Pré-Cálculo

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Pré-Cálculo
Prof. Drª Marília Brasil Xavier
REITORA
Prof. Rubens Vilhena Fonseca
COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA
MATERIAL DIDÁTICO
EDITORAÇÃO ELETRONICA
Odivaldo Teixeira Lopes
ARTE FINAL DA CAPA
Odivaldo Teixeira Lopes
REALIZAÇÃO
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
F676p Fonseca, Rubens Vilhena
Pré-cálculo / Rubens Vilhena Fonseca, Adriano Santos
de França – Belém: UEPA / Centro de Ciências Sociais
e Educação, 2011.
100 p.; iI.
ISBN: 978-85-88375-65-9
1.Cálculo – Estudo e ensino. 2. Geometria – Estudo e
ensino. 3. Números reais – Estudo e ensino. I. França,
Adriano Santos de. II. Universidade Estadual do Pará. III.
Título.
CDU: 517
CDD: 515
Índice para catálogo sistemático
1. Cálculo – Estudo e ensino: 517
Belém - Pará - Brasil
- 2011 -
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
TEORIA DOS CONJUNTOS






Introdução aos conjuntos
Alguns conceitos primitivos
Algumas notações p/ conjuntos
Subconjuntos
Alguns conjuntos especiais
Reunião de conjuntos
INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS






Interseção de conjuntos
Propriedades dos conjuntos
Diferença de conjuntos
Complemento de um conjunto
Leis de Augustus de Morgan
Diferença Simétrica
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence
a um conjunto utilizamos o símbolo  que se lê:
"pertence".
N
o estudo de Conjuntos, trabalhamos com
alguns conceitos primitivos, que devem ser
entendidos e aceitos sem definição. Para
um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos
Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos
ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro
deles foi traduzido para o português sob o título
(nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1
pertence ao conjunto dos números naturais,
escrevemos:
1N
Para afirmar que 0 não é um número natural ou que
0 não pertence ao conjunto dos números naturais,
escrevemos:
0N
Alguns conceitos primitivos
Conjunto: representa uma coleção de objetos.
a.
O conjunto de todos os brasileiros.
b.
O conjunto de todos os números naturais.
c.
O conjunto de todos os números reais tal que
x²-4=0.
Um símbolo matemático muito usado para a
negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.
ALGUMAS NOTAÇÕES PARA
CONJUNTOS
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra
maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Muitas vezes, um conjunto é representado com os
seus elementos dentro de duas chaves { e } através
de duas formas básicas e de uma terceira forma
geométrica:
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
a.
José da Silva é um elemento do conjunto dos
brasileiros.
b.
1 é um elemento do conjunto dos números
naturais.
c.
-2 é um elemento do conjunto dos números
reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Apresentação: Os elementos do conjunto estão
dentro de duas chaves { e }.
a.
A={a,e,i,o,u}
b.
N={1,2,3,4,...}
c.
M={João,Maria,José}
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado
por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais
propriedades.
Pertinência: é a característica associada a um
elemento que faz parte de um conjunto.
a.
A={x: x é uma vogal}
b.
N={x: x é um número natural}
a.
José da Silva pertence ao conjunto dos
brasileiros.
c.
M={x: x é uma pessoa da família de Maria}
b.
1 pertence ao conjunto dos números naturais.
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os
conjuntos são mostrados graficamente.
c.
-2 pertence ao conjunto de números reais que
satisfaz à equação x²-4=0.
1
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
por A  B e a interseção de A e B, denotada
por A  B, ainda são conjuntos no universo.
SUBCONJUNTOS
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está
contido em B, denotado por A  B, se todos os
elementos de A também estão em B. Algumas
vezes diremos que um conjunto A está
propriamente contido em B, quando o conjunto B,
além de conter os elementos de A, contém também
outros elementos. O conjunto A é denominado
subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto
que contém A.
2.
Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A,
tem-se que:
AA=A e AA=A
3.
Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A
e B, tem-se que:
A  A  B, B  A  B,
A  B  A, A  B  B
ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS
4.
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui
elementos. É representado por { } ou por Ø. O
conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os
conjuntos A e B, tem-se que:
A  B equivale a A  B = B
A  B equivale a A  B = A
Conjunto universo: É um conjunto que contém
todos os elementos do contexto no qual estamos
trabalhando e também contém todos os conjuntos
desse contexto. O conjunto universo é representado
por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o
conjunto universo.
5.
Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos
A, B e C, tem-se que:
A  (B  C) = (A  B)  C
A  (B  C) = (A  B)  C
6.
REUNIÃO DE CONJUNTOS
Comutativa: Quaisquer que
conjuntos A e B, tem-se que:
sejam
os
AB=BA
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de
todos os elementos que pertencem ao conjunto A
ou ao conjunto B.
AB=BA
7.
A  B = { x: x  A ou x  B }
Exemplo: Se A = {a,e,i,o} e B = {3,4} então
A  B = {a,e,i,o,3,4}.
Elemento neutro para a reunião: O conjunto
vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de
conjuntos, tal que para todo conjunto A, se
tem:
AØ=A
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
8.
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de
todos os elementos que pertencem ao conjunto A e
ao conjunto B.
Elemento "nulo" para a interseção: A
interseção do conjunto vazio Ø com qualquer
outro conjunto A, fornece o próprio conjunto
vazio.
AØ=Ø
A  B = { x: x A e x B }
9.
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então
A  B=Ø.
Elemento neutro para a interseção: O
conjunto universo U é o elemento neutro para a
interseção de conjuntos, tal que para todo
conjunto A, se tem:
AU=A
10. Distributiva: Quaisquer que
conjuntos A, B e C, tem-se que:
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o
conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são
disjuntos.
os
A  (B  C ) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS
1.
sejam
Os gráficos abaixo mostram a distributividade.
Fechamento: Quaisquer que sejam os
conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada
2
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
2.
O complementar da reunião de uma coleção
finita de conjuntos é a interseção dos
complementares desses conjuntos.
(A1  A2 ...  An)c = A1c  A2c ...  Anc
3.
O complementar da interseção de dois
conjuntos A e B é a reunião dos
complementares desses conjuntos.
(A  B)c = Ac  Bc
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
4.
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto
de todos os elementos que pertencem ao conjunto A
e não pertencem ao conjunto B.
O complementar da interseção de uma coleção
finita de conjuntos é a reunião dos
complementares desses conjuntos.
(A1  A2 ...  An)c = A1c  A2c ...  Anc
A-B = {x: x  A e x B}
DIFERENÇA SIMÉTRICA
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista
como:
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o
conjunto de todos os elementos que pertencem à
reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à
interseção dos conjuntos A e B.
A  B = {x: x A  B e x  A  B}
O diagrama de Venn-Euler para a diferença
simétrica é:
COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO
O complemento do conjunto B contido no conjunto
A, denotado por CAB, é a diferença entre os
conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os
elementos que pertencem ao conjunto A e não
pertencem ao conjunto B.
Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se
mostrar que:
CAB = A-B = {x: x  A e x B}
Graficamente, o complemento do conjunto B no
conjunto A, é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que
estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a
letra c posta como expoente no conjunto, para
indicar o complemento deste conjunto. Muitas
vezes usamos a palavra complementar no lugar de
complemento.
A = Ø se, e somente se, B = A  B.
2.
O conjunto vazio é o elemento neutro para a
operação de diferença simétrica. Usar o ítem
anterior.
3.
A diferença simétrica é comutativa.
4.
A diferença simétrica é associativa.
5.
A  A = Ø (conjunto vazio).
6.
A interseção entre A e B  C é distributiva, isto
é:
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
Exemplos: Øc = U e Uc = Ø.
7.
LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN
1.
1.
A  B está contida na reunião de A  C e de B
 C, mas esta inclusão é própria, isto é:
A  B  (A  C)  (B  C)
O complementar da reunião de dois conjuntos
A e B é a interseção dos complementares
desses conjuntos.
(A  B)c = Ac  Bc
3
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Exercícios resolvidos
1.
a)
b)
c)
d)
e)
Determinar o conjunto X tal que:
1) {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e}
2) {c,d} U X = {a,c,d,e}
3) {b,c,d} ∩ X = {c}
a)
b)
c)
d)
e)
{a,b}
{a,c,e}
{b,d,e)
{c,d,e}
{a,b,c,d}
Solução:
U = {alunos da escola}
E = {alunos que estudam inglês}
Solução:
F = {alunos que estudam francês}
De {b,c,d} ∩ X = {c} tiramos da definição de
interseção de conjuntos que:
Dados da questão:
n(U) = 415, onde n(U) representa o número de
elementos de U
c ε X e que b e d não pertencem a X
Da igualdade {c,d} U X = {a,c,d,e} e da
definição de união de conjuntos pode-se
concluir que:
n(E) = 221
n(F) = 163
a, c, d e e são possíveis elementos de X
n(E ∩ F) = 52
Mas como d não pode pertencer a X em
decorrência da primeira igualdade acima,
temos, até aqui, que X = {a,c,e}
Logo para determinar quantos alunos
estudam inglês ou francês - n(E U F) - basta
utilizar a seguinte propriedade dos conjuntos,
cuja demonstração não será feita aqui. No
entanto você pode verificar, intuitivamente, a
sua veracidade através de um diagrama de
Euler-Venn:
E finalmente, de {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e},
concluímos de forma análoga à colocada para a
segunda igualdade que:
a, b, c, d e e são possíveis elementos de X
n(E U F) = n(E) + n(F) - n(E ∩ F) = 221 + 163
- 52 = 332
E, como b e d não pertencem a X, concluímos
então que X = {a,c,e}.
Como 332 são os alunos que estudam uma
língua, vem que o número de alunos que não
estudam nenhuma das duas é:
Para comprovar verifique que as três
igualdades dadas são verdadeiras para X =
{a,c,e}
2.
384 e 52
332 e 31
332 e 83
384 e 83
Nenhuma das respostas anteriores
n(U) - n(E U F) = 415 - 332 = 83
Em uma escola que tem 415 alunos, 221
estudam inglês, 163 estudam francês e 52
estudam ambas as línguas. Quantos alunos
estudam inglês ou francês? Quantos alunos
não estudam nenhuma das duas?
3.
Sejam A, B e C três conjuntos finitos.
Sabendo-se que:
n(X U Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y) [1]
4
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Centro de Ciências Sociais e Educação
{2, 3, 4}  (A  C) _ V, pois A  C = {0,
2, 3, 4, 5}
f) {2, 3} C _ F, a relação é entre conjuntos
g) 2  A _ F, a relação é de pertinência
é verdadeira para quaisquer conjuntos finitos X e Y,
onde a notação n(Z) representa a quantidade de
elementos do conjunto Z, então n(A U B U C) é
igual a:
4.
e)
Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número
máximo de subconjuntos distintos é:
a) 21
b) 128
c) 64
d) 32
e) 256
7.
Solução:
Solução:
a) {0}
b) 
c) {2}
d) {1}
e) {6}
 Este exercício envolve o cálculo do
Conjunto das Partes do conjunto dado e a
fórmula para este cálculo é n(P(A)) = 2 n(A)
onde: P(A) = Conjunto das partes do conjunto
A; e n = número de elementos de A, logo:
 Se n = 7
 n(P(A)) = 2 7 = 128
 Resposta: letra b) 128
5.
8.
Utilizando os símbolos  ou , relacione os
conjuntos A = {0, -1, - 3, -5}, B = {-3, 5} e C =
{0, -1}.
a) A e B
b) B e A
c) A e C
d) C e A
6.
a) A  B = B
b) A  B =B  A  B = A
c) B  A _ só ocorre se A = B
d) A  B =  _ A  B = A
AeB_AB
B e A _ B A
A e C _ A C
C e A _ C A
9.
Depois de n dias de férias, um estudante
observa que:
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
b) quando chove de manhã não chove à tarde;
c) houve 5 tardes sem chuva;
d) houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
Dado os seguintes conjuntos: A = {0, 2, 4}, B
= {x  x é par}, C = {2, 3, 4, 5} classifique em
F(falso) ou V(verdadeiro).
a) 2  B
b) {4, 5}  C
c) B  A
d) A  B
e) {2, 3, 4}  (A  C)
f) {2, 3}  C
g) 2  A
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
Solução:
Solução:
a)
b)
c)
d)
Se A e B são dois conjuntos não vazios e
ocorrer A  B, então:
a) A  B = B
b) A  B =B
c) B  A
d) A B = 
Solução:
Solução:
a)
b)
c)
d)
O conjunto intersecção de {2, 4, 6, 8, 10} e {1,
2, 3, 5, 7} é:
a) {0}
b) 
c) {2}
d) {1}
e) {6}
Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela
manhã e T o conjunto dos dias que choveu à
tarde. Chamando de M' e T' os conjuntos
complementares de M e T respectivamente,
temos:
2  B _ V, 2 é par
{4, 5}  C _ F, a relação é entre conjuntos
B A _ F, B não está contido em A
A  B _ V, A está contido em B
n(T') = 5 (cinco tardes sem chuva)
5
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x+y+z+w = 52
y+z = 4y
y+z = 2(x+y)
y+z = w/2
n(M') = 6 (seis manhãs sem chuva)
n(M T) = 0 (pois quando chove pela manhã,
não chove à tarde)
Daí:
n(M  T) = n(M) + n(T) – n(M T) 7 = n(M)
+ n(T) – 0
10.
Podemos escrever também:
n(M') + n(T') = 5 + 6 = 11
Desenvolvendo e simplificando, vem:
x+y+z+w = 52 (eq.1)
z = 3y (eq. 2)
z = 2x + y (eq. 3)
w = 2y + 2z (eq. 4)
Temos então o seguinte sistema:
n(M') + n(T') = 11
n(M) + N(T) = 7
Substituindo o valor de z da eq. 2 na eq. 3,
vem: x = y Podemos também escrever: w = 2y
+ 2(3y) = 8y
Somando membro a membro as duas
igualdades, vem:
n(M) + n(M') + n(T) + n(T') = 11 + 7 = 18
Observe que n(M) + n(M') = total dos dias de
férias = n
Analogamente, n(T) + n(T') = total dos dias de
férias = n
Portanto, substituindo vem:
n + n = 18
2n = 18
n=9
Expressando a eq. 1 em função de y, vem:
y + y + 3y + 8y = 52 e, daí vem: 13y = 52, de
onde vem y = 4.
Temos então
z = 3y = 12
x=y=4
w = 8y = 32
por
simples
substituição:
A partir daí, é que vem a sutileza do problema.
Vejamos:
O problema pede para determinar o número de
pessoas que não gostam dos produtos A e B. O
conectivo e indica que devemos excluir os
elementos da interseção A  B. Portanto, a
resposta
procurada
será
igual
a:
w + x + z = 32 + 4 + 12 = 48 pessoas.
A resposta seria 32 (como muitos acham como
resultado),
se
a
pergunta
fosse:
Quantas pessoas não gostam do produto A ou
do produto B? Resp: 48 pessoas
52 pessoas discutem a preferência por dois
produtos A e B, entre outros e conclui-se que o
número de pessoas que gostavam de B era:
I.
O quádruplo do número de pessoas que
gostavam de A e B;
II. O dobro do número de pessoas que
gostavam de A;
III. A metade do número de pessoas que não
gostavam de A nem de B.
11.
Nestas condições, o número de pessoas que
não gostavam dos dois produtos é igual a:
a) 48
b) 35
c) 36
d) 47
e) 37
35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16
visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador.
Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e
Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São
Paulo. O número de estudantes que visitaram
Manaus ou São Paulo foi:
a) 29
b) 24
c) 11
d) 8
e) 5
Solução:
Considere a figura abaixo, onde estão
representados os conjuntos A e B, e a
quantidade de elementos x, y, z e w.
Solução:
Observe o diagrama de VENN abaixo:
Pelo enunciado do problema, poderemos
escrever:
6
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Pode-se garantir que a resposta correta é:
a) a
b) b
c) c
d) d
e) e
SOLUÇÃO:
Veja os seguintes comentários:
As alternativas (A) e (B): não há elementos
para se concluir por uma delas, inicialmente.
A alternativa (E) não pode ser verdadeira, pois
Podemos escrever:
implicaria - pelo enunciado - que o escritor
x + y + 5 = 16 ; logo, x + y = 11 .Eq. 1
nem teria nascido!
x + w + z + 3 = 16; logo, x + w + z = 13.Eq. 2
Para visualizar isto, veja a figura abaixo.
A alternativa (D) não pode ser verdadeira, pois
t + w + 5 = 11; logo, t + w = 6.Eq. 3
implicaria concluir-se pelos séculos XIX ou
x + y + z + w + t + 2 + 3 = 35; logo, x + y + z +
w + t = 30.Eq. 4
XX e, pelo enunciado, só existe uma
Substituindo as Eq. 1 e 3, na Eq. 4, vem:
POR EXCLUSÃO, a alternativa verdadeira só
alternativa verdadeira.
pode ser a C.
11 + z + 6 = 30; logo, z = 13.Eq. 5
Veja o esquema abaixo, para ajudar no seu
entendimento dos argumentos acima.
Substituindo o valor de z na Eq. 2, vem: x + w
+ 13 = 13; logo, x + w = 0, de onde se conclui
que x = 0 e w = 0, já que x e w são inteiros
positivos ou nulos.
Substituindo o valor de x encontrado acima na
Eq. 1, vem: 0 + y = 11; logo, y = 11.
Observando que o número de elementos de M
U SP é igual a x + y + z + w + 2 + 3, vem
imediatamente, substituindo os valores: n(M U
SP) = 0 + 11 + 13 + 0 + 2 + 3 = 29
Observe que n(M U SP) representa o conjunto
dos estudantes que visitaram Manaus OU São
Paulo, conforme foi solicitado no problema.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
12.
Um teste de literatura, com 5 alternativas em
que uma única é verdadeira, referindo-se à
data de nascimento de um famoso escritor,
apresenta as seguintes alternativas:
a) século XIX
b) século XX
c) antes de 1860
d) depois de 1830
e) nenhuma das anteriores
7
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NÚMEROS RACIONAIS
RELACIONANDO NÚMEROS
RACIONAIS COM FRAÇÕES
Um número racional é o que pode ser escrito na
forma
2.
1,6666666... = 1,6
3.
12,121212... = 12,12
4.
0,9999999... = 0,9
5.
