Apostila Modulo 1 - Matematica Financeira

Transcrição

ETEP – TÉCNICO EM CONTABILIDADE – MÓDULO 1 – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2012
2012
2-1
TÉCNICO EM CONTABILIDADE
MÓDULO 1
MATEMÁTICA FINANCEIRA
1
SEMANA 1
Explicando o funcionamento da disciplina e a avaliação.
Serão 2 aulas semanais onde os conteúdos serão abordados, explicados e exercitados.
Ao final de cada conteúdo, serão aplicadas avaliações que podem ser trabalhos ou provas
individuais (nunca em dupla ou em grupo). Ao longo de cada conteúdo, outras pequenas avaliações
poderão ser aplicadas, realizadas fora da sala de aulas, como trabalhos, por exemplo.
A Matemática Financeira faz parte apenas do Módulo 1 e ao final deste semestre você terá uma
nota final dada sobre 10 pontos, onde:
•
•
•
Avaliação Tipo 1 - 50% ou 5 pontos serão avaliações individuais sem consulta ou de maior
nível de dificuldade
Avaliação Tipo 2 - 30% ou 3 pontos serão avaliações individuais com consulta ou com
menor nível de dificuldade
Avaliação Tipo 3 - 20% ou 2 pontos serão avaliações atitudinais que englobarão: resolução
das atividades propostas em aula ou fora dela, organização do material, atenção e
concentração, interesse e participação, responsabilidade, convivência e freqüência às aulas.
Totalizando assim 100% ou 10 pontos, dos quais você deve ter, no MÍNIMO, 6 pontos para ser aprovado
no componente curricular.
Toda avaliação não realizada pode ser recuperada no final do semestre, onde nova avaliação substituirá
aquela não realizada.
Faltas somente serão justificadas através atestado médico apresentado em, no máximo, 5 dias após a
volta as aulas. Outras justificadas não servem legalmente para justificar as faltas.
Regra de Três Simples e Composta
São chamados de Regra de Três os problemas nos quais há uma comparação entre duas (simples)
ou mais (composta) grandezas, que podem ser diretamente ou inversamente proporcionais.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Neste caso, são dados dois valores de uma das grandezas e apenas um valor da outra, para que,
através da comparação, possa se chegar ao valor que falta da segunda grandeza.
Exemplo 1: Comprei 6m de tecido por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m?
Neste caso, quanto maior a metragem do tecido, mais dinheiro se gasta. Como as duas grandezas,
metros de tecido e reais, crescem juntas (ou diminuem juntas), dizemos que é uma Regra de Três
diretamente proporcional.
2
Metros
R$
6
15,00
8
x
Mais metros
Mais dinheiro
Menos metros
Menos dinheiro
Logo, montamos a conta assim:
6 15
=
→ 6. ‫ = ݔ‬15.8
8
‫ݔ‬
‫=ݔ‬
15.8
→ ‫ = ݔ‬20
6
R.: O preço de 8 metros de tecido é de R$ 20,00
Exemplo 2: Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma
obra?
Neste caso, quanto maior o número de operários, menos tempo a obra leva. Como as duas grandezas,
operários e dias, não crescem (ou diminuem juntas), dizemos que é uma Regra de Três inversamente
proporcional. Isto é, quando uma delas aumenta, a outra diminui.
Operários
6
Dias
10
20
x
Mais operários
Menos dias
Menos operários
Mais dias
Logo, montamos a conta assim:
6
‫ݔ‬
=
→ 6.10 = 20. ‫ݔ‬
20 10
‫=ݔ‬
6.10
→‫=ݔ‬3
20
R.: O tempo que leva para que 20 operários façam a obra é de 3 dias.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Neste caso, são dados mais que duas grandezas, relacionadas entre si. De cada grandeza são
dados dois valores e da grandeza que se quer descobrir é dado apenas um valor, e outro é o que se quer
descobrir.
Para cada grandeza é feita uma comparação entre ela e a grandeza que se quer descobrir. Esta
comparação pode ser diretamente ou inversamente proporcional.
3
Veja os exemplos abaixo e as comparações realizadas.
Exemplo 3: Se para imprimir 87.500 exemplares de jornal, 5 máquinas gastam 56 minutos, em que tempo
7 máquinas, iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares de jornal?
Jornal
87500
Máquinas
5
Minutos
56
350000
7
x
Depois de identificadas as grandezas devemos então identificar a relação (direta ou inversa) de cada
grandeza com a grandeza que se quer descobrir.
