Slides sobre Determinante - Laboratório de Matemática Aplicada

Determinante: Resumo
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Motivação Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas Propriedades
2 Definição Algébrica
Definição
Equivalência
3 Propriedades
4 Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
5 Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e Cramer
Prof. Marco Cabral (UFRJ)
1
1 / 264
Resumo
Determinante
V0.84 →
V0.85
1
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
2
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
3
Equivalência
Propriedades
4
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
5
Motivação Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas Propriedades
Definição Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e Cramer
2 / 264
O que é o determinante?
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
det : {matrizes quadradas} → R, A → det(A).
Qual seu significado geométrico?
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Determinante relaciona:
área (ou volume) de Ω com área (ou volume) de A(Ω).
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Incluir Figura: Região e imagem
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
3 / 264
O que é o determinante?
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
det : {matrizes quadradas} → R, A → det(A).
Qual seu significado geométrico?
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Determinante relaciona:
área (ou volume) de Ω com área (ou volume) de A(Ω).
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Incluir Figura: Região e imagem
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
4 / 264
O que é o determinante?
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
det : {matrizes quadradas} → R, A → det(A).
Qual seu significado geométrico?
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Determinante relaciona:
área (ou volume) de Ω com área (ou volume) de A(Ω).
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Incluir Figura: Região e imagem
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
5 / 264
O que é o determinante?
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
det : {matrizes quadradas} → R, A → det(A).
Qual seu significado geométrico?
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Determinante relaciona:
área (ou volume) de Ω com área (ou volume) de A(Ω).
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Incluir Figura: Região e imagem
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
6 / 264
O que é o determinante?
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
det : {matrizes quadradas} → R, A → det(A).
Qual seu significado geométrico?
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Determinante relaciona:
área (ou volume) de Ω com área (ou volume) de A(Ω).
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Incluir Figura: Região e imagem
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
7 / 264
Resumo
Determinante
V0.84 →
V0.85
1
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
2
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
3
Equivalência
Propriedades
4
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
5
Motivação Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas Propriedades
Definição Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e Cramer
8 / 264
Área e Determinante em R2 : Parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
A=
u v
matriz 2x2.
Q quadrado com arestas e1 e e2 .
A(Q) é paralelogramo com arestas Ae1 = u e Ae2 = v.
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Incluir Figura: quadrado unitário
Definição
Equivalência
Propriedades
Incluir Figura: paralelogramo com 0, u e v, u+v
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Definição
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Determinante de A é a área (com sinal) do paralelogramo
A(Q).
9 / 264
Área e Determinante em R2 : Parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
A=
u v
matriz 2x2.
Q quadrado com arestas e1 e e2 .
A(Q) é paralelogramo com arestas Ae1 = u e Ae2 = v.
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Incluir Figura: quadrado unitário
Definição
Equivalência
Propriedades
Incluir Figura: paralelogramo com 0, u e v, u+v
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Definição
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Determinante de A é a área (com sinal) do paralelogramo
A(Q).
10 / 264
Área e Determinante em R2 : Parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
A=
u v
matriz 2x2.
Q quadrado com arestas e1 e e2 .
A(Q) é paralelogramo com arestas Ae1 = u e Ae2 = v.
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Incluir Figura: quadrado unitário
Definição
Equivalência
Propriedades
Incluir Figura: paralelogramo com 0, u e v, u+v
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Definição
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Determinante de A é a área (com sinal) do paralelogramo
A(Q).
11 / 264
Área e Determinante em R2 : Parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
A=
u v
matriz 2x2.
Q quadrado com arestas e1 e e2 .
A(Q) é paralelogramo com arestas Ae1 = u e Ae2 = v.
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Incluir Figura: quadrado unitário
Definição
Equivalência
Propriedades
Incluir Figura: paralelogramo com 0, u e v, u+v
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Definição
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Determinante de A é a área (com sinal) do paralelogramo
A(Q).
12 / 264
Área e Determinante em R2 : Parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Incluir Figura: repetir figura
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Observação
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Sinal do determinante será interpretado depois — Por
enquanto vamos ignorá-lo.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
13 / 264
Área e Determinante em R2 : Parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Incluir Figura: repetir figura
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Observação
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Sinal do determinante será interpretado depois — Por
enquanto vamos ignorá-lo.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
14 / 264
Volume e Determinante em R3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
A=
u v w
matriz 3x3.
Q cubo com arestas e1 , e2 e e3 .
A(Q) é paralepípedo com arestas Ae1 = u, Ae2 = v e
Ae3 = w.
Incluir Figura: 1-cubo (no primeiro frame) e paralelepípedo gerado por u, v, w
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Definição
Determinante de A é o volume (com sinal) do
paralelepípedo A(Q).
15 / 264
Volume e Determinante em R3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
A=
u v w
matriz 3x3.
Q cubo com arestas e1 , e2 e e3 .
A(Q) é paralepípedo com arestas Ae1 = u, Ae2 = v e
Ae3 = w.
Incluir Figura: 1-cubo (no primeiro frame) e paralelepípedo gerado por u, v, w
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Definição
Determinante de A é o volume (com sinal) do
paralelepípedo A(Q).
16 / 264
Volume e Determinante em R3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
A=
u v w
matriz 3x3.
Q cubo com arestas e1 , e2 e e3 .
A(Q) é paralepípedo com arestas Ae1 = u, Ae2 = v e
Ae3 = w.
Incluir Figura: 1-cubo (no primeiro frame) e paralelepípedo gerado por u, v, w
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Definição
Determinante de A é o volume (com sinal) do
paralelepípedo A(Q).
17 / 264
Volume e Determinante em R3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
A=
u v w
matriz 3x3.
Q cubo com arestas e1 , e2 e e3 .
A(Q) é paralepípedo com arestas Ae1 = u, Ae2 = v e
Ae3 = w.
Incluir Figura: 1-cubo (no primeiro frame) e paralelepípedo gerado por u, v, w
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Definição
Determinante de A é o volume (com sinal) do
paralelepípedo A(Q).
18 / 264
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Área paralelogramo é
zero.
=⇒ Um vetor múltiplo do
outro.
Exemplo
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fazer animação com área variando quando altera um vetor
e deixa outro fixo.
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
19 / 264
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Área paralelogramo é
zero.
=⇒ Um vetor múltiplo do
outro.
Exemplo
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fazer animação com área variando quando altera um vetor
e deixa outro fixo.
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
20 / 264
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Área paralelogramo é
zero.
=⇒ Um vetor múltiplo do
outro.
Exemplo
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fazer animação com área variando quando altera um vetor
e deixa outro fixo.
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
21 / 264
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Área paralelogramo é
zero.
=⇒ Um vetor múltiplo do
outro.
Exemplo
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fazer animação com área variando quando altera um vetor
e deixa outro fixo.
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
22 / 264
det(A) = 0 em R2 : Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
12 −4
det
=0
−9
3
Porque?
1a col = −3× 2a col
Exemplo
3 3
det
=0
3 3
Porque?
3a col = 1a col
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
23 / 264
det(A) = 0 em R2 : Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
12 −4
det
=0
−9
3
Porque?
1a col = −3× 2a col
Exemplo
3 3
det
=0
3 3
Porque?
3a col = 1a col
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
24 / 264
det(A) = 0 em R2 : Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
12 −4
det
=0
−9
3
Porque?
1a col = −3× 2a col
Exemplo
3 3
det
=0
3 3
Porque?
3a col = 1a col
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
25 / 264
det(A) = 0 em R2 : Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
12 −4
det
=0
−9
3
Porque?
1a col = −3× 2a col
Exemplo
3 3
det
=0
3 3
Porque?
3a col = 1a col
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
26 / 264
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Volume paralelepípedo é
zero.
Um vetor pertence ao
=⇒ plano gerado pelos
outros dois
Exemplo
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Incluir Figura: paralelepipedo degenerado, com volume zero
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
27 / 264
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Volume paralelepípedo é
zero.
Um vetor pertence ao
=⇒ plano gerado pelos
outros dois
Exemplo
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Incluir Figura: paralelepipedo degenerado, com volume zero
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
28 / 264
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Volume paralelepípedo é
zero.
Um vetor pertence ao
=⇒ plano gerado pelos
outros dois
Exemplo
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Incluir Figura: paralelepipedo degenerado, com volume zero
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
29 / 264
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Volume paralelepípedo é
zero.
Um vetor pertence ao
=⇒ plano gerado pelos
outros dois
Exemplo
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Incluir Figura: paralelepipedo degenerado, com volume zero
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
30 / 264
det(A) = 0 em R3 : Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo


1 3 1
det  1 7 1  = 0
1 9 1
Porque?
3a col = 1a col
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Exemplo


1 2 3
det  1 2 3  = 0
1 2 3
Porque?
3a col = 1a col + 2a col
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
31 / 264
det(A) = 0 em R3 : Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo


1 3 1
det  1 7 1  = 0
1 9 1
Porque?
3a col = 1a col
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Exemplo


1 2 3
det  1 2 3  = 0
1 2 3
Porque?
3a col = 1a col + 2a col
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
32 / 264
det(A) = 0 em R3 : Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo


1 3 1
det  1 7 1  = 0
1 9 1
Porque?
3a col = 1a col
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Exemplo


1 2 3
det  1 2 3  = 0
1 2 3
Porque?
3a col = 1a col + 2a col
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
33 / 264
det(A) = 0 em R3 : Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo


1 3 1
det  1 7 1  = 0
1 9 1
Porque?
3a col = 1a col
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Exemplo


