Elementos Finitos - DEECC - Universidade Federal do Ceará

Transcrição

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL
MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL: ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL
Elementos Finitos
Professor: Evandro Parente Jr.
Período: 2009/1
INFORMAÇÕES GERAIS
Aulas: Segundas 8:00-9:30h
Quintas 10:00-12:00h
Sala 05 – Bloco 710
Professor: Evandro Parente Jr.
Sala 12 – Bloco 710
Tel: 3366-9607 Ramal 23
[email protected]
Site:
http://www.deecc.ufc.br/professores/evandro.htm
2
Objetivos da disciplina

Geral

Fornecer os conhecimentos necessários à análise de
tensões em sólidos e estruturas através do Método
dos Elementos Finitos (MEF).
Específicos

Apresentar a formulação do MEF para análise de
tensões.
Mostrar os problemas e limitações do MEF.
Aplicar o MEF à análise de problemas reais.
Discutir a implementação computacional do método.
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Conteúdo

Introdução ao MEF.
Trabalho Virtual e Energia Potencial.
Método da Rigidez Direta.

Formulação do MEF para problemas 1D.

Funções de forma.
Integração numérica.
Formulação do MEF para problemas 2D/3D.

Barras e treliças.
Formulação isoparamétrica.
Condições de convergência e “patch-test”.
Formulação do MEF para vigas e placas.
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Bibliografia

Básica

Notas de aula.
Cook, Malkus, Plesha & Witt (2002) – Concepts and
Applications of Finite Element Analysis, 4a ed.
Complementar

Bathe (1996) – Finite Element Procedures.
Reddy (1993) – An Introduction to the Finite
Element Method.
Hughes (1987) – The Finite Element Method: Linear
Static and Dynamic Finite Element Analysis.
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Avaliação

Lista de exercícios (1/3).

Trabalho final (1/3):

A discussão entre os alunos é encorajada.
Trabalho individual, não se aceitando soluções idênticas.
Não será aceita entrega fora do prazo.
Resumo do trabalho: 30/Abr/2009.
Relatório de andamento: 28/Mai/2009.
Apresentação: 22/Jun/2009.
Provas escritas (1/3):

AP1 – 23/Abr/2009.
AP2 – 18/Jun/2009.
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Análise de sistemas de engenharia
Problema físico
Simplificações e
aproximações
Modelo matemático
Ex: equação diferencial
Discretização
Modelo numérico
Ex: Modelo de elementos
finitos
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A seleção do modelo matemático depende da
resposta a ser obtida. Exemplos:

Um bom modelo deve:

Distribuição de temperatura.
Campo de tensões.
Considerar os aspectos essenciais do problema.
Desprezar os fatores secundários.
Fornecer resultados próximos das respostas reais.
Se as previsões do modelo não estão de acordo com
as respostas reais é necessário refinar o modelo:

Incluir aspectos inicialmente desprezados.
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Modelos numéricos são aproximações dos modelos
matemáticos.
Um método numérico é confiável se ele converge
para a solução exata do modelo matemático.

Garantia de convergência com o refinamento.
Velocidade de convergência.
Custo computacional envolvido.
Facilidade de implementação e utilização.
A solução numérica de um problema não pode ser
melhor do que o modelo matemático utilizado.
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Discretização
Problema: Determinação do perímetro de um círculo.
R
Dividindo em n partes:
α
l = 2Rsen(α/2)
α = 2π/n
L = n l = 2πR sen(α/2)
α/2
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Discretização
Laprox/Lexato
log(Laprox/Lexato- 1)
Verifica-se que a solução converge para o resultado exato.
A velocidade de convergência é boa ?
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Projeto estrutural

Conceito

Definição de uma configuração estrutural capaz de
resistir às ações externas “transferindo” o efeitos
destas ações até os apoios.
Envolve a definição da geometria e materiais
utilizados.
Requesitos

Segurança (resistência + estabilidade).
Conforto e estética.
Durabilidade.
Economia (construção e manutenção).
Viabilidade construtiva.
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Ações externas

Peso próprio e cargas de utilização (sobrecarga).

