FAMAT em Revista - Faculdade de Matemática

Transcrição

FAMAT em Revista
www.famat.ufu.br
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
Àf
W
Número 02 - Abril de 2004
e-mail: [email protected]
Comitê Editorial: Edson Agustini - Famat/Ufu
Walter dos Santos Motta Júnior - Famat/Ufu
Antônio Carlos Nogueira - Famat/Ufu
Rafael Peixoto - Petmat - Famat/Ufu
Carlos Alberto da Silva Júnior - Damat - Famat/Ufu
2
FAMAT em Revista - Número 02 - Abril de 2004
FAMAT em Revista
ISSN 1806-1958
www.famat.ufu.br
e-mail
[email protected]
Revista Cientı́fica Eletrônica Semestral da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
Comitê Editorial:
Edson Agustini - Famat/Ufu
Walter dos Santos Motta Júnior - Famat/Ufu
Antônio Carlos Nogueira - Famat/Ufu
Rafael Peixoto - Petmat - Famat/Ufu
Carlos Alberto da Silva Júnior - Damat - Famat/Ufu
Número 02
Abril de 2004
3
Editorial
Os membros do comitê editorial da “FAMAT em Revista” têm o prazer de
disponibilizar à comunidade acadêmica o seu segundo número. “FAMAT em Revista” é a
revista eletrônica de divulgação científica da comunidade acadêmica da Faculdade de
Matemática da Universidade Federal de Uberlândia, cuja finalidade é promover a circulação
de idéias, estimular o estudo de matemática e despertar a curiosidade intelectual dos
estudantes e de todos aqueles que se interessam pelo ensino e pelo estudo da matemática. Ela
deve possibilitar a integração entre discentes e/ou docentes da Faculdade de Matemática,
promovendo o enriquecimento curricular e fomentando reflexões sobre a formação de
professores e de pesquisadores em matemática.
Em seu primeiro número, o editorial da revista destinou-se a especificar a finalidade de
cada seção e os objetivos gerais da revista, além de trazer as normas para a submissão de
artigos. Nesse número, em que estão contempladas as atividades desenvolvidas durante parte
do segundo semestre de 2003 e parte do primeiro semestre de 2004, restringimo-nos, portanto,
a apresentar de modo sucinto as diversas contribuições e matérias que compõem cada seção.
Em Artigos Completos de Iniciação Científica, contamos com quatro textos proveitosos
e interessantes, sendo dois da área de matemática aplicada e dois da área de matemática pura.
Em Problemas e soluções, o prof. Luiz Alberto Duran Salomão nos propõe o desafio de
quatro novos e instigantes problemas matemáticos e nos apresenta uma proposta de resolução
dos quatro problemas publicados no número anterior. Além disso, trazemos as vinte questões
da prova classificatória do VII Curso de Especialização em Matemática da FAMAT-UFU.
Na seção Eventos, complementamos a lista dos eventos a serem realizados no primeiro
semestre de 2004 e confeccionamos uma outra lista compreendendo os eventos que ocorrerão
no segundo semestre de 2004.
Na seção Reflexões sobre o Curso de Matemática, apresentamos uma síntese do
PROJETO INSTITUCIONAL DE FORMAÇÃO DO PROFISSIONAL DA EDUCAÇÃO DA UFU sobre a
reformulação dos cursos de licenciatura, redigida pelo prof. Walter dos Santos Motta Júnior.
Na seção Em sala de aula, o prof. Jocelino Sato nos brinda com um interessante e
proveitoso artigo sobre o uso de recursos computacionais no estudo de geometria.
Na Iniciação Científica em Números, além de uma descrição dos atuais projetos de
iniciação científica da FAMAT-UFU, apresentamos o projeto PIBEG (Programa Institucional
de Bolsas de Ensino de Graduação) que visa a melhoria da qualidade da formação dos
estudantes da FAMAT.
Em E o meu Futuro Profissional?, uma coletânea de textos interessante e informativa
sobre a crise no ensino de matemática no país leva-nos a refletir sobre a formação do
professor de matemática e as suas condições de trabalho em um momento singular de nossa
história. Essa coletânea propicia uma discussão interessante em nosso meio acadêmico, uma
vez que estamos vivendo um processo de reformulação do Curso de Matemática.
E, finalmente, na seção Merece Registro, destacamos as atividades e os fatos que
mereceram destaque na FAMAT entre novembro de 2003 e março de 2004, tais como a
realização da III Semana de Matemática, os alunos da FAMAT que prestaram o Provão e no
qual obtiveram conceito A, os cursos de especialização da Estatística e da Matemática e os exalunos FAMAT que ingressaram em Programas de Mestrado.
Esperamos que nossos leitores apreciem os trabalhos aqui publicados e lembramos que
críticas e sugestões produtivas são sempre bem-vindas.
Comitê Editorial
4
5
Índice de Seções
Seção 1: Trabalhos Completos de Iniciação Cientı́fica
7
Seção 2: Problemas e Soluções
79
Seção 3: Eventos
89
Seção 4: Reflexões sobre o Curso de Matemática
93
Seção 5: Em Sala de Aula
97
Seção 6: Iniciação Cientı́fica em Números
133
Seção 7: E o meu Futuro Profissional?
139
Seção 8: Merece Registro
155
6
FAMAT em Revista
www.famat.ufu.br
a
d p
Trabalhos Completos de
Iniciação Científica
FAPEMIG - Bolsa de Iniciação Científica e Tecnológica Institucional
PETMAT - Programa Especial de Treinamento da Faculdade de Matemática
PIBIC-CNPq - Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica do Conselho Nacional de Pesquisa
PROMAT - Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática
8
Comitê Editorial da Seção
Trabalhos Completos de Iniciação Científica
do Número 02 da FAMAT em Revista:
Edson Agustini (coordenador da seção)
Walter dos Santos Motta Júnior
Antônio Carlos Nogueira
9
Instruções para submissão de Trabalhos
A Seção de Trabalhos de Iniciação Cientı́fica visa divulgar trabalhos que estejam associados a projetos cadastrados na(o) FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq / PROMAT
e orientados por docentes da FAMAT.
Trabalhos completos em nı́vel de iniciação cientı́fica dos programas acima listados
submetidos para publicação na Revista Eletrônica “Famat em Revista” estarão sujeitos
a apreciação pelo Comitê Editorial responsável por essa seção de artigos e, se for o caso,
por consultores ad hoc ligados à área ou subárea do trabalho. Caso se faça necessário,
sugestões para o aperfeiçoamento do trabalho serão dirigidas aos interessados pelo Comitê
Editorial.
Além da redação clara e concisa que todo trabalho submetido à boa qualidade deve
possuir, pede-se evitar o estilo árido e extremamente técnico caracterı́stico de algumas
publicações matemáticas, não perdendo de vista que o público-alvo ao qual se destina a
revista é constituı́do por alunos de graduação.
Os trabalhos submetidos até o final de um semestre letivo serão publicados na edição
da revista lançada no inı́cio do semestre letivo subseqüente.
Quanto às normas técnicas para submissão dos trabalhos:
1) Formato do arquivo: PDF
2) Folha: A4
3) Margens: 2,5 cm (portanto, área impressa: 16 cm x 24,7 cm)
4) Tamanho de fonte (letra): 12 pontos (exceto tı́tulos, subtı́tulos, notas de rodapé,
etc, que ficam submetidos ao bom senso)
5) Orientador(es), tipo de programa e orgão de fomento (se houver) devem constar no
trabalho.
Envio:
Por e-mail: [email protected]
10
11
Índice de Trabalhos
Modelo Geométrico de um Robô com Estrutura Paralela
13
Rafael Gonçalves Rosa, Plı́nio José Oliveira e Sezimaria F. P. Saramago
O Terceiro Problema de Hilbert
37
Fernanda Ribeiro de Moura e Luiz Alberto Duran Salomão
História, Geometria e Modelagem Matemática Aprendendo Matemática com o Software Octave
41
Carlos Alberto da Silva Junior, Sandreane Poliana Silva e César G. de Almeida
Algumas Noções Topológicas Associadas ao Cı́rculo
Marcelo Gonçalves Oliveira Vieira e Walter dos Santos Motta Júnior
55
12
13
Modelo Geométrico de um Robô
com Estrutura Paralela
Rafael Gonçalves Rosa*
*Universidade Federal de Uberlândia
Campus Santa Mônica
Av. João Naves de Ávila, 2160
Uberlândia (MG) – Brasil.
Plínio José Oliveira**
Sezimaria F. P. Saramago *
**Universidade Federal de Goiás
Campus de Catalão
Av. Dr. Lamartine Pinto de Avelar, nº 1120
Catalão (GO) – Brasil..
1. INTRODUÇÃO
Um robô é dito manipulador serial se sua estrutura cinemática toma a forma de uma
cadeia aberta, se a estrutura cinemática possui formato fechado ele é chamado manipulador
paralelo. A maioria dos robôs industriais é serial, no entanto, os robôs paralelos apresentam
algumas vantagens, tais como: maior resistência a esforços externos, exatidão de
posicionamento, capacidade de carga maior e podem ser operados a altas velocidades e
acelerações.
Assim os robôs com estrutura paralela têm sido extensivamente estudados nos últimos
anos para possibilitar sua utilização nas mais diversas aplicações industriais, como exemplo:
empacotamento, montagem, processos de separação, simulação de movimentos, máquinas de
moer e bases de máquinas-ferramenta.
No Laboratório de Robótica e Mecatrônica em Cassino, Itália, foi criado um mecanismo
paralelo moderno com três graus de liberdade (gdl), chamado CaPaMan ( Cassino Parallel
Manipulator).
Figura 1. Mecanismo de quatro barras do CaPaMan.
O CaPaMan é composto de uma plataforma fixa (PF) e uma móvel (PM) as quais são
conectadas entre si por três pernas, cada uma das quais fixadas à PF através de um mecanismo
articulado de quatro barras, os quais se mantém sempre no plano vertical e possuem juntas
rotacionais. O mecanismo de quatro barras, representado na Fig.1 é composto por: 1-base; 2manivela de entrada; 3-biela; 4-manivela de saída. Os centros das bases destes mecanismos
estão dispostos nos vértices de um triângulo eqüilátero na PF, de modo que os planos que os
contém, formam entre si ângulos de 120o ; atribuindo desta forma propriedades de simetria ao
manipulador. As barras de ligações (conectoras) entre as pernas dos mecanismos de quatro
14
barras e a PM são constituídas por duas juntas; uma esférica conectando a extremidade
superior da barra à PM nos respectivos Hi e a outra prismática, a qual é fixada no ponto médio
e numa posição transversal à biela do mecanismo de quatro barras.
Figura 2. Arquitetura da estrutura paralela CaPaMan
Os principais parâmetros dimensionais do CaPaMan conforme pode ser visto na Fig.2
são: ai comprimento das bases dos mecanismos de quatro barras; mi comprimento das
manivelas de entrada; ci comprimento das bielas; di comprimento das manivelas de saída; hi
comprimento das barras conectoras; o raio da PM é dado por rP , distância do centro P da PM
às juntas esféricas Hi ; o raio da PF é dado por rB, distância do centro O da PF aos pontos
médios Oi das bases ai; Si são as coordenadas dos deslocamentos das juntas prismática; os
ângulos δ i, são os ângulo de rotações estruturais entre OX1 e OXi bem como entre PH1 e PHi;
as variáveis cinemáticas são os ângulos de entrada α i formados entre as bases e manivelas de
entrada dos mecanismos de quatro barras (considerando em todos os parâmetros que i= 1,2,3).
Para descrever o comportamento cinemático e dinâmico do CaPaMan considera-se dois
sistemas:
Um sistema inercial OXYZ é fixado à plataforma fixa (PF), a origem O é o centro da PF
e o outro PXP YP ZP é atado à plataforma móvel (PM) e P é o centro da PM, o eixo X tem a
mesma direção do segmento ligando os pontos O e O1. O eixo Z é perpendicular ao plano da
PF e Y é tomado neste plano de modo a definir um sistema cartesiano. O sistema móvel
PXP YP ZP é fixado de modo que o eixo XP seja coincidente com a linha unindo os pontos P e
H1 e o eixo YP é colocado sobre a PM de maneira que o sistema móvel seja ortogonal. Como
os planos que contém os mecanismos de quatro barras formam entre si ângulos de 120° cada
sistema cartesiano de referência OiXi YiZi para i=1,2,3 é tomado de maneira que Oi coincida
com o centro da base ai do mecanismo de quatro barras. O eixo Xi é perpendicular ao plano do
mecanismo de quatro barras, o eixo Yi coincide com a base do mecanismo e Zi é tomado de
modo que o sistema de referência OiXiYi Zi seja cartesiano. Desse modo cada Xi é girado de
120° em relação ao eixo Xi-1 . A orientação do sistema móvel PXP YP ZP fixo à PM é descrita
em relação ao sistema inercial PXP YP ZP pelos ângulos de Euler θ ,ϕ e ψ , onde θ é a rotação
15
em torno do eixo Z, ϕ é a rotação em torno do eixo Y’, rotação que inclina a PM em relação
ao sistema inercial e ψ é uma rotação em torno do eixo ZP.
2. MODELO GEOMÉTRICO
O objetivo do modelo geométrico é determinar a posição de um ponto qualquer da
plataforma móvel em relação ao referencial inercial OXYZ em função das variáveis de
entrada do CaPaMan que são os ângulos α1 , α2 e α3 .
Figura 3- Posição das plataformas como função dos ângulos de Euler
A Fig.3 mostra a plataforma móvel após três rotações, de acordo com a regra da mão
direita, na seguinte seqüência:
A primeira rotação, de um ângulo θ = f1 ( α1 , α2 , α3 ) é realizada em torno do eixo Z
no sistema OXYZ , produzindo assim um novo sistema OX 'Y ' Z ' . A segunda rotação
ϕy=f2 (α1 , α2 , α3 ) é feita em torno do eixo Y’, pertencente ao sistema OX’Y’Z’, obtendo-se o
sistema OX’’Y’’Z’’. A terceira rotação ψ = f3 ( α1 , α2 , α3 ) , é realizada em torno do eixo Z’’
do sistema OX’’Y’’Z’’, obtendo-se finalmente o sistema OX’’’Y’’’Z’’’. Fazendo-se a
translação do sistema OX’’’Y’’’Z’’’ com centro em O, para o centro da plataforma móvel, o
ponto P, obtém-se o sistema PXp Yp Zp . Considere Xp o vetor das coordenadas do ponto P em
relação ao sistema OX’’’Y’’’Z’’’, e X1 o vetor das coordenadas de P em relação ao sistema
OX’’Y’’Z’’, portanto:
 cψ − sψ 0 


X =  s ψ cψ 0  X
 0
0
1 

1
p
Se X2 é o vetor das coordenadas de P em relação ao sistema OX 'Y ' Z ' , então:
(2.1)
16
 cϕy

X = 0
 − sϕ
y

0 sϕy 

1
0  X1
0 cϕy 
2
(2.2)
Finalmente, se X é o vetor das coordenadas de P em relação ao sistema OXYZ , tem-se:
cθ − sθ 0


X =  sθ cθ 0  X 2
0
0
1 

(2.3)
As letras c e s nas equações (2.1), (2.2) e (2.3) significam o co-seno e o seno
respectivamente, dos ângulos correspondentes. Das três últimas equações obtém-se:
 cθ − sθ 0   cϕy


X =  sθ cθ 0   0
0
0
1   − sϕy

0 sϕy   cψ − sψ 0 


1 0   s ψ cψ 0  X
0 cϕy   0
0
1 
p
(2.4)
Escrevendo (2.4) na forma simplificada tem-se:
[
]
X = [R (θ, z )] R (ϕy , y ) [R(ψ, z )] X
p
(2.5)
Pode-se também escrever (2.4), como:
X
p
X
p
 cψ sψ 0   cϕy


=  − s ψ cψ 0   0
 0
0 1   s ϕy

0 − s ϕy   cθ s θ 0 


1
0   − sθ cθ 0  X
0 cϕy   0
0 1 
Reescrevendo (2.6) de forma simplificada, tem-se:
= [R(− ψ, z )] R(− ϕy , y ) [R(− θ , z )] X
[
]
[
(2.6)
(2.7)
]
Fazendo R = [R(θ , z )] R(ϕy , y ) [R(ψ, z )] e efetuando o produto, obtém-se:
 cθ cϕy cψ − sθ.sψ − cθ cϕy sψ − sθ cψ cθ sϕy 


R =  sθ cϕy cψ + cθ sψ − sθ cϕy sψ + cθ cψ sθ s ϕy 

− s ϕy cψ
sϕy s ψ
cϕy 

Observe na Fig. 3 que ϕy =
π
− ϕ , portanto:
2
(2.8)
 sϕy = cϕ

cϕy = sϕ
17
(2.9)
Substituindo (2.9) em (2.8) tem-se:
 cθ sϕ cψ − sθ sψ − cθ sϕ sψ − sθ cψ cθ cϕ


R =  sθ sϕ cψ + cθ sψ − s θ sϕ s ψ + cθ cψ sθ cϕ

− cϕ cψ
cϕ sψ
sϕ 

(2.10)
Assim, a Eq. (2.5) pode ser escrita da forma,
X = RX
p
(2.11)
Figura 4. Representação das extremidades das juntas esféricas (H1, H2 , H3 ).
Na Fig. 4 observe que δ1 =0o , δ2 =120o e δ3 =240o . Além disso, O1 , O2 , O3 são os
centros das bases fixas dos mecanismos de quatro barras. Observe simultaneamente a Fig.4 e
Fig. 5 para compreender melhor os vetores descritos abaixo. Considerando em todas as
equações que o índice i = 1,2,3 corresponde aos respectivos δi :
(
b iy
b iz
)T ;
bi fixo à base da plataforma fixa.
(2.12)
(
L iy
Liz
)T ;
Li fixo à base da plataforma fixa.
(2.13)
b i = b ix
L i = Lix
Pi
*
(
= Pix
*
Piy
*
Piz
)
* T
; Pi* fixo à base da plataforma fixa.
(2.14)
18
(
Pi = Pix
)
Piz T ; Pi fixo à base da plataforma móvel.
Piy
(2.15)
Figura 5. Representação das barras de ligação entre as pernas do mecanismo
de quatro barras e a PM.
Da Fig.4 observa-se facilmente que:
Pi = [R ] Pi + t
(2.16)
Pi = bi + Li
(2.17)
*
*
Os bi , na Fig. 4 são tomados de modo que b1 = b2 = b3 = rB ,portanto:
bi = rB (cδi
sδi
0) T
(2.18)
Para i = 1,2,3 em (2.18) , tem-se:
b1 = (rB
0 0)
T
 1
b2 =  − rB
 2
3
rB
2

0 

T
 1
e b3 =  − rB
 2
3
−
rB
2

0 

T
(2.19)
Da Fig. 5, tem-se:
( Li )O X Y
i
i i
Si

  xi 

  
=  mi cαi  =  y i 
 m sα + h   z 
 i i
i
 i
(2.20)
19
Figura 6. Rotação δ i , de Li em torno do eixo ZB
Observando a Fig. 6, deduz-se que:
( Li )O X
B
BYB Z B
= [Ri ] (Li )Oi X iYi Zi
(2.21)
onde,
 cδi

[Ri ] =  s δi
 0

− sδi
cδi
0
0

0
1 
(2.22)
é a matriz de rotação de um ângulo δi em torno do eixo Z B .
 cδi

( Li )OB X B Y B Z B = Li =  sδi
 0

− s δi
cδi
0
0 
Si

 xi 


 
0   mi cαi  = [Ri ] y i 
z 
1   mi sαi + hi 
 i
 Si cδi − mi .sδi cαi   xi cδi − yi sδi 

 

⇒ Li =  Si sδi + mi cδi cαi  =  xi sδi + yi cδi 

 

mi sαi + hi
zi

 

(2.23)
(2.24)
Como δ i = 0° δ2 = 120° e δ3 = 240° , para i = 1,2,3 ,resulta:
S1

  x1 

  
L1 =  m1 cα1  =  y1 
 m sα + h   z 
 1 1 1  1
(2.25)
20
 1
 
 − S 2 − 3 m 2 c α2   −
 2
2
 
 3
 
1
L2 = 
S2 − m2 c α2  = 
2
 2
 
m 2 sα2 + h 2

 

 

 

3
y2 
2


1
y2 
2




1
x2 −
2
3
x2 −
2
z2
 1
 
 − S 3 + 3 m 3 c α3   − 1 x 3 + 3 y 3
 2
2
  2
2

 
3
1
3
1
L3 =  −
S3 − m 3 c α3  =  −
x3 − y3
2
2
 2
  2
m3 sα3 + h3
z3

 

 

 
Pi = rP (cδi
sδi
(2.26)









(2.27)
0) T
(2.28)
onde, rP = P1 = P2 = P3
(2.29)
Fazendo i = 1,2,3 em (2.28) obtém-se:
P1 = (rP
0 0)
T
 1
P2 =  − rP
 2
3
rP
2

0 

T
 1
e P3 =  − rP
 2
3
−
rP
2

0 

T
(2.30)
Da Fig. 4 observa-se que o ponto P, extremidade do vetor t é o baricentro do triângulo
eqüilátero formado pelos pontos H1 , H2 e H3 , os quais são extremidades dos vetores P1* ,
*
P2 * e P3 respectivamente, desta forma conclui-se que:
t=
(
1 *
P1 + P2 * + P3 *
3
)
(2.31)
Substituindo a Eq.(2.17) em (2.31), obtém-se:
t=
1
[(b1 + L1 ) + (b2 + L2 ) + (b3 + L3 )]
3
(2.32)
*
De (2.17) , da Fig. 4 e do fato da extremidade do vetor Pi coincidir com a extremidade
do vetor H i conclui-se que:
 xH i

 y Hi
z
 Hi


 = bi + Li


Fazendo em (2.33) , i = 1,2,3 , tem-se :
(2.33)
21
 x H   r B   S1   r B + x 1
 1     

 y H1  =  0  +  y 1  =  y 1 

     

 z H 1   0   z1   z1 
 xH
 2
 y H2

 zH 2
 xH
 3
 y H3

 zH3
(2.34)
  1
3
1
3
  1
y 2   − r B − x2 −
y2
 − x2 −

2
2


2
2
2

  3
  3
1
3
1
 +  2 x 2 − 2 y 2  =  2 rB + 2 x 2 − 2 y 2
 
 
z2
z2
 
 
 
 
 
 





 1
 − rB
 2
 3
=
rB
 20








 1
 − rB
 2

3
= −
rB
 20












  1

3
1
3
  1
y 3   − rB − x 3 +
y3 
 − x3 +

2
2


2
2
2


 

 
3
1
3
3
1
 +  − 2 x3 − 2 y 3  =  − 2 r B − 2 x3 − 2 y 3 
 

 
z3
z3
 

 
 
 

 
 

(2.35)
(2.36)
De (2.32),
 x H   x H
1  1   2
t =  y H1  +  y H 2
3 
 z   z
 H 1   H 2
  xH
  3
 +  y H3
 
  zH3





(2.37)
Efetua ndo os cálculos obtém-se:

 x1 − 1 x2

2
1 3
t = 
x2 −
3 2



Fazendo
 xH
 i
 y Hi

 y Hi
1
3
3
x3 −
y2 +
y3
2
2
2
3
1
1
x3 + y 1 − y 2 − y 3
2
2
2
z1 + z 2 + z 3
−
 R 11

R =  R 21
R
 31
  R11 R 12
 
 =  R 21 R 22
 
  R 31 R 32
R 12
R 22
R 32
R13 

R 23 
R 33 


 x
  
 = y 
 z
  


(2.38)
e substituindo em (2.16) obtém-se:
R 13 
 x

 
R 23  Pi +  y 
 z
R 33 
 
(2.39)
para i = 1 , usando a Eq. (2.30), a Eq. (2.39) se reduz a,
 x H   r P R 11   x 
 1 
  
 y H 1  =  rP R 21  +  y 

 
  
 y H 1   r P R 31   z 
(2.40)
22
para i = 2 a Eq. (1.24) se reduz a,
 xH
 2
 y H2

 y H2





 1

 − r P R 11 + 3 r P R 12 
 2
2
 x
 1
  
3
=  − r P R 21 +
r P R 22  +  y 
2
 2
 z
3
 1
  
 − 2 r P R 31 + 2 r P R 32 


(2.41)
para i = 3 a Eq. (1.24) se reduz a,
 xH
 3
 y H3

 y H3





 1
 − r P R 11 − 3 r P R 12
 2
2
 1
3
=  − r P R 21 −
r P R 22
2
 2
3
 1
 − 2 r P R 31 − 2 r P R 32

de (2.16) e (2.17), tem-se:


 x
  
 + y
 z
  


(2.42)
bi + Li = [R] Pi + t
(2.43)
Para i = 1 , usando a Eq.(2.34), a Eq.(2.43) se transforma em:
 rB + x1  r P R 11   x 

 
  
 y 1  =  r P R 21  +  y 
 z
 r R  z
1

  P 31   
(2.44)
Para i = 2 , usando a Eq.(2.35) a Eq.(2.43) se transforma em:
 1
 

 − rB − 1 x 2 − 3 y 2   − 1 rP R 11 + 3 r P R 12 
 2
2
2
  2
2
 x
 3
  1
  
3
1
3
rB +
x 2 − y 2  =  − r P R 21 +
r P R 22  +  y 

2
2
2
 2
  2
 z
z2
3

  1
  
−
r
R
+
r
R
P
32 

  2 P 31
2

 

(2.45)
Para i = 3 , usando a Eq.(2.36), a Eq.(2.43) se transforma em:
 1
 
 − rB − 1 x 3 + 3 y 3   − 1 rP R11 −
2
2
 2
  2

3
3
1   1
rB −
x − y  = − r R −
−
2 3 2 3   2 P 21
 2
z3

 − 1 r R −

  2 P 31

 
 x   rB − rP R11 + x1 
  

⇒  y  =  − rP R21 + y1 
 z  −r R + z 
  
P 31
1 

3
rP R12 
2
  x
  
3
rP R22  +  y 
2
  z
 
3
rP R32 
2

(2.46)
(2.47)
23
Da primeira linha da equação matricial (2.47) retira-se que x1 = x − rB + rP R11 como
Pi = bi conclui-se que rB = rP portanto,
x1 = x − rP (1 − R11 )
(2.48)
E da segunda linha da equação matricial (2.47), resulta:
y = −rP R21 + y1 = y1 − rp (cθ sψ + sθ sϕ cψ)
y = y1 − r p ( cθ sψ + sθ sϕ cψ)
Portanto,
(2.49)
(2.50)
De (2.45) tem-se também que,
y=
3
1
3
3
1
rB + rP R21 −
rP R22 +
x2 − y2
2
2
2
2
2
(2.51)
Comparando (2.50) e (2.51),
3
1
3
3
1
rB + rP R21 −
rP R22 +
x 2 − y 2 = y1 − rP R21
2
2
2
2
2
isolando x 2 nesta última equação, obtém-se:
x 2 = −rB −
3
2
1
rP R21 + rP R22 +
y1 +
y2
3
3
3
(2.52)
como rP = rB , colocando-se rP em evidência, obtém-se:
(
)
x 2 = −rP 1 + 3 R21 − R22 +
2
1
y1 +
y2
3
3
(2.53)
Da segunda linha de (2.46),
y=−
3
1
3
3
1
rB + rP R21 +
rP R22 −
x 3 − y3
2
2
2
2
2
(2.54)
Comparando as Eqs. (2.50) e (2.54), tem-se:
y1 − rP R21 = −
3
1
3
3
1
rB + rP R21 +
rP R22 −
x 3 − y3
2
2
2
2
2
(2.55)
isolando x3 na Eq.(2.55) ,obtém-se:
(
)
x 3 = −rP 1 − 3 R21 − R22 −
1
2
y3 −
y1
3
3
(2.56)
24
2.1 . Cálculo do ângulo ψ .
Da primeira linha da equação matricial (2.38),
1
1
1
3
3 
x =  x1 − x 2 − x 3 −
y2 +
y 3 
3
2
2
2
2

(2.57)
Substituindo-se as Eqs.(2.53), (2.56) e (2.48) na Eq.(2.57), tem-se:
x=
1
2 3
2 3 
y2 +
y3 
 x + ( R11 − R22 ) rP −
3
3
3

(2.58)
isolando x em (2.58) tem-se:
x=
y 3 − y 2 rP
+ (R11 − R22 )
2
3
(2.59)
substituindo R11 e R12 em (2.59), resulta:
x=
y 3 − y 2 rP
− [cθ cψ + s θ s ψ − cθ sϕ cψ − s θ sϕ sψ]
2
3
(2.60)
De (2.60) , por fatoração , tem-se:
x=
y3 − y 2 rP
− (1 − s ϕ) c (ψ − θ )
2
3
(2.61)
Da terceira linha da equação matricial (2.45), tem-se:
1
3
z 2 = − rP R31 +
rP R32 + z
2
2
(2.62)
Da terceira linha da equação matricial (2.46), obtém-se:
1
3
z 3 = − rP R31 −
rP R32 + z
2
2
(2.63)
Subtraindo-se (2.63) de (2.62), tem-se:
z 2 − z 3 = 3 rP R32
substituindo R32 em (2.64) e isolando sψ ,obtém-se:
(2.64)
sψ =
z 2 − z3
25
(2.65)
3 rP cϕ
Somando-se (2.62) e (2.63), obtém-se:
z 2 + z 3 = −rP R31 + 2 z
(2.66)
Mas, de (2.44) verifica-se que,
z = − rP R31 + z1
(2.67)
Substituindo (2.67) em (2.66), resulta:
z 2 + z 3 = −3 rP R31 + 2 z1
(2.
substituindo R31 em (2.68) e isolando cψ ,
cψ =
z 2 + z 3 − 2 z1
3 rP cϕ
(2.69)
Dividindo (2.65) por (2.69),
tgψ = 3
z3 − z2
2 z1 − z 2 − z 3
(2.70)
Resolvendo a Eq. (2.70) em ψ ,

z 3 − z2 

ψ = tg −1  3
2
z
−
z
−
z
1
2
3 

2.2
(2.71)
Cálculo do ângulo ϕ
De (2.64), tem-se:
z 2 − z 3 = 3 rP cϕsψ
(2.72)
De (2.68), tem-se:
z 2 + z 3 − 2 z1 = 3 rP cϕcψ
(2.73)
Elevando-se ao quadrado ambos os membros de (2.72) e (2.73) respectivamente, obtém-se:
( z 2 − z 3 )2
= 3 rP cϕ2 sψ 2
2
(2.74)
26
( z2 + z3 − 2 z1 ) 2
= 9 rP cϕ2 cψ 2
2
(2.75)
Multiplicando (2.74) por três,
3 ( z 2 − z 3 ) = 9 rP cϕ2 sψ 2
2
2
(2.76)
Somando-se as Eqs.(2.75) e (2.76),
(
3 ( z 2 − z 3 ) + ( z 2 + z 3 − 2 z1 ) = 9 rP cϕ2 sψ 2 + cψ 2
2
2
2
)
(2.77)
como sψ 2 + cψ 2 = 1 , a Eq. (2.77) se reduz a:
3 ( z 2 − z 3 ) + ( z 2 + z 3 − 2 z1 ) = 9 rP cϕ2
2
2
2
(2.78)
desenvolvendo os quadrados em (2.78) e resolvendo em cϕ2 ,
cϕ2 =
(
4 z12 + z 2 2 + z3 2 − z1 z 2 − z1 z3 − z 2 z 3
9 rP 2
)
(2.79)
De (2.79),
cϕ = ±
2
3 rP
z1 2 + z 2 2 + z 3 2 − z1 z 2 − z 1 z 3 − z 2 z 3
(2.80)
Resolvendo (2.80) em ϕ ,
 2
ϕ = cos −1  ±
 3 rP
2.3

2
2
2
z 1 + z 2 + z 3 − z 1 z 2 − z 1 z 3 − z 2 z 3 

(2.81)
Cálculo do ângulo θ
1
1
3
1
3
x = − rB + rP R11 −
rP R12 − x 2 −
y2
2
2
2
2
2
(2.86)
1
1
3
1
3
x = − rB + rP R11 +
rP R12 − x 3 +
y3
2
2
2
2
2
Comparando (2.86) e (2.87), obtém-se:
(2.87)
27
x 3 − x 2 = 3 y 3 + 3 y 2 + 2 3 rP R12
(2.88)
Da segunda linha da equação matricial (2.45),
y=
3
1
3
3
1
rB + rP R21 −
rP R22 +
x2 − y 2
2
2
2
2
2
(2.89)
y=−
3
1
3
3
1
rB + rP R21 +
rP R22 −
x 3 − y3
2
2
2
2
2
(2.90)
Somando-se as Eqs.(2.89) e (2.90),
2 y = rP R21 −
3
(x3 − x2 ) − 1 y2 − 1 y3
2
2
2
(2.91)
y = y1 − rP R21
(2.92)
Substituindo (2.88) e (2.92) em (2.91),
R21 − R12 =
2
( y1 + y 2 + y 3 )
3 rP
(2.93)
Substituindo R21 e R12 em (2.93),
sθ cψ + cθ sψ + sθ sϕ cψ + cθ s ϕ sψ =
(1 + sϕ) sen(θ + ψ) =
sen (θ + ψ ) =
2
( y1 + y 2 + y 3 )
3 rP
2 ( y1 + y 2 + y 3 )
3 rP (1 + sϕ )
2
( y1 + y 2 + y3 )
3 rP
⇒
⇒
(2.94)
Resolvendo (2.94),
 2 ( y1 + y 2 + y3 )
θ + ψ = sen −1 

 3 rP (1 + s ϕ) 
Da Eq. (2.95),
(295)
28
 2 ( y1 + y 2 + y 3 ) 
θ = sen −1 
 −ψ
 3 rP (1 + sϕ) 
(2.96)
Portanto , os ângulos ψ , ϕ e θ são dados, respectivamente, pelas equações:


z3 − z2


ψ = tg −1  3

2 z1 − z 2 − z 3 




2
2
2
2
−1 
z1 + z 2 + z3 − z1 z 2 − z1 z 3 − z 2 z 3 
ϕ = cos  ±
 3 rP




2
(
y
+
y
+
y
)

