio da Primavera foi fixado em
2 1 de Março. O ano tem exactamente 365 dias, mais 5 horas, 49 minutos e
12 segundos.
Actualmente, em ciência, e, em particular, na Astronomia, o ano assumiu
designações diferentes, consoante a base em que assenta a sua definição: ano
sideral, ano trópico, ano anornalístico, etc. Os seus valores não são iguais.
157
A unidade fundamental (hoje diz-se unidade de base) de tempo é o segundo. A
primeira definição de segundo que foi muito aceite a nível internacional foi a
seguinte: segundo é a fracção 1/86 400 do dia solar médio. O dia solar médio é
o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas do Sol pelo meridiano
do mesmo lugar.
Porém, dada a irregularidade do movimento de rotação da Terra e o facto de o
dia terrestre aumentar 1/ 16 s por século, passou então a adoptar-se o movimento
de treanslação da Terra e não o seu movimento de rotação. Considerou-se então
o ano trópico, ou seja o tempo decorrido entre duas passagens consecutivas,
pelo mesmo equinócio, da Terra, ao longo da sua órbita em torno do Sol.
Rigorosamente o ano trópico correspondeu, em 1900, a 365,242 198 78 dias
solares médios e tem vindo a sofrer um decréscimo de 0,000 006 14 dias solares
médios por século. Assim, na 10. a CGPM foi aprovada uma definição de segundo
em que esta unidade era equivalente a uma fracção do ano trópico, relativo ao
ano de 1900. Esta definição astronómica de segundo,devido entre outros factores
à enorme desvantagem resultante da variação do ano tró pico, acabou por ser
substituída.
A actual definição de segundo viria a ser estabelecida na 13.a CGPM, realizada
em Paris em Outubro de 1967.
2.
A medição do espaço
Um outro tipo muito antigo de medição diz respeito ao espaço. As medidas antigas
eram geralmente baseadas no corpo humano. Um exemplo conhecido de uma
unidade de comprimento muita antiga é o cúbito egípcio. Surgiu por volta de
3000 a. C. e foi definida com base no com primento de um antebraço desde o
cotovelo até às pontas dos dedos estendidos de uma mão aberta.
A figura seguinte mostra uma parte de uma barra que corresponde a um cúbito
egípcio de 600 a. C.
158
Esta unidade perdurou durante milhares de anos. Por volta de 2500 a. C. ela foi
padronizada na forma de uma barra de mármore preto, com 52,4 cm de
comprimento e este padrão ficou conhecido como o cúbito real. Ele estava dividido
em 28 dígitos (aproximadamente com a espessura de um dedo cada).
Em Inglaterra, as unidades de medida só foram padronizadas no século X I I I,
ainda que muitos padrões tenham surgido. Tratava-se de padrões primitivos,
dís pares, de carácter bastante regional.
As unidades de comprimento utilizadas em Inglatena eram, por exemplo:
a jarda
distância entre o nariz do rei Henrique I e a extremidade do
polegar da sua mão; o seu valor é 92 cm.
o pé
com primento do pé do referido rei; o seu valor é 30,48 cm ..
a polegada - largura do polegar do rei; o seu valor é 2,54 cm.
Outros povos usavam outras unidades diferentes: o passo, o côvado (66 cm), a
vara ( 1,1 m),o tiro de pedra, etc.
O im pulso decisivo no sentido da uniformização das unidades foi dado pela
Revolução Francesa. O decreto da Convenção de 1 de Agosto de 1793
estabeleceu o novo Sistema de Pesos de Medidas baseado na medição do
meridiano da Tena e na divisão decimal.
Em 1795, a Comissão encarregada pelo governo francês de criar o Sistema Métrico
estabeleceu a designação da unidade fundamental (hoje diz-se unidade de base)
de com primento deste sistema, o metro, baseando-se numa palavra grega que
significa medida.
O Sistema Métrico acabou por ser oficialmente estabelecido em 1799, com a
declaração ex pressa de "ser para todos os povos, e para todo o sem pre".
