análise de sinais

Transcrição

análise de sinais

João Baptista Bayão Ribeiro
ANÁLISE DE SINAIS
1ª Edição
Rio de Janeiro
J. B. Bayão
2013
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Curriculum do Autor
João Baptista Bayão Ribeiro é formado em Engenharia de Telecomunicações pela
UFF (Universidade Federal Fluminense) em 1971. Trabalhou na Philips do Brasil
como Engenheiro Instalador, na Divisão de Equipamentos Científicos e Industriais e
simultaneamente como professor da UFF em tempo parcial. Depois ingressou no
Laboratório de Desenvolvimento da antiga Telerj, onde trabalhou em Normas Técnica
de Operação e de Sistemas. É pós-graduado em Engenharia Elétrica pelo
COPPE-UFRJ, onde obteve o título de MsC em 1979. Na década de 80 trabalhou no
CpqD em Campinas, na especificação do projeto Trópico, como Engenheiro da
Telecom, de S. Paulo. De volta à Telerj, trabalhou no Planejamento de Redes
Telefônicas e de Dados. Fez inúmeros trabalhos para a antiga Telebrás, tendo
participado ativamente do processo de digitalização do Sistema Telefônico no Brasil.
Participou de vários Congressos e foi Professor em várias turmas de técnicos e
engenheiros do SBT no Centro Nacional de Treinamento da Telebrás, em Brasília.
Aposentou-se como professor em DE pela Escola de Engenharia da UFF, onde
lecionou por vários anos após a privatização do Sistema Telebrás e extinção da
antiga Telerj. Foi também Professor Substituto no IME, e Professor do curso à
distância “Tecnologias Modernas de Telecomunicações”, promovido pelo Centro de
Estudos de Pessoal (CEP) do Exército Brasileiro em convênio com a UFF.
Agradecimentos
O autor gostaria de expressar seus sinceros agradecimentos ao Prof. Dr. Wainer da
Silveira e Silva, pelo auxílio e sugestões durante as fases de elaboração, correção e
editoração deste texto.
Agradeço também ao Eng.º Paulo Pitta pelos comentários e sugestões realizadas.
Em especial, agradeço a compreensão de minha esposa Isis, que forneceu o
necessário suporte e teve a paciência de me aturar durante todo este período.
Gostaria também de agradecer a todos quanto trabalharam, direta ou indiretamente,
na publicação e divulgação desta obra.
Dedicatória
Dedico este trabalho a minha querida esposa Isis e a meus filhos e netos.
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Sumário
Este Volume visa apresentar ao estudante de engenharia de Telecomunicações,
alguns aspectos relativos a Análise de Sistemas e Sinais em Telecomunicações, tais
como classificação de sinais, espectro, densidade de potencia, autocorrelação, ruido,
filtros, amostragem, distorções, entre outros.
O objetivo é treinar o uso de alguns modelos matemáticos, voltados
principalmente à análise de sinais determinísticos.
Desta forma, é mais voltado ao público especializado.
Palavras Chave
Sistema, sinal, sinal determinístico, sinal aleatório, telecomunicação, potência,
energia, Fourier, perda, ganho, decibel, tempo, frequência, ortogonal, Euler, fasor,
espectro, Transformada, função impulso, convolução, função de transferência,
distorção,
Largura
de
Banda,
filtros
ideais,
filtros
fisicamente
realizáveis,
amostragem, Nyquist, aliasing, densidade espectral, autocorrelação, espectro de
densidade, ruido, distorções, retardo de grupo, distorção linear, distorção não-linear.
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Commons
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Autor: João Baptista Bayão Ribeiro
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5
Índice
Introdução....................................................................................................................................7
Sinal Periódico e Não Periódico..................................................................................................9
Sinal Determinístico e Sinal Aleatório.......................................................................................10
Potência instantânea..............................................................................................................11
Potência instantânea normalizada..........................................................................................12
Potência média......................................................................................................................12
Potência média total..............................................................................................................13
Energia...................................................................................................................................13
Energia total...........................................................................................................................14
Sinal de energia.....................................................................................................................14
Sinal de potência...................................................................................................................15
EXERCÍCIOS............................................................................................................................15
Perda ou Ganho..........................................................................................................................21
Decibel.......................................................................................................................................22
EXERCÍCIOS............................................................................................................................23
dB em relação à 1mW – dBm................................................................................................25
dB em relação à 1W – dBW..................................................................................................25
EXERCÍCIOS............................................................................................................................26
Domínio do Tempo e Domínio da Frequência...........................................................................30
Funções Ortogonais e Funções Senoidais..................................................................................33
Funções senoidas:..................................................................................................................34
Parâmetros:.......................................................................................................................34
Representação de Euler de funções senoidais.......................................................................35
Para o cosseno:.................................................................................................................35
Para o seno:.......................................................................................................................36
Sinais Senoidais no Domínio da Frequência-Espectros.............................................................37
Representação unilateral de x(t)=A cos (ωt + α)...................................................................37
Representação bilateral de x(t)=A cos (ωt+α).......................................................................38
Representação unilateral de x(t)=Asen(ωt+α).......................................................................39
Representação bilateral para x(t)= Asen(ωt+α).....................................................................40
EXERCÍCIOS............................................................................................................................42
Série de Fourier..........................................................................................................................45
EXERCÍCIOS............................................................................................................................48
Forma compacta da série trigonométrica:.............................................................................51
EXERCÍCIOS............................................................................................................................52
Forma complexa da série de Fourier.....................................................................................52
EXERCÍCIOS............................................................................................................................54
Transformada de Fourier............................................................................................................65
EXERCÍCIOS............................................................................................................................68
Função Impulso..........................................................................................................................79
EXERCÍCIOS............................................................................................................................80
Convolução................................................................................................................................88
EXERCÍCIOS............................................................................................................................90
Convolução no Tempo e na Frequência:....................................................................................95
EXERCÍCIOS............................................................................................................................96
Sistemas Lineares-Função de Transferência............................................................................103
EXERCÍCIOS..........................................................................................................................105
Transmissão sem Distorção......................................................................................................121
Função de transferência para transmissão sem distorção:...................................................121
6
Largura de Banda.....................................................................................................................122
Filtros Ideais.............................................................................................................................124
1-Filtro passa baixa (FPB)...................................................................................................124
2-Filtro passa alta (FPA)......................................................................................................127
3-Filtro passa faixa (FPF)....................................................................................................128
EXERCÍCIOS..........................................................................................................................129
Filtros Fisicamente Realizáveis................................................................................................142
Largura de banda W de filtros fisicamente realizáveis........................................................143
Filtro passa baixa RC..........................................................................................................145
EXERCÍCIOS..........................................................................................................................146
Amostragem.............................................................................................................................157
Teorema da amostragem......................................................................................................158
Amostra de x(t) e sua representação....................................................................................159
Espectro do sinal amostrado................................................................................................161
Exemplo da amostragem de um sinal senoidal....................................................................162
EXERCÍCIOS..........................................................................................................................164
Reconstituição do Sinal Analógico..........................................................................................167
Efeito “aliasing”..................................................................................................................169
Filtro anti-aliasiag....................................................................................................................172
Quantização.........................................................................................................................173
Ruido de Quantização..........................................................................................................174
Quantização Não-Uniforme.................................................................................................176
EXERCÍCIOS..........................................................................................................................179
Densidade Espectral de Energia e de Potência.........................................................................183
Densidade espectral de energia, ou espectro de densidade de energia................................184
Autocorrelação de g(t).........................................................................................................185
Função de autocorrelação e a densidade espectral..............................................................186
Autocorrelação e espectro de densidade de potência..........................................................187
Potência e espectro de densidade de potência.....................................................................189
Ruido........................................................................................................................................190
Espectro de densidade de potência do ruido AWGN...........................................................192
EXERCÍCIOS..........................................................................................................................194
Distorções.................................................................................................................................204
Distorção de atenuação ou de amplitude.............................................................................204
Distorção de fase ou retardo de grupo.................................................................................204
Distorção não linear.............................................................................................................208
Linearização em torno do ponto de operação.................................................................209
EXERCÍCIOS – Sequência R..................................................................................................212
Bibliografia..............................................................................................................................219
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Introdução
Na elaboração do livro, será adotado o enfoque do modelamento matemático, que
é independente do estado da arte da implementação física.
Utilizarem duas abordagens ao estudo e tratamento de sinais e sistemas, que
chamaremos de abordagem no domínio do tempo e no domínio da frequência.
Muitas vezes essas abordagens são complementares, e ambas as técnicas são
utilizadas na análise, no desenvolvimento e na operação dos sistemas. Essas
técnicas tradicionais empregam ferramentas bem conhecidas, como o cálculo
diferencial e integral e as transformadas de Fourier e Laplace.
Técnicas mais recentes admitem a concepção de modelos que atuam com sinais
codificados digitalmente. Essas técnicas permitem novas formas de análise de
sistemas, utilizando conceitos como amostragem de sinais analógicos, discretização
no tempo, na frequência e na amplitude dos sinais e codificação. Qualquer forma de
onda pode ser transformada em sequências codificadas de pulsos retangulares
nominais.
Apesar do desenvolvimento observado na área digital, sistemas analógicos ainda
são muito utilizados. Ao estudá-los, usando as técnicas tradicionais de análise no
domínio do tempo e da frequência, estamos dando os passos iniciais para o
entendimento das novas técnicas de análise, projeto e operação dos modernos
sistemas de comunicações.
Os pré-requisitos são conhecimentos básicos em sistemas de controle, circuitos
elétricos e matemática aplicada, principalmente as noções de cálculo diferencial e
integral, sinais e transformadas de Fourier.
É desejável também o conhecimento e a possibilidade de uso de pelo menos um
dos softwares matemáticos, como o Scilab (“free” -pode ser baixado gratuitamente
da Internet), Matlab®, Maple® ou MathCad® (esses são pagos).
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Conforme Wikipedia, em http://pt.wikipedia.org/wiki/Scilab ; “O Scilab é um
software científico para computação numérica semelhante ao Matlab que fornece um
poderoso ambiente computacional aberto para aplicações científicas”.
Essa possibilidade irá facilitar a realização de alguns Exercícios.
Os Exercícios marcados com asterisco encontram-se resolvidos. Isto foi feito para
coplementação da teoria, porém recomenda-se ao leitor sua sincera tentativa de
solução, inclusive soluções mais elegantes que as apresentadas sem dúvida são
possíveis. Pede-se que soluções descobertas pelo leitor sejam realimentadas ao
autor.
O uso de recursos informáticos para acesso à Internet também é fundamental
para o estudo dos assuntos tratados no livro, pois permite a consulta de referências
e fontes disseminadas pela rede, além das citadas no texto.
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Sinal Periódico e Não Periódico
Um sinal x(t) é dito periódico em relação a variável t se existe uma constante
T0 > 0 tal que:
x (t)=x(t+ T0 )
(2-1)
para
−∞< t<∞
T0 é chamado período de x(t). O período T 0 define a duração de um ciclo completo
de x(t).
A Figura 2.1 apresenta um sinal periódico x(t), no caso um trem de pulsos
retangulares periódico de período T0 e nível médio, ou de CC, igual a Aτ/T 0, sendo A
amplitude do pulso, τ sua largura e T0 o período.
Figura 2.1
O ponto inicial para a contagem de tempo de um sinal periódico é arbitrário.
Quando possível, este instante é definido de modo a simplificar a descrição
matemática do sinal periódico, geralmente forçando o aparecimento de simetrias
no seu desenho geométrico.
Assim, uma onda periódica retangular pode ser feita um sinal par em sua
descrição matemática, como na Figura 2.1.
Um sinal não periódico é aquele para o qual não podemos definir uma
caracaracterística como a da Equação 1.
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Um sinal de duração finita, como um pulso, pode ser considerado um sinal não
periódico, como o da Figura 2.2.
Sinal Determinístico e Sinal Aleatório
Um sinal determinístico é aquele cujo valor em um instante futuro pode ser
previsto com exatidão, a partir do conhecimento de seu valor no instante presente e
de sua lei de formação, ou equação.
Exemplo:
Um pulso exponencial x(t)=e
-t
para t > 0, conforme Figura 2.2, ou o sinal
periódico da Figura 2.1.
Figura 2.2
Um sinal é aleatório quando seu comportamento só pode ser descrito em termos
estatísticos. Assim, o conhecimento do valor x(t 0) não permite determinar
exatamente x(t1), sendo t1 > t0 (t0 é o valor atual, ou presente, e t 1 é um valor
futuro).Não há uma equação exata para descrever x(t).
Entretanto, por exemplo, a probabilidade de que x(t 1) esteja dentro de
determinada faixa de valores pode ser estimada.
11
A Figura 2.3 apresenta uma descrição gráfica de um sinal de ruido , exemplo de
um típico sinal aleatório .
Figura 2.3
Potência instantânea
A potência instantânea dissipada por um sinal x(t), em uma carga resistiva de
valor R Ω, depende se x(t) representa um sinal de tensão ou de corrente. Sua
unidade no sistema MKS é o Watt (W).
A Figura 2-4 apresenta a expressão de p(t) para ambos os casos.
Figura 2-4
x(t)
: tensão elétrica (V) ou corrente (A)
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R
: carga (Ω)
p
: potência instantânea (W)
Potência instantânea normalizada.
Em estudo de sistemas de comunicações, a potência pode ser normalizada,
assumindo-se R=1Ω. Se o valor não normalizado da potência for necessário, ele
pode ser calculado, a partir do conhecimento da impedância no ponto.Assim,
p( t)=x2 (t)
(2-2)
Com a normalização de R a 1Ω, a expressão da potência instantânea é a mesma,
x(t) sendo uma forma de onda de tensão ou de corrente, conforme mostra a
Figura 2-5.
Figura 2-5
Potência média.
Uma vez estabelecido o intervalo de tempo T 0 , a potência média neste intervalo
é definida como:
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(2-3)
Potência média total.
Corresponde à potência média para T0 → ∞
(2-4)
Quando x(t) for periódico, a potência média total é igual à potência média
calculada quando T0 é igual ao período do sinal:
(2-5)
Energia.
Energia representa potência x tempo, que fisicamente significa trabalho.
Ou seja, dada uma certa potência, quanto maior o tempo durante o qual aquela
potência se manifestar maior a energia dissipada pelo sinal ou fornecida por ele
durante aquele tempo.
Por isso é que para medir a quantidade de eletricidade fornecida pela companhia
distribuidora medimos a quantidade total de energia elétrica consumida pelas
nossas casas.
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Nessa medição de energia, o que importa é o acúmulo energético. Assim, um
lâmpada de 30W ligada durante 24h consome tanta energia quanto um chuveiro
elétrico de 3600W ligado durante 12min (30x24)=(3600×1/5).
A unidade de medida da energia no sistema MKS é o Jaule (J), sendo 1J = 1W×s.
(Por conveniência, para medir o gasto energético residencial, utilizamos um múltiplo
do J, o kW×hora).
Assim, a energia medida ou dissipada durante o tempo T é dada por:
(2-6)
Energia total
Da mesma forma que a potência média total , a energia total é definida para
T0→ ∞.
(2-7)
Sinal de energia.
Um sinal de energia é aquele que possui energia total finita.
Como consequência, sua potência média total é igual a zero.
Exemplo: Um pulso de amplitude e duração finitas.
Algumas vezes é conveniente lidar diretamente com a energia. Isto ocorre
principalmente com formas de onda utilizadas para gerar pulsos em sistemas
digitais, os quais tendo duração mensurável, são parametrizados em uma base de
energia/pulso.
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Algumas vezes, também, pode haver a necessidade da análise de sinais que
podem ser considerados sinais de energia, como por exemplo surtos de tensão ou
de corrente, causados por indução de elementos externos aos sistemas (queda de
raios, por exemplo), na simulação para teste e projeto de sistemas de proteção de
linhas e aparelhos.
Sinal de potência.
É aquele cuja potência média é finita e diferente de zero.
Como consequência, sua energia total é sempre E=∞.
Exemplo: Um sinal aleatório, com duração teoricamente infinita 1.
Em sua maioria, os sinais que lidamos em sistemas de comunicações são sinais de
potência (sinais periódicos ou sinais aleatórios como a informação ou o ruido).
EXERCÍCIOS
A-2.1-Qual a potência total de um sinal de energia?
A-2.2-Qual a energia total de um sinal de potência?
A-2.3-Um sinal pode ser de energia e de potência simultaneamente? Justifique
sua resposta.
*A-2.4-Calcule a energia do pulso de RF (rádio frequência) definido pela fórmula
abaixo:
Sugestão: Para facilitar, considere t 0=0 . Note que 1/f0 não necessariamente é
1 Na verdade, nenhum sinal tem duração infinita. Entretanto, se o seu tempo de duração for muito maior que o
tempo de manifestação de parâmetros significativos do sinal sendo observado, ele pode ser considerado
infinito por simplificação.
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igual a T ( ou seja, o pulso de RF não necessariamente tem uma duração múltipla
inteira de um período 1/f0). O pulso não é periódico. Ele só ocorre uma vez. T é a
duração do pulso.
Solução:
T
[
T
] [
t sen4 π f 0 t
T sen 4 π f 0 t
Ex =∫ [Asen2 π f 0 t] dt=A
−
=A² −
2
8 π f0
2
8 πf 0
0
0
2
2
]
A-2.5-Repita o Exercício A-2.4, desta vez supondo que T (duração do pulso) seja
um múltiplo inteiro do período da função senoidal que forma o pulso de RF (1/f 0).
*A-2.6-Calcule a potência total dissipada pelo pulso de RF do Exercício A-2.4.
Solução
Px =lim
T→ ∞
Ex
=0
T
pois Ex é finito
A-2.7-Calcule a potência dissipada pelo pulso de RF do Exercício A-2.5 no
intervalo de t0 a t0+T.
R: A2/2
A-2.8-O pulso de RF do Exercício A-2.5 é um sinal de energia, no entanto, o
Exercício A-2.7 calculou sua potência como sendo A2/2. Como explicar este fato?
A-2.9-Calcule a potência total do sinal periódico {A |sen(2Πf0t)|} conforme a
Figura 2.6. Este sinal constitui uma onda senoidal retificada. Suponha sua duração
como sendo infinita (-∞<t<∞).
R: P=A2/2.
A-2.10-Calcule a potência média de 3 períodos do sinal periódico da Figura 2.6
R: A2/2
A-2.11-Calcule a energia de 3 períodos do sinal periódico da Figura 2.6.
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R:
3TA 2/2
Figura 2.6
*A-2.12-Uma sequência periódica de pulsos retangulares, como na Figura 2.1, de
largura de pulso τ e período T, pode ser representado pela fórmula x T(t)=AΠT(t/τ).
Baseado nesta representação, faça um gráfico para xT(t)=AΠT[(t-τ1)/τ2].
Solução
Figura A-2.12
A-2.13-Baseado no resultado do Exercício A-2.12, faça um gráfico para
xT(t)=2Π4(t-1/2). Qual o valor de xT(t) para t=0,5; t=-0,5 e t=-3,5?
R: 2;
0
e
2.
18
*A-2.14-Faça um gráfico para 2Π4(t/0,5). Faça -6<t<6.
Solução:
Figura A-2.14
*A-2.15-Faça um gráfico para xT(t)=Π4[2 (t-1)]. Faça -4<t<9.
Solução:
x T (t)=Π 4 [2(t−1)]=Π 4 [
(t−1)
]
0,5
Figura A-2.15
19
*A-2.16-Faça um gráfico de xT(t)=Π4(2t-1). Faça -4<t<10.
Solução:
∣
x T (t)=Π 4 (2t −1)=Π4 [2 (t−0,5)]=Π4
t−0,5
0,5
∣
Figura A-2.16
A-2.17-Se um pulso retangular de energia de largura τ e amplitude A, centrado na
origem, fosse representado como AΠ(t/τ), como seria a representação matemática
para o sinal periódico da Figura 2.1 em termos de um somatório infinito de pulsos
de energia de largura τ e amplitude A, centrados em 0, ±1,±2,±3...?
*A-2.18-Trace o gráfico do sinal x(t)=[sen(πt)/(πt)], para -10<t<10. O sinal x(t),
assim definido, é também conhecido como x(t)=sinc(t). Qual o valor máximo do sinal
x(t), e para que valor de t ele ocorre? O 1° zero do sinal x(t) ocorre para que valor de
t? O sinal x(t) é um sinal de energia ou de potência? Por quê?
20
R: Valor máximo=1 em t=0; 1° zero do sinal x(t) em t=±1.
Solução:
Figura A-2.18
sinc(t) é um sinal de energia, pois a sua energia total tende a 1.
21
Perda ou Ganho
Em um sistema de comunicações, algumas vezes é necessário relacionarmos a
potência média de um sinal presente em um determinado ponto do sistema com a
potência média do sinal em outro ponto (por exemplo, o sinal na saída do sistema
com o sinal na entrada do sistema).
Este relacionamento pode ser realizado simplesmente dividindo-se uma pela
outra.
Assim, se Psaída= 10 ×Pent, é razoável pensar que o sistema introduziu um ganho de
valor 10.
Desta forma, se
Pent = 5W , Psaída = 50W
Pent = 0,5W , Psaída = 5W
Pent = 5.10-6W , Psaída = 5.10-5W
Para todos os casos acima, o sistema introduziu um ganho de 10 (adimensional).
Assim, como houve ganho, poderia ter havido perda, neste caso P saída < Pent .
Em geral, ao compararmos a potência em pontos diferentes do sistema, estamos
interessados em pontos pelos quais flui o mesmo tipo de sinal, qualitativamente
falando (por exemplo, sinais analógicos de voz na mesma banda básica, ou sinais
digitais modulados enviados para um satélite ocupando uma determinada banda).
22
Decibel
Suponha que um sinal x(t) é transmitido por um sistema de comunicações, e
nesse processo ele pode ser atenuado, ou amplificado, no sentido de que sua
potência média pode diminuir ou aumentar, respectivamente. Os valores de
potência média deste sinal em dois pontos diferentes do sistema podem ser
relacionados de duas formas:
1-Relação linear, obtida dividindo-se diretamente os valores de potência
2-Relação logarítmica, obtida de acordo com:
X (dB)=10 log 10
Pa
Pb
(2-8)
O valor assim obtido (X) diz-se estar expresso em decibel (a relação abrevia-se dB,
de decibel).
O valor expresso em dB pode representar uma perda ou um ganho. Se P a
representa a potência no ponto A e P b no ponto B, se X(dB) for positivo então P a>Pb.
Se X(dB) for negativo, então Pa<Pb.
A relação X(dB) também pode representar a relação entre as potências de dois
sinais A e B no mesmo ponto do sistema. É o caso, por exemplo, da relação entre a
potência de um sinal útil (sinal de informação - SdB) e um sinal de ruido (NdB) [o
ruido é um sinal indesejável, e infelizmente está presente em todos os pontos de
um sistema , com maior ou menor intensidade – a simbologia N é derivada da
expressão “Noise”, que significa ruido, em inglês].
Assim , se S/N = 30dB, significa que naquele ponto do sistema o sinal útil tem
potência 1000 vezes maior do que o sinal de ruido.
23
EXERCÍCIOS
B-2.1-Em um sistema de comunicações, transmitindo de A para B conforme ilustra
a Figura 2-7, a potência do sinal em A é P A=3,2mW. A potência do sinal em B é
PB=1,9μW.
Calcule PA/PB utilizando valores lineares e logarítmicos. Houve ganho ou perda?
Figura 2-7
B-2.2-Em um sistema de comunicações, transmitindo de A para B, a potência do
sinal em A é PA=1,9μW, e a potência do sinal em B é P B = 1mW. Calcule PA/PB
utilizando valores lineares e logarítmicos. Houve ganho ou perda?
*B-2.3-No Exercício B-2.1, qual é a relação, em dB, de P B para PA, e como
interpretar este resultado?
Solução:
B é a saida e A a entrada. Se P B <PA, houve uma perda de 32,3 dB. Também
podemos dizer que houve ganho negativo, no valor de -32,3 dB. Daí, concluirmos
que ganho negativo significa perda, em dB.
B-2.4-No Exercício B-2.2, qual a relação, em dB, de P B para PA, e como se
interpreta o resultado?
*B-2.5-Um sistema de transmissão apresenta ganho entre dois pontos, A e B, e a
relação da potência de A, PA para a potência de B, PB, é de +10dB. Qual o sentido de
transmissão?
24
Solução:
Vê-se que PA>PB. Como foi afirmado que o sistema apresenta ganho, o sentido de
transmissão é de B --->A, ou seja, B é a entrada e A é a saída.
B-2.6-Um sistema de transmissão apresenta perda entre dois pontos A e B, e a
relação PA/PB vale -3,5dB. Qual o sentido de transmissão?
*B-2.7-Vamos supor que desejamos relacionar em unidades logarítmicas a tensão
em V. Como seria essa relação expressa em decibéis? Justifique.
Solução:
Vê-se que PA>PB. Como foi afirmado que o sistema apresenta ganho, o sentido de
transmissão é de B --->A, ou seja, B é a entrada e A é a saída.
*B-2.8-Em se tratando de tensões, a relação em dB é como no Exercício B-2.7. Se
entre dois pontos de um sistema temos uma relação P 1/P0=0.5, qual a relação entre
as tensões V1/V0 nestes pontos, sabendo que V 1 gerou P1 e V0 gerou P0, e que a
impedância nos dois pontos podem serem consideradas iguais?
Solução:
2
P! =
V 21
R
P0 =
V 20
R
V1
P!
R
=0,5= 2
P0
V0
R
Simplificando, temos:
V1 2
[ ] =0,5 Logo
V0
V1
=√ 0,5
V0
B-2.9-Em um sistema de comunicações, no ponto A, a tensão é de 1,3 V. No ponto
B, a tensão deste sinal é 0,5 V. Qual o valor, em dB, da relação V B para VA? Suponha
impedância de A = impedância de B.
B-2.10-Em referência ao Exercício B-9, supondo que a impedância no ponto A seja
25
igual à impedância no ponto B, e sendo ambas iguais a 50 Ω, qual o valor das
potências em A e B, em W?
dB em relação à 1mW – dBm
A potência de um sinal também pode ser expressa em unidades logarítmicas. A
definição é semelhante ao decibel, comparando-se o valor de potência no ponto
desejado com um valor de referência. Quando esse valor de referência é igual a
P0=1mW, a unidade de medida resultante denomina-se dBm (dB em relação a 1mW).
O dBm é muito utilizado em cálculos de potência de sinais. Assim,
X( dBm)10 log 10
P1
P0
onde
P 0=1mW=10−3 W
(2-9)
dB em relação à 1W – dBW
Algumas vezes usa-se um valor de referência P0= 1W. Neste caso, a unidade de
medida recebe o nome de dBW (dB em relação a 1W).
Em cálculos de balanceamento de enlaces em sistemas de transmissão via
satélite, costuma-se usar dBW na indicação de potências.
Exemplo de alguns valores: Potência de sinal gerada pelo transmissor para o
satélite: 20dBW (100w). Sinal transmitido para o satélite (inclui potência do
transmissor+ ganho da antena parabólica): +70dBW (enlace de subida a 8,0GHz).
Potência recebida pelo satélite: -110,0dBw (10 -11w). (Satélite geoestacionário a
35800 km de altitude). Inclui perdas no caminho de transmissão (203dB: perda de
propagação no espaço livre ) e ganho da antena parabólica de recepção no satélite
(+36dB) e alguns outros fatores.
26
EXERCÍCIOS
C-2.1-Usando a definição de dBm, faça o seguinte:
a-Expresse em dBm uma potência de
10mW;
b-Expresse em dBm uma potência de
0,01mW;
c-Expresse em dBm uma potência de
1mW;
d-Expresse em dBm uma potência de
150mW;
e-Expresse em dBm uma potência de
0,15mW;
f- Expresse em dBm uma potência de
2mW;
g- Expresse em dBm uma potência de
0,5mW.
C-2.2-Usando a definição de dBm, faça o seguinte:
a-Expresse em mW uma potência
X=5dBm;
b- Expresse em mW uma potência
X=-8dBm;
c-Expresse em mW uma potência
X=100dBm;
d-Expresse em mW uma potência
X=-100dBm;
e-Expresse em mW uma potência
X=8dBm;
f-Expresse em mW uma potência
X=11dBm;
g-Expresse em mW uma potência
X=0dBm.
C-2.3-Um sistema de transmissão, mostrado na Figura 2.8, com o sentido de
transmissão dado, apresenta os valores indicados de potência de sinal nos pontos A,
B, C, D e E. Indique se cada bloco insere perda ou ganho, dando o respectivo valor
para cada bloco. Indique o valor total do ganho do sistema.
Figura 2.8
*C-2.4-Em um sistema de comunicações ocorre a soma de dois sinais, de potências
27
S1 e N1, respectivamente. Calcule a potência do sinal resultante.
Dados:
S1=10mW
N1 = 3mW.
Expresse o resultado em dBm.
Solução:
A soma de potências ocorre em unidades lineares. Assim:
S1+N1=10+3=13mW. Passando para dBm, vem: S1 +N1 (dBm)= 11,139 dBm
É claro que as duas potências dos sinais em questão deverão ser medidas
utilizando a mesma largura de banda no medidor e sob a mesma impedância.
C-2.5-Em um sistema de comunicações ocorre a soma de dois sinais, de potências
S1 e N1, respectivamente. Calcule a potência do sinal resultante.
Dados:
S1=-3dBm
N1=-15dBm
Expresse o resultado em dBm.
*C-2.6-A relação sinal/ruido, S/N, em um ponto de um sistema de comunicações, é
definida como sendo a razão entre a potência do sinal S, em mW, e a potência do
ruido N, também em mW, naquele ponto.
Sendo S=10mW e N=5×10-4W, expresse a relação S/N em dB.
Solução:
S 10×10−3
=
=20
N 5×10−4
Logo:
S/N(dB)=10 log 10 20=13,01 dB
C-2.7-Em um ponto de um sistema de comunicações, a potência do sinal, S, é de
-20dBm, e a potência do ruido, N, de -45dBm. Qual a relação S/N em dB?
*C-2.8-Em um ponto de um sistema de comunicações a impedância é definida
como sendo = 600 Ω resistivos. Se a potência especificada de sinal no ponto é
-10dBm, qual o valor em V do sinal? Considere o sinal como sendo senoidal e de
1 KHz de frequência.
Solução:
Normalmente, refere-se ao valor eficaz do sinal, medido com um voltímetro CA
28
(de um multitester, por exemplo), Em se tratando de sinais senoidais, o valor eficaz
vale 0,707 do valor de pico (valor de pico=0V ao |valor máximo|).