1 2 3
det  1 2 3  = 0
1 2 3
Porque?
3a col = 1a col + 2a col
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
34 / 264
Resumo Motivação Geométrica
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Determinante de A é a área/volume da imagem do
quadrado/cubo unitário por A.
Se A = u v , det(A) é área do paralelogramo com
arestas u e v.
Se A = u v w , det(A) é o volume do
paralelepípedo com arestas u, v e w.
det(A) pode ser zero mesmo com todas colunas
não-nulas.
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
35 / 264
Resumo Motivação Geométrica
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Determinante de A é a área/volume da imagem do
quadrado/cubo unitário por A.
Se A = u v , det(A) é área do paralelogramo com
arestas u e v.
Se A = u v w , det(A) é o volume do
paralelepípedo com arestas u, v e w.
det(A) pode ser zero mesmo com todas colunas
não-nulas.
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
36 / 264
Resumo Motivação Geométrica
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Determinante de A é a área/volume da imagem do
quadrado/cubo unitário por A.
Se A = u v , det(A) é área do paralelogramo com
arestas u e v.
Se A = u v w , det(A) é o volume do
paralelepípedo com arestas u, v e w.
det(A) pode ser zero mesmo com todas colunas
não-nulas.
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
37 / 264
Resumo Motivação Geométrica
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Determinante de A é a área/volume da imagem do
quadrado/cubo unitário por A.
Se A = u v , det(A) é área do paralelogramo com
arestas u e v.
Se A = u v w , det(A) é o volume do
paralelepípedo com arestas u, v e w.
det(A) pode ser zero mesmo com todas colunas
não-nulas.
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
38 / 264
Resumo
Determinante
V0.84 →
V0.85
1
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
2
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
3
Equivalência
Propriedades
4
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
5
Motivação Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas Propriedades
Definição Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e Cramer
39 / 264
Propriedade (a)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
(a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero:
paralelogramo ou paralelepípedo degenerado.
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Exemplo
Incluir Figura: Exemplos em dimensão 2 e dimensão
3.
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
40 / 264
Propriedade (a)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
(a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero:
paralelogramo ou paralelepípedo degenerado.
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Exemplo
Incluir Figura: Exemplos em dimensão 2 e dimensão
3.
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
41 / 264
Propriedade (b)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
(b) Se multiplicarmos uma coluna por k (constante) o
determinante será multiplicado por k :
a altura (ou base) será multiplicada por k .
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Incluir Figura: Exemplos em dimensão 2 e dimensão
3.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
42 / 264
Propriedade (b)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
(b) Se multiplicarmos uma coluna por k (constante) o
determinante será multiplicado por k :
a altura (ou base) será multiplicada por k .
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Incluir Figura: Exemplos em dimensão 2 e dimensão
3.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
43 / 264
Propriedade (b)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
(b) Se multiplicarmos uma coluna por k (constante) o
determinante será multiplicado por k :
a altura (ou base) será multiplicada por k .
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Incluir Figura: Exemplos em dimensão 2 e dimensão
3.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
44 / 264
Propriedade (c)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
(c) det
u+v
w
= det
u w
+ det
v
w
Exemplo
Incluir Figura: Exemplos em dimensão 2.
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
45 / 264
Propriedade (c)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
(c) det
u+v
w
= det
u w
+ det
v
w
Exemplo
Incluir Figura: Exemplos em dimensão 2.
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
46 / 264
Propriedade (d)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
(d) o determinante da matriz identidade é 1:
a área de um quadrado de lado um = volume de um cubo
de lado 1 = 1.
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Incluir Figura: Exemplos em dimensão 2 e dimensão
3.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
47 / 264
Propriedade (d)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
(d) o determinante da matriz identidade é 1:
a área de um quadrado de lado um = volume de um cubo
de lado 1 = 1.
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Incluir Figura: Exemplos em dimensão 2 e dimensão
3.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
48 / 264
Propriedade (d)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
(d) o determinante da matriz identidade é 1:
a área de um quadrado de lado um = volume de um cubo
de lado 1 = 1.
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Incluir Figura: Exemplos em dimensão 2 e dimensão
3.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
49 / 264
Propriedade (e)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
(e) o determinante do produto de duas matrizes é igual ao
produto dos determinantes:
a área (ou volume) resultante de duas aplicações é o
produto dos volumes.
Exemplo
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Incluir Figura: Exemplos em dimensão 2 e dimensão
3.
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
50 / 264
Propriedade (e)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
(e) o determinante do produto de duas matrizes é igual ao
produto dos determinantes:
a área (ou volume) resultante de duas aplicações é o
produto dos volumes.
Exemplo
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Incluir Figura: Exemplos em dimensão 2 e dimensão
3.
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
51 / 264
Resumo
Determinante
V0.84 →
V0.85
1
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
2
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
3
Equivalência
Propriedades
4
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
5
Motivação Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas Propriedades
Definição Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e Cramer
52 / 264
Propriedade (I)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Vimos que para A 2x2 e 3x3 valem:
(I) determinante é uma função linear em cada coluna:
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Exemplo
det([u + kz|v ]) = det([u|v ]) + k det([z|v ])
det([u + kz|v |w]) = det([u|v |w]) + k det([z|v |w])
det([u|u + kz|w]) = det([u|u|w]) + k det([u|z|w])
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
53 / 264
Propriedade (I)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Vimos que para A 2x2 e 3x3 valem:
(I) determinante é uma função linear em cada coluna:
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Exemplo
det([u + kz|v ]) = det([u|v ]) + k det([z|v ])
det([u + kz|v |w]) = det([u|v |w]) + k det([z|v |w])
det([u|u + kz|w]) = det([u|u|w]) + k det([u|z|w])
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
54 / 264
Propriedade (I)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Vimos que para A 2x2 e 3x3 valem:
(I) determinante é uma função linear em cada coluna:
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Exemplo
det([u + kz|v ]) = det([u|v ]) + k det([z|v ])
det([u + kz|v |w]) = det([u|v |w]) + k det([z|v |w])
det([u|u + kz|w]) = det([u|u|w]) + k det([u|z|w])
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
55 / 264
Propriedade (I)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Vimos que para A 2x2 e 3x3 valem:
(I) determinante é uma função linear em cada coluna:
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Exemplo
det([u + kz|v ]) = det([u|v ]) + k det([z|v ])
det([u + kz|v |w]) = det([u|v |w]) + k det([z|v |w])
det([u|u + kz|w]) = det([u|u|w]) + k det([u|z|w])
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
56 / 264
Propriedade (I)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Vimos que para A 2x2 e 3x3 valem:
(I) determinante é uma função linear em cada coluna:
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Exemplo
det([u + kz|v ]) = det([u|v ]) + k det([z|v ])
det([u + kz|v |w]) = det([u|v |w]) + k det([z|v |w])
det([u|u + kz|w]) = det([u|u|w]) + k det([u|z|w])
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
57 / 264
Propriedade (I): Exemplo
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
2 0
1+1 0
det
= 6 = det
=
8 3
4+4 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
4 3
4 3
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= 4 6=
= det
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
58 / 264
Propriedade (I): Exemplo
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
2 0
1+1 0
det
= 6 = det
=
8 3
4+4 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
4 3
4 3
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= 4 6=
= det
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
59 / 264
Propriedade (I): Exemplo
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
2 0
1+1 0
det
= 6 = det
=
8 3
4+4 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
4 3
4 3
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= 4 6=
= det
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
60 / 264
Propriedade (I): Exemplo
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
2 0
1+1 0
det
= 6 = det
=
8 3
4+4 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
4 3
4 3
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= 4 6=
= det
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
61 / 264
Propriedade (I): Exemplo
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
2 0
1+1 0
det
= 6 = det
=
8 3
4+4 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
4 3
4 3
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= 4 6=
= det
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
62 / 264
Propriedade (I): Exemplo
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
2 0
1+1 0
det
= 6 = det
=
8 3
4+4 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
4 3
4 3
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= 4 6=
= det
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
63 / 264
Propriedade (I): Exemplo
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
2 0
1+1 0
det
= 6 = det
=
8 3
4+4 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
4 3
4 3
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= 4 6=
= det
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
64 / 264
Propriedade (I): Exemplo
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
2 0
1+1 0
det
= 6 = det
=
8 3
4+4 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
4 3
4 3
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= 4 6=
= det
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
65 / 264
Propriedade (I): Exemplo
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
2 0
1+1 0
det
= 6 = det
=
8 3
4+4 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
4 3
4 3
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= 4 6=
= det
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
66 / 264
Propriedade (I): Exemplo
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo
2 0
1+1 0
det
= 6 = det
=
8 3
4+4 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
4 3
4 3
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= 4 6=
= det
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
67 / 264
Propriedade (II) e (III)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
(II) Se duas colunas são iguais o determinante é zero.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Exemplo
det u u = 0
det u u v = 0
det u v v = 0
(III) determinante da matriz identidade é 1.
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
68 / 264
Propriedade (II) e (III)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
(II) Se duas colunas são iguais o determinante é zero.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Exemplo
det u u = 0
det u u v = 0
det u v v = 0
(III) determinante da matriz identidade é 1.
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
69 / 264
Propriedade (II) e (III)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
(II) Se duas colunas são iguais o determinante é zero.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Exemplo
det u u = 0
det u u v = 0
det u v v = 0
(III) determinante da matriz identidade é 1.
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
70 / 264
Propriedade (II) e (III)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
(II) Se duas colunas são iguais o determinante é zero.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Exemplo
det u u = 0
det u u v = 0
det u v v = 0
(III) determinante da matriz identidade é 1.
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
71 / 264
Propriedade (II) e (III)
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
(II) Se duas colunas são iguais o determinante é zero.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Exemplo
det u u = 0
det u u v = 0
det u v v = 0
(III) determinante da matriz identidade é 1.
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
72 / 264
Definição Algébrica em Rn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Um fato surpreendente é:
Teorema
Existe uma única função f : {matrizes quadradas} → R
com as seguintes propriedades:
(a) é linear em cada coluna;
(b) se duas colunas são iguais o valor é zero;
(c) na matriz identidade valor é 1.
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Definição
O determinante é a função dada pelo teorema acima.
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
73 / 264
Definição Algébrica em Rn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Um fato surpreendente é:
Teorema
Existe uma única função f : {matrizes quadradas} → R
com as seguintes propriedades:
(a) é linear em cada coluna;
(b) se duas colunas são iguais o valor é zero;
(c) na matriz identidade valor é 1.
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Definição
O determinante é a função dada pelo teorema acima.
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
74 / 264
Definição Algébrica em Rn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Um fato surpreendente é:
Teorema
Existe uma única função f : {matrizes quadradas} → R
com as seguintes propriedades:
(a) é linear em cada coluna;
(b) se duas colunas são iguais o valor é zero;
