- PGMEC - Universidade Federal Fluminense

Transcrição

PGMEC
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ESCOLA DE ENGENHARIA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
O USO DE BASE DE DADOS DNS PARA
CONSTRUÇÃO DE MODELOS RANS
UTILIZANDO DECOMPOSIÇÕES
TENSORIAIS E COEFICIENTES DE
BASES NORMALIZADAS
FELIPE AUGUSTO VENTURA DE BRAGANÇA ALVES
JULHO DE 2014
FELIPE AUGUSTO VENTURA DE BRAGANÇA
ALVES
UTILIZANDO DECOMPOSIÇÕES TENSORIAIS E
COEFICIENTES DE BASES NORMALIZADAS
Dissertação apresentada ao Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânicada UFF
como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica
Orientador(es): Roney Leon Thompson, Ph.D. (PGMEC/UFF)
Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio, Ph.D. (PGMEC/UFF)
U NIVERSIDADE F EDERAL F LUMINENSE
N ITERÓI , JULHO DE 2014
UTILIZANDO DECOMPOSIÇÕES TENSORIAIS E
COEFICIENTES DE BASES NORMALIZADAS
Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma final
pela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:
Roney Leon Thompson (Ph.D.)
Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
(Orientador)
Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio (Ph.D.)
(Orientador)
Felipe Bastos de Freitas Rachid (Ph.D.)
Aristeu da Silveira Neto (Ph.D.)
Universidade Federal de Uberlândia – FEMEC/UFU
Agradecimentos
Agradeço ao meus orientadores, os professores Roney e Luiz Eduardo, pelos
preciosos ensinamentos passados e pela confiança depositada em mim. Foi um
verdadeiro privilégio ter dois excelentes professores e pesquisadores como
orientadores e como exemplo profissional.
Não há agradecimentos que sejam suficientes aos meus pais, Fernanda e Augusto.
São anos de ajuda e sacrifícios que me possibilitaram chegar até aqui (e seguir
adiante!). Espero ser tão bom para meus filhos quanto eles são para mim.
Agradeço a minha esposa, Nur, minha companheira e mola propulsora. Ainda estaria
na graduação se não fosse ela!
Agradeço ao amigo Leandro, minha dupla oficial dos trabalhos nas matérias do curso.
Sua ajuda foi fundamental para terminar todas matérias neste final do curso!
Agradeço também a ajuda dos colegas do LMTA, principalmente na utilização do
LATEX.
Agradeço a Deus, por todos os dons recebidos(incluindo tudo escrito acima). Que eu
faça render os talentos que me foram dados.
iv
Resumo
Apesar do avanço dos últimos anos do entendimento de problemas que envolvem escoamentos turbulentos pela utilização das abordagens Simulação Numérica Direta (DNS)
e Simulação de Grandes Escalas (LES), a abordagem de Média de Reynolds (RANS)
ainda terá uma sobrevida significativa. Embora de menor acurácia, a abordagem RANS
é menos custosa computacionalmente, justificando sua utilização em larga escala pela
indústria. Buscando-se elevar a acurácia de modelos RANS, bases de dados DNS podem ser utilizadas para a construção ou aprimoramento destes modelos.
Neste trabalho, dados DNS de diversos grupos são explorados de duas formas. A
primeira, busca quantificar o erro intrínseco embutido no componente y x do tensor de
Reynolds dos dados DNS em canais. A segunda, aplicada em dados DNS de canais e
camada limite, propõe modelos que estendem a hipótese de Boussinesq explorando o
tensor não-persistência-de-deformação-linear, ortogonal à parte simétrica do gradiente
de velocidade e responsável por incorporar no modelo uma contribuição do caráter
rotacional do escoamento turbulento. Nesta segunda abordagem, coeficientes normalizados são comparados com os tradicionais coeficientes advindos de uma abordagem
k -ε.
Os resultados deste trabalho mostram que o erro intrínseco do componente y x do
tensor de Reynolds advindo de dados DNS embora pequeno, produz significativo impacto no cálculo da velocidade média, elevando a importância de uma análise de incertezas neste cenário e proporcionando uma medida da acurácia do tensor de Reynolds
que pode ser utilizada para critérios de convergência de DNS em canais. Além disto,
a inclusão do tensor não-persistência-de-deformação-linear foi de fundamental importância para a captura de efeitos anisotrópicos do tensor de Reynolds. Outra importante
conclusão é que os coeficientes originados de bases normalizadas são, pelo menos para
os casos testados, mais universais e mais bem comportados do que aqueles originados
da abordagem k -ε.
v
Abstract
Despite the advances achieved in understandment of problems involving turbulent
flows due to utilization of Direct numerical simulation (DNS) and Large Eddy simulation (LES), the RANS approach will still be used for a reasonable time. Although
not very accurate, the use of RANS models is computationally cheap, which justifies
it’s large industrial use. DNS data bases can be used to produce or enhance existing
models so as to achieve better accuracy to RANS models.
This study uses DNS data-base from several research groups to make two analyses.
The first one aims to quantify the intrinsic error from the Reynolds stress tensor y x
components given from direct numerical simulation from channel flows. The second
uses DNS data from channel flows and zero-pressure gradient turbulent boundary layer
flows to produce RANS models using tensorial basis that extend the Boussisnesq hypothesis. It is uses the non-persistence-of-linear-straining tensor P , which is ortoghonol to the straining tensor D , to compute the turbulent flow rotational effects on the
model. Also, new normalized dimensionless coefficients are compared to traditional
k -ε coefficients.
The study results shows that, although being small, the Reynolds stress tensor y x
components intrinsic error leads to significant errors on the velocity field calculation.
This follows that this analysis could be used as a accuracy checker for the Reynolds
stress tensor and as a convergence criteria to channel flow DNS simulations. Besides
that, the results from this study also show the important role of the non-persistenceof-linear-straining tensor P for describing the anisotropic Reynolds Stress tensor A .
Another important conclusion is that, for the flow cases tested, the normalized dimensionless coefficients has a more universal and smooth behavior that those generated by
the k -ε couple.
vi
Sumário
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1
Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Modelos de turbulência RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.1
Modelos Lineares de Viscosidade Turbulenta . . . . . . . . . .
4
1.2.2
Hipótese de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.3
Modelos Não Lineares de Viscosidade Turbulenta . . . . . . .
7
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2. Formulação Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
2.1
Escoamentos Turbulentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.1
9
2.1.1.1
Parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1.1.2
Perfil de velocidade e Lei logarítmica . . . . . . . . .
13
Escoamento de Camada Limite Turbulenta . . . . . . . . . . . .
16
2.1.2.1
Parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . .
18
Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.1.2
2.2
Escoamento em um canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1
Verificação dos resultados de simulação DNS de escoamento
em canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2
2.2.3
19
Modelos de turbulência gerados a partir de decomposições Coaxial - Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2.2.1
Decomposição Proporcional x Ortogonal . . . . . .
21
2.2.2.2
Decomposição Em-Fase x Fora-de-Fase . . . . . . .
22
Obtenção dos Modelos e Cálculo dos Coeficientes . . . . . . .
24
vii
2.2.4
2.2.3.1
Modelo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2.3.2
Modelo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2.3.3
Modelo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2.3.4
Modelo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2.3.5
Modelo V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2.3.6
Modelo VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Obtenção dos coeficientes adimensionais . . . . . . . . . . . . .
28
2.2.4.1
Escalonamento da turbulência baseada em tensores
cinemáticos normalizados . . . . . . . . . . . . . . .
29
3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1
3.2
Dados DNS utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.1
Escoamento turbulento em um canal . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.2
Escoamento de camada limite turbulenta . . . . . . . . . . . . .
32
Análise do erro intrínseco do componente R y x dos dados DNS do canal
34
3.2.1
Dados DNS de Moser, 1999 [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2.1.1
Reτ = 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2.1.2
Reτ = 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2.1.3
Reτ = 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Dados DNS de Thais, 2009 [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2.2.1
Reτ = 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2.2.2
Reτ = 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2.2.3
Reτ = 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2.2.4
Reτ = 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2.2.5
Reτ = 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Dados DNS de Hoyas, 2006 [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.2.3.1
Reτ = 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.2.3.2
Reτ = 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.2.3.3
Reτ = 950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.2.3.4
Reτ = 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.2.2
3.2.3
viii
3.2.3.5
Reτ = 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Dados DNS de Bernardini, 2014 [4] . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.2.4.1
Reτ = 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.2.4.2
Reτ = 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.2.4.3
Reτ = 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.2.4.4
Reτ = 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.2.4.5
Reτ = 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Modelos de turbulências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3.1
Modelo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.3.2
Modelo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.3.3
Modelo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.3.4
Modelo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.3.5
Model V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.3.6
Modelo VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4. Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.2.4
3.2.5
3.3
4.1
Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.2
Sugestões para trabalhos futuros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
ix
Lista de Figuras
2.1
Esquema de escoamento em um canal. Adaptado de POPE, 2000 [5] .
2.2
Contribuição dos termos viscosos e turbulentos na tensão de cisalha-
10
mento total τx y . Dados DNS de THAIS, 2009 [2] para Reτ = 395 (linha
pontilhada) e Reτ = 1000 (linha contínua) . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
14
Perfil de velocidade média de escoamento em um canal: linha contínua, Dados DNS de Thais, 2009 [2] para Reτ = 1000; linha pontilhada,
1
ln y + + 5.2. . . . . . . . . . . . . .
U + = y + ; linha traço-ponto, U + = 0.41
2.4
Esquema de escoamento de camada limite em placa plana. Adaptado
de POPE, 2000 [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
16
17
Perfil de velocidade média de um escoamento de camada limite turbulenta: linha contínua, Dados DNS de Sillero, 2013 [6] para Reθ = 5000;
1
ln y + + 5.2. . .
linha pontilhada, U + = y + ; linha traço-ponto, U + = 0.41
3.1
19
Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Moser,1999 [1].
(a) Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(× ) e através do
campo de velocidade(—). (b) Diferença percentual entre as tensões . .
3.2
34
(a) Velocidades obtidas pela simulação DNS(× ) e através da tensão de
Reynolds R xDyN S (—). (b) Diferença percentual entre as velocidades . .
3.3
35
3.4
36
3.5
36
x
37
3.6
3.7
38
Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Thais,
2009 [2]. (a) Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(× ) e
através do campo de velocidade(—). (b) Diferença percentual entre as
tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8
38
2009 [2]. (a) Velocidades obtidas pela simulação DNS(× ) e através
da tensão de Reynolds R xDyN S (—). (b) Diferença percentual entre as
velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9
39
tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.10 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 395 de Thais,
velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
41
tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.15 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 3000 de Thais.
43
3.16 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 3000 de Thais.
43
3.17 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Hoyas,
tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xii
45
velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.25 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 4200 de Hoyas.
49
3.26 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 4200 de Hoyas.
xiii
49
3.27 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Bernardini,
tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.31 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 1000 de Bernardini, 2014 [4]. (a) Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(× )
e através do campo de velocidade(—). (b) Diferença percentual entre
as tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.32 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 1000 de Bernardini, 2014 [4]. (a) Velocidades obtidas pela simulação DNS(× ) e através da tensão de Reynolds R xDyN S (—). (b) Diferença percentual entre
as velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
as tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xiv
54
as velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
as tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
as velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.37 Medida da acurácia de cada modelo para o escoamento em um canal
de Reτ = 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.38 Medida da acurácia de cada modelo para o escoamento de camada
limite turbulenta de Reθ = 6500 (Reτ ≈ 2000). . . . . . . . . . . . . . .
59
3.39 Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo I escalonado pela
energia cinética turbulenta k e pela dissipação ε. . . . . . . . . . . . . .
60
3.40 Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo I escalonado pela
energia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ̇. . . . . . . .
60
3.41 Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo II escalonado pela
61
3.42 Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo II escalonado pela
energia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ̇. . . . . . . .
62
3.43 Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo II escalonado
pela energia cinética turbulenta k e pela dissipação ε. . . . . . . . . . .
62
3.44 Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo II escalonado
pela energia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ̇. . . . . .
xv
63
3.45 Coeficiente adimensional para o tensor D 2 do Modelo II escalonado
63
3.46 Coeficiente adimensional para o tensor D 2 do Modelo II escalonado
pela energia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ̇. . . . . .
64
3.47 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo III escalonado
65
3.48 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo III escalonado
pela energia cinética turbulenta k e pela intensidade da não-persistênciade-deformação-linear p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.49 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo IV escalonado
66
3.50 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo IV escalonado
67
3.51 Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo V escalonado pela
67
3.52 Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo V escalonado pela
energia cinética turbulenta k e pela intensidade da não-persistência-dedeformação-linear p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.53 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo V escalonado
68
3.54 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo V escalonado
69
3.55 Coeficiente adimensional para o tensor P 2 do Modelo V escalonado
69
3.56 Coeficiente adimensional para o tensor P 2 do Modelo V escalonado
xvi
70
3.57 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo VI escalonado
71
3.58 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo VI escalonado
xvii
71
Lista de Tabelas
2.1
Regiões de parede e suas propriedades
3.1
Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Moser et
al [1]
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
31
3.2
Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Thais et al [2] 32
3.3
Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Hoyas et
al [3]
3.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Bernardini
et al [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
32
32
Parâmetros da simulação DNS de escoamento de camada limite turbulenta de Sillero et al [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xviii
33
Capítulo 1
Introdução
Turbulência, na Mecânica dos Fluidos, é um regime de escoamento de um fluido e é
essencialmente transiente, rotacional, tridimensional e irregular, ou caótico. Portanto,
o movimento de cada ponto, ou partícula, do fluido é imprevisível. Este comportamento turbulento está normalmente associado a um elevado número de Reynolds. A
turbulência é um fenômeno ainda não completamente compreendido ou bem estruturado cientificamente e, ainda assim, está comumente presente nos diversos campos de
aplicação da mecânica dos fluidos sendo, portanto, um campo de intensa pesquisa há
mais de um século.