1
2
3
θ = sen −1 

 −ψ

 3 rP (1 + s ϕ) 
A ambigüidade existente na Eq. (2. 81) que define o ângulo ϕ, devido ao sinal ± pode
ser resolvida considerando a geometria e modelo do CaPaMan que faz com que ϕ seja maior
que 90° quando a ordenada z do ponto H1 é maior que a ordenada z do ponto P eϕ seja menor
que 90° caso contrário. Portanto se z ≥ z1 usa-se o sinal (+) em ϕ, caso contrário usa-se (-).
Quando z1 =z2 =z3 , ψ e θ são indeterminados, mas a soma destes ângulos pode ser dada pela
equação (2.96)
As coordenadas y1 , y 2 , y 3 , z1 , z 2 , z 3 são obtidas a partir das equações matriciais (2.25) , (2.26)
e (2.27) .Observando estas equações, verifica-se que os ângulos ψ , ϕ e θ, dependem dos
parâmetros dimensionais do robô mi , hi , Si e dos ângulos de entrada αi , ( i = 1,2,3 )
formados pelos braços laterais dos três mecanismos de quatro barras acoplados à plataforma
fixa.
Portanto a plataforma móvel (PM) tem posição dada pelas Eqs.(2.38), (2.50), (2.61) e
orientação definidas pelas Eqs. (2.71), (2.81) e (2.96).
2.4 Cálculo do deslocamento Si da junta prismática
Relembrando que o ponto P é extremidade do vetor t, e usando a Eq.(2.16), tem-se
[ ]
Pi = P + R Pi
*
(2.97)
*
Substituindo Pi , P e Pi em (2.97) , tem-se:
 xH i

 y Hi
z
 Hi
  x
 cδi 
  
 
 =  y  + rP R  sδi 
 z
 0 
 
  
[ ]
(2.98)
29
Substituindo [R] e efetuando o produto matricial em (2.98), obtém-se:
 xH i

 y Hi
z
 Hi
  x
 cδi R11 + sδi R12 
  


 =  y  + rP  cδi R21 + sδi R22 
 z
 cδ R + sδ R32 
i
 i 31

  
Pode-se também , obter
*
Pi da Fig.5 através da seguinte equação matricial:
 bi + S i 


Pi = [Ri ]  mi cαi 
 m sα + h 
 i i
i
*
Substituindo [Ri ] e Pi
 xH i   cδi

 
 y H i  =  sδi
z   0
 Hi  
− sδi
cδi
0
*
(2.99)
(2.100)
em (2.100)
0   bi + S i 


0   mi cαi 
1   mi sαi + hi 
(2.101)
Efetuando-se o produto matricial
 xH i

 y Hi
z
 Hi
  cδi (bi + S i ) − sδi mi cαi 
 

 =  sδi (bi + S i ) + cδi mi cαi 
 

mi sα + hi

 
(2.102)
Comparando a primeira linha da equação matricial (2.99) com a primeira da (2.102), obtémse:
x + rP (cδi R11 + sδi R12 ) = cδi (bi + S i ) − sδi mi cαi
(2.103)
Observando que mi = b (braço do mecanismo de 4 barras) para i = 1,2,3 . E considerando que
bi = rB = rP com i = 1,2,3 pode-se escrever (2.103) como:
x + rP (cδi R11 + s δi R12 ) = cδi (rP + S i ) − sδi b cαi
(2.104)
De (2.104), tem-se:
cδi (rP + S i ) = x + rP (cδi R11 + sδi R12 ) + sδi b cαi
(2.105)
Dividindo (2.105) por cδi , tem-se:
rP + S i =
x
+ rP ( R11 + tgδi R12 ) + tgδi b cαi
cδi
(2.106)
30
Mas conforme segunda linha da equação matricial ( 2.20) sabe-se que mi cαi = y i , como
mi = b , resulta :
y i = b cαi
(2.107)
Finalmente pode-se escrever:
Si =
x
+ rP ( R11 + tgδi R12 ) + y i tgδi − rP
cδi
(2.108)
Conseqüentemente, o movimento é possível ou não, se o deslocamento Si estiver dentro dos
limites da junta prismática.
3. CINEMÁTICA DO CAPAMAN
Como na robótica industrial as unidades de motor são controladas em posição e
velocidade, o movimento de entrada pode ser dado por uma função cúbica do tempo t entre
os ângulos inicial α ii e final α if nos respectivos tempos tii e tif por:
αi = αii +
3 (αif − αii )
(t
if
− t ii )
2
t2 −
2 (αif − αii )
(t
if
− t ii )
3
t3
(3.1)
As derivadas temporais de primeira e segunda ordem de (3.1) são dadas por:
•
αi =
••
αi =
6 (αif − αii )
(t
if
− t ii )
2
t −
6 (αif − αii )
(t
if
− t ii )
3
t2
6 (αif − αii ) 12 (αif − αii )
−
t
(t if − tii )2 (tif − tii )3
(3.2)
(3.3)
Da segunda e terceira linha da equação matricial (2.20) tem-se:
y i = mi cαi
(3.4)
z i = mi sαi + hi
(3.5)
Assim, as equações obtidas na seção anterior serão usadas para simular as operações
cinemáticas do CaPaMan, considerando que as dimensões e parâmetros de movimento são
fornecidos.
As componentes de velocidade e aceleração do ponto P são calculadas à partir das
Eqs. (2.38),(2.50) e (2.61) obtendo-se a primeira e segunda derivada de cada uma destas
equações.As derivadas primeira e segunda são representadas, respectivamente, pelas equações
matriciais:
31
•
1
1  • 
 •   0 −

  z 

y


x
1
0
0
0
•
 •1
3
3  •  
 
 y =  1

0
0  y2  + 0 0 0  z2  +
• 


•
1 1 1  • 
z 0
0
0  y  
 z



3
 3
  
   3 3 3  
 (1 − sϕ )s (ψ − θ) cϕ c(ψ − θ) (1 − sϕ) s(ψ − θ)   • 
 −
 θ
2
2
2

 •
rP  − (sϕ cθ cψ − sθ sψ ) − cϕ sθ cψ sϕ sθ sψ − cθ cψ   ϕ 

 • 
0
0
0

 ψ 


(3.6)
••
1
1   ••  
 z 
 •x•   0 −

y
 •• 
3
3   ••1   0 0 0   ••1 
 y  =  1
0
0   y2  +  0 0 0   z 2  +
 1 1 1  ••
 ••  
••
0
0   y3  
 
 z  0
    3 3 3   z3 
  

 (1 − sϕ) s(ψ − θ) cϕ c(ψ − θ) (1 − sϕ )s(ψ − θ )   •• 
 −
 θ 
2
2
2

 ••
rP  − (sϕ cθ cψ − sθ sψ ) − cϕ sθ cψ sϕ sθ sψ − cθ cψ   ϕ  +
 •• 

ψ
0
0
0

 


sϕ c(ψ − θ ) (1 − sϕ)c(ψ − θ )   • 2 
 (1 − sϕ )c(ψ − θ)
−

 θ 
2
2
2

 • 2 
rP  sϕ sθ cψ − cθ sψ
sϕ sθ cψ
sϕ sθ cψ − cθ sψ   ϕ  +
2

 • 
0
0
0
ψ

 

 
 cϕ s(ψ − θ)

rP  − 2 cϕ cθ cψ

0

− (1 − sϕ )c(ψ − θ)
2 (sϕ cθ sψ + sθ cψ)
0


− cϕ s(ψ − θ )  θ ϕ 
•
•
 • •
2 cϕ sθ sψ   θ ψ 
 • • 
0
ϕ ψ


(3.7)
onde, as expressões da primeira e segunda derivadas das coordenadas yi e z i são dadas
respectivamente por:
•
•
y i = −mi αi sαi
•
(3.8)
•
z i = mi αi cαi
••
••
(3.9)
• 2
y i = −mi αi sαi − mi αi cαi
••
••
(3.10)
• 2
z i = mi αi cαi − mi αi sαi
(3.11)
32
De modo análogo, as velocidades e acelerações angulares são deduzidas derivando-se
as equações dos ângulos de Euler, utilizando as Eqs. (2.71), (2.81) e (2.96). Para simplificar
as expressões das derivadas, usaremos a notação Vi para representar parte destas expressões.
•
•
•
3 

(
z
−
z
)
z
−
(
z
−
z
)
z
+
(
z
−
z
)
z
2
3
1
1
3
2
1
2
3

2 V1 

•
ψ=
(3.12)
onde, V1 = z1 + z 2 + z 3 − z 1 z 2 − z1 z 3 − z 2 z 3 ,
2
•
ϕ= ±
(9 r
P
2
•
•
•


(
2
z
−
z
−
z
)
z
+
(
−
z
+
2
z
−
z
)
z
+
(
−
z
−
z
+
2
z
)
z
2
3
1
1
2
3
2
1
2
3
3
 1

− 4 V1 V1
1
2
2
)
(3.13)
•
se z ≥ z 1 usa-se o sinal (-) em ϕ , caso contrário usa-se (+).
Observe que z é a terceira componente do ponto P (centro da plataforma móvel).
•
θ=
•
2

 •
 y• + y• + y•  − ( y + y + y )ϕ
(
1
+
s
ϕ
)
c
ϕ
 1
2
3
1
2
3
 −ψ
(1 + sϕ) V2 



onde
••
ψ=
V2 = 9 rP (1 + sϕ) − 4 ( y1 + y 2 + y3 )
2
(3.14)
2
••
••
••
3 

(
z
−
z
)
z
−
(
z
−
z
)
z
+
(
z
−
z
)
z
2
3
1
1
3
2
1
2
3 +

2 V1 

• 2


3  − ( z 2 − z 3 )(2 z1 − z 2 − z 3 ) z1 +
+
2 
2
2

•
•
2V1 

+
(
z
−
z
)(
−
z
+
2
z
−
z
)
z
−
(
z
−
z
)(
−
z
−
z
+
2
z
)
z

1
3
1
2
3
2
1
2
1
2
3
3 
• •
•
•


3  − (z 1 − z 2 )(− z1 − z 2 + 2 z 3 ) z 1 z 2 + ( z1 − z 3 )(− z1 + 2 z 2 − z 3 ) z1 z 3 −
+ 2

V1  − (z − z )(2 z − z − z ) z• z•

2
3
1
2
3
2 3



••
••
••
1



(2 z − z 2 − z3 ) z1 + (− z1 + 2 z 2 − z 3 ) z 2 + (− z1 − z 2 + 2 z 3 ) z3  + 
 9 r 2 − 4 V V  1

P
1
1


2
2
2


••
•
•
•


1
V3 z1 + V4 z2 + V 5 z 3  +
ϕ = ± +
 (3.15)
3
2

 2 9 rP − 4 V1 V1 



• •
• •
• •
1


2
2
2

V5 − 27 rP V1 z1 z 2 + V 4 − 27 rP V1 z1 z3 + V3 − 27 rP V1 z 2 z3  

3 
2


 9 rP − 4 V1 V1

(
)
[(
[(
) ]
(
) ]
)
(
)
(
)
33
••
se z ≥ z 1 usa-se o sinal (-) em ϕ , caso contrário usa-se (+). Observe que na Eq.(3.15) tem-se
as quantidades:
(
2
(
2
(
2
V3 = 16V1 + 3 ( z 2 − z 3 ) 9 rP − 8V1
2
2
V4 =16 V1 + 3 ( z1 − z 3 ) 9 rP − 8V1
2
2
V5 = 16V1 + 3 (z 1 − z 2 ) 9 rP − 8 V1
2
••
θ=
2
)
)
)
2  •• •• ••  2 ( y 1 + y2 + y 3 ) cϕ  ••  8 ( y1 + y 2 + y 3 )  • 2 • 2 • 2 
 y1 + y 2 + y 3  +
 y1 + y 2 + y3  −
 ϕ +
V2 

(1 + sϕ) V2  
V2 3


(
y1 + y 2 + y3 )[18 rP 2 (1 + sϕ) c 2 ϕ + 2V2 ] • 2 16 ( y 1 + y 2 + y 3 )  • • • • • • 
+
ϕ +
 y1 y 2 + y1 y 3 + y 2 y 3  −
3


(1 + sϕ) V2 3
V2
2
2
36 rP (1 + sϕ) cϕ  • 2 • 2 • 2  • •
 y1 + y 2 + y 3  ϕ −ψ
−
3
(1 + sϕ) V2 

(3.16)
As componentes do vetor velocidade angular ω podem ser escritas em termos dos
ângulos de Euler e suas derivadas temporais , da seguinte forma:
•
 ωx   − cϕ cψ s ψ 0  θ• 
  
 
 ωy  =  cϕ sψ cψ 0  ϕ 
•
 ω   sϕ
0 1 ψ 
 z 
 
(3.17)
•
Derivando-se as equações em (3.17), as componentes do vetor aceleração ω , são
escritas como:
••
 ω• 
 • • 
 x   cϕ cψ sψ 0  θ   sϕ cψ cϕ sψ cψ  θ ϕ 
 ••  
 • • 
 •  
ω
=
c
ϕ
s
ψ
c
ψ
0
ϕ
+
−
s
ϕ
s
ψ
c
ϕ
c
ψ
−
s
ψ



 θ ψ 
 y
 •• 
•



 • • 
 
s
ϕ
0
1


c
ϕ
0
0
ψ



 ϕψ 
 ωz 
 
 


(3.18)
4. FLUXOGRAMA
Utilizando-se as equações anteriores construiu-se um programa computacional que
calcula a trajetória e as variáveis cinemáticas do robô. A Fig. 7 representa um fluxograma que
mostra a seqüência de cálculo utilizada no programa.
34
Figura 7 . Fluxograma para o cálculo modelo geométrico e cinemático do CaPaMan.
5. CONCLUSÕES
Neste trabalho é apresentado o modelo geométrico e cinemático para o manipulador paralelo
CaPaMan. O modelo geométrico foi desenvolvido usando matrizes de transformação e os
ângulos de Euler. Este modelo permite determinar a posição de um ponto qualquer da
plataforma móvel em relação ao referencial inercial, em função dos ângulos impostos à
35
manivela de entrada, através dos atuadores. Conhecendo-se os ângulos iniciais e finais de cada
mecanismo, a trajetória pode ser calculada assumindo que os ângulos de entrada são
representados por uma função cúbica do tempo t. A modelagem cinemática é obtida
derivando-se a equação da trajetória em relação ao tempo.
A continuação desta pesquisa prevê o cálculo do modelo dinâmico que será desenvolvido
utilizando as equações de Newton-Euler. A cadeia cinemática peculiar e as propriedades de
simetria da arquitetura do CaPaMan serão úteis nesta formulação, pois permitirão calcular os
torques de entrada, responsáveis pela obtenção de uma determinada trajetória da plataforma
móvel. O artigo desenvolvido por Saramago e Steffen (1998) descreve a otimização de
trajetórias para robôs manipuladores. A idéia, para trabalhos futuros, é utilizar a metodologia
desenvolvida e aplicá-la na estrutura paralela (CaPaMan).
6. AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem ao CNPq pelo apoio financeiro ao presente trabalho, através do projeto
A-012/2003.
7. BIBLIOGRAFIA
Tsai, L.-W., 1999, Robot Analysis: The Mechanics of Serial and Parallel Manipulators,
John Wiley & Sons, N.York.
Bezerra, C.A.D, Carvalho, J.C.M., 1998, Formulation of the Direct and Inverse Geometric
Model of the Fully Parallel Cartesian Structure, RCBM – J. of the Brazilian Society of
Mechanical Sciences, vol. XX, no 3, pp.445-453.
Bezerra, C.A.D., 1996, Modelagem Geométrica da Estrutura Cartesiana Totalmente Paralela,
Tese de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, abril 1996.
Byun, Y.K., Cho, H.S., 1997, Analysis of a Novel 6-dof, 3-PPSP Parallel Manipulator, The
International J. of Robotics Research, 16(6), pp.859-872.
Carvalho, J.C.M., Bezerra, C.A.D., 1997, Formulation of the Direct and Inverse Geometric
Model of the Fully Parallel Cartesian Structure, Proc. of DINAME’97, Angra dos Reis 0307 March 97, pp.136-138.
36
37
O TERCEIRO PROBLEMA DE HILBERT
Fernanda Ribeiro de Moura
Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria
da Faculdade de Matemática – PROMAT
[email protected]
Luiz Alberto Duran Salomão
Professor orientador
[email protected]
Faculdade de Matemática – FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia – UFU
38400-902 – Uberlândia – MG
Introdução
Dois polígonos P e P’ dizem-se eqüidecomponíveis quando existem decomposições
P = P1 ∪ P2 ∪ . . . ∪ Pn e P’ = P’1 ∪ P’2 ∪ . . . ∪ P’n de tal modo que cada
polígono Pi é congruente ao polígono P’i , para i = 1, 2, ..., n. Além disso, exige-se que os
polígonos Pi tenham seus interiores dois a dois disjuntos, o mesmo ocorrendo com os P’i .
Se dois polígonos são eqüidecomponíveis então é claro que eles têm a mesma área. A
recíproca dessa afirmação, embora não seja evidente, também é verdadeira e foi demonstrada,
em 1832, pelo matemático húngaro Farkas Bolyai e, independentemente, em 1833, por P.
Gerwien. Farkas Bolyai era o pai do famoso matemático Janos Bolyai, um dos descobridores
da geometria hiperbólica. Gerwien era um matemático amador alemão. O Teorema de F.
Bolyai é um fato geométrico interessante cuja prova se baseia em argumentos bem simples
(veja referência [1] ).
É uma questão natural investigar se o Teorema de F. Bolyai, citado acima, generalizase para poliedros, no espaço de dimensão três. Este problema foi incluído por David Hilbert
na sua famosa lista de vinte e três problemas, apresentada no Congresso Internacional de
Matemática, em Paris, no ano de 1900. Na verdade, trata-se do terceiro problema da referida
lista e indaga se dois poliedros de mesmo volume são sempre eqüidecomponíveis.
A solução desse problema foi dada, apenas seis meses após sua apresentação, por Max
Dehn, um aluno de Hilbert.
Neste trabalho, estudamos uma versão do Teorema de Dehn que nos permite concluir
que a questão formulada por Hilbert no seu terceiro problema tem resposta negativa.
38
1. Uma breve nota sobre Álgebra Linear
Dado um conjunto finito M = {m1, m2, . . . ,mk} de números reais, definimos V(M) como o
conjunto de todas as combinações lineares dos elementos de M, com coeficientes racionais.
Observe que V(M) é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo Q dos números
racionais. Além disso, veja que a dimensão de V(M) sobre Q é, no máximo, k.
Um resultado que utilizaremos no desenvolvimento deste trabalho é o seguinte:
Teorema 1: Para quaisquer subconjuntos finitos M e M’ dos números reais, com M ⊂ M’ , o
espaço vetorial V(M) sobre Q é um subespaço vetorial de V(M’ ) sobre Q. Assim, se
f : V(M) → Q é uma função Q-linear, então f pode ser estendida a uma função Q-linear
f’ : V(M’ ) → Q, de modo que f’ (m) = f(m), para todo m pertencente a M.
2. Dois resultados sobre irracionalidade
O resultado a seguir é de fundamental importância para o propósito deste artigo. Ele será
utilizado para responder a questão contida no terceiro problema de Hilbert.
Teorema 2.1: Para cada inteiro ímpar n ≥ 3, o número
é irracional.
1
1
arccos 
π
n
θ
p
1
Demonstração: Seja θ = arccos   . Suponha que
= , onde p e q são inteiros e q > 0.
π
q
n
Assim, q θ = p π e, conseqüentemente, cos(q θ ) = ± 1, que é um inteiro.
Teremos um absurdo mostrando a seguinte afirmação:
a
cos(q θ ) = q , com mdc(a, n) = 1.
n
Para demonstrá-la, vamos aplicar o 2o Princípio de Indução Finita, sobre q. Para q = 1, a
1
afirmação é claramente verdadeira pois cos θ = . Admita, agora, a afirmação verdadeira
n
para 2, . . ., q. Utilizando a fórmula de adição para o cosseno, temos
2
cos(q + 1) θ =
cos(q θ ) - cos(q – 1) θ .
n
2 a
b
2a − bn 2
Portanto, pela hipótese de indução, cos(q + 1) θ =
=
, onde mdc(a, n)
n n q n q −1
n q +1
= mdc(b, n) = 1. Sendo n um inteiro ímpar, é fácil verificar que mdc(2a – bn2, n) =1, o que
conclui a demonstração da afirmação.
Teorema 2.2: Para cada inteiro ímpar n
é irracional.
≥ 3, o número
1
 1 
arccos