7,1333333... = 7,13
Uma dízima periódica é simples se a parte decimal
é formada apenas pelo período. Alguns exemplos
são:
onde m e n são números inteiros, sendo que n deve
ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero.
Frequentemente usamos m/n para significar a
divisão de m por n. Quando não existe
possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma
letra como q para entender que este número é um
número racional.
1.
0,333333... = 0,(3) = 0,3
2.
3,636363... = 3,(63) = 3,63
Uma dízima periódica é composta se possui uma
parte que não se repete entre a parte inteira e o
período. Por exemplo:
Como podemos observar, números racionais podem
ser obtidos através da razão (em Latim:
ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os
números racionais é denotado por Q. Assim, é
comum encontrarmos na literatura a notação:
1.
0,83333333... = 0,83
2.
0,72535353... = 0,7253
1.
0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...
Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}
2.
0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...
Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o
conjunto dos números racionais positivos e Q_ o
conjunto dos números racionais negativos. O
número zero é também um número racional.
3.
4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...
Uma dízima periódica é uma soma infinita de
números decimais. Alguns exemplos:
A conexão entre números racionais e números reais
Um fato importante que relaciona os números
racionais com os números reais é que todo número
real que pode ser escrito como uma dízima
periódica é um número racional. Isto significa que
podemos transformar uma dízima periódica em uma
fração.
No nosso link Frações já detalhamos o estudo de
frações e como todo número racional pode ser posto
na forma de uma fração, então todas as
propriedades válidas para frações são também
válidas para números racionais. Para simplificar a
escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais
para nos referirmos aos números racionais.
O processo para realizar esta tarefa será mostrado
na sequência com alguns exemplos numéricos. Para
pessoas interessadas num estudo mais aprofundado
sobre a justificativa para o que fazemos na
sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries
geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo
estudar números racionais do ponto de vista do
Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na
Reta no âmbito do Ensino Superior.
DÍZIMA PERIÓDICA
Uma dízima periódica é um número real da forma:
m,npppp...
onde m, n e p são números inteiros, sendo que o
número p se repete indefinidamente, razão pela qual
usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte
que se repete é denominada período.
A GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA
Dada uma dízima periódica, qual será a fração que
dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um
número racional denominado a geratriz da dízima
periódica. Para obter a geratriz de uma dízima
periódica devemos trabalhar com o número dado
pensado como uma soma infinita de números
decimais. Para mostrar como funciona o método,
utilizaremos diversos exemplos numéricos.
Em alguns livros é comum o uso de uma barra
sobre o período ou uma barra debaixo do período
ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa
facilidade de escrita na montagem desta Página,
usaremos o período sublinhado.
Exemplos: Dízimas periódicas
1.
0,3333333... = 0,3
8
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1.
Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é,
S=0,3. Observe que o período tem apenas 1
algarismo. Iremos escrever este número como
uma soma de infinitos números decimais da
forma:
Manipule a soma "infinita" como se fosse um
número comum e passe a parte que não se
repete para o primeiro membro para obter:
R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Multiplique agora a soma "infinita" por 10 1=10
(o período tem 1 algarismo), para obter:
S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...
Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o
período tem 1 algarismo), obteremos:
10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Observe que são iguais as duas últimas
expressões que aparecem em cor vermelha!
10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...
Observe que são iguais as duas últimas expressões
que aparecem em cor vermelha!
Subtraindo membro a membro
expressão da última, obtemos:
a
Subtraia membro a membro a penúltima
expressão da última para obter:
penúltima
10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8
Assim:
10 S - S = 3
10R - 71 - R + 7,1 = 0,8
donde segue que
Para
evitar
os
números
decimais,
multiplicamos toda a expressão por 10 e
simplificamos para obter:
9S=3
Simplificando, obtemos:
90 R = 647
Obtemos então:
Exercício: Usando o mesmo argumento que antes,
você saberia mostrar que:
0,99999... = 0,9 = 1
2.
4.
Vamos tomar agora a dízima periódica
T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o
período tem agora 2 algarismos. Iremos
escrever este número como uma soma de
infinitos números decimais da forma:
T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...
U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...
Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100
(o período tem 2 algarismos), obteremos:
Manipule a soma "infinita" como se fosse um
número comum e passe a parte que não se
repete para o primeiro membro para obter:
100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...
Observe que são iguais as duas últimas
expressões que aparecem em cor vermelha,
assim:
U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...
Multiplique agora a soma "infinita" por
10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para
obter:
100 T = 31 + T
de onde segue que
1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 +
0,004004004 +...
99 T = 31
Observe que são iguais as duas últimas
expressões que aparecem em cor vermelha!
e simplificando, temos que
3.
Um quarto tipo de dízima periódica é
T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe
que o período tem 3 algarismos, sendo que os
dois primeiros são iguais a zero e apenas o
terceiro é não nulo. Decomporemos este
número como uma soma de infinitos números
decimais da forma:
Subtraia membro a membro a penúltima
expressão da última para obter:
Um terceiro tipo de dízima periódica é
T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe
um número com 1 algarismo após a vírgula
enquanto que o período tem também 1
algarismo. Escreveremos este número como
uma soma de infinitos números decimais da
forma:
1000(U-7) - (U-7) = 4
Assim:
1000U - 7000 - U + 7 = 4
Obtemos então
999 U = 6997
R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
9
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que pode ser escrita na forma:
Do ponto de vista geométrico, um número que está
à esquerda é menor do que um número que está à
direita na reta numerada.
Todo número racional q exceto o zero, possui um
elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é
caracterizado pelo fato geométrico que tanto q
como -q estão à mesma distância da origem do
conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que:
NÚMEROS IRRACIONAIS
Um número real é dito um número irracional se ele
não pode ser escrito na forma de uma fração ou
nem mesmo pode ser escrito na forma de uma
dízima periódica.
(a) O oposto de 3/4 é -3/4.
(b) O oposto de
Exemplo: O número real abaixo é um número
irracional, embora pareça uma dízima periódica:
5
é -5.
Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona
como a imagem virtual de algo colocado na frente
de um espelho que está localizado na origem. A
distância do ponto real q ao espelho é a mesma que
a distância do ponto virtual -q ao espelho.
x=0,10100100010000100000...
Observe que o número de zeros após o algarismo 1
aumenta a cada passo. Existem infinitos números
reais que não são dízimas periódicas e dois números
irracionais muito importantes, são:
MÉDIA ARITMÉTICA E MÉDIA
PONDERADA
e = 2,718281828459045...,
Pi = 3,141592653589793238462643...
Média aritmética: Seja uma coleção formada por n
números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média
aritmética entre esses n números é a soma dos
mesmos dividida por n, isto é:
que são utilizados nas mais diversas aplicações
práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros
de gravidade, previsão populacional, etc...
Exercício: Determinar a medida da diagonal de um
quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado
numérico é um número irracional e pode ser obtido
através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz
quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para
simplificar as notações estranhas.
Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:
12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33
então a idade média do grupo pode ser calculada
pela média aritmética:
REPRESENTAÇÃO, ORDEM E
SIMETRIA DOS RACIONAIS
Podemos representar geometricamente o conjunto
Q dos números racionais através de uma reta
numerada. Consideramos o número 0 como a
origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a
unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e
por os números racionais da seguinte maneira:
o que significa que a idade média está próxima de
39 anos.
Média aritmética ponderada: Consideremos uma
coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3,
..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um
peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ...,
pn. A média aritmética ponderada desses n números
é a soma dos produtos de cada um por seu peso,
dividida por n, isto é:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem
que os números racionais obedecem é crescente da
esquerda para a direita, razão pela qual indicamos
com uma seta para a direita. Esta consideração é
adotada por convenção, o que nos permite pensar
em outras possibilidades.
Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha
(com salário por dia), em uma empresa é formado
por sub-grupos com as seguintes características:
Dizemos que um número racional r é menor do que
outro número racional s se a diferença r-s é
positiva. Quando esta diferença r-s é negativa,
dizemos que o número r é maior do que s. Para
indicar que r é menor do que s, escrevemos:
12 ganham R$ 50,00
10 ganham R$ 60,00
20 ganham R$ 25,00
r<s
10
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15 ganham R$ 90,00
em C. O segmento vertical traçado para cima a
partir de B encontrará o ponto D na semicircunferência. A medida do segmento BD
corresponde à média geométrica das medidas dos
segmentos AB e BC.
7 ganham R$ 120,00
Para calcular a média salarial (por dia) de todo o
grupo devemos usar a média aritmética ponderada:
Média harmônica: Seja uma coleção formada por
n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A
média harmônica H entre esses n números é a
divisão de n pela soma dos inversos desses n
números, isto é:
MÉDIAS GEOMÉTRICA E HARMÔNICA
Média geométrica: Consideremos uma coleção
formada por n números racionais não negativos: x1,
x2, x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n
números é a raiz n-ésima do produto entre esses
números, isto é:
Aplicações práticas: Para as pessoas interessados
em muitas aplicações do conceito de harmônia,
média harmônica e harmônico global, visite o nosso
link Harmonia.
G = Rn[x1 x2 x3 ... xn]
Exemplo: A a média geométrica entre os números
12, 64, 126 e 345, é dada por:
G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013
Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com
a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo
perímetro é o menor possível, isto é, o mais
econômico? A resposta a este tipo de questão é
dada pela média geométrica entre as medidas do
comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.
A média geométrica G entre a e b fornece a medida
desejada.
G = R[a × b] = R[64] = 8
Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8
cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo
só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é
p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as
medidas dos comprimentos forem diferentes das
alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.
Interpretação gráfica: A média geométrica entre
dois segmentos de reta pode ser obtida
geometricamente de uma forma bastante simples.
Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um
segmento de reta que contenha a junção dos
segmentos AB e BC, de forma que eles formem
segmentos consecutivos sobre a mesma reta.
Dessa junção aparecerá um novo segmento AC.
Obtenha o ponto médio O deste segmento e com
um compasso centrado em O e raio OA, trace uma
semi-circunferencia começando em A e terminando
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ÁLGEBRA BÁSICA – POTÊNCIA
DE BASE DEZ
30 ÷ 10 = 3,0
Note que ao dividir por 10, o resultado será
composto pelos algarismos do dividendo (número a
ser dividido), sendo que este resulta
Como foi dito no início, podemos ter qualquer tipo
de base para uma potência. Em certos casos é muito
utilizado a escrita na forma de "BASE DEZ". Que é
o que iremos estudar neste tópico.
do terá um destes algarismos DEPOIS da vírgula.
254 ÷ 10 = 25,4
Resultado tem os mesmos algarismos, com UM
algarismo APÓS a vírgula.
Vamos começar mostrando uma propriedade
SUPER básica de uma multiplicação de um número
qualquer por 10.
Agora, se pegarmos este resultado e dividirmos
novamente por 10. O que irá acontecer? Veja o
quadro abaixo:
5 x 10 = 50
52 x 10 = 520
25,4 ÷ 10 = 2,54
458 x 10 = 4580
Resultado tem os mesmos algarismos, só que
agora com DOIS algarismos APÓS a vírgula.
30 x 10 = 300
Note que sempre que multiplicamos qualquer
número inteiro por 10, acrescentamos um zero à
direita deste número e obtemos o resultado, não
interessa por quais e por quantos algarismos é
formado este número.
Note que cada vez que dividimos por 10, a vírgula
"se movimenta" uma casa para esquerda. Vamos
dividir novamente para confirmar.
2,54 ÷ 10 = 0,254
Vamos pegar o número 256 e multiplicá-lo por 10
três vezes:
Resultado tem os mesmos algarismos, agora com
TRÊS algarismos APÓS a vírgula. Como o
número só tinha três algarismos, colocamos um
zero à esquerda, para não ficar ,254
256 x 10 = 2560
2560 x 10 = 25600
Portanto, podemos dizer que 0,254 é igual a 254
dividido por 10 três vezes, ou seja:
25600 x 10 = 256000
Ao multiplicar por 10 três vezes, acrescentamos três
zeros
à
direita
do
número.
Veja que o número 256000 pode ser escrito como
256 x 10 x 10 x 10. Ou seja:
Aqui devemos ver que, dividir um número por 10 é
a mesma coisa que multiplicar pela fração .
Aplicando esta propriedade:
256000 = 256 x 10 x 10 x 10
Aplicando potênciação na multiplicação do 10,
temos:
256000 = 256 x 103
Bom, este exemplo não foi muito satisfatório, pois
escrever 256000 ou 256 x 103 acaba dando o
mesmo trabalho. Mas veja agora o número abaixo:
Agora, aplicando as propriedades de potênciação:
12450000000000000000000000000000
Para representá-lo em uma forma mais compacta,
utilizaremos a potência de base DEZ:
12450000000000000000000000000000 = 1245 x 10
Esta notação (forma de apresentar o valor) é
também chamada de notação científica. Para
números extremamenta pequenos ou absurdamente
grandes é muito utilizada.
28
Note que para este tipo de número, o expoente da
base 10 será igual ao número de zeros à direita que
existem no número a ser representado.
Continuando no exemplo acima. Se multiplicarmos
por 10, iremos desfazer a "movimentação" para
esquerda, ou seja, a vírgula irá "se movimentar"
para direita.
Potências de base DEZ também são utilizadas para
"movimentar a vírgula" de um número decimal.
Vamos ver agora uma outra propriedade básica de
DIVISÃO por 10.
0,254 x 10 = 2,54
5 ÷ 10 = 0,5
52 ÷ 10 = 5,2
458 ÷ 10 = 45,8
12
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0,00021 x 10–4 = 0,000000021
"Movimentamos" a vírgula 4 casas para esquerda
0,000032 x 10-3 = 0,000000032
"Movimentamos" a vírgula 3 casas para esquerda
Então, se multiplicarmos por 10 três vezes,
voltaremos para 254:
0,254 x 10 x 10 x 10 = 254
0,254 x 103 = 254
32500000 x 10-4 = 3250
RESUMO
"Diminuimos" 4 zeros que estavam à direita
Quando temos um número multiplicado por uma
potência de base 10 positiva, indica que iremos
"aumentar" o número de zeros à direita ou
"movimentar" para direita a vírgula tantas casas
quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns
exemplos:
Quando temos um número multiplicado por uma
potência de base 10 negativa, indica que iremos
"diminuir" o número de zeros à direita ou
"movimentar" a vírgula para esquerda tantas casas
quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns
exemplos:
54 x 105 = 5400000
Agora vamos mostrar um exemplo de uso desta
matéria:
Acrescentamos 5 zeros à direita do 54
– Calcule o valor de
2050 x 102 = 205000
:
– Primeiro de tudo vamos colocar todos números
em notação científica (potências de base DEZ):
Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050
0,00021 x 104 = 2,1
"Movimentamos" a vírgula 4 casas para direita
– Vamos organizar os termos, para facilitar o
cálculo:
0,000032 x 103 = 0,032
"Movimentamos" a vírgula 3 casas para direita
54 x 10–5 = 0,00054
– Agora ficou fácil. É só calcular o lado direito da
multiplicação e aplicar as propriedades de
potênciação no lado esquerdo para calcular.
Fazendo isso, temos:
"Movimentamos" a vírgula 5 casas para esquerda
2050 x 10-2 = 20,5
"Movimentamos" a vírgula 2 casas para esquerda.
Lembrando que 20,5 = 20,50
1024 x 10-1 = 102,4
13
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RAZÕES, PROPORÇÕES e PORCENTAGEM