As equações que modelam a movimentação dos fluidos newtonianos são aquelas
propostas por Navier-Stokes, tanto para um escoamento laminar quanto para um turbulento. Em um escoamento turbulento, em função das características descritas acima,
a quantidade de informação contida no campo de velocidades é tão vasta que se torna
praticamente impossível resolver diretamente as equações de Navier-Stokes. Portanto,
um dos campos de pesquisa na Turbulência é o estudo voltado à formulação de modelos matemáticos para descrição dos escoamentos turbulentos que sejam de possível
solução e, ainda assim, que possam predizer com relativa acurácia as propriedades dos
escoamentos turbulentos.
A simulação numérica de escoamentos turbulentos é uma área de interesse tanto
para pesquisas científicas quanto para Indústria. No método da simulação numérica
1
direta (Direct Numerical Simulation, DNS) as equações de Navier-Stokes são resolvidas numericamente sem nenhum tratamento estatístico. Todas as escalas de turbulência
são resolvidas. O método DNS apresenta alto custo computacional que aumenta proporcionalmente a Re 9/4 [5], sendo assim, só é utilizável para números de Reynolds
baixos a moderados e geometrias simples. Apesar disto, é um método muito utilizado
para pesquisas, devido à quantidade e qualidade das informações obtidas através dele.
Outro método que apresenta resultados satisfatórios, sob o ponto de vista da acurácia,
é o método da Simulação de Grandes Escalas (Large Eddy Simulation, LES). Esse método calcula o campo de velocidades filtrado U (x, t ), onde os turbilhões de menores
escalas não são calculados, sendo que sua influência é incluída através de um modelo.
Este método pode ser utilizado para maiores valores de Re, porém, o custo computacional ainda é alto.
1.1
Motivação
Na indústria os métodos DNS e LES não são muito utilizados devido ao alto custo
computacional, o que significa potência de computador e tempo de simulação. Em
seu lugar, são utilizados modelos RANS que calculam as quantidades médias do escoamento, baseados nas equações de Navier-Stokes com médias de Reynolds (Reynolds
Averaged Navier-Stokes, RANS). Estas equações são obtidas pela decomposição da velocidade em uma soma U (x, t ) = 〈U (x, t )〉+u(x, t ), onde o primeiro termo é uma média
temporal da velocidade e o segundo a flutuação em torno desta média. As equações
RANS são similares às equações de Navier-Stokes originais, com a particularidade do
acréscimo de um novo termo, derivado das flutuações da velocidade, chamado tensor
de Reynolds. Os termos do tensor de Reynolds são desconhecidos e o tensor precisa
ser modelado. A maneira como isto é feito gera os diferentes modelos RANS.
Apesar de não apresentar resultados com a mesma acurácia que os métodos DNS
e LES, os modelos de turbulência RANS merecem atenção por sua versatilidade, baixo
custo computacional e amplo uso industrial.
Nas décadas de 80 e 90 havia esperança de uma completa substituição dos mode2
los RANS pelo método LES, devido principalmente ao rápido aumento de capacidade
computacional e desenvolvimentos de novos algarítmicos. Porém, uma estimativa do
custo computacional da simulação de um escoamento ao redor de uma asa completa
tridimensional [7] apontava que sua realização só seria possível por volta do ano 2045.
Como alternativa viável foi apresentado um método híbrido RANS-LES, o Detached
Eddy Sumilation(DES). Nos métodos híbridos, nas regiões onde o método LES demandaria alta resolução para malha, por exemplo na camada limite, são utilizados modelos
RANS. Com isso, o custo computacional da simulação é reduzido significativamente.
Desde então, o método DES e outros métodos híbridos foram acolhidos e a demanda
por modelos RANS persiste [8].
Portanto, o estudo e desenvolvimento de modelos de turbulência RANS é um campo
de pesquisa relevante.
1.2
Modelos de turbulência RANS
As equações que regem o campo de velocidade médio em um escoamento incompressível turbulento derivam das leis da conservação de massa e de momentum. A lei da
conservação de massa gera a equação (1.1) e a conservação de momentum a equação (1.2).
∇.〈U 〉 = 0
(1.1)
1
∂〈U 〉
+ 〈U 〉.∇〈U 〉 = − ∇〈p〉 + ν∇2 〈U 〉 − ∇.〈uu〉
∂t
ρ
(1.2)
O operador linear 〈.〉 produz a média de Reynolds da quantidade em questão, dada
por:
1
〈ϕ〉 =
T
tZ
0 +T
ϕdt
t0
Onde ϕ pode ser um escalar ou tensores de qualquer ordem.
3
(1.3)
O termo 〈uu〉 é o termo desconhecido que precisa ser modelado. Deste termo é
definido o tensor de Reynolds R :
R = −〈uu〉
(1.4)
O tensor A é definido como a parte anisotrópica do tensor de Reynolds, dado por:
A=R−
2k
t r (R)
I =R−
I
3
3
(1.5)
Onde k é a energia cinética turbulenta k = 〈u.u〉/2 e I é a matriz identidade.
É somente a parte anisotrópica do tensor de Reynolds que transporta momentum, a
parte isotrópica pode ser absorvida pela pressão modificada p̄ = 〈p〉 + 2k/3. A equação (1.2) pode, então, ser reescrita como:
∂〈U 〉
1
+ 〈U 〉.∇〈U 〉 = − ∇p̄ + ν∇2 〈U 〉 + ∇.A
∂t
ρ
1.2.1
(1.6)
Modelos Lineares de Viscosidade Turbulenta
A primeira relação do termo desconhecido paras equações RANS foi proposta por
Boussinesq em 1877.
Em um escoamento turbulento em um canal, somente a componente A x y = −〈uv〉 é
relevante na equação (1.6). Em analogia à tensão cisalhante de um fluido newtoniano,
Boussinesq introduz a viscosidade turbulenta (eddy viscosity) νT para modelagem de
〈uv〉, dada pela equação (1.7).
〈uv〉 = −νT
d〈U 〉
dy
(1.7)
A equação (1.7) foi generalizada para uma formulação tensorial por Kolmogorov
em 1947, gerando o modelo para o tensor de Reynolds mais simples ainda utilizado.
A = 2νT D
4
(1.8)
Onde D é o tensor taxa de deformação média D = ∇〈U 〉 + ∇T 〈U 〉 /2.
¡
¢
A equação (1.8) representa a Hipótese de Boussinesq e é a base para os modelos lineares de viscosidade turbulenta (Linear Eddy Viscosity Models, LEVM). Nestes
modelos é necessária somente a definição da viscosidade turbulenta νT .
A viscosidade turbulenta νT pode ser vista como uma difusividade de momentum [9] determinada por uma velocidade macroscópica e uma escala de comprimento
características. Sendo assim, a viscosidade turbulenta é dada pelo produto de uma
escala de velocidade por uma escala de comprimento turbulentas. A escala de velocidade normalmente utilizada é obtida pela raiz quadrada da energia cinética turbulenta
k . Então, νT é expresso por:
1
νt = C µ0 k 2 l = C µ00 k n Z m
(1.9)
Onde l é uma escala de comprimento turbulento e C µ um fator adimensional. Alternativamente, qualquer quantidade Z pode ser usada em conjunto com k para produzir
uma escala turbulenta, sendo apenas necessário escolher os expoentes n e m de maneira a se obter a dimensão de viscosidade cinemática [m 2 s −1 ] no produto.
Os LEVM são subclassificados pelo número de equações diferenciais extras resolvidas para determinar a viscosidade turbulenta νT em cada modelo. Um LEVM de uma
equação muito utilizado, especialmente para escoamentos aerodinâmicos, é o modelo
Spalart-Allmaras [10], onde é resolvida diretamente uma equação diferencial da evolução no tempo da viscosidade turbulenta.
Os LEVM’s mais utilizados são os de duas equações. Equações diferenciais são
utilizadas para calcular dois parâmetros a serem utilizados na equação (1.9). Um dos
pares mais utilizado é o k -ε, onde são resolvidas equações da evolução no tempo da
energia cinética turbulenta k e da dissipação ε. Nestes modelos são necessários tratamentos especiais [11–13] na região perto da parede, normalmente funções de amortecimento. Outro par utilizado é o k -ω, onde no lugar da dissipação ε é utilizada a
dissipação específica ω, de dimensão [s −1 ], sendo, portanto, um tempo característico
da turbulência. As formulações k -ε e k -ω apresentam maior eficácia em diferentes
5
regiões do escoamento. Pensando em unificar as qualidades das duas formulações,
Menter[14] criou o modelo SST k -ω, onde é utilizada a formulação k -ω nas regiões
de camada limite e a formulação k -ε nas regiões de escoamento livre. O modelo SST
é uilizado amplamente em problemas de engenharia.
1.2.2
Hipótese de Boussinesq
Todos LEVM’s se sustentam na hipótese de Boussinesq. Esta hipótese pode ser vista
em duas partes. A primeira suposição, chamada hipótese intrínseca, é que o tensor
de Reynolds anisotrópico A é determinado pelo tensor taxa de deformação D em cada
local e tempo de escoamento, ou seja:
A = f (D)
(1.10)
A segunda suposição, a hipótese específica, é que a relação entre os tensores A e D
é dada pela equação (1.8), ou seja, a relação é linear através da viscosidade turbulenta
νT .
Experimentos demonstram que a hipótese intrínseca não tem validação geral. Em
casos de escoamento com rápida distorção axissimétrica o tensor A apresenta comportamento similar a um sólido elástico, sendo determinado antes pelo histórico de
deformação do fluido do que por sua taxa de deformação. Neste sentido, a turbulência
se comporta mais parecida com um fluido viscoelástico do que com um fluido newtoniano. Porém, para escoamentos viscométricos, onde as características turbulentas e
a taxa de deformação evoluem lentamente, seguindo o campo de velocidade médio, a
hipótese intrínseca é razoável.
Já hipótese específica não é razoável nem mesmo para escoamentos viscométricos
simples. Mesmo no caso de escoamento em um canal a hipótese não é válida [5].
Nos escoamentos turbulento estatisticamente puramente cisalhantes, as componentes
normais do tensor taxa de deformação são nulos (D xx = D y y = D zz = 0), já os componentes normais de A são significativamente diferentes um dos outros, produzindo
diferenças de tensões normais.
6
Sendo assim, os modelos lineares de viscosidade turbulenta não apresentam bons
resultados para escoamentos mais complexos, como escoamentos com recirculação,
jatos, sobre superfícies curvas e em esteiras.
1.2.3
Modelos Não Lineares de Viscosidade Turbulenta
Os modelos de turbulência LEVM são os mais simples, no outro extrema da complexidade estão os modelos da tensão de Reynolds (Reynolds Stress Models, RSM). Nos
modelos RSM é resolvida uma equação de evolução no tempo e no espaço do tensor de
Reynolds R , sendo assim, cada componente do tensor é descrito por uma equação diferencial. Os modelos RSM não são restritos pela hipótese de Boussinesq e por isso são
capazes de prever com maior fidelidade o tensor de Reynolds. Apesar disso, a equação
de evolução do tensor de Reynolds tem três tensores desconhecidos de grande influência que precisam ser modelados para solução das equação diferenciais. A modelagem
destes tensores é complexa e existem várias abordagens possíveis.
No meio termo de complexidade estão os modelos não lineares de viscosidade
turbulenta (Non Linear Eddy Viscosity Models, NLEVM). Lumley [15] e Pope [16]
foram os primeiros a propor uma formulação não-linear mais completa para o tensor
de Reynolds anisotrópico A . Nestas formulações a relação entre o tensor A e o tensor
D , da hipótese de Boussinesq, é expandida por meio de teoremas de representação da
forma A (D) ou A (D,W ), onde W é o tensor taxa de rotação. Por exemplo:
A = α0 I + α1 D + α2 D 2
(1.11)
Os termos não-lineares proporcionam ao modelo a anisotropia que gera as diferenças de tensão normal em cisalhamento puro, suprimindo um dos principais defeitos na
hipótese de Boussinesq. Os modelos NLEVM podem ser vistos como uma forma mais
geral da viscosidade turbulenta [9].
Os coeficientes que multiplicam os tensores de um modelo NLEVM são produzidos
da mesma maneira que para a viscosidade turbulenta νT , por análise dimensional e
parâmetros específicos da turbulência. Desta maneira, os NLEVM são normalmente
7
acoplados aos modelos de duas equações k -ε ou k -ω. No entanto, a determinação
destes coeficientes utilizando resultados DNS ou experimentais é um desafio que se
coloca na modelagem NLEVM.
1.3
Objetivos
O presente trabalho tem por objetivo analisar a eficácia e o erro intrínseco de diferentes modelos lineares e não lineares de viscosidade turbulenta propostos. Além disso,
propõe novos pares de parâmetros para obtenção da viscosidade turbulenta νT e dos
outros coeficientes da base utilizada no modelo.
Os coeficientes dos modelos são calculados através de dados obtidos de simulação
DNS para casos de escoamento turbulento em um canal e de camada limite turbulenta
com gradiente de pressão nulo para diferentes números de Reynolds. Os coeficientes
adimensionais são comparados quanto a universalidade(menor variação de caso a caso)
e quanto ao perfil das curvas obtidas, especialmente nas regiões próxima a parede, onde
são utilizadas as funções de amortecimento nos modelos de turbulência.
Uma segunda análise é feita para verificar a consistência dos dados provenientes de
diferentes simulações DNS realizadas do caso de escoamento em um canal. Os dados
obtidos de simlações DNS, especialmente as componentes da tensão de Reynolds, são
normalmente utilizados para verificação e confecção de modelos de turbulência. Pelas equações analíticas que governam o escoamento em um canal, é analisado o quão
consistentes são o campo de velocidade e o tensor de Reynolds obtidos na simulação. Também é analisado o efeito do erro intrínseco dos dados da tensão de Reynolds
obtidos da simulação DNS ao calcular analiticamente o campo de velocidade no escoamento em um canal.
8
Capítulo 2
Formulação Teórica
Neste capítulo são apresentados os fundamentos teóricos necessários para compreensão das análises realizadas.
