2ª- SÉRiE

Transcrição

2ª- SÉRiE

caderno do
ensino médio
2ª- SÉRiE
volume 2 – 2009
MAT_CP_2a_vol2_AF.indd 1
matEmática
PROFESSOR
4/8/09 5:01:54 PM
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos
dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
AUTORES
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti,
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNiCA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem,
Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã
Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de
Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de
Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira
e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de
Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença
de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi,
Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque,
Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e
Sayonara Pereira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de
Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa
Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto,
Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo
Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha,
Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange
Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial,
Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design
(projeto gráfico)
APOiO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
S239c
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2ª- série, volume 2 /
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José
Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-297-7
1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês.
II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV.
Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 373.5:51
Prezado(a) professor(a),
Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido
Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, novamente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador
José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos
não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a
causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que
a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com
oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças
nesta área a partir da ação do poder público.
Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas
as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula
a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas
recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de
ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendizagem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido
as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é
que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os
indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção.
O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade
de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não
estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, estão lidando com o mesmo tipo de situação. O Presidente Barack Obama, dos Estados
Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exatamente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país.
Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou
secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos.
Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado
com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor
oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem
propostas para cada disciplina.
Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações
didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas
dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho.
Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão
de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um
mundo de melhores oportunidades por meio da educação.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
4/17/09 10:18:05 AM
SuMário
São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
12
Situação de Aprendizagem 1 – Matrizes: diferentes significados
12
Situação de Aprendizagem 2 – Matriz de codificação: desenhando
com matrizes 25
Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas lineares em situações-problema
28
Situação de Aprendizagem 4 – Resolução de sistemas lineares:
escalonamento x Cramer 35
Orientações para Recuperação
52
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para
a compreensão do tema 52
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio
54
4/8/09 1:49:11 PM
São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA
CurriCulAr PArA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do
Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão
também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas
durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida
das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto
na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam
ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.
Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e
consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o
que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para
o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse
processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação
da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único,
gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no
contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia
escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da
aprendizagem e de seus resultados.
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Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva,
na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas
e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e
recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de
São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das
ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que
acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a
em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será
apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi
alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos
Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para
que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo
este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que
pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade
a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever
esse sucesso, que também é de vocês.
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
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FiCHA do CAdErno
Matrizes e sistemas lineares
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Série:
Período letivo:
temas e conteúdos:
Ensino Médio
2ª2º- bimestre de 2009
Matrizes: tabelas com significados
Matrizes: recurso para codificar
Sistemas lineares em situações-problema
Resolução e discussão de sistemas lineares
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oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente
ensinado nas escolas, ou do que é apresentado
pelos livros didáticos. As inovações pretendidas
referem-se à forma de enfoque destes temas, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos
bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos
conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas à leitura e
à escrita matemática, bem como os elementos
culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões
aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo.
De acordo com o número de aulas disponíveis
por semana, o professor vai explorar cada assunto com mais ou menos profundidade, ou
seja, escolherá uma escala adequada para tratar do tema. A critério do professor, em cada
situação específica, o tema correspondente a
uma das unidades pode ser estendido por mais
de uma semana, enquanto o de outra unidade
pode ser tratado de modo mais simplificado.
É desejável que o professor contemple todas
as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem o panorama do conteúdo do bimestre,
e, muitas vezes, uma das unidades contribui
para a compreensão das outras. Insistimos,
entretanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando
em consideração seu interesse e o dos alunos
pelos temas apresentados, pode determinar
com adequação o prazo ideal a ser dedicado
a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando
o professor para sua ação em sala de aula.
As atividades são independentes e podem
ser exploradas pelos professores com mais
ou menos intensidade, conforme seu interesse e o de sua classe. Naturalmente, em razão
das limitações no espaço dos Cadernos, nem
todas as unidades foram contempladas com
Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas
seja explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros)
em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor
para o enriquecimento de suas aulas.
O Caderno é ainda composto de considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como
o conteúdo essencial ao desenvolvimento das
competências esperadas no presente bimestre.
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Matemática - 2a série - Volume 2
Conteúdos básicos do bimestre
O conteúdo matemático selecionado para
o 2º- bimestre – matrizes, determinantes e sistemas lineares – exige, assim como os demais
conteúdos, que sejam identificados seus diferentes significados e estimuladas algumas das
várias conexões entre esses significados. Todavia, a observação dos tópicos abordados com
maior frequência nos livros didáticos e, portanto, nos cursos de Ensino Médio evidencia
a prioridade atribuída a aspectos meramente
algébricos, que coloca em segundo plano algumas das atuais e importantes aplicações desses
conteúdos, bem como a sólida base que deveria
ser formada tendo em vista a continuidade dos
estudos matemáticos. Com esse intuito, valeria
enfatizar, por exemplo, a formação de imagens
nas telas dos aparelhos digitais (máquinas, televisores, etc.), e todo o campo de estudo da
Álgebra Linear. Ao contrariar essa tendência,
julgamos importante o professor municiar-se
de um amplo espectro de Situações de Aprendizagem nas quais transpareçam claramente
os dois aspectos apontados – aplicabilidade e
formação conceitual – a fim de que os alunos
possam construir alguns dos diferentes significados de cada um dos tópicos de conteúdo.
Em relação às matrizes, o professor deve
avaliar a importância desse conteúdo no bimestre, destinando o tempo necessário à apresentação de algumas de suas inúmeras aplicações.
Nesse sentido, sugerimos que o trabalho se
inicie com a noção de que uma matriz é, em
princípio, uma tabela de dupla entrada em que
seus elementos guardam posições dadas pelas
coordenadas de suas linhas e colunas. Além
disso, sugerimos ainda que os exemplos escolhidos para tal apresentação sejam carregados
de significados, a fim de que os alunos possam
associar as características particulares de um
elemento qualquer da matriz às características
gerais pertinentes a todos os elementos e, portanto, à própria matriz.
Na Situação de Aprendizagem 1 – Matrizes:
diferentes significados, abordamos quatro aspectos que fazem ressaltar importantes significados associados à armazenagem de dados
em uma tabela de dupla entrada. O primeiro
aspecto apresentado, na Atividade 1, enfoca
uma clássica e reconhecida dificuldade dos
alunos em calcular e associar significado ao
produto de duas matrizes. Sugerimos que as
situações-problema propostas sejam apresentadas aos alunos sem qualquer comentário
anterior sobre como calcular o produto de
duas matrizes, e que, ao final, as conclusões
sobre os resultados obtidos sejam utilizadas
para a introdução do conceito. Ainda sobre
esta atividade, chamamos a atenção do professor para os Problemas 1 e 2, em que abordamos a translação de polígonos representados
no plano cartesiano por meio de adições entre matrizes, atribuindo, dessa maneira, um
significado pouco usual à representação e às
operações matriciais.
Continuando a explorar a primeira Situação de Aprendizagem proposta, na Atividade 2, apresentamos a ideia de que cada
elemento de uma matriz pode revelar explicitamente a frequência de um evento, ao mesmo
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tempo que pode, implicitamente, revelar a
frequência de outro evento, complementar ao
primeiro. Trata-se das chamadas “matrizes de
compensação”, que também podem ser apresentadas aos alunos como uma situação-problema, sem necessidade de qualquer discussão
conceitual anterior sobre o tema.
Na Atividade 3 da Situação de Aprendizagem 1 os alunos poderão tomar contato com
o conceito de Pixel, associando a ideia de matriz à da imagem fotografada em uma máquina
digital. Com intuito de valorizar a exploração
desse aspecto, sugerimos que os alunos sejam
estimulados a pesquisar como se formam as
imagens nos aparelhos de televisão digital
para ampliar a rede de significados associados
às matrizes.
A primeira Situação de Aprendizagem encerra-se com a Atividade 4, na qual ampliamos
o significado dos pixels discutido na atividade
anterior, ao propor a representação de figuras planas obtidas a partir da composição de
regiões identificadas por comandos matriciais.
A Situação de Aprendizagem 2 – Matriz de
codificação: desenhando com matrizes aborda
a possibilidade de as matrizes serem utilizadas para codificar sequências de ligações entre pontos do plano com o objetivo de formar
determinada imagem. De fato, tal atividade
é uma adaptação da importante Teoria de
Grafos, com a qual muitos alunos se defrontarão na continuidade dos estudos. A experiência de aplicação, a grupos de alunos de Ensino
Médio, de questões semelhantes às propostas,
mostrou o enorme envolvimento dos alunos na
criação de desenhos e de diferentes codificações.
Assim, sugerimos que o professor destine especial atenção à Atividade 3, na qual os alunos
são convidados a criar seus próprios desenhos.
A transformação da linguagem cotidiana para a linguagem matemática é realizada, no mais das vezes, por intermédio de
uma equação. Uma situação-problema que
pode ser resolvida apenas pelo cálculo mental
não necessita que equações sejam escritas, e
não se trata, de forma alguma, de priorizar o
cálculo algébrico em relação ao cálculo mental. No entanto, são inúmeras as situaçõesproblema em que se evidencia a necessidade
de escrever e resolver equações, e não podemos deixar de apresentar aos alunos exemplos dessa natureza, associados, sempre que
possível, a contextos significativos. Na Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas lineares em
situações-problema são apresentadas várias
propostas de problemas contextualizados em
que equações e sistemas lineares convertem-se
em importante ferramenta na busca da solução
desejada. No entanto, chamamos a atenção
do professor para que situações semelhantes
não sejam propostas apenas no final do curso,
em um único bloco, e sim que possam, todo o
tempo, permear a gradativa construção conceitual planejada para todo o 2º- bimestre.
Devemos avaliar com cuidado a importância do cálculo dos determinantes associados às
matrizes quadradas, no contexto da resolução
de sistemas lineares. Sabemos que, com frequência, os determinantes são utilizados como
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4/8/09 1:49:11 PM
ferramenta quase única para a resolução e a
discussão de sistemas lineares por intermédio
da regra de Cramer. Ressaltamos que a aplicação de regras de cálculo, que exigem dos
alunos apenas a mobilização da habilidade
de memorização, não podem ser priorizadas
acima de outras condutas e procedimentos
que permitem aos alunos o exercício de toda a
diversidade de estratégias de raciocínio. Nesse sentido, chamamos a atenção do professor
para que a resolução e a discussão de sistemas
lineares por intermédio do escalonamento
sejam, se não o único procedimento apresentado, aquele que receba prioritariamente
o destaque da apresentação conceitual. Tais
princípios nortearam a elaboração da Situação de Aprendizagem 4 – resolução de sistemas
lineares: escalonamento x Cramer, em que diversos sistemas lineares são apresentados para
que sejam resolvidos e/ou discutidos.
A organização do trabalho do bimestre,
com base nas considerações anteriores, pode
ser feita nas oito unidades seguintes.
Quadro geral de conteúdos da
2ª- série do 2º- bimestre do Ensino
Médio
unidade 1 – Matrizes: apresentação, tipos,
igualdade e operações: adição, subtração e
multiplicação por uma constante.
unidade 2 – Matrizes: diferentes significados; multiplicação entre duas matrizes.
unidade 3 – Matrizes: operações e equações
matriciais.
unidade 4 – Determinantes: um número
associado a uma matriz quadrada; método
de Sarrus.
unidade 5 – Sistemas lineares: resolução
por escalonamento.
unidade 6 – Sistemas lineares: resolução
por escalonamento.
unidade 7 – Sistemas lineares: discussão de
parâmetros.
unidade 8 – Problemas resolvíveis por intermédio de sistemas lineares.
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SituaçõeS de aprendizagem
SituAção de APrendizAgeM 1
MAtrizeS: diFerenteS SigniFiCAdoS
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: operação de adição entre matrizes; multiplicação entre duas matrizes.