Proporções com números
Propriedades das Proporções
Grandezas diret. proporcionais
Grandezas invers. proporcionais
Histórico sobre a Regra de três





Regras de três simples direta
Regras de três simples inversa
Regras de três composta
Porcentagem
Juros simples
PROPORÇÕES COM NÚMEROS
4.
Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de
zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:
1.
Os números A, B, C e D são denominados
termos
2.
Os números A e B são os dois primeiros termos
3.
Os números C e D são os dois últimos termos
4.
Os números A e C são os antecedentes
5.
Os números B e D são os consequentes
6.
A e D são os extremos
7.
B e C são os meios
8.
A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é
uma constante K, denominada constante de
proporcionalidade K dessa razão.
GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
Duas grandezas são diretamente proporcionais
quando, aumentando uma delas, a outra também
aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma
delas, a outra também diminui na mesma
proporção.
Se duas grandezas X e Y são diretamente
proporcionais, os números que expressam essas
grandezas variam na mesma razão, isto é, existe
uma constante K tal que:
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
Para a proporção
Exemplos:
1.
valem as seguintes propriedades:
1.
O produto dos meios é igual ao produto dos
extremos, isto é:
A·D=B·C
2.
Uma torneira foi aberta para encher uma caixa
com água azul. A cada 15 minutos é medida a
altura do nível de água. (cm=centímetros e
min=minutos)
15 minutos
50 cm
A soma (diferença) dos dois primeiros termos
está para o primeiro termo, assim como a soma
(diferença) dos dois últimos está para o terceiro
termo, isto é:
3.
A soma (diferença) dos antecedentes está
para a soma (diferença) dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o
seu consequente, isto é:
A soma (diferença) dos dois primeiros
termos está para o segundo termo, assim
como a soma (diferença) dos dois últimos
está para o quarto termo, isto é:
14
30 minutos
100 cm
45 minutos
150 cm
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240
2.
Construímos uma tabela para mostrar a
evolução da ocorrência:
Tempo (min)
Altura (cm)
15
50
30
100
45
150
9.
3
Notamos que quando duplica o intervalo de
tempo, duplica também a distância percorrida e
quando o intervalo de tempo é triplicado, a
distância também é triplicada, ou seja, quando
o intervalo de tempo aumenta, a distância
percorrida também aumenta na mesma
proporção.
10. Observações: Usando razões e proporções,
podemos descrever essa situação de outro
modo.
11. (a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1
h para 2 h, a distância percorrida varia de 80
Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na
razão de 1/2 enquanto a distância percorrida
varia na razão 80/160. Assim temos que tais
razões são iguais, isto é:
3.
Observamos que quando duplica o intervalo de
tempo, a altura do nível da água também
duplica e quando o intervalo de tempo é
triplicado, a altura do nível da água também é
triplicada.
4.
Observações: Usando razões, podemos
descrever essa situação de outro modo.
5.
(a) Quando o intervalo de tempo passa de 15
min para 30 min, dizemos que o tempo varia na
razão 15/30, enquanto que a altura da água
varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura
varia na razão 50/100. Observamos que estas
duas razões são iguais:
12. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h
para 3 h, a distância percorrida varia de 160
Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na
razão 2/3 e a distância percorrida na razão
160/240 e observamos que essas razões são
iguais, isto é:
6.
(b) Quando o intervalo de tempo varia de 15
min para 45 min, a altura varia de 50 cm para
150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão
15/45 e a altura na razão 50/150. Então,
notamos que essas razões são iguais:
13. Concluímos que o tempo gasto e a distância
percorrida, variam sempre na mesma razão e
isto significa que a distância percorrida é
diretamente proporcional ao tempo gasto para
percorrê-la, se a velocidade média do
automóvel se mantiver constante.
7.
Concluímos que a razão entre o valor numérico
do tempo que a torneira fica aberta e o valor
numérico da altura atingida pela água é sempre
igual, assim dizemos então que a altura do
nível da água é diretamente proporcional ao
tempo que a torneira ficou aberta.
8.
GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais
quando, aumentando uma delas, a outra diminui na
mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a
outra aumenta na mesma proporção. Se duas
grandezas X e Y são inversamente proporcionais,
os números que expressam essas grandezas variam
na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal
que:
Em média, um automóvel percorre 80 Km em
1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3
horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos
uma tabela da situação:
Distância (Km)
Tempo (h)
80
1
160
X·Y=K
Exemplos:
1.
A professora de um colégio, tem 24 livros para
distribuir entre os seus melhores alunos, dando
a mesma quantidade de livros para cada aluno.
2.
o melhor aluno receberá 24 livros
2
15
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3.
cada um dos 2 melhores alunos receberá 12
livros
4.
cada um dos 3 melhores alunos receberá 8
livros
5.
cada um dos 4 melhores alunos receberá 6
livros
6.
cada um dos 6 melhores alunos receberá 4
livros
7.
Alunos
escolhidos
Livros para
cada aluno
1
24
2
12
3
8
4
6
6
4
de 12 para 4. Observemos que essas razões não
são iguais, mas são inversas:
Representamos tais grandezas inversamente
proporcionais com a função f(x)=24/x,
apresentada no gráfico
De acordo com a tabela, a quantidade de alunos
escolhidos e a quantidade de livros que cada
aluno receberá, são grandezas que variam
sendo que uma depende da outra e se
relacionam da seguinte forma:
8.
Um automóvel se desloca de uma cidade
até uma outra localizada a 120 Km da
primeira. Se o percurso é realizado em:
9.
1 hora, velocidade média de 120 Km/h
1.
10. 2 horas, velocidade média de 60 Km/h
Se o número de alunos dobra, o número de
livros que cada um vai receber cai para a
metade.
2.
Se o número de alunos triplica, o número
de livros que cada aluno vai receber cai
para a terça parte.
3.
Se o número de alunos quadruplica, o
número de livros que cada aluno vai
receber cai para a quarta parte.
4.
11. 3 horas, velocidade média de 40 Km/h
A unidade é Km/h=quilômetro por hora e
uma tabela da situação é:
Se o número de alunos sextuplica, o
número de livros que cada aluno vai
receber cai para a sexta parte.
Sob estas condições, as duas grandezas
envolvidas (número de alunos escolhidos e
número de livros distribuídos) são grandezas
inversamente proporcionais.
Velocidade (Km/h)
Tempo (h)
120
1
60
2
40
3
De acordo com a tabela, o automóvel faz o
percurso em 1 hora com velocidade média
de 120 Km/h. Quando diminui a
velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o
tempo gasto para realizar o mesmo
percurso dobra e quando diminui a
velocidade para a terça parte, 40 Km/h o
tempo gasto para realizar o mesmo
percurso triplica.
Quando a quantidade de alunos varia na razão
de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos
varia de 12 para 6.
Notemos que essas razões não são iguais, mas
são inversas:
Para percorrer uma mesma distância fixa,
as grandezas velocidade e tempo gasto, são
inversamente proporcionais.
Se a quantidade de alunos varia na razão de 2
para 6, a quantidade de livros distribuídos varia
16
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ELEMENTOS HISTÓRICOS SOBRE A
REGRA DE TRÊS
ordem direta que apareceram na tabela anterior e
desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim
X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.
Embora os gregos e os romanos conhecessem as
proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução
de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram
ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o
italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios
dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco),
com o nome de Regra dos três números
conhecidos.
REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA
Uma regra de três simples inversa é uma forma de
relacionar grandezas inversamente proporcionais
para obter uma proporção.
Na resolução de problemas, consideremos duas
grandezas inversamente proporcionais A e B e
outras duas grandezas também inversamente
proporcionais C e D de forma que tenham a mesma
constante de proporcionalidade K.
REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA
Uma regra de três simples direta é uma forma de
relacionar grandezas diretamente proporcionais.
A·B=K
segue que
Para resolver problemas, tomaremos duas
grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras
duas grandezas W e Z também diretamente
proporcionais, de forma que tenham a mesma
constante de proporcionalidade K.
A·B=C·D
Logo
Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1,
um corredor imprimindo a velocidade média de 180
Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua
velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o
tempo
gasto
no
mesmo
percurso?
(Km/h=quilômetro
por
hora,
s=segundo).
Representaremos o tempo procurado pela letra T.
De acordo com os dados do problema, temos:
assim
Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!)
colocada verticalmente, foi pendurado um corpo
com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu
um deslocamento no comprimento da mola de
54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de
massa na extremidade dessa mola, qual será o
deslocamento no comprimento da mola?
(Kg=quilograma e cm=centímetro).
Representaremos pela letra X a medida procurada.
De acordo com os dados do problema, temos:
Massa do
corpo (Kg)
Deslocamento da
mola (cm)
10
54
15
X
e C·D=K
Velocidade (Km/h)
Tempo (s)
180
20
200
T
Relacionamos
grandezas
inversamente
proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo
espaço percorrido. Conhecidos três valores,
podemos obter um quarto valor T.
Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem
que apareceram na tabela, enquanto que os números
20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que
apareceram na tabela acima.
As grandezas envolvidas: massa e deslocamento,
são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos
valores no problema, podemos obter o quarto valor
X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a
proporção:
Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600
e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do
corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para
realizar o mesmo percurso.
Observamos que os números 10 e 15 aparecem na
mesma ordem que apareceram na tabela e os
números 54 e X também aparecem na mesma
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REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Regra de três composta é um processo de
relacionamento
de
grandezas
diretamente
proporcionais, inversamente proporcionais ou uma
mistura dessas situações.
Observação: O problema difícil é analisar de um
ponto de vista lógico quais grandezas são
diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais. Como é muito difícil realizar esta
análise de um ponto de vista geral, apresentaremos
alguns exemplos para entender o funcionamento da
situação.
O método funcional para resolver um problema
dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas,
sendo que a primeira linha indica as grandezas
relativas à primeira situação enquanto que a
segunda linha indica os valores conhecidos da
segunda situação.
Exemplos:
1.
Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados
às grandezas para uma primeira situação e A2, B2,
C2, D2, E2, ... são os valores associados às
grandezas para uma segunda situação, montamos a
tabela abaixo lembrando que estamos interessados
em obter o valor numérico para uma das grandezas,
digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor
numérico Z1 e todas as medidas das outras
grandezas.
Gra Gran
Situação ndez deza
a1
2
Situação
1
Situação
2
A1
A2
B1
B2
Gran
deza
3
Gran
deza
4
Gran
deza
5
C1
D1
E1
C2
D2
E2
Vamos representar o número de peças pela
letra X. De acordo com os dados do problema,
vamos organizar a tabela:
No. de
No. de dias No. de peças
máquinas (A)
(B)
(C)
Gra Gran
nd... deza ?
…
…
Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas
produziram 400 peças de uma mercadoria.
Quantas peças dessa mesma mercadoria serão
produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras,
se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?
Z1
5
6
400
7
9
X
A grandeza Número de peças (C) servirá de
referência para as outras grandezas.
Analisaremos se as grandezas Número de
máquinas (A) e Número de dias (B) são
diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais à grandeza C que representa o
Número de peças. Tal análise deve ser feita de
uma forma independente para cada par de
grandezas.
Z2
Quando todas as grandezas são diretamente
proporcionais à grandeza Z, resolvemos a
proporção:
Vamos considerar as grandezas Número de
peças e Número de máquinas. Devemos fazer
uso de lógica para constatar que se tivermos
mais máquinas operando produziremos mais
peças e se tivermos menos máquinas operando
produziremos menos peças. Assim temos que
estas duas grandezas são diretamente
proporcionais.
Quando todas as grandezas são diretamente
proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda
grandeza (com a letra B, por exemplo) que é
inversamente proporcional à grandeza Z,
resolvemos a proporção com B1 trocada de posição
com B2:
Vamos agora considerar as grandezas Número
de peças e Número de dias. Novamente
devemos usar a lógica para constatar que se
tivermos maior número de dias produziremos
maior número de peças e se tivermos menor
número de dias produziremos menor número
de peças. Assim temos que estas duas
grandezas
também
são
diretamente
proporcionais.
As grandezas que forem diretamente proporcionais
à grandeza Z são indicadas na mesma ordem
(direta) que aparecem na tabela enquanto que as
grandezas que forem inversamente proporcionais à
grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela
que apareceram na tabela.
Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas:
A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C
diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras
duas B e D inversamente proporcionais à grandeza
Z, deveremos resolver a proporção:
Concluímos que todas as grandezas envolvidas
são diretamente proporcionais, logo, basta
resolver a proporção:
18
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Resolvendo esta proporção, obtemos X=4,
significando que para percorrer 500 Km,
rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4
dias.
que pode ser posta na forma
PORCENTAGEM
Resolvendo a proporção, obtemos X=840,
assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9
dias serão produzidas 840 peças.
2.
Praticamente todos os dias, observamos nos meios
de
comunicação,
expressões
matemáticas
relacionadas com porcentagem. O termo por cento
é proveniente do Latim per centum e quer dizer por
cem. Toda razão da forma a/b na qual o
denominador b=100, é chamada taxa de
porcentagem ou simplesmente porcentagem ou
ainda percentagem.
Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre
em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias
esse motociclista irá percorrer 500 Km, se
rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).
Vamos representar o número de dias procurado
pela letra X. De acordo com os dados do
problema, vamos organizar a tabela:
Quilômetros Horas por
(A)
dia (B)
Historicamente, a expressão por cento aparece nas
principais obras de aritmética de autores italianos
do século XV. O símbolo % surgiu como uma
abreviatura da palavra cento utilizada nas
operações mercantis.
No. de
dias (C)
200
4
2
500
5
X
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos
10% e isto significa que em cada 100 unidades de
algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser
obtido como o produto de 10% por 80, isto é:
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8
A grandeza Número de dias (C) é a que servirá
como referência para as outras grandezas.
Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A)
e Horas por dia (B) são diretamente
proporcionais ou inversamente proporcionais à
grandeza C que representa o Número de dias.
Tal análise deve ser feita de uma forma
independente para cada par de grandezas.
Em geral, para indicar um índice de M por cento,
escrevemos M% e para calcular M% de um número
N, realizamos o produto:
Produto = M%.N = M.N / 100
Exemplos:
1.
Consideremos as grandezas Número de dias e
Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar
que se rodarmos maior número de dias,
percorreremos maior quilometragem e se
rodarmos menor número de dias percorreremos
menor quilometragem. Assim temos que estas
duas grandezas são diretamente proporcionais.
Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo
que 52% dessas fichas estão etiquetadas com
um número par. Quantas fichas têm a etiqueta
com número par? uantas fichas têm a etiqueta
com número ímpar?
Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13
Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com
número par e 12 fichas com número ímpar.
Na outra análise, vamos agora considerar as
grandezas Número de dias e Horas por dia.
Verificar que para realizar o mesmo percurso,
se tivermos maior número de dias utilizaremos
menor número de horas por dia e se tivermos
menor número de dias necessitaremos maior
número de horas para p mesmo percurso.
Logo, estas duas grandezas são inversamente
proporcionais e desse modo:
2.
Num torneio de basquete, uma determinada
seleção disputou 4 partidas na primeira fase e
venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias
obtida por essa seleção nessa fase?
Vamos indicar por X% o número que
representa essa porcentagem. Esse problema
pode ser expresso da seguinte forma:
X% de 4 = 3
Assim:
(X/100).4 = 3
que pode ser posta como
4X/100 = 3
4X = 300
X = 75
19
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Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi
de 75%.
3.
Numa indústria há 255 empregadas. Esse
número corresponde a 42,5% do total de
empregados da indústria. Quantas pessoas
trabalham nesse local? Quantos homens
trabalham nessa indústria?
Vamos indicar por X o número total de
empregados dessa indústria. Esse problema
pode ser representado por:
3.
O tempo deve sempre ser indicado na mesma
unidade a que está submetida a taxa, e em caso
contrário, deve-se realizar a conversão para que
tanto a taxa como a unidade de tempo estejam
compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.
4.
O total pago no final do empréstimo, que
corresponde ao capital mais os juros, é
denominado montante.
Para calcular os juros simples j de um capital C,
durante t períodos com a taxa de i% ao período,
basta usar a fórmula:
42,5% de X = 255
Assim:
42,5%.X = 255
42,5 / 100.X = 255
42,5.X / 100 = 255
42,5.X = 25500
425.X = 255000
X = 255000/425 = 600
Exemplos:
1.
Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo
que há 345 homens.
4.
Ao comprar uma mercadoria, obtive um
desconto de 8% sobre o preço marcado na
etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria,
qual o preço original dessa mercadoria?
A diferença entre os preços dados pela loja é:
652,00 - 450,00 = 202,50
A quantia mensal que deve ser paga de juros é:
Seja X o preço original da mercadoria. Se
obtive 8% de desconto sobre o preço da
etiqueta, o preço que paguei representa 100%8%=92% do preço original e isto significa que
202,50 / 5 = 40,50
Se X% é a taxa mensal de juros, então esse
problema pode ser resolvido da seguinte forma:
92% de X = 690
X% de 450,00 = 40,50
logo
X/100.450,00 = 40,50
92%.X = 690
92/100.X = 690
92.X / 100 = 690
92.X = 69000
X = 69000 / 92 = 750
450 X / 100 = 40,50
450 X = 4050
X = 4050 / 450
O preço original da mercadoria era de R$
750,00.
X=9
A taxa de juros é de 9% ao mês.
JUROS Simples
2.
Juro é toda compensação em dinheiro que se paga
ou se recebe pela quantia em dinheiro que se
empresta ou que é emprestada em função de uma
taxa e do tempo. Quando falamos em juros,
devemos considerar:
1.
O dinheiro que se empresta ou que se pede
emprestado é chamado de capital.
2.
A taxa de porcentagem que se paga ou se
recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada
taxa de juros.
O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00.
A loja oferece este aparelho para pagamento
em 5 prestações mensais e iguais porém, o
preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se
que a diferença entre o preço à prazo e o preço
à vista é devida aos juros cobrados pela loja
nesse período, qual é a taxa mensal de juros
cobrada por essa loja?
Uma aplicação feita durante 2 meses a uma
taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de
juro. Qual foi o capital aplicado?
O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente
de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital
aplicado é indicado por C, esse problema pode
ser expresso por:
3% de C = 960,00
3/100 C = 960,00
3 C / 100 = 960,00
3 C = 96000
C = 96000/3 = 32000,00
O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.
20
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FUNÇÕES
INTRODUÇÃO
O mundo atual experimenta a cada dia inovações tecnológicas
importantes graças às relações funcionais entre variáveis. Podemos
destacar vários exemplos tais como: a função que relaciona voltagem e
corrente numa placa de computador ou a relação funcional entre o saldo
devedor e a taxa num financiamento de um carro ou até uma função
que, a partir de um exame de sangue seu, pode dizer se você tem um
tipo específico de doença.
Uma função ou relação funcional se estabelece quando existe
uma relação de dependência entre incógnitas. Formalmente, uma função
se define através de uma equação matemática relacionando as variáveis
de interesse.
Para o curso de cálculo diferencial e integral, o conhecimento de
funções tem vital importância. Portanto, esse capítulo se dedica a
analisar detalhadamente os mais variados tipos de funções.
VARIÁVEIS DEPENDENTES E
INDEPENDENTES
REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO
Uma função com apenas uma variável
independente pode ser representada de duas
formas equivalentes:
y = equação da variável x ou f(x) =
equação da variável x
Uma função se estabelece quando
descrevemos quais são as suas variáveis
independentes e qual é a variável dependente. Por
exemplo, a aceleração de um carro depende da
intensidade com que você pisa no pedal do
acelerador. Nesse caso, a aceleração é a variável
dependente e a intensidade com que você pisa no
pedal é a variável independente.
Note que você controla uma das variáveis
(controla a sua intensidade) enquanto a outra é
conseqüência da primeira.
Uma função pode conter mais de uma
variável independente mas apenas uma variável
dependente. Na prática, isso significa que podem
existir várias causas com apenas uma conseqüência.
A função se encarrega de relacionar a contribuição
de cada causa com a conseqüência final.
Por exemplo, a temperatura média de uma
cidade pode depender da umidade, da distância do
equador e da altitude em que ela se encontra.
EXEMPLO
Representar uma função em que a
variável dependente é igual ao quadrado da
variável independente.
SOLUÇÃO
A função pode ser representada das
seguintes formas:
y  x 2 ou f (x)  x 2
OBS.:
As variáveis que aparecem na função
não precisam ser, necessariamente, iguais a y e
x. Por
exemplo, a área de uma circunferência
depende do raio segundo a equação:
A    r 2 ou A(r)    r 2
Se quisermos conhecer o valor da
variável dependente, basta substituirmos um
valor onde aparece a variável independente.
Por exemplo, se quisermos saber a área da
circunferência de raio igual a 2 m, basta fazer:
A(r)    r 2
A(2)    2 2  12,56 m2
21
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GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Pela definição dada, é natural pensar
que um único um valor de x se associa a um
único valor de y, porém, não é tão óbvio que
dois valores diferentes de x possam ser
associados ao mesmo valor de y. Um exemplo
prático disso é que uma cidade pode ter a
mesma temperatura em dois horários diferentes
durante o dia.
Vejamos essa situação no diagrama de
Venn:
O gráfico de uma função é uma curva
que expressa a relação entre a variável
dependente e as independentes. Estudaremos
nesse capítulo somente funções com uma
variável independente.
f(x)
Podemos construir o gráfico de uma
função usando um sistema de duas
coordenadas posicionadas no plano cartesiano.
Primeiro, atribuímos valores para a
variável x e calculamos os valores
correspondentes da variável y através da
equação da função. Em seguida, posicionamos
essas duas coordenadas no plano cartesiano.
Atualmente, existem vários recursos
computacionais que possibilitam a construção
rápida de gráficos.
Conforme a definição, a única situação
que não pode acontecer é um valor de x ser
associado a mais de um valor de y. Por
exemplo, uma cidade não pode ter duas
temperaturas diferentes ao meio-dia não é
mesmo ?
A
conseqüência
imediata
das
afirmações anteriores é a seguinte regra:
Uma curva no plano cartesiano é gráfico de
uma função se qualquer reta vertical não
intercepta essa curva mais de uma vez dentro
do seu domínio.
DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO
Definimos uma função como uma
regra (equação) que permite associar cada
elemento x, de um conjunto A, a um único
elemento y de um conjunto B. O conjunto A é
chamado domínio da função. Já o conjunto B é
denominado imagem da função se cada
elemento seu está relacionado a, pelo menos,
um elemento do conjunto A.
Podemos entender melhor essa
definição usando o diagrama de Venn:
Vejamos dois exemplos:
É gráfico de uma função
22
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A segunda, e mais importante,
característica é a impossibilidade de sabermos
o valor da variável dependente para valores
não-tabelados da variável independente. Por
exemplo, não sabemos quantos habitantes
existem na cidade no ano de 1985.
Em geral, as funções discretas são
resultados de medições em intervalos de tempo
regulares. A inflação mensal, a temperatura
diária, o lucro anual e o censo demográfico de
dez em dez anos são exemplos de funções
discretas.
Por outro lado, as funções contínuas
são representadas por equações no lugar de
tabelas e é possível saber o valor da variável
dependente para qualquer valor da variável
independente.
Um exemplo de função contínua é a
velocidade instantânea de um carro sujeito à
aceleração constante:
Não é gráfico de uma função
FUNÇÕES DISCRETAS E FUNÇÕES
CONTÍNUAS
Estamos freqüentemente em contato
com funções de dois tipos: as funções discretas
e as funções contínuas.
As funções discretas aparecem nos
jornais, na televisão e nas revistas em forma de
gráficos. Por exemplo, considere que o censo
demográfico de uma cidade forneceu os
seguintes resultados:
ANO
POPULAÇÃO
1970
1980
1990
2000
154.000
285.000
430.100
610.300
V(t)  V0  at
Suponha que estejamos interessados
em calcular a velocidade no instante t=2s
sabendo-se que a velocidade inicial V0 é igual
a 3m/s e a aceleração a é igual a 1m/s2:
V(2)  3  1  2  5 m/s
Qualquer valor de tempo que você
imaginar tem uma velocidade correspondente.
Para visualizar melhor, vamos
construir o gráfico dessa função:
Para visualizar melhor, podemos
transformar essa tabela num gráfico em forma
de barras verticais:
Censo demográfico de uma cidade
700.000
Habitantes
600.000
500.000
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
400.000
300.000
200.000
100.000
O domínio de uma função é o conjunto
de todos os valores possíveis da variável
independente.
0
1970
1980
1990
2000
Ano
EXEMPLO
O exemplo do censo demográfico
mostra duas características interessantes das
funções discretas. A primeira característica é
que toda função discreta é representada por
uma tabela.
Encontre o domínio da função:
f ( x)  x
23
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SOLUÇÃO
Assim, a imagem da função
representada da seguinte forma:
Im f  {y  R / y  0}
Não são possíveis valores negativos de
x já que, dentre os números reais, não existe a
raiz quadrada de um número negativo.
Assim, o domínio da função é
representado da seguinte forma:
D f  {x  R / x  0}
Devemos ler essa notação matemática
da seguinte forma:
EXEMPLO
Encontre a imagem da função:
f ( x )  x 2
SOLUÇÃO
x pertence ao conjunto dos números reais
tal que x é maior ou igual a zero
Para qualquer valor de x dentro do
domínio da função (todos os números reais), a
variável y assume apenas valores negativos
(incluindo o zero).
Assim, a imagem da função é
representada da seguinte forma:
Im f  {y  R / y  0}
EXEMPLO
Encontre o domínio da função:
f (x) 
é
1
x
SOLUÇÃO
Exercícios
Nesse caso, não é possível x=0 já que
1
não é definido como um número real.
0
1 – Encontre o domínio das funções abaixo:
a) f (x)  x 3
Assim, o domínio da função é
representado da seguinte forma:
D f  {x  R / x  0}
b) f (x) 
x3
1
c) f (x) 
x2
OBS.:
A expressão
1
d) f (x) 
1
não é definida porque
0
x2
e) f (x)  x  1
não existe um número real que multiplicado
por zero seja igual a 1.
f) f ( x ) 
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
g) f ( x ) 
A imagem é o conjunto de todos os
resultados que a variável dependente assume
quando usamos os valores do domínio na
equação da função.
1
x
1
x 1
FUNÇÃO AFIM
A função Afim é aquela que estabelece
uma taxa constante de crescimento (ou
decrescimento) da variável dependente.
EXEMPLO
Encontre a imagem da função:
f ( x)  x
EXEMPLO
O apresentador do jornal da televisão
informa que as exportações do país atualmente
atingiram 300 milhões e estão crescendo 100
milhões por ano.
SOLUÇÃO
Para qualquer valor de x dentro do
domínio da função (só valores positivos de x),
a variável y assume apenas valores positivos
(incluindo o zero).
SOLUÇÃO
24
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crescendo a uma taxa constante de 2oC a cada
hora.
Para entender melhor o problema,
vamos construir a seguinte tabela:
SOLUÇÃO
Prazo
Total de
Exportações (em
milhões)
Hoje
300
Após 1 ano
400 (= 300 + 1  100)
Após 2 anos
500 (= 300 + 2  100)
Após 3 anos
...
600 (= 300 + 3  100)
...
Após x anos
300 + x  100
No primeiro caso, o coeficiente
angular é igual a -2oC/h. Isso significa que a
cada hora a temperatura cai 2oC. Por exemplo,
se a sala estava inicialmente a 30oC então após
1 hora a temperatura será de 28oC, após 2
horas a temperatura será de 26oC e assim por
diante.
No segundo caso, o coeficiente angular
é igual a +2oC/h. Isso significa que a cada hora
a temperatura sobe 2oC. Por exemplo, se a
temperatura do lado de fora da sala estava em
30oC então após 1 hora a temperatura será de
32oC, após 2 horas a temperatura será de 34oC
e assim por diante.
O gráfico da temperatura para o lado
de dentro e para o lado de fora da sala é dado
por:
A função que relaciona o total de
exportações e o número de anos é então dada
por:
f ( x )  300  100  x
Matematicamente, a função afim é
dada pela relação:
f ( x )  ax  b ou y  ax  b
Essa
função
é
caracterizada
graficamente por uma reta. O valor de “a” é
chamado coeficiente angular ( ou taxa de
variação) e o valor de “b” é chamado
coeficiente linear.
COEFICIENTE ANGULAR
O coeficiente angular indica a taxa
constante de crescimento ou decrescimento de
y. Podemos analisá-lo de duas formas:
 Pelo seu sinal;
 Pelo seu valor absoluto.
Quando analisamos o coeficiente
angular pelo seu sinal estamos interessados em
saber se a taxa é de crescimento ou de
decrescimento.
Uma taxa de crescimento é
caracterizada por um valor positivo e uma taxa
de decrescimento é caracterizada por um valor
negativo.
Por outro lado, quando analisamos o
coeficiente angular pelo seu valor absoluto
(apenas o número sem considerar o sinal)
estamos interessados em saber se a taxa de
crescimento ou decrescimento (dependendo do
sinal) é elevada ou não.
COEFICIENTE LINEAR
O coeficiente linear indica onde a
função corta o eixo y, ou seja, o valor de y
quando x é igual a zero. Podemos encontrar
dois casos:
EXEMPLO