(V 2ef /600)×103
−10dBm=10log 10
1
Vef é dado em V.
( V 2ef /600)×103
−1
=10
1
Daí,
V 2ef=10−4 ×600 portanto,
V ef=10−2× √ (600)=0,2449 V=244,9 mV
C-2.9-A carga máxima em um ponto de um sistema é 10dBm. Este valor está
normalizado a 1Ω . Se a impedância real for 75Ω , qual o valor da amplitude máxima
ponto a ponto A de um sinal senoidal a ser aplicado neste ponto, que satisfaça a
especificação de carga máxima?
*C-2.10-Na entrada de um sistema, deseja-se efetuar um teste onde injetam-se
duas frequências diferentes, f1Hz e f2Hz. Se ambas geram uma potência de 0dBm,
qual a potência total gerada?
Solução:
Será o dobro, ou seja +3 dBm. A medição deste valor será obtida desde que a
largura de banda do medidor deixe passar as frequências f 1 e f2 sem atenuação e a
fonte1 não interfira na fonte2 e vice-versa.
*C-2.11-Em um enlace para um satélite, temos a seguinte situação:
Potência do transmissor = 25dBW;
Ganho de transmissão da antena = 63,4dB;
Perdas de propagação = 202,7dB;
Tolerância para desvanescimentos de sinal e outras perdas = 10dB;
Ganho das antenas de recepção no satélite = 33dB
Preencha a tabela abaixo, calculando a potência total recebida pelo satélite em
dBW e em W.
29
Cálculo de Balanceamento
Potência do transmissor
(+)
=
:_______dBW
Ganho de transmissão da antena
(+)
=
:_______dB;
=
:_______dBW
(-)
=
:_______dB;
(-)
=
:_______dB;
(+)
=
:_______dB;
Potência total recebida pelo satélite (?)
=
:_______dBW
Potência total transmitida
Perdas de propagação
Tolerância para desvanescimentos
de sinal e outras perdas
Ganho das antenas de recepção no
satélite
:_______W
Solução:
Cálculo de Balanceamento
Potência do transmissor
(+)
=
:25dBW
Ganho de transmissão da antena
(+)
=
:63,4dB;
=
:88,4dBW
(-)
=
:202,4dB;
(-)
=
:10dB;
(+)
=
:33dB;
Potência total recebida pelo satélite (?)
=
:-91dBW
Potência total transmitida
Perdas de propagação
Tolerância para desvanecimentos
de sinal e outras perdas
Ganho das antenas de recepção no
satélite
:7,94x10 10W
30
Domínio do Tempo e Domínio da Frequência
Conforme o site http://pt.wikipedia.org/wiki/Domínio_do_tempo da Wikipedia
“Domínio do tempo é um termo usado em análise de sinais para descrever a
análise de funções matemáticas com relação ao tempo. No domínio do tempo, o
valor da função é conhecido em cada instante, no caso de tempo contínuo, ou em
vários instantes separados, no caso de tempo discreto.”
Assim, podemos dizer que no domínio do tempo a variável livre, nas equações
que tratam de sinais e suas relações, representa tempo.
Ainda segundo Wikipedia, “Em análise de sinais, domínio da frequência designa
a análise de funções matemáticas com respeito à frequência, em contraste com a
análise no domínio do tempo. A representação no domínio da frequência pode
também conter informação sobre deslocamentos de fase.”
Com isto, entendemos que um sinal ou relações em um sistema, podem ser
representados sob pelo menos dois pontos de vista principais, um em que existe
uma variável livre que é o tempo, e outro em que a variável livre é a fase ou a
frequência. Podemos alternar entre uma representação ou outra, desde que haja
uma definição precisa da relação entre as duas representações.
Exemplo: Conforme a Figura 2-9, uma onda quadrada pode ser representada no
domínio do tempo, pela sua forma de onda, ou no domínio da frequência pela sua
frequência básica de repetição.
Esta é apenas uma das possíveis representações.
Outra representação veremos adiante, com a série de Fourier.
31
Figura 2-9
Desde que se convencione que a forma da onda é sempre a de pulsos quadrados,
e que a amplitude da frequência sendo positiva significa que a onda quadrada inicia
com uma excursão positiva conforme a Figura 2-9, a representação no domínio da
frequência não deixa margem a dúvidas. Só fica indeterminada a fase inicial da onda
quadrada, que pode ser indicada em um outro gráfico.
Sabendo-se as convenções, é possível representar outras formas de onda no
domínio da frequência conforme acima, colocando-as como sendo compostas de
ondas quadradas.
A Figura 2-10 apresenta um exemplo de como a forma de onda em 2-10 c) pode
ser considerada uma composição (no caso, soma) das formas de onda em 2-10 a) e
b).
32
Figura 2-10
33
Funções Ortogonais e Funções Senoidais
Uma determinada forma de onda pode ser decomposta em um conjunto de
funções básicas, que são somadas para gerar a dita forma de onda.
Veja como exemplo a Figura 2-10, onde a temos a forma de onda em 2-10c), que
pode ser considerada uma composição das formas de onda em 2-10 a) e b).
A questão é saber que propriedades são desejáveis para a forma de onda básica,
a partir da qual as demais formas de onda são geradas. Um dos requisitos é que este
conjunto de funções básicas seja o mais abrangente possível, isto é, que se consiga
representar o maior número possível de formas de onda.
Por exemplo, as formas de onda empregadas na representação da Figura 2-10 são
limitadas a representação de formas retangulares.
Apesar de muitas funções poderem ser utilizadas como básicas, pode ser
demonstrado que uma boa função básica atende ao requisito chamado
ortogonalidade.
A palavra “ortogonal” vem dos termos gregos “ortho”-reto e “gonia”-ângulo.
Portanto ortogonal aponta para o significado ângulo reto (por exemplo, dois
vetores bidimensionais fazendo entre si um ângulo de 900 são ortogonais).
Matematicamente, para um conjunto de funções ortogonais a integral do
produto de qualquer par de funções ortogonais é igual a zero .Assim,
sendo m≠n
(2.10)
Se m=n, temos a área sob o quadrado de f , integrada de a até b.
Existem muitos conjuntos de funções ortogonais, entre eles o conjunto dos sinais
senoidais.
34
Algumas características tornam interessante o uso de funções senoidais como
funções básicas para um conjunto ortogonal:
a)Muitos sistemas físicos lineares têm seu comportamento descrito por uma
equação da forma:
cuja solução vem em forma de funções senoidais.
b)Funções senoidais são periódicas.
c)A descrição de funções senoidais é invariante para diversas transformações,
como derivação ou seja, a derivada de cos (x) (que é uma função senoidal) continua a
ser senoidal.
Aqui, nós empregaremos a expressão forma de onda senoidal ou função senoidal
para se referir tanto a função cos x quanto a função sen x. (veja a Figura 1-11).
Funções senoidas:
y1=Asen θ ou y2=Acosθ
Asen θ = Acos (θ -90°)
Parâmetros:
A: amplitude (uma grandeza qualquer, por exemplo, V ou A ou W)
θ: ângulo ou fase (rad ou graus)
t: tempo (s)
θ=ωt + α
ω: frequência angular (rad/s)
α: fase inicial (rad ou graus)
ω=2πf
35
f: frequência (Hertz)
f=1/T0
T0: período. (s)
Representação de Euler de funções senoidais
Para o cosseno:
(2-11)
Esta equação admite uma interpretação gráfica. A função cosseno é dada pela
soma de dois fasores2 girantes, um no sentido horário (expoente negativo) e outro
no sentido anti horário (expoente positivo). Os dois fasores girando em sentidos
opostos e com a mesma velocidade anulam a componente imaginária, que estaria
defasada de 90°. A velocidade angular dos fasores é igual a ω.
A Figura 2-11 ilustra essa visualização.
Figura 2-11
2 Um fasor é um vetor girante centrado na origem (0,0) de um plano complexo, onde o eixo das abscissas
representa o eixo imaginário e o eixo real das ordenadas o eixo dos reais.
36
Para o seno:
(2-12)
Para o seno3], da mesma forma que para o cosseno, esta fórmula admite a
seguinte interpretação gráfica, conforme a Figura 2-12. Novamente, temos a soma
de dois fasores, só que um deles está rebatido na origem, devido ao sinal negativo.
Desta vez, a soma dos dois fasores, anula a componente real, restando uma
componente no eixo imaginário
A soma resultante é um imaginário, daí a necessidade da divisão por j para o
resultado ser um número real.
A velocidade de rotação dos fasores é igual a ω.
Figura 2-12
3 Na representação de Euler, a componente em cosseno é a projeção do fasor sobre o eixo real, e a componente
em seno é a projeção do fasor sobre o eixo imaginário.
37
Sinais Senoidais no Domínio da Frequência-Espectros
Um sinal senoidal possui três parâmetros básicos; amplitude, frequência e fase.
Uma vez que uma representação gráfica no domínio da frequência gera um
gráfico bidimensional, precisamos de dois gráficos, um para a amplitude e outro
para a fase.
Esses gráficos são representativos do espectro de frequências dos sinais.
Assim, cada frequência, ou cada sinal senoidal, gera uma raia do espectro, que
corresponde, no gráfico, à uma linha vertical da amplitude ou fase da componente
espectral.
Dois tipos de representação podem ser utilizados – representação unilateral e
representação bilateral.
A representação unilateral, também chamada representação positiva do
espectro, dá um sentido físico para a frequência.
Temos dois gráficos, (um para a amplitude e outro para a fase), ambos apenas
para frequências positivas, (eixo das ordenadas em ambos os gráficos) que pode ser
graduado em Hz ou em rad/s.
A representação bilateral, apesar de à primeira vista parecer mais complicada, na
verdade irá simplificar muitas equações posteriores relativas à análise espectral de
sistemas, pois como veremos o deslocamento de um espectro para diferentes
regiões de frequência ocorrerá de forma a proporcionar raciocínios envolvendo
deslocamentos de regiões negativas para positivas, explicando facilmente o
surgimento de novas frequências espectrais positivas e reais.
Representação unilateral de x(t)=A cos (ωt + α)
Conforme mostra a Figura 2-13, o espectro unilateral do cosseno utiliza dois
38
gráficos para a representação no domínio da frequência, um para a amplitude e
outro para a fase.
Figura 2-13
Representação bilateral de x(t)=A cos (ωt+α)
A representação bilateral é baseada na representação fasorial de Euler:
Veja a Equação (2-11).
Assim, aparece o conceito de frequência negativa, que não tem significado físico,
apenas matemático, representando um fasor girando no sentido negativo (e -jωt).
A Figura 2-14 apresenta o espectro bilateral do cosseno:
O gráfico de amplitudes é sempre positivo, apresentando simetria par. Já o
gráfico de fases apresenta simetria ímpar.
Note que são necessários dois fasores conjugados para a formação de um sinal
real, no caso o cosseno. Fasores conjugados têm a mesma amplitude e fases
opostas, girando em direções opostas mas sempre na mesma velocidade.
39
Figura2-14
Representação unilateral de x(t)=Asen(ωt+α)
Por convenção, os gráficos do espectro de frequências representam cossenos.
Entretanto reconhecendo que, topologicamente falando, o seno também tem a
mesma forma de onda que o cosseno, diferindo apenas por uma diferença na fase
(os dois são defasados de 90°), os gráficos de espectro de frequência também
podem representar senos.
Uma forma de fazer isto, sem mudar as convenções iniciais, seria usar a relação
trigonométrica sen(ωt+α)=cos(ωt+α-90°).
Outra forma seria convencionar quando um gráfico de espectro representa o
seno ou quando representa o cosseno.
40
A Figura 2-15 apresenta o espectro unilateral do seno, baseado em que
sen(ωt+α)=cos(ωt+α-90°).
Figura 2-15
Representação bilateral para x(t)= Asen(ωt+α)
Assim como no caso anterior de cosseno, a representação bilateral é baseada na
fórmula de Euler, conforme a Equação (2-12).
Assim, temos os gráficos de amplitude e fase representados na Figura 2-16 4,5,
baseados também na relação sen(ωt+α)=cos(ωt+α-90°).
4 São necessários dois fasores conjugados para a formação de um sinal real, como no caso do cosseno.
5 Dividir por j equivale a acrescentar uma fase de -90°.
41
Figura 2-16
42
EXERCÍCIOS
D-2.1-Trace o espectro unilateral de frequências do sinal y(t)=2+7 cos (2π 10 t +
π/4) +4 sen (2π 25 t) – 3 cos (2π 30 t)
*D-2.2- Repita D-2.1 para a forma bilateral do espectro de frequências.
Solução:
Conforme Figura D-2.2
Figura D2.2
Nota: Na Figura D-2.2, optou-se por informar através do gráfico de fase o valor
negativo da parcela -3cos(30t). Desta forma, o gráfico de amplitudes é sempre
positivo.
*D-2.3-Suponha que se resolva traçar um gráfico de espectro unilateral de
frequências do sinal no Exercício D-2.1, só que utilizando uma escala logarítmica
para o eixo das abscissas. Como seria o aspecto deste gráfico?
Solução
Conforme a Figura D-2.3
43
Figura D-2.3
Nota: Nesta representação, não se consegue expor graficamente o nível de CC,
pois log 0 = -∞, Conclui-se que esta não é a representação adequada para o espectro
unilateral, se bem que a indicação do nível de CC pode ser feito a parte.
*D-2.4-Repita D-2.3 para o gráfico de espectro bilateral.
Solução:
Não é possível representar o espectro bilateral desta forma, pois não existe
logaritmo de número negativo.
*D-2.5-Como seriam genericamente traçados gráficos de módulo e fase para o
espectro bilateral do sinal definido pela série:
Solução:
44
Módulo: Gráficos de barras (exemplo Figura D-2.2), onde para cada n é levantada
uma barra vertical com amplitude |X n|. A largura da barra não é importante. n é um
inteiro, variando de -∞ a +∞. O eixo das abcissas pode ser graduado diretamente em
n, (adimensional) ou em nf0 ou ainda em nω0. f0 é chamada frequência da fundamental
de x(t) sendo indicada em Hz. ω 0 é também chamada frequência fundamental de x(t),
sendo que, de um modo geral, nω=2πnf. nω é a frequência angular de cada
componente de x(t), indicada em rad/s. Em n=0 temos a frequência zero ( em Hz ou
rad/s), representando o nível de CC (corrente contínua) existente em x(t).
A amplitude de cada barra vertical |X(n)| é igual a
∣
T /2
∣
1
∣X n∣= ∫ x (t )e−jn ω t dt =∣< x(t)e− jn ω t >∣ =|xn +jyn|, onde ω0 = 2πf0 e, pela
T −T /2
0
0
fórmula de Euler,
x n=< x(t)cos ω 0 t >
e
y(t )=−< x(t )sen ω0 t > . ,
sendo
n
um
inteiro, incluindo zero.
Fase: Gráficos de barras (exemplo Figura D-2.2), onde para cada n é levantada
uma barra vertical com amplitude φn=atan(yn/xn).
Nota:
Xn e
jn ω0 t
−jn ω0 t
+X*n e
φn
=∣Xn∣e e
jn ω0 t
−φn −jn ω0 t
+∣Xn∣e
e
=∣Xn∣{ e
jn ω0 t+ φn
−jn ω 0 t−φ n
+e
}=
= 2 ∣Xn∣ cos(n ω0 t+ φn ),
que representa a harmônica n na série de Fourier compacta de x(t).
onde Xn é um número complexo função de n, isto é, X n=x(n) + jy(n), n inteiro e
variando de -∞<n<+∞, sendo x(t) um sinal real.
Isto implica em que X -n=X+n*, ou seja, x(-n)=x(n) e y(-n)=-y(n).
45
Série de Fourier
A série de Fourier decompõe matematicamente um sinal periódico qualquer em
um somatório de funções senoidais.
Essas funções senoidais formam um conjunto de funções ortogonais, e atendem à
condição da Equação (2.10). Assim, as funções base deste conjunto de funções
ortogonais são funções senoidais. Pode-se dizer que, ao calcular os valores de
amplitude e fase de cada componente senoidal a série de Fourier fornece o
espectro de frequências de um sinal periódico.
Genericamente, o número de termos da série de Fourier é infinito. Em casos
particulares , ou para aproximações numéricas, este número pode ser finito.
A análise de sinais no domínio da frequência estuda o comportamento das
componentes espectrais de um sinal, componentes que podem ser interpretadas
como integrantes da série de Fourier do sinal. Este tipo de análise é particularmente
útil em se tratando de sistemas lineares e invariantes no tempo, que atendem ao
princípio da superposição. Sua ação sobre o sinal periódico pode ser computada
como o somatório, ou a resultante das ações individuais sobre cada componente
espectral.
Forma expandida da série trigonométrica:
(2.13)
onde
sendo T0 o período de x(t).
Cada componente da série tem frequência nω 0. Na série trigonométrica, cada
frequência tem uma componente em cosseno de amplitude an e uma componente
em seno de amplitude bn. O coeficiente a0 fornece a chamada componente de
46
corrente contínua (CC) do sinal.
Dado um determinado sinal periódico x(t), o conjunto das componentes a 0, an, bn e
a frequência da fundamental ω0 completamente identificam o sinal.
Assim , um sinal periódico pode ser analisado no domínio do tempo, através de
sua forma de onda x(t), ou no domínio da frequência, através de seu espectro,
obtido calculando-se suas componentes espectrais a 0, an e bn e sabendo-se a
frequência ω0 da fundamental, que depende apenas do período do sinal.
As componentes espectrais a0, an e bn são obtidas aplicando-se a condição de
ortogonalidade da Equação 2.10, obtendo-se:
(2.14)
(2.15)
(2.16)
A integração é feita ao longo de um período. O instante inicial t 0 é arbitrário, e
geralmente é escolhido de forma a gerar simetrias espaciais na definição da forma
de onda x(t), simplificando assim o cálculo dos coeficientes.
Observe que como resultado desse cálculo obtém-se um valor para a 0, que
corresponde ao valor médio do sinal x(t), e dois vetores, teoricamente de
comprimento infinito (isto é, com infinitas componentes), de componentes reais em
função de n.
A ocorrência de simetrias na definição de x(t) provoca o anulamento de um dos
vetores an ou bn , daí a importância na escolha de t 0. Desta forma, demonstra-se que,
se x(t) é uma função par, bn=0 para qualquer n, e se x(t) é impar, a n=0 para qualquer
n. Traçando-se gráfico de barras dos valores de a0 , an e bn em função da frequência
47
obtém-se o espectro de frequência unilateral de x(t) (n é sempre positivo).
O componente de CC (a0) ocorre na origem, ou seja corresponde a ω=0 ou f=0.
Os demais componentes ocorrem para a fundamental (n=1, correspondendo a
f1=1/T0 ou ω1=2π/T0) e múltiplos (n=2, n=3, n=4,...). Os componentes múltiplos da
fundamental são chamados harmônicos.
48
EXERCÍCIOS
E-2.1-Calcule a série de trigonométrica de Fourier (coeficientes na forma
expandida) e trace o espectro de frequências unilateral do sinal periódico da Figura
2-1.
São dados T0=4. Largura de pulso = 1.
Amplitude = 2.
R: a0 = 0,5
bn=0.
an=(4/n)sen(n/4)
E-2.2-Calcule a série trigonométrica de Fourier (coeficientes na forma expandida)
de um trem de pulsos retangulares, de amplitude A, largura τ e período T 0. Confirme
o resultado obtido no Exercício E-2.1.
R: a0=Aτ/T0
an=(2A/n)sen(nτ/T0)
bn=0.
*E-2.3-Faça um desenho do espectro unilateral de frequências do trem de pulsos
retangulares de amplitude 2 V, largura 1,5 s e período 4 s. Faça n variar de 0 a 8,
calculando 8 componentes do espectro.
R:
n
ω(rad/s)
an
bn
___________________________________________________
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1,57
3,14
4,71
6,28
7,85
9,42
10,99
12,56
0,75
1,18
0,45
-0,16
-0,38
-0,10
0,15
0,17
0,00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Note que a frequência do n-ésimo harmônico é n vezes a da fundamental (n=1).
Solução:
Para simplificar o cálculo dos coeficientes, o trem de pulsos será representado
pela fórmula abaixo:
49
x T (t)=2 Π4
t
1,5
( )
Conforme resultado do Exercício E 2.2,
a0={2x1,5)/4=0,75
an =
2×2×1,5
sinc (0,375×n) A figura E.-2.3 abaixo representa o espectro
4
unilateral de forma gráfica.
Figura E-2.3
Esta figura foi obtida, após algumas manipulações com o BROffice Impress, com a
seguinte listagem Scilab:
X=[];
for n=1:1:8
x=(2*2*1.5/4)*sin(0.375*n*%pi)/(0.375*n*%pi);
X=[X x];
end
bar(X,.2,'black')
xgrid
*E-2.4-Para os dados do Exercício E-2.3, faça um esboço para a forma de onda
resultante da soma da fundamental com a 4a harmônica do sinal. Considere t≤8.
Solução:
A fundamental, no caso a componente que corresponde a n=1:
x1=C1cos (ω0t), ou seja:
x1=1,18 cos(1,57t). Portanto, é um cos de fase zero, amplitude 1,18 e período
50
T=4s.
A 4ª harmônica tem n=4.
Daí, x4=-0,38cos(6,28t). Portanto, é um cos de amplitude -38 e fase zero.
A Figura E -2.4 apresenta um gráfico para x 1+x4 em 2 períodos, correspondendo a
t=8s
Figura E-2.4
Esta Figura foi obtida com a seguinte listagem para o Scilab:
*E-2.5-Para os dados do Exercício E-2.3, demonstre que o 1 o nulo ocorre quando
nτ/T0=K, sendo K o menor inteiro positivo e real. Determine n e K.
R: n=8 e K=3.
Solução:
A amplitude da componente
51
C n=
2A τ n τ
sen T
( )
. Portanto, Cn=0 pela 1a vez (1o nulo) quando
nk
=K , sendo K o menor inteiro para a relação
T
Assim,
para
o
primeiro
nulo,
n
é
o
nτ
, n=1, 2, 3⋯
T
menor
inteiro
para
o
qual
kT
n= τ , K=1, 2. 3 ⋯
No caso
K
KT
n= τ
1
2,6666
2
5,3333
3
8
Portanto, o primeiro nulo ocorre para n=8 e K=3.
Forma compacta da série trigonométrica:
(2.17)
Os coeficientes se relacionam com os coeficientes da forma expandida da
seguinte forma:
(2.18)
(2.19)
(2-20)
Conforme verificamos, a forma compacta é apenas uma outra forma de se
escrever a forma expandida, onde ao invés de termos a n (coeficiente do cosseno) e
bn (coeficiente do seno) temos cn (coeficiente de um sinal senoidal resultante da
soma de um cosseno com um seno de mesma frequência) e a fase resultante θn.
O espectro continua a ser unilateral, com dois gráficos, um para c n e outro para θn.
52
EXERCÍCIOS
F-2.1-Repita o Exercício E-2.1 para a forma compacta da série de Fourier.
R: c0=0,5 cn6=(4/n)sen(n/4)
θn=0.
R: c0=a0,
cn=an,
bn=0
*F-2.4-Prove as Equações 2.18, 2.19 e 2.20.
Solução:
a n cosn ω0 t+ bn sen n ω0 t=√ (a n + bn )[
2
2
(√
an
2
n
2
n
(a + b )
)
(√
cosn ω 0 t +
bn
(a2n +b 2n )
)
sen n ω0 t ]
Usando a identidade trigonométrica:
cos (A−B)=( cosAcosB+ senAsenB)=(
an
b
×cos A+ n ×senA) e
Cn
Cn
fazendo
c n=√ (a2n +b 2n ) e A=ω0t temos que
cos B=
an
Cn
e
sen B=
bn
Cn
, sendo - B=θn temos que
θn =−arc tg
bn
an
Forma complexa da série de Fourier
A forma complexa da série de Fourier utiliza a equivalência de Euler expressa nas
Equações (2.11) e (2.12), representando o cos e o sen como a soma de dois fasores,
um girando no sentido anti-horário (frequência positiva) e outro no sentido horário
(frequência negativa).
Surge então, para essa representação, o conceito de frequência negativa, que
não tem significado físico, apenas matemático.
6 A rigor, cn é sempre positivo, pois representa módulo (valor absoluto). Portanto, os valores negativos da
função sen deveriam se refletir na fase, fazendo θn=180° quando sen<0. Por simplificação, admite-se valores
para cn <0 e θn=0 sempre.
53
Assim, uma frequência física, real, é dada pela soma de dois fasores, um de
frequência positiva e outro, de mesma amplitude, de frequência negativa.
A expressão resultante é bastante compacta, e por isso será bastante utilizada
neste livro.
A série em forma complexa de Fourier se escreve:
(2.21)
O coeficiente Xn é calculado pela fórmula:
(2.22)
onde T0 é o período de x(t).
O espectro de frequências do sinal x(t) será dado por dois gráficos, ambos função
de nω0 ou de n, -ꝏ < n < ꝏ.
Sendo n sempre um inteiro, n=0, ±1,±2,±3..., os gráficos serão sempre gráficos de
barra, cada barra proporcional ao valor |X n| ou θn, conforme seja o gráfico de módulo
ou o gráfico de fases, pois X n é um número complexo, e pode ser escrito na forma
n
módulo e fase:. Xn=|Xn|ej θ .
Para uma função x(t) real, temos sempre o gráfico de |X n| par e o gráfico de θn
impar.
A série exponencial de Fourier fornece um espectro bilateral, onde a parte
negativa do eixo das frequências significa a formação de um fasor girando no
sentido horário (-), e necessita de um outro fasor na parte positiva, de mesma
amplitude e girando no sentido anti-horário (+), para a representação de um sinal
real.
54
EXERCÍCIOS
*G-2.1-A figura 2.17 apresenta um circuito de um retificador de onda completa.
Para este circuito, quando a entrada x e(t) for o sinal senoidal x e(t)=Asen (2πf0t) a
saída será o sinal retificado xs(t)=|Asen(2πf0t)|. (veja a Figura 2-6). Calcule a série
complexa de Fourier para xs(t). Forneça as frequências das 4 primeiras harmônicas e
o nível de corrente contínua do sinal.
Figura 2-17
R:
Tomando-se como referência a frequência f0 do sinal senoidal de entrada, temos:
fundamental : n=1 : fs1=2f0.
2o harmônico : fs2=4f0.
O nível de corrente contínua será dado por 2A/π.
Solução:
Série complexa de Fourier:
n=+∞
x s (t )= ∑ X n e jn ω t onde ω0=2π/Ts.
0
n=−∞
Atenção: Se escrevermos ω0=2π/T como é usual, corremos o risco de confundir o
período da onda não retificada, identificado por T, com o período T s do sinal
retificado, pois Ts=T/2 e assim ω0=4л/T=4πf0.
X n=
1
Ts
t 0+ Ts
∫
x s (t) e−jn ω t dt onde ω0=2π/Ts.
0
t0
Sabendo que Ts=T0/2, e fazendo t0=0, temos:
55
T0 /2
2
X n=
Ts
−jn
∫ A(sen 2 π t/T 0) e
4π
t
T0
dt Daí,
0
2A
1
X n= π
1−4n 2
(
)
Frequência dos 5 primeiros harmônicos:
1º harmônico: fs1=ω0/2π =2f0, f0=1/T0, onde T0 é o período da onda de entrada.
2º harmônico: fs2=4f0.
3º harmônico: fs3=6f0.
4º harmônico: fs4=8f0
5º harmônico: fs5=10f0
*G-2.2-Faça um esboço do espectro de frequências complexo de Fourier dos
sinais xe(t) e xs(t) do Exercício G-2.1. Calcule até a 5a harmônica.
Solução:
a)Sinal xe(t)=Asen2πf0t
Este é um sinal senoidal. Portanto, é um sinal de frequência f 0, ou seja, só tem
uma componente no espectro, que é o próprio sinal. Utilizando a fórmula de Euler,
sen x=
e jx −e−jx
2j
, então
e j2 πf t −e−j2 π f t
x e (t)=Asen 2 π f 0 t=A
=
2j
A j2 π f t A − j2π f t
A j2π f t A −j2 π f
e
− e
=− j e
+j e
2j
2j
2
2
0
0
0
0
0
0
t
Portanto,
X e1+ =
−j π
A − j π2 A
e = (− j=e 2 ) coeficiente para n=+1
2
2
X e1−=
jπ
A j π2 A
e = ( j=e 2 )
2
2
coeficiente para n=-1
A Figura G 2-2.1 apresenta o espectro do sinal acima:
56
Figura G-2-2.1
b)Sinal xs(t): A série do sinal de saída é dada por:
x s (t)=
∞
∑
n =−∞
e jn4π f t , n=1,2 ,3,⋯ f0 é a frequência do sinal de entrada, xe(t).
0
As frequências do espectro de xs(t), são múltiplos pares de fo.
Segundo o resultado do Exercício G-2.1,
n
Xn/A
0
0,64
±1
-0,21
±2
-0,04
±3
-0,02
±4
-0,01
±5
-0,006
2A
1
X n= π
1−4n 2
(
)
. Assim,
A Figura G-2.2 ilustra graficamente este espectro de frequência, em função de n.
O afastamento entre raias é de 2f0.
57
Figura G-2.2
*G-2.3-De que maneira o conteúdo espectral do sinal de entrada x e(t) do Exercício
G-2.1 foi alterado pelo circuito retificador? E a potência? Analise e comente em
relação à distribuição espectral do sinal de saída x s(t), à distribuição de potência na
frequência do sinal de entrada em relação ao sinal de saída e em relação a
linearidade do circuito retificador.
Solução:
O sinal de entrada é um sinal senoidal puro. Possui apenas uma componente
espectral, de frequência f0. O espectro complexo de Fourier, atendendo à convenção
matemática da série complexa, apresenta f0 e -f0 conforme a Figura G 2-1.
O nível C.C. do sinal de entrada é zero. A potência média é A 2/2.
Podemos afirmar, portanto, que toda a potência do sinal de entrada está
concentrada na frequência f0 do espectro.
Já o nível de C.C. do sinal de saida é bastante elevado, correspondendo a quase
64% da amplitude máxima do sinal de entrada. A menor frequência do espectro de
saida vale 2f0, com uma amplitude relativa de 42% da amplitude do sinal de entrada.