1 – Quanto MAIS jornais para fazer, MAIS ou MENOS minutos as máquinas levam? MAIS minutos levam.
Logo, a relação Jornais e Minutos é diretamente proporcional.
2 – Quanto MAIS máquinas são usadas para fazer os jornais, MAIS ou MENOS minutos elas levam?
MENOS minutos. Logo, a relação Máquinas e Minutos é inversamente proporcional.
Jornal
87500
Máquinas
5
Minutos
56
350000
7
x
inversamente
proporcional
diretamente
proporcional
Neste caso, podemos inverter os minutos e os jornais (que são diretamente proporcionais) OU podemos
inverter as máquinas que são inversamente proporcionais aos minutos.
Jornal
350000
Máquinas
5
Minutos
x
87500
7
56
A resolução é feita isolando a razão que se quer descobrir (minutos) e multiplicando as outras razões
(jornal e máquinas).
‫ݔ‬
350000 5
350000.5.56
=
. →‫=ݔ‬
→ ‫ = ݔ‬160
56
87500 7
87500.7
R.: O tempo que leva para que 7 máquinas façam 350.000 jornais é de 160 minutos ou 2h e 40 min.
Exemplo 4: Quinze operários, trabalhando 9h por dia, construíram 36 metros de muro em 16 dias. Em
quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8h por dia?
Operários
15
Horas por dia
9
Metros
36
Dias
16
18
8
60
x
Depois de identificadas as grandezas devemos então identificar a relação (direta ou inversa) de cada
grandeza com a grandeza que se quer descobrir.
4
1 – Quanto MAIS operários, MAIS ou MENOS dias se leva para fazer o muro? MENOS dias. Logo, a
relação Operários e Dias é inversamente proporcional.
2 – Quanto MAIS horas por dia de trabalho, MAIS ou MENOS dias se leva para fazer o muro? MENOS
dias. Logo, a relação Horas por dia e Dias é inversamente proporcional.
32 – Quanto MAIS metros de muro, MAIS ou MENOS dias se leva para fazer o muro? MAIS dias. Logo, a
relação Metros e Dias é diretamente proporcional.
Operários
15
Horas por dia
9
Metros
36
Dias
16
18
8
60
x
diretamente
proporcional
inversamente
proporcional
inversamente
proporcional
Neste caso, podemos inverter os metros e os dias (que são diretamente proporcionais) OU podemos
inverter operários e horas por dia que são inversamente proporcionais aos dias.
Operários
15
Horas por dia
9
Metros
60
Dias
x
18
8
36
16
A resolução é feita isolando a razão que se quer descobrir (dias) e multiplicando as outras razões
(operários, horas por dia e metros.
‫ݔ‬
60 9 15
60.9.15.16
=
. .
→‫=ݔ‬
→ ‫ = ݔ‬25
16 36 8 18
36.8.18
R.: O tempo que leva para que 18 operários façam em 8 horas por dias 60 metros de muro é de 25 dias.
SEMANA 2
Exercícios de Regra de Três Simples e Composta
Resolva o que puder dos exercícios em casa para que em aula possa aproveitar melhor o tempo para as
dúvidas.
1. Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia?
2. Num mapa, à distância Rio - Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos
centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km?
5
3. Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros
correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?
4. Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo
produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo,
operando 6 horas por dia, durante 6 dias?
5. Em uma fábrica, vinte e cinco máquinas produzem 15000 peças de automóvel em doze dias,
trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 30 máquinas, para
produzirem 18000 peças em 15 dias?
6. Certo trabalho é executado por 15 máquinas iguais, em 12 dias de 10 horas. Havendo defeito em
três das máquinas, quantos dias de 8 horas deverão trabalhar as demais, para realizar o dobro do
trabalho anterior?
7. Uma prova de Matemática, com um índice de dificuldade avaliado pelo professor em 20, teve a
média 8,0 em uma classe. Qual seria a média da mesma classe se o índice de dificuldade fosse
elevado para 25?
8. Em 30 dias, 24 operários asfaltaram uma avenida de 960 m de comprimento por 9 m de largura.
Quantos operários seriam necessários para fazer um asfaltamento, em 20 dias, de 600 m de
comprimento por 10 m de largura?
9. Um gramado de 720 m² foi podado por dois homens que trabalharam 6 horas por dia durante 2
dias. Quantos metros quadrados três homens conseguiriam podar se trabalhassem 8 horas por dia
durante 3 dias?
