Numero 11 - Outubro de 2008

Transcrição

FAMAT em Revista
www.famat.ufu.br
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
f
Número 11 - Outubro de 2008
e-mail: [email protected]
Comitê Editorial: Alessandro Alves Santana - FAMAT/UFU
Luis Antonio Benedetti - FAMAT/UFU
Marcos Antônio da Câmara - FAMAT/UFU
Gabriela Aparecida dos Reis - PETMAT - FAMAT/UFU
Claiton José Santos - PETMAT - FAMAT/UFU
Douglas Silva Oliveira - DAMAT - FAMAT/UFU
FAMAT em Revista
ISSN 1806-1958
www.famat.ufu.br
e-mail
[email protected]
Revista Cientı́fica Eletrônica Semestral da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
Comitê Editorial:
Alessandro Alves Santana - Famat/Ufu
Luis Antonio Benedetti - Famat/Ufu
Marcos Antônio da Câmara - Famat/Ufu
Gabriela Aparecida dos Reis - Petmat - Famat/Ufu
Claiton José Santos - Petmat - Famat/Ufu
Douglas Silva Oliveira - Damat - Famat/Ufu
Número 11
Outubro de 2008
Editorial
A Revista FAMAT em Revista chega a sua décima primeira edição cumprindo
a proposta de ser uma forma ágil de promover a circulação de idéias, de estimular o
estudo da Matemática e despertar a curiosidade intelectual dos estudantes e de todos
aqueles que se interessam pelo estudo de Matemática.
O Comitê editorial desta décima edição é composto por:
Alessandro Alves Santana – Editor Responsável
Marcos Antonio da Câmara – Tutor do PET/Matemática
Luis Antonio Benedetti – Coordenador do Curso de Matemática
Gabriela Aparecida dos Reis - Aluna do Pet/Matemática
Claiton José Santos – Aluno do Pet/Matemática
Douglas Silva Oliveira - Representante do DAMAT
O décimo primeiro número da revista contempla as atividades desenvolvidas
no primeiro semestre de 2008 e parte do segundo semestre de 2008.
O sucesso e a aceitação da revista no meio acadêmico ficam evidenciados pelo
consistente número de artigos submetidos para a publicação, tanto na seção de
trabalhos completos de iniciação científica como na seção de trabalhos desenvolvidos
em sala de aula.
Convidamos o leitor a “navegar” pelas páginas desta décima primeira edição
onde encontrará 10 trabalhos na seção “Trabalhos Completos de Iniciação Científica”
e 1 trabalho na seção “Em Sala de Aula”.
As resoluções dos problemas apresentados na décima edição e quatro novos
problemas proposto para a décima primeira edição encontram-se em “Problemas e
Soluções”.
Na seção “Reflexões sobre o Curso de Matemática”, a Profa. Geovana
Ferreira Melo Teixeira, professora da Faculdade de Educação da Universidade
Federal de Uberlândia, um artigo intitulado “A Formação de Professores no Curso de
Matemática da UFU: Reflexões e Inquietações”. Na décima segunda edição será
apresentado um outro artigo dessa mesma autora.
Em “E o Meu Futuro Profissional” temos um artigo abordando um ramo da
Matemática Aplicada chamada Otimização Combinatória. Esse artigo descreve em
linhas gerais o que estuda esse campo do conhecimento, quais são suas aplicações e
as perspectivas no mercado de trabalho para profissionais especializados nessa área.
Nas seções, “Merece Registro”, “Iniciação Científica em Números” e
“Eventos” são apresentados alguns fatos de destaque na Faculdade de Matemática, as
orientações e os projetos de Iniciação Científica desenvolvidos ou em
desenvolvimento, no período.
Esperamos que os leitores apreciem esta décima primeira edição da FAMAT
em Revista e contamos com contribuições e sugestões para edições futuras.
Comitê Editorial
Índice de Seções
Seção 1: Trabalhos Completos de Iniciação Cientı́fica
7
Seção 2: Problemas e Soluções
295
Seção 3: Eventos
301
Seção 4: Reflexões sobre o Curso de Matemática
305
Seção 5: Em Sala de Aula
333
Seção 6: Iniciação Cientı́fica em Números
343
Seção 7: E o meu Futuro Profissional?
351
Seção 8: Merece Registro
357
FAMAT em Revista
www.famat.ufu.br
Trabalhos Completos de
Iniciação Científica
PBIIC-FAPEMIG-UFU - Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica da
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais
PETMAT-UFU - Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática
PIBIC-CNPq-UFU - Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica do
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
PROMAT-UFU - Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática
IM-AGIMB - Instituto do Milênio - Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira
Comitê Editorial da Seção
Trabalhos Completos de Iniciação Científica
do Número 11 da FAMAT EM REVISTA:
Alessandro Alves Santana (coordenador da seção)
Valdair Bonfim
Marcos Antônio da Câmera
Instruções para submissão de Trabalhos
A Seção de Trabalhos de Iniciação Cientı́fica visa divulgar trabalhos que estejam associados a projetos cadastrados na(o) PBIIC-FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq /
PROMAT ou IM-AGIMB e orientados por docentes da FAMAT.
Trabalhos completos em nı́vel de iniciação cientı́fica dos programas acima listados
submetidos para publicação na Revista Eletrônica “Famat em Revista” estarão sujeitos
a apreciação pelo Comitê Editorial responsável por essa seção de artigos e, se for o caso,
por consultores ad hoc ligados à área ou subárea do trabalho. Caso se faça necessário,
sugestões para o aperfeiçoamento do trabalho serão dirigidas aos interessados pelo Comitê
Editorial.
Além da redação clara e concisa que todo trabalho submetido à boa qualidade deve
possuir, pede-se evitar o estilo árido e extremamente técnico caracterı́stico de algumas
publicações matemáticas, não perdendo de vista que o público-alvo ao qual se destina a
revista é constituı́do por alunos de graduação.
Os trabalhos submetidos até o final de um semestre letivo serão publicados na edição
da revista lançada no inı́cio do semestre letivo subseqüente.
Quanto às normas técnicas para submissão dos trabalhos:
1) Formato do arquivo: PDF
2) Tamalho da Folha: A4
3) Margens: 2,5 cm (portanto, área impressa: 16 cm x 24,7 cm)
4) Tamanho de fonte (letra): 12 pontos (exceto tı́tulos, subtı́tulos, notas
de rodapé, etc, que ficam submetidos ao bom senso)
5) Espaçamento entre linhas: Simples
6) Orientador(es), tipo de programa e orgão de fomento (se houver)
devem constar no trabalho.
Envio:
Por e-mail: [email protected]
Índice de Trabalhos
Estimação empı́rica da função densidade de probabilidade do
ruı́do de fundo de matrizes multieletrodo
13
Aline R. de Assis, Michelle T. Toitio, J.B. Destro-Filho e Edmilson R. Pinto
Análise da Média Geral Acumulada (MGA) dos alunos dos
cursos de graduação da Universidade Federal de Uberlândia
27
Fábio Costa Almeida, Rogério de Melo Costa Pinto e Arlindo José de Souza
Junior
Estudo de um método de aumento da ordem de precisão de
funcionais integrais via métodos adjuntos
39
Gabriela Aparecida dos Reis e Alessandro Alves Santana
Algumas aplicações da Teoria dos Grafos
67
Giselle Moraes Resende Pereira e Marcos Antônio da Câmara
O número φ
81
Melissa da Silva Rodrigues e Marcos Antônio da Câmara
O Problema de Waring e o Teorema de Lagrange
185
Otoniel Nogueira da Silva e Marcos Antônio da Câmara
Dinâmica do sistema carro-pêndulo
205
Rafael Alves Figueiredo e Márcio José Horta Dantas
Planejamento de experimentos e otimização de sistemas mistos
231
Simone P. Saramago, Valder Steffen Jr, Jefferson Duarte Silva e
Sezimária de Fátima Pereira Saramago
Construções Geométricas utilizando somente régua e compasso
247
Viviane Carvalho Mendes e Weber Flávio Pereira
Um Estudo Introdutório sobre Cissóides
Fabiano Elias Reis e Dulce Mary de Almeida
263
ESTIMAÇÃO EMPÍRICA DA FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE
DO RUÍDO DE FUNDO DE MATRIZES MULTIELETRODO
Aline R. de Assis*1 , Michelle T. Toitio*2 , J.B. Destro-Filho*3 , Edmilson R. Pinto*4
*1,2,3
Faculdade de Engenharia Elétrica – UFU
*4
Faculdade de Matemática – UFU
Av. João Naves de Ávila, 2121 – Santa Mônica
38400-902 Uberlândia-MG, Brasil
Autores para contato: [email protected]; [email protected]
Resumo: Este trabalho analisa sinais de atividade elétrica neural espontânea, captados
através de dispositivos do tipo Matrizes Multieletrodo (“Multielectrode Array” – MEA),
tomados em culturas de neurônios do hipocampo do rato. Tais culturas são denominadas
“inativas”, em que não se observa conexão entre as células e os microeletrodos. Os
dados analisados revelam, portanto, características importantes do ruído de
instrumentação da MEA, o qual perturba qualquer análise informática normalmente
realizada por pesquisadores em neurociência computacional. Levando-se explicitamente
em conta a possível não-estacionariedade dos dados estudados, realiza-se a estimação de
histogramas de freqüência médios, considerando-se dois experimentos completos. Os
resultados obtidos evidenciam que tal função densidade de probabilidade, a qual
caracteriza, de maneira global, o comportamento estatístico médio do ruído de fundo, é
aproximadamente gaussiana, estimando-se sua variância por Vˆ 2 12, 711 , e sua média
por Pˆ 0, 497 . Esse resultado consiste na primeira validação experimental de um
argumento empírico, normalmente evocado em publicações da área, desde a década de
1970, porém ainda não verificado experimentalmente.
Palavras-chave: Matriz Multieletrodo, Função Densidade de Probabilidade do Ruído,
Atividade Basal.
1. Introdução
Uma das fronteiras na ciência biomédica é o desenvolvimento de próteses para o
sistema nervoso central (SNC), com o objetivo de modificar terapeuticamente processos
fisiológicos que foram perdidos devido a danificações ou doenças (BERGER et al,
2001). Como exemplo destas patologias, pode-se destacar a epilepsia, a qual consiste no
disparo anormal de um grande número de neurônios, associado a um desequilíbrio entre
a excitação e a inibição da atividade destes mesmos neurônios (DURAND, 2001). Essa
patologia afeta 1% da população mundial, ou seja, 50 milhões de pessoas, dos quais
25% não respondem a medicamentos anticonvulsivantes, que constituem a terapia mais
comum. Dentre aqueles que recebem medicação, estima-se que 50% apresentem efeitos
colaterais. A cada ano, dois milhões de novos casos são relatados na literatura médica
(URL1).
A quantidade de pacientes epilépticos, cujo tratamento é atualmente sem
sucesso ou que sofrem de efeitos colaterais nocivos oriundos da medicação, exige a
busca de soluções alternativas. As novas técnicas de investigação informatizadas, o
aumento da quantidade de cirurgias e o desenvolvimento de medicamentos mais caros
oneram os sistemas de saúde. Considerando o baixo poder aquisitivo desses pacientes, e
tendo em vista que o sistema público de saúde e os convênios médicos não cobrem em
geral esses gastos, mesmo as drogas mais baratas podem representar despesas
proibitivas aos pacientes (COCKERELL, 1998).
Em conseqüência dos fatos acima discutidos, atualmente são realizados muitos
esforços para desenvolver próteses neurais que podem coexistir e comunicar
bidirecionalmente com o tecido cerebral vivo. Embora o objetivo final seja para muitos
anos futuros, alguns resultados animadores podem ser encontrados na literatura. Em
(LITT, 2003), os autores descrevem estratégias para a construção de neuroimplantes
para minimizar as crises epilépticas, incluindo experimentos preliminares de
eletroestimulação em animais, baseando-se em dispositivos nanotecnológicos
denominados "Matrizes Multieletrodo" (MEAs).
Espera-se que esta nova geração de próteses neurais deve ter um profundo
impacto na qualidade de vida de toda a sociedade, oferecendo uma possibilidade de
terapia para a perda de memória que acompanha a doença de Alzheimer; o déficit da
fala e da linguagem, que resulta de lesões, e a habilidade debilitada para executar
rápidos movimentos, seguidos de traumas em regiões do cérebro responsáveis pelo
controle motor (KANDEL, 2000).
Considere-se uma prótese neural projetada para substituir neurônios danificados
em regiões centrais do cérebro, através de dispositivos artificiais que são
permanentemente implantados na região danificada. Os neurônios desta última são
substituídos por “neurônios de silicone”, os quais devem ter propriedades funcionais
específicas, recebendo atividade elétrica cortical como entrada e enviando
microestimulações como saída para regiões específicas do cérebro (IEEE
Proceedings,2001).
Deste modo, a prótese deve “substituir” a função computacional do cérebro
defeituoso, e reabilitar a transmissão daquele resultado computacional para outras
regiões do sistema nervoso, através de módulos funcionais. Os componentes destes
últimos são “neurocomputacionais” (RUTTEN, 2002), ou seja, baseados em modelos
matemáticos de dinâmicas não-lineares e propriedades adaptáveis de neurônios
biológicos. Para permitir a comunicação entre o tecido vivo do cérebro e o
neuroimplante, utilizam-se MEAs (BERGER et al., 2001). Os microchips de prótese
propostos também devem ser projetados com parâmetros que podem ser otimizados
depois da implantação, permitindo adaptação a características próprias de um usuário
particular.
Atualmente, as MEAs são empregadas não apenas para estudos de codificação
neural (RIKE, 1997), como também para aplicações em farmacologia (CHIAPPALONE,
2003). No primeiro caso, elas permitem a obtenção de dados associados a um nível de
modelamento biológico do sistema nervoso denominado "mesoscópico" (FREEMAN,
2000). Em termos de farmacologia, as MEAs possibilitam testes repetitivos mais
completos e quantificáveis que os procedimentos bioquímicos comuns.
Existem diversas limitações e desafios técnicos que impedem a aplicação clínica
dos neuroimplantes, cuja implementação física está intimamente ligada ao
desenvolvimento do conhecimento acerca de detalhes importantes associados aos
dispositivos MEA. Alguns desses desafios são discutidos logo abaixo (EYTAN, 2006).
Geralmente, um sinal da cultura neural, captado pela MEA, pode ser
decomposto em unidades básicas, denominados “espículas” ou spikes (GLASER, 1976).
Inicialmente, a análise clássica de spikes (GLASER, 1976; LEWICKI,1998) apresenta
diversas limitações. O limiar numérico que permite detectar o spike não possui valor
fixo, podendo ser influenciado por ruído de instrumentação do dispositivo utilizado nas
medidas, sendo que sua amplitude é determinada visualmente pelo usuário, de forma
subjetiva, o que implica em imprecisões para métodos que se valem desta estratégia
(VATO, 2004). Outra técnica corresponde ao pré-processamento do sinal através de
transformadas do tipo wavelet (NENADIC, 2005), que deve levar em conta as
características do ruído de instrumentação.
Fica claro, portanto, a partir do parágrafo anterior, que o ruído de
instrumentação tem impacto muito importante no processamento de sinais oriundos de
MEAs. Este fato torna-se ainda mais relevante no contexto da moderna tendência de
dispositivos MEA de alta densidade, ou seja, contendo 4000 eletrodos
(GUNNING,2007). Neste caso, espera-se influências mais acentuadas do ruído, pois a
potência do sinal fica bastante reduzida se comparada com a tecnologia atual
(KIM,2007).
Todavia, existem poucos trabalhos na literatura que discutem especificamente o
ruído que perturba o registro de sinais através de eletrofisiologia. Em (GLASER, 1976),
o autor estuda grupos delimitados de neurônios e tece comentários experimentais sobre
a questão do ruído. Estes últimos foram retomados por (LEWICKI, 1998), que sugeriu,
de forma axiomática, sem qualquer justificativa teórica ou experimental, que o ruído de
fundo poderia ser modelado como uma variável aleatória gaussiana. Tais discussões
foram utilizadas por (KIM, 2007), atribuindo os valores 3.5 Vˆ 2 15 à variância desta
densidade de probabilidade para realizar cálculos de detecção de spike, sem, contudo,
justificar de onde tais valores se originaram.
Em síntese, embora o ruído de fundo que perturba o uso de MEAs tenha um
impacto importante no desempenho do dispositivo, além de influenciar todos os
resultados associados a processamentos computacionais baseados na teoria de spikes;
até o presente momento, do conhecimento dos autores, nenhum artigo da literatura
relatou explicitamente um procedimento experimental para tal medida, e muito menos
forneceu valores dos parâmetros, característicos desta função densidade de
probabilidade.
Neste artigo, a medida do ruído de fundo da MEA é realizada a partir do
conceito de “cultura inativa” (RUTTEN, 2002), que será explicado logo a seguir. Uma
vez preparada a cultura, esta é depositada na MEA, sendo imediatamente levada a uma
estufa protetora, sendo esta data denominada “dia de incubação” (ou “Day In Vitro” –
DIV). Após dez dias em estufa, ou 10 DIVs, realizam-se medidas de atividade elétrica
neural espontânea. Caso a freqüência de disparos seja inferior a 1 kHz, considera-se a
cultura “inativa”, sendo que, para a grande maioria dos casos, esta cultura evolui para a
morte fisiológica. Do contrário, diz-se “cultura ativa”.
Até o presente momento, do conhecimento dos autores, poucos trabalhos da
literatura discutem a cultura inativa, com exceção de (EYTAM,2006), sendo que
normalmente os sinais registrados neste tipo de preparação biológica são desprezados
por pesquisadores. Todavia, de acordo com as discussões apresentadas em
(EYTAM,2006), há diversas explicações para a morte fisiológica de tais culturas,
cogitando-se que o sinal captado pela MEA, nestas condições, poderia revelar
características importantes do ruído de fundo.
Na seção 2, discutem-se os procedimentos biológicos para as medidas efetuadas,
bem como os fundamentos teóricos e a sistemática de análise computacional. Os
principais resultados e discussões são apresentados na seção 3, seguidos pelas
conclusões e perspectivas na seção 4.
2. Materiais e métodos
Nesta seção serão discutidos os procedimentos biológicos para as medidas
efetuadas, os fundamentos teóricos e a sistemática da análise computacional.
2.1 Aquisição dos dados de culturas inativas através de MEAs
Os sinais eletrofisiológicos foram aquisicionados usando o sistema MEA60
(MultichannelSystems, Reutingen, Germany). Culturas primárias de neurônios corticais
do hipocampo do rato foram realizadas, extraindo-se o tecido de embriões com 18-19
dias de desenvolvimento, após anestesia e tomados todos os cuidados necessários,
estipulados pelo Comitê de Ética da Universidade de Gênova. Detalhes associados à
preparação das culturas podem ser encontrados na referência (NOVELINO et al., 2003).
As culturas foram crescidas sobre as MEA's planares contendo 60 microeletrodos, cujas
dimensões principais correspondem a 30 micrômetros de diâmetro e 200 micrômetros
de espaçamento entre si, distribuídos em uma matriz 8 x 8. Ou seja, fileiras e colunas
compostas por 8 microeletrodos, sendo que aqueles associados aos quatro cantos mais
externos do circuito não existiam.
O aparato de experimentos consistiu dos seguintes elementos. A MEA
propriamente dita foi conectada a um banco de 60 amplificadores integrados (cada qual
associado a um microeletrodo), montados em suporte conjunto, compreendendo os
estágios de pré-amplificação e amplificação propriamente dita, com ganho total
absoluto de 1200. Utilizou-se também um regulador de temperatura, um computador
pessoal equipado com uma placa PCI de aquisição de dados para monitoramento em
tempo real, um microscópio invertido, uma mesa antivibratória e uma gaiola de
Faraday. Os dados foram monitorados e gravados usando o software comercial MCRack
(MultichannelSystems, Reutingen, Germany).
Duas culturas neurais foram monitoradas, sendo estas identificadas como cultura
C358 e cultura C359. Quando possível, para um experimento completo, cada cultura é
monitorada durante 20 minutos, sendo que o procedimento é subdividido em quatro
sessões de cinco minutos cada. Desta forma, os sinais de C358 foram observados no 7º
(em 3 sessões), 11º (em 1 sessão), 14º (em 2 sessões) e 18º (em 1 sessão) dia de
incubação (DIV). Já os sinais de C359 foram observados no 21º (em 4 sessões) e 25º
(em 4 sessões) DIV. Dado que cada sessão dura cinco minutos, então há quinze
conjuntos de sinais. O tempo de amostragem é de 0,1 milissegundo.
Para todos os experimentos descritos no parágrafo anterior, constatou-se a
ausência de atividade elétrica significativa, além de freqüência de disparo inferior a 1
kHz, o que pode ser interpretado como dificuldade de conexão da cultura com os
microeletrodos. Assim sendo, tanto a cultura 358 como a cultura 359 podem ser
consideradas inativas.
Cabe observar que a inatividade das culturas foi natural, ou seja, o experimento
não foi dimensionado para gerar ou induzir tal fenômeno.
O procedimento detalhado de medida de cada conjunto de sinais está
especificado a seguir. Cada MEA foi retirada da estufa de CO2 e colocada sobre o
respectivo banco de amplificadores. As medidas foram iniciadas após 20 minutos da
deposição da cultura sobre os eletrodos, com o objetivo de permitir às células de se
adaptarem ao novo ambiente. Em seguida, para cada cultura, foram coletados quatro
registros consecutivos de amostra do sinal de atividade neural espontânea, sendo que
cada um desses registros teve duração de 5 minutos. Ou seja, para cada MEA, foi
possível registrar a atividade elétrica dos 60 microeletrodos durante um tempo total de
20 minutos. Deve-se destacar que cada experimento completo de 20 minutos foi
realizado em uma única cultura, de forma que as MEAs foram medidas
individualmente, sendo uma MEA medida subseqüentemente à outra. Justificativas
práticas do ponto de vista de instrumentação e da fisiologia, para tal procedimento,
podem ser encontradas na referência (NOVELINO et al.,2003).
2.2 Fundamentos teóricos para a estimação da função densidade de probabilidade
Em teoria da probabilidade, associado a um experimento aleatório [ , considerase um conjunto de resultados possíveis de [ , denominado espaço amostral : . O
conjunto : pode ser finito ou infinito dependendo do experimento. Uma variável
aleatória X é uma função que associa a cada elemento w : um número real X w ,
pertencente ao contradomínio da variável aleatória X, denominado Rx \ . A variável
aleatória X é denominada discreta se seu contradomínio Rx é um conjunto finito ou
infinito numerável e é denominada contínua se Rx é um conjunto infinito não
numerável, um intervalo ou uma união de intervalos. Para uma variável aleatória
discreta, o contradomínio será formado no máximo por um número infinito numerável
de valores x1 , x2 ," A cada possível resultado xi associa-se um número real
p xi P Xi
xi , denominado probabilidade de xi . Os números p xi , i 1, 2,"
f
devem satisfazer às seguintes condições: i) p xi t 0 i e ii) ¦ p xi 1 . No caso de
i 1
uma variável aleatória contínua, deve existir uma função f x , denominada função
densidade de probabilidade, que satisfaça às seguintes condições: i) f x t 0 x \ ,
ii)
³
f
f
f x dx 1 e iii) para quaisquer a e b \ , com f a b f , tem-se que
P a d X d b
b
³ f x dx
a
(vide MEYER, 1983).
Considere uma forma de onda, disponível sobre um intervalo de tempo, onde a
amplitude X t varia aleatoriamente com o tempo e pode assumir qualquer valor em
certo intervalo. Desta forma, sua amplitude X t pode ser considerada como uma variável
aleatória contínua. O interesse aqui está em obter empiricamente a função densidade de
probabilidade dessa variável aleatória.
Para tal propósito, foi usado um método empírico de determinação dos valores
da função densidade de probabilidade, considerando pequenos intervalos de tempo. A
justificativa de tal procedimento é baseada no Teorema de Glivenco-Cantelli (TGC),
que afirma que a função de distribuição empírica, construída das observações, converge
para a função de distribuição populacional, quase certamente no espaço amostral : e
qc
uniformemente em \ , isto é, Fne
o F . O TGC, algumas vezes mencionado como
o “Teorema Fundamental da Estatística”, é uma conseqüência da Lei dos Grandes
Números e representa um importante resultado na área de Estatística Aplicada, sendo
enunciado da seguinte forma. Sejam X 1 ," , X n , variáveis aleatórias independentes e
identicamente distribuídas em um espaço de probabilidade :, , ( , com função
distribuição de probabilidade F . Seja Fne a correspondente função de distribuição
empírica, definida, para todo x \ e w : , por Fne x, w 1 n
¦ I w , então
n i 1 ^ X i d x`
P §¨ lim sup Fne x, w F x ; w :; x \ 0 ·¸ 1 , onde I^ X i d x` w é a função
© n of x\
¹
indicadora, isto é, I^ X i d x` w 1 se X i w d x e I^ X i d x` w 0 , caso contrário.
^
`
Considere um x0 \ fixado, então Fne x0 ,. é uma variável aleatória, pois é
função das variáveis aleatórias X 1 ," , X n . Seja a variável indicadora Yi
I^ X i d x0 ` , com
1 n
¦ Yi . As variáveis aleatórias Yi ' s são independentes,
ni1
como conseqüência de X 1 ," , X n o serem. Para x0 fixado tem-se, que para cada
i 1," , n , assim, Fne x0 ,.
i 1," , n ,
Yi ~ Bernoulli p com
p
P Yi
1
P X i d x0 F x0 .
Então
1
§ n ·
E ¨ ¦ Yi ¸ np nF x0 e , portanto, E ª¬ Fne x0 ,. º¼
nF x0 F x0 . Desta forma,
n
©i1 ¹
pode-se concluir, pela Lei Forte de Kolmogorov (vide MAGALHÃES, 2004), que para
qc
o F x0 .
cada valor x0 \ fixado, Fne x0 ,.
Considere a amostra aleatória no tempo t X t1 ," , X tn de uma distribuição
absolutamente contínua F x e com a função densidade de probabilidade f x que se
quer estimar. Conhecida a realização xt1 ," , xtn da amostra, defina a função de
1 n
¦ I w
n i 1 ^ X ti d x`
distribuição empírica por Fne x 1 n
¦ I xti . Note que Fne x n i 1 ^f , x`
2
é um estimador não viciado para F x , E Fne x F x converge a zero e que
Fne x tem uma distribuição normal assintótica (vide SOUZA, 1998). Como
f x
lim
h o0
F x h F x h
,
2h
(1)
o modo óbvio de estimar f x seria pela substituição de F x por Fne x em (1).
Portanto, para h ! 0 , convenientemente escolhido, tem-se que
fˆh x fˆ x, h 1 n
xti .
¦I
2nh i 1 ^x h , x h`
O estimador fˆh x pode ser escrito alternadamente como fˆh x 1 n 1 § x xti ·
¦ K¨
¸,
ni1h © h ¹
1
se y 1 ou K y 0 se y t 1 . Observe que K y é a função
2
uniforme no intervalo (1,1) . Nesse artigo, fˆh x foi usado como o estimador da
onde K y densidade f x . Para maiores detalhes e uma boa discussão sobre estimadores para
função densidade de probabilidade, inclusive usando outras funções K y , veja
SOUZA (1998).
Assim, voltando à variável aleatória X t e, de acordo com o exposto acima, a
função densidade de probabilidade f x fˆ'x x 1 n
xti ¦I
n'x i 1 ^x , x 'x`
S xt
n'x
P x d X t d x 'x pode ser aproximada por
, onde S xt é o número de vezes que a variável
aleatória X t , a amplitude da onda no tempo t, se encontra no intervalo x, x 'x e n é
a quantidade de vezes que o experimento foi realizado.
2.3 Processamento dos dados
De acordo com a seção 2.1, este artigo analisou quinze conjuntos de sinais. Cada
um desses conjuntos consiste em uma matriz M = > x1 ," , x60 @ , composta por
n 3.010.000 linhas e 60 colunas, onde as colunas xk , k 1," , 60 , representam os
diversos canais da MEA e as linhas x jk , j 1," , n , representam o tempo físico
(medido em milisegundos). Assim, de uma forma mais explícita,
x1
§P
¨
¨ x1,1
¨ x2,1
¨
¨ ...
¨x
© n ,1
M
x60 ·
x
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P P
¸
x1,2 ... x1,60 ¸
x2,2 ... x2,60 ¸
¸
... ... ... ¸
xn ,2 ... xn ,60 ¸¹
Figura 1 – Matriz geral M , descrevendo um conjunto de sinais, registrados durante cinco minutos,
incluindo sessenta vetores x k , k 1, " , 60 , cada qual associado a um canal da MEA, incluindo aquele da
Fig. 2. Os valores xkj , com j
1, " , n correspondem à amplitude do sinal, avaliada em [ PV ].
Desta forma, cada coluna k, k 1," , 60 , da matriz M corresponde a um vetor xk , o
qual armazena o registro da atividade elétrica em um único canal k, durante cinco
minutos (vide Fig. 1). Os valores armazenados para cada coluna xk correspondem aos
valores observados da variável aleatória “amplitude do ruído de fundo”, medidos em
microvolts ( PV ), no intervalo de tempo considerado (vide Fig. 2).
Trecho 2
20
0
-20
Amplitude (micro V)
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
0
1
2
3
Amostras
4
5
6
4
x 10
Figura 2 – Exemplo de um sinal de um único canal da MEA, registrado durante cinco minutos. Amplitude
do ruído de fundo apresentada no eixo vertical [ PV ], e tempo no eixo horizontal [amostras].
Tendo em vista que o objetivo deste artigo consiste em estimar os valores que
caracterizem a função densidade de probabilidade da estatística global do ruído de
fundo, levando-se em conta uma média realizada sobre os quinze conjuntos de sinais,
com base em histogramas de freqüência, procedeu-se a uma análise geral dos dados.
Esta possibilitou determinar a amplitude máxima Amax e a amplitude mínima Amin da
variável aleatória considerada, levando-se em conta simultaneamente os quinze
conjuntos de sinais, com objetivo de padronizar a estimativa dos histogramas.
A análise geral levou ao seguinte procedimento. A função densidade de
probabilidade foi calculada de duas maneiras distintas. Inicialmente foram considerados
todos os valores de amplitude do ruído de fundo que pertenciam ao intervalo [-150µV;
150µV[, sendo o histograma avaliado com subintervalos de 3µV, logo com uma
resolução de 100 intervalos. Vide exemplo mostrado na Fig. 3, que resume as
conclusões gerais obtidas para todos os experimentos da cultura C358, os quais foram
muito semelhantes àqueles obtidos para todos os experimentos da cultura C359.
Figura 3 – Histograma para o conjunto de sinais associados à cultura 358. Eixo vertical expresso em
porcentagem, amplitudes do ruído (eixo horizontal) espalhadas no intervalo [-150µV; 150, µV[, com
resolução de 100 intervalos.
Tendo em vista os resultados assim obtidos, e considerando da Fig. 3 uma
concentração das amplitudes significativas do histograma próximas à zero, desprezou-se
todas as amplitudes menores que -15µV e maiores ou iguais a 15µV. Portanto, na
estimação de todos os histogramas abaixo apresentados ou discutidos, considerou-se
apenas as amplitudes do ruído de fundo da MEA pertencentes ao intervalo [-15µV, +15
µV[, com subintervalos de 1µV, levando a uma resolução de 30 intervalos. Não foi
possível aumentar esta resolução, pois o valor um microvolt corresponde praticamente
ao fundo de escala dos amplificadores conectados à MEA utilizada nos experimentos.
Fixados então os valores máximo Amax = +15 P V e mínimo Amin = -15 P V da
variável aleatória “amplitude do ruído de fundo da MEA”, descreve-se a seguir o
processo de estimação dos histogramas. Inicialmente, discute-se o cálculo de um
Histograma Médio para um Conjunto de Sinais, abreviado como HMCS. Este reflete o
comportamento estatístico geral das amplitudes do ruído de fundo, considerando-se ao
mesmo tempo as medidas efetuadas em todos os 60 canais da MEA durante cinco
minutos.
De acordo com a literatura (RUTTEN, 2002; NOVELINO, 2003), os sinais
captados pela MEA são não-estacionários, implicando variações temporais na sua
estrutura estatística. Em conseqüência, as técnicas de processamento de sinais,
comumente empregadas para a estimativa de spikes (GLASER, 1976; KIM, 2007), que
pressupõem a estacionariedade, devem ser aplicadas a pequenos trechos ou segmentos
dos dados. Estudos aprofundados (BERGER, 2001; CHIAPALONE, 2003) sugerem
que esses trechos não devam ser maiores que 8 – 10 segundos.
Assim sendo, cada vetor xk (vide Fig. 1), representativo de um único canal da
MEA, foi subdividido em 60 trechos de duração 5 segundos cada um, estimando-se um
histograma para cada trecho. O comportamento estatístico médio do canal foi avaliado
fazendo-se a média de todos os 60 histogramas e gerando o histograma por canal ou
HPC. Finalmente, repetindo-se esse procedimento para todos os 60 canais da MEA (ou
colunas da matriz M (vide Fig. 1), geraram-se 60 HPCs, sendo que o Histograma
Médio para um Conjunto de Sinais (HMCS) foi calculado através da média aritmética
dos 60 HPCs.
Finalmente, obteve-se a média aritmética de todos HMCS associados a C358, o
que caracteriza o comportamento estatístico médio dessa cultura, levando em conta
todos os canais. O mesmo foi realizado para C359.
Particularmente, em relação aos procedimentos discutidos nos dois parágrafos
anteriores, deve-se detalhar os cálculos computacionais no que se refere a um único
canal ou vetor xk (vide Fig. 1). Obtida uma matriz com 60 linhas e 50000 colunas,
correspondentes, respectivamente, a 60 trechos de 5 segundos cada um, analisou-se cada
trecho individualmente, seguindo os seguintes passos.
(P1) Cada trecho foi colocado em ordem crescente de valores.
(P2) Definiram-se todos os subintervalos I, de amplitude 1µV, dentro dos limites de
amplitude do ruído de fundo [-15 µV, +15 µV [.
(P3) Analisando todo o trecho, contou-se a quantidade de vezes que as amplitudes do
sinal assumiram valores situados dentro de cada subintervalo I acima definido.
Tais valores foram armazenados em uma matriz.
(P4) A freqüência relativa de cada subintervalo I foi estimada dividindo-se as
amplitudes da matriz calculada em (P3) por 50000.
Os valores da média e de variância amostral de cada histograma foram
estimados a partir das fórmulas apresentadas (2) e (3), respectivamente.
Q
Pˆ
¦ x fˆ x i
I
(2)
i
i 1
Q
Vˆ 2
2
¦ x Pˆ fˆ x i
I
i
(3)
i 1
Onde:
xi é a amplitude média de cada subintervalo I, associado à amplitude do ruído de
fundo, medida em PV .
fÎ ( xi ) é a estimativa da probabilidade associada à probabilidade de xi pertencer ao
intervalo I, expressa em valores decimais.
Q é a quantidade total de subintervalos de cada histograma, estabelecida pela
resolução do histograma, correspondente ao valor 30, como discutido acima.
Adicionalmente, para os dados de amplitude do ruído de fundo associada às culturas
neurais inativas 358 e 359, foi construído o gráfico QQ-plot, e feito o teste de ShapiroWilk (vide SOUZA, 1998) a fim de verificar a normalidade dos dados. Também foram
realizados testes paramétricos, juntamente com intervalos de confiança para a média e
para a variância (vide BUSSAB e MORETTIN, 2000) da distribuição considerada.
3. Resultados e discussões
Como o interesse principal do artigo está no comportamento da amplitude de
ruído de fundo, associada às culturas 358 e 359, testes de hipóteses e intervalos de
confiança foram realizados somente para essa variável, cujo histograma dos dados é
mostrado na Fig.4. Esta última revela o comportamento estatístico global do ruído de
fundo, presente nas medidas efetuadas pela MEA. Trata-se de uma estimativa de uma
função densidade de probabilidade, a qual aparenta ser próxima à gaussiana.
Figura 4 - Histograma da amplitude do ruído de fundo, associado a culturas neurais inativas 358 e 359,
considerando simultaneamente os 60 canais, e todos os quinze conjuntos de sinais.
Para a comprovação da normalidade desses dados, foi construído,
adicionalmente o gráfico QQ-plot. Observe na Fig. 5 que os pontos do gráfico se
aproximam de uma reta, indicando normalidade. Também foi realizado o teste de
Shapiro-Wilk, que forneceu um p-valor de 2,2 x 10-16, confirmando a normalidade para
os dados da amplitude de ruído de fundo.
5
0
-5
-15
-10
Quantis da Amostra
10
15
qq-plot Normal
-4
-2
0
2
4
Quantis Teóricos
Figura 5 – Gráfico QQ-plot da amplitude do ruído de fundo, associado a culturas neurais inativas 358 e
359, considerando simultaneamente os 60 canais, e todos os quinze conjuntos de sinais.
Seguindo a análise, os valores estimados para a média e variância da distribuição
normal foram, respectivamente, Pˆ 0, 497 e Vˆ 2 12, 711 . A Tabela 1 mostra os
intervalos com 95% de confiança para a média e variância.
Tabela 1: Estimativa dos parâmetros da distribuição gaussiana para a variável amplitude ruído
de fundo, associada às culturas inativas 358 e 359.
Parâmetro
Estimativa
Intervalo com 95% de confiança.
P
0,497
12,711
(0,497; 0,567)
(12,366; 13,070)
V
2
Com base na suposição de normalidade para os dados, foram feitos testes de
hipóteses para a média e para variância. As hipóteses, H o : P 0 e H o : V 2 1 ,
indicando que os dados provêm de uma distribuição normal padrão, foram rejeitadas ao
nível de 5% de significância.
4. Conclusão e perspectivas
Os resultados apresentados mostram que o comportamento global da amplitude
do sinal de ruído de fundo, associada às culturas neurais inativas 358 e 359,
considerando os 60 canais, pode ser considerado como sendo uma variável aleatória
com distribuição gaussiana. Isto pode ser comprovado através do histograma (Fig. 4),
do gráfico QQ-plot (Fig. 5) e pelo teste de Shapiro-Wilk (vide seção 3).
Deve-se destacar que os valores estimados para a média e variância dessa
distribuição (Tabela 1) estão em conformidade com os valores usados por (KIM, 2007),
situados no intervalo 3.5 Vˆ 2 15 , porém com uma variabilidade bem maior do que o
intervalo obtido na Tabela 1. Testes de hipóteses, baseados na suposição de
normalidade, evidenciam que a distribuição considerada não é normal padrão.
Em síntese, este artigo consiste na primeira validação experimental de um
argumento apresentado e utilizado desde a década de 1970 pela literatura
(GLASER,1976), estipulando valores concretos para a média e a potência de ruído de
fundo, a serem usados em algoritmos atuais de detecção de spikes (LEWICKI,1998;
KIM,2007).
Trabalhos futuros envolvem a discussão aprofundada da estacionariedade dos
sinais analisados, para refinar a estimação da densidade de probabilidade, bem como o
processamento de um conjunto maior de sinais de culturas inativas.
5. Agradecimentos
À Universidade de Gênova (UniGe), Itália, na figura do Prof. Sergio Martinoia,
pela disponibilização dos materiais e financiamento da estadia do estudante Danilo R
Campos (UFU), responsável pela mensuração dos dados aqui analisados. À
Organização Internacional do Cérebro (IBRO), pelo financiamento da viagem do
mesmo estudante. Ao programa PIBIC CNPq/UFU, pelas bolsas de Iniciação Científica
dos diversos estudantes envolvidos. A Camila A. Araújo, pela ajuda na organização dos
dados. Especial agradecimento, em memória, ao Prof. Massimo Grattarola (UniGe),
pela boa vontade, disponibilidade e abertura de espírito que permitiram nossas primeiras
reuniões de trabalho em 2001.
6. Referências bibliográficas
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p.1153-1161, 2004.
Análise da Média Geral Acumulada (MGA) dos alunos dos cursos de graduação
da Universidade Federal de Uberlândia - UFU
Fábio Costa Almeida1, Rogério de Melo Costa Pinto2, Arlindo José de Souza Junior3
Universidade Federal de Uberlândia – Faculdade de Matemática
Av. João Naves de Ávila,2160 – Campus Santa Mônica
CEP: 38400-902 – Uberlândia – MG – Brasil
1
Aluno do Curso de Matemática – UFU – e-mail: [email protected]
2
Professor Orientador – e-mail: [email protected]
3
Professor Colaborador – e-mail: [email protected]
RESUMO
A Média Geral Acumulada (MGA) é uma média pondera obtida através da carga horária e de
nota obtida em cada disciplina e é usada como um dos critérios de seleção para os alunos
participarem de bolsa de iniciação cientifica, intercâmbios ou de algum estágio interno. O
objetivo deste trabalho foi verificar se existe diferença entre as MGA’s dos alunos dos cursos
de graduação da Universidade Federal de Uberlândia. Para a realização deste estudo foi feita a
análise de variância e posteriormente o teste de Skott-Knott onde se pode concluir que há
diferença entre as MGA’s dos alunos dos cursos analisados.
Palavras-chave: média geral acumulada (MGA), análise de variância, teste de Skott-Knott.
1. INTRODUÇÃO
Na estrutura atual de ensino o aluno é avaliado apenas quantitativamente e não
qualitativamente pelo seu desempenho e conhecimento. Esta estrutura de avaliação vigora em
todas as instituições de ensino, apesar de sua comprovada ineficácia na análise de
conhecimento dos alunos, a grande maioria dos educadores insiste em aplica - lá, sendo que a
justificativa destes educadores é que avaliar é preciso e que este é o único método o qual eles
tiveram contato durante sua formação. Atualmente qualquer que seja o nível de ensino utilizase o mesmo critério de avaliação, ou seja, no Ensino Fundamental e Médio os alunos são
classificados pelas notas obtidas em cada disciplina. Por meio destas notas são aprovados ou
reprovados nas disciplinas e também são classificados como bons alunos se tiverem notas
altas em todas as disciplinas.
Os critérios de avaliação apontam as experiências educativas a que os alunos devem
ter acesso e que são consideradas essenciais para o seu desenvolvimento e socialização. Nesse
sentido, eles devem refletir de forma equilibrada os diferentes tipos de capacidades e as três
dimensões de conteúdos (conceitos, procedimentos e atitudes) e servir para encaminhar a
programação e as atividades de ensino e aprendizagem (Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN), 1998), logo para o Ensino Fundamental e Médio o PCN tenta regular as formas de
avaliação dos alunos para que eles não fiquem presos a notas obtidas somente em provas.
Existem poucas escolas que apesar de utilizar este sistema quantitativo, tentam
trabalhar dividindo os pontos distribuídos em duas categorias: atividades diversificadas e
provas individuais. Estas escolas que utilizam esta estratégia para minimizar as falhas do
sistema atual são as escolas de aplicação, um exemplo de escola de aplicação é a ESEBA
(Escola de Educação Básica da UFU), a escola de ensino fundamental da Universidade
Federal de Uberlândia – UFU.
Ao sair do Ensino Médio o aluno continua sendo avaliado pelo mesmo critério, ou
seja, por notas. Para ingressar na universidade é avaliado através de uma prova (vestibular) a
qual tem o objetivo de analisar se este aluno está ou não capacitado para entrar na
universidade, e a partir de seu desempenho o vestibulando é classificado para a segunda fase,
onde ele realiza outra prova. Ao fim dessas etapas são somadas as suas notas e os com
maiores notas ingressam no ensino superior. Algumas poucas universidades atualmente
utilizam também como forma de avaliação para o ingresso na universidade à nota no ENEM
(Exame Nacional do Ensino Médio), apesar de ser uma forma alternativa, continua avaliando
o candidato através de notas. Algumas universidades que utilizam a nota do ENEM como
pontuação extra no vestibular: USP (Universidade de São Paulo), Unicamp (Universidade
Estadual de Campinas), PUC - Rio (Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro),
PUC-SP (Pontifícia Universidade Católica de São Paulo) dentre outras.
Quando o aluno ingressa no curso superior não muda muito, pois continua sendo
avaliado e recebendo notas de acordo com o desempenho nas disciplinas. A nota do aluno é
apenas uma das bases do cálculo do desempenho, pois o aluno agora é classificado segundo a
sua média geral acumulada (MGA), a qual é calculada de acordo com a carga horária de cada
disciplina e a nota obtida nela (GUIA ACADÊMICO, 2005).
Caso um aluno de qualquer curso de graduação queira concorrer a algum tipo de bolsa
de iniciação cientifica, participar de intercâmbios ou participar de algum estágio interno na
Universidade Federal de Uberlândia, um dos requisitos é que ele tenha bom desempenho
acadêmico, em outras palavras, ter bom desempenho acadêmico significa média geral
acumulada (MGA) igual ou superior a 60 pontos e esta precisa ser comprovada por meio de
Histórico Escolar.
A MGA do aluno começa a ser construída e analisada desde o primeiro período de
graduação, mostrando como foi o desenvolvimento do aluno ao longo de toda sua vida
acadêmica, pois caso este aluno tenha reprovado em alguma(s) matéria(s) durante seu curso
de graduação, neste período sua nota nesta disciplina irá pra o cálculo de sua MGA já
insuficiente, pois este aluno não obteve o mínimo necessário para ser aprovado nesta
disciplina. Neste caso, o mais provável de ocorrer com a sua MGA é permanecer a mesma ou
não aumentar consideravelmente. Porém se um aluno sempre obteve boas notas, sua MGA irá
aumentar, e caso este aluno só obter o mínimo possível para passar em uma disciplina, sua
MGA não sofrerá alterações significativas.
Logo, se um aluno teve dificuldades no inicio de sua graduação sendo reprovado em
algumas matérias, por displicência ou por adaptação e depois de alguns períodos ele supera
estas dificuldades iniciais, mesmo obtendo boas notas, ele dificilmente conseguirá aumentar
sua MGA de forma expressiva para estar concorrendo de igual para igual com outros alunos.
Portanto, pode se dizer que a queda na MGA é mais fácil de ocorrer do que um aumento na
mesma.
Nos editais de projetos de iniciação científica com bolsa na UFU, é utilizado a MGA
(acima de 60) como base do critério de seleção dos candidatos, além de avaliar se o candidato
não teve duas reprovações nos dois últimos semestres, sendo estes os pré-requisitos para
participar de uma seleção de bolsas na universidade. Após a análise destes critérios é que o
projeto no qual o candidato à bolsa esta envolvido é avaliado. Sendo assim, vários projetos de
grande importância não são nem avaliados quando os candidatos não satisfazem os prérequisitos, reduzindo significativamente o número de possíveis bolsistas. Entretanto, há uma
hipótese de que a MGA dos cursos de graduação da UFU são diferentes, assim, caso isso seja
verdade, alguns alunos de determinados curso de graduação tem vantagens na seleção dos
projetos em relação a alunos de outros cursos.
Na Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) o critério de avaliação de
desempenho dos alunos candidatos à bolsa para projetos de iniciação cientifica leva em
considerações vários fatores, não só a nota e a carga horária das disciplinas. Nesta
universidade, quando se avalia o desempenho acadêmico do aluno são levados em
consideração os seguintes critério (www.prp.unicamp.br/pibic/index.php, visitado em
24/06/2008):
1 – Coeficiente de Rendimento: que é a MGA do aluno;
2 – Coeficiente de Progressão: calculado da seguinte forma:
n
¦ Ci
CP
1
T
Onde, Ci é número de créditos obtidos pelo aluno em cada disciplina do seu currículo pleno e
T é o total de créditos necessários para graduar-se naquele currículo pleno.
3 – Coeficiente de Rendimento Relativo: dado por:
CR rel
CR aluno CR turma
V turma
Onde, CR turma é o CR médio da turma do aluno e V turma é a dispersão da distribuição de
CR’s da turma;
4 – Número de reprovações em disciplinas por parte do aluno, em relação ao número médio
de reprovações da turma.
Comparando as duas universidades é possível afirmar que a Universidade Estadual de
Campinas analisa um maior número de informações, informações estas que depende de
variáveis dos alunos e da turma onde este aluno esta inserido. Apenas com esta informação já
é possível afirmar que o critério de avaliação desta universidade é mais coerente, não
necessariamente mais eficiente. Pois quando se ensina um conteúdo a um grupo de alunos é
essencial fazer um estudo sobre onde estes alunos estão inseridos, pois o meio modifica o
modo de aprendizagem do aluno, e isto não é diferente quando se trata da análise do
desempenho dos alunos na universidade.
Portanto ao analisar o desempenho do estudante é importante verificar não só o
aproveitamento do estudante mais também o desempenho da turma, nesta disciplina, bem
como a carga horária da disciplina, para que com base nestas informações possa ser possível
afirmar ou não que um aluno deva ganhar uma bolsa de iniciação cientifica.
Apesar das poucas variáveis envolvidas no cálculo da MGA da Universidade Federal
de Uberlândia, este método vem sendo utilizado a um bom tempo nesta entidade, mesmo não
sendo um bom método atende as necessidades, pois o seu objetivo é classificar o aluno,
fazendo uma análise do desempenho do aluno desde seu primeiro período de curso. A sua
maior aplicação nesta universidade é de classificação para analise de bolsas e para esta
finalidade a MGA tem se mostrado eficiente, mesmo não sendo a melhor análise do
aproveitamento de um aluno.
Com isso, chega-se a uma conclusão prévia de que nem um nem outro método é o
melhor para avaliar a distribuição de bolsas, mas sim uma análise criteriosa da vida acadêmica
do aluno. Mesmo não sendo ainda o ideal, o critério utilizado pela Universidade Estadual de
Campinas é o que mais se aproxima do mesmo, pois apresenta um maior número de
informações da vida acadêmica do aluno bem como do espaço no qual ele está inserido.
O objetivo do presente estudo foi verificar se existe diferença entre as MGA’s dos
alunos de cada curso de graduação, considerando-se as seguintes áreas: Ciências Biológicas,
Ciências Agrárias e da Saúde, Ciências Exatas e da Terra, Engenharias, Ciências Humanas,
Ciências Sociais Aplicadas e Lingüística, Letras e Artes.
2. MATERIAL E MÉTODOS
Os dados para a realização deste trabalho foram fornecidos pela Diretoria de
Administração e Controle Acadêmico (DIRAC) que são as MGA’s dos alunos dos cursos de
graduação da Universidade Federal de Uberlândia.
Para o cálculo da MGA é usada a média ponderada (Guia Acadêmico, 2005), que é
uma média de uma coleção de valores aos quais foram atribuídos diferentes graus de
importância. Onde os valores são as notas obtidas em cada disciplina e os diferentes graus de
importância e a carga horária de cada disciplina. Logo:
n
¦ X .W
i
MGA
i
i 1
n
¦W
i
i 1
Onde:
X i : é a nota obtida em cada disciplina;
Wi : é a carga horária de cada disciplina.
As MGA’s usadas neste trabalho são referentes ao segundo semestre de 2007. Para a
análise dos dados foram desconsiderados os alunos ingressantes no segundo semestre de
2007, pois a MGA dos alunos ingressantes é igual à zero.
Foi feita a análise de variância considerando o delineamento inteiramente ao acaso
(Pimental Gomes, 1990) e posteriormente o teste de Skott-Nott (Ramalho et al., 2000) para
verificar as diferenças entre os cursos.
O procedimento de Scott e Knott (1974) utiliza a razão de verossimilhança para testar
a significância de que os n tratamentos podem ser divididos em dois grupos que maximizem a
soma de quadrados entre os grupos.
Seja, por exemplo, 3 tratamentos, A, B e C. O processo consiste em determinar uma
partição, em dois grupos, que maximizem a soma de quadrados. Veja que nesse caso são
possíveis 2n – 1 – 1 grupos, isto é, A vs B e C, B vs A e C, C vs A e B. Com um número
pequeno de tratamentos como o do exemplo é fácil obter todos os grupos. Contudo, quando o
número (n) de tratamentos é grande, o número de grupos cresce exponencialmente,
dificultando a aplicação do teste. Para atenuar esse problema, basta ordenar as médias dos
tratamentos. Nessa situação, o número de partições possíveis passa a se obtido por n – 1. Uma
vez ordenada às médias, procede-se do seguinte modo, fazendo inicialmente o número de
tratamentos g = n:
i. Determinar a partição entre dois grupos que maximizem a soma de quadrados entre
grupos. Essa soma de quadrados será determinada por B0, e será estimada da seguinte forma:
sejam T1 e T2 os totais dos dois grupos com k1 e k2 tratamentos em cada um.
B0
T12 T22 T1 T2 k1 k 2
k1 k 2
k1
T1
2
g
¦ Y i
e T2
¦ Y i
i k1 1
i 1
Em que Y i é a média do tratamento da posição ordenada i.
Os dois grupos deverão ser identificados por meio da inspeção das somas de
quadrados das g – 1 partições possíveis, sendo g o número de tratamentos envolvidos no
grupo das médias consideradas.
ii. Determinar o valor da estatística O da seguinte forma:
B
S
u 02
2(S 2) Vˆ 0
O
Em que V̂ 02 é o estimador de máxima verossimilhança de V Y2 . Seja S Y2
QME
r
o estimador não viesado de V Y2 e v os graus de liberdade associados a este estimador.
V̂
2
0
1 ªg
¦ Yi Y
g v «¬ i 1
2
º
vS 2 »
Y
¼
iii. Se O t F 2D ; g / S 2 , rejeita-se a hipótese de que os grupos são idênticos em favor da
hipótese alternativa de que os grupos deferem.
iv. No caso de rejeitar essa hipótese, os dois subgrupos formados serão
dependentemente submetidos aos passos (i) e (ii), fazendo respectivamente g = k1 e
g = k2.
O processo em cada subgrupo se encerra ao aceitar H0 no passo (iii) ou se cada subgrupo
contiver apenas uma média.
Para a realização da análise de variância foi feita a transformação dos dados com
aplicação do logaritmo para a correção da normalidade. Para a realização das análises
utilizou-se o programa SISVAR versão 4.6 (Ferreira, 2003).
Os cursos de graduação foram divididos em três grandes áreas contendo os seguintes
cursos: Ciências biológicas, agrárias e da saúde (Agronomia, Ciências Biológicas,
Enfermagem, Medicina Veterinária, Medicina e Odontologia); Engenharias e ciências exatas
(Ciências da Computação, Engenharia Química, Engenharia Civil, Engenharia elétrica,
Engenharia Mecânica, Engenharia Mecatrônica, Química, Física de Materiais e Matemática);
Ciências humanas, sociais aplicadas, lingüística, letras e artes (Administração, Arquitetura e
Urbanismo, Ciências Contábeis, Ciências Econômicas, Ciências Sociais, Decoração, Direito,
Filosofia, Geografia, História, Letras e Psicologia).
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO:
Observando-se o quadro da ANAVA (Tabela1), verifica-se que houve diferença
estatisticamente significativa entre os cursos analisados (p-valor <0,01). O Coeficiente de
Variação (CV) foi de 13,61% , mostrando boa precisão dos dados.
Tabela 1. Quadro da ANAVA referente aos cursos analisados (dados transformados).
FV
GL
QM
Fc
Pr>Fc
Cursos
26
3,9855
57,41
0,0000
erro
31519
0,0694
Total corrigido
31545
CV (%)
13,61
Observando-se o teste de médias (Tabela 2), verifica-se que os cursos da Engenharia
Mecatrônica, Química, Enfermagem, Psicologia, Medicina, Direito, Odontologia, Medicina
Veterinária, Arquitetura e Urbanismo, Ciências Contábeis, Matemática, Administração,
Ciências da Computação, não diferiram estatisticamente pelo teste de Skott-Knott, os quais
diferem dos demais cursos.
Verifica-se também no teste de médias (Tabela 2) que os cursos de História,
Decoração, Geografia, Ciências Biológicas, Agronomia, Engenharia Mecânica, Economia,
Engenharia Química e Engenharia Civil não diferiram estatisticamente pelo teste de SkottKnott, os quais diferiram dos demais cursos.
Pelo teste de médias (Tabela 2), verifica-se que o curso de Ciências Sociais diferiu
estatisticamente pelo teste de Skott-Knott dos demais cursos.
Tem-se também que os cursos de Física de Materiais e Filosofia não diferiram
estatisticamente pelo teste de Skott-Knott (teste de médias – Tabela 2), os quais diferiram dos
demais.
Assim como foi constatado pelo teste de médias (Tabela 2), os cursos de Letras e
Engenharia Elétrica não diferiram estatisticamente pelo teste de Skott-Knott, os quais
deferiram dos demais, sendo que estes cursos apresentaram uma das menores médias e alto
desvio padrão, refletindo uma variação muito grande nas MGA’s dos alunos.
Tabela 2. Mediana, média e desvio padrão dos cursos analisados.
CURSOS
Administração
Arquitetura e Urbanismo
Ciências Contábeis
Ciências da Computação
Direito
Enfermagem
Engenharia Mecatrônica
Matemática
Medicina
Medicina Veterinária
Odontologia
Psicologia
Química
Agronomia
Ciências Biológicas
Decoração
Economia
Engenharia Civil
Engenharia Mecânica
Engenharia Química
Geografia
História
Ciências Sociais
Medianas
71,9813
77,4292
75,7766
59,9712
81,6682
84,8137
69,3788
73,8763
79,3041
76,4906
77,4271
86,0847
67,3862
67,6439
75,4903
71,2768
61,3628
56,6378
61,9024
62,1241
70,8759
79,2587
64,9016
Médias
67,15205
71,77968
71,44706
57,44174
77,88036
82,83217
66,5326
70,83231
78,22817
73,26253
76,24033
82,04189
65,7370
63,29486
68,66261
65,2781
58,07996
53,4392
58,3023
57,34365
70,87588
73,3794
57,43469
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
c
Desvio padrão
17,4401
17,2836
16,6860
18,3305
15,1386
9,6622
15,0540
16,4039
7,4599
12,9520
8,6824
13,1652
13,5369
16,7672
19,7599
18,8519
19,8010
17,6697
16,8434
15,0540
19,1897
21,2649
24,1027
Filosofia
Física dos materiais
Engenharia Elétrica
Letras
58,9815
43,8571
49,6885
64,5250
54,2052
45,3523
48,96958
51,46716
d
d
e
e
26,3962
20,8104
24,0269
31,0211
Verifica-se que os cursos estão classificados no grupo de acordo com a média das
MGA’s onde os grupos a, b, c, d, e (Tabela 2) estão organizados em ordem decrescente com
relação às MGA’s. Porém alguns cursos apesar de apresentarem MGA semelhante à de algum
dos grupos estão classificados em outro por apresentarem um desvio padrão maior. Podemos
perceber isto com o curso de História e Geografia que apresentam MGA semelhante aos dos
cursos classificados no grupo a, porém estão classificados no grupo b.
Separando os grupos por áreas do conhecimento temos as seguintes classificações nos
grupos:
Na área de Ciências biológicas, agrárias e da saúde tem os seguintes cursos no grupo
a: Enfermagem, Medicina, Medicina Veterinária e Odontologia; no grupo b: Agronomia e
Ciências Biológicas.
Tabela 3. Porcentagem dos cursos da área de Ciências Biológicas, agrárias e da saúde em cada
grupo.
Grupo
a
b
c
d
e
Área: Ciências biológicas, agrárias e da saúde
Porcentagem
67%
33%
0%
0%
0%
Observando-se a Tabela 3 tem-se que 67% dos cursos da área de Ciências Biológicas,
agrárias e da saúde estão no grupo a, e 33% no grupo b e não há cursos nos demais grupos. Os
grupos a e b são os grupos os quais apresentam maiores MGA’s, sendo assim esta área possui
MGA’s altas.
Na área das Engenharias e ciências exatas (Tabela 2) têm-se os seguintes cursos no
grupo a: Ciência da Computação, Engenharia Mecatrônica, Matemática e Química; no grupo
b: Engenharia Civil, Engenharia Mecânica e Engenharia Química; no grupo d: Física de
Materiais e no grupo e: Engenharia Elétrica. Ao analisar a Tabela 4 pode-se constatar que
40% dos cursos estão no grupo a, 30% no grupo b, 20% no grupo c e 10% no grupo d. Esta é
uma área heterogênea apesar de possuir a maioria de seus cursos nos grupos a e b.
Tabela 4. Porcentagem dos cursos da área de Engenharias e ciências exatas em cada grupo.
Grupo
a
b
c
d
Área: Engenharias e ciências exatas
Porcentagem
40%
30%
20%
10%
e
0%
Na área de Ciências humanas, sociais aplicadas, lingüística, letras e artes têm os
seguintes cursos no grupo a: Administração, Arquitetura e Urbanismo, Ciências Contábeis e
Psicologia; no grupo b: Decoração, Economia, Geografia e História; no grupo c: Ciências
Sociais; no grupo d: Filosofia e no grupo e: Letras. (Tabela 2)
Tabela 5. Porcentagem dos cursos da área de Ciências humanas, sociais aplicadas, lingüística,
letras e artes em cada um dos grupos.
Grupo
a
b
c
d
e
Área: Ciências humanas, sociais aplicadas, lingüística, letras e artes
Porcentagem
37%
36%
9%
9%
9%
Pela Tabela 5 tem-se que os cursos da área de Ciências humanas, sociais aplicadas,
lingüística, letras e artes estão distribuídos da seguinte forma pelos grupos: 37% dos cursos
estão no grupo a, 36% no grupo b, 9% no grupo c, 9% no grupo d e 9% no grupo e. Temos
que nesta área a diferença de porcentagem entre os cursos que ocupam os dois primeiros
grupos é pequena e a porcentagem de cursos que ocupam os três outros grupos é a mesma,
além disso, observa-se que a grande maioria dos cursos estão alocados nos grupos a e b.
Comparando as três áreas temos que a área de Ciências Biológicas, agrárias e da saúde
apresenta cursos apenas nos dois primeiros grupos, sendo que a maioria está no grupo a. Na
área das Engenharias e ciências exatas há uma distribuição dos cursos pelos quatro primeiros
grupos, com uma maior concentração nos dois primeiros grupos. Na área de Ciências
humanas, sociais aplicadas, lingüística, letras e artes apresentam cursos em todos os grupos,
sendo que a porcentagem de cursos nos grupos a e b é próxima e nos grupos c, d, e
apresentam a mesma porcentagem de cursos.
Como os cursos da área de Ciências biológicas, agrárias e da saúde apresentam cursos
somente nos grupos de maiores MGA’s, os alunos destes cursos podem levar vantagem em
relação aos alunos dos cursos das outras áreas na concessão de bolsas.
Sendo assim, com a análise da MGA como critério para a distribuição de bolsas de
monitores e para trabalhos de iniciação cientifica, observa-se que a área de Ciências
biológicas, agrárias e da saúde teria vantagem com relação às outras áreas, e a área de
Ciências humanas, sociais aplicadas, lingüística, letras e artes seria a mais desfavorecida com
o uso deste critério.
Outro fato que nota-se na tabela 2 é que a média das MGA’s dos alunos de muitos
cursos não é superior a 60 e ter MGA superior a 60 é um requisito para participar da seleção
para projetos.
Logo ter como referência a MGA como critério de seleção não é adequado, pois esta
diferença de MGA entre os cursos prejudica os alunos durante o processo de seleção.
4. CONCLUSÕES
Com os dados do presente estudo e no período avaliado, conclui-se que há diferenças
entre as MGA’s dos alunos dos diferentes cursos de graduação da Universidade Federal de
Uberlândia.
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Brasil, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática
/ Secretaria de Educação Fundamental. . Brasília: MEC / SEF, 1998.
FERREIRA, D. F. SISVAR versão 4.6. Lavras, 2003.
GUIA ACADÊMICO, 2005. Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Federal de
Uberlândia, 30p.
PIMENTAL GOMES, F. Curso de estatística experimental. 13 Ed. Piracicaba, Livraria
Nobel, 1990. 468p.
RAMALHO, M. A.; FERREIRA, D. F.; OLIVEIRA, A. C. Experimentação em genética e
melhoramento. Lavras, Ed. UFLA, 2000. 326p.
www.prp.unicamp.br/pibic/index.php - visitado em 24/06/2008.
Estudo de um método de aumento da ordem
de precisão de funcionais integrais
via métodos adjuntos
Alessandro Alves Santana1
Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Matemática
38408-100, Campus Santa Mônica, Uberlândia, MG
E-mail: [email protected]
Gabriela Aparecida dos Reis2
Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Matemática
38408-100, Campus Santa Mônica, Uberlândia, MG
1
Introdução
Em métodos de otimização aerodinâmica, aplicados no desenvolvimento de aeronaves, tem se a necessidade de mensurar propriedades aerodiâmicas, tais como
coeficientes de arrasto, sustentação ou ainda arrasto/sustentação, os quais são obtidos mediante o cálculo de funcionais integrais, sendo que os integrandos nesses
funcionais são obtidos das equações, um conjunto de EDPs, que governam o escoamento dos fluidos ao redor do corpo da aeronave [12, 11, 14, 16, 13]. O cálculo
do fluxo de combustı́veis fósseis através de meios porosos também exige a avaliação
de funcionais integrais cujos integrando são obtidos da solução de EDPs [10]. Esses
dois exemplos, assim como outros que surgem em problemas de engenharia, exigem
o cálculo de integrais que utilizam a solução de EDPs, e o esforço de melhorar a
estimativa dessas integrais, via métodos numéricos, tem se confrontado com muitas
possibilidades. Uma delas consiste no aumento do grau de refinamento da malha
computacional, só que isso demanda computadores mais velozes, com uma grande
capacidade de processamento. Outra alternativa consiste no aumento da ordem de
precisão da discretização da EDP, desde que essa discretização seja viável para geometria do domı́nio do problema em consideração. Essas possibilidades podem ser
utilizadas para melhorar a precisão da solução da EDP e consequente aumento da
precisão do funcional integral. Contudo, existem problemas de engenharia onde o
maior interesse é o valor da saı́da de um funcional integral. Para um dado problema
envolvendo a resolução de uma EDP, cuja solução dependente de um parâmetro α,
e o cálculo de uma integral a partir da solução dessa equação, pode-se ter interesse
em fazer várias avaliações, com uma boa precisão, da integral devido a variações
em α sem que para isso seja necessário trabalhar com uma malha muito refinada, o
que eleva o custo computacional, ou trabalhar com uma discretização da EDP com
uma ordem mais elevada. Uma abordagem para resolver esse problema consiste na
utilização da equação adjunta. Giles [10, 9, 7, 6, 8] e Darmofal [3, 4] apresentam
1
2
Professor orientador
Aluna de iniciação cientı́fica do programa PET-FAMAT
trabalhos abordando a técnica de aumento da ordem precisão de funcionais integrais
utilizando a equação adjunta.
Assim sendo, o presente artigo tem por finalidade apresentar um estudo sobre a
técnica de aumento da ordem de precisão de funcionais integrais cujos integrandos
são provenientes da solução de equações diferenciais. Esse estudo é baseado nos
artigos de Giles [7, 6], onde a solução da equação adjunta é utilizada para aumentar
a precisão de um funcional integral mostrando que o corretor adjunto dobra a ordem
precisão da integral, isto é, se ordem de precisão sem utilizar o corretor adjunto é
O(hp ), ao utilizá-lo a ordem vai para O(h2p ). A teoria é exemplificada, para um caso
unidimensional, envolvendo o cálculo de uma integral cujo integrando é solução de
uma EDO de segunda ordem. A implementação dessa técnica, para esse problema
unidimensional, exige um conhecimento prévio sobre quadratura gaussiana (método
de integração numérica), aproximação de funções por splines cúbicos e resolução
de EDOs via diferenças finitas. Desse modo, as três próximas seções apresentam a
teoria sobre cada uma dessas técnicas. A última seção apresenta o método adjunto
e o corretor adjunto, e sua aplicação para o referido problema unidimensional.
2
Regras de quadratura
Regras de quadratura tem por finalidade o cálculo de integrais via métodos numéricos. Tais métodos são importantes por que para um grande número de funções
não é possı́vel obter as suas respectivas primitivas utilizando técnicas analı́ticas de
integração, técnicas que permitam expressá-las em termos de funções elementares.
Além disso, existem situações que exigem a integração de funções, cuja lei de formação é desconhecida, onde o que se tem apenas são seus valores em pontos discretos.
Uma das técnicas de integração numérica, mais conhecidas, consiste em aproximar uma função a ser integrada em um intervalo por um polinômio interpolador,
e tomar valor da integral deste como uma aproximação para a integral da função
original. O desenvolvimento a seguir, tendo por base [5, 1], resume esses argumentos:
Considere uma função f (x) a ser integrada em um intervalo [a, b] e um conjunto
de n + 1 pontos x0 , . . . , xn definidos no referido intervalo. O polinômio de grau no
máximo n que interpola f (x) nos n + 1 pontos, na forma de Lagrange, é dado por
pn (x) =
n
f (xk )Lk (x)
(1)
k=0
onde
n
(x − xi )
Lk (x) =
i=0
i=k
n
(2)
(xk − xi )
i=0
i=k
são os chamados polinômios de Lagrange, e funcionam como funções pesos no processo de avaliação ao aplicar o polinômio interpolador. Continuando,
b
In (f ) =
a
f (x)dx ∼
=
b n
a
f (xk )Lk (x)dx =
k=0
b
In (f ) =
n
k=0
f (x)dx ∼
=
n
⎤
⎡ b
⎣ Lk (x)dx⎦ f (xk )
a
Ak
Ak f (xk )
(3)
k=0
a
onde In (f ) é a aproximação para integral de f (x) pelo polinômio pn (x) de grau n,
sendo
b
Ak =
Lk (x)dx
(4)
a
os chamados pesos no processo de integração.
As chamadas fórmulas de Newton-Cotes formam uma classe de técnicas de integração numérica. Nessas fórmulas, a função sendo integrada é aproximada por
um polinômio interpolador, via forma de Lagrange, sendo que os pontos utilizados
na interpolação são igualmente espaçados. Tais fórmulas são classificadas em dois
tipos:
• Fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado: Utilizam os extremos do intervalo
de integração sendo
h=
b−a
n
o espaçamento os pontos e [a, b] o intervalo de integração.
• Fórmulas de Newton-Cotes do tipo aberto: Não utilizam os extremos do intervalo de integração sendo
h=
b−a
n+2
o espaçamento os pontos e [a, b] o intervalo de integração.
Uma observação importante, considerando as fórmulas fechadas, é que os pesos
Ak são independentes de x. Dependem apenas de n, grau no polinômio interpolador,
e do valor de h. A perda da dependência de x é obtida fazendos-se as seguintes
transformações: Se xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , n, são os pontos de interpolação no
intervalo [a, b], então o fator
x − xi
xk − xi
no produtório (2), pela mudança de variáveis x = a + th, segue que
t−i
a + th − a − ih
x − xi
=
=
xk − xi
a + kh − a − ih
k−i
Com isso, mais o fato de que x = a quando t = 0 e x = a + nh = b quando t = n,
e que dx = hdt, os pesos Ak ficam dados por
n
Ak = h
λk (t) dt
0
onde
n
(t − i)
λk (t) =
i=0
i=k
n
.
(k − i)
i=0
i=k
As fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado mais conhecidas são dadas a seguir:
• Regra dos trapézios: A função f (x) é interpolada por um polinômio de grau
1 no intervalo integração sendo os pesos dados por A0 = A1 = h/2, gerando a
fórmula
I1 =
h
[f (x0 ) + f (x1 )] .
2
(5)
• Regra 1/3 de Simpson: A função f (x) é interpolada por um polinômio
de grau 2 no intervalo de integração sendo os pesos dados por A0 = h/3,
A1 = 4h/3 e A2 = h/3, gerando a fórmula
I2 =
h
[f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] .
3
(6)
• Regra 3/8 de Simpson: A função f (x) é interpolada por um polinômio
de grau 3 no intervalo de integração sendo os pesos dados por A0 = 3h/8,
A1 = 9h/8, A2 = 9h/8 e A3 = 3h/8, gerando a fórmula
I3 =
3h
[f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] .
8
(7)
Normalmente, essas técnicas de integração são aplicadas repetidamente para minimizar o erro, uma vez que o comprimento do intervalo de integração pode ser
grande, e por conseguinte, o valor de h também. A aplicação repetida se baseia na
divisão do intervalo de integração [a, b] em N subintervalos e na aplicação de uma
das regras, anteriormente apresentadas, em cada um desses subintervalos, sendo no
final os valores obtidos somados para obter uma aproximação para a integral no
referido intervalo [a, b]. Para exemplificar, considerando a regra dos trapézios, a
fórmula fica
N
h
f (x0 ) + f (xN ) +
I2 (f ) =
f (xk )
2
k=1
onde N é o número de divisões do intervalo de integração [a, b], h = (b − a)/N e
xk = a + kh.
No caso da regra 1/3 de Simpson, exige-se que o número de divisões no intervalo
de integração seja da forma 2N , ou seja, o número de divisões tem que ser par,
pois essa regra de integração utiliza um polinômio de grau 2, que exige 3 pontos
igualmente espaçados. No caso da regra 3/8 de Simpson o número de divisões do
intervalo de integração tem que ser da forma 3N , múltiplo de 3, pois é um caso onde
o integrando é aproximado por um polinômio de grau 3.
Define-se o grau de precisão de uma fórmula de integração numérica baseada em
interpolação como sendo o maior inteiro n > 0 para o qual
I(f ) − In (f ) = 0
onde f (x) é um polinômio de grau n, sendo I(f ) a integral exata obtida em um
intervalo [a, b] e In (f ) a integral, nesse mesmo intervalo, gerada por alguma fórmula
de quadratura. Assim sendo, uma fórmula de quadratura interpolatória tem grau
de precisão 4 se a mesma é exata para todo polinômio de grau menor ou igual a 4.
No que tange aos erros nas fórmulas de quadratura de Newton-Cotes do tipo
fechado, os dois teoremas a seguir fornecem resultados com relação a forma de
mensurá-los:
Teorema 2.1 Se os pontos xi = x0 + ih, i = 0, . . . , n dividem [a, b] em um número
ı́mpar de intervalos iguais e f (x) tem derivada de ordem n + 1 contı́nua em [a, b],
então a expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado, com
n ı́mpar, é dada por:
hn+2 f (n+1) (ξ)
En (f ) =
(n + 1)!
n
t(t − 1)(t − 2) . . . (t − n)dt
0
para algum ξ ∈ [a, b].
Teorema 2.2 Se os pontos xi = x0 + ih, i = 0, . . . , n dividem [a, b] em um número
par de intervalos iguais e f (x) tem derivada de ordem n + 2 contı́nua em [a, b],
então a expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado, com
n par, é dada por:
hn+3 f (n+2) (ξ)
En (f ) =
(n + 2)!
n 0
n
t−
t(t − 1)(t − 2) . . . (t − n)dt
2
para algum ξ ∈ [a, b].
Considerando as regras (5), (6) e (7), as expressões para seus erros são dados
por:
• Regra dos trapézios (n = 1):
h3 f (2) (ξ)
12
ξ ∈ [x0 , x1 ]
h5 f (4) (ξ)
90
ξ ∈ [x0 , x2 ]
3h5 f (4) (ξ)
80
ξ ∈ [x0 , x3 ]
E1 (f ) = −
• Regra 1/3 de Simpson (n = 2):
E2 (f ) = −
E3 (f ) = −
Quando se aplica, por exemplo, tanto a regra dos trapézios como nas regras 1/3
e 3/8 de Simpson, considera-se sempre a aplicação das mesmas na versão repetida.
Devido a isso, os erros são somados. No que tange aos erros na forma repetida desses
métodos, segue-se que:
• Regra dos trapézios (n = 1):
E1 (f ) = −
(b − a)h2 f (2) (ξ)
12
grau de precisão: 1
E2 (f ) = −
(b − a)h4 f (4)(ξ) (ξ)
180
E3 (f ) = −
(b − a)h4 f (4) (ξ)
80
O erro na regra do trapézios é da ordem de h2 , em sı́mbolo, O(h2 ), enquanto que
nas duas regras de Simpson os erros são da ordem de O(h4 ). Isso significa ao integrar
uma função f (x) em um intervalo [a, b] considerando-se N = 12, por exemplo, que
é um número de divisões múltiplo de 2 e 3, utilizando as referidas técnicas, os
resultados gerados as regras de 1/3 e 3/8 de Simpson serão mais precisos que o
resultado gerado pela regra dos trapézios.
A integral definida
1
sen(πx)dx
(8)
0
tem por valor exato 2/pi ∼
= 0.636619772. Na tabela 1, N é o número de divisões no
intervalo de integração, IT R e ISR são as aproximações geradas, respectivamente,
pela regra dos trapézios e regra 1/3 de Simpson, e por fim, ET R e ESR são os erros
entre a integral exata e a aproximada, respectivamente, pela regra dos trapézios e
regra 1/3 de Simpson. Note que para um dado N , a regra 1/3 de Simpson gera
sempre uma aproximação mais precisa que a regra dos trapézios. Perceba que para
N = 6 a regra de 1/3 de Simpson gera um erro da ordem de 10−4 . Para que a regra
dos trapézios gere um erro com essa mesma magnitude é necessário um número de
divisões no intervalo de integração pelo menos 4 vezes maior.
N
6
12
24
48
96
IT R
0.6220084679
0.6329795094
0.6357104870
0.6363924997
0.6365629573
ET R
1.46e-02
3.64e-03
9.09e-04
2.27e-04
5.68e-05
ISR
0.6368945342
0.6366365232
0.6366208129
0.6366198373
0.6366197764
ESR
2.75e-04
1.68e-05
1.04e-06
6.49e-08
4.06e-09
Tabela 1: Aproximações para as integrais e seus erros
Uma implementação robusta de um método numérico exige que os resultados
sejam verificados, isto é, que os resultados gerados pelo programa corroborem com
a teoria matemática do método. Um modo de verificar se a implementação computacional de um método de integração numérica está correta é fazer a verificação da
ordem utilizando a expressão
e(h)
= 2p
(9)
e(h/2)
onde e(h), e(h/2) são, respectivamente, os erros com espaçamento entre os pontos
com dimensão h e h/2. A ordem é dada por p, o qual pode ser calculado explicitamente, aplicando a função logaritmo em ambos os membros de (9), e após algumas
operações, pela expressão
log(e(h)) − log(e(h/2))
.
(10)
log(2)
Considerando os erros no cálculo da integral (8) pela regra dos trapézios e 1/3
de Simpson, tabela 2 apresenta o teste de verificação com relação aos resultados
gerados pelos códigos utilizados para gerar as aproximações. Perceba que quando
n tende ao infinito temos que h tende a zero e que a ordem da regra dos trapézios
tende a 2, corroborando com a ordem deste método, e que a ordem da regra 1/3 de
Simpson tende a 4, que é a ordem de seu erro.
As fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado podem ser utilizadas mesmo
quando não se tem conhecimento da forma do integrando, em situações onde se
tem conhecimento apenas dos valores de alguma propriedade fı́sica, por exemplo,
pontos discretos cujos valores foram obtidos experimentalmente.
Quando se tem conhecimento da forma do integrando, além das fórmulas de
Newton-Cotes, existe uma técnica conhecida por Quadratura Gaussiana, bastante
utilizada, que fornece boas aproximações com um baixo custo computacional.
p=
N
6
12
24
48
96
h
1/6
1/12
1/24
1/48
1/96
ET R
1.46e-02
3.64e-03
9.09e-04
2.27e-04
5.68e-05
p
2.004970
2.001238
2.000309
2.000077
ESR
2.75e-04
1.68e-05
1.04e-06
6.49e-08
4.06e-09
p
4.035875
4.008863
4.002209
4.000552
Tabela 2: Análise da ordem do erro
Essência, a técnica de quadratura gaussiana se baseia em aproximar o integrando
por um polinômio interpolador em pontos que são raı́zes de polinômios ortogonais
φi (x) ,i = 0, . . . , n, que são polinômios onde
0 se i = j
φi (x), φj (x) =
(11)
1 se i = j
sendo o produto interno dado por
b
f (x), g(x) =
ω(x)f (x)g(x)dx
(12)
a
onde ω(x) ≥ 0 e continua em [a, b], onde ω(x) é a função peso.
Os polinômios φi (x), i = 0, 1, 2, . . . podem ser obtidos pela ortogonalização da
seqüência {1, x, x2 , . . . } através do seguinte teorema.
Teorema 2.3 Sejam os polinômios φ0 (x), φ1 (x), φ2 (x), . . . , de graus 0, 1, 2, . . . definidos por:
⎧
φ (x) = 1,
⎪
⎪
⎨ 0
x, 1
,
φ1 (x) = x −
(13)
⎪
1, 1
⎪
⎩
φk+1 (x) = xφk (x) − αk φk (x) − βk φk−1 (x) k = 1, 2, 3, . . . ,
onde:
αk =
xφk (x), φk (x)
φk (x), φk (x)
βk =
φk (x), φk (x)
φk−1 (x), φk−1 (x)
(14)
os polinômios φ0 (x), φ1 (x), φ2 (x), . . . assim definidos, são dois a dois ortogonais,
satisfazendo (11).
Os polinômios ortogonais são classificados em famı́lias, onde uma difere da outra
de acordo com a função peso ω(x) e o intervalo de integração. A tabela 3 apresenta
os polinômios ortogonais mais conhecidos.
Utilizando o teorema que descreve o processo de ortogonalização, os polinômios
de Legendre de graus 0, 1 e 2 são dados por
Polinômios
[a, b]
Legendre
[−1, 1]
Tchebyshev
[−1, 1]
Laguerre
[0, ∞)
Hermite
(−∞, ∞)
ω(x)
√1
1/ 1 − x2
e−x
2
e−x
Tabela 3: Famı́lia de polinômios ortogonais
1
(15)
φ2 (x) = x2 − .
3
Os polinômios ortogonais possuem várias propriedades, os quais podem serem
vistos em [5], sendo duas de grande importância no que tange aos métodos de integração baseados em quadratura gaussiana, as quais seguem
φ0 (x) = 1
φ1 (x) = x
Propriedade 2.1 Sejam φ0 (x), φ1 (x), φ2 (x), . . . polinômios ortogonais, não nulos,
segundo o produto escalar:
b
f (x), g(x) =
ω(x)f (x)g(x)dx
(16)
a
com ω(x) ≥ 0 e contı́nua em [a, b]. Então φn (x) possui n raı́zes reais distintas em
[a, b].
Uma vez que as técnicas de integração baseadas em quadratura gaussiana utilizam raı́zes dos polinômios ortogonais para obter os polinômios interpoladores da
função sendo integrada, é importante que essas raı́zes estejam no intervalo de integração. A propriedade 2.1 garante que isso sempre ocorre.
Propriedade 2.2 Sejam φ0 (x), φ1 (x), φ2 (x), . . . polinômios ortogonais nas condições da propriedade 2.1. Sejam x0 , x1 , x2 , . . . , xn as raı́zes de φn+1 (x). Se f (x) é
um polinômio de grau menor ou igual a 2n + 1, então:
b
ω(x)f (x)dx =
n
Ak f (xk )
(17)
k=0
a
onde
b
Ak =
ω(x)Lk (x)dx.
(18)
a
A propriedade 2.2 garante que para integrar uma função polinomial de grau K,
basta interpolarmos essa função utilizando as raı́zes de um polinômio ortogonal de
grau aproximadamente K/2 e então integrá-la. Tirando os erros de arredondamento,
a integração por esse processo é exata. Para ilustrar essa afirmação, considere o
cálculo da seguinte integral
1
(4x3 + 3x2 + 2x + 1)dx
(19)
−1
cujo valor exato é dado por 4. A função peso ω(x) = 1 e [a, b] = [−1, 1], sendo que
o grau da função polinomial f (x) é 2n + 1 = 3. Pela propriedade 2.2, basta então
tomarmos n = 1. Basta interpolarmos f (x) por um polinômio de grau n + 1 = 2
nas raı́zes de um polinômio de Legendre de grau 2, uma vez que ω(x) = 1 e [a, b] =
[−1, 1]. O polinômio