Vamos considerar que a temperatura
no interior de uma sala refrigerada decresce a
uma taxa constante de 2oC a cada hora
enquanto do lado de fora a temperatura está
25
Coeficiente linear positivo, quando a
função corta o eixo y num valor
positivo;
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
Coeficiente linear negativo, quando a
função corta o eixo y num valor
negativo.
EXEMPLO
Vamos considerar o caso de duas
funções com coeficiente angular positivo, uma
com coeficiente linear positivo e a outra com
coeficiente linear negativo:
Coeficiente linear negativo
COMO OBTER A FUNÇÃO
A FUNÇÃO AFIM
Vamos supor que conhecemos dois pontos
( x 0 , y 0 ) e ( x 1 , y1 ) pelos quais a reta passa.
Coeficiente linear positivo
A inclinação da reta é dada pela tangente
do ângulo  no triângulo mostrado no gráfico:
Coeficiente linear negativo
cateto oposto
cateto adjacente
y  y 0 y
a 1

x 1  x 0 x
a  tg 
EXEMPLO
Agora vamos considerar o caso de duas
funções com coeficiente angular negativo, uma com
coeficiente linear positivo e a outra com coeficiente
linear negativo:
Fazendo y1  y e x 1  x na fórmula
acima podemos encontrar a equação da reta:
Coeficiente linear positivo
a
26
y  y0
x  x0
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( y  y 0 )  a(x  x 0 )
EXEMPLO
Essa equação é usada quando sabemos
qual é o coeficiente angular e um ponto por onde a
reta passa.
y  2x  1
OBS.:
Poderíamos ter feito
y0  y
e
y  3x  3
coeficiente angular = +3, reta crescente.
coeficiente angular = +2, reta crescente.
x0  x .
Definimos uma função decrescente
quando, à medida que x aumenta dentro de um
intervalo, o valor de y diminui. Um coeficiente
angular negativo caracteriza uma reta decrescente.
Nesse caso, teríamos a seguinte equação da reta:
( y  y1 )  a ( x  x 1 )
Isso significa que qualquer um dos dois
pontos pode ser usado na equação.
EXEMPLO
EXEMPLO
y  3x  1
coeficiente angular = -3, reta decrescente.
y  2x  3
Encontrar a equação da reta que passa
pelos
pontos
e
(x 0 , y0 )  (1,0)
( x 1 , y1 )  (2,3) .
coeficiente angular = -2, reta decrescente.
OBS.:
SOLUÇÃO
Primeiramente,
coeficiente angular:
a
devemos
encontrar
Pode acontecer do valor de “a” ser nulo.
Nesse caso, a reta, que não é crescente e nem
decrescente, é chamada função constante (não
possui inclinação).
o
y1  y 0 3  0

3
x1  x 0 2 1
ESBOÇO DO GRÁFICO ATRAVÉS DA
EQUAÇÃO DA FUNÇÃO
Agora, podemos usar a equação da reta:
Podemos usar o nosso raciocínio para
construir o gráfico da função encontrando as duas
coordenadas mais importantes: onde a função corta
o eixo x e onde corta o eixo y.
Para encontrar em que ponto a função
corta o eixo x, basta colocar zero onde aparecer y
na equação. O valor calculado de x deve ser
marcado sobre o eixo x.
Para encontrar em que ponto a função
corta o eixo y, basta colocar zero onde aparecer x
na equação. O valor calculado de y deve ser
marcado sobre o eixo y. Esse valor é igual ao
coeficiente linear da função Afim.
Finalmente, usando uma régua, ligamos
esses dois pontos com uma reta.
( y  y 0 )  a(x  x 0 )
( y  0)  3( x  1)
y  3x  3
Por outro lado, poderíamos ter escolhido o
outro ponto:
( y  y1 )  a ( x  x 1 )
( y  3)  3( x  2)
y  3x  6  3  3x  3
CRESCIMENTO OU
DECRESCIMENTO DA FUNÇÃO
EXEMPLO
Encontrar o gráfico da função:
y  2x  1
Definimos uma função crescente quando, à
medida que x aumenta dentro de um intervalo, o
valor de y também aumenta. Na função Afim, isso é
caracterizado pelo valor positivo do coeficiente
angular.
SOLUÇÃO
Para
27
y  0 , 2x  1  0  2x  1 x  
1
2
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Para x  0 , y  2  0  1  y  1
Vamos agora posicionar os dois pontos no
gráfico:
A função linear é caracterizada por a0 e
b=0. Isso faz com que o gráfico sempre passe pela
origem do plano cartesiano (x=0 e y=0).
EXEMPLO
Exemplos de funções do tipo linear:
y  2 x (função linear crescente)
y  2 x (função linear decrescente)
Finalmente, devemos traçar a reta que
passa pelos dois pontos:
Esboço do gráfico de uma função linear (crescente):
A função constante é caracterizada por
a=0. Isso faz com que o gráfico da função seja uma
reta horizontal, ou seja, o valor de y não varia com
x.
CLASSIFICAÇÃO
EXEMPLO
A função y = ax + b pode se enquadrar
num dos três tipos listados abaixo:



Exemplos de funções do tipo constante:
y  2 (positiva)
Função Afim;
Função Linear;
Função Constante.
y  2 (negativa)
Esboço do gráfico de uma função constante
(positiva):
A função afim é caracterizada por a0 e
b0. Isso faz com que o gráfico nunca passe pela
origem dos eixos (x=0 e y=0).
EXEMPLO
Exemplos de funções do tipo afim:
y  2x  1 (função afim crescente)
y  2x  3 (função afim decrescente)
Esboço do gráfico
(decrescente):
de
uma
função
afim
28
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Exercícios
1.
JUROS SIMPLES
Classifique as funções abaixo em crescentes ou
decrescentes:
a) y  3x  1
No regime de capitalização chamado juros
simples os juros são proporcionais ao tempo da
aplicação. Por exemplo, se dobrarmos o prazo de
um empréstimo então os juros dobrarão de valor.
A equação abaixo fornece o valor dos juros
de uma aplicação em juros simples:
y  2 x  1
y  x
d) y  3x
1
e) y  x  1
2
1
f) y  1  x
2
b)
c)
2.
J
Nessa equação, identificamos os seguintes
parâmetros:
Classifique as funções abaixo em afim, linear e
constante:
a) y  3x  1
C é o capital aplicado em dinheiro;
i é a taxa percentual por unidade de tempo (diária,
mensal, anual, etc);
t é o tempo da aplicação (dia, mês, ano, etc)
y3
y  x
d) y  1
e) y  3x
f) y  2 x  1
b)
c)
3.
4.
Ci  t
100
Definimos o montante de uma aplicação
como sendo a soma do capital com os juros do
período considerado. Pela definição, a fórmula de
cálculo do montante é dada por:
Encontre a equação da reta que passa pelos
pontos:
a) (1,3) e (2,6)
b) (-1,2) e (2, -4)
c) (2,5) e (3,5)
d) (1,1) e (3,5)
e) (3,2) e (4,1)
f) (3,4) e (1,1)
M  CJ  C
Ci t
100
EXEMPLO
Quanto rende de juros uma aplicação de
$10.000,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês
durante 2 meses ?
Com os resultados da questão anterior,
construa o gráfico correspondente a cada uma
das retas.
SOLUÇÃO
MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO AFIM
Usando a equação do regime de juros
simples:
Um modelo matemático é uma função que
representa um determinado problema. Existem
muitos exemplos de problemas que podem ser
modelados por uma função Afim:




J
Juros simples;
Avaliação de alternativas de consumo de
celular;
Movimento uniforme (MU);
Movimento uniformemente variado (MUV).
C  i  t 10.000 ,00  3  2

 $600 ,00
100
100
ALTERNATIVAS DE
CONSUMO DE CELULAR
Suponha que a sua operadora de celular
tenha duas opções de plano de consumo:
29
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