Na seção 2.1 são apresentados os tipos e características dos escoamentos utilizados
neste trabalho para obtenção dos modelos de turbulência e para análise de consistência
dos dados da simulação DNS.
A seção 2.2 apresenta a metodologia das análises realizadas. A primeira parte versa
sobre a análise de consistência dos dados DNS de escoamentos turbulentos em um canal. A segunda parte apresenta a metodologia para obtenção dos modelos para a parte
anisotrópica do tensor de Reynolds A e de seus coeficientes. A terceira parte apresenta
os pares de parâmetros utilizados para obtenção dos coeficientes adimensionais para
os modelos obtidos.
2.1
2.1.1
Escoamentos Turbulentos
Escoamento em um canal
O escoamento em um canal é esquematizado na figura 2.1. O duto retangular tem altura
h = 2d , é considerado longo (L À d ) e apresenta razão de aspecto elevada (b À d ). O
escoamento médio é predominantemente na direção x . Próximo à entrada do duto, em
x = 0, existe uma zona de desenvolvimento do escoamento. Depois de uma distância
9
suficientemente grande o escoamento torna-se estatisticamente independente de x . Os
componentes da velocidade nas direções x , y e z são 〈U 〉, 〈V 〉 e 〈W 〉 respectivamente.
Fig. 2.1: Esquema de escoamento em um canal. Adaptado de POPE, 2000 [5]
Como b À d , longe das paredes laterais o escoamento pode ser considerado estatisticamente independente de z . Além disso, a velocidade média na direção z é 〈W 〉 = 0.
O canal é limitado por paredes em y = 0 e y = 2d , sendo que o campo de velocidades médio é simétrico em relação ao plano y = d . Para um fluxo constante, o
escoamento é de regime permanente.
A partir destas considerações, a equação da continuidade para escoamento em um
canal se reduz a:
d〈V 〉
=0
dy
(2.1)
Onde 〈V 〉 é a velocidade média na direção y . Como 〈V 〉 y=0 = 0, então 〈V 〉 = 0 em
todo comprimento y do canal.
O balanço de momentum na direção y é:
0=−
d〈v 2 〉 1 ∂〈p〉
−
dy
ρ ∂y
(2.2)
Sabendo que 〈v 2 〉 y=0 = 0, da integração da equação (2.2) obtém-se:
〈v 2 〉 + 〈p〉 = p w (x)
(2.3)
Onde p w = 〈p〉 (x, 0, 0). Sabendo que 〈v 2 〉 é função somente de y , derivando a
10
equação (2.3) em relação a x obtém-se:
∂〈p〉 dp w
=
∂x
dx
(2.4)
O balanço de momentum na direção x , já com a informação obtida da equação (2.4),
é:
0=ν
d2 〈U 〉 d〈uv〉 1 dp w
−
−
dy 2
dy
ρ dx
(2.5)
Sabendo que a tensão cisalhante total é dada por:
τx y
µ
¶
d〈U 〉
=ρ ν
− 〈uv〉
dy
(2.6)
A equação (2.5) se reduz a:
dτx y
dy
=
dp w
dx
(2.7)
Como um lado da equação (2.7) é função somente de y e o outro somente de x ,
a igualdade só é possível caso as duas funções tenham valor constante (dτx y /dy =
dp w /dx = c ).
A tensão de cisalhamento τx y é antissimétrica em relação ao plano y = d , daí segue
que τx y (d ) = 0.
Definindo a tensão cisalhante na parede como τw ≡ τx y (0), e visto que pela condição de não escorregamento na parede 〈uv〉 y=0 = 0, τw é dado por:
µ
d〈U 〉
τw ≡ τx y (0) = ρν
dy
¶
(2.8)
y=0
então a função de τx y é dada por:
³
y´
τx y = τw 1 −
d
e a queda de pressão:
11
(2.9)
dp w
τw
=−
dx
d
(2.10)
As equações (2.9) e (2.10) são válidas tanto para escoamento turbulento quanto
laminar. A diferença entre os escoamentos está na contribuição da tensão de Reynolds
na tensão total.
2.1.1.1
Parâmetros adimensionais
Os números de Reynolds utilizados para caracterizar o escoamento em canal são:
Re =
Ū 2d
ν
(2.11)
U0 d
ν
(2.12)
e
Re0 =
onde U0 = 〈U 〉 y=d é a velocidade média máxima do escoamento e Ū é a velocidade
de vazão:
1
Ū =
d
d
Z
0
〈U 〉dy
(2.13)
Tipicamento, o escoamento é considerado laminar para Re < 1350 e turbulento para
Re > 1800.
No escoamento turbulento as tensões viscosas são dominantes perto das paredes,
sendo assim, os parâmetros ν e τw desempenham papéis importantes nesta região.
Destes parâmetros é possível se obter escalas viscosas que definem as escalas de velocidade e comprimento nesta região. A velocidade de atrito na parede é dada por:
s
uτ ≡
τw
ρ
Deste parâmetro é obtido um número de Reynolds de parede:
12
(2.14)
Reτ ≡
uτ d
ν
(2.15)
e a escala de comprimento viscosa:
r
ν
ρ
=
δv ≡ ν
τw u τ
(2.16)
A partir da escala de comprimento viscosa obtém-se uma medida de distância da
parede y em unidades de parede y + :
y+ ≡
uτ y
y
=
δv
ν
(2.17)
Comparando as equações (2.15) e (2.17) observa-se que o valor de y + representa o
número de Reynolds Reτ local. Sendo assim, sua magnitude determina a importância
relativa entre os processos viscosos e turbulentos.
Da Eq. (2.6) observa-se que dois termos contribuem para formação da tensão de
cisalhamento total τx y . O primeiro termo é uma contribuição viscosa e o segundo uma
contribuição devida a turbulência do escoamento. A Fig. 2.2 demonstra a contribuição
de cada um dos desses termos na tensão de cisalhamento total para dois escoamentos
de canal diferentes, de Reτ = 395 e Reτ = 1000. É possível observar que as curvas
praticamente colapsam e que há regiões de y + bem específicas para contribuição de
cada termo. Estas regiões são descritas na tabela 2.1.
2.1.1.2
Perfil de velocidade e Lei logarítmica
O escoamento plenamente desenvolvido em um canal é descrito completamente pela
queda de pressão infligida no duto, pela espessura 2d do duto e pelas propriedades do
fluido ρ e ν. Das equações (2.10) e (2.14) u τ é relacionado com a queda de pressão
por:
d dp w
uτ = −
ρ dx
µ
13
¶
(2.18)
Fig. 2.2: Contribuição dos termos viscosos e turbulentos na tensão de cisalhamento
total τx y . Dados DNS de THAIS, 2009 [2] para Reτ = 395 (linha pontilhada)
e Reτ = 1000 (linha contínua)
Portanto, o escoamento pode ser especificado completamente por u τ , d , ρ e ν.
Destas quantidades e da distância da parede y é possível produzir somente pares de
parâmetros adimensionais independentes. Consequentemente, qualquer informação
do escoamento pode ser escrito como função destas quantidades e de uma função universal adimensional.
Por conveniência, utilizando o par adimensional independente y/d e yu τ /ν = y/δv ,
podemos escrever o único componente do gradiente de velocidade média como:
µ
¶
y y
d〈U 〉 u τ
=
F
,
dy
y
δv d
(2.19)
Onde F é uma função adimensional universal. Os termos adimensionais foram
escolhidos de maneira a produzir uma escala apropriada para região viscosa próxima à
parede ( y/δv = y + ) em y + < 50 e uma escala apropriada para região externa ( y/d = y h )
em y + > 50, onde os efeitos viscosos são desprezíveis.
Admitindo que, para valores altos de Re, existe uma região próxima à parede
( y h ¿ 1) onde a velocidade média seja determinada inteiramente pela escala viscosa,
independentemente de d e U0 . Então, nesta região a equação (2.19) se reduz a:
d〈U 〉 u τ ¡ + ¢
=
FI y
dy
y
14
(2.20)
onde
¡ ¢
¡
¢
F I y + = lim F y + , y h
y h →0
(2.21)
Fazendo as substituições y = δv y + e 〈U 〉 = u τU + a equação (2.20) se torna
¡ +¢
1
dU +
=
F
y
1
dy +
y+
(2.22)
Daí, segue que
¡ ¢
U + = fw y+ =
y+
Z
0
1 ¡ 0¢ 0
F I y dy
y0
(2.23)
Portanto, para y h ¿ 1 a velocidade adimensional U + é função somente de y + .
Pela condição de não deslizamento f w (0) = 0 e pela equação (2.8) f 0 w (0) = 1,
então, pela expansão de taylor em torno do ponto y + = 0, ou seja, para y + pequenos,
temos que
¢
¡ ¢
¡
f w y + = y + + O y +2
(2.24)
Portanto, na subcamada viscosa ( y + < 5) a relação entre a velocidade de parede U +
com a unidade de parede y + pode ser considerada linear (U + ≈ y + ).
A relação descrita acima é válida para a subcamada viscosa, porém, ainda perto da
parede ( y h ¿ 1), existe uma região em que a viscosidade do fluido tem pouco efeito no
escoamento ( y + À 1). Então a função F I deixa de depender de y + e assume um valor
constante k −1 . A equação (2.22) torna-se então:
dU +
1
=
dy + k y +
(2.25)
Que pode ser integrada diretamente para
U+ =
1
ln y + + B
k
onde B é uma constante. Esta relação é chamada lei logarítmica da parede.
15
(2.26)
A figura 2.3 mostra o perfil de velocidades de uma simulação DNS de um escoamento de canal de Reτ 1000 e é possível observar a concordância com as relações
linear e logarítmica demonstradas acima.
15
10
U+
5
0
5 10
20
30
40
50
60
70
y+
Fig. 2.3: Perfil de velocidade média de escoamento em um canal: linha contínua, Dados DNS de Thais, 2009 [2] para Reτ = 1000; linha pontilhada, U + = y + ;
1
ln y + + 5.2.
linha traço-ponto, U + = 0.41
A região entre o comportamento linear e o logarítmico da velocidade média é chamada de camada amortecida (Buffer layer).
A tabela 2.1 apresenta algumas das regiões observáveis em um escoamento turbulento em um canal.
2.1.2
Escoamento de Camada Limite Turbulenta
O escoamento de camada limite em uma placa plana com gradiente de pressão nulo é
esquematizado na figura 2.4.
Um escoamento uniforme de velocidade constante U0 na direção x encontra na
posição x = 0 uma placa plana formada pela superfície y = 0. A velocidade média é
predominantemente na direção x sendo o campo de velocidade fora da camada limite
dado por U0 (x). As estatísticas variam principalmente na direção y e são independentes da direção z . O escoamento desenvolve-se continuamente na direção x , portanto
dependente de x e y . Os componentes da velocidade são U , V e W , sendo que 〈W 〉 = 0.
A espessura de camada limite δ(x) é definido como o valor de y onde a velocidade
média 〈U (x, y = δ)〉 = 0.99U0 . Outros comprimentos característicos da região perto da
16
Tab. 2.1: Regiões de parede e suas propriedades
Região
Localização
Propriedades
Subcamada
viscosa
y+ < 5
A tensão cisalhante é predominantemente viscosa e o
termo turbulento é desprezível. O perfil de
velocidade U + é linear com y + (U + ≈ y + ).
Camada
amortecida
(Buffer
layer)
5 < y + < 30
Região onde os termos viscosos e turbulentos são de
igual magnitude. Transição entre perfil linear e
logarítmico da velocidade média
Região
viscosa de
parede
y + < 50
Região onde a viscosidade afeta o perfil de
velocidade U +
Região
externa
Região de Lei
logarítmica da
parede
y + > 50
Os efeitos da viscosidade no campo de velocidade
U + são desprezíveis
y + > 30,
A velocidade U + assume perfil logarítmico.
y h < 0.3
Fig. 2.4: Esquema de escoamento de camada limite em placa plana. Adaptado de
POPE, 2000 [5]
parede são a espessura de deslocamento δ∗ (x), dada por:
∗
δ (x) =
∞µ
Z
0
¶
〈U 〉
1−
dy
U0
(2.27)
e a espessura de momento θ(x) dada por
θ(x) =
Z
0
∞
µ
¶
〈U 〉
〈U 〉
1−
dy
U0
U0
(2.28)
A espessura de deslocamento δ∗ está relacionada com a diminuição da vazão volumétrica próximo a placa devido a viscosidade e quantifica o deslocamento da linha de
17
corrente. Do mesmo modo, a espessura de momento θ está relacionado a diminuição
do fluxo de momentum devido a dissipação provocada pela viscosidade.
A equação da continuidade na camada limite se reduz a:
∂〈U 〉 ∂〈V 〉
+
=0
∂x
∂y
(2.29)
O balanço de momentum na direção x , no caso de gradiente de pressão nulo e com
as aproximações de camada limite, é:
〈U 〉
∂〈U 〉
∂〈U 〉 1 ∂τx y
+ 〈V 〉
=
∂x
∂y
ρ ∂y
(2.30)
Onde τx y segue a mesma definição que no escoamento em um canal, dado pela
equação (2.6). Em y = 0 os termos cinemáticos são nulos e da equação (2.30) surge
uma condição de contorno para a tensão cisalhante:
µ
∂τx y
∂y
2.1.2.1
¶
∂2 〈U 〉
=
∂y 2
y=0
µ
¶
=0
(2.31)
y=0
Parâmetros adimensionais
Do comprimento x e das espessuras definidas nos itens anteriores são definidos alguns
números de Reynolds:
U0 x
U 0 δ∗
U0 δ
U0 θ
∗
Rex ≡
, Reδ ≡
, Reδ ≡
, Reθ ≡
ν
ν
ν
ν
(2.32)
No caso de um gradiente de pressão nulo (velocidade constante fora da camada
limite) o escoamento dentro da camada limite é laminar de x = 0 até um valor crítico
de Rex , onde começa a transição para o escoamento turbulento.