A unidade de comprimento, o metro, foi então defrnida como a décima milionésima
parte do quarto do meridiano tenestre. Portanto, trata-se de uma fracção da
distância de um pólo tenestre ao E quador. Como era uma tarefa demasiado
com plicada medir directamente todo um meridiano, foi medida por Delambre e
Méchain uma parte compreendida entre duas cidades, Dunquerque e Barcelona,
e feita a extrapolação para todo o meridiano. O padrão de metro resultante desta
medição foi materializado numa régua feita àbase de platina que foi arquivada em
22 de Junho de 1799.
Este padrão era pouco preciso por duas razões: em primeiro lugar os arcos de
meridiano não são iguais em virtude da forma da Terra não ser, senão
aproximadamente, esférica; por outro lado, não era fácil medir comprimentos
num meridiano. Além disso, como o metro era a distância entre as extremidades
159
da régua, estas estavam sujeitas a desgaste e não havia garantia de invaria­
bilidade.
Não admira pois que, em 1875, tenha sido mudado o padrão do metro. Foi em
20 de Maio desse ano que foi assinada a chamada Convenção do Metro pelos
representantes de 17 países e se criou o Comité Internacional de Pesos e Medidas,
órgão internacional que acabou por propor uma nova definição de metro baseado
num novo padrão. Assim, a
1.a Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM),
realizada em Paris em 1889, sancionou a seguinte definição de metro:
Metro é a distância, a O °C e à pressão nOlmal, entre dois traços marcados perto
das extremidades de uma barra de platina iridiada que está arquivada no Pavilhão
de Breteuil, em Sevres, perto de Paris.
A liga usada para construir o metro-padrão
(90 % de platina e 10 % de irídio)
bem como a respectiva secção em X foram pensadas para conferir rigidez e
inalterabilidade ao mesmo.
A cada país que aderiu à Convenção do Metro foi distribuída uma cópia do
metro-padrão a fim de servir de protótipo para verificação das medidas de
comprimento no respectivo país. A Portugal coube receber a cópia n.O 10.
Em 1927, na 7.a CGPM, a definição de metro, ainda que baseada no mesmo
padrão (o Protótipo Internacional do Metro de
1889) foi muito mais pormeno­
rizada para responder às necessidades de rigor metrológico daquela época. Na
definição ia-se ao ponto de referir o modo como o protótipo devia ser apoiado
(em dois cilindros, de que era dada a distância).
Este padrão do metro viria a perdurar até 1960. Neste ano, devido à necessidade
cada vez mais imperiosa de grande exactidão metrológica para dar resposta à
necessidade de rigor nas experiências científicas, um outro padrão de metro
completamente diferente surgiu. Em Outubro deste ano realizou-se a
11.a Conferência Geral de Pesos e Medidas onde, por acordo unânime dos
delegados dos 32 países representados, a definição de metro passou a ser esta:
O metro é um comprimento igual aI
650 763,73 vezes o comprimento de onda,
no vazio, da radiação laranja do gás crípton 86.
Este padrão de metro, o chamado padrão óptico do metro, foi, como sabemos,
substituído pelo padrão actual, baseado na velocidade da luz no vácuo, através
da Resolução 1 da
160
17.a CGPM, ocorrida em 1983.
3.
A medição de outras grandezas
Vimos que durante muito tempo proliferaram as mais variadas ui
n dades da mesma
grandeza o que dificultava o funcionamento dos circuitos de comercialização.
No que respeita à grandeza massa, usaram-se, por exemplo, o arrátel (459 g), a
libra inglesa (4533,592 g), a arroba (aproximadamente 15 kg), etc.
Actualmente, a unidade fundamental é o quilograma, cuja defInição, como sabemos,
é a massa do protótipo internacional de massa arquivado em Sévres e que é
constituído por um cilindro de platina iridiada com 39 mm de altura e 39 mm de
diâmetro. A sua definição foi estabelecida na 3. a CGPM, em 1901 (página 70 das
actas). Mas a adopção do quilograma como fazendo parte do Sistema Métrico já
tinha ocorrido em 1799. Com efeito, ao mesmo tempo que o protótipo do metro
era materializado numa régua à base de platina, o protótipo do quilograma era
materializado num cilindro também à base de platina.
A massa desse cilindro era suposto traduzir com exactidão a massa de 1 dm3 de
água destilada à temperatura de 4 oe .
1.a Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), realizada em Paris em
1889, manteve a validade do mesmo padrão de massa.