MOVIMENTO UNIFORME
Plano pós-pago: você paga a assinatura de
$30,00 mais $0,40 por minuto de ligação.
Plano pré-pago: $1,00 por minuto de ligação.
A velocidade é definida como a rapidez
para completar um percurso. Isso é medido em
termos de quanta distância é percorrida num
período de tempo. Por exemplo, se um carro
percorre 100 quilômetros em 2 horas, então a sua
velocidade é de 50 quilômetros por cada hora do
percurso.
Em física, definimos o movimento
uniforme como sendo aquele cuja velocidade é
constante. Por esse motivo, podemos encarar o
espaço como uma função do 1o grau dada por:
Baseado nos dois planos acima, explique
até que ponto o plano pré-pago é mais vantajoso
que o pós-pago ?
O modelo do plano pós-pago é dado pela
equação:
Consumo  30  0,4  t , onde t é o tempo de
conversação em minutos.
O plano pré-pago pode ser modelado
segundo a equação abaixo:
S  S0  V  t
Consumo  1  t , onde t é o tempo de
conversação em minutos.
A partir das equações dos modelos,
podemos montar o gráfico a seguir:
Note que a velocidade é o coeficiente
angular da reta e o seu valor determina se o espaço
está crescendo ou decrescendo à medida que o
tempo passa.
EXEMPLO
70
Consumo ($)
60
Duas horas após iniciar o movimento, em
que ponto estará um automóvel que viaja a uma
velocidade constante de 50km/h e está situado
inicialmente a 10km da origem ?
50
40
30
SOLUÇÃO
20
10
Os dados do problema são:
S0  10km , V  50 km / h e t  2h
0
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
tempo de conversação (min)
Vamos calcular em que ponto estará o
automóvel a partir da equação do espaço:
A linha tracejada corresponde ao plano
pós-pago e a linha cheia ao plano pré-pago.
Conforme o gráfico, as duas retas se
encontram no tempo de 50 minutos (marcado com
um círculo). Nesse ponto as duas contas são iguais,
ou seja, se você consumir 50 minutos todo mês
então será indiferente você ter um plano pré-pago
ou pós-pago.
O valor da conta com o consumo de 50
minutos será de $50,00.
Abaixo de 50 minutos, podemos verificar
que a linha cheia está abaixo da linha tracejada. Isso
significa que se você consumir menos de 50
minutos por mês, então o plano pré-pago é mais
vantajoso porque a conta é mais barata.
Já acima de 50 minutos, verificamos que a
linha tracejada está abaixo da linha cheia,
mostrando que se você consumir mais de 50
minutos por mês então o plano de conta é mais
interessante já que no final do mês a conta será
menor.
S  10  50  t
S  10  50  2  110 km
O automóvel estará a 110km da origem.
Note que 110km não é o espaço percorrido em
duas horas, mas onde estará o automóvel em
relação ao ponto de referência.
MOVIMENTO
UNIFORMEMENTE VARIADO
A aceleração é definida como sendo a taxa
de variação da velocidade na unidade de tempo.
Isso é medido em termos de quanto aumenta ou
diminui a velocidade num período de tempo. Por
exemplo, se um carro tem uma velocidade de 5m/s
e 10 segundos depois está com uma velocidade de
15m/s então a sua aceleração é de 10m/s em 10
segundos, ou seja, 1 m/s2.
Em física, definimos o movimento
uniformemente variado como sendo aquele cuja
30
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O valor de “c” identifica o ponto onde a
função quadrática corta o eixo y e o seu
posicionamento é similar ao coeficiente linear na
função afim.
aceleração é constante. Dessa forma, podemos
modelar a velocidade como uma função do 1 o grau:
V  V0  a  t
EXEMPLO
É importante perceber que a aceleração é o
coeficiente angular da reta e o seu valor determina
se a velocidade está crescendo ou decrescendo à
medida que o tempo passa.
A função do espaço no MUV é dada pela
seguinte equação do 2o grau:
at 2
S  S0  V0 t 
2
EXEMPLO
Um automóvel viaja a uma velocidade de
10m/s e 5 segundos depois está a 20m/s. A que
velocidade estará o automóvel em 10 segundos
mantendo a aceleração constante ?
Note que a maior potência da variável
independente t é dois.
CONCAVIDADE
DA
FUNÇÃO
QUADRÁTICA
A concavidade é uma característica
importante da função, já que indica se a abertura da
parábola está para cima ou para baixo. Essa
característica pode ser prevista através do
parâmetro “a” da equação, conforme a
classificação:
 a>0 (a positivo): concavidade para cima, ou
seja, abertura para cima.
 a<0 (a negativo): concavidade para baixo, ou
seja, abertura para baixo.
SOLUÇÃO
Os dados do problema são:
V0  10m / s , a 
e t  10s
20  10
 2m / s 2
5
Vamos calcular em que velocidade o
móvel estará através da equação da velocidade:
EXEMPLO
V  10  2  t  10  2  10  30 m / s
FUNÇÃO QUADRÁTICA
A função em que a maior potência da
variável independente é igual a dois chama-se
função quadrática. Matematicamente, a função
quadrática é dada pela relação:
Concavidade para cima
f (x)  ax 2  bx  c ou y  ax 2  bx  c
Essa função é caracterizada graficamente
por uma parábola. O gráfico de uma função
quadrática tem a propriedade de ser simétrico em
relação ao seu vértice.
c
Concavidade para baixo
Vértice da Parábola
31
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ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

São os valores de x que anulam a função
quadrática. Assim:
Quando isso acontece, certamente teremos
2 raízes reais e diferentes, ou seja, a função
quadrática “cortará” o eixo x nos pontos x’ e x”.
y=0 ou f(x)=0
Quando >0:
EXEMPLO
A forma mais usada de resolução da
equação quadrática é através da fórmula de
Baskara:
x 
 b  b 2  4ac
2a
x  
 b  b 2  4ac
2a
Note que na função afim só existe um
único valor que anula a função (corta o eixo x)
enquanto que na função quadrática existem dois
valores.
x 2  5x  6  0
  (5) 2  4  (1)  (6)
 1
 (5)  1
x 
3
2  (1)
EXEMPLO
Encontre
os
zeros
da
função
y  x  5x  6 .
2
x  
SOLUÇÃO

x 2  5x  6  0
x 
x  
 (5)  (5) 2  4  (1)  (6)
2  (1)
 (5)  (5) 2  4  (1)  (6)
2  (1)
Quando =0:
Quando isso acontece, certamente teremos
2 raízes reais e iguais, ou seja, a função quadrática
“tangenciará” o eixo x no ponto x’=x”.
5  25  24 5  1


3
2
2

 (5)  1
2
2  (1)
EXEMPLO
5  25  24 5  1

2
2
2
Uma segunda forma de resolver o
problema é através do cálculo do discriminante :
  b 2  4ac
Obteremos então as seguintes raízes como
solução:
b 
2a
b 
x  
2a
x 
x 2  4x  4  0
  (4) 2  4  (1)  (4)
0
A introdução do elemento  simplifica o
entendimento do resultado de x’ e x”. Podemos
estabelecer a seguinte classificação baseada no
valor de :
32
x 
 (4)  0
2
2  (1)
x  
 (4)  0
2
2  (1)
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yv  
OBS.:
Nesse caso, dizemos que a raiz 2 tem
multiplicidade 2 (2 raízes iguais a 2).


4a
EXEMPLO
Quando <0:
Quando isso acontece, certamente não
teremos raízes reais, ou seja, a função quadrática
não “cortará” nem “tangenciará” o eixo x.
EXEMPLO
Gráfico com ponto de mínimo
x 2  4x  5  0
  (4) 2  4  (1)  (5)
  4
Portanto:
Gráfico com ponto de máximo
 x , x   R
EXEMPLO
Calcule o valor de xv e yv da função
PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO DA
FUNÇÃO QUADRÁTICA
y  x  5x  6 e diga se xv é máximo ou
2
mínimo.
SOLUÇÃO
Dependendo da concavidade da função
quadrática, podemos perceber que o vértice da
parábola situa-se no ponto mais baixo ou no ponto
mais alto do gráfico.
Denominamos ponto de máximo ao valor
de x cujo valor de y é máximo, ou seja, quando o
valor de y está no ponto mais alto do gráfico. Isso
acontece quando a função tem concavidade para
baixo (a<0).
Denominamos ponto de mínimo ao valor
de x cujo valor de y é mínimo, ou seja, quando o
valor de y está no ponto mais baixo do gráfico. Isso
acontece quando a função tem concavidade para
cima (a>0).
O ponto de máximo ou mínimo pode ser
calculado através do conhecimento das coordenadas
do vértice da parábola:
xv  
A partir da função encontramos os
seguintes resultados:
  (5) 2  4  (1)  (6)  1
(5) 5
b
xv    
  2,5
2a
2 1 2

1
1
yv    
   0,25
4a
4 1
4
Observando o gráfico da função podemos
entender melhor o problema:
b
2a
33
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3) Gráfico para as funções y= x2-x-6 e x= y2-y-6.
Logo, o ponto xv=2,5 é ponto de mínimo já
que a concavidade está voltada para cima (a>0).
Nesse caso, yv=-0,25 é o menor valor que a função
assume.
OBSERVAÇÕES NO GRÁFICO
1)
4) Alguns gráficos alterando apenas o “b” das
funções:
y=x2-x-6
y=x2-2x-6
y=x2-3x-6
y=x2-4x-6
Gráfico para as funções y= x2 e x= y2
2) Gráfico para as funções y=-x2 e x=-y2
34
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5) Alguns gráficos alterando apenas o “a” das
funções:
y=x2-x-6
y=2x2-x-6
y=3x2-x-6
y=4x2-x-6
7) Alguns gráficos para as funções:
y+x+4=x2
y-15x+36=y2
MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO
QUADRÁTICA
6) Alguns gráficos alterando apenas o “c” das
funções:
y=x2-x-3
y=x2-x-4
y=x2-x-5
y=x2-x-6
Existem muitos problemas que podem ser
modelados por uma função quadrática:
 Movimento uniformemente variado (MUV);
 Trajetória de projéteis;
MOVIMENTO
UNIFORMEMENTE VARIADO
No movimento uniformemente variado, a
posição do móvel depende do tempo conforme a
seguinte função quadrática:
at 2
S  S0  V0 t 
2
Onde:
S é a posição final do móvel em relação à origem;
S0 é a posição inicial do móvel em relação à
origem;
V0 é a velocidade inicial do móvel;
t é o tempo de percurso desde a posição inicial S0
até a posição final S;
EXEMPLO
Um automóvel começou a mover-se num
ponto que está a 20 metros distante da origem com
35
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aceleração constante de 1m/s2. Encontre a posição
final do móvel após 10 segundos.
sen
cos 
tg 
Então a altura máxima é dada por:
SOLUÇÃO
yv 
A velocidade inicial do automóvel é igual
a zero, já que estava parado e começou a se mover
no ponto inicial. Substituindo os dados do problema
na equação da posição:
(V0 sen) 2
2g
Isso significa que a altura máxima
possível, considerando a velocidade inicial
constante, depende do ângulo de lançamento do
projétil e acontece quando o ângulo é de 90 o (é um
lançamento para cima!), já que sen(90o)=1.
at 2
1 t 2
S  S0  V0 t 
 20 
2
2
Após 10 segundos, o automóvel estará na
posição:
S  20 
(10) 2
 70 m
2
Exercícios
TRAJETÓRIA DE PROJÉTEIS
1.
Em aplicações militares é interessante
descobrir a trajetória de projéteis para que um alvo
possa ser atingido com precisão. Galileu foi o
primeiro a demonstrar que a equação da trajetória
de um projétil é dada por:
y  ( tg)  x 
g
2  (V0 cos ) 2
x
2
Calcule os valores de xv e yv e diga, para cada
caso, se o ponto xv é de máximo ou mínimo:
a)
y  x 2  6x  9
b)
y  x 2  6x  8
c)
y  x 2  5x  7
2.
A partir das funções da questão anterior,
identifique o número de raízes reais e construa
o seu respectivo gráfico.
3.
Considere a função do 2o grau:
f (x)  ax 2  bx  c
b2
Somando e subtraindo
4a
Onde:
y é a altura que o projétil alcança;
x é a distância horizontal do projétil;
V0 é a velocidade inicial do projétil;
 é o ângulo de lançamento do projétil.
membro, obtenha a seguinte expressão:
2
b 


f (x)  a   x   
2a 
4a

Em seguida:
EXEMPLO
a)
Encontre a altura máxima que pode atingir
um míssil lançado de um equipamento de artilharia
terrestre.
Mostre que se a>0, então o menor valor de
f(x) ocorre em
x
b
.
2a
Substituindo
esse valor na expressão anterior, descubra
o menor valor que a função assume.
SOLUÇÃO
A altura máxima é dada pelo valor do yv:

( tg) 2
yv  

4a
4
no segundo
b) Mostre que se a<0, então o maior valor de
 2  (V0 cos ) 2 
 

g


f(x)
também
ocorre
em
x
b
.
2a
Substituindo esse valor na expressão
anterior, descubra o maior valor que a
função assume.
Fica mais fácil simplificar essa expressão
se soubermos que:
36
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c)
Fazendo f ( x )
de Baskara.
 0 , demonstre a fórmula
EXEMPLO
FUNÇÃO EXPONENCIAL
A função que representa um crescimento
(ou um decrescimento) multiplicativo é conhecida
como função exponencial.
EXEMPLO
Um capital dobra a cada ano de aplicação.
Encontre a função que expressa a relação entre o
capital e o montante.
SOLUÇÃO
Vamos representar o capital aplicado pela
letra C e o montante pela letra M. A cada ano o
montante será igual ao dobro do valor do capital
aplicado no início do ano anterior, ou seja:
Prazo da Aplicação
Montante
Hoje
C
Após 1 ano
2C
Após 2 anos
4C (=22C)
Após 3 anos
...
8C (=23C)
...
Após x anos
2xC
PROPRIEDADES DA EXPONENCIAL
Para compreender o comportamento de
uma função exponencial é necessário conhecermos
as seguintes propriedades:
a 0  1 a  0

A função que relaciona o capital e o
montante é então dada por:
EXEMPLO
f ( x)  C  2 x
1000 0  1
a m  a n  a mn

A função exponencial é caracterizada pela
seguinte expressão:
EXEMPLO
f (x)  a x , com a > 0.
2 3  2 2  2 3 2  2 5
am

 a mn
n
a
Chamamos os parâmetros “a” de base e
“x” de expoente. A base de uma função
exponencial representa o valor do seu crescimento
ou decrescimento multiplicativo.
Por exemplo, se uma função triplica a cada
ano ou reduz-se à metade a cada hora então a base é
representada por esses valores.
A característica principal do seu gráfico é
o seu crescimento (ou decrescimento) rápido. Outra
característica é que o gráfico da função exponencial
corta o eixo y no ponto y = +1.
EXEMPLO
23
2

37
2
 2 3 2  2 1
a m  b m  (ab) m
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
EXEMPLO
SOLUÇÃO
2 3  33  (2  3) 3  6 3
Conforme o enunciado, a função que
representa o problema é:
1

a
m
 a m
y  (10.000 )  3x
Como a base é igual a 3, a função é
crescente. Após 4 horas, o número de bactérias é
igual a:
EXEMPLO
1
2
2
y  (10.000 )  34  810 .000
 2 2
bactérias.
O gráfico dessa função é dado por:
m

a n  n am
EXEMPLO
2
5
3
 5 32

(a m ) n  a mn
EXEMPLO
(23 ) 5  235  215

CLASSIFICAÇÃO DA FUNÇÃO
EXPONENCIAL
Quando o valor de a é maior do que zero e
menor do que 1, a função é dita decrescente. O que
acontece nesse caso é que a função representa um
decrescimento multiplicativo.
A função exponencial pode ser classificada
em crescente e decrescente, conforme o valor do
parâmetro “a” da equação:
EXEMPLO
Um carro perde 10% do seu valor a cada
ano de uso. Sabendo-se que o valor inicial do carro
é $20.000,00, calcule seu valor após 3 anos.
f ( x)  a x

2o caso: 0<a<1
1o caso: a>1
SOLUÇÃO
Quando o valor de a é maior do que 1, a
função é dita crescente. O que acontece nesse caso
é que a função representa um crescimento
multiplicativo.
A cada ano de uso, o valor do automóvel
se torna 90% do valor do ano anterior. Portanto, a
função que representa o problema é:
x
 90 
x
y  (20.000 )  
  (20.000 )  0,9
 100 
EXEMPLO
Uma colônia de bactérias triplica a cada
hora. Encontre o número de bactérias após 4 horas,
sendo que no instante inicial o número de bactérias
é igual a 10.000.
Como a base é igual a 0,9, a função é
decrescente. Após 3 anos, o valor do carro é igual a:
y  (20.000)  0,93  $14.580,00
38
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SOLUÇÃO
O gráfico dessa função é dado por:
Primeiramente, devemos transformar a
taxa percentual em taxa unitária. Nesse caso, uma
taxa de 1% corresponde a:
1% 
1
 0,01
100
Vamos agora montar um quadro da
aplicação:
Prazo da
Aplicação
OBS:
Hoje
A parte em que x é negativo não existe
para os dois exemplos mostrados já que a variável
x é o tempo e não é possível existir tempo negativo.
Após 1 mês
Após 2
meses
Após 3
meses
Após 4
meses
O VALOR DE “e”
Quando estamos trabalhando com funções
exponenciais, é muito freqüente aparecerem
expressões em que a base da função é a letra “e”.
Essa letra, dada em homenagem ao matemático
Leonard Euler, representa um número irracional
igual a:
Juros
$0,00
$10.000,00
= $100,00
$10.100,00
= $101,00
$10.201,00
= $101,00
$10.303,01
= $103,03
Montante
$10.000,00
 0,01
 0,01
 0,01
 0,01
$10.100,00
$10.201,00
$10.303,01
$10.406,04
A equação abaixo fornece o valor do
montante de uma aplicação financeira:
M  C  (1  i) n
e  2,7182 ...
Nessa equação, identificamos os seguintes
parâmetros:
MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO
EXPONENCIAL
C é o capital aplicado em dinheiro;
i é a taxa unitária na unidade de tempo (diária,
mensal, anual, etc);
n é o tempo da aplicação (dia, mês, ano, etc)
Existem muitos problemas que podem ser
modelados por uma função exponencial:
 Juros compostos;
 Financiamento;
 Diodo semicondutor.
EXEMPLO
Quanto rende de juros uma aplicação de
$10.000,00 a uma taxa de 3% ao mês durante 2
meses ?
JUROS COMPOSTOS
SOLUÇÃO
No regime de capitalização chamado juros
compostos o montante cresce exponencialmente
com a taxa de juros mensal i e o tempo de aplicação
n.
Usando a equação do regime de juros
compostos:
M  C  (1  i) n
EXEMPLO
M  $10.000,00  (1  0,03) 2  $10.609,00
Calcularemos o montante mês a mês de
uma aplicação de $10.000,00 a uma taxa de 1% ao
mês durante 4 meses.
O montante é definido como sendo a soma
do capital com os juros do período considerado. A
partir dessa definição, os juros podem ser
calculados da seguinte forma:
39
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J  MC
J  $10 .609 ,00  $10 .000 ,00  $609 ,00
P é o valor da prestação em dinheiro;
VE é o valor emprestado em dinheiro;
i é a taxa unitária na unidade de tempo (diária,
mensal, anual, etc);
n é o tempo da aplicação (dia, mês, ano, etc).
FINANCIAMENTO
Quando você está interessado em adquirir
um carro ou uma casa, porém não tem possibilidade
de pagar à vista, uma das soluções é pedir um
empréstimo a uma instituição financeira através de
uma operação conhecida como financiamento.
O financiamento é um plano de pagamento
baseado no princípio de que o valor de cada
prestação divide-se em duas parcelas:
 Amortização do valor emprestado: uma parte
de cada prestação deve diminuir (amortizar) o
valor que foi emprestado.
 Juros sobre o saldo devedor: outra parte da
prestação deve pagar juros sobre a parte do
valor emprestado que não foi amortizada (saldo
devedor).
A equação do financiamento é dada por:
P  VE 
EXEMPLO
Construir o plano de financiamento de um
carro que custa $10.000,00 a uma taxa de 1% ao
mês (i=0,01) durante 12 meses.
SOLUÇÃO
Valor da parcelas é calculado da seguinte
forma:
P  VE 
P  10.000 ,00 
i  (1  i)
(1  i) n  1
n
i  (1  i) n
(1  i) n  1
0,01  (1  0,01)12
(1  0,01)12  1
P  $888 ,49
Onde:
PLANO DE FINANCIAMENTO
Tempo
(meses)
Juros
(J=SDi)
Dívida
(D)
Parcela
(P)
Amortização
(A=P-J)
Saldo Devedor
(SD=D-P)
Hoje

