Matemática-Caderno 2 - Apostilas Para Concursos Públicos

Transcrição

Apostilas OBJETIVA – Ano XI - Concursos Públicos - Brasil
Concurso Público 2016
Caderno 2
Conteúdo
-Funções de Primeiro e Segundo Grau
-Noções de Probabilidade e Estatística Descritiva
-Matemática Financeira
-Aplicações e Operações com Inequações
-Sequências e Progressões Aritméticas e Geométricas
-Operações com Matrizes, Logaritmos, Raízes e Radicais, Fatoração Algébrica
-Coletânea de Exercícios Gerais
1
FUNÇÕES
Introdução
Uma determinada gráfica imprime apostilas para concursos públicos. O custo de cada apostila varia em
função da quantidade de páginas a serem impressas. Vamos supor que cada página tenha o custo de R$ 0,07 e
para cada apostila confeccionada ainda há um custo fixo de R$ 5,00 relacionado com a capa, plastificação, etc.
Observe a tabela abaixo que relaciona o preço de cada apostila montada em função da quantidade de páginas
impressas:
Páginas
50
70
100
200
Preço
R$ 8,50
R$ 9,90
R$ 12,00
R$ 19,00
É impossível até estabelecermos uma fórmula que relacione a quantidade de páginas impressas (x) e o preço (y)
de cada apostila: y = 0,07x + 5
Este é um exemplo de função, observe que para cada valor de x encontramos um único valor de y, podemos
dizer então que y é função de x, isto é, y está em função de x, e outra forma de escrevermos a mesma fórmula
é: f(x) = 0,07x + 5
Se uma pessoa interessada em editar suas apostilas nesta gráfica quisesse saber o quanto deveria desembolsar
para confeccionar uma apostila com 300 páginas, ela poderia simplesmente substituir x = 300, na expressão
acima: f(300) = 0,07 . 300 + 5 = 21 + 5 = 26
Logo, o valor que iria desembolsar seria de R$ 26,00 por apostila impressa.
Definição
Seja f uma relação entre dois conjuntos A e B, diz-se que f é uma função de A em B e indica-se por f: A → B, se
e somente se para cada elemento de x ∈ A exista um único elemento y ∈ B.
f
y1
x1
A
B
O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B é chamado de contra-domínio e os elementos
de B que estão relacionados com os de A fazem parte do conjunto imagem da função.
Reconhecendo uma Função
Pelos Diagramas
Exemplo 1:
Observe as relações abaixo entre os conjuntos A e B dizendo em cada item se são ou não função, em caso
2
afirmativo, encontre o seu domínio (Df), contra-domínio (CDf) e conjunto imagem (Imf) das funções
identificadas.
a)
A
0•
1•
B
•0
•5
• 10
• 20
Esta relação é uma função, pois cada elemento de A está relacionado com apenas um de B.

Df = {0, 1}
 CDf = {0, 5, 10, 20}
 Imf = {0, 5}
b)
A
B
0•
1•
2•
3•
•0
•2
•4
•6
•8
• 10
Esta relação não é uma função, pois existe um elemento de A que não se relaciona com nenhum de B.
c)
A
B
-1 •
-2 •
2•
1•
•1
•2
•3
•6
•7
•8
Esta relação é uma função, pois cada elemento de A está relacionado com apenas um de B, e não existe
nenhum elemento de A sobrando.



Df = {-1, -2, 2, 1}
CDf = {1, 2, 3, 6, 7}
Imf = {1, 7}
3
d)
A
B
• -1
0•
•0
2•
•1
Esta relação não é uma função, pois existe um elemento de A que se relaciona com dois de B.
Observação:
Repare que podemos ter um elemento do contra-domínio relacionado com dois do domínio, e ainda, pode haver
sobras de elementos no contra-domínio.
PELOS GRÁFICOS
Exemplo 2:
Identifique quais dos gráficos abaixo representam funções, em caso afirmativo determine o Domínio e a Imagem
de cada uma das funções identificadas.
a)
y
6
−3
0
3
x
−5
Este gráfico representa uma função, as retas verticais pontilhadas " cortam " o gráfico em apenas um ponto.
Logo, cada elemento x estará relacionado com apenas um y.
Df = {x ∈ IR / −3 ≤ x ≤ 3} ⇒ Eixo x
 Imf = {y ∈ IR / −5 ≤ y ≤ 6} ⇒ Eixo y

