Aula 5 - gpcmb-ufma

Estatística e Probabilidade
Aula 5 – Cap 03
Probabilidade
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Estatística e Probabilidade
Na aula anterior vimos...
Conceito de Probabilidade
Experimento Probabilístico
Tipos de Probabilidade
Espaço amostral
Propriedades da Probabilidade
Propriedade Condicional
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Regran Sda
teim Multiplicação
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Estatística e Probabilidade
Nesta aula...
• Regra da Adição
• Eventos mutuamente exclusivos
• Princípios de contagem
• Fim do cap. 03...
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Estatística e Probabilidade
Compare “A e B” a “A ou B”
O evento composto “A e B” significa que tanto A quanto B ocorreram
no mesmo experimento probabilistico. Para definir P(A e B), usa-se a
Regra da Multiplicação.
O evento composto “A ou B” significa que A pode ocorrer sem B,
assim como B pode ocorrer sem A, ou ainda tanto A quanto B podem
ocorrer. Para definir P(A ou B), usa-se a Regra da Adição.
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Estatística e Probabilidade
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos, A e B, serão mutuamente exclusivos se não puderem
ocorrer na mesma tentativa.
Exemplo:
A = ter menos de 21 anos.
B = estar concorrendo ao Senado dos Estados Unidos.
A = ter nascido na Filadélfia.
B = ter nascido em Houston.
Exclusão mútua
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P(A e B) = 0
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Se o evento A ocorre, isso exclui o evento BPrda
tentativa.
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Estatística e Probabilidade
Eventos não mutuamente exclusivos
Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são
mutuamente exclusivos.
Exemplo:
A = ter menos de 25 anos.
B = ser um engenheiro de alimentos.
A = ter nascido em Imperatriz.
B = ver Big Bang Theory na TV.
AeB
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teim mútua
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Sem exclusão
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r. A P(A e B) ≠ 0
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Estatística e Probabilidade
Regra da Adição
A probabilidade de que um ou outro dos dois eventos ocorram é:
P (A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Ao subtrair P(A e B) você evita uma dupla contagem da probabilidade dos
resultados que ocorrem em A e B.
Se os dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, a regra pode ser
simplificada para
P (A ou B) = P(A) + P(B)
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Esta regra nsimplificada
pode ser estendida a um número qualquer
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eventos
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Pro
Pro
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Estatística e Probabilidade
Regra da Adição
Exemplo:
Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de ser
um rei ou ser de naipe vermelho.
A = a carta é um rei.
B = a carta é vermelha.
O fato da carta ser um rei não impede que a carta seja vermelha
P(A) = 4/52 e P(B) = 26/52
mas P(A e B) = 2/52 (um rei vermelho)
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P(A ou B) = 4/52 + 26/52 – 2/52
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= 28/52 = 0,538 Pro
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Estatística e Probabilidade
Regra da Adição
Exemplo:
Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade
de a carta ser um rei ou um 10.
A = a carta é um rei. B = a carta é um 10.
P(A) = 4/52 e P(B) = 4/52 e P(A e B) = 0/52
P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0/52 = 8/52 = 0,054
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Quando
os eventos
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são mutuamente exclusivos,
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P(A ou B) = P(A) + P(B) Prof. Dr
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Estatística e Probabilidade
Tabela de contingência
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles
gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir:
Omaha
Seattle
Miami
Sim
100
150
150
400
Não
125
130
95
350
75
170
5
250
300
450
250
1.000
Não sabe
Total
Total
Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:
er
1. P(Miami eeimsim)
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DrP(Miami e Seattle)
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3. P(Miami ou sim)
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4. P(Miami Pou
rof. Seattle)
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Estatística e Probabilidade
Tabela de contingência
Sim
Não
Não sabe
Total
Omaha
100
125
75
300
Seattle
150
130
170
450
Miami
150
95
5
250
Total
400
350
250
1.000
Solução…
1. P(Miami e sim)
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2. P(Miami
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e Seattle)
250 150 150
⋅
=
= 0,15
1000 250 1000
=0
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Estatística e Probabilidade
Tabela de contingência
Sim
Não
Não sabe
Total
Omaha
100
125
75
300
3. P(Miami ou sim)
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4. P(Miami
ou Seattle)
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Seattle
150
130
170
450
Miami
150
95
5
250
Total
400
350
250
1.000
250 400 150
500
+
−
=
= 0,5
1000 1000 1000 1000
250 450
+
1000 1000
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= 0, 7
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1000
1000
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P
Estatística e Probabilidade
Um breve resumo
¾ Para eventos complementares
P(E') = 1 – P(E)
Subtraia, de um evento, a probabilidade do outro.
¾ Probabilidade de que ambos os eventos ocorram
P(A e B) = P(A) • P(B|A)
Multiplique a probabilidade do primeiro evento pela probabilidade condicional
de que o segundo evento ocorra, dado que o primeiro já ocorreu.
¾ Probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra
P(A
er
r ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
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s probabilidades simples; para evitar contagem dupla,
Some
r. Anão se esqueça
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de subtrair a probabilidade de que ambos
Proocorram.
