Princípios de Modelagem Matemática Aula 04 - DFM - Cefet-MG

Princípios de Modelagem Matemática
Aula 04
Prof. José Geraldo
DFM — CEFET/MG
09 de abril de 2014
Análise dimensional
1
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Sumário
A análise dimensional permite
encontrar relações entre variáveis e parâmetros de um modelo
sem resolvê-lo;
obter relações de escala entre variáveis e parâmetros.
É uma ferramenta limitada.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Sumário
O teorema π de Buckingham fornece um algoritmo para se
estabelecer relações adimensionais entre parâmetros e variáveis
de um modelo.
A ideia básica consiste no seguinte:
Suponha que um modelo matemático possua um total de N
variáveis e parâmetros (escalares).
Suponha que estas N variáveis e parâmetros envolvam m
dimensões fundamentais.
Então é possívem obter N − m relações adimensionais
envolvendo tais parâmetros e variáveis.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Theorem
a Considere
um sistema de N variáveis e parâmetros envolvendo m
dimensões fundamentais. Então, N − m quantidades adimensionais πi
podem ser definidas como produtos e quocientes das variáveis e dos
parâmetros originais. Cada equação escalar
f (x1 , . . . , xk , p1 , . . . pl ) = 0
envolvendo as variáveis x1 , . . . , xk e os parâmetros p1 , . . . pl de um
modelo matemático podem ser trocados por uma relação correspondente
entre os πi :
f ∗ (π1 , . . . πN−m ) = 0.
a
E. van Groesen, J. Molenaar, Continuum Modeling in the Physical Sciences
(SIAM, Philadelphia, 2007).
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Exemplo: Considere o pêndulo simples, na ausência de forças
dissipativas. As variáveis e os parâmetros de interesse são o
comprimento do pêndulo l , o módulo da aceleração da gravidade g ,
a massa do pêndulo m, o período de oscilação τ , a amplitude
angular θM e a tensão na corda T . Vamos aplicar o teorema π de
Buckingham para obter quantidades adimensionais envolvendo
estas variáveis e parâmetros.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Quantidades derivadas
comprimento do pêndulo l
aceleração da gravidade g
massa do pêndulo m
período de oscilação τ
amplitude angular θM
tensão na corda T
Dimensão
L
LT−2
M
T
1
MLT−2
Tabela: Variáveis e parâmetros de interesse para o modelo do pêndulo
sem fricção.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Da tabela anterior nota-se que há seis variáveis e parâmetros
como quantidades ou grandezas derivadas. Estas grandezas
envolvem apenas três dimensões fundamentais, L, T e M.
Portanto, de acordo com o teorema, podemos construir três
relações adimensionais envolvendo estas variáveis e parâmetros.
Escolhemos, então, três das quantidades derivadas como
quantidades primárias. Vamos escolher l , g e m para
representar este papel. Sobram τ , T e θM .
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Os três grupos adimensionais são
π1 = l a1 g b1 mc1 τ,
π2 = l a2 g b2 mc2 T ,
π3 = l a3 g b3 mc3 θM .
Os expoentes ai , bi e ci devem ser determinados de modo que
os πi sejam adimensionais.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Exemplo: Considere o pêndulo simples, na ausência de forças
dissipativas. As variáveis e os parâmetros de interesse são o
comprimento do pêndulo l , o módulo da aceleração da gravidade g ,
a massa do pêndulo m, o período de oscilação τ , a amplitude
angular θ e a tensão na corda T . Vamos aplicar o teorema π de
Buckingham para obter quantidades adimensionais envolvendo
estas variáveis e parâmetros.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Quantidades derivadas
comprimento do pêndulo l
aceleração da gravidade g
massa do pêndulo m
período de oscilação τ
amplitude angular θM
tensão na corda T
Dimensão
L
LT−2
M
T
1
MLT−2
Tabela: Variáveis e parâmetros de interesse para o modelo do pêndulo
sem fricção.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Escolhemos l , g e m como quantidades primárias. Sobram,
então, τ , T e θM .