A
No entanto, em 1901, já as medições de massa eram efectuadas com uma exactidão
tal que foi possível verificar que a massa do quilograma-padrão era diferente da
4 oe . Com efeito, verificou-se que a massa
4 °C é 0,999 972 kg, isto é, difere do quilograma
massa de 1 dm3 de água destilada a
de 1 dm3 de água destilada a
cerca de 3 cg. Assim sendo, o quilograma deixou de ser definido como a massa
de 1 dm3 de água.
o padrão de quilograma é o único que ainda está ligado a um objecto material.
Espera-se que ele venha a ser defrnido a partir de uma constante física importante
_
a constante de Avogadro (Almeida, 1997, p.
76). Mas isso só virá a suceder
quando esta puder ser medida com maior exactidão do que é hoje (incerteza
relativa inferior a 10-8).
A medição da temperatura remonta ao início do século XVII quando aos
termoscópios antigos começaram a ser associadas medições quantitativas. Muitos
são os cientistas dessa época que se aponta terem construído termómetros. Van
Helmont construiu indiscutivelmente um (Schurmann, p. 503) já com determinados
pontos fixos, pelo que alguns autores consideram-no o inventor do termómetro.
Porém, a escolha do ponto do vapor (temperatura do vapor de água em ebulição)
e do ponto do gelo (temperatura do gelo em fusão) não são de van Helmont, só
surgindo já na segunda metade do século XVII, quando existia a Academia dei
Cimento, que se supõe estar ligada a essa escolha.
16 1
Foi já em
1703 que Amontons construiu o primeiro termómetro de ar em que se
corrigia o erro causado pela pressão atmosférica.
As três primeiras e famosas escalas termométricas surgiram pouco tempo depois:
a primeira foi a de Fahrenheit, em 17 14, a segunda a de Réaumur, em 1730, e a
terceira a de Celsius, em
1742. Todos fabricaram termómetros de grande precisão
para a época, os dois primeiros com álcool e o último com mercúrio.
Um avanço importante surgiu com o estabelecimento da escala absoluta de
temperaturas, que como sabemos começa num zero «real», não admitindo
temperaturas negativas, e nada tem a ver com as propriedades deste ou daquele
corpo. Foi estabelecida por Kelvin em 1851.
Outros processos de medir a temperatura também tiveram a sua história
(pirómetros, termómetros de resistência, termopares, etc).
Quadro de escalas termométricasl
'ln Almeida, 1997, p. 220.
Escala de--7
Uni dade (sí mbo o)
l
Te mpe ratur a deá gu a
e mebu il ção
Te mpe ratur a de
fu-
s ão do gelo
Nú me ro
de
pontos
Kelvin
Fahrenheit
Rankine
Réaumur
gr au Celsius
ke v
l n
i
gr au F ah renhe ti
gr au R ank n
ie
gr au Ré au mur
(0C)
(K)
O
( F)
OR)
100°C
373, 15K
QOC
273,15 K
.
(
(0
r)
2 12°F
671,67°R
800 r
32°F
491,67°R
O°r
divisões
d a escal a ent re
dois
Celsius
os
ante-
100
100
180
180
80
-273,15°C
OK
-459,67°F
OOR
-218,52°r
r ores
i
Zero abso uto
l
Actualmente, com o Sistema Internacional em vigor, apenas são aceites as unidades
°C e K. Estas duas unidades traduzem exactamente a mesma variação da
temperatura, isto é, as unidades de intervalo ou diferença de temperatura são
idênticas, Por isso, o gr;m Celsius é aceite como uma unidade igual ao kelvin
usada para traduzir as temperaturas medidas na escala Celsius, muito adoptada
na prática,
162
Sabemos já que o kelvin acabaria por ser definido a partir de uma fracção da
temperatura termodinâmica do ponto triplo da água, tendo essa definição sido
sancionada pela l3.a CGPM, em 1967.
No domínio do electromagnetismo, o estudo quantitativo sistemático iniciou-se
no século XIX. Ohm foi um dos primeiros a adoptar medidas exactas nos estudos
de Electromagnetismo.
Lenz, Jacobi, Weber,Siemens, Kohlrausch, entre outros, distinguiram-se no campo
das medidas eléctricas.