π
 n
A demonstração deste último teorema é análoga à do Teorema 2.1.
39
3. O teorema de Dehn-Hadwiger
Se P representa um poliedro, vamos denotar por MP o conjunto de todos os ângulos diédricos
de P ( isto é, os ângulos formados por faces adjacentes de P ) e mais o número π . Assim, por
π
exemplo, para um cubo C, temos que MC = { , π }. Para um prisma ortogonal L sobre um
2
π π
triângulo equilátero, temos ML = { , , π }.
3 2
Para qualquer subconjunto finito M dos números reais que contenha MP, e qualquer função
Q-linear f : V(M) → Q que satisfaça a condição f( π ) = 0, definimos o invariante de Dehn de
P ( com respeito a f ) como o número real
Df (P) =
∑
l (e) f (α (e)) ,
e ∈P
onde temos uma parcela para cada aresta e do poliedro P, l(e) denota o comprimento de e e
α (e) é o ângulo entre duas faces que se encontram em e. Assim, por exemplo, se C é o cubo,
Df (C) = 0, com respeito a qualquer função f.
De forma análoga à que definimos polígonos eqüidecomponíveis, vamos definir poliedros
eqüidecomponíveis. Assim, dois poliedros P e P’ dizem-se eqüidecomponíveis quando
existem decomposições P = P1 ∪ P2 ∪ . . . ∪ Pn e P’ = P’ 1 ∪ P’ 2 ∪ . . . ∪ P’ n
de tal modo que cada poliedro Pi é congruente ao poliedro P’ i , para i = 1, 2, ..., n; além disso,
os poliedros Pi deverão ter seus interiores dois a dois disjuntos, o mesmo ocorrendo com os
P’ i .
Dois poliedros P e Q são ditos eqüicomplementáveis se existem poliedros P1 , . . . , Pn e
Q1 , . . . , Qn de modo que
- os interiores dos Pi sejam disjuntos dois a dois e também de P,
- os interiores dos Qi sejam disjuntos dois a dois e também de Q,
- Pi e Qi sejam congruentes para todo i e
- P = P ∪ P1 ∪ P2 ∪ . . . ∪ Pn e Q = Q ∪ Q1 ∪ Q2 ∪ . . . ∪ Qn
sejam eqüidecomponíveis.
É fácil ver que poliedros eqüidecomponíveis são eqüicomplementáveis.
Teorema 3: Sejam P e Q poliedros com ângulos diédricos α 1, α 2, . . . , α p e,
respectivamente, β 1 , β 2 , . . . , β q. Seja, agora, M um conjunto finito de números reais
contendo { α 1 , α 2 , . . . , α p , β 1 , β 2 , . . . , β q , π }.
Se f : V(M) → Q é qualquer função Q-linear, com f ( π ) = 0, tal que Df (P) ≠ Df (Q) então P
e Q não são eqüicomplementáveis (e, conseqüentemente, não eqüidecomponíveis).
Demonstração: A demonstração se baseia em dois argumentos. O primeiro é que se um
poliedro P tem uma decomposição em um número finito de peças poliedrais P1 , . . . , Pn e se
todos os ângulos diédricos das peças P1 , . . . , Pn estão contidos em um conjunto M, então,
para cada função Q-linear f : V(M) → Q, os invariantes de Dehn dos poliedros envolvidos
satisfazem a relação
Df (P) = Df (P1) + Df (P2) + . . . + Df (Pn).
Para justificar esta afirmação, vamos definir o peso de uma parte e’ de uma aresta e de P
como o produto l(e’ ) f( α (e’ )). Considere, agora, o conjunto de todas as arestas e’ das peças
40
Pi . Se e’ estiver contida em alguma aresta e de P, a soma dos ângulos diédricos em e’ será a
mesma que em e; quando somados os pesos, os resultados serão os mesmos em ambos os
membros da igualdade. Se e’ estiver contida em uma face de P ou no interior de P a soma dos
ângulos dá π ou 2 π , respectivamente, e, como f( π ) = f(2 π ) = 0, segue a conclusão.
A segunda parte consiste em uma prova por redução ao absurdo. Assuma que P e Q são
eqüicomplementáveis, isto é, P = P ∪ P1 ∪ P2 ∪ . . . ∪ Pn e Q = Q ∪ Q1 ∪ Q2
∪ . . . ∪ Qn são eqüidecomponíveis. Podemos estender o conjunto M a um conjunto M’
que inclua todos os ângulos diédricos que apareçam em quaisquer das peças poliedrais
envolvidas nas decomposições de P e Q . Pelo Teorema 1, podemos estender f a uma
função Q-linear f’ : V(M’ ) → Q e, pelo primeiro argumento, resulta a igualdade
Df’ (P) + Df’ (P1) + Df’ (P2) + . . . + Df’ (Pn) =
Df’ (Q) + Df’ (Q1) + Df’ (Q2) + . . . + Df’ (Qn).
Como Df’ (Pi) = Df’ (Qi), pois Pi e Qi são congruentes, segue que Df’ (P) = Df’ (Q) e,
conseqüentemente, Df (P) = Df (Q), o que é uma contradição.
4. Conclusão
Os dois exemplos que veremos a seguir permitem-nos concluir que a questão formulada por
Hilbert em seu terceiro problema tem resposta negativa, isto é, dois poliedros de mesmo
volume não são necessariamente eqüidecomponíveis.
Exemplo 1: Considere um tetraedro regular T com arestas de comprimento l. O ângulo
1
diédrico α pode ser facilmente calculado; seu valor é arccos . Faça M = { α , π }. Pelo
3
α
Teorema 2.1, a razão
é irracional (basta fazer n = 3). Assim, o espaço vetorial V(M) sobre
π
o corpo Q tem dimensão 2, com base M, e existe uma função Q-linear f : V(M) → Q com
f( α ) = 1 e f ( π ) = 0. Para esta f, temos Df (T) = 6lf( α ) = 6l ≠ 0.
Como o invariante de Dehn de um cubo é sempre igual a zero, segue, pelo Teorema 3, que um
tetraedro regular e um cubo não são eqüidecomponíveis.
Exemplo 2: Seja T1 um tetraedro retângulo de vértices A, B, C e D ( AB, AC e AD são
mutuamente ortogonais e medem l ). Este poliedro tem três ângulos diédricos retos. Os
1
demais ângulos diédricos são iguais e medem α = arccos
. Tome M = { α , π /2, π }.
3
Como π /2 e π são linearmente dependentes, uma base para V(M) sobre Q é { α , π } pois,
α
conforme o Teorema 2.2,
é irracional ( tome n = 3). Assim, podemos definir uma função
π
Q-linear f : V(M) → Q por f( α ) = 1 e f( π ) = 0 (conseqüentemente, f( π /2 ) = 0). Para esta
f temos Df (T1) = 3l 2 f( α ) = 3l 2 ≠ 0. Assim, como no exemplo 1, concluímos que T1 e
um cubo não são eqüidecomponíveis.
Referências
[1] LIMA, E. L. – Polígonos eqüïdecomponíveis – Revista do Professor de Matemática,11 –
Sociedade Brasileira de Matemática – 1987
[2] ZAKHAREVICH, I. – Hilbert’s Third Problem –
mathcircle.berkeley.edu/BMC4/academic4.html
[3] ZIEGLER, G. e AIGNER, M. – As provas estão n’O Livro – Ed. Edgard Blücher Ltda. –
2002
41
História, Geometria e Modelagem Matemática – Aprendendo
Matemática com o Software Octave
Carlos Alberto da Silva Junior1 Sandreane Poliana Silva2 César Guilherme de Almeida3
Faculdade de Matemática – FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU
38408-100 Uberlândia MG
01 de Abril de 2004
1. INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como objetivo mostrar que, apresentando a matemática de uma maneira
nova e estimulante, pode-se tornar qualquer aula de matemática mais agradável, mais
participativa e mais bem aceita pelos alunos. As alternativas abaixo serão úteis para se atingir o
propósito do trabalho.
•
•
•
•
Contar um pouco da história da matemática envolvendo geometria e trigonometria.
Apresentar algumas aplicações da matemática em nosso cotidiano.
Modelar problemas matematicamente.
Construir códigos com o auxílio do Software Octave, com o objetivo de resolver
numericamente os problemas modelados.
Apresentando um pouco de História pode-se mostrar que a matemática é muito mais
charmosa do que a simples exibição de fórmulas necessárias para o desenvolvimento de uma
teoria. A História permite que todos os alunos viajem num mundo antigo onde o conhecimento
foi construído de maneira diferente da atual; talvez, faça com que todos percebam mais
facilmente de onde surgiram algumas definições e teoremas, assimilando melhor a matéria.
Muitas vezes, os alunos não sabem a utilidade de se estudar matemática, porque, em geral,
os professores não conseguem associá-la a problemas do cotidiano. Daí a importância dos
problemas motivadores, que apresentam aplicações da matemática no dia-a-dia dos alunos, que
perceberão a relevância do estudo desta disciplina.
A modelagem matemática exibe relações de interdisciplinaridade entre a Matemática e
outras áreas da Ciência, bem mais profundas do que se possa imaginar. O mais importante é saber
que a interdisciplinaridade exerce um papel fundamental na solução de problemas atuais, que
estão cada vez mais complexos, portanto não se deve desprezá-la.
Na Grécia Antiga não existia computador, porém os problemas eram resolvidos e os
resultados numéricos tinham um certo grau de precisão. Veremos, neste trabalho, como um
problema de geometria pode ser resolvido, modernamente, com o auxílio de um código
1
Orientando PIBIC/CNPq: [email protected]
Colaboradora/Orientanda CAPES: [email protected]
3
Professor Orientador PIBIC/CNPq: [email protected]
2
42
computacional. O objetivo é mostrar a importância dos softwares na resolução de problemas e
tentar mostrar alguma técnica que torne menos “chatas” as aulas de matemática.
2. UM POUCO DE HISTÓRIA
“No mundo e através da história, todas as culturas, em maior ou menor grau, fizeram
contas, conheceram alguns números, observaram os movimentos do céu, seguiram um calendário,
tentaram tratar de doenças. Mas só uma cultura inventou a representação de formas como o
quadrado, o círculo, a esfera, e conseguiu discorrer sobre elas com rigor. Mas então onde e
quando surgiu esta geometria? Na Grécia, exatamente há 26 séculos.” Com este trecho extraído
do livro “As Origens da Geometria” do autor Michel Serres podemos começar a falar sobre a
geometria.
Vejam que quando estudamos a origem da geometria não podemos dizer que esta se
procedeu apenas na Grécia como sempre foi proposto, e sim por um conjunto de necessidades
dos povos antigos, que tinham por objetivo resolver problemas do seu dia-a-dia, como lugares
para armazenar alimentos, como construir paredes, .... Um destes problemas ocorreu no Egito
Antigo: “– Nas enchentes do rio Nilo, as águas inundavam os campos ao seu redor. Por isto os
sábios da época tiveram como tarefa redistribuir aos proprietários as parcelas de terrenos cuja
inundação tinha apagado os seus limites”.
Não podemos esquecer que, também, a geometria de uma maneira mais rústica foi usada
na Babilônia, na China, entre outros. Mas, o seu uso como ciência dedutiva teve origem, sim, na
Grécia Antiga; destacaram-se Tales de Mileto, os pitagóricos (os discípulos de Pitágoras) e
Platão, o qual evidenciou a necessidade da demonstração rigorosa de teoremas, fazendo com que
o trabalho de Euclides fosse tremendamente facilitado. Posteriormente, apareceu Arquimedes,
este criou uma teoria que foi importante para o desenvolvimento do conceito de limite,
ferramenta indispensável do Cálculo. Ainda podemos citar Apolônio de Perga, que se dedicou ao
estudo das cônicas; Gauss e Riemman que propuseram uma geometria chamada de nãoeuclidiana, pois se diferenciava da geometria proposta por Euclides. Ainda poderíamos citar
Arthur Cayley que criou uma geometria de mais de três dimensões.
Porém, muito antes destes pensadores, a Geometria já era conhecida e usada no Egito
Antigo, não como um mero passatempo, mas, sim, por necessidade, com o propósito de se
resolver problemas relacionados a cálculos de áreas de terras férteis, cálculo de volumes de
mercadorias armazenadas, entre outros.
Veja, por exemplo, no problema das enchentes do rio Nilo, os sábios da época tiveram
como tarefa redistribuir aos proprietários os seus terrenos devidamente delimitados, já que a
inundação tinha destruído as marcações anteriores. Mas, como medir a área de cada lote de modo
que todos fossem iguais?”.
Como podemos perceber, a Geometria não surgiu, por uma “mera idéia do acaso”, mas
por causa de problemas cotidianos. E até hoje ela é uma poderosa ferramenta no nosso dia-a-dia.
3. ALGUMAS APLICAÇÕES EM ENGENHARIA
As aplicações da Geometria Plana podem ser observadas em várias áreas. Seja por
estética, por motivos de economia, ou outro motivo qualquer, o uso de matemática é sempre
43
essencial. Vejamos, neste primeiro exemplo como o uso da geometria pode ser útil na Engenharia
Civil. Você já parou para pensar em como um engenheiro civil consegue elaborar a planta de uma
construção e garantir, por exemplo, que a parede que ele está desenhando é exatamente
perpendicular ao solo? Veja que com conhecimentos em matemática podemos facilmente
resolver este problema. Vamos traçar a perpendicular à semi-reta AB, sem prolongá-la para a
esquerda, considerando que o ponto A está bem próximo à margem esquerda do papel.
D
A
C
B
Figura 01
1º Passo: Marcamos AC igual a 3 unidades quaisquer (u), no segmento AB;
2º Passo: Traçamos os seguintes arcos de circunferências: centro em C e raio 5u e centro em A e
raio 4u. A interseção é o ponto D;
Conclusão: AD será perpendicular a AB, pois o triângulo ACD é retângulo em A, pois (5u)2 =
(3u) 2 + (4u)2 .
Veja que os conhecimentos empregados são de simples aplicação e servem como atrativo
para o estudo de outros tópicos em geometria.
O próximo problema reduzir-se-á a traçar a bissetriz de um ângulo sem conhecer o seu
vértice. Como exemplo, consideraremos um projeto fictício do setor de trânsito da prefeitura de
uma grande cidade, que tem como objetivo melhorar o tráfego de uma região localizada bem
antes do cruzamento de duas avenidas movimentadas, r e s. Decidiu-se construir uma rotatória
que seja eqüidistante de ambas as avenidas. O problema é obter a localização exata desta
rotatória. Veja o esquema de resolução na Figura 02.
r
M
B
A
s
C
Figura 02
44
1º Passo: Considere dois pontos quaisquer M, em r, e C, em s.
2º Passo: Trace a reta passando por M e C.
3º Passo: Trace as bissetrizes associadas ao vértice M (retas tracejadas). Faça o mesmo em
relação ao vértice C.
4º Passo: As bissetrizes, acima, encontram-se nos pontos A e B.
Conclusão: Os pontos A e B pertencem à bissetriz procurada, pois eles são eqüidistantes
de r e s.
Justificativa: Estamos usando o seguinte teorema: “todo ponto que se encontra na bissetriz de
um ângulo é eqüidistante aos lados deste ângulo”. Este resultado é facilmente demonstrado,
basta usar congruência de triângulos. Observe, na Figura 03, que os triângulos ACD e ADB são
congruentes, pelo caso ângulo-lado-ângulo, logo BD ≡ CD.
B
D
A
C
Figura 03
Novamente, através de um problema simples, que não exigiu muitos conceitos elaborados
em sua modelagem, obteve-se a motivação para a construção do conhecimento matemático.
Problemas motivadores deste tipo deveriam ser amplamente utilizados pelos professores.
4. O NÚMERO ÁUREO
É sabido que na Grécia antiga acreditava-se que tudo no mundo era composto de apenas
quatro elementos: ar, água, terra e fogo. Os Pitagóricos conheciam a existência de quatro sólidos
geométricos perfeitos: tetraedro, hexaedro, octaedro e icosaedro. O último sólido descoberto
pelos Pitagóricos foi o Dodecaedro, ao qual Platão chamou de "o mais nobre corpo entre todos os
outros“ e associou-o aos deuses. Entre os cincos sólidos geométricos conhecidos, o dodecaedro é
aquele que apresenta mais relação com o segmento áureo, pois é constituído de pentágonos
perfeitos que se relacionam fortemente com o número de ouro4 .
Diz-se que um segmento AB está divido por um ponto P na RAZÃO ÁUREA ou MÉDIA
E EXTREMA RAZÃO quando a maior parte por ele determinada é a média proporcional entre o
segmento e a menor parte. Assim, por definição, o ponto P dividirá AB em média e extrema
razão se:
4
O lado de um pentágono inscrito numa circunferência de raio r possui medida igual a da hipotenusa de um triângulo
retângulo de catetos r e s, onde s é segmento áureo do raio, ou seja r/s = s/(r-s).
45
AB PA
a+b a
=
⇒
= (veja a Figura 04)
PA PB
a
b
P
A
a
B
b
a+b
Figura 04
Chamando a/b de x, tem-se que (1 + 1/x) = x, o que resulta numa equação do segundo
grau x2 – x – 1 = 0, que nos dá como raízes x1 ≈ 1,618 e x2 ≈ 0,618; x1 é denominado “número
áureo ou número de ouro.”
Vejamos agora uma aplicação da chamada “razão áurea” na construção artesanal de um
instrumento musical. Não há como negar a beleza do instrumento violino (Figura 05). Parece
que nós seres humanos percebemos a beleza ou sentimos a beleza de um ente quando a sua forma
segue um padrão que às vezes não sabemos definir, mas que está embutido em nosso ser.
Provavelmente, esta forma mantém relações em suas linhas que nos causam essa sensação do
belo. O violino é uma dessas peças, quando ele foi criado a estética de suas proporções foi objeto
de preocupação de vários artistas. Alguns violinos foram criados a partir do que foi chamado "O
Número de Ouro" e em suas linhas podemos observar essas relações.
46
Figura 05
Não é só em questões estéticas que o número áureo é utilizado. A seguir daremos um
exemplo de como o segmento áureo é aproveitado em refinamento de intervalos, com o objetivo
de se calcular o ponto de mínimo ou de máximo de uma função real estritamente quase convexa
(a Figura 06 exibe um exemplo de uma tal função).
4.1 UM CÓDIGO EM OCTAVE: BUSCA UNIDIMENSIONAL – MINIMIZANDO f(x), x
∈ [a,b], COM O AUXÍLIO DO SEGMENTO ÁUREO
Alguns modelos de otimização, onde se quer descobrir qual o valor mínimo ou máximo
de uma função de várias variáveis g: Ù ⊆ ℜn → ℜ (se Ù = ℜn, então o modelo é dito
completamente irrestrito: minimizar (ou maximizar) g(y); y ∈ ℜn ), utilizam procedimentos
numéricos para atingir o seu objetivo; alguns deles envolvem, em determinados passos, métodos
de busca unidimensional. Tais métodos consistem em calcular, numa certa direção fixada d = (d1 ,
d2 , ...,dn ), o ponto onde uma função de várias variáveis atinge o seu valor mínimo (ou máximo).
Neste caso, temos o seguinte problema de otimização de uma função de uma variável a valores
reais:
minimizar (maximizar) f(x) = g(y +xd), onde x ∈ [a,b] e y = (y1 , ..., yn) ∈ ℜn .
47
Apresentaremos um algoritmo (baseado no Teorema enunciado abaixo) que obtém uma
aproximação para o ponto de mínimo de uma função estritamente quase convexa, cuja a definição
é dada a seguir.
Definição: Uma função g é dita estritamente quase convexa se dados y e w em Ù, g(y) ≠ g(w), e
á ∈ ℜ, com 0 < á < 1, então g(áy + (1- á)w) < máx{g(y), g(w)}.
Teorema: Seja f uma função estritamente quase convexa em [a,b] e sejam λ, µ ∈ [a,b] tal que λ
< µ. Então
• f(λ) < f(µ) ⇒ f(z) ≥ f(µ), ∀ z ∈ (µ, b];
• f(λ) > f(µ) ⇒ f(z) ≥ f(λ), ∀ z ∈ [a, λ).
A Figura 06 exibe o gráfico de uma função quase convexa.
Figura 06
Problemas de otimização aparecem com freqüência em nosso cotidiano, ou pelo menos no
cotidiano das pessoas eficientes. Veja no exemplo seguinte, como trabalha um profissional
eficiente. Alguns pedreiros foram chamados para orçar a construção de uma caixa d’água
cilíndrica, com capacidade para cinco mil litros (5 m3 ). O dono da construção exigiu que fosse
gasto o mínimo possível de material na empreitada. Esperto, o pedreiro vencedor da concorrência
apresentou o seguinte projeto: “O diâmetro da base circular (e o da tampa, também) deve ser
igual ao valor da altura da caixa, que é aproximadamente 1.85 m”. Veja como o pedreiro obteve
esses valores. Sabendo que o volume de um cilindro é dado por V = π R2 h, onde R é o raio da
base e h é a altura do cilindro, e a área lateral, levando-se em conta as bases inferior e superior, é
dada por AL = 2 (π R h + π R2 ), então segue que AL = AL(h) = (20πh)1/2 + 10/h, já que V = 5 e,
assim, R = [5/(πh)]1/2 . Portanto, AL assume valor mínimo quando h = (20/π)1/3, daí segue que 2R
= h.
É lógico que este pedreiro conhecia um matemático, mas isto é outra história.
A seguir, apresentamos um código em Octave que calcula o ponto de mínimo da função
AL(h) utilizando o refinamento de intervalo pelo método do segmento áureo.
48
%Método do Segmento Aureo
%Cálculo do minimo de uma funcao f_aureo(h) = AL(h)
a = 1.; %extremo inferior do intervalo I que contém o ponto de minimo
b = 1.9; %extremo superior do intervalo que contém o ponto de minimo
alfa = (sqrt(5) -1.0)*0.5; %número áureo
dif = b-a; %comprimento do intervalo I
mi = a + alfa*dif;
lam = a + (1.0 - alfa)*dif;
f_mi = f_aureo(mi);
f_lam = f_aureo(lam);
s=10; %fornece a precisão da aproximação
tol = f_tol(s); %f_tol = 0.5*10-s
cont = 0; %contador de iterações
while(dif > tol)
cont = cont + 1;
if(f_lam <= f_mi)
b = mi;
mi = lam;
dif = b-a;
lam = a + (1.0 - alfa)*dif;
f_mi = f_lam;
f_lam = f_aureo(lam);
else
a = lam;
lam = mi;
dif = b-a;
mi = a + alfa*dif;
f_lam = f_mi;
f_mi= f_aureo(mi);
end
end
PM = (a+b)*0.5;
fPM = f_aureo(PM);
fprintf("O n. de iteraccoes do Segmento Aureo eh cont = %i \n",cont);
fprintf("Comprim. do intervalo que contem o pt de min: dif = %12.12f\n",dif);
fprintf("O valor do ponto de minimo procurado eh PM = %12.12f\n",PM);
fprintf(" O valor minimo de f eh: f(PM) = %12.12f\n",fPM);
49
5. CÁLCULO DA DEFLEXÃO DE UMA BARRA
A Trigonometria foi uma criação da Matemática grega. Ela surgiu devido às necessidades
da astronomia, a fim de prever as efemérides celestes, para calcular o tempo, e para ser utilizada
na Navegação e na Geografia. Assim, os estudos de Trigonometria se concentravam na
Trigonometria esférica, que estuda triângulos esféricos, isto é, triângulos sobre superfície de uma
esfera. No entanto, foi necessário para isso desenvolver partes da Trigonometria plana.O estudo
dos triângulos esféricos da Matemática grega vinha sendo feito desde os últimos pitagóricos. O
próprio Euclides, que viveu em torno de 300 a . C., em um de seus trabalhos, os Fenômenos,
estudou a Geometria esférica.
Hiparco foi o primeiro a determinar com precisão o nascer e o acaso de várias estrelas,
usando para isso uma tabela de cordas por ele calculada. Suas tabelas foram construídas para
serem usadas em Astronomia.
É provável que a divisão do círculo em 360° tenha se originado com a tabela de cordas de
Hiparco. Ele provavelmente seguiu a idéia do matemático grego Hipsiclo, o qual por sua vez
tinha dividido o dia em 360 partes, uma divisão possivelmente inspirada na astronomia
babilônica.
Assim, podemos perceber que também a Trigonometria surgiu por causa de problemas
rotineiros, e que muitos matemáticos renomados se dedicaram ao estudo da mesma. Por isso,
hoje, a trigonometria é uma ferramenta tão poderosa nas mais diversas áreas. Então, vamos
propor um problema onde podemos observar claramente o uso da Trigonometria através da
modelagem matemática, sem esquecer que outros conhecimentos serão necessários, como por
exemplo o estudo de funções.
O problema proposto é: “Uma barra metálica de 1m de comprimento serve de apoio
vertical a um forno. O calor do forno faz com que esta haste se aqueça, passando seu
comprimento de 1m para 1,093m. Deseja-se obter a máxima deflexão (h) da barra, sabendo que
suas extremidades são fixadas e supondo que ela assume a forma de um arco de circunferência.”
Veja, na Figura 07, o esboço do enunciado do problema:
A
D
θ
R
B
Figura 07
50
Usando o teorema de Pitágoras, relação trigonométrica em um triângulo retângulo e
relação entre arcos de circunferência e medidas de ângulos em radianos obtemos as seguintes
expressões:
(R-h)2 = R2 + (1/2)2 ;
sen(θ)= 1/(2R);
2θR = 1,093 ⇔ R = 1,093/(2θ),
onde R é o raio da circunferência e 2θ é o ângulo associado ao arco de circunferência de
comprimento 1,093.
Das expressões anteriores, chegamos à equação não linear θ = 1,093 sen(θ); observe que o
valor de θ só pode ser obtido numericamente. Assim, tendo o valor de θ descobrimos o valor de
R e a partir deste último obtemos o valor de h, que é a deflexão máxima da barra.
Note que o uso apenas de Trigonometria não foi suficiente para a resolução do problema
da deflexão da barra; foram necessários o conceito de função contínua e, também, ferramentas de
Cálculo Numérico.
Com o objetivo de resolver numericamente a equação anterior apresentaremos, na
próxima seção, um código em Octave, o qual retornará θ = 0.723936882.
5.1. UM CÓDIGO EM OCTAVE: CÁLCULO DA DEFLEXÃO DE UMA BARRA
USANDO O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
O
software
Octave
pode
ser
adquirido,
gratuitamente,
em
http://sourceforge.net/projects/octave. A versão octave-forge-windows (octave-2.1.50-windows)
pode ser facilmente instalada em computadores que possuem o sistema Windows.
A primeira parte do código abaixo faz um refinamento do intervalo que contém a raiz da
equação f(x) = x - 1.093sen(x) = 0. Para usarmos o método da bissecção, a função tem que ser
contínua e deve mudar de sinal no intervalo considerado (se I = [a,b] for o intervalo, então
f(a)f(b) < 0). O método da bissecção consiste em dividir ao meio o intervalo dado e verificar em
qual subintervalo a função muda de sinal. Este procedimento é repetido até que o comprimento
do intervalo que contém a raiz seja pequeno; quanto menor o comprimento melhor será a
aproximação da raiz, que será um ponto qualquer deste intervalo.
%O metodo da bisseccao (refinamento de intervalo)
%Calculo aproximado do zero da funccao f(x) = x - 1.093sen(x)
clear
a = 0.5; %extremo inferior do intervalo onde f muda de sinal
b = pi/2; %extremo superior do intervalo onde f muda de sinal
pm = (a+b)/2; %ponto medio do intervalo [a,b]
comp = b-a; %comprimento do intevalo [a,b]
cont = 0;
%variavel que conta o numero de iteraccoes
eps = 0.5*10^(-3); %tolerancia usada no teste de parada
fa = f_bissec(a);
fpm = f_bissec(pm);
%calculo de f(a)
%calculo de f(pm)
if(fpm ==0)
fprintf('A raiz procurada eh dada por pm =%12.8f\n',pm);
else
while(comp > eps)
if(fa*fpm<0)
b=pm;
else
a=pm;
fa=fpm;
end
pm=(a+b)/2;
fpm=f_bissec(pm);
cont = cont+1;
comp=b-a;
end
end
fprintf('\n');
fprintf('A raiz procurada eh dada por pm =%12.10f\n',pm);
fprintf('O numero de iteraccoes realizadas foi cont = %d\n',cont);
fprintf('A tolerancia usada foi eps = %12.10f\n',eps);
fprintf('O valor de f(pm) eh dado por fpm =%12.12f\n',fpm);
51
52
A segunda parte do código é o método de Newton-Raphson, que usará como valor inicial
o ponto médio do último intervalo obtido com o método da bissecção.
Este método é facilmente obtido considerando-se a sua interpretação geométrica, que
consiste em traçar a reta tangente ao gráfico de f no ponto (xn-1 , f(xn-1 )) – onde xn-1 é uma
aproximação da raiz – e considerar a sua interseção com o eixo horizontal (eixo das abscissas: y
= 0). A equação da reta tangente é dada por y = f(xn-1 ) + m (x - xn-1 ) , onde o coeficiente angular
m é a derivada de f no ponto em questão, ou seja, m = f ’(xn-1). Portanto, a nova aproximação da
raiz é xn = xn-1 - f(xn-1 )/ f ’(xn-1 ).
%O metodo de Newton-Raphson
%Calculo aproximado do zero da funccao f(x) = x - 1.093sen(x)
x0 = pm; %valor inicial para o método de N-R
dif = b-a; %comprimento do intervalo I
s = 8; %fornece a precisão da aproximação
cont = 0; %contador de iterações
tol = f_tol(s); %tolerância para o teste de parada; f_tol=0.5*10-s
while(dif > tol)
cont = cont+1;
x = x0 - (f_newton(x0)/df_nr(x0)); %m. de N-R, onde f_newton (x) = x – 1,093 sen(x) e
%df_nr é a sua derivada, df_nr(x) = 1 – 1,093cos(x).
dif = abs((x-x0)/(x)); %erro relativo
x0 = x;
end
fx = f_newton(x);
fprintf("Numero de iteraccoes do N-R: cont = %d \n",cont);
fprintf("Erro relativo da aproximaccao da raiz: dif = %12.12f\n",dif);
fprintf("Valor da raiz procurada: x = %12.12f\n",x);
fprintf("f(x) = %12.12f\n",fx);
6. CONCLUSÃO
Podemos observar que a Matemática não pode ser vista em um contexto isolado dos
demais. Geralmente, os conteúdos dos diversos ramos da Matemática estão relacionados entre si
e, no caso da Matemática Aplicada, estão relacionados com outras áreas do conhecimento.
Devemos sempre tentar apresentar a matemática de maneira que todos percebam a sua
importância e sua simplicidade. Os conceitos matemáticos são mais facilmente compreendidos
quando interpretados geometricamente. Uma melhor compreensão seria obtida se pudéssemos
aplicá-los em nosso cotidiano.
O processo de aprendizagem é mais rápido, atraente e eficiente utilizando-se recursos
computacionais, devido a facilidade da visualização dos conceitos apresentados. O Octave é um
recurso que deve ser adotado com o objetivo de facilitar a aprendizagem do aluno, no entanto,
não pode ser considerado indispensável no processo de ensino. Os resultados de cálculos
numéricos produzidos por computadores nem sempre são precisos. Porém, existem especialistas
em análise numérica que por saberem interpretar os dados computacionais são capazes de indicar
métodos numéricos adequados.
7. BIBLIOGRAFIA
[01] GIONGO, Affonso Rocha. Curso de Desenho Geométrico. Editora Nobel.(1984).
[02] PERISSINOTTO, A., MURARI, C., PEREZ, G. Curso para professor III:
Matemática – Geometria: Construções geométricas.Convênio da Secretaria da
Educação do Estado de São Paulo com a Unesp – Departamento de Matemática de
Rio Claro. (1986).
[03] LIMA, E.L..Curso de Análise. 10.ed.(2a impressão), Rio de Janeiro: IMPA (Projeto
Euclides), 2002. 344p.
[04] BARROSO, L. C.; BARROSO, M. M. DE A.; E OUTROS. Cálculo Numérico com
aplicações. 2.ed., São Paulo: Editora Harbra Ltda, 1987. 367p.
[05] FIGUEIREDO, D.G. de. Análise 1. 2.ed., Rio de Janeiro: LTC, 1996. 256.
[06] http://members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm.
[07] www.educ.fc.ul.pt/icm2000/icm22/historia.htm.
53
54
55
Algumas Noções Topológicas Associadas ao
Cı́rculo
Marcelo Gonçalves Oliveira Vieira∗
Walter dos Santos Motta Júnior†
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU
38408-100, Uberlândia - MG
Abril de 2004
Resumo
Inicialmente abordamos alguns invariantes topológicos básicos como compacidade e conexidade.Exploramos o conceito de homotopia e computamos o grupo fundamental da esfera 1-dimensional. Buscamos relacionamentos deste conceito com a
invariância topológica por homeomorfismos, bem como algumas consequências deste
resultado.
Palavras-chave: Homotopia; grupo fundamental
Topologia do Rn
1
1.1
Rn visto como espaço euclidiano
O conjunto Rn = {(x1 , ..., xn )/xi ∈ R, i = 1, ..., n} é um espaço vetorial real n-dimensional,
visto com as operações usuais de soma e produto por escalas dadas por
x + y = (x1 , ..., xn ) + (y1 , ..., yn ) = (x1 + y1 , ..., xn + yn ) e
λ.x = λ.(x1 , ..., xn ) = (λx1 , ..., λxn ), ∀x, y ∈ Rn , ∀λ ∈ R.
Agora, definindo em Rn o produto interno hx, yi = h(x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )i =
n
P
xi y i ,
i=1
passamos a denominá-lo
espaço euclidiano. A partir deste produto pode se definir a norma
p
euclidiana kxk = hx, xi, ∀x ∈ Rn . Utilizando tal norma definimos uma distância em Rn
pondo d(x, y) = kx − yk , ∀x, y ∈ Rn .
Em tudo que segue, estamos considerando Rn como um espaço euclidiano com soma,
produto por escalar, produto interno, norma e distância acima definidos.
∗
[email protected]. Orientando do Programa Especial de Treinamento (PET) de 08/2001 a
08/2003.
†
[email protected]. Professor orientador.
56
1.2
Aplicações contı́nuas
Definição 1 Sejam X ⊂ Rm e f : X → Rn , diz-se que a funcão f é contı́nua no ponto
a ∈ X quando ∀ε > 0, se pode obter δ > 0 tal que todo x ∈ X , com d(x, a) < δ , tem
como imagem o valor de f (x) com d(f (x), f (a)) < ε. Quando f é contı́nua em todos os
pontos de X diz-se simplesmente que f é contı́nua.
Como propriedades de continuidade destacamos:
(a) Se f : X ⊂ Rm → Rn é contı́nua e Y ⊂ X, então a restrição f |Y é também contı́nua;
(b) A composição de duas funções contı́nuas é contı́nua;.
(c) Considerar uma funcão f : X ⊂ Rm → Rn é o mesmo que considerar n funções
reais fi : X → R, i = 1, ...n, chamadas de coordenadas da funcão f , f (x) =
(f1 (x), ...fn (x)). Assim, f : X ⊂ Rm → Rn é contı́nua, se e somente se, as funções
coordenadas fi : X → R, i = 1, ...n são contı́nuas.
Um conceito fundamental de topologia relacionado com a continuidade é o conceito de
homeomofismo. Objetos homeomofos são indistingüı́veis do ponto de vista topológico, por
exemplo, como veremos a seguir, não existem diferenças (do ponto de vista do topológico)
entre um cı́rculo e um quadrado, ambos são chamados curvas de Jordan.
Doravante quando nos refirimos a espaço estaremos nos refirindo simplesmente a um
subconjunto de algum espaço euclidiano Rn .
1.3
Homeomorfismo
Definição 2 Dados os espacos X e Y , um homeomorfismo entre X e Y é uma bijeção
continua f : X → Y, cuja inversa f −1 : Y → X também é contı́nua . Diz-se então que X
e Y são espaços homeomorfos, ou ainda, que são equivalentes topologicamente.
Notação:X v Y .
Vejamos alguns exemplos de espaços homeomorfos:
Exemplo 3 O cı́rculo S 1 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 /x21 + x22 = 1} e o quadrado Q = {(x1 , x2 ) ∈
R2 / |x1 | + |x2 | = 1} são homeomorfos.
1
De fato, basta
³ tomar a funcão
´ f : S → Q dada por
x1
x2
f (x1 , x2 ) = |x1 |+|x
, que é contı́nua e bijetora, sendo que
2 | |x1 |+|x2 |
µ
¶
x
x
−1
1
−1
1
2
f : Q → S ,dada por f (x1 , x2 ) = √ 2 2 , √ 2 2 também é contı́nua
x1 +x2
x1 +x2
57
Exemplo 4 Seja p = (0, 0, 1). Assim R2 e S 2 − {p} são homeomorfos, onde S 2 =
{(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 = 1} é uma esfera bidimensional.
De fato, o homeomorfismo entre eles pode ser dado pela projeção estereográfica em
relação ao plano z = −1 (que é identificado a R2 ),
2
³
2
f : R → S −{p} dada por f (x, y) =
2
2
2
2x
, 2y , x +y −4
x2 +y 2 +4 x2 +y 2 +4 x2 +y 2 +4
´
é um homeomorfismo
2
entre R e S − {p}.
Exemplo 5 O plano furado R2 − {(0, 0)}, o cilindro S 1 × R e o hiperbolóide de uma
folha H são homeomorfos entre si. De fato:
h : R2 − {(0, µ
0)} → S 1 × R dada por
h(x1 , x2 ) =
¶
√ x21 2 , √ x22 2 , 12 log (x21 + x22 )
x1 +x2