Além disso, o espectro do sinal de saida apresenta valores em todos os múltiplos
pares de f0, inclusive em fs=0 (C.C.). Entretanto, a potência total do sinal de saida é a
metade que a potência rms de entrada. Isto pode ser verificado realizando-se a
integral do quadrado de xs(t)2 ao longo do período do sinal de saida, que é a metade
do período de entrada. Ou ainda, vê-se logo que a área sob a curva de x s(t)2 é a
metade da área sob xe(t)2, quando considerados os períodos respectivos.
58
Conclui-se, portanto, que o circuito retificador é um circuito não linear, pois não
atende ao princípio da superposição.
Podemos dizer que a frequência f0 foi espalhada no espectro nas frequências
componentes do sinal de saida, pelo circuito retificador. A maior parte da potência
fica concentrada em f=0 (0,41=0,642).
*G-2.4-Calcule a série exponencial de Fourier de um trem de pulsos retangulares,
de amplitude A, largura τ e período T 0. Assuma simetria par pela escolha adequada
de t0, conforme a Figura 2-1.
R:
Solução:
A série exponencial de Fourier de um sinal periódico x(t) se escreve:
+∞
x(t)=
∑
n=−∞
Xn e
jn ω0 t
n é sempre um número real , inteiro, variando de
−∞ a +∞
Xn é o coeficiente da série. O período do sinal periódico x(t) sendo
considerado=T0, temos que ω0=2Л/T0
, onde ω0 representa o intervalo de
frequência espectral entre componentes do espectro. Temos que a série
exponencial tem componentes espectrais positivas e negativas, usando portanto a
representação bilateral. É baseada na fórmula de Euler, onde uma função senoidal é
representada por dois fasores conjugados, Para um sinal x(t) real, para representar
uma componente são necessários 2 componente, uma positiva e outra negativa, X n
e-X-n Sendo x(t) um sinal real, Xn e X-n são complexos conjugados.
Cálculo de Xn
1
X n=
T0
t0 + T0
∫
x(t)e− jn ω t dt , ou seja, a integração é feita ao longo de um
¿
t= t0
período da variável livre t. O instante inicial t 0 pode ser arbitrado, normalmente
59
sendo escolhido de modo a facilitar o cálculo da integral de X n.
No caso deste exercício, como valor para t 0 deve ser escolhido para que a integral
seja simétrica, será feito t0=-T0/2, de modo que Xn fica:
τ/ 2
X n=
A
A 2 sen (n ω¿ τ /2)
−jn ω t
e
dt=
∫
T 0 −τ /2
T0
n ω0
0
= A τ sinc n τ
T0
T0
f0 =
Assim, a série exponencial de Fourier do
ω0 1
=
2 π T0
sinal pedido é:
t
A ΠT0 ( τ )=
+∞
∑
n=−∞
jn ω t
A τ sinc n τ e
T0
T0
0
Obs: Para se escrever a série, basta Xn. Por isso, a resposta numérica foi dada em
termos de Xn.
*G-2.5-Trace o gráfico do espectro bilateral do trem de pulsos do Exercício G-2.4.
Para o traçado, considere T0=4τ e repita para T0=10τ, primeiro mantendo T0
invariável e variando τ, e depois mantendo o valor de τ constante e variando T 0.
Solução:
As Figuras G-2.5-1 a G-2.5-4 apresentam o resultado pedido.
Na Figura G-2.5-1, T0=1 e τ=0,25.
Na Figura G-2.5-2, T0=1 e τ=0,1.
Na Figura G-2.5-3, T0=4 e τ=1.
Na Figura G-2.5-4, T0=10 e τ=1.
60
Figura G-2.5-1
Figura G-2.5-2
61
Figura G-2.5-3
Figura G-2.5-4
As quatro Figuras acima foram geradas usando a listagem abaixo, escrita e
reproduzida em qualquer editor de textos, para o software matemático Scilab.
62
pi=4*atan(1);
Nn=input('Entre com o numero de componentes unilaterais: ');
T0=10;
tau=T0/10;
A=1;
X=[];
for n=-Nn:1:Nn
if n == 0 then xx=A*tau/T0;
else xx=(A*tau/T0)*((sin(n*pi*tau/T0)/(n*pi*tau/T0)));
end
X=[X xx];
end
bar(X,0.2,'black')
xgrid
*G-2.6-Para o Exercício G-2.5, verifique e relate o que acontece com os espectros.
Em particular, determine quantas raias do espectro existem desde n=0 até a
primeira raia nula e relacione este resultado com os valores de T 0 e τ. Verifique
também onde ocorre o 1º nulo do espectro, para n, f e ω. Verifique o que acontece
se T0/τ=4,75.
Solução:
Analisando os gráficos do Exercício anterior verificamos que a forma geral do
espectro é de uma função “sinc“, e que o número de raias até o 1° nulo depende
apenas da relação T0/τ. Por exemplo, na Figura G-2.5-3, onde T0/τ=4 ,
o 1° nulo
ocorre para n=4. Desta forma, existem 3 raias não-nulas, o 1°, o 2° e o 3° harmônicos.
O 4°harmônico é nulo.
Assim, em relação a n, a forma geral das funções “sinc” é a mesma para uma dada
relação τ/T0 , não dependendo dos valores particulares de τ ou T0.
Entretanto, se o eixo das abcissas for graduado para ω ou f, a forma exata dos
espectros dependerá dos valores particulares de τ ou T. Isto pode ser visto se
considerarmos que ω0=2л/T, sendo ω0=afastamento entre raias, e que o 1° nulo
ocorrerá para ω=2Л(T/τ)xT=2Л/τ.
Portanto, temos:
Gráfico G-2.5-1: Espaçamento entre raias (em ω)= 2Л/1= 2Л.
1° nulo: ω=2Л/τ=2Л/0,25=8Л rad/s.
63
Gráfico G-2.5-2: Espaçamento entre raias (em ω)= 2Л/1= 2Л.
1° nulo: ω=2Л/τ=2Л/0,1=20Л rad/s.
Gráfico G-2.5-3: Espaçamento entre raias (em ω)= 2Л/4= Л/2.
1° nulo: ω=2Л/τ=2Л/1=2Л rad/s.
Gráfico G-2.5-4: Espaçamento entre raias (em ω)= 2Л/10= Л/5.
1° nulo: ω=2Л/τ=2Л/1=2Л rad/s.
Se T0/τ=4,75, e o eixo das abcissas graduado em n, o 1° nulo ocorrerá para n=4,75.
Como as raias só acontecem para n um número inteiro, tanto o 4 ° quanto o 5°
harmônicos existirão e serão diferentes de zero.
.
Figura G-2.6-1
*G-2.7-A partir das fórmulas de Euler, Equações 2-11 e 2-12, mostre que c n=2|Xn|.
Solução:
Equação 2-11:
64
Equação 2-12:
A série exponencial se escreve:
Onde Xn é um fasor de módulo |Xn| e fase α
Temos que:, se x(t) é um sinal real, então X n é complexo conjugado de X-n, e
somamos um fasor com frequência positiva com seu correspondente fasor
complexo conjugado negativo para obter uma componente real de x(t):
X n e jn ω t +X *n e− jn ω t =∣Xn∣e jn ω t +α +∣Xn∣* e−( jn ω t +α)=∣Xn∣{e( jn ω t+ α) +e−(jn ω t +α) }=2∣Xn∣cos (n ω0 t+ α)
0
0
0
0
Assim, comparando com a série compacta, vemos que:
X 0=C 0
e
2∣Xn∣=C n
0
0
65
Transformada de Fourier
Quando f(t) é uma função não periódica qualquer seu espectro de frequências é
calculado através da transformada de Fourier.
A transformada de Fourier pode ser justificada como uma passagem ao limite da
série de Fourier. Para visualizarmos essa passagem, consideremos um sinal periódico
qualquer, fT(t), conforme ilustrado na Figura 2-18, e imaginemos que seu período T
tende a infinito.
Figura 2-18
Função periódica quando T tende a infinito
A série de Fourier de fT(t) se escreve:
onde
66
Quando T0→∞,. a função periódica fT(t) tende a f(t) – vide Figura 2.18. Também ω 0
se torna tão pequeno que podemos considerá-lo um infinitésimo, e a variável
discreta nω0 se transforma na variável continua ω. As raias do espectro se tornam
tão unidas que se transformam em uma função continua, porém de amplitude muito
pequena, praticamente um infinitésimo, pois são proporcionais a 1/T 0, como mostra
a equação para Fn.
Substituindo-se o valor de Fn na série de Fourier para fT(t), e fazendo t0 = -T0/2,
sem perda de generalidade, vem:
Quando T0→∞., ω0→dω e nω0→ variável contínua ω e fT(t) → f(t). O somatório
tende a uma integral e temos:
Assim, temos :
(2.23)
(2.24)
As equações (2.23) e (2.24) definem respectivamente a transformação direta e
inversa de Fourier.
67
Como, de um modo geral, F(ω) é uma função complexa, pode ser representada
nas formas polar e cartesiana:
onde
Como a transformada de Fourier é definida como uma integral, é na verdade uma
soma infinita de termos infinitamente pequenos, dando como resultado um valor
finito.
Se f(t) representa um sinal real, isto é, sem partes imaginárias, então |F(ω)| é uma
função par, e (ω) uma função impar.
68
EXERCÍCIOS
*H-2.1-Calcule o espectro de densidade de frequências de um pulso retangular de
largura τ e amplitude A. Desenhe o gráfico de F(ω) pelo menos até |ω|<8π/τ.
R: F(ω)=Aτsinc(ωτ/2π) sendo sinc(x)=sen(πx)/πx.
Solução:
Como não foi definida a posição no tempo do pulso retangular, para simplificar o
cálculo este pulso retangular será será representado pelo sinal simétrico
x(t)=AΠ(t/τ), conforme a Figura H-2.1.1 abaixo.
Figura H-2.1.1
Assim, X(ω) será calculado pela integral:
+τ
2
[
−j ω τ
jω τ
]
− jω t
2
−e 2 =
2
X (ω)=∫ x (t)e
dt=∫ Ae
dt= Ae
] −τ
=A e
−∞
−τ
− jω 2
−jω
2
jω τ
− jω τ
sen ω τ
2A e 2 −e 2 2A
2
= ω
= ω sen ω τ =A τ
=A τ sinc ω τ
τ
2j
2
2π
ω
2
+∞
− jω t
[
+τ
−j ω t
]
( )
( )
69
Graficamente, temos, para A=1 e τ=1:
Aτ
-2π/τ 2π/τ
Figura H-2.1.2
A figura acima foi gerada pela listagem abaixo, feita para o software Scilab;
pi=4*atan(1);
A=1;
tau=1;
X=0;
w=-8*pi:0.1:8*pi;
X=A*tau*(sin(w.*tau/2)./(w.*tau/2));
plot2d(w,X)
xgrid
*H-2.2-Calcule o espectro de densidade de frequências do sinal x(t)=AΠ[(t-τ)/τ],
sendo x(t) uma função retangular de amplitude A, centrada em t=τ e de largura τ.
Desenhe o gráfico de X(ω) (módulo e fase) pelo menos até |ω|<8π/τ.
R: Aτsinc(ωτ/2π)e-jωτ
Solução:
Um possível gráfico para o pulso x(t) está apresentado na Figura H-2.2.1.
70
Figura H-2.2.1
Utilizando o resultado anterior e a
propriedade do deslocamento no tempo
podemos escrever:
Se
AΠ(t/τ) <----------> Aτsinc(ωτ/2π) então
AΠ(t-τ/τ)<---------> Aτsinc(ωτ/2π)e-jωτ
O acréscimo linear de fase corresponde, portanto, a um deslocamento no tempo. A
Figura H-2.2.2 mostra como fica característica de fase do pulso. Como podemos
observar, é uma reta passando pela origem, com inclinação -τ (sendo τ o retardo de
tempo do pulso).
Figura H-2.2.2
A característica de amplitude é como na Figura H-2.1.2.
71
*H-2.3-Esboce o gráfico do espectro de densidade de frequências do sinal
x(t)=2Π[(t-3)/1,5], representado na Figura 2-19.
Solução:
Desafio para o leitor.
*H-2.4-Para o sinal x(t)=2Π[(t-3)/1,5], representado na Figura 2-19, calcule a
contribuição para o valor do pulso em t=3s, pela faixa de frequências do espectro
que vai de 0,9 a 1,1Hz.
R:
-0,5 V para o valor do pulso em t = 3s, que é de 2 V.
Figura 2-19
Portanto, o valor x(t0) é formado pela contribuição de todas as frequências do
espectro. No caso deste Exercício, foi solicitada a contribuição da faixa de
frequências de 0,9 a 1,1Hz, para o valor x(3). Como podemos observar da Figura
2-19, x(3)=2. Como este valor, para ser obtido, precisa da contribuição de toda a
faixa de frequências de X(ω), a faixa pedida, de 0,9 a 1,1Hz, contribuirá com apenas
uma parcela g(3) para x(3)=2.
Sendo X(ω) representativo do espectro complexo de Fourier, vamos calcular 2
parcelas, uma relativa à parte negativa do espectro e outra relativa à parte positiva
do espectro. Assim, temos:
−2 π(0,9)
2 π(1,1)
1
1
g1 (3)=
X(ω)e jω 3 dω+
X(ω)e jω 3 dω No caso,
∫
∫
2 π −2 π(1,1)
2 π 2 π(0,9)
X (ω)=3 sinc (
ω×1,5 − j ω3
)e
Assim,
2π
72
2,2 π
−1,8 π
1
ω×1,5
ω×1,5
g1 (3)=
3sinc(
)d ω+ ∫ 3sinc(
)d ω A
∫
2 π −2,2 π
2π
2π
1,8 π
integral
da
função
sinc(ωx1,5/2π) pode ser calculada aproximadamente para o intervalo considerado,
que é mínimo. Assim,
ω
sinc(ωx1,5/2π)
2,2π
2,0π
1,8π
-0,17
-0,21
-0,21
Portanto,sinc(ωx1,5/2π)≈0,21 para 1,8π<|ω|<2,2π
Daí,
3
g1 (3)=
2π
[∫
−1,8 π
−2 ; 2 π
2,2 π
]
(−0,21) dω+ ∫ (−0,21) d ω =−0,5
1,8 π
Portanto a faixa de frequências especificada, de 0,9 a 1,1Hz, contribui com
aproximadamente -0,5V para o valor do pulso em t=3V, que é de 2V.
H-2.5-Para o pulso retangular especificado no Exercício H-2.4, calcule a
contribuição da mesma faixa de frequências de 0,9 a 1,1Hz para o valor do pulso em
0,7s.
R: 0,076 V aproximadamente.
*H-2.6-Qual a contribuição da frequência de 1Hz para o valor do pulso
especificado em H-2.4 em t=3s?
R: 0 V.
Solução:
Conforme o conceito de espectro de densidade de frequências é necessário uma
faixa de frequências para uma contribuição finita ao valor do sinal. Uma única
frequência gera uma contribuição infinitesimal, portanto zero.
*H-2.7-Utilizando a propriedade da derivação no tempo, calcule o espectro de
densidade de frequências do sinal da Figura 2-20.
73
R:
Figura 2-20
Solução:
A propriedade da derivação no tempo estabelece que:
x (t)<-----> X(ω)
dx(t )
<-----> j ω X (ω)
dt
d 2 (t)
2
<-----> ( j ω) X ( ω)
(dt)2
Baseado no exposto acima, a solução consiste em se derivar o sinal x(t) em
sucessão, até se obter um sinal cuja transformada é conhecida. Aplica-se então a
propriedade acima para obter X(ω).
74
Assim, derivando-se uma vez x(t), obtém-se:
Figura H-2.7.1
Derivando-se novamente, obtém-se:
Figura H-2.7.2
De resultados anteriores, observa-se que:
d 2 x =2 Π( t )
8
(dt)²
Daí, temos que
( j ω) 2 X( ω)=2×8sinc (
ω×8
)
2π
75
Então
X (ω)=
4ω
16 sinc(4 ω
π ) =−16 sinc( π )
2
2
( jω)
ω
*H-2.8-Compare e comente as eventuais diferenças entre os espectros de
densidade de frequência dos sinais x1(t)=2Π(t/4) e x2(t)=2Π(t/8). Faça gráficos dos
sinais no domínio do tempo e dos respectivos espectros, observando as respectivas
escalas.
R:
Solução: Os pulsos x1(t) e x2(t) são ambos retangulares, com o mesmo formato e
centrados
na
origem.
Apenas
x2(t)
é
mais
largo,
no
tempo.
Verifica-se que no domínio da frequência ocorre o oposto, isto é, o pulso mais
estreito tem o espectro comparativamente mais largo na frequência. Este fato é
interpretado dizendo-se que o pulso mais estreito é mais rápido do que o outro,
pois tem uma duração menor. Consequentemente, possui frequências maiores,
espalhando mais seu espectro. Entretanto, por uma questão de conservação de
energia, o espectro do pulso mais largo tem amplitude maior que o espectro do
pulso mais estreito, nesse caso.
Gráficos: Desafio para o leitor.
*H-2.9-Sendo F(ω) a transformada de Fourier de f(t), ache a transformada de
Fourier de f(t)cos(ω0)t. Apresente uma solução literal e uma solução gráfica.
R: 1/2F(ω-ω0)+1/2F(ω+ω0)
76
Solução:
Pela fórmula de Euler,
cos (ω0 t)=
e j ω t + e− jω t
2
0
0
Daí, a transformada de f(t)cosω0 t é:
+∞
X (ω)= ∫ f (t)
−∞
e jω t +e− jω t −j ω t
e
dt
2
0
0
Assim
¿∞
+∞
( ∫ f (t)e−j ωt )e jω t +( ∫ f (t)e−j ωt )e− jω t
0
X (ω)=
−∞
0
2
−∞
Aplicando-se a propriedade do desvio na frequência, escreve-se imediatamente:
X(ω)=1/2F(ω-ω0)+1/2F(ω+ω0)
Solução gráfica:
O sinal x(t) é um sinal qualquer, com um certo espectro de frequências. Ao
multiplicarmos os dois sinais, estamos fazendo com que um sinal de frequência e
amplitude máximas fixa são multiplicadas por frequências variáveis de x(t). O
resultado é a modificação da amplitude máxima de cosω0t, conforme as variações
de x(t). x(t) pode ser qualquer sinal, inclusive senoidal. Neste caso particular ,
x(t).cosω0t, considerando ω0 a maior frequência. Por exemplo, seja f 0 =80Hz e x(t)
uma senoide de 5Hz.
cos (2π80t)
x(t)
Figura H-2.9.1
Figura H-2.9.2
77
x(t).cos (2π80t)
Figura H-2.9.3
O produto x(t).cos (2π80t) atende à relação trigonométrica:
1
1
cos (At ). cos (Bt )= [cos (A+ B)t ]+ [cos( B−A) t]
2
2
Esta relação pode ser mostrada graficamente. Assim,
A+B=85Hz.
B-A=75Hz.
Figura H-2.9.4
Figura H-2.9.5
78
1/2cos(B+A)+1/2cos(B-A).
Figura H-2.9.6
x(t).cos (Bt).
Figura H-2.9.7
Conforme podemos ver, os dois gráficos acima são idênticos. Um foi obtido pela
soma de duas frequências, respectivamente (B+A) e (B-A), e o outro pelo produto
das frequências A e B. É claro que x(t) representa um sinal complexo, com um
espectro de densidade de frequências e não apenas uma frequência A. Entretanto,
podemos intuir que o resultado é válido para F(ω). No momento, é o máximo que
podemos fazer. Experimente repetir este Exercício após os conhecimentos da
função impulso unitário e da convolução. Esta operação de produto é a base da
Modulação em amplitude AM-DSB-SC.
79
Função Impulso
A função impulso unitário δ(t), também chamada impulso de Dirac, pode ser
definida simplificadamente como uma função cuja área total é igual a 1, ou seja
(2-25)
Além disso, só existe em t=0.
Um impulso δ(t) é graficamente representado por uma seta na origem, de
comprimento proporcional à sua área, que no caso é igual a 1 conforme mostra a
Equação 2-25. A Figura 2-21 ilustra a representação gráfica de um impulso unitário.
Figura 2-21
Pela definição apresentada, a função impulso de Dirac só existe quando o
argumento da função é igual a zero. Como só existe no ponto t=0, sua duração é
igual a zero, no entanto a área total sob a função é igual a 1. Para compatibilizar esta
duas condições, que são contrárias ao conhecimento que temos de uma função,
imaginamos então que a amplitude da função impulso é infinita.
Assim, dizemos que a função impulso de Dirac tem amplitude infinita, intensidade
igual a 1 e está localizada no valor do argumento = 0.
Genericamente, uma função impulso pode estar centrada em um ponto qualquer
do eixo, e possuir uma área difente de 1. Nesse caso, sua representação gráfica é
uma seta de comprimento proporcional à área, centrada no ponto adequado do
eixo. De qualquer modo, sempre imaginamos que sua amplitude é infinita.
80
EXERCÍCIOS
I-2.1-Qual o valor da função δ(t) em t=1s?
I-2.2-Qual a área total sob a função δ(t)?
*I-2.3-Qual o valor da função impulso δ(t) em t=0?
Solução
Considera-se que a amplitude de um impulso, onde estiver localizado, é infinita.
No caso, estará localizado em t=0. Portanto, a resposta é infinito.
I-2.4-Qual o valor da integral
(2.26)
I-2.5-Qual o valor da função δ(t)f(t) em t=0,5s? f(t)≠0 para t=0.5s.
*I-2.6-Qual o valor da função δ(t)f(t)?
Solução
δ(t)f(t)=δ(0)f(0) = infinito
*I-2.7-Qual o valor da integral
(2.27)
Solução
+∞
+∞
+∞
∫ δ(t−T) f (t)dt=−∞
∫ δ(t=T) f (T )dt=f (T) −∞
∫ δ( 0)dt=f (T)
−∞
I-2.8-Qual o valor da integral
(2.28)
81
*I-2.9-Represente graficamente as funções em a, b,c e d abaixo:
a) δ(t-T);
b)
f(t)δ(t-T), sendo f(t) uma função qualquer;
c)
d)
Solução
a)
δ(t-T)
Figura I-2.9.1
b)
f(t)δ(t-T)
Figura I-2.9.2
82
c)
Figura I-2.9.3
d)
Figura I-2.9.4
*I-2.10-Calcule a transformada de Fourier de um impulso unitário. Interprete o
resultado.
Solução
+∞
F(ω)= ∫ f (t)e− jω t dt
−∞
No caso, f(t)=δ(t)
+∞
F(ω)= ∫ δ(t)e−j ωt dt
−∞
83
+∞
∫ δ(t)f (t) dt=f (0)
Como δ(t)=0 para t≠0, e
−∞
F(ω)=e−j ω0 =1
Portanto, a “função”
impulso unitário possui um espectro de densidade de
frequências constante e igual à unidade. Isto significa que o impulso unitário gera
todas as frequências simultaneamente, de 0 até infinito, com a mesma intensidade,
I-2.11-Faça um gráfico do espectro de densidade de frequências do impulso
unitário.
*I-2.12-A partir da definição da série complexa de Fourier, e da transformada de
Fourier de ejωot, defina formalmente uma expressão para o espectro de densidade
de frequências ou transformada de Fourier de um sinal periódico. Interprete o
resultado.
R:
(2-29)
Solução
Dado um sinal periódico xT(t), de período T, já vimos que este sinal pode ser
representado pela série de Fourier:
+∞
x T (t)=∑ Xn e jn ω t
onde
0
−∞
Portanto, a T.F. de xT(t) será:
+∞
+∞
−∞
−∞
X T (ω)= ∫ ( ∑ Xn e jnω t )e−j ω t dt
0
ω0=
(2 π)
T
84
Invertendo-se a integral e o somatório, e fazendo-se u=ω-nω0
+∞ +∞
− jut
X T (ω)=∑ ∫ X n e
−∞ −∞
+∞
+∞
−∞
−∞
− jut
dt=∑ Xn ∫ e
dt
Mas se
+∞
−j ω t
δ(t )e
dt=1
∫
−∞
segundo o resultado do Exercício I-2.10, então
1 +∞
1×e j ωt dω=δ(t ) , pela fórmula da transformação inversa.
∫
2 π −∞
1 +∞
1×e−j ωt dt=δ(−ω)
∫
2 π −∞
Mas acontece que
Portanto,
δ(ω)=δ(−ω) , pois a função só existe na origem, em ω=0.
Portanto
+∞
∫ e− jut dt=2 π δ(u)=2 π δ(ω−n ω0 )
−∞
Assim,
∞
X T (ω)=2 π ∑ X n δ( ω−n ω0 )
−∞
onde
ω 0=
2π
T
Esta expressão representa formalmente o espectro de densidade de frequências
do sinal periódico xT(t).
Conforme vemos, XT(ω) apresenta as mesmas informações que a série de Fourier
do sinal periódico xT(t), ou seja, o valor de cada componente, X n , e o intervalo entre
cada componente, ω0.
Apenas a forma de apresentação é diferente. Assim, o tratamento espectral dos
sinais periódicos e não-periódicos é unificado, pela transformada de Fourier.
85
*I-2.13-Calcule o espectro de densidade de frequências de uma sequência
periódica de impulsos periódicos, conforme ilustrado na Figura 2-22. Forneça o
gráfico do espectro e interprete o resultado.
Figura 2-22
R:
(2-30)
Solução
O trem de impulsos periódicos é uma extensão do conceito de impulso unitário.
Assim, temos δT(t), apresentado na Figura 2-22.
Sendo δT(t) um sinal periódico, seu espectro de densidade de frequência é dado
por:
∞
X T (ω)=2 π ∑ X n δ( ω−n ω0 )
onde
−∞
ω 0=
2π
T
Xn, o coeficiente da série de Fourier do sinal periódico δT(t).
No caso,
+T / 2
+ T/ 2
1
1 −jn ω (0)
1 − jnω (0 ) 1
−jn ω t
X n= ∫ δ (t)e
dt= e
δ(t)dt= e
=
∫
T −T /2
T
T
T
−T /2
0
0
Portanto,
X T (ω)=δω (ω)=ω 0
0
Graficamente,
+∞
∑
n=−∞
δ(ω−n ω 0)
0
86
Figura I-2.13
Portanto, vê-se que a transformada de um trem de impulso unitários é também
um trem de impulsos unitários na frequência, separados por um intervalo de
frequências de ω0 , que pode ser chamado de δω (ω).
0
*I-2.14-Calcule o espectro de densidade de frequências de um sinal senoidal de
frequência f0 Hz.
Solução
Um sinal senoidal tem apenas uma frequência espectral. Portanto, seu espectro
deve esta concentrado em um único valor, que é |f 0|.
Formalmente, temos que calcular a T.F. de um sinal senoidal
x 1 (t)=Acos (ω0 t+ θ) , sendo
+∞
X 1( ω)=∫ Acos(ω 0 t+θ)e− jω t dt
−∞
Esta transformada pode ser calculada partindo-se da fórmula de Euler:
cos γ=
e j γ +e− j γ
2
e do conhecimento que
e jω t ←→2 π δ(ω−ω0) , que é uma
0
das propriedades da T.F., a do deslocamento na frequência.
Assim,
x 1 ( t)=Acos (ω0 t +θ)=
e
j(ω 0 t+θ)
−j (ω 0 t +θ )
+e
2
=A
e
j ω0 t
jθ
−j ω 0 t
×e
e
+A
2
− jθ
×e
2
87
[
] [
]
e jω t ×e jθ
e− j ω t×e− j θ
X 1 (ω)=T.F. A
+T.F. A
=A /2 e jθ 2 π δ (ω−ω0 )+A /2 e j θ 2 π δ (ω+ω 0)
2
2
0
0
Portanto
pois
+∞
ke j ω t ←→ k ∫ e−j (ω−ω ) t dt=2 π k δ( ω−ω 0)
0
0
−∞
segundo o desenvolvimento do Exercício 2-12.
Se θ=0, temos a transformada do cosseno:
Acos (ω0 t)←→ A π [δ(ω+ω0 )+δ( ω−ω 0)]
Se θ=-π/2, temos a transformada do seno, pois cos (θ-π/2)=sen(θ).
Asen (ω 0 t)←→A π[δ(ω−ω0 ) e j−π/ 2 +δ(ω−ω0)e j π/ 2]
Mas
e j− π/2 =cos(−π/ 2)+ jsen (−π/2)=− j
e e j π/ 2=cos (π /2)+ jsen (π /2)= j
Portanto, podemos escrever:
Asen (ω 0 t)←→A π[ jδ(ω+ ω0 )− jδ( ω−ω 0)]
As transformadas do cos e do sen admitem uma interpretação gráfica:
T.F.(Asen t)
T.F.(Acos t)
jAπ
Aπ
Aπ
-ω0
ω0
ω0
-ω0
-jAπ
Figura I-2.14
88
Convolução
A convolução entre duas funções x1(t) e x2(t) é definida pela integral:
(2-31)
τ é a variável de integração. Como é uma integral com limites, o resultado é uma
função de t, y(t).
Sendo assim, podemos escrever que:
(2-32)
Esta forma admite uma interpretação interessante:
O valor da convolução entre duas funções, x 1(t) e x2(t) para t = t0, ou seja y(t0), é
numericamente igual a área sob o produto das funções x 1(τ) e x2(t0-τ). Como τ é a
variável dentro da integral, x1(τ) é a própria função x1(t) [apenas mudou o nome da
variável, de t para τ, mas a função é a mesma]. Como t 0 = constante dentro da
integral, x2(t0-τ) pode ser a função x 2(-t +t0), ou seja, a função x 2(t) rebatida em torno
do eixo vertical, x2(-t), que sofre um deslocamento t0 à direita.
A convolução y(t) se escreve com a simbologia y(t)=x1(t)∗x2(t).
Conforme mostra a Figura 2-23, o resultado final para t=t 0 [y(t0)] é a área sob o
produto x1(τ)x2(t0-τ).
Para obtermos o resultado para qualquer t 0 , temos que imaginar x1(t) parada e
x2(t) rebatida em torno do eixo vertical e passeando sobre x 1(t), desde um
deslocamento t0 negativo suficiente para haver sobreposição até um deslocamento
positivo também suficiente para a sobreposição.
A ausência de sobreposição significa convolução=0.
Se os pulsos tiverem duração infinita, a convolução vai de -∞ a +∞.