Ações ambientais:

Variação de temperatura.
Forças de vento, neve, correntes marinhas, ondas, ...

Expansão/retração dos materiais.

Protensão.

Deslocamentos prescritos:

Recalques de apoio.
Terremotos.
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Análise estrutural

Conceito:

Determinação das respostas mecânicas de uma
estrutura devido a ações externas.
Obs: a geometria e os materiais são conhecidos.
Respostas mecânicas:

Deslocamentos e deformações
Tensões e esforços internos.
Cargas e modos de flambagem.
Freqüências naturais e modos de vibração.
Carga de ruptura.
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Importância dos métodos numéricos

A análise de estruturas envolve a solução de equações
diferenciais parciais.
Soluções analíticas exatas (fechadas) só existem em
casos especiais:

Geometria e condições de contorno simples.
Certos tipos de carregamento.
Material homogêneo.
A solução de problemas reais requer a utilização de
métodos numéricos (aproximados):

Método das Diferenças Finitas.
Método dos Elementos Finitos.
Método dos Elementos de Contorno.
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Análise por elementos finitos
Malha
elemento
Geometria
Material
apoios
nó
carregamento
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Análise por elementos finitos

Dividir o domínio do problema em regiões (elementos
finitos) de geometria simples:

Aproximar os deslocamentos no interior dos elementos:

Triângulos, quadriláteros, tetraedros, hexaedros,...
Os elementos adjacentes são conectados através dos nós.
Interpolar a partir dos valores nodais.
Utilizar funções simples: lineares, quadráticas,...
Obter e resolver as equações de equilíbrio em função
dos deslocamentos nodais (graus de liberdade).
Calcular respostas no interior dos elementos:

Deformações a partir do campo de deslocamentos.
Tensões a partir das deformações.
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Vantagens do MEF

Aplicação a qualquer problema de campo:

Não há restrição quanto a geometria do problema.
Não há restrições sobre o carregamento e as condições de
contorno do problema.
O material pode variar de elemento para elemento.
O modelo de elementos finitos parece com o corpo ou região a ser
analisada.
Um modelo pode incluir componentes com diferentes
comportamentos:

Tensões, transferência de calor, percolação, etc.
Barras, vigas, placas, cascas, sólidos, etc.
A aproximação é melhorada facilmente refinando a malha de
elementos finitos ⇒ convergência.
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Exemplo de aplicação: estrutura de edifício
http://www.csiberkeley.com/
19
Análise de um tanque esférico
http://www.csiberkeley.com/
20
Contato pneu-pavimento
http://www.manufacturingcenter.com/dfx/
21
Contato pneu-pavimento
22
Modo de vibração de um copo
ABAQUS - Insights vol 7
23
Trem de pouso
http://www.abaqus.com/
24
Fuselagem
http://www.abaqus.com/
25
Fuselagem
Cargas e apoios
Configuração pós-flambagem
26
Pontes
Depois do terremoto
San Francisco Bay Bridge
http://www.adina.com/
27
Pontes
28
Simulação de colisão
http://www.adina.com/
29
30
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Trabalhos de anos anteriores

Bruno Barros – Análise Estrutural da Fôrma de
um Pilar em Concreto Armado.

Verificação dos Estados Limites
Último e de Utilização (deslocamentos
excessivos) da forma de um pilar em
Concreto Armado utilizando o MEF
utilizando o programa ABAQUS/CAE.

Analisar a influência dos componentes
estruturais da fôrma de um pilar.

Projeto de norma 02:124.24-001:
Fôrmas e Escoramentos
para Estruturas de Concreto.
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Detalhe da estrutura

Seção de 35x120cm e altura de
concretagem de 2,36m.
A estrutura básica da fôrma:

Tipo de Análise:

Estática.
Condições de Apoio:

Molde de compensado plastificado
de 18 mm.
Longarinas de madeira bruta
serrada.
Tirante metálico (parafuso).
Deslocamento na base do pilar
restringido nas três direções.
Carregamento:

Empuxo do Concreto.
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Modelo de Analise

Carregamento (Empuxo do Concreto).

Estado Limite Último (Tensão
Admissível).

