cavidades resonantes

Cavidades Ressonantes
Vitaly Esquerre
Em freqüências na faixa de microondas (> 300MHz), elementos
localizados tais como R, L e C têm comportamento bastante
di
diverso
d seu comportamento em baixas
de
b i
f üê i
freqüências.
Isto porque em altas freqüências o efeito pelicular e as perdas
por radiação tornam-se importantes.
Assim, na faixa de microondas os circuitos ressonantes RLC são
substituídos pelas cavidades ressonantes.
As cavidades ressonantes são estruturas completamente fechadas
por paredes metálicas.
Elas confinam a energia eletromagnética e dispõem de grandes
áreas para a circulação de corrente, eliminando radiação e
p
diminuindo as perdas.
A figura mostra a transformação gradual de um circuito
ressonante LC numa cavidade ressonante
Cavidades Retangulares
Cavidades Retangulares
Podemos começar a análise partindo da equação de onda e usar o
método de separação das variáveis para obter os campos
elétricos e magnéticos
g
qque satisfazem as condições
ç
de contorno
da cavidade.
Porém, fica mais fácil começar com os campos TE e TM do
guia,
i os quais
i já satisfazem
if
as condições
di
d contorno nas paredes
de
d
do guia
x = 0, a
y = 0, b
Ë necessário apenas inserir as condições de contorno Ex = Ey = 0
nas paredes inicial e final em z = 0
Os campos elétricos transversais (Ex, Ey) dos modos TEmn e
TMmn, do guia de ondas retangular pode ser escrito como:
Et ( x, y, z ) = e ( x, y ) ⎡⎣ A+ e − j βmn z + A− e j βmn z ⎦⎤
e ( x, y )
Variação transversal do campo
A+ , A−
Amplitude dos campos em +z e -z
A constante de propagação βmn dos modos m,n (TE ou TM) pode
ser escrita como:
2
β mn
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞
= k −⎜
⎟ −⎜
⎟
⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠
2
2
k = ω με
Impondo
p
a condição qque o campo
p tem qque ser nulo em z = 0
Et ( x, y, 0 ) = e ( x, y ) ⎡⎣ A+ + A− ⎤⎦ = 0
A+ = − A−
Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfície
condutora
Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = d
Et ( x, y, d ) = e ( x, y ) ⎡⎣ A+ e − j βmn d − A+ e j βmn d ⎤⎦ = 0
(
)
Et ( x, y, d ) = e ( x, y ) −2 jA sin β mn d = 0
β mn d = lπ
+
β mn
lπ
=
d
O número de onda ressonante da cavidade será
2
kmnl
2
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎛ lπ ⎞
= ⎜
⎟ +⎜
⎟ +⎜ ⎟
⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝d ⎠
2
Modos TEmnl ou TMmnl são os modos ressonantes onde m, n, e l
indicam o numero de meios ciclos da onda estacionária nas
di õ x, y, e z. A frequência
direções
f
ê i de
d ressonância
â i do
d modo
d TEmnl ou
TMmnl é dado por
f mnl =
ckmnl
2π μr ε r
=
c
2π μ r ε r
2
2
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎛ lπ ⎞
⎜
⎟ +⎜
⎟ +⎜ ⎟
⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝d ⎠
2
Os campos para o modos TEmnl são dados por:
Amnl ⎛ nπ ⎞
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎛ lπ ⎞
cos
x sin
y sin
z
ε ⎜⎝ b ⎟⎠ ⎜⎝ a ⎟⎠ ⎜⎝ b ⎟⎠ ⎜⎝ d ⎟⎠
A ⎛ mπ ⎞ ⎛ mπ ⎞
⎛ nπ ⎞ ⎛ lπ ⎞
E y = − mnl ⎜
sin
x
cos
y ⎟ sin ⎜ z ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎜
ε ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝d ⎠
Ex =
Ez = 0
Hx = j
Amnl ⎛ mπ ⎞ ⎛ lπ
ωμε ⎜⎝ a ⎟⎠ ⎜⎝ d
⎞ ⎛ mπ
⎟ sin ⎜
⎠ ⎝ a
⎞
⎛ nπ ⎞
⎛ lπ
x ⎟ cos ⎜
y ⎟ cos ⎜
⎠
⎝ b ⎠
⎝d
⎞
z⎟
⎠
Hy = j
Amnl ⎛ nπ ⎞⎛ lπ
ωμε ⎜⎝ b ⎟⎜
⎠⎝ d
⎞
⎛ mπ
cos
⎟
⎜
⎠
⎝ a
⎞ ⎛ nπ ⎞
⎛ lπ
x ⎟ sin ⎜
y ⎟ cos ⎜
⎠ ⎝ b ⎠
⎝d
⎞
z⎟
⎠
2
Amnl ⎛ 2 ⎛ lπ ⎞ ⎞
⎛ mπ
Hz = − j
⎜⎜ k − ⎜ ⎟ ⎟⎟ cos ⎜
ωμε ⎝
⎝d ⎠ ⎠
⎝ a
m = 0,1, 2,3...