10. Trabalhando 8 horas por dia, os 2500 operários de uma indústria automobilística produzem 500
veículos em 30 dias. Quantos dias serão necessários para que 1200 operários produzam 450
veículos trabalhando 10 horas por dia?
Para a próxima aula, semana 3, seguem 6 questões que devem ser resolvidas e entregues (nem antes,
nem depois), como avaliação tipo 2 com peso 1. Faça antes da aula!
SEMANA 3
Correção dos Exercícios de Regra de Três Simples e Composta
Os exercícios realizados anteriormente serão corrigidos na aula de hoje.
Faça as questões abaixo em folha para ser entregue. Devem constar no início da folha cabeçalho
semelhante a este:
Nome do Aluno:
_________________________________________________
Turma:
Módulo: 1
Data:
2012
Componente Curricular:
Matemática Financeira
Professor: Carlena Herrmann Mendes
Peso: 1
Pontuação Obtida
•
•
•
As questões devem estar BEM identificadas e resolução e resposta devem ser feitas com caneta
AZUL ou PRETA. Não faça esta avaliação à lápis, nem pelo computador.
Serão avaliados também, nos pontos atitudinais, o capricho, limpeza e a pontualidade na entrega.
Não peça auxílio ao seu professor, esta avaliação é para ser resolvida por você.
1. Para que uma obra fosse concluída em 25 dias de trabalho, numa jornada diária de 8 horas, foram
empregados 10 operários. Mas, depois de 10 dias de trabalho, verificou-se que apenas 2/5 da obra
estavam prontos. Daí por diante, quantas horas deverão trabalhar por dia os mesmos operários
para que a obra fique pronta no tempo prometido?
2. Trabalhando durante 4 dias, 8 teares produzem 320 m² de pano. Quantos metros quadrados de
pano serão produzidos por 10 teares trabalhando durante 3 dias?
6
3. Um homem come duas bananas em 3 minutos. Quantos homens comeriam 60 bananas em meia
hora?
4. Com o trabalho de 12 homens, durante 8 dias, uma fábrica lucrou $ 10000,00. A fim de conseguir
um lucro de $ 25 000,00 em 10 dias, quantos homens a fábrica deveria ter?
5. Durante 5 dias e andando 6 horas por dia, um ônibus percorreu 1 600 km. Quantos quilômetros
percorreria se, com o dobro da velocidade, andasse 8 horas por dia durante 6 dias?
Respostas dos Exercícios de Regra de Três Simples e Composta
1. 702 litros
2. 18 cm
3. 7840 litros
4. 13,5 toneladas
5. 8 horas
6. 37,5 dias
7. Média 6,4
8. 25 operários
9. 2160 m2
10. 45 dias
SEMANA 4
Trabalho de Regra de Três Simples e Composta
Na aula de hoje, haverá uma avaliação tipo 2 a ser realizada individualmente, com uso do seu material.
Cada um fará a sua atividade e a entregará até o final da aula.
Juntar a esta avaliação as 5 questões resolvidas anteriormente e entregar.
SEMANA 5
Avaliação Regra de Três Simples e Composta – Peso 5
Hoje será realizada uma prova com peso 5 dos conteúdos Regra de Três Simples e Composta.
Você pode utilizar na prova:
•
•
Caneta, lápis, borracha e calculadora
1 Folha com resumo dos conteúdos – esta folha deve ser padrão (existe modelo no site da contabilidade e na biblioteca
para cópia) e deve ser preenchida à mão com CANETA azul ou preta. Pode ser utilizada a frente e o verso da folha. O
cabeçalho deverá estar preenchido e a folha de resumo será entregue juntamente com a avaliação.
7
SEMANA 6
Porcentagem – Operações de Compra e Venda com Lucro e Prejuízo
Na prática é bastante comum a utilização das palavras desconto, comissão, multa, parte, quota,
abatimento, prejuízo, lucro, etc em lugar de porcentagem.
E também é comum a designação de porcentagem para a taxa percentual. Mas veja abaixo os elementos
da porcentagem e aprenda suas diferenças.
‫ܽݔܽݐ ݉݁݃ܽݐ݊݁ܿݎ݋݌‬
=
‫݈ܽ݌݅ܿ݊݅ݎ݌‬
100
Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.
Porcentagem é a parte de um todo. A quantidade de um total que é representada pela taxa.
Principal é o todo sobre o qual a porcentagem é calculada.
Exemplo: 80% de 15 = 12
80% é a taxa percentual
15 é o valor principal sobre o qual se calcula 80%
12 é o quanto 80% representa dos 15
12
80
=
15 100
Na prática, temos aqui uma regra de 3 simples e diretamente proporcional onde uma das partes é 100.