b)
y
4
−1
0
−3
7
x
Este gráfico não representa uma função, pois observe que as retas pontilhadas " cortam " em mais de um ponto
o gráfico.
c)
4
y
−2
1
3
−6
8
x
−7
Este gráfico representa uma função, as retas verticais pontilhadas "cortam" o gráfico em apenas um ponto.
Logo, cada elemento x estará relacionado com apenas um y.
Df = {x ∈ IR / -2 < x ≤ 8} ⇒ Eixo x

Imf = {y ∈ IR / −7 ≤ y ≤ 1} ⇒ Eixo y
Exercícios Resolvidos
1) Se f(x) = 2x + 3x2 - 7x, encontre o valor de: f(0) - f(1) + f(2)
Resolução:
 f(0) = 20 + 3(0)2 - 7(0) = 1
 f(1) = 21 + 3. (1)2 - 7.(1) = 2 + 3 - 7 = -2
 f(2) = 22 + 3.22 - 7.2 = 4 + 12 - 14 = 2
Logo: f(0) - f(1) + f(2) = 1 - (-2) + 2 = 5
2 ) Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3m ´ 3m com ladrilhos quadrados, todos iguais entre si. Se ele pode
escolher ladrilhos com lados iguais a 10cm, 12cm, 15cm, 20cm, 25cm e 30cm, qual é o número de ladrilhos que
usará em cada caso?
Resolução:
Para sabermos a quantidade de ladrilhos que serão utilizados, basta dividir a área total da sala pela área de um
ladrilho, portanto podemos chegar na seguinte função que relaciona a quantidade de ladrilhos (y) em função da
dimensão (x) de cada ladrilho:
y=
ST
9
9
3⋅3
= 2 = 2 ⇒y= 2
SL
x
x
x
2
É importante ressaltar que a área de cada ladrilho deve estar em m , isto é, a dimensão x deve ser dada em
metros.
Observe a tabela que relaciona cada ladrilho com a quantidade necessária para cobrir a sala:
x (m)
Y
0,10
900
0,12
625
0,15
400
0,20
225
0,25
144
0,30
100
Exercícios para resolver
Gabarito: no final da Coletânea de exercícios
P1) A tabela abaixo indica o custo de produção de certo número de peças de automóvel:
5
Peças custos
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
Observando a tabela responda:
a) Qual é o custo da produção de 3 peças?
b) Qual é o número de peças produzidas com R$ 25,00?
c) Qual a lei que representa o custo c da produção em função do número de peças n?
d) Com relação ao item anterior, qual o número máximo de peças produzidas com R$ 1 000,00?
P2) O número y de pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do resultado de um jogo de futebol, após x
horas em sua realização, é dado por y = 10 x . Responda:
a) Quantas pessoas já sabem o resultado do jogo após 4 horas?
b) Quantas pessoas já sabem o resultado do jogo em 1 dia?
c) Após quantas horas de sua realização, 30 mil pessoas tomam conhecimento do resultado do jogo?
P3) A velocidade média de um automóvel em uma estrada é de 90km/h.
Responda:
a) Qual é a distância percorrida pelo automóvel em 1hora? E em 2 horas?
b) Em quanto tempo o automóvel percorre a distância de 360 km?
c) Qual é a expressão matemática que relaciona a distância percorrida (d) em função do tempo (t)? (d em
quilômetros e t em horas)
P4) Um professor propõe à sua turma de 40 alunos um exercício-desafio, comprometendo-se a dividir um prêmio
de R$ 120,00 entre os acertadores. Sejam x o número de acertadores (x = 1, 2, 3, .., 40) e y a quantia recebida
por cada acertador (em reais). Responda:
a) y é função de x? Por quê?
b) Quais os valores de y para x = 2, x = 8, x = 20 e x = 25?
c) Qual é o valor máximo que y assume?
d) Qual é a lei de correspondência entre x e y?
P5) Qual é a notação de cada uma das seguintes funções de IR em IR?
a) f associa cada número real ao seu dobro.
b) g associa cada número real ao seu quadrado.
c) h associa cada número real ao seu triplo menos 1.
P6) Qual é a notação de cada uma das seguintes funções?
a) f é a função de IR* em IR* que associa cada número real ao seu inverso.
b) g é a função de IN em IN que associa cada número natural ao quadrado de seu sucessor.
P7) Sendo f uma função de Z em Z definida por f(x) = 2x + 3. Calcule:
a) f(0) b) f(1) c) f(-2)
P8) Seja f: IR → IR definida por f(x) = x2 - 5x + 4. Calcule:
a) f(1) b) f(2) c) f(-1)
6
P9) Seja f: IR → IR definida por f(x) = x2 - 3x + 4. Calcule:
1
a) f  
2
b) f( 3 ) c) f(1 −
2)
d) f(2p)
P10) Os diagramas de flechas dados representam relações binárias. Pede-se, para cada uma:
a) dizer se é ou não uma função;
b) em caso afirmativo, determinar o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem da mesma.
I-)
1•
•5
2•
3•
4•
•6
•7
•8
1•
•9
3•
• 10
• 11
• 12
II-)
4•
III-)
1•
2•
•1
• 4 •5
•2
3•
•3
IV-)
1•
•1
2•
3•
•2
V-)
7
1•
•0
2•
3•
VI-)
•1
1•
•2
•3
P11) Observe os gráficos abaixo:
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
Podemos afirmar que:
a) todos os gráficos representam funções;
b) os gráficos I, III e IV representam funções;
c) apenas o gráfico V não representa uma função;
d) os gráficos I, II, III e IV representam funções;
e) apenas o gráfico II não representa função.
P12) As funções f e g são dadas por:

f(x) =
4
3
x − 1 e g(x) = x + a
5
3
8
Sabe-se que f(0)− g(0) =
a) 0
b) 1
c) 2
1
1
.O valor de f(3) − 3.g   é:
3
5
d) 3
e) 4
P13) A função y = f(x) é representada graficamente por:
y
4
2
−2
0
2
4
x
Através da análise do gráfico, encontre:
a) Domínio da função (Df);
b) Imagem da função (Imf);
c) f(3);
d) o valor de x tal que a função seja nula.
P14) Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1) qualquer que seja o valor da variável
x. Sabendo-se que f(2) = 1, pode-se concluir que f(3) é igual a:
a)
1
4
b)
1
2
c)
3
2
d) 2
e)
5
2
GABARITO - Funções
c) c = n2
P1) a) R$ 9,00
b) 5
P2) a) 20 mil
b) 48 989
P3) a) 90 km; 180 km
d) 31
c) 9 horas
b) 4 horas
c) d = 90t
P4) a) Sim, pois a cada valor de x corresponde um único valor de y.
b) x = 2 → y = 60, x = 8 → y = 15, x = 20 → y = 6
x = 20 → y = 6 e x = 25 → y = 4,8
c) 120
d) y =
120
x
P5) a) f: IR → IR
f(x) = 2x
b) g: IR → IR
g(x) = x2
a) h: IR → IR
h(x) = 3x − 1
9
P6) a) f: IR* → IR
f(x) =
1
x
b) g: IN → IN
g(x) = (x + 1)2
P7) a) 3
b) 5
c) −1
P8) a) 0
b) −2
P9)
11
a)
b) 7 − 3 3
4
c) 10
c) 2 + 4
d) 4p2 − 6p + 4
P10) I-) Não é função II-) Não é função
III-) é função: Df = {1, 2, 3}
CDf = {1, 2, 3, 4, 5}
Imf = {1, 2, 3}
IV-) é função: Df = {1, 2, 3}, CDf = {1, 2},
Imf = {1, 2}
V-) é função: Df = {1, 2, 3}, CDf = {0}
Imf = {0}
VI) Não é função.
P11) B
P12) E
P13) a) Df = {x ∈ IR / −2 < x ≤ 4}
b) Imf = {y ∈ IR / 0 < x < 4}
c) f(3) = 4
d) x = 0
P14) C
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Introdução
Larissa toma um táxi comum que cobra R$ 2,60 pela bandeirada e R$ 0,65 por quilômetro rodado. Ela quer ir à
casa do namorado que fica a 10 km de onde ela está. Quanto Larissa vai gastar de táxi?
Ela terá que pagar 10 × R$ 0,65 pela distância percorrida e mais R$ 2,60 pela bandeirada, ou seja 6,50 + 2,60
= R$ 9,10.
Se a casa de seu namorado ficasse a 17 km dali o preço da corrida (em reais) seria: 0,65 × 17 + 2,60 = 13,65
Enfim, para cada distância x percorrida pelo táxi há um certo preço
10
p(x) em função de x:
p(x) = 0,65x + 2,60
que é um caso particular de função polinomial do 1º. grau, ou função afim.
Definição
"Toda função polinomial representada pela fórmula matemática
f(x) = a.x + b ou y = a.x + b, com a ∈ IR, b ∈ IR e a ≠ 0, definida para todo real, é denominada função do 1º
grau."
Na sentença matemática y = a.x + b, as letras x e y representam as variáveis, enquanto a e b são denominados
coeficientes.
Assim são funções do 1º grau:
f(x) = 2.x +3 (a = 2 e b = 3)
y = -3.x (a = -3 e b = 0)
Observações:
1º) No caso de a ≠ 0 e b ≠ 0, a função polinomial do 1º grau recebe o nome de função afim.
2º) No caso de a ≠ 0 e b = 0, a função polinomial do 1º grau recebe o nome de função linear.
Exercício Resolvido
1) Dada a função f(x) = ax + b sendo f(1) = 3 e f(2) = 9, qual o valor de f(0)?
Resolução:
f(1) = 3 ⇒ a.(1) + b = 3
f(2) = 9 ⇒ a.(2) + b = 9
Chegamos no sistema de duas equações e duas incógnitas:
 a+b=3
, resolvendo o sistema obtemos
2 a + b = 9
⇒ 
a = 6 e b = - 3, logo:
f(x) = 6x - 3 ⇒ f(0) = 6.(0) - 3 ⇒ f(0) = - 3
Gráfico da função do 1º Grau
Seja a função do 1o. grau f(x) = ax + b, o gráfico desta função é uma reta:
Nota:
11
"Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que anula a função, isto é, torna f(x) = 0."
O ponto onde o gráfico "corta" o eixo y será sempre (0, b), onde b é o coeficiente da função.
Análise dos gráficos
Gráfico 1: Gráfico de uma função crescente onde teremos o coeficiente a > 0.