⎞
⎛ nπ ⎞ ⎛ lπ
x ⎟ cos ⎜
y ⎟ sin ⎜
⎠
⎝ b ⎠ ⎝d
n = 0,1, 2,3...
l = 1, 2,3....
Modo dominante (d > a > b) Æ TE101 f101 =
⎞
z⎟
⎠
m=n≠0
c
2π μ r ε r
2
⎛ mπ ⎞ ⎛ lπ ⎞
⎜
⎟ +⎜ ⎟
⎝ a ⎠ ⎝d ⎠
2
Após
p algumas
g
simplificações,
p
os modos TE10l tem as seguintes
g
expressões para os campos:
⎛ π x ⎞ ⎛ lπ z ⎞
E y = E0 sin ⎜
⎟ sin ⎜
⎟
⎝ a ⎠ ⎝ d ⎠
E
⎛πx ⎞
⎛ lπ z ⎞
H x = − j 0 sin ⎜
cos
⎟
⎜
⎟
ηTE
⎝ a ⎠
⎝ d ⎠
Hz = j
π E0
⎛ π x ⎞ ⎛ lπ z ⎞
cos ⎜
i ⎜
⎟ sin
⎟
kη ' a
⎝ a ⎠ ⎝ d ⎠
d >a>b
O que
q e claramente demonstra que
q e são formadas ondas
estacionárias dentro da cavidade
Fator de Qualidade: Q
Q =ω
Wm + We
Energia média armazenada
=
P
Energia Perdida por segundo
Wm , We
Energia média armazenada nos campos magnéticos e
eletricos.
P
Potência dissipada no condutor e no dielétrico
Na frequência de ressonância: We = Wm
Cálculo da energia armazenada no campo elétrico
We =
ε
ε
E E dv =
E
∫∫∫
∫∫∫
4
4
*
y
y
v
2
y
dv
v
⎛ π x ⎞ ⎛ lπ z ⎞
E y = E0 sin ⎜
⎟ sin ⎜
⎟
a
d
⎝
⎠ ⎝
⎠
We =
ε
4
d b a
∫∫∫
0 0 0
⎛ π x ⎞ 2 ⎛ lπ z ⎞
E sin ⎜
⎟ sin ⎜
⎟ dxdydz
⎝ a ⎠
⎝ d ⎠
2
0
2
sin 2 x =
We =
1 1
− cos 2 x
2 2
ε abd
16
E02
Cálculo da energia armazenada no campo magnético
μ
*
Wm =
H H dv
∫∫∫
4
v
Wm =
μ
(
4 ∫∫∫
v
Hx = − j
Wm =
μ
4
E0
ηTE
)
H x H x* + H z H z* dv =
⎛πx ⎞
⎛ lπ z ⎞
sin ⎜
cos
⎟
⎜
⎟
⎝ a ⎠
⎝ d ⎠
(
4 ∫∫∫
μ
v
Hz = j
2
Hx + Hz
2
) dv
π E0
⎛ π x ⎞ ⎛ lπ z ⎞
cos ⎜
⎟ sin ⎜
⎟
kη ' a
⎝ a ⎠ ⎝ d ⎠
2
2
⎛ E
π E0
π x ⎞ ⎛ lπ z ⎞
π x ⎞ ⎛ lπ z ⎞ ⎞
⎛
⎛
0
⎜
⎟ dxdydz
sin
i ⎜
cos ⎜
+
cos ⎜
sin
i ⎜
d d d
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜ ηTE
⎟
kη ' a
⎝ a ⎠
⎝ d ⎠
⎝ a ⎠ ⎝ d ⎠ ⎠
0 ⎝
d b a
∫∫∫
0 0
1 1
sin x = − cos 2 x
2 2
2
1 1
cos x = + cos 2 x
2 2
2
2
⎛
⎞
1
π
Wm =
E02 ⎜ 2 + 2 2 2 ⎟
16
⎝ ηTE k η ' a ⎠
μ abd
ηTE =
kη '
⎛π ⎞
2
β = β10 = k 2 − ⎜ ⎟
a
β
⎝
⎠
⎛ 1
⎞ β 2 + (π a )
π
1
ε
= 2 =
⎜ 2 + 2 2 2 ⎟=
2
2
k η'
η' μ
⎝ ηTE k η ' a ⎠
2
2
Wm =