O sinal de % é representativo e significa “dividido por 100”.
Então para calcular a percentagem de qualquer valor principal, basta multiplicar pela taxa e dividir por 100.
‫ݔ ݈ܽ݌݅ܿ݊݅ݎ݌ = ݉݁݃ܽݐ݊݁ܿݎ݋݌‬
No nosso exemplo: ‫݉݁݃ܽݐ݊݁ܿݎ݋݌‬
‫ܽݔܽݐ‬
100
= 15 ‫ݔ‬
଼଴
ଵ଴଴
Operações de Compra e Venda com Lucro e Prejuízo
A melhor aplicação prática do estudo da porcentagem é justamente a utilização da mesma nas operações
sobre mercadorias: compras e vendas de mercadorias com lucro ou com prejuízo.
O raciocínio básico e normal é sempre calcular porcentagem de lucro ou de prejuízo sobre o valor de
compra de uma mercadoria. Por exemplo: comprei uma mercadoria e vendi com lucro de 10% (10% sobre
o valor que a mercadoria custou para mim).
Mas é possível que o cálculo seja realizado pelo valor de venda da mercadoria (o que na prática significa
um maior lucro para o comerciante).
Como vimos antes, o importante é sobre que valor principal a taxa percentual está sendo calculada.
8
Vendas com Lucro
O preço de custo, ou preço de compra, de uma mercadoria é o preço pelo qual ela foi adquirida.
CÁLCULO DA VENDA COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
Exemplo 1: Um comerciante vende suas mercadorias com lucro de 8% sobre o preço de custo.
Determine o preço de venda, sabendo que estas mercadorias custaram R$ 500,00.
Podemos perceber que o problema indica que o valor principal é o preço de custo (onde diz “sobre o preço
de custo”), logo, este é o valor de 100% (todo) e sobre ele deve ser calculada a venda com lucro.
R$
CUSTO
500,00
%
100
VENDA
x
100+8
Na venda com lucro o valor da venda é maior que o do custo, por isto
100+8
Como esta regra de 3 é SEMPRE simples e diretamente proporcional...
100‫ = ݔ‬500.108
‫=ݔ‬
500.108
100
‫ = ݔ‬540,00
O preço de venda de uma mercadoria é o valor pelo qual ela foi (re)vendida.
CÁLCULO DA VENDA COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA
Exemplo 2: Um comerciante vende suas mercadorias com lucro de 25% sobre o preço de venda.
Podemos perceber que o problema indica que o valor principal é o preço de venda (onde diz “sobre o
preço de venda”), logo, este é o valor de 100% (todo) e sobre ele deve ser calculado o lucro.
R$
%
CUSTO
60,00
100 - 25
VENDA
x
100
Na venda com lucro o valor da venda é maior que o do custo.
Como o valor principal (100%) é a venda, o valor custo deve ser menor.
Menor o exato valor do lucro, por isto 100 – 25.
Note que o que mudou foi o local onde colocou-se o 100%.
75‫ = ݔ‬60.100
‫=ݔ‬
60.100
75
‫ = ݔ‬80,00
9
Vendas com Prejuízo
Enquanto na venda com lucro o valor da venda é maior que o do custo, na venda com prejuízo o valor da
venda é menor que o do custo. Você compra por um valor e vende por um valor menor, caracterizando o
prejuízo.
Também neste caso temos a venda com prejuízo sobre o custo ou sobre a venda. O que diferencia as
vendas é o valor sobre o qual se calcula o prejuízo: custo ou venda.
CÁLCULO DA VENDA COM PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
Exemplo 3: Um comerciante vende suas mercadorias com prejuízo de 40% sobre o preço de custo.
Podemos perceber que o problema indica que o valor principal é o preço de custo (onde diz “sobre o preço
de custo”), logo, este é o valor de 100% (todo) e sobre ele deve ser calculada a venda com prejuízo..
R$
%
CUSTO
30
100
VENDA
X
100 - 40
Na venda com prejuízo o valor da venda é menor que o do custo, por isto
100-40
100‫ = ݔ‬30.60
‫=ݔ‬
30.60
100
‫ = ݔ‬18,00
CÁLCULO DA VENDA COM PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA
Exemplo 4: Um comerciante vende suas mercadorias com prejuízo de 20% sobre o preço de venda.
Determine o preço de venda, sabendo que estas mercadorias custaram R$ 96 000,00.