de Legendre
de grau 2 é dado por φ2 (x) = x2 − 1/3, tendo por
√
√
raı́zes x0 = − 3/3 e x1 = 3/3. Calculando A0 e A1 utilizando (18) chegaremos a
A0 = A1 = 1. Continuando,
1
−1
√ √ 3
3
+f
=4
(4x3 +3x2 +2x+1)dx =
Ak f (xk ) = f (x0 )+f (x1 ) = f −
3
3
k=0
1
Para efeito de comparação, esse cálculo exigiu a avaliação de f (x) em dois pontos
para obter um valor exato, ao passo que para obter essa mesma exatidão, a regra
1/3 de Simpson iria exigir três pontos.
O procedimento para o cálculo de uma integral via Quadratura Gaussiana consiste nos seguintes passos:
• Determinar o polinômio ortogonal φn+1 (x), segundo o produto escalar conveniente de acordo com a função peso ω(x) e o intervalo de integração [a, b].
• Calcular as raı́zes x0 , x1 , x2 , . . . , xn de φn+1 (x).
• Determinar os polinômios de Lagrange L0 (x), L1 (x), . . . , Ln (x) usando as raı́zes
de φn+1 (x).
• Calcular Ak usando (18).
• Calcular f (x) nas raı́zes de φn+1 (x).
• Finaliza-se calculando a integral usando (17).
Felizmente, para cada famı́lia de polinômios ortogonais existe, na literatura da
área, um conjunto de tabelas com suas respectivas raı́zes e pesos de acordo com o
grau do polinômio.
Para aplicar uma regra de quadratura gaussiana é necessário que o intervalo
de integração esteja no intervalo da respectiva famı́lia de polinômios ortogonais que
estiver sendo utilizada. Caso não esteja, é necessário fazer uma mudança de intervalo
mediante uma transformação. Considerando que uma integral esteja sendo calculada
em um intervalo [a, b] qualquer, para integrá-la utilizando as raı́zes dos polinômios
de Legendre, que estão definidas no intervalo [−1, 1], basta fazer o mapeamento do
intervalo [a, b] dentro do intervalo [−1, 1],
x
t 1
a −1 1
b
1 1
= 0 ⇒ x = (b − a)t + a + b ⇒ dx = b − a dt
2
2
2
Dessa forma, segue-se que
b
a
b−a
f (x)dx =
2
1
f
−1
(b − a)t a + b
+
2
2
b−a
dt =
Ak f
2 k=0
n
(b − a)tk a + b
+
2
2
As fórmulas de quadratura gaussianas podem ser aplicadas repetidamente. Considerando que o intervalo de integração [a, b] foi dividido em N subintervalos igualmente espaçados de comprimento h = (b − a)/N , a fórmula de quadratura fica dada
por
b
a
h f (x)dx =
Ak f
2 i=1 k=0
N
n
htk xi−1 + xi
+
2
2
(20)
Os erros nas fórmulas de quadratura gaussiana dependem da famı́lia de polinômios ortogonais, os quais são dados a seguir:
• Legendre:
En (f ) =
22n+3 [(n + 1)!]4
(2n+2)
(ξ)
3f
(2n + 3) [(2n + 2)!]
ξ ∈ (a, b).
• Tchebyshev:
En (f ) =
2π
e2n+2 (2n
+ 2)!
f (2n+2) (ξ)
ξ ∈ (a, b).
• Laguerre:
En (f ) =
[(n + 1)!]2 (2n+2)
f
(ξ)
(2n + 2)!
ξ ∈ (a, b).
• Hermite:
√
(n + 1)! π (2n+2)
En (f ) = n+1
f
(ξ)
2 (2n + 2)!
ξ ∈ (a, b).
Considere o mesmo exemplo apresentado anteriormente, onde a função f (x) =
sen(πx) é integrada no intervalo [0, 1], agora calculando aquela integral via quadratura gaussiana repetida utilizando as raı́zes do polinômio de Legendre de grau
2.
N
6
12
24
48
96
IT R
0.6220084679
0.6329795094
0.6357104870
0.6363924997
0.6365629573
ET R
1.46e-02
3.64e-03
9.09e-04
2.27e-04
5.68e-05
ISR
0.6368945342
0.6366365232
0.6366208129
0.6366198373
0.6366197764
ESR
2.75e-04
1.68e-05
1.04e-06
6.49e-08
4.06e-09
IQG
0.6366085991
0.6366190786
0.6366197291
0.6366197697
0.6366197722
EQG
1.12e-05
6.94e-07
4.33e-08
2.70e-09
1.69e-10
Tabela 4: Aproximações e os erros obtidos - Newton-Cotes×Quadratura Gaussiana
A sexta e sétima colunas da tabela 4 apresentam os valores das integrais IQG ,
bem como os erros EQG , obtidos utilizando quadratura gaussiana. Note que os resultados gerados via quadratura gaussiana são sempre mais precisos que os resultados
gerados pelas fórmulas de Newton-Cotes. Note que com n = 6 o erro ao utilizar
quadratura gaussiana EQG é da ordem de 10−5 . Essa mesma ordem de erro é alcançada com n = 12 divisões ao empregar a regra 1/3 de Simpson, e ao utilizar a regra
dos trapézios são necessárias n = 96 divisões. Analisando toda tabela 4, comparando as integrais geradas via 1/3 de Simpson repetida com as integrais obtidas via
quadratura gaussiana, pode-se notar que a regra de Simpson necessita do dobro do
número de divisões no intervalo [a, b] para gerar os mesmos resultados aos obtidos
utilizando quadratura gaussiana.
Com relação a ordem dos esquemas de integração baseadas em quadratura de
Gauss, estas irão de depender o número de pontos utilizados. Considerando os
resultados apresentados na tabela 2 e adicionando mais duas colunas referentes aos
erros obtidos via quadratura gaussiana utilizando dois pontos de Gauss, a tabela 5
apresenta a ordem obtida.
N
6
12
24
48
96
h
1/6
1/12
1/24
1/48
1/96
ET R
1.46e-02
3.64e-03
9.09e-04
2.27e-04
5.68e-05
p
2.004970
2.001238
2.000309
2.000077
ESR
2.75e-04
1.68e-05
1.04e-06
6.49e-08
4.06e-09
p
4.035875
4.008863
4.002209
4.000552
EQG
1.12e-05
6.94e-07
4.33e-08
2.70e-09
1.69e-10
p
4.009452
4.002356
4.000589
4.000148
Tabela 5: Análise da ordem dos erros - Newton-Cotes×Quadratura Gaussiana
Embora, como pode ser visto na tabela acima, a ordem seja 4, como a regra 1/3
de Simpson, as aproximações via quadratura de Gauss sempre geram resultados mais
precisos com um baixo custo computacional se comparados as fórmulas de NewtonCotes. Por essa razão a técnicas de integração baseadas em quadratura gaussiana
são mais utilizadas que as fórmulas de Newton-Cotes. Esse é o fundamento pelo
qual essa técnica foi utilizada nesse trabalho.
3
Splines cúbicos
A técnica de aproximação de funções por splines cúbicos é uma das técnicas de
interpolação que existem no campo na análise numérica. Em essência, seguindo
Burden [2], essa técnica consiste em: Dado um conjunto de n + 1 pontos, a =
x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b, em um intervalo [a, b], e os valores que uma
função f (x) assume em cada um desses n + 1 pontos, sendo hi = xi − xi−1 , i =
1, . . . , n − 1, o espaçamento entre cada um dos pontos, a interpolação de f (x) por
splines cúbicos consiste em um conjunto de n polinômios cúbicos, um para cada
subintervalo [xi , xi+1 ], i = 0, 1, . . . , n − 1, da forma
Si (x) = ai + bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 + di (x − xi )3
(21)
com i = 0, 1, . . . , n − 1 de tal forma que
1. S(x) seja um polinômio cúbico em cada subintervalo [xi , xi+1 ], i = 0, 1, . . . , n−
1;
2. S(xi ) = f (xi ) para i = 0, 1, . . . , n;
3. Si+1 (xi+1 ) = Si (xi+1 ) para i = 0, 1, . . . , n − 2;
4. Si+1 (xi+1 ) = Si (xi+1 ) para i = 0, 1, . . . , n − 2;
5. Si+1 (xi+1 ) = Si (xi+1 ) para i = 0, 1, . . . , n − 2;
6. Uma das seguintes condições tem que ser satisfeita:
(a) S (x0 ) = S (xn ) = 0 (condição de fronteira livre ou natural)
(b) S (x0 ) = f (x0 ) e S (xn ) = f (xn ) (condição de fronteira completa)
Essas condições para construção dos splines cúbicos faz com que o polinômio
interpolador, formado pelo conjunto de todos os splines, tenha derivadas de primeira
e segunda ordens contı́nuas nos pontos do interior xi , i = 1, 2, . . . , n−1. Um detalhe a
ser observado é que a construção dos splines cúbicos não garante que Si (xi ) = f (xi ).
A técnica de interpolação via splines cúbicos evitam oscilações que ocorrem com
polinômios de graus elevados. Para ilustrar, considere o problema de interpolar a
2
função f (x) = e−x no intervalo [−4, 4], utilizando 11 pontos, por um polinômio de
grau 10 e por um spline cúbico com condição de fronteira completa. Na figura 1
pode-se notar as grandes oscilações que ocorrem ao interpolar f (x) por um polinômio
de grau 10, o que é evitado ao utilizar splines cúbicos.
Para construir um spline cúbico para uma dada função f (x), aplicando as condições na definição temos que
Si (x) = ai + bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 + dj (x − xi )3
(22)
para cada i = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Note em (22) que Si (xi ) = ai , onde x0 , x1 , . . . , xn são os pontos de interpolação.
Do segundo item da definição temos que Si (xi ) = f (xi ), i = 0, 1, . . . , n, daı́ segue
que
Figura 1: Interpolação por polinômio de grau 10 e por splines cúbicos
ai = f (xi )
(23)
Aplicando a terceira condição,
ai+1 = Si+1 (xi+1 ) = Si (xi+1 ) = ai +bi (xi+1 −xi )+ci (xi+1 −xi )2 +di (xi+1 −xi )3 (24)
com i = 0, . . . , n−2.Adotando a notação hi = xi+1 −xi , que ocorre em todo processo,
segue
ai+1 = ai + bihi + ci h2i + di h3i
i = 0, 1, . . . , n − 1.
(25)
Perceba que
Si (x) = bi + 2ci (x − xi ) + 3di (x − xi )2
(26)
e isso implica que bi = Si (xi ), i = 0, 1, . . . , n − 1. Da quarta condição da definição,
temos que
bi+1 = bi + 2ci hi + 3di h2i
i = 0, 1, . . . , n − 1.
(27)
Considerando a derivada segunda do spline,
Si (x) = 2ci + 6di (x − xi ).
(28)
Aplicando a quinta condição em , chegaremos a
ci+1 = ci + 3di hi
i = 0, 1, . . . , n.
(29)
Isolando di em (29) e substituindo-o nas equações (25) e (27) obtemos as seguintes
relações
ai+1 = ai + bi hi +
h3i
(2ci + ci+1 )
3
(30)
bi+1 = bi + hi (ci + ci+1 )
(31)
Isolando bi na equação (30), temos
bi =
1
hi
(ai+1 − ai ) − (2ci + ci+1 ).
hi
3
(32)
Reduzindo uma unidade nos ı́ndices de (32), segue
bi−1 =
1
hi−1
(ai − ai−1 ) −
hi−1
(2ci−1 + ci ).
3
(33)
Substituindo (32) e (33) em (31),
hi−1 ci−1 + 2(hi−1 + hi )ci + hi ci+1 =
3
3
(ai+1 − ai ) −
(ai − ai−1 )
hi
hi−1
(34)
para i = 1, 2, . . . , n − 1. Fazendo essa variação em i, será gerado um sistema linear
com n+1 incógnitas ci e n+1 equações. Perceba em (34) que hi , com i = 0, 1, . . . , n−
1, são conhecidos a partir do pontos xi , assim como os valores de f (x) nesses mesmos
pontos, os quais geram os coeficientes ai , i = 0, 1, . . . , n. Os coeficientes ci são
obtidos resolvendo o sistema linear utilizando um método adequado para sistemas
tridiagonais. Os demais coeficientes bi e di são obtidos, respectivamente, utilizando
(32) e (29).
Os seguintes teoremas garantem a existência e unicidade dos splines cúbicos de
acordo com cada condições de fronteira utilizada.
Teorema 3.1 Se f (x) é definida em a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b, então
f (x) tem um único spline natural interpolador nos pontos x0 , x1 , x2 , . . . , xn , isto é,
um spline natural que satisfaz as condicções de fronteira S (a) = S (b) = 0.
Esse teorema garante a existência e unicidade do spline cúbico que interpola uma
dada função f (x) sob condição de fronteira natural. O sistema linear para esse caso
a apresentação dada a seguir.
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
h0 2(h0 + h1 )
0
..
.
..
.
0
h1
..
.
...
0
h1
...
..
.
2(h1 + h2 )
..
.
h2
..
.
...
...
...
0
..
.
..
.
..
0
.
hn−2 2(hn−2 + hn−1 ) hn−1
0
0
1
⎤⎡
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎦⎢
⎣
c0
c1
c2
..
.
..
.
..
.
cn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
0
⎢
3
3
⎢
(a2 − a1 ) − (a1 − a0 )
⎢
h1
h0
⎢
..
⎢
.
⎢
⎢
..
⎢
.
⎢
⎢ 3
3
⎢
⎣ hn−1 (an − an−1 ) − hn−2 (an−1 − an−2 )
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Teorema 3.2 Se f (x) é definida em a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b, e
diferenciável em a e b, então f (x) tem um único spline cúbico interpolador, nos
pontos x0 , x1 , x2 , . . . , xn , com condição de fronteira completa, isto é, que satisfaz as
condições S (a) = f (a) e S (b) = f (b).
Esse teorema garante a existência e unicidade do spline cúbico que interpola uma
dada função f (x) sob condição de fronteira completa. O sistema linear para esse
caso a apresentação dada a seguir.
⎡
h0
0
...
...
0
2h0
⎢
..
.
..
⎢ h0 2(h0 + h1 )
h1
.
⎢
..
..
⎢
.
2(h1 + h2 ) h2
h1
.
⎢ 0
⎢ .
...
...
...
...
⎢ ..
0
⎢
⎢ ..
⎣ .
hn−2 2(hn−2 + hn−1 ) hn−1
0
...
...
0
hn−1
2hn−1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
3
(a1 − a0 ) − 3f (a)
h0
3
3
(a2 − a1 ) − (a1 − a0 )
h1
h0
..
.
..
.
3
3
(an − an−1 ) −
(an−1 − an−2 )
hn−1
hn−2
3
3f (b) −
(an − an−1 )
hn−1
⎤⎡
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎦⎢
⎣
c0
c1
c2
..
.
..
.
..
.
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
cn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Quando não se tem conhecimento do valor de f (a) e f (b), uma alternativa para
essa situação consiste em utilizar aproximações para essas derivadas por diferenças
finitas, desde que os pontos sejam igualmente espaçados. Caso não seja, deve-se
buscar uma outra técnica de aproximação de derivadas.
Com relação aos erros na interpolação via splines, existe um teorema que estabelece um limitante para o erro no caso do spline cúbico sob condição de fronteira
completa.
Teorema 3.3 Seja f (x) ∈ C 4 [a, b] com max |f (4) (x)| ≤ M . Se S(x) é o único
a≤x≤b
spline cúbico interpolante, sob condição de fronteira completa, a f (x) nos pontos
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, então
max |f (x) − S(x)| ≤
a≤x≤b
5M
max (xi+1 − xi )4 .
0≤i≤n−1
384
Supondo que o pontos sejam igualmente espaçados, h = xi+1 − xi , com i =
0, 1, . . . , n − 1, então os erro na interpolaçao via splines é limitado por um erro da
ordem O(h4 ).
4
Método de diferenças finitas
O método de diferenças finitas é um método de resolução de equações diferenciais
que tem por base a aproximação das derivadas, que aparecem nas referidas equações,
por fórmulas de diferenças finitas. Essas fórmulas são obtidas via série de Taylor.
Para exemplificar, consideremos algumas fórmulas para aproximar as derivadas de
uma função u(x) de uma única variável.
Considere uma aproximação para u (x) de forma que
u (x) = au(x + h) + bu(x).
(35)
Expandindo em série de Taylor u(x + h) em torno de x,
h2 u (x) = a u(x) + hu (x) + u (ξ) + bu(x)
2
ah2 u (ξ)
(36)
2
onde ξ ∈ (x, x + h). Desconsiderando o erro dado pelo último termo no segundo
membro de (36), segue
u (x) = (a + b)u(x) + ahu (x) +
u (x) = (a + b)u(x) + ahu (x)
Para que a relação de igualdade em (37) seja satisfeita devemos impor
a+b=0
ah = 1
(37)
(38)
que tem por solução a = 1/h e b = −1/h, o que faz com que a aproximação de u (x)
na forma da equação (35) seja dada por
u(x + h) − u(x)
.
h
O erro na aproximação dessa derivada é obtido substituindo a = 1/h em
u (x) =
ah2 u (ξ)
2
(39)
que leva a
h u (ξ)
ξ ∈ (x, x + h)
2
que é um erro da ordem de O(h).
De modo análogo, podemos obter uma fórmula para u (x) de modo que u (x) =
au(x) + bu(x − h). Nesse caso a = 1/he b = −1/h, ficando a aproximação dada por
u (x) =
u(x) − u(x − h)
h
tendo por erro
h ξ ∈ (x − h, x)
− u (ξ)
2
sendo este da ordem de O(h).
Uma outra aproximação, seguindo as mesmas idéias, para u (x) de ordem maior
que 1 é dada, por exemplo, por
u (x) =
u(x + h) − u(x − h)
2h
(40)
com erro dado por
h2 (3)
u (ξ)
ξ ∈ (x − h, x + h)
(41)
12
que é de ordem 2, isto é, O(h2 ), e portanto mais preciso que as outras duas aproximações para u (x) que são de ordem 1.
No caso da aproximação de uma derivada de segunda ordem u (x), considere
uma aproximação para a mesma de tal forma que
u (x) = au(x − h) + bu(x) + cu(x + h).
(42)
Fazendo as expansões em série de Taylor de u(x − h) e u(x + h) em torno de x,
segue
h2 h3 (3)
h4 (4)
u (x) = a u(x) − hu (x) + u (x) − u (x) + u (ξ1 ) + bu(x)
2
6
24
2
h h3 (3)
h4 (4)
c u(x) + hu (x) + u (x) + u (x) + u (ξ2 )
2
6
24
onde ξ ∈ (x − h, x) e ξ ∈ (x, x + h). Continuando,
u (x) = (a + b + c)u(x) + (c − a)hu (x) +
(c + a)h2 (c − a)h3 (3)
u (x) +
u (x)+
2
6
(c + a)h4 (4)
u (ξ) (43)
24
onde ξ ∈ (x − h, x + h). Para obter a, b e c, devemos impor
⎧
a+b+c=0
⎪
⎨
(c − a)h = 0
2
⎪
⎩ (c + a) h = 1
2
Esse sistema linear tem por solução a = 1/h2 , b = −2/h2 e c = 1/h2 . Com esses
parâmetros, temos
u(x − h) − 2u(x) + u(x + h)
(44)
h2
Note que o quarto termo no segundo de (39) se anula pois a = c. Com isso, o
erro nessa aproximação é dado por
u (x) =
h2 (4)
u (ξ)
ξ ∈ (x − h, x + h)
(45)
12
que é um erro de ordem 2.
Dessa forma, existe uma infinidade de fórmulas de diferenças finitas que podem
ser obtidas para aproximar derivadas. Nos exemplos expostos a abordagem foi feita
em cima de uma função de uma única variável. Para derivadas de funções de mais de
uma variável, derivadas parciais, a técnica é a análoga. Utiliza-se da mesma forma
expansões em série de Taylor, só que para o caso de funções de mais de uma variável.
Para exemplificar uma aplicação da técnica de diferenças finitas, considere o
problema de resolver problema de contorno a seguir.
⎧ 2
du
⎪
⎨
= f (x)
x ∈ [a, b]
dx2
(46)
⎪
⎩ u(a) = ua
u(b) = ub
A chave para resolver, utilizando métodos numéricos, a equação (46) está na
discretização da mesma em seu domı́nio, que também deve ser discretizado. É a
discretização que possibilita resolvê-la numericamente no computador. Dividindo
o intervalo [a, b] em n partes iguais teremos n + 1 pontos igualmente espaçados
xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , n, sendo h = (b − a)/n. Aproximando a equação (46) em
um ponto xi , utilizando (??), dentro do domı́nio da mesma, temos
u(xi − h) − 2u(xi ) + u(xi + h)
= f (xi ).
(47)
h2
Utilizando a notação indexada u(xi − h) ∼
= ui−1 , u(xi ) ∼
= ui , u(xi + h) ∼
= ui+1 e
f (xi ) = fi em (47), segue
u(xi − h) − 2u(xi ) + u(xi + h) = h2 f (xi ).
Fazendo i = 1, 2, . . . , n − 1, obtém-se o seguinte sistema linear
(48)
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−2
1
⎤
0 ⎡ u
.. ⎥ ⎢ 1
. ⎥ ⎢ u2
⎥⎢
u3
0 ⎥
⎥⎢
⎢
⎥ ⎣ ...
1 ⎦
un−1
1 −2
0 ...
.
1 −2 1 . .
.
.
.
0 .. .. ..
.. . .
.
.
1 −2
0 ...
0
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥=⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
h2 f1 − ua
h2 f2
h2 f3
..
.
h2 fn−1 − ub
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(49)
com n − 1 equações e incógnitas. A solução desse sistema fornecerá aproximações
para u1 , u2 , u3 , . . . , un−1 . Perceba que para i = 1 e i = n−1, na equação discretizada
(49), aparece, respectivamente, u0 e un . Como esses valores são conhecidos por
caı́rem sobre a fronteira, no caso, u0 = ua e un = ub , são passados para o segundo
membro (vetor dos termos independentes) do sistema linear. Como a matriz dos
coeficientes é tridiagonal, o sistema pode ser resolvido com uma adaptação método
de eliminação de Gauss para sistemas tridiagonais.
A forma como as derivadas de uma equação diferencial são discretizadas definem
para as mesmas uma ordem de precisão. Para fazer essa análise considere a seguinte
exemplicação, tomando por base uma adaptação para EDOs do processo de determinação da ordem de precisão apresentado em Strikwerda [15], do cálculo da ordem
de precisão da equação (47).
Seja P um operador tal que
d2 u
,
dx2
que no caso da equação em questão temos P u = f , e Ph o operador tal que
Pu =
u(x − h) − 2u(x) + u(x + h)
h2
O esquema de diferenças finitas definido por (47) dito ser de ordem p se
Ph u =
Ph u − f = O(hp )
(50)
(51)
(52)
Para o cálculo de p, considere desenvolvimento a seguir, baseado na expansão
em série de Taylor em torno de x.
u(x − h) − 2u(x) + u(x + h)
−f =
Ph u − f =
h2
h2 h3 (3)
h4 (4)
2u(x)
1
u(x) − hu (x) + u (x) − u (x) + u (ξ1 ) −
+
2
h
2
6
24
h2
1
h2 h3 (3)
h4 (4)
h2 (4)
u(x)
+
hu
u
u
u
u (ξ)−f
(x)
+
(x)
+
(x)
+
(ξ
)
−f
=
u
(x)+
2
h2
2
6
24
24
Como u = f , segue que
h2 (4)
u (ξ) = O(h2 )
ξ ∈ (x − h, x + h)
24
e portanto o método é dito ser de ordem p = 2.
Ph u − f =
(53)
Em uma implementação correta do esquema (48) deve ser ver essa ordem de
precisão. Para realizar isso, basta fazer uma análise de ordem seguindo os métodos
de verificação apresentados na seção sobre regras de quadratura, com a diferença
que o erro deve ser calculado utilizando a seguinte norma
e(h) =
h
n
1/2
2
[u(xi ) − ui ]
(54)
i=0
apresentada em Strikwerda [15], onde u(xi ) é a solução exata no ponto xi e ui
sua solução aproximada. Para exemplificar uma verificação de ordem, considere o
problema a seguir envolvendo uma equação de Poisson unidimensional.
⎧ 2
du
⎪
⎨
= −π 2 sen(πx)
x ∈ [0, 1]
dx2
(55)
⎪
⎩
u(0) = u(1) = 0
A tabela 6 mostra que a ordem p converge para 2, corroborando com a ordem
do método.
n
h
e(h)
p
10 1/10 5.844532e-03
20 1/20 1.455726e-03 2.005349
40 1/40 3.635946e-04 2.001335
80 1/80 9.087763e-05 2.000334
160 1/160 2.271809e-05 2.000083
320 1/320 5.679442e-06 2.000021
640 1/640 1.419855e-06 2.000005
Tabela 6: Verificação da ordem para equação de Poisson unidimensional
Com essa seção finaliza-se a apresentação dos métodos numéricos necessários no
teste computacional que será apresentado na próxima seção, que aborda a equação
adjunta e o corretor adjunto.
5
Equação adjunta e corretor adjunto
Considere o problema de calcular o funcional integral
I [u] = g, u = gu dΩ
(56)
Ω
sendo u a solução da equação diferencial
Lu = f
(57)
com suas respectivas condições iniciais e/ou de fronteira, com a solução u e o termo
fonte f ambos definidos no domı́nio Ω. Em (57), L é um operador diferencial, o
qual define a equação diferencial pela relação de igualdade com o termo fonte. A
chamada equação adjunta a equação (57) é dada por
L∗ v = g
(58)
cuja solução é dada pela equação v e tem por termo fonte a função g. O operador
diferencial L∗ é o operador adjunto ao operador L. As condições de fronteira e/ou
iniciais da equação adjunta são obtidas no processo de obtenção do operador adjunto
L∗ , o qual é obtida a partir do operador L. Diz-se que o operador diferencial L∗ é
adjunto ao operador diferencial L se para toda função u e v definida em um domı́nio
Ω vale
∗
(Lu) vdΩ = u (L∗ v) dΩ
(59)
Lu, v = u, L v
Ω
Ω
Para exemplificação, desenvolveremos o processo de obtenção da equação adjunta
para equação diferencial ordinária (EDO) que será utilizada no processo de aumento
da precisão da ordem do funcional integral (56). A EDO é dada pelo problema de
contorno
⎧ 2
du
⎪
⎨
= sen(πx) x ∈ [0, 1]
dx2
(60)
⎪
⎩
u(0) = u(1) = 0
O operador L nesse caso é dado por
Lu =
d2 u
.
dx2
(61)
Continuando,
1
Lu, v =
0
d2 u
vdx
dx2
(62)
Integrando por partes (62) fazendo
⎧
dv
⎪
⎪
⎪
⎨ p = v ⇒ dp = dx dx
⎪
2
⎪
⎪
⎩ dq = d u dx ⇒ q = du
dx2
dx
Logo,
1 1
du
du dv
Lu, v = v
dx
−
dx 0
dx dx
0
(63)
Integrando por parte novamente o segundo termo no segundo membro de (63),
segue
⎧
d2 v
dv
⎪
⎪
⇒
dp
=
dx
p
=
⎪
⎨
dx
dx2
⎪
⎪
⎪
⎩ dq = du dx ⇒ q = u
dx
Com isso,
du
Lu, v = v
dx
1
Lu, v =
0
1
dv
u
−
dx
0
1
1
+
0
u
0
d2 v
dx
dx2
1
1 d2 v
du
dv
u
u 2 dx + v
−
dx
dx 0
dx 0
du
Lu, v = u, L v + v
dx
∗
1
dv
u
−
dx
0
1
(64)
0
onde L∗ é o operador adjunto definido por
d2 v
dx2
O segundo e terceiro termos no segundo membro de (64) devem ser nulos para
que se verifique a identidade (59). É dali que iremos obter as condições de fronteira
para a equação adjunta. Perceba que
1 1
du
dv
u = v(1)u (1) − v(0)u (0) − v (1)u(1) + v (0)u(0)
−
v
dx 0
dx 0
1 1
du
dv
v
u = v(1)u (1) − v(0)u (0)
−
(65)
dx 0
dx 0
L∗ v =
pois u(0) = u(1) = 0. Portanto, basta impor que na fronteira em x = 0 e x = 1
a equação adjunta se tenha v(0) = v(1) = 0. Dessa forma, a identidade (59) será
verificada.
Consideremos o processo para obtenção do corretor adjunto. Seja Lu = f uma
equação diferencial e L∗ v = g sua equação adjunta tendo por soluções, respectivamente, u e v. Sejam Luh = fh e L∗ vh = gh , onde uh e vh são funções aproximadoras,
respectivamente, de u e v, sendo fh e gh termos fontes obtidos pelas aproximações,
respectivamente, uh e vh . Daı́ segue,
g − gh , u − uh = g, u − uh − gh , u − uh = g, u − g, uh − gh , u − uh .
g, u = g, uh + gh , u − uh + g − gh , u − uh =
g, uh + L∗ vh , u − uh + g − gh , u − uh =
g, uh + vh , L(u − uh ) + g − gh , u − uh =
g, uh + vh , Lu − Luh + g − gh , u − uh =
g, uh + vh , f − fh + g − gh , u − uh .
g, u = g, uh + vh , f − fh + g − gh , u − uh (66)
O funcional integral no problema (56) pode ser então calculado utilizando a expressão (66). Nessa expressão, a segunda parcela no segundo membro vh , f − Lfh é o chamado corretor adjunto, o qual envolve a solução aproximada da equação adjunta, e a terceira parcela no segundo membro g − gh , u − uh é o erro que resta
após aplicar o orretor adjunto. Perceba que ao realizar um teste dessa teoria onde
f e g são conhecidos e tanto u como v pode serem obtidos por técnicas analı́ticas,
cada um dos três produtos internos do segundo membro podem ser calculados exatamente. Em situações onde u só pode ser obtido resolvendo, via métodos numéricos,
a equação diferencial Lu = f , o que pode ser obtido é apenas uma função aproximadora uh , por alguma técnica de reconstrução, a partir da solução aproximada
nos pontos do domı́nio discretizado. Esse mesmo argumento vale para a equação
L∗ v = g, no qual pode ser obtido uma função aproximadora vh . O produto interno
g − gh , u − uh já não pode ser calculado por que não temos conhecimento das soluções exatas u e v. Assim sendo, calculando apenas g, uh , temos uma solução
aproximada com uma determinada precisão para g, u, e adicionando o valor de
vh , f − Lfh , aumentamos a precisão na aproximação de g, u.
Giles [7, 6] apresenta um teste para um caso unidimensional para exemplificar
a teoria do corretor adjunto. Esse teste, reproduzido aqui, consiste na avaliação da
EDO
d2 u
=f
dx2
(67)
e de sua equação adjunta
d2 v
=g
(68)
dx2
ambas no domı́nio [0, 1], sendo u(0) = u(1) = 0 as condições de contorno da equação
(67) e v(0) = v(1) = 0 da equação adjunta (68). Os termos fonte são dados por
f (x) = x3 (1 − x)3 e g(x) = sen(πx). O funcional integral a ser avaliado é dado por
1
g, u =
g(x)u(x)dx.
0
As solução exata de (67) é dada por
(69)
u(x) = −
x
x8 x7 x6 x5
+
−
+
−
56 14 10 20 280
e a de equação adjunta (67)
sen(πx)
.
π2
As equações (67) e sua adjunta (68) são resolvidas utilizando o método de diferenças finitas, considerando n = 10, 20, 40, 80, 160 e 320 divisões no intervalo [0, 1].
As aproximações para u e v, para cada umas dessas divisões, obtidas são utilizadas para aproximar a solução u e v por splines cúbicos, com condição de fronteira
natural, gerando assim duas funções, respectivamente, uh e vh . O termo fonte fh é
obtido derivando uh . Os produtos internos g, uh e vh , f − fh são calculados via
quadratura gaussiana utilizando-se dois pontos de gauss. A integral exata de g, u
é dada por
v(x) = −
2(72π 2 − 720) ∼
(70)
= −6.29907198238103 × 10−4
9
π
onde IF E é a integral exata. Na tabela 7, IF A = g, uh é a aproximação de
IF E sem o corretor, ESCA = |IF E − IF A| é o erro cometido sem o uso do
corretor adjunto, IF A + CA = g, uh + vh , f − fh é a aproximação de IF E
utilizando o corretor adjunto, e por último, ECCA = |IF E − (IF A + CA)| é o erro
na aproximação de IF E utilizando o corretor adjunto. Para analisar a ordem de
precisão na aproximação de g, u, seguindo o exemplo dos artigos do Giles, basta
montar uma tabela log(n) × log(erro) considerando os erros com e sem utilizar o
corretor adjunto. Os pontos devem então serem ajustados por uma reta via método
dos mı́nimos quadrados. O módulo da inclinação do coeficiente angular irá fornecer
a ordem. As ordens obtidas pode serem vistas na legenda do gráfico da figura 2. A
ordem obtida ao calcular a integral sem o corretor foi 2.000996, e com o corretor
4.332758. Note que o corretor adjunto dobrou a ordem de precisão, indo de um erro
da ordem de O(h2 ) para O(h4 ).
IF E =
n
h
10 1/10
20 1/20
40 1/40
80 1/80
160 1/160
320 1/320
IF A
-6.351101e-04
-6.312036e-04
-6.302311e-04
-6.299882e-04
-6.299274e-04
-6.299123e-04
ESCA
5.202941e-06
1.296366e-06
3.238670e-07
8.095386e-08
2.023768e-08
5.059371e-09
IF A + CA
-6.301591e-04
-6.299095e-04
-6.299071e-04
-6.299072e-04
-6.299072e-04
-6.299072e-04
ECCA
2.518651e-07
2.320834e-09
8.566891e-11
9.118407e-12
6.299388e-13
4.032039e-14
Tabela 7: Aproximaçôes e os erros com e sem o corretor adjunto
A ordem de precisão da solução da equação (67) e da equação adjunta (68)
influenciam nessa ordem. Se a ordem de precisão do esquema de diferenças finitas
utilizado para resolver as referidas equações fosse 4, a ordem de precisão de g, uh Figura 2: Gráfico ESCA × ECCA
teria essa mesma ordem, e após a correção, a ordem de precisão iria para 8. Em
resumo, se o erro na solução das equações diferenciais u − uh e v − vh são ambos
de ordem O(hp ), então o erro que resta ao utilizar o corretor adjunto é da ordem
O(h2p ).
6
Conclusões
A técnica de aumento da ordem de precisão de funcionais integrais, cujos integrandos são provenientes de soluções de equações diferenciais, mostrou ser uma
técnica bastante útil. Pode ser aplicado, por exemplo, em métodos de estimação de
parâmetros associados a EPDs, os quais costumam serem formulados como um problema de otimização, desde que o método de otimização seja baseado em gradientes.
Nesse tipo de problema, a função objetivo é um funcional integral cujo integrando
depende da solução de EDPs. Se o cálculo desses gradientes forem baseados em
métodos adjuntos, os quais utilizam a solução da equação adjunta no cálculo dos
gradientes, a solução da equação adjunta também pode ser utilizada para avaliar a
função objetivo definida por uma integral com uma ordem de precisão maior do que
a ordem de precisão do método numérico utilizado na resolução das EDPs.
Referências
[1] Fausto Saleri Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco.
Springer-Verlag, 2000.
Numerical Mathematics.
[2] Richard L. Burden. Numerical Analysis. PWS-Kent, 1989.
[3] D.L. Darmofal and D A. Venditti. Adjoint error estimation and grid adaptation
for functional outputs: Application to quasi-one-dimensional flow. Journal of
Computational Physics, 164:204–227, 2000.
[4] D.L. Darmofal and D A. Venditti. Grid adaptation for functional outputs: Application to two-dimensional inviscid flows. Journal of Computational Physics,
176:40–69, 2002.
[5] Neide Bertoldi Franco. Cálculo Numérico. Pearson Prentice Hall, 2006.
[6] M. Giles and N. Pierce. Adjoint error correction for integral outputs. Technical
report, Oxford University, 1998.
[7] M. Giles and N. Pierce. Adjoint recovery of superconvergent functionals from
approximate solutions of partial differential equations. Technical report, Oxford
University, 1998.
[8] M. Giles and N. Pierce. Improved lift and drag estimates using euler equations.
Technical report, Oxford University, 1998.
[9] M. Giles and N. Pierce. Adjoint recovery of superconvergent functionals from
pde approximations. SIAM Review, 2000.
[10] M. Giles and N. Pierce. Analysis of adjoint error correction for superconvergent
functional estimates. Technical report, 2001.
[11] A. Jameson. Aerodynamic shape optimization techniques based on control
theory. AIAA 98 2538, 1998.
[12] A. Jameson. Aerodynamic shape optimization using the adjoint method. Lectures at Von Karman Institute - Brussels, 2003.
[13] S. Nadarajah. The Discrete Adjoint Approach to Aerodynamic Shape Optimization. PhD thesis, Stanford University, 2003.
[14] J.J. Reuther. Aerodynamic Shape Optimization Using Control Theory. PhD
thesis, University of California, 1996.
[15] John C. Strikwerda. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. SIAM, 2004.
[16] L. Xie. Gradient-Based Optimum Aerodynamic Design Using Adjoint Methods.
PhD thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, 2002.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Giselle Moraes Resende Pereira (PET Matemática – SESu-MEC)
[email protected]
Marcos Antônio da Câmara (Tutor do PET Matemática)
[email protected]
Algumas Aplicações da Teoria dos Grafos
1. INTRODUÇÃO
Ao contrário de muitos ramos da matemática, nascidos de especulações puramente teóricas, a
teoria dos grafos tem sua origem no confronto de problemas práticos. A teoria dos grafos
estuda objetos combinatórios -os grafos- que são um bom modelo para muitos problemas em
vários ramos da matemática, da informática, da engenharia, da química, da psicologia e da
indústria. Muitos dos problemas sobre grafos tornaram-se célebres porque são um interessante
desafio intelectual e porque têm importantes aplicações práticas. É inevitável esbarrar em
questões de complexidade computacional, pois muitos dos problemas da teoria dos grafos têm
motivação algorítmica.
2. BREVE HISTÓRICO
Enquanto outros temas de matemática têm uma longa e gloriosa história, isto não acontece
com a Teoria de Grafos. O primeiro problema cuja solução envolveu conceitos do que veio a
ser a teoria dos grafos (séc. XVII) foi resolvido por Euler e não passava de uma especulação
matemática.
Acredita-se que um dos primeiros exemplos da utilização de grafos teria surgido devido as
Pontes de Königsberg. Na cidade de Königsberg (atual Kaliningrado), antiga capital da
Prússia Oriental, o rio Pregel circunda uma ilha e separa a cidade em quatro zonas que, no
séc. XVII estavam ligadas por sete pontes como na figura 1:
Figura 1
3. CONCEITOS PRELIMINARES
Um Grafo G(V, E) é uma estrutura matemática constituída pelos conjuntos:
V, finito e não vazio de n vértices, e
E, de m arestas, que são pares não ordenados de elementos de V.
Graficamente é representado por uma figura com Nós ou vértices, unidos por um traço
denominado Aresta configurando a relação imaginária, vejam figura 2.
Figura 2: Esta figura é um desenho do grafo cujos vértices são
V
^t , u, v , w, x, y , z` e cujas arestas são
E
^vw, uv, xw, xu, yz, xy` e o grafos trivial.
Embora seja conveniente a representação de grafos através de diagramas de pontos ligados
por linhas, tal representação é inadequada se desejamos armazenar grandes grafos em um
computador.
3.1 Matriz de adjacência: Se G é um grafo com vértices {1,2,3,...,n}, sua matriz de
adjacência é a matriz n X n cujo elemento ij é o número de arestas ligando o vértice i ao
vértice j.
v1 v 2 v3 v 4
v1 ª1
v 2 ««1
v 3 «0
«
v 4 ¬0
1
0
2
0
0
2
0
0
0º
0»»
0»
»
0¼
3.2 Matriz de incidência: Se G é um grafo com vértices {1,2,3,...,n} e arestas {1,2,3,...,m},
sua matriz de incidência é a matriz n X m cujo elemento ij é o número de vezes em que o
vértice i é incidente à aresta j.
e1 e2 e3 e4
v1 ª1
v 2 ««1
v 3 «0
«
v 4 ¬0
0 0 2º
1 1 0»»
1 1 0»
»
0 0 0¼
3.3 Adjacências de vértices e arestas:
3.3.1 Dois vértices x e y são ditos adjacentes ou vizinhos se existe uma aresta unindo-os.
3.3.2 Duas arestas são adjacentes se elas têm ao menos um vértice em comum.
3.4 Incidências: Os vértices x e y são ditos incidentes na aresta, se eles são extremos da
aresta.
3.5 Vértices isolados: Qualquer vértice de grau zero é um vértice isolado.
3.6 Laços: Laço é uma aresta que une um par de vértices idênticos.
3.7 Arestas paralelas: Quando existe mais de uma aresta entre o mesmo par de vértices.
Exemplificando, na figura 3 está representado um grafo de V
E ^(1,2), (3,2), (2,2), (1,5), (6,1), (6,5), (5,2)`.
Vértices
adjacentes
Laço
1
2
^1, 2, 3, 4, 5, 6`
e
Arestas
paralelas
3
Vértice
isolado
Arestas
adjacentes
6
5
4
Figura 3
3.8 Passeio entre nós: É a seqüência alternantes de nós e arestas.
3.9 Caminho: Um caminho é qualquer grafo da forma ( ^v1 , v 2 , ..., v n ` , ^vi vi 1 :1 d i n` ). Em
outras palavras, um caminho é um passeio que não contém nós repetidos.
3.10 Ciclo ou Circuito: Um ciclo é um grafo da forma ( ^v1 , v 2 , ..., v n ` , ^vi vi 1 :1 d i n`
^v n v1 `) com n t 3 . Em outras palavras, um ciclo é um caminho fechado sem vértices
repetidos.
3.11 Grau de um vértice: Grau de um vértice v (g(v)) é o número de arestas que incidem em
v.
O grau de um vértice v também pode ser definido como o número de arestas adjacentes a v.
Obs.: Um laço conta duas vezes para o grau de um vértice.
Figura 4
g(b) = 3
g(d) = 2
g(a) = 2
g(c) = 3
3.12 Dígrafo: Um Grafo Direcionado ou Dígrafo D(V,E) é uma estrutura matemática
constituída pelos conjuntos:
•
V, finito e não vazio de n vértices, e
•
E, de m arestas, que são pares ordenados de elementos de V.
3.13 Conexidade: Um grafo é conexo se, para qualquer par {v,w} de seus vértices, existe um
caminho com extremos v e w. E um grafo é não conexo se existir ao menos um par de
vértices que não é unido por nenhum caminho.
Figura 5: a) grafo conexo; b) e c) grafos não conexos
3.14 Grafo Bipartido: Um grafo é dito ser bipartido quando seu conjunto de vértices V puder
ser particionado em dois subconjuntos V1 e V2, tais que toda aresta de G une um vértice de
V1 a outro de V2 (figura 6).
Figura 6
3.15 Grafo Rotulado: Um grafo G(V,E) é dito ser rotulado em vértices (ou arestas) quando a
cada vértice (ou aresta) estiver associado um rótulo (figura 7).
Figura 7
3.16 Grafo valorado: Um grafo G(V, E) é dito ser valorado quando existe uma ou mais
funções relacionando V e/ou E com um conjunto de números (figura 8).
Figura 8
Teorema 1: Em todo grafo, a soma dos graus dos vértices é igual ao dobro do número de
arestas. Ou seja, todo G(V, E) satisfaz a identidade ¦ vV g (v) 2 A
Demonstração: Uma aresta com vértices x e y contribui uma unidade para g(x) e uma unidade
para g(y). Portanto, cada aresta contribui exatamente duas unidades para a soma ¦ vV g (v) .
Corolário 1: O número de nós de grau ímpar de um grafo é par.
Demonstração: Como a soma dos graus é igual a 2 A , considere o grafo G(N, A).
Denotando por d i o grau do nó i, temos:
2 A = ¦ di
i1
¦d
d i par
i
¦d
i
d i ímpar
Como 2 A é par então a soma das duas parcelas também será par.
Observe que para ter uma soma de parcelas ímpares resultando em um número par, devemos
ter um número par de parcelas, o que conclui a demonstração.
4. OPERAÇÕES DE ARESTAS E VÉRTICES
Seja G(V, E) um grafo constituído de um conjunto V, finito e não vazio de n vértices, e um
conjunto E de m arestas.
4.1 Inclusão da aresta (v,w)
Exigência: os vértices v e w devem pertencer a V.
Grafo resultante: G (v, w) definido por V e E ^(v.w)`.
Caso (v,w) já pertença a G, o grafo resultante terá pelo menos um par de arestas paralelas. Se
v = w, há o surgimento de um laço.
4.2 Exclusão da aresta (v,w)
Exigência: a aresta (v,w) deve pertencer a E.
Grafo resultante: G-(v,w) definido por V e E-{(v,w)}
4.2.1 Situação Problema I: Rede viária com mão direcional do trânsito
Fato: Houve um rompimento na rede de fornecimento de água em uma região da cidade
impedindo o trânsito nessa região.
Ação: Interrupção do trânsito no trecho de rua.
Solucionando o problema do trânsito:
Acionar o Departamento de Trânsito para alterar o tráfego local.
Divulgar aos interessados as ações em andamento.
Reparar a pavimentação da rua.
Restabelecer o trânsito da região.
A interrupção do trânsito no trecho de rua implica na exclusão da aresta associada.
Dígrafo resultante da exclusão da aresta
associada
4.3 Inclusão do vértice v
Exigência: o vértice v não deve pertencer a V.
Grafo resultante: G+v definido por V ^v` e E.
4.4 Exclusões do vértice v
Exigência: o vértice v deve pertencer a V e n ! 1 .
Grafo resultante: G-v definido por V-{v} e E-{(v,u), u adjacente a v}.
A restrição n ! 1 garante que, mesmo após a exclusão do vértice, a estrutura remanescente
continue sendo um grafo.
Figura 9. Exemplos de inclusão e exclusão de vértices e arestas.
4.5 Fusão dos vértices v e w
Exigência: os vértices v e w devem pertencer a V.
Grafo resultante: G vw definido por (V ^v, w` ^vw` e (( E ^v, u`, u adjacente a v}) – {(w,
u) u adjacente a w}) {(vw, u), u adjacente a v ou w em G}.
4.6 Explosão do vértice v
Exigência: o vértice v deve pertencer a V e grau(v)>0.
Grafo resultante G *v : Para obter o grafo deve-se quebrar o vértice v em grau(v) pedaços de
modo que as arestas que o têm como extremo também pertençam ao novo grafo, embora não
sejam mais adjacentes.
Figura 10. Exemplos de Fusão e Explosão de vértices.
4.6.1 Situação Problema II: Rede de água de uma região.
Fato: Houve um rompimento na rede de fornecimento de água em uma região da cidade.
Ação: Recompor o funcionamento da rede de água da região.
Fechar registro significa: Explodir vértices
Figura 11. Área atendida x Área Atingida
5. GRAFOS EULERIANOS
Ciclo euleriano é aquele que possui todas as arestas do grafo exatamente uma vez.
Um Grafo euleriano é aquele que possui um ciclo euleriano, em outras palavras, um grafo é
euleriano se pudermos desenhá-lo sem tirar o lápis do papel e voltar ao ponto de partida, sem
passar mais de uma vez por nenhuma aresta.
5.1 As pontes de Königsberg
Na cidade de Königsberg (atual Kaliningrado), antiga capital da Prússia Oriental, o rio Pregel
circunda uma ilha e separa a cidade em quatro zonas que, no séc. XVII estavam ligadas por
sete pontes como na figura 12:
Figura 12.
Acredita-se que esse foi um dos primeiros exemplos da utilização de grafos. O problema
consiste em partir de uma dessas regiões e determinar um trajeto pelas pontes segundo o qual
se possa retornar à região de partida após atravessar cada ponte somente uma vez.
Este problema trata-se de um grafo euleriano, no qual não é possível fazer o percurso de
iniciar em uma ponte, passar por todas as outras uma só vez e retornar ao ponto de origem,
pois, um grafo só pode ser percorrido de tal maneira, se o diagrama tiver somente vértices de
grau par, o que não acontece com o problema citado.
Teorema (Euler 1736): Um grafo conectado G é euleriano se e somente se o grau de cada
vértice de G é par.
Demonstração: Ida: Seja G um grafo euleriano. Logo, ele contém um ciclo euleriano. Por
cada ocorrência de vértice desse ciclo, existe uma aresta que chega nesse vértice e associada a
ela, outra que sai desse vértice. Como toda aresta faz parte do ciclo, isto é, nenhuma aresta
fica fora do ciclo, necessariamente o número de arestas por cada vértice é par.
Volta: Suponhamos que todos os vértices possuem grau par. Seja vi um vértice do grafo.
Tentemos, a partir de vi , construir uma cadeia que não passa duas vezes pela mesma aresta, e
até que não seja possível continuar. Como todos os vértices possuem um grau par, sempre
será possível entrar e sair de um vértice. A única exceção é o vértice vi onde a cadeia vai
terminar. Se essa cadeia, que chamaremos C1 , contém todas as arestas de G, temos um ciclo
euleriano. Senão, retiramos de G todas as arestas que fazem parte de C1 . No grafo resultante
G', todos os vértices também possuem grau par e necessariamente um deles faz parte de C1 ,
senão o grafo não seria conexo.
Recomeçamos o mesmo processo com o grafo G', partindo de um vértice comum com C1 ,
obtendo assim um novo ciclo C 2 . A figura abaixo mostra que dois ciclos que têm um vértice
em comum podem formar um ciclo único: chegando ao vértice comum em um dos dois ciclos,
continuamos o percurso no outro ciclo. Continuando esse processo, necessariamente
obteremos um ciclo único que contém todas as arestas de G.
6. GRAFOS HAMILTONIANOS
Um grafo G é hamiltoniano se existe um ciclo em G que contenha todos os seus vértices,
sendo que cada vértice só aparece uma vez no ciclo. Este ciclo é chamado de ciclo
hamiltoniano.
Sendo assim, um grafo é hamiltoniano se ele contiver um ciclo hamiltoniano.
A título de exemplo, considere os grafos G1 e G 2 da figura 14. É fácil notar que G1 contém o
ciclo v1 , v 2 , v3 , v 4 , v5 , v1 que é hamiltoniano. Logo, G1 é um grafo hamiltoniano. O mesmo
não acontece com G 2 .
Figura 14.
O problema do cálculo do ciclo hamiltoniano, embora semelhante ao problema do cálculo do
euleriano, é muito mais complexo, pois não são conhecidas as condições necessárias e
suficientes para que um grafo genérico contenha um ciclo hamiltoniano nem tampouco
métodos eficientes para construir tal ciclo.
Há diversos teoremas específicos para determinados tipos de grafos, fornecendo condições
que são, na maior parte dos casos, suficientes – porém não necessárias.
Este problema está intimamente relacionado ao problema do caixeiro viajante, o qual consiste
em encontrar um caminho que passe por todas as cidades uma única vez e retorne ao ponto de
partida escolhendo para isso um caminho de custo mínimo.
6.1 Problema do Caixeiro Viajante
É um problema de grafo hamiltoniano, que consiste em passar por todos os vértices de um
grafo, não repetindo nenhum, a fim de encontrar um caminho ótimo.
Suponha que a área de venda de um caixeiro viajante inclua várias cidades, as quais, aos
pares, estão conectadas por rodovias. O trabalho do caixeiro requer que ele visite cada cidade
pessoalmente. Sob que condição seria possível para ele estabelecer uma viagem circular (que
o leve ao ponto de partida) de forma que ele visite cada cidade exatamente uma vez?
Este problema pode ser modelado por um grafo G(V, E), onde:
V = {c | c é uma cidade}
E = {( c1 , c 2 ) | há uma estrada que conecta as cidades c1 e c 2 , sendo que ela não passa
por nenhuma outra cidade neste trajeto}.
Modelado desta forma, a solução deste problema passa por verificar se o grafo G é
hamiltoniano.
Como exemplo, considere o seguinte problema:
Um viajante deve visitar clientes instalados em sete cidades do estado de Minas Gerais
- Brasil - .
Procura-se determinar qual o percurso mais econômico tendo em atenção, exclusivamente,
as distâncias quilométricas entre as cidades.
O estudo a seguir trata de um problema de grafos considerado complexo e de algoritmos que
possam solucioná-lo. Neste sentido, são investigados o algoritmo dos mínimos sucessivos e o
algoritmo da ordenação do peso das arestas.
Representa-se abaixo a respectiva rede de cidades e uma tabela das distâncias quilométricas.
Araguari Araxá
Patos de
Minas
Patrocínio Uberaba Uberlândia
Belo
Horizonte
Araguari
-------
213
215
146
133
41
571
Araxá
Patos de
Minas
Patrocínio
Uberaba
Uberlândia
Belo
Horizonte
213
215
-----189
189
--------
116
73
124
242
186
217
374
417
146
133
41
571
116
124
186
374
73
242
217
417
------173
148
426
173
-------107
494
148
107
-------556
426
494
556
--------
Representação gráfica:
Estudamos dois algoritmos executáveis para resolução de problemas desta natureza.
Tarefa:
Considerar os dois algoritmos (Algoritmo dos Mínimos Sucessivos e Algoritmo por
Ordenação dos Pesos das Arestas) para resolver PCVs, (PCV = Problema do Caixeiro
Viajante), e aplique-os à situação do caixeiro viajante que tem de visitar as sete cidades
mineiras, referidas no grafo completo e valorado (distâncias em quilômetros).
- As soluções que encontrou são boas?
- Seria fácil encontrar a solução ótima?
- Quanto tempo demoraria a encontrar a solução ótima por um método exaustivo?
Compensaria?
6.2 ALGORITMO DOS MÍNIMOS SUCESSIVOS
Começa-se por escolher uma cidade para início do circuito. A partir dessa cidade, visita-se a
mais próxima e assim sucessivamente, até completar o circuito; por vezes não é possível
escolher a cidade mais próxima, quer por já ter sido visitada, quer por se fechar o circuito;
nesse caso escolhe-se a mais próxima ainda não visitada; terminado o circuito somam-se os
quilômetros percorridos. Repete-se este procedimento de forma a obter sete circuitos
hamiltonianos, cada um dos quais com início numa das cidades.
O quadro obtido encontra-se representado a seguir.
Note-se que esta solução se baseia numa escolha sucessiva da melhor etapa, o que pode não
conduzir à melhor solução global. No entanto, o resultado é aceitável se tivermos em conta
outros critérios, nomeadamente a economia de tempo.
De fato, o número de circuitos hamiltonianos possíveis é determinado pela fórmula
(n 1)! , o que, para o caso vertente, nos conduz a (7 1)! 720
360 hipóteses.
2
2
2
Ora, testar 360 circuitos "à unha" não é tarefa recomendável.
A análise do quadro nos leva a concluir que existem dois melhores circuitos (mais
econômicos). São os que se iniciam em:
• Araxá e segue por Patrocínio, Patos de Minas, Araguari Uberlândia, Uberaba, Belo
Horizonte e Araxá, voltando à Araxá, num total de 1420 Km.
•
Belo Horizonte e segue por Araxá, Patrocínio. Patos de Minas, Araguari, Uberlândia e
Uberaba, voltando a Belo Horizonte, num total de 1420 Km.
Observe que o ciclo é o mesmo nos dois casos.
6.3 ALGORITMO DA ORDENAÇÃO DO PESO DAS ARESTAS
Ordenam-se todas as arestas por ordem crescente do respectivo peso (distância).
Em seguida, tenta-se encontrar um circuito hamiltoniano que utilize as arestas de menor peso,
tendo em conta o seguinte:
(1) Nunca se toma a terceira aresta incidente num mesmo vértice e (2) nunca se fecha o
ciclo enquanto houver vértices não visitados.
As 5 primeiras arestas não apresentam qualquer problema. Mas, as 11 seguintes não podem
ser utilizadas por não verificarem as condições enunciadas.
Uberlândia
Patrocínio
Uberlândia
Patrocínio
Uberaba
Belo Horizonte
Belo Horizonte
Araguari
Patos de Minas
Uberaba
Araxá
Araxá
Patos de Minas
Araguari
41
73
107
116
124
417
571
1449
Continuando o processo chega-se à solução acima indicada, que nos conduz a um circuito
com um comprimento total de 1449 km. Logo, pior que a anterior.
Conclusões: Os algoritmos podem se mostrar eficientes para problemas complexos. Além
disto, eles permitem trabalhar com problemas matematicamente complexos sem necessitar
conhecimento prévio sobre o mesmo.
A melhor solução foi encontrada pelo Algoritmo dos Mínimos Sucessivos, que nos permitiu
determinar o melhor percurso para o caixeiro viajante. Sendo considerada ótima, pois, para ter
a certeza desta afirmação teríamos de encontrar todas as soluções pelo Método Exaustivo, o
que implica na análise de 360 percursos, tarefa pouco aconselhável.
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A teoria dos grafos é essencial para resolução de problemas, desde os mais simples aos
elaborados. São problemas que justificam atenção devido ao fato de aparecerem diversas
aplicações e serem considerados difícil solução. Grafos são uma inesgotável fonte de
problemas com enunciado simples, mas que escondem, muitas vezes, uma sofisticada
estrutura matemática.
8. BIBLIOGRAFIA
[1] BARROSO, M. M. A., Operações Elementares em Grafos e Aplicações, VII SEMAT,
Uberlândia, 2007.
[2] BOAVENTURA NETTO, P. O., Teoria e Modelos de Grafos, E. Blucher, São Paulo,
1979.
[3] LUCCHESI, C. L., Introdução à Teoria dos Grafos, IMPA-CNPq, Rio de Janeiro,1979.
[4] OYNSTEIN O., Graphs and Their Uses, The Mathematical Association of America,
Editorial Committee, England, 1990.
[5] www.guiaquatrorodas.com.br
O NÚMERO ) *
Marcos Antônio da Câmara†
Melissa da Silva Rodrigues
Universidade Federal de Uberlândia
Av. João Naves de Ávila, 2121
Campus Santa Mônica
38408-100 – Uberlândia – MG
Faculdade de Matemática
VIII Curso de Especialização em Matemática
RESUMO
1 5
1,6180339887... , suas
2
propriedades e exemplos de onde podemos encontrá-lo. Conhecido como número de ouro,
teve a sua origem através da divisão de um segmento proposto por Euclides, o qual estaria
dividido na “razão extrema e média”. A divisão de um todo em partes desiguais de acordo
com a “razão extrema e média” parece produzir um equilíbrio na desigualdade,
proporcionando uma harmonia de forma geral. Esta era a opinião de Leonardo da Vinci e da
maior parte dos artistas e sábios do Renascimento. Os pitagóricos estudaram as relações entre
os segmentos de um pentagrama e descobriram que este número tem muita importância na sua
geometria. Em arquitetura é útil para entender a escala de medidas utilizadas em ergonomia
que foi idealizada pelo arquiteto Le Corbusier em seus projetos. Até mesmo na natureza
podemos encontrar esta harmonia, como na disposição das pétalas das rosas, no crescimento
das conchas do nautilus, nas obras de grandes pintores e até mesmo na música. Em termos
gerais, a Razão Áurea foi usada para que trouxesse a beleza visual ou auditiva.
Neste trabalho apresentaremos o número ) , em que )
Palavras Chave: Razão áurea, número phi, Fibonacci
* Monografia apresentada por Melissa da Silva Rodrigues à Faculdade de Matemática em 09 de Abril de 2008,
como requisito parcial para a obtenção do título de Especialista em Matemática.
† Professor orientador (Tutor do PETMAT): [email protected]
INTRODUÇÃO
Este trabalho tem o objetivo de mostrar que a matemática está presente em nosso meio
através de uma simples razão, e faremos isto por meio de um número conhecido como o
número de ouro, o número ) (phi).
Este é muito querido pelos matemáticos, astrônomos, físicos, biólogos, artistas que há
anos o estudam, e ficam fascinados com cada descoberta, e a sua influência na arte, na
arquitetura, na música, na geometria, na natureza e outros.
Apresentaremos além do número de ouro, a seqüência de Fibonacci que interage
plenamente com o número ) , e suas propriedades e aplicações.
Analisando a concha do náutilo (nautilus pompilius), por sinal de magnífica beleza, a
disposição das folhas nos ramos das plantas, ou seja, a filotaxia, o pentagrama que aparece na
maioria das flores e até mesmo em frutos como a maçã se cortada pela sua circunferência, os
quadros como “A Mona Lisa” e “Sacramento da Última Ceia”, a procriação dos coelhos, na
harmonia das notas musicais, e muitos outros, podemos observar que existe algo em comum,
‘A Razão Áurea’.
Grandes matemáticos como Euclides e Pitágoras, na Grécia Antiga, Leonardo de Pisa
também conhecido como Fibonacci, o astrônomo Johannes Kepler, dentre outros estudiosos,
até mesmo o físico Roger Penrose, trabalharam intensamente com esta simples razão e suas
propriedades.
De fato, a Razão Áurea tem fascinado os estudiosos em todas as disciplinas e suas
áreas, e tem mostrado que esta propriedade, a proporção, traz harmonia, atração visual e
auditiva, ou seja, mostra a busca constante pela proporção ‘perfeita’, dando uma qualidade
estética agradável às obras dos artistas, ao som dos acordes dos músicos e à beleza da
natureza.
CAPÍTULO I
O NÚMERO DE OURO
A razão áurea, também conhecida como o número de ouro, teve a sua primeira
definição, por volta de 300 a.C., dada por Euclides de Alexandria. Euclides definiu uma
proporção derivada da divisão de um segmento no que ele chamou de “razão extrema e
média”. Assim definiu: “Diz-se que uma linha reta é cortada na razão extrema e média
quando, assim como a linha toda está para o maior segmento, o maior segmento está para o
menor”.
De acordo com a figura acima, o segmento AB é maior que o segmento AC e ao
mesmo tempo o segmento AC é maior que o segmento CB. Usando a definição de razão
extrema e média, teremos que a razão dos comprimentos de AB por AC é igual a razão dos
AB AC
comprimentos de AC por CB, ou seja,
.
AC CB
O símbolo usado a princípio para essa razão era a letra grega W (tau) que significa “o
corte”, entretanto, no início do século XX o matemático Mark Barr deu à razão o nome de Fi
( ) ), devido a ser a primeira letra grega do nome de Fídias, um escultor grego que viveu entre
490 e 430 a.C, que realizou o “Partenon de Atenas” e “Zeus”, no templo de Olímpia.
Para encontrarmos o valor para ) , tomaremos o segmento AC = x e CB = 1. Desta
forma, usando a definição de razão extrema e média, teremos:
x 1 x
x 2 x 1 0
x
1
AC
x ) , a solução da equação quadrática acima nos dará o valor
Observando que
BC
1 5
1,6180339887... e
para ) . As duas soluções para a equação são x'
2
1 5
x' '
0,6180339887... . A solução positiva desta equação é a Razão Áurea,
2
denominada por ) e a solução negativa será denominada por M .
Elevando ) ao quadrado teremos ) 2 = 2,6180339887... e o seu inverso
1
1
) 1 0,6180339887... , isto é,
M .
)
)
A Razão Áurea tem as propriedades únicas de produzir seu quadrado simplesmente
somando 1 e o seu recíproco subtraindo 1. Além disso, temos que ) 1 ) 1 e ) 1 ) 1 .
Usando as propriedades das raízes da equação quadrática teremos o produto e a soma
1 5 1 5 1 5 4
das raízes, então, x'. x' '
.
1 , ou seja, ) . M 1 . Daí, temos que
2
2
4
4
1 5 1 5 2
M é o inverso de ) e também que x' x' '
1 , ou seja, ) M 1 .
2
2
2
O número ) possui outras propriedades interessantes:
a) Somar duas potências inteiras consecutivas de ) resulta na próxima potência de ) .
Já sabemos que ) 2 = 1+ ) . Então, segue que:
) + ) 2 = ) .(1+ ) ) = ) . ) 2 = ) 3;
) 2 + ) 3 = ) 2.(1+ ) ) = ) 2. ) 2 = ) 4;
) 3 + ) 4 = ) 3.(1+ ) ) = ) 3. ) 2 = ) 5; ... ;
) n + ) n+1 = ) n.(1+ ) ) = ) n. ) 2 = ) n+2.
Logo, ) n + ) n+1 = ) n+2.
b) O mesmo acontece com potências de expoente inteiro negativo.
Já vimos que ) =1+ ) -1
) -2 + ) -1 = ) -1.(1+ ) -1) = ) -1. ) = ) 0;
) -3 + ) -2 = ) -2.(1+ ) -1) = ) -2. ) = ) -1;
) -4 + ) -3 = ) -3.(1+ ) -1) = ) -3. ) = ) -2; ... ;
) n + ) n+1 = ) n.(1+ ) ) = ) n. ) 2 = ) n+2. com n < 0.
Logo, ) n + ) n+1 = ) n+2, com n < 0
c) A soma de todas as potências com expoentes inteiros negativos e base igual a ) produz o
próprio ) .
( ) -1 + ) -2) + ( ) -3 + ) -4) + ( ) -5 + ) -6) + ... =
= ) 0 + ) -2 + ) -4 + ) -6 + ... + ) -2n ..., =
= 1 + ) -2( ) 0 + ) -2 + ) -4 + ...). Onde n 1 .
Considerando ) 0 + ) -2 + ) -4 + ... = x.
1
x
x
Daí, x 1 ) 2 .x x 1
)2 ) 1
1 )
x
2
)
x 1
x 1
x x 1
1
1 ) )2
)
)x
x ).
x 1
x 1
)
)
Sendo ) 0 + ) -2 + ) -4 + ... = x = ) , teremos na expressão:
( ) -1 + ) -2) + ( ) -3 + ) -4) + ( ) -5 + ) -6) + ... =
= ) 0 + ) -2 + ) -4 + ) -6 + ... =
= 1 + ) -2( ) 0 + ) -2 + ) -4 + ...) =
= 1 + ) -2 ) =
= 1+ ) -1 =
=)
Logo, ) -1 + ) -2 + ) -3 + ) -4 + ) -5 + ) -6 + ... = )
Além destas propriedades interessantes, podemos dividir um segmento na Secção
Áurea, utilizando régua e compasso, da seguinte maneira:
1º passo: Considere um segmento AB dado. Trace um segmento BD de modo que
BD seja a metade de AB .
2º passo: Trace o segmento AD . Com centro em D e raio de medida BD trace um
arco e marque o ponto de intersecção E com o segmento AD .
3º passo: Com centro em A e raio de medida AE, trace um arco cortando AB em C.
Desta maneira, o segmento AB está dividido na razão extrema e média, ou seja, na Razão
Áurea.
Podemos justificar esta construção supondo que AB mede uma unidade de
comprimento e, conseqüentemente, BD é a metade desta unidade.
Sabemos que AD é a hipotenusa deste triângulo retângulo ABD e usando o Teorema de
Pitágoras teremos a sua medida. Segue que AD 2 AB 2 BD 2 , ou seja,
1
5
AD 2 1 AD
.
4
2
O ponto E na hipotenusa é marcado de forma que DE tenha o mesmo comprimento
1
5 1
5 1
que o lado DB, isto é, DE = DB = , então, AE
. Como AE = AC temos
2
2 2
2
5 1
5 1 3 5
AC
e, além disso, teremos que CB = 1 – AC, ou seja, CB 1 .
2
2
2
AC
, teremos que
Substituindo os valores encontrados na razão
CB
5 1
AC
5 1 2 2 5 1 5
2
, que é exatamente o valor de ) .
CB 3 5 3 5
4
2
2
Podemos encontrar a Razão Áurea de outras maneiras, por exemplo, ao determinar o
valor da expressão
1 1 1 1 1 ... . Para determinar o valor desta expressão
iremos considerar que o seu valor é igual a x.
Então, temos que x
equação
ao
quadrado
1 1 1 1 ...
1 1 1 1 1 ... , e elevando os dois termos desta
encontramos
x2
1 1 1 1 1 ... .
por x temos a equação x 2
Substituindo
1 x x 2 x 1 0 . Mas esta é
exatamente a equação que define a Razão Áurea, portanto, concluímos que como x ! 1 , o
valor de x é igual a ) .
Outra maneira de representar o número ) , desta vez envolvendo fração, é através de
1
fração contínua. Considere a expressão 1 , e denotamos o seu valor por x.
1
1
1
1
1
1
1
1
1 ...
1
Assim, x 1 e podemos notar que o denominador da segunda
1
1
1
1
1
1
1
1
1 ...
1
parcela é o próprio x, portanto, temos a equação x 1 . Multiplicando os dois lados por x
x
2
2
temos x
x 1 x x 1 0 . Novamente encontramos a equação que define a Razão
Áurea.
Logo, como a fração contínua é maior do que 1, ela é igual a ) .
CAPÍTULO II
A RAZÃO ÁUREA E FIBONACCI
Figura1: Fibonacci1
Leonardo de Pisa nasceu em Pisa na Toscânia por volta de 1170. Também era
conhecido por Leonardo Fibonacci (que significa filho de Bonaccio), e em alguns de seus
manuscritos ele também era chamado de Leonardo Bigollo (ou Leonardi Bigolli Pisani), em
que “Bigollo” significa ‘viajante’.
Pisa, no século XII, era um dos grandes centros comerciais italianos, tais como
Gênova e Veneza. Tinha vários entrepostos comerciais espalhados pelos portos do
Mediterrâneo, e por ali passavam mercadorias que vinham do interior e do ultramar, como as
especiarias do Extremo Oriente que circulavam a caminho da Europa Ocidental.
O pai de Leonardo ocupou o lugar de chefe de um desses entrepostos, no norte da
costa de África (Bugia, atualmente Bejaia na Argélia). Foi lá que Leonardo iniciou os seus
estudos de matemática com professores islâmicos. Mais tarde viajou pelo Mediterrâneo
(Egito, Síria, Grécia, Sicília, Provença), o que muito contribuiu para expandir seus
conhecimentos matemáticos, encontrando-se com estudiosos islâmicos em cada um dos locais
que visitava e adquirindo conhecimento matemático do mundo árabe, tendo a oportunidade de
estudar diferentes sistemas numéricos e métodos de operações aritméticas. E assim, dedicou
os seus estudos aos números indo-arábicos, que incluíam o princípio do valor de lugar, que
considerava um método superior a todos os outros. Isto depois de observar a grande
dificuldade de expressar e operar números em algarismos romanos ou através do ábaco.
A partir daí, publicou seu livro “Liber Abaci” escrito em 1202, que introduziria o uso
dos numerais indo-arábico, voltados para a vida comercial. Neste, Fibonacci explica a
tradução dos numerais romanos para o novo sistema, bem como suas operações aritméticas,
além de propor problemas comuns ao seu dia a dia. Também apresentou a sucessão de
números que dele herdou o nome seqüência de Fibonacci, na qual cada termo resulta da
adição dos dois termos que o antecedem originando assim os números 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13;
21; ..., os quais falaremos em seguida.
Após esta obra, Fibonacci ficou famoso e teve um grande reconhecimento até mesmo
do imperador romano Frederico II, conhecido como ‘Maravilha do Mundo’, por patrocinar a
matemática e a ciência, e foi convidado a comparecer diante do imperador em Pisa e
solucionar alguns problemas que até então eram considerados difíceis pelos matemáticos da
corte. Leonardo de Pisa resolveu todos os problemas propostos e mais tarde escolheu dois
destes problemas e descreveu-os em um livro chamado Flos.
1
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/fibonacc.htm
Em um livro sobre a geometria, Practica Geometriae, Fibonacci apresenta cálculos
para a diagonal e a área de um pentágono, para os lados do decágono e outros que
indiretamente interagem com a Razão Áurea, apresentando domínio sobre a geometria
euclidiana e expandindo o uso das propriedades da Razão Áurea e de suas aplicações. Num
destes estudos propôs um problema bastante conhecido, a procriação de coelhos.
Problema: Suponha que um casal de coelhos recém-nascidos é colocado numa ilha, e
que eles não produzem descendentes até completarem dois meses de idade. Uma vez atingida
esta idade, cada casal de coelhos produz exatamente um outro casal de coelhos por mês. Qual
seria a população de coelhos na ilha após doze meses, supondo que nenhum dos coelhos tenha
morrido e não haja migração neste período?
Modelagem do Problema:
Indicando um casal de coelhos pelo símbolo ( ƃ,Ƃ ) e a respectiva idade (0 = recémnascidos, 1 = um mês de idade, * = pelo menos dois meses) acima e à direita do símbolo e n o
número de meses transcorridos, podemos representar a evolução da população pela seguinte
tabela:
n População
1 (ƃ,Ƃ)0
2 (ƃ,Ƃ)1
3 (ƃ,Ƃ)* (ƃ,Ƃ)0
4 (ƃ,Ƃ)*(ƃ,Ƃ)1 (ƃ,Ƃ)0
5 (ƃ,Ƃ)* (ƃ,Ƃ)* (ƃ,Ƃ)1(ƃ,Ƃ)0(ƃ,Ƃ)0
6 (ƃ,Ƃ)*(ƃ,Ƃ)*(ƃ,Ƃ)*(ƃ,Ƃ)1(ƃ,Ƃ)1(ƃ,Ƃ)0(ƃ,Ƃ)0(ƃ,Ƃ)0
7 (ƃ,Ƃ)*(ƃ,Ƃ)*(ƃ,Ƃ)*(ƃ,Ƃ)*(ƃ,Ƃ)*(ƃ,Ƃ)1(ƃ,Ƃ)1(ƃ,Ƃ)1(ƃ,Ƃ)0(ƃ,Ƃ)0(ƃ,Ƃ)0(ƃ,Ƃ)0(ƃ,Ƃ)0
Tabela 1: representação dos casais de coelhos por mês
Como calcular a população no início do 6º mês? Como não há mortes, podemos
inicialmente contar com a população do 5º mês, e o próximo passo seria somar com o número
de recém-nascidos. Este é exatamente o número de casais com pelo menos um mês no 5º mês,
que é a população total do 4º mês. Denotando por Fn a população no n ésimo mês, o
argumento acima produz a equação F6 F5 F4 . Mas o raciocínio se aplica a qualquer mês,
ou seja, toda a discussão pode ser refeita substituindo-se 6º por n ésimo , 5º por
(n 1) ésimo e 4º por (n 2) ésimo . Então podemos escrever a equação: Fn Fn 1 Fn 2
para n t 3 . Ao contarmos o número de casais, teremos que F1 F2 1 .
Logo, temos uma equação de recorrência na sua forma completa: F1 1 , F2 1 ,
Fn Fn 1 Fn 2 para n t 3 .
Perceba que podemos definir F0 a partir de F2 F1 F0 e condições iniciais, obtendo
F0 F2 F1 1 1 0 . Deste modo, podemos redefinir a relação de recorrência do seguinte
modo: F0 0 , F1 1 , Fn Fn 1 Fn 2 para n t 2 .
Resolução por Modelos Especiais:
Veja que a seqüência de Fibonacci F1 , F2 , F3 , é uma seqüência tal que
Fn Fn 1 Fn 2 para n N e n t 2 onde F0 0 e F1 1 . Seqüências deste tipo são
chamadas de recorrentes e a equação acima de equação de recorrência.
Temos que a fórmula geral da equação de recorrência de uma relação de recorrência
com coeficientes Ci constantes em uma variável é:
f n C n 1 f n 1 C n 2 f n 2 C n k f n k g n .
Observe que a equação de recorrência Fn Fn 1 Fn 2 possui g n 0 , então, esta
relação de recorrência é homogênea e para podermos solucioná-la deveremos fazer a seguinte
associação:
Fn D n D n D n 1 D n 2 .
D n D n1 D n2
0 D n2 D 2 D 1
0 D 2 D 1 0 (equação característica).
1
2
Resolvendo a equação característica D D 1
0 , obtemos D1
1 5
2
e
1 5
e, conseqüentemente, D n1 D1n1 D1n2 e D n 2 D 2 n1 D 2 n2 .
2
Mas, por outro lado, se uma função Fn hn satisfaz uma determinada equação de
recorrência linear homogênea, então qualquer múltiplo desta função também satisfaz esta
equação. Para A e B constantes reais, teremos:
n 1
n2
n 1
n2
AD n 1 AD 1 AD 1
e BD n 2 BD 2 BD 2
D2
n 1
n 1
n2
n2
Somando as igualdades temos: AD n 1 BD n 2 AD 1 BD 2 AD 1 BD 2 .
Observe que AD n 1 BD n 2 é uma solução da equação de recorrência Fn Fn 1 Fn 2 ,
mas não necessariamente solução de uma relação de recorrência cuja parte da equação é
Fn Fn 1 Fn 2 , pois para cada conjunto de valores para as constantes A e B temos uma
seqüência diferente. Por outro lado, espera-se que apenas uma única seqüência seja solução da
relação de recorrência, daí entram em cena as condições iniciais F0 0 e F1 1 , e então:
Para n
0 F0
0 e AD 01 BD 0 2
1
1
0
1
Para n 1 F1 1 e AD BD 2 1
A B 0
°
§1 5 ·
Logo ® § 1 5 ·
¨
¸
¨
¸
A
B
° ¨ 2 ¸
¨ 2 ¸ 1
¹
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¹
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1
1
Cuja solução é A
e B 5
5
Obtemos então a fórmula para Fn
n
Fn
AD1n BD 2n , ou seja,
n
1 §1 5 ·
1 §1 5 ·
¨
¸ ¨
¸ para n t 0 .
5 ¨© 2 ¸¹
5 ¨© 2 ¸¹
Resolução por Funções Geradoras.
Consideremos novamente a seguinte relação de recorrência: Fn
n N e n t 2 , em que F0 0 e F1 1
Multiplicando Fn Fn 1 Fn 2 por x n chegamos a x n Fn
Fazendo o somatório a partir de n t 2 , teremos
f
¦F x
f
¦F
n
n
n 2
n 1 e v
Fazendo u
f
n
n
n 1 x ¦ Fn 2 x
n 2
x n Fn 1 x n Fn 2 .
f
f
n 2
n 2
x¦ Fn 1 x n 1 x 2 ¦ Fn 2 x n 2 .
n 2
n 2 , temos
f
¦ Fn x n
n 2
f
f
u 1
v 0
x¦ Fu x u x 2 ¦ Fv x v .
f
¦ Fn x n , temos: f x F
Fazendo f x Fn 1 Fn 2 para
0
F1 x
x f x F0 x 2 f x .
n 0
Substituindo F0
0 e F1
1 , vem:
f x 0 1x
x f x 0 x 2 f x f ( x) x
xf ( x) x 2 f ( x)
(1 x x 2 ) f x x
x
f x (1 x x 2 )
1r 5
. Logo,
2
§1 5
· §1 5
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Achando as raízes da equação x 2 x 1 0 temos que x
x2 x 1
§ 1 5 ·· §
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°A B 0 B A
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2
2
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(I )
( II )
De (I ), temos que
1 5 A 1 5 A 2
2
De (II ), temos que B
1
Assim, f x f
¦ Fn x
n 0
1
n
n
2
A 1 A
1
5
1
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5 § 1 5 ·
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2
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n
Fn
2
5
e, consequentemente,
n
n
1 §1 5 ·
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¸ , para n t 0 .
5 ¨© 2 ¸¹
5 ¨© 2 ¸¹
Esta expressão acima, é a fórmula redescoberta por Binet nos meados do século XIX,
já conhecida primeiramente no século XVIII, por Leonard Euler e Abraham de Moivre. Esta
permite encontrar o valor para qualquer número na seqüência de Fibonacci.
Voltando ao problema dos coelhos, observe a figura 2:
Figura 2: Distribuição dos casais de coelhos2
O número de casais de coelhos com o passar dos meses segue uma seqüência que é
exatamente a de Fibonacci, assim, o número de pares total de coelhos é a soma desses
números da seqüência até o mês desejado, conforme a figura 2.
A seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ..., na qual cada termo (a
partir do terceiro) é igual à soma dos dois termos anteriores, foi chamada de Seqüência de
Fibonacci no século XIX pelo matemático francês Edouard Lucas.
Mas, esta seqüência não está limitada somente a este problema dos coelhos. Ela será
encontrada em diversos fenômenos, como na óptica dos raios de luz ou índice de refração de
luz (figura 3), a árvore genealógica de um zangão (figura 4), dentre outros.
2
Fonte: disponível em http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=199020
Figura 3: Refração da luz3
Figura 4: Árvore genealógica de um zangão4
Mas, o que mais chama a atenção é a relação da Seqüência de Fibonacci e a Razão
Áurea. À medida que aumentamos os números da seqüência de Fibonacci, a razão entre um
número e o seu antecessor, varia em torno da Razão Áurea, cada vez mais aproximando do
seu valor. Seja n a posição do número na seqüência, Fn o número de Fibonacci e Fn+1 o seu
F
sucessor, então a razão n1 se aproxima de ) quando n aumenta. Esta propriedade foi
Fn
descoberta por Johannes Kepler em 1611.
Observe o gráfico (figura 5):
Figura 5: Convergência da razão entre os termos sucessivos de Fibonacci5
As razões vão se aproximando de um valor particular, quando n tende a infinito, e o
seu limite é exatamente ) , o número de ouro.
Para melhor entendermos esta propriedade, considere a fração contínua
1
1
, mostrada anteriormente, cujo valor é igual a ) .
1
1
1
1
1
1
1
1
1 ...
3
4
5
Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 119.
Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 156.
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm
Nesta expressão, poderíamos calcular o valor de ) por uma série de aproximações
1 2
1
3
sucessivas, da seguinte maneira: 1 1,00000 , 1 2,00000 , 1 1,50000 ,
1 1
11 2
1
5
1
13
8
1
1
1,66666 , 1 1,60000 , 1 1,62500 ,
1
1
1
3
8
5
1
1
1
1
1
11
1
1
1
11
1
11
1
34
21
1
1,61904 . E, assim por
1,61538 , 1 1
1
1
21
13
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
11
diante, cada vez mais se aproximando de ) .
Estas aproximações sucessivas que encontramos para a Razão Áurea são exatamente
iguais às razões entre os números da seqüência de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
1 2 3 5 8 13 21
610 987
89, 144, 233, ...,ou seja, 1, , , , , , , , ...,
,
1,618033, ... , e à medida que
1 1 2 3 5 8 13
377 610
avançamos para os termos maiores da seqüência, a razão tende para o valor de ) .
CAPÍTULO III
O TRIÂNGULO ÁUREO, O PENTÁGONO E O PENTAGRAMA
Considere o pentágono regular abaixo, e a partir de um de seus vértices trace duas
diagonais de modo que se obtenha um triângulo em que a base deste seja um dos lados do
pentágono.
Figura 6: Triangulo áureo6
De acordo com a figura 6, temos três triângulos isósceles, ABC, ACD e ADE. Além
disso, os triângulos ABC e ADE são congruentes.
A soma dos ângulos internos de um polígono é dada por S = (n – 2)180°, em que n é o
número de lados do polígono. Usando isto, teremos que a soma dos ângulos internos de um
pentágono é igual a 540°, e por ser um pentágono regular todos os seus ângulos internos são
iguais, logo cada um será igual a 108°. Além disso, m( ADˆ E ) m( EAˆ D) 36q ,
m( ACˆ B) m(CAˆ B) 36q , m(CAˆ D) 36q e m( ACˆ D) m( ADˆ C ) 72q , observe a figura 7.
Figura 7: Pentágono7
6
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
Traçando a bissetriz do ângulo D, teremos um triângulo como mostra a figura 8.
Figura 8: Traçando a bissetriz do ângulo D8
Seja F o ponto de intersecção dessa bissetriz com o lado AC do triângulo. Assim, DF é
o segmento de divide o ângulo D ao meio, de modo que m(CDˆ F ) 36q ,
m(CFˆ D) m( DCˆ F ) 72q . Logo, o triângulo CDF é um triângulo isósceles e também é
semelhante ao triângulo DAC (figura 8).
Figura 9: Triângulos semelhantes 9
Usando as relações entre triângulos semelhantes quanto aos seus lados homólogos de
z y
acordo com os dados fornecidos na figura abaixo, temos que:
. Mas, podemos observar
y x
que sendo z = y + x a medida do segmento AC, y a medida do segmento AF e x a medida do
7
9
8
AC AF
, e desta forma dizemos que F divide o
AF FC
segmento AC na extrema e média razão, ou seja, a Razão Áurea. Por isto, chamamos este
triângulo de Triângulo Áureo.
segmento FC, teremos a seguinte razão:
Figura 10: Triângulos semelhantes10
Foi dito que o Triângulo Áureo tem ligação com o pentágono porque Euclides,
trezentos anos antes de Cristo, propunha em seus Elementos, II Livro, Teorema 11,
justamente o caminho inverso que dizia: construir um pentágono regular a partir de um
triângulo isósceles usando a razão áurea para determinar os lados do triângulo. Ou seja,
Euclides sabia, e tomava como fato natural, que os lados de um triângulo isósceles em que os
ângulos iguais medem o dobro do terceiro estão na razão Áurea.
Euclides propôs a construção do pentágono regular a partir do Triângulo Áureo. O
primeiro passo é construir uma circunferência que passe pelos três vértices do triângulo (e o
centro da circunferência fica no ponto de encontro das mediatrizes do triângulo), observe a
figura 11.
Figura 11: Construindo a circunferência11
10
11
Agora, tracemos não somente a bissetriz do ângulo esquerdo da base como também a
do direito. E vamos prolongá-las até que encontrem a circunferência. Com isto,
determinaremos mais dois pontos sobre esta circunferência que, somados aos três
correspondentes aos vértices de nosso triângulo, nos dá os cinco pontos exibidos na figura 12.
O arco AC é congruente ao arco AD, pois m( ADˆ C ) m( ACˆ D) e também são o dobro
do arco CD, pois a m( ADˆ C ) m( ACˆ D) 2m(CAˆ D ) .
Figura 12: Construindo os vértices pentágono12
Podemos constatar que estes pontos dividem a circunferência em cinco arcos iguais,
pois a bissetriz de qualquer ângulo inscrito em uma circunferência divide o arco oposto pela
metade. Portanto, estes pontos são os vértices do pentágono, observe a figura 13.
Figura 13: Construindo o pentágono13
Na figura acima encontramos dois pentágonos regulares (um no centro da figura, outro
obtido unindo-se os vértices situados sobre a circunferência), diversos triângulos Áureos, um
12
13
vasto conjunto de segmentos que mantêm a proporção áurea e, o pentagrama, a estrela de
cinco pontas formada ao traçar as diagonais do pentágono.
Figura 14: Pentagrama14
O pentagrama é um dos símbolos mais antigos cultivados pela humanidade, muito
usada pelos pitagóricos para se identificar em suas seitas que muitas vezes eram secretas. Para
eles tinha o significado de “boa saúde” e também considerado como símbolo na astrologia,
misticismo e outras culturas, possuindo diversos significados.
Explorando o pentagrama, temos que EB = AD = x, x =y + z, y = z + w, de acordo
x y z
com a figura 15. Através da semelhança de triângulos, teremos
.
y z w
Figura 15: Semelhança dos triângulos no pentagrama15
x y
e, se provarmos que esta razão é a razão áurea, teremos
y z
então um triângulo áureo e, por conseqüência, o pentagrama também estará na mesma razão.
x
, com x = z + y.
Seja t
y
1
z y z
y
Temos que t
1
1
1.
y
y
x
t
Na figura 15, temos
14
15
Resulta que: t
1
1 , ou seja, t 2 t 1 0 portanto:
t
1 5
1,68... ) .
2
Logo, a razão t é chamada de razão áurea, assim o segmento AD está dividido em
média e extrema razão.
Assim, para y = 1, temos que x ) . Na figura 16 teremos que, DC = 1 e AD ) .
)
1
)
1
Deste modo, podemos obter sen 18q 2
e sen 54q 2
, que serão usados
) 2)
1
2
adiante.
t
Figura 16: Pentágono e suas medidas 16
Quanto ao pentágono (cinza) no interior da figura 15, procedemos da mesma maneira
que no pentágono ABCDE (vermelho), e dentro dele há outro pentagrama e assim
sucessivamente.
Observe a figura abaixo.
Figura 17: Pentagramas17
16
Traçando as diagonais do pentágono regular formado no centro do pentagrama, o
resultado é um novo pentagrama, mostrado em vermelho. Depois, desenhemos no triângulo
superior do pentagrama maior as bissetrizes de seus ângulos da base, as linhas verdes e
amarelas da figura 17. Em cada ponto de encontro da bissetriz com o lado externo,
desenhamos uma linha paralela ao lado do pentágono e assim sucessivamente traçam-se novas
bissetrizes, infinitamente.
Começando no pentagrama interno, vamos unir os pontos de cruzamento das
bissetrizes com as extremidades das paralelas ao lado do pentágono, as linhas mostradas na
cor rosa. Repetindo o procedimento ao longo de todo o pentagrama, linha por linha, nas
demais “pontas” da “estrela”, teremos um resultado que será parecido com a figura seguinte,
também conhecida por “Estrela Pitagórica”.
Figura 18: Interação entre pentagramas18
No pentagrama encontramos outros pentagramas, triângulos e pentágonos. O número
de cada um desses elementos que pode ser encontrado no interior de um pentagrama tende
para o infinito. Além disso, cada segmento de reta da figura 18 mantém uma relação Áurea
com algum outro segmento da mesma figura.
Segundo a B. Piropo, colunista do Fórum PCs, o pentagrama sob a forma de símbolo
místico vem sendo cultivado pela humanidade há séculos, e considerando que Euclides
atribuía um valor divino à razão Áurea, é fato que por conseqüência ele tenha sido adotado
como símbolo da comunidade pitagórica.
17
18
Fonte: Coluna do B.Piropo do Fórum PCs
Fonte: Coluna do B.Piropo do Fórum PCs
CAPÍTULO IV
PROPRIEDADES NO PENTÁGONO ÁUREO
O pentágono por ser farto em relação Áurea, possui diversas propriedades.
Para mostrar estas propriedades vamos observar o pentagrama seguinte, considerando
R e r como os raios das circunferências circunscritas aos pentágonos A’B’C’D’E’ e PQRST,
respectivamente, e PT com o comprimento igual a uma unidade.
Figura 19: Pentagrama ou triangulo triplo19
As propriedades são:
I) A' P )
Já sabemos que cada ângulo interno do pentágono é igual a 108°.
Na figura 20, o triângulo A’AP é retângulo em A, A' Pˆ A 72q e PAˆ ' A 18q .
19
Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 39
)
)
Figura 20: Propriedade I 20
Usando
a relação trigonométrica no triângulo retângulo temos que
1
.
sen18q
A' P 2 A' P
1
, ver página 23, e substituindo na expressão acima, teremos
Dado que sen18q
2)
1
1
A' P ) .
2 A' P 2)
Portanto, podemos afirmar que A' P ) .
1
2
II)
OA
r
)
2
De acordo com a figura 21, temos que r = OP. Usaremos o triângulo POA para
relacionar OA e OP.
20
)
)
Figura 21: Propriedade II 21
)
, ver página 23, e substituindo
2
) OA
.
este resultado e também OP na igualdade acima, teremos
2
r
Portanto, a propriedade é válida.
Assim, teremos que sen54q
III)
OA'
r
OA
, como sen54q
OP
)2
Observe que OA’ = R e ) 2 2,6180339887 ) 1 .
Considerando os triângulos A’OT e A’TS notamos que eles são semelhantes.
21
)
)
Figura 22: Propriedade III 22
Daí, concluímos que
r
1
R
.
) 1
Substituindo nesta pelos dados acima teremos:
r OA'
OA'
OA' r) 2
)2 .
2
r
1 )
IV) Uma diagonal tal como QS tem comprimento igual a ) .
As diagonais QS, SP, PR, RT e TQ são congruentes.
22
)
)
Figura 23: Propriedade IV 23
Considere os triângulos PRT e RQZ do pentágono PQRST. Estes são semelhantes e por
isto, podemos afirmar que QRˆ Z RZˆQ 72q . Portanto, QR, PT e ST são congruentes, pois
são os lados do pentágono e pelo triângulo isósceles TSZ temos que ST é congruente a ZT.
RT ZT
Logo,
e isto mostra que Z corta o segmento RT na extrema e média razão.
ZT RZ
Iremos mostrar agora que RT é um segmento áureo.
Seja d a medida da diagonal RT e sabemos que ZT = 1.
1
RT ZT
d
Daí,

