UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO MARINÊS YOLE

MarinêsYolePoloni
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
MARINÊS YOLE POLONI
Formação continuada de Professores de Matemática - Recursos
didáticos para o ensino de Trigonometria
SÃO PAULO
2015
1
MarinêsYolePoloni
MARINÊS YOLE POLONI
DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Formação continuada de Professores de Matemática - Recursos
didáticos para o ensino de Trigonometria
Tese apresentada à Banca Examinadora da
Universidade Bandeirante Anhanguera como
exigência parcial para a obtenção do título de
Doutora em Educação Matemática, sob a
orientação da Profª. Dra. Nielce Meneguelo Lobo
da Costa.
SÃO PAULO
2015
2
MarinêsYolePoloni
Poloni, Marinês Yole
Formação continuada de professores de matemática – recursos
didáticos para o ensino de trigonometria / Marinês Yole Poloni. -São Paulo, 2015.
283 f.: il.; 30 cm.
Tese (DOUTORADO) – Universidade Anhanguera de São
Paulo. Programa de Pós Graduação em Educação
Matemática, 2015.
Orientadora: Profa. Dra. Nielce Meneguelo Lobo da Costa
1. Tecnologias e Trigonometria 2. Formação de Professores. 3.
Ampliação de conhecimento Profissional Docente. 4. Jogos e
Trigonometria. 5. História da Matemática e Trigonometria.I. Costa,
Nielce Meneguelo Lobo. II. Universidade Anhanguera de São
Paulo III. Título
3
MarinêsYolePoloni
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução
total ou parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Local e data: ________________________________
Assinatura: _________________________________
4
MarinêsYolePoloni
Às minhas filhas
Beatriz,, Elizabeth e Lia Paula,
meus grandes amores,
toda minha admiração.
5
MarinêsYolePoloni
Sumário
Sumário ................................................................................................................. 6
Agradecimentos ....................................................................................................... 7
Resumo ................................................................................................................. 9
Abstract .............................................................................................................. 10
Résumé ................................................................................................................ 11
Apresentação ........................................................................................................ 12
1. A origem da pesquisa ............................................................................................ 16
1.1 Objetivo ..................................................................................................... 20
1.2 Delimitação da pesquisa.......................................................................... 20
1.3 Justificativa e Revisão de Literatura ...................................................... 22
1.3.1 Revisão de literatura ............................................................................. 27
2. Fundamentação teórica......................................................................................... 44
2.1 Formação continuada .............................................................................. 44
2.2 Conhecimento profissional docente....................................................... 49
2.2.1 Contribuições de Shulman: o conhecimento pedagógico do
conteúdo (PCK) .............................................................................................. 52
2.2.2 As contribuições de Ball, Thames e Phelps ....................................... 62
2.2.3 Contribuições de Mishra e Koehler: o conhecimento pedagógico
tecnológico do conteúdo (TPACK) ............................................................... 70
2.3 Mediação ................................................................................................... 80
2.3.1 Mediação e recursos para o ensino ..................................................... 84
3. Metodologia ...................................................................................................... 97
3.1 Metodologia – considerações teóricas................................................... 98
3.2 Procedimentos metodológicos ............................................................. 104
4. Análise Fase I: Pesquisa documental ...................................................................... 109
4.1 Ensino de Trigonometria em documentos oficiais .............................. 111
4.1.1 O Guia PNLD 2012 ............................................................................... 117
4.2 Recursos didáticos para o ensino ........................................................ 122
4.2.1 O recurso aos jogos ............................................................................ 122
4.2.2 O recurso à história da matemática ................................................... 124
4.2.3 O recurso às tecnologias da informação .......................................... 126
5.Descrição e análise da Fase II: Pesquisa de campo..................................................................... 134
5.1 Os sujeitos de pesquisa ........................................................................ 135
5.2 O primeiro design do processo formativo ........................................... 138
5.3 Descrição da formação .......................................................................... 143
5.4 Levantamento de categorias ................................................................. 164
5.4.1 Categoria: História da Matemática ..................................................... 166
5.4.2 Categoria: jogos .................................................................................. 177
5.4.3 Categoria: tecnologias ........................................................................ 192
5.4.4 Categoria: Investigação em sala de aula ........................................... 222
Capítulo VIII ..................................................................................................... 238
Conclusões .......................................................................................................... 238
Referências ......................................................................................................... 252
Apêndices........................................................................................................... 260
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MarinêsYolePoloni
Agradecimentos
Sinto-me com o coração leve e satisfeito por realizar este trabalho que me traz tanto
orgulho e satisfação. Dessa forma, jamais poderia deixar de compartilhar essa alegria
com sinceros agradecimentos.
À minha querida orientadora, Profª. Dra. Nielce Meneguelo Lobo da Costa, por me
aceitar e acreditar em mim desde o começo desta terceira jornada, pelo trabalho de
orientação, e pela amizade, paciência e apoio durante toda a pesquisa e a escrita desta
tese.
Ao querido Prof. Dr. Ruy Pietropaolo, por quem tenho um carinho todo especial, pelo
incentivo, apoio e acolhimento em momentos de fragilidade que fizeram parte dessa
caminhada.
Às Profª. Drª Maria Elisabette B. B. Prado, Profª. Drª Angélica da Fontoura Garcia
Silva e Profª. Drª Marlene Alves Diaspessoas especialíssimas com as quais tive enorme
prazer em conviver e que contribuíram de forma decisiva para minhas reflexões como
pesquisadora e educadora.
Às Profª. Drª Maria Helena Palma de Oliveira pela cuidadosa revisão do texto
referente à mediação que faz parte deste trabalho.
Aos Professores da banca de qualificação:Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro, Profª.
Drª Rute Elizabete de Souza Rosa Borba,Prof. Dr. Ruy Cesar Pietropaolo, Profª. Drª
Maria Elisa Esteves Lopes Galvão pelas valiosas contribuições que deram um novo
rumo a este trabalho.
Às amigas e companheiras de jornada: Profª. Ms. Laíde Ceragioli pela revisão do
résumé, Profª. Esp. Semíramis Fernandes Prado de Toledo pela revisão do abstract e
Profª. Esp. Patrícia Poloni Guimarães pela cuidadosa revisão gramatical e ortográfica.
Às amigas e colegas de trabalho Élcia da Graça Bertoni e Silva e Maria Clarice Furlan
pela paciência e apoio incondicional neste último semestre de minha caminhada.
Aos professores do Programa de Doutorado em Educação Matemática, pelas valiosas
reflexões e ensinamentos nas disciplinas cursadas.
7
MarinêsYolePoloni
Aos funcionários do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, pela
dedicação e gentileza no desempenho de suas funções.
Aos Prof. Mr. Rodrigo Pupo e Profª. Georgina Guerrini,amigos e educadores dedicados
com quem tenhoenorme prazer em conviver .
À coordenação de aperfeiçoamento de pessoal de nível superior (CAPES) pela bolsa
concedida dentro do Programa Observatório da Educação.
À Universidade Anhanguera, pela bolsa tutor sem a qual a presente pesquisa não teria
se concretizado.
A meus pais Pasquale e Paola, pela constante cumplicidade, por acreditarem em mim,
pelo incentivo ao trabalho e por estarem presentes ao lado de minhas filhas
amparando-as e amando-as durante minhas inúmeras ausências.
A Deus, pela oportunidade que me foi concedida de viver e lutar dignamente pelos
meus ideais.
8
MarinêsYolePoloni
Resumo
O objetivo desta pesquisa foi analisar um processo de formação continuada
com foco na exploração e discussão de recursos para a docência em
Trigonometria no Ensino Médio, de modo a auxiliar na ampliação do
conhecimento profissional docente. A formação empreendida contou com o uso
dos recursos para o ensino da Matemática descritos nos Parâmetros
Curriculares Nacionais - quais sejam: história da matemática, uso de jogos e de
tecnologias, tanto analógicas quanto digitais. A fundamentação teórica foi
construída a partir dos conceitos de conhecimento profissional na acepção de
Shulman, de conhecimentos matemáticos para o ensino descritos por Ball et
al e do conhecimento tecnológico segundo o modelo de Mishra e Koehler.
Trata-se de uma pesquisa de caráter qualitativo, com a metodologia de DesignBased Research que se propôs a responder à seguinte questão: Em que
aspectos uma formação continuada centrada na problematização com o uso de
recursos didáticos para o trabalho docente (história da matemática, uso de
jogos e de tecnologias) pode auxiliar a ampliação do conhecimento profissional
docente? A formação foi empreendida em São Paulo e composta por encontros
quinzenais com sete sujeitos de pesquisa, durante um semestre letivo. A coleta
de dados foi feita por observação direta, gravação dos encontros, aplicação de
questionários e entrevistas semiestruturadas, além dos materiais e registros
produzidos por eles. Utilizou-se a análise interpretativa por triangulação de
dados e os resultados obtidospermitiram elencar os aspectos da formação que
favoreceram a ampliação do conhecimento profissional docente, quais sejam: o
desenho não tradicional da formação; a atitude profissional madura dos sujeitos
de pesquisa; o conteúdo matemático que lhesinteressava; a mediação
e a intenção de problematizar das formadoras além das mediações dos
recursos para o ensino utilizados durante a formação. Os resultados indicaram
que a formação continuada sobre o tema Trigonometria subsidiada pelo uso de
recursos para o ensino de Matemática auxiliou a ampliação de conhecimento
profissional docente dos sujeitos. As atividades que envolveram diferentes
recursos para o ensino provocaram discussões que desencadearam reflexões
a respeito das práticas de sala de aula, das mediações feitas pelos professores
e do próprio conteúdo matemático. A pesquisa revelou que esse tipo de
formação continuada pode ser uma alternativa para contemplar necessidades
dos professores do Ensino Médio para o ensino de Trigonometria.
Palavras-chave: Formação de Professores. Ampliação de conhecimento
profissional docente. Jogos e Trigonometria. História da matemática e
Trigonometria. Tecnologias e Trigonometria.
9
MarinêsYolePoloni
Abstract
The objective of this research is to analyze a process of continuing education
which focused on exploration and resource discussion for teaching in
trigonometry in High School, in order to assist in the expansion of teacher
professional knowledge. The training undertaken included the use of resources
for the teaching of mathematics described in the PCN (1998) which are: history
of mathematics, use of games and both analog and digital technologies. The
theoretical foundation was built from the professional knowledge of concepts
within the meaning of Shulman, mathematical knowledge for teaching described
by Ball et al and technological knowledge along the lines of Mishra and Koehler.
It is a qualitative research, with the methodology of Design-Based Research
that aimed to answer the question: In what ways continued training focused on
questioning with the use of teaching resources for teaching (history of
mathematics, use of games and technologies) can assist the expansion of
teacher professional knowledge? The training was undertaken on the ‗Diretoria
Norte 2‘ in São Paulo and had seven research subjects who met every two
weeks during one semester. Data collection was done by direct observation,
recording of meetings, questionnaires and semi-structured interviews, in
addition to materials and records produced by them. We used the interpretive
analysis by triangulation of data and we could list the aspects of training that
favored the expansion of teacher professional knowledge: the nontraditional
design training; mature professional attitude of research subjects; the
mathematical content that interested the research subjects; mediation and
intend to discuss the forming beyond the mediations and resources for teaching
used during training. The results indicated that continuing education on the
subject Trigonometry subsidized by the use of resources for teaching
mathematics can assist the expansion of teacher professional knowledge. The
activities involving different resources for teaching provoked discussions that
caused thoughts about the classroom practices, mediations made by teachers
and own mathematical content. The research revealed that this kind of
continuing education can be an alternative to consider needs of High School
teachers for teaching Trigonometry.
Keywords: Teacher Education. Teaching professional knowledge expansion.
Games and Trigonometry. History of mathematics and Trigonometry.
Technologies and Trigonometry.
10
MarinêsYolePoloni
Résumé
L‘objectif de cette recherche est d‘analyser un processus de formation continue
centré dans l‘exploration et discussion à propos des ressources pour
l‘enseignement de la trigonométrie au sein de l‘enseignement secondaire, de
façon à aider dans l‘élargissement des connaissances professionnelles du
corps enseignant. La formation entreprise a compté sur l‘utilisation de certaines
ressources pour l‘enseignement de la mathématique décrites dans les PCN
(1988), à savoir : l‘histoire de la mathématique, l‘utilisation de jeux et de
technologies analogiques et numériques. Le fondement théorique a été
construit sur des concepts des connaissances professionnelles dans l‘acception
de Schulman, des connaissances mathématiques pour l‘enseignement décrites
par Ball et autres ainsi que des connaissances technologiques selon le modèle
de Mishra et Koehler. Il s‘agit d‘une recherche de caractère qualitatif, avec la
méthodologie de Design-Based Research qui s‘est proposée à répondre la
question suivante : Sous quels aspects une formation continue centré sur la
problématisation avec l‘emploi de ressources didactiques pour le travail du
corps enseignant (histoire de la mathématique, utilisation de jeux et de
technologies) peut-elle contribuer à l‘élargissement des connaissances
professionnelles du corps enseignant ? La formation a été mise en place dans
la Direction Nord 2 à São Paulo et a compté sur sept sujets de recherche qui
se sont rencontrés tous les quinze jours pendant un semestre scolaire. La
récolte de donnés a été faite par l‘observation directe, par l‘enregistrement des
rencontres, par l‘application de questionnaires, par des entretiens semistructurés ainsi que par le matériel et registres produits par ces sujets. En
utilisant nous avons pu répertorier les aspects de la formation qui ont favorisé
l‘élargissement des connaissances professionnelles du corps enseignant : le
plan non traditionnel de la formation ; l‘attitude professionnelle mûre des sujets
de la recherche ; le contenu mathématique porteur d‘intérêt aux sujets de
recherche ; la médiation et l‘intention de problématiser de la part des
formatrices en plus des médiations et des ressources pour l‘enseignement
pendant la formation. Les résultats ont indiqué que la formation continue sur le
thème de la trigonométrie soutenue par l‘utilisation de ressources pour
l‘enseignement de la
mathématique peut aider à élargissement des
connaissances professionnelles du corps enseignant. Les activités qui ont
impliqué plusieurs ressources pour l‘enseignement ont entamé des discussions
qui ont déclenché des réflexions à propos des pratiques en salle de classe, des
médiations faites par les professeurs et du contenu mathématique même. La
recherche a révélé que ce genre de formation continue peut être une alternative
pour répondre aux besoins des professeurs de l‘enseignement secondaire pour
l‘enseignement de la trigonométrie.
Mots-clés : Formation de professeurs. Élargissement des connaissances
professionnelles du corps enseignant. Jeux et trigonométrie. Histoire de la
mathématique et de la trigonométrie. Technologies et trigonométrie.
11
MarinêsYolePoloni
Apresentação
Como professora de Matemática atuante há mais de vinte e cinco anos
nos Ensinos Fundamental, Médio e Superior, no estado de São Paulo, venho
percebendo a presença de dúvidas conceituais num grande número de alunos
destes três níveis de ensino com os quais tenho contato.
Concomitantemente
ao
meu
mestrado
em
Matemática
Pura 1,
trabalheitanto com a formação de professoras para atuarem no Curso
Primário2quanto com alunos do Segundo Grau3 e pude perceber a grande
dificuldade dos estudantes de ambos os cursos em aprender alguns ramos da
Matemática dos quais destaco a Trigonometria.
No curso de Magistério4, como formadora de professoras para o Curso
Primário, procurei desenvolver em minhas alunas habilidadese competências
que as fizessem suprir as lacunas referentes tanto ao conhecimento do
conteúdo matemático em si quanto à forma de ensinar tal disciplina para
crianças numa determinada faixa etária. Elas desenvolviam pesquisas sobre os
conteúdos matemáticos que futuramente ensinariam a seus alunos. Cada aluna
expunha o conteúdo pesquisadosob forma de seminário, elaborando uma
prova e aplicando-a, em seguida, às colegas. Essas provas não eram o meu
instrumento de avaliação, mas procuravam levantar uma reflexão conjunta de
modo que essas futuras professoras soubessem como e o que avaliar, uma
vez que as questões eram posteriormente discutidas com a turma toda.
As discussões sobre a avaliação, geralmente, traziam à tona novas
dúvidas sobre o conhecimento do conteúdo as quais eram esclarecidas pela
aluna que havia feito a pesquisa ou por mim, em última instância. Antes da
apresentação dos seminários, algumas aulas eram utilizadas para a confecção
de materiais didáticos forçando-as a quebrarem o paradigma de aulas
tradicionais com giz e quadro negro.
1
Mestrado que ficou inconcluso por entender que minha intenção como pesquisadora ligava-se à
formação matemática dos cidadãos, questões, portanto, distintas das que estava tratando na época.
2
Curso Primário era a denominação dada ao que hoje chamamos de anos iniciais do Ensino
Fundamental.
3
Segundo Grau era a denominação dada ao que hoje é chamado de Ensino Médio.
4
Curso de segundo grau que habilitava as alunas a serem professoras para atuação nos Cursos Primário
e Pré escolar.
12
MarinêsYolePoloni
Hoje, no ensino superior, como professora de Didática da Matemática,
entre outras disciplinas, procuro trazer para os futuros professores, atividades
nas quais os conceitos matemáticos sejam trabalhados com materiais e
recursos diversos.
Por meio da interação com meus alunos, futuros colegas, posso
observar o caminho que trilham em direção à formação do conhecimento
profissional.
Relato tais fatos no sentido de evidenciar meu interesse pelo
conhecimento profissional do professor. Este interesse, que vem de longa data,
desde a formação das professoras do curso de Magistério, motivou o estudo
que aqui se encontra.
Esta investigação se insere na linha de pesquisa ―Formação de
Professores‖ do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
Universidade Anhanguera de São Paulo erealizou-se no Projeto do Programa
Observatório
da
Educação5que
é
financiado
pela
Coordenação
de
Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior –CAPES6.
A pesquisa teve como objetivo analisar um processo de formação
continuada cujo foco foi a exploração e discussão de recursos para a prática do
ensino
de
Trigonometria
no
Ensino
Médio,
de
modo
a
auxiliar
o
desenvolvimento profissional docente.
A fim de alcançar esse objetivo, as ações foram guiadas pela seguinte
questão de pesquisa: Em que aspectos uma formação continuada centrada na
problematização com o uso de recursos didáticos para o trabalho docente
(história da matemática, uso de jogos e de tecnologias) pode auxiliar
aampliação do conhecimento profissional docente?
Para a realização dessa investigação, construímos uma experiência
formativa com o uso dos recursos descritos acima,no Projeto que aqui é
referido como―Observatório da Educação‖. Essa experiência formativa foi
desenvolvida por duas7 formadoras da Universidade e aplicada a um grupo de
professores da rede estadual de São Paulo.
5
Programa Observatório da Educação - é um Programa de fomento que visa ao desenvolvimento de
estudos e pesquisas na área de educação. Tem como objetivo estimular o crescimento da produção
acadêmica e a formação de recursos humanos pós-graduados, nos níveis de mestrado e doutorado por
meio de financiamento específico.
6
Projeto 3314 do Programa Observatório da Educação (CNPq/ INEP/SECAD)
7
As duas formadoras são a pesquisadora e sua orientadora.
13
MarinêsYolePoloni
As atividades propostas para os encontros envolveram tópicos de
Trigonometria e recursos didáticos para o ensino de Matemática descritos nos
Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN8, quais sejam: história da
matemática, uso de jogos e de tecnologias.
Este texto está dividido em capítulos que serão brevemente descritos a
seguir: no Capítulo 1, retomamos brevemente a trajetória da pesquisadora no
momento em que os questionamentos a respeito do ensino de Trigonometria
se faziam presentes passando pela sua pesquisa de mestrado que ofereceu
um dos recursos, no caso o das tecnologias digitais, como um caminho que se
revelou relevante para o ensino de Geometria. Esse resultado fez florescer a
ideia de que a tecnologia e outros recursos poderiam ser usados no ensino de
Trigonometria. Ainda nesse capítulo, proporcionamos uma visão inicial da
pesquisa destacando as justificativas para a escolha do tema, a definição e a
delimitação do problema, a questão norteadora, os objetivos e a revisão da
literatura.
No Capítulo 2, apresentamoso aporte teórico no qual esta pesquisa se
apóia. Tal
fundamentação
conhecimento
profissional
foi construída
de
a partir dos conceitos de
Shulman
(1986;
1987),
dos
conhecimentosnecessários para a docência em Matemática de Ball, Thames e
Phelps (2007, 2008) e no conhecimento pedagógico tecnológico do conteúdo
deMishra e Koehler (2006) e Koehler e Mishra (2009).
No Capítulo 3, descrevemos os pressupostos e os procedimentos
metodológicos
para
o
desenvolvimento
da
investigação.
Inicialmente,
apresentamos a fundamentação da metodologia adotada, no caso oDesignBasedResearch (Cobb, 2003) e, em seguida, retomamos a questão que
delineou as ações do processo de investigação. Descrevemos também as
etapas, as técnicas e os instrumentos para coleta de dados além dos
procedimentos adotados para sua análise.
No Capítulo 4, descrevemos e analisamos a primeira fase da pesquisa.
Tal fase foi documental e a análise dos documentos pesquisados subsidiou a
criação do primeiro design da formação.
8
Parâmetros curriculares nacionais matemática/ Secretaria da Educação Fundamental- Brasília: MEC,
1998.
14
MarinêsYolePoloni
No Capítulo 5, apresentamose analisamos a segunda fase da pesquisa,
ou seja, a formação propriamente dita, o cenário onde ocorreram os encontros
de formação com os professores fazendo alusão à organização física, aos
sujeitos de pesquisa e, em seguida, ao primeiro design da formação e a seus
redesigns.Descrevemos também o planejamento das ações para a pesquisa de
campo e detalhamos cada atividade planejada para o grupo de estudos,
apresentando os conteúdos trigonométricos trabalhados e os recursos
utilizados em cada encontro.
Além disso, apresentamos a análise interpretativa do processo formativo
vivido pelossujeitos, ao longo desteestudo, separados por categoria, tomando
como referência a questão de pesquisa e a base teórica.
No Capítulo 6, trazemos as reflexões finais, conclusões e sugestões
para futuras investigações.
Finalmente, nos apêndices e anexos, disponibilizamos os arquivos
utilizados pela pesquisadora e os materiais produzidos pelos professores
participantes.
15
MarinêsYolePoloni
Capítulo I
1. A origem da pesquisa
Em minha pesquisa de mestrado intitulada ―Formação do professor do
Ensino Fundamental – Ciclo I: Uma investigação com o uso de geometria
dinâmica para a (re)construção de conceitos geométricos”, investiguei fatores
que contribuíssem para a (re)construção de conceitos geométricos e o uso de
geometria dinâmica, como recurso, foi fundamental para que houvesse a
(re)construção de conceitos geométricos por parte das professoras que eram
sujeitos de pesquisa. Esse resultado me fez crer que outros recursos poderiam
ser importantes para que houvesse aprendizagem com significado, por parte
dos alunos, de outros objetos de estudo dentro da Matemática. Entendo que a
adesão de novos recursos para o ensino passa pela formação continuada do
professor, o que mostra minha tendência em pesquisar a eficácia do uso de
recursos para o ensino de Matemática. Ao mesmo tempo, o tema Tópicos de
Trigonometria vinha sendo uma demanda do grupo de professoresdo Projeto
Observatório. Tais demandasvinham sendo observadas durante os cursos que
antecederam o meu(―Tópicos de Trigonometria‖) e vieram ao encontro de meus
anseios de pesquisa. Esses anseios tiveram origem em inquietações que me
incomodaramdurante minha vida profissional quanto ao ensino e aprendizagem
de Trigonometria. Minhas observações a respeito das práticas pedagógicas de
meus colegas de trabalhoe a lembrança das práticas pedagógicas de meus
antigos professores do curso Colegial9 e das minhas próprias práticas que
insistiam em espelhar a de meus professores causaram o incômodo e as
inquietações descritas acima. Nesses anos, durante meu trabalho como
professora, pude perceber: (i) que não são poucos os professores de
Matemática que resumem a Trigonometria a um conjunto de fórmulas que
precisam ser memorizadas para posterior aplicação em exercícios do livro
adotado; (ii) que, numa considerável quantidade de livros didáticos, para o
tema Trigonometria, existem poucas atividades práticas, ou seja, há uma
9
Colegial era o nome dado ao atual Ensino Médio.
16
MarinêsYolePoloni
prevalência na resolução de exercícios que envolvem memorização de
fórmulas; (iii) que os alunos que cursam o 3º ano do Ensino Médio sentem
dificuldades na compreensão da potenciação e radiciação de números
complexos os quais envolvem conceitos trigonométricos básicos estudados
em anos anteriores;
e (iv) que existem
poucos estudos acadêmicos
apresentando, ao mesmo tempo, a Trigonometria como pano de fundo, o
professor de Matemática como sujeito de pesquisa tendo o foco no
conhecimento profissional desse professor.
Para este estudo, partimos de dois pressupostos: (I)a formação
continuada, centrada na problematização, pode apresentar possibilidades
didáticas
que
ampliem
o
conhecimento
profissional
dos
professores
participantes e (II) os recursos indicados pelos PCN10 (1997) de Matemática
para o Ensino Fundamental, apesar de estarem focados nesse segmento,
podem auxiliar os professores do Ensino Médio a desenvolverem estratégias
para levar seus alunos a darem significado ao estudo da Trigonometria
rompendo com as metodologias tradicionalistas.
Neste trabalho, entendemos que o ato de solucionar problemas baseiase, segundo Pozo e Echeverria (1988), na apresentação de situações abertas e
sugestivas que exijam dos aprendizes uma atitude ativa ou um esforço na
busca de suas próprias respostas e de seu próprio conhecimento. Segundo os
autores, o ensino baseado na solução de problemas ―pressupõe promover nos
alunos o
domínio
de
procedimentos, assim
como
a
utilização
dos
conhecimentos disponíveis, para dar resposta a situações variáveis e
diferentes‖. (POZO e ECHEVERRIA, 1988, p. 09). Dessa forma, o ensino por
meio de problematizações pode desenvolver nos alunos a capacidade de
aprender a aprender dando-lhes condições de encontrarem, por si próprios,
tanto respostas de questões escolares quanto respostas da vida cotidiana sem
esperar que alguém (pais, professores ou livros) responda por eles. Ainda
segundo os autores é necessário criar nos estudantes―o hábito e a atitude de
enfrentar a aprendizagem como um problema para o qual deve ser encontrada
uma resposta". (POZO e ECHEVERRÍA, 1988, p. 14).
10
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, Ministério da Educação e do Desporto,
Brasília: MEC/SEF, 1997.
17
MarinêsYolePoloni
Em Pozo (1998), Echeverriaanalisa positivamente a utilização de
resolução de problemas.
―... em função dos seus valores formadores do desenvolvimento de
estratégias de pensamento e raciocínio... a complexidade do mundo
atual faz com que esse tipo de conhecimento seja uma ferramenta
muito útil para analisar certas tarefas mais ou menos cotidianas como,
por exemplo pedir um empréstimo, analisar os resultados eleitorais,
jogar na Loteria Esportiva ou tomar decisões no âmbito do consumo
diário.‖(POZO, 1998, p.45)
Em relação aos recursos para o ensino entendemos que eles devem ser
utilizados com a intencionalidade problematizadora. Tais recursos, vão muito
além de um conjunto de métodos e materiais que podem ser manipulados pelo
aluno a fim de ajudá-lo a dar significado ao objeto de estudo.
Para Alder (2000), os recursos didáticos para ensino subdividem-se em
materiais, humanos e socioculturais. Os recursos materiais referem-se aos
elementos ou objetos que servem para auxiliar os processos de ensino e de
aprendizagem podendo ser objetos do cotidiano do aluno ou objetos próprios
para o ensino de matemática;os recursos humanos são aqueles diretamente
ligados ao profissional que ensina matemática, ou seja, o professor e suas
práticas educativas, por último, os recursos socioculturais são os criados
culturalmente tais como a linguagem e o tempo.
Segundo Alder (2000), professores de que trabalham em realidades
diferentes quase sempre atribuem as dificuldades do ensino de Matemática à
falta de recursos, mas os professores não reconhecem que sua pessoa e seu
trabalho como mediador dos conhecimentos constituem-se em importantes
recursos. Segundo a autora, esses últimos são recursos humanos e
socioculturais importantes que são deixados num segundo plano pelos
professores.
A autora chama a atenção também para os cursos de formação
continuada de professores que devem enfatizar a utilização de recursos
didáticos discutindo suas especificidadestanto culturais quanto temporais e
espaciais de cada realidade na qual são utilizados. Dessa forma, faz-se
necessário ampliar o conceito do termo―recursos didáticos‖, ou seja, deve-se
entender que estes vão além dos objetos materiais abrangendo também os
recursos humanos e culturais. Além disso, os recursos materiais, ou seja,
18
MarinêsYolePoloni
objetos criados para o ensino de Matemática também são recursos
socioculturais.
Nesta tese, consideramos os três tipos de recursos para o ensino de
Matemática descritos por Alder (2000).Os recursos humanos são analisados
mediante o conhecimento profissional do professor, que é individual e muito
particular. Os recursos materiais, que também consideramos como recursos
socioculturais, escolhidos para este estudo são prioritariamente aqueles
abordados nos PCN (1998) de Matemática, quais sejam: o recurso aos jogos, o
recurso à história da Matemática e o recurso ao uso de tecnologias digitais.
Consideramos que os três recursos citados são imbuídos de problematizações,
entretanto, durante a formação, foram feitas atividades nas quais os sujeitos
fizeram uso de outros recursos materiais (Alder, 2000) que não estão
explicitamente citados nos PCN.
Neste estudo, o componente matemático escolhido para que fossem
inseridos tais recursos foi a Trigonometria, que normalmente é abordada no
currículo do Ensino Médio. Ao estudar esse tema,entendemosque os alunos
devam adquirir a habilidade de explorar o ciclo trigonométrico, elaborar e
experimentar conjecturas, reconhecer fenômenos periódicos e funções
trigonométricas e resolver problemas. Entretanto, esse tipo de habilidade
parece não acontecer de forma tão natural para os estudantes. Nesse sentido,
a escolha pelo uso dos recursos para o Ensino de Matemática (PCN,
1998)pode fazer com que os alunos tenham uma visão mais ampliada dos
conceitos e que a aprendizagem de fato aconteça.
Quanto ao ensino da Matemática, os PCN (1997) indicam que além da
dimensão de conceitos ou procedimentos ele se centre no desenvolvimento de
atitudes, tais como levantar hipóteses, argumentar, analisar resultados, etc. O
objetivo é levar o aluno a compreender o mundo que o cerca estimulando seu
espírito de investigação e desenvolvendo sua capacidade para resolver
problemas. Dessa forma, o ensino da Matemática pode ser entendido, pelo
professor, como uma linguagem que possibilite ao aluno a oportunidade da
construção de seu próprio conhecimento.
Os PCN (1998)apresentam e discutem os três recursos didáticos para
aprendizagem de Matemática que foram citados acima. Tais recursos,
19
MarinêsYolePoloni
quevêmimbuídos de problematizações, podemauxiliar o professor no ensino
dos conceitos objetivando a construção do conhecimento do aluno.
1.1Objetivo
O objetivo geral desta pesquisa foi analisar um processo de formação
continuada cujo foco foi a exploração e discussão de recursos para a prática de
ensino de Trigonometria no Ensino Médio, de modo a auxiliar o ampliação do
conhecimento profissional docente.
Assim, são objetivos específicos deste trabalho:
Analisar as estratégias utilizadas na formação que levaram o
professor a problematizar/recontextualizar o ensino de Trigonometria
no Ensino Médio.
Analisar as estratégias utilizadas pelos professores do Ensino Médio
nas diferentes atividades cujo pano de fundo era tópicos de
Trigonometria.
Analisar
os
conhecimentos
mobilizados
pelos
professores
evidenciados nos registros coletados dos participantes (orais, visuais
e escritos) durante a vivência nas atividades da formação.
Nesse sentido, foi considerada a seguinte questão de pesquisa:
Em
que
aspectos
uma
formação
continuada,
centrada
na
problematização, com o uso de recursos para o trabalho docente
(história da matemática, uso de jogos e uso de tecnologias) pode auxiliar
a ampliação do conhecimento profissional docente?
1.2Delimitação da pesquisa
Esta investigação foi empreendida em um processo de formação
continuada de professores, desenvolvido com o uso de recursos didáticos para
o
ensino
de
Matemática,
no
qual
foram
explorados
conteúdos
de
Trigonometria.
A fim de atingir o objetivo, a pesquisa foi estruturada da seguinte forma:
20
MarinêsYolePoloni
Desenvolvimento uma pesquisa documental com foco nos
documentos oficiais relacionados ao ensino de Trigonometria;
Construção
deum processo
formativoutilizando
recursostais
como: jogos, história da matemática e uso de tecnologia digital,
com a intencionalidade de gerar problematizações;
Desenvolvimentodo processo formativo com um grupo de
professores;
Análisedos dados coletados, identificando, no processo formativo,
os aspectos que desenvolveram o conhecimento profissional
docente.
Enfatizamos
que
a
intencionalidade
de
criar
atividades
problematizadorasrefere-se acriar situações nas quais os sujeitos pudessem
estabelecer relações e conexões tanto entre conceitos quanto entre ideias ou
ocorrências. Ao problematizar, como ensina Fiorentini, 2009, questionam-se
sentidos, conceitos e finalidades.
Esta
investigaçãose
insere
emum
projetointitulado
―Educação
Continuada de Professores de Matemática do Ensino Fundamental e Médio 11:
Constituição de um Núcleo de Estudos e Investigações de Processos
Formativos”,financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de
Nível Superior12 (CAPES), no âmbito do Programa Observatório da Educação.
Tal projeto maior tem por finalidade “promover e analisar o desenvolvimento
profissional de professores de Matemática quando estes estão inseridos em
processos de implementação de inovações curriculares e de reflexão sobre as
práticas docentes”. (p.1 do projeto 3314)
No desenvolvimento desse projeto, que a partir de agora será
denominado Projeto Observatórioda Educação, foi constituído um grupo de
formação e pesquisas com a proposta decontribuir para o desenvolvimento
profissional de professores de Matemática,promovendo a reflexão a respeito da
implementação de inovações curriculares em suas práticas pedagógicas. O
grupo de professores participantes recebeu, neste texto, a denominação de
11
Ensino Fundamental II: período entre o 6º e o 9º anos da Educação Básica, que atende alunos da faixa
etária entre 11 e 14 anos e Ensino Médio: etapa escolar correspondente aos três anos finais da
Educação Básica, que atende alunos da faixa etária entre 15 e 17 anos.
12
A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior(CAPES) é uma agência de fomento
que atua na expansão e consolidação da pós-graduação stricto sensu(mestrado e doutorado) em todos
os estados do país.
21
MarinêsYolePoloni
Grupo Observatório.O Projeto Observatório da Educaçãotem duas dimensões
quais sejam: a formação e a pesquisa. Na dimensão da formação,são
oferecidas oportunidades para ressignificação de conceitos matemáticos
diversos. Na dimensão da pesquisa, sujeitos dispostos a colaborar com a
Educação Matemática apresentam-se voluntariamente para participar dos
cursos e opinar a respeito deles.
O quadro abaixo apresenta um resumo dos cursos oferecidos pelo
Projeto Observatório da Educação no período de quatro anos de sua vigência.
Quadro 1– Cursos de formação oferecidos pelo Projeto Observatório da Educação
2009
Teorias da Aprendizagem
Didática da Matemática
2011
2010
Tópicos de Geometria
Tópicos de Álgebra
Geometria Espacial
Números Racionais e
Irracionais
Combinatória
Probabilidade
2012
Simetria
Tópicos de Trigonometria
Assuntos Discutidos
Abordagem Comportamentalista, Cognitivista e Construtivista
Epistemologia Genética de Piaget
Teoria Sociocultural de Vygotsky
Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud
Cognição Situada
Construcionismo de Papert
Níveis de Parzysz
Teoria dos registros de representação Semiótica de Duval
Atividades do Caderno do Professor
Teorema de Pitágoras – Demonstrações e Aplicações
Resolução e Discussão de Atividades de Geometria Plana
Área de Figuras Planas - Demonstrações
Resolução e Discussão de Atividades de Geometria Métrica Espacial
Módulo sobre Ensino da Função Polinomial do Segundo Grau utilizando o
software Winplot.
Geometria Espacial de Posição no Currículo do Estado de São
Paulo
Números Racionais e Irracionais no Currículo do Estado de
São Paulo
Combinatória no Currículo do Estado de São Paulo
Probabilidade no Currículo do Estado de São Paulo
Atividades do Caderno do Professor
Reflexão com o uso de espelhos
Simetria Axial
Programação
Atividades para compreensão do conceito de radiano
Jogos e atividades para construção do Pi no GeoGebra
Ciclo trigonométrico e simetrias no GeoGebra
Ciclo Trigonométrico e as funções seno e cosseno
Texto para leitura e discussão: Investigar, ensinar e aprender
Construção de gráficos e apresentação de atividades para os alunos
Fonte: Acervo pessoal
O último curso do Projeto Observatório da Educação foi oferecido por
nós e deu origem a esta pesquisa de cunho qualitativo do tipoDesign Research,
cuja metodologiaestá mais detalhada no CapítuloIII.
1.3Justificativa e Revisão de Literatura
A Declaração Universal dos Direitos Humanos (1948), em seu artigo 26,
aponta três eixos que norteiam os sistemas educacionais no âmbito
internacional:
22
MarinêsYolePoloni
(i) Todos têm direito à educação;
(ii) A educação elementar deve ser compulsória;
(iii) A educação deve ser dirigida para o desenvolvimento pleno da
pessoa e para reforçar o respeito pelos direitos humanos e pelas liberdades
fundamentais, deve promover compreensão, tolerância e amizade entre todas
as nações, grupos raciais e religiosos, e deve fazer avançar os esforços para
se alcançar a paz universal e duradoura.
O Brasil tem buscado atender, por meio de reformas educacionais, os
objetivos de uma educação de qualidade e o ensino de Matemática, nas
escolas brasileiras, também tem passado por essas reformas.
Segundo D‘ Ambrosio (2002), para que uma educação seja de qualidade
ela deve ter como objetivo atingir esses três eixos:
O grande desafio que se apresenta para os educadores matemáticos
é reconhecer como o ensino da matemática está inserido e
contribuindo para essas metas maiores da educação. Essas metas
respondem a uma filosofia de educação muito diferente daquela que
prevalecia em meados do século XIX, quando a grande parte dos
conteúdos que ainda hoje são ensinados foi incorporada aos
sistemas escolares. A educação não era para todos e os grandes
objetivos dos sistemas educacionais visavam à consolidação de uma
elite dominante. A grande maioria da população mundial vivia sob o
regime colonialou em subordinação quase-colonial. Os programas de
matemática respondiam a essa situação. O Brasil não era exceção.
Uma rápida análise da história dos currículos de matemática no Brasil
confirma, este tipo de exercício pode ser contraposto por uma
proposta de ensino voltada para uma abordagem que contemple o
uso de atividades de investigação. (D‘ AMBRÓSIO, 2002, p. 3)
Para D‘ Ambrosio (2002), o desafio dos educadores matemáticos é
perceber como o ensino de Matemática pode contribuir para as metas maiores
da educação que, hoje, são diferentes das do início do século XIX quando a
educação não era para todos e visava a consolidação de uma elite dominante.
Para o autor, o uso de atividades de investigação pode ser uma tendência para
o ensino da Matemática na escola básica.
No que se refere à Matemática do Ensino Médio, percebe-se que, hoje,
ela tem um caráter formativo, pois contribui para o desenvolvimento do
pensamento e aquisição de atitudes por ser um conjunto de ferramentas a
serem aplicadas em outras áreas do conhecimento. Vale ressaltar que a
Matemática do Ensino Médio deve ser entendida como uma ciência que
permite ao aluno compreender os encadeamentos lógicos, as demonstrações e
23
MarinêsYolePoloni
as definições para a construção de novos conceitos e formação de novas
estruturas.
No tocante à Trigonometria, que é o tema da formação empreendida
nesta pesquisa, entende-se que seu aprendizado, quando ligado a aplicações
em outras áreas do conhecimento, pode contribuir para o desenvolvimento
pleno da pessoa citado no eixo (iii) da Declaração Universal dos Direitos
Humanos (1948), pois ela é aplicada em diversas áreas do conhecimento. No
Ensino Médio, o aluno tem contato com o ciclo trigonométrico ecom as funções
periódicas, não se limitando apenas a estudar triângulos. “Sua aplicação se
estende a outros campos da Matemática, como Análise, e a outros campos da
atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a
Topografia, a Engenharia Civil e etc.” (PAIVA, 2003 p. 113). Esta afirmação de
Paiva (2003) vai ao encontro do que o Ministério da Educação e Cultura - MEC
registra nos Parâmetros Curriculares Nacionais PCN 13 de Matemática para o
Ensino Médio:
Outro tema que exemplifica a relação da aprendizagem de Matemática
com o desenvolvimento de habilidades e competências é a
Trigonometria, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações,
evitando-se o investimento excessivo no cálculo algébrico das
identidades e equações para enfatizar os aspectos importantes das
funções trigonométricas e da análise de seus gráficos. Especialmente
para o indivíduo que não prosseguirá seus estudosnas carreiras ditas
exatas, o que deve ser assegurado são as aplicações da Trigonometria
na resolução de problemas que envolvem medições, em especial o
cálculo de distâncias inacessíveis, e na construção de modelos que
correspondem a fenômenos periódicos. Nesse sentido, um projeto
envolvendo também a Física pode ser uma grande oportunidade de
aprendizagem significativa. (BRASIL, PCN ensino médio, p.44)
Observa-se que os PCN Ensino Médio entendem que o ensino da
Trigonometria deve ser voltado também às aplicações na resolução de
problemas e no entendimento de fenômenos periódicos.
Segundo os PCN+14 (2000), apesar de sua importância, tradicionalmente
a Trigonometria tem sido apresentadadesconectada das aplicações, e, para
ensiná-la, professores investem muito tempo no cálculo algébrico das
13
Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: Matemática, Ministério da Educação
e do Desporto, Brasília: MEC/SEF, 2000.
14
PCN+ Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Ensino Médio: Matemática, Ministério da Educação e do Desporto, Brasília: MEC/SEF, 2000
24
MarinêsYolePoloni
identidades e equações em detrimento de outros aspectos relevantes das
funções trigonométricas. Os PCN Ensino Médio indicam que além da dimensão
de conceitos ou procedimentos,o ensino de Trigonometria deve centrar-se no
desenvolvimento de atitudes, tais como levantar hipóteses, argumentar,
analisar resultados e resolver problemas. O objetivo é levar o aluno a
compreender o mundo que o cerca estimulando seu espírito de investigação e
desenvolvendo sua capacidade para resolver problemas. Dessa forma, o
ensino da Matemática deve ser entendido, pelo professor, como uma
linguagem que possibilita ao aluno a oportunidade de construção de seu
próprio conhecimento.
Deve-se assegurar as aplicações da Trigonometria na resolução de
problemas que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias
inacessíveis e a construção de modelos que correspondem a fenômenos
periódicos. Assim, o estudo deve dar ênfase às funções seno, cosseno
etangente, aoestudo na primeira volta do círculo trigonométrico e àperspectiva
histórica
das
aplicações
das
relações
trigonométricas.
Outro
aspectoimportante, segundo os PCN+, desse tema, é o fato de tal
conhecimento ter sido responsável peloavanço tecnológico em diferentes
épocas, como é o caso do período das navegações ou da agrimensura. Discutir
o
desenvolvimento
histórico
permite
aos
alunos
perceberem
o
conhecimentomatemático como forma de resolver problemas com os quais a
humanidade se defrontou e continua se defrontando.
Historicamente, nas escolas, tem sido utilizada uma abordagem
―tradicional‖ de ensino, calcada na perspectiva tecnicista, (cf. Pérez Gómez,
1998), segundo a qual se apresentam aos alunos exposições orais dos
conteúdos seguidos por listas de exercícios selecionados. Professores que
adotam esse tipo de abordagem parecem acreditar que o sucesso na
aprendizagem dos alunos está diretamente ligado a uma boa explicação e à
resolução de exercícios semelhantes. Além disso, muitos livros didáticos
também reforçam essa prática de sala de aula como aponta o Guia do PNLD15,
15
O Ministério da Educação (MEC) instituiu o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). Tal programa
gera um Guia de orientação para os professores com a análise de obras aprovadas após criteriosa
avaliação. Tal Guia recebe o nome de Guia do PNLD e, neste trabalho, utilizamos como referência o Guia
PNLD 2012 que será analisado nos capítulos que seguem.
25
MarinêsYolePoloni
2012. Galbrith, 1982; Toffler, 1980 e Tavares, 1993 apontam que o livro
didático, apesar de todos os avanços tecnológicos, ainda se constitui no
principal instrumento de direcionamento de professores durante seu exercício
profissional. Freitag (1989) aponta que muitos professoresao invés de
utilizarem o livro didático como um instrumento capaz de desenvolver a
autonomia e o senso crítico do aluno, usam-no fielmente como o único e
exclusivo roteiro dos processos de ensino e de aprendizagem. Entretanto,
nossa visão consiste em defender que, no ensino da Matemática, em vez de
centrar na memorização e na aplicação de técnicas, com base nas exposições
dos professores, é preciso dar ênfase à apropriação, pelos estudantes, de
conceitos essenciais do objeto de estudo por meio de atividades em que os
alunos possam sair da posição de espectadores e passarà posição de
construtores
do
conhecimento,
cabendo
ao
professora
mediação
da
aprendizagem.
Consequentemente é necessário fomentar o empreendimento de
pesquisas sobre as características de processos formativos que possam
auxiliar o professor na tarefa de construção de conhecimentos profissionais.
Concordamos com as ideias de Pietropaolo et al (2012) que menciona:
Parece ser consensual entre os educadores que a necessidade da
formação continuada de professores não se justifica apenas no
sentido de complementar ou superar prováveis deficiências oriundas
da formação inicial, mas também para atender às demandas
evidenciadas pelas recentes propostas curriculares para a educação
básica, que incorporam resultados de pesquisas, sobretudo em
relação às concepções de ensino e aprendizagem, e que requerem
do professor uma profunda reflexão sobre o seu fazer pedagógico.
(p.381)
Para Pietropaolo et al(2012) a formação continuada deve também
atender às demandas das propostas curriculares que vão mudando com o
tempo requerendo do professor reflexões para o seu fazer pedagógico. As
ideias desses autores vão ao encontro das ideias de formação de Ponte
(1998), que também traz o conceito de desenvolvimento profissional:
Na formação o movimento é essencialmente de fora para dentro,
cabendo ao professor assimilar os conhecimentos e a informação que
lhe são transmitidos, enquanto que no desenvolvimento profissional
temos um movimento de dentro para fora, cabendo ao professor as
decisões fundamentais relativamente às questões que quer
26
MarinêsYolePoloni
considerar, aos projetos que quer empreender e ao modo como os
quer executar (Ponte, 1998).
Para Ponte (1998, p.2) o desenvolvimento profissional é um aspecto
marcante da profissão docente e tem como finalidade ―tornar os professores
mais aptos a conduzir um ensino da Matemática adaptado às necessidades e
interesses de cada aluno e a contribuir para a melhoria das instituições
educativas, realizando-se pessoal e profissionalmente”.
1.3.1 Levantamento bibliográfico
Nosso levantamento bibliográfico, em relação à temática trigonometria
buscou material referente ao tema no site eletrônico da Coordenação de
Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e por títulos em
diversos Programas de Pós - Graduação. Foram utilizadas as palavras-chave
trigonometria, inicialmente de forma individual, posteriormente acompanhada
da palavra ensino, numa terceira etapa, acompanhada da palavra jogos,
numa quarta etapa acompanhada das palavras história da matemática e, por
fim, acompanhada da palavra tecnologias. O levantamento bibliográfico
realizado que teve o objetivo de identificar trabalhos que possuem uma estreita
relação com o presente estudo, revelou que a temática da formação continuada
de professores que atuam no Ensino Médio visando a ampliação de
conhecimentos profissionais docentes com uso de recursos para o ensino de
tópicos de Trigonometria é pouco explorada nas pesquisas da área de
Educação Matemática. Foram encontradas investigações referentes ao tema
Trigonometria, cujos sujeitos foram alunos da Educação Básica, entretanto
encontramos poucos estudos relativos à formação do professor e ao uso de
recursos para o ensino de Trigonometria além de que, como frisa Órfão (2012),
cujo estudo está descrito mais adiante, a divulgação dos resultados de
pesquisas feitas com professores e cujo tema seja Trigonometria é bastante
reduzida. Além de Órfão (2012), Weber (2005), cujo estudo também está
descrito mais adiante, afirma que, apesar das dificuldades de aprendizagem
em funções trigonométricas e mesmo sendo este um tema que compõe uma
importante parte do currículo da Educação Básica, a literatura de pesquisa
educacional nessa área é escassa.
27
MarinêsYolePoloni
Segundo Weber (2005), estudos sobre o tema costumam comparar grupos de
estudantes submetidos a metodologias diferentes. Por exemplo, Blackett e Tall
(1991) examinaram dois grupos de alunos; o primeiro grupo participou de um
curso experimental com uso de computador que permitiu aos alunos
explorarem numérica e geometricamente as relações de forma interativa,
enquanto o outro grupo participou de um curso com metodologia tradicional.
Tais pesquisadores concluíram que a aprendizagem do grupo dealunos do
curso experimental superou significativamente os alunos controle em um pósteste. Como não foi possível encontrar teses no tema Trigonometria e uso dos
recursos: história da matemática, jogos e tecnologias, utilizamos somente
dissertações. No total, 18 dissertações que estão representadas no gráfico
abaixo:
Pelo gráfico acima podemos observar que não aparecem pesquisas que
envolvam o tema Trigonometria com o uso de jogos. Desta forma, buscamos a
tese de Grando (2000) da Universidade Estadual de Campinas, intitulada: O
conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula que aborda o uso
de jogos no ensino de Matemática na sala de aula. A autora discorre a respeito
do uso do jogo no ensino de Matemática elaborando um quadro que esboça as
vantagens e desvantagens do uso desse recurso nas situações de
aprendizagem. Sua pesquisa envolveu dois jogos de regras, quais sejam:
Contig 60® e Nime. Seus sujeitos de pesquisa foram 8 alunos do 6º ano do
Ensino Fundamental (11/12 anos) de uma escola particular de Campinas – SP.
28
MarinêsYolePoloni
Ela concluiu que, na análise dos procedimentos de resolução de problemas de
jogo, os sujeitos foram construindo várias estratégias de cálculo mental, para
facilitá-los. Em muitas dessas situações, ela pôde observar o pensamento
algébrico presente na estrutura dos cálculos realizados por alguns sujeitos. A
aplicação das propriedades aritméticas, como facilitadoras na realização dos
cálculos mentais, também mereceu destaque no processo de intervenção
pedagógica que ela realizou. O pensamento algébrico foi sendo construído, por
alguns sujeitos, a partir da exploração e generalização das propriedades
aritméticas. Por meio dos desafios de jogo e da consequente busca de
soluções e melhores jogadas, da análise de possibilidades, levantamento de
hipóteses e justificativas obtidas na intervenção, os sujeitos puderam realizar
as antecipações e/ou previsões necessárias para solucionar as tarefas. Para
Grando (2000), é fundamental que os objetivos do trabalho com o jogo
escolhido estejam claros para o professor de forma que ele seja capaz de
realizar as intervenções no momento mais adequado, contribuindo para a
aprendizagem matemática do aluno. Na sua pesquisa, a autora observou a
importância do papel das intervenções e como elas podiam representar
momentos de contribuição ou limitação para a aprendizagem do sujeito.
A dissertação de mestrado de Marques (2009), intitulada Utilização pedagógica
do jogo - um estudo de caso, da Universidade de Lisboa – Portugal, se
propunha a investigar que competências são desenvolvidas por meio da
implementação do jogo em sala de aula com uma turma de alunos. Seus
sujeitos de pesquisa foram seus próprios alunos do 9º ano de escolaridade e,
com eles, ela aplicou vários jogos em duas fases distintas: na primeira fase a
autora promoveu alguns jogos do Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos
– CNJM5 (campeonato de jogos matemáticos que acontece anualmente em
Portugal) e, numa segunda fase, a autora promoveu jogos com caráter
pedagógico, tendo por base os conteúdos programáticos do 9º ano de
escolaridade. Dessa forma, ela trabalhou com vários jogos e pôde abranger
diferentes conteúdos, durante todo o ano letivo, tais como: probabilidades,
números e álgebra. A autora conclui que o jogo propicia desenvolvimento de
raciocínio lógico, destreza manual, noções de sequência, organização de
processos de contagem e de acontecimentos aleatórios, equiprováveis e não
equiprováveis, procura de padrões de regularidades e generalizações além dos
29
MarinêsYolePoloni
ganhos de socialização promovidos por esse tipo de atividade e observados
pela autora, tais como: convivência, autonomia e responsabilidade.
Tanto para Grando, quanto para Marques, as intervenções feitas pelo professor
durante o processo que vai desde a escolha do jogo, sua implementação e a
observação dos jogadores em atividade são fundamentais para que ocorra a
aprendizagem. Para as autoras, o Professor como mediador de todo esse
processo tem o papel de promotor do jogo e de incentivador no cumprimento
das regras, tanto do trabalho em grupo, quanto das regras do próprio jogo.
Destacamos o trabalho dessas duas autoras por tratarem do uso de jogos no
ensino de Matemática. Apesar de ambas terem tido, como sujeitos de
pesquisa, alunos do ensino básico, as vantagens e desvantagens do uso de
jogos em sala de aula citadas por Grando (2000) nos auxiliaram a desenhar
encontros, nos quais os jogos para o ensino de Trigonometria seriam o recurso,
focando nas vantagens de sua utilização. A leitura de ambos os trabalhos
chamou a nossa atenção para o cuidado que deveríamos ter nas intervenções
feitas durante as sessões em que usaríamos o jogo como recurso pedagógico.
Quanto ao uso da História da Matemática como recurso para o ensino, a
dissertação de Ribeiro (2015): A história das equações nos processos de
ensino e aprendizagem da matemática na educação básica, aborda como a
História da Matemática pode contribuir para o ensino e aprendizagem dessa
ciência na Educação Básica. A autora fundamentou-se especialmente nos
estudos de Miguel (1997), quanto às potencialidades pedagógicas da História
da Matemática; nos de D‗Ambrosio (1996), no que tange à importância e à
motivação do uso da História da Matemática na sala de aula. Para sua
pesquisa, ela elaborou e realizou um curso de formação continuada voltada a
16 professores da rede pública de ensino do estado de São Paulo. Seu objetivo
era apresentar e discutir as fases de desenvolvimento da álgebra tomando
como base as equações algébricas e refletindo junto aos professores sobre o
uso da História da Matemática em sala de aula por meio de métodos e
procedimentos de problemas históricos. A autora cita e explica detalhadamente
os argumentos de Miguel (1997) que apontam as potencialidades pedagógicas
do uso da História da Matemática para o ensino e aprendizagem de conceitos
matemáticos. Ela conclui que a História da Matemática se mostrou como uma
metodologia capaz de promover uma compreensão mais significativa e do
30
MarinêsYolePoloni
conteúdo matemático abordado na formação, uma vez que seus dados
permitiram-lhe inferir que a experiência formativa realizada contribuiu para o
conhecimento do conteúdo oferecendo novas propostas de trabalho, além de
incentivar os professores participantes a pesquisarem e a se inteirarem da
História da Matemática. Nascimento (2005) em sua dissertação: Uma
sequência de ensino para a construção de uma tabela trigonométrica também
faz uso do recurso à História da Matemática. Ela elaborou uma sequência de
ensino para a construção de uma tabela trigonométrica. A construção da tabela
trigonométrica estava baseada em levantamentos históricos dos trabalhos de
Ptolomeu e outros matemáticos da Grécia antiga. O objetivo da pesquisa dessa
autora era investigar a apropriação do significado das razões trigonométricas
no triângulo retângulo por estudantes do 1º ano do Ensino Médio. Seus
resultados apontam para uma defasagem dos alunos em Geometria e Álgebra
e mostram ainda que um ensino de trigonometria, no triângulo retângulo, que
faça uso de atividades diversificadas e situações problematizadoras, que
estimulem o pensamento e a investigação pelos alunos, contribuem para que
estes construam o significado das razões trigonométricas além de favorecer a
argumentação e a modificação de concepções errôneas. Ambas as autoras
constatam as potencialidades do uso da História da Matemática como recurso
para o ensino, entretanto Ribeiro caracteriza fortemente tais potencialidades.
Selecionamos tais trabalhos por tratarem do ensino de Matemática com o uso
do recurso História da Matemática. A leitura atenta quanto às potencialidades
citadas e detalhadamente explicadas no trabalho de Ribeiro, nos fez pensar em
elaborar atividades com o uso de História da Matemática donde pudessem,
também, emergir tais potencialidades.
Nossa revisão de literatura apontou trabalhos nos quais foram usadas as
tecnologias digitais. Dentre eles destacamos a pesquisa de Horta (2012)
intitulada: A formação de professores como percurso para o uso das TIC em
atividades práticas pelos alunos na sala de aula, na qual a autora concluiu que
o debate entre professores é fundamental para o uso das TIC na sala de aula
com alunos e que o novo papel do professor, que deixa de ser o elemento
central da transmissão de conhecimento, passando a ser elemento facilitador e
regulador das aprendizagens realizadas pelos alunos não é um papel de menor
importância; ao contrário, revelou-se um papel importante na orientação das
31
MarinêsYolePoloni
atividades de aprendizagem uma vez que a tecnologia, por si só, não faz tal
papel. A pesquisa de Horta (2012) revelou também que o ambiente
colaborativo foi considerado pelos sujeitos de pesquisa como fundamental para
o desenvolvimento de atividades inovadoras com as TIC. Além disso, a autora
elenca características que uma formação continuada deve ter para que as TIC
cheguem aos alunos na sala de aula: (1) a formação tem de promover um
ambiente reflexivo e de debate em torno da importância das TIC nos processos
de ensino e de aprendizagem; (2) o professor precisa de tempo e de espaço
para refletir sobre o papel das TIC no ensino e na aprendizagem
(nomeadamente, refletir sobre as suas práticas pedagógicas, relacionando-as
com situações específicas de utilização das TIC pelos alunos, em sala de aula,
na realização de atividades práticas); (3) o professor deve planejar (em
pequenos grupos, com seus pares) as intervenções que serão realizadas na
sala de aula; (4) a formação deve preparar o professor para as intervenções,
garantindo que este seja competente no uso das TIC a fim de implementá-las
em sala de aula; (5) as intervenções devem ser posteriormente relatadas /
narradas, para que sirvam de base para reflexões individuais e com seus
pares; (6) nas intervenções, devem ser explicitadas as dificuldades de todas as
naturezas encontradas pelo professor relacionadas com o contexto ou com o
próprio professor; (7) a formação deve contribuir para que cada professor
ultrapasse suas dificuldades e transforme ―barreiras em degraus‖ (FREITAS
2004); (8) a formação deve dar lugar à ação e à posterior reflexão sobre os
resultados da ação; (9) a formação deve contribuir para aumentar a confiança e
a autonomia do professor além de criar oportunidades de promoção da
criatividade, da autonomia e da inovação por meio do uso das TIC durante a
formação. A pesquisa de Horta (2012) teve importância na elaboração do
design inicial de nossa pesquisa que, como estava previsto, teria o uso de
tecnologias como um dos recursos da formação. Dando atenção à analise das
características de uma formação elencadas por Horta, buscamos, neste
trabalho, contemplá-las.
Além dessa tese, a dissertação de mestrado de Poloni (2010), da Universidade
Bandeirante de São Paulo, intitulada Formação do professor do ensino
fundamental –ciclo I: uma investigação com o uso de geometria dinâmica para
a (re) construção de conceitos geométricos também trouxe contribuições para
32
MarinêsYolePoloni
esta pesquisa. Poloni (2010) tinha como objetivo investigar, num projeto de
formação
continuada
de
professores
do
Ensino
Fundamental
I,
a
(re)construção de conceitos geométricos sobre o tema Figuras Planas,
utilizando como recurso tecnológico o software Cabri-Géomètre, e as reflexões
provenientes
dessa
(re)construção
sobre
a
prática
das
professoras
participantes. Sua metodologia foi o design-based research e os resultados
indicaram que a formação continuada sobre o tema figuras planas subsidiada
pelo uso de Geometria Dinâmica em todas as sessões possibilitou a
(re)construção
de
alguns
conceitos
geométricos
e
especialmente
a
compreensão das figuras a partir de suas propriedades. Além disso, os estudos
teóricos feitos pelos sujeitos e a articulação com a prática docente foram
fundamentais para discussões que desencadearam reflexões a respeito das
práticas. Ambas as pesquisas, Horta (2012) e Poloni (2010), tinham
professores como sujeitos de pesquisa e utilizaram, durante a formação
continuada empreendida, tecnologias digitas. As duas autoras concluem que os
professores, durante a formação, devem fazer uso das tecnologias digitais em
todas as sessões e ter espaço para trocar ideias e inquietações com seus
pares. Esse fato contribuiu para que, no design inicial do presente estudo, o
uso de tecnologias digitais estivesse presente em todas as sessões. Nesse
design inicial também aparecem outros recursos para o ensino de
Trigonometria, mas as tecnologias digitais tiveram um espaço privilegiado, pois
por estarem entrando nas escolas, fazem com que cada vez mais professores
busquem formações nas quais possam aprender como utilizá-las para a
aprendizagem de seus alunos. Dessa forma, nossa preocupação, como
formadoras, foi elaborar um curso - que desse ao professor segurança em
utilizar tal recurso em suas práticas de sala de aula.
Outra pesquisa que foi relevante, para o amadurecimento das ideias as quais
deram norte a este estudo, foi a de Orfão (2012) da Universidade Bandeirante
de São Paulo, intitulada: Professores de matemática em um grupo de estudos:
uma investigação sobre o uso de tecnologia no ensino de funções
trigonométricas. Orfão (2012), em seu estudo, teve por objetivo identificar quais
são os fatores relevantes para impulsionar o desenvolvimento profissional
docente que emergem em um grupo de estudos de professores de Matemática
ao investigarem o uso de tecnologia, no caso o software GeoGebra, para o
33
MarinêsYolePoloni
ensino de Trigonometria. A análise dos dados recolhidos apontou como fatores
relevantes para o desenvolvimento profissional docente características
específicas do grupo, tais como, participação voluntária, confiança mútua,
objetivos comuns e interesse em buscar alternativas para o ensino de
Trigonometria. A pesquisa de Orfão (2012) evidenciou que, no contexto
investigado, o estabelecimento de grupos de estudos, envolvendo a parceria
universidade-escola
foi
uma
possibilidade
viável
para
impulsionar
o
desenvolvimento profissional docente e auxiliar na integração dos recursos
tecnológicos ao ensino de Trigonometria. Encontramos, em nossa busca,
outros autores que, assim como Orfão (2012), fizeram uso do software
GeoGebra: Fernandes (2010), da Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo, intitulado: Estratégias pedagógicas com uso de tecnologias para o
ensino de Trigonometria na circunferência; Lopes (2010) da Universidade
Federal do Rio Grande do Norte, intitulado: Construção e aplicação de uma
sequência didática para o ensino de Trigonometria usando o software
GeoGebra; Moreira (2012), da Universidade Federal do Ceará, intitulado: A
geometria dinâmica como ferramenta para o ensino de funções trigonométricas
em um ambiente virtual de aprendizagem; Neto (2010), da Universidade
Federal de Santa Catarina, intitulado: Registros de Representação Semiótica e
o Geogebra: um ensaio para o ensino de funções trigonométricas; Oliveira
(2010), da Universidade Federal de São Carlos, intitulado: Trigonometria: A
mudança da prática docente mediante novos conhecimentos; Pedroso (2012),
da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, intitulado: Uma proposta de
ensino da Trigonometria com uso do software Geogebra. Após elencar as
pesquisas acima, fazemos uma breve descrição de cada uma focando nos
objetivos, metodologias e principais conclusões.
Iniciamos com Fernandes (2010) cuja pesquisa tinha como objetivo a
construção da aprendizagem significativa16 dos conceitos básicos da
Trigonometria, especificamente os conceitos seno e cosseno, e sua
representação no plano cartesiano. O autor abordou o erro e usou-o como
recurso para tal aprendizagem, entre alunos de uma classe de 2º ano do
16
Fernades (2010) utiliza aprendizagem significativa no sentido de Ausubel (1968): A teoria da
aprendizagem de Ausubel propõe que os conhecimentos prévios dos alunos sejam valorizados, para que
possam construir estruturas mentais utilizando, como meio, mapas conceituais que permitem descobrir e
redescobrir outros conhecimentos, caracterizando, assim, uma aprendizagem prazerosa e eficaz.
34
MarinêsYolePoloni
Ensino Médio, utilizando, para a construção do significado, mídias como o
lápis, régua, transferidor e, posteriormente, a informática com o software
GeoGebra. (FERNANDES, 2010,p.23). O autor fez uso de elementos da
engenharia didática de Artigue (1996): análises a priori de todas as sessões
realizadas destacando as estratégias previamente pensadas e, após a
experimentação, o autor fez a análise a posteriori. Das conclusões de seu
trabalho, interessa-nos as referentes ao uso do GeoGebra e, quanto a esse
quesito, o autor concluiu que a utilização do software GeoGebra foi
imprescindível para a aprendizagem significativa, facilitando a construção da
circunferência e complementando a estratégia iniciada nos instrumentos
estáticos.
Continuamos nossa revisão de literatura relatando o estudo de Lopes (2010)
cujo objetivo foi analisar as potencialidades e limitações do software GeoGebra
no ensino e aprendizagem de Trigonometria. Para tal, a autora elaborou e
aplicou um módulo de atividades investigativas em alunos da segunda série do
Ensino Médio de uma escola pública na cidade de Natal, RN. A sequência, por
ela elaborada, tinha o intuito de introduzir os conceitos básicos da
Trigonometria utilizando os recursos do software GeoGebra. Os conteúdos
abarcados tratavam da Trigonometria no triângulo retângulo, passando pelo
ciclo trigonométrico, e indo até as funções trigonométricas. A autora adotou
uma perspectiva investigativa, estabelecendo um diálogo constante entre as
investigações no ensino de Matemática e os recursos da TI em sala de aula.
Com a finalidade de definir com mais precisão em seus instrumentos de coleta
de dados, a autora realizou um ―estudo de referência‖, isto é, uma aplicação
preliminar da sequência didática com um grupo de alunosda Licenciatura em
Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Dentre as
potencialidades apresentadas pelo software no ensino e aprendizagem de
Trigonometria, Lopes (2010) destaca: construção, dinamismo, investigação,
visualização e argumentação. Segundo a autora, o uso do GeoGebra permite
encorajar o processo de descoberta e de autoavaliação dos alunos. Quanto ao
papel do professor, a autora frizou que cabe a ele analisar como os alunos
entenderam os procedimentos necessários para realizar uma construção.
Quanto às dificuldades para a utilização do software GeoGebra na sala de
aula, a autora destacou apenas dificuldades estruturais. O próximo trabalho
35
MarinêsYolePoloni
que chamou nossa atenção foi o de Moreira (2012) cujo objetivo foi elaborar,
aplicar e analisar uma sequência didática para o ensino de funções
trigonométricas, utilizando o software GeoGebra para favorecer estratégias
didático-pedagógicas de ensino. Moreira procurou fazer uso das tecnologias de
forma planejada com objetivos antecipadamente constituídos de forma que o
aluno pudesse observar e fazer conjecturas, para assim levantar hipóteses,
generalizar
e
abstrair
tais
processos,
que
são
importantes para
o
desenvolvimento do pensamento matemático (MOREIRA, 2012, p. 14). O autor
utilizou princípios da engenharia didática de Michele Artigue (1996), na qual foi
elaborada uma sequência didática. Sua pesquisa desenvolveu-se em quatro
fases distintas: Fase 1 (Pré-teste), Fase 2 (Formação dos alunos), Fase 3
(Experimentação) e Fase 4 (Pós-teste). As observações efetuadas na atividade
mostraram a insegurança dos estudantes em face às tarefas que lhes pareciam
quase sem sentido, mas estas tarefas foram se tornando, durante o
experimento, mais acessíveis. O uso do computador como ferramenta nas
escolas permanece como um recurso importante e, também, como um grande
desafio para professores e pesquisadores, à medida que passa a ser utilizado
como fonte de estudo e de criação de estratégias pedagógicas, para as quais
diversas tecnologias podem ser empregadas (MOREIRA, 2012, p. 85).
Seguimos nossas leituras com o trabalho de Neto (2010) cujo objetivo, foi
apresentar possibilidades de uso do software GeoGebra como ferramenta
didática para o estudo das funções seno e cosseno tendo por base a teoria de
aprendizagem matemática dos Registros de Representação Semiótica de
Duval (NETO, 2010, p. 16). A pesquisa foi dividida em três etapas: (1) um
estudo bibliográfico a fim de conhecer as discussões já feitas em torno do tema
de pesquisa; (2) elaboração e na experimentação da sequência didática na
qual as atividades propostas foram elaboradas a partir dos estudos feitos na
primeira etapa e (3) após a experimentação veio a última etapa, que, por meio
dos dados levantados, deu-se início ao processo de validação das hipóteses
inicias com base no confronto da análise antes e após da aplicação da
sequência didática (NETO, 2010, p. 17). Em suas conclusões, Neto (2010),
acredita que é possível contornar a dificuldade que existe quanto a
manipulação e utilização de abstrações para compreender o comportamento
das funções trigonométricas (NETO, 2010, p. 100). O autor frisa que não quer
36
MarinêsYolePoloni
levantar uma bandeira de substituição dos meios que já provaram ser capazes
de promover o ensino pelo uso de software educativo, mas acredita em que se
deve aproveitar o melhor possível as características destes meios que podem
se tornar, num dado momento, mais adequado que outros meios mais
―convencionais, ou um oferecer suporte ao outro. Para ele, a infraestrutura é
fundamental para a realização das aulas. É preciso ter um laboratório com um
número de computadores coerente com o número de alunos (NETO, 2010, p.
101).
Outro trabalho que também chamou nossa atenção foi o de Oliveira
(2010) cujo objetivo foi avaliar a mudança da prática docente e do ensino de
Trigonometria a partir da busca de novos conhecimentos (OLIVEIRA, 2010, p.
130). A autora estruturou algumas atividades para abordar alguns tópicos de
Trigonometria, usando metodologias variadas. A primeira atividade abordava o
estudo das razões trigonométricas no triângulo retângulo através de
manipulação de triângulos semelhantes, coleta de dados, registro em tabelas e
confronto dos resultados obtidos com as tábuas trigonométricas. A segunda
atividade era um experimento prático com a manipulação de um objeto rústico
chamado inclinômetro para a exploração de alturas inacessíveis A terceira
atividade confronta a necessidade de usar o radiano como unidade de medida
de ângulos e arcos. A transição é explorada através da quantidade de raios
que cabem no comprimento da circunferência. A quarta atividade promove a
transição das funções trigonométricas do ciclo trigonométrico para o plano por
meio da manipulação de materiais concretos como barbante e canudos para a
construção do gráfico da função seno. Ainda há o momento da produção de
aplicativos, que relaciona a Trigonometria do triângulo retângulo, o ciclo
trigonométrico e as funções trigonométricas usando GeoGebra e a tecnologia
disponível na sala de aula (OLIVEIRA, 2010, p. 19). Em suas conclusões,
Oliveira (2010) descreveu o uso de tecnologia nas aulas como uma
contribuição inovadora, que além de mudar o dinamismo, dá um caráter
diferenciado por meio do movimento. Para a autora, a tecnologia na educação,
quando usada de maneira planejada, é capaz de atingir objetivos esperados na
busca de formar um cidadão capaz de raciocinar e habilitado a enfrentar o
mercado de trabalho e as oportunidades da vida (OLIVEIRA, 2010, p. 130).
