algoritmos astronômicos

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ALGORITMOS ASTRONÔMICOS
- plataforma Windows -
Sumário:
O Autor
Prefácio
Capítulo I: Introdução........................................................
Capítulo II: Sistema Global de Posicionamento................
Capítulo III: Navegação Auto-suficiente............................
Capítulo IV: Programas de Aplicação................................
I – ASTRONOMIA
1.Baricentro........................................................................
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2.Bissexto
3.ConversãoDistâncias.....................................................
4.Distância Angular............................................................
5.Elipse e Órbita.................................................................
6.Equação de Kepler..........................................................
7.Escape.............................................................................
8.EstrelasPMd.....................................................................
9.Geóide..............................................................................
10.Intervalo............................................................................
11.JD....................................................................................
12.JDData..............................................................................
13.Massa................................................................................
14.MilenioJ.............................................................................
15.Newton................................................................................
16.NrDia...................................................................................
17.Pascoa..................................................................................
18.PerDist................................................................................
19.PeriodoDistancia
20.TDUT...................................................................................
II – NAVEGAÇÃO
1. Almanac................................................................................
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2. Área Vélica ...............................................................................
3. Consumo de Combustível..........................................................
4. ConversãoTemperatura..............................................................
5. Correção da Altura Instrumental................................................
6. Correção da Depressão Aparente (DIP)...................................
7. Correção para a Corrente (CAP) ...............................................
8. Erro da Posição por Erro na Hora..............................................
9. Erro Instrumental e Semidiâmetro............................................
10. Fuso Horário................................................................................
11.Horizonte (alcance visual)............................................................
12.Melhores Horas de Visada...........................................................
13.Menor Distância ............................................................................
14.Posição por Duas Retas de Altura...............................................
15. PrivertMaDigr.................................................................................
16.Triângulo de Posição......................................................................
17.TS0..................................................................................................
18. Uma Só Reta..................................................................................
19. Vetores...........................................................................................
20. Vmg.................................................................................................
Palavras Finais..................................................................
ANEXOS:
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Anexo I. Medida de Ângulos e Arcos............................................................................
Anexo II. Erros, Precisão, Acurácia....................................................................
Anexo III.Vetores..............................................................................................
Anexo IV.Reta de Altura...........................................................................
Anexo V.Triângulos Esféricos.............................................................................
Anexo VI. Triângulos de Posição.........................................................................
Anexo VII. Transformação Z em A............................................................................
Anexo VIII. Passagem Meridiana................................................................................
Anexo IX. Observação do Sol..................................................................................
Anexo X. Elipses em função da excentricidade ( visualização).............................
Anexo XI. Constantes.............................................................................................
Anexo XII. TS0.......................................................................................................
Anexo XIII . Listagem de Alguns Códigos de Programa.......................................
Anexo XIV. Tópicos Importantes...........................................................
Anexo XV. Abreviaturas.....................................................................................
Anexo XVI. Referência Bibliográfica...................................................................
Anexo XVII. Internet...........................................................................................
Anexo XVIII. Johannes Kepler............................................................................
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Fale com o Autor................................................................................................
O Autor Licio Maciel
Nasceu em Maceió, Alagoas, em 1930.
Estudou em Recife e Rio de Janeiro, onde se formou em Engenharia.
Em sua infância e juventude, sempre morou na praia (Pajuçara e Olinda) e veleja desde
os 14 anos de idade.
Navega assiduamente em seu veleiro Krum II , de cruzeiro, projeto Bruce Roberts, de
27 pés de comprimento, em fibra de vidro (sanduíche de Airex e de Belcobalsa), fabricação própria.
Possuindo barco no Rio de Janeiro desde 1955, sempre buscou a simplificação da vida a
bordo em proveito do objetivo principal: velejar.
Em paralelo com as inúmeras atividades que exerceu ao longo de todos esses anos (foi
bancário; militar; engenheiro; professor; gerente industrial; consultor de informática,
sistemas de segurança e telecomunicações), tendo inclusive a oportunidade de trabalhar
em outros países, sempre dedicou suas horas de folga ao esporte da vela.
Já navegou por quase todo o nosso litoral e ilhas oceânicas, parte do litoral E dos EUA,
golfo do México e golfo de Benguela (África).
Realiza freqüentes cruzeiros aos Abrolhos, Fernando de Noronha e litoral do NE, como
também entre Bertioga e Vitória do Espírito Santo, em particular às regiões de Búzios,
Cabo Frio, Arraial do Cabo, Ilha Grande e Angra dos Reis.
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É autor de vários livros digitais sobre o esporte da vela, uma forma que encontrou para
difundir o esporte e, principalmente, demonstrar com um exemplo concreto que velejar
não é esporte exclusivo de rico:
Ao Longo da Grande Barreira de Corais Brasileira (1996 – esgotado)
Roteiro Costa Leste de Bertioga a Natal – incluindo Abrolhos, Rocas e Noronha
Velejando Melhor Teoria e Técnica de Vela
Algorítmos de Astronomia – Aplicativos de cálculo (com CDRom encartado)
Prefácio
Do primeiro instrumento de cálculo (o ábaco, que apareceu há quatro mil anos) e
muito provavelmente desde bem antes disto, até aos nossos dias, o homem vem aperfeiçoando dispositivos para facilitar os trabalhos
de cálculo.
A maneira de calcular começou a mudar com o aparecimento das calculadoras eletrônicas
científicas, tornando fácil resolver complexos e trabalhosos problemas, obtendose o
resultado de maneira rápida, precisa e cômoda. Em seguida, com o surgimento e disseminação generalizada dos computadores
pessoais, é impossível admitir uma atividade qualquer hoje que não o utilize; o mundo se transformou.
E, de tão difundido, o computador até deixou de calcular: agora é mais banco de dados,
editor de texto, planilha, agenda de compromissos, desenhista, músico, simulador, elo
com a Internet, brinquedo da garotada (e da gente grande também...) para jogos, etc.
A solução de um problema repetitivo sugere uma programação em uma determinada
linguagem, à escolha do programador, em função da natureza do problema.
A primeira linguagem de programação difundida largamente foi o Fortran (Formula
Translator), usada nas universidades e nos meios científicos (desde 1957). Como o
próprio nome diz, ela resolve o problema por meio de fórmulas. Depois, apareceu o
Cobol, destinado à parte comercial. Ambas, Fortran e Cobol ainda são largamente
utilizadas, aperfeiçoadas.
Em seguida, apareceram muitas outras linguagens de programação, melhorando sempre o
elo de ligação homem/máquina.
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A rápida adoção dos computadores, generalizando o seu uso, foi possível principalmente
devido a uma linguagem simples e eficiente: o BASIC (Begginer’s Allpurpose Symbolic
Instruction Code), criada em 1963 por John Kemeny e Thomas Kurtz no Dartmouth
College, EUA, com o objetivo de fornecer uma ferramenta de cálculo aos estudantes de
engenharia, sem preocupação com os métodos e algoritmos exigidos pela máquina, sem
obrigálos a demorados estudos de programação. Esta linguagem foi aproveitada
posteriormente pela IBM em seus computadores pessoais e introduziu mais pessoas em
computação do que todas as demais linguagens juntas. Ao longo dos anos, teve uma
evolução constante, passando a compilador e, posteriormente, com a criação do
Windows, foi aperfeiçoada, dando lugar ao Visual Basic, criado por Alan Cooper, da
Microsoft, em 1987, não cessando de evoluir de ano para ano, tornandose cada vez
melhor, mais eficiente. É, disparado, a linguagem de programação mais utilizada hoje em
dia.
Sempre confiei na competência da Microsoft para o aperfeiçoamento de suas linguagens de programação, desde o BASIC que redundou no Visual Basic e
agora no ambiente Microsoft.NET Framework, dando início à enorme mudança dos paradigmas da Informática. Hoje já temos esperanças em atingir num
futuro próximo o esperanto das linguagens de programação.
Não sou programador. Os aplicativos foram sendo construídos à medida de minhas necessidades, tanto em navegação como em estudos de astronomia.
Não me preocupou incluir na listagem de códigos um monte de firulas que, embora úteis, aumentam sobremaneira o tamanho do código; não deixar entrar
letras em lugar de números, não explicitar as variáveis, rotinas rebuscadas de armadilhas de erro, valores impossíveis na prática, etc.
Poderia ter levado o embrião dos códigos a um bureau de informática para que um programador profissional completasse a obra. Não levei. Além de onerar o
livro, seria uma agressão ao esportista que sou: o objetivo é calcular. A atenção de quem calcula está incluída na resolução e, principalmente, ter uma idéia
do resultado que a máquina irá fornecer. Peço desculpas aos usuários e espero receber os comentários, para melhorar os programas. Se você preencher as
casas do formulário de maneira errada, receberá uma resposta também errada. Portanto: muito cuidado.
Todos os aplicativos de cálculo contidos no CDROM encartado foram elaborados em VB6, inclusive os de navegação astronômica.
Acompanho frequentemente pelo Tiobe ( www.tiobe.com/tpci.htm ) a evolução de uso das linguagens através do tempo no mundo, com o VB ocupando
posição de destaque, sempre entre as dez mais utilizadas.
Na década de 90, meu filho construiu o meu site www.clubedavela.com.br ficando eu responsável pelo fornecimento do conteúdo e pelo gerenciamento
(assuntos, artigos, notícias, cálculos, fotos, etc.). A parte da WEB ficava a cargo dele, eu apenas de olheiro. Mesmo assim, nunca deixei de ler a respeito dos
assuntos: HTML, Dreamweaver, CuteFTP e outros, apenas por curiosidade. Com a mudança do meu filho para os EUA, perdi o “guru” e fui obrigado a
reiniciar os estudos dos assuntos, ficando realmente atônito com a enorme modificação havida no setor.
Dentre a atual extensa gama de escolhas possíveis, a grande maioria delas baseada na plataforma Windows da Microsoft, naturalmente optei pela da MS,
embora um pouco mais difícil: Visual Web Developer/Asp.net. Existem algumas” corruptelas”, arremates de linguagem, que basta você dizer: quero um site
com tais e tais características, em tal modelo (templates) e pronto, ele já está disponível na WEB. Muita gente ganhando muita grana nas costas de Bill
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Gates, e marretando ...
Venho publicando frequentemente nos espaços que disponho o apanhado elaborado pela Tiobe.
O trabalho apresentado pela Tiobe é fantástico. E deve ser consultado por todo jovem que se inicia na Informática para escolher acertadamente a linguagem
a adotar: C, JAVA, além de C# e VB.NET.
Há modismos, mas efêmeros, felizmente.
Iniciei no Fortran (quem não lembra do Pacitti?), mas logo adotei o Basic, que sempre considerei um Fortran simplificado (naquele tempo de cartões
perfurados e etc.). Na esteira do Mac, a MS (Alan Cooper, com o Ruby) construiu o Visual Basic para acirrar a concorrência. Até o VB6 era a linguagem ideal
(tomando por orientação as cinco mais utilizadas de acordo com o Tiobe). Agora a Microsoft deu a orientação: a palavra de ordem é WEB2 (Visual
Studio.Net, Asp.Net, Ajax,etc.) e temos conversado. Quem ficar pra traz, já era...irremediavelmente.
Nenhuma linguagem de programação é perfeita; qualquer programa, por mais elaborado
que seja, pode ser sempre aperfeiçoado.
Nem sempre, porém, um programa longo, muito elaborado, é o melhor: ele poderá conter
detalhes irrelevantes que o tornam muito complicado, minucioso demais.
O computador é tratado aqui como ferramenta de trabalho, para resolver problemas; no
barco ele pode fazer muito mais.
Com uma coleção de alguns poucos CD-ROM’s o u f l a s h d r i v e s ( o u p e n d r i v e s ) podemos levar uma
verdadeira biblioteca no barco, enciclopédias, guias náuticos, coleção de cartas do litoral e o que mais for desejado. O emprego do
computador a bordo é generalizado, desde como auxiliar da navegação até como auxiliar de ensino dos filhos (e dos adultos
também), através cursos completos programados, programas, roteiros, cartas, diário de bordo, resumos, controles administrativos
(estoques, manutenção, agenda, etc.), simuladores,
enciclopédias,
tutoriais,
jogos,
telecomunicações
(fax,
boletins
meteorológicos, Internet, etc.) e mais o que for necessário e desejado. Futuramente teremos os livros todos eletrônicos...
O Visual Basic foi escolhido pela facilidade e rapidez de programação de fórmulas e na
confiança no seu contínuo aperfeiçoamento, além da simplicidade que apresenta, quase
uma linguagem natural. Para cálculo, é comparável em eficiência ao próprio Fortran, de
onde se originou.
Além disso, o Windows acelerou a generalização do emprego do computador; e o Visual
Basic e o Windows estão entrelaçados, de modo que é altamente vantajoso empregálos,
não é lógico separálos.
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Sendo uma linguagem interpretada, os programas em Visual Basic são compilados por
meio de um código auxiliar, intermediário até a linguagem de máquina, o que diminui a
velocidade de execução (imperceptível, no entanto, para programas pequenos, como é o
nosso caso) e obriga, para a distribuição de programas executáveis, a inclusão de
necessárias bibliotecas adicionais (dll), que ocupam um pouco mais de espaço na
memória do computador, o que não é grande problema para os micreiros atuais.
Empregamos o mesmo aspecto de apresentação para todos os programas com o objetivo
de facilitar o uso: após digitar os dados do problema nos espaços apropriados, acionar o
comando calcular e as respostas são apresentadas. É isto que interessa.
Os programas são utilizados seguindo o roteiro de cálculo como se estivesse calculando
na ponta do lápis, na mesma ordem; as respostas intermediárias também são mantidas na
mesma ordem, sendo algumas apresentadas apenas para permitir comprovação.
A parte intitulada Cálculos do CD-ROM contem os aplicativos, tendo como objetivo
apresentar um instrumento de cálculo independente de tábuas e almanaques, oferecendo
uma maneira rápida e cômoda de calcular. Desde os problemas mais simples aos mais complexos, transforma o cálculo numa tarefa
agradável, evita os erros, além de facilitar grandemente o estudo de cada assunto.
Os programas que dependem de efemérides, são válidos até pelo menos o ano 2099,
permitindo ao próprio usuário mudar e salvar facilmente o Ano. Isto permite resolver problemas de anos anteriores, como um
exercício de treinamento e comprovação.
Um sistema de navegação confiável deve empregar diversos meios com determinadas
características: fontes de energia independentes; dados recebidos de origens diferentes;
operação inteiramente independente entre si; e devem permanecer operantes (não deixar
inativo um deles até que seja necessário entrar em operação).
A única combinação aceitável e adotada em geral, é a astronômica/eletrônica: empregando o GPS e os astros, basicamente.
O computador se encarregará dos cálculos.
Nunca esquecer:
O GPS está baseado em uma rede de satélites desenvolvida, mantida e controlada pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos da América. Na hora
que bem entenderem, sem aviso prévio, podem bloquear o sistema, provocando caos no fluxo de transportes urbanos, na vigilância do transporte de carga
nas estradas, no acompanhamento de safras da agricultura, na previsão do tempo, na navegação, na defesa interna, etc.
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E isto já ocorreu... Quando as FFAA brasileiras efetuaram um exercício próximo à fronteira com as Guianas (Operação Surumu), para tolher o plano de
invasão do nosso território pelos chineses lá concentrados, o sistema foi bloqueado, não causando um verdadeiro desastre na reorganização da tropa na
selva por se tratar de paraquedistas bem treinados.
Em função problema, para sair da depedência de outra nação, paises da Europa já começaram a construir seus próprios sistemas de posicionamento.
INTRODUÇÃO
A Astronomia é a ciência dos astros e de todos os objetos e fenômenos celestes.
É a mais antiga atividade científica do homem.
A Astronomia de Posição ou Astronomia Esférica, trata da determinação da posição dos
astros.
A Navegação Astronômica utiliza os astros para a determinação da posição do
observador.
Denominamos de astronomia ou navegação programada aquela que emprega o computador para efetuar os cálculos laboriosos
e repetitivos da navegação astronômica, eliminando inclusive tábuas e almanaques com suas tabelas de interpolação, etc.
A eletrônica já faz parte da rotina de qualquer atividade humana, desde uma simples calculadora programável até aos mais sofisticados
sistemas integrados de medição, acoplados ao computador do barco.
O Sistema Global de Posicionamento vem resultando num sempre crescente número de
barcos a se lançarem a grandes travessias, pelas facilidades que oferece; a cada dia
aumenta rapidamente a quantidade dos que o adotam, inclusive em cruzeiros
relativamente curtos e até mesmo em passeios de fim de semana.
O bom senso indica, porém, que ele apenas, sozinho, não é suficiente para oferecer um
sistema consistente de navegação confiável e autosuficiente.
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O GPS ocupará sempre um lugar de destaque dentre os equipamentos de qualquer barco;
junto com o sextante, o cronômetro e o computador, formam a base do rol de
instrumentos insubstituíveis de qualquer barco confiável.
Nunca vá a lugar algum confiando em um único sistema de navegação
Com o aparecimento dos primeiros computadores pessoais portáteis, a maneira de encarar
os problemas de uma forma prática e objetiva foi largamente incrementada, inclusive no
setor náutico, como não poderia deixar de ser.
Os grandes velejadores da era do computador (a partir de 1980), passaram a empregar nas
regatas de volta ao mundo e em cruzeiros os equipamentos utilizados nas naves espaciais
tripuladas.
E lá estava a bordo dos referidos bólidos, um simples instrumento inventado a quase
trezentos anos: o sextante, só que agora coadjuvado por sua excelência o computador.
Aí, entraram os japoneses com excelentes sextantes, setor até então liderado por alemães
e holandeses. Em conseqüência, os preços voltaram a cair.
Embora seja muito fácil determinar a posição com o auxílio do computador, bastando
apenas digitar alguns poucos dados (data, hora, altura, posição estimada e erro do
instrumento), é bom não ficar muito entusiasmado, definitivamente satisfeito, achando
que não há necessidade de mais nada.
Foi criada uma aura de mistério em torno da astronômica, que persiste até hoje; na
realidade ela era apenas por demais trabalhosa, minuciosa e, principalmente,
indispensável. Na realidade, não sabemos, ao certo, se esta mística foi criada pelos
navegadores ou pela tripulação... A facilidade do GPS, tornou a astronômica um item secundário. Mas, como assegurar a manutenção da
navegação face aos inúmeros e inimagináveis problemas?
O computador desmistificou definitivamente o assunto, com a simplificação e a
eliminação dos cálculos, melhorando de muito a precisão e a rapidez da obtenção do
ponto. Os misteriosos passaram, então, a mistificar o emprego do computador...
A previsão de todo tipo de falhas aconselha o domínio do processo clássico da moderna
navegação, de SaintHilaire, com ou sem auxílio do computador.
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Embora com o computador existam melhores processos, como o de Golem, por exemplo,
mantivemos o de SH, por ser o mais difundido.
E o astro mais utilizado, como não poderia deixar de ser, é o Sol, principalmente no
nosso caso de habitantes tropicais.
O computador (ou a calculadora programável) raramente apresentam defeito durante os
percursos. O GPS, quando a bateria está um pouco descarregada (abaixo de 12 volts),
pode oferecer posições erradas. Isto pode acontecer também com mudanças fortuitas do
setup, por causas não identificadas (transitórios, indução, etc.).
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Capítulo II Sistema Global de Posicionamento
(Global Positioning System GPS)
O sistema é operado pelo governo dos EUA e está em pleno funcionamento, com
aperfeiçoamentos rápidos e principalmente com uma vertiginosa diminuição do preço dos receptores, o que o generalizou no meio náutico,
tornando-o instrumento indispensável deslocamento.
Este sistema é baseado na posição recebida na Terra por três ou mais satélites entre o total de 24 que estão distribuídos em 6 trajetórias orbitais diferentes a
20200 km de altitude.
A esta altitude, cada satélite dá uma volta completa em torno da Terra em 12 horas
Além do sistema norte-americano, a comunidade européia está implantando um sistema de posicionamento próprio, via satélite, denominado Galileo, com
previsão de ficar pronto em 2013. Ele possuirá 27 satélites (mais 3 reservas, prontos para serem lançados) distribuídos em três órbitas, a 23616 km de
altitude.
O GPS oferece uma solução precisa, rápida e cômoda ao problema da determinação da
posição, independentemente das condições meteorológicas.
Mas precisa ser programado, inicializado e bem operado; necessita-se, portanto, de um
planejamento cuidadoso da navegação.
Embora o equipamento forneça soluções gráficas em diversos modos, devemos sempre
locar na carta a posição. Procurar empregar todos os modos, não se limitando apenas ao
preferido.
Os erros de operação são comuns: registradas as coordenadas dos waypoints para um
desejado trajeto e no meio do caminho, por qualquer razão, resolvese arribar a um abrigo
não previsto na rota; esquecer que a rota antiga ainda é a ativa é um erro comum.
Temos que avisar ao equipamento que mudamos de idéia, claro...
Só a prática constante evitará as falhas de operação.
O manual do equipamento deve ser bem estudado; o domínio deve ser absoluto e
instantâneo, através o treinamento em qualquer oportunidade, mesmo em simples saídas
de fim de semana.
Escolher o modelo mais fácil de usar e ir progredindo com os seus aperfeiçoamentos.
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Bearing (BRG), é visada, considerando dois waypoints; Track (TRK), é rumo,
considerando o barco e o waypoint de destino. Entre dois waypoints, se o XTE = 0 (erro
de rota = 0), o BRG será igual ao TRK.
XTE= erro de rota (que indica o desvio) ou CDI= desvio de rota.
O instrumento vai abandonando os waypoints atingidos, automaticamente, passando ao
seguinte.
Cuidados no emprego do GPS:
- seja qual for o modo preferido (modos gráficos ou modo direto), devemos
- sempre utilizar todos (independente de preferência pessoal);
- deve haver uma bateria exclusivamente para o motor do barco, de modo que o
centelhamento por ocasião da partida não irradie pela rede para os demais instrumentos;
- ao ligar o motor, sempre desligar antes o GPS, mesmo portátil;
- durante o mau tempo, ou diante de instabilidade, desligar o GPS;
- com muitos waypoints registrados, o consumo do instrumento aumenta muito, o que é
importante saber para os portáteis;
- várias vezes o americano desligou o sistema, algumas propositadamente ...
- ativada uma rota, ao necessitarmos arribar para um abrigo não previsto, não
esquecer de avisar ao equipamento que mudamos de opinião... (active route);
- empregar o modo Simulator na fase de planejamento da navegação;
- desligar o GPS durante as ligações rádio;
Os termos mais comuns não devem causar dúvidas: waypoint, bearing (BRG), track
(TRK), crosstrack error (XTE), velocity made good (VMG), estimated time enroute
(ETE), estimated time of arrival (ETA), man overboard (MOB), desired track (DTK),
course deviation indicator (CDI), turn, leg, soa (speed of advance), setup, simulator,
Mark, active route; Goto, Datum, Diferencial, etc.
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Sempre treinar a operação do equipamento durante qualquer percurso, observando os detalhes e aperfeiçoando os conhecimentos.
Lembretes práticos sobre manuseio e operação do equipamento:
- sempre comparar a posição obtida com a anterior; empregar todos os modos de
navegação do instrumento, independente de preferências pessoais.
- computador: acoplado ao sistema ou isolado; programas; rotinas; cuidados.
- com o surgimento dos microcomputadores portáteis, com cada vez melhores baterias recarregáveis, o computador invadiu o
mundo náutico, seja na forma de um simples
notebook ou num sistema integrado de navegação; a vida ficou muito facilitada:
- cálculos rápidos, principalmente na navegação (nas diversas fases, desde a
preparação, escolha da rota, waypoints, etc.), programas especiais;
- com alguns poucos CDROM’s, keydrives, HD externo USB, ficam disponíveis bibliotecas inteiras, enciclopédias, dicionários,
livros técnicos, programas de ensino, cursos,
processadores, simuladores, compiladores, tradutores, etc.
-controles gerais no barco, de manutenção, suprimentos, rol de localização dos
utensílios e materiais estocados, roteiros, cartas, biblioteca de cartas, lista de waypoints,
lista e localização dos suprimentos, controles de estoques, etc.
-livro de bordo, anotações, agenda, etc.
-telecomunicações: redes mundiais e locais, faxes, faxes meteorológicos, etc.
-acoplamento ao GPS: plotter, cartas digitalizadas, piloto automático, sensores,
etc.
- o maior benefício para o equipamento eletrônico é o seu uso continuado, ao
contrário da crença generalizada de deixálo guardado para maior durabilidade; há componentes, como os eletrolíticos, que se
beneficiam com o uso continuado, caso contrários, oxidam, exudam, perdem a capacidade. No caso dos portáteis, não ficar com
pena das pilhas, que custam muito pouco quando comparado com as vantagens que oferecem.
As falhas do equipamento eletrônico no ambiente salgado do mar são causadas em sua
maioria por corrosão e por indução; defeitos mais comuns são em fusíveis, em
interruptores e mau contato nos terminais (oxidação).
A corrosão eletrolítica é a grande destruidora de contatos, condutores, chaves de onda,
interruptores, etc.
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A indução elétrica (centelhamento durante a partida do motor, campos nas proximidades,
etc.) podem ser evitadas; as mais traiçoeiras são as descargas atmosféricas, contra as
quais devemos prever as devidas proteções.
Uma nuvem carregada à baixa altura, induz no solo uma concentração de igual
quantidade de carga de nome contrário; quando a descarga é deflagrada, mesmo para outra nuvem (vamos enfatizar chamando-a de
descarga horizontal, no céu, entre núvens), as cargas que foram induzidas no solo tendem a se escoar de maneira equivalente,
instantânea.
Se no solo (na água, no nosso caso do barco) houver uma ponta (o mastro, no caso) a
concentração das cargas será nele e a corrente que se escoa será muito grande (tanto pelo
poder das pontas como pela forma fina e longa) e causará, por certo, forte indução com
danos ao equipamento eletrônico.
Isto, é bom frisar, sem ter havido descarga (raio) direta sobre o mastro.
A única providência que podemos tomar é um bom terra no mastro com um bom contato com a água.
Além disso, esta forte corrente fluindo pelo mastro, induz no guardamancebo (uma
verdadeira espira) uma alta corrente que pode queimar ou decepar quem estiver em seu
interior: por isso os cabos de aço do guardamancebo devem ter obrigatoriamente uma
interrupção (isolamento) da espira. Isto é de importância vitall.
Para amenizar os efeitos da indução atmosférica, o mastro de alumínio, os estais, o
guarda mancebo, os púlpitos, a carcassa do motor e todas as partes metálicas, devem ser
ligadas ao terra do barco por meio de um fio grosso de cobre. O terra do barco é uma
placa de cobre solidamente presa ao casco por fora, abaixo da linha d'água, normalmente na quilha. Obviamente, ela não deve ser pintada.
O sistema integrado de navegação eletrônica, com cartas náuticas digitalizadas e o GPS
mostrando a posição do barco, é a tendência natural e cada vez mais vem sendo utilizada.
Nesse caso, é necessário um programa para navegação, compatível com o sistema e o
GPS deve ser do tipo diferencial (DGPS) ou adotando um módulo corretor.
A astronômica com o auxílio do computador, constitui uma alternativa eficiente que pode
ser mantida no barco como processo principal ou empregada como processo alternativo
ou de reserva. E, sempre é bom lembrar, estar em condições de efetuar a
navegação por meio de tábua e almanaque.
Problemas usuais de navegação resolvidos numa simples digitação:
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escolher os waypoints para uma rota de menor distância;
dentre as várias proas numa orça (ou empopada), adotar a que oferece melhor
rendimento no sentido direto da chegada;
determinar a posição do barco rapidamente;
se um farol bóia no horizonte, num dado instante, determinar em quanto tempo o
teremos pelo través, com a lazeira desejada;
conhecendo o consumo de combustível para uma dada velocidade, determinar o
consumo para uma outra velocidade;
comprovar que o GPS está batendo ;
comprovar que as visadas de sextante estão corretas;
corrigir a proa para compensar a corrente e determinar a velocidade útil;
determinar as melhores horas de visadas, aquelas que fornecerão a maior precisão;
resolução de triângulos esféricos;
resolução de triângulos de posição;
determinar o erro do sextante (ei) e comprovar sua qualidade;
comprovar a qualidade das visadas;
determinar o erro na posição causado por erro na hora e o
sentido da correção;
determinar a proa correta para enfrentar uma tormenta;
determinar o Fuso, a Hora Média de Greenwich e a Hora Legal correspondentes;
calcular o TS0 do ano;
determinar se um ano é bissexto;
como estabelecer uma estratégia apropriada para cobrir um longo percurso;
como analisar as diversas vantagens: de barlavento, de distância e de corrente.