d 2 d 1 0 . Esta equação nos dá o valor de ) .
ZT RZ
1 d 1
1 5
) . Está provado que a diagonal RT tem o comprimento igual
Resultado, d
2
a ) . Logo, QS também tem o comprimento igual a ) .
V)
OA'
OA
2)
Os triângulos AQS e AOB’ são semelhantes.
23
)
)
Figura 24: Propriedade V 24
OB' OA
, e sabemos que OA’ = OB’ = R, QS ) (pela
QS QA
propriedade anterior) e QA é a metade de PQ.
OB' OA
, teremos que
Usando os dados fornecidos na relação
QS QA
OB' OA
OB'
OA'

2) , mas como OB’ = OA’, segue que
2) .
1
)
OA
OA
2
Daí, podemos afirmar que
VI) Se X é o ponto médio de intersecção de duas diagonais PR e QS, então:
SX
PX
B' X
),
) e
).
XT
XQ
XR
Teremos que provar a veracidade das três razões.
Primeira razão:
SX
XQ
)
É fato que SR = SX = 1, pois o triângulo SRX é isósceles.
24
)
)
Figura 25: Propriedade VI (a) 25
Observe na figura 25 e note que os triângulos PRQ e QSR, e também PXQ e SXR são
congruentes, daí, PR = QS e PX = SX.
)
)
Figura 26: Propriedade VI (b) 26
25
26
Além disso, na figura 26, os triângulos PSQ e XPQ são semelhantes, então:
QS
PX
PQ
)

XQ
PX
1
PX

XQ
XQ
Como PX = XS, temos que
)
SX
XQ
).
).
)
Figura 27: Propriedade VI (c) 27
Segunda razão:
PX
XR
)
Agora, considerando os triângulos PRQ e QRX da figura 27, vemos que eles são
semelhantes.
Portanto,
PQ
XR
PR
.
QR
Mas, PX = PQ.
Daí,
27
PX
XR
)
1
).
Terceira razão:
B' X
XT
)
Observe que os triângulos PTB’ e QXB’, na figura 28, são semelhantes.
)
)
Figura 28: Propriedade VI (d) 28
Então,
B' X
B' Q
XT
B' X

QP
XT
B' Q
.
QP
Dado que B' Q ) e PQ = 1, teremos que:
B' X
XT
B' Q
QP
Portanto,
B' X
XT
)
1
)
)
VII) Se SQ prolongado encontra A’B’ em V, então, uma vez que VS é paralelo a A’D’,
B'V B' Q B' X B' S
).
VA' QP
XT
SD'
28
Os triângulos A’B’P e VB’Q, na figura 29, são isósceles. Portanto, A' B' PB' ) 1 e
VB' QB' ) .
A' B' PB' A' P
.
Estes são triângulos áureos, daí,
VB' QB' VQ
)
)
Figura 29: Propriedade VII (a) 29
A' B' ) 1 ) 2
PB' A' P
) e implica que
)
QB' VQ
VB'
)
)
Sendo A' B ' A'V VB ' ) 1 e VB ' ) , temos que A'V 1 .
B'V )
Podemos concluir que
).
VA' 1
Segue que
Sabemos que B' Q ) e QP = 1.
B' Q )
Logo,
).
QP 1
Os triângulos B’VQ e XPT, na figura 30, são triângulos semelhantes.
29
)
)
Figura 30: Propriedade VII (b) 30
Usando a relação de semelhança
concluímos que:
B' X )
XT
1
B' X
XT
VX
e os dados PT = 1 e VX
PT
).
Os triângulos TSD’ e VB’S, da figura 31, são semelhantes.
Portanto,
30
B' S
SD'
B'V
e como B'V
ST
) e ST = 1, temos que
B' S
SD'
)
1
).
),
)
)
Figura 31: Propriedade VII (c) 31
Portanto, provamos que
B'V
VA'
B' Q
QP
B' X
XT
B' S
SD'
).
VIII) Os comprimentos dos seis segmentos, B’D’, B’S, B’R, RS, RX e XZ, estão em
progressão geométrica.
B' D' ) 3
B' R )
RX ) 1
B' S
)2
RS 1
XZ
Observe na figura 32 que B' D'
31
) 2
B' R RS SD' .
)
)
Figura 32: Propriedade VIII (a) 32
Substituindo os valores que temos para B’R, RS e SD’, encontraremos o valor para
B’D’, então:
B' D'
B' R RS SD'
B' D' ) 1 )
B' D'
B' D'
)2 )
).)
) () 1)
2
B' D' ) 3
Para B’S temos que B ' S
B ' S B ' R RS
BR RS , então:
B ' S ) 1
B' S ) 2
Para B’R temos que B' R ) , pois B’R é congruente a A’P e no pentagrama foi dado
que A' P ) .
Sabemos que PT = 1 (dado no pentagrama) e que RS é congruente a PT.
Portanto, RS = 1.
32
)
)
Figura 33: Propriedade VIII (b) 33
Temos que os triângulos QRX e A’RP, na figura 33, são semelhantes. Daí, podemos
QR RX
. Note que A’RP é um triângulo isósceles, então A' P RP ) ,
afirmar que
A' R RP
QR = 1, A' R ) 1 ) 2 .
Substituindo estes dados na razão de semelhança temos:
QR RX
1
1
RX
)
2
RX
) 1
2
A' R RP
)
)
)
)
1
Portanto, RX )
33
)
)
Figura 34: Propriedade VIII (c) 34
Os triângulos RXZ e RPT, na figura 34, são semelhantes, logo
RX XZ
. São dados
RP PT
) 1
) 2 .
)
RX XZ
) 1 XZ
os valores para RX, PT e RP, assim,

XZ
1
RP PT
)
Portanto, XZ ) 2
B' D' ) 3
B' R )
RX ) 1
Concluímos que:
.
B' S ) 2
RS 1
XZ ) 2
De acordo com o que mostramos, a seqüência formada pelas medidas dos segmentos
B’D’, B’S, B’R, RS, RX e XZ, () 3 , ) 2 , ), 1, ) 1 , ) 2 ) , está em progressão geométrica de
razão q ) 1 .
IX) O comprimento de um lado do pentágono A’B’C’D’E’ é ) 2
De fato, temos que no triângulo A’B’P, A’B’ é o lado de pentágono A’B’C’D’E’, e
A' B' A' P
.
mais, sabemos que A’B’P é semelhante ao triângulo PA’Q, daí,
PA' PQ
34
)
)
Figura 35: Propriedade IX 35
As medidas dadas são A' P ) e PQ = 1.
A' B' A' P
A' B' )
Daí,

A' B ' ) 2
PA' PQ
)
1
Como A' B ' ) 2 e A’B’ é um dos lados do pentágono, podemos afirmar que o
comprimento do lado do pentágono A’B’C’D’E’ é igual a ) 2 .
X)
R
r
)2 .
No pentagrama abaixo, os triângulos A’SD’ e E’TO são semelhantes.
35
)
)
Figura 36: Propriedade X 36
Daí,
A' D'
E'O
Portanto,
SD'
. Já sabemos que A' D' 2) 1 ) 3 , SD' ) , E’O = R e TO = r.
TO
A' D'
E'O
SD'
)3

TO
R
R
)

r
r
)3
)
)2 .
OH
2
OA
Dobrando-se o triângulo A’PQ na linha PQ e dando-se tratamento similar aos outros
triângulos correspondentes de modo que A’,B’,C’,D’ e E’ encontrem-se em H, obtém-se uma
pirâmide de altura OH (figura 37).
XI)
Figura 37: Pentagrama dobrado 37
36
Planificando a pirâmide teremos o pentagrama, figura 38.
Figura 38: Propriedade XI 38
Usaremos as seguintes propriedades que foram mostradas anteriormente.
OA )
r
2
OA'
)2
r
OA'
2)
OA
Observe que a medida AH da pirâmide é igual a AA’ no pentagrama, e que OA’ = R.
Considerando as propriedades anteriores e o pentagrama na figura 38, temos que:
OA AA' OA' OA AA' R AA' R OA .
Dividindo a equação por OA e fazendo as substituições necessárias temos que:
AA' R OA
AA' R
AA'

1
2) 1 .
OA OA OA
OA OA
OA
Na pirâmide (figura 37) temos o triângulo retângulo AHO. Aplicando o Teorema de
Pitágoras, segue que AH 2 OH 2 OA2 . Dividindo a equação por OA2 teremos:
AH 2
OA2
OH 2 OA2
AH 2

OA2 OA2
OA2
A razão
37
38
OH 2
OH 2
1

OA2
OA2
AH 2
§ OH ·
1 ¨
¸
2
OA
© OA ¹
2
2
§ AH ·
¨
¸ 1.
© OA ¹
OH
AH
é o que procuramos e
foi calculado acima, daí:
OA
OA
§ OH ·
¨
¸
© OA ¹
§ OH ·
¨
¸
© OA ¹
§ OH ·
¨
¸
© OA ¹
2
2
§ AH ·
§ OH ·
¨
¸ 1 ¨
¸
© OA ¹
© OA ¹
2
§ OH ·
4) 2 4) ¨
¸
© OA ¹
2
Portanto,
XII –
OH
r
4
OH
OA
OH
OA
2.
2
2
2) 1 1 §¨ OH ·¸
© OA ¹
§ OH ·
4() 1) 4) ¨
¸
© OA ¹
2.
)
Considerando que
OH
OA
2 , teremos que OH = 2. OA.
)
2
r)
.
Daí, temos que 2OA r) OA
2
Substituindo AO na expressão OH = 2 OA, teremos:
Pela 2ª propriedade, vimos que
r)
OH
2
OA
r
r)
OH
r
).
Desta maneira provamos que
OH
r
).
OH
2
2
2
4) 2 4) 1 1
2
4) 4 4)
CAPÍTULO V
RETÂNGULO ÁUREO OU RETÂNGULO DE OURO
Chama-se retângulo áureo qualquer retângulo com a seguinte propriedade: “Se de um
retângulo ABCD, suprimirmos um quadrado, como ABEF, o retângulo restante, CDEF, será
semelhante ao retângulo original.”
Considere um retângulo áureo ABCD, de lado AB = a e AD = a + b
Retirando o quadrado ABEF, como mostra a figura, teremos um outro retângulo
EFCD.
a
b
a
Figura 39: Retângulo Áureo 39
O retângulo que sobra, EFCD, é semelhante ao retângulo ABCD. Então, vale a
AD EF
proporção:
. Substituindo os valores de AB e AD, ED e EF, teremos:
AB ED
AD EF
ab a