(c) na matriz identidade valor é 1.
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Definição
O determinante é a função dada pelo teorema acima.
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
75 / 264
Definição Algébrica em Rn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Um fato surpreendente é:
Teorema
Existe uma única função f : {matrizes quadradas} → R
com as seguintes propriedades:
(a) é linear em cada coluna;
(b) se duas colunas são iguais o valor é zero;
(c) na matriz identidade valor é 1.
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Definição
O determinante é a função dada pelo teorema acima.
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
76 / 264
Definição Algébrica em Rn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Um fato surpreendente é:
Teorema
Existe uma única função f : {matrizes quadradas} → R
com as seguintes propriedades:
(a) é linear em cada coluna;
(b) se duas colunas são iguais o valor é zero;
(c) na matriz identidade valor é 1.
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Definição
O determinante é a função dada pelo teorema acima.
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
77 / 264
Definição Algébrica em Rn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Um fato surpreendente é:
Teorema
Existe uma única função f : {matrizes quadradas} → R
com as seguintes propriedades:
(a) é linear em cada coluna;
(b) se duas colunas são iguais o valor é zero;
(c) na matriz identidade valor é 1.
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Definição
O determinante é a função dada pelo teorema acima.
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
78 / 264
Comentários
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Embora completa, a definição acima não apresenta
uma fórmula para calcular o determinante.
Segundo Klaus Jänich:
“Se voce ainda acha que a informação mais
importante acerca de um objeto matemático é
uma fórmula para calcular o seu valor,
certamente voce compartilha o pensamento
da maioria das pessoas medianamente
educadas, mas com conhecimentos apenas
superficiais de matemática.”
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
79 / 264
Comentários
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Embora completa, a definição acima não apresenta
uma fórmula para calcular o determinante.
Segundo Klaus Jänich:
“Se voce ainda acha que a informação mais
importante acerca de um objeto matemático é
uma fórmula para calcular o seu valor,
certamente voce compartilha o pensamento
da maioria das pessoas medianamente
educadas, mas com conhecimentos apenas
superficiais de matemática.”
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
80 / 264
Comentários
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Embora completa, a definição acima não apresenta
uma fórmula para calcular o determinante.
Segundo Klaus Jänich:
“Se voce ainda acha que a informação mais
importante acerca de um objeto matemático é
uma fórmula para calcular o seu valor,
certamente voce compartilha o pensamento
da maioria das pessoas medianamente
educadas, mas com conhecimentos apenas
superficiais de matemática.”
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
81 / 264
Resumo
Determinante
V0.84 →
V0.85
1
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
2
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
3
Equivalência
Propriedades
4
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
5
Motivação Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas Propriedades
Definição Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e Cramer
82 / 264
Propriedade Equivalente
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Lema
As propriedades abaixo são equivalentes:
(b) Se duas colunas são iguais o determinante é zero.
(b’) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de
sinal
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
83 / 264
Propriedade Equivalente
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Lema
As propriedades abaixo são equivalentes:
(b) Se duas colunas são iguais o determinante é zero.
(b’) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de
sinal
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
84 / 264
Propriedade Equivalente
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Lema
As propriedades abaixo são equivalentes:
(b) Se duas colunas são iguais o determinante é zero.
(b’) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de
sinal
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
85 / 264
Prova do Lema
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Prova
Vamos provar para matriz 2x2.
Suponha (b). Então det u + v u + v = 0 (colunas
iguais)
Por (a) (linearidade)
0=
det u + v u + v =
det u u +
v + det v u + v = det u u +det u v +det v u +det v v
Por (b) novamente det u u = det v v = 0.
Logo 0 = det u v + det v u
det u v = − det v u .
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Suponha (b’). Tomando u = v , det(u|u) = − det(u|u).
Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.
86 / 264
Prova do Lema
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Prova
Vamos provar para matriz 2x2.
Suponha (b). Então det u + v u + v = 0 (colunas
iguais)
Por (a) (linearidade)
0=
det u + v u + v =
det u u +
v + det v u + v = det u u +det u v +det v u +det v v
Por (b) novamente det u u = det v v = 0.
Logo 0 = det u v + det v u
det u v = − det v u .
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Suponha (b’). Tomando u = v , det(u|u) = − det(u|u).
Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.
87 / 264
Prova do Lema
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Prova
Vamos provar para matriz 2x2.
Suponha (b). Então det u + v u + v = 0 (colunas
iguais)
Por (a) (linearidade)
0=
det u + v u + v =
det u u +
v + det v u + v = det u u +det u v +det v u +det v v
Por (b) novamente det u u = det v v = 0.
Logo 0 = det u v + det v u
det u v = − det v u .
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Suponha (b’). Tomando u = v , det(u|u) = − det(u|u).
Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.
88 / 264
Prova do Lema
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Prova
Vamos provar para matriz 2x2.
Suponha (b). Então det u + v u + v = 0 (colunas
iguais)
Por (a) (linearidade)
0=
det u + v u + v =
det u u +
v + det v u + v = det u u +det u v +det v u +det v v
Por (b) novamente det u u = det v v = 0.
Logo 0 = det u v + det v u
det u v = − det v u .
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Suponha (b’). Tomando u = v , det(u|u) = − det(u|u).
Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.
89 / 264
Prova do Lema
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Prova
Vamos provar para matriz 2x2.
Suponha (b). Então det u + v u + v = 0 (colunas
iguais)
Por (a) (linearidade)
0=
det u + v u + v =
det u u +
v + det v u + v = det u u +det u v +det v u +det v v
Por (b) novamente det u u = det v v = 0.
Logo 0 = det u v + det v u
det u v = − det v u .
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Suponha (b’). Tomando u = v , det(u|u) = − det(u|u).
Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.
90 / 264
Prova do Lema
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Prova
Vamos provar para matriz 2x2.
Suponha (b). Então det u + v u + v = 0 (colunas
iguais)
Por (a) (linearidade)
0=
det u + v u + v =
det u u +
v + det v u + v = det u u +det u v +det v u +det v v
Por (b) novamente det u u = det v v = 0.
Logo 0 = det u v + det v u
det u v = − det v u .
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Suponha (b’). Tomando u = v , det(u|u) = − det(u|u).
Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.
91 / 264
Prova do Lema
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Prova
Vamos provar para matriz 2x2.
Suponha (b). Então det u + v u + v = 0 (colunas
iguais)
Por (a) (linearidade)
0=
det u + v u + v =
det u u +
v + det v u + v = det u u +det u v +det v u +det v v
Por (b) novamente det u u = det v v = 0.
Logo 0 = det u v + det v u
det u v = − det v u .
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Suponha (b’). Tomando u = v , det(u|u) = − det(u|u).
Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.
92 / 264
Analogias com Integral
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Propriedades
(b) e (b’) são similares a da integral:
Ra
(b) a f (x) dx = 0 (duas colunas iguais);
Rb
Ra
(b’) a f (x) dx = − b f (x) dx (troca de duas colunas);
Analogia entre Cálculo e Álgebra Linear:
integral é a área do gráfico com sinal;
determinante é a área (volume) com sinal.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
93 / 264
Analogias com Integral
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Propriedades
(b) e (b’) são similares a da integral:
Ra
(b) a f (x) dx = 0 (duas colunas iguais);
Rb
Ra
(b’) a f (x) dx = − b f (x) dx (troca de duas colunas);
Analogia entre Cálculo e Álgebra Linear:
integral é a área do gráfico com sinal;
determinante é a área (volume) com sinal.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
94 / 264
Analogias com Integral
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Propriedades
(b) e (b’) são similares a da integral:
Ra
(b) a f (x) dx = 0 (duas colunas iguais);
Rb
Ra
(b’) a f (x) dx = − b f (x) dx (troca de duas colunas);
Analogia entre Cálculo e Álgebra Linear:
integral é a área do gráfico com sinal;
determinante é a área (volume) com sinal.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
95 / 264
Analogias com Integral
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Propriedades
(b) e (b’) são similares a da integral:
Ra
(b) a f (x) dx = 0 (duas colunas iguais);
Rb
Ra
(b’) a f (x) dx = − b f (x) dx (troca de duas colunas);
Analogia entre Cálculo e Álgebra Linear:
integral é a área do gráfico com sinal;
determinante é a área (volume) com sinal.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
96 / 264
Analogias com Integral
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Propriedades
(b) e (b’) são similares a da integral:
Ra
(b) a f (x) dx = 0 (duas colunas iguais);
Rb
Ra
(b’) a f (x) dx = − b f (x) dx (troca de duas colunas);
Analogia entre Cálculo e Álgebra Linear:
integral é a área do gráfico com sinal;
determinante é a área (volume) com sinal.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
97 / 264
Interpretação de Sinal de área/volume
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
No Cálculo I a área abaixo do eixo-x é considerada
negativa e acima positiva;
Área recebe uma orientação positiva ou negativa;
Em Cálculo III áreas e volumes em R3 recebem sinal
também.
Para determinante, embora paralelogramo com arestas
e1 e e2 seja igual
a paralelogramo
com arestas e2 e e1 ,
det e1 e2 = − det e2 e1 .
De forma geral, trocando duas colunas de A obtemos a
mesma região =⇒ mesmo volume absoluto, mas
determinante troca de sinal.
R1
R0
Analogamente, 0 f (x) dx = − 1 f (x) dx, embora seja
mesmo intervalo [0, 1].
98 / 264
Interpretação de Sinal de área/volume
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
No Cálculo I a área abaixo do eixo-x é considerada
negativa e acima positiva;
Área recebe uma orientação positiva ou negativa;
Em Cálculo III áreas e volumes em R3 recebem sinal
também.
Para determinante, embora paralelogramo com arestas
e1 e e2 seja igual
a paralelogramo
com arestas e2 e e1 ,
det e1 e2 = − det e2 e1 .
De forma geral, trocando duas colunas de A obtemos a
mesma região =⇒ mesmo volume absoluto, mas
determinante troca de sinal.
R1
R0
Analogamente, 0 f (x) dx = − 1 f (x) dx, embora seja
mesmo intervalo [0, 1].
99 / 264
Interpretação de Sinal de área/volume
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
No Cálculo I a área abaixo do eixo-x é considerada
negativa e acima positiva;
Área recebe uma orientação positiva ou negativa;
Em Cálculo III áreas e volumes em R3 recebem sinal
também.
Para determinante, embora paralelogramo com arestas
e1 e e2 seja igual
a paralelogramo
com arestas e2 e e1 ,
det e1 e2 = − det e2 e1 .
De forma geral, trocando duas colunas de A obtemos a
mesma região =⇒ mesmo volume absoluto, mas
determinante troca de sinal.
R1
R0
Analogamente, 0 f (x) dx = − 1 f (x) dx, embora seja
mesmo intervalo [0, 1].
100 / 264
Interpretação de Sinal de área/volume
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
No Cálculo I a área abaixo do eixo-x é considerada
negativa e acima positiva;
Área recebe uma orientação positiva ou negativa;
Em Cálculo III áreas e volumes em R3 recebem sinal
também.
Para determinante, embora paralelogramo com arestas
e1 e e2 seja igual
a paralelogramo
com arestas e2 e e1 ,
det e1 e2 = − det e2 e1 .
De forma geral, trocando duas colunas de A obtemos a
mesma região =⇒ mesmo volume absoluto, mas
determinante troca de sinal.
R1
R0
Analogamente, 0 f (x) dx = − 1 f (x) dx, embora seja
mesmo intervalo [0, 1].
101 / 264
Interpretação de Sinal de área/volume
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
No Cálculo I a área abaixo do eixo-x é considerada
negativa e acima positiva;
Área recebe uma orientação positiva ou negativa;
Em Cálculo III áreas e volumes em R3 recebem sinal
também.
Para determinante, embora paralelogramo com arestas
e1 e e2 seja igual
a paralelogramo
com arestas e2 e e1 ,
det e1 e2 = − det e2 e1 .
De forma geral, trocando duas colunas de A obtemos a
mesma região =⇒ mesmo volume absoluto, mas
determinante troca de sinal.
R1
R0
Analogamente, 0 f (x) dx = − 1 f (x) dx, embora seja
mesmo intervalo [0, 1].
102 / 264
Interpretação de Sinal de área/volume
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
No Cálculo I a área abaixo do eixo-x é considerada
negativa e acima positiva;
Área recebe uma orientação positiva ou negativa;
Em Cálculo III áreas e volumes em R3 recebem sinal
também.
Para determinante, embora paralelogramo com arestas
e1 e e2 seja igual
a paralelogramo
com arestas e2 e e1 ,
det e1 e2 = − det e2 e1 .
De forma geral, trocando duas colunas de A obtemos a
mesma região =⇒ mesmo volume absoluto, mas
determinante troca de sinal.
R1
R0
Analogamente, 0 f (x) dx = − 1 f (x) dx, embora seja
mesmo intervalo [0, 1].
103 / 264
Propriedades do Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Das três propriedades básicas do determinante podemos
deduzir de forma direta as seguintes propriedades:
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
1
trocando coluna w por soma de w com multiplo de
outra coluna o determinante não se altera; (PROVAR
ISSO!);
2
determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos
elementos da diagonal; (PROVAR ISSO!);
3
determinante de matriz triangular é igual ao produto
dos elementos da diagonal;
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
104 / 264
Propriedades do Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Das três propriedades básicas do determinante podemos