89
Figura 2-23
Uma vez que
(2-33)
é indiferente qual das duas funções é rebatida, para o resultado da convolução.
A convolução é uma operação básica.
Pode-se demonstrar que o resultado do processamento de um sinal qualquer x(t)
por um sistema linear e invariante no tempo, que atende ao princípio da
superposição, é a convolução entre x(t) [o sinal de entrada] e a função característica
h(t) do sistema, que é a resposta ao impulso unitário do sistema.
90
EXERCÍCIOS
J-2.1Determine a expressão e apresente o esboço da convolução entre os pulsos
x1(t)=Π(t/4) e x2(t)=Π(t/8).
As funções x1(t)=Π(t/4) e x2(t)=Π(t/8) são pulsos retangulares centrados na
origem, de amplitude =1 e largura 4 e 8, respectivamente.
R: y(t) =0 para t<-6
y(t)=(t+6) para -6<t<-2
y(t)=4 para -2<t<2
y(t)=(-t+6) para 2<t<6
y(t)=0 para t>6
*J-2.2-Determine a expressão e faça o gráfico da convolução entre as funções u(t)
e ΛW(t).
A função u(t) é o degrau unitário, cuja amplitude =1 para t>0, e = 0 para t<0, e
ΛW(t) é o pulso triangular, centrado na origem, de amplitude =1 e largura = 2W.
R:
y(t)=0 para t<-W
y(t)=[t2+2tW+W2]/[2W] para -W<t<0
y(t)=W-[-t2+2tW-W2]/[2W] para 0<T<W
y(t)=W para t>W
91
Solução
A Figura J-2.2.1 apresenta o gráfico de ambos os sinais, ou seja, o degrau unitário
e o pulso triangular.
Para realizar a convolução entre os dois sinais, podemos manter um deles fixo e o
outro deslizando sobre o primeiro, realizando-se uma inversão do segundo em
relação ao eixo vertical [x2(-τ)] e calculando-se a área sob a intercessão, variando-se
o deslocamento t entre ambas. A convolução é função do deslocamento t.
No caso, faremos
1 τ>0
x1(τ) = u(τ), o degrau unitário=
0 τ<0
τ é como denominamos a variável de integração. Isto é feito por conveniência,
para que a convolução, que é o resultado de infinitas integrações, cada qual
correspondente a um deslocamento, resulte função de t.
Por conveniência, escolhemos x2(τ)=ΛW(τ), pois x2(τ) é uma função par, e assim
ΛW(-τ)=ΛW(τ).
Figura J-2.2.1
92
a) y(t)=0 para t<-W
Figura J-2.2.2 a)
t +W
b)
y ( t)= ∫ [(
0
−1
t+ w
t 2 +2tW + W²
τ+
)]d τ=
W
W
2W
para -W<t<0
Figura J-2.2.2 b)
93
c)
y ( t)=S1 +
S1 =
W
2
W
−S2
2
S 2=
( W−t)2
2W
2
logo
S1 =
W ( W−t)
−
2
2W
Portanto
y ( t)=W−
(W−t) 2
2W
para 0<t<W
Figura J-2.2.2 c)
94
d)Para t>W, a convolução é constante e igual a W, pois a superposição dos dois
sinais resulta em 1. x2=x2, e portanto a convolução é igual à área de x2 , que é igual a
W.
Figura J-2.2.2 d)
e)Representação gráfica da convolução final:
Figura J-2.2.2 e)
95
Convolução no Tempo e na Frequência:
A propriedade da convolução no tempo estabelece que, se
(2-34)
então
(2-35)
No domínio da frequência, temos que, se:
(2-36)
então
(2-37)
Resumindo
(2-38)
96
EXERCÍCIOS
*K-2.1-Um sistema tem resposta ao impulso de Dirac igual a h(t). Se a ele é
aplicado um sinal de entrada g(t), determine o espectro do sinal de saída, Y(ω), em
função do espectro do sinal de entrada, G(ω) e da transformada H(ω) de h(t).
Sabe-se que y(t)=g(t)∗h(t). Comente o resultado.
R: Y(ω)=H(ω).G(ω)
Solução:
Figura K-2.1.1
Como y(t)=g(t)∗h(t), então
+∞
y ( t)= ∫ g ( τ) h (t−τ )d τ
−∞
Portanto
+∞
+∞
−∞
−∞
Y (ω)=∫ { ∫ g(τ )h (t−τ)d τ }e− j ω t dt=
+∞
+∞
−∞
−∞
= ∫ g (τ)[ ∫ h ( t−τ )e− j ω t dt]d τ =
+∞
= ∫ g (τ) H (ω)e− j ω τ d τ
−∞
devido à propriedade do deslocamento no tempo. Portanto,
+∞
Y (ω)=H(ω) ∫ g ( τ)e− jω τ d τ=H(ω)×G(ω)
−∞
1
1
cos (At ). cos (Bt )= [cos (A+ B)t ]+ [cos( B−A) t]
2
2
97
Comentário:
A transformada do impulso unitário é igual a 1, conforme foi visto no Exercício
I-2.10. Portanto, neste caso, Δ(ω)=1 (ou seja, a transformada de δ(t) é igual a 1). Pelo
resultado acima, Y(ω) = H(ω).
Sendo a função de transferência de um sistema definida como sendo a relação
entre a transformada da saida pela transformada da entrada, segue-se que neste
caso H(ω) é a própria função de transferência do sistema.
A transformada inversa de H(ω), h(t), é chamada equação característica do
sistema. É a resposta no tempo ao impulso unitário.
Conhecendo-se h(t), uma operação de convolução no tempo permite obter a
resposta do sistema a qualquer outra entrada x(t).
K-2.2-Utilizando a propriedade da convolução no tempo demonstre a
comutatividade da convolução entre x1(t) e x2(t) [isto é, x1(t)∗x2(t)=x2(t)∗x1(t)].
*K-2.3-Utilizando
a
propriedade
adequada,
calcule
pela
convolução
a
transformada de Fourier do pulso triangular [ A ٨τ].
R: Aτsinc2(ωτ/2π).
Solução
A função triangular [ A ٨τ] é um pulso, centrado na origem, com formato
triangular, amplitude máxima na origem A e se estende de -τ a +τ, portanto tem
largura total de 2τ, conforme abaixo definido matematicamente e o aspecto gráfico
na Figura K-2.3.1.
98
Figura K-2.3.1
Duas propriedades da convolução são:
Tempo
Frequência
x 1 (t)∗x2 (t)
X 1( ω)×X 2 (ω)
2 π [x 1( t)×x 2 (t)]
X 1( ω)∗X2 (ω)
A função A ٨τ (t) pode ser considerada como resultado da convolução entre dois
pulsos retangulares iguais de largura τ e amplitude
√ (A)τ
Assim,
√
√
A
t
A
t
A ٨τ (t)= τ Π( τ )∗ τ Π( τ )
Logo se
X 1 (ω)=X2 (ω)= √ A τ sinc( ω τ )
2π
(comprove graficamente)
.
99
Pelo teorema da convolução no tempo
A ٨τ (t)←→X 1 (ω)×X 2 (ω)=A τ sinc2 ( ω τ )
2π
Assim, foi empregada a convolução no tempo para o cálculo de A ٨τ(t) a partir do
pulso retangular e a respectiva propriedade para o cálculo da transformada.
Deixamos ao leitor a tarefa de implementar graficamente as funções assim obtidas.
*K-2.4-Deduza uma fórmula geral para a convolução entre dois pulsos
retangulares centrados na origem, não necessariamente iguais. Faça o gráfico do
resultado. (Veja o resultado do Exercício K-2.1).
R: Um trapézio simétrico em relação ao eixo vertical, centrado na origem, cuja
altura vale A1.A2.τ2 , o lado superior vale τ1-τ2 e a base vale τ1+τ2.
Solução
Utilizando-se a interpretação gráfica da convolução e observando que temos 3
situações distintas de sobreposição dos pulsos, a saber:
∣t∣>
(
τ 1+ τ 2
2
τ 1−τ 2
∣t∣<
2
(
)
(
τ 1−τ 2
τ +τ
<∣t∣< 1 2
2
2
)
(
)
e
)
verifica-se que a convolução resultante é uma função trapezoidal, da forma:
(confirme).
Figura K-2.4
100
Pelo resultado de K-2.1, um dos pulsos poderia ser o sinal de entrada, e o outro a
equação característica de um sistema linear.
Como ambos são pulso retangulares, no domínio da frequência temos o produto
entre duas funções sinc. É interessante observar que no caso dos pulsos serem
iguais, a Figura K-2.4 corresponde a um triângulo isósceles, cuja transformada é
proporcional a sinc2.
*K-2.5-Analise, a partir da propriedade da convolução na frequência, o espectro
de densidade de frequências de x2(t). Comente o resultado obtido, principalmente
se x(t) for um sinal limitado em frequência [isto é, se X(ω)=0 além de um certo valor
para ω].
Solução
Como x2(t)=x(t).x(t), então, pelo teorema a convolução na frequência:
x 2 (t)←→
1
X(ω)∗X (ω)
2π
Portanto, X(ω) convolui com ela própria, fornecendo o espectro de x2(t).
Se X(ω) 'limitado em frequência, sua frequência máxima é ω m, valor finito.
Independente da forma exata de X(ω), sua convolução com ela própria possui o
dobro da largura de X(ω). Portanto, conclui-se que quando x(t) possui um espectro
limitado a uma valor máximo ωm, x2(t) possui um valor limitado ao dobro, ou seja,
2 ωm.
*K-2.6-Utilizando a definição de convolução expressa em (2-31) e considerando
x1(t)=δ(t), obtenha a convolução x1(t)∗x2(t), sendo x2(t) uma função qualquer. Dê
uma interpretação gráfica ao resultado.
Solução
+∞
x 1 (t)∗x2 ( t)= ∫ x 1 (τ) x 2 ( t− τ)d τ
−∞
Se
x 1 (t)=δ( t)
Então
101
+∞
+ϵ
+ϵ
−∞
−ϵ
−ϵ
x 1 (t)∗x2 ( t)= ∫ δ( τ ) x 2(t −τ)d τ=∫ δ ( τ) x 2 ( t−τ )d τ=x2 ( t) ∫ δ ( τ) d τ=x 2 (t).
Desta forma, podemos dizer que a convolução com uma função impulso reproduz
a função.
Interpretação gráfica:
Supondo x2(t)=f(t)
Figura K-2.6
*K-2.7-Refaça o Exercício K-2.6 utilizando a análise no domínio da frequência
aplicada às funções impulso.
Solução:
No domínio da frequência,
y(t )=x1 (t )∗x 2 (t)←→X1 (ω). X 2 (ω)=Y(ω)
Se x1(t)=δ(t) ------>δ(ω)=1
Logo,
Y(ω)=X2(ω)
Portanto
y(t)=x2(t)
102
K-2.8-Utilize o Exercício K-2.6 para obter a convolução y(t)=δ(t-T) ∗x2(t), sendo
x2(t) um sinal qualquer.
K-2.9-Repita o Exercício K-2.8 utilizando expressões no domínio da frequência.
K-2.10-Utilizando a convolução de uma função qualquer x(t) com uma função
degrau unitário, calcule a transformada da ∫x(t)dt.
R:
(2-39)
103
Sistemas Lineares-Função de Transferência
No nosso estudo consideraremos principalmente sistemas lineares e invariantes
no tempo (abreviadamente sistemas LTI).
Esses sistemas são teóricos, e seu modelo matemático representa uma
aproximação do que ocorre na natureza, com os sistemas reais. Muitas vezes, o
modelamento de que necessitamos para representar um comportamento físico de
um sistema pode ser feito através de sistemas LTI, que são relativamente simples.
A característica básica de um sistema LTI é que a entrada e a saida
são
relacionadas por uma equação integro diferencial com coeficientes constantes:
(2-40)
onde ai são os coeficientes
relacionados à entrada x(t) e bi os coeficientes relacionados à saída y(t).
Definindo-se o operador p como:
(2-41)
e
(2-42)
Então, fica
(2-43)
Fazendo-se a transformada de Fourier para ambos os membros da equação acima
tem-se:
(2-44)
104
Daí, define-se a função de transferência H(ω) como sendo a razão entre a
transformada da saída e a transformada da entrada, o que para um sistema LTI
resulta na divisão de dois polinômios em ω, de coeficientes constantes e onde m<n.
Se m≥n, sempre se pode dividir o numerador pelo denominador (N/D),
obtendo-se um resto R e um quociente Q, ambos os polinômios em ω, onde
N/D=Q+R/D e a ordem de R<ordem de D.
Desta forma, continua-se a ter a divisão de dois polinômios, R\D, onde a ordem de
R é menor que a ordem de D.
(2-45)
A função de transferência H(ω) tem as mesmas características de uma
transformada de Fourier conforme definido pelas Fórmulas (2-23) e (2-24).
Aplicando-se as equações (2-38) à equação (2-45) temos que:
(2-46)
Com aplicação da equação (2-46), é possivel obter-se a saída y(t) a partir da
entrada x(t), através de uma convolução no domínio do tempo. Por isso h(t) é
chamada equação característica do sistema LTI.
Assim , um sistema LTI pode ser representado no domínio da frequência pela sua
função de transferência H(ω) ou no domínio do tempo por sua equação
característica h(t), sendo que H(ω) e h(t) formam um par de transformadas de
Fourier:
(2-47)
e
(2-48)
105
EXERCÍCIOS
*L-2.1-Um sistema LTI é excitado [função de entrada x(t)] por uma função impulso
unitário δ(t) [impulso de Dirac]. Obtenha uma resposta geral para a transformada da
saída y(t), em termos da função de transferência H(ω) do sistema.
*Sugestão: Resolva o Exercício I-2.10, e aplique a equação (2-45).
R:
Y(ω)=H(ω).
Solução
Segundo o Exercício I-2.10, a transformada do impulso unitário é igual a 1.
Portanto, se um sistema LTI recebe como entrada uma função x(t)=δ(t), e como
saida gera uma função h(t), assim expressa no domínio do tempo, é claro que no
domínio da frequência a transformada de h(t), H(ω), é a resposta do sistema à
unidade.
Assim, um LTI pode ser caracterizado por h(t), no domínio do tempo, ou por H(ω),
no domínio da frequência. h(t) é a resposta do sistema ao impulso unitário.
A Equação (2-45) define uma função de transferência:
Portanto
Y (ω)=X(ω) . H(ω)
Portanto, conhecendo-se H(ω), função de transferência do sistema LTI, pode-se
determinar a transformada da resposta a qualquer entrada x(t).
*L-2.2-Um sistema LTI é excitado por uma função de entrada x(t), cuja
transformada de Fourier é X(ω). A saída é y(t). Sendo H(ω) a função de transferência
do sistema LTI, estabeleça uma equação geral, no domínio do tempo, relacionando
y(t), x(t) e h(t), transformada inversa de H(ω), e mostre que h(t) é a resposta
impulsiva do sistema LTI.
106
Solução
Pelo teorema da convolução no tempo, se
então
Relacionando-se a expressão acima com a Equação (2-45) pode-se escrever que :
y ( t)=x (t)∗h (t )
Por resposta impulsiva queremos dizer a resposta do sistema LTI à x(t)=δ(t). Se
isto ocorrer, então y(t)=h(t), pela expressão acima.
*L-2.3- O resultado obtido no Exercício L-2.2 é muito importante. Ele permite
determinar, no domínio do tempo, a resposta y(t) de um sistema LTI à qualquer
entrada x(t) desde que se conheça ou determine h(t), que é a resposta impulsiva ou
equação característica do sistema.
No Exercício L-2.2, ela foi deduzida a partir da Equação 2-45, que foi obtida a
partir da definição de função de transferência de sistemas LTI. Partindo agora do
resultado do Exercício K-2.6, e interpretando a integral de convolução como o limite
de um somatório (onde cada termo do somatório é igual a [x(τ) Δτ]δ(t-τ),
Δτ
tendendo a zero), demonstre o resultado de L-2.2 utilizando o princípio da
superposição aplicado a sistemas LTI.
Solução
Sabemos que qualquer sinal x(t) pode ser escrito como:
+∞
x ( t)=x( t)∗δ(t)=∫ x( τ)δ(t−τ) d τ
−∞
Para maior clareza, vamos expressar a relação acima como o limite de um
somatório (qualquer integral pode ser expressa desta forma):
107
∞
∑
x ( t)= lim
Δ τ→0 t =−∞
K
Δ τ x (t K )δ (t−t K )
No limite, Δτ--->dτ (um infinitésimo), e tK tende a uma variável contínua. Na
expressão acima, temos um somatório infinito de impulsos, cada impulso com uma
área igual a Δτx(tK).
Assim, pelo princípio da superposição, sendo x(t) aplicado na entrada do sistema
LTI temos na sua saida:
y ( t)= lim
∞
∑
Δ τ→ 0 t K=−∞
+∞
Δ τ x(t K )h ( t−t K )=∫ x( τ) h ( t−τ )d τ=x(t)∗h (t)
−∞
Portanto, confirmamos que o conhecimento de h(t) permite a determinação de
y(t) para qualquer x(t), sendo h(t) a resposta impulsiva do sistema LTI, que é a
transformada inversa da função de transferência H(ω). Por esse motivo, h(t) é
também chamado de equação característica do sistema LTI.
L-2..4-Calcule a resposta no tempo de um sistema LTI à uma entrada x(t)=e
jωot
.
Utilize a definição de convolução no tempo.
R:
y(t) = H(ω0) e
jωot
.
*L-2.5-Um sistema LTI tem resposta impulsiva h(t). Sendo x(t) a entrada, obtenha
Y(ω), em função de X(ω) e H(ω). Observe o resultado de L-2 e aplique o teorema da
convolução no tempo.
R: Y(ω)=H(ω).X(ω)
Solução
Segundo o Exercício L-2.2
y ( t)=x (t)∗h (t)
Portanto
Y(ω)=H(ω).X(ω)
*L-2.6- Calcule a resposta de um sistema LTI à um sinal x(t) = cos ω 0t. Utilize a
fórmula de Euler para o cosseno e o Exercício L-2..4. Interprete o resultado.
108
R: y(t)=| H(ω0) |cos [ω0t+θ(ω0)]
Solução
Podemos escrever que:
x ( t)=cos (ω0 t)=
e
j ω0 t
−j ω 0 t
+e
2
Mas já foi visto no Exercício L-2.4 que se a entrada for e
H(ω0) e
jωot
jωot
, a resposta será
. Assim, se
x (t)=e j ω t → y(t )=H(ω 0)e j ω t
0
0
Portanto, se
x (t)=e− j ω t → y(t )=H(−ω0 )e− j ω t
0
0
Mas se h(t) é uma função real de t, então H(-ω0)=H*(ω0).
Portanto, se
H(ω0 )=∣H(ω0 )∣e j θ (ω ) , então
0
H(−ω 0)=∣H( ω0 )∣e− j θ(ω ) e
0
{
y ( t)=∣H(ω 0)∣
e j[ ω t+ θ (ω )]+ e− j[ω
2
0
0
0
t+ θ(ω 0)]
}
Portanto
y ( t)=∣H(ω 0)∣cos (ω0 t+ θ (ω0 ))
Assim, conclui-se que um sistema linear LTI não altera a frequência de um sinal
senoidal aplicado em sua entrada, apenas sua amplitude e sua fase relativa. Pelo
princípio da superposição, se x(t)=Acos( cos ω 0t+θ1(ω0)) então y(t)=A|H(ω0)|( cos ω0t
+θ2( ω0)). A função de transferência do sistema em ω0 será H(ω0)=|H(ω0)|ej(θ2-θ1).
*L-2.7-Estabeleça um método prático para determinar experimentalmente, em
laboratório, uma função de transferência de um sistema LTI. Suponha que estão
disponíveis um gerador de sinais senoidais, um osciloscópio de dois canais e uma
carga resistiva de valor adequado.
Solução
A função de transferência H(ω), conforme sugerido pelo resultado do Exercício
L-2.8, pode ser obtida para um sinal senoidal de frequência ω0 injetando-se na
entrada do sistema um x(t)=Acos(ω0t).
109
A amplitude de sinal de saida será A|H(ω 0t)|. Logo, a amplitude da função de
transferência é dada pela relação entre a amplitude da saida e da entrada.
A fase introduzida pelo sistema é devida ao retardo de tempo introduzido pelo
sistema. Se o sistema introduz um retardo t 0 s , a fase introduzida será t0ω0 rad. Uma
forma de medir essa fase é medindo o desvio de tempo entre a saida e a entrada, o
que pode se feito com precisão pelo osciloscópio, principalmente. se este for
dotado de um dispositivo de linha de retardo.
Variando-se a frequência do oscilador, obtêm-se uma boa descrição da função de
transferência do sistema dentro de uma certa faixa de frequência de interesse. A
Figura L-2.7 apresenta uma montagem que pode ser utilizada.
Figura L-2.7
Geralmente as entradas de um osciloscópio são de alta impedância, de modo que
sua introdução no circuito de medida não afeta as características do sinal sendo
medido.
Como o sistema LTI deve se “casado em suas impedâncias” nominais de entrada e
saida, a impedância do oscilador deve ser ajustada para coincidir com a impedância
de entrada do sistema, bem como a carga com a impedância de saida do sistema.
*L-2.8-Para um circuito elétrico, a função de transferência pode ser obtida
conhecendo-se sua topologia e as características elétricas de seus componentes,
110
usando-se ferramentas de cálculo apropriadas. Obtenha a função de transferência
para a rede RC conforme a Figura 2-24; forneça também os gráficos bilaterais de
módulo e fase.
Figura 2-24
R:
Sendo H(ω) complexo, possui módulo e fase, dados respectivamente por:
e
Solução
1
ZC
Y
jω C
1
=
=
=
X R +Z C
1
1+ j ω RC
R+
jωC
H( ω)=
e
1
1 /RC
=
1+ j ω RC 1/ RC+ j ω
Aplicando-se a regra do divisor de tensão
Daí, então
Chamando a=1/(RC), temos que
111
A Figura L-2.8.1 apresenta a curva para |H(ω)|, e a Figura L-2.8.2 apresenta a curva
de ângulo para H(ω), ambas obtidas através da listagem abaixo:
j=sqrt(-1)
ww=5000
R=100
C=.00001
a=1/(R*C)
H3=abs(a/(a+j*a))
alfa1=[]
WW=[]
HH=[]
for omega=-ww:1:ww;
H1=(1/(R*C))/(1/(R*C)+j*omega);
H2=abs(H1);
WW=[WW omega];
HH=[HH H2];
alfa=-atan(omega/a);
alfa1=[alfa1 alfa];
end
scf(1)
plot2d(WW,HH)
xgrid
scf(2)
plot2d(ww,alfa1)
xgrid
Os valores de R e C são, respectivamente R=100Ω e C=10μF. Observamos que
para
|ω|=a,
∣H (ω)∣=
1
=0,707
√( 2)
Portanto, a largura de banda de 3 dB do filtro é proporcional ao valor de a. No
caso, a= 1000 rad/s. Como a é inversamente proporcional a RC, o filtro é mais rápido
para valores menores de RC. RC tem a dimensional de s.
112
Figura L-2.8.1
Figura L-2.8.2
RC é a chamada “constante de tempo do filtro”.
*L-2.9-Usando a transformada inversa da função de transferência, calcule a
resposta impulsiva do circuito RC da Figura 2-24.
R:
u(t) é a função degrau unitário (veja Exercício J-2.2)
113
Solução
a
H(ω)=
a+ j ω
Conforme visto no Exercício L-2.8,
De uma tabela de transformadas, temos
1
e−at u ( t)←→
a+ j ω
−at
ae
Logo
a
u ( t)←→
a+ j ω
h ( t)=
1 −t /(RC)
e
RC
Considerando que a=1/(RC)
*L-2.10-Calcule a saída y(t) do circuito RC da Figura 2-24 quando a entrada x(t) for
uma função degrau unitário.
R:
Solução
y ( t)=x (t)∗h (t)=u (t)∗h ( t)
h ( t)=
1
e
RC
−t
RC
Mas
u ( t)
−t
conforme Exercício anterior. Portanto
1 RC
y ( t)=u ( t)∗
e u (t)
RC
1 +∞ −τ
y ( t)=
e RC u( τ)u ( t− τ)d τ
RC ∫
−∞
Daí,
Como
−τ
e RC u ( τ)
só existe para τ>0 e u(t-τ)=1 para τ<t e
u(t-τ)=0 para τ>t, então
quando t>0 existe sobreposição e consequentemente temos
114
t
[ ]
t
t
−
1
1 e−( τ/ RC)
y ( t)=
e−τ /(RC) d τ=
=−[e−(t / RC)−1]=1−e (RC )
∫
RC 0
(RC) −1
(RC ) 0
Quando t<0 não há sobreposição e y(t)=0.
Portanto,
t
−
RC
y ( t)=[1−e
]u (t)
*L-2.11-No circuito RC da Figura 2-24, R= 1 kΩ e C= 1 μF. Calcule y(t) se
x(t)=10cos(2π106)t. Interprete o resultado.
R:
Solução
Para um sinal senoidal, se x(t)=cos(ω0t), y(t)=|H(ω0)|cos(ω0t+θ(ω0)). Para o filtro
1
H(ω)=
1+ j ω RC
RC,
Sendo ω0=2π.106 rad/s, R=103Ω e C=10-6F. Sendo a=1/RC=103.
∣H (ω0 )∣=
103
−4
=1,6×10
6
2
12
√(10 +(2 π) 10 )
θ( ω0)=−atan
ω0
( a )=−atan (2 π×10 )=−89,99
3
o
Portanto,
y ( t)=−1,6×10−3 sen (2 π×106 t)
pois cos(ωt-90o)=-sen (ωt)
O resultado acima indica que a frequência de saida é a mesma que a do sinal de
entrada. Entretanto, o desvio de fase é muito grande, praticamente -90 o. Além
disso, A amplitude de saida é muito pequena. Isto indica que a atuação do filtro é
muito forte nesta frequência.
115
*L-2.12-No circuito RC da Figura 2-24, x(t) é um pulso retangular definido pela
fórmula x(t)=AΠ[(t-τ/2)/τ] (ver Exercício H-2.2). Calcule y(t) e faça gráficos de y(t)
para τ/RC >> 1 e τ/RC << 1. Interprete os resultados.
R:
Solução
Segundo o Exercício L-2.9, a equação característica do filtro RC é
−t
1 RC
h ( t)=
e u ( t)
RC
+∞
Assim
y (t)= ∫ h ( z) x (t−z)dz
−∞
Utilizando como auxílio a interpretação gráfica da convolução, vemos que temos
3 situações:
1º) t<0
2º) 0<t<τ e
3º) t>τ
Para a 1ª situação, t<0, não há sobreposição, e y(t)=0.
t
z
Para a 2ª situação, 0<t<τ, e
t
−
A − RC
y ( t)=∫
e
dz=A [1−e RC ]
0 RC
t
y ( t)= ∫
t−τ
A
e
RC
−
z
RC
−
dz=A [1−e
t
RC
−
]e
(t −τ)
RC
Finalmente, para t>τ, temos:
A Figura L.2-12-1 apresenta um exemplo para o sinal de saida quando τ/RC>>1,
isto é, o pulso de saída é muito parecido com o pulso de entrada, sendo pequena a
distorção apresentada pelo filtro. Isto se justifica pois o espectro de frequências do
pulso retangular é proporcional a 1/τ,que é muito menor que a largura de banda do
filtro, que é proporcional a a=1/RC. Desta forma o pulso é pouco afetado pelo filtro.
116
Figura L.2-12-1
A Figura L.2-12-2 representa um exemplo para quando τ/RC <<1. Nota-se, neste
caso, uma grande deformação do pulso de saida em relação ao pulso de entrada.
Isto se justifica pois τ/RC sendo <<1, então a largura de de banda do filtro é muito
menor que a largura de banda do pulso de entrada, causado grande distorção.
Figura l.2-12-2
As Figuras L.12-2-1 e L.12-2-2 fora geradas pela listagem a seguir, para tau=80 e
tau=5 respectivamente, e A=2. A listagem roda no Scilab 4.0:
A=2
tau=5
R=2000
C=1E-03
z=tau/(R*C)
tt1=[]
hh1=[]
117
for t=-100:.1:0
h1=0.00000000000001;
hh1=[hh1 h1];
tt1=[tt1 t];
end
plot2d (tt1,hh1)
xgrid
hh2=[]
tt2=[]
for t=0:.1:tau;
h2=A*[1-exp(-t/(R*C))];
tt2=[tt2 t];
hh2=[hh2 h2];
end
plot2d(tt2,hh2)
xgrid
tt3=[]
hh3=[]
for t=tau:.1:100
h3=A*[1-exp(-tau/(R*C))].*[exp(-(t-tau)/(R*C))];
hh3=[hh3 h3];
tt3=[tt3 t] ;
end
plot2d(tt3, hh3)
xgrid
*L-2.13-Obtenha a função de transferência e a resposta impulsiva do sistema
conhecido como segurador de ordem zero (Zero Order Hold – ZOH) apresentado na
Figura 2-25.
Figura 2-25
Faça os gráficos correspondentes e interprete.
R:
118
Solução
A resposta impulsiva do sistema é sua resposta ao impulso unitário. Assim ,
considerando que em sua entrada seja aplicado uma função impulso unitário, na
entrada do integrador teremos a diferença de dois impulsos, δ(t)-δ(t-T). T é o
retardo entre os dois impulsos aplicados na entrada do integrador.
É como se ao impulso em t=0 correspondesse um eco em t=T, de área de sinal
oposto ao 1º impulso. Assim, na saida do integrador temos um pulso retangular de
largura T e amplitude =1, iniciando em t=0 e terminando em t=T,
pois a integração do eco anula a integração do impulso a partir de t=T.
Assim,
y ( t)=h( t)=Π(
t−T/2
)
T
Fica como desafio para o leitor a obtenção da função de transferência e uma
confirmação
do
valor
obtido.
Fica
também
a
realização
dos
gráficos
correspondentes.
*L-2.14-Um sistema de transmissão apresenta o efeito de multicaminho, que
ocorre quando o sinal chega ao receptor por dois ou mais caminhos com retardos
diferentes. Considerando o caso de apenas dois caminhos, o sistema em questão
pode ser representado pelo diagrama da Figura-2-26.
119
Figura 2-26
Obtenha o módulo e a fase da função de transferência deste sistema e comente o
resultado obtido.