Da mesma maneira que no caso de escoamento em um canal, a partir da tensão
cisalhante na parede τw , são obtidas as escalas de parede. Na região perto da parede o escoamento de camada limnite turbulenta tem as mesmas propriedades que o
escoamento em um canal, apresentando as regiões de y + descritas na tabela 2.1 e a
lei logarítmica. A figura 2.5 apresenta o perfil de velocidade obtido de uma simula18
ção DNS de um escoamento de camada limite turbulenta em Reθ 5000 e é possível
observar a validade da lei logarítmica da parede.
15
10
U+
5
0
5 10
20
30
40
y
50
60
70
+
Fig. 2.5: Perfil de velocidade média de um escoamento de camada limite turbulenta:
linha contínua, Dados DNS de Sillero, 2013 [6] para Reθ = 5000; linha ponti1
lhada, U + = y + ; linha traço-ponto, U + = 0.41
ln y + + 5.2.
2.2
2.2.1
Metodologia
Verificação dos resultados de simulação DNS de escoamento em canal
Em uma simulação DNS as equações de Navier-Stokes são resolvidas diretamente, com
isto, é possível se obter os campos médios do escoamento, inclusive as estatísticas de
segunda ordem, como o tensor de Reynolds.
¡ ¢
No caso de escoamento turbulento em um canal o perfil de velocidade U y é
definido por somente uma componente do tensor de Reynolds, a componente R x y =
A x y = −〈uv〉. As equações (2.6) e (2.9) relacionam estes componentes da seguinte
maneira:
ν
³
d〈U 〉
τw ³
y´
y´
+ Rx y =
1−
= u τ2 1 −
dy
ρ
d
d
(2.33)
Os dados DNS são normalmente apresentados em unidades de parede, onde os parâmetros são adimensionalizados por u τ e δv . Fazendo as substituições U = u τU + ,
y = δv y + = y + ν/u τ e R x y = u τ2 R x+y na equação (2.33) encontra-se a relação adimensi-
onal descrita na equação (2.34).
19
³
y´
d〈U 〉
+ R x y = u τ2 1 −
dy
d
µ
¶
2
+
νu τ dU
νy +
2
2
+ uτ R x y = uτ 1 −
ν dy +
uτ d
µ
¶
µ
¶
+
y+
2 dU
+
2
uτ
+ R x y = uτ 1 −
dy +
Reτ
+
+
dU
y
+
+
R
=
1
−
x
y
dy +
Reτ
ν
(2.34)
Com a equação (2.34) é possível analisar a consistência dos dados obtidos da simulação DNS.
Na primeira análise o componente R x+y do tensor de Reynolds obtido da simulação
DNS,referido como R xDyN S , é comparado com um calculado,referido como R xvel
y , a partir
da equação (2.34) utilizando o campo de velocidade U + , referido como U D N S , obtido
da simulação. Sendo assim, R xvel
y é calculado por:
R xvel
y
y+
dU D N S
+
= 1−
dy +
Reτ
µ
¶
(2.35)
A diferença percentual ∆R , calculada pela equação (2.36), quantifica o quanto o
valor obtido para o tensor de Reynolds da simulação DNS se distancia daquele que
obedece o perfil linear da tensão de cisalhamento para o campo de velocidade obtido
da simulação.
∆R = 1 −
R xDyN S
R xvel
y
(2.36)
A segunda análise calcula o campo de velocidade U Re pela equação (2.34) através
do tensor de Reynolds R xDyN S obtido da simulação DNS. A equação (2.34) fica então:
µ +
¶
dU Re
y
DNS
= 1−
+ Rx y
dy +
Reτ
A equação (2.37) é integrada para obtenção do campo de velocidade:
20
(2.37)
U
Re
¡
y
+
¢
¶ Z y+
y +2
= y −
−
R xDyN S (y 0 )dy 0
2Reτ
0
µ
+
(2.38)
A diferença percentual ∆U , calculada pela equação (2.39) quantifica o quanto um
campo de velocidade produzido pela tensão de Reynolds R xDyN S se afasta do campo de
velocidade U D N S do qual foi calculada a própria tensão R xDyN S .
∆U =
2.2.2
U Re
−1
U DNS
(2.39)
Modelos de turbulência gerados a partir de decomposições Coaxial Ortogonal
Os melhores coeficientes de uma base para representação do tensor de Reynolds são
calculados utilizando uma metodologia [17] baseada em duas decomposições tensoriais que serão descritas abaixo.
Estas decomposições surgem, em analogia a decomposição vetorial, da ideia de
decompor um tensor A em relação a B em uma soma de uma parte de A coaxial a B e
uma parte ortogonal a B , portanto:
A = PBA + P̃BA
(2.40)
Onde o tensor PBA é coaxial1 a B e o tensor P̃BA é ortogonal2 a B . Diferentemente do
caso vetorial, esta decomposição não assume somente uma forma, mas duas, descritas
abaixo.
2.2.2.1
Decomposição Proporcional x Ortogonal
Nesta primeira decomposição a parte de A coaxial a B , da mesma maneira que no caso
vetorial, é assumida proporcional a B , ou seja:
PBA = αB
1
2
O tensor PBA deve preservar o produto interno entre A e B . Portanto 〈A, B 〉 = 〈A, PBA 〉
Portanto, deve ter a seguinte propriedade: 〈P̃BA , B 〉 = 0
21
(2.41)
Daí, sendo A e B tensores de segunda ordem simétricos, é possível decompor o
tensor A na soma:
A = αB + B ⊥
(2.42)
Sendo B ⊥ um tensor ortogonal a B .
O coeficiente α é calculado fazendo o produto interno3 dos dois lados da equação 2.42 com B . O resultado obtido é:
A:B
B :B
α=
(2.43)
Uma vez obtido o valor de α, o tensor B ⊥ é calculado, então:
P̃BA = B ⊥ = A − αB
2.2.2.2
(2.44)
Decomposição Em-Fase x Fora-de-Fase
Conforme Thompson [18], é possível definir um tensor de quarta ordem 1B B como:
1B B =
3
X
k=1
e kB e kB e kB e kB
(2.45)
Onde e iB são os autovetores unitários de B . Através deste tensor é possível decompor o tensor A em duas partes:
B
A = ΦBA + Φ̃ A
(2.46)
£
¤
ΦBA = 1B B A
(2.47)
Sendo que:
e
3
Para tensores simétricos o produto interno se reduz ao double dot product entre os tensores: 〈A, B 〉 =
A:B
22
i
h
B
Φ̃ A = 1δδ − 1B B A
(2.48)
Onde o operador [.] define uma operação linear de um tensor de quarta ordem T
sobre um de segunda ordem, mapeando-o em outro de segunda ordem, tal que:
A = [T ] B ⇐⇒ A i j = Ti j kl B kl
(2.49)
e 1δδ é um tensor identidade de quarta ordem, que mapeia um tensor de segunda
ordem nele mesmo.
As decomposições descritas nas equações (2.47) e (2.47) têm as seguintes propriedades:
B
1. ΦBA e Φ̃ A são ortogonais.
2. B e ΦBA são coaxiais.
B
3. B e Φ̃ A são ortogonais.
Portanto, a segunda decomposição possível é obtida admitindo-se PBA = ΦBA e P̃BA =
B
Φ̃ A
Esta decomposição é chamada em-fase x fora-de-fase pois ΦBA é a parte de A que
B
compartilha4 os mesmos autovetores de B , por isso chamado de em fase com B . E Φ̃ A
a parte de A que possui autovetores diferentes de B , ou fora de fase com B .
Pelo teorema de Cayley-Hamilton5 ΦBA pode ser escrito como:
ΦBA = α0 I + α1 B + α2 B 2
(2.50)
Com isso, os coeficientes α0 , α1 e α2 são obtidos pelas equações 2.50 e 2.47.
4
Um tensor de segunda ordem pode ter como autovetores: três vetores distintos; todos vetores de
um mesmo plano e o vetor ortogonal a este plano; ou ainda todos os vetores do ℜ3 . No caso, é utilizado
o termo compartilhar para dizer que o conjunto dos autovetores de B está contido no conjunto dos
autovetores de ΦBA
5 O teorema diz que uma matriz é um zero do seu polinômio característico. Com isto para qualquer
expoente n ≥ 3 e uma matriz E , E n = γ0 I + γ1 E + γ2 E 2 . Quando se sabe(ou pressupõe) que uma matriz
P
n
n
é função de outra, por exemplo E = f (G), então E = ∞
n=0 δn G . Sabendo que qualquer E pode ser
escrito como anteriormente, daí segue que a forma mais completa possível que uma matriz é função da
outra é E = α0 I + α1G + α2G 2
23
B
Os tensores ΦBA e Φ̃ A também podem ser obtidos diretamente ao se representar o
tensor A na base formada pelos autovetores de B . Sendo Ā o tensor A escrito na base
dos autovetores de B :


ā 11 ā 12 ā 13 




Ā = ā 12 ā 22 ā 23 




ā 13 ā 23 ā 33
(2.51)
Então,


0 
ā 11 0




B
Φ A =  0 ā 22 0 




0
0 ā 33
(2.52)
e


 0 ā 12 ā 13 




B
Φ̃ A = ā 12 0 ā 23 




ā 13 ā 23 0
(2.53)
As equações (2.47) e (2.48) produzem uma maneira formalizada matematicamente
de se seguir os passos acima, sem a necessidade da mudança da base vetorial de descrição dos tensores.
2.2.3
Obtenção dos Modelos e Cálculo dos Coeficientes
Para modelagem da parte anisotrópica do tensor de Reynolds são utilizados tensores
cinemáticos do escoamento. Tradicionalmente é utilizado o tensor taxa de deformação
D para modelagem, em analogia a parte anisotrópica do tensor das tensões τ.
Para estender a hipótese de Boussinesq, é importante escolher algum tensor que
possa complementar, a base simplificada linear com D . Em tese, o tensor vorticidade
W aparece como candidato, já que carrega uma informação relacionada com a carac-
terística rotacional do fluido. Porém, o fato deste tensor não ser invariante com relação
a transformações euclidianas, o desqualifica na composição de uma representação do
24
tensor de Reynolds [19]. Em Bacchi [20] uma série de argumentos relacionados à
discussão de tipos de escoamentos, da definição de vórtices e à oposição extensão
versus rotação de corpo rígido, mostrou a importância do tensor não-persistência-dedeformação P na tradução dos efeitos rotacionais do escoamento. Este tensor é dado
por:
P = DW − W D
(2.54)
Onde W = W − ΩD é o tensor vorticidade efetiva e ΩD é um tensor que representa
a taxa de rotação dos autovetores de D , formado por:
ΩD =
3
X
i =1
ė iD e iD
(2.55)
Onde e iD são os autoversores de D .
Ao se deduzir o tesor ΩD de W , este novo tensor passa a ser invariante com relação
a transformações euclidianas.
O tensor P é a parte fora-de-fase do tensor aceleração covariante de deformação,
M, em relação ao tensor taxa-de-deformação, D . É, portanto, responsável pela parte
de M que desafia a tendência ditada por D , constituindo-se em um termo que reforça
o modo elíptico do escoamento (em oposição ao modo hiperbólico) em uma filosofia
alinhada com as ideias de Haller [21]. Destaca-se ainda sua característica objetiva
além do fato de ser um tensor ortogonal a D e, portanto capaz de explorar uma parte
do espaço tensorial diferente do tensor taxa-de-deformação.
2.2.3.1
Modelo I
A I = αD
(2.56)
O primeiro modelo obtido é correspondente à hipótese de Boussinesq, onde a parte
anisotrópica do tensor de Reynolds é proporcional ao tensor taxa de deformação D .
Para obtenção deste modelo é utilizada a decomposição proporcional - ortogonal,
descrita na equação 2.42. Então o tensor A é descrito como:
25
A = αD + D ⊥
(2.57)
O valor de α é calculado por:
α=
2.2.3.2
A:D
D :D
(2.58)
Modelo II
A I I = α0 I + α1 D + α2 D 2
(2.59)
O segundo modelo é a forma mais completa que o tensor A pode ser escrito como
função somente do tensor taxa de deformação D , ou:
A I I = ΦD
A
(2.60)
Este modelo é obtido calculando a parte de A em fase com D , utilizando a decomposição descrita na equação 2.46:
D
A = ΦD
A + Φ̃ A
(2.61)
Os coeficientes α0 , α1 e α2 são calculados pelas equações 2.50 e 2.52.
2.2.3.3
Modelo III
A I I I = α0 I + α1 D + α2 D 2 + βP
(2.62)
O modelo III é obtido utilizando primeiramente a parte de A em fase com D (equação 2.61). Da mesma maneira que no modelo II, os coeficientes α0 , α1 e α2 são
calculados pelas equações 2.50 e 2.52. Em seguida, a parte de A fora de fase com D ,
D
o tensor Φ̃ A , é modelado utilizando sua parte proporcional ao tensor P :
D
Φ̃ A = βP + P ⊥
Assim, a volar de β pode ser calculado por:
26
(2.63)
D
β=
2.2.3.4
Φ̃ A : P
P :P
(2.64)
Modelo IV
A I V = αD + βP
(2.65)
O modelo IV é obtido utilizando a parte de A proporcional a D (equação 2.57).
Com isso, o valor de α é calculado da mesma maneira que para o modelo I(equação 2.58)
e o tensor D ⊥ pode ser calculado por:
D ⊥ = A − αD
(2.66)
Em seguida, o valor de β é calculado modelando o tensor D ⊥ como proporcional a
P:
D ⊥ = βP + P ⊥
(2.67)
então:
β=
2.2.3.5
D⊥ : P
P :P
(2.68)
Modelo V
AV = αD + β0 I + β1 P + β2 P 2
(2.69)
O processo de obtenção do modelo V é parecido com do modelo IV. O coeficiente
α é calculado da mesma maneira(equação 2.58), porém,o tensor D ⊥ é modelado como
em fase com P :
P
D ⊥ = ΦPD ⊥ + Φ̃D ⊥
e
27
(2.70)
ΦPD ⊥ = β0 I + β1 P + β2 P 2
(2.71)
Então os coeficientes β0 , β1 e β2 são calculados utilizando as equações 2.50 e 2.52.