deduzir de forma direta as seguintes propriedades:
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
1
trocando coluna w por soma de w com multiplo de
outra coluna o determinante não se altera; (PROVAR
ISSO!);
2
determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos
elementos da diagonal; (PROVAR ISSO!);
3
determinante de matriz triangular é igual ao produto
dos elementos da diagonal;
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
105 / 264
Propriedades do Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Das três propriedades básicas do determinante podemos
deduzir de forma direta as seguintes propriedades:
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
1
trocando coluna w por soma de w com multiplo de
outra coluna o determinante não se altera; (PROVAR
ISSO!);
2
determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos
elementos da diagonal; (PROVAR ISSO!);
3
determinante de matriz triangular é igual ao produto
dos elementos da diagonal;
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
106 / 264
Propriedades do Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Das três propriedades básicas do determinante podemos
deduzir de forma direta as seguintes propriedades:
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
1
trocando coluna w por soma de w com multiplo de
outra coluna o determinante não se altera; (PROVAR
ISSO!);
2
determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos
elementos da diagonal; (PROVAR ISSO!);
3
determinante de matriz triangular é igual ao produto
dos elementos da diagonal;
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
107 / 264
Produto de Matrizes
Determinante
V0.84 →
V0.85
Lema
Motivação
Geométrica
det(AB) = det(A) det(B)
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Prova
(Pode-se omitir) Defina f (B) = det(AB)/ det(A). É facil ver
que possui as propriedades da definição (f (I) = 1, linear
nas colunas, zero se colunas iguasi). Logo f (B) = det(B).
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Corolário
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
det(A) 6= 0 se, e somente se, A possui inversa.
Matriz Inversa e
Cramer
108 / 264
Produto de Matrizes
Determinante
V0.84 →
V0.85
Lema
Motivação
Geométrica
det(AB) = det(A) det(B)
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Prova
(Pode-se omitir) Defina f (B) = det(AB)/ det(A). É facil ver
que possui as propriedades da definição (f (I) = 1, linear
nas colunas, zero se colunas iguasi). Logo f (B) = det(B).
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Corolário
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
det(A) 6= 0 se, e somente se, A possui inversa.
Matriz Inversa e
Cramer
109 / 264
Produto de Matrizes
Determinante
V0.84 →
V0.85
Lema
Motivação
Geométrica
det(AB) = det(A) det(B)
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Prova
(Pode-se omitir) Defina f (B) = det(AB)/ det(A). É facil ver
que possui as propriedades da definição (f (I) = 1, linear
nas colunas, zero se colunas iguasi). Logo f (B) = det(B).
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Corolário
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
det(A) 6= 0 se, e somente se, A possui inversa.
Matriz Inversa e
Cramer
110 / 264
Transposta de Matrizes
Determinante
V0.84 →
V0.85
Lema
Motivação
Geométrica
det(At ) = det(A).
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Prova será omitida.
Corolário
Todas as propriedades do determinante para colunas
podem ser enunciadas como propriedades das linhas.
Portanto, o determinante:
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
é linear por linhas;
troca de sinal quando se trocam as linhas.
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
111 / 264
Transposta de Matrizes
Determinante
V0.84 →
V0.85
Lema
Motivação
Geométrica
det(At ) = det(A).
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Prova será omitida.
Corolário
Todas as propriedades do determinante para colunas
podem ser enunciadas como propriedades das linhas.
Portanto, o determinante:
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
é linear por linhas;
troca de sinal quando se trocam as linhas.
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
112 / 264
Transposta de Matrizes
Determinante
V0.84 →
V0.85
Lema
Motivação
Geométrica
det(At ) = det(A).
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Prova será omitida.
Corolário
Todas as propriedades do determinante para colunas
podem ser enunciadas como propriedades das linhas.
Portanto, o determinante:
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
é linear por linhas;
troca de sinal quando se trocam as linhas.
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
113 / 264
Transposta de Matrizes
Determinante
V0.84 →
V0.85
Lema
Motivação
Geométrica
det(At ) = det(A).
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Prova será omitida.
Corolário
Todas as propriedades do determinante para colunas
podem ser enunciadas como propriedades das linhas.
Portanto, o determinante:
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
é linear por linhas;
troca de sinal quando se trocam as linhas.
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
114 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
115 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
116 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
117 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
118 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
119 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
120 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
121 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
122 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
123 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
124 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
125 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
126 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
127 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
128 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Exemplo
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Considere A = [u|v |w|z] 4x4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo
Considere A = [u|v |w] 3x3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
129 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
130 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
131 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
132 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
133 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
134 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
135 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
136 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
137 / 264
Exemplos
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
138 / 264
Resumo
Determinante
V0.84 →
V0.85
1
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
2
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
3
Equivalência
Propriedades
4
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
5
Motivação Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas Propriedades
Definição Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e Cramer
139 / 264
Fórmula para 2x2: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Vamos deduzir fórmula do determinante de
a c
b d
utilizando somente propriedades básicas.
a
a
0
Como
=
+
, linearidade na
b
0
b
primeira coluna implica:
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
140 / 264
Fórmula para 2x2: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Vamos deduzir fórmula do determinante de
a c
b d
utilizando somente propriedades básicas.
a
a
0
Como
=
+
, linearidade na
b
0
b
primeira coluna implica:
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
141 / 264
Fórmula para 2x2: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Vamos deduzir fórmula do determinante de
a c
b d
utilizando somente propriedades básicas.
a
a
0
Como
=
+
, linearidade na
b
0
b
primeira coluna implica:
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
142 / 264
Fórmula para 2x2: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
c
c
0
Como
=
+
, linearidade na
d
0
d
segunda coluna implica:
a c
a c
a 0
det
= det
+ det
0 d
0 0
0 d
0 c
0 c
0 0
det
= det
+ det
.
b d
b 0
b d
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
143 / 264
Fórmula para 2x2: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
c
c
0
Como
=
+
, linearidade na
d
0
d
segunda coluna implica:
a c
a c
a 0
det
= det
+ det
0 d
0 0
0 d
0 c
0 c
0 0
det
= det
+ det
.
b d
b 0
b d
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
144 / 264
Fórmula para 2x2: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
c
c
0
Como
=
+
, linearidade na
d
0
d
segunda coluna implica:
a c
a c
a 0
det
= det
+ det
0 d
0 0
0 d
0 c
0 c
0 0
det
= det
+ det
.
b d
b 0
b d
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
145 / 264
Fórmula para 2x2: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
c
c
0
Como
=
+
, linearidade na
d
0
d
segunda coluna implica:
a c
a c
a 0
det
= det
+ det
0 d
0 0
0 d
0 c
0 c
0 0
det
= det
+ det
.
b d
b 0
b d
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
146 / 264
Fórmula para 2x2: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
det
+ a det
+
0 0
0 0 a 0
det
+
0 d 0 c
det
+
b 0 0 0
det
b d
1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
Matriz Inversa e
Cramer
147 / 264
Fórmula para 2x2: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
det
+ a det
+
0 0
0 0 a 0
det
+
0 d 0 c
det
+
b 0 0 0
det
b d
1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
Matriz Inversa e
Cramer
148 / 264
Fórmula para 2x2: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
det
+ a det
+
0 0
0 0 a 0
det
+
0 d 0 c
det
+
b 0 0 0
det
b d
1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
Matriz Inversa e
Cramer
149 / 264
Fórmula para 2x2: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
det
+ a det
+
0 0
0 0 a 0
det
+
0 d 0 c
det
+
b 0 0 0
det
b d
1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
Matriz Inversa e
Cramer
150 / 264
Fórmula para 2x2: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
det
+ a det
+
0 0
0 0 a 0
det
+
0 d 0 c
det
+
b 0 0 0
det
b d
1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
Matriz Inversa e
Cramer
151 / 264
Fórmula para 2x2: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
det
+ a det
+
0 0
0 0 a 0
det
+
0 d 0 c
det
+
b 0 0 0
det
b d
1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
Matriz Inversa e
Cramer
152 / 264
Fórmula para 2x2: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
det
+ a det
+
0 0
0 0 a 0
det
+
0 d 0 c
det
+
b 0 0 0
det
b d
1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
Matriz Inversa e
Cramer
153 / 264
Fórmula para 2x2: parte 4
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Portanto,
obtemos:
a c
det
=
b d
1 1
ac det
ac · 0
0 0 1 0
+ad det
+ad · 1
0
1
0 1
1 0
+bc det
−bc det
−bc · 1
0 1
1 0 0 0
+bd det
+bd · 0
1 1
(colunas iguais)
(identidade)
(colunas iguais)
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
154 / 264
Fórmula para 2x2: parte 4
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Portanto,
obtemos:
a c
det
=
b d
1 1
ac det
ac · 0
0 0 1 0
+ad det
+ad · 1
0
1
0 1
1 0
+bc det
−bc det
−bc · 1
0 1
1 0 0 0
+bd det
+bd · 0
1 1
(colunas iguais)
(identidade)
(colunas iguais)
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
155 / 264
Fórmula para 2x2: parte 4
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Portanto,
obtemos:
a c
det
=
b d
1 1
ac det
ac · 0
0 0 1 0
+ad · 1
+ad det
0
1
0 1
1 0
+bc det
−bc det
−bc · 1
0 1
1 0 0 0
+bd det
+bd · 0
1 1
(colunas iguais)
(identidade)
(colunas iguais)
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
156 / 264
Fórmula para 2x2: parte 4
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Portanto,
obtemos:
a c
det
=
b d
1 1
ac det
ac · 0
0 0 1 0
+ad · 1
+ad det
0
1 1 0
−bc det
−bc · 1
0 1
0 0
+bd det
+bd · 0
1 1
(colunas iguais)
(identidade)
(troca colunas)
(colunas iguais)
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
157 / 264
Fórmula para 2x2: parte 4
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Portanto,
obtemos:
a c
det
=
b d
1 1
ac det
ac · 0
0 0 1 0
+ad · 1
+ad det
0
1 1 0
−bc · 1
−bc det
0 1
0 0
+bd det
+bd · 0
1 1
(colunas iguais)
(identidade)
(identidade)
(colunas iguais)
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
158 / 264
Fórmula para 2x2: parte 4
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Portanto,
obtemos:
a c
det
=
b d
1 1
ac det
ac · 0
0 0 1 0
+ad · 1
+ad det
0
1 1 0
−bc · 1
−bc det
0 1
0 0
+bd · 0
+bd det
1 1
(colunas iguais)
(identidade)
(identidade)
(colunas iguais)
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
159 / 264
Fórmula para 2x2: Fim!
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Finalmente,
a c
= ac · 0 + ad · 1 − bc · 1 + bd · 0 = ad − bc
det
b d
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
160 / 264
Resumo
Determinante
V0.84 →
V0.85
1
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
2
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
3
Equivalência
Propriedades
4
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
5
Motivação Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas Propriedades
Definição Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e Cramer
161 / 264
Introdução
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Podemos repetir o que foi feito para matriz 2x2 para
matriz nxn.
No entanto, é mais simples apresentar uma fórmula
recursiva para cálculo de determinante.
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Esta fórmula é conhecida como expansão por
cofatores ou fórmula de Laplace.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
162 / 264
Introdução
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Podemos repetir o que foi feito para matriz 2x2 para
matriz nxn.
No entanto, é mais simples apresentar uma fórmula
recursiva para cálculo de determinante.
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Esta fórmula é conhecida como expansão por
cofatores ou fórmula de Laplace.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
163 / 264
Introdução
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Podemos repetir o que foi feito para matriz 2x2 para
matriz nxn.
No entanto, é mais simples apresentar uma fórmula
recursiva para cálculo de determinante.
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Esta fórmula é conhecida como expansão por
cofatores ou fórmula de Laplace.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
164 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Definição
Motivação
Geométrica
Dado A 3x3, defina Aij a matriz 2 × 2 obtida eliminando-se
i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Exemplo