A electrólise também prestou o seu contributo já que permitiu padronizar o coulomb
do seguinte modo: carga eléctrica capaz de depositar, por electrólise, 1,1 1800 mg
de prata a partir de uma solução de nitrato de prata. Entretanto esta unidade,
designada por coulomb internacional, acabou por ser substituída pelo chamado
coulomb absoluto, ou só coulomb, ligeiramente superior ao anterior, definido a
partir da unidade de base am pere, definido a partir da acção de correntes. Estas
definições foram sancionadas pela 9.a CGPM, em 1948.
No domínio da luz, sabemos que a unidade de base do Sistema Internacional é a
unidade de intensidade luminosa e designa-se por candeIa. Ela já era adoptada
em sistemas de unidades anteriores e veio substituir uma unidade prática chamada
vela internacional. Esta era definida com base num grupo de lâmpadas eléctricas
cujos protótipos foram guardados em Washington, Paris e Londres.
Foi em 1940 que a Comissão Internacional de iluminação definiu a candeIa (anterior­
mente denominada vela nova) e a 9.a CGPM, realizada em 1948,decidiu adoptá-la.
No domínio da Acústica, o primeiro passo para quantificar a chamada sensação sonora
foi realizado por Weber e Fechner, e desse esforço resultou a lei que tem os seus
nomes. Na sequência desses estudos viria a resultar a escala de níveis de intensidade
sonora, e as conhecidas unidades em que este se exprime, o bel e o decibel.
4.
A evolução histórica dos sistemas de unidades
4.1
Os sistemas do domínio da Mecânica
No domínio da Mecânica diversos sistemas se impuseram ao longo dos tempos.
o mais antigo foi, como já sabemos, o sistema métrico, surgido em França.
Deste sistema derivaram alguns outros que fizeram história.
Um destes sistemas foi o CGS. Estas letras são as iniciais de centímetro, grama e
segundo, as unidades de base adoptadas.
163
Outro sistema muito usado foi o MKS. As unidades de base neste sistema são o
metro, o quilograma (unidade de massa) e o segundo.
Um outro sistema igualmente derivado do sistema métrico foi o sistema francês
MTS (metro, tonelada, segundo)
Estes três sistemas, para além de coerentes, são ditos absolutos, pois as suas
unidades de base não dependem do local, não são influenciados pela gravidade
local.
Aos sistemas absolutos opõem-se os sistemas gravitatórios que não são inde­
pendentes do local.
Um sistema gravitatório que surgiu na mecânica derivado do sistema métrico foi o
MK S, cujas unidades de base são o metro, o quilograma-peso ou quilograma­
p
-força (unidade de força) e o segundo. O quilograma-peso é o peso local do
quilograma (unidade métrica de massa).
Na Inglaterra e nos Estados Unidos, bem como em muitos países politicamente a
eles ligados, vingou um outro sistema, o Sistema Imperial Britânico (Sffi).
A unidade de comprimento neste sistema é a yard Garda). Equivale a 0,9 1 4 398 4 m.
Trata-se de um padrão que foi aprovado por uma lei do Parlamento Britânico de
1 878. Note-se que nos Estados Unidos, a jarda é definida em relação ao metro
(3600/3937 do metro), pelo que o seu valor é ligeiramente diferente: 0,914 40 1 8 m.
A unidade de massa do SIB é a pound (libra). Também foi adoptada como padrão
pela referida lei do Parlamento Britânico e equivale a 0,453 592 338 kg. Nos
EU, a libra é definida relativamente ao quilograma por decreto de
1 893, pelo que
o seu valor é ligeiramente diferente: O, 453 592 427 7 kg.
Do SIB surgiram dois sistemas que vamos referir em seguida.
Um deles é um sistema absoluto: o FPS. As suas unidades de base são a de
comprimento, o root (pé, que vale
1 /3 da jarda), a de massa, a pound (libra) e a
de tempo, o second (segundo).
Um outro é um sistema gravitacional que difere do anterior por ter uma unidade
de força em vez da unidade de massa. Essa unidade é a libra-peso e define-se
precisamente como o peso de um corpo de massa I libra.
Para estes sistemas derivados do SIB, a unidade de temperatura é o grau
Fahrenheit (OF).