Características fundamentais de um receptor GPS:
1. Comunicação através USB com o computador;
2. Permitir acoplar antena externa;
3. Resistência à água e flutuar;
4. Bússola eletrônica;
5.Função CELESTIAL Sol (no mínimo);
6.Função MARÉ;
7.Alarme de proximidade;
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8.Função MOB, TRACKBACK (trilha Invertida), INVERSE ou REVERSE;
9.Recursos de mapas;
10.Pontos próximos.
Além disso, capacidade, de waypoints, trackpoints, rotas, mapas, etc.
Como exemplo, cito a serie Garmin GPSMap, em particular, por experiência própria, o GPSMap 62S:
Receptor de alta performance
Tela TFT colorido 3,8x5,6 cm
Resolução 160x240 pixels
Memória Interna
Expansão da Memória Via cartão Micro SD 128MB incluso
Identificação de Radares Fotográficos
Possibilidade de alerta de radares fotográficos
Mapa em 3D
Conexão USB
Suporte para Carro Opcional
Fonte de Alimentação
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2 Pilhas AA (até 18 horas op.contínua)
Bússola Eletrônica e Altímetro Barométrico
Cartão micro SD de 64MB
Cabo interface PC/USB
Clip de cinto
CD MapSource Trip & Waypoint Manager
Prega de pulso
Manual de operação
Guia de referência rápida
GPS USB
Capítulo III - NAVEGAÇÃO AUTOSUFICIENTE
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A despeito da existência de vários sistemas de posicionamento global, o norte americano continua aperfeiçoando o seu sistema de navegação autosuficiente,
embora o seu NAVSTAR GPS seja o de maior sucesso mundial e, até agora, o único disponível para uso geral (os demais Glonass, Galileo, GNSS são
restritos).
O conhecimento de processos astronômicos de navegação, precisos e confiáveis é bem antigo, apenas não se dispunha de instrumento adequado para
tornar o seu emprego tático em terra suficientemente prático ou, pelo menos, aceitável.
A autosuficiência é uma característica fundamental de qualquer grupo, desde excursionistas, andarilhos, caçadores, velejadores, desde a sobrevivência até a
navegação: não se deve depender absolutamente de mais nada além do que se dispõe.
Rondon, além de processos astronômicos de alta precisão para as determinações de marcos de fronteira e geodésicos, navegava na selva empregando
processos simplificados (passagem meridiana dos astros) com teodolito, referência no plano vertical, o que subentende a instalação e colimação do pesado e
delicado instrumento.
Por aqui, os sistemas de posicionamento por satélites (o TRANSIT, disponível desde 1967) eram apenas notícia,na década de 70. Com o posterior
surgimento do Navstar GPS (Global Positioning System), declarado operacional em 1995, mas já bastante empregado desde bem antes, os estudos dos
demais processos objetivando a navegação autosuficiente foram arquivados, relegados, até que problemas graves foram surgindo, fazendo-se imperioso
estabelecer um processo autosuficiente. Justamente o mais grave problema do GPS é estar sob o controle de outra nação.
O sextante de bolha (sextante aeronáutico), independente do horizonte, permitiu o seu emprego em terra, contornando o uso do teodolito, que era, pelo peso
e volume, de uso incômodo. Logo em seguida, porém, surgiram os adaptadores de horizonte virtual para os sextantes (bubble attachment).
22
Com a adoção do computador, o inconveniente dos trabalhosos e demorados cálculos foi eliminado. A determinação da posição, latitude e longitude do
observador, é quase instantânea, às vezes até mais rápida que o GPS, quando o céu está limpo.
Desde 1980, quando se teve notícia do surgimento do CelNav (Day/Night Sight Reduction Electronic Sextant), inventado por Fred Leuchter, engenheiro norte
americano, com apoio do U.S. Naval Observatory, Washington, DC., e que vem sendo aperfeiçoado até os dias de hoje (embora não comercializado por
razões econômicas e pelo emprego essencialmente militar), o sistema autosuficiente recebeu novo impulso, principalmente na parte de software dedicado de
navegação.
O instrumento se assemelha a uma pequena câmera de vídeo, com computador e cronômetro incorporados. O coração do instrumento é um codificador ótico
em forma de tambor, com estabilizador giroscópico que o torna independente do horizonte (referêncial).
Pode ser utilizado a qualquer hora, de dia e de noite, uma vez que é dotado de um amplificador de luz para facilitar as visadas.
A precisão da determinação da posição é muito superior à obtida no simples processo com bússola e distância percorrida, e depende muito da perícia do
observador.
Para determinar a posição, o operador apenas efetua a visada do astro e aciona o gatilho existente no punho quando um led verde no visor indicar que o
instrumento está horizontalizado. A obtenção da posição do observador é imediata, mostrada na tela do instrumento (latitude, ϕ, e longitude, λ) e que são
armazenadas em sua memória.
Referências:
Proceedings of the Institute of Navigation, Washington, DC, June 1983; F. A. Leuchter, S. Feldman, and P. K. Seidelmann, A new advanced day/night
electronic sextant, in Proc. 38ith Annual Meeting The Institute of Navigation(June 1417, 1982.
nd
The Sextant Handbook – Bruce Bauer, 2 Ed – 1995).
23
Capítulo IV - PROGRAMAS DE APLICACÃO
Para aumentar a confiança no seu uso diário, são dadas algumas informações sobre cada assunto e inúmeros exemplos práticos, que
também servem de comparação (comprovação).
Os programas que dependem de efemérides são válidos até o ano de 2099, mas limitamos ao período de 1950 até 2050.
É bom notar que podemos resolver problemas desse intervalo modificando o ano e salvando no próprio aplicativo.
As respostas dos exemplos foram dadas sem formatação, para permitir uma melhor comparação.
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1. Baricentro – ou centro de massa
É o centro de gravidade da massa de dois corpos celestes que orbitam um ao redor do outro.
Um ponto comumente aceito para decidir entre um sistema planetasatélite ou um planeta duplo é baseandose na localização do centro de
massa dos dois objectos (baricentro).
Se o baricentro não está localizado sob a superfície de qualquer corpo, então podese referir ao sistema como um sistema de planeta
duplo.
Neste caso, ambos os organismos orbitam em torno de um ponto no espaço livre entre os dois.
Uma definição simples e direta para diferenciar um sistema planetasatélite de um planeta duplo, além da massa e das dimensões, seria a
questão orbital. Neste caso, o sistema só será um planeta duplo se o centro de massa estiver fora do corpo do astro dominante.
Exemplo no próprio formulário do aplicativo.
2. Conversão de Unidades de Distâncias
Converte entre km, m, UA, ano-luz, dia-luz, minuto-luz, segundo-luz e pc
Com base em:
1 UA = 149597870 km
1 ano-luz = 9,460528405E12 km
1 pc = 3,08572964E13 km
1 km = 3,240724615E-14 pc
Parsec:
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Se p=1” vem que d=1 pc
1 pc = paralaxe de 1”
d(em pc) = 1/p” ... distância em pc = 1/(paralaxe em segundos de arco)
d(em UA) = 1/(paralaxe em radianos)...distância em UA= 1/(paralaxe em rd)
1 pc = 3.2616 ano-luz
1 ano-luz = 0.3066 pc
Se a estrela Alfa Centauri C tem uma paralaxe de 0.756”, ela está a 4.31 anos-luz de nós.
1/0.756 = 1.322751323 pc = 4. 31 anos-luz.
Notações empregadas para números muito grandes
1=1E0
10=E1
1000=E3
1/10= 0.1=E-1
1/100=0.01=E-2
1/1000=0.001=E-3
Exemplos: 10000.0= E4
1/(En)=E-n
0.00001=E-5
1/(E-n)= En
1/1000=1/E3 = E-3
1/0.00001 = 1/E-5 = E5
10E3x10E4 = 10E7
0.00001x100=E-5xE2=E-3
3. Distância angular entre dois astros
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Em função de suas declinação (δ) e ascensão reta (α):
cos D = sinδ1.sinδ2 + cós δ1.cos δ2. cos(α1 - α2)
Para ângulos muito pequenos (< 1°) não se aplica, uma vez que são duvidosos os resultados.
Por exemplo:
cos 0° 01’ 00 = cos (1/60)° = 0.9999999577 ou 0.999999958
Exemplos:
a) Em determinado ano:
Aldebaran: α = 69°
δ= -17°
Antares: α= 247°
δ= 26°
Separação, D= 170°49’
b) Entre Antares e Spica: Resposta: D=32.8237°= 32° 49’ 25.32
Antares: α=213.9154° e δ = 19.1825°
Spica: α=201.2983° e δ = -11.1614°
D=32.7930°= 32°48’.
Podemos medir a distância angular entre dois astros empregando o sextante.
4. Elipse_Órbita
Os parâmetros da elipse são determinados com precisão, exatamente, exceto o seu perímetro (comprimento), para o que empregamos a
fórmula aproximada de Ramanujan (1914):
L = π*(3*(a+b) - sqr((a+3.b)*(3.a+b))
Na segunda parte do aplicativo ( botão 2):
São calculadas as velocidades:
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Instantânea V
Velocidade no periélio, Vp
Velocidade no afélio, Va
Exemplo (problema 33.c, pg 238 do Astronomical Algoritms de Jean Meeus):
O cometa Halley quando retornou às proximidades da Terra, em 1986, tinha os seguintes parâmetros:
a= 17.9400782 UA
e=0.96727426
Obteremos: quando o cometa estava a b= 1 UA do Sol: V=41.53 km/s
No periélio: Vp = 54.52 km/s
No afélio: Va = 0.91 km/s
As fórmulas destas velocidades constam da própria capa do livro de Jean Meeus (2ndEd/2000 inglesa).
5. Equação de Kepler
A equação de Kepler é empregada para cálculo de órbitas elípticas.
O ponto inicial para os cálculos é a anomalia média (AM), que corresponde ao ângulo de um corpo fictício num movimento circular de mesmo
período e no mesmo sentido do corpo real, à partir do periélio. AM é facilmente calculada.
O parâmetro desejado é a anomalia verdadeira (true), AT.
Ambas AM e AT são relacionadas por AE, anomalia excêntrica, por intermédio da equação de Kepler:
AM = AE – (e *. sin AE)
e = excentricidade da órbita elíptica.
AT = AM + (2* e* sin AM)
…. rd
Kepler mostrou que o problema pode ser reduzido ao cálculo da raiz AE de uma equação transcendental:
AE – e.sinAE = 2.π.t/T
onde t é o tempo medido a partir da passagem pelo periélio, e T é o período da órbita. Encontrado o ângulo AE, que Kepler chamou de
anomalia excêntrica, a posição do planeta fica determinada pelas relações
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r = a.(1 e.cosAE) e
tan θ/2 = sqr((1+e)/(1e))*tan(AE/2)
onde r é a distância do planeta ao Sol, e o ângulo θ é medido a partir do periélio (o ponto de máxima aproximação).
a = semieixo maior
e = excentricidade da elipse.
Encontrado o ângulo AE, que Kepler chamou de anomalia excêntrica, a posição do planeta fica determinada.
Para compreender melhor o problema, entrar em:
www.professordefisica.net/astronomia/MovElipt.ppt
É um PoewrPoint elaborado pelo professor R.Boczko, da IAGUSP.
Exemplos:
a) AM= 5° e=0.100
Resposta: AE= 5.554589°
b) AM= 135° e=0.012045568
AT= 6.139762°
AE= 135.4838781652°
AT= 135.9657017443°
c) AM= 135° e= 0.128
AE= 139.73959°
AT= 144.273919°
Ver http://orbitsimulator.com/sheela /kepler.htm
6. Escape
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Velocidade de escape ou velocidade de fuga
Ve = Sqr(2.G.M/R)
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G é a constante de gravitação universal ( G=6,67.10
centro do corpo celeste.
m3s2kg1), M é a massa do corpo celeste e R é a distância que o objeto está do
Exemplos:
a. M=5.98E24 kg
R=6.38E6 m
Ve =11.2E3 m/s
b. Lua
Massa = 7.34E22 kg
Raio = 1738 km
Ve = 2,3736 km/s
c. Para Marte
M=6.4E23 kg
R=3.4E6 m
Ve=5,0115 km/s
7. Estrelas PMd
Calcula o momento em que uma determinada estrela passa no meridiano superior do observador (na ponta domastro) à meia-noite.
É uma dúvida que aflige o observador: quando poderá ser observada determinada estrela, conhecida sua ARV (ascensão reta versa)?
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Programação baseada no artigo do Astrônomo João Luiz Kohl Moreira: http//obsn3.on.br/~jlkm/visibility/visib_astro.html
Caso a estrela não conste da relação do aplicativo, calcular no quadro do lado.
Vamos encontrar: em janeiro, à meia noite.
CANOPUS: ela estará passando no meridiano superior do observador, à meianoite, em janeiro.
No aplicativo, está lá: CANOPUS, Carena, Alpha Carinae, Quilha. Ao sul de Sirius. Estrela guia do navio Argus. Hoje, pelo seu brilho, é a referência para
equipamentos das naves espaciais tripuladas.
ARV=264°, Declinação=53°
PMd a meia-noite em JANEIRO.
8. Geóide
Superficie que a cada ponto é perpendicular ao fio de prumo.
É a que mais se aproxima da forma da Terra.
Na Terra, a geóide é a superfície que corresponderia ao nível da água em canais imaginários cortados através dos continentes.
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Adotam se duas formas da Terra: geóide e elipsóide.
A superfície do terreno, com seus vales e montanhas, é denominada em Cartografia de superfície topográfica.
Essa é a superfície que, em geral, representase sobre um sistema plano de coordenadas.
Primeiramente, projetase a superfície topográfica ortogonalmente sobre uma superfície de nível esférica.
O Geóide não possui uma forma matemática ou geométrica conhecida. Ele, portanto, não pode ser usado como uma superfície de referência para o posicionamento de pontos
da superfície topográfica.
O geóide é a superfície de nível usado para apresentar a forma da Terra: ele é a superfície de nível de altitude igual a zero e coincide com o nível médio dos mares.
A superfície adotada como referência para os cálculos de posição, distâncias, direções e outros elementos geométricos da Cartografia é a elipsóide.
O elipsóide é uma figura simples que se ajusta ao geóide com uma aproximação de primeira ordem. O elipsóide é formado a partir de uma elipse de revolução em torno do seu
eixo menor (nortesul).
Superfície da Terra
Geóide (nível
médio dos mares)
b
a
Elipsóide
Datum
Datum geodésico é o ponto de coincidência das duas superfícies: geóide e elipsóide.
Por exemplo, o Datum localizado na cidade de Uberaba (MG) é denominado Chuá, e faz parte da Rede Brasileira de Marcos, origem do referencial SAD69 do Sistema
Geodésico Brasileiro, tem as seguintes coordenadas:
ϕ = 19° 45’ 41,6527 S , λ= 048° 06’ 04,0639 W
O ponto (Estação Meteorológica da UFJF) usado como referência para trabalhos topográficos, tem as seguintes coordenadas geodésicas (SAD69): 21° 46’ 10,46013 S e
043° 21’ 49,88313 W
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No Referencial Geocêntrico WGS84: 21° 46’ 12,23225 S e 043° 21’ 51,37072 W
Latitude e latitude geocêntrica:
ϕ = latitude em O
ϕ’ = latitude geocêntrica em O
Nos pólos, elas são iguais e de sinais contrários: abs (ϕ) = abs ( φ )
Exemplo: Latitude de Chicago = 42° Altitude = 10 m
Calcular, empregando o aplicativo Geóide , as latitudes geográfica e geocêntrica, bem como os demais parâmetros do geóide.
Respostas: Rp = 4747,001 km 1° de longitude = 82.8508 km Velocidade linear = 0.34616 km/s Rm = 6364.033 km 9.
9. Intervalo de Dias
Entre duas datas
É imediato: preencher as datas e obter o resultado.
Exemplo: entre 15 de junho de 1990 e 15 de junho de 2011:
Resposta=7670 dias
10. JD
O número do dia Juliano (JD) corresponde a uma contagem contínua dos dias desde o início do ano de 4712. Por tradição a contagem é
iniciada às 12 h TU. Também é denominado JDE (Julian Ephemeris Day).
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O nome Ephemeris vem de Ephemeris Time, antigo nome do Dynamical Time.
JD é diferente de data; data corresponde a algum ano, mês e dia de um calendário.
Poderia ser entendido como uma data no calendário Juliano, o que não acontece.
JD nada tem com o Calendário Juliano.
Exemplos :
a. Abril, 26.4 UT de 1977 = JD 2443259.9 ou
Abril, 26.4 TD de 1977 = JDE 2443259.9
b. 1° jan de 2000, às 12 UT: JD = 2451545.0 : que é designado de J 2000.0 época padrão de origem do tempo.
11. JDData
Converte o número JD em data do nosso calendário (gregoriana).
Exemplo: JD 2451545.0 corresponde ao dia gregoriano 1/1 ao meio dia.
12. Massa
O aplicativo considera dois sistemas, um conhecido tomado como referência.
Emprega a 3ª lei de Kepler modificada por Newton.
Exemplo: Sistema Terra Lua (referência) e Urano Titânia (no próprio form do aplicativo).
13. Milênios Julianos
As datas civis são espressas no calendário Gregoriano, instaurado em 1582.
Para cálculos de posição em Astronomia, no entanto, é mais conveniente empregar o calendário Juliano.
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A União Astronômica Internacional decidiu que, a partir de 1984, a época origem de
contagem do tempo é 01/01/2000 ao meio dia, que corresponde ao dia Juliano de
2451545,0 e é designada por J2000,0.
O tempo utilizado em todos os cálculos de posição é em milênios Julia nos (exceção da
Lua, onde se emprega o século Juliano), a partir de J2000,00.
Exemplos:
1) Determinar o tempo T em milênios Julianos correspondente a 18 de maio de
1984 às 173455 T.U.
Entrando no programa correspondente, determinamos T= 0.015 621 539 milênios
Julia nos.
O sinal negativo refere se à origem de J2000,00.
2) Determinar o tempo T em milênios Julia nos correspondente a 1/1/2000 às 120000.
T=0
14. Newton
Força de Gravitação Universal:
F=G.
m1.m2
d2
........N (no Sistema Internacional)
𝐺𝑇 = 6,673𝐸 − 11 𝑚2 . 𝑘𝑔−2 . 𝑠 −2 ....... para a Terra
G=6.673E11 N.m/kg^2 : constante universal
Para a Terra: g=9.8 m/s2
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15. Número do Dia
Converte o número do dia do ano em data.
Em todo aplicativo de efemérides, consta o seguinte:
Static N(12)
'para determinar valor da Declinação
Let N(1) = 0: N(2) = 31: N(3) = 59: N(4) = 90: N(5) = 120: N(6) = 151
Let N(7) = 181: N(8) = 212: N(9) = 243: N(10) = 273: N(11) = 304: N(12) = 334
Onde N(Mês): N(6)=151 para os dias de junho, etc.
16. Páscoa
Na programação, é empregada a fórmula de Gauss.
17. PerDist
Terceira lei de Kepler:
P^2 = K*a^3
P = período sideral do planeta
a = semieixo maior da órbita
Se medimos P em anos (período sideral da Terra) e a em unidades astronômicas, UA (distância média da Terra ao Sol), então K = 1 .
Logo: P^2 = a^3 : P em anos e a em UA.
No aplicativo PeriodoDistancia empregamos a fórmula M=(4*pi^2/G)*a^3/P^2) para determinar massas.
Se calcularmos a massa de Júpiter por meio de cada uma de suas luas, por exemplo, vamos encontrar de 1.8972E27 a 1.903E27 kg.
Aproximações razoáveis, uma vez que a massa de Júpiter é de 1.90E27.
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18.PeriodoDistancia
Terceira lei de Kepler modificada por Newton.
M=(4*pi^2/G)*a^3/P^2)
Exemplos: dois exemplos no próprio form do aplicativo:
TerraSol e TerraLua
18. TDUT
TD = Tempo Dinâmico (Dynamical Time)
UT = de Universal Time = é o tempo civil no meridian de Greenwich.
UT e GMT diferem de 12 horas, mas são tomados como idênticos.
A rotação da Terra está diminuindo de velocidade, sem lei definida, mas esta desaceleração está atualmente da ordem de 2 milissegundos por dia por
século. Por isso, a UT não é uniforme.
O Dynamical Time (TD) é definido atualmente por relógio atômico.
∆T = TD – UT = +86 segundos (em 2015).
Tempo Universal (UT, Universal Time) é o tempo civil de Greenwich.
O UT era chamado GMT (Greenwich Mean Time) ou Tempo Médio de Greenwich).
Ainda hoje a notação GMT (ou HMG) é muito utilizada em algumas áreas.
Ano sideral - o intervalo de tempo de uma volta da Terra em torno do Sol
em relação às estrelas fixas.
Este é o período para que a Terra percorra exatamente 360° em relação a um referencial fixo. O ano sideral tem atualmente 365d 6h 9m 10s.
Um ano trópico, também chamado ano das estações ou ainda ano solar, é o intervalo de tempo que o Sol leva para realizar uma volta aparente em torno
da Terra (consequência da translação do planeta), partindo do primeiro ponto vernal (ou ponto Gama), e retornando a ele. Ou seja, é o período de translação
da Terra.
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Do ponto de vista do observador terrestre, o ano sideral é o tempo necessário para o Sol completar 360° sobre a eclíptica. Podemos então definir o
movimento médio do Sol, como:
n = 360°/365.256366 dias = 0.9856091°/dia
lembrando que este movimento aparente anual do Sol é no sentido direto (ascensão reta).
O ano trópico tem atualmente uma duração de 365d 5h 48m 45s (ou 365.24219 dias), sendo um pouco mais curto que o ano sideral, já que o Ponto Vernal
tem um movimento retrógrado.
O nosso calendário se baseia no ano trópico, considerando uma duração de 365,2422 dias solares médios, ou 365d 5h 48m 46s. É por essa razão, duração
ligeiramente maior do que 365 dias, que existe o ano bissexto.
O ponto Gama tem como oposto o ponto Libra e ambos situam-se sobre o equador celeste e sobre a eclíptica simultaneamente. São interligados pela linha
dos equinócios que, por sua vez, é resultado da intersecção do plano do equador celeste com o plano da eclíptica. Em razão do movimento da precessão
(que é no sentido retrógrado), o plano do equador celeste realiza mudanças de posição, continuamente, no espaço ao longo do tempo fazendo com que a
linha dos equinócios realize um giro completo (360º) em 25 800 anos.
O ano trópico é, portanto, mais curto que o do ano sideral, cuja duração é de 365.2563 dias solares médios, ou 365d 6h 9m 10s.
Ano Anomalístico - o intervalo de tempo entre duas passagens da Terra pelo periélio define um ano, que é chamado anomalístico, e tem uma duração de
365.25964 dias solares médios ou 365d 6h 13m 53s, sendo, portanto, um pouco mais longo que o ano sideral devido `a precessão da órbita terrestre (que é
no sentido direto e não retrógrado como o movimento do ponto vernal).
Atualmente, a Terra passa pelo periélio por volta do dia 2 de janeiro, e pelo afélio por volta do dia 5 de julho.
O ano anomalístico aparece naturalmente quando é resolvido o chamado problema de Kepler (dois corpos ligados gravitacionalmente) para o sistema Sol–
Terra.
Ano draconiano - A a órbita da Lua também define um grande círculo na esfera celeste. Assim como a intersecção do equador celeste e da eclíptica definem
um ponto preciso, a intersecção da projeção da órbita lunar na esfera celeste e a eclíptica também definem um ponto de referência. O intervalo entre duas
passagens do Sol por este ponto define o ano draconiano, cuja duração média atual é de aproximadamente 346.62 dias.
O ano draconiano está relacionado com o ciclo de recorrência dos eclipses, correspondendo a 1/19 do ciclo de saros (18 anos 11 dias e 8 horas).
Da mesma forma que a translação da Terra define o ano, a translação da Lua em torno da Terra deu origem ao mês.
O movimento da Lua é mais complexo devido às suas irregularidades.
Mês Sinódico - É é o intervalo de tempo entre duas fases iguais da Lua (Lua Nova a Lua Nova).
Tem uma duração média atualmente de 29.5306 dias.
Devido à complexidade da órbita lunar, em razão das perturbações da Terra, dos planetas e do Sol, da excentricidade e da inclinação de sua órbita, a
duração real do mês sinódico pode variar de aprox. 7 horas em torno do valor médio.
É o mês sinódico que deu origem ao mês utilizado nos calendários (a recorrência das fases da Lua).
Mês Sideral - É o período de translação da Lua em relação a um referencial fixo (estrela fixa a estrela fixa).
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A duração média de um mês sideral é de 27.3217 dias. A diferença com o mês sinódico se explica pelo fato deste depender de uma composição dos
movimentos da Terra e da Lua.
O mês sideral é exatamente igual (com uma precisão de 0,1 segundos) ao “dia” lunar, isto é, o período de rotação da Lua em torno dela mesma. É por esta
razão que sempre vemos a mesma face da Lua (na realidade vemos cerca de 60% da superfície lunar devido às perturbações solar e planetárias, além da
inclinação relativa da órbita lunar).
Tempo Dinâmico (TD) - é a variável independente que aparece nas equações de movimento
dos corpos celestes. Na física newtoniana a escala de tempo dinâmico é absoluta (invariante para qualquer observador). Contudo, segundo a teoria da
relatividade, o tempo dinâmico depende do sistema de coordenadas utilizado. Assim define-se o tempo dinâmico terrestre, TDT e o tempo dinâmico
baricêntrico, TDB, referente ao baricentro do sistema solar (aproximadamente o centro do Sol).
A menos que se deseje uma precisão muito alta (a menos de um milissegundo) podemos admitir que:
TDT = TDB = TD.
Tempo das Efemérides - desde os anos 20 ficou claro que a escala de tempo baseada no dia solar sofria de muitas irregularidades devido à irregularidade
da rotação terrestre, principalmente devido à diminuição progressiva da velocidade de rotação da Terra causada pelos efeitos de maré luni-solar.
A necessidade de uma escala uniforme levou ao desenvolvimento do tempo das efemérides (ET) nos anos 40 e sua adoção em 1952, baseada nas
equações de movimento dos planetas e da Lua.
Para tanto, foi introduzido um fator de conversão entre o Tempo Universal e o
Tempo das Efemérides: ΔT = ET− UT.
A partir de 1984, é utilizado o tempo dinâmico (TD) ao invés do tempo das efemérides (ET). A escala de tempo dinâmico é, na prática, uma continuação da
escala de tempo das efemérides.
Tempo Atômico - desde 1972, o TAI é utilizado oficialmente como escala de tempo padrão a partir do qual as outras escalas de tempo podem ser derivadas.
O TAI não depende da análise das observações dos movimentos de astros e tem uma precisão apreciável.
O TAI é determinado com uma precisão de 2E−14 segundos, isto é, 1 segundo em 1.400.000 anos (um bom relógio de quartzo tem uma precisão de 1
segundo em alguns poucos dias). Em um futuro próximo, a precisão do TAI pode chegar a 10E−16 segundos.
Tempo universal coordenado e Tempo Legal (ou Civil) - o tempo universal coordenado, UTC é definido a partir do tempo atômico internacional.
UTC é simplesmente TAI mais um número inteiro de segundos de modo a que a diferença entre UTC e UT não seja nunca superior a um segundo.
A diferença entre UT e UTC (ou TAI) é simplesmente devido à frenagem da rotação da Terra e das definições de segundo no TAI e no UT.
Esta desaceleração está atualmente na ordem de 2 milissegundos por dia por século. Extremamente pequena, portanto.
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NAVEGAÇÃO:
1. Almanac
Fornece a Declinação (δ) e AHG do Sol para qualquer , hora, minutos e segundos entre 1950 e 2050.
Exemplos:
a) Dia 15/12/1990 HMG= 142207 :
δ =-23° 16.44’ AHG= 36° 45.3’
b) 07/08/2000
HMG= 114948 :
δ = 16° 15.2’ AHG = 356° 0.8’
c) 15/06/2010 HMG =132245:
δ= 23° 19’
AHG= 20° 34.05’
Testando, por comparação com o Almanaque Náutico (DHN):
DIA 15 DE CADA MÊS - SOL
ANO: 1991
Do ANB
HMG
AHG
δ
JANEIRO
13
12° 40.2’
S21° 09.2’
16
57° 39.6’
S21° 08.9’
012° 39.9’
057° 39.3’
-21° 09.2’
-21° 07.9’
FEVEREIRO
13
16
11° 27.5’
56° 27.6’
S12° 44.3’
S12°41.7’
011° 27.2’
056° 27.4’
-12° 44.2’
-12° 41.6’
MARÇO
13
16
12° 44.3’
57° 44.8’
S02° 12.5’
S02° 09.5’
012° 43.9’
057° 44.5’
-02° 12.5’
-02° 09.5’
Computador
δ
AHG
40
DIA 15 DE CADA MÊS - SOL
ANO: 1990
HMG
AHG
JANEIRO
13
12° 38.9’
16
57° 38.2’
Do ANB
Computador
δ
δ
AHG
S21° 06.7’
S21° 05.4’
012° 38.6’
057° 37.9’
-21° O6.6’
-21° 05.4’
FEVEREIRO
13
16
11° 27.7’
56° 27.8’
S12°39.3’
S12°36.7’
011° 27.3’
056° 27.6’
-12° 39.2’
-12° 36.6’
MARÇO
13
16
12° 45.4’
57° 45.9’
S02° 06.8’
S02° 03.9’
012° 45.0’
057° 45.5’
-02° 06.7’
-02° 03.8’
Vemos que as diferenças são irrisórias.