. Daí, a 2 ab b 2 a 2 ab b 2 0 .
AB ED
a
b
a b a b)
).
A solução desta equação em a é exatamente o número b) . Daí,
a
b
b
Isto significa que o retângulo de lados a + b e a é áureo, e o retângulo de lados a e b também
é um retângulo áureo.
Evidentemente o mesmo raciocínio se aplica para mostrar que também são áureos os
retângulos de lados b e a – b, a – b e 2b – a, etc., como mostra na figura 40, a seguir.
a
b
a
2b – a
a–b
Figura 40: Retângulo Áureo 40
39
40
Em outras palavras, dados os números positivos a e b, satisfazendo a relação
ab a
, formaremos a seqüência a + b, a, b, a2, a3, ..., sendo a 2 a b e
a
b
a3 b a2 2b a , em geral an = an – 2 – an – 1.
Trata da seqüência a + b, a, b, a – b, 2b – a, 2a – 3b, 5b – 3a, 5a – 8b, 13b – 8a,....
Pois bem, o raciocínio anterior estabelece que quaisquer dois elementos consecutivos
desta seqüência, são os lados de um retângulo áureo.
Portanto, o processo anterior de retirar quadrados de retângulos áureos conduz a uma
seqüência infinita de retângulos áureos, com dimensões cada vez menores.
a
a
2
Figura 41: Construção do Retângulo Áureo 41
Constrói-se primeiramente AE = AB= a e em E trace EF perpendicular a AD. Marque
o ponto G, ponto médio do segmento AE e traçe o arco FD onde D está na reta AE e E é
interno ao segmento AD. Como FG é a hipotenusa do triangulo EFG temos que
FG
2
§a·
a ¨ ¸
©2¹
2
Daí, AD
2
FG 2
5a 2
FG
4
AG GD
a a 5
2
2
a 5
.
2
a(1 5 )
2
a) .
AD a)
) , logo, o retângulo é áureo.
AB
a
Uma maneira mais simplificada de se construir o retângulo áureo a partir de um
quadrado, é dada pela construção abaixo:
Consideraremos inicialmente um quadrado ABCD. Marque os pontos médios E e F
dos lados AB e CD, respectivamente, e uma estes pontos. Trace a diagonal FB do retângulo
EBDF
Prolongando o lado CD e utilizando um compasso, trace um arco de raio FB e centro
em F. Chame de G o ponto de encontro do arco com o segmento prolongado.
Complete o retângulo BDGH e una ao quadrado ABCD gerando o retângulo AHGC.
Este é um retângulo áureo.
Portanto,
41
Figura 42: Construção do retângulo áureo 42
Veja que se o lado AB = 1, teremros que FD
2
que FB
2
§1·
2
¨ ¸ 1 FB
©2¹
5
.
2
Como FB = FG, então FG
5
.
2
Assim, o lado CG = CF + FG, ou seja, CG
Logo,
CG
AC
1)
1
1
e pelo teorema do Pitágoras temos
2
1
5
2 2
1 5
2
).
) , o que mostra que o retângulo é áureo.
Podemos encontrar o retângulo com aproximações áureas em diversos lugares como o
Paternon construído na Acrópole de Atenas como um templo sagrado para o culto de Atenas
Paternos. Suas dimensões ajustam-se perfeitamente a um Retângulo Áureo, a altura da
fachada, do alto de seu tímpano até a parte inferior do pedestal embaixo das colunas, também
se divide numa Razão Áurea com a parte de cima das colunas (figura 43).
Figura 43: Partenon 43
42
http://www.matematicahoje.com.br/telas/mat_hoje/livro/oitava.asp?aux=B
Muitos artistas que viveram depois de Fídias usaram a proporção Áurea em seus
trabalhos. Da Vinci chamava esta de Divina Proporção e pressupõe que ele a usou em muitos
de seus trabalhos. No quadro Mona Lisa, por exemplo, acredita-se que há a proporção áurea
em várias situações.
Se construirmos um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este se aproxima de
um retângulo Áureo. Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos
para traçar uma reta horizontal e teremos novamente a proporção (figura 44).
Figura 44: Mona Lisa 44
Há a possibilidade do retângulo de ouro aparecer envolvendo a cabeça e parte do colo,
e do colo com parte do rosto, veja a figura 45.
Figura 45: Mona Lisa 45
43
Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070101.htm
45
Fonte: Cena do filme Donald no país da Matemática
44
CAPÍTULO VI
ESPIRAL LOGARÍTMICA
A espiral logarítmica e a Razão Áurea caminham de mãos dadas.
Para obter a espiral a partir de triângulo áureo, usaremos um triângulo isósceles ABC
o
com ângulos da base de 72 e ângulo do ápice de 36° que é conhecido como triangulo áureo, o
que já foi demonstrado anteriormente no pentagrama.
A partir do triângulo áureo podemos desenhar uma espiral logarítmica. Para isto,
traçaremos uma bissetriz no ângulo B da base do triângulo encontrando AC em D, sendo D o
ponto que divide AC na razão áurea, e teremos outro triângulo áureo BCD. Neste faremos o
mesmo processo, e assim formaremos um número infinito de triângulos áureos. Este processo
converge para um ponto chamado de pólo, que é o pólo de uma espiral logarítmica passando
pelos vértices destes triângulos, observe a figura 46.
Figura 46: A espiral logarítmica e os triângulos áureos 46
Além disto, neste triângulo surge uma seqüência obedecendo a Seqüência de
Fibonacci, Fn Fn1 Fn2 . Tomando HG unitário, então GF 1) , FE 1) 1 ,
ED 2) 1 , DC 3) 2 , CB 5) 3 , BA 8) 5 .
Já sabemos que o Retângulo Áureo forma outros retângulos áureos e, a partir daí,
podemos obter a espiral no retângulo áureo.
Para construir uma espiral inscrita no retângulo, iremos seguir os mesmos passos para
a construção do retângulo áureo. Tendo o retângulo dividido em infinitos outros retângulos
áureos, estaremos formando uma seqüência de quadrados dispostos em uma espiral
logarítmica, esta espiral é formada pelos arcos criados ao dividir o retângulo em outros cada
vez menores. Veja a construção abaixo (figura 47).
46
Considere o retângulo abaixo onde a razão entre a largura L e a altura H seja
justamente ) . Esse é um retângulo áureo. Rebatendo um lado de altura H, obtemos um
L
quadrado e outro retângulo áureo, este de lados L1 e H1. Pois 1 ) . Repetindo o processo
H1
no segundo retângulo áureo, obtemos outro quadrado e outro retângulo, também áureo, sendo
L2
) . Obtendo retângulos áureos cada vez menores que convergem para um ponto que
H2
chamamos de pólo da construção.
Figura 47: Construção da espiral inscrita no retângulo áureo 47
É fácil ver que esse pólo é o encontro de todas as diagonais maiores de todos os
retângulos áureos da construção. Os matemáticos deram nome a esse pólo, ele é chamado de
“olho de Deus”.
A curva que leva ao pólo aproxima-se de uma espiral logarítmica que René Descartes
chamava de “espiral equiangular”, pois traçando qualquer reta a partir do pólo ela corta a
curva sempre com o mesmo ângulo ( D ).
Dado um ponto O, a espiral equiangular é uma curva tal que a amplitude do ângulo D
formado pela tangente em qualquer dos seus pontos P com a reta OP é constante.
A espiral logarítmica é uma espiral cuja equação polar é dada por r aeT cot(D ) , onde a
é a distância da origem do referencial ao ponto inicial da espiral ( T 0 ) e D é o ângulo
constante de abertura da espiral e T é uma variável independente variando de f a f , de
modo que a curva tenha comprimento ilimitado. Para o ângulo D 90q , a curva formará uma
circunferência.
47
Fonte: http://www.fei.edu.br/~psergio/Projetos-de-Formatura-2007-1/Monografias-Projetos-I-2007-1/TCC-Fibonacci.doc
Figura 48: Espiral equiangular 48
A espiral logarítmica é conhecida também como a espiral do crescimento ou a spira
mirabilis. Esta espiral é relacionada aos números de Fibonacci, à relação dourada, e aos
retângulos dourados, e chamada às vezes de espiral dourada. Este padrão de crescimento é
chamado de “lei da natureza”. A maioria dos cornos dos animais, as garras, os caracóis, entre
outros exemplos, também são, basicamente, espirais equiangulares.
Encontramos uma aproximação da espiral logarítmica em vários outros lugares da
natureza. De girassóis, conchas do mar e redemoinhos a furacões e galáxias espirais gigantes.
Os falcões usam essa propriedade quando atacam suas presas. Acredita-se que os falcõesperegrinos, entre as aves mais rápidas da Terra, sobrevoam em forma de uma espiral
logarítmica, mantendo a visão fixa a sua presa.
Figura 49: As galáxias 49
48
49
Fonte: http://www.atractor.pt/mat/conchas/texto1.htm
Fonte: http://www.cf-sebastiao-gama.rcts.pt/formacao/2003/pd1/trabalhos/nouro/nouro/apnouro.htm
Figura 50: Os náutilus 50
Figura 51: Chifres de carneiros 51
Além desta espiral, existe a espiral retangular.
0
Na figura 51, o segmento OA é unitário, OA )
1 , AB ) 1 , BC ) 2 ,
CD ) 3 e assim sucessivamente. O ângulo entre esses segmentos é de 90º, por isto a
chamamos de espiral retangular (figura 52).
Os segmentos vão diminuindo indefinidamente até o pólo, no ponto P.
Figura 52: Espiral retangular 52
Esta espiral possui propriedades tais como:
– Todos os pontos de dobra de número par recaem sobre OB e os de número ímpar
recaem sobre AC .
O ponto de dobra é o ponto onde a espiral faz um ângulo de 90º.
50
Fonte: http://blog.hiro.art.br/index.php?paged=2&s=avra
Fonte: http://cienciahoje.uol.com.br/controlPanel/materia/view/2573
52
51
O primeiro ponto de dobra é no ponto A, o segundo no ponto B, o terceiro no ponto C,
o quarto no ponto D, e assim sucessivamente.
De acordo com a figura 52, o primeiro ponto de dobra, A, está sobre AC , o segundo
ponto, B, recai sobre OB , o terceiro ponto de dobra, C, recai sobre AC , o quarto ponto de
dobra, D, recai sobre OB .
Portanto, se o número do ponto de dobra for par, recai sobre OB e se o número for
ímpar recai sobre AC .
– OB e AC são mutuamente perpendiculares.
Destaque os triângulos retângulos OAB e ABC na figura 52. Estes triângulos são
AO AB § 1 ) 1 ·
¸ . Daí, como BC A AB , temos que
, ¨
semelhantes, pois são retângulos e
AB BC ¨© ) ) 2 ¸¹
OB A AC .
– o pólo da espiral é a intersecção de OB e AC .
Os pontos de dobra estão sobre OB e AC e estes pontos tendem ao ponto P, o qual é
a intersecção de OB e AC , daí podemos dizer que P é o pólo da espiral.
– cada novo segmento da espiral completa um triângulo cujos outros dois lados são
segmentos de OB e AC . Esses triângulos são todos semelhantes, sendo cada um deles a
metade do retângulo áureo.
Os triângulos formados são retos e para cada triângulo a razão entre os seus catetos é
igual a ) -1. Portanto, os triângulos são semelhantes.
Se prolongar BC e subir uma perpendicular à OA , formaremos um retângulo áureo e
OB é a diagonal deste retângulo. Então, o triângulo OAB é a metade do retângulo áureo. O
mesmo acontece para os demais triângulos.
– O comprimento da espiral de A a P, na escala OA =1, é ) .
O comprimento da espiral de A a P é igual a ) -1 + ) -2 + ) -3 + ) -4 + ) -5 + ... = ) ,
e esta é a propriedade “A soma de todas as potências com expoentes inteiros negativos e base
igual a ) produz o próprio ) ”, mostrada na página 4.
– A razão de OP por BP é igual ) 2.
De fato, os triângulos OAP e BCP são semelhantes, então,
Dado que OA 1 e BC
) 2 , teremos
OP
PB
1
) 2
OP
PB
OA
.
BC
)2 .
Interessante perceber que a espiral retangular se encaixa na espiral logarítmica,
conforme a figura seguinte.
Figura 53: Espirais logarítmica e retangular 53
Jacob Bernoulli (1654-1705) chamou a esta curva admirada por ele, de Spira Mirabilis
(Espiral Maravilhosa). Ele até pediu que a sua forma e o lema que atribuiu a ela “Eadem
mutato resurgo” (embora mudado, ressurjo o mesmo), fossem gravados em seu túmulo. 54
O lema descreve uma propriedade fundamental exclusiva da espiral logarítmica, ou
seja, ela não altera seu formato à medida que seu tamanho aumenta. Esta característica é
conhecida como auto-similaridade.
53
54
CAPÍTULO VII
A NATUREZA E O NÚMERO DE OURO
Já observou como estão dispostas as folhas de algumas plantas ou até mesmo a
distribuição das pétalas de rosas?
A fitolaxia é um termo da botânica que inclui a disposição da folhas nos ramos das
plantas. O meristema apical é responsável pelo crescimento da planta e como estão no ápice e
se reproduzem por divisão, dão origem a novas células que formam os tecidos que por sua vez
fazem as plantas crescerem. Um meristema pode dar origem a um galho, a um ramo ou a uma
flor. Um galho dará origem a diversos outros galhos e ramos. Um ramo dará origem a
diversas folhas. E uma flor dará origem a diversas pétalas cercando uma porção circular onde
se distribuem as sementes.
Considere um ramo de uma planta qualquer que cresça verticalmente e que deste ramo
tenha brotado uma folha, como o da figura abaixo.
Figura 54: Disposição das folhas de um ramo55
O ramo continuará a crescer verticalmente e, acima da única folha, brotarão outras.
Mas, para que estas folhas brotem e não prejudiquem as outras, estas não podem nascer de
maneira regular, já que os arranjos, regulares e simétricos não são os ideais, pois
prejudicariam todo o crescimento da planta ao receber luz e água, fazendo sombra e
impedindo que a folha abaixo receba a água.
Para que o crescimento da planta não fique prejudicado há a divergência das folhas, ou
seja, a separação angular das bases de duas folhas sucessivas no talo, medida através de uma
espiral traçada da raiz da planta para o ponto de crescimento.
Em 1993 dois matemáticos franceses, Douady e Couder, demonstraram
matematicamente que este ângulo é 222º 29’ 34’’.
55
Fonte: http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=209835
Figura 55: Ângulo formado entre as folhas do ramo 56
Cada nova folha é gerada pelo meristema fazendo um ângulo de 222º 29’ 34’’ com a
que fica abaixo. Mantendo sempre este ângulo com a folha que a antecede, o ramo que cresce
na vertical conseguirá fazer com que suas folhas capturem cada raio de sol e cada gota de
chuva. O ramo, após o nascimento da sexta folha, ficaria com o aspecto mostrado
esquematicamente, na figura abaixo e um exemplo é o girassol:
Figura 56: Disposição da folhas 57
Figura 57: Girassol 58
Se considerarmos p o número de voltas da espiral e q sendo o número de bases de
p
folhas pelas quais a espiral passou, excluindo a primeira, então
é uma fração característica
q
da planta, ou seja, a divergência das folhas. O numerador e denominador desta fração tendem
1 1 2 3 5 8
a ser números da seqüência de Fibonacci, , , , , , ,... e assim sucessivamente.
2 3 5 8 13 21
Várias plantas podem ser dispostas com este tipo de crescimento como as gramíneas
1
1
comuns que tem a fração igual a , as ciperáceas sendo , as frutíferas como as macieiras
2
3
2
3
5
que tem a fração igual a , tanchagens igual a , liliáceas com
.
5
8
13
56
58
Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#quote
57
Figura 58: Liliáceas 59
De modo geral, podemos dizer que em muitas plantas os ramos e galhos crescem em
quantidades baseadas nos números da sucessão de Fibonacci. Esquematizando, teremos a
representação da seqüência de Fibonacci na figura abaixo:
Figura 59: A distribuição dos ramos e a Seqüência de Fibonacci 60
Estes números não ficam restritos só na disposição das folhas e galhos, aparecem
também no número de pétalas de certas flores como nos seguintes exemplos:
59
60
61
62
Figura 60: Íris com 3 pétalas 61
Figura 61: Jasmim Manga com 5 pétalas 62
Figura 62: Tasneira com 13 pétalas 63
Figura 63: Margarida com 34 pétalas 64
Fonte: http://floraisdiamantinos.blogspot.com/2007/07/alo-veramais-uma-beno-da-natureza.html
Fonte: http://www.buques.com.br/fotos_de_flores.html
Fonte: http://fotola.com/berylium/sidbond/document-sidbond41448ed857f0a.html
O número áureo, a seqüência de Fibonacci, e a espiral logarítmica estão presentes em
toda a natureza, sejam nas plantas, nos animais e no ser humano.
Esta bela curva, espiral equiangular, estudada pelos matemáticos há centenas de anos é
representada na natureza há milhares de séculos. Tomando como exemplo a concha,
observamos que as medidas dos segmentos que unem o centro da concha aos pontos da
concha aumentam, mas as amplitudes dos ângulos formados por esses segmentos e as
tangentes à concha mantêm-se, ou seja, as conchas seguem uma espiral equiangular ou
logarítmica.
É comum encontra-la nos flósculos das margaridas (figura 64), e mais visível ainda
nos girassóis (figura 65), também na Equinácea Púrpura (figura 66), popularmente conhecida
como purpurea ou flor de cone.
Figura 64: Margarida 65
Figura 65: Girassol 66
Figura 66: Equinácea 67
As sementes destas flores têm o formato da espiral equiangular. Elas se distribuem
regularmente, aparentemente em circunferências concêntricas e seguindo certa lei de
crescimento que faz com que o arranjo fique perfeitamente regular seja qual for seu tamanho.
Esquematicamente, o aspecto é parecido com o da figura abaixo:
Figura 67: Disposição das sementes de uma flor 68
63
Fonte: http://serra-da-adica.blogspot.com/2007/09/dittrichia-viscosa.html
Fonte: http://baixaki.ig.com.br/papel-de-parede/14305-Margarida.htm
65
Fonte: ampliação da foto disponível em http://baixaki.ig.com.br/papel-de-parede/14305-Margarida.htm
66
Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
67
Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
64
Porém, se escolhermos um raio qualquer, uma linha reta que parta do centro em
direção ao extremo, veremos que não encontraremos sementes “alinhadas” sobre ela.
Observe cada etapa na figura 68, e verá que não há sementes alinhadas.
Figura 68: Etapas da distribuição das sementes 69
68
69
Cenas animação disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070402.htm
A distribuição destas sementes é feita de acordo com a espiral equiangular, também é
conhecida como “Espiral de Fibonacci”, pois o ângulo usado para dispor cada nova semente
foi justamente um arranjo baseado no ângulo de 222,492º ou seu replemento, 137,508º, o que
dá no mesmo que configura a Razão Áurea com os 360º da volta completa da circunferência.
Segue o esquema 70:
70
Cenas da animação disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070402.htm
Em torno desta espiral existem infinitas outras espirais assim formando o flósculo das
flores. Observe o esquema 71:
71
E assim sucessivamente até preencher por completo, como mostra a figura abaixo.
Figura 69: Espirais formando o flósculo 72
Este mesmo processo ocorre em diversas outras plantas, assim como nas pinhas,
disposição das pétalas das rosas, romanescos e diversos outros. Por exemplo:
72
Figura 70: Pinha 73
Figura 71: Rosas 74
Figura 72: Romanesco 75
É interessante como a espiral equiangular não está presente somente nas plantas,
aparece também no corpo humano e nos animais, de modo geral, em toda a natureza.
Exemplo disto pode ser visto na orelha de ser humano, nos caramujos, nos chifres de
carneiros, e muitos outros.
73
Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html pinha
Fonte: http://www.magiadeinumeri.it/BIOLOGIA.htm
75
Fonte: http://www.laputanlogic.com/articles/2006/04/23-0207-5337.html
74
CAPÍTULO VIII
OS SÓLIDOS REGULARES E O NÚMERO )
Figura 73: Sólidos regulares 76
Um sólido, ou poliedro (do grego “pulúedros”, ou “aquele que tem muitas faces”) é
dito “regular” quando todas as suas faces são idênticas e formadas por polígonos regulares, ou
seja, que apresentam todos os lados e todos os ângulos internos iguais. O exemplo clássico é o
cubo, ou hexaedro, com suas seis faces em forma de quadrados.
Não há muitos poliedros regulares. Para ser exato há apenas cinco: o tetraedro (com
quatro faces formadas por triângulos eqüiláteros), o hexaedro ou cubo (com seis faces
formadas por quadrados), o octaedro (com oito faces formadas por triângulos eqüiláteros), o
dodecaedro (com doze faces formadas por pentágonos regulares) e o icosaedro (com vinte
faces formadas por triângulos eqüiláteros).
Estes poliedros regulares foram estudados por Platão quatrocentos anos antes de Cristo
e por isso são conhecidos como “sólidos platônicos”. Os cinco sólidos platônicos são
mostrados na figura seguinte.
Figura 74: Sólidos Platônicos 77
Estes poliedros também são conhecidos por representarem os cincos elementos da
natureza. Platão concebia o mundo como sendo constituído por quatro elementos básicos: a
Terra, o Fogo, o Ar e a Água, (figura 75), e estabelecia uma associação mística entre estes e
os sólidos. Portanto, associava o Tetraedro ao Fogo porque, segundo Platão, o átomo do fogo
teria a forma de um poliedro com 4 lados; o Cubo à Terra porque ele acreditava e afirmava
que os átomos de terra seriam cubos, permitindo ser colocados lado a lado, dando solidez; o
Octaedro ao Ar, pois o modelo de um átomo de ar para Platão era um poliedro com 8 faces; o
Icosaedro à Água, pois Platão defendia que a água seria constituída por icosaedros e, o
Dodecaedro representaria a imagem do Universo no seu todo porque para Platão o cosmos
seria constituído por átomos com a forma de dodecaedros. Em suas palavras “ o dodecaedro é
aquele que deus usou para ornamentar as constelações de todo o céu”. E por isto Salvador
Dali, pintor catalão conhecido pelo seu trabalho surrealista, inseriu um dodecaedro na obra
“Sacramento da Última Ceia”.
76
77
Fonte: http://www.seed.slb.com/pt/scictr/watch/fullerenes2/saved.htm
Fonte: http://www.revista.unam.mx/vol.6/num7/art68/art68-2a.htm
Figura 75: Significado dos sólidos 78
Mas o que têm eles a ver com a Razão Áurea?
Podemos montar estes sólidos com retângulos áureos. Construção disponível no sítio
de Benito Piropo 79. Primeiro, montemos uma base, um “esqueleto” em torno dos quais
construiremos nossos poliedros.
A base será montada encaixando-se três retângulos Áureos idênticos, ou seja, três
retângulos cujos comprimentos dos lados mantenham a razão Áurea. Dois deles deverão ter
no centro uma fenda com comprimento igual ao lado menor e que se estende ao longo da
linha divisória paralela ao lado maior, como os retângulos que estão de amarelo e azul da
figura 76, a seguir. No terceiro, para permitir o encaixe, a fenda deve se estender até um dos
lados menores, como o retângulo em rosa da mesma figura.
Feito isto, tudo o que precisamos para ter a base tridimensional é encaixar os
retângulos como mostrado do lado direito da figura.
Figura 76: Construção da base dos poliedros 80
O primeiro sólido pode ser conseguido da seguinte forma use uma agulha para fazer
um pequeno furo junto a cada vértice dos três retângulos e, com uma linha passando pelos
furos, una cada um deles aos seus vizinhos mais próximos. Repare o resultado: sua linha se
estende em volta de toda a estrutura, formando arestas que, em conjunto, fazem exatamente
vinte triângulos eqüiláteros idênticos. Cobrindo a superfície dos triângulos com papel teremos
um icosaedro regular, um dos cinco sólidos platônicos.
78
Fonte: http://avrinc05.no.sapo.pt/index.htm
Construção disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm
80
79
Figura 77: Construção do icosaedro 81
Para obter o segundo sólido platônico com a estrutura formada com os retângulos
Áureos, basta passar em cada vértice dos retângulos Áureos um plano perpendicular á linha
que une o vértice ao centro da figura. Estes planos passam em volta da estrutura e se
interceptarão. A interseção de cada dois destes planos corresponderá a uma aresta de um
sólido tridimensional, como mostra a figura 78:
Figura 78: Construção do dodecaedro 82
Analisando a figura acima, temos que estas arestas formam faces pentagonais
regulares, o conhecido pentágono regular, onde a razão Áurea se manifesta de forma mais
intensa, com os vértices dos retângulos situados em seus centros geométricos. O sólido
resultante terá, portanto doze faces, é o dodecaedro regular (os três retângulos juntos têm doze
vértices e em cada um deles passa um plano).
Reparando as figuras 77 e78, veremos que o icosaedro se inscreve no dodecaedro, com
os doze vértices do icosaedro coincidindo com os centros geométricos de cada face do
dodecaedro (note que o icosaedro tem vinte faces e doze vértices enquanto o dodecaedro tem
doze faces e vinte vértices). Se determinarmos os pontos centrais de cada uma das vinte faces
triangulares do icosaedro e os unirmos por segmentos de reta, estes segmentos formarão as
arestas de um dodecaedro inscrito no icosaedro. E assim sucessivamente. Sólidos deste tipo
chamam-se duais, ou seja, o dodecaedro é o sólido dual do icosaedro e este é o sólido dual
daquele.
81
82
Examine a imagem da figura 79 e veja, no interior da figura, a mesma estrutura básica
montada com os três retângulos Áureos. No retângulo azul, note que ele está circundado por
quatro linhas azuis que passam por seus vértices. Elas formam um quadrado. Agora, repare os
outros dois retângulos Áureos, o amarelo e o de rosa. Tanto um quanto o outro estão
igualmente circundados por quadrados desenhados com linhas da mesma cor do retângulo e
que passam por seus vértices. Verá que o conjunto destas doze linhas coloridas (quatro
amarelas, quatro azuis e quatro rosas) constitui as arestas de um novo sólido regular de oito
faces, cada uma delas formada por um triângulo eqüilátero, este é o octaedro, figura 79 à
esquerda.
Figura 79: Construção do octaedro 83
Se reparar na figura acima, à direita, verá que no interior deste octaedro encontra-se
novamente o icosaedro, formado pela união de todos os vértices da estrutura base, com seus
vértices nos “pontos Áureos” de cada uma das arestas do octaedro.
Quanto ao cubo, podemos encontrá-lo inscrito no dodecaedro. Repare que no
dodecaedro à esquerda, na figura 80, temos oito pontos assinalados em vermelho, e tomados
dois a dois eles determinam diagonais dos pentágonos regulares que formam as faces do
icosaedro.
Sabendo que o ângulo interno de um pentágono é igual a 108º, podemos perceber que
o triângulo formado pela diagonal e pelos dois lados adjacentes que dela convergem (um
destes triângulos está destacado em verde na figura 80) é um triângulo Áureo obtusângulo e
que seus lados e a diagonal mantêm a relação Áurea.
Unindo os oito pontos vermelhos teremos o hexaedro, pois estes segmentos possuem o
mesmo comprimento e também observamos que as diagonais formam conjuntos de linhas
paralelas quatro a quatro e que formam ângulos retos.
83
Figura 80: Construindo o hexaedro 84
Daí, dentro do dodecaedro surge o hexaedro, ou cubo. Este não é um solido qualquer,
já que o lado deste, em particular, mantém a razão Áurea com a aresta do dodecaedro.
Já o tetraedro encontra-se dentro do hexaedro, figura 81. Escolha um vértice do
tetraedro e forme um triângulo com este e os outros dois da aresta oposta ao escolhido e assim
sucessivamente.
Figura 81: Tetraedro 85
Figura 82: Os sólidos reunidos 86
Podemos inscrever estes sólidos uns aos outros como a figura 82, acima.
Um sólido, porém não regular conhecido como “paralelepípedo” de Fibonacci é um
paralelepípedo de lados 1, ) e M , onde M ) 1 .
84
Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi3DGeom.html
86
Fonte: http://www.edu.xunta.es/contidos/premios/p2004/b/poliedros/poliedros.html
85
Figura 83: Paralelepípedo de Fibonacci 87
O seu volume é unitário e a área total de suas faces é 4 ) , além disso, a sua diagonal é
igual a 2.
Observe que suas dimensões e as áreas das faces deste paralelepípedo estão em
progressão geométrica, ) 1 ,1, ) e quatro de suas faces são retângulos áureos.
Para calcular o volume usamos a expressão V
A
área
total
de
suas
faces
é
1.).) 1 . Daí, V 1.) 1.) V 1 .
dada
por
S
2(1.) 1.) 1 ) 1.) ) daí,
2() ) 1 1) , como ) 1 1 ) teremos que S 2() ) ) 2(2) ) 4) .
Esse sólido pode ser inscrito em uma esfera de raio 1.
Vamos mostrar que a medida do raio é igual a 1. Temos que o valor da diagonal do
S
paralelepípedo é dada por d
a 2 b 2 c 2 , em que a, b e c são as dimensões do mesmo, ou
2
12 ) 1 ) 2 . Esta diagonal é igual ao diâmetro da esfera, logo o raio será igual
seja, d
a metade desta diagonal.
Para prosseguirmos devemos lembrar que ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 e que
)2
) 1 . Substituindo ) 1 e ) 2 na equação da diagonal do paralelepípedo teremos que:
d
12 M 2 ) 2
d
1 () 1) 2 ) 2
d
1 ) 2 2) 1 ) 2
d
2) 2 2) 2
d
2() 1) 2) 2
d
2) 2 2) 2
d
4
d
2
Portanto, a diagonal do paralelepípedo é igual a 2.
Sendo a diagonal do paralelepípedo igual ao diâmetro da esfera que é igual a 2, então
o raio é igual a 1, como queríamos demonstrar.
87
Fonte: http://www.seara.ufc.br/donafifi/fibonacci/fibonacci4.htm
A razão entre a área da superfície da esfera e a área das faces do paralelepípedo está
relacionada com a proporção áurea. A área da superfície da esfera é dada por S 4Sr 2 , sendo
r a medida do raio. Então, esta esfera tem área igual a 4S . Já sabemos que a área total do
paralelepípedo é 4 ) .
4S S
Portando, a razão entre as áreas da esfera e do paralelepípedo inscrito é
.
4) )
Isto é surpreendente, o encontro de dois números irracionais e de grande importância
na matemática.
CAPÍTULO IX
O OURO NO SER HUMANO
No corpo humano, o número de ouro aparece não só nas orelhas, como também nas
falanges dos dedos, na razão entre o tamanho do braço e a mão; a medida do ombro à ponta
do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo; a altura do crânio e a medida da mandíbula
até o alto da cabeça; a medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão; o
tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta, de acordo com a figura 85.
Figura 84: A orelha e a espiral 88
Figura 85: Segmento Áureo no corpo humano 89
Uma orelha perfeita seria aquela na qual se encaixaria em uma espiral logarítmica
como na figura 84.
Segundo Leonardo da Vinci, o corpo humano para ter beleza e harmonia deve
respeitar uma proporção, e como o número áureo representa esta beleza, então o corpo
humano deve seguir a mesma.
Para o homem ser perfeito a razão entre as usas medidas como a sua altura e a
distancia do seu umbigo ao chão deve ser aproximadamente ) .
88
89
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/seg_aureo_corpo_humano.htm
Figura 86: Proporções no corpo humano 90
Além disso, pode-se encontrar as proporções áureas também no rosto humano.
Constatou-se que o rosto humano é baseado inteiramente em ĭ. Em particular, a cabeça forma
um retângulo dourado, sendo o ponto do meio dos olhos, a seção áurea. A boca e o nariz são
posicionados em seções de ouro da distância entre os olhos e a parte inferior do queixo.
Figura 87: Proporção áurea no rosto 91
Muitos estudos demonstram que a regra de ouro está presente na harmonia do sorriso e
da dentição. O compasso da Proporção Áurea e seus blocos de esquemas pré-impressos
permitem descobrir em apenas alguns segundos o objetivo ideal teórico em relação a uma
situação real na boca. Informações interessantíssimas e muito úteis para a reconstrução
estética, prótese total, posicionamento-inclinação-eixo dos dentes, gengivectomia, e outros.
90
91
Fonte: http://www.magiadeinumeri.it/BIOLOGIA.htm
Figura 88: Proporção áurea nos dentes 92
Os dentes vistos frontalmente, como a figura 88 acima, estão na proporção áurea um
em relação ao outro. Por exemplo, a largura do incisivo central está proporcional à largura do
incisivo lateral, assim como o incisivo lateral está proporcional ao canino, e o canino ao
primeiro pré-molar. O segmento “incisivo central até o primeiro pré-molar” se encontra na
proporção áurea em relação ao canto da boca. A altura do incisivo central está na proporção
áurea em relação à largura dos dois dentes centrais (retângulo de ouro).
Na face relaxada, veja a figura a 89, a linha dos lábios divide o terço inferior da face
nos segmentos da proporção áurea da ponta do nariz à linha dos lábios e da linha dos lábios
até o queixo.
Figura 89: Divisão áurea do queixo ao nariz 93
As “Marcas da Seção Áurea”, impressas em papel no sortimento de blocos fornecidos
no estojo, (figura 90), são muito úteis para registros da boca e para trabalhos sobre modelos.
Figura 90: Modelo com marcas da seção áurea 94
A Smile Line, uma empresa especializada em produtos odontológicos, redesenhou um
utensílio inicialmente concebido pelo Dr. Eddy Levin, cirurgião dentista londrino, o “Golden
Section Divider”, que permite assimilar e compreender “fisicamente” o conceito da seção
áurea.
92
93
94
Fonte: http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm
Se o instrumento tiver estreita ou largamente aberto, o compasso “Proporção Áurea”
indica sempre dois segmentos, respeitando a “Regra de Ouro”. Fabricado em aço inoxidável
da mais alta qualidade e cuidadosamente montado, o compasso “Proporção Áurea” é uma
pequena maravilha em mecanismo de precisão.
Figura 91: Compasso áureo 95
Há estudos com pacientes totalmente edentados, feitos por Ana Cristina Perasso, que
necessitam de uma reabilitação protética que preencha os requisitos básicos. Uma solução
para isto foi o uso da proporção áurea contida no rosto juntamente com este compasso, na
confecção de próteses. Em sua dissertação de mestrado, “Análise da produção áurea na face
dos pacientes edentados visando a dimensão vertical de oclusão” oferece melhores detalhes.
Figura 92: exemplo do uso do compasso áureo na odontologia 96
Este compasso não é usado somente na odontologia (exemplo na figura 92). Com ele
podemos medir qualquer objeto a fim de verificar se este está ou não na extrema e média
razão, como nos exemplos da figura 93.
95
96
Fonte: http://www.mlahanas.de/Greeks/GoldenSection.htm
Figura 93: Exemplos para o uso do compasso áureo 97
97
CAPÍTULO X
A ARTE E O NÚMERO DE OURO
O Renascimento produziu uma importante mudança de direção na história da Razão
Áurea e a partir de então, esse conceito deixou de ficar restrito à matemática, e passou a ser
encontrado nos fenômenos naturais, na arquitetura e nas artes.
Muitas das afirmações relativas ao emprego da Razão Áurea na pintura estão
diretamente relacionadas às propriedades estéticas do retângulo áureo.
Leonardo da Vinci nasceu em 15 de Abril de 1452, na pequena cidade de Vinci, perto
de Florença, centro intelectual e científico da Itália. O seu talento artístico cedo se revelou,
mostrando excepcional habilidade na geometria, na música e na expressão artística.
Reconhecendo suas habilidades, o seu pai, Ser Piero da Vinci, mostrou os desenhos do
filho a Andrea del Verrocchio. O grande mestre da renascença ficou encantado com o talento
de Leonardo e tornou-o seu aprendiz. Em 1472, com apenas vinte anos, Leonardo associa-se
ao núcleo de pintores de Florença.
Figura 94: Leonardo da Vinci 98
Não se sabe muito acerca da educação e formação do artista, no entanto, muitos
autores afirmam que o seu conhecimento não provém de fontes tradicionais, mas sim da
observação pessoal e da aplicação prática das suas idéias. Pintor, escultor, arquiteto e
engenheiro, Leonardo da Vinci foi o talento mais versátil da Itália do Renascimento. Os seus
desenhos, combinando uma precisão científica com um grande poder imaginativo, refletem a
enorme vastidão dos seus interesses, que iam desde a biologia, à fisiologia, à hidráulica, à
aeronáutica e à matemática.
Durante o apogeu do renascimento, Da Vinci, enquanto anatomista, preocupou-se com
os sistemas internos do corpo humano, e enquanto artista interessou-se pelos detalhes
externos da forma humana, estudando exaustivamente as suas proporções.
O segundo livro de “A Proporção Divina”, é um tratado sobre proporções e suas
aplicações na arquitetura e na estrutura do corpo humano. A seguinte imagem, (figura 95),
“Homem Vitruviano” resulta destes seus interesses e esta foi usada por Luca Pacioli na
ilustração do seu livro “De Divina Proportione”.
98
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo.htm
Figura 95: O Homem Vitruviano 99
Segundo o arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio, no corpo humano, o ponto
central naturalmente é o umbigo, porque se um homem for colocado deitado de costas, com as
mãos e os pés estendidos e um compasso for centrado no seu umbigo, os dedos de suas mãos
e de seus pés irão tocar a circunferência do círculo descrito a partir desse ponto, e assim como
o corpo humano produz um contorno circular, uma figura quadrada também pode ser
encontrada a partir dele, pois se medirmos a distância das solas dos pés até o topo da cabeça e
depois aplicarmos essa medida aos braços esticados, veremos que a largura será a mesma que
a altura, como no caso de superfícies planas que são perfeitamente quadradas.
Os pensadores renascentistas consideraram esta passagem como “mais uma
demonstração da ligação entre a base orgânica e a geométrica da beleza”, e isto levou ao
conceito do “homem vitruviano”. A imagem “O Homem Vitruviano” pintada por Leonardo da
Vinci representa o corpo humano inserido na forma ideal do círculo e nas perfeitas proporções
do quadrado, ou seja, possui proporção e simetria aplicadas à concepção da beleza humana.
As proporções áureas aparecem entre: a medida da cintura até a cabeça e o tamanho do
tórax; a altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão, além de várias outras
proporções.
Os pintores do Renascimento, e em particular Da Vinci, recorreram a conceitos de
geometria projetiva para criar os seus quadros com um aspecto tridimensional. A obra prima
“A Última Ceia” é um bom exemplo disso.
99
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci
Figura 96: “A Última Ceia” 1495-1498 100
O ponto de fuga está colocado no olho direito de Cristo, onde ele domina o primeiro
plano. Os seus próprios braços, ao longo das linhas da pirâmide visual, reforçam a
perspectiva.
A Última Ceia foi pintada entre os anos de 1495 e 1498, por encomenda do Duque
Ludovico Sforza para ornar uma das paredes do refeitório do Convento de Santa Maria das
Graças em Milão, Itália, e representa a cena narrada na Bíblia em que Jesus Cristo comunica
aos apóstolos que será traído por um deles.
Esta é considerada uma das pinturas mais valiosas do mundo. Como foi pintada sobre
a parede de um convento, jamais “pertenceu” a qualquer pessoa e seu preço não pode ser
avaliado.
Agora, repare na figura e na linha verde que a divide exatamente na proporção Áurea.
Note como ela passa justamente entre o tampo da mesa e os apóstolos e a postura de Cristo,
com os braços abertos, se inscreve quase exatamente em um triângulo Áureo obtusângulo.
Figura 97: As proporções áureas no quadro “A Última Ceia” 101
Da Vinci a serviço de Ludovico Sforza, desenvolveu vários projetos de engenharia
militar, realizou estudos hidráulicos sobre os canais da cidade, dedicou-se ao estudo da
anatomia, física, botânica, geologia e matemática. Nesse período, pintou algumas de suas
obras-primas como a primeira versão da “Virgem dos rochedos” (1483) e a “Última ceia”
(1495-1497).
A Virgem dos Rochedos, conhecida também como A Madona das Rochas, é
considerada uma das mais importantes obras do pintor. Ela é uma das primeiras telas que dá a
impressão de ter três dimensões, além de não haver traços nítidos separando as figuras do
desenho e possuir fundos misteriosos e enigmáticos.
Esta obra possui duas versões, uma no Louvre, em Paris e a outra na National Gallery,
em Londres. Estima-se que a versão do Louvre seja um dos primeiros trabalhos que Leonardo
produziu em Milão por volta de 1483 e 1486 e supõe-se que a pintura da National Gallery foi
concluída por volta de 1506.
Especialistas que estudam estas pinturas concluíram que a versão de Louvre foi feita
inteiramente pela mão de Leonardo, enquanto a versão da National Gallery pode ter sido um
“esforço conjunto” que ainda está sendo estudada.
A veracidade da data e a autenticidade das duas versões da “Virgem dos Rochedos”
causam polêmicas nas afirmações acerca da presença da Razão Áurea na pintura. Estas datas
100
101
revelam se Da Vinci já tinha ou não o conhecimento do número áureo ao realizar esta obra.
Pois, a razão entre a altura e largura da pintura que supõe ter sido pintada primeiro é cerca de
1,64, e a da segunda pintura é de 1,58, ambas estão com estas razões próximas de ) .
Leonardo Da Vinci encontrou Pacioli pela primeira vez em 1496, na Corte de Milão.
Luca Bartolomeo de Pacioli foi um monge franciscano e célebre matemático italiano e em
1470 escreveu a sua primeira obra de matemática na área de álgebra. O livro “Summa” tornou
Pacioli famoso, sendo convidado em 1497 para ensinar matemática na corte de Ludovico em
Milão. Um dos seus alunos e amigo foi Leonardo da Vinci. Em 1509 escreveu a sua segunda
obra mais importante, “De Divina Proportioni”, ilustrada por da Vinci, que tratava sobre
proporções artísticas. Só então, Leonardo foi apresentado à “divina proporção”. Isto indica
que Da Vinci teve conhecimento do número de ouro após dez anos da primeira versão de
“Virgem dos Rochedos” ter sido concluída
Portanto, a proporção do quadro tende a mostrar que esta é a perfeita harmonia em
suas dimensões, antes mesmo do grande pintor conhecê-la.
Figura 98: “Virgem dos Rochedos” 102
Por volta de 1504, começou a pintar um dos quadros mais famosos do mundo, “Mona
Lisa”, uma de suas obras na qual a arte da pintura atinge um de seus grandes momentos.
Provavelmente, o retrato de Madona Lisa Gherardini, mulher do rico cidadão de Veneza
Francesco del Giocondo que o encomendou ao pintor. Daí, o quadro também ser chamado “A
Gioconda”. Supõe-se que Leonardo tenha de fato começado a pintura como um retrato da
mulher do nobre, mas que depois a tenha tornado na imagem da idéia da beleza perfeita.
Leonardo Da Vinci sentia-se interessado pela matemática e usou inúmeros e conceitos
matemáticos em diversas invenções, em projetos de arquitetura e na pintura. A Mona Lisa é
um exemplo, com diversos retângulos áureos.
Podemos explorar esta proporção em várias outras partes do corpo. As próprias
dimensões do quadro formam um retângulo áureo.
102
Figura 99: Mona Lisa, 1505 103
No quadro Mona Lisa pode-se observar a proporção áurea em várias situações.
Note, na imagem abaixo, que se construirmos um retângulo em torno de seu rosto,
veremos que este é um retângulo de ouro e também entre os elementos do rosto os retângulos
Áureos enquadram a face e a testa, o lado direito da face com a linha que passa pelo nariz e o
olho e a posição da pupila. Note também o retângulo envolvendo todo o corpo, sendo dividido
na razão extrema e média separando o tronco e a cabeça.
Além disso, podemos traçar triângulos áureos por todo o quadro.
Figura 100: As proporções no quadro da Mona Lisa 104
Veja como tudo isto agrega uma sensação geral de harmonia e equilíbrio à pintura.
Mas, sobretudo, olhe novamente para a face da Gioconda, agora não mais pensando em
apreciar a pintura, mas sim a mulher. Ela parece mais uma mulher sem atributos físicos
103
104
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo2.htm
Fonte: www.fenkefeng.org/essaysm18004.html
extraordinários, uma mulher “comum”. Então, como explicar que este seja o retrato mais
famoso do mundo? Isto se dá a não ser pelo equilíbrio de suas linhas, pela genialidade do
pintor e por sua capacidade de exprimir emoções sobre uma tela, que na verdade, foi pintada
sobre madeira.
Outro exemplo da utilização de conceitos matemáticos por Leonardo da Vinci, é no
quadro: “A Anunciação”.
Figura 101: “ A Anunciação” 105
A tela, uma das primeiras pinturas conhecidas de Leonardo, foi produzida entre os
anos de 1472 e 1475. A “A Anunciação” representa a cena do Arcanjo Gabriel anunciando à
Virgem Maria que ela conceberia Jesus Cristo.
Decompondo a figura num quadrado e num retângulo, os resultados obtidos se
aproximam das proporções áureas. Curiosamente, esta divisão permite que o retângulo de
ouro enquadre as partes mais importantes da figura: o anjo e a jovem, se o quadrado for
construído no lado direito ou no lado esquerdo, respectivamente.
Figura:102: As proporções no quadro “A anunciação” 106
Repare nas quatro linhas traçadas em vermelho, azul, amarelo e verde, da figura 102.
Cada uma delas divide a tela exatamente nas proporções de ouro e todas tocam pontos da
figura que sobressaem por sua importância.
105
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http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo2.htm
A linha amarela passa exatamente sobre o muro que separa o jardim, em primeiro
plano, das árvores ao fundo. A verde passa sobre o tampo da pequena mesa de mármore em
frente à Virgem, que reproduz a tumba de Piero e Giovanni de Medici na Basílica de San
Lorenzo em Florença, Itália. Já as linhas verticais dividem a cena em duas partes que
destacam, respectivamente, o Arcanjo e a Virgem. Além disso, passam por linhas igualmente
salientes: o eixo de uma das árvores em segundo plano, junto ao Arcanjo, e a aresta da parede
por detrás da Virgem.
Sabendo-se do interesse que Leonardo tinha pela matemática e como a desfrutava com
o conceito da Razão Áurea, dificilmente isto pode ser considerado ao acaso. Porém, o quadro
possui uma “distribuição de massas”, ou seja, as posições relativas das principais figuras da
cena e sua localização em relação ao todo, passam uma sensação de harmonia e equilíbrio.
O número de ouro, ) , também se encontra num trabalho inacabado de Da Vinci, São
Jerônimo, pintado por volta de 1483, que atualmente se encontra no museu do Vaticano.
Figura 103: São Jerônimo 107
A pintura de São Jerônimo é de 1483, muito antes da ida de Pacioli para Milão. Desde
então, diziam que um retângulo áureo se encaixa em volta da pintura quando sobreposto ao
desenho.
Outra obra de Da Vinci é “uma cabeça de ancião”, um esboço feito à lápis por volta de
1490. Esta representa o interesse que Leonardo tinha pela proporção áurea e tudo indica que
ele tenha usado estas proporções nesta obra. O retângulo no meio, à esquerda, por exemplo, é
aproximadamente um retângulo de ouro.
No desenho feito por Da Vinci representando um velho, provavelmente um autoretrato, o artista sobrepôs ao esboço um quadrado dividido em retângulos que se aproximam
do retângulo áureo.
107
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo2.htm
Figura 104: “Uma cabeça de ancião” 108
Usando ou não a razão áurea, podemos ver que Leonardo Da Vinci devido ao seu
grande talento e o seu interesse pela matemática, pintou as suas obra de modo que
transmitissem a beleza e a harmonia.
Mas, não foi somente Da Vinci que usou a beleza por si só para representar a
perfeição.
Alessandro di Mariano Filipepi, mais conhecido como Sandro Botticelli (1445 –
1510), foi um pintor italiano da Escola Florentina. Sua vida foi narrada na obra Vite
(traduzida como "As Vidas dos Artistas"), de Giorgio Vasari. Nascido em Florença, foi
aprendiz de Andrea del Verrocchio entre 1467 e 1470, mesma época que Leonardo da Vinci.
Em 1470, abriu seu próprio estúdio independente.
Em “O Nascimento de Vênus”, Boticelli pinta Vênus sobre uma concha, emergindo da
espuma do mar, simbolizando, assim, o nascimento da beleza através do nu feminino. O
desenho delicado e rítmico, e o refinado emprego da cor, característicos em Boticelli,
alcançam desta forma, a perfeita expressão. Acredita-se que a proporção áurea foi usada na
obra “O Nascimento de Vênus”, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção
áurea.
Figura 105: “O Nascimento de Vênus” 109
O uso da proporção Áurea não fica restrito à pintura clássica. Também podemos
encontrá-la em “O Sacramento da Ultima Ceia”, do catalão Salvador Felipe Jacinto Dali
Domènech.
Salvador Felipe Jacinto Dali Domènech, Marquês de Pubol, um dos mais importantes
pintores contemporâneos (faleceu em 1989), mestre do surrealismo, é mais conhecido como
Salvador Dali. Sua obra “O Sacramento da Última Ceia” mostrada na figura abaixo não é a
108
109
Fonte: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/810/81000304.pdf
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/O_Nascimento_de_V%C3%AAnus
mais conhecida, mas é o mais ilustrativo exemplo do uso da proporção Áurea e de símbolos
correlatos nas artes plásticas.
Figura 106: “O Sacramento da Última Ceia” 110
Repare nas linhas verde, branca e amarela que cortam o quadro, na figura 106. Todas
elas dividem a figura na razão Áurea conforme mostrado pelos segmentos azuis e vermelhos.
A linha verde passa exatamente sobre o tampo da mesa. As linhas, branca e amarela, passam
cada uma delas, exatamente sobre a cabeça dos apóstolos situados logo à direita e esquerda de
Jesus Cristo. A própria figura de Cristo, embora em posição diferente da pintada por
Leonardo, pois Dali pintou Cristo com os braços dobrados, se inscreve perfeitamente em um
triângulo Áureo obtusângulo.
Além disso, podemos observar que há um dodecaedro envolvendo a encenação, e
como sabemos, o dodecaedro é um sólido platônico que também tem as proporções áureas.
Alguns estudos alegam que as obras não foram feitas baseadas na razão áurea e que o
primeiro artista proeminente e teórico da arte a utilizar a razão foi, provavelmente, Paul
Sérusier. Ele nasceu em Paris em 1864, estudou filosofia e entrou para a escola de arte
Academie Julian.
Sérusier ouviu dizer sobre o número de ouro pela primeira vez, em uma de suas
visitas, entre 1868 e 1903, a um amigo e pintor holandês Jan Verkade, um noviço no mosteiro
beneditino de Beuron. Os monges pintores estavam seguindo teorias das grandes obras da
antiguidade que foram baseadas em entidades geométricas simples, como o círculo, o
triângulo eqüilátero e o hexágono. Com isso, Sérusier ficou fascinado pela matemática e se
interessou pela Razão Áurea, porém, mais para o lado filosófico do que para o prático, mas
utilizou as proporções áureas em algumas de suas obras.
Segundo Sérusier, a proporção áurea se propagou em vários círculos artísticos,
principalmente no período cubista. De fato, os cubistas Jacques Villon, seus irmãos Marcel
Raymond, Albert Gleizes e Francis Picabia, organizaram uma exposição em Paris chamada de
“Section d’Or”, “A Seção Áurea”.
Outro artista Jacque Lipchitz, usou a Proporção áurea em alguns de seus trabalhos e
escreveu “Naquele momento, eu estava muito interessado em teorias de proporções
matemáticas, como os outros cubistas, e tentei aplicá-la às minhas esculturas”.
Lipchitz ajudou Juan Gris, um dos mais famosos pintores e escultores cubistas
espanhóis, na construção da escultura “Arlequin”, mostrada na figura 107, na qual usaram o
triângulo de Kepler que se baseia na Razão Áurea.
110
Figura 107: “Arlequin” 111
Outro artista que usou a Razão Áurea foi Gino Severini, (l883-1966), por volta de
1920. Severini embora fosse um futurista, encontrou no cubismo a “noção de medida” e que
segundo ele “enquadrava na sua ambição de fazer, por meio da pintura, um objeto com a
mesma perfeição artística de um marceneiro fazendo móveis”. Esta busca pela perfeição fez
com que Severini usasse a Razão Áurea em suas pinturas, como a obra “Maternidade”.
Figura 108: “Maternidade” 112
Um dos defensores da aplicação da Proporção Áurea na arte e na arquitetura foi o
pintor e arquiteto Charles-Edouard Jeanneret-Gris, mais conhecido como Le Corbusier.
Nasceu em La Chaux-de-Fonds, na Suíça, onde estudou arte e gravuras. Seu pai era relojoeiro
e sua mãe pianista e professora de música que o incentivava na arte musical.
Inicialmente Le Corbusier desprezou o uso da proporção divina na arte, mas após a
publicação do livro “Esthétique des proportions dans la nature et dans lês arts” (A estética de
proporções na natureza e nas artes) de Matila Ghyka, que explora o número áureo, ritos e
111
112
ritmos pitagóricos, fez com que passasse a admirar a matemática na arte. A fascinação pela
beleza estética e pela Razão Áurea tinha duas origens, primeiro pelo interesse das formas e
estruturas por trás da natureza e segundo pela música onde podia apreciar uma harmonia
provocada por razões de números.
Le Corbusier, entre 1942 e 1948, desenvolveu um sistema de medição buscando uma
proporção padronizada, assim criou o sistema proporcional chamado “Modulor”, módulo de
ouro. Baseado na razão de ouro e nos números de Fibonacci e usando também as dimensões
médias humanas, digamos que o “O Modulor” fornecia “uma medida harmônica”.
Figura 109: O Modulor 113
O Modulor publicado em 1950, era um homem com altura em média de 1,75m, com
um de seus braços erguidos chegando à uma altura total de 2,16m, aproximadamente,
representado no item 1 da figura. Já em 1955, Le Corbusier publicou o Modulor 2, com
estatura de 1,83m de altura, item 3 da figura 109.
Podemos observar que a razão entre a altura do homem e a altura de sue umbigo foi
escolhida precisamente em uma Razão Áurea, e que a altura total que vai dos pés até o braço
levantado, também estava dividida na razão áurea. Estas razões estão interligadas com a
seqüência de Fibonacci, cada número sendo igual à soma dos dois anteriores a ele. Na versão
final do Modulor foram introduzidas duas escalas de dimensões de Fibonacci, dando o nome
de “série azul” e “série vermelha”, sendo as dimensões da primeira o dobro das dimensões da
segunda. Além disso, as divisões de cada escala estão baseadas em proporção dos números de
Fibonacci.
A série vermelha é estabelecida a partir do plexo solar (o plexo solar, também
conhecido como plexo celíaco, é um agrupamento autônomo de células nervosas no corpo
humano localizado atrás do estômago e embaixo do diafragma perto do tronco celíaco na
cavidade abdominal. Também é considerado pelo Hinduísmo como um ponto de energia
chamado Manipura Chakra), sendo que a série vermelha é a altura média do homem. Já a
série azul, é altura do homem com o braço levantado, que coincide com a adição dos três
113
termos principais da série vermelha. Pela combinação dos termos principais das duas séries
obtêm-se os valores de ocupação do corpo humano.
A princípio, Le Corbusier partiu da estatura média do homem para determinar os
valores numéricos de vários comprimentos. Os valores inferiores assim encontrados foram
para a série vermelha. Os valores exatos pela divisão harmônica foram depois arredondados
tendo-se assim obtidos os chamados valores de aplicação, tomados como base para o estudo
das alturas da bancadas, cadeiras, mesas, balcões, janelas, muros, portas, etc.
Para construirmos as séries, seguiremos os seguintes passos: para a série vermelha,
vamos considerar um segmento AB sendo a altura média do homem de 1,75m, com o braço
totalmente levantado sobre a cabeça. Divida o segmento AB pela metade encontrando M o
ponto médio de AB. Em seguida, construa dois triângulos retângulos no qual o lado menor é
1
igual à do segmento AB, gerando os triângulos ACM e MDB, (figura 110).
4
Figura 110: Construindo a série vermelha (a) 114
Agora, dividida AM e MB em média razão gerando o ponto F e H, respectivamente,
da seguinte maneira: com a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que
corte a hipotenusa CM no ponto E. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em M e
com abertura até onde o arco cortou a hipotenusa trace um outro arco que corte o lado AM em
F. Trace uma paralela ao lado CA pelo ponto F encontrando na hipotenusa o ponto E. Repita o
processo no segmento HB, e assim sucessivamente, criando vários segmentos áureos.
114
Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php
Figura 111: Construindo a série vermelha (b) 115
Na série azul, iremos seguir a mesma construção da série vermelha, tomando AB a
altura média do homem com o braço totalmente levantado sobre a cabeça. Trace uma
perpendicular ao segmento AB passando por A e marque nela a metade de AB. Una os pontos
AB
AB 5
B e C, encontrando assim o triângulo ABC de lados AB,
e hipotenusa
.
2
2
Figura 112: Construindo a série azul (a) 116
Com a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que corte a
hipotenusa CB no ponto E. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em B e, com
abertura até onde o arco cortou a hipotenusa, trace um outro arco que corte o lado AB em D.
Trace uma paralela ao lado CA pelo ponto D encontrando na hipotenusa o ponto E, e obtenha
um novo triângulo BDE.
115
116
Figura 113: Construindo a série azul (b) 117
Repita o processo e obterá um outro triângulo BFG e, assim sucessivamente, dividindo
todos os segmentos áureos resultantes em média razão.
Figura 114: Construindo a série azul (c) 118
As duas séries, azul e vermelha, se intercalam de forma que os pontos F, M, H, J, etc,
da série vermelha dividem os segmentos AD, DF, FH... da série azul pela metade, e os pontos
D, F, H... da série azul dividem os segmentos FM, MH, HJ...da série vermelha em média
razão.
117
118
Figura 115: Série vermelha e série azul 119
Compare as duas séries na figura abaixo. Elas representam o Modulor 2 que segundo
Le Corbusier, é a perfeita ocupação do homem no espaço. A série vermelha representa a
altura média do homem enquanto a série azul representa a altura do homem com o braço
levantado.
Figura 116: As séries no Modulor 120
Este estudo feito por Le Corbusier é utilizado em diversos projetos, seja na construção
de um edifício ou até mesmo de um mobiliário. Por exemplo, a unidade de habitação
Marseilles, feita por Lê Corbusier em 1946, a torre de Tatlin e muitos outros trabalhos
envolvem o Modulor. Observe as figuras a seguir.
119
120
Fonte http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg/dg_4t.php
Figura 117: Unidade de habitação, Marseilles, 1946 121
Figura 118: Um exemplo de um edifício espiral, por Le Corbusier 122
Figura 119: Torre de Tatlin 123
Figura 120: Residência em Paris projetada por Le Corbusier 124
Na figura 120, Lê Corbusier projetou dois retângulos áureos, sendo um deles
representando “o corpo inteiro da casa” e o outro na vertical representado à esquerda da
escada.
121
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Corbusier.htm
123
124
122
Também foram produzidos móveis com estas proporções. Por exemplo, uma cadeira
de trabalho, apresentada no 4º Congresso Internacional de Pesquisa em Design, no Rio de
Janeiro de 11 à 13 de outubro de 2007.
“Os elementos gráficos que constituem o projeto, assim como as suas dimensões,
estão baseados nas medidas encontradas nas proporções áureas criadas a partir da figura
inicial do quadrado de lado de 800 mm. O sistema com todas as partes do objeto criado foi
gerenciado com a técnica de coordenação modular. A técnica de coordenação modular na
construção dos elementos da cadeira de trabalho forma a sua estrutura e seu corpo de acordo
as dimensões especificadas na série adotada, a partir do seu maior valor”. 125
Figura 121: Projeto Modular. Vista Lateral 126
Figura 122: Maquete eletrônica da carteira de trabalho 127
125
Fonte: 4º Congresso internacional de Pesquisa em Design realizado no Rio de Janeiro em 2007, disponível em
http://www.anpedesign.org.br/artigos/pdf/Projeto_de_carteiras_de_trabalho_utilizando_as_proporcoes_%85.pdf
126
Fonte: http://www.anpedesign.org.br/artigos/pdf/Projeto_de_carteiras_de_trabalho_utilizando_as_proporcoes_%85.pdf
127
Fonte: http://www.anpedesign.org.br/artigos/pdf/Projeto_de_carteiras_de_trabalho_utilizando_as_proporcoes_%85.pd
CAPÍTULO XI
O NÚMERO ÁUREO NA MÚSICA
A Grécia, do período antigo até a era medieval, tinha no currículo a música como parte
da matemática, e os músicos da época dedicavam seus estudos não só à música como também
para a compreensão da matemática nos tons musicais. O filósofo alemão Gottfried Wilhelm
Leibnitz escreveu: “A música é um exercício aritmético secreto, e a pessoa que se delicia com
ela não percebe que está manipulando números”.
De acordo com o dicionário, a música é uma sucessão de sons agradáveis ao ouvido.
Também podemos dizer que música é “ritmo e som”, ou seja, é uma combinação de sons
executados em determinada cadência. Para que a música seja agradável, precisa de uma
harmonia entre os acordes e isto é obtido usando a matemática, nas razões entre os números,
obtidos através do grande filósofo e matemático Pitágoras.
Os sons constituem o que chamamos de “escala musical”. Eles são definidos a partir
de relações matemáticas que, quando combinados, podem produzir sons agradáveis. Tudo que
soa ou impressiona o sentido do ouvido é chamado de som.
As oscilações produzidas pela vibração, por exemplo, da corda de violão, propagam-se
pelo ar, sob a forma de ondas, e atingem nosso ouvido, que só perceberá se as ondas tiverem
de 20 oscilações por segundo até 20.000 oscilações por segundo. Dentro desta faixa dos sons
audíveis, aqueles que têm oscilações mais baixas variando de 20 a 200 oscilações por segundo
são chamados de graves, os que têm oscilações entre 200 a 5000 são chamados de médios e as
mais altas que variam de 5.000 a 20.000 oscilações são chamados de agudos.
Para detectar os sons, o ouvido possui um mecanismo bastante complexo, e o
interessante é que o elemento principal na detecção das oscilações dos sons é a "cóclea", uma
pequena estrutura em espiral que atua seletivamente, espiral que tem a mesma estrutura que
uma espiral logarítmica. Observe a figura 123.
Figura 123: Ouvido 128
Os sons utilizados para produção de música possuem determinadas características
físicas, no que se refere às suas oscilações. Baseado nas sete notas musicais, Dó, Ré, Mi, Fá,
Sol, Lá e Si, veremos que a Matemática tem forte influência na variação dos sons. Usando
uma corda esticada, como num violão, podemos vibrá-la livremente e ela emitirá um
determinado som, por exemplo, um Dó. Ao reduzirmos o comprimento desta corda ao meio
iremos variar o som produzido, e este passará a produzir o mesmo tom (Dó), porém uma
oitava acima. Uma oitava é um intervalo das 12 notas musicais (incluindo os sustenidos ou
bemóis), ascendente ou descendente, entre duas notas do mesmo nome (por exemplo: Dó) e
que corresponde a uma razão entre as respectivas freqüências igual a 2, isto é, a oitava justa
superior de um som é produzida por um número de vibrações que é exatamente o dobro do
som fundamental.
128
Fonte: http://www.audionasigrejas.org/artigos/microfones.htm
Figura 124: Disposição das notas musicais em uma oitava 129
De modo geral, se vibrar livremente a corda com um determinado valor de oscilações
por segundo, esta emitirá uma nota, e ao reduzir o comprimento desta corda à metade,
mantendo a mesma tensão, ela irá vibrar com o dobro das oscilações iniciais, e será produzido
a mesma nota, porém, uma oitava acima da nota anterior.
Se reduzirmos o comprimento para 2/3 do original, terá então a nota Sol, e se
reduzirmos o comprimento para 3/4 do original, teremos a nota Fá. Nestes dois casos obtemos
Sol e Fá, pois a corda esta emitindo um Dó no comprimento original. Como podemos
perceber, usando determinadas frações do tamanho original de uma corda, podemos obter as
notas naturais da escala musical.
Pitágoras foi o primeiro a estabelecer uma escala de sons adequados ao uso musical,
formando uma série a partir da fração de 2/3, ou seja, na música corresponde ao intervalo
musical chamado de “quinta”. Usando uma sucessão de “quintas”, ele definiu as doze notas
musicais, sendo sete naturais, Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si, e mais cinco notas acidentes, Dó#,
Ré#, Fá#, Sol#, e Lá#, cujo símbolo # é chamado de sustenido.
A escala com intervalos acusticamente perfeitos definida por Pitágoras foi usada por
muitos séculos. Com o Renascimento, novas idéias surgiram nas Artes em geral, e na Música
em particular, e os compositores começaram a inovar a teoria musical imposta até aquela
época, devido à necessidade de transpor as melodias para outras tonalidades. Com a escala
musical definida por Pitágoras, isso era impraticável, pois os intervalos só podiam ser usados
numa única tonalidade. Em outras palavras, se mudasse a tonalidade de uma melodia, os
intervalos entre as notas passariam a soarem desafinados.
Para que permitisse a transposição de um tom para outro, foi criada a “escala de
temperamento igual”, de Andréas Werkmeister, em 1691. Hoje, esta escala é chamada de
“escala temperada”, possuindo também doze notas (sete “naturais” e cinco “acidentes”), mas
em vez de preservar os intervalos fracionários de 2/3, 3/4, etc., as notas foram levemente
ajustadas, pois Werkmeister tomou o comprimento inteiro e dividiu-o exponencialmente em
doze partes, baseado na raiz duodécima de 2. Isso fez com que a relação entre qualquer nota e
sua vizinha anterior fosse sempre igual à raiz duodécima de 2 (aproximadamente 1,0594631),
o que permitiu, então, a execução de qualquer música em qualquer tonalidade. De modo geral,
podemos dizer que a escala temperada é uma progressão geométrica de razão
aproximadamente igual a 1,0594631.
Veja na figura 125, a seqüência com 13 termos dessa progressão geométrica que
representa a seqüência das notas da escala musical igualmente temperada, pois, 12 são seus
intervalos musicais compondo uma oitava. Por exemplo, o número 2 sobre o número
1,0594631 corresponde ao primeiro intervalo. O décimo terceiro termo já pertence à próxima
oitava, ou seja, inicia novamente a seqüência das notas musicais com o dobro da freqüência
anterior.
129
Fonte: http://www.profcardy.com/cardicas/musical.php?&width=1024
Figura 125: Progressão geométrica de razão 1,0594631 130
A primeira oitava das notas musicais vai de Dó = 16,352Hz à Si = 30,868Hz. Assim,
se tomarmos a nota Dó como 16,352 Hz e formos multiplicando sucessivamente pelo número
1,0594631 vamos obter todas as freqüências das notas musicais da escala musical temperada.
Veja a construção da primeira oitava abaixo.
Dó= 16,352 Hz
Dó# = 16,352 x 1,0594631 = 17,325 Hz
Ré = 17,325 x 1,0594631 = 18,3545 Hz
Ré# = 18,3545 x 1,0594631 = 19,445 Hz
Mi = 19,445 x 1,0594631 = 20,602 Hz
Fá = 20,620 x 1,0594631 = 21,827 Hz
Fá# = 21,827 x 1,059461 = 23,125 Hz
Sol = 23,125 x 1,0594631 = 24,500 Hz
Sol# = 24,500 x 1,0594631 = 25,957 Hz
Lá = 25,957 x 1,0594631 = 27,500 Hz
Lá# = 27,500 x 1,0594631 = 29,135 Hz
Si = 29,135 x 1,0594631 = 30,868 Hz
Dó = 30,868 x 1,0594631 = 32,704 Hz
Tabela 2: Freqüência da notas musicais na primeira oitava
Se escolhermos uma nota, por exemplo, a nota Lá da primeira oitava, teremos uma
freqüência de 27,5Hz, na quarta oitava teremos uma freqüência de 220 Hz. Quando tivermos
percorrido mais uma oitava, a sua freqüência na quinta será de 440 Hz. Observe a escala da
figura 126.
55 Hz
220 Hz
110 Hz
Figura 126: Freqüência da nota Lá
440 Hz
880 Hz
131
Para obter a freqüência de uma nota na oitava acima, basta multiplicá-la por
12
§ 1·
(1,0594631) , ou seja, ¨ 212 ¸
2 , por isto a freqüência da nota na oitava acima é o dobro
¨
¸
©
¹
da freqüência da nota na oitava anterior. Segue a tabela 3 do exemplo anterior:
12
Nota
Lá
Lá#
Si
Dó
Dó#
Freqüência em Hz
220,0000
233,0818
246,9416
261,6255
277,1826
Nota
Ré
Ré#
Mi
Fá
Fá#
Freqüência em Hz
293,6647
311,1269
329,6276
349,2282
369,9944
Nota
Sol
Sol#
Lá
Freqüência em Hz
391,9954
415,3047
440,0000
Tabela 3: Freqüências das notas musicais
130
131
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/pgmuitoespecial.htm
Figura adaptada pela autora usando uma imagem disponível em http://br.geocities.com/pk_000000000/mus/teclado/2.htm
Podemos ilustrar este exemplo na figura abaixo, representando a escala desta oitava,
em que a freqüência da nota Lá é 220Hz e na oitava acima é 440Hz. Podemos ver que a razão
entre as oitavas é igual a 2.
Figura 127: Escala musical 132
Estas figuras mostram a representação da escala musical temperada feita pelo
professor Luiz Netto graduado em Matemática pela Faculdade de Filosofia Ciências e Letras
de Santo André, em São Paulo, e também formado em Música.
A figura 128 mostra como cresce as freqüências das notas musicais, ou seja, o número
de oscilações por segundo, de um som emitido por qualquer instrumento musical, em notação
polar. Percorremos a partir da nota Dó no gráfico em sentido anti-horário e para cada nota
temos um crescimento do valor da freqüência de um modo exponencial, dado pela expressão
kT
§ 1·
f f i .¨ 212 ¸ , onde f é a freqüência da nota, fi é o valor da freqüência inicial musical na
¨
¸
©
¹
escala temperada, k é uma constante adotada para que todos os valores de uma oitava sejam
mostrados no desenvolvimento de 2S radianos e T é o ângulo associado ao valor de r,
considerando 0 T 2S .
Construindo a escala musical temperada de 12 intervalos, através da representação em
coordenadas polares teremos que cada ângulo corresponde a 30° ou
132
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/calculointervaos.htm
S
6
rad .
Figura 128: Gráfico das freqüências das notas musicais 133
Observe que estão indicados para cada nota dois números que representam o valor das
freqüências destas notas distanciadas de uma oitava, ou seja, a freqüência das notas de mesmo
“nome” é o dobro da outra, percorrendo T 2S . O comportamento gráfico que a freqüência
(em Hz) de cada nota musical possui ao mudar de tom, é dado pela multiplicação da
freqüência por 1,0594631 e daí, o raio varia de acordo com a equação
r
§ 1·
¨ 2 12 ¸
¨
¸
©
¹
kT
1,0594631k T .
Figura 129: Raio da espiral 134
Abaixo podemos ver a espiral logarítmica, obtida em uma oitava (de Dó à Dó) e
também os termos da progressão geométrica em cada nota de uma oitava.
133
134
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/pgmuitoespecial.htm
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/repres_polar_esc_mus_temp.htm
Figura 130: Espira logarítmica em uma oitava 135
A tabela abaixo indica o ângulo de inclinação do vetor na espiral, para cada termo da
progressão geométrica.
rx
Ângulo
1,05946310 1
1,05946311 1,0594631
1,05946312 1,1224621
1,05946313 1,1892071
1,05946314 1,2599211
1,05946315 1,3348399
1,05946316 1,41421361
0°
30°
60°
90°
120°
150°
rx
1,05946317
1,05946318
1,05946319
1,059463110
1,059463111
1,059463112
Ângulo
1,4983071
210°
1,5874011
240°
1,6817929
270°
1,7818042
300°
1,8877558
330°
2,0000000
360°
180°
Tabela 4: Variação do raio de acordo com o ângulo
Mas, o que tudo isto tem a ver com a razão áurea?
Nas figuras acima podemos observar a espiral logarítmica, que tem relação com o
número áureo e, além disso, podemos expressar a equação da escala musical temperada na
base áurea.
Na escala temperada temos que para r = 2,
135
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/repres_polar_esc_mus_temp.htm
§ 1 ·
¨ 2 12 ¸
¨
¸
©
¹
r
kT
12
2
kT
12
kT
k
kT
2
21
1
sendo T
12
2S
12
k 1,9098593
2S
1,9098593T
§ 1 ·
Portanto, r ¨ 2 12 ¸
1,05946311,9098593T
¨
¸
©
¹
Para colocar esta equação da escala musical temperada de base 1,0594631 na base
áurea, ou seja, na base ) , vamos considerar T tal que 0 T 2S , e m uma constante, de
modo que ) mT 2 . Resolvendo a equação para m = 1, teremos:
)T
2
log )T log 2
T . log ) log 2
T .0,208978 0,30103
T 1,440483
Fazendo m T = 1,440483, podemos calcular o valor para m, quando T
T 2S
m.2S 1,440483
2S .
m 0,2292599
Então, r ) 0, 2292599T
Daí, r 1,05946311,9098593T
) 0, 2292599T
Junto do número áureo, vem a seqüência de Fibonacci, que está presente na música e
também associado ao piano. Na primeira oitava temos os números 0, 1, 2, 3, 5 e 8, na segunda
oitava temos 13 e 21, na terceira oitava temos o 34 e o próximo número da seqüência de
Fibonacci é o 55 que está na quinta oitava e assim sucessivamente.
Figura: 131: Números de Fibonacci na escala musical 136
Os números de Fibonacci produzem efeitos na música que são os sons com intervalos
musicais mais agradáveis que aparecem na sexta maior. Sexta maior é a distância das notas
em 4 tons e meio ou 9 semitons. Por exemplo, podemos obter uma sexta maior por uma
combinação de Dó e Lá, sendo a freqüência de Dó aproximadamente 264Hz e a de Lá de
440 5
, é uma razão entre dois números de
440Hz. A razão entre estas duas freqüências,
264 3
Fibonacci. Temos também que o som é agradável na sexta menor, ou seja, na distância em 4
tons ou 8 semitons. Por exemplo, considerando um Dó com freqüência aproximada de 528Hz
528 8
e um Mi com freqüência de 330Hz, a razão entre estas freqüências,
, que é outra
330 5
razão entre dois números de Fibonacci, que é bem próxima do número ) . A sexta maior e a
menor nos dão estas combinações que se aproximam de ) e isto nos dá uma harmonia
agradável. Em geral, na contagem de notas e pulsos frequentemente aparecem relações com a
matemática que vêm sendo estudadas atualmente.
Recentemente em Michigan, em 1995, o matemático John F. Putz, sabendo a
possibilidade do uso da Razão Áurea na música, analisou a música de Mozart nos vinte e nove
movimentos de suas sonatas para piano. Estas sonatas geralmente são divididas em duas
partes: a Exposição e o Desenvolvimento e Recapitulação. Na primeira, o tema musical é
introduzido e na segunda, em que o tema principal é desenvolvido e recapitulado, estas peças
musicais são divididas em compassos. Putz examinou as razões entre os números dos
compassos nas duas seções das sonatas.
Nestes estudos, Putz obteve resultados favoráveis, pois na Sonata Nº 1 em Dó maior, a
primeira parte que é a Exposição, consiste em 38 compassos e na segunda a do
62
Desenvolvimento e Recapitulação, possui 62 compassos, a razão
1,63 é próxima de ) .
38
Assim, comprova que a sonata não foi feita baseada na razão áurea e apesar de ter um
resultado sonoro agradável tudo indica que quanto mais perto esta razão estiver do número
ouro, mais bela será a sonata.
Um compositor que provavelmente usou a Razão Áurea de forma proposital foi o
húngaro Béla Bartók, um pianista que misturava o clássico com o folclore. O musicólogo
Ernö Lendvai analisou a música de Bartók e concluiu que a principal característica de sua
técnica é a “obediência” às leis da “Seção Áurea” em cada movimento. Exemplo disso é um
movimento da fuga de “Música para cordas, percussão e celesta” em que 89 compassos dos
movimentos são divididos em duas partes, uma com 55 compassos e a outra com 34
compassos. Esta divisão foi feira no mais alto, em termos do volume da sonoridade. Veja na
figura:
136
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/sons_fibonacci.htm
Figura 132: Divisão dos 89 compassos em duas partes 137
Dentro destas divisões foram feitas outras, uma marcada pela colocação ou retirada de
surdinas, ou seja, a diminuição do som dos instrumentos, e outra na mudança de textura. A
primeira divisão (com 55 compassos) foi dividida em duas partes, a primeira com 34
compassos e a segunda com 21 compassos, onde as cordas removem surdinas. Já na segunda
divisão dos 89 compassos, contendo 34 compassos, foram divididos em 13 e 21 compassos, e
as cordas substituem surdinas. A figura abaixo expõe as divisões desses compassos.
Figura 133: Divisão dos 55 compassos e dos 34 compassos 138
Continuando a divisão dos compassos teremos que nesta última, os 34 compassos em
que as cordas removem surdinas, ficaram divididos em 21 compassos sendo o tema e na outra
divisão em que as cordas substituem surdinas, os 21 compassos foram divididos em 13 e 8
compassos. A figura 134 retrata todo o procedimento:
Figura 134: Divisão dos 34 compassos e dos 21 compassos 139
137
139
138
Todos os números dos compassos são números da seqüência de Fibonacci, com as
razões próximas da Razão Áurea e como sabemos a seqüência converge para ) . Não é só
nesta obra que encontramos a seqüência de Fibonacci, ela também aparece na peça de piano
solo Reflets dans l’eau (reflexos na água), a mesma semelhança nos esboços sinfônicos La
Mer (O Mar), na peça para piano Jardins sous la pluie (Jardins sob a chuva), todas do
compositor francês Claude Debussy. Ele comenta a obra Jardins sous la pluie em uma carta
enviada ao seu editor Jacque Durand, nela ressalta o uso de um compasso que faltava na
composição e escreveu: “Contudo, ele é necessário, no que diz respeito ao número; o numero
divino”. Tudo indica que Debussy se referia à razão áurea e o “número divino” tinha um papel
importante.
Visto anteriormente que as freqüências das notas musicais caminham em torno de uma
equação exponencial e analisando a espiral de freqüências de uma oitava, podemos ter uma
relação entre os números de Fibonacci e a espiral, ou melhor teremos uma espiral de
Fibonacci em que as linhas poligonais da figura abaixo guardam uma relação métrica que se
relaciona com o número de ouro, ou relação áurea, ) .
A envoltória dessas linhas é uma espiral cuja equação é r )T , 0 d T d 2S , na forma
Polar. Todos os sucessivos triângulos obtidos são triângulos semelhantes, portanto seus
respectivos ângulos correspondentes são iguais entre si.
Figura 135: Espiral logarítmica formada por triângulos 140
No primeiro triângulo consideramos T 1 radiano, calculamos o seu valor em graus,
180
S 180q
x
# 57q .
temos que
1
3,14
x
Como ângulo de inclinação vale aproximadamente 57°, aplicando relações
trigonométricas temos que os outros ângulos são iguais a 38º e 85°.
140
Cenas da animação disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm44/espiralogaritmica.htm
Figura 136: Construção da espiral 141
O raio, da espiral é dada pela expressão r )T , onde T 1 rad. Daí, r ) ou
podemos dizer, r = 1,618 aproximadamente. Os outros são conseqüências do produto do valor
da primeira seguidamente.
Para calcular o comprimento da linha z, calcularemos as medidas dos catetos do
triângulo retângulo pela relação trigonométrica e Teorema de Pitágoras.
Calculando a:
a r cos 57q
a 1,618. 0,5403023
a 0,8742091
Figura 136: Triângulo retângulo (a) 142
Calculando b:
r 2 a2 b2
1,618 2
0,87420912 b 2
2,617924 0,764313 b 2
b 2 1,8536109
b 1,3614738
Figura 137: Triângulo retângulo (b) 143
Calculando z:
d 1 0,8742191 0,1257909
z2
b2 d 2
z 2 1,3614738 2 0,1257909 2
z 2 1,8694342
z 1,3672725
Figura 138: Triângulo retângulo (c) 144
141
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm
143
144
142
Portanto a primeira linha poligonal de Fibonacci é aproximadamente 1,37. Para
calcular as demais linhas, basta saber o valor do próximo raio da espiral e usar o Teorema de
Pitágoras.
Figura 139: Linhas Poligonais de Fibonacci 145
De maneira geral, podemos representar a espira logarítmica e a espiral de Fibonacci
em um mesmo plano.
Figura 140: Exponencial Fibonacciana 146
A estrutura é a mesma da concha do náutilo, (observe as espirais da figura 141), e
podemos concluir que espiral logarítmica está presente não só na musica como também na
natureza.
145
146
Figura 141: Comparando as estruturas das espirais logarítmicas 147
Além disso, encontramos a mesma curva no violino, um instrumento musical que
chama a atenção por sua beleza tanto no som que ele emite quanto na sua aparência.
Alguns violinos famosos foram feitos por Antonio Stradivari, (1644-1737) que é o
nome mais conhecido da luteria (arte de fabricar instrumentos musicais). Ele trabalhou numa
oficina de Cremona, na Itália, e revolucionou a produção de violinos, violas e violoncelos.
Um dos vários segredos da beleza estética dos violinos de Stradivari reside em que o seu
construtor desenhava-os utilizando Seção Áurea, que representa um elemento de equilíbrio
estético. O arco plano na base é centrado no ponto da Seção Áurea, a partir da linha do centro.
Desenhos originais de Stradivari, na figura abaixo, mostram que ele se preocupava em
dispor geometricamente e em posições determinadas pela Razão Áurea, o lugar dos ouvidos
ou das aberturas acústicas, os “efes”, estes orifícios que deixam os sons amplificados pelo
corpo do instrumento atingir o espaço externo.
Figura 142: Desenho de Stradivari 148
As outras partes do violino assim como as aberturas acústicas, também estão nas
proporções áureas. Como a razão entre o tamanho do braço e o comprimento total do
instrumento, bem como a voluta que obedece a mesma proporção que as conchas de nautilus,
na forma de uma espiral logarítmica.
147
148
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/calculointervaos.htm
Figura 143: As proporções no violino 149
Portanto, vimos que número de ouro está presente na música de modo geral, seja nas
escalas musicais, na divisão dos compassos, nas famosas sinfonias como a Sinfonia nº 5 e a
Sinfonia nº 9 de Ludwig van Beethoven e em outras diversas obras, também na estrutura do
violino. Outro exemplo interessante, registrado na Revista Batera em um artigo sobre o
baterista de jazz Max Roach, é que em seus solos curtos, aparecem tal número, se considerar
as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa.
“A música é ao mesmo tempo um sentimento e uma ciência. Ela exige da parte
daqueles que cultivam, interpretes ou compositores, uma inspiração natural que só se
adquirem através de longos estudos e profundas meditações. A reunião do saber e da
inspiração constitui a arte.” Berlioz.
“O homem que dedilha Bach ou Beethoven dedilha sobre logaritmos.” Frase do Prof.
Luiz Barco.
149
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
x
ALENCAR, Maria Efigênia Gomes de, O Número ĭ e a seqüência de Fibonacci; In
Física na Escola, v.5, n.2, 2004.
x BOYER, História da Matemática, 3ª ed, Ed. Edgard Blücher Ltda, São Paulo, 1974.
x HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora
UnB, Brasília, 1985.
x LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro
Record, 2007.
x PEREIRA, G. M. R; CÂMARA, M. A. O Pentagrama. FAMAT em Revista nº 7,
Setembro de 2006, pp. 151-159.
x Revista do Professor de Matemática, nº 45, 2001, p. 44-47.
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http://www.colegiosaofrancisco.com.br/alfa/leonardo-da-vinci/leonardo-da-vinci-2.php
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm44/espiralogaritmica.htm
http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicSpiral.html
O Problema de Waring e o Teorema de
Lagrange
Otoniel Nogueira da Silva ¹
e
Marcos Antônio da Câmara ²
Faculdade de Matemática – FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia – UFU
38408-100, Uberlândia – MG
Resumo
Neste trabalho, apresentamos um problema histórico da teoria aditiva dos números conhecido
como “Problema de Waring” que surgiu em meados de 1770. Depois apresentamos alguns
conceitos preliminares da teoria dos resíduos quadráticos, para em seguida apresentarmos
alguns resultados relativos à representação de inteiros como a soma de dois e três quadrados.
Finalizamos com o famoso “Teorema de Lagrange” para a soma de quatro quadrados.
___________________________
¹ Bolsista do PETMAT – UFU. E-mail: [email protected]
² Tutor do PETMAT-UFU e orientador. E-mail: [email protected]
O Problema de Waring e o Teorema de Lagrange
1- Introdução
O problema de Waring
Por volta de 1770, o matemático inglês Edward Waring afirmou saber a resposta para um
problema que mais tarde ficou muito famoso entre os matemáticos na teoria aditiva dos
números. O problema é o seguinte:
Problema de Waring: Para um determinado k , será que existe um número fixo s = s (k ) tal
que a equação:
n = x1k + x 2k + x3k + L + x sk
Tenha solução para todo n ∈ IN ?
Vamos observar alguns exemplos particulares do problema:
1) Para k = 2 , será que existe algum s = s (2) , tal que a equação:
n = x12 + x 22 + x32 + L + x s2
tenha solução para todo n ∈ IN ?
2) Para k = 3 , será que existe algum s = s (3) , tal que a equação:
n = x13 + x 23 + x33 + L + x s3
3) E para k = 4 , será que existe algum s = s (4) , tal que a equação:
n = x14 + x 24 + x34 + L + x s4
Edward Waring publicou vários trabalhos em toda a sua vida, mais uma de suas obras mais
famosas foi o livro “Meditationes Algebraicae” publicado em 1770. Neste famoso livro,
Waring enuncia o seguinte teorema, não demonstrado por ele:
“Teorema: Todo número inteiro positivo pode ser representado pela soma de quatro
quadrados, nove cubos e dezenove quartas potências.”
Outras afirmações importantes foram feitas no livro, mas esta foi uma que ficou famosa, pois
não havia nenhuma demonstração formal para o fato, e ficou conhecida como o “Problema de
Waring”. Logo, os matemáticos famosos da época ficaram curiosos e inquietos para resolver
o interessante problema. Foi então, no mesmo ano de 1770 que Lagrange demonstrou que
todo número inteiro pode ser representado como a soma de quatro quadrados.
Em outras palavras, lembra dos exemplos dados anteriormente?
Para o caso em que k = 2 ,será que existe s = s (2) , tal que a equação:
n = x12 + x 22 + x32 + L + x s2
Lagrange demonstrou que s (2) = 4 , ou seja, a equação acima sempre tem solução para
qualquer n inteiro positivo quando s = 4 .
n = x12 + x 22 + x32 + x 42
Este resultado ficou conhecido como “Teorema de Lagrange” para a soma de quatro
quadrados.
Mas, o problema geral, para um determinado k, ainda não havia sido resolvido.
Em 1909, quase 140 anos depois, Hilbert provou a existência de um número fixo s = s (k ) , tal
que a equação sugerida como anteriormente fosse solúvel para todo número inteiro positivo.
Hilbert provou para todo n a existência de um inteiro positivo s (k ) , independente de n, com a
seguinte propriedade: todo inteiro n pode ser representado como a soma de s (k ) k–ésimas
potências. A demonstração de Hilbert prova apenas a existência de s = s (k ) , mas não fornece
informações sobre o valor real de s (k ) .
Por volta de 1909, Wieferich e Kempner mostraram que todo inteiro é a soma de 9 cubos, ou
seja, Waring tinha razão ao afirmar que:
n = x13 + x23 + x33 + L + x83 + x93
sempre tem solução para qualquer n ∈ IN .
Em 1940, Pillai mostrou que todo inteiro é a soma de 73 sextas potências. Em 1964, Chen
Jingrun mostrou que todo inteiro positivo é a soma de 37 quintas potências. E em 1986
Balusabramanian, Dress e Deshouillers mostraram que todo inteiro positivo pode ser
representado como a soma de 19 quartas potências. E, novamente, Waring tinha razão em
relação à s (4) = 19 .
Adiante, veremos os conceitos preliminares necessários para o estudo da representação de
inteiros positivos como a soma de dois, três e quatro quadrados.
2- Resíduos Quadráticos
Estaremos interessados no estudo de soluções para a congruência x 2 ≡ a (mod p ) . No caso em
que p é primo ímpar e (a, p ) = 1 , esta congruência, caso tenha solução, tem exatamente duas
soluções incongruentes. Isto é o que vamos provar no teorema a seguir.
Teorema 2.1: Para p um primo ímpar e a um inteiro não divisível por p, a congruência
abaixo, caso tenha solução, tem exatamente duas soluções incongruentes módulo p.
x 2 ≡ a (mod p )
Demonstração:
Suponhamos que a congruência acima tenha solução x1 . Logo, − x1 também é solução, uma
vez que:
(− x1 ) 2 = ( x1 ) 2 ≡ a (mod p )
Agora devemos mostrar que estas soluções x1 e − x1 são incongruentes módulo p.
Suponhamos que x1 ≡ − x1 (mod p) . Então teríamos 2.x1 ≡ 0(mod p) , e como por hipótese
temos que p é ímpar e p não divide x1 , pois x1 ≡ − x1 (mod p) e x1 obviamente é diferente de
0, então 2.x1 ≡ 0(mod p) é impossível e portanto x1 é incongruente a − x1 módulo p.
Agora, precisamos mostrar que só existem duas soluções incongruentes.
Seja y uma solução de x 2 ≡ a (mod p ) , ou seja:
y 2 ≡ a (mod p )
Como x1 é solução, temos:
x12 ≡ a (mod p )
Logo, x12 ≡ y 2 ≡ a (mod p ) e, portanto x12 − y 2 ≡ 0(mod p ) , logo temos:
( x1 − y )( x1 + y ) ≡ 0(mod p)
Logo p divide ( x1 − y ) ou p divide ( x1 + y ) , o que implica que y ≡ − x1 (mod p) ou
y ≡ x1 (mod p) . Portanto, caso exista uma solução, existem exatamente duas soluções
incongruentes módulo p, e as demais soluções serão congruentes a uma dessas duas.
Exemplo 2.1: Determine todas as soluções da congruência abaixo:
x 2 ≡ 1(mod 3)
Como 3 é um primo ímpar e 1 não é divisível por 3, temos pelo teorema 2.1 que existem
apenas duas soluções incongruentes módulo 3.
■
Veja que x1 = 2 satisfaz a congruência, logo pelo teorema anterior temos que − x1 = −2
também vai satisfazer a congruência, e de fato satisfaz.
Logo, como x1 = 2 não é congruente a − x1 = −2 módulo 3, então as outras soluções serão
congruentes à x1 = 2 ou à − x1 = −2 módulo 3, pois só existem duas soluções incongruentes
módulo 3 para esta congruência.
Seja q uma solução diferente de x1 e − x1 . Então:
q ≡ 2(mod 3) ou q ≡ −2(mod 3)
Portanto, todas as soluções são dadas por:
q = 3t + 2 ou q = 3t − 2
para t ∈ Z .
Definição 2.1: O conjunto dos inteiros {r1 , r2 , L , rs } é um sistema completo de resíduos
módulo p se:
(1) r i não for congruente a r j módulo p para i ≠ j .
(2) para todo inteiro n, existe um ri tal que n ≡ ri (mod p ) .
Exemplo 2.2: O conjunto A = {0 ,1, 2 ,3, 4 , L ,10 } é um sistema completo de resíduos módulo
11.
Obs.: Seja o conjunto B = {1, 2 ,3 , 4 , L ,10 } . Veja que B é o subconjunto do conjunto A do
exemplo anterior em que (ri , p ) = 1 , nesse caso dizemos que B é um sistema reduzido de
resíduos módulo p.
Definição 2.2: Sejam a e p inteiros com (a, p ) = 1 . Dizemos que a é um resíduo quadrático
módulo p se a congruência x 2 ≡ a (mod p ) tiver solução. Caso esta congruência não tenha
solução, dizemos que a não é um resíduo quadrático módulo p ou que a é um resíduo nãoquadrático.
Obs.: Veja que no exemplo anterior a congruência x 2 ≡ 1(mod 3) tem solução e (1,3 ) = 1 ,
portanto 1 é resíduo quadrático módulo 3.
Teorema 2.2: Seja p um primo ímpar e sejam os números 1,2,3, L , p − 1 , então ( p − 1) / 2
números são resíduos quadráticos e ( p − 1) / 2 não são resíduos quadráticos.
Demonstração:
Considere a congruência descrita abaixo, para i = 1,2,3, L , p − 1 , com p primo:
x 2 ≡ a i (mod p )
Queremos achar todos os ai ’s que são resíduos quadráticos módulo p. Para isso vamos
considerar os quadrados dos números de 1 a p − 1 .
Como (1) 2 ≡ 1(mod p ) temos que a1 = 1 é resíduo quadrático módulo p, mas sabemos que -1
também é solução, pois (−1) 2 ≡ 1(mod p ) , mas observe que − 1 ≡ p − 1(mod p ) , logo pelo
teorema 2.1 temos que 1 e p − 1 são as únicas soluções incongruentes módulo p , e como os
números 1,2,3, L , p − 1 são todos incongruentes módulo p pois formam um sistema reduzido
de resíduos módulo p, temos que 1 e p − 1 são as únicas soluções da congruência:
x 2 ≡ 1(mod p )
dentre os números 1,2,3, L , p − 1 .
Tomamos agora o 2 2 que será congruente a algum número k diferente de 1, obviamente
(−2) 2 também será congruente a esse número k. Como − 2 ≡ p − 2(mod p ) , pelo teorema 2.1
temos que 2 e p − 2 são as únicas soluções incongruentes de:
x 2 ≡ k (mod p )
Tomamos agora o 3 2 que será congruente a algum número q diferente de 1 e de k,
obviamente (−3) 2 também será congruente a esse número q. Como − 3 ≡ p − 3(mod p ) , pelo
teorema 2.1 temos que 3 e p − 3 são as únicas soluções incongruentes de:
x 2 ≡ q (mod p )
Note que já temos 1, k e q como resíduos quadráticos das respectivas congruências:
(1) x 2 ≡ 1(mod p) , que tem soluções (1, p − 1 ).
(2) x 2 ≡ k (mod p) , que tem soluções (2, p − 2 ).
(3) x 2 ≡ q (mod p) , que tem soluções (3, p − 3 ).
Assim, procedendo desta maneira teremos ( p − 1) / 2 pares de soluções
⎛ p −1 p + 1⎞
(1, p − 1 ), (2, p − 2 ), (3, p − 3 ), ... , ⎜
,
⎟,
2 ⎠
⎝ 2
em que cada par é solução para uma dentre as ( p − 1) / 2 congruências associadas a ( p − 1) / 2
resíduos quadráticos.
■
Exemplo 2.3: Tome o primo 7. Dentre os números {1, 2 ,3 , 4 ,5 , 6 }, apenas três números são
resíduos quadráticos e os outros três não são resíduos quadráticos.
Logo:
1 2 ≡ 1(mod 7 )
2 2 ≡ 4 (mod 7 )
3 2 ≡ 2 (mod 7 )
4 2 ≡ 2 (mod 7 )
5 2 ≡ 4 (mod 7 )
6 2 ≡ 1(mod 7 )
Note que os números que são resíduos quadráticos são 1, 4 e 2. E os números que não são
resíduos quadráticos são 3, 5 e 6.
Teorema 2.3: Para p primo, a congruência x 2 ≡ − 1(mod p ) tem solução se, e somente se,
p = 2 ou p ≡ 1(mod 4 ) .
Demonstração:
(
) Supondo p = 2 , temos que x = 1 é uma solução, pois 1 2 ≡ − 1(mod p ) .
Suponhamos agora que a congruência x 2 ≡ − 1(mod p ) tenha solução e que p > 2.
Elevando ambos os membros à potência ( p − 1) / 2 obtemos:
( x ( p −1 ) / 2 ) ≡ ( − 1) ( p −1 ) / 2 (mod p )
Obs.: Observe que p não divide x, pois x 2 ≡ − 1(mod p ) , supondo por absurdo que p divide
x, então p divide x 2 , logo x 2 ≡ 0 (mod p ) , o que é um absurdo, pois temos inicialmente que
x 2 ≡ − 1(mod p ) .
Como x 2 ( p −1 ) / 2 ≡ x ( p −1 ) (mod p ) , então pelo “Pequeno teorema de Fermat” temos que:
x p −1 ≡ 1(mod p ) ⇒ ( − 1) ( p −1 ) / 2 ≡ 1(mod p ) ,
Daí, ( p − 1) / 2 é par, isto é, ( p − 1) / 2 = 2 t ⇒ que p − 1 = 4 t , ⇒ p = 4 t + 1 , com
t ∈ Z . Ou seja, p ≡ 1(mod 4 ) .
(
) Agora vamos construir uma solução para a congruência x 2 ≡ − 1(mod p ) quando
temos p ≡ 1(mod 4 ) . Para p um primo ímpar, podemos escrever o teorema de Wilson (que
diz: ( p − 1)! ≡ − 1(mod p ) ) da seguinte maneira:
p −1⎞ ⎛ p +1
⎞
⎛
...( p − j )...( p − 2 ).( p − 1) ⎟ ≡ − 1(mod p )
⎟.⎜
⎜ 1 . 2 . 3 ... j ...
2 ⎠⎝ 2
⎠
⎝
(Parte 1)
(Parte 2)
Veja que o produto ( p − 1)! está dividido em duas partes, as partes 1 e 2, e cada uma das
partes tem o mesmo número de fatores, isto é, cada uma tem ( p − 1) / 2 fatores. Podemos
reescrever este produto formando pares, uma vez que para cada fator j na parte 1 temos o fator
( p − j ) na parte 2. Logo, o teorema de Wilson pode ser escrito como:
( p −1 ) / 2
∏
j ( p − j ) ≡ − 1(mod p )
j =1
Como j ( p − j ) ≡ − j 2 (mod p ) , pois jp − j 2 ≡ − j 2 (mod p ) , então:
−1 ≡
( p −1 ) / 2
∏
2
(− j ) ≡ −1
2
( p −1 ) / 2
j =1
⎛ ( p −1 ) / 2 ⎞
⎜ ∏ j ⎟ (mod p )
⎜
⎟
⎝ j =1 ⎠
Mas sendo p ≡ 1(mod 4 ) , então p é da forma 4 t + 1 com t ∈ Z . Logo ( p − 1) / 2 é par.
Portanto x =
( p −1 ) / 2
∏
j =1
⎛ p −1⎞
2
j =⎜
⎟ ! , é uma solução de x ≡ − 1(mod p ) .
⎝ 2 ⎠
■
Definição 2.3: Para p um primo ímpar e a um inteiro não divisível por p, definimos o Símbolo
⎛a⎞
de Legendre ⎜⎜ ⎟⎟ por:
⎝ p⎠
⎫
⎛ a ⎞ ⎧ 1, se a é um resíduo quadrático de p.
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎨
⎬
⎝ p ⎠ ⎩ - 1, se a não é um resíduo quadrático de p. ⎭
Exemplo 2.4: Como as congruências x 2 ≡ 1(mod 7 ) , x 2 ≡ 2 (mod 7 ) e
x 2 ≡ 4 (mod 7 ) possuem soluções temos que:
⎛1⎞ ⎛2⎞ ⎛4⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 1.
⎝7⎠ ⎝7⎠ ⎝7⎠
Por outro lado,
⎛3⎞ ⎛5⎞ ⎛6⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = −1.
⎝7⎠ ⎝7⎠ ⎝7⎠
uma vez que as congruências x 2 ≡ 3 (mod 7 ) , x 2 ≡ 5 (mod 7 ) e x 2 ≡ 6 (mod 7 ) não
possuem soluções.
Teorema 2.4: (Critério de Euler) Se p for um primo ímpar e a um inteiro não-divisível por p,
então:
⎛a⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ≡ a ( p −1 ) / 2 (mod p ).
⎝ p⎠
⎛a⎞
Demonstração: Vamos supor primeiramente, que ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ 1 . Isto significa que a congruência
⎝ p⎠
x 2 ≡ a (mod p ) , tem solução pelo teorema 2.1. Como temos que y 2 ≡ a (mod p ) para
algum y ∈ Z , então p divide ( y 2 − a ) . Mas, como p não divide a, p não divide y 2 , p não
divide y, portanto ( y , p ) = 1 . Logo, pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos que
y p −1 ≡ 1(mod p ) e, portanto:
y 2 ≡ a (mod p )
⇒ ( y 2 ) ( p −1 ) / 2 ≡ a ( p −1 ) / 2 (mod p )
⇒ a ( p −1 ) / 2 ≡ y p −1 (mod p )
⇒ a ( p −1 ) / 2 ≡ 1(mod p )
⎛a⎞
Isto prova o teorema no caso em que ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ 1 .
⎝ p⎠
⎛a⎞
Consideremos agora o caso em que ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ − 1 . Seja a um resíduo não-quadrático de p e seja
⎝ p⎠
c um dos inteiros {1,2,3, L , p − 1} . Pela teoria das congruências lineares, existe uma solução
c’ de cx ≡ a (mod p ) , com c’ também no conjunto {1,2,3, L , p − 1} . Veja que c' ≠ c , pois caso
⎛a⎞
contrário teríamos que c 2 ≡ a (mod p ) , o que contradiz ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ − 1 . Assim, os inteiros entre 1
⎝ p⎠
e p − 1 podem ser divididos em ( p − 1) / 2 pares, c e c’, onde cc' ≡ a (mod p ) . Isto nos leva às
( p − 1) / 2 congruências:
c1c1 ' ≡ a(mod p)
c 2 c 2 ' ≡ a(mod p )
M
M
M
M
c ( p −1) c ( p −1) ' ≡ a (mod p )
2
2
Multiplicando-os e observando o produto temos:
c1 .c1 '.c 2 .c 2 '.L c ( p −1) .c ( p −1) ' ≡ a ( p −1) / 2 (mod p)
2
2
Temos que isto é simplesmente um rearranjo de 1.2.3.L.( p − 1) , e então nós temos:
( p − 1) ! ≡ a ( p−1) / 2 (mod p )
Pelo Teorema de Wilson, temos:
a ( p −1 ) / 2 ≡ − 1(mod p )
que é o Critério de Euler quando a não é um resíduo quadrático, ou equivalentemente quando
⎛a⎞
temos ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ − 1 .
■
⎝ p⎠
Teorema 2.5: O Símbolo de Legendre é uma função completamente multiplicativa de a, ou
seja:
⎛ ab ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠⎝ p ⎠
para a e b inteiros não-divisíveis por p.
Demonstração: Pelo Critério de Euler, temos:
⎛ a .b ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ≡ ( a .b ) ( p −1 ) / 2 (mod p )
p
⎝
⎠
Mas sabemos que:
( a .b ) ( p −1 ) / 2 = a ( p −1 ) / 2 b ( p −1 ) / 2
Como temos:
⎛a⎞
⎛b⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ≡ a ( p −1 ) / 2 (mod p ) e ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ b ( p −1 ) / 2 (mod p )
⎝ p⎠
⎝ p⎠
concluímos que,
⎛a
⎛ a .b ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ( a .b ) ( p −1 ) / 2 = a ( p −1 ) / 2 b ( p −1 ) / 2 ≡ ⎜⎜
⎝ p
⎝ p ⎠
⎞⎛ b ⎞
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ (mod p ) .
⎠⎝ p ⎠
■
⎛a ⎞
⎟⎟ = 1 .
Corolário: ⎜⎜
p
⎝
⎠
2
Demonstração:
⎛a⎞
Basta tomar a = b no teorema anterior e considerar o fato de que ⎜⎜ ⎟⎟ = ± 1 .
⎝ p⎠
Teorema 2.6: Para p primo ímpar, temos:
⎛ − 1 ⎞ ⎧ 1, se p ≡ 1(mod4)
⎜⎜
⎟⎟ = ⎨
⎝ p ⎠ ⎩ - 1, se p ≡ 3(mod4)
Demonstração: Pelo Critério de Euler sabemos que:
⎫
⎬
⎭
■
⎛ −1⎞
⎜⎜
⎟⎟ ≡ − 1 ( p −1 ) / 2 (mod p ).
⎝ p ⎠
⎛ −1⎞
⎟⎟ será igual a 1 quando ( p − 1) / 2 for par e igual a -1, quando
Isto nos diz que ⎜⎜
⎝ p ⎠
( p − 1) / 2 for ímpar. Sendo p um primo ímpar, existem apenas duas possibilidades para p
em termos de congruência módulo 4, p ≡ 1(mod 4 ) ou p ≡ 3 (mod 4 ) .
Se p ≡ 1(mod 4 ) , teremos ( p − 1) / 2 par. Se p ≡ 3 (mod 4 ) , existe k tal que
p − 3 = p − 1 − 2 = 4 k e, portanto, p − 1 = 4 k + 2 = 2 ( 2 k + 1) o que implica que
( p − 1) / 2 é ímpar.
⎛ −1⎞
⎟⎟ = 1 e, para p ≡ 3 (mod 4 )
Logo, para p ≡ 1(mod 4 ) , ⎜⎜
⎝ p ⎠
⎛ −1⎞
⎟⎟ = − 1 .
, ⎜⎜
⎝ p ⎠
■
Teorema 2.7: Para todo primo p existem inteiros a, b e c, não todos nulos, tais que se verifica
a seguinte congruência:
a 2 + b 2 + c 2 ≡ 0(mod p )
Demonstração:
Para o caso p = 2 , tomando a = b = 1 e c = 0 , temos 12 + 12 + 0 2 ≡ 0(mod 2) . Para o caso
p ≡ 1(mod 4) , tomamos b = 1 , c = 0 e a como a solução de x 2 ≡ − 1(mod p ) . Temos que
pelo teorema 2.3, se p ≡ 1(mod 4) , a congruência x 2 ≡ − 1(mod p ) tem solução.
Para o caso p ≡ 3(mod 4) , tomamos c = 1 e mostramos a existência de solução para a
congruência:
a 2 + b 2 ≡ −1(mod p )
Sabemos pelo teorema 2.2 que para um primo p ímpar temos ( p − 1) / 2 resíduos quadráticos
e ( p − 1) / 2 resíduos não-quadráticos dentre os números 1,2,3, L , p − 1 . E que se q for
resíduo quadrático, então a congruência:
x 2 ≡ q (mod p )
tem solução, quando p é primo.
Dentre os números 1,2,3, L , p − 1 seja d o menor resíduo positivo não-quadrático módulo p.
Como 1 é resíduo quadrático, d ≥ 2 . Logo, pelo teorema 2.6 temos que se p ≡ 3(mod 4) ,
então,
⎛ −1⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = −1
⎝ p⎠
Como d não é resíduo quadrático, temos que,
⎛d⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = −1
⎝ p⎠
Agora, utilizando o teorema 2.5 temos,
⎛ − d ⎞ ⎛ − 1 ⎞⎛ d ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = (−1)(−1) = 1
⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠⎝ p ⎠
Isto nos diz que –d é um resíduo quadrático módulo p, ou seja, a congruência
x 2 ≡ − d (mod p ) possui solução. Seja b tal que b 2 ≡ − d (mod p ) . Precisamos achar um “a”
conveniente tal que a 2 ≡ d − 1(mod p ) . Logo, teremos
a 2 ≡ d − 1(mod p )
b ≡ − d (mod p)
2
a 2 + b 2 ≡ −1(mod p )
Mas, a 2 ≡ d − 1(mod p ) tem solução, pois uma vez que d ≥ 2 e d − 1 < d e d é o menor
resíduo não-quadrático positivo módulo p, logo d − 1 é resíduo quadrático módulo p.
Então, a congruência:
a 2 + b 2 ≡ −1(mod p )
tem solução e, conseqüentemente, a congruência:
a 2 + b 2 + c 2 ≡ 0(mod p )
■
se verifica.
3 - Soma de Quadrados
Agora vamos ver alguns resultados que nos ajudarão dar uma caracterização dos números
inteiros positivos que podem ser representados como a soma de dois, três ou quatro quadrados
de números inteiros.
3.1 - Soma de dois quadrados
Primeiramente, vamos tentar resolver a equação abaixo:
x2 + y2 = n
com n, x e y sendo números inteiros e n ≥ 0 . O grande problema é: para quais valores de n a
equação tem solução no conjunto dos números inteiros?
O que é equivalente a dizer: quais são os números inteiros positivos que podem ser escritos
como soma de dois quadrados de números inteiros
Vamos começar com um caso particular onde n é um primo p, ou seja, quais são os números
primos que satisfazem esta equação?
x2 + y2 = p
Para responder a esta questão temos o seguinte resultado:
Teorema 3.1: Sendo p um número primo, a equação x 2 + y 2 = p possui solução se, e somente
se, p = 2 ou p ≡ 1(mod4).
Demonstração: Observamos inicialmente que 2 = 1 2 + 12 . Já sabemos que para todo primo
ímpar p temos que:
p ≡ 1(mod 4 ) ou p ≡ 3(mod 4 )
Como para todo inteiro a, temos que a 2 ≡ 0 ou 1(mod 4 ) , temos que
x 2 + y 2 ≡ 0 , 1 ou 2 (mod 4 )
Se x 2 + y 2 = p , então, p ≡ 1(mod 4 ) .
Agora, temos que mostrar que todo p satisfazendo p ≡ 1(mod 4 ) pode ser expresso como a
soma de dois quadrados.
Tomamos um primo p ≡ 1(mod 4 ) . Pelo teorema 2.3 temos que existe um inteiro x tal que
x 2 ≡ − 1(mod p ) . Com este x definimos uma função
⎣ ⎦
f ( u , v ) = u + xv
e tomamos
m =
p . Como p não é um número inteiro temos m < p < m + 1 . Consideramos
os pares ( u , v ) de inteiros onde 0 ≤ u ≤ m e 0 ≤ v ≤ m . Desta forma, vemos que u pode
assumir m + 1 valores e v, também, pode assumir m + 1 valores. Portanto, o número total de
pares é ( m + 1) 2 . Como m + 1 > p temos que ( m + 1) 2 > p , ou seja, o total de pares é
superior a p. Como um sistema completo de resíduos módulo p possui exatamente p
elementos, concluímos que se considerarmos f ( u , v ) módulo p teremos mais números do
que classes de resíduos para colocá-los. Logo, pelo “Princípio de Dirichlet” (que diz: “Se n +
1 objetos são colocados em n gavetas, então pelo menos uma gaveta deverá conter, pelo
menos, dois objetos”.) temos que existem pelo menos dois pares distintos na mesma “gaveta”,
ou seja, existem pares distintos ( u 1 , v 1 ) e ( u 2 , v 2 ) com coordenadas satisfazendo
0 ≤ u i ≤ m e 0 ≤ v i ≤ m com ( i = 1, 2 ) para os quais temos:
f ( u 1 , v 1 ) ≡ f ( u 2 , v 2 )(mod p ).
Isto equivale a u 1 + xv 1 ≡ u 2 + xv 2 (mod p ) , isto é, u 1 − u 2 ≡ − x ( v 1 − v 2 )(mod p ) .
Elevando-se ao quadrado ambos os termos desta última congruência temos:
( u 1 − u 2 ) 2 ≡ x 2 ( v 1 − v 2 ) 2 ≡ − 1( v 1 − v 2 ) 2 (mod p )
Definindo a = u 1 − u 2 e b = v 1 − v 2 obtemos:
a 2 + b 2 ≡ 0 (mod p )
Ou seja, p | ( a 2 + b 2 ) . Como os pares ( u 1 , v 1 ) e ( u 2 , v 2 ) são distintos, a e b são ambos
não nulos, temos que ( a 2 + b 2 ) > 0 .
Sendo u 1 e u 2 inteiros no intervalo [0 , m ] temos que a = u 1 − u 2 satisfaz − m ≤ a ≤ m .
Também para b = v 1 − v 2 temos − m ≤ b ≤ m , pela mesma razão. Como m <
concluímos que | a | <
p e |b |<
p
p . Isto nos diz que a 2 + b 2 < 2 p .
Logo, a 2 + b 2 é um inteiro divisível por p e satisfazendo 0 < a 2 + b 2 < 2 p . Como o
único inteiro múltiplo de p neste intervalo é p, concluímos que a 2 + b 2 = p .
Agora, veremos um resultado mais geral que nos permitirá caracterizar todos os inteiros que
■
possuem representação como soma de quadrados.
Teorema 3.2: Um inteiro n pode ser expresso como a soma de dois quadrados se, e somente
se, tiver fatoração da forma:
n = 2 α p 1α 1 p 2α 2 ... p rα r q 1β 1 q
β 2
2
βs
... q
s
Onde pi ≡ 1(mod 4) e q j ≡ 3(mod 4) ,e i = 1, 2,..., r, e j = 1, 2,..., s, e todos os expoentes β
são pares.
j
Demonstração:
Neste resultado utilizaremos a seguinte identidade, que é verdadeira para quaisquer números
inteiros a, b, c e d.
(Identidade - 1) Para quaisquer números inteiros a, b, c e d, temos que:
( a 2 + b 2 ).( c 2 + d 2 ) = ( ac + bd ) 2 + ( ad − bc ) 2
A demonstração desta identidade é simples, basta desenvolver separadamente os dois lados da
identidade e comparar os dois termos finais.
Esta identidade nos diz que o produto de números que podem ser representados pela soma de
dois quadrados também pode ser representado como soma de dois quadrados. Observando
então a expressão:
n = 2 α p 1α
1
p
α 2
2
... p
αr
r
q 1β 1 q
β 2
2
... q
βs
s
Vamos tentar reescrever cada fator como uma soma de dois quadrados. Sabemos que
2 = 1 2 + 1 2 . Pelo teorema 3.1, todos os pi’s podem ser representados como soma de dois
quadrados , pois p i ≡ 1(mod 4 ) .
Logo, se todos os
diz que q
β
j
j
β
= (q
j
forem pares, cada um pode ser reescrito como β j = 2 . β j ' . O que nos
2
j
)
β
j
'
.
Mas q 2j = q 2j + 0 2 . Ou seja, q 2j pode ser escrito como a soma de dois quadrados.
Agora, usando a identidade citada antes, podemos dizer que se todo termo da expressão
n = 2 α p 1α 1 p
α 2
2
... p
αr
r
q 1β 1 q
β 2
2
... q
βs
s
pode ser reescrito com uma soma de dois quadrados, então temos um produto de números que
podem ser representados como a soma de dois quadrados, mas segundo a identidade, o
produto de números que podem ser representados com soma de dois quadrados também pode
ser representado como soma de dois quadrados. Logo, n pode ser representado como uma
soma de dois quadrados.
Agora, vamos supor que n possa ser representado como a soma de dois quadrados e que
algum β j seja ímpar.
Seja d = ( a , b ) , onde a e b são inteiros e a 2 + b 2 = n . Como d|a e d|b, temos que
a
b ⎞
a = k 1 d e b = k 2 d . Sabemos que ⎛⎜
,
⎟ = 1 , isto é, ( k 1 , k 2 ) = 1 .
d ⎠
⎝ d
n
Como d²|n, temos n = kd 2 . Logo, k =
, mas temos que
d 2
n = a
2
+ b
2
= ( k 1 d ) 2 + ( k 2 d ) 2 , então,
n
( k1d ) 2 + ( k 2 d ) 2
k =
=
= k 12 + k 22 .
2
2
d
d
Como estamos supondo
β
1
ímpar, o expoente de q 1 em k será ímpar, pois k =
n
.
d 2
Logo, q 1 | k e como ( k 1 , k 2 ) = 1 , podemos concluir que
(q1 , k1 ) = (q 2 , k 2 ) = 1 .
Temos que k 1 x ≡ k 2 (mod q 1 ) tem solução.
Logo,
0 ≡ k = k 12 + k 22 ≡ k 12 + k 12 x 2 ≡ k 12 (1 + x 2 )(mod q 1 ) .
não divide k 12 temos que x 2 + 1 ≡ 0 (mod q 1 ) , ou seja, x 2 ≡ − 1 (mod q 1 ) .
Sendo q 1 ≡ 3 (mod 4 ) , sabemos pelo teorema 2.3 que esta última congruência não é
■
possível. Logo, todos β j devem ser pares.
Como q
1
No caso da representação de inteiros positivos como a soma de três quadrados, temos o
seguinte resultado:
3.2 - Soma de três quadrados
Teorema 3.3: Todo inteiro da forma 8 a + 7 com a ∈ Z , não pode ser representado como a
soma de três quadrados.
Demonstração: Seja n um inteiro. Pela teoria das congruências temos que n satisfaz apenas
uma dessas congruências:
n
n
n
n
n
n
n
n
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
0 (mod
1(mod
2 (mod
3 (mod
4 (mod
5 (mod
6 (mod
7 (mod
8)
8)
8)
8)
8)
8)
8)
8)
Se elevarmos ao quadrado as congruências, teremos:
n 2 ≡ 0 (mod 8 )
n 2 ≡ 1 (mod 8 )
n 2 ≡ 4 (mod 8 )
n 2 ≡ 1 (mod 8 )
n 2 ≡ 0 (mod 8 )
n 2 ≡ 1 (mod 8 )
n 2 ≡ 4 (mod 8 )
n 2 ≡ 1 (mod 8 )
Logo, temos que n 2 ≡ 0 , 1 ou 4 (mod 8 ) . Como a soma de três números congruentes a 0, 1
ou 4 módulo 8 nunca é congruente a 7 módulo 8 e todo inteiro da forma 8 a + 7 com a ∈ Z ,
■
é congruente a 7 módulo 8, concluímos a demonstração do teorema.
3.3 - Soma de quatro quadrados
Vamos falar sobre a representação de números inteiros positivos como a soma de quatro
quadrados. Nesse assunto, temos um importante teorema conhecido como “Teorema de
Lagrange”, resultado este que já foi citado na introdução desse trabalho como a solução do
problema:
No caso em que k = 2 , será que existe s = s (2) , tal que a equação:
n = x12 + x 22 + x32 + L + x s2
Queremos que esta equação sempre tenha solução, para um número fixo s.
Para o caso em que s = 2 .
Já vimos que existem números que não podem ser representados como a soma de dois
quadrados, um exemplo são os primos p que são congruentes a 3 módulo 4. Logo s ≠ 2 .
Para o caso em que s = 3 .
Já vimos também que todo número inteiro da forma 8 a + 7 com a ∈ Z , não pode ser
representado como a soma de três quadrados. Logo s ≠ 3 .
E agora para o caso s = 4 , será que existem inteiros positivos que não podem ser
representados como a soma de quatro quadrados?
Comentamos na introdução deste trabalho que Lagrange em 1770 havia resolvido o problema
de Waring para o caso acima, ou seja, não existe nenhum número inteiro positivo que não
pode ser representado como a soma de quatro quadrados. Logo, quando s = 4 , a equação
acima sempre tem solução para todo n ∈ IN . Veremos este resultado no teorema a seguir,
mas antes vamos ver uma identidade semelhante à identidade 1 vista anteriormente, que vai
ser muito importante na demonstração do teorema a seguir.
(Identidade – 2) Para quaisquer a, b, c e d ∈ Z , temos a seguinte identidade:
(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ).(r 2 + s 2 + t 2 + v 2 ) = (ar + bs + ct + dv) 2 +
(as − br − cv + dt ) 2 +(at + bv − cr − ds) 2 + (av − bt + cs − dr ) 2
A demonstração desta identidade também é simples, basta desenvolver separadamente os dois
lados da identidade e comparar os dois termos finais.
Esta identidade nos diz claramente que o produto de números possuindo representação como
soma de quatro quadrados possui, também, representação como soma de quatro quadrados.
Feita esta observação podemos mostrar o teorema a seguir.
Teorema 3.4: (Teorema de Lagrange) Todo inteiro positivo possui representação como a
soma de quatro quadrados.
Demonstração: Como temos que o produto de números inteiros que possuem representação
como soma de quatro quadrados possui, também, representação como soma de quatro
quadrados, e que todo inteiro pode ser escrito como o produto de fatores primos, então vamos
mostrar que todo primo possui representação como a soma de quatro quadrados.
Temos que 2 = 12 + 12 + 0 2 + 0 2 . Agora, seja p um primo ímpar. Pelo teorema 2.7, existem
inteiros a, b e c tais que:
a 2 + b 2 + c 2 ≡ 0(mod p )
Esta congruência pode ser escrita como:
(*)
onde M é um inteiro e d = 0 .
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = Mp
A equação ( * ) e o Princípio da Boa Ordem (que diz: “Todo conjunto não-vazio de inteiros
positivos contém um elemento mínimo”), nos garantem a existência de um menor inteiro m
satisfazendo ( * ), isto é:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = mp
Como em a 2 + b 2 + c 2 ≡ 0(mod p) estamos trabalhando módulo p e a, b e c estão elevados ao
⎡ p⎞
quadrado, podemos tomar a, b e c no intervalo ⎢0, ⎟ em a 2 + b 2 + c 2 ≡ 0(mod p ) e ( * ).
⎣ 2⎠
Logo,
2
⎛ p⎞
mp = a + b + c + d < 4⎜ ⎟ = p 2 , isto é, m < p .
⎝2⎠
2
2
2
2
Para concluir a demonstração será suficiente provarmos que m = 1 . Vamos mostrar que a
suposição m > 1 nos leva a obtenção de um inteiro 0 ≤ m' < m , que também nos fornece uma
representação para m' p como soma de quatro quadrados, o que contradiz a forma como m foi
escolhido. Separamos em dois casos: m ímpar e m par.
Seja m > 1 e m ímpar. Em
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = mp
⎡ m⎞
podemos escolher a1 , b1 , c1 e d 1 no intervalo ⎢0, ⎟ satisfazendo às equações
⎣ 2⎠
a1 ≡ a(mod m) , b1 ≡ b(mod m) , c1 ≡ c(mod m) e d 1 ≡ d (mod m) .
Desta forma, temos que a12 + b12 + c12 + d 12 ≡ 0(mod m) , o que nos garante a existência de
m' ≥ 0 tal que
a1 + b1 + c1 + d 1 = m' m .
2
2
2
2
m
temos que m' < m . A suposição
2
m’ = 0 nos leva a uma contradição, pois se m’ = 0 então a1 = b1 = c1 = d 1 = 0 e, portanto,
Como os inteiros a1 , b1 , c1 e d 1 são todos menores que
a ≡ b ≡ c ≡ d ≡ 0(mod m) , o que implica m 2 | mp . Como m 2 | mp implica m | p temos uma
contradição, pois 1 < m < p . Logo, m' ≠ 0 . Da identidade 2, a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = mp e
a1 + b1 + c1 + d 1 = m' m , temos
2
(#)
2
2
2
mpm' m = m 2 pm' = (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )(a12 + b12 + c12 + d 12 ) = (aa1 + bb1 + cc1 + dd 1 ) 2
+ (ab1 − ba1 − cd1 + dc1 ) 2 + (ac1 + bd1 − ca1 − db1 ) 2 + (ad1 − bc1 + cb1 − da1 ) 2
Como a ≡ a1 , b ≡ b1 , c ≡ c1 e d ≡ d 1 (mod p) e a 2 ≡ aa1 , b 2 ≡ bb1 , c 2 ≡ cc1 e
d 2 ≡ dd 1 (mod m) , vemos que as quatro expressões que estão elevadas ao quadrado do lado
direito da última igualdade são múltiplos de m. Portanto, existem inteiros a, b, c e d tais que
(#) pode ser escrita como:
m 2 pm' = (am) 2 + (bm) 2 + (cm) 2 + (d m) 2
2
2
2
2
ou seja, pm' = a + b + c + d onde m' < m .
Resta-nos agora mostrar que no caso m par também podemos encontrar m < m tal que m p é
a soma de quatro quadrados.
É fácil ver que, para m par, necessariamente os inteiros a, b, c e d devem ser todos pares, dois
pares e dois ímpares ou todos ímpares. Em qualquer um destes três casos podemos escolher a,
b, c e d satisfazendo a ≡ b(mod 2) e c ≡ d (mod 2) , o que nos permite escrever:
2
2
2
2
m ⎛ a −b ⎞
⎛ a +b ⎞
⎛ c−d ⎞
⎛ c+d ⎞
p =⎜
⎟ +⎜
⎟ +⎜
⎟ +⎜
⎟
2 ⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
m
< m , obtemos uma expressão para m p como a soma de quatro
2
quadrados. Pelas observações feitas anteriormente, concluímos que m = 1 , ou seja, o primo p
pode ser expresso como soma de quatro inteiros sendo cada um deles um quadrado.
■
Portanto, tomando m =
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja,
que não possa um dia ser aplicado aos fenômenos do mundo real.
Lobatchevsky.
4 - Referências Bibliográficas
[1] Cardoso Jr., A.L., O Anel dos Vetores de Witt e o Problema de Waring – UNB,
Departamento de Matemática, Brasília, 2006.
[2] Domingues, H.H. e Iezzi, G., Álgebra Moderna – Atual Editora, São Paulo, 1982.
[3] Hardy, G.H. e Wright, E. M., An Introduction to the Theory of Numbers – Oxford Science
Publications, Oxford, 1979.
[4] Moreno, J. C. e Wagstaff, Samuel S., Suns of Squares of Integers – Chapman & Hall,
EUA, 2006.
[5] Santos, J. P. O., Introdução à Teoria dos Números – Coleção Matemática Universitária,
IMPA, Rio de Janeiro, 2006.
DINÂMICA DO SISTEMA CARRO-PÊNDULO
Rafael Alves Figueiredo1, Márcio José Horta Dantas2
Faculdade de Matemática – FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia – UFU
Resumo
O objetivo principal desse trabalho é estudar e investigar a estabilidade de um sistema
dinâmico não linear, precisamente o sistema carro-pêndulo. O modelo do sistema é obtido
através da formulação de Lagrange. Tendo o modelo do sistema, utilizam-se dois métodos
para analisar e classificar a estabilidade do mesmo, sendo o Teorema de Linearização de
Lyapunov-Poincaré e a Função de Lyapunov. Utilizando o Teorema de Linearização de
Lyapunov, os estudos são desenvolvidos seguindo o procedimento usual, isto é, determinação
dos pontos de equilíbrio, linearização do sistema de equações em uma vizinhança dos pontos
de equilíbrio e o estudo da estabilidade desses pontos. Por outro lado, a Função de Lyapunov
classifica os pontos de equilíbrio do sistema sem linearizá-lo.
Palavras-chave: sistemas dinâmicos, pontos críticos, estabilidade, teoria de Lyapunov,
função de Lyapunov.
1. Introdução
Em diversos problemas práticos de mecânica, as equações matemáticas que descrevem
o seu comportamento são equações diferenciais ordinárias não lineares. Naturalmente, quando
se consideram pequenas amplitudes das oscilações envolvidas, estas equações podem ser
aproximadas por outras que são lineares. No entanto, como a prática tem demonstrado, cada
vez mais é necessário ter modelos mais realistas. Com isto a consideração das equações não
lineares originais é inevitável. Assim, o interesse pela teoria de sistemas dinâmicos ganhou
um grande impulso.
O modelo do sistema carro-pêndulo analisado nesse trabalho, é constituído por um
carro de massa que desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito, que está ligado à
parede por uma mola e um amortecedor c, onde o carro serve de eixo de rotação de um
pêndulo simples de massa e comprimento .
As equações que descrevem seu
movimento, são equações não lineares, que pertencem a classe de problemas não ideais. O
estudo desse sistema dinâmico oferece estudos interessantes de seu comportamento.
2. Cálculo das Variações
Queremos encontrar o caminho mais curto entre dois pontos em uma superfície curva.
Suponhamos que os dois pontos sejam dados por , e , . Tomemos uma
curva passando por eles representada por uma equação , tal que a função satisfaça as condições de contorno
1
2
Bolsista do PIBIC/CNPq/UFU e-mail: [email protected]
Professor orientador, e-mail: [email protected]
,
.
(1)
Consideremos dois pontos vizinhos nesta curva. O comprimento total da curva é dado por
1 / .
2
O problema, portanto, é encontrar aquela função que, sujeita às condições de contorno
(1), minimize a integral (2).
Este problema difere do tipo usual de problemas de valor mínimo, pois o que temos
que variar não é uma única variável ou conjunto de variáveis, mas uma função . De
qualquer modo, podemos aplicar o mesmo critério: quando a integral tem um valor mínimo,
seu valor não deve mudar em primeira ordem por uma pequena variação na função .
De um modo geral, estamos interessados em encontrar valores estacionários (máximos
ou mínimos, neste caso mínimo) de uma integral da forma
, ,
3
onde , é uma função especificada de y e sua primeira derivada. Resolveremos este
problema geral e aplicaremos o resultado à integral (2). Considere uma função : ! , " # $
derivável tal que 0. Seja uma função que satisfaça (1). Então dado & ' $,
temos que também a função # & satisfaz as mesmas condições de contorno.
Considere a função
(& )
&, & *.
Se é um mínimo da integral dada em (3), temos que (& + (0. Assim, ( tem um
mínimo em & 0.
Observemos que (: ,-, - # $. Portanto, o problema inicial de minimizar a integral
(3), relaciona-se com o problema de minimizar a função (, de variável real, no ponto & 0.
Na literatura em física, normalmente indica-se a função , por .
. Daqui em diante
vamos sempre usar esta notação adotada em física, mas sem perder o seu correto significado
matemático dado anteriormente.
Particularmente . / ( 0.
Consideremos uma pequena variação .
da função , sujeita à condição de que
os valores de nos pontos extremos não sejam alterados (vide Fig. 1):
.
0,
.
0.
(4)
Figura 1- Pequena variação .
da função .
Em primeira ordem, a variação de , é
. 01
02
4
01
.
02 .
3, onde .
4 .
.
Assim, a variação da integral é
6 6
.
7 .
. 5 .
6
3 6
No segundo termo podemos efetuar uma integração por partes. O termo integrado, isto
01
é 802 .
9
se anula nos limites por causa da condição (4). Obtemos, assim,
. 5
6 6
: ;7 .
.
,
6
6
5
Agora, para que seja mínima (estacionária), esta variação . deve se anular para uma
pequena variação .
arbitrária. Pode-se mostrar que isto só é possível se o integrando se
anula identicamente. Exigimos assim que:
6 6
: ; 0.
,
6
6
6
Esta equação é conhecida como a de Euler-Lagrange. Em geral ela é uma equação
diferencial de segunda ordem para a função , cuja solução contém duas constantes
arbitrárias que podem ser determinadas a partir dos valores conhecidos de em e .
Podemos agora resolver nosso problema inicial. Comparando (2) e (3), devemos escolher
, 1 /,
e portanto
6
0,
6
3
6
.
6
3 1 /
Assim, a equação (6) de Euler-Lagrange fica
3
? 0.
>
1 /
Esta equação diz que a expressão dentro dos colchetes é uma constante e, portanto,
que 3 é uma constante. Assim, suas soluções são as retas @ A.
Portanto, o caminho mais curto entre dois pontos é um segmento de reta. As
constantes @ e A são obviamente fixadas pelas condições (1).
É fácil generalizar a discussão para o caso de uma função de B variáveis
C , C , … , CE , e suas derivadas temporais CF , CF , … , CF E . Para que a integral
H
C , C , … , CE , CF , CF , … , CF E G
H
seja estacionária, o seu valor não deve mudar, em primeira ordem por uma variação em
qualquer uma das funções CI G J 1, 2, … , B, sujeitas às condições CI G CI G 0.
Obtemos assim B equações de Euler-Lagrange
6
6
, : ; 0, J 1, 2, … , B.
6CI G 6CF I
7
Estas B equações diferenciais de segunda ordem determinam as B funções CI G
contendo 2B constantes arbitrárias de integração.
3. Princípio de Hamilton; Equações de Lagrange
As equações de movimento de uma partícula, que se move sob a ação de uma força
conservativa, podem ser escritas como as equações de Euler-Lagrange correspondentes a uma
integral adequada. Definimos a função lagrangiana L , M
L F F NF , M, , N
(8)
onde L é a energia cinética do sistema, expressa em termos das coordenadas cartesianas , , N
e de suas primeiras derivadas em relação ao tempo, M é a energia potencial do sistema, sendo
expressa somente em termos das coordenadas cartesianas , , N.
Suas derivadas são
6
F O ,
6F
6
F O2 ,
6
F
6
NF OR ,
6NF
6M
6
P ,
,
6
6
6M
6
P2 ,
,
6
6
6M
6
PR .
,
6N
6N
9
Com isso as equações do movimento OF P , OF2 P2 e OFR PR podem ser escrita do
seguinte modo
6
6
,
: ;
6
G 6F
6
6
,
: ;
6
G 6
F
6
6
,
: ;
6N
G 6NF
10
que têm exatamente a forma de uma equação de Euler-Lagrange correspondente à integral
H
G .
11
H
Esta integral denomina-se integral de ação. Obtivemos assim o princípio de Hamilton
da ação mínima: a integral de ação é estacionária, por variações arbitrárias ., .
, .N, que se
anulam nos limites de integração G e G .
A importância deste princípio reside no fato de que ele pode ser imediatamente
aplicado em qualquer sistema de coordenadas. Se, ao invés de coordenadas cartesianas , , N,
usarmos um conjunto de coordenadas curvilíneas C , C , CS , então poderemos exprimir a
função lagrangiana L , M em termos de C , C , CS , e suas derivadas temporais CF , CF , CF S .
A integral de ação (11) deverá então ser estacionária com relação a variações arbitrárias
.C , .C , .CS, sujeitas à condição de se anularem nos limites G e G . E assim obteremos
6
6
,
: ;
6CI
G 6CF I
J 1, 2, 3.
12
Estas são as equações de Lagrange. São as equações de movimento em termos das
coordenadas C , C , CS .
Exemplo: A posição de um ponto na superfície de um cone de revolução de ângulo 2 T é
especificada pela distância U do vértice e pelo ângulo azimutal V em torno do eixo. Vamos
mostrar que o caminho mais curto, sobre a superfície, entre dois pontos dados é especificado
por uma função UV que obedece à equação
U U
, 2 : ; , U sin T 0.
U
V
V Seja, , , N UV sin T cos V , UV sin T sin V , UV cos T.
Figura 2- Cone de revolução de ângulo 2 T.
V
O caminho mais curto, sobre a superfície do cone é o que minimiza a função V #
\
3 3 N3 / V.
\]
Observe que 3 3 N3 / equivale à U3 U sin T/ U, U .
Para obtermos o caminho mais curto sobre a superfície do cone, U, U tem que satisfazer a
equação de Euler-Lagrange. A equação de Lagrange toma a forma
U sin T
6
6U U3 U sin T/
U33U3 U sin T/ U3 U33 UU3 sin T
6
, : ;
U3 U sin TS/
U3 U sin T
V 6U3
onde,
6
6
: ; 0.
,
6U V 6U3
Portanto, temos que
U U3 sin T U S sin^ T , U3 U , U U U3 U U U3 sin T 0.
Logo, segue que U U33 , 2U3 , U sin T 0, como queríamos mostrar.
4. Mecânica Lagrangiana
As equações do movimento para um sistema de _ partículas movendo-se sob a ação
de forças conservativas podem ser obtidas de uma função lagrangiana em termos de qualquer
conjunto de 3 _ coordenadas independentes.
Para se obter uma forma mais geral das equações de Lagrange que a obtida
anteriormente, considere por um momento, o caso de uma única partícula. Suponhamos que
ela se mova sob a ação de uma força arbitrária P e consideremos variações da integral:
H
L G ,
13
H
onde L ÙF a e Ù , , N.
Considere t# G & G, com & ' $ e G G 0, então pela definição de
. temos
H
. G G G.
G
G
H
Efetuando uma integração por partes, obtemos
H
. , H
GG G
G e pela segunda lei de Newton
G P)G*.
G
Assim,
H
. , P)G*G G,
H
onde a função é neste caso por definição ..
Agora o integrando é P. ,.b, onde .b é o trabalho dado pela força P no
deslocamento .. Analogamente, se fizermos variações de todas as três coordenadas, obtemos
H
. , .b G ,
14
H
onde .b P̀. .Ù trabalho dado pela força no deslocamento .Ù.
Por conseqüência, podemos usá-lo para obter equações do movimento em termos de
um conjunto arbitrário de coordenadas C , C , CS . Definamos as forças generalizadas P , P , PS
correspondentes a P̀ por
.b P .C P .C PS .CS .
(15)
Então podemos igualar . dada por (14) com a expressão geral (5). Consideremos, por
exemplo, uma variação .C de C . Então, de acordo com (5),
H
. 5
H
6L
6L
;7 .C GG.
, :
6C G 6CF Por outro lado, por (14) e (15),
H
. , P .C GG.
H
Estas duas expressões devem ser iguais para variações arbitrárias, sujeitas somente à
condição de que .C G .C G 0. Por conseqüência, os integrandos devem ser iguais e
obtemos as equações de Lagrange na forma
6L
6L
PT .
;
:
6CT
G 6CF T
16
5. Equações não Lineares
Não existem métodos sistemáticos que possam resolver o sistema de equações
diferenciais de primeira ordem
g
G
e
e G
f
e
eE
d G
G, , , … , E G, , , … , E i
h
17
E G, , , … , E quando as funções I não forem lineares em , … , E . Entretanto, em boa parte das aplicações
reais, não é necessário conhecer expressões analíticas para as soluções G do sistema (17), e
sim algumas de suas propriedades.
5.1 Sistemas Autônomos
Um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem da forma
I
I , , … , E , J 1, 2, … , B
G
é denominado sistema dinâmico (ou autônomo, pois as funções I não dependem
explicitamente do tempo t). As variáveis , , … , E são as variáveis de estado do sistema.
Resumidamente podemos escrevê-lo na forma
j
kj, j ' $E .
G
O estudo destas equações é feito com base no seguinte teorema.
Teorema de Existência, Unicidade e Dependência de Parâmetros para Soluções do
Problema de Cauchy:
Seja kj, l um campo vetorial em $E definido e continuamente diferenciável com relação a
j, l ' $E m $n em uma vizinhança de 0, 0. Então, existem . o 0 e . o 0 tal que para
todo plp q . existe uma única solução de
r
jF kj, s i
j0 0
18
definida em um intervalo G ' ,. , . e jG, l é uma função continuamente diferenciável
com relação a G e l.
Para mais detalhes veja [1].
Consideremos agora o sistema de segunda ordem
P, G
i
u
v, G
19
onde F e G são funções contínuas de e , com derivadas parciais contínuas;
P, , v, é um campo vetorial no plano-xy, as órbitas são as curvas integrais desse
campo e, portanto, em cada ponto, são curvas tangentes ao campo (vide Fig. 3).
Figura 3- Órbita de uma solução no espaço de fase , ' $ e no espaço de fase estendido
, , G.
É freqüentemente possível obter informações sobre a órbita de uma solução sem
conhecermos a própria solução. Seja G, G uma solução do sistema (19). Se
4
w 0 em G Gx , então podemos obter o valor de G G numa vizinhança do ponto
4H
x Gx e, desta forma, para G próximo de Gx , a órbita da solução G, G é a
curva G. Como
G /G v, ,
·
G /G P, as órbitas das soluções de (18) são as curvas-soluções da equação
v, .
P, 20
Entretanto, em um ponto x , x em que P x , x v x , x 0, a expressão
acima perde o significado. Denominamos estes pontos de críticos.
Se x , x for um ponto crítico de (19) então G x e G x é uma solução do
sistema e tal solução constante é a única que passa pelo ponto x , x .
A órbita desta solução constante é o próprio ponto crítico e nesta posição dizemos que
a partícula que descreve a trajetória está em equilíbrio ou em repouso.
É interessante, do pondo de vista qualitativo, saber se esta posição de equilíbrio é
estável, isto é, se uma pequena perturbação na posição de equilíbrio da partícula resultará em
um retorno ou em um afastamento desta posição.
Considere um sistema autônomo jF j; j ' $E nas vizinhanças do ponto crítico
j , satisfazendo as condições do Teorema de Existência.
Então, j 0 e jG z j é a solução de equilíbrio.
Dizemos que o ponto de equilíbrio j do sistema jF j é estável se, dado - o 0, é
possível determinar um . o 0 dependente apenas de - tal que se p{ , j p q ., a solução
jG, { do problema de Cauchy
r
jF j i
j0 {
existe para G o 0 e
p|G, { , jG, j p p|G, { , j p q - para todo G o 0.
Ou seja, todas as soluções que partem suficientemente próximas de j são definidas
para todo G o 0 e se mantêm perto deste ponto.
Observe que a solução de equilíbrio existe para todo G o 0 e a estabilidade desta
solução pode ser interpretada como uma continuidade uniforme (para G o 0) das soluções
com respeito às condições iniciais, isto é, para condições iniciais suficientemente próximas de
j a solução do problema de Cauchy existe para todo G o 0 e se mantém uniformemente
próxima da solução de equilíbrio (vide Fig. 4).
Dizemos que o ponto de equilíbrio j de jF j é assintoticamente estável se for
estável e, além disto,
limH# |G, { j (vide Fig. 5).
Um ponto crítico é instável se existe um - o 0 e pelo menos uma solução do sistema
que não permanece indefinidamente na bola p| , j p q - (vide Fig. 6).
Figura 4- Órbita fechada em torno do ponto de equilíbrio j x , x .
Figura 5- Órbitas que nascem suficientemente próximas de j x , x se aproximam deste
ponto quando G # ∞.
Figura 6- O ponto j x , x é instável.
5.2 Sistemas Autônomos Lineares- Estudo Qualitativo no Plano
Um sistema autônomo linear de segunda ordem é da forma
@ A
G
i
u
G
21
onde os coeficientes @, A, , são considerados constantes.
Para este sistema, o ponto de equilíbrio é a origem 0, 0. Este ponto é isolado, isto é,
é o único ponto de equilíbrio de (21) no disco
0,0 , ' $ : q -
se @ , A w 0. De fato, o sistema
r
@ A
0i
0
@ A
@ , A w 0.
tem solução 0, 0 única se
Podemos reduzir o sistema (21) numa equação diferencial de segunda ordem. Supondo
que A w 0, tiramos o valor de na primeira equação de (21)
1 @
, .
A G A
Agora, derivando ambos os membros desta equação e substituindo o valor de
na primeira equação do sistema (21), obtemos
1 @ 1 @
,
, ; :
A G A G
A G A
ou
42
4H
dado
@
@ , A 0.
,
G
G O polinômio característico associado a esta equação é dado por
, @ @ , A 0
cujas raízes são
@ @ , 4@ , A
2
@ , @ , 4@ , A
.
2
e
Se w , a solução geral de (22) é dada por
G H ] H
G
, @ H
, @ H
] .