Competências e habilidades: utilizar elementos de matrizes para organizar e justificar a resolução de situações-problema baseadas em contextos do cotidiano; relacionar representações
geométricas a comandos expressos na linguagem matemática.
estratégias: resolução de situações-problema.
roteiro para aplicação da Situação
de aprendizagem 1
o significado imediatamente associado às
matrizes é o de uma tabela de dupla entrada
contendo dados numéricos. Se tal fato não
pode ser contestado, visto o contato dos alunos com as tabelas desde praticamente o início
de sua escolarização, torna-se importante, no
ensino Médio, interpretar com qualidade os
significados associados a cada elemento da
matriz. Assim, a correta interpretação de dados
numéricos registrados em matrizes é um
dos objetivos da proposta desta Situação de
Aprendizagem.
em relação às operações entre matrizes,
sabemos da pouca dificuldade apresentada pelos alunos no que se refere às adições e
também ao produto de um número real por
uma matriz. no entanto, o mesmo não ocorre
com o cálculo do produto entre duas matrizes,
uma vez que o procedimento adequado para a
obtenção correta de resultados contraria, inicialmente, o senso comum dos alunos quanto
à sequência de passos a ser obedecida. Consideramos que a apresentação do cálculo de
um produto de matrizes com base em exemplos contextualizados é uma abordagem que
favorece a aprendizagem e compreensão dos
alunos sobre esse tema. Para auxiliar o professor neste caminho metodológico, propomos,
nesta Situação de Aprendizagem, uma série
de situações-problema desenvolvidas sobre
contextos pertinentes para a introdução de
tais operações. Mesmo acreditando que o professor saberá julgar e decidir sobre o melhor
momento de apresentar aos alunos as situações-problema das próximas páginas, consideramos que isso possa ser feito antes mesmo
de que sejam apresentadas, formalmente, as
operações entre matrizes.
12
4/8/09 4:05:52 PM
Chamamos a atenção do professor para o
tratamento dado à adição de matrizes, na Atividade 1, por intermédio de translações de
polígonos representados no plano cartesiano.
Destacamos neste Caderno apenas dois exemplos de situações dessa natureza, mas aconselhamos o professor a criar outras situações, de
caráter semelhante, que envolvam quadriláteros,
pentágonos e hexágonos, estimulando os alunos
a atribuírem diferentes significados à adição matricial. Ressaltamos ainda que o trabalho com
as translações de polígonos no plano cartesiano
pode ser auxiliado por planilhas de cálculo, caso
haja disponibilidade de recursos de informática.
matrizes. Uma vez que os problemas apresentam
similaridades quanto às estratégias de raciocínio
que devem ser mobilizadas em suas respectivas resoluções, caberá ao professor avaliar se a
melhor maneira é apresentar um de cada vez a
seus alunos, em aulas distintas, ou se é o caso de
reuni-los em um único momento.
Outro aspecto a salientar diz respeito à dificuldade das operações necessárias à resolução
de cada situação-problema. De fato, para que
o contexto se aproxime o máximo possível do
real, é importante que os valores relativos às
quantidades não sejam expressos apenas por
números naturais. Para que o foco do conteúdo
em questão não se perca, o professor poderá,
a seu critério, permitir que os alunos utilizem
calculadoras para agilizar os cálculos.
Atividade 1 – operações entre duas
matrizes
Problema 1
Nesta atividade propomos algumas situações-problema de contexto bem definido para
introduzir a adição e a multiplicação entre duas
Observe os dois polígonos representados
no plano cartesiano:
y
6
F
5
4
B
3
G
E
2
1
H
C
A
1
2
D
3
4
5
6
7
8
9
x
13
4/8/09 1:49:12 PM
De fato, esses dois polígonos são congruentes, e podemos considerar que o polígono
EFGH é uma translação do polígono ABCD,
isto é, EFGH foi obtido a partir de duas movimentações de ABCD, sendo uma na horizontal e outra na vertical.
a) Quantas unidades na horizontal e quantas unidades na vertical ABCD deve ser
deslocado para que, ao final, coincida
com EFGH?
5 unidades na horizontal e 2 unidades na
vertical.
b) Represente em uma matriz A(4x2) as
coordenadas dos vértices do polígono
ABCD, de maneira que cada linha da
matriz contenha coordenadas de um
ponto, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.
A=
1
1
3
2
1
3
1
0
d) Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma
que A + C = b.
5
5
5
5
C=
2
2
2
2
Problema 2
Na representação seguinte, de um plano
cartesiano, podemos observar três triângulos
congruentes. O triângulo ABC pode ser transladado até coincidir com o triângulo DEF, que
por sua vez, se transladado, poderá coincidir
com o triângulo GHI.
y
4
D
3 A
2
E
1
F
–3
B=
6
6
8
7
3
5
3
2
B
2
–2
G
–1
0
–1
–2
c) Represente em uma matriz b(4x2) as
coordenadas dos vértices do polígono
EFGH, de maneira que cada linha da
matriz contenha coordenadas de um
ponto, com a abscissa na primeira coluna
e a ordenada na segunda coluna.
5
1 C
3
4
x
H
–3
I
a) Quantas unidades horizontais e quantas
unidades verticais são necessárias para
uma translação do triângulo ABC, a
fim de que, ao término, ele coincida com
o triângulo DEF?
Quatro unidades horizontais para a esquerda e uma unidade vertical para cima.
14
4/8/09 1:49:12 PM
b) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias
para uma translação do triângulo DEF,
a fim de que, ao término, ele coincida
com o triângulo GHI?
Uma unidade horizontal para a direita e
quatro unidades verticais para baixo.
c) Quantas unidades horizontais e quantas
unidades verticais são necessárias para
uma translação do triângulo ABC, a
fim de que, ao término, ele coincida com
o triângulo GHI?
Três unidades horizontais para a esquerda e
três unidades verticais para baixo.
d) Escreva uma matriz 3x2 para cada triângulo, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um vértice
do triângulo, com a abscissa na primeira
coluna e a ordenada na segunda coluna.
Denomine a matriz referente ao triângulo ABC pela letra M, a matriz referente
ao triângulo DEF pela letra n, e a matriz
referente ao triângulo GHI pela letra P.
1 2,5
–3
M = 4 0,5 N = 0
2 –0,5
–2
3,5
–2 – 0,5
P
=
1,5
1 –2,5
0,5
–1 –3,5
e) Escreva uma matriz Q, tal que M + Q = N
–4
Q = –4
–4
1
1
1
f) Escreva uma matriz r, tal que N + R = P
R= 1
1
1
–4
–4
–4
g) Escreva uma matriz t, tal que M + T = P
–3
T = –3
–3
–3
–3
–3
Problema 3
No campeonato baiano da terceira divisão,
após 5 rodadas, foram obtidos os seguintes resultados pelas 5 equipes participantes:
Equipes
Vitórias
Empates
derrotas
3
2
0
2
1
2
Veneza
2
0
3
Colonial
1
1
3
Olaria
1
0
4
resultado
Pontos
Vitória
3
Empate
1
Derrota
0
Barro
Vermelho
Carranca
Calcule quantos pontos cada time conquistou até agora e represente os resultados em
uma matriz de ordem 5x1.
Os elementos da matriz seguinte correspondem aos totais de pontos das equipes, de cima
para baixo, nesta ordem: Barro Vermelho,
Carranca, Veneza, Colonial e Olaria.
11
7
6
4
3
15
4/8/09 1:49:12 PM
Problema 4
Um proprietário de duas cantinas em escolas diferentes deseja contabilizar o consumo dos seguintes produtos: suco de laranja,
água mineral, queijo e presunto. Na cantina
da escola A são consumidos, por semana,
40 dúzias de laranjas, 140 garrafas de água
mineral, 15 quilos de queijo e 9 quilos de
presunto. Na cantina da escola b são consumidos semanalmente 50 dúzias de laranjas,
120 garrafas de água mineral, 18 quilos de
queijo e 10 quilos de presunto. O proprietário das cantinas compra os produtos que
revende de dois fornecedores, cujos preços,
em R$, são expressos na tabela a seguir:
Produtos
Fornecedor 1
Fornecedor 2
1 dúzia de
laranjas
1,20
1,10
1 garrafa de
água mineral
0,80
0,90
1 quilo de
queijo
5,00
6,00
1 quilo de
presunto
9,00
7,50
1,20
0,80
5,00
9,00
1,10
0,90
6,00
7,50
c) uma matriz 2x2 contendo os preços
totais cobrados por cada fornecedor,
para cada cantina.
316,00
327,50
336,00
346,00
Essa matriz corresponde ao produto entre as
matrizes do item a e do item b.
d) quanto o proprietário vai economizar,
ao comprar sempre no fornecedor mais
barato, para os dois restaurantes.
(327,50 – 316,00) + (346,00 – 336,00)
= R$ 21,50
Problema 5
Com base nestas informações, determine:
a) uma matriz 2x4 em que esteja registrado o consumo dos produtos listados na
cantina A e também na cantina b.
40 140 15
50 120 18
b) uma matriz 4x2 em que estejam registrados os preços praticados pelos fornecedores 1 e 2 para os produtos listados.
9
10
Está chegando a Páscoa e Jair resolveu
ganhar um dinheiro extra, fabricando e
vendendo ovos de chocolate. Para planejar
seus investimentos e lucros no projeto, Jair
elaborou as seguintes planilhas com quantidades necessárias e custo de material para
4 tipos de ovos.
16
4/8/09 1:49:12 PM
tabela 1 – Quantidade de material necessário para a fabricação de uma unidade
de cada tipo de ovo
tipo de ovo
tipo 1
tipo 2
tipo 3
tipo 4
Chocolate
(gramas)
120
250
180
160
Açúcar
(gramas)
100
120
100
80
Recheio
(gramas)
160
180
200
100
Embalagem
(folhas)
0,5
1,5
1,0
1,0
tabela 2 – Custo de cada tipo de material (r$)
Chocolate (kg)
Açúcar (kg)
recheio (kg)
Embalagem (folhas)
12,00
1,50
28,00
1,20
a) Escreva uma matriz de ordem 1x4 contendo o custo total de fabricação de
cada tipo de chocolate.
A matriz procurada pode ser obtida a partir do produto das matrizes que podem ser
formadas com os elementos numéricos das
duas tabelas apresentadas no enunciado.
De qualquer forma, para obter os resultados procurados, será necessário multiplicar
os elementos da linha da tabela 2 pelos elementos de cada coluna da tabela 1, da seguinte forma:
f Tipo 1: 12 . 0,12 + 1,50 . 0,1 +
+ 28 . 0,16 + 1,20 . 0,5 = 6,67
f Tipo 2: 12 . 0,25 + 1,50 . 0,12 +
+ 28 . 0,18 + 1,20 . 1,5 = 10,02
f Tipo 3: 12 . 0,18 + 1,50 . 0,1 +
+ 28 . 0,2 + 1,20 = 9,11
f Tipo 4: 12 . 0,16 + 1,5 . 0,08
+ 28 . 0,1 + 1,20 = 6,04
+
Assim, a matriz procurada é:
[ 6,67
10,02
9,11
6,04]
b) Se Jair pretende trabalhar com as margens de lucro sobre o preço de custo expressas na tabela a seguir, calcule qual
é o valor total das vendas que ele espera conseguir com 200 unidades de cada
tipo de chocolate.
17
4/8/09 1:49:12 PM
tabela 3 – Margem de lucro por tipo produzido
tipo de
chocolate
tipo 1
tipo 2
tipo 3
tipo 4
Margem de
lucro (%)
60
80
100
100
Para calcular o montante de um valor sobre
o qual se fez incidir um porcentual de, por
exemplo, 60%, podemos multiplicar o valor
inicial pelo coeficiente 1,6. Esse índice corresponde, de fato, à soma de 100% + 60%.
Para obter o resultado procurado, será necessário, de fato, multiplicar a matriz obtida
no item a pela matriz seguinte, formada pelos coeficientes de correção do valor inicial:
[ 6,67 10,02 9,11
1,6
6,04] . 1,8 =
2,0
2,0
que disputam, entre si, várias partidas de
3 jogos diferentes, A, b e C. Jonas ganha
37% das partidas do jogo A, 62% das partidas do jogo b e 45% das partidas do jogo C.
A partir desses dados podemos escrever uma
tabela e/ou uma matriz 2x3:
Porcentual de vitórias de cada jogador
Jogador
Jogo A
Jogo b
Jogo C
Jonas
37
62
45
Mário
63
38
55
= 1,6 . 6,67 + 1,8 . 10,02 + 2 . 9,11 +
+ 2 . 6,04 = 59,008.
O resultado apresentado corresponde ao valor
da venda de uma unidade de cada tipo. Como
são previstas 200 unidades de cada, devemos
fazer:
200 . 59,008 = 11 801,60
Assim, o valor total das vendas será igual a
R$ 11 801,60.
Atividade 2 – Matriz de compensação
Podemos utilizar matrizes para registrar a
frequência com que acontecem dois eventos
que se complementam. Por exemplo, vamos
supor o caso de duas pessoas, Jonas e Mário,
M=
37
63
62
38
45
55
Vale ressaltar, entretanto, que os valores
alocados na segunda linha, referentes às porcentagens de ganho de Mário, poderiam ter
sido suprimidos da matriz, visto que a soma
dos elementos de cada coluna sempre é 100.