2. Área Vélica
Determina a área do triângulo básico de proa do veleiro em função dos lados (esteira, valuma e testa).
Facilita a pesquisa do preço básico da vela.
Exemplo: esteira=3.5 m, testa=10m, valuma= 12.5m Área=13,611 m^2
3. Bissexto
O ano será bissexto se for divisível por 4, desde que não seja divisível por 100, exceto se
for divisível por 400.
O nome bissexto se deve ao fato de que nos anos 45 a.C., época em que Júlio César
encomendou a reforma do calendário ao astrônomo grego Sosígenes, os meses eram
divididos em três partes: calendas , nonas e idos . O primeiro dia do mês era
41
denominado kalendae (que deu origem ao termo calendário). Ao decidir incorporar um
dia ao mês de fevereiro, Júlio Cesar preferiu repetir um dia e o denominou de
28novamente (em latim: bis VI antediem calendas martii, ou, simplesmente,
bissextum).
Apenas como processo mnemônico, é dito nos anos bissextos, o 6 é repetido:366 dias .
A regra dos anos bissextos, surgiu da fração 365,2425 = 365 dia + 97/400
Portanto, bastaria criar 97 anos bissextos a cada 400 anos. Mas, um bissexto a cada
quatro anos resultaria em 100 bissextos a cada 400 anos. Logo, para 97, tiraremos três.
E a escolha recaiu sobre os que são divisíveis por 100. Mas destes há quatro em cada 400.
Então, a solução foi excluir os que são divisíveis por 400.
Roteiro da programação (algoritmo):
Ano/4 = int: Ano/100 = int:
Ano / 400 = int : é bissexto.
= frac: é bissexto
= frac: é comum
Ano/4 = frac : é comum.
Exemplos:
1600
1700
1800
1900
1908
2000
: bissexto
: comum
: comum
: comum
: bissexto
: bissexto
2100 : comum
2200 : comum
2300 : comum
2400 : bissexto
2800 : bissexto
3000 : comum
Portanto, apenas a divisão por quatro não é suficiente para determinar se o ano é bissexto:
se ele não for divisível por 4, é comum. Se ele for divisível por 4, devemos verificar se é
divisível por 100; se for fracionário, é bissexto; se for inteiro, deveremos verificar se é
divisível por 400. Se esta divisão for inteira, é bissexto; se for fracionária, é comum.
42
4. Consumo de Combustível
O consumo de combustível varia com o cubo da velocidade, para um determinado tempo
e com o quadrado da velocidade para uma determinada distância.
C2 = C1 * (v2)³ / (v1)³
C2 = C1 * (v2)² / (v1)²
Exemplos:
1) Conhecendo o consumo à uma determinada velocidade, qual o consumo em uma nova
velocidade? v1=5 C1=1.5 v2=4
Resposta: C2=0.768
2) Conhecendo o consumo para cobrir uma determinada distância a uma certa velocidade,
qual o consumo para percorrer a mesma distância em uma outra velocidade?
v1=5 C1=1.5
v2=4
Resposta: C2=0.96
3) Se o consumo é de 2,5 litros por hora na velocidade de cruzeiro de 6 nós, qual a
velocidade que devo adotar para percorrer 200 milhas com apenas 60 litros de
combustível? ( Este problema poderia ser enunciado: o mastro quebrou a 200 milhas do
ponto mais próximo de reabastecimento e você só dispunha de 60 litros de OD...).
Por tentativas, rapidamente determinase (opção 1 do programa): v2 = 5 nós e
C2 = 1,5 litros/hora. Se mantiver a velocidade de 5 nós, levarei 40 horas para cobrir as
200 milhas e o consumo será de 40 x 1.5 = 60 litros.
5. Coversão de Temperatura °C / °F
43
E vice versa:
C = (5/9)*(F32)
F= (9/5)*C+32
a) 25°C= 77 °F
b) 86°F= 30°C
6. Correção da Altura Instrumental
Corrige ai , altura instrumental, obtendo ao , altura observada.
∆a = ao – ae ..............é o intercepto, ou diferença das alturas
Só empregamos o Limbo Inferior, em todos os programas.
A altura instrumental, ai, é corrigida do erro instrumental e da depressão aparente (dip),
obtendose a altura aparente, aap.
A aap é corrigida da refração, da paralaxe e do semidiâmetro, obtendose a altura
observada, ao, que entra nos cálculos da posição.
Na ponta do lápis, será:
ai :
ei :
ai + ei :
correção da depressão:
altura aparente, aap:
correção da refração:
correção da paralaxe:
correção do SD:
ao =
altura instrumental
erro instrumental (pode ser + ou )
ai mais ei (soma algébrica)
(subtrativa)
resultado parcial
+
+
(subtrativa)
(aditiva)
(aditiva)
altura observada (resultado)
44
Só visar o Sol quando ele estiver acima do horizonte de 15º, para evitar a forte refração
das baixas alturas.
Não foram consideradas as correções complementares para condições anormais de
temperatura e pressão, por motivos óbvios (fazendo a comparação dos resultados com e sem, veremos que são irrelevantes). Para quem
desejar usá-las, é só inseri-las na programação.
Correção da Refração = 0,98 / tan aap ....em minutos de arco ... é subtrativa.
Correção da Paralaxe = 0,146* cos aap ..em minutos de arco ...é aditiva.
Correção do SD = K0,0125* δ... em minutos de arco ...aditiva (para Limbo Inferior).
K=16,077 ... de jan/jun
K=15,988
jul/dez
Nota: o Almanaque Náutico (DHN) adota os períodos de out /mar e abr /set., o que redundará numa pequena diferença na comparação dos
resultados.
Exemplos:
1) Dia 10/04/2000
ai = 54° 21.81'
ao = 54° 32.66'
2) Dia 04/06/1998
ai = 30° 30'
corr. ei = 2' dip=-2.5’
ei = 1’
dip=-2.5’
Obteremos ao = 30°40.75'
7. Correção da Depressão Aparente (dip)
Calcula a correção da depressão aparente em função da elevação (altura do olho) do
observador.
45
A depressão aparente é resultante de se usar o horizonte visual como origem das alturas
observadas com o sextante; a correção, portanto, é subtrativa.
No cockpit de um veleiro de cerca de trinta pés, a altura do olho ( elevação) é de
aproximadamente dois metros, resultando uma correção da depressão de 2,5’ (menos
dois e meio minutos).
Correção da depressão = 1,77 * sqr(hm) ... em minutos de arco (‘)
hm: altura do olho, em metros; é subtrativa.
Exemplo: hm = 2 m
correção da depressão = -2.5 '
8. Correção para a Corrente (CAP)
Ou correção de proa para a corrente.
É mais um exemplo de composição de vetores:
46
Vy
Vr
Va
b
Vx
Vmg
a
0
vb = velocidade do barco
Rs = rumo em relação ao solo
vc = velocidade da corrente
Rc = rumo da corrente
β = Rs ± Rc ± 180°
α = asn (vc*sin β/vb)
γ = 180° – (α + β )
Vb
47
α = ângulo de correção de proa
β = ângulo entre vc e Rs
γ = ângulo entre vb e vc
Proa = Rs ± α
vs = vb*sin γ / sin β
Não esquecer da convenção de sentido: a corrente vem; o barco vai.
Exemplos:
1) vb=6’ Rs=271°
Teremos: α = 13.4°
2) vb=6’ Rs=30°
Teremos: α = 9.6°
vc=2’ Rc=135°
Proa = 257.6°
vc=2’ Rc=60’
Proa = 39.6°
3) vb=6’ Rs=120° vc=2’ Rc=340°
Teremos: α = 12.4°
Proa = 107.6°
vs=7.3’
vs=4.2’
vs=7.4’
4) vb= 10’
Rs=0°
vc=2’
Rc=90°
Teremos: α = 11.54°
Proa = 11.54°
β = 44°
β = 150°
β = 40°
γ =122.6°
γ =20.4°
γ =127.6°
vs=9.8’
9. Erro da Posição por erro na Hora
Um erro na hora da visada causará um erro na posição da reta de altura correspondente.
Se a posição é determinada por duas ou mais retas, basta corrigir a posição determinada
pelo cruzamento.
Quando não temos meios de aferição para acertar o relógio, mas conhecemos a sua
marcha (erro diário), não é conveniente tentar zerar o erro; é melhor corrigir a posição.
48
Sem um meio de aferição (comparador, rádio, etc.), é arriscado perder a referência ao
tentar zerar o relógio pela marcha: qualquer falha na operação, poderá resultar na perda
da hora exata.
Para um determinado erro da hora, o erro na posição será máximo para um observador no
equador (latitude nula) e para um azimute de 90º (ou 270º ).
O erro na posição causado por erro do relógio será nulo quando o astro cruzar o
meridiano do observador (A=0º ou 180º ).
Se o relógio está adiantado, a posição locada estará para oeste, logo a correção deverá ser
para leste, e vice versa.
D= e/4 * cos ϕ * sen A ... milhas
Sendo e = erro do relógio em segundos; ϕ = latitude do observador ; A = azimute
Portanto, não basta especificar a latitude do barco para saber o erro; o azimute (ou ângulo
no zênite), tem que ser incluído.
É comum ouvir dizer: um erro do cronômetro de 4 segundos, produz um
erro na posição de uma milha. Isto só é válido se ϕ = 0 (observador no equador) e
A = 90º (ou próximo a este valor). Como normalmente escolhemos as visadas quando o
Sol está a 45º de azimute, o erro da posição será de 0.71 milhas para 4 segundos do erro do cronômetro, na latitude zero.
Exemplos:
a) ϕ= 27.725° = 27° 43.5’
A=263.2°=23°12’
ε=23 segundos (atrasado)
Obtemos: D=5.05 segundos (corrigir para W)
49
10. Erro Instrumental e Semidiâmetro
Determina a correção do erro instrumental (erro do sextante), já com seu sinal.
Emprega o processo da superposição das imagens refletida e direta, visando diretamente
o Sol com o sextante à zero (não esquecer de introduzir os filtros, ou vidros corados); ler
e inverter as duas imagens acionando o tambor; e tornando a ler. Ver Anexo VIII.
Efetuar três leituras de cada par de imagens.
Este processo fornece uma boa comprovação da exatidão das nossas visadas.
Antes de qualquer observação, dar uma verificada no dente do sextante, visando o
horizonte.
Facilmente será demonstrado se o sextante está ajustado (o sextante de plástico desajusta
com muita facilidade): ajustálo (ver o manual do instrumento).
É fornecido o valor do SD do dia, para comprovação do que foi medido.
Estas medidas, do ei e do SD, podem ser feitas de qualquer lugar, desde que se aviste o
Sol: elas não dependem de horizonte.
Este detalhe torna o processo muito útil para o treinamento, para pegar o jeitão do
sextante: até da varanda do apartamento podemos empregálo.
O observador deverá determinar antes qual o seu olho mestre, aquele que deve ser usado
nas visadas. Para isto, colocar um dedo à frente com o braço distendido e fazer pontaria
por ele em um objeto distante, com os dois olhos abertos. Fechar um olho por vez: o olho
mestre é o que mantém a pontaria.
Para melhorar a precisão da medida da altura:
girar ( r o c a r ) o sextante com jogo de munheca, para determinar o ponto de perpendicularidade, onde deve ser feita a leitura (ponto de
tangência do astro com o horizonte);
efetuar a leitura na crista da onda (para afastar o horizonte).
Exemplo:
F1=28.2'
D1=32.7'
Teremos: ei = 1'
F2=30.9’
F3=28.2’
D2=32.8’
D3=32.9’
SD = 15.925'
(valor exato=16.36')
50
11. Fuso Horário
Fuso e HMG correspondente a uma Hleg.
Em reunião internacional de astronomia, em Washington, em 01/Out/1884, ficou
estabelecido que o meridiano de Greenwich seria o meridiano origem, uma vez que a
Inglaterra era a possuidora do maior número de cartas impressas, referidas ao mesmo.
No entanto, até hoje outras nações continuam construindo cartas com seus meridianos de origem a bel prazer: é preciso tomar muito cuidado
com isto.
Dividiuse a superfície terrestre em 24 fusos de 15º ou de 1 (uma) hora cada.
Eles foram numerados de 0 a +12 horas para Leste e de 0 a
Greenwich.
12 horas para Oeste de
Por convenção, a hora legal (HLegal) de um lugar é a hora média do meridiano central do
fuso a que pertence o lugar.
Hora Média de Greenwich, HMG, ou GMT (Greenwich Mid Time) ou TU (Tempo
Universal).
Lembrar que são feitas adaptações de horário para países de grandes extensões em
longitude, fato que não é considerado nos cálculos de navegação.
Navegando para W, o relógio de antepara vai sendo atrasado de 1 hora sucessivamente ao
passar de um fuso ao outro.
Ao cortar o meridiano de 180º , atrasamos 1 hora e pulamos um (adiantamos) 1 dia, para
compensar os atrasos sucessivos : se estávamos no dia 20, por exemplo, passamos para o
dia 21.
Pigafeta, encarregado do diário de bordo da expedição de Magalhães, não sabia disso
(poucos sabiam ) e faltava um dia no seu minucioso diário, o que causou muita discussão.
Navegando para E os relógios são adiantados; ao cruzar a Linha Internacional de
Mudança de Data; repetese um dia.
O fuso 12, cujo meridiano central é o de 180º , é dividido em duas partes, a primeira tem
51
numeração +12 e a segunda 12.
Exemplos:
a) λ = 86.16°=86°09.6’ HLeg= 12
f=6
HMG=18
HLeg=12
b) λ = 55.88° =55°52.8’
f=4
HMG=8
c) λ= 45°
fuso=3
HLeg=12
HMG=15
d) λ=45°
HLeg=12
fuso=3 HMG=9
e) λ=45°
HLeg=22
MsgBox 01 Dia seguinte
Λ=45° Hleg=23
HMG=02
f) λ=174°
HLeg=12
MsgBox LIMD de E>W, adiante (pule) um dia
A data muda, mas a hora não muda.
Navegandose para E: repete-se o dia
Navegandose para W : adiantase 1 dia
12. Horizonte
O programa determina o alcance visual e a distância a um farol (ou outro ponto) que
alaga ou bóia.
52
D = 2,08 * ( sqr(hm) + sqr(Hm) ) ... em milhas
hm = altura do olho, em metros
Hm = altura do farol, em metros
Exemplo: h = 2 m
H = 40 m , teremos D = 16' (milhas).
Ao boiar este farol, estaremos a 16’ dele (ou, afastando, ao alagar).
d1 = 2.08*Sqr(hm) : horizonte próximo; para h=2m, d1= 2.08.sqr(2) = 2.9'.
Subindo para as cruzetas, a digamos 10m, d1= 2.08 . sqr(10) = 6.5' .
Destas cruzetas, avistaremos o farol a D = 2.08 . (sqr(10) + sqr(40)) = 19.7' .
De cima do farol, um observador terá um horizonte próximo de d2 = 2.08.Sqr(Hm) ou
seja: d2 = 2.08 . sqr(40) = 13' .
13. Melhores Horas de Visadas
As melhores horas para as visadas são as que resultam em retas de altura que se cortam
ortogonalmente, perpendicular na carta, ou aproximadamente, aumentando a precisão do
corte. Sem incluir as horas dos fenômenos favoráveis, que devem ter prioridade (hora do
53
corte do primeiro vertical, máxima digressão, etc.).
Podemos visar o Sol a qualquer hora, contanto que ele esteja acima do horizonte de pelo
menos 15º, para evitar a forte refração das baixas alturas.
Essas retas são denominadas da manhã (antes da Passagem Meridiana) e da tarde; suas
alturas serão iguais ou aproximadamente iguais.
Nunca esquecer: Latitude S e Longitude E, são negativas
A fórmula é: T = 4 * (ϕ - δ)
O programa calcula a declinação do Sol para o dia (aprox.) e a hora da passagem
meridiana do Sol (aprox.).
Quando a declinação do Sol e a latitude do barco são aproximadamente iguais, o percurso
do Sol é aproximadamente sobre o paralelo do barco, de modo que ao meiodia ele estará
na ponta do mastro . Esta é uma situação incômoda, sendo difícil tomar as alturas e as
retas serão praticamente paralelas. É melhor visar uma hora antes e uma hora depois da
passagem meridiana, procurando efetuar várias visadas e pegar as melhores.
Conscientemente, você saberá quais foram as visadas perfeitas, na crista da onda e a hora
bem marcada no cronômetro.
Exemplos:
a) Dia 16/06/2000: ϕ = -20°
λ= 040°
1146
1440
1734
b) No dia 20/12/98. Posição estimada era: ϕ = 23° ; λ= 041° 30’
A latitude e a declinação (δ = 23.4°) resultarão para T um valor muito pequeno; para estes
casos, quando latitude e declinação forem de valores próximos, é melhor visar uma hora
antes da passagem meridiana, ou mudar o processo.
54
c) Dia 15/06/2011. Pos.Est ϕ= -18° λ=0 38°
Melhores:
1147
1432
1717
14. Ortodrômia (menor distância entre dois pontos)
A menor distância entre dois pontos n a s u p e r f í c i e d a T e r r a é determinada segundo um arco de grande círculo que passa pelos
dois pontos (geodésica); o cálculo é em função das coordenadas geográficas dos pontos de partida e de chegada (ortodrômia).
No programa é calculado também o rumo inicial.
O programa é de grande utilidade tanto no planejamento da rota e escolha dos waypoints,
junto com o GPS, tanto colocado no modo Simulator, como durante o trajeto, no modo de navegação.
O próprio GPS possui embutido este programa.
Ortodrômia é a navegação segundo arco de grande círculo, enquanto loxodrômia é a
navegação segundo ângulo constante com os meridianos, como as distâncias medidas na
carta de Mercator (rhumbline).
Exemplos:
a) Honolulu: ϕ = 21° 18.3’ ; λ = 157° 52.3’
São Francisco: ϕ = 37° 47.5’ ; λ = 122° 25.7’
D = 2080’ Ri = 54°
b) Recife : ϕ = -8° 06´
; λ = 34° 51´
Noronha: ϕ = - 3° 50´
; λ = 032° 24´
D = 295´
Ri = 30°
c) Noronha / Barbados: ϕ = 11° 10’
D = 1915´
Ri = 298°
;
λ=
60° 43’
55
15. Determinação da Posição
Por duas retas de altura.
Medindo a altura do Sol e a hora exata da visada, determino uma reta de altura.
A determinação da posição por duas retas de altura do Sol, em resumo, é a observação do
astro em dois momentos diferentes, obtendo dois pares de alturas e horas, um par para
cada observação.
Os cálculos, o computador (programado) se encarrega de fazer: corrige a altura
instrumental, determina os elementos determinativos das duas retas, faz o transporte e
cruza as duas retas, calcula a posição geográfica do Sol para os dois momentos (AHL e
δ), resolve o triângulo de posição e mostra as coordenadas geográficas da posição do
observador: ϕ (latitude) e λ (longitude).
O método empregado é o da moderna navegação astronômica (o de SaintHilaire ou do
Vertical Estimado).
O Sol, indiscutivelmente, é o astro mais visado, mais utilizado, principalmente por nós
navegadores dos trópicos.
Para maior precisão, no entanto, é recomendável escolher as horas das visadas de acordo
com o programa Melhores Horas: as retas se cortarão verticalmente (ortogonalmente), dando maior nitidez ao corte.
Para quem desejar traçar as retas de altura na carta, são apresentados seus elementos
determinativos.
Para permitir comparações (com o ANB, por exemplo), são mostrados o ângulo horário
local (AHL) e a declinação, δ.
Para as latitudes e longitudes estimadas, podemos usar o canto da quadrícula ou o que for
mais cômodo, entrando com valores inteiros e decimais.
Não esquecer que as entradas decimais são com ponto, do sistema americano (em lugar
56
da vírgula).
Não só para navegação, o programa é útil; podemos, por exemplo, verificar a variação da
posição quando variamos os minutos da altura instrumental; variando as alturas podemos
encontrar o ajuste das visadas, para visualização, etc.
O programa contém as seguintes subrotinas:
almanaque (efemérides)
resolução do triângulo de posição
correção de altura
cálculo dos elementos determinativos das retas de altura
transporte e cruzamento das retas
cálculo das coordenadas geográficas da posição do barco.
Foram adotadas simplificações em proveito da rapidez da determinação, sem prejuízo dos resultados:
o
Foi adotada a Altura Olho de 2 metros.
o
Latitudes S e Longitudes E são negativas
o
Empregar sempre o LIMBO INFERIOR
o
As horas são HMG (Hora Média de Greenwich)
Os dois parâmetros que podemos medir com precisão (altura e hora) não são suficientes
para a resolução do triângulo de posição (fica faltando um parâmetro).
É empregado, então, um engenhoso artifício: a reta de altura.
Os processos de determinar a posição por retas de altura (ou retas de posição), são:
de Borda (meridiano estimado)
de Lalande (paralelo estimado)
de SaintHilaire (vertical estimado)
Golem (do ângulo paralático, ou ângulo de posição)
57
O Golem, do ângulo de posição (paralático), do professor Eli Gradsztajn, da
Universidade de Tel Aviv, foi elaborado em 1972, a bordo do barco Golem daquela
Universidade, e publicado na revista Navigation Journal of the Institute of Navigation.
O de Borda é o do meridiano estimado; o de Lalande é o do paralelo estimado e o de
SaintHilaire, é o do vertical estimado.
Adotamos o de SH, clássico na moderna navegação, embora o Golem ofereça mais
vantagens, principalmente para a solução analítica.
Ao medirmos a altura de um astro, determinamos uma circunferência de altura constante
sobre a superfície da Terra: o barco estará em algum ponto desta circunferência, que
aparecerá na carta como uma reta.
O azimute determinará a parte da reta onde está o barco.
A reta de altura é traçada perpendicularmente à linha do azimute:
no sentido do astro, se ∆a = ao – ae > 0
no sentido contrário, se ∆a = ao – ae < 0
ao = altura observada; ae = altura estimada
No programa, anualmente, registrar e s a l v a r o Ano (ou antes, caso desejar).
O aplicativo Posição , foi baseado no livro de Guy Sérane – Astronomie &Ordinateur – Dunod, aperfeiçoado e vertido sucessivamente para as
diversas versões do Visual Basic ao longo dos anos, desde 1985 . Fácil será vertê-lo para outra linguagem qualquer que se deseje.
Os resultados dos exemplos não foram formatados para facilitar a comparação.
Exemplos:
a ) Dia 15/12/90: ϕe = - 23°
;
λe = 0 4 3 °
HMG1 = 142103
ai1 = 83° 50.0’
HMG2 = 145008
ai2 = 88° 56’
Resposta:
ϕ = - 22° 54.8’
ei=0
(mesma posição estimada)
λ = 0 42° 55.5’
58
b) Dia 20/06/2002
HMG1=120615 :
φe=-27°
λe=45°
ai=23°58.0’
HMG2 = 133006
φe=-27°
λe=45°
ai=34°50’
∆a1=5.1’
A1=44.26°
δ=23.4352396°
AHL= 316.17°
∆a2=4.69’
A2= 25.78°
δ2=23.4356°
AHL=337.133°
φ= - 26°48’
λ=045°15.6’
c) Dia 15/12/1990
HMG1=142103
φe= -20°
HMG2=145809
φe= -19°57’= 19.95°
ai1= 85° 12’
ei= 2’
ai2= 83°30’
∆a1= 5.4’
A1=135.6°
∆a2= 1.8’
A2= 237.5°
φ= -20° 06’
λ= 39°58.3’
d) Dia 07/08/2000
φe=-23°
λ=40°
HMG1=114948
ai= 31°12’
ei= 2
δ= 16.2538°
∆a1= 24.26’
AHL= 316.0133°
A1= 51.65°
HMG2= 171012
ai=37°30’
φe=-23.6°
λe=41.1°
∆a2= 8.83’
A2=315.98°
ei= -1’
λ= 040°
λ= 040°03’
59
φ=- 23°38.4’
λ= 041°22.6’
e) Dia 18/01/1990
φe= -13°
λe= 38°
HMG1= 141226
ai=79.5°
ei=0
HMG2=151226
ai=79.5
∆a1= 7.3’
A1=137.3°
∆a2=6.5’
A2=222.7°
ϕ=-13°09’
λ=37°59’
f) Dia 10/07/1997
ϕe=-13°
λe=35.5°
HMG1=101145
ai1=18°15’
ei=-3
HMG2=144145
ai2=54°33’
∆a1= 12.33’
A1=61.06°
∆a2=-10.6’
A2=354.94°
ϕ= -12°57’
λ=035°37.5’
Este exemplo foi extraído do Tecepe
( www.tecepe.com.br/nav/nav_exe.htm )
16. Primeiro Vertical e Màxima Digressão
60
Corte do Primeiro Vertical
Máxima Digressão.
O corte do primeiro vertical é útil porque apresenta uma reta de longitude exata, mesmo
que a latitude não seja de confiança.
A vertical do observador é uma linha que contem o seu zênite.
O vertical é qualquer círculo máximo que contenha a vertical do observador.
Evidentemente, existe uma infinidade deles; o que contem a linha E – W é denominado
de primeiro vertical.
No corte do primeiro vertical, o ângulo no zênite, Z = 90°, portanto
A = 90° ou 270°. Só consideramos, na programação, o corte pela manhã (A=90° ).
O aplicativo indicará a hora aproximada do fenômeno.
Um pouco antes da hora estimada do evento, iniciar uma serie de observações. A que fornecer A=90°, fornecerá a longitude exata da
posição do barco (calculada no aplicativo Umaso).
Para que haja corte no primeiro vertical: |ϕ|>|δ| e de mesmos sinais.
sin a = sin δ / sin ϕ
e cos t1 = tan δ / tan ϕ
Um astro que não corta o primeiro vertical em seu movimento diurno, terá uma posição
em que o ângulo no zênite é máximo. Nesta ocasião, o ângulo paralático, Ap, é reto. O
astro está em máxima digressão, ou elongação.
Condições: |ϕ|<|δ| e de mesmos sinais.
sin a = sin ϕ / sin δ
cos t1 = tan ϕ / tan δ
sin Z = cos δ / cos ϕ
No programa, são calculadas a hora e a altura da máxima digressão, se é ela o caso.
O primeiro vertical é uma condição favorável para a determinação da longitude.
61
A passagem meridiana, para a latitude.
A máxima digressão, para o azimute.
Só consideramos na programação o corte do primeiro vertical, com A=90°.
Meia hora antes da hora prevista para o evento, iniciar as visadas; aquela que fornecer
A=90° determinará a longitude exata do barco, empregandoa no programa Uma Só Reta. Exemplo:
a) Dia 25/02/98
ϕe = - 20°
λe = 40°
Teremos:
HMG = 10.4
ai= 27.4°
δ= - 9.04° e A= 90.1°
b) Dia 15/01/2010 ϕe = - 18°
Máxima digressão : 12.1 HMG
λe = 39°
a=59.2°
Z=78.8253°
(os dados do aplicativo MaDigre são aproximados; iniciar a serie de visadas com a devida antecedência).
17. Triângulo de Posição
62
O triângulo esférico formado pelo meridiano do observador, o círculo horário do astro e o círculo vertical que contem o observador
e o astro, é denominado triângulo de posição.
Ele tem os seguintes vértices: polo elevado, posição subastral (posição geográfica do astro) e posição geográfica do observador.
Os lados são: distância zenital (z), colatitude (c ) e distância polar (p).
z = 90 - a
c = 90 - ϕ
p = 90 ± δ
onde a=altura, ϕ =latitude, δ= declinação
A Astronomia de Posição, ou Astronomia Esférica, e em conseqüência a Navegação Astronômica, em última análise, consiste na resolução do triângulo de
posição.
Os ângulos de um triângulo esférico são: azimute (A), ângulo no polo (t1) e ângulo paralático (Ap).
63
Determinação do azimute:
tan A= sin t / (sin ϕ.cos t – cos ϕ . tan δ ) ……….. (Fórmula de Dozier)
ϕ e δ são negativas no hemisfério sul, por convenção.
O computador fornece como resposta um ângulo que denominamos Ac.