Sugestão:
Faça gráficos aproximados de |H(ω)| e θ(ω). Considere K1=K2=1, e os gráficos vão
desde – π/(t2-t1) a +π/(t2-t1). Comente sobre os gráficos obtidos.
R:
120
Solução
− j ω t1
H(ω)=K 1 e
(
H(ω)=K 1 1+
∣H (ω)∣=K1
∣H (ω)∣=K 1
∣H (ω)∣=K 1
√
−j ω t2
+K 2 e
(
=K 1 1+
K 2 − jω (t −t ) − jω t
e
e
K1
2
1
)
1
K2
K2
−j ω t
cos ω (t 2−t 1)− j
sen ω (t 2−t 1 ) e
K1
K1
)
2
[
][
K
K
1+ 2 cos ω(t 2−t 1) + 2 sen ω(t 2−t 1 )
K1
K1
√[
√[
2
]
1
Portanto
K2
K 22
K 22
2
2
1+ 2
cos ω( t 2−t 1)+ 2 cos ω(t 2 −t 1)+ 2 sen ω(t 2 −t 1)
K1
K1
K1
2
1+ 2
K2
K2
cos ω( t 2−t 1)+ 2
K1
K1
[
]
K2
sen ω (t 2−t 1 )
K1
θ h (ω)=−ω t 1−atan
K
1+ 2 cos omega (t 2−t 1)
K1
]
e
Desafio para o leitor:
Gerar e representar gráficos para |H(ω)| e θh(ω).
]
121
Transmissão sem Distorção
Um sinal x(t) pode ser transmitido através de um sistema LTI sem sofrer
distorção. Isto ocorre se a saída y(t) for uma réplica da entrada x(t), Assim, se
y(t)=Kx(t-t0), sendo K e t0 constantes, admite-se que o sistema LTI transmitiu sem
distorções o sinal de entrada x(t).
Desta forma, para que o sinal de saida seja uma réplica do sinal de entrada,
caracterizando a transmissão sem distorção, admite-se que possa existir um fator de
escala K e um fator de tempo, ou retardo de tempo, t 0, entre a saida y(t) e a entrada
x(t) aplicada ao sistema.
Função de transferência para transmissão sem distorção:
Se
(2-49)
Então
(2-50)
Portanto, a função de transferência de um sistema LTI que transmite sem
distorção, a função de transferência ideal , será:
(2-51)
Desta forma, para transmissão sem distorção, a característica da amplitude da
função de transferência deve ser constante , e a característica de fase deve ser
linear, isto é, da forma -ωt 0. Vemos que a inclinação da característica de fase é igual
ao tempo de retardo introduzido pelo sistema (-t0 ).
Assim, o retardo deve ser constante e independente da frequência.
Não confundir com a fase introduzida, que deve ser proporcional a ω. Na
verdade, quanto maior a frequência, mais negativa é a fase introduzida, para que
seja obedecida a característica -ωt0.
122
Largura de Banda
Significa a largura da faixa de frequências em que o sinal tem eficácia, ou seja, a
diferença entre a maior frequência com amplitude significativa e a menor
frequência com amplitude significativa do espectro do sinal, normalmente
designada por B (B geralmente expressa em Hz).
Na prática, existirá um valor de B associado a um determinado critério, em função
da aplicação.
Por exemplo, na transmissão de sinais de voz, em telefonia fixa, a UIT (União
Internacional de Telecomunicações, da qual o Brasil faz parte), cita que alguns
países acharam necessário prover pelo menos 20 a 26dB de rejeição, na codificação
de frequências de voz na faixa de 15 a 60Hz.
Na faixa superior do espectro de voz, acima de 4.6 KHz, o nível de atenuação
recomendado é superior a 25dB.
Então, convencionou-se considerar que o sinal de voz em telefonia ocupa a faixa
de 300 a 3400Hz (B=3100Hz).
Na prática, para simplificar o raciocínio em várias situações, utiliza-se um B
nominal de 4KHz para o sinal telefônico (espectro unilateral de 0 a 4KHz).
Na transmissão de sinais de voz em comunicações militares, onde o mais
importante é a mínima ocupação espectral e o reconhecimento da mensagem, não a
identificação da voz do elemento falante, a faixa do sinal é mais reduzida que na
telefonia comercial fixa, ficando em torno de 500Hz a 2500Hz (B=2000Hz).
Para outros tipos de sinais, as características são diversas, e também os valores
adotados de B. Sistemas que recebem sinais já modulados, como repetidores ou
receptores de sinais de satélite, caracterizam-se por receber sinais em alta
frequência, os quais podem trabalhar com valores máximos e mínimos de f, em
123
valores absolutos, bem maiores do que B.
Por exemplo, no sistema SPADE, usado no satélite INTELSAT IV, um transponder
de 36MHz (espécie de repetidor no satélite) tem a capacidade de receber um sinal
modulado em FM com uma portadora de 6302MHz e B=45KHz, e retransmiti-lo para
a terra em FM com uma portadora 4077MHz e B= 45 khZ (A portadora representa o
valor central de frequências que tem largura de banda B).
Assim, vemos que um sinal, com um banda B=45KHz, pode estar localizado em
valores absolutos de frequência muito diferentes.
A largura de banda B pode também estar associada a um sistema LTI.
Os sinais de voz usados na transmissão telefônica em AM e em transmissões
militares, podem terem sido gerados pela mesma fonte, por exemplo locutores
falando em um microfone, e desta forma teriam o mesmo espectro original.
O que os faz terem espectros diferentes, com larguras de banda B diferentes,
para cada aplicação, é que eles foram processados por sistemas LTI também
diferentes, adequados a cada aplicação.
Esses sistemas LTI especiais recebem o nome de filtros.
Associado a um filtro existirá sempre uma largura de banda WHz, que molda o
espectro original do sinal aplicado em sua entrada, gerando o sinal de saída com
largura de banda B=WHz.
Deve-se prestar atenção quanto à convenção que está sendo usada para
representar o espectro. O valor de largura de banda, relativo a um sinal ou a um
sistema linear pode ser bem diferente, se referido a um espectro unilateral ou
bilateral.
124
Filtros Ideais
São sistemas LTI que possuem características de transmissão específicas dentro
da faixa de frequências que constitui sua largura de banda W. Fora desta faixa, eles
eliminam todo o sinal. Admitem 3 classes principais: 1-Filtro passa baixa (FPB),
2-Filtro passa alta (FPA) e 3-Filtro passa faixa (FPF).
1-Filtro passa baixa (FPB)
A Figura 2-27 apresenta uma visão da função de transferência do FPB (forma
bilateral). Como a frequência de corte inferior (ω ci) é igual a -ωC, e a superior (ωcs) é
igual a +ωc, só existe um valor de frequência de corte que é ω C, sendo que W=ωC/2π
corresponde à largura de banda física, em Hz, considerando apenas a parte positiva
do espectro.
Figura 2-27
Observe que a existência da parte negativa do espectro, é matematicamente
necessária para que a função H FPB(ω) seja uma função real, pois estamos usando o
espectro bilateral da transformada de Fourier.
A equação característica de qualquer sistema LTI, inclusive um FPB, é a
transformada inversa da função de transferência H(ω) do sistema. Assim, temos:
125
Portanto, utilizando as propriedades da simetria e do desvio no tempo:
Este resultado é mostrado na Figura 2-28, para t0=1 s e B=2Hz.
Conforme já foi definido no Exercício E-2.3, a função sinc(x)=[sen(πx)]/(πx)]. No
caso, temos o argumento x=2W(t-t0). Portanto, ela se anula para valores do
argumento, isto é, de x=k (k=±1,±2,±3...).
O valor máximo ocorre em x=0, ou seja, em t=2B(t-t 0)=0, isto é, em t=t0=1s,
quando sinc(x)=1, logo h(1)=2W=4. Os zeros ocorrerão em t=2W(t-1)=k=±1,±2,±3...,
ou seja, em t=1.25, 0.75, 1.5, 0.5, etc.
Portanto, a distância entre os dois primeiros zeros, a partir do máximo, é
1/W=0.5s.
Conforme verificamos, a função h(t) tem existência de -∞ a +∞.
O impulso só é aplicado em t=0. No entanto, a resposta do sistema ocorre desde
antes, para valores de t<0. É como se o sistema já soubesse que o impulso vai ser
aplicado, e começa a responder desde antes, o que fisicamente é impossível de
ocorrer.
Figura 2-28
126
Neste caso, dizemos que a resposta do sistema é antecipatória, porque ocorre
antes da excitação ser aplicada.
Formalmente, sistemas físicos são excitados a partir de t=0, e sua resposta
também ocorre para t≥0, sendo chamados sistemas causais (plural de causal).
A largura de banda W de um FPB ideal é ω C/2π, e se diz que sua faixa de
frequências de passagem é de 0 à WHz (falando em termos de frequência como uma
coisa física, ou seja, falando em termos do espectro unilateral).
Podemos considerar também o espectro bilateral. Neste caso, como já vimos, o
conceito de frequência adquire o aspecto matemático de uma variável pertencente
aos números reais e portanto pode assumir valores positivos e negativos.
Conforme a relação de Euler, para gerar uma função real é preciso um par de
fasores
girando
em
sentidos
opostos,
ou
seja,
todo
sinal
real
possui
matematicamente um espectro bilateral, no qual o espectro das amplitudes é
sempre uma função par, e o espectro de fases é sempre uma função impar da
variável real, a frequência.
Neste caso, podemos dizer que a largura de banda de um FPB ideal é 2ω c, em
rad/s, ou ωc/π em Hz. Devemos sempre ser claros quando estamos nos referindo ao
espectro unilateral ou bilateral.
Para as frequências dentro da faixa de passagem do filtro, isto é, para as
frequências entre -ωc e +ωc, o filtro se comporta como um sistema LTI sem
distorção, conforme pode se comprovar pela Figura 2.27.
Isto significa que um sinal com faixa de frequências entre -ω c e +ωc, passará
inalterado pelo filtro, apenas sofrerá um retardo no tempo, igual a t 0.
127
2-Filtro passa alta (FPA)
A Figura 2-29 apresenta o gráfico de função de transferência do FPA. Conforme
podemos observar, o filtro elimina todas as frequências abaixo da frequência de
corte ωc. As frequências acima de ω c são transmitidas sem distorção ao passarem
pelo filtro.
A frequência de corte é também ωc. Porém, o FPA funciona ao contrário do FPB.
Para o FPA, o valor W=ω c/2π tem significado diferente do FPB. Enquanto para
este W é o valor da largura de banda, em Hz, para o FPA W é infinita.
Figura 2-29
Para as frequências dentro da faixa de passagem do filtro, isto é, para as
frequências abaixo de -ωc e acima de +ωc, o filtro se comporta como um sistema LTI
sem distorção, conforme pode se comprovar pela Figura 2.29. I
Isto significa que um sinal com faixa de frequências abaixo de -ω c e acima de +ω c,
passará inalterado pelo filtro, apenas sofrerá um retardo no tempo, igual a t 0.
Portanto, um FPA pode ser considerado um dispositivo eliminador de frequências
baixas do sinal. Se o sinal aplicado ao filtro tiver frequências com |ω|<|ωc|, elas serão
eliminadas pelo filtro, e na saída do mesmo a frequência mínima do sinal terá
módulo igual a ωc.
128
O FPA ideal, assim como o FPB, também não pode ser construído fisicamente,
pois apresenta uma resposta impulsiva não causal, e serve apenas como modelo
matemático simplificador. A resposta impulsiva é requisitada no Exercício M-2.10.
3-Filtro passa faixa (FPF)
O FPF, como o nome indica, permite a passagem livre de apenas uma faixa de
frequências. Possui duas frequências de corte, ωci (frequência de corte inferior) e
ωcs (frequência de corte superior). Naturalmente, ω cs > ωci e W = (ωcs- ωci)/2π. A
Figura 2-30 apresenta o espectro bilateral do FPF, HFPF(ω).
Figura 2-30
129
EXERCÍCIOS
*M-2.1-Considere o sinal x(t)=10cos(tπ+π/5)+5sen(2πt – π/4) + cos (6πt +π/3)
sendo aplicado na entrada de um FPB ideal com ω c=4π e t0= 1 s. Determine a
expressão do sinal y(t) na saída do filtro e trace as formas de onda de x(t) e y(t).
Considere t variando de -5 a 5 s, com um intervalo mínimo de 0.1 s.
Solução:
O sinal de entrada é composto por 3 frequências, respectivamente ω1=π, ω2=2π e
ω3=6π rad/s. O FPB é ideal, e possui uma frequência de corte ωc=4π rad/s. Logo, de
antemão podemos inferir que o sinal de saida será composto por apenas duas
frequências, ω1=π, ω2=2π. Mas qual serão as formas de onda de x(t) e y(t)?
Evidentemente, isto dependerá do defasamento entre as frequências de entrada e
do retardo oferecido pelo sistema. Podemos resolver essa questão supondo
inicialmente que o sistema tenha retardo zero, e inserindo posteriormente o
retardo de 1s em y(t), e aplicar o principio da superposição, calculando a saida
correspondente a cada x. Mas mesmo assim ainda temos que considerar o
defasamento entre os sinais de entrada. Pode-se também calcular logo as três
grandezas envolvidas, x(t), y(t) e h(t), utilizando o teorema da convolução no tempo:
y ( t)=x (t)∗h (t)
Para isto, é muito fácil utilizarmos um software para cálculo matemático, como o
Scilab.
A convolução, no Scilab, é calculada com apenas 1 comando, convol. A rotina
utilizada é apresentada após as Figuras abaixo. Nesta rotina do Scilab, utilizaremos a
equação característica do FPB :
Outra coisa a ser considerada é que teoricamente tanto x(t) quanto y(t) são sinais
de potência, portanto têm duração infinita ( de -∞ a+∞). Mas para poder usar um
processamento numérico, ou mesmo desenhar um gráfico é preciso limitar a
variável livre a valores finitos máximos e mínimos. Portanto, as respostas obtidas
são limitadas a um certo intervalo, fora do qual elas não têm validade. Mas como
saber se o resultado obtido é correto (ao menos aproximadamente)? Um critério é
comparar as respostas segundo duas maneiras diferente de obtê-las. Uma, mais
restritiva quanto aos parâmetros de cálculo, porém com boa probabilidade de
130
acerto nos resultados. Outra mais geral, que pode ser facilmente estendida a outros
tipos de sinais e sistemas. No nosso caso, a primeira valida a segunda. As duas
formas foram empregadas, e deram origem aos resultados das figuras abaixo,
geradas pelo Scilab:
Figura M-2.1-1
Sinal de entrada
Figura M-2.1-3
Saida x1+x2
Figura M-2.1-2
Resposta Impulsiva h(t)
do sistema
Figura M-2.1-4
Saida representando
a convoluçao entre as duas Figuras
acima
Observe que a Figura M-2.1-3 representa a soma de x 1+x2, sinais com frequências
respectivamente ω1=π, ω2=2π, que são inferiores a frequência de corte do FPB
ωc=4π. Seria a saida do filtro, se o retardo fosse zero. Como o tempo de retardo do
filtro é 1s, o valor em t=0 corresponde a t=1, etc. Este resultado valida o
apresentado na Figura M-2.1-4, que é dado pela convolução entre o sinal de entrada
e a resposta impulsiva do FPB. Note que o valor de retardo do filtro já está
computado.
As Figuras acima foram geradas pela utilização da rotina listada a seguir, que é
131
aplicável a versões 4.0 do Scilab.
pi=4*atan(1);
t=-5:0.01:5;
x1=10*cos(pi*t+pi/5);
x2=5*sin(t-pi/4);
x3=cos(6*pi*t+pi/3);
x4=x1+x2+x3;
x9=x1+x2;
scf(0)
plot2d(t,x4)
xgrid
scf(1)
plot2d(t,x9)
xgrid
omegac=4*pi;
t0=1;
W=omegac/(2*pi);
x=2*W*(t-t0);
sinc=(sin(pi*x))./(pi*x);
h=2*W*sinc;
scf(2);
plot2d(t,h)
xgrid
scf(3)
y=convol(x4,h);
tt=-10:0.01:10;
plot2d(tt,0.01*y)
xgrid
*M-2.2-Trace a resposta impulsiva h(t) para o FPB do Exercício M-2.1. Considere t
de -5 a +5 s, com um intervalo mínimo de 0.1 s.
Solução
Na verdade, a solução deste exercício está contida na solução do Exercício M-2.1.
A listagem a seguir é um subconjunto de comandos da listagem apresentada no
Exercício M-2.1, que roda no Scilab Versão 4.0:
pi=4*atan(1);
t=-5:0.01:5;
omegac=4*pi;
t0=1;
W=omegac/(2*pi);
x=2*W*(t-t0);
h=2*W*sinc;
132
scf(2);
plot2d(t,h)
xgrid
A Figura M-2.2-1 apresenta o gráfico para h(t), conforme geradp pela listagem
acima:
Figura M-2.2-1
*M-2.3-Conforme sabemos, y(t)=x(t)∗h(t). Comprove esta relação, obtendo a
referida convolução para o caso do Exercício M-2.1.
Sugestão: Elabore uma rotina computacional na linguagem de sua preferência, e
utilize como entrada os vetores correspondentes à x(t) e h(t), para t de -5 a +5 s com
intervalo de 0.099 s (para evitar divisão por zero). A saída deve ser comparada com
y(t) obtido em M-2.1.
Solução
Novamente, este é um sub-produto do Exercício M-2.1.
M-2.4-De acordo com o Exercício H-2.2, uma função retangular em ω de
amplitude A, centrada em ω0 e de largura 2ωc se escreveria AΠ[(ω-ω0)/2ωc]. Daí,
escreva a expressão da função de transferência de um FPB ideal com retardo t 0.
Justifique sua resposta.
R: H(ω) = Π[(ω/2ωc)] e-jωto
M-2.5-Sabendo que W=ωc/2π, e também que B≤ ou ≥ ω c/2π, onde ωc é a
frequência de corte do FPB, interprete o significado de B e W e deduza a expressão
de h(t):
133
h(t) é a resposta impulsiva do FPB.
*M-2.6-Trace o gráfico do pulso sinc x(t)=Asinc(2Bt). Considere 2 conjuntos de
parâmetros:A1=1; B1=2 e A2=2; B2=4. A transformada de Fourier do pulso é
X(ω)=(A/2B)Π (ω/4πB). Deduza esta expressão e calcule X(ω) para cada conjunto
[A1,B1] e [A2,B2]. Trace os gráficos correspondentes e compare com os gráficos dos
pulsos sinc. Estabeleça por sua conta as escalas das ordenadas e das abscissas mais
adequadas.
Solução
A Figura M-2.6.1 apresenta
gráfico de x(t) para o 1º conjunto de valores
[A,B]=[1,2];
Figura M-2.6.1
Para o 2º conjunto [A, B]=[2,4] temos a Figura M-2.6.2;
Figura M-2.6.2
As Figuras acima foram geradas com a seguinte listagem (Scilab 4.0):
134
pi=4*atan(1);
A=1; (2);
B=2; (4);
t0=0;
t=-5:0.0009:5;
x=2*B*(t-t0);
x=2*B*sinc;
scf(1)
plot2d(t,x)
xgrid
De uma tabela de transformadas compatível temos que:
Asinc (2Wt )←→
A
f
Π(
)
2W
2W
Daí, se
x(t)=Asinc(2Bt) então X(ω)=(A/2B)Π (ω/4πB)
As Figuras M-2.6.3 e M-2.6.4 apresentam X(ω) para os 2 conjuntos de valores
[A,B]=[1,2] e [A,B]=[2,4], respectivamente.
Figura M-2.6.3
Figura M-2.6.4
Conforme verificamos, a largura da função no domínio do tempo varia de forma
inversa no domínio da frequência (se a função se alarga no tempo, isto é se a sua
duração é maior, então ela se estreita na frequência, e vice-versa). Apesar de
termos comprovado apenas para um caso particular, podemos generalizar para
qualquer sinal.
*M-2.7-Considere o pulso sinc do Exercício M-2.6 sendo aplicado a um FPB ideal
com largura de faixa WHz (W=ωc/2π), ganho unitário e retardo zero. Considere duas
135
situações: B>W e B<W. Para cada uma das situações, calcule a expressão para o sinal
de saída y(t). Estabeleça comparações entre os dois casos, anotando o que acontece
com a amplitude e a duração no tempo do pulso de entrada nos dois casos.
Solução
1ª situação: B>W:
Nesse caso, a largura de banda do sinal de entrada é modificada pelo filtro. Como
a função de entrada é retangular em ω, sua representação no tempo é uma função
sinc. Portanto, o sinal de saida, terá um espectro de frequências ainda retangular,
porém, como B>W, este sinal de saida terá um espectro mais estreito que o de
entrada, ficando limitado à uma frequência ωC. Este sinal, no domínio do tempo,
tem a forma da transformada inversa da função retangular, ou seja a função sinc. Na
verdade, pela ação do filtro, o espectro do sinal de saida será igual à função de
transferência do filtro.
No domínio do tempo, temos uma convolução entre duas
funções sinc, a função de entrada e a equação característica do filtro. O resultado,
isto é, o sinal de saida, é também expresso como uma função sinc no domínio do
tempo. Daí concluímos que a convolução entre funções sinc de espalhamentos
diferentes resulta ainda numa função sinc, que é igual à sinc mais espalhada. Em
outras palavras:
y ( t)=x (t)∗h ( t)=2Bsinc ( 2Bt)∗2Wsinc( 2Wt)=2Wsinc( 2Wwt)
sendo B>W.
2ª situação: B<W:
Nesse caso, o FPB não afeta o sinal de entrada, que possui menor largura de
banda. Assim, o sinal de saida reproduz a entrada. Seguindo o mesmo raciocínio
anterior, temos nesse caso:
y ( t)=x (t)∗h ( t)=2Bsinc (2Bt)∗2Wsinc( 2Wt)=2Bsinc (2Bt )
sendo B<W.
A amplitude, como a função de transferência tem valor =1, fica inalterada a
amplitude máxima da função de transferência. Entretanto,no caso descrito pela
situação 1. O sinal de saida possui largura de banda menor que o sinal de entrada,
sua energia é menor, e sua amplitude máxima no domínio do tempo deverá também
diminuir.
136
*M-2.8-Considere uma função degrau unitário sendo aplicado à entrada de um
FPB ideal de largura de banda W e t0=0. Calcule numericamente a saída y(t) do filtro
para -4/W<t<4/W. Utilize o software de sua preferência, mas considere um número
suficiente de amostras dos vetores de entrada para que se obtenha um gráfico claro
e bem preciso. Discuta a precisão do sinal de saída em função do incremento
utilizado nas variáveis e do comprimento dos vetores.
Solução
Conforme vimos no Exercício K-2.10, a convolução de uma função qualquer com o
degrau unitário resulta na integral da função. Neste Exercício, temos como sinal de
saida do filtro a convolução entre o sinal de entrada e a equação característica do
sistema. Como o sinal de entrada é um degrau unitário, a saida será igual a integral
da
equação
característica
do
FPB.
Portanto,
será
igual
à
integral
de
h(t)=2Wsinc(2Wt). Esta é uma integral não-trivial, e só pode ser calculada
numericamente.
A Figura M-2.8 apresenta a função de saida, obtida pela rotina abaixo, escrita para
rodar no Scilab versão 4.0. Esta rotina calcula numericamente a integral de uma
função qualquer, definida pelo comando function, pelo método de Simpsom.
pi=4*atan(1);
W=1.5;
fqq=[];
nn=[];
ss=[];
xx=[];
function [r]=IQ(v)
r=(2*W)*(sin(2*W*pi*v)/(2*W*pi*v));
endfunction
t=0;
nx1=-1.;
nx2=5.;
for ny=nx1:0.01:nx2;
nz=-1.5;
s=0.;
fq=0.;
n=0.;
for x=nz:0.01:ny
n=n+1;
s=IQ(x);
fq=fq+2*s;
end
fq=fq-(IQ(nz)+IQ(ny));
fq=((ny-nz)/(2.*(n-1))).*fq;
int=fq;
137
fqq=[fqq fq];
nn=[nn n];
xx=[xx x];
end
scf(0)
plot2d(xx,fqq)
xgrid
Figura M-2.8
Quanto aos parâmetros do cálculo, eles podem ser ajustados convenientemente
na rotina.
*M-2.9-Um FPB tem uma função de transferência dada por:
conforme mostra a Figura 2-31. Esta função não tem módulo constante na faixa de
passagem do filtro, apresentando uma distorção linear em atenuação.
Um pulso g(t), também limitado em banda à BHz, B=W, é aplicado à entrada deste
filtro, conforme mostra a Figura 2-32. Ache a saída r(t). Trace o gráfico resultante
considerando k=0,1; t0=0,5 s; T=0,1 s, e W=1.5Hz.
R: r(t)=g(t-t0)+(k/2)g(t-t0+T)+(k/2)g(t-t0-T)
138
Figura 2-31
Figura 2-32
Solução
Sendo g(t) <-----> G(ω) e r(t) <-----> R(ω) então R(ω)=G(ω)R(ω).
Portanto,
R (ω)=G(ω)[1+ kcos ω T ]e− j ω t
e j ω T +e− j ωT
cos ω T=
2
0
Mas
Então
R (ω)=G(ω)e−j ω t + (k /2)G(ω)e−j ω (t −T) + (k /2)G(ω)e−j ω(t + T)
0
0
0
Daí, pela propriedade do deslocamento no tempo,
r (t)=g (t−t 0 )+( k /2) g( t−t 0+ T)+(k / 2) g( t−t 0−T)
Nota-se que o sinal de saida é composto pela adição do sinal de entrada
deslocado no tempo com 2 “ecos” do sinal de entrada, com a amplitude multiplicado
pelo fator k/2 e deslocamento relativo +T e -T. Isto irá distorcer o pulso de saida,
139
fazendo com que sua forma seja diferente do pulso de entrada.
Para gerar figuras representando este fato, usamos a listagem a seguir, para o
Scilab 4.0, entretanto, para melhor visualização, usamos T=0.35 e W=5.
pi=4*atan(1);
W=5;
tau=1/W;
k=0.1;
t0=0.5;
T=.35;
A=1;
ww=[];
HH=[];
xx=[];
yy=[];
tt=[];
for w=-W-.5:0.01:W+.5
H=1+k*cos(w*T);
HH=[HH H];
ww=[ww w];
end
scf(0)
plot2d(ww,HH)
xgrid
for t=-2:0.01:2;
z1=t;
x=A*exp(-pi*(z1/tau)^2);
z2=t-t0-T;
z3=t-t0+T;
y=A*exp(-pi*((z1-t0)/tau)^2)+k*A*exp(-pi*(z2/tau)^2)+k*A*exp(-pi*(z3/tau)^2);
xx=[xx x];
yy=[yy y];
tt=[tt t];
end
scf(1)
plot2d(tt,xx)
xgrid
scf(2)
plot2d(tt,yy)
xgrid
As Figuras geradas pela listagem acima são as Figuras M-2.9.1, M-2.9.2 e M-2.9.3 a
seguir representadas:
140
Figura M-2.9.1
Figura M-2.9.2
Figura M-2.9.3
141
M-2.10-Considerando que a função de transferência de um FPA, conforme vemos
na Figura 2.29, é igual a 0 para ω<ω c e igual a e-jωto para ω>ωc, deduza a expressão
de H(ω) do FPA baseado na resposta do Exercício M-2.4.
R:
M-2.11-Deduza a expressão da resposta impulsiva h(t) do FPA mostrado na
Figura 2-29:
R:
*M-2.12-Defina o que seria um Filtro Elimina Faixa. Escreva uma possível função
de transferência e função característica para esse filtro. Apresente também
algumas aplicações.
Solução
Um Filtro Elimina Faixa, como o nome já sugere, é o inverso de um Filtro Passa
Faixa, isto é, um filtro que deixa passar livremente as frequências fora de sua faixa
de passagem, e elimina completamente frequências dentro desta faixa. Sendo
assim, sua função de transferência pode se escrever:
H(ω)FEF=[1−H(ω)FPF ]e
⁻ j ω t0
Uma possível função característica para este filtro seria dada pela transformada
inversa da equação acima. Consultando-se uma tabela de transformadas e
aplicando-se a propriedade da multiplicação por cosω0t, tem-se:
h ( t)FEF=[δ (t −t 0 )−2cos (ω 0 (t−t 0 ))×( 2Wsinc2W(t−t 0))]
M-2.13-Mostre que um Filtro Elimina Faixa pode ser composto pela associação em
série, ou cascata de um FPB e um FPA.
142
Filtros Fisicamente Realizáveis
Um filtro fisicamente realizável deve ser causal. Isto significa que um filtro
fisicamente realizável deve ter h(t)=0 para t<0 . [h(t) é a resposta do filtro ao
impulso unitário]. A função de transferência H(ω) é transformada de Fourier de h(t).
Pode ser demonstrado que h(t) causal implica em que |H(ω)| não pode ser zero,
qualquer que seja o intervalo de frequências considerado. Desta forma, um filtro
fisicamente realizável sempre permitirá a transferência de sinais da entrada para a
saida.
O que acontece é que existe uma banda de frequências, chamada banda de
passagem do filtro, em que a transferência é feita quase sem perdas, às vezes até
com um pouco de ganho, enquanto que fora da banda de passagem do filtro esta
transferência é muito atenuada.
No filtro ideal, H(ω) tem características de transmissão sem distorção dentro da
banda de passagem, e se anula completamente fora desta banda. Na frequência de
corte, há uma descontinuidade, pois a característica de corte é vertical. De um lado,
|H(ω)|=1, e do outro, |H(ω)|=0.
Em um filtro fisicamente realizável isso não pode acontecer, a curva de corte tem
uma característica monotônica, sendo sempre uma curva crescente ou decrescente
com ω. Conforme a complexidade e o tipo de construção do filtro, essa
característica pode ser mais ou menos inclinada.
Também dentro da banda de passagem do filtro, a característica de fase não é
ideal, portanto a característica de transferência tenta se aproximar de uma
transmissão sem distorção.
De um modo geral, deve existir uma troca entre a inclinação da curva de corte e a
característica de fase; quanto maior a inclinação, mais distante do ideal é a fase, e
vice-versa (a fase ideal tem uma relação linear com ω, ou seja, -ωt 0, sendo t0 o
retardo de transmissão através do filtro).