Em outras palavras, se sabemos a porcentagem de vitórias de um jogador, sabemos também sua porcentagem de derrotas. Bastaria,
portanto, escrever a seguinte matriz 1x3:
Jonas
A
(37
B
62
C
45)
A este tipo de matriz dá-se o nome de “matriz de compensação”, porque os resultados
18
4/8/09 1:49:13 PM
favoráveis a um elemento “compensam” os resultados, não registrados na matriz, favoráveis
ao outro.
Com base nessas explicações, propomos a
seguinte situação-problema:
Duas redes de televisão A e b competem,
entre si, para obter o maior índice de audiência em cada horário. Neste momento, as duas
redes planejam levar ao ar programas de uma
hora de duração para o mesmo horário noturno. A rede A dispõe de 2 opções de programas (A1 e A2) enquanto a rede b dispõe
de 3 opções de programas possíveis (b1, b2 e
b3). Na tentativa de fazer a melhor opção, as
redes contratam um instituto de pesquisa de
opinião para avaliar como se divide a preferência do público quando cada opção da rede
A for colocada em confronto com cada opção
da rede b. Assim, por exemplo, o instituto
avalia que, se os programas A1 e b1 forem ao
ar simultaneamente, 60% do público assistirá
a A1 enquanto 40% assistirá a b1. Na tabela
a seguir estão representados esse e os demais
resultados dos confrontos entre as opções de
programas de A e b.
Porcentagem de audiência para a rede A
Programas da rede b
Programas
da rede A
b1
b2
b3
A1
60
20
30
A2
40
75
45
Responda:
a) Se forem ao ar simultaneamente A1 e
b3, qual será a porcentagem de audiência prevista para cada programa?
30% para A1 e 70% para B3.
b) Se forem ao ar simultaneamente A2
e b2, qual rede terá maior audiência?
Quantos por cento a mais?
A rede A terá mais audiência, pois A2 terá 75%
contra 25% de B2. São, portanto, 50% a mais.
c) Qual das combinações de dois programas,
um de A e outro de b, permite a maior diferença entre as audiências das duas redes
no horário? E qual combinação permite a
menor diferença entre as audiências?
A maior diferença está no par (A1, B2),
com 20% para A1 e 80% para B2, isto é, com
60% de diferença. A menor diferença está no
par (A2, B3), com 45% para A2 e 55% para
B3, isto é, com 10% de diferença.
Atividade 3 – resolução de imagens:
os pixels
O registro de uma foto no papel ou em
uma tela de computador é obtido a partir da
reunião de várias unidades de imagem justapostas. Cada uma dessas unidades tem apenas uma cor e é denominada pixel (picture
element). O conjunto dos pixels dá a quem vê
a impressão de algo contínuo, muito embora
a ampliação da foto mostre claramente a descontinuidade da gradação de cores, como se
pode observar na figura a seguir.
19
4/8/09 1:49:13 PM
© Ablestock/Renan Leena
avaliadas pelo comprador são os megapixels.
Uma máquina de 6 megapixels (6 MP) divide uma determinada área em 6 milhões de
pixels (6 x 106), enquanto outra, de 7.1 MP é
capaz de dividir a mesma área em 7 milhões e
100 mil pixels (7,1 x 106). Assim, apenas por
esse quesito, é possível avaliar que a qualidade
da segunda câmera é superior à da primeira.
Uma fotografia, desse modo, pode ser entendida como uma matriz formada por n elementos em que cada um deles é um pixel de imagem.
Quanto mais elementos a matriz contiver em
uma mesma área, melhor será a resolução da
fotografia. Observe, por exemplo, os desenhos
dos retângulos a seguir, nos quais foi inserida a
letra r. Acima de cada retângulo aparece registrada a quantidade de pixels. Nesta ilustração
fica claro como a qualidade da imagem aumenta com o aumento da quantidade de pixels.
Não há dimensão fixa para um pixel, mas
é possível inferir que, em uma mesma área,
quanto menor for um pixel, maior poderá ser
a quantidade deles, resultando em uma foto
de melhor qualidade ou de maior resolução.
Ao adquirir uma máquina fotográfica
digital, uma das primeiras características
1x1
2x2
5x5
10 x 10
O tamanho de uma imagem digital é
definido pela ordem da matriz, isto é, pela
quantidade de linhas e colunas que a forma.
A flor abaixo, por exemplo, tem 119 linhas
20 x 20
50 x 50
100 x 100
e 116 colunas de tamanho. Em um total de
119 . 116 = 13 804 pixels.
© Ablestock
A partir dessas informações, propomos a
seguinte atividade:
Um determinado modelo de máquina
digital pode alterar a resolução da foto. À
escolha do fotógrafo, as fotos podem ser produzidas com as seguintes especificações:
7.1 MP : 3 072 x 2 304 pixels
6.1 MP: 3 072 x 2 048 pixels
4.0 MP: 2 304 x 1 728 pixels
1.9 MP: 1 600 x 1 200 pixels
0.8 MP: 1 024 x 768 pixels
20
4/8/09 1:49:18 PM
1. Considere uma foto de 7.1 MP de resolução em que a linha 1 000 da matriz seja
formada apenas por pixels de cor verde, divididos igualmente entre 3 tonalidades em
ordem crescente de posição nas colunas:
f se 200 < bij ≤ 320 ⇒ tonalidade 2
tonalidade 1:
f se 320 < bij ≤ 1 000 ⇒ tonalidade 3
tonalidade 2:
tonalidade 3:
Assim, dos n elementos da 1 000a linha da
n
matriz, os
primeiros são verdes na tonali3
n
dade 1, os
seguintes são verdes na tonalida3
n
de 2 e os
últimos são verdes na tonalidade
3
3. Nessa condição, qual será a tonalidade, 1, 2
ou 3 do seguinte pixel ai,j, isto é, do elemento
da matriz que ocupa a linha i e a coluna j:
a) a1 000,1 000?
bij = 2i – j e as tonalidades são associadas
ao pixel de acordo com o seguinte código:
f se bij ≤ 200 ⇒ tonalidade 1
f se bij > 1 000 ⇒ tonalidade 4
Nessas condições, qual é a tonalidade, 1, 2,
3 ou 4, do elemento:
a) b40, 100?
b40, 100 = 2 . 40 – 100 = –20.
Como –20 ≤ 200, tonalidade 1.
b) b1 000, 1 000?
b1000, 1000 = 2 . 1 000 – 1 000 = 1 000.
Como 320 ≤ b1000,1000 ≤ 1 000, tonalidade 3.
c) Que estiver na 1 200ª- linha e 1 200ª- coluna?
Trata-se de b1200, 1200 = 2 . 1 200 – 1 200 = 1 200.
Assim, bij > 1 000, tonalidade 4.
Tonalidade 2.
3. No exercício anterior, quantos pixels da
300ª- linha vão ter tonalidade 3?
b) a1 000, 500?
279.
Tonalidade 1.
c) a1 000,2 000?
Tonalidade 3.
2. Considere uma foto de 1.9 MP de resolução
em que todos os elementos bij da matriz sejam pixels de cor azul, de modo que cada
elemento bij, isto é, o elemento que ocupa na matriz a posição dada pela linha i
e pela coluna j, seja dado pela sentença
Atividade 4 – Matrizes e o princípio
da tomografia
A tomografia computadorizada é uma moderna técnica da medicina que possibilita visualizar o interior do corpo de uma pessoa,
por meio de uma série de imagens que permitem aos médicos identificar diversos tipos de
problemas, como a existência de regiões cancerígenas. Nesta atividade aproveitaremos o
21
4/8/09 1:49:18 PM
modo como são tomadas as imagens de uma
tomografia para simular situações-problema
que envolva matrizes.
O funcionamento de um tomógrafo computadorizado consiste, basicamente, na
emissão de feixes de raios X que não atravessam todo o organismo da pessoa, mas,
sim, executam varreduras em um único
Quem já passou por esse tipo de exame sabe
1
que, durante cerca de
hora, um grande
2
equipamento executa movimentos circulares e
ruidosos, que parece estar, de fato, “fatiando”
nosso corpo com os feixes unidimensionais de
raios X. O feixe de raios X, emitidos em um
único plano, projeta uma tira com trechos claros e escuros, como neste desenho:
plano. Desse modo, um feixe de raios ao varrerem um plano, ou uma “fatia”, projeta, ao
final, uma imagem que é unidimensional,
isto é, uma tira com trechos claros e escuros, conforme aquilo que tenham encontrado
pelo caminho (órgãos, ossos, etc.). O desenho a seguir representa o momento em que
uma pessoa é exposta aos feixes de raios de
um tomógrafo.
imagem, forma uma “chapa”, ou um corte, semelhante ao que é mostrado no desenho a seguir:
À medida que o tomógrafo se movimenta, outros feixes de raios X são emitidos e novas tiras
são geradas. A reunião dessas tiras, em uma única
22
4/8/09 1:49:20 PM
Podemos associar os numerais 1 ou 0 aos
pontos escuros ou claros, respectivamente.
Além disso, simplificando a constituição dessas microrregiões claras ou escuras, vamos supor que todas tenham o formato de pequenos
quadrados, de maneira que uma região plana
possa ser, de fato, uma região quadriculada, em
que linhas e colunas sejam numeradas de 1 a n,
conforme a representação a seguir, em que a
malha quadriculada tem 8 linhas e 8 colunas.
1
2
3
4
5
6
7
Ao se registrar simultaneamente a quantidade de quadrículas escuras ou claras de cada
coluna, é possível reconstituir a “imagem”,
como no caso do desenho a seguir:
1
0
1
3
2
5
3
4
0
1
1
Observe nestes outros exemplos, como podemos associar a reconstituição da “imagem”
a uma matriz.
1
2
1
3
0
Quando nosso tomógrafo simplificado efetuar um corte, ou, em outras palavras, gerar
uma tira de regiões claras ou escuras, serão
lançados valores das quantidades de cada tipo
de região, sem que no entanto sejam ainda conhecidas quais regiões têm esta ou aquela característica. Se isso for feito como no exemplo
a seguir, vamos saber que 4 quadrículas dessa
linha deverão ser escuras. Mas quais delas?
1
Respeitando as quantidades
registradas na vertical e horizontal, será esta a imagem.
7
Neste caso, vamos poder associar ao desenho uma matriz 8x8 formada por elementos
que são, ao mesmo tempo, numerais 1 ou 0 e
regiões escuras ou claras.
0
1
6
8
1
Observe o exemplo seguinte, da recomposição
de uma imagem em um quadriculado de 3x3.
2
4
0
4
8
1
0
1
1
3
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
2
2
3
1
O professor vai poder mostrar alguns desses exemplos a seus alunos e pedir, depois, a
eles que reconstituam as imagens a seguir.
23
4/8/09 1:49:20 PM
Problema 1
0
1
Problema 5
Resposta
4
2
1
4
2
2
0
4
3
4
0
5
2
4
Problema 2
0
1
Resposta
Resposta
2
2
1
0
Problema 3
2
0
Resposta
Problema 6
2
2
5 3 4 0 5 0 5 2 2 0 1 5 1
0
2
Problema 4
1
3
Resposta
1
10
4
8
5
6
Resposta
1
3
1
24
4/8/09 1:49:20 PM
SituAçãO de AprendizAgem 2
mAtriz de COdiFiCAçãO: deSenHAndO COm mAtrizeS
Tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: construção de matrizes a partir de condição algébrica; identificação de
elementos de matrizes por intermédio de sua posição em linhas e colunas.
Competências e habilidades: utilizar a notação matricial para representar figuras planas; respeitar sequências de comandos estabelecidos por intermédio de matrizes.
Estratégias: representação de figuras planas; criação de desenhos e códigos.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
durante a realização desta Situação de
Aprendizagem os alunos vão vivenciar a
produção de desenhos a partir da união
de pontos do plano, obedecendo a condições estabelecidas pelos elementos de uma
matriz. para tanto, é preciso que, antes da
atividade, os alunos sejam apresentados
às tabelas de dupla entrada, e há também
a possibilidade de obterem matrizes a partir de condição matemática relacionando a
posição de cada um de seus termos, como
nestes exemplos:
Exemplo 1
Obter a matriz A assim definida: A = (aij)3x3
tal que aij = i + 2j.