Ou seja:
j We = Wm
ε abd
16
E02
Perdas nas paredes condutoras: Pc
Pc =
Rs
2
∫
2
paredes
H t ds
Onde
O
d Rs é a resistência
i ê i superficial
fi i l das
d paredes
d metálicas
áli
d d
dada
por:
ωμ
Rs =
2σ c
e Ht é o campo
p magnético
g
tangencial
g
as superfícies
p
das pparedes
metálicas.
A contribuição
ib i ã devido
d id à parede
d superior
i é igual
i l á contribuição
ib i ã da
d
parede inferior, o mesmo acontece com as contribuições da
parede lateral direita e esquerda e da parede da frente e posterior.
posterior
y
Parede esquerda e direita
H z ( x = 0)
b
Parede do fundo e da frente
H x ( z = 0)
H z ( x = 0)
R
Pc = s
2
⎧
⎨2
⎩
z
b
a
y =0
x =0
∫ ∫
2
∫ ∫
d
z =0
Usando:
x
a
Parede superior e inferior
H x ( z = 0)
d
H x ( z = 0 ) dxdy + 2
2
d
b
z =0
y =0
∫ ∫
H z ( x = 0 ) dydz
⎡ H ( y = 0 ) 2 + H ( y = 0 ) 2 ⎤ dxdz ⎫⎬
z
⎢ x
⎥⎦
x =0 ⎣
⎭
a
k=
2π
λ
ηTE
kη '
2dη '
=
=
β
lλ
Rs E02 λ 2 ⎛ l 2 abb bd l 2 a d ⎞
Pc =
+
⎜ 2 + 2 +
⎟
2
8η ' ⎝ d
2d 2a ⎠
a
2
Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:
Qc
ε abd
Qc = ω
E02
Wm + We
W
16
= 2ω m = 2ω
Pc
Pc
Rs E02 λ 2 ⎛ l 2 ab bd l 2 a d ⎞
+
⎜ 2 + 2 +
⎟
2
8η ' ⎝ d
a
2d 2a ⎠
k 3 abdη '
Qc =
⎛ l 2 ab bd l 2 a d ⎞
2
4π Rs ⎜ 2 + 2 +
+ ⎟
a
2d 2a ⎠
⎝ d
( kad ) bη '
3
Qc =
(
2π 2 Rs 2l 2 a 3b + 2bd 3 + l 2 a 3 d + add 3
)
Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd
σ = ωε " = ωε r ε 0 tan δ
ε = ε '− jε " = ε r ε 0 (1 − j tan δ )
1
ωε "
*
Pd =
J .E dv =
2
2
∫
v
∫
v
abd ωε " E02
E dv =
8
2
ε ' abd
Qd = ω
E02
Wm + We
W
ε'
1
= 2ω m = 2ω 16
=
=
abd ωε " E02 ε " tan δ
Pd
Pd
8
Fator de Qualidade considerando perdas no condutor e no
dielétrico: Qtotal
Qtotal
⎛ 1
1 ⎞
=⎜ +
⎟
Q
Q
d ⎠
⎝ c
−1
Exemplo
Considere uma cavidade oca com dimensões; 3cm x 2cm x
7cm feita de cobre (σc=5.8 x 107)
Calcular a frequência de ressonância e o fator de qualidade
do modo dominante.
