Cap. 1. Tensores cartesianos, cálculo tensorial, aplicação aos

Cap. 1. Tensores cartesianos, cálculo tensorial,
aplicação aos momentos de inércia
1. Quantidades físicas
1.1 Tipos das quantidades físicas
1.2 Descrição matemática dos tensores
1.3 Definição dos tensores
2. Álgebra tensorial
3. Tensores cartesianos em 2D simétricos
3.1 Derivação da lei de transformação para vectores
3.2 Lei de transformação para tensores de segunda ordem
3.3 Valores próprios
3.4 Circunferência de Mohr
3.4.1 Convenções e consequências
3.4.2 Determinação dos valores e das direcções principais
3.4.3 Determinação das componentes para uma rotação arbitrária
3.4.4 Determinação do referencial ligado a componentes especificadas
3.5 Verificações dos valores principais
3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3 direcções
4. Tensores cartesianos em 3D simétricos
4.1 Valores e vectores próprios ou valores e direcções principais
4.2 Determinação e propriedades
4.3 Casos particulares
4.4 Valores extremos fora de diagonal
4.5 O tensor de inércia
5. Análise tensorial
1. Quantidades físicas
1.1 Tipos das quantidades físicas
Escalares
Vectores
Tensores de segunda ordem
...
Tensores de ordem zero
Tensores de primeira ordem
Tensores de segunda ordem
...
Escalares
1 dado é suficiente para a descrição completa
Exemplos: temperatura, massa, densidade, tempo
Vectores
É preciso 3 dados para a descrição completa
Exemplos: força, deslocamento, velocidade, aceleração
Representação geométrica
Sentido
Ponto de aplicação

F
O vector é plenamente
determinado
quando sabemos:
direcção
intensidade
Intensidade
sentido
Direcção
Neste caso falou-se de um vector livre, ou seja de um vector no sentido matemático
Da disciplina Estática já sabemos que de acordo com a aplicação particular
é preciso distinguir vectores de 3 tipos
Livre (exemplo: vector associado a um binário)
Deslizante ou seja fixo à sua linha de acção (exemplo: força na mecânica dos corpos rígidos)
Fixo ou seja fixo ao ponto de aplicação (exemplo: força na mecânica dos corpos deformáveis)
Tensores de segunda ordem
É preciso 9 dados para a descrição completa
Exemplo: tensão, deformação, tensor de momentos de inércia
O tensor de segunda ordem é plenamente determinado no ponto P
quando sabemos 3 vectores de pontos de aplicação P, actuantes
Em 3 planos diferentes, não paralelos, que se intersectam no P
Tensores de quarta ordem
Exemplo: tensor de rigidez e de flexibilidade
Representação geométrica dos tensores ...
mais tarde de acordo com o significado físico
1.2 Descrição matemática dos tensores
A descrição matemática dos tensores baseia-se em componentes
Para poder definir as componentes, é preciso definir o espaço e o referencial
Espaço
Espaço de Euclid: 1D, 2D, 3D
Também chamado espaço cartesiano
1D – espaço dos números reais
mD – espaço de combinações de m
números reais
Euclid (ca. 325-ca. 270 BC)
Número de componentes necessárias para a descrição completa dos tensores:
3n em 3D
2n em 2D
onde n corresponde à ordem do tensor
Sistema de coordenadas ou referencial
Referencial cartesiano:
Três eixos rectos mutuamente perpendiculares
É preciso introduzir para poder efectuar representações geométricas
É definido pela origem 0 e pelos vectores base
Vectores base têm a norma unitária



i  j  k 1

k
Permutação positiva
x
x
y
 0
i
z

j
y
René Descartes (1596-1650)
z
Nas nossas aplicações sempre directo
Verificação de acordo com a regra da mão direita
Dedos de x para y
Polegar mostra orientação positiva de z
Dedos de y para z
Polegar mostra orientação positiva de x
Dedos de z para x
Polegar mostra orientação positiva de y
Vectores
Vector