Gráfico 2: Gráfico de uma função decrescente onde teremos o coeficiente a < 0.
Exemplo1:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 9:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e liga-los com o auxílio de uma régua. (Ou ainda,
podemos observar que precisamos obter a raiz da função e o coeficiente b
Raiz:
3x − 9 = 0 ⇒ 3x = 9 ⇒ x =
9
⇒x=3
3
Logo, já sabemos que o ponto (3, 0) é o ponto de intersecção do gráfico com o eixo x.
Coeficiente b:
Da lei de formação da função ⇒ b = -9
Logo, sabemos que o ponto (0, -9), nos dará a intersecção do gráfico com o eixo y.
Gráfico:
Exemplo 2:
Vamos construir o gráfico da função y = -2x + 4:
Analogamente ao exemplo 1, obteremos a raiz da função e seu coeficiente b.
Raiz:
-2x + 4 = 0 ⇒ -2x = - 4 ⇒ x = 2
Coeficiente b:
Da lei de formação ⇒ b = 4
12
Sinal da função do 1º Grau
Estudar o sinal de uma função qualquer é determinar para quais valores de x a função é positiva, ou seja, y > 0;
para quais valores de x a função é zero, ou seja, y = 0; e, para quais valores de x a função é negativa, ou seja,
y < 0.
Considere a função f(x) = ax + b, ou seja, y = ax + b; vamos estudar o sinal da função.
b
Vimos que a função se anula para x = − , há dois casos a considerar .
a
1o Caso) a > 0 ⇒ Função Crescente
y
+
_
y<0