Segundo Oliveira (2010), as contribuições para a aplicação da atividade e a
37
MarinêsYolePoloni
obtenção de bons resultados dependem de conhecer profundamente o
conteúdo trabalhado e buscar diversas informações para fundamentar as ideias
e argumentações. As atividades devem ser sempre experimentadas antes de
serem propostas (OLIVEIRA, 2010, p. 132). Nossas leituras continuaram com o
trabalho de Pedroso (2012) que apresenta uma proposta de ensino da
Trigonometria para estudantes do Ensino Médio, baseada na utilização do
software GeoGebra. Seu objetivo era avaliar a aprendizagem da Trigonometria
propiciada por meio de uma sequência de ensino desenvolvida em um
ambiente informatizado e dinâmico. A análise das atividades feitas no
GeoGebra e a análise das falas dos alunos baseada na Teoria dos Campos
Conceituais, permitiram não só identificar as dificuldades e os erros cometidos,
mas também compreender melhor os raciocínios dos alunos frente aos
desafios. Desta forma o uso do GeoGebra propiciou ao professor momentos de
intervenções adequadas à construção dos conceitos. O uso dos recursos do
software
foi
importante
para
destacar
os
elementos
que
estavam
desconsiderando ou relações entre os objetos que não estavam percebendo
(PEDROSO, 2012, p. 225).
O GeoGebra mostrou-se um programa eficaz como auxílio na
elaboração de situações de aprendizagem escolar ricas em possibilidades de
construção de conhecimentos. As manipulações das figuras apresentadas para
os alunos, bem como as construções realizadas por eles, promoveram
dinamismo nas atividades, possibilidades de realização de tentativas,
confirmação de hipóteses, observação de relações entre objetos variáveis e
fixos (PEDROSO, 2012, p. 228). Estes seis estudos destacados foram
importantes para a presente pesquisa, pois tratavam do tema Trigonometria
com o uso do software GeoGebra. A partir do estudo dessas pesquisas foi
possível elencar as vantagens e desvantagens do uso do GeoGebra em sala
de aula. O quadro abaixo resume as vantagens e desvantagens do uso do
GeoGebra no ensino.
38
MarinêsYolePoloni
Quadro 2: Vantagens e desvantagens do uso do GeoGebra em sala de aula
VANTAGENS
FERNANDES
(2010)
LOPES
(2010)
MOREIRA
(2012)
NETO
Mobiliza conhecimentos matemáticos
Permite visualizar com maior facilidade
Facilita a construção da circunferência
Permite a exploração visual das figuras
construídas, o que não é possível com as
figuras estáticas feitas com régua e
compasso
Facilidade do aluno em construir as figuras
com o recurso do software
Permite que os dados sejam alterados
graficamente, mantendo as características
da construção
Aumenta o poder de argumentação do
aluno através do processo de arrastar as
figuras pela tela do computador, fazendo os
sucessivos testes.
O software é encontrado livre para
download, e de fácil acesso a qualquer
usuário.
Os alunos, mesmo não tendo conhecimento
do GeoGebra, familiarizaram-se com
rapidez e não apresentaram dificuldades
em manuseá-lo
Aquisição de saberes por parte dos
estudantes.
A visualização e a experimentação
desempenham papel importante nas
investigações.
Manipulação de objetos abstratos
(2010)
OLIVEIRA
(2010)
PEDROSO
(2012)
Permite realizar várias manipulações ao
mesmo tempo.
Possibilita a manipulação dinâmica dos
diferentes registros de representação
semiótica.
Promove aperfeiçoamento profissional do
docente.
Promove mudança de postura dos alunos.
Dinamismo e interatividade.
DESVANTAGENS
Falta de formação de professores
Necessidade de laboratórios de
informática bem estruturados, tanto
quanto à quantidade de equipamentos
disponíveis, bem como à existência de
verbas para a sua manutenção;
Necessidade de cursos de atualização
para que os professores se
familiarizem com os diferentes tipos de
softwares de Matemática disponíveis
gratuitamente
Falta de conhecimento do sistema
operacional instalado nas escolas, o
Linux Educacional no caso das escolas
públicas do RN.
O aluno precisa se envolver com as
atividades, caso contrário, ele não
observa todos os detalhes disponíveis.
È necessário um bom suporte técnico.
Em algumas situações, o GeoGebra
pode reforçar ideias errôneas.
Mudança na relação entre o professor e o
aluno
Fonte: Cassol V.J.(2012)
Por esse levantamento, pudemos perceber que existem vantagens na
utilização do software GeoGebra em sala de aula, entretanto são apresentadas
algumas desvantagens quais sejam: de infraestrutura, de envolvimento do
aluno, de formação dos professores e de fixação de conceitos errôneos. Por
outro lado, devemos considerar que tais vantagens e desvantagens foram
elencadas por esses pesquisadores levando em conta a sua leitura feita por
meio do quadro teórico escolhido por cada um no o desenvolvimento de sua
pesquisa. Tais estudos fizeram com que as atividades empreendidas durante a
39
MarinêsYolePoloni
formação dos professores, sujeitos desta pesquisa, fossem experimentadas
anteriormente por dois professores e três alunos do Ensino Médio que já
haviam estudado o tema Trigonometria. Fizeram também com que optássemos
pelo uso do GeoGebra em nossa pesquisa tomando os devidos cuidados
quanto à mediação para que acontecesse a fixação de ideias corretas pelos
sujeitos de pesquisa. A dissertação de Oliveira (2010) nos fez partir do
pressuposto de que se pode melhorar o ensino de modo a impulsionar a
aprendizagem dos alunos, no conteúdo de Trigonometria, por meio de novos
conhecimentos do professor. A ideia de tópicos de Trigonometria com recursos
diferenciados surgiu da leitura da dissertação de mestrado de Lobo da Costa
(1997), da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, intitulada: Funções
seno e cosseno; uma sequência de ensino a partir dos contextos do “mundo
experimental” e do computador. A autora elaborou uma sequência de ensino a
partir dos contextos do mundo experimental e do computador. No contexto do
mundo experimental ela partiu da proposição de um problema e criou três
experimentos para dar suporte à resolução, quais sejam: Simulador de alarme
óptico, roda com a caneta de laser e pêndulo de areia. O Simulador de alarme
óptico foi desenvolvido a partir do mecanismo de rotação de um relógio, o
equipamento possibilitava efetuar medições, que relacionavam um ―ponto,
com suas projeções nos eixos. A autora utilizou duas fontes de luz que
iluminavam um ―ponteiro e, com isso, provocavam sombras em um papel
milimetrado, simulando um ―ponto do ciclo trigonométrico em movimento e
suas projeções, seno e cosseno.
O segundo experimento, roda com caneta a laser, foi concebido com o objetivo
de estabelecer uma ligação entre o ciclo trigonométrico e as funções seno e
cosseno. O equipamento foi construído em madeira e possuía duas rodas
acopladas. Em uma delas foi fixado um disco metálico com um suporte para
uma caneta com a ponta de luz a laser. Girando a roda, a caneta a laser
projetava luz sobre um anteparo no qual era possível observar o aparecimanto
da função cosseno compondo dois movimentos: o circular da roda e um
retilíneo do conjunto todo. O terceiro experimento, pêndulo de areia, era um
pêndulo preso a uma haste metálica suspensa sobre uma mesa e um rolo de
papel do tipo formulário contínuo para computador. Quando o pêndulo se
move, forma-se um rastro com a areia sobre o rolo de papel. Os experimentos
40
MarinêsYolePoloni
foram concebidos de modo a auxiliar os alunos a explorarem caracteríscticas
da situação posta, investigando o tipo de movimento, a periodicidade, etc.
Quanto ao mundo do computador, a autora usou os softwares CabriGéomètre
II e o Graphmatica for windows. No software Cabri-Géomètre, a autora criou
arquivos contendo o círculo trigonométrico e, nele, um ponto móvel P. O aluno,
ao movimentar o ponto ao longo do círculo, podia observar as projeções de P
sobre os eixos, associando cada arco ao seno e ao cosseno correspondente.
No software Graphmática, ela procurou viabilizar a exploração do gráfico das
funções a partir de suas representações algébricas.
Lobo da Costa (1997) partiu do pressuposto de que se pode ensinar as
funções trigonométricas de maneira significativa e trabalhou este tema com
dois grupos de alunos sendo que para um deles, o assunto foi iniciado por
atividades no computador e a continuidade foi com manipulações no que a
autora denominou de ―mundo experimental‖ e, para o outro grupo, a
metodologia foi invertida. O objetivo era identificar qual a ordem de introdução,
por contextos, que se apresentaria mais eficaz para a aprendizagem. Para isso,
foram aplicados três testes escritos: o primeiro antes de iniciar a atividade, o
segundo ao término das atividades de um dos contextos e o último ao final do
estudo. As análises foram feitas sob os seguintes pontos de vista: desempenho
dos grupos e dos sujeitos nos testes, taxa de variação de acertos por grupo,
análise dos testes por objetivo, desempenho dos grupos nos itens, sua taxa de
variação e análise dos erros e procedimentos. Nas conclusões desse trabalho,
Lobo da Costa observou que, para os dois grupos, foi possível fazer o jogo de
quadros – do geométrico para o funcional – possibilitando ainda a utilização de
múltiplas representações das funções e a ligação entre os diversos registros –
algébrico, numérico e gráfico. As análises da autora apontaram um crescimento
constante na aprendizagem de ambos os grupos. A pesquisa de Lobo da Costa
contribuiu para que neste estudo fossem programadas atividades envolvendo
tanto atividades inspiradas no ―mundo experimental‖ quanto no mundo do
computador. O objetivo do trabalho de Weber (2005), que gerou o artigo
Students‟ Understanding of Trigonometric Functions era a buscar entender a
compreensão dos alunos a respeito dos objetos matemáticos por meio de
cálculos. Por exemplo, a compreensão do seno pode se dar pelo cálculo do
41
MarinêsYolePoloni
valor do seno de alguns ângulos quando observadas suas projeções no círculo
trigonométrico. O autor também usou dois grupos de estudantes. O primeiro
grupo, de 31 alunos, frequentou um curso trigonometria em uma universidade
regional no sul dos Estados Unidos. O professor desta turma tinha 30 anos de
experiência na universidade e não estava envolvido no estudo. Por meio de
entrevista, o professor alegou que ele ministrou o curso usando "métodos
tradicionais" e seguindo o livro didático linearmente. O segundo grupo de 40
estudantes estava matriculado em uma seção separada de trigonometria na
mesma faculdade e no mesmo período de tempo. Quem ministrou as aulas foi
o próprio autor usando a seguinte metodologia: O estudante primeiro aprendia
a fazer uma operação como um procedimento ou como um algoritmo de passoa-passo. Nesta fase, o procedimento é altamente mecânico e pode ser
relativamente insignificante para o aluno. Se posteriormente é dada, ao aluno,
a oportunidade de refletir a respeito do procedimento ele pode vê-lo como um
método significativo concebido para realizar um objetivo matemático particular.
Um estudante que compreende uma operação como um processo pode
começar a antecipar seus resultados sem aplicação de cada dos seus passos.
Ele também pode raciocinar sobre as propriedades que o processo deve ter. A
instrução experimental de Weber foi com base nessa trajetória de aprendizado
e foram seguidos os seguintes procedimentos:
• seno e cosseno usando o modelo de círculo unitário no computador;
• tangentes usando um gráfico cartesiano no computador;
• senos, cossenos e tangentes usando triângulos retângulos no computador ;
• senos, cossenos e tangentes utilizando ângulos de referência (baseados no
círculo trigonométrico ) ; e
• representar graficamente as funções de seno, cosseno, tangente. Weber
(2005) observou uma melhor compreensão em estudantes quando foram
submetidos a uma instrução sob o prisma de processo–objeto. A conclusão
sobre essa compreensão foi com base na observação dos dois grupos,
descritos acima. Nossas leituras chegaram ao estudo qualitativo exploratório da
tese de doutoramento de Quintaneiro (2013), da Universidade Anhanguera de
São Paulo, intitulado: Corporeidade e gráficos cartesianos: a variável tempo em
fenômenos periódicos. O autor buscou investigar e analisar a evolução do
discurso matemático de alunos do Ensino Médio interagindo num ambiente,
42
MarinêsYolePoloni
quando discutiam a respeito de gráficos de fenômenos periódicos. O ambiente,
que recebeu o nome de Contexto Interativo de Aprendizagem era composto
pelas tarefas, tecnologias digitais e as interações entre os participantes do
mesmo. Sua investigação privilegiou os diálogos nesse ambiente. As tarefas e
o desenvolvimento e uso das tecnologias foram pensadas a partir das
hipóteses do autor acerca da importância dos discursos e de experiências
sensório motoras de acordo com a Teoria da Cognição Corporificada e o
Modelo da Estratégia Argumentativa; dentro de uma perspectiva de que mente
e corpo são indissociáveis. A metodologia adotada foi Design Research que
permitiu testar hipóteses e fazer modificações durante o andamento de sua
pesquisa. Seus resultados indicaram que os estudantes levantaram várias
propriedades sobre a natureza dos gráficos envolvendo fenômenos periódicos.
Os alunos participaram ativamente do ambiente no qual o debate foi
inicialmente provocado pelo pesquisador partindo de possibilidades de
explorações corpóreas com applets e calculadoras com sensores de
movimento. Os resultados sugerem que o professor apresente aos seus alunos
tarefas provocativas que levem o grupo a discutir sobre a variável tempo e
sobre a decomposição de movimentos circulares .
43
MarinêsYolePoloni
Capítulo II
2. Fundamentação teórica
Nesse capítulo, apresentamos os construtos teóricos que embasam as
análises desta pesquisa. Para osaspectos relacionados aos conhecimentos
necessários para a docência de forma a compreender como são desenvolvidos
e apresentados, buscamos suporte teórico em Shulman (1986; 1987), Mishra e
Koehler (2006),Ball, Thames and Phelps (2008), e Koehler e Mishra (2009). Além
dos conhecimentos mobilizados pelos professores, suscitamos reflexões
acerca do processo de ampliação de conhecimentos profissionais feita pelos
participantes, sujeitos deste estudo.
Na sequência, para subsidiar a metodologia do estudo, optamos pelo
Design-Based Research, na perspectiva de Cobb (2001).
2.1 Formação continuada
Segundo Fiorentini et al(2001), existe uma crescente tendência das
pesquisas a respeito do conhecimento profissional docente na formação de
professores. Segundo o autor, na década de 60, as pesquisas valorizavam
quase que exclusivamente o conhecimento específico do professor sobre a
disciplina que ensina. Já na década de 70, houve uma maior valorização dos
aspectos didático-metodológicos passando, para um segundo plano, o domínio
dos conteúdos. Os anos 80 foram dominados pela dimensão sociopolítica e
ideológica da prática pedagógica e os anos 90 foram marcados pela busca de
novos enfoques para a compreensão da prática docente e dos conhecimentos
dos professores. Segundo o autor, tais enfoques ainda são pouco valorizados
nas pesquisas e programas de formação de professores.
Nas décadas de 70 e 80, segundo Fiorentini e Nacarato (2005), os
cursos de formação continuada de professores recebiam o nome de
―reciclagem‖ e eram tratados como treinamento, aperfeiçoamento de professor
com técnicas e metodologias de ensino de matemática.Nessa época,
acreditava-se que os professores, com o tempo, ficavam defasados tanto em
44
MarinêsYolePoloni
conteúdos quanto em metodologias e não eram capazes de produzir novos
conhecimentos, por si mesmos, nem de se atualizar a partir de suas próprias
práticas. Dessa forma, eles necessitavam dos conhecimentos produzidos por
especialistas para melhorarem seu conhecimento profissional.
Nos anos 90, estudos acerca do pensamento do professor, produziram
como resultados: (i) os professores também produzem, a partir de sua prática,
conhecimentos profissionais relevantes e (ii) os cursos sob o modelo da
racionalidade técnica17 pouco acrescentavam ao docente em sua prática de
sala de aula.
Pelo
documento
intitulado
―Referências
para
a
formação
de
Professores‖, podemos constatar que o Ministério da Educação (MEC) tem se
preocupado com a questão da melhoria da qualidade da educação brasileira.
Esse documento afirma que tal melhoria depende, em grande parte da
melhoria do trabalho do professor. (BRASIL, 2002, p. 6).
Em relação às questões da sociedade brasileira, esse documento afirma
que:
A realidade brasileira, complexa e heterogênea, não permite que a
formação de professores seja compreendida como um processo
linear, simples e único. Por um lado, dada a grande diversidade
cultural característica de nosso país, as peculiaridades regionais e as
especificidades das populações e grupos atendidos pela escola é
necessário que se construam diferentes caminhos para elevar a
qualidade da educação. Por outro lado, demandas de formação
apresentam diferenças regionais substanciais: há lugares em que um
número considerável de profissionais continua sendo habilitado sem
que haja vagas correspondentes no mercado de trabalho; em outros
lugares, ao contrário, pela ausência de profissionais habilitados,
muitas pessoas precisam assumir a função sem ter formação
específica (BRASIL, 2002, p. 16-17).
Ou seja, as questões estruturais, econômicas e sociais do nosso país
são diversas e, dessa forma, não permitem que a formação de professores seja
um processo simples, linear e homogêneo.
Como consequência da insuficiente formação continuada de professores
e da distância do que seria desejável, existe um grande número desses
profissionais oriundos de cursos de licenciatura em Matemática que têm
17
Segundo Fiorentini (1995), a formação tecnicista parte do pressuposto que a matemática consiste
basicamente no desenvolvimento de habilidades , na fixação de conceitos estimulados por atividades que
facilitem a memorização dos fatos e exercícios operantes para desenvolver habilidades e atitudes
computacionais e manipulativas, capacitando o aluno a resolução de exercícios ou de problemas padrões.
45
MarinêsYolePoloni
práticas pedagógicas que não se adéquam às demandas da sociedade
moderna.
Os PCN, em relação a esse fato, preconizam que:
Parte dos problemas referentes ao ensino de Matemática estão
relacionadas ao processo de formação do magistério, tanto em
relação à formação inicial como à formação continuada. Decorrente
dos problemas da formação de professores, as práticas na sala de
aula tomam por base os livros didáticos, que, infelizmente, são muitas
vezes de qualidade insatisfatória (BRASIL, 1997, p.24).
Para Pietropaolo (2002, p. 34), ―Discutir a formação de professores de
Matemática pressupõe, certamente, discutir também os currículos de
Matemática prescritos para a escola básica‖.Concordamos com o autor quando
diz que:
A comunidade de educadores de matemática parece concordar sobre
a necessidade da articulação nas discussões sobre a ―formação de
professores‖ e a ―Matemática na estrutura curricular‖. [...] pudemos
verificar um consenso: os PCN traduziriam as aspirações de grande
maioria de educadores matemáticos brasileiros, sobre as questões de
ensino-aprendizagem de Matemática e, sobretudo, constituíram um
importante referencial para a formação de docentes (PIETROPAOLO,
2002, p. 34).
Dessa forma entendemos ser necessário que o professor se aproprie
dos conhecimentos que envolvam o conteúdo de Matemática além de refletir a
respeito de sua prática pedagógica. Discussões a respeito dessas questões
têm recebido prioridade nos últimos anos como podemos constatar em, Brasil
(2002):
Profissionais da educação e de muitos outros setores da sociedade
vêm colocando em discussão a concepção de educação, a função da
escola,a relação entre conhecimento escolar e a vida social e cultural
– e, portanto, o trabalho profissional de professor. Ao mesmo tempo
em que se propõe uma nova educação escolar, um novo papel de
professor está sendo gestado a partir de novas práticas pedagógicas,
da atuação da categoria e da demanda social (BRASIL, 2002, p. 16).
Dessa forma, os cursos de formação continuada de professores
devem considerar a atuação do professor na formação do raciocínio dedutivo
do aluno para que este possa aplicar seus conhecimentos tanto na resolução
de problemas de seu cotidiano quanto na construção de novos conhecimentos
em outras ciências.
O MEC se manifesta a favor da reconstrução de práticas pedagógicas
pelos professores:
46
MarinêsYolePoloni
Entretanto, apesar do empenho de muitos e do avanço das
experiências já realizadas, há uma enorme distância – e não apenas
no Brasil – entre o conhecimento e a atuação da maioria dos
professores em exercício e as novas concepções de trabalho do
professor que esses movimentos vêm produzindo. Trata-se, portanto,
não apenas de realizar melhor a formação, mas de realizá-la de uma
maneira diferente. Tais mudanças exigem, dentre outras questões,
que os professores reconstruam suas práticas e, para isso, é preciso
―construir pontes‖ entre a realidade de seu trabalho e o que se tem
como meta (BRASIL, 2002, p. 16).
Dessa forma, entendemos que o professor, por meio de cursos de
formação continuada, deve reconstruir suas práticas a fim de melhorar a
qualidade do ensino oferecido. Em outras palavras, o que se espera do
professor é que ele esteja aberto a novas práticas e que seja capaz de
harmonizar o conteúdo que ensina com metodologias inovadoras, refletindo,
permanentemente, a respeito dos resultados obtidos.
Pensando dessa forma, para que existam profissionais com as
características do ―professor total‖18 (Fullan e Hargreaves, 2000) e que tenham
também os conhecimentos elencados por Shulman (1986) em sua Knowledge
Based Theory, entende-se a necessidade de existirem programas de formação
continuada constantes em que os professores estejam realmente envolvidos,
ou seja, programas colaborativos nos quais os participantes sejam, ao mesmo
tempo, professores, alunos e pesquisadores da suas práticas para que, por
meio da reflexão, adquiram mais confiança para exercerem sua profissão.
Percebe-se também que a ideia deformação ainda está muito presa ao
―frequentar cursos‖, porém, segundo Ponte (1998), o desenvolvimento
profissional ocorre por meio de múltiplas formas, incluindo cursos, mas também
atividades como projetos, trocas de experiências, leituras, reflexões, entre
outras:
Na formação o movimento é essencialmente de fora para dentro,
cabendo ao professor assimilar os conhecimentos e a informação que
lhe são transmitidos, enquanto que no desenvolvimento profissional
temos um movimento de dentro para fora, cabendo ao professor as
decisões fundamentais relativamente às questões que quer
18
Os professores totais não são professores perfeitos Os professores estão tambéminteressados em
manter a saúde e em controlar seu estresse. Estão interessados em não se desgastar e em proporcionar
a si mesmos espaços para respirar, de modo a recuperar-se, dando aos alunos atividades que realizem
sentados e que sejam rotineiras, por exemplo. A maioria dos professores reconhece a importância de
envolverem ativamente os alunos em sua aprendizagem, mas também enxergam a necessidade de
acalmar esses alunos com trabalhos mais tranquilos, caso se entusiasmem demais com alguma lição ou
atividade (FULLAN & HARGREAVES, 2000, p. 50)
47
MarinêsYolePoloni
considerar, aos projetos que quer empreender e ao modo como os
quer executar (Ponte, 1998, p.2).
Assim espera-se que o professor, ao longo de sua carreira, seja
protagonista de sua formação e de seu desenvolvimento profissional. Como
uma formação continuada também inclui cursos de formação, vale ressaltar
que nela, deve-se promover a articulação com a prática de sala de aula além
do espaço para reflexão em grupo com embasamento teórico (Poloni, 2010).
Tais discussões e trocas de experiências podem levar ao aperfeiçoamento das
práticas educativas e a uma aproximação maior do profissional com o
―professor total‖ (Fullan & Hargreaves, 2000).
Segundo Imbernón (2009, p. 49), a formação continuada, deve ―fomentar
o desenvolvimento pessoal, profissional e institucional do professorado,
potencializando um trabalho colaborativo para mudar a prática‖. Para esse
autor, as condições para que a formação continuada possa colaborar
verdadeiramente para o desenvolvimento profissional do professor são:
existência de reflexão sobre a prática em um contexto determinado e uma
maior autonomia na formação com a intervenção direta dos professores. Dessa
forma, uma formação continuada deve organizar-se de modo a perpassar por
uma compreensão do currículo, das grandes mudanças do contexto social, da
rápida implantação de novas tecnologias da informação, da integração escolar
de crianças diferentes, da forma de organização das instituições escolares, do
respeito ao próximo e do fenômeno intercultural. (IMBERNÓN, 2010, p.48)
Todas essas características vão ao encontro das ideias que Shulman
(1986) apresentou em sua teoria e também do conceito de ―professor total‖ de
Fullan e Hargreaves (2000).
Para Imbernón (2010, p.49) uma formação continuada deve centrar-se
em cinco grandes linhas quais sejam:
1. A reflexão prático-teórica sobre a própria prática, mediante uma
análise da realidade educacional e social de seu país, sua
compreensão, interpretação e intervenção sobre a mesma realidade.
A capacidade dos professores de gerar conhecimento pedagógicopor
meio da análise da prática educativa.
2. A troca de experiências, escolares, de vida, etc. e a reflexão entre
indivíduos iguais para possibilitar a atualização em todos os campos
de intervenção educacional e aumentara comunicação entre os
professores.
3. A união da formação a um projeto de trabalho, e não ao contrário
(primeiro realizar a formação e depois um projeto).
48
MarinêsYolePoloni
4. A formação como arma crítica contra práticas laborais como a
hierarquia, o sexismo, a proletarização, o individualismo e etc., e
contra práticas sociais, como a exclusão e a intolerância.
5. O desenvolvimento profissional da instituição educacional mediante
o trabalho colaborativo, reconhecendo que a escola está constituída
por todos e coincidimos na intenção de transformar essa prática.
Possibilitara passagem da experiência de inovação isolada e celular
para a inovação institucional.
Dessa forma, na profissão docente, o professor necessita mobilizar uma
gama de conhecimentos a fim de planejar, desenvolver e avaliar suas ações
pedagógicas. Trata-se de um contexto de atuação, reflexão e investigação das
próprias práticas.
Os estudos a respeito do professor, no tocante ao conhecimento
profissional, sua formação e seu desenvolvimento mostram que o papel
profissional é de grande complexidade, uma vez que, novas práticas de ensino
constantemente estão sendo utilizadas em todo o mundo a fim de melhorar os
processos de ensino e de aprendizagem. Para a formação que empreendemos
nessa pesquisa, procuramos atender aos quatro primeiros princípios de
Imbernón
(2010) citados acima.
O
quinto
princípio
diz respeito ao
desenvolvimento profissional da instituição educacional como um todo, num
trabalho colaborativo. Não nos ativemos nele, pois o foco de nossa pesquisa é
o professor e não a instituição de ensino.
2.2Conhecimento profissional docente
Nos dias atuais, existe a preocupação de que o ensino esteja voltado
para a construção da cidadania. Espera-se do ensino um enfoque relacionado
ao aprender a conhecer, aprender a fazer, aprender a conviver e aprender a
ser que são asnecessidades apresentadas pelo mundo atual. Da formação
inicial de professores de Matemática espera-se o papel de, além de formar um
professor para ensinar Matemática, formar também um indivíduo que assuma a
postura de um profissional crítico, criativo e dinâmico.Nesse sentido, os
professores necessitam de uma base de conhecimentos para servir como
alicerces nas tomadas de decisões e na realização do seu trabalho de ensinar.
Essa base de conhecimentos é constituída por um conjunto de compreensões,
49
MarinêsYolePoloni
conhecimentos, habilidades e disposições necessárias para atuação efetiva em
situações específicas de ensino e de aprendizagem. Para a construção dessa
base de conhecimentos, vários pesquisadores como Shulman (1986), Mishra e
Koehler (2006) e Ball, Thames & Phelps (2008) propuseram modelos para
explicar suas posições sobre os conhecimentos pedagógicos e tecnológicos
necessários ao conteúdo específico.
Entretanto,nenhuma formação inicial, por melhor que seja, pode dar
conta de formar o ―professor total‖,no sentido de Fullan e Hargreaves (2000),
no curto espaço de tempo de que se dispõe. Além disso, muitos saberes do
professor, advêm da prática pedagógica (Tardif, 2002) e não podem ser
aprendidos nos bancos escolares com aulas basicamente teóricas e uma
experiência restrita da docência no Estágio Supervisionado. Dessa forma, para
que o ensino esteja focado no aprender a conhecer, aprender a fazer, aprender
a conviver e aprender a ser, a formação continuada tem-se mostrado como
uma necessidade para a melhoria da educação no país. Assim, compreende-se
a formação continuada do professor de Matemática como uma necessidade da
sociedade, uma vez que se deseja um ―professor total‖ numa ―escola total‖ 19
(Fullan & Hargreaves, 2000).Desejar um ―professor total‖ numa ―escola total‖
significa desejar um professor com suascrenças, objetivos e valores; o
professor como pessoa, com as suas particularidades; o contexto no qual o
professor trabalha; e as relações de trabalho que o professor tem com os seus
colegasdentro e fora da escola. A escola, que é o lócus de trabalho do
professor, deve ser um ambiente no qual as pessoas se desenvolvam a partir
da interação cooperativa com todas as pessoas que a frequentam.
Ressaltamos, além das características do ―professor total‖ elencadas por
Fullan& Hargreaves (2000),ser necessário considerar que esse profissional
utiliza, em seu trabalhodocente, os conhecimentosdetalhados nas páginas
dedicadas às contribuições dos autores do nosso aporte teórico.Vale dizer
quetais conhecimentos são essenciaispara a atuação em sala de aula, apesar
da complexidade dos diversos fatores que envolvem o exercício daprofissão
docente.
19
Segundo Fullan & Hargreaves (2000), escola total é o conceito de escola na qual as pessoas não se
desenvolvem em isolamento. O desenvolvimento ocorre na interação com outros indivíduos os quais
podem exercer influência positiva ou negativa.
50
MarinêsYolePoloni
Um dos pioneiros na pesquisa sobre o conhecimento profissional foi
Shulman dado que,emseus estudos da década de 80, constatou, na área da
formação docente, não haver muitas pesquisas sobre o conhecimento do
professor. O que havia, nessa época, era uma quantidade significativa de
pesquisas versando predominantemente a respeito da prática docente,
estudando o ato de ensinar ou como os alunos aprendiam. Com os olhos
voltados para professor, Shulman (1986) desenvolveu uma teoria, denominada
Knowledge Base Theory – teoria da base de conhecimentos - focada nos
diversos conhecimentos desse profissional que para exercer sua profissão,
deve não só saber o conteúdo a ser ensinado, mas também qual a melhor
forma de ensinar tal conteúdo. Tais conhecimentos se transformam com o
passar do tempo e com a introdução das novas tecnologias na escola, novas
demandas da sociedade e etc. Dessa forma, assim como Ponte (1998),
entendemos que o professor, para o exercício da sua atividade, tem seu
conhecimento profissional num movimento constante de construção e
reconstrução que ocorre durante toda a sua carreira docente. Esse movimento
de construção e reconstrução acompanha a evolução dos costumes, crenças,
concepções e tecnologias posto que se fazem presentes na sociedade na qual
este professor atua.
O conhecimento profissional dos professores para o ensino tem sido
tema de muitas pesquisas. Existe um consenso de que os estudos a respeito
da formação de professores têm assumido um grau de relevância cada vez
maior nos últimos anos. Há pesquisas, como as de Ponte (1998), Garcia (1999)
dentre outros, focadas nos conhecimentos que os professores têm do
conteúdo, do currículo, das teorias de aprendizagem, do instrucional, do que
esses professoresconhecem a respeito de seu aluno e do que eles entendem a
respeito da relação estabelecida entre teoria e prática para o desenvolvimento
de práticas de ensino. Dentre esses estudiosos, não poderíamos nos esquecer
de Dewey (1933), visto que contribuiu muito positivamente a favor do ensino
como uma atividade prática, uma vez que seu princípio pedagógico era
aprender mediante ação e sua proposta era de formar um professor reflexivo
com habilidade de busca e investigação.
Quanto aos conhecimentos necessários ao professor para ensinar,
escolhemos como eixo principal as pesquisas desenvolvidas por Shulman
51
MarinêsYolePoloni
(1986, 1987) e estudos os quais se desenvolveram a partir dele:Mishra e
Koehler (2006) e Ball, D.L.; Thames, M.H.&Phelps, G.(2008)que, voltamos a
repetir, escolhemos como parâmetros para a análise dos resultados obtidos ao
longo de nosso estudo.
2.2.1 Contribuições de Shulman: o conhecimento pedagógico do conteúdo
(PCK)
Na década de 60, as pesquisas a respeito da formação de professores
eram voltadas, basicamente,para os conhecimentos que os professores
deveriam ter a respeito de sua disciplina. Posteriormente, o foco deixou de ser
―o que ensinar‖ para ser o ―como ensinar‖.
Shulman (1986) foi um dos primeiros pesquisadores dos conhecimentos
docentes.A partir do que chamou de missing paradigm (paradigma perdido)20,
Shulman analisou as questões relacionadas com a maneira como os
professores transformam em ensino os conteúdos específicos que dominam.
Em suas investigações a respeito de como estudantes21 aprendem a
ensinar, Shulman (1986) concentrou sua atenção sobre os tipos de habilidades
e conhecimentos necessários para o ensino, identificando categorias de uma
base de conhecimentos necessária para fundamentar a compreensão do
conteúdo pelos professores, a fim de promover uma adequada compreensão
também por parte dos alunos. Suas pesquisas levaram-no a desenvolver, em
1987,uma teoria denominada por ele de knowledge base theory. Tal
teoriaversa a respeito da base de conhecimentos que um professor deve
articular para promover o ensino e a aprendizagem de seus alunos. Shulman
(1986) divide o conhecimento docente em categorias:
20
21
(i)
conhecimentoespecífico do conteúdo a ser ensinado;
(ii)
conhecimento pedagógico geral;
(iii)
conhecimento do currículo a ser trabalhado;
(iv)
conhecimento pedagógico do conteúdo disciplinar;
(v)
conhecimento dos alunos e de suas características cognitivas;
Tradução da autora.
Os estudos de Shulman (1986) aqui referidos envolveram professores iniciantes de disciplinas distintas:
Inglês, Biologia, Matemática e Estudos Sociais.
52
MarinêsYolePoloni
(vi)
conhecimento dos contextos educacionais;
(vii)
conhecimento dos fins, propósitos e valores educacionais.
Essas categorias foram reagrupadas,pelo autor, da seguinte forma:
conhecimento
específico
do
conteúdo
–
conteúdo
–
subjectmattercontentknowledge
conhecimento
pedagógico
do
pedagogicalcontentknowledge
conhecimento curricular - curricular knowledge
Para Shulman (1986), a base de conhecimento que um professor
necessita para ensinar, refere-se a um corpo de conhecimento profissional que
possa guiar o profissional em suas decisões quanto ao conteúdo a ser
ensinado e à forma de ensinar, abrangendo o conhecimento pedagógico da
disciplina.
Nesse modelo, Shulman (1986) entende que estas vertentes referem-se
à organização do conhecimento na mente do professor, porém exigem, por
parte desse profissional, a compreensão das estruturas em que se organizam
os princípios da disciplina. O autor enfatiza ser necessário que o professor
conheça, não apenas os procedimentos do conteúdo, mas saber justificá-los e,
além disso, ter um olhar global sobre o currículo a ponto de ser capaz de extrair
os conteúdos centrais da disciplina. Esses fatores são, para ele, primordiais no
exercício da função de professor.
Shulman (1986) entende o (i) conhecimento específico do conteúdo –
subjectmattercontentknowledge - como o conhecimento do conteúdo da
disciplina e sua organização. O autor considera importante, para o professor,
compreender a disciplina que vai ensinar a partir de diferentes perspectivas,
além de estabelecer relações entre vários tópicos do conteúdo disciplinar e
entre sua disciplina e outras áreas do conhecimento. Para o autor, o
conhecimento específico do conteúdo engloba também o conhecimento para
ensinar, ou seja, o aquele relativo aos significados dos conteúdos e os diversos
modos de organizá-los na mente do professor. Oconhecimento específicodo
conteúdo requer não apenas um saber do conteúdo por parte do professor;
mas, além disso, uma compreensão das estruturas da disciplina que
53
MarinêsYolePoloni
develecionar. Segundo Shulman (1986),
...os professores devem não apenas ser capazes de definir para os
estudantes as verdades aceitas em um domínio. Eles devem também
ser capazes de explicar por que uma proposição particular é
considerada justificada, porque vale à pena conhecer, e como se
relaciona com outras proposições, tanto no âmbito da disciplina ou
fora dela, tanto na teoria quanto na prática.22 (tradução da autora)
Esse excerto evidencia a importância do conhecimento específico do
conteúdo para subsidiar o ensino. Assim sendo, no caso do conteúdo
Trigonometria, ao se ensinar as razões trigonométricas no triângulo retângulo,
é interessante que o professor conheça e dê foco ao cálculo de distâncias
inacessíveis,a fim de que ele possa justificar para seus alunos o porquê desse
conhecimento.
ParaShulman (1986), os professores necessitam ter um conhecimento
do conteúdo que não seja apenas intuitivo. Para o autor, conhecer bem o
conteúdo significa conhecê-lo em profundidade, tê-lo mentalmente organizado,
com informações atualizadas, conhecimento de diversos pontos de vista
inclusive das consequências sociais que esse conhecimento pode produzir.
Para auxiliar a aprendizagem de seus alunos, os professores devem
compreender formas diferenciadas de representar o conteúdo e de transformálo considerando também suas aplicabilidades, tanto no domínio interno quanto
em outros contextos, e os propósitos de ensino.No caso do ensino de
Trigonometria, o professor precisa ter conhecimento de que o estudo das
funções trigonométricas e sua representação gráfica podem ser relacionados
aos movimentos periódicos de um pêndulo, por exemplo.
O conhecimento do conteúdo específico é necessário para que o
professor possa exercer sua função, entretanto só esse conhecimento não é
suficiente para que o conteúdo seja ensinado e aprendido, pelos alunos, com
sucesso.
Assim, Shulman (1986), define o conhecimento pedagógico geral –
pedagogical contet knowledge - como aquele conhecimento ―[...] que leva em
conta especialmente os princípios e estratégias de manejo e organização da
22
…Teachers must not only be capable of defining for students the accepted truths in a domain. They
must also be able to explain why a particular proposition is deemed warranted, why it is worth knowing,
and how it relates to other propositions, both within the discipline and without, both in theory and in
practice.(p.9)
54
MarinêsYolePoloni
aula que vão além do conteúdo abordado23” (tradução livre da autora).
Para o autor,esse conhecimento incorpora a visão que o professor tem
do conhecimento da disciplina como conhecimento a ser ensinado, suas
concepções e crenças incluindo ainda as diversas formas de apresentar e
abordar o conteúdo a fim de torná-lo compreensível para os alunos. Em relação
ao ensino de Trigonometria, por exemplo, muitos professoresfazem uso de
tabelas de fórmulas e fichas para auxiliar a memorização a ser feita pelo aluno,
acreditando ser uma metodologia eficiente para que o estudante resolva os
problemas que lhe serão apresentados em avaliações. Entretanto, é
fundamental auxiliar o estudante a dar significado aos conceitos e saber
justificar procedimentos e afirmações, nesse sentido, é importante também
auxiliar o aluno a demonstrar as fórmulas que comumente são utilizadas nas
resoluções de problemas de Trigonometria eelaborar, para os estudantes,
roteiros a fim de fazê-los utilizaremsoftwares de geometria dinâmica. Além
disso, ensinar o aprendiz a fazer construções geométricas com papel, lápis,
compasso e outros tantos materiais didáticos pode auxiliar na compreensão
dos conceitos que estão sendo abordados.
Para Shulman (1986), o conhecimento pedagógico geral é um conjunto
de conhecimentos que caracterizam o professor, pois incluem aspectos de
racionalidade técnica24 associados à capacidade de improvisação, julgamento
e intuição. Desta forma, entende-se ser esse conhecimento que caracteriza o
professor, pois exibe a sua visão do conteúdo, suas formas de representá-lo a
fim de torná-lo compreensível para os outros. Inclui também sua intuição ao
perceber que determinada representação do conteúdo foi mais eficiente ou
menos eficiente para o objetivo esperado, ou seja, a compreensão do outro.
Em outras palavras, esse conhecimento, a depender da característica do
professor, pode facilitar a aprendizagem de conteúdos pelos alunos. Segundo
Garcia (1992), deve-se pensar em formas mais apropriadas de representações
do conteúdo para cada grupo dealunos e em cada contexto. Não se pode
ensinar, por exemplo, funções trigonométricas, nos dias atuais, da mesma
forma que se ensinava há trinta anos. Hoje, existem softwares de geometria
23
Conocimiento didáctico general, teniendo en cuenta especialmente aquellos principios y estratégias
generales de manejo y organización de la clase que trascienden el ámbito de la asignatura. (p.11)
24
A racionalidade técnica é compreendida como um conjunto de princípios gerais e conhecimentos
científicos para um ensino onde a prática é entendida como a aplicação da teoria e técnicas científicas.
55
MarinêsYolePoloni
dinâmica que podem fazer o aluno estabelecer relações entre os gráficos de
diversas funções em poucos minutos, enquanto que, há trinta anos, o aluno
construía cada gráfico, geralmente plotando pontos. Essa metodologia
demandava um tempo bem maior, o que inviabilizava o estudo, pelo aluno, de
várias funções de modo poder estabelecer comparações e perceber, por
exemplo, o que as constantes a, b, c e wfaziam variar o gráfico dafunção y =
a+ b.sen(wx + c).
Segundo Shulman (1986), o professor deve conhecer bem seus alunos,
suas diferenças culturais e sociais e, dessa forma, procurar modelos de ensino
diferentes a fim de atingir a todos. O autor já apontava quecabe ao professor
conhecer,não
só
o
conteúdo
que
ensina,
mas
também
as
várias
representações do mesmo de forma a proporcionar aprendizagem a seus
alunos. “(...) Eles devem ter dois tipos de conhecimento da matéria:
conhecimento da área tanto em seus aspectos genéricos quanto em suas
especificidades e conhecimento de como ajudar seus estudantes a entender a
matéria”. (Wilson; Shulman; Richert, 1987, p. 109).
Para o Shulman (1986), o conhecimento do conteúdo da disciplina que
ensina não é suficiente para o professor obter sucesso na sua tarefa de
ensinar. O autor entende que o professor deve ser detentor de um
conhecimento mesclado tanto pelo que ele denominou de ―conhecimento
específico do conteúdo‖ quanto pelo que foi caracterizado por ele como
―conhecimento pedagógico geral‖. A esse amálgma, o autor deu o nome de
―conhecimento pedagógico do conteúdo‖.
Para Shulman (1986), o (ii) conhecimento pedagógico do conteúdo –
pedagogicalcontentknowledge– envolve não apenas o conhecimento do objeto,
mas o conhecimento de como fazê-lo compreensível ao entendimento de seus
alunos. Engloba as diversas formas de representar esse objeto seja por forma
de esquemas ilustrações, demonstrações, exemplos, decidindo qual deles
utilizar e o momento mais adequado para fazê-lo.
[...] as formas mais usuais de representar as ideias, as mais
poderosas analogias, ilustrações, exemplos, explicações, e
demonstrações – em uma palavra, os caminhos de representar e
56
MarinêsYolePoloni
formular um assunto para fazê-lo compreensível para os outros. 25
(tradução da autora)
O autor defende que esse tipo de conhecimento é exclusivo dos
professores e os distinguede outros profissionais que também fazem uso das
ferramentas da Matemática. Para o autor, é um conjunto de conhecimentos e
capacidades asquais caracterizam o professor como tal. Elas incluem aspectos
de racionalidade técnica associados à capacidade de improvisação, julgamento
e intuição, além de um processo de raciocínio e ação pedagógica,que permite
aos professores recorrer a seus conhecimentos do conteúdo,a fim de ensinar
um tópico e elaborar planos de ação diante de situações pedagógicas não
previstas.
As decisões de um professor vêm de um processo contínuo de
investigação, além de estarem também pautadas na experiência docente. Cabe
a ele fazer uso de estratégias de ensino variadas a fim de propiciar a
organização desses conceitos para a aprendizagem de seus alunos. No caso
da Trigonometria, por exemplo, o conceito de radiano pode ser ensinado com
diferentes estratégias que vão desde a utilização de compasso e barbante até
a definição formal encontrada nos livros didáticos.
O conhecimento pedagógico do conteúdo é aprendido pelo professor no
decorrer do exercício de sua profissão e vai sendo ampliado e aprimorado
constantemente.
Para Shulman (1986),esse é o conhecimento que distingue o saber do
conteúdo de um especialista em uma determinada área do saber de um
professor da mesma área, ou seja, para o autor, o conhecimento pedagógico
do conteúdo inclui um entendimento do que torna a aprendizagem de um
determinado tópico mais fácil ou mais difícil, inclui também o conhecimento do
aluno, e os conhecimentos prévios que cada um traz para dentro da sala de
aula.
A chave para identificar a base de conhecimentos do ensino reside
na interseção entre conteúdo e pedagogia, na capacidade do
professor transformar o conhecimento que possui em formas que são
pedagogicamente poderosas, mas adequadas à variedade
ehabilidades e contextos apresentados pelos seus alunos
(SHULMAN, 2005b, p. 21)
25
[...] most useful forms of representation of those ideas, the most powerful analogies, illustrations,
examples, explanations, and demonstrations – in a word, the ways of representing the formulating the
subject that make it comprehensible to others.(p. 9)
57
MarinêsYolePoloni
Para Shulman (1986),o conhecimento pedagógico do conteúdo é
particularmente interessante,pois representa a mistura entre o conteúdo, a
didática e a forma como elas se relacionam à forma de aprender dos alunos.
Assim sendo, trata-se de um conhecimento típico de um professor. Tal
conhecimento engloba o ―como ensinar‖ um tópico específico a um
determinado grupo de estudantes num certo contexto. Esse conhecimento
contempla as mais variadas representações, explicações e demonstrações,
analogias, comparações e ilustrações de um determinado tópico a ser
ensinado. Diante disso, o conhecimento pedagógico do conteúdo diz respeito à
forma como o professor conduz o processo de ensino, a forma flexível com que
trata o conteúdo e os ajustes realizados em concordância à capacidade de
compreensão de seus alunos, bem como di respeito também à seleção de
materiais e metodologias mais adequadas à aprendizagem dos aprendizes.
Para Shulman (1987), o raciocínio pedagógico de um professor, quanto
ao conteúdo que ensina, acontece em um processo subordinado tanto aos
métodos e estratégias para o ensino quanto aos seus efeitos.Segundo o autor,
esse processo contém seis fases: compreensão, transformação, instrução,
avaliação, reflexão e nova compreensão.
Na fase da compreensão, de acordo com Shulman (1987), espera-se
que o professor compreenda criticamente, de várias formas, quando possível, o
que vai ensinar. Para ele, o professor deve entender como determinados
tópicos se relacionam entre si, sejam eles da mesma área ou de áreas
diferentes, além de compreender os propósitos do ensino da disciplina.
Entretanto, segundo o autor, ter essa compreensão do conteúdo e de seus
propósitos, não distingue um professor de um outro profissional que utilize
ferramentas matemáticas em sua profissão.
A fase da transformação é, segundo Shulman (1987), o ponto forte do
amálgama do conteúdo e da pedagogia. Nela, o professor adapta as ideias
aprendidas e compreendidas por ele para serem ensinadas a seus alunos.
Segundo Shulman (1997), é neste processo de adaptação de ideias que reside
aessência do raciocínio pedagógico. Aqui, para o autor, há uma série de
atividades a serem desenvolvidas pelo professor, quais sejam: preparação de
materiais didáticos e interpretação do texto a ser utilizado; representação das
ideias principais na forma de analogias, metáforas, simulações e outros;
58
MarinêsYolePoloni
seleção demétodos de ensino; adaptações das ideias para contemplar a
diversidade de alunos que residem não somente nas habilidades, mas também
nas concepções, expectativas, culturas, motivações, e outros. (Shulman, 1987).
A terceira fase, instrução, decorre das duas fases anteriores. Ela,
segundo Shulman (1987), deve resultar num plano de estratégias para ensinar
um conteúdo. Nesta fase estão presentes os aspectos da pedagogia
envolvendo também a organização e gestão da sala de aula. O autor
conjectura que esta fase, a instrução, só acontece, para o professor, quando
este compreende o conteúdo e o transforma para ensinar, pois somente com
as duas fases anteriores estabelecidas é que as técnicas desta terceira fase
tornam-se acessíveis a ele.
A fase da avaliação, para Shulman (1987), deve fornecer ao professor
feedback das fases anteriores. Para entender a compreensão de um aluno a
respeito de um determinado conteúdo, o professor deverá ter uma profunda
compreensão
tanto
do
conteúdo
ensinado
quanto
do
processo
de
aprendizagem. Para o autor, a avaliação, como feedback, deve atingir também
o próprio ensino. Desta feita, o professor terá acesso à fase da reflexão.
Para Shulman (1987), a reflexão é:
[...] o que um professor faz quando ele ou ela revê o ensino e a
aprendizagem que ocorreu e reconstrói, reencena, e/ou recaptura os
eventos, as emoções, e as realizações. É um conjunto de processos
pelo qual um profissional aprende com a experiência. (SHULMAN,
1987, p 19)26.(tradução da autora)
O professor pode refletir em grupo ou individualmente revendo o ensino
e a aprendizagem que ocorreu. Segundo o autor, essas reflexões,
reencenações e reconstruções do ensino e da aprendizagem são processos
que o professor aprende com a experiência profissional.
Após esta reflexão, chega-se à fase da nova compreensão dos
propósitos do ensino, dos conteúdos a serem ensinados e também dos
processos pedagógicos relacionados aos conteúdos. Tal compreensão,
segundo Shulman (1987), não é automática, pois demanda estratégias de
documentação, análise e discussão. Todas essas fases que compõe o
raciocínio pedagógico do professor, não ocorrem obrigatoriamente nessa
26
... is what a teacher does when he or she looks back at the teaching and learning that has occurred, and
reconstructs, reenacts, and/or recaptures the events, the emotions, and the accomplishments. It is that set
of processes trough which a professional learns from experience.
59
MarinêsYolePoloni
ordem e nem é necessário que perpasse por todas essas fases, mas segundo
o autor, a formação de um professor deve contribuir para que esse profissional
possa gerenciar todo esse processo.
A figura abaixo ilustra as seis fases do raciocínio pedagógico descritas
por Shulman (1987).
Figura 1: Fases do raciocínio pedagógico
Compreensão
Transformação
Instrução
Avaliação
Reflexão
Nova compreensão
Fonte: Acervo pessoal
As seis fases do quadro acima integram o raciocínio pedagógico do
professor e fazem parte do conhecimento pedagógico do conteúdo de Shulman
(1987) que, por sua vez, tem sido defendido, por muitos pesquisadores, como
um conhecimento necessário para que esse profissional exerça sua função
com êxito,pois é o conhecimento que diz respeito exclusivamente à docência
intersectando o conhecimento do conteúdo com o conhecimento pedagógico.
Quanto ao (iii) conhecimento do currículo – curricular knowledge- para
Shulman (1986), envolve
não apenas o conhecimento do
conteúdo
programático, mas a capacidade que o professor deve ter de fazer articulações
tanto laterais (conhecimento do que o aluno está aprendendo em outras
60
MarinêsYolePoloni
disciplinas) quanto verticais (conteúdos que precedem outros) do conteúdo a
ser ensinado, além de conhecer materiais que sejam úteis à aprendizagem do
aluno em cada tópico.
Esse conhecimento lateral do currículo (apropriado em particular para
o trabalho de professores dos Ensinos Fundamental e Médio) subjaz
as habilidades dos professores de relacionar o conteúdo de um
determinado curso ou aula de temas ou questões que estão sendo
discutidas simultaneamente em outras disciplinas. O conhecimento
vertical do currículo é a familiaridade com os temas e questões que
foram e serão ministradas na mesma área sujeita durante os anos
anteriores e posteriores na escola, e os materiais que eles
27
28
encarnam. (SHULMAN, 1986, p 10) (tradução da autora)
No caso da Trigonometria, um exemplo de conhecimento vertical poderia
ser o tópico razões trigonométricas que os alunos aprendem ainda no Ensino
Fundamental e a escrita de um número complexo na sua forma trigonométrica
que é aprendido no último ano do Ensino Médio, após terem aprendido a
Trigonometria no ciclo, as funções, identidades, equações e inequações
trigonométricas entre outros tópicos deste tema. Segundo o autor, esse saber é
fundamental para o trabalho do professor em sala de aula. Para ele, há a
necessidade dos professores construírem pontes entre o significado do
conteúdo curricular e a construção desse significado feita pelos alunos.
Em resumo, o conhecimento do currículo para esse autor, engloba o
conhecimento do conteúdo mesclado com o conhecimento dos métodos de
ensino sendo, desta forma, um conhecimento de suma importância à formação
de um professor, todavia não deve ser visto apenas como um rol de conteúdos
a serem abordados, uma vez que existe a exploração de materiais didáticos,
recursos e estratégias para o ensino. Assim sendo, para o autor, um professor
deve conhecer o conteúdo sabendo abordá-lo de formas diferenciadas,
estabelecendo conexões entre o tópico que está sendo estudado e outros
tópicos da mesma área, bem como estabelecendo também conexões com
assuntos que estejam sendo ensinados em outras disciplinas.
27
This lateral curriculum knowledge (appropriate in particular to the work of junior and senior high school
teachers) underlies the teacher‘s ability to relate the content of a given course or lesson to topics or issues
being discussed simultaneously in other classes. The vertical equivalent of that curriculum knowledge is
familiarity with the topics and issues that have been and will be taught in the same subject area during the
preceding and later years in school, and the materials that embody them. p.10
28
... is what a teacher does when he or she looks back at the teaching and learning that has occurred, and
reconstructs, reenacts, and/or recaptures the events, the emotions, and the accomplishments. It is that set
of processes trough which a professional learns from experience.
61
MarinêsYolePoloni
2.2.2 As contribuições de Ball, Thames e Phelps
Percebendo que o termo conhecimento pedagógico do conteúdo vinha
sendo utilizado, nos mais de vinte anos após os estudos de Shulman
(1986,1987) de forma muito ampla nas mais diferentes áreas – como se todas
elas tivessem as mesmas necessidades -e, criticando a falta de continuidade
dos estudos desse autor para melhor definir alguns dos conceitos por ele
propostos, Ball, Thames e Phelps (2007, 2008),desenvolveram uma teoria,
baseada na knowledge base theory de Shulman (1986,1987) focada na
formação inicial do professor de Matemática. Os autores apresentaram, em
2007, alguns resultados das pesquisas que vinham realizando no sentido de
identificar os domínios do conhecimento matemático do professor e, no ano
seguinte, publicaram o artigo Conhecimentos para o ensino de Matemática no
JournalofTeacherEducation.
Ball et al (2008) verificaram a inexistência de estudos comprobatórios de
que ateoria de Shulman (1986, 1987) poderia ser aplicada em disciplinas
específicas como a Matemática. Assim, a justificativa para seus estudos
apoiou-se na falta de dados importantes para a reformulação dos cursos de
formação de professores que, até então, ficava pautada nas ideias de pessoas
responsáveis por fixarem os conteúdos a serem ministrados nos cursos de
formação inicial de professores sem possuírem uma base teórica específica.
Dessa forma, Ball et al (2008) estruturaram os conhecimentos para o
ensino da Matemática em termos do trabalho que os professores fazem e não
sobre a disciplina Matemática sendo que, para os autores, era incontestável
que o professor de qualquer disciplina deveria saber o que ensina.
Ball et al (2008) adotaram como domínios do conhecimento duas das
categorias que foram propostas por Shulman (1986).
A figura a seguir apresenta o diagrama proposto pelos autorescontendo
os domínios por eles identificados relacionados com as categorias do
conhecimento do conteúdo econhecimento pedagógico do conteúdo de
Shulman (1986).
62
MarinêsYolePoloni
Figura 2: Conhecimento específico do Conteúdo X Conhecimento Pedagógico do Conteúdo.
Conhecimento específico do conteúdo
Conhecimento
comum do
conteúdo
Conhecimento
do horizonte do
conteúdo
Conhecimento pedagógico do conteúdo
Conhecimento
do conteúdo e
alunos
Conhecimento
especializado do
conteúdo
Conhecimento
curricular
Conhecimento
do conteúdo e
ensino
Fonte: adaptado da figura apresentada em Ball, Thames e Phelps (2008,p. 403)29
Para compor a categoria do conhecimento específico do conteúdo de
Shulman (1986, 1987), Ballet al (2007) propuseram, como domínios, o
conhecimento comum do conteúdo e o conhecimento especializado do
conteúdo. Em 2008, os autores acrescentaram o domínio do conhecimento
horizontal do conteúdo. Para compor a categoria que Shulman (1986, 1987)
denominou de conhecimento pedagógico do conteúdo, Ballet al (2007, 2008)
propuseram o domínio do conhecimento de conteúdo e de alunos, o domínio
do conhecimento de conteúdo e de ensino e o domínio do conhecimento
29
Fonte: Ball et al., 2008, p.403
63
MarinêsYolePoloni
curricular que Shulman (1986, 1987) havia denominado como conhecimento do
currículo.
Assim, quanto ao conhecimento do conteúdo matemático, os três
domínios são:
(i) o conhecimento comum do conteúdo - common contentknowledge (CCK)diz respeito ao conhecimento que nos permite um ―saber fazer‖ para nós
próprios, como por exemplo, na Trigonometria, os engenheiros utilizam as
unidades de medida grau e radiano em seus cálculos e sabem dizer se uma
medição está correta ou não. Nas palavras da autora, “[...] o conhecimento
matemático e as habilidades utilizadas em outros contextos além do de
ensino”30(tradução da autora), ou seja, não é um conhecimento restrito aos
professores de Matemática, mas necessário também para eles.
(ii) o conhecimento especializado do conteúdo – specializedcontentknowledge
(SCK)- diz respeito ao ―saber ensinar a fazer‖, é um saber que vai além de
dizer se algo está certo ou errado, estando apto também a saber o porquê
dessa (in)correção, ou também a conhecer formas distintas de representações
para um mesmo conteúdo. Envolve também a análise de erros e daquilo que –
do ponto de vista da matemática – facilita ou dificulta uma tarefa proposta,
análise das explicaçõesdadas pelos estudantes para uma determinada
resolução, análise dos percursos adotados pelos alunos na solução de
problemas matemáticos, avaliação de algoritmos alternativos usados pelos
alunos, uso, pelos alunos, de abordagens diferentes das esperadas pelo
professor que podem funcionar em determinadas circunstâncias, explicação da
razão de ser de procedimentos. É um tipo de conhecimento sobre matemática
que é único para a tarefa de ensinar. Envolve uma forma incomum de pensar
sobre a Matemática não requerida em outras tarefas, além do ensino. Este
conhecimento sobre matemática vai além daquele conhecimento comum do
conteúdo que se espera ser assimilado pelos alunos. Requer habilidades para
falar sobre e explicitar como a linguagem Matemática é usada, como escolher e
usar representações matemáticas de forma efetiva, e como explicar e justificar
conceitos e ideias matemáticas. Ou seja, o professor deve, como enfatiza Ball
30
[…]it as the mathematical knowledge and skill used in settings other than teaching. Ball et al, 2008, p
399.
64
MarinêsYolePoloni
et al (2008), ser capaz de descompactar (em inglês, unpacking) o
conhecimento matemático de forma a torná-lo compreensível ao estudante e
fazendo
com que
se
torne produto
do
raciocínio do
aprendiz.Este
conhecimento ―descompactado‖ não é equivalente ao entendimento conceitual,
mas vai além de uma sólida compreensão do conteúdo. Dando como exemplo
a mudança de unidades de grau para radiano, esse conhecimento
―descompactado‖ vai além da transformação de unidades. Envolve também o
conhecimento histórico do surgimento do radiano, a justificativa de o radiano
ser adimensional (número puro), o porquê de sua utilização, sua definição e as
formas de apresentar essa definição, a fim de que seja compreensível para
seus alunos. Nas palavras dos autores, ―o conhecimento do conteúdo
especializado (SCK), é uma habilidade única para a tarefa de ensinar. Um
exame atento revela que SCK é o conhecimento matemático não tipicamente
necessário para outros fins,além do que ensinar”31. (tradução da autora).
O terceiro domínio do conhecimento específico do conteúdo é
oconhecimento do horizonte do conteúdo – horizoncontentknowledge (HCK) –
que diz respeito ao conhecimento de como os diversos conteúdos evoluem ao
longo da escolaridade. É o conhecimento que o professor deve ter de como
alguns tópicos de um conteúdo se relacionam com outros tópicos que serão
abordados em outro ano escolar, com diferentes graus de profundidade, bem
como conhecer a evolução do tópico que está sendo ensinado ao longo da
escolaridade.
No caso da Trigonometria, os arcos que podem ser representados no
ciclo trigonométrico, normalmente estudados no segundo ano do Ensino Médio,
relacionam-se com os afixos dos números complexos estudados no terceiro
ano desse mesmo nível de ensino.Ou seja, este conhecimento diz respeito à
articulação entre conteúdos já estudados e conteúdos que ainda serão
estudados.A figura abaixo, mostra um arco OB representado no ciclo
trigonométrico, cujo centro é o ponto (0 , 0) e o raio é 1 unidade. Seu afixo é o
ponto B, de coordenadas (cos θ, sen θ). Para conseguirmos os valores das
coordenadas de B, é necessário conhecer, além das razões trigonométricas no
31
Specialized content knowledge(SCK), is the mathematical knowledge and skill uniqueto teaching. Close
examination reveals thatSCK is mathematical knowledge not typically needed forpurposes other than
teaching. Ball et al, (2008), p.400
65
MarinêsYolePoloni
triângulo retângulo, o
ciclo trigonométrico.
Esse
é um exemplo
de
conhecimento horizontal (horizonte) do conteúdo de Ball et al (2008):
Figura 3: Relação entre um arco no ciclo trigonométrico e seu afixo do número complexo
O
Fonte: Acervo pessoal
Nas palavras dos autores este domínio do conhecimento específico
refere-se à:
[...] consciência de como estão relacionados temas matemáticos
sobre a extensão da matemática incluída no currículo. Professores de
primeiro grau, por exemplo, podem precisar saber como a
matemática que ensinam está relacionada com o que os alunos irão
aprender no ensino médio, para serem capazes de definir a base
matemática para o que virá depois. (BALL et al, 2008, p.
32
403)(tradução da autora)
Pode-se observar que estes três domínios definidos tratam de
conhecimentos matemáticos e dependem, segundo os autores, de um saber de
como o conhecimento é gerado, como se estrutura e como evolui durante a
escolaridade, ou seja, são domínios de conhecimento muito importantes para o
professor, embora não o sejam para outros profissionais que usam Matemática,
à exceção do conhecimento comum do conteúdo.
Os
próximos
conhecimentos
três
domínios,
pedagógicos
do
que
conteúdo
constituem
de
a
Shulman
categoria
(1986,
de
1987),
relacionam-se, segundo Ball et al (2008), às duas dimensões centrais daquela
categoria: conceitos e pré-conceitos que alunos de diferentes idades e origens
trazem sobre o aprendizado e suas formas de representação.(vide figura 2)
Os três domínios apontados por Ball et al (2008) são:
32
Horizon knowledge is an awareness of how mathematical topics are related over the span of
mathematics included in the curriculum. First grade teachers, for example, may need to know how the
mathematics they teach is related to the mathematics students will learn in third grade to be able to set the
mathematical foundation for what will come later. Ball et al, (2008), p.400
66
MarinêsYolePoloni
(i) Conhecimento do Conteúdo e Estudantes – knowledgeofcontent
(KCS)–refere-se ao conhecimento do conteúdo no sentido de saber apontar as
dificuldades
dos
alunos
para
auxiliá-losem
sua
aprendizagem.
Tal
conhecimento, para os autores, “[...] combina o saber sobre os alunos e o
saber sobre a Matemática”33, ou seja, consiste em antecipar o pensamento dos
estudantes, e o que deve causar mais dificuldades na apreensão de
determinado conteúdo, antecipar os exemplos e atividades mais motivadoras e
interessantes e interpretar, na fala dos estudantes, seus pensamentos sobre
determinado conceito, ainda que incompletos e em linguagem confusa ou até
errôneos. Quanto aos erros, reconhecê-los é parte do conhecimento comum do
conteúdo, mas avaliar a natureza desse erro faz parte do conhecimento
especializadodo
conteúdo.Por
exemplo,
se
o
aluno
diz
que
, classificar essa afirmação como errada faz parte do
conhecimento comum do conteúdo; por outro lado, perceber que o aluno
pensou na função seno como uma função linear, faz parte do conhecimento
especializado do conteúdo. Escolher tarefas e atividades para que o aluno
compreenda a periodicidade da função seno, faz parte do conhecimento do
conteúdo e dos estudantes. Dessa forma, esse conhecimento requer
familiaridade com os estudantes e seus modos de raciocinar sobre
determinados conteúdos.
(ii)
Conhecimento
do
knowledgeofcontentandteaching(KCT)
Conteúdo
–
refere-se
e
ao
Ensino
–
conhecimento,
relacionado ao conteúdo, que é utilizado durante as aulas tais como decisões
de quais sequências de tarefas serão utilizadas para ensinar um conteúdo ou
ainda quais exemplos serão escolhidos para iniciar a apresentação do mesmo.
Nas palavras dos autores, “[...] combina o saber sobre o ensino e o saber sobre
a Matemática”34.O conhecimento do conteúdo e do ensino envolve uma
avaliação
das
vantagens
e
desvantagens
de
certas
abordagens
e
representações além de diferentes métodos e procedimentos que melhor se
33
… is knowledge that combines knowing about students and knowing about mathematics.Ball et al 2008,
p. 401
34
... combines knowing about teaching and knowing about mathematics. Ball et al 2008, p. 401
67
MarinêsYolePoloni
adequam a cada situação. Durante uma aula, este tipo de conhecimento é
demandado em situações onde se deve decidir quando parar (ou mesmo
retroceder) para tornar um conceito mais claro, quando utilizar observações
dos alunos para tornar um assunto mais compreensível, quando lançar uma
nova questão ou propor uma nova atividade, quando suprimir atividades de um
planejamento pré-estabelecido, etc. Por exemplo, decidir ensinar a função
trigonométrica f(x) = senx com domínio [0, 2π], num determinado momento e,
noutro, estender o domínio para todo o conjunto R. No primeiro momento, esse
domínio limitado permite estudar sinais, crescimento e período, entretanto
perde-se a possibilidade de estudar a periodicidade e o significado do arco a=
a0 + 2Kπ , K Є Z; discussões que só podem ser feitas quando se estende o
domínio para R.Essas decisões cabem ao professor e fazem parte desse
conhecimento especificado por Ball et al (2008).
(iii)
Conhecimento
do
Conteúdo
e
do
Currículo
–
knowledgeofcontentandthe curriculum (KCC) – este é bastante similar ao
conhecimento do currículo de Shulman (1986), ou seja, para Ball et al (2008),
este conhecimento diz respeito à visão completa dos programas concebidos
para o ensino de um determinado tópico num certo nível de escolaridade e os
materiais didáticos disponíveis para tal fim.
Não se pode pensar que cada parte do esquema proposto por Ball et al
(2008)acontece isoladamente dentro da sala de aula. Pelo contrário, uma
mesma situação em sala de aula pode lançar mão de dois tipos de
conhecimentos propostos (ex: conhecimento especializado do conteúdo, e
conhecimento dos alunos e do conteúdo ao analisar um erro apresentado por
um aluno). A categorização refere-se mais ao ―conhecimento‖ do que a outros
aspectos importantes da docência como habilidades, hábitos, sensibilidade e
capacidade de julgamento. Não é sempre fácil discernir entre os limites destas
categorias.
No quadro a seguir, apresentamos um exemplo de uma possível
associação entre conteúdos que podem ser vinculados aos diversos tópicos os
quais fazem parte do assunto Trigonometria e domínios de conhecimento para
o ensino da Matemática de Ballet al (2007, 2008). Porém, devemos lembrar o
leitor de que essa associação não é a única possível e os próprios autores
afirmam serem tênues as linhas divisórias dos domínios, por eles definidos.
68
MarinêsYolePoloni
Conhecimento Pedagógico do Conteúdo
(Shulman)
Conhecimento Específico do Conteúdo
(Shulman)
Quadro 3– Conhecimentos para ensino de tópicos de Trigonometria e domínios dos conhecimentos para
o ensino – uma possível associação
Domínios dos
conhecimentos para
Conhecimento para o ensino de Trigonometria
o ensino
Conhecimento comum Diz respeito ao conhecimento que uma pessoa escolarizada deveria ter.
do conteúdo
Por exemplo: em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é
a razão entre o cateto oposto ao ângulo agudo e a hipotenusa desse
triângulo. Outro conhecimento comum do conteúdo de Trigonometria
2
2
refere-se à relação fundamental da Trigonometria, sen x+ cos x= 1,
que advém do teorema de Pitágoras, etc.
Conhecimento
É um conhecimento exclusivo do professor e que tem íntima relação
especializado do
com o processo descompactar o conteúdo para ensinar, ou seja, é esse
conteúdo
tipo de conhecimento que o professor deve ter para pensar em
abordagens, exemplos, demonstrações, justificativas e etc. do conteúdo
que deseja ensinar.
Perceber qual é o pensamento do aluno, pelos seus registros, por
exemplo: quando o aluno diz que
, entender
que o aluno está pensando na função seno como uma função linear.
Conhecimento
O conhecimento horizontal do conteúdo, quando associado à noção de
horizontal do conteúdo como são distribuídos os conhecimentos relacionados aos
conhecimentos prévios para o ensino de alguns tópicos de
Trigonometria, pode contribuir para futuras abordagens a respeito
desses conhecimentos prévios. Por exemplo, um professor, ao ensinar
os afixos dos números complexos pode fazê-lo retomando os arcos do
ciclo trigonométrico já conhecidos pelos alunos fazendo com que estes
estabeleçam a relação entre esses dois assuntos e compreendam que
existe uma representação trigonométrica dos números complexos.
Conhecimento do
Trata-se de um conhecimento do grupo de alunos com os quais o
conteúdo e dos alunos professor trabalha. É um conhecimento que varia de um professor para
outro porque eles lidam com grupos de alunos diferentes. O professor
deve conhecer os erros dos seus alunos fazendo uma análise de suas
falas referentes às explicações dadas a esses erros como, por exemplo,
―se
então, tirando a raiz quadrada de todos os
termos, temos sen(x) + cos(x) = 1 também‖. O aluno pensou em extrair
a raiz quadrada de ambos os membros sem se dar conta de que no
primeiro membro existe uma adição. O conhecimento sobre o porquê
dos erros dos alunos pode contribuir, por exemplo, na busca de
melhores estratégias para o ensino, pelos professores.
Conhecimento do
Esse conhecimento diz respeito à escolha de estratégias, exemplos,
conteúdo e de ensino sequências e recursos associados ao ensino de um conteúdo. Por
exemplo: No ensino defunções trigonométricas, a escolha da utilização
ou não de softwarespara a construção de gráficos, quais as vantagens e
desvantagens desse recurso para o ensino desse tópico. Com o uso de
softwares, o professor estimula a investigação do que acontece com o
gráfico de funções como f(x) = sen(x), f(x) = sen(x) + 1, f(x) = sen(x) +2,
f(x) = 2sen(x), f(x) = 3sen(x) e etc., por outro lado, só o uso desse
recurso pode fazer com que o aluno não desenvolva habilidades para
fazer um gráfico com papel e lápis. Esses conhecimentos podem auxiliar
o professor na seleção, organização e elaboração de atividades com o
objetivo de promover o domínio, pelos alunos, dos assuntos
relacionados ao estudo de tópicos de Trigonometria.
Conhecimento de
É o conhecimento que diz respeito à visão dos programas concebidos
conteúdo e de
para um determinado tópico num certo nível de escolaridade. No caso
currículo
da Trigonometria seriam as indicações curriculares sobre o ensino de
tópicos de trigonometria ao longo das séries além da análise dos
contextos, estratégias e materiais didáticos disponíveis para tal ensino.
Por exemplo, professores que lecionam em São Paulo devem saber
que, pelo currículo do estado de São Paulo, o trabalho com
Trigonometria tem início com o estudo de fenômenos periódicos e
pensar em estratégias e materiais que representem a periodicidade.
Fonte: Acervo pessoal
69
MarinêsYolePoloni
Tanto para Ball et AL (2007,2008) quanto para Shulman(1986), saber
Matemática é fundamental para ser professor de Matemática, mas não é o
suficiente. Para esses autores, saber mais ―Matemática Avançada‖ pode não
ser muito proveitoso para tornar-se um bom professor - o mais importante é
conhecer e saber como usar conhecimentos matemáticos tal como serão
requeridos na profissão docente. Em se tratando dessa profissão, podemos
dizer que,nestes últimos anos, com a entrada das tecnologias digitais nas
escolas, ela vem mudando consideravelmente. Essa acessibilidadedas
tecnologias digitais, que começaram a ser consideradas úteis para o ensinonas
escolas,vem acontecendo concomitantemente à evolução da compreensão do
conhecimento pedagógico dos autores já mencionados. A entrada dessas
tecnologias nas escolas é irreversível e espera-se que, em alguns anos, tais
tecnologias sejam uma realidade na rotina dos professores e alunos. Desta
forma, foi gradativamente desenvolvendo-se um novo tipo de conhecimento
que hoje é bastante requisitado: O conhecimento pedagógico tecnológico do
conteúdo.
2.2.3 Contribuições de Mishra e Koehler: o conhecimento pedagógico
tecnológico do conteúdo (TPACK)
A partir das ideias de conhecimento pedagógico de Shulman, (1987),
Mishra
e
Koehler
publicaram,
TechnologicalPedagogicalContentKnowledge:
em
2006,
A
o
Framework
artigo
for
TeacherKnowledge. Nesse trabalho, os autores partem da premissa que a
atividade de ensinar é uma atividade cognitiva altamente complexa, que ocorre
num ambiente dinâmico e deficientemente estruturado e, assim, necessita de
referenciais teóricos organizados.
Podemos representar o PedagogicalContentKnowledgepela figura
abaixo:
70
MarinêsYolePoloni
Figura 4: Conhecimento Pedagógico do Conteúdo
Conhecimento
específico do
conteúdo
Conhecimento
pedagógico do
conteúdo
Conhecimento
pedagógico
geral
Fonte: adaptado da figura apresentada em Mishra & Koehler, 2006 p.1022.
Mishra e Koehler (2006) focaram seus trabalhos na construção de uma
teoria que fosse capaz de descrever os conhecimentos necessários a um
professor para a prática pedagógica em ambientes de aprendizagem
equipados com tecnologia. A esse conhecimento, os autores deram o nome de
Conhecimento Tecnológico Pedagógico do Conteúdo TPCK (sigla em inglês
para
TechnologicalPedagogicalContentKnowledge)35.
Segundo
Mishra
e
Koehler (2006),existem três componentes que aparecem concomitantemente
num ambiente de aprendizagem tecnológico quais sejam: tecnologia,
pedagogia e conteúdo.
Segundo os autores,
É interessante que as discussões atuais sobre o papel do
conhecimento da tecnologia parecem compartilhar muito dos mesmos
problemas identificados por Shulman na década de 1980. Por
exemplo, antes do trabalho de Shulman sobre o PCK, o
conhecimento dos conteúdos e o conhecimento da pedagogia
eramtratados separadamente e independentes um do outro. Da
mesma forma, hoje em dia, o conhecimento da tecnologia é muitas
vezes considerado como separado do conhecimento da pedagogia e
36
do conteúdo . (MISHRA & KOELER, 2006, p.1024) (tradução
autora).
35
O TPCK foi renomeado TPACK (que se pronuncia ―tee-pack‖) com o propósito de significar ―pacote
total‖ (total package), ou seja, um todo integrado para os três tipos de conhecimento abordados:
tecnologia, pedagogia e conteúdo.(Thompson & Mishra, 2008)
36
What is interesting is that current discussions of the role of technology knowledge seem to share many
of the same problems that Shulman identified back in the 1980s. For instance, prior to Shulman‘s seminal
work on PCK, knowledge of content and knowledge of pedagogy were considered separate and
independent from each other. Similarly, today, knowledge of technology is often considered to be separate
from knowledge of pedagogy and content.
71
MarinêsYolePoloni
Pelo trecho acima, observamos que Mishra e Koehler (2006) afirmam,
em geral, ser o conhecimento da tecnologia tratado separadamente
dosconhecimentos pedagógico e doconteúdo.
A figura abaixo pode ilustrar essa separação entre tais conhecimentos.
Figura 5: Conhecimento Tecnológico separado do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo
Conhecimento
específico do
conteúdo
Conhecimento
pedagógico do
conteúdo
Conhecimento
pedagógico
geral
Conhecimento
Tecnológico
Fonte: adaptado da figura apresentada em Mishra & Koehler, 2006 p.1024
Baseando-se na proposta de Shulman (1986),Mishra e Koehler (2006)
acrescentaram a essa tríade o componente ―conhecimento tecnológico‖ (TK),
dando origem aos conhecimentos: conhecimento pedagógico tecnológico
(TPK)e o conhecimento tecnológico do conteúdo (TCK), na intersecção dois a
dois, além do conhecimento pedagógico tecnológico do conteúdo na
intersecção dos três conhecimentos – pedagogia, conteúdo e tecnologia.
Figura 6: Conhecimento Pedagógico Tecnológico do Conteúdo.
Conhecimento
de Pedagogia
Conhecimento
Pedagógico
do Conteúdo
Conhecimento
de Conteúdo
Conhecimento
Pedagógico
Tecnológico
Conhecimento do Conteúdo
Conhecimento
Pedagógico
Tecnológico
Tecnológico
do conteúdo
Conhecimento de
Tecnologia
Fonte: Mishra & Koehler, 2006, p.1025. Adaptação livre
72
MarinêsYolePoloni
Os autores olham não só para os três componentes isoladamente, mas
também em pares: o conhecimento pedagógico do conteúdo (PCK), o
conhecimento tecnológico do conteúdo (TCK), o conhecimento pedagógico
tecnológico (TPK) e, todos os três em conjunto, conhecimento pedagógico
tecnológico do conteúdo (TPACK).Esse olhar deMishra e Koehler (2006)
assemelha-se ao pensamento de Shulman (1986) no qual ele analisou a
relação entre o conteúdo e a pedagogia denominando esse novo conhecimento
de conhecimento pedagógico do conteúdo.
No caso de Mishrae Koehler (2006), existem, nesse esquema, três
pares de conhecimento e uma tríade na interseção.
Com relação à tríade, segundo os autores, o TPACK é mais que um
conhecimento do professor. É também uma habilidade que esse profissional
deve
ter
em
fazer
com
que
esses
três
componentes
interajam
harmoniosamente. Para os autores, a integração efetiva da tecnologia no
processo de ensino aprendizagem requer entendimento e negociação entre
Tecnologia, Pedagogia e Conteúdo.O professor que tem essa habilidade
possui uma expertise diferente e especial. Segundo ArchambaulteCrippen
(2009), o TPACK evidencia as relações existentes entre o conhecimento das
áreas do conteúdo, pedagogia e tecnologia e pode ser uma estrutura
organizacional útil para definir o que os professores precisam saber para
integrar a tecnologia às suas práticas de maneira efetiva.
A intersecção dos três conhecimentos, pedagogia, conteúdo e
tecnologia, faz aparecer subconjuntos quais sejam: (i) Conhecimento do
Conteúdo (CK), (ii) Conhecimento Pedagógico (PK), (iii) Conhecimento
Pedagógico do Conteúdo (PCK), (iv)Conhecimento Tecnológico (TK), (v)
Conhecimento Tecnológico de Conteúdo (TCK), (vi) Conhecimento Tecnológico
Pedagógico (TPK) e (vii) Conhecimento Tecnológico Pedagógico de Conteúdo
(TPACK).
(i) Conhecimento do conteúdo (CK)
O conhecimento de conteúdo, segundo os autores, “é o conhecimento
sobre o real assunto a ser aprendido ou ensinado” 37, isto é, envolve o
37
…is knowledge about the actual subject matter that is to be learned or taught.Mishra& Koehler, 2006,
p.1026
73
MarinêsYolePoloni
conhecimento de conceitos, teorias, bem como conhecimento do fatos centrais
e procedimentos dentro de uma determina da área.Dessa forma, fica claro que
os professores devem conhecer e compreender os assuntos por eles
ensinados, assim como devem compreender a natureza do conhecimento e da
investigação em seu campo de atuação.
(ii) Conhecimento pedagógico (PK)
Para
Mishrae
Koehler
(2006),o
conhecimento
pedagógicoé“o
conhecimento profundo sobre os processos e práticas ou métodos de ensino e
aprendizagem e como ele engloba, entre outras coisas, em termos gerais, os
fins educacionais, valores e objetivos”38, isto é, trata-se do conhecimento sobre
os processos e práticas ou métodos de ensino e aprendizagem incluindo o
conhecimento sobre como alunos aprendem, as diversas abordagens de
ensino, os métodos de conhecimento e a valorização de diferentes teorias
sobre ensino (Harriset al., 2009; Shulman, 1986). É um conhecimento que
envolve todas as questões referentes à aprendizagem dos alunos, à gestão da
sala de aula, ao desenvolvimento e implementação dos planos de aula e à
avaliação do aluno.Esse conhecimento inclui também as técnicas a serem
utilizadas na prática docente e as estratégias para avaliar a aprendizagem do
aluno.Um professor detentor do conhecimento pedagógico entende como os
alunos aprendem e constroem seu conhecimento o que demanda uma
compreensão das capacidades cognitivas, além de como as teorias de
aprendizagem se aplicam aos aprendizes.
(iii) Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (PCK)
Para Mishrae Koehler (2006), “Este conhecimento inclui saber ajustar e
aproximar o conteúdo ao ensino e, também, saber como os elementos do
conteúdo podem ser organizados para melhorar o ensino.” 39A ideia dos autores
a respeito desse conhecimento assemelha-se à queShulman (1986)tem sobre
o
conhecimento
pedagógico
do
conteúdo.
Um
professor
detentor
38
… is deep knowledge about the processes and practices or methods of teaching and learning and how it
encompasses, among other things, overall educational purposes, values, and aims.Mishra& Koehler,
2006, p.1026
39
This knowledge includes knowing what teaching approaches fit the content, and likewise, knowing how
elements of the content can be arranged for better teaching.Mishra& Koehler, 2006, p.1027.
74
MarinêsYolePoloni
desseconhecimento sabe ajustar e aproximar o conteúdo ao ensino além de
saber como os elementos do conteúdo podem ser organizados para melhorar o
ensino. Pode-se dizer que este conhecimento é diferente do conhecimento de
um especialista de uma disciplina e também do conhecimento geral
pedagógico dos professores de diferentes áreas. O PCK, para os autores,
“envolve o conhecimento de estratégias de ensino que fazem uso de
representações conceituais apropriadas a fim de abordar os conceitos a serem
construídos pelos alunos tornando-os compreensíveis.”40(tradução da autora)
O PCK envolve técnicas pedagógicas as quais tornam certos conceitos
mais fáceis ou mais difíceis de serem aprendidos pelos alunos, ou seja, inclui
um olhar especial aos conhecimentos prévios dos estudantesque podem tanto
facilitar quanto dificultar o processo de aprendizagem caso seja um
conhecimento prévio equivocado.
(iv)Conhecimento Tecnológico (TK)
No contexto do uso de tecnologia na sala de aula, o conhecimento
tecnológico, em constante mudança devido ao avanço contínuo das
tecnologias, diz respeito àhabilidade de aprender e de adaptar-se a uma nova
tecnologia além de operar tecnologias específicas. No caso das tecnologias
digitais, inclui o conhecimento de como instalar e remover dispositivos
periféricos, instalar e remover programas, criar e arquivar documentos além da
capacidade de usar conjuntos padrões de ferramentas de softwares, tais como
processadores de texto, planilhas, navegadores e e-mail.
Para Mishrae Koehler (2006),o conhecimento tecnológico “é o
conhecimento sobre as tecnologias padrões, como livros, giz e quadro negro, e
as
tecnologias
mais
avançadas,
tais
como
a
Internet
e
o
vídeo
digital,”41(tradução da autora)ou seja,é mais do que alfabetização digital, diz
respeito a usar essas tecnologias para que ocorra a aprendizagem significativa
de conteúdos diversos.
40
It also involves knowledge of teaching strategies that incorporate appropriate conceptual representations
in order to address learner difficulties and misconceptions and foster meaningful understanding.Mishra&
Koehler, 2006, p.1027
41
… is knowledge about standard technologies,such as books, chalk and blackboard, and more advanced
technologies, such as the Internet and digital video.Mishra& Koehler, 2006, p.102.
75
MarinêsYolePoloni
Como a tecnologia avança numa velocidade muito grande, o TK
também muda rapidamente com o tempo donde entendemos a extrema
importância da capacidade de adaptar-se às novas tecnologias.
(v) Conhecimento Tecnológico de Conteúdo (TCK)
Para
os
autores
oconhecimento
tecnológico
de
conteúdo“é
o
conhecimento sobre a maneira pela qual a tecnologia e o conteúdo
serelacionam reciprocamente‖42(tradução da autora).Esse conhecimento diz
respeito ao fato de se usar a tecnologia para favorecer a aprendizagem dos
alunos por meio de uma forma diferente de apresentação do conteúdo. Tratase do conhecimento que permite ao professor usar as tecnologias de modo a
alterar a forma de agir face à necessidade de trabalhar determinado conteúdo,
modificando-o e tornando-o mais estimulante para o estudante, como afirmam
MishraeKoehler (2006), “muda a natureza da aprendizagem”43(tradução da
autora).As
novas
tecnologias
apresentam,
segundo
os
autores,
“representações variadas e maior flexibilidade de navegação entre essas
representações”44(tradução
da autora).Tal conhecimento
compreende
o
impacto de tecnologias nas práticas e conhecimentos das diversas disciplinas
específicas, que são tradicionalmente ensinadas nas escolas, e também inclui
os conhecimentos sobre como o conteúdo a ensinar pode ser modificado pelo
uso de uma tecnologia ou vice-versa. Os professores, além de saber o
conteúdo que ensinam, devem também saber de que maneira esse conteúdo
pode ser alterado por meio da aplicação da tecnologia. Os softwares
educacionais, hoje, no mercado, permitem que os alunos ―brinquem‖ enquanto
aprendem, ou seja, aparece, neste momento, uma mudança na natureza da
aprendizagem. No caso dessa pesquisa, o software escolhido foi o GeoGebra
no qual as provas, por meio de construções, são uma forma de representação
em Matemática que não estava disponível antes desta tecnologia, por exemplo.
42
…knowledge about the manner in which technology and content are reciprocally related.Mishra&
Koehler, 2006, p.1028
43
…changes the nature of learning. Mishra& Koehler, 2006, p.1028
44
…newer technologiesoften afford newer and more varied representations and greater flexibility in
navigating across these representations.Mishra& Koehler, 2006, p.1028
76
MarinêsYolePoloni
(vi) Conhecimento Tecnológico Pedagógico (TPK)
Para Mishrae Koehler, 2006, o conhecimento tecnológico pedagógico
―é o conhecimento da existência, dos componentes, e das
capacidades de diferentes tecnologias, como elas são utilizadas na
configuração do ensino e da aprendizagem, e, inversamente, saber o
resultado da mudança de ensinar com o uso de tecnologias
específicas.‖ 45(tradução da autora)
Em outras palavras, é o conhecimento da existência de diferentes
tecnologias e suas possibilidades em prol da obtenção de resultados positivos
na aprendizagem dos alunos. Inclui o conhecimento de que existem várias
ferramentas para o ensino de um determinado conteúdo e diferentes
estratégias para o uso dessas ferramentas, além da capacidade de escolher
uma dessas ferramentas para o ensino de um conteúdo específico. Inclui
também o conhecimento de ferramentas para a manutenção de registros de
classe, notas e participação. Em resumo, o TPK inclui o conhecimento de como
o uso de uma determinada tecnologia pode mudar o ensino e a aprendizagem
e vice-versa, além de como as características de uma tecnologia se relacionam
com estratégicas pedagógicas.
Para os autores, o conhecimento tecnológico pedagógico possibilita
perceber o ensino e a aprendizagem quando é utilizada uma certa tecnologia e
se tal tecnologia é adequada ao desenvolvimento de estratégias para o ensino.
Permite
também saber
como
as tecnologias
podem ser
exploradas
pedagogicamente de acordo com o contexto e com os objetivos. Assim,
segundo os autores, o TPK demanda “[...] uma compreensão mais profunda
dos limites e das abordagens das tecnologias e dos contextos disciplinares em
que sua função é necessária”46.(tradução da autora)
(vii) Conhecimento Tecnológico Pedagógico do Conteúdo (TPACK).
O conhecimento tecnológico pedagógico, segundo MishraeKoehler, é
uma forma emergente de conhecimento que vai além de todos os três
componentes
(conteúdo,
pedagogia,
e
tecnologia).
Este
conhecimento é diferente do conhecimento de um especialista
45
is knowledge of the existence, components, and capabilities of various technologies as they are used in
teaching and learning settings, and conversely, knowing how teaching might change as the result of using
particular technologies.Mishra& Koehler, 2006, p.1028
46
[…] a deeper understanding of the constraints and affordances of technologies and the disciplinary
contexts within which they function is needed .Koehler & Mishra, 2009, p.65.
77
MarinêsYolePoloni
disciplinar ou de tecnologia e também do conhecimento pedagógico
geral
compartilhado
por
professores
de
diversas
47
disciplinas. (MISHRA & KOEHLER, 2006, p.1028 - 1029) (tradução
da autora).
O TPACK refere-se ao conhecimento e entendimento das interrelações
entre CK, PK e TK ao usar a tecnologia para ensinar e aprender (Schmidt,
Thompson, Koehler, Shin, &Mishra, 2009). Esse conhecimento emerge da
interação dos três componentes que o compõem, ou seja, vai além deles
quando considerados de forma isolada. Inclui o entendimento da complexidade
das relações entre alunos, professores, conteúdo, práticas e tecnologias
(Archambault&Crippen, 2009). É a base para um bom ensino e uma
aprendizagem efetiva com o uso de tecnologia o que inclui a compreensão de
representações de conceitos usando tecnologia. É também a base para um
ensino voltado às técnicas pedagógicas as quais empregam tecnologia para
ensinar conteúdos.
Segundo Marks (1990),
O TPCK representa uma classe de conhecimento que é importante
para o trabalho dos professores. Este conhecimento não seria
normalmente realizado por não professores peritos tecnologicamente
e proficientes na matéria, ou por professores que saibam pouco sobre
o assunto tecnologia.48 (MARKS, 1990, p. 9).(tradução da autora)
Entende-se que um bom ensino com uso de tecnologia requer uma
compreensão
desenvolvendo
das
um
relações
entre
entrelaçamento
tecnologia,
destas
conteúdo
três
e
principais
pedagogia,
fontes
de
conhecimento num equilíbrio dinâmico, ou seja, deve-se assumir o fato de que
o ensino, usando as tecnologias digitais, necessita de um forte suporte de
conhecimento dos conteúdos, de técnicas pedagógicas eficientes e das
tecnologias adequadas para ensinar determinado assunto.
Segundo MishraeKoehler
A visão tradicional da relação entre os três aspectos sustenta que o
conteúdo se sobressai na maioria das decisões, os objetivos
pedagógicos e tecnológicos a serem utilizados seguem a partir de
uma escolha do que ensinar. No entanto, essas coisas raramente são
tão claras, particularmente quando são consideradas as mais novas
47
…is an emergentform of knowledge that goes beyond all three components (content, pedagogy, and
technology). This knowledge is different from knowledge of a disciplinary or technology expert and also
from the general pedagogical knowledge shared by teachers across disciplines.
48
…represents a class of knowledgethat is central to teachers‘ work and that would not typically be held by
non-teaching subject matter experts or by teachers who know little of that subject‘
78
MarinêsYolePoloni
tecnologias49. (MISHRA & KOEHLER, 2006, p.1028 - 1029) (tradução
da autora)
Neste estudo, tendo como guia as estruturas conceituais de dos
modelos apresentados por Shulman (1986/1987), Mishra e Koehler (2006) e
Ball, Thames e Phelps (2008) para explicar oconhecimento profissional
docenteobservamos os conhecimentos mobilizados e construídos pelos
Professores ao longo dos encontros do grupo e buscamos, nos dados
coletados, indícios de ampliação do conhecimento profissional tendo como
referência os modelos acima citados.
O esquema da figura abaixo representa o conhecimento profissional
docente sob as lentes do nosso aporte teórico.
Figura 7: O conhecimento profissional docente sob as lentes do nosso aporte teórico.
Shulman
1986/1987
Conhecimento
profissional
docente
Ball et al
2008
Mishra & Koeler
2006
Fonte: Acervo pessoal
49
The traditional view of the relationship betweenthe three aspects argues that content drives most
decisions; the pedagogical goals and technologies to be used follow from a choice of what to teach.
However, things are rarely that clear cut, particularly when newer technologies are considered.
79
MarinêsYolePoloni
2.3 Mediação
O professor articula, simultaneamente, vários conhecimentos os quais
fazem parte de sua profissão e, para que ele desenvolva essa habilidade de
articulação, é necessário que compreenda e aplique teorias de aprendizagem
em sua prática pedagógica. Diversos estudiosos - dentre eles destacamos
Vygotsky50 (1988) - elaboraram teorias no sentido de explicar as vertentes que
fazem parte dos processos de ensino e de aprendizagem.
Um ponto muito importante do pensamento de Vygotsky (1988) é a
mediação simbólica, uma vez que esse conceito é o ponto central de sua teoria
a respeito do funcionamento psicológico no qual se baseia na interação do
homem com o mundo. Segundo ele, a mediação é entendida como um
processo de intervenção de um agente intermediário, de forma que a relação
entre o sujeito e o objeto deixa de ser direta e passa a sermediada, por
elementos mediadores: os instrumentos, signos e a interação com outras
pessoas.
Para Vygotsky os instrumentos correspondem a objetos sociais e
mediadores da relação entre o indivíduo e o mundo. Por exemplo, um machado
permite um corte mais afiado e preciso, uma vasilha facilita o armazenamento
de água etc. Alguns animais, sobretudo primatas, podem até utilizá-los
eventualmente, mas é o homem que concebe um uso mais sofisticado: cria
oinstrumento, guarda-o para o futuro e transmite sua função e metodologia de
construção a outros elementos do grupo social. Os instrumentos físicos
regulam as ações do indivíduo sobre os objetos,
Para Vygotsky (1988), o signo é qualquer objeto, forma ou fenômeno
que representa algo diferente de si mesmo, por exemplo, a linguagem. Ela é
toda composta de signos: a palavra mesa remete ao objeto concreto, mesa. Ou
seja, signos são meios que auxiliam uma função psicológica superior 51. Para o
autor, os signos são capazes de transformar o funcionamento mental, em
outras palavras, os signos regulam as ações sobre o psiquismo.
50
Optamos pela grafia Vygotsky como na obra de 1988 ao longo de todo o texto.
Vygotsky (1989 b)denominou de processos mentais superiores ou funções psíquicas superiores os
processos tipicamente humanos como: memória, atenção e lembrança voluntária, memorização ativa,
imaginação, capacidade de planejar, estabelecer relações, ação intencional, desenvolvimento da vontade,
elaboração conceitual, uso da linguagem, representação simbólica das ações propositadas, raciocínio
dedutivo, pensamento abstrato.
51
80
MarinêsYolePoloni
Pensando no conceito de signo desse autor, entendemos que, nos dias
de hoje, softwares para computadores, tablets ou celulares, jogos (de cartas ou
de pedras) estão repletos de signos uma vez que existem imagens, sons etc.,
no caso dos softwares e números, formas etc., no caso dos jogos.
Os estudos deste autor permitem que se compreendam as concepções
da mediação num ambiente de ensino e de aprendizagem de forma que toda
atividadedo sujeito sobre o objeto é mediadasocialmente e simbolicamente, por
meio de signos internos e externos, além de ser mediada pelo uso da
linguagem,ou ainda pela ação de outro sujeito. Nessa perspectiva, não se
entende a linguagem simplesmente pela língua falada, mas também pelas
diferentes maneiras que o homem tem criado para interagir com o mundo, tais
como os gestos, a escrita, os desenhos e os mais variados sinais e mímicas.
Para Vygotsky (1988), entre um determinado estímulo e a resposta
ocorrem três tipos de mediação: consciência (na verdade, auto-consciência),
socialidade e instrumentos (os mentais, como os signos e os físicos que
ampliam a capacidade humana como uma pá, um carro etc.). Nesse sentido,
há uma relação dialética entre os elementos da mediação que pode ser
representada pelo esquema abaixo:
Estímulo
Resposta
Mediação pela
consciência, socialidade
e instrumentos
Segundo Vygotsky (1988), o referencial histórico cultural do indivíduo é
fundamental na construção do conhecimento, pois é na interação mediada
pelas várias relações entre os sujeitos que se promove o processo de
aprendizagem. Para ele, é na relação com outros sujeitos e consigo próprio
que o indivíduo internaliza os conhecimentos os quais permitem a constituição
da consciência. Trata-se de um processo que caminha do plano social para o
pessoal.
81
MarinêsYolePoloni
(...) a aprendizagem organizada torna-se desenvolvimento mental e
põe em marcha uma série de processos evolutivos que nunca
poderiam se dar à margem da aprendizagem. Assim, pois, a
aprendizagem é um aspecto universal e necessário do processo de
desenvolvimento culturalmente organizado e especificamente
humano das funções psicológicas. (VYGOTSKY, 1988, p. 139)
Segundo Vygotsky (1988), o sujeito do processo de aprendizagem é
interativo, pois se constitui a partir de relações interpessoais. Ele estabelece
dois níveis de desenvolvimento: o real e o potencial. O nível de
desenvolvimento real refere-se a algo que o sujeito consegue fazer sem a
ajuda ou intervenção de outro. De certo modo, o nível de desenvolvimento real
é constituído de funções que já se internalizaram no sujeito. Já o nível de
desenvolvimento potencial refere-se àquilo que o sujeito tem potencial para
fazer, mas ainda não o consegue sozinho. Faz-se necessária a ajuda de um
mediador que pode ser uma pessoa ou um instrumento.
O espaço existente entre esses dois níveis de desenvolvimento foi
denominado por Vygotsky (1988), de zona de desenvolvimento proximal
(ZDP).Dessa forma, a ZDP é o espaço que existe entre aquilo que somos
capazes de fazer sozinhos e o que temos condições de fazer com a
intervenção de alguém. É por meio da relação com o outro, ambos inseridos
num mesmo contexto social, que acontece a aprendizagem. Quando o
conhecimento se internaliza no sujeito, este amplia a sua zona de
desenvolvimento real e outros conhecimentos passam a estar em sua zona de
desenvolvimento potencial. O sistema fica em constante movimento.
Nas palavras de Vygotsky (1988), a zona de desenvolvimento proximal é
a distância entre o nível de desenvolvimento real, que se costuma
determinar por meio da solução independente de problemas, e o nível
de desenvolvimento potencial determinado por meio da solução de
problemas sob a orientação de um adulto ou em colaboração com
companheiros mais capazes. (p. 112)
Entretanto, Beatón (2005) reforça que a definição de ZDP pode ser mal
interpretada se não houver o conhecimento daideia completa de Vygotsky
(1988). Segundo Beatón (2005),tal ideiainclui aquele momento em que o
indivíduo é capaz de fazer sozinho o que antes fazia com a ajuda do OUTRO.
Este OUTRO foi definido por Vygotsky (1988) como sendo os adultos e os
pares de mesma idade com maior desenvolvimento ou mais experientes. Nos
82
MarinêsYolePoloni
adultos, Vygotsky (1988) incluiu os professores, os pais, ou seja, todas as
pessoas
portadoras
da
cultura
que
permitem
que
o
indivíduo
em
desenvolvimento se aproprie da mesma. Beatón (2005) amplia esta definição a
fim de adaptá-laao desenvolvimento cultural atual, ou seja, OUTRO é também
o grupo, o coletivo, que é um propulsor do desenvolvimento do indivíduo além
das tecnologias atuais tais como a TV, o vídeo, o computador e, por fim o
próprio sujeito num momento posterior da sua formação em que se converte
num promotor de seu próprio desenvolvimento. Esta última ideia, do sujeito
como promotor de seu próprio desenvolvimento, já fazia parte das concepções
de ZDP de Vygosky (1988, 1989). Para ele, no curso do desenvolvimento das
funções psíquicas superiores,existe um momento em que o sujeito passa a ser
o OUTRO de si mesmo, pois esse desenvolvimento, em última instância, leva o
indivíduo ao domínio de sua própria conduta, ao conhecimento de suas
possibilidades e de sua capacidade de produzir seu próprio desenvolvimento.
Dessa forma, para Vygotsky (1988) a ajuda do OUTRO tem que estar em
correspondência com a possibilidade de que o indivíduo possa atuar
autonomamente o mais rápido possível. Assim o autor definiu quatro níveis de
ajuda como bem explica Beatón (2005): (1) o primeiro nível de ajuda
caracteriza-se pela recordação, ou seja, quando o OUTRO apenas ajuda o
indivíduo a recordar que tipo de tarefa deve fazer e qual seu objetivo deixando
que o aprendiz faça a tarefa o mais independentemente possível; (2) o
segundo nível caracteriza-se pela comparação, ou seja, quando o OUTRO
necessita recordar tarefas semelhantes ao aprendiz para que este possa
estabelecer algum tipo de relação entre a tarefa antiga e a atual a fim de que
consiga resolvê-la autonomamente; (3) o terceiro nível de ajuda caracteriza-se
pela construção conjunta no início da tarefa, ou seja, o OUTRO inicia a tarefa
juntamente com o aprendiz e, quando julgar apropriado, deixa-o para que
termine a tarefa sozinho;(4) finalmente o quarto nível de ajuda caracteriza-se
pela demonstração, ou seja, o OUTRO mostra para o sujeito como fazer a
tarefa. Para Vygotsky (1998), a demonstração deve ser o último nível de ajuda,
a última instância. Para o autor, pedagogicamente, o processo de ajuda não
deve começar pelo quarto nível. Segundo Beatón (2005), Vygotsky (1998)
escolhe este caminho para que o sujeito aprenda de acordo com seus
interesses e possibilidades de maneira ativa e independente cabendo ao
83
MarinêsYolePoloni
OUTRO a decisão a respeito dos níveis de ajuda que serão dados ao aprendiz
em cada momento.
Ao longo de seu desenvolvimento, o indivíduo vai exigindo menos ajuda
na medida em que aumenta sua capacidade de autoregulação, dessa forma, o
processo que ocorre na ZDP é gradual.
Segundo Vygotsky (1988), as práticas pedagógicas deveriam dar mais
destaque a essa zona de modo a propiciar a apropriação de práticas sociais
por parte dos indivíduos; práticas estas que o conduzissem a um
desenvolvimento cognitivo. Para esse autor, o aprendizado que ocorre durante
todas as interações entre os sujeitos não é apenas um processo cognitivo, é
também afetivo e o fator social é um mediador da aprendizagem.
2.3.1 Mediação e recursos para o ensino
Como já foi dito na seção anterior, o homem transforma-se culturalmente
quando interage com os grupos sociais a que pertence. Essa interação do
homem com o meio é mediada pelos instrumentos físicos52 e pelos signos
disponíveis na cultura.
Por conta da necessidade de comunicação nas diversas culturas,
foramcriadas diferentes linguagens as quais são consideradas por Vygotsky
(1988) como um sistema simbólico básico da humanidade. Para este autor, as
linguagens funcionam como mediadores que permitem a comunicação entre o
indivíduo e seus pares dentro do grupo social ao qual estejam inseridos. É com
essa comunicação, mediada pela linguagem, que se estabelecem significados
compartilhados por todo o grupo. As linguagens fazem com que o indivíduo
possa organizar e reorganizar suas ideias e pensamentos possibilitando-lhe
também a expressão das mesmas para si próprio e para os outros elementos
desse grupo social.
52
Os instrumentos físicos são aqueles utilizados nas atividades cotidianas como, por exemplo, um tablet,
um celular ou um computador; e os sistemas simbólicos são as diversas linguagens que transcorrem
nessa cultura, tais como, a língua pátria, oral e escrita, as linguagens de programação, o sistema de
numeração, os símbolos matemáticos, a linguagem imagética, a sonora, etc.
84
MarinêsYolePoloni
(i) O computador como instrumento cultural de mediação
O computador é um instrumento (ferramenta cultural) privilegiado. Ele é
um extensor da capacidade humana e dos sentidos humanos que já faz parte
do contexto social em que o homem está inserido. Pode-se considerar o
computador um instrumento sociocultural uma vez que media diversas
atividades praticadas pelo homem no trabalho, nas comunicações etc.
No tocante aos processos de ensino e de aprendizagem que ocorrem
em ambientes computacionais, estabelecem-se simultaneamente várias
mediações: as estabelecidas entre professor e aluno que são pessoas com
diferentes níveis de experiência e funcionam como o OUTRO, as estabelecidas
entre o computador e o aluno nas quais o computador faz o papel do OUTRO
(Beatón, 2005, p. 230), as estabelecidas entre o aluno e seus pares onde o
papel do OUTRO se reveza e as estabelecidas entre o computador e o
professor, nas quais, novamente, o computador faz o papel do OUTRO.
Podemos ilustrar as interações descritas acima com a seguinte figura:
Figura 8: Interações num ambiente computacional
aluno
professor
Computador
aluno
Fonte: Acervo pessoal
A eficiência dessas interações depende das possibilidades criadas na
Zona de Desenvolvimento Proximal do aprendiz e da possibilidade do mediador
atuar nessa zona.
Segundo Papert (1985), o computador na sala de aula, tem a função
deuma ferramenta de mediação educacional podendo provocar a construção
concreta de conhecimentos. Papert (1986) sugeriu o termo construcionismo
para designar essa modalidade de construção de conhecimento em que o
aluno utiliza o computador como ferramenta para tal. Ou seja, no ambiente
85
MarinêsYolePoloni
escolar, o computador pode romper o paradigma da transmissão em prol da
construção do conhecimento firmando o ponto de vista defendido por Vygotsky
(1998),que enfatiza tanto o papel ativo do aluno na construção do próprio
conhecimento quanto o papel mediador do professor nesse processo.
Num ambiente computacional, seguindo a ideia de instrumento de
Vygotsky (1988), o computador é um instrumento técnico, representado pelo
hardware e simbólico, representado pelo software, ou seja, o software
escolhido para o ensino de um conteúdo também funciona como mediador da
aprendizagem do indivíduo.
Desta
forma,
entende-se
que
os processos de
ensino
e de
aprendizagem nesses ambientes têm possibilidades de se tornarem eficazes. A
mediação feita pelo computador pode construir novas metáforas para os
indivíduos que interagem nesses ambientes e tais metáforas facilitam tanto os
processos de interação e de troca de informação entre os aprendizes, quanto a
formação de conceitos e significados individuais. Para que todo esse processo
traga efeitos positivos, é necessário que a aula aconteça num processo
interativo em que o professor possa orientar e acompanhar o aprendizado do
aluno, fazendo os ajustes necessários paraauxiliá-lo na construção do
conhecimento. Assim, o professor passa a estabelecer uma relação de parceria
com o aluno.
o professor mediador se apresenta com a disposição de ser uma
ponte entre o aprendiz e sua aprendizagem – não uma ponte estática,
mas uma ponte rolante, que ativamente colabora para que o aprendiz
chegue aos seus objetivos. (MASETTO, 2000, p. 144-145)
Nesse ambiente em que o computador é um aliado do professor na
mediação da aprendizagem, o papel do professor não se limita só a fornecer
informações aos alunos, mas, no papel de mediador, ele deve estar atento à
aprendizagem e empreendendo ações em parceria com os estudantes, ou seja,
o professor deve estar atento a qual nível de ajuda (Beatón, 2005) dar para seu
aluno em cada etapa do processo. Evidentemente é fundamental que o
professor domine o conteúdo que ensina, entretanto seu novo papel é
contribuir para a aprendizagem de seus alunos e não fornecer todas as
respostas prontas.
Cabe ao professor assumir a mediação das interações professor-aluno86
MarinêsYolePoloni
computador de modo que o aluno possa construir seu conhecimento neste
ambiente onde o professor utiliza o computador na tarefa de promover a
autonomia, a criatividade e a autoestima de seus alunos. Porém, é necessário
que o professor desenvolva novas atitudes e que, além disso, haja uma
mudança também no papel do aluno que precisa ser um aprendiz ativo e
participante. Se o hábito do aluno é o de apresentar uma postura passiva, fazse necessário promover uma mudança de mentalidade de tal modo que ele
trabalhe individualmente para aprender e, em grupo, para colaborar na
aprendizagem.Estabelece-se, então uma parceria entre professor e aluno e um
senso de co-responsabilidade no processo de aprendizagem.
Segundo Almeida (2000), esta é uma nova visão de Educação, ou seja:
um sistema complexo, aberto e flexível, que interrelaciona conceitos e ideias,
sem uma hierarquia prévia, de forma a criar e recriar ligações como em uma
rede na qual o conhecimento encontra-se em movimento contínuo de
construção e reconstrução. Desta forma, o erro torna-se um objeto de análise a
ser reformulado em um processo de reflexão e depuração que promove a
aprendizagem e o desenvolvimento pessoal do aluno.
Valente (1993) tem a mesma linha de pensamento, pois observa que o
computador é a ferramenta com a qual o aluno desenvolve saberes. Não é a
máquina que ensina o aluno, mas as atividades elaboradas pelo professor que
têm a intencionalidade de aprendizagem que ocorre porque o aprendiz está
executando as atividades propostas sendo mediado pelo professor, por seus
colegas e pelo computador.Dessa forma, o professor passa a ser o profissional
responsável por traçar e sugerir caminhos na construção do saber de seus
alunos. Vale ressaltarporém, que, para Valente (1993), não é só por meio do
treinamento que o professor vai adquirir o conhecimento necessário para
assumir esse papel de mediador frente a um ambiente computacional, mas por
meio de formações que sejam permanentes, dinâmicas e integradas tendo,
principalmente, espaço para a prática da reflexão.
(ii) O jogo como instrumento cultural de mediação
Segundo Vygotsky (1989), os jogos podem criar possibilidades de
atuação na ZDP uma vez que o indivíduo, quando joga, faz uso de
87
MarinêsYolePoloni
conhecimentos já sabidos e constrói outros além de articular os seus
conhecimentos cotidianos com os científicos. O autor afirma ainda que os jogos
dão ao professor a possibilidade de conhecer e avaliar melhor seu aluno
proporcionando avanços em sua aprendizagem.
Para Vygotsky (1989), as características que definem o jogo são a
imaginação,a imitação e as regras. Essas características estão presentes em
todos os jogos, embora sempre haja maior preponderância de uma ou de outra.
Na fase pré-escolar, a imaginação é dominante sobre as regras, pois nessa
fase, campos da percepção visual e do significado se afastam e as ações das
crianças são provenientes das ideias ficando os objetos num segundo plano.
Por exemplo, quando a criança cria uma situação imaginária, ela imita o
comportamento de alguém e, implicitamente, esse comportamento obedece a
algumas regras. Durante essa fase, portanto, a imaginação está explícita e as
regras estão implícitas.
Conforme o indivíduo se desenvolve, e entra na fase escolar, ocorre o
contrário: as regrastornam-se explícitas e a imaginação implícita. Estabelecese, então, uma nova relação entre os campos da percepção visual e do
significado, pois o indivíduotem a possibilidade do jogo baseado em regras.
Além das características imaginação e regras, Vygotsky (1989) destaca
que, em todo, jogo também existe a imitação. Para o autor, a imitação tem
papel fundamental no desenvolvimento o indivíduo, pois permite que ele faça
aquilo que viu o outro fazer e crie a partir daquilo que aprendeu observando o
outro. Dessa forma, para Vygotsky (1989), a imitação tem papel fundamental
no desenvolvimento o indivíduoe não pode ser entendida como simples
atividade mecânica, mas como a reconstrução individual daquilo que o
indivíduoaprendeu a partir dos outros.
Segundo o autor, o jogo permite que o indivíduoaprenda, reconstrua algo
que observou nos outros e aja segundo as regras que a situação lhe impõe.O
jogo faz com que o indivíduo (re)signifique os objetos/ações dos outros tendo
suas próprias ações norteadas pela internalização que ele fez desses objetos e
ações.
Vygotsky (1989) considera o jogo como um instrumentomediador no
desenvolvimento das funções psicológicas superioresdo indivíduo. Quando o
indivíduo passa à idade escolar, seu interesse pelo OUTRO (Beatón, 2005) e
88
MarinêsYolePoloni
por compartilhar ações aumenta. O jogo com regras propicia a interação entre
os pares e estabelece limites segundo os quais o aprendiz deve agir. Para isso,
é necessário que do indivíduocompreenda as regras do jogo e preste atenção
às suas jogadas e às de seus adversários para que possa analisá-las e
interpretá-las. Ao analisar e interpretar as diversas jogadas, várias funções
psicológicas superiores do indivíduosão exercitadas e desenvolvidas tais
como:o levantamento de hipóteses, a percepção e a abstração do pensamento
e a avaliação das jogadas realizadas para a resolução da situação-problema
que o jogo propõe. Dessa forma, segundo o autor, o jogo com regras
impulsiona o desenvolvimento cognitivo.
Quando em aprendizagem com jogos, o aprendiz deixa de ter um papel
passivo e passa a ser um agente responsável por sua aprendizagem, pois o
jogo, para do indivíduo, é um desafio na busca de soluções para um problema.
No tocante ao professor, o jogo propicia a identificação do pensamento
do aluno pela análise das suas jogadas, bem como,aquilo que o aluno é capaz
de fazer sozinho e o que ele necessita da ajuda do OUTRO (Beatón, 2005),
além de poder identificar qual o nível de ajuda, (Beatón, 2005), pode ser dada a
esse aluno para que ele atinja o objetivo da aprendizagem. Em outras palavras,
o jogo de regras cria possibilidades de ação intencional do OUTRO na ZDP do
aprendiz a fim de transformar o nível de desenvolvimento potencial em
desenvolvimento real.
A conceituação e descrição que Vygotsky (1998) faz dos processos
envolvidos na aprendizagem no espaço da ZDP referem-se à criança e não ao
adulto, pois na época na qual escreveu ―A formação social da mente‖, o autor
estava preocupado em estabelecer as bases teóricas sobre o desenvolvimento
da criança. Entretanto é de aceitação inequívoca na área da psicologia da
aprendizagem que o conceito de ZDP não se restringe apenas aos processos
de aprendizagem da criança, mas abrange também o adulto. No adulto, a ZDP
apresenta características específicas pois este tem domínio da linguagem e já
desenvolveu processos de autorregulação próprios para a idade.
O brinquedo a que Vygotsky (1998) faz referência é, aqui, concretizado
pela ação de jogar. Essa ação permite ao adulto, assim como à criança,
mesmo que momentaneamente,
89
MarinêsYolePoloni
a função simbólica, a assunção de papéis sociais diferenciados,
situação imaginária que desenvolve a abstração, a concentração, a
autorregulação da atenção, da memória, de regras de comportamento
e de vivências marcadas por aspectos emocionais próprios da
competição e da colaboração, além de propiciar motivação e criar
possibilidades de prazer e de distração (BARRETO, 2015, p. 27).
Dessa forma, quando a situação envolve o jogo, temos uma nova
relação professor-aluno e aluno-aluno que se baseia em confiança na
capacidade que o OUTRO tem de resolver a situação-problema imposta.
A figura abaixo ilustra as relações que ocorrem numa situação de jogo
de regras:
Figura 9: Interações numa situação de jogo
aluno
professor
Jogo
aluno
Fonte: Acervo pessoal
A figura, que tem o jogo como elemento central, mostra as interações
entre professor e aluno e entre aluno e aluno propiciadas por esse recurso. O
jogo caracteriza-se como uma estratégia cognitiva na aprendizagem dos
alunos, adultos ou crianças, pois propicia uma situação interativa, conforme
mostra a figura acima, bem como a discussão de ideias diferentes, o que leva à
aprendizagem.
Ao escolher o jogo como recurso didático, o professor deve estar ciente
de que, segundo Grando (2000):
A inserção de jogos no contexto de ensino-aprendizagem implica em
vantagens e desvantagens apontadas por inúmeros estudiosos, tais
como: Kishimoto, (1996); Machado,(1990); Corbalán, (1996);
Giménez,(1993), descritas em Grando (1995) e abordadas na
literatura especializada e que devem ser refletidas e assumidas pelos
educadores, ao se proporem a desenvolver um trabalho pedagógico,
com os jogos. (GRANDO, 2000, p. 34)
90
MarinêsYolePoloni
Essas vantagens e desvantagens devem ser conhecidas pelo professor
ao mediar uma aula utilizando o jogo como recurso para o ensino de
Matemática. O quadro abaixo resume as vantagens e desvantagens do uso de
jogos nas aulas de Matemática:
Quadro 4: Vantagens e desvantagens do uso de jogos na sala de aula
Vantagens
fixação de conceitos já aprendidos de uma formamotivadora para o aluno
introdução e desenvolvimento de conceitos de difícil compreensão
desenvolvimento de estratégias de resolução de problemas (desafio dos jogos)
aprender a tomar decisões e saber avaliá-las
significação para conceitos aparentementeincompreensíveis
propicia o relacionamento das diferentes disciplinas(interdisciplinaridade)
o jogo requer a participação ativa do aluno na construção do seu próprio conhecimento
o jogo favorece a socialização entre os alunos e a conscientização do trabalho em equipe
a utilização dos jogos é um fator de motivação para os alunos
dentre outras coisas, o jogo favorece o desenvolvimento da criatividade, de senso crítico, da
participação, da competição "sadia", daobservação, das várias formas de uso da linguageme do
resgate do prazer em aprender
as atividades com jogos podem ser utilizadas parareforçar ou recuperar habilidades de que os
alunosnecessitem. Útil no trabalho com alunos dediferentes níveis
as atividades com jogos permitem ao professor identificar, diagnosticar alguns erros de aprendizagem,
as atitudes e as dificuldades dos alunos
Desvantagens
quando os jogos são mal utilizados, existe o perigo de dar ao jogo um caráterpuramente aleatório,
tornando-se um "apêndice" em sala de aula. Os alunos jogam e se sentem motivados apenas pelo
jogo, sem saber porque jogam
o tempo gasto com as atividades de jogoem sala de aula é maior e, se o professornão estiver
preparado, pode existir umsacrifício de outros conteúdos pela faltade tempo
as falsas concepções de que se devemensinar todos os conceitos através dejogos. Então as aulas,
em geral,transformam-se em verdadeiros cassinos também sem sentido algum para o aluno
a perda da "ludicidade" do jogo pelainterferência constante do professor,destruindo a essência do
jogo
a coerção do professor, exigindo que aluno jogue, mesmo que ele não queira,destruindo a
voluntariedade pertencenteà natureza do jogo
dificuldade de acesso e disponibilidadede material sobre o uso de jogos noensino, que possam vir a
subsidiar otrabalho docente
Fonte: Adaptado de Grando, 2000, p.35
Pode-se perceber que há mais vantagens do que desvantagens no uso
de jogos para o ensino de Matemática, entretanto, é necessário que o
professor esteja atento estas últimas durante a mediação da aula a fim de que
a aprendizagem aconteça sem prejuízo das vantagens.
(iii) Mediação e História da Matemática
Segundo D‘Ambrosio (2009, p.29), ―ahistória da matemática é um
elemento fundamental para se perceber como teorias e práticas matemáticas
foram criadas, desenvolvidas num contexto especifico de sua época.‖ Em
91
MarinêsYolePoloni
outras palavras, a história da matemáticapossibilita ao aluno a visão de que o
conhecimento matemático não é estanque, ao contrário, está sempre em
desenvolvimento de acordo com as necessidades da humanidade. Essa visão
proporciona ao aluno uma relação do passado com o presente.
Os Segundo os PCN (1998), a abordagem dada à história da
matemática no processo de ensino é a de um recurso didático para o ensino e
a aprendizagem:
Essa abordagem não deve ser entendida simplesmente que o
professor deva situar no tempo e no espaço cada item do programa
de Matemática ou contar sempre em suas aulas trechos da história
da Matemática, mas que a encare como um recurso didático com
muitas possibilidades para desenvolver diversos conceitos, sem
reduzi-la a fatos, datas e nomes a serem memorizados. (BRASIL,
1998, p.43).
Pelas orientações dos PCN (1998), que estão citadas no trecho acima, a
história da matemática não deve ser apresentada ao aluno como mais um
conteúdo a ser estudado e memorizado, pois isso, a nosso ver, contribuiria
muito pouco com a construção do conhecimento além de poder constituir-se
em mais umadificuldade.
O professor, ao mediar uma aula utilizando como recurso a história da
matemática deve estar ciente de que, segundo Miguel (1997), existem 12
potencialidades pedagógicas no uso desse recurso em sala de aula, para o
ensino e a aprendizagem de conceitos matemáticos.
Tais potencialidades podem ser resumidas no quadro abaixo:
Quadro 5: Potencialidades pedagógicas do recurso história da matemática
1) A História como uma fonte
de motivação para o ensino e
aprendizagem da Matemática.
2) A História como uma fonte
de objetivos para o ensino da
Matemática
O conhecimento da história da matemática desperta a
curiosidade do aluno em aprender o conteúdo que está sendo
ensinado. Alguns matemáticos entendem que o conhecimento
da história da matemática pode modificar a conduta do aluno
quanto à Matemática. Miguel (1997) atenta para o fato de que
se esse fosse o caso, o ensino da própria História seria
motivador.
Utilização adequada da História de modo a levar o aluno a
perceber alguns objetivos: a Matemática como criação humana;
os motivos tal quais as pessoas concebem a Matemática; as
necessidades práticas, sociais, etc, que estimulam o
aprimoramento das ideias matemáticas; os contatos existentes
entre a Matemática e a filosofia, religião, lógica, etc; o interesse
intelectual que pode levar ao desenvolvimento e ampliação de
conceitos e teorias; os conhecimentos que os matemáticos
possuem do próprio objeto matemático, os quais se alteram e se
aprimoram ao longo do tempo; a característica de uma
estrutura, de uma axiomatização e de uma prova.
92
MarinêsYolePoloni
3) A História como uma fonte
de métodos para o ensino e
aprendizagem da Matemática
4) A História como uma fonte
para seleção de problemas
práticos,
curiosos,
informativos e recreativos a
serem incorporados nas aulas
de Matemática
5) A História como um
instrumento que possibilita a
desmistificação
da
Matemática e a desalienação
de seu ensino
6) A História como um
instrumento de formalização
de conceitos matemáticos.
7) A História como um
instrumento de promoção do
pensamento independente e
crítico.
8) A História como um
instrumento unificador dos
vários campos da Matemática.
9) A História como um
instrumento
promotor
de
atitudes e valores.
Esse ponto de vista já era defendido desde o século XVIII.
Encontram-se contribuições na história da matemática para as
escolhas de procedimentos pedagógicos apropriados que
permeiam temas tais como: resolução de equações e sistemas
de equações, determinação de área de um círculo, construção
de polígonos regulares, etc.
Por esse ponto de vista a história da matemática pode contribuir
como um método motivador para as aulas de Matemática. Tais
métodos são entendidos de maneira externa ao conteúdo do
ensino, e de maneira vinculada na prática intelectual da solução
de um problema.
Miguel(1997) faz aqui as mesmas criticas aplicadas à História
como motivação, pois o fato do problema ser motivador não
consiste em ele ser histórico ou não, mas sim no grau de
desafio que esse problema desperta no aprendiz.
O modo como normalmente o conteúdo matemático é ensinado
não revela o modo como esse conceito foi historicamente
produzido. Dessa forma, cabe à história da matemática
desmistificar a visão de que a Matemática foi feita sem
obstáculos, de forma coerente, que está pronta e acabada, etc.
A formalização é o processo de traçar caminhos para chegar a
um determinado fim. Dessa forma a história da matemática
torna-se um recurso indispensável para a formalização de
conceitos, pois é no desenvolvimento histórico da matemática
que percebemos as diferentes formalizações de um mesmo
conceito.
O objetivo pedagógico da História é uma reconstrução racional
da História da Matemática, ou seja, um jogo dialético das ideias
apartado da realidade social.
A História pode fornecer uma visão globalizada da Matemática
por meio do relacionamento de seus variados campos.
Miguel (1997) defende o fato de que deve-se mostrar ao
estudante o modo como a Matemática foi realmente produzida.
Dessa forma, o professor deve mostrar ao aluno as lacunas e as
incertezas que os matemáticos enfrentaram na produção do
conhecimento. Essa exposição de dificuldades enfrentadas
pelos matemáticos pode promover o desenvolvimento de
atitudes positivas nos alunos, tais como a formação do
pensamento científico, a coragem para enfrentar problemas e a
persistência na busca de soluções.
10) A História como um Miguel (1997) defende quea História é uma ajuda que o
instrumento
de professor deve considerar a fim de ensinar a Matemática,
conscientização
recorrendo a procedimentos e demonstrações com rigor
epistemológica.
científico.
11) A História como um Diz respeito ao fato de usar a ordem histórica da construção
instrumento
que
pode matemática para facilitar a assimilação durante a reconstrução
promover a aprendizagem teórica. A função da História se dá a partir de um ensino da
significativa e compreensiva Matemática fundamentado na compreensão e na significação
da Matemática
dos motivos pelos quais se deve aceitar certos fatos, raciocínios
e procedimentos.
12) A História como um As potencialidades pedagógicas da História podem ajudar o
instrumento que possibilita o professor a resgatar a identidade de uma determinada cultura
resgate da identidade cultural. apresentando, a seus alunos, um processo de reconstrução a
ser representado pela Matemática num dado sistema
educacional.
Fonte: Elaborado pela autora adaptado de Miguel (1997)
93
MarinêsYolePoloni
Algumas das doze potencialidades pedagógicas da História da
Matemática descritas por Miguel (1997) foram constatadas durante as
atividades desenvolvidas pelos sujeitos de pesquisa utilizando o recurso à
história da matemática. Nós, enquanto formadoras, buscamos mediar
atividades que contemplassem principalmente as potencialidades 1,2,3 e 11.
O professor, ao mediar uma aula utilizando a História da Matemática
como um recurso didático, deve ter como objetivo o desenvolvimento, no aluno,
da ideia de que o conhecimento matemático é uma produção humana que está
sendo construída e reconstruída nos mais diversos contextos socioculturais. É
importante que o professor, nessa mediação, faça com que o aluno perceba
que a construção histórica da Matemática se deu por meio de situaçõesproblema impostas pela relação do homem com a natureza e com sua própria
cultura naquele momento histórico resgatado. Como salienta Radford (2011, p.
82) ―De fato, para compreender os desenvolvimentos conceituais precisamos
colocar o sujeito conhecedor e toda a atividade matemática em estudo dentro
de sua concepção cultural da Matemática e da ciência em geral‖
Ao utilizar a História da Matemática como elemento mediador na
aprendizagem, é preciso superar a visão recapitulacionista que considera as
dificuldades encontradas na resolução de um determinado conteúdo, em um
momento histórico específico, como decorrente de uma dificuldade de
conhecimento intrínseca àquele conteúdo, que se enquadra em ―uma
abordagem mentalista do conhecimento‖ (Radford, 2011, p. 83) a ser superada.
Para reforçar a necessidade de superação da visão mentalista, Radford (2011,
p.81) afirma que ―a atividade mental da criança moderna não recapitula a
criança primitiva nem a atividade mental adulta‖.
Os PCN (1998) consideram que conceitos matemáticos devem ser
abordados mediante a exploração de problemas históricos, pois são situações
nas quais os alunos necessitam articular estratégias diversas:
A própria História da Matemática mostra que ela foi construída como
resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos,
motivadas por problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo
de créditos), por problemas vinculados a outras ciências (Física,
Astronomia), bem como por problemas relacionados a investigações
internas à própria Matemática. (PCN, 1998, p. 40).
94
MarinêsYolePoloni
Essa ideia vai ao encontro do que pensa D‘Ambrosio (1999), para quem,
discutir práticas educativas que se fundam na cultura, em Matemática, sem
recorrer à história da Matemática, é impossível uma vez que esta ciência faz
parte das atividades humanas e dos problemas de ordem prática da
humanidade, como salientam os PCN (1998), no trecho acima.
Segundo D‘Ambrosio (1999),
Desvincular a Matemática das outras atividades humanas é um dos
maiores erros que se pratica particularmente na educação da
Matemática. Em toda a evolução da humanidade, as ideias
matemáticas vêm definindo estratégia de ação para lidar com o
ambiente, criando e desenhando instrumento para esse fim e
buscando explicações sobre os fatos e fenômenos da natureza e para
própria existência (D‘AMBRÓSIO, 1999, p. 97).
Para o autor, discutir educação matemática sem recorrer aos registros
históricos é um equívico, uma vez que a Matemática não deve ser separada
das atividades humanas, pois essa ciência vem buscando explicações sobre os
fatos e fenômenos da natureza durante toda a evolução da humanidade.
A figura abaixo ilustra as relações que podem acontecer quando o
professor utiliza a história da matemática como recurso didático:
Figura 10: Relações que podem acontecer quando a história da matemática é utilizada como recurso
aluno
professor
História da
Matemática
Matemática
Fonte: Acervo pessoal
A figura acima representa as interações que acontecem numa aula em
que o professor faz uso do recurso à História da Matemática. O professor
objetiva desenvolver no aluno a ideia de que o conhecimento matemático é
uma produção humana num situada num contexto sociocultural. Dessa forma,
o professor, ao fazer uso da história da matemática, deve ter em mente as 12
95
MarinêsYolePoloni
potencialidades pedagógicas do uso desse recurso a fim de levar o aluno a
compreender que a Matemática não está pronta e acabada, a perceber as
diferentes formalizações de um mesmo conceito, a ter uma visão global da
Matemática por meio da relação entre seus diferentes campos, a elaborar o
rigor científico e etc.
Uma discussão mediada com o uso do recurso História da Matemática
pode mudar a relação entre professor e aluno e entre esses dois sujeitos e a
própria Matemática, além de ser desencadeadora de aprendizagem.
Ao vivenciar com seu aluno o ciclo execução-reflexão-depuração,
segundo Almeida (2000), o professor reflete, em parceria com seu aluno, a
respeito dos erros ou acertos da prática pedagógica em questão, e analisa a
adequação de suas intervenções de modo a fazer os ajustes necessários no
seu papel de mediador.
96
MarinêsYolePoloni
Capítulo III
3. Metodologia
A
metodologia
desta
pesquisa
é
qualitativado
tipo
Design-
BasedResearch, por privilegiar um planejamento flexível e ter o objetivo de
investigar fenômenos em seu contexto natural.
Justificamos a escolha da pesquisa qualitativa, pois as pesquisadoras,
durante a formação empreendida, não ficaram fora da realidade que estava
sendo estudada, ao contrário, as investigadoras conceberam essa realidade e
tentaram compreendê-la em sua totalidade (TRIVIÑOS, 1992)
Escolher uma metodologia qualitativa para a pesquisa também se
justifica por possibilitar a inserção do pesquisador no contexto da mesma
assumindo dois papéis: o de pesquisador ao analisar os materiais produzidos
pelos sujeitos e o de membro do grupo, ao participar dos encontros e da
elaboração e desenvolvimento das atividades. Segundo Lüdke e André (2003,
p.3) as pesquisas em Educação tendem a ser qualitativas, pois os dados
devem ser interpretados, uma vez que não há como mensurá-los, pois ―[...] em
educação as coisas acontecem de maneira tão inextricável que fica difícil isolar
as variáveis envolvidas e mais ainda apontar claramente quais são as
responsáveis por determinado efeito‖.
Para Lüdke e André (2003), o quedetermina a escolha da metodologia é
a natureza do problema. A escola é uma realidade complexa e para estudá-la,
com rigor científico, são necessários subsídios encontrados na vertente
qualitativa de pesquisa, pois, dessa forma, há uma atenção com o
planejamento e também com o controle da pesquisa.
Diversosautores se posicionam quanto à dificuldade de se definir
pesquisa qualitativa por conta de que se deve levar em conta o campo histórico
e o momento em que é aplicada (Denzine Lincoln, 2006; Gibbs, 2009). Neste
estudo, entendemos pesquisa qualitativa segundo Amado, 2013.Para o autor, a
investigação qualitativa consiste
97
MarinêsYolePoloni
numa pesquisa sistemática, sustentada em princípios teóricos
(multiparadigmáticos) e em atitudes éticas, realizada por indivíduos
informados (teorética, metodológica e tecnicamente) e treinados para
o efeito. (AMADO, 2013 p. 15)
3.1 Metodologia – considerações teóricas
Na década de 90, Ann Brown (1992) e Alan Collins (1992) introduziram
um novo paradigma de pesquisa em educação: Design-BasedResearch.
Os autores referiam-se a uma metodologia de pesquisa em Educação
que se predispunha a resolver problemas complexos em contextos reais, a fim
de testar e aperfeiçoar ambientes de aprendizagem inovadores com a ajuda e
colaboração de professores.
Denominado inicialmente por Brown (1992) eCollins (1992), como
Design Experiments, oDesign-BasedResearch postula relações sinérgicasentre
pesquisa, projeto e engenharia. Essa metodologia, no início dos anos 90, já era
comumente utilizada no desenho de pesquisas científicas em outras áreas,
porém era novidade para a maioria dos pesquisadores que se dedicavam à
Educação.
Segundo Wang e Hannafin53(2005)o Design-Based Research é
definido como:
―uma metodologia sistemática, porém flexível que tem como objetivo
melhorar as práticas educativas por meio de análise, design,
desenvolvimento e implementação com base na colaboração
entrepesquisadores e profissionais em mundo real definido.‖(tradução
da autora)
Segundo os autores, oDesign-Based Research apresenta algumas
variações quais sejam: design experiments (Brown, 1992; Collins, 1992),
design research (Cobb, 2001; Collins, Joseph , e Bielaczyc , 2004; Edelson,
2002), development research (Van Den Akker, 1999); developmental research
(Richey, Klein, e Nelson, 2003; Richey & Nelson , 1996) and formative research
(Reigeluth & Frick , 1999; Walker , 1992). Cada uma destas formas de design
é um pouco diferente, mas seus objetivos e abordagens são semelhantes.Com
relação à metodologia utilizada nesta pesquisa, devemos ressaltar que ela
53
“we define design-based research as a systematic but flexible methodology aimed to improve
educational practices through iterative analysis, design, development, and implementation, based on
collaboration among researchers and practitioners in real-world set‖ (p. 6)
98
MarinêsYolePoloni
apresenta
algumas
características
de
Design
Experiments,
masé
fundamentalmente um Design Based Research. O quadro abaixo resume as
características dessas duas metodologias de pesquisa.
Quadro 6: Design - Based ResearchX Design Experiments
Variações
Método
Design - Based Research
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Design Experiments
Muitas vezes conduzida dentro de um único ambiente por
um longo tempo.
Ciclos iterativos de design, promulgação, análise e
redesign.
Intervenções contextualmente dependentes.
Documentação e conexão de resultados com processo
de desenvolvimento e ambiente autêntico.
Colaboração entre profissionais e pesquisadores.
Desenvolvimento de conhecimento que pode ser usado
na prática e pode informar os profissionais e outros
designers.
Comparação de múltiplas inovações.
Caracterização do problema.
Experiência múltipla em design.
Interação social durante o projeto.
Revisão flexível do design e avaliação objetiva
Desenvolvimento de um perfil como resultado.
Fonte: Adaptado de Wang & Hannafin (2005)
Nossa pesquisa foi conduzida no ambiente da Diretoria Norte 2,
durante um semestre letivo, houve ciclos de design e redesign durante as
intervenções que
eram dependentes de
contextos anteriores.
Houve
colaboração entre os profissionais e as pesquisadoras o que resultou numa
grande quantidade
de
documentos que mostram os resultados das
intervenções no ambiente escolhido. Houve também desenvolvimento de
conhecimento que os professores poderão utilizar em sua prática pedagógica.
Além disso, existiu interação social durante a pesquisa e as pesquisadoras
fizeram revisões e avaliações constantes durante todo o processo.Dessa
forma, podemos entender que a metodologia utilizada nesta pesquisa é de
Design Based Research. Valeressaltar que essa metodologia foi trazida para a
Educação Matemática, pois as formas de se desenvolver investigações e os
modelos de outras áreas nem sempre se mostraram adequados por não terem
sido criados com tal finalidade e, além disso, as pesquisas em educação eram
criticadas pela pouca relação com a prática pedagógica. Dessa forma,
tornaram-se necessários modelos que considerassem o progresso dos sujeitos
envolvidos e se propusessem à análise do desenvolvimento do pensamento
matemático.
99
MarinêsYolePoloni
Karrer (2006) enfatiza que, antes dos experimentos de ensino, o desenho
experimental utilizado comumente em Educação Matemática resumia-se a
selecionar dois grupos de sujeitos, submetê-los a diferentes intervenções e
comparar os resultados das mesmas. Nesse tipo de experimento, o foco de
análise eram as intervenções feitas com os sujeitos, ou seja,o pesquisador não
tinha como foco os sujeitos, mas as intervenções.Com o Design- Based
Research, o pesquisador foca nos sujeitos envolvidos e não nas atividades a
eles propostas. Volto a repetir que na elaboração das atividades para a
formação continuada, analisada nesta pesquisa, utilizamos alguns elementos
da metodologia Design Experimentde Brown e Collins (1992), pois estávamos
na complexidade de um contexto educacional e desejávamos manter o foco
nos professores, sujeitos de pesquisa, mas a metodologia de pesquisa
utilizada, neste estudo, é fundamentalmente Design-Based Research.
Um projeto
de
pesquisa
baseado
em
Design-BasedResearch
é
introduzido com a expectativa de analisar processos de aprendizagem de
domínios específicos e não se trata apenas de uma coleção de atividades
direcionadas à aprendizagem de um determinado domínio, aliás para esse tipo
de metodologia, criou-se o termo “ecologia de aprendizagem”, ou seja, não é
só uma sequência de atividades, mas um sistema complexo e interativo
envolvendo múltiplas variáveis de diferentes tipos e níveis. Essa complexidade
diz respeito aos elementos da “ecologia de aprendizagem” quais sejam: as
questões a serem propostas aos sujeitos de pesquisa além do discurso a ser
desenvolvido por eles; as ações do professor e do aluno em sala de aula; os
materiais didáticos que serão utilizados; as resoluções das tarefas; as
ferramentas e os significados das relações entre todos esses elementos.
(Cobbet al, 2003).
O objetivo geral dessa metodologia é uma maior compreensão dos
contextos de aprendizagem e para isso, o Design-Based Research apóia-se
em teorias de educação e aprendizagem,além de mostrar um compromisso
com a compreensão das relações existentes entre a teoria, a prática e os
materiais empreendidos na formação. Para a formação que subsidia esta
pesquisa, foram planejadas e elaboradas algumas atividades as quais seriam
utilizadas com osprofessores, porém elas foram redesenhadas ao longo dos
encontrospara se adaptarem às expectativas que eles tinham do curso
100
MarinêsYolePoloni
demonstradas no decorrer das sessõespor meio de suas falas e de suas
―Folhas Diário de Bordo‖54.
Segundo Cobb (2003), são cinco as características do DesignBasedResearch.
Elas
foram
identificadas
nas
atividades
previamente
planejadas para o curso que subsidiou esta pesquisa.
As cinco características do Design-BasedResearch, segundo Cobb
(2003), estãoorganizadas no quadro abaixo:
Quadro 7: Características do Design-Based Researchsegundo Cobb (2003)
Características
Pragmático
•
•
•
Fundamentado
•
•
Interativo,
iterativo e flexível
•
•
•
Integrativo
•
•
•
Contextualizado
•
•
•
O Design-Based Research refina teoria e prática.
O valor da teoria é avaliada pela medida em que os princípios
informam e melhoram a prática .
O Design-Based Researché alicerçado em pesquisas relevantes que
envolvem e relacionam teoria e prática.
O design é realizado em contextos do mundo real e o processo de
design é incorporado e estudado por meio do Design-Based
Research.
Os pesquisadores estão envolvidos nos processos de concepção e
trabalho em conjunto com os participantes.
Os processos são um ciclo iterativo de análise, projeto,
implementação e redesign.
O plano inicial normalmente não é suficientemente detalhado, então
os pesquisadores podem fazer alterações quando julgarem
necessário.
Métodos de pesquisa mistos são utilizados para maximizar a
credibilidade da investigação em curso.
Os métodos variam durante as diferentes fases da pesquisa em curso,
pois surgem novas necessidades e problemas que fazem evoluir a
pesquisa.
O rigor é propositalmente mantido e a disciplina é
apropriadamenteaplicada às fases de desenvolvimento.
O processo de pesquisa, os resultados da investigação e as
mudanças em relação ao plano inicial são documentados.
Os resultados da pesquisa estão relacionados com o processo de
design.
O conteúdo e profundidade de princípios de design gerados variam.
É necessário orientação para aplicar princípios gerados.
Fonte: Acervo pessoal
Segundo o quadro acima, o Design-Based Research desenvolve teorias
tanto sobre o processo de aprendizagem quanto sobre os materiais que são
utilizados para dar suporte à aprendizagem. Existe, também, nessa
metodologia,uma
natureza
intervencionista
que
objetiva
investigar
54
Designei por ―Folha Diário de Bordo‖ uma folha ser preenchida, pelos professores, a cada sessão, que
constituiu um portfólio individual de anotações.
101
MarinêsYolePoloni
possibilidades de novas formas de aprendizagem visando mudanças
educacionais.
O Design-Based Research envolve a revisão contínua do design do
projeto o qual se mostra flexível, uma vez que há um conjunto de tentativas
iniciais revistas em função do seu sucesso na prática, ou seja, essa
metodologia
tem
dois
aspectos:
o
prospectivo(prospective)e
o
reflexivo(reflective). Diz-se que o Design é em prospectivo quando é
implementado como um processo de aprendizagem hipotético e é reflexivo
quando, à medida que uma hipótese sobre umadeterminada forma de
aprendizagem é testada e refutada, novas hipóteses são desenvolvidas e
testadas. O resultado desse segundo aspecto é um processo de design
iterativo comciclos de criação e revisão (Cobb et al., 2003).No caso desta
pesquisa, o Design-BasedResearchimplementado durante a formação é
reflexivo e as pesquisadoras interagiram no sistema continuamente dotando-o
de um movimento cíclico.
Ainda, de acordo com o quadro acima, há uma ruptura com a visão
tradicional em que pesquisador, professores e alunos desempenham papéis
fixos no processo.
Os projetos de Educação Matemática que emergem do DesignBasedResearch têm algumas características especiais. Segundo Lesh55
(2008), essametodologia provou ser produtiva na investigação da interação das
―ecologias
de
aprendizagem‖
que
promovem
o
desenvolvimento
do
conhecimento matemático em estudantes e também em professores, como é o
caso desta pesquisa. Para esse autor, o Design-BasedResearch também é
importante na divulgação e implementação de programas inovadores de
formação de professores em Educação Matemática.Para Lesh (2008), o
conjunto composto por estudantes, professores, cursos, currículos, materiais
didáticos e mentes são sistemas complexos que, não devem ser observados
isoladamente, pois quando isso acontece, a observação corre o risco de deixar
o conjunto – ―ecologia de aprendizagem – defasado. O conjunto que Lesh
(2008) citou é dinâmico, interativo, autorregulável e permanece em adaptação
55
Palestra proferida por Richard Lesh no ICME - 2008, México. Richard Lesh é um dos autores do livro
AHandbookofResearch Design in Mathematicsand Science Education.
102
MarinêsYolePoloni
contínua durante todo o processo, pois cada feedback produz efeitos que
direcionam as próximas intervenções.
Os projetos de pesquisa que têm o Design-BasedResearch como
metodologia envolvem os participantes em diferentes papéis durante todo o
processo de investigação e, desta forma, podem aumentar a relevância da
pesquisa para a prática.
ODesign-BasedResearchéconsiderado
um
método
científico
de
investigação quando o foco do pesquisador está no pensamento matemático
dos sujeitos e nas modificações desses pensamentos durante o processo.
Dessa forma, a atitude do pesquisador precisa estar em consonância com
essa metodologia, ou seja, ele deve criar situações para que haja possibilidade
de mudança nos esquemas matemáticos usuais dos sujeitos. Nessa
metodologia, os registros podem ser escritos, gravados, fotografados, filmados
e, no caso de uma pesquisa em ambiente computacional, também são aceitos
os arquivos salvos dos episódios de ensino. Neste trabalho, são utilizados
todos esses métodos inclusive os registros em vídeo que, como destacam
Steffee Thompson (2000), têm grande importância na visualização das
expressões dos sujeitos durante as atividades do processo de formação,
principalmente nos trabalhos em que o pesquisador assume também o papel
de formador– que é o caso da presente pesquisa –, ou seja, os vídeos ajudam
o pesquisador a não perder as expressões dos sujeitos durante o
desenvolvimento de toda a atividade.
Observações cuidadosas dos vídeos oferecem aos pesquisadores a
oportunidade de ativar os arquivos das experiências passadas com
os estudantes e trazê-los à consciência. Quando os pesquisadores
reconhecem a interação como tendo sido vivenciada antes,
interpretações passadas das atividades dos estudantes que foram
feitas de forma superficial podem ocorrer novamente ao professor
pesquisador (Steffee Thompson, 2000, p. 54).
No Design-BasedResearch, os registros de cada momento de ensino
são utilizados para a elaboração dos próximos, assim como também, são
utilizados na análise dos momentos de ensino já vivenciados. Realizando-se
essa análise, é possível fazer um redesigndos próximos momentos de ensino.
A intenção dos investigadores é permanecerem atentos às
contribuições dos estudantes para a trajetória de interações de ensino
e para os estudantes testarem as hipóteses de pesquisa seriamente...
Os investigadores voltam retroativamente às hipóteses de pesquisa
103
MarinêsYolePoloni
depois de completar os episódios de ensino (Steffee Thompson,
2000, p. 273).
Um ciclo se forma quando existem momentos de preparação do
experimento seguidos de momentos de atuação. Na sequência faz-se a
análise dessa atuação por um ou mais pesquisadores envolvidos com a
pesquisa. Essa análise pode gerar modificações no experimento para uma
nova atuação que será novamente aplicada e analisada. Esse processo, feito
quinzenalmente durante toda a formação que subsidiou essa pesquisa, é
reflexivo e cíclico.A vantagem dessa metodologia é que a cada experimento
são feitas análises, reflexões e modificações para as próximas intervenções,
ou seja, tem-se a chance de um redesigndos próximos experimentos, pois o
Design-BasedResearch utiliza os resultados dos experimentos anteriores para
preparar o design do próximo experimento, mas é em sua aplicação que se
verifica se este último se adequa ao contexto em que se está pesquisando.
3.2 Procedimentos metodológicos
Com o objetivo de responder à questão norteadora: “Em que aspectos
uma formação continuada, centrada na problematização com o uso de recursos
didáticos para o trabalho docente (história da matemática, uso de jogos e de
tecnologias), pode auxiliar a ampliação do conhecimento profissional docente?”
a pesquisa foi estruturada em duas fases, uma documental e uma em campo, e
foram adotados os seguintes procedimentos metodológicos:
Fase I: Pesquisa documental
Análise de documentos oficiais sobre currículo da Educação Básica,
em
particular
relacionados
ao
ensino
de
Trigonometria,
a
saber:PCN(1997)56, PCN(1998)57, PCNEM(2000)58,PCN+ Ensino
56
Parâmetros curriculares nacionais PCN: Matemática, Ministério da Educação e do Desporto, Brasília:
MEC/SEF, 1997.
57
Parâmetros curriculares nacionais PCN: Matemática, Secretaria de Educação Fundamental. Brasília:
MEC/SEF, 1998.
58
Parâmetros curriculares nacionais para o ensino médio PCN: Matemática, Ministério da Educação e do
Desporto, Brasília: MEC/SEF, 2000.
104
MarinêsYolePoloni
Médio59 (2002) OCEM(2006)60 e Propostas curriculares de 1986,
1992 e 2008 do Estado de São Paulo.
Análise do Guia do PNLD (2012).
Esta fase da pesquisa informou e subsidiou, com base nas análises
feitas, o design inicial da pesquisa de campo.
Fase II: Pesquisa de campo
Criação de uma experiência formativa com o foco na problematização e
com uso de recursos tais como: jogos, história da matemática e
tecnologias; para a exploração e discussão de tópicos de Trigonometria
para o Ensino Médio.
Desenvolvimento
da
experiência
formativa
com
um
grupo
de
professores.
Vale destacar que a experiência formativa foi desenhada considerandose as especificidades dos participantes envolvidos, o mesmo ocorrendo no
desenvolvimento dessa formação que teve diversos momentos de redesign
para se adequar às demandas do grupo.
A etapa de criação englobou o planejamento das ações para a formação
e seu primeiro design. Odesign inicial foi guiado pela pesquisa documental feita
na Fase Ideste trabalho e pelas expectativas do grupo de Professores
participantes que foram percebidas durante o processo formativo anterior, cujo
tema era Simetria61, do qual eu e minha orientadora participamos a fim de
acompanhar o grupo de professores e estabelecer laços de confiança com os
sujeitos de pesquisa.
A formação teve dez encontros presenciais, de três horas e meia de
duração cada um, que podem ser resumidos por meio do seguinte calendário:
Quadro 8 : Calendário realizado
Junho
Agosto
Setembro
14/6
Apresentação,questionário inicial e termo de
consentimento
02/08
Jogos e atividades de
construção do Pi no
GeoGebra.
13/09
Função seno e função
cosseno.
Outubro
Novembro
25/10
08/11
Construção de gráficos
Jogo de bingo.
das funções seno e
Elaboração de atividades
cosseno.
para os alunos
59
PCN+ Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Ensino Médio: Matemática, Ministério da Educação e do Desporto, Brasília: MEC/SEF, 2000.
60
Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias /
Secretaria de Educação Básica.– Brasília : Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006.
61
O formador foi o Professor Rodrigo Pupo. Para mais detalhes, ver PUPO (2013)
105
MarinêsYolePoloni
21/6
Atividade radiano e
história do radiano.
16/08
Ciclo trigonométrico e
simetrias no GeoGebra.
27/09
Texto para leitura e
discussão. Construção
de gráficos
29/11
Apresentação das
atividades e avaliação do
curso.
30/8
Ciclo trigonométrico
funções seno e cosseno
Fonte: Acervo pessoal
A coleta de dados, durante a fase de campo, utilizou procedimentos
diversificados tais como: entrevistas, questionários, diários de bordo, filmagens
e fotografias e foi feita com as seguintes técnicas: observação direta,
observação indireta, análise de materiais produzidos pelos participantes,
análise dos vídeos dos encontros e dos questionários respondidos pelos
sujeitos.
O processo de observação e coleta foi realizado pelas duas
pesquisadorascom o auxílio de uma professora, funcionária da Diretoria Norte
2 e um pesquisador da universidade. Vale ressaltar que estes dois últimos
personagens não tiveram qualquer interferência na condução de tais sessões
nem nos demais procedimentos docentes, limitando-se a filmar, fotografar,
auxiliar a salvar arquivos e coletar protocolos.
Em relação à observação direta, entendida como sendo aquela feita pelo
pesquisador, por meio de observação e aplicação de entrevista, salienta-se que
a observação do processo vivido, ao longo do semestre, teve caráter
sistemático, participante e estruturado. Foi observado todo o processo
formativo, isto é, todas as atividades em laboratório de Informática, todas as
atividades realizadas em grupos e todos os momentos destinados à reflexão
dos participantes.
A técnica de entrevista foi utilizada para complementar informações e
envolveu dois dos sete sujeitos de pesquisa. As entrevistas ocorreram após um
ano do término do curso e foram aplicadas a apenas dois dos sujeitos de
pesquisa, como está mais explicitados no Capítulo 5. Estas entrevistas são
classificadas como semiestruturadas(Bell, 1992), uma vez que, apesar de
possuir um roteiro de questões, este foi sendo adaptado no decorrer de cada
uma delas, conforme as respostas eram obtidas.
Em relação à observação indireta, que é entendida como aquela
realizada por meio de aplicação de questionários, ou seja, uma série de
106
MarinêsYolePoloni
perguntas que devem ser respondidas por escrito e sem o auxílio ou
intervenção do pesquisador, enfatizamos que esses instrumentos foram
aplicados em número de dois. O Questionário 1 foi aplicado no início do curso
e estava dividido em duas parte: (i) a primeira parte tinha como objetivo
conhecer o perfil dos Professores e seus saberes a respeito do tema
Trigonometria além de sua inserção na informática; (ii) a segunda parte tinha
como objetivo traçar o perfil pedagógico e didático dos Professores, além de
focalizar a relação desses Professores com a Trigonometria e o uso de
metodologias diferenciadas em suas práticas de sala de aula.
OQuestionário 2foi aplicado no quarto encontro do grupo e seu objetivo
era fornecer às formadoras novos elementos que subsidiassem a elaboração
de atividades envolvendo tópicos de Trigonometria para as próximas sessões
da formação.
Ao longo do projeto, os Professores produzirammateriais diversos, tais
como: relatórios, atividades didáticas, protocolos de observações,fotos e filmes
em vídeo que foram utilizados como dados de pesquisa. Tais materiais tinham
por objetivo registrar, por escrito,as suas impressões sobre os encontros, suas
percepções, observações, inquietações e reflexões a respeito das atividades,
dos recursos utilizados e do conteúdo.
Durante as análises dos dados coletados,procuramos buscar os
aspectos
da
formação
empreendida
que
ampliaram o
conhecimento
profissional docente dos Professores participantes.
O projeto de formação continuada na Diretoria Norte 2, intitulado
―Tópicos de Trigonometria‖,ligado ao projeto Observatório da Educação,foi
proposto por nós e teve a participação voluntária de quatorzeProfessores de
Matemática.
Um resumo das fontes de dados coletados e respectivos instrumentos
encontra-se no quadro que segue.
Quadro 9: Fontes de dados coletados por fase da pesquisa
Instrumento
Caracterização
Questionários
Dois questionários que objetivavam identificar o conhecimento profissional dos Professores
e sua possível ampliação.
Entrevistas
Uma entrevista dois professores sujeitos de pesquisa.
107
MarinêsYolePoloni
Materiais
produzidos
pelos sujeitos
de pesquisa
Notas de campo – a cada sessão
Folhas diário de bordo.
Atividades didáticas.
Arquivos digitais.
Filmagens e
fotos
Filmagens e fotos feitas durante todo o curso.
Fonte: Acervo pessoal
Em relação às análises, estas foram feitas utilizando triangulação de
dados Mathison (1988). Para esse autor a triangulação de dados é concebida
como sendo :
...uma estratégia que possibilita a comparação entre diferentes
caminhos – métodos de coleta de dados (triangulação de
metodologias), dados (triangulação de dados), teorias (triangulação de
teorias) ou pesquisadores triangulação de pesquisadores – com o
objetivo de identificar e analisar incoerências, contradições ou pontos
comuns, alcançando uma visão mais ampla do objeto de estudo. Dessa
forma, ela ano permite evidenciar incoerências, contradições e pontos
fracos de informações obtidas, quanto dar solidez às informações
confirmadas. Como afirma Mathison: ―Utilizamos não somente
resultados convergentes, mas também resultados inconsistentes e
contraditórios em nossos esforços para compreender o fenômeno
social”. Para essa autora, o valor da triangulação não está em se uma
solução tecnológica para uma coleção de dados e problemas de
análises, e sim, em ser uma técnica que proporciona mais e melhores
evidências com as quais os pesquisadores podem construir
proposições significativas sobe o mundo social. (MATHISON, 1988,
p.15).
A figura abaixo representa o esquema elaborado para as análises dos
dados coletados desta pesquisa.
Figura 11: Estrutura das análises
Análises
Fase II – Pesquisa de campo
Fase I – Pesquisa documental
PCN
1997 e
1998
Guia
PNLD
2012
Experiência Formativa
PCNEM
2000
OCEM
2006
Problematização
Materiais de
apoio à Proposta
Curricular do
Estado de São
Paulo de 2008
PCN+
2002
Jogos
Propostas
Curriculares
do Estado de
São Paulo
Investigação
108
Uso de
Tecnologia
s
História da
Matemática
MarinêsYolePoloni
Fonte: Acervo pessoal
Capítulo IV
4. Análise Fase I: Pesquisa documental
Neste capítulo, analisamos de que forma a Trigonometria é enfocada
nos documentos oficiais que norteiam o ensino nas escolas brasileiras.
Os primeiros indícios de pensamentos trigonométricos, na história,
aparecem tanto no Egito quanto na Babilônia a partir do cálculo de razões entre
números e entre lados de triângulos semelhantes. No Egito, esses indícios
podem ser observados no papiro Rhind62 (1650 a.C.). Os egípcios utilizavam
rudimentos de Trigonometria na construção das pirâmides que deviam ter uma
inclinação constante das faces laterais. Percebe-se, pelo papiro de Rhind, que
eles calculavam a razão entre o afastamento horizontal da face lateral e a
elevação vertical. Além dessa utilização, os egípcios, por volta de 1500 a.C., já
associavam as sombras projetadas por uma vara vertical a sequências
numéricas relacionando seus comprimentos com as horas do dia, ou seja,
relógios de Sol.
Os babilônios, por sua vez, tinham grande interesse pela Astronomia por
dois motivos: (i) razões religiosas; e (ii) conexões com o calendário e as épocas
do plantio.Eles construíram, no século 28 a.C., um calendário astrológico e
elaboraram, a partir do ano 747 a.C., uma tábua de eclipses lunares usando
triângulos, um sistema de unidades de medidas e uma escala (Smith, 1958).
62
O Papiro de Rhind ou papiro Ahmes é o mais extenso documento egípcio em matemática que
chegou aos nossos dias. Ele é uma cópia de um antigo papiro do sec XIX a.C. que esteve em
poder do escriba Ahmes. Foi adquirido no Egito por H. Rhind e por isso é usualmente conhecido
como Papiro Rhind (Chace, 1986).
109
MarinêsYolePoloni
Na Grécia, Thales (625 – 546 a.C.) estudou a semelhança de triângulos
que embasa a Trigonometria. Seu discípulo, Pitágoras (570 – 495 a.C) provou
o teorema que leva seu nome. Outros nomes surgiram na história da
Trigonometria: Hiparco (190 – 120 a.C) que dividiu a circunferência em 360
partes denominando cada uma de grau e construiu a primeira tabela
trigonométrica ganhando o título de ―Pai da Trigonometria‖;Eratóstenes de
Cirene (276 -196 a.C.) que mediu a circunferênciada Terra usando semelhança
de triângulos e razões trigonométricas; Ptolomeu (90 – 168 d.C.) que escreveu
a obra Almagesto e organizou a primeira tabela de arcos metade a qualfoi
ampliada, posteriormente, pelos hindus e árabes, dando origem às atuais
tabelas trigonométricas63. Relato esses fatos históricos a fim de justificar a
importância da Trigonometria na história da humanidade e sua importância na
resolução de problemas reais das diversas civilizações, entretanto nosso foco,
nesse momento, não é a história, mas sim os documentos que norteiam o
ensino da Trigonometria nas escolas hoje em dia.
A Trigonometria esteve presente nos currículos de Matemática na escola
secundária ao longo de todo o século XX e, hoje em dia, é um conteúdo
obrigatório do Ensino Médio, entretanto sabe-se que grande parte dos alunos
chega ao Ensino Superior sem o conhecimento necessário sobre esse assunto.
As escolas e os livros didáticos dedicam um espaço razoavelmente grande ao
tema Trigonometria, mas a aprendizagem parece não acontecer de maneira
significativa por parte dos alunos.
Diversas fontes influenciaram a história do ensino da Matemática no
Brasil. Na década de 30, o ensino foi marcado pelos ideais escolanovistas –
cujos principais princípios estavam centrados na atividade do aluno e na
introdução de situações da vida real na escola. Na década de 60, por exemplo,
o ensino de Trigonometria era focado na noção de função e de conjuntos,
passando a ―ter uma abordagem mais voltada à realização de exercícios em
detrimento da elaboração conceitual‖ (Nacarato, Bredariol e Passos, 2001).
Sob a influência do Movimento da Matemática Moderna, ainda na década de
60, a Trigonometria passa a enfatizar as funções circulares. Posteriormente, na
década de 70, constata-se que o ensino de Trigonometria deveria seguir o
63
Para mais detalhes sobre a História da Trigonometria consultar Miashiro (2013) e Lobo da Costa (1998).
110
MarinêsYolePoloni
percurso da resolução de problemas. O livro Matemática Aplicada, de
ImeneseTrottaeJakubovic, ainda dessa mesma década, trazia essa tendência
que estaria presente, mais tarde, nas Propostas Curriculares do Estado de São
Paulo, mas, na época, essa tendência ficou restrita, apenas, a essa única obra.
4.1 Ensino de Trigonometria em documentos oficiais
A Proposta Curricular de 1986 do Estado de São Paulo também trouxe o
ensino de Trigonometria focado na resolução de problemas. Estes problemas
deveriam fazer parte do cotidiano do aluno e ter como ponto de partida o
estudo do triângulo retângulo, diferentemente da proposta anterior de 1978 em
que o ensino de Trigonometria ganhou uma abordagem mais voltada à
realização de exercícios, em detrimento da elaboração conceitual. Na proposta
paulista de 1978, houve uma excessiva preocupação com a linguagem
matemática e com técnica de resolução (Nacarato, Bredariol e Passos, 2001).
Entretanto,nem os livros didáticos nem os vestibulares da década de 80
encamparam a ideia do ensino de Trigonometria focado na resolução de
problemas.
Já na Proposta Curricular seguinte, a de 1992 do Estado de São Paulo,
percebe-se uma mudança de ênfase metodológica para o ensino desse tema,
isto é, a Trigonometria ganhou uma metodologia de ensino mais voltada à
compreensão e elaboração conceitual do que a técnicas, procedimentos e rigor
na linguagem, que foram fatores predominantes na proposta de 1978.
Na proposta Curricular de 1992,do estado de São Paulo, a Trigonometria
é abordada com situações problema, mas essa tendência não aparece nos
livros didáticos utilizados em grande parte das escolas desse Estado.
Nessa época, o Ministério da Educação e Cultura, MEC, propôs uma
reestruturação curricular do Ensino Médio, por meio dos Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM).Os PCNEM desenvolveramse sobre a interpretação do que foi estabelecido pela Lei de Diretrizes e Bases
da Educação Nacional (Lei 9394/96), a qual qualifica o Ensino Médio como
etapa final da Educação Básica, complementando o aprendizado iniciado no
Ensino Fundamental.
O currículo do Ensino Médio, de acordo com a Lei de Diretrizes e Bases
da Educação Nacional (LDB/96), passou a ser composto por um Núcleo
111
MarinêsYolePoloni
Comum e obrigatório em âmbito nacional além de uma Parte Diversificada que
respeitava as peculiaridades locais e atendia aos seus aspectos sociais e
históricos. Esse documento também se refere ao crescimento e aprimoramento
do aluno como ser humano, sua formação ética, sua autonomia, seu
pensamento crítico, sua preparação para o trabalho e o desenvolvimento de
competências para que ele dê continuidade aos estudos.
Os PCNEM (2000) têm a seguinte proposta para o Ensino Médio:
...que, sem ser profissionalizante, efetivamente propicie um
aprendizado útil à vida e ao trabalho, no qual as informações, o
conhecimento, as competências, as habilidades e os valores
desenvolvidos sejam instrumentos reais de percepção, satisfação,
interpretação, julgamento, atuação, desenvolvimento pessoal ou de
aprendizado permanente, evitando tópicos cujos sentidos só possam
ser compreendidos em outra etapa de escolaridade.(p.4)
Observa-se a ênfase dada ao aprendizado útil à vida e ao trabalho
deixando tópicos cujos sentidos só possam ser compreendidos em outra etapa
de escolaridade.
Os PCNEM (2000) não enumeram especificamente quais conteúdos de
Matemática devem ser ensinados no Ensino Médio, mas indicam como
objetivos dessa disciplina possibilitar ao aluno:
compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas
que permitam ao aluno desenvolver estudos posteriores e adquirir
uma formação científica geral; aplicar seus conhecimentos
matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da
ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas; analisar
e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando
ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe
permita expressar-se criticamente sobre problemas da matemática,
das outras áreas do conhecimento e da atualidade; desenvolver a
capacidade de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação,
bem como o espírito crítico e criativo; utilizar com confiança
procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a
compreensão dos conceitos matemáticos; expressar-se oral, escrita e
graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão da
linguagem e as demonstrações em matemática; estabelecer
conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e
o conhecimento de outras áreas do currículo; reconhecer
representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando
procedimentos associados às diferentes representações; promover a
realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação
às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de
autonomia e cooperação.(BRASIL, 2000, p. 45).
Os PCNEM (2000) destacam a relevância do conhecimento, pelos
estudantes, do uso de tecnologias da informação tais como calculadoras e
112
MarinêsYolePoloni
computadores reconhecendo suas limitações e suas potencialidades. Tal
documento propõe, no nível do Ensino Médio, a formação geral em oposição à
formação específica, desta forma entende-se que a formação do aluno deve ter
como meta principal o desenvolvimento das capacidades de pesquisar, analisar
as informações pesquisadas e selecioná-las além das capacidades de criar e
formular deixando para trás os exercícios memorizados.
Segundo os PCN+(2002), apesar de sua importância, tradicionalmente a
Trigonometria é apresentada desconectada das aplicações, investindo-se muito
tempo no cálculo algébrico das identidades e equações em detrimento dos
aspectos importantes das funções trigonométricas e da análise de seus
gráficos. O que deve ser assegurado são as aplicações da Trigonometria na
resolução de problemas que envolvem medições, em especial o cálculo de
distâncias inacessíveis e para construir modelos que correspondem a
fenômenos periódicos. Vale ressaltar que esse pode ser um caminho para
iniciar discussões com professores em formação continuada e com alunos do
Ensino Médio.
Os PCN+ (2002, p. 7) propõe que ―a área de Ciências da Natureza e
Matemática‖ não seja desvinculada das linguagens e Códigos e das Ciências
Humanas‖. Esse documento incita à reflexão a respeito de quais são objetivos
de alguns dos temas Matemáticos que são normalmente ensinados no Ensino
Médio, pois propõe uma integração curricular dos conteúdos.
Os documentos estruturadores do ensino não mais restringem a área de
Matemática ao que tradicionalmente se atribuía a uma única disciplina, pois
incorporam metas comuns às várias disciplinas da área e às das demais áreas.
Por esse motivo, as modificações de conteúdo implicam também em
modificações de procedimentos e métodos que sinalizam novas atitudes
relativas à escola e ao professor.
As
orientações
curriculares
para
o
Ensino
Médio
-
OCEM
(2006),contempla três aspectos:
(i) a escolha dos conteúdos;
(ii) a forma de abordagem dos conteúdos;
(iii) o projeto pedagógico e a organização curricular.
Esse documento salienta que o professor, ao selecionar os conteúdos a
serem ensinados, deve ter em mente que, ao final do Ensino Médio, o aluno
113
MarinêsYolePoloni
deve ter adquirido algumas competências64 em relação ao conhecimento
matemático:
Ao final do ensino médio espera-se que os alunos saibam usar a
Matemática para resolver problemas práticos do quotidiano; para
modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento;
compreendam que a Matemática é uma ciência com características
próprias, que se organiza via teoremas e demonstrações; percebam a
Matemática como um conhecimento social e historicamente
construído; saibam apreciar a importância da Matemática no
desenvolvimento científico e tecnológico. (BRASIL, 2006, p.70)
No que diz respeito ao estudo da Trigonometria, as OCEM (2006)
recomendam que as relações métricas no triângulo retângulo e as leis do seno
e cosseno antecedam o estudo das funções seno, cosseno e tangente, visto
que estes tópicos têm importância para o estudo das funções trigonométricas.
Ainda nas OCEM (2006) há a orientação para que, ao abordar as razões
trigonométricas seno e cosseno para ângulos variando de 0º a 90º, o professor
dê ênfase às propriedades de semelhança de triângulos que dão sentido a
esse estudo. As OCEM (2006) ressaltam a importância do estudo da
Trigonometria para a resolução de problemas e também como instrumento
para outras áreas do conhecimento.
Tanto as OCEM (2006) quanto os PCNEM (2000) dão diretrizes para o
uso de recursos para o ensino de Matemática em sala de aula, porém apenas
os PCN (1998) explicitam três recursos para o ensino dessa disciplina no
Ensino Fundamental Iquais sejam: a história da Matemática, os jogos e as
tecnologias voltadas ao ensino, entretanto o ensino de Trigonometria, nos livros
didáticos e para grande parte dos professores, está reduzido a uma gama de
fórmulas a serem memorizadas com a finalidade de resolução de exercícios.
A Proposta Curricular,de 2008, do Estado de São Paulosurgiu a partir
dos resultados do SAEB, do ENEM, e de outras avaliações que levaram o
governo paulista a contratar equipes de especialistas a fim de redigir um
documento curricular para ser implementado em São Paulo, visando uma base
64
Competência, segundo Perrenoud (1999), é a faculdade de mobilizar um conjunto de recursos
cognitivos (saberes, capacidades, informações etc) para solucionar com pertinência e eficácia uma série
de situações. As competências se constituem num conjunto de conhecimentos, atitudes, capacidades e
aptidões que habilitam alguém para solucionar situações problema. Elas pressupõem operações mentais,
capacidades para usar as habilidades, emprego de atitudes, adequadas à realização de tarefas e
conhecimentos.
114
MarinêsYolePoloni
curricular unificada para todo o Estado,que trouxesse transformações positivas
para o sistema educacional estadual.
Para essa Proposta Curricular, foram elaborados materiais didáticos – o
Caderno do Aluno e o Caderno do Professor. A Proposta foi organizada em
áreas, a saber: Ciências da Natureza e suas Tecnologias (Biologia, Química e
Física); Matemática e Ciências Humanas e suas Tecnologias (História,
Geografia, Filosofia, Sociologia e Psicologia) e Linguagens, Códigos e suas
Tecnologias (Língua Portuguesa, Língua Estrangeira Moderna, Arte e
Educação Física).
Observa-se, nessa Proposta, que a Matemática constituiu uma área
específica.
Pelos Cadernos, tanto do Professor quanto do Aluno, pode-se perceber
que o tratamento dado à Trigonometria busca uma abordagem partindo de
aplicações práticas como, por exemplo, o cálculo de grandes distâncias. Há
uma variedade de problemas que envolvem a semelhança de figuras, relação
entre ângulo inscrito, central e arco, teorema de Pitágoras, relações métricas e
razões trigonométricas dos ângulos agudos. Em resumo, o material, no tocante
à Trigonometria, envolve problematizações, contextualizações e busca histórica
no
desenvolvimento
de
conceitos
de
fenômenos
periódicos,
funções
trigonométricas, equações e inequações e adição de arcos. Entretanto, ainda
na maioria dos livros didáticos adotados em escolas brasileiras e aprovados
pelo Programa Nacional do Livro Didático - PNLD65, o tratamento dado à
Trigonometria tem priorizado a memorização de fórmulas em detrimento dos
conceitos. Por outro lado, alguns educadores matemáticosjá procuram,
atualmente, utilizar ou sugerir aos alunos alguns livros paradidáticosvoltados ao
uso da história como referência para os processos de ensino e de
aprendizagem de determinados tópicos matemáticos no ensino fundamental e
médio. Temos, como exemplo, o livro Dando corda na Trigonometria da
coleção Contando a História da Matemática vol.6 de Oscar Guelli.
Entendemos que seja necessário, porém, um trabalho de formação pedagógica
do professor de Matemática de modo a orientá-lo no sentido de utilizar as
65
O Guia do PNLD está mais detalhado nas próximas páginas.
115
MarinêsYolePoloni
informações históricas como fontes de ampliação das possibilidades cognitivas
dos estudantes durante o desenvolvimento de suas atividades de sala de aula.
Os PCN (1997) caracterizam a área da Matemática como uma área em
que a aprendizagem está ligada à compreensão e à apreensão do significado,
ou seja, apreender o significado de um objeto matemático é entendido, nesse
documento, como ser capaz de estabelecer relações entre o objeto de estudo e
outros objetos. Dessa forma, entende-se que os PCN (1997) são contra a
divisão dos conteúdos em compartimentos estanques que são ensinados em
sucessão linear rígida. Os conteúdos passam a ter significado, para o aluno,
quando este é capaz de estabelecer conexões entre o objeto de estudo e as
demais disciplinas e seu cotidiano. Dessa forma, as práticas de sala de aula,
segundo esse documento, deveriam favorecer o estabelecimento dessas
relações para que a aprendizagem realmente ocorra. Para tal, a seleção dos
conteúdos a serem ensinados deve levar em conta a relevância social e a
contribuição para o desenvolvimento intelectual. Portanto, compreende-se que
se trata de um processo em permanente construção, até porque os
conhecimentos
matemáticos,
como
enfatizam
os
PCN
(1997),
são
historicamente construídos e estão sempre em evolução e é por esse motivo
que tais conteúdos devem ser apresentados aos alunos para que estes
possam ver a Matemática como uma ciência prática, filosófica, científica e
social. Dessa forma, os PCN (1997) apontam que recursos didáticos para o
ensino de Matemática tais como
jogos, livros, vídeos, calculadoras,
computadores e outrosmateriais têm um papel importante nos processos de
ensino ede aprendizagem quando integrados a situações que levem o aluno à
reflexão e à análise.
A recomendação de uso de recursos didáticos vem sendo feita em
praticamente todas as Propostas Curriculares analisadas nesta pesquisa, mas,
na prática, há a necessidade de pesquisas identificando o benefício que tais
recursos e materiais podem trazer para a aprendizagem. Também é preciso
pesquisar a adequação do uso de tais recursos em sala de aula e como os
livros didáticos adotados nas escolas brasileiras se posicionam frente a eles.
Assim, seguimos nosso estudo documental analisando o que tem ocorrido, no
Brasil, em termos de análises dos livros didáticos adotados nas escolas de todo
o país.
116
MarinêsYolePoloni
4.1.1 O Guia PNLD 2012
O Ministério da Educação (MEC) instituiu o Programa Nacional do Livro
Didático (PNLD) em 1990, entretanto, em 2012, foi a terceira vez que o
Ministério da Educação realizou uma edição relativa ao Ensino Médio.
O PNLD, como explicita o MEC na apresentação do Programa,
(...) tem como principal objetivo subsidiar o trabalho pedagógico dos
professores por meio da distribuição de coleções de livros didáticos
aos alunos da educação básica. Após a avaliação das obras, o
Ministério da Educação (MEC) publica o Guia de Livros Didáticos com
resenhas das coleções consideradas aprovadas. O guia é
encaminhado às escolas, que escolhem, entre os títulos disponíveis,
aqueles que melhor atendem ao seu projeto político pedagógico.
<http://portal.mec.gov.br/index.php?option=comcontent&view=article&
id=12391&Itemid=668>Acesso:10 jan. 2014
Uma coleção aprovada pelo PNLD 2012 reúne, na acepção do MEC,
qualidades suficientes como instrumento auxiliar na formação dos alunos do
Ensino Médio. A análise de uma obra pelo PNLD 2012é feita a partir de
critérios decorrentes de princípios gerais, os quais procuram identificar se tal
obra é um instrumento capaz de subsidiar o professor no ensino de
Matemática. Para o Ensino Médio, são observadas as finalidades estabelecidas
pela Lei de Diretrizes e Bases daEducação Nacional, em seu artigo 35,
explicitado a seguir:
O Ensino Médio, etapa final da educação básica, com duraçãomínima
de três anos, terá como finalidades:
I - a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentosadquiridos
no ensino fundamental, possibilitando o prosseguimentode estudos;
II - a preparação básica para o trabalho e a cidadania do
educando,para continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se
adaptar comflexibilidade a novas condições de ocupação ou
aperfeiçoamentoposteriores;
III - o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindoa
formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e
dopensamento crítico;
IV - a compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos
dosprocessos produtivos, relacionando a teoria com a prática, no
ensinode cada disciplina. (PNLD, 2012, p. 12)
Os critérios de avaliação do PNLD 2012, comuns a todos os
componentes curriculares, foram estabelecidos em edital, de modo a
contemplar os princípios acima citados e são os seguintes:
117
MarinêsYolePoloni
13
I. respeito à legislação, às diretrizes e às normas oficiais relativas ao
Ensino Médio;
II. observância de princípios éticos necessários à construção da
cidadania e aoconvívio social republicano;
III. coerência e adequação da abordagem teórico-metodológica
assumida pelaobra, no que diz respeito à proposta didáticopedagógica explicitada e aosobjetivos visados;
IV. correção e atualização de conceitos, informações e
procedimentos;
V. observância das características e finalidades específicas do
manual do professore adequação da obra à linha pedagógica nela
apresentada;
VI. adequação da estrutura editorial e do projeto gráfico aos objetivos
didáticopedagógicosda obra. (PNLD, 2012, p.14)
Vale dizer que é necessário o cumprimento de todos esses critérios para
a aprovação de uma coleção pelo PNLD 2012.
Após a avaliação das obras, o MEC publica um Guia de livros didáticos
que é encaminhado às escolas para apreciação dos professores e escolha do
livro a ser adotado.
No Guia do Programa Nacional do Livro Didático de 2012 (Guia do
PNLD 2012), são apresentadas resenhas de sete coleções que foram
analisadas e aprovadas para serem adotadas em escolas de todo o país. Tais
resenhas buscam contribuir para que o professor escolha o livro didático que o
auxiliará na condução da aprendizagem de seus alunos de Ensino Médio.
No Guia do PNLD 2012, são pontos importantes de análise de um livro
didático os seguintes aspectos:
a estratégia de apresentação e sistematização dos conteúdos; o tipo
de participação dos alunos que a obra busca promover; as
competências que se procuram desenvolver; os recursos didáticos
utilizados; os tipos de atividades propostas; entre outros.(PNLD,
2012, p.39)
Tais pontos de análise de um livro são importantes, pois sugerem ao
professor, não apenas as formas de apresentação dos conteúdos, mas
também os recursos didáticos que podem ser utilizados nos diferentes tópicos
abordados mostrando, dessa forma, ao docente, possibilidades diversas de
exploração dos objetos de estudo.
Na análise geral das obras, no tocante à Trigonometria, o Guia do PNLD
2012 ressalta a importância das transformações da função y=cos(x) para obter
a família de funções y=a+b.cos(wx+c),em que a, b e c são números reais
quaisquer e w é um número real positivo, para a modelagem matemática.
118
MarinêsYolePoloni
Assim sendo, o Guia aponta que tais transformações deveriam ter mais
destaque no ensino das funções trigonométricas, especialmente porque para
construir variações dessas transformações,
são necessárias poucas relações trigonométricas o que poderia
contribuir para evitar o excesso de conteúdos nos livros didáticos.
Observamos que as coleções dedicam em torno de 100 páginas ao
estudo de trigonometria e de funções trigonométricas, de modo
fragmentado e repetitivo. (Brasil, 2011,p.24)
Destacamos, por meio da leitura do trecho acima, ficando evidenciado
pela análise geral das obras, que o estudo de Trigonometria e das funções
trigonométricas aparece de forma bastante extensa, fragmentada e repetitiva.
Considerando-se que o professor usa o livro didático como um de seus principais
recursos para a docência, tal abordagem da Trigonometria pode levá-lo a
trabalhar com seus alunos de forma repetitiva estabelecendo poucas relações
entre as funções trigonométricas,além de induzi-los à memorização de fórmulas
e relações trigonométricas com a finalidade de resolução de exercícios. Dessa
forma, no primeiro design da formação, optamos por trabalhar as funções
trigonométricas utilizando os recursos tecnológicos do software GeoGebrae o
recurso aos jogos.
O Guia também traz um quadro resumo indicando a ênfase de cada obra
analisada com relação ao particular recurso didático.
Quadro11: Análise das obras segundo os recursos didáticos
OBRA 1
OBRA 2
OBRA 3
OBRA 4
OBRA 5
OBRA 6
OBRA 7
Materiais concretos
Instrumentos de desenho
Calculadora
Computador
Legenda
Consistente
Suficiente
Ilustrativo
Superficial
Não observado
Fonte: PNLD, 2012 p. 42 adaptado
Observamos que a obra de número 6 incentiva de maneira suficiente e
consistente o uso de recursos como materiais concretos, instrumentos de
desenho, calculadoras e computadores. As obras 2, 5 e 7 incentivam o uso de
calculadoras de forma suficiente, entretanto, a maioria das outras obras, quanto
ao incentivo ao uso dos recursos citados no quadro, ou o fazem de maneira
ilustrativa ou superficial ou, então, sequer o fazem.
119
MarinêsYolePoloni
Nas obras 1, 2, 3, 4, 5 e 7o Guia do PNLD 2012 apontou que são
poucas as sugestões de trabalho com materiais ou instrumentos concretos. O
referido Guia também mostra, nessas obras, que o emprego da calculadora e o
uso dos computadores são pouco explorados e, quando existem sugestões de
atividades, estas apenas mencionam o uso de planilhas eletrônicas.
Quanto ao conteúdo de Trigonometria, em duas dessas obras, as funções
trigonométricas recebem uma atenção excessiva, entretanto, segundo o Guia
PNLD 2012, em uma delas há imprecisões em resoluções de exercícios sobre
mudança de variável em funções trigonométricas e na outra há uma grande
quantidade de exercícios que enfatizam fórmulas e procedimentos. Além disso,
em outras duas obras, há uma grande carga de exercícios tornando tanto o
trabalho do professor quanto do aluno, extremamente exaustivos e demorados.
Assim, o professor é obrigado a fazer escolhas, no momento de propor tais
exercícios aos seus alunos, de modo a contemplar todos os tópicos do
planejamento da escola em tempo hábil.
O Guia PNLD 2012 analisa a abordagem dos tópicos de Trigonometria
utilizada nas sete obras que foram aprovadas.
A partir da leitura do Guia PNLD 2012, identificamos, nas análises de
cada obra, 14 características relativas à abordagem dos tópicos de
Trigonometria que resumimos no quadro abaixo.
Por exemplo, a característica ―apresenta questões contextualizadas no
início de cada capítulo‖ está presente em seis das sete obras, entretanto a
característica ―propõe o uso de materiais concretos e instrumentos de desenho‖
está presente em apenas duas das sete. Para ilustrar o que percebemos,
durante nossa pesquisa, elaboramos o quadro abaixo:
Quadro 12: Diferentes metodologias utilizadas nas obras
OBRA 1
OBRA 2
OBRA 3
OBRA 4
OBRA 5
OBRA 6
OBRA 7
Apresenta questões contextualizadas no início do
capítulo
Desenvolve conceitos de maneira articulada
apoiados por um número suficiente de exemplos
Apresenta conteúdosde modo técnico por meio de
exemplos, exercícios resolvidos e sistematizações
Desenvolve conceitos e procedimentos, feito por
meio de situações-problema que introduzem os
temas tratados
Apresenta exercícios resolvidos que servem de
modelo para exercícios propostos.
Apresenta exercícios de aplicação
Propõe atividades para proporcionar reflexão e
aprofundamento
Propõe exercícios que enfatizam fórmulas e
procedimentos
120
MarinêsYolePoloni
Apresenta uma quantidade excessiva de exercícios
de aplicação
Apresenta uma quantidade excessiva de
conteúdos
Propõe o uso de materiais concretos e
instrumentos de desenho
Propõe o uso da calculadora ou outras tecnologias
digitais
Propõe contextualizações
na História da
Matemática
Propõe discussões que contribuam para a
formação da cidadania
Fonte: Acervo próprio
Legenda
Esse
Consistente
Superficial
Não comentado no Guia
quadro
mostra que muitas das obras analisadas pelo PNLD 2012 procura
contextualizar os conteúdos - de modo a tornar o assunto atrativo aos alunos,
entretanto, ao desenvolver os conceitos, a maioria o faz de maneira tradicional
apresentando fórmulas, demonstradas ou não, exercícios resolvidos e
exercícios propostos, os quais se assemelham aos exercícios resolvidos. As
obras 3 e 7 contextualizam, dentro da própria Matemática, ou não os conteúdos
de maneira consistente e articulada.Assim sendo, a maioria das atividades
propostas, no grupo de obras analisadas, é de aplicação do que foi exposto
nos exercícios resolvidos de maneira técnica, limitando a autonomia do aluno
na construção do seu conhecimento deixando, talvez, a aprendizagem menos
significativa para o estudante. Além disso, as obras 1 e 4 enfatizam fórmulas e
procedimentos para a resolução de exercícios, uma delas, em quantidade
exagerada. Pela tabela, observamos que as obras 1 e 5 apresentam uma
quantidade excessiva de exercícios de aplicação fazendo que o professor
necessite realizar um recorte e escolher quais deles discutir com os alunos. As
coleções 1, 3 e 7 apresentam sistematizações e exercícios que exigem apenas
os raciocínios apresentados nos itens resolvidos do livro texto, o que não dá ao
aluno a oportunidade de tirar suas próprias conclusões.
Com relação aos recursos para o ensino de Matemática recomendados
pelos PCN (1998), foco do nosso estudo,a coleção 6 é a única que apresenta
uso de materiais concretos e instrumentos de desenho de maneira consistente
(vide quadros 10 e 11). As obras 2, 5, 6 e 7 apresentam o uso da calculadora ou
outras tecnologias digitais de forma consistente, entretanto a coleção 5 só
apresenta esse último recurso citado. As obras 4 e 6 apresentam a história da
matemática como recurso para o ensino e a coleção 1 apresenta um único
121
MarinêsYolePoloni
recurso para o ensino de Matemática – uso de calculadora ou outras tecnologias
digitais - abordado de forma superficial. A coleção 3, por sua vez, propõe uso de
materiais concretos e instrumentos de desenho além do uso da calculadora ou
outras tecnologias digitas, porém, ambos os recursos são abordados de maneira
superficial. O recurso aos jogos não se faz presente em nenhuma das 7
coleções analisadas.
Observando que foram analisadas 7 coleções no Guia PNLD 2012 e os
PCN (1998) apontam três recursos para o ensino de Matemática, teríamos,
como situação ideal, que estes três recursos fossem apontados nas sete obras,
entretanto ocorre uma baixa frequência de atividades envolvendo recursos, de
forma consistente, para o ensino de Matemática nas diversas coleções: por volta
de 33,33%. Ográfico abaixo, ilustra a frequência dos três recursos apontados
pelos PCN (1998) em cada obra analisada:
Figura 12: Gráfico dos recursos que aparecem de forma consistente nas obras do Guia PNLD 2012
3
2
1
0
obra 1 obra 2 obra 3 obra 4 obra 5 obra 6 obra 7
Fonte: Acervo pessoal
Desse modo, percebemos que os autores de livros didáticos, apesar de
serem, ou já terem sido professores,não exploram, nas obras que escrevem, o
uso de recursos para o ensino de Matemática do Ensino Médio.
Cabe aqui, nesta análise documental, explicitar cada um dos recursos
usados durante a formação que subsidia esta pesquisa.
4.2Recursos didáticos para o ensino
4.2.1 O recurso aos jogos
122
MarinêsYolePoloni
O jogo é uma atividade natural no desenvolvimento dos processos
psicológicos básicos do homem. É também uma atividade que envolve
relações sociais entre os semelhantes. O jogo, quando tem como objetivo
maior o ensino de Matemática, permanece com suas características natas, e
supõe um ―aprender sem imposição externa‖ embora, ainda assim, demande
concentração, habilidades matemáticas, normas de conduta e controle.
Segundo Piaget (1978), os jogos de exercício, para crianças pequenas,
são as ações que elas repetem sistematicamente além de serem fonte de
significados e, portanto,possibilitam compreensão, geram satisfação e formam
hábitos. Segundo os PCN (1997), essa repetição sistemática também deve
estar presente na atividade escolar, pois ajuda o aluno a perceber
regularidades.
Para Piaget (1978), os jogos fazem com que as crianças lidem com os
símbolos – jogos simbólicos - e passem a pensar por analogias, ou seja, os
significados dos objetos passam a ser imaginados por elas tornando-as
produtoras de linguagens e criadoras de convenções, dando início ao processo
de submeterem-se a regras e dar explicações – jogos de regras – que são
empregados nos
processos
de
ensino e
de
aprendizagem.
Adultos
compreendem que as regras podem ser combinadas previamente, antes do
início do jogo, pelos jogadores, e devem ser respeitadas no decorrer do
mesmo. Tais indivíduos estão num processo de jogo mais avançado cujas
estratégias utilizadas são mais elaboradas. Nos jogos de regras, o fazer e o
compreender caminham continuamente juntos e essa característica é
importante nos processos de ensino e de aprendizagem, pois oindivíduo
percebe que pode jogar em função da jogada do outro, ou pode jogar para
anular a jogada do seu oponente.
Segundo os PCN (1997), a participação em jogos de grupo também
representa uma conquista cognitiva, emocional, moral e social além de ser um
estímulo para o desenvolvimento do seu raciocínio lógico.
Segundo os PCN,
[...]um aspecto relevante nos jogos é o desafio genuíno que eles
provocam no aluno,que gera interesse e prazer. Por isso, é
importante que os jogos façam parte da cultura escolar, cabendo ao
professor analisar e avaliar potencialidade educativa dos diferentes
jogos e o aspecto curricular que se deseja desenvolver.(PCN,
1997,p.36)
123
MarinêsYolePoloni
Observa-se que os PCN (1997) incentivam a utilização de jogos nos
processos de ensino e de aprendizagem por serem um recurso capaz de
provocar um desafio nos alunos, cabendo ao professor a análise da
potencialidade educativa de um determinado jogo no plano curricular o qual
pretende desenvolver.
4.2.2O recurso à história da matemática
A História da Matemática revela esta ciência como uma criação humana
que surgiu a partir de necessidades e preocupações das diferentes culturas em
diferentes momentos históricos.
Os grupos que estudam essa metodologia de ensino são recentes;
entretanto estudos apontam que a história como recurso ao ensino da
Matemática não é tão recente assim. Segundo Miguel e Miorim (2004), já na
década de 20 a revista americana The MathematicsTeacher apresentava textos
históricos de Matemática com o intuito de motivar os alunos. Esses textos
tinham o objetivo de aliviar o estresse das aulas e exercícios desgastantes.
Nessa época, a História da Matemática tinha um caráter motivador, no entanto,
segundo Miguel e Miorin (2004) se esse caráter motivador existisse, as aulas
de história seriam automotivadoras o que não condiz com a opinião dos
próprios professores de História: ―se fosse esse o caso, o ensino da própria
história seria automotivadora. Isso, no entanto, não é confirmado pela maioria
dos professores de História [...]‖
A História da Matemática, como recurso de sala de aula, pode ter uma
abordagem que visa o resgate cultural, a valorização da Matemática produzida
por um povo ou comunidade específica, ou seja, a etnomatemáticacujo
precursor é Ubiratan D‘Ambrósio. Essa abordagem visa valorizar a Matemática
produzida numa determinada cultura e, muitas vezes, desvalorizada por outras
culturas.
124
MarinêsYolePoloni
O PNLD, Brasil (2011, p. 42) afirma que ―conceitos abordados em
conexão com sua história constituem veículos de informação cultural,
sociológica e antropológica de grande valor formativo‖.
A História da Matemática deve significar um processo de transposição
didática que juntamente com outros recursos metodológicos pode oferecer
importantes contribuições nos processos de ensino e de aprendizagem dessa
disciplina. Essa metodologia pode tornar o ensino de Matemática menos
complexo, uma vez que, entendendo as necessidades que levaram os povos a
fazerem Matemática, o aluno pode enxergar a importância e a necessidade do
conhecimento dessa ciência.
A História da Matemática é importante para mostrar como teorias e
práticas matemáticas foram criadas num determinado tempo. Ela auxilia a
desenvolver uma maior motivação por parte dos alunos em relação ao estudo
dessa disciplina. De acordo com Groenwald
O enfoque histórico é uma proposta metodológica que permite ao
aluno descobrir a gênese dos conceitos e métodos que aprenderá em
aula. Em outras palavras este enfoque permitirá ao aluno fazer
relação das ideias matemáticas desenvolvidas em sala de aula com
suas origens. O conhecimento da história da matemática proporciona
uma visão dinâmica da evolução dessa disciplina, buscando as ideias
originais em toda sua essência. (2004, p.47)
A matemática está intimamente ligada à história e o desenvolvimento
dos povos, e, por isso, a História da Matemática é apontada por vários
pesquisadores como uma metodologia de sala de aula capaz de contribuir nos
processos de ensino e de aprendizagem da Matemática
Conforme os PCN
A história da matemática pode oferecer uma importante contribuição
ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento.
Ao revelar a matemática como uma condição humana, ao mostrar as
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes
momentos históricos, ao estabelecer comparações entre conceitos e
processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria
condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais
favoráveis diante desse conhecimento. Além disso, conceitos
abordados em conexão com sua história constituem veículos de
informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor
formativo. A história da matemática é, nesse sentido, um instrumento
de resgate da própria identidade cultural. (1998, p.42)
Dessa forma, entende-se que, para os PCN (1998), a História da
Matemática, deve adentrar à sala de aula e atingir o aluno fazendo com que ele
125
MarinêsYolePoloni
desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante dessa ciência, pois,
quando os conceitos são abordados em conexão com sua história, passam a
ter um grande valor formativo.
O foco dado à História da Matemática pelos PCN (1998) é o de um
recurso
metodológico
para
auxiliar
nos processos de
ensino
e
de
aprendizagem e não como um instrumento a mais de memorização de datas e
nomes, o que seria extremamente desagradável e desgastante para os alunos.
4.2.3O recurso às tecnologias da informação
Os PCN (1997) afirmam que o uso de tecnologias como, calculadoras e
computadores na sala de aula, é uma prática que contribui para a melhoria do
ensino de Matemática. Tal uso, segundo os PCN (1997), pode e deve ser um
elemento de apoio para o ensino. Num mundo onde a tecnologia avança em
velocidade exponencial, instala-se mais um desafiopara a escola: incorporar ao
seu trabalho essas novas formas de comunicação e conhecimento.
Tais instrumentos, como calculadoras, tablets, celulares, computadores
e softwares estão se tornado realidade para parte da população de estudantes
do mundo. Segundo os PCN (1997), tais tecnologias podem ser usadas como
instrumentos motivadores na realização de tarefas exploratórias e de
investigação.Além disso, elas abrem novas possibilidades educativas, como a
de levar o aluno a perceber aimportância do uso dos meios tecnológicos
disponíveis na sociedade contemporânea.
Essas tecnologias podem ser usadas como recursos para a verificação
de resultados e correção de erros sendo também instrumentos de
autoavaliação. Um exemplo de situação exploratória e de investigação que se
tornariaexaustiva sem o uso de computadores, é construir e comparar os
gráficos das funções do 1º grau: f(x) = x+1, f(x) = x+2, f(x) = x+3, f(x) = 2x, f(x)
= 3x e etc... Usando o computador para esboçar os gráficos, o aluno terá mais
condições comparar e perceber as diferenças entre as retas que aparecem no
monitor podendo estabelecer relações com as funções que lhes deram origem,
ou seja, construindo significado para essas funções. O fato de nos
126
MarinêsYolePoloni
encontrarmos num tempo em que emerge um conhecimento por simulação,
típico dacultura da informática, faz com que o computador seja visto como um
recurso didático cadadia mais importante.
Essas tecnologias trazem muitas possibilidades aos processos de
ensino e de aprendizagem de Matemática, pois são grandes aliadas do
desenvolvimento cognitivo dos alunos, principalmente porque permitem um
trabalho que obedece ao ritmo de aprendizagem de cada um.
Sabe-se que, em termos de Brasil, os computadores ainda não estão
amplamente disponíveis para a maioria das escolas, mas, mesmo assim, eles
já começam a integrar muitas experiências educacionais. Imagina-se que,
amédio prazo, tal tecnologia esteja presente na maioria das salas de aula
brasileiras e, dessa forma, existe a necessidade de incorporação de estudos
nessa área, tanto na formação inicial dos professores quanto na sua formação
continuada.
Os PCN (1997) apontam os softwares educacionais como importantes
ferramentas que o professor deve conhecer, não só na concepção das
potencialidades quanto na sua aplicabilidade em sala de aula. Para os PCN:
O computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino
(banco de dados, elementos visuais), mas também como fonte de
aprendizagem e como ferramenta para o desenvolvimento de
habilidades. O trabalho com o computador pode ensinar o aluno a
aprender com seus erros e a aprender junto com seus colegas,
trocando suas produções e comparando-as. (PCN, 1997 p.35)
Para que isso aconteça, o trabalho com o computador como ferramenta
de ensino necessita de uma infra-estrutura adequada, laboratórios equipados
com computadores e softwares que atendam às necessidades do currículo.
Desta forma, a escola não deve permanecer estagnada, mas deve estar
sempre pronta a inovar e formar seus professores para atuarem nessa nova
realidade.
O uso de ambientes informatizados pode gerar uma mudança de hábitos
de forma que o aprendiz passe a ter uma postura investigativa ao aprender,
sendo incentivado a produzir seu próprio conhecimento, em situações que lhe
permitam experimentar, interpretar, visualizar, induzir, conjeturar, abstrair,
generalizar e enfim, demonstrar. “É o aluno agindo, diferentemente de seu
papel passivo frente a uma apresentação formal do conhecimento, baseada
127
MarinêsYolePoloni
essencialmente na transmissão ordenada de „fatos‟, geralmente na forma de
definições e propriedades” (Gravina e Santarosa, 1998, p.1)66.
No ensino de Geometria, como ensina Miskulin (1999):
(...)a revolução tecnológica, que ocorreu na última década com a
popularização dos computadores e outras ferramentas de multimídia
ofereceu aos professores novos elementos que podem remoldar os
caminhos do ensino da geometria... (p. 197)
Ao analisar novos caminhos para o ensino, existe um consenso entre
pesquisadores, de que o uso do computador pode contribuir para uma melhor
visualização, como aponta, por exemplo, Laborde (1998). Para ele a
visualização do aprendiz pode facilitar a articulação de propriedades
geométricas feitas em situações diversificadas. O aspecto intuitivo da
Geometria faz com que a percepção do aluno propicie a construção de
significado para um determinado conceito geométrico. O aspecto intuitivo é,
então, bastante importante para o ensino de Geometria, principalmente quando
se utilizam o computador e softwares de Geometria Dinâmica67. Esses
softwares, por sua animação, podem fazer com que o aprendiz construa,
movimente, observe e modifique algumas características das figuras que lhe
são apresentadas na tela do computador.
Uma vez que um dos objetivos da Geometria é fazer os estudantes
identificarem as figuras por meio de suas propriedades, o ambiente de
Geometria Dinâmica, por suas potencialidades, constitui-se em uma ferramenta
que possibilita uma aprendizagem que objetiva a construção significativa dos
conceitos.
A Geometria Dinâmica oferece uma nova proposta que visa explorar
os mesmos conceitos da geometria clássica, porém, através de um
software interativo. Assim, é possível disponibilizar representações
gráficas de objetos geométricos que aproximam o objeto material da
tela do computador (desenho) ao objeto teórico (figura), favorecendo
o desenvolvimento de uma leitura geométrica dos desenhos por parte
do aprendiz, contornando, assim, uma das dificuldades do ensino da
Geometria.(RODRIGUES, 2002).
66
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/artigos/artigos.htm acessado em junho de 2012.
O termo geometria dinâmica foi inicialmente usado por Nick Jakiw e Steve Rasmussen da Key
Curriculum Press, Inc. com o objetivo de diferenciar este tipo de software dos demais softwares
geométricos. Comumente ele é utilizado para designar programas interativos que permitem a criação e
manipulação de figuras geométricas a partir de suas propriedades, não devendo ser visto como referência
a uma nova geometria.
67
128
MarinêsYolePoloni
Softwares de Geometria Dinâmica abrem a possibilidade para que
figuras sejam arrastadas mantendo-se os vínculos estabelecidos nas
construções, ou seja, preservando-se as relações entre os elementos da figura
(invariantes)
que
aparecem
muito
claramente
durante
as
possíveis
movimentações. Essa observação pode levar o aprendiz a refletir e interagir de
maneira produtiva durante a aula permitindo um melhor entendimento da
Geometria.
Segundo Marrades e Gutiérrez (2000), as maiores contribuições dos
softwares de Geometria Dinâmica são: (i) propiciar um ambiente em que os
alunos possam experimentar livremente checando suas intuições; (ii) propiciar
maneiras não tradicionais de ensino e aprendizagem de conceitos e métodos
matemáticos. Esses autores, em concordância com Laborde (1998), entendem
que outra vantagem dos softwares de Geometria Dinâmica é a possibilidade de
construir figuras complexas e visualizá-las em diferentes posições sem ter que
construí-las novamente, acompanhando, em tempo real, as modificações que
nela ocorrem pelo fato de arrastá-las. Dessa forma, a possibilidade de mover
figuras torna esse ambiente potencialmente diferente do tradicional uso do lápis
e papel.
Segundo Gravina (1996)os softwares de Geometria Dinâmica podem ser
trabalhados de duas formas, quais sejam: (i) os próprios alunos constroem as
figuras(atividades de expressão); (ii) o professor entrega as figuras prontas aos
alunos para que estes possam reproduzi-las(atividades de exploração). A
primeira forma de utilização tem como objetivo o domínio, pelos alunos, dos
procedimentos para se obter a construção, já a segunda forma de utilização
objetiva, segundo Gravina (1996), que os aprendizes descubram as invariantes
das propriedades das figuras reproduzidas. Dessa forma, o aluno pode
perceber a diferença entre desenhar e construir uma figura (Laborde, 1998)
verificando que, para construí-la, é necessário compreender as relações entre
os elementos da figura de forma que, ao ser arrastada, mantenha os vínculos
iniciais.
O professor, nesse ambiente, tem o papel de incentivar seus alunos a
conjecturar, a explorar e levantar hipóteses e a refinar as suas convicções. Ao
ser instigado a explicar os porquês de suas conjecturas, o aluno pode vir a
129
MarinêsYolePoloni
compreender as verdades de proposições matemáticas, ou seja, as
demonstrações podem deixar de ser relegadas a um segundo plano.
Quanto ao uso da Geometria Dinâmica para o ensino de Trigonometria,
Segundo Giraldoet al (2012),“uma imagem vale mais do que mil palavras”e,
em se tratando de ambientes de geometria dinâmica, podemos contar com
centenas de imagens que aparecem na tela do computador, em questão de
segundos,podendo ser manipuladas interativamente, o que provoca a
construção de ideias apoiadas nas imagens observadas.São muitas as
vantagens em se trabalhar com Geometria Dinâmica na Trigonometria. Ela tem
o papel de dar suporte aos objetos trigonométricos a serem estudados durante
o Ensino Médio e também favorece, nos alunos, a construção do conhecimento
de tais objetos. Os softwares de Geometria Dinâmica favorecem a construção
de significado, pelos alunos, dos objetos estudados, pois facilita as suas ações
sobre tais objetos contribuindo para que o aprendiz reflita a respeito de tais
conceitos.
O GeoGebra é um software de geometria dinâmica que combina
conceitos
de
(GraphicalUser
geometria
Interface
e
álgebra
–
em
GUI68).
O
uma
única
software
interface
foi
gráfica
criado
por
MarkusHohenwarter e Judith Preiner para ser utilizado principalmente em sala
de aula na educação básica e universitária.
Este software permite realizar construções geométricas com a utilização
de elementos da geometria plana tais como pontos, retas, segmentos de reta,
polígono e etc. e alterá-los dinamicamente.
O processo de construção das figuras é feito mediante o uso de menus
em linguagem natural da geometria – ponto, reta passando por dois
pontos,retas paralelas, retas perpendiculares, círculos, transformações
geométricas, por exemplo. A régua virtual e dada no recurso Reta por
Dois Pontos e o compasso virtual e dado no recurso Círculo com
Centro e Ponto. (GRAVINAetal, 2012,p.38-39).
68
A abreviação GUI (do inglês GraphicalUser Interface) é um tipo de interface que permite a interação do
utilizador com dispositivos digitais por meio de elementos gráficos como ícones e outros indicadores
visuais.
130
MarinêsYolePoloni
Segundo o manual oficial69 da versão 3.2 do GeoGebra, também é
possível inserir funções derivá-las, integrá-las e encontrar suas raízes e pontos
extremos. Além disso, o GeoGebra é capaz de lidar com variáveis para números,
pontos, vetores, donde entende-se que tal software reúne as ferramentas
tradicionais de geometria com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo.
Desta forma, pode-se representar as características algébricas e geométricas de
um mesmo objeto de estudo num único ambiente visual.
Dentre todos os softwares de geometria dinâmica conhecidos,tais como:
Cabri-Géomètre, Régua e compasso,Winplot, Geoplan, Geospace, Grapher,
oGeoGebra foi o ambiente computacional escolhido para cenário do processo
de formação desta pesquisa pois é um software de matemática com
propriedades dinâmicas, distribuição gratuita e de código fonte aberto 70,
utilizando recursos como a régua, o compasso, as retas e círculos de forma
digital permitindo a construção de figuras geométricas. Além disso, o software
pode ser adquirido no endereço eletrônico http://www.geogebra.org e ser
instalado no computador, tanto para o Sistema Operacional Microsoft Windows
como para o Sistema Linux. Existe também a possibilidade de utilizar o
software sem fazer a instalação, ou seja, ele pode ser executado pelo
navegador de internet. Todas essas facilidades fizeram com que o GeoGebra,
na sua versão 4.0, fosse a opção escolhida para a formação empreendida.
Nesse ambiente, o sujeito tem controle da figura e de suas propriedades
uma vez que pode visualizá-la em todas direções possíveis e em tempo real
contando também com as ferramentas próprias de animação automática
disponíveis no referido ambiente. Essas possibilidadespodem conduzir os
sujeitos à aquisição de novos conhecimentos sendo, portanto, uma ferramenta
adequada para o ensino e aprendizagem de Trigonometria. No ambiente
GeoGebra o alunotem a oportunidade de arrastar os objetos construídos por
ele mesmo podendo, desta forma, ele pode testar, levantar hipóteses e
69
HOHENWARTER M., HOHENWARTER J. Ajuda Geogebra Manual Oficial da Versão 3.2, Tradução e
adaptação para português de Portugal António Ribeiro, 2009 http://www.geogebra.org/help/search.html
acesso em fev. 2011.
70
O fato de o GeoGebra possuir o código fonte aberto, possibilita fazer alterações das suas funções
padrão, desde o layout até a criação de novas ferramentas. Por ter essa característica, é comum muitos
programadores contribuem gratuitamente para a melhoria do software, gerando novas versões do
mesmo.
131
MarinêsYolePoloni
perceber regularidades. São movimentos que possibilitam realizar atividades
que não são possíveis com lápis e papel.
Um exemplo de atividade com o GeoGebra é a construção do ciclo
trigonométrico esboçando a função y=sen(x) para cada arco da primera volta.
Figura 13: Ciclo trigonométrico e função y=sen(x)
Fonte: Acervo pessoal
Nessa figura, podemos observar as duas janelas que o GeoGebra
apresenta:ajanela algébrica (à esquerda) e a janela geométrica (à direita). A
janela algébrica pode ser fechada bastando-se clicar no X que aparece em seu
canto direito superior. Caso se deseje visualizar a janela algébrica novamente,
basta clicar em Exibir (no alto da tela) e selecionar Janela de álgebra. A
janela de álgebra articulada com a janela geométrica possibilita aos aprendizes
a possibilidade da mudança de quadro do objeto de estudo.
Há pesquisas, como as de Castro Filho (2001), que reforçam a ideiade
que os programas educacionais em Matemática nem sempre têm chegado à
sala de aula e, quando chegam, são utilizados superficialmente. Tais pesquisas
também apontam para o fato das atividades dos laboratórios de informática
serem desvinculadas dos conteúdos trabalhados em sala de aula por falta de
132
MarinêsYolePoloni
experiência dos professores na utilização dos programas de que necessitam.
Existe um discurso a favor da informática na educação defendido pela
maioria dos profissionais da educação, entretanto os estudos de Castro Filho
(2001) mostram que as habilidades dos professores,na utilização de recursos
tecnológicos, estão na contra-mão deste discurso. Entende-se que um novo
olhar sobre as construções geométricas - feito com o auxílio do GeoGebra pode levar os professores à (re)construção de seu conhecimento profissional
por conduzi-los a um repensar constante a respeito das práticas pedagógicas
usadas até então. Vivenciando atividades com o GeoGebraoprofessor vai
percebendo sua própria aprendizagem o que o faz refletir a respeito de suas
práticas e daaprendizagem de seus alunos.
Considera-se, então, o computador como uma ferramenta aliada tanto
no processo de (re)construção de conceitos por parte dos professores quanto
na facilitação dos processos de ensino e de aprendizagem na interação
professor-aluno-computador. Os alunos, em aulas informatizadas, podem
interagir com seus colegas, com a máquina e com o professor num movimento
de ―vai-vem‖, onde hipóteses são levantadas, testadas e conclusões são
tiradas rapidez e precisão. Tais considerações foram relevantes para a criação
das atividades, com o uso do softwareGeoGebra, aplicadas durante a formação
que deu origem a este trabalho.
133
MarinêsYolePoloni
Capítulo V
5.Descrição e análise da Fase II: Pesquisa de campo
A pesquisa de campo consistiu na criação de uma experiência formativa
com o foco na problematização e com uso de recursos tais como: História da
Matemática, jogos, e tecnologias; no desenvolvimento da experiência formativa
com um grupo de professores e posterior análise de dados.
Nosso objetivo era analisar esse processo de formação continuada cujo
foco foi a exploração e discussão de recursos para a prática de ensino de
Trigonometria no Ensino Médio, de modo a auxiliar o desenvolvimento
profissional docente.
Dessa forma, a experiência formativa que propusemos se desenvolveu
em 10 encontros, com periodicidade quinzenal e duração de 3 horas e meia
cada um em quatro ambientes diferentes da Diretoria Norte 2 quais sejam: (i) o
laboratório de informática, onde se deu a maioria dos encontros; (ii) uma sala
com cadeiras, mesas e uma lousa onde os professores podiam sentar-se em
grupo para discutir as atividades; (iii) um auditório utilizado, na primeira sessão,
para que os sujeitos de pesquisa respondessem ao questionário de entrada e
no final do último encontro para que fosse feita a confraternização do grupo e
(iv) um caprichoso espaço para o cafezinho que acontecia mais ou menos na
metade de cada sessão.
134
MarinêsYolePoloni
Os participantes foram 14 professores de Matemática da rede pública
sendo que 5 deles atuavam no Ensino Fundamental II, 6 no Ensino Médio e 3
deles em ambos os segmentos de ensino. O grupo incluía uma professora da
Diretoria Norte e um mestrando da Universidade que colaboraram para a coleta
de dados e gravação das sessões eduas pesquisadoras da Universidade. Esse
grupo inicial não se manteve assim ao longo dos 10 encontros de tal forma que
apenas sete dos Professores foram considerados como sujeitos de pesquisa. A
escolha desses Professores deu-se segundo os critérios: (i) ter experiência de
atuação no Ensino Médio, mais especificamente, na série em que se aborda a
Trigonometria e (ii) ter comparecido a todos os encontros do curso Tópicos de
Trigonometria, ou seja, 100% de presença.
O processo de formação continuada proposto procurava estimular
discussões a respeito de tópicos de Trigonometria buscando ampliar o
conhecimento profissional docente dos participantes. Sendo assim, todos os
dados levantados, as desestabilizações ocorridas durante o processo, todas as
discussões
e
entrevistas
foram direcionadas
com a
intencionalidade
dasformadoras. Como apresentamos e detalhamos mais adiante, os dados
foram coletados de múltiplas maneiras, a fim de minimizar possíveis
interpretações e opiniões conduzidas pelo olhar das pesquisadoras.
O tema Trigonometria veio da demanda do grupo de professores e,
dessa forma, o curso recebeu o nome ―Tópicos de Trigonometria‖. Ele foi
proposto para ser desenvolvido ao longo de um semestre letivopriorizando o
uso de recursos diversos para o ensino de Matemática, com o intuito de
explorar conteúdos de Trigonometria. É importante pontuar que a proposta
original foi modificada, ao longo da implementação, de acordo com o feedback
obtido a cada intervenção e também de acordo com a análise que as formadoras
faziam das reações dos Professores frente às atividades propostas. Esse tipo de
movimento é característico da metodologia de pesquisa adotada, qual seja, o
Design-Based Research.
5.1 Os sujeitos de pesquisa
135
MarinêsYolePoloni
Consideraram-se como sujeitos de pesquisa os sete participantes do
grupo de Professores que foram escolhidos por terem experiência em Ensino
Médio e terem comparecido a todos os encontros do processo formativo
denominado Tópicos de Trigonometria.
A fim de preservar a identidade dos sujeitos,eles receberam as
seguintes denominações: Professoras CP, CL,RO, CI e os Professores:
MC,RA eRG.
Com base nas informações coletadas naprimeira parte do questionário
1, que se encontra no apêndice 1 deste documento, cujo objetivo era traçar o
perfil dos sujeitos de pesquisa, pudemos fazer uma síntese das características
dos integrantes da equipe que apresentada no quadro abaixo:
Quadro 13: Perfil dos sujeitos do curso
RG – É graduado em Engenharia mecânica, fez o PEFEP (Programa Especial de Formação
Pedagógica) e pós-graduação em Docência do Ensino Superior. Trabalha como Professor do
Ensino Médio há dois anos. Nunca havia utilizado um software para o ensino de Trigonometria,
porém conhecia vários softwares tais como GeoGebra, Winplot, Cabri-Géomètree autocadentretanto não teve, ainda, oportunidade de utilizá-los com alunos, uma vez que a escola
onde trabalha não tem um laboratório de informática. Estava participando dos cursos do projeto
Observatório da Educação há um ano.
RA – É licenciado em Matemática com ênfase em informática. Trabalha como professor de
Matemática dos Ensinos Fundamental e Médio há 7 anos e costuma participar de cursos de
formação continuada. Nunca havia utilizado um software para o ensino de Trigonometria,
porém conhecia alguns softwares educacionais tais como GeoGebra e Winplot com os quais
teve contato por meio dos cursos oferecidos na Diretoria Norte 2 no projeto Observatório da
Educação, entretanto havia tido, ainda, oportunidade de utilizá-los com alunos, uma vez que a
escola onde trabalha também não tem um laboratório de informática. Estava participando dos
cursos do projeto Observatório da Educação há um ano e meio.
MC – É graduado em Engenharia elétrica, fez o PEFEP (Programa Especial de Formação
Pedagógica) e pós-graduação em Telecomunicações. Trabalha como Professor dos Ensinos
Fundamental e Médio há dois anos. Nunca havia utilizado um software para o ensino de
Trigonometria e também não conhecia softwares educacionais.Estava participando dos cursos
do projeto Observatório da Educação há um ano.
RO – É licenciada em Matemática, trabalha como professora de Matemática dos Ensinos
Fundamental e Médio há 34 anos e costuma participar de cursos de formação continuada.
Nunca havia utilizado um software para o ensino de Trigonometria, porém conhecia alguns
softwares educacionais tais como GeoGebra e Winplot com os quais teve contato por meio dos
cursos oferecidos na Diretoria Norte 2 do projeto Observatório da Educação, entretanto não
havia tido, ainda, oportunidade de utilizá-los com alunos, uma vez que a escola onde trabalha
também não possui um laboratório de informática.Estava participando dos cursos do projeto
Observatório da Educação há dois anos.
CP – É licenciada em Matemática, Pedagogia e Ciências, trabalha como professora de
Matemática dos Ensinos Fundamental e Médio há 36 anos e costuma participar de cursos de
formação continuada. Nunca havia utilizado um software para o ensino de Trigonometria e
também não conhecia softwares educacionais. Seu primeiro contato com tais softwares
educacionais foi por meio dos cursos oferecidos na Diretoria Norte 2, do projeto Observatório
da Educação. Estava participando dos cursos do projeto Observatório da Educação há dois
anos.
136
MarinêsYolePoloni
CL – É licenciada em Ciências com habilitação em Matemática, trabalha como professora de
Matemática dos Ensinos Fundamental e Médio há 17 anos e costuma participar de cursos de
formação continuada. Nunca havia utilizado um software para o ensino de Trigonometria e
também não conhecia softwares educacionais. Seu primeiro contato com tais softwares
educacionais foi por meio dos cursos oferecidos na Diretoria Norte 2, do projeto Observatório
da Educação.Estava participando dos cursos do projeto Observatório da Educação há quatro
anos, ou seja, desde o início do projeto.
CI – É licenciada em Matemática trabalha como professora de Matemática do Ensino Médio há
6 anos e costuma participar de cursos de formação continuada. Nunca havia utilizado um
software para o ensino de Trigonometria. Comentou que a escola estadual onde trabalha não
possui um laboratório de informática e que ela também não conhecia softwares educacionais.
Passou a conhecê-los por meio dos cursos oferecidos na Diretoria Norte 2, do projeto
Observatório da Educação.Estava participando dos cursos do projeto Observatório da
Educação há dois anos.
Fonte: Acervo pessoal
Analisando o quadro acima, podemos observar que o grupo de
professores, sujeitos de pesquisa, é formado por sete professores, dos quais
quatro são mulheres e três são homens todos atuando como professores da
rede estadual de São Paulo. Deste grupo, todos trabalham no Ensino Médio e
ensinam Trigonometria para seus alunos, entretanto nenhum deles utilizava
softwares de Geometria Dinâmica para o ensino de tal conteúdo. Dois dos
professores do grupo eram graduados em Engenharia, fizeram PEFEP
(Programa Especial de Formação Pedagógica) e trabalham exclusivamente
como professores, uma das participantes era licenciada em Ciências com
habilitação em Matemática e os outros quatro professores eram licenciados em
Matemática.
Quanto ao tempo de exercício da docência, o grupo se constituía da
seguinte forma: dois deles tinham dois anos de experiência docente, dois
professores tinham entre cinco e dez anos de experiência, uma das
professoras tinha dezessete anos de experiência e duas tinham mais de trinta
anos de docência. Isso significa dizer que o grupo foi constituído por alguns
professores em início de docência, outros com média experiência e outros com
larga experiência de sala de aula.
Quanto às expectativas desses professores, questão essa que pode ser
encontrada na segunda parte do questionário 1,podemos dizer que eram
muito parecidas. Eles esperavam aprender conteúdos matemáticos além de
melhorar as práticas docentes por meio da troca de experiências com os
137
MarinêsYolePoloni
colegas durante as sessões. Isso significa dizer que a expectativa era
prioritariamente na ampliação do conhecimento profissional docente.
Quanto à formação continuada, todos os professores, sujeitos de
pesquisa, relataram ter o hábito de participar de cursos de formação. Pelos
dados do projeto Observatório da Educação, constatamos que esses
professores, escolhidos como sujeitos de pesquisa,são oriundos de outros
processos formativos desse mesmo projeto sendo que os Professores RG e
MC, além do curso que deu origem a esta pesquisa, participaram também do
curso de Simetria, processo formativo imediatamente anterior ao nosso. Os
outros cinco sujeitos participaram de pelo menos cinco dos dez cursos do
Projeto e vale ressaltar que a Professora CL participou de todos os dez
processos formativos oferecidos pelo Observatório da Educação durante os
quatro anos de sua existência. Enfatizamos que tais professores foram
escolhidos como sujeitos de pesquisa, pois estiveram presentes em todos os
encontros da formação continuada Tópicos de Trigonometria. Eles foram,
lentamente,
formando
um
grupo
separado
dos
demais
professores
participantes. Procuravam, em todos os ambientes que utilizamos na Diretoria
Norte 2, sentarem-se mais próximos e refletirem conjuntamente. Desta forma,
entendemos que houve consolidação das relações entre esses participantes,os
quais constituíram um grupo ativo e participante durante o decorrer do
processo.
5.2 O primeiro design do processo formativo
Para o curso, foram elaboradas atividades que procuraram contemplar
os três recursos para o ensino de Matemática descritos nos PCN (1998), quais
sejam: a história da Matemática; os jogos e as tecnologias da informação,todos
imbuídos das problematizações que desejávamos, a fim de provocar
discussões as quais pudessem levar à ampliação do conhecimento profissional
dos professores sujeitos de pesquisa.
O design inicial completo da formação para o curso de ―Tópicos de
Trigonometria‖ foi dividido em três etapas dispostas conforme segue:
•
Oficinas, num total de 5 encontros.
•
Elaboração de atividade, num total de 2 encontros.
138
MarinêsYolePoloni
•
Aplicação e discussão a respeito das atividades, num total de 3
encontros.
O primeiro design do curso ―Tópicos de Trigonometria‖ teve, como ponto
de partida, o triângulo retângulo e o cálculo de distâncias inacessíveis
perpassando por discussões a respeito das razões trigonométricas no
triânguloretângulo, do ciclo trigonométrico, do conceito de radiano, além de
revisitar as funções seno e cosseno e as simetrias no ciclo trigonométrico.
Porém, esse design foi sendo alterado, encontro a encontro, de acordo com as
análises dos dados que iam sendo coletados a cada sessão. Um resumo do
primeiro design do curso encontra-se no quadro a seguir.
Quadro 14: Resumo do planejamento inicial do Curso ―Tópicos de Trigonometria‖
Temas de Trigonometria
P
L
A
N
E
J
A
D
O
Triângulo retângulo
inacessíveis
– cálculo de distâncias
Recursos Utilizados
Tecnologias analógicas e história da Matemática.
Ciclo Trigonométrico
Tecnologia GeoGebra e tecnologias analógicas.
Conceito de radiano
História da Matemática e Tecnologia GeoGebra.
Simetrias no ciclo trigonométrico.
Tecnologia GeoGebra e tecnologias analógicas.
Função seno e função cosseno – transformações.
Tecnologia GeoGebra e Jogos.
Fonte: Acervo pessoal
As justificativas para a escolha de tais temas vêm da nossa experiência
profissional somada aos resultados, tanto da nossa revisão de literatura,
quanto da análise daFase I deste trabalho: a Pesquisa Documental.
O primeiro design previa iniciar o curso com o tema ―triângulo retângulo
e o cálculo de distâncias inacessíveis‖, uma vez que os PCN + (2002) sugerem
que as aplicações da Trigonometria na resolução de problemas que envolvem
medições, especialmente o cálculo de distâncias inacessíveis, deva ser
assegurado, pois esse documento alerta para o fato da Trigonometria ser
apresentada desconectada de suas aplicações e ainda, investir-se muito tempo
no cálculo algébrico das identidades e equações em detrimento dos aspectos
importantes das funções trigonométricas e da análise de seus gráficos.Dessa
forma, nossa primeira ideia era propor uma atividade prática que fizesse os
professores construírem um teodolito com um transferidor e barbante a fim de
medirem a altura de algum prédio próximo à Diretoria Norte 2.
139
MarinêsYolePoloni
Na sequência, foi previsto discutir a transição do triângulo retângulo para
o ciclo trigonométrico e o conceito de radiano. Essa escolha foi respaldada pela
nossa revisão de literatura a qual aponta, nas dissertações de Thais de Oliveira
(2010) e Alessandra Zeman do Nascimento (2005), dificuldades dos alunos em
compreender tais conceitos. Além dos alunos, alguns professores também
apresentam essa dificuldade como apontado pela dissertação de Ronaldo
Barros Orfão (2012) que pesquisou conteúdos de Trigonometria na formação
continuada de professores. Em suas conclusões, Orfão apontou não serem
poucos os profissionais para os quais o conceito de radiano está restrito ao
conhecimento comum do conteúdo na acepção de Ball et al (2008). Esse fato,
somado à nossa experiência profissional com colegas que estão restritos à
definição do conceito de radiano dada por livros didáticos e são resistentes ao
uso de outros recursos para o ensino, nos fez escolher esses dois tópicos a
serem abordados,com o uso de mais de um recurso, durante o curso.
O tópico simetrias no ciclo trigonométrico foi o próximo selecionado no
primeiro design. Identificamos, na nossa experiência profissional, que as
fórmulas para redução de um arco ao primeiro quadrante continuam sendo
decoradas por alunos de diversas escolas com as quais tenho contato.
Segundo os PCN+ (2002), investe-se muito no cálculo algébrico para o ensino
de Trigonometria em detrimento da formação de conceitos. Optamos por esse
tópico para que, por meio das simetrias no ciclo trigonométrico, a redução de
um arco ao primeiro quadrante recebesse umaressignificação por parte dos
professores.
Com relação à escolha do tema funções trigonométricas para o primeiro
design, ela se deu tanto a partir da análise doCurrículo Oficial do Estado de
São Paulo (2008) e dos materiais de apoio à implementação deste currículo os Cadernos do Professor e do Aluno - quanto a partir da análise do Guia
PNLD
(2012).
Os
Cadernos
do
Professor
e
do
Aluno
envolvem
problematizações, contextualizações e busca histórica no desenvolvimento de
fenômenos periódicos e o Guia PNLD (2012) ressalta a importância das
transformações da função y=sen(x) para obter a família de funções
y=a+b.sen(wx +c), em que a, b e c são números reais quaisquer e w é um
número real positivo. Segundo o Guia PNLD (2012), é inegável a importância
desse tipo de estudo do ponto de vista da modelagem matemática e, por isso,
140
MarinêsYolePoloni
tal estudo deveria ocupar lugar de maior destaque no ensino das funções
trigonométricas. Dessa forma, no primeiro design, pensamos em ressaltar, nas
atividades que envolveriam esse tema, tanto a periodicidade das funções
sen(x) e cos(x) quanto as transformações que levariam às famílias de funções
citadas acima.
Planejamos ainda, nesse primeiro design, dois encontros a fim de que os
professores elaborassem atividades para seus alunos que seriam aplicadas em
sala de aula.Reservamos três encontros para discussões sobre a aplicação de
modo que fossem trazidos para o grupo os resultadosde tais aplicações com o
propósito de gerarem outras reflexões.
Entretanto, este plano não se manteve assim no decorrer do curso,
como é próprio da metodologia de design research.
No nosso primeiro encontro com os professores, explicamos a proposta
do curso e nossos objetivos enquanto formadoras. Eles, por sua vez,
pontuaram que não poderiam aplicar as atividades em sala de aula naquele
semestre, pois o conteúdo Trigonometria havia sido ministrado, por eles, no
semestre anterior daquele ano letivo; entretanto mostraram-se dispostos a
aplicar atividades em suas respectivas salas de aula no ano seguinte. Dessa
forma, percebemos que o planejamento das nossas últimas sessões deveria
ser redesenhado.
Nesse primeiro encontro, os professores responderam aoquestionário 1
– parte 1 e parte 2 –que se encontra no apêndice 1 deste documento. A
aplicação do questionário 1 e a análise das respostas da parte 2 do mesmo,
nos fez reavaliar nosso primeiro design. Decidimos que a partir do feedback
dos encontros e dos instrumentos neles aplicados – Folha Diário de Bordo,
atividades e materiais recolhidos – os redesigns da pesquisa seriam
elaborados encontro a encontro.
A figura abaixo resume o processo dedesign e redesigns da pesquisa:
Figura 15:Processo de design e redesigns da pesquisa
Teoria
1º design
+
Revisão de
Literatura
+
Pesquisa
documental
Questionário 1
(parte 2)
141
MarinêsYolePoloni
1º redesign
Redesign encontro a encontro
E10
E1
E9
E2
E8
E3
E7
E4
E6
E5
Fonte: Acervo pessoal
Trazemos, nesse momento, a análise das respostas dadas pelos
Professores às perguntas do questionário 1, parte 2, quenos fizeram
percebera necessidade de reavaliar nosso design a cada encontro do curso
Tópicos de Trigonometria.
Ao analisarmos tais respostas, constatamos que o estudo da
trigonometria do triângulo retângulo era um tema cujos Professores, sujeitos
desta pesquisa, já trabalhavam em suas salas de aulas sob a ótica do cálculo
de
distâncias
inacessíveis
conforme
mostra
o
trecho
abaixoextraído
doquestionário 1da Professora CP:
Figura 16: Resposta da Professora CP
Fonte: Acervo pessoal
Analisando esta resposta, concluímos que aProfessora CP inicia seu
trabalho em Trigonometria com o cálculo de distâncias inacessíveis. Os outros
sujeitos de pesquisa deram respostas similares a esta, o que nos fez mudar o
desenho inicial da nossa formação. Dessa forma, tivemos que redesenhar a
142
MarinêsYolePoloni
formação a partir das primeiras atividades. Além disso, alguns professores,
neste mesmo questionário, responderam que não utilizam softwares de
Geometria Dinâmica durante suas aulas por não terem, em seus respectivos
colégios, fácil acesso ao laboratório de informática.
Tais respostas e as reflexões que delas advieram nos levaram a tomar
decisões sobremudançasa serem feitas.Neste caso, por conta de alguns
sujeitos de pesquisa não terem recursos tecnológicos digitais disponíveis em
suas respectivas escolas, decidimos que, desse momento em diante,
tecnologias não digitais tais como lápis grafite, lápis de cor, compasso, régua,
transferidor, cola, barbante e tesoura, fariam parte das atividades de nosso
curso.
O design final do curso Tópicos de Trigonometriapode ser resumido no
quadro abaixo:
Resumo dos encontros do curso Tópicos de Trigonometria
1º encontro – 14 de junho
Apresentação do tema e questionário inicial.
2º encontro – 21 de junho
Leitura de texto histórico, construção da tabela de senos e
cossenos e construção do radiano com papel e lápis e no
GeoGebra.
Jogo de dominó de arcos e ângulo e jogo do pega-monte
3º encontro – 02 de agosto
4º encontro – 16 de agosto
5º encontro – 30 de agosto
6º encontro – 13 de setembro
7º encontro – 27 de setembro
8º encontro – 25 de outubro
9º encontro – 08 de novembro
10º encontro – 29 de novembro
Questionário II, construção do ciclo trigonométrico com
compasso e no GeoGebra
Construção do ciclo trigonométrico no GeoGebra exibindo o
seno e o cosseno nos eixos cartesianos e construção do ciclo
trigonométrico, no GeoGebra, exibindo as simetrias dos arcos
côngruos.
Abordagem dos conceitos de semelhança de triângulos e
congruência de triângulos e programação no GeoGebra para a
construção de funções trigonométricas.
Leitura do texto de João Pedro da Ponte- Investigar, ensinar e
aprender e atividade investigativa no GeoGebra.
Retomada da atividade investigativa.
Planejamento de atividades para os alunos, jogo do bingo de
funções trigonométricas.
Apresentação de atividades elaboradas e questionário de
avaliação do curso
Fonte: Acervo pessoal
5.3Descrição da formação
Nessa seção descrevemos os 10 encontros da formação empreendida.
1º encontro
143
MarinêsYolePoloni
O primeiro encontro foi para apresentação do tema Trigonometria, da
formadora e dos Professores e aconteceu no auditório da Diretoria Norte 2 com
a presença dos 14 Professores. Essa sessão foi pensada para ser um encontro
de apresentação que estreitasse o diálogo entre as formadorase os
Professores. O diálogo em questão já existia, uma vez que ambas
asformadoras, frequentaram todos os encontrosdo curso Simetria71 que
antecedeu o curso Tópicos de Trigonometria. A escolha do local foi definida de
comum acordo pela formadora e por uma professora da Diretoria Norte 2. Os
Professores preencheram o questionário inicial que se encontra no Apêndice
1deste documento e o Termo de Consentimento Livre e Esclarecidoanalisado
pelo comitê de ética da Universidade.Como já foi dito, o questionário inicial
tinha como objetivos: (I) para as formadoras: conhecer o perfil dos Professores
e os seus saberes de conteúdos de Trigonometria além de sua inserção na
Informática. (II) para as pesquisadoras: traçar o perfil pedagógico e didático dos
Professores, além de focalizar a relação desses Professores com a
Trigonometria e o uso de metodologias diferenciadas em suas práticas de sala
de aula.
Vale esclarecer que, nesse encontro, foram explicados os objetivos do
curso e da pesquisa.
2º encontro
O assunto escolhido para o encontro foi uma parte da história da
Trigonometria e um recorte da história do radiano.
Para isso, três abordagens distintas foram feitascom o intuito de se
explorarem dois dos recursos didáticos explicitados nos PCN (1998) quais
sejam: história da Matemática e uso de tecnologias.
A primeira atividade foi a leitura deum texto ―Um pouco da história da
Trigonometria‖, que se encontra no Apêndice 2 deste documento, e a
construção de uma tabela de cordas com a mesma metodologia utilizada por
Hiparco – papel e lápis - descrita no texto histórico lido.
71
No curso Simetria, os Professores aprenderam a trabalhar com o software GeoGebra. Para mais
detalhes ver PUPO, 2013
144
MarinêsYolePoloni
Essa atividade foi pensada para que os Professores participantes
vivenciassem a experiência de construir uma tabela de cordas calculando o
seno de alguns ângulos reproduzindo, em parte, o ocorrido naquela época.
A segunda atividade envolveu a leitura do texto ―Um pouco da história
do radiano‖, que também se encontra no Apêndice 2 deste documento,e uma
discussão a respeito do conceito de radiano. Na sequência, os Professores
construíram um radiano tanto com materiais manipuláveis – lápis, papel,
compasso, barbante, tesoura e cola – quanto com o softwareGeoGebra.
O objetivo desta atividade foi propor o uso de tecnologias, digitais ou
analógicas, para o ensino do tópico radiano. Em relação à história da
matemática, a atividade foi pensada para levar o Professor a refletir sobre
potencialidades do recurso história toda matemática tais como: história como
fonte de motivação para o ensino e aprendizagem de matemática; história
como fonte de objetivos para o ensino da matemática; a história como uma
fonte de métodos para o ensino e aprendizagem de matemática; a história
como uma fonte para seleção de problemas práticos, curiosos, informativos e
recreativos a serem incorporados nas aulas de Matemática; a história como um
instrumento promotor de atitudes e valores. e a história como instrumento que
pode promover a aprendizagem significativa e compreensiva da matemática,
que correspondem respectivamente às potencialidades 1,2,3,4,9 e 11 de
Miguel (1997).
Neste encontro, os professores também discutiram a definição de
radiano, presente em três livros adotados nas escolas brasileiras nos dias de
hoje, com a finalidade de suscitar reflexões e discussões a respeito das
práticas de sala de aula. Nosso objetivo, como pesquisadoras, com essa
discussão, era investigar o conhecimento especializado do conteúdo na
acepção de Ball et al (2008) bem como o conhecimento tecnológico do
conteúdode Mishra e Koehler (2006).
O quadro abaixo mostra as atividades desenvolvidas no segundo
encontro:
Quadro 16: Atividades do segundo encontro
Objetos de estudo
Tabela de senos
Conceito de radiano.
Recursos
História da Matemática
Tecnologias analógicas: lápis, papel,
compasso, barbante, cola, tesoura e livros
145
MarinêsYolePoloni
didáticos.
Tecnologia digital: softwareGeoGebra
Fonte: Acervo pessoal
Ao explorarem tanto as construções com papel e lápis quanto as com o
GeoGebra, os Professores trocaram informações e conceitos trigonométricos
livremente.
A figura abaixo mostra a construção de ciclos trigonométricos, com
diferentes raios, feita pelos Professores. Em cada um deles, os Professores
puderam experimentar que o quociente entre o contorno e o raio é uma
constante.
Figura 16: Figura construída pelos Professores durante o encontro
Fonte: Acervo pessoal
Ao final do encontro, os Professores responderam à ―Folha Diário de
Bordo‖ que se encontra no Apêndice 4 deste documento.
FOLHA DIÁRIO DE BORDO – ENCONTRO 2
1)
2)
3)
Qual a sua opinião a respeito da aprendizagem do conceito de radiano pelo aluno analisando a
abordagem feita pelos livros didáticos?
Qual a importância de se discutir, durante as aulas, a unidade de medida radiano para a
aprendizagem dos alunos?
Observe este diálogo muito comum nas salas de aula.
Professor:O comprimento de uma circunferência é dado por 2 r. Sabemos também que uma
volta completa equivale a 360o
Se o raio da circunferência vale 1, temos:
2 .1rad
360o
o
2 rad
360
o
rad
180
Aluno:Mas como assim?
O não é mais 3,14?
É o mesmo ?
Que é esse, professor?
Como você agiria nesta situação a fim de esclarecer o aluno?
146
MarinêsYolePoloni
O objetivo desta ―Folha Diário de Bordo‖, por meio das perguntas, era
identificar algumas das práticas de sala de aula desses Professores e de suas
reflexões a respeito dosrecursos utilizados na sessão. A terceira questão,
buscava identificar o conhecimento especializado do conteúdo de Ball et al
(2008), entretanto as questões 1 e 2 buscavam identificar tanto o conhecimento
comum do conteúdo Ball et al (2008), quanto as práticas de sala de aula
desses Professores.
Entendemos ser importante repetir que o GeoGebra, no período no qual
ocorreu a formação aqui descrita, era um softwareque Professores, sujeitos de
pesquisa, já conheciam, pois o haviam utilizado na formação imediatamente
anterior à deste documento.
3º encontro
Este encontro deu-se após as férias de julho. Para a retomada das
atividades do grupo, escolhemos o tópico transformações de unidades de
medidas de arcos e ângulos por ser uma das dificuldades encontradas pelos
Professores no ensino de Trigonometria conforme mostra a resposta dada pelo
Professor RG a uma das perguntas do questionário 1:
Figura 17: Resposta dada pelo Professor RG a uma pergunta do questionário 1
Fonte: Acervo Pessoal
Analisando essa e outras duas respostas similares, decidimos que esse
seria o assunto a ser abordado durante nossa primeira sessão após as férias.
147
MarinêsYolePoloni
O recurso abordado nos PCN (1998) e escolhido para essa sessão foi o
recurso aos jogos. Dessa forma, elaborei72 dois jogos:o dominó de arcos e
ângulos e o pega-monte para unidades de medidas. Nosso objetivo, nessas
atividades, era proporcionar aos Professores a vivência de uma forma de
trabalhar as transformações de unidades que fosse diferente da tradicional e
que utilizasse um dos três recursos para o ensino abordados nesta pesquisa.
O dominó de arcos e ângulos tem as mesmas regras que o jogo de
dominó comum73, entretanto não se colocam lado a lado peças iguais, mas sim
peças que possuam valores equivalentes para os arcos, medidos em graus ou
em radianos.
A figura abaixo mostra como devem ser dispostas as peças deste jogo:
Figura 18: Jogo de dominó de arcos e ângulos
Fonte: Acervo pessoal
No jogo de dominó comum, a peça que dá início à partida é a pedra de
valores iguais, que contém o maior valor possível, que estiver nas mãos dos
jogadores. Neste jogo, convencionou-se que a pedra a dar início à partida é
.
72
Estabelecemos o uso da 1ª pessoa do singular para referirmo-nos à autora deste trabalho e o uso da 1ª
pessoa do plural para referirmo-nos às duas formadoras quais sejam: a autora deste trabalho e sua
orientadora.
73
Regras do dominó comum para 4 jogadores: São distribuídas 7 peças para cada jogador; dá início ao
jogo o jogador que tiver a peça dupla de maior valor; as peças de valores iguais devem ser colocadas
lado a lado; se o jogador não tiver uma peça para colocar na mesa deverá passar a vez; vence o jogador
que colocar todas as suas peças na mesa primeiro.
148
MarinêsYolePoloni
O jogo de pega-monte objetiva que o jogador faça a transformação de
unidades, estabelecendo a correspondência entre a medida do arco em
radianos e seu valor em graus. As regras são as mesmas que as do pegamonte de cartas74, entretanto não se pegam cartas iguais e sim cartas que
possuam valores equivalentes para os arcos. Assim, por exemplo, a carta
faz par com a carta
ou vice-versa.Os participantes podem, com
uma carta de sua mão, pegar uma carta equivalenteque esteja na mesa para
constituírem seus montes ou ainda podem pegar o monte todo de seus colegas
de jogo desde que tenham uma carta equivalente
A figura abaixo mostra professores jogando pega-monte:
Figura 19: Pega-monte de arcos e ângulos
Fonte: Acervo pessoal
Os professores, nesse encontro, puderam vivenciar a experiência de
criar estratégias matemáticas para jogar. Nessa sessão, os Professores
também fizeram uma atividade, no GeoGebra, cujo objetivo era a construção
do número Pi por meio de sua definição. Tal atividade, encontrada no
Apêndice 5, deste documento, foi trabalhada com os Professorescom o
propósito de levantar discussões a respeito de conceitos que, normalmente,
são ensinados aos alunos somente por meio de suas definições matemáticas e
novamente,
nosso
objetivo,
enquanto
formadoras,
era
perceber
o
conhecimento especializado do conteúdo na acepção de Ball et al (2008) e do
conhecimento tecnológico do conteúdo de Mishra e Koehler (2006).
74
Regras do pega-monte de cartas para 4 jogadores: São colocadas abertas, na mesa, 6 cartas; cada
jogador também recebe 6 cartas; o restante das cartas forma um monte que é o monte fechado da mesa;
o primeiro jogador deverá constituir um parzinho de uma de suas cartas com uma carta aberta da mesa e
constituir seu monte; o próximo jogador poderá pegar uma carta aberta da mesa, se tiver o par, ou poderá
pegar o monte do outro jogador, também se tiver o par; se o jogador não tiver nenhuma carta para fazer
par com uma carta aberta da mesa ou com monte de um dos adversários, deverá comprar uma carta do
monte fechado da mesa; vence o jogador que ficar com seu monte maior.
149
MarinêsYolePoloni
O quadro abaixo mostra as atividades realizadas no terceiro escontro:
Quadro 17:Atividades do terceiro encontro
Objetos de Estudo
Recursos
Mudança de unidades: grau x radiano.
Jogos.
O número Pi.
Tecnologia digital: software GeoGebra
Fonte: Acervo pessoal
Ao final do encontro, os Professores responderam à ―Folha Diário de
Bordo‖ do encontro 3 que se encontra no Apêndice 6 deste documento.
FOLHA DIÁRIO DE BORDO – ENCONTRO 3
1) Segundo os PCN, os jogos são um importante recurso para o ensino da Matemática, entretanto
poucos são os professores que fazem uso dessa estratégia no ensino da Trigonometria. Você, neste
encontro, vivenciou dois jogos que podem ser facilmente trabalhados com os alunos em sala de aula.
Como você acha que seus alunos reagiriam, pedagogicamente, frente a eles?
2) Com relação à atividade que constata que o número
é o quociente entre o comprimento da
circunferência e a medida de seu diâmetro, como você imagina que será a aprendizagem de seu
aluno?
3) As diferentes atividades trabalhadas no encontro de hoje podem fazer com que o aluno
contextualize o ensino da Trigonometria?
O objetivo desta folha ―Diário de Bordo‖ foi identificar se o encontro havia
provocado reflexões a respeito das práticas de sala de aula, e se os recursos
utilizados e conceitos abordados estiveram em desacordo com as crenças e
concepções dos Professores. Como pesquisadoras, nosso objetivo com essa
―Folha Diário de Bordo‖ foi avaliar o conhecimento do conteúdo e dos alunos na
concepção de Ball et al (2008), pois procuramos, com essas questões,
perceber qual o conhecimento que cada Professor tinha de seus alunos.
4º encontro
O encontro teve início com o grupo de Professores respondendo a um
questionário cujo objetivo era fornecer às formadoras novoselementos que
subsidiassem a elaboração de atividades envolvendo tópicos de Trigonometria
para as próximas sessões. Além disso, em algumas questões, procuramos
perceber tanto o conhecimento comum (Ball et al, 2008) do conteúdo de
150
MarinêsYolePoloni
Trigonometria desses Professores bem como suas concepções a respeito de
suas práticas de sala de aula.
Esse questionário, denominado questionário 2,também pode ser
encontrado no Apêndice 7 deste documento.
QUESTIONÁRIO ENTREGUE AOS PROFESSORES NO ENCONTRO 4
1) Como você explicaria, em suas aulas, os arcos notáveis (30º, 45º e 60º) e os seus respectivos
valores de seno e cosseno?
2) Como podemos relacionar os valores de seno e do cosseno desses arcos com os valores de 120º,
135º, 330º, 300º e 240º, por exemplo?
3) A situação descrita a seguir é real. Imagine-se nela e tente dar uma resposta melhor que a do
professor em questão, uma vez que este não conseguiu convencer seu aluno:
Aluno:Tá, professor... tem que decorar essa tabela aí, né? (tabela de senos e cossenos de 30°,45°e
60°)
Professor:Tem sim, mas a musiquinha ajuda a decorar, não é?
Aluno:É e também tem o seno de 60° que é igual ao cosseno de 30°. Por que ?
Professor: Porque foi calculado na antiguidade e deu isso.
Aluno:Ah.... Tá, né?
4) O caderno do Professor (2009) destinado ao 2º ano do Ensino Médio trabalha com os ângulos em
graus e apresenta um gráfico de seno de x da seguinte forma:
Como você avalia essa apresentação na qual os valores representados no eixo x estão em graus?
5) Qual sua expectativa em relação às nossas próximas sessões?
Como pesquisadoras, nosso objetivo com esse questionário era, por
meio das perguntas 2 e 4 analisar o conhecimento comum do conteúdo (Ball et
al, 2008) desses Professores e, por meio da pergunta de número 3,avaliar o
conhecimento especializado do conteúdo na concepção de Ball et al (2008). A
questão 1, por sua vez, buscava identificar algumas práticas de sala de aula
dos sujeitos de pesquisa.
Nesse quarto encontro, os Professores fizeram a construção do ciclo
trigonométrico no papel utilizando compasso. Eles também construíram o ciclo
trigonométrico no GeoGebra. O objetivo desta segunda atividade era localizar
os arcos notáveis e seus arcos simétricos, num círculo, reutilizando os
151
MarinêsYolePoloni
conceitos da atividade feita anteriormente, no papel, com o compasso. Tal
atividade buscava identificar o conhecimento pedagógico tecnológico do
conteúdo de Mishra e Koehler (2006).
O quadro abaixo apresenta as atividades desenvolvidas no quarto
encontro:
Quadro 18 : Atividades do quarto encontro
Objetos de estudo
Ciclo Trigonométrico
Recursos
Tecnologia analógica: construções com
lápis, papel, compasso, barbante, cola e
tesoura
Tecnologia digital: software GeoGebra
Fonte: Acervo pessoal
5º encontro
Nesse quinto encontro, os Professores fizeram a construção do ciclo
trigonométrico, no GeoGebra, exibindo o seno e o cosseno nos eixos
cartesianos. Eles também construíram, num outro arquivo, um ciclo
trigonométrico exibindo as simetrias dos arcos.
Essa atividade foi escolhida depois de analisarmos as respostas dadas
pelos Professores ao questionário 2 e verificarmos que a totalidade dos
Professores trabalhavam com seus alunos as fórmulas (180º -α), (α - 180º) e
(360º - α) para fazerem a redução de arcos ao primeiro quadrante.
A foto abaixo ilustra essa análise. Vale lembrar que as respostas dos
outros sujeitos de pesquisa a esta questão do questionário 2 são muito
similares a esta.
Figura 20: Resposta dada pela Professora CP.
152
MarinêsYolePoloni
Fonte: Acervo pessoal
Nosso objetivo, como formadoras, ao aplicar tais atividades foi trabalhar
as definições de seno e cosseno de arcos bem como fazer com que os
Professores tivessem a oportunidade de visualizar que arcos simétricos
apresentam os mesmos valores, em módulo, para o seno, o mesmo
acontecendo para o cosseno,sem que fossem decoradas fórmulas isso.Em
outras palavras, nosso objetivo era que os Professores enxergassem a simetria
de tais arcos no ciclo Trigonométrico e construíssem triângulos congruentes, no
mesmo ciclo, por simetria. Entretanto, como pesquisadoras, nosso objetivo era
ampliar o conhecimento comum do conteúdo (Ball et al, 2008) desses
Professores, bem como, ampliar o conhecimento pedagógico tecnológico do
conteúdo de Mishra e Koehler (2006) uma vez que o recurso utilizado para as
atividades foi o uso de tecnologias digitais: software GeoGebra.
Quadro 19: Atividades do quinto encontro
Objetos de estudo
Seno e Cosseno no ciclo Trigonométrico
Recursos
Tecnologia digital: softwareGeoGebra
Simetrias no ciclo Trigonométrico.
Fonte: Acervo pessoal
A atividade de construção do ciclo Trigonométrico e as simetrias dos
arcos notáveis (30º, 45º e 60º) nos três quadrantes pode ser encontrada no
Apêndice 8 deste documento.
153
MarinêsYolePoloni
Ao final do encontro, os Professores responderam à ―Folha Diário de
FOLHA DIÁRIO DE BORDO – ENCONTRO 5
Observe o ciclo trigonométrico e as simetrias que foram formadas.
Como você poderia provar a congruência dos triângulos para seus alunos?
2) Na sua opinião, qual o impacto dessas demonstração na aprendizagem dos alunos?
3)A visualização, por meio do GeoGebra, do seno e do cosseno de arcos simétricos no ciclo
trigonométrico pode fazer com que o aluno compreenda de forma não decorada que
sen 30° = sen 150°, por exemplo?
Bordo‖ que segue e pode ser encontrada no Apêndice 9 deste documento:
Essa ―Folha Diário de Bordo‖ tinha como objetivo perceber se os
recursos utilizados, neste quinto encontro, poderiam, na opinião dos
Professores, quebrar o paradigma da memorização de fórmulas de redução de
arcos ao primeiro quadrante, por parte do aluno.
Enquanto pesquisadoras, nosso objetivo com a questão de número 1 era
avaliar o conhecimento especializado do conteúdo (Ball et al, 2008) e com as
questões de números 2 e 3, avaliar o conhecimento do conteúdo e dos alunos
(Ball et al, 2008).
6ºencontro
Analisando respostas dadas pelos Professores na ―Folha Diário de
Bordo‖ do 5º encontro decidimos discutir, nessasessão, os conceitos de
congruência e semelhança de triângulos. Segue abaixo uma das respostas da
―Folha Diário de Bordo‖, acima mencionada, que nos levaram tomar tal
decisão:
154
MarinêsYolePoloni
Figura 21: Resposta dada pela Professora CP.
Fonte: Acervo pessoal
Observamos que vários dos sujeitos de pesquisa e outros tantos
Professores participantes usaram o termo semelhança de triângulos no lugar
de congruência de triângulos. Entendemos que a congruência de triângulos é
um caso especial de semelhança de triângulos, quando o coeficiente de
proporcionalidade é 1 unidade, entretanto, pela análise feita das respostas não
nos pareceu que essa distinção estivesse clara para os Professores em relação
aos triângulos construídos, por eles, no ciclo Trigonométrico. Decidimos, então,
nesse 6º encontro, abrir espaço para essa discussão. Assim, iniciamoso
encontro com uma retomada dos conceitos Trigonométricos abordados no
encontro anterior, a fim de forçar uma discussão mais aprofundada a respeito
dos conceitos de semelhança e congruência de triângulos. Essa retomada
também não fazia parte do design inicial da formação.De fato, constatamos que
os Professores necessitavam desse tempo para reelaborarem tais conceitos
que fazem parte do conhecimento comum do conteúdo Ball et al, (2008).
Com o objetivo de dar continuidade às atividades programadas para
esse 6º encontro, propusemos uma situação problema: os professores
deveriam dar uma generalização dos pontos pertencentes ao gráfico da função
y = 2x. Nosso objetivo, como formadoras, com tal proposta erafazer com que
os Professores generalizassem os pontos do gráfico y= sen(x), para isso,
155
MarinêsYolePoloni
decidimos iniciar esse processo de generalização com uma função linear, a
nosso ver, mais simples.
Os sujeitos de pesquisa, diante dessa proposta,seguiram um caminho
correto, porém, em nossa análise,longo, algébrico e mecânico. Discutimos o
caminho por eles seguido e abrimos espaço para as reflexões a respeito dos
pontos da função y = 2x. Tentávamos, nesse momento, abrir espaço para a
ampliação do conhecimento comum do conteúdo (Ball et al, 2008).
Pedimos, na sequência,a generalização dos pontos pertencentes à
função y= sen (x) para que, posteriormente, os Professores construíssem o
gráfico dessa função no GeoGebra. Tal problema gerou discussões a respeito
do conteúdo que ocuparam um bom tempo da sessão. Entretanto, após
generalizarem tais pontos os Professores partiram para a investigação e
generalizaram os pontos das funções y=cosx, y=tgx, y=secx etc. indo além da
nossa
proposta.
A
figura
abaixo,
mostra
os
gráficos
construídos
espontaneamente pelas Professoras RO e CI:
Figura 22: Construção espontânea de gráficos de funções trigonométricas.
Fonte: Acervo pessoal
Na sequência das generalizações, osProfessores construíram o ciclo
trigonométrico e programaram o software para exibir o gráfico da função
senoem um período – para isso, eles precisaram da generalização
anteriormente feita em conjunto.
156
MarinêsYolePoloni
Figura 23: Construção do ciclo trigonométrico com o gráfico da função seno em um período
Fonte: Acervo pessoal
Após terem feito a atividade exibida na figura acima, os Professores
passaram a utilizar as generalizações feitas anteriormente com o intuito de
construírem os gráficos de outras funções trigonométricas indo, novamente,
além da nossa expectativa. A figura abaixo mostra a tela do computador do
Professor RG com as funções y= sen(x) e y= cos(x) aparecendo juntas no
mesmo período de 2 .
Figura 24: Gráficos construídos pelo Professor RG
157
MarinêsYolePoloni
Fonte: Acervo pessoal
As atividades que fizeram uso do GeoGebra neste encontro encontramse nosApêndices 10e 11 deste documento e tiveram como objetivo a
ampliação do conhecimento tecnológico pedagógico do conteúdo de Mishra e
Koehler (2006).
Um resumo das atividades realizadas nesse 6º encontro encontra-se no
quadro abaixo:
Quadro 20: Atividades do sexto encontro
Objetos de estudo
Recursos
Semelhança e congruência de triângulos
nas simetrias do ciclo trigonométrico
Situação problema
Tecnologia digital: softwareGeoGebra
Generalização dos pontos das funções:
y=senx; y=cosx e y=tgx.
.
Fonte: Acervo pessoal
Os Professores, ao final deste encontro, responderam à seguinte ―Folha
Diário de Bordo‖ também encontrada noApêndice 12 deste documento.
158
MarinêsYolePoloni
FOLHA DIÁRIO DE BORDO – ENCONTRO 6
1) No encontro de hoje, você construiu a atividade abaixo:
Analise esta construção tendo por base as possibilidades de aprendizagem dos alunos.
2) Na sua opinião como professor, qual a relação que os alunos fazem entre o sen
seu suplemento
? E entre o
cos
e o cosseno de seu suplemento
?
3) Na sua opinião como professor, qual a relação que os alunos fazem entre o
entre o
cos
eo
e o seno de
sen
eo
sen
cos
Nosso objetivo com a questão 1 dessa ―Folha Diário de Bordo‖
identificar
E
era
o conhecimento do conteúdo e do ensino (Ball et al, 2008) dos
Professores sujeitos de pesquisa. As questões 2 e 3 foram por nós propostas,
com o objetivo de identificar seu conhecimento do conteúdo e dos alunos (Ball
et al, 2008).
159
MarinêsYolePoloni
7º encontro
No encontro anterior, como já foi dito, depois de terem resolvido a
situação problema proposta, os Professores começaram a realizar, por conta
própria, investigações a respeito dos gráficos de outras funções.
Esse fato, que não estava previsto no design inicial, nos fez refletir e
trazer para o grupo o texto Investigar, ensinar e aprenderde João Pedro da
Ponte que se encontra no Apêndice 13 deste documento.
O objetivo de tal atividade, desenhada no período de tempo que
transcorreu entre essas duas sessões, centrava-se em examinar a metodologia
da investigação na sala de aula e discutir as metodologias utilizadas pelos
Professores nas diferentes situações de aprendizagem.
A discussão, cujo tema era a investigação nas aulas de Matemática,
mostrou serem poucos os professores que utilizam esse recurso didático, por
conta de vários problemas citados tais como: salas lotadas de alunos, fato
querestringe o tempo de atenção dada pelo professor ao aluno, suas
investigações e conclusões; falta de conhecimentos básicos como leitura e
interpretação de texto, por parte do aluno, o que o impede de entender,
inclusive, a proposta do trabalho que está sendo requisitado. Essa discussão
foi se tornado cada vez mais abrangente, chagando às políticas públicas
paulistas relativas à Educação e estendeu-se mais que o previsto continuando
durante o intervalo para o café.
Na segunda parte do encontro, utilizamos o GeoGebra numa atividade
investigativa
especialmente
preparada
para
o
estudo
das
funções
trigonométricas associadas a seus gráficos. Nosso objetivo, como formadoras,
foi apresentar uma atividade investigativa no modelo descrito por Ponte e
discutir seu potencial em levar os alunos a tirarem conclusões a respeito do
objeto de estudo.
O tempo para a atividade não foi suficiente e, a pedido dos Professores,
essa atividade foi retomada no encontro seguinte. Desta forma, decidimos
deixar que os Professores respondessem ao diário de bordo deste encontro
também no encontro seguinte.
O quadro abaixo apresenta as atividades realizadas neste 7º encontro:
160
MarinêsYolePoloni
Quadro 21: Atividades do sétimo encontro
Objetos de estudo
A investigação como recurso nas aulas de
Matemática
Funções trigonométricas
Recursos
Leitura do texto de João Pedro da Ponte
Atividade investigativa: construção de
gráficos das funções trigonométricas no
GeoGebra seguindo um roteiro elaborado pela
autora deste trabalho.
Fonte: Acervo próprio
8º encontro
Neste encontro, a pedido dos próprios Professores, houve um tempo
para que os sujeitos de pesquisa retomassem a atividade investigativa
programada para o encontro anterior. Tal atividade contava com um roteiro
para construção de gráficos que se encontra no Apêndice14 deste documento.
Os Professores também responderam à―Folha Diário de Bordo‖ referente à
atividade investigativa referente aos gráficos das funções trigonométricas.
Como já foi mencionado, essa atividade investigativa e esse tempo extra,
pedido pelos professores para discussão das funções trigonométricas e seus
respectivos gráficos, não estavam previstos em nosso design inicial, mas foram
inseridos na formação durante o processo.
O objetivo desta ―Folha Diário de Bordo‖ era provocar uma reflexão
individual a respeito do incentivo às atividades investigativas nas escolas hoje
em dia. Esta ―Folha Diário de Bordo‖ também se encontra no Apêndice
15deste documento.
FOLHA DIÁRIO DE BORDO – ENCONTROS7 e 8
1) Analise a atividade de construção de gráficos feita neste encontro sob a luz do texto de João Pedro
da Ponte.
2)Os alunos, hoje em dia são incentivados a investigar o objeto de estudo?
3) Qual a vantagem da investigação para a aprendizagem dos alunos?
Nosso objetivo com a questão 1 dessa ―Folha Diário de Bordo‖
era
identificar o conhecimento do conteúdo e do currículo(Ball et al, 2008) no que
se refere a estratégias e materiais didáticos disponíveis para o ensino de
funções trigonométricas. No caso da questão número 3, nosso objetivo era
avaliar o conhecimento do conteúdo e dos alunos (Ball et al, 2008), no tocante
161
MarinêsYolePoloni
à aprendizagem com o recurso da investigação que não era prática usual dos
Professores sujeitos de pesquisa.
Após terem respondido à ―Folha Diário de Bordo‖, os Professores
iniciaram a criação de atividades para seus alunos.
9º encontro
Nesse encontro, os professores deveriam apresentar as atividades por
eles elaboradas para seus alunos, entretanto, devido às dificuldades presentes
a cada final de ano letivo, tais atividades apenas foram apresentadas por duas
duplas. Nós, pesquisadoras, elaboramos uma ficha para ajudá-los no
planejamento de tal atividade. Essa ficha continha os pontos principais de um
plano de aula e poderia ser preenchida pelos Professores ao elaborarem a
atividade para seus alunos:
FICHA PARA PLANEJAMENTO DA ATIVIDADE
TEMA:
OBJETIVOS:
DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:
AVALIAÇÃO:
O objetivo deste plano de aula era que os Professores elaborassem
atividades para seus alunos e as trouxessem para reflexões conjuntas.
Para o segundo momento deste encontro, elaborei o jogo de Bingo de
funções trigonométricas. Tal jogo tinha por objetivo, dado o gráfico, estabelecer
relações entre a imagem do gráfico e a função que lhe deu origem. As regras
são as mesmas do Bingo comum75, entretanto o mediador não ―canta‖ a
função, mas ajuda o grupo a fazer a análise do gráfico e ―descobrir‖ qual a
função que o gerou. Vence apenas quem completar a cartela toda.
75
Regras do Bingo: As cartelas são individuais e o mediador ―canta‖ o número sorteado e a letra a ele
correspondente. Cada jogador marca o número sorteado em sua cartela, caso ali haja tal número. Vence
o jogador que completar uma horizontal ou uma vertical e um prêmio maior é dado a quem completar toda
a cartela primeiro.
162
MarinêsYolePoloni
Figura 25:Mediação durante o jogo de Bingo
Figura 26: Cartelas do jogo de Bingo
Fonte: Acervo pessoalFonte: Acervo pessoal
Nosso objetivo, com tal atividade, visava observar, nos Professores, o
conhecimento comum do conteúdo (Ball et al, 2008) quanto ao estudo dos
gráficos das funções y=sen(x) e as famílias que dela derivam, quando variamos
as constantes a, b, c e w na função y=a+bsen(wx+c), em que a, b e c são
números reais quaisquer e w é um número real positivo. Durante a mediação,
os conceitos de amplitude, período, imagem foram retomados. Um resumo das
atividades desse encontro pode ser observado no quadro abaixo:
Quadro 22: Atividades do nono encontro
Objetos de estudo
Funções Trigonométricas e gráficos.
Recursos
Jogo de Bingo
Tecnologia digital: softwareGraphmatica
Fonte: Acervo próprio
10º encontro
Nesse encontro, os Professores apresentaram as atividades por eles
elaboradas para seus alunose, em seguida, responderam ao questionário que
se encontra no Apêndice 16 deste documento e que tinha como objetivo a
avaliação do curso. Como pesquisadoras, nosso objetivo era avaliar a
ampliação do conhecimento profissional dos Professores sujeitos de pesquisa,
por isso, questionamos sua opinião a respeito dos recursos utilizados durante a
formação e sua aplicabilidade, em sala de aula, com alunos adolescentes. As
poucas atividades elaboradas pelos sujeitos de pesquisa foram fonte de
163
MarinêsYolePoloni
reflexões a respeito das práticas e das diferentes realidades das escolas
paulistas.
5.4 Levantamento de categorias
Nossas análises foram feitas tendo em vista os objetivos expostos no
Capítulo I deste documento e aqui recolocados:
Objetivo geral: Analisar um processo de formação continuada cujo foco
foi a exploração e discussão de recursos para a prática de ensino de
Trigonometria no Ensino Médio, de modo a ampliar o conhecimento profissional
docente.
Objetivos específicos:
Analisar as estratégias utilizadas na formação que levaram o
professor a problematizar/recontextualizar o ensino de Trigonometria
no Ensino Médio.
Analisar as estratégias utilizadas pelos professores do Ensino Médio
nas diferentes atividades cujo pano de fundo era tópicos de
Trigonometria.
Analisar
osconhecimentos
mobilizados
pelos
professores
evidenciados nos registros coletados dos participantes (orais, visuais
e escritos) durante a vivência nas atividades da formação.
Dessa forma, nos encaminhamos para responder à questão de
pesquisa, qual seja:
Em
que
aspectos
uma
formação
continuada,
centrada
na
problematização com o uso de recursos para o trabalho docente (história
da matemática, uso de jogos e uso de tecnologias), pode auxiliar
aampliação do conhecimento profissional docente?
No sentido de identificar quais tipos de atividades foram relevantes na
formação para a construção do conhecimento profissional docente, analisamos
características da formação que possibilitaram ampliar as estratégias, o
discurso e as possíveis transformações da prática dos professores envolvidos.
Entendemos que as atividades, os recursos utilizados, a mediação das
formadoras e as reflexões ocorridas durante a experiência formativa
164
MarinêsYolePoloni
aconteceram em diferentes momentos e a respeito de tópicos diversos da
Trigonometria. Assim sendo, estruturamos a análise em categorias de modo a
favorecer o olhar para as diferentes dimensões buscando indícios da ampliação
do conhecimento profissional dos sujeitos.
Nesta pesquisa, foram estabelecidas, a priori, três categorias de análise,
por unidades de contexto, quais sejam: história da matemática, jogos e
tecnologias; entretanto, no decorrer da formação, surgiu uma quarta categoria
relativa às investigações nas aulas de Matemática. Tais categorias foram
analisadas a partir das atividades desenvolvidas nos encontros e dos dados
coletados, tais como: materiais produzidos pelos Professores, ―Folhas Diário de
Bordo‖, falas que aparecem nas imagens das sessões gravadas e entrevistas.
O quadro abaixo resume as categorias de análise e os materiais que deram
suporte às atividades desenvolvidas em cada sessão.
Quadro 23: Categorias de análise
Categorias de análise
Materiais de suporte
História da Matemática
Texto:Um pouco da história da trigonometria
Texto: Um pouco da história do radiano
Jogos
Jogo:Dominó de unidades de medida
Jogo:Pega-monte de unidades de medida
Jogo:Bingo da função seno
Tecnologias
Tecnologias analógicas
Tecnologias digitais
Roteiros para a investigação
Investigações
Nossas análises procuraram, dentro de cada categoria, estabelecer
relações entre as estratégias utilizadas pelos Professores, seus comentários a
respeito do que fariam para a aplicação em sala de aula e suas propostas para
novas atividades dentro da mesma categoria. As categorias organizam a
análise e não são estanques, pois um recurso pode permear outros.
Procuramos, em nosso texto, deixar claro qual o foco de análise em cada
categoria, mesmo que outro recurso esteja presente nas atividades da
categoria em análise.
165
MarinêsYolePoloni
5.4.1 Categoria: História da Matemática
Nessa
categoria,
identificamos,
descrevemos
e
analisamos
as
estratégias utilizadas pelos Professores ao reviverem um momento da história
da matemática seguindo a linha de raciocínio dos matemáticos da época. Para
isso, nossa estratégia de formação foi fornecer, aos Professores, dois textos
voltados à história da matemática para a leitura, discussão além de
elaborarmos atividades que estivessem pautadas na exploração dos mesmos.
O texto ―Um pouco da história da Trigonometria‖, que se encontra no
Apêndice 2 deste documento, trazia de que forma Hiparco (180 – 125 a.C.)
construiu o que, provavelmente, foi a primeira tabela trigonométrica com
valores das cordas de uma série de ângulos de 0º a 180º. A atividade proposta
para os professores foi construir uma pequena tabela de senos de alguns
ângulos usando o método de Hiparco (relação entre a meia corda e a metade
do arco).
A estratégia utilizada, pelos Professores, foi construir um círculo de 10
cm de raio com o compasso e, em seguida, utilizando transferidor e régua,
construir ângulos de 30º, 45º e outros.
Na figura abaixo, podemos notar a estratégia do professor RG ao
construir o ciclo e alguns dos valores de arcos, cordas e respectivos senos.
Figura 27: Construção, com régua e compasso, de uma tabela de cordas
Fonte: Acervo pessoal
166
MarinêsYolePoloni
O Professor RG, ao construir a tabela, mencionou não ser meramente
uma tabela de senos, mas também de cossenos uma vez que o seno e o
cosseno de arcos complementares têm o mesmo valor.
Professor RG: ―Essa tabela não é só se senos.(...). Olha! O 60º é o complemento
de 30º. Se eu sei o seno de 30º sei também o cosseno de 60º. Nosso círculo foi
feito com raio 10 cm... então se o seno de 30º deu 5 cm dividido por 10 dá 0,5
76
77
assim como o cosseno de 60º. Muito legal !‖ (S2)
Por essa fala, percebemos uma reflexão do Professor RG sobre as
possibilidadesde exploração da tabela de arcos. Além disso, constatamos que
o professor RG procurou estabelecer relações entre o conhecimento histórico,
em construção, e o conhecimento do conteúdo específico, Shulman (1986) que
ele tinha do tema em questão. A análise pela teoria de Ball et al (2008) nos
leva a concluir que o Professor RG mobilizou o conhecimento comum do
conteúdo abordado.Além disso, mostrou ter habilidade em manejar as
tecnologias analógicas disponíveis, no que podemos inferir que este Professor
mobilizou também o conhecimento tecnológico do conteúdo de Mishra e
Koehler (2006), pois ele mostrou que sabe utilizar tecnologias face à
necessidade de trabalhar determinado conteúdo, modificando-o e tornando-o
mais estimulante para o estudante.
O recurso utilizado, neste encontro, a história da matemática, entretanto
tecnologias analógicas, que não são o foco de nossa análise, neste
momento,foram necessárias para a realização da atividade.
O Professor RG ainda sugeriu marcar alguns triângulos no ciclo e
observar a relação entre senos e cossenos. A figura expõe um momento da
discussão:
76
Optamos por manter as falas originais dos sujeitos de pesquisa e das formadoras sem correção para a
norma culta.
77
Utilizou-se a sigla S para abreviar e numerar cada sessão do Curso Tópicos de Trigonometria.
167
MarinêsYolePoloni
Figura 28: Triângulos na tabela de cordas
Fonte: Acervo pessoal
Essa figura gerou as seguintes reflexões:
Professor RG: ―A gente pode trabalhar também usando a semelhança de
triângulos‖[referindo-se aos triângulos ABO e CDO]
Formadora 1: ―O raio é o mesmo, mas os triângulos não são semelhantes‖
Professora RO: ―Precisa ter dois ângulos congruentes para que os triângulos
sejam semelhantes‖
Formadora 2: ―Mas vocês perceberam uma coisa interessante. O que todos esses
triângulos têm em comum?‖
Professores: ―Mesma hipotenusa e vale o Teorema de Pitágoras‖ (S2)
Essas falasdenotam que, para alguns Professores, o conceito de
semelhança de triângulos ainda era motivo de incertezas. Apesar das
intervenções da formadora 1 e da Professora RO, não se percebe ampliação
do conhecimento comum do conteúdo, Ball et al (2008), neste tópico da
geometria plana. Segundo Vygotsky (1988), a atuação do outro na Zona de
Desenvolvimento Proximal (ZDP) do sujeito é fundamental para a sua
aprendizagem, entretanto, não entendemos que essa atuação tenha ocorrido
neste momento nem que o conceito de semelhança de triângulos tenha sido
esclarecido. Tal fato se confirmou quando foi necessária, no sexto encontro,
uma retomada dos conceitos de congruência e de semelhança de triângulos a
fim de revisitá-los e lapidá-los.
Apesar de não serem o foco da análise, nesta categoria, as tecnologias
utilizadas para a atividade de construção da tabela de cordas provocaram os
seguintes diálogos:
168
MarinêsYolePoloni
Formadora 1:―Essa atividade [tabela de cordas] encontra-se no Caderno do
Aluno do 9º ano. Vocês já trabalharam com ela?
Professores: ―Não‖. (S2)
Pode-se perceber que, apesar da atividade se encontrar nos Cadernos
do Professor e do Aluno, do 9º ano, os sujeitos de pesquisa não faziam uso
dela, embora o material didático disponível para eles trouxesse uma atividade
na qual o uso da história da matemática estava como proposta para auxílio à
promoção da aprendizagem significativa indo ao encontro da potencialidade 11
de Miguel (1997) qual seja: A História como um instrumento que pode
promover a aprendizagem significativa e compreensiva da Matemática.
A discussão continuou com as seguintes falas:
Professor MC: ―Mas eu me lembro de que quando eu estava na escola, o meu
professor trabalhou essa tabela conosco. Mandou que usássemos a última folha do
caderno‖
Professora RO: ―Eu não imaginava que essa construção com régua e compasso
poderia fazer o aluno pensar em tantos conceitos. O aluno tem que saber o que é
raio, corda... É uma atividade para revisar tudo isso.‖ (S2)
Analisando essas falas, podemos constatar que o Professor MC já
conhecia a construção de cordas, entretanto não utilizava esse recurso para o
ensino. A Professora RO não imaginava que, com essa atividade, ela poderia
ajudar seus alunos a estabelecer relações entre conceitos da geometria plana,
tais como, raio, diâmetro e corda, e conceitos trigonométricos.Quanto ao uso
da história da matemática, constatamos que houve reflexão sobre as
potencialidades do uso da história como fonte de objetivos para o ensino da
matemática que vai ao encontro da potencialidade 3 de Miguel (1997). Além
disso, a fala da Professora RO evidencia indícios de descompactação do
conteúdo para o ensino, ou seja, mobilização do conhecimento especializado
do conteúdo de Ball et al (2008).
A Professora CI entrou na discussão dizendo:
Professora CI: ―E essa construção é boa porque o aluno nunca sabe direito o que
é corda, o que é diâmetro e raio. Essa construção trabalha com todos esses
conceitos e isso pode ajudar o aluno a compreender melhor. (S2)
Analisando essa fala, constatamos uma reflexão a respeito do uso da
história para auxílio à promoção de aprendizagem significativa indo ao encontro
da potencialidade 11 de Miguel (1997) qual seja: A História como um
169
MarinêsYolePoloni
instrumento que pode promover a aprendizagem significativa e compreensiva
da Matemática. Também constatamosque a Professora CI mobilizou o
conhecimento do conteúdo dos alunos (Ball et al, 2008), uma vez que se refere
ao seu grupo de alunos e às dificuldades apresentadas. A sua fala fornece
indícios de mobilização, pela teoria de Shulman (1986), da vertente do
conhecimento pedagógico do conteúdo.
As
formadoras
perceberam,
naquele
momento,
que
alguns
Professoresficaram motivados com as atividades desenvolvidas a ponto de
avaliarem a possibilidade de sua aplicação, em sala de aula, com resultados
positivos quanto a motivação e a construção de conhecimento pelo aluno. Eles
ainda declararam que o aluno pode, com essa atividade, reforçar conceitos da
geometria plana como corda, diâmetro, raio e etc.
Professor RG: ―Eu gostei muito da atividade, nunca tinha feito!‖
Professor MC: ―Eu já tinha feito como aluno. Como professor, nunca fiz.‖
Professor RG: ―[...] O aluno pode fazer e vai aprender muito‖(S2)
Essas falas mostram que,na percepção dos Professores, a atividade
com o uso da história, para além da motivação dos alunos, potencialidade 1 de
Miguel (1997), pode auxiliá-los no aprendizado, o que vai ao encontro da
potencialidade 3 desse mesmo autor:A História como uma fonte de métodos
para o ensino e aprendizagem da Matemática.
A proposta seguinte foi a leitura do texto ―Um pouco de história do
radiano‖, que se encontra no Apêndice 2, e fazer a atividade radiano
encontrada no Apêndice 3 deste documento. Nesta atividade, os Professores
deveriam construir, com compasso, uma circunferência de raio qualquer. Com
a mesma abertura do compasso, eles deveriam dividir e circunferência em
partes congruentes e verificar quantas partes seriam obtidas. Em seguida,
deveriam cortar pedaços de barbante com a mesma medida do raio e colá-los
na
circunferência,
observando
quantos pedaços
de
barbante
seriam
necessários para tal. A figura abaixo mostra a atividade feita pela professora
RO.
170
MarinêsYolePoloni
Figura 29: Arcos de um radiano com compasso e barbante
Fonte: Acervo pessoal
Ao discutirem a respeito dessa atividade, constatamos que os
Professores concretizaramo arco de medida um radiano.
Professor RG: ―A gente corta o barbante e, qualquer que seja o raio, eu colocarei,
na circunferência, seis pedaços e fica um buraco.‖
Professora CL: ―É. Para mim também ficou um buraco.‖
Formadora 1: ―Então quem é o radiano?‖
Professor RG: ―É o pedaço de barbante com a medida do raio na circunferência,
colado na circunferência. É o barbante. Muito legal!‖
Professor RA: ―Dá para pegar o radiano na mão‖
Professor RG: ―O aluno... não tem como não entender... Tá aqui ó! [mostrando o
barbante] é o radiano‖.(S2)
Esse diálogo, somado às observações feitas pelas formadoras durante a
realização da atividade,evidencia a empolgação dos Professores com a
possibilidade de explorar a definição de radiano, utilizando o barbante. Dessa
forma,constatamos que existiu ampliação do conhecimento pedagógico do
conteúdo de Shulman(1986), e a análise, pela teoria de Ball et al (2008) nos
leva a concluir que ocorreu ampliação do conhecimento do conteúdo e do
ensino uma vez que os Professores conheceram um recurso e uma estratégia
novos para definir radiano.
As formadoras, percebendo amotivação dos Professores, instigaram a
discussão para possível aprofundamento:
Formadora 2: ―Então, quanto vale, em graus, um radiano?‖
Professor RG: ―Uns 57º. Porque tem que ser menos que 60º, pois se
colocássemos triângulos equiláteros, teríamos exatamente seis pedaços e o
triângulo equilátero tem os ângulos de 60º. Então tem que ser um pouquinho
menos.‖ (S2)
171
MarinêsYolePoloni
Pela resposta do Professor RG, percebemos que a atividade levou o
grupo a estimar o valor da medida de um radiano em graus.
A partir do raciocínio do Professor RG, as formadoras propuseram a
construção, com régua e compasso, uma circunferência e um hexágono regular
nela inscrito. Os Professores rapidamente deram conta dessa tarefa. Em
seguida, a formadora 1 projetou no telão uma figura como a exposta abaixo
que, além do hexágono regular inscrito na circunferência, evidencia uma
divisão desse hexágono em seis triângulos equiláteros.
Figura 30: Os seis triângulos equiláteros
Fonte: Acervo pessoal
A partir da projeção da figura, foi possível discutir a construção feita
pelos Professores.
Para a sequência da discussão aformadora perguntou:
Formadora 1: ―Quando se abre o compasso com o tamanho do raio, traçamos na
circunferência 6 pontos. Por que com o barbante fica sobrando um pedaço?‖
Professor MC: ―É porque a abertura do compasso é reta.‖
Formadora 1: ―Mas com o barbante, seis pedaços são pouco.‖
Professora RO: ―Mas é porque faz a curvinha.‖
Formadora 1: ―E esse pedacinho que fica sem barbante, quanto vale?
Professor MC: ―É o ‖
Professor RA: ―Não, é o 0,14 em meia volta‖
Professora CP: ―É, em meia volta cabem 3 radianos e sobra um pouquinho que é
o 0,14 do 3,14 que é o . Por isso dizemos que 180º equivale a rad . Puxa! Isso
faz muito sentido agora‖ (S2)
Constatamos, por meio dessas atividades e da mediação, o surgimento
de uma discussão que, se feita em sala de aula com alunos do Ensino Médio,
pode levá-los a concluir que o valor de
equivale a 180º. Essa
potencialidade foi percebida pelos Professores.
As falas do diálogo acima evidenciam que houve ampliação não só do
conhecimento do conteúdo e do ensinode Ball et al (2008), mas também do
172
MarinêsYolePoloni
conhecimento especializado do conteúdo, segundo a teoria da mesma autora,
uma vez que, para alguns Professores, a definição de radiano passou a ter um
novo sentido. Entendemos que a vivência dessas atividades podem ajudar os
Professoresadescompactar o conceito de radiano a fim de ensiná-lo para seus
alunos. Por outro lado, pela teoria de Shulman (1986), pode-se dizer que houve
ampliação do conhecimento pedagógico do conteúdo, pois entendemos ter sido
ressignificado o conceito de radiano pelos Professores sujeitos de pesquisa
(conhecimento específico do conteúdo). Além disso, a atividade fez mudar a
visão dos Professores no que tange à forma de representar esse conceito para
torná-lo compreensível aos outros.
Assim, constatamos que a história da matemática desencadeou
discussões a respeito das unidades de medida grau e radiano provocando,
juntamente com a atividade proposta, a promoção a aprendizagem significativa
convergindo-se àpotencialidade 3 de Miguel (1997) qual seja: A História como
uma fonte de métodos para o ensino e aprendizagem da Matemática.
Analisando a atividade e todas as discussões decorrentes dela,
colocando nosso foco no raciocínio pedagógico do Professor,Shulman (1987),
observa-se que aconteceu a primeira fase do raciocínio pedagógico do
Professor: a compreensão, uma vez que o conceito de radiano tomou, para
eles, um novo sentido. Entendemos que os Professores compreenderam o
conceito que vão ensinar.
Constatamos que a atividade permitiu discutir a pertinência de uso das
unidades de medida de ângulo e arco: grau e radiano, entretanto, em nossa
análise, não foi possível concluir o que significou, historicamente, para os
Professores, a passagem do grau como medida de ângulo para o radiano.
Formadora 2: ―Mas se já temos o grau, por que precisamos do radiano? Só para
confundir o aluno?‖
[Momento de falas em tom bem baixo]
Professora RO: ―Para medir os arcos em centímetros ou em metros.‖
Formadora 1:―E se eu corro ao redor de uma praça circular de raio, sei lá, 12
metros, dando 20 voltas completas e quero saber quantos metros corri?
Professora CI:―Então... é para isso! Não dá para medir em graus!
Professor RG: ―Depende do que quero medir, uso uma determinada unidade.‖(S2)
173
MarinêsYolePoloni
Analisando esse diálogo, constatamos existir uma reflexão sobre as
unidades de medidaque desencadeou a ampliação do conhecimento comum
do conteúdo de Ball et al (2008).
Em relaçãoà aplicabilidade dessa atividade, em sala de aula, os
Professores acharam-na muito prática, além de entenderem-na como uma
atividade propícia a aprendizagem do alunoconforme mostra o diálogo abaixo:
Professora RO: ―Eu achei muito legal essa atividade, muito prática para aplicar
com os alunos.‖
Professora CI: ―Quando a gente fala de grau e radiano com o aluno ele fica
olhando para a gente como se a gente estivesse falando japonês. E a gente quer
que o aluno entenda! Então eu achei que essa atividade faz o aluno entender o
conceito de radiano. Cortar o barbante é fundamental‖ (S2)
Analisando as falas acima, pudemos constatar que a Professora CI é
uma profissional preocupada com a aprendizagem de seu aluno e considerou
que a atividade fará o aluno entender o conceito de radiano, entretanto, quando
os Professores responderam a uma das questões78 da ―Folha Diário de Bordo
1‖que se encontra no Apêndice 4 deste documento, relativa a esse encontro,
apenas o Professor MC demonstrou que utilizaria o recurso aprendido em sua
prática de sala de aula. Os outros seis sujeitos de pesquisa responderam a
essa mesma questão mostrando práticas de sala de aula mais tradicionais.
Figura 31: Resposta do Professor MC à questão da ―Folha Diário de Bordo 1‖
Fonte: Acervo pessoal
78
Essa questão mostrava uma situação real de sala de aula em que o aluno se mostrava confuso em
relação ao valor de .
174
MarinêsYolePoloni
Isso mostra a existência de resistência dos professores em relação à
mudança de práticas e recursos utilizados em sala de aula, ou seja, não basta
conhecer novos recursos para o ensino de algum tópico de Matemática, mas é
necessário que o professor passe por, pelo menos três fases do raciocínio
Pedagógico de Shulman (1987) quais sejam: compreensão, transformação e
instrução, para que a aprendizagem de novos recursos, pelo Professor, chegue
às salas de aula.
A análise da seguinte questão da folha diário de bordo: Qual a
importância de se discutir, durante as aulas, a unidade de medida radiano para
a aprendizagem dos alunos?levou-nos a concluir que a discussão a respeito de
grau e radiano deveria ser retomada para provocar novas reflexões, assim
sendo, decidimos que as conversões seriam abordadas no próximo encontro
com as estratégias dos jogos e do GeoGebra.
A próxima proposta deste encontro continuava a abordar o recurso
história da matemática. Nela, os Professores fizeram a análise da abordagem
do conceito de radiano em alguns livros didáticos adotados no Ensino
Médio.Os trechos dos livros didáticos, analisados pelos Professores,
encontram-se no Apêndice 2 deste documento. A análise do que aconteceu a
partir da atividade com os trechos de livros didáticos, foi locada, neste texto, na
categoria história da matemática, pois foi a partir da história da matemática
(história do radiano) que foi feita, na formação, a relação com a forma pela qual
o livro apresenta esse conteúdo de modo a provocar discussões que pudessem
levar à ampliação do conhecimento profissional, além disso, a proposta era a
de discutir recursos didáticos para o ensino de tópicos de trigonometria.
Da análise feita pelos Professores, selecionamos o diálogo abaixo:
Formadora 1: ―O livro didático também é um recurso que está a nosso alcance. O
que vocês acharam da abordagem feita pelos livros didáticos que vimos hoje?
Professor RG: ―Servem como base para iniciar o conteúdo. Precisa ter um ponto
de partida e esse ponto é o livro.‖
Professora RO: ―Eu gosto quando o livro traz coisas diferentes para a gente fazer,
na aula, com os alunos‖.(S2)
Percebe-se que os professores sentem-se seguros em utilizar o livro
didático, porém também sentem necessidade de ajudar o aluno a construir o
conhecimento com atividades diferenciadas fazendo uso de materiais
manipuláveis. Analisando as ―Folhas Diário de Bordo‖ desse encontro
175
MarinêsYolePoloni
constatamos que cinco dos Professores responderam que os conceitos devem
ser abordados, primeiro, de forma prática e dois deles preferem começar os
assuntos pela teoria. Todos consideraram que o livro é um material de apoio
necessário e que, juntamente com a prática, favorece a aprendizagem. Houve
consenso entre os Professores em dizer que o livro não pode ser descartado,
mas que a vivência de atividades práticas é fundamental para a aprendizagem
dos conceitos. Dessa forma, constatamos que a análise feita pelos Professores
vai ao encontro dos pontos importantes de análise de um livro didático para o
PNLD quais sejam: ―a estratégia de apresentação e sistematização dos
conteúdos; o tipo de participação dos alunos que a obra busca promover; os
recursos didáticos entre outros‖ (PNLD 2012, p.39).
Professora CP: ―Eu acho que se o professor começar pelo livro vai entrar logo na
conversão de grau para radiano e o aluno vai fazer sem saber o que está fazendo.
Já se ele começar com essa atividade do barbante, o aluno, quando estiver
convertendo de uma unidade para outra, saberá o que está fazendo.‖ (S2)
Analisando essa fala, constatamos que a Professora CP mobilizou tanto
o conhecimento do conteúdo e dos alunos quanto o conhecimento do conteúdo
e do ensino ambos de Ball et al (2008), pois ela mostrou ter conhecimento do
grupo de alunos com os quais trabalha além de escolher uma estratégia para a
introdução do tópico, qual seja: ―começar com a atividade do barbante para
que quando o aluno estiver convertendo de uma unidade para outra, saberá o
que está fazendo”
Os outros seis Professores também escreveram em suas ―Folhas Diário
de Bordo‖ uma sequência para trabalhar essa conversão com seus alunos
como foi descrito (cinco dos Professores responderam que os conceitos devem
ser abordados, primeiro, de forma prática e dois deles preferem começar os
assuntos pela teoria), mas apenas o Professor RG justificou sua escolha
mobilizando o conhecimento do conteúdo e dos alunos (Ball et all, 2008), como
fez a Professora CP, apesar de ter opinião contrária à colega como mostra o
excerto abaixo:
Professor RG: ―Eu acho o contrário! Conhecendo o aluno que eu tenho, se ele
souber a teoria, quando fizer a atividade, vai sentir o que está fazendo e vai firmar
o conceito.‖ (S2)
Em resposta a uma questão da ―Folha Diário de Bordo 1‖,encontrada no
Apêndice 4 deste documento, (ver figura abaixo), os Professores qualificam o
176
MarinêsYolePoloni
livro didático como um recurso importante e indispensável ao exercício da
profissão, entretanto entendem que existe a necessidade de atividades com
recursos diferenciados para que a aprendizagem se fortaleça. A figura abaixo
mostra uma das respostas dos Professores:
Figura 32: Resposta do Professor RG a respeito dos livros didáticos
Fonte: Acervo pessoal
O recurso à História da Matemática, em nossa pesquisa, foi pouco
explorado,
pois
encontrarmos
resistência
de
alguns
Professores
participantesneste tipo de atividade que envolvia uma leitura mais cuidadosa de
um texto histórico a fim de poderem compreender o raciocínio matemático que
estava sendo exibido ali.
5.4.2 Categoria: jogos
Nessa categoria, a estratégia para o processo formativo foi a criação de
três jogos: o dominó de arcos e ângulos, opega-monte para unidades de
medida e o bingo do seno. Esses jogos foram aplicados em dois dos
encontros da formação quais sejam: o terceiro e o nono. Os dois
primeirosforam criados especialmente para promover reflexões a respeito das
conversões de radianos para graus e vice-versa, tendo sido aplicados no
terceiro encontro, logo após as férias de julho.
177
MarinêsYolePoloni
A partir dessas atividades, identificamos, descrevemos e analisamos as
estratégias utilizadas pelos Professores, durante a realização dos jogos,além
de suas falas a respeito da aplicabilidade,em sala de aula, e das novas ideias
que surgiram a partir deles.
As fotos a seguir referem-se aos dois jogos citados acima.
Figura 33:Jogo de Dominó de arcos e ângulos
Fonte: Acervo pessoal
Figura 34:Jogo de Pega-monte de unidades de medida
Fonte: Acervo pessoal
A proposta foi de explicitação das regras do jogo as quais, uma vez
compreendidas, permitiram que os Professores jogassem.
A estratégia do Professor RG foi criar uma tabela, para cada jogo,
fazendo os cálculos das conversões que neles apareciam, sempre substituindo
rad por 180º.
Professor RG: ―Vou construir uma tabela com as conversões e,ai vamos jogar
mais rápido.‖ (S3)
Observamos que todos os professores, a exceção da Professora RO,
faziam esses cálculos no papel substituindo por 180º. Para calcularem
, por
exemplo, os Professores multiplicavam primeiro 180º por 5 e depois dividiam o
178
MarinêsYolePoloni
resultado por 3 e, dessa forma, algumas contas ficavam com valores bastante
altos fazendo-os recorrer às contas escritas.
A Professora RO tinha em mente o valor das famílias , , além de
e
fazia mentalmente as conversões.
Observando tais estratégias, decidimos, então, chamar a atenção dos
Professores para as ―famílias‖
por meio delas, ou seja, o
, , e a fim de que os cálculos fossem feitos
seria 5 vezes o
, ou seja 5 vezes o 60º que
poderia ser facilmente feito mentalmente.
Professor RG: ―Nossa, fica bem mais fácil assim. Isso diminui o tempo de jogo e o
raciocínio fica mais rápido‖
Professora RO: ―Vai pelas famílias do 30º, 45º e 60º. É ....bem mais simples‖
Professora CI: ―Então
e
são da família do
79
. Puxa !... (DBF)
Esses comentários somados às observações feitas pelas formadoras,
durante a realização dos jogos, evidenciam que essa linha de pensamento não
fazia parte da rotina profissional da quase totalidade dos sujeitos de pesquisa.
Entendemos, dessa forma, que, nesse momento, a partir das discussões
provocadas pela utilização do recurso aos jogos houve ampliação do
conhecimento específico do conteúdo, no entender de Shulman (1986).
Analisando os mesmos comentários segundo a teoria de Ball et al
(2008),constatamos que houve ampliação do conhecimento comum do
conteúdo uma vez que os Professores vislumbraram uma nova forma de
pensar a transformação das unidades de medida. Antes da mediação das
formadoras, os Professores faziam os cálculos, que apareciam durante o jogo,
um a um, ou seja, a relação entre os arcos de
rade de
rad, por exemplo,
só foi estabelecida após tal mediação. Além das estratégias de cálculo, havia
ainda as estratégias próprias do jogo que apareceram nas falas a seguir.
Formadora 2: ―Em termos de estratégias, o que vocês usaram para ganhar?‖
Professora RO: ―Quem conhece o jogo de dominó, conta as peças e sabe quais
estão faltando... Assim dificulta a jogada do seu oponente‖
79
Utilizou-se a sigla DBF para abreviar Diário de Bordo da Formadora 1. Esse Diário de Bordo da
Formadora 1 era um caderno onde a formadora 1 fazia suas anotações a cada sessãodo Curso Tópicos
de Trigonometria.
179
MarinêsYolePoloni
Professora CP: ―No caso do pega-monte, eu vi que ele aqui tinha o monte maior,
então eu fiquei muito atenta à carta que eu precisava para pegar o monte dele.
Quando veio na minha mão... Nossa ! Que alegria!‖
Professor MC: ―É muito importante que as regras do jogo sejam claras para os
alunos‖ (S3)
Analisando as palavras dos Professores, constatamos que eles
desenvolveram estratégias de jogo e, no caso da Professora CP, ela expressou
emoções que sentiu ao jogar. Esses sentimentos vivenciados por ela podem
também acontecer com os alunos numa situação semelhante. Além disso, os
Professores destacaram a importância do conhecimento das regras para o
sucesso do jogo como atividade de aprendizagem, uma vez que o aluno tem
maiores chances de sentir-se estimulado,pela atividade, quando conhece as
regras, restringindo-se a dificuldade apenas ao conteúdo matemático ali
abordado. A fala do Professor MC, quanto ao conhecimento das regras do
jogo, mostra ser esse um fator que, se não for bem gerenciado pelo professor,
pode tornar-se uma desvantagem na utilização de jogos na sala de aula.
O trecho abaixo, extraído das falas dos Professores MC e RG, reforça
essa ideia.
Professor RA: ―Precisa preparar o aluno primeiro, porque pode ser que ele não
conheça as regras do dominó ou do pega-monte. Não dá para dar o jogo para ele e
esperar que ele saia jogando‖
Professor MC: ―As regras têm que ser fáceis e conhecidas pelos alunos porque,
se não, o aluno passa a ter dois problemas: o conteúdo matemático e as regras do
jogo. Ai dificulta o trabalho.‖ (S3)
Os Professores MC e RA referiram-se aos problemas que podem surgir
quando o aluno não conhece as regras do jogo. Nesse caso, ele enfrentará
duas dificuldades para jogar: o conteúdo matemático e as próprias regras do
jogo. Esse fato pode fazer com que o jogo deixe de ser um recurso e passe a
ser um empecilho para o ensino. O não conhecimento das regras do jogo pode
se tornar uma desvantagem que não foi citada por Grando (2000) em sua tese
de doutorado.
Pelas reflexões acima, pudemos constatar que os Professores sentem a
necessidade de explicar as regras do jogo a seus alunos antes de deixá-los
jogar. Essas reflexões, em nosso entender, mostram que os professores
mobilizaram o conhecimento do conteúdo e do ensino, Ball et al (2008), uma
vez que elaboraram uma sequência para que o jogo seja aplicado: primeiro a
explicação de regras e, depois, o ato de jogar.
180
MarinêsYolePoloni
Ainda nessa categoria, identificamos, nas falas dos participantes, seu
julgamento a respeito da aprendizagem que seus alunos podem vir a ter com a
utilização de jogos.
Professora CP: ―É muito bom, mas realmente o aluno vai ter que fazer os
cálculos, se não, ele não consegue transformar o radiano em graus.‖
Professor MC: ―Ele vai ter que usar a cabeça. O jogo força o raciocínio‖
Formadora 2: ―E vocês, já tinham visto algum jogo para aprendizagem de algum
tópico de Trigonometria?‖
Professores: ―Não‖
Professora RO: ―É como fazer vários exercícios de transformação de unidade, só
que brincando. Eles vão gostar e aprender‖. (S3)
Analisando o diálogo acima, pudemos constatar que os professores
perceberamo quanto o jogo é eficiente em promover o raciocínio do aluno em
relação às transformações de unidades de medida, ou seja, segundo as
vantagens da utilização de jogos na sala de aula, descritas por Grando(2000),
os professores perceberam que o jogo requer a participação ativa do aluno na
construção do seu próprio conhecimento.
Esses comentários somados à questão feita pela Formadora 2, durante
a discussão a respeito da aplicação dos jogos em sala de aula, evidenciam que
a utilização de jogos para o ensino de algum tópico de Trigonometria não era
um recurso conhecido dos Professores sujeitos de pesquisa. Entendemos,
dessa forma, que, ao longo das discussões, houve ampliação do conhecimento
pedagógico do conteúdo e também do conhecimento do currículo Shulman
(1986) uma vez que a atividade envolveu materiais didáticos diferenciados e
não conhecidos pelos Professores. Fazendo essa mesma análise segundo a
teoria de Ball et al (2008), entendemos que houve ampliação do conhecimento
do conteúdo e do ensino pela escolha de estratégias exemplos e recursos bem
como ampliação do conhecimento do conteúdo e do currículo, pois houve
ampliação do conhecimento de estratégias e materiais didáticos para o ensino
deste tópico. Além disso, o comentário da Professora RO mostra que ela
percebeu uma das vantagens descritas por Grando (2000) qual seja: a
utilização dos jogos é um fator de motivação para os alunos.
Seguindo com a discussão, procuramos investigar a avaliação dos
Professores a respeito da aplicabilidade de tal recurso em sala de aula.
181
MarinêsYolePoloni
Formadora 1: ―Vocês acham que os alunos gostariam de trabalhar com esse tipo
de jogo?‖
Professora CP: ―Eu acho que sim, porque os alunos têm muita dificuldade de
fazer essa conversão de grau para radiano e, com o jogo, eles se preocupariam
em fazer as contas para acertar.‖
Professor RG: ―Depois de um tempo de jogo, eles acabam memorizando as
conversões, vai ficando automático‖. (S3)
Analisando estas falas, constatamos que os Professores avaliaram
positivamente a aprendizagem que este recurso pode trazer aos alunos. No
caso, a Professora CP percebeu duas das vantagens da utilização de jogos na
sala de aula descritas por Grando (2000) quais sejam: introdução e
desenvolvimento de conceitos de difícil compreensão e o fato de o jogo
requerer a participação ativa do aluno na construção do seu próprio
conhecimento.
Nesse momento, alguns Professores deram seus depoimentos de como
trabalharam com jogos obtendo sucesso na aprendizagem de seus alunos em
outros tópicos que não são de Trigonometria.
Professora CI: ―Eu já trabalhei com jogo de dominó para números inteiros
positivos e negativos, mas os alunos construíram o jogo que ficou disponível para
todos os professores do colégio que quisessem usar. Os alunos pedem para usar
os jogos e ai... outros professores, de outras áreas, começaram a criar joguinhos
para as suas aulas. E eu, particularmente achei muito legal porque estimula e faz o
aluno aprender.... estimula até a concentração do aluno.‖
Professora CP: ―Uma professora da minha escola trouxe um jogo de matemática e
nós, professores, jogamos primeiro. Como nós gostamos, ela levou o jogo para a
sala e ensinou dois alunos a jogarem com ela. Os outros, vendo a empolgação dos
que estavam jogando com a professora, começaram a se interessar também. Hoje,
ela está terminando um campeonato inter-salas desse jogo, mas deu um trabalhão
para que ela envolvesse os alunos... precisou envolver até os professores.‖ (S3)
Observamos, pelas falas dos Professores, que eles tiveram experiências
positivas em relação ao uso de jogos na aprendizagem escolar. A fala da
Professora CI evidencia que ela percebeu uma vantagem da utilização de jogos
na sala de aula que não foi descrita por Grando (2000): o jogo estimula a
concentração do aluno.
A Professora CP frisou a importância do envolvimento dos alunos e
mostrou o trabalho que uma colega teve para conseguir tal envolvimento. Foi a
vantagem da motivação, Grando (2000),provocada pelo jogo que fez os alunos
se envolverem com a atividade até chegarem à competição inter-salas descrita
pela Professora CP.
182
MarinêsYolePoloni
Essas estratégias são importantes e necessárias, pois, dependendo da
realidade da escola e de cada sala, o professor deve criar meios para que
todos participem de alguma forma da atividade, ou seja, ele necessita de um
novo gerenciamento de sala de aula.
Além disso, os Professores acrescentaram outras estratégias de
trabalho com jogos como mostram as reflexões a seguir:
Professor RG: ‖A gente não pode chegar numa sala e dar o jogo para eles
jogarem. Você tem que escolher uma sala e envolver o pessoal para fazer com que
eles montem o jogo. Ai, eles vão jogar com vontade e vão aprender. Eles
aprendem com a própria montagem do jogo. Você pode também dar uma nota pela
montagem dos jogos.
Formadora 1: ―Mas será que eles vão querer montar os jogos?‖
Professores: ―Valendo nota? [risos...] vão sim‖ (S3)
Analisando essas falas, constatamos que os Professores reforçaram a
ideia de que deve existir um gerenciamento a fim de haver envolvimento dos
alunos nas atividades de jogo, pois o envolvimento é condição necessária à
promoção da aprendizagem. O Professor RG também classifica como
vantajosa a aprendizagem do aluno na montagemdos jogos. Isso nos fez
constatar que o Professor RG estava pensando numa estratégia pedagógica
para a aprendizagem de seus alunos com o uso de jogos qual seja: a
confecção do jogo feita pelo próprio aluno e orientada pelo professor. Assim
constatamos que o Professor RG mobilizou o conhecimento do conteúdo e dos
alunos, Ball et al (2008).
Os Professores, com essas discussões, estavam, por meio de suas
experiências, mobilizando o seu conhecimento pedagógico do conteúdo
Shulman (1986), entretanto, as experiências de colegas que já trabalharam
com jogos estavam sendo trocadas e analisadas por eles como viáveis ou não
quanto à aplicabilidade em sala de aula.
As discussões continuaram com o diálogo abaixo:
Professora CI: ―Quando você manda fazer um trabalho, só 5 ou 6 alunos te
entregam... fora isso, ainda no Ensino Médio eles têm dificuldade em fazer
divisões‖
Professor RG: ―Eu dei um trabalho no bimestre passado e só 6 não entregaram de
todos os segundos anos que eu tenho. Tudo depende da estratégia que você usa
para envolver seus alunos. Se a gente for olhar sempre pelo lado negativo, a gente
não faz nada na vida‖ (S3)
Observamos quea Professora CI analisou que a dificuldade de seus
alunos está, também, na divisão. Esse fato evidencia que, para essa afirmação,
183
MarinêsYolePoloni
a Professora CI mobilizou o conhecimento do conteúdo e dos alunos de Ball et
al (2008), pois esboçou um conhecimento do grupo de alunos com os quais
elatrabalha, suas dificuldades e os erros que costumam cometer e,o porquê
desseserros. Tal conhecimento pode contribuir na busca de melhores
estratégias de ensino.
Nos momentos de reflexão que se seguiram, os Professores sugeriram
outros jogos que poderiam ser elaborados com o mesmo conteúdo matemático.
Formadora 2: ―Essas são apenas duas ideias de jogo. [...] cada um pode elaborar
diferente‖
Professora CL: ―É a mesma ideia de fazer o jogo do MICO... sabe tem que fazer
parzinho e uma carta não tem par. Essa carta é o mico. Quem ficar com ela...
perde!‖
Professora RO: ―Pode fazer também jogo de memória‖ (S3)
Constatamos, por essas novas sugestões, que os Professores não se
posicionaram apenas como participantes de uma atividade diferenciada, mas
assumiram o papel docente na acepção de Lobo da Costa 80, (2004). Esse
recurso, para a aprendizagem de um tópico de Trigonometria, vivenciado pelos
Professores, que não era anteriormente conhecido por eles, como foi
declarado, somado ao conhecimento específico do conteúdo que já
mobilizavam, fez surgirem novas ideias para outros jogos.Dessa forma,
constatamos que houve ampliação no conhecimento de metodologias e
materiais que podem ser utilizados para atingir o objetivo de aprendizagem
(conhecimento pedagógico do conteúdo, Shulman, 1986e do conhecimento do
currículo), mas que, segundo a teoria de Ball et al (2008), houve a ampliação
do conhecimento do conteúdo e do ensino a partir das reflexões e discussões
quanto àescolha de estratégias, exemplos, sequências e materiais associados
ao ensino de um conteúdo. Além disso, pode-se classificar tal ampliação,
segundo Ball et al (2008), como ampliação do conteúdo e do currículo, que,
segundo a autora, envolve também o conhecimento a respeito da variedade de
materiais e atividades que estão à disposição do professor para sua tarefa de
ensinar um determinado objeto matemático. A partir da análise, apoiadas por
Shulman (1987/1988) ou por Ball et al (2008), entendemos que houve
ampliação do conhecimento profissional dos sujeitos envolvidos nessa
80
Para mais detalhes, ver LOBO DA COSTA, N. M. Funções seno e cosseno: uma sequência de ensino a
partir dos contextos do “mundo experimental” e do computador. 1997
184
MarinêsYolePoloni
atividade. Ainda assim, analisandoos resultados obtidos na atividade do
radiano (da sessão 2) somados aos resultados obtidos na atividade dos jogos
(sessão 3) e todas as discussões decorrentes delas, colocando nosso foco no
raciocínio
pedagógico
do
Professor,Shulman
(1987),
observamos
que
aconteceram duas das fases de tal raciocínio pedagógico quais sejam:
compreensão, na atividade do radiano, e transformação, na atividade que
utilizou jogos. Verificamos a compreensão uma vez que o conceito de radiano
foi ressignificado pelos Professores como mostra a análise na categoria história
da matemática, ou seja, tal conceito passou a ter um novo sentido para os
sujeitos de pesquisa. A transformação também foi constatada por nós, uma vez
que os Professores adaptaram a ideia do jogo a novos jogos que podem ser
aplicados com seus alunos. Para Shulman (1987), a essência do raciocínio
pedagógico reside nesse processo de adaptação às ideias aprendidas pelo
professor, a fim de transformá-las para ensinar seus alunos.
Analisando as respostas dadas, pelos Professores, à ―Folha Diário de
Bordo‖ desse encontro,constatamos que eles consideraram que seus alunos
gostariam desses jogos e aprenderiam com eles. Entretanto, vale ressaltar que
a Professora CL expressou a seguinte preocupação:
Figura 35: Folha Diário de Bordo – Professora CL
Fonte: Acervo pessoal
Analisando a resposta dada pela Professora CL, observamos que
existem dificuldades na aplicação dos jogos na realidade de algumas salas de
aula, pois há uma cultura tradicionalista de ensino em que ―dar aula é escrever
na lousa‖ e aprender é ―copiar‖, ou seja, existe uma cultura dos próprios alunos
que demonstram a expectativa de copiar da lousa para aprender. Contudo,
185
MarinêsYolePoloni
deacordo com Piaget (1978), os alunos possuem um papel ativo na construção
de seu conhecimento e, dessa forma, cabe ao professor a tarefa de
proporcionar atividades que os coloquem em atividade. O jogo é uma opção de
atividade para o professor, especialmente se quiser romper o paradigma
tradicionalista das aulas em que o aluno é um sujeito passivo na
aprendizagem. Pelo que a Professora CL escreveu no excerto acima,
constatamos sua apreensão em inserir jogos para alunos para seus alunos do
Ensino Médio noturno e, por suas palavras, pudemos constatar que ela
mobilizou o conhecimento do conteúdo e dos alunos de Ball et al (2008) ao
escrever a respeito das expectativas de seus aprendizes.
Por outro lado, na opinião da Professora RO, seus alunos gostariam de
uma aula com o recurso dos jogos, mas haveria dificuldades, principalmente
quanto aos pré-requisitos, tais como o algoritmo da divisão, conforme mostra o
trecho abaixo:
Figura 36: Folha Diário de Bordo – Professora RO
Fonte: Acervo pessoal
Analisando a resposta da Professora RO, constatamos a mobilização do
conhecimento do conteúdo e dos estudantes, Ball et al (2008), entendendo que
seus alunos gostariam da atividade dos jogos apesar das dificuldades
apresentadas em operações básicas como multiplicação e divisão, ou seja ela
mostrou conhecer as dificuldades as quais seus alunos apresentariam para
desenvolver tais jogos.
Analisando
as
filmagens
desse
encontro,
percebemos
que
os
Professores jogaram de forma entusiasmada e, em nossa análise, eles
186
MarinêsYolePoloni
mostraram ter gostado muito da ideia do uso de jogos para o ensino de algum
tópico de Trigonometria. É o que nos evidencia o trecho abaixo:
Professora CI: ―Será que vocês podem disponibilizar os jogos para nós.‖
Formadora 1: ―Sim, claro. Vocês podem aplicar com seus alunos?‖
Professora RO: ―Esse ano não vai dar porque já passamos desse conteúdo, mas
quem sabe no ano que vem?‖
Professora CL: ―Vamos ter mais jogos em outros encontros?‖ (S3)
Esse entusiasmo nos fez pensar em elaborar um novo jogo para
trabalhar outro tópico de Trigonometria com os Professores. Dessa forma,
elaboramos o bingo da função seno,criado a fim de promover reflexões a
respeito das mudanças que as constantes reais a, b, ce w podem promover
nos gráficos das funções y = a+ b.sen(wx + c). Essa atividade foi aplicada no
penúltimo encontro e pensamos em utilizá-la, pois, como já dissemos, o
encontro que envolveu o recurso aos jogos, em nossa análise, havia sido bem
sucedido em termos de aceitação e de reflexões dos Professores a respeito do
conteúdo, ensino e aprendizagem.
A foto a seguir refere-se à mediação feita durante o jogo de bingo da
função seno.
Figura 37: Mediação durante o jogo de bingo de senos
Fonte: Acervo pessoal
Este
jogo,
apesar
de
conhecidas
as regras,
não
foi
jogado
automaticamente pelos Professores, ao contrário, foram necessárias várias
intervenções das formadoras para que os Professores marcassem, em suas
cartelas, as funções cujos gráficos eram exibidos pelo data show.
187
MarinêsYolePoloni
Professora RO:―Essa é y=sen(x) - 1 !
Professor RA:―Como você viu isso?‖
Formadora 1: ―O que aconteceu com o gráfico em comparação com o gráfico de
y=sen(x) ?‖
Professores: ―Desceu... Desceu 1 unidade‖
Formadora 1: ―Então... o que se pode concluir?‖
Professor RA: ―Esse número que é diminuído é que fez o gráfico descer‖ (S9)
Analisando o trecho acima, entendemos que essa discussão provocou
uma mobilização do conhecimento comum do conteúdo, segundo Ball et al
(2008), dos Professores sujeitos dessa pesquisa. Pela teoria de Shulman
(1986), classificamos essa mesma situação como uma mobilização, por parte
dos Professores, do conhecimento do conteúdo específico.
Ao longo do jogo, conforme o data show mostrava o gráfico de uma
função que deveria ser identificada na cartela do Professor, e cuja expressão
algébrica apresentava variações nas constantes a, b, c e w, as mediações
foram tornando-se mais necessárias para que os Professores estabelecessem
a correspondência entre o gráfico e a expressão.Assim utilizamos também um
flip-chartpara chamar atenção quanto à imagem da função, período e amplitude
de cada gráfico que era exibido.
Figura 38: Mediação no flip-chart
Fonte: acervo pessoal
A mediação por meio do flip-chrat provocou o seguinte diálogo referente
ao gráfico que estava sendo exibido:
188
MarinêsYolePoloni
[o gráfico que estava sendo exibido era o da função y =sen (x) -1 ]
Formadora 2: ―Isso muda também a imagem da função‖
Professor RG: ―Então vai descer uma unidade na imagem também?‖
Formadora 2: ―O intervalo vai de -2 a 0‖ (S9)
Outro gráfico foi exibido no telão gerando a seguinte discussão:
[o gráfico que estava sendo exibido era o da função y =sen (2x) +6 ]
Professor RA: ―Subiu 6, então é mais 6, a imagem vai de 5 a 7‖
Formadora 1: ― Mas não está igual ao gráfico de y=sen(x) ! Olhe aqui no gráfico...
No período de 2 , a curva do seno aparece duas vezes. O que acontece, então
com a função?‖
Professora RO: ―Esse 2 deixou o gráfico mais estreito‖
Formadora 1: ―Então vamos ver qual é o período dessa função?‖
Professora RO: ―É . Ah! Pela formulinha tem que ser sen(2x)‖ (S9)
A análise desse trecho mostra que as formadoras
mediaram
constantemente a discussão durante a realização do jogo. Esse fato é
considerado, por Grando (2000), uma desvantagem na utilização de jogos na
sala de aula,pois o jogo perde sua ludicidade. Entretanto, a mediação das
formadoras provocou ressignificação dos conceitos de imagem da função,
período e, em outro momento da formação, a amplitude recebeu um destaque
especial. Entendemos queessa atividade provocou ampliação do conhecimento
específico do conteúdo (Shulman, 1986), o que, pela teoria de Ball et al (2008),
analisamos como a ampliação do conhecimento comum do conteúdo uma vez
que os Professores revisitaram tais conceitos fazendo conexões com os
gráficos que eram apresentados.
O jogo continuou e um novo gráfico foi apresentado no telão:
Professora RO:―Essa tem amplitude 3.‖[a função, em questão, era y= 3 sen(x)
+1]
Professora CL: ―Não é seis? Porque a imagem vai de -2 a 4?‖
Professora RO: ―Não, está no Caderno! [referindo-se ao material do Estado de
São Paulo].A amplitude vai do início do gráfico até a primeira curvinha. Tenho
certeza!‖ (S9)
Neste trecho, novamente, se verifica a ampliação do conhecimento
comum do conteúdo e foi a primeira vez, durante todo o curso, que os
Cadernos (material do currículo do Estado de São Paulo) foram citados
espontaneamente por uma das Professoras. Ela citou o Caderno para
esclarecer a dúvida a respeito do conceito de amplitude, evidenciando a
mobilização, pela Professora,do conhecimento do currículo de Shulman (1986),
o que, pela teoria de Ball et al, (2008),é a mobilização do conhecimento do
conteúdo e do currículo.
189
MarinêsYolePoloni
Neste jogo, os Professores perceberam e deram valor à mediação feita
pelas Formadoras como evidencia o trecho abaixo:
Professor RA:―O jogo é muito interessante, mas não consegui jogar sem a ajuda
das formadoras.‖
Professora RG: ―É porque esse jogo requer muitos conceitos.‖
Professor RA: ―Então, mas sem a intervenção, nós não estávamos conseguindo...
Só a RO. E para ela era tudo tão normal... Eu aprendi agora com a ajuda das
formadoras. Com todos esses comentários. Nunca tinha visto assim.‖ (S9)
Esse excerto evidencia, novamente, a ampliação do que, segundo Ball
et al (2008), poderíamos classificar de conhecimento comum do conteúdo e o
que Shulman (1986) classifica como conhecimento do conteúdo específico.
Entretanto, desta vez, a mediação das formadoras mostrou-se fundamental
para que houvesse aprendizagem por parte dos Professores, ou seja, apenas o
contato com os objetos que estavam sendo estudados, não fez com que os
Professores conseguissem jogar. Foi necessária a intervenção na ZDP dos
Professores para que a ampliação dos conhecimentos acima citados
acontecesse.
Passando a analisar o jogo de bingo, aplicado durante a formação, pela
ótica do raciocínio pedagógico do Professor, Shulman (1987), contatamos que
todos os sujeitos de pesquisa passaram pela fase da compreensão, pois houve
o entendimento da mudança que as constantes a, b, c e w provocam no gráfico
da função y=a +b.sen(wx +c).
Nesse momento trazemos dois trechos das entrevistas dos Professores
RA e RG que dizem respeito ao uso de jogos. Vale ressaltar que tais
entrevistas aconteceram após um ano de findo o curso e, portanto, os
Professores tiveram tempo e espaço para a aplicação de atividades
relacionadas aos recursos que foram vivenciados durante o curso. O trecho a
seguir é parte da entrevista feita com o Professor RA.
Formadora 1: ‖E quanto aos jogos ? Você tem aplicado em suas aulas?‖
Professor RA: ―Eu usei jogos em outra ocasião e um pouco diferente. Eu acho
que, dependendo do jogo, o aluno tem que ter um pouco de conhecimento do
conteúdo para poder jogar. Eu usei jogos em duplas e eu fiz duplas sendo que um
sabia mais que o outro para poderem se ajudar. E eu acho que precisa ter uma
recompensa, porque o jovem gosta de desafios e se o jogo vale uma caixa de
chocolates para o primeiro lugar eles vão se sentir mais estimulados‖
Formadora 1: ―E como foi? Eles gostaram? Aprenderam?‖
190
MarinêsYolePoloni
Professor RA: ―Sim, creio que sim. Eles gostaram com certeza, quanto ao
81
aprendizado... foi bom... um ajudou o outro como eu queria que fosse.‖(ERA)
O Professor RA declarou que usa jogos em suas aulas para estimular a
cooperação entre os alunos propondo que um deles, o mais experiente, atue
na ZDP do outro. Pudemos constatar que o Professor RA, para além da
motivação, Grando (2000), percebeu que uma das vantagens da utilização de
jogos em sala de aula é favorecimento dasocialização entre os alunos e a
conscientização do trabalho em equipe.
Na entrevista do Professor RG, essa mesma pergunta gerou o seguinte
diálogo:
Formadora 1: ‖E quanto aos jogos ? Você tem aplicado em suas aulas?‖
Professor RG: ―Eu usei jogos, mas não de cartas. Fiz uma coisa mais simples
porque eu não tinha tempo. Então eu fiz um STOP de mudanças de medidas de
graus para radianos.
Formadora 1: ―Como é isso?‖
Professor RG: ―Eles se viram para traz e eu coloco 10 itens em radianos para
transformar em graus. Quando eu dou a ordem, eles se viram e começam a
escrever.... tem que copiar e transformar... Quem acaba primeiro grita STOP e
todos têm que parar. Na outra rodada, eu dou 10 itens em graus e eles têm que
transformar para radianos‖
Formadora 1: ―Deu resultado? Eles gostaram?‖
Professor RG: ―Muito. Eles realmente aprenderam, fixaram direitinho. Eles
gostaram... riam... estavam de bem com a vida... [...] e tinham concentração...
faziam silêncio... buscavam rapidez para ganhar... Ano que vem vou repetir isso.
Foi muito bom!‖ (ERG)82
Constatamos que o Professor RG utilizou um jogo de STOP, na sala de
aula, para transformação de medidas de graus para radianos e vice-versa,
mostrando-se satisfeito com o resultado a ponto de querer repetir a experiência
no ano seguinte. Analisando esse fato, entendemos que o Professor RG
percebeu vantagens (Grando, 2000) no uso desse recurso, além da motivação,
uma delas seria a fixação de conceitos já aprendidos.
Analisando o raciocínio pedagógico, Shulman (1987), dos Professores
RG e RA, pudemos constatar, pela entrevista, que ambos passaram pelas
fases da transformação, instrução, avaliação e reflexão, sendo essas duas
últimas fases feitas durante a entrevista.
Ambos os professoresadaptaram as ideias aprendidas e compreendidas
para ensinarem a seus alunos. Eles elaboraram e prepararam o jogo que foi o
81
82
Utilizamos a sigla ERA para identificar a entrevista feita com o Professor RA.
Utilizamos a sigla ERG para identificar a entrevista feita com o Professor RG.
191
MarinêsYolePoloni
recurso selecionado para ensinarem determinado tópico, ou seja, fase da
transformação, Shulman (1987).
Ambos também passaram pela fase da instrução que resultou numa
estratégia para ensinar um determinado conteúdo, sendo que essa fase
envolveu a gestão da sala de aula que foi diferente para cada um dos dois
Professores.Pela entrevista feita com os eles, pudemos constatar que
enquanto o Professor RA fez duplas para que houvesse colaboração entre os
pares, o Professor RG optou por um jogo individual onde os participantes
viravam-se para traz e depois voltavam-se para frente para transformarem os
10 itens selecionados antecipadamente por ele.
Quanto à fase da avaliação, constatamos, pela entrevista, que os dois
Professores avaliaram positivamente a aprendizagem de seus alunos quando o
recurso por eles utilizado foi o jogo.
Quanto à fase da reflexão, pudemos constatar que o Professor RG
recapturou bem os momentos e sentimentos vividos pelos seus alunos durante
a atividade e mostrou-se disposto a repeti-la no ano seguinte.
5.4.3 Categoria: tecnologias
Durante a formação que subsidia esta pesquisa, foram utilizadas
tecnologias digitais e analógicas. Algumas tecnologias analógicas tais como:
compasso, régua, transferidor, livros didáticos e etc. serviram às atividades
relativas ao uso do recurso à História da Matemática e foram analisadas
naquela categoria, descrita no item 5.4.1.
A seguir analisamos as tecnologias digitais utilizadas no curso ―Tópicos
de Trigonometria‖. Além disso, analisamos aqui as atividades em que foram
utilizadas tecnologias analógicas e que deram subsídio à resolução das
atividades com tecnologias digitais.A nossa estratégia foi elaborar atividades
que fizessem uso de tecnologias digitais, no caso, o computador e o software
GeoGebra, em todos os encontros do curso ―Tópicos de Trigonometria‖. Dessa
forma, as figuras, os diálogos e Folhas Diários de Bordo estão numerados de
acordo com o encontro no qual ocorreram.
192
MarinêsYolePoloni
No terceiro encontro, o recurso mais utilizado foi o jogo, entretanto a
sessão também contou com a exploração da relação existente entre o
comprimento e o raio de uma circunferência em uma atividade no GeoGebra.
Os Professores calcularam o valor de 2
rad a partir da criação de
circunferências de raios diversos. Os Professores construíram, no GeoGebra,
figuras como a que apresentamos a seguir:
Figura 39: Ciclo trigonométrico e a razão do comprimento da circunferência pelo seu raio
Fonte: Acervo pessoal
Durante a construção das diversas circunferências e do cálculo da razão
entre o comprimento e o diâmetro de cada uma delas, surgiu o seguinte
diálogo:
Formadora 2:―O que vocês acharam dessa atividade?‖
Professor RG: ―É muito interessante. O valor é constante... vai dar sempre 2 que
é 6,28 aproximadamente... Muito legal! Não tem como o aluno não ver.‖
Professor MC: ―E isso para qualquer raio. Essa atividade? Só com essa
tecnologia... não dá para fazer na mão.‖
Formadora 1: ―Vocês já fizeram alguma coisa desse tipo em sala de aula?‖
Professor RG: ―Eu nunca fiz nada parecido, a não ser... construir o ciclo com
compasso [...]‖. (S3)
Analisando esse diálogo, constatamos a reflexão dos Professores sobre
as possibilidades da atividade ser realizada com a ajuda do recurso tecnológico
digital. Além disso, o Professor RG declarou nunca ter feito nada parecido em
sala de aula, o que indica que essa atividade foi novidade para ele tendo sido
considerada, por ele, interessante no sentido de levar o aluno a identificar o
valor da razão. Constatamos reflexões a respeito das possibilidades para o
193
MarinêsYolePoloni
ensino, o que pode auxiliar na ampliação do conhecimento do conteúdo e do
ensino, Ball et al (2008).
Ao responder à pergunta 5 do Questionário 2, aplicado no 4º encontro,
que encontra-se no Apêndice 7 deste documento, constatamos ampliação do
conhecimento profissional do Professor RG pelo seu relato e posterior
entrevista:
Figura 40: Resposta do questionário 2 do Professor RG
Fonte: Acervo pessoal
Comparando a fala anterior83 do Professor RG com esta sua resposta,
pudemos constatar que ele considera o recurso tecnológico eficiente tanto para
o processo de ensino quanto para o de aprendizagem. Além disso, o Professor
RG escreve o termo ―ampliação de entendimento‖ que, num primeiro momento,
foi entendido por nós como ampliação do conhecimento comum do conteúdo
de Ball et al (2008). Na entrevista com o Professor RG esse termo foi melhor
explicado por ele.
Formadora 1:―O que o curso mudou na sua prática profissional?‖
Professor RG: ―Todos os cursos acrescentam alguma coisa. [...] O de
Trigonometria me fez rever muitos conceitos...[...] Deu um novo olhar para o
conteúdo que eu fazia automaticamente.‖
Formadora 1: ―O que é esse novo olhar?‖
Professor RG: ―É um novo entendimento... mais profundo do assunto. Isso
melhora as aulas. [...] os alunos percebem essa melhora‖(ERG)
Esse trecho da entrevista do Professor RG, somada à resposta dada por
ele no Questionário 2, nos fez constatar que o próprio Professor se sente mais
preparado quanto ao conhecimento do conteúdo específico (Shulman,
83
―É muito interessante. O valor é constante... vai dar sempre 2
legal! Não tem como o aluno não ver.‖
que é 6,28 aproximadamente... Muito
194
MarinêsYolePoloni
1986)relacionando essa melhoraàs sessões do curso, pois enfatizouter
um“entendimento mais profundo”que melhorou as suas aulas e, além disso,
seus alunos perceberam essa melhora.
No encontro de número 4, o tema abordado foi o ciclo trigonométrico e a
análise de simetrias que podem ser nele observadas.
A
proposta
foi
de
que
os
Professores
construíssem
o
ciclo
trigonométrico, primeiramente, no papel utilizando compasso e régua e, em
seguida, no GeoGebra. Em ambas as construções do ciclo trigonométrico
(papel
e
notáveis
GeoGebra)
os
Professores
deveriam
e suas respectivas famílias.
localizar
os
arcos
As figuras abaixo mostram
alguns dos materiais produzidos pelos sujeitos de pesquisa:
Figura41: Ciclo Trigonométrico – CI
Figura42: Ciclo Trigonométrico – RG
Fonte: Acervo pessoalFonte: Acervo pessoal
As estratégias usadas, pelos sujeitos de pesquisa, para a construção do
ciclo foram explicitadas no seguinte diálogo:
Professor RG: ―Eu vou fazer com compasso, traço as perpendiculares... Adoro
fazer essas coisas.‖
Formadora 1: ―Como você me garante que essas linhas que você traçou são
perpendiculares?‖
Professor RG: ―Vou fazer com compasso a mediatriz.(tempo para traçar a
mediatriz) Viu? E agora vou traçar bissetrizes para conseguir os ângulos de 45º,
90º, 135º e assim por diante até o 360º que coincide com o 0º‖. (S4)
Analisando essas falas, constatamos que o Professor RG mobilizou o
conhecimento específico do conteúdo (Shulman, 1986)além de demonstrar
habilidade em fazer as construções necessárias, pautadas nas propriedades
das figuras geométricas que estavam sendo estudadas, ou seja, constatamos
195
MarinêsYolePoloni
que o Professor RG mobilizou oconhecimento tecnológico do conteúdo de
Mishra e Koehler (2006), uma vez que utilizou as tecnologias analógicas (régua
e compasso) para representar seu conhecimento do conteúdo em geometria
plana. No caso, trata-se do TCK do modelo de Mishra e Koehler (2006).
NoQuestionário 2,
que foi respondido antes dessa atividade, o
Professor RG escreveu que usa tais recursos em suas aulas, como se observa
no excerto abaixo:
Figura 43: Resposta do Professor RG a uma pergunta do questionário 2
Fonte: Acervo pessoal
Pudemos constatar que a estratégia utilizada pelo Professor RG, durante
a atividade, foi a mesma que ele normalmente utiliza em sua prática didática.
Dessa forma, entendemos que ele, durante suas aulas, faz uso de tecnologias
analógicas:régua, compasso, transferidor etc.Em outras palavras, ele utiliza
tecnologias em prol da obtenção de bons resultados na aprendizagem dos
alunos; trata-se da mobilização, pelo Professor, do conhecimento tecnológico
pedagógico do conteúdo (TPACK) de Mishra e Koehler (2006).No entanto, ao
fazer as conversões de graus para radianos, o Professor RG fez conta por
conta, como já havia feito, anteriormente, na atividade de conversão de graus
para radianos em que o recurso utilizado era o jogo.
A professora CP, que estava sentada a seu lado, mostrou-lhe sua
estratégia para obter os arcos:
196
MarinêsYolePoloni
Professor RG: ―Eu não sei nenhum de cabeça ! Vou memorizar o
, para quê?‖
Professora CP: ―Não RG! Olha! Eu dividi o ciclo em oito partes. Aqui é , aqui é
que também é
quando simplifica. Depois vem o
e o
ou
quando
simplifica‖.
Professor RG: ―Ah! Tá. Isso também dá para fazer com os outros arcos seguindo
o mesmo raciocínio. Fica mais rápido!‖
Formadora 1: ―É aquele raciocínio das famílias lembra?‖
Professora CL:― Assim é mais fácil. Que legal!
Professor MC: ―Isso também dá para pensar em graus da mesma forma.‖
[Os professores CL, RG e CP começaram a contar os arcos em radianos.](S4)
A análise desse diálogo, somada à análise das filmagens dessa parte do
encontro,nos fornece indícios de ampliação do conhecimento específico do
conteúdo (Shulman, 1986) para o Professor RG e para a Professora CL, pois
ambos, quando em interação com a Professora CP,explicitaram uma nova linha
de pensamento, ou seja, nesse caso, a aprendizagem aconteceu quando o
sujeito esteve em interação com seus pares; alguém mais experiente atuando
na sua ZDP, com uma ajuda nível 3 (Beatón, 2005),como enfatiza Vygotsky
(1988).Ficou evidente, por essas falas, triangulando com as filmagens e com as
respostas dadas no Questionário 2, que a Professora CP já fazia uso dessa
metodologia em suas aulas como verificamos pela análise
do fragmento
abaixo.
Resposta da ProfessoraCP a uma pergunta do questionário 2
Fonte: Acervo pessoal
197
MarinêsYolePoloni
Ela mesma declarou durante essa sessão:
Professora CP: ―Na aula eu faço assim: Desenho o círculo, aí mando o aluno
dividir em seis partes para dar o
e ensino a contar:
que é o
e assim
por diante. Depois mando dividir em doze partes e começamos tudo de novo.‖ (S4)
Essa declaração somada à resposta dada pela Professora CP, nos fez
constatar que ela, neste tópico, é capaz de ―descompactar‖ o conteúdo, como
ensinam Ballet al (2008), a fim de torná-lo compreensível para outra pessoa,ou
seja, a Professora evidenciou seu conhecimento especializado do conteúdo e o
conhecimento do conteúdo e do ensino (Ballet al, 2008) neste tópico específico
da Trigonometria.
O Professor MC respondeu, a uma pergunta do Questionário 2,usando
predominantemente a unidade de medida grau nas famílias de arcos notáveis.
Figura 45: Resposta dada pelo Professor MC a uma pergunta do questionário 2
Fonte: Acervo pessoal
A análise da figura acima somada à fala anterior do Professor MC“Isso
também dá para pensar em graus da mesma forma”, nos fez constatar que ele
mobilizouo conhecimento comum do conteúdo do modelo de Ball et al(2008),
entretanto,quando propusemos essa mesma atividade no GeoGebra, o
Professor MC descreveu, detalhadamente, as etapas pelas quais conduziria
seu aluno durante a atividade.
Professor MC: ―Eu primeiro pediria que meus alunos construíssem o ciclo
trigonométrico no GeoGebra com raio 1. Nisso eu explicaria os conceitos de raio,
diâmetro, centro da circunferência...Depois eu pediria que eles marcassem o arco
de 90º. Traçando a bissetriz, eles marcariam o arco de 45º..."
198
MarinêsYolePoloni
Professor RG: ―Eles nunca sabem o que é bissetriz... tem que explicar de novo‖
Professor MC: ―Mais um conceito para revisar: bissetriz... mas voltando... com a
abertura do raio eles fariam o arco de 60º e, de novo pela bissetriz eles fariam o de
30º. Depois é só fazer os triângulos e, por simetria, passar para os outros
quadrantes.‖ (S4)
A análise dessa fala somada à resposta dada pelo Professor MC, no
Questionário 2, que foi aplicado antes dessa atividade, nos fez constatar que
o Professor MC também é capaz de ―descompactar‖ o conteúdo para ensinar, o
que caracteriza a mobilização do conhecimento especializado do conteúdo do
modelo de Ball et al (2008) e a explicitação de seu conhecimento do conteúdo
e do ensino do mesmo modelo teórico. Já o Professor RG, nesse diálogo,
mobilizou o conhecimento do conteúdo e dos estudantes quando diz que seus
alunos nunca sabem o conceito de bissetriz.
A Professora CLtambém revelou que é capaz de ―descompactar‖o
conteúdo para ensinar, Ball et al (2008), nesse tópico da Trigonometria, como
evidencia a fala abaixo, na qual explica sua estratégia de construção no
GeoGebra:
Professora CL: ―Eu fiz como na atividade do compasso. Desenhei o círculo
trigonométrico nos eixos e obtive os ângulos de 90º, 180º, 270º e 360º, aí eu tracei
as bissetrizes e consegui os arcos de 45º, 135º, 225º e 315º. Depois eu peguei o
raio e achei todos da família do 60º e aí fiz as bissetrizes desses para achar os
arcos da família de 30º.(S4)
Concluímos que os Professores MC e CL, além do conhecimento acima
citado, também mobilizaram o conhecimento específico do conteúdo da
classificação deShulman (1986) eo conhecimento tecnológico do conteúdo do
modelo deMishra e Koehler, (2006). Esses Professores, ao explicarem suas
estratégias para a atividade, contavam com o apoio de tecnologias, sejam as
analógicas (transferidor, régua e compasso) ou as digitais (GeoGebra).
Na figura abaixo, observa-se a tela da Professora CL com a atividade
desenvolvida no GeoGebra.
199
MarinêsYolePoloni
Figura 46: Tela da Professora CL
Fonte: Acervo pessoal
Vale ressaltar que, embora demonstrassem conhecimento do conteúdo,
a Professora CP e o Professor RA, apresentaram dificuldade para utilizar as
ferramentas do softwareGeoGebra, evidenciando falhas no conhecimento
tecnológico do conteúdo do modelo de Mishra e Koehler (2006). Essa
dificuldade foi paulatinamente superada com o auxílio das formadoras.
Professora CP: ―Eu quero fazer a bissetriz do 90º, onde eu clico?‖
Formadora 1 explica onde CP deveria clicar.
Professor RA:―A bissetriz eu sei fazer, mas como eu faço para dividir a
circunferência com a abertura do raio?‖
Formadora 1 explica a ferramenta compasso
Professor RA: ―Ah! Entendi. É fácil, Né? É como no papel... o mesmo raciocínio.‖
Professora CP: ―Mas fica bem melhor no computador... Olha que linda está
ficando a minha figura!‖ (S4)
200
MarinêsYolePoloni
Figura 47: Tela da Professora CP
Fonte: Acervo pessoal
Analisando o diálogo acima, constatamos que ainda existiamdúvidas e
dificuldades quanto ao conhecimento tecnológico do modelo de Mishra e
Koehler, (2006). Entretanto,vale à pena ressaltar que o grupo dos sete
Professores,nossos sujeitos de pesquisa, manteve-se persistente na execução
de todas as atividades e que a boa interação entre eles ajudou na construção
de conhecimento de cada um, como mostra o diálogo abaixo:
Professora RG: ―Eu gosto muito disso.‖
Professor RA:―Eu tenho mais dificuldade. Nunca sei onde clicar.‖
Professor RG: ―Olha, você tem que fazer como faria no papel. É o mesmo
raciocínio. Só precisa praticar. Pega ali o compasso e clica onde você colocaria a
ponta seca.‖
[tempo para que o Professor RA siga a instrução do Professor RG]
Professora RA: ―Não é difícil... só muda a ferramenta, mas a matemática continua
a mesma.‖ (S4)
O Professor RG é um professor que gosta de tecnologia digital e
mobilizou, durante todas as sessões, com certa tranquilidade, o conhecimento
tecnológico de Mishra e Koehler (2006), além disso, durante todo o curso
mostrou-se sempre pronto a fazer as atividades e refletir sobre elas com seus
colegas além de ajudá-los naquilo que ele, Professor RG, era mais capaz.
Dessa forma, este Professor buscou auxiliar seus pares quando em interação
com eles. Assim, analisando o diálogo acima, evidenciamos que a
aprendizagem do Professor RA, quanto ao uso do GeoGebra, nesta
201
MarinêsYolePoloni
construção,contou com a mediação do Professor RG, num nível de ajuda 3,
(Beatón, 2005), como concebeVygotsky (1988).
Nesse mesmo diálogo, quando o Professor RA diz que “só muda a
ferramenta, mas a matemática continua a mesma”, concluímos que houve a
intersecção entre o conhecimento tecnológico e o conhecimento do conteúdo
do modelo de Mishra e Koehler (2006), pois embora o conteúdo seja o mesmo,
a ferramenta utilizada era diferente, explicitando, dessa forma, a ampliação do
conhecimento tecnológico do conteúdo.
Na atividade seguinte, os Professores deveriamconstruir o ciclo
trigonométrico no GeoGebra mostrando as projeções dos arcos nos eixos
cartesianos. A atividade foi, primeiramente, apresentada pela Formadora 1, no
telão:
Formadora 1: [Mostrando a nova atividade no telão] ―Tem a linha pontilhada
vertical e tem a horizontal o que elas representam?‖
[Momentos de comentários em voz baixa]
Professora RO: ―A linha vertical é a projeção do arco em seno que é o eixo y e a
horizontal é a projeção arco no eixo x‖.
Professor MC: ―A projeção é sempre perpendicular... Vou ter que usar retas
perpendiculares para fazer essa construção.‖
Professor RA: ―Eu sei como fazer na mão... mas aqui...‖
Professora RO: ―Eu também não sei.‖(S5)
Analisando as palavras acima, evidenciamos que tanto o Professor MC
quanto os Professores RA e RO mobilizavam com tranqüilidade o
conhecimento do conteúdo específico Shulman (1986) e o conhecimento
tecnológico (analógico) do conteúdo.A Professora RO, inclusive, foi bastante
clara ao expressar os conceitos de geometria plana que estavam sendo
apresentados no telão, entretanto, o diálogo acima evidencia que os três
Professores apresentavam dificuldades no conhecimento tecnológico com o
uso do GeoGebra.Esse fato nos fez constatar que, apesar dos três Professores
em questão mobilizarem tanto o conhecimento específico do conteúdo de
Shulman (1986),quanto o conhecimento comum do conteúdodo modelo de Ball
et al (2008), necessitavam construir o conhecimento tecnológico do conteúdo
do modelo de Mishra e Koehler (2006).Naquele momento, as formadoraseram
pessoas mais experientes, como dizVygotsky (1998), quanto ao conhecimento
tecnológico do conteúdo e puderam auxiliar os Professores naquilo que
necessitavam para a construção de tal conhecimento.
202
MarinêsYolePoloni
A Professora RO construiu a figura abaixo com a ajuda da Formadora 1,
tal ajuda pode ser classificada como de nível 3 de Beatón (2005):
Figura 48: Ciclo trigonométrico construído pela Professora RO
Fonte: Acervo pessoal
Observa-se que a construção acima requer conhecimento do conteúdo
específico, na acepção de Shulman (1986), pois para tal, foram traçadas retas
perpendiculares, retas paralelas,segmentos e o próprio ciclo trigonométrico que
foi ampliado, na tela, para que houvesse melhor visualização. Nesse momento,
foi possível promover uma discussão a respeito do ciclo trigonométrico e seu
posicionamento nos eixos cartesianos.
Na sequência da atividade, os Professores deveriam construir arcos do
tipo
etc.
No tocante aos valores de seno e cosseno de arcos não localizados no
primeiro quadrante, observamos que as reflexões foram produtivas e que o
GeoGebrafoi importante para tais reflexões, como mostra o diálogo abaixo.
Formadora 1: ―E por que o cos 135º é negativo?‖
Professor RA: ―Não pode ser! Uma distância não pode ser negativa!‖
Formadora 1: ―Mas a gente fala para o aluno que cos135º = -cos45º. ―
Professor RA: ―Mas é porque... está do lado de cá‖. [O professor RA mostrou o
segmento no eixo x que fica à esquerda da origem.](S5)
Constatamos que o Professor RA observou a figura construída no
GeoGebra e sua resposta estava pautada na construção, mais precisamente,
no posicionamento do segmento relativo ao cos 135º nos eixos cartesianos.
203
MarinêsYolePoloni
Observando as figuras construídas pelos Professores, sujeitos de
pesquisa, decidimos perguntar a respeito dos triângulos que ali apareciam.
Figura 49: Figura construída pela Professora CL
Fonte: Acervo pessoal
Formadora 1: ―Qual a propriedade que existe entre esses triângulos?
Professora CL: ―Eles são semelhantes‖.
Formadora 1: ―Semelhantes ou congruentes?‖(S5)
Analisando tais comentários, evidenciamos que os conceitos de
semelhança e de congruência de triângulos voltavam à tona com certo
desconforto e que dúvidas ainda persistiam.
Tais conceitos já haviam sido abordados em sessões anteriores nas
quais o recurso utilizado fora a história da matemática (vide figura 28), e
também,
naqueles
encontros
constatamos
que
existiam
lacunas
na
compreensão desses conceitos pelos Professores. Neste encontro, tal
discussão surgiu novamente e, ao analisarem os triângulos que haviam
construído, os Professores mostraram-se indecisos quanto à congruência dos
mesmos.
O diálogo abaixo mostra essa indecisão:
Formadora 1: ―Como você fez esses triângulos?‖
Professor RG: ―Eu fiz por simetria‖.
Formadora 1: ―Como você pode classificar esses triângulos?‖
Professor RG: ―São semelhantes.‖
Formadora 1: ―Semelhantes ou congruentes?‖
Professor MC: ―Congruentes?‖
Professor RG: ―São semelhantes e congruentes também.‖
Formadora 1: ―Quando a razão de semelhança é 1, os triângulos são congruentes.
É o que acontece nessas figuras, mas como é que você prova? Lembrem-se dos
casos...‖
204
MarinêsYolePoloni
[Os professores RG e MC discutiram e movimentaram bastante a figura]
Professores RG e MC: ―Então vai ser por LAL, ou também LAAo... Nossa quantas
propriedades eu estou enxergando!‖.(S5)
Analisando este diálogo, constatamos que os Professores RG e MC
revisitaram os conceitos de semelhança e de congruência com a ajuda do
GeoGebra e da Formadora 1 que mediou o diálogo (Vygotsky, 1988) num nível
de ajuda 2, Beatón (2005).
Ao final dessa sessão, os Professores responderam à ―Folha Diário de
Bordo 3‖ que se encontra no Apêndice 9 deste documento e a análise das
respostas nelas contidas nos fez constatar que a discussão a respeito dos
conceitos de congruência e semelhançadeveria ser mais uma vez retomada.
A figura abaixo apresenta a resposta dada pela Professora CP a uma
das questões da ―Folha Diário de Bordo 3‖:
Figura 50: Resposta dada pela Professora CP
Fonte: Acervo pessoal
Analisando as respostas dos Professores,pudemos constatar que
apenas a Professora CP provou a congruência utilizando os casos de
congruência de triângulos. Todos os outros sujeitos de pesquisa deram
respostas que se referiam à construção dos triângulos por simetria, sem
demonstrarem a congruência.A figura abaixo mostra uma dessas respostas:
205
MarinêsYolePoloni
Figura 51: Resposta do diário de bordo da Professora CL
Fonte: Acervo pessoal
Analisando esta resposta, evidenciamos que a Professora CL sugere
que se façam todas as medições dos ângulos e dos lados para poder provar a
congruência, ou seja, ela não utilizou os casos de congruência de triângulos
para tal prova.
A análise dessa sessão somada à analise das ―Folhas Diário de Bordo‖
do encontro,nos fizeram constatar que, novamente, a geometria plana, mais
especificamente os conceitos de semelhança e congruência de triângulos,
deveriam ser discutidos pelo grupo, pois entendemos que o conhecimento
comum do conteúdo referente a esses conceitospoderia ser ampliado.
Decidimos, dessa forma, retomar essa discussão,utilizando o recurso da
tecnologia, com todo o grupo de Professores, pois nosso interesse, como
formadoras, era que tais reflexões pudessem fazer com que todos os
Professores revisitassem os conceitos acima citados.
O encontro seguinte teve início com essa discussão que foi instigada
pela Formadora 1 ao retomar a figura construída pelos Professores no encontro
anterior.
Formadora 1:―Pessoal, vamos abrir uma discussão a respeito da figura construída
no encontro passado? O que vocês observam a respeito desses quatro triângulos
que estão ai?
ProfessoraCI: ―São semelhantes‖.
Professor RA: ―São simétricos‖.
Formadora 1:―Certo. Semelhantes. Mas com qual razão de semelhança?‖
Professora CI: ―Não entendi.‖ (S6)
206
MarinêsYolePoloni
Essas falas nos fizeram constatar que ainda havia dúvidas quanto aos
conceitos de semelhança e congruência.
Formadora 1:―Se são semelhantes, existe uma razão de proporcionalidade entre
seus lados. Qual é essa razão?‖
Professor RA: ―É que eles são iguais‖.
Professora RO: ―São congruentes... tem os casos de congruência‖.
Professora CL: ―Congruentes... era a palavra que eu queria lembrar‖
Formadora 1: ―A congruência é uma semelhança ou a semelhança é uma
congruência?
[tempo para discussões em tom baixo]
Professora RO: ―A congruência é uma semelhança de um para um‖.
Professora CP: ―Então tem os casos LLL, LAL...‖
Professor RG: ―São iguais. Foram construídos para serem iguais. Eu usei simetria
para construir, então eles são iguais, mas no outro encontro nós vimos os casos...‖.
(S6)
Esse diálogo evidencia que os Professores percebiam,por meio da
construção feita por eles no GeoGebra,
a ―igualdade‖ dos triângulos. Isso
mostra que a imagem é um elemento muito forte e pode auxiliar o indivíduo a
levantar conjecturas, testá-las e tirar conclusões a respeito do objeto de estudo.
Pelo diálogo acima, constatamos que a Professora RO foi quem primeiro
salientou a necessidade de uso do termo ―congruência‖, entretanto, ao
responder às questões da ―Folha Diário de Bordo‖, do encontro anterior, ela
não havia utilizado tal palavra. Esse fato nos fez constatar que a retomada da
atividade e as novas discussões fizeram com que os Professores revisitassem
os conceitos e relembrassem seus fundamentos.Os Professores RG e CL, em
suas falas, evidenciam que talvez a nomenclatura ―congruência‖ não seja
usada por eles em sala de aula.
Pouco a pouco, os outros Professores foram concluindo que os quatro
triângulos eram congruentes e que os casos de congruência se aplicavam
nessas figuras construídas por simetria. Assim entendemos que as discussões
podem ter levado a uma ampliação do conhecimento comum do conteúdo, Ball
et al (2008).
A formadora, mostrando a figura, no telão, buscou expandir as
reflexões a respeito da construção:
207
MarinêsYolePoloni
Figura 52: Formadora mostrando a figura no telão
Fonte: Acervo pessoal
Formadora1: ―Por que o seno deste arco do primeiro quadrante tem o mesmo
valor que o seno deste arco do segundo quadrante?‖
Professor RG: ―Porque eles têm o mesmo tamanho no rebatimento‖
Professora RO: ―A projeção é a mesma, por isso têm a mesma medida.‖
Formadora 1:―E o sinal? A gente diz que o cos 135º é igual a – cos 45º, por quê?
Professor RG: ―É o mesmo triângulo que está girando‖.
Professor MC: ―Os triângulos estão no círculo trigonométrico e o círculo foi
construído sobre os eixos cartesianos... então... o cos 135º está no lado negativo
do eixo x. Por isso !‖(S6)
Essas falas evidenciam que a construção e a exploração da figura, no
GeoGebra, podem favorecero estabelecimento de conclusões a respeito dos
valores de seno e cosseno dos arcos em questão.
O próximo diálogo também reforça essa constatação.
Formadora 1: ―E, para reduzir ao primeiro quadrante?
, como
é que é? Tem que decorar mesmo?
[Risos]
Professor RG: ―Não. Dá para ver nessa construção. Não tem como não ver. E eu
sempre mandei que eles memorizassem...‖ (S6)
Esse diálogo reforça a ideia de que o uso do recurso tecnológico,
mediado pelo professor, pode facilitar a aprendizagem dos alunos. Além disso,
a filmagem desse episódio somada aos risos, que aconteceram após a fala da
formadora 1, evidencia que os Professores utilizavam tais memorizações em
suas práticas de sala de aula (os Professores RG e CI dizem isso no trecho
acima), mas perceberam que o uso dessa tecnologia pode fazer com que os
alunos compreendam sem a necessidade de memorização.
208
MarinêsYolePoloni
O diálogo abaixo mostra as adaptações,as quais foram pensadas
pelosProfessores, para situações em que o recurso tecnológico não estivesse
disponível.
Professora CI: ―Mas quem não tem esse recurso na escola. Como faz? Tem que
decorar.‖
Professor RG:―Você manda ele fazer um triângulo de papel e manda encaixar no
círculo trigonométrico. Depois você manda ele virar assim [ele mostra com um
papel como girar o triângulo] cai no segundo quadrante.‖
Professora RO: ―Não! Pode girar e ficar torto!‖
Professor RG: ―Ele tem que fixar os eixos como eixos de simetria... depois vira
assim e cai no terceiro quadrante e, por último dá uma viradinha assim e cai no
quarto quadrante. Não tem como não ver‖. (S6)
Pelo diálogo acima, pudemos constatar que o Professor RG adaptou o
raciocínio feito por ele na construção da figura no GeoGebra para ensinar com
uma tecnologia analógica,talvez mais acessível na escola, o que nos remete ao
conhecimento tecnológico pedagógico (TPACK) do conteúdo Mishra e Koehler,
(2006).
A foto abaixo mostra o Professor RG, tomando os eixos cartesianos
como eixos de simetria, girando um pedaço de papel a fim de mostrar uma
adaptação da atividade sem o uso do recurso tecnológico.
Foto 53: Professor RG mostrando como adaptar a atividade
Fonte: Acervo pessoal
Dessa forma, constatamos que houve ampliação tanto do conhecimento
do conteúdo e do ensino das categorias de Ball et al (2008),uma vez que a
ampliação foi referente à escolha de estratégias e recursos associados ao
ensino de um conteúdo, quanto do conhecimento pedagógico do conteúdo na
acepção de Shulman (1986), pois envolve não apenas o conhecimento do
209
MarinêsYolePoloni
objeto, mas o conhecimento de como fazê-lo compreensível ao entendimento
de seus alunos.
Analisando esse mesmo trecho, evidenciamos que, em termos do
raciocínio pedagógico do professor, da teoria de Shulman(1987), a fase 1,
compreensão, aconteceu para todos os Professores sujeitos de pesquisa uma
vez que percebemos sua compreensão crítica do tópico que estava sendo
abordado. No entanto, o Professor RG, em nosso entender chegou à fase da
transformação – fase 2 do raciocínio pedagógico - uma vez que ele adaptou um
material didático em substituição à tecnologia digital a fim de contemplar a
diversidade de situações das escolas públicas de São Paulo, além de explicar
como utilizar a sua ideia em sala de aula.
A próxima atividade do processo formativo foia construção do gráfico da
função f(x)= sen(x)no GeoGebra. Essa atividade envolveu programação no
software, pois optamos por não utilizar a caixa de entrada digitando f(x)=sin(x)
uma vez que nosso objetivo era que houvesse uma discussão a respeito da
associação entre o gráfico da função e sua representação algébrica. Para que
essa construção fosse feita, pelos Professores, era necessário o conhecimento
de que um ponto qualquer do gráfico dessa função é do tipo
. Dessa
forma, nossa estratégia foi iniciar a atividade mostrando-lhes, no flip-chart,o
gráfico de uma função linear. Solicitamos aos Professores a identificação da
função e a expressão geral de um ponto sobre a retaque passava por (2 , 1) e
(4, 2).
A figura abaixo mostra o flip-chart com a estratégia usada pelos
Professores para resolver o problema:
210
MarinêsYolePoloni
Figura 54:Raciocínio dos Professores
Fonte: Acervo pessoal
Observamos que, em relação à expressão algébrica da função, os
Professores partiram da expressão geral de uma função afim.
As falas abaixo evidenciam os comentários relativos às estratégias
utilizadas pelos Professores para a resolução desse problema:
Professora CL:―É uma reta... função do primeiro grau.... y=ax +b‖
Professor MC: ―Então... pegamos dois pontos do gráfico e substituímos: a.2+b=1
e a.4+b=2 e aí você multiplica por -1 a primeira e soma com a segunda.‖
[A Formadora 1 foi escrevendo, no flip-chart, o raciocínio dos Professores.
Depois de alguns minutos...]
Professora RO: ―Agora temos a função
. Os alunos fazem assim―
Professor RG: ―Então temos os pontos (10,5) ; (6,3) e etc.‖
Professora CL: ―Os meus também fazem exatamente assim‖. (S6)
O diálogo acima somado ao raciocínio feito pelos Professores e
mostrado nesta última figura, evidencia o conhecimento comum do conteúdo
dos Professores nesse tópico, entretanto, como formadoras, imaginávamos
que os Professores responderiam de imediato qual era a função cujo gráfico
havia sido esboçado no flip-chart, ou seja, não estávamos esperando um
caminho tão longo. Contudo, como podemos ler, no diálogo acima, as
Professoras RO e CL comentaram que seus alunos teriam esse raciocínio e,
como foi a Professora CL quem deu o startao raciocínio do grupo, pudemos
concluir que, provavelmente, os Professores resolveram o problema proposto
pensando no raciocínio dos alunos; ao menos isso ocorreu com duas das
211
MarinêsYolePoloni
Professoras, sujeitos de pesquisa. Tais falas evidenciam que estas duas
Professoras mobilizaram o conhecimento do conteúdo e dos estudantes, Ball et
al (2008).
A formadora continuou com a problematização:
Formadora 1:―E como seria um ponto genérico dessa função?‖
Professor RG: ―Um ponto genérico?‖
[Comentários em voz baixa]
Formadora 1: ―Eu quero uma representação dos pontos dessa função que seja
escrita com letras‖
[Tempo...]
Professora CL: ―n e ―
Professor RG: ―É... é porque é metade‖ (S6)
Dando continuidade às atividades, a formadora 1 pediu aos Professores
que construíssem o gráfico da função f(x)=sen(x).
A estratégia de cada Professor foi a de tentar generalizar as
coordenadas de um ponto dessa função.
Professor RG: ―Quando o ponto está aqui, x=1 e y=0. Quando está aqui, x=1 e
y=0‖.
Formadora 1: ―Certo, RG, mas você tem que generalizar para que a função seja
traçada, no GeoGebra‖.
Professor MC: ―y é a variável dependente e x é a independente‖.
Professora RO: ―O y tem que ser seno de alguém‖.
Formadora 1: ―Podemos usar
. O GeoGebra entende essa variável
independente.‖
Professor RG: ―Vai ser: G(
.“
Formadora 1: ―Isso.‖ (S6)
Os Professores, a partir dessa constatação, conseguiram construir o
gráfico.
A figura abaixo mostra a função y= sen(x) construída pelos Professores
durante a atividade:
212
MarinêsYolePoloni
Figura 55: Função sen(x) construída pelos Professores
Fonte: Acervo pessoal
A partir do momento em que os Professores conseguiram generalizar as
coordenadas do ponto da função f(x)= sen(x), como sendo do tipo
P(
,foram capazes também de construir os gráficos de outras funções
trigonométricas espontaneamente.
Professor RG: ―Dá para fazer qualquer gráfico... todos que a gente quiser, até, por
exemplo,
. Qualquer função dá certo. ‖(S6)
Figura 56: Gráficos das funções feitos pelo Professor RG
Fonte: Acervo pessoal
Constatamos que o recurso à tecnologia foi bastante relevante durante
este encontro havendo, para os Professores sujeitos de pesquisa, ampliação
do conhecimento tecnológico do conteúdo de Mishra e Koehler (2006), uma
213
MarinêsYolePoloni
vez que a programação do GeoGebra a fim de traçar os gráficos de funções
trigonométricas era evidentemente desconhecida para todos eles.
As reflexões feitas, a respeito das coordenadas dos pontos que
programaram o GeoGebra para traçar o gráfico de f(x)= sen(x),podem ser
apreciadas pelo trecho do diálogo abaixo:
Formadora 1: ―Como é que vocês acham que os alunos vão se sentir ao vivenciar
essa atividade que vocês fizeram agora?‖
Professor RG: ―Acho que a curva do seno eles vão perceber, mas a localização
dos pontos nos eixos, fica difícil‖.
Formadora 2: ―Mas se olhar a curva, aqui o seno é positivo e está crescendo, aqui
é positivo e está decrescendo, já aqui embaixo...‖[a formadora estava
comparando a curva da função com os quadrantes do ciclo trigonométrico]
Professor RG: ―Ai é negativo e as duas partes serão negativas. Ah!‖
Formadora 2:―E você acha que eles percebem isso?‖
Professora RO: ―Eu acho que os alunos percebem sim. Se você mostrar como ela
[a formadora 2]fez, pelos quadrantes, o aluno vai perceber que vai dar o ciclo
todinho. Eu mesma nunca fiz assim.‖
Formadora 2: ―Se a gente movimentar o ponto F na circunferência, vocês acham
ele vai relacionar com a movimentação do outro ponto na curva?‖
Professora CI: ―Vai sim. Eu também enxerguei melhor assim... pelos quadrantes e
fiz a conexão.‖ (S6)
Analisando
as
falas
dos
Professores,
constatamos
que
eles
consideraram a movimentação permitida pelo GeoGebra um fator importante
para auxiliar o aluno a relacionar cada arco do ciclo trigonométrico com o valor
de seu seno, ou seja, pode auxiliar o aluno a visualizar a curva da função
f(x)=sen(x). Além disso, por essas falas, pudemos constatar que os
Professores relacionaram a curva da função y= sen(x) com o ciclo
trigonométrico naquele momento, pela primeira vez. Isso nos fez concluir que a
mediação da Formadora 2 e o GeoGebra levaram à ampliação: (i) do
conhecimento comum do conteúdo de Ball et al (2008) pela associação direta
entre o ciclo trigonométrico e a curva da função y=sen(x) quadrante a
quadrante; (ii) do conhecimento específico do conteúdo de Shulman (1986),
pois constatamos que os professores compreenderam esse tópico por uma
perspectiva diferente e estabeleceram uma relação entre as diferentes
representações; (iii) do conhecimento pedagógico tecnológico do conteúdo de
Mishra e Koehler (2006), pois constatamos a percepção dos Professores
quanto ao uso da tecnologia, neste tópico, a fim de favorecer a aprendizagem
dos alunos apresentando o conteúdo de maneira mais estimulante e ajudandoos a estabelecer relações entre o ciclo trigonométrico e o gráfico da função
214
MarinêsYolePoloni
y=sen(x) quadrante a quadrante e (iv) do conhecimento pedagógico do
conteúdo de Shulman (1986), pois envolve outras opções metodológicas,
outras formas de representar o objeto de estudo a fim de torná-lo
compreensível para o outro.
Por outro lado, fazendo a análise sob a luz do raciocínio pedagógico de
Shulman (1987), pudemos constatar que aconteceu, neste episódio, apenas a
primeira fase: compreensão, pois nela, de acordo com Shulman (1987),
espera-se que o professor compreenda criticamente, de várias formas, o
conteúdoque vai ensinar. Segundo o autor, o professor deve entender como
determinados tópicos se relacionam entre si, e, nesse episódio, os Professores
fizeram a relação da curva da função y= sen(x) com o ciclo trigonométrico.