A ordem dessa matriz é 3x3, isto é, tem 3 linhas e 3 colunas. O índice i indica a linha de cada
termo enquanto o índice j indica sua coluna. Sabendo disso, vamos atribuir a i e j os valores possíveis e calcular cada termo identificado por aij.
a11 = 1 + 2 . 1 = 3
a12 = 1 + 2 . 2 = 5
a13 = 1 + 2 . 3 = 7
a21 = 2 + 2 . 1 = 4
a22 = 2 + 2 . 2 = 6
a23 = 2 + 2 . 3 = 8
a31 = 3 + 2 . 1 = 5
a32 = 3 + 2 . 2 = 7
a33 = 3 + 2 . 3 = 9
e temos a matriz A:
A =
3
4
5
5
6
7
7
8
9
25
4/8/09 4:06:07 PM
f se o elemento cij = 0, não devemos unir
i com j;
Exemplo 2
Obter a matriz E assim definida:
2 se i + j ≤ 3
E = (eij)2x3, tal que eij =
2i + j se i + j > 3
f se o elemento cij = 1, devemos unir i com j.
Vamos supor que a matriz C e os 5 pontos
desenhados sejam estes, representados a seguir.
A matriz E tem ordem 2x3, isto é, tem duas
linhas e três colunas. Para obter seus elementos é preciso considerar, de início, se a soma
dos índices que definem a posição de cada um
é maior, menor ou igual a 3.
C =
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
Soma menor ou igual a 3
e11 = 2 (pois 1 + 1 = 2 ≤ 3)
e12 = 2
e21 = 2
Soma maior do que 3
e13 = 2 . 1 + 3 = 5 (pois 1 + 3 = 4 > 3)
e22 = 2 . 2 + 2 = 6
e23 = 2 . 2 + 3 = 7
Portanto, esta é a matriz E:
E=
2
2
2
6
5
7
Dando continuidade ao trabalho, após terem sido discutidos os aspectos apontados anteriormente, o professor pode marcar 5 pontos
na lousa, numerá-los de 1 a 5 e, simultaneamente, escrever uma matriz C, de ordem 5x5,
formada apenas por “0” ou “1”. Em seguida,
o professor orienta os alunos para que unam
os pontos, devem ser dois de cada vez, obedecendo ao seguinte comando:
2
5
4
3
Destaquemos 3 elementos da matriz C a
fim de exemplificar a ligação dos pontos.
c13 = 1 (Ligar 1 com 3)
c14 = 1 (Ligar 1 com 4)
c15 = 0 (Não ligar 1 com 5)
1
2
5
4
3
Continuando a obedecer à regra estabelecida e completando todas as ligações
26
4/8/09 1:49:20 PM
permitidas entre os 5 pontos, teremos formado um pentagrama.
1
Os pontos numerados de 1 a 13 do desenho
foram unidos a partir de código definido em
uma matriz. Escreva essa matriz.
2
5
4
A seguinte matriz 13x13 em que todos os
elementos são iguais a 1 ou a 0.
3
Feita a apresentação, o próximo passo consiste em propor aos alunos as seguintes situações.
Problema 1 – unindo pontos a partir de
código registrado em uma matriz
Dada a matriz d e os pontos desenhados,
uni-los ou não a partir do seguinte código
estabelecido para os elementos da matriz d:
f se dij = 1, unir i com j;
f se dij = 0, não unir i com j.
D=
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
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1
Problema 3 – Criando um desenho e codificando-o com uma matriz
2
5
Problema 2 – Codificando um desenho por
uma matriz
Imagine um desenho que possa ser obtido a
partir da união de pelo menos 8 pontos. Marque
apenas os pontos no papel e numere-os, sem,
entretanto, uni-los. Escreva a matriz de codificação para a união de pontos em seu desenho.
Em seguida, troque sua atividade com a de um
colega, de maneira que você unirá os pontos do
desenho dele enquanto ele une os pontos de seu
desenho. Por fim, peça que seu colega corrija seu
trabalho enquanto você corrige o dele.
27
4/8/09 1:49:21 PM
SiTuAção dE APrEndizAgEm 3
SiSTEmAS LinEArES Em SiTuAçÕES-ProBLEmA
Tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: resolução de sistemas lineares quadrados de ordem 2 e de ordem 3; escalonamento de matrizes.
Competências e habilidades: analisar informações contidas em enunciados escritos em língua
materna, destacando elementos importantes para a compreensão do texto e para a formulação de equações matemáticas; utilizar a linguagem matemática para expressar as condições
descritas em situações-problema contextualizadas; resolver sistemas lineares, interpretando
os resultados de acordo com o contexto fornecido pela situação-problema.
Estratégias: resolução de situações-problema.
de Aprendizagem 3
nesta Situação de Aprendizagem são propostas situações-problema contextualizadas
que exigem a determinação de mais de uma
incógnita. Exploraremos os sistemas lineares
como importante ferramenta para a resolução
de tais situações. nesses casos, a descrição de
alguns contextos permite que sejam escritas
as equações e que, ao final, após a resolução
dos sistemas, os valores encontrados para as
incógnitas sejam avaliados à luz do contexto
inicialmente proposto.
As situações contextualizadas que apresentarmos aos alunos podem envolver, inicialmente, sistemas de apenas duas equações
lineares, como feito anteriormente no Ensino
Fundamental. Essa postura vai permitir que
retome o processo de resolução, bem como a
análise da resposta final.
Será importante ainda apresentar aos alunos uma situação que envolva sistemas “não
quadrados”, isto é, sistemas em que o número de equações e de incógnitas não seja
igual, e também situa ções de contexto que
conduzam à elaboração e à resolução de
sistemas lineares indeterminados.
Para a resolução dos sistemas obtidos a
partir de situações-problema contextualizadas, sugerimos que o professor estimule
seus alunos a utilizar, inicialmente, os métodos estudados no Ensino Fundamental,
isto é, os métodos de adição, substituição
ou comparação. Salientamos a importância
de o professor priorizar que a resolução dos
sistemas seja feita com base nesses métodos,
ou por escalonamento, em detrimento do
método de Cramer com o uso de determinantes. Tal opção será justificada adiante,
na Situação de Aprendizagem 4.
28
4/8/09 4:06:15 PM
Para a aplicação dos sistemas lineares na
resolução de problemas propomos as situações descritas a seguir.
Problema 1
Duas locadoras de automóveis A e b estipulam a remuneração de seus serviços da
seguinte maneira:
f Locadora A: valor fixo de R$ 80,00 mais
R$ 1,20 por quilômetro rodado.
f Locadora b: valor fixo de R$ 120,00 mais
R$ 1,00 por quilômetro rodado.
Com base nesses dados, determine:
a) o valor a ser pago às locadoras A e b
pelo aluguel de um veículo que rodou
140 km.
R$ 248,00 e R$ 260,00.
b) o valor a ser pago às locadoras A e b
pelo aluguel de um veículo que rodou
300 km.
R$ 440,00 e R$ 420,00.
c) A partir de quantos quilômetros rodados torna-se mais econômico alugar o
automóvel em b do que em A.
200 km.
Comentário: apenas neste item, c, pode ser
necessário que o aluno escreva um sistema de
equações para organizar a resolução. Nesse
caso, poderá ser escrito o seguinte sistema:
f Locadora A: V = 80 + 1,20x
f Locadora B: V = 120 + 1,00x
Nessas equações, V é o valor a ser pago pela
locação e x é a quantidade de quilômetros
rodados.
A resolução desse sistema induz claramente a
opção pelo método da comparação, pois interessa descobrir o momento em que o valor V
é o mesmo para as duas locadoras. Assim, 80
+ 1,20x = 120 + 1,00x ⇒ x = 200
Portanto, a partir de 200 km de percurso torna-se mais econômico alugar o automóvel na
locadora B.
Problema 2
Uma loja de eletrodomésticos está fazendo uma promoção para a compra conjunta
de dois tipos de eletrodomésticos, de maneira
que o consumidor interessado paga:
f R$ 590,00 por um forno micro-ondas e
um aspirador de pó.
f R$ 1 300,00 por um forno de micro-ondas e uma geladeira.
f R$ 1 250,00 por um aspirador de pó e
uma geladeira.
Quanto a loja está cobrando por cada tipo
de aparelho, se o preço unitário de cada um
deles é constante em todos os casos?
R$ 320,00; R$ 270,00; R$ 980,00
Comentários: denominando x o preço do
micro-ondas, y o preço do aspirador de pó,
e z o preço da geladeira, podemos escrever o
seguinte sistema de três equações lineares:
29
4/8/09 1:49:21 PM
x + y = 590 (I)
x + z = 1 300 (II)
y + z = 1 250 (III)
A fim de reforçar os comentários anteriores,
sugerimos que o professor estimule os alunos
a resolverem esse sistema por substituição,
adição, ou comparação. A opção pelo método da comparação conduz a:
x = 590 – y
x = 1 300 – z
Comparando vem: 590 – y = 1 300 – z ⇒
⇒ –y + z = 710 (IV)
O sistema original, de três equações lineares,
pode, então, ser reduzido ao seguinte sistema
de duas equações:
y + z = 1 250 (III)
–y + z = 710 (IV)
Adicionando (III) e (IV), temos:
2z = 1 960 ⇒ z = 980
Portanto, o preço da geladeira é de R$ 980,00,
e os demais preços podem ser obtidos por
cálculo mental ou por substituição nas equações (I) e (II).
Problema 3
Um funcionário recém-contratado por
uma empresa recebeu em mãos a seguinte
tabela que contém as quantidades de 3 tipos
de produtos, A, b e C, recebidos ou devolvidos em 3 lojas da empresa, acompanhadas
dos respectivos valores que cada loja deveria remeter à matriz pela transação.
Valor da
transação
(em mil r$)
Quantidade
tipo
A
b
C
total
loja 1
3
4
–1
8
loja 2
4
5
2
20
loja 3
1
–2
3
6
Ajude o funcionário a calcular o valor unitário de cada tipo de produto.
R$ 1 000,00; R$ 2 000,00; R$ 3 000,00
Comentário: O seguinte sistema de equações
traduz as condições do problema:
3a + 4b – c = 8
(I)
4a + 5b + 2c = 20 (II)
a – 2b + 3c = 6 (III)
Vamos resolver esse sistema pelo método
da adição. Para tanto, precisamos escolher
uma incógnita que será eliminada a partir de
combinações lineares entre pares de equações. Escolheremos a incógnita c e faremos:
1º-) 2.(I) + (II), isto é, multiplicaremos a
equação (I) por 2 e, em seguida, adicionaremos a equação resultante à equação (II).
A resolução será apresentada passo a passo,
e caberá ao professor estimular seus alunos
a cumprirem o mesmo percurso, ou a eliminarem alguns passos, estimulando, dessa forma, o cálculo mental.
2(I) : 6a + 8b – 2c = 16
(II): 4a + 5b + 2c = 20
10a + 13b = 36 (IV)
30
4/8/09 1:49:21 PM
2º-) 3.(I) + (III), isto é, multiplicaremos a
equação (I) por 3 e adicionaremos a equação resultante à equação (III).
escolas, considerando-se que a cada tipo de
medalha foi atribuída uma pontuação.
3(I): 9a + 12b – 3c = 24
(III): a – 2b + 3c = 6
10a + 10b = 30 (V)
3º-) Escreveremos um sistema equivalente ao
original, formado, agora, por 2 equações lineares, em duas incógnitas:
10a + 13b = 36 (IV)
10a + 10b = 30 (V)
4º-) Por coincidência, obtivemos equações
que apresentam coeficientes iguais para a
mesma incógnita (a). Portanto, basta subtrair as duas equações para determinar o
valor da incógnita b.
10a + 13b = 36 (IV)
–
10a + 10b = 30 (V)
3b
=6 ⇒ b=2
Portanto, o valor unitário do produto B é de
R$ 2 000,00. O preço dos demais tipos de produto pode ser obtido a partir da substituição do
valor de B nas equações dos sistemas escritos.
Problema 4
Quatro escolas disputaram um torneio esportivo em que provas de 10 modalidades foram disputadas. Aos vencedores de cada prova
foram atribuídas medalhas de ouro, de prata ou
de bronze, dependendo da classificação final,
respectivamente, 1º-, 2º- ou 3º- lugares. A quantidade de medalhas de cada escola, ao final da
competição, é apresentada na tabela a seguir,
assim como o total de pontos conseguidos pelas
Medalhas
Escolas
ouro Prata bronze
Pontuação
final
A
4
2
2
46
b
5
3
1
57
C
4
3
3
53
d
3
3
7
53
Qual foi a pontuação atribuída a cada tipo
de medalha?
Ouro: 8 pontos; Prata: 5 pontos; Bronze:
2 pontos.
Comentário: O sistema possível para a resolução do problema é formado por 4 equações
e três incógnitas, isto é, não se trata de um
sistema “quadrado”. Sugerimos que o professor chame a atenção de seu aluno para o
fato de que sistemas dessa natureza exigem
maior reflexão sobre os passos a serem adotados para a resolução. Neste caso, podemos
desprezar inicialmente uma das equações,
resolver o sistema formado por três delas e,
ao final, testar se os resultados obtidos verificam a equação não utilizada na resolução.