Temos que determinar o quadrante:
Se Ac > 0 e sin t > 0 ... A = Ac + 180
Se Ac > 0 e sin t < 0 ... A = Ac
Se Ac < 0 e sin t > 0 ... A = Ac + 360
Se Ac < 0 e sin t < 0 ... A = Ac + 180
Determinação da altura:
sin a = sin δ.sin ϕ + cos δ.cos ϕ.cos t
Para a altura, não há problema de quadrante.
Como estamos vendo, são conhecidos: t, δ e ϕ.
São calculados a e A (altura e azimute).
As tábuas de navegação astronômica fornecem soluções de triângulos de posição
possíveis, uma das quais satisfará às condições do observador, escolhida mediante um
processo de cálculo trabalhoso, com interpolações, posições auxiliares, etc.
No computador, resolvemos diretamente o triângulo de posição.
Os parâmetros de entrada são:
t: : ângulo horário local AHL ou t (ou o ângulo no pólo, t1)
δ : declinação do astro
ϕ : latitude do barco
Os parâmetros de saída (respostas), são:
a : altura
64
Z : ângulo no zênite
A : azimute
Exemplos:
a) t = 50°
δ = 25°
ϕ = 0°
a = 35.63° ; Z = 58.67° ; A= 301.33°
b) t = 350°
δ = 15° 54’= 15.9°
ϕ = 23° 30’ = 23.5°
a = 49° 24´
; A = 14.87°
c)Para testar o aplicativo:
t =1°
δ = 1°
ϕ = 1°
Respostas: a= 89°
d) t=359°
δ=1°
Respostas: a=89°
18. TS0
A= 270.1°
ϕ=1°
A=89.99°
65
Tempo Sideral Origem do Ano ou Tempo Sideral Zero do ano é o AHGγ ( AHG do ponto vernal) no dia 1º de janeiro as 0 horas.
O Almanaque Náutico DHN (Almanaque Náutico Brasileiro, ANB) fornece o AHGγ . Exemplo: para o ano de 2000, dia 01/jan a
0 hora HMG: o AHGγ= 99° 57.9’ = 99.9650° que é o TS0 do ano de 2000.
Resolver um problema várias vezes ao dia, preenchendo uma casa do formulário sempre com o mesmo número de quatro algarismos (como
é o caso do Ano) não satisfaz muito ao gosto de qualquer informata; a solução foi obtida com o acesso ao registro do Windows disponível a
partir do Visual Basic 4.
Caso queira verificar o registro: HKEY_CURRENT_USER\software\VB and VBA Program Settings|AppName. Está lá gravado o ano.
O livro de Guy Serane (Astronomie & Ordinateur), fornece a listagem do programa, necessitando uma adaptação para a Casio FX-880P. Para
o computador, deverá ser vertido para Visual Basic 6.
Com isso, uma verdadeira vantagem, é que podemos resolver problemas de qualquer ano, o que para estudo é de fundamental importância.
Algumas tábuas americanas empregam o TS0 de cinco em cinco anos, como, por exemplo, a do Almirante Davis.
19. UmaSo
Determinação da posição por uma só reta de posição.
Calcula a posição do barco e pode fornecer outras informações importantes.
Uma reta de altura isolada dá sempre informações úteis, principalmente se ela possui uma
orientação particular em relação à rota, à costa, à área que queremos atingir ou evitar
(perigos), etc.
Uma reta de altura orientada paralelamente à rota (astro pelo través), poderá fornecer o
caimento do barco.
Uma reta de altura orientada perpendicularmente à rota (astro pela proa ou pela popa)
fornece a distância navegada e recebe a denominação de reta de velocidade.
Uma reta de altura paralela à costa, uma que corte a área a atingir (ou a evitar, como os
perigos na rota), etc., sempre fornecerão informações úteis.
É válido considerar o ponto determinativo da reta de altura (cruzamento das retas de
66
altura e de azimute) como a posição mais provável do barco, na falta de outras
informações.
Em mais de 25 anos efetuando cruzeiros pelo nosso litoral, o aplicativo que mais empreguei foi este: UmaSo. Não há necessidade de
empregar duas retas sempre.Terminei acrescentando a resolução para obter as coordenadas geográficas, sem necessitar locar na carta a reta.
É uma solução analítica-gráfica.
Para resolver os exemplos, nunca esqueça:
1- inserir o ANO e SALVAR;
2- latitudes S e longitudes E são negativas
Exemplos:
a) 08/11/98
ϕe = - 20.3°
λe = 040.5°
HMG = 113016 ai = 48° 30.6
Resposta: ϕ = -19° 59´
ei = 1’
λ= 040° 17´
b) (EN/DHN pg 295) 16/05/77 ϕe = - 8°02.5’ = 8.032°
λe =056°14.8’ = 56.25°
HMG =080923.5 ai = 62°38.4’
ei = 1’
ϕ = -8° 01´
λ= 056° 15´ 00
c) (EN/DHN pg 297). 16/05/1977 φe= -8° 02.05’
HMG = 080923.5
ai= 62° 38.4’
ei=1’
δ=19.10313°
∆a = 0.78’
φ= -8° 01’ 00
λ= -56° 14.8’
AHL = 359.52°
A=1°
λ= -56°15’ 0
d) (pg 169 do Guy Serane)
27/06/1985
ai = 38° 55’
HMG=15h20m32s
ei=1
Teremos: ∆a = 1.14’ A = 267.17°
φe = 42° 16’
λe =008° 13’
67
φ = 42° 15.8931’
e) 02/01/1977
ai = 67° 46.2’
λ = 008° 10.835’
16h32m09.6s
ei=1.5’
Teremos : δ = 22.88338254°
∆a = 1.7’
A=259.955556°
φe = 20° 42’
λ= 043° 25’
AHL = 23.60975908°
f) (Noer, pg 102) 21/06/1978
HMG = 13 41 38 ϕe= S1° 15’
λe=90°30’ W
ai = 21° 43.7’
ei= -1.4
(altura do olho = 3 m)
Respostas: δ =23° 26.4’
AHG = 24° 59.374’
∆a = 3.5’
A= 64.1°
ϕ = -1° 13’
λ= 90° 26’
g) (Guia Prático, pg 145). Dia 12/06/74 HMG=133000
ϕe= -25.61°
λe=045.25°
δ= 23.15°
AHL=337.32°
∆a=1.15’
A1=26.18°
ϕ= -2536’
λ=045°15’
ai=36°19.2’
h) 15/06/1990 HMG=112316
ϕe= -20.2°
λe= 040.5°
ei=1
68
ai=24° 42’
Respostas: ∆a=1.6’
e=-2’
A=50.59°
ϕ= -20°11’
λ= 040°29’
i) 26/07/1993
( www.tecepe.com.br/nav/nav_exe.htm )
HMG=151352
ϕe=48°19’
λe=24°19’
∆a=18.5’
A=220.01°
ϕ=48°05’
λ=024°31’
j) 13/03/1985
HMG=093617
ai=29.6°
ei=3
ai=55°58’
ϕ=48.7°
e=-5’
λ= -2.1°
∆a=14.26’
A=137.25°
ϕ= 48°32’
λ= -2°16’
20. VMG (Velocity Made Good)
O programa resolve a composição dos vetores, fornecendo a componente da velocidade
do barco diretamente na linha do vento real (Vr): Vmg = Vb . cos β
→ chega primeiro quem veleja segundo a Vmg
( tanto em cruzeiro como e, principalmente, em regatas).
Podemos decompor a velocidade do barco numa componente útil ( ou good ), na linha
69
do Vr e outra perpendicular, que não adianta nada; daí a denominação Vmg.
Na orça ferrada (ou cochada), como escolher a melhor proa, aquela que fornece a maior
componente da velocidade do barco diretamente contra o vento ?
Ajustase pelas lanyards no modo Vmg ( a lanyard de barlavento querendo subir e a de
sotavento bem esticada na horizontal); calcular a Vmg para esta proa.
Repetir para uma outra proa e reajustar tudo de novo; calcular a Vmg. Se aumentou,
continuar a variar a proa no mesmo sentido e reajustar pelas lanyards.
Na terceira ou quarta tentativa, com a busca do enquadramento, já se estará com a melhor
proa.
Exemplo:
Va = 18’
Vb = 10’
α = 30°
Respostas: Vmg = 5.16’
Va//Vr = 28° (ângulo de Vr com Va)
Em popa rasa, ou arrasada, o dilema do velejador também ocorre: deixar o vento entrando
um pouco pela alheta ou manter o barco na popa rasa.
Na orça, os modos são visualizados pelas lanyards (birutas), como já foi visto.
Em popa, porém, não há como visualizar, já que estamos velejando na região de estol.
Se a chegada está diretamente na linha de Vr, a menor distância será percorrida em popa
rasa. Mas não será a mais rápida, nem, com certeza, a mais segura e muito menos a mais
cômoda. O balanço do barco diminuirá a velocidade e poderá causar problemas ou até
mesmo acidente, como o balão atingir a água, o que poderá ser de graves conseqüências.
Com uma mareação estável, vento entrando de alheta, o barco pegará muito mais
seguimento durante toda a perna.
70
O procedimento para determinar a melhor proa é medir a velocidade do barco na popa
rasa; abrir 10° , ficando portanto com α = 170° ; medir Va e Vb e determinar a Vmg;
abrir mais 10° , ficando portanto com α = 180° e repetir as medidas, determinando o
Vmg. Em três ou quatro determinações, já estará determinada a melhor proa,
correspondente à maior Vmg.
21. Vetores
Conhecendo a vb, velocidade do barco (que é igual e de sentido contrário à Vb, vento
causado pela velocidade do barco, ou vento induzido); a Va, velocidade do vento aparente e o ângulo entre
os dois, α, podemos calcular Vr, velocidade do vento real e seu ângulo com Vb, β.
Para a programação:
Vr=(Va.cosα Vb) / cosβ = Va.sinα / sinβ
tg β = Va.sin α / (Va.cosα Vb)
Os casos de impossibilidade foram contornados: β = 0° e 90° e
Va.cos α = Vb.
Com o programa, podemos determinar muitas condições importantes, desde a orça
ferrada (β>= 45° ), través (β=90°) e outras condições como por exemplo de α = 45°, α =
60° e α = 90°.
Os ângulos e velocidades são calculadas, tornando mais fácil alcançar a região e mantê
la.
Velocidade Máxima
71
O barco não pode ultrapassar a velocidade do vento que o impulsiona (cascos
deslocantes, ou nãoplanantes). No máximo, poderá igualála: Vb = Vr (condição
idealizada, teórica).
Sabemos que na orça Va entra mais de proa que Vr , sendo que Va > Vr.
Em popa, Va entra mais de través que Vr , sendo que Va < Vr.
Portanto, haverá forçosamente uma ocasião na velejada em que teremos Va=Vr situação
intermediária entre as duas. Vamos examinar este caso.
Já vimos que Vr / Va= sin α /sin (β α ) e se Vr = Va, teremos:
Vr / Va=1
e 1 = sin α / sin (β α)
sin α = sin (β α) o que fornece
α = β α ou β = 2α
Se substituirmos este valor de β na expressão Vr = Va.sin α / sin β
ficaremos com : Vr = Va / 2cosα , logo: Vr / Va = 1/2cosα. Como estamos analisando o
caso de ser Vr / Va = 1, ficamos com 1=1/2cosα portanto: α=60°
E como β =2α teremos β=120°.
É a mareação, ou proa, da velocidade máxima do barco.
Vejamos, então, o esquema correspondente:
Vr = Va = Vb com α = 60º (ângulo entre Vb e Va) e β=120° :
72
Portanto, o barco idealizado atingirá a velocidade máxima no través aberto:
com Vr entrando pela alheta (a 60º da popa)
e Va entrando a 60º da proa
Mas sabemos que é uma situação que não acontece: Vb será sempre menor que Vr (casco
deslocante, ou nãoplanante), devido ao arraste, atrito, etc., enfim, à eficiência da
máquina .
Nunca se deve precipitar a mudança da velejada aerodinâmica para a de estol: se ao invés
de ajustar para o través largo, ajustarmos para em popa, perderemos velocidade.
O treinamento deve ser desenvolvido, para conhecer o comportamento do barco.
Treinamento: com um vento constante em sentido e força, digamos de 12 nós, 45º,
entramos em orça e vamos arribando sucessivamente, reajustando para máxima
velocidade, até entrar no través, sempre reajustando à medida que varia a proa.
Vamos vendo (birutas) e sentindo o vento (aparente) posicionarse cada vez mais de
través à medida que vamos arribando; o angulo de 60º com a proa deve ser o de maior
atenção; em torno deste angulo, procurar a maior velocidade do barco, sem perder a
região aerodinâmica (birutas).
O importante é verificar este valor do ângulo α, do Va com Vb , que depende do barco.
Toda atenção para manter a velejada na região aerodinâmica; olho vivo nas birutas.
73
Se continuamos arribando, vamos entrar em empopada, não conseguindo mais manter o
barco ajustado na região aerodinâmica e a velocidade diminuirá.
Nestas condições, estamos velejando no limiar da região aerodinâmica.
Outro caso, em que β = 45º, é o início da orça (ângulo morto).
Muitos barcos orçam com β > 45º; poucos, com β = 45º e raros com β < 45º.
Fazendo β = 45º , determinamos a relação:
Vb / Va = sin (45ºα) / sin45º
Se supomos Vb / Va = 1/2, barco muito bom de orça, virá que α = 24.3º
Para a maioria dos barcos, na orça, temse: Vb < Va / 2 e α > 24.3º
Exemplo: Va = 10’ α = 24.3º
Vb = 5’ Respostas: β = 45º e Vr = 5.82’
Ainda outro caso particular: α = 45º .
Se, além de α = 45º, continuarmos na hipótese de Vb / Va = 1 / 2 chegaremos a
tg β = 2.sin α / (2.sin α 1) que fornecerá β = 73.7º
Exemplo: Va = 8’ α = 45º
Vb = 4’ Respostas: β = 73.7º e Vr = 6’
O caso em que β = 90º (caso do través): como sin 90º = 1, vem que:
sen α = Vr / Va
cos α = Vb / Va
tg α = Vr / Vb
Complementando o caso do través largo, que oferece uma das mais emocionantes
velejadas, dentre todas as demais, incluindo a empopada com balão; quem estiver atento
para os detalhes, jamais esquecerá os trajetos assim realizados.
74
vb
Vr
0
Va
Vb
Nessa hipótese, Vb = Va = Vr : Va entrando aos 60° pela bochecha de BB e o Vr
entrando pela alheta de BB, aos 60° da popa (ou 120° de proa).
75
22. Relógio
Relógio digital.
MAIS APLICATIVOS EM www.clubedavela.com.br
Palavras Finais
Os números aproximam-se mais da realidade do que as palavras
- Niels Bohrs
Somos altamente dependentes dos números: quantos pés, quantos nós, quantas
toneladas, quantos quilos, quantos litros, quantas milhas, quanto tempo, quantos graus,
etc.etc.etc. Em suma, queiramos ou não, estamos navegando sempre num mar de
números...
Para aqueles (como eu) que iniciaram dependendo de réguadecálculo e tabelas, tábuas de
logarítmos, etc. para calcular, o surgimento das calculadoras eletrônicas e, em seguida, dos
PC's, foi uma coisa verdadeiramente abençoada.
O computador permitiu que todos passassem a calcular com extrema facilidade, rapidez e
precisão: o médico, o biólogo, o pesquisador, etc. com suas estatísticas trabalhosas agora
facilitadas; enfim, a maioria em peso aderiu.
A navegação astronômica é muito fácil; a dificuldade residia nos cálculos, trabalhosos e
cansativos, o que sempre redundava em erros principalmente de conta, após um tempão
calculando na ponta do lápis . O computador desmistificou tudo.
Qualquer cálculo que vamos realizar de maneira repetitiva, merece uma programação que
permita digitar os dados e obter o(s) resultado(s).
É justamente o que fizemos nos vinte programas apresentados.
Esperamos, com isto, facilitar a vida do velejador, principalmente do solitário.
Não foi fácil elaborar este trabalho; conciliar as velejadas, os cruzeiros e as delícias de
um mergulho, com a paciente organização de resumos, esquemas, desenhos, etc., até
chegar à fase final de correção e edição.
Conto com a boa vontade dos leitores, velejadores, desportistas, cuja paciência de
chegarem até aqui já demonstra uma grande tenacidade. E espero as críticas, as sugestões,
76
para que possamos melhorálo daqui em diante, nas próximas edições.
Naturalmente, fui amplamente auxiliado pelo computador, companheiro eficiente e
paciente, ao mesmo tempo que tremendamente exigente, sem o qual jamais teria
imaginado trilhar os meandros de tão perigosa experiência, tal é a de escrever um manual
técnico de vela. Nesta fase, o auxílio de meu filho mais novo, o Fred, velejador e
informata, foi inestimável. O incentivo que recebi sempre dos filhos e da esposa, me
deram ânimo para chegar ao final do livro.
Os anos voam quando estamos velejando... meses parecem semanas e o dia é curto, não
sendo fácil achar tempo para fazer tudo o que desejamos; da relação dos trabalhos mais
urgentes a executar no barco, parece que justamente as mais urgentes vão sendo adiadas
(talvez seja por isso que as soluções provisórias terminam por ficar permanentes...).
Hoje, já quase entrando na casa dos oitenta, não consigo compreender minha vida sem
barco, sem um veleiro para poder ir para lugares fantásticos, longe do burburinho da
civilização e bem ali, numa velejada. Levar a família para lugares isentos de poluição, os
filhos crescendo sadios, praticando esporte, numa vida ativa e pura.
Nada disso tem preço.
Já não consigo executar tudo como antes, vinte anos atrás, é verdade (a idade pesa...),
mas faço com mais vagar, com um pouco mais de esforço, com mais paciência (e, acho
até mesmo, com mais esmero), com muito maior satisfação e, em conseqüência, com
maior perfeição. Na mocidade a gente acha tudo natural, não dando o devido valor aos
pequenos detalhes...
Embora lá fora o velejador possua muito mais meios do que aqui, os problemas são
infinitamente maiores, uma vez que a natureza é bem diferente da nossa, basta lembrar as
cenas de barcos jogados em terra pelos furacões, marinas inteiras destruídas pelo gelo,
maremotos e terremotos, etc.etc., sem falar nas guerras...
Lá eles vivem em contato constante com verdadeiras comunidades de navegadores, tanto
de regata como de cruzeiro, e a difusão de informações permite determinar as soluções
possíveis para cada caso. Desde a quantidade enorme de livros, revistas, associações,
marinas, palestras, conferências, etc., até ao interesse das autoridades no setor esportivo,
tudo muito animador, muito promissor. Realmente, as medalhas ganhas pelos nossos
valorosos velejadores valem muito mais do que se possa imaginar.
Espero que por intermédio deste pequeno e simples resumo, muitos velejadores se sintam
incentivados a se aperfeiçoarem na técnica de navegação e se lancem aos grandes
cruzeiros pelo nosso fantástico litoral, ao longo da nossa grande barreira de corais, com
tranqüilidade e a segurança necessárias, numa velejada consciente, precisa e segura.
Boas Velejadas!
77
ANEXOS
Revisão de alguns conceitos importantes
ANEXO I – Ângulos e Arcos
Medida de Ângulos
As unidades mais empregadas para medida dos ângulos são o grau ( º ) e o radiano ( rd ).
Uma circunferência de círculo tem 360º .
Um minuto ( ’ ) é 1/60 do grau; um segundo ( ’’ ) é 1/60 do minuto ou 1/3600 do grau.
O radiano (rd) é definido como a medida de um ângulo central subentendido por um arco
de circunferência igual ao raio, r, desse círculo.
O comprimento da circunferência é igual a 2 π r, logo o arco é de 2π radianos.
Assim, 2π radianos = 360º , logo: 1 rd = 180/π = 57,29577951º
1º = π/180 rd
Para transformar graus em radianos, multiplicar por 180/π
O computador só trabalha com radianos, de modo que temos de introduzir no programa a
transformação de graus para radianos e, depois, voltar as respostas para graus.
Comprimento de um Arco
Num círculo de raio r, um ângulo central de θ radianos é subentendido por um arco cujo
comprimento é: s = rθ , isto é: o comprimento do arco = raio x ângulo central em rd
As dimensões de s e
qualquer.
r devem ser expressas numa mesma unidade, podendose usar
Exemplos:
1) Num círculo de raio igual a 30 polegadas, o comprimento do arco que subentende um
ângulo central de 1/3 rd é: s = rθ = 30 x 1/3 = 10 polegadas
Se r = 0,75 m e o ângulo central é de 1/3 rd, teremos: s = 0,75 x 1/3 = 0,25 m
No mesmo círculo, de r = 0,75 m, um ângulo de 50º é subentendido por um arco de:
s = rθ = 0,75 x 50 x (π/180) = 0,6544985 m
Se r = 30 polegadas, s =30 (50π/180) = 25π/3
2) Determinar o valor da milha marítima em metros.
78
O diâmetro polar da Terra é de 12 713,824 km e o equatorial é de 12756,776 km, o que
fornece a média é de 12735,3 km. Logo, a circunferência média é de 40009,125 km, o
que dá para a semicircunferência o valor de 20004,5625 km, fornecendo o valor do
minuto 1,852274 km. Adotase, então, 1'= 1852 metros.
Arcos de paralelos
Comprimento do arco A’B’= r’. α
vem que A’B’= r. α.cos ϕ
mas como r’= r.cos ϕ
Logo sin β = r’/ r ou r’ = r.sin β = r. sin (90ϕ) = r. sin ϕ
O comprimento do arco AB= r.α e A’B’/ AB = r’.α / r.α = r. α.cos ϕ / r = cos ϕ
Logo: A’B’= AB.cos ϕ
Isto é, o comprimento do arco de paralelo varia com o coseno da latitude: se navego um
arco de 10° na latitude de 60° , andarei apenas 300’, enquanto no Equador, andarei 600’.
Por isso, na carta, mediremos distâncias sempre na escala das longitudes.
Em Astronomia de Posição não se lida com a distância linear observador – astro e sim
com a distância angular, em graus ou radianos, isto é, c o m o valor angular do arco entre
os dois astros.
O programa Menor Distância entre Dois Pontos calcula a distância em milhas náuticas
entre pontos na superfície da Terra, em função de suas coordenadas geográficas (latitude
e longitude); fornece também o rumo inicial (ortodrômia).
Exemplos:
1) Determinar a menor distância entre Abrolhos (17° 58’ , 38° 42) e Noronha ( 3° 50’ ,
32° 24’). Teremos: 925,25’ e Ri=24° 19’ . (latitudes S e longitudes E são negativas).
79
2) Idem, entre A( 33°53’30’’ , 18°23’10’’) e B(40°27’10’’ , 73°49’40’’)
Teremos: 6763,1’ Ri=304°28’46.43’’.
Mas poderemos resolver, com o programa, problemas mais complexos.
Exemplo da regata BOC Challenge (Volvo Trophy): a perna entre Auckland e Rio de
Janeiro é dividida em duas para evitar o grande número de icebergs existentes acima das
latitudes de 60° .
O ponto mais meridional (austral ou sul) da rota é quando o trajeto corta o meridiano a
90°:
As coordenadas geográficas são: Auckland : 36° 50’ e 174° 52’
Rio de Janeiro: 23° 04’ e 43° 09’
A menor distância é de 6612’ e o Ri=143°
Do ponto mais meridional, D, ao PS (polo sul), denominamos de I .
O rumo inicial, Ri, sendo de 143°, o seu suplemento dará 37°, que é o ângulo interno A
do triângulo. O triângulo ADPS é retângulo em D (por ser o ponto mais meridional):
sin 37° /sin I = sin 90°/ sin 53° 10’ portanto I=28.8°
logo: a latitude do ponto D, mais meridional da rota, é 90° – 28.8° = 61.25° S .
Além dos 60° S, havendo perigo de icebergs, a adoção de duas pernas é a solução mais
segura. As coordenadas do Cabo Horn são: 55° 56’ e 67° 17’, o que sugere a seguinte
solução: velejar até a latitude 56° em rota ortodrômica; proar os 90° até montar o Cabo
Horn, numa distância que ofereça segurança; guinar para o Rio de Janeiro em nova rota
ortodrômica.
Como o rumo, em um arco de grande círculo, ou ortodrômia, vai mudando sempre, a
cada singradura repetese o cálculo, determinando novo rumo inicial para a nova perna da
80
singradura.
Na figura abaixo, mostraremos que o arco de grande círculo é menor que o arco de
paralelo correspondente (ao contrário do que muita gente pensa):
O triângulo PDMB, pelo paralelo, isto é, com o arco DMB, não é esférico.
O arco DMB é de grande círculo, portanto o triângulo PDAB é esférico.
O ângulo FOD é a latitude de D, que indicamos por ϕD.
FOG=DCB= α
Já vimos que o comprimento do arco DMB=FG.cos ϕD
Seja, por exemplo, ϕD=30°
Se FG=60° ; vem que o comprimento do arco de paralelo DMB=60.cos 30° =
10x0.5=51.96° ou 3118.2 milhas.
O arco de grande círculo, DAB, será a distância zenital do triângulo esférico, cujos dados
são: t=60°
δ=30° ϕ =30° cuja solução fornece a=38.68° (logo z=90a=51.3°) ou
3078 milhas.
ANEXO II
Erros: Precisão Acurácia
Qualquer medida realizada conterá sempre algum erro.
Os erros podem ser sistemáticos (defeito do instrumento ou vícios do operador) e
acidentais (ou casuais, inevitáveis).
Os erros sistemáticos podem ser evitados ou corrigidos com facilidade pelo treinamento:
manejo freqüente do instrumento utilizado, métodos aplicados sob diferentes condições (
serie de visadas, etc.).
Os erros acidentais podem ser compensados, mediante a aplicação da teoria dos erros,
tomandose o valor mais provável após efetuar uma serie de medidas, ou entre os valores
observados e calculados (resíduos).
81
Com o emprego do computador e a programação das fórmulas estatísticas ficou fácil
chegar ao valor mais provável de uma medida, compensar uma distribuição de erros, etc.
Precisão = grau de similaridade das amostras.
Acurácia = distância da média das medidas ao valor verdadeiro.
O melhor exemplo para distinguir as duas denominações é o do tiro ao alvo:
grande precisão, pouca acurácia: os impactos bem juntos,mas longe da mosca .
pouca precisão, grande acurácia: impactos grupados próximos da mosca.
grande acurácia e grande precisão: os impactos bem próximos à mosca, grupados.
De acordo com a precisão, poderemos ter determinações astronômicas:
-
-
de primeira ordem: ou de alta precisão; as coordenadas astronômicas
de um ponto terrestre são obtidas com um erro médio inferior a 0,1 e
o azimute, com erro médio inferior a 0,3 . Isto corresponde a calcular
a posição com a segurança de que o ponto está dentro de um círculo de
3 metros de raio.
As determinações de primeira ordem são estudadas na Astronomia
Geodésica e são empregadas para estabelecimento de pontos datum
para grandes triangulações.
de segunda ordem: as coordenadas astronômicas de um ponto são
obtidas com erro médio de 1,5 e o azimute, com 3.0 .
O que nos assegura a posição de um ponto dentro de um círculo de 45
metros de raio.
de terceira ordem, ou secundárias: como é o caso da
navegação astronômica, onde não é possível atingir tais precisões, tanto pelo
i n s t r u m e n t o e m p r e g a d o ( sextante0 como pelas condições gerais de mar.
Na determinação da posição em terra firme, a precisão é ditada pelo instrumento utilizado
(teodolito, goniômetro, etc.) e pelo método e astros utilizados.
O goniômetro, cuja precisão é geralmente de 0.1' (um décimo de minuto), nos assegura a
posição dentro de um círculo de 182,5 metros de raio.
Com bom treinamento e razoáveis condições gerais, um observador mediano poderá
obter a posição com um erro inferior a 1 milha, empregando o Sol, o goniômetro e o
computador.
Na navegação astronômica, a determinação da posição é efetuada com a seguinte
precisão:
latitude e longitude: 0,1’
azimute: 0,1º
O Almanaque Náutico fornece o AHG com erro de até 0.3 ' ; os erros de correção de
altura são da mesma ordem prática.
82
O relógio de quartzo poderá apresentar um erro de 0.25 segundos, mas como hoje há
grande facilidade de manter a hora certa no barco, via rádio, vamos considerar este erro
desprezível.
O sextante é o calcanhar de Aquiles do processo: a precisão é geralmente de 0.1' (um
décimo de minuto), mas as medidas das alturas a bordo de um veleiro podem vir com
erros maiores. Isto depende do estado do mar e das condições de tempo, como também
do grau de treinamento do observador. Com bom treinamento e razoáveis condições
gerais, um observador mediano poderá cometer um erro de cerca de cinco décimos de
minuto (de ângulo).
As tábuas de navegação fornecem erros de cerca de 0.3' .
Como sabemos, os erros não são cumulativos, havendo uma compensação entre eles.