Podemos perceber que o problema indica que o valor principal é o preço de venda (onde diz “sobre o
preço de venda”), logo, este é o valor de 100% (todo) e sobre ele deve ser calculada a venda com
prejuízo.
R$
%
CUSTO
96 000
100 + 20
VENDA
X
100
Na venda com prejuízo o valor da venda é menor que o do custo.
Como o valor principal (100%) é a venda, o valor custo deve ser maior.
Maior o exato valor do prejuízo, por isto 100 + 20.
Note que o que mudou foi o local onde colocou-se o 100%.
120‫ = ݔ‬96000.100
‫=ݔ‬
96000.100
120
‫ = ݔ‬80 000,00
10
Descontos ou Acréscimos Sucessivos
Descontos ou acréscimos sucessivos é quando há aumento e diminuição de valor com mais de uma taxa,
e estas taxas não são somatórias. Isto é, cada taxa é aplicada sobre o último valor (depois de calculado o
desconto ou o acréscimo anterior).
Exemplo 5: Uma empresa oferece descontos sucessivos de 10%, 4% e 5% sobre o valor de uma fatura
de R$ 48 000,00. Qual o valor líquido desta fatura?
Neste caso (taxas sucessivas) NÃO se pode somar as taxas (19%) e calcular um desconto sobre o valor
total. Isto porque calcula-se primeiro 10% de desconto. Sobre o que SOBRAR calcula-se 4% de desconto.
Sobre o que SOBRAR, calcula-se 5% de desconto.
Em cada desconto o valor principal (100%) é diferente, por isto não é possível somar as taxas.
Neste caso veja a resolução:
48000 − 10% = 48000.90% = 48000.
43200 − 4% = 43200.96% = 43200.
41472 − 5% = 41472.95% = 41472.
90
= 43200
100
96
= 41472
100
95
= 39398,40
100
‫ = ݔ‬39 398,40
SEMANA 7
Exercícios de Porcentagem – Operações de Compra e Venda com Lucro e Prejuízo
1. Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escorrido toda
a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por ter
levado gelo a preço de frango? R.: 40%
2. O aumento salarial de certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à
intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o
percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido? R.: 13,2%
3. Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei 15% sobre o preço de custo. Quanto custou o objeto? R.:
R$ 240,00
4. Comprei uma mercadoria por R$ 480,00. Sendo minha intenção vende-la com um lucro de 20%
sobre o preço de venda, qual deve ser este último? R.: R$ 600,00
5. Um terreno foi comprado por R$ 5.000,00 e vendido por R$ 6.500,00. De quanto por cento foi o
lucro sobre o preço de compra? R.: 30%
6. Um terreno foi vendido por R$ 50.600,00 dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda.
Quanto havia custado? R.: R$ 54 648,00
7. Qual será o valor líquido de uma fatura de R$ 36 000,00 que recebe descontos sucessivos de 2%,
5% e 4%? R.: R$ 32 175,36
8. Uma pessoa comprou um automóvel de R$ 15 800,00 (preço de tabela) com desconto de 2,5%. No
dia seguinte, vendeu o automóvel pelo valor 2% acima do preço de tabela. Qual foi a taxa
percentual de lucro total dessa pessoa? R.: 4,61%
11
9. Vendendo um imóvel por R$ 150 000,00 tive um prejuízo de 17% sobre o preço de venda. Por
quanto comprei? R.: R$ 180 722,89
10. Certa mercadoria foi vendida por R$ 3.232,00 com um prejuízo de 8,7% sobre o preço de compra.
Por quanto deveria ser vendida, para dar lucro de 12% sobre o preço de custo? R.: R$ 3 964,78
SEMANA 8
Correção dos Exercícios de Porcentagem – Operações de Compra e Venda com Lucro e Prejuízo
Faça as questões abaixo em folha para ser entregue na aula que vem. Devem constar no início da folha cabeçalho
semelhante a este:
Nome do Aluno:
_________________________________________________
Data:
Turma:
Módulo: 1
2012
Peso: 3
Pontuação Obtida
•
•
•
As questões devem estar BEM identificadas e resolução e resposta devem ser feitas com caneta AZUL ou
PRETA. Não faça esta avaliação à lápis, nem pelo computador.
1
2
3
4
5
6
SEMANA 9
Avaliação Porcentagem – Operações de Compra e Venda com Lucro e Prejuízo – Peso 5
Hoje será realizada uma prova com peso 5 dos conteúdos Porcentagem e Operações de Compra e Venda com Lucro e Prejuízo.