x1 +x2
x3
x3
(x1 e , x2 e ) também é contı́nua.
1
é uma bijecão contı́nua cuja inversa
h−1 (x1 , x2 , x3 ) =
Por outro lado,³ g : S × R → H dada por´
p
p
g(x1 , x2, x3 ) = x1 1 + x23 , x2 1 + x23 , x3 é uma bijeção contı́nua entre o cilindro e
o
sendo que sua inversa
também é contı́nua e é dada por g −1 (x1 , x2 , x3 ) =
³ hiperbolóide,
´
−1
−1
x1 (1 + x23 ) 2 , x2 (1 + x23 ) 2 , x3 .
Um problema central da topologia dos espaços euclidianos é determinar se dois espaços
dados são ou não homeomorfos. Não existe uma resposta geral para este problema. Para
afirmar que os espaços X e Y são homeomorfos é necessário exibir um homeomorfismo
entre eles, caso o mesmo exista. Dada a dificuldade em explorar a possibilidade ou não da
construção de tais homeomorfismos, em geral associa-se invariantes topológicos, ou seja,
conceitos associados aos espaços X e Y que se preservariam sob a ação de homeomorfismos,
58
que de forma indireta podem nos dar condições de responder sobre a existência ou não de
tais homeomorfismos entre X e Y .
Antes de abordarmos alguns invariantes, vejamos uma outra caracterização de continuidade.
1.4
Conjuntos abertos e fechados
Definição 6 A bola aberta de centro a ∈ Rn e raio r > 0 é o conjunto dos pontos x ∈ Rn
cuja distância ao ponto a é menor do que r.
Notação: B(a, r) = {x ∈ Rn /d(x, a) < r}.
Definição 7 Um espaço X chama-se aberto quando para cada x ∈ X, ∃r > 0 tal que
B(x, r) ⊂ X.
Os conjuntos abertos de Rn gozam das seguintes propriedades:
(1) O conjunto vazio φ e o espaço Rn são abertos.
(2) A interseção finita de conjuntos abertos é também um conjunto aberto.
(3) A união de uma famı́lia qualquer de abertos é também um conjunto aberto.
Fixado um espaço X ⊂ Rn , um subconjunto A ⊂ X diz-se aberto em X quando para
cada a ∈ A , ∃r > 0 tal que (B(a, r) ∩ X) ⊂ A. A noção de aberto no espaço X goza das
mesmas propriedades acima descritas.
Teorema 8 Seja f : X ⊂ Rn → Rm uma aplicação contı́nua, então a imagem inversa
f −1 (A) de todo aberto A ⊂ Rm é um aberto em X . A recı́proca também é verdadeira.
Prova. Considere a ∈ f −1 (A), devemos garantir a existência de r > 0 tal que (B(a, r) ∩ X)
⊂ f −1 (A). Agora, como a ∈ f −1 (A) =⇒ f (a) ∈ A e, sendo A aberto, ∃ε > 0 tal
que B(f (a), ε) ⊂ A. Pela continuidade de f , ∃δ > 0 tal que para todo x ∈ X com
d(x, a) < δ =⇒ d(f (x), f (a)) < ε. Logo, f (B(a, δ) ∩ X) ⊂ B(f (a), ε) ⊂ A. Portanto,
basta tomar r = δ.
Recı́procamente, considere a ∈ X e tome ε > 0. Naturalmente B(f (a), ε) é um aberto
em Rm , assim f −1 (B(f (a), ε)) é um aberto em X sendo a um elemento deste conjunto.
Logo, ∃ r > 0 tal que (B(a, r) ∩ X) ⊂ f −1 (B(f (a), ε)). Portanto, para todo x ∈ X com
d(x, a) < r, tem-se que d(f (x), f (a)) < ε, donde segue que f é contı́nua em a. Dado a
arbitrariedade do ponto a concluı́mos que f é contı́nua.
Uma nova caracterização de continuidade pode ser ainda obtida de forma similar ao
teorema anterior, só que fazendo uso do conceito de conjunto f echado, vejamos como isto
é possı́vel.
Definição 9 Dizemos que a ∈ Rn é aderente ao espaço X ⊂ Rn quando toda a bola aberta
de centro a contém algum ponto de X. O conjunto dos pontos aderentes a X chama-se
fecho de X e iremos indicá-lo por X.
Utilizando o conceito de fecho definimos o conceito de conjunto fechado como segue.
Definição 10 Um espaço X é fechado quando X = X
59
Observamos que toda bola aberta é um conjunto aberto e que todo o conjunto aberto
que contém um dado ponto a ∈ Rn contém também uma bola aberta com centro nesse
ponto. Podemos alternativamente dizer a ∈ X quando todo aberto que o contenha intersecta o conjunto X. Agora, sendo o espaço X ⊂ Rn um fechado, então seu complementar
CX é um conjunto aberto, pois se y ∈ CX =⇒ y ∈
/ X = X, assim existe r > 0 tal que
B(y, r) ∩ X = φ , logo B(y, r) ⊂ CX . Além disso, se o espaço X ⊂ Rn é tal que seu
complementar CX é aberto, então X ⊂ X, pois para todo y ∈ CX , ∃ r > 0 tal que
B(y, r) ∩ X = φ, desta forma y não é aderente a X . Portanto, resumidamente pode-se
dizer que um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar é aberto.
Utilizando esta equivalência entre fechado e aberto via o complementar, as propriedades
e resultados anteriormentes descritos para abertos podem ser reescritos utilizando fechados, mais especificamente:
(a) O conjunto vazio φ e o espaço Rn são fechados;
(b) A interseção de uma famı́lia qualquer de fechados é também um fechado;
(c) A união finita de conjuntos fechados em Rn também é um conjunto fechado;
(d) Fixado um espaço X ⊂ Rn , um subconjunto F ⊂ X, diz-se fechado em X, quando
seu complementar relativamente a X é um aberto em X;
(e) Seja f : X ⊂ Rn → Rm uma aplicação contı́nua, então inversa f −1 (F ) de todo
fechado F ⊂ Rm é um fechado em X. A recı́proca é também verdadeira.
Fixado um espaço X ⊂ Rn e um ponto a ∈ Rn , há três possibilidades que se excluem
mutuamente:
(i) a é ponto interior a X, ou seja, é centro de alguma bola aberta contida em X;
(ii) a é ponto interior ao complementar CX , ou seja, é centro de alguma bola aberta
contida em CX ;
(iii) a é ponto de fronteira de X, ou seja, toda bola de centro a também contém pontos
de X e CX .
Naturalmente um ponto do tipo (ii) não pode pertencer a X. Definindo a distância de
a a X por d(a, X) = inf {d(a, x)/x ∈ X}, segue que d(a, X) = 0 se, e somente se, dado
qualquer ε > 0 , ∃x ∈ X tal que d(a, x) < ε. Em outras palavras, podemos caracterizar
o fecho de X via esta distância, uma vez que d(a, X) = 0 ⇐⇒ a ∈ X, consequentemente
se a ∈ CX segue que d(a, X) > 0.
1.5
Compacidade
Agora vamos abordar o conceito de compacidade que é um importante invariante topológico.
A caracterização deste conceito pode ser feita de forma mais geral via coberturas, todavia
em espaços euclidiano tal caracterização pode ser obtida via os conceitos de conjuntos
fechados e limitados. Nosso objetivo inicial é explorar estas duas definições, mostrando a
equivalência entre as mesmas.
60
Definição 11 Diremos que um espaço X ⊂SRn é compacto, se dada qualquer coleção
{Uα } de conjuntos abertos do Rn tal que X ⊂ Uα , for possivel encontrar uma subcoleção
finita Uα1 , ..., Uαn com X ⊂
n
S
i=1
α
Uαi . A coleção nesta condição é chamada cobertura de X
e a subcoleção finita associada, de subcobertura finita de X.
Esta definição pode naturalmente ser reformulada, sendo dada não em termos de
abertos do Rn , mas sim em abertos do espaço X, a saber:
Proposição 12 Um espaço X ⊂ Rn é compacto, se e somente se, para toda coleção de
conjuntos abertos em X, cuja união é igual a X, existe uma subcoleção finita cuja união
ainda é igual a X.
Prova.
abertos em X com
S Suponha que X é compacto. Seja {Aα } uma coleção de
n
X = Aα . Escolhemos, para cada α, um conjunto aberto Uα do R tal que Aα = Uα ∩ X.
k
S
Como X é compacto, alguma subcoleção finita Uα1 , ..., Uαk é tal que X ⊂
Uαi . Portanto,
os conjuntos Aα1 , ..., Aαk são tais que X =
k
S
i=1
i=1
Aαi . A recı́proca é provada de forma similar.
Definição 13 Um espaço X é limitado se existe um número real k tal que kxk 6 k,
∀x ∈ X. Em termos de bolas abertas, pode-se dizer que X é limitado quando estiver
contido em uma união finita de bolas abertas.
Teorema 14 Se o espaço X ⊂ Rn é compacto, então X é fechado e limitado.
Prova. Inicialmente vamos mostrar que X é limitado. Seja 0 a origem e para cada
inteiro positivo N , seja ∪N o cubo aberto ∪N = C(0, N ). Assim, ∪N é conjunto aberto
com U1 ⊂ U2 ⊂ ..... de forma que a coleção ∪N cobre todo Rn , em particular cobre X.
Desta forma, alguma subcoleção finita UN1 , ..., UNk cobre X. Se L é o maior dos números
N1 , ...Nk , segue que X ⊂ UL , logo X é limitado.
Mostremos agora que X é fechado, mostrando que o complementar de X , CX , é um
conjunto aberto. De fato:
Seja a ∈ CX e para cada inteiro positivo N considere que o cubo
½
¾
1
n
CN = x ∈ R / kx − ak 6
.
N
T
Assim, C1 ⊃ C2 ⊃ .... e Ci = a. Considere ∨N o complementar de CN , logo ∨N é
i
conjunto aberto com ∨1 ⊂ ∨2 ⊂ .... sendo que {VN }N ∈N cobre X.
61
Desta forma, podemos extrair uma subcoleção finita ∨N1 , ..., ∨Nk cobrindo X. Se M
é o maior¡dos números
N1 , ...Nk , então ∨M ⊃ X. Portanto CM ∩X = ∅ e assim o cubo
¢
1
aberto C a, M ⊂ CX .
Proposição 15 Sejam X um espaço compacto em Rn e f : X → Rm contı́nua. Então,
f (X) é um compacto Rm .
Prova. Seja {Vα } uma cobertura de f (X) por conjuntos abertos Vα ⊂ Rm . Os conjuntos
f −1 (Vα ) formam uma cobertura aberta de X. Assim, podemos extrair uma subcobertura
finita f −1 (Vα1 ), ..., f −1 (Vαk ) de X e desta forma os conjuntos ∨α1 , ..., ∨αk cobrem f (X).
Portanto, f (X) é compacto.
É interessante observar que se W é um espaço compacto de R, desde que W é limitado,
então existem o ı́nfimo e o supremo de W . Como W é fechado, estes elementos devem
pertencer a W . Este fato pode ser utilizado para mostrar que se X é um espaço compacto
do Rn sendo domı́nio de uma função contı́nua φ : X → R, então φ atinge seu valor máximo
e seu valor mı́nimo em X, para tanto basta acima utilizar W = f (X).
Suponha que X seja um espaço fechado e limitado do Rn . Considere uma cobertura A
de subconjuntos abertos do Rn cobrindo X. Assim, a coleção Ã = A ∪ {Rn − X} é uma
coleção de abertos do Rn cobrindo todo Rn . Por outro lado, como X é limitado, existe um
retângulo C = [a1 , b1 ] × ... × [an , bn ] ⊂ Rn tal que X ⊂ C, desta forma pode-se considerar
Ã uma cobertura de C. Caso seja possı́vel mostrar que C é compacto, então podemos
extrair uma subcobertura finita de Ã ainda cobrindo C. Caso esta subcobertura finita
contenha Rn − X nós o retiramos da subcoleção produzindo assim uma subcoleção finita
que poderá não cobrir todo o C, mas certamente cobrirá X. Resumidamente, as discussões
acima garantem que para a demonstração da validade da recı́proca do teorema acima
basta mostrar que o cubo (fechado) em Rn é um espaço compacto. Esta é exatamente a
afrimação do teorema de Heine-Borel que passamos explorar agora.
Lema 16 O cubo fechado C é um compacto do Rn
Prova. Suponha, por absurdo, que C admite uma cobertura por abertos {Uα } de forma
que esta cobertura não admita uma subcobertura finita. Dividimos C em 2n cubos iguais,
onde n é a dimensão de Rn . Isto determina uma partição de C em cubos menores onde
existirá algum elemento desta partição que não poderá ser coberto por um número finito
de Uα ’s. Chame de C1 um destes elementos. Observe que C ⊃ C1 e o comprimento do
lado C1 é igual a 21 do comprimento do lado C. Dividimos C1 e repetimos o argumento
construindo assim C2 com C ⊃ C1 ⊃ C2 e comprimento do lado C2 = 12 do comprimento
do lado C1 = 14 do comprimento do lado C .Repetimos o argumento e assim construı́mos
C ⊃ C1 ⊃ C2 ... ⊃ Cr ⊃ ..., onde o comprimento do lado Cr = 21r do comprimento do lado
C.
É importante observar que nenhum dos elementos da sequência
T {Cr } pode ser coberto
por um número finito de Uα ’s. Por outro lado, observe que Ci = p. Como p ∈ C, ∃
i
Uα com p ∈ Uα . Do fato de Uα ser aberto, segue que ∃ε > 0 tal que B(p, ε) ⊂ Uα . Seja
∼
∼
δ = diâmetro de C, então o diâmetro de Cr é igual a 2−r δ. Tomando r tal que 2− r .δ < ε,
∼
como p ∈ Ci , ∀i, naturalmente para tal r, C∼r ⊂ B(p, ε) ⊂ Uα , o que é um absurdo.
Sejam X e Y espaços tais que exista uma bijeção contı́nua entre eles, f : X → Y .
Se X é compacto como consequência da proposição 15, Y também é compacto. Agora,
62
dado que f é bijeção, segue que existe f −1 : Y → X. Assim, para todo conjunto fechado
z ⊂ X, a imagem inversa (f −1 )−1 (F ) = f (z) é um conjunto fechado e, portanto, da
caracterização de continuidade via conjuntos fechados segue que f −1 é contı́nua. Desta
forma, f é um homeomorfismo.
Resumidamente pode-se afirmar então que a compacidade é um invariante topológico.
Vejamos o caso da esfera S 1 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 = 1} que é um compacto. Este
espaço não pode ser homeomorfo ao espaço Y = {(x, y) ∈ R2 /y = x2 } pois Y não é
compacto. Por outro lado, o teorema de Borel-Lebesgue nos afirma que [0, 1] ⊂ R é um
compacto e o problema de verificar a existência ou não de homeomorfismo entre S 1 e [0, 1]
não mais poderia ser atacado via argumento de compacidade.
1.6
Conexidade
Nosso próximo objetivo é explorar outro invariante topológico, a conexidade, mostrando
que um homeomorfismo entre dois espaços estabelece uma bijeção entre as componentes
conexas dos mesmos. Este fato será suficiente para mostrarmos que S 1 e [0, 1] não são
homeomorfos, embora ambos sejam compactos.
Definição 17 Seja X um espaço. Uma separação de X é um par U e V de um subconjuntos abertos de X, disjuntos e não-vazios tais que X = U ∪ V . O espaço X é dito
conexo se não existe uma separação do mesmo. Caso seja possı́vel obter uma separação
do mesmo, este é chamado de desconexo.
Pode-se reformular a definição de conexidade do espaço X ⊂ Rn como segue:” X é
um espaço conexo, se somente se, os únicos subconjuntos de X que são ambos abertos e
fechados em X são o vazio e o próprio X.
Proposição 18 Seja X um espaço de forma que U e V formam uma separação de X.
Se Y é um subconjunto conexo de X, então exclusivamente Y ⊂ U ou Y ⊂ V .
Prova. Como U e V são abertos em X, segue U ∩ Y e V ∩ Y são abertos em Y .
Naturalmente os mesmos irão constituir-se numa separação de Y caso ambos sejam não
vazios. Portanto, um deles é vazio o que acarreta no resultado.
Se X é um espaço conexo e Y é um espaço tal que X ⊂ Y ⊂ X , então Y também é
conexo. De fato:
Suponha que C e D seja uma separação de Y . Temos que (C ∩ X) e (D ∩ X) é uma
separação de X e assim, pela proposição 18, X está contido exclusiva em C ou em D.
Suponha que X ⊂ C, então X ⊂ C. Como C e D são disjuntos, Y não pode interceptar
D, o que é um absurdo.
Esta e outras propriedades de conexidade podem ser demonstradas sem argumentos
sofisticados, destacamos as seguintes:
(a) A união de uma coleção de subconjuntos conexos de Rn que tenham um ponto em
comum é também um conexo;
(b) O produto cartesiano de um número finito de subconjuntos conexos de Rn é também
um conexo;
(c) A imagem de um conjunto conexo sob uma aplicação continua é também um conexo.
63
Esta última propriedade nos garante que conexidade é um invariante topológico. Um
exemplo básico e fundamental de um espaço conexo é o conjunto R, vejamos isto:
Proposição 19 R é um espaço conexo.
Prova. Suponha que R seja desconexo. Então existem A, B ⊂ R abertos, disjuntos,
não-vazios tais que R = A ∪ B. Tome a ∈ A , b ∈ B. Segue que a 6= b e digamos que
a < b. Considere o conjunto X = {x ∈ A : x < b} = A ∩ (−∞, b). Temos que X 6= ∅,
pois a ∈ X. Como b é cota superior de X, então X é limitado superiormente e portanto
existe c = supX ∈ R.
Pelas propriedades de supremo temos que:
i) c ≤ b
ii) ∀ε > 0 ∃ x ∈ X tal que c − ε < x ≤ c.
Como X ⊆ A sabemos que A ∩ (c − ε, c + ε) 6= ∅, ∀ε > 0 o que implica que c ∈ A.
Como B é aberto, temos CB = A é fechado e assim c ∈ A e c ∈
/ B. Logo como b ∈ B e
c∈
/ B , temos que c 6= b e mais precisamente por i) temos que c < b.
Daı́, como A é aberto e c ∈ A , existe δ1 > 0 tal que (c − δ1 , c + δ1 ) ⊂ A e como
c < b ,existe δ2 > 0 tal que (c − δ2 , c + δ2 ) ⊂ (−∞, b) Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos que
(c − δ, c + δ) ⊂ A ∩ (−∞, b) = X e portanto existem pontos em X que são maiores que c
, o que é um absurdo, pois c = supX.
Portanto R é conexo.
Assim, S 1 = f (R) é um espaço conexo, onde f : R → R2 dada por f (t) = (cos t, sin t)
é contı́nua. A conexão deste e outros espaços pode ser obtida via o uso das propriedades
anteriores de conexidade. Assim, por exemplo, [0, 1] é conexo, Rn = R × .... × R é conexo
e S 1 − {ponto} é também conexo uma vez que o mesmo é homeomorfo a R. Por outro
lado, quando retirarmos dois pontos distintos de S 1 o mesmo deixa ser conexo. De fato:
Sejam u, v ∈ S 1 , u 6= v. Tome a reta passando por u e v, digamos representada pela
equação ax + by = c.
Então,f : S 1 → R dada por f (x, y) = ax + by é contı́nua, de forma que f −1 (c, ∞) e
f (−∞, c) correspondem a uma separação de S 1 − {u, v}.
Convém ainda destacar que os intervalos são os únicos subconjuntos conexos de R. De
fato:
Seja A ⊂ R conexo. Provaremos que dados a, b ∈ A e a < c < b, então c ∈ A.
Para isto sejam a, b ∈ A e a < c < b e suponha que c ∈
/ A. Considere os conjuntos
A+ = {x ∈ A : x > c} = A ∩ (c, +∞) e A− = {x ∈ A : x < c} = A ∩ (−∞, c). Logo
A = A+ ∪ A− , A+ e A− são abertos em A, disjuntos e não-vazios, pois a ∈ A− e b ∈ A.
Portanto A é desconexo, mas isto é um absurdo, pois A é conexo por hipótese.
Assim concluı́mos que:
A ⊂ R é conexo, se e somente se, A é um intervalo.
−1
64
Definição 20 Dados dois pontos x e y no espaço X, um caminho em X ligando x a y
é uma função contı́nua f : [0, 1] → X tal que f (0) = x e f (1) = y. Quando x = y ,
f é chamado de caminho fechado de ponto base x. O espaço X é chamado conexo por
caminho se todo par de pontos de X pode ser ligado por um caminho em X.
São exemplos básicos de espaços conexos por caminhos, os espaços X ⊂ Rn , convexos e
a esfera S n . Também pode-se provar facilmente que todo o espaço X conexo por caminhos
é também conexo. De fato:
Suponha que X = A ∪ B seja uma separação de X e seja f : [0, 1] → X um caminho
qualquer em X. Necessariamente f ([0, 1]) é conexo, assim deve estar contido inteiramente
(e exclusivamente) em A ou B. Deta forma, não existe nenhum caminho em X ligando um
ponto de A com um ponto de B, contrariando a hipótese de que X é conexo por caminhos.
A recı́proca deste resultado é falsa e um contra-exemplo
© clássico deste fato é o espaço Y ª=
U ∪ V , onde U = {(0, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 1} e V = (x, y) ∈ R2 /0 < x ≤ 1 e y = sen x1 .
É interessante destacar que se X ⊂ Rn é um aberto, então a conexão de X e a
conexidade por caminhos do mesmo são conceitos equivalentes.
Para finalizarmos este capı́tulo vejamos o conceito de componentes conexas de um do
expaço X.
Definição 21 Dado o espaço X, definimos uma relação de equivalência sobre X considerando que x v y se, e somente se, existe um subespaço conexo de X contendo ambos
x, y ∈ X. As classes de equivalência são chamadas de componentes conexas de X.
As componentes conexas de X são subespaço disjuntos conexos de X cuja união é igual
a X, tal que cada subespaço conexo não vazio intercepta somente uma delas. Vejamos a
justificativa da conexão de um dada componente conexa de X. Suponha que C é uma
componente conexa de X, escolhemos x0 ∈ C. Para cada x ∈ C, segue que x0 v x,
assim Sexiste um subespaço conexo Ax contendo x0 e x com Ax ⊂ C. Além disso, como
Ax e como os Ax ’s são conexos e tem x0 como ponto comum, esta união é conexa
C=
x∈C
( veja propriedade (a) após proposição 18). Vale ainda destacar que cada componente
conexa de X é um fechado em X (pois o fechado de um subespaço conexo de X é conexo);
caso X possua somente uma quantidade finita de componentes, então cada componente
é também um aberto em X (pois seu complemento é uma união finita de conjuntos
fechados). Genericamente as componentes de X não são abertos de X (observe que se
X = Q ⊂ R, cada componente conexa de Q consiste de um único ponto).
Finalmente, seja f : X → Y um homeomorfismo entres os espaços X e Y . Sendo
Cx uma componente conexa de X contendo x ∈ X, então f (Cx ) é conexo de Y contendo
y = f (x). Se D ⊂ Y é qualquer conexo contendo y, então f −1 (D) é conexo de X contendo
x, logo f −1 (D) ⊂ Cx e então D ⊂ f (Cx ). Portanto, f (Cx ) é o maior subconjunto conexo
de Y contendo y, ou seja, é a componente conexa de y em Y . Desta forma, f estabelece
uma bijeção entre componentes conexas de X e componentes conexas de Y .
Voltando ao exemplo S 1 ©e [0,
1], suponha
que f : [0, 1] → S 1 fosse um homeomorfismo
ª
©
¡
¢ª
entre ambos. Então, [0, 1] − 21 e S 1 − f 12 deveriam apresentar a mesma quantidade
de componentes conexas, o que não ocorre. Portanto, estes espaços não são homeomorfos.
Vamos no proximo capı́tulo abordar um novo conceito associado ao espaço X, o grupo
fundamental de X. Veremos que dois espaços homeomorfos devem possuir grupos fundamentais isomorfos. Assim, computando o grupo fundamental de S 1 e [0, 1] por exemplo,
veremos que ambos não são isomorfos o que poderia ser utilidado também para garantir
a não existência de um homeomorfismo entre os mesmos.
2
2.1
65
A noção de homotopia
Homotopia de caminhos
Definição 22 Sejam f e g aplicações contı́nuas do espaço X no espaço Y . Dizemos
que f é homotópica a g se existe uma aplicação contı́nua F : X × [0, 1] → Y tal que
F (x, 0) = f (x) e F (x, 1) = g(x), ∀x ∈ X. A aplicação F é chamada de homotopia entre
f e g e se f é homotópica a g, então utilizaremos a notação f w g.
0
0
Proposição 23 Sejam f, f : X → Y e g, g : Y → Z aplicações contı́nuas. Se f w f 0 e
g w g 0 então g ◦ f w g 0 ◦ f 0 .
0
Prova. Sejam H : X × [0, 1] → Y uma homotopia entre f e f e K : Y × [0, 1] → Z
0
uma homotopia entre g e g . Definimos L : X × [0, 1] → Z uma homotopia entre g ◦ f e
0
g 0 ◦ f , pondo L(x, t) = K(H(x, t), t).
Definição 24 Quando f e g são dois caminhos em X ligando os pontos x0 e x1 de X
com f (0) = g(0) = x0 e f (1) = g(1) = x1 , respectivamente denominados ponto inicial e
ponto final do caminho, uma homotopia F : [0, 1] × [0, 1] → X entre eles é uma aplicação
contı́nua tal que
a) F (s, 0) = f (s) e F (s, 1) = g(s), ∀s ∈ [0, 1],
b) F (0, t) = x0 e F (1, t) = x1 , ∀t ∈ [0, 1].
Neste caso,dizemos que F é um caminho homotópico entre f e g. Quando f e g são
caminhos homotópicos utilizaremos a notação f v g.
Proposição 25 As relações w e v são de equivalência.
Prova. Dado f , tomando F (x, t) = f (x) segue que f w f . Caso f seja um caminho, F
como definida é um caminho homotópico.
Dados f w g de forma que F seja uma homotopia entre ambos, naturalmente G(x, t) =
F (x, 1 − t) é uma homotopia entre g e f . Logo, g w f . Se F for um caminho homotópico
o mesmo irá ocorrer com G da forma que foi definido.
Suponha que f w g e g w h sendo F e F 0 respectivamente homotopias entre f e g, e
g e h. Definindo
½ G : X × [0, 1] → Y 1pela equação
F (x, 2t) se t ∈ [0, 2 ]
segue que G esta bem definida pois para t = 12 ,
G(x, t) =
F´(x, 2t − 1) se t ∈ [ 12 , 1]
F (x, 2t) = g(x) = F 0 (x, 2t − 1), além disso G é contı́nua pois sobre os conjuntos
fechados X × [0, 21 ] e X × [ 12 , 1] G é naturalmente contı́nua, agora sendo C um subconjunto
fechado de Y , tem-se que G−1 (C) = F −1 (C)∪F 0−1 (C). Pela continuidade de F e F 0 segue
66
que F −1 (C) e F 0−1 (C) são ambos fechados, logo G−1 (C) é fechado e a continuidade de G
segue caracterização de continuidade via conjuntos fechados. Portanto, f w h.
Caso F e F 0 sejam caminhos homotópicos naturalmente G também o será e a transitividade será demonstrada da mesma forma.
Nosso interesse estará diretamente relacionado com caminhos f : [0, 1] → X. Denotamos a classe de equivalência de f via a relação v por [f ]. No conjunto de tais classes
de equivalência de caminhos em X ⊂ Rn definiremos agora uma operação que irá munir
este conjunto de uma estrutura de ”quase grupo”.
Definição 26 Sejam f, g : [0, 1] → X dois caminhos ligando respectivamente
os pontos de
½
f (2s) se s ∈ [0, 21 ]
.
X, x0 e x1 , x1 e x2 . O produto f ∗g é o caminho h dado por h(s) =
g(2s − 1) se s ∈ [ 12 , 1]
A função h está bem definida pois para s = 12 , f (2s) = g(2s − 1) e conforme a mesma
argumentação feita na demonstração da proposição anterior, h é contı́nua. Portanto h é
um caminho em X ligando x0 a x2 .
Através da operação acima definimos uma operação entre classes de equivalência de
caminhos em X como segue: [f ]∗[g] = [f ∗g]. Observe que se F é um caminho homotópico
entre f e f 0 e½G é um caminho homotópico
entre g e g 0 definindo
£ 1¤
F (2s, t) para s ∈ 0,£ 2 ¤
H(s, t) =
, uma vez que F (1, t) = x1 = G(0, t) a função
G(2s − 1, t) para s ∈ 12 , 1
H está bem definida e a continuidade segue do mesmo argumento utilizado na demonstração da proposição anterior. Naturalmente H é um caminho homotópico entre f ∗ g e
f´∗ g´o que caracteriza a boa definição da operação ∗ entre classes de equivalência. Vale
destacar que [f ] ∗ [g] não é definida para todo par de classes de equivalência e sim somente
para classes [f ] e [g] onde f (1) = g(0).
Proposição 27 A operação ∗ satisfaz as seguintes propriedades:
a) Se [f ] ∗ ([g] ∗ [h]) está definida, então o mesmo ocorre com ([f ] ∗ [g]) ∗ [h] sendo
ambos iguais.
b) Se f é um caminho em X ligando x0 a x1 , então [f ] ∗ [idx1 ] = [f ] e [idx0 ] ∗ [f ] = [f ],
onde idx : [0, 1] → X é a aplicação constante idx (t) = x ∈ X , ∀t ∈ [0, 1].
c) Sendo f um caminho em X ligando x0 a x1 , o caminho g(t) = f (1 − t) é chamado
caminho inverso de f e [f ] ∗ [g] = [idx0 ] e [g] ∗ [f ] = [idx1 ].
67
Prova. Vamos explicitar as demonstrações (b) e (c).
id : [0, 1] → [0, 1]
id : [0, 1] → [0, 1]
Sejam 0
e
. Então id0 ∗ id é um caminho em
s 7→ 0
s 7−→ s
[0, 1] ligando 0 a 1. Naturalmente se Y é um espaço convexo em Rn , então quaisquer
dois caminhos f e g em Y ligando x0 a x1 são homotópicos em Y uma vez que F (x, t) =
(1 − t)f (x) + tg(x) é uma homotopia entre eles.
Assim, dado que [0, 1] é convexo existe uma homotopia G entre id e id0 ∗ id. Portanto,
f ◦ G é um caminho homotópico em X entre os caminhos f ◦ id = f e f ◦ (id0 ∗ id) =
(f ◦ id0 ) ∗ (f ◦ id) = idx0 ∗ f , logo [idx0 ] ∗ [f ] = [idx0 ∗ f ] = [f ]. Analogamente prova-se
que [f ] ∗ [idx1 ] = [f ].Agora, sejam os caminhos
˜
˜
˜
id : [0, 1] → [0, 1]
id
: [0, 1] → [0, 1] ,sendo id o inverso de id. Assim, id ∗ id é
e
s 7−→ s
s 7−→ 1 − s
um caminho em [0, 1] começando e terminando em 0. Novamente, dado a convexidade de
˜
[0, 1], existe um caminho H em [0, 1] entre id0 e id ∗ id. Portanto f ◦ H é um caminho
˜
homotópico entre f ◦ id0 = idx0 e (f ◦ id) ∗ (f ◦ id) = f ∗ g onde g(s) = f (1 − s). Assim ,
[f ] ∗ [g] = [f ∗ g] = [idx0 ].
De forma análoga prova-se que [g] ∗ [f ] = [idx1 ].
Como já destacamos anteriormente, o conjunto das classes de caminhos homotópicos
no espaço X ⊂ Rn não forma um grupo munido da operação ∗ , uma vez que este
produto não é definido para quaisquer duas classes de caminhos homotópicos em X.
Todavia iremos fazer a restrição desta operação a um subconjunto de classes de caminhos
homotópicos em X e relativamente a este subconjunto e a operação ∗ teremos estrutura
de grupo, contudo antes de proceder desta forma vamos explorar o interessante conceito
de espaço contrátil.
2.2
Espaços contráteis
Definição 28 Um espaço X é chamado contrátil quando a aplicação identidade id : X →
X é homotópica a uma aplicação constante fp : X → X com fp (x) = p, ∀x ∈ X.
68
Observe que se H é uma homotopia entre id e fp , então para x e y, pontos arbitrários
de X, a aplicação h : [0, 1] → X, h(t) = H(x, t), é um caminho ligando x a p. De forma
analóga, r(t) = H(y, t) é um caminho ligando y a p. Logo, X é conexo por caminhos pois
a justaposição destes caminhos h e r determina uma ligação entre x e y.
Definição 29 Uma aplicação contı́nua f : X → Y é chamada uma equival˜encia homotópica se, esomente se, existe uma aplicação contı́nua g : Y → X tal que g ◦ f w idX
e f ◦ g w idY , onde idY e idY são as aplicações identidades A aplicação g é chamada de
inverso homotópico de f.
Dois espaços X e Y tem o mesmo tipo de homotopia se existe uma equivalência homotópica entre eles. Notação: X ≡ Y .
Assim, X é contrátil se, e somente se, tem o mesmo tipo de homotopia que um ponto.
Além disso, todo homeomorfismo é uma equivalência homotópica e a relação ≡ é uma
relação de equivalência. Desta forma, se X é homeomorfo a Y e X é contrátil, segue que
X ≡ Y e X ≡ {ponto} e portanto Y ≡ {ponto}, ou seja, Y também é contrátil.
Proposição 30 Se X ou Y é contrátil, então toda aplicação contı́nua f : X → Y é
homotópica a uma constante.
Prova. Se X for contrátil e H : X × [0, 1] → X for uma homotopia entre idx e uma
aplicação constante fp : X → X, fp (x) = p, ∀x ∈ X , então dada qualquer f : X → Y
contı́nua, a aplicação f ◦H será uma homotopia entre f e uma aplicação constante de Y em
Y . Se Y for contrátil e K : Y × [0, 1] → Y for uma homotopia entre idy e uma constante,
então L : X × [0, 1] → Y , L(x, t) = K(f (x), t) é uma homotopia entre f : X → Y e uma
aplicação constante.
Se X e Y são dois espaços e denotarmos por [X, Y ] o conjunto de classes de homotopia de aplicações contı́nuas de X em Y , então se Y é contrátil, qualquer que seja X,
pela proposição anterior segue que quaisquer duas aplicações contı́nuas f, g : X → Y
são sempre homotópicas, ou em outras palavras [X, Y ] possui um único elemento. De
forma similar, se X é contrátil e Y é conexo por caminhos, então [X, Y ] possui um único
elemento.
Naturalmente, todo conjunto convexo é contrátil, assim o disco D2 é contrátil uma vez
que o mesmo é convexo. Agora, sua fronteira é a esfera S 1 que é conexa por caminhos,
(1−t)a+tb
pois dados a, b ∈ S 1 com b 6= −a , f : [0, 1] → S 1 definida por f (t) = |(1−t)a+tb|
é contı́nua
1
com f (0) = a e f (1) = b. Todavia, se b = −a, basta tomar c ∈ S − {a, b}, ligar a com c
e c com b como no caso onde b 6= −a e fazer a justaposição destes caminhos.
Surge então a seguinte questão:
S 1 é contrátil? De fato, todo espaço X que não é conexo por caminhos também não
é contrátil, contudo este argumento não pode ser utilizado para concluir nada sobre a
contratibilidade ou não de S 1 . Mostraremos futuramente, via uma nova ferramenta, que
S 1 não é contrátil.
Talvez este seja um dos primeiros exemplos não triviais de um espaço com esta caracterı́stica. Um fato interessante associado ao conceito de espaço contrátil é que embora
possamos ter um espaço X não contrátil é possı́vel construir um novo espaço CX contrátil
˜
tal que X pode ser ”mergulhado”em CX, ou seja, existe uma cópia homeomorfa X de X
contida em CX.
2.3
69
O grupo fundamental
Definição 31 Sejam X um espaço e x0 ∈ X. Um caminho em X começando e terminando em x0 é chamado um ciclo com ponto base x0 . O conjunto das classes de homotopia
de ciclos baseados em x0 ∈ X com a operação ∗ é chamado de grupo fundamental de X
relativamente ao ponto base x0 .
Notação: π1 (X, x0 ).
Observe que dados dois ciclos f e g baseados em x0 , o produto f ∗ g está bem definido
e o mesmo é um ciclo em x0 . As propriedades associativa, existência de elemento neutro
[idx0 ] e do inverso de uma classe são naturalmente válidas. Quando X = Rn e x0 é um
ponto base escolhido arbitrariamente, se f é um ciclo em x0 , então a homotopia linear
F (x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x), onde g(x) = x0 é constante, mostra que π1 (Rn , x0 ) é o grupo
trivial. O mesmo argumento pode ser utilizado para mostrar que se X é um subconjunto
convexo do Rn , então π1 (X, x0 ) é trivial.
Sejam X um espaço e α um caminho em X ligando x0 a x1 .
Vamos denotar por α o caminho inverso de α. A aplicação de α induz a aplicação α
b
definida como segue:
α
b : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x1 )
[f ] −→ α
b([f ]) = [α] ∗ [f ] ∗ [α]
Observe que α ∗ (f ∗ α) é um ciclo em x1 . Além disso, α
b([f ]) ∗ α
b([g]) = ([α] ∗ [f ] ∗ [α]) ∗
([α] ∗ [g] ∗ [α]) = [α] ∗ [f ] ∗ [g] ∗ [α] = α
b([f ] ∗ [g]), logo α
b é um homomorfismo. Agora, para
concluir que α
b é um isomorfismo vamos mostrar que se β denota o caminho α, então β é
o inverso de α
b. Para cada [h] ∈ π1 (X, x1 ) segue que:
b
β([h])
= [β] ∗ [h] ∗ [β] = [α] ∗ [h] ∗ [α]
b
α
b(β([h])) = [α] ∗ ([α] ∗ [h] ∗ [α]) ∗ [α] = [h].
b α([f ])) = [f ], ∀[f ] ∈ π1 (X, x0 ).
Analogamente, é possı́vel mostrar que β(b
Como α
b é isomorfismo, caso X seja conexo por caminhos com x0 , x1 ∈ X, então
π1 (X, x0 ) é isomorfo a π1 (X, x1 ). Observe ainda que sendo C uma componente conexa de
X contendo x0 segue que π1 (C, x0 ) = π1 (X, x0 ). Desta forma π1 (X, x0 ) depende somente
de componente conexa de X contendo x0 . Assim, usualmente quando vamos trabalhar
com um espaço X no sentido de analisar o seu grupo fundamental por vez nos preocupamos
com espaços que sejam conexos por caminhos.
Nosso objetivo agora é mostrar que o grupo fundamental de X é um invariante
topológico do espaço X, inicialmente vejamos um conceito que será auxiliar a esta conclusão pretendida.
Seja h : X → Y uma aplicação contı́nua com h(x0 ) = y0 .
70
Considere f um ciclo em X com base em x0 , então h ◦ f : [0, 1] → Y é um ciclo em
Y com base em y0 . Assim, pode-se definir a aplicação h∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) dada
por h∗ ([f ]) = [h ◦ f ] que será denominada homomorfismo induzido por h relativamente ao
ponto base x0 . Observe que se F é um caminho homotópico entre f e g, então h ◦ F é um
caminho homotópico entre h ◦f e h◦ g. Além disso, a igualdade (h ◦ f ) ∗ (h◦ r) = h ◦ (f ∗ r)
garante que h∗ é homomorfismo. Este homomorfismo depende de h e também da escolha
do ponto base x0 .
Sejam h : X → Y e k : Y → Z aplicações contı́nuas entre espaços X, Y e Z com
h(x0 ) = y0 , k(y0 ) = z0 , então (k ◦ h)∗ = k∗ ◦ h∗ e a aplicação id : X → X , id(x0 ) = x0 ,