Com um sextante bem ajustado, um observador mediano, convenientemente treinado,
obterá a posição com erro inferior a meia milha, na maioria das vezes, num pequeno
veleiro em mar calmo. Empregando o computador, calculando diretamente a posição sem
necessidade de almanaques, tábuas, tabelas de interpolações e de correções, obterá
melhor precisão; poderá escolher métodos que melhorem a precisão, como o da serie de
visadas, e adotando procedimentos apropriados, como a escolha das horas de visada em
condições favoráveis, etc.
O programa Melhores Horas fornece as horas em que as retas de altura se cortam
aproximadamente na perpendicular na carta (ortogonalmente ), aumentando a precisão
do corte. Este cálculo é feito periodicamente, digamos, de 10 em 10 dias, ao longo do
percurso, à medida que a declinação do Sol e a latitude do barco se distanciam dos
valores iniciais, dos primeiros dias de velejada.
Estas retas são denominadas da manhã (antes da passagem meridiana) e da tarde; suas
alturas serão iguais ou aproximadamente iguais.
Quando a declinação do Sol e a latitude do barco são aproximadamente iguais, o percurso
do Sol é aproximadamente sobre o paralelo do barco, de modo que ao meiodia ele estará
na ponta do mastro . Esta é uma situação incômoda, sendo difícil tomar as alturas e as
retas serão praticamente paralelas. É melhor visar uma hora antes e uma hora depois da
passagem meridiana, procurando efetuar várias visadas e pegar as melhores.
Conscientemente, você saberá quais foram as visadas perfeitas, na crista da onda e a hora
bem marcada no cronômetro.
Mas podemos visar o Sol a qualquer hora e empregar o programa, contanto que ele esteja
acima do horizonte de pelo menos 15º, para evitar a forte refração das baixas alturas.
É claro que havendo alguma condição favorável (como corte do primeiro vertical, ou
máxima digressão, ou passagem meridiana, etc.), deve ser aproveitada.
Latitude S e Longitude E, são negativas
Limitamos o emprego do programa ao Limbo Inferior e adotamos a altura do olho em 2
metros, valor normalmente achado no cockpit de um veleiro.
Não podemos deixar de citar ítens de grande importância, como outros erros possíveis e até
mais comuns.
83
Erros de programação são muito mais frequentes do que se possa imaginar: digitar a letra
O em vez do zero, 0; a letra l (ele minúsculo) ou a letra I (i maiúsculo) em lugar do
número 1, etc.
Seria bom se as linguagens de programação empregassem um único tipo de dados para
números, para vários tipos de dados numéricos, como por exemplo: inteiros, precisão
limitada e precisão dupla.
Os valores atribuídos às constantes devem merecer atenção especial, principalmente se
elas definem outras constantes.
Exemplo: pi = 3.141593
k = 180/pi : fator de transformação de graus para radianos
Se tomamos
pi = 3.1416,
k = 57.29564553093
pi = 3.141592654, k = 57.29577951
Devemos explicitar os parâmetros na programação, com o objetivo de melhorar a
velocidade e a precisão dos cálculos: inteiros, precisão simples, precisão dupla.
Usar sempre a Option Explicit para evitar erros.
Na programação de fórmulas extensas, é melhor decompôlas em partes:
Exemplo:
Y = atn ((sinD*sinL+cosD*cosL*cosT)/sqr(1(sinD*sinL+cosD*cosL*cosT)^2))
Faço: NUM = sinD*sinL+cosD*cosL*cosT e
D E N = sqr(1sinD*sinL+cosD*cosL*cosT)^2)
E obterei Y = atn(NUM/DEN)
Como a linguagem Visual Basic não tem a função arcoseno (asin), nem arccos
(acos), temos que resolver por arcotangente (atn) o que resulta em longas fórmulas:
tanX = sinX / cosX = sinX / sqr(1(sinX) ^ 2)
X = atn ( sinX / sqr(1(sinX) ^2)
ou:
X = atn ( sqr(1(cosX) ^2) / cosX
Um programa deverá prever uma serie de possibilidades de erro, como divisão por zero,
overflow, etc. (armadilha de erro).
Exemplo de simples armadilha de erro incluída numa rotina:
Private Sub Command1_Click()
On Error GoTo TrataErro
(função a ser programada)
Exit Sub
TrataErro:
84
ErrCode% = Err
Select Case ErrCode%
Case 6
MsgBox Erro 6: Overflow
Case 11
MsgBox Erro 11: Divisão por Zero
Case 13
MsgBox Type Mismatch
End Select
End Sub
Se os valores escolhidos resultarem na função em denominador nulo, haverá mensagem
de erro.
Nesses casos, na programação já deve ser prevista esta possibilidade e como contornála.
Ao simples exame das fórmulas para a programação, já são vistos os valores singulares,
que causam mensagem de erro e que podem travar o computador, obrigando a ressetálo.
Cuidado no tratamento de números é importante devido à precisão requerida.
Mas não há necessidade de empregar dupla precisão em todos os cálculos.
Para isto, devemos declarar as variáveis, algumas são inteiras, outras são de precisão
simples e algumas são de precisão dupla.
Funções trigonométricas de números muito grandes geralmente aparecem nos cálculos.
Exemplo: calcular o seno de 5430°. São 15 circunferências completas, 543015*360=30°.
Portanto é o mesmo que seno de 30°. E o computador fornece o resultado correto.
Outro problema é a busca do quadrante correto quando resolvemos um problema por sua
fórmula.
ANEXO III
Vetores
As quantidades físicas que têm intensidade e direção, como por exemplo uma força, um
campo, etc., são chamadas grandezas vetoriais, ou quantidades vetoriais, ou
simplesmente vetores. Eles são representados por uma reta orientada, que fornece o
sentido, e por um módulo (valor da força, da velocidade, etc.).
No campo gravitacional, por exemplo, cada massa exerce sua ação nas demais,
fornecendo uma resultante. Vemos o efeito nas marés, cuja maior componente do sistema
de forças é a exercida pela Lua, pela maior proximidade com a Terra. O Sol, tendo muito
maior massa, está a uma distância muito maior.
Outro exemplo: dividimos o campo magnético da Terra em dois vetores, um vertical
e um horizontal, cuja resultante fornece o valor do campo no ponto e instante
considerados; a componente horizontal fornece a declinação magnética.
Resultante de dois vetores, ou soma de dois vetores, é o vetor que produz o mesmo efeito
dos dois vetores parciais agindo simultaneamente. Os vetores parciais são denominados
componentes.
Para compor dois vetores, Vb e Vr, formamos o paralelogramo:
85
A diagonal, Va, é a resultante:
Ou o triângulo:
86
O programa Vetores, resolve a composição, conhecendose Vb , Va (uma das
componentes e a resultante) e o ângulo entre eles.
É o caso encontrado no barco velejando:
Podemos medir a velocidade do barco, vb (que é igual e de sentido contrário à Vb, vento
causado pela velocidade do barco); a Va, velocidade do vento aparente e o ângulo entre
os dois, α, podemos calcular Vr, velocidade do vento real e seu ângulo com Vb, β.
Pela figura, deduzimos:
Vr = (Va.cosα Vb) / cosβ = Va.sinα /sinβ
tan β = Va.sin α / (Va.cosα Vb)
Vmg = Vb.cos β
Deduzimos mais:
Vb / Va = sin (β α ) / sin β
Vr / Va = sin α / sen β
Vb / Vr= sin (β α ) / sin α
Veremos mais adiante que, de maneira geral, dependendo do barco, na orça ferrada,
β=45°; α será menor que β/2 .
87
No través, β=90° .
Veremos também os casos em que α = 45° e α=90° e, em seguida, o estudo da
velocidade máxima do barco.
Portanto, para conhecer bem o barco, é necessário calcular uma porção de coisas que não
podemos ver nem medir diretamente.
Na orça cochada, barco bem mareado, em águas abrigadas, sem corrente, medir o rumo
de agulha; mudar de bordo e repetir os ajustes o melhor possível, medir o rumo de
agulha. Um calunga (desenho à mão livre) mostrará qual o ângulo de orça do barco,
geralmente a diferença dos dois rumos dividido por dois.
O programa Vmg (velocity made good), calcula a componente da velocidade do barco
diretamente sobre a linha do vento real.
Para alcançar uma marca a barlavento, o Vmg fornece o dado necessário para atingila no
menor tempo possível, isto é, na melhor proa, a que oferece a maior componente de
velocidade diretamente na linha do vento. De todas as Vmg calculadas em diversas proas,
a maior deve ser a adotada, naturalmente.
O programa Correção para a Corrente, resolve um problema típico de vetores, em
qualquer quadrante. No caso de avião, é o problema de determinação do CAP, tratandose
Vc como velocidade do vento (ao invés de corrente).
Exemplo: navegando de Recife para Noronha, velocidade do barco=6’ (nós), rumo em
relação ao solo=30º , velocidade da corrente=2’, rumo da corrente=135º:Teremos:
α = correção de proa = 18.8º
88
vs = 6.2’ (velocidade útil)
Proa Corrigida = Rs ± α = 48.8º
Naturalmente, devemos somar a declinação magnética W à proa corrigida da corrente.
É o mesmo problema que o piloto de aeronave denomina de CAP: calcular a correção da
proa para compensar o vento, obtendo o rumo em relação ao solo e a velocidade útil.
Particularizamos para o caso do barco, mas poderá ser empregado em geral, reduzindose
para milhas terrestres (1609 metros).
No caso de avião, é o mesmo: velocidade do avião=100’ (milhas marítimas) , rumo em
relação ao solo = 30º , velocidade do vento = 20’ (nós, milha marítima por hora), rumo do
vento = 135º.
Teremos: α = 11.14º
Lembrar sempre :
CAP= 41.14º
vs = 103.3
o barco vai (ou o avião vai)
a corrente vem (ou o vento vem)
Exemplo: barco: 6’ ,
45º
( velocidade de 6 nós, rumo de 45 graus)
corrente: 2’ , 45º ( velocidade de 2 nós, rumo de 45 graus)
quer dizer: o barco vai para 45º , velocidade de 6 nós;
a corrente vem de 45º , velocidade de 2 nós.
(neste exemplo, elas se subtraem, pois são contrárias, resultando na velocidade do
barco de 4 nós).
Na parte Velejando Melhor, veremos mais detalhes sobre as diversas mareações.
Nos casos dos eixos coordenados ( 0º, 90º, 180º, 270º), que apresentariam
impossibilidades, foi adotada uma subrotina para contornar e evitar mensagem de erro.
89
ANEXO IV - Reta de Altura
Quando só podemos medir com precisão a altura do astro e a hora da visada,
fica faltando um parâmetro para a solução do triângulo de posição, lançamos mão, então, de
um engenhoso artifício: o das retas de altura:
90
O lugar geométrico dos pontos de mesma altura é o que se denomina circunferência de
altura.
Nas dimensões da carta, aparece um pequeno trecho desta circunferência, como uma reta:
é a reta de altura.
Ela é representada por meio de uma seta em cada extremidade, indicando que a reta é
válida dentro de limites, ao tomarmos a tangente como o arco desta circunferência.
Como a diferença de alturas, ∆a = ao – ae, é pequena, o erro é também pequeno.
Até a distância de 120 milhas, qualquer que seja a latitude, a diferença entre uma reta
tangente e o arco é desprezível.
Os elementos determinativos de uma reta de altura são:
∆a = ao ae .........intercepto ou diferença de alturas, ou Delta a
Azimute, A
Se ∆a > 0, marca-se no sentido do azimute (sentido da posição geográfica do astro.
Se ∆a < 0, no sentido contrário.
91
Este sentido é mostrado na figura, onde temos ∆a >0.
Quando a reta é transportada, recebe dupla seta nas extremidades.
Pelo processo de SaintHilaire, teremos o seguinte procedimento:
tomar a altura do astro e a hora da visada;
transformar a altura instrumental, ai, em altura observada, ao;
com a HMG (hora média de Greenwich) da visada, determinar δ, declinação e o AHG
(ângulo horário de Greenwich) do astro;
calcular ae, altura estimada, obtendo ∆a = ao – ae;
calcular o azimute, A
a partir da posição estimada, na carta, traçar a linha do azimute e marcar ∆a :
no sentido do astro, se ∆a > 0
no sentido contrário, se ∆a < 0
Uma reta de altura pode ser transportada para cruzar com outra obtida em hora diferente;
geralmente é adotado o intervalo de duas horas para boa precisão, mas podemos adotar
três horas.
PG é a posição geográfica do astro (ou ponto subastral).
Nos países de língua inglesa, o ∆ = ao ae é denominado intercept.
Podemos adotar o nome de diferença de alturas, ou, simplesmente, ∆a (delta a).
Para o transporte de uma Reta1 sobre uma Reta2:
Reta1: Posição estimada1: ϕe1, λe1,
Reta2: Posição estimada2: ϕe2 , λe2,
∆a1, A1
∆a2, A2
Teremos:
ϕ = ϕe2 + (∆a2.sin A1 ∆a1.sin A2) / sin(A1A2)
λ = λe2 + (∆a2.cos A1 ∆a1.cos A2) / (sin(A1 A2).cos ϕ)
Transportar uma reta eqüivale a locála na segunda posição estimada, para onde
desejamos transportála.
ANEXO V
Triângulos Esféricos
São limitados por três círculos máximos que se interceptam dois a dois.
Em todo triângulo esférico:
1) a soma de dois lados quaisquer é maior do que o terceiro lado;
2) a soma dos três lados é menor que 360º ;
3) se dois lados são iguais, os ângulos opostos são iguais e reciprocamente;
4) se dois lados são desiguais, os ângulos opostos são desiguais e o maior ângulo está
oposto ao maior lado e reciprocamente;
5) a soma dos três ângulos é maior que 180º e menor que 540º.
Vemos, assim, que nem todo triângulo traçado na superfície da esfera é esférico.
Como verificar? Recorremos ao triângulo polar ou suplementar:
92
Em dois triângulos polares, cada ângulo de um é o suplemento do lado correspondente:
A = 180° – a’
B = 180°– b’
C = 180°– c’
A’= 180°– a
B’= 180° – b
C’= 180° – c
Exemplo: em cada um dos seguintes itens, dizer se um triângulo esférico tendo os
elementos dados, é possível:
a) A=60°
B=70°
C=90°
b) A=60°
B=115°
C=145°
c) A=60°
B=20°
C=90°
Respostas: a) Sim. A+B+C=220° que está entre 180° e 540°
a’=120°
b’= 110°
c’= 90° do triângulo polar satisfazem a
condição de que a soma de dois lados quaisquer seja maior do que o terceiro lado.
b) Não. Os lados a’=120°; b’=65°; c’=35° do triângulo polar não satisfazem
a condição, pois b’+c’< a’.
c) Não, pois A+B+C<180°
93
Anexo VI - Triângulo de Posição
É formado por trechos:
do meridiano do observador, do círculo horário do astro e do círculo vertical que contem o
observador e o astro, é denominado triângulo de posição.
Ele tem os seguintes vértices: polo elevado, posição subastral (posição geográfica do
astro) e posição geográfica do observador.
Os lados são: distância zenital (z), colatitude (c ) e distância polar (p).
z= 90 - a
c= 90 - ϕ
p=90+ ou - δ (conforme o caso)
onde a=altura do astro, ϕ =latitude do observador, δ= declinação do astro.
A Astronomia de Posição, ou Astronomia Esférica, e em conseqüência a Navegação
Astronômica, em última análise, consiste na resolução do triângulo de posição.
Os ângulos de um triângulo esférico são: azimute (A), ângulo no polo (t1) e ângulo
paralático (Ap).
Determinação do azimute:
tan A= sin t / (sin ϕ.cos t – cos ϕ . tan δ )
(Fórmula de Dozier)
ϕ e δ são negativas no hemisfério sul, por convenção.
O computador fornece como resposta um ângulo que denominamos Ac.
Temos que determinar o quadrante:
Se Ac > 0 e sin t > 0 ... A = Ac + 180
Se Ac > 0 e sin t < 0 ... A = Ac
Se Ac < 0 e sin t > 0 ... A = Ac + 360
Se Ac < 0 e sin t < 0 ... A = Ac + 180
Determinação da altura:
sin a = sin δ.sin ϕ + cos δ.cos ϕ.cos t
Para a altura, não há problema de quadrante.
Como estamos vendo, são conhecidos: t, δ e ϕ.
São calculados a e A (altura e azimute).
94
ANEXO VI I Transformação de Z, ângulo no zênite, em A, azimute:
É tão imediata que a própria figura é autoexplicativa.
Exemplos:
1) Dados t=10° δ = 10° ϕ =20° ; calcular a e A
Entro no programa Triângulo de Posição e determino: a=76.1° e A=225.4°
2) Dados t= 20° δ=51.36667°
terei: a=58.4° A=341°
ϕ=20°
95
ANEXO VIII Passagem Meridiana
Observador no HN, astro no HN
HN
+
Q
(tomados em valores absolutos)
δ = z + ϕ ∴φ = δ z = δ (90 a) = δ + a – 90
Os outros casos são deduzidos semelhantemente.
Observador no HN, astro no HS:
HN
P
I
P
=
96
Observador no Hemisfério Sul, astro no HN:
P
I
P
z=ϕ+δ
=
+
Observador e astro no Hemisfério Sul
Caso de HS, astro com declinação maior (em valor absoluto) que a latitude do observador:
δ=ϕ+z
∴ϕ = δ - z = δ + a – 90°
A determinação da posição na passagem meridiana pode ser efetuada normalmente, isto
é, utilizando o programa Posição como uma visada comum; o azimute será 0° ou 180° ou
muito próximo.
À medida que o Sol vai se aproximando do meridiano do observador, t1 vai diminuindo
até se tornar nulo, quando o triângulo de posição se transforma no meridiano do observador
(numa reta, na figura).
Notar que tomamos os valores absolutos da declinação e da latitude, conforme vemos nas
97
figuras.
ANEXO IX
Observação do Sol
O Sol se apresenta para o observador com um diâmetro médio de 32’, dependendo da
época do ano. Adotamos, nos programas, sempre a visada do Limbo Inferior.
A altura instrumental, ai, medida pelo instrumento, deve sofrer correções para se obter a
altura observada, ao:
ao = (ai + ei – dep) + SD + P – R
Onde: ai = altura instrumental, a que é lida no instrumento ; ei = correção do erro do
instrumento ; dep = correção da depr Semi
correção da Paralaxe; R = correção da Refração.
Além destas correções, há as referentes à temperatura e pressão, que são irrelevantes para
a maioria dos casos e, por isso, não as consideramos (resolva um problema com e sem elas e
deduza...)..
O erro instrumental, próprio de cada instrumento, poderá ser determinado, no caso do
sextante, levandose a alidade ao zero e, introduzindose os filtros (vidros corados), visar
diretamente o Sol; superpor as duas imagens, direta e refletida, tangenciandoas entre si;
obtém se uma leitura.
Invertemse as imagens, obtendose uma segunda leitura. Repetir para obter três leituras
de cada superposição das imagens, que denominaremos de Leituras Dentro (aquelas em
que o índice da alidade estiver à esquerda do zero e de Leituras Fora ( à direita). O
programa calcula a correção do erro, já com o devido sinal e o SD observado para ser
comparado com o valor correto.
Obteremos: ei = (L1 – L2) / 2 ... L1 = média das leituras dentro
L2 = ...
fora.
O sinal da correção já é o obtido pela fórmula.
Poderemos obter o valor do Semi – Diâmetro:
SD = (L1 + L2) / 4
Este valor do SD observado deve ser comparado com o apresentado no programa, para
assegurar a perfeição da visada; se os valores coincidirem, ou forem próximos, estamos
visando com perfeição, ou aceitável precisão (programa ei SD).
98
O semi–diâmetro do Sol, ou raio, é a correção para reduzir a visada do limbo observado
para o centro, segundo a fórmula:
Corr. SD = K – 0.0125 * δ ... em minutos de ângulo (é aditiva, para limbo inferior).
Onde K = 16.077 de jan / jun ou K = 15.988 de jul / dez.
Notar que os períodos acima são diferentes dos adotados no Almanaque Náutico DHN, brasileiro, o que poderá resultar numa ligeira variação dos valores quando comparamos
as duas soluções. Diferenças diminutas, irrelevantes. Não é possível determinar qual o critério
certo.
Este processo, com o aplicativo eiSD, ou erro instrumental e Semidiâmetro, proporciona uma
forma para treinamento, a partir de qualquer lugar, desde que o Sol seja avistado: ele não
necessita de horizonte. Vizase diretamente o Sol: todo o cuidado para inserir os filtros (vidros
corados) do sextante. Uso negativos de fotografia colocados entre os vidros corados para tornar
o trabalho confortável, sem forçar a vista.
A paralaxe do Sol é corrigida segundo a fórmula:
corr. Ph = 0.14583334 * cos aap ...em minutos de arco (é aditiva)
A correção da Refração, para o Sol, é dada pela fórmula:
corr. R = 0.98 / tan aap
... em minutos de arco (é subtrativa)
Limitamos ao Limbo Inferior, em proveito da simplificação.
Anexo X – Elipses em função da excentricidade
99
A órbita da Terra em torno do SOL tem uma excentricidade de:
e=0.016709 (em 2000) é quase uma círcunferência.
Em 2100 ela será de 0.016666
A órbita do cometa Halley (1986): e= 0.99845
A do planeta Marte: e= 0.0934
Anexo XI – CONSTANTES
° Velocidade da luz no vácuo: c = 2.9979 · 108 m / s ,
isto é algo em torno de 300 mil km / s ou 1 bilhão de km / h.
¤ Anoluz : al = 0.9461· 1016 m = 0.3066 pc,
distância percorrida pela luz em um ano, aprox. 9 trilhões e meio de km.
•
•
¤ Parsec : pc = 3.0857 · 1016 m = 3.26 al = 206265 UA,
¤ Unidade Astronômica : UA = 1.495 · 108 km ,
(distância média TerraSol) aprox. 150 milhões de km.
100
•
¤ Distância TerraLua (média): d= 3.844 · 105 km ,
aprox. 400 mil km.
•
¤ Massa da Lua em Massas Terrestres: ml = 0.0123 mt
•
¤ Massa da Terra: mt = 5.976 · 1027 kg
•
¤ Raio Equatorial da Terra: R t = 6378 km
•
¤ Aceleração da Gravidade na Superfície da Terra (média): g = 9.807 m / s2
•
¤ Constante Gravitacional: G = 6.67 · 1011 N · m2 / kg2
•
¤ Ano Trópico : 365.242 dias
(tempo para a Terra dar uma volta completa ao redor do Sol)
ANEXO XII - TS0
Ano e TS0 já estão incluídos nos programas para PC, como podemos ver nas listagens.
Apenas para a FX-880P necessitamos modificar Ano e TS0.
O TS0 é o AHGγ (AHG do ponto vernal) no dia 1º de janeiro do ano em questão, a zero hora.
Ele é tomado como base dos cálculos ao longo do ano, tornando mais precisos os valores dos
dados dos astros, além de outras vantagens já mencionadas..