F
tem componentes
Representação matemática
Representação geométrica
matricial
z
x

k
0
Fx 
i
Fz

j
Fx , Fy , Fz

F
Fy
y
Fx 
 
F  Fy   Fx , Fy , Fz T
F 
 z
vectorial

F  (Fx , Fy , Fz )



   



F  Fx  Fy  Fz  Fx i  Fy j  Fz k  F1e1  F2 e 2  F3 e3
 
  
   
i  e x  e1 j  e y  e 2 k  e z  e3
Tensores de segunda ordem
Representação matemática das componentes na forma matricial
2D
Txx
T  
Tyx
Txy   Tx


Tyy  Tyx
Txy   T11 T12 


Ty  T21 T22 
1 x
2y
3z
3D
Txx

T  Tyx
Tzx

Txy
Tyy
Tzy
Txz   Tx
 
Tyz   Tyx
Tzz  Tzx
Txy
Ty
Tzy
Representação geométrica mais tarde
Txz   T11 T12
 
Tyz   T21 T22
Tz  T31 T32
T13 
T23 
T33 
Para as quantidades físicas as componentes são números
e são relacionadas a uma dada posição (ponto)
Quando as quantidades físicas são “funções” de posição, chamamos-lhes
Campos físicos ; temos assim:
Campo escalar
Campo vectorial
Campo tensorial de segunda ordem
...
Exemplo: campo vectorial

Fx, y, z  tem as componentes
Fx x, y, z, Fy x, y, z, Fz x, y, z
1.3 Definição dos tensores
A quantidade física chama-se tensor quando as suas componentes obedecem
a lei de transformação. Esta lei descreve o cálculo das componentes no
referencial transformado
Tensores cartesianos
Tensores cartesianos são tensores definidos no referencial cartesiano,
consequentemente a lei de transformação é especificada apenas no
referencial cartesiano e representa uma rotação do referencial
2. Álgebra tensorial
Até tensores de segunda ordem coincide com o cálculo matricial e vectorial
Tensores cartesianos de segunda ordem
Tensor simétrico
Tensor antisimétrico
Tij  Tji
Tij  Tji  Tii  0
A propriedade mantém-se, qualquer que seja o referencial
Cada tensor pode ser escrito como a soma
da sua parte simétrica e antissimétrica
T  S A
Sij  Tij  Tji / 2
Aij  Tij  Tji / 2
Cada tensor pode ser escrito como a soma da sua parte esférica
(isotrópica, volúmica) e desviatórica (tangencial); usa-se para tensores simétricos
T  Tm I D
Valor médio
Dij  Tij i  j
Dii  Tii  Tm
Tm  Tx  Ty  Tz / 3 em 3D Tm  Tx  Ty / 2 em 2D
3. Tensores cartesianos em 2D simétricos
3.1 Derivação da lei de transformação para vectores
Introduz-se a rotação do referencial 0xy para 0x’y’
e calculam-se as componentes no referencial rodado
y
y


Fy

F
Fx

Fy
0
Fx  Fx  Fx cos  Fy sin 
x

Fy  Fy  Fy cos   Fx sin 
x
Fx
Matriz de transformação ou de rotação
 cos  sin  
R   


sin

cos



Fx   cos  sin   Fx 
 
   

Fy   sin  cos   Fy 
R ij  cos(xi , x j )
linha
coluna
F  R  F
y
y


j
x

i

x
Componentes dos vectores base do novo
referencial, ou seja os cosenos directores
dos versores dos eixos rodados
formam as linhas da matriz  R 
0
 R
é matriz ortogonal
Algumas propriedades da matriz ortogonal
 R :
det  R  1
 R
1
  R
T
Quando a rotação se efectua do referencial direito para o direito
o determinante é positivo det  R  1
Outras propriedades das matrizes ortogonais:
Produto interno das linhas ou colunas iguais (diferentes) equivale a 1 (0)
3.2 Lei de transformação para tensores de segunda ordem
T  R  T R T
T  R T  T  R 
A prova será dada no Cap. Tensão para se poder usufruir o significado físico
Nota:
Tensores de ordem maior
É preciso usar designação indicial que não será dada
Voltando aos tensores de segunda ordem e desenvolvendo as multiplicações,
as componentes no referencial rodado escrevem-se:
Tx  Tx cos2   Ty sin 2   2Txy sin  cos 
Ty  Tx sin 2   Ty cos2   2Txy sin  cos 