2.2.3.6
Modelo VI
AV I = α0 I + α1 D + α2 D 2 + β0 I + β1 P + β2 P 2
(2.72)
O modelo VI é a base mais completa utilizada neste estudo. A primeira etapa,
de obtenção dos coeficientes α0 , α1 e α2 , é a mesma descrita para o modelo II. Em
seguida, a parte do tensor A fora de fase com D é modelada como em fase com P :
D
P
Φ̃ A = ΦP D + Φ̃Φ̃D
(2.73)
ΦP D = β0 I + β1 P + β2 P 2
(2.74)
Φ̃ A
A
e
Φ̃ A
Assim, os coeficientes β0 , β1 e β2 podem ser obtidos pelas equações 2.50 e 2.52.
2.2.4
Obtenção dos coeficientes adimensionais
Conforme a seção 1.2.1, a viscosidade turbulenta νT é escalonada por um par de quantidades características da turbulência, sendo o mais utilizado o par k -ε. O Modelo I
proposto neste trabalho é equivalente à hipótese de Boussinesq e, comparando as equações (1.8) e (2.56), a viscosidade turbulenta é dada por:
νT =
α
2
(2.75)
Utilizando o par k -ε para escalonar νT obtém-se:
νT = C µ
28
k2
ε
(2.76)
Uma vez calculado o valor de α pela equação (2.58), o coeficiente adimensional
C µ pode ser calculado:
Cµ = α
ε
2k 2
(2.77)
Da mesma maneira, utilizando k e ε, é possível obter escalas de turbulência para
adimensionalização de cada coeficiente de uma base tensorial utilizada como modelo.
Deste modo, o modelo VI, que é a base mais completa utilizada neste trabalho, pode
ser escrito como:
A = C I k I + 2C D
k2
k3
k3
k5
D +C D2 2 D 2 +C β0 k I +C β1 2 P +C β2 4 P 2
ε
ε
ε
ε
(2.78)
Com os valores de α0 , α1 , α2 , β0 , β1 e β2 todos coeficientes adimensionais C
baseados em k -ε são obtidos.
2.2.4.1
Escalonamento da turbulência baseada em tensores cinemáticos
normalizados
O tensor de Reynolds depende e é modelado a partir de tensores cinemáticos. Sendo
a hipótese de Boussinesq a abordagem mais simples, um novo par de parâmetros para
obtenção das escalas turbulentas pode ser obtido por uma abordagem igualmente simples. No lugar dos tensores cinemáticos usuais para modelagem de A , são utilizados
tensores cinemáticos normalizados.
Definindo o tensor taxa de deformação normalizado D̂ como:
1
D̂ = D
γ̇
(2.79)
Onde γ̇ é a intensidade da taxa de deformação média:
r
γ̇ =
1
D :D
2
29
(2.80)
O tensor D̂ é, portanto, adimensional. Utilizando o tensor D̂ para um modelo linear
de tensor de Reynolds anisotrópico A , obtém-se:
A = 2ξD̂
(2.81)
Onde ξ é um escalar e precisa ter dimensão de [m 2 s −2 ], a mesma dimensão que a
energia cinética turbulenta k . Portanto, ξ pode ser escalonado diretamente por k como:
ξ = Ĉ D k
(2.82)
Utilizando as equações (2.79) e (2.82), a equação (2.81) pode ser reescrita como:
k
A = 2Ĉ D D
γ̇
(2.83)
Que produz espontaneamente o par de fatores k -γ̇ para obtenção da viscosidade cinemática νT . Uma vez conhecido o valor de α do Modelo I, o coeficiente normalizado
Ĉ D é obtido:
Ĉ D = α
γ̇
2k
(2.84)
Os mesmos passos são seguidos para obtenção dos coeficientes adimensionais para
outras bases tensoriais. Seguindo estes passos, o modelo VI pode ser reescrito como:
k
k
k
k
A = Ĉ I k I + 2Ĉ D D + Ĉ D2 2 D 2 + Ĉ β0 k I + Ĉ β1 P + Ĉ β2 2 P 2
γ̇
γ̇
p
p
(2.85)
Onde p é a intensidade do tensor não-persistência-de-deformação-linear P . Novamente, com os valores de α0 , α1 , α2 , β0 , β1 e β2 todos coeficientes adimensionais
normalizados Ĉ baseados em k -γ̇ são obtidos.
30
Capítulo 3
Resultados
3.1
3.1.1
Dados DNS utilizados
Escoamento turbulento em um canal
Para a análise de erro intrínseco do componente y x do tensor de Reynolds foram utilizados diversos dados de simulação DNS de escoamento em um canal.
Os primeiros dados analisados são os de Moser et al [1] para Reτ = 180, Reτ = 395
e Reτ = 590. Os parâmetros da simulação são apresentados na tabela 3.1.
Tab. 3.1: Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Moser et al [1]
Channel Size
Grid Size
Reτ
(L x × L z )/d
Nx × N y × Nz
d x+
+
d y max
d z+
178.13
392.24
587.19
4π × 43 π
2π × π
2π × π
128 × 129 × 128
256 × 193 × 192
384 × 257 × 384
17.7
10.0
9.7
4.4
6.5
7.2
5.9
6.5
4.8
Em seguida são analisados os resultados de Thais et al [2] para Reτ = 180, Reτ
= 395, Reτ = 590 e Reτ = 1000. Os parâmetros desta simulação estão descritos na
tabela 3.2.
Também são analisados os resultados de Hoyas et al [3] para Reτ = 180, Reτ = 550,
Reτ = 950 e Reτ = 2000. Os parâmetros desta simulação estão descritos na tabela 3.3.
31
Tab. 3.2: Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Thais et al [2]
Channel Size
Grid Size
Reτ
(L x × L z )/d
Nx × N y × Nz
d x+
d y+
d z+
180
395
590
1000
8π × 1.5π
8π × 1.5π
8π × 1.5π
6π × 1.5π
512 × 129 × 128
1024 × 257 × 256
1536 × 257 × 512
1536 × 513 × 768
8.8
9.6
9.6
12.3
0.2 to 7.0
0.2 to 7.9
0.5 to 10.4
0.5 to 8.4
6.6
7.2
5.4
6.1
Tab. 3.3: Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Hoyas et al [3]
Channel Size
Reτ
(L x × L z )/d
d x+
+
d y max
d z+
186
547
934
2003
12π × 4π
8π × 4π
8π × 3π
8π × 3π
8.9
8.9
9.2
8.2
6.1
6.7
7.6
8.9
4.5
4.5
3.8
4.1
Por último, são analisados os resultados de Bernardini et al [4] para Reτ = 180, Reτ
= 550, Reτ = 1000, Reτ = 2000 e Reτ = 4000. Os parâmetros desta simulação estão
descritos na tabela 3.4.
Tab. 3.4: Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Bernardini et al [4]
3.1.2
Channel Size
Grid Size
Reτ
(L x × L z )/d
Nx × N y × Nz
d x+
550
999
2022
4079
6π × 2π
6π × 2π
6π × 2π
6π × 2π
1024 × 256 × 512
2048 × 384 × 1024
4096 × 768 × 2048
8192 × 1024 × 4096
10.0
9.2
9.3
9.4
¡
ν3 /ε
¢− 1
4
+
d y max
1.84
1.84
1.84
1.84
d z+
6.7
6.1
6.2
6.2
Escoamento de camada limite turbulenta
Para análise dos modelos do tensor anisotrópico de Reynolds propostos neste trabalho,
além dos dados de escoamento em um canal, também foram utilizados os dados da
32
simulação DNS de escoamento de camada limite turbulenta de gradiente de pressão
nulo realizada por Sillero et al [6]. Os parâmetros desta simulação estão descritos na
tabela 3.5.
Tab. 3.5: Parâmetros da simulação DNS de escoamento de camada limite turbulenta de
Sillero et al [6]
Box Size
Grid Size
Reθ
(L x × L y × L z )/θ
Nx × N y × Nz
d x+
+
d y max
d z+
1100-1968
4000-6500
535 × 29 × 88
547 × 29 × 84
6145 × 360 × 1536
15361 × 535 × 4096
6.1
7.0
0.30
0.32
4.1
4.07
33
3.2
Análise do erro intrínseco do componente R y x dos dados DNS
do canal
A análise descrita na seção 2.2.1 foi realizada para quatro diferentes conjuntos de dados
de simulação DNS de escoamento em um canal. Os resultados obtidos para o perfil
Re
de tensão de Reynolds Re xvel
são mostrados nas
y e para o campo de velocidades U
subseções abaixo.
3.2.1
3.2.1.1
Dados DNS de Moser, 1999 [1]
Reτ = 180
As figuras 3.1 e 3.2 mostram o resultado da análise de consistência dos dados da simulação DNS feita por Moser et al [1] para um escoamento com Reτ = 180.
Os perfis da tensão de Reynolds obtida pela simulação e da tensão de Reynolds
calculada a partir do campo de velocidade praticamente colapsam(figura 3.1a). Como
pode ser visto na figura 3.1b, a diferença percentual das duas tensões ao longo do canal
não ultrapassa os 2%, com exceção da parede e do meio do canal, onde a tensão tende
à zero e, portanto, há uma singularidade.
10%
∆R
DN S
Rxy
5%
vel
Rxy
0.5
0%
-5%
0
-10%
0
50
100
150
0
50
100
y+
150
y+
(a)
(b)
Fig. 3.1: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Moser,1999 [1].
(a) Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(× ) e através do campo
de velocidade(—). (b) Diferença percentual entre as tensões
Os perfis de velocidade também demonstram ser muito parecidos(figura 3.2a). As
curvas praticamente colapsam até y + ≈ 75, depois disso é perceptível um abandono de
34
U Re dos dados DNS, porém ainda pequeno. Há um crescimento do erro a parir de y +
≈ 75 até o centro do canal porém, novamente, o erro percentual ao longo do canal não
ultrapassa os 2%,
Portanto, os dados da simulação DNS com Reτ = 180 são consistentes.
10%
∆U
5%
10
0%
-5%
U DN S
U Re
0
-10%
0
50
100
y
150
0
50
100
+
y
(a)
150
+
(b)
(a) Velocidades obtidas pela simulação DNS(× ) e através da tensão de Reynolds R xDyN S (—). (b) Diferença percentual entre as velocidades
3.2.1.2
Reτ = 395
As figuras 3.3 e 3.4 mostram o resultado da análise de consistência dos dados da simulação DNS para o escoamento com Reτ = 395.
Na figura 3.3a o perfil da tensão de Reynolds Re xvel
y , calculada a partir do campo de
velocidade, parece se ajustar bem aos dados DNS. Na figura 3.3b observa-se que Re xvel
y
é aproximadamente 1% menor que os dados DNS até que y + ≈ 180 o erro se torna
positivo. Em y + ≈ 280 o erro se torna novamente negativo e aumenta continuamente
para -10% no meio do canal.
Na figura 3.4a observa-se que y + ≈ 50 o perfil de velocidade U Re diverge do obtido
na simulação DNS. Além da mudança do valor da velocidade, observa-se que a forma
da curva sofre alteração, apresentando mudança de concavidade(sinal da segunda derivada) em y + ≈ 180 . Conforme a figura 3.4b, o valor absoluto do erro da velocidade
aumenta até 5% em y + ≈ 180 , local onde o erro de tensor de Reynolds muda de sinal, e mantém aproximadamente o mesmo valor até o meio do canal. A curva de ∆U
35
10%
∆R
DN S
Rxy
5%
vel
Rxy
0.5
0%
-5%
0
-10%
0
100
200
y
300
0
100
200
+
y
(a)
300
+
(b)
apresenta um mínimo e um máximo local no mesmo lugar em que a curva ∆R troca de
sinal.
Até y + ≈ 300 a diferença percentual entre as tensões não ultrapassa os 2%, no
entanto, esta diferença gera uma diferença percentual de 5% no campo de velocidades,
além da mudança da forma da curva.
10%
20
∆U
5%
0%
10
-5%
U DN S
U Re
0
-10%
0
100
200
300
0
100
200
y+
300
y+
(a)
(b)
3.2.1.3
Reτ = 590
As figuras 3.5 e 3.6 mostram o resultado da análise de consistência dos dados da simulação DNS para o escoamento com Reτ = 590.
36
Na figura 3.5a observa-se que o perfil de tensão de Reynolds Re xvel
y se encaixa relativamente bem aos dados obtidos da simulação DNS. A partir de y + ≈ 100 a diferença
percentual entre as duas curvas é de aproximadamente 2,5% ao longo de todo o canal.
25%
DN S
Rxy
vel
Rxy
∆R
20%
15%
0.5
10%
5%
0
0%
0
100
200
300
y
400
500
0
100
200
+
300
y
(a)
400
500
+
(b)
Os perfis de velocidade U Re e U D N S , ilustrados na figura 3.6a, diferem significativamente a partir de y + ≈ 150 . A diferença percentual entre as duas curva cresce
continuamente ao longo do canal até atingir 20% no meio do canal.
Comparando as figuras 3.5b e 3.6b, observa-se que, apesar do erro da tensão de
Reynolds obtida na simulação DNS ser de apenas 2,5% em relação àquela obtida do
campo de velocidade, o seu uso para cálculo do perfil de velocidade gera erros de
até 20% no mesmo. Desta forma, apesar de Re xDyN S aparentemente descrever bem o
perfil da tensão de Reynols, sua curva não é consistente com o campo de velocidade
da simulação.
3.2.2
3.2.2.1
Dados DNS de Thais, 2009 [2]
Reτ = 180
As figuras 3.7 e 3.8 mostram o resultado da análise de consistência dos dados da simulação DNS feita por Thais et al [2] para um escoamento com Reτ = 180.