$10.000,00


$10.000,00
Após 1 mês
$100,00
$10.100,00
$888,49
$788,49
$9.211,51
Após 2 meses
$92,12
$9.303,63
$888,49
$796,37
$8.415,14
Após 3 meses
$84,15
$8.499,29
$888,49
$804,34
$7.610,80
Após 4 meses
$76,11
$7.686,91
$888,49
$812,38
$6.798,42
Após 5 meses
$67,98
$6.866,40
$888,49
$820,51
$5.977,91
Após 6 meses
$59,78
$6.037,69
$888,49
$828,71
$5.149,20
Após 7 meses
$51,49
$5.200,69
$888,49
$837,00
$4.312,20
Após 8 meses
$43,12
$4.355,32
$888,49
$845,37
$3.466,83
Após 9 meses
$34,67
$3.501,50
$888,49
$853,82
$2.613,01
Após 10 meses
$26,13
$2.639,14
$888,49
$862,36
$1.750,65
Após 11 meses
$17,51
$1.768,16
$888,49
$870,98
$879,67
Após 12 meses
$8,80
$888,49
$888,49
$879,69
$0,00* (dívida paga)
Totais
$661,85

$10.661,88
$10.000,00*

* ocorre uma diferença $0,02 por causa do arredondamento nas casas decimais.
40
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Valor da Prestação
Graficamente, podemos representar a operação por:
900,00
880,00
860,00
840,00
820,00
800,00
780,00
760,00
740,00
720,00
1
2
3
4
5
6
7
Meses
8
9
10
11
12
A parte cinza é a contribuição dos juros e a parte preta é a contribuição da amortização no valor da
parcela. Desta forma, concluímos que a amortização deve crescer com o tempo e o valor dos juros deve
decrescer com o tempo.
DIODO SEMICONDUTOR
Chamamos de diodo ao elemento de
circuito eletrônico construído com semicondutores
(em geral são usados o silício, o germânio, o
arsênio e o gálio). O diodo possui dois terminais
conhecidos como catodo e anodo. O catodo é o
terminal negativo e o anodo é o terminal positivo.
A finalidade do diodo é conduzir a
corrente elétrica somente num sentido e bloquear a
corrente em sentido contrário. O diodo sempre
permitirá passagem de corrente elétrica quando a
tensão no anodo for maior que a tensão no catodo.
As figuras abaixo mostram o símbolo do
diodo e algumas imagens reais dos componentes:
(LED)
A equação que modela o funcionamento
do diodo semicondutor é dada por:
i D  ISe
Símbolo:
vD
VT
, para vD0V
Onde:
iD é a corrente do diodo;
IS é a corrente de saturação (10-15A);
vD é a tensão sobre o diodo;
VT é a tensão térmica (25mV).
A característica exponencial do diodo faz
com que a sua principal aplicação seja o
chaveamento analógico. Isso significa que,
dependendo da tensão vD, o diodo liga ou desliga o
circuito eletrônico ao qual está conectado.
Outra aplicação do diodo é o LED (diodo
emissor de luz) que ilumina as teclas e o display do
seu telefone celular.
Componentes:
(DIODO)
41
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Representamos (e resumimos!) toda essa
situação por:
t  log 2 8  3
Exercícios
1.
Classifique as funções em crescente
decrescente e esboce seus gráficos:
2.
e
1
a) y   
2
x
b) y  e
x
Devemos ler essa expressão da seguinte
forma: “logaritmo de 8 na base 2 é igual a 3”.
Calcular o valor do logaritmo acima
significa responder à seguinte pergunta:
4
c) y   
3
x
d) y  3
x
Devemos elevar a base 2 a que valor de t para que
o resultado seja igual a 8 ?
Definimos então a função logarítmica por:
y  log a x , com a > 0, a  1 e x > 0
O estudo da concentração de drogas na
circulação sanguínea é um ramo da farmácia
conhecido como farmacocinética. A redução da
droga no corpo humano é modelada pela
seguinte função exponencial:
O parâmetro “a” é chamado de base do
logaritmo. Uma característica importante é que o
gráfico da função logarítmica corta o eixo x no
ponto x = +1.
C  C0  e kt
EXEMPLO
Onde:
C0 é a concentração inicial da droga.
t é o tempo decorrido desde que a droga foi
introduzida no corpo.
O valor de k no expoente responde pela
rapidez de redução da droga no corpo e
depende do medicamento considerado.
Descubra a concentração de uma droga
após 4h, se k é igual a 0,45/h e a concentração
inicial é igual a 5 mg/ml.
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Considere o seguinte exemplo:
Se o capital dobra a cada ano de aplicação,
então quantos anos são necessários para o montante
ser 8 vezes o valor do capital?
Já sabemos que a relação de dependência
entre o montante e o número de anos é dada por
uma função exponencial de base igual a 2. Nosso
objetivo agora é descobrir o valor do expoente que
produz o montante conhecido, ou seja:
LOGARITMOS ESPECIAIS
C  2t  C  8
2 2
t
3
t  3 anos
Existem dois logaritmos especiais na
matemática  o logaritmo decimal e o logaritmo
42
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natural, também chamado de logaritmo neperiano
em homenagem ao matemático John Napier.
O logaritmo decimal é aquele cuja base é
10. Sempre que nos referirmos a esse logaritmo,
não é obrigatório informar o número 10, ou seja:

log a b 
log c b
(mudança de base)
log c a
EXEMPLO
log 3 2 
log10 2  log 2

O logaritmo natural é aquele cuja base é o
número “e”. A referência a esse logaritmo é feita
escrevendo-se “ln” no lugar de “loge”, portanto:
a log a x  x
EXEMPLO
2 log 2 3  3
log e 2  ln 2
OBS.:
CLASSIFICAÇÃO DA FUNÇÃO
LOGARÍTMICA
É sempre bom olhar a ajuda do software
matemático antes de seguir essas notações, já que
alguns usam “log” significando logaritmo
neperiano e não decimal.
A função logarítmica pode ser classificada
em crescente e decrescente, conforme o valor do
parâmetro “a” da equação:
PROPRIEDADES DO LOGARITMO
y  log a x
Para compreender o comportamento de
uma função logarítmica é necessário conhecermos
as seguintes propriedades:

Como a
0

1o caso: a>1
Quando o valor de a é maior do que 1, a
função é dita crescente.
 1 , então: log a 1  0 , a>0
EXEMPLO
EXEMPLO
log10 1  0

Uma cultura de bactérias em laboratório
triplica sua população a cada hora. Sabendo-se que
inicialmente existiam 1.000 bactérias encontre
quanto tempo se passou para que a cultura atingisse
243.000 bactérias.
Como a  a , então: log a a  1 , a>0
1
EXEMPLO
log 10 10  1

log a x  log a y  log a (xy )
EXEMPLO
Primeiramente, devemos dividir o número
final de bactérias pelo seu número inicial:
EXEMPLO
log10 2  log10 3  log10 (2  3)  log10 6

x
log a x  log a y  log a  
 y
243 .000
 243
1.000
Nesse caso, após um tempo t a colônia se
torna 243 vezes o seu tamanho inicial. O valor
procurado é dado pelo seguinte logaritmo:
EXEMPLO

log10 2
log10 3
3
log10 3  log10 2  log10  
2
n
log a x  n  log a x
t  log 3 243  5 horas
EXEMPLO
A função que representa o problema é dada
log10 2  2  log10 2
2
por:
y  log 3 x
43
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Onde x representa o tamanho final da
colônia em relação ao seu tamanho inicial.
O gráfico dessa função é representado por:
OBS:
A parte em que y é negativo não existe
para os dois exemplos mostrados já que a variável
y é o tempo e não é possível existir tempo negativo.

2o caso: 0<a<1
Quando o valor de a é maior do que zero e
menor do que 1, a função é dita decrescente.
MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO
LOGARÍTMICA
EXEMPLO
Vamos analisar um modelo interessante
em que a função logarítmica se aplica:
A concentração de um determinado
fármaco na corrente sanguínea reduz-se à metade a
cada hora. Sabendo-se que a concentração inicial do
fármaco é igual a 6,4mg/ml e que uma
concentração de 0,1mg/ml não fará mais efeito no
combate à doença, encontre quanto tempo levará
para o paciente tomar outra dose.

RESFRIAMENTO DE CORPOS
Isaac Newton foi o primeiro a demonstrar
a lei matemática que regula o resfriamento de
corpos. Uma das aplicações dessa lei é a
determinação pelos peritos policiais da hora
aproximada de um assassinato.
A expressão que fornece a lei do
resfriamento é dada por:
SOLUÇÃO
Primeiramente,
devemos
dividir
concentração final pela sua concentração inicial:
a
T  T0  e kt
0,1 1

6,4 64
Onde:
t é o tempo decorrido desde que o crime aconteceu;
T é a diferença de temperatura entre o corpo e o
ambiente no tempo t após o crime;
T0 é a diferença de temperatura entre o corpo e o
ambiente na hora do crime;
k é a taxa de resfriamento e significa o percentual
de resfriamento do corpo.
Nesse caso, após um tempo t a
concentração reduz-se a 1/64 vezes a sua
concentração inicial. O valor procurado é dado pelo
seguinte logaritmo:
t  log 1
2
Resfriamento de corpos;
1
 6 horas
64
A grande limitação desse modelo é que o
perito deve chegar ao local do crime enquanto o
corpo ainda está com temperatura acima da
temperatura ambiente (T0), caso contrário, o
método perde a sua funcionalidade.
A função logarítmica aparece no momento
em que desejamos calcular o tempo decorrido desde
que o crime aconteceu:
Após 6 horas, o remédio não fará mais
efeito porque a sua concentração na corrente
sanguínea ficará abaixo de 0,1mg/ml.
A função que representa o problema é dada
por:
y  log 1 x
1  T
t    ln 
k  T0
2
Onde x representa a concentração final do
fármaco na corrente sanguínea em relação à sua
concentração inicial.
O gráfico dessa função é representado por:
EXEMPLO
44



Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Considere a seguinte notícia:
Com:
T  (34,8  20)  14,8o C
T0  (36,5  20)  16,5o C
k  0,04845 / h
Jornal do Dia
Páginas Policiais
Substituindo esses valores na equação:
t
Policiais encontraram às 23:00h o corpo de
uma mulher aparentando 30 anos dentro de
seu apartamento. Vizinhos acionaram a
polícia após terem ouvidos tiros dentro do
prédio. A análise pericial do corpo
concluiu que a mulher foi assassinada por
volta das 21:00h.
Você, como perito policial que esteve
presente na cena do crime, deve mostrar como
chegou a essa conclusão no seu relatório policial.
1
 14,8 
 ln 
  2,244 h  2h
0,04845
 16,5 
15min
A hora aproximada do assassinato foi
20:45h (23:00h  2:15h)
SOLUÇÃO
Exercícios
A primeira atitude sua como bom perito foi
medir a temperatura do corpo imediatamente
quando chegou ao local do crime (23:00h).
Suponha que você tenha encontrado 34,8oC. Uma
hora mais tarde, você mediu novamente a
temperatura e descobriu que o corpo estava a
34,1oC.
O quarto estava a 20oC e o corpo humano
quando está vivo possui temperatura de 36,5 oC.
Com esses dados você pode calcular a hora em que
ocorreu o crime.
O primeiro objetivo é encontrar o valor do
parâmetro k de posse da seguinte equação:
1.
b)
log 1 2
2
c) log 10 1
d) log 1 16
2
e) log 9
1  T 

k    ln 
t  T0 
f)
3
log5  5
g) log 1 2
Com:
h) log  2 2
T  (34,1  20)  14,1o C
T0  (34,8  20)  14,8o C
2.
t  1h
Então, usando uma calculadora, obtemos:
 14,1 
k  1  ln 
  0,04845 / h
 14,8 
O que significa que o corpo se resfria a
uma taxa de aproximadamente 4,85% por cada hora
a partir do momento do crime.
Agora, podemos descobrir quanto tempo
se passou desde a hora do assassinato conforme a
equação:
1  T
t    ln 
k  T0
Encontre, se for possível, o valor dos seguintes
logaritmos:
a) log10 100



45
Outra aplicação prática da função logarítmica
é a determinação da concentração segura de um
fármaco na corrente sanguínea. O problema
matemático se resume a encontrar qual é o
tempo mínimo de aplicação da próxima dose
sabendo-se que a concentração não pode atingir
um determinado valor que é prejudicial à saúde
do paciente.
Considere que a concentração do fármaco na
corrente sanguínea reduz-se à metade a cada
hora. Sabendo-se que a concentração inicial do
fármaco é 6,4mg/ml e que uma concentração
de 10mg/ml pode levar o paciente a entrar em
estado de coma, calcule o intervalo mínimo
entre duas doses de forma que o paciente não
seja prejudicado.
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Seno do ângulo 
A nossa vida está repleta de casos que
envolvem a repetição de um acontecimento no
tempo, tais como: o período do ano em que mais
chove ou faz sol na cidade, de quanto em quanto
tempo ocorre uma recessão no país ou a hora em
que vamos dormir todo dia. Chamamos de rotina a
esse tipo de situação.
Matematicamente, denomina-se periódico
um evento que se repete ao longo do tempo (ou
outra variável independente conforme a situação).
Tais eventos podem ser descritos por uma função
trigonométrica.
As
funções
trigonométricas
mais
importantes são as funções seno e cosseno. A partir
delas são construídas as funções tangente,
cotangente, secante e cossecante.
Cosseno do ângulo 
UM POUCO DE GEOMETRIA – O CICLO
TRIGONOMÉTRICO
Um ângulo positivo deve ser medido no
sentido anti-horário e um ângulo negativo deve
ser medido no sentido horário.
A forma mais simples de enxergar as
funções trigonométricas principais é através do
ciclo trigonométrico:
ÂNGULOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
O ciclo trigonométrico é dividido em 4
partes (ou quadrantes) de 90o. O primeiro quadrante
começa no ângulo 0o e vai até 90o (sobre o eixo
vertical). O segundo quadrante começa do ângulo
de 90o e vai até 180o (sobre o eixo horizontal). O
terceiro quadrante começa do ângulo de 180 o e vai
até 270o (sobre o eixo vertical). O quarto quadrante
começa do ângulo de 270o e vai até o ângulo de
360o (sobre eixo horizontal e coincidente com o
ângulo de 0o):
Sentido
anti-horário
O
ciclo
trigonométrico
é
uma
circunferência de raio igual a 1 centrada no
cruzamento dos eixos x e y. O eixo horizontal é
denominado cosseno e o eixo vertical é chamado
seno.
Os valores do seno e do cosseno de um
ângulo são dados pelas medidas sobre cada um dos
eixos do ciclo trigonométrico.
EXEMPLO
Se quisermos saber o valor do seno e do
cosseno de um determinado ângulo  basta fazer:
ÂNGULOS EM GRAUS E RADIANOS
Existem duas medidas principais de
ângulos: o grau e o radiano. O grau é uma unidade
de medida que nasceu da divisão arbitrária de uma
46
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circunferência em 360 partes iguais. Cada grau é
subdividido em 60 minutos e cada minuto em 60
segundos.
Para os matemáticos antigos, dividir a
circunferência em 360 graus seria equivalente a
dividir um ano em 360 dias.
O grau é muito utilizado em Engenharia,
pois existem instrumentos de medição graduados
nesse sistema. Por outro lado, é pouco comum o
grau aparecer em fórmulas matemáticas por causa
do aumento no número de operações.
Nos cálculos matemáticos, a medida de
ângulo mais usada é o radiano. 1 radiano é definido
como sendo o ângulo cujo raio R do ciclo
trigonométrico coincide com o comprimento do
arco S:
Então:
R
G
180
ou
G
180  R