143
Outro ponto a considerar é a atenuação fora da banda de passagem, ou a
chamada atenuação na banda de rejeição do filtro. Como vimos, para um filtro
fisicamente realizável, |H(ω)| nunca pode ser completamente anulada. Portanto, na
banda de rejeição, |H(ω)| terá sempre um valor residual, ainda que muito baixo.
Poderá apresentar variações significativas, afastando-se bastante de uma
característica de transferência ideal, porém sempre será menor que o valor na
banda de passagem.
É comum a transferência através do filtro ser expressa em termos da potência
média dos sinais na entrada e na saída do filtro. Neste caso, é usual se expressar a
relação entre a potência média da saída pela potência média da entrada em dB.
Como |H(ω)|=|Y(ω)|/|X(ω)|,
(2-52)
Portanto, o valor |H(ω)|2 em dB pode ser dado por:
(2-53)
Finalmente, para um filtro fisicamente realizável, devemos considerar que a
característica da curva de corte não pode ser perfeitamente vertical, como um filtro
ideal.
A inclinação pode ser dada pela diferença em frequência correspondendo a
determinados valores de atenuação, em dB.
Largura de banda W de filtros fisicamente realizáveis
Um filtro fisicamente realizável pode ter características de FPB, FPF e FPA. Se for
um FPB, a curva de corte é decrescente, no sentido de que o ganho na faixa de
passagem do filtro decresce com o aumento de ω, durante o corte. Se for um FPA, a
curva é crescente, no sentido de que o ganho vai aumentando com ω durante o
144
corte. Se for um FPF, possui duas curvas de corte, uma crescente e outra
decrescente.
A frequência de corte é definida estabelecendo-se pontos específicos da curva de
corte. Um ponto específico muito usado é o ponto de -3dB. Neste ponto, a potência
nominal de saída é ½ da potência nominal na entrada do filtro, o que conforme a
Equação 2-53 corresponde a 3dB de atenuação, ou seja, um ponto de -3dB na curva
de corte.
Como exemplo, consideremos um FPB, cujo módulo do quadrado da função de
transferência aparece na Figura 2-33.
Neste exemplo, o patamar de atenuação ocorre em -7dB, e o ponto de meia
potência, de -3dB, determina a frequência de corte ω C e a largura de banda W=ω C /
2π.
Se os sinais de entrada e saída forem senoidais, o que é muito comum em
procedimentos de teste, a potência média destes sinais é dada por A 2/2, onde A é a
amplitude máxima destes sinais. Portanto, para a potência decrescer à metade, o
valor eficaz decresce de 0,707 = √2.
,
Figura 2-33
Assim como foram utilizados os pontos de -3dB para definir a LB, poderiam ter
sido empregados pontos de -10dB, ou -30dB, ou algum outro critério a ser definido.
Desta forma, antes de falarmos em LB de um filtro fisicamente realizável, devemos
145
definir qual critério será utilizado para definição de sua LB.
Esta definição de LB pode também ser aplicada aos sinais na entrada do filtro e
na saída do filtro, fixando desta forma o valor de B.
Geralmente, critérios equivalentes são empregados para definição da LB W do
filtro e B dos sinais de entrada e saida, de modo que B=W nos pontos de entrada e
saida do filtro.
Filtro passa baixa RC
A Figura 2-24 apresenta um circuito RC que pode ser considerado um filtro passa
baixa fisicamente realizável. Este é um filtro simples, mas bastante utilizado, em
várias aplicações.
Conforme o resultado do Exercício L-2.8,
e
As funções derivadas das fórmulas acima devem ser traçadas no Exercício L-2.8.
Entretanto, das fórmulas acima, verifica-se que para ω=0, log
o ponto máximo da curva de atenuação. Para ω=a, 10 log
10
10
| H(ω) |=0. Este é
| H(ω) |2=-3. Portanto,
em ω=a, temos um ponto de meia potência. Sendo um ponto característico do FPB
RC, podemos dizer que para este filtro a largura de banda W=a/2πHz, sabendo que
ωc=a=1/RC rad/s
RC é chamado a constante de tempo do filtro.
146
EXERCÍCIOS
*N-2.1-Calcule a função de transferência do filtro passa faixa RLC da Figura 2-34,
considerando como sinal de entrada a corrente x(t) e como sinal de saída a tensão
y(t).
Figura 2-34
R:
Solução
A relação entre a tensão e a corrente é a impedância do circuito. Assim, segundo
Close,
H(ω)=
1
R
=
2
1
1
+
+ jω C 1+ jRC ω −1/( LC)
ω
R ( jω L)
(
)
*N-2.2-Supondo que para o Exercício N-2.1 , sejam definidos
e
sendo
147
ωR – frequência de ressonância do filtro
Q – fator de mérito ou fator Q do
filtro
Calcule H(ω) , | H(ω) | e θ(ω) em função de ω R e Q.
R:
Solução
H(ω)=
H(ω)=
R
R
=
2
2
2
(ω −ω R )
1
C ω −ω R
1+ jRC
×
1+ jR
1
√ LC
L ω×ωR
ω×
√ LC
2
√(
)
R
ω2−ω 2R
1+ jQ ω×ω
R
(
)
Assim,
∣H(ω)∣=
R
√
ω2−ω2R
1+ Q ω×ω
R
2
(
)
2
e
ω2−ω2R
θ(ω)=−arctg Q ω×ω
R
(
)
N-2.3- Trace a curva para o lado positivo do espectro bilateral |H(ω)| do Exercício
N-2.2, identificando seu valor máximo, e em qual frequência ele ocorre. Chamando
ω1 e ω2 as frequências de meia potência do filtro, ou seja, quando
|H(ω)|2=|Hmax(ω)|2/2, calcule-as e a largura de banda W de meia potência do filtro.
Qual o papel de Q?
R:
148
N-2.4-Analise a função de transferência equivalente para filtros conectados em
série (cascata), em paralelo e em realimentação conforme a Figura 2-35. O objetivo
é encontrar o filtro equivalente (Feq) em função dos filtro individuais, tendo
evidentemente um Feq para cada estrutura apresentada. É suposto que cada um
dos filtros não afeta as característica dos demais.
Figura 2-35
*N-2.5-Estabeleça a função de transferência de um equalizador 7 que possa ser
utilizado para compensar a distorção de amplitude causada pelo efeito de
multicaminho do Exercício L-2.14.
R:
7 Um equalizador é um tipo de filtro que é geralmente inserido no caminho de recepção do sinal, de modo que
Hcanal∙Hequal.=Ke- jωto (ou seja, o equalizador tenta compensar a distorção do canal, de modo que a resposta
global seja a de um sistema sem distorção, ao menos na banda do canal).
149
Solução
O equalizador, de função de transferência H eq(ω) , é um sistema linear colocado
em série com o canal, modificando-o, de modo que,
Hfinal (ω)=H canal (ω)×Hequal (ω)
Como o objetivo é alcançar transmissão sem distorção dentro da faixa de banda
do canal, então
Hfinal ( ω)=Ke −j ω t
d
onde K e td são constantes arbitrárias dentro da faixa do canal.
Assim
Ke− j ω t
H equal (ω)=
H canal (ω)
d
Para a distorção causada pelo efeito multicaminho,
(
Hcanal (ω)=K1 1+
K 2 − j ω(t −t ) − j ω t
e
e
K1
2
1
)
1
Portanto
K
×e− jω (t −t )
K1
H equal (ω)=
K
[1+ 2 e−j ω(t −t ) ]
K1
d
1
2
1
*N-2.6-A Figura 2.36 apresenta o esquema básico de um equalizador de linha de
retardo com derivações, um filtro transversal, no caso com 3 tomadas. Determine
sua função de transferência na banda de passagem do filtro.
150
Figura 2-36
R:
Solução
Do esquema do equalizador, temos que
y ( t)=a −1 x ( t)+ a 0 x (t−T)+a 1 x (t−2T)
Daí, aplicando-se a propriedade do deslocamento no tempo, e notando-se que
Hequal (ω)=
Y(ω)
X(ω)
*N-2.7-Demonstre que o filtro transversal do Exercício N-2.6 pode ser utilizado
como equalizador para compensar a distorção de multicaminho apresentada no
Exercício L-2.14 e estabeleça valores de a-1, a0 e a1 para que isto aconteça.
Sugestão: Utilize o resultado do Exercício N-2.5, fazendo K=K 1 e t0=t1, e utilize a
seguinte expansão em série: 1/(1+x)=1-x+x2-x3+x4+...
R: a-1=1;
a0=-(K2/K1);
a1=(K2/K1)2
e
T=t2-t1
151
Solução
Conforme visto no Exercício L-2.14, o efeito multicaminho provoca distorção de
amplitude e fase, pois
K
×e− jω (t −t )
K1
H equal (ω)=
K
[1+ 2 e−j ω(t −t ) ]
K1
d
1
2
1
Como K e td são arbitrários, podemos fazer K=K12, e td=2t1, obtendo-se:
K1×e− j ω(−t )
Hequal (ω)=
K
[1+ 2 e−j ω (t −t )]
K1
1
2
1
Expandindo-se Hequal(ω) em uma série binomial
1
=1−x + x 2−x 3 +x 4 −...
1+ x
2
3
4
K
K
K
K
Hequal (ω)=1− 2 e− j ω(t −t ) + 2 e−2j ω(t −t )− 2 e−3j ω(t − t ) + 2 e−4j ω(t −t )−...
K1
K1
K1
K1
2
1
( )
2
1
( )
2
1
( )
2
1
Comparando-se esta expressão com a obtida no Exercício N-2.6, conclui-se que
Hequal(ω) pode ser aproximada por um equalizador empregado um filtro transversal
com tantas tomadas quanto o número de termos necessários a uma boa
aproximação na expansão binomial.
Para o filtro transversal com 3 tomadas,
Hequal (ω)=1−
K 2 − j ω(t −t ) K 2 2 −2j ω(t −t ) K 2 3 −3j ω(t − t )
e
+
e
−
e
K1
K1
K1
2
1
( )
2
1
( )
sendo portanto
a−1=1
−K 2
a 0=
K1
T=t 2−t 1
a 1=
K2 2
K1
2
1
152
N-2.8-Mostre graficamente que, se B>W na entrada do filtro, então B=W na saída
do filtro (FPB ou FPF, naturalmente, pois um FPA tem W= ꝏ).
*N-2.9-A Figura 2-37 apresenta o diagrama esquemático de um FPB muito
utilizado na prática, chamado filtro Butterworth de 3 a ordem. Considere os
seguintes valores para este circuito:
R =
C1 =
C2 =
L
200 Ω
1/(800πW) F
3C1
=
400/(3πW) H
sendo W a largura de banda em Hz, que corresponde aos pontos de -3dB do filtro.
Considerando W=1000Hz, trace o módulo da função de transferência H(ω) do
filtro. Indique os valores em dB de |H(ω)| para as frequências de 200Hz, 400Hz,
1000Hz, 1200Hz e 2500Hz.
R:
200Hz:
0dB;
400Hz:
0dB;
1000Hz:
-3dB
1200Hz:
-6dB
2500Hz:
-23,9dB
Figura 2-37
Solução
A rotina abaixo fornece um gráfico, apresentado na Figura N-2.9, onde podem ser
observados os valores até 1200Hz.
153
pi=4*atan(1);
i=sqrt(-1);
V1=1;
'Butter6'
B=1000;
omegaB=2*pi*B;
C_Bu=(1/(800*pi*B));
R=200;
C1=C_Bu ;
L=400/(3*pi*B);
C2=3*C1;
R_Bu=200;
HH=[];
omeg=[];
HHdB=[];
for omega=0.1:1:2.5*pi*B
s=i.*omega;
C1=(1/(800*pi*B));
L=400/(3*pi*B);
z1=R_Bu;
z2=1/(s*C1);
z3=s*L;
z4=1/(s*3*C1);
zz2=(z2*(z3+z4))/(z4+z2+z3);
V3=(z4/(z3+z4))*(zz2/(z1+zz2))*V1;
H=abs((z4/(z3+z4))*(zz2/(z1+zz2)));
HdB=20*log10(H);
HHdB=[HHdB HdB];
HH=[HH H];
omeg=[omeg omega];
end
plot2d(omeg/(2*pi), HHdB)
xgrid
A rotina pode ser facilmente modificada para incluir o valor de 2500Hz.
Figura N-2.9
154
N-2.10- Qual o valor aproximado, em unidades lineares, para a atenuação do filtro
em 2500Hz? E em 10 Khz?
*N-2.11-Trace a resposta impulsiva h(t) do FPB da Figura 2-37.
R:
Figura 2-38
Por conveniência a Figura 2-38 foi obtida com os seguintes valores para os
elementos do filtro:
W=12Hz,
C1=0,66μF, C2=200μF,
L=1,7H, R=100Ω.
Conforme podemos observar da Figura 2-38, a resposta ao impulso é causal,
sendo =0 para t<0.
Solução
A rotina abaixo pode ser usada para obter o gráfico da Figura 2-38. Roda em Scilab
versão 4.0 ou inferior. A resposta está reproduzida no gráfico da Figura N-2.11,
gerada pela rotina (após empregar recursos de edição de imagem do próprio Scilab).
pi=4*atan(1);
i=sqrt(-1);
s=poly(0,'s')
B=12;
fator=1 ;
omegaB=2*pi*B;
C_Bu=(1/(400*fator*pi*B));
R=100*fator ;
C1=C_Bu;
L=200*fator/(3*pi*B) ;
C2=3*C1;
z1=R;
z2=1/(s*C1);
z3=s*L;
155
z4=1/(s*3*C1);
zz2=(z2*(z3+z4))/(z4+z2+z3);
V3=(z4/(z3+z4))*(zz2/(z1+zz2));
s1=tf2ss(V3);
t=0:0.001:1;
xset("window",11);
xselect();
y=csim('impulse',t,s1);
plot2d(t',y')
a=get("current_axes");
a.font_size=5;
xgrid
A largura de banda usada B=12Hz, pequena para que a largura do pulso seja
próxima de da unidade (1/12 =0.08). Apenas um critério.
Figura N-2.11
*N-2.12-A Figura 2-39 apresenta um diagrama em blocos de um sistema
utilizando o FPB da Figura 2-37. Em que condições podemos afirmar que a função de
transferência equivalente do sistema é H1HFPBH2?
156
Figura 2-39
Solução
Quando as funções de transferência não interferirem uma com a outra. Isto
ocorre quando a saida de uma não interfere com a entrada de outra, em termos de
impedâncias.
No caso em questão, como só temos 3 funções de transferência ligadas em
cascata, basta que a saida de H1 não interfira com a entrada de H FPB, e a saida de HFPB
não interfira com a entrada de H2.
Isto será possível se a impedância de saida de H1 for muito baixa, a impedância de
entrada de HFPB seja muito alta, de modo a não interferirem mutuamente , a
impedância de saida de HFPB seja muito baixa e a impedância de entrada de H2 seja
bem alta para que HFPB não afete H2 e vice-versa.
N-2.13-Considere um FPB-RC como o da Figura 2-24. Considerando R=100Ω,
calcule o valor de C tal que a frequência de corte (-3dB) seja W=1000Hz. Calcule a
atenuação, em dB, à 2000Hz. Apresente seus cálculos.
R: 1,6 μF;
-7dB.
N-2.14-Ainda para o filtro RC da Figura 2-24, suponha R=500Ω. Para este novo
valor de R, calcule o valor de C tal que a frequência de corte (-3dB) continue a ser
=1000Hz. Calcule a atenuação, em dB, à 5000Hz. Apresente seus cálculos.
R: 300 nF; -14,15dB.
157
Amostragem
A operação de amostragem é básica na conversão de sinais analógicos em
digitais, e vice-versa.
Simplificadamente falando, ela realiza um recorte do sinal, transmitindo ou
processando apenas determinadas partes, ou amostras do sinal. Desta forma, ao
invés de se transmitir um sinal analógico durante todo o tempo em que ele está
sendo gerado, são transmitidos apenas alguns valores do sinal.
Isto permite que esses valores sejam codificados por exemplo, utilizando códigos
binários. Desta forma, um sinal analógico, que possui uma infinidade de valores,
pode ser processado ou transmitido digitalmente. E mais: no intervalo de tempo
entre duas amostras sucessivas do sinal analógico, o sistema digital pode se ocupar
de outras operações, como por exemplo, transmitir ou processar outras amostras
pertencentes a outros sinais, ou realizar qualquer outra operação.
Por isso é que um computador pessoal pode realizar simultaneamente diversas
tarefas, como por exemplo, tocar uma música ao mesmo tempo em que edita um
texto. Na verdade, o computador só realiza uma tarefa de cada vez, apenas produz a
ilusão de realizar diversas tarefas simultaneamente porque ele picota cada uma,
realizando um pedacinho de cada uma de cada vez.
É claro que para a amostragem de um sinal analógico funcione, é preciso que se
consiga reconstituir o sinal analógico a partir de suas amostras. Para isso existe uma
regra, expressa pelo teorema da amostragem, que será visto logo adiante
A operação de conversão A/D ou seu inverso, a operação D/A, são essenciais para
os sistemas atuais. Um exemplo clássico está na telefonia, onde a fonte e o destino
são analógicos, enquanto os meios de transmissão são digitais. Outro exemplo é um
CD de música, a qual é gravada e armazenada no CD em forma digital, sendo
convertida em forma analógica para audição. Diversos outros exemplos existem, em
várias áreas envolvendo a transmissão e/ou processamento de sinais.
158
Teorema da amostragem
“Um sinal limitado em frequência à BHz (isto é, um sinal cujo espectro de
frequências é praticamente =0 para |ω|>2πB rad/s ) é univocamente determinado
por seus valores (amostras) tomados à intervalos uniformes e menores do que 1/2B
segundos”
Normalmente, x(t) vai de baixas frequências até certa f max, e sua largura de banda
é aproximadamente B=fmax, e portanto deve ser amostrado à uma taxa superior a
2BHz, ou seja, a frequência de amostragem é f0≥2BHz.
BHz representa a maior frequência que x(t) é capaz de gerar com amplitude
significativa.
Aqui, como método aproximado, será empregado o espectro de densidade de
frequências de x(t) para representação no domínio da frequência, dado por sua
transformada de Fourier, X(ω).
A justificativa é que a medição ou determinação da forma exata do espectro não
é importante, bastando a suposição de que X(ω) ≃ 0 para ω> ωmax, sendo desta
forma ωmax considerada a frequência máxima do espectro de x(t), ou seja, a
frequência a partir da qual a contribuição espectral de x(t) é considerada
insignificante ou desprezível. Esta frequência ω max é importante para determinação
da frequência de amostragem, f0Hz.
A frequência de amostragem, em rad/s, é ω 0, que deve ser superior a no mínimo
2ωmax, sendo ω max=2πB rad/s.
Mas o que é, exatamente, uma amostra do sinal x(t)?
159
Amostra de x(t) e sua representação
Uma amostra significa a medição do valor do sinal em um determinado instante
de tempo.
Uma amostra é, portanto o valor (digamos, em V), do sinal x(t) no instante t 0 ( em
segundos - s). Mas como determinar, praticamente, o valor de uma amostra?
Compreenda que a duração da medição, que ocorre no instante t 0, deve ser muito
pequena, durando um valor Δt onde Δ→0.
Isso, na prática, não é um problema, pois as taxas de amostragem usadas (que
podem chegar a dezenas de MHz, no caso de sinais de imagens, por exemplo) são
muito menores do que as taxas com que são gerados os sinais de controle de
largura de pulsos de amostragem, que nos modernos circuitos eletrônicos podem
chegar a GHz, ou seja, da ordem de 1000 vezes maior. Isto significa que a largura dos
pulsos de amostragem pode ser muito pequena em relação ao período de
amostragem. Pulsos assim tão estreitos podem ter seu espectro de frequência
modelados aproximadamente por uma série de Fourier composta por uma
sequência periódica de impulsos de Dirac, como na Equação 2-29.
Devido à largura do pulso, Xn é muito pequeno, fazendo com que as áreas dos
impulsos sejam correspondentemente pequenas.
Na Figura 2-40 representa-se o modelo matemático da amostragem, o qual utiliza
um elemento central, que é um elemento multiplicador.
Assim, a operação de amostragem é representada, essencialmente, por uma
multiplicação entre x(t), o sinal de entrada, e uma sequência de impulsos unitários.
Essa sequência é periódica, e a taxa de amostragem é ω 0=2π/T.
Como resultado temos o sinal amostrado, x s(t). Cada amostra é representada por
um impulso cuja área é proporcional ao valor da amostra, x(t 0).
160
x(t) é um sinal limitado em frequência. Portanto, seu espectro é nulo acima de um
determinado valor de frequência, ωmax...
Figura 2-40
As amostras da Figura 2-40 não podem ser produzidas por sistemas físicos reais,
pois foram geradas a partir de funções impulso, que têm amplitude infinita.
Na prática o valor de cada amostra é representada pela amplitude de um pulso
muito estreito, gerado pela base de tempo do circuito amostrador.
Entretanto, nesta etapa, é conveniente utilizarmos o modelo teórico apresentado
na Figura 2-40, pois é simples de ser analisado e atende ao que se deseja.
A Figura 2-41 ilustra uma representação para o espectro de x(t), cuja forma exata
não é relevante ao problema, então este espectro será genericamente
representado conforme a Figura 2-41, mostrando que ele é nulo acima de uma certa
frequência ωmáx:
Figura 2-41
161
Espectro do sinal amostrado
O sinal amostrado, no domínio do tempo, segundo o modelo da Figura 2-40 é:
conforme mostra a Figura 2-42:
Figura 2-42
Analiticamente, podemos escrever
Considerando que (ver Exercício L-2.13)
Então
Portanto
Da equação acima, vemos que o espectro do sinal amostrado é uma função
periódica em ω, sendo uma repetição, com o período ω 0 (frequência de
amostragem), do espectro fundamental X(ω). Este fato, em conjunto com X(ω)
162
limitado em frequência, faz com que a função periódica resultante (periódica em ω,
note bem) tenha uma composição espectral com lóbulos que não se sobrepõem,
desde que atendida a condição de que ω0 > 2ωmax.
A situação assim formada permite que se utilize um filtro para a recuperação
isolada de qualquer parte do espectro periódico. Teoricamente, se este filtro tiver
características de um filtro passa baixas ideal, cuja frequência de corte ω C satisfaça
a condição ωmax<ωC<ω0-ωmax ,então, na saída do filtro, teremos apenas o espectro do
sinal original, X(ω). A Figura 2-43 ilustra graficamente o que foi descrito pelas
equações, inclusive mostrando a ação do FPB sobre o espectro de X s(ω).
Figura 2-43
Exemplo da amostragem de um sinal senoidal
Vamos exemplificar realizando a amostragem de uma onda analógica senoidal, de
frequência ω0=1 rad/s e período T [y(t)=sen(ω0t) e T=2π]. A Figura 2-44 apresenta
esta situação.
163
Figura 2-44
O quadro 1 apresenta valores mais precisos de t e y
Conforme podemos observar, para 1 período de y(t) [T=2π= 6.2831853], temos
exatamente a diferença de tempo entre a 6a amostra e a 1a, demonstrando que
temos assim 5 amostras em 1 período de y(t), ou seja, uma frequência de
amostragem 5 vezes maior que a de y(t).
A 6a amostra repete o valor da 1a, dando início portanto a um novo ciclo de
amostragem.
Quadro 1
164
EXERCÍCIOS
*O-2.1-Utilizando a notação para funções retangulares definida nos exercícios da
sequência A, defina a função de transferência ideal do FPB utilizado na recuperação
do sinal amostrado. Suponha que a sequência amostradora δ T(t) tenha exatamente
o dobro da frequência máxima (BHz) de x(t), ou seja T=1/2B (intervalo de Nyquist).
Desenhe o gráfico da função de transferência do sinal amostrado X S(ω) nestas
condições.
R: H(FPB)=TΠ[ω/(4πB)].
Solução
O FPB ideal tem a função de transferência conforme a Figura 2-43. Como a
amostragem tem exatamente o dobro da frequência máxima (Bhz) de x(t). a função
de transferência do FPB ideal tem exatamente W=B, assim |H(FPB)|=TΠ[ω/(4πB)].
A Figura O-2.1 mostra um aspecto geral para |H(ω)| neste caso.
Figura O-2.1
*O-2.2-Desenvolva uma equação no domínio do tempo, que descreva o processo
de reconstrução de um sinal analógico x(t) a partir de um FPB aplicado a suas
amostras. Considere o modelo de amostragem da Figura 2-40 e utilize o intervalo de
Nyquist (T=1/2B) na obtenção das amostras.
*Sugestão: Estabeleça a função característica h(t) de um FPB ideal [que nada mais
é do que a transformada inversa de H(FPB)], a seguir estabeleça a convolução entre
xs(t) e h(t).
165
R:
Solução
No domínio do tempo, a operação de filtragem que reconstitui x(t) a partir do
sinal amostrado é analisada como sendo a convolução de x s(t) com h(t)=Ţ 1[H(ω)]:
x ( t)=xs ( t)∗h (t)
Sendo
H(ω)=T Π ( ω )
4πB
então,
h ( t)=2 T Bsinc(2 Bt )=sinc(2 Bt) . pois T=1/(2B).
x s (t )=
Mas
+∞
∑
x( nT)δ(t−nT),
n =0,±1,±2,±3...
n =−∞
ou seja, é um somatório de funções impulso, sendo a área de cada impulso igual a
(xnT) (valor das amostras em t=nT).
Pela teoria dos sistemas lineares, e pelo princípio da superposição, escreve-se
imediatamente que:
∞
∞
n=−∞
n=−∞
x ( t)=h(t)∗ ∑ x ( nT)δ(t−nT)= ∑ x (nT) h( t)∗δ( t−nT)
Portanto
x ( t)=
+∞
∑
x( nT) h ( t−nT)=
n =−∞
+∞
∑
x (nT)sinc[2B(t −nT)]
n=−∞
Esta última equação descreve o processo de interpolação no domínio do tempo
para reconstrução de x(t) a partir de suas amostras x(nT).
O-2.3-Um sinal x(t) é amostrado, e gera os valores de amostras abaixo:
x(0)=1
x(1)=2
x(2)=4
x(3)=2
x(4)=1
x(5)=0
Calcule o valor aproximado de x(2,5). Considere que o processo utilizou o
intervalo de Nyquist.
166
R:
x(2,5)=3,22.
O-2.4-Um sistema de tratamento de sinais resolve fazer a amostragem de um
sinal analógico empregando o esquema da Figura 2-45 :
Figura 2-45
Supondo que seja obedecido o teorema da amostragem, isto é: 2π/T > 2ωmax.
a-Calcule e desenhe o espectro de densidade de frequência da sequência de
pulsos pT(t).
b-Calcule e desenhe o espectro do sinal amostrado X s(ω).
167
Reconstituição do Sinal Analógico
Na reconstituição D/A, temos como ponto de partida uma sequência de códigos,
ou sequência de valores numéricos de amostras, que chegam ao conversor D/A à
taxa de amostragem utilizada. O que precisa ficar bem comprendido é que não
importa o método eletrônico usado na amostragem do sinal analógico, pois essa
amostra será representada por um código digital, que se traduz pelo valor da
amostra quantizada.
Para ser transformada de volta em um sinal analógico na recepção, essa
sequência de valores precisa adquirir característica física com energia suficiente
para gerar um sinal analógico que consiga excitar um sistema subsequente, como
um amplificador, por exemplo.
Portanto, a primeira etapa da conversão D/A consiste em reconstituir os pulsos
que originaram os valores das amostras. Isto é feito, usando um conjunto de fontes
de corrente para gerar os valores de amostras a partir da sequência recebida de
códigos.
Após a geração das amostras, um circuito Hold mantém o último valor gerado até
que o próximo seja recebido, dando um formato de escada á onda reconstituída.
Assim , a saída do Hold descreve uma curva em escada que se aproxima da forma
do sinal analógico, conforme a ilustra a Figura 2-46. A saída do Hold possui
componentes em alta frequência que precisam ser atenuadas. Isto é feito por um
FPB com frequência de corte ωC que satisfaça a condição ω max<ωC<ω0-ωmax . Este
FPB tem características severas para a curva de corte.
168
Figura 2-46
Na prática, essas características não são fáceis de serem conseguidas.
Por isso, a frequência de amostragem é cerca de 10 vezes ou mais que o valor de
ωmax , nos sistemas onde isso é possível, facilitando assim a construção do filtro.
Nos sistemas onde o valor da frequência de amostragem é crítico, devendo estar
próximo de 2ωmax , (digamos , no máximo 10% maior) uma solução possível é realizar
uma interpolação como a de Nyquist (ver Exercício O-2.2) , e calcular valores
intermediários de amostras (ver Exercício O-2.3).
Por exemplo, podem ser calculadas 4 amostras entre duas amostras transmitidas.
Isto permite a construção de circuitos Hold onde o degrau é bem menor (no caso,
T/4), facilitando a construção do FPB. Para tanto, possivelmente seria empregado
um filtro digital, para implementação do interpolador, cujos princípios de
funcionamento estão fora do escopo deste livro.
Outra solução possível seria o emprego de circuitos que já realizam uma
interpolação (digamos, uma interpolação linear) na saída do gerador de correntes,
ao invés do Hold. Isto permitiria a obtenção de curvas mais próximas do verdadeiro
sinal analógico, diminuindo os requisitos para o FPB.
169
Efeito “aliasing”
O efeito “aliasing” ocorre quando, por um motivo ou por outro, o sinal a ser
amostrado possui energia significativa em frequências maiores do que ω 0/2 (ω0 é a
frequência de amostragem).
Em primeiro lugar, vamos compreender melhor o efeito "aliasing", como ocorre e
que problemas acarreta, e em seguida como minimizá-lo na prática.
Para começar, imaginemos que pretendemos amostrar um sinal x(t) senoidal de
frequência f1Hz. Pelo teorema da amostragem, esse sinal deve ser amostrado à uma
taxa f0 = 1/T ≥ 2f1Hz.
A Figura 2-47 apresenta o que acontece com o sinal x(t) após a amostragem, do
ponto de vista do espectro. Estamos usando o modelo da Figura 2.40. Na
Figura 2-47, o teorema da amostragem é obedecido; portanto, o sinal senoidal que
foi amostrado é perfeitamente recuperado após o FPB.
Suponha agora que o sinal senoidal de entrada altere sua frequência para 2f 1Hz
.