Os perfis da tensão de Reynolds obtida pela simulação e da tensão de Reynolds
calculada a partir do campo de velocidade praticamente colapsam(figura 3.7a). Como
37
25%
∆U
20%
20
15%
10%
10
U DN S
U Re
5%
0
0%
0
100
200
300
y
400
500
0
100
200
+
300
y
(a)
400
500
+
(b)
pode ser visto na figura 3.7b,com exceção da parede e do meio do canal, a diferença
percentual das duas tensões ao longo do canal não ultrapassa 1%, sendo que Re xvel
y
é ligeiramente menor que Re xDyN S próximo a parede, porém, esta diferença diminui
continuamente até obterem o mesmo valor a partir de y + ≈ 140 .
10%
∆R
DN S
Rxy
5%
vel
Rxy
0.5
0%
-5%
0
0
50
100
y
150
-10%
180
0
50
100
+
y
(a)
150
+
(b)
Fig. 3.7: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Thais, 2009 [2].
Na figura 3.8a observa-se que o campo de velocidade U Re obtido dos dados DNS,
ainda que visivelmente diferente de U D N S , é satisfatório. Porém, comparando as
figuras 3.7b e 3.8b nota-se que a variação ∆U , mesmo sendo pequena (menor que
2%), é consideravelmente maior que ∆R .
38
180
10%
∆U
5%
10
0%
-5%
U DN S
U Re
0
-10%
0
50
100
y
150
180
0
50
100
+
y
(a)
150
180
+
(b)
3.2.2.2
Reτ = 395
As figuras 3.9 e 3.10 mostram o resultado da análise de consistência dos dados da
simulação DNS para o escoamento com Reτ = 395.
DNS
Novamente, os valores obtidos para Re xvel
e as cury são muito próximos de Re x y
vas praticamente colapsam, conforme figura 3.10a. Na figura 3.9b observa-se que a
diferença percentual entre os dois valores é próxima de zero perto da parede e aumenta
lentamente ao longo do canal, sem ultrapassar, porém, o valor de 2%.
15%
∆R
DN S
Rxy
vel
Rxy
0.5
10%
5%
0
0%
0
100
200
y
300
395
0
100
200
+
y
(a)
300
+
(b)
Conforme a figura 3.10a os perfis de velocidade U Re e U D N S são visivelmente
39
395
diferentes a partir de y + ≈ 100 . A partir deste ponto a diferença percentual entre as
velocidades cresce continuamente. Na figura 3.10b observa-se que este diferença, de
valor próximo de 2% em y + ≈ 100 , chega a aproximadamente 6% no meio do canal.
15%
20
∆U
10%
10
5%
DN S
U
U Re
0
0%
0
100
200
y
300
395
0
100
200
+
y
(a)
300
+
(b)
3.2.2.3
Reτ = 590
Novamente, conforme a figura 3.11, os perfis das tensões de Reynolds Re xvel
y e
Re xDyN S praticamente colapsam. A diferença percentual, de aproximadamente 1% perto
da parede, aumenta lentamente até um valor próximo de 2% no meio do canal.
Ao se calcular o campo de velocidade U Re a partir do perfil da tensão de Reynolds
Re xDyN S o resultado é bem diferente de U D N S , conforme a figura 3.12a. As curvas são
bem próximas até y + ≈ 100 . A partir daí, a diferença percentual aumenta continuamente, atingindo o valor de 12% no meio do canal.
3.2.2.4
Reτ = 1000
40
395
15%
∆R
DN S
Rxy
vel
Rxy
0.5
10%
5%
0
0%
0
100
200
300
y
400
500
590
0
100
200
+
300
y
(a)
400
500
590
+
(b)
15%
∆U
20
10%
10
5%
DN S
U
U Re
0
0%
0
100
200
300
y
400
500
590
0
100
200
+
300
y
(a)
400
500
+
(b)
O perfil da tensão de Reynolds obtida na simulação DNS Re xDyN S e o perfil obtido
do campo de velocidade Re xvel
y praticamente colapsam em todo comprimento do canal,
conforme figura 3.13a. A figura 3.14b mostra que a diferença percentual, inicialmente
negativa e próxima a zero, aumenta lentamente ao longo do canal, atingindo um valor
máximo próximo de 2% no meio.
O campo de velocidades U Re , calculado a partir do perfil da tensão de Reynolds Re xDyN S , diverge consideravelmente do obtido na simulação DNS, conforme
figura 3.14a. A curva da diferença percentual entre as velocidade, mostrada na figura 3.14b, é inicialmente negativa, atinge um valor mínimo em y + ≈ 100 , mesmo
41
590
1
15%
∆R
DN S
Rxy
vel
Rxy
10%
0.5
5%
0%
0
0
200
400
600
y
800
1000
0
200
400
+
600
y
(a)
800
1000
+
(b)
local onde ∆R muda de sinal, e cresce continuamente até atingir o valor de 12% na
metade do canal.
15%
∆U
20
10%
5%
10
U DN S
U Re
0%
0
0
200
400
600
y
800
1000
0
200
400
+
600
y
(a)
800
+
(b)
3.2.2.5
Reτ = 3000
simulação DNS para o escoamento com Reτ = 3000. Estes dados, embora disponibilizados, são mais recentes e ainda provisórios, não estão em sua formulação final.
Portanto, para sua formulação final, os resultados aqui apresentados podem não ser
válidos.
42
1000
DNS
Novamente, os perfis das tensões de Reynolds Re xvel
praticamente colapy e Re x y
sam, conforme figura 3.15a. A diferença percentual entre as duas tensões aumenta
gradativamente ao longo do canal, sendo que seu valor não ultrapassa 2%.
1
50%
DN S
Rxy
vel
Rxy
∆R
40%
30%
0.5
20%
10%
0
0
500
1000
1500
y
2000
2500
0%
3000
0
500
1000
+
1500
y
(a)
2000
2500
3000
+
(b)
Fig. 3.15: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 3000 de Thais. (a)
Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(× ) e através do campo de
velocidade(—). (b) Diferença percentual entre as tensões
DNS
Apesar dos valores de Re xvel
apresentarem pequena diferença percentual,
y e Re x y
o impacto gerado no calculo do perfil de velocidade U Re através da tensão Re xDyN S
é enorme. Conforme a figura 3.16b, o erro gerado na campo de velocidades chega
quase a 50%. Até y + ≈ 400 a diferença é negativa e pequena, em seguida, aumenta
continuamente e em y + ≈ 1000 já chega a 10% e cresce rapidamente.
50%
∆U
40%
25
30%
20%
U DN S
U Re
10%
0
0%
0
500
1000
1500
y
2000
2500
3000
0
500
1000
+
1500
y
(a)
2000
2500
+
(b)
Fig. 3.16: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 3000 de Thais. (a)
Velocidades obtidas pela simulação DNS(× ) e através da tensão de Reynolds
R xDyN S (—). (b) Diferença percentual entre as velocidades
43
3000
3.2.3
3.2.3.1
Dados DNS de Hoyas, 2006 [3]
Reτ = 180
simulação DNS feita por Hoyas et al [3] para um escoamento com Reτ = 180.
Neste caso, as curvas tanto das tensões de Reynolds quanto dos perfis de velocidade
praticamente colapsam. A diferença percentual em ambos é menor que 1% ao longo
do canal, excluindo as singularidades na parede e na metade do canal para a tensão de
Reynolds.
10%
∆R
DN S
Rxy
5%
vel
Rxy
0.5
0%
-5%
0
-10%
0
50
100
150
180
0
50
100
y+
150
180
y+
(a)
(b)
Fig. 3.17: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Hoyas, 2006 [3].
10%
∆U
5%
10
0%
-5%
U DN S
U Re
0
-10%
0
50
100
y
150
180
0
50
100
+
y
(a)
150
+
(b)
44
180
3.2.3.2
Reτ = 550
Novamente, ambos os resultados para tensão de Reynolds e perfil de velocidade
são consistentes. Na figura 3.19b observa-se que a diferença percentual ∆R é muito
pequena até y + ≈ 480 . Além disso, até este ponto a ∆R oscila ao longo do canal em
torno de 0%.
10%
∆R
DN S
Rxy
5%
vel
Rxy
0.5
0%
-5%
0
-10%
0
100
200
300
400
500
0
100
200
y+
300
400
500
y+
(a)
(b)
Os campos de velocidades U D N S e U Re são bem parecidos, apesar de não sê-lo
tanto quanto os perfis da tensão de Reynolds. Conforme a figura 3.20b a diferença
percentual ∆U é praticamente nula, até que em y + ≈ 200 o perfil de velocidades U Re
se sobrepõem em aproximadamente 2% ao campo de velocidade obtido na simulação.
Este diferença é mantida praticamente constante até a metade do canal.
3.2.3.3
Reτ = 950
Analisando a figura 3.21a, a diferença entre o perfil da tensão de Reynolds Re xDyN S ,
obtida da simulação DNS, e a tensão Re xvel
y calculada a partir do campo de velocidade,
45
10%
20
∆U
5%
0%
10
-5%
U DN S
U Re
0
-10%
0
100
200
300
y
400
500
0
100
200
+
300
y
(a)
400
500
+
(b)
é imperceptível. De fato, conforme é mostrado na figura 3.21b, a diferença percentual
é praticamente nula até y + ≈ 400 . A partir de y + ≈ 500 surge uma diferença de
aproximadamente 1%, que permanece constante até a metade do canal.
10%
∆R
DN S
Rxy
5%
vel
Rxy
0.5
0%
-5%
0
-10%
0
200
400
600
y
800
0
200
400
+
600
y
(a)
800
+
(b)
Apesar de praticamente nenhuma diferença ser notada nos perfis das tensões de
Reynolds, o mesmo não ocorre para o campo de velocidade. Como é visto na figura 3.22b, o perfil de velocidade U Re abandona a curva de U D N S a partir de y + ≈ 400
. Nesta faixa, a diferença percentual, mostrada na figura 3.22b, cresce continuamente
até atingir 3% na metade do canal.
46
10%
∆U
20
5%
0%
10
-5%
U DN S
U Re
0
-10%
0
200
400
600
y
800
0
200
400
+
600
y
(a)
800
+
(b)
3.2.3.4
Reτ = 2000
Como pode ser observado na figura 3.23a, a tensão de Reynolds obtida da simulação DNS e a obtida a partir do campo de velocidades apresentam excelente concordância. Conforme a figura 3.23b, a diferença percentual entre as tensões de Reynolds é
praticamente nula ao longo do canal até y + ≈ 1000 , onde há um ligeiro aumento. Depois disso a variação troca de sinal em y + ≈ 1400 e chega a um valor absoluto máximo
próximo de 2%.
Os perfis de velocidades obtidos são mostrados na figura 3.24a. É possível observar
uma maior diferença a partir de y + ≈ 1000 . Conforme a figura 3.23b a diferença
percentual entre as velocidades é aproximadamente de 1% entre y + ≈ 250 e y + ≈ 1000
. Em y + ≈ 1000 a diferença aumenta até atingir um máximo de aproximadamente 3%
em y + ≈ 1400 , mesmo local onde ∆R troca de sinal, e depois diminui até ser nula na
metade do canal.
3.2.3.5
Reτ = 4200
simulação DNS para o escoamento com Reτ = 4200. Estes dados, embora disponi47
1
10%
∆R
DN S
Rxy
5%
vel
Rxy
0.5
0%
-5%
0
0
500
1000
y
1500
-10%
2000
0
500
1000
+
y
(a)
1500
2000
+
(b)
Fig. 3.23: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 2000 de Hoyas,
2006 [3]. (a) Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(× ) e através
do campo de velocidade(—). (b) Diferença percentual entre as tensões
10%
∆U
20
5%
0%
10
-5%
U DN S
U Re
0
0
500
1000
y
1500
-10%
2000
0
500
1000
+
y
(a)
1500
+
(b)
Fig. 3.24: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 2000 de Hoyas,
2006 [3]. (a) Velocidades obtidas pela simulação DNS(× ) e através da tensão
de Reynolds R xDyN S (—). (b) Diferença percentual entre as velocidades
bilizados, são mais recentes e ainda provisórios, não estão em sua formulação final.
Portanto, para sua formulação final, os resultados aqui apresentados podem não ser
válidos.
Os perfis das tensões de Reynolds calculada e obtida da simulação apresentem
excelente concordância ao longo do canal, conforme a figura 3.25a. Observa-se na
figura 3.25b que a diferença percentual entre as tensões não ultrapassa 1% ao longo do
canal. Também pode se observar que esta diferença é praticamente constante ao longo
do canal e negativa. Em nenhum momento ∆R assume um valor positivo.
Apesar da excelente concordância para o perfil de tensão, o campo de velocidade
48
2000
1
0%
DN S
Rxy
∆R
-5%
vel
Rxy
-10%
0.5
-15%
-20%
-25%
0
0
1000
2000
y
3000
4000
0
1000
2000
+
y
(a)
3000
4000
+
(b)
Fig. 3.25: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 4200 de Hoyas. (a)
Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(× ) e através do campo de
velocidade(—). (b) Diferença percentual entre as tensões
U Re , calculado a partir de Re xDyN S , apresenta péssima concordância com o campo da
simulação DNS. Em y + ≈ 250 U Re atinge um patamar e é constante até a metade do
canal, enquanto que U D N S continua crescendo. Com isto o valor absoluto da diferença percentual, mostrada na figura 3.26b, aumenta continuamente ao lango do canal
e supera os 30% na metade do canal.
0%
∆U
-5%
20
-10%
-15%
10
-20%
DN S
U
U Re
-25%
0
0
1000
2000
y
3000
4000
0
1000
2000
+
y
(a)
3000
4000
+
(b)
Fig. 3.26: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 4200 de Hoyas. (a)
Velocidades obtidas pela simulação DNS(× ) e através da tensão de Reynolds
R xDyN S (—). (b) Diferença percentual entre as velocidades
49
3.2.4
3.2.4.1
Dados DNS de Bernardini, 2014 [4]
Reτ = 180
simulação DNS feita por Bernardini et al [4] para um escoamento com Reτ = 180.