4x + 2y + 2z = 46 (I)
5x + 3y + z = 57 (II)
4x + 3y + 3z = 53 (III)
3x + 3y + 7z = 53 (IV)
Vamos “desprezar” a equação (IV), e adotar
o método da substituição para resolver o sistema formado pelas 3 equações restantes. Para
31
4/8/09 1:49:21 PM
tanto, isolaremos a incógnita z na equação
(II), e substituiremos a expressão encontrada nas equações (I) e (III).
(II) z = 57 – 5x – 3y
(I) 4x + 2y + 2.(57 – 5x – 3y) = 46
(III) 4x + 3y + 3.(57 – 5x – 3y) = 53
As equações (I) e (III), depois de reduzidos
os termos semelhantes, tornam-se equivalentes a:
6x + 4y = 68 (V)
11x + 6y = 118 (VI)
Para simplificar, dividiremos a equação (V)
por 2, obtendo o seguinte sistema:
3x + 2y = 34 (V)
11x + 6y = 118 (VI)
Em seguida, pelo método da adição, faremos
3.(V) – (VI), obtendo:
3.(V) – (VI) : – 2x = –16 ⇒ x = 8
Portanto, a medalha de ouro vale 8 pontos.
Voltando com esse valor em (V), obtemos
que y = 5, ou seja, obtemos que a medalha
de prata vale 5 pontos. Voltando com esses
valores em (I), obtemos que z = 2, ou seja,
que a medalha de bronze vale 2 pontos.
Substituindo os valores obtidos para x, y e z,
na equação (VI), notamos que ela é verificada,
pois 3.8 + 3.5 + 7.2 = 24 + 15 + 14 = 53.
O problema a seguir permite introduzir a
ideia de que podemos escrever sistemas indeterminados para situações nas quais não há
uma única resposta possível. Como não se
trata de um problema de difícil solução, sugerimos que o professor apresente-o aos alunos
sem qualquer comentário inicial, e que, após
discutir as diversas situações que surgirem,
comente sobre o fato de que os resultados esperados são discretos, isto é, formados apenas
por números naturais. Será muito provável
que os alunos consigam chegar às respostas
corretas sem escrever e resolver sistemas de
equações, e, nesse caso, caberá ao professor
mostrar–lhes que em outros casos, de respostas obtidas a partir de conjuntos contínuos,
seria impossível a eles escreverem todas as
infinitas respostas, o que exigiria a escrita de
equações.
Problema 5
O técnico de uma equipe de futebol estima
que ao final de 12 partidas sua equipe consiga 24 pontos. Sabendo-se que a quantidade de
pontos por vitória é 3, por empate é 1 e por
derrota é 0, determine:
a) o número de pontos da equipe para o
caso em que vença 4 jogos, empate 4 e
perca 4.
4 . 3 + 4 . 1 = 16 pontos.
b) o número máximo de pontos que a equipe pode conseguir.
Caso vença as 12 partidas, uma equipe conseguirá o máximo possível de pontos, igual a
3 . 12 = 36.
c) uma combinação possível de números de
vitórias–empates–derrotas para que a
equipe consiga os almejados 24 pontos.
Denominando o número de vitórias por x, o
número de empates por y, e o de derrotas por z,
podemos escrever
32
4/8/09 1:49:21 PM
f
f
x + y + z = 12
3x + 1.y + 0.z = 24
Problema 6
Temos, portanto, um sistema de duas equações a 3 incógnitas, que é indeterminado, isto
é, tem mais de uma solução.
Na feira livre da 4ª- feira, próxima à sua
casa, Helena foi comprar, em uma única barraca, um kit para bolo. O kit continha farinha
Uma possível resposta para o problema pode
ser obtida fazendo, por exemplo, x = 7, isto
é, supondo que a equipe vença 7 dos 12 jogos. Nesse caso, será preciso que y = 3, a fim
de que a equipe consiga atingir, exatamente,
24 pontos. Portanto, uma resposta possível
é: 7 vitórias, 3 empates e 2 derrotas.
de trigo, fubá e chocolate em pó, em um total
d) todas as possibilidades possíveis para
que a equipe consiga atingir 24 pontos.
R$ 2,00. Quanto de cada produto havia no kit
Queremos, neste caso, determinar as soluções naturais do sistema formado pelas duas
equações descritas no item anterior, isto é,
Comentário: temos aqui um problema que
x + y + z = 12
3x + 1.y + 0.z = 24
ma indeterminado de equações lineares.
Fazendo y = 24 – 3x na segunda equação, e
substituindo em y na primeira equação, temos:
das respostas antes que o professor apre-
x + 24 – 3x + z = 12 ⇒ z = 2x – 12
opção do professor, propomos que conduza
de 2 kg, e pelo qual pagou R$ 4,00. Intrigada
com o preço do kit, Helena questionou o feirante sobre o preço de cada produto, ouvindo
dele que o quilo da farinha de trigo custava
R$ 1,00, que o quilo do chocolate em pó custava R$ 20,00, e que o quilo do fubá custava
que Helena acabou comprando?
não apresenta uma única solução e que
pode ser resolvido por meio de um sisteDe fato, os alunos poderão obter algumas
Assim, podemos escrever a resposta geral do
sistema, em função de x, isto é, em função do
número de vitórias:
sente a eles a solução geral. Se esta for a
as discussões colocando para seus alunos
questões como:
f É possível que o kit tenha sido composto por 800 g de farinha e 1 kg de fubá?
S = {(x, 24 – 3x, 2x – 12)}
Como nos interessam apenas os casos em que
0 < x < 12, y > 0 e z > 0, podemos atribuir a x
apenas os valores 6, 7 e 8. Isso feito, teremos as
seguintes possibilidades, expressas na tabela:
Vitória
Empate
Derrota
Total de
jogos
8
0
4
12
7
3
2
12
6
6
0
12
Por quê?
f Não, isto não seria possível, porque, nesse caso, os 200 gramas restantes deveriam ser de chocolate, o que faria com
que o preço do kit se elevasse além dos
R$ 4,00.
f Se no kit havia 100 g de chocolate, quanto havia de farinha e de fubá?
33
4/8/09 1:49:21 PM
f 100 g de chocolate custam R$ 2,00. Sobram R$ 2,00 para serem divididos entre
farinha e fubá, em um total de 1,9 kg, o
que nos permite escrever o seguinte sistema de duas equações, em que x representa
a massa de farinha, em kg, e y representa
a massa de fubá, também em kg:
x + y = 1,9
x + 2y = 2,0
Resolvendo o sistema obtemos y = 0,1 e
x = 1,8, isto é, havia 0,1 kg de fubá e 1,8 kg
de farinha, ou 100 gramas de um produto e
1 kg e 800 gramas do outro.
Apresentamos a solução geral do problema,
considerando:
x: massa de farinha de trigo, em kg
y: massa de fubá, em kg
z: massa de chocolate em pó, em kg
x+y+z=2
x + 2y + 20z = 4
Sistemas lineares dessa natureza, indeterminados, apresentam solução em função de
uma das incógnitas. Faremos a opção de escrever a solução geral em função da massa
de chocolate em pó (z). Para tanto, escrevemos as equações desta maneira:
x+y=2–z
(I)
x + 2y = 4 – 20z (II)
Fazendo (II) – (I), temos:
y = 2 – 19z (Quantidade de fubá em função
da quantidade de chocolate)
e fazendo 2.(I) – (II), temos:
x = 18z (Quantidade de farinha em função
da quantidade de chocolate)
Portanto, a solução geral do sistema é:
{(18z, 2 – 19z, z)}
Vale observar que não podemos ter valores
negativos para qualquer das quantidades.
Assim, será necessário que sejam obedecidas
as seguintes condições:
18z > 0
e
2 – 19z > 0
e
z > 0,
2
, ou ainda
ou, de outra forma, que z >
19
que a quantidade de chocolate em pó seja
inferior a, aproximadamente, 105 gramas,
2
≈ 0,105.
pois
19
Sugerimos que, após escrever a solução geral,
o professor proponha aos seus alunos que escrevam algumas das soluções para esse problema. Por exemplo, considerando que o kit
continha 80 gramas de chocolate temos:
f 80 g de chocolate, ou 0,080 kg de
chocolate (custando R$ 1,60)
f 18 . 0,080 kg de farinha de trigo = 1,44 kg
(custando R$ 1,44)
f 2 – 19 . 0,080 kg de fubá = 0,48 kg
(custando R$ 0,96)
34
4/8/09 1:49:21 PM
SituAçãO DE AprEnDizAgEm 4
rESOLuçãO DE SiStEmAS LinEArES:
ESCALOnAmEntO X CrAmEr
Tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: resolução e discussão de sistemas lineares; cálculo de determinantes – método de Sarrus; resolução de situações-problema por intermédio de sistemas lineares.
Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para a obtenção de equações que
auxiliem na resolução de situações-problema; reconhecer a maior eficiência de um método
de resolução sobre outro, com base nas estratégias de raciocínio mobilizadas.
Estratégias: resolução de situações-problema.
de Aprendizagem 4
Há mais de um método de resolução de
sistemas lineares de qualquer ordem. Dois
deles são normalmente apresentados nos livros didáticos, em que um recorre à notação
matricial (escalonamento) enquanto o outro
parte dos determinantes associados ao sistema (Cramer). Esta Situação de Aprendizagem
pretende avaliar as dificuldades e as operações
mentais envolvidas em cada um desses métodos a fim de que os alunos, diante de um sistema a ser solucionado, optem com critérios
pelo método mais apropriado à situação.
2x – 3y = 11
x + 2y = 2
⇒
. (–2)
⇒
O método de resolução de sistemas lineares denominado escalonamento consiste, basicamente, em realizar combinações lineares
entre as equações do sistema de maneira que
algumas delas possam ser escritas com número menor de incógnitas do que na escrita
original, conforme apresentamos na resolução de problemas da Situação de Aprendizagem anterior. De fato, alunos do Ensino
Fundamental têm normalmente contato
com uma simplificação desse método quando resolvem sistemas de 2 equações lineares
pelo método de adição, conforme mostra o
exemplo seguinte:
Se y = –1 ⇒ x + 2.(–1) = 2
2x – 3y = 11
x
– 2x – 4y = – 4
0x – 7y = 7
⇒ y = –1
=4
S = {(4, –1)}
35
4/8/09 4:06:25 PM
Para um sistema linear qualquer, podemos associar uma matriz denominada matriz completa, que é formada pelos
coeficientes das incógnitas e também pelos termos independentes. Dizemos que
o sistema linear está escalonado quando
2
–3
11
1
2
2
L1
L2
realizarmos combinações lineares entre as
linhas da matriz completa de modo a zerar
todos os elementos a ij da matriz em que i > j.
O exemplo seguinte retoma a resolução do
sistema de equações anteriormente resolvido, explicitando o escalonamento.
Esta é a matriz completa do sistema, formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos independentes das
duas equações. Para escaloná-la devemos tornar nulo o
elemento a21 = 1, que é o único elemento aij em que i > j.
2
–3
11
1
2
2
L1 2
L1 – 2.L2
0
A matriz do sistema foi escalonada.
Na nova equação da linha 2 da
matriz temos:
0x – 7y = 7 ou y = –1
Substituindo esse valor em uma das
equações iniciais, obtém-se x = 4.
– 3 11
–7
7
Aqui está a combinação linear
entre as linhas 1 e 2 da matriz,
gerando uma nova linha 2.
Em outro exemplo, vamos resolver por escalonamento o sistema seguinte:
x + y + z = 3
2x – y – 2z = 2
Mcompleta
x + 2z = 4
L1
1
1
1
3
L2
2
–1
–2
L3
1
0
2
2 –L
4
–2L1 + L2
1
+ L3
1
1
1
3
2
–1
–2
2
1
0
2
4
1
1
1
3
0
–3
–4 –4
0
–1
1
A última linha da matriz nos fornece a equação:
7z = 7 ⇒ z = 1
Substituindo o valor encontrado para z na
segunda equação da matriz final, temos:
–3y – 4z = – 4
–3y – 4.1 = – 4 ⇒ y = 0
A primeira das linhas da matriz nos ajuda
a calcular o valor de x:
1
Na matriz escalonada,
deverão ser nulos, os
elementos destacados.