1950
100.075
1951
99.8383334
1952
99.60
1953
100.3483334
1954
100.110
1955
99.8716667
1956
99.63334
1957
100.380
1958
100.140
1959
99.90
1960
99.660
1961
100.405
1962
100.165
1963
99.925
1965
100.43334
1964
99.686667
1966
100.1950
1967
99.956667
1968
99.720
1969
100.4683334
1970
100.230
1971
99.993334
1972
99.7550
1973
100.5 03334
1974
100.2650
1975
100.026667
101
1976
99.786667
1977
100.5316667
1978
100.2916667
1979
100.0516667
1980
99.8116667
1981
100.5583334
1982
100.3183334
1983
100.0783334
1984
99.84033
1985
100.58806
1986
100.350
1987
100.113334
1988
100.8750
1989
100.623334
1990
100.3866667
1991
100.1483334
1992
99.91140
1993
100.6583334
1994
100.418334
1995
100.178334
1997
100.6836167
1996
99.9383334
1998
100.443334
1999
100.203334
2000
99.9650
2001
100.71
2002
100.471667
2003
100.23334
2004
99.9950
2005
100.743334
2006
100.506667
2007
100.2683334
2008
100.0316667
2009
100.780
2010
100.5416667
2011
100.303334
2012
100.00650
2013
100.8116667
2014
100.5716667
2015
100.331667
2016
100.090
2017
100.836667
2018
100.596667
2019
100.356667
2020
100.118334
2021
100.8650
2022
100.626667
2023
100.3883334
2024
100.1516667
2025
100.90
2026
100.6616667
2027
100.4250
2028
100.186667
2029
100.9350
2030
100.696667
2031
99.456667
2032
100.2183334
2033
100.963334
2034
100.723334
2035
100.483334
2036
100.243334
2037
100.9883334
2038
100.750
2039
100.510
2040
100.2716667
2041
101.020
2042
101.7816667
2043
100.5450
102
2044
100.306667
2045
100.0550
2046
100.8183334
2047
100.580
2048
100.3416667
2049
101.0883334
2050
100.8500
//
//
ANEXO XIII – Listagem de Alguns Códigos
a) - Correção de ai
Private Sub Command1_Click()
Rem Correção da altura instrumental ai
SaveSetting "correc", "startup", "text7", Text7.Text
Const pi = 3.141593
Const K = 180 / pi
Val(Text7.Text)
DI = Val(Text1.Text)
Mes = Val(Text2.Text)
If DI > 31 Or DI <= 0 Then GoSub Reveja
If (H + (M / 60 + S / 3600) / 24) > 24 Then GoSub Reveja
If Mes < 0 Or Mes > 12 Then GoSub Reveja
If Mes = 2 And DI >= 29 Then GoSub Bissexto
If Mes = 4 And DI > 30 Then GoSub Reveja
If Mes = 6 And DI > 30 Then GoSub Reveja
If Mes = 9 And DI > 30 Then GoSub Reveja
If Mes = 11 And DI > 30 Then GoSub Reveja
If 1950 Then "100.075"
(N até o ano de 1950)
If Ano > 2050 Then GoSub Limites
If Ano < 1950 Then GoSub Limites
Val(TS0)
Static N(12)
Let N(1) = 0: N(2) = 31: N(3) = 59: N(4) = 90: N(5) = 120: N(6) = 151
Let N(7) = 181: N(8) = 212: N(9) = 243: N(10) = 273: N(11) = 304: N(12) = 334
Let J2 = N(Mes) + DI - 0.5 'para determinar declinação do dia
AA = Ano / 4 - Int(Ano / 4)
If AA = 0 Then AA = 1
If AA = 1 And Mes > 2 Then J2 = J2 + 1
Let T = ((Ano - 2000) * 365.25 + 0.5 + J2 - A) / 365250
TS1 = TS0 + 360.98564735 * J2
TS = 2 * pi * (TS1 / 360 - Int(TS1 / 360))
IE = 0.4090928042 - 0.0022696552 * T - 0.00000028604 * T * T
OS = 1.00000101778
LMS = 4.895062967 + 6283.319668 * T + 0.00053 * T * T
KAS = -0.003740816 - 0.004793106 * T + 0.00028 * T * T
HAS = 0.016284477 - 0.001532379 * T - 0.00072 * T * T
LPS = Atn(HAS / KAS)
ES = Abs(HAS / Sin(LPS))
AMS = LMS - LPS
AES = AMS
For I = 1 To 5
AES = AMS + ES * Sin(AES)
Next I
AVS = 2 * Atn(Sqr((1 + ES) / (1 - ES)) * Tan(AES / 2))
103
ALS = AVS + LPS
D = Atn(Sin(IE) * Sin(ALS) / Sqr(1 - (Sin(IE) * Sin(ALS)) ^ 2))
aiG = Val(Text3)
aiM = Val(Text4) / 60
ai = aiG + aiM
If ai = 0 Then GoSub Nula
If Abs(ai) >= 90 Then GoSub Reveja
If aiM < 0 Or aiM > 1 Then GoSub Reveja
ei = Val(Text5) / 60
aiei = ai + ei
If Abs(ei) > 0.2 Then GoSub Reveja
Depr = Val(Text6)
If Depr > 0 Then GoSub Negatv
V = aiei + Depr / 60
'aap
If Abs(Depr) > 10 Then GoSub Depre
W=V/K
'reduz aap a radianos
U = 0.146 * Cos(W) 'correção da paralaxe
S1 = 0.98 / Tan(W) 'corr. refração em minutos
If Mes > 6 Then K3 = 15.988
If Mes <= 6 Then K3 = 16.077
R1 = K3 - D * K * 0.0125
'corr. do SD em minutos
AO = V + (U + R1 - S1) / 60
Label21 = Int(AO)
P = (AO - Int(AO)) * 60
Q = P * 100
R = CInt(Q) / 100
Label22 = R
GoSub Final
Reveja:
MsgBox "Reveja Valores"
GoSub Final
Nula:
MsgBox "ai=0 , ao = -0.8333"
GoSub Final
Bissexto:
A = Ano / 4 - Int(Ano / 4)
If A = 0 Then Return
MsgBox "Reveja; fevereiro tem 28 dias, normalmente"
GoSub Final
Negatv:
MsgBox "Correção da Depressão é sempre negativa. Reveja"
GoSub Final
Depre:
MsgBox "Valor anormal da Correção da Depressão. Verifique"
GoSub Final
Limites:
MsgBox "Excede os limites adotados: 1950 a 2050"
GoSub Final
Impossivel:
MsgBox "Erro; divisão por zero ou overflow"
Final:
End Sub
Private Sub Command2_Click()
Text1 = ""
Text2 = ""
Text3 = ""
Text4 = ""
Text5 = ""
Text6 = ""
Label21 = ""
Label22 = ""
104
Text1.SetFocus
End Sub
Private Sub Command3_Click()
End
End Sub
Private Sub Form_Load()
Text7.Text = GetSetting("Correc", "Startup", "text7", "")
End Sub
b)- Consumo
Private Sub Command1_Click()
Rem CONSUMO
C1 = Val(Text1)
V1 = Val(Text2)
V2 = Val(Text3)
If Option2.Value = True Then GoSub Quadrado
If C1 <= 0 Or V1 <= 0 Or V2 <= 0 Then GoSub Reveja
C2 = C1 * (V2 ^ 2 * V2) / (V1 ^ 2 * V1)
Label5 = Format$(C2, "##.##")
GoSub Final:
Quadrado:
If C1 <= 0 Or V1 <= 0 Or V2 <= 0 Then GoSub Reveja
C2 = C1 * (V2 * V2) / (V1 * V1)
Label5 = Format$(C2, "##.##")
GoSub Final
Reveja:
MsgBox "Reveja valores", vbOKOnly, "Consumo de Combustível"
Final:
End Sub
Private Sub Command2_Click()
Text1 = ""
Text2 = ""
Text3 = ""
Label5 = ""
Text1.SetFocus
End Sub
Private Sub Command3_Click()
End
End Sub
Private Sub Command2_Click()
Text1 = ""
Text2 = ""
Text3 = ""
Label5 = ""
Text1.SetFocus
End Sub
Private Sub Command3_Click()
End
End Sub
c) – Distância entre Dois Pontos
Private Sub Command1_Click()
Rem Ortodrômia
'não deixa calcular sem inserção de valores
If Me.Text1 <> "" And Me.Text2 <> "" And Me.Text3 <> "" And Me.Text4 <> "" And Me.Text5 <> "" And Me.Text6 <>
"" And Me.Text7 <> "" And Me.Text8 <> "" Then
Const pi = 3.141593
105
Const k = 180 / pi
Latitg1 = Val(Text1) 'especifica os valores às strings
Latitm1 = Val(Text2)
Longitg1 = Val(Text3)
Longitm1 = Val(Text4)
Latitg2 = Val(Text5)
Latitm2 = Val(Text6)
Longitg2 = Val(Text7)
Longitm2 = Val(Text8)
LAG1 = Abs(Latitg1)
LAG1 = LAG1 + Latitm1 / 60
'inclui os valores negativos das entradas
If Latitg1 < 0 Then LAG1 = -LAG1
LONGI1 = Abs(Longitg1)
LONGI1 = LONGI1 + Longitm1 / 60
If Longitg1 < 0 Then LONGI1 = -LONGI1
LAG2 = Abs(Latitg2)
LAG2 = LAG2 + Latitm2 / 60
If Latitg2 < 0 Then LAG2 = -LAG2
LONGI2 = Abs(Longitg2)
LONGI2 = LONGI2 + Longitm2 / 60
If Longitg2 < 0 Then LONGI2 = -LONGI2
LAG1 = LAG1 / k
'reduz graus a radianos
LONGI1 = LONGI1 / k
LAG2 = LAG2 / k
LONGI2 = LONGI2 / k
t1 = LONGI2 - LONGI1
If LAG2 = LAG1 Then LAG2 = LAG2 + 0.001
'calcular altura e azimute, para deduzir distancia zenital
Q = Atn(((Sin(LAG1) * Sin(LAG2) + Cos(LAG1) * Cos(LAG2) * Cos(t1)) / Sqr(1 - (Sin(LAG1) * Sin(LAG2) +
Cos(LAG1) * Cos(LAG2) * Cos(t1)) ^ 2)))
Z = Atn(Sin(t1) / (Sin(LAG1) * Cos(t1) - Cos(LAG1) * Tan(LAG2)))
If Z > 0 And Sin(t1) > 0 Then A = Z + pi 'reduz Z a Azimute
If Z > 0 And Sin(t1) < 0 Then A = Z
If Z < 0 And Sin(t1) > 0 Then A = Z + 2 * pi
If Z < 0 And Sin(t1) < 0 Then A = Z + pi
Label3 = CInt((90 - Q * k) * 60) 'retorna a graus e transforma em milhas
Label4 = CInt(A * k)
'Caixa de mensagem inicial de falta de dados
Else
Call MsgBox("Você ainda não digitou nenhum valor nos campos de texto...", vbOKOnly, "Menor Distância entre Dois
Pontos")
End If
End Sub
Private Sub Command2_Click()
Text1 = ""
Text2 = ""
Text3 = ""
Text4 = ""
Text5 = ""
Text6 = ""
Text7 = ""
Text8 = ""
Label3 = ""
Label4 = ""
Text1.SetFocus
End Sub
Private Sub Command3_Click()
End
End Sub
106
d) – Equação de Kepler
‘MS VISUAL STUDIO 2008
Imports System.Math
Public Class form1
Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles
Button1.Click
'EqKEPLER método de Sinnot
Dim AM As Double
Dim K As Double
Dim EC As Double
Dim F As Double
Dim EO As Double
Dim D As Single
Dim M1 As Single
Dim A As Double
Dim AT As Double
AM = Val(TextBox1.Text)
'Anomalia Média
EC = Val(TextBox2.Text)
'excentricidade da órbita
Const PI = 3.141592654
K = 180 / PI
AM = AM / K
F = Sign(AM)
AM = Abs(AM) / (2 * PI)
AM = (AM - Int(AM)) * 2 * PI * F
If AM < 0 Then AM = AM + 2 * PI
F=1
If AM > PI Then F = -1
If AM > PI Then AM = 2 * PI - AM
EO = PI / 2
D = PI / 4
For J = 1 To 33
M1 = EO - EC * Sin(EO)
EO = EO + D * Sign(AM - M1)
D=D/2
Next J
EO = EO * F
A = Sqrt((1 + EC) / (1 - EC)) * Tan(EO / 2)
AT = 2 * Atan(A)
TextBox3.Text = Val(EO * K)
TextBox4.Text = Val(AT * K)
End Sub
Private Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles
Button2.Click
TextBox1.Text = ""
TextBox2.Text = ""
TextBox3.Text = ""
TextBox4.Text = ""
End Sub
Private Sub Button3_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles
Button3.Click
End
End Sub
End Class
107
e) – Posição
Private Sub Command1_Click()
SaveSetting "Posicao", "Startup", "text1", Text1.Text
End Sub
Private Sub Command2_Click()
Rem Determinação da Posição por duas Retas
Dim Ano As Integer
Dim Mes As Integer
Dim DI As Integer
Const PI = 3.141592653
Const K = 180 / PI
Val(Text1.Text): DI = Val(Text2.Text): Mes = Val(Text3.Text)
H = Val(Text4.Text): M = Val(Text5.Text): S = Val(Text6.Text)
La1 = Val(Text7.Text): Lo1 = Val(Text8.Text)
If Abs(La1) > 90 Then GoSub Relat
If Abs(Lo1) > 180 Then GoSub Relong
La1 = La1 / K
Lo1 = Lo1 / K
If DI > 31 Or DI <= 0 Then GoSub Reveja
If (H + (M / 60 + S / 3600) / 24 > 24) Then GoSub Reveja
If H < 0 Or M < 0 Or S < 0 Then GoSub Reveja
If Mes < 0 Or Mes > 12 Then GoSub Reveja
If Mes = 2 And DI = 29 Then GoSub Bissexto
If Mes = 2 And DI > 29 Then GoSub Fevereiro
If Mes = 4 And DI > 30 Then GoSub Reveja
If Mes = 6 And DI > 30 Then GoSub Reveja
If Mes = 9 And DI > 30 Then GoSub Reveja
If Mes = 11 And DI > 30 Then GoSub Reveja
If 0 Then GoSub Preencha
If 1950 Then "100.075"
(inserir até o ano de 2050)
If Ano > 2050 Then GoSub Limites
If Ano < 1950 Then GoSub Limites
Val(TS0)
Static N(12)
Let N(1) = 0: N(2) = 31: N(3) = 59: N(4) = 90: N(5) = 120: N(6) = 151
Let N(7) = 181: N(8) = 212: N(9) = 243: N(10) = 273: N(11) = 304: N(12) = 334
' Primeira reta
Let J1 = N(Mes) + DI + (H + M / 60 + S / 3600) / 24 - 1
A = Ano / 4 - Int(Ano / 4)
If A = 0 Then A = 1
If A = 1 And Mes > 2 Then J1 = J1 + 1
Let T1 = ((Ano - 2000) * 365.25 + 0.5 + J1 - A) / 365250
TS1 = TS0 + 360.98564735 * J1
TS2 = 2 * PI * (TS1 / 360 - Int(TS1 / 360))
IE = 0.4090928042 - 0.0022696552 * T1 - 0.00000028604007 * T1 * T1 + 0.000008789672 * T1 * T1 * T1
LMS = 4.895062967 + 6283.319663 * T1 + 0.00053001819 * T1 * T1 + 0.00000036942802 * T1 * T1 * T1
KAS = -0.003740816 - 0.004793106 * T1 + 0.000281128 * T1 * T1 + 0.000073831 * T1 * T1 * T1
HAS = 0.016284477 - 0.001532379 * T1 - 0.000720171 * T1 * T1 + 0.000032299 * T1 * T1 * T1
LPS = Atn(HAS / KAS)
ES = Abs(HAS / Sin(LPS))
AMS = LMS - LPS
If Abs(AMS) > 25 Then AMS = 2 * PI * ((AMS / (2 * PI) - Int(AMS / (2 * PI))))
AES = AMS
For i = 1 To 5
108
AES = AMS + ES * Sin(AES)
Next i
AVS = 2 * Atn(Sqr((1 + ES) / (1 - ES)) * Tan(AES / 2))
ARS = LPS + AVS
LOS = ARS
If LOS < 0 Then LOS = LOS + 2 * PI
D1 = Atn(Sin(IE) * Sin(LOS) / Sqr(1 - (Sin(IE) * Sin(LOS)) ^ 2))
AD = Atn(Cos(IE) * Tan(LOS))
If Cos(LOS) < 0 Then AD = AD + PI
If AD < 0 Then AD = AD + 2 * PI
AH1 = TS2 - AD - Lo1
If AH1 < 0 Then AH1 = AH1 + 2 * PI
If AH1 < 0 Then AH1 = AH1 + 2 * PI
Label29.Caption = Format$(D1 * K, "##.#####")
'Format$(Resultado, "###.####") 'Declinação
Label30.Caption = Format$(AH1 * K, "###.###")
'Format$(Resultado, "###.####") 'AHL
JG = Val(Text9.Text)
'altura graus
JM = Val(Text10.Text)
'altura minutos
F = Val(Text11.Text)
'ei
V = JG + JM / 60 - 0.041625 + F / 60
Let W = V / K
If Mes > 6 Then Let K3 = 15.988
If Mes <= 6 Then Let K3 = 16.077
U = (0.145834 * Cos(W)) / 60
S = (0.98 / Tan(W)) / 60
R = (K3 - 0.0125 * D1 * K) / 60
Ao1 = V + U + R - S
NUM = Sin(La1) * Sin(D1) + Cos(D1) * Cos(La1) * Cos(AH1)
DEN = Sqr(1 - (Sin(La1) * Sin(D1) + Cos(La1) * Cos(D1) * Cos(AH1)) ^ 2)
Q1 = Atn(NUM / DEN)
' ae
DA1 = Ao1 - Q1 * K
'intercepto ao1 - ae1
Z1 = Atn(Sin(AH1) / (Sin(La1) * Cos(AH1) - Cos(La1) * Tan(D1)))
If Z1 > 0 And Sin(AH1) > 0 Then Z1 = Z1 + PI
If Z1 > 0 And Sin(AH1) < 0 Then Z1 = Z1
If Z1 < 0 And Sin(AH1) > 0 Then Z1 = Z1 + 2 * PI
If Z1 < 0 And Sin(AH1) < 0 Then Z1 = Z1 + PI
Label32.Caption = Format$(DA1 * 60, "##.##")
'ao-ae
Label33 = Format$(Z1 * K, "###.##")
'A1
'SegundaReta
H = Val(Text12.Text): M = Val(Text13.Text): S = Val(Text14.Text)
La2 = Val(Text15.Text): Lo2 = Val(Text16.Text)
Let La2 = La2 / K: Lo2 = Lo2 / K
Let J2 = N(Mes) + DI + (H + M / 60 + S / 3600) / 24 - 1
A = Ano / 4 - Int(Ano / 4)
If A = 0 Then A = 1
If A = 1 And Mes > 2 Then J2 = J2 + 1
Let T2 = ((Ano - 2000) * 365.25 + 0.5 + J2 - A) / 365250
TS2 = TS0 + 360.98564735 * J2
TS = 2 * PI * (TS2 / 360 - Int(TS2 / 360))
IE = 0.4090928042 - 0.0022696552 * T2 - 0.00000028604007 * T2 * T2 + 0.000008789672 * T2 * T2 * T2
LMS = 4.895062967 + 6283.319663 * T2 + 0.00053001819 * T2 * T2 + 0.00000036942802 * T2 * T2 * T2
KAS = -0.003740816 - 0.004793106 * T2 + 0.000281128 * T2 * T2 + 0.000073831 * T2 * T2 * T2
HAS = 0.016284477 - 0.001532379 * T2 - 0.000720171 * T2 * T2 + 0.000032299 * T2 * T2 * T2
LPS = Atn(HAS / KAS)
ES = Abs(HAS / Sin(LPS))
AMS = LMS - LPS
If Abs(AMS) > 25 Then AMS = 2 * PI * ((AMS / (2 * PI) - Int(AMS / (2 * PI))))
AES = AMS
For i = 1 To 5
AES = AMS + ES * Sin(AES)
Next i
AVS = 2 * Atn(Sqr((1 + ES) / (1 - ES)) * Tan(AES / 2))
109
ARS = LPS + AVS
LOS = ARS
If LOS < 0 Then LOS = LOS + 2 * PI
D2 = Atn(Sin(IE) * Sin(LOS) / Sqr(1 - (Sin(IE) * Sin(LOS)) ^ 2))
AD2 = Atn(Cos(IE) * Tan(LOS))
If Cos(LOS) < 0 Then AD2 = AD2 + PI
If AD2 < 0 Then AD2 = AD2 + 2 * PI
AH2 = TS - AD2 - Lo2
If AH2 < 0 Then AH2 = AH2 + 2 * PI
If AH2 < 0 Then AH2 = AH2 + 2 * PI
Label35 = Format$(D2 * K, "##.#####") 'Declinação2
Label36 = Format$(AH2 * K, "###.###") 'AHL2
JG2 = Val(Text17.Text)
JM2 = Val(Text18.Text)
V = JG2 + JM2 / 60 - 0.041625 + F / 60
Let W = V / K
If Mes > 6 Then Let K3 = 15.988
If Mes <= 6 Then Let K3 = 16.077
U = (0.145834 * Cos(W)) / 60
S = (0.98 / Tan(W)) / 60
R = (K3 - 0.0125 * D2 * K) / 60
Ao2 = V + U + R - S
NUM = Sin(La2) * Sin(D2) + Cos(D2) * Cos(La2) * Cos(AH2)
DEN = Sqr(1 - (Sin(La2) * Sin(D2) + Cos(La2) * Cos(D2) * Cos(AH2)) ^ 2)
Q2 = Atn(NUM / DEN) ' ae
DA2 = Ao2 - Q2 * K
'intercepto ao - ae
Z2 = Atn(Sin(AH2) / (Sin(La2) * Cos(AH2) - Cos(La2) * Tan(D2)))
If Z2 > 0 And Sin(AH2) > 0 Then Z2 = Z2 + PI
If Z2 > 0 And Sin(AH2) < 0 Then Z2 = Z2
If Z2 < 0 And Sin(AH2) > 0 Then Z2 = Z2 + 2 * PI
If Z2 < 0 And Sin(AH2) < 0 Then Z2 = Z2 + PI
Label45 = Format$(DA2 * 60, "###.##")
'ao-ae=Delta a
Label46 = Format$(Z2 * K, "###.##")
'A2
Y = La2 * K + (DA2 * Sin(Z1) - DA1 * Sin(Z2)) / Sin(Z1 - Z2)
'Latitude em graus
YA = Abs(Y)
YM = YA - Int(YA)
YG = Int(YA)
YN = YM * 60
If Y < 0 Then YG = -YG
Label37 = YG
Label38 = Format$(YN, "##.##") 'Resultado Latitude)
Z = Lo2 * K + (DA2 * Cos(Z1) - DA1 * Cos(Z2)) / Sin(Z1 - Z2) * Cos(Y / K) 'Longitude
ZA = Abs(Z)
ZM = ZA - Int(ZA)
ZG = Int(ZA)
ZN = ZM * 60
If Z < 0 Then ZG = -ZG
Label39 = ZG
Label40 = Format$(ZN, "##.##")
'Longitude
Print Ano
Print TS0
GoSub Final
Relat:
MsgBox "Reveja valor Latitude"
GoSub Final
Relong:
MsgBox "Reveja valor Longitude"
GoSub Final
Reveja:
MsgBox "Reveja valores"
GoSub Final
110
Limites:
MsgBox ("Validade: período de 1950 a 2050")
GoSub Final
Preencha:
MsgBox "Preencha valor do Ano e salve"
GoSub Final
Bissexto:
A = Ano / 4 - Int(Ano / 4)
If A = 0 Then Return
MsgBox "Ano comum (não bissexto); reveja"
GoSub Final
Fevereiro:
MsgBox "Reveja data; fevereiro 28 ou 29 dias apenas"
Final:
End Sub
Private Sub Command3_Click()
Text2.Text = ""
Text3.Text = ""
Text4.Text = ""
Text5.Text = ""
Text6.Text = ""
Text7.Text = ""
Text8.Text = ""
Text9.Text = ""
Text10.Text = ""
Text11.Text = ""
Text12.Text = ""
Text13.Text = ""
Text14.Text = ""
Text15.Text = ""
Text16.Text = ""
Text17.Text = ""
Text18.Text = ""
Label29.Caption = ""
Label30.Caption = ""
Label32.Caption = ""
Label33.Caption = ""
Label37.Caption = ""
Label38.Caption = ""
Label39.Caption = ""
Label40.Caption = ""
Label45.Caption = ""
Label46.Caption = ""
Label35.Caption = ""
Label36.Caption = ""
Text2.SetFocus
End Sub
Private Sub Command4_Click()
End
End Sub
Private Sub Form_Load()
Text1.Text = GetSetting("Posicao", "Startup", "text1", "")
End Sub
111
f) LISTAGEM DO PROGRAMA “POSIÇÃO” PARA CASIO FX-880P
O Casio FX-880P/FX-850P personal computer satisfaz plenamente ao emprego em pequenos programas, tendo memória
suficiente para armazenar todos osaplicativos aqui descritos. Utiliza o Basic Standard como linguagem de programação.
Pode ser levado no bolso e suas baterias internas duram cerca de 2 a 3 anos de operação intermitente (não contínua), uma
CR-1220 (memória) e duas CR-2032 (para operação), ambas de lithium.
Possui 116 programas registrados em sua memória (matemática, física, estatística), além das10 faixas ao alcance do
programador e uma trilha imediata de armazenamento de funções matemáticas (equações), Memo, etc.
Sua memória pode ser expandida por mudança do RAM Pack (chip); pode ser conectado ao PC e a uma impressora.
Além do laptop, sempre levo comigo uma FX-880P programada com os aplicativos mais utilizados, conforme seja o
objetivo.
Programa para CASIO FX880P ou FX-850P
REM Determinação da Posição pelo Sol por duas retas
5 MODE4
7 PRINT “SOL – 2011”;
9 PRINT
10 AN=2011
15 TS0=100.303334
20 INPUT “Dia=?” , DI, “Mês=?”, ME, Hora=?”, H, “MinUTOS”, M, “Seg=?”, S, “Lat=?”, LA1, “Long=?”, G1
25 LA=LA1
27 G=G1
30 K=180/PI
40 DIM(12)
N(1)=0: N(2)=31: N(3)=59: N(4)=90: N(5)=120: N(6)=151: N(7)=181: N(8)=212: N(9)=243: N(10)=273: N(11)=304: N(12)=334
50 GOSUB 960
52 MODE4
54 D=D*K
56 AH=AH*K
60 PRINT “Dec=”; D
70 PRINT “AHL=”; AH
140 INPUT “ai=?”, J, “ei(minutos)=?”, F
150 GOSUB 1500
155 DA1=DA
160 PRINT “ao - ae(milhas)=”; DA1*K;
161 PRINT
170 A1=Z
180 PRINT “A1=”; A1
182 INPUT “1 ou 2 retas?”; R
184 ON R GOTO 200,320
200 LA=LA1+DA1*COS(A1)
210 G=G1 – DA1*SIN(A1)
220 PRINT “Lat=”; DMS$(LA);
225 PRINT
230PRINT “Long=”; DMS$(G)
240 PRINT “Final” : END
112
320 INPUT “Hora=?”, H, “Min=?”, M, “Seg=?”, S, “Lat=?”, LA2, “Long=?”, G2
330 GOSUB 960
332 MODE4
334 D=D*K
344 AH=AH*K
390 INPUT “ai=?”, J
400 GOSUB 1500
410 DA2=DA
420 PRINT “ao - ae(milhas)=?”; DA2*K
421 PRINT
480 A2=Z
490 PRINT “A2=”; A2
500 Y=LA2 + (DA2*SIN(A1) – DA1*SIN(A2)/SIN(A1 – A2)
530 PRINT “Lat=”; DMS$(Y);
531 PRINT
540 Z=G2 + (DA2*COS(A1) – DA1*COS(A2))/(SIN(A1 – A2)*COS(Y))
550 PRINT “Long=”; DMS$ (Z)
560 PRINT “Final”: END
960 MODE 5
980 L=LA/K
990 G=G/K
1000 J2=N(ME)+DI+(H+M/60+S/3600)/24 – 1
1040 A=AN/4 – INT(AN/4)
1050 IF A=0 THEN A=1
1060 IF A=1 AND ME>2 THEN J2=J2+1
1070 T=((AN-2000)*365.25 + 0.5 + J2 – A)/365250
1080 TS1=TS0 + 360.98564735*J2
1090 TS=2*PI*(TS1/360 – INT(TS1/360))
1100 IE=0.4090928042 – 2.2696552E-3*T – 2.8604007E-7*T*T + 8.789672E-6*T*T*T
1110 LMS=4.895062967+6283.319663*T+5.3001819E-4*T*T+3.6942802E-7*T*T*T
1120 KAS= - 0.003740816 – 0.004793106*T + 0.000281128*T*T + 7.3831E-5*T*T*T
1130 HAS=0.016284477- 0.001532379*T- 0.000720171*T*T+3.2299E-5*T*T*T
1140 LPS=ATN(HAS/KAS)
1150 ES=ABS(HAS/SIN(LPS))
1160 AMS=LMS – LPS
1165 IF ABS(AMS)>25 THEN AMS=2*PI*FRAC(AMS/(2*PI))
1170 AES+AMS
1180 FOR I=1 TO 5
1190 AES=AMS +ES*SIN(AES)
1200 NEXT I
1210 AVS=2*ATN(SQR((1+ES)/(1-ES))*TAN(AES/2))
1230 ARS=LPS+AVS
1240 LOS=ARS
1250 IF LOS<0 THEN LOS=LOS+2*PI
1260 D=ASN(SIN(IE)*SIN(LOS))
1270 AD=ATN(COS(IE)*TAN(LOS))
1280 IF COS(LOS)<0 THEN AD=AD+PI
1290 IF AD<0 THEN AD=AD+2*PI
1310 AH=TS – AD – G
1320 IF AH<0 THEN 1340
1330 RETURN
1340 AH=AH+2*PI
1350 IF AH<0 THEN AH=AH+2*PI
1360 RETURN
1500 V=J – 0.041625+F/60
1520 IF ME>6 THEN K3=15.988
1530 IF ME<=6 THEN K3=16.077
1540 U=(0.145834*COS(V))/60
1550 S=(1/TAN(V)-40/(V*V))/60
1580 R=(K3 – 0.0125*D)/60
1590 AO=V+U+R-S
1600 IF AH<0 THEN 1640
1610 GOTO 1670
1640 AH=AH+360
1650 IF AH<0 THEN AH=AH+360
1660 IF AH>360 THEN AH=AH-360
1670 Q=ASN(SIN(LA)*SIN(D)+COS(LA)*COS(D)*COS(AH))
1680 B=ATN(SIN(AH)/SIN(LA)*COS(AH)-COS(LA)*TAN(D)))
1690 IF B>0 THEN 1750
1700 IF SIN(AH)<0 THEN 1730
1710 Z=B+360
1720 GOTO 1790
1730 Z=B+180
1740 GOTO 1790
1750 IF SIN(A0)<0 THEN 1780
1760 Z=B+180
1770 GOTO 1790
1780 Z=B
1790 DA=AO - Q
1800 RETURN
Foi adotada a altura do olho (dip) de 2 metros
113
Latitudes S e Longitudes E são negativas
Visadas: Limbo Inferior
Horas HMG (TU)
ANEXO XIV - Tópicos Importantes de Navegação
(avaliação)
1) A determinação da posição do barco ao longo do percurso é, sem dúvida, um dos itens
de maior importância para o sucesso do cruzeiro.
Para barcos esportivos, podemos dispor da navegação costeira, estimada, astronômica e
eletrônica.
A navegação costeira, mantida enquanto avistamos as marcas de terra, é trabalhosa e
cansativa, só sendo agradável quando conhecemos razoavelmente bem o trecho da costa a
observar.
A estimada, baseada em rumos e distâncias navegadas, fornecerá a posição aproximada
do barco, geralmente corrigida por outro processo.
Embora a perfeição dos sistemas de navegação eletrônica seja fantástica, a importância
da astronômica não declinou, uma vez que ela é o processo alternativo que satisfaz, por
apresentar uma solução simples, cômoda e autosuficiente, principalmente se adotarmos o
computador para a eliminação dos cálculos.
Assim, mesmo que o barco possua sofisticado sistema eletrônico de posicionamento, é
sempre aconselhável estarmos em condições de determinar a posição pelo sextante.
Um processo muito difundido entre os barcos de recreio é o da PMd (passagem
meridiana) do Sol, tanto pela simplicidade como pela facilidade de ser obtida a posição,
apenas por soma e subtração. E serve como treinamento no uso do sextante.
Um caso verídico, muito comentado em todas as partes do mundo (inclusive publicado
em várias revistas náuticas e jornais) foi o de Spencer Grift, operário inglês que, ao se
aposentar, viúvo e com os filhos criados, vendeu a casa e todos os pertences, construiu
um barco de 34 pés e partiu para uma volta ao mundo, em fevereiro de 1971.
Sua experiência no mar era apenas a de ter observado de binóculo os barcos velejando na
baía de Bristol. Ele tinha usado o sextante apenas em terra e pretendia estudar e praticar
durante os primeiros dias da travessia para o Caribe. Ele não contava, no entanto, com um
enjôo renitente que não lhe permitia ler. Assim, não lembrou do detalhe que em 21 de
março o Sol atravessa o equador, mudando o sinal da declinação, que é um dos parâmetro
do processo da PMd.
Dia após dia, o erro da navegação cometido por Spencer se tornava maior, à medida que
o Sol se distanciava para o norte. Um navegador mais experiente e menos enjoado teria
atinado com o fato, mas Spencer compensava a proa para S, achando que a corrente o
estava desviando da rota. O fato é que, procurando aterrar em Santa Lúcia, no Caribe, ele
foi encalhar ao largo de Macapá, sendo achado semimorto, com insolação. Este enorme
erro faria encerrar a carreira de qualquer candidato a navegador, mas não foi o caso de
Spencer Grift. Reabilitado da saúde, despachou o barco de volta para Londres num
cargueiro, arranjou emprego numa marina, queimou as pestanas diligentemente
estudando tudo o que era necessário e, após quase dois anos, iniciou uma épica viagem de
volta ao mundo sem escala, via grandes cabos, continuando depois navegando repetindo a
114
rota no sentido contrário, em solitário. Hoje ele é um renomado lobodomar.