3 ⋅10
fr =
2
10
2
2
2
⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 5.43984GHz
⎝3⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 7⎠
( kad ) bη '
3
Qc =
(
2π 2 Rs 2l 2 a 3b + 2bd 3 + l 2 a 3 d + ad 3
)
ωμ
Rs =
2σ c
k = ω με
η'= μ ε
ωμ
= 0,0192424
2σ c
Rs =
k = ω με = 113,984
η ' = μ ε = 376,819
( kad ) bη '
3
Qc =
(
2π Rs 2l a b + 2bd + l a d + ad
2
2
3
3
2
3
3
)
= 10086
Exemplo 2
Exemplo 2
Considere uma cavidade preenchida com polyestireno (εr =
2.56, tan δ = 0,0004) com dimensões; a = 3cm b = 2cm feita
de cobre (σc=5.8 x 107) determine o valor de d para
apresentar
t uma frequência
f
ê i de
d ressonância
â i de
d 3,4
3 4 GHz.
GH
Determine o fator de qualidade do modo dominante.
2
2
2
3 ⋅1010 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞
fr =
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 3, 4GHz
2 2.56
2 56 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ d ⎠
( kad ) bη '
3
Qc =
(
2π 2 Rs 2l 2 a 3b + 2bd 3 + l 2 a 3 d + ad 3
)
d = 7cm
ωμ
Rs =
2σ c
k = ω με
η'= μ ε
Rs =
ωμ
= 0,0152124
2σ c
k = ω με = 113,984
η ' = μ ε = 235,512
Qc =
(
3
( kad ) bη '
2π Rs 2l a b + 2bd + l a d + ad
2
2
3
3
Qd =
−1
2
3
3
)
= 7973, 66
1
= 2500
tan δ
−1
⎛ 1
1 ⎞
1
1 ⎞
⎛
Qtotal = ⎜ +
=
+
= 1903,
1903 27
⎟
⎜
⎟
⎝ 7973, 66 2500 ⎠
⎝ Qc Qd ⎠
Cavidades Cilíndricas
Podemos começar a análise partindo da equação de onda e usar o
método de separação das variáveis para obter os campos
elétricos e magnéticos
g
qque satisfazem as condições
ç
de contorno
da cavidade.
Porém, fica mais fácil começar com os campos TE e TM do
guia
i circular,
i l os quais
i já satisfazem
if
as condições
di
d contorno nas
de
paredes do guia
ρ =a
Ë necessário apenas inserir as condições de contorno Eρ = Eϕ = 0
nas paredes inicial e final em z = 0 e d
Os campos
p elétricos transversais ((Eρ, Eϕ) dos modos TEnm e
TMnm, do guia de ondas retangular pode ser escrito como:
+ − j β nm z
− j β nm z
⎡
⎤⎦
Et ( ρ , φ , z ) = e ( ρ , φ ) ⎣ A e
+A e
e ( ρ ,φ )
Variação transversal do campo
+
A ,A
−
Amplitude dos campos em +z e -z
A constante de propagação βnm dos modos TEnm e TMnm,
respectivamente,
p
ppode ser escrita como:
β nm
⎛ ρ 'nm ⎞
= k −⎜
⎟
⎝ a ⎠
2
2
k = ω με
β nm
⎛ ρ nm ⎞
= k −⎜
⎟
⎝ a ⎠
2
2
Impondo
p
a condição qque o campo
p tem qque ser nulo em z = 0
Et ( ρ , φ , 0 ) = e ( ρ , φ ) ⎣⎡ A+ + A− ⎦⎤ = 0
A+ = − A−
Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfície
condutora
Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = d
Et ( ρ , φ , d ) = e ( ρ , φ ) ⎡⎣ A+ e − j βnm d − A+ e − j βnm d ⎤⎦ = 0
(
)
Et ( ρ , φ , d ) = e ( ρ , φ ) −2 jA sin β nm d = 0
β mn d = lπ
+
β mn
lπ
=
d
Modos TEnml ou TMnml são os modos ressonantes onde m, n, e l
i di
indicam
o numero de
d meios
i ciclos
i l da
d onda
d estacionária
t i á i nas
direções ρ, ϕ, e z.