1
–L2 + 3L3
1
1
0 –3
–4
0
0
7
3
–4
7
x+y+z=3
x+0+1=3⇒x=2
Assim, a solução do sistema é dada por:
S = {(2, 0, 1)}
O método de Cramer para resolução de sistemas lineares quadrados, isto é, para sistemas
com incógnitas e equações em mesmo número,
36
4/8/09 1:49:21 PM
passa pela resolução de alguns determinantes
formados pelos coeficientes das incógnitas e/
ou pelos termos independentes. No caso do
x
y
z
1
1
1
= 2
–1
–2
1
0
2
3
= –7
= 2
4
sistema que acabamos de resolver, teríamos a
seguinte sequência de cálculo para a obtenção
da incógnita x:
1
1
–1
– 2 = – 14
0
2
Quando Δ = 0, ou o sistema é impossível,
não tem solução, ou o sistema é indeterminado, tem mais de uma solução. Portanto, temos
uma primeira questão importante a considerar: o método de Cramer não permite que sejam resolvidos sistemas indeterminados.
dos determinantes, e divisão entre eles – no método do escalonamento o aluno se vê envolvido
em avaliar possibilidades e escolher estratégias,
adotando, dessa forma, uma postura que o remete à mobilização de habilidades mais elaboradas e valorizadas na aprendizagem matemática.
Além disso, há outros fatores ainda a considerar,
que são, principalmente, o tempo despendido na
resolução e a quantidade de operações elementares realizadas. Também com esses critérios é
possível avaliar a vantagem do método do escalonamento sobre Cramer.
Cabe ao professor discutir com os alunos,
que o método de Cramer sintetiza a série de
passagens algébricas que seriam realizadas
caso o sistema fosse resolvido por meio de
combinações lineares entre as equações.
A opção de resolver o sistema por um ou
outro método passa por considerar as habilidades mentais mobilizadas em cada caso, que
são diferentes em Cramer e no escalonamento.
Enquanto no método de Cramer o aluno segue
uma rotina determinada – montagem e cálculo
x – 3y = – 6
Para discutir esta última consideração, analisemos a resolução de um sistema linear em
que não é escrita a matriz completa associada
a ele, resolvendo-o a partir de combinações lineares entre as equações que o constituem.
Reduziremos o sistema de três equações a um sistema equivalente de duas
equações, tornando nulos os coeficientes de uma das incógnitas. Considerando que o coeficiente de z é nulo na primeira equação, combinaremos as
duas outras equações com o objetivo de tornar nulo o coeficiente de z.
2x + y + z = 1
–x + 2y – 2z = 6
x – 3y = – 6
x – 3y = – 6
2x + y + z = 1
–x + 2y – 2z = 6
2L2 + L3
x – 3y = – 6
3x + 4y = 8
x = ___x = – 14 = 2
–7
–3L1 + L2
3x + 4y = 8
13y = 26
y=2
A nova combinação linear entre as
equações permitirá tornar nulo o
coeficiente de outra incógnita.
Determinada uma das incógnitas, as demais
podem ser obtidas por substituição. A solução
do sistema, nesse caso, é: S = (0, 2, – 1)
37
4/8/09 4:06:37 PM
Mais um aspecto precisa ser considerado na
comparação entre os dois métodos no que se refere
x + y + z = 3
2x – y +3z = 4
– 3L1 + L2
–x – 4y = – 5
–x – 4y = – 5
–x – 4y = – 5
–x – 4y = – 5
x = 5 – 4y
x+y+z=3
(5 – 4y) + y + z = 3
à resolução de um sistema indeterminado. Analisemos, nesse sentido, a resolução do sistema seguinte.
Temos um sistema de duas equações idênticas, o que nos
permite concluir que o sistema é indeterminado. Nesse caso,
podemos determinar duas incógnitas em função de uma terceira. Escolhemos determinar x e z em função de y.
Assim, as infinitas soluções desse sistema podem
ser escritas desta forma, trocando y por k:
S = (5 – 4k, k, – 2 + 3k), k R)
z = –2 + 3y
O método de Cramer, aplicado ao sistema
anterior, permitiria apenas identificá-lo como
possível e indeterminado, mas não ajudaria
na resolução. Assim, fica ainda mais evidente
a vantagem de se utilizar o método das combinações lineares, ou do escalonamento.
x + 2y + 3z = 1
2x + 4y + 6z = 2
3x + 6y + 9z = 4
apresenta Δ = 0, Δx = 0 e não é indeterminado,
como se poderia supor, e sim impossível.
Encontre o valor de a para que o sistema abaixo seja possível. Para o valor encontrado de a ache a solução geral do sistema,
isto é, encontre expressões que representem
todas as soluções do sistema. Explicite duas
dessas soluções.
2x – y + 3z = a
x + 2y – z = 3
7x + 4y + 3z = 13
Escalonando o sistema temos:
2 –1
3
a
1
2 –1
3
7
4
13
2L2 – L3
3

Por fim, vamos considerar a “discussão”
de um sistema a partir de parâmetros. Em
outras palavras, vamos classificar o sistema (determinado, indeterminado ou impossível), de acordo com o valor dos parâmetros introduzidos nas equações. Nesse
caso, é importante frisar, entre os métodos
estudados, apenas o método do escalonamento permite a discussão de qualquer sistema, sem restrições. A impossibilidade
de discutir sistemas lineares utilizando
o método de Cramer pode ser percebida
pelo seguinte exemplo, em que o sistema
Consideremos como exemplo de discussão
de um sistema linear a situação-problema seguinte, apresentada inicialmente na prova vestibular da Unicamp (Universidade Estadual
de Campinas):
2L2 – L1
7L2 – L3
2
–1
3
a
0
5
–5
6–a
0
10
–10
8
2
–1
3
a
0
5
–5
6–a
0
0
0
4 – 2a
38
4/8/09 1:49:22 PM
Como podemos ver, a última equação do sistema escalonado ficou reduzida a
0x + 0y + 0z = = 4 – 2a, ou, simplificadamente,
0 = 4 – 2a.
Assim, se a = 2 o sistema é possível e indeterminado, pois a igualdade anterior se reduziria a 0 = 0, que é verdadeira sempre. No caso
em que a ≠ 2 o sistema é impossível.
Para obter a solução geral do sistema, tomaremos a = 2, faremos z = k e escreveremos
as respostas em função de k, de acordo com o
seguinte procedimento:
2ª- equação: 5y – 5z = 6 – a ⇒ 5y – 5z = 4
5y – 5k = 4 ⇒ y = 4 + 5k
5
1ª- equação: 2x –y + 3z = a ⇒ 2x – y + 3z = 2
4 + 5k
7 – 5k
+ 3k = 2 ⇒ x =
2x –
5
5
Assim, a resposta geral do sistema é esta:
S=
consiste no cálculo de áreas de polígonos representados no plano cartesiano, quando são
conhecidas as coordenadas de seus vértices.
Assim, por exemplo, se conhecemos as coordenadas dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, é possível calcularmos
sua área por intermédio da composição e/ou
decomposição de polígonos auxiliares. Consideremos o caso do triângulo de vértices com
coordenadas A(1, 1), B(3, 2) e C(2, 4).
y
C
4
3
2
1
0
B
A
1
2
3
F
C
E
4
x
4
x
7 – 5k , 4 + 5k , k k ∈IR
5
5
Atribuindo valores a k podemos obter algumas das soluções, como:
f Para k = 0, S =
7 , 4 ,0
5 5
f Para k = –1, S = 12 , – 1, – 1
5 5
O método de Sarrus para a obtenção de um
determinante é bastante prático de ser utilizado em outras situações, que não envolvam resolução de sistemas lineares. Um desses casos
y
4
3
2
1
0
B
D
A
1
2
3
39
4/8/09 1:49:22 PM
Contornando o triângulo ABC por um retângulo ADEF, podemos determinar a área
de ABC subtraindo as áreas dos triângulos
retângulos AFC, ABD e BCE da área do retângulo ADEF.
no determinante é feita obedecendo à seguinte formatação:
xA yA
xB yB
xC yC
1
1
1
Área(ADEF) = 2 . 3 = 6 u
(3 . 1)
= 1,5 u
Área(AFC) =
2
(2 . 1)
Área(ABD) =
=1u
2
(2 . 1)
Área(BCE) =
=1u
2
A área do triângulo ABC será igual a:
Área(ABC) = 6 – (1,5+1+1) = 2,5 unidades
de área.
Nesse processo será realizada uma série de
multiplicações entre resultados de subtrações
entre abscissas e entre ordenadas dos pontos
A, B e C, além de uma divisão por 2. As etapas
desse cálculo podem ser resumidas a um determinante de ordem 3, formado pelas coordenadas desses pontos, da seguinte forma:
Área (ABC) = metade do valor absoluto de
1
3
2
1
2
4
1
1
1
2 + 2 + 12 – (4 + 4 + 3)
5
=
=
= 2,5
2
2
Deve ficar claro que a disposição das coordenadas dos vértices A, B e C do triângulo
Além disso, o cálculo do determinante obedece à mesma sequência de passos do cálculo
da área por composição e decomposição, conforme podemos constatar pela representação
a seguir:
y
yA
D
A
yB
yC
0
E
B
F
C
xC
xA
xB
x
Área(DEFC) = (xB – xC) . (yA – yC)
Área(BFC) = [(xB – xC) . (yB – yC)] ÷ 2
Área(ABE) = [(xB – xA) . (yA – yB)] ÷ 2
Área(ADC) = [(xA – xC) . (yA – yC)] ÷ 2
Área do triângulo ABC = (xB – xC) . (yA – yC) –
– {[(xB – xC) . (yB – yC)] ÷ 2 + [(xB – xA) .
. (yA – yB)] ÷ 2 + [(xA – xC) . (yA – yC)] ÷ 2}
40
4/8/09 1:49:22 PM
Aplicando a propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição, reduzindo
os termos semelhantes, obtemos:
relacionados a áreas de polígonos representados no plano cartesiano, e a outra contemple
especialmente a resolução e discussão de sistemas lineares. Acrescentamos ainda, à segunda
atividade, algumas situações-problema exemplares, que podem ser resolvidas por intermédio de sistemas de equações lineares.
Área do triângulo ABC = [ xA . yB + xC . yA +
+ xB . yC – (xC . yB + xA . yC + xB . yA)] ÷ 2
Esta expressão é, de fato, equivalente à que
se obtém do cálculo do determinante mencionado anteriormente, apenas com a diferença
do “valor absoluto”, que deve ser incluído a
fim de evitar que seja escolhida qualquer ordem para efetuar as subtrações entre valores
de abscissas ou de ordenadas.
Atividade 1 – área de Polígono
no Plano Cartesiano
A área de um polígono representado no
plano cartesiano pode ser calculada a partir
das coordenadas de cada vértice, baseando-se
no princípio de que um polígono pode ser
dividido em vários triângulos, como neste
exemplo, em que calcularemos a área do
quadrilátero ABCD:
A partir dessas considerações, propomos a
realização de duas atividades, em que uma delas seja voltada para o cálculo de determinantes
y
7
A
6
B
5
D
4
3
2
1
–1
C
1
2
3
4
5
6
7
8
x
–1
41
4/8/09 1:49:22 PM
Dividiremos o quadrilátero em dois triângulos: ABD e BCD. A área do triângulo
ABCD será a soma das áreas dos triângulos
ABD e BCD.
A (2; 6)
y
B (8; 5)
C (2; 1)
D (5; 4)
7
A
6
B
5
D
4
3
2
1
C
–1
3
2
1
4
5
6
7
8
x
–1
área(ABCD) = área(ABD) + área(BCD)
2
8
5
1
Área (ABCD) =
2
6
5
4
1
1
1
+
=
1
1
| (72 – 81)| +
|(41 – 47)| =
2
2
=
9
6
15
+
=
2
2
5
Área (ABCD) = 7,5 unidades de área.
1
+
2
Área (ABCD) =
+
8
2
5
5
1
4
1
1
1
=
1
|[(10 + 30 + 32) – (25 + 8 + 48)]|+
2
1
|[(8 + 25 + 8) – (5 + 32 +10)]| =
2
De outra maneira, em uma extensão da regra
de Sarrus, o cálculo da área de um polígono de
n lados, representado no plano cartesiano, pode
ser feito como se segue, sendo xi e yi as coordenadas de cada vértice do polígono com n vértices.
1
=
A=
2
n
|Σ(x y
i=1
i i+1
|
– yixi +1)
42
4/8/09 1:49:23 PM
ou A =
1
2
x1
y1
x2
y2
x3
y3
qualquer um dos vértices do polígono e o sentido, horário ou anti-horário, não importa, dado
que o valor final é tomado em módulo.