Explique, em detalhe, o erro de navegação cometido por Spencer, justificando sua
chegada ao Brasil ao invés de Santa Lúcia.
2) Os dois parâmetros que podemos medir com precisão, altura e hora, não são
suficientes para que possamos resolver o triângulo de posição : fica faltando um
parâmetro. Adotamos, então, o artifício da posição estimada e reta de altura : com o
processo do vertical estimado, de Marq de Saint Hilaire.
Descreva o processo completo.
Uma reta de altura obtida na PMd teria que traçado?
Para que as retas da manhã e da tarde (do Sol) se cortem ortogonalmente, que condição
deverá existir entre a latitude do barco e a declinação?
Por que a PMd, tão empregada antigamente, caiu em desuso hoje em dia?
3) O radiogoniômetro (RDF) é um instrumento muito útil a bordo, tanto pela
simplicidade como pela comodidade que apresenta, num raio de emprego de até 100
milhas do radiofarol. No entanto, é muitas vezes negligenciado no uso, o que geralmente
é a causa de erros grosseiros que poderão resultar em sérios e desagradáveis acidentes.
como evitar a ambigüidade?
como navegar pelo processo homing?
como obter uma marcação de gônio? (ela será magnética ou verdadeira?). Explique.
4) Um procedimento comum na navegação costeira é:
ao boiar um farol, sabemos de imediato a distância a ele.
escolho a que distância quero deixálo no través e abro a proa convenientemente.
a fim de controlar o caimento e saber de imediato a distância ao farol ao longo do
trajeto,
efetuo uma serie de visadas sucessivas sobre o mesmo farol: a distância navegada será
sempre igual a distância barco/farol.
Descreva o processo completo.
5) Numa determinada travessia, o rumo em relação ao solo entre A e B (origem e destino)
é de 45º.
A vb = 4'
A corrente é de 1' ( 1 nó), 135º.
115
73
Determinar a correção de proa e a velocidade no sentido útil.
6) Visando três marcas de terra, podemos plotar a posição com maior precisão, por meio
do processo dos segmentos capazes.
Em que se baseia ele?
Em que casos é impraticável o seu emprego?
7) O ANB fornece o AHG com erro de até 0.3' e os erros de correção da altura são de
mesma ordem.
O relógio poderá apresentar erro de 0.25 segundos.
O sextante, calcanhar de Aquiles do processo, apresenta uma precisão de 0.2', mas as
medidas a partir de um pequeno barco podem vir com erros da ordem de minutos,
dependendo do grau de perícia do observador (normalmente 0.5').
As tábuas fornecem erros da ordem de 0.3' .
Assim, se considerarmos cumulativos todos esses erros, qual o erro total que será
cometido?
8) Quais as coordenadas geográficas dos pólos magnéticos da Terra?
9) A Lua nasce todos os dias? Justifique.
10) Há seis pares de pólos terrestres. Quais são?
11) A declinação magnética varia de ano para ano num mesmo local.
Que lei rege esta variação?
Na região dos Abrolhos, para o ano 2000, qual o valor da declinação magnética, se ela
hoje é de 20º W e varia de +12 minutos ao ano?
12) Em que locais da Terra a agulha apontará para o Norte Verdadeiro?
13) A expedição de Magalhães, que completou a primeira volta ao mundo, constatou que
um dia tinha sido passado sem ser contado, inexplicavelmente.
Discorra sobre o fato, justificando.
14) Quantos domingos, no máximo, haverá em um mês, considerandose a linha de
mudança de data? Justifique. Resposta: 10 (dez domingos).
116
15) As cartas em projeção de Mercator não servem para as regiões de altas latitudes
(acima de 60º).
Explique porque.
16) Uma maneira de aferir o sextante, com a vantagem de não necessitar de horizonte
(podendo, portanto, ser realizada da varanda do apartamento, por exemplo) é pelo método
da determinação do ei (erro instrumental) e SD (semidiâmetro) do Sol.
Descreva todo o processo e resolva para 29', 30' e 31' (fora) e 32', 32' e 33' (dentro).
17) Uma forma de melhorar a precisão quando as condições de mar são adversas e
necessitamos obter uma posição com precisão, é através o emprego da serie de visadas
em um pequeno intervalo de tempo (5 ou 6 visadas em 4 ou 5 minutos).
Assim, visamos o Sol, obtendo (HMG):
110315
27º 24'
110332
27º 30'
110347
27º 33'
110558
27º 36'
110416
27º 39'
110429
27º 42'
Quais os valores ajustados?
Qual o coeficiente de correlação (que fornece a qualidade do ajuste)?
18) Se calcularmos a distância MaceióNoronha na carta e pela ortodrômia, qual será a
maior? Explique porque.
Meça pela carta e calcule pela ortodrômia.
19) Para a determinação da posição pelas estrelas, há um método que não necessita
identificálas (apenas o cuidado de não confundir com algum planeta).
Discorra sobre este método (método Davis).
20) No livro The Calculator Afloat , do Cap. Shufeldt (mesmo autor do Dutton's, da
Academia Naval de Annapolis), é narrado um fato que se passou com um cargueiro
inglês, ao largo da costa E da África, há alguns anos atrás.
O comandante do cargueiro reportou que o Sol se pôs e durante a realização dos cálculos
para a determinação da hora do evento, ele subitamente reapareceu acima do horizonte
por alguns minutos, reiniciando a se pôr.
Isto eqüivale a afirmar que, para aquela tripulação pelo menos, o Sol se pôs (ou nasceu)
duas vezes no mesmo dia.
Explique e justifique o ocorrido, citando as possíveis causas que devem ter influenciado
no fato descrito.
117
21) Esquematize um triângulo de posição, mostrando seus principais elementos, ângulos
e lados.
Estabeleça a diferença entre o ângulo no zênite e:
azimute verdadeiro
azimute quadrantal
22) Na passagem meridiana, a declinação e a altura são combinadas para o cálculo da
latitude do barco .
Explique o processo (HN e HS).
23) As correções de altura instrumental, no caso do Sol, são:
do ei
da depressão
da aap
A correção da aap engloba a da refração, da paralaxe e do SD, dentre outras.
A da depressão é função da altura do olho do observador
A do ei é própria do instrumento
Exemplifique valores possíveis (práticos), com os respectivos sinais (para o caso do seu
barco, por exemplo).
24) No dia 15/03/1998, visei o Sol:
HMG = 132303
ai = 62º 12'
ei = 2'
Quais os elementos para o traçado da reta de altura, considerando uma posição estimada
de 20º e 40º W?
25) No dia 15/Jul/1998 visei o Sol da PEst. 20º, 40º W, obtendo:
HMG 1 = 14303 ai 1= 48º 18.0' ei= 2'
HMG 2 = 145512 ai 2 = 48º 24.0'
PEst. 20.1º, 40.1º
Determinar as coordenadas geográficas do barco, comprovando pelo cruzamento das
retas de altura.
26) Mostrar que a navegação por um arco de paralelo não é a de menor distância.
27) Explique e exemplifique como um veleiro efetuaria uma travessia em rota
ortodrômica, executando singraduras loxodrômicas.
28) O processo de determinação da posição pela duração do dia (LOD lenght of the day),
é interessante porque oferece uma alternativa sem o emprego do sextante (navegação de
emergência, etc.) .
Descreva-o.
118
29) No percurso de Fortaleza para Barbados, a partir de que latitude iniciaremos a poder
ver a Polaris?
30) Ao cruzar o Equador, estando o Sol com declinação nula, como você determinaria a
posição do barco por processo astronômico?
31) Os processos de determinar a posição por retas de altura (ou retas de posição), são:
de Borda
de Lalande
de SaintHilaire
Golem
O processo Golem, do ângulo de posição (paralático), do professor Eli Gradsztajn, da
Universidade de Tel Aviv, foi elaborado em 1972, a bordo do barco Golem daquela
Universidade, e publicado na revista Navigation Journal of the Institute of Navigation.
O de Borda é o do meridiano estimado; o de Lalande é o do paralelo estimado e o de
SaintHilaire, é o do vertical estimado.
Descreva-os.
Analise as vantagens do método Golem sobre o de SaintHilaire, para uma solução
analítica e na precisão.
119
Anexo XV ABREVIATURAS
a : altura
aap: altura aparente
ai: altura instrumental
ao : altura observada
ae: altura estimada
AHL: Angulo Horário Local
AHG: Ângulo Horário de Greenwich
AMRJ: Arsenal de Marinha do Rio de Janeiro
ANB: Almanaque Náutico Brasileiro DHN
AP: altapressão
ARV: Ascensão Reta Versa
BP: baixapressão
CB: cumulunimbus
DEC: declinação, δ
Delta: intercepto, ∆a
DHN: Diretoria de Hidrografia e Navegação
120
ei: erro instrumental do sextante
EUA: Estados Unidos da América
FAVO: Flotilha Alagoana de Veleiros de Oceano
FF: frente fria
GPS: global positioning system
ICAR: Iate Clube de Angra dos Reis
ICES: Iate Clube do Espírito Santo
ICI: Iate Clube de Icaraí
ICRJ: Iate Clube do Rio de Janeiro
HS: hemisfério Sul
HN: hemisfério Norte
HF: High Frequency, alta freqüência.
ITCZ: Intertropical Convergence Zone; zona de convergência intertropical
Lat: latitude, ϕ
LOD (lenght of the day): processo aproximado de determinar a posição pela duração do
dia. Tem a vantagem de não necessitar do sextante; é bom para navegação de emergência
Long: longitude, λ
121
Min: minuto
N: norte
S: sul
E: este, leste
W: oeste
NE: nordeste
SE: sudeste
SW: sudoeste
NW: noroeste
QAM: do código Q internacional, em meteorologia: condições do tempo, boletim
P: fuso horário P, do Rio de Janeiro
PMd: passagem meridiana
RDF: (radio direction finder); o mesmo que radiogoniômetro, gônio.
SC: semicírculo
SD: semidiâmetro
Seg: segundo
VMG: (Velocity Made Good)
Z: fuso Z (ou de Greenwich); hora Z = GMT= HMG = hora do fuso Z, zulu.
Anexo XVI - Referência Bibliográfica
1) Astronomie & Ordinateur – Guy Sérane (Dunod)
2) Astronomical Algorithms – J.Meeus (WilliamBell,Inc.)
3) Astronomy with your PC – Duffett-Smith (Cambridge, 2 nd Ed)
4) The Calculator Afloat – H.Shufeldt
5) Navigator’s Pocket Calculator Handbook – Noer
6) Navegação Astronômica – DPC (EN)
7) Astronomia de Campo – Ferraz (Univ. de Viçosa)
122
8) Recueil de Problèmes et D’Exercices Pratiques D’Astronomie – Vorontsof
9) Trigonometria Plana e Esférica – Frank Ayres Jr.
10) Dicionário Enciclopédico de Astronomia e Astronáutica – Ronaldo R. Mourão
11) Astronomia de Posição – Roberto Nogueira Médici (FU)
12) American Practical Navigator (Bowditch) H.O. 9
13) Dutton's Navigation and Piloting Naval Institute Press
14) Navegação Astronômica – Miranda de Barros (Catau)
15) GPS de Navegação – Cézar H.Barra Rocha – (Ed. Do Autor)
16) Fundamentos de Orientação –Raul M.P.Friedmann UTrpr
17) The World Book Encyclopedia – Field Enterprise Educational Co. (EUA)
18) Offshore TimeLife Library
19) Guia Prático de Navegação – DPC
20) Conceitos de Astronomia – Bockzco
21) Alfa Centauri – Carl Sagan
www.clubedavela.com.br
Anexo XVII - INTERNET - links úteis
www.professordefisica.net/astronomia/MovElipt.ppt
http://orbitsimulator.com/sheela /kepler.htm
www.ancruzeiros.pt/ancastrossoldec.html
http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/te2/te2.htm
www.tiobe.com/tpci.htm
http://geomag.nrcan.gc.ca/apps/mdcal_e.php
http://paginas.terra.com.br/educacao/Astronomia/calculos_astronomicos.html
www.volkerquaschning.de/dataserv/sunpos/index_e.html
www.coastalsailing.net/Resourses/Navigation/Calculators/SunInformation.html
http://www.shatters.net/celestia/download.html
123
http://users.zoominternet.net/~matto/Java/Local%20Sidereal%20Time%20Clock.htm
http://www.usno.navy.mil/USNO/astronomicalapplications
www.bluemoment.com/astronav/almanac.htm
www.tecepe.com.br/nav/download.htm
http://sunheight.free.fr/index.php?ProfileName=189.32.168.243_20090406_172925&Contain=0&Displa
yAdv
ANEXO XVIII. JOHANNES KEPLER
Cinquenta anos depois da descoberta de Kepler (leis do
movimento planetário - feito muito difícil, principalmente numa
época em que não havia ferramentas de cálculo e a circunferência
de círculo era reverenciada como uma forma divina - Newton
declara que “ Se enxerguei tão longe, foi porque me apoei nos
ombros de gigantes”.
Não citou nomes, mas Kepler certamente era o principal.
124
(este artigo foi transcrito da web na ortografia original)
TESE de MESTRADO
A. J. Barros Veloso - Julho de 2004
KEPLER E A CIÊNCIA MODERNA
INTRODUÇÃO
Johannes Kepler foi uma das figuras chave da “Revolução Científica” dos séculos XVI
e XVII. Com uma obra que se situa historicamente entre o heliocentrismo coperniciano
e a física newtoniana, foi ele que estabeleceu a ponte entre estes dois acontecimentos
decisivos que marcaram o nascimento da ciência moderna.
Acontece que, durante muito tempo, Kepler foi considerado, injustamente, o elemento
menos importante da lista das grandes figuras que contribuíram para a criação do
pensamento científico e que, por ordem cronológica, inclui os nomes de Copérnico,
Galileu, Bacon, Descartes e Newton. Começaremos pois por tentar compreender como
foi possível esta relativa desvalorização da sua figura e da sua obra.
Até à segunda década do século XX, as biografias de Kepler que tinham sido
publicadas eram bastante incompletas e revelavam apenas alguns aspectos da sua vida.
Foi só a partir de 1923 que Max Caspar iniciou a tradução das “Obras completas”
(Gesamelte Werke) e escreveu uma biografia baseada na análise de cerca de 15000
manuscritos. Publicada em alemão em 1948, esta biografia só viria a ser traduzida para
inglês em 1959, servindo de base a quase tudo quanto posteriormente se escreveu. Não
admira pois que, antes disso, Kepler apenas fosse conhecido por um reduzido número
de especialistas.
Por outro lado, há que ter presente que no pensamento de Kepler se encontram
sobrepostos conceitos aparentemente inconciliáveis para espíritos marcados por uma
cultura positivista, o que contribuiu para que a sua obra fosse, durante muito tempo,
mal compreendida e pouco estudada. Sendo um produto típico do Renascimento,
Kepler foi muito influenciado pelas correntes neo-platónicas e neo-pitagóricas, pela
astrologia e pela alquimia. Mas os seus escritos, embora revelando uma perspectiva que
podemos classificar ainda de pré-científica, contêm também o anúncio de uma nova
compreensão do mundo. Entre Copérnico, claramente renascentista, e Galileu seu
contemporâneo mas já possuidor de uma mentalidade moderna, Kepler desempenha
como que um papel de charneira na medida em que, sobre um terreno ainda
impregnado de componentes mágicos e animistas, abriu as portas à ciência do século
XVII.
O que não se pode ignorar é que durante os seus 35 anos de vida activa, Kepler esteve
no centro de todas as grandes mudanças conceptuais que iriam marcar a transição da
astronomia clássica para a astronomia moderna. O De Revolutionibus tinha sido
125
publicado 28 anos antes dele nascer. Mas o heliocentrismo proposto por Copérnico
levantava problemas complexos pelo que dificilmente poderia ser aceite sem reservas
pelos astrónomos da época. Quando muito era apresentado como uma forma de “salvar
as aparências”, ou seja, como um bom instrumento para facilitar os cálculos
astronómicos. Não admira por isso que, no último quartel do século XVI, não houvesse
em toda a Europa mais do que 10 copernicianos convictos. Um deles era Kepler que
num dos seus escritos de juventude se confessava adepto de Copérnico e reconhecia as
vantagens matemáticas do novo sistema.
Kepler foi também o primeiro a considerar o sistema solar como uma realidade física e
não apenas matemática em que os astros se movem pela acção de forças, a que deu o
nome genérico de “anima motrix”, cuja origem se situa no centro das órbitas, ou seja,
no Sol. Desta forma, a concepção das “esferas cristalinas”, que já começara a ser posto
em causa por Tycho Brahe, dava lugar a um modelo em que os astros vogavam no
espaço comandados por qualquer coisa a que, antecipando-se a Newton, chamou
“gravitação”.
Por outro lado, com a lei das órbitas elípticas para os planetas, Kepler acabaria de vez
com o mito platónico segundo o qual os movimentos dos corpos celestes tinham de ser
necessariamente uniformes e circulares. Com esta nova visão, o copernicianismo
libertou-se definitivamente dos epiciclos e afirmou-se como uma modelo coerente com
o qual passaria a ser mais fácil explicar o funcionamento do sistema solar. Ao
estabelecer uma relação inversa entre a distância dos planetas ao Sol e a sua velocidade
e, mais tarde, ao enunciar a terceira lei, Kepler preparou o caminho para o princípio da
gravitação universal de Newton o qual constituiu o momento culminante da “Revolução
Científica”.
Kepler teve ainda um papel fundamental na transição da astronomia feita a olho nu,
para a astronomia dos instrumentos ópticos. Se é verdade que pertenceu a Galileu o
mérito de ter pela primeira vez apontado a luneta para os astros, foi ele que, no seu livro
Dioptrice, formulou os princípios teóricos que permitiram explicar e dar credibilidade
às imagens observadas.
Dito isto, percebe-se a dificuldade de abarcar todos os aspectos de uma obra tão vasta e
tão variada. As páginas que se seguem constituem uma opção pessoal que procurará
sobretudo analisar a obra de Kepler à volta de dois aspectos aparentemente
contraditórios do seu pensamento: por um lado a inflluência do neo-platonismo e do
neo-pitagorismo que o levaram a enunciar hipóteses a priori aparentemente desligadas
de qualquer experiência empírica; por outro a formulação de leis gerais a partir da
aplicação dos dados da observação. Estas duas atitudes, e a importância relativa que
assumiram ao longo da sua vida, permitem identificar três períodos distintos duma obra
que, como se fossem andamentos de uma peça musical, correspondessem, cada um
deles, às suas três publicações mais importantes: Mysterium Cosmographicum,
Astronomia Nova, e Harmonice Mundi.
PRIMEIRO ANDAMENTO
126
Mysterium Cosmographicum
Kepler nasceu em Weil der Stadt, Alemanha, a 27 de Dezembro de 1571 numa altura
em que o Sacro Império Romano se debatia com graves questões religiosas. Lutero
tinha consumado a sua rotura com a Igreja e as lutas entre protestantes e católicos
tinham gerado uma grande instabilidade política e social. Kepler, neto de um influente
protestante iria seguir a tradição religiosa da família e, face à sua fraca constituição
física, foi orientado muito cedo para a carreira eclesiástica.
No seminário, onde entrou aos 13 anos, o programa de estudos incluia a aprendizagem
do latim e do grego, o contacto com alguns clássicos como Cícero, Virgílio e
Demóstenes, e a leitura da Bíblia. De acordo com o esquema do trivium e do
quadrivium, era também obrigatório o ensino da retórica, da dialética e da música.
Kepler cedo revelou raras qualidades intelectuais e apenas com 17 anos ficou aprovado
nos exames de acesso à universidade de Tübingen. O seu objectivo era a formação em
teologia mas sabemos através do seu próprio testemunho que, para além das disciplinas
teológicas, estudou Aritóteles (Tópicos, Analíticos Posteriores, Física e Ética), Platão e
os neo-platónicos em particular Proclus, Pitágoras que exerceu sobre ele grande
influência e Nicolau de Cusa com cujo “misticismo geométrico” se sentia identificado.
Contudo, o facto mais importante desta fase da sua vida foi o encontro com Michael Maestlin,
professor de matemática e de astronomia da Universidade. Cerca de 20 anos mais velho que Kepler,
Maestlin era um dos mais conhecidos astrónomos da época. O seu ensino baseava-se nas obras de
Euclides, Arquimedes e Apolónio, no Epitome Astronomiae cuja primeira edição aparecera em 1582
e, como era de esperar, no Almagesto de Ptolomeu. Mas se em público Maestlin se mantinha fiel ao
sistema ptolomaico, que era aquele que segundo os seus colegas teólogos estava de acordo com as
Escrituras, em privado ensinava aos seus alunos o novo modelo coperniciano. Kepler, cujo interesse
pela matemática era já reconhecido pelo mestre, confessaria mais tarde que logo nessa altura aderiu
sem hesitações ao sistema de Copérnico.
Em 1594, com apenas 22 anos, Kepler estava à beira de terminar os seus estudos teológicos quando
ocorreu uma mudança inesperada na sua vida: após ter morrido o professor de matemática do
seminário de Graz, o senado universitário recomendou o seu nome para ocupar a vaga. É quase certo
que esta escolha resultou do reconhecimento das capacidades de Kepler mas não se pode excluir que
tenha havido também um desejo inconfessado de afastar da universidade um incómodo adepto das
teses de Copérnico. Apanhado de surpresa, aceitou o lugar sabendo que isso iria ter consequências
importantes na sua vida, a primeira das quais seria a interrupção da carreira eclesiástica.
Graz, capital da Estíria, província muito dividida do ponto de vista religioso mas em que os quadros
governantes apoiavam com zelo a facção católica, não era o sítio ideal para Kepler, protestante
convicto, exercer a sua actividade. O permanente clima de tensão e os sérios limites à liberdade de
culto constituíam factores desfavoráveis às suas fortes convicções religiosas e faziam adivinhar
tempos difíceis.
Além das funções de professor, Kepler foi também nomeado matemático do distrito e ficou
encarregado da elaboração anual dos calendários. Esta actividade estava intimamente ligada à
astrologia com a qual manteve sempre uma relação ambígua: embora nunca recusasse praticá-la, seja
por gosto seja por querer ganhar algum dinheiro, exprimiu sempre grandes reservas em relação a ela.
Diga-se de passagem que, pelo menos duas vezes acertou em cheio nos seus prognósticos ao prever
uma intensa vaga de frio e uma invasão do território imperial pelos turcos. Contudo, não eram êxitos
deste género que na altura procurava. Cada vez mais atraído pelo sistema de Copérnico e influenciado
pela leitura de Pitágoras e Platão, o que realmente desejava era desvendar os mistérios do cosmos.
127
As perguntas sem resposta eram muitas. Porquê seis planetas? Porquê estas distâncias dos planetas ao
Sol e não outras? Profundamente crente, Kepler via o mundo como o resultado de um plano de Deus
em que nada tinha sido feito ao acaso e em que tudo fora criado de acordo com a geometria e os
números que tinham, sem dúvida, origem divina.
Mas quais seriam então as formas geométricas cujas relações numéricas corresponderiam aos planos
usados por Deus para a criação do cosmos? Para responder a esta pergunta tentou identificar cinco
figuras geométricas, que possuíssem características próprias para se articularem com os seis planetas
do sistema de Copérnico. Começou por utilizar polígonos mas a tentativa revelou-se infrutífera por ser
infinito o número de polígonos regulares existentes. Depois de um período de intenso trabalho, Kepler
registou no seu diário uma data: 19 de Julho de 1595. Foi esse o dia em que encontrou a solução que
procurava: os sólidos regulares de Platão.
Os sólidos regulares são apenas cinco: o tetrahedro (quatro faces), o cubo (seis), o octahedro (oito), o
dodecahedro (doze) e o icosahedro (vinte). As esferas inscritas em cada um destes sólidos definiriam,
para ele, as órbitas de cada um dos seis planetas. Desta forma, não tinha dúvidas de que tudo batia
certo: aos cinco sólidos regulares previstos na mente de Deus só poderiam corresponder seis planetas.
Para Kepler esta descoberta era como que uma mensagem enviada pelos céus, uma verdadeira
inspiração de Deus. Sentia por isso uma profunda felicidade por ter sido ele o escolhido para revelar
esta manifestação da sabedoria divina. No auge do seu neo-platonismo, Kepler não se preocupava em
obter dados que lhe permitissem confirmar hipótese tão arrojada. Aliás, uma lesão ocular resultante da
varíola que contraíra na infância, limitava muito a sua capacidade para realizar observações
astronómicas. Para ele bastava-lhe ter verificado esta correspondência entre os planetas e os sólidos
regulares mesmo que não se fundamentasse em qualquer dado empírico.
Tivesse ficado por aqui e talvez hoje o seu nome não merecesse mais do que uma nota de rodapé nos
tratados de história da ciência. Mas Kepler iria prosseguir nos seus trabalhos embora nessa altura,
deslumbrado com a descoberta que acabava de fazer, os seus esforços se orientassem apenas no
sentido de conseguir a publicação do Mysterium Cosmographicum onde descrevia e explicava a sua
nova concepção do sistema planetário. Maestlin foi quem se encarregou de apreciar o manuscrito para
enviar um parecer ao senado da universidade de Tübingen. Nesse parecer considerou que a ideia de
Kepler era engenhosa e original uma vez que ninguém até aí se lembrara de deduzir a priori o número
e dimensões das órbitas para tentar compreender os planos do Criador. De facto, se estes elementos
pudessem ser conhecidos a priori, como parecia, então tornar-se-ia mais fácil calcular os movimentos
dos planetas.
Na primavera de 1597 o Mysterium Cosmographicum estava impresso e Kepler apressou-se a enviar
exemplares aos mais destacados astrónomos europeus. As reacções foram muito diversas, desde o
aplauso entusiástico até ao desacordo total. Convém recordar que esta obra aceitava como ponto de
partida o modelo heliocêntrico de Copérnico, considerado nessa altura muito polémico e rejeitado pela
maioria dos astrónomos.
Das respostas recebidas por Kepler duas merecem destaque especial. Tycho Brahe, que acabara de
deixar a Dinamarca, transportando consigo um enorme volume de observações astronómicas
acumuladas durante 20 anos, enviou-lhe uma longa carta que continha pontos de acordo e algumas
discordâncias e em que sugeria que, “medições mais rigorosas” que ele próprio tinha realizado, talvez
pudessem confirmar a hipótese do Mysterium Cosmographicum. Acontecimentos posteriores
mostrariam que Kepler nunca mais iria esquecer este comentário. Mas o mesmo Tycho Brahe, numa
outra carta dirigida a Maestlin, mostrava-se muitíssimo mais crítico e punha em evidência a enorme
distância que realmente separava os dois homens. Para Tycho Brahe o progresso da astronomia não
podia realizar-se a priori através das relações estabelecidas com os sólidos regulares, mas sim a
posteriori a partir dos dados da observação. Curiosamente, seria o encontro do neo-platonismo de um
com o empiricismo do outro que iria mais tarde criar condições para ultrapassar alguns dos grandes
mistérios da cosmologia.
128
Kepler também enviou um exemplar a Galileu mas a resposta deste foi lacónica e formal: confessava
que só tinha lido o prefácio mas prometia ler todo o texto mais tarde. Kepler, como era de esperar, não
ficou satisfeito e insistiu com outra carta: queria uma opinião acerca do livro e pedia a Galileu que,
juntamente com ele, se manifestasse com firmeza a favor do sistema de Copérnico. Desta vez não
obteve resposta e, como veremos, foi preciso esperar vários anos para que se repetissem os contactos
entre os dois.
Com tudo isto Kepler tinha, pelo menos, conseguido um objectivo importante de que iria mais tarde
tirar dividendos: tornara-se conhecido entre a comunidade dos astrónomos europeus.
SEGUNDO ANDAMENTO
Astronomia Nova
A situação na Estíria tinha-se agravado a partir de Dezembro de 1596 com a subida ao poder do jovem
Arquiduque Fernando. Com este acontecimento inicia-se a Contra-Reforma e com ela a perseguição
aos protestantes que acabariam por ser expulsos da província. Kepler que entretanto casara, apercebese a partir do Verão de 1600 de que a sua permanência em Graz se tinha tornado insustentável apesar
do tratamento tolerante que, por razões que nunca foram completamente esclarecidas, as autoridades
católicas revelavam em relação a ele. Sem meios próprios e com uma família a seu cargo, tenta o
regresso à universidade de Tübingen onde estudara. Escreve a Maestlin mas, curiosamente, a resposta
tarda e quando chega, muito tempo depois, contém uma resposta negativa e um conselho lacónico:
“reza por ti e pelos teus”. Este episódio tem servido para alimentar a convicção de que Kepler não era
uma figura bem vista pelo senado universitário de Tübingen.
Inesperadamente, contudo, surge para ele outra solução. Tycho Brahe que em 1599 tinha sido
nomeado Matemático Imperial em Praga, dirige-lhe um convite para que viesse trabalhar como seu
assistente. Criam-se assim as condições para o encontro entre dois homens que vão mudar por
completo os rumos da astronomia e da ciência. Tycho Brahe dispunha de um grande volume de
observações astronómicas de excepcional rigor; Kepler possuía, pela sua parte, uma enorme
capacidade teórica e era, provavelmente, o melhor matemático alemão, senão mesmo europeu.
Curiosamente tanto um como outro parecem ter tido a percepção desta complementaridade e de certa
forma procuraram que o encontro entre os dois se concretizasse. Contudo, para compreender melhor a
importância do que se iria passar, há que conhecer o percurso de Tycho Brahe e o seu papel na história
da ciência.
Tycho Brahe nascera na Dinamarca e desde cedo se interessou pela astronomia. Em 1576, tinha então
28 anos, Frederico II entregou-lhe a ilha de Hveen para aí construir um observatório a que deu o nome
de Uraniborg em homenagem a Urania deusa dos céus. Concebeu então instrumentos de grandes
dimensões que lhe permitiam diminuir substancialmente os erros das observações dos astros. Basta
dizer que o quadrante que mandou construir tinha um raio que media seis metros. Rodeou-se também
de uma equipa em que as tarefas eram metodicamente distribuídas entre os que observavam, os que
registavam valores e os que manejavam instrumentos. Tudo isso, juntamente com o estudo sistemático
dos astros ao longo do ano, permitiu-lhe reunir um grande número de medições astronómicas muito
mais rigorosas do que aquelas que eram conhecidas até então.
Com a morte de Frederico II, Tycho Brahe cai em desgraça. Obrigado a abandonar Uraniborg em
1597, trouxe consigo toda a informação que acumulara e veio para a Alemanha onde durante dois anos
procurou colocação. Nessa altura, os poderosos davam muita importância à companhia dos
astrónomos cuja actividade trazia prestígio, em grande parte porque a eles cabia a prática da astrologia
e, portanto, a capacidade de adivinhar o futuro e detectar bons e maus presságios. Rudolfo II,
Imperador do Sacro Império Romano, mais vocacionado para as artes e para a ciência do que para a
política, estava a par da fama de Tycho Brahe. É natural por isso que em 1599 o tenha nomeado
129
Matemático Imperial e tenha ordenado a construção de um observatório em Benatky, a cerca de 30
quilómetros de Praga.
Tudo indica que Tycho Brahe desejava ter Kepler como colaborador por estar informado das suas
excepcionais capacidades de matemático. Por sua vez Kepler estava ansioso por ter acesso aos dados
que Tycho Brahe acumulara durante a sua permanência em Uraniborg. Mas estes dois homens eram
profundamente diferentes tal como eram diferentes os objectivos que tinham em vista. Tycho Brahe
era um aristocrata extrovertido, apreciador da boa mesa, gostando de viver rodeado de muita gente.
Nunca aceitara o sistema de Copérnico por detectar nele graves incongruências e tinha proposto um
outro sistema, o ticónico, que fora aceite por muitos dos astrónomos da época. Era este sistema que ele
esperava agora ver confirmado através dos dados das suas observações. Kepler, ao contrário, era um
plebeu profundamente religioso, permanentemente atormentado por problemas financeiros e
familiares. Desde muito cedo tornara-se adepto do sistema coperniciano e o que realmente esperava
era que os dados na posse de Tycho Brahe pudessem confirmar o modelo que propusera no Mysterium
Cosmographicum. Além disso, enquanto um procurava compreender o cosmos através dos dados da
observação, o outro empenhava-se em descobrir uma ordem divina recorrendo a ideias a priori.
A aproximação entre os dois não foi fácil, apesar dos esforços feitos nesse sentido por um poderoso
amigo e admirador de Kepler, o Barão de Hoffman. Kepler manteve-se hesitante durante algum tempo
e apresentou a Tycho Brahe uma enorme lista de exigências que eram difíceis de aceitar. Supõe-se que
apenas procurava garantir uma certa autonomia no trabalho e, ao mesmo tempo, tornar mais fácil o
acesso aos dados de Tycho Brahe. A verdade é que, com a sua atitude impertinente, esteve à beira de
provocar uma rotura definitiva entre os dois. Mas subitamente, e sem explicação aparente, mostrou-se
arrependido e apresentou a Tycho Brahe desculpas por uma conduta que ele próprio classificou de
inqualificável.
Ultrapassado este episódio havia que obter o acordo do Imperador para o contrato de Kepler e a
garantia de um salário que resolvesse as suas dificuldades financeiras. Tycho Brahe usou então toda a
sua habilidade e diplomacia ao ligar a contratação de Kepler ao projecto das Tábuas Rodolfinas dos
planetas, em que Rodolfo II punha grande empenho, convencido de que com elas garantiria um lugar
na História.
Em Outubro de 1600, Kepler, então com 28 anos, mudou-se com a família para Praga e integrou-se no
grupo de que fazia parte Tengnagel, um aristocrata que casara com uma das filhas de Tycho, e
Longamontanus que viera com ele de Uraniborg. Logo de início percebeu que teria de pôr de lado o
projecto de confirmar o seu modelo cosmográfico, porque nessa altura Tycho dava prioridade à
resolução de dois problemas: a teoria dos movimentos da Lua e a determinação da órbita de Marte.
Este último problema estava a revelar-se muito complexo tendo sido entregue a Kepler que julgou ser
capaz de o resolver no espaço de uma semana. Sabemos hoje que iria precisar de cerca de seis anos.
Logo que iniciou a sua actividade em Praga Kepler percebeu que as observações feitas por Tycho
Brahe eram de um valor excepcional, tanto pelo número como pela qualidade, mas que os cálculos
matemáticos estavam todos por fazer. Se era verdade que o material disponível poderia conduzir à
construção de uma nova estrutura para o cosmos, era necessário para isso um arquitecto e esse
arquitecto só poderia ser ele. A questão é que Tycho Brahe, que seguramente estava ciente de tudo
isto, só lhe fornecia os dados à medida que iam sendo necessários, recusando-lhe o acesso livre à
totalidade da informação. Isso irritava Kepler e criava nele uma impaciência crescente e um
sentimento de revolta.
Mas um acontecimento inesperado viria alterar este cenário: Tycho Brahe morria a 24 de Outubro de
1601 com 54 anos. Dez dias antes, após um banquete em que se excedera nas bebidas, deixou de
urinar. Os médicos relacionaram esta situação com uma obstrução do aparelho urinário provocada por
cálculos da bexiga. Mas uma morte tão rápida, num indivíduo aparentemente saudável, iria provocar
alguns rumores acerca da possibilidade de um envenenamento. Talvez por isso, Jessenius, médico e
amigo de Tycho, tenha aproveitado a oração fúnebre para fazer um relato pormenorizado da doença
que vitimara o seu amigo dinamarquês procurando assim dissipar quaisquer suspeitas.
130
Mas antes de prosseguir esta narrativa impõe-se dar um salto no tempo para acrescentar alguns dados
adquiridos posteriormente acerca deste episódio. Em 1901, ano do tricentenário da morte de Tycho
Brahe, as autoridades de Praga decidiram exumar o seu cadáver e recolher o que dele restava. Os
ossos ficaram depositados na sacristia da igreja dentro de uma pequena caixa metálica e o longo
bigode, que resistira ao tempo, foi guardado no Museu Nacional de Praga. Em 1991 o director do
Museu ofereceu um pequeno fragmento do bigode ao embaixador da Dinamarca que por sua vez o
entregou ao “Planetarium Tycho Brahe” de Copenhaga. Foi então que alguém se lembrou dos rumores
acerca da morte por envenenamento e decidiu pedir ao Director do Departamento de Medicina
Forense da Universidade de Copenhaga a realização de uma análise toxicológica. Os resultados
revelaram que os pêlos do bigode apresentavam níveis de mercúrio suficientes para provocar a morte e
admitiram a possibilidade de um envenenamento ocorrido dias antes, provavelmente quando Tycho
Brahe, que se dedicava à alquimia, manipulava compostos contendo mercúrio.
Esta interpretação foi recebida com cepticismo pela maioria dos historiadores, mais inclinados a
atribuir a presença de mercúrio a uma contaminação do cadáver ocorrida depois da morte, tanto mais
que uma equipa médica que voltara a analisar a doença terminal de Thycho Brahe aceitara a infecção
urinária como o diagnóstico mais provável.
Contudo, em 1996 o problema foi reavaliado, desta vez recorrendo a um método de análise química
com feixes de protões de alta energia (particle-induced X-ray emission—PIXE). Assim foi possível
concluir que as elevadas concentrações de mercúrio se encontravam dentro do próprio pêlo e, sendo
assim, não resultavam de uma contaminação externa: tinham lá chegado por via sanguínea. Com estes
dados, poucas dúvidas podiam persistir: Tycho Brahe morrera por ter ingerido mercúrio e, não
existindo razões aparentes para um suicídio, haveria que admitir que alguém o envenenara.
Convém deixar bem claro que, do ponto de vista dos conhecimentos médicos actuais, o quadro clínico
que levou à morte de Tycho Brahe pode agora ser descrito de uma forma bastante coerente:
intoxicação por metal pesado, necrose tubular aguda, insuficiência renal, coma urémico, morte. Já no
que diz respeito ao problema forense as dúvidas persistem e provavelmente nunca serão esclarecidas.
Mas, independentemente das boas razões que há para considerar Kepler um homem virtuoso e temente
de Deus, dificilmente será possível excluí-lo do grupo dos suspeitos: pelo que se sabe, tinha motivos,
oportunidade e meios disponíveis para praticar o crime.
Desaparecido Tycho Brahe, tudo se encaminhava para que Kepler pudesse ter livre acesso ao “caos de
informação” deixado pelo astrónomo dinamarquês. Assim foi de facto, apesar de algumas dificuldades
iniciais levantadas por Tengnagel, genro de Tycho e que era um dos herdeiros da sua documentação.
Entretanto o Imperador Rodolfo escolhia Kepler para ocupar o lugar deixado vago e nomeava-o
Matemático Imperial.
Kepler não perdeu tempo e lançou-se imediatamente ao trabalho. Mas contrariamente ao que seria de
esperar, continuou empenhado na teoria da órbita de Marte, deixando para trás aquilo que tinha sido a
sua preocupação dominante: a confirmação do Mysterium Cosmographicum. Tudo se passou como se,
inesperadamente, tivesse posto de parte as suas ideias neo-platónicas para se empenhar em construir
teorias a partir dos dados da observação. O Kepler que especulava deu lugar a outro Kepler que
calculava e verificava medidas e essa iria ser a fase mais produtiva da sua carreira de astrónomo.
O modelo com que começou a trabalhar sobre a teoria de Marte era o tradicional: órbitas circulares à
volta de um ponto excêntrico em relação ao centro do universo. Quer isto dizer que, mesmo sendo
uniforme o movimento dos planetas, parecia irregular quando observado do centro: mais rápido no
perihélio, mais lento no afélio.
A teoria de Marte passava pelo cálculo da posição da linha das apsidas e da excentricidade. Para isso
havia que conhecer três pontos da órbita obtidos com o planeta em oposição. Kepler confessou mais
tarde que repetiu complicados cálculos mais de setenta vezes até obter resultados que lhe pareciam
satisfatórios. Comparou depois a órbita obtida com outras observações e verificou que elas se
encaixavam com um grau de erro que não ia além dos 2’. Mas não totalmente satisfeito fez mais uma
contraprova com outras medições e, em vez de obter uma confirmação, encontrou diferenças da ordem
131
dos 8’ para a posição do planeta. Nas observações de Tycho Brahe -- que Kepler, no seu habitual
misticismo, considerava um intermediário da “bondade divina” --, uma diferença destas não era
admissível, pelo que só poderia ser atribuída a uma concepção errada das órbitas. Acerca disto, diria
mais tarde: “Estes 8 minutos apontaram o caminho para a renovação de toda a astronomia”.
Kepler começou então tudo de novo mas agora partindo de dois pressupostos. O primeiro consistiu em
referir as medições à posição do Sol e não ao centro da órbita da Terra como fizera Copérnico. O
segundo resultou de considerar o Sol, não como um ponto geométrico, mas como a origem da força
que faz mover os planetas. E como essa força aumenta e diminui conforme as distâncias, a Terra e os
restantes planetas, nas suas órbitas excêntricas, deslocam-se mais depressa quando estão perto do Sol
e mais devagar quando estão afastados. Claramente influenciado pelos estudos que em 1600 Gilbert
expusera no De Magnete sobre as forças magnéticas, Kepler introduz aqui uma visão inteiramente
nova e revolucionária segundo a qual o sistema planetário tem leis próprias e é regulado por forças
físicas. Os movimentos dos planetas deixavam assim de ser representações cinemáticas e puramente
geométricas para passarem a ter causas que os explicavam.
Mas antes de introduzir a física na sua teoria, percebeu que era necessário provar empiricamente que a
órbita da Terra, tal como ele a imaginava, estava correcta, uma vez que todas as observações
astronómicas disponíveis eram feitas duma plataforma que era a própria Terra em movimento. Com o
seu génio inventivo imaginou então a Terra a ser observada a partir de um ponto da órbita de Marte, e
pôde assim confirmar que, tal como os planetas superiores, ela se deslocava com um movimento não
uniforme.
Só então é que acrescentou a física, para concluir que a velocidade da Terra é inversamente
proporcional à sua distância ao Sol. E, logo a seguir, aplicando o método indutivo, generalizou este
princípio a todos os outros planetas, embora consciente de que esta proposição exigia confirmação
posterior.
Mas a partir daqui, como seria possível determinar a posição de um planeta em determinado
momento? Kepler imaginou o círculo dividido num número infinito de triângulos à semelhança do que
Arquimedes fizera para encontrar a relação entre circunferência e diâmetro. E foi assim que chegou à
lei que historicamente é a segunda mas que foi a primeira a ser enunciada: “O raio vector descreve
áreas iguais em tempos iguais”.
Estava esclarecido como se processava o movimento dos planetas mas faltava conhecer a geometria
da órbita de Marte. Kepler admitiu então que poderia não ser circular e começou por ensaiar a
hipótese de uma órbita oval. Mas após várias tentativas teve de abandonar esta solução por não se
adaptar aos dados das observações. Foi então que, acidentalmente, lhe surgiu a ideia da elipse e
verificou que a ela se adaptavam todas as medições de Tycho Brahe. Pôde então concluir que a órbita
de Marte era elíptica e, recorrendo mais uma vez à indução, enunciou a sua primeira lei: “As órbitas
dos planetas são elipses com o Sol num dos focos”.
É difícil de imaginar quanto terá custado a Kepler substituir o círculo pela elipse. Ele, que tinha sido
sempre neo-platónico e neo-pitagórico, via-se agora obrigado a abandonar as suas convicções mais
profundas face aos dados da observação. E aqui está como o mesmo homem que chegara a Praga
determinado a completar a sua concepção a priori da estrutura do universo, passava anos a fazer
cálculos com base em dados empíricos. Não foi uma tarefa fácil: os números com os registos das
posições de Marte estavam dispersos em muitas folhas dos apontamentos de Tycho Brahe numa
confusão que Kepler iria conseguir pôr em ordem.
A revolução da astronomia era agora total: as órbitas elípticas acabavam de vez com o axioma dos
movimentos circulares, enquanto que os esquemas formais da astronomia clássica eram substituídos
por um sistema dinâmico. Na concepção de Kepler a mecânica celestial assemelhava-se a um
mecanismo de relógio em que os corpos se moviam accionados por forças magnéticas.
Todo este trabalho, que começou ainda durante a vida de Tycho Brahe, só ficaria terminado em 1605,
mas dificuldades de vária ordem só permitiram que fosse publicado em 1609 com o título de
Astronomia Nova.
132
As reacções dos astrónomos, tal como Maestlin e Longomontanus foram claramente desfavoráveis.
Maestlin chegou a aconselhar Kepler a abandonar as suas ideias sobre causas físicas e a recorrer à
geometria e à aritmética como verdadeiros instrumentos para conhecer os céus. Em relação a Galileu
os acontecimentos assumiram contornos mais complexos porque, além de terem influenciado a
actividade científica de Kepler, ainda hoje continuam a ser uma fonte de debate acerca da importância
que cada um deles teve na transição da física aristotélica para a física moderna.
Em Março de 1610 Kepler recebeu a notícia de que, em Pádua, Galileu tinha descoberto quatro novos
planetas com a ajuda de um “perspicillium” de duas lentes, ou seja, com a sua famosa luneta. A
confirmação destas observações chegaria dias depois com um exemplar do Sidereus Nuncius que lhe
foi entregue pelo embaixador toscano em Praga. Kepler não demorou mais de dez dias a enviar uma
carta a Galileu, cujo texto, em forma de diálogo, seria publicado um mês depois com o título
Dissertacio cum Nuncio Sidereo. Nesse texto mostrava-se entusiasmado com as novas descobertas
que, na sua opinião, iriam exigir uma profunda reflexão por parte de filósofos e astrónomos. Mas
foram necessários quatro meses para que Galileu se resolvesse a responder, desta vez com uma carta
em que elogiava a coragem e estatura intelectual de Kepler e agradecia o seu apoio.
Na verdade tinha boas razões para lhe estar grato porque, numa altura em que de todos os lados
surgiam dúvidas e críticas às observações feitas com a luneta, Kepler, que há algum tempo esperava
em vão uma opinião de Galileu acerca da sua Astronomia Nova, manteve uma posição totalmente
isenta e sem qualquer ressentimento. E não restam dúvidas de que o silêncio do toscano parecia no
mínimo revelar um total desinteresse pelo trabalho do astrónomo alemão. É por isso fundamental
tentar entender as razões desta atitude.
Galileu, homem da Corte dos Médicis e relacionado com altos dignitários da Igreja, tinha-se a si
próprio em alta consideração. As relações que mantinha com os seus pares eram muitas vezes
marcadas por alguma arrogância e pareceu sempre mais preocupado em fazer demonstrações das suas
descobertas aos poderosos de quem dependia, do que àqueles que, como ele, se dedicavam à ciência.
Além disso olhava com um certo desprezo para tudo o que lhe chegava da Europa do Sacro Império
Romano, então envolvida em violentas lutas religiosas e ainda mergulhada numa cultura renascentista
em que prevalecia o animismo, o misticismo e o obscurantismo. Para ele a astronomia de Kepler
estava marcada por simbolismos e raciocínios cosmo-teológicos intoleráveis, e as suas elipses não
eram mais do que manifestações de uma cosmologia “maneirista”, ou seja, tardo-renascentista. Mas,
para além disso tudo, não podia aceitar a ideia das elipses porque elas contradiziam o seu fascínio
obcessivo pelo movimento circular, o único que possuía as propriedades de uniformidade e
perpetuidade em que assentava a sua ideia de movimento inercial. Kepler e Galileu estavam, pois,
irredutivelmente separados pelos seus próprios paradigmas: um, ao substituir a cinemática pela
dinâmica celestial, mantinha-se fiel à ideia aristotélica do movimento como “processo”; o outro, ao
introduzir o conceito de inércia, considerava o movimento como um “estado”. Se Galileu ignorava as
órbitas elípticas, Kepler, pelo seu lado, ignorava o movimento inercial. Convém ainda recordar que
Galileu estava envolvido numa batalha difícil para impor as suas teorias sobre o movimento e não lhe
interessava envolver-se noutras lutas que não eram as suas, tanto mais que a condenação de Giordano
Bruno, em 1600, ainda estava muito próxima e na memória de todos.
Entretanto Kepler estava ansioso por obter uma luneta mas os pedidos dirigidos a Galileu não tiveram
resposta. Foi preciso esperar que o Duque da Bavaria trouxesse de Viena um dos exemplares que
Galileu oferecera a Matias, irmão do Imperador, para que pudesse finalmente ver as luas de Júpiter.
Mas para Kepler não bastava confirmar aquilo que Galileu já tinha observado e, em poucas semanas,
durante o Verão de 1610, definiu as leis básicas a que obedece a passagem da luz através dos vários
sistemas de lentes. A publicação no ano seguinte do seu livro Dioptrice com 141 teoremas e com os
esquemas que ainda hoje figuram nos livros de texto da física, ficou para a história como o momento
fundador da óptica moderna.
133
Entre 1610 e 1611 Kepler dirigiu mais seis cartas a Galileu e em resposta apenas recebeu uma. Todas
as outras informações acerca das novas descobertas vinham dirigidas ao embaixador toscano com
pedido de serem transmitidas ao “Signor Glepero”!
TERCEIRO ANDAMENTO
Harmonice mundi
O ano de 1611 começou particularmente mal para Kepler: os seus três filhos adoeceram com varíola e
um deles acabaria por morrer com apenas seis anos. Ao mesmo tempo agudizavam-se as lutas entre o
Imperador e o seu irmão Matias que levariam à abdicação do primeiro. Kepler sentia-se pouco seguro
em Praga e decidiu procurar outro local de trabalho. Após várias hesitações decidiu-se por Linz onde
chegou sozinho em Maio de 1612 depois da morte da mulher que ocorrera um mês antes. Aí foi
ocupar os lugares de matemático distrital e de professor da escola.
Mas a sua vida em Linz não foi fácil: na sequência das posições que tomara sobre o problema da
Eucaristia, que na altura dividia profundamente luteranos e calvinistas, o pastor Luterano de Linz
decidiu excluí-lo da comunhão, o que para um crente fervoroso como Kepler constituiu um duro
golpe. Entretanto no ano seguinte, com 42 anos casou pela segunda vez com uma mulher de 24 anos.
Dela teve seis filhos dos quais três viriam a morrer na primeira infância.
Mas outro problema ensombrou este período da sua vida. A mãe, acusada de bruxaria em 1615 iria ser
submetida a um longo processo judicial a que não faltou o recurso à tortura. Kepler envolveu-se neste
episódio com grande empenho tentando livrá-la da pena capital. A libertação da mãe só chegaria em
1621 mas ela viria a falecer seis meses depois.
Apesar de todos estes contratempos, Kepler mostrava-se com energia suficiente para preparar um dos
mais brilhantes produtos do seu génio criador, o Harmonice mundi. A ideia nascera muitos anos antes
quando, ainda em Graz, tinha começado a esboçar um plano sobre este assunto. Mas, com a ida para
Praga a sua actividade fora totalmente monopolizada pelos projectos de Tycho Brahe sobre a teoria de
Marte. Agora em Linz, sem ter outros astrónomos para discutir, estava completamente só e nas
condições ideais para recriar as suas concepções acerca da estrutura do cosmos.
O que surpreende nesta fase é o seu regresso ao culto do neo-platonismo e do neo-pitagorismo com
abandono dos caminhos que percorrera na elaboração da Astronomia Nova. Em vez de fundamentar as
suas teorias em dados empíricos, regressa agora a uma atitude mística que o orientará na procura dos
planos de Deus para a criação do universo. Como se, à maneira de Platão, o conhecimento da natureza
repousasse numa coincidência entre as imagens primordiais interiores e os objectos exteriores. Tal
como se o círculo que desenhamos a compasso não fosse mais do que a cópia imperfeita de uma ideia
que o espírito já possui.
Kepler sente-se transportado pela contemplação das harmonias celestiais mas o seu discurso nada tem
de vago nem de nebuloso. Assenta num conjunto de ideias bem estruturadas de quem atribui à
matemática um papel fundamental e que sabe do que é que está a falar. Para ele tudo na natureza
funciona de acordo com números e medidas. Mas a harmonia, seja no campo da geometria, da música
ou da astrononia, é sempre uma relação entre dois elementos que só o espírito é capaz de reconhecer.
Através de Deus, que ao criar o mundo utilizou os modelos da geometria e da música, o homem, feito
à sua imagem, reconhece a harmonia de certas proporções. No seu incontrolável misticismo tinha já
formulado a simbologia adequada para a geometria e para as quantidades numéricas, comparando a
esfera à Santíssima Trindade, em que o Pai é o centro, o Filho a superfície, e Espírito Santo as
distâncias constantes entre o centro e a periferia.
A música vai ocupar uma parte importante das suas reflexões, devido às relações numéricas que
existem entre as consonâncias: oitava 1:2, quinta 2:2, quarta 3:4, etc. Conclui então que tal como o
Criador não concebeu o sistema harmónico da escala musical de uma forma arbitrária mas em
134
conformidade com a razão e a natureza, também os movimentos celestiais foram arquitectados com o
respeito pela harmonia que está presente no pensamento de Deus. Os movimentos dos planetas não
são mais do que música contínua a várias vozes que só o intelecto consegue entender. E a harmonia só
está presente quando uma multidão de fenómenos é regulada pela unidade de uma lei matemática que
exprime uma ideia cósmica.
Muitos anos antes, no Mysterium Cosmographicum, tinha tentado definir a priori o número e as
distâncias entre os planetas através dos sólidos regulares. Agora está convencido de que, face à
excentricidade das órbitas que ele próprio descobrira, irá conseguir o mesmo à custa das harmonias.
Aquilo de que não tem dúvidas é que Deus não introduziu as excentricidades ao acaso e sem razão.
Como coroação desta contemplação das harmonias celestiais descobre, no dia 15 de Maio de 1615
(oito dias antes de começar a Gerra dos Trinta Anos) a sua terceira lei: “Os quadrados dos períodos
estão entre si como os cubos das distâncias médias”. Juntamente com a primeira e a segunda, esta
terceira lei irá concretizar a fundação de um cálculo astronómico inteiramente novo e irá abrir o
caminho para a lei da gravitação de Newton.
O Harmonice mundi só acabou de ser impresso no Verão de 1619. É uma visão grandiosa do cosmos
em que a ciência se mistura com poesia, filosofia, teologia e misticismo, como se a inspiração divina
florisse, tal como ele pensava, através de um espírito brilhante.
CODA FINAL
Nos anos que se seguiram à Harmonice Mundi, Kepler continuou a publicar. A Epitome Astronomiae
Copernicanae é a mais extensa de todas as suas obras. Situa-se na linha do Almagesto de Ptolomeu e
do De Revolutionibus de Copérnico, na medida em que constitui uma apresentação completa e
sistemática de uma nova mecânica celestial: a kepleriana. Foi publicada entre 1618 e 1621.
As Tabulae Rudolphinae, projectadas ainda com Tycho Brahe e que o Imperador Rudolfo tanto
desejara, tinham sido sucessivamente adiadas. Só agora, passadas mais de duas décadas, Kepler iria
finalmente terminá-las e, depois de vários acidentes de percurso, foram finalmente impressas em Ulm,
nos princípios de Setembro de 1627.
Entretanto, os acontecimentos ligados à Gerra dos Trinta Anos obrigaram Kepler a deixar Linz e a
procurar local mais seguro para viver. Durante algum tempo permaneceu em Ulm para tratar da
impressão das Tabulae, enquanto a família aguardava em Regensburg. Depois acabou por se instalar
em Sagan onde chegou em Julho de 1630.
A 8 de Outubro desse ano, Kepler saíu de Sagan em direcção a Regensburg. Não se conhece ao certo a
razão desta viagem embora se pense que tinha como objectivo recuperar velhas dívidas que deixara
para trás. Chegou a Regensburg a 2 de Novembro e de súbito adoeceu com um quadro febril. A
situação agravou-se rapidamente e nos dias seguintes surgiu confusão mental, agitação e perda de
consciência. A 15 de Novembro, seis semanas antes de completar 59 anos, Kepler morreu.
Foi sepultado no cemitério protestante de Regensburg e na lápide tumular ficaram gravadas palavras
da sua autoria que, talvez num gesto premonitório, entregara ao genro alguns meses antes de morrer:
Mensus eram coelus, nunc terrae metior umbras
Mens coelestis erat, corpori sumbra jacet
(Costumava medir os céus, agora medirei as sombras da terra
O espírito pertencia ao céu, aqui jaz a sombra do corpo)
Entretanto a violência brutal da Guerra dos Trinta Anos estava em marcha destruindo tudo à sua
frente. Pensa-se que mais de metade da população da Alemanha foi dizimada e muitas cidades
desapareceram. Durante a invasão dos suecos pelo norte, Regensburg preparou-se para a defesa e, para
isso, foi necessário fazer escavações na cerca e no cemitério da igreja protestante. Do túmulo de
Kepler não sobrou qualquer vestígio.
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Bibiografia consultada
Caspar, M. Kepler.Dover Publications, 1993
Gilder, J. e Gilder, A-L. Heavenly Intrigue. Doubleday, 2004
Gribbin, J. Science. A History,1543-2001. 2002
Holton. Johannes Kepler’s: its physics and metaphysics, in Thematic
Thought. Kepler to Einstein,1988
Pauli, W. Le cas Kepler. Éditions Albin Michel, 2002
Kepler, J. The Harmonies of the World. Britannica-Great Books 1952
A. J. Barros Veloso
Origins of Scientific
Lisboa, 23 de Agosto de 2004
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Fale com o autor: [email protected]
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