induz o homomorfismo identidade id∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x0 ).
Portanto se ϕ : X → Y , ϕ(x0 ) = y0 , é uma equivalência homotópica de X em Y ,
então ϕ∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) é um isomorfismo. De fato:
Seja φ : X → Y , φ(y0 ) = x0 , a inversa homotópica de ϕ, segue que φ∗ ◦ ϕ∗ = (φ ◦ ϕ)∗ e
(φ ◦ ϕ)∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x0 ) é tal que (φ ◦ ϕ)∗ ([f ]) = [φ◦ϕ◦f ], mas como φ◦ϕ ∼
= idX ,
pela proposição23 [φ ◦ ϕ ◦ f ] = [idX ◦ f ] = [f ] e assim φ∗ ◦ ϕ∗ = (ϕ ◦ φ)∗ = id∗ . De maneira
análoga, ϕ∗ ◦ φ∗ = id∗ . Portanto, φ∗ é a inversa de ϕ∗ .
Em resumo, se X ≡ Y então π1 (X, x0 ) é isomorfo a π1 (Y, ϕ(x0 )), onde ϕ é uma
equivalência homotópica entre X e Y, mais ainda, se ϕ é um homeomorfismo entre X e
Y, então π1 (X, x0 ) é isomorfo a π1 (Y, ϕ(x0 )).
Desta forma, se X é contrátil e x0 ∈ X, então π1 (X, x0 ) é trivial. De fato, se X ≡
{ponto}, então π1 (X, x0 ) é isomorfo a π1 ({ponto}, ponto), que é trivial.
2.4
Espaços simplesmente conexos
Definição 32 Um espaço X é simplesmente conexo quando X é conexo por caminhos e
para todo x0 ∈ X tem-se que π1 (X, x0 ) é um grupo trivial. Notação: π1 (X, x0 ) = 0.
Assim, todo ciclo f : [0, 1] → X com base em x0 é homotópico ao caminho constante
idx0 .Naturalmente, todo espaço contrátil é simplesmente conexo.
Proposição 33 Em um espaço simplesmente conexo X, quaisquer dois caminhos com os
mesmos pontos iniciais e finais são homotópicos.
Prova. Sejam f e g caminhos em X ligando x0 a x1 . Então, f ∗ g é um ciclo em X
com base em x0 . Como X é simplesmente conexo, este ciclo é homotópico ao caminho
constante idx0 . Portanto [f ∗ g] ∗ [g] = [idx0 ] ∗ [g] e assim [f ] = [g].
2.5
Espaços de recobrimento
Para finalizar este capı́tulo vamos abordar a definição de espaço de recobrimento.
71
Definição 34 Seja p : E → B uma aplicação contı́nua e sobrejetora entre os espaços E
e B. Um conjunto aberto U ⊂ B é dito recoberto por p, se e somente se, p−1 (U ) é uma
união de abertos Vα de E , dois a dois disjuntos, tal que cada α, p|Vα é um homeomorfismo
de Vα em U .
Quando para todo o ponto de B existir um aberto U ⊂ B contendo este ponto, sendo
que U é recoberto por p, diz-se que p é uma aplicação de recobrimento e E é um espaço
de recobrimento de B. Para cada b ∈ B, p−1 (b) será denominado a fibra de b.
Suponha que p : E → B seja uma aplicação de recobrimento e tome um aberto
qualquer A ⊂ E. Seja x ∈Sp(A). Existe um aberto U ⊂ B com x ∈ U , sendo U recoberto
por p. Assim, p−1 (U ) = Vα , onde Vα são abertos de E. Como p é sobrejetora, tome
α
que y ∈ E tal que p(y) = x e suponha que Vα seja um aberto do recobrimento de U com
y ∈ Vα . Logo Vα ∩A é aberto em E e então é aberto em Vα . Agora, dado que p|Vα : Vα
→ U é homeomorfismo que segue p(Vα ∩A) é um aberto em U e assim aberto em B.
Portanto, existe uma vizinhança aberta de x em p(A), o que nos possibilita concluir que
toda aplicação de recobrimento é uma aplicação aberta.
Proposição 35 A aplicação p : R → S 1 , p(x) = (cos2πx, sen2πx) é uma aplicação de
recobrimento.
Prova. Podemos decompor S 1 via os abertos U1 , U2 , U3 e U4 descritos na figura abaixo.
Iremos trabalhar apenas com U1 , os demais casos são similares.
Assim, p−1 (U1 ) corresponde a união dos intervalos Vn = (n − 14 , n + 14 ), ∀n ∈ Z. A
£
¤
aplicação p restrita a Vn = n − 14 , n + 41 é injetora, aplica Vn sobrejetivamente em U1 e Vn
em U1 . Dado Vn é compacto, p|Vn é homeomorfismo e em particular p|Vn é homeomorfismo
de Vn em U1 . Portanto, p é uma aplicação de recobrimento.
72
Toda aplicação de recobrimento p : E → B é um homeomorfismo local, em outras
palavras, cada ponto de E possui uma vizinhança aberta que é homeomorfa via p a um
aberto de B. Todavia o fato de p ser um homeomorfismo local não garante que o mesmo
seja uma aplicação de recobrimento. Por exemplo, p : R+ → S 1 , p(x) = (cos2πx, sen2πx)
é um homeomorfismo local, embora não seja uma aplicação de recobrimento (o ponto
(1, 0) não possui vizinhança recoberta por p). Este exemplo mostra que a restrição de
uma aplicação de recobrimento pode não ser de recobrimento.
3
3.1
Um estudo do cı́rculo
O grupo fundamental do cı́rculo
Definição 36 Seja p : E → B uma aplicação entre os espaços E e B. Sejam X um
espaço e f : X → B contı́nua. Um levantamento de f é uma aplicação fe : X → E tal
que p ◦ fe = f
Proposição 37 Seja p : E → B uma aplicação de recobrimento como p(e0 ) = b0 . Qualquer caminho f : [0, 1] → B começando em b0 possui um único levantamento a um
caminho fe em E começando em e0
Prova. Esboço da demonstração
73
Tome uma cobertura de B por abertos U que são recobertos por p. Como [0, 1] e
f ([0, 1]) são compactos utilizando o número de Lebesgue podemos encontrar uma subdivisão de [0, 1], s0 , ..., sn , tal que para cada i, f ([si , si+1 ]) está contido em algum aberto
U . Definimos fe(0) = e0 . Agora, supondo que fe(s) está definida para 0 ≤ s ≤ si , vamos
S
definı́-la sobre [si , si+1 ]. Seja U o aberto contendo f ([si , si+1 ]). Temos que p−1 (U ) = Vα ,
α
onde Vα são abertos de E, e p|Vα é um homeomorfismo entre Vα e U . Se fe(si ) ∈ V0 definimos fe(s) para s ∈ [si , si+1 ] pela equação fe(s) = (p|V0 )−1 (f (s)). A continuidade de fe em
[si , si+1 ] é consequência do homeomorfismo p|V0 : V0 → U . Procedendo sucessivamente
dessa forma definimos fe sobre [0, 1].
≈
Quanto a unicidade vamos supor que f seja outro levantamento de f começando em
≈
≈
e0 . Assim, fe(0) = e0 = f (0). Suponhamos que fe(s) = f (s), ∀s ∈ [0, si ]. Tomando V0
≈
como acima observamos que para s ∈ [si ., si+1 ], fe(s) = (p|V )−1 (f (s)). Agora, dado que f
0
≈
é levantamento de f e portanto contı́nua, os abertos Vα são disjuntos, e f (si ) = fe(si ) ∈ V0 ,
≈
≈
então f ([si , si+1 ]) ⊂ V0 . Logo, para s ∈ [si , si+1 ], f (s) = y ∈ V0 pertencente a p−1 (f (s)).
Contudo pelo homeomorfismo segue a unicidade dos pontos em (p|V0 )−1 (f (s)). Portanto,
≈
f (s) = fe(s), ∀s ∈ [si , si+1 ]
Vamos agora estudar este resultado para caminhos homotópicos.
Proposição 38 Seja p : E → B uma aplicação de recobrimento com p(e0 ) = b0 . Considere a aplicação contı́nua F : [0, 1] × [0, 1] → B com F (0, 0) = b0 . Nestas condições,
∼
existe um único levantamento de F a uma aplicação contı́nua F : [0, 1] × [0, 1] → E tal
∼
∼
que F (0, 0) = e0 . Se F é um caminho homotópico, então F também o será.
Prova. Esboço da demonstração:
Definimos Fe(0, 0) = e0 . Ultilizando a proposição anterior estendemos Fe sobre {0} ×
[0, 1] e [0, 1] × {0} contidos no quadrado [0, 1] × [0, 1]. Devemos estender Fe para este
quadrado. Vamos decompor [0, 1] × [0, 1] conforme a figura abaixo e representar Ii × Jj =
[si−1 , si ] × [tj−1 , tj ].
74
A F - imagem destes retângulos está contida em abertos de B que são recobertos por
p. Vamos definir Fe em I1 × J1 , continuando com Ii × J1 , passando para Ii × J2 e assim
sucessivamente. Genericamente, dados i0 e j0 assumimos que Fe está definida sobre o
conjunto A o qual é a união de {0} × [0, 1] , [0, 1] × {0} e todos os retângulo ”anteriores”
a Ii0 × Jj0 , onde anteriores significam os retângulos Ii × Jj com j < j0 e quando j = j0 ,
i < i0 . Assumimos também que Fe é um levantamento contı́nuo de F |A . Para definir Fe
sobre Ii0 × Jj0 escolhemos um aberto U de B recoberto por p contendo F (Ii0 × Jj0 ).
Seja p−1 (U ) =
S
α
Vα , onde p|Vα : Vα → U é homeomorfismo. Seja C = A ∩ (Ii0 ×
Jj0 ), como C é conexo, Fe(C) é conexo e deverá pertencer inteiramente a algum Vα ,
digamos V0 . Observe que p|V0 é um homeomorfismo e para cada x ∈ C, p|V0 (Fe(x)) =
p(Fe(x)) = F (x) ⇒ Fe (x) = (p|V0 )−1 (F (x)). Portanto, estendemos f
F definindo Fe (x) =
(p|V0 )−1 (F (x)), ∀x ∈ Ii0 × Jj0 . Continuando desta forma definimos Fe sobre [0, 1] × [0, 1].
∼
Quanto a unicidade, vale observar que cada passo da construção de F foi feito original∼
mente estendendo F primeiramente na base e a esquerda de [0, 1] × [0, 1] e posteriormente
nos retângulos Ii × Jj um a um e este procedimento de extensão é único para obtenção
∼
de F . Assim, quando o valor de Fe em (0, 0) é especificado, o mesmo fica determinado.
Finalmente, vamos supor que F seja um caminho homotópico. Observe que
˜
F ({0} × [0, 1]) = b0 ∈ B. Como {0}×[0, 1] é conexo e Fe contı́nua segue que F ({0}×[0, 1])
é conexo e como o mesmo pertence a fibra (discreta) p−1 (b0 ), o mesmo deve ser um
único ponto. Analogamente, Fe({1} × [0, 1]) é um único ponto. Logo, Fe é um caminho
homotópico.
Seja p : E → B uma aplicação de recobrimento com p(e0 ) = b0 . Sejam f e g dois
caminhos em B ligando b0 a b1 , os mesmos podem ser levantados em E via caminhos
75
únicos, fee g,
e começando em e0 . Suponha que f e g sejam homotópicos com F : [0, 1]×[0, 1]
→ B um caminho homotópico entre ambos, com F (0, 0) = b0 . Segundo a proposição
anterior podemos obter um levantamento Fe : [0, 1] × [0, 1] → E de F tal que Fe (0, 0) =
e0 e sendo Fe um caminho homotópico com Fe({0} × [0, 1]) = {e0 } e Fe ({1} × [0, 1]) =
{e1 }, onde e1 ∈ E. A restrição Fe|[0,1]×{0} é um caminho em E começando em e0 e é
um levantamento de F |[0,1]×{0} . Pela unicidade do levantamento de caminhos temos que
Fe(s, 0) = fe(s). Analogamente, Fe|[0,1]×{1} é um caminho em E que é o levantamento
F |[0,1]×{1} , começando em e0 e tal que Fe(s, 1) = ge(s). Portanto fe e ge são caminhos
homotópicos em E com o mesmo ponto final e1 . Além disso, se [f ] é uma classe em
π1 (B, b0 ) e fe é o levantamento de f a um caminho em E começando em e0 , vamos
definir a aplicação φ : π1 (B, b0 ) → p−1 (b0 ), onde φ([f ]) corresponde ao ponto final fe(1).
Naturalmente, φ depende da escolha de e0 .
Proposição 39 Seja p : E → B uma aplicação de recobrimento com p(e0 ) = b0 . Se
E é conexo por caminhos, então φ acima definida é sobrebjetora. Se E é simplesmente
conexo, então φ é bijetora.
Prova. Dado e1 ∈ p−1 (b0 ), existe um caminho fe em E ligando e0 a e1 . Então, f = p ◦ fe é
um ciclo em B com base b0 e assim φ([f ]) = e1 . Agora, supondo E simplesmente conexo,
vamos tomar [f ], [g] ∈ π1 (B, b0 ) com φ([f ]) = φ([g]). Sejam fe e ge levantamentos de f e
g respectivamente começando em e0 . Temos que, fe(1) = ge(1). Como E é simplesmente
conexo, existe um caminho homotópico Fe em E entre fe e ge. Portanto, p◦ Fe é um caminho
em B entre f e g, assim [f ] = [g].
Estamos agora em condições de demonstrar o principal resultado deste trabalho, a
saber:
Teorema 40 O grupo fundamental S 1 é isomorfo ao grupo aditivo dos inteiros.
Prova. Seja p : R → S 1 a aplicação de recobrimento descrita em 35 e e0 = 0 com p(e0 ) =
b0 = (1, 0). Assim p−1 (b0 ) = Z. Como R é simplesmente conexo, φ : π1 (S 1 , b0 ) → Z
é bijetora. Portanto, basta mostrar que φ é homomorfismo. De fato: dados [f ], [g] ∈
∼
∼
π1 (S 1 , b0 ) com respectivos levantamentos f e g começando em 0 ∈ R. Se consideramos
∼
∼
≈
∼
f (1) = n e g(1) = m , então φ([f ]) = n e φ([g]) = m. Assim, g(s) = n + g(s) é um
∼
≈
levantamento de g começando em n. O produto f ∗ g corresponde a um levantamento de
≈
f ∗ g começando em 0 e o ponto final deste levantamento é g(1) = n + m. Logo, φ([f ]∗
[g]) = n + m = φ([f ]) + φ([g]).
Este resultado apresenta uma série de consequências interessantes, vamos agora destacar
algumas.
1
Naturalmente S não é simplesmente conexo e consequentemente não contrátil, respondendo assim a uma questão apresentada anteriormente neste texto. Também, como
foi abordado no final do capı́tulo 1, utilizando o teorema anterior concluı́mos que S 1 e
[0, 1] não são homeomorfos.
3.2
Retrações e pontos fixos
Definição 41 Sejam X um espaço e A ⊂ X. Uma retração de X em A é uma aplicação
contı́nua r : X → A tal que r|A é a aplicação idA . Quando tal aplicação r existe dizemos
que A é um retrato de X.
76
Observe que se r : X → A é uma retração e i : A → X é a aplicação inclusão, então
r ◦ i = idA . Logo r∗ ◦ i∗ é a aplicação identidade de π1 (A, a) onde a ∈ A. Desta forma,
i∗ : π1 (A, a) → π1 (X, a) é um homomorfismo injetor
Proposição 42 Não existe retração do disco bidimensional unitário D2 em S 1
Prova. Caso S 1 fosse um retrato de D2 , então o homomorfismo induzido pela inclusão
i : S 1 → D2 entre os grupos fundamentais seria injetor. Todavia, isto gera um absurdo,
pois para a ∈ S 1 , como π1 (S 1 , a) ≈ Z e π1 (D2 , a) = {0} pois D2 é convexo.
Proposição 43 Dado um campo vetorial não-nulo sobre o disco D2 , existe um ponto de
S 1 onde o campo vetorial no mesmo aponta para o interior e um outro ponto de S 1 onde
o campo aponta para fora de S 1 .
Prova. Vale lembrar que um campo vetorial sobre D2 é um par ordenado (x, v(x)) ∈
D2 × R2 onde v : D2 → R2 dada por v(x) = (v1 (x), v2 (x)) é uma aplicação contı́nua,
sendo que este campo é não nulo, neste caso v(x) 6= 0 ∈ R2 , ∀x ∈ D2 .
Suponhamos que o campo (x, v(x)) não apresente nenhum ponto apontando para
dentro de S 1 e seja w = v|S1 . Assim, w pode ser estendida para D2 e desta forma é
homotópica a uma constante uma vez que ϕ : S 1 × [0, 1] → D2 , ϕ(x, t) = (1 − t)x é uma
aplicação contı́nua, sobrejetora e não-nula em S 1 ×{1}, então v◦ϕ : S 1 ×[0, 1] → R2 −{0} é
uma homotopia entre w e a aplicação constante fv(0) : S 1 → v(0) dada por fv(0) (x) = v(0).
Por outro lado, w é homotópica a inclusão i : S 1 → R2 − {0}, segundo a homotopia
F : S 1 × [0, 1] → R2 − {0} dada por F (x, t) = tx + (1 − t)w(x).
Observe que F (x, t) 6= 0 para t = 0 e 1. Além disso, se F (x, t) = 0 para 0 <
t < 1, então tx + (1 − t)w(x) = 0 ⇒ w(x) é igual a um multı́plo escalar negativo de
x, ou seja, no ponto x o campo aponta para dentro de S 1 . Portanto, necessariamente
F (x, t) 6= 0, ∀(x, t) ∈ S 1 × [0, 1]}. Agora, como w é homotópica a aplicação constante
fv(0) e também a i, segue que i é homotópica a aplicação constante fv(0) e portanto
(i ◦ f ) ∼ (fv(0) ◦ f ), ∀f : [0, 1] → S 1 e sendo assim i∗ : π1 (S 1 , a) → π1 (R2 − {0}, a) dada
por i∗ ([f ]) = [i ◦ f ] = [f ], não é uma aplicação injetora, pois dados [f ], [g] ∈ π1 (S 1 , a),
temos que [i ◦ f ] = [fv(0) ◦ f ] = [fv(0) ◦ g] = [i ◦ g]. Mas istoé um absurdo, pois a aplicação
x
é uma retração, assim i∗ é um homomorfismo injetor, logo
r : R2 − {0} → S 1 , r(x) = qxq
não trivial.
Finalmente, para mostrar que o campo possui um ponto em S 1 no qual o mesmo
aponta para fora de S 1 basta utilizar o mesmo raciocı́nio acima para (x, −v(x)).
Como uma consequência desta proposição pode-se provar o chamado teorema do ponto
fixo de Brouwer para o disco D2 , a saber:
Teorema 44 Se f : D2 → D2 é contı́nua, então existe um ponto p ∈ D2 tal que f (p) = p.
Prova. Suponhamos que para todo x ∈ D2 , f (x) 6= x. Assim, definimos v(x) = f (x) − x
e desta forma (x; v(x)) é um campo vetorial não nulo sobre D2 . Por outro lado, este
campo em nenhum ponto de S 1 poderá apontar para fora de S 1 , uma vez que este fato
corresponde na necessidade da existência de a ∈ R+ tal que v(x) = f (x) − x = ax ⇒
f (x) = (1 + a)x ∈
/ D2 . Mas isto é um absurdo.
3.3
77
O teorema fundamental da álgebra
Para finalizar este trabalho vamos abordar a demonstração do teorema fundamental da
álgebra utilizando o nosso conhecimento do grupo fundamental de S 1 .
Teorema 45 A equação xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 = 0 em que a0 , a1 , ..., an−1 ∈ C,
possui pelo menos uma raiz.
Prova. Temos que S 1 = {z ∈ C/ kzk = 1} e seja f : S 1 → S 1 definida por f (z) = z n .
Assim o homomorfismo induzido f∗ é injetor. De fato: seja p0 : [0, 1] → S 1 , dada por
p0 (s) = (cos 2πs, sin 2πs) , observe que p0 é um ciclo em S 1 e sua f∗ − imagem é o ciclo
f ◦ p0 (s) = (cos 2πns, sin 2πns). Este ciclo levanta-se ao caminho s → ns no espaço de
recobrimento R de S 1 . Além disso, o ciclo f ◦ p0 (s) corresponde ao inteiro n segundo o
isomorfismo π1 (S 1 , b0 ) ≈ Z, sendo que p0 corresponde ao número 1. Portanto, f∗ é uma
espécie de multiplicação por n no grupo fundamental de S 1 , em particular, é injetora.
Agora, seja g : S 1 → R2 − {0} dada por g(z) = z n , esta aplicação não pode ser
homotópica a uma aplicação constante uma vez que g = i ◦ f , onde i = S 1 → R2 − {0}
é a inclusão e f é como acima, e desta forma g∗ = i∗ ◦ f∗ , sendo f∗ injetor e i∗ injetor
também, pois S 1 é um retrato de R2 − {0}. Portanto, g∗ é injetor, em particular, não
pode ser homotópica a uma constante.
Consideremos um caso especial do teorema onde assumimos que |an−1 | + ... + |a0 | < 1
e com esta condição vamos mostrar que a equação polinomial possui uma raiz em D2 . De
fato:
Suponha que não exista tal raiz. Definimos k : D2 → R2 − {0} , k(z) = z n +
an−1 z n−1 + ... + a1 z + a0 sendo h = k|S 1 . Dado que h pode ser estendida para D2 segue
que a mesma é homotópica a uma constante. Vamos definir uma homotopia entre h e g, o
que iria acarretar num absurdo. Considere a função F : S 1 × [0, 1] → R2 − {0}, F (z, t) =
z n + t(an−1 z n−1 + ... + a0 ). Observe que |F (z, t)| ≥ |z n | − |t(an−1 .z n−1 + ... + a0 )| ≥
1 − t(|an−1 z n−1 | + ... + |a0 |) = 1 − t(|an−1 | + ... + |a0 |) > 0.
Finalmente, para a equação polinominal xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 = 0, escolhemos
c ∈ R+ e substituimos x = cy, segue que esta equação corresponde a (*) y n + an−1
y n−1 +
c
a1
...+ cn−1
y + can0 = 0. Naturalmente, se y0 é raiz de (∗), então a cy0 é raiz de xn +an−1 xn−1 +
... + a0 = 0. Assim, o estudo geral recai no
¯ caso
¯ especial
¯ a anterior
¯ ¯a ¯ , bastando para tanto
1 ¯
¯ + ... + ¯ n−1
escolher c suficiente grande de forma que ¯an−1
+ ¯cn0 ¯ < 1
c
c
Referências
[1] C.T.C.Wall, “A geometric Introdution to Topology”, Dover Publications, 1972.
[2] E.L.Lima, “Curso de Análise - Vol. 2”, IMPA / CNPq, 1981.
[3] E.L.Lima, “Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento”, Projeto Euclides /
IMPA, 1981.
[4] G.Bredon, “Geometry and Topology”, Springer / New York, 1993.
[5] J.Dugundji, “Topology”, Allyn and Bacon, Boston, 1966.
[6] J.R.Munkres, “Topology”, Prentice Hall, 1975.
78
FAMAT em Revista
Î¥
Þ
Problemas e Soluções
www.famat.ufu.br
80
Problemas e Soluções
Luiz Alberto Duran Salomão (coordenador da seção)
Edson Agustini
Carlos Alberto dos Santos Júnior
81
PROBLEMAS E SOLUÇÕES
A revista eletrônica FAMAT em Revista publica regularmente uma seção de
problemas com o título Problemas e Soluções.
Todos os interessados podem participar dessa seção, apresentando soluções para os
problemas já publicados ou propondo novos problemas. São publicados problemas de
matemática básica ou superior e, também, enigmas de natureza lógica que desafiem nossos
leitores e lhes proporcionem bom treinamento na resolução de problemas. O comitê editorial
seleciona, dentre os problemas propostos, os que mais se destaquem por sua beleza,
relevância e originalidade. Problemas propostos em um número da revista terão suas soluções
publicadas no número seguinte e serão citados os seus proponentes, bem como os autores das
suas soluções. Ao propor um problema, o leitor deverá, preferencialmente, encaminhar sua
solução juntamente com o enunciado e, se possível, citar a fonte de onde ele foi tirado.
Todo participante dessa seção deverá identificar-se mencionando seu nome e endereço
completos (inclusive e-mail). Para fazer contato com a revista, os participantes poderão
utilizar o endereço eletrônico [email protected] ou encaminhar correspondência para:
FAMAT em Revista
Faculdade de Matemática
Universidade Federal de Uberlândia
Av. João Naves de Ávila, 2121
38400-902 - Uberlândia - MG
Neste número, publicamos, ao final da seção, a prova aplicada no processo de seleção
para o VII Curso de Especialização em Matemática, oferecido pela FAMAT.
Mathematics is something we do rather than something we learn, and, all too often, lectures
give the opposite impression.
R. P. Burn
82
PROBLEMAS
5. Resolva as seguintes equações:
(a) 1 + 3x/2 = 2x.
(b) log2 x + log3 (x + 7) = 3.
ababababababab ab
=
, onde a, b, c e d representam algarismos de
cdcdcdcdcdcdcd
cd
números na base 10, a ≠ b e c ≠ d.
6. Mostre que
7. Se n é um inteiro e n > 1, mostre que
n
j =1
1
não é um número inteiro.
j
8. Dados cinco pontos não colineares do plano M1, M2, M3, M4 e M5 , construir um
pentágono, não necessariamente convexo, que tenha os cinco pontos dados como pontos
médios de seus lados.
ALVES, S. e GALVÃO, M. E. –
Um estudo geométrico das transformações elementares
Publicações do Instituto de Matemática e Estatística – USP – 1996
83
RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS DO NÚMERO ANTERIOR
1. Três caixas etiquetadas estão sobre uma mesa. Uma delas contém apenas canetas; outra,
apenas lápis; e há uma que contém lápis e canetas. As etiquetas são “canetas”, “lápis” e
“lápis e canetas”, porém, nenhuma caixa está com a etiqueta correta. É permitida a
operação: escolher uma caixa e retirar dela um único objeto. Qual o número mínimo de
operações necessárias para que as etiquetas sejam colocadas corretamente ? Justifique sua
resposta.
Resolução: O número mínimo de operações necessárias para que as etiquetas sejam
colocadas corretamente é 1. A justificativa é a seguinte: retire da caixa com a etiqueta
“lápis e canetas” um objeto. Digamos que este objeto tenha sido um lápis (caso tivesse
sido uma caneta, o argumento seria análogo ao que se segue). Assim, a etiqueta correta
desta caixa é “lápis”. Daí, podemos concluir que a etiqueta correta da caixa originalmente
etiquetada com “canetas” é necessariamente “lápis e canetas”. Por fim, a caixa que a
princípio tinha a etiqueta “lápis” só pode ter a etiqueta “canetas”.
2
Prove que x999 + x888 + x777 + . . . + x111 + 1 é divisível por
x9 + x8 + x7 + . . . + x + 1.
Resolução: Observe, inicialmente, que x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + . . . + x2 + x + 1).
Daí, todas as 9 raízes da equação x9 + x8 + . . . + x2 + x + 1 = 0 satisfazem a
condição x10 = 1. Portanto, para cada x que satisfizer a equação
x9 + x8 + . . . + x2 + x + 1 = 0, teremos
x999 + x888 + x777 + . . . + x111 + 1 = x9(x10)99 + x8(x10)88 + . . . + x(x10)11 + 1 =
x9 + x8 + . . . + x2 + x + 1= 0. Logo, cada uma das 9 raízes da equação
x9 + x8 + . . . + x2 + x + 1 = 0 também é raiz da equação
x999 + x888 + x777 + . . . + x111 + 1 = 0, o que conclui a demonstração.
3. Sejam VA, VB e VC três segmentos mutuamente perpendiculares. Mostre que a projeção
de V sobre o plano que contém A, B e C é o ortocentro do triângulo ABC.
Resolução: Seja P a projeção de V sobre o plano que contém A, B e C. Considere o plano
α determinado pelos pontos A, P e V. A reta r por V e A é perpendicular à reta
determinada por V e B e também à determinada por V e C; logo, r é perpendicular ao
plano que contém os pontos V, B e C. Conseqüentemente, r é ortogonal à reta por B e C.
Por outro lado, a reta s por V e P é perpendicular ao plano contendo A, B e C; assim, s
também é ortogonal à reta por B e C. Portanto, o plano α contém duas retas concorrentes,
r e s, que são ortogonais à reta por B e C. Daí, α é perpendicular à reta por B e C e, assim,
toda reta de α é ortogonal à reta por B e C. Em particular, a reta por A e P é perpendicular
à reta por B e C, o que mostra que P está sobre a altura relativa a A do triângulo ABC. Do
mesmo modo, mostra-se que P está sobre as outras duas alturas do triângulo ABC.
84
4. Se A é a área de um quadrilátero cujos lados medem a, b, c e d e λ e θ são dois
ângulos internos opostos do quadrilátero, mostre que
1
A2 = (s – a)(s – b)(s – c)(s – d) - abcd [1 + cos( λ + θ )],
2
sendo s o semiperímetro do quadrilátero.
Resolução: Inicialmente, veja que não é relevante qual par de ângulos opostos são
chamados de λ e θ , pois se chamarmos de α e β os dois outros ângulos, teremos
( λ + θ ) + (α + β ) = 360º e, portanto, cos( λ + θ ) = cos(α + β). Observe, ainda,
que, se o quadrilátero é inscritível em um círculo, então λ + θ = 180º e, portanto,
cos( λ + θ ) = -1; nesse caso, a fórmula se escreve A2 = (s – a)(s – b)(s – c)(s – d).
Para demonstrar a fórmula dada, considere θ o ângulo determinado pelos lados
que medem a e b, e λ por c e d. Chame x a diagonal que se opõe ao ângulo θ e,
conseqüentemente, a λ . Pela lei do cosseno, temos
x2 = a2 + b2 – 2abcos θ = c2 + d2 – 2cdcos λ e, daí,
a2 + b2 - c2 - d2 = 2abcos θ – 2cdcos λ .
Elevando ambos os membros ao quadrado e agrupando os termos, obtemos
(a2 + b2 - c2 - d2 )2 + 8abcd cos θ cos λ = 4a2b2 cos2 θ + 4c2d2 cos2 λ (*)
Por outro lado, podemos também determinar a área do quadrilátero como
1
1
A = ab sen θ + cd sen λ .
2
2
Elevando ambos os membros da equação acima ao quadrado e multiplicando-os em
seguida por 16, vemos que
16A2 = 4a2b2 sen2 θ + 4c2d2 sen2 λ + 8abcd sen θ sen λ
= 4a2b2 + 4c2d2 - 4a2b2 cos2 θ - 4c2d2 cos2 λ + 8abcd sen θ sen λ .
Substituindo na expressão acima o resultado encontrado em (*), temos
16A2 = 4a2b2 + 4c2d2 - (a2 + b2 - c2 - d2 )2 - 8abcd cos θ cos λ + 8abcd sen θ sen λ
= 4a2b2 + 4c2d2 - (a2 + b2 - c2 - d2 )2 – 8abcd cos( λ + θ ).
Completando o quadrado no membro da direita, chegamos à seguinte igualdade:
16A2 = (2ab + 2cd)2 - (a2 + b2 - c2 - d2 )2 – 8abcd [1 + cos( λ + θ )] (**).
Para concluir a demonstração, basta ver que
(2ab + 2cd)2 - (a2 + b2 - c2 - d2 )2
= (2ab +2cd + a2 + b2 – c2 – d2 ) (2ab +2cd - a2 - b2 + c2 + d2)
= [(a + b + c - d)(a + b –c + d)] [(a – b + c +d)(- a + b + c + d)]
= (2s – 2d)(2s – 2c)(2s – 2b)(2s – 2a).
Substituindo o resultado acima em (**), obtemos a fórmula procurada, i.e.,
1
A2 = (s – a)(s – b)(s – c)(s – d) - abcd [1 + cos( λ + θ )].
2
NIVEN, I. - Maxima and Minima without Calculus –
The Mathematical Association of America - 1981
85
Prova Classificatória Aplicada no Processo de Seleção para o
VII Curso de Especialização em Matemática - FAMAT - UFU
Instruções
- O tempo para a realização desta prova (incluindo o preenchimento da folha de respostas) é de 3 horas.
Preencha a folha de respostas somente com caneta.
- Questões com mais de uma alternativa assinalada serão consideradas incorretas.
- Questões em branco não serão consideradas nem corretas, nem incorretas.
2NC − NE
, em que NC representa
- A nota desta Prova (NP) será dada pela seguinte expressão: NP =
2
o número de questões corretas e NE representa o número de questões incorretas. Isso significa que duas
questões incorretas anulam uma questão correta.
QUESTÃO 01: Um triângulo equilátero, de área T, e um hexágono regular, de área H, têm o mesmo
perı́metro. Podemos, então, afirmar que
A) H = T.
B) 2H = 3T.
C) 3H = 2T.
D) H = 2T.
QUESTÃO 02: Um cone é secionado por um plano paralelo à sua base, passando pelo ponto médio de
sua altura. Com esta seção, tem-se um segundo cone, de volume C, e um tronco de cone, de volume T.
Podemos, então, afirmar que
A) T = 7C.
B) T = 3C.
C) T =
3
C.
2
D) 3T = 4C.
QUESTÃO 03: Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem três
túneis. O primeiro túnel dá acesso à liberdade em uma hora; o segundo, em três horas; o terceiro leva ao
ponto de partida em seis horas. Em média, os prisioneiros que descobrem os túneis conseguem escapar
da prisão em
A) 4 horas e 30 minutos.
B) 3 horas e 20 minutos.
C) 5 horas.
D) 4 horas.
QUESTÃO 04: Ao optar por um itinerário 14% mais longo, um motorista acha que poderá ganhar
tempo pois, por ser o tráfego melhor, poderá aumentar sua velocidade média em 20%. De quanto
diminuirá o tempo de viagem?
A) 7%.
B) 5%.
C) 9%.
D) 6%.
QUESTÃO 05: Duas velas do mesmo tamanho são acesas simultaneanmente. A primeira dura 4 horas
e a segunda, 3 horas. Em que instante, a partir das 12 horas, as duas velas devem ser acesas de modo
que, às 16 horas, o comprimento de uma seja o dobro do comprimento da outra?
A) 14h40min.
B) 13h12min.
C) 14h15min.
D) 13h36min.
2
do que dele se passou, qual o ângulo
QUESTÃO 06: Se, para terminar o dia de 24 horas, faltam
3
formado pelos ponteiros do relógio?
A) 96◦ .
B) 84◦ .
C) 60◦ .
D) 72◦ .
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QUESTÃO 07: Durante sua viagem ao paı́s das Maravilhas a altura de Alice sofreu quatro mudanças
sucessivas da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um lı́quido que estava numa garrafa em
cujo rótulo se lia: “beba-me e fique 25% mais alta”. A seguir, comeu um pedaço de uma torta onde
estava escrito: “prove-me e fique 10% mais baixa”; logo após tomou um gole do lı́quido de outra garrafa
cujo rótulo estampava a mensagem: “beba-me e fique 10% mais alta”. Finalmente, comeu um pedaço de
outra torta na qual estava escrito: “prove-me e fique 20% mais baixa”. Após a viagem de Alice, podemos
afirmar que ela ficou
A) 1% mais baixa.
B) 1% mais alta.
C) 5% mais alta.
D) 5% mais baixa.
QUESTÃO 08: Vamos provar que 4 é maior que 4.
Sejam a e b dois números naturais tais que a > 4 e a = b.
i) Vamos subtrair 4 dos dois termos desta equação:
a=b
a−4=b−4
ii) Colocamos −1 em evidência no segundo membro da equação:
a − 4 = −1(−b + 4)
a − 4 = −1(4 − b)
iii) Elevamos ambos os termos da equação ao quadrado:
(a − 4)2 = [−1(4 − b)]2
(a − 4)2 = (−1)2 (4 − b)2
(a − 4)2 = 1(4 − b)2
(a − 4)2 = (4 − b)2
iv)
p Extraimospa raiz quadrada dos dois membros da equação:
(a − 4)2 = (4 − b)2
a−4=4−b
v) Como a = b, substituimos b por a:
a−4=4−a
vi) Resolvemos a equação:
a−4=4−a
2a = 8
a=4
Como escolhemos a tal que a > 4, chegamos à inacreditável conclusão de que 4 > 4.
Onde está o erro no argumento acima?
A) Na passagem i.
B) Na passagem iv.
C) Na passagem iii.
D) Na passagem vi.
QUESTÃO 09: O lava-rápido do Marcão fez a seguinte promoção:
Lavagem simples: R$5,00.
Lavagem completa: R$7,00.
No dia da promoção, o faturamento do lava-rápido foi de R$176,00. Nesse dia, qual o menor número
possı́vel de clientes que foram atendidos?
A) 23.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
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QUESTÃO 10: A soma de todos os números ı́mpares de dois algarismos menos a soma de todos os
números pares de dois algarismos é igual a:
A) 50.
B) 46.
C) 45.
D) 49.
QUESTÃO 11: Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já estão no elevador,
o número de crianças que ainda podem entrar no elevador é igual a:
A) 4.
B) 6.
C) 8.
D) 12.
QUESTÃO 12: Nos triângulos equiláteros a seguir, cada triângulo “menor” toca o ponto médio dos
lados dos triângulos “maiores”. O valor da área do triângulo menor (hachurado) é igual a:
1 cm
√
3
A)
cm2 .
256
√
√
3
B)
cm2 .
4
3
C)
cm2 .
32
√
D)
3
cm2 .
64
QUESTÃO 13: O número N = 111111...11 possui 1999 dı́gitos, todos iguais a 1. O resto da divisão de
N por 7 é igual a:
A) 6.
B) 4.
C) 5.
D) 1.
QUESTÃO 14: Uma empresa adotou o logotipo abaixo, formado por 4 triângulos retângulos e 3
quadrados. Dado que x simboliza a medida do lado do quadrado “menor” e que a área desse quadrado é
igual numericamente à medida do lado do quadrado “maior”, pode-se afirmar que o polinômio p(x) que
representa a área da figura dada, em termos de x, é igual a:
x
A) p(x) = x2 (x2 + 2x + 2)
B) p(x) = 2x2 + 2x3
C) p(x) = x4 + 2x2
D) p(x) = x2 (x2 + 2)
QUESTÃO 15: Para marcar seus pássaros, um criador dispõe de fitas de 10 cores diferentes.Um pássaro
marcado deve ter fita ou na pata esquerda, ou na pata direita ou em ambas. Se, no máximo, se pode
colocar uma fita em cada pata, e se dois pássaros não podem ser marcados de modo idêntico, então o
maior número de pássaros que podem ser marcados é igual a:
A) 99.
B) 100.
C) 120.
D) 200.
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QUESTÃO 16: Considere três trabalhadores: A, B e C. Trabalhando juntos, A e B executam certo
trabalho em 10 dias. Trabalhando juntos, A e C levam 12 dias para realizar o mesmo trabalho; e, ainda
trabalhando juntos, B e C precisam de 15 dias para realizá-lo. Se C executasse sozinho esse trabalho,
levaria:
A) 30 dias.
B) 36 dias.
C) 40 dias.
D) 45 dias.
QUESTÃO 17: Na cidade de Itapipoca, alguns animais são realmente esquisitos. Dez por cento dos
cães pensam que são gatos e dez por cento dos gatos pensam que são cães. Todos os outros animais são
perfeitamente normais. Certo dia todos os cães e gatos de Itapipoca foram testados por um psicólogo,
verificando-se então que 20% deles pensavam que eram gatos. Que porcentagem dos animais eram realmente cães?
A) 87,5%.
B) 82%.
C) 80%.
D) 78,5%.
QUESTÃO 18: Duas jarras iguais contêm misturas de álcool e água nas proporções de 3 : 7 na primeira
jarra e 3 : 5 na segunda jarra. Juntando-se os conteúdos das duas jarras, obteremos uma mistura de
álcool e água na proporção de:
A) 9 : 35.
B) 3 : 5.
C) 7 : 13.
D) 27 : 53.
QUESTÃO 19: De um reservatório cheio de água, retira-se a metade do seu conteúdo. A seguir, retirase um terço do que restou e continua-se com esse processo: na terceira retirada retira-se um quarto do
que restou, na quarta retirada retira-se um quinto do que restou, etc. Após quantas retiradas ficamos
com exatamente um décimo da quantidade original de água?
A) 7.
B) 8.
C) 9.
D) 10.
QUESTÃO 20: Considere todos os números, maiores que 8, tais que, quando divididos por 2, por 3,