−
y>0
b
a
x
b
a
b
y<0⇒x< −
a
y>0⇒x> −
2o Caso) a < 0 ⇒ Função Decrescente
13
b
a
b
y<0⇒x> −
a
y>0⇒x< −


FUNÇÃO DO 2º GRAU
Introdução
Uma empresa de táxis fez uma análise de custos operacionais e chegou à seguinte conclusão:
Para cada automóvel, ela tem:
a) um ganho fixo de R$ 8,00 na bandeirada.
b) um ganho calculado como o quadrado da distância percorrida (em km).
c) uma despesa de R$ 6,00 por quilômetro rodado, relativa a combustível, manutenção, taxas e impostos,
salários, etc.
1) Vamos escrever a função que relaciona o lucro dessa empresa com a distância percorrida, para cada
automóvel. Chamemos de x a distância percorrida e de y o lucro total da empresa para cada automóvel:
y = 8 + x2 - 6x ⇒ y = x2 -6x + 8
2) Analisando essa função, descobriu-se que, dependendo da distância percorrida, o táxi poderia dar lucro ou
prejuízo, observe a tabela abaixo:
Tabela
x
0
1
2
3
4
5
6
y
8
3
0
-1
0
3
8
Notas:
Observe que quando o táxi percorre 2km e 4km, não há prejuízo e nem lucro.
Se o táxi percorre 3km, há um prejuízo de R$1,00.
Os maiores lucros, de acordo com os dados da tabela, são obtidos se o táxi não andar (em caso de o passageiro
só pagar a bandeirada), ou se o táxi percorrer 6km.
3) Para uma melhor visualização do lucro da empresa variando de acordo com a distância percorrida foi feito o
gráfico abaixo representando a distância percorrida no eixo x (em km) e no eixo y o lucro obtido (em reais).
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
Notas:
De acordo com o gráfico podemos observar que:
Para distâncias percorridas menores que 2km ou maiores que 4km o táxi dá realmente lucro:
x < 2 ou x > 4
Para distâncias percorridas entre 2km e 4km o táxi dá prejuízo:
2<x<4
Se o táxi percorrer 2km ou 4km o táxi não dará nem lucro nem prejuízo:
x = 2km ou x = 4km
A função representada pelo gráfico é uma função do 2º grau e o gráfico ilustrado é uma parábola.
Definição
denomina-se função do 2º grau ou função quadrática".
Gráfico da Função do 2º Grau
Para toda função do 2º grau temos o gráfico sendo uma parábola, assim como na função do 1º grau. Entretanto
aqui, os pontos mais importantes serão:
⇒ intersecção com o eixo y: (0; c) o coeficiente c nos "diz" onde o gráfico "corta" o eixo y.
⇒ zeros (ou raízes) da função: (x1; 0) e (x2; 0) onde o gráfico se intercepta o eixo x; para a obtenção das
raízes da função devemos resolver uma equação do 2º grau obtida através da própria função.
⇒ vértice da parábola: (xv, yv) são os pontos de máximo ou de mínimo da função.
15
Vértice da Parábola
Para o cálculo das coordenadas do vértice da parábola utilizaremos as fórmulas a seguir: V(xv , yv)
xv =
−b
2a
yv =
−Δ
4a
Em geral, a parábola poderá estar em posições distintas no que se refere aos eixos coordenados, observe a
tabela a seguir:
∆>0
∆=0
∆<0
a>0
a<0
Observações:
De acordo com o coeficiente a e o discriminante ∆ numa função do 2º grau, podemos tirar algumas conclusões
a respeito da posição da parábola:
A parábola poderá ter a concavidade voltada para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0).
O gráfico poderá interceptar o eixo x em dois pontos (∆ > 0 - duas raízes distintas), ou em um único ponto (∆
= 0 - uma única raiz) ou ainda não interceptar o eixo x (∆ > 0 - a função não possui raízes reais).
Exemplo 1:
Façamos o esboço do gráfico da função y = 2x2 - 5x + 2:
16
Características:
⇒ concavidade voltada para cima: a = 2 > 0
⇒ zeros (ou raízes): 2x2 - 5x + 2 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
1
x1 =
ou x2 = 2
2
 b Δ  5 −9
,−
⇒ vértice da parábola V =  −
= ,