A frequência de ressonância do modo TEnmll é dada por
f nml =
2
c
2π μr ε r
n = 0,1,
0 1 22,3...
3
⎛ ρ 'nm ⎞ ⎛ lπ ⎞
⎜ a ⎟ +⎜ d ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
m = 11, 22,3...
3
2
l = 11, 22,3....
3
A frequência de ressonância do modo ou TMnml é dado por
f nml =
2
c
2π μr ε r
n = 0,1, 2,3...
⎛ ρ nm ⎞ ⎛ lπ ⎞
⎜ a ⎟ +⎜ d ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
m = 1, 2,3...
2
l = 0,1, 2,3....
O modo dominante TE é o modo TE111, cuja
j freqüência
q
de
ressonância é dada por:
TE
f111
=
2
c
2π μr ε r
8412 ⎞ ⎛ π ⎞
⎛ 11.8412
⎜
⎟ +⎜ ⎟
⎝ a ⎠ ⎝d⎠
2
O modo dominante TM é o modo TM010 cuja freqüência de
ressonância é dada por:
TM
=
f 010
c
2π μr ε r
⎛ 2, 4049 ⎞
⎜
⎟
⎝ a ⎠
2
As freqüências de ressonância são iguais se d/a = 2,03 (modos
degenerados)
Quando d/a < 2,03, o modo dominante é o TM010 e quando d/a >
2,03 o modo dominante é o modo TE111
Os campos para o modos TEnml são dados por:
Eρ =
Eφ =
jkη ' a 2 nH 0
⎛ ρ 'nm ⎞
⎛ lπ
J
ρ
sin
n
φ
sin
(
)
n⎜
⎜
⎟
2
a
⎝d
⎝
⎠
ρ
'
ρ
( nm )
jkη ' aH 0
⎛ρ'
⎞
⎛ lπ
J 'n ⎜ nm ρ ⎟ cos ( nφ ) sin ⎜
ρ 'nm
⎝d
⎝ a
⎠
⎞
z⎟
⎠
⎞
z⎟
⎠
Ez = 0
Hρ =
β aH 0
⎛ρ'
⎞
⎛ lπ
J 'n ⎜ nm ρ ⎟ cos ( nφ ) cos ⎜
ρ 'nm
⎝d
⎝ a
⎠
⎞
z⎟
⎠
β a 2 nH 0
⎛ ρ 'nm ⎞
⎛ lπ
Hφ = −
J
ρ
sin
n
φ
cos
(
)
n⎜
⎜
⎟
2
a
⎝d
⎝
⎠
ρ
'
ρ
( nm )
⎛ρ'
⎞
⎛ lπ
H z = H 0 J n ⎜ nm ρ ⎟ cos ( nφ ) sin ⎜
⎝d
⎝ a
⎠
n = 0,1, 2,3...
Modo dominante Æ TE111
⎞
z⎟
⎠
⎞
z⎟
⎠
m = 1, 2,3...
l = 1, 2,3....
2
2
c
ρ
'
π
⎛ 11 ⎞ ⎛ ⎞
f111 =
⎜
⎟ +⎜ ⎟
2π μr ε r ⎝ a ⎠ ⎝ d ⎠
Distribuição do campo
p ppara modos ressonantes com l = 1 e l = 2
O que
q e claramente demonstra que
q e são formadas ondas
estacionárias dentro da cavidade
Fator de Qualidade: Q
Q =ω
Wm + We
Energia média armazenada
=
Energia Perdida por segundo
P
Wm , We
Energia média armazenada nos campos magnéticos e
eletricos.