Molde.

55 MPa (paralelo às camadas).
45 MPa (perpendicular às camadas).
Longarinas.

Velocidade de Concretagem: 7m/h.
Consistência do Concreto: 82,6 kN/m².
37,8MPa (Compressão).
50,3MPa (Tração).
Tirantes: 290 MPa.
Estado Limite de Utilização
(Deslocamentos excessivos).

δadm = 5mm (item 9.2.4 NBR14931/2004).
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Três análises (Estado Limite de Utilização):

Somente o Molde (δ = 165,6 mm).
Molde e Longarina (δ = 7,753 mm).
Molde, Longarina e Tirante (δ = 7,753 mm).
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Bruno Feijo – Análise Estrutural de uma Torre de
Enerfia Eólica para Operação no Estado do Ceará.

Análise de uma torre de energia eólica pelo
Método dos Elementos Finitos.
Foi utilizado o programa ABAQUS para
modelar torres com diferentes secções.
Análise preliminar utilizando o FTOOL e o ABAQUS
para que pudessem ser feitas algumas verificações
para validar o modelo.
Perfil circular cônico, com 45 m de altura,
diâmetro de base 3,00 m e no topo diâmetro
aproximado de 1,42 m.
Material aço, com módulo de elasticidade (E)
de 205 GPa e coeficiente de Poison (υ) 0,3.
Variação da espessura da parede ao longo da altura.
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Modelo de Elementos Finitos

Carregamentos
atuantes
Malha para os valores de 0.6, 0.4, 0.3 e 0.2 m.
Engastado na base.
Carga distribuída no topo da torre de
50 kN (Peso da hélice + gerador).
Carga de vento estática (NBR 6123).
Z (m )
q (N/ m 2)
≤ 5,00
421
< 10,00
478
< 15,00
518
< 20,00
538
< 30,00
580
< 40,00
741
< 50,00
635
Modelo seccionado em sete partes:
a 5, 10, 15, 20, 30 e 40 m.
Malha
37

Tensões Máximas Principais
Malha 0,6
Malha 0,4
Malha 0,3
Malha 0,2
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Fábio Anderson – Estabilidade de Placas Laminadas.
(Artigo - Cilamce 2008)
Placa laminada

Esquema de laminação
Estudar o comportamento de placas laminadas quando
submetidas a carregamentos no plano;
Calcular as cargas críticas utilizando o Método dos Elementos
Finitos (MEF).
Compara a solução numérica obtida pelo MEF com solução de
problemas clássicos.
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Modelo de elementos finitos
Carregamento biaxial
Elemento (Q8)
z
Condição de
Apoio:
Simplesmente
apoiada
h
x
y
Restrições
Nó
L
L
40
Placa com laminação simétrica cross-ply (0/90)s
E1/E2 Analítica FEMOOP ABAQUS Erro FEMOOP Erro ABAQUS
Compressão Uniaxial (k = 0)
25
7.124
7.070
7.074
-0.76%
-0.70%
40
7.404
7.328
7.318
-1.03%
-1.16%
Compressão Biaxial (k = 1)
25
3.562
3.542
3.537
-0.55%
-0.69%
40
3.702
3.669
3.660
-0.89%
-1.15%
1º Modo de flambagem da placa para o carregamento uniaxial:
ABAQUS
FEMOOP
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Paulo Filho – Método dos Elementos Finitos em
Estruturas de Concreto: Revisão Bibliográfica e
Exemplo de Aplicação do Método.

Verificação das tensões na região de furos que
atravessam vigas de concreto na direção de sua largura .
São adotados como parâmetro para a dispensa de verificação
das tensões em torno dos furos as recomendações da NBR
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6168 – Projeto de estruturas de concreto da ABNT .

Modelagem da viga de concreto.

Verificação de um furo maior que o diâmetro mínimo
recomendado pela NBR 6118.