 2a 4a   4 8 
⇒ intersecção com o eixo y: (0, c) = (0, 2)
Gráfico:
Exemplo 2:
Façamos agora, o esboço do gráfico da função y = x2 - 2x + 1:
Características:
⇒ concavidade voltada para cima: a = 1 > 0
⇒ zeros (ou raízes): x2 - 2x + 1 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
x1 = x2 = 1 (raiz dupla)
 b Δ
,  = (1,0)
⇒ vértice da parábola : V =  −
 2a 4a 
⇒ intersecçã o como eixo y : (0, c) = (0,1)
Gráfico:
Exemplo 3:
Façamos por fim, o esboço do gráfico da função y = -x2 - x - 3:
17
Características:
⇒ concavidade voltada para baixo: a = −1 < 0
⇒ zeros (ou raízes): x2 − 2x + 1 = 0
não existe x ∈ IR, pois ∆ < 0
Δ   1
11 
 b
⇒ vértice da parábola : V =  , = - , 
2a
4a
2
4

 
⇒ intersecçã o como eixo y : (0, c) = (0,- 3)
Gráfico:
Sinal da Função Quadrática
Considere a função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c, vamos determinar para quais valores de x temos a função
positiva (y > 0), função negativa (y < 0) ou a função nula (y = 0).
Na tabela a seguir temos as posições relativas e os sinais de acordo com os eixos coordenados, o
discriminante (D) e o coeficiente a.
18
∆>0
a>0
+
_
∆=0
+ +
+
_
a<0
_
+
∆<0
_
+
+
_
_
+
_
_
Exercícios Resolvidos
R1) Estude o sinal das funções abaixo:
a) y = x2 - 3x - 10.
b) y = -x2 + 6x - 9
c) y = x2 + 7x + 13
Resolução:
a)
1º) Raízes: x2 - 3x - 10 = 0 ⇒ x1 = -2 ou x2 = 5
2º) Esboço:
3º) Estudo do Sinal:
y > 0 ⇒ x < -2 ou x > 5
y = 0 ⇒ x = - 2 ou x = 5
y < 0 ⇒ -2 < x < 5
19
b)
1º) Raízes: -x2 + 6x - 9 = 0 ⇒ x1 = x2 = 3
2º) Esboço:
y > 0 ⇒ não existe x ∈ IR
y=0⇒x=3
y < 0 ⇒ x < 3 ou x > 3
c)
1º) Raízes: x2 + 7x + 13 = 0 ⇒ ∆ < 0 (não existe x real)
2º) Esboço:
y > 0 ⇒ ∀ x ∈ IR
y = 0 ⇒ não existe x real
y < 0 ⇒ não existe x ∈ IR
Exercícios para resolver
Gabarito: no final da Coletânea de exercícios
01) Se f(x) = 2x3 – 1, então f(0) + f(-1) + f(1/2) é igual a:
a) –3/4
b) –15/4
c) –19/4
d) –17/4 e) –13/4
02) As funções f e g são dadas por f(x) = 3x/5 – 1 e 4x/3 + a. Sabe- se que f(0) – g(0) = 1/3. O valor de f(3) –
3g(1/5) é:
a) 0
b) 1
c) 2
20
d) 3
e) 4
03) Considere a função f: IR → IR, tal que.
Determine o valor de f(9) – f(1).
04) Uma função f é definida em A e tem imagem em B. Sabe-se que o conjunto A tem 2k – 2 elementos, e
o conjunto B tem k + 3 elementos. Se f é injetora, então:
a) 1 < k ≤ 5
b) 5 < k ≤ 7
c) 7 < k ≤ 8
d) 8 < k < 10
e) k ≥ 10
05) O ponto A(1,3) pertence ao gráfico da função f(x) = 2x + b. Sabendo-se que g(x) = x2 – 1, o valor de
f(g(0)) é:
a) –2
b) –1
c) 0
2
d) 1
e) 2
vale:
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
07) Determine a inversa da função f: IR→IR definida por f(x) = 5x + 3.
08) Uma função real f do 1° grau é tal que f(0) = 1 + f(1) e f(-1) = 2 – f(0). Então, f(3) é igual a:
a) –3
b) –5/2
c) –1
d) 0
e) 7/2
09) Os pontos (1, 6) e (1/3, -2) pertencem ao gráfico da função f(x) = ax2 + c, a ≠ 0. Então, a razão a/c, c ≠
0, vale:
a) –4
b) –3
c) –2
d) 1
e)2
10) É dada a função f(x) = a.3bx , em que a e b são constantes. Sabendo que f(0)=5 e f(1)= 45, obtemos