P
Potência dissipada no condutor e no dielétrico
Na frequência de ressonância: We = Wm
F t de
Fator
d Qualidade
Q lid d dos
d Modos
M d TEnml
Cálculo da energia armazenada, como We = Wm
W = 2We =
2π
E
(
∫
∫
∫
2
d
ε
a
2
ρ
z =0 φ =0 ρ =0
ε k η ' a π dH
=
2
4 ( ρ 'nm )
2
2
2
2
0
+ Eφ
2
)ρ d ρ dφ dz
a
2
⎛ ρ 'nm ⎞ ⎛ na ⎞ 2 ⎛ ρ 'nm ⎞
ρ⎟+⎜
ρ ⎟ ρd ρ
J' ⎜
⎟ Jn ⎜
⎝ a
⎠ ⎝ ρ 'nm ρ ⎠
⎝ a
⎠
ρ =0
∫
2
n
2
⎡
⎛ n ⎞ ⎤ 2
ε k η ' a π dH
⎢1 − ⎜
=
⎟ ⎥ J n ( ρ 'nm )
2
⎢⎣ ⎝ ρ 'nm ⎠ ⎥⎦
8 ( ρ 'nm )
2
2
2
2
0
Perdas nas paredes condutoras: Pc
Pc =
Rs
2
∫
2
paredes
H t ds
Onde
O
d Rs é a resistência
i ê i superficial
fi i l das
d paredes
d metálicas
áli
d d
dada
por:
ωμ
Rs =
2σ c
e Ht é o campo
p magnético
g
tangencial
g
as superfícies
p
das pparedes
metálicas.
A contribuição
ib i ã devido
d id à parede
d superior
i é igual
i l á contribuição
ib i ã da
d
parede inferior.
z
d
Parede lateral
Parede superior e inferior
H ρ ( z = 0)
Hφ ( z = 0 )
ρ
φ
R ⎧
Pc = s ⎨
2 ⎩
a
Hz ( ρ = a)
Hφ ( ρ = a )
2π
d
∫ ∫
+2
∫ ∫
z =0
⎡ H ( ρ = a ) 2 + H ( ρ = a ) 2 ⎤adφ dz
z
⎥⎦
⎣ φ
φ =0 ⎢
2π
φ =0
⎡ H ( z = 0 ) 2 + H ( z = 0 ) 2 ⎤ ρ d ρ dφ ⎫⎬
φ
⎥⎦
⎣ ρ
ρ =0 ⎢
⎭
a
2
2
⎧ ⎡ ⎛
⎫
⎤
2
2
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
R
β an
⎪ da
⎪
⎥ + ⎜ β a ⎟ ⎜1 − n
⎟
⎟
Pc = s π H 02 J n2 ( ρ 'nm ) ⎨ ⎢1 + ⎜
2
2 ⎬
⎜
⎟
⎜
⎢
⎥
2
⎪ 2 ⎣ ⎝ ( ρ 'nm ) ⎠ ⎦ ⎝ ρ 'nm ⎠ ⎝ ( ρ 'nm ) ⎠⎟ ⎪
⎩
⎭
Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:
Qc
2
⎡
⎛ n ⎞ ⎤ 2
ε k η ' a π dH
⎢1 − ⎜
⎟ ⎥ J n ( ρ 'nm )
2
4 ( ρ 'nm )
⎢⎣ ⎝ ρ 'nm ⎠ ⎥⎦
Wm
Qc = 2ω
= 2ω
2
2
Pc
⎧ ⎡ ⎛
⎫
⎤
2
2
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
Rs
β an
⎪ da
⎪