1 4 7
Considere A =  2 5 8 
3 6 9
A12 =
A31 =
A22 =
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
165 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Definição
Motivação
Geométrica
Dado A 3x3, defina Aij a matriz 2 × 2 obtida eliminando-se
i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Exemplo


1 4 7
Considere A =  2 5 8 
3 6 9
A12 =
A31 =
A22 =
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
166 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Definição
Motivação
Geométrica
Dado A 3x3, defina Aij a matriz 2 × 2 obtida eliminando-se
i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo


1 4 7
Considere A =  2 5 8 
3 6 9


1
4
7


A12 =  2
5
8 
3
6
9
A31 =
A22 =
167 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Definição
Motivação
Geométrica
Dado A 3x3, defina Aij a matriz 2 × 2 obtida eliminando-se
i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo


1 4 7
Considere A =  2 5 8 
3 6 9


·
·
·
A12 =  2 · 8 
3 · 9
A31 =
A22 =
168 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Definição
Motivação
Geométrica
Dado A 3x3, defina Aij a matriz 2 × 2 obtida eliminando-se
i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Exemplo


1 4 7
Considere A =  2 5 8 
3 6 9
2 8
A12 =
3 9
A31 =
A22 =
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
169 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Definição
Motivação
Geométrica
Dado A 3x3, defina Aij a matriz 2 × 2 obtida eliminando-se
i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo


1 4 7
Considere A =  2 5 8 
3 6 9
2 8
A12 =
3 9


1
4
7


A31 =  2
5
8 
3
6
9
A22 =
170 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Definição
Motivação
Geométrica
Dado A 3x3, defina Aij a matriz 2 × 2 obtida eliminando-se
i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo


1 4 7
Considere A =  2 5 8 
3 6 9
2 8
A12 =
3 9


· 4 7
A31 =  · 5 8 
·
·
·
A22 =
171 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Definição
Motivação
Geométrica
Dado A 3x3, defina Aij a matriz 2 × 2 obtida eliminando-se
i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo


1 4 7
Considere A =  2 5 8 
3 6 9
2 8
A12 =
3 9
4 7
A31 =
5 8
A22 =
172 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Definição
Motivação
Geométrica
Dado A 3x3, defina Aij a matriz 2 × 2 obtida eliminando-se
i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo


1 4 7
Considere A =  2 5 8 
3 6 9
2 8
A12 =
3 9
4 7
A31 =
5 8
A22 =
173 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Definição
Motivação
Geométrica
Dado A 3x3, defina Aij a matriz 2 × 2 obtida eliminando-se
i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo


1 4 7
Considere A =  2 5 8 
3 6 9
2 8
A12 =
3 9
4 7
A31 =
5 8

A22
1

=  2
3
4
5
6

7

8 
9
174 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Definição
Motivação
Geométrica
Dado A 3x3, defina Aij a matriz 2 × 2 obtida eliminando-se
i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo


1 4 7
Considere A =  2 5 8 
3 6 9
2 8
A12 =
3 9
4 7
A31 =
5 8

A22
1

·
=
3
·
·
·

7
· 
9
175 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Definição
Motivação
Geométrica
Dado A 3x3, defina Aij a matriz 2 × 2 obtida eliminando-se
i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo


1 4 7
Considere A =  2 5 8 
3 6 9
2 8
A12 =
3 9
4 7
A31 =
5 8
A22 =
1 7
3 9
176 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura:  − + − 
+ − +
De forma recursiva calculamos o determinante.
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
177 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura:  − + − 
+ − +
De forma recursiva calculamos o determinante.
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
178 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura:  − + − 
+ − +
De forma recursiva calculamos o determinante.
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Expansão
primeira

 coluna:
1 4 7


det  2 5 8  =
3 6 9
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
179 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura:  − + − 
+ − +
De forma recursiva calculamos o determinante.
Exemplo
Expansão
primeira

 coluna:
1 4 7


det  2 5 8  =
3 6 9


·
·
·
+1 det  · 5 8 
· 6 9
180 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura:  − + − 
+ − +
De forma recursiva calculamos o determinante.
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Expansão
primeira

 coluna:
1 4 7


det  2 5 8  =
3 6 9
5 8
+1 det
6 9
181 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura:  − + − 
+ − +
De forma recursiva calculamos o determinante.
Exemplo
Expansão
primeira

 coluna:
1 4 7


det  2 5 8  =
3 6 9

·
5 8

·
+1 det
−2 det
6 9
·
4
·
6

7
· 
9
182 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura:  − + − 
+ − +
De forma recursiva calculamos o determinante.
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Expansão
primeira

 coluna:
1 4 7


det  2 5 8  =
3 6 9
5 8
4 7
+1 det
−2 det
6 9
6 9
183 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura:  − + − 
+ − +
De forma recursiva calculamos o determinante.
Exemplo
Expansão
primeira

 coluna:
1 4 7


det  2 5 8  =
3 6 9

·
5 8
4 7

·
+1 det
−2 det
+3 det
6 9
6 9
·
4
5
·

7
8 
·
184 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura:  − + − 
+ − +
De forma recursiva calculamos o determinante.
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Expansão
primeira

 coluna:
1 4 7


det  2 5 8  =
3 6 9
5 8
4 7
4 7
+1 det
−2 det
+3 det
6 9
6 9
5 8
185 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura abaixo:  − + − 
+ − +
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Exemplo
Expansão segunda linha:
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
186 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura abaixo:  − + − 
+ − +
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Exemplo
Expansão segunda linha:
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
187 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura abaixo:  − + − 
+ − +
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Exemplo
Expansão
segundalinha:

1
4
7
det  2
5
8 =
3
6
9
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
188 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura abaixo:  − + − 
+ − +
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo
Expansão
segundalinha:

1
4
7
det  2
5
8 =
3
6
9


· 4 7
·
· 
−2 det  ·
· 6 9
189 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura abaixo:  − + − 
+ − +
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Exemplo
Expansão
segundalinha:

1
4
7
det  2
5
8 =
3
6
9
4 7
−2 det
6 9
Matriz Inversa e
Cramer
190 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura abaixo:  − + − 
+ − +
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo
Expansão
segundalinha:

1
4
7
det  2
5
8 =
3
6
9

1
4 7
−2 det
+5 det  ·
6 9
3
·
·
·

7
· 
9
191 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura abaixo:  − + − 
+ − +
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Exemplo
Expansão
segundalinha:

1
4
7
det  2
5
8 =
3
6
9
4 7
1 7
−2 det
+5 det
6 9
3 9
Matriz Inversa e
Cramer
192 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura abaixo:  − + − 
+ − +
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo
Expansão
segundalinha:

1
4
7
det  2
5
8 =
3
6
9

1
4 7
1 7
−2 det
+5 det
−8 det  ·
6 9
3 9
3
4
·
6

·
· 
·
193 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
Para cada matriz Aij associamos o sinal + ou − pela


+ − +
regra (−1)i+j , indicada na figura abaixo:  − + − 
+ − +
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Exemplo
Expansão
segundalinha:

1
4
7
det  2
5
8 =
3
6
9
4 7
1 7
1 4
−2 det
+5 det
−8 det
6 9
3 9
3 6
Matriz Inversa e
Cramer
194 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 4
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
De forma geral, podemos expandir por qualquer linha
ou coluna (graças a propriedade det(A) = det(At ),
reduzindo o determinante de A para soma de
determinantes de matrizes 2x2.
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Lema
P
(a) det(A) = 3i=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão por linhas);
P
(b) det(A) = 3j=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão por colunas).
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
195 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 4
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
De forma geral, podemos expandir por qualquer linha
ou coluna (graças a propriedade det(A) = det(At ),
reduzindo o determinante de A para soma de
determinantes de matrizes 2x2.
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Lema
P
(a) det(A) = 3i=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão por linhas);
P
(b) det(A) = 3j=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão por colunas).
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
196 / 264
Fórmula de Laplace para 3x3: parte 4
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
De forma geral, podemos expandir por qualquer linha
ou coluna (graças a propriedade det(A) = det(At ),
reduzindo o determinante de A para soma de
determinantes de matrizes 2x2.
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Lema
P
(a) det(A) = 3i=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão por linhas);
P
(b) det(A) = 3j=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão por colunas).
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
197 / 264
Exemplos de Laplace 3x3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo


−1 0 2
(Faça expansão pela primeira coluna e
det  1 0 3 
depois pela segunda coluna).
1 2 1
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Exemplo


0 1 2
det  1 1 3 
1 0 0
(Faça expansão pela primeira linha e
depois pela terceira linha).
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
198 / 264
Exemplos de Laplace 3x3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Exemplo


−1 0 2
(Faça expansão pela primeira coluna e
det  1 0 3 
depois pela segunda coluna).
1 2 1
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Exemplo


0 1 2
det  1 1 3 
1 0 0
(Faça expansão pela primeira linha e
depois pela terceira linha).
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
199 / 264
Regra de Sarrus
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Observação
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Aprendemos no ensino médio como calcular o determinante
de matriz 2x2 e 3x3 utilizando a regra de Sarrus:
Incluir Figura: regra de Sarrus para 2x2 e 3x3.
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Podemos ESQUECER a regra de Sarrus pois ela NÃO
generaliza para dimensão maior que 3.
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
200 / 264
Regra de Sarrus
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Observação
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Aprendemos no ensino médio como calcular o determinante
de matriz 2x2 e 3x3 utilizando a regra de Sarrus:
Incluir Figura: regra de Sarrus para 2x2 e 3x3.
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Podemos ESQUECER a regra de Sarrus pois ela NÃO
generaliza para dimensão maior que 3.
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
201 / 264
Aplicando Fórmula de Laplace em 2x2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Do mesmo modo que
para matrizes 2x2
para 3x3,
+ −
associamos sinal:
− +
Reduzimos a determinantes de matriz 1x1, que são
números.
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
202 / 264
Aplicando Fórmula de Laplace em 2x2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Do mesmo modo que
para matrizes 2x2
para 3x3,
+ −
associamos sinal:
− +
Reduzimos a determinantes de matriz 1x1, que são
números.
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
203 / 264
Aplicando Fórmula de Laplace em 2x2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Do mesmo modo que
para matrizes 2x2
para 3x3,
+ −
associamos sinal:
− +
Reduzimos a determinantes de matriz 1x1, que são
números.
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Expansão
primeira
coluna:
a c
det
=
b d
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
204 / 264
Aplicando Fórmula de Laplace em 2x2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Do mesmo modo que
para matrizes 2x2
para 3x3,
+ −
associamos sinal:
− +
Reduzimos a determinantes de matriz 1x1, que são
números.
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Expansão
primeira
coluna:
a c
det
=
b d
·
·
+a det
· d
Matriz Inversa e
Cramer
205 / 264
Aplicando Fórmula de Laplace em 2x2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Do mesmo modo que
para matrizes 2x2
para 3x3,
+ −
associamos sinal:
− +
Reduzimos a determinantes de matriz 1x1, que são
números.
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Expansão
primeira
coluna:
a c
det
=
b d
+a det d
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
206 / 264
Aplicando Fórmula de Laplace em 2x2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Do mesmo modo que
para matrizes 2x2
para 3x3,
+ −
associamos sinal:
− +
Reduzimos a determinantes de matriz 1x1, que são
números.
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Expansão
primeira
coluna:
a c
det
=
b d
· c
+a det d −b det
·
·
Matriz Inversa e
Cramer
207 / 264
Aplicando Fórmula de Laplace em 2x2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Do mesmo modo que
para matrizes 2x2
para 3x3,
+ −
associamos sinal:
− +
Reduzimos a determinantes de matriz 1x1, que são
números.
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Expansão
primeira
coluna:
a c
det
=
b d
+a det d
−b det c
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
208 / 264
Aplicando Fórmula de Laplace em 2x2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Do mesmo modo que
para matrizes 2x2
para 3x3,
+ −
associamos sinal:
− +
Reduzimos a determinantes de matriz 1x1, que são
números.
Exemplo
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Expansão
primeira
coluna:
a c
det
=
b d
+a det d
−b det c = ad − bc
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
209 / 264
Fórmula para nxn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Definição
Dado A n × n defina Aij a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida
eliminando-se i-ésima coluna e j-ésima linha de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Definição
Definimos det(A) recursivamente:
(a) det(A) = a
P11 se n = 1 (matriz 1 × 1 é um número!);
(b) det(A) = ni=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão pela i-ésima
linha.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Observação
t ), podemos expandir determinante
Como det(A) = det(AP
por coluna: det(A) = nj=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão pela
j-ésima coluna)
210 / 264
Fórmula para nxn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Definição
Dado A n × n defina Aij a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida
eliminando-se i-ésima coluna e j-ésima linha de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Definição
Definimos det(A) recursivamente:
(a) det(A) = P
a11 se n = 1 (matriz 1 × 1 é um número!);
(b) det(A) = ni=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão pela i-ésima
linha.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Observação
t ), podemos expandir determinante
Como det(A) = det(AP
por coluna: det(A) = nj=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão pela
j-ésima coluna)
211 / 264
Fórmula para nxn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Definição
Dado A n × n defina Aij a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida
eliminando-se i-ésima coluna e j-ésima linha de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Definição
Definimos det(A) recursivamente:
(a) det(A) = a
P11 se n = 1 (matriz 1 × 1 é um número!);
(b) det(A) = ni=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão pela i-ésima
linha.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Observação
t ), podemos expandir determinante
Como det(A) = det(AP
por coluna: det(A) = nj=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão pela
j-ésima coluna)
212 / 264
Fórmula para nxn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Definição
Dado A n × n defina Aij a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida
eliminando-se i-ésima coluna e j-ésima linha de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Definição
Definimos det(A) recursivamente:
(a) det(A) = a
P11 se n = 1 (matriz 1 × 1 é um número!);
(b) det(A) = ni=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão pela i-ésima
linha.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Observação
t ), podemos expandir determinante
Como det(A) = det(AP
por coluna: det(A) = nj=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão pela
j-ésima coluna)
213 / 264
Fórmula para nxn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Definição
Dado A n × n defina Aij a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida
eliminando-se i-ésima coluna e j-ésima linha de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Definição
Definimos det(A) recursivamente:
(a) det(A) = a
P11 se n = 1 (matriz 1 × 1 é um número!);
(b) det(A) = ni=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão pela i-ésima
linha.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Observação
t ), podemos expandir determinante
Como det(A) = det(AP
por coluna: det(A) = nj=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão pela
j-ésima coluna)
214 / 264
Fórmula para nxn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Definição
Dado A n × n defina Aij a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida
eliminando-se i-ésima coluna e j-ésima linha de A.
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Definição
Definimos det(A) recursivamente:
(a) det(A) = a
P11 se n = 1 (matriz 1 × 1 é um número!);
(b) det(A) = ni=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão pela i-ésima
linha.
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Observação
t ), podemos expandir determinante
Como det(A) = det(AP
por coluna: det(A) = nj=1 (−1)i+j det(Aij ) (expansão pela
j-ésima coluna)
215 / 264
Exemplos nxn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo

2 1
 0 3
det 
 0 0
0 0
3
1
4
0

4
2 
 (Faça expansão pela primeira coluna e
1  depois pela segunda coluna).
5
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo


4 11 −7 −1 −3
 −2
2
1
0
3 


 2

7
0
0
−2


 0
3
0
0
0 
3 −1
6
0
5
(Escolha linha ou coluna que
minimizará contas!)
216 / 264
Exemplos nxn
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Exemplo

2 1
 0 3
det 
 0 0
0 0
3
1
4
0

4
2 
 (Faça expansão pela primeira coluna e
1  depois pela segunda coluna).
5
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
Exemplo