Com estes valores de frequência do sinal de entrada, não será possível a
recuperação do sinal original na recepção, após o FPB, se a frequência de
amostragem não for modificada;
Figura 2-47
A Figura 2-48 mostra o que acontece se tentarmos usar o mesmo esquema da
170
Figura 2-47, numa situação em que não atende a condição em que a frequência de
amostragem deve ser no mínimo o dobro da frequência do sinal de entrada, para
que este seja corretamente recuperado a partir de suas amostras.
Na Figura 2-48, por hipótese, mantemos o mesmo valor para a frequência de
amostragem que na Figura 2-47, entretanto a frequência do sinal de entrada é o
dobro.
Efetivamente, a análise dos gráficos da Figura 2-48 mostra que a frequência do
sinal recuperado é (ω0-2ω1). Este resultado admite uma interpretação gráfica
interessante, apresentada na Figura 2-49.
Figura 2-48
Na Figura 2-49, ω2 corresponde à frequência do sinal de entrada, que na
Figura 2-48 é igual à 2ω1. Por hipótese, ω2=ω0/2+Δω.
171
Desta forma, ω2>ω0/2. Assim, segundo o teorema da amostragem, não será
possível a reconstituição do sinal original de entrada na saída do sistema, à partir de
suas amostras.
Mas ω2=ω0/2+Δω. Assim, ωA=ω0/2-Δω. Portanto, a frequência ω2 de entrada foi
rebatida em torno da frequência de corte do FPB da recepção, que no caso é um
filtro de Nyquist (filtro ideal PB onde a frequência de corte é exatamente igual à
metade da frequência de amostragem).
Isto caracteriza o efeito "aliasing". Frequências de entrada superiores à metade
da frequência de amostragem ω 0 são rebatidas em torno de ω 0/2, aparecendo na
saída e somando-se às frequências já existentes do espectro.
Figura 2-49
A Figura 2-50 ilustra o que acontece quando o sinal de entrada possui várias
frequências, representadas por um espectro contínuo. Para que aconteça o efeito
"aliasing", ωmax>ω0/2. E isto é exatamente o que acontece na Figura 2-50.
172
Figura 2-50
As frequências rebatidas pelo efeito "aliasing" em torno de ω0/2 somam-se às
frequências já existentes do espectro, provocando sua deformação quando forem
reconstituídas, principalmente nas frequências mais altas do espectro.
Filtro anti-aliasiag
É óbvio que todo sistema de conversão A/D-D/A deve ser resguardado contra a
possibilidade de ocorrência do efeito "aliasing". Isto é feito por um filtro especial,
chamado de filtro anti-"aliasing".
Este filtro, que genericamente é um FPB, com frequência de corte ω c=ω0/2, é
usado no início de todo sistema de conversão A/D, sendo localizado sempre antes
do circuito responsável pela amostragem.
173
Quantização
A operação de quantização necessariamente ocorrerá após uma amostragem,
pois é impossível designarmos um código digital a uma amostra sem que este
código pertença a um conjunto finito de palavras.
Uma amostra tem um número infinito de valores, e assim é necessário uma
“aproximação” de seu valor real a um valor pré-definido, dentro de um intervalo de
valores designado “quanta”.
Geralmente, este valor pré-definido corresponde ao centro do quanta, conforme
ilustra a Figura 2-51.
Nesta Figura, ilustra-se o sinal amostrado e o correspondente sinal quantizado.
Por hipótese, as amostras são aproximadas para o centro do intervalo, que neste
caso correspondem ao número real e inteiro L-i, do conjunto (-L, -L+1,
-L+2,...-L+L,...,L-2, L-1, L).
L=2N, para utilização de códigos binários com N bits. Assim, com N=10, L=1024,
com o quanta tendo um valor Δv=|Vmax|/(L/2) (são L/2 valores positivos e L/2 valores
negativos). Por exemplo, se |Vmax|=0,75V, o quanta vale Δv=0,0014648V para um
código com 10bits.
Vmax, o valor máximo da tensão a ser codificada, é estimado a partir do
conhecimento das características estatísticas do sinal analógico sendo codificado. A
existência de um Vmax deverá levar em conta que exite uma probabilidade de que
seja ultrapassado, por maior que seja seu valor. A probabilidade de que isto venha a
ocorrer é tanto menor quanto maior for o valor de V max.
Assim, níveis de tensão de valor elevado na entrada ( > V max ) poderão saturar o
conversor A/D e levar a ocorrência de distorção.
174
Figura 2-51
Ruido de Quantização
A quantização, ou seja, a divisão da escala vertical, ou das abcissas (a escala
horizontal, ou das ordenadas, é geralmente reservada à variável tempo), é uma
operação inerente a qualquer sistema de amostragem.
Na verdade, é inerente a qualquer medição de uma variável que realizarmos com
um instrumento qualquer, por exemplo, a medição de um comprimento linear com
uma régua.
No caso, o quanta corresponde a menor divisão da régua que podemos usar com
precisão, a metade da menor divisão (geralmente, 0,5mm, numa escala 1:1).
O código transmitido corresponde aos valores quantificados. Na recepção, a
amostra é reconstituída, a partir do valor decodificado. Mas não existe mágica. O
valor real da amostra perdeu-se para sempre. O que pode ser recuperado pelo
175
receptor é o valor quantizado da amostra, que foi codificado e transmitido.
Assim, num sistema que utiliza o processo descrito nos parágrafos acima para o
processamento de sinais analógicos por sistemas digitais, é inevitável a ocorrência
de uma diferença entre o sinal original e o sinal reconstituído, causada pela
quantização. Esta diferença traduz-se por um ruido associado ao sinal, chamado
ruido de quantização e que afeta a qualidade da comunicação. Este ruido é
diretamente proporcional ao “quanta” do sistema.
Quando a quantização é “uniforme”, isto é, quando o quanta é constante para
toda a excursão do sinal e igual a Δv=|Vmax|/(L/2), a potência média do ruido de
quantização pode ser estimada considerando que:
a)O valor máximo do ruido de quantização ocorre nas extremidades do intervalo
e vale Δv/2. No centro do quanta o erro é nulo (=0).
b)A distribuição estatística da variável aleatória que é o erro de quantização é
aproximada para uma distribuição uniforme dentro de um quanta, que é um
intervalo pequeno (Δv), em comparação com o intervalo total que é igual a
LΔv=2|Vmax |, seja qual for a sua distribuição estatística verdadeira.
c)O valor médio quadrático (valor rms) do erro de quantização pode então ser
calculado como:
Δv
2
(valor rms do erro)=
1
q 2 dq
∫
Δ v −Δ v
2
Assim, o valor rms do erro=(Δv)2/12=|Vmax|2/3L2.
Portanto, conforme previsto, quanto menor o quanta, menor o ruido de
quantização.
176
Quantização Não-Uniforme
Suponha um sistema com quantização uniforme, onde o sinal a ser amostrado
apresente alta probabilidade de ocorrência de valores de baixa amplitude relativa,
de modo que estes valores sejam muito mais frequentes que valores bem mais altos
(por exemplo, valores 10 vezes mais altos).
Esse sistema, para que a potência média do sinal em relação a potência média do
ruido de quantização (relação S/Nq) seja adequada para o transporte daquele tipo
de sinal, exige um valor de N tal que o tamanho do quanta seja o necessário a
obtenção de uma potência de ruido adequada.
Note que nesta quantização o valor rms do ruido de quantização é constante e
independente do valor rms do sinal (Δv2/12). Isto faz com que a relação S/N q seja
menor em baixas amplitudes do que em altas amplitudes do sinal. O resultado final é
uma relação S/Nq nivelada por baixo.
Para minorar este problema, foi estabelecida a quantização não-uniforme. A ideia
básica é casar o quanta às características dinâmicas do sinal. Desta forma, o quanta
é feito pequeno para baixas amplitudes do sinal e maior para altas amplitudes do
sinal.
Assim, a relação S/Nq
é aproximadamente constante para uma grande gama
dinâmica do sinal de entrada, sendo obtida para valores de N (que representa o
número de bits do código) relativamente menores que para uma quantização
uniforme equivalente.
A quantização não-uniforme é usada em telefonia, na conversão A/D-D/A usada no
sistema telefônico. Ela é especificada nas Rec G.711 da UIT, que são adotadas
internacionalmente como referência por diversos países europeus e americanos.
A especificação da quantização não-linear é feita em termos do sistema analógico
equivalente das curvas de compressão.
177
A ideia é comprimir adequadamente o sinal de entrada, e a seguir utilizar
quantização linear sobre o sinal comprimido.
Isto é uma herança do início da tecnologia, dos primeiros sistemas PCM
comerciais, lá pelos anos 70.
Naquela época, ainda não existiam CI's. As placas dos conversores A/D eram
montadas utilizando transistores e tratavam simultaneamente 30 canais analógicos
nos antigos MUX PCM-30. Naquele tempo, fazia sentido a compressão de sinais,
que era uma tecnologia analógica.
Hoje em dia, esta técnica está completamente ultrapassada. Os conversores
A/D-D/A são implementados em um único chip, numa base por canal.
A quantização linear é feita em primeiro lugar, com uma taxa de bits elevada (10
bits - N=1024- valor típico) para obter-se um valor relativamente pequeno de
"quanta". A seguir, reduz-se o código para a taxa final, que é 8 bits (N=256 - valor
típico), abandonando-se adequadamente certos códigos de 10 bits, realizando então
uma compressão conforme especificado. O resultado final é equivalente à
compressão especificada pela Rec G.711.
Na G.711, duas curvas de compressão são utilizadas, com resultados semelhantes.
A chamada “lei A”, adotada para o Brasil e utilizada na Europa, e a “lei μ” usada nos
EUA e Japão.
Sempre que houver necessidade de uma adaptação (por exemplo, em ligações
telefônicas para os EUA), essa será feita no lado da “lei μ” por acordo internacional
entre as operadoras.
A lei A, assim chamada por causa do parâmetro A, cujo valor típico é estabelecido
em A=87.6, está representada a seguir:
178
(2.54)
Nas expressões acima, m é o sinal de entrada e v o sinal comprimido de saida
Já a lei μ, utilizada nos EUA e Japão, é dada por:
(2.55)
O valor típico de μ é 255.
179
EXERCÍCIOS
*P-2.1-Sabemos que se o sinal analógico x(t) for amostrado segundo o modelo
teórico da Figura 2-40, a sequência de amostras consiste de uma sequência de
impulsos, cada qual com uma área que é proporcional ao valor da amostra x(nT),
porém a amplitude de cada impulso é infinita. Este é um modelo teórico, não pode
ser fisicamente realizado [entretanto, podemos realizá-lo em nossa imaginação].
Por isso, vamos chamar a sequência de impulsos, na saída de amostrador da Figura
2-40, de xis(t) ( O subíndice i referindo-se a uma entidade irreal).
Por outro lado, a forma em escada, saída do circuito Hold conforme a Figura 2-46,
é um sinal que com certeza tem existência física real. O valor de cada amostra está
representado pela amplitude de cada pulso de largura T, sendo T o intervalo de
amostragem. Este sinal será chamado xs(t).
Demonstre que, com o auxílio da teoria de sistemas lineares, é possível
estabelecer um modelo matemático e assim obter o espectro de densidade de
frequências de xs(t). Explique o resultado obtido e comente todas as considerações
teóricas que julgar necessário.
R:
T é o intervalo de amostragem.
Solução
Consideremos o esquema de amostragem da Figura 2.45, apresentado no
Exercício O-2.4. Vemos que o sinal amostrado consiste de uma sequência de pulsos
de amplitude constante. A amplitude de cada pulso é proporcional ao valor de cada
amostra, x(nT).
Conforme é verificado, nesse esquema de amostragem o espectro de frequência
do sinal amostrado é dado por:
+∞
1
X s (ω)=τ sinc ω τ × × ∑ (ω−n ω0 )
2 π T n=−∞
( )
180
onde ω0=2π/T
No caso do ZOH, τ=T, e
Nesta expressão, vê-se que o espectro do sinal amostrado é uma soma de
espectros deslocados em nω0, mas cada parte do espectro é modificada pela função
sinc(ωT/2π). Desta forma, a saída de um ZOH, apesar de ser um circuito não linear,
pode ser modelada por técnicas da teoria de sistemas lineares.
Observe que o ZOH só precisa ser considerado no lado de recepção de um
sistema amostrado, na etapa de reconstituição do sinal analógico. No lado de
transmissão, pelo contrário, temos a equação geral:
+∞
1
X s (ω)=τ sinc ω τ × × ∑ (ω−n ω0 )
2 π T n=−∞
( )
onde ω0=2π/T
τ deve ser o menor possível, para que o espaço livre entre amostras caiba outras
informações, como por exemplo outas amostra de um sistema multiplexado.
*P-2.2-Com base no resultado obtido no Exercício P-2.1, explique porque o filtro
Q(ω) da Figura 2-46, que teoricamente é um FPB, não deve ter sua característica de
transferência plana, mas sim com algum reforço nas frequências mais agudas (isto é,
próximas de ωmax).
Solução
O filtro Q(ω) é o filtro de reconstituição. Na amostragem ideal em que a função
amostradora é uma sequência de impulsos, Q(ω) é um Filtro passa-baixas ideal, com
frequência de corte ωC=ω0/2=T/π, sendo que a frequência máxima do sinal
amostrado é igual a B=ω0/2π, isto é, está sendo usado o intervalo de amostragem
de Nyquist.
Para o ZOH, que usa pulsos de largura T, o sinal recuperado é multiplicado pela
ωT
função
sinc(
)
2π
portanto deformado por uma função como na Figura P-2.2
181
Figura-2.2
Nesta figura,T=1 e serve apenas como exemplo.
Para que a resposta final não seja distorcida, é necessário que seja acrescentado um
equalizador que compense a distorção observada, como na Figura P-2.2.1.
Figura -P-2.2.1
P-2.3-Explique porque o uso de um interpolador de Nyquist que diminua o
intervalo de amostragem para T/5 iria simplificar o projeto do FPB Q(ω). Baseie sua
explicação num diagrama em blocos do sistema onde o interpolador de Nyquist seja
um dos componentes do diagrama em blocos.
Pode detalhar suficientemente os sinais no pontos do diagrama (mostrando sua
182
forma no tempo e na frequência) , mas não precisa entrar em detalhes reais
construtivos dos blocos, os quais não são objeto de estudos neste livro.
P-2.4-Explique, com detalhes, como ocorre a deformação no espectro do sinal
recuperado na Figura 2-50.
P-2.5-Considere um sistema que utiliza a amostragem conforme o modelo de
reconstituição da Figura 2-43, onde o FPB utilizado na recepção para recuperar o
sinal de entrada a partir das suas amostras não é um filtro de Nyquist, isto é, sua
frequência de corte ωc<ω0/2. Nestas condições, analise o comportamento
do
sistema perante o efeito "aliasing".
P-2.6-Dê uma explicação para o fato de que, na prática, se o sinal de entrada for
limitado em frequência a ωmáx, a frequência de amostragem ω0 tem um valor
mínimo sempre um pouco maior que 2ω máx, ou seja, sempre existe uma certa folga
na designação desse valor.
P-2.7-O que acontece com o efeito "aliasing" se a curva de corte do FPB de
reconstituição não é vertical, como no caso de um FPB ideal?
P-2.8-Um sistema de transmissão emprega amostragem como uma das etapas na
digitalização de sinais analógicos. Os parâmetros do sistema são:
-Frequência máxima do sinal analógico de entrada: 4 KHz.
-Frequência de amostragem: 9 KHz.
-Potência média do sinal analógico: -10dBm.
Calcule a relação S/N para um sinal interferente de frequência 5 KHz e potência
+10dBm, se o filtro anti-"aliasing" apresenta uma característica de corte com uma
inclinação de 80dB por oitava acima de 4KHz. Calcule também a frequência do sinal
interferente na saída do sistema. Considere o filtro de reconstrução ideal e de
Nyquist.
Refaça os cálculos sem a presença do filtro anti-"aliasing". Interprete os
resultados.
R: Com o filtro anti-"aliasing": Relação S/N: 9dB. Frequência interferente: 4 KHz.
Sem o filtro anti-"aliasing": Relação S/N: -11dB.
183
Densidade Espectral de Energia e de Potência
O estudo de sinais de natureza aleatória é parte fundamental para a
compreensão de muitos fenômenos físicos que ocorrem no mundo real, também na
área de comunicações. A densidade espectral de potência é peça fundamental neste
estudo, pois fornece uma descrição de sinais e sistemas aleatórios no domínio da
frequência.
A função básica de um sistema de comunicações é o transporte de informação. A
informação, seja lá de que forma se apresente, é de natureza essencialmente
aleatória. Qual o valor em se transmitir uma informação já conhecida? Apenas a
necessidade de complementação, ou de repetição . Se uma partida de futebol é
transmitida ao vivo, sua reprise em vídeo-tape já não será tão emocionante.
Em sistemas de comunicações, lidamos essencialmente com sinais elétricos,
oriundos de diversas fontes, como a fonte de informação, fontes de interferências e
ruidos, fontes de sinais de controle, de sinais de medições, etc.
A maioria se encaixa na classificação de aleatórios, mesmo aqueles que
teoricamente seriam bem determinados, como os sinais de controle. Muitas vezes,
por exemplo, não conseguimos saber, ou determinar, a fase exata de um sinal
senoidal ou retangular utilizado em uma medição de sistema. Assim, não temos
como determinar com precisão uma equação matemática que o represente.
O ferramental matemático, necessário à elaboração de modelos preditivos, que
são usados tanto para a análise quanto para o desenvolvimento e projeto de novos
sistemas, baseia-se em estudos voltados aos processos que geram sinais aleatórios.
Neste item, introduzimos a noção de densidade espectral de potência baseados,
ainda, na descrição determinística de sinais. Entretanto, mesmo esta descrição é
importante ao início do estudo, pois fornece definições e conclusões que são válidas
e indicam compreensões conceituais importantes.
184
A função densidade espectral, como o nome indica, é uma função que fornece a
concentração de energia ou de potência do sinal no domínio da frequência.
Os sinais de energia possuem uma densidade espectral de energia, enquanto os
sinais de potência, incluindo-se aí os sinais aleatórios, possuem uma densidade
espectral de potência.
Nesta parte do livro, estudaremos a função densidade espectral de energia ou de
potência do ponto de vista de sinais determinísticos, isto é sinais definidos por uma
fórmula g(t) conhecida. Isso não significa que os resultados obtidos não valem para
sinais aleatórios. Apenas têm que ser corretamente interpretados.
Um sinal aleatório, por exemplo um sinal de ruido, pode ser caracterizado de
várias formas. Ele pode ser representados pelo seus parâmetros estatísticos, como
também pode ser representado por amostras registradas em um aparelho qualquer
que guarde uma memória de seus valores, como um registrador gráfico, por
exemplo.
Neste último caso obtém-se uma forma de g(t) para o sinal aleatório,
observando-se que o g(t) assim foi obtido em instantes de tempo passados, e
portanto representa apenas amostras que já ocorreram, do sinal aleatório em
questão. Portanto, toda função derivada destes valores registrados representará
amostras de funções deste processo aleatório. Quando, porém, este tempo de
registro for suficientemente longo em relação aos parâmetros estatísticos que
caracterizam o processo, essas amostras de funções podem , na média, se aproximar
o suficiente dos resultados do processo.
Densidade espectral de energia, ou espectro de densidade de
energia
lA energia total de um sinal g(t) é dada pela Equação (2-7); genericamente, t i pode
ser qualquer valor pertencente ao campo dos reais, assim:
185
Mas , pela Equação (2-24)
Assim,
Portanto
Mas se g(t) é uma função real de t, então
A função |G(ω)|2 é chamada de espectro de densidade de energia de g(t), Ψ g(ω),
ou densidade espectral de energia de g(t).
Autocorrelação de g(t)
A função de autocorrelação pode ser definida para um sinal g(t), quando for
possível determinar seus valores, pela integral:
(2-56)
Se fizermos, na fórmula acima, uma mudança de variável, x=t-τ, logo t=x+τ, vemos
imediatamente que φg(-τ)=φg(+τ), ou seja, a autocorrelação é sempre uma função
par.
186
Além disso, se olharmos para a definição de convolução (Equação 2-31), vemos
que há bastante semelhanças entre as duas definições, ao ponto de podermos
escrever:
(2-57)
A autocorrelação é uma convolução da função com ela mesma, sem o
rebatimento que caracteriza a convolução.
Agora, se fizermos τ=0 em (2-56), vemos imediatamente que φ g(0) = energia total
de g(t) [veja a definição de energia total em (2-7), considerando que t i pode ter
qualquer valor real, inclusive –∞]. Quando g(t) é um sinal de energia (um pulso finito,
por exemplo), a autocorrelação tem seu valor máximo na origem, decrescendo com
|τ|. Esse valor máximo é igual a energia total do pulso.
Função de autocorrelação e a densidade espectral
Pode ser demonstrado, conforme feito a seguir, que a função de autocorrelação e
a função densidade espectral de energia formam um par de transformadas de
Fourier. Ou seja:
As equações acima podem ser demonstradas a partir da equação (2-57) e do fato
que, se
Portanto,
187
Logo,
(2-58)
Portanto, a função de autocorrelação e o espectro de densidade de energia
formam um par de transformadas de Fourier.
Autocorrelação e espectro de densidade de potência
Para sinais de potência, a autocorrelação tal como definida na equação (2-54),
tem valor infinito na origem. Para esses sinais, a função de autocorrelação tem que
ser redefinida, usando uma passagem ao limite.
As condições de existência da transformada de Fourier impõe limitações à φ g(τ),
de modo que (2-56) é válida para sinais de energia.
Porém, conforme visto no Exercício A-2.7, nós calculamos a potência de um sinal
de energia, dividindo sua energia pela sua duração T.
Assim, se considerarmos um sinal de potência g(t) e o mutiplicarmos por um
pulso retangular de duração T e amplitude 1 (representado uma janela no tempo de
abertura T), então podemos escrever que:
(2-59)
gT(t) é a forma truncada de g(t), e portanto é um sinal de energia e possui uma
função de autocorrelação, φgT(τ), cuja transformada de Fourier, gT(ω)= |GT(ω)|2
representa o espectro de densidade de energia de g T(t).
Assim como
Podemos imaginar que existam os limites:
188
Sendo:
Sg(ω) : Espectro de densidade de potência de g(t)
Rg(τ) : Função de autocorrelação de g(t)
Ainda considerando que
(2-60)
Então,podemos supor que
(2-61)
Portanto, para um sinal de potência g(t), a função de autocorrelação e o espectro
de densidade de potência formam um par de transformadas de Fourier.
A equação (2-61) é a conclusão de um teorema, denominadao teorema de
Wiener-Kinchine, que estabelece que a função de autocorrelação e o espectro de
densidade de potência formam um par de transformadas de Fourier. Na verdade, o
teorema de Wiener-Kinchine provê uma forma geral para a definição do espectro de
densidade de potência, válida para sinais determinísticos e aleatórios. Sua
demonstração completa está fora do escopo deste livro. O espectro de densidade
de potência é reconhecido como uma foma matematicamente válida de
representação de um sinal aleatório no domínio da frequência.
A partir de parâmetros estatísticos do sinal aleatório, ele pode ser calculado e
definições, tais como largura de banda podem serem usadas para esses sinais, em
cálculos ou medições.
189
Potência e espectro de densidade de potência
Podemos escrever a potência total de um sinal de potência g(t) como:
gT(t) é a versão truncada de g(t), logo é um sinal de energia. Assim sendo
Logo
Já sabemos que o limite no interior da última integral acima, se existir, é o
espectro de densidade de potência de g(t), Sg(). Logo
Fazendo uma mudança de variáveis, =2f, temos:
190
Ruido
O ruido, como o próprio nome indica, é uma perturbação ao sinal transportado
por um sistema de comunicações, que a ele se adiciona, provocando erros e
distorções. O ruido pode ter causas naturais assim como pode ser provocado pelo
próprio homem. O sinal elétrico que o representa é classificado como aleatório.
O ruido de causas naturais geralmente não pode ser evitado. É o caso, por
exemplo, de ruido gerado por indução elétrica provocada por descargas
atmosféricas (raios), ou pelo ruido térmico gerado pela agitação aleatória de
eletrons no interior de um condutor a certa temperatura, ou do ruido intergalático
captado por uma antena parabólica voltada para o céu, em um enlace de
comunicação via satélite.
Já o ruido provocado pelo próprio homem algumas vezes pode ser evitado ou
bastante atenuado em sua geração, como por exemplo a limitação de banda e de
geração de frequências espúrias imposta por orgãos regulatórios ao sinal gerado
por diversos sistemas de comunicação, ou à radiação eletromagnética gerada por
vários aparelhos eletrônicos.
Alguém já escutou o ruido causado pela indução de 120Hz em um amplificador
alimentado diretamente por um destes chamados “eliminadores de pilhas” (também
conhecido como “humm”)? Este é um exemplo de ruido, na verdade uma
interferência, provocado pela indução da CA, utilizada normalmente em nossas
residências, e provocado pelo homem. Seu efeito pode ser minimizado por uma
filtragem adequada na saída do “eliminador de pilhas”, diminuindo assim a potência
do sinal interferente.
Geralmente, podemos dizer que o ruido não é proposital, mesmo que seja
provocado por causas não naturais, como por exemplo, o funcionamento de outras
máquinas ou sistemas construídos pelo homem.
Algumas vezes, entretanto, a interferência é gerada propositalmente, tentando
191
provocar a ocorrência de ruidos e sinais que possam prejudicar ou impedir uma
comunicação.
Todo sistema de comunicações precisa ser projetado e construído de forma a
minimizar o efeito causado pelo ruido, seja controlando sua intensidade em pontos
específicos do sistema ou diminuindo suas consequências, porém nem todo sistema
de comunicações precisa ser projetado visando diminuir os efeitos de uma
interferência proposital.
Por exemplo, um receptor comercial de rádio FM não é construído para ser imune
a interferências propositais. Uma estação “pirata” é capaz de sobrepor o seu sinal ao
de uma estação comercial registrada e em dia com a legislação vigente, em uma
certa área geográfica.
Entretanto, um sistema militar, principalmente se for utilizado em situações
extremas, precisa ser construído de modo a suportar a presença de sinais
interferentes capazes de prejudicar ou mesmo impedir a sua operação.
Por essas e outras razões, é muito importante o estudo dos sinais de ruido. Uma
das facetas desses estudos está voltada para a caracterização do ruido, com o
objetivo de construir modelos matemáticos que possam ser utilizados na simulação
de sistemas e na predição de seus efeitos na comunicação.
Já foi mencionado neste livro o parâmetro “relação S/N”, que é a relação entre a
potência do sinal útil (S) e a potência do sinal de ruido (N), em um determinado
ponto de um sistema. O conhecimento deste valor no “front-end” de receptores é
fundamental ao projeto e dimensionamento desses subsistemas, cuja função básica
é justamente captar e reforçar o sinal útil em um ponto extremo de um enlace de
comunicações, quando ele está mais enfraquecido pelas atenuações e distorções
provocadas pelo meio de transmissão utilizado.
O valor de N (potência do ruido) geralmente adotado é um valor médio, derivado
das causas mais prováveis. Um modelo muito usado, pela sua simplicidade, é o do
192
ruido AWGN (“aditive white gaussian noise”)8. O modelo AWGN é baseado em que o
ruido, sendo um sinal aleatório, e sendo várias as fontes de ruido, em se somando
dão como resultado uma distribuição gaussiana para suas amplitudes.
A caracterização de um sinal aleatório, como o ruido AWGN, exige a definição de
termos cujo significado é principalmente estatístico, e está fora do escopo deste
livro que lida essencialmente com definições válidas para sinais determinísticos.
Entretanto, considerando que um registro de um sinal já ocorrido, durante um
período de tempo T, é uma forma de se obter uma representação determinística de
um sinal aleatório, e esta representação é tanto mais precisa quanto maior o tempo
de observação T, comparado aos parâmetros temporais do sinal estatístico sendo
observado, podemos usar o que já foi estudado em uma caracterização muito
empregada para o ruido AWGN, em termos de espectro de densidade de potência e
potência de ruido.
Espectro de densidade de potência do ruido AWGN
O ruido AWGN possui um espectro de densidade de potência constante para toda
a faixa de frequências, de 0 a ∓ꝏ. Assim podemos dizer que:
para o ruido AWGN.
O fator 2 aparece na fórmula acima por mera conveniência. Quando nos
referimos à banda BHz de um sinal, geralmente B refere-se ao lado positivo do
espectro desse sinal.
8 A sigla AWGN (“aditive white gaussian noise”) decorre de certas características desse sinal de ruido.
Assim, o ruido é aditivo (isto é, ele se adiciona algebricamente ao sinal útil).
A denominação “white”, que significa branco, refere-se ao espectro de densidade de potência, que possui
contribuições de todas as frequências do espectro, por analogia com a luz branca, que se decompõe em uma
combinação de todas as frequências do espectro visível.
“Gaussian” significa gaussiano, e diz respeito à um dos parâmetros estatísticos do sinal, a distribuição das
amplitudes. Isto confere à forma de onda um aspecto característico, bem representado na Figura 2-3.
“Noise, como já foi dito, significa ruido.
193
Para obter sua potência, no entanto, temos que considerar a contribuição
também do lado negativo. Como, em se tratando de ruido AWGN, para uma banda B
a contribuição do lado positivo do espectro, de largura B, é igual à contribuição do
lado negativo, de largura também igual a B, e por simetria aparece o fator 2.
Por exemplo, a potência de ruido em uma banda BHz é 2BN 0/2=BN0 Watts.
O fato do espectro ser constante implica em que a função de autocorrelação do
ruido, que é a transformada inversa do espectro, é um impulso de Dirac localizado
em τ=0, de área N0/2.
194
EXERCÍCIOS
*Q-2.1-Determine o espectro de densidade de energia de um pulso retangular
g(t)=⊓(t/T), e calcule sua energia E g. Se o sinal g(t) for processado por um FPB ideal
de largura de banda fcHz, determine a energia Ey de saída. Considere T=10 ms e fc
com 3 valores: 10Hz, 100Hz e 1000Hz. Interprete os resultados obtidos, comparando
a largura do pulso de entrada com as larguras de banda propostas e as respectivas
respostas impulsivas do filtro, observando a deformação do pulso ao passar pelo
filtro. Além das energias, obtenha também as formas de onda de entrada e saída em
cada caso.