por 4, por 5, por 6, por 7 e por 8, deixam sempre resto igual a 1. A soma dos dois menores desses números
é igual a:
A) 842.
B) 2522.
C) 3362.
D) 912.
FAMAT em Revista
Û
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Eventos
www.famat.ufu.br
90
Eventos
Alunos do PETMAT e do DAMAT
(coordenadores da seção)
Edson Agustini
91
Eventos
Alguns dos principais eventos ligados à Matemática que ocorrem entre janeiro a julho
de 2004 foram publicados no número anterior desta revista. No entanto, outros eventos que
também ocorrem nesse período tiveram sua divulgação feita após o fechamento do número
anterior da revista. Sendo assim, sempre que for em tempo, estaremos complementando a
listagem dos principais eventos nos números subseqüentes desta revista.
Complementação da Listagem de Eventos que Ocorrem Entre
Janeiro e Julho de 2004
Publicada no Número Anterior
Evento: VI Reunião Regional da Sociedade Brasileira de Matemática
Local: UFV Universidade Federal de Viçosa - MG
Data: 20 a 23 de abril
Site: www.ufv.br/dma
Evento: 59o Semjnário Brasileiro de Análise
Local: FFCLRP - USP - Ribeirão Preto - SP
Data: 19 a 22 de maio de 2004.
Site: dfm.ffclrp.usp.br/59sba
Evento: I Reunião Regional de Sistemas Dinâmicos da UNESP
Local: IBILCE - UNESP - São José do Rio Preto - SP
Data: 26 a 28 de maio de 2004
Site: www.mat.ibilce.unesp.br/RRSD2004
Evento: VII Encontro Paulista de Educação Matemática
Local: Faculdade de Educação e Instituto de Matemática e Estatística da USP - São Paulo -SP
Data: 09 a 12 de junho de 2004
Site: www.ime.usp.br/eventos/eventos.php
Evento: Groups, Rings and Group Rings
Local: Wembley Inn Hotel - Ubatuba - SP
Data: 25 de julho a 31 de julho de 2004
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Eventos que ocorrem entre
Agosto e Dezembro de 2004
Alguns eventos como, por exemplo:
- Semanas de Matemática da FAMAT-UFU, IBILCE-UNESP e IME-UFG;
- Encontros/Simpósios de Iniciação Científica da UFU e USP;
ainda não estavam com datas definidas na ocasião do fechamento deste número da revista.
Caso eles ocorram entre agosto e dezembro de 2004, divulgaremos esses eventos no próximo
número como complemento da listagem abaixo.
Sugerimos que os interessados em tais eventos visitem periodicamente os sites das
universidades acima, pois há possibilidades de que os mesmos venham a ocorrer ainda no
primeiro semestre de 2004.
Evento: 8th Brazilian School of Probability
Local: Wembley Inn Hotel - Ubatuba - SP
Data: 01 a 07 de agosto de 2004
Evento: Geometric and Ergodic Theory of Dynamical Systems
Local: ICMC-USP - São Carlos - SP
Data: 30 de agosto a 03 de setembro de 2004
Site: www.icmc.usp.br/~getds
Evento: XXVII - CNMAC - Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional
Local: PUC-RS - Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul - Porto Alegre - RS
Data: 13 a 16 de setembro de 2004
Site: www.pucrs.br/famat/cnmac2004
Evento: II Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemática
Local: UFBA - Universidade Federal da Bahia - Salvador - BA
Data: 24 a 29 de outubro de 2004
Site: www.bienasbm.ufba.br ou www.sbm.org.br
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FAMAT em Revista
Reflexões Sobre o
Curso de Matemática
www.famat.ufu.br
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Reflexões Sobre o Curso de Matemática
Walter dos Santos Motta Júnior (coordenador da seção)
Edson Agustini
95
Reflexões sobre o Curso de Matemática
Prof. Walter dos Santos Motta Junior
Como já foi mencionado no número anterior desta Revista, o Conselho Nacional de
Educação instituiu, através de duas Resoluções homologadas em fevereiro de 2002, Diretrizes
Curriculares Nacionais para a Formação de Professores, onde se definem parâmetros para a
duração e a carga horária dos cursos de licenciatura de formação plena. Nestas Resoluções
existem também parâmetros que definem as dimensões dos componentes comuns das grades
curriculares dos vários cursos de licenciatura. Vale ressaltar que estes componentes estão
associados à dimensão prática, estágio supervisionado, conteúdos específicos e atividades
acadêmico - científico - culturais.
A Pró-Reitoria de Graduação/UFU, através da Diretoria de Ensino, após um longo
período de suspensão de debates coletivos, em fórum de coordenadores dos cursos de
licenciatura desta Instituição, visando formatar o projeto pedagógico institucional de
formação e desenvolvimento profissional de professores, reativou tal espaço de construção
coletiva e apresentou para análise o “Projeto Institucional de Formação do Profissional da
Educação da UFU”, sendo que a primeira reunião deste fórum este ano ocorreu em início de
abril. Esta iniciativa de reabertura de discussões coletivas deve ser elogiada e certamente
possibilitará a construção de um projeto pedagógico institucional sólido o qual será um
fundamental balizador nas construções dos projetos pedagógicos específicos de cada curso.
Embora havíamos projetado anteriormente (ver número anterior desta Revista) dar
continuidade ao detalhamento da proposta da organização curricular específica do Curso de
Matemática oferecido pela Faculdade de Matemática/UFU, em função do surgimento recente
desta nova formatação do projeto institucional das licenciaturas, optamos por descrever
resumidamente os pontos propostos, ainda em análise, presentes neste projeto institucional
relativamente à organização curricular.
PROPOSTA INSTITUCIONAL QUANTO À ORGANIZAÇÃO CURRICULAR
1. Quanto à estrutura curricular.
A carga horária dos cursos de formação de professores (licenciatura plena), segundo as
Resoluções do CNE, prevê um mínimo de 2800 horas (aulas) para a integralização dos
mesmos. Todos os ensaios que faremos abaixo serão relativos a esta carga horária mínima,
embora seja possível uma proposta, elaborada pelo respectivo Colegiado de Curso, com uma
carga horária superior a esta. A proposta institucional atual prevê que os componentes
curriculares sejam organizados em três núcleos de formação:
• Núcleo de Formação Específica;
• Núcleo de Formação Pedagógica;
• Núcleo de Formação Acadêmico / Científico / Cultural.
Vale ressaltar que existe o interesse em promover articulações entre as ações/atividades
desenvolvidas no âmbito de cada núcleo, integrando-os sempre que possível.
96
2. Quanto ao Núcleo de Formação Específica.
O projeto pedagógico de cada Curso, a ser elaborado pelo respectivo Colegiado de
Curso, delineará as disciplinas de conteúdos específicos (teóricos ou práticos) a serem
desenvolvidas ao longo do curso. Neste núcleo não constam as disciplinas de caráter
pedagógico/metodológico. O somatório das cargas horárias individuais de todas as disciplinas
que compõem este núcleo será igual a 1640 horas.
3. Quanto ao Núcleo de Formação Pedagógica.
elas:
Este núcleo apresenta uma subdivisão em três diferentes componentes curriculares,são
• Disciplinas de formação pedagógica: composto obrigatoriamente por três disciplinas
pedagógicas, cada uma delas com uma carga horária de 60 horas e a cargo das Faculdades
de Educação e/ou Psicologia. Além disso, obrigatoriamente deveremos ter duas disciplinas
relacionadas com metodologia de ensino num total de 120 horas, estando as mesmas a cargo
da Unidade Acadêmica responsável pelo curso. Finalmente, uma outra disciplina de caráter
pedagógico, metodológico ou de instrumentação tecnológica para o ensino. No total a carga
horária desta componente deverá ser de 360 horas.
• Projeto Integrado de Prática Educativa (PIPE): é uma atividade integradora das disciplinas
de formação específica e de formação pedagógica, estando presente desde o início do curso.
No caso das disciplinas pedagógicas, quando as mesmas vierem a contribuir em atividades
ligadas ao PIPE terão sua carga horária ampliada para além de 60 horas, isto de comum
acordo com possíveis entendimentos entre Colegiado e as Faculdades responsáveis pelas
disciplinas em questão. O PIPE culminará num Seminário de Prática Educativa (SPE) que
poderá ser desenvolvido por curso ou no âmbito institucional via uma atividade única
integrando todas as licenciaturas. No total a carga horária desta componente deverá ser de
200 horas, das quais 20 horas estarão vinculadas ao SPE.
• Estágio Supervisionado: a ser desenvolvido a partir do quinto período do curso, tendo o
Colegiado do Curso a função de definir diretrizes e normas de funcionamento para o
mesmo, evidentemente respeitando legislação específica. No total a carga horária desta
componente deverá ser de 400 horas.
4. Quanto ao Núcleo de Formação Acadêmico / Científico / Cultural.
Este núcleo apresenta a possibilidade do desenvolvimento de inúmeras atividades de
enriquecimento curricular cabendo ao Colegiado apontá-las para uma posterior escolha dos
estudantes. No total a carga horária desta componente deverá ser de 200 horas. Existe ainda a
possibilidade, ou obrigatoriedade, da inclusão da atividade Trabalho de Conclusão de Curso
(TCC), podendo a mesma ser integrada ao PIPE. Caberá ao Colegiado estabelecer as normas e
critérios a serem adotados no desenvolvimento e avaliação destes trabalhos. No momento
estão sendo desenvolvidos debates entorno da obrigatoriedade ou não do TCC.
FAMAT em Revista
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±
Em Sala de Aula
www.famat.ufu.br
98
Em Sala de Aula
Edson Agustini (coordenador da seção)
99
O uso de recursos computacionais no estudo de Geometria
Jocelino Sato
FAMAT-UFU
Faculdade de Matemática / FAMAT-UFU
Universidade Federal de Uberlândia / UFU
Março/2004
Resumo
Neste documento apresentamos algumas “ferramentas” didáticas (softwares) que
surgiram com a presença de recursos de informática no contexto de ensino aprendizagem.
Não pretendemos apresentar um manual de uso de um software específico, mas, apresentar
algumas características de dois softwares e, através de exemplos exibir seus “potenciais
didáticos”. Acreditamos que eles possam introduzir experiências em ambientes
informatizados para instigar o espírito de investigação dos alunos e servir de suporte aos
professores de disciplinas como Cálculo Diferencial e Integral, Geometria e Álgebra Linear.
1
A exploração dinâmica de figuras planas
A Geometria oferece uma excelente oportunidade para que o aluno, a partir da
observação e exploração de figuras geométricas, adquira habilidades hipotético-dedutivas,
desenvolvendo seu raciocínio lógico. Assim, ela exerce um papel fundamental na
compreensão dos métodos utilizados em matemática e de forma geral nas ciências exatas. E
também é impossível negar o seu papel prático em áreas como engenharia, arquitetura, física
e astronomia.
No entanto, o conhecimento em Geometria dos egressos dos cursos de ciências exatas
vem diminuindo sensivelmente. Muitas vezes esses conhecimentos se reduzem a um
emaranhado de fórmulas sem justificativas. Vários são os resultados desconexos que os
alunos aprendem, mas não são capazes de articulá-los na resolução de problemas ou de usálos como elementos auxiliares na justificativa de uma afirmação.
Na Geometria são importantes o uso de figuras e a interpretação de modelos visuais como
base para dar explicações e fazer demonstrações. É claro que no nível formal não se pode
provar uma afirmação com base em figuras e, seu uso deve ser feito obedecendo a certos
cuidados como, por exemplo:
1. As figuras devem ser precisas, especialmente quanto à posição relativa de pontos e
retas e suas construções devem admitir justificativas formais. Uma figura inexata pode
não conduzir o raciocínio para deduções corretas como mostram exemplos dados
em[FI].
2. As figuras não devem sugerir nenhuma particularidade, seus elementos não devem
exibir relações aparentes que não sejam exigidas pelo problema. Portanto, elas devem
cobrir todas as situações possíveis, de modo que possamos ter mais de uma figura
representando situações distintas de um mesmo problema.
100
Mas o que se observa de forma geral, são alunos que vêem uma figura com todas as suas
particularidades. Eles não têm a idéia de figura como a de um representante de uma classe de
desenhos, que compartilham o mesmo conjunto delimitado de propriedades matemáticas que a
definiu. Uma discussão interessante a respeito do papel da figura na resolução de problemas e
na demonstração pode ser encontrada em [PG].
Atualmente, novas ferramentas didáticas surgiram com a presença de recursos de
informática no contexto de ensino e pesquisa. No estudo da Geometria Plana, os softwares de
geometria dinâmica são ferramentas computacionais que oferecem régua e compasso virtuais,
permitindo a construção de representações de objetos geométricos planos (figuras) a partir das
propriedades que os definem e que podem ser manipuladas diretamente na tela do computador
(exploração dinâmica). Normalmente, estes softwares além de apresentarem ferramentas que
permitem realizar operações básicas como a construção de pontos, segmentos, retas, círculos e
polígonos, possuem ferramentas que permitem realizar as construções geométricas
elementares como: a perpendicular a uma reta dada passando por um ponto dado, a reta
paralela a uma reta dada, a mediatriz de um segmento, o traçado da bissetriz de um ângulo,
lugares geométricos, etc. Também permitem programar macros de construções que fornecem
prontamente o resultado final de construções elaboradas a partir de objetos iniciais dados. Isto
é bastante útil quando um procedimento é repetido muitas vezes numa mesma construção.
Além de romper com a visão estática das figuras, a exploração dinâmica destas
permite a confirmação de resultados, investigações e a busca de propriedades geométricas que
podem ser induzidas por essa interatividade. Pois uma tal construção pode ser alterada em sua
aparência, fornecendo novas construções, mas conservando as propriedades matemáticas que
a definiu e, quando bem direcionada, também pode sugerir caminhos para uma demonstração
formal de propriedades geométricas de tal figura.
A seguir utilizamos, em duas situações simples, o software de Geometria Dinâmica,
Cabri-Géomètre II, como recurso no estudo da Geometria. Uma literatura abordando os
recursos desse software como auxílio no estudo da Geometria é encontrada em [BY].
1.1 A busca de uma condição suficiente:
Consideremos o seguinte teorema de geometria euclidiana plana:
Teorema: Todo triângulo pode ser divido em dois triângulos menores sendo eles
triângulos retângulos.
Para dividir um triângulo em outros dois triângulos devemos traçar um segmento ligando
um vértice ao lado oposto. E para que os triângulos resultantes sejam retângulos esse
segmento deve ser perpendicular ao lado oposto ao vértice escolhido. Se existir esse
segmento, então ele é uma altura do triângulo. A figura abaixo mostra que o pé de uma altura
de um triângulo nem sempre está entre os extremos do lado oposto.
101
A possibilidade da exploração dinâmica de várias situações facilita a compreensão do
problema. Chegamos facilmente à conclusão de que não é necessário, porém é suficiente, que
tomemos a altura relativa ao vértice cujo ângulo tem maior medida para que essa altura
determine os triângulos retângulos.
102
Ou seja, dado um triângulo arbitrário escolhemos o vértice que tem o ângulo de maior
medida. A altura relativa a esse vértice sempre divide o triângulo dado em dois outros
triângulos menores sendo estes triângulos retângulos. A prova formal desse fato é obtida
usando o Teorema do Ângulo Externo.
Na verdade, um exame mais detalhado do problema acima permite afirmar o seguinte:
Teorema: Dado um triângulo ABC:
i)
Se Â > 90 º, então o pé da altura relativa ao vértice B é um ponto da semi-reta oposta à
semi-reta AC , distinto de A; o pé da altura relativa ao vértice C é um ponto da semireta oposta à semi-reta AB , distinto de A; e o pé da altura relativa ao vértice A está
entre os extremos do lado oposto BC;
ii) Se Â = 90 º, então os pés das alturas relativas aos vértices B e C coincidem com o
vértice A e o pé da altura relativa ao vértice A está entre os extremos do lado oposto
BC;
iii) Se Â < 90 º, então o pé da altura relativa ao vértice B é um ponto da semi-reta AC ,
distinto de A; e o pé da altura relativa ao vértice C é um ponto da semi-reta AB ,
distinto de A.
Segue diretamente desse Teorema a seguinte conclusão:
Corolário: Seja ABC um triângulo:
i)
Se o triângulo ABC é retângulo ou obtusângulo em A, então a única maneira de dividir
o triângulo dado em dois outros triângulos menores, sendo estes triângulos retângulos,
é tomando a altura relativa ao vértice A;
ii) Se o triângulo ABC é acutângulo, então qualquer altura divide o triângulo dado em
dois outros triângulos menores sendo estes triângulos retângulos.
1.2 Um problema de construção geométrica: lugar geométrico
Consideremos o problema de construção geométrica abaixo:
Dados um círculo de centro O, um ponto P fora do círculo e um segmento de
medida a. Traçar uma reta que passe por P e que determine uma corda de comprimento a
no círculo.
A possível reta solução desse problema (se existir) tem que satisfazer duas condições:
(a) Determinar uma corda de comprimento a no círculo;
(b) Passar pelo ponto P e ser secante ao círculo.
Comecemos por analisar o conjunto das retas que determinam cordas de comprimento a no
círculo dado. A reta solução procurada é uma dessas retas!
103
O traçado de algumas cordas nos leva a conjecturar que elas são tangentes a um outro
círculo, concêntrico com o primeiro círculo. E, neste caso, os pontos de tangência são os
pontos médios dessas cordas. Usando o Cabri podemos facilmente construir o lugar
geométrico dos pontos médios das cordas de um círculo que possuem o mesmo comprimento
(ver figura acima) obtendo uma “confirmação visual” de nossa conjectura. E, de fato, a prova
dessa afirmação é elementar. Agora, analisemos a segunda condição.
]
104
Observamos que se AB é a corda determinada por uma reta secante ao círculo, de
centro O, que passa por P e M é o ponto médio dessa corda, então PMO é um ângulo reto. As
análises das condições (a) e (b) fornecem um método de construção.
Método de construção: Traçamos no círculo de centro O dado uma corda qualquer de
comprimento a e em seguida construímos um círculo λ de centro O e tangente à corda.
Finalmente, construímos uma reta (existem duas) passando pelo ponto P e tangente ao
círculo λ , a qual determina no círculo dado uma corda de comprimento a.
2
O recurso da visualização e animação de figuras espaciais
No contexto da Geometria Espacial é de extrema importância a experiência adquirida
no estudo da Geometria Plana. Talvez a maior dificuldade na transposição e generalização dos
conceitos e dos métodos sintético e analítico da Geometria Plana para a Espacial seja a de
abstração e visualização das figuras geométricas espaciais.
Alguns exemplos de problemas de visualização simples, mas que fornece um bom
teste da nossa capacidade de imaginação e visualização, são os seguintes:
(a)
(b)
Dados quatro pontos não coplanares existem quantos planos eqüidistantes desses
pontos?
Em um cubo, CC’ é uma aresta e ABCD e A’B’C’D’ são faces opostas. O plano que
contém o vértice C’ e os pontos médios das arestas AB e AD determinam uma seção
plana. Esse polígono é um...?
105
Mesmo uma mente privilegiada pode ter dificuldade ou mesmo ser incapaz de
imaginar como é o traço de uma curva no espaço R3, quando este for de relativa
complexidade. Por exemplo, a curva parametrizada por
α(u) = [10 cos(u) + 10 cos(3.u) + 2 cos(2.u) + cos( 4.u), 6 sen(u) + 10 sen(3.u),
5 sen(3.u) sen(5/2.u)+ 4 sen(4.u) - 2 sin(6.u) ]
tem seu traço dado pela figura abaixo.
.
O uso do Cálculo Diferencial e Integral na resolução de problemas das mais diversas
naturezas é inquestionável, porém aplicá-lo quase sempre demanda a habilidade de construir
uma representação geométrica com base numa descrição analítica do problema! Isso acontece,
particularmente, na aplicação das integrais nos estudos de áreas de superfícies e de volumes
de sólidos e, também, na aplicação dos Teoremas da Divergência e Stokes em problemas da
Física.
Um exemplo típico é o de determinar o volume de um sólido, gerado pela rotação da
região R, limitada pela curvas planas f(x) = x4 + 1/2 e g(x) = x + 1/2, em torno do eixo x.
A resolução desse problema passa pelas seguintes etapas:
• Representar graficamente a região R a ser rotacionada. Para isso usamos as
informações analíticas que a descrevem;
• Esboçar graficamente ou imaginar o sólido de revolução e identificar o melhor método
para realizar o cálculo do volume (método dos discos ou cascas cilíndricas);
• Identificar e esboçar graficamente, ou imaginar, uma seção que irá fornecer o
elemento de volume para o método a ser usado;
• Expressar o volume do elemento de volume em termos das relações dadas e construir
a integral apropriada para seu cálculo.
Observe que somente a última etapa envolve conceitos propriamente do cálculo, nas
outras são exigidas habilidades que demandam visualização e representação gráfica de figuras
106
geométricas, definidas, quase sempre, por suas expressões analíticas. Abaixo temos uma
figura ilustrando a região R e o sólido gerado por ela:
Como recurso didático, os softwares de computação simbólica criados a partir de
teorias matemáticas são muito úteis na visualização e interpretação de figuras geométricas
espaciais e planas, dadas por suas representações analíticas, através de seus recursos gráficos.
Além disso, os recursos de animação são úteis para explorar os movimentos e perceber as
propriedades de alguns dos mais importantes movimentos do plano e do espaço. Esses
107
movimentos têm, por exemplo, o efeito de ampliar, reduzir, rotacionar, refletir e deformar
figuras.
A seguir, apresentamos construções, usando software Maple V, onde ilustramos situações
simples que utilizam recursos de simulação (animação), visualização e representação gráfica
de figuras geométricas. Uma literatura abordando os recursos desse software como recurso
didático é encontrada em [CM] e várias outras bibliografias disponíveis no mercado e na rede
internet. Além disso, existem softwares similares de distribuição livre como, por exemplo, o
MuPAD que pode ser encontrado em http://www.mupad.de/licenses.html .
2.1
Animação do traço e do triedro de Frenet de uma curva
Esta seção contém algumas aplicações básicas do MAPLE à Geometria Diferencial de
Curvas Parametrizadas em R3. Apresentamos implementações de rotinas para animar o traço e
o triedro de Frenet de uma curva. Nelas aparecem as rotinas pi, norma, pv, T, N e B que
determinam, respectivamente, o produto interno de dois vetores, a norma de um vetor, o
produto vetorial de dois vetores, as funções vetoriais vetor tangente, normal e binormal de
uma curva. Essas instruções estão nos quadros abaixo. Em algumas dessas rotinas são usado o
comando makefunction que está contido no pacote Vector-Cal.
produto interno de um vetor em R3
> pi := proc(X,Y)
> X[1]*Y[1]+X[2]*Y[2]+X[3]*Y[3];
> end:
Norma de um vetor em R3
> norma := proc(X)
> simplify(sqrt(pi(X,X)));
> end:
produto vetorial de dois vetores em R3
> pv := proc(X,Y)
> local a,b,c;
> a := simplify(X[2]*Y[3]-X[3]*Y[2]);
> b := simplify(X[3]*Y[1]-X[1]*Y[3]);
> c := simplify(X[1]*Y[2]-X[2]*Y[1]);
> [a,b,c];
> end:
108
Vetor Tangente de uma curva alfa: T(t)
> T:=proc(alpha)
> local alphat,TT;
> alphat:=simplify(diff(alpha,t));
> TT:=evalm(1/norma(alphat)*alphat);
> makefunction(t,[TT[1],TT[2],TT[3]]);
> end:
Vetor Normal de uma curva alfa: N(t)
> N:=proc(alpha)
> local alphat,alphatt,NN;
> alphatt:=simplify(diff(alpha,t,t));
>.NN:=simplify(evalm((1/(norma(alphat)*norma(pv(alphat,alphatt))))*
(pi(alphat,alphat)*alphatt-pi(alphatt,alphat)*alphat)));
> makefunction(t,[NN[1],NN[2],NN[3]]);
> end:
Vetor Binormal de uma curva: B(t)
> B:=proc(alpha)
> local alphat,alphatt,BB;
> alphatt:=simplify(diff(alpha,t,t));
> BB:=simplify(evalm(1/norma(pv(alphat,alphatt))*pv(alphat,alphatt)));
> makefunction(t,[BB[1],BB[2],BB[3]]);
> end:
Plotando uma curva:
O Traço de uma curva pode ser feito no Maple e várias opções podem ser
especificadas. Nas figuras abaixo temos o comando gráfico usado para plotar a curva alfa com
traço de espessura 1, cor vermelha e usando uma partição de 60x60 na construção dos pontos
do traço e, em seguida, seu traço é animado usando os comandos: display e seq.
109
Animação do Triedro de Frenet:
As rotinas Frenet e AnimaFrenet abaixo mostram o traço de uma curva α junto com
seu triedro de Frenet. Primeiro num ponto t0 fixado, depois, animado ao longo da curva. Nelas
110
serão usadas as funções vetoriais: vetores tangente, normal e binormal de uma curva que são
determinados pelas rotinas T, N e B.
Observamos que nas rotinas Frenet e AnimaFrenet a curva α é uma variável, assim,
basta redefinir a curva e recompilar para obter o mesmo resultado para outras curvas!
111
112
2.2
113
3
Parametrização de superfícies em R .
Esta seção contém uma coletânea de exemplos de superfícies parametrizadas X(u,v) e
também procedimentos básicos (rotinas) para plotar e/ou animar a construção geométrica de
seu traço S = X(U).
No Maple as sintaxes das rotinas para definir uma parametrização de uma superfície
parametrizada e plotar seu traço são mostrada no exemplo da figura abaixo:
Ao plotar uma superfície vários aspectos dela são controlados por parâmetros (opções)
da rotina plot3d. Por exemplo, scaling=constrained significa que a mesma escala será usada
nos três eixos coordenados. É possível utilizar a rotina animate3d para desenhar famílias de
superfícies parametrizadas de forma bastante simples. Nela, um parâmetro t é usado para criar
uma família de superfícies St que, quando mostrada em seqüência, pode criar uma animação
da construção geométrica da superfície S. Veja o exemplo do catenóide que é obtido pela
rotação da catenária em torno do eixo z.
114
Estamos interessados em usar parametrização para descrever superfícies que possam
ser facilmente parametrizadas, mas é difícil ou até mesmo impossível de descrevê-las como
gráficos de funções. (Isto porque elas podem não ser gráficos de funções) Com esse objetivo,
agrupamos em classe as superfícies que possuem uma propriedade comum que as caracterize.
Essa propriedade pode ser o tipo especial de parametrização que ela possui (parametrização
do tipo gráfico de função, superfície de rotação, etc.) ou uma característica especial como é o
caso da superfície cilíndrica, cujo traço é uma união de retas.
Superfícies de rotação
Sejam α(u)=(x(u),y(u),z(u)), u num intervalo I, uma curva parametrizada regular plana
e r uma reta contida no plano que contém o traço da curva α, α(I), e que não intersecta α(I). O
conjunto dos pontos de R3, obtido pela rotação do traço de α em torno de r é uma superfície
parametrizada regular, chamada de superfície de rotação. A reta r é chamada de eixo de
rotação e a curva plana de geratriz. Fazendo uma mudança de coordenadas, podemos sempre
assumir que o eixo de rotação coincide com um dos eixos coordenados.
Parametrização
Numa superfície de revolução temos uma simetria cilíndrica e, assim, descrevemos a
superfície em termos de coordenadas cilíndricas onde w corresponde à coordenada no eixo
de rotação e [ρ,θ] correspondem às coordenadas polares no plano ortogonal ao eixo de
rotação.
Primeiro Caso: O eixo de rotação é o eixo z e θ é o ângulo que a projeção Q = projeção de P
= (x,y,z) em xy faz com o eixo x (no sentido "anti-horário")
x = ρ cos(θ)
y = ρ sen(θ)
z = w.
115
Uma curva parametrizada regular no plano xz α(u)=(f(u),0,g(u)), u no intervalo J,
quando rotacionada em torno do eixo z (onde f(u)>0), gera uma superfície de rotação, onde
cada seção perpendicular ao eixo z é uma circunferência de raio ρ=f(u). Sua parametrização é
X(u,θ) = [f(u) cos(θ), f(u) sen(θ), g(u)],
onde u pertence ao intervalo J e θ ao intervalo [0,2π]. Abaixo temos uma animação da rotação
do gráfico x = 4 + sen(2z), com z entre 0,5 e 3,5 (α(u) = (4 + 2sen(u),0, 4 + 2sen(u)), com u
entre 0,5 e 3,5. ) em torno do eixo z.
Segundo Caso: O eixo de rotação é o eixo y e θ, é o ângulo que a projeção Q = projeção de P
= (x,y,z) em xz faz com o eixo x (no sentido "anti-horário")
x = ρ cos(θ)
y=w
z = ρ sen(θ).
Uma curva parametrizada regular no plano xy α(u)=(f(u),g(u),0), u no intervalo J,
quando rotacionada em torno do eixo y (onde f(u)>0), gera uma superfície de rotação, onde
cada seção perpendicular ao eixo y é uma circunferência de raio ρ=f(u). Sua parametrização é
X(u,θ) = [f(u) cos(θ), g(u), f(u) sen(θ)],
do gráfico x = 4 + sen(2y), com y entre 0,5 e 3,5.
116
Terceiro Caso: O eixo de rotação é o eixo x e θ é o ângulo que a projeção Q = projeção de P
= (x,y,z) em yz faz com o eixo y (no sentido "anti-horário")
x=w
y = ρ cos(θ)
z = ρ sen(θ).
Uma curva parametrizada regular no plano xy α(u) = (f(u),g(u),0), u no intervalo J,
quando rotacionada em torno do eixo x (onde g(u) > 0), gera uma superfície de rotação, onde
cada seção perpendicular ao eixo x é uma circunferência de raio ρ = f(u). Sua parametrização
é
X(u,θ) = [f(u), g(u) cos(θ), g(u) sen(θ))],
do gráfico y=4+sen(2x), com x entre 0,5 e 3,5.
.
As figuras abaixo apresentam alguns exemplos clássicos de superfícies de rotação.
117
118
119
Superfícies cilíndricas
Um cilindro (generalizado) C é uma superfície gerada por uma reta l que se move ao
longo de uma curva regular plana α, de tal modo que ela sempre permaneça paralela a uma
reta fixada r, que não está contida no plano que contém α. A reta móvel é chamada de geratriz
do cilindro, a curva plana é denominada de diretriz do cilindro e a reta fixa de eixo do
cilindro. Portanto, um cilindro é a reunião de retas paralelas a uma reta fixa, passando por
pontos de uma curva plana α. Toda equação F(x,y,z) = 0, com solução em R3, em que
apareçam apenas duas das variáveis espaciais x,y e z é um cilindro. A diretriz desse cilindro é
uma curva no plano cartesiano determinado pelas duas variáveis que aparecem na equação e,
dada implicitamente pela equação F(x,y,z) = 0. Suas geratrizes são paralelas ao eixo da
variável que não aparece na equação.
Consideremos uma curva diretriz α(u) = (x(u), y(u), z(u)), u em J, contida num plano
Π e suponhamos que o vetor diretor da diretriz r seja W = (a,b,c), então cada reta que compõe
C tem equação
r: R(v) = α(u)+ v.W.
Assim, C é parametrizado por
X(u,v) = α(u)+ v*W, (u,v) em JxR.
A seguir ilustramos com um exemplo a animação da construção do traço de uma
superfície cilíndrica.
120
Helicóides generalizados
Sejam α(u) = (x(u), y(u), z(u)), u num intervalo I, uma curva parametrizada regular
plana e r uma reta contida no plano que contém o traço da curva α. O conjunto dos pontos de
R3, obtido pela rotação do traço de α em torno de r e simultânea translação na direção de r,
com a velocidade de rotação proporcional à de translação, é uma superfície parametrizada
regular, chamada de helicóide (generalizado). A reta r é chamada de eixo do helicóide e a
curva plana de geratriz. Fazendo uma mudança de coordenadas, podemos sempre assumir que
o eixo do helicóide coincide com um dos eixos coordenados e que a curva está contida num
dos planos coordenados. Em particular, se α(u) = (f(u), 0, g(u)), u no intervalo J, é uma curva
no plano xz e r é o eixo z temos que o helicóide é parametrizado por
X(u,θ) = [f(u) cos(θ), f(u) sen(θ), g(u) + θ],
onde u pertence ao intervalo J e θ ao intervalo [0,2π].
A seguir ilustramos com exemplos a animação da construção do traço de alguns
helicóides.
121
122
Superfícies Tubulares (tubos ao longo de curvas)
Um modo de construir superfícies é construir tubos ao longo de curvas. Se α(u) =
(x(u), y(u), z(u)), u em J, é uma curva p.p.c.a. (parametrizada por comprimento de arco) com
curvatura positiva, um tubo de raio r = r(u) ao longo de α(u) é dado pela seguinte superfície
parametrizada:
X(u,v) = α(u)+ r(u)[n(u)cos(v) + b(u)sen(v)],
onde u pertence ao intervalo J e θ ao intervalo [0,2π], n(u) e b(u) são, respectivamente, os
vetores normal e binormal da curva α. Em particular, o cilindro circular reto (α = reta) e o
toro de revolução (α = circunferência) são exemplos de superfícies tubulares com raio
constante.
Na determinação da parametrização de uma superfície tubular usamos as rotinas N e B
para determinar os vetores normais e binormais da curva α, conforme visto na seção anterior.
As figuras abaixo mostram tubos construídos ao longo de uma circunferência.
No primeiro caso o raio é constante e no segundo caso tem uma variação periódica.
123
124
No Maple existe uma rotina, chamada tubeplot, capaz de construir tubos ao longo de
uma curva. Há duas aplicações imediatas para o tubeplot: visualização de curvas no espaço,
com sensação de profundidade, e a construção de superfícies tubulares através de um único
comando. Veja sua construção:
2.3
Curvas dadas pela interseção de superfícies e sólidos
limitados por superfícies.