4 11 −7 −1 −3
 −2
2
1
0
3 


 2

7
0
0
−2


 0
3
0
0
0 
3 −1
6
0
5
(Escolha linha ou coluna que
minimizará contas!)
217 / 264
Resumo
Determinante
V0.84 →
V0.85
1
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
2
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
3
Equivalência
Propriedades
4
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
5
Motivação Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas Propriedades
Definição Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e Cramer
218 / 264
Sistemas e Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Seja A matriz quadrada. Quando Av = b tem solução?
se det(A) 6= 0, A possui inversa e portanto existe uma
única solução v = A−1 b;
se b = 0 e det(A) 6= 0, a única solução será v = 0;
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
se det(A) = 0 podemos garantir que o sistema
homogêneo Av = 0 possui solução v 6= 0, isto é,
possuirá solução não-trivial (solução diferente de zero).
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
219 / 264
Sistemas e Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Seja A matriz quadrada. Quando Av = b tem solução?
se det(A) 6= 0, A possui inversa e portanto existe uma
única solução v = A−1 b;
se b = 0 e det(A) 6= 0, a única solução será v = 0;
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
se det(A) = 0 podemos garantir que o sistema
homogêneo Av = 0 possui solução v 6= 0, isto é,
possuirá solução não-trivial (solução diferente de zero).
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
220 / 264
Sistemas e Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Seja A matriz quadrada. Quando Av = b tem solução?
se det(A) 6= 0, A possui inversa e portanto existe uma
única solução v = A−1 b;
se b = 0 e det(A) 6= 0, a única solução será v = 0;
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
se det(A) = 0 podemos garantir que o sistema
homogêneo Av = 0 possui solução v 6= 0, isto é,
possuirá solução não-trivial (solução diferente de zero).
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
221 / 264
Sistemas e Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Seja A matriz quadrada. Quando Av = b tem solução?
se det(A) 6= 0, A possui inversa e portanto existe uma
única solução v = A−1 b;
se b = 0 e det(A) 6= 0, a única solução será v = 0;
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
se det(A) = 0 podemos garantir que o sistema
homogêneo Av = 0 possui solução v 6= 0, isto é,
possuirá solução não-trivial (solução diferente de zero).
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
222 / 264
Sistemas e Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Concluímos que:
Teorema
Se A é matriz quadrada, são equivalentes:
1
o sistema homogêneo Av = 0 possui solução diferente
de zero;
2
A não possui inversa;
3
det(A) = 0.
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
223 / 264
Sistemas e Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Concluímos que:
Teorema
Se A é matriz quadrada, são equivalentes:
1
o sistema homogêneo Av = 0 possui solução diferente
de zero;
2
A não possui inversa;
3
det(A) = 0.
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
224 / 264
Sistemas e Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Concluímos que:
Teorema
Se A é matriz quadrada, são equivalentes:
1
o sistema homogêneo Av = 0 possui solução diferente
de zero;
2
A não possui inversa;
3
det(A) = 0.
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
225 / 264
Sistemas e Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Concluímos que:
Teorema
Se A é matriz quadrada, são equivalentes:
1
o sistema homogêneo Av = 0 possui solução diferente
de zero;
2
A não possui inversa;
3
det(A) = 0.
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
226 / 264
Resumo
Determinante
V0.84 →
V0.85
1
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
2
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
3
Equivalência
Propriedades
4
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
5
Motivação Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas Propriedades
Definição Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e Cramer
227 / 264
Mudança de Área e Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Seja T : Rn → Rn uma transformação linear e Ω ⊂ Rn
um conjunto qualquer.
Qual a relação entre volume de Ω e volume de T (Ω)?
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
228 / 264
Mudança de Área e Determinante
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Seja T : Rn → Rn uma transformação linear e Ω ⊂ Rn
um conjunto qualquer.
Qual a relação entre volume de Ω e volume de T (Ω)?
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
229 / 264
Relação Determinante e Mudança de Área
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
Teorema
Volume de T (Ω) é igual ao volume de Ω vezes | det(T )|.
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Prova
Divida Ω em cubos n-dimensionais Ui disjuntos de modo
que sua união aproxime a região Ω (vide ilustração abaixo
para duas dimensões). Cada cubo terá seu volume afetado
por T por volume T (Ui ) = volume Ui · | det(T )|. Somando
todos os cubos....
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
230 / 264
Relação Determinante e Mudança de Área
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
Teorema
Volume de T (Ω) é igual ao volume de Ω vezes | det(T )|.
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Prova
Divida Ω em cubos n-dimensionais Ui disjuntos de modo
que sua união aproxime a região Ω (vide ilustração abaixo
para duas dimensões). Cada cubo terá seu volume afetado
por T por volume T (Ui ) = volume Ui · | det(T )|. Somando
todos os cubos....
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
231 / 264
Resumo
Determinante
V0.84 →
V0.85
1
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
2
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
3
Equivalência
Propriedades
4
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
5
Motivação Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas Propriedades
Definição Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e Cramer
232 / 264
introdução
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
propriedades do determinante =⇒ fórmula explicita de
solução de sistemas (regra de Cramer);
Mas, fórmula é computacionalmente ineficiente;
Definição
Equivalência
Propriedades
Em aplicações utiliza-se a eliminação de Gauss ou
outros métodos mais sofisticados.
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
233 / 264
introdução
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
propriedades do determinante =⇒ fórmula explicita de
solução de sistemas (regra de Cramer);
Mas, fórmula é computacionalmente ineficiente;
Definição
Equivalência
Propriedades
Em aplicações utiliza-se a eliminação de Gauss ou
outros métodos mais sofisticados.
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
234 / 264
introdução
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
propriedades do determinante =⇒ fórmula explicita de
solução de sistemas (regra de Cramer);
Mas, fórmula é computacionalmente ineficiente;
Definição
Equivalência
Propriedades
Em aplicações utiliza-se a eliminação de Gauss ou
outros métodos mais sofisticados.
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
235 / 264
Regra de Cramer: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Seja
. . ., xn solução do sistema
 x1 , 


x1
x1


 
A  ...  = v1 · · · vn  ...  = b.
xn
xn
x1 v1 + · · · + xn vn = b.
Determinamos x1 passando b para outro lado:
1 · (x1 v1 − b) + x2 v2 + · · · + xn vn = 0.
Se solução (x1 , . . . , xn ) não-nula =⇒ vetores
(x1 v1 − b), v2 , . . . , vn são LD.
det (x1 v1 − b) v2 . . . vn = 0.
Matriz Inversa e
Cramer
236 / 264
Regra de Cramer: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Seja
. . ., xn solução do sistema
 x1 , 


x1
x1


 
A  ...  = v1 · · · vn  ...  = b.
xn
xn
x1 v1 + · · · + xn vn = b.
Determinamos x1 passando b para outro lado:
1 · (x1 v1 − b) + x2 v2 + · · · + xn vn = 0.
Se solução (x1 , . . . , xn ) não-nula =⇒ vetores
(x1 v1 − b), v2 , . . . , vn são LD.
det (x1 v1 − b) v2 . . . vn = 0.
Matriz Inversa e
Cramer
237 / 264
Regra de Cramer: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Seja
. . ., xn solução do sistema
 x1 , 


x1
x1


 
A  ...  = v1 · · · vn  ...  = b.
xn
xn
x1 v1 + · · · + xn vn = b.
Determinamos x1 passando b para outro lado:
1 · (x1 v1 − b) + x2 v2 + · · · + xn vn = 0.
Se solução (x1 , . . . , xn ) não-nula =⇒ vetores
(x1 v1 − b), v2 , . . . , vn são LD.
det (x1 v1 − b) v2 . . . vn = 0.
Matriz Inversa e
Cramer
238 / 264
Regra de Cramer: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Seja
. . ., xn solução do sistema
 x1 , 


x1
x1


 
A  ...  = v1 · · · vn  ...  = b.
xn
xn
x1 v1 + · · · + xn vn = b.
Determinamos x1 passando b para outro lado:
1 · (x1 v1 − b) + x2 v2 + · · · + xn vn = 0.
Se solução (x1 , . . . , xn ) não-nula =⇒ vetores
(x1 v1 − b), v2 , . . . , vn são LD.
det (x1 v1 − b) v2 . . . vn = 0.
Matriz Inversa e
Cramer
239 / 264
Regra de Cramer: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Seja
. . ., xn solução do sistema
 x1 , 


x1
x1


 
A  ...  = v1 · · · vn  ...  = b.
xn
xn
x1 v1 + · · · + xn vn = b.
Determinamos x1 passando b para outro lado:
1 · (x1 v1 − b) + x2 v2 + · · · + xn vn = 0.
Se solução (x1 , . . . , xn ) não-nula =⇒ vetores
(x1 v1 − b), v2 , . . . , vn são LD.
det (x1 v1 − b) v2 . . . vn = 0.
Matriz Inversa e
Cramer
240 / 264
Regra de Cramer: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Seja
. . ., xn solução do sistema
 x1 , 