  Tx  Ty sin  cos   Txy cos2   sin 2 
Txy

Usando funções trigonométricas de ângulos duplos, igualmente:
Tx 
Ty 
Tx  Ty
2
Tx  Ty
 
Txy


2
Tx  Ty
2
Tx  Ty
2
Tx  Ty
2
cos 2  Txy sin 2
cos 2  Txy sin 2
sin 2  Txy cos 2
Verifica-se, que existe uma rotação do referencial original de tal maneira que
os novos valores diagonais corresponderão ao máximo e ao mínimo de
todos os possíveis valores diagonais e que para esta rotação
a componente fora de diagonal anula-se
3.3 Valores próprios
O máximo e o mínimo dos valores diagonais chamam-se valores próprios
A resolução pode ser facilmente exprimida analiticamente e determinada
de três maneiras equivalentes:
1. Analogamente como em 3D (veja nos acetatos posteriores)
2. Encontrar o máximo e o mínimo dos valores diagonais
 0
3. Encontrar a rotação para a qual Txy
Usando o ponto 2:
 Tx  Ty Tx  Ty

Tx
 

cos 2  Txy sin 2  /   0   P

2
 2

Tx  Ty
2
 2 sin 2   Txy 2 cos 2  0
Igualmente para
Ty
 tg2P 
2Txy
Tx  Ty
Usando o ponto 3:
 
Txy
Tx  Ty
2
sin 2 P  Txy cos 2 P  0  tg2P 
Substituindo pelo
conclui-se, que:
 0
Txy
2Txy
Tx  Ty
 P nas equações das componentes rodadas,
Tmax  Tm  R
Tmin  Tm  R
 Tx  Ty 
  Txy2
R  
 2 
2
Depois de terminar os cálculos
é preciso decidir qual dos eixos rodados
corresponde ao eixo do máximo e
qual ao eixo mínimo.
Pode-se provar uma regras simples
desenhada na figura ao lado.
Os eixos do máximo e do mínimo
definem o referencial principal, e este
referencial tem que ser directo
y
min
Tmax
 0

0 
Tmin 
y max
x
x
y max
min
x
para Txy  0
Por convenção os valores
principais ordenam-se de acordo
com a sua grandeza, por isso o
valor do máximo está na matriz
de componentes na posição (1,1)
e o valor do mínimo na posição
(2,2). Isso implica que o eixo do
máximo é o “primeiro” eixo, tal
como por exemplo x, a o eixo do
mínimo é o “segundo” eixo tal
como por exemplo y.
3.4 Circunferência de Mohr
Pela substituição verifica-se facilmente:
Tx  Tm 
2
T  R
2
xy
2

Ty  Tm

2
 Txy2  R 2
Relações em cima são equações de uma circunferência
o que significa que
As componentes de um tensor, relacionadas a todas
as possíveis rotações do referencial original formam
uma circunferência
de centro
Tm ,0 e raio R quando Tx , Ty

eixo horizontal e Txy
desenham-se no
no eixo vertical
Cristian Otto Mohr (1835-1918)
Cada ponto tem apenas duas coordenadas, por isso a abcissa corresponde

a Tx ou Ty e a ordenada a Txy
Os valores principais visualizam-se no diâmetro principal, dado
que neste caso a componente fora da diagonal é igual a zero e
as componentes normais atingem o valor máximo e o mínimo;
este facto não está influenciado pelo referencial inicial
Tmax  Tmin
Tm 
2
Tmax  Tmin
R
2
Tmin
R
Tm
Tmax
3.4.1 Convenções e consequências
Assumindo que o referencial original é coincidente com o principal, ou seja que:
y
Tx  Tmax
Tx  Tm  R cos 2
y  min x 
Ty  Tmin
Ty  Tm  R cos 2