Os três grupos adimensionais são
π1 = l a1 g b1 mc1 τ,
π2 = l a2 g b2 mc2 T ,
π3 = l a3 g b3 mc3 θM .
Os expoentes ai , bi e ci devem ser determinados de modo que
os πi sejam adimensionais.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Para π1 , tem-se a1 = −1/2 = −b1 , e c1 = 0. Logo,
r
g
π1 = τ
.
l
p
Isto já era esperado pois, como já vimos, τ = 2π l /g .
Portanto, π1 = 2π.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Para π2 , tem-se a2 = 0, e b2 = c2 = −1. Logo,
π2 =
T
.
mg
(1)
O teorema estabelece que o módulo da tensão T é
diretamente proporcional ao módulo da força peso mg .
Mas a “constante de proporcionalidade” π2 não é “constante”!
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Para ver isto, considere o modelo do pêndulo simples sem
fricção.
A força-peso e a tensão são as únicas forças a agir sobre o
pêndulo.
A força-peso é sempre constante ao longo do movimento: tem
o mesmo módulo e sempre aponta na direção vertical para
baixo.
E quanto à tensão?
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
A tensão aponta para o centro do movimento circular.
Portanto, sua direção varia ao longo do movimento.
Mas, o que dizer sobre o seu módulo? Vamos denotar T (θ) o
valor do módulo da tensão quando o pêndulo descreve um
ângulo θ com a vertical.
Para responder isto, sem “resolver” o modelo, vamos
considerar o pêndulo em duas situações: quando está no ponto
mais alto de sua trajetória e quando está no ponto mais baixo.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
No ponto mais baixo de sua trajetória, i.e., quando o pêndulo
está alinhado com a vertical,
tanto a força-peso quanto a tensão possuem a mesma direção
(a vertical), mas sentidos opostos;
o módulo da velocidade do pêndulo é máximo (por quê?).
Nesta situação a força resultante qua atua sobre o pêndulo
tem direção vertical e, por causa do movimento circular,
aponta para o centro do movimento. Logo,
T (0) − mg = FR (0) ,
(2)
onde FR (0) denota a força resultante no ponto mais baixo da
trajetória, i.e., quando o ângulo θ que o pêndulo descreve com
a vertical é nulo.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Agora, considere o caso em que o pêndulo está no ponto mais
alto de sua trajetória. Considere o ângulo que o pêndulo
descreve com a vertical como θM .
Nesto ponto mais alto da trajetória,
a força-peso mantém a direção vertical, mas a tensão aponta
para o centro do movimento;
a velocidade instantânea do pêndulo é nula.
Nesta situação, a componente da força resultante que aponta
para o centro do movimento é nula (por quê?) e, portanto,
T (θM ) − mg cos θM = 0.
Prof. José Geraldo
(3)
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Claramente, se compararmos as equações (2) e (3), vemos que
T (θM ) < T (0).
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Claramente, se compararmos as equações (2) e (3), vemos que
T (θM ) < T (0).
Concluímos que o módulo da tensão varia ao longo do
movimento do pêndulo.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Claramente, se compararmos as equações (2) e (3), vemos que
T (θM ) < T (0).
Concluímos que o módulo da tensão varia ao longo do
movimento do pêndulo.
Portanto, a relação adimensional (1) deve ser mudada para
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Claramente, se compararmos as equações (2) e (3), vemos que
T (θM ) < T (0).
Concluímos que o módulo da tensão varia ao longo do
movimento do pêndulo.
Portanto, a relação adimensional (1) deve ser mudada para
π2 =
Prof. José Geraldo
T
mg
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Claramente, se compararmos as equações (2) e (3), vemos que
T (θM ) < T (0).
Concluímos que o módulo da tensão varia ao longo do
movimento do pêndulo.
Portanto, a relação adimensional (1) deve ser mudada para
π2 (θ) =
T (θ)
,
mg
onde θ é o ângulo que o pêndulo descreve, instantaneamente, com
a vertical.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Embora a relação adimensional π2 não seja constante, mas
dependa do valor instantâneo de θ, ainda podemos usá-la para
obter relações de escala.