•
•
para cópia) e deve ser preenchida à mão com CANETA azul ou preta. Pode ser utilizada a frente e o verso da folha.
f
O
12
SEMANA 10
Juros Simples e Compostos
Ouvimos muito falar em “render juros”. Vamos então ver a partir de agora como se dá o
crescimento de dinheiro aplicado a um certo tempo (estudo dos juros).
Se A empresta a B o valor de R$ 100,00 pelo prazo de um ano, é comum que, ao final desse
prazo, B devolva a A os R$ 100,00 emprestados acrescidos de, por exemplo, R$ 36,00 de
compensação financeira (juros).
•
•
•
•
Capital são os R$ 100,00 iniciais emprestados.
Juros são os R$ 36,00 de compensação financeira. Valor em dinheiro.
Taxa percentual, que neste caso é de 36% ao ano, é a taxa aplicada a um determinado
tempo.
Período é o prazo, o tempo que a aplicação é realizada. Neste caso um ano.
O processo de formação do juro é chamado de REGIME DE CAPITALIZAÇÃO.
Veremos os dois regimes de capitalização: a juros simples e a juros compostos.
Nos Juros Simples a taxa é sempre aplicada sobre o capital inicial e o rendimento (juros) é
sempre o mesmo a cada período.
Já nos Juros Compostos a taxa é aplicada sempre sobre o último valor: capital + juros que já
renderam no período que passou.
O que diferencia os dois regimes de capitalização é justamente o período: quanto maior for o
período, maior será a diferença entre juros simples e compostos. E esta diferença se dá no valor
final, chamado de Montante (capital + juros). Veja o exemplo:
Um capital de R$ 100,00 foi aplicado a taxa de juros de 10% ao mês durante 6 meses.
Período
1
2
3
4
5
6
Capital
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
Juros Simples
Juros
Montante
10,00
110,00
10,00
120,00
10,00
130,00
10,00
140,00
10,00
150,00
10,00
160,00
Capital
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
Juros Compostos
Juros
Montante
10,00
110,00
11,00
121,00
12,10
133,10
13,31
146,41
14,64
161,05
16,10
177,16
Percebe-se que a cada período que passa o montante dos juros simples e compostos se
distanciam exponencialmente (o valor aumenta de forma exponencial). Veja as fórmulas para
calcular os juros simples e compostos.
13
JUROS SIMPLES
݆ = ‫ܥ‬. ݅. ݊
e
‫ ܥ = ܯ‬+ ݆ ‫(ܥ = ܯ ݑ݋‬1 + ݅. ݊)
Onde j é juros, C é capital, i é a taxa percentual, n é o período e M é o montante.
JUROS COMPOSTOS
‫(ܥ = ܯ‬1 + ݅)௡
Antes de qualquer aplicação de fórmula é necessário primeiro identificar se taxa e período estão
na mesma unidade de medida (tempo). Se não estiverem, uma delas deve ser transformada. E a
taxa i será aplicada na sua forma unitária (dividida por 100, exemplo 30% = 30 / 100 = 0,3).
Exemplo 1 – Juros Simples
Tomou-se emprestada a quantia de R$ 1200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano.
Qual será o valor do juro simples a ser pago?
C = 1200
n = 2 anos
i = 30% a.a. ou 0,3 a.a.
Como taxa e período são anuais, basta aplicar a fórmula.
݆ = ‫ܥ‬. ݅. ݊ = > ݆ = 1200.0,3.2 => ݆ = 720,00
Exemplo 2 – Juros Simples – com taxa e períodos diferentes
Um capital de R$ 2400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro
simples obtido.
C = 2400
n = 10 meses
i = 25% a.a. ou 0,25 a.a.
Como taxa e período estão com unidades diferentes, temos que converter um dos dois.
i = 0,25/12 ao mês
E então aplicar na fórmula:
݆ = ‫ܥ‬. ݅. ݊ = > ݆ = 2400.
0,25
. 10 => ݆ = 500,00
12
SEMANA 11
Juros Simples e Compostos
Exemplo 3 – Juros Compostos – Cálculo do Montante
Calcule o montante produzido por R$ 2000,00 aplicados em regime de juros compostos de 5% ao
mês, durante 2 meses.
C = 2000
n= 2 meses
i = 5% a.m ou 0,05
14
‫(ܥ = ܯ‬1 + ݅)௡ => ‫ = ܯ‬2000(1 + 0,05)ଶ
‫ = ܯ‬2000(1,05)ଶ => ‫ = ܯ‬2000.1,1025 => ‫ = ܯ‬2205,00 ‫ݏ݅ܽ݁ݎ‬
Exemplo 4 – Juros Compostos – Cálculo do Capital
Calcule o capital inicial, que no prazo de 5 meses, a 3% ao mês a juros compostos, produziu o
montante de R$ 4058,00.