x  max
Txy  0
 x  Tx;  Txy 
e introduzindo a rotação
Tmin

Tm  R cos  2 
 y  Ty;Txy 
R sin  2 
R
2
Tmax
Tm
R
  R sin 2
Txy
negativo
 x    Tx
T
 xy
Tm  R cos  2 
Txy 
Ty   y  
A faceta e a normal à faceta
são mutuamente perpendiculares
A faceta corresponde a uma recta (“um corte”) onde “actuam” duas componentes
do tensor considerado: a componente normal (diagonal, que tem o mesmo índice
como a normal à faceta) e a componente tangencial (fora da diagonal, que tem
dois índices)
Cada ponto da circunferência
corresponde às componentes do
vector na faceta correspondente
Componente normal,
diagonal
Ty
T yx
y
Txy
Tx
x
Facetas negativas
Tx
Facetas positivas
Txy
T yx
Ty
Componente tangencial,
fora da diagonal
o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o 2 à direcção
Esta representação geométrica será igual para o tensor das tensões,
mas diferente para o tensor das deformações
Componentes tangenciais apontam para os quadrantes positivos
Define-se
Faceta (x): faceta cuja normal coincide com o eixo coordenado x
Faceta (y): faceta cuja normal coincide com o eixo coordenado y
As componentes do tensor visualizam-se nos pontos opostos do diâmetro.
A rotação na circunferência faz-se pelo dobro do ângulo de rotação dos eixos
-uma rotação de 90º faz-se na CM de 180º o que troca a posição (x) e (y)
-uma rotação de 180º faz-se na CM de 360º e não altera nada
consequentemente o sentido dos eixos nesta representação é indiferente
 x    Tx
A convenção dos sinais
T
 xy
Txy 
Ty   y  
Para se manter o mesmo sentido de rotação
-para ponto (x) ou (x’) a ordenada vertical tem sentido oposto (para baixo)
-para ponto (y) ou (y’) a ordenada vertical tem sentido habitual (para cima)
-as componentes normais desenham-se na convenção habitual
Convenção alternativa
x
y
y
x
y
x
x
y
Txy  0
Txy  0
Txy  0
Txy  0
acima
abaixo
horário,
negativo
anti-horário,
positivo
Orientação das componentes tangenciais
determina a posição do ponto na circunferência
de Mohr indiferentemente do referencial
3.4.2 Determinação dos valores e das direcções principais
 Tx
T   T
 xy
Txy 
Ty 
Tx  Ty
y
max
p
o referencial original
componentes positivas
y
min
x
Valores fora da diagonal, tangenciais
y
y 
x
Sentido de rotação
x
Txy  0
Ty
Tmax
Tm
0
Tmin
Valores diagonais, normais
Tx
 Ty / 2
2p
Txy
R
x
2p
Txy  0
p
T
x 
tg2p  
Justificação das fórmulas
2Txy
Tx  Ty
 Tx  Ty 
  Txy2
R  
 2 
2
Correspondência com a origem do referencial – O Pólo das normais
Valores fora da diagonal, tangenciais
y 
0
Valores diagonais, normais
Tm
 min 
 max 
y
max
p
0
x 
p
0
min
x
Propriedades das circunferências conhecidas do ensino secundário
Achar centro de uma circunferência
sabendo 3 pontos que pertencem
a esta circunferência



2
3.4.3 Determinação das componentes para uma rotação arbitrária
 Tx
T  
Txy
Txy 
Ty 
componentes positivas
Tx  Ty
y
Valores fora da diagonal, tangenciais