Na seção anterior aprendemos a construir várias superfícies parametrizadas. Em muitas
situações é importante obter a interseção de duas ou mais superfícies para poder obter as
curvas da interseção ou o sólido limitado por elas. No Maple isso pode ser feito plotando
separadamente cada uma das superfícies e depois usando a rotina display para plotá-las
usando um único sistema de eixos coordenados. Além disso, um grande recurso que o
software apresenta é sua interatividade no processo de visualizar um gráfico tridimensional.
Podemos observá-lo a partir de qualquer ponto de observação.
Seções cônicas:
A maneira clássica de obter uma cônica é através da interseção de um cone de duas
folhas com um plano. Podemos gerar todas as cônicas, bastando para isso variar a inclinação
do plano de interseção. Nas figuras abaixo usamos o comando display para mostrar as cônicas
como uma seção do cone de duas folhas e também alguns exemplos de interseções de
superfícies.
125
126
127
128
2.4
Volume de um sólido de revolução.
Esta seção contém um roteiro para usar os recursos do Maple V na determinação do
volume de um sólido de revolução obtido pela rotação de uma região limitada por duas curvas
em torno do eixo x. Primeiro, determinamos as coordenadas dos pontos de interseção das
curvas (gráficos de funções).
129
Em seguida, usamos esses dados nas rotinas RegiaoDeRot, SolidoRev, SecaoTrans e
Volume para: plotar a região a ser rotacionada, fornecer, usando o comando tubeplot, uma
imagem tridimensional do sólido de rotação obtido, mostrar uma seção transversal do sólido
de rotação e calcular seu volume
Região a ser rotacionada
Na rotina RegiaoDeRot os argumentos são: as funções f <= g e os valores x1 e x2 das
abscissas dos pontos de interseção.
Sólido de revolução obtido pela rotação da região acima em torno do eixo x
Na rotina SolidoRev os argumentos são: as funções f <=g, os valores x1 e x2 das
abscissas dos pontos de interseção.
130
Seção transversal do Sólido de revolução no ponto de coordenada (x1+x2)/2
3
131
Considerações finais
(a) Os recursos computacionais citados acima, podem tornar a tarefa de compreensão da
linguagem e conceitos abstratos matemáticos mais agradáveis, propiciar a
oportunidade de introduzir experiências em ambientes informatizados para instigar o
espírito de investigação dos alunos e servir de suporte aos professores de disciplinas
como Cálculo Diferencial e Integral, Geometria e Álgebra Linear, contribuindo para
despertar o interesse dos alunos para os conteúdos dessas disciplinas e como
conseqüência melhorar seu desempenho acadêmico.
(b) Convém observar que, quase sempre, esses softwares não foram desenvolvidos
especialmente para atingir objetivos pedagógicos, mas foram projetados para atender
às necessidades de profissionais na resolução de problemas. Todo usuário desses
softwares precisa estar atento e preparado matematicamente para analisar as respostas
obtidas e também articular seus vários recursos para atingir um certo objetivo. Isso
demanda compreender o funcionamento das rotinas que o software propicia e também
um domínio conceitual do assunto abordado.
(c) Um outro cuidado que devemos ter na utilização de softwares é compreender as suas
limitações. Muitas vezes, o “algoritmo” que ele usa envolve problemas de
aproximação nos resultados o que pode levar a uma resposta equivocada.
132
4
Referências Bibliográficas
[BY] BALDIN, Y. Y. ET. ALLI., Atividades com Cabri-Géomètre II, São Carlos: Editora
EdUFSCar, 2002.
[CB] CHAR, B. W., ET. ALLI., Maple V: Language Reference Manual, New York: SpringerVerlag, 1991.
[CM] COSTA, I. M. ET ALLI., CD-Rom: Matemática Universitária Básica com Maple V, São
Carlos: Editora EdUFSCar, 2000.
[FI] FETISSOV, A. I., A Demonstração em Geometria, São Paulo: Atual Editora, 1995.
[HA] HECK, A., Introduction to Maple, New York: Springer-Verlag, 1993.
[PG] POLYA, G., A Arte de Resolver Problemas, Rio de Janeiro: Editora Interciência, 1975.
[WW ] Textos Diversos disponibilizados pela rede Internet.
[XX] http://www.mapleapps.com/
FAMAT em Revista
£%
³
Iniciação Científica
em Números
www.famat.ufu.br
134
Iniciação Científica em Números
do Número 02 da Famat em Revista:
Walter dos Santos Motta Júnior (coordenador da seção)
Edson Agustini
135
Iniciação Científica em Números
Walter dos Santos Motta Junior
Conforme relatado no artigo anterior desta seção, referente ao número anterior desta
revista, no âmbito da Faculdade de Matemática - FAMAT / UFU existem quatro programas
que oferecem atividades de Iniciação Científica aos discentes do Curso de Matemática, são
eles: Programa Especial de Treinamento - PETMAT, Programa Institucional de Bolsas de
Iniciação Científica do CNPq, Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica da
FAPEMIG e o Programa Institucional de Iniciação Científica da Faculdade de Matemática PROMAT, sendo que apenas este último não apresenta qualquer tipo de remuneração aos
alunos envolvidos. Abaixo estamos descrevendo uma relação de todos os projetos, agregados
a um dos programas acima mencionados, que estão atualmente em desenvolvimento na
FAMAT e que são exclusivamente desenvolvidos por alunos do Curso de Matemática.
Agora, por iniciativa da Pró-Reitoria de Graduação / UFU, neste primeiro semestre de
2004, surgiu um novo programa que, embora não possa ser caracterizado como sendo de
iniciação científica, tem em muitos momentos de seu desenvolvimento uma dinâmica que se
assemelha a tal. O Programa Institucional de Bolsas de Graduação – PIBEG visa o
desenvolvimento de atividades complementares que venham a trazer melhorias ao ensino de
graduação desta Instituição. A participação da FAMAT se deu através da apresentação de sete
projetos, todos selecionados, possibilitando que todos os alunos envolvidos fossem
contemplados com bolsas. Idealizado por alguns professores proponentes da FAMAT, os
projetos selecionados representam um híbrido entre monitoria / iniciação científica e produção
de material de apoio ao ensino de graduação. Certamente os desenvolvimentos destes projetos
representam um passo importante no sentido de ampliar as atividades extracurriculares
oferecidas aos nossos discentes. Abaixo descrevemos resumidamente todos os projetos em
andamento nesta nova modalidade de programa.
1. Projetos de Iniciação Científica – PETMAT
Título: Modelagem Fuzzy Aplicada a Biomatemática
Orientadora: Prof a. Rosana Sueli da Motta Jafelice
Bolsistas: Carolina Fernandes Molina Sanches e Éliton Meireles de Moura
Título: Tópicos Especiais de Matemática
Orientador: Prof. Geraldo Botelho
Bolsista: Fabiana Alves Calazans
Título: Problemas Isoperimétricos : Aspectos práticos e teóricos
Orientador: Prof. Edson Agustini
Bolsistas: Flaviano Bahia Paulinelli Vieira e Laís Bássame Rodrigues
Título: Um modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico
Orientador: Prof. Walter dos Santos Motta Junior
Bolsistas: Gislaine Alves Pereira e Sandreane Poliana Silva
136
Título: Introdução à Geometria Algébrica
Orientador: Prof. Cícero Fernandes de Carvalho
Bolsista: Jairo Menezes e Souza
Título: Computação do grupo fundamental de algumas superficies
Orientador: Prof. Walter dos Santos Motta Junior
Bolsista: Rafael Peixoto
Título: Uma introdução à geometria aritmética.
Bolsista: Wagner Frasseto
2. Projetos de Iniciação Cientifica - Bolsista do CNPq / FAPEMIG
Título: Matemática aplicada no Ensino Médio
Orientador: Prof. César Guilherme de Almeida
Período: 08/2003 à 07/2004 (CNPq)
Bolsista: Carlos Alberto da Silva Junior
Título: Análise numérica e matemática de escoamento em meios porosos.
Orientador: Prof. César Guilherme de Almeida
Período: 01/10/2003 a 01/09/2004 (FAPEMIG)
Bolsista: Clovis Antonio da Silva
Observação: Bolsa obtida junto a projeto de pesquisa do docente
Título: Estudos de variáveis climáticas do Estado do Rio de Janeiro, aplicando geoestatística e
análise de séries temporais
Orientador: Prof. Ednaldo Carvalho Guimarães
Período: 08/2003 a 07/2004 (CNPq)
Bolsista: Mírian Fernandes Carvalho
Título: Ajuste de modelos não Lineares a Curvas de degradação de inseticidas.
Orientador: Prof. Heyder Diniz Silva
Período: 08/2003 a 07/2004 (CNPq)
Bolsista: Raquel Romes Linhares
Título: Uma introdução aos corpos de funções algébricas com o auxílio da computação
algébrica
Período: 08/2003 a 12/2004 (FAPEMIG)
Bolsista: Cecília Pereira de Andrade
Observação: Bolsa obtida junto a projeto de pesquisa do docente
137
3. Projetos de Iniciação Cientifica – PROMAT
Título: Estudo de números algébricos e transcendentes
Alunos: Anselmo Ângelo de Almeida Oliveira e Uziel Paulo da Silva
Período: Setembro de 2003 a agosto de 2004
CONFAMAT: Autorizado em 28/08/2003
Título: Introdução ao estudo da criptografia
Alunos: Hélen Cristina Vieira Freitas e Angélica Silva de Sousa
Período: Setembro de 2003 a agosto de 2004
Título: Grupo fundamental
Orientador: Prof. Antônio Carlos Nogueira
Aluno: Vagner Rodrigues de Bessa
Período: Março de 2004 a fevereiro de 2005
Título: Algumas técnicas na teoria das equações diferenciais parciais
Orientador: Prof. Valdair Bonfim
Aluno: Leonardo Gomes
Título: Informática e educação matemática
Orientador: Prof. Arlindo José de Souza Jr
Aluno: Fernando da Costa Barbosa
4. Projetos desenvolvidos junto ao PIBEG / FAMAT
Título: Ações integradas para melhoria do ensino de matemática
Orientadores: Jocelino Sato, Geraldo Botelho, José Castilho, Edson Agustini, Márcio Dantas
e Walter Motta
Bolsistas: Rafael Cavalcanti, Patrícia Costa, Tatiane Borges, Fernanda Moura, Leandro
Lemes e Mariana Reis
138
Título: Trabalho de projetos e educação estatística na universidade
Orientador: Heyder Diniz Silva
Bolsista: Quintiliano Nomelini
Observações finais quanto às atividades extracurriculares acima descritas:
Vale ressaltar que existem outros projetos de iniciação científica em desenvolvimento
no âmbito da FAMAT envolvendo inúmeros alunos de cursos de graduação da UFU distintos
do curso de matemática. Ainda, quanto às atividades acima descritas, existem 14 docentes /
orientadores distintos da FAMAT e 29 alunos do curso de matemática envolvidos com as
mesmas.
FAMAT em Revista
¹Ï
Ë
E o Meu Futuro Profissional?
www.famat.ufu.br
140
E o meu Futuro Profissional?
Edson Agustini
(coordenador da seção)
141
A Crise no Ensino da Matemática no Brasil
No caderno Sinapse (www1.folha.uol.com.br/folha/sinapse/arquivo-2003.shtml) de
25/02/2003 da Folha de São Paulo, foi publicada uma coletânea de textos sob o título “A
Matemática que Conta”. Esses textos abordavam o analfabetismo do brasileiro em matemática
de um modo um tanto quanto superficial. A fim de aprofundar a questão e apontar os fatores
determinantes dessa crise, a presidenta da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), profa
Suely Druck, publicou um artigo intitulado “O Drama do Ensino da Matemática” no caderno
Sinapse seguinte (25/03/2003). Nesse artigo, que reproduzimos abaixo, ela enfatizou que a
crise no ensino da matemática decorre, dentre uma série de fatores, de um processo de
supervalorização dos métodos pedagógicos em detrimento da aquisição do conteúdo
matemático a ser ensinado.
Como era de se esperar, o artigo da profa. Suely Druck abriu espaço a uma discussão
acerca do tema, o que fomentou a aparecimento de uma série de artigos, seja para contestar,
seja para apoiar as opiniões expressas por ela. Na seqüência, reproduzimos alguns desses
artigos, a saber:
• Professor comenta artigo “O drama do ensino da matemática”, de Suely Druck, por
Wojciech Andrzej Kulesza. PPGE-UFPB.
• Pesquisadora comenta artigos sobre o ensino da matemática no país, por Maria Eulália
Vares. Secretária Regional SBPC/RJ.
• Sobre o ensino de matemática, por Michel Spira. ICEX-UFMG.
• Polêmica: Os problemas da educação matemática, por Romulo Lins. UNESP-Rio Claro-SP.
• Não existe nada tão ruim que não possa ser piorado, por Enzo Vito De Santis. Sanmina-SCI
Brazil.
• A crise no ensino de Matemática no Brasil, por Suely Druck. Presidenta da SBM.
• Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) levará ao MEC proposta de melhoria nacional
da matemática, por Flamínio Araripe.
Uma discussão mais detalhada da questão pode ser encontrada nos sites do Jornal da
Ciência (JC) da Sociedade Brasileira para o Progresso da Ciência (SBPC)
www.jornaldaciencia.org.br e da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM)
www.sbm.org.br.
___________________________________________________________________________
O Drama do Ensino da Matemática
Suely Druck
Folha de São Paulo - 25/03/2003
www1.folha.uol.com.br/folha/sinapse/arquivo-2003.shtml
A qualidade do ensino da matemática - assunto da reportagem de capa do último
Sinapse - atingiu, talvez, o seu mais baixo nível na história educacional do país.
As avaliações não poderiam ser piores. No Provão, a média em matemática tem sido a
mais baixa entre todas as áreas. O último Saeb (Sistema Nacional de Avaliacão da Educacão
Básica) mostra que apenas 6% dos alunos têm o nível desejado em matemática. E a
comparação internacional é alarmante. No Pisa (Program for International Student
Assessment) de 2001, ficamos em último lugar.
142
Resultados tão desastrosos mostram muito mais do que a má formação de uma geração
de professores e estudantes: evidenciam o pouco valor dado ao conhecimento matemático e a
ignorância em que se encontra a esmagadora maioria da população no que tange à
matemática. Não é por acaso que o Brasil conta com enormes contingentes de pessoas
privadas de cidadania por não entenderem fatos simples do seu próprio cotidiano, como juros,
gráficos, etc. - os analfabetos numéricos -, conforme atesta o recente relatório Inaf sobre o
analfabetismo matemático de nossa população.
Diante dessa situação, encontramos o discurso - tão freqüente quanto simplista - de
que falta boa didática aos professores de matemática. Todavia, pouco se menciona que o
conhecimento do conteúdo a ser transmitido precede qualquer discussão acerca da
metodologia de ensino.
Abordar a questão do ensino da matemática somente do ponto de vista pedagógico é
um erro grave. É necessário encarar primordialmente as deficiências de conteúdo dos que
lecionam matemática. É preciso entender as motivações dos que procuram licenciatura em
matemática, a formação que a licenciatura lhes propicia e as condições de trabalho com que se
deparam.
A enorme demanda por professores de matemática estimulou a proliferação de
licenciaturas. Nas faculdades, há muita vaga e pouca qualidade, o que transforma as
licenciaturas em cursos atraentes para os que desejam um diploma qualquer. Produz-se, assim,
um grande contingente de docentes mal formados ou desmotivados. Esse grupo atua também
no ensino superior, sobretudo nas licenciaturas, criando um perverso círculo vicioso.
É verdade que, nas boas universidades, temos excelentes alunos nas graduações de
matemática. Porém, eles formam um grupo tão pequeno que pouco influenciam as tristes
estatísticas. Predomina uma enorme evasão dos cursos, uma vez que a maioria não enfrenta as
dificuldades naturais dos bons cursos.
Nos últimos 30 anos, implementou-se no Brasil a política da supervalorização de
métodos pedagógicos em detrimento do conteúdo matemático na formação dos professores.
Comprovamos, agora, os efeitos danosos dessa política sobre boa parte dos nossos
professores. Sem entender o conteúdo do que lecionam, procuram facilitar o aprendizado
utilizando técnicas pedagógicas e modismos de mérito questionável.
A pedagogia é ferramenta importante para auxiliar o professor, principalmente aqueles
que ensinam para crianças. O professor só pode ajudar o aluno no processo de aprendizagem
se puder oferecer pontos de vista distintos sobre um mesmo assunto, suas relações com outros
conteúdos já tratados e suas possíveis aplicações. Isso só é possível se o professor tiver um
bom domínio do conteúdo a ser ensinado. A preocupação exagerada com as técnicas de
ensino na formação dos professores afastou-os da comunidade matemática.
Além disso, eles se deparam com a exigência da moda: a contextualização. Se muitos
de nossos professores não possuem o conhecimento matemático necessário para discernir o
que existe de matemática interessante em determinadas situações concretas, aqueles que lhes
cobram a contextualização possuem menos ainda. Forma-se, então, o pano de fundo propício
ao surgimento de inacreditáveis tentativas didático-pedagógicas de construir modelos
matemáticos para o que não pode ser assim modelado.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do MEC são erradamente interpretados como se
a matemática só pudesse ser tratada no âmbito de situações concretas do dia-a-dia, reduzindoa a uma seqüência desconexa de exemplos o mais das vezes inadequados. Um professor de
ensino médio relatou que, em sua escola, existe a “matemática junina”, enquanto outro contou
ter sido obrigado a dar contexto matemático a trechos de um poema religioso. Certamente,
esses não são exemplos de uma contextualização criativa e inteligente que pode, em muito,
ajudar nossos alunos. Lamentavelmente, esses tipos de exemplo proliferam em nossas escolas.
143
O bom treinamento em matemática é efetuado, necessariamente, com ênfase no
argumento lógico, oposto ao autoritário, na distinção de casos, na crítica dos resultados
obtidos em comparação com os dados iniciais do problema e no constante direcionamento
para o pensamento independente. Esses hábitos são indispensáveis em qualquer área do
conhecimento e permitem a formação de profissionais criativos e autoconfiantes - e a
matemática é um campo ideal para o seu exercício.
O Brasil tem condições de mudar o quadro lastimável em que se encontra o ensino da
matemática. Com satisfação, notamos um movimento importante de nossos professores em
busca de aperfeiçoamento. Muitos estão conscientes dos problemas de sua formação e dos
reflexos que ela tem dentro da sala de aula. Há uma enorme massa de professores que querem
ser treinados em conteúdo. O desafio é atingir o maior número de professores no menor
espaço de tempo.
Não é verdade que nossas crianças odeiam matemática, conforme prova a participação
voluntária de 150 mil jovens e crianças nas Olimpíadas Brasileiras de Matemática de 2002.
Muitos mais eles poderiam ser, se os recursos fossem mais abundantes, como é o caso da
Argentina, onde 1 milhão participam das Olimpíadas Argentinas de Matemática.
Iniciativas bem-sucedidas existem e apontam caminhos a seguir. Esse é o caso do
fantástico programa de matemática coordenado pelo professor Valdenberg Araújo da Silva no
interior de Sergipe, que tem levado crianças oriundas de famílias de baixíssima renda a
conquistas importantes, como aprovação no vestibular, participação nas olimpíadas e até
mesmo início do mestrado em matemática de jovens entre 15 e 17 anos.
Se medidas urgentes não forem tomadas, a situação tenderá a se agravar: há décadas
estamos construindo uma sociedade de indivíduos que, ignorando o que é matemática, se
mostram incapazes de cobrar das escolas o seu ensino correto ou mesmo apenas constatar as
deficiências mais elementares nesse ensino.
Suely Druck é presidenta da SBM - Sociedade Brasileira de Matemática.
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Professor Comenta Artigo “O drama do ensino da matemática”
de Suely Druck
Wojciech Andrzej Kulesza
Jornal da Ciência - e-mail - 02/04/2003
www.jornaldaciencia.org.br
“O artigo desconhece toda a discussão, hoje já incorporada na legislação educacional
brasileira referente à Prática de Ensino, sobre a saudável e necessária relação entre a teoria
e a prática pedagógicas”.
Depois de trabalhar tantos anos com educação matemática, causou-me desalentadora
surpresa o artigo de Suely Druck, publicado na “Folha de SP” e reproduzido no “JC e-mail”
de 28 de março último.
Defendendo a posição, tão antiga quanto arcaica, de que o conhecimento do conteúdo
é um pré-requisito na formação do professor, o artigo desconhece toda a discussão, hoje já
incorporada na legislação educacional brasileira referente à Prática de Ensino, sobre a
saudável e necessária relação entre a teoria e a prática pedagógicas.
144
Nas palavras da autora, “o conhecimento do conteúdo a ser transmitido precede
qualquer discussão acerca da metodologia de ensino”. Assim, primeiro o professor conhece e
depois (naturalmente, se for o caso) ele se preocupa com o ensino.
É ainda o esquema 3 + 1, que coloca o bacharelado com um pré-requisito da
licenciatura, a orientar os formadores de professores e a fazê-los sofrer o “drama do ensino de
matemática”.
Não é verdade que seja “necessário encarar primordialmente as deficiências de
conteúdo dos que lecionam matemática”, para enfrentar o problema da alfabetização
matemática.
No máximo essa deficiência deveria ser colocada ao lado das metodológicas, para nos
restringirmos ao currículo explícito dos cursos de formação.
A história da ciência nos tem demonstrado que não é verdade que primeiro sabemos
para depois reconhecermos esse conhecimento num determinado contexto, como parece
pensar a autora.
Será que os matemáticos nunca aceitarão que, pelo menos, há saberes concomitantes à
matemática na formação do professor? Lamentavelmente, a Sociedade Brasileira de
Matemática, através do artigo da sua presidente, aliena-se da sociedade brasileira nãomatemática na questão educacional, num corporativismo próprio da época dos mosteiros.
Mensagem de Wojciech Andrzej Kulesza, prof. do PPGE da UFPB ([email protected]).
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Pesquisadora Comenta Artigos sobre o Ensino da Matemática no País
Maria Eulália Vares
O artigo da Profa. Suely Druck presidente da Sociedade Brasileira de Matemática,
publicado na Folha de SP, no dia 25/03, e reproduzido pelo JC e-mail no dia 28/03, aponta
para um dos tantos problemas da realidade do sistema educacional brasileiro. Os dados por ela
mencionados comprovam que o sistema atual vai muito mal no que diz respeito ao ensino da
matemática. As avaliações estão disponíveis e só não vê quem não quer. Os reflexos para o
ensino de outras ciências são também percebidos pelos que trabalham com os alunos de
segundo grau. Isso não é uma novidade, mas parece que estamos retrocedendo em certos
aspectos, infelizmente.
Em resposta ao artigo da Profa. Druck, no JC e-mail do dia 02/04, o Prof. Andrzej
Kulesza (professor do PPGE da UFPB) faz afirmações ofensivas à Sociedade Brasileira de
Matemática, acusando-a de corporativismo. Gostaria eu de saber: onde está o corporativismo
por ele citado? Seria quando aponta a Profa. Druck a necessidade que o professor tenha um
“bom domínio do conteúdo a ser ensinado”? Concordamos todos que para ser um bom
professor, em especial para crianças e adolescentes, não basta ter um bom conhecimento do
assunto, mas certamente é ilusório, para não dizer enganoso, julgar que podemos ter cursos
formando bons professores de matemática (ou de qualquer outra ciência) sem lhes propiciar
um razoável controle sobre os conteúdos. Não há dúvida que cursos de formação de
professores precisam dar importância a metodologias de ensino, e não há qualquer tentativa
de menosprezá-las. Por outro lado tentar usá-las como forma de compensar falhas no
conteúdo básico só pode resultar em um quadro com resultados análogos aos que temos visto
nas avaliações dos estudantes.
145
Infelizmente não se trata de uma conclusão subjetiva de um grupo de matemáticos
corporativos, como pensa o Prof. Kulesza. Trata-se de uma realidade evidenciada pelas
avaliações feitas tanto a nível nacional quanto internacional. Precisamos, isso sim, de uma
maior participação da comunidade científica na tarefa de formação e reciclagem de
professores. Há necessidade de se unir esforços para reverter um quadro bastante
desfavorável. Propomos que as Sociedades Científicas coloquem esse tema em suas agendas,
que participem com sugestões e alternativas. Trata-se de problema que envolve tanto a
comunidade educativa quanto todos os que trabalham com ciência básica, em qualquer
estágio.
Maria Eulália Vares. Matemática. Pesquisadora do Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas.
Secretária Regional SBPC/RJ
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Sobre o Ensino de Matemática
Michel Spira
“O professor bem preparado é capaz de acomodar de maneira flexível e estimulante as
manifestações dos alunos, fazendo com que eles se sintam respeitados em sua inteligência e
curiosidade”.
“Depois de trabalhar tantos anos em Ensino de Matemática, dedicando-me aos cursos
de licenciatura, bacharelado e pós-graduação, bem como à capacitação de professores dos
ensinos fundamental e médio, causou-me desalentadora surpresa a mensagem do prof.
Wojciech Andrzej Kulesza, do PPGE da UFPB, sobre o artigo da profa Druck Druck,
presidente da Sociedade Brasileira de Matemática.
A mensagem do professor Kulesza distorce intencionalmente as posições expressas no
artigo da professora Druck, empregando um tom pejorativo e pouco apropriado para um foro
de discussão de idéias.
Usando a técnica de “como parece pensar a autora”, ele pressupõe idéias e opiniões
não expressas explícita ou implicitamente e constrói sua “argumentação” em torno dessas
pressuposições.
Uma simples leitura do artigo original revela que em nenhum momento é negada a
importância do estudo de métodos pedagógicos na formação do professor de Matemática.
Seria insanidade argüir o contrário; a responsabilidade daqueles que lidam com
crianças e jovens extrapola em muito o domínio do conteúdo, e sua formação não pode
prescindir de um forte referencial pedagógico, metodológico e sociológico.
O que o artigo expõe, com base em testes reconhecidos pela comunidade acadêmica e
em entrevistas com professores de escolas públicas e particulares, são as conseqüências do
pouco domínio do conteúdo e do mau uso de técnicas pedagógicas na prática do professor e,
mais amplamente, no quadro da Matemática nacional.
É um fato gravíssimo, não uma elucubração teórica, que “No Provão, a média em
matemática tem sido a mais baixa entre todas as áreas. O último Saeb (Sistema Nacional de
Avaliacão da Educacão Básica) mostra que apenas 6% dos alunos têm o nível desejado em
matemática. E a comparação internacional é alarmante. No Pisa (Program for International
Student Assessment) de 2001, ficamos em último lugar”.
146
O prof. Kulesza não dedica uma linha sequer de sua resposta a este e outros fatos
mencionados no artigo, fugindo da discussão objetiva sobre os problemas do ensino da
Matemática no Brasil e tornando assim impossível uma resposta direta à sua diatribe. De
qualquer modo, é bastante interessante extrair o conteúdo de sua mensagem, o que faço
abaixo.
O prof. Kulesza expressa sua posição de maneira cristalina; ele diz que é “tão antiga
quanto arcaica” a posição de que “o conhecimento do conteúdo é um pré-requisito na
formação do professor”.
Continua dizendo que “Não é verdade que seja ‘necessário encarar primordialmente as
deficiências de conteúdo dos que lecionam matemática’ para enfrentar o problema da
alfabetização matemática”.
Mais tarde, parece arrepender-se parcialmente e concede que “No máximo (grifo meu)
essa deficiência deveria ser colocada ao lado das metodológicas, para nos restringirmos ao
currículo explícito dos cursos de formação”.
Ele evita cuidadosamente apresentar justificativas para suas afirmações, com a
exceção de uma vaga menção à História da Ciência. Acaba aqui o conteúdo de sua mensagem.
Causa espanto, tristeza e indignação ver um pesquisador IIB do CNPq, da área de
Educação, emitir opiniões deste tipo, que podem ser traduzidas em português claro como
“para ensinar não é necessário saber o que se vai ensinar”.
Seria interessante saber se ele prega, por exemplo, que para ser um professor de língua
portuguesa não é necessário um bom conhecimento de literatura e gramática.
Apenas o domínio do conteúdo, por melhor que seja, não garante a boa prática do
ensino. No entanto, o mau domínio do que se vai ensinar impede, necessariamente, que se seja
um (bom) professor, na correta acepção do termo.
A insegurança com relação ao conteúdo prejudica o professor em todas as suas
manifestações, tornando-o incapaz de abordar e explicar um mesmo assunto sob diferentes
pontos de vista, de explicitar as conexões entre diferentes assuntos, de transmitir os métodos
de pensamento próprios de sua disciplina (em Matemática, os mecanismos de intuição,
analogia, indução e o método lógico-dedutivo, entre outros), de motivar os alunos com
situações e exemplos além daqueles do livro-texto, de encaminhar discussões que se originem
do interesse dos alunos e de criticar os textos adotados, criando seu próprio material didático
quando necessário.
O professor inseguro é refratário a perguntas e abordagens alternativas,
desestimulando assim os alunos a manifestarem sua curiosidade natural, a exercerem seu
direito de questionamento e a apresentarem sua própria visão sobre o material que lhes é
lecionado.
No caso particular da Matemática, dada a especificidade da disciplina e de seus
métodos de pensamento, o tristemente freqüente resultado é a criação de um aluno
desinteressado, quando não abertamente hostil, propenso a tratar a Matemática como um
corpo de conhecimento estático, desmotivado e de conotações autoritárias.
Por outro lado, o domínio do conteúdo cria no professor a disponibilidade para a
discussão e troca de idéias, prática esta oposta ao ensino dogmático e autoritário motivado
pela insegurança.
Em outras palavras, o professor bem preparado é capaz de acomodar de maneira
flexível e estimulante as manifestações dos alunos, fazendo com que eles se sintam
respeitados em sua inteligência e curiosidade.
Particularizando outra vez para a Matemática, as conseqüências imediatas para os
alunos são, além da melhoria da aprendizagem, o gosto pelo raciocínio lógico-dedutivo e o
desenvolvimento de uma postura crítica, atributos essenciais em todas as áreas acadêmicas e
no exercício da cidadania.
147
Destaco agora o último parágrafo da resposta do prof. Kulesza:
“Será que os matemáticos nunca aceitarão que, pelo menos, há saberes concomitantes
à matemática na formação do professor? Lamentavelmente, a Sociedade Brasileira de
Matemática, através do artigo da sua presidente, aliena-se da sociedade brasileira nãomatemática na questão educacional, num corporativismo próprio da época dos mosteiros”.
Nota-se aqui a tentativa explícita de contrapor a comunidade matemática e a
Sociedade Brasileira de Matemática ao restante da comunidade acadêmica, denunciando
assim a verdadeira intenção do autor, que é estritamente política e ideológica, e não dirigida à
discussão dos problemas apontados.
Este tipo de comportamento é um dos responsáveis pelo lamentável estado do ensino
de Matemática no Brasil.
A Sociedade Brasileira de Matemática, nas palavras de sua presidente e dentro de sua
competência, reconhece a séria situação do ensino de Matemática no Brasil e identifica uma
importante componente deste problema.
O momento é de contribuições que visem a união de forças e a discussão equilibrada
sobre as ações necessárias para reverter o grave momento que atravessamos. Infelizmente,
este não é o caso da manifestação do professor Kulesza.
Michel Spira é professor do Depto. de Matemática da UFMG. Artigo enviado pelo autor ao
“JC e-mail”.
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Polêmica: Os problemas da educação matemática
Romulo Lins
Folha de São Paulo - 29/04/2003
www1.folha.uol.com.br/folha/sinapse/arquivo-2003.shtml
No último Sinapse, foi publicado o artigo “O drama do ensino da matemática”, de
Suely Druck. Neste artigo, contesto a posição defendida por Druck.
Dizer, como Druck o fez, que “nos últimos 30 anos, implementou-se no Brasil uma
política de supervalorização de métodos pedagógicos em detrimento do conteúdo matemático
na formação de professores” é um erro sério e que só pode ter origem no desconhecimento de
certos fatos importantes.
Primeiro, o modelo de licenciatura que adotamos hoje, o 3+1 (três anos de cursos de
conteúdo matemático contra um ano de cursos de conteúdo pedagógico), é praticamente o
mesmo que tínhamos na década de 60, e não é nada sensato dizer que esse modelo favoreça
alguma “supervalorização de métodos pedagógicos em detrimento do conteúdo matemático
na formação de professores”.
Segundo, o que aconteceu nos últimos 30 anos não foi um modismo didaticista ou
pedagogista, e sim uma profunda mudança no entendimento que se tem dos processos do
pensamento humano, incluindo-se aí o desenvolvimento intelectual e os processos de
aprendizagem. Foi a partir disso que se deu um gradual desgaste do modelo “conteúdo
matemático bem sabido mais boa didática”. Mas esse processo não aconteceu “em detrimento
do conteúdo matemático”, e sim na direção de uma reconceitualização das práticas de sala de