R:
Eg=0,01 J
1: T=10 ms e fc=10Hz: Ey=0,002 J
2: T=10 ms e fc=100Hz: Ey=0,009 J
3: T=10 ms e fc=1000Hz: Ey=0,0099 J
Solução
A energia de um pulso retangular é igual a
E(J)=T(s)xamplitude(V)=0,01J.
Por outro lado, no domínio da frequência, o espectro de densidade de energia do
pulso retangular é:
S(f)=(AT)2sinc2(fT).
No caso, A=1V e T=0,01s.
Portanto,
S(f)=(Tsinc)2(fT)
A energia é dada pela integral deste pulso. Quando o pulso passa pelo FPB ideal,
seu espectro de frequências é limitado pelo filtro. Consequentemente sua energia
diminui. A energia de entrada pode ser calculada pela fórmula:
∞
E i (J )=2×∫ ( Tsinc (fT))2 df
0
Para o sinal de saida, a energia do pulso de saida será dada por:
fc
E 0 (J )=2×∫ ( Tsinc (fT))2 df
0
195
Infelizmente, as integrais acima são não-elementares, e só podem ser resolvidas
por métodos numéricos ou gráficos. A listagem a seguir pode ser usada para
resolução das equações acima utilizando um método numérico. A aplicação desta
listagem para o Scilab 4.0 gera as respostas numéricas apresentadas.
pi=4*atan(1);
T=0.01;
fc=100;
function [r]=IQ(v)
r=2*(T*((sin(pi*v))/(pi*v))^2)
endfunction
N=fc*T;
s=0;
fq=0;
n=0;
for x=0.0001:0.01:N
n=n+1;
s=IQ(x);
fq=fq+2*s;
end
fq=fq-(IQ(k)+IQ(N));
fq=((N-k)/(2.*(n-1))).*fq
A forma de onda do sinal de saida é dada pela transformada inversa do espectro
de frequências do sinal de saida. Este espectro, no caso, é igual ao espectro de
entrada, que é uma função sinc, truncada na frequência pelo filtro. Daí, temos uma
deformação do pulso. Parece que esta deformação será tanto maior quanto maior
for a truncagem no espectro, ou seja, será tanto maior quanto menor for a largura
de banda do filtro.
Assim, a Figura Q.2-1 apresenta a forma de onda do pulso na saida do FPB ideal,
quando em sua entrada temos um pulso retangular, em tres situações: quando a
relação τW=2, 1/2 e1/4. O pulso de entrada tem amplitude igual a 1, e larguras
respectivamente iguais a 2,82s, 1,41s e 1s.
196
Figura Q-2-1
Note que os pulsos representados na Figura Q.2-1 são não-causais, pois o filtro é
ideal. A Figura Q.2-1 foi obtida pela listagem abaixo, variando-se seus parâmetros
adequadamente:
pi=4*atan(1);
T=6;
TT=T+50;
T1=sqrt(.25);
tau=T1*2;
tt=[];
xx=[];
omegac=T1*pi;
t0=1;
for t=-T:0.011:T;
if abs(t)<T1 then x=1;
else x=0;
end
tt=[tt t];
xx=[xx x];
end
scf(0)
plot2d(tt,xx)
197
xgrid
f=-10:0.011:10;
T2=2*T1;
sinc=(sin(pi*T2*f))./(pi*T2*f);
H=T2*sinc;
scf(1)
plot2d(f,H)
xgrid
t=-50:0.011:50;
W=omegac/(2*pi);
sinc=(sin(pi*2*W*(t-t0)))./(pi*2*W*(t-t0));
h=2*W*sinc;
scf(2)
plot2d(t,h)
xgrid
y=(1/100)*convol(h,xx);
scf(3)
tt=-TT:0.011:TT-0.011;
plot2d(tt,y)
xgrid
*Q-2.2-Obtenha
a
função
de
autocorrelação
de
um
sinal
senoidal
g(t)=Acos(ω0t+ϴ).
Sugestão: Faça
Solução
A sugestão acima considera apenas um (1) período da função, pois a função
g(t)=Acos(ω0t+ϴ) é periódica, portanto um sinal de potência e o limite quando
T--->infinito é igual à integral considerando apenas um (1) período. Assim,
T /2
ϕg ( τ)=
∫
2
A cos (ω 0 t+θ) cos( ω0 [t+ τ]+θ)dt =
−T/ 2
T/2
2
=A /2 [
∫
−T /2
cos ω0 τ dt +
T/2
∫
cos (2 ω0 t+ ω0 τ+2 θ) dt ]
−T /2
A última integral acima é nula, portanto
198
A2
ϕg (τ )= cos ω0 τ
2
*Q-2.3-Obtenha o espectro de densidade de potência do sinal senoidal
g(t)=Acos(ω0t+θ). Interprete e apresente um gráfico do resultado.
R:
Solução
Como
ϕg ( τ )←→Sg (ω)
Então
Esta equação pode ser representada graficamente, conforme a Figura Q.2-3.
Figura Q.2-3
Q-2.4-A partir da função densidade espectral de potência de um sinal senoidal,
calcule sua potência total.
R: A2/2
199
*Q-2.5-Obtenha a expressão geral do espectro de densidade de potência de um
sinal periódico de período T 0 em termos do coeficiente G n da série complexa de
Fourier.
Sugestão: Observe os seguintes passos:
1-Obtenha a expressão para G(ω), transformada de Fourier de g(t), um sinal
periódico.
2-Obtenha a expressão para GT(ω), que é a transformada de Fourier da versão
truncada de g(t), usando o fato de que g T(t) pode ser considerado o produto de g(t)
por um pulso retangular de largura T e amplitude 1, centrado na origem, logo G T(ω)
pode ser obtido pelo teorema da convolução na frequência. Observe o passo 1.
3-Escreva a expressão para o espectro de densidade de energia de g T(t).
4-Aplique a definição e obtenha uma expressão inicial para S g(ω), que é igual a
1/T do espectro de densidade de energia de gT(t) quando T tende a infinito.
5-Resolva o limite para T tendendo a infinito da expressão obtida no passo 3,
considerado que uma função (sinc)2, quando concentrada na origem, tende a uma
função impulso. Calcule a área desta função impulso.
R:
onde Gn é o coeficiente da série de Fourier do sinal periódico g(t).
Solução
g( t)=
+∞
G n e jn ω t
∑
n=−∞
ω0 =
0
2π
T
sendo Gn o coeficiente de ordem n da série complexa de Fourier do sinal
periódico g(t):
+t / 2
1
− jn ω t
G n = ∫ g( t)e
dt
T −T / 2
0
Portanto, a transformada de Fourier do sinal periódico g(t) é dada por:
n=+∞
G(ω)=2 π
∑
n =−∞
G n δ(ω−n ω0 )
ω0=
2π
T
200
sendo T o período de g(t).
Mas
1
G(ω)∗T sinc(ω T/2 π)
2π
Sendo GT(ω) a transformada da versão truncada de g(t).
GT ( ω)=
Utilizando a propriedade da convolução na frequência, vem
n=+∞
G(ω)=2 π
∑
n =−∞
G n δ(ω−n ω0 )
Mas
n =+∞
GT (ω)=T sinc( ω T /2 π)∗ ∑ Gn δ(ω−n ω0)=
n=−∞
n =+∞
=T
∑
n=−∞
Gn sinc
[
( ω−n ω0 )
2π
]
Portanto
n=+∞
Sg (ω)=lim
∑ ∣Gn∣2 T sinc2
T→ ∞ n =−∞
[
(ω−n ω 0)
2π
]
Observe que quando T--->infinito, a função
T sinc2
[
(ω−n ω0 )
2π
]
tende a ficar concentrada na origem, com amplitude infinita, ou seja, um impulso.
Resta determinar a área deste impulso, ou seja
+∞
T ∫ sinc2
−∞
[ ]
xT
dx
2π
Considerando a definição de energia, temos que a energia total de um pulso
retangular, de largura T, e amplitude unitária, é igual a T. Daí,
2
∣ { }∣
1 +∞
1 +∞
T
2
ET =
∣G(ω)∣
d
ω=
T sinc ω
∫
∫
2 π −∞
2 π −∞
2π
1 +∞ 2
T
=
T sinc2 ω
d ω=T
∫
2 π −∞
2π
( )
portanto
+∞
T2
T
2
T=
sinc ω
dω
∫
2 π −∞
2π
( )
d ω=
201
Daí,
+∞
2
(
2 π=T ∫ sinc ω
−∞
T
dω
2π
)
Portanto, quando T-->infinito,
T sinc 2
[
( ω−n ω0 )T
2π
]
tende a um impulso, localizado em nω0, de área igual a 2л.
Dai, podemos escrever que
n=+∞
Sg (ω)=2 π
∑ ∣G(n)∣2 δ(ω−n ω0 )
n =−∞
ou seja, o PSD de um sinal periódico é um somatório de funções impulso, onde a
área de cada impulso é dada por 2л |Gn|2 , onde Gn é o coeficiente da série complexa
de Fourier de g(t). Cada impulso está localizado em nω0 , sendo ω0 a fundamental de
g(t).
*Q-2.6-A partir da expressão acima calcule a potência de um sinal senoidal
g(t)=Asenω0t. Apresente os passos intermediários.
Solução
O coeficiente de Fourier de um sinal senoidal é:
G=
A ± j π2
e
2
Daí, |G|2=A2/4 Para um sinal senoidal,
Sg (ω)=2 π [ A / 4 δ( ω−ω 0)+ A /4 δ(ω+ ω0) ]
2
2
Portanto
Potência Total=1/2л x 2л x [A2/4+A2/4]=A2/2.
*Q-2.7-Considere um sinal g(t) sendo processado por um sistema linear com
função de transferência H(ω). Obtenha uma relação entre as densidades de
potência da entrada e da saída, Sg(ω) e Sy(ω). Justifique seus resultados.
R:
202
Solução
∣GT (ω)∣2
Sg (ω)=lim
T
T→ ∞
sendo g T ( t)←→GT (ω)
gT(t) é a versão truncada de g(t).
Quando T tende a infinito, podemos considerar a resposta y T(t) do sistema
corresponde à entrada gT(t), pois o tempo de duração do sinal é grande o suficiente
para desprezarmos quaisquer resíduos de yT(t) além do tempo T.
Daí, podemos considerar como válida a relação:
Y T (ω)=H(ω)×GT (ω)
para
T →∞
Daí, segue-se que
1
1
2
2
∣Y T (ω)∣ =lim ∣H(ω)×G T (ω)∣ =
T →∞ T
T →∞ T
2
=∣H(ω)∣ lim ∣GT (ω)∣2 =∣H(ω)∣2 Sg (ω)
SY (ω)=lim
T →∞
*Q-2.8-Um espectro de densidade de potência S g(f)=3 para f=∓10Hz, e 0 para
|f|>10. Calcule a potência de g(t) em Watts.
Solução
O espectro acima é do tipo bilateral, conforme a especificação de f. Portanto,
deve-se calcular a contribuição de frequências positivas e negativas. A expressão
+∞
+10
−∞
−10
P= ∫ Sg (f )df=3 ∫ df =60W
permite calcular essa potência.
*Q-2.9-Se ao invés da variável f, em Q-2.8, houvesse sido especificada a variável ,
fazendo-se Sg()=3, quais seriam os valores limites da janela em  para a potência
do sinal g(t) não varie.
Solução
No caso de utilização da variável ω (rad/s), a fórmula para cálculo da potência se
modifica para:
203
1 +∞
P=
∫ Sg (ω) d ω
2 π −∞
Nesta expressão, ω=2лf é a frequência angular equivalente, medida em rad/s.
No caso, os limites de integração são -ω1 a +ω1, e a integral acima fica:
+ω 1
1
3
60=
3 d ω=
[2 ω1 ]
∫
2 π −ω
2π
Daí, ω1=20л.
1
Como era de se esperar, uma vez que a potência do sinal não se alterou, nem o
valor da função de densidade espectral, os limites de frequência foram convertidos
de Hz para rad/s.
*Q-2.10-Uma bateria de 12V CC é ligada a um resistor de 1, dissipando uma
potência de 144W. A representação do espectro de densidade de potência deste
sinal pode ser 144(f) W/Hz. Como seria essa representação se a variável livre fosse
?
Solução
Este caso requer interpretação. Temos que levar em conta que a mudança de
variáveis implica uma mudança de escala no eixo das ordenadas, ou de frequências,
expressa pela relação ω= 2лf. Evidentemente, a potência total tem que ser a
mesma, em ambos os casos. Expressando o eixo das frequências em Hz, temos que:
+∞
P= ∫ 144 δ (f )df=144W
−∞
Expressando o eixo das frequências em rad/s, temos que
P=
+∞
1 +∞
2 π +∞
144 δ (ω)d ω=
144 δ(2 π f ) df=144 ∫ δ(x)dx=144W
∫
∫
2 π −∞
2 π −∞
−∞
pois ω= 2лf, consequentemente dω= 2лdf. Além disso, como a função impulso só
existe para o argumento =0, tanto faz δ( 2лf) ou δ(x), a função impulso só existirá
em x=0, e assim δ( 2лf) = δ(x).
204
Distorções
Um fato do qual não se pode ignorar é que, por mais perfeito que seja um sistema
de comunicações, ele sempre introduzirá distorção ao sinal sendo transmitido.
De acordo com a nossa definição de distorção, diversas formas podem ser
consideradas. Se a linearidade de amplificação não é a mesma, em função da
amplitude do sinal, se frequências espúrias forem geradas pelo sistema, se a
amplificação não for a mesma, em toda a banda de transmissão, se interferências de
outros sistemas afetam a transmissão, etc, tudo isso pode ser considerado
distorção. Entretanto, no momento, estudaremos 3 tipos de distorção, que são
bastante comuns:
Distorção de atenuação ou de amplitude
A distorção em amplitude é facilmente descrita no domínio da frequência,
significando simplesmente que as componentes de frequência na saida não se
encontram na proporção correta.
A distorção de amplitude é geralmente especificada em termos de uma resposta
em frequência (vide Exercício L-2.7), isto é, a faixa de frequências para a qual |H(ω)|
deve ser constante com uma certa tolerância (p. ex., ±1 dB) de modo que distorção
de amplitude seja suficientemente pequena.
Observemos que as condições acima são requeridas apenas na faixa de
frequências onde o sinal x(t) possui energia no espectro.
Assim, se x(t) for limitado em frequência à Bhz, as condições de transmissão sem
distorção só precisam ser satisfeitas em |ω|<2πB.
Distorção de fase ou retardo de grupo
Segundo as condições de transmissão sem distorção, o desvio de fase deve ser
proporcional à frequência:
205
θ(ω)=-ωt0
Daí, conclui-se que t0 deve ser constante para todas as frequências da banda do
sinal. Quando θ(ω) é não-linear, ocorrerá distorção.
Como avaliar, porém, a linearidade de fase de um sistema? Isto pode ser obtido
verificando-se, por exemplo, se dθ(ω)/dω é constante, ao longo da banda de
interesse.
Veremos agora como pode ser evidenciado o fator dθ(ω)/dω.
Consideremos o sinal y(t).
y (t)=x( t)e
jω p t
x(t) é um sinal real, de baixa frequência, limitado em banda `B=W, sendo W a
largura da banda de interesse.
A projeção de y(t) no eixo real fornece:
A Figura 2-52 apresenta, apenas como exemplo, para melhor visualização, uma
forma hipotética de φ.
Figura 2-52
206
Observe da Figura 2-52 que a linha hipotética que une os picos do sinal  é
chamada “envoltória”, e que a envoltória positiva é igual a |x(t)|, e a envoltória
negativa é -|x(t)|.
O sinal y(t) ocupa uma banda ao redor de p. Isto pode ser demonstrado pela
aplicação da propriedade do desvio na frequência, obtendo-se que:
(2-62)
Supondo y(t) aplicado à um sistema linear, considera-se que a transmissão é sem
distorção se na saida tivermos:
(2-63)
A Equação (2-63) nos diz que o retardo t g, sofrido pela envoltória, deve ser
constante para todas as frequências da banda de y(t), porém o ângulo pode sofrer
um retardo diferente, dado por tp=-p/p, para transmissão sem distorção na banda
de y(t). Em outras palavras, o retardo sofrido pela envoltória, ao passar pelo
sistema, deve ser constante ao longo da banda, para que sua forme não se altere.
O retardo da envoltória também é chamado de retardo de grupo. Através do
retardo de grupo, pode-se avaliar a linearidade de fase do sistema.
Vamos mostrar que isso é possível.
Supondo que y(t) foi transmitido através de um sistema LTI cuja característica de
transferência na banda seja dada por:
(2-64)
Considerando a característica de fase uma função de , a transmissão será sem
distorção se ()=-t0. Vamos supor que a característica de fase tenha alguma não
linearidade ao longo da banda, como seria o caso de um sistema prático, como por
exemplo a característica de fase do FPB dado na Figura 2-53. A rigor, portanto,
temos uma transmissão com distorção.
207
Figura 2-53
Entretanto, supondo que a banda de passagem B do sinal y(t), dado pela
Equação (2-60), seja << W, a banda de passagem do sistema LTI considerado,
podemos aproximar () pelos dois primeiros termos da expansão de ( ) em uma
série de Taylor em torno do ponto p:
(2-65)
onde
(2-66)
Estaríamos assim fazendo uma linearização da curva de fase, para um sinal y(t) de
banda estreita.
Uma vez que o sinal y(t) é aplicado em sua entrada, o espectro do sinal y p(t) na
saida do sistema é dado por Yp(ω):
(2-67)
onde
208
Portanto, yp(t) pode ser obtido calculando-se a transformada inversa de Y p(ω), ou
seja, a transformada inversa da Equação (2-67).
Sabemos que:
(2-68)
(propriedade do desvio no tempo) e que:
(2-69)
(propriedade do desvio na frequência)
Logo, pela combinação das Equações (2-68) e (2-69), concluímos que:
(2-70)
A projeção sobre o eixo real fornece:
(2-71)
Portanto, o sinal y(t) foi defasado de p=(p) na frequência, correspondendo a
um retardo tp=-p/p.
Entretanto, a envoltória de y(t) sofreu um retardo de t g=-'p. tp é chamado o
retardo da portadora, e tg o retardo de grupo ou retardo da envoltória. Portanto, o
retardo de grupo, cuja constância ao logo da faixa de interesse define a linearidade
de fase do sistema, pode ser avaliado através do retardo que a envoltória de um
sinal como y(t) sofre ao ser processado pelo sistema, variando-se a frequência de
y(t).
Distorção não linear
Um sistema contendo elementos não lineares não pode ser descrito por funções
de transferência H(ω), que são derivadas de funções íntegro diferenciais lineares.
Ao invés da função de transferência H(ω), pode-se utilizar a relação entre valores
209
instantâneos da entrada e da saida que define uma “característica de transferência”,
ou “curva característica do sistema”.
Sob condições de pequenas variações do sinal de entrada em torno de um ponto
de operação, pode ser possível a linearização da curva característica, conforme
exemplificado na Figura 2-54.
Figura 2-54
Um modelo mais geral é a aproximação da curva de transferência por:
(2-72)
onde x(t) é a entrada e y(t) é a saida.
Linearização em torno do ponto de operação
Neste caso, supondo que
sendo X(ω) limitado em frequência a BHz.
210
Portanto
Sendo X(ω) limitado em frequência à Bhz, temos que:
é limitado em frequência a 2BHz e
é limitado à 3BHz e assim sucessivamente.
A não linearidade provocou, portanto, o aparecimento de componentes de
frequências na saida que não existiam na entrada, e que se sobrepõem às
frequências que estavam originalmente na banda. Utilizando filtragem, as
componentes adicionadas para
|ω|>2πB podem ser removidas, mas permanecem
as componentes para |ω|<2πB.
Para obter uma avaliação quantitativa, é necessário especificar o sinal x(t).
Fazendo-se x(t)=cos ω0t, têm-se:
Vê-se que, em virtude da distorção não linear, aparecem na saida harmônicas da
frequência de entrada. Os valores numéricos de a 0, a1, a2, a3 etc, dependem do
sistema.
Este tipo de distorção não linear é também chamada distorção harmônica. Ela
pode ser quantizada relacionando-se a amplitude de cada harmônico com a
211
amplitude da fundamental. Assim, por exemplo, a distorção harmônica de 2ª ordem
é:
Harmônicas de ordem mais alta são tratadas de forma similar.
Se a entrada x(t) é uma soma de senoides, cosω 1t +cosω2t, a saida inclui todos os
harmônicos de ω1 e ω2, mais os termos resultantes de produto cruzado qu levarão à
frequências ω2+ ω1, ω2-ω1, ω2-2ω1, etc. Essas frequências, somas e diferenças das
frequências de entrada e seus harmônicos, são chamadas de produtos de
intermodulação.
212
EXERCÍCIOS – Sequência R
*R-2.1-Estabeleça um método para medição em laboratório da distorção de
atenuação de um sistema de uma entrada e uma saída.
Você dispõe dos seguintes equipamentos:
Um gerador de sinais, capaz de gerar sinais senoidais em freqûencias ajustáveis
na banda W do sistema em teste, com amplitude pico a pico ajustável de 0 à 3 V e
impedância de saída baixa, em torno de 5 Ω.
Um medidor de valores rms, capaz de medir na banda do sistema, com alta
impedância de entrada (da ordem de 10 KΩ), com escala calibrada em V.
Sabemos que a precisão dos valores de amplitude gerados e medidores, por
limitações do instrumental, é de ∓20% do valor nominal, mas desejamos uma
precisão nas medições pelo menos igual ao dobro da especificada para a
estabilidade dos aparelhos, que é de ∓1% do valor nominal.
O sistema sob teste possui impedância de entrada e saida nominais de 600Ω e
atenuação de 3 dB no centro da banda, e o sinal de teste de entrada deve gerar uma
potência de -10dbm0 nominais em toda a banda a ser medida.
Pelo menos 10 valores de frequência devem ser avaliados, igualmente espaçados
na banda do sistema. Espera-se que a distorção de atenuação seja inferior a ∓1 dB
na banda medida.
Solução: A distorção de atenuação é a obtenção da atenuação (módulo) do
sistema para diversos valores de frequência dentro da faixa de atuação do sistema,
e a partir desses valores o cálculo da diferença (normalmente em dB) do valor
obtido para cada frequência e um valor de referência. Por exemplo para sistemas
telefônicos, na faixa de voz (a faixa de voz assume o valor nominal de 0-4 kHz,
nestes sistemas). . Assim, se
atn(620Hz)
=
4 dB.
atn(720Hz)
=
3,5dB.
atn(820Hz)
=
3,0dB.
atn(920Hz)
=
2,5dB.
atn(1020Hz)
=
3,0dB.
atn(1120Hz)
=
3,0dB.
213
atn(1220Hz)
=
4,0dB.
atn(1320Hz)
=
4,5dB.
atn(1420Hz)
=
4,0dB.
Então, tomando-se como referência a atn a 1020Hz, 3dB, temos que a distorção
de atenuação medida para esta faixa é:
dis(820Hz)
=
4,0-3,0=1dB.
dis(720Hz)
=
3,5-3,0=0.5dB
dis(820Hz)
=
3,0-3,0=0,0dB
dis(920Hz)
=
2,5-3,0=-0.5dB
dis(120Hz)
=
3,0-3,0=0,0dB
dis(1120Hz)
=
3,0-3,0=0,0dB
dis(1220Hz)
=
4,0-3,0=1,0dB
dis(1320Hz)
=
4,5-3,0=1,5dB
dis(1420Hz)
=
4,0-3,0=1,0dB
Portanto, a distorção de atenuação pode ser calculada a partir da característica
de módulo da atenuação do sistema, também chamada de resposta em frequência
do sistema.
A Figura R-2.1 apresenta uma montagem de teste que pode ser utilizada para
obtenção da resposta em frequência do sistema, em função dos recursos
disponíveis.
Inicialmente, com a chave ch-1 voltada para a posição a, medir a tensão de
entrada no sistema fornecida pelo oscilador senoidal, previamente ajustado para
uma frequência específica na faixa de medida. Supondo que o sistema em teste vá
ser usado em um sistema de telecomunicações num ponto de nível relativo de 0dB
(o ponto de 0dB é o ponto de referência para alocação de níveis de potência nos
demais pontos do sistema em teste), a potência de -10dBm0 corresponde a uma
potência de -10 dBm. Isto corresponde à uma tensão rms de 0,224V sobre 600Ω.
Portanto,o nível de saida do gerador deve ser ajustado para que se meça 0,224V
no ponto a.
A seguir, comuta-se a chave para o ponto b e mede-se a tensão rms de saida com
o voltímetro. Como a impedância de entrada é igual a impedância de saida, o
214
módulo da atenuação em dB do sistema pode ser calculado por:
atn(dB)=20×log 10 (Vsaida /V entrada )2
Note que Ventrada=0,224V.
Este procedimento deve ser realizado para todas as frequências de medição.
Solução: A distorção de atenuação é a obtenção da atenuação (módulo) do
sistema para diversos valores de frequência dentro da faixa de atuação do sistema,
e a partir desses valores o cálculo da diferença (normalmente em dB) do valor
obtido para cada frequência e um valor de referência. Por exemplo para sistemas
telefônicos, na faixa de voz (a faixa de voz assume o valor nominal de 0-4 kHz,
nestes sistemas). . Assim, se
atn(620Hz)
=
4 dB.
atn(720Hz)
=
3,5dB.
atn(820Hz)
=
3,0dB.
atn(920Hz)
=
2,5dB.
atn(1020Hz)
=
3,0dB.
atn(1120Hz)
=
3,0dB.
atn(1220Hz)
=
4,0dB.
atn(1320Hz)
=
4,5dB.
atn(1420Hz)
=
4,0dB.
Então, tomando-se como referência a atn a 1020Hz, 3dB, temos que a distorção
de atenuação medida para esta faixa é:
dis(820Hz)
=
4,0-3,0=1dB.
dis(720Hz)
=
3,5-3,0=0.5dB
dis(820Hz)
=
3,0-3,0=0,0dB
dis(920Hz)
=
2,5-3,0=-0.5dB
dis(120Hz)
=
3,0-3,0=0,0dB
dis(1120Hz)
=
3,0-3,0=0,0dB
dis(1220Hz)
=
4,0-3,0=1,0dB
215
dis(1320Hz)
=
4,5-3,0=1,5dB
dis(1420Hz)
=
4,0-3,0=1,0dB
Portanto, a distorção de atenuação pode ser calculada a partir da característica
de módulo da atenuação do sistema, também chamada de resposta em frequência
do sistema.
A Figura R-2.1 apresenta uma montagem de teste que pode ser utilizada para
obtenção da resposta em frequência do sistema, em função dos recursos
disponíveis.
Inicialmente, com a chave ch-1 voltada para a posição a, medir a tensão de
entrada no sistema fornecida pelo oscilador senoidal, previamente ajustado para
uma frequência específica na faixa de medida. Supondo que o sistema em teste vá
ser usado em um sistema de telecomunicações num ponto de nível relativo de 0dB
(o ponto de 0dB é o ponto de referência para alocação de níveis de potência nos
demais pontos do sistema em teste), a potência de -10dBm0 corresponde a uma
potência de -10 dBm. Isto corresponde à uma tensão rms de 0,224V sobre 600Ω.
Portanto,o nível de saida do gerador deve ser ajustado para que se meça 0,224V
no ponto a.
A seguir, comuta-se a chave para o ponto b e mede-se a tensão rms de saida com
o voltímetro. Como a impedância de entrada é igual a impedância de saida, o
módulo da atenuação em dB do sistema pode ser calculado por:
atn(dB)=20×log 10 (Vsaida /V entrada )2
Note que Ventrada=0,224V.
Este procedimento deve ser realizado para todas as frequências de medição.
216
Figura R-2.1
R-2.2-A Figura 2/G.713, especificada pelo ITU-T é relativa à distorção com a
frequência do retardo de grupo esperado entre interfaces a 2 fios de canais PCM
em frequências de voz (Recomendação G.713 do ITU-T). A referência é o retardo de
grupo mínimo medido na banda, o qual não deve exceder 750μs. Foram obtidos os
seguintes valores em uma medição: Valor mínimo (em 1000Hz): 650,0μs. Em
1100Hz: 650,2μs. Em 1200Hz: 650,5μs; Em 2020Hz: 656,0μs. Você aceitaria esse
sistema como atendendo à Recomendação? Porquê?
R-2.3-Um sinal
de “banda de passagem” pode ser representado pela
Equação (2-73):
(2-73)
g1(t) e g2(t) são sinais passa baixa limitados em frequência à [(ω 2-ω1)/4π]Hz.
Mostre que para um sinal com uma banda de passagem, a condição para
transmissão sem distorção através de um sistema com função de transferência H
como na Figura 2-55 se reduz a:
217
tg é constante ao longo da banda.
Figura 2-55
R-2.4- Justifique adequadamente que o valor t g do Exercício R-2.3 representa
efetivamente o retardo da envoltória de g0(t).
R-2.5-Mostre que o retardo de grupo t g do Exercício R-2.3- é diferente do retardo
existente na frequência ωp .
R-2.6-Considere un FPB RC como na Figura 2-24. Este filtro pode ser considerado
sem distorção para sinais passa baixa com banda B<<1/(2πRC). Faça uma pesquisa
em artigos e sites da Internet e na bibliografia relacionada e mostre que mesmo em
frequências f >1/(2πRC), este filtro pode transmitir sinais de banda de passagem
praticamente sem distorção, desde que o sinal tenha uma largura de banda estreita.
218
R-2.7-Um dispositivo não linear possui y(t)=a 0+a1x(t)+a2x2(t). Se x(t)=cos(ω1t)
+cos(ω2t), relacione as componentes de frequência presentes em y(t). Supondo
agora que ω2=3ω1/2, e que y(t) é processado por um FPB ideal com frequência de
corte = ω2, relacione agora as componentes de frequência na saida do filtro.
219
Bibliografia
1-Autor: A.B. CARLSON
Título: Communication Systems: An Introduction to Signals and Noise in Electrical
Communication
Editoria: McGraw-Hill, 1968
2-Autor: S. HAYKIN
Título: An Introduction to Analog and Digital Communications
Editoria: John Wiley and Sons, 1989
3-Autor: S. HAYKIN
Título: Communication Systems Third Edition
Editoria: John Wiley & Sons, 1994
Outros livros de interesse:
Proakis & Salhe (Ing. de sist. de com. em geral);
B. P. Lathi (Telecommunication Systems);
Clark Hess (circuitos eletrônicos para realizar modulação).

análise de sinais

Transcrição

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