A
A
Se , a solução geral de (21) é dada por
e
G H
G H
onde , e apenas duas das constantes , , e são independentes.
O fato de supormos @ , A w 0 nos dá w 0 e w 0.
Se A 0, resolvemos diretamente a primeira equação e encontramos G H .
Substituindo este valo na segunda equação encontramos
H

se w @
G 4H @,
ou
G 4H 4H se @.
De uma maneira geral a solução do sistema (21) é dada por
G H ] H ,
G H ] H
22
onde entre cada duas constantes , e , , apenas uma é independente.
Desta forma, o estudo da natureza do ponto crítico 0, 0 fica restrito ao
comportamento dos valores de e , pois será:
1. estável, se e permanecerem limitados, quando G # ∞;
2. assintoticamente estável se # 0 e y# 0, quando G # ∞;
3. instável se # ∞ ou y# ∞, quando G # ∞.
Podemos simplificar as várias alternativas em relação ao comportamento das raízes
e , colocando
Δ @ , 4@ , A
O @ e C @ , A w 0.
Uma variação dos sinais de Δ, O e C nos leva a tipos de estabilidades diferentes. Vejamos:
1. Raízes e reais e distintas Δ o 0.
a. e têm o mesmo sinal C o 0:
(i) o 0 e o 0 O o 0 ponto instável;
(ii) q 0 e q 0 O q 0 ponto assintoticamente estável.
O ponto de equilíbrio, neste caso, é denominado nó ou nódulo.
b. e têm sinais opostos C q 0:
o 0 e q 0
ou
q 0 e o 0
Tomando a expressão geral (22) da solução do sistema (21), observamos que para alguns
valores das constantes , e , é possível que G # 0 e G # 0 quando G # ∞,
enquanto que com outros valores destas constantes G ou G se tornam ilimitados. Neste
caso, o ponto de equilíbrio é chamado ponto de sela (equilíbrio instável).
2. Raízes e reais e iguais Δ 0.
A solução geral de (21) é dada por
G H , G H .
Se O o 0, @ ⁄2 o 0 e, portanto, a direção do movimento em todas as órbitas
se afastará do ponto crítico 0, 0, que será instável.
Se O q 0, @ ⁄2 q 0. Neste caso, independentemente dos valores das
constantes , , e , a direção do movimento se aproximará do ponto de equilíbrio
0, 0 que será, assintoticamente estável.
3. Raízes e complexas conjugadas Δ q 0.
As raízes do polinômio característico , @ @ , A 0 são
J
e
, J
e a solução geral de (21) toma a forma
G H cos G sin G,
G H cos G sin G)
onde somente duas das constantes , , e são independentes. Como as partes
trigonométricas de G e G são limitadas, a natureza do ponto crítico 0, 0 é determinada
pelo sinal da parte real das raízes