Conforme a figura 3.27a, a tensão de Reynolds Re xvel
y obtida do campo de velocidade atinge um valor máximo maior do que aquele obtido pela simulação numérica.
Pela figura 3.27b observa-se que a diferença percentual entre os dois perfis de tensão
é de aproximadamente 2% onde os perfis atingem um máximo. Esta diferença sem
mantém praticamente constante ao longo do canal.
10%
∆R
DN S
Rxy
5%
vel
Rxy
0.5
0%
-5%
0
-10%
0
50
100
y
150
0
50
100
+
y
(a)
150
+
(b)
Fig. 3.27: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Bernardini,
A figura 3.28a apresenta os campos de velocidade U Re e U D N S . A diferença
percentual entre os dois perfis se torna perceptível a partir de y + ≈ 30 e cresce continuamente até ficar próxima de 5% na metade do canal.
3.2.4.2
Reτ = 550
DNS
Os perfis das tensões Re xvel
são muito parecidos a exceção valor máximo
y e Re x y
obtido em ambas curvas em y + ≈ 30 . Na figura 3.29b observa-se que a diferença
50
20
10%
∆U
5%
10
0%
-5%
U DN S
U Re
0
-10%
0
50
100
y
150
0
50
100
+
y
(a)
150
+
(b)
percentual entre as duas curvas é máximo neste ponto, no valor de aproximadamente
2,5%. Em seguida, a diferença diminui até tornar-se praticamente nula em y + ≈ 300 ,
depois volta a crescer lentamente, sendo ainda menor que 1% na metade do canal.
15%
∆R
DN S
Rxy
vel
Rxy
10%
0.5
5%
0%
0
-5%
0
100
200
300
y
400
500
0
100
200
+
300
y
(a)
400
500
+
(b)
Apesar dos perfis de tensão aparentemente serem iguais, os campos de velocidade
obtidos de cada um são visivelmente diferentes, conforme a figura 3.30a. Pela figura 3.30b observa-se que em y + ≈ 100 a diferença percentual entre as velocidades
atinge o valor de aproximadamente 17,5% e permanece constante ao longo do canal.
51
15%
∆U
20
10%
5%
10
0%
U DN S
U Re
0
-5%
0
100
200
300
y
400
500
0
100
200
+
300
y
(a)
400
500
+
(b)
3.2.4.3
Reτ = 1000
DNS
A diferença entre os perfis de tensão de Reynolds Re xvel
no caso Reτ =
y e Re x y
1000 é semelhante a visto no caso Reτ = 590. As curvas parecem se adaptar bem,
porém o valor máximo obtida por cada uma é visivelmente diferente. Como pode ser
visto na figura 3.31b, a diferença percentual máxima é obtida em y + ≈ 30 , onde atinge
o valor de aproximadamente 2,5%, e logo depois decresce, estabilizando-se em torno
de 1% ao longo do canal.
Novamente, os campos de velocidade obtidos de cada perfil de tensão de Reynolds
apresentam grande divergência. Conforme a figura 3.32b, a diferença percentual ∆U
cresce continuamente ao longo do canal, em y + ≈ 100 já atinge um valor de aproximadamente 8% e na metade do canal atinge o valor de 22%.
3.2.4.4
Reτ = 2000
DNS
Neste caso, a concordância dos perfis de tensão Re xvel
é ainda maior que
y e Re x y
no caso Reτ = 1000. Novamente a maior diferença está em y + ≈ 30 , no local de valor
52
1
25%
∆R
DN S
Rxy
20%
vel
Rxy
15%
0.5
10%
5%
0
0%
0
200
400
600
y
800
950
0
200
400
+
600
y
(a)
800
950
+
(b)
25%
∆U
20%
20
15%
10%
10
U DN S
U Re
5%
0
0%
0
200
400
600
y
800
950
0
200
400
+
600
y
(a)
800
950
+
(b)
máximo das tensões. Conforme a figura 3.33b, a diferença percentual máxima neste
ponto na passa de 2,5%, para depois decair e menor que 1% ao longo de todo o resto
do canal.
Mesmo a diferença entre as duas tensões obtidas sendo pequena, o campo de velocidade obtidos da cada uma são muito diferentes, conforme figura 3.34a. Como pode
ser visto na figura 3.34b, a diferença percentual rapidamente atinge valor maior que
10% e continua crescendo ao longo do canal, até atingir o máximo de 15% na sua
metade.
53
1
25%
DN S
Rxy
vel
Rxy
∆R
20%
15%
0.5
10%
5%
0
0%
0
500
1000
y
1500
2000
0
500
1000
+
y
(a)
1500
2000
+
(b)
25%
∆U
20%
20
15%
10%
10
U DN S
U Re
5%
0
0%
0
500
1000
y
1500
2000
0
500
1000
+
y
(a)
1500
2000
+
(b)
3.2.4.5
Reτ = 4000
DNS
Conforme as figuras 3.35a e 3.35b os perfis da tensão de Reynolds Re xvel
y e Re x y
aparentemente são iguais. A diferença percentual entre ambas não ultrapassa, em valor
absoluto, os 2%, sendo que até y + ≈ 2000 a diferença é negativa e, a partir daí, positiva.
Novamente, apesar da pequena diferença entre os perfis de tensão, os campos de
velocidades obtidos são muito diferentes. Conforme a figura 3.36b a diferença chega
ultrapassa os 50%. O perfil de velocidade U Re apresenta um máximo e um mínimo
54
1
20%
∆R
DN S
Rxy
15%
vel
Rxy
10%
0.5
5%
0%
0
0
1000
2000
y
3000
-5%
4000
0
1000
2000
+
y
(a)
3000
4000
+
(b)
local nos lugares onde a curva ∆R troca de sinal.
0%
∆U
-10%
20
-20%
-30%
10
-40%
U DN S
U Re
-50%
0
0
1000
2000
y
3000
4000
0
1000
2000
+
y
(a)
3000
+
(b)
3.2.5
Análise dos Resultados
Todos resultados da comparação entre do perfil da tensão de Reynolds Re xDyN S obtida
na simulação DNS e o perfil de Reynolds Re xvel
y que gerariam o campo de velocidade
da simulação aparentaram ser bem consistentes. As diferenças percentuais em todos
casos foram pequenas ou praticamente nulas ao longo do canal, a exceção dos locais
de singularidade onde a tensão de Reynolds é nula e a equação (2.36), que calcula ∆R ,
55
4000
é indefinida. Foi realizada uma prova real, onde Re xvel
y é utilizado para calcular analiticamente o campo de velocidade. O resultado obtido é exatamente igual ao campode
de velocidades obtido na simulação DNS, como era de se esperar.
Apesar do perfil de tensão de Reynolds Re xDyN S ser aparentemente consistente com
o campo de velocidade média U D N S , ambos extraídos de uma simulação DNS, quando
Re xDyN S é utilizado para produzir analiticamente um campo de velocidade, o resultado
pode ser desastroso. Principalmente quando o valor de Reτ é alto. No início do canal
as curvas de U Re e U D N S tem boa convergência, porém ao se afastar da parede, o
resultado de U Re se torna mais instável e abandona a curva de U D N S .
Em geral, nos dados utilizados neste estudo, o resultado de U Re tende a piorar
conforme o valor de Reτ aumenta. Este comportamento, e também o aumento do erro
longe da parede, pode ser explicado pela equação que descreve o campo de velocidade,
descrita em (2.38). O campo de velocidade em um dado local y + é função da integral
do perfil de tensão R x y da parede até o ponto y + . Portanto, todo erro no perfil de R x y
anterior ao local y + é acumulado no cálculo da velocidade neste local.
Pela integração da equação (2.34) as seguintes igualdades são válidas:
U
Re
¡
y
+
¢
¶ Z y+
y +2
−
R xDyN S (y 0 )dy 0
= y −
2Reτ
0
(3.1)
¶ Z y+
y +2
0
0
−
R xvel
= y −
y (y )dy
2Reτ
0
(3.2)
µ
+
e
U
DNS
¡
y
+
¢
µ
+
DNS
Definindo os erros EU = U D N S − U Re e E R = R xvel
e subtraindo as equay − Rx y
ções (3.1) e (3.2), obtém-se:
¡
EU y
+
¢
y+
Z
=
0
E R (y 0 )dy 0
(3.3)
Portanto, caso o erro E R não seja oscilatório, o erro da velocidade em um ponto y +
será afetado pelo acumulo de todo erro no campo de tensão anterior ao ponto y + .
Dentre os dados utilizados nesta análise, os dados de Hoyas et al [3], com exceção
56
do caso Reτ 4200, apresentaram os melhores resultados. A variação no campo de velocidade ainda é perceptível e grande em relação a diferença ∆R , porém não ultrapassa
os 3% no pior caso, de Reτ 950.
57
3.3
Modelos de turbulências
Os coeficientes dos modelos descritos na seção 2.2.3 foram obtidos para dois tipos de
escoamentos: o escoamento em um canal e escoamento de camada limite turbulenta
com gradiente de pressão nulo.
O índice r , dado pela equação (3.4), quantifica o quão bem um modelo A n do
tensor de Reynolds anisotrópico A descreve este tensor.
s

2
A
:
A
n
n
r = 1 − cos−1 
π
A:A
(3.4)
As figuras 3.37 e 3.38 mostram a acurácia obtida por cada modelo ao longo da
distância da parede y + .
1
Model
Model
Model
Model
Model
Model
0.8
0.6
r
I
II
III
IV
V
VI
0.4
0.2
0
1
10
100
y
1000
+
Fig. 3.37: Medida da acurácia de cada modelo para o escoamento em um canal de Reτ
= 2000.
Analisando o caso do escoamento turbulento em um canal, na figura 3.37, observase que o maior valor do índice r do Modelo I ao longo do canal é menor que 0,4.
Isto demonstra o quão inapropriada é a hipótese de Boussinesq até para este simples
escoamento puramente cisalhante.
Pelo índice r do Modelo II observa-se que a adição de termos não-lineares de D
produz uma pequena melhora. Porém o Modelo II ainda está longe de gerar uma boa
descrição do tensor anisotrópico de Reynolds A .
Resultado muito melhor é obtido para o Modelo IV, demonstrando o importante pa-
58
pel desempenhado pelo tensor não-persistência-de-deformação-linear P na descrição
do tensor anisotrópico de Reynolds.
Os modelos III,V e VI foram capazes de praticamente descrever exatamente o tensor A ao longo de todo canal.
1
Model
Model
Model
Model
Model
Model
0.8
0.6
r
I
II
III
IV
V
VI
0.4
0.2
0
1
10
100
1000
y+
Fig. 3.38: Medida da acurácia de cada modelo para o escoamento de camada limite
turbulenta de Reθ = 6500 (Reτ ≈ 2000).
No caso do escoamento de camada limite turbulenta, mostrada na figura 3.38,
observa-se uma performance dos Modelos parecida com o caso do escoamento em
canal.
3.3.1
Modelo I
O coeficiente adimensional C µ da hipótese da viscosidade turbulenta é mostrado na
figura 3.39 como função da distância normal da parede em unidades de parede y + para
diferentes números de Reynolds de escoamento em canal e de camada limite turbulenta. É possível observar que todas as curvas colapsam na região próxima a parede
até a camada amortecida em y + ≈ 25 . Na região próxima a parede é possível observar
duas regiões de comportamento linear na escala log-log. Na subcamada viscosa a curva
decresce linearmente até atingir um mínimo em y + ≈ 5 , depois cresce linearmente até
y + ≈ 25 . Na região externa cada curva atinge um platô com valores variando entre
C µ ≈ 0, 07 para Reτ = 2000 e Reθ = 6500 e C µ ≈ 0, 1 para Reτ = 180.
A figura 3.40 mostra o coeficiente adimensional Ĉ D do modelo I. Como pode ser
59
Model I Cµ
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
y
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
+
Fig. 3.39: Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo I escalonado pela energia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.
observado, todas curvas, além de colapsarem, apresentam um comportamento linear
monotônico na subcamada viscosa e na região amortecida. Na região externa cada
curva atinge um platô com valores variando entre Ĉ D ≈ 0, 125 para Reτ = 2000 e Reθ
= 6500 e Ĉ D ≈ 0, 145 para Reτ = 180.
Model I ĈD
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
y+
Fig. 3.40: Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo I escalonado pela energia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ̇.
60
3.3.2
Modelo II
As figuras 3.41, 3.43 e 3.45 mostram, respectivamente, como os coeficientes C I , C D ,
and C D2 do Modelo II variam ao longo da direção normal à parede para escoamentos
de canal e de camada limite turbulenta para diferentes números de Reynolds.
Após y + ≈ 80 , o comportamento de C D é monotônico, enquanto que o comportamento de C I e C D2 não o é. Na figura 3.41 é possível observar que o coeficiente C I
tem menor uniformidade quanto ao número de Reynolds na subcamada viscosa do que
os outros coeficientes. Apesar de não variar tanto quanto C I , esta não-uniformidade
também está presente na curva de C D2 , conforme figura 3.45.
Pela figura 3.43 observa-se que o coeficiente C D é virtualmente o mesmo que C µ
do modelo I. O coeficiente C D2 é qualitativamente semelhante ao coeficiente C D : exibe
comportamento linear e um valor mínimo na subcamada viscosa e depois linear crescente até atingir um platô na região externa.
Model II CI
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
y+
Fig. 3.41: Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo II escalonado pela energia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.
O coeficiente Ĉ I , mostrado na figura 3.42, é o mesmo que C I , visto que para adimensionalização do coeficiente α0 multiplicando o tensor I não há necessidade de
outro fator de escalonamento além da energia cinética turbulenta k .
As figuras 3.44 e 3.46 mostram os coeficientes Ĉ D e Ĉ D2 respectivamente. Pela
61
Model II ĈI
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
y
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
+
Fig. 3.42: Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo II escalonado pela energia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ̇.