Observe que na expressão anterior o ponto
(xn + 1; yn + 1), que é o último, mais abaixo, é
igual ao ponto (x1; y1), que é o primeiro, mais
acima. Isso é necessário para caracterizar o
“fechamento” do polígono, isto é, para que
todas as coordenadas sejam multiplicadas
entre si.
.
.
.
xn
yn
x1
y1
Nos produtos indicados pelas setas, vale,
seguindo o mesmo raciocínio do cálculo pelo
método de Sarrus: para a direita conserva-se o
sinal, para a esquerda troca-se o sinal. Em seguida, somam-se os resultados. Metade do resultado final da soma, em módulo, é igual à área
do polígono de n lados. O ponto inicial pode ser
Ao retomar o exemplo anterior, do quadrilátero ABCD, vamos utilizar essa expressão
para calcular novamente sua área, porém sem
a necessidade de dividi-lo em triângulos.
A (2; 6)
B (8; 5)
C (2; 1)
D (5; 4)
y
7
A
6
B
5
D
4
3
2
1
–1
C
1
2
3
4
5
6
7
8
x
–1
43
4/8/09 1:49:23 PM
Área =
1
2
2
8
2
5
2
6
5
1
4
6
decomposição de figuras. A opção por este
ou aquele procedimento vai depender das
circunstâncias do problema e da decisão
do aluno.
=
Depois da apresentação e discussão desses exemplos, que relacionam o cálculo da
área de polígonos no plano cartesiano com
o cálculo de determinantes formados pelas
coordenadas de seus vértices, o professor
pode propor aos alunos que resolvam os
problemas a seguir.
1
|(2 . 5 + 8 . 1 + 2 . 4 + 5 . 6) –
2
– (6 . 8 + 5 . 2 + 1 . 5 + 4 . 2)| =
Área =
=
1
|10 + 8 + 8 + 30 – 48 – 10 – 5 – 8 |=
2
1
15
|56 – 71 | =
= 7,5 u.a.
2
2
Problema 1
Evidentemente o resultado obtido para
a área do polígono ABCD seria o mesmo se
o cálculo fosse realizado por composição e
Qual é a área do triângulo BAH de vértices
B(0, 0), A(4,4) e H(2,6), representado no sistema de eixos cartesianos da figura?
y
H
6
5
4
A
3
2
1
0 B
1
2
3
4
5
6
x
8 unidades de área.
44
4/8/09 1:49:23 PM
Problema 2
Calcule a área do pentágono COISA representado a seguir.
y
O
11
10
9
C
8
7
6
5
I
4
S
3
2
A
1
–1
1
–1
2
3
4
5
6
7
8
x
ACOISA = 21,5 unidades de área.
Atividade 2
Nesta atividade, formada por uma série de
problemas exemplares, propomos a resolução
de sistemas lineares determinados ou indeterminados. Além disso, apresentamos ainda
alguns sistemas lineares para que sejam classificados em determinados, indeterminados ou
impossíveis, dependendo dos valores de alguns
parâmetros. Por fim, com o objetivo de encerrar os trabalhos com os conteúdos do bimestre, propomos algumas situações-problema
contextualizadas, que podem ser resolvidas
por intermédio de sistemas lineares.
45
4/8/09 1:49:24 PM
Problema 1
Resolva os seguintes sistemas lineares:
x – 2y + 2z = 4
2x + y + z = – 1
–3x – 14y + 19z = 63
a)
S= {(– 2, 0, 3)}
Problema 2
Classifique os sistemas lineares seguintes
em determinado, indeterminado ou impossível em função do parâmetro m.
mx + 2y = m – 1
a)
2x + 4y = 3m
Para m ≠ 1, sistema determinado;
para m = 1, sistema impossível.
x + 2y – 3z = 4
– 3x – 4y + z = 0
5x + 3y – 10z = 1
b)
3x – 2y + mz = 0
b)
x+y+z=0
2x – y – z = 0
S = {(– 3, 2, – 1)}
c)
2x – y = 2
Para m ≠– 2, sistema determinado;
para m = – 2, sistema indeterminado.
2y + z = 2
– 3x + 2z = 1
Problema 3
S = {(1, 0, 2)}
x + 7y – 3z = 0
d)
3x – 2y + z = 1
7x + 3y – z = – 1
Determine os valores de k e de m a fim de
que o sistema de equações seguinte seja indeterminado. Obtenha também a solução geral
do sistema e, por fim, explicite duas soluções
possíveis.
3x – y + 2z = 0
S=∅
2x – 6y = 10
e)
– 3x + 9y = –15
S = {(k, k – 5 ), k ∈ R}
3
x – 3y + 5z = 2
f)
3x – y + 3z = 4
– 2x + 2y – 4z = –3
S = {( 5 – 2k , 6k – 1 , k), k ∈ R}
4
4
–x + y – 3z = m
x + y – kz = 2
k=4em=1
S=
∙
z+1
2
,
3 + 7z
,z z∈R
2
∙
Duas soluções possíveis:
f Para z = 1: S = {(1, 5, 1)}
f Para z = – 1: S = {(0, –2, – 1)}
46
4/8/09 1:49:24 PM
Problema 4
Determine o valor de m para que o sistema
de equações a seguir seja indeterminado. Depois disso, com o valor obtido para m, encontre
duas possíveis soluções reais, isto é, determine
dois conjuntos de valores de a, b e c que verifiquem simultaneamente as três equações.
a + b + 2c = 1
a–b–c=0
ma – b + c = 2
1
1
m
1
2
–1 –1
–1 1
1443
Apresentamos a resolução desse sistema a
partir de combinações lineares realizadas
entre as linhas, ou, em outras palavras, pelo
método do escalonamento.
1
0
2
Trocando a ordem das duas primeiras colunas:
1
–1
–1
1
1
m
2
–1
1
1
1
2
2
0
1
0 1+m 3
3441
1 1
2
0 2
1
0 – 5+m 0
1
0
2
L1 + L2
L1 + L3
1
1
3
– 3L2 + L3
1
0
0
Da terceira linha da matriz final tiramos
que: (– 5 + m)x = 0, de onde se conclui que
para o sistema ser indeterminado é preciso
que (– 5 + m) = 0, ou que m = 5.
Se o sistema é indeterminado, podemos operar apenas com duas das três equações. Escolhendo as duas primeiras equações, temos:
a + b + 2c = 1 ⇒ a + b = 1 – 2c
a–b–c=0 ⇒ a–b=c
(I)
(II)
Adicionando (I) e (II), temos:
1–c
2a = 1 – c ⇒ a =
2
Encontraremos, pois, a resposta geral do
sistema em função de c. Substituindo o valor obtido para a na equação (I), vem que
1 – 3c
.
b=
2
Dessa forma, a solução geral do sistema é:
1 – c 1 – 3c
, c c ∈R
S=
2 , 2
∙
∙
Para obter duas possíveis soluções basta atribuir valores a c, como, por exemplo:
f para c = 0, a solução é
1
∙2,
1
,0 ;
2
∙
f para c = 1, a solução é {(0, – 1, 1)}.
Em seguida à resolução e discussão dos sistemas lineares propostos, sugerimos que o professor
trabalhe com os alunos algumas situações-problema que envolvam diferentes contextos, com
grau de dificuldade um pouco acima da apresentada na Situação de Aprendizagem 3, de modo
que seja possível avaliar a eficácia dos estudos dos
conteúdos desenvolvidos no bimestre. Para tanto,
sugerimos as seguintes situações-problema.
Problema 5
Ana, Beto e Cadu foram comprar enfeites para
a festa junina da escola. Em meio às compras,
47
4/8/09 1:49:24 PM
eles se perderam um do outro e resolveram,
por conta própria, comprar aquilo que haviam combinado: pacotes de bandeirinhas,
montão de chapéus de palha e fantasias para
a quadrilha.
Quando se encontraram no dia seguinte
na escola, e perceberam que haviam comprado muito mais do que pretendiam, cada um
tratou de se defender ao argumentar sobre o
quanto haviam gastado. Primeiro, foi Ana:
f Gastei R$ 62,00, mas comprei 4 pacotes de bandeirinhas, 4 montões de
chapéus e 4 fantasias.
Depois, veio Beto:
f Eu comprei a mesma quantidade de cada
coisa que você, mas gastei menos, porque
consegui 10% de desconto no preço dos
chapéus. Quer dizer, gastei R$ 60,00.
Por último, disse Cadu:
f Pois é, gente, eu comprei apenas a metade
de cada coisa que cada um de vocês comprou, mas, comparativamente, gastei bem
menos, porque consegui 20% de desconto
no preço das bandeirinhas, e 10% no preço
dos chapéus. Daí que eu gastei R$ 29,00.
Este problema tem um enunciado propositadamente longo, para avaliar os alunos quanto à capacidade de leitura, de interpretação e
de seleção de dados. Uma estratégia interessante de trabalho é propor que os alunos o resolvam em pequenos grupos e, a seguir, cada
grupo apresente a sua solução para a classe.
Muito provavelmente os grupos chegarão
a diferentes resoluções o que vai possibilitar uma discussão sobre a necessidade ou
não da utilização da linguagem matemática
para casos dessa natureza. Apresentamos, a
seguir, a resolução clássica, envolvendo a escrita de um sistema de 3 equações lineares.
Para tanto, denominamos o preço do pacote de bandeirinhas pela letra B, o preço do
montão de chapéus pela letra C, e o preço da
unidade de fantasia pela letra F.
4B + 4C + 4F = 62 (I)
4B + 3,6C + 4F = 60 (II)
1,6B + 1,8C + 2F = 29 (III)
Devemos notar que os coeficientes das incógnitas B e C, na segunda e na terceira equação, já se apresentam abatidos do porcentual
de desconto relatado pelos personagens no
enunciado.
Fazendo (I) – (II), temos:
0,4C = 2 ⇒ C = 5
Fazendo – 2.(III) + (II), temos:
0,8B = 2 ⇒ B = 2,5
Sabendo que o preço pago pela unidade
de cada artigo foi o mesmo para os três jovens, responda: Quanto custou para Ana
cada pacote de bandeirinhas, cada montão
de chapéus e cada fantasia?
Voltando com os valores de B e de C para
equação (I), temos:
4 . 2,5 + 4 . 5 + 4F = 62 ⇒ F = 8
48
4/8/09 1:49:24 PM
Portanto, Ana pagou R$ 2,50 pelo pacote de
bandeirinhas, R$ 5,00 pelo montão de chapéus, e R$ 8,00 pela unidade de fantasia.
a) É possível que cada bola certeira nos
alvos 1, 2 e 3 tenham valido, respectivamente, 4, 16 e 3 pontos?
Uma outra resolução possível, diferente da
apresentada, baseia-se no fato de que Ana e
Beto compraram quantidades iguais, mas Beto
gastou R$ 2,00 a menos do que Ana. Assim, é
possível concluir que esses R$ 2,00 correspondem a 10% do preço de 4 montões de chapéus.
Então, se 10% correspondem a R$ 2,00, 100%
correspondem a R$ 20,00. Logo, Ana gastou
R$ 20,00 na compra dos 4 montões de chapéus,
o que significa ter pago R$ 5,00 por unidade.
Não, pois esses valores não permitem que o
total de pontos seja igual a 40.
Problema 6
Ernesto e Adamastor participaram de uma
competição que avaliou suas pontarias. Tudo era
muito rápido. Eles permaneceram em uma sala,
com várias bolas de borracha na mão, enquanto
três alvos eram projetados rapidamente em uma
parede. O objetivo era acertar em cada alvo a
maior quantidade de bolas que conseguissem.
Primeiro foi Adamastor. Ele acertou três
bolas no alvo 1, duas bolas no alvo 2 e apenas
uma bola no alvo 3. Ernesto, por sua vez, acertou uma bola no alvo 1, duas bolas no alvo 2 e
duas bolas no alvo 3. Cada bola certeira valia
uma quantidade de pontos que dependia do alvo
acertado. Quer dizer, o alvo 1 não tinha a mesma
pontuação do alvo 2 e nem do alvo 3, e os alvos 2
e 3 também tinham pontuações diferentes.
Ao final da prova, Adamastor e Ernesto
terminaram empatados, com 40 pontos cada
um, mas ficaram sem saber quanto valia cada
bola acertada em cada alvo.
b) Supondo que cada bola certeira no alvo 1
tenha valido x pontos, encontre, em função de x, o total de pontos de cada bola
certeira no alvo 2 e também no alvo 3.
