Lista 1

Instituto de Fı́sica da Universidade de São Paulo
FEP2196 - Fı́sica para Engenharia II
Lista de exercı́cios 1 - Rotações
kg. (b) Raio da Terra: RT = 6, 38×106 m. (c)
Velocidade Angular da Terra: ω = 7, 29×10−5
rad/s.
1. (a) Deduza uma expressão para um movimento
com aceleração angular constante que forneça
θ − θ0 em função de ω, α e t (não use ω0 na
equação). (b) Para t = 8, 0 s uma engrenagem
gira em torno de um eixo fixo a 4,5 rad/s. Durante o intervalo precedente de 8,0 s ela girou
através de um ângulo de 40,0 rad. Use o resultado do item (a) para calcular a aceleração
angular constante da engrenagem. (c) Qual
era a velocidade angular da engrenagem para
t = 0.
2. Um carrossel está inicialmente em repouso,
mas pode girar sem atrito em torno de um eixo
vertical passando pelo seu centro de massa.
Uma garota de massa m corre com velocidade
v numa direção tangente ao carrossel e, quando
atinge o ponto de tangência, segura um apoio
do carrossel e pula para seu interior. Sendo I o
momento de inércia do carrossel em relação ao
seu eixo de rotação, calcule a velocidade angular do carrossel.
5. Determine o momento de inércia de um cone
maciço uniforme em relação a um eixo que
passa através de seu centro. O cone possui
massa M e altura h (figura abaixo). O raio do
circulo de sua base é igual a R.
3. Uma plataforma circular homogênea e de espessura constante possui um raio R = 3 m e
massa M = 200 kg. Um homem de massa
m = 80 kg está em repouso sobre a periferia
da plataforma que também está em repouso.
A plataforma pode girar no seu plano horizontal em relação a um eixo perpendicular ao
plano da plataforma passando por seu centro
de massa: o homem começa a correr com velocidade de 12 m/s na periferia da plataforma.
Calcule a velocidade angular ω da plataforma.
6. (a) Encontre o momento de inércia de um
sólido retangular de comprimento a, altura b
e largura desprezı́vel (como mostrado na figura abaixo), que gira em torno de um eixo
que passa pelo seu centro e é perpendicular
ao plano deste sólido. (b) Identifique os outros possı́veis eixos em que o sólido possa girar
ao redor, e calcule o momento de inércia supondo que o sólido esteja realmente girando
em torno de cada um deles. (c) Se o sólido es-
4. Faça uma estimativa da intensidade do torque
que deve ser exercido sobre a Terra a fim de
produzir a precessão dos equinócios. Dica:
Calcule o momento de inércia da terra como
se fosse uma esfera e sua velocidade angular.
Dados: (a) Massa da Terra: MT = 5, 98 × 1023
tiver girando em torno de um eixo que passa na
diagonal do retângulo (como na figura abaixo),
mostre que o ângulo entre a velocidade angular
1
e o momento angular é dado por:
a
b
− arctan
θ = arctan
b
a
de disco de massa M e raio R montada em
um eixo sem atrito que passa em seu centro.
Um bloco de massa M é suspenso na extremidade livre do fio (figura abaixo). O fio não
desliza sobre a superfı́cie da polia, e o cilindro
rola sem deslizar sobre o topo da mesa. Calcule o módulo da aceleração do bloco quando
o sistema é libertado a partir do repouso.
7. Um cubo é constituı́do por seis placas finas
quadradas. Cada placa possui lado A e massa
M . Calcule o momento de inércia do cubo em
relação a um eixo paralelo a uma das arestas
do cubo e passando pelo centro de massa do
cubo.
12. Uma corda leve e flexı́vel é enrolada várias
vezes em torno de um cilindro sólido de massa
M e raio R. O cilindro gira sem atrito em
torno de um eixo horizontal fixo, como mostrado na figura abaixo. O lado livre da corda
está amarrado a uma massa m, que é largada
do repouso de uma altura h acima do solo. Encontre: (a) a velocidade do bloco de massa m;
(b) a velocidade angular do cilindro no momento em que o bloco de massa m atinge o
solo; (c) a aceleração do bloco de massa m; (d)
a aceleração angular do cilindro; (e) a tensão
na corda.
8. A molécula do metano (CH4 ) tem quatro
átomos de hidrogênio localizados nos vértices
de um tetraedro regular de aresta igual a 1,4
nm, com o átomo de carbono localizado no
centro do tetraedro. Calcular o momento de
inércia da molécula em relação a um eixo que
passa pelo átomo de carbono e por um dos
átomos de hidrogênio.
9. Um cilindro oco tem a massa m, raio externo
R2 e raio interno R1 . Mostrar que o momento
de inércia em relação ao eixo de simetria é
I=m
13. Um esmeril em forma de disco sólido com
diâmetro de 0,520 m e massa de 50,0 kg gira
a 850 rev/min. Um machado é pressionado
contra sua periferia com uma força normal de
160 N (figura abaixo) e o esmeril atinge o repouso em 7,50 s. Ache o coeficiente de atrito
entre o machado e o esmeril. Despreze o atrito
dos mancais.