EXEMPLO
Encontrar
radianos:
a) 30o
b) 45o
c) 60o
os
seguintes
ângulos
em
SOLUÇÃO

6
180
  45 o 
b) R 

4
180 o
o
  60

c) R 

3
180 o
a) R 
 = 1 radiano
  30 o
o

AS FUNÇÕES SENO E COSSENO
O ângulo radiano é um número real que
fornece a relação entre o comprimento do arco C e
o tamanho do raio R:
Radiano 
A partir do ciclo trigonométrico, vamos
mostrar
as
características
das
funções
trigonométricas seno e cosseno. Imagine o ponto P
se deslocando no sentido anti-horário e observe o
que acontece com a linha cinza vertical:
C
R
Essa relação tem ligação com a conhecida
fórmula do comprimento da circunferência:
C  2  R
Ao reorganizarmos essa fórmula, teremos:
2 
C
R
Podemos entender 2 como sendo o
ângulo em radianos correspondente a uma volta
completa na circunferência. Dessa forma, podemos
converter graus em radianos fazendo:
Podemos notar que, quando =0o, a linha
cinza tem comprimento igual a zero.
47
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
À medida que o ângulo  aumenta, o
comprimento da linha cinza aumenta até se tornar
igual a 1, quando =90o (/2 rad).
O valor do seno é então igual a +1 já que a
linha está na parte positiva do eixo.
Se o ponto P continuar se movendo no
mesmo sentido, podemos perceber que o tamanho
da linha cinza diminui até chegar em 0 quando o
ângulo =360o (2 rad).
A partir ponto, o ciclo do seno se repete.
A partir dessa análise, podemos traçar o
gráfico da função seno no intervalo de 0 a 2:
Se o ponto P continuar se movendo no
mesmo sentido, podemos perceber que o tamanho
da linha cinza diminui até chegar em 0 quando o
ângulo =180o ( rad).
A função seno é representada da seguinte
maneira:
y  sen( x ) , sendo que x é o ângulo dado em
radianos.
Podemos fazer a mesma análise do ciclo
trigonométrico para a função cosseno (eixo
horizontal). O resultado é o seguinte gráfico no
intervalo de 0 a 2:
O que acontece quando o ângulo 
ultrapassa os 180o é que o comprimento da linha
cinza volta a aumentar, só que no sentido negativo
até chegar em =270o (3/2 rad).
O valor do seno é então igual a -1 já que a
linha está na parte negativa do eixo.
A função cosseno é representada da
seguinte maneira:
y  cos(x ) , sendo que x é o ângulo dado em
radianos.
As funções trigonométricas seno e cosseno
são chamadas periódicas, pois a cada ciclo de 360 o
(2) os seus valores se repetem. Dessa forma, os
dois gráficos mostrados anteriormente se repetem
ao longo do eixo x indefinidamente. Vale notar a
característica oscilante das funções seno e cosseno
entre os valores +1 e -1.
48
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Centro de Ciências Sociais e Educação
OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
variação da voltagem elétrica conforme a seguinte
função trigonométrica:
A partir das duas funções conhecidas,
podemos definir outras quatro funções importantes:
a secante, a cossecante, a tangente e a cotangente.
Essas funções são definidas por:
1
1
e cos sec(x ) 
sen( x )
cos(x )
sen(x)
tg(x) 
cos(x)
1
cos(x )
cot g( x ) 

tg( x ) sen( x )
V(t)  Vmáx  sen(2  f  t)
Onde:
Vmáx é a tensão máxima fornecida pelo sistema,
dada em Volts;
f é a freqüência com que a voltagem varia, dada em
ciclos por segundo (Hertz). No Brasil, a freqüência
adotada é igual a 60 Hertz.
sec(x ) 
e
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
PRINCIPAIS
O gráfico da voltagem é dado por:
Esse ciclo se repete 60 vezes a
cada 1 segundo!
As funções trigonométricas podem ser
relacionadas entre si através de fórmulas
conhecidas como relações trigonométricas.
As principais relações trigonométricas são:

sen 2 x  cos 2 x  1

tg 2 x  1  sec2 x

1  cot g 2 x  cos sec2 x
cos(a  b)  cos a  cos b  sena  senb
cos(a  b)  cos a  cos b  sena  senb
sen(a  b)  sena  cos b  senb cos a
sen(a  b)  sena  cos b  senb cos a




Essa variação da voltagem faz com que a
corrente elétrica dentro dos aparelhos circule ora
num sentido ora no sentido contrário. Portanto, uma
freqüência de 60 Hz (ciclos por segundo) faz com
que o sentido da corrente se alterne 60 vezes a cada
1 segundo!
Todas as fórmulas acima são demonstradas
com o auxílio do ciclo trigonométrico. Algumas
dessas demonstrações são mostradas no apêndice 1.
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
MODELOS BASEADOS NAS FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
Vamos analisar dois modelos em que as
funções trigonométricas se aplicam:
 Voltagem elétrica;
 Movimento harmônico simples (MHS).
Se desprezarmos o atrito, o movimento de
uma massa m presa a uma mola de constante k tem
a característica de se repetir com o tempo. Portanto,
o deslocamento da massa pode ser descrito pela
seguinte função trigonométrica:
VOLTAGEM ELÉTRICA
A maioria dos aparelhos da nossa casa
funciona no que chamamos corrente alternada
(C.A.). O sistema de corrente alternada se baseia na
49
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x(t)  A máx  cos(2  f  t)
g)
Onde:
Amáx é a amplitude máxima do movimento, dada
em metros;
f é a freqüência com que o deslocamento varia,
dada em ciclos por segundo (Hertz).
tg(a  b) 
tga  tgb
1  tga  tgb
Dica:
Você deve partir da relação:
tg(a  b) 
A relação funcional entre o deslocamento e
o tempo é dada pelo gráfico:
sen(a  b)
cos(a  b)
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS
Considere a seguinte questão:
Qual é o ângulo cujo seno é igual a 1/2 ?
Essa pergunta pode ser respondida através
da definição das funções trigonométricas inversas.
Partindo da função seno:
A amplitude máxima é o maior
deslocamento que a massa pode atingir em relação
ao ponto de equilíbrio. Determinamos a amplitude
máxima medindo a distância do ponto em que a
massa estava parada até o ponto em que foi
deslocada para iniciar o seu movimento.
Já a freqüência informa quantas vezes em
1 segundo a massa passa por um ponto de
referência. Esse valor depende da massa m e da
constante k da mola. Quanto maior a massa, para a
mesma mola, mais lento será o movimento e menor
será a freqüência.
y  sen( x )
Colocaremos x onde aparece y e y onde
aparece x:
x  sen( y)
Separando y, teremos a definição da
função arco-seno:
y  arcsen( x ) , onde y é dado em radianos
Podemos definir as outras funções
trigonométricas inversas da mesma maneira.
Exercícios
EXEMPLO
Quanto vale
1.
a)
Prove as seguintes relações:
cos(a  b)  sena  senb  cos a  cos b
b) sen(a  b)  sen a  cos b  sen b  cos a
?
Interpretando y como o ângulo cujo seno é
então, y é igual a
sen (a  b)  cos (a  b)  1
2
1
2
SOLUÇÃO
Dica:
Comece pela relação trigonométrica fundamental:
c)
y  arcsen
2
sen(a  b)  sen a  cos b  sen b  cos a

6
1
,
2
(=30o).
GRÁFICOS DAS FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
d) sen 2x  2  sen x  cos x
e) cos 2 x  2  cos x  1
2
f) cos 2 x  1  sen x
2
Os gráficos do arco-seno e do arcocosseno são obtidos descobrindo-se os valores de y
quando x varia de –1 a +1.
50
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Esse gráfico deve ser construído por
partes. Enquanto x for positivo, y é dado pela
primeira função. Já quando x for negativo, y é dado
pela segunda função.
1.5
y  arcsen( x )
1
0.5
-1
-0.5
0.5
Portanto, o gráfico é dado por:
1
-0.5
-1
-1.5
EXEMPLO
Encontre o gráfico da seguinte função
condicional:
x 2 , se x  2
y
 6, se x  2
3
SOLUÇÃO
2.5
2
y  arccos(x )
Fazendo da mesma forma que no exemplo
anterior:
1.5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
OUTRAS FUNÇÕES ESPECIAIS

Função condicional
Para a primeira função, não é permitido
calcular o valor de y no ponto x=2 (o que daria
y=4). Essa situação é representada pela bola aberta.
Conforme a função condicional, quando
x=2 temos que y=6. Devemos representar esse caso
com uma bola fechada.
A característica mais marcante da função
condicional é a definição de uma expressão
diferente para cada trecho do seu domínio.
EXEMPLO

Encontre o gráfico da seguinte função
condicional:
Função modular
A função modular é definida por:
x 2 , se x  0
y
- x, se x  0
 y, se y  0
y 
- y, se y  0
SOLUÇÃO
51
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A finalidade da função modular é
transformar qualquer valor negativo de y em
positivo. Todas as funções estudadas anteriormente
podem ser convertidas em funções modulares,
bastando para isso refletir a parte negativa de y para
a parte positiva.
O retificador de onda completa é um
dispositivo eletrônico que implementa a função
modular. A figura abaixo mostra o circuito do
retificador:
VENTRADA(t) =
sen(t)
EXEMPLO
Construir o gráfico da função y  x .
VSAÍDA(t)
= sen(t)
SOLUÇÃO
O primeiro passo consiste em construir o
gráfico da função y  x :
A análise dos sinais de entrada e saída
permite entender melhor a função do retificador:
4
VENTRADA(t)
2
-4
-2
2
4
-2
-4
Agora, devemos refletir a parte negativa de
y para a parte positiva:
VSAÍDA(t)
5
4
3
2
1
-4
-2
2
4
Dizemos que o retificador transforma um
sinal em corrente alternada em um sinal em
corrente contínua pulsada (a corrente elétrica sobe
até um valor máximo e cai até zero).
O circuito retificador é utilizado dentro do
carregador da bateria do celular para converter
corrente alternada em corrente contínua.
Dessa forma, podemos encontrar o gráfico
de qualquer função modular.
MODELO BASEADO NA FUNÇÃO
MODULAR
ALTERAÇÕES NO GRÁFICO DA FUNÇÃO
Vamos analisar um modelo onde a função
modular se aplica:
 Retificador de onda completa;
Podemos alterar o gráfico de uma função
para obtermos um novo gráfico que anda guarda
relação visual com a função que lhe deu origem.
São possíveis as seguintes alterações:
 Ampliar ou comprimir uma função;
RETIFICADOR DE ONDA COMPLETA
52
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

na direção vertical.
Refletir uma função em relação aos eixos x e
y;
Deslocar uma função.
EXEMPLO
AMPLIANDO OU COMPRIMINDO O
GRÁFICO DA FUNÇÃO
f (x)
Uma função pode ser ampliada ou
comprimida nas direções horizontal e vertical.
Sendo k um número positivo, as alterações na
direção horizontal são feitas através da seguinte
operação:
Construir
 sen( x ) e
os
gráficos
g( x ) 
das
2  sen( x ) .
funções
SOLUÇÃO
Conforme a regra, a função g(x) é igual a
f(x) ampliada duas vezes na direção vertical:
g( x )  f (k  x )
É interessante observar que g(x) é uma
ampliação vertical de f(x) e que, por outro lado, f(x)
é uma compressão vertical de g(x).
Para k>1, a função g(x) é igual a f(x)
comprimida k vezes na direção horizontal;
Para 0<k<1, a função g(x) é igual a f(x)
ampliada k vezes na direção horizontal.
g(x)=2sen(x)
f(x)=sen(x)
EXEMPLO
f (x)
Construir
 sen( x ) e
os
g( x )
gráficos
das
 sen(2x ) .
funções
SOLUÇÃO
Conforme a regra, a função g(x) é igual a
f(x) comprimida duas vezes na direção horizontal:
Observe que g(x) é uma compressão
horizontal de f(x) e que, por outro lado, f(x) é uma
ampliação horizontal de g(x).
REFLETINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO
Uma função pode ser refletida em relação
aos eixos x e y. Uma reflexão em relação ao eixo y
é feita através da seguinte operação:
g(x)=sen(2x)
f(x)=sen(x)
g( x )  f ( x )
EXEMPLO
Construir
os
f ( x )  x e g( x )   x .
gráficos
das
funções
SOLUÇÃO
Sendo k um número positivo, as alterações
na direção vertical são feitas através da seguinte
operação:
Conforme a regra, a função g(x) é igual a
f(x) refletida em relação ao eixo y:
g( x )  k  f ( x )
É interessante observar que g(x) é uma
reflexão de f(x) em relação ao eixo y e que, por
outro lado, f(x) é uma reflexão de g(x) em relação
ao eixo y.
Para k>1, a função g(x) é igual
a f(x) ampliada k vezes na
direção vertical;
Para 0<k<1, a função g(x) é
igual a f(x) comprimida k vezes
53
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g(x)=-x
Para k>0, a função g(x) é igual a f(x)
deslocada k unidades para cima;
Para k<0, a função g(x) é igual a f(x)
deslocada k unidades para baixo.
f(x)=x
EXEMPLO
f (x)
Construir
 sen( x ) e
os
gráficos
das
g( x )  sen( x )  2 .
funções
SOLUÇÃO
Conforme a regra, a função g(x) é igual a
f(x) deslocada duas unidades para cima:
Uma reflexão em relação ao eixo x é feita
através da seguinte operação:
É interessante observar que g(x) é igual a
f(x) deslocada para cima e que, por outro lado, f(x)
é igual a g(x) deslocada para baixo.
g ( x )  f ( x )
EXEMPLO
Construir
os
gráficos
das
funções
f (x)  x e g(x)  x .
2
2
g(x)=sen(x)+2
SOLUÇÃO
Conforme a regra, a função g(x) é igual a
f(x) refletida em relação ao eixo x:
f(x)=sen(x)
É interessante observar que g(x) é uma
reflexão de f(x) em relação ao eixo x e que, por
outro lado, f(x) é uma reflexão de g(x) em relação
ao eixo x.
f(x)=x
2
As alterações na direção horizontal são
feitas através da seguinte operação:
g( x )  f ( x  k )
Para k>0, a função g(x) é igual a f(x) deslocada k
unidades para a esquerda;
Para k<0, a função g(x) é igual a f(x) deslocada k
unidades para a direita.
EXEMPLO
g(x)=-x
2
Construir os gráficos das funções
f (x)  x 2 e g(x)  (x  5) 2 .
DESLOCANDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO
SOLUÇÃO
Uma função também pode ser deslocada
nas direções horizontal e vertical. As alterações na
direção vertical são feitas através da seguinte
operação:
Conforme a regra, a função g(x) é igual a
f(x) deslocada cinco unidades para a direita:
Podemos observar que g(x) é igual a f(x)
deslocada 5 unidades para a direita e que, por outro
g( x )  f ( x )  k
54
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lado, f(x) é igual a g(x) deslocada cinco unidades
para a esquerda.
Encontrar
f g,
sabendo-se
que
f ( x)  x 2 e g ( x )  x  2 .
SOLUÇÃO
f(x)=x
2
g(x)=(x-5)
Devemos substituir g(x) onde aparecer a
variável x na função f(x):
2
f (g(x))  [g(x)] 2  (x  2) 2  x 2  4x  4
f  g  f (g(x))  x 2  4x  4
FUNÇÃO COMPOSTA
A função composta é o resultado da
substituição de uma função g(x) no lugar da
variável independente de uma outra função f(x).
Representamos essa situação por:
f  g  f (g( x ))
Devemos ler f  g da seguinte maneira:“f
bola g” ou função composta de g(x) em f(x).
Podemos entender melhor a
composta usando os diagramas de Venn:
função
Maneira mais trabalhosa
Maneira mais rápida
Conforme o primeiro diagrama de Venn, o
cálculo de z é feito em duas partes. Primeiro,
substituímos x em g(x) para obtermos y. Em
seguida, usamos o resultado de y na função f(y)
para encontrarmos o valor de z. Essa é a forma mais
trabalhosa de calcular uma função composta.
Como pode ser visto no segundo diagrama
de Venn, podemos utilizar a definição de função
composta para poupar o trabalho de calcularmos o
valor intermediário y.
EXEMPLO
55
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USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO
MATHEMATICA®
O Mathematica é um software matemático com funções internas
que auxiliam as mais diversas tarefas em que o cálculo necessita ser
simplificado.
Atualmente, é um dos softwares mais utilizados tanto na área
Matemática como na Física, Computação, Engenharia, Biologia, etc.
O AMBIENTE DO MATHEMATICA
O ambiente do Mathematica é composto por uma janela de edição (em branco), onde os comandos são
digitados e executados. Possui ainda uma barra de menu e uma barra de comandos com as operações
matemáticas mais comuns.
56
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EXECUTANDO UM COMANDO
Para executarmos um comando no Mathematica basta clicar na área de edição e começar a digitar o
código. Em seguida, devemos pressionar a combinação de teclas: Shift e Enter.
Todo comando digitado e executado recebe uma numeração de ordem de execução especificada entre
colchetes após a palavra In.
EXEMPLO
Digite o comando:
Plot[x^2,{x,-2,2}]
Após pressionar Shift + Enter, aparecerá na janela de edição:
In[1]:=Plot[x^2,{x,-2,2}]
O símbolo In significa que é um comando de entrada e [1] é a sua ordem na execução, ou seja, In[1] é o
primeiro comando de entrada executado.
O resultado da execução é precedido do símbolo Out[1] que significa resultado da execução do primeiro
comando. Se o comando for executado corretamente, a janela de edição se parecerá exatamente com a figura
abaixo:
57
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SIMBOLOGIA DAS OPERAÇÕES
O Mathematica utiliza os seguintes símbolos na construção de equações:
SÍMBOLO
.
* ou espaço
DESCRIÇÃO
EXEMPLO
Indica início das casas decimais do número
2.3 (=2,3)
Indica multiplicação entre os números
2*3 ou 2 3
/
Indica divisão entre os números
^
Indica potência
*^
Indica potência de dez
2/3
2^3 (=23)
2*^3 (=2x103)
O Mathematica possui ainda um conjunto de constantes:
SÍMBOLO
DESCRIÇÃO
EXEMPLO
E
Indica o valor de e=2,7182...
E^2
Pi
Indica o valor de =3,1415...
Pi/2
I
Indica o número complexo i
I^2
Infinity
Indica o símbolo 
-Infinity
58
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Degree
Fator de conversão de graus para radianos:

180
90*Degree (=Pi/2)
ALGUMAS FUNÇÕES DO MATHEMATICA
No quadro abaixo estão descritas algumas das funções básicas do Mathematica.
COMANDO
DESCRIÇÃO
EXEMPLO
Sqrt[x]
Raiz quadrada de x
Sqrt[2]
Exp[x]
Exponencial de base “e”
Exp[1]
Log[x]
Logaritmo de base “e” (logaritmo neperiano)
Log[E]
Log[b,x]
Logaritmo de base b
n!
Log[2,8] (=log28)
Fatorial de n
COMANDO
Abs[x]
Mod[n,m]
Sin[x]
Cos[x]
Tan[x]
ArcSin[x]
ArcCos[x]
ArcTan[x]
3!
DESCRIÇÃO
Módulo de x
Resto da divisão de n por m
Seno de x (x em radianos)
Cosseno de x (x em radianos)
Tangente de x (x em radianos)
Arco-Seno de x (resultado em radianos)
Arco-Cosseno de x (resultado em radianos)
Arco-Tangente de x (resultado em radianos)
EXEMPLO
Abs[-2] (=|-2|)
Mod[5,2] (=1)
Sin[Pi/2]
Cos[Pi]
Tan[Pi/2]
ArcSin[1/2]*1/Degree
ArcCos[Sqrt[3]/2]*1/Degree
ArcTan[Infinity]*1/Degree
OBS.:
É importante observar que todos os comandos começam com letra maiúscula e
os seus argumentos são fechados por colchetes.
REUSANDO RESULTADOS
Os resultados de uma execução podem ser reaproveitados de forma que o seu comando possa ficar mais
compacto.
COMANDO
DESCRIÇÃO
EXEMPLO
%
Aproveita o último resultado calculado
%+2
%n
Aproveita o resultado que está em Out[n]
%3+2 (=Out[3]+2)
OBS.:
Cuidado com a reutilização de comandos, principalmente com o comando %n.
Tenha certeza que Out[n] é o resultado que você deseja utilizar.
Em seguida digite e execute o comando:
EXEMPLO
%+(Cos[x])^2
Digite e execute o comando:
COMPUTAÇÃO SIMBÓLICA
(Sin[x])^2
59
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Esse comando coloca a expressão sob o mesmo
denominador.
O Mathematica consegue fatorar, expandir
e operar uma equação algébrica das mais diversas
formas. Essa facilidade é conhecida como
computação simbólica.
EXEMPLO
Digite e execute o comando:
EXEMPLO
Together[1/x+1/(x-1)]
Digite e execute o comando:
O resultado será:
 1  2x
x (1  x )
3*x2-x+x2
O resultado após a execução:

4*x2-x

Apart[expressão]
Esse comando separa a expressão em vários
termos com denominadores simples.
Factor[expressão]
Esse comando fatora a expressão entre
colchetes.
EXEMPLO
EXEMPLO
Digite e execute o comando:
Apart[(-1+2*x)/(x*(-1+x))]
Digite e execute o comando:
Factor[3*x2-x+x2]
O resultado será:
O resultado será:
1
1

1 x x
x(-1+4x)

TrigExpand[expressão_trigonométrica]
Esse
comando
coloca
expressões
trigonométricas como soma de termos.