As relações ente as medidas inglesas de comprimento são as seguintes (respeitando
a designação de origem):
1
164
mile = 8 furlongs
1 furlong = 10 chains
1 chain = 22 yard s
1 yard
=
3 feet
1 foot = 12 inche s
Para a massa temos (igualmente re speitando a designação de origem):
1 stone
=
1 pound
14 pound s
=
16 ounce s
1 ounce = 437,5 grains
Quanto às conversões para as unidade s decimai s, é bom ter pre sente que, quer
em Inglaterra quer nos E UA:
1 yard
=
1 pound
0,9 14 4 m
=
0, 453 592 37 kg
1 gallon (líquido) = 3,785 4 11 784 litros
4.2 Os sistemas de unidades electrostático e electromagnético
No domínio do Electromagnetismo há necessidade de definir uma quarta unidade
fundamental.
Neste domínio impera a teoria de Maxwell, da qual resultou uma admirável síntese
entre a Óptica,a Electricidade e o Magnetismo.
Essa síntese traduz-se, entre outras formas, na relação muito simples que se segue:
Nesta relação a repre senta a velocidade da luz no vácuo, c a con stante electro­
magnética fundamental que entra nas leis fundamentais do Electromagneti smo, Eo
a permitividade eléctrica do vácuo e 110 a permeabilidade magnética do vácuo.
Um dos sistemas que, por simplicidade das fórmulas básicas do Electromagnetismo
(de Coulomb, de Biot e Savart, etc.) foi muito usado em trabalhos teóricos foi o
Sistema de Gauss. Convencionou- se considerar, ne ste sistema
165
Neste sistema a constante electromagnética c tomou-se equivalente à velocidade
daluz:
a =c =
2,997 92 x 1010 crn/s (valor experimental)
Em todos os outros sistemas de unidades convencionou-se fazer a constante
electromagnética
1
c =
pelo que a relação entre as constantes fundamentais anteriormente a presentada
se converteu em
ou em
se passarmos a adoptar a letra
c
para velocidade da luz no vácuo, como se faz
habitualmente.
Do sistema CGS derivaram então dois sistemas de unidades diferentes, o Sistema
Electrostático CGS e o Sistema Electromagnético CGS, ambos respeitando esta
relação.
Assim, no Sistema Electrostático CGS, convencionou-se atribuir à permiti­
vidade eléctrica do vazio o valor
E =
o
1
pelo que a permeabilidade magnética do vácuo vem igual a
11 o =
1
-2
c
=
(2,997 92 x 1010)-2 unidades CGS
Pelo contrário, no Sistema Electromagnético CGS, convencionou-se atribuir
à permeabilidade magnética do vácuo o valor
11
0
=
1
pelo que a permitividade eléctrica do vácuo vem igual a
E =
o
166
�
c
=
(2,997 92 x 1010).2 unidades CGS
4.3 As unidades internacionais e o sistema prático de unidades
Algumas das unidades dos sistemas electrostático CGS e electromagnético CGS
utilizada s na prática têm valore s inconveniente s (ou demasiado grandes ou
demasiado pequenos). A ssim, por exemplo:
a unidade electro stática CG S de inten sidade de corrente tem o valor
1 n A , Isto
'
,
e,
3
_
1
-
X
10-9 A-
,
3
a unidade electromagnética CG S de r e si stência tem o valor
1 nQ = 10-9 Q;
a unidade electrostática CG S de resi stência tem o valor 9 x 1011 Q;
-
etc.
Comparação dos valores de algumas unidades electrostáticas
e electromagnéticas
Valor em unidades SI
Grandeza
da unidade
da unidade
electrostática
electromagnética
1
109
carga eléctrica
--
intensidade do campo eléctrico
3
capacidade
resistência
intensidade da corrente
diferença de potencial
Valor em unidades SI
3x
104
10-6
1
10"
109
1011
10-9
x
---
9X
9
x
1
---
3 X 1 09
3
10
x
102
10
10-8
167
E ste facto teve como con sequência a adopção de um sistema prático cuja s
unidades,definidas arbitrariamente, corre spondiam a padrõe s realizáveis na prática.
Tais unidade s chamam- se unidades internacionais (não confundir com unidades
do Sistema Internacional).
E ste sistema era ba seado em dua s unidade s adoptada s na Conferência Inter­
nacional de Chicago, a saber:
o ampere internacional que é a inten sidade da corrente con stante que deposita
por segundo 1,11800 m g de parta na electrólise de uma solução de nitrato de prata.