Na―Folha Diário de Bordo 4‖, que se encontra no Apêndice 12 deste
documento, a Professora CL relata que foram revisitados alguns conceitos da
geometria plana e que esse fato enriqueceu a sessão. Dessa forma, pudemos
constatar que a Professora CL considera a geometria plana como um
importante requisito à construção de conhecimentos trigonométricos para os
alunos. A figura abaixo mostra o comentário feito por ela.
Figura 57: Comentário feito pela Professoras CL a respeito da atividade
Fonte: Acervo pessoal
215
MarinêsYolePoloni
Analisando as palavras da Professora CL, constatamos sua percepção
quanto ao fato de queo conhecimento de geometria é requisito fundamental
para que possam ser construídos conceitos trigonométricos. Ela escreve, na
primeira linha, que iria basear sua resposta na utilização do GeoGebra, ou seja,
todos os conceitos citadospor ela foram revisitados por meio do recurso
tecnológico.Vale a pena ressaltar que a Professora CL nunca havia utilizado
softwarespara o ensino de Trigonometria por não conhecê-los. Ela passou a
conhecer softwareseducacionais após iniciar os cursos oferecidos no projeto
Observatório da Educação, ou seja, comparando o perfil dessa Professora com
sua habilidade em fazer as atividades propostas, com o uso do GeoGebra, até
aquele encontro, podemos inferir que houve ampliação do conhecimento
tecnológico do conteúdo Mishra e Koehler (2006) uma vez que a Professora
escreveu a respeito dos conteúdos de geometria plana que foram revisitados
com a utilização de um recurso tecnológico. Ela também refere-se ao fato de
que, com esse recurso, ―o aprendizado fica mais fácil‖ mostrando ter
compreendido o impacto do uso da tecnologia para o ensino deste tópico em
específico.
Analisando,
na
Universidade,
esse
encontro,
detivemo-nos
nas
investigações feitas pelos Professores e entendemos que a discussão a
respeito da investigação em matemática deveria ser abordada na sessão
seguinte e, para isso, escolhemos o texto de João Pedro da Ponte:Investigar,
ensinar e aprenderque se encontra no Apêndice 13 deste documento. As
reflexões
que
surgiram
dessa
leitura
e
da
atividade
investigativa84
especialmente elaborada para o 7º encontro serão analisadas na quarta
categoria de análise:categoria investigação.
A discussão a respeito do texto de João Pedro da Ponte se estendeu por
quase toda a sessão 7, e inesperadamente, o Professor RA nos trouxe um
dado novo: ele havia utilizado o recurso tecnológico em suas aulas de
Trigonometria, pela primeira vez, naquela semana. Decidimos convidar o
Professor RA para relatar ao grupo sua experiência. Assim, o encontro 7 teve
início com a leitura e discussão do texto de João Pedro da Ponte cuja análise
84
No encontro de número 7, propusemos aos Professores uma atividade de investigação na qual eles
deveriam construir, no GeoGebra, comparar e escrever conclusões a respeito do gráfico de algumas
funções, previamente escolhidas por nós.
216
MarinêsYolePoloni
encontra-se na próxima categoria. Essa discussão, num determinado
momento, levou o Professor RA a dizer o seguinte:
Professor RA: ―Eu penso um pouco diferente. Acho que a gente tem que tentar.
Os diretores normalmente apóiam iniciativas de aulas diferentes. Lá na escola
onde eu trabalho, tem um mural de fotos que fica exposto. Eu até vou aparecer
nele daqui a alguns dias... Depende muito da gente também.‖
Formadora 1: ―Nossa... esse incentivo é importante!‖ Você usou algum recurso
deste curso com seus alunos? Ou usou de outros cursos passados?‖
Professor RA: ―Usei os arquivos do GeoGebra que salvei em pen drive. A aula era
de Trigonometria.‖
Formadora 1: ―E ai? Como foi? Os alunos gostaram?‖
Professor RA: ―Os alunos gostaram muito! Eles até pediram uma segunda aula e
eu os levei lá no auditório, porque só lá é que temos o data show. Eu também
gostei muito e achei que os alunos entenderam mais porque eles viram o seno e o
cosseno no ciclo trigonométrico. O retorno deles foi muito positivo, mas eu tive que
improvisar. Deixei um aluno no computador enquanto eu explicava.‖(S7)
Comparando essa situação com o perfil do Professor RA 85,concluímos
que houve ampliação do conhecimento profissional desse Professor, iniciando
pela ampliação do conhecimento tecnológico do conteúdo, Mishra e Koehler
(2006). Entendemos que o Professor RA além de ter ampliadoo conhecimento
profissional em vários episódios que já foram descritos, aplicou atividades do
curso com seus alunos. Para isso, ele precisou fazer adaptações, uma vez que
na escola em que trabalhava, não havia laboratório de informática.
Analisando todos esses fatos, constatamos que, para o Professor RA,
houve ampliação do conhecimento tecnológico pedagógico do conteúdo de
Mishra e Koehler (2006), pois elepôde utilizar o conhecimento de diferentes
tecnologiasem prol do ensino para obtenção de resultados positivos na
aprendizagem dos seus alunos. Pela teoria de Ball et al (2008), pudemos
constatar que houve mobilizaçãotanto do conhecimento do conteúdo e de
ensino, uma vez que o Professor RA escolheu uma estratégia, uma sequência
didática
e um recurso associados ao ensino de um conteúdo
de
Trigonometria,quanto do conhecimento especializado do conteúdo, uma vez
que, para ensinar a seus alunos o objeto Trigonométrico, ele necessitou
―descompactá-lo‖. Analisando essa situação pela teoria de Shulman (1986),
pudemos constatar que houve mobilização do conhecimento pedagógico do
85
O perfil do professor RA indicava que ele tinha conhecimentos de informática (conhecimento
tecnológico, Mishra e Koehler, 2006) desde a sua graduação, entretanto, nunca havia utilizado softwares
educacionais, apesar de conhecer alguns deles, porque o colégio onde trabalha não dispunha de
laboratório de informática à época desta pesquisa.
217
MarinêsYolePoloni
conteúdo jáque o Professor RA demonstrou segurança no conhecimento
específico do conteúdo a ponto de utilizar um recurso nunca antes utilizado por
ele, adaptando-o para a realidade de sua escola, além de modificar o
gerenciamento da aula.
Analisando tal situação pelo viés do raciocínio pedagógico do Professor,
Shulman(1987), podemos inferir que, pela primeira vez neste processo
formativo, as seis fases descritas pelo autor aconteceram: (i) compreensão: o
Professor RA compreendeu criticamente e, de várias formas diferentes, o
conteúdo que iria ensinar; (ii) transformação: o Professor RA adaptouas ideias
aprendidas e compreendidas por ele para serem ensinadas a seus alunos, pois
ele escolheu as atividades do curso que seriam mostradas aos alunos e
selecionou um recurso para o ensino, qual seja o tecnológico, mais
precisamente o GeoGebra; (iii) instrução: o professor em questão elaborou
uma estratégia para ensinar o conteúdo e organizou a sua turma num local
diferente tendo que mudar a gestão da sala de aula.
As outras fases foram observadas graças ao seguinte diálogo que surgiu
por conta da curiosidade dos outros Professores, sujeitos de pesquisa e da
formadora:
Formadora 1: ―Você fez alguma avaliação para ter um feedback do aprendizado
dos seus alunos durante essa aula?‖
Professor RG: ―Os alunos gostaram?‖
Professor RA: ―Avaliação escrita, não. Nem planejei isso, mas posso dizer que
eles entenderam melhor, pela participação deles durante a aula. Eles realmente
estavam vendo o seno e o cosseno e estavam entendendo. Posso dizer isso
porque sempre dei esse conteúdo na lousa e... foi diferente... Eu sei que eles
gostaram e entenderam o que eu expliquei...‖
Professora RO: ―A gente sabe quando o aluno está entendendo ou não só pelas
carinhas deles‖. (S7)
A análise desse diálogo nos remete à fase (iv) do raciocínio pedagógico
do professor, qual seja: avaliação: o Professor RA, não fez uma avaliação
escrita, entretanto, ele conhecia seus alunos e analisou, durante a aula, suas
falas referentes às explicações dadas e suas expressões faciais concluindo
que a aprendizagem daquele conteúdo foi satisfatória. Pela teoria de Ball et
al(2008), podemos verificar que o Professor RA mobilizou seu conhecimento do
conteúdo e dos alunos e o verbalizou no diálogo acima. Os outros Professores,
que também opinaram, concordaram com o Professor RA dizendo que
218
MarinêsYolePoloni
observar os estudantes durante as aulas é fundamental para perceber se a
aprendizagem está acontecendo ou não e, dessa forma, tomar decisões a
respeito do recurso a ser utilizado para que a aprendizagem aconteça. A fase
da avaliação não engloba somente a aprendizagem do aluno, mas também o
próprio ensino que foi avaliado, pelo Professor RA, como bastante satisfatório.
A quinta fase do raciocínio pedagógico do professor de Shulman (1987),
é a reflexão que,segundo o autor, pode ser feita individualmente ou em grupo.
Neste caso, a reflexão aconteceu durante a nossa sessão e, ao contar para o
grupo como foi a sua experiência, ele pôde refletir e recapturar os eventos
ocorridos durante a sua aula.
A última fase do raciocínio pedagógico do professor não apareceu neste
momento da nossa pesquisa, mas veio de uma fala da entrevista do Professor
RA que foi feita após um ano do término do curso. Trazemos essa parte da
entrevista, nesse momento, para continuar com o encadeamento lógico das
ideias deste trabalho.
Formadora 1: ‖O que te motiva a fazer cursos de formação continuada?
Professor RA: ―O que me motiva, em primeiro lugar, é a realização pessoal.
Quanto mais conhecimento eu tiver, maior a possibilidade de ajudar os meus
alunos a serem pessoas melhores... mais cultas. Se eu não estudar e buscar
aprender mais, como é que eu vou ensinar meus alunos? Os alunos estão
mudando. A juventude é diferente da minha época. Se eu ficar parado no tempo
como vou ajudar o meu aluno a aprender de uma maneira eficaz? E eles precisam
aprender para ter uma vida melhor. O fato de ter estudado mais fez com que
minhas aulas mudassem... É... minhas aulas, hoje, são muito melhores! Eu consigo
fazer com que meus alunos argumentem de forma coerente e aprendam com
significado aquilo que eu estou ensinando. Isso me deixa muito feliz e satisfeito.
(ERA)
A fase do raciocínio pedagógico do professor que Shulman (1987)
elencou por último é a compreensão dos propósitos do ensino, dos conteúdos
a serem ensinados e também dos processos pedagógicos relacionados aos
conteúdos. Na entrevista feita com o Professor RA não apareceram todos
esses itens, entretanto pudemos constatar que esse Professor sempre
entendeu que o propósito do ensino, para ele, é ajudar o jovem a aprender, ser
uma pessoa melhor e mudar sua vida, visto que esse é um dos motivos pelos
quais o Professor RA costuma participar de cursos de formação.
Voltando à sessão em que o Professor RA conta ao grupo como foi a
sua aula, pudemos constatar a sua satisfação com o resultado final, pois, a seu
ver,ele tornou o conteúdo compreensível ao entendimento de seus alunostanto
219
MarinêsYolePoloni
que, segundo ele, seus aprendizes pediram outras aulas com essa metodologia
por terem gostado muito da experiência.
As figuras abaixo mostram o Professor RA utilizando recursos
tecnológicos.
Figura58: Professor RA usando o GeoGebraFigura59: Professor RA usando tecnologias
Fonte: Acervo pessoalFonte: Acervo pessoal
A fala abaixo refere-se a mais um trecho da entrevista com o Professor
RA:
Professor RA: ―Hoje, eu uso o GeoGebra que foi o que eu aprendi lá no curso e o
curso me deu um emprego num momento difícil que eu estava passando...Minha
proposta para o laboratório de informática foi ensinar matemática usando o
GeoGebra. E a diretora aceitou e me contratou. Eu fiquei muito feliz! ―(ERA)
O Professor RA declara que suas aulas têm maior qualidade por conta
dos cursos de formação continuada de que participa. A melhor qualidade de
suas aulas faz com que o Professor RA sinta-se satisfeito e motivado a buscar
mais cursos a fim de aprimorar seu conhecimento profissional. Vale ressaltar
que o Professor RA não tinha o hábito de utilizar softwares de Geometria
Dinâmica em suas aulas e, segundo ele, o curso ―Tópicos de Trigonometria‖
deu-lhe confiança inclusive para assumir um novo emprego com uma nova
proposta.
Esse fato somado ao perfil do Professor RA e a todos os episódios que
envolveram o recurso tecnologias em que o Professor RA teve uma presença
marcante, evidenciam a ampliação do conhecimento tecnológico pedagógico
do conteúdo de Mishra e Koehler (2006), pois, em nossa análise, constatamos
que o Professor RA passou a ensinar Matemática com o uso de tecnologias,
uma vez que sua sala de aula é o laboratório de informática.
220
MarinêsYolePoloni
Formadora 1: ―Você usou a trigonometria nesse seu novo emprego?‖
Professor RA: ―A construção que a gente fez no curso. Aquela que tem o ciclo
trigonométrico com o seno e o cosseno, lembra? Então, o professor do 9º ano me
pediu para mostrar o seno e o cosseno para eles e eu usei essa atividade e foi
muito bom.
Formadora 1: ―E os alunos gostaram?‖
Professor RA:―Sim eles entenderam bem porque viram o ponto se movendo na
circunferência e os valores do seno e do cosseno aparecendo nos eixos. Eles
viram os gráficos e eu ensinei a montar o ciclo.
Formadora 1: ―Eles fizeram a construção?‖
Professor RA: ―Sim. Primeiro eu mostrei o arquivo. Depois eu fui orientando a
turma e eles construíram o ciclo. Marcaram o seno e o cosseno com cores
diferentes como nós fizemos no curso. Eles aprendem mais quando constroem a
figura.‖(ERA)
A confiança demonstrada pelo professor RA foi grande o bastante para
levá-lo a ensinar uma turma de 9° ano a fazer construções no GeoGebra. Essa
situação nos levou a constatar que, para o Professor RA, mais uma vez houve
ampliação do conhecimento pedagógico tecnológico do conteúdo, uma vez que
ele mobilizou conhecimentos matemáticos, tecnológicos e pedagógicos e ainda
mais,mostrouter entendimento das relações entre a tecnologia, a pedagogia e a
matemática na aprendizagem de seus alunos.
A fala abaixo refere-se a mais um trecho da entrevista com o Professor
RA:
Formadora 1: ‖Durante o curso, vocês fizeram uma atividade problematizadora na
qual vocês deveriam construir o gráfico da função f(x)=senx, programando no
GeoGebra e, depois, vocês acabaram criando os gráficos de f(x)=cosx,
f(x)=tgx,f(x)=cotgx e vários outros sem que eu tivesse pedido. Você procura
problematizar algum conteúdo com seus alunos?‖
Professor RA: ―Eu considero que eu tenho dificuldades em Trigonometria e o
curso me ajudou muito, me ajudou a ter uma visão melhor do conteúdo. Muitas
coisas eu sabia, mas a forma como foi dado no curso, me fez ter uma visão
diferente dos conceitos. Isso me ajudou muito.‖ (ERA)
O Professor RA declarou que tem dificuldades quanto ao conteúdo de
Trigonometria e que o curso o ajudou muito. Isso nos fez constatar que o
Professor RA sentiu que o curso ampliou o seu conhecimentoprofissional do
ponto de vista do conhecimento comum do conteúdo de Ball et al (2008). Além
disso, quando o Professor RA diz que ―da forma como foi dado no curso, me
fez ter uma visão diferente dos conceitos‖, constatamos que houve, para ele,
ampliação do conhecimento do conteúdo e do ensino de Ball et al (2008), pois
segundo ele, os recursos utilizados durante as atividades,o fizeram ter uma
visão diferente dos conceitos trigonométricos.
221
MarinêsYolePoloni
5.4.4 Categoria: Investigação em sala de aula
Esta categoria emergiu ao longo da pesquisa e, comodiscutimos na
seção 5.3 (7º encontro), não havia sido prevista no design inicial.
Entretanto,durante a formação, surgiu a demanda por atividades exploratórioinvestigativas86 e decidimos desenhar encontros que a privilegiassem.
A demanda se deu no 6º encontro, quando os Professores construíram o
gráfico da função y= sen(x) e iniciaram, por conta própria, a exploração da
programação necessária para a construção de outras funções trigonométricas
e seus respectivos gráficos no software GeoGebra. Observando essa
autonomia exploratório-investigativa dos Professores, nossa estratégia foi
desenhar encontros que os levassem a discutir as possibilidades das
explorações e investigações em Matemática para a prática docente. Assim
sendo, criamos uma categoria para analisar tanto esse encontro quanto outros
momentos em que surgisse a temática da investigação na aula de Matemática.
Para essa sessão, selecionamos o texto deJoão Pedro da Ponte:
Investigar, ensinar e aprenderque se encontra no Apêndice 13 deste
documento. Vale ressaltar que a leitura e posterior discussão do texto se
estenderam por quase toda a sessão e a atividade investigativa, que utilizava o
software GeoGebra, especialmente preparada para esse encontro, só pode ser
aplicada no encontro seguinte.
As discussões iniciaram-se a partir do exemplo que aparece no texto:
86
Posicionamo-nos quanto às ―atividades exploratório-investigativas‖ como aquelas de cunho investigativo
que são diferentes de outros tipos de atividades como, por exemplo, exercícios de rotina e resolução de
problemas.
222
MarinêsYolePoloni
Figura 60: Excerto do texto:Investigar, ensinar e aprender
Fonte: Ponte,(2003) p.3
A figura acima traz exemplos de tarefas que são classificadas, pelo
autor, em três categorias quais sejam: exercícios, problemas e tarefas de
investigação. A discussão teve início com asdiferenças entre esses tipos de
tarefa.
Professor RG: ―Eu vejo que as tarefas de investigação pouco aparecem nos livros
didáticos de hoje‖.
Professora CP: ―É verdade, quando aparece é uma ou outra, no apêndice do
capítulo e a gente nem dá muita atenção‖.
Professor MC: ―Os livros de antigamente tinham poucas ilustrações e muitos
exercícios e problemas, mas não me lembro de tarefas de investigação‖
Professor RG: ―Hoje os livros têm muitas ilustrações, às vezes até demais, e a
qualidade dos exercícios diminuiu‖. (S7)
Analisando as falas dos Professores, constatamos que eles se
reportaram à prática de uso de livros didáticos em sala de aula e concluíram
que as tarefas de investigação aparecem, nesses livros, com pouca frequência,
ou seja, o professor, ao optar pela investigação em sala de aula, tem que criar
as atividades, pois os livros didáticos, em geral, não as incluem ou o fazem de
forma tímida.Na análise que fizemos do Guia PNLD (2012), não destacamos
uma categoria referente às tarefas investigativas, pois elas também
apareceram com pouca frequência nas obras resenhadas. O próprio Guia
PNLD (2012) aponta essa fragilidade: (i) ―A abordagem é, em geral, adequada,
embora, por vezes, com ênfase em regras e fórmulas, sem atividades de
descobertas e de exploração.” (Guia PNLD, 2012, p.72) ; (ii) ―No entanto, essa
sistematização é feita, quase sempre, sem o estímulo à investigação por parte
do aluno”. (Guia PNLD, 2012, p.68);(iii) ―Como o aluno não é estimulado a
223
MarinêsYolePoloni
exercer um papel mais autônomo naaprendizagem, sugere-se que o docente
proponha atividades de exploraçãoe investigação”. (Guia PNLD, 2012, p.82),
ou seja, o PNLD, ao analisar a metodologia predominante de uma obra, busca
entre outras, atividades de observação, exploração e investigação que
desenvolvem a autonomia do aprendiz.
As reflexões a respeito das tarefas investigativas continuaram com o
Professor RA mostrando uma visão diferenciada a respeito das tarefas de
investigação.
Professor RA: ―Eu tenho uma visão um pouco diferente. O que é um problema
para alguns alunos, pode ser uma tarefa de investigação para outros, porque se
esses alunos, que não sabem resolver o problema, fazem uma pesquisa, seja em
livros antigos ou novos, seja no Google, e conseguem solucionar o problema, eles
terão feito uma investigação e certamente aprenderam além do que o problema
propunha‖. (S7)
Analisando essa fala, constatamos que o Professor RA compreende as
tarefas investigativas como aquelas em que o aluno, com autonomia, busca a
solução para o novo problema que lhe foi proposto, ou seja, para ele, os
caminhos de investigação de cada aluno são diferentes e dependem,
também,dos conhecimentos prévios que o aprendiz tem do assunto,os quais
devem ser valorizados pelo professor.
A discussão continuou com reflexões a respeito das dimensões
básicasde uma tarefa, propostas por Ponte (2003). A figura abaixo ilustra tais
dimensões:
Figura 61: Excerto do texto: Investigar, ensinar e aprender
Fonte: Ponte, (2003) p.4
224
MarinêsYolePoloni
Professora RO: ―A explicação é clara exercícios e problemas são tarefas fechadas
e exploração e investigação são tarefas abertas, o que muda é o grau de
dificuldade‖.
Professor RA: ―Então eu estou certo... O que é exploração para um aluno pode
ser investigação para o outro... depende do que o aluno já sabe ou da dificuldade
que sente em fazer a atividade‖. (S7)
Analisando o diálogo acima, constatamos que os Professores RO e RA
interpretaram a figura à luz do conhecimento pedagógico do conteúdo
(Shulman, 1986), uma vez que esses dois sujeitos de pesquisa discutiram o
que uma de tarefa pode representar, em termos de dificuldade, para cada
aluno individualmente. Isso também caracteriza o conhecimento do conteúdo e
dos estudantes de Ball et al (2008).
A discussão teve continuidade com o seguinte diálogo:
Professora RO: ―As fechadas são as atividades que utilizamos mais em sala de
aula. A gente dá um exercício ou um problema e o aluno resolve. As abertas a
gente tem que criar uma situação em que o aluno chegue a alguma conclusão‖.
Professor MC: ―As tarefas abertas... acho que nunca fiz com meus alunos‖.
Professor RG: ―Elas precisam ser bem preparadas... Também acho que nunca fiz
uma tarefa desse jeito‖. (S7)
Analisando essas falas, constatamos a reflexão dos Professores a
respeito de suas práticas. Eles revelaram que as tarefas fechadas são as mais
usadas em sala de aula enquanto que as abertas estãobem menos
presentesem sua prática didática. O Professor RG reafirma que tais tarefas
necessitam ser preparadas pelo Professor o que vai ao encontro da análise do
Guia PNLD (2012) quanto à tarefas que buscam desenvolver a autonomia dos
estudantes.
Consideramos
que
tais
reflexões
mobilizaram
o
conhecimento
pedagógico dos Professores (Shulman, 1986).
Os Professores RA e MC continuam o diálogo falando a respeito de suas
práticas didáticas:
Professor RA: ―Quando o professor ensina a resolver um problema, normalmente
ele traz o caminho que o aluno vai seguir e o aluno segue esse caminho como se
fosse dele, mas não é. O certo seria dar tempo ao aluno para ele encontrar um
caminho e o professor ir orientando. Aí o caminho seria do aluno... a ideia seria do
aluno. Não iria fugir tão depressa da memória do aluno. E é importante motivar o
aluno, despertar seu interesse... O Professor tem um peso muito grande na
formação do aluno.‖
Professor MC: ―Quanto mais caminhos você puder mostrar para o aluno, mais
fácil é de atingir o entendimento de todos. Então mostrar o raciocínio de outros
alunos abre o campo de visão da turma toda e até do próprio professor.‖ (S7)
225
MarinêsYolePoloni
A análise da fala desses dois Professores nos revelou que eles mesmos
resolvem os problemas os quais propõe aos seus alunos “ensinando
caminhos”, transformando, desta forma, a tarefa de problema em tarefa de
exercício.
A Professora RO entrou na discussão dizendo que o aluno precisa de
espaço para falar:
Professora RO: ―E se o aluno errar, se ele falar... a gente pode ver que tipo de
erro ele está fazendo e dar uma nova explicação... melhorar o nível de
aprendizagem‖.(S7)
Analisando a fala dessa Professora, constatamos que elaconsidera
muito importante o conhecimento dosalunos com os quais trabalha. Para ela é
importante conhecer como seu aluno pensa, qual seu raciocínio e quais os
erros que cometem, além de fazer uma análise de suas falas referentes às
explicações dadas a esses erros, pois o conhecimento sobre o porquê dos
erros dos alunos pode contribuir, por exemplo, na busca de melhores
estratégias para o ensino. Detectamos que a Professora RO mobilizou o
conhecimento que tem do conteúdo e dos alunos (Ball et al, 2008)
A discussão do grupo continuou e voltou-se para o outro exemplo que se
encontrava no texto.
Figura 62: Parte de atividade investigativatexto: Investigar, ensinar e aprender
Fonte: Ponte (2003), p. 5
226
MarinêsYolePoloni
A observação dessa atividade gerou os seguintes comentários:
Professor RA: ―Eu fico um pouco preocupado com essa tarefa, pois talvez o aluno
2
possa ler mal e entender que 2 = 4 e 2.2 =4 é sempre verdade‖.
Professor MC: ―Mas ele vai fazer os outros exemplos e ver que isso não é
verdade sempre.‖
Professora CP: ―Mas se o aluno tiver preguiça de fazer a investigação ele vai
assumir a primeira pergunta como verdade‖.
Professor RA: ―Ai a gente volta à ideia de antes. O professor é fundamental para
motivar os alunos, para fazer a mediação...‖ (S7)
Analisando essas falas, constatamos que os Professores RA e CP têm
preocupação em evitar o erro dos alunos e dessa forma, concluímos que tais
tarefas não fazem parte de sua prática didática. Por outro lado, o próprio
Professor RA comenta a respeito da importância da mediação do professor
durante qualquer atividade,na qual o aluno esteja envolvido, para que ocorra a
aprendizagem.Ao fazer a mediação no momento adequado, o professor atua
na ZDP do aluno ampliando seu conhecimento real. (Vygotsky, 1989). Por
essas falas, entendemos que os Professores RA e CI mobilizaram o
conhecimento do conteúdo e dos alunos (Ball et al, 2008) quando disseram que
os alunos, por má leitura ou por preguiça, podem assumir como verdade que 22
= 4e 2.2 = 4 e, dessa forma, entenderiam que 3 2 = 6; que 42 = 8 e etc. Quando
o Professor MC disse que são necessários outros exemplos para que o aluno
não aprenda esse conceito de forma errada ele referia-se à importância da
escolha dos exemplos e das sequências para a aprendizagem do aluno.
Constatamos que o Professor MC, nesse momento, mobilizou o conhecimento
do conteúdo e do ensino (Ball et al, 2008).
Por outro lado, os sujeitos de pesquisa consideram que o professor não
é o único responsável pela qualidade da educação no país, como mostra o
diálogo abaixo:
Professor RG: ―[...] Com salas numerosas, como se aplicam essas tarefas de
investigação? Nós sabemos que essa metodologia é boa, mas como aplicar com
45 ou 50 alunos? Não dá para cada um falar como pensou.‖
Professora CP: ―As investigações também poderiam ser feitas pelo computador,
mas na minha escola, o laboratório de informática é um problema. Não dá para
usar. Os computadores são poucos e alguns não funcionam. Se a gente não usar
com os alunos, vai acabar esquecendo como mexer no software‖ (S7)
227
MarinêsYolePoloni
Analisando tais palavras, pudemos perceber queos Professores
iniciaram reflexões a respeito da aplicabilidade de tais tarefas em sala de aula
e constatamos que, na sua percepção, existem algumas limitações. Dessa
forma, pudemos concluir a exigência de uma mudança nas práticas dos
Professores, além de uma nova gestão de sala de aula para que esse tipo de
tarefa possa ser aplicado com sucesso.
O Professor RA fez uma nova colocação bastante relevante.
Professor RA: ―O que me chama atenção no texto é essa frase: Quem investiga
está procurando aprender e quem aprende pode ter muito interesse em investigar.
Eu acho que o que falta hoje é essa motivação para investigar. Eu sei que os
professores têm muitas atribuições, muitas aulas [...] e que fica difícil planejar
atividades de investigação [...] A gente tem que tentar, pelo menos, aplicar um
pouco do que aprende aqui. Porque, se o professor cruzar os braços... ai sim! Tudo
está perdido. ‖(S7)
Analisando a fala do Professor RA, constatamos o início de um processo
de reflexão a respeito da reestruturação de suas práticas docentes, pois este
professor entende que, apesar de tudo, deve-se tentar fazer chegar à sala de
aula os conhecimentos adquiridos durante uma formação continuada. E
continua:
Professor RA: ―Olha... o texto diz assim: Na realização destas tarefas na sala de
aula, a discussão final é um dos momentos mais importantes para a
institucionalização das aprendizagens e até, para a exploração de novos caminhos.
Ou seja,cabe a nós! A discussão é com a nossa intervenção‖. (S7)
Analisando essa fala, constatamos que o Professor RA além de estar
ciente da sua responsabilidade como educador, julga importante o seu papel,
na aprendizagem dos jovens alunos.
Na entrevista feita com o Professor RA, após um ano de findo o curso,
pudemos constatar uma mudança da sua fala.Trazemos aqui um trecho da
entrevista do Professor RA para continuarmos com o encadeamento lógico das
ideias deste texto:
Professor RA: ―[...] Da probematização, na sala de aula, eu geralmente não dou a
resposta. Eu procuro usar o que aprendi no curso. São técnicas que eu tenho
aplicado. Eu questiono e procuro orientar o aluno e ajudá-lo a descobrir e me dar a
resposta. Se eles me perguntam, eu pergunto de volta e deixo que eles falem
bastante porque esses momentos são muito ricos para mim e para eles.‖ (ERA)
Somando as falas anteriores do Professor RA, nas quais ele revelou que
ensinava o caminho para o aluno resolver os problemas propostos por ele, com
esta fala da entrevista, pudemos concluir que houve, para este Professor,
228
MarinêsYolePoloni
ampliação do conhecimento do conteúdo e do ensino (Ball et al , 2008), pois
eledisse que procura questionar seus alunos, orientá-los ao invés de dar as
respostas prontas e que tais ―técnicas‖ foram aprendidas durante o curso. Em
outras palavras, o Professor RA estava referindo-se à sua mediação durante as
aulas e à abertura que ele passou a dar para que seus alunos possam discutir
a respeito do objeto de estudo. Constatamos, por suas palavras, a sua busca
por mediar as discussões de forma a atuar na ZDP de seus alunos a fim de
orientá-los a tirarem suas próprias conclusões a respeito do assunto abordado.
Nossa estratégia para explorar atividades investigativas foi, no encontro
8, propor aos Professores uma atividade na qual eles deveriam construir, no
GeoGebra, comparar e escrever conclusões a respeito do gráfico de algumas
funções, previamente escolhidas por mim.Essa atividade de investigação
encontra-se no Apêndice 14 deste documento.
As reflexões e diálogos que surgiram dessa atividade também são
analisadas nesta categoria apesar de utilizarem o recurso tecnológico com o
uso dosoftware GeoGebra.
A atividade propunha a construção de gráficos que estavam separados
por grupos. Para o grupo 1, por exemplo, deveriam ser construídos os gráficos
de y= sen(x), y= sen(x)+1 e y= sen(x)+2 e investigadas suas semelhanças e
diferenças. A figura abaixo mostra a tela do computador do Professor RG com
os três gráficos do grupo 1:
Figura 63: Tela do Professor RG com os três gráficos do grupo 1.
229
MarinêsYolePoloni
Fonte: Acervo pessoal
Vale ressaltar que, para tal construção, os Professores mobilizaram o
conhecimento
tecnológico
do
conteúdo
construído
na
atividade
de
programação além de terem que adaptar esse conhecimento para os diferentes
grupos de gráficos que deveriam ser construídos. A construção utilizada pelos
Professores, nessa atividade, só permite, no caso dessas funções exibidas na
figura acima, o traçado de um período da função, entretanto se a opção fosse
digitar na caixa de entrada do software f(x)=sin(x), seria possível o traçado do
gráfico com domínio real.
Tal construção gerou o seguinte diálogo:
Professor RA: ―É um deslocamento para cima‖.
Professor RG: ―Esse +1 , +2 desloca o gráfico do seno para cima uma unidade‖.
Professor MC: ―Eu nunca tinha feito uma atividade desse jeito. Com essas
funções... dá para ver o deslocamento... quando a gente faz na mão, não dá para
perceber...‖
Professor RA: ―Daria se você fizesse todos no mesmo papel de gráfico... O
importante é o tipo de atividade e não o computador‖.(S8)
Analisando essas falas, podemos concluir que o Professor MC, apesar
de já ter feito esses gráficos ―a mão‖, não os havia feito no mesmo papel eixo
cartesiano a fim de compará-los. A observação do Professor RA mostra que ele
mobilizou o conhecimento do conteúdo e do ensino, Ball et al (2008), pois
mostrou uma estratégia para se fazer a mesma atividade sem o uso do
computador, reforçando ainda que o importante é o tipo de atividade, não a
ferramenta. Nesse momento, percebe-se que o Professor RA passou por duas
fases do raciocínio pedagógico descritas por Shulman (1987) quais sejam: a
compreensão e a transformação. Esta última pode ser percebida pela rápida
adaptação da atividade a uma realidade diferente da que estava sendo
vivenciada pelos Professores.
A figura abaixo, mostra a atividade do Professor RG e a conclusão que
ele tirou a respeito dos gráficos do grupo 1.
230
MarinêsYolePoloni
Figura 64: Grupo 1 da atividade do Professor RG
Fonte: Acervo pessoal
O Professor RG concluiu que os gráficos terão deslocamento vertical
para cima igual ao número que está sendo somado à função y=sen(x).
Os Professores continuaram construindo os gráficos propostos, em cada
grupo da atividade, e tirando as suas conclusões.
No grupo 4, por exemplo, os Professores deveriam construir as
funçõesy= 2sen(x), y= 3sen(x) e y= 4sen(x) e investigar suas semelhanças e
diferenças. A figura abaixo mostra a tela do computador do Professor RA nesta
parte da atividade:
Figura 65:Tela do Professor RA com os três gráficos do grupo 4.
Fonte: Acervo pessoal
231
MarinêsYolePoloni
Observamos que eles continuaram usando o mesmo procedimento para
a construção dos gráficos em todos os grupos da atividade apesar de já termos
comentado a respeito do outro qual seja: digitar, na caixa de entrada do
software f(x)=sin(x).
Professora RO: ―Esse fica mais alto... mexe com a amplitude do gráfico‖.
Professor RA: ―Se é 2sen(x), então vai de -2 a 2. Se é 3sen(x), então vai de -3 a 3
e assim por diante.‖
Formadora 1: ―E quanto seria a amplitude em cada caso?‖
Professora RO:―Seria 2 no primeiro, 3 no segundo e 4 no terceiro‖.
Professor RA: ―Mas eu pensei que fosse 4, 6 e 8 porque de -2 até 2 são 4
unidades‖. (S8)
Analisando esse diálogo, pudemos constatar que, novamente, o conceito
de amplitude gerou dúvidas entre os Professores como mostra, também, a
figura abaixo que traz a atividade do Professor RA.
Análise do Professor RA quanto às funções do grupo 4
Fonte: Acervo pessoal
Essa resposta nos fez constatar que, naquela sessão, os conceitos de
amplitude e de imagem da função se confundiam para o Professor RA.
A Professora RO comentou, novamente, a respeito do conceito de
amplitude presente nos Cadernos do Estado de São Paulo.
Professora RO: ―Não... tá no Caderno [referindo-se aos Cadernos do Estado de
São Paulo] é daqui até aqui!‖. [mostrando, com o dedo o ponto (0,0) até o valor
máximo da função constatando que a amplitude era 2, 3 e 4](S8)
Com a mediação da Professora RO, citando o material curricular do
Estado de São Paulo, pudemos constatar que, nesse encontro,surgiram
232
MarinêsYolePoloni
oportunidades para a ampliação do conhecimento comum do conteúdo, Ball et
al (2008).
Dessa forma, procuramos retomar essa sessão na entrevista ao
Professor RA um ano depois. Trazemos aqui um trecho para continuarmos com
o encadeamento lógico das ideias deste texto:
Formadora 1: ‖Durante o curso, vocês fizeram uma atividade de investigação.
Aquela em que vocês construíram o gráfico de f(x)=senx, depois o de f(x)=sen(x)
+1, f(x)=sen(x)+2 e foram escrevendo as suas observações, lembra? Como você
se sentiu fazendo essa atividade?‖
Professor RA: ―Essa atividade eu, particularmente, gostei muito. A gente ia
fazendo os gráficos e ia vendo que subiu 1, subiu 2 e assim por diante, Discutimos
a questão da amplitude que foi novidade para mim eu aprendi lá no curso com
vocês e com a RO.Então... eu achava que era de cima até embaixo... Depois vi
que não era isso.‖ (ERA)
As palavras do Professor RA, durante a entrevista, somadas ao diálogo
que aconteceu um ano antes e à sua folha da atividade de investigação nos fez
constatar que este Professor, de fato, não conhecia, antes do curso ―Tópicos
de Trigonometria‖, o conceito de amplitude. Vale ressaltar que minha pergunta
não dizia respeito ao conceito de amplitude, mas à vivência da atividade de
exploração e o Professor RA comentou espontaneamente a respeito de tal
conceito.
Concluímos que a atividade de investigação abriu espaço para as
intervenções na ZDP do Professor RA a ponto de levá-lo a ampliar o
conhecimento do comum do conteúdo (Ball et al, 2008) quanto ao conceito de
amplitude de uma função trigonométrica.
Formadora 1: ―E você já tentou levar seu aluno a investigar?‖
Professor RA: ―Veja... Eu aprendi muitas coisas nesse curso... foi muito
gratificante. Quanto aos alunos... eu não criei uma atividade em que eles
trabalhassem a investigação, mas consigo que eles olhem as figuras, comparem e
argumentem coerentemente. E eu penso que levá-los a observar e argumentar
coerentemente é também uma forma de investigação. Eu uso constantemente as
técnicas aprendidas nos cursos que fiz lá com vocês só que a gente vai adaptando
à nossa realidade. Eu aprendi muito em todos os sentidos‖
Por esse diálogo, pudemos constatar que, o Professor RA, apesar de
não ter criado uma atividade de investigação para seus alunos, explicou que
procura levá-los a observar e argumentar com coerência a respeito do objeto
de estudo o que evidencia uma provável reestruturação da prática
especialmente se compararmos com as falas desse professor (no encontro 7)
233
MarinêsYolePoloni
nas quais ele revelava que resolvia os problemas para seus alunos e “ensinava
os caminhos".
Analisando as respostas da ―Folha Diário de Bordo‖ dos Professores,
sujeitos de pesquisa, que se encontra noApêndice 15 deste documento,
destacamos que, quando perguntado a respeito das vantagens da investigação
para a aprendizagem dos alunos, o Professor RA respondeu:
Figura 67: Resposta do Professor RA
Fonte: Acervo pessoal
Analisando a resposta acima pudemos constatar o discurso do Professor
RA o qualqualifica o ensino por investigação como um recurso incentivador do
aprendizado autônomo do aluno por meio de seus acertos e de seus erros.
Quanto à atividade de construção dos gráficos das funções que estavam
separadas por grupos, o Professor RG deu a seguinte resposta em seu ―Diário
de Bordo‖.
Figura 68: Resposta do Professor RG
Fonte: Acervo pessoal
234
MarinêsYolePoloni
Analisando a resposta acima, pudemos constatar um discurso que vai de
encontro ao que esse mesmo Professor havia dito na sessão anterior: “Com
salas numerosas, como se aplicam essas tarefas de investigação?”. Esses dois
analisados isoladamente não permitem que tenhamos uma certeza do real
pensamento do Professor RG, naquele momento, apesar de mostrar, por essa
resposta, considerar importantes os questionamentos criados pelas atividades
de investigação e a mediação do professor.
Ainda, nessa mesma ―Folha Diário de Bordo‖, o Professor RG discorre a
respeito da“boa vontade” dos educadores para o que ele chamou de “fazer
acontecer”.
Figura 69: Resposta do Professor RG
Fonte: Acervo pessoal
Buscando mais explicações a respeito das contradições entre as
respostas dadas na ―Folha Diário de Bordo‖ e sua fala do encontro 7,na
entrevista feita com esse Professor, o relembramos de tal afirmação.
Formadora 1: ―Numa das Folhas Diário de Bordo você escreveu mais ou menos
assim: O professor tem que ter boa vontade para fazer acontecer. Era sobre fazer
investigações na sala de aula. Você lembra?
Professor RG: ―Lembro sim. E acho isso mesmo. Para tudo tem que ter boa
vontade. O professor tem que estar aberto para o novo, se não, novas
metodologias nunca vão sair do papel. Só depende de vontade.(ERG)
235
MarinêsYolePoloni
Analisando as duas respostas dadas pelo Professor RG, constatamos
que ele atribui ao professor a responsabilidade pela mudança nas práticas de
sala
de
aula
especialmente
quanto
ao
desenvolvimento
de
novas
metodologias.
A respeito das suas práticas de atividades investigativas o Professor RG
declarou:
Formadora 1: ―Você já preparou alguma atividade de investigação em suas
aulas?‖
Professor RG: ―No papel, como você fez, não, mas eu fiz um roteiro para o aluno
seguir. Ele deveria fazer o exercício 2, depois o 4 e depois o 10, por exemplo e ai,
eu abria para discussões e foi muito bom [...] muitas conclusões foram tiradas,
pelos alunos, por conta dos exercícios que eu escolhi para a aula.‖
Formadora 1: ―E, como foi?‖
Professor RG: ―Foi muito legal. Eles discutiram e tiraram conclusões... o assunto
era estudo do discriminante então escolhi três exercícios em que as situações
eram:
e comecei a perguntar qual era a diferença entre elas [...]
Fui perguntando até que eles concluíram... Eu não dei o conceito. Eles
concluíram... ―(ERG)
Apesar de não ter preparado uma atividade de investigação no papel, o
Professor RG mencionou ter escolhido previamente alguns exercícios para
serem resolvidos por seus alunos a fim de gerar uma posterior discussão que
os levaria a algumas conclusões. Consideramos que o Professor RG conduziu
a atividade de maneira a levar seus alunos ao questionamento, à comparação
e à conclusões; como ele mesmo disse: “Fui perguntando até que eles
concluíram... Eu não dei o conceito. Eles concluíram...”
O Professor RG promoveu uma aula dialogada que não chega a ser uma
tarefa de investigação, entretanto houve uma mudança na prática do Professor
RG.A prévia escolha de exercícios e da metodologia da investigação para a
tarefa, nos fez constatar que o professor RG ampliou o conhecimento do
conteúdo e do ensino Ball et al (2008). Constatamos também que o Professor
RG mostrou-se satisfeito com o resultado da aprendizagem de seus alunos.
Por outro lado, concluímos que seria necessário mais investimento na
formação para levar os Professores a desenvolverem conhecimentos
consistentes sobre aulas e atividades investigativas.
Foi proposta, aos Professores, uma atividade de preparação de tarefas
para os seus alunos. Essa proposta aconteceu no final do ano letivo no
momento em que os Professores estão sobrecarregados de atividades em
236
MarinêsYolePoloni
suas escolas. Desta forma, as atividades preparadas por eles eram
basicamente as mesmas desenvolvidas no curso ―Tópicos de Trigonometria‖.
237
MarinêsYolePoloni
Capítulo VIII
Conclusões
Esta investigação se propôs a identificar, numa formação continuada de
professores de Matemática,quais os aspectos mais relevantes que levam
professores a ampliarem o conhecimento profissional docente. Nosso objetivo
foi analisar uma experiência formativa que privilegiou uma abordagem
problematizadora com o uso de recursos para o ensino de Trigonometria, ou
seja, nosso objetivo foi, particularmente, analisar as reflexões que mostrassem
mobilização/ampliação de conhecimento profissional docente.
Neste texto, destacamos que os recursos para o ensino escolhidos para
a formação, tiveram inspiração dos PCN (2008), ou seja, os recursos
planejados para a formação foram a história da matemática, jogos e
tecnologias.
Este estudo encontra-se inserido em um projeto maior de Educação
Continuada desenvolvido na Universidade, ligado ao Programa Observatório da
Educação, na linha de Formação de Professores que ensinam Matemática.
Esse Projeto maior, cuja proposta é a constituição de um grupo
colaborativo, formado por professores de Matemática do ensino fundamental e
médio, por docentes da Universidade e por alunos de mestrado e doutorado,
tem duas dimensões: uma de formação e outra de pesquisa. A formação e a
pesquisa acontecem em momentos alternados de ações presenciais.
A fim de atingir o objetivo de nossa investigação, seguimos os passos
abaixo:
1. Construímos uma experiência formativa baseada em atividades
problematizadoras que explorassem o uso dos recursos para o ensino
de Matemática destacados nos PCN (1998);
2. Desenvolvemos essa experiência com os professores, sujeitos de
pesquisa;
3. Analisamos as problematizações, as discussões e reflexões coletivas ao
longo do processo formativo além das ―Folhas diário de Bordo‖, dos
238
MarinêsYolePoloni
materiais coletados e das entrevistas feitas com dois dos sujeitos de
pesquisa.
A formação empreendida ―Tópicos de Trigonometria‖ foi constituída de
10 encontros com três horas e meia de duração cada um,sendo os sujeitos de
pesquisa sete professores atuantes da rede estadual de São Paulo. Tal grupo
de professores foi escolhido por sua participação em 100% das sessões do
curso ―Tópicos de Trigonometria‖ e por serem Professores atuantes do Ensino
Médio. Vale ressaltar que todos os sujeitos de pesquisa já haviam frequentado
outros cursos do Observatório da Educação e dessa forma, consideramos que
o grupo escolhido possuíavínculos de confiança e de parceria com os
pesquisadores da Universidade. As reuniões presenciais foram quinzenais e
aconteceram na Diretoria Norte 2. A coleta de dados foi feita por observação
direta, gravação em áudio e vídeo dos encontros e os registros escritos
produzidos pelos sujeitos além das entrevistas que também foram gravadas em
áudio e vídeo.
A pesquisa se propôs a responder à seguinte questão:
Em
que
aspectos
uma
formação
continuada,
centrada
na
problematização com o uso de recursos para o trabalho docente (história da
matemática, uso de jogos e uso de tecnologias), pode ampliar o conhecimento
profissional docente ?
Enfatiza-se que a análise dos instrumentos refere-se a uma amostra
pequena de professores de Matemática da rede pública e não se tem a
pretensão de concluir o que sejauma metodologia ideal de formação
continuada. Entretanto há a confiança deque estes resultados podemcontribuir
subsidiando futuras formações que conduzam professores do Ensino Médio a
reflexões, discussões e aprendizados levando-os à ampliação de seu
conhecimento profissional.
A fim de apontar os aspectos mais significativos para aampliação de
conhecimento
profissional
dividimos
as
conclusões
em
grupos:
(i)
Aspectosrelativos ao desenho da formação; (ii) Aspectos relativos aos sujeitos
pesquisados; (iii) Aspectos relativos ao conteúdo matemático; (iv) Aspectos
relativos à atuação de formadoras; (v) Aspectos relativos aos recursos
239
MarinêsYolePoloni
utilizados
durante
as
atividades.
Esses
aspectos
não
aconteceram
independentes uns dos outros, mas interligados de forma que o acontecimento
de um deles remetia muitas vezes ao outro; entretanto fizemos essa separação
para auxiliar a organização da apresentação dos aspectos que emergiram
como conclusivos neste estudo.
(i)
Aspectos relativos ao desenho da formação
Design-basedresearchutilizado para a formação
O desenho dessa formação contou com o uso de recursos diferenciados
em todos os encontros. Este fato contribuiu para no interesse dos Professores
em participar do curso ―Tópicos de Trigonometria‖ uma vez que eles
externaram
a
vontade
de
aprender
“um
jeito
diferente
de
ensinar
Trigonometria”.
Neste trabalho, em relação ao plano inicial de pesquisa e formação,
foram necessárias várias modificações no sentido de confirmar a que as
atividades aplicadas durante as sessões realmente ampliaram o conhecimento
profissional dos sujeitos de pesquisa. Ou seja, nesta investigação houve vários
momentos de redesign, que aconteceram durante o planejamento de cada
sessão quando, refletindo sobre o papel de cada um dos sujeitos, as
formadoras faziam a leitura e a análise das ―Folhas Diário de Bordo‖ além de
assistir às filmagens dos encontros.Em tais folhas, os professores expunham
suas aspirações a respeito do curso, suas preferências em termos de
atividades, sua opinião a respeito da aplicabilidade das mesmas em sala de
aula e também suas dificuldades desvelando, sessão a sessão seu
conhecimento profissional. Estas folhas eram lidas e analisadas e serviam de
feedbackpara que as novas atividades fossem propostas. No caso desta
pesquisa, as ―Folhas Diário de Bordo‖ serviram também para o repensar nas
mudanças em relação ao andamento do curso sugeridas pelos professores.
Dessa forma, constatamos que a metodologia, design-based research,
foi fundamental nos ajustes feitos quanto ao design inicial planejado de acordo
com as análises que eram feitas sessão a sessão. Essas análises contribuíram
e deram embasamento às decisões tomadas durante toda a formação sendo
240
MarinêsYolePoloni
fundamentais para o rumo da pesquisa.
Diferentes recursos para o ensino.
A vivência dos diferentes recursos, que foram utilizados nas atividades
da formação, possibilitou aos professores uma nova forma de olhar para o
conteúdo de Trigonometria. Por meio desses recursos, os professores tiveram
oportunidades de reconstruir, tanto os conceitos da Trigonometria que estavam
sendo abordados durante o curso,quanto os conceitos de Geometria Plana,
ampliando o conhecimento comum do conteúdo, Ball et al (2008) e o
conhecimento do conteúdo específico de Shulman (1986). Podemos dizer que
essa variedade de recursos utilizados durante a formação auxilioua ampliação
de conhecimento profissional docente de todos os sujeitos de pesquisa. As
pessoas são diferentes e, profissionalmente, também ampliam o conhecimento
profissional de forma diferente. Alguns Professores, sujeitos dessa pesquisa,
ampliaram significativamente seu conhecimento profissional quando o recurso
utilizado foi o jogo, outros quando o recurso foi o GeoGebra e outros quando o
recurso utilizado foi a história da matemática. Vale dizer que o recurso à
investigação em aulas de Matemática, foi um resultado das atividades
elaboradas para o curso ―Tópicos de Trigonometria‖ e também provocou
ampliação de conhecimento profissional nos sujeitos de pesquisa.
A ampliação do conhecimento profissional docente pôde ser constatada
diversas vezes durante a formação e consideramos que os diversos tipos de
atividades, com diferentes recursos, promoveram discussões levando os
Professores a tal ampliação. As conclusõesmais detalhadas a respeito de cada
recurso estão no item (v)deste capítulo qual seja: aspectos relativos aos
recursos utilizados durante as atividades.
(ii)
Aspectos relativos aossujeitos de pesquisa
A assunção do papel de aprendiz na formação
Quando o educador se coloca no papel de aprendiz, entendemos que
sua
sensibilidade
para
com
as
dificuldades
de
seus
alunos
é
engrandecida.Colocando-se como aprendiz,ele pode estabelecerum paralelo
com o que é vivenciado pelo aluno, desta forma pode ficar mais alerta às
241
MarinêsYolePoloni
possíveis dificuldades dos estudantes, ampliando (i) o conhecimento do
conteúdo e dos alunos; (ii) o conhecimento especializado do conteúdo e (iii) o
conhecimento do conteúdo e do ensino (Ball et al, 2008) que são vertentes do
conhecimento profissional docente. Essa ampliação possibilita ao professorum
maior entendimento dos erros de seus alunos podendo estimulá-lo a buscar
estratégias diversificadas para o ensino.
Esse estudo confirmou o que já havia sido apontado por Lobo da Costa
(2004): o professor, ao passar pelo papel de aprendiz, faz, automaticamente, a
ponte para o papel docente, pois é de sua essência profissional associar sua
aprendizagem à prática e mais, ele procura contar a sua prática para seus
pares a fim de perceber a aprovação dos mesmos frente a elas.
A identidade de Professor
O desejo de aprender formas diferentes de ensinar o conteúdo de
Trigonometria foi manifestadopelos Professores que participaram desta
formação. Isso foi constatado em dados coletados por diversos instrumentos.
Esse desejo vinha imbuído da vontade de efetivar mudanças em suas práticas
de sala de aula visando um melhor aprendizado de seus alunos. A pesquisa
em questão evidenciou que essa postura de aprender para modificar
estratégias de sala de aula, munida de identidade profissional madura e
responsável, fez consolidar o grupo que participou ativamente das atividades
com 100% de frequência durante todo o semestre no qual o curso foi
desenvolvido.
(iii)
Aspectos relativos ao conteúdo matemático
Vinculação do tema com a prática pedagógica do professor.
O tema Trigonometria foi escolhido por dois motivos quais sejam: (i) a
importância da Trigonometria como ferramenta para o repertório do aluno; (ii)
por ter sido uma demanda dos Professores
do Projeto Observatório da
Educação.
A pesquisa evidenciou que, ao vivenciar atividades com recursos
diferenciados a respeito do tema Trigonometria, os professores mobilizaram e
242
MarinêsYolePoloni
ampliaram seu conhecimento profissional nas vertentes: (i) conhecimento
pedagógico do conteúdo; (ii) conhecimento específico do conteúdo e (iii)
conhecimento curricular de Shulman (1986). Na classificação de Ball et al
(2008) houve mobilização/ampliação: (i) do conhecimento do conteúdo comum,
(ii) do conhecimento especializado do conteúdo, (iii) doconhecimento do
conteúdo e dos alunos, (iv) do conhecimento do conteúdo e de ensino e (v) do
conhecimento de conteúdo e de currículo.
Ao ampliar o conhecimento profissional os Professores passaram a ter
um novo olhar para os conceitos trigonométricos que foram abordados durante
o curso podendo auxiliá-los na busca de estratégias para o ensino.
Durante as análises, à luz do referencial teórico, das sessões, filmagens,
―Folhas Diário de Bordoe entrevistas pudemos constatar evidências quanto à
mobilização/ampliação de conhecimento profissional docente. Das evidências
de ampliação/mobilização de conhecimento profissional à luz da teoria de
Shulman
(1986),
entendemos
grande
parte
delas
referiam-se
à
ampliação/mobilização de conhecimento específico do conteúdo havendo
também ampliação/mobilização de conhecimento pedagógico do conteúdo e do
conhecimento do currículo. Quanto às evidências de ampliação/mobilização de
conhecimento profissional docente analisadas pelo modelo de Ball et al (2008),
pudemos constatar que boa parte eram referentes ao conhecimento comum do
conteúdo;
havendo
também
ampliação/mobilização
do
conhecimento
especializado do conteúdo e do conhecimento do conteúdo e dos estudantes.
Além disso, podemos evidenciar ampliação/mobilização do conhecimento do
conteúdo e do ensino e também do conhecimento do conteúdo e do currículo.
Das evidências de ampliação/mobilização de conhecimento profissional à luz
do modelo de Mishra e Koehler (2006), entendemos que grande partedas
ampliações/mobilizações foram referentes ao conhecimento tecnológico do
conteúdo
havendo
também
ampliação/mobilização
do
conhecimento
tecnológico pedagógico do conteúdo (TPACK).
(iv)
Aspectosligadosàsações das formadoras
Intencionalidade das formadoras de provocar vivências de atividades
envolvendo recursos para o ensino durante o processo formativo.
243
MarinêsYolePoloni
No caso da presente pesquisa, ao longo das sessões, houve sempre a
intenção de proporcionar a vivência de atividades envolvendo recursos
variados que levassem os Professores a discutirem tanto o objeto de estudo,
quanto suas práticas de sala de aula.Entretanto nem todas as atividades
promoveram a
mesma
mobilização de conhecimentos
em todos os
Professores, e nem todos eles reagiram da mesma forma frente aos diferentes
recursos que estavam sendo utilizados. As atividadesforam analisadas, sessão
a sessão, de forma que outras novas fossem criadas e as já previstas
adaptadas dando aos Professores a oportunidade de um novo contato com o
objeto de estudo e com outros recursos.
Intencionalidade das formadoras quanto àproblematização, vinculação
com o currículo e com a prática docente.
Nesta pesquisa, as formadoras tiveram, durante a elaboração das
atividades, a constante preocupação em problematizar tanto as atividades
vivenciadas pelos sujeitos, quanto as perguntas das ―Folhas Diário de Bordo‖.
Tais problematizações visavam dar o start às discussões que promoveriam a
mobilização/ampliação
de
conhecimento
profissional
docente.
As
problematizações intencionais estavam vinculadas ao (i) conteúdo de
Trigonometria, ao (ii) currículo de Trigonometria no Ensino Médio e (iii) às
práticas de sala de aula. Durante as discussões e reflexões, a atenção das
formadoras estava voltada a estes três itens a fim de que elas pudessem
incentivar e levar os Professores a refletirem a seu respeito.
Mediação das formadoras
A tomada de consciência tanto sobre a forma como se dá a
aprendizagem dos conceitos matemáticos,quanto das próprias práticas do
professor, está intimamente ligada àdiscussão e reflexão que o professor faz
sobre esses tópicos. Dessa forma, a mediação das formadoras foi fundamental
para as discussões e tomada de consciência dos Professores, sujeitos de
pesquisa.
Num curso de formação continuada, existe um distanciamento das
situações de sala de aula, fato este que por um lado pode desinteressar o
244
MarinêsYolePoloni
professor por apresentar situações fora da sua realidade, e, por outro lado,
pode favoreceras reflexões e discussões entre os professoressobre as
situações propostas e sua aplicabilidade no cotidiano escola. Essas discussões
eclodem a partir da intencionalidade do formador emprovocá-las por meio de
textos,
atividades
previamente
escolhidas,
problematizações
sugeridas
questionamentos diretos e observações. A escolha das atividades, dos
questionamentos e a observação dos professores cabe ao formador etais
escolhas são fundamentais para promover um tipo de discussão a qual
impulsione a mobilização/ampliação de conhecimentos por parte dos
professores.
Durante
todas
as
sessões,
verificamos
a
importância
dos
questionamentos das formadoras para que tais discussões surgissem.
Apesar da formação docente sobre a qual investigamosterse estendido
ao longo de um semestre letivo, não foi possível discutir todos os conceitos
trigonométricos previstos no design inicial, entretanto, durante tal semestre,
entendemos que os Professores participantes do curso
―Tópicos de
Trigonometria‖ampliaram o conhecimento profissional nos seguintes aspectos:
(i) no aspecto pedagógico e (ii) no aspecto de conhecimento de conteúdo. No
aspecto pedagógico, podemos dizer que os Professores vivenciaram e
analisaram atividades, cujo conteúdo era algum dos tópicos de Trigonometria
abordados durante a formação com uso de recursos diversos, além de criarem
atividades similares para aplicação em sala de aula. No aspecto de
conhecimento do conteúdo, podemos dizer que os Professores ressignificaram
elementos tanto da Trigonometria quanto da Geometria Plana e construções
geométricas.
Em termos de formação, entendemos que seria interessante propor um
momento para planejamento de atividades, pelos Professores, e a aplicação
das mesmas em sala de aula para posterior discussão com os colegas. Este
tipo de atividade, com posterior aplicação em sala de aula, não foi possível na
formação empreendida.
245
MarinêsYolePoloni
(v)
Aspectos relativos aos recursos utilizados durante a formação
Antes de procedermos às conclusões desta pesquisa, a respeito do uso
de cada recurso em separado, vale ressaltar que, apesar de ser da vontade
dos Professores aprenderem “novas maneiras de ensinar Trigonometria”, a
mudança em relação às antigas práticas é um processo que envolve a emoção
dos Professores que têm que lidar com a incerteza do que acontecerá durante
a sua aula.
Importância do recurso História da Matemática.
A leitura e discussão dos textos relativos à História da Matemática e a
imediata
aplicação
em
atividades
analógicasoudigitaispromoveram
práticas
reflexões
a
com
uso
respeito
de
do
tecnologias
ensino
de
Trigonometria e das práticas dos Professores, sujeitos de pesquisa.Dessa
forma, entendemos que a articulação entre teoria e prática pode auxiliar na
reflexão a respeito datransformação das práticas e no refino dos saberes do
conteúdo específico dos Professores.
Neste estudo, durante as sessões que fizeram uso do recurso à História
da Matemática, pôde ser constatado um ciclo de execução de atividades,
reflexão
e
depuração
de
conceitos
abordados
e
de
metodologias
empregadasno qual as potencialidades I(a História como uma fonte de
motivação para o ensino e aprendizagem da Matemática.),III (a História como
uma fonte de métodos para o ensino e aprendizagem da Matemática) e XI (a
História como um instrumento que pode promover a aprendizagem significativa
e compreensiva da Matemática), de Miguel (1997) puderam ser observadas.
Durante as sessões que envolveram o recurso à História da Matemática,
também foi proposta uma atividade a qual envolvia a análise do conceito de
radiano presente em alguns livros didáticos adotados em São Paulo.
Constatamos, por essa análise, feita pelos Professores, que, para eles, o livro
didático é um recurso fundamental no desenvolvimento de suas aulas. Dessa
forma, se o livro didático reforça a prática de aulas teóricas com treino para a
resolução de certos tipos de exercícios e, sendo ele o principal instrumento de
direcionamento de professores, pode tornar-se um limitador do trabalho do
246
MarinêsYolePoloni
docente. O livro didático, com as características acima citadas, pode dificultar
mudanças nas práticas pedagógicas tradicionalistas, nas quais a finalidade do
ensino da Matemática se constitui em desenvolver habilidades e atitudes
manipulativas, capacitando o aluno para a resolução de exercícios ou de
problemas-padrão.
Nesta pesquisa, o recurso à história da matemática desencadeou
discussões que levaram à ampliação do (i) conhecimento específico em
relação à definição de radiano, (ii) de novas estratégias para o ensino de
radiano e (iii) novas estratégias para o ensino dos conceitos de arco, corda,
diâmetro e raio de uma circunferência.
Apesar de ter provocado ampliação de conhecimento profissional, a
forma das atividades, desta pesquisa, que envolviam a leitura de textos foi
pouco motivadora para alguns professores.
Vale lembrar que a formação teve encontros quinzenais presenciais e
mostrou-se muito vulnerável aos percalços normais de um semestre letivo.
Assim sendo, não foi possível desenvolver um número maior de atividades que
utilizassem o recurso Historia da Matemática. Desta forma, apontamos, para o
futuro, uma formação com maior ênfase em atividades que explorem esse
recurso e suas potencialidades para o ensino.
Importância do recurso Jogos.
Podemos caracterizar os três jogos de regras utilizados na formação
como
instrumentos
lúdicos
que
apresentaram aspectos
favoráveis
à
constituição, por parte dosProfessores, de novas estratégias para o ensino.
Assim sendo, contribuíram para a ampliação do conhecimento profissional
docente. Quanto aos dois jogos, Pega-Monte e Dominó de arcos e ângulos,
os quais envolveram as transformações de graus para radianos e vice-versa,
pudemos constatar que promoveram a ampliação (i) do conhecimento do
conteúdo e do ensino; (ii) conhecimento do conteúdo e do currículo; (iii)
conhecimento do conteúdo e dos alunos e o (iv) conhecimento comum do
conteúdo.Pudemos também constatar que, para os Professores, sujeitos desta
pesquisa, o recurso aos jogos para o ensino de tópicos de Trigonometria não
era conhecido.
247
MarinêsYolePoloni
Nas discussões que se sucederam à atividade de jogo, pudemos
constatar uma vantagem e uma desvantagem do uso desse recurso, não
descritas por Grando (2000), em sua tese de doutorado, quais sejam: (i)o uso
de jogos no ensino estimula a concentração dos alunos e (ii) o não
conhecimento das regras do jogo pode ser uma desvantagem na utilização
desse recurso em sala de aula.
Os Professores destacaram possibilidades para a aprendizagem dos
alunos na confecção do jogoque será aplicado.
O jogo Bingo do seno necessitou de intensa mediação das formadoras
durante todo o processo. Essa necessidade de mediação é destacada por
Grando (2000) comouma desvantagem do uso desse recurso, pois tira a
ludicidade da atividade. Entretanto, concluímos quea mediação realizada,
durante a atividade, com o uso do jogo possibilitou a ampliaçãodo
conhecimento profissional docente. Por meio das discussões,as quais
aconteceram durante o jogo, conceitos como período, imagem e amplitude da
função foram ressignificados, evidenciando ampliação do conhecimento
comum do conteúdo.
Em entrevista com dois dos sujeitos de pesquisa, um ano depois de
finda a formação, constatamos que ambos aplicaram jogos em suas aulas.
Esse fato nos fez concluir que a aprendizagem de novos recursosdurante
cursos de formação continuada só chegam à sala de aula se o professor
passar por, pelo menos, três fases do raciocínio Pedagógico de Shulman
(1987) quais sejam: compreensão, transformação e instrução.
Nas três situações de jogo, descritas nesta pesquisa, observamos os
processos de trocas entre os pares, a construção de estratégias de cálculo, e a
interação social que se fez presente nos dois encontros. Os Professores
trocaram ideias e atuaram colaborativamente uns com os outros, comparando
e confrontando conclusões num movimento de ampliação de conhecimento
profissional docente.
Importância do recurso às tecnologias digitais.
A partir das representações precisas obtidas com a utilização
dosoftwareGeoGebra, identificamos a possibilidade de mobilização/ampliação
248
MarinêsYolePoloni
de conhecimento comum do conteúdo e conhecimento especializado do
conteúdo.
Amovimentação possibilitada pelo software fez com que os Professores,
sujeitos dessa pesquisa, concluíssem que o GeoGebrapode contribuir para que
algumas das dificuldades com o ensino de Trigonometria sejam minimizadas
para os alunos. Os depoimentos evidenciaram a mobilização do conhecimento
do conteúdo e dos estudantes.
Concluímos que houve também, pelo menos para um dos Professores, o
Professor RA, a ampliação do conhecimento pedagógico tecnológico do
conteúdo (TPACK). A ampliação desse conhecimento só pode ser observada
quando o professor utiliza a tecnologia, sua pedagogia e o seu conhecimento
do conteúdo para ensinar seus alunos. Nesta pesquisa, tivemos retorno apenas
do Professor RA, quanto às aplicações em sala de aula. Entendemos que o
recurso às tecnologias, assim como qualquer outro, só chega à sala de aula se
o professor passar por, pelo menos,três das fases do raciocínio pedagógico de
Shulman (1987), quais sejam:compreensão, transformação e instrução.
Nossa pesquisa ainda possibilitou que observássemos os Professores
em interação com o software e com seus pares,permitindo que chegássemos
às seguintes conclusões quanto às vantagens do uso do software GeoGebra
em sala de aula: (i) Permite a exploração visual das figuras construídas, o que
não é possível com as figuras estáticas feitas com régua e compasso; (ii)
permite
que
os
dados
sejam
alterados
graficamente,
mantendo
as
características da construção e (iii) permite subsidiar a argumentação por meio
do processo de arrastar as figuras pela tela do computador, fazendo os
sucessivos testes como mencionou Lopes,2010; (iv) a visualização e a
experimentação desempenharam papel importante nas investigações como
mencionou Moreira, 2012; (v) promove aperfeiçoamento profissional do
docente comoobservou Oliveira, 2010 e ainda (vi) auxilia a aprendizagem
quando o recurso escolhido pelo professor for a investigação na sala de aula,
por conta do dinamismo e rapidez com que o aprendiz pode chegar às
conclusões. Quanto às desvantagens do uso do GeoGebra,em sala de aula, a
única que foi apontada por nossa pesquisa não diz respeito ao software, mas à
necessidade
de
laboratórios
de
informática
bem
estruturados
com
computadores em quantidade adequada ao número de alunos e com constante
249
MarinêsYolePoloni
manutenção.
Finalmente entendemos que esse modelo de formação permitiu a
mobilização/ampliação de conhecimento profissional docente dos Professores,
sujeitos de pesquisa, por meio das reflexões e discussões geradas pelas
atividades, elaboradas com o intuito de experimentação de recursos diversos
para a aprendizagem. Tais aspectos da formação não aconteceram
rapidamente, mas no decorrer de um semestre letivo. Para que as evidências
de ampliação de conhecimento profissional docente aparecessem, foi
necessário desenhar atividadesas quais impulsionassem as discussões entre
os Professores. Tais discussões eram mediadas por nós, formadoras, que, por
meio dos diversos recursos e das reflexões feitas pelos sujeitos, preparávamos
novas atividadesa fim de ajudá-los nesse processo de mobilização/ampliação
de conhecimento profissional.
Os três recursos para o ensino de Matemática,apontados pelos PCN
(1998), quais sejam: história da Matemática, uso de jogos e uso de tecnologias,
foram capazes de provocar discussões as quais fizeram com que os
professores mobilizassem/ampliassem conhecimentos profissionais. Durante
as atividades com uso do GeoGebra, surgiu, a demanda, pelos Professores, de
discutir a investigação em sala de aula. Isso nos fez, como formadoras,
elaborar atividades que pudessem, ao longo das discussões, levá-los a refletir
sobre as investigações durante as aulas de Matemática.
Os elementos destacados até o momento são indícios de que o
conhecimento profissional docente, em todas as suas vertentes, requer um
olhar atento.Se desejamos um ensino de Trigonometria no qual os alunos
compreendam os conceitos que estão sendo trabalhados, devemos olhar
atentamente para a formação continuada dos professores nessa temática.
Apesar da formação docente sobre a qual investigamos terse estendido
ao longo de um semestre letivo, não foi possível discutir todos os conceitos de
Trigonometria previstos no design inicial, entretanto, durante este semestre,
entendemos que os Professores participantes do curso ―Tópicos de
Trigonometria‖ ampliaram conhecimentos profissionais nos seguintes aspectos:
(i) conhecimento comum do conteúdo;
(ii) conhecimento específico do conteúdo;
(iii) conhecimento do conteúdo e dos estudantes;
250
MarinêsYolePoloni
(iv) conhecimento do conteúdo e do ensino;
(v) conhecimento do conteúdo e do currículo;
(vi) conhecimento tecnológico do conteúdo;
(vii) conhecimento tecnológico pedagógico do conteúdo.
Esses foram os conhecimentos os quais observamos ampliarem-se
durante a formação, entretanto isso não quer dizer que todos os sujeitos de
pesquisa ampliaram todos esses conhecimentos e nem que estes tiveram o
mesmo impacto em todos os Professores. Porém, podemos garantir que os
sujeitos vivenciaram os recursos para o ensino de Matemática, nos tópicos de
Trigonometria escolhidos por nós, e tal vivência os fez refletir tanto a respeito
das suas práticas de sala de aula quanto a respeito do próprio conteúdo - no
sentido de aprender e de descompactar para ensinar.
Os conhecimentos citados acima foram mobilizados/ampliados pelos
Professores, sujeitos de pesquisa,como foi descrito no capítulo de análise. Em
termos de formação, entendemos serfundamental que atividades tivessem sido
planejadas pelos Professores e aplicadas em sala de aula para posterior
retorno às sessões de reflexão. Desta forma poder-se-ia ter uma visão mais
abrangente dos conhecimentos profissionais ampliados pelos sujeitos de
pesquisa também quando em interação com seus alunos. Por outro lado,
entendemos que este trabalho trouxe novas perspectivas pedagógicas relativas
às possíveis abordagens de tópicos de Trigonometria.
Consideramos uma contribuição desta pesquisa,evidenciar que os
recursos didáticos utilizados para o ensino de Matemática citados nos PCN
(1998) são pertinentes para o ensino de conteúdos do Ensino Médio.Além
disso, evidenciar que a variedade de recursos para o ensino de Matemática,
numa formação continuada, pode estimular o raciocínio pedagógico do
professor levando-o a aplicar seus novos conhecimentos profissionais, em sala
de aula, também é uma contribuição deste estudo.