R22 + R12
2
10. Um cilindro de massa m e raio r, é solto (a
partir do repouso) do topo de um plano inclinado que faz um ângulo α com a horizontal.
Sabendo que o cilindro deve descer o plano inclinado rolando sem deslizar, encontre sua aceleração.
11. Um cilindro homogêneo de massa M e raio 2R
está em repouso sobre o topo de uma mesa.
Um fio é ligado por meio de um suporte duplo preso às extremidades de um eixo sem
atrito passando através do centro do cilindro
de modo que o cilindro pode girar em torno do
eixo. O fio passa sobre uma polia em forma
14. Um fio é enrolado diversas vezes em torno da
periferia de um pequeno aro de raio 0,0800 m
2
e massa 0,180 kg. Se a extremidade livre do fio
é mantida fixa e o aro é libertado a partir do
repouso (figura abaixo) calcule: (a) a tensão
no fio enquanto o aro desce à medida que o fio
se desenrola; (b) o tempo que o aro leva para
descer 0,750 m; (c) a velocidade angular do aro
no momento em que ele desceu 0,750 m.
ponta da barra é suspensa e o pêndulo oscila no
plano do T. (a) calcule o momento de inércia
do T ao redor do seu eixo de rotação; (b) encontre as expressões para a energia cinética e
potencial em termos do ângulo θ de inclinação
do pêndulo com a vertical; (c) derive a equação
de movimento do pêndulo; (d) mostre que para
pequenas oscilações, o perı́odo é dado por:
s
17L
T = 2π
18g
15. Um bloco de massa m, que pode deslizar com
atrito desprezı́vel sobre um plano inclinado de
inclinação θ em relação à horizontal, está ligado por um fio, que passa sobre uma polia
de raio R e massa M , a uma massa m0 > m
suspensa (figura abaixo). O sistema é solto em
repouso. Calcule, por conservação da energia,
a velocidade v de m0 após cair de uma altura
h.
R
m
18. Uma esfera rı́gida de massa m e raio R está
inicialmente em repouso sobre uma superfı́cie
horizontal. Num dado instante, ela recebe um
impulso F t numa direção horizontal e aplicado
a uma distância h acima do centro de massa
da esfera. O centro de massa da esfera adquire
uma velocidade v0 . (a) Qual a relação entre a
velocidade do centro de massa vCM e a velocidade angular ω? (b) Quando a esfera passa
a rolar sem deslizar, a velocidade do centro de
massa da esfera atinge um valor limite vL . Determine vL em função de h.
M
m’
θ
16. Uma haste metálica delgada de comprimento
d e massa M pode girar livremente em torno
de um eixo horizontal, que a atravessa perpendicularmente, à distância d/4 de uma extremidade. A haste é solta a partir do repouso,
na posição horizontal. (a) Calcule o momento
de inércia I da haste com respeito ao eixo em
torno do qual ela gira. (b) Calcule a velocidade
angular ω adquirida pela haste após ter caı́do
de um ângulo θ (figura abaixo), bem como a
aceleração angular α.
3d/
4
19. Uma roda cilı́ndrica homogênea, de raio R e
massa M , rola sem deslizar sobre um plano
horizontal, deslocando-se com velocidade v, e
sobe sobre um plano inclinado de inclinação
θ, continuando a rolar sem deslizar (figura
abaixo). Até que altura h o centro da roda
subirá sobre o plano inclinado?
O
θ
d/
4
R
17. Um pêndulo é construı́do a partir de duas barras finas a e b formando a figura de um “T ao
contrário” como mostrado na figura abaixo. A
M
3
v
h
θ
20. Uma bola de boliche esférica uniforme é
lançada, com velocidade inicial v0 horizontal
e sem rotação inicial, sobre uma cancha horizontal, com coeficiente de atrito cinético µc .
(a) Que distância d a bola percorrerá sobre a
cancha até que comece a rolar sem deslizar?
(b) Quanto tempo t depois do lançamento isso
ocorre? (c) Qual é a velocidade v da bola nesse
instante?
21. Explique por que um pião não cai quando
ele está girando com velocidade angular ω em
torno de seu eixo.
22. Um pião está girando na direção mostrada na
figura. Qual a direção da precessão do pião?
23. Um pião possui massa m = 0, 3 kg e gira com
velocidade angular ω = 200 rad/s em torno
do eixo que está inclinado de um ângulo de
θ = 30◦ em relação à vertical. O momento de
inércia do pião em relação ao seu próprio eixo
de rotação vale I = 6, 0×10−3 kg m2 . O centro
de massa do pião está situado a uma distância
r = 5 cm do ponto de apoio. Calcule a velocidade do movimento de precessão do pião.
24. Uma escada uniforme de comprimento l e
massa M , apoiada sobre o chão, com coeficiente de atrito estático µe , está encostada a
uma parede lisa (atrito desprezı́vel), formando
um ângulo θ com a parede. Para que domı́nio
de valores de θ a escada não escorrega?
25. Explique a diferença fundamental entre os
princı́pios de conservação do momento linear
e do momento angular.
4