para f(1/2) o valor:
a) 0
b) 9
c) 15
d) 15
e) 40
11) Calcular o valor de f(-1), sabendo-se que f(2x –1) = 3 – x.
a) 0
b) 3
c) 2
d) 1
e) 7
12) Qual é o domínio mais amplo da função:
a) x ≠ 1/2
b) x > 1/2
c) x < 1/2
21
d) x = 1
e) n.d.a.
13) Resolva em IR o sistema de inequações:
2x – 10 < 0
–3x +16 ≤ 0
a) 2 < x < 5
b) 2 ≤ x < 5
c) x < 2
d) x > 5
e) x = 3
14) A função f do 1° grau é definida por f(x) = 3x + k. O valor de k para que o gráfico de f corte o eixo das
ordenadas no ponto de ordenada 5 é:
a) 1;
b) 2;
c) 3;
d) 4;
e) 5.
15) O número de soluções inteiras do sistema:
2x – 2
0 < ––––––– ≤ 2 é:
3
a) 0;
b) 1;
c) 2;
d) 3;
e) 4.
16) Em IN, o produto das soluções da inequação 2x – 3 ≤ 3 é:
a) maior que 8;
b) 6;
c) 2;
d) 1;
e) 0.
17) O menor inteiro positivo n tal que 3n ≥ 1/2 (n + 31) é:
a) 5;
b) 6;
c) 7;
d) 8;
e) 9.
18) A solução do sistema 3x + 2 < 7 – 2x 48x < 3x + 10 11– 2 (x– 3) > 1 – 3 (x – 5) é o conjunto de todos os
números reais x, tais que:
a) –1 < x < 0
b) –1 < x < 1
c) –1 < x < 2/9(Solução)
d) –1 < x < 1/3
e) –1 < x < 4/9
19) Para que valores de x teremos 1 – x2 < 0 ?
a) x > -1 ou x < 1
b) x < -1
c) x > 1
d) x < -1 ou x > 1
e) x < 0
20) Resolva em IR o sistema de inequações
22
a)
b)
c)
d)
e)
x < -1 ou x > 3
x > -1
x<3
x ≤ –1 ou x > 3
n.d.a.
21) Em IR, o domínio mais amplo possível da função f, dada por
a)
b)
c)
d)
e)
[0,9]
]0,3[
[-3,3[
]-9,9[
]-9,0[
22) Determine o conjunto-solução da inequação
x–1
––––––––––– ≤ 0
x2 – 5x + 6
a)
b)
c)
d)
d)
x ≤ 1 ou 2 < x < 3
x≤1
x<3
x < 1 ou 2 < x < 3
x ≤ 1 ou 2 < x ≤ 3
23) Determine o conjunto imagem da função f(x) = x2 – 2x – 3.
a) x < -4
b) x > -4
c) x = -4
d) x ≥ -4
e) x ≠ -4
24) Determine os valores de k reais, tal que f(x)=kx2 +2(k+1)x–(k+1) seja estritamente negativo para todo
valor real de x.
a) –1 < k < -1/2
b) k < -1/2
c) k > -1
d) –1 < k ≤ -1/2
e) k = -1
25) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por l(x) = 100(10 – x).(x – 4). O lucro
máximo por dia, é obtido com a venda de:
a) 7 peças;
b) 10 peças;
c) 14 peças;
d) 50 peças;
GABARITO
01 - C
06 - D
11 - B
16 - E
02 - E
07 12 - B
17 - C
03 - 12
08 - B
04 - A
09 - B
05 - B
10 - D
13 - B
18 - C
14 - E
19 - D
15 - D
20 - D
23
21 - C
22 - A
23 - D
24 - A
25 - A
PROBABILIDADE
Em um jogo, dois dados são lançados simultaneamente, somando-se, em seguida, os pontos obtidos na face
superior de cada um deles. Ganha quem acertar a soma desses pontos.
Antes de apostar, vamos analisar todos os possíveis resultados que podem ocorrer em cada soma. Indicando os
números da face superior dos dados pelo par ordenado (a, b), onde a é o número do primeiro dado e b o número
do segundo, temos as seguintes situações possíveis:
a + b = 2, no caso (1, 1);
a + b = 3, nos casos (1, 2) e (2, 1);
a + b = 4, nos casos (1, 3), (2, 2) e (3,1);
a + b = 5, nos casos (1,4), (2,3), (3, 2) e (4, 1)
a + b = 6, nos casos (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2) e (5, 1);