O ohm internacional que é a re si stência a O °C de uma coluna de mercúrio de
196,300 cm de comprimento e cuja ma ssa é de 14,452 1 g.
A partir de 1920 os fí sicos verificaram que as medida s de intensidade da corrente
eléctrica ba seadas no seu efeito magnético eram mais exactas do que as medidas
efectuadas com base no efeito electrolítico. Por outro lado, conseguia-se tal exacti­
dão na medição de resistência s que a s incerteza s de medida eram inferiore s às
diferenças existentes nos padrõe s de resistências existentes nos vários laboratórios
e specializados.
Foi devido a e stes factos e não só que o sistema prático foi abandonado a partir
de 1948 por decisão da 9.a CGPM.
4.4 O sistema MKSA ou sistema Giorgi
Entretanto um outro sistema muito importante que surgiu e e stá na base do apareci­
mento do Sistema Internacional de Unidades é o sistema MKS A ou sistema Giorgi.
No s finai s do século passado, mai s propriamente em 1891 e 1892, Heavi side
tinha feito notar o facto de surgir o factor 4n em fórmula s práticas onde não tinha
qualquer sentido aparecer, por não dizerem respeito a situaçõe s onde há qualquer
simetria e sférica, por exemplo, na fórmula da capacidade de um conden sador
plano. Pelo contrário, esse factor não surgia em fórmula s onde se verificava simetria
e sférica como é, por exemplo, o potencial de um condutor e sférico.
Em 1901, o Prof Heaviside e screvia o seguinte:
Aquele que estuda pela primeira vez estas fórmulas deve julgar que 4n é
um factor que tem as suas raízes dissimuladas na natureza íntima dos fenó­
menos electromagnéticos; de tal modo que se um dia não houvesse círculos,
nem cilindros nem esferas, defmir-se-ia n medindo a capacidade de um conden­
sador plano. Se não queremos aceitar esta estranha conclusão é preciso
2 Cito de Pires de C3rv�lho.
sld, p. 61.
168
reconhecer que a definição de algumas das unidades fundamentais foi
viciada por uma irracionalidade, introduzindo um 4n onde não devia entrar.2
Este problema surgia porque nas fórmulas fundamentais do Electromagnetismo,
caso da fórmula de Coulomb e da fórmula de Biot e Savart, por exemplo, não
aparecia o factor 4n:
Derivando a fórmula da capacidade do condensador plano,obtinha-se Co �
4ne
onde S é a área das placas e e a distância entre as placas.
Foi então que se decidiu introduzir o factor 4n nas fórmulas fundamentais do
Electromagnetismo (complicando-as, mas sem qualquer importância,pois elas
são muito menos utilizadas na prática):
F
=
_1_ Q, .2Q2 e dB
4nco
r
=
�o i· dl· sine
4n
r
2
Deste modo a fórmula do condensador plano, por exemplo, já passou a ser dada
por Co � mais simples e de acordo com o facto de não corresponder a uma
e
situação de simetria esférica.
,
Quer dizer: complicam-se as fÓlmulas empíricas básicas introduzindo nelas um
factor 4n mas simplificam-se as equações fundamentais do Electromagnetismo,
as equações de Maxwell bem como as fórmulas mais utilizadas na prática. É nisto
que consiste a chamada racionalização.
Os sistemas de unidades que definem estas com base em expressões sujeitas a
esta racionalização são chamados sistemas racionalizados. É o caso do SI.
É também o caso do sistema MK S A ou sistema Giorgi que é um sistema
racionalizado cujas unidades de base da mecânica são o metro, o quilograma e o
segundo. Além disso, foi nesse sistema fixado convencionalmente como constante
a permeabilidade magnética do vazio:
J.1 =
o
4n x lQ-7H1m (H é a unidade henry)
Então, pela relação
E
O
em que a letra
.
11o . c2
c
=
1
representa a velocidade da luz no vácuo, vem para valor da
permitividade eléctrica
Eo =
1
9x 109
Fim ( F é a unidade farad)
169
Giovani Giorgi propôs inicialmente que a 4.a unidade que pemútia estender este
sistema ao Electromagnetismo fosse o ohm,mas a 4.a unidade fundamental viria a
ser o ampere, que se define facilmente a partir da acção entre corrente s e do
valor de f.1o.