@ O
.
2
2
Se q 0, o movimento de todas as trajetórias é em direção ao ponto crítico
(estabilidade assintótica) e, se o 0, acontece o contrário (instabilidade).
Se 0, J e ,J, o movimento é periódico no tempo e as órbitas do
sistema são curvas fechadas contendo em seu interior o ponto crítico estável 0, 0 que, neste
caso, é denominado centro.
Um resumo dos resultados obtidos intuitivamente até aqui é dado no teorema a seguir,
como visto em [1].
Teorema: O sistema autônomo linear
@ A
G
i
u
G
tem a origem 0, 0 como ponto de equilíbrio isolado quando @ , A w 0. Este ponto
crítico será
a. assintoticamente estável, se as raízes e do polinômio característico
, @ @ , A 0
forem reais e negativas ou, ainda, se forem complexas e tiverem parte real negativa;
b. estável, se J e ,J (imaginários puros);
c. instável, se , e forem reais e pelo menos uma delas for positiva, ou ainda, se forem
complexas e tiverem parte real positiva.
Os diferentes tipos de órbitas obtidas do Sistema linear (21)
cujo polinômio característico é
@ A
i
u G
G
, @ @ , A 0 @ , A w 0,
são resumidos no quadro1 que segue anexo.
5.3 Integrais de um Sistema Autônomo
Sejam um campo vetorial em $E e G, o seu fluxo, isto é, as soluções do
problema de Cauchy

i
G
0
Se V for uma função de valor real, podemos calculá-la em particular sobre a
trajetória pela composição VG, cuja derivada com relação a t nos fornecerá a taxa de
variação de V sobre a trajetória G # G, .
Pela regra da cadeia temos
E
6n
6V
G, V)G, * · FG, )G, *
V)G, *
6G
6n

n
V · )G, *
que é exatamente a derivada direcional de V na direção do campo vetorial . Observe que
podemos calcular esta derivada em cada ponto de $E , sem necessidade de resolvermos o
problema de Cauchy.
As funções V que são constantes sobre as trajetórias na forma V)G, * V e
tais que V w 0 para todo , são chamadas integrais do sistema dinâmico e são de grande
importância no estudo de sistemas dinâmicos em geral. Os sistemas mecânicos têm suas
integrais naturais dadas por leis físicas de conservação de energia, de quantidade, de
movimento angular e outros.
Analisemos agora a interpretação geométrica das integrais de um sistema dinâmico e a
razão de sua importância.
Observemos inicialmente que V é uma integral de se as suas superfícies (linhas em $ )
de nível : V V tangenciarem o campo vetorial , pois V é
normal a e V · 0 (vide Fig. 7).
Figura 7
No caso particular de $ , observamos então que as linhas de nível : V V são os traços geométricos das trajetórias (vide Fig. 8).
Figura 8
Portanto, para um campo em $ , as suas trajetórias no plano de fase são
imediatamente obtidas, se conhecemos uma integral deste campo e vice-versa.
Exemplo: O plano de fase global para o sistema obtido da equação , onde o
¢
potencial , ¡ £ ¤ cos tem a seguinte forma:
Figura 9- Plano de fase global.
Voltemos agora às equações do tipo F para ' $E . Para melhor visualização
geométrica, tomemos B 3.
Se é uma função escalar (com a diferenciabilidade necessária!) integral do
campo , sabemos então que este campo é tangente às superfícies de nível de .
Portanto, uma vez fixada uma destas superfícies, podemos considerar o campo
como que “acionando” um sistema dinâmico sobre a superfície. Desta forma, o estudo do
espaço de fase de três dimensões originais pode ser reduzido a um espaço de fase de duas
dimensões, embora não plano, em geral. Ou seja, uma função integral reduz, por assim dizer,
a dimensão do espaço de fase que deve ser analisado.
No caso de duas dimensões, o espaço de fase reduzido era unidimensional e, portanto,
caracterizava os traços geométricos em trajetórias. Em dimensão três (ou superior) uma
integra não é,todavia, suficiente para caracterizar os traços da trajetória. Mas suponha que
tenhamos e duas integrais do campo funcionalmente independentes, isto é,
e linearmente independentes, para todo . Isto nos garante que as superfícies
de nível de e se interceptam transversalmente e definem, portanto, um sistema de
linhas que “varre” uma região do $S (vide Fig. 10).
Figura 10
Não é difícil concluir que estas linhas são os traços das trajetórias do sistema
dinâmico. Seja um ponto de $S e considere a linha
: .
Se uma solução de F P é tal que G então, sendo e integrais,
temos G e G para todo G, ou seja, G descreve uma
trajetória sobre a linha .
Observe eu este sistema de linhas não representa completamente o sistema dinâmico,
simplesmente o reduz para um sistema de dimensão B 1. A obtenção destas funções
integrais nos leva, portanto, à resolução do sistema de equações através de um ponto de vista
geométrico.
Analisemos agora um sistema de segunda ordem em $E , com o objetivo de
repetir os argumentos desenvolvidos para B 1.
Multiplicando a equação por F (produto escalar) temos
1
¥F¥ · F
G 2
onde ¥F¥ q F, F o.
4
Mas o termo · F só poderá ser escrito como , 4H G se , .
Entretanto, ao contrário do caso unidimensional, isto só é possível se a função satisfizer
as condições de compatibilidade
6I 6¦
6¦ 6I
01
Ou seja, se a matriz jacobiana 0 § for simétrica. No caso B 3, isto significa que U©G z 0.
¨
Nestes casos o campo é chamado conservativo e derivado do potencial , ; :I ,
6 ;
6I
e o sistema mecânico , é chamado conservativo, em virtude do fato de que suas
trajetórias G conservam a energia
$E
¥FG¥ )G* ¥F¥ .
Transformando esta equação vetorial de segunda ordem em $E para um sistema em
$E m $E temos
i
u G
, G
, ' $E m $E .
Verificamos que
1
« , p p 2
é uma integral deste sistema dinâmico.
Portanto, sistemas mecânicos conservativos podem ser vistos como sistemas
dinâmicos definidos sobre as (hiper)superfícies de nível da função energia.
5.4 Teoria da Estabilidade – Método de Lyapunov
Considere uma generalização importante do conceito de funções integrais chamadas
funções de Lyapunov e que, de certa forma, são motivadas pelo próprio conceito de energia
em osciladores não conservativos, onde a energia não é preservada pela trajetória, mas assume
um comportamento monótono, decrescente, se o processo for dissipativo, e crescente, se
houver absorção de energia. Esta característica é essencial na motivação do chamado método
de Lyapunov para o estudo de estabilidade.
As funções de Lyapunov, que veremos em seguida, de certa forma generalizam o
conceito de energia para sistemas gerais. Os Teoremas de Lyapunov sobre estabilidade são
também extensões dos argumentos acima.
Considere, um sistema autônomo F , ' $E , em que o campo é
continuamente diferenciável, tal como exigido pelo Teorema da Seção 5.1, definido em uma
região Ω em torno da origem onde tem um ponto crítico.
Seja uma função continuamente diferenciável definida em Ω ® $E com valores
reais.
Dizemos que é uma função de Lyapunov se:
1. ;
2. o se w ;
3. satisfaz uma das seguintes condições:
a. é não crescente sobre qualquer trajetória em Ω;
b. é estritamente decrescente sobre qualquer trajetória em Ω;
c. é estritamente crescente sobre qualquer trajetória em Ω.
Observe que as condições (a), (b) e (c) de 3 podem ser testadas sem conhecermos as
trajetórias, pois o objetivo da teoria é analisar o comportamento do fluxo sem dispor das
trajetórias explicitamente.
Basta utilizar a Regra da Cadeia e veremos que
6 n
·
)G*
6n G
G
e, assim, podemos expressar estas condições da seguinte forma:
4. a. · ¯ 0 para todo ' Ω, w ;
b. · q 0 para todo ' Ω, w ;
c. · o 0 para todo ' Ω, w .
Teorema de Lyapunov:
Seja : Ω ® $E # $E um campo continuamente diferenciável com um ponto crítico na
origem, , e considere o sistema dinâmico F . Suponha que exista uma
função de Lyapunov satisfazendo uma das condições (a), (b) ou (c) anteriores. Então, o
ponto crítico será, respectivamente
a. estável;
b. assintoticamente estável;
c. instável.
A demonstração desse teorema pode ser encontrada em [1].
Uma função de Lyapunov não é “única” e, obviamente, nos interessa sempre procurar
aquelas mais simples.
As funções de Lyapunov usualmente encontradas nas aplicações são funções
quadráticas do tipo · , onde é uma matriz simétrica positiva definida. O
teorema a seguir nos ajuda a encontrar uma função de Lyapunov para sistemas lineares
assintoticamente estáveis.
Teorema da Função de Lyapunov para Sistemas Lineares Assintoticamente Estáveis:
Se é uma matriz B m B onde todos os autovalores têm ° q 0 (matriz assintoticamente
estável), então existe uma forma quadrática b{ { · { positiva definida tal que
)b{* b · { é negativa definida.
Veja maiores detalhes em [1].
5.5 Sistemas Autônomos Quase Lineares
Considere o sistema autônomo geral de segunda ordem
P, G
i
u
v, G
23
Seja , um ponto de equilíbrio isolado deste sistema, ou seja, P , 0,
v , 0 e existe - o 0 tal que P, w 0, v, w 0 para todo par , w
, , , pertencente ao círculo de centro , e raio -.
Sabemos que G , G é uma solução constante de (23). Para analisar o
comportamento das trajetórias nas vizinhanças do ponto de equilíbrio podemos, sem perda de
generalidade, considerar 0 e 0 (se w 0 e w 0 fazemos a substituição
±, ²). Considerando as função P, e v, contínuas com derivadas
de primeira ordem também contínuas numa vizinhança de 0, 0, podemos expandi-las pela
Fórmula de Taylor e obtemos o Sistema (23) na forma
6P
6P
0, 0 P , 0, 0 g
P0, 0 6
6
e G
f
v0, 0 6v 0, 0 6v 0, 0 v , e G
6
6
d
Temos que P0, 0 v0, 0 0 e
v , P , 0
lim
³#
³#
U
U
lim
onde U (distância do ponto , à origem 0, 0).
25
24i
Assim, o comportamento das órbitas numa vizinhança do ponto de equilíbrio 0, 0 é
determinado pelo sistema linearizado
P 0,0 P2 0, 0
u G
v 0, 0 v2 0, 0
G
26i
Em geral, dizemos que um sistema autônomo é quase linear, se for da forma
@ A
P , G
u
v , G
27i
onde P , e v , satisfazem a Propriedade (25).
Para o caso geral de um campo em $E , onde é ponto de equilíbrio, podemos
escrever
´
01
onde I¦ 0 § e ´ é uma designação geral para as funções contínuas definidas em
¨
uma vizinhança da origem e que são de ordem de nulidade inferior a ; isto é, podemos
escrever
´
´ ppU onde lim# pp 0.
µ
O campo pode ser considerado como um campo linear perturbado por termos de ordem
superior.
No que se segue, iremos sempre supor que seja continuamente diferenciável, tal
como no Teorema da Seção 5.1.
A questão agora é: em que condições a parte linear predomina sobre os termos de
ordem superior na caracterização qualitativa no ponto crítico?
Esta questão é respondida pelo Teorema de Linearização de Lyapunov.
Teorema da Linearização de Lyapunov-Poincaré:
Seja um campo continuamente diferenciável em uma vizinhança da origem onde
podemos escrever
´
1. Então, se a matriz for assintoticamente estável, o ponto será assintoticamente
estável para o campo .
2. Se a matriz tiver um de seus autovalores tal que ° o 0 (parte real positiva)
então o sistema será instável.
3. Se todos os autovalores de forem tais que ° o 0, o ponto crítico é repulsor, isto
é, existe uma vizinhança da origem M tal que se G for uma órbita não nula, existirá G , e
para G o G temos que G ¶ M.
6. Critério de Routh-Hurwitz
Como discutido no Teorema da Seção 5.5, a estabilidade de um sistema autônomo
depende dos autovalores da matriz associada.
Em um sistema autônomo o polinômio característico da matriz associada tem a forma
@ E @ E· ¸ @E
28
onde B é o grau do polinômio, que é igual ao grau de liberdade do sistema. Em um sistema
com grau quatro ou maior, é relativamente difícil encontrar explicitamente as raízes do
polinômio característico. O critério de Routh-Hurwitz fornece condições para testar se todas
as raízes de um polinômio tem parte real negativa sem o cálculo explícito das raízes.
Para ilustrar o critério, vamos dar forma à disposição
@
@S
@¹
@º
…
@E·
@
@
@^
@»
…
0
@
@S
@
…¹
@E·S
@E·
0
@
@
@
…^
…
… 0
… 0
… 0
… …
0
…
…
@E
onde @I J 0, 1, 2, … , B são os coeficientes da equação (28). Construindo os determinantes
¼ @ ,
@
¼ @
S
@
@ ,
@
¼S ½@S
@¹
h
@
@
@^
¼E ¾
h
@
@S
@E·
0
@ ½,
@S
@
@
h
@E·
0 … 0
@ … 0
¾.
h ¿ h
¸ ¸ @E
Todos os elementos com índices U o B dever ser substituídos por 0.
O critério de Routh-Hurwitz é uma condição necessária e suficiente para todas as
raízes ¦ , À 0, 1, 2, … , B do polinômio característico ter parte reais negativa são que todos os
determinantes Δ , Δ , … , ΔÁ sejam positivos, sendo @ o 0.
Os detalhes desse critério pode ser visto em [3].
7. Sistema Carro-Pêndulo Simples
Considere um carro de massa que desliza sobre uma superfície horizontal sem
atrito. Ele está ligado à parede por uma mola e um amortecedor . O carro de massa serve como eixo de rotação de um pêndulo simples de massa e comprimento (vide Fig.
11).
Figura 11
Vamos deduzir o modelo matemático desse sistema utilizando equações de Lagrange.
Energia potencial do sistema:
M
(1 , cos Â
2
Energia cinética do sistema:
L
1
Ã F 2ÂFF cos Â ÂF Ä
2
Lagrangiano do sistema:
1
L , M Ã F ÂF i2ÂF F cos ÂÄ , (1 , cos Â , 2
2
Equações de Lagrange:
6
6
,F
: ;,
6
G 6F
6
,
6
6
: ; Â cos Â , ÂF sin Â
G 6F
Logo,
Â cos Â , ÂF sin Â F 0
6
6
0
: ;,
6Â
G 6ÂF
6
, sin Â )F ÂF (*
6Â
6
: ; Â cos Â , F ÂF sin Â
G 6ÂF
Logo,
Â cos Â ( sin Â 0
Tomando a mudança de variáveis F e ÂF V, segue que
F ÂF V
e
G
G G G
logo, F e Â VF .
Assim, teremos o seguinte sistema:
F
, sin Â V ( cos Â
F cos Â , ÂF V
( sin Â cos Â V sin Â , ,
VF ) cos Â , *
g
e
e
f
e
e
d
Os pontos de equilíbrio são obtidos do sistema
i
0