Dimensão do furo de no máximo 12 cm e h/3;
Carregamento
Malha
Apoios
43
Distribuição das tensões σxx na viga .
Diagrama de tensões σxx na
região do furo
Conclusão: As recomendações
da NBR 6118 foram confirmadas
pelo modelo numérico.
44
Utilização do MEF

Análise preliminar:

Obter uma solução aproximada do problema.
Modelo analítico simplificado, fórmulas, análise
experimental, análises anteriores, etc.
Análise por elementos finitos:

Pré-processamento:

Modelagem: geometria, apoios, carregamento, materiais, ...
Geração de malha.
Análise numérica.
Pós-processamento:

Deformadas, modos de vibração/flambagem, animações,...
Contornos e gráficos de tensões.
45
Utilização do MEF

Verificação dos resultados

Avaliação qualitativa:

A resposta “parece” certa ?
Deslocamentos (deformada).
Tensões.

Existem erros grosseiros ?

O problema desejado foi resolvido ? Ou foi outro problema ?

O campo de deslocamentos satisfaz as condições de
contorno esperadas ?
Ex: deslocamentos e rotações nulas nos apoios.
As simetrias esperadas estão presentes nas respostas ?
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Utilização do MEF

Verificação dos resultados (cont.)

Avaliação quantitativa

Comparar resultados de EF com as soluções preliminares.
Verificar se o nível de discretização é satisfatório:
Continuidade do campo de tensões.
Estimadores de erros.
Revisão do modelo:

Eliminar os erros grosseiros

Dados de entrada (apoios, propriedades dos materiais,...)
Melhorar o modelo de elementos finitos.
Refinar a malha.
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Utilização do MEF
INÍCIO
Considerar o problema físico.
Criar ou melhorar um modelo
matemático.
Obter resultados aproximados para
comparação com os resultados da
análise pelo MEF.
Planejar a discretização
do modelo matemático.
PRÉ-PROCESSAMENTO
EF
Física
NÃO
Qual é a falha? Compreensão
física ou modelagem?
Discretizar
mais a malha.
Os erros estão pequenos? Alterar
a malha modificaria pouco os
resultados?
SIM
PARAR
ANÁLISE PELO MEF
SIM
Os resultados estão livres de erros
grosseiros? Estão razoáveis do
ponto de vista físico?
PÓS-PROCESSAMENTO
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Utilização do MEF

Por que estudar a teoria do MEF ?

Existem programas comerciais utilizados a bastante
tempo.
Intensivamente testados: fabricantes e usuários.
Os programas atuais possuem interface amigável.

Sua utilização não requer grandes conhecimentos.
A obtenção de resultados confiáveis requer:

Conhecimento do comportamento estrutural:

Mecânica, resistência dos materiais, teoria das estruturas, ...
Conhecimento do MEF:

Comportamento dos elementos utilizados.
Características dos algoritmos de análise.
Limitações e aproximações utilizadas pelo programa.
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Modelos para análise de estruturas

Questões envolvidas:

Geometria.

Cinemática:

Deslocamentos.
Rotações.
Comportamento dos materiais.

Relação tensão-deformação.

Carregamento.

Condições de contorno:

Apoios.
Carregamento.
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Modelos para análise de estruturas

Contínuos ou sólidos:

Barra (1D).
Estado Plano de Tensão.
Estado Plano de Deformação.
Sólido axissimétrico.
Sólido 3D.
Estruturais:

Vigas.
Pórticos.
Placas.
Cascas.
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Tipos de análise

Estático x dinâmico

As cargas atuantes são periódicas ou impulsivas ?
A estrutura é muito flexível ?
A freqüência do carregamento é próxima a da estrutura ?
O comportamento do material é dependente do tempo ?
Linear x não-linear

Os deslocamentos/rotações são grandes ?
Qual a magnitude das deformações ?
A região apoiada depende da deformação ?
A relação tensão-deformação pode ser considerada linear ?
O material sofre deformações permanentes ?
Existe a formação de trincas ?
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Tipos de análise

Acoplada (multi-física) x desacoplada

Termo-mecânico.
Solo-estrutura.
Fluido-estrutrura.
Piezoelétrico.
Estado da prática:

Depende do ramo de aplicação.
Engenharia civil: estática, linear e desacoplada.
Análise dinâmica: terremotos, edifícios altos,...
Análise não-linear: problemas especiais.
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