C=?
n = 5 meses
i = 3% a.m ou 0,03
M = 4058,00
‫(ܥ = ܯ‬1 + ݅)௡ => 4058 = ‫(ܥ‬1 + 0,03)ହ
4058 = ‫(ܥ‬1,03)ହ => 4058 = ‫ܥ‬. 1,1592740174
4058
= ‫ = ܥ >= ܥ‬3500,47 ‫ݏ݅ܽ݁ݎ‬
1,1592740174
Exemplo 5 – Juros Compostos – Cálculo da Taxa
Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual pretendo receber
de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto para que
eu venha a conseguir este montante?
C = 18000
n = 18 meses
M = 26866,57
‫(ܥ = ܯ‬1 + ݅)௡ => 26866,57 = 18000(1 + ݅)ଵ଼
26866,57
= (1 + ݅)ଵ଼ => 1,492587222 = (1 + ݅)ଵ଼
18000
భఴ
ඥ1,492587222 = 1 + ݅ => 1,022500003 = 1 + ݅
1,022500003 − 1 = ݅
݅ = 0,022500003 ‫ ݑ݋‬2,25% ܽ‫݉ ݋‬ê‫ݏ‬
Exemplo 6 – Juros Compostos – Cálculo do Período
Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro composto
de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital?
C = 100000
n = ? meses
i = 1,7% ao mês ou 0,017
M = 200000
‫(ܥ = ܯ‬1 + ݅)௡ => 200000 = 100000(1 + 0,017)௡
200000
= (1 + 0,017)௡ => 2 = (1,017)௡
100000
݊=
0,301030
݈‫݃݋‬2
=
= 41,12 ݉݁‫ ݑ݋ ݏ݁ݏ‬41 ݉݁‫ ݁ ݏ݁ݏ‬4 ݀݅ܽ‫ݏ‬
݈‫݃݋‬1,017 0,007321
15
SEMANA 12
Exercícios de Juros Simples e Compostos
Utilize no mínimo oito casas decimais
1) Determinar o montante acumulado no final de quatro semestres e os juros simples recebidos a partir
de um capital de R$ 15.000,00, com uma taxa de 1% am.
2) A quantia a ser aplicada em uma instituição financeira que paga a taxa de juros simples de 8% a.a.,
para que se obtenha 1.000,00 no fim de 4 anos é:
3) A taxa mensal de um capital igual R$ 4.200,00, aplicado por 480 dias e que rendeu R$ 1.232,00 de
juros simples é de:
4) Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de R$
3.000,00. Que taxa de juros simples equivalente semestral recebeu?
5) Determine o tempo, em dias, que o capital de R$ 1.500,00 leva para produzir o montante de R$
2.800,00, considerando a taxa de juros simples de 25%aa.
6) Calcule a taxa de juros simples mensal que duplica um capital em 170 dias.
7) No sistema de juros compostos com capitalização anual, um capital de R$ 20.000,00, para gerar em
dois anos um montante de R$ 23.328,00, deve ser aplicada a uma taxa:
8) Considere a seguinte situação hipotética “Carlos aplicou R$ 5.000,00 em uma instituição financeira à
taxa de juros compostos de 24% a.a., capitalizados mensalmente” Nessa situação, ao final de 2
meses, esta aplicação renderá para Carlos um montante de:
9) Em que prazo um capital de R$ 18.000,00 acumula um montante de R$ 83.743,00 à taxa efetiva de
juros compostos de 15% am?
10) Determinar o valor dos juros compostos pagos por um empréstimo de R$ 2.000,00 contratado à taxa
efetiva de 5% am pelo prazo de 25 dias.
Respostas:
1) M = 18.600,00 e j = 3.600,00
2) R$ 757,58
3) 1,83% a.m.
4) 10% a.s.
5) 1248 dias
6) 17,64% a.m.
7) 8% a.a.
8) R$ 5202,00
9) 11 meses
10) R$ 82,99
SEMANA 13
Correção de Exercícios de Juros Simples e Compostos
16
SEMANA 14
Trabalho de Juros Simples e Compostos
Faça as questões abaixo em folha para ser entregue na aula que vem. Devem constar no início da folha cabeçalho
semelhante a este:
Nome do Aluno:
_________________________________________________
Turma:
Módulo: 1
Data:
2012
Peso: 3
Pontuação Obtida
•
•
•
As questões devem estar BEM identificadas e resolução e resposta devem ser feitas com caneta AZUL ou
PRETA. Não faça esta avaliação à lápis, nem pelo computador.