Por exemplo, para um valor fixo de θ, se o valor da massa do
pêndulo aumentar r vezes, espera-se que o valor da tensão
T (θ) aumente na mesma razão.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Para π3 , tem-se a3 = b3 = c3 = 0. Logo,
π3 = θM .
(4)
Isto quer dizer que a amplitude do movimento θM – o máximo
valor do ângulo que o pêndulo descreve com a vertical – não
depende das demais variáveis e parâmetros que entendemos
ser de interesse.
De fato, θM só depende das condições iniciais do movimento,
i.e., da posição da qual o pêndulo partiu e da sua velocidade
neste momento.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Exemplo: Um pêndulo de formato esférico oscila imerso em um
fluido viscoso. As variáveis e os parâmetros de interesse são o
comprimento do pêndulo l , o módulo da aceleração da gravidade g ,
a massa do pêndulo m, o período de oscilação τ , a tensão na corda
T e, além destas, a viscosidade do fluido η, a densidade do fluido
ρf e o diâmetro do pêndulo d . Vamos aplicar o teorema π de
Buckingham para obter quantidades adimensionais envolvendo
estas variáveis e parâmetros.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Para começar, as dimensões da viscosidade do fluido η e da
densidade do fluido ρf são
[η] = ML−1 T−1 ,
[ρf ] = ML−3 .
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Quantidades derivadas
comprimento do pêndulo l
aceleração da gravidade g
massa do pêndulo m
período de oscilação τ
tensão na corda T
viscosidade do fluido η
densidade do fluido ρf
diâmetro do pêndulo d
Dimensão
L
LT−2
M
T
MLT−2
ML−1 T−1
ML−3
L
Tabela: Variáveis e parâmetros de interesse para o modelo do pêndulo
imerso em um fluido viscoso.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Escolhemos l , g e m como quantidades primárias. Sobram,
então, τ , T , η, ρf e d .
As relações adimensionais são
π1 = l a1 mb1 g c1 τ,
π2 = l a2 mb2 g c2 T ,
π3 = l a3 mb3 g c3 η,
π4 = l a4 mb4 g c4 ρf ,
π5 = l a5 mb5 g c5 d .
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Temos, novamente, a1 = −1/2 = −b1 , e c1 = 0 e a2 = 0, e
b2 = c2 = −1. Logo,
r
g
π1 = τ
,
l
e
π2 =
T
.
mg
Estas relações adimensionais coincidem com aquelas obtidas
para o caso sem fricção. A resistência imposta pelo fluido ao
movimento não exerce nenhum papel sobre elas?
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Quanto a π3 , temos a3 = 3/2, b3 = −1 e c3 = −1/2, o que
produz
s
η l3
.
(5)
π3 =
m g
Se multiplicarmos π1 e π3 , obteremos outra relação
adimensional:
τ ηl
π 0 = π1 π3 =
.
m
Prof. José Geraldo
(6)
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
O teorema Pi de Buckingham
Portanto, para sermos honestos, devemos considerar que π1 e
π 0 são funções adimensionais dos parâmetros e variáveis l , g ,
m, τ , T , η, ρf e d .
Por exemplo, no caso em que a viscosidade do fluido é
suficientemente pequena (movimento subamortecido), temos
s −1/2
l
9π 2 d 2 η 2 l
τ = 2π
1−
,
g
4m2 g
ou seja,
−1/2
9π 2 d 2 η 2 l
π1 = 2π 1 −
.
4m2 g
Prof. José Geraldo
(7)
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Exercícios
1
Obtenha, para o modelo do pêndulo com fricção, as demais
relações adimensionais π4 e π5 .
2
O que se pode dizer acerca da dependência da viscosidade do
fluido η com o comprimento do pêndulo l , o módulo da
aceleração da gravidade g e a massa do pêndulo m? Baseado
em sua resposta, o que se pode dizer acerca da relação π3
obtida para o pêndulo com fricção?
3
Sem conhecer a forma funcional de π1 para o pêndulo com
fricção, é possível obter uma relação de escala entre o período
do pêndulo e seu comprimento?