a + b = 7, nos casos (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4,3), (5, 2) e (6, 1);
a + b = 8, nos casos (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) e (6, 2);
a + b = 9, nos casos (3, 6), (4, 5), (5, 4) e (6,3);
a + b = 10, nos casos (4, 6), (5, 5) e (6, 4);
a + b = 11, nos casos (5, 6) e (6,5);
a + b = 12, no caso (6, 6).
É evidente que, antes de lançar os dois dados, não podemos prever o resultado "soma dos pontos obtidos";
porém, nossa chance de vencer será maior se apostarmos em a + b = 7, pois essa soma pode ocorre de seis
maneiras diferentes.
Situações como essa, onde podemos estimar as chances de ocorrer um determinado evento, são estudas pela
teoria das probabilidades. Essa teoria, criada a partir dos "jogos de azar", é hoje um instrumento muito valioso e
utilizado por profissionais de diversas áreas, tais como economistas, administradores e biólogos.
Espaço Amostral
Um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nas mesmas condições, é chamado
experimento aleatório.
Chamamos Espaço Amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer.
No exemplo acima temos, como espaço amostral 36 possibilidades, para a ocorrência de quaisquer eventos.
No exemplo de uma moeda lançando-se para cima, a leitura da face superior pode apresentar o resultado "cara"
(K) ou "coroa" (C). Trata-se de um experimento aleatório, tendo cada resultado a mesma chance de ocorrer.
Neste caso, indicando o espaço amostral por S1 e por n(S1) o número de seus elementos, temos: S1 = {K, C}
e
n(S1) = 2
Se a moeda fosse lançada duas vezes, teríamos os seguintes resultados: (K, K), (K, C), (C, K), (C, C).
Neste caso, indicando o espaço amostral por S2 e por n(S2) o número de seus elementos, temos: S2 = {(K, K),
(K, C), (C, K), (C, C)} e n(S2) = 4
Eventos
Chama-se evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Considerando o lançamento de um dado e a
24
E = {0} ⇒ n(E) = 1
P(E) =
n(E)
1
=
n(S) 5
Resposta: 20% ou
1
5
Probabilidade da União de dois Eventos
Consideremos dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral S.
Da teoria dos conjuntos temos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
Dividindo os dois membros dessa igualdade por n(S), temos: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades desses eventos, menos a
probabilidade da intersecção de A com B."
Observação: se A e B forem disjuntos, isto é: se A ∩ B = Æ, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Neste caso, ainda, os eventos são ditos Eventos Independentes.
Exercício Resolvido
No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar?
Resolução:
Espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6
evento "número 3" é: A = {3}e n(A) = 1
evento "número ímpar" é: B = {1,3,5} e n(B) = 3
A ∩ B = {3} ∩ {1,3,5} = {3}, então n(A∩B) = 1
Logo:
P(A ∪ B) = 1/6 + 3/6 - 1/6 = ½
Resposta: 50% ou ½
25

Matemática-Caderno 2 - Apostilas Para Concursos Públicos

Transcrição

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