, sin Â V ( cos Â 0
cos Â , V 0
0
) cos Â , *
g
e
f
e
d
Logo, segue que
r
ou seja,
, ( sin Â cos Â 0
i
( sin Â , cos Â 0
(
sin Â cos Â
i
u
( sin Â
cos Â
de onde obtemos 0, Â 0 ou cos Â , 0.
Como, cos Â w , o único ponto de equilíbrio deste sistema é a origem
0, 0, 0, 0.
Na vizinhança da origem, o sistema inicial pode ser aproximado pelo sistema linear
F g
e F 1 !(Â , ,
"
i
F
Â
V
f
e
1
dVF !
, (Â"
Forma matricial:
i
Å Æ !
G Â
V
onde,
0
É , Ì
È Ë
È Ë ,
È 0 Ë
È Ë
ÇÊ
0
Ì
É
(
Ë
È
Ë,
È
S 0
Ë
È
È, (Ë
Ê
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^ " Å Æ
Â
V
S
1
É , Ì
È Ë
È Ë
È 0 Ë
È Ë
ÇÊ
0
^ Í0Î
1
0
Temos que o polinômio característico é da forma
^ S ! ( " ( ( 0 .
Desde que o 0, podemos prosseguir verificando o sinal dos determinantes das
matrizes de Hurwitz ¼I com J 1, 2, 3, 4. Os determinantes têm os valores
¼ o 0
¼ ( o 0
¼S ( o 0
¼^ (S o 0
De acordo com o critério de Hurwitz, todas as raízes do polinômio característico têm
parte real negativa.
Segue do Teorema da Linearização de Lyapunov-Poincaré, que o ponto de equilíbrio
0, 0, 0, 0 é assintoticamente estável.
8. Função Lyapunov
Outra maneira de analisar a estabilidade no ponto de equilíbrio, é utilizando a função
Lyapunov.
Tomando a função energia «, , Â, V L M , onde:
M
(1 , cos Â
2
1
L ! 2
V cos Â V "
2
Temos que «, , Â, V é uma função de Lyapunov.
De fato,
J«0, 0, 0, 0 0
JJ«, , Â, V o 0 se , , Â, V w 0, 0, 0, 0, pois a função T é uma substituição de soma
n
de quadrados e o valor mínimo que a função V assume é .
iii)
6«
6«
6«
6«
«
, , Â, V · VF « · , , Â, V
· ÂF · F · F 6V
6Â
6
6
G
Como «, , Â, V é da forma
6«
6
6«
V cos Â
6
6«
sin Â ( , V
6Â
e o campo , , Â, V é
g
e
e
f
e
e
d
temos que
6«
V cos Â
6V
F
, sin Â V ( cos Â
F cos Â , ÂF V
VF ) cos Â , *
« · , , Â, V ,
Como o campo , , Â, V é continuamente diferenciável com o ponto crítico na
origem, e a função «, , Â, V é uma função de Lyapunov satisfazendo « · , , Â, V q
0 para todo , , Â, V w 0, 0, 0, 0. Então, o ponto crítico será assintoticamente estável.
9. Conclusão
No estudo do sistema carro-pêndulo obtivemos a origem como ponto de equilíbrio, o
qual foi classificado como assintoticamente estável. Usando o Teorema de LyapunovPoincaré nos deparamos com a dificuldade de encontrar o sinal da parte real das raízes do
polinômio característico, para isso utilizamos o Critério de Routh-Hurwitz. Por outro lado,
empregando a Função de Lyapunov não nos deparamos com a mesma dificuldade, pois não
foi necessário linearizar o sistema, todavia nem sempre é fácil encontrar uma função de
Lyapunov.
As técnicas utilizadas neste trabalho também podem ser aplicadas a uma grande gama
de problemas dinâmicos que ocorrem em mecânica. Além disso, elas formam a base sobre o
qual se apóiam estudos posteriores, sobre Bifurcação em Sistemas Dinâmicos.
i
10. Bibliografia
[1] Bassanezi, C.B. e Ferreira Jr, W.C., 1988, Equações Diferenciais com Aplicações, Editora
Harbra, São Paulo.
[2] Kononenko, V., 1969, Vibrating Systems with Limited Power Supply, Illife.Books,
London.
[3] Meirovitch, L., 2003, Methods of Analytical Dynamics, Dover, New York.
[4] Monteiro, L.H.A., 2002, Sistemas Dinâmicos, Editora Livraria da Física, São Paulo.
[5] Guckenheimer, J., Holmes, P., 1983, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and
Bifurcations of Vector Fields, Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo.
[6] Murdock, J.A., 1999, Perturbations Theory and Methods, SIAM, Philadelphia.
Anexo
Raízes e
Δ o 0r
o o 0 J i
q q 0 JJ
Quadro 1
Natureza do
Esboço da órbita
ponto crítico
nódulo
(impróprio)
instável
assintoticamente
estável
(i)
Δ o 0, q 0 q
o 0 J i
Δ 0r q 0 JJ
Ï J
Δ q 0 o 0 J i
q 0 JJ
Δ q 0, 0
Estabilidade
(ii)
ponto de sela
instável
nódulo
instável
assintoticamente
estável
(i)
(ii)
ponto espiral
(i)
centro
(ii)
instável
assintoticamente
estável
estável
PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS E OTIMIZAÇÃO DE
SISTEMAS MISTOS
Simone P. Saramago e Valder Steffen Jr
UFU, Universidade Federal de Uberlândia, Curso de Engenharia Mecânica
Av. João Naves de Ávila, 2160, Santa Mônica, CEP 38.408-100, Uberlândia, MG
E-mail: [email protected] / [email protected]
Jefferson Duarte Silva
Villares Metals SA, Alfredo Dumont Villares, 155, Jd. Santa Carolina, CEP 13.178-902
Sumaré - SP
Sezimária de Fátima Pereira Saramago
UFU, Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Matemática
Av. João Naves de Ávila, 2160, Santa Mônica, CEP 38.408-100, Uberlândia, MG
1. INTRODUÇÃO
Em processos industriais, é comum a existência de muitos fatores ou variáveis que afetam a
qualidade global do produto final. Neste contexto, alguns pesquisadores vêm estudando, desde a
década de 1970, a Metodologia de Superfícies de Resposta (SR). Em essência, esta metodologia
consiste em estimar coeficientes de regressão polinomial para a geração de um modelo empírico
que aproxime uma relação (inicialmente desconhecida ou até mesmo conhecida, porém
complexa) entre os fatores e as respostas de um processo. A técnica de superfície de resposta está
se tornando popular e sendo usada em conjunto com técnicas de otimização. A primeira etapa
desta metodologia consiste na modelagem, que é feita ajustando-se modelos polinomiais a
resultados experimentais, obtidos por meio de planejamentos fatoriais com ou sem ampliação
(Barros Neto et al., 1995). Após essa etapa, é possível deslocar-se sobre a superfície de resposta
ajustada, a fim de localizar regiões que satisfaçam condições de interesse, calculando-se seus
pontos extremos.
A superfície de resposta é útil quando o pesquisador não conhece a relação exata entre os
fatores. Dentre as vantagens da metodologia, a principal é que seus resultados são robustos à
influência de condições não ideais, tais como erros aleatórios e pontos influentes. Outra vantagem
é a simplicidade analítica da superfície de resposta obtida, pois normalmente trabalha-se com
funções polinomiais.
No desenvolvimento de produtos e processos, encontram-se, com freqüência, variáveis
qualitativas como: cor da embalagem, forma do equipamento, tipo de sabor/aroma, tipo de
ferramenta, presença ou não de lubrificação e muitas outras. Na terminologia empregada em
análise de regressão, tais variáveis são conhecidas como variáveis indicadoras (dummy). Os
métodos de otimização, que são técnicas já consagradas pelo uso, apresentam, porém, uma
limitação, qual seja, sua utilização com variáveis qualitativas. Alguns trabalhos mais recentes
(Cao et al., 2000) sugerem alternativas para a otimização seqüencial direta desses sistemas. O
objetivo deste trabalho é apresentar planejamentos para sistemas mistos, com variáveis
qualitativas (indicadoras) e quantitativas, bem como a otimização dos modelos construídos,
aplicando algoritmos genéticos. Técnicas evolutivas de otimização têm-se mostrado uma
alternativa interessante, pois permitem trabalhar com modelos não-lineares, descontínuos, e
convivem bem na presença de mínimos locais.
A metodologia desenvolvida é aplicada em dois estudos específicos.
No primeiro caso, considera-se o problema estudado por Bona et al.(2002), que trata do
planejamento e otimização de queijo Minas frescal com adição de leite reconstituído. Devido à
natureza de sazonalidade da produção leiteira, durante certo período do ano, ocorre uma queda na
oferta e uma elevação no preço do queijo. Assim, o uso de leite reconstituído, misturado ao leite,
poderia ser uma alternativa para a estabilização da oferta do produto no mercado. Por se tratar de
um produto largamente consumido no Brasil, vários estudos vêm sendo realizados visando
promover melhorias na técnica de fabricação. Uma das opções é a adição de ácido lático com
finalidade de aumentar o rendimento (Furtado et al., 1980).
A segunda aplicação, por sua vez, refere-se à otimização dos parâmetros de corte, durante a
fabricação de válvulas de motores de combustão interna. No planejamento do processo, as
técnicas de otimização são adaptadas, possibilitando trabalhar tanto com variáveis qualitativas
quanto com variáveis quantitativas. Como respostas do processo, realizam-se medições de dureza
superficial. Após a execução de todos os experimentos, os métodos numéricos possibilitam obter
a melhor condição de corte, que corresponde ao menor valor possível de dureza superficial.
2. METODOLOGIA
Superfície de Resposta (SR)
Um dos problemas mais comuns que um pesquisador pode enfrentar é a determinação da
influência de uma ou mais variáveis sobre outra variável de interesse. Por exemplo, no estudo do
volume do espaço de trabalho de um robô manipulador é interessante verificar como este volume
é afetado ao se variar o ângulo entre as juntas do robô, os dados dimensionais, quando se
considera a presença de pontos singulares.
Figura 1 – Representação de um sistema.
Esse problema é um caso particular da situação geral mostrada esquematicamente na Figura
1, em que certo número de fatores, F1, F2,... ,Fk, atuando sobre o sistema em estudo, produz as
respostas R1, R2, ...,Rj. O sistema pode ser uma função desconhecida que se deseja determinar ou
até mesmo uma função conhecida, porém de formulação analítica complexa.
Os fatores (ou variáveis de projeto), isto é, as variáveis controladas durante os testes tanto
podem ser qualitativas (como a presença ou não de pontos singulares, como no exemplo anterior)
como quantitativas (como os dados dimensionais do robô). Dependendo do problema, pode haver
mais de uma resposta de interesse. Eventualmente essas respostas também podem ser
qualitativas.
Existem muitas áreas nas quais não se conhece a relação exata entre as respostas e as
variáveis de projeto, mas se deseja saber como é a relação entre elas. Neste caso é muito útil usar
um modelo empírico apropriado da forma y=f(z1, z2,…,zn). Esta função f é geralmente um
polinômio de primeira ou segunda ordem. Tal modelo empírico é chamado de superfície de
resposta. Quando o modelo polinomial é usado, os coeficientes do polinômio podem ser
estimados usando o Método dos Mínimos Quadrados. É necessário conhecer os valores das
respostas para algumas combinações das variáveis de projeto (ou fatores) para construir a
superfície de resposta (SR). Cada combinação das variáveis de projeto pode ser vista como um
ponto no espaço de projeto n-dimensional, onde n é o número total de variáveis de projeto. Um
arranjo particular de pontos no espaço de projeto é conhecido como um projeto experimental ou
projeto de experimentos (DOE – design of experiments). O projeto experimental é chamado de
planejamento fatorial.
Para executar um planejamento fatorial é necessário em primeiro lugar especificar os níveis
em que cada fator será estudado, isto é, os valores dos fatores (ou as versões, nos casos
qualitativos) que serão empregados.
Um planejamento fatorial requer a execução de experimentos para todas as possíveis
combinações dos níveis dos fatores. Em geral, se houver n1 níveis do fator 1, n2 do fator 2,..., e nk
do fator k, o planejamento será um fatorial n1x n2 x ...x nk de experimentos. Este é o número
mínimo para se ter um planejamento fatorial completo. Pode-se desejar repetir ensaios para se ter
uma estimativa do erro experimental e, nesse caso, o número total de experimentos será maior.
Havendo k fatores, isto é, k variáveis controladas pelo experimentador, o planejamento de dois
níveis há de exigir a realização de 2x2x...x2 = 2k ensaios diferentes, sendo chamado por isso de
planejamento fatorial 2k (Barros, 1995).
No planejamento experimental com n variáveis, o modelo empírico usado para aproximar a
relação entre os fatores e as respostas é um polinômio de grau um ou de grau superior. A
expressão usada para calcular esse polinômio é dada por:
Y
f (X) e
(1)
sendo que f(X) = f(x1,..., xn) é um polinômio de grau um ou de grau superior. O vetor
coluna Y contém as respostas observadas e o vetor coluna e contém os resíduos. O polinômio
f(X) pode ser representado na forma matricial:
f (X)
>X@>b@
(2)
sendo que o vetor coluna [b] contém os coeficientes desconhecidos e [X] é a matriz
formada pelos valores observados no planejamento fatorial. Denotando por N o número total de
pontos no espaço experimental, o processo para calcular os coeficientes [b] envolve a
minimização da soma dos quadrados dos resíduos:
min Sr
N
min ¦ y i f i 2
(3)
i 1
Os resultados deste processo são as equações normais, que podem ser expressas na forma
matricial como:
>X@T >X@>b@ >X@T >Y@
(4)
Assim, os coeficientes podem ser calculados usando uma simples multiplicação de
matrizes:
>b@ ^>X@T >X@`1>X@T >Y@
(5)
A Equação 5 é utilizada na determinação da superfície que se aproxima dos pontos do
planejamento no espaço do experimento, denominada como Superfície de Resposta (SR). A
vantagem de usar a Equação 5 é o baixo custo computacional necessário para determinar os
coeficientes da superfície de resposta. É importante notar que para se calcular os coeficientes é
necessário um número de pontos maior do que o número de termos no polinômio.
A análise dos resíduos é fundamental na avaliação da qualidade da superfície ajustada (ou
modelo). Um modelo que deixe resíduos significativos é obviamente um modelo inadequado. Já
o modelo ideal não deixaria nenhum resíduo, ou seja, todas as suas previsões coincidiriam com
os resultados observados. Procedimentos de teste de significância são úteis para aferir a qualidade
da aproximação gerada a partir de um conjunto de dados. Tais testes são baseados na análise de
variância e requerem a obtenção de parâmetros estatísticos (Montgomery, 1984).
2.2. Algoritmos Genéticos
A fundamentação dos Algoritmos Genéticos é baseada na genética natural. Desta forma, é
comum o uso dos termos: indivíduos de uma população, cromossomos, genes e alelos. Nos
Algoritmos Genéticos, a população de indivíduos é um conjunto de pontos do domínio da função
a ser maximizada ou minimizada. A quantidade de pontos depende do número de variáveis de
projeto do problema em questão. Algoritmos genéticos são algoritmos iterativos, em que a cada
iteração a população é modificada, usando as melhores características dos elementos da geração
anterior e submetendo-as aos três tipos básicos de operadores, para produzir melhores resultados
(Goldberg, 1989). Para atingir estes objetivos são usados os seguintes processos:
Reprodução: é um processo no qual cada cadeia é copiada levando em conta os valores da
função de adaptação f. A probabilidade ou aptidão de cada indivíduo é um valor que representa o
grau de adaptabilidade deste, ou seja, o quão próximo o indivíduo está da solução do problema
em relação aos indivíduos da população. Esta probabilidade é medida com auxílio da função
objetivo e pode ser dada pela seguinte expressão:
pi
f c (X)
, sendo ¦pi =1
¦ f c (X)
(6)
Este processo é denominado seleção por roleta. Existem outras formas, tais como torneio e
elitista. Para se calcular o valor da função de adaptação fc, deve-se primeiro converter a seqüência
binária (base 2) para a base 10, ou seja, deve-se decodificar um cromossomo, conforme a
expressão:
xi
m i 1
i j
¦ b j2
(7)
j 0
Em seguida, calcula-se o valor real da variável xi, dentro da região viável, através da
relação:
xi
x u x il
x il x i i
2mi 1
(8)
Cruzamento: é um processo no qual a combinação em partes de cada um de dois
cromossomos gera um novo descendente.
Mutação: é a modificação aleatória ocasional (de baixa probabilidade) do valor de um alelo
da cadeia.
De modo geral, suponha que se deseja otimizar uma função f qualquer de n variáveis,
f(X) = f(x1, x2,..., xn)
(9)
sujeita a
xil < xi < xiu
i = 1, 2, ... , n
(10)
Então cada seqüência de n variáveis é denominada de cromossomo ou indivíduo (Haupt &
Haupt, 1998) e cada uma das n variáveis é um gene. Cada gene é representado no sistema binário;
os bits 0 e 1 são denominados alelos. O comprimento de cada gene depende da precisão requerida
para o problema e da amplitude do intervalo onde ele está definido. O domínio de definição do
gene xi é o intervalo (xil, xiu). Admitindo que a precisão do problema é de p casas decimais, então
o intervalo ( xil, xiu ) deve ser dividido em (xiu - xil)10p subintervalos iguais. Portanto, o gene xi
deverá ter pelo menos mi bits, pois:
2 m i 1 ( x iu x il )10 P 2 m i
(11)
Em outras palavras, o comprimento do gene xi é a menor potência de 2 dentre aquelas em
que 2M supera (xiu - xil)10p. Assim, cada cromossomo tem um total de m1 m 2 m n bits
(alelos) e é representado por:
Ck
>b
1
b1
b11b10 b 2m 1b 2m 2 b12 b 02 b nm 1b nm 2 b1n b 0n
m1 1 m1 2
2
2
n
n
@
(12)
Em que b ii (que tem valor 0 ou 1) é o (mi – j)-ésimo alelo correspondente ao i-ésimo gene.
O procedimento consiste em criar, aleatoriamente, uma população inicial de indivíduos {C1,
C2,..., Cn}. Em seguida, todos os indivíduos dessa população são modificados, submetendo-os aos
operadores genéticos; reprodução, cruzamento e mutação. Considerando estas definições,
segundo Saramago (2003), o processo de otimização utilizando algoritmos genéticos é
representado pelo fluxograma da Figura 2.
Início
mi
Codificação
§ x sup xiinf ·
¸¸
log 2 ¨¨ i
© precisão ¹
1 1 0 1 0 1 1
Criar a população
0 0 1 0 1 1 0
Decodificação
xi
xiinf decimal genei 2 u
xisup xiinf
2 mi 1
Avaliar o custo
Critério de
parada satisfeito?
Sim
Fim
Não
Seleção
Cruzamento
Mutação
1 1 0 0 1 1 0
1 1 0 1 1 1 0
Figura 2 - Fluxograma básico de um algoritmo genético binário.
2.3. Planejamento de sistemas mistos contendo variáveis qualitativas e quantitativas
Os sistemas mistos podem ser modelados através da adição de uma variável indicadora z e o
respectivo coeficiente Ȗ, sendo seu valor estimado de modo análogo aos coeficientes de
regressão. Se a variável possui dois níveis (A e B), ao termo z é atribuído 0 (zero) para o nível A e
1 (um) para o B. Quando existem três níveis (A, B e C), são atribuídos -1 (um negativo) para o
nível A, 0 (zero) para o nível B e 1 (um) para o C. Neste trabalho, a análise estatística da matriz
de dados foi realizada através de um código computacional de Regressão Múltipla desenvolvido
pelos autores utilizando o software Matlab®.
A otimização por meio dos algoritmos genéticos utiliza a sub-rotina GAOT do MATLAB®
(Grace, 1992). Esta realiza os cálculos normalmente dentro desse intervalo padrão. Porém, os
valores obtidos são arredondados para números inteiros, por meio de uma função interna e só
então são substituídos no modelo para a estimativa da resposta.
Esse procedimento, no caso da variável qualitativa possuir dois níveis, exige a inclusão de
uma restrição, dada pela expressão:
0<z<1
(13)
No entanto, quando a variável qualitativa possui 3 níveis, a restrição incluída considera o
fato de que o valor absoluto de z deve sempre ser menor ou igual a 1:
|z| 1
(14)
3. APLICAÇÕES
3.1. Planejamento e otimização na obtenção de queijo Minas frescal com adição de leite
reconstituído
O objetivo é a maximização do rendimento na produção do queijo Minas frescal com adição
de leite reconstituído e a verificação da influência da adição de ácido lático durante o processo.
Os resultados obtidos, que serão otimizados utilizando algoritmos genéticos, serão
posteriormente comparados com os encontrados por Bona et al. (2002) através de técnicas
seqüenciais do programa otplex.
Como foram controlados apenas três fatores (um qualitativo e dois quantitativos), Gacula
(1993) sugeriu um delineamento fatorial 22 com ponto central, para eventual teste da curvatura.
Este fatorial foi repetido duas vezes para acomodar a variável qualitativa (Tabela 1). Considerase a variável qualitativa relacionada à presença (z=1) ou ausência de ácido lático (z=0) e as
variáveis quantitativas referem-se à porcentagem de leite reconstituído e à quantidade de CaCl2
presente no leite.
No processo de obtenção de queijo com acidificação direta adicionou-se 0,9 mL de ácido
lático 85% a 4,0 L de leite tipo C homogeneizado (Furtado et al., 1980). Como agente coagulante
foi utilizada a quimosina (3 mL) e a temperatura de coagulação foi mantida em 37 ± 1ºC. Todos
os queijos foram produzidos conforme o fluxograma proposto por Saboya et al. (1998). Nesta
aplicação, serão utilizados dados do trabalho apresentado por Bona et al. (2002), conforme
mostrado na Tabela 1.
Por meio da análise dos resultados experimentais de cada tratamento (Tabela 1), Bona et al.
(2002) elaboraram um modelo de regressão linear para o rendimento através do software
STATISTICA (1998). Neste trabalho, as superfícies de resposta obtidas, utilizando Regressão
Polinomial Múltipla (Montgomery, 1984), são dadas pelas seguintes expressões:
rendimento = 64,946 í1,991x1 + 0,411x2í 2,342z
(15)
rendimento = 65,071 – 1,9912 x1+0,4112 x2 – 2,3420 z -0,1562 x12-0,1562 x22 +0,1813 x1 x2
(16)
A superfície de resposta linear obtida neste estudo foi coincidente com a apresentada por
Bona et al. (2002) e é dada de acordo com a Equação 15. O modelo encontrado apresenta
razoável capacidade preditiva (R2 = 0,784) e baixa variabilidade (C.V. = 2,3%). Elaborou-se
ainda um modelo de regressão quadrático para o rendimento. A superfície de resposta é
representada pela Equação 16. Este modelo apresenta capacidade preditiva e variabilidade um
pouco maiores que as correspondentes à superfície de resposta linear (R2= 0,793 e C.V. = 2,8%).
Tabela 1 – Delineamento experimental com os níveis de variação dos fatores, segundo Bona et al. (2002)
Variáveis
Variáveis
Rendimento
codificadas
Originais
Número do
experimental
experimento
Presença
Leite
CaCl2
(%)
z
x1
de ácido Reconstituído (%) (g/100 L de leite)
x2
0
-1
-1
ausente
10
10
68,33
1
0
1
-1
ausente
40
10
60,95
2
0
-1
1
ausente
10
30
67,36
3
0
1
1
ausente
40
30
64,13
4
0
0
0
ausente
25
20
63,96
5
1
-1
-1
presente
10
10
62,68
6
1
1
-1
presente
40
10
61,37
7
1
-1
1
presente
10
30
64,57
8
1
1
1
presente
40
30
60,56
9
1
0
0
presente
25
20
63,84
10
z= (0) ácido lático ausente e (1) ácido lático presente;
x1 = (leite reconstituído – 25)/15; x2 = (CaCl2– 20)/10
Para cada aplicação do algoritmo genético, foi utilizada uma população de 80 indivíduos e
100 gerações, sendo executadas 40 iterações do método, escolhendo-se então o melhor valor.
Após 1759 iterações realizadas ao longo de 18,24 s, encontrou-se como ponto ótimo da superfície
de resposta linear condições idênticas ao 3º experimento (rendimento = 67,36 %). Bona et al.
(2002), através do programa otplex, obtiveram o mesmo resultado. O ponto ótimo obtido para
uma superfície de reposta quadrática, após 1975 iterações e 18,21 s, também equivale às
condições do terceiro experimento, mas, neste caso, o rendimento previsto é um pouco inferior ao
apresentado pelo modelo linear (rendimento = 66,98 %).
Através dos modelos obtidos é possível construir as superfícies de resposta linear e
quadrática para o rendimento com ou sem adição de ácido lático (Figuras 3 e 4, respectivamente).
Figura 3 – Superfície de Resposta Linear para o rendimento na produção de queijo minas frescal com ou
sem adição de ácido lático.
Figura 4 – Superfície de Resposta Quadrática para o rendimento na produção de queijo minas frescal com
ou sem adição de ácido lático.
As Figuras 3 e 4 confirmam os resultados das otimizações e fica evidente que o processo
com melhor rendimento é aquele em que ácido lático está ausente. Essa conclusão, porém, não
deve ser generalizada para a produção nas condições onde não há adição de leite reconstituído
(Furtado et al., 1980).
3.2. Planejamento e otimização dos parâmetros de corte durante a fabricação de
válvulas
O objetivo é obter a melhor condição de corte durante a fabricação de válvulas de motores
de combustão interna, que corresponde ao menor valor possível de dureza superficial.
Na otimização dos parâmetros de corte, são controlados quatro fatores (dois qualitativos e
dois quantitativos), cujos níveis de parâmetros são mostrados na Tabela 2. Observe que as
variáveis quantitativas são: x1 que representa a velocidade de corte Vc (m/min) e x2 que está
relacionada com o avanço linear f (m/min). As variáveis qualitativas são dadas por: x3 que
permite a escolha entre dois tipos de óleo de corte a ser usado na usinagem e x4 representa a
escolha entre três tipos de inserto para a ferramenta de corte.
Para a obtenção de dados que permitissem a aproximação do fenômeno por uma superfície
de resposta foi utilizado um planejamento fatorial completo, resultando em 54 ensaios (27
ensaios (33) para fluido de corte da Iorga + 27 ensaios (33) para fluido de corte da Blaser),
conforme apresentado na Tabela 3.
Superfícies de resposta foram obtidas utilizando regressão polinomial múltipla
(Montgomery, 1984).
Para a solução do problema de otimização, que visa minimização da dureza, foi utilizado o
método de algoritmo genético. Em cada aplicação do método considerou-se uma população de 80
indivíduos e 100 gerações, sendo executadas 40 iterações do método, escolhendo-se o melhor
valor.
Tabela 2 – Valores e Níveis dos Parâmetros.
Nível
dos
Parâmetros
Óleo de
Corte (x3)
Inserto
(x4)
Vc
(x1)
f
(x2)
-1
-
Saar
Hartmetal
40,0
2,0
Boehlerit
50,0
3,0
Hetran
60,0
4,0
0
1
Blaser
Swissluble
Iorga
.
Tabela 3 – Projeto experimental: níveis de variação dos fatores e respostas para cada teste.
Teste
1
2
3
4
5
6
7
Planejamento Fatorial Completo
Vc
f
Dureza
Óleo de Corte
Inserto
[HB]
0
-1
-1
-1
358,2
0
-1
-1
0
353,1
0
-1
-1
1
357,7
0
-1
0
-1
362,2
0
-1
0
0
364,6
0
-1
0
1
352,1
0
-1
1
-1
362,9
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
0
0
0
1
1
1
-1
-1
-1
0
0
0
1
1
1
-1
-1
-1
0
0
0
1
1
1
-1
-1
-1
0
0
0
1
1
1
-1
-1
-1
0
0
0
1
1
1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
367,1
344,9
353,5
356,0
356,2
360,4
368,5
380,2
373,4
383,9
387,4
353,4
357,3
367,0
370,2
378,1
366,9
367,9
367,5
373,7
353,7
356,5
360,2
361,7
361,8
361,0
387,5
378,0
366,2
364,1
365,9
369,2
371,9
388,8
388,9
373,6
361,3
355,4
361,3
357,4
362,5
377,1
374,5
374,9
384,4
379,5
386,7
Por meio da análise dos resultados experimentais de cada tratamento (Tabela 3), dois
modelos de regressão para a dureza foram elaborados: um linear e um quadrático. As superfícies
de resposta encontradas, utilizando regressão polinomial múltipla (Montgomery, 1984),
equivalem às seguintes expressões:
Dureza = 369.7778+6.6139 x1+ 0.3806 x2-5.1741 x3 + 4.1917 x4
(17)
Dureza = 376.1056 +6.6139 x1-0.5722 x2 -5.1741 x3 + 3.9833 x4 - 4.5306 x12 - 0.8639 x225.1741 x32-4.0972 x42 - 2.6667 x1 x2+6.6139 x1 x3 +1.4000 x1 x4 +1.4000 x2 x3+ 2.5625 x2 x4 +
0.4167 x3 x4
(18)
A superfície de resposta linear encontrada neste estudo é dada de acordo com a Equação 17.
O modelo apresenta baixa variabilidade (C.V. = 2,55%). A superfície de resposta quadrática
obtida para a dureza é representada pela Equação 18. Esta superfície possui variabilidade um
pouco maior que a correspondente à superfície de resposta linear (C.V. = 2,83%).
Em cada aplicação do método de algoritmos genéticos, para minimização da dureza, foi
utilizada uma população de 80 indivíduos e 100 gerações, sendo executadas 40 iterações do
método, escolhendo-se o menor valor.
Encontrou-se como ponto ótimo da superfície de resposta linear condições idênticas ao 28º
experimento com uma dureza mínima menor que a experimental (dureza = 353,4175). O ponto
ótimo obtido para a superfície de reposta quadrática, também equivale às condições do 28°
experimento, mas, neste caso, a dureza prevista é ainda menor que as obtidas no teste e no
modelo linear (dureza = 338,6003).
Óleo de corte – Iorga
Tipo de inserto: Saar
Condições do 28º
experimento :
Vc: 40 m/min
f: 2 m/ min
Dureza (HB): 353,7
Através dos modelos obtidos é possível construir as superfícies de resposta linear e
quadrática para análise da presença do óleo de corte e escolha do inserto (Figuras 5 e 6,
respectivamente).
Figura 5 – Análise da presença do óleo de corte e escolha do inserto – Modelo linear.
Figura 6 – Análise da presença do óleo de corte e escolha do inserto – Modelo quadrático.
As Figuras 5 e 6 confirmam os resultados das otimizações e mostram que o processo em
que as válvulas fabricadas terão menor dureza superficial é aquele em que o óleo de corte Iorga
está presente e no qual o inserto escolhido é o Saar.
4. CONCLUSÕES
Na área de desenvolvimento de sistemas, durante a otimização de projetos, é comum
encontrar-se sistemas mistos, ou seja, que dependem de variáveis qualitativas e quantitativas. O
trabalho propôs uma metodologia alternativa, baseada em técnica de superfície de resposta usada
em conjunto com métodos de otimização, para o planejamento e otimização destes sistemas.
As superfícies de resposta apresentadas neste estudo foram aproximadas por funções
polinomiais de 1º e 2º graus. Estimaram-se os coeficientes desses polinômios usando o Método
dos Quadrados Mínimos. Por meio da adaptação do algoritmo de otimização foi possível a
simulação e otimização de sistemas mistos, considerando a inclusão de restrições. A metodologia
desenvolvida foi aplicada em dois estudos específicos.
O primeiro refere-se à maximização do rendimento na produção do queijo Minas frescal
com adição de leite reconstituído e na verificação da influência da adição de ácido lático durante
o processo. Neste experimento, que envolvia um fator qualitativo e dois quantitativos, todos com
2 níveis, construiu-se um modelo a partir de um planejamento fatorial (22) mais o ponto central,
com a simples inclusão da variável qualitativa. Foram desenvolvidos dois modelos, sendo um
linear e outro quadrático. O modelo linear se mostrou um pouco mais eficiente que o quadrático.
Com a construção das superfícies de resposta, verificou-se que o processo com melhor
rendimento é aquele em que ácido lático está ausente. Comparou-se o modelo linear obtido com
aquele elaborado por Bona et al. (2002),e observou-se que os resultados são idênticos.
Já o segundo estudo considera o caso da otimização dos parâmetros de corte, durante a
fabricação de válvulas de motores de combustão interna, cujo objetivo é minimizar a dureza
superficial. Ao planejar experimentos específicos para dois fatores qualitativos (um com 2 níveis
e o outro com 3 níveis) e dois quantitativos (ambos com 3 níveis) foi construído um modelo
misto a partir de um delineamento fatorial completo (23). Repetiu-se o fatorial a fim de acomodar
a variável qualitativa com 2 níveis, resultando em 54 ensaios. Foram desenvolvidos dois
modelos: um linear e um quadrático. Apesar dos dois terem encontrado o ponto ótimo sobre as
mesmas condições, o modelo quadrático se mostrou mais eficiente que o linear. Vale ressaltar,
ainda, que os dois modelos apresentaram resultados melhores que o encontrado no teste com
essas condições. Construindo-se as superfícies de resposta é possível verificar que o processo em
que as válvulas fabricadas terão menor dureza superficial é aquele em que o óleo de corte Iorga
está presente e no qual o inserto escolhido é o Saar.
Os resultados, no caso das duas aplicações, são considerados satisfatórios e mostraram que
a modelagem proposta é uma ferramenta eficiente para a otimização de sistemas com vários
níveis de complexidade.
5. AGRADECIMENTOS
O primeiro autor agradece o CNPq por conceder suporte financeiro através da bolsa de
estudos no C-028/2008.
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Barros Neto, B., Scarminio, I. S. and Bruns, R. E., “Planejamento e Otimização de
Experimentos”, Editora Unicamp, Campinas, SP, 278p.,1995.
Barros Neto, B. et al., “Como fazer experimentos: pesquisa e desenvolvimento na ciência e
na indústria”, Editora Unicamp, Campinas, SP, 2001.
Bona, E. et al., “Aplicativo para otimização empregando o método simplex seqüencial”, Acta
Scientiarum, Maringá, PR, v.22, n.5, p.1201-1206, 2000.
Bona, E., Borsato, D., da Silva, R. S. S. F. , Benetasso, D. L., Souza, D. A.,“Planejamento e
otimização de sistemas mistos controlados por variáveis qualitativas e quantitativas”, Acta
Scientiarum, Maringá, PR, v.24, n.6, p.1843-1850, 2002.
Box, G. E. P., Draper, N. R, “Empirical Model-Building and response surfaces”, John Wiley
& Sons, New York, 1987.
Cao, Y. J. et al., “An evolutionary programming approach to mixed-variable optimization
problems”, Applied Mathematical Modelling, Orlando, v.24, p.931-942, 2000.
Draper, N. R., Smith, H, “Applied Regression Analysis”. John Wiley & Sons, Inc., New
York, 1966.
Furtado, M. M. et al., “Estudo conclusivo a respeito da fabricação do queijo minas frescal por
diferentes processos”, Revista do Instituto de Laticínios Cândido Tostes, Juiz de Fora, MG, v.35,
n.208, p.13-16, 1980.
Gacula, Jr. M. C., “Design and analysis of sensory optimization”, Food & Nutrition Press
Inc., Connecticut, 1993.
Goldberg, D. E., “Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning”.
Reading, MA: Addison-Wesley, 1989.
Grace, A., “Optimization Toolbox- For use with Matlab”, The Math Works Inc., Natick,
1992.
Haupt, R. L., Haupt, S. E., “Practical Genetic Algorithms”, Wiley-Interscience Publication,
New York, 2004.
Montgomery, D.C., “Design and analysis of experiments”, John Wiley & Sons, New York, 2
ed., 537p., 1984.
Saboya, L. V. et al., “Efeitos físico-químicos da adição de leite reconstituído na fabricação de
queijo minas frescal”, Cienc. Tecnol. Aliment., Campinas, SP, v.18, n.4, p.368-376, 1998.
Saramago, S. F. P., “Métodos de otimização Randômica: Algoritmos Genéticos e Simulated
Annelaing”, São Carlos: SBMAC, v. 6, 35 p., 2003.
Statistica, Statistica for Windows, StatSoft Inc., Tulsa, 1998.
Construções Geométricas Utilizando
Somente Régua e Compasso
Viviane Carvalho Mendes
∗
Weber Flávio Pereira†
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
Outubro de 2008
Resumo
Os problemas de construções geométricas tem sido sempre temas favoritos em
geometria e tais problemas apareceram já no século V a.C., na época dos pitagóricos
e exerceram grande influência no desenvolvimento da matemática grega.
Em meados do século III a.C., época de Euclides, novas idéias geométricas
surgem, e com elas, uma nova álgebra completamente geométrica, onde o objetivo não era resolver problemas, mas sim construir suas soluções. Nessa época,
muitos problemas foram propostos e resolvidos.
O surgimento dessa nova álgebra geométrica se deve ao monumental “Os Elementos”de Euclides, consistindo de treze livros, como o são chamados e que lança
uma hipótese, de certa forma complicadora, mas que se tornou um desafio muito
fértil ao posterior desenvolvimento da matemática. Hipótese essa a de se construir
objetos matemáticos com régua (sem marcas) e compasso, apenas.
O objetivo principal desse trabalho é apresentar algumas construções geométricas
com régua e compasso, dentre elas as etapas da construção de Euclides para o
pentágono regular, a construção de Gauss para o polı́gono regular de 17 lados e o
problema de Apolônio.
Palavras-chave: Construções geométricas, polı́gonos, régua e compasso.
1
Construção de Euclides Para o Pentágono Regular
O problema de construir o pentágono regular usando somente régua e compasso é, na
visão atual, um problema simples. Para isso, basta construir um decágono regular, ou
o
. Nesta seção, vamos apresentar a construção
seja, basta construir um ângulo de 36o = 360
10
feita por Euclides para o pentágono. Euclides desenvolveu onze resultados iniciais que
apresentaremos na seqüência.
Teorema 1 Paralelogramos com a mesma base, e com vértices pertencentes a duas retas
paralelas dadas, possuem a mesma área.
Demonstração. O paralelogramo ABCD e o paralelogramo EBCF estão sobre a mesma
base BC e estão entre duas retas paralelas L1 e L2.
∗
†
vivi [email protected]
[email protected] - Professor orientador.
A
F
D E
L2
G
L1
C
B
Os triângulos ABE e DCF são congruentes, já que BC é lado comum e EB e F C são
congruentes, pois são os lados do paralelogramo, logo a área do paralelogramo ABCD é
igual a soma da área do triângulo BCG, com a área do triângulo ABE subtraı́da a área
do triângulo DGE e o paralelogramo EBFC é igual a soma da área do triângulo BCG com
a área do triângulo DCF subtraı́da a área do triângulo DGE.
Teorema 2 Triângulos que tem a mesma base e com vértices pertencentes a retas
paralelas possuem mesma área.
D
A
B
E
F
L2
L1
C
Demonstração. Decorre do teorema 1, observe que AC é a diagonal do paralelogramo
ABCD e a mesma coisa ocorre para a medida F B em relação ao paralelogramo EBCF.
Logo a área do triângulo ABC é igual a metade da área do paralelogramo ADBC e o
triângulo FBC é igual a metade da área do paralelogramo EFBC e como os paralelogramos
possuem mesma área, os triângulos também possuirão áreas iguais.
Teorema 3 Se um paralelogramo e um triângulo tem a mesma base e estão situados entre
duas retas paralelas dadas, então o paralelogramo tem área duas vezes a área do triângulo.
Demonstração. Segue direto do teorema 2.
Teorema 4 Em qualquer paralelogramo, os complementos dos paralelogramos construı́dos
sobre a diagonal do paralelogramo dado são iguais em área.
B
A1
E
A
I
I
G
D
II
II
F
V
H
A2
C
Demonstração. Considere o retângulo ABCD, sejam EF uma reta paralela ao lado DB
e GH uma reta paralela a DC, elas se intersectam em um ponto V. Observe que AD é a
diagonal do retângulo ABCD, logo os triângulos I possuem a mesma área, analogamente
as áreas dos triângulos II são iguais. Daı́ quando subtraı́mos do retângulo ABCD duas
vezes a área do triângulo I e duas vezes a área do triângulo II restará somente a área do
retângulo A1 somado com a área do retângulo A2 . Portanto A1 = A2 .
Teorema 5 (Teorema de Pitágoras): Em triângulos retângulos, o quadrado construı́do
sobre o lado que subentende o ângulo reto é igual a soma dos quadrados que contém o
ângulo reto.
G
C
D
A
E
T
H
B
F
Demonstração. Sobre os lados dos triângulos são construı́dos quadrados. A altura do
triângulo ABC é CH, a qual é prolongada até F. São traçados os segmentos BD e CE.
Observe que os triângulos ABD e CAE são congruentes (pois ambos estão sobre os lados
dos quadrados).
O quadrado sobre AC tem área duas vezes a área do triângulo DAB, pois eles tem
a mesma base AD e estão sobre as mesmas retas paralelas, analogamente o retângulo
AEFH tem área duas vezes a área do triângulo CAE, pois possuem e vértices sobre duas
retas paralelas.
Como os dois triângulos são congruentes então o quadrado sobre AC tem área igual a
área do retângulo AEFH.
Analogamente, o quadrado sobre BC tem área igual a área do retângulo sobre HB e
desta maneira a soma das áreas dos quadrados sobre AC e BC é igual a soma das áreas
dos triângulos que é exatamente o quadrado sobre AB.
Teorema 6 Sejam AB um segmento de reta e C o ponto médio desse segmento. Adicionamos a esse segmento, em linhas retas, o segmento BD e construı́mos as seguintes
figuras:
A1 = o retângulo com base AD e altura DE igual a BD.
A2 = quadrado com medida do lado igual ao segmento CB (correspondendo na figura,
o quadrado FGHI)
A3 = quadrado de lado CD (correspondendo na figura, ao quadrado CDJG).
A soma das áreas das figuras A1 e A2 é igual a área da figura A3 .
A
C
D
B
E
I
II
β2 β
α
α
β
F
III
α2
G
I
H
Demonstração. (2α + β)β + α2 = (α + β)2
E o retângulo I tem a mesma área do retângulo II, logo a área do retângulo mais a
área do quadrado é igual a área do quadrado maior, ou seja, (2α + β)β + α2 = (α + β)2 .
Teorema 7 Dividir um segmento de reta dado de maneira que a área do retângulo determinado por esse segmento e por uma das partes dessa divisão, seja igual a área do
quadrado construı́do sobre a outra parte dessa divisão.
F
G
A
B
H
E
C
D
K
Demonstração. O nosso problema é encontrar o ponto H sobre AB de tal maneira que
2
AB.HB seja igual a AH . Para isso, sobre AB construa o quadrado ABCD e, em seguida,
divida AC ao meio, no ponto E. Prolonga AC além do ponto A até um ponto F de tal
maneira que EF seja igual a EB. Sobre AB marque o ponto H, de tal maneira que AH
seja igual a AF . Logo H é o ponto procurado.
De fato, primeiramente completamos o quadrado AFGH e prolongamos GH até K.
Feito isso, o teorema 6 nos garante que:
2
2
F C.F G + AE = EF .
(1)
Note que EF é igual a EB, daı́ usando o teorema de Pitágoras no triângulo AEB e a
equação (1), temos:
2
2
2
2
2
2
EB = AB + AE ⇒ F C.F G + AE = AB + AE ,
ou seja,
2
F C.F G = AB .
(2)
A equação (2) nos diz que o retângulo de lados F C e F G tem área igual a área do
quadrado de lado AB. Subtraindo dessas duas figuras o retângulo comum de lados AC
e AH, obtemos que o quadrado de lado AH tem área igual a do retângulo determinado
pelos lados HB e DB, ou seja,
2
AH = HB.AB
conforme querı́amos demonstrar.
Teorema 8 Se de um ponto P externo a um cı́rculo, traçarmos uma reta tangente ao
cı́rculo em T, e uma reta arbitrária que o intersecta em R e S, teremos então sempre a
2
seguinte relação P R · P S = P T .
Demonstração.
Primeiro caso: Quando a reta passando por P, passa pelo centro do cı́rculo.
T
P
R
S
C
Observe que RS é o diâmetro do cı́rculo e P R é o segmento adicionado a esse diâmetro.
Pelo teorema 6, podemos afirmar o seguinte:
2
2
P R · P S + RC = P C .
2
2
Daı́ como T C = RC , temos que:
2
2
2
2
2
PR · PS + TC = PC ⇒ PR · PS = PC − TC ⇒ PR · PS = PT .
Segundo caso: A reta que passa por P não passa pelo pelo centro do cı́rculo.
T
C
P
R
M
S
Seja M o ponto médio do segmento RS e P R o segmento adicionado a RS, usando o
teorema 6, temos:
2
2
P R.P S + RM = P M .
2
Adicionando CM a ambos os membros temos:
2
2
2
2
2
P R.P S + (RM + M ) = P M + CM ⇒ P R.P S + RC = P C
2
2
2
mas observe que RC = T C , logo
2
2
2
2
2
P R.P S + T C = P C ⇒ P R.P S = P C − T C ⇒ P R.P S = P T .
Teorema 9 Se de um ponto A exterior a um cı́rculo, forem traçadas duas retas, uma
2
que intersecta o cı́rulo em B e F e outra o cortando em D, e se AB.AF for igual a AD
então AD é tangente ao cı́rculo em D.
Demonstração.
D
F
B
A
C
T
Do ponto A traçamos uma reta AT tangente ao cı́rculo. Do teorema 8, sabemos que
2
2
2
2
AT = AB.AF , mas segue-se da hipótese que AD = AB.AF , então AD = AT .
Portanto AD também é tangente ao cı́rculo.
Teorema 10 O ângulo α entre uma tangente e uma corda de um cı́rculo é igual ao ângulo
compreendido pelo arco determinado pela corda, do lado da corda oposto a α.
S
α
O
R
2α
P
α
U
! P é um ângulo reto pois a reta U P é tangente
Demonstração. Temos que o ângulo OU
ao cı́rculo no ponto U. Agora
!
! = 1 ROU
RSU
2
(3)
! = 180o − (OU
! + U RO).
!
contudo, ROU
! R.
! R = U RO.
! Daı́ ROU
! = 180o −2OU
Como o triângulo URO é isósceles temos que OU
Substituindo em (3), temos:
! R = 90o − OU
!R
! = 1 (180o − 2.OU
RSU
2
! R, portanto RSU
! é igual a α, conforme querı́amos demonmas temos que α = 90o − OU
strar.
Teorema 11 Construir um triângulo isósceles que tenha cada um dos ângulos da base
igual a duas vezes o terceiro ângulo.
A
δ
C
ε β B
αγ
D
Demonstração. Seja AB um segmento de reta e C um ponto sobre esse segmento, pelo
teorema 7, podemos dividir AB, de tal maneira que AC 2 =AB.CB, em seguida traçamos
um cı́rculo em A e raio AB. Marcamos a corda BD de tal modo que que BD= AC.
O triângulo procurado é o triângulo ABD, pois β = δ + γ = 2α.
Justificativa:
1o ) Construı́mos um cı́rculo circunscrito ao triângulo ACD, como AC é igual a BD,
2
2
podemos substituir AC = AB.CB, por BD = AB.CB, pelo teorema 9, concluı́mos que
BD é tangente ao cı́rculo em D, logo α = γ.
Agora precisamos provar que α = δ
2o ) α = γ ⇒ α+ = γ + δ (pois como o triângulo ACD é isósceles temos que α = δ ⇒
α + γ = δ + γ).
3o ) ε é um ângulo externo do triângulo ACD, logo ε = α + δ, daı́ como α + δ = γ + δ ⇒
ε = γ + δ ⇒ ε = β e, portanto, o triângulo CBD é isósceles, logo CD = AC, ou seja, o
triângulo ACD também é isósceles e α = δ.
Portanto β = γ + δ = 2α.
2
Inscrever um pentágono em um cı́rculo dado
Nosso objetivo agora é utilizar os teoremas demonstrados na seção anterior para inscrever
um pentágono em um cı́rculo dado. Procedemos então da seguinte maneira:
1) Usando o teorema 11, construı́mos um triângulo FGH isósceles com os ângulos da
base igual a duas vezes o terceiro ângulo. Em seguida, inscrevemos no cı́rculo um triângulo
semelhante ao triângulo FGH da seguinte forma: traçamos uma reta tangente IJ ao
cı́rculo, em um ponto A, transportamos sobre essa reta, partindo de A, o ângulo H F!G,
B
F
D
E
O
I
G
H
A
C
J
encontrando assim um ponto C sobre o cı́rculo. Sobre o segmento AI, transportamos o
! obtendo um ponto B. Por fim, ligamos os pontos A,B e C e encontramos o
ângulo GHF
triângulo ABC, inscrito no cı́rculo e semelhante ao triângulo FGH.
! é igual ao
Justificativa: pelo teorema 10, podemos afirmar que os ângulos J AC
! e que possuem a mesma medida do ângulo GF!H. Pela mesma razão, o
ângulo ABC
! é igual ao ângulo GHF
! , logo a medida do ângulo B AC
! é igual a medida do
ângulo ACB
!
ângulo F GH.
! e B CA,
! encontrando
2) Agora, traçamos as bissetrizes referentes aos ângulos C AB
assim dois pontos E e D respectivamente, ligando os segmentos BD, DA, AC, CE e EB
encontramos o pentágono regular.
Justificativa: vamos mostrar que dois lados quaisquer do polı́gono obtido possuem
a mesma medida, conseqüentemente esse polı́gono é regular, ou seja, temos exatamente
o pentágono. Seja O o centro do cı́rculo dado, vamos mostrar que os triângulos BOE e
DOA são congruentes.
!
Como sabemos o ângulo central é duas vezes o ângulo inscrito, então o ângulo E OB
! e da mesma forma que o ângulo DOA
! é igual a duas
é igual a duas vezes o ângulo B AE
!
vezes o ângulo DCA e como BO = OE = OA = OD = raio, então os triângulo BOE
e triângulo DOA são congruentes pelo critério LAL, logo os lados BE e AD possuem a
mesma medida. Efetuando o mesmo procedimento para dois lados quaisquer do polı́gono,
concluı́mos que todos os seus lados possuem a mesma medida, ou seja, o polı́gono inscrito
corresponde exatamente ao pentágono.
Com isso, finalizamos o processo de construção e inscrição do pentágono regular em
um cı́rculo feita por Euclides.
3
Construção de Gauss para o polı́gono regular de 17
lados
Devemos ressaltar que antes de Gauss, L. Euler (1707-1783) ao demonstrar que qualquer
número tem n raı́zes enésimas, também provou que elas, quando representadas no plano
. Em outras palavras, a extração
complexo, formam entre si, sucessivamente, ângulos de 2π
n
da raı́z enésima da unidade produz n números complexos, cujas representações gráficas
formam um polı́gono regular de n lados inscrito em um cı́rculo de raio unitário. Por
esse motivo, a equação xn − 1 = 0 recebeu a denominação de equação ciclotônica e foi
intensamente estudada no final do século XVIII e no inı́cio do século XIX, principalmente
pelo jovem Gauss.
É interessante observar alguns fatos das diversas raı́zes enésimas entretanto, ocorre
algo curioso, tomando R1 como ponto de partida vemos que:
R2 = R12 , R3 = R13 , ..., Rn−1 = R1n−1 .
Onde no lado direito 2, 3 e n-1 não são mais ı́ndices de contagem mas, sim, potências
inteiras da raı́z R1 . Isto ocorre porque, ao se elevar R1 as sucessivas potências inteiras, o
ângulo θ vai sendo multiplicado por 2, 3, 4, etc e isto conduz as raı́zes R2 , R3 , ... , Rn−1 .
Observe que Rn−1 = R11 , Rn−2 = R12 , ... , Rn−i = R1i .
#
"
2π
, daı́
De fato, temos que R1 = |R1 | cos 2π
+
i
sin
n
n
− i sin 2π
)
(cos 2π
1
2π
1
2π
n
n
− i sin
= Rn−1 .
=
2π
2π .
2π
2π = cos
R1
n
n
(cos n + i sin n ) (cos n − i sin n )
Podemos fazer essa afirmação pois, para se calcular o inverso de um número complexo
de módulo 1, basta inverter o ângulo em relação ao eixo real.
Agora considere a equação x17 -1=0. Descartando a raı́z x = 1 temos:
x16 + x15 + x14 + ... + x + 1 = 0.
Observando as relações entre as raı́zes acima temos:
1
1
R116 + R115 + ... + R1 + 1 = 0 ou R16
+ R15
+ ... + R1 + 1 = 0.
Após isso, Gauss ordenou as 16 raı́zes de tal forma que cada raı́z é o cubo da anterior.
A ordenação é:
R1 , R3 , R9 , R10 , R13 , R5 , R15 , R11 , R16 , R14 , R8 , R7 , R4 , R12 , R2 , R6 .
Note por exemplo que
(R16 )3 = (R116 )3 = R148 = R117 .R117 .R114 = R114 .
Assim, podemos agrupar as raı́zes em dois blocos de elementos:
y1 = R1 + R9 + R13 + R15 + R16 + R8 + R4 + R2
e
y2 = R3 + R10 + R5 + R11 + R14 + R7 + R12 + R6 .
Por meio desse agrupamento, podemos observar algumas equações:
y1 + y2 = −1
(4)
y1 y2 = −4
(5)
e de (4) e (5), temos y 2 + y − 4 = 0.
Tomando os termos alternados de y1 , temos:
z1 = R1 + R13 + R16 + R4 e z2 = R9 + R15 + R8 + R2 .
Analogamente para os termos de y2 temos:
w1 = R3 + R5 + R14 + R12 e w2 = R10 + R11 + R7 + R6 .
Assim:
e
z1 + z2 = y1 e z1 · z2 = −1 =⇒ z 2 − y1 z − 1 = 0
w1 + w2 = y2 e w1 · w2 = −1 =⇒ w2 − y2 w − 1 = 0.
Tomando v1 = R1 + R16 e v2 =R13 + R4 obtemos v1 + v2 = z1 e v1 v2 = w1 , logo v1 e
v2 satisfazem v 2 − z1 v + w1 = 0 e R1 + R16 satisfazem r2 − v1 r + 1 = 0.
Conseqüentemente, um polı́gono de 17 lados pode ser construı́do através de um processo envolvendo apenas operações racionais e extração de raı́zes quadradas, ou seja,
apenas com régua e compasso.
Assim resolvendo as equações do segundo grau encontradas conseguimos encontrar R1 .
+ isen 2π
e que R11 = cos 2π
− isen 2π
= R16 e
Não podemos esquecer que R1 = cos 2π
17
17
17
17
1
2π
assim v1 = R1 + R1 = 2 cos 17 .
Vejamos geometricamente, como se constrói o polı́gono regular de 17 lados.
Seja o cı́rculo unitário com diâmetros AB e CD, construı́mos duas perpendiculares a
esses diâmetros que tangenciam o cı́rculo em A e D e se cortam em S.
B
O
D
F'
S
E
A
C
H'
F
H
A seguir, dividimos AS em quatro partes iguais e tomamos AE = 14 AS.
Com centro em E e raio OE traçamos um cı́rculo que corta a reta AS em F e F .
Com centro em F e raio F O traçamos um cı́rculo que corta AS em H (fora de F F ), e
com centro em F e raio F O traçamos outro cı́rculo que corta AS em H (entre F e F ).
Vamos mostrar agora que AH = z1 e AH = w1 .
De fato, já sabemos que y√1 + y2 = −1 e √y1 y2 = −4 e isto implica que y 2 + y − 4 = 0,
onde chegamos que y1 = −1+2 17 e y2 = −1−2 17 .
Temos também
que z 2 − y1 z − 1 $
= 0 e w2 − y2 w − 1 = 0, assim podemos afirmar que
$
z1 = 12 y1 + 1 + 14 y12 e w1 = 12 y2 + 1 + 14 y22 .
Da figura acima temos que:
√
2
2
2
2
17
1
17
AS +
1
=
=⇒
OE
=
(1) OE = AE + OA = ( 14 AS)2 + 1√= 16
16
4
√
(2) AF = EF − EA = OE − EA = 417 − 14 = 17−1
= 12 y1
4√
√
(3) AF = EF + AE = EF + AE = OE + AE = 417 + 14 AS = 17+1
= − 12 y2
4
$
2
2
2
(4) OF = OA + AF = 1 + ( 12 y1 )2 =⇒ OF = 1 + 14 y12 = OF .
Daı́ podemos afirmar que :
$
AH = AF + F H = 12 y1 + OF = 12 y1 +
1 + 14 y12 = z1 e
$
AH = F H − F A = F O − (− 12 y2 ) = 1 + 14 y22 + 12 y2 = w1 .
.
Agora vamos mostrar que OF = v1 = 2 cos 2π
17
Considere no plano um cı́rculo de diâmetro BD onde B = (0, 1), D = (z1 , w1 ) e A é o
centro e o ponto médio de BD.
w1
D=(z1,w1)
A
B=(0,1)
G
F
z1
Logo a equação do circulo é:
(x −
w1 − 1 2
w1 + 1 2 z12
z1 2
) + (y −
) =
+(
).
2
2
4
2
Para encontrarmos as abscissas dos pontos G e F , fazemos y = 0 na igualdade anterior
e obtemos:
w1 + 1 2
w1 + 1 2 z12
z1 2
) =
+(
)
(x − ) + (
2
2
4
2
Desenvolvendo a equação anterior temos:
x2 − z1 x + w1 = 0,
onde as abscissas são precisamente v1 e v2 , que satisfazem a equação v 2 − z1 v + w1 = 0, e
v1 > v2 .
√
z1 + z12 −4w1
= 2 cos 2π
.
Logo OF = v1 =
2
17
Assim podemos construir o polı́gono de 17 lados da seguinte maneira: sobre o eixo x
marcamos OF = v1 e o ponto médio M de OF . Construı́mos M P perpendicular a OF ,
, então OM = cos 2π
e
temos que AP é o lado do pentadecágono pois se OF = 2 cos 2π
17
17
2π
! = .
assim M OP
17
P
O
4
M
A
F
O Problema de Apolônio
Outro problema de construção geométrica muito discutido do ponto de vista algébrico, é
o famoso problema dos cı́rculos tangentes de Apolônio. Considere três cı́rculos dados C1,
C2 e C3 no plano, o problema de Apolônio consiste em encontrar um cı́rculo tangente a
estes três cı́rculos, podendo estes serem degenerados em retas (cı́rculos de raio infinito) ou
pontos (cı́rculos de raio zero). O que veremos a seguir é uma breve demonstração desse
problema e sua possibilidade de construção por meio de régua e compasso.
Dado o cı́rculo C1, com centro P1 e raio r1 e o cı́rculo C, com centro em P e raio r.
Sendo esses dois cı́rculos tangentes e externos podemos afirmar que:
C1
C
P1
R1
P
R
d(P, P 1) = r + r1
(6)
Se são tangentes e C1 e está no interior da região delimitada por C, então:
C
C1
R1
P1 R-R1
P
d(P, P1 ) = r − r1
(7)
Finalmente se são tangentes e C está no interior da região delimitada por C1, então:
C1
C
R
P R1-R
P1
d(P, P1 ) = r1 − r
(8)
Então generalizando, podemos afirmar que duas circunferências são tangentes, se e
somente se:
%
d(P, P1 ) = (r ± r1 )2 ⇒ d(P, P1 ) = (r ± r1 )2 .
Consideremos agora, os centros de C e C1 sendo (a, b) e (a1 , b1 ) respectivamente.
Nessas condições nossa equação passa a ser escrita como:
(a − a1 )2 + (b − b1 )2 = (r ± r1 ).
(9)
Voltando ao enunciado do problema de Apolônio onde C é tangente aos três cı́rculos
C1, C2 e C3, obtemos, além da equação (9), as duas equações abaixo:
(a − a2 )2 + (b − b2 )2 = (r ± r2 )2
(10)
(a − a3 )2 + (b − b3 )2 = (r ± r3 )2 .
(11)
Reescrevendo a equação (9), temos:
a2 + b2 − r2 − 2a1 a − 2b1 b ± 2r1 r = r12 − a21 − b21 .
Daı́ obtemos:
a2 + b2 − r2 + A1 a + B1 b = C1 r + D1 = 0.
(12)
Repetindo esse processo para as equações (10) e (11), teremos:
a2 + b2 − r2 + A2 a + B2 b = C2 r + D2 = 0
(13)
a2 + b2 − r2 + A3 a + B3 b = C3 r + D3 = 0.
(14)
Fazendo a diferença entre as equações (12) e (13) e também entre as equações (12) e
(14), obtemos:
(15)
E2 a + F2 b + G2 r + H2 = 0
E3 a + F3 b + G3 r + H3 = 0
(16)
onde Ei , Fi , Gi e Hi para i=1,2 são expressões de aj , bj e rj para j = 1, 2, 3.
Resolvendo o sistema de equações (15) e (16), encontramos expressões para a e b em
termos de Ei , Fi , Gi e r, expressões estas dadas por:
a=
F3 (G2 r + H2 ) − F2 (G3 r + H3 )
F2 (G3 r + H3 ) − F3 (G2 r + H2 )
eb=
.
E2 F3 − E2 F2
E2 F3 − F2 E3
Observe que a e b possuem termos em função de r e termos independentes, logo
podemos escrevê-los da forma:
a = J1 r + K1 e b = J2 r + K2
onde J1 , J2 , K1 e K2 são expressões nas variáveis ai , bi e ri para i = 1, 2, 3. Logo esses
coeficientes são conhecidos e podem ser construı́dos por meio de régua e compasso.
Substituindo a e b na equação (12), obtemos:
(J1 r + K1 )2 + (J2 r + K2 )2 − r2 + A1 (J1 r + K1 ) + B1 (J2 r + K2 ) + C1 r + D1 r = 0.
Daı́ resolvendo essa equação, encontramos r e, em seguida, podemos traçar a e b,
resolvendo assim nosso problema.
Exemplo: Encontraremos, a seguir, as possibilidades de tangência da circunferência
C com as seguintes circunferências dadas:
λ1 : circunferência de centro (1,2) e raio 1;
λ2 : circunferência de centro (-2,1) e raio 2;
λ3 : circunferência de centro (3,-2) e raio 2.
Então nossas equações serão dados por:
(a − 1)2 + (b − 2)2 = (r ± 1)2
(17)
(a + 2)2 + (b − 1)2 = (r ± 2)2
(18)
(a − 3)2 + (b + 2)2 = (r ± 2)2
(19)
Reescrevendo a equação (17), temos:
a2 − 2a + 1 + b2 − 4b + 4 = r2 ± 2r + 1 ⇒ a2 + b2 − r2 − 2a − 4b ± 2r + 4 = 0.
(20)
Do mesmo modo para a equação (18) e (19)
a2 + b2 − r2 + 4a − 2b ± 4r + 1 = 0
(21)
a2 + b2 − r2 − 6a + 4b ± 4r + 9 = 0
(22)
Onde consideraremos C1 = ±2, C2 = ±4 e C3 = ±4.
Obtemos com a diferença entre as equações (20) e (21) a seguinte expressão:
−6a − 2b + (±2 ± 4)r + 3 = 0.
(23)
Considere D1 = (±2 ± 4) e fazendo a diferença entre as equações (20) e (22), temos:
4a − 8b + (±2 ± 4)r − 5 = 0.
(24)
Denotando D2 = (±2r ± 4r) e resolvendo o sistema formado pelas equações (23) e
(24), podemos encontrar os seguintes valores para a e b:
a=
[4(±2r ± 4r) − 18]
[4(±2r ± 4r) + 17]
e b=
.
28
56
Substituindo a e b na equação (20) e resolvendo em função de r, obtemos:
√
184D2 + 174D1 − 392C1 ± 14 δ
r=
2(10D12 + 2D1 D2 + 5D22 − 392)
(25)
onde δ = −9D22 + 254D1 D2 − 736D2 C1 − 209D12 − 696D1 C1 + 784C12 + 14248.
Vamos agora verificar a existência ou não da circunferência C, mediante os possı́veis
valores que C1 , C2 e C3 podem assumir.
1o caso: C1 = 2, C2 = 4 e C3 = 4.
A partir desses valores, encontramos D1 = −2 e D2 = −2, que, quando substituı́dos
na equação (25) nos dão duas raı́zes, a saber, r = −9.799 e r = 5.609 Contudo, como
somente consideramos valores positivos para o raio, temos que r = 5.609. Logo a circunferência C procurada tem centro (-0.5949,-2.324) e raio r = 5.609.
2o caso: C1 = 2, C2 = 4 e C3 = −4.
A partir desses valores, encontramos D1 − 2 e D2 = 6, que, quando substituı́dos na
equação (25) nos dão duas raı́zes, a saber, r = −2.943 e r = 3.086. Contudo, como somente
consideramos valores positivos para o raio, temos que r = 3.086. Logo a circunferência C
procurada tem centro (-0.9362, 1.221) e raio r = 3.086.
3o caso: C1 = 2, C2 = −4 e C3 = 4.
A partir desses valores, encontramos D1 = 6 e D2 = −2, que, quando substituı́dos
na equação (25) nos dão duas raı́zes, a saber, r = −5.6918 e r = 8.6918, novamente
como somente consideramos valores positivos para o raio, temos que r = 8.6918. Logo a
circunferência C procurada tem centro (8.6781, 1.5411) e raio r = 8.6918.
4o caso: C1 = 2, C2 = −4 e C3 = −4.
A partir desses valores, encontramos D1 = 6 e D2 = 6, que, quando substituı́dos na
equação (25) nos dão duas raı́zes, a saber r = 4.3306 e r = 1.8693. Neste caso encontramos
duas raı́zes positivas, logo teremos duas circunferências.
Para o raio r = 4.3306, temos a circunferência de centro (3.3911, 4.3185) e para o raio
r = 1.8693 temos a circunferência de centro (1.8088, 1.6814).
5o caso: C1 = −2, C2 = 4 e C3 = 4.
A partir desses valores, encontramos D1 = −6 e D2 = −6, que, quando substituı́dos
na equação (25) nos dão duas raı́zes, a saber, r = −1.8693 e r = −4.3306. Contudo,
como somente consideramos valores positivos para o raio, neste caso então não existirá a
circunferência C tangente a λ1 , λ2 e λ3 .
6o caso: C1 = −2, C2 = 4 e C3 = −4.
A partir desses valores, encontramos D1 = −6 e D2 = 2, que, quando substituı́dos
na equação (25) nos dão duas raı́zes, a saber, r = −8.6918 e r = 5.6918. Contudo, como
somente consideramos valores positivos para o raio, temos que r = 5.6918. Logo a circunferência C procurada tem centro (−4.6781, −1.5411) e raio r = 5.6918.
7o caso: C1 = −2, C2 = −4 e C3 = 4.
A partir desses valores, encontramos D1 = 2 e D2 = −6, que, quando substituı́dos
na equação (25) nos dão duas raı́zes, a saber, r = −3.0866 e r = 2.9438. Contudo, como
somente consideramos valores positivos para o raio, temos que r = 2.9438. Logo a circunferência C procurada tem centro (2.079, −1.7933) e raio r = 2.9438.
8o caso: C1 = −2, C2 = −4 e C3 = −4.
A partir desses valores, encontramos D1 = 2 e D2 = 2, que, quando substituı́dos na
equação (25) nos dão duas raı́zes, a saber, r = −5.6095 e r = 0.97992. Contudo, como
somente consideramos valores positivos para o raio, temos que r = 0.97992. Logo a circunferência C procurada tem centro (0.8171, 0.0285) e raio r = 0.97992.
A figura abaixo ilustra o caso 1. Pode-se observar que as três circunferências λ1 , λ2 e
λ3 estão no interior da região delimitada po C.
2
x
–6
–4
–2
2
4
0
–2
–4
y
–6
–8
Referências
[1]
Aaboe, A., Episódios da história antiga da matemática, Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática, 1984.
[2]
Baldin, Y.Y., Villagra, G.A.L., Atividade com Cabri-Géomètre II para cursos de Licenciatura em Matemática e professores do ensino fundamental
médio, São Carlos: EdUFSCar, 2002.
[3]
Eves, H., Estudio de las geometrias, vol. 1, México: Uteha, 1969.
[4]
Eves, H., Introdução a história da matemática, Campinas, SP: Editora da
Unicamp, 1995.
[5]
Moise, E.E., Geometria elemental desde um ponto de vista avanzado,
Compañia Editorial Continental, S. A., México, 1968.
[6]
Rezende, E.Q.F., Queiroz, M.L.B. - Geometria euclidiana plana e
construções geométricas, Campinas: Editora da Unicamp, 2000.
[7]
Wagner, E. Construções geométricas, Coleção IMPA/VITAE 1993.
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⎩ λ [ − F ( F ) ] + F ( F ) = ? ( ? )
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? ( ? ) − F ( F )
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FAMAT em Revista
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Problemas e Soluções
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Problemas e Soluções
Luiz Alberto Duran Salomão (coordenador da seção)
Alessandro Alves Santana
Marcos Antônio da Câmara
Problemas nº 11
41. Qual dos dois números é maior: 2007 2007 ou 2008 2006 ? Justifique sua resposta.
42. Quantas são as sequências estritamente crescentes de números naturais começando
com 1 e terminando com 1000?
43. Se a, b e c são números inteiros e a 2 + b 2 = c 2 , demonstre que 3 é divisor do
produto ab .
44. Dentre n + 2 inteiros, demonstre que há dois deles cuja diferença ou cuja soma é um
múltiplo de 2n .
Resoluções dos problemas do número anterior
37. Para todo número primo p, demonstre que os números
p +1 +
p±
p +1 −
p
são ambos irracionais.
Resolução: Suponha que α =
p +1 +
p±
p +1 −
p seja racional. Assim,
α 2 = 2 p + 1 ± 2 p + 1 − p = 2 p + 1 ± 2 também é racional. Daí,
p + 1 pertence aos
racionais. Porém, isso só pode ocorrer se p + 1 for um quadrado perfeito, digamos
p + 1 = k 2 . Como p = (k + 1)(k − 1) é primo, segue que k − 1 = 1 e k + 1 = p e, daí, p = 3.
Portanto, α é irracional, para todo primo p ≠ 3 . Agora, para p = 3 , α = 6 ou
Conclui-se, então, que α é irracional, qualquer que seja o número primo p.
2.
38. Demonstre que o polinômio X 2 n + X n + 1 é divisível pelo polinômio X 2 + X + 1
se, e somente se, n não é múltiplo de 3.
Resolução: Observe, inicialmente, que X 3 − 1 = ( X − 1) X 2 + X + 1 . Portanto, as raízes
(
)
da equação X + X + 1 = 0 são justamente as raízes cúbicas da unidade diferentes de 1;
vamos representar por w uma qualquer delas. Assim, se n não for múltiplo de 3, então
wn ≠ 1 ; como wn é uma raiz cúbica da unidade, ela é então uma raiz da equação
X 2 + X + 1 = 0 e, daí, w 2 n + w n + 1 = 0 e, conseqüentemente, X – w divide X 2 + X + 1 .
Como isso ocorre para qualquer raiz da equação X 2 + X + 1 = 0 , segue que X 2 + X + 1
divide X 2 n + X n + 1 . Reciprocamente, se n for múltiplo de 3, então wn = 1 e, por
conseguinte, w 2 n + w n + 1 = 3 ≠ 0 ; daí, X – w não divide X 2 n + X n + 1 , o que acarreta
que X 2 + X + 1 também não divide X 2 n + X n + 1 .
2
39. Seja ABC um triângulo que tem inraio (raio do círculo inscrito) r e circunraio (raio
do círculo circunscrito) R. Demonstre que R ≥ 2r.
Resolução: Vamos representar, respectivamente, por a, b e c os lados BC, AC e AB do
triângulo e por s o seu semiperímetro. Chamando P o incentro do triângulo, temos que
ra rb
rc
,
e
. Portanto,
as áreas dos triângulos PBC, PCA e PAB são, respectivamente,
2 2
2
⎛a+b+c⎞
o triângulo ABC tem área S = r ⎜
⎟ = rs . Por outro lado, um fato bem conhecido
2
⎝
⎠
a
b
c
é que, na lei dos senos,
=
=
, o valor constante da razão é dado por 2R;
senA senB senC
a
abc
abc
R sabc
sabc
daí, R =
=
=
. Assim,
, onde, na
=
=
2
2 senA 2bcsenA 4 S
r
4 s (s − a )(s − b )(s − c )
4S
última igualdade, foi utilizada a fórmula de Heron para a área de um triângulo. Agora,
a+b+c
substituindo o valor de s =
na igualdade acima, temos que
2
2abc
R
(*).
Agora,
chamando
=
r (b + c − a )(c + a − b )(a + b − c )
x = b + c − a, y = c + a − b e z = a + b − c e empregando a desigualdade envolvendo as
médias
aritmética
e
geométrica
de
dois
números,
temos
que
x+ y
≥ xy e, analogamente, a ≥ yz e b ≥ zx ; multiplicando termo a termo
2
essas três últimas desigualdades, obtemos abc ≥ xyz .
Voltando, por fim, à igualdade (*), chegamos ao seguinte resultado:
2abc
2abc
R
=
=
≥ 2 , o que conclui a demonstração.
r (b + c − a )(c + a − b )(a + b − c )
xyz
c=
40. Seja P um ponto interior ao triângulo ABC cujos lados medem a, b e c e cuja área
vale S. Demonstre que o produto das distâncias de P aos lados do triângulo é menor do
8S 3
, sendo que a igualdade ocorre somente se P for o baricentro do
que ou igual a
27 abc
triângulo.
Resolução: Representemos por x, y e z, respectivamente, as distâncias de P aos lados
BC, CA e AB do triângulo ABC. Assim, temos que ax + by + cz = 2S. Daí,
3
1
1 ⎛ 2S ⎞
8 S3
xyz =
ax ⋅ by ⋅ cz ≤
⋅
,
⎜ ⎟ =
abc
abc ⎝ 3 ⎠
27 abc
onde a desigualdade acima é a relação entre as médias aritmética e geométrica. Agora,
2S
.
na referida desigualdade, a igualdade ocorre se, e somente se, ax = by = cz =
3
Chamando D, E e F os pés das perpendiculares por A, B e C a BC, CA e AB,
2S
1
equivale a dizer que x = AD,
respectivamente, então dizer que ax = by = cz =
3
3
1
1
y = BE e z = CF. Mas, isso quer dizer que P está sobre cada uma das três retas
3
3
paralelas aos lados do triângulo ABC que passam pelo baricentro do referido triângulo,
ou seja, que P é o baricentro do triângulo.
FAMAT em Revista
Û
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Eventos
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Eventos
Douglas Silva Oliveira (coordenador da seção)
Eventos
VIII Semana da Matemática da Universidade Federal de Uberlândia –
UFU e VII Encontro Regional de Matemática Aplicada e
Computacional – ERMAC
Período: 28 a 31 de outubro de 2008
Informações: http://www.famat.ufu.br/ermac_semat/
IV Simpósio Nacional/Jornadas de Iniciação Científica no IMPA
Período: 10/11 até 14/11
Informações: http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/store/evento_0025
Seminário Nacional de História da Matemática
Período: 05/04 a 08/04 de 2009, UNAMA, Belém do Pará
Informações: http://www.sbm.org.br/nova/web//up/editor/File/SNHM%20%20Folder.pdf
VIII ERMAC Natal - RN
Período: De 20 de Novembro, 2008 à 22 de Novembro, 2008
Informações: http://www.dimap.ufrn.br/~sbmac/ermac2008
VIII ERMAC Pelotas - RS
Período: De 27 de Novembro, 2008 a 29 de Novembro, 2008
Informações: http://200.132.97.8/eventos/ermac2008/
III Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática
Guarapuava
Período: 6 a 8 de novembro de 2008
Informações: http://web01.unicentro.br/epmem2008/index.php
XX SEMAT – Semana da Matemática - UNESP Campus de São José
do Rio Preto
Período: 4 a 7 de novembro de 2008
Informações: http://www.mat.ibilce.unesp.br/semat/
IX Encontro Paulista de Educação Matemática – EPEM
Período: 25 a 27 de setembro de 2008
Informações: http://www.fc.unesp.br/ixepem
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FAMAT em Revista
Reflexões Sobre o
Curso de Matemática
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Reflexões sobre o Curso de Matemática
Valdair Bonfim
A FORMAÇÃO DE PROFESSORES NO CURSO DE MATEMÁTICA DA UFU:
REFLEXÕES E INQUIETAÇÕES
Geovana Ferreira Melo Teixeira1
[email protected]
1- Para iniciar...
O presente texto discute a formação de professores desenvolvida na Universidade
Federal de Uberlândia, a partir dos dados coletados na pesquisa de doutoramento “Tornar-se
Professor: a formação desenvolvida nos cursos de Física, Matemática e Química da UFU”2.
Os objetivos propostos foram: destacar e analisar as principais dificuldades enfrentadas no
decorrer do processo formativo dos estudantes; identificar os saberes docentes produzidos nos
cursos, assimilados e utilizados na prática cotidiana pelos licenciandos ao assumirem a
docência no período de estágio; compreender se os conteúdos específicos, do modo como são
trabalhados, possibilitam a transposição didática; identificar as práticas formativas
predominantes nos cursos que mais contribuem para o desenvolvimento da identidade
profissional dos licenciandos. Tivemos como referência para análise a produção científica da
área, o histórico dos cursos e da instituição e a documentação legal. Parte significativa dos
dados foi obtida junto aos coordenadores e professores dos cursos, por meio de entrevista e
dos grupos focais realizados com os alunos.
Vários estudos, dentre eles destacamos: Pimenta (2000), Pereira (2000), Guimarães
(2004), Linhares e Silva (2003), Veiga (1991, 1998), Candau (1987), Brzezinski (1996),
Cunha (1994), Freitas (2002), Gatti (1997) apontam para os problemas dos cursos de
licenciatura no Brasil, mormente, a má-formação pedagógica, a valorização dos
conhecimentos da área específica e a ênfase na formação do bacharel. Além disso, existem
problemas relacionados à formação deficiente dos estudantes no ensino médio, que
prejudicam a formação no ensino superior. Na UFU não é diferente, a partir da análise dos
currículos dos cursos de licenciatura desta Instituição, foi possível constatar, de modo geral,
que estes, da forma como estavam organizados3, não priorizam a formação profissional do
professor. A ênfase recai no aprofundamento do saber específico da área, ficando a formação
do licenciando, apenas, sob a responsabilidade de escassas disciplinas pedagógicas que têm
uma carga horária insignificante no currículo de formação de professores. Além disso, outra
agravante é que essas disciplinas são ministradas nos últimos períodos, nos quais os alunos
têm uma sobrecarga grande de trabalho de finalização dos cursos. Assim, configura-se,
claramente, a licenciatura como um apêndice da formação do bacharel, em que a formação
inicial pouco tem favorecido a articulação entre a formação teórica acadêmica e os
conhecimentos oriundos do universo escolar.
Historicamente, a questão da formação de professores tem sido alvo de inúmeras
preocupações e objeto de diferentes pesquisas. Trata-se de uma questão essencial das
sociedades, atravessada por discussões complexas que se estendem desde a natureza até as
1
Professora da Faculdade de Educação da Universidade Federal de Uberlândia, leciona a disciplina de Didática
Geral no curso de Matemática. Pedagoga, Mestre e Doutora em Educação.
2
Tese defendida no Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal de Goiás, orientada pelo
Prof. Dr. Valter Soares Guimarães.
3
O presente estudo analisou os currículos antigos dos cursos de licenciatura da UFU. Após Resolução CNE/ 1,
de 18 de Fevereiro de 2002, que institui as Diretrizes Curriculares para a Formação de Professores da Educação
Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena os currículos dos cursos de licenciatura
passaram por modificações no sentido de se adequarem às exigências da referida Resolução, houve a
necessidade de reestruturar os currículos, culminando na elaboração de novos projetos pedagógicos dos cursos
de formação de professores.
finalidades e princípios norteadores dos cursos que se ocupam em formar professores. Diante
dessa problemática, os desafios que se colocam à formação constituem-se:
Desafios à reflexão pessoal e coletiva, enquanto processo e
instrumento de conscientização progressiva, de desenvolvimento
continuado e partilhado, de persistência na investigação constante,
enquanto fonte de novos informes, de crença, de algum modo
sublime, na hipótese de o homem vir a descobrir-se e a encontrarse com a sua própria humanidade (SÁ-CHAVES, 2001, p. 89).
Esses desafios parecem apontar para o significado do processo de formar professores,
o que exige um esforço pessoal e coletivo no sentido de buscar, a partir da reflexão, propostas
concretas que se traduzam na superação dos obstáculos e problemas enfrentados pelos cursos
de licenciatura. Trata-se, portanto, de avaliar os pressupostos que têm dado suporte à
formação docente para compreender qual o perfil de professor pretende-se formar. Além
disso, faz-se necessário priorizar a reorganização dos cursos de licenciatura, a partir de um
esforço coletivo, que vá desaguar na formação de um professor dotado de autonomia
profissional que lhe permita desenvolver uma prática pedagógica eficaz.
Diante dessa realidade, é outorgada aos cursos de formação de professores a
responsabilidade de construir e assumir um projeto pedagógico que possa viabilizar uma
sólida formação teórico-prática dos professores, no sentido de contemplar as diferentes
dimensões - científica, cultural, humana, política, técnica e ética - para que possam se tornar
profissionais capazes de atuar criticamente na sociedade. A pesquisa sobre a formação de
professores nos instiga a pensar sobre os diferentes elementos presentes nesse processo
complexo.
Muitos estudos (CUNHA, 1994; GATTI, 1997; LIBÂNEO, 1998; BRZEZINSKI,
1996) já apontaram o perigo do esvaziamento e aligeiramento que correm os cursos de
licenciatura, a precariedade da formação inicial de professores, dentre outras mazelas. Assim,
mesmo que não desconheçamos tais precariedades e não deixemos de explicitá-las,
pretendemos, neste trabalho, evidenciar, à luz da teoria existente, também as potencialidades
das possíveis práticas formativas existentes nesses cursos que contribuem para a formação de
novos professores.
Como o intuito da pesquisa foi compreender a formação de professores nos cursos de
Física, Matemática e Química, baseamos a revisão teórica em pesquisas que tratam a
formação inicial como um processo amplo, complexo e contínuo que requer a elaboração de
diferentes saberes da docência: Guimarães (2004), Pimenta (2000), Pereira (2000), Altet
(2001), Charlot (2002), Gauthier (1998), Nóvoa (1995), Sacristán (2002), Schön (1995),
Tardif (2002), Zeichner (1993). A transposição didática surgiu como importante categoria de
análise e seu conceito parte do que Chevallard (1991) considera como processo de
transformação de um objeto de saber em um objeto de ensino, ou seja, os conteúdos de saber
a serem ensinados passam por diferentes transformações, manifestadas pela necessidade de
adaptação ao processo de ensino.
As práticas formativas, conforme Sacristán (1999), são denominadas, em sentido
estrito, a cultura compartilhada sobre ações que têm relação com o cuidado, o ensino e a
direção dos outros. Ela (a prática) é constituída por conhecimentos estratégicos,
conhecimentos sobre saberes, motivações e desejos compartilhados. Sacristán confere à
prática uma dimensão coletiva, cultural e, à ação, uma dimensão mais individual. Para nós, as
práticas formativas envolvem tanto aspectos “coletivos”, conforme Sacristán, quanto aspectos
individuais (ação).
A identidade profissional é compreendida como processo complexo que se desenvolve
a partir das diferentes experiências pessoais e profissionais, de acordo com Pimenta (2000) e
Nóvoa (1995). Uma das referências para compreender o conceito de identidade profissional
distancia-se da noção de papéis preestabelecidos, mas focaliza o docente em sua relação
consigo mesmo e com os outros, num processo de constante desenvolvimento. Tap, citado por
Santos (1990), aponta, como aspecto principal, o reconhecimento que emana das relações
sociais, no qual o indivíduo define-se a partir de como se reconhece no desempenho de papéis
sociais e de como é reconhecido pelos outros no meio social.
As especificidades quanto à formação de professores de Física, Matemática e Química
foram tratadas a partir de Carvalho e Gil-Pérez (2003), Moreira e David (2005).
Por meio da análise de conteúdo das entrevistas realizadas com os coordenadores e
docentes e dos grupos focais com os alunos, à luz dos referenciais teóricos, foi possível
compreender e explicitar as práticas formativas dos cursos investigados, o que subsidiou a
análise apresentada nos capítulos seguintes. Veiga (2002, p. 145) considera que:
(...) o conhecimento do cotidiano acadêmico é duplamente
importante. Primeiro, porque sendo descrito, problematizado e
compreendido, é possível repensá-lo e propor um projeto
pedagógico que possibilite sua reconfiguração. Segundo, porque o
cotidiano acadêmico, sendo desvelado e compreendido, propicia a
tomada de decisões coletivas e democráticas voltadas para a
melhoria da qualidade de ensino.
Nessa perspectiva, ao compreendermos os saberes e as práticas formativas pelas quais
estão sujeitos os alunos dos cursos investigados, poderemos contribuir para a melhoria do
processo de formação profissional dos professores.
2- Formação de Professores de Matemática: algumas especificidades
A formação de professores na área das ciências exatas - Física, Matemática e Química
– contém algumas especificidades que, de certa forma, convergem para uma aproximação
entre esses três cursos. São áreas de conhecimento, também designadas como "ciências
duras"4, que requerem dos estudantes muito mais que decorar fórmulas ou a solução
mecânica de exercícios: exigem o domínio de conceitos, flexibilidade de raciocínio, abstração
e capacidade de análise. A compreensão dos diferentes saberes na área das ciências exatas,
que são expostos nas aulas e mesmo nos livros didáticos, baseia-se em raciocínios complexos
que requerem operações cognitivas bastante refinadas, sendo a capacidade de abstração
indispensável para a aprendizagem dos conteúdos. Apesar de a Matemática estar presente na
vida diária, as idéias e os procedimentos utilizados nos cursos de formação de professores
parecem muito distantes da realidade prática e isso se configura num problema a ser
resolvido.
O modelo de formação ainda vigente, que tem a ênfase no bacharelado e a licenciatura
no final do curso, dificulta o processo formativo, uma vez que os estudantes convivem,
durante vários semestres, com uma enorme carga de teorias e exercícios que, em poucos
casos, contribuem para a formação de um professor capaz de organizar e gerir o processo de
4
O termo 'ciência dura' é um termo antigo, utilizado para definir as áreas ligadas às ciências naturais,
especialmente a física, sendo uma tradução literal do inglês (hard science). Este termo era utilizado para
representar as áreas do conhecimento humano que necessitavam de experimentações e resultados quantificáveis
para comprovar teorias, em contraposição às ciências sociais, as quais não exigiam um rigor científico tão
significativo. O método científico, introduzido por Galileu Galilei no século 17, baseado em experimentação e
validação matemática, começou a ser adotado então como metodologia para explicar os fenômenos da natureza,
gerando leis físicas expressas matematicamente, caracterizando assim as ditas ciências duras. (Fonte:
www.voluntarioscpfl.org.br).
ensino e aprendizagem. Trata-se de uma formação ainda baseada no modelo da racionalidade
técnica, no qual Pereira (2000, p. 57) destaca "o complexo problema da dicotomia entre teoria
e prática docente". Esse modelo tem sido denunciado em diversos trabalhos referentes à área
das Ciências e Matemática (CARVALHO e GIL-PÉREZ, 2003; BICUDO, 1999; PAIS, 2001;
MOREIRA e DAVID, 2005). Estes autores discutem a problemática de um "mero
doutrinamento na formação" (CARVALHO e GIL-PÉREZ, 2003, p. 84). Isso ocorre, muitas
vezes, em virtude da total separação entre os conteúdos específicos e a realidade concreta na
qual o licenciando irá atuar. Essa prática somatória de conhecimentos desconsidera a relação
entre os conteúdos acadêmicos e os conteúdos escolares, privilegiando nos cursos o ensino da
Matemática Acadêmica, distanciada da realidade escolar, campo de atuação do futuro
professor. Assim, configura-se um dos grandes obstáculos dessas áreas de conhecimento: a
falta de integração entre os princípios teóricos dos cursos de formação com as teorias
educacionais e suas relações com a prática docente.
Além disso, os cursos, da forma como estão organizados, não privilegiam a reflexão
crítica o que, de certa forma, induz a um operativismo mecânico (CARVALHO e GILPÉREZ, 2003, p. 91), cujo sentido da formação está centrado quase sempre na aprendizagem
de fórmulas para a resolução de problemas. Einstein, citado por Carvalho e Gil-Pérez (2003),
ressalta que "Nenhum cientista pensa com fórmulas. Antes que o cientista comece a calcular,
deve ter em seu cérebro o desenvolvimento de seus raciocínios. Estes últimos, na maioria dos
casos, podem ser expostos com palavras simples. Os cálculos e as fórmulas constituem o
passo seguinte". E, se os estudantes não têm esse aprendizado do pensar, do desenvolvimento
do raciocínio, como é que irão desenvolvê-lo em seus futuros alunos? A esse respeito,
D`Ambrósio (1999, p.1) destaca que
O problema maior do ensino de ciências e matemática é o fato das
mesmas serem apresentadas de forma desinteressante, obsoleta e
inútil, e isso dói para o jovem. O ensino de fatos e conceitos
apresentados como verdades absolutas e incontestáveis, como um
corpo de conhecimentos congelado ao longo de séculos, não pode
responder à enorme curiosidade dos jovens e nem à própria
dinâmica da elaboração do conhecimento. A aquisição desse
conhecimento é falsamente verificada através de provas e testes. O
ensino de ciências e matemática é catequético na maneira como é
conduzido e como é avaliado.
Outro agravante, também apresentado nos estudos já citados, refere-se ao formato
expositivo das aulas nesses cursos, que estimula uma aprendizagem passiva e não criativa na
qual os futuros professores se acomodam à recepção de conhecimentos prontos e acabados e
não desenvolvem a habilidade de construí-los. Bkouche, citado por Micotti (1999, p. 165),
enfatiza que
Se, hoje, a aprendizagem das matemáticas é tão difícil, não é
porque as matemáticas sejam abstratas, é porque esta
aprendizagem não se apóia sobre a atividade intelectual do aluno,
mas sobre a memorização e sobre a aplicação de saberes cujos
sentidos não são verdadeiramente compreendidos.
Nessa perspectiva, fundamentar o ensino na atividade intelectual do estudante
significa conhecer suas potencialidades e respeitá-las, devendo o professor formador
organizar situações capazes de promover esse raciocínio lógico. É importante propor
atividades que estabeleçam relações entre conteúdo, método e processos cognitivos que
possibilitem o aperfeiçoamento da capacidade intelectual dos estudantes.
Nos cursos de formação de professores, principalmente na área das ciências exatas, é
comum o acúmulo de conteúdos que os alunos consideram "inúteis", porque são
conhecimentos que não serão, diretamente, utilizados em sua prática docente. Do mesmo
modo, trabalha-se também saberes de forma inadequada, sem considerar as peculiaridades que
o processo formativo exige (saberes de diferentes ordens: pedagógicos, disciplinares,
curriculares, dentre outros). Sabemos que a formação, no sentido lato do termo, exige o
aprimoramento de diferentes habilidades e a construção de vários saberes, portanto, não há
como se privilegiar apenas os saberes da área específica, pois isso significa minimizar a
formação, restringindo-a somente ao aspecto pragmático da transmissão de conteúdos.
Em alguns casos ocorre, ainda, na comunidade acadêmica, a distinção entre a
Matemática Científica e a Matemática Escolar, principalmente quando se têm em vista os
processos de formação inicial e a prática docente. Se a Matemática Escolar é concebida como
mero subprograma da área Científica, a tendência é reduzir a primeira a um simples acessório
da última, com a conseqüente desqualificação do conhecimento escolar frente ao saber
acadêmico. Nessa direção, as disciplinas escolares ficam reduzidas a um componente de fácil
aprendizagem, comum e básico, em virtude do complexo e sofisticado processo que são as
disciplinas científicas, supostamente dotadas de maior status. Essa condição minimizada das
disciplinas escolares acaba por impregná-las de menor valor no currículo de formação, ou
seja, não há que se preocupar com elas, pois podem ser aprendidas facilmente. De acordo com
Moreira e David (2005, p. 35),
No limite, a educação matemática na escola acabaria se reduzindo
ao ensino da Matemática Acadêmica, adaptada às condições
escolares. Uma formação matemática profunda para o professor se
reduziria, então, ainda, segundo essa concepção, ao domínio da
Matemática Acadêmica não elementar, ou seja, à internalização
dos seus valores, conceitos, técnicas, métodos, concepções, formas
de pensamento, etc. Desse modo, a Matemática Acadêmica e seus
valores se estabelecem de forma natural como o centro de
gravidade da formação profissional do professor; deslocam-se para
a "periferia" desse processo as questões referentes à prática
pedagógica efetiva na escola e à própria cultura escolar5.
Esse processo de naturalização se reflete na prática profissional de alguns professores
que trazem do senso comum a idéia de que, para ser bom professor, basta dominar o conteúdo
a ser ensinado e que as teorias educacionais são distanciadas da realidade escolar, portanto,
são desnecessárias. No entanto, quando a relação entre a Matemática Científica e a Escolar é
problematizada no processo de formação profissional do professor, isso resulta na
compreensão da complexidade da área escolar. Nesse caso, "ela se funda na complexidade da
própria prática educativa escolar e não mais nos valores específicos da área científica"
(MOREIRA e DAVID, 2005, p. 35).
A área escolar constitui-se de um amálgama de saberes que envolve uma
multiplicidade de aspectos: cognitivos, afetivos, culturais, sociais, dentre outros. Nesse
sentido, é preciso que se introduza uma reflexão profunda na licenciatura sobre o papel da
área escolar e sua complexidade, que deve ser apreendida pelo professor em sua prática
docente. Destacamos aqui que não queremos fazer uma oposição sistemática entre a
Matemática Científica, vista como objeto de construção científico-acadêmica e a área escolar,
entendida como um conjunto de saberes diversos relativos à educação básica.
Outro agravante que ocorre em alguns cursos de licenciatura é o fato de que muitos
professores ainda se prendem aos métodos tradicionais de ensino, impondo às turmas um
5
Apesar de os autores se referirem apenas à Matemática – objeto de seu estudo – podemos também incluir nessa
perspectiva a Física e a Química, por existirem especificidades comuns entre as três áreas.
único modelo de apresentação e organização do conteúdo, a partir de uma seqüência linear
que dificulta o processo de aprendizagem dos estudantes. O professor6 acredita que quanto
mais clara for sua exposição, melhor será a compreensão dos alunos, que deverão prestar
atenção nas explicações, anotá-las, resolver as listas de exercícios e depois fazer os testes e
provas para comprovar o suposto aprendizado. Essa metodologia gera uma aprendizagem
passiva, na qual o professor é a figura central do processo e os alunos não passam de
espectadores. Uma das conseqüências desse modo de aprender é que os estudantes, ao
assumirem suas salas de aula, poderão reproduzir esta metodologia, pois é na sala de aula,
com seus professores, que se configura uma das principais maneiras de se aprender a
docência.
Nessa perspectiva, os cursos de formação de professores devem assumir um projeto
formativo que viabilize a construção dos saberes disciplinares, pois são estes saberes que
permitirão ao licenciando o conhecimento aprofundado de sua área de atuação, uma vez que
não se pode saber apenas o que se vai ensinar. Igualmente importantes são os saberes
pedagógicos que possibilitarão um melhor entendimento da educação, dos processos de
ensino-aprendizagem, da gestão da sala de aula - que inclui aspectos como o planejamento,
avaliação, relação professor-aluno, disciplina, dentre outros - e de como organizar os
conteúdos disciplinares de acordo com a compreensão dos alunos da escola básica. O domínio
dos diferentes saberes disciplinares e pedagógicos, além dos aspectos referentes à
manipulação transpositiva dos conhecimentos acadêmicos, em toda sua complexidade é que
irá permitir ao professor exercer sua profissão com maior segurança e compromisso com o
aprendizado dos alunos.
A análise aponta principalmente para a sólida formação da área específica nos cursos,
com ênfase no domínio dos saberes disciplinares, no entanto, sem desdobramentos para a
atuação na docência, o que evidencia a distância entre o conhecimento acadêmico e o
conhecimento escolar. As características do curso de formação se projetam em saberes
profissionais e ao serem trabalhados, possibilitam o desenvolvimento da identidade
profissional. O modo de ensinar, os gestos e as relações que se estabelecem entre professores
formadores e licenciandos têm grande importância no aprendizado da profissão, pelo caráter
também “ambiental” de como se dá a formação de professores. As principais práticas
formativas apontadas pelos licenciandos estão relacionadas às atividades desenvolvidas
coletivamente, num processo de interlocução entre licenciandos e professores, dentre elas
destacaram: a realização de seminários e discussões em sala de aula, os estágios curriculares e
a troca de experiências com os colegas, além da atuação competente de alguns professores.
3. Os achados da pesquisa7...
3.1. SABERES DISCIPLINARES - "Temos uma sólida formação acadêmica"
Os docentes do curso de Matemática, ao serem indagados sobre quais saberes
consideram mais importantes na formação de professores, também destacaram a importância
dos saberes disciplinares. No entanto, argumentaram que os saberes pedagógicos são
importantes porque "o professor de Matemática tem que mostrar caminhos, tem que orientar