4
Obtenha relações adimensionais para o modelo do pêndulo
com fricção usando as quantidades l , η e ρf como primárias.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Modelos em escala
Em muitas situações, objetos e dispositivos são estudados a
partir de suas reproduções em escala (protótipos, maquetes,
etc).
Espera-se obter, a partir de relações conhecidas entre variáveis
e parâmetros do modelo matemático em questão, quantidades
associadas ao objeto pelas medidas efetuadas sobre o
protótipo.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Modelos em escala
Exemplo: A frequência natural de vibração ω de uma viga depende
de sua densidade de massa ρ, do módulo de elasticidade
(propriedade do material) E , do seu comprimento l , de sua
profundidade h e da sua seção reta A. Se uma viga e seu protótipo
são construídos do mesmo material e todos os seus comprimentos
estão na escala 1:5, como as frequências naturais da viga e do
protótipo se relacionam?
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Modelos em escala
Quantidades derivadas
comprimento da viga l
densidade da viga ρ
frequencia de oscilação ω
módulo de elasticidade E
profundidade h
área de seção reta A
Dimensão
L
ML−3
T−1
−2
ML−1 T
L
L2
Tabela: Variáveis e parâmetros de interesse para o modelo de vibração de
uma viga.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Modelos em escala
Nesta situação, vamos definir as seguintes quantidades
escalonadas:
l ∗ = lp /lo = 1/5,
ρ∗ = ρp /ρo = 1,
E ∗ = Ep /Eo = 1,
h∗ = hp /ho = 1/5,
A∗ = Ap /Ao = 1/25,
ω ∗ = ωp /ωo .
Os subescritos p e o referem-se ao protótipo e ao objeto
(viga).
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Modelos em escala
Escolhemos as quantidades primárias ω, l e ρ.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Modelos em escala
Escolhemos as quantidades primárias ω, l e ρ.
Assim, obtemos as relações adimensionais
π1 =
E
ω2l 2ρ
,
π2 = h/l ,
π3 = A/l 2 .
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Modelos em escala
Escolhemos as quantidades primárias ω, l e ρ.
Assim, obtemos as relações adimensionais
π1 =
E
ω2l 2ρ
,
π2 = h/l ,
π3 = A/l 2 .
Da expressão para π1 obtemos
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Análise dimensional
Modelos em escala
Escolhemos as quantidades primárias ω, l e ρ.
Assim, obtemos as relações adimensionais
E
π1 =
ω2l 2ρ
,
π2 = h/l ,
π3 = A/l 2 .
Da expressão para π1 obtemos
ω2 ∝
Prof. José Geraldo
E
l 2ρ
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Análise dimensional
Modelos em escala
Escolhemos as quantidades primárias ω, l e ρ.
Assim, obtemos as relações adimensionais
π1 =
E
ω2l 2ρ
,
π2 = h/l ,
π3 = A/l 2 .
Da expressão para π1 obtemos
(ω ∗ )2 ∝
Prof. José Geraldo
E∗
(l ∗ )2 ρ∗
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Modelos em escala
Escolhemos as quantidades primárias ω, l e ρ.
Assim, obtemos as relações adimensionais
π1 =
E
ω2l 2ρ
,
π2 = h/l ,
π3 = A/l 2 .
Da expressão para π1 obtemos
ω ∗ ∝ 1/l ∗ = 5.
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04
Análise dimensional
Sumário
O teorema Pi de Buckingham (continuação)
Exercícios
Modelos em escala
Modelos em escala
Deste modo, se supormos que π1 é constante tanto para o
protótipo quanto para a viga, então ω ∗ = 5, ou seja,
ωp = 5ωo .
Qual seria a relação entre as frequências naturais de vibração
do modelo de viga de aço e do protótipo caso o protótipo seja
construído usando-se material plástico, que tem densidade dez
vezes menor que a do aço e módulo de elasticidade mil vezes
menor. Todos os comprimentos do protótipo são reduzidos em
uma escala 1:5 em relação ao modelo da viga de aço. Como as
frequências se relacionam?
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 04