1) Um consumidor compareceu a uma determinada loja para pagar uma prestação de R$ 28,42 com 11 dias de
atraso. Considerando que foi cobrado um acréscimo de R$ 1,56, determine a taxa de juros simples linear mensal
cobrada.
2) Uma cliente da loja "Tudo Pode Ltda" efetuou o pagamento de uma prestação de R$ 250,00 por R$ 277,08.
Sabendo-se que a taxa de juros simples praticada pela loja foi 5% am, por quantos dias esta prestação ficou em
atraso?
3) Qual o capital que produz R$ 18.000,00 de juros simples à taxa de 3% am, pelo prazo de:
a) 60 dias b) 80 dias c) 3 meses e 20 dias d) 2 anos, 4 meses e 14 dias 4) Uma pessoa aplicou R$ 12.000,00 numa Instituição Financeira resgatando, após 7 meses, o montante de R$
13.008,00. Qual a taxa de juros simples linear mensal que o aplicador recebeu?
5) Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições:
- preço à vista = R$ 1.800,00
- condições a prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias
Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.
6) Calcule a taxa de juros simples bimestral que triplica um capital em 2 anos.
7) Determine a taxa de juros simples trimestral que decuplica um capital em 4 anos.
8) Um investidor fez uma aplicação a juros simples de 10% mensal. Depois de dois meses, retirou capital e juros e
os reaplicou a juros compostos de 20% mensal, por mais dois meses e, no final do prazo, recebeu R$1728,00.
Pode-se afirmar que o capital inicial aplicado foi de
9) José dispõe de R$ 10,000, para aplicar durante três meses. Consultando determinado banco, recebeu as
seguintes propostas de investimento:
I – 2% de juros simples ao mês
II – 1% de juros compostos ao mês
III – resgate de R$ 10.300,00, no final de um período de três meses.
Com relação à situação hipotética apresentada acima e considerando que, uma vez aplicado o dinheiro, não seja
feita retirada alguma antes de três meses, julgue os itens seguintes indicando V para verdadeiro e F para Falso:
a) Se João optar pela proposta I, ele terá, no final do 1º mês, R$10.200,00.
b) Se João optar pela proposta I, ele terá, no final do 2º mês, mais de R$10.350,00.
c) Se João optar pela proposta II, ele ter, no final do 2º mês, mais de R$10.200,00.
d) Se João optar pela proposta III, ele terá aplicado seu dinheiro a uma taxa de juros igual a 3% ao trimestre.
10) Qual a taxa de juros compostos anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses?
11) Calcule o valor atual de uma dívida que no vencimento, daqui a 3 meses, valerá R$ 3.456,00, sabendo que a
taxa mensal de juros compostos é 20%.
Questões 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 e 11 valem 0,2 cada. Questão 3 vale 0,8 (0,2 cada item). Questão 9 vale 0,4 (0,1 cada
item).
17
SEMANA 15
Avaliação de Juros Simples e Compostos – Peso 5
Hoje será realizada uma prova com peso 5 do conteúdo Juros Simples e Compostos.
•
•
SEMANA 16
Revisão de Regra de Três Simples e Composta e Porcentagem – Operações de Compra e Venda
com Lucro e Prejuízo
Traga para a aula de hoje suas dúvidas em relação à regra de três simples e composta e a porcentagem. Refaça os exercícios, os
trabalhos e as provas e traga suas dúvidas. Lembre-se, VOCÊ é que fará a revisão! Então pergunte muito nesta aula para não
ficar com dúvida.
Se você pesquisar encontrará mais exercícios sobre o assunto. Estude!
SEMANA 17
Revisão de Juros Simples e Compostos
Traga para a aula de hoje suas dúvidas em relação à juros simples e compostos.
SEMANA 18
Recuperação de Regra de Três Simples e Composta e Porcentagem – Peso 5 cada
Hoje serão realizadas duas provas com peso 5 cada uma do conteúdo Regra de Três Simples e Composta.
•
•
SEMANA 19
Recuperação de Juros Simples e Compostos – Peso 5
Hoje será realizada uma prova com peso 5 do conteúdo Juros Simples e Compostos.
•
•
18

Apostila Modulo 1 - Matematica Financeira

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