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251
MarinêsYolePoloni
Referências
ADLER, J.: Conceptualising resources as a theme for teacher Education. Journal for
MathematicsTeacherEducation, v.3, n. 3, p. 205-24. 2000
ALMEIDA, M. E. B.: O Computador na Escola: Contextualizando a Formação de
Professores Para a Mudança, 2000. 257p. Tese (Doutorado em Educação: Currículo).
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2000.
AMADO,J.: Manual de Investigação Qualitativa: Coimbra Imprensa da Universidade de
Coimbra – Portugal, 2013.
ARCHAMBAULT, L. & CRIPPEN, K.: Examining TPACK among K-12 online distance
educators in the United States. Contemporary Issues in Technology and Teacher
Education, 9(1), 71-88, 2009.
BALL, D. L.; THAMES, M. H.; PHELPS, G.: Content knowledge for teaching: What
makes it special? Journal of Teacher Education, New York, v. 59, n. 5, p. 389 - 407,
nov./dez. 2008.
BEATÓN, G. A.: La persona em el enfoque histórico cultural. São Paulo: Linear B,
2005.
BELL, J.: Doing Your Research Project – A Guide for First-Time Researchers in
Education and Social Science. Open University Press – Milton Keynes – Philadelphia,
1992, p. 145
BLACKETT N; TALL D.: Gender and the versatile learning of trigonometry using
computer software. The Proceedings of the International Group for the Psychology of
Mathematics Education XV. Assisi, Italy, 1991, Vol 1, pp. 144-151.
BRASIL.: Ministério da Educação e do Desporto/ Secretaria de Educação
Fundamental. PCN Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, Ministério da
Educação e do Desporto, Brasília: MEC/SEF, 1997, 142p.
_________.: Ministério da Educação e do Desporto/ Secretaria de Educação
Fundamental. PCN Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, Secretaria de
Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998, 148p.
_________.: Ministério da Educação e do Desporto/ Secretaria de Educação
Fundamental. PCN Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio:
Matemática, Ministério da Educação e do Desporto, Brasília: MEC/SEF, 2000, 109p.
_________.: Ministério da Educação e do Desporto/ Secretaria de Educação
Fundamental. PCN+ Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: Matemática, Ministério da Educação e do
Desporto, Brasília: MEC/SEF, 2000, 200p.
252
MarinêsYolePoloni
_________.: Secretaria de Educação Básica.– Brasília: Ministério da Educação,
Secretaria de Educação Básica, 2006. Orientações curriculares para o ensino médio ;
volume 2 . Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias 135p.
__________.: Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.
Referenciais para Formação de Professores. Brasília: MEC/SEF, 2002.
_________. : Ministério da Educação, Secretaria da Educação Básica 2011, Guia de
livros didáticos: PNLD 2012, 108p.
BROWN, A.L.: Design experiments: Theoretical and methodological challenges in
creating complex interventions in classroom settings. The Journal of the Learning
Sciences, 2(2), 141-178, 1992..
CASSOL, V. J.: Tecnologias no ensino e aprendizagem de trigonometria: uma metaanálise de dissertações e teses brasileiras nos últimos cinco anos. 2012, 84p.
Dissertação de mestrado - Programa de pós-graduação em educação em ciências e
matemática, Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Porto Alegre,
2012.
CASTRO FILHO, J. A.: A formação de professores para o uso de novas tecnologias
para o ensino de Matemática, [mensagem de trabalho]. Mensagem recebida por
[email protected] em: 15 mar. 2001.
CHACE, A. B. “The Rhind Mathematical Papyrus”- volume 8 - Colection Classics in
Mathematics Education of The National Council of Teachers of Mathematics - NC
Classics TM 2ª Edição, U.S.A., 1986.
COBB, P.; CONFREY,J.; DISESSA, A.; LEHRER,R.; SCHAUBLE, L.: Design
experiments in education research. Educational Researcher, v.32, n.1, p. 9-13, 2003.
COLLINS, A..: Toward a Design Science of Education. In E. Scanlon & T. O'Shea
(Eds.), New directions in educational technology (pp. 15-22). New York: SpringerVerlag, 1992..
D´AMBROSIO, U.:Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus,
1996. 121p.
_____________: A história da matemática: questões historiográficas e políticas e
reflexos na Educação Matemática. In: BICUDO, M. A. V.(org.). Pesquisa em Educação
Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999. p. 97-115.
_____________.: Educação
Campinas/SP. Papirus 2009.
Matemática:
da
teoria
a
prática.
17ª
edição.
DENZIN, N. K, LINCOLN, Y. S.;. O planejamento da pesquisa qualitativa: teorias e
abordagens; tradução Sandra Regina Nets.- Porto Alegre: Artmed, 2006.
DEWEY, J.: How we think.London: Heath, 1933.
ECHEVERRIA, M.D. P. P. E POZO, J.I.:Aprender a resolver problemas e resolver
problemas para aprender. In A solução de problemas: aprender a resolver, resolver
para a aprender. Pozo, Juan. I.(org) Porto alegre: ArtMed, 1998
253
MarinêsYolePoloni
FERNANDES, R. U. Estratégias pedagógicas com uso de tecnologias para o ensino
de trigonometria na circunferência. 2010. 135f. Dissertação de Mestrado – Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2010.
FIORENTINI, D. Alguns Modos de Ver e Conceber o Ensino da Matemática no Brasil,
Revista Zetetikê, No 4 -1995.
FIORENTINI, D.; SOUZA Jr., A. J. de; MELO, G. F. A. de. Saberes docentes: um
desafio para os acadêmicos e práticos. In: GERALDI, C. M. G.; FIORENTINI, D.;
PEREIRA, E. M. de A. (Org.). Cartografias do trabalho docente: professor(a)
pesquisador(a). Campinas: Mercado de Letras/ALB, 2001. p. 307-335.
FIORENTINI D.; Quando Acadêmicos da Universidade e Professores da Escola
Básica Constituem uma Comunidade de Prática Reflexiva. In: FIORENTINI,
D;GRANDO, R. C; MISKULIN, R. G. S. (orgs.) Práticas de Formação de Pesquisa de
Professores que Ensinam Matemática. Campinas, SP: Mercado de Letras, 2009.
FIORENTINI D. e NACARATO A. M. (organizadores) Cultura, Formação e
Desenvolvimento Profissional de Professores que Ensinam Matemática : Investigando
e Teorizando a Partir da Prática. — São Paulo: Musa Editora; Campinas, SP:
GEPFPM-PRAPEM-FE/UNICAMP, 2005.
FREITAG, B., et. al.: O Livro didático em questão. São Paulo: Cortez: Autores
Associados, 1989
FREITAS, J.C.: Internet na Educação - Contributo para a construção de redes
educativas com suporte computacional. 2004.,Tese de Doutoramento. Faculdade
deCiências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, 2004
FULLAN, M. e HARGREAVES, A.: Teacher development and educational change. In
M. Fullan e A. Hargreaves (Eds.), Teacher development and educational change (p. 19).London: Falmer Press,1992..
GALBRITH, J. K.. A Era da Incerteza. 4 ed. São Paulo: Pioneira, 1982.
GARCIA, M.: A formação de professores: novas perspectivas baseadas na
investigação sobre o pensamento do professor. In A. Nóvoa (Org.), Os professores e a
sua formação (pp. 49-76). Lisboa: Dom Quixote e Instituto de Inovação Educational,
1992
GARCÍA, C. M. Como conocen los profesores la materia que enseñan: algunas
contribuciones de la investigación sobre conocimiento didáctico del contenido.
Ponencia presentada al Congreso Las didácticas específicas en la formación del
profesorado, Santiago de Compostela, España, 6-10 jul. 1992. Disponível em:
<www.prometeo.us.es/mie/pub/marcelo>. Acesso em: 17/10/2012.
GARCIA, C. M.: Formação de Professores: para uma mudança educativa.Tradução de
Isabel Narciso. Porto: Porto Editora, 1999.
GIBBS, G. : Análise de dados qualitativos: Coleção Pesquisa Qualitativa; tradução
Roberto Cataldo Costa; Porto Alegre: Artmed, 2009.
GIRALDO V.: CAETANO P. e MATTOS F. Recursos computacionais no ensino de
Matemática – SBM. Rio de Janeiro, 2012
254
MarinêsYolePoloni
GRANDO, R. C.:O Jogo e suas Possibilidades Metodológicas no Processo EnsinoAprendizagem da Matemática. Campinas, SP,1995. 175p. Dissertação de Mestrado.
Faculdade de Educação,UNICAMP, Campinas, 1995.
_______________.: O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula,
2000, 239p. Tese de doutorado, Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de
Educação,UNICAMP, Campinas, 2000.
GRAVINA, M. A.: Geometria dinâmica: Uma nova abordagem para o aprendizado da
geometria. IN: Anais do Simpósio Brasileiro de Informática naEducação. 1996, p. 1-13
GRAVINA, M. A. e SANTAROSA, L. M.: A aprendizagem da matemática em
ambientes informatizados. IV Congresso RIBIE, Brasilia, 1998.
GRAVINA, M. A , BÚRIGO, E. Z. ,BASSO, M. V. A. e GARCIA, V.C.V.: Matemática,
Mídias Digitais e Didática - tripé para formação de professores de Matemática. Porto
Alegre : Evangraf, 2012.
GROENWALD, C.S. Perspectivas em Educação Matemática. Canoas: Ulbra, 2004.
HARRIS, J., MISHRA, P., & KOEHLER, M.: Teachers‟ technological pedagogical
content knowledge and learning activity types: Curriculum-based technology integration
reframed. Journal of Research on Technology in Education, 1009, 41(4), 393-416.
HOHENWARTER M., HOHENWARTER J.: Ajuda Geogebra Manual Oficial da Versão
3.2, Tradução e adaptação para português de Portugal António Ribeiro, 2009
http://www.geogebra.org/help/search.html acesso em fev. 2011.
HORTA, M. J.: A formação de professores como percurso para o uso das TIC em
atividades práticas pelos alunos na sala de aula. 2012, 434p. Tese de doutoramento
em Educação, Especialidade em Tecnologias de Informação e Comunicação na
Educação. Universidade de Lisboa, Lisboa, 2012.
IMBERNÓN, F.: Formação permanente do professorado: novas tendências. São
Paulo: Cortez, 2009.
IMBERNÓN, F. Formação continuada de professores. Porto Alegre: Artmed, 2010.
KARRER, M.: Articulação entre álgebra linear e geometria: um estudo sobre as
transformações lineares na perspectiva dos registros de representação semiótica,
2006, 435p. Tese (Doutorado).Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São
Paulo, 2006.
KOEHLER, M. J., & MISHRA, P.: Introducing TPCK. In J. A. Colbert, K. E. Boyd, K. A.
Clark, S. Guan, J. B. Harris, M. A. Kelly & A. D. Thompson (Eds.), Handbook of
Technological Pedagogical Content Knowledge for Educators (pp. 1–29). New York:
Routledge, 2008.
LABORDE, C.: Visual Phenomena in the Teaching/Learning of Geometry in a
Computer-Based Environment. In: MAMMANA, C. (ed.), VILLANI,V.(ed.). Perspectives
on the Teaching of Geometry for the 21st Century – An ICMI Study.
Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic, pp. 113-121, 1998.
LESH : ICME - 2008, México. Richard Lesh é um dos autores do livro A Handbook of
Research Design in Mathematics and Science
255
MarinêsYolePoloni
LOBO DA COSTA, N. M.: Funções seno e cosseno: uma sequência de ensino a partir
dos contextos do “mundo experimental” e do computador, 1997, 250p. Dissertação de
mestrado, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 1997.
LOPES, M. M.: Construção e aplicação de uma sequência didática para o ensino de
trigonometria usando software GeoGebra. 2010, 138p. Dissertação de mestrado,
Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2010.
LÜDKE, M. & ANDRÉ, M. E. D. A.: Evolução da Pesquisa em Educação. In: Pesquisa
em educação: abordagens qualitativas. 2ª ed. São Paulo: EPU, pág. 1-10. 2003.
MARKS, R.: Pedagogical content knowledge: From a mathematical case to a modified
conception.Journal of Teacher Education, 1990, 41(3), 3–11.
MARQUES, P.R.S.: Utilização pedagógica do jogo: um estudo de caso. 2009, 250p.
Tese de mestrado, Matemática para Professores, Universidade de Lisboa, Faculdade
de Ciências. Lisboa, 2009
MARRADES, R. e GUTIÉRREZ, A. Proofs produced by secondary school students
learning geometry in dynamic computer environment. Educational Studies in
Mathematics, Dordrecht, v.44, p.87 – 125, 2000.
MASETTO, M. T.: Mediação Pedagógica e o Uso da Tecnologia. In: MORAN, J. M.;
MASETTO M. T.; BEHRENS, M. A. Novas Tecnologias e Mediação Pedagógica,
Campinas: Papirus, 2000. Coleção Papirus Educação.
MATHISON, S. Why Triangulate? Educational Researcher, 17 (2), p.13-17, 1988.
MIASHIRO P. M.: A Transição das Razões para as Funções Trigonométricas.
Dissertação de Mestrado em Educação Matemática Universidade Bandeirante de São
Paulo, São Paulo, 2013, Brasil.
MIGUEL, A. As potencialidades pedagógicas da história da matemática em questão:
argumentos reforçadores e questionadores. Zetetiké, v. 5, n. 8. Campinas: CEMPEM,
1997. p. 73-105.
MIGUEL. A.; MIORIN. A.M.: História da Educação Matemática: Propostas e desafios.
Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
MISHRA, P., & KOEHLER, M. J. :Technological pedagogical content knowledge: A
framework for teacher knowledge.Teachers College Record, 108(6), 1017-1054, 2006.
MISKULIN, R. G. S.: Concepções Teórico-Metodológicas Sobre a Introdução e a
Utilização de Computadores no Processo Ensino/Aprendizagem da Geometria, 1999,
577p. Tese (Doutorado em Educação), Faculdade de Educação da UNICAMP,
Campinas, São Paulo,1999.
MOREIRA, M. W. L.: A geometria dinâmica como ferramenta para o ensino de funções
trigonométricas em um ambiente virtual de aprendizagem. 2012, 125p. Dissertação de
Mestrado, Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Programa de PósGraduação de Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática, Fortaleza,
2012.
256
MarinêsYolePoloni
NACARATO, A. M.; BREDARIOL, C. C.; PASSOS, M.: Trigonometria: uma análise de
sua evolução histórica e da transposição didática desse conhecimento presente nos
manuais didáticos e propostas curriculares. In: V Congresso ibero-americano de
educação matemática. Porto, 2005. 1CD-ROM.
NASCIMENTO, A. Z.: Uma sequência de ensino para a construção de uma tabela
triginométrica, 2005, 228p. Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, Pntifícia
Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005.
NETO, J. R. D.: Registros de representação semiótica e o GeoGebra: Um ensaio para
o ensino de funções trigonométricas. 2010, 130p. Dissertação de Mestrado.
Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2010.
OLIVEIRA, T.: Trigonometria: a mudança da prática docente mediante novos
conhecimentos. 2010, 177p. Dissertação de mestrado. Universidade Federal de São
Carlos UFSCar, São Carlos, 2010.
ORFÃO, R. B.: Professores de Matemática em um grupo de estudos: uma
investigação sobre o uso de tecnologia no ensino de funções trigonométricas. 2012,
169p. Dissertação de Mestrado, Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo,
2012.
PAIVA, M.: Matemática, Volume único, Ed; São Paulo: Moderna, 2003.
PAPERT, S.: Logo: computadores e educação. Tradução José A. Valente, Beatriz
Bitelman, Afira V. Ripper. São Paulo: Brasiliense, 1985.
_________.: Constructionism: A New Opportunity for Elementary Science Education.
A proposal to the National Science Foundation. Massachusetts Institute of Technology,
Media Laboratory, Epistemology and Learning Group, Cambridge, Massachusetts.
1986.
__________. A máquina das crianças: repensando a escola na era da informática.
Trad. Sandra Costa. Porto Alegre: Artes Médicas, 1994.
PEDROSO, L. W.: Uma proposta de ensino de trigonometria com o uso do software
GeoGebra. 2012, 271p. Dissertação de mestrado. Universidade Federal do Rio
Grande do Sul, Porto Alegre, 2012
PÉREZ GÓMEZ, A.: A função e formação do professor/a no ensino para a
compreensão: diferentes perspectivas. In: SACRISTÁN, José Gimeno e PÉREZ
GÓMEZ, Angel. Compreender e transformar o ensino. Tradução por Ernani F. da
Fonseca Rosa. 4. ed. Porto Alegre: Artmed Editora, 1998, p.353 – 379.
PERRENOUD, P.: Construir as Competências desde a Escola, Porto Alegre, Artmed
Editora, 1999.
PIAGET,J.: A formação do Símbolo na Criança. Rio de Janeiro: Editora Guanabara
Koogan, 1978
PIETROPAOLO, R.C:. Parâmetros Curriculares de Matemática para o Ensino
Fundamental. Educação Matemática em Revista. São Paulo: SBEM, edição especial,
ano 9, n. 11A, p. 34-8, abr. 2002.
257
MarinêsYolePoloni
_____________.: (Re)significar a demonstração nos currículos da educação básica e
da formação de professores de matemática. Tese (Doutorado em Educação
Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005.
POLONI, M. Y.:Formação do professor do ensino fundamental – Ciclo I: uma
investigação com o uso de geometria dinâmica para a (re) construção de conceitos
geométricos, 2010, 242p. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática –
Universidade Bandeirante de São Paulo. São Paulo, 2010.
PONTE, J.P.: Da formação ao desenvolvimento profissional. Actas do ProfMat 98.
Lisboa, APM. 1998.
___________.: Didácticas específicas e construção do conhecimento profissional.
Conferência plenária realizada no IV Congresso da Sociedade Portuguesa de Ciências
da Educação. Aveiro: Universidade de Aveiro, 1998b.
POZO, J. I.: A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender.
Porto Alegre: Artmed, 1998.
PUPO R. A.: O uso das tecnologias digitais na formação continuada do professor de
matemática. 2013 104p. Dissertação de mestrado em Educação Matemática Universidade Bandeirante Anhanguera, 2013.
QUINTANERO, W. S.: Corporeidade e Gráficos Cartesianos: a variável tempo em
fenômenos periódicos, 2013, 255., tese de doutorado, Universidade Anhanguera de
São Paulo UNIAN-SP, São Paulo, 2013
RADFORD, L.: Cognição matemática: história, antropologia e epistemologia. São
Paulo: Editora Livraria da Física, 2011
RIBEIRO, D. B. D.: A história das equações nos processos de ensino e aprendizagem
da matemática na educação básica. 2015, Dissertação de Mestrado, Universidade
Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2015.
RODRIGUES, D. W. L.: Uma Avaliação Comparativa de Interfaces Homem
Computador em Programas de Geometria Dinâmica, Dissertação de mestrado em
Engenharia de Produção da Universidade Federal de Santa Catarina, 2002.
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO DO ESTADO DE SÃO PAULO, Proposta curricular
para o Ensino de Matemática; 2º grau, 3ª Edição. São Paulo: Coordenadoria de
Estudos e Normas Pedagógicas (CENP), 1992.
SCHMIDT, D. A., BARAN, E., THOMPSON, A. D., MISHRA, P., KOEHLER, M. J., &
SHIN, T. S.: Technological pedagogical content knowledge (tpack): The development
and validation of an assessment instrument for preservice teachers. Journal of
Research on Technology in Education, 42(2), 2009, 123-149.
SHULMAN, L.: Those who understand: knowledge growth in teaching. Educacional
Research, n.15 (2), 1986, 4-14.
___________.: Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. IN Havar
Educacional review, v.57, n. 1, February, 1987, 1 – 21.
__________:. El saber y entender de la profesión docente. Estúdios Públicos, n. 99,
2005, Santiago-Chile, 2005.p. 195-224.
258
MarinêsYolePoloni
__________: Conocimiento y enseñanza: fundamentos de la nueva reforma.
Profesorado. Revista de currículum y formación del profesorado Granada-España, ano
9, n. 2, 2005b, p. 1-30. Disponível em http://www.ugr.es/local/recfpro/rev92 art1.pdf.
Acesso em abril 2013.
SMITH, D.E.: History of Mathematics , vol. I, Dover Publications, INC. New York, 1958.
STEFFE, L.P. & THOMPSON, P.W. Teaching Experiment Methodology: Underlying
Principles and Essential ElementsR. Lesh & A.E. Kelly Recherch, Research design in
mathematics and science education (pp. 267-307) Hillsdale, NJ. Erlbaum., 2000.
TARDIF, M.: Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis,RJ: Vozes, 2002.
TAVARES, Maria da Conceição e FIORI, José Luís. Desajuste global e modernização
conservadora. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1993.
TRIVIÑOS, A. N. S.: Introdução à pesquisa em ciências sociais: a pesquisa qualitativa
em educação. São Paulo: Atlas, 1992. 176 p.
TOFFLER, A.: A Terceira Onda: a morte do industrialismo e o nascimento de uma
nova civilização.15 ed. Rio de Janeiro: Record, 1980.
THOMPSON, A. D.; MISHRA, P. Breaking news: TPCK becomes TPACK!.Journal of
Computing in Teacher Education, v. 24, n. 2, p. 38, 2007.Copyright © 2007 ISTE
(International Society for Technology in Education), 800.336.5191 (U.S. & Canada) or
541.302.3777 (Int‘l), [email protected], www.iste.org
VALENTE, J. A.: Formação de professores de matemática na área de informática em
educação. In: VALENTE, J. A. (org.). Computadores e conhecimento: repensando a
educação. Campinas: Gráfica da UNICAMP, 1993.
VYGOTSKY L.S.:Linguagem, desenvolvimento e aprendizagem. SP, Icone, 1988.
________ .: El Desarrolo de los processos psicológicos superiores. 2.ed. Barcelona:
Crítica, 1989.
_________.: Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 1989 b.
_________: A formação social da mente. 6. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1998.
WANG, F., & HANNAFIN, M. J. (2005). Design-based research and technologyenhanced learning environments.Educational Technology Research and Development,
53(4), 5-23.
WEBER, K.: Students‟ Understanding of Trigonometric. In Mathematics Education
Research Journal, Vol.17, No. 3, 91–112. 2005.
WILSON, S.; SHULMAN, L. S.; RICHERT, A. E.: 150 ways of knowing:
Representations of knowledge in teaching. In: CALDERHEAD, J. (Ed.). Exploring
teachers‘ thinking. Grã-Bretanha: Cassell Educational Limited, 1987, pp. 104-124.
259
MarinêsYolePoloni
Apêndices
APÊNDICE 1
.
Prezado Professor,
O questionário abaixo tem por objetivo obter elementos para subsidiar a elaboração de uma sequência
didática sobre trigonometria para o nosso grupo.
Os sujeitos terão sua identidade preservada, não sendo identificados.
Os dados servirão para a pesquisa de doutorado de MarinêsYolePoloni.
Obrigada
Nome:__________________________________________________________
QUESTIONÁRIO I
PARTE 1
01. Dados pessoais:
Nome: ____________________________________________________________________
E-mail: ____________________________________________________________________
02. Situação funcional:
Escola onde leciona: __________________________________________________
Níveis de Ensino que leciona:
( ) E.F – I
( ) E.F – II
( ) E.M
03. Formação Acadêmica:
Graduação:
Sim (
)
Não (
)
Curso: _____________________________________________________________
Participou de cursos após sua graduação:
Sim (
)
Não (
)
Quais:
04. Em relação ao computador, você utiliza:
( ) Não uso.
( ) Até uma vez por semana.
( ) Raramente.
( ) Frequentemente.
260
MarinêsYolePoloni
05. Ações que utiliza o computador:
( ) Internet.
( ) Editor de texto.
( ) Planilha eletrônicas.
( ) Softwares educacionais.
06. Há quanto tempo você atua como professor?
07. O conteúdo de trigonometria apresenta alguma dificuldade de compreensão para os
alunos?
Quais?
08. Você já utilizou algum software no ensino de trigonometria?
09. Na graduação, teve contato com algum software educacional?
Sim (
)
Não (
)
Quais:
PARTE 2
01. Como você explicaria, em suas aulas, a necessidade de se definir as razões trigonométricas
no triângulo retângulo?
02. Como podemos relacionar o seno e o cosseno de um ângulo interno no triângulo retângulo?
03. Num curso de trigonometria para o Ensino Médio o que você considera fundamental
ensinar?
04. Como você explicaria, em suas aulas, os conceitos de ângulo e de arco trigonométrico?
05. Qual sua expectativa em relação às nossas próximas sessões?
261
MarinêsYolePoloni
APÊNDICE 2
Um pouco da História da Trigonometria
A palavra trigonometria trata do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um
triângulo:
tri - três
gono - ângulo
metrien – medida
A origem da trigonometria é incerta. O seu desenvolvimento deu-se principalmente
devido aos problemas gerados pela Astronomia e Navegações, por volta do século IV ou V
a.C., com os egípcios e babilônios.
Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se
eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram as suas frações sexagesimais.
Os gregos fizeram um estudo sistemático das relações entre arcos numa circunferência
e os comprimentos das suas cordas.
Já na antiguidade, por meio de observações elementares, os astrônomos sentiam
necessidade de desenvolver métodos elaborados de medição. Pois frequentemente os
problemas astronômicos requerem que certas partes de figuras geométricas imaginárias sejam
deduzidas de outras, já conhecidas. Em geral isso faz-se mediante o estudo das relações entre
os ângulos de um triângulo; ou seja, a trigonometria.
A "Trigonometria" era baseada no estudo da relação entre um arco arbitrário e a sua
corda.
Os conceitos de seno e cosseno foram originados pelos problemas relativos à
Astronomia, enquanto que o conceito de tangente, ao que parece, surgiu da necessidade de
calcular alturas e distâncias.
Como medir uma altura inacessível?
O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitas
pessoas acreditam que este nome deve-se ao fato de o gráfico da função correspondente ser
bastante sinuoso.
A palavra cosseno surgiu somente no século XVII, como sendo o seno de um ângulo
complementar.
A função tangente era a antiga função sombra, que tinha ideias associadas a sombras
projetadas por uma vara colocada na horizontal. A variação na elevação do Sol causava uma
variação no ângulo que os raios solares formavam com a vara e, portanto modificava o
tamanho da sombra.
262
MarinêsYolePoloni
Assim, a tangente e a cotangente vieram por um caminho diferente daquele das
cordas que geraram o seno. Foram conceitos desenvolvidos juntos e não foram primeiramente
associados a ângulos, sendo importantes para calcular o comprimento da sombra que é
produzida por um objeto. O comprimento das sombras foi também de importância no relógio de
sol. Tales usou os comprimentos das sombras para calcular as alturas das pirâmides através
da semelhança de triângulos.
Por volta de 250 a.C, Aristarco de Samos, propôs o revolucionário modelo heliocêntrico
para o nosso universo: a Terra gira diariamente em torno do seu eixo e anualmente em torno
do Sol. Além de ter suposto o Sol como centro do sistema planetário, ele calculou a distância
Terra-Sol em função da distância Terra-Lua.
Por volta de 200 a.C, Eratóstenes calculou de uma maneira engenhosa o raio da Terra
a partir da simples observação de que na cidade de Assuan situada no hemisfério Norte a uma
o
latitude de 23 , no dia 21 de junho, ao meio dia, os raios do Sol incidiam perpendicularmente
sobre esta cidade.
O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser
chamado "o pai da Trigonometria" pois, na segunda metade do século II a.C.,
―construiu o que foi presumivelmente a primeira tabela trigonométrica
com valores das cordas de uma série de ângulos de 0° a 180°,em cuja
montagem utilizou interpolação linear. Resolveu então associar a cada
corda de um arco o ângulo central correspondente, o que representou
um grande avanço na Astronomia‖ (Lobo da Costa, 1997).
Hiparco foi uma figura de transição entre a astronomia babilônica e a obra de
Ptolomeu.
A "Trigonometria" era então baseada no estudo da relação entre um arco arbitrário e
sua corda. Hiparco escreve a respeito do cálculo de comprimentos das cordas.
―Ptolomeu construiu uma tabela de cordas dos arcos de 10até 1800de
meio em meio grau nos capítulos 10 e 11 do seu livro I. Faremos a
construção da tabela utilizando o seno no lugar da corda‖(Bongiovani,
2009).
A relação entre o seno de um ângulo α e a corda subentendida por esse ângulo numa
circunferência de raio 60 é crd
120.sen
2
. Se AB é a corda relativa a
então temos:
263
MarinêsYolePoloni
sen
2
AM
60
AB
2
60
AB
120
Atividade:Construir uma pequena tabela de senos de alguns ângulos utilizando o método de
Hiparco.
Material: Barbante, papel, tesoura, régua, tranferidor e calculadora.
Referências:
Bongiovanni V. :A construção de uma tabela trigonométrica ;Unión- Número 18, páginas 81 –
92 ISSN: 1815-0640 Junio de 2009
Lobo da Costa N. M. :Funções seno e cosseno: uma sequência de ensino a partir dos
contextos do “mundo experimental” e do computador ;Dissertação de Mestrado – PUC –
SP - 174 p. - São Paulo, 1997
Um pouco da História do Radiano
Ângulos
Um estudo do desenvolvimento da trigonometria ficaria incompleto caso não
analisasse a evolução das concepções, definições e medidas angulares.
Não sabemos exatamente quando e onde o conceito de ângulo emergiu pela primeira
vez. Segundo Kline (1953), pode ter surgido em tempos muito remotos, quando o homem
observou a figura formada pelo braço, o antebraço e o cotovelo ou então pela perna, coxa e
joelho. Apoiando-se nesta visão, ele cita o uso das palavras “braço” de um ângulo, em inglês,
e “perna” de um ângulo, em alemão.
O conceito de ângulo foi usado pelos babilônios para resolver problemas práticos e
pelos egípcios para as mensurações das pirâmides e de suas fazendas, constantemente
inundadas pelo Nilo. Foi, porém, na civilização grega, quando o conceito de ângulo já estava
arraigado não só no plano, mas também em sólidos e em superfícies curvas, que surgiram as
primeiras tentativas de defini-lo. (Lobo da Costa, 1997)
Definições de ângulo
264
MarinêsYolePoloni
A maioria das antigas definições gregas tentava abranger todos os tipos de ângulo.
Em ―Os Treze Livros dos Elementos de Euclides‖, de Heath (1956) aparecem várias definições
para ângulos. Mencionaremos, aqui, as mais avançadas e amplamente aceitas, que foram as
de Euclides (aproximadamente 300 a.C.).
“Um ângulo plano é a inclinação de uma em relação à outra de duas linhas
no plano que se encontram e que não estão numa mesma reta”.
“Quando as linhas contendo o ângulo estão em linha reta, ele é chamado
retilíneo” (pág.176 - definições 8 e 9).
A frase ―estão em linha reta‖ modernamente é estranha, pois a definição se refere
tanto a ângulos formados por curvas como por linhas retas.O nosso ângulo plano era na
época chamado de ângulo retilíneo.
Analisando a evolução do conceito e das definições de ângulo, notamos que é citado,
com frequência, na literatura (Freudenthal, 1976; Heath, 1956; Close, 1982) que não há uma
definição universalmente aceita para ângulo, mas que existem diversas definições em uso. Em
1893 o alemão Schottenas classificou em três categorias, representando as visões de ângulo
como :
1) A DIFERENÇA DE DIREÇÕES ENTRE DUAS LINHAS RETAS.
2) A ROTAÇÃO NECESSÁRIA PARA TRAZER UM DE SEUS LADOS DESDE SUA POSIÇÃO
INICIAL, ATÉ O OUTRO LADO, PERMANECENDO NO MESMO PLANO.
3) A PORÇÃO DO PLANO ENTRE DUAS SEMI-RETAS COM ORIGEM EM UM PONTO.
Também podemos classificá-las como estáticas ou dinâmicas, sendo os grupos 1 e 3
o das definições estáticas e, o grupo 2, as dinâmicas .
A definição de Euclides encontra-se no grupo 1. Exemplo típico de abordagem
estática, não incluiu nem o ângulo nulo e nem o de 180º. As transformações geométricas são
um exemplo de abordagem dinâmica. Nelas, as isometrias são um conceito central e permitem
comparações de ângulos.
Outra forma de classificação pode ser como definições antigas ou modernas. Sob
este ponto de vista, o grupo 1 é o das antigas e os grupos 2 e 3 das modernas.
O grupo 2 da classificação das definições baseia-se na ideia de rotação de uma linhareta ou semi-reta em um plano, em torno de um ponto. Pode ser um conveniente método de
introdução de ângulo. Porém, por ela se introduz primeiro a noção de ângulo e só depois a de
ângulos de medidas iguais, já que não inclui concepções métricas.
O grupo 3 de definições não corresponde inteiramente à concepção atual de ângulo,
podendo ser hoje o setor angular. Tal problema, no entanto, pode ser minimizado considerando
um ângulo como “junção de duas semi-retas com origem no vértice e incluídos no setor
angular” (HEATH, 1956, pág. 178 e 179, apud Lobo da Costa, 1997).
Unidades de medidas de ângulos
As unidades de medida mais comuns para medir ângulos são o grau e o radiano.
Os povos babilônicos dividiram a circunferência em 360 partes dando a cada uma delas
o nome de grau. Segundo Lobo da Costa, muitas vezes o grau é a única unidade de medida
introduzida nas escolas fundamentais.
Existe também a unidade de medida grado ondea circunferência é dividida em 400
partes.
―O radiano, em sua origem, contrasta com o grau. Ele surgiu num trabalho do físico
Thomson em 1873. Ele e o matemático Thomas Muir acharam necessário uma nova unidade
angular, e escolheram o nome radian, que é uma combinação de radial angle. O radiano foi
adotado na busca de simplificação de certas fórmulas matemáticas, como derivadas e integrais
de funções trigonométricas e físicas, como as expressões para velocidade e aceleração em
movimentos curvilíneos.‖ (Lobo da Costa p.30)
Referência:
265
MarinêsYolePoloni
Lobo da Costa. N. M: Funções seno e cosseno: uma sequência de ensino a partir dos
contextos do mundo experimental e do computador – Dissertação de Mestrado – PUC-SP –
São Paulo, 1997.
Alguns livros didáticos utilizados na cidade de São Paulo
Livro A
Livro B
266
MarinêsYolePoloni
Livro C
267
MarinêsYolePoloni
APÊNDICE 3
Atividade Radiano
1) Com o compasso, construa uma circunferência de raio qualquer.
2) Com a mesma abertura do compasso, divida a circunferência em partes congruentes.
3) Quantas partes serão obtidas?
4) Corte vários pedaços de barbante com a mesma medida do raio da circunferência que
você traçou.
5) Quantos pedaços de barbante ―cabem‖ na circunferência?
6) O radiano é o barbante ou o arco que foi traçado por você com o compasso?
APÊNDICE 4
Diário de Bordo 1
Observe este diálogo muito comum nas salas de aula.
Professor: O comprimento de uma circunferência é dado por 2 r . Sabemostambém
que uma volta completa equivale a 360o.
Se o raio da circunferência vale 1, temos:
360o
2 .1 rad
2
rad
rad
180o
360o
Aluno:Mas como assim?
O não é mais 3,14?
É o mesmo
?
Que é esse, professor?
1) Como você agiria nesta situação a fim de esclarecer o aluno?
2) Qual a sua opinião a respeito da aprendizagem do conceito de radiano pelo aluno
analisando a abordagem feita pelos livros didáticos?
3) Qual a importância de se discutir, durante as aulas, a unidade de medida radiano para a
aprendizagem dos alunos?
268
MarinêsYolePoloni
APÊNDICE 5
OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO
Significado de
O objetivo desta atividade é relembrar alguns comandos do GeoGebra e retomar o conceito do valor de .
Arquivo Pronto para utilizar em Sala de Aula
Passo.
1.
2.
Comando
No menu exibir:
exibir eixos e exibir janela
algébrica.
Selecionar o ícone controle
deslizante
Ação.
Na tela, aparecerão os eixos e a janela
algébrica.
Colocar o mínimo de 0 e o máximo de 5
3.
Selecionar o ícone Círculo dado
o centro e o raio
4.
Selecionar o ícone Intersecção
de dois objetos
5.
Selecionar o ícone Segmento
formado por dois pontos
6.
Com o botão direito do mouse
dar um click no raio e selecionar
propriedades
Selecionar o ícone distância,
comprimento ou perímetro
Em propriedades, alterar espessura da
linha e cor.
Selecionar o ícone Inserir texto
Escrever ―raio = ― e clicar na letra
referente ao raio em ―objetos‖
7.
8.
Comando
Use como centro de sua circunferência o
ponto (0,0)
Na janela raio, colocar a letra a (referente
ao controle deslizante)
Encontrar a intersecção entre a
circunferência e o eixo das abscissas.
Serão marcados os pontos B e C
Marcar o raio AC e o diâmetro CB
Medir o comprimento da circunferência
269
MarinêsYolePoloni
9.
Selecionar o ícone Inserir texto
10.
Formatar os dois últimos textos
da mesma cor dos segmentos
do passo 6
Selecionar o ícone Inserir texto
11.
Escrever ―diâmetro = ― e clicar na letra
referente ao diâmetro em ―objetos‖
Clicar em fórmula La Tex, raízes e
frações. Colocar o cursor no numerador
e clicar no valor do perímetro que está na
janela algébrica. Colocar o cursor no
denominador e clicar na letra referente
ao diâmetro nos ―objetos‖
Dentro dos parênteses, digitar
―perímetroc‖ como aparece na janela
algébrica. Clicar a barra de divisão e a
letra referente ao diâmetro que está na
janela algébrica.
Completar a fórmula colocando o― = ‖ e a
letra que representa o que está nos
objetos
12.
Na caixa de entrada digitar ( )
que ficarão em vermelho
13.
Dar um duplo click sobre o texto
que exibe o quociente entre o
perímetro e o diâmetro.
14.
Caixa para exibir / Esconder
objetos
Escrever raio no espaço reservado à
legenda e, com o mouse, .clicar sobre o
segmento raio.
15.
Caixa para exibir / Esconder
objetos
Fazer o mesmo com a circunferência.
APÊNDICE 6
Diário de Bordo 2
Segundo os PCN, os jogos são um importante recurso para o ensino da Matemática, entretanto
poucos são os professores que fazem uso dessa estratégia no ensino da Trigonometria. Você,
neste encontro, vivenciou dois jogos que podem ser facilmente trabalhados com os alunos em
sala de aula. Como você acha que seus alunos reagiriam pedagogicamente frente a eles?
Com relação à atividade que constata que o número é o quociente entre o comprimento da
circunferência e a medida de seu diâmetro, como você imagina que será a aprendizagem de
seu aluno?
As diferentes atividades trabalhadas no encontro de hoje podem fazer com que o aluno
contextualize o ensino da Trigonometria?
270
MarinêsYolePoloni
APÊNDICE 7
Prezado Professor,
O questionário abaixo tem por objetivo obter elementos para subsidiar a elaboração de uma
sequência didática sobre trigonometria para o nosso grupo.
Os sujeitos terão sua identidade preservada, não sendo identificados.
Os dados servirão para a pesquisa de doutorado de MarinêsYolePoloni.
Obrigada
Nome:__________________________________________________________
QUESTIONÁRIO II
1. Como você explicaria, em suas aulas, os arcos notáveis (30°, 45° e 60°) e os seus
respectivos valores de seno e cosseno?
2. Como podemos relacionar os valores de seno e o cosseno desses arcos com os
valores de seno e cosseno de 120°, 135°, 330°, 300° e 240° por exemplo?
3. A situação descrita a seguir é real. Imagine-se nela e tente dar uma resposta melhor
que a do professor em questão, uma vez que este não conseguiu convencer seu aluno.
Aluno: - Tá, professor... tem que decorar essa tabela aí, né? (tabela de senos e
cossenos de 30°,45°e 60°)
Professor: - Tem sim, mas a musiquinha ajuda a decorar, não é?
Aluno: - É e também tem o seno de 60° que é igual ao cosseno de 30°. Por que ?
Professor: - Porque foi calculado e deu isso.
Aluno: - Ah.... Tá, né?
4. O Caderno do Professor (2009) destinado ao 2º ano do Ensino Médio trabalha com os
ângulos em graus e apresenta um gráfico de seno de x da seguinte forma:
Como você avalia essa apresentação na qual os valores representados no eixo x estão
em graus?
5. Qual sua expectativa em relação às nossas próximas sessões?
271
MarinêsYolePoloni
APÊNDICE 8
OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO
O objetivo desta atividade é localizar os arcos notáveis e seus côngruos num círculo
reutilizando os conceitos da atividade feita no papel.
Arquivo Pronto para utilizar em Sala de Aula
Passo.
1.
Comando
Selecionar o ícone Círculo dado
o centro e o raio
2.
Círculo dado o centro e o raio.
Ação.
Use como centro de sua circunferência o
ponto (0,0)
Na janela raio, colocar um valor acima de
3 para que o circulo não fique tão
pequeno.
Dividir o círculo em 6 partes congruentes.
3.
Selecionar o ícone Ponto de
intersecção
Marcar os pontos de intersecção entre os
círculos.
4.
Ícone exibir e esconder objetos
Apagar os círculos auxiliares.
5.
Selecionar o ícone Inserir texto
Clicar em fórmula La Tex,frações
escrevendo Pi/3
6.
7.
Comando
Fazer o mesmo com os arcos côngruos.
Selecionar o ícone bissetriz
8.
9.
Selecionar ponto sobre objeto
10.
Habilitar o rastro
11.
.
Encontrar a bissetriz de Pi/3
Fazer o mesmo para encontrar os arcos
côngruos a Pi/4
Marcar um ponto que deve percorrer o
círculo todo começando do arco 0°.
Com o botão direito, clicar sobre o ponto
do passo 9 e clicar em habilitar rastro
Movimentar o ponto.
272
MarinêsYolePoloni
APÊNDICE 9
Diário de Bordo 3
1) Observe o ciclo trigonométrico e as simetrias que foram formadas.
Como você poderia provar a congruência dos triângulos para seus alunos?
2) Na sua opinião, qual o impacto dessas demonstração na aprendizagem dos alunos?
3) A visualização, por meio do GeoGebra, do seno e do cosseno de arcos simétricos no
ciclo trigonométrico pode fazer com que o aluno compreenda de forma não decorada
que sen 30° = sen 150°, por exemplo?
APÊNDICE 10
OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO
O objetivo desta atividade é visualizar o seno e o cosseno bem como as simetrias que
acontecem no ciclo trigonométrico..
Arquivo Pronto para utilizar em Sala de Aula
273
MarinêsYolePoloni
Passo.
1
2
Comando
Selecionar o ícone
circunferência dado centro e
raio.
Selecionar o ícone intersecção
de dois objetos.
Ação.
Clicar no ponto ( 0, 0) e colocar o raio
igual a 1.
Criar ponto de intersecção entre os
dois eixos.
3
Selecionar o ícone ponto
Clicar em ponto num objeto e colocar um
ponto B na circunferência.
4
Selecionar o ícone retas
paralelas ou perpendiculares
Traçar reta paralela ao eixo x que passe
pelo ponto B e reta paralela ao eixo y
que passe pelo ponto B.
5
Selecionar o ícone segmento
por dois pontos .
Traçar o triângulo retângulo (marque as
intersecções necessárias antes).
6
Selecionar o exibir esconder.
Esconder as retas e deixar apenas os
segmentos.
7
Selecionar o ícone medir
Medir os segmentos seno e cosseno e o
ângulo.
8
Selecione o botão direito do
mouse
Clique em propriedades e mude cor e
espessura.
Fazer o mesmo para o cosseno
9
Comando
Arquivo Pronto para utilizar em Sala de Aula
Passo.
1.
2.
Comando
Selecionar o ícone Simetria
(reflexão em relação a uma reta)
Ação.
Faça a simetria do triângulo nos 4
quadrantes.
Selecionar o ícone arco.
Marque o arco do primeiro
quadrante e mude sua cor e espessura.
Comando
274
MarinêsYolePoloni
APÊNDICE 11
OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO
O objetivo desta atividade é visualizar a função seno no intervalo [ 0 , 2 ].
Arquivo Pronto para utilizar em Sala de Aula
Passo.
1.
Comando
Digitar a fórmula da
circunferência de centro
(0, 0) e raio 1 na caixa de
entrada.
Ação.
2
2
c: x + y = 1
2.
Selecionar o ícone
intersecção de dois
objetos.
3.
Selecionar o ícone ponto
sobre o objeto
Colocar um ponto sobre a circunferência.
4.
Botão direito sobre o
ponto marcado na
circunferência.
Selecionar o ícone
segmento por dois pontos
.
Propriedades, básico, rótulo, Nome e valor.
6.
Selecionar o ícone
intersecção de dois
objetos..
Criar a intersecção da circunferência com o eixo
x. (C. D)
7.
Selecionar o ícone ângulo.
Marcar o ângulo CÂB
8.
Na caixa de entrada criar
um ponto
E( x, y).
Digitar E: (0 , y(B)).
9.
Selecionar o ícone inserir
texto.
5.
10.
11.
Na caixa de entrada
12.
Clicar no ponto B da
circunferência com o
botão direito do mouse.
Comando
Criar ponto de intersecção entre os dois
eixos. Ele receberá o nome A.
Criar o segmento AB
Clicar sobre o ponto B.
Fórmula látex
sen , símbolo básico,
=objeto
Clicar na caixinha e arrumar para sin(
Aparecerá
sen\alpha=
(do objeto)
Digitar o ponto da função seno:G:(
Obs: os não devem ser digitados e sim
clicados no ícone que fica à direita da caixa de
texto.
Animar
275
MarinêsYolePoloni
APÊNDICE 12
Diário de Bordo 4
1) No encontro de hoje, você construiu a atividade abaixo:
Analise esta construção tendo por base as possibilidades de aprendizagem dos alunos.
2) Na sua opinião como professor, qual a relação que os alunos fazem entre o sen e o seno
de seu suplemento
E entre o cos e o cosseno de seu suplemento
3) Na sua opinião como professor, qual a relação que os alunos fazem entre o sen e o sen
E entre o cos e o cos
276
MarinêsYolePoloni
APÊNDICE 13
Disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/docs-pt/03-Ponte(Profmat).pdf
Investigar, ensinar e aprender87
João Pedro Mendes da Ponte
Faculdade de Ciências, Universidade de Lisboa
Tradicionalmente, ensino e investigação são actividades distintas. O que o ―investigador‖ descobre ou
inventa, o professor, noutro tempo e noutro contexto, ensina aos seus alunos. Esta separação entre
investigar e ensinar tem vindo a ser questionada, do mesmo modo que se tem vindo a pôr em causa a
existência de uma separação incontornável entre investigar e aprender. Afinal, quem investiga está a
procurar aprender e quem aprende pode ter muito interesse em investigar. Deste modo, parece pertinente
revisitar os conceitos de investigar, ensinar e aprender e analisar o modo como se podem interligar no
processo de ensino-aprendizagem da Matemática e na actividade profissional do professor desta
disciplina. É o que procurarei fazer, tendo por base exemplos de actividades e projectos da educação
matemática portuguesa.
1. Investigar, ensinar e aprender
Existem muitas perspectivas sobre o que é investigar. Tal como acontece com muitas outras palavras,
―investigar‖ pode assumir múltiplos significados. Na sociedade moderna, constituíram-se poderosas
comunidades académicas em muitas áreas do saber, que reivindicam para si um estatuto especial e de
algum modo se apropriaram deste termo. Geraram-se então diversos mitos:



Investigar é uma actividade transcendente, que envolve o uso de metodologias sofisticadas, requerendo
recursos especiais e uma longa preparação prévia.
Investigar é uma actividade reservada a um grupo especial de pessoas, os ―investigadores profissionais‖.
Ensinar e investigar são duas actividades contraditórias, que não se conseguem fazer em simultâneo sem
comprometer a qualidade de uma ou outra.
Existe aquilo que podemos chamar a ―grande investigação‖, que se realiza nas universidades,
empresas e laboratórios do Estado e que tem uma certa função social. No entanto, parece-me altamente
redutor afirmar que, pelo simples facto dessa investigação existir, ser legítima e ser mais ou menos útil,
mais nenhuma investigação pode existir. Na minha perspectiva, ―investigar‖ não é mais do que procurar
conhecer, procurar compreender, procurar encontrar soluções para os problemas com nos deparamos.
Trata-se de uma capacidade de primeira importância para todos os cidadãos e que deveria permear
todo o trabalho da escola, tanto dos professores como dos alunos. Não vejo como necessariamente
contraditórias as actividades de investigar e ensinar. Eu próprio tenho retirado muitos benefícios para a
minha actividade de investigação do contacto com os meus alunos, pelo desafio que eles colocam à
organização das ideias e pelas perguntas pertinentes que obrigam muitas vezes a repensar os
problemas. De modo semelhante, penso que a minha actividade como docente tem beneficiado
fortemente do que tenho aprendido como investigador. Aliás, existem exemplos clássicos na história da
ciência de influências mútuas entre os papéis de professor e investigador. Um deles, por exemplo, diz
respeito a Lobachevisky. Foi o seu trabalho como professor de Geometria que o levou a olhar de modo
mais atento para o V Postulado de Euclides e a procurar formas sugestivas de o explicar aos seus alunos.
Esse postulado desde há muito incomodava os matemáticos, por diversas razões, e muitos deles
interrogavam-se se não seria possível deduzi-lo dos restantes. Foi também isso que tentou fazer
Lobachevisky e, quando se convenceu da impossibilidade dessa dedução, resolveu experimentar as
consequências de assumir um postulado alternativo, concluindo pela possibilidade da existência de
Geometrias não euclideanas. Algo de semelhante aconteceu com o químico Mendeliev, que teve a ideia
da construir uma tabela para melhor explicar as propriedades dos elementos então conhecidos aos seus
alunos. A tabela periódica viria a ser um dos pilares fundamentais da Química moderna, levando à
descoberta de novos elementos e novas propriedades e sugerindo muitas pistas para a compreensão da
estrutura da matéria.
Do mesmo modo, existem muitos significados para o termo ―aprender‖ e muitas visões sobre como se
aprende. Na visão dos saudosistas da escola do passado, aprender é sobretudo adquirir conhecimentos,
quer factuais – sobre os rios, as linhas de caminho de ferro, os reis e as batalhas, as regras gramaticais,
etc., – quer processuais – por exemplo, respeitantes ao cálculo numérico e algébrico. Para outros, a
87
Actas do ProfMat 2003 (CD-ROM, pp. 25-39). Lisboa: APM.
277
MarinêsYolePoloni
aprendizagem é um fenómeno natural, que acontece constantemente no nosso dia-a-dia, uma vez que
todos aprendemos a falar, todos aprendemos as regras básicas do comportamento social, etc. E por aí
fora, não faltam as visões redutoras, que salientam um ou outro aspecto desse processo multifacetado e
complexo que é aprender, apresentando uma perspectiva parcial e limitada. Para mim, o que está em
causa na aprendizagem escolar da Matemática, é o desenvolvimento integrado e harmonioso de um
conjunto de competências e capacidades, que envolvem conhecimento de factos específicos, domínio de
processos, mas também capacidade de raciocínio e de usar esses conhecimentos e processos em
situações concretas, resolvendo problemas, empregando ideias e conceitos matemáticos para lidar com
situações das mais diversas, de modo crítico e reflexivo.
E, finalmente, existem muitas acepções do que é ensinar e do que é ser professor. Para muitos, será
sobretudo o ―debitar‖ da matéria, em frente do quadro ou, de modo mais sofisticado, com retroprojectorou
Powerpoint. Nesta perspectiva, ensinar e aprender são independentes – o professor pode ensinar sem
que os alunos aprendam. Mas também se pode assumir a perspectiva oposta – se os alunos não
aprenderam, é porque o professor não ensinou. Falou, gesticulou, escreveu no quadro, esforçou-se, mas
falhou. Se partirmos do princípio que o professor existe para que os alunos aprendam e se estes não
aprenderam, então ele não ensinou. Nesta perspectiva, ensinar é algo bastante mais complexo do que
apenas transmitir conhecimentos e a função fundamental do professor, por onde é preciso avaliar os
resultados do seu trabalho, é a promoção da aprendizagem dos seus alunos.
2. Investigar – em Matemática
Muitos trabalhos têm sido feitos em Portugal dando atenção ao processo de investigação em
Matemática. Temos hoje já uma noção bastante clara do papel dos problemas, das diversas fases de um
processo típico de investigação, da formulação de questões até à produção, teste e refinamento de
conjecturas, e daí às tentativas de prova e ao processo de divulgação de resultados. Temos também uma
boa noção do papel dos aspectos conscientes e inconscientes desse processo, da sensibilidade estética
e da motivação a partir de analogias físicas. Sabemos, também que existem diferentes estilos cognitivos,
ou seja diferentes modos de pensar e de criar em Matemática (Burton, 2001; Hadamard, 1945; Oliveira,
2002; Poincaré, 1996; Ponte, 2001). O que não tem sido tão discutido, a meu ver, é o papel que as
actividades de investigação podem ter no processo de ensino-aprendizagem da Matemática. É este
ponto que iremos considerar de seguida.
Diferentes tipos de tarefas
O ensino-aprendizagem da Matemática assenta na actividade que os alunos levam a cabo na
sala de aula e esta, por sua vez, depende muito das tarefas apresentadas pelo professor. Todas as
matérias escolares têm as suas tarefas características. Por exemplo, na aprendizagem da escrita
tínhamos antigamente a cópia, o ditado e a redacção. A Didáctica da Língua mostrou as insuficiências
destes tipos de tarefa, e fez surgir outras como o texto orientado e o texto livre.
A Matemática tem também as suas tarefas características. A mais conhecida de todas, é o
88
exercício . Mas há outros tipos de tarefa, como os problemas e as investigações (exemplos na Figura 1).
Por vezes também se fala em tarefas de modelação e projectos. É de notar que as características de uma
tarefa não são absolutas mas relativas à pessoa que a realiza. Uma mesma questão pode ser para uma
pessoa um problema e para outra um exercício, etc.89
88
Note-se que não é só em Matemática que se fazem exercícios. Há exercícios um pouco por toda a
parte, das línguas à Educação Física, passando pelas ciências como a Física e a Química, e até nas
artes performativas como a Música, a Dança e o Teatro...
89
Deve ter-se em atenção que o conceito associado a cada uma destas designações varia por vezes de
país para país e até de autor para autor. Usarei aqui o sentido mais corrente no nosso país.
278
MarinêsYolePoloni
Figura 1 - Exemplos de tarefas
Na minha perspectiva, uma tarefa tem quatro dimensões básicas: O seu grau de dificuldade, a sua
estrutura, o seu contexto referencial e o tempo requerido para a sua resolução. Conjugando as duas
primeiras dimensões, obtemos quatro tipos básicos de tarefa, que podemos visualizar no esquema da
Figura 2:




Figura 2 – Os diversos tipos de tarefas, em termos do grau de dificuldade e de abertura
Deste modo:
Os exercícios são tarefas sem grande dificuldade e estrutura fechada (2º quadrante);
Os problemas são tarefas também fechada, mas com elevada dificuldade (3º quadrante);
As investigações têm um grau de dificuldade elevado, mas uma estrutura aberta (4º quadrante);
Finalmente, as tarefas de exploração são fáceis e com estrutura aberta (1º quadrante).
Muitas vezes não se distingue entre tarefas de investigação e de exploração, chamando-se
―investigações‖ a todas elas. Isso acontece, muito provavelmente, porque é complicado saber à partida
qual o grau de dificuldade que uma tarefa aberta terá para um certo grupo de alunos. No entanto, uma
vez que atribuímos importância ao grau de dificuldade das tarefas, é preferível termos uma designação
para as tarefas abertas mais fáceis e outra designação para as mais difíceis.
Um projecto, qualquer que seja a forma que assuma, no fundo não é senão uma tarefa de
investigação com um carácter relativamente prolongado. De facto, uma investigação pode demorar mais
ou menos tempo. Certas investigações demoram anos e até décadas a concluir (basta pensar em alguns
doutoramentos...). Outras demoram um tempo relativamente curto, podendo realizar-se numa aula ou
numa curta sequência de aulas. Um projecto é algo que demora sempre o seu tempo. Ninguém faz um
projecto em meia hora... O projecto, de resto, é um excelente exemplo de uma tarefa de longa duração
enquanto que as actividades de natureza mais estruturada, por via de regra, são para resolver num prazo
relativamente curto. Deste modo, a dimensão tempo ajuda essencialmente a distinguir entre os projectos
e os outros tipos de tarefas.
A outra dimensão a que fizemos referência diz respeito ao contexto referencial: a tarefa pode ser
contextualizada numa situação real ou formulada em termos puramente matemáticos. Skovsmose (2000)
indica ainda um terceiro tipo de situações, a que chama de “semi-reais”: situações que à primeira vista
parecem reais, mas que na prática são abstractas, pois nelas não há que atender às propriedades dos
objectosexcepto aquelas que o contrato didáctico indica serem relevantes para a respectiva resolução.
Existem vários tipos de tarefas formuladas em termos de situações reais ou semi-reais que aparecem
com frequência no ensino da Matemática: exercícios e problemas de aplicação e tarefas de modelação.
Trata-se de tipos particulares de exercícios, problemas e tarefas de exploração e investigação,
dependendo do seu grau de dificuldade e da sua estrutura.
As dimensões dificuldade, estrutura, tempo e contexto, são todas elas importantes, sugerindo
dimensões em que devem variar as tarefas propostas pelo professor. Procurarei, aqui, fazer ressaltar a
importância das explorações e investigações, incluindo, naturalmente, projectos, bem como questões
formuladas em termos de situações reais e em termos puramente matemáticos.
Exemplo 1 – Propriedades verdadeiras e falsas
90
Esta tarefa (Figura 3) foi desenvolvida no Projecto Matemática para Todos (MPT) e o seu uso na
sala de aula vem relatado em vários artigos. Reporto-me, aqui, à descrição realizada por Irene Segurado
(2002).
90
Este projecto decorreu de 1995 a 1999 e a sua actividade está documentada em publicações como
Abrantes, Leal e Ponte (1996), Abrantes, Ponte, Fonseca e Brunheira (1999) e Ponte, Oliveira, Cunha e
Segurado (1998).
279
MarinêsYolePoloni
Figura 3 - Propriedades verdadeiras e falsas
De acordo com a nossa terminologia, podemos classificar esta tarefa como uma exploração. Um
aspecto interessante é que ela está estruturada de modo variável. As duas primeiras questões são
relativamente estruturadas e as duas últimas são bastante abertas. No entanto, mesmo as duas primeiras
questões não se reduzem a uma usual listagem de exercícios, em que os itens são todos independentes,
ou seja, em que uma vez feito um item passa-se ao item seguinte e não se pensa mais no assunto.
Embora os itens pareçam fortemente repetitivos, há um raciocínio de segunda ordem que pode ser feito a
partir de todos eles e que tem a ver com certas regularidades que será interessante analisar. Por outro
lado, as questões mais estruturadas constituem um trabalho de preparação, permitindo aos alunos
―ambientar-se‖ na tarefa e recordar a sua compreensão dos conceitos fundamentais – neste caso o
conceito de potência91 –, o que lhes facilita depois a realização de um trabalho produtivo nas questões
mais abertas.
Outro aspecto interessante é que as questões propostas têm o mais possível a ver com o
programa oficial: potências e operações com potências, ou seja, cálculo aritmético puro e duro. Não
estamos num mundo à parte, a usar o nosso preciso tempo com coisas marginais, mas estamos no
próprio coração do currículo tradicional. Este exemplo mostra como em tópicos curriculares, onde
aparentemente não se pode realizar senão exercícios repetitivos, é possível fazer muito trabalho
exploratório e investigativo.
Como Irene explica no seu relato, os alunos (6º ano) começaram a trabalhar em grupos sem
dificuldade, e rapidamente se aperceberam que não se pode calcular o valor de uma potência
multiplicando a base pelo expoente. A segunda questão também não se revelou difícil e a maior parte dos
alunos limitou-se a responder ao que era pedido. Como seria de esperar, foi nas questões e 3 e 4 que
eles se mostraram mais criativos e empreenderam a exploração de caminhos que iam para além do que
era pedido no enunciado.
Na realização destas tarefas na sala de aula, a discussão final é um dos momentos mais
importantes para a institucionalização das aprendizagens e até, para a exploração de novos caminhos.
91
Para alguns alunos, pode ser mais que recordar – pode ser desenvolver, no diálogo com os seus
colegasde grupo, a sua compreensão desse conceito.
280
MarinêsYolePoloni
Na discussão da questão 2, por exemplo, surgiu uma situação interessante. A professora lembrou-se de
colocar um caso diferente dos casos já trabalhados pelos alunos (potências em que a base é um número
com parte inteira e parte decimal). Um aluno respondeu rapidamente, com uma resposta errada, mas num
tom muito assertivo, de quem está perfeitamente convencido do que está a dizer. A professora identificou
esta resposta como uma conjectura, sujeita, naturalmente, a ser testada. Experimentados alguns
exemplos, a turma concluiu que se tratava de uma conjectura falsa. Como diz Irene, os alunos
perceberam ―que, por vezes, o que parece evidente não se revela verdadeiro‖ (p. 65).
Na questão 3, foram relatadas descobertas interessantes feitas por alguns grupos, como por
exemplo:
Na questão 4, todos os grupos perceberam como funcionava a multiplicação das potências, mas
não conseguiram formulá-lo num enunciado sintético. No diálogo com os alunos, a professora não teve
dificuldade em levá-los a concluir que o expoente da potência do produto é igual à soma dos expoentes
das potências dos factores.
Decisivo para o êxito deste tipo de trabalho, é o modo como o professor responde às dúvidas dos
alunos, dando-lhes atenção e encorajamento sem lhes dar directamente a resposta, e o modo como se
formulam as questões, envolvendo toda a turma e pondo os alunos a argumentar uns com os outros.
O papel das tarefas de exploração e investigação
Uma preocupação fundamental que se destaca nos exemplos anteriores é a de dar ao aluno a
responsabilidade de descobrir e de justificar as suas descobertas. Como diz Leone Burton (1984) ao
sintetizar as orientações de um projecto que dirigiu, centrado na resolução de problemas e na realização
de investigações matemáticas:
Foi pedido [aos professores] que mudassem o seu papel de responsáveis pelo que os
alunos fazem e aprendem para o papel de recurso dos alunos. Os professores foram
encorajados a não fornecer as respostas ou os métodos mas sim a provocar os seus
alunos a procurá-las por si próprios. A noção de responsabilidade era uma noção-chave
– os alunos tomando responsabilidade pela sua escolha dos problemas, dos seus
colegas de trabalho e o seu método de ataque, pelo seu pensamento e pelos seus
resultados. (p. 1)
Se se pretende que os alunos desenvolvam plenamente as suas competências matemáticas e
assumam uma visão alargada da natureza desta ciência , então as tarefas de exploração e
investigação têm de ter um papel importante na sala de aula. O interesse destas tarefas é por vezes
desvalorizado com diversos argumentos: (i) a maior parte dos alunos não tem qualquer interesse por
realizar explorações ou investigações matemáticas; (ii) os alunos têm dificuldade em perceber como
investigar; (iii) antes de poderem investigar os alunos têm de aprender muitos conceitos e procedimentos
básicos; e (iv) a actividade do aluno e a do matemático são necessariamente muito diferentes, porque não
se pode comparar um profissional especializado, que trabalha em coisas que lhe interessam, com uma
criança ou um jovem, que tem uma dúzia de disciplinas para estudar, e que o faz coagido pelo sistema de
ensino. Não é difícil responder a estes argumentos:
(i) É verdade que muitos alunos, infelizmente, não têm qualquer interesse pelas investigações
matemáticas, ou porque não têm interesse pela escola, ou porque têm esse interesse canalizado para
outros objectivos – por exemplo, fazer exercícios em série como preparação para o exame. No entanto,
por mais modesto que seja, há sempre algo que o professor pode fazer para captar a sua atenção: uma
pergunta, uma observação, um desafio. Não o assumir, é dizer que há alunos que são incapazes de
aprender, é negar a função do professor.
(ii) Os alunos à partida não sabem o que é uma investigação. Mas, como é evidente, podem aprender. Na
verdade, os alunos podem precisar de várias experiências em trabalho investigativo para perceberem, de
modo apropriado, o que é este trabalho. A função do professor é ensinar, não é reclamar que os alunos
não sabem.
(iii) Saber conceitos e procedimentos básicos é claro que ajuda na realização de investigações, como em
todo o trabalho intelectual. Mas muitas coisas aprendem-se melhor em actividades significativas, lutando
com dificuldades concretas, do que de uma forma dedutiva e linear. Muitos conceitos e procedimentos
podem ser aprendidos através de actividades exploratórias e investigativas. Por isso, não tem de ser
―primeiro coisa e depois a outra‖. Pode ser, ―umas vezes primeiro uma coisa, outras vezes primeiro a
outra‖, ou ainda, por vezes, ―as duas ao mesmo tempo‖.
(iv) Que o matemático e o aluno são personagens diferentes, não há grande dúvida. Mas a sua actividade
pode ter muitos pontos de contacto. São vários os matemáticos que o dizem, como o francês Jacques
Hadamard (1945):
Entre o trabalho do aluno que tenta resolver um problema de geometria ou de álgebra e
o trabalho de criação, pode dizer-se que existe apenas uma diferença de grau, uma
diferença de nível, tendo ambos os trabalhos uma natureza semelhante. (p. 104)
281
MarinêsYolePoloni
Referências
Abrantes, P., Leal, L. C., & Ponte, J. P. (Eds.). (1996). Investigar para aprender matemática. Lisboa: APM
e Projecto MPT.
Abrantes, P., Ponte, J. P., Fonseca, H., &Brunheira, L. (Eds.). (1999). Investigações matemáticas na aula
e no currículo. Lisboa: APM e Projecto MPT.
Alarcão, I. (1997). Profissionalização docente em construção. In S. Pimenta (Ed.),
Didáctica e formação de professores: Percursos e perspectivas no Brasil e em Portugal. São Paulo:
Cortez.
Boavida, A. M., & Ponte, J. P. (2002). Investigação colaborativa: Potencialidades e problemas. In GTI
(Ed.), Reflectir e investigar sobre a prática profissional (pp.
43-55). Lisboa: APM.
Burton, L. (1984). Thinking things through: Problem solving in mathematics. London:
Simon & Schuster.
Burton, L. (2001). Research mathematicians as learners – and what mathematics education can learn
from them.British EducationalResearchJournal, 27(5),
589-599.
GTI (Ed.). (2002). Reflectir e investigar sobre a prática profissional. Lisboa: APM.
Hadamard, J. (1945). Psychology of invention in the mathematical field.Princeton: Princeton University
Press.
Oliveira, P. (2002). A investigação do professor, do matemático e do aluno: Uma
discussão epistemológica (tese de mestrado, Universidade de Lisboa).
Nóvoa, A. (2002). Os professores e o ―novo‖ espaço público da educação. In A. Nóvoa
(Ed.), Formação de professores e trabalho pedagógico (pp. 9-29). Lisboa: Educa.
Perrenoud, P. (1993). Práticas pedagógicas, profissão docente e formação:
Perspectivas sociológicas. Lisboa: D. Quixote.
Pires, M. (2002). A diversificação de tarefas em Matemática no ensino secundário: Um projecto de
investigação-acção. In GTI (Ed.), Reflectir e investigar sobre a prática profissional (pp. 125-154). Lisboa:
APM.
Poincaré, H. (1996). A invenção matemática. In P. Abrantes, L. C. Leal, & J. P. Ponte
(Eds.), Investigar para aprender Matemática (pp. 7-14). Lisboa: Projecto MPT e APM.
Ponte, J. P. (2001). A comunidade matemática e as suas práticas de investigação.
Documento do círculo de estudos ―Aprender Matemática Investigando‖, Disponível em
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/mem/bibliografia.htm.
Ponte, J. P., Oliveira, H., Cunha, H., & Segurado, I. (1998). Histórias de investigações matemáticas.
Lisboa: IIE.
Segurado, I. (2002). O que acontece quando os alunos realizam investigações matemáticas? In GTI (Ed.),
Reflectir e investigar sobre a prática profissional
(pp. 57-73). Lisboa: APM.
Skovsmose, O. (2000). Cenários para investigação. Bolema, 14, 66-91.
Sousa, O. (2002). Investigações estatísticas no 6º ano. In GTI (Ed.), Reflectir e investigar sobre a prática
profissional (pp. 75-97). Lisboa: APM.
282
MarinêsYolePoloni
APÊNDICE 14
OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO
Nome :__________________________________________________________
Roteiro para construção de gráficos
Grupo 1
y= sen(x)
y= sen (x) +1
y= sen (x) +2
O que você observa ao comparar os gráficos do grupo 1?
Grupo 2
y= sen(x)
y= sen (x) -1
y= sen (x) -2
O que você observa ao comparar os gráficos do grupo 2?
Grupo 3
y= sen(2x)
y= sen (3x)
y= sen (x/2)
y= sen(x/4)
O que você observa ao comparar os gráficos do grupo 3?
Grupo 4
y= 2sen(x)
y= 3sen (x)
y= 4sen (x)
O que você observa ao comparar os gráficos do grupo 4?
Grupo 5
y= sen(Pi/2 - x)
y= cos (x)
O que você observa ao comparar os gráficos do grupo 5?
Grupo 6
y= sen(x - Pi/2)
y= - cos (x)
O que você observa ao comparar os gráficos do grupo 6?
APÊNDICE 15
Diário de Bordo 5
Analise a atividade de construção de gráficos feita neste encontro sob a luz do texto de João
Pedro da Ponte.
Os alunos, hoje em dia são incentivados a investigar o objeto de estudo?
Qual a vantagem da investigação para a aprendizagem dos alunos?
283
MarinêsYolePoloni
APÊNDICE 16
Diário de Bordo 6 – Avaliação do curso
1. Dados pessoais:
Nome:____________________________________________________________
Idade: ____________________
e-mail: ________________________________________________________
Telefone: __________________
Durante os nossos encontros, foram desenvolvidas atividades diversificadas com vários
recursos (História da Matemática, jogos, tecnologias e situações problema diversas).
Escreva com qual delas você mais se identificou e explique o porquê (Como você se sentiu ao
participar da atividade, que lembranças ela lhetrouxe, etc.)
2. Refletindo sobre o ensino de trigonometria, explicite quais as principais dificuldades
identificadas por você no processo de aprendizagem de seus alunos e, de que forma os
recursos discutidos nos encontros poderiam ser utilizados no ensino.
3. O recurso à Historia da Matemática pode auxiliar na construção de conhecimentos. Em
nossos encontros, foram estudados dois textos referentes à história da Matemática, que
poderiam servir a esse propósito.
Comente a afirmação acima.
4. Durante os encontros, em várias das atividades, foram usados recursos tecnológicos.
Nessas atividades, você atuou como aluno, entretanto fez comentários e observações como
professor.
De que forma você entende a aprendizagem de seus alunos em trigonometria com o uso de
recursos tecnológicos? Explique.
5. Os alunos são estimulados por situações desafiadoras e problematizadoras.
As situações problematizadoras criadas nos encontros (discussão de radiano, construção de
gráficos, o ponto (
, as simetrias no ciclo trigonométrico...) seriam aplicáveis com os
seus alunos? Por quê?
6. Você vivenciou a experiência dos jogos em nossas sessões.
Pensando nos alunos, os jogos desenvolvidos podem despertar o interesse. Assim sendo,
conhecimentos de trigonometria podem ser construídos com apoio desse recurso.
Comente a afirmação acima.
7. Explique o que você aprendeu ao longo dos encontros de estudo de trigonometria, em
relação ao conteúdo propriamente dito.
8. Explique o que você aprendeu ao longo dos encontros de estudo de trigonometria e que
poderá ser útil para a sua prática docente.
9. Explique como foi a sua atuação nos encontros (como você se sentiu, como participou, quais
as dificuldades que teve, como você as superou – ou não, etc.).
10. Sugestões que você daria se fossemos começar tudo de novo.
284