Tx
0

y 
Txy  0
Ty
0
Ty
Tx 0
x
 
Txy
Ty 
 0
Txy
2

 Tx
T  T   
Txy
x
Tm
y
x
x 
Valores diagonais, normais
Txy  0
3.4.4 Determinação do referencial ligado a componentes especificadas
 Tx
T  
Txy
Txy 
Ty 
componentes positivas
y
y
Tx  Ty
y 
x
x
Valores fora da diagonal, tangenciais
0
 y 
x
 y
 y 
Tm
0
Referenciais em que o
valor tangencial
corresponde a um valor
dado que é positivo
Valores diagonais, normais
 x 
 x
0
 x
3.4.5 Rotações de 45º a partir do referencial principal
Tmax
 0

min
0 
Tmin 
 Tm  R 
T     R T 
m 

x
max
x 
x
Tmin
Tm
x
Txy,max  R
Tmax
Tm R 
T    R T 
m

R = máximo da componente
fora da diagonal, neste caso as
componentes diagonais não se
anulam, ambas têm o valor Tm
min
max
3.5 Verificações dos valores principais
Depois da resolução dos valores principais convém verificar os invariantes
Invariantes
Escalares que não alteram o seu valor com a rotação do referencial
I1  traçoT
I 2  detT
I1 , I 2 são invariantes fundamentais,
também chamados invariante linear e quadrático
todos os outros invariantes podem-se exprimir em termos de
valores próprios são igualmente invariantes
Invariantes
Referencial original
traçoT
Tx  Ty
det T
Tx  Ty  Txy2
I1 , I 2
Referencial principal
Tmax  Tmin
Tmax  Tmin
3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3 direcções
Cada tensor tem 3 componentes, por isso cada 3 valores, mesmo de
referenciais diferentes, permitem sempre determinar as componentes.
O caso em baixo tem uma aplicação útil nas medições de deformações
e além disso permite uma resolução gráfica simples
Sabemos: Ta , Tb , Tc , incógnitas:
Tx , Ty , Txy
O referencial introduzido é arbitrário,
convém fazê-lo na forma mais vantajosa
Ta  Tx
x  Tb

x 
Tc
x
Ta


x
Tx  Tb  Ta cos2    Ty sin2    2Txy sin cos 
Tx  Tc  Ta cos2     Ty sin 2     2Txy sin   cos  
Resolver
Ty , Txy
a 
Resolução gráfica

a 
Tmin
b
Tc
c
2
Tmax
2    

c

2
arbitrário
auxiliar

Ta
Esboço dos eixos
na posição original
2
b 


Tb
180º   
Prova
A posição mais
vantajosa do ponto
auxiliar está na recta
que corresponde à
direcção que está
geometricamente no
meio das outras
a 
a 
0


Tb
Ta
Tc
c
b
0
Esboço dos eixos
na posição original
b 

c

arbitrário
auxiliar
180º   
4. Tensores cartesianos em 3D simétricos
4.1 Valores e vectores próprios ou valores e direcções principais
Definição matemática
T I v  0
(Eq. 1)
(Eq. 1) corresponde a 3 equações algébricas lineares homogéneas
A solução não trivial para {v} existe apenas quando
detT  I  0
Os números λ que asseguram a nulidade do determinante chamam-se
valores próprios ou principais
Substituindo valor próprio pelo λ, (Eq. 1) tornam-se linearmente dependentes
e por isso o número das soluções para componentes {v} é infinito
As soluções não triviais para {v} chamam-se
vectores ou direcções próprios ou principais
4.2 Determinação e propriedades
Valores principais
são reais (pode-se provar devido a simetria do tensor)
são 3, contudo podem ser múltiplos
calculam-se como raízes de equação característica


detT  I   3  I12  I 2 I3  0
3  I12  I2  I3  0
I1  3Tm  traçoT
  Tx
I 2  det 
 Txy

