Curvas de Lissajous - Pavilhão do Conhecimento
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Curvas de Lissajous - Pavilhão do Conhecimento
ACTIVIDADE: “Curvas de Lissajous” Actividade desenvolvida pela Escola Secundária Padre Alberto Neto. ENQUADRAMENTO CURRICULAR: Alunos do Secundário Conteúdo Específico: Funções Trigonométricas DESCRIÇÃO: As actividades foram realizadas a pares e depois de ter sido dado o conteúdo das funções trigonométricas. Foram ocupadas duas aulas de 90 minutos. MATERIAIS: Calculadora Gráfica; Módulo F8 da exposição “Matemática Conhecimento – Ciência Viva; Ficha de Trabalho. Viva” no Pavilhão do SUGESTÕES: A sequência de actividades visou preparar os alunos para uma melhor compreensão da actividade desenvolvida com o módulo F8. No entanto, creio que é possível juntar as actividades 3 e 4 usando o módulo F8 e a calculadora. Esta opção implica maior tempo de utilização do módulo; Creio que também se poderá iniciar a abordagem pela utilização do módulo F8 e posteriormente orientar os alunos numa pesquisa que vise a compreensão de Lissajous. Esta estratégia implicará, pelo menos, mais uma visita no final do estudo; Será enriquecedor das aprendizagens a colaboração com a disciplina de Física e Química A ou B. PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA FICHA DE TRABALHO – ACTIVIDADE 1 Nome: __________________________________________________ Data: __________ “Introdução às curvas paramétricas” 1.1. Curvas Paramétricas definidas através de funções polinomiais de t Imagina que uma partícula P se move ao longo P y de uma recta, tal como ilustra a figura, e que essa recta tem de equação y=x, ou seja, os seus x pontos têm abcissa e ordenada iguais. Supõe que tanto x como y eram definidos por uma função de t (chamado parâmetro), ou seja, x=f(t) ^ y=g(t). Neste caso podias escrever x=t ∧ y=t com t∈IR (equações paramétricas desta recta) tendo cada ponto P da recta coordenadas (x,y)=(t,t) para um dado valor real de t. g(b) y Geralmente, considera-se uma curva fechada, ou seja, a ≤ t ≤ b tendo a curva um ponto inicial A P A (f(a),g(a)) e um ponto final B (f(b),g(b)). Por exemplo, sendo x=2t ∧ y=t com 1≤ ≤ t ≤ 3. t x=2t y=t (x,y) y 1 2 1 (2,1) 3 2 4 2 (4,2) 1 3 6 3 (6,3) 2 PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA 6 x B x f(b) Para representar esta curva paramétrica na calculadora gráfica, selecciona MODE PAR e define as funções em Y=. Para visualizar o gráfico define a janela adequada onde registas os limites de variação para t, x e y (Neste exemplo, usa para t, 1≤ t ≤ 3, para x, por exemplo [0,7] e para y, [0,4]). 1ªActividade Voltando à recta y=x, é possível defini-la parametricamente de outras formas como, por exemplo, x=t3 ∧ y=t3 ou x=5t ∧ y=5t ou x=t5 ∧ y=t5. Mas, será possível defini-la por x=t2 ∧ y=t2? Porquê? Que característica devem ter as funções de t para que as possamos utilizar para definir parametricamente a recta y=x? 2ªActividade Considera as rectas r: y=2x, s: y=-3x e p: y=2x-1. Indica equações paramétricas para estas rectas. 3ªActividade Considera as equações paramétricas x=t2 ∧ y=t com -3 ≤ t ≤ 3. y 1. Sem recorreres à calculadora, tenta 3 prever a curva que representam e 1 justifica. 2 2. A curva representa uma função? Porquê? PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA 8 x 4ªActividade Observa os segmentos de recta representados e define-os parametricamente. y y 3 3 1 1 6 x 2 2 6 x 1.2. Curvas paramétricas definidas através de funções trigonométricas de t Em cada uma das seguintes actividades, esboça a curva definida parametricamente, sem recorreres à calculadora gráfica. Une os pontos por ordem crescente dos valores de t. 1ªActividade x=cos(t) ∧ y=sen(t ) com 0 ≤ t ≤ 2π t π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 4π/3 3π/2 x y y 1 x PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA 2π 2ªActividade x=sen(t) ∧ y=sen(2t ) com 0 ≤ t ≤ 2π t 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 π 5π/4 4π/3 3π/2 7π/4 x y y 1 x 3ªActividade x=sen(t) ∧ y=sen(t+π/3 ) com 0 ≤ t ≤ 2π t π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 x y y 1 x PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA 5π/3 2π 2π FICHA DE TRABALHO – ACTIVIDADE 2 Nome: __________________________________________________ Data: __________ “Introdução às curvas paramétricas” Introdução às Curvas de Lissajous 1ª Actividade – Curvas paramétricas em que o argumento difere de um ‘ângulo de fase’. Preenche a tabela seguinte e diz como caracterizas as curvas de equação x=sin(t) ^ y=sin(t+ π /c) com 0 ≤ t ≤ 2π. Identifica duas situações em que obtenhas uma circunferência. Justifica porque é que a curva obtida é uma circunferência. (Calculadora Gráfica: Com t∈[0,2π], passo de t igual a π/24, x∈[0,2π] e y∈[-2,2]) para obter as curvas paramétricas definidas a seguir e preenche as tabelas.) Equações paramétricas C1 Esboço da Curva Observações x= sin(t) ∧ y= sin(t) C2 x=sin(t) ∧ y= sin(t+π/12) C3 x=sin(t) ∧ y= sin(t+π/4) C4 x=sin(t) ∧ y= sin(t+π/3) PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA Equações paramétricas C5 x=sin(t) ∧ y= sin(t+π/2) C6 x=sin(t) ∧ y= sin(t+3π/4) C7 x=sin(t) ∧ y= sin(t+π) Esboço da Curva Observações 2ªActividade – Curvas paramétricas definidas por funções trigonométricas com períodos diferentes. (Calculadora Gráfica) Observações (por ex, Equações paramétricas Esboço da Curva razão entre o período e a frequência) C1 x= sin(t) ∧ y= sin(2t) C2 x=sin(t) ∧ y= sin(3t) C3 x=sin(t) ∧ y= sin(4t) PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA Observações (por ex, Equações paramétricas Esboço da Curva razão entre o período e a frequência) C4 x= sin(t) ∧ y= sin(1,5t) C5 x=sin(2t) ∧ y= sin(t) C6 x=sin(2t) ∧ y= sin(3t) Como caracterizas as curvas de equação x=sin(t) ∧ y= sin(nt) com 0≤t ≤2π? (Sugestão: Identifica, por exemplo, a diferença entre curvas obtidas para n par e n ímpar.) Que relação existe, para cada curva, entre o período e a frequência das funções x(t) e y(t)? PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA FICHA DE TRABALHO – ACTIVIDADE 3 Nome: __________________________________________________ Data: __________ “Introdução às curvas paramétricas” As Curvas de Lissajous e a Música CURVAS DE LISSAJOUS Curvas de Lissajous são curvas paramétricas definidas por x=a sin(nt+c) ∧ y=b sin(t). São assim denominadas pois foram descobertas em 1857 por Jules Antoine Lissajous, físico francês. As curvas de Lissajous foram usadas durante muito tempo para determinar a frequência dos sons de sinais de rádio. O som é resultado de uma vibração. O sinal sonoro é uma onda longitudinal. Cada onda sonora tem uma frequência que corresponde ao número de vibrações por segundo. A frequência de um sinal pode ser medida, através de um osciloscópio, aplicando cada sinal em cada uma das entradas X e Y e por dois processos: - A partir do período do sinal usando a fórmula F(Hertz)=1/T(seg). - A partir da comparação entre uma frequência de valor conhecido e a que desejamos conhecer. 1ªActividade Na figura seguinte tens curvas de Lissajous em que os sinais estão desfasados respectivamente: π/2, 5π/6 e π. Define-as parametricamente. PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA 2ªactividade Observa na tabela seguinte a frequência correspondente a cada uma das várias notas musicais: dó, dó# , ré, ré# , mi, fá, fá# , sol, sol# , lá, lá# , si e si# . NOTAS MUSICAIS - FREQUÊNCIAS 1. Tendo em conta a tabela seguinte, compara as frequências de várias notas e tenta identificar qual a curva de Lissajous que obterias num osciloscópio. (Usa a calculadora gráfica para confirmar.) Regista na segunda tabela. Nota dó Freq. 130,81 Desig F1 Razão dó# 138,59 ré 146,83 F2 F3 F2/F1 ré# 155,56 F4 F8/F1 mi 164,81 F5 fá 174,61 F6 F13/F1 fá# 185,00 F7 sol sol# 196,00 207,65 F8 F9 F14/F2 lá 220,00 F10 F20/F1 lá# si dó 223,08 246,94 261,63 F12 F13 F11 F25/F1 entre frequências Curva De Lissajous 2. Imagina duas funções trigonométricas f e g tais que a frequência da primeira é r vezes superior à da segunda. Que relação existe entre os períodos respectivos? 3. Supondo que g(x)= sen(x), indica uma expressão analítica que pode ter a função f? PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA FICHA DE TRABALHO – ACTIVIDADE 4 Nome: __________________________________________________ Data: __________ “Introdução às curvas paramétricas” Utilização do módulo F8 1. CURVAS DE LISSAJOUS 1.1. Utiliza as curvas de Lissajous para comparar a frequência de duas notas consecutivas da escala dodecafónica. O que concluis? 1.2. Identifica duas notas tais que uma tenha o dobro da frequência da outra. Qual a respectiva curva de Lissajous? E se uma tiver metade da frequência da outra, qual a relação com a curva anterior? 1.3. Compara a frequência da nota dó com a nota dó de duas oitavas acima. Qual a razão entre as frequências? Qual a curva de Lissajous que obtiveste? 1.4. Se comparares a nota dó com a nota sol de uma oitava acima obténs uma curva que te permite comparar as frequências. Qual a razão entre as frequências? 2. ÂNGULO DE FASE No 1º écran, em baixo, podes alterar o ângulo de fase utilizando o rato do computador. Quando o fazes variar entre 0 e 90ºque curvas obténs? E entre -90ºe 0º? Porquê? PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA 3. MODELO Selecciona uma nota e observa o gráfico correspondente. A sua configuração sugere para modelo da situação uma função do tipo y = A sen [B (t − C)] em que y representa a intensidade do som em função do tempo t. 3.1. Faz um esboço do gráfico. 3.2. O que significa o parâmetro B? Determina o seu valor. 3.3. A amplitude de uma onda sonora, representada no modelo acima pelo parâmetro A, aumenta com a intensidade do som. Determina o valor de A. 3.4. Qual o efeito de C no gráfico? Determina um valor para este parâmetro. 3.5. Escreve a expressão do modelo que define a nota escolhida. PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA