Resistência dos Materiais cap 02

1ª Parte
Capítulo 2:
Tensão e Deformação – Carregamento Axial
Professor Fernando Porto
Resistência dos Materiais
Introdução
• No Capítulo anterior, aprendemos a calcular
as tensões que surgem pela aplicação de
carregamentos em vários membros e
conexões, de uma máquina ou estrutura.
• Aprendemos a projetar membros ou conexões
de maneira que eles não viessem a falhar sob
especificadas condições de carregamento.
Introdução
• Outro importante aspecto na análise e projeto
de estruturas se relaciona com as
deformações causadas pela aplicação das
cargas a uma estrutura. É importante evitar
que as deformações se tornem tão grandes a
ponto de impedir que a estrutura venha a
cumprir os fins aos quais estava destinada.
• Através da análise das deformações pode-se
também determinar as tensões.
Deformação Normal sob Carregamento
Axial
• Vamos considerar a
barra BC, de
comprimento L, e seção
transversal de área A,
suspensa do ponto B.
• Se aplicarmos uma carga
P na extremidade C, a
barra sofre uma
deformação  (delta).
 : defomação
Deformação Normal sob Carregamento
Axial
• Nós definimos a deformação específica
normal ( - epsilon) pela seguinte expressão:
=
 : deformação linear total
L : comprimento inicial
• Uma vez que a deformação linear total e o
comprimento são expressos nas mesmas
unidades, a deformação específica normal é
uma grandeza adimensional.
Deformação Normal sob Carregamento
Axial
• Considere, por exemplo, uma barra de comprimento
L = 0,600 m e de seção transversal uniforme, que se
deforma de um valor  = 150 x 10-6 m. A deformação
específica correspondente é:
• ou
Diagrama Tensão-Deformação
• É o diagrama que
representa as relações
entre tensões e
deformações específicas de
um material.
• Para obtenção do diagrama
tensão-deformação de
certo material,
normalmente se faz um
ensaio de tração de uma
amostra do material.
Máquina para ensaios de tensão
• Neste ensaio, utiliza-se um
corpo-de-prova típico do
material.
• Corpo-de-prova é uma amostra
de um dado material, retirado
de um lote, com o objetivo de
se obter as propriedades
mecânicas do material.
Corpo de
prova típico
• O corpo-de-prova é levado
à máquina de teste, que é
usada para aplicar a carga
centrada P.
• A medida que aumenta o
valor de P, a distância L
entre as duas marcas
também aumenta
• É obtido dividindo-se as ordenadas (forças)
pela área da seção transversal inicial
(estimando assim as tensões) e as abscissas
(deformações) pelo comprimento inicial L,
estimando assim a deformação específica.
=
=
=
[MPa]
400
Ruptura
280
e
R
escoamento
140
recuperação
estricção
=
• O diagrama tensão-deformação varia muito
de material para material, e, para um mesmo
material, podem ocorrer resultados diferentes
em vários ensaios, dependendo da
temperatura do corpo de prova ou da
velocidade de crescimento da carga.
• Entre os diagramas tensão-deformação de
vários grupos de materiais é possível, no
entanto, distinguir algumas características
comuns. Elas nos levam a dividir os materiais
em duas importantes categorias:
• Materiais dúcteis;
• Materiais frágeis.
Material dúctil
Material frágil
• Diagramas típicos de materiais dúctil e frágil.
Materiais Dúcteis
• Os materiais dúcteis, que compreendem o aço
estrutural e outros metais, se caracterizam por
apresentarem escoamento a temperaturas
normais.
• O corpo-de-prova é submetido a carregamento
crescente, e seu comprimento aumenta, de início,
lentamente, sempre proporcional ao carregamento.
Desse modo, a parte inicial do diagrama tensãodeformação é uma linha reta com grande coeficiente
angular.
• Entretanto, quando é atingido um valor crítico de
tensão e, o corpo-de-prova sofre uma longa
deformação, com pouco aumento da carga aplicada.
• Essa deformação é causada por deslizamento
relativo das camadas do material de
superfícies oblíquas, o que mostra que este
fato se dá principalmente por tensões de
cisalhamento.
• Quando o carregamento atinge um valor
máximo, o diâmetro do corpo começa a
diminuir, devido a perda de resistência local.
Esse fenômeno é conhecido como estricção.
• Após o início da
estricção, um
carregamento mais
baixo é suficiente
para manter o corpode-prova se
deformando, até que
ocorra a ruptura.
Corpos de prova de
material dúctil:
a) Estricção
b) Ruptura
• Podemos perceber que a
ruptura se dá segundo uma
superfície em forma de cone,
que forma um ângulo
aproximado de 45o com a
superfície inicial do corpo-deprova.
• Isto mostra que a ruptura dos
materiais dúcteis ocorre sob
tensão de cisalhamento;
Onde:
Tensão de escoamento (início do escoamento);
Tensão última (máxima carga aplicada);
Tensão de ruptura (ponto de ruptura).
400
Ruptura
[MPa]
e
U
R
Ruptura
280
e
140
Aço estrutural
Alumínio
Os diagramas tensão-deformação mostram que o aço
estrutural e o alumínio, ambos materiais dúcteis,
apresentam diferenças de comportamento no
escoamento. Para o aço estrutural, as tensões
permanecem constantes para uma grande variação das
deformações, após o início do escoamento.
400
[MPa]
Ruptura
Ruptura
280
e
140
Aço estrutural
Alumínio
No caso do alumínio, e de muitos outros materiais
dúcteis, o início do escoamento não é caracterizado pelo
trecho horizontal do diagrama (patamar de
escoamento). Ao invés disso, as tensões continuam
aumentando - embora não de maneira linear – até que a
tensão última é alcançada. Começa então a estricção
que pode levar a ruptura.
[MPa]
400
Ruptura
280
e
140
Alumínio
• Para esses materiais se define um valor convencional
para a tensão e.
• A tensão convencional de escoamento é obtida
tomando-se no eixo das abscissas a deformação
específica  = 0,2% (ou  = 0,002), e por esse ponto
traçando-se uma reta paralela ao trecho linear inicial
do diagrama.
• A tensão se corresponde ao ponto de interseção dessa
reta com o diagrama, é conhecida como tensão
convencional a 0,2%.
• A tensão se corresponde ao ponto de interseção dessa
reta com o diagrama, é conhecida como tensão
convencional a 0,2%.
Ruptura
e
convencional
Materiais Frágeis
• Materiais frágeis, como ferro fundido, vidro e
pedra, são caracterizados por uma ruptura
que ocorre sem nenhuma mudança sensível
no modo de deformação do material.
• Então, para os materiais frágeis, não diferença
entre tensão última e tensão de ruptura. Além
disto, a deformação até a ruptura é muito
menor nos materiais frágeis do que nos
materiais dúcteis.
Materiais Frágeis
• Não ocorre estricção nos materiais frágeis e a
ruptura se dá em uma superfície
perpendicular ao carregamento.
• Pode-se concluir daí que a ruptura dos
materiais frágeis se deve principalmente a
tensões normais.
U =  R
Ruptura
2ª Parte
Capítulo 2:
Tensão e Deformação – Carregamento Axial
Professor Fernando Porto
Resistência dos Materiais
Lei de Hooke e Módulo de
Elasticidade
• Atualmente, as estruturas são projetadas de
modo a sofrerem pequenas deformações que
não ultrapassem os valores do diagrama
tensão-deformação correspondentes ao
trecho reto do diagrama (região elástica).
Região
elástica
• Na parte inicial do
diagrama, a tensão  é
diretamente
proporcional à
deformação específica
 e podemos escrever:
= .
• Esta relação é conhecida como Lei de Hooke, e
se deve ao matemático inglês Robert Hooke.
= .
Robert Hooke
(Julho 1635 – Março 1703)
• O coeficiente E é chamado
módulo de elasticidade
longitudinal do material, ou
módulo de Young (Thomas
Young, cientista inglês).
• Expresso em [Pa] ou seus
múltiplos no sistema
internacional, o coeficiente
E é uma propriedade
mecânica do material
=
Thomas Young (Junho 1773 – Maio 1829)
• Uma curiosidade sobre o módulo de Young é que
dois outros grandes cientistas precederam Thomas
Young em muitas décadas. Entretanto, como foi o
cientista inglês quem conseguiu generalizar a
aplicação, o módulo acabou por levar o seu nome.
Giordano Riccati
ou Jordan Riccati
(fl. 1782)
Leonhard Euler
(Abril 1707 –
Setembro 1783)
• Ao maior valor para o qual a Lei de Hooke é
válida se denomina limite de
proporcionalidade do material.
• Quando o material é dúctil e possui o início do
escoamento em um ponto bem definido do
diagrama, o limite de proporcionalidade
coincide com o ponto de escoamento.
• Para outros materiais, o limite de
proporcionalidade não se define tão
facilmente.
= .
Diagramas tensão-deformação
para ferro puro e para
diversos tipos de aço.
Aço liga ASTM A709 (AISI 8614)
Temperado e Revenido
Aço baixa liga ASTM A992
Alta resistência
Aço carbono ASTM A36 (AISI 1020)
Ferro puro
Comparação entre diagramas de tensão-deformação: (1) latão macio; (2) aço
de baixo carbono; (3) bronze duro; (4) aço laminado a frio; (5) de aço médio
carbono, recozidos; (6) de aço médio carbono, com tratamento térmico.
Deformações de barras sujeitas
a esforços axiais
• Vamos considerar a barra
homogênea BC, de
comprimento L, e seção
transversal de área A,
suspensa do ponto B,
sujeita a força axial
centrada P.
 : deformação
Deformações de barras sujeitas
a esforços axiais
• Se a tensão atuante  =
P/A não exceder o limite
de proporcionalidade do
material, podemos aplicar
a Lei de Hooke :
= .
 : deformação
= .
Por definição, temos

 : deformação
• Atenção: A equação acima só pode ser usada
se a barra for homogênea (módulo de
elasticidade E constante), tiver seção
transversal uniforme de área constante A e
carga for aplicada nas extremidades da barra.
• Se as forças forem aplicadas em outros pontos, ou se
a barra consiste de várias partes com diferentes
seções transversais ou compostas de diferentes
materiais, devemos dividi-la em segmentos que,
individualmente satisfaçam a as condições de
aplicação da fórmula do slide anterior. Assim, a
deformação total da barra pode ser escrita como:
Exemplo: A barra rígida BDE é suspensa por duas hastes
AB e CD. A haste AB é de alumínio (E = 70GPa) com área de
seção transversal de 500mm2; a haste CD é de aço (E = 200GPa)
com área de seção transversal de 600mm2. Para a força de 30kN
determine: a) deslocamento do ponto B; b) deslocamento de D;
c) deslocamento do ponto E.
Corpo livre Barra BDE
tensão
compressão
Deslocamento de B
O sinal negativo indica uma contração da
barra AB, e em consequência, o
deslocamento para cima de B.
Deslocamento de D
Deslocamento de E
Exemplo: Os suportes rígidos A e B comprimem uma
barra de alumínio EF de diâmetro de 1,5pol. através de dois
parafusos de aço de diâmetro ¾ pol., CD e GH, de passo de
rosca simples de 0,1pol., e após serem ajustados, as porcas em D
e H são ambas apertadas de um quarto de volta. Sabendo-se
que E é 29 x 106 psi para aço, e 10,6 x 106 psi para alumínio,
determine a tensão normal na barra EF.
Parafusos CD e GH
Barra EF
Deslocamento de D relativo à B
É importante visualizar que
Tensão na barra de alumínio
Corpo livre para peça B
Empregando as equações anteriores:
3ª Parte
Capítulo 2:
Tensão e Deformação – Carregamento Axial
Professor Fernando Porto
Resistência dos Materiais
Exercício 1
• A barra de aço redondo A992 é
sujeita ao carregamento
mostrado. Se a área da seção
transversal é 60mm2, determine
o deslocamento de B e de A.
Despreze as dimensões dos
acoplamentos em C e B.
Respostas: 2,31 mm; 2,64 mm
1 9ª ed
Exercício 2
• A montagem consiste de uma barra redonda CB de aço A36 e
uma barra redonda BA de alumínio 1100-H14, ambas de
12mm de diâmetro. Se o conjunto é sujeito à carga axial em A
e no ponto B, determine o deslocamento de B e do ponto A.
As dimensões originais da montagem são mostradas na figura.
Despreze as dimensões das conexões em B e C, e assuma que
são rígidas.
Respostas: 1,59 mm; 6,14 mm
5 9ª ed
Exercício 3
• A montagem consiste de duas barras redondas AB e CD de
latão vermelho C83400 (E = 101GPa) de 10mm de diâmetro,
uma barra redonda EF de aço inox 304 (E = 193GPa), e uma
barra rígida G. Se P = 5kN, determine o deslocamento
horizontal do ponto F.
Resposta: 0,453 mm
9 9ª ed
Exercício 4
• A barra rígida é suportada pela barra CB, conectada por
pinos, a qual tem uma seção transversal de 14mm2 e é feita
de alumínio 6061-T6. Determine a deflexão vertical da barra
em D quando a carga é aplicada.
Resposta: 17,3 mm
13 9ª ed
Exercício 5
130kN
• Para a treliça de aço (ASTM
A36) e carregamentos
mostrados, determinar as
deformações nos membros BD
e DE, sabendo-se que suas
seções transversais tem
1300mm2 e 1950mm2.
2,5 m
130kN
2,5 m
130kN
2,5 m
4,5 m
2-23 3ª ed
Exercício 6
• Os membros AB e BE da treliça mostrada são de barras de
aço ASTM A36, com diâmetro de 25mm. Para o carregamento
mostrado, determinar o alongamento da barra AB e da barra
BE.
Resposta: 1,222 mm; +1,910 mm
2-24 3ª ed
Exercício 7
• Cada um dos braços AB e CD é feito de alumínio 2014-T6 e
tem área de seção transversal de 125mm2. Sabendo que eles
suportam o membro rígido BC, determine a deflexão do
ponto E.
P = 5kN
0,38 m
0,44 m
0,20 m
Resposta: 0,1024 mm
2-24 4ª ed
Exercício 8
• O comprimento do cabo de
aço ASTM A36 de 2mm de
diâmetro CD foi ajustado
quando não havia carga
aplicada, deixando um vão
de 1,5mm entre o ponto E e
o ponto B do braço ACB.
Determine onde (x) o bloco
de 20kg deve ser colocado
para que ocorra contato
entre o ponto B e o E.
Resposta: 92,6 mm
2-26 4ª ed
0,25 m
x
20 kg
1,5 mm
0,32 m
0,08 m
250 mm
Exercício 9
400 mm
250 mm
40 mm
300 mm
• Cada uma das quatro hastes de ligação verticais,
conectadas às duas vigas horizontais, são de alumínio
1100-H14 e tem uma seção transversal retangular de
10x40mm. Para o carregamento mostrado, determinar a
deflexão (a) no ponto E, (b) ponto F e (c) no ponto G.
Resposta: a) 80,4mm; b) 209m; c) 390m
2-25 3ª ed
24kN
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
MAIS USADOS EM ENGENHARIA
Módulos e
elasticidade
Alongamento %
Coef Dilatação
Térmica 10-6/ oC
Transversal
GPa
Tensões de
escoamento
Longitudinal
GPa
Cisalhamento
MPa
Tração MPa
Cisalhamento
MPa
Compressão
MPa
Tração MPa
Peso Específico
Kg/m3
Material
Tensões de Ruptura
Módulos e
elasticidade
Alongamento %
Coef Dilatação
Térmica 10-6/ oC
Transversal
GPa
Tensões de
escoamento
Longitudinal
GPa
Cisalhamento
MPa
Tração MPa
Cisalhamento
MPa
Compressão
MPa
Tração MPa
Peso Específico
Kg/m3
Material
Tensões de Ruptura
Aço
Estrutural ASTM A36
Baixa liga alta resistência
ASTM A709 Grade 345
ASTM A913 Grade 450
ASTM A992 Grade 345
Temperado e revenido
ASTM A709 Grade 690
Aço inoxidável AISI 302
Laminado a frio
Recozido
Aço para concreto armado
Média resistência
Alta resistência
Ferro Fundido
Ferro Fundido Cinzento
4,5% C, ASTM A-48
Ferro Fundido Maleável
2% C, 1% Si,
ASTM A-47
Alongamento %
Coef Dilatação
Térmica 10-6/ oC
Transversal
GPa
Módulos e
elasticidade
Longitudinal
GPa
Cisalhamento
MPa
Tensões de
escoamento
Tração MPa
Cisalhamento
MPa
Compressão
MPa
Tração MPa
Peso Específico
Kg/m3
Material
Tensões de Ruptura
Alumínio
Ligas de Magnésio
Titânio
Ligas Níquel Cobre Monel 400
Cuproníquel
Obs.:
Alloy – Liga; Forging – Forjado; Extrusion – Extrudado;
Cold-Worked – Encruado a frio; Annealed – Recozido.
Alongamento %
Coef Dilatação
Térmica 10-6/ oC
Transversal
GPa
Módulos e
elasticidade
Longitudinal
GPa
Cisalhamento
MPa
Tensões de
escoamento
Tração MPa
Cisalhamento
MPa
Compressão
MPa
Tração MPa
Peso Específico
Kg/m3
Material
Tensões de Ruptura
Ligas de Cobre
Cobre livre de Oxigênio
Latão Amarelo (latão 1/3 zinco)
Latão Vermelho C230
Bronze Estanho
Bronze Manganês
Bronze Alumínio
Obs.:
Alloy – Liga; Annealed – Recozido; Hard-drawn – Trefilado a frio;
Cold-rolled – Laminado a frio.
Alongamento %
Coef Dilatação
Térmica 10-6/ oC
Transversal
GPa
Módulos e
elasticidade
Longitudinal
GPa
Cisalhamento
MPa
Tensões de
escoamento
Tração MPa
Cisalhamento
MPa
Compressão
MPa
Tração MPa
Peso Específico
Kg/m3
Material
Tensões de Ruptura
Concreto
Resistência média
Resistência alta
Plásticos
Nylon tipo 6/6
(material para moldagem)
Policarbonato
Poliéster PBT
(termoplástico)
Elastômero Poliéster
Poliestireno
Vinil, rígido PVC
Borracha
Granito (valores médios)
Mármore (valores médios)
Arenito
Vidro 95% Si
Obs.:
Alloy – Liga; Annealed – Recozido; Hard-drawn – Trefilado a frio;
Cold-rolled – Laminado a frio.
Alongamento %
Coef Dilatação
Térmica 10-6/ oC
Transversal
GPa
Módulos e
elasticidade
Longitudinal
GPa
Cisalhamento
MPa
Tensões de
escoamento
Tração MPa
Cisalhamento
MPa
Compressão
MPa
Tração MPa
Peso Específico
Kg/m3
Material
Tensões de Ruptura
Obs.:
HR - Hot-Rolled (laminado à quente)
CD - Cold-Drawn (trefilado à frio)
Obs.:
HR - Hot-Rolled (laminado à quente)
CD - Cold-Drawn (trefilado à frio)
No AISI
Tratamento
Temperatura
oC (oF)
Tensão de
Ruptura
MPa (kpsi)
Tensão de
Escoamento
MPa (kpsi)
Alongamento
em 2pol, %
Obs.:
Q&T - Quenched and Tempered (Temperado e Revenido)
Q&T* - Water-Quenched and Tempered (Temperado e Revenido em Água)
Normalized – Normalizado
Annealed - Recozido
Redução em
área, %
Dureza
Brinell
No AISI
Tratamento
Temperatura
oC (oF)
Tensão de
Ruptura
MPa (kpsi)
Tensão de
Escoamento
MPa (kpsi)
Alongamento
em 2pol, %
Obs.:
Q&T - Quenched and Tempered (Temperado e Revenido)
Q&T* - Water-Quenched and Tempered (Temperado e Revenido em Água)
Normalized – Normalizado
Annealed - Recozido
Redução em
área, %
Dureza
Brinell
No AISI
Tratamento
Temperatura
oC (oF)
Tensão de
Ruptura
MPa (kpsi)
Tensão de
Escoamento
MPa (kpsi)
Obs.:
Q&T - Quenched and Tempered (Temperado e Revenido)
Q&T* - Water-Quenched and Tempered (Temperado e Revenido em Água)
Alongamento
em 2pol, %
Redução em
área, %
Normalized – Normalizado
Annealed - Recozido
Dureza
Brinell
4ª Parte
Capítulo 2:
Tensão e Deformação – Carregamento Axial
Professor Fernando Porto
Resistência dos Materiais
Problemas Estaticamente
Indeterminados
• Nos problemas na seção precedente, pudemos
sempre utilizar os diagramas de corpo livre e as
equações de equilíbrio na determinação das forças
internas produzidas nas várias partes da estrutura
por carregamentos conhecidos. Feito isto, mostrouse possível ser estimada a deformação de qualquer
parte da estrutura.
Problemas Estaticamente
Indeterminados
• Entretanto, em muitos problemas as forças internas
não podem ser determinadas apenas com os
recursos da estática, ou seja, através do desenho do
diagrama de corpo livre da peça e estudando suas
equações de equilíbrio.
• Neste caso, as equações de equilíbrio devem ser
complementadas por outras relações envolvendo
deformações, obtidas através da consideração das
condições geométricas do problema.
Problemas Estaticamente
Indeterminados
• Tais problemas são ditos serem estaticamente
indeterminados, pois a estática não é suficiente para
determinar as reações e esforços internos.
• Neste tópico é mostrado como conduzir à solução
desses problemas.
Exemplo 1
Uma barra de comprimento L e área da seção
transversal A1, com módulo de elasticidade E1, foi
colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento ,
mas de área transversal A2 e módulo de elasticidade E2.
Qual a deformação da barra e do tubo, quando uma
força P é aplicada por meio de uma placa rígida?
Tubo
Barra
Placa rígida
• Chamando de P1 e P2 as forças axiais na barra e no
tubo, desenhamos os diagramas de corpo livre dos 3
elementos:
P1 + P2 = P
P1 + P2 = P
• Ocorre, no entanto, que uma equação não é
suficiente para determinar duas incógnitas. O
problema é estaticamente indeterminado!
• Entretanto, a geometria do problema nos mostra que
as deformações 1 e 2 na barra e no tubo devem ser
iguais:
• Igualando as equações:
=
.
e lembrando que P1 + P2 = P :
.
+
=
.
+
+
.

=
.
+1 =
=
Similarmente:
= .
+
= .
Com os valores de P1 e P2 podemos calcular a
deformação da barra e do tubo.
+
Exemplo 2
A barra mostrada ao
lado é presa aos apoios
fixos A e B. Determinar
as reações desses
apoios quando se aplica
o carregamento
indicado.
Observe que não são dadas informações sobre o material !
• Vamos considerar inicialmente que a barra esteja
livre em B, e que a reação RB seja uma força externa
desconhecida, cujo valor será determinada pelas
considerações de deformação da barra igual a zero.
• Para estimar a deformação total, a barra é dividida
em 4 partes:
P1 é a carga aplicada à fração 1 da barra
• Com estes dados podemos calcular a deformação da
barra causada pelas forças aplicadas em D e K, se
esta estivesse livre na base:
• Agora estima-se uma força RB capaz de anular a
deformação causada pelas forças aplicadas nos
pontos D e K:
Deformação total:
=
=
.
+
.
1,95 × 10
Uma deformação anula a outra, de modo que devem ser iguais!
Exemplo 3
Calcular as reações em A e B,
considerando uma distância inicial
de 4,5mm entre a barra e o apoio B.
Adotar E = 200GPa
A haste CE (10mm ) e a DF
(15mm ) são ligadas à barra
rígida ABCD como mostrado.
Sabendo-se que as hastes são
de alumínio (E = 70GPa),
determinar:
(a) a força atuante em cada
haste;
(b) deslocamento do ponto A.
Exemplo 4
450mm
32KN
300mm 200mm
600 mm
750 mm
• Condições de Equilíbrio
Considerando como corpo livre a barra ABCD, notamos
que as reações em B e nas hastes são estaticamente
indeterminadas. No entanto, da estática podemos
escrever:
450mm
+MB = 0
32
. 0,45
0,3.
+ 0,5.
300mm
200mm
32KN
. 0,3
= 14,4 × 10
. 0,5
Eq.1
=0
• Condições de Geometria
Após a aplicação da força de 32kN, a barra assume a
posição A’BC’D’. Da semelhança de triângulos BAA’,
BCC’ e BDD’, temos:
300mm
200mm
450mm
0,3
0,45
=
0,5
=
0,5
= 0,6.
= 0,9.
• Deformações
Empregando a equação de deformação:
=
.
=
.
= 0,6.
.
.
= 0,6.
.
.
.
.
• Deformações
.
.
= 0,6.
= 0,333.
= 0,6
= 0,75m
E = 70 × 10 Pa
.
.
Eq.2
= 0,010 4
= 0,015 4
= 7,8540 × 10 = 1,7671 × 10 Aplicando a equação 1 na equação 2:
0,3.
+ 0,5.
= 14,4 × 10
Eq.1
= 0,333.
0,3 × (0,333.
Eq.2
) + 0,5.
= 14,4 × 10
= 24
Usando novamente a Eq.2:
=8
Deslocamento dos pontos D e A:
=
.
.
= 1,455
= 0,9.
= 1,310
24000 . 0,75
=
1,7671 × 10 . 70 × 10
5ª Parte
Capítulo 2:
Tensão e Deformação – Carregamento Axial
Professor Fernando Porto
Resistência dos Materiais
Exercício 1
A coluna de concreto é reforçada
empregando 4 barras de aço, cada uma
com diâmetro de 18mm. Determine (a) a
tensão no concreto e (b) no aço se a coluna
é sujeita a um carregamento de 800kN.
Considere Eaço = 200GPa e Econc = 25GPa
Ex.4-31 9th Ed.
Resp.: (a) 65,9MPa; (b) 8,24MPa
Exercício 2
Uma coluna é construída de concreto de
alta resistência e 4 barras de aço A-36. Se
sujeita a uma força de 800kN, determine o
diâmetro requerido de cada barra de modo
que um quarto da carga seja suportado
pelo aço e três quartos seja pelo concreto.
Considere Eaço = 200GPa e Econc = 25GPa
Ex.4-32 9th Ed.
Resp.: 33,9mm
Exercício 3
Um tubo de aço é preenchido com
concreto e sujeito a uma carga compressiva
de 80kN. Determine a tensão média (a) no
concreto e (b) no aço devido ao
carregamento. O tubo tem um diâmetro
externo de 80mm e diâmetro interno de
70mm.
Considere Eaço = 200GPa e Econc = 24GPa
Ex.4-33 9th Ed.
Resp.: (a) 5,85MPa; (b) 48,8MPa
Exercício 4
A barra AC de alumínio 2014-T6
é reforçada pelo cilindro BC
firmemente ajustado de aço
A992. Quando a montagem não
sofre carregamento, permanece
uma fresta de 0,5mm entre C e o
piso rígido inferior E. Determine
as reações (a) no suporte rígido
D e (b) na base C quando a carga
axial de 400kN é aplicada.
Aço A992
alumínio
E
Ex.4-42 9th Ed.
Resp.: (a) 219kN; (b) 181kN
Exercício 5
A montagem consiste de duas barras AB e CD de cobre
vermelho C83400 de diâmetro de 30mm, uma barra EF de aço
inox 304 de diâmetro 40mm, e a barra rígida G. Se os suportes
em A, C e F são também rígidos, determine a tensão normal
média desenvolvida nas barras (a) AB, CD e (b) EF.
Ex.4-43 9th Ed.
Resp.: (a) 26.5MPa; (b) 33,8MPa
Exercício 6
O suporte consiste de uma barra
redonda de cobre vermelho C83400
circundada por um cilindro de aço
inox 304. Antes da carga ser aplicada,
é observada uma defasagem de 1mm
entre o comprimento da barra e o do
cilindro. Determine a maior carga
axial possível de ser aplicada no topo
rígido A sem causar escoamento de
nenhum dos materiais.
Ex.4-47 9th Ed.
Resp.: 198kN
Fonte Bibliográfica
• Resistência dos Materiais
• Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr.,
E. Russell; Editora Pearson
Nakron Books, 3a. Ed., 2010