I3  detT 
  Ty
Txy  

 det 

 Tyz
Ty  

Tyz  
  Tx

 det 

Tz  
 Txz
Txz  


Tz  
I1 , I 2 , I3
são invariantes fundamentais,
também chamados invariante linear, quadrático e cúbico
todos os outros invariantes podem-se exprimir em termos de
valores próprios são igualmente invariantes
I1 , I 2 , I3
Cálculo das raízes da equação característica:
 2I13  9I1I 2  27 I3 
1
I1 2 2
2 


  arccos



I

3
I
cos


j

 , j  0,1,2
3/ 2
j1
1
2
2

3
3 3
3 

 2I1  3I 2 

Forma canónica da matriz de componentes
Valores próprios correspondem às componentes do tensor relacionadas
a um referencial, relativamente a qual todas as componentes fora de diagonal
se anulam e os valores próprios visualizam-se na diagonal
O máximo dos valores próprios é o máximo de todas as componentes
na diagonal, qualquer que seja o referencial
O mínimo dos valores próprios é o mínimo de todas as componentes
na diagonal, qualquer que seja o referencial
Direcções principais
A rotação do referencial ou seja o referencial novo mencionado acima
está definido pelos vectores próprios
Depois de calcular valores próprios, usa-se o sistema de equações (Eq. 1) com
cada um valor próprio substituído para calcular o vector próprio correspondente
Quando valores próprios são diferentes, a cada um correspondem
infinitas soluções do vector principal correspondente, que formam uma
única direcção no espaço. Assumindo o vector normalizado, existem apenas
duas soluções que diferem pelo sentido.
Pode-se dizer que existem apenas 3 vectores próprios normalizados,
unicamente definidos excepto do sentido, mutuamente perpendiculares.
Estes vectores definem o novo referencial, relativamente a qual
a matriz de componentes é diagonal, ou seja relativamente a qual
as componentes do tensor são valores próprios
A solução é única, por isso encontrando a matriz de coeficientes diagonal,
pode-se concluir que o referencial é formado pelos vectores próprios e que
os valores na diagonal são principais, um deles máximo e um deles mínimo
A matriz de transformação de base [B] tem colunas formadas pelos
vectores próprios normalizados, ou seja a matriz de transformação
[R] tem linhas formadas pelos vectores próprios normalizados,
para assegurar que o referencial novo será direito, é preciso ter o det([B])=1
4.3 Casos particulares
1   2   3
Valor duplo
No caso particular da figura ao lado, vectores (2)
e (3) não são unicamente definidos. Todos os
vectores que satisfazem a Eq. (1) com o valor
λ2= λ3 substituído, formam um plano, cuja
normal coincide com a direcção (1)
1
3
1   2   3
2
Valor triplo
1   2   3

qualquer direcção é principal, a matriz de componentes
inicial já é diagonal com valores iguais
Simplificação para o caso 2D
A 0 D
T   0 B 0 
D 0 C 
É possível sempre quando se anulam as
componentes fora de diagonal
A D 
T   

D
C


Já é valor principal Vector principal correspondente:
v  e  0,1,0
2
2
T
Verificações
Depois da resolução dos valores e direcções principais convém verificar
os invariantes e a ortogonalidade de vectores próprios
Invariantes no referencial principal
I1  T1  T2  T3
I 2  T1  T2  T2  T3  T1  T3
4.4 Valores extremos fora de diagonal
I3  T1  T2  T3
Círculo de Mohr
Usando as conclusões de 2D
T3
3
2
1
 T1  T3
 2

 0
 T T
 1 3
2

0
T2
0
T1  T3 
2 

0 
T1  T3 

2 
T2
T1

Círculos fundamentais
Txz ,max
T1  T3

2
Nota sobre 2D
O procedimento de cálculo poderá ser feito de maneira análoga como em 3D


detT  I   2  I1  I 2  0
2  I1  I 2  0
4.5 O tensor de inércia
 Ix
I  
 Pxy
 Pxy 
I y 
Justificação da posição dos eixos principais
y
para Pxy  0
ou seja I xy  0
I min
x
5. Análise tensorial
Análise dos campos tensoriais
derivadas, teoremas integrais, etc...
y
I max
x