e mostrar possibilidades. (...) Conhecer as teorias metodológicas para que possa ter um fazer
mais rico, que possa contribuir na sua práxis diária do ensino" (Entrev. 3). De acordo com os
docentes, o conhecimento e o domínio do conteúdo específico é que irão configurar um
6
Vários alunos, no decorrer do desenvolvimento das atividades no grupo focal, ressaltaram que as aulas,
geralmente, são expositivas, numa seqüência bastante linear em que o professor apresenta o conteúdo, os alunos
copiam e depois resolvem as listas de exercícios, para finalmente serem avaliados por meio de provas.
7
Os dados coletados referem-se à análise do currículo antigo, em vigor até o ano de 2005.
professor capaz de organizar e gerir os processos de aprendizagem de seus alunos. A esse
respeito, alguns depoimentos dos professores do curso de Matemática:
"Um professor de Matemática, acima de tudo, além de ter uma
prática educativa firme, tem que ter conteúdo, precisa conhecer
além daquilo que irá ensinar” (Entrev. 3).
"O professor tem que ter a formação específica dos cálculos,
geometria analítica é fundamental, por exemplo, a geometria
analítica que eles estudam na universidade é mais avançada do que
a que eles vão ensinar, mas isso é importantíssimo, porque se ele
souber apenas a geometria analítica que ele vai ensinar não dá, é
muito pouco, então ele deverá ter toda essa visão, os cálculos, as
equações diferenciais, ordinárias (...) ter também essa formação
didática, da parte pedagógica que é fundamental" (Entrev. 4).
Estas constatações, entretanto, não significam que, no desenvolvimento do curso, se
desconsidere a importância dos saberes pedagógicos. Há, no curso de Matemática um núcleo8
consolidado, de acordo com os alunos, que é o de Educação Matemática, no qual os
professores buscam desenvolver práticas formativas que possibilitem o aprendizado da
docência. No Núcleo de Educação Matemática, segundo os alunos, são desenvolvidos
projetos de Iniciação Científica, além de projetos de extensão, com o objetivo de elaborar
novas metodologias para o ensino da Matemática Escolar.
Apesar de o curso manter as duas modalidades como complementares, nos
depoimentos fica evidente a ruptura entre as duas habilitações. Conforme declaração dos
alunos, caracteriza-se a licenciatura como curso de menor status em relação ao bacharelado,
entendido como passaporte para os cursos de pós-graduação stricto sensu, destinado, é claro,
aos melhores alunos que se destacaram no curso. Além disso, a supervalorização da
Matemática Acadêmica no processo de formação estimula o desenvolvimento de concepções
e valores distanciados da prática e da cultura escolar, podendo dificultar a comunicação entre
professores e alunos e com a própria gestão da matéria em sala de aula (MOREIRA e
DAVID, 2005, p. 102).
Os dados coletados indicam que os alunos também têm muito presente essa concepção
de que o bom professor é aquele que domina o conteúdo, no entanto, ressaltaram a
importância dos saberes pedagógicos, conforme podemos atestar nos depoimentos abaixo:
"Nosso curso está muito voltado para a Matemática Pura e
Aplicada, não existe uma preocupação quanto à educação, por
exemplo, nós que somos da Área de Educação Matemática ficamos
sempre em segundo plano" 9.
"Quando você entra no curso de Matemática, acontece uma
lavagem cerebral bem grande na sua cabeça com relação a você
desenvolver o seu curso para ser um brilhante matemático, na área
da Matemática Pura".
"Sem pretensão nenhuma, aqui se formam ótimos matemáticos e,
por pior que você seja, você será muito bem formado para os
conteúdos matemáticos. Então, por mais que a gente tenha uma
sólida formação acadêmica, somos bacharéis, porque,
teoricamente o bacharel é um técnico em Matemática, domina o
conteúdo".
8
O Curso de Matemática é dividido em quatro grandes áreas: Educação Matemática, Matemática Aplicada,
Matemática Pura e Estatística. (Entrevista com o coordenador do curso de Matemática, concedida em 26/01/06).
9
Este aluno faz parte de um grupo que desenvolve pesquisas em Educação Matemática.
Os alunos demonstram ter consciência da importância de aprender os conteúdos, ter o
domínio dos conceitos matemáticos, mas revelam as limitações na área da Educação
Matemática. Outra dificuldade que os alunos sentem refere-se, principalmente, à
aprendizagem dos conteúdos da área específica, por serem densos e muitas vezes trabalhados
por “professores que têm dificuldades em ensinar” (aluno). Estas informações corroboram a
idéia de que os alunos saem do curso com uma sólida formação matemática, o que pode ser
constatado no alto índice de alunos egressos do curso que são aprovados nos diferentes
programas de pós-graduação no País10. Esta relevância atribuída à formação científica do
licenciado fica bastante evidente em um dos objetivos do curso: "dominar em profundidade e
extensão o conteúdo de Matemática na sua visão estrutural e seqüencial, garantindo a
integração entre teoria e prática, tanto na sua ação educativa, quanto em aperfeiçoamento de
estudos" (UFU, Proposta Curricular do curso de Matemática, 1991). A organização curricular,
conforme foi apresentada no capítulo anterior, também demonstra a ênfase aos saberes
disciplinares, permitindo aos licenciandos o aprofundamento em conteúdos da área específica,
além de certa importância à formação pedagógica.
Entre os alunos, há uma idéia comum que é a dificuldade de acompanhar as aulas e
compreender os conteúdos, principalmente dos primeiros semestres. As disciplinas centramse mais na aprendizagem de cálculos, de álgebra e geometria, disciplinas estas, que segundo
os alunos, apresentam um maior índice de reprovação. Além disso, é como se não houvesse o
"rito de passagem" entre o ensino médio e o curso universitário, o que leva muitos alunos a
desistirem do curso por considerá-lo "pesado". Como apontaram os professores, muitos
alunos são egressos da escola pública e têm defasagem de conteúdos de base, que são, muitas
vezes, pré-requisitos para a compreensão de outros conteúdos, o que dificulta o
desenvolvimento do curso. No entanto, não existem ações efetivas para combater essas
limitações dos alunos11. De acordo com uma professora do curso:
“Uma questão importantíssima é a formação escolar, nossos alunos
em geral estudaram em escolas públicas, e como todos nós
sabemos trazem muitas deficiências. Outro problema a ressaltar é
que a maior parte deles trabalha e não se dedicam integralmente ao
curso, assim, resta pouco tempo para os estudos. Como os alunos
trazem deficiências da formação escolar e não podem se dedicar
integralmente ao curso, muitos carregam o problema durante anos,
refletindo no seu futuro acadêmico. Desta forma, o nível de
reprovação é alto, muitos alunos ultrapassam o tempo normal de
duração do curso ou até desistem”. (Entrev. 4).
Um dos problemas do curso de Matemática reside na relação entre o índice de
reprovação e desistência do curso e as dificuldades e limitações oriundas do ensino médio. A
esse respeito os alunos alegaram que muitos professores desconsideram essas limitações e
"partem do princípio que nós já sabemos aqueles conteúdos, que é algo elementar" (Aluno).
Além disso, de acordo com o depoimento dos alunos, muitos professores não abrem espaço
para o diálogo no decorrer de suas aulas, o que dificulta, por exemplo, o aluno tirar suas
dúvidas com relação aos conteúdos. Geralmente, os alunos se sentem mais à vontade para
esclarecer suas dúvidas com os monitores das disciplinas12.
10
Entrevista com o coordenador do curso de Matemática, em 26/01/06.
Ao serem indagados a respeito dessa questão, o coordenador e os professores do curso de Matemática
argumentaram que é desenvolvido um trabalho de monitoria nas disciplinas que apresentam maior índice de
reprovação.
12
Algumas disciplinas possuem o trabalho de monitoria desenvolvido por alunos do próprio curso que já
cursaram, com êxito a disciplina. A Monitoria é uma experiência pedagógica oferecida ao estudante
regularmente matriculado num curso de graduação. Considerada como uma atividade acadêmica de natureza
11
Esse aspecto nos chama a atenção no sentido de que fica evidente, de acordo com os
depoimentos, uma relação pedagógica hierarquizada entre alguns professores e os estudantes,
fator esse que compromete o processo ensino-aprendizagem. O ideário de que esta é uma
“licenciatura forte”, associado à falta de formação pedagógica e até de sensibilidade da maior
parte dos formadores para com as dificuldades dos alunos diga-se, recém-saídos do Ensino
Médio, parece se concretizar na “falta de espaço” para se esclarecerem as dúvidas, sanar
dificuldades. Esse contexto contraria qualquer entendimento de atuação pedagógica, de fato,
produtiva. Contraria aspectos elementares de qualquer ambiente, efetivamente, formativo.
A atuação do professor formador, entre muitos aspectos, deve se caracterizar
fundamentalmente pela ajuda pedagógica, pelo apoio intencional à formação do aluno. E essa
ajuda não pode se dar em um contexto em que os professores “não abrem espaço para o
diálogo”. Mesmo que essas afirmações dos alunos devam ser compreendidas no seu contexto,
elas expressam um sentimento, no caso, de constrangimento, quanto à relação professoraluno. Tudo isso parece contribuir para a manutenção de um quadro de reprodução já bem
conhecido. Temos dito que os novos professores aprendem também “ambientalmente”, que a
“forma também é conteúdo no processo formativo”. Do mesmo modo que esses formadores
expressam a forma como aprenderam a professorar, também esses alunos, muito
provavelmente, sairão dos cursos bem preparados não só quanto aos conteúdos a serem
ensinados, mas também quanto às formas de tratar os seus futuros alunos. Se não houver
alguma mediação que contribua para que se quebre essa cadeia, eles estarão também aptos a
fazerem suas próprias vítimas.
3.2. SABERES PEDAGÓGICOS: "Os alunos acham que podem fazer essas matérias de
qualquer jeito"
Os alunos do curso de Matemática, ao abordarem as questões relacionadas aos saberes
pedagógicos, fizeram uma análise crítica a respeito das disciplinas de formação pedagógica.
Diferentemente dos alunos do curso de Física, eles consideram que estas disciplinas são
importantes, mas que precisam ser revistas, para que realmente possam contribuir com sua
formação. A esse respeito, afirmaram que
"Um dos problemas que vejo está relacionado com as disciplinas
pedagógicas, os alunos acham que podem fazer essas matérias
de qualquer jeito, acham que não precisam nem ir à aula. Os
professores dessas disciplinas também precisam se empenhar e
mostrar a importância desses conteúdos".
"Todo mundo fala que fazer Didática e Psicologia da Educação é
muito fácil, quase ninguém lê os textos. Então, quando chega lá no
Estágio é que vai sentir a falta daquelas matérias. O problema é
que tem esse preconceito com relação às matérias da área da
educação, todos acham que são fáceis e que não exigem nada".
"Os nossos professores, com exceção de alguns, não vão à escola
saber dos problemas de lá para fazer a discussão aqui no curso.
Não estão interessados em tomar conhecimento sobre as
dificuldades e os desafios que os professores da escola estão
enfrentando, por exemplo, a questão da disciplina, das novas
tecnologias, da inclusão. Há uma grande distância entre o nosso
curso e a escola".
complementar, é desenvolvida sob a orientação e supervisão de um professor e aproveitada para a integralização
do currículo de um curso de graduação, com dedicação semanal de 12 horas (Fonte: www.ufu.prograd.br).
Os alunos apontaram que há certo preconceito com relação às disciplinas pedagógicas
e argumentaram que, em virtude da dificuldade enfrentada nas disciplinas de formação
específica, não se dedicam às de conteúdo pedagógico, "porque nessas matérias, todo mundo
é aprovado" (aluno). Ao mesmo tempo em que demonstraram certo preconceito quanto aos
conteúdos de formação pedagógica, os alunos argumentaram a respeito da importância destas
disciplinas quando vão assumir a sala de aula. Além disso, ao enfatizarem a distância que há
entre o curso e a escola básica, atribuem este aspecto aos professores formadores que não têm,
salvo raras exceções, um contato próximo com a escola básica, o que segundo os alunos,
dificulta a compreensão das relações que devem existir entre o curso de formação inicial e a
docência na escola básica. O que se põe em questão não é o valor destas disciplinas, mas, sim
o conteúdo e a forma como são trabalhadas nos cursos, pois
O conhecimento da ciência pedagógica é imprescindível, não
porque contenha diretrizes concretas e válidas para "hoje e
amanhã", mas porque permite realizar uma autêntica análise crítica
da cultura pedagógica, o que facilita ao professor debruçar-se sobre
as dificuldades concretas de seu trabalho, bem como a superá-las
de maneira criadora (SUCHODOLSKI, apud PIMENTA, 2000, p.
11).
É a partir dessa perspectiva que as disciplinas de formação pedagógica devam estar
assentadas. Com base em um sólido referencial teórico que permita aos licenciandos uma
leitura mais dinâmica e concreta de toda a problemática que envolve o fenômeno educacional,
nas suas múltiplas dimensões: históricas, sociais, culturais, econômicas e políticas.
Alguns professores também apontaram dificuldades com relação aos conteúdos de
formação pedagógica: "muitas vezes, quando o aluno egresso do ensino superior vai lecionar,
ele pega um caderno lá do segundo grau que ele fez, porque não teve uma formação didáticopedagógica que fosse adequada à realidade" (Entrev. 3). Com base nos relatos também de
outros professores do curso, fica evidente que há uma preocupação com a formação
pedagógica, no entanto, essa preocupação parece não se materializar em ações pontuais e
concretas que realmente possam promover uma melhoria na formação dos licenciandos.
3.3. TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA: "Raramente os nossos professores se preocupam
em aproximar a Matemática com a realidade da escola"
Os alunos do curso de Matemática demonstraram uma preocupação acentuada com
relação à transposição didática, pois compreendem a importância de que os conteúdos a serem
ensinados estejam realmente adequados ao nível das turmas em que irão trabalhar. Da mesma
forma como acontece no curso de Física, esse aspecto referente à discussão de como se
trabalhar os conteúdos na educação básica acontece muito pouco no curso, também fica a
cargo das disciplinas da área pedagógica, que, segundo os professores, "não conseguem
abarcar todas as necessidades" (Entrev. 2). Nos depoimentos que se seguem, fica evidente a
dificuldade que os alunos sentem com relação ao processo de transposição didática
"O problema da linguagem é difícil, principalmente por ser um
curso voltado para o bacharelado, tem essa dificuldade. Por
exemplo, eu não posso falar da teoria do caos na quinta série da
mesma forma que falo num curso de graduação. Então quando a
gente começa a dar aulas isso nos assusta. Começamos a falar num
nível que os alunos da escola básica não compreendem. Essa
preocupação os nossos professores não têm, de como vamos passar
esse conhecimento para o aluno da escola básica. Aí vêm as
questões: será que meu aluno está aprendendo? Como vou avaliar
esse conteúdo? Então, os conteúdos são técnicos, você não aprende
a lidar com a matéria. Você sabe a matéria, mas não sabe ensinar".
"As matérias que nós temos aqui, em muitas situações, são vistas
como conteúdos que nós poderemos aplicar muito pouco no Ensino
Médio, mas não da forma como vimos. Mas quem dá essas
matérias pra gente? São os professores que foram formados nas
áreas de Matemática Pura e Aplicada e não tiveram uma formação
voltada para a educação. Então, quando eles dão os conteúdos, nós
conseguimos aprender só daquela maneira, raramente, um ou outro
professor mostra alguma aplicação de como poderemos trabalhar
aquilo no Ensino Médio".
"Raramente os nossos professores se preocupam em fazer a
contextualização da matéria, de aproximar a Matemática com a
realidade da escola".
A partir desses depoimentos destacamos alguns aspectos da transposição didática,
segundo o entendimento do grupo de alunos, por exemplo, a questão da linguagem, que é uma
queixa comum, principalmente quando os alunos estão nos primeiros períodos e os
professores formadores utilizam uma linguagem complicada ao se referir aos termos e
conceitos da Matemática. Para os alunos, é preciso compreender essa linguagem
"complicada" e traduzi-la, de modo que os estudantes da educação básica consigam entendêla. Outro aspecto apontado refere-se à contextualização da matéria e à preocupação quanto à
aprendizagem dos alunos, que está relacionada a todo o processo de seleção, organização
curricular e metodologias adequadas para que o processo de ensino-aprendizagem ocorra
realmente. De acordo com as Políticas de Ensino Médio,
As diretrizes curriculares nacionais para o ensino médio
destacaram, dentre outros, o princípio da contextualização, como
processo de enraizamento dos conceitos científicos na realidade
vivenciada pelos alunos, para produzir aprendizagens
significativas. Isto significa partir dos fenômenos cotidianos em
direção aos saberes escolares. Essa abordagem surge em oposição à
transmissão dos conteúdos a partir das disciplinas científicas. Não
obstante, tanto uma quanto outra abordagem precisam considerar
que os conhecimentos escolares, conquanto devem superar os
conhecimentos cotidianos, não se confundem com os
conhecimentos científicos, nem os reproduzem no ambiente escolar
(MEC, 2006, p. 1).
Novamente, a questão que se coloca para a formação de professores é a distância entre
o conhecimento acadêmico e o conhecimento escolar. O ponto de partida para a organização
curricular é a relação intrínseca entre os saberes disciplinares e os saberes pedagógicos,
mediados pela relação dialética entre teoria e prática. Além disso, ressaltamos que a
Matemática Escolar constitui um amálgama de saberes regulado por uma lógica que é
específica do trabalho educativo, envolvida por uma série de condicionantes sociais, políticos,
econômicos. Assim, uma ampla reflexão sobre o papel da Matemática Escolar no currículo da
licenciatura poderá contribuir para introduzir uma referência mais direta da prática escolar no
processo de formação inicial do professor (MOREIRA e DAVID, 2005, p. 35).
Os alunos, por já terem experiência docente, são conscientes de suas limitações com
relação a esse aspecto e sentem na pele a dificuldade de transpor os conteúdos de saber para
objetos de ensino. Essas queixas evidenciam a importância de que os cursos revejam a
organização das disciplinas e a sua dimensão pedagógica no currículo. A discussão, a respeito
da transposição didática não é algo simples e isso esbarra na própria formação dos docentes,
conforme apontado pelos alunos. No entanto, os próprios professores compreendem a
necessidade de rever suas práticas no sentido de aproximar a formação acadêmica com a
prática pedagógica que será desenvolvida pelos licenciandos na escola. A esse respeito,
alguns professores alegaram que
"A formação de professores deve permitir que o aluno desenvolva
a capacidade de transpor a partir do objeto de estudo que tem o
conhecimento que será ensinado, de fazer questionamentos,
elaborar problemas, entender também como o conhecimento
matemático poderá ser utilizado até para preservar a cidadania"
(Entrev. 1).
"Um professor de Matemática que sabe ensinar Pitágoras de seis
maneiras diferentes, que sabe o que é Pitágoras, de onde ele veio,
que sabe adequar esse conhecimento aos alunos numa aula de
sexta, sétima série, que maravilha! Pitágoras é uma coisa bonita,
agora, um professor que vai lá e dá uma fórmula de Pitágoras traz
uma geração de frustrados em Matemática" (Entrev. 2).
Os docentes compreendem a importância do que é trabalhar a dimensão pedagógica
dos conteúdos, no entanto, conforme podemos comprovar a partir das vozes dos alunos, isso
não acontece muito na prática dos professores formadores e merece uma reflexão aprofundada
que busque recuperar o sentido dos conteúdos para a formação dos licenciandos. Essa
reflexão aponta para a formação dos docentes e de suas limitações quanto ao desenvolvimento
de práticas formativas que contribuam para a construção de diferentes saberes da docência.
Isso resvala no entendimento que esses docentes possuem a respeito de formar professores,
pois, para muitos, essa formação passa sobejamente pela aprendizagem dos conteúdos
disciplinares e, os licenciandos, devem a partir do domínio destes saberes disciplinares,
descobrir maneiras de transformar estes objetos de saber em objetos de ensino
(CHEVALLARD, 1991). No entanto, este não é um processo simples, exige formação densa
(teórico-prática), que permita ao licenciando compreender todo o complexo processo de
transformação do conhecimento científico com fins de ensino, não a partir de mera adaptação,
mas a partir de verdadeiras criações didáticas e da produção de novos saberes.
De acordo com os alunos, muitos professores que trabalham conteúdos de Matemática
Pura, por exemplo, não se sentem responsáveis em lhes apresentar formas de desenvolver
aquele conteúdo na educação básica, porque consideram que sua tarefa é ensinar bem os
conceitos referentes àquela disciplina. Moreira e David (2005, p. 18) ressaltam que
“independentemente do fato de que o saber a ser ensinado provenha ou não de um corpo
científico de conhecimentos, o trabalho de ensinar requer a construção de uma percepção
peculiar do objeto”. Não se trata de uma mera adaptação da Matemática Acadêmica ao
currículo escolar, mas de elaborações e recriações teoricamente fundamentadas, capazes de
relacionar, dialeticamente, a Matemática Acadêmica à Matemática Escolar. Caso contrário, a
conseqüência de uma formação distanciada da educação básica é a dificuldade enfrentada
pelos alunos quando assumem a docência, isso significa que, se aprenderam um conteúdo
somente de uma forma, dificilmente poderão ensiná-lo de modo diferente.
3.4. PRÁTICAS FORMATIVAS: "A matéria que me fez descobrir que eu queria ser
professor é a Oficina de Práticas Pedagógicas"
As práticas formativas que mais se destacam no curso de Matemática, segundo a
opinião dos alunos, são aquelas desenvolvidas, principalmente, nas disciplinas de formação
pedagógica: Prática de Ensino I e II (90 h/a cada), Oficina de Práticas Pedagógicas I e II (60
h/a cada) e Metodologia do Ensino (45 h/a). Com relação a essas práticas, apontaram também
várias dificuldades que enfrentam ligadas, sobretudo, à prática pedagógica dos professores
formadores, conforme apontado no item anterior. Ao mesmo tempo em que fizeram críticas e
demonstraram certo preconceito com relação às disciplinas de formação pedagógica, os
alunos argumentaram a respeito da importância destas disciplinas. Em seus depoimentos,
ficou evidente a falta que sentem dos saberes pedagógicos, principalmente, quando iniciam o
estágio.
Houve um destaque maior para a disciplina Oficina13 de Prática Pedagógica, pois os
alunos consideram que há nesta disciplina uma maior oportunidade de desenvolver a
capacidade criativa que eles possuem. A esse respeito, um aluno relatou que
“A matéria que me fez descobrir que eu queria ser professor é a
Oficina de Práticas Pedagógicas. Eu descobri que era isso que eu
queria mesmo: ser professor. Só que é a matéria que mais me
frustra, porque na Oficina aprendemos coisas fantásticas: trabalhar
com materiais concretos, a utilização de programas de computador
e uma série de recursos, mas quando você chega na escola e
encontra uma sala de 30 alunos, sem a mínima condição para
desenvolver uma boa aula. Então, é uma matéria que me ensinou o
melhor possível para ser professor, mas me frustra por causa da
falta de condições das escolas”.
De modo geral, os alunos consideram que as discussões em torno da Educação se
iniciam tardiamente no curso, conforme relatou uma aluna: "Só no sétimo período é que
começamos a ler textos da área da Educação. A professora de Estágio pediu para lermos um
texto da Educação, até simples, a maioria leu e não entendeu nada". A dificuldade apontada
pela aluna refere-se, também, ao baixo status que as disciplinas pedagógicas têm no currículo,
conforme explicitado anteriormente no item "Saberes Pedagógicos". Ao desenvolverem as
práticas de Estágio, significa que os alunos já tenham cursado as disciplinas da área de
Educação (Didática, Psicologia, Estrutura e Funcionamento do Ensino), o que supõe certo
domínio das discussões em torno da problemática educacional (relação ensino-aprendizagem,
organização do espaço escolar, processos pedagógicos, dentre outros aspectos). No entanto,
ficou evidenciada a grande dificuldade que há entre os alunos com relação à leitura e
interpretação dos textos da área educacional. Segundo um aluno, "nós fomos acostumados a
raciocinar a partir de números e quando temos contato com textos que só têm palavras,
ficamos perdidos".
Os alunos apontaram a necessidade de se criar no curso mais espaço para as
discussões, para que as aulas possam ser mais dinâmicas e que haja mais momentos de
diálogo e troca de experiências. Para os licenciandos, se as aulas fossem mais interativas e
houvesse menos "listas de exercícios", haveria maior possibilidade de se desenvolver mais
práticas formativas capazes de realmente contribuir com a formação docente. Nesse sentido,
um aluno fez o seguinte comentário: "Eu acho que o professor que passa lista de 75
exercícios não é bom professor. Fica copiando o livro e não motiva os alunos a buscarem
conhecimento e a pesquisarem. Não abre o diálogo, nem cria situações para promover a
nossa aprendizagem". Os alunos, em seus relatos, demonstraram a necessidade de maior
contato com a escola. Foi solicitado, também, aos professores que destacassem as práticas
formativas que eles consideram mais importantes:
13
"Na disciplina Oficina de Prática Pedagógica, os alunos têm a oportunidade de vivenciar outras metodologias
de ensino, a partir da utilização de material concreto motivador a vários tópicos da matemática, como os
conceitos de comprimento, área, volume, frações, fatorações, equações, trigonometria, dentre outros. Os alunos
são instigados a produzirem materiais didáticos alternativos para o ensino de matemática, adequando-os às
diferentes realidades econômicas escolares" (Entrevista nº 3 - Professor do curso de Matemática).
"Os alunos entram e nos dois primeiros anos fazem as matérias
básicas, logo no primeiro período, tem uma disciplina que é
Introdução à Matemática, onde os professores são convidados a dar
palestras de várias áreas, então as pessoas vão e contam com o que
trabalham. Nós oferecemos essa disciplina para que o aluno
comece a ter uma visão geral do que ele poderá trabalhar no
futuro" (Entrev. 4).
"Tem um projeto de ensino, no âmbito do PIBEG, que está em
andamento e já tem produzido efeitos. São desenvolvidos nesse
projeto uma série de atividades que concorrem exclusivamente
para isso: despertar nos alunos o gosto em estudar Matemática,
fazer com que adquiram hábitos de estudo, não por
obrigatoriedade, mas porque é gostoso estudar Matemática. Temos
alguns resultados parciais bastante positivos. Então, temos que
formar professores, para que, quando saírem do curso, saibam fazer
propostas, explorar os diferentes espaços, que tenham boas
iniciativas" (Entrev. 1).
Os depoimentos dos docentes evidenciam o papel importante, que segundo eles,
algumas disciplinas desempenham no processo formativo dos alunos. Isso demonstra certa
coerência quando apresentamos anteriormente, no item que trata dos saberes disciplinares, o
papel de destaque que os conteúdos específicos ocupam, de acordo com a concepção dos
professores formadores.
3.5. IDENTIDADE PROFISSIONAL: "Optei pela licenciatura e hoje acho que estou no
caminho certo, estou gostando muito do que estou fazendo"
A identidade profissional é também construída a partir de diferentes práticas
formativas que se configuram no espaço acadêmico. A própria escolha pelo curso, a opção
por cursar licenciatura e/ou bacharelado, é um dos fatores que contribuem para que o aluno,
ao fazer sua escolha, invista realmente em sua formação. Alguns alunos, ao serem indagados
sobre a escolha do curso, destacaram que a opção pela licenciatura ocorreu, não pelo desejo
de ser professor, mas pelas exigências do bacharelado14, principalmente:
"Entrei aqui querendo fazer o bacharelado, mas durante o curso eu
fui percebendo que seria muito difícil terminar o bacharelado,
então optei pela licenciatura e hoje acho que estou no caminho
certo. Estou gostando muito do que estou fazendo, dos estágios
e é isso que quero fazer mesmo".
"Já estava no quarto período do curso, com várias reprovações, e
um colega me convidou para dar aulas num cursinho alternativo e
o que me motivou para dar continuidade no curso foi a partir do
momento que eu entrei na sala de aula e olhei nos olhos daqueles
meninos ali. Eles olhavam para mim e pensavam: 'ele vai ajudar a
gente', e foi a partir disso que comecei a me motivar e pensar que
quando eu me formar quero ser melhor do que alguns professores
que tive".
"Eu fui para o curso de Matemática porque não consegui entrar no
curso de Engenharia. Estamos vivendo uma crise no curso de
Matemática: os alunos entram e não têm consciência do que vão
14
De acordo com os licenciandos, só são admitidos para integrar os grupos de pesquisa em Matemática Pura e
Aplicada, aqueles alunos cuja nota é acima de 80%, sem nenhuma reprovação.
fazer. Há alguns anos atrás, as pessoas tinham consciência de que
seriam professores e sabiam quais seriam seus percalços, agora há
uma demanda de pessoas que entram no curso de Matemática e não
têm essa consciência e isso se torna uma frustração quando percebe
que será professor e não está preparado".
"Temos a utopia de ser o melhor professor possível, trazer a
realidade social para dentro da sala de aula, de construir novos
conceitos matemáticos. Mas, que realidade a escola quer? Depende
da escola. Se for particular, ela quer que você dê show. Na escola
pública, você pode fazer o que quiser, até não ensinar Matemática,
mas você não tem recursos para utilizar. Então, a realidade nos
força a ser o professor que detestamos: o professor de giz e lousa".
Os argumentos apresentados acima pelos alunos demonstram posições que oscilam, de
um lado, entre a utopia da profissão, o sonho, o desejo de se tornar um bom profissional e, de
outro, pelo pragmatismo e a necessidade de sobrevivência. Os depoimentos revelam que,
apesar das dificuldades inerentes à profissão docente, os alunos chegaram ao final do curso de
Matemática (são alunos do 7° e 8º período) com uma disposição maior para enfrentar os
desafios colocados pelo exercício do magistério e uma determinação quanto ao querer ser
"bom professor", quanto à responsabilidade e ao compromisso social da profissão docente. Os
alunos percebem, ainda, as dificuldades e limitações de sua formação, no entanto, consideram
que é possível superá-las, "com esforço e boa vontade" (aluno).
A identidade profissional se constrói também pelo significado que cada licenciando
confere à atividade docente no período de sua formação inicial, a partir de seus valores, de seu
modo de se situar no mundo, de suas experiências e história de vida. No entanto, Santos
(2003) nos lembra que muitos profissionais se identificam mais com sua formação do que
com o trabalho que exercem, visto que a primeira é que lhes confere maior distinção social.
Assim, ao serem indagados sobre a profissão que exercem na educação básica, os professores,
muitas vezes, se identificam mais com historiadores, biólogos, físicos, matemáticos ou
químicos, o que dificulta a adesão profissional ao magistério.
O curso de Matemática, apesar das dificuldades apontadas pelos alunos, contribui para
o desenvolvimento desse processo complexo que é o "sentir-se professor", ou seja, o sentido
que tem em sua vida o ser professor. Essa constatação se baseia no fato de que muitos alunos
não queriam ser professores, conforme relataram, mas, ao longo do curso, foram mudando
essa concepção. È interessante que muitos afirmaram que essa mudança de opinião, do "não
quero ser professor" para "é isso mesmo que quero ser - professor", ocorreu a partir do
contato com a escola, com a sala de aula e com o exercício da docência propriamente dito.
Nesse sentido, o espaço destinado ao Estágio contribui para o desenvolvimento da identidade
profissional. Mas, segundo os alunos, é ainda uma disciplina que tem problemas,
principalmente, por ser ministrada ao final do curso.
3.6. ASPECTOS PROBLEMÁTICOS DO CURSO: "Se você entra no curso e tem
reprovação, acabou, já caiu na malha fina"
A avaliação da aprendizagem parece ser a grande vilã do processo formativo para os
alunos do curso de Matemática. No grupo focal, foram destacados vários aspectos referentes à
dificuldade que os alunos sentem, principalmente, com relação à reprovação, e à distância
entre bacharelado e licenciatura, conforme podemos ler nos depoimentos:
"Quando eu entrei aqui, na minha turma tinha 35 alunos, hoje não
são nem dez que continuam a fazer o curso. Se a gente não correr
atrás e buscar saber o que é educação, a gente sai daqui e é giz e o
livro didático, somente".
"Aqui não tem esse espaço colaborativo, de sentar e pensar sobre a
nossa formação, sobre os problemas referentes ao alto índice de
reprovação".
"No curso de Matemática, não dá para estudar na véspera da prova.
Não temos apoio, se você der conta de fazer as provas você passa,
se não, o problema é seu. Então você tem que estudar muito. Se
estudar muito consegue passar. Existem alguns professores que
inventam provas mirabolantes, são provas que não condizem com
as aulas".
"Aqui não se valoriza as dificuldades que temos, mas valorizam
apenas o bons. Se você errar, para alguns professores, você errou
para sempre. Você não tem oportunidade de aprender com seu
erro".
"Se você entra no curso e tem reprovação, acabou, já caiu na malha
fina".
"Essa questão do número de reprovação, principalmente, nos dois
primeiros períodos, é o degrau que você pula, que é muito alto. Há
uma distância muito grande entre a Universidade e o colegial. Aqui
já é totalmente diferente, se você estiver na beira do barranco para
cair, o professor ainda pisa nos seus dedos para ver se você desce
mais rápido. Esse abismo é muito grande, muita gente não
consegue pular e fica lá, com uma lista de reprovações".
Esses depoimentos refletem a dificuldade sentida pelos alunos quanto ao processo
avaliativo. Os fatores que interferem no sucesso da aprendizagem se relacionam, muitas
vezes, à dificuldade de compreensão dos conteúdos e ao modo como os professores avaliam o
processo de ensino-aprendizagem. Segundo os alunos, somente são aceitos no mestrado
aqueles que não têm reprovações, porque a reprovação "é uma mancha no currículo" e, se
"errar, errou para sempre" (aluno). O aspecto punitivo do erro é responsável, muitas vezes,
pelo abandono do curso e pela desistência da formação profissional. A esse respeito, David e
Moreira (2005, p. 32) nos ajudam a pensar que:
Para a Educação Matemática Escolar é importante pensar o erro
como um fenômeno psicológico que envolve aspectos diretamente
relacionados ao desenvolvimento dos processos de ensino e
aprendizagem. (...) Pesquisas indicam que os erros têm um caráter
sistemático, são persistentes e, muito frequentemente, resultam de
experiências anteriores dos alunos. Os erros, antes de se reduzirem
a uma simples manifestação de desconhecimento ou de fracasso,
podem ser entendidos como um indicador didático-pedagógico.
Nesse sentido, (o estudo dos erros) constitui parte importante dos
saberes envolvidos na ação pedagógica do professor.
O erro só emerge a partir de um contexto de existência de um padrão considerado
correto. A solução insatisfatória de um problema só pode ser considerada errada, a partir do
momento que se tem uma forma considerada correta de resolvê-lo, sendo assim, desconsiderase todo o processo percorrido para resolução do problema e avalia-se apenas o resultado,
julgando-o em dois pólos contrários: certo ou errado. Nesse sentido, o erro não pode ser
entendido como um fim em si mesmo, mas um meio para se chegar a uma aprendizagem
efetiva. Partindo deste pressuposto deve-se aproveitar o erro como construção e busca dos
objetivos pretendidos. Desse modo, o professor, ao detectar o erro, poderá aproveitá-lo para
rever os conceitos, a metodologia e as práticas das quais lança mão para o efetivo aprendizado
dos alunos.
As práticas avaliativas são constantemente marcadas por momentos de tensão em que
os alunos sentem-se pressionados e, muitas vezes, incapazes. Nesse sentido, não podemos
desconsiderar o fator emocional que também interfere nas práticas avaliativas, geralmente
pautadas por uma relação verticalizada entre alunos e professores. Para os alunos, as provas
de alguns professores não condizem com suas aulas, pois são elaboradas a partir de um grau
de dificuldades muito maior do que o conteúdo trabalhado em sala de aula. A ênfase é na nota
em si e não, na aprendizagem e, essa cultura da nota é tanto para os professores quanto para
os alunos, principalmente, para aqueles que desejam prosseguir os estudos no mestrado. Sordi
(2005, p. 142) ressalta que:
Os óculos éticos usados para dar sentido ao que seja uma avaliação
formativa, processual, contínua diversificada, educativa, includente
e, simultaneamente, norteada pela construção de um ‘produto’ que
contenha qualidade técnica, política e sobretudo ética parecem ser
um campo de interrogação para os educadores.
No entanto, para se praticar uma avaliação formativa, processual e includente, é
preciso que os professores formadores revejam suas concepções de avaliação, para além de
meros instrumentos que, supostamente, servem para quantificar a aprendizagem dos alunos.
Essa mudança de concepção só é possível a partir de dois aspectos fundamentais: primeiro o
desejo de mudança de atitudes com relação à prática pedagógica e, segundo, por meio de
respaldo teórico. A partir do depoimento dos professores, fica evidente que essa questão está
presente em suas preocupações, ao destacarem, que no curso de Matemática, a forma mais
utilizada para se avaliar é a prova:
"É natural que nas disciplinas um pouco mais abstratas, por
exemplo, cálculo e em disciplinas que exigem raciocínio mais
abstrato, em que os alunos têm mais dificuldade, vai haver mais
reprovações" (Entrev. 2).
"Existem disciplinas que têm um índice de reprovação mais alto,
como Análise Matemática e Estruturas Algébricas, que são
disciplinas centrais do curso, e outras também que são disciplinas
chave do curso: Geometria Plana e Desenho Geométrico, que são
disciplinas com muita reprovação, sendo que, boa parte do
conteúdo é de segundo grau, só que é vista aqui do ponto de vista
axiomático.(...) Os maiores índices de reprovação, pelo menos
quando eu fui coordenador do curso, se davam nas disciplinas do
início do curso, nos quatro primeiros períodos. A maior parte das
evasões se dá justamente porque o aluno não consegue lograr
aprovação nos primeiros períodos. Existem alunos que possuem
seis ou até sete reprovações e, porque isso? São várias razões,
primeiro pela falta de dedicação ao curso" (Entrev. 3).
"Nós percebemos que muitos alunos decoram os passos da
resolução dos exercícios e, se na avaliação, o professor fizer uma
pequena alteração no problema, o aluno não consegue resolver.
Porque ele apenas decorou a resolução do exercício e não
entendeu. Esta atitude é comum no ensino fundamental e médio,
estudar Matemática como se fosse um questionário. Em geral,
nossos alunos têm esse mesmo tipo de mecanismo de estudo"
(Entrev. 4).
Mas, a dificuldade que os professores sentem ao avaliar é, principalmente, porque
lidam com turmas numerosas e em razão da especificidade dos conteúdos que ministram.
Essa realidade os leva a justificar que "é muito difícil avaliar se não for a partir de provas"
(Entrev. 4). A maioria dos professores adota uma metodologia bem parecida: iniciam o
processo a partir de aula expositiva, com a demonstração dos passos para a resolução dos
problemas e/ou exercícios, a explicação dos conceitos, em seguida, os alunos resolvem as
listas de exercícios de fixação, que também são avaliadas e, finalmente, a prova.
Essa metodologia configura uma seqüência linear de apresentação do conteúdo, que
pouco contribui para o desenvolvimento do pensamento criativo, por exemplo. Isso porque, a
partir dessa metodologia, os alunos são pouco instigados a pensar, a se sentirem desafiados,
pois o professor apresenta antes a resolução possível do problema. Alguns alunos
argumentaram que, dependendo do professor, não são aceitas formas de resolução de
problemas diferentes da que foi ensinada. Essa metodologia gera uma aprendizagem passiva,
na qual o professor é a figura central do processo e os alunos são os espectadores, bem aos
moldes da Pedagogia Tradicional.
Segundo Libâneo (1989, p. 21), no modelo tradicional, o professor tem poder
decisório quanto à metodologia, conteúdo e avaliação, acredita que a retenção das
informações e conceitos ocorre a partir da repetição de exercícios sistemáticos (listas de
exercícios). Há a tendência de tratar a todos os alunos igualmente: todos deverão seguir o
mesmo ritmo de trabalho, estudar os mesmos livros-texto, no mesmo material didático e
adquirir os mesmos conhecimentos. Aqui, a concepção de educação é caracterizada como
produto, já que estão preestabelecidos os modelos a serem alcançados. Não se destaca,
portanto, o processo. São privilegiadas as atividades intelectuais, por meio da transferência da
aprendizagem, que depende do treino, sendo imprescindível a retenção, a memorização, para
que o aluno responda à situações novas de forma semelhante às situações anteriores. Em
resumo, pode-se afirmar que nesta pedagogia há uma redução do processo educativo a,
exclusivamente, uma de suas dimensões: a dimensão do saber.
Esses aspectos, apontados anteriormente, nos remetem ao questionamento da prática
pedagógica dos professores formadores. Os alunos, no grupo focal, destacaram que existem
professores no curso que "não têm diálogo com as turmas. O aluno tem que ficar quietinho na
carteira, o professor vai ficar lá na frente falando e o aluno que se vire para aprender, sem o
mínimo de diálogo". Muitas queixas foram feitas a respeito da distância que alguns
professores se colocam com relação aos estudantes.
No entanto, foi destacado que essas dificuldades, muitas vezes, estão relacionadas com
a própria formação desses professores, conforme justificou um aluno: "A maioria de nossos
professores fez o bacharelado e depois mestrado e doutorado em Matemática Pura ou
Aplicada, então, desde a graduação eles já têm aquele ritmo e, quando vêm ser professores
da gente, eles agem como aprenderam". Mais uma vez, fica evidenciada a importância da
formação pedagógica dos docentes, uma vez que muitos aspectos, destacados nas entrevistas e
no grupo focal, apontam para a urgência de políticas institucionais de formação continuada
dos professores formadores.
5. Algumas considerações...
Um dos propósitos deste estudo foi o de compreender quais as principais dificuldades
enfrentadas pelos estudantes no decorrer do processo formativo. Alguns aspectos são
recorrentes: a insegurança sentida pelos alunos ao assumirem a docência no período de
estágio, principalmente com relação ao domínio dos saberes pedagógicos; práticas formativas
que pouco contribuem para o investimento na profissão, a distância entre os conteúdos
acadêmicos e os conteúdos escolares, o que dificulta o desenvolvimento da identidade
profissional, dicotomia entre teoria e prática, sendo que a conseqüência mais visível desse
quadro é o índice expressivo de reprovações, o qual culmina na desistência do curso.
Diante dessas dificuldades apresentadas, reiteramos que a identidade dos cursos de
formação de professores deve ser construída com base em elementos constitutivos da
elaboração do conhecimento profissional como: a) vinculação da formação acadêmica com a
prática profissional, no sentido de reorganizar os currículos de formação, de modo que a
realidade escolar possa ser o ponto de partida para reflexões mais aprofundadas a respeito dos
desafios do exercício da docência; b) práticas formativas que possibilitem a valorização
permanente dos saberes da docência, para além das aulas expositivas, baseadas numa
perspectiva tradicional de educação, proporcionando aos estudantes vivenciar diferentes
práticas que viabilizem uma maior compreensão do fenômeno educativo e toda a sua
complexidade; c) conhecimento didático-pedagógico dos conteúdos a serem ensinados,
referentes à transposição didática, a partir de metodologias que favoreçam a compreensão dos
objetos de ensino e o trabalho de transformação destes objetos de saber em objetos a serem
ensinados em sala de aula; d) realização de práticas investigativas que possibilitem a
articulação entre teoria e prática, tendo a pesquisa como eixo balizador do currículo de
formação.
A prática pedagógica ocupa papel importante, uma vez que representa o ponto de
partida para a teoria, para sistematizar novos conceitos e para compreender e decodificar a
realidade vivenciada. Isso supõe um movimento de análise e tomada de decisões em processo,
beneficiando-se do trabalho coletivo e da gestão democrática, como espaço e objeto de
questionamento sempre mediado pela teoria. A prática pedagógica constitui-se um processo
de investigação/explicação de uma determinada realidade educacional e pedagógica, quer seja
em espaços educativos formais ou não-formais. O principal objetivo dessa prática é
desenvolver no futuro professor a habilidade de refletir sobre a organização do trabalho
pedagógico da escola, problematizá-lo, compreendê-lo e sistematizar projetos de intervenção.
É importante ressaltar que o estágio supervisionado deve ser entendido como um
momento de integração entre teoria e prática. Nesse sentido, teoria e prática são consideradas
como eixo articulador do currículo de formação do educador, que tem por base uma
concepção sócio-histórica da educação. Tais elementos devem se refletir na definição dos
objetivos do curso, na seleção dos conteúdos de formação, na criação de diferentes tempos e
espaços de vivência para os alunos, nas relações entre professores formadores, licenciandos e
professores da escola básica, na dinâmica da sala de aula, no processo de avaliação.
Importa que a Universidade se organize para que, efetivamente, possa desenvolver
processos formativos que permitam aos futuros professores assumirem a docência de forma
plena, bem preparados, com capacidade para empreender uma educação verdadeiramente
pautada nos pressupostos da cidadania.
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FAMAT em Revista
¸
±́
Em Sala de Aula
www.famat.ufu.br
Em Sala de Aula
Índice de Trabalhos
Análise estatı́stica da quantidade de cálcio presente no leite em pó
Thiago Faria Tormin, Nahiara Mariê Lacerda, Maı́sa Azevedo Beluomini,
Henrique de Paula Rezende e Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues
337
Análise estatística da quantidade de cálcio presente no leite em pó
Thiago Faria Tormin 1, Nahiara Mariê Lacerda1, Maísa Azevedo Beluomini1, Henrique de
Paula Rezende1, Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues2
Resumo
O cálcio é um elemento abundante no corpo humano e concentra-se principalmente
nos ossos e dentes. As necessidades de cálcio são geralmente supridas por laticínios,
especialmente leite. O objetivo deste trabalho é utilizar a técnica de titulação para obter a
quantidade de cálcio em nove amostras de leite em pó e verificar se a quantidade de cálcio
declarada pelo fabricante é estatisticamente verdadeira.
Palavras chave: cálcio, leite em pó, titulação, estatística descritiva e teste t de Student.
1. Introdução
Para o desenvolvimento deste trabalho os alunos do curso de graduação em Química
da Universidade Federal de Uberlândia (UFU), matriculados na disciplina Estatística no
primeiro semestre de 2008, obtiveram a concentração de cálcio em leite em pó através de
experimentos químicos (titulação).
O cálcio é essencial para a transmissão nervosa, coagulação do sangue, contração
muscular, atua também na respiração celular, além de garantir uma boa formação e
manutenção de ossos e dentes. Por sua presença na formação óssea o cálcio é um dos
elementos mais abundantes no corpo humano. O cálcio é essencial para o funcionamento do
organismo, quando existe deficiência de cálcio na corrente sanguínea (por má alimentação,
questões hormonais ou outros motivos) o corpo tende a repor essa deficiência retirando cálcio
dos ossos. A deficiência de cálcio pode levar a osteopenia e osteoporose, na qual os ossos se
deterioram e há um aumento no risco de fraturas, especialmente nos ossos mais porosos. A
deficiência de cálcio pode causar também: agitação, unhas quebradiças, propensão à cáries,
depressão, hipertensão, insônia, irritabilidade, dormência no corpo e palpitações. O excesso
de cálcio pode ocasionar as conhecidas "pedras" no rim, que são na verdade pequenos
aglomerados de uma substância conhecida como oxalato de cálcio. Este tipo de formação é
mais comum em decorrência da ingestão de cálcio de origem mineral (presente no solo e
conseqüentemente na água de determinadas regiões) e também em alguns suplementos
alimentares, já que este tipo de cálcio não é muito bem absorvido pelo organismo. Consumir
cálcio em excesso também pode ocasionar a redução de outros minerais, como, por exemplo,
magnésio. Além disso, o excesso de cálcio pode causar anorexia, dificuldade de
memorização, depressão, irritabilidade e fraqueza muscular (WIKIPEDIA, 2008).
Alguns alimentos são fontes de cálcio: laticínios (leite e derivados, como iogurte e
queijo), hortaliças da espécie Brassica oleracea (brócolis, couve-flor, couve, repolho),
verduras verde escuras (com exceção do espinafre, devido ao alto teor de ácido oxálico),
algas marinhas, gergelim integral, amêndoas, feijões, etc.
A ingestão diária recomendada de cálcio varia com a idade, veja Tabela1.
1
Aluno(a) de graduação – Instituto de Química/UFU – [email protected] –
[email protected] [email protected] – [email protected]
2
Professora orientadora – Faculdade de Matemática/UFU – [email protected]
Tabela 1: Ingestão Diária Recomendada (IDR) de Cálcio
Faixa etária
Quantidade de cálcio
800 mg
Lactente (1 – 3 anos)
800 mg
Crianças (4 – 6 anos)
800 mg
Crianças (7 – 10 anos)
800 mg
Adultos
1200 mg
Gestantes
1200 mg
Lactantes
Fonte: Ministério da Saúde 1998, (base: RDA 1989.)
Neste trabalho, foram medidas as concentrações de cálcio em amostras de leite em pó
de uma determinada da marca A, produto amplamente disponível no mercado. Por motivos
éticos, a marca do leite em pó A não será identificada aqui. Foi utilizada a técnica de titulação
para medir a quantidade de cálcio em amostras contendo 2 g de leite em pó. A titulação é um
procedimento, empregado em experimentos químicos, para se determinar a quantidade de
uma substância particular, mediante a adição de uma solução com concentração e natureza
conhecidas. A titulação é bastante utilizada por apresentar as seguintes vantagens: reações
simples com estequiometria conhecida e apresenta mudanças químicas ou físicas (pH,
temperatura, condutividade), principalmente no ponto de equivalência.
O fabricante de leite em pó da marca A declara, no rótulo da embalagem, que 26g de
leite em pó (equivalente a duas colheres de sopa) possui 263mg de cálcio, o que equivale a
10,12 mg de cálcio/g.
O objetivo deste trabalho é utilizar a técnica de titulação para obter a quantidade de
cálcio em nove amostras de leite em pó e verificar se a quantidade de cálcio declarada pelo
fabricante é estatisticamente verdadeira.
2. Metodologia
2.1. Reagentes, soluções e instrumentos
Os reagentes químicos utilizados foram: água destilada, solução tampão ( NH3/NH4Cl)
de pH 10, cianeto de potássio ( KCN), solução MG-EDTA, solução EDTA 0,02 mol.L-1,
indicador Ério T, solução de FeSO4.
Os instrumentos utilizados foram: bureta, suporte com garra, agitador magnético
balança analítica, espátulas, béqueres, erlenmeyers, conta gotas.
2.2. Procedimento experimental
Para a titulação do leite em pó utilizou-se como titulante a solução de Mg- EDTA a
uma concentração de 2,00 mol/l ( fator de correção igual a 1). Para tanto:
1 - Pesou-se nove amostras de leite em pó (2,00 g) de cada lata e cada porção foi
transferida quantitativamente para um erlenmeyer correspondente de 250,00 ml;
2 - Dissolveu-se cada uma das amostras em aproximadamente 50 ml de água destilada,
enxaguando as laterais com o máximo cuidado para evitar que qualquer quantidade de leite
em pó ficasse aderida nas paredes do erlenmeyer sem ser dissolvida;
3 - Adicionou-se 15ml de solução tampão pH 10 (NH3/NH4Cl);
4 - Adicionou-se alguns cristais de KCN para mascarar íons como Zn2++, Cu2+ e Fe3+,que
interferem bloqueando o indicador.
5 - Adicionou-se vinte gotas de uma solução de MG-EDTA e também a ponta de uma
espátula de Erio-T como indicador;
6 - Titulou-se até o aparecimento da cor azul, indicando o final da titulação. Anotou-se o
volume gasto do titulante;
7 - Adicionou-se FeSO4 nas amostras antes de serem descartadas na pia, para evitar
maiores contaminações.
8 – Procedeu-se os cálculos estequiométricos para obtenção da quantidade de cálcio.
Figura 1: Equipamentos utilizados para a titulação
2.3.Coleta de dados
Para simplificar o processo de amostragem, procurou-se ser aleatório sem, no entanto,
realizar propriamente o sorteio ou algum dispositivo aleatório. Para tal, procedeu-se à escolha
das 9 latas de leite em pó da marca A tomando-se a precaução de obter 9 latas de diferentes
lotes, em diferentes estabelecimentos.
Em uma titulação, as medidas podem apresentar erros de medição, por se tratar de um
experimento que é influenciado por fatores externos não-controláveis, tais como, umidade e
temperatura ambiente; e por fatores externos controláveis, tais como, manuseio inadequado de
instrumentos e falta de atenção do analista.
A partir de um único experimento não é possível obter informações sobre a
variabilidade dos resultados, devido à influência dos fatores externos controláveis e não
controláveis. Sendo assim, ao realizar um procedimento analítico completo, recomenda-se a
execução de dois a dez ensaios (réplicas) do experimento (SKOOG et al, 1981). Neste
trabalho, o experimento foi repetido dez vezes para cada lata de leite em pó.
Para cada uma dos dez ensaios das nove amostras de leite em pó, foram feitos os
cálculos estequiométricos para obtenção das quantidades de cálcio. Essas quantidades de
cálcio, em miligramas (mg), obtidas para um grama de leite em pó, estão apresentadas na
Tabela 2.
Tabela 2:
Ensaios
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Quantidade de cálcio, em mg/g de leite em pó
Leite 1 Leite 2 Leite 3 Leite 4 Leite 5 Leite 6
9.82
8.36
9.93
9.82
8.99
8.60
9.43
9.52
9.65
9.45
9.56
9.78
9.78
9.32
10.25 9.41
9.29
8.81
10.79 8.57
10.54 9.65
9.59
8.11
9.74
8.42
9.54
10.16 10.29 9.55
9.56
9.12
9.38
9.58
9.26
8.56
9.96
10.02 9.68
9.76
9.45
8.56
9.87
8.73
10.12 10.29 9.52
8.43
10.45 8.95
9.96
9.78
9.31
8.55
9.89
8.74
9.87
9.84
9.22
8.87
Leite 7
9.28
8.86
8.68
8.46
8.49
8.86
8.91
8.85
8.80
8.70
Leite 8
9.43
8.94
9.24
9.65
8.78
8.58
9.59
9.84
9.87
8.86
Leite 9
9.55
9.62
9.23
8.56
9.62
9.48
10.15
9.56
9.81
9.87
Para representar a quantidade de cálcio de cada lata de leite em pó foi utilizada a
média aritmética dos 10 ensaios.
3. Análise dos resultados
Neste trabalho, foi utilizado o software estatístico BIOESTAT (2008) para cálculo das
medidas descritivas e obtenção dos gráficos. O BioEstat é um software gratuito e pode ser
obtido na internet.
A Tabela 3 apresenta o resumo estatístico de cada lata de leite usada neste trabalho e a
Figura 2 apresenta os respectivos gráficos box-plots ( Mínimo, Primeiro Quartil, Mediana,
Terceiro Quartil, Máximo).
Na Tabela 3, observa-se que o Leite 7 apresentou o menor coeficiente de variação
(2,65%) e o Leite 2 apresentou o maior (5,87%).
Na Figura 3, os box-plots ilustram a variabilidade do resultado do experimento para
cada lata de leite, além de mostrar a variabilidade entre as latas de leite.
Para representar a quantidade de cálcio de cada lata de leite em pó foi utilizada a
média aritmética.
Tabela 3: Medidas descritivas para nove amostras de leite em pó
Tamanho da amostra
Mínimo
Máximo
Amplitude Total
Mediana
Primeiro Quartil (25%)
Terceiro Quartil (75%)
Desvio Interquartílico
Média Aritmética
Variância
Desvio Padrão
Erro Padrão
Coeficiente de Variação
Assimetria
Curtose
Leite 1
10
9.43
10.79
1.36
9.85
9.75
9.94
0.19
9.93
0.16
0.40
0.13
4.08%
1.24
1.41
Leite 2
10
8.36
10.02
1.66
8.85
8.61
9.27
0.66
8.98
0.28
0.53
0.17
5.87%
0.81
0.11
Leite 3
10
9.38
10.54
1.16
9.90
9.66
10.08
0.42
9.89
0.12
0.35
0.11
3.53%
0.42
-0.15
Leite 4
10
9.41
10.29
0.88
9.77
9.60
9.84
0.24
9.77
0.08
0.28
0.09
2.88%
0.65
-0.04
Leite 5
10
8.99
10.29
1.30
9.38
9.27
9.55
0.28
9.45
0.12
0.35
0.11
3.68%
1.59
3.91
Leite 6
10
8.11
9.78
1.67
8.58
8.55
8.86
0.30
8.78
0.26
0.51
0.16
5.83%
1.10
0.66
Leite 7
10
8.46
9.28
0.82
8.83
8.69
8.86
0.18
8.79
0.05
0.23
0.07
2.65%
0.63
1.50
Leite 8
10
8.58
9.87
1.29
9.34
8.88
9.64
0.76
9.28
0.22
0.47
0.15
5.02%
-0.14
-1.58
Leite 9
10
8.56
10.15
1.59
9.59
9.50
9.76
0.27
9.55
0.18
0.43
0.13
4.45%
-1.29
3.02
Gráfico 1: Box-plot para nove amostras de leite em pó
De acordo com as informações contidas no rótulo da embalagem de leite em pó da
marca A, o produto possui o equivalente a 10,12 mg de cálcio/g. Para verificar se esta
afirmação é estatisticamente verdadeira, foi realizado um teste t de Student
Inicialmente, foi feito um teste de normalidade para noventa valores de cálcio/g de
leite em pó. Do histograma (Gráfico 2) e do Teste Kolmogorov Smirnov (Tabela 4) tem-se
que a quantidade de cálcio/g de leite em pó da marca A segue uma distribuição
aproximadamente normal.
18
16
14
Frequência
12
10
8
6
4
2
0
8.0
8.4
8.8
9.2
9.6
10.0
cálcio em mg/g de leite em pó
10.4
10.8
Gráfico 2: Histograma para as quantidades de cálcio da Tabela 1
Tabela 4: Teste Kolmogorov Smirnov para as quantidades de cálcio da Tabela 1
Tamanho da amostra
90
Desvio máximo
0.0954
Valor crítico unilateral (0.05) 0.1286
Valor crítico unilateral (0.01) 0.1602
p(valor) unilateral
ns
Valor crítico bilateral (0.05) 0.1434
Valor crítico bilateral (0.01) 0.1718
p(valor) bilateral
ns
Seja a hipótese nula H0: μ = 10,12 mg de cálcio/g de leite em pó (afirmação do
fabricante) e a hipótese alternativa H1: μ < 10,12 mg de cálcio/g de leite em pó.
Da Tabela 3, para as 9 latas de leite em pó: X = 9,38 ( média das médias) e s = 0,45
(desvio padrão das médias) . Logo, a estatística do teste é -4,92 (p-valor=0.0006).
Portanto, rejeita-se a hipótese nula, ao nível de significância de 5%. Ou seja, a
quantidade de cálcio/g de leite em pó é menor do que 10,12 mg.
4. Conclusão
Neste trabalho, foram analisadas nove amostras de leite em pó da marca A para
verificar se a quantidade de cálcio (10,12 mg/g de leite em pó) declarada no rótulo da
embalagem é estatisticamente verdadeira.
Foi aplicado o teste t de Student e concluiu-se que a quantidade de cálcio é menor do
10,12 mg/g de leite em pó, ao nível de significância de 5%.
5. Referências Bibliográficas
ARANGO, H.G. Bioestatística: teórica e computacional. Rio de janeiro: Guanabara koogan,
2001.
BACAN, N.; ANDRADE, J. C.; GODINHO, O. E. S.; BARONE, J. S. Química Analítica
Quantitativa Elementar. 2ª edição. São Paulo: Editora Blücher Ltda, 2001.
SKOOG, D. A.; WEST, D. M.; HOLLER; F. J. Fundamentos de Química Analítica. Tomo
2. Traduzido por F. B. Martínez. 8ª edição. Barcelona: Editorial Reverte S.A., 1981.
BIOESTAT. Software
BioEstat versão 5 (homepage na internet). Disponível em
<http://www.mamiraua.org.br/download/>. Acessado em 2 de outubro de 2008.
MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de Probabilidade e Estatística. 6ªedição.
São Paulo: EDUSP, 2007.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística Básica. 5ªedição. São Paulo: Saraiva, 2002.
WIKIPEDIA. Enciclopédia multilíngüe online (homepage na internet). Disponível em <
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lcio#cite_note-DietaryFactSheet-4>. Acessado ema
30 de setembro de 2008.
FAMAT em Revista
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³
Iniciação Científica
em Números
www.famat.ufu.br
Iniciação Científica em Números
Douglas Silva Oliveira (coordenador da seção)
Projetos de Iniciação Científica que se realizam no período de Setembro
de 2008 à Fevereiro de 2008
Orientador: Alessandro Alves Santana
Orientando: Gabriela Aparecida dos Reis
Título: Utilização da Equação Adjunta em Problemas de Otimização Restrita
para Aumento da Ordem de Precisão de Funcionais Integrais
Início: Março de 2008
Fim: Fevereiro de 2009
Orientador: Antônio Carlos Nogueira
Orientando: Rafael Afonso Barbosa
Título: Números Especiais: um Estudo sobre alguns Tópicos da Teoria de
Números
Orientador: Antônio Carlos Nogueira
Orientando: Luis Armando dos Santos Jr.
Título: Números Especiais: um Estudo sobre alguns Tópicos da Teoria de
Números
Orientador: Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues
Orientando: Edimar de Freitas Costa
Título: Gráficos de controle CUSUM para tempo entre eventos
Início: Agosto de 2008
Fim: Julho de 2009
Orientado: Guilherme Barros Ameloti
Título: A construção de gráficos de controle utilizando o Software Minitab
Orientando: Giácomo Grandi Bombonato
Título: Análise estatística de escores para estimação da área atingida por
infarto agudo do miocárdio
Orientando: Vinícius Teixeira Martins Vilela de Carvalho
Título: Análise estatística de escores para estimação da área atingida por
infarto agudo do miocárdio
Orientador: César Guilherme de Almeida e Rosana Sueli da Motta Jafelice
Orientando: Mariana Fernandes dos Santos Villela
Título: O Estudo de Modelos Biológicos p-Fuzzy
Início: Fevereiro de 2008
Orientador: César Guilherme de Almeida e Qu Fanyao (prof. Física)
Orientando: Rene Felipe Keidel Spada (Física)
Título: Aumento de Coerência do spin em computação quântica através da
redução de interação hiperfina
Fim: Março de 2009
Orientador: César Guilherme de Almeida
Orientando: Warlisson Inácio de Miranda
Título: Aperfeiçoamento das técnicas de ensino-aprendizagem da disciplina
Cálculo Numérico
Início: Setembro de 2007
Fim: Setembro de 2008
Orientador: Edmilson Rodrigues Pinto
Orientando: Matheus Bartolo Guerrero
Título: Estudo dos Modelos Lineares Generalizados
Orientador: Ednaldo Carvalho Guimarães
Orientado: Renata Carvalho Macedo Leite
Título: Estimativas de Probabilidade de Qualidade do Ar Atmosférico de
Uberlândia-MG por Meio de Modelo de Regressão Logística
Orientador: Edson Augustini
Orientando: Adriele Giaretta Biase
Título: Estudo de Sistemas Criptográficos
Orientador: Geraldo Márcio de Azevedo Botelho
Orientando: Luciana Yoshie Tsuchiya
Título: Uma introdução à Topologia
Orientador: Geraldo Márcio de Azevedo Botelho
Orientando: Giselle Moraes Resende Pereira
Título: Uma introdução à Topologia
Orientador: Marcelo Tavares
Orientando: Stela Zumerle Soares
Título: Avaliação de uma escala para micro e pequenas empresas de
Uberlândia por meio de técnicas multivariadas
Orientador: Marcos Antônio da Câmara
Orientando: Gustavo F. M. Domingues
Título: Introdução à Teoria dos Jogos
Orientando: Claiton José Santos
Título: Introdução à Teoria dos Jogos
Orientando: Maksuel Andrade Costa
Título: Programação Inteira
Fim: Agosto de 2008
Orientando: Otoniel Nogueira da Silva
Título: Somas de Quadrados de Inteiros
Orientador: Rogério de Melo Costa Pinto
Orientado: Mariana Montiel Coelho
Título: Avaliação da Qualidade de Vida de Cuidadores de Crianças e
Adolescentes Portadores de Síndrome de Down
Fim: Março de 2009
Orientador: Sezimária de Fátima Pereira Saramago
Orientando: Karla Barbosa de Freitas
Título: Estudo dos Métodos Clássicos de Otimização Não-Linear
Fim: Dezembro de 2009
Orientando: Adelino Gussoni dos Santos
Título: Evolução Diferencial aplicada à Maximização do Espaço de Trabalho de
um Manipulador 3R
Fim: Julho de 2009
Orientando: Kuang Hongyu
Título: Curvas de Singularidades de Robôs Manipuladores 3R Ortogonais
Orientando: Thiago Alves de Queiroz (Mestrado em Eng. Mecânica)
Título: Projeto ótimo de uma coluna parcialmente enterrada
Fim: Atual
Orientando: Lúcio Aurélio Purcina (Doutorado em Eng. Mecânica)
Título: Técnicas de Otimização Aplicadas à Solução de Grandes Sistemas
Lineares
Fim: Atual
Orientando: Giovana Trindade Oliviera (Doutorado em Eng. Mecânica)
Título: Estudo da Topologia do Espaço de Trabalho para projeto ótimo de
Robôs Manipuladores 3R
Fim: Atual
Orientando: Camilla Carrara (Doutorado em Eng. Mecânica)
Título: Aplicação de Modelos de Simulação em Problemas do Sistema de
Transportes
Fim: Atual
Orientador: Weber Flávio Pereira
Orientando: Lívia Silva Rosa
Título: O Caos na Família Quadrática e Fractais
Fim: Fevereiro 2009
Orientador: Weber Flávio Pereira
Orientando: Ruan Carlos Martins Tizzo
Título: Álgebra Linear: Uma Introdução às Aplicações
Fim: Fevereiro 2009
FAMAT em Revista
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Ï
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E o Meu Futuro Profissional?
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E o Meu Futuro Profissional?
Douglas Silva Oliveira
E o meu Futuro Profissional?
Nesse número da Famat em Revista, iremos apresentar um pouco da
Otimização Combinatória. Essa é uma das áreas da matemática aplicada que não é muito
conhecida, porém, proporciona um futuro promissor no mercado de trabalho para
aqueles que pretendem embarcar nessa área, pois é uma área que vem crescendo muito.
Otimização Combinatória: A Matemática Computacional em Ação
Antes de falarmos um pouco da prática e o que o mercado espera dos
profissionais dessa área, vamos “definir” o que seria Otimização Combinatória.
Apesar do nome um pouco assustador para alguns, esse nome esconde um
conceito bastante simples. Suponha que você possui um conjunto de itens e uma série de
regras que podem ser usadas para selecionar alguns itens desse conjunto. Usando essas
regras, há várias maneiras diferentes de escolher os elementos e criar outros conjuntos
menores (ou subconjuntos). Se, a cada elemento estiver associado um custo, os
subconjuntos criados, também, terão um custo que é dado, por exemplo, pela soma dos
custos de seus elementos. O problema de Otimização Combinatória, em geral, se resume
a encontrar, dentre todos os possíveis subconjuntos, aquele cujo custo seja o menor
possível ou dependendo do caso, o maior possível.
Uma forma de resolver tais problemas seria simplesmente enumerar todas as
soluções possíveis e guardar aquela de menor custo ou de maior lucro se for o caso.
Entretanto, essa é uma idéia ingênua, pois para qualquer problema de um tamanho
interessante (e útil), esse método torna-se impraticável, já que o número de soluções
possíveis seria muito grande. Mesmo que utilizássemos um supercomputador para
resolver o problema, o tempo de processamento pode levar várias horas, ou vários dias
ou até anos. Parece uma coisa absurda, mas estamos rodeados de problemas práticos
dessa natureza. Os problemas tratados nessa área são conhecidos tecnicamente por “NP –
difícil”. Portanto, técnicas computacionais mais apuradas são necessárias para resolver
esses problemas.
Isso requer que os matemáticos que optassem por atuar nessa área soubessem
no mínimo programação.
A Otimização Combinatória se consiste basicamente nisso, mas onde
aplicaríamos isso na prática?
Aplicações Práticas
Existem uma infinidade de problemas da vida real que podem ser encarados
como problemas de Otimização Combinatória.
Vamos mostrar alguns problemas no qual podemos encarar como um problema
de Otimização Combinatória.
Roteirização de Veículos
Dado um conjunto de fregueses que precisam receber mercadorias, a fábrica
tem que decidir a quantidade de carga a ser colocada em cada caminhão e quais
caminhões irão atender quais clientes. Além disso, é preciso otimizar (aperfeiçoar) as
rotas dos veículos e, em alguns casos, levar em consideração a eventual necessidade de
reabastecimento da carga por parte de alguns caminhões. Por exemplo, os clientes podem
ser bares e a fábrica pode ser uma fábrica de bebidas.
Aplicações: entrega de correspondência, empresas atacadistas (um exemplo é a
MARTINS de Uberlândia), coleta de lixo urbano, etc.
Ensalamento em Escolas e Universidades
Uma tarefa comum em todas as instituições de ensino é a construção de
horários de aulas para os docentes e alocação de salas para as disciplinas, atendendo as
restrições tanto de professores e alunos como de toda instituição envolvida.
Normalmente, as restrições estão relacionadas a conflitos de horários de aula, alocação
de salas mais adequadas para cada disciplina/turma, preferências (da disciplina e/ou
professor) por horários, etc. A solução do problema consiste em gerar uma tabela de
horários, visando minimizar os conflitos, maximizarem preferências, compactar horários
de professores e alunos e utilizar de maneira eficiente equipamentos e salas disponíveis.
Escalonamento de Trabalho Humano
Dado um conjunto de tarefas a realizar e um conjunto de funcionários, um
empresário deseja encontrar a melhor maneira de alocar seus funcionários às tarefas de
forma que todas as tarefas sejam cumpridas e os gastos com mão-de-obra sejam
minimizados. Além disso, há restrições trabalhistas e restrições operacionais da empresa
que afetam a forma como a alocação pode ser feita. Os custos podem estar relacionados
com a quantidade de operários envolvidos e/ou com o número de horas-extras que o
empresário terá de pagar. Por exemplo, numa companhia aérea, é preciso decidir quais
viagens serão destinadas a quais pilotos, e ainda, obedecerem a regras do tipo: um piloto
não pode trabalhar mais de 8 horas seguidas sem descansar; a cada três dias seguidos de
trabalho, todo piloto deve ter um dia de descanso etc. Esse tipo problema pode ser
encontrado em muitas empresas que operam 24 horas por dia, por exemplo: centrais
telefônicas, hospitais, transporte coletivo, etc.
Planejamento de Produção
Dado um horizonte de demanda por produtos, um fabricante de determinado
item de consumo precisa decidir quanto deve produzir por mês de forma a atender toda a
demanda e ainda minimizar os custos. Existe um limite no poder de estocagem e um
preço a ser pago por quantidade de produto estocada. Além disso, os produtos podem ter
data de validade e os atrasos na entrega de mercadoria podem ser tolerados (gerando
custo adicional) ou não.
Esses são problemas que ocorrem muitas vezes em uma empresa, universidade,
em outras palavras, no mercado de trabalho que nos espera.
Na sociedade da informação o mais preparado é aquele que possui o
conhecimento certo para ser aplicado ao problema certo. Quanto vale um profissional
capaz de reduzir os custos de uma empresa em 30%? Nem é preciso responder, certo?
Capacitação profissional é a moeda forte no mercado de trabalho atual.
Se você desenvolve um sistema capaz de reduzir 10% do custo total de uma
empresa, então por quanto você poderia vender o seu sistema? Muitas vezes esse tipo de
sistema não só reduz o custo imediato, como também, melhora o desempenho da
empresa.
Dentro do meio acadêmico, não podemos nos esquecer de que o mercado a fora
está mais competitivo a cada dia que passa. Trabalhos de Graduação ou de Iniciação
Científica podem ajudar a complementar a sua formação. E, se você tem vontade de
fazer uma pós-graduação, por que não se especializar em uma área que está em pleno
crescimento?
O Mercado de Trabalho
Infelizmente, ainda é pequeno o número de empresas brasileiras que utilizam
em seus processos (sejam eles produtivos ou não) alguma técnica de otimização. Isto se
deve, principalmente, a uma falta de conhecimento a respeito do poder real de tais
técnicas. É muito comum que as empresas não tenham consciência de que certas tarefas
são passíveis de otimização por sistemas computacionais. Tarefas altamente ineficientes
poderiam ser melhorados significativamente, mas continuam promovendo prejuízos que
passam despercebidos. Ter prejuízo não significa somente terminar o mês com o caixa
negativo. Significa, também, terminar o mês com um "lucro" de R$ 100.000,00 sem se
dar conta de que o lucro poderia ter sido de R$ 250.000,00, caso os recursos fossem
administrados de forma mais adequada. Esse tipo de comportamento é bastante freqüente
e precisa ser mudado.
Durante muitos anos, as teorias e métodos desenvolvidos por matemáticos e
cientistas foram arquivados em livros e periódicos especializados e muito pouco foi
absorvido pelo setor empresarial. Felizmente, contudo, essa situação vem se alterando. É
cada vez maior o número de companhias que adotam modelos de otimização no seu diaa-dia, diminuindo seus custos e, por conseguinte, aumentando os lucros. Além do mais,
com a onda crescente de privatizações nos diversos setores da sociedade, a concorrência
se fortifica e a sobrevivência dos negócios começa a depender seriamente do
desempenho de cada um com relação aos demais. Quem estiver mais bem preparado irá,
sem dúvida alguma, suplantar os adversários. No Brasil, esse processo vem ganhando
força, mas ainda é incipiente. Nos demais países, principalmente na Europa e nos
Estados Unidos, a utilização de técnicas de otimização dentro das empresas é bem mais
difundida, assumindo um papel de grande relevância.
Gostar de resolver problemas reais desafiadores através de técnicas
computacionais não convencionais, afinidade e gosto por matemática, algoritmos e
programação, estruturas de dados; criatividade, iniciativa, motivação e organização;
capacidade de trabalhar em grupo e individualmente são características que grandes
empresas procuram naqueles que querem ingressar em um mercado de trabalho
promissor.
Lembramos que no mercado há falta de pessoas qualificadas para tal área, por
mais que seja uma área que ainda está crescendo.
FAMAT em Revista
Ç
Ñ
È
Merece Registro
www.famat.ufu.br
Merece Registro
Marcos Antônio da Câmara (coordenador da seção)
MERECE REGISTRO
A) ESPECIALIZAÇÃO
I) I Curso de Especialização em Estatística Empresarial
Os conhecimentos de estatística vêm assumindo uma importância muito
grande na valorização dos profissionais de diferentes áreas, principalmente na
região do Triangulo Mineiro. Desta forma, o I Curso de Especialização em Estatística
Empresarial foi criado com o objetivo de capacitar profissionais na aplicação das
principais ferramentas estatísticas para análise e interpretação de dados utilizandoos na tomada de decisão em empresas de vários portes, bem como ministrar
disciplinas de estatística em cursos de graduação.
As mudanças sócio-culturais, cada vez mais acentuadas, a nova legislação
educacional, que indica prementes reformas no sistema de ensino, e a disseminação
da informática, criando novas possibilidades e recursos para a educação, são
fatores que requerem do professor de estatística uma formação sólida, tanto no
aspecto cognitivo quanto no metodológico. O Curso de Especialização em
Estatística Empresarial propõe-se a atender a estas duas necessidades.
Este curso foi realizado na Faculdade de Matemática, que dispõe de
instalações e equipamentos adequados para o funcionamento de um curso de
especialização, no que diz respeito a infra-estrutura administrativa, professores,
laboratórios, equipamento computacional e salas de aula. Lecionaram neste curso
professores da Faculdade de Matemática, Faculdade de Gestão e Negócios,
Instituto de Ciências Agrárias e um profissional da iniciativa privada.
A carência de conhecimentos em estatística, principalmente na tomada de
decisões, faz com que os graduados que se interessam pela área desloquem-se
para centros distantes. Tudo isso resulta em uma deficiência muito grande de
profissionais com habilidades específicas em Estatística para suprir as demandas de
uma região populosa, em pleno desenvolvimento econômico e que já conta com um
forte parque industrial instalado, principalmente em agroindústrias, setor atacadista e
telecomunicações.
Desta forma o curso de especialização em Estatística Empresarial, começou
em Abril de 2007 e terminou em julho de 2008 com 33 profissionais, que
desenvolveram trabalhos de conclusão, baseados em conhecimentos estatísticos,
para melhoria de processos em seus ambientes de trabalho.
Foram abordadas durante o curso as seguintes disciplinas:
►Estatistica Descritiva
►Gestão de Organizações
►Metodologia de Pesquisa
►Inferência
►Series Temporais
►Análise de Risco
►Testes Não Paramétricos
►Introdução a Probabilidades
►Planejamento de Projetos Experimentais
►Amostragem e CEP
►Métodos Multivariados
►Metodologia do Ensino
►Otimização de Processos
►Análise de Regressão
►Data Mining
►Seminários
II) VIII CEMAT
Foi realizado de 05 de agosto de 2006 a 30 de abril de 2008 o VIII Curso de
Especialização em Matemática.
Corpo Docente:
Prof. Dr. Antônio Carlos Nogueira
Prof. Dr Arlindo José de Souza Júnior
Prof. Dr. César Guilherme de Almeida
Profª Drª Dulce Mary de Almeida
Prof. Dr. Edmílson Rodrigues Pinto
Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães
Prof. Dr. Edson Agustini
Profª Ms. Fabiana Fiorezzi de Marco Mattos
Prof. Dr. Jocelino Sato
Profª Drª Lúcia Resende Pereira Bonfim
Prof. Dr. Luís Antônio Benedetti
Prof. Ms. Luiz Alberto Duran Salomão
Prof. Dr. Marcio José Horta Dantas
Prof. Dr. Marcos Antônio da Câmara – Coordenador
Prof. Ms. Mário Luiz de Mendonça Faria
Profª Drª Maria Teresa Menezes Freitas
Profª Drª Rosana Sueli da Motta Jafelice
Profª Drª Sezimária de Fátima Pereira Saramago
Prof. Dr. Valdair Bonfim
Resumo do Programa
Geometria Plana e Construções Geométricas.
Técnicas de Contagem e Probabilidade.
O Ensino de Matemática através de modelos interdisciplinares.
Geometria Espacial.
Tópicos de Matemática para o Ensino Fundamental e Médio.
Teoria dos Números.
O Ensino de Matemática por meio de problemas.
Informática aplicada ao ensino
Monografias
Foram realizadas, como requisito parcial para a obtenção do título de Especialista
em Matemática, as seguintes defesas de monografia:
Discente
Título da monografia
Adriano Rodrigues Teixeira
Equações diferenciais ordinárias e
algumas de suas aplicações
A matemática e sua contribuição para o
comércio e a economia
Valdair Bonfim
88
Luís Antônio Benedetti
70
Logaritmos e exponenciais - teoria para
o ensino médio
Teorema de Fermat: alguns casos
particulares
Um estudo sobre o nível de
conhecimento em probabilidade e
estatística dos alunos concluíntes do
ensino médio
Um estudo introdutório sobre cissóides
Lúcia Resende Pereira Bonfim
90
Antônio Carlos Nogueira
90
Edmílson Rodrigues Pinto
90
Dulce Mary de Almeida
100
Hélen Cristina Vieira
Freitas
Os números complexos e a geometria
Luiz Alberto Duran Salomão
85
Juscélia Dias Mendonça
Análise quantitativa da relação entre
notas de tarefas e nota de provas
bimestrais: estudo de casos das 5ª séries
da escola estadual de Uberlândia
As cônicas e a equação geral do segundo
grau
Implicações pedagógicas do jogo
poliminós no ensino do conceito de área
para alunos de 5ª série do ensino
Ednaldo Carvalho Guimarães
90
Mário Luiz de Mendonça Faria
90
Fabiana Fiorezi de Marco
Matos
97
André Gustavo Cruz da
Costa
André Luiz Ribeiro
Cleuber Divino de Moraes
Denise Nunes de Melo
Fabiano Elias Reis
Keleey Silva Brito
Márcia Aparecida
Marcelina Alvarenga
Orientador
Nota
fundamental
Márcia Lemos Queiroz
Melissa da Silva Rodrigues
Investigando o desenvolvimento do
raciocínio lógico com atividades que
sugerem a criação de padrões
O número φ
Maria Teresa Menezes Freitas
90
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III) I Curso de Especialização em Geometria
Teve início em 09/08/2008 o primeiro Curso de Especialização em Geometria
oferecido pela FAMAT - UFU com a finalidade de complementar e atualizar a
formação de professores do ensino fundamental, médio e superior. As mudanças
socioculturais, cada vez mais acentuadas, a nova legislação educacional, que
indica prementes reformas no ensino, e a disseminação da informática, criando
novas possibilidades e recursos para a educação, são fatores que requerem do
professor de matemática uma formação sólida, tanto no aspecto cognitivo quanto
no metodológico. Esse Curso de Especialização propõe-se a atender a estas duas
necessidades. O enfoque em Geometria justifica-se pela importância relevante que
essa Ciência tem adquirido dentro do cenário das reformas educacionais no país:
está presente em todas as diretrizes curriculares para a formação de professores
de Matemática, aparece em todos os atuais parâmetros curriculares nacionais para
o ensino de Matemática nos níveis Fundamental e Médio, é utilizado nos
programas oficiais de avaliação, como o SAEB e o ENEM, etc. Além disso, o
ensino de Geometria tem sido proposto como instrumento fundamental para o
desenvolvimento de habilidades e competências matemáticas nos níveis do Ensino
Fundamental e Médio. Mais ainda, num contexto mais geral, a formação das
inteligências tem trazido à tona os valores inerentes do pensamento matemático,
dando destaque às habilidades lógicas e espaciais próprias da Geometria.
Objetivos Específicos:
Promover a melhoria do desempenho profissional dos professores,
capacitando-os para a adoção de novos métodos e técnicas do ensino de
geometria.
Propiciar aos docentes condições
conhecimentos na área de geometria.
Oferecer condições básicas para a iniciação científica tendo em vista a
produção de textos monográficos.
Preparar novos profissionais para atuarem no ensino superior.
Ampliar a interação entre a Universidade Federal de Uberlândia e Escolas
do Ensino Fundamental e Médio da região.
de
aprofundamento
de
seus
Corpo Docente:
Prof. Dr. Antônio Carlos Nogueira
Profª Drª Dulce Mary de Almeida - Coordenadora
Prof. Dr. Edson Agustini
Prof. Dr. Jocelino Sato
Profª Drª Lúcia Resende Pereira Bonfim
Prof. Ms. Luiz Alberto Duran Salomão
Prof. Dr. Valdair Bonfim
Prof. Dr. Victor Gonzalo Lopez Neumann
Prof. Dr. Walter dos Santos Motta junior
Resumo do Programa
Transformações geométricas via softwares de geometria dinâmica: Cabri
Géomètre II, Geogebra, Cabri 3D e Calques 3D.
Atividades recreativas em geometria: do lúdico ao formal.
Conexões entre combinatória e geometria.
Geometria espacial: explorando formas e volumes.
Pavimentação do plano e bases caleidoscópicas.
Cônicas: foco em aplicações.
Origami como motivação ao estudo de poliedros.
Estudo de curvas e superfícies a partir de propriedades geométricas.
Abordagens de problemas e o ensino de geometria: seleção, formulação,
classificação, discussão e resolução.
Geometria Plana e construções com régua e compasso.
Isometrias e ornamentos no plano euclidiano.
O modelo de Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico.
Maiores informações: Folder do Curso
B) CURSO DE APERFEIÇOAMENTO
De 21 a 25 de julho de 2008 realizou-se na Universidade Federal de
Uberlândia um módulo do Curso de Atualização para Professores de Matemática do
Ensino Médio. O curso é desenvolvido com a participação de professores do IMPA Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, com o suporte do Instituto do
Milênio - IM/AGIMB, da FINEP, e apoio da Rede Nacional de Pesquisas. Tivemos 72
inscrições e os professores participantes vieram de várias cidades da região, a
saber: Araguari, Campina Verde, Canápolis, Comendador Gomes, Coromandel,
Cruzeiro da Fortaleza, Douradoquara, Frutal, Igarapava, Ituiutaba, Matutina, Monte
Carmelo, Patos de Minas, Prata, Tupaciguara, Uberaba e Uberlândia. O próximo
módulo do curso deverá ser realizado em janeiro próximo, em data a ser divulgada
oportunamente.
C) OBMEP
A Universidade Federal de Uberlândia, além da Coordenação Regional da
OBMEP da região MG-04 (a cargo do Prof. Dr. Antônio Carlos Nogueira), conta
agora também com uma Coordenação Regional de Iniciação Científica da OBMEP,
sob a responsabilidade do Prof. Ms. Luiz Alberto Duran Salomão da Faculdade de
Matemática da Universidade Federal de Uberlândia.
. Esta coordenação é responsável pelo Programa de Iniciação Científica da
OBMEP – um programa voltado aos alunos que conquistam medalhas na Olimpíada.
Três mil estudantes premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das
Escolas Públicas (OBMEP) no ano de 2007 receberam bolsas de iniciação científica
júnior para participar do Programa de Iniciação Científica da OBMEP (PIC 2007). Na
região MG-04, que compreende os pólos de Uberlândia, Ituiutaba, Araxá, Passos,
Patos de Minas e Pará de Minas, o número desses bolsistas é 134 e as atividades
do programa tiveram início em agosto de 2008. Nessa referida região, o número de
municípios compreendidos é 41. No trabalho de orientação dos bolsistas
mencionados atuam 12 professores orientadores. As bolsas do PIC da OBMEP têm
a duração de um ano. Nesse período, os bolsistas, sob orientação dos professores
orientadores, têm oportunidade de desenvolver diversos estudos sobre temas
bastante variados da matemática. O material que vem sendo utilizado nesse
programa é produzido pela própria OBMEP e está disponível a todos os
interessados no site www.obmep.org.br
OBMEP 2008
A 4ª edição da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas –
OBMEP 2008 – finalizou o processo de inscrição no dia 16 de maio de 2008. Nesta
edição se inscreveram 40.377 escolas num total de 18.317.779 alunos. Cabe
ressaltar que estes alunos estão distribuídos em 98.72% dos municípios brasileiros,
ou seja, a abrangência da OBMEP já é de quase 100% do território nacional. Na
regional MG-02 (que agrega as superintendências regionais de ensino de
Uberlândia, Uberaba, Monte Carmelo, Ituiutaba, Patos de Minas, Patrocínio e
Paracatu) se inscreveram 546 escolas num total de 257.830 alunos.
A 1ª fase da OBMEP ocorreu no último dia 26 de agosto de 2008: nesta etapa
as provas são aplicadas e corrigidas pelas próprias escolas. Cada escola classifica,
para a 2ª fase, 5% de seus alunos (em cada nível).
A 2ª fase ocorrerá no dia 08 de novembro de 2008.
.
D) REGIONAL DA SBMAC
Atividades realizadas pela Regional da SBMAC.
• Realização de um minicurso na cidade de Patrocínio, ministrado pelo
professor Carlos Alberto da Silva Júnior.
Minicurso: Otimização Linear e o Método Simplex
Local: UNICERP (Centro Universitário do Cerrado) - Patrocínio MG
Nome do Evento: Simpósio de Educação 2008
Data: 11 a 13 de junho de 2008
• Organização do evento "VIII Encontro Regional de Matemática Aplicada e
Computacional e VIII Semana da Matemática da Universidade Federal de
Uberlândia", que será realizado no período de 28 a 31 de outubro de 2008.
• Divulgação da Sociedade de Matemática Aplicada e Computacional através
da distribuição de panfletos ("folder") elaborados pela própria SBMAC. Os
panfletos foram entregues para alunos de graduação e pós-graduação,
professores do ensino básico e superior.
E) PIBIC
Professores da FAMAT e bolsistas selecionados para o PIBIC no período de
agosto de 2008 a julho de 2009.
• Profª Drª Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues
Edimar de Freitas Costa - Engenharia Civil
• Profª Drª Célia Aparecida Zorzo Barcelos
Glauco Vitor Pedrosa - Ciência da Computação
• Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães
Kátia Alexandra de Souza Caetano - Psicologia
• Prof. Dr. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho
Letícia Garcia Polac - Matemática
• Prof. Dr. Marcelo Tavares
Maria Luiza Maes - Matemática
• Prof. Dr. Rogério de Melo Costa Pinto
Renata Rodrigues de Sá - Medicina
• Profª Drª Sezimária de Fátima Pereira Saramago
Adelino Gussoni dos Santos - Engenharia Mecânica
F) NOVOS PROFESSORES
Os professores Dr. Alonso Sepúlveda Castellanos, Drª Ana Carla Piantella e
Dr. Vinícius Vieira Fávaro, aprovados em concurso público realizado de 16 a 18 de
junho de 2008, assumiram suas atividades como docentes da FAMAT no segundo
semestre de 2008. Parabéns e sejam bem-vindos.
G) CTINFRA
Teremos a construção do terceiro Piso do bloco 5K com a verba do
CTINFRA/2007. Neste piso a FAMAT terá 3 novos laboratórios de informática
(Estatística, Pós-Graduação e Imagens).