⎥ + ⎜ β a ⎟ ⎜1 − n
⎟
⎟
π H 02 J n2 ( ρ 'nm ) ⎨ ⎢1 + ⎜
2
2 ⎬
⎜
⎟
⎜
⎢
⎥
2
2
'
ρ
'
'
ρ
ρ
⎪ ⎣ ⎝ ( nm ) ⎠ ⎦ ⎝ nm ⎠ ⎝ ( nm ) ⎟⎠ ⎪
⎩
⎭
2
2
2
2
0
⎡ ⎛ n ⎞2 ⎤
⎢1 − ⎜
⎟ ⎥
3
⎢⎣ ⎝ ρ 'nm ⎠ ⎥⎦
ka ) η ' ad
(
Qc =
2
2
2
⎫
⎤
4 ( ρ 'nm ) Rs ⎧ ⎡ ⎛
2
2
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
n
β an
βa
⎪ ad ⎢
⎪
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
1
1
+
+
−
⎨
⎜
⎟ ⎜
2
2 ⎬
⎜
⎟
⎢
⎥
2
'
ρ
'
'
ρ
ρ
⎪ ⎣ ⎝ ( nm ) ⎠ ⎦ ⎝ nm ⎠ ⎝ ( nm ) ⎟⎠ ⎪
⎩
⎭
Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd
ε = ε '− jε " = ε r ε 0 (1 − j tan δ )
σ = ωε " = ωε r ε 0 tan δ
2
1
ωε " ⎡ 2
*
⎤ dv
+
Pd =
J .E dv =
E
E
ρ
φ
⎢⎣
⎥⎦
2
2
∫
∫
v
v
2
⎡
⎤
⎛
⎞
ωε " k η ' a π dH
ρ
'
ρ
'
na
⎛
⎞
⎛
⎞
2
2
nm
nm
⎢
Pd =
J
'
ρ
+
J
ρ ⎟⎥ ρ d ρ
⎜
⎟
n
n
⎜ a
⎟
⎜
2
ρ 'nm ρ ⎠
a
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎥⎦
⎢
4 ( ρ 'nm )
⎝
ρ =0 ⎣
2
2
2
a
2
0
∫
2
⎡
⎛ n ⎞ ⎤ 2
ωε " k η ' a H
⎢1 − ⎜
Pd =
⎟ ⎥ J n ( ρ 'nm )
2
⎢⎣ ⎝ ρ 'nm ⎠ ⎥⎦
8 ( ρ 'nm )
2
2
4
2
0
Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd
2
⎡
⎛ n ⎞ ⎤ 2
ε 'k η ' a H
⎢1 − ⎜
⎟ ⎥ J n ( ρ 'nm )
2
8 ( ρ 'nm )
⎢ ⎝ ρ 'nm ⎠ ⎦⎥
Wm + We
ε'
1
⎣
Qd = ω
=ω
=
=
2
ε " tan δ
Pd
ωε " k 2η '2 a 4 H 02 ⎡ ⎛ n ⎞ ⎤ 2
⎢1 − ⎜
⎟ ⎥ J n ( ρ 'nm )
2
8 ( ρ 'nm )
⎢⎣ ⎝ ρ 'nm ⎠ ⎥⎦
2
2
4
2
0
Fator de Qualidade considerando pperdas no condutor e no
dielétrico: Qtotal
Qtotal
⎛ 1
1 ⎞
=⎜ +
⎟
Q
Q
d ⎠
⎝ c
−1
Fator de Qualidade dos Modos TM010
Ë importante quando d / a < 2,03
Eρ = Eφ = H ρ = Hφ = 0
2
⎛ ρ01 ⎞ E0
⎛ ρ 01 ⎞
Ez = − j ⎜
J0 ⎜
ρ⎟
⎟
⎝ a ⎠ ωμε ⎝ a ⎠
⎛ ρ 01 ⎞ E0
⎛ ρ 01 ⎞
ρ⎟
Hz = −⎜
J '0 ⎜
⎟
⎝ a ⎠ μ
⎝ a ⎠
2, 4049
Qc =
μ
ε
⎛ a⎞
2 ⎜ 1 + ⎟ Rs
⎝ d⎠
Outras Geometrias