Note-se que o sistema Giorgi é uma parte do Sistema Internacional de Unidades.
4.5 A adopção do Sistema Internacional de Unidades
A adopção de um sistema de unidade s único a nível de todo o planeta é do
máximo interesse para toda s as actividades humana s. Todo s, os cientistas,o s
engenheiros,o s e studantes,o s mais variado s técnicos,o s jornalista s,etc.,benefi­
ciarão do facto de não terem de u sar tabelas de conversão de unidade s. Não
admira pOItanto que haja um movimento imparável para a adopção de um Sistema
único e esse sistema é o S I.
Em 1948, a 9.a CGPM acedeu a um pedido da União Internacional de Fí sica
Pura e Aplicada (IUPAP) e propôs ao Comité Internacional de Pesos e Medidas
(CIPM) que realizasse um inquérito oficial de stinado a recolher a s opiniões dos
meio s científicos, técnico s e pedagógico s de todo s o s países para que fosse
e stabelecido um sistema prático de unidades de medida, susceptível de ser
adoptado por todo s o s países signatário s da Convenção do Metro (Almeida,
1997, p. 19). Como base de trabalho para a con stituição de ste sistema prático,a
I UPAP tinha propo sto o sistema MK S associado a uma unidade eléctrica.
A 1 o.a CGPM,reunida em 1954, decidiu adoptar como unidades de base deste
novo sistema a s unidades das seguintes grandezas: comprimento,massa,tempo,
inten sidade da corrente eléctrica,temperatura termodinâmica, quantidade de
matéria e intensidade lumino sa (Resolução 6 da 10.a CGPM).
Finalmente a ll.a CGPM, atravé s da sua Re solução 1, decidiu adoptar a
de signação de Si stema Internacional de Unidades com a abreviatura S I,para
e ste novo sistema de unidade s. Além disso,e stabeleceu uma série de recomen­
daçõe s deci sivas para efeito de normalização.
A partir daí,as reuniões seguintes da CGPM têm vindo a aperfeiçoar o SI,definindo
mais rigorosamente as suas unidades de base e adoptando novas definições,novos
símbolos e nome s e speciais para algumas unidades.
A utilização do S I é recomendada pelas mais importante s organizações que se
dedicam à normalização como é o ca so da I SO (lnternational Standard
Organization) e por sociedade s científicas e académica s e organizaçõe s que
170
superintendem a estas como são os caso s da Royal Society, da AAPT (American
Association of Physics Teachers), a I UPAP, etc.
Ne ste momento o S I está adoptado legalmente em quase todo o mundo.
5.
A evolução das unidades no nosso país (breve síntese)
Em Portugal, tal como em todo s o s outros paíse s, a evolução da s unidades
processou- se do cao s à ordem ...
No tempo da fundação da nacionalidade, exi stiam a s unidade s daquela época,
uma das quai s era o arrátel, uma medida de origem árabe, tal como o alqueire, o
almude e muitas outras. Mas nessa mesma época existiam também unidades com
origem romana, devido à presença de sse povo na penín sula ibérica. Entre elas
temo s o cúbito e o módio.
A s carta s de foral são o s primeiros documentos hi stóricos portugueses onde são
referido s pesos e medidas.
C art a de fo r al de
L si bo a: per g ami nho
e xiste nteno Museu
daC idade de
Lisbo a.
17 1
No reinado de D. Afonso IV, que decorreu entre 1325 e 1357, era tal a con fusão
de unidades de medida que algumas populações se queixaram nas cortes de Lisboa
de 1352.
o seu suce ssor, D. Pedro l, o Justiceiro, fez a primeira tentativa de uniformização
de todos o s «pe sos e medida s do Reino» nas Cortes de Elva s (1361) ... mas sem
grande s re sultados (Silva e Valadare s, 1975, p. 222).
No século XV, D. Afon so V tentou pôr algum cobro nos abusos que ocorriam um
pouco por todo o lado (veja-se, por exemplo, o parágrafo 3°, Tit. 5.°, do Liv l
das Ordenações).
O seu suce ssor no trono, D. João I I, tentou que fo sse adoptado em Portugal o
marco de Colónia, um padrão de ma ssa (na altura dizia-se de pe so) muito
divulgado na Europa, dada a cre scente internacionalização das trocas comerciais.
