21 - PUC-Rio

Resumo - AULA #21- Convecção Natural
Resumo feito por Giancarlo Pauletti – 2001.1
Situação Física de Interesse
Vamos considerar por ora uma superfície horizontal sobre a qual repousa um fluido
(suponhamos água) em equílibrio térmico com a superfície. Esta temperatura será chamada de T ∞ .
Como, por hipótese, não há bombeamento externo, não há tampouco escoamento, ou seja, em todo o
fluido, a velocidade local é zero e, em especial, U ∞ = 0 . Nosso problema começa quando, no
instante t = 0, a placa começa a ser aquecida, por exemplo, através de uma resistência elétrica nela
embutida. Embora seja possível analisar o duplo efeito transiente: o aquecimento da placa e do
fluido, iremos considerar aqui que a capacidade térmica da placa é desprezível, de forma que
instantaneamente, a temperatura da placa passa para Ts , nela ficando durante todo nosso
experimento. É a existência deste diferencial de temperaturas que propicia o início da
movimentação.
Antes de nos preocuparmos com o equacionamento matemático deste problema, convem que
discutamos mais um pouco a situação física. Que tipo de perfil de temperaturas e de velocidades
deveremos esperar?
Esta geometria é considerada pois o escoamento próximo a uma placa vertical é mais fácil de
ser visualizado, analisado e, portanto, entendido. Seguindo as nossas hipóteses, a placa é mantida à
mesma temperatura, Ts . Como longe da placa a temperatura é forçosamente aquela não afetada pela
presença da parede, sendo então a do ambiente, Τ ∞ , o perfil de temperaturas do fluido deverá
variar gradualmente de Ts a T∞ .
Lembrando o conceito de camada limite, é razoável considerar que algo semelhante irá
acontecer aqui.. Note que a região, de espessura δΤ , na qual os efeitos de temperatura são
importantes cresce com a posição x, como poderíamos esperar.
Algo semelhante poderemos esperar para o campo de velocidades. Na parede, isto é, em y =
0, a velocidade é nula pela condição de não deslizamento, como antes. Entretanto, a
velocidade em y = ∞ será nula neste caso. . A variação de velocidade é confinada numa região de
espessura δΗ que cresce à medida que avançamos na direção x do escoamento.
Neste ponto cabe novamente a pergunta: quem é maior, δΤ ou δΗ? E novamente, a resposta
é simples: depende do número de Prandtl.
Equacionamento Matemático
Vamos considerar um elemento de fluido, de dimensões dx, dy, dz, localizado dentro da
camada limite. Por definição, vamos considerar que a pressão e a tensão cizalhante no centro deste
elemento sejam P e τ , respectivamente.
Após algumas manipulações matemáticas, chegamos na equação de movimento do
fluido:
ρ ( ∂u / ∂t
∂ + u. ∂u / ∂x
∂ + v. ∂u / ∂y
∂ ) = − ∂P / ∂x
∂ −ρ .g +µ. ∂ ²u / ∂ y²
Utilizando a aproximação proposta por Oberberck-Boussinesq que sugeriram tratar apenas a
variação da densidade no termo de empuxo e considerar as outras propriedades como constantes,
determinadas à temperatura de filme definida por (Tf = TS + T ∞ ) /2
Com isto, as equações
são:
Continuidade:
∂u / ∂ x + ∂v / ∂y = 0
Quantidade de Movimento, direção x (ao longo da placa):
(u. ∂ u / ∂x
∂ + v. ∂ u / ∂y
∂ ) = (Τ − T ∞ ) .â
â.g.ñ
ñ + µ. ∂ ²u / ∂ y²
Energia:
(u. ∂T / ∂x
∂ + v. ∂T/ ∂y
∂ ) = α ∂ ² T / ∂ y²
Solução por Método Integral
Utilizando um perfil parabólico para a temperatura adimensional:
θ / θ s = ( 1 – y / δ T )²
e um perfil cúbico para o campo de velocidades:
u / umax = y / δh .( 1 − y / δh))²
onde u max é o máximo valor da velocidade dentro da camada limite. Supondo que δt
é uma boa aproximação para gases (Pr ≈1), Eckert obteve soluções
= δh, o que
aproximadas para u max e δ do tipo:
δ/x
δ/ = 3,93.(0,952 + Pr) ¼ . Pr -½. Grx -¼
e
u max / ν = 5,17.(0,952+ Pr) -½. Grx ½
Usando o número de Nusselt, no regime laminar, ou seja, Gr.Pr<10^9, temos:
Nu = 0,679.(Gr. Pr)¼ = 0,679.Ra ¼
Onde Ra é o número de Rayleigh.
Regime Turbulento
Prosseguindo no estudo, Eckert propôs que a velocidade e a temperatura tivessem, no regime
turbulento, a mesma estrutura que a do regime turbulento sobre uma placa plana em escoamento
forçado. Ele considerou os seguintes perfis:
θ / θ s = 1 – (y / δ T )^1/7
e para o campo de velocidades:
u / umax = 1,862 (y / δh)^1/7 . ( 1 − y / δh))^4
Supondo que a camada limite turbulento comece desde a origem, em x = 0, o que
restringe sua aplicação às situações nas quais o comprimento é tal que a parte laminar do
desenvolvimento pode ser desprezível face à turbulenta. Ele obteve para a espessura de camada
limite:
δ/x
δ/ = 0,565. [( 1+ 0,494.Pr^2/3) ^1/10] . Pr ^-8/15 . Gr^-1/10
Correlações para Placas Verticais
Temperatura Superficial Constante:
Regime Laminar (Ra < 10 9 ): Nu = 0,68 + 0,670 . RaL ¼. [ 1+(0,492 / Pr)^9/16]^-4/9
Regime Turbulento (+Laminar): Nu ½ = 0,825 + 0,387. RaL ^1/6.[1+(0,492 / Pr)^9/16]^ -8/27
Fluxo de Calor Constante na Parede:
Regime Laminar (Ra < 10 9 ): Nu = 0,68 + 0,670 . RaL ¼. [ 1+(0,437 / Pr)^9/16]^-4/9
Regime Turbulento (+Laminar): Nu ½ = 0,825 + 0,387. RaL ^1/6.[1+(0,437 / Pr)^9/16]^
-8/27
Correlações para Superfícies Horizontais
Placa quente apontando para cima ou placa fria apontando para baixo:
• Nu = 0,14. RaL^1/3
• Nu = 0,54. RaL ¼
se 10^7 <RaL<10^11
se 10^4 < RaL< 10^7
onde L vale: L = A / P
Placa quente apontando para baixo ou placa fria apontando para cima:
• Nu = 0,27.RaL ¼
se 10^5 < RaL< 10^10
Cilindro Horizontal (Churchill e Chu):
• NuD={ 0,60 + 0,387. RaD ^1/6 / [ 1+ ( 0,559 / Pr)^9/16] ^8/27}² desde que RaD< 10^12
Esfera:
• NuD = 2 + 0,589. RaD ¼ / [ 1+ ( 0,469 / Pr)^9/16] ^4/9 desde que RaD < 10^11 e Pr=0,7;
Convecção Mista
No escoamento ajudado, as duas correntes, de convecção natural e a forçada, estão no
mesmo sentido. O número de Nusselt composto pode ser determinado pela fórmula:
Nu = NuF ³ + NuN ³ ^1/3
Na situação de escoamento oposto, empuxo atua no sentido contrário ao do escoamento
forçado, dificultando a troca de calor. Nesta situação:
Nu = NuF ³ - NuN ³ ^1/3