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Estatística e Probabilidade
Princípios
da contagem
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Estatística e Probabilidade
Princípio Fundamental da Contagem
Se um evento pode ocorrer de m maneiras e um
segundo evento de n maneiras, o número de
maneiras em que os dois eventos podem ocorrer em
sequência é
m.n
Esta Regra pode ser estendida p/ um número qualquer de eventos
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Estatística e Probabilidade
Princípio Fundamental da Contagem
Exemplo (diagrama de árvore):
Se uma refeição consiste em duas opções de sopa, três de prato principal e duas
de sobremesa, quantas refeições diferentes podem ser compostas?
Sopa
Principal
Sobremesa
Início
f.
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2
•
3
•
2
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er
= 12 refeições
Estatística e Probabilidade
Princípio Fundamental da Contagem
Exemplo (diagrama de árvore):
Você está comprando um carro. Usando as informações a seguir –
fabricante, tamanho e cor- diga de quantas maneiras diferentes podemse selecionar um fabricante, um tamanho e uma cor.
Fabricante:
Ford, GM, Fiat
Tamanho:
pequeno, médio
Cores: branco (B), vermelho (V), preto (P), verde (Vd)
f.
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Estatística e Probabilidade
Fatoriais
Suponha que você queira colocar n objetos em ordem…
Há n opções para o primeiro lugar.
Restarão n – 1 opções para o segundo, depois n – 2 opções para o
terceiro e assim por diante, até que, no último lugar, não vai mais
haver opções.
Com base no Princípio Fundamental da Contagem, o número de
maneiras em que n objetos podem ser arranjados é:
her
c
a
teim
S
n
o
n(n – 1)(n – 2)…1
a ch
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Essa
expressão
chama-se
n
fatorial
e
escreve-se
n!.
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P
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Estatística e Probabilidade
Permutações
Uma permutação é um arranjo ordenado de objetos.
O número de permutações para n objetos é n!
n! = n (n – 1) (n – 2) ... 3 • 2 • 1
Permutação de n objetos tomando r a cada vez
Suponha que você queira escolher alguns objetos em um grupo e
colocá –los em ordem. Essa ordenação é chamada de permutação de n
objetos tomando r a cada vez.
O número de permutações de n objetos, tomando-se r a cada vez
(onde r ≤ n), é:
f.
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o
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Estatística e Probabilidade
Permutação de n objetos tomando r a cada vez
Exemplo:
Você precisa ler cinco livros de uma lista de oito. Em quantas
seqüências diferentes você pode fazê-lo?
Há 6.720 permutações de oito livros para se lerem cinco.
f.
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Estatística e Probabilidade
Permutações distinguíveis
Suponha que você queira agora ordenar um grupo de objetos
sendo alguns deles iguais, como por exemplo as letras
AAAABBC.
De quantas maneiras diferentes você pode ordenar esse grupo?
Se usarmos a formula anterior, pode-se concluir que existem
7P7 = 7!
Entretanto, como alguns objetos são iguais, nem todas essas
ordenações são distinguíveis.
f.
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Estatística e Probabilidade
Permutações distinguíveis
O número de permutações distinguíveis de n objetos,
sendo n1 de um tipo, n2 de outro tipo e assim por
diante, é:
n!
n1!⋅n2 !⋅n3 !⋅n4 !⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅nk !
Onde n1+n2+n3+.......nk=n
Assim, o número de maneiras que as letras AAAABBC
podem ser rearranjadas é
f.
Pro
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Dr
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7!
7 ⋅6⋅5
c
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=
= 105 lysson Steim
r. A
4! ⋅ 2! ⋅ 1!
2
D
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Estatística e Probabilidade
Combinações
Suponha que voce queira comprar três CDS de uma seleção de
cinco. Há dez maneiras de fazer suas seleções:
ABC, ABD, ABE
ACD, ACE
ADE
BCD, BCE
CDE
Em cada seleção, a ordem não importa (o conjunto ABC é o
mesmo que BAC).
O número de maneiras de escolher r objetos dentre n objetos,
er
não importando ahordem,
é chamado de número de
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combinações
de
n
objetos
tomando
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f.
Pro
Estatística e Probabilidade
Combinação de n objetos tomando r a cada vez
Uma combinação é uma seleção de r objetos de um grupo de
n objetos, sem que tenha importância a ordem.
O número de combinações de objetos selecionados em um
grupo de n objetos é:
n!
n Cr =
( n − r )! r!
f.
Pro
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Estatística e Probabilidade
Combinação de n objetos tomando r a cada vez
Exercício:
Uma departamento de transporte estadual planeja desenvolver uma
nova estrada e recebe 16 propostas para o projeto. O estado planeja
contratar 4 das companhias que fizeram ofertas. Quantas
combinações diferentes de 4 companhias podem ser selecionadas a
partir das 16 que fizeram oferta?
Lembre que:
n!
n Cr =
( n − r )! r!
Solução:
16!
16!
16 ⋅15 ⋅14 ⋅13 ⋅12!
=
=
= 1820 er
16 C 4 =
r
e
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(16 −eim4)!4!
(12)!4!
12!4!
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D
Podemos obter 1820 combinaçõesPdiferentes.
rof.
on
Estatística e Probabilidade
Combinação de n objetos tomando r a cada vez
Exercício:
Você precisa ler cinco livros de uma lista de oito. De quantas maneiras
você pode escolher os livros se a ordem não importar?
Há 56 combinações de 8 objetos tomando-se 5.
f.
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Estatística e Probabilidade
Princípios da contagem- resumo
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Estatística e Probabilidade
Próxima aula:
Início do cap. 4
Distribuições discretas de probabilidade
f.
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