aula e, consequentemente, da formação de professores e professoras.
Na esteira dessa reconceitualização, surgiu o campo de estudo a que chamamos
educação matemática, ou seja, educação por meio da matemática, e não apenas educação para
a matemática.
148
No 3+1, os três anos de conteúdo matemático foram e são quase sempre apresentados
isolados das outras partes da formação, com base justamente no pressuposto equivocado de
que “o conhecimento do conteúdo a ser ensinado precede qualquer discussão a respeito da
metodologia de ensino”, pressuposto defendido por Druck. Hoje, sabe-se que é precisamente
nessa separação entre matemática e pedagogia que está a raiz de muitas das dificuldades de
professores e professoras.
Druck diz, em seu artigo, que “abordar a questão do ensino da matemática somente do
ponto de vista pedagógico é um erro grave”. Mas quem é que defende isso? Eu não conheço
ninguém que o faça. O que eu conheço, sim, são pessoas que afirmam que a questão do ensino
da matemática pode ser abordada apenas do ponto vista da matemática. A impressão que o
artigo de Druck deixa, com as pequenas concessões à “pedagogia” soterradas por um feroz - e
mal informado - ataque a uma suposta ditadura dos métodos pedagógicos, me faz pensar se
ela mesma, afinal de contas, não acha isso.
O desafio para a comunidade da educação matemática é o de oferecer uma formação
integrada e de acordo com as necessidades reais desses profissionais. E há, no Brasil e no
exterior, uma grande comunidade trabalhando para criar licenciaturas a partir da idéia de
integração: nas disciplinas “matemáticas”, está presente a formação “pedagógica” e, nas
disciplinas “pedagógicas”, está presente a formação “matemática”. É assim que acontece na
escola - matemática e pedagogia não estão nunca separadas -, e é por isso que é assim que a
formação de professores e professoras deve se dar; “pedagógico”, aqui, deve ser entendido
como bem mais do que “formas de transmitir bem o conteúdo”, diferentemente do que parece
sugerir o artigo de Druck no uso do termo.
Nosso próprio trabalho de pesquisa na Unesp-Rio Claro se dirige, desde 1999, a
responder esse desafio. Outro exemplo é o de um workshop realizado nos Estados Unidos,
cujo relatório foi publicado em 2001 com o título “Conhecendo e Aprendendo Matemática
para Ensinar”. Há muitos outros exemplos.
O que se precisa enfrentar, primordialmente, não são “as deficiências de conteúdo dos
que lecionam matemática”, como escreveu Druck, e sim o fato de que nosso sistema
educacional está aprisionado em um limbo cercado, de um lado, por uma demanda social pela
formação de uma sociedade de cidadãos críticos e, de outro, por um sistema escolar que, de
alto a baixo, parece se pautar por uma idéia de excelência que não se dirige ao conjunto da
população e que se sente realizada apenas na “participação nas olimpíadas” e “no início do
mestrado em matemática de jovens entre 15 e 17 anos”. Os filhos das elites não sofrem de
analfabetismo numérico. Seria apenas coincidência que são 6% os alunos com “nível
desejado” no Saeb (Sistema de Avaliação do Ensino Brasileiro), enquanto 10% dos brasileiros
e brasileiras controlam 90% das riquezas?
Em vez de nos perguntarmos o que de matemática o professor precisa saber, devemos
nos perguntar, antes, a matemática de quem o professor precisa saber. Esse deve ser o ponto
de partida na discussão sobre as deficiências de conteúdo de professores e professoras, e essa
questão só pode ser tratada adequadamente de uma perspectiva mais ampla que a da
“matemática mais uma boa didática”.
O verdadeiro drama da educação de professores e professoras de matemática começa
na manutenção da mentalidade do 3+1 e da formação desarticulada que ele oferece, e vejo no
artigo de Druck uma clara defesa desse modelo. Onde ela vê uma supervalorização de
métodos pedagógicos, outros vêem uma supervalorização do conteúdo matemático. Eu não
vejo nem uma coisa nem outra: vejo professores e professoras sem condições de trabalho
adequadas e isolados, sem apoio efetivo para que possam continuar seu desenvolvimento
profissional de forma contínua e em resposta a suas próprias perguntas.
Penso que são esses os dois verdadeiros problemas que devemos resolver.
149
Romulo Lins é professor do Departamento de Matemática e do programa de pós-graduação
em educação matemática da Unesp-Rio Claro. Foi presidente da Sociedade Brasileira de
Educação Matemática entre 1995 e 1998. E-mail: [email protected]
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Não Existe Nada Tão Ruim Que Não Possa Ser Piorado
Enzo Vito De Santis
30/05/2003
www.sbm.org.br
Como profissional de exatas que sou, nunca acreditei que o ensino de matemática
pudesse ser pior que o da época em que fui vítima das apáticas e sonolentas aulas de alguns
professores que ditavam fórmulas para achar raízes de uma equação e de outros que
vociferavam regras para derivar uma função.
Venho acompanhando através da educação de meus próprios filhos, de alunos que me
procuraram para aulas de reforço e também da mídia, a piora constante no ensino dessa
disciplina. Qual não é a minha surpresa quando leio no caderno Sinapse do jornal Folha de
São Paulo em 25/02/2003 cuja capa é “A matemática que conta” a triste confirmação do que
já havia percebido.
Por isso, sinto-me na obrigação de manifestar meu apoio à Sociedade Brasileira de
Matemática (SBM) que através do artigo “O drama do ensino da matemática” também
publicado no jornal Folha de São Paulo no Sinapse de 25/03/2003 e escrito por sua presidente,
Suely Druck, expressa integralmente a dura realidade do drama não só do ensino da
matemática, mas também de alunos cujo potencial está sendo enterrado sob a lápide da
hipocrisia de alguns professores e do desânimo que se instala nas salas de aula. A presidente
da SBM enfatiza em seu artigo a danosa proliferação das licenciaturas, de um grande
contingente de docentes mal formados ou desmotivados e, sobretudo, enfatiza a importância
do conhecimento do conteúdo.
Percebo que o ensino desta disciplina gera repulsa em nossos alunos. Através de um
verdadeiro regime pedagocrata, insistimos em dizer: “se tá multiplicando passa dividindo”
como mandam as temíveis e terríveis regras da “matemágica”.Chegamos a imbecilizar nossas
crianças colocando personagens de histórias em quadrinhos montados em foguetinhos de
papel para simbolizar que “se tá multiplicando passa dividindo”. Ora, tal ferramenta até pode
ser útil para memorização e descontração mas não representa a realidade da operação.
Naturalmente que as técnicas pedagógicas são fundamentais porém, não podemos
relevar a segundo plano o conteúdo e muito menos esquecermo-nos de que o desenvolvimento
dessa matéria deve ser baseado na necessidade do homem e não em regras “matemágicas”.
Precisamos evitar a formação de estudantes autômatos, cujo adestramento matemático fará
apenas com que sejam aprovados na avaliação final sem nem saberem como o fizeram.
Certamente, meu caminho teria sido muito menos penoso e minha satisfação pessoal
teria acontecido antes, não fosse a qualidade de ensino que obtive que, aliada aos problemas
sociais, políticos e econômicos, acaba gerando verdadeira cegueira e faz com que a
comunidade educacional e o governo tornem-se irresponsáveis na formação cultural de nossos
filhos.
Minhas dificuldades aumentaram ao ingressar no curso de engenharia quando então
fui obrigado a lidar com a matemática de maneira diferenciada e, salvo alguns expoentes de
didática e conhecimento do assunto que lecionavam, as aulas também foram apáticas.
Felizmente, isso não me desmotivou e, muitas vezes, penso que deveria ser indenizado pelo
150
castramento do direito de aprender matemática dignamente. Minha frustração é imensa. É
como um amor não correspondido. Gostar de uma ciência e ter sido tratado com indiferença.
No entanto, os citados expoentes fizeram com que eu procura-se a verdade da ciência e iniciei
então minha cavalgada rumo ao entendimento do mundo matemático. Infelizmente, isso não é
o que acontece com a maioria dos estudantes. Disciplinas como Cálculo Diferencial e Integral
e Física I são certamente as principais razões da evasão de alunos de primeiro ano dos cursos
de exatas e também as matérias que mais reprovam.
Alunos desmotivados e despreparados ou método inadequado?
Não podemos permitir que o comodismo e a hipocrisia destruam o cérebro de nossos
estudantes. Por sorte, muitos educadores já concordam que vivemos um ciclo vicioso onde a
má formação gera um mau ensino e vice-versa. Já se acredita que não é só o aluno que não
quer aprender ou não gosta da matéria mas também que a escola não ensina adequadamente e
não gera motivação no estudante. Finalmente a luz! Afinal, a dificuldade do ensino da
matemática é conhecida desde a escola Euclidiana.
Que me desculpe o ilustre professor da UFPB que criticou o artigo da presidente da
SBM mas, a minha experiência de vítima e a de quem tenta vitimar menos, concorda que a
realidade foi escancarada nos dizeres da presidente. Concluo dizendo que nosso sistema
educacional é falido e os burocratas do ensino continuam a nos tapear e a tapear aos nossos
filhos. Meu único ponto de discórdia no artigo de Suely Druck é quando ela diz que “se
medidas urgentes não forem tomadas, a situação tenderá a se agravar”. Isso, na verdade, é
uma forma polida de se dizer a conhecida frase “não existe nada tão ruim que não possa ser
piorado”.
Enzo Vito De Santis - Test Engineering. Sanmina-SCI Brazil.
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A Crise no Ensino de Matemática no Brasil
Suely Druck
Jornal da Ciência - 11/07/2003
Revista do Professor de Matemática no 53, 1o Quadrimestre de 2004
A preocupação com a crise pela qual passa o ensino da Matemática nas escolas levou a
SBM a fazer uma análise minuciosa da situação visando elaborar um diagnóstico e propor
soluções. Para esse trabalho, além de discussões no seio da comunidade matemática, a SBM
estabeleceu contato direto com grupos de professores do ensino básico de várias regiões do
país para conhecer de perto os problemas a serem enfrentados. Em paralelo, a SBM promoveu
no Rio de Janeiro, com apoio da FAPERJ, um curso de capacitação para professores dos
níveis médio e fundamental. Desse curso brotaram depoimentos e experiências que
enriqueceram a nossa visão da crise que aflige o ensino da Matemática no país.
Outra fonte de informações importantes sobre a questão é o projeto Numeratizar,
recém iniciado no Ceará com o apoio do MEC, da UFC, das Secretarias estaduais de
Educação e Ciência & Tecnologia, da FACEP e da SBM. A análise foi completada com o
mapeamento de diversas iniciativas nacionais para a melhoria do ensino obtidas através da 1a
Bienal da SBM, evento dedicado ao ensino da Matemática realizado no ano passado, na
UFMG.
151
A questão principal a ser enfrentada é a baixíssima qualidade do ensino básico,
principalmente nas escolas públicas, onde estuda a maioria dos brasileiros. Claro está que uma
situação desse porte não nasce de repente; é construída ao longo de décadas de ensino
deficiente, quadro que tristemente se agrava a cada geração. A progressiva decadência da
qualidade do ensino da Matemática atinge hoje a própria Licenciatura em Matemática,
completando assim um círculo vicioso. Dados objetivos evidenciam o problema: no Provão, a
Matemática tem sido a última colocada em todos os anos entre as áreas avaliadas. As médias
(sobre DEZ) dos licenciandos na parte discursiva do Provão foram: 0,43 (1998), 0,94 (1999),
0,65 (2000) e 1,12 (2001). Como a maior parte dessa prova consta de tópicos do ensino
médio, conclui-se que a maioria dos professores de Matemática vem sendo formada sem
conhecer o conteúdo do que deve lecionar. O SAEB/2001 - Matemática revela que apenas
5,99% dos alunos do ensino médio alcançaram o nível desejado e, na 4a série do ensino
fundamental, apenas 6,78%. Indica ainda uma piora (em relação ao SAEB/1999) do nível
matemático de nossas crianças em 11 Estados, enquanto nos demais Estados parece não
revelar alteração. Completa esse quadro o baixíssimo nível de cultura matemática cotidiana do
brasileiro, que na sua maioria desconhece as quatro operações e unidades de medida. Um
parecer do Instituto Paulo Montenegro (IBOPE) de 17-12-2002 sobre o índice de
conhecimento matemático da população no país, entre 15 e 64 anos, mostra a que ponto
chegou a calamidade nacional na questão do ensino da Matemática: “A indicação de que
apenas 21% da população consegue compreender informações a partir de gráficos e tabelas,
freqüentemente estampadas nos veículos de comunicação, sugere que boa parte dos
brasileiros encontra-se privada de uma participação efetiva na vida social, por não acessar
dados e relações que podem ser importantes para auxiliá-la na avaliação de situações e na
tomada de decisões”.
De outro lado, há que se constatar que a já conhecida falta de professores de
Matemática nas escolas indica que o problema quantitativo não é menos sério que o
qualitativo.
A questão salarial e a desvalorização da profissão do professor de ensino básico são
uma das causas mais importantes desse quadro, o que faz com que a Matemática não consiga
atrair um contingente importante de bons alunos interessados em Matemática. Essa questão,
embora comum a todas as áreas científicas, atinge mais duramente a Matemática, uma vez
que ela é a única ciência estudada desde os 6 anos.
Quando o estudante ingressa na Universidade, estamos pressupondo 11 anos de prérequisitos matemáticos, que a grande maioria não possui. Essa é a causa das enormes taxas de
reprovação nas disciplinas de cálculo, que tanto prejuízo traz às áreas tecnológicas.
Atualmente, grande parte dos professores é oriunda de cursos noturnos de licenciatura
de baixa qualidade acadêmica onde predominam a pobreza de informação teórica,
precariedade no uso da informática e distanciamento do ambiente científico. Ora, a qualidade
da formação dos professores do ensino básico depende fundamentalmente do trabalho dos
professores que atuam nas licenciaturas. Grande parte desses professores tem uma formação
deficiente (muitos possuem apenas uma licenciatura como única formação matemática) e não
se tem conseguido formar um número suficiente de mestres para atuar nesses cursos.
Além da pobreza de informação matemática, detecta-se na formação dos professores
uma supervalorização de métodos pedagógicos em detrimento de conteúdo matemático. Uma
boa formação pedagógica é fundamental, mas toma-se de pouca valia quando
desacompanhada de bom conhecimento do conteúdo específico. Não basta, entretanto,
melhorar o nível das licenciaturas: existe um enorme contingente de professores mal
formados atuando no ensino básico. Assim, uma ação direta sobre esses professores e seus
alunos é imperiosa sob pena de condenarmos mais uma geração à ignorância matemática.
152
As conseqüências da má formação de nossos professores se fazem sentir no dia-a-dia
do ensino da Matemática no país. Em primeiro lugar, o desconhecimento de certos tópicos
tem levado professores a não ensiná-los; identificamos casos em que temas como
Trigonometria ou mesmo Geometria são solenemente ignorados por essa razão. A falta de
visão sólida da Matemática e de suas aplicações conduz a estranhas tentativas de
contextualização de situações que a tanto não se prestam. Por outro lado, tópicos que não
admitem contextualização como alguns algebrismos, fundamentais na resolução de
problemas, por exemplo, fatoração de polinômios - estão sendo omitidos do ensino. O
desconhecimento tem resultados ainda mais desastrosos: em nome da modernização do ensino
da Matemática, em diversas escolas o Teorema de Pitágoras foi banido “por ser muito
antigo”.
Há que se observar que inúmeros professores relataram que as omissões acima
comentadas, entre outras, ocorrem por exigência das autoridades responsáveis pela definição
de conteúdos. Neste caso, acreditamos estar diante da carência de subsídios teóricos
adequados. É preciso entender que, assim como é necessário saber conjugar verbos e construir
frases para se comunicar, também é imperioso dominar as estruturas próprias da Matemática
para usá-las de forma útil e nas situações pertinentes. Cálculos diversos, teoremas básicos,
axiomas, fazem parte dessas estruturas e precisam ser muito bem conhecidos por quem se
propõe a utilizar a Matemática corretamente.
As condições de trabalho dos professores, principalmente na rede pública, são
extremamente perversas e desmotivantes; a competência raramente é reconhecida ou mesmo
incentivada. Via de regra, as únicas opções de melhoria salarial são o tempo de serviço ou a
troca de sala de aula por funções administrativas.
Além disso, falta todo tipo de apoio para o bom ensino de Matemática, principalmente
o acadêmico.
Com uma sinceridade corajosa, diversos professores confessaram que não sabem
resolver problemas, não tendo a quem recorrer. Dispõem de pouco tempo para dedicar-se aos
seus alunos e cursos de aprimoramento, uma vez que a carga horária em sala de aula costuma
variar de 8 a 10 horas por dia. Justificam unanimemente o despreparo matemático dos alunos
que chegam à Universidade após 11 anos de estudos de Matemática: a situação seria gerada
pela aprovação indiscriminada de estudantes, perpetrada mediante pressão das escolas. Estas,
por sua vez, estariam tentando obter boa avaliação satisfazendo aquele que, segundo esses
docentes, seria o único parâmetro utilizado pelas autoridades locais para mensurar seu
desempenho: o número de alunos aprovados. Ademais, as instalações físicas são muito
precárias e falta quase tudo: biblioteca, laboratórios de ensino, laboratórios de informática,
etc.
O cerne do problema do ensino da Matemática se prende à formação e às condições de
trabalho dos professores. No entanto, não foram eles que optaram por ter uma formação ruim,
trabalhar em condições precárias e receber um salário indigno. Essa é a opção que nosso país
está lhes oferecendo.
Contrastando com a situação dos ensinos básico e de graduação, a pesquisa e a pósgraduação em Matemática no país apresentam excelente desenvolvimento, desfrutando boa
reputação internacional, com grupos consolidados, bons programas de pós-graduação e
grupos emergentes com ótimas perspectivas. No entanto, o seu crescimento quantitativo está
muito aquém da necessidade do país no que diz respeito à universalização do conhecimento
matemático, formação de recursos humanos e diversificação de linhas de pesquisa. As causas
dessa situação são basicamente a escassez de bons alunos, como conseqüência da mesma
situação na graduação e, principalmente, o não-atendimento da demanda qualificada de bolsas
de mestrado e doutorado da área, que vem impedindo o crescimento dos programas de pósgraduação. A falta de recursos humanos pós-graduados em Matemática já se faz sentir na
153
dificuldade em preencher vagas para doutores nos concursos públicos e na impossibilidade de
suprir com mestres os cursos de licenciatura (aproximadamente 400), o que vem agravando a
crise no ensino básico. Por isso qualquer solução para o ensino da Matemática nas escolas
deverá passar por uma ação em toda a cadeia de formação: do ensino básico até a pósgraduação.
A dramática situação em que se encontra o ensino básico da Matemática no país não
admite paliativos. Não há dúvida de que qualquer tentativa de solução desse quadro só será
possível através de um projeto nacional para a Matemática, como já ocorreu no Brasil no caso
da Química. Evidentemente, o ponto de partida será a decisão política e a conseqüente
alocação de recursos para esse fim por parte do governo. De sua parte, a Sociedade Brasileira
de Matemática está pronta para assumir, junto com o governo, a resolução desses problemas.
Convém, finalmente, comentar o argumento, tão comum quanto falacioso, de que a
escola pública de antes (considerada mais eficiente) servia fundamentalmente à parte
inexpressiva da população (mais abastada) e que a ampliação do ensino às camadas de mais
baixa renda representaria melhora significativa. Nossa posição é clara: o mero aumento do
número de estudantes matriculados nas escolas, sem garantia de qualidade, tem pouco
significado. A escola necessária ao país é aquela que vai garantir a cada cidadão a capacidade
de avaliar quanto paga de juros ou imposto, quanto recebe, o que significam os gráficos de
distribuição de renda, etc. É no sentido de resgatar a reflexão crítica como prática social que
defendemos intransigentemente a boa qualidade da escola.
Suely Druck. Presidenta da Sociedade Brasileira de Matemática. [email protected]
___________________________________________________________________________
Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) Levará ao MEC Proposta de
Melhoria Nacional da Matemática
Flamínio Araripe
“Conjunto de nove projetos foi elaborado a partir de relatório feito durante dois anos
em diversas cidades brasileiras, e aponta soluções para melhoria do ensino de matemática na
escola pública nos diversos níveis”.
Um projeto nacional para tirar a matemática da situação em que se encontra - nos
últimos lugares do Provão, Inep, Saeb e Pisa - será levado ao ministro da Educação, Tarso
Genro, nos próximos dias, pela presidente da Sociedade Brasileira de Matemática, Suely
Druck, da UFF.
Ela pretende agendar audiência para reapresentar um conjunto de nove projetos
elaborados a partir de um relatório feito durante dois anos em diversas cidades brasileiras, que
aponta soluções para melhoria do ensino de matemática na escola pública nos diversos níveis.
A íntegra das propostas (leia no site www.sbm.org.br/UnivEscola1.pdf) já foi
apresentada ao ex-ministro, Cristovam Buarque.
“Vou insistir novamente”, disse Suely Druck. Segundo ela, o ex-ministro recebeu as
propostas com grande entusiasmo. “Mas apenas pequenas coisas foram aproveitadas pelas
secretarias do MEC”, informou.
Suely Druck esteve em Fortaleza na última sexta-feira para a festa de premiação da I
Olimpíada das Escolas Públicas do Ceará. “Um amplo programa de apoio ao ensino de
154
matemática faz parte da política científica de todos os países desenvolvidos. Detectar talentos
precocemente é da maior importância para os países que queiram se desenvolver”, disse ela na
solenidade.
Para os alunos que receberam medalhas e menção honrosa, ela disse que a matemática
abrirá um novo mundo de formação para que possam ajudar o país no desenvolvimento da
ciência e tecnologia.
Suely Druck parabenizou as duas secretarias do Ceará envolvidas com o projeto
Linguagem das Letras e dos Números - Ciência e Tecnologia e Educação Básica -, o
governador Lúcio Alcântara, e fez uma homenagem à contribuição para a matemática do
Brasil dada pelo departamento de Matemática da UFC.
E lembrou que, nas Olimpíadas de Matemática, o Ceará “é campeoníssimo” com a
participação das escolas privadas.
Suely Druck destacou a iniciativa de treinamento de professores da rede pública em
matemática, coordenada pela SBM com apoio da Faperj, e observou que não conhece nada de
grande alcance sendo feito no País, “só a experiência do Ceará”.
As outras experiências, segundo ela, envolvem as áreas da física, química e biologia,
“mas nenhuma com destaque à matemática como ela está necessitando”, enfatizou.
“Basicamente, o desenvolvimento tecnológico que a Índia está conseguindo é baseado
numa estratégia forte do ensino de matemática para as crianças”, afirmou. Como exemplo,
citou que a Índia está num progresso muito visível na área de tecnologia na exportação de
software e já está na frente do Brasil na indústria aeroespacial.
O Programa Nacional de Olimpíadas, já com 23 anos, de acordo com Suely Druck,
mostra uma experiência pequena, mas muito rica, de que a matemática atinge qualquer setor
da sociedade. A mais recente, em 2003, contou com a participação de 150 mil alunos.
Segundo ela, o Ceará tem uma infra-estrutura de olimpíada de matemática ligada à
SBM, que agora dá a chancela à experiência encetada no âmbito das escolas públicas, e junto
ao MEC e MCT.
“Cabe ao MEC estancar a formação de professores mal formados. Esta ação é da
alçada só do MEC”, disse Suely Druck. “O nível da formação dos professores apontado no
Provão - enquanto teve Provão - é desastroso, o pior possível. Uma das nove propostas a
serem levadas ao ministro da Educação é estender o programa de olimpíadas às escolas
públicas - o que o Ceará já está fazendo”, afirma.
Suely Druck conta que a China tem feito um investimento muito forte no ensino de
matemática entre crianças, e que o Peru, país muito mais pobre que o Brasil, tem um projeto
emergencial, há um ano, que já começa a apresentar resultados.
O projeto central para desenvolvimento da matemática investe na melhoria dos
professores peruanos com treinamento de imersão por cinco meses nas áreas básicas como
trigonometria, álgebra, geometria e aritmética.
A Olimpíada, para ela, é uma forma de oferecer matemática esperta, instigante com
muito mais qualidade. “A matemática que se está aprendendo hoje em dia é muito pobre e
desinteressante”, compara.
Esta iniciativa envolve alunos com a descoberta precoce de talentos que em geral se
encaminham para a área científica, e professores, que aprendem no treinamento dos alunos,
correção de provas e preparação dos alunos para as olimpíadas, informa.
Flamínio Araripe escreve para o “JC e-mail”.
FAMAT em Revista
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Merece Registro
www.famat.ufu.br
156
Merece Registro
Antônio Carlos Nogueira (coordenador da seção)
Elisângela Duarte da Silva
Edson Agustini
157
Merece Registro
• III Semana da Matemática
Foi realizada de 24 a 27 de Novembro de 2003, na Faculdade de Matemática, a III
Semana da Matemática. Esta é uma atividade que vem sendo realizada anualmente e já é
uma prática consolidada da Faculdade de Matemática. O objetivo principal da mesma é
promover um intercâmbio entre os alunos de matemática da região e também entre
professores de várias instituições de ensino superior no país. As atividades desenvolvidas
na Semana concentram-se na apresentação de palestras, mini-cursos técnicos, seções de
apresentação de trabalhos de iniciação científica, relatos de experiências e oficinas. A
Famat em Revista parabeniza toda a comissão organizadora do evento - que foi
coordenada pelo Prof. Dr. Jocelino Sato - pelo excelente trabalho realizado.
• Exame Nacional de Cursos - ENC / Provão
Mais uma vez os nossos alunos brilharam no Provão. Pela sexta vez consecutiva o Curso
de Matemática da UFU obteve nota A no Exame Nacional de Cursos. Parabéns a toda a
comunidade da FAMAT. Desta vez fizeram a prova 63 alunos o que representou um
aumento razoável comparativamente aos anos anteriores. Segue abaixo a relação com os
nomes de todos os alunos que compareceram ao Exame.
1. Adelrita Macedo Borges
2. Adriana Rodrigues da Silva
3. Alex Medeiros de Carvalho
4. Aline Borges Petraglia
5. Ana Thais Pereira
6. Ariella Paula Resende
7. Ariosvaldo Marques Jatobá
8. Célia Maria da Siflva
9. Cláudia Ferreira Soares
10. Cristiane Aparecida Ferreira
11. Cynthia Rodovalho Rosa
12. Daniela Ribeiro Martins Parreira
13. Douvanio de Oliveira Gomes
14. Edson Borges de Ávila
15. Eduardo Silva Bernardt
16. Elias Dias Coelho Neto
17. Emília Rosa da Silva
18. Érika Marques da Silva
19. Érika Santana Moreira
20. Fabiana Rodrigues de Oliveira
21. Flávio Luis de Sousa Costa
22. Giovana Trindade da Silva Oliveira
23. Glauce Ribeiro de Souza Mendonça
158
24. Glédima Ferreira de Almeida
25. Helder Aidar Furtado de Oliveira
26. Hellen Cristina Borges
27. Jander Amorim Silva
28. João Cabral Ferreira
29. Joenes Martins de Moura
30. Joyce Gama da Silva
31. Juscilene da Silva
32. Karla Danianne de Castro
33. Kelen Cristina Moreira Agostinho
34. Kelly Cristina Santiago
35. Kênia Cristina Rosa
36. Leonardo de Amorim e Silva
37. Lourenço de Lima Peixoto
38. Luciano Ferreira da Silva
39. Luciano Ferreira Silva
40. Lúcio Borges de Araújo
41. Luiz Gustavo Costa e Silva
42. Marcelo Ferreira
43. Marcelo Gonçalves Oliveira Vieira
44. Marcelo Lopes Ferro
45. Marcelo Rodrigues Ferreira
46. Maurício Gonçalves Assunção
47. Melissa da Silva Rodrigues
48. Michele Cristina de Sousa
49. Naira Vincenzi da Silva
50. Neiton Pereira da Silva
51. Patrícia dos Santos Fonseca
52. Ricardo Cardoso de Oliveira
53. Roberta Machado Santos
54. Sérgio Luis Mendes
55. Simone Assis Barros
56. Sinádia Fernandes Carrijo
57. Tatyana Maestri de Barros Soares
58. Vaedesson Pereira de Souza
59. Vanessa de Fátima Cruz
60. Vinícius Vieira Fávaro
61. Viviane Ferreira Vasconcelos
62. William José dos Santos
63. Wysner Max de Lima Silva
• I Curso de Especialização em Estatística
Foi concluído em Janeiro de 2004 o I Curso de Especialização em Estatística Aplicada sob
a coordenação do Prof. Dr. Marcelo Tavares.
159
• VII Curso de Especialização em Matemática
Teve início em Fevereiro de 2004 o VII Curso Especialização em Matemática, desta feita
sob a coordenação do Prof. Dr. Marcos Câmara. O curso de especialização já se tornou
uma atividade consolidada na Faculdade de Matemática e tem por objetivo geral
complementar e atualizar a formação de professores do ensino fundamental, médio e
superior. Nas edições anteriores a seleção dos alunos era feita via análise curricular
apenas. Desta última vez a seleção usou além da análise curricular também uma prova de
habilidade como critério de seleção. Num total de 57 inscritos foram selecionados 40
candidatos. Segue abaixo a lista de todos os alunos selecionados e matriculados:
1. Adenilce Oliveira Souza
2. Aline Aparecida da Silva Andrade
3. Ana Flávia de Souza
4. Ana Thais Pereira
5. Cassiano Marques Barbosa
6. Cleber Ferreira Oliveira
7. Danilo Amorim Ferreira
8. Dayana Cristina Resende
9. Déborah Patrícia Santos do Nascimento Oliveira
10. Elimar Cândida Gomes
11. Érika de Carvalho
12. Frederico Gilber de Campos
13. Helenice Maria Costa Araújo
14. Hellen Cristina Borges
15. Juliana Souza Guimarães
16. June Cristien Braz
17. Karina Mello Porfírio
18. Katiúcia Mendes dos Santos
19. Kelbia Cristina Braga Santos
20. Kleyber Moura Ribeiro
21. Laura Cristina Fonseca Almeida Rodrigues
22. Leone Alves Leite
23. Luiz Eugênio Gambogi
24. Márcia Helena Nogueira Gonçalves
25. Márcio Amarildo da Silva
26. Maria Divina Magalhães dos Santos
27. Maxiel de Mesquita Machado
28. Neilon José de Oliveira
29. Neire Rodrigues da Silva
30. Renato Ferreira Diniz
31. Ricardo Magno Carvalho de Melo
32. Sidney Tadeu Santiago Costa
33. Simone Nunes Vieira Garcia
34. Suely Ochiucci Storti
35. Tatiana Cristina Viana
36. Tatyana Maestri de Barros Soares
37. Vanessa de Fátima Cruz
38. Wanda Aparecida Lopes
160
Obs: Foram selecionados 40 dos 57 candidatos inscritos, mas dois dos matriculados que
começaram o curso desistiram.
• Apresentação de monografia
O aluno Marcelo Gonçalves Oliveira Vieira apresentou, no dia 19 de fevereiro de 2004, a
monografia (PET) intitulada Algumas noções topológicas associadas ao círculo.
Estiveram presentes na banca examinadora os professores Valdair Bonfim, Jocelino Sato e
Walter dos Santos Motta Jr. (orientador).
• Alunos da FAMAT - UFU que ingressaram em programas de mestrado.
Em tempo: no semestre passado (2003/2) ingressaram em programas de mestrado os
seguintes alunos formados na FAMAT:
Neiton Pereira da Silva - Programa de mestrado do Departamento de Matemática da
UnB.
Leonardo Amorim e Silva - Programa de mestrado do Departamento de Matemática
da UnB.
Vinícius Vieira Fávaro - Programa de mestrado do IMECC - UNICAMP.
Marcelo Gonçalves Oliveira Vieira - Programa de mestrado do IMECC - UNICAMP.
Ariosvaldo Marques Jatobá - Programa de mestrado do IMECC - UNICAMP
Daniel Oliveira Veronese - Programa de mestrado do IBILCE - UNESP
Nilva Rodrigues Ribeiro - Programa de mestrado do ICEx - UFMG
Marcelo Lopes Ferro - Programa de mestrado do IME - UFG
E no primeiro semestre de 2004 ingressaram em programas de mestrado os seguintes
alunos formados na FAMAT:
Adriana Rodrigues da Silva - Programa de mestrado do ICEx - UFMG.
Marcelo Lopes Ferro - Programa de mestrado do IME - UFG.
• Programa Especial de Pesquisa da Universidade Federal de Uberlândia
(PEP/UFU/2003).
O objetivo deste programa é apoiar projetos de pesquisa de pesquisadores do quadro
efetivo da UFU que concluíram o doutorado nos últimos três anos. Foram apresentados 6
projetos no âmbito da FAMAT sendo que todos foram aprovados. Os professores
contemplados são:
Heyder Diniz Silva
Rogério de Melo Costa Pinto
Edson Agustini
José Eduardo Castilho
Marcos Antônio da Câmara
Zhang Cunhong

FAMAT em Revista - Faculdade de Matemática

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Numero 10 - Abril de 2003

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