Estamos diante de um problema que não tem
resposta única, em que um sistema indeterminado de equações lineares pode auxiliar a
resolução. Denominando x, y e z a quantidade de pontos atribuída a cada bola certeira nos alvos 1, 2 e 3, respectivamente,
temos as seguintes equações:
Adamastor: 3x + 2y + z = 40
Ernesto: x + 2y + 2z = 40
Para obter a solução geral do sistema em
função da incógnita x, faremos:
2y + z = 40 – 3x (I)
2y + 2z = 40 – x (II)
Fazendo (II) – (I), vem:
z = 2x
Substituindo z = 2x em (I), encontramos
que y = 20 – 2,5x. Devemos supor, neste
caso, que não é possível pontuação negativa, pois, afinal, bola certeira não pode
descontar pontos do total obtido pelo jogador. Assim, devemos fazer 20 – 2,5x > 0,
ou x < 8. Portanto, a solução geral do problema é:
S = {(x, 20 – 2,5x, 2x)}, x ∈ N / x < 8
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Problema 7
Em uma compra de 3 quilos de batatas,
0,5 quilo de cenouras e 1,0 quilo de abobrinhas,
Arnaldo gastou R$ 14,45, porque não pediu
desconto ao seu Manuel, dono da barraca
na feira livre. Juvenal, por sua vez, comprou
2 quilos de batatas, 1 quilo de cenouras e 2 de
abobrinhas, pediu desconto de R$ 0,50 no preço do quilo das batatas e de R$ 0,20 no preço
do quilo das abobrinhas, e gastou R$ 11,50.
Rosa, conhecida antiga de seu Manuel, conseguiu desconto de R$ 1,00 no preço do quilo
das batatas, R$ 0,50 de desconto no preço do
quilo das cenouras, e R$ 0,20 de desconto
no preço das abobrinhas, gastando, no total,
R$ 18,00 pela compra de 3 quilos de cada produto. Quanto seu Manuel cobra, sem descontos, pelo quilo da batata?
Podemos escrever 3 equações lineares para a
resolução deste problema. Para tanto, denominaremos o preço do quilo de batatas pela letra b,
o preço do quilo de cenouras pela letra c, e o
preço do quilo de abobrinhas pela letra a. As
equações podem ser assim escritas:
Arnaldo: 3b + 0,5c + a = 14,45
Juvenal: 2. (b – 0,5) + c + 2.(a – 0,2) = 11,50
Rosa: 3.(b – 1) + 3.(c – 0,5) + 3.(a – 0,2) = 18
O sistema equivalente a este, com equações
simplificadas, é:
3b + 0,5c + a = 14,45 (I)
2b + c + 2a = 12,90 (II)
3b + 3c + 3a = 23,1 (III)
Como é perguntado o preço do quilo de batatas, faremos 2.(I) – (II), e obteremos:
4b = 16 ⇒ b = 4
Portanto, seu Manuel cobra, sem descontos,
R$ 4,00 pelo quilo de batatas.
Considerações sobre a avaliação
A escala apropriada para o desenvolvimento
de cada conteúdo só pode ser devidamente avaliada pelo professor na articulação entre o conhecimento que tem sobre sua turma de alunos
e o respeito ao seu projeto de ensino. De forma
semelhante, entendemos que, nas diferentes escalas, deve ser levada em conta a pertinência de
instrumentos, o percurso estabelecido e os conteúdos abordados. Vale destacar que dada a
relevância de determinados conceitos é importante que estes tenham sua compreensão avaliada em vários momentos. No entanto, apesar
da variedade de formas e conteúdos, algumas
premissas precisam ser adotadas. Como ponto de partida, convém buscar resposta a duas
questões de suma importância:
Quais as principais habilidades a serem
avaliadas?
Quais instrumentos podem avaliar as habilidades selecionadas?
Em relação à primeira questão, referente às
principais habilidades que os alunos precisam
mobilizar e serem avaliados neste 2º- bimestre,
é necessário que eles consigam:
f identificar elementos de uma matriz a
partir da descrição de sua posição, explicitando, quando houver, suas principais características;
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f escrever uma matriz a partir da condição definida matematicamente entre a
posição de cada elemento na linha e na
coluna, compreendendo e utilizando,
dessa forma, a notação aij;
f operar corretamente com matrizes, determinando a matriz resultado de adições,
subtrações, multiplicações e ainda de expressões com mais de uma operação;
f resolver equações matriciais envolvendo
adições, subtrações e/ou multiplicações;
f calcular o determinante associado a matrizes quadradas de 2ª- ou de 3ª- ordens;
f resolver um sistema possível e determinado de equações lineares por escalonamento;
f identificar e resolver um sistema possível e indeterminado de equações lineares por escalonamento, apresentando a
solução geral do sistema;
f discutir a classificação atribuída a um
sistema linear em função dos valores de
parâmetros introduzidos nas equações;
f escrever sistemas de equações lineares
associados a situações-problema, resolvendo-os e interpretando as soluções de
acordo com o contexto fornecido.
No processo de avaliação, sugere-se que o
professor utilize diferentes instrumentos de
forma que o quadro final da avaliação possa retratar tanto as características de todo o
trabalho realizado quanto as diversas competências que cada um de seus alunos consegue ou não mobilizar no enfrentamento de
situações-problema que envolvam matrizes,
determinantes ou sistemas lineares. Dessa
forma, é possível considerar que:
a) uma atividade avaliativa individual deve
ser realizada com o objetivo de verificar se os alunos conseguem identificar
elementos em matrizes obtidas ou não
como resultado de operações entre outras matrizes. Tal avaliação pode ser
aplicada depois de cumprida a Situação
de Aprendizagem 1.
b) as atividades desenvolvidas em sala
de aula, cumpridas em grupos ou
individualmente, devem ser avaliadas
continuamente, a fim de compor um quadro que considere todos os passos do processo de construção conceitual. Algumas
vezes, portanto, avalia-se não só o que foi
“feito” pelo aluno mas, com maior ênfase, o
seu processo de trabalho.
c) as Situações de Aprendizagem apresentadas neste Caderno poderão ser
vivenciadas por alunos agrupados em
duplas ou trios, cabendo ao professor
acompanhar as equipes durante a realização, sanando dúvidas e eliminando
dificuldades. Ao final, todos os alunos
podem entregar sua produção para que
o professor as comente e avalie.
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d) uma avaliação individual deve ser
aplicada para aferir a capacidade dos
alunos em resolver sistemas lineares,
determinados ou indeterminados, e
também para avaliar se convertem
corretamente para a linguagem matemática a linguagem cotidiana expressa
em situações-problema.
e) as atividades que compõem a situação
de Aprendizagem 2, e que implicam a
socialização de criações individuais,
precisam ser avaliadas, tanto no que
diz respeito à criação individual do
aluno quanto na socialização do material produzido.
f) ao término da situação de Aprendizagem 3, de resolução de sistemas lineares,
os alunos poderão se autoavaliarem quanto à capacidade de escalonar sistemas e
determinar corretamente a solução.
ORieNTAções PARA ReCUPeRAçÃO
Para aqueles alunos que porventura não
tenham conseguido atingir os objetivos de
aprendizagem traçados inicialmente pelo
professor, sugerimos que o processo de recuperação envolva, principalmente, a resolução de
situações-problema contextualizadas, semelhantes às que foram apresentadas ao longo
deste Caderno. Além disso, cabe também
ao professor reforçar junto a seus alunos a
necessidade de que reflitam sobre a maneira como optam por este ou aquele caminho
durante a resolução de um sistema de equações. Nesse caso, é esperado que consigam
identificar os momentos em que é apropriada a escolha pelo escalonamento e quando,
em alguns casos, podem usar o método de
Cramer sem prejuízo para as conclusões a
que chegaram.
ReCURsOs PARA AmPliAR A PeRsPeCTivA DO PROfessOR
e DO AlUNO PARA A COmPReeNsÃO DO TemA
Livros
ANTON, Howard e RORRes, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.
CARAçA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da Matemática. lisboa: Gradiva
Publicações, 1998.
BUsHAW, Donald (Org.). Aplicações da
Matemática escolar. são Paulo: Atual, 1997.
CARNeiRO, vera Clotilde. Funções elementares: 100 situações-problema de matemática.
Porto Alegre: editora da UfRs, 1993.
52
4/8/09 4:09:55 PM
COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. (Org.).
As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1994.
LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P.
(Org.). Aprendendo e ensinando geometria. São
Paulo: Atual, 1994.
Sites
Centro de Aperfeiçoamento de Ensino de
Matemática.
Disponível em: <http://www.ime.usp.br/caem>.
laboratório de Ensino de Matemática.
Disponível em: <http://www.ime.usp.br/lem>.
Só Matemática.
Disponível em: <http://www.somatematica.
com.br>.
Mundo matemático.
Disponível em: <http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/
mundo_mat/mud_mat.htm>.
Matemática Essencial.
Disponível em: <http://pessoal.secomtel.com.br/
matematica>.
lista de artigos da Revista do
Professor de Matemática (rPM)
Publicação quadrimestral da Sociedade
Brasileira de Matemática, com apoio da USP.
Disponível em: <http://www.rpm.org.br>.
As “cadeias” do professor Bloch, de Flávio
Rodrigues, RPM, n. 10.
O produto de matrizes, de Claudio Possani,
RPM, n. 21.
Sobre o ensino de sistemas lineares, de Elon
Lajes Lima, RPM, n. 23.
Matrizes em bloco, de Antonio C.
Tomarozzi, RPM, n. 40.
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Conteúdos de matemátiCa por série/bimestre
do ensino médio
4o- bimestre
3o- bimestre
2o- bimestre
1o- bimestre
1a- série
2a- série
3a- série
números e sequênCias
- Conjuntos Numéricos.
- Regularidades numéricas:
sequências.
- Progressões aritméticas,
progressões geométricas;
ocorrências em diferentes
contextos; noções de Matemática
financeira.
trigonometria
- Arcos e ângulos; graus e radianos.
- Circunferência trigonométrica: seno,
cosseno, tangente.
- Funções trigonométricas e fenômenos
periódicos.
- Equações e inequações
trigonométricas.
- Adição de arcos.
geometria analítiCa
- Pontos: distância, ponto médio e
alinhamento de três pontos.
- Reta: equação e estudo dos
coeficientes, retas paralelas e
perpendiculares, distância de ponto a
reta; problemas lineares.
- Circunferências e cônicas:
propriedades, equações, aplicações
em diferentes contextos.
Funções
- Relação entre duas grandezas.
- Proporcionalidades: direta,
inversa, direta com o quadrado.
- Função de 1o grau, função de 2o
grau; significado e ocorrência em
diferentes contextos.
matrizes, determinantes e
sistemas lineares
- Matrizes: significado como tabelas,
características e operações.
- A noção de determinante de uma
matriz quadrada.
- Resolução e discussão de sistemas
lineares: escalonamento.
equações algébriCas,
polinômios, Complexos
- Equações polinomiais: história, das
fórmulas à análise qualitativa.
- Relações entre coeficientes
e raízes de uma equação
polinomial.
- Polinômios: identidade, divisão
por x – k e redução no grau de
uma equação.
- Números complexos: significado
geométrico das operações.
Funções exponenCial e
logarítmiCa
- Crescimento exponencial.
- Função exponencial: equações e
inequações.
- Logaritmos: definição, propriedades,
significado em diferentes contextos.
- Função logarítmica: equações e
inequações simples.
análise Combinatória e
probabilidade
- Raciocínio combinatório: princípios
multiplicativo e aditivo.
- Probabilidade simples.
- Arranjos, combinações e permutações.
- Probabilidades; probabilidade
condicional.
- Triângulo de Pascal e Binômio de
Newton.
estudo das Funções
- Panorama das funções
já estudadas: principais
propriedades.
- Gráficos: funções
trigonométricas, exponencial,
logarítmica e polinomiais.
- Gráficos: análise de sinal,
crescimento, decrescimento, taxas
de variação.
- Composição: translações,
reflexões, inversões.
geometria-trigonometria
- Razões trigonométricas nos
triângulos retângulos.
- Polígonos regulares: inscrição,
circunscrição; pavimentação
superfícies.
- Resolução de triângulos não
retângulos: lei dos senos e lei dos
cossenos.
geometria métriCa
espaCial
- Organização do conhecimento
geométrico: conceitos primitivos,
definições, postulados, teoremas.
- Prismas e cilindros: propriedades,
relações métricas.
- Pirâmides e cones: propriedades,
relações métricas.
- A esfera e suas partes; relações
métricas; a esfera terrestre.
estatístiCa
- Cálculo e interpretação de índices
estatísticos.
- Medidas de tendência central: média,
mediana e moda.
- Medidas de dispersão: desvio médio
e desvio padrão.
- Elementos de amostragem.
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4/8/09 1:49:25 PM
4/8/09 1:49:26 PM

2ª- SÉRiE

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