O mais que ele con seguiu foi reduzir a dois o número de padrões de medida: um
para o Norte e Algarve, outro para a E stremadura e Alentejo.
Com as Ordenaçõe s Manuelina s de 1499, houve uma reforma em que se
e stabeleceram com êxito algun s padrõe s novos de peso s com valores bem
definidos.
o marco do tempo de D. Manuel, seus múltiplos e submúltiplos
Valor em marcos
Unidade
marc o
1
Múltiplos
arráte l
2
arr ob a
50
qui ntal
200
Submúltiplos
onça
oit av o
esc rópu lo
g rão
Um quintal manuelino correspondia a 58,754 kg.
172
1/8
1/64
1/192
1/4608
No reinado de D Sebastião,mais propriamente em 1575, verificou-se uma impor­
tante refOlma nas unidades de capacidade. Por ordem do Rei,os padrões destas
unidades só podiam ser fabricados em Lisboa e daí é que eram enviados para
todo o reino. Mas nem assim foi possível evitar desobediências e fraudes.
Daí até ao século passado pouco se progrediu no «combate» aos sistemas de
unidades dispersos.
Data de 18 12, no reinado de D. Maria I, a nomeação de uma Comissão de
Forais, que incluía membros da Academia Real das Ciências, encarregue de
estabelecer um plano para a igualdade de pesos e medidas.
Em 18 18,já no tempo de D. João V I, foram adoptados os seguintes padrões:
De comprimento - a mão travessa (de valor igual a 1 dm),a
vara ( lO mãos travessas), a milha (100
varas).
De volume - a canada ( l litro),o alqueire (10 canadas) ,
a fanga (10 alqueires),o tonel ( 10 fangas)
De massa ( na altura dizia-se peso) - a libra (aproximadamente 1 kg),a arroba
(lO libras), o quintal ( 100 libras) e a
tonelada ( 1000 libras).
Para a construção dos padrões mandou-se vir protótipos de França.
U mp ad rãode alqueire d o
e
t mp ode D. J oão VI
e xiste nte n o Museu de
Me trol ogi ad o Institu to
Portu guê sd a Qu alid ade
(IPQ).
173
--------------------_
,
................
Um passo altamente significativo é dado em 13 de Dezembro de 1852. Com
efeito, é neste dia que é publicado um decreto que torna obrigatória a adopção
do Sistema Métrico decimal. Nesse decreto é fixado um prazo de dez anos para
a adopção plena desse Sistema de Unidades. Esta adopção do Sistema Métrico
tinha oconido em França em 179 1, onde se tornou definitiva em 1837. Entretanto,
em 1820, tinha-se estendido à Holanda, Bélgica e Luxemburgo e algum tempo
depois à Espanha.
o nosso país foi um dos que participou nos trabalhos e na assinatura da Convenção
do Metro, em 1875, participou também na La Conferência Geral de Pesos e
Medidas, em 1889, onde foram aprovados os padrões do metro e do quilograma.
Em 1890 recebeu as cópias número 10 destes protótipos.
Foi já na segunda década do século X X, mais propriamente em 19 de Abril de
1911, que foram estabelecidos legalmente os padrões das unidades de
comprimento e massa como sendo as cópias n.o 10 dos protótipos aprovados na
1.a CGPM, em 1889.
De então para cá temos sempre permanecido «na primeira linha» já que
participámos da grande maioria das CGPM que foram ocorrendo e pertencemos
aos países que aderiram à ISO (International Standard Organization).
Com o Decreto-lei n. o 427/83 legalizámos em Portugal o uso do Sistema
Internacional de Unidades, aprovado pela 10.a CGPM de 1954. A obrigatoriedade
do uso deste Sistema passou a ser geral, sem excepção de qualquer actividade,
admitindo-se apenas algumas excepções que terão de ser devidamente
fundamentadas e autorizadas por decreto governamental.
174
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1 996
178
2 : edição, L i sboa: Instituto Português da Qual i dade.
Composto e paginado
na UNIVERSIDADE ABERTA
Impre s so
e
acabado
na António Coelho Dias S. A.
I ." edição
-
I . " impressão
-
1000 exemplares
L isboa, Agosto de 2002