Model II CD
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
y+
Fig. 3.43: Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo II escalonado pela
energia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.
figura 3.44 observa-se que, da mesma maneira que para C D , o coeficiente Ĉ D é virtualmente o mesmo que para o modelo I. Analisando as figuras 3.45 e 3.46 é possível
observar que, enquanto C D2 apresenta grande variação de ordem de magnitude, variando desde 104 até 10−2 , o coeficiente Ĉ D2 mantém a mesma ordem de magnitude ao
longo da direção normal a parede.
Para um escoamento incompressível, onde o tensor taxa de deformação D tem
62
Model II ĈD
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
y
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
+
Fig. 3.44: Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo II escalonado pela
energia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ̇.
Model II CD2
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
y+
Fig. 3.45: Coeficiente adimensional para o tensor D 2 do Modelo II escalonado pela
traço nulo, tirando-se o traço do tensor anisotrópico de Reynolds A obtém-se uma
relação entre os coeficientes adimensionais dos tensores I e D 2 . Para o par de fatores
de escalonamento tradicional esta relação é dada pela equação (3.5)
3kC I +C D2
k3
t r (D 2 ) = 0
ε2
Para os coeficientes normalizados Ĉ a relação é dada por:
63
(3.5)
Model II ĈD2
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
y
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
+
Fig. 3.46: Coeficiente adimensional para o tensor D 2 do Modelo II escalonado pela
energia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ̇.
3k Ĉ I + Ĉ D2
k
t r (D 2 ) = 0
γ̇2
(3.6)
Agora, visto que t r (D 2 ) = 2γ̇2 , a equação (3.6) reduz-se a:
3Ĉ I + 2Ĉ D2 = 0
(3.7)
Isso significa que Ĉ I e Ĉ D2 são múltiplos. O que é claramente observável nas
figuras 3.42 e 3.46.
3.3.3
Modelo III
O Modelo III acrescenta à base tensorial utilizada no Modelo II o tensor não-persistênciade-deformação-linear P . Este acréscimo leva a uma grande melhoria no modelo, gerando a capacidade de descrever praticamente exatamente o tensor anisotrópico de
Reynolds A em todo domínio, como pode ser visto nas figuras 3.37 e 3.38.
A figura 3.47 mostra o comportamento do coeficiente adimensional C β ao longo
da direção normal à parede. Esse coeficiente tem qualitativamente o mesmo comportamento que os coeficientes C D e C D2 , um comportamento não-monotônico na região
viscosa de parede ( y + < 50), linearmente decrescente na subcamada viscosa ( y + < 5)
64
e linearmente crescente na camada amortecida (5 < y + < 30). Na região externa a
curva atinge um platô. Da mesma maneira que para o coeficiente C D2 , o coeficiente C β
tem várias ordens de magnitude próximo à parede. Apesar disso, sua curva apresenta
menor variação com o número de Reynolds em comparação a C D2 .
Model III Cβ
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
y
180
395
550
1000
2000
1100
1968
5000
5500
6500
1000
+
Fig. 3.47: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo III escalonado pela
Model III Ĉβ
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
y+
Fig. 3.48: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo III escalonado pela
energia cinética turbulenta k e pela intensidade da não-persistência-dedeformação-linear p .
O coeficiente adimensional Ĉ β , mostrado na figura 3.48, apresenta uma curva muito
65
mais estável. O coeficiente é praticamente constante na subcamada viscosa e na camada amortecida, onde Ĉ β ≈ 0, 8. Na região 25 < y + < 80 a curva decresce para atingir
um outro patamar em Ĉ β ≈ 0.4.
3.3.4
Modelo IV
O Modelo IV mantém a hipótese do Modelo I, de proporcionalidade ao tensor taxa
de deformação D , e acrescenta uma parte proporcional ao tensor não-persistênciade-deformação-linear P . Novamente, a adição deste tensor para descrição do tensor
anisotrópico de Reynolds A gera grande melhoria, conforme as figuras 3.37 e 3.38.
Os coeficientes C β e Ĉ β são mostrados nas figuras 3.49 e 3.50, respectivamente.
Apesar de calculados de uma maneira diferente, os coeficientes são os mesmos que no
Modelo III
Model IV Cβ
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
y+
Fig. 3.49: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo IV escalonado pela
3.3.5
Model V
O Modelo V mantém a hipótese do Modelo I, de proporcionalidade ao tensor taxa
de deformação D , e acrescenta uma parte em fase com o tensor não-persistência-dedeformação-linear P . Conforme as figuras 3.37 e 3.38, este Modelo também é capaz
66
Model IV Ĉβ
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
y
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
+
Fig. 3.50: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo IV escalonado pela
de descrever completamente o tensor anisotrópico de Reynolds A nos casos de escoamento em canal e de camada limite turbulenta.
Model V Cβ0
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
y+
Fig. 3.51: Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo V escalonado pela energia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.
Os coeficientes adimensionais C D e Ĉ D são os mesmos que do modelo I. Como
pode ser visto na figura 3.51, C β0 é praticamente constante dentro da subcamada viscosa e da camada amortecida, onde C β0 ≈ 0.65. Na região 25 < y + < 50 a curva de-
67
cresce e atinge um novo patamar em C β0 ≈ 0.3.
Como visto anteriormente, o único fator de escalonamento necessário para o coeficiente multiplicando o tensor I é a energia cinética turbulenta k , portanto os coeficientes C β0 e Ĉ β0 são iguais, conforme as figuras 3.51 e 3.52.
Model V Ĉβ0
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
y
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
+
Fig. 3.52: Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo V escalonado pela
Model V Cβ1
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
10−4
1
10
100
y
180
395
550
1000
2000
1100
1968
5000
5500
6500
1000
+
Fig. 3.53: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo V escalonado pela
A figura 3.53 mostra o comportamento do coeficiente adimensional C β1 . O coeficiente apresenta uma curva não-monotônica na região viscosa de parede ( y + < 50),
68
Model V Ĉβ1
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
10−4
1
10
100
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
y+
Fig. 3.54: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo V escalonado pela
Model V Cβ2
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
10−4
1
10
100
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
y+
Fig. 3.55: Coeficiente adimensional para o tensor P 2 do Modelo V escalonado pela
decrescente na subcamada viscosa e crescente na camada amortecida e na região exterior a curva atinge um patamar.
O perfil do coeficiente Ĉ β1 é mostrado na figura 3.54. Seu comportamento é similar
ao do coeficiente Ĉ β0 , porém não tão suave quanto este. Mesmo assim, comparado
ao coeficiente C β1 , o coeficiente normalizado Ĉ β1 é mais estável, pois sua ordem de
magnitude permanece a mesma ao longo da direção normal à parede.
69
Model V Ĉβ2
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
y
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
+
Fig. 3.56: Coeficiente adimensional para o tensor P 2 do Modelo V escalonado pela
Os coeficientes adimensionais C β2 e Ĉ β2 são mostrados nas figuras 3.55 e 3.56
respectivamente. O coeficiente C β2 apresenta comportamento similar a C β1 , apesar de
ter uma variação com o número de Reynolds mais acentuada. Além disso, também tem
uma maior extensão de ordem de magnitude, variando de 106 a 10−5 .
Como pode ser observado na figura 3.56, o coeficiente normalizado Ĉ β2 apresenta
uma curva muito mais estável, comparado a C β2 .
Novamente, tirando o traço de A , é possível achar uma relação entre os coeficientes
Ĉ β0 e Ĉ β2 , dada por:
3Ĉ β0 + 2Ĉ β2 = 0
(3.8)
Portanto, em valores absoluto, Ĉ β2 = 1.5Ĉ β0 . Daí segue que Ĉ β2 ≈ 1.0 na região
viscosa de parede e Ĉ β2 ≈ 0.5 na região externa, o que é consistente com a figura 3.56.
3.3.6
Modelo VI
No Modelo VI é utilizada a base tensorial mais completa proposta neste estudo para
descrever o tensor anisotrópico de Reynolds A . Para o modelo VI é feita a mesma
suposição que no modelo III, que o tensor A tem uma parte em fase com o tensor taxa
70
Model I Cβ1
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
y
180
395
550
1000
2000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
+
Fig. 3.57: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo VI escalonado pela
Model I Ĉβ1
10000
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reτ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
Reθ
100
1
0.01
1
10
100
180
395
550
1000
8000
1100
1968
4000
5500
6500
1000
y+
Fig. 3.58: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo VI escalonado pela
de deformação D . Porém, ao invés de supor uma segunda parte proporcional ao tensor
não-persistência-de-deformação-linear P , é proposta uma parte em fase com P .
No entanto, como é visto nas figuras 3.37 e 3.38, o Modelo III já tem informação
suficiente para descrever completamente o tensor anisotrópico de Reynolds nos escoamento em canal e de camada limite turbulenta. Portanto a adição de novos elementos
na base tensorial seria desnecessária. Isto é confirmado ao se calcular os coeficientes
71
do Modelo VI.
Ambos os coeficientes tradicionais C e normalizado Ĉ achados são os mesmos
que no Modelo III. Os coeficientes relacionados ao tensor P , apesar de calculados de
maneira diferente, são os mesmo que no Modelo III, conforme as figuras 3.57 e 3.58.
Os coeficientes relacionados ao segundo tensor I e ao tensor P 2 apresentaram valor
nulo, o que demonstra a inutilidade destes tensores.
72
Capítulo 4
Considerações Finais
4.1
Conclusões
O presente trabalho explora diversas bases DNS no intuito de construir modelos RANS
de maior acurácia.
Na primeira parte do trabalho, foram exploradas bases DNS em canais planos de
quatro grupos de pesquisadores: Moser et al [1], Thais et al.[2], Hoyas et al. [3] e
Bernardini et al. [4] nos diversos números de Reynolds disponibilizados. Para a quantificação do erro intrínseco do componente R y x , o perfil desta quantidade é obtido pelo
balanço de quantidade de movimento utilizando o perfil de velocidade média das bases de dados DNS, ou seja, o componente obtido está atrelado a uma estatística de
primeira ordem (média simples). A análise proposta baseou-se na obtenção do perfil
de velocidade média obtida pela integração das equações de balanço de quantidade de
movimento com a utilização dos dados das bases DNS de tensor de Reynolds, ou seja,
de uma estatística de segunda ordem. Esta análise mostrou que o erro intrínseco do
componente y x do tensor de Reynolds, embora pequeno nos diversos casos, impacta
significativamente o perfil de velocidade média. Do ponto de vista de modelagem, este
resultado implica que mesmo que se construísse um modelo que reproduzisse perfeitamente o tensor de Reynolds fornecido pela base DNS, não seria capaz de reproduzir
o perfil de velocidade média da mesma base. Como o valor da velocidade média em
73
uma posição é função de uma integral até esta posição, os erros são cumulativos. Este
fato aliado à característica não oscilatória do erro local justifica os resultados encontrados que mostram erros maiores para maiores valores de y + e, consequentemente,
erros maiores para Re τ maiores. De uma maneira geral, percebe-se uma maior robustez dos resultados obtidos pelo grupo Hoyas et al. [3]. Os dados do grupo Bernardini
et al. [4], mais recentemente disponibilizado, mostrou os mais impactantes erros no
perfil de velocidade média, mesmo para os menores Re τ explorados.
Na segunda parte do trabalho, foram exploradas bases DNS em canais planos e
camada limite. O objetivo desta análise foi o de produzir coeficientes para bases estendidas em relação à base tradicional, linear com o tensor taxa-de-deformação, adotada
na hipótese de Boussinesq. A inclusão do tensor P aliada a possíveis não-linearidades
deste tensor e do tensor D possibilitou a criação de seis modelos com diferentes níveis
de complexidade por meio de decomposições tensoriais. Esta análise permitiu que se
determinasse o erro intrínseco do modelo adotado em relação à sua capacidade de reproduzir o tensor de Reynolds em cada ponto do domínio. A inclusão do tensor P
mostrou-se de fundamental importância, elevando, significativamente, a aderência dos
modelos com bases que contém este tensor. Nesta segunda parte, foi testada uma nova
ideia de escalonamento dos coeficientes que multiplicam os diversos tensores das bases. Esta ideia consiste em se normalizar os tensores por meios da utilização da norma
dos mesmos, em analogia a versores no espaço vetorial. Com este procedimento, o
escalonamento prescinde da utilização do ε. A comparação entre os coeficientes de
bases normalizadas com os utilizados na abordagem clássica k -ε mostrou uma maior
universalidade dos primeiros, ou seja, uma menor variação em relação aos diferentes
números de Reynolds e em relação ao caso, se canal plano ou camada limite. Além
disso, a função destes coeficientes em relação a y + apresentou maior constância e monotonicidade, mostrando um comportamento mais fácil de ser mimetizado.
74
4.2
Sugestões para trabalhos futuros.
A primeira parte do trabalho sugere uma nova maneira de se propor um critério para
a convergência do tensor de Reynolds para simulações numéricas diretas, baseada em
uma tolerância com relação ao componente R y x obtido de um perfil de velocidade
já mais convergido por se tratar de uma estatística de primeira ordem. Ainda como
sugestão, esta análise deve ser realizada para escoamentos de camada limite. De outra
forma, em casos mais complexos, um caminho para métodos híbridos RANS-LES
pode ser explorado em que o divergente do tensor de Reynolds, que pode ser isolado
no balanço de quantidade de movimento médio, pode ser passado de um resultado
LES para um modelo RANS, diminuindo o tempo necessário para que este esteja com
a acurácia desejada.
Alguns caminhos são abertos com a análise da segunda parte do trabalho. Um
deles é a proposição de funções para os coeficientes das bases normalizadas e k -ε.
Isto seria fundamental para o acoplamento com um sistemas de equações para resolver
escoamentos turbulentos mais gerais. A maior exploração destes novos coeficientes
em outros escoamentos também seria uma linha importante. Uma outra abordagem
semelhante a dos coeficientes normalizados porém utilizando a norma da parte deviatórica do tensor de Reynolds pode ser promissora, visto que o segundo invariante de
um tensor é normalmente mais representativo do mesmo do que o primeiro.
75
Referências
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78

- PGMEC - Universidade Federal Fluminense

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