x1
x1


 
A  ...  = v1 · · · vn  ...  = b.
xn
xn
x1 v1 + · · · + xn vn = b.
Determinamos x1 passando b para outro lado:
1 · (x1 v1 − b) + x2 v2 + · · · + xn vn = 0.
Se solução (x1 , . . . , xn ) não-nula =⇒ vetores
(x1 v1 − b), v2 , . . . , vn são LD.
det (x1 v1 − b) v2 . . . vn = 0.
Matriz Inversa e
Cramer
241 / 264
Regra de Cramer: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
det (x1 v1 − b) v2 . . . vn = 0, linearidade
determinante
implica
x1 det v1 v2 . . . vn −det b v2 . . . vn = 0.
x1 det A = det b v2 . . . vn .
x1 = (det A)−1 det b v2 . . . vn .
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
242 / 264
Regra de Cramer: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
det (x1 v1 − b) v2 . . . vn = 0, linearidade
determinante
implica
x1 det v1 v2 . . . vn −det b v2 . . . vn = 0.
x1 det A = det b v2 . . . vn .
x1 = (det A)−1 det b v2 . . . vn .
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
243 / 264
Regra de Cramer: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
det (x1 v1 − b) v2 . . . vn = 0, linearidade
determinante
implica
x1 det v1 v2 . . . vn −det b v2 . . . vn = 0.
x1 det A = det b v2 . . . vn .
x1 = (det A)−1 det b v2 . . . vn .
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
244 / 264
Regra de Cramer: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
det (x1 v1 − b) v2 . . . vn = 0, linearidade
determinante
implica
x1 det v1 v2 . . . vn −det b v2 . . . vn = 0.
v1 v2 . . . vn = x1 det A =
x1 det
det b v2 . . . vn .
x1 = (det A)−1 det b v2 . . . vn .
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
245 / 264
Regra de Cramer: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
det (x1 v1 − b) v2 . . . vn = 0, linearidade
determinante
implica
x1 det v1 v2 . . . vn −det b v2 . . . vn = 0.
x1 det A = det b v2 . . . vn .
x1 = (det A)−1 det b v2 . . . vn .
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
246 / 264
Regra de Cramer: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
det (x1 v1 − b) v2 . . . vn = 0, linearidade
determinante
implica
x1 det v1 v2 . . . vn −det b v2 . . . vn = 0.
x1 det A = det b v2 . . . vn .
x1 = (det A)−1 det b v2 . . . vn .
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
247 / 264
Regra de Cramer: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
det (x1 v1 − b) v2 . . . vn = 0, linearidade
determinante
implica
x1 det v1 v2 . . . vn −det b v2 . . . vn = 0.
x1 det A = det b v2 . . . vn .
x1 = (det A)−1 det b v2 . . . vn .
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
248 / 264
Regra de Cramer: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
De forma geral, determinamos xi passando b para o
outro lado: x1 v1 + · · · + 1 · (xi vi − b) + · · · + xn vn = 0.
São LDs v1 , . . . , vi−1 , (xi vi − b), vi+1 , . . . , vn .
det v1 . . . vi−1 (xi vi − b) vi+1 . . . vn .
linearidade do determinante implica:
Propriedades
Fórmulas
Regra de Cramer
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
xi = (det A)−1 det
v1 . . . vi−1 b vi+1 . . . vn .
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
249 / 264
Regra de Cramer: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
De forma geral, determinamos xi passando b para o
outro lado: x1 v1 + · · · + 1 · (xi vi − b) + · · · + xn vn = 0.
São LDs v1 , . . . , vi−1 , (xi vi − b), vi+1 , . . . , vn .
det v1 . . . vi−1 (xi vi − b) vi+1 . . . vn .
linearidade do determinante implica:
Propriedades
Fórmulas
Regra de Cramer
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
xi = (det A)−1 det
v1 . . . vi−1 b vi+1 . . . vn .
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
250 / 264
Regra de Cramer: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
De forma geral, determinamos xi passando b para o
outro lado: x1 v1 + · · · + 1 · (xi vi − b) + · · · + xn vn = 0.
São LDs v1 , . . . , vi−1 , (xi vi − b), vi+1 , . . . , vn .
det v1 . . . vi−1 (xi vi − b) vi+1 . . . vn .
linearidade do determinante implica:
Propriedades
Fórmulas
Regra de Cramer
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
xi = (det A)−1 det
v1 . . . vi−1 b vi+1 . . . vn .
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
251 / 264
Regra de Cramer: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
De forma geral, determinamos xi passando b para o
outro lado: x1 v1 + · · · + 1 · (xi vi − b) + · · · + xn vn = 0.
São LDs v1 , . . . , vi−1 , (xi vi − b), vi+1 , . . . , vn .
det v1 . . . vi−1 (xi vi − b) vi+1 . . . vn .
linearidade do determinante implica:
Propriedades
Fórmulas
Regra de Cramer
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
xi = (det A)−1 det
v1 . . . vi−1 b vi+1 . . . vn .
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
252 / 264
Regra de Cramer: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
De forma geral, determinamos xi passando b para o
outro lado: x1 v1 + · · · + 1 · (xi vi − b) + · · · + xn vn = 0.
São LDs v1 , . . . , vi−1 , (xi vi − b), vi+1 , . . . , vn .
det v1 . . . vi−1 (xi vi − b) vi+1 . . . vn .
linearidade do determinante implica:
Propriedades
Fórmulas
Regra de Cramer
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
xi = (det A)−1 det
v1 . . . vi−1 b vi+1 . . . vn .
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
253 / 264
Regra de Cramer: parte 3
Determinante
V0.84 →
V0.85
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
De forma geral, determinamos xi passando b para o
outro lado: x1 v1 + · · · + 1 · (xi vi − b) + · · · + xn vn = 0.
São LDs v1 , . . . , vi−1 , (xi vi − b), vi+1 , . . . , vn .
det v1 . . . vi−1 (xi vi − b) vi+1 . . . vn .
linearidade do determinante implica:
Propriedades
Fórmulas
Regra de Cramer
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
xi = (det A)−1 det
v1 . . . vi−1 b vi+1 . . . vn .
Sistemas
Mudança de Área
Matriz Inversa e
Cramer
254 / 264
Matriz Inversa: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85

x1


Defina x =  ... .
xn
A regra de cramer associa a cada b a solução x do
sistema Ax = b.

Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Como A−1 b = x, calculamos A−1 (coluna a coluna)
aplicando regra de Cramer em b = e1 , e2 , . . . , en .
Tomando b = ej calculamos j-ésima coluna de
A−1 = (cij ).
cij é i-ésima linha de A−1 ej .
Matriz Inversa e
Cramer
255 / 264
Matriz Inversa: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85

x1


Defina x =  ... .
xn
A regra de cramer associa a cada b a solução x do
sistema Ax = b.

Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Como A−1 b = x, calculamos A−1 (coluna a coluna)
aplicando regra de Cramer em b = e1 , e2 , . . . , en .
Tomando b = ej calculamos j-ésima coluna de
A−1 = (cij ).
cij é i-ésima linha de A−1 ej .
Matriz Inversa e
Cramer
256 / 264
Matriz Inversa: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85

x1


Defina x =  ... .
xn
A regra de cramer associa a cada b a solução x do
sistema Ax = b.

Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Como A−1 b = x, calculamos A−1 (coluna a coluna)
aplicando regra de Cramer em b = e1 , e2 , . . . , en .
Tomando b = ej calculamos j-ésima coluna de
A−1 = (cij ).
cij é i-ésima linha de A−1 ej .
Matriz Inversa e
Cramer
257 / 264
Matriz Inversa: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85

x1


Defina x =  ... .
xn
A regra de cramer associa a cada b a solução x do
sistema Ax = b.

Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Como A−1 b = x, calculamos A−1 (coluna a coluna)
aplicando regra de Cramer em b = e1 , e2 , . . . , en .
Tomando b = ej calculamos j-ésima coluna de
A−1 = (cij ).
cij é i-ésima linha de A−1 ej .
Matriz Inversa e
Cramer
258 / 264
Matriz Inversa: parte 1
Determinante
V0.84 →
V0.85

x1


Defina x =  ... .
xn
A regra de cramer associa a cada b a solução x do
sistema Ax = b.

Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Como A−1 b = x, calculamos A−1 (coluna a coluna)
aplicando regra de Cramer em b = e1 , e2 , . . . , en .
Tomando b = ej calculamos j-ésima coluna de
A−1 = (cij ).
cij é i-ésima linha de A−1 ej .
Matriz Inversa e
Cramer
259 / 264
Matriz Inversa: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
cij é i-ésima linha de A−1 ej .
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
cij = xi (i-ésimo elemento) da regra de Cramer com
b = ej :
cij = (det A)−1 det v1 . . . vi−1 ej vi+1 . . . vn .
Por expansão por cofatores, determinante acima será
reduzido a determinante sem j-ésima linha e i-ésima
coluna;
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Fórmula da Inversa
cij = (det A)−1 (−1)i+j det(Aji ) (note que não é Aij !).
Matriz Inversa e
Cramer
260 / 264
Matriz Inversa: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
cij é i-ésima linha de A−1 ej .
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
cij = xi (i-ésimo elemento) da regra de Cramer com
b = ej :
cij = (det A)−1 det v1 . . . vi−1 ej vi+1 . . . vn .
Por expansão por cofatores, determinante acima será
reduzido a determinante sem j-ésima linha e i-ésima
coluna;
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Fórmula da Inversa
cij = (det A)−1 (−1)i+j det(Aji ) (note que não é Aij !).
Matriz Inversa e
Cramer
261 / 264
Matriz Inversa: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
cij é i-ésima linha de A−1 ej .
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
cij = xi (i-ésimo elemento) da regra de Cramer com
b = ej :
cij = (det A)−1 det v1 . . . vi−1 ej vi+1 . . . vn .
Por expansão por cofatores, determinante acima será
reduzido a determinante sem j-ésima linha e i-ésima
coluna;
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Fórmula da Inversa
cij = (det A)−1 (−1)i+j det(Aji ) (note que não é Aij !).
Matriz Inversa e
Cramer
262 / 264
Matriz Inversa: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
cij é i-ésima linha de A−1 ej .
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
cij = xi (i-ésimo elemento) da regra de Cramer com
b = ej :
cij = (det A)−1 det v1 . . . vi−1 ej vi+1 . . . vn .
Por expansão por cofatores, determinante acima será
reduzido a determinante sem j-ésima linha e i-ésima
coluna;
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Fórmula da Inversa
cij = (det A)−1 (−1)i+j det(Aji ) (note que não é Aij !).
Matriz Inversa e
Cramer
263 / 264
Matriz Inversa: parte 2
Determinante
V0.84 →
V0.85
cij é i-ésima linha de A−1 ej .
Motivação
Geométrica
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição
Algébrica
Definição
Equivalência
Propriedades
cij = xi (i-ésimo elemento) da regra de Cramer com
b = ej :
cij = (det A)−1 det v1 . . . vi−1 ej vi+1 . . . vn .
Por expansão por cofatores, determinante acima será
reduzido a determinante sem j-ésima linha e i-ésima
coluna;
Fórmulas
Matriz 2x2
Fórmula de Laplace
Aplicações
Sistemas
Mudança de Área
Fórmula da Inversa
cij = (det A)−1 (−1)i+j det(Aji ) (note que não é Aij !).
Matriz Inversa e
Cramer
264 / 264