Expand[expressão]
Esse comando expande a expressão entre
colchetes.
EXEMPLO
EXEMPLO
Digite e execute o comando:
Digite e execute o comando:
Expand[(1+x)^2]
O resultado será:
1+2x+x
TrigExpand[Cos[2*x]]
O resultado será:
2
Cos[x]2-Sin[x]2

Simplify[expressão]
Esse comando simplifica ao máximo a
expressão entre colchetes.
ENCONTRANDO AS RAÍZES
DE UMA EQUAÇÃO
EXEMPLO
O Mathematica pode encontrar as raízes de
uma determinada equação. Isso é feito através do
comando:
Solve[expressão = = 0,variável_da_equação]
Digite e execute o comando:
Simplify[1+2x+x2]
O resultado será:
EXEMPLO
(1+x)2
Digite e execute o comando:

Together[expressão]
Solve[x2-5x+6= = 0,x]
60
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Centro de Ciências Sociais e Educação
6
O resultado será:
5
{{x2},{x3}}
4
DEFININDO FUNÇÕES
3
2
Uma função pode ser definida para
posterior uso. Isso é feito através do seguinte
comando:
f[ x_ ]:=expressão em x
1
0.5
Note que existe um traço após a ocorrência
de x dentro dos colchetes.
1
1.5
2
2.5
3
É possível colocar várias funções no
mesmo gráfico através do seguinte comando:
Plot[{expressão1,
expressão2,...},{variável_independente, mínimo,
máximo}]
EXEMPLO
Digite e execute os comandos:
f[ x_ ]:=x2-5x+6
f[2]
EXEMPLO
O resultado será igual a:
Digite e execute o comando:
0
Plot[{x^2, x^3, x^4},{x,-3,3}]
O resultado será um único gráfico com as
funções f(x)=x2, g(x)=x3 e h(x)=x4 para x variando
de -3 a 3.
Agora, digite e execute o comando:
f[x^2]
O resultado será:
4
4
2
x -5x +6
2
PLOTANDO FUNÇÕES
-3
Uma função pode ser colocada num
gráfico usando o comando:
-2
-1
1
-2
Plot[expressão,{variável_independente, mínimo,
máximo}]
EXEMPLO
Digite e execute o comando:
Plot[x2-5x+6,{x,0,3}]
O resultado será o gráfico da função
f(x)=x2-5x+6 no intervalo de x=0 a x=3.
61
2
3
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
ANÁLISE COMBINATÓRIA







Introdução Análise Combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
Regras gerais Combinatória
Arranjos simples
Permutações simples
INTRODUÇÃO À ANÁLISE
COMBINATÓRIA







Combinações simples
Arranjos c/ repetição
Permutações c/ repetição
Combinações c/ repetição
Propr. das combinações
Número binomial
Teorema binomial
Arranjo com repetição: Todos os elementos
podem aparecer repetidos em cada grupo de p
elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = mp.
Análise Combinatória é um conjunto de
procedimentos que possibilita a construção de
grupos diferentes formados por um número finito
de elementos de um conjunto sob certas
circunstâncias.
Cálculo para o exemplo: Ar (4,2) = 42=16.
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os
arranjos com repetição desses 4 elementos tomados
2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos
repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos
estão no conjunto:
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z
com m elementos e os grupos formados com
elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a
taxa do agrupamento, com p<m.
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,
CD,DA,DB,DC,DD}
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três
tipos principais de agrupamentos, sendo que eles
podem ser simples, com repetição ou circulares.
Apresentaremos
alguns
detalhes
de
tais
agrupamentos.
Arranjo condicional: Todos os elementos
aparecem em cada grupo de p elementos, mas
existe uma condição que deve ser satisfeita acerca
de alguns elementos.
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
Observação: É comum encontrarmos na literatura
termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas
todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às
vezes são utilizados em concursos em uma forma
dúbia!
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,42)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do
conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas
letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?
ARRANJOS
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o
subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa
que este subconjunto será formado é p1=2. Com as
letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que
estão no conjunto:
São agrupamentos formados com p elementos,
(p<m) de forma que os p elementos sejam distintos
entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos
podem ser simples ou com repetição.
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de
qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12
grupos que estão no conjunto:
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Usando a regra do produto, teremos 72
possibilidades obtidas pela junção de um elemento
do conjunto PABC com um elemento do conjunto
PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é
CAFG.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os
arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2
são 12 grupos que não podem ter a repetição de
qualquer elemento mas que podem aparecer na
ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no
conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
62
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PERMUTAÇÕES
Se considerássemos todas as permutações simples
possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos,
apresentados no conjunto:
Quando formamos agrupamentos com m elementos,
de forma que os m elementos sejam distintos entre
sí pela ordem. As permutações podem ser simples,
com repetição ou circulares.
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,
BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CAB
D,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DABC,D
ACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Permutação simples: São agrupamentos com
todos os m elementos distintos.
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos
que:
Fórmula: Ps(m) = m!.
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações
simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que
não podem ter a repetição de qualquer elemento em
cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada.
Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
Permutação com repetição: Dentre os m
elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos
a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a
x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que
m1+m2+m3+...+mn=m.
COMBINAÇÕES
Quando formamos agrupamentos com p elementos,
(p<m) de forma que os p elementos sejam distintos
entre sí apenas pela espécie.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Combinação simples: Não ocorre a repetição de
qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra
construída com as mesmas letras da palavra original
trocadas de posição.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1
e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-41,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As
combinações simples desses 4 elementos tomados 2
a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de
qualquer elemento nem podem aparecer na ordem
trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar
com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A
ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T
ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses
3 elementos do conjunto C={A,R,T} em
agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que
contêm a repetição de todos os elementos de C
aparecendo também na ordem trocada. Todos os
agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Combinação com repetição: Todos os elementos
podem aparecer repetidos em cada grupo até p
vezes.
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)
Cálculo para o exemplo:
1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AART
TA,AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARAR
TA,ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATAR
AR}
Cr(4,2)=C(4+2-
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As
combinações com repetição desses 4 elementos
tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as
repetições possíveis de elementos em grupos de 2
elementos não podendo aparecer o mesmo grupo
com a ordem trocada. De um modo geral neste
caso, todos os agrupamentos com 2 elementos
formam um conjunto com 16 elementos:
Permutação circular: Situação que ocorre quando
temos grupos com m elementos distintos formando
uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m)=(m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas
K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas
pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa
circular (pode ser retangular) para realizar o jantar
sem que haja repetição das posições?
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,
CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição,
deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que
63
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NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES
já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA,
AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as
combinações com repetição dos elementos de C
tomados 2 a 2, são:
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas
maneiras diferentes poderemos escolher p
elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas
escolhas será chamada um arranjo de m elementos
tomados p a p. Construiremos uma sequência com
os m elementos de C.
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
REGRAS GERAIS SOBRE A ANÁLISE
COMBINATÓRIA
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Problemas de Análise Combinatória normalmente
são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos
através de duas regras básicas: a regra da soma e a
regra do produto.
Cada vez que um elemento for retirado,
indicaremos esta operação com a mudança da cor
do elemento para a cor vermelha.
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se
um elemento pode ser escolhido de m formas e um
outro elemento pode ser escolhido de n formas,
então a escolha de um ou outro elemento se
realizará de m+n formas, desde que tais escolhas
sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas
de um elemento pode coincidir com uma escolha do
outro.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Para escolher o primeiro elemento do conjunto C
que possui m elementos, temos m possibilidades.
Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o mésimo elemento de C.
Para escolher o segundo elemento, devemos
observar o que sobrou no conjunto e constatamos
que agora existem apenas m-1 elementos.
Suponhamos que tenha sido retirado o último
elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O
elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se
um elemento H pode ser escolhido de m formas
diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas,
um outro elemento M pode ser escolhido de n
formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta
ordem poderá ser realizada de m.n formas.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2
possibilidades para a próxima retirada. Do que
sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como
sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser
visualizado como:
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou
concorrentes sem que os pontos sob análise estejam
em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos
distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s
contem n outros pontos distintos marcados por s1,
s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar
segmentos de retas com uma extremidade numa
reta e a outra extremidade na outra reta?
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez
teremos 1 elemento a menos do que na fase
anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão
m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de
m elementos tomados p a p, basta multiplicar os
números que aparecem na segunda coluna da tabela
abaixo:
É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e
assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a
todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e
continuamos até o último ponto para obter também
n segmentos. Como existem m pontos em r e n
pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.
64
Retirada
Número de possibilidades
1
m
2
m-1
3
m-2
...
...
p
m-p+1
No.de arranjos
m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
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Denotaremos o número de arranjos de m elementos
tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu
cálculo será dada por:
m-2
3
m-1
2
m
1
No.de
permutações
m(m-1)(m-2)...(mp+1)...4.3.2.1
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso
alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de
dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos
diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
Denotaremos o número de permutações de m
elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo
será dada por:
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso
alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de
dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos
(não necessariamente diferentes)?
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1
Em função da forma como construímos o processo,
podemos escrever:
A(m,m) = P(m)
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e
outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a
regra do produto para concluir que há 5x5=25
possibilidades.
Como o uso de permutações é muito intenso em
Matemática e nas ciências em geral, costuma-se
simplificar a permutação de m elementos e escrever
simplesmente:
O conjunto solução é:
P(m) = m!
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Este símbolo de exclamação posto junto ao número
m é lido como: fatorial de m, onde m é um número
natural.
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir
no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3
letras iniciais e 4 algarismos no final?
Embora zero não seja um número natural no
sentido que tenha tido origem nas coisas da
natureza, procura-se dar sentido para a definição de
fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo
m=0 e para isto podemos escrever:
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em
nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10
algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em
seguida utilize a regra do produto.
0!=1
Em contextos mais avançados, existe a função
gama que generaliza o conceito de fatorial de um
número real, excluindo os inteiros negativos e com
estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.
NÚMERO DE PERMUTAÇÕES SIMPLES
Este é um caso particular de arranjo em que p=m.
Para obter o número de permutações com m
elementos distintos de um conjunto C, basta
escolher os m elementos em uma determinada
ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até
a ordem p=m, permitirá obter o número de
permutações de m elementos:
Retirada
Número de possibilidades
1
m
2
m-1
...
...
p
m-p+1
...
...
O fatorial de um número inteiro não negativo pode
ser definido de uma forma recursiva através da
função P=P(m) ou com o uso do sinal de
exclamação:
(m+1)! = (m+1).m!,
0! = 1
Exemplo: De quantos modos podemos colocar
juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante?
O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto
solução é:
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as
letras da palavra AMOR? O número de arranjos é
P(4)=24 e o conjunto solução é:
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,M
ARO,MAOR, MROA, MRAO, MORA, MOAR,
OAMR,OARM,ORMA,ORAM,OMAR,OMRA,RAM
O,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}
65
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NÚMERO DE COMBINAÇÕES SIMPLES
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No
estudo de arranjos, já vimos antes que é possível
escolher p elementos de A, mas quando realizamos
tais escolhas pode acontecer que duas coleções com
p elementos tenham os mesmos elementos em
ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de
um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem
importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H),
assim não há a necessidade de escolher duas vezes
as mesmas pessoas para formar o referido casal.
Para evitar a repetição de elementos em grupos com
a
mesma
quantidade
p
de
elementos,
introduziremos o conceito de combinação.
NÚMERO DE ARRANJOS COM
REPETIÇÃO
Seja C um conjunto com m elementos distintos e
considere p elementos escolhidos neste conjunto em
uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas
é denominada um arranjo com repetição de m
elementos tomados p a p. Acontece que existem m
possibilidades para a colocação de cada elemento,
logo, o número total de arranjos com repetição de m
elementos escolhidos p a p é dado por mp.
Indicamos isto por:
Diremos que uma coleção de p elementos de um
conjunto C com m elementos é uma combinação de
m elementos tomados p a p, se as coleções com p
elementos não tem os mesmos elementos que já
apareceram em outras coleções com o mesmo
número p de elementos.
Arep(m,p) = mp
NÚMERO DE PERMUTAÇÕES COM
REPETIÇÃO
Aqui temos outra situação particular de arranjo,
mas não pode acontecer a repetição do mesmo
grupo de elementos em uma ordem diferente.
Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5
bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem
determinada. Iremos obter o número de
permutações com repetição dessas bolas. Tomemos
10 compartimentos numerados onde serão
colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas
vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3)
possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos
compartimentos restantes para obter C(10-3,2)
possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas
amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos
com p elementos, existem p! desses arranjos com os
mesmos elementos, assim, para obter a
combinação de m elementos tomados p a p,
deveremos dividir o número A(m,p) por m! para
obter apenas o número de arranjos que contem
conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
O número total de possibilidades pode ser calculado
como:
Como
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)
então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
Tal metodologia pode ser generalizada.
que pode ser reescrito
NÚMERO DE COMBINAÇÕES COM
REPETIÇÃO
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p1)p]
Multiplicando o numerador e o denominador desta
fração por
Considere m elementos distintos e ordenados.
Escolha p elementos um após o outro e ordene estes
elementos na mesma ordem que os elementos
dados. O resultado é chamado uma combinação
com repetição de m elementos tomados p a p.
Denotamos o número destas combinações por
Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o
número m de elementos.
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o
numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1=m!
e o denominador ficará:
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções
(a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são
exemplos de combinações com repetição de 5
elementos escolhidos 6 a 6.
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação
de m elementos tomados p a p, será uma das
seguintes:
66
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Podemos representar tais combinações por meio de
símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido
(e colocado junto) tantas vezes quantas vezes
aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o
vazio Ø serve para separar os objetos em função
das suas diferenças
A função envolvida com este contexto é a função
gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e
Estatística.
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ
TEOREMA BINOMIAL
Se m é um número natural, para simplificar um
pouco as notações, escreveremos mp no lugar de
C(m,p). Então:
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6#
e 4Ø. Para cada combinação existe uma
correspondência biunívoca com um símbolo e
reciprocamente. Podemos construir um símbolo
pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após
isto, os espaços vazios são prenchidos com barras.
Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:
(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4
(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5
Crep(5,6) = C(5+6-1,6)
Generalizando isto, podemos mostrar que:
A demonstração segue pelo Princípio da Indução
Matemática.
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
PROPRIEDADES DAS COMBINAÇÕES
Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m,
dada por:
O segundo número, indicado logo acima por p é
conhecido como a taxa que define a quantidade de
elementos de cada escolha.
P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am3 3
b +...+mmbm
P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b
Taxas complementares
Vamos considerar verdadeira a proposição P(k),
com k>1:
C(m,p)=C(m,m-p)
Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.
P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk
Relação do triângulo de Pascal
para provar a propriedade P(k+1).
C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)
Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605
Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira,
deveremos chegar à conclusão que:
NÚMERO BINOMIAL
(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak1 2
b +...+(k+1)(k+1)bk+1
(a+b)k+1=
O número de combinações de m elementos tomados
p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado
Coeficiente Binomial ou número binomial,
denotado na literatura científica como:
=
(a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak3 3
b +...+kkbk]
=
a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak3 3
b +...+kkbk]
+b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak3 3
b +...+kk bk]
=
ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak2 3
b +...+kkabk
+akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak3 4
b +...+kkbk+1
=
ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak1 2
b +[k3+k2]ak-2b3+[k4+k3] ak3 4
b +...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kkk
k+1
1]ab +kkb
Exemplo: C(8,2)=28.
Extensão: Existe uma importante extensão do
conceito de número binomial ao conjunto dos
números reais e podemos calcular o número
binomial de qualquer número real r que seja
diferente de um número inteiro negativo, tomado a
uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não
podemos mais utilizar a notação de combinação
C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p
são números inteiros não negativos. Como
Pi=3,1415926535..., então:
67
(a+b).(a+b)k
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=
kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k
ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak1 2
b +[k3+k2]ak-2b3
+[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk1
+[kk+kk-1]abk+kkbk+1
E assim podemos escrever:
(a+b)k+1=
Pelas propriedades das combinações, temos:
k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1
k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2
k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3
k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4
... ... ... ...
kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1
ak+1+(k+1)1akb + (k+1)2ak-1b2 +
(k+1)3ak-2b3
+(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk1
+ (k+1)kabk + kkbk+1
que é o resultado desejado.
BINÔMIO DE NEWTON
1º) Cada linha começa e termina por .
O binômio do tipo ( x + a )n , onde x  IR, a
 IR e n  IN , é conhecido como binômio de
Newton.
2º) Adicionando dois elementos consecutivos de
uma linha obtemos o elemento situado abaixo
do segundo elemento somado.
Para o desenvolvimento do binômio de Newton
usaremos os números binomiais.
DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE
NEWTON
NÚMEROS BINOMIAIS
Dados dois números naturais n e p, tais que p  n,
chama-se número binomial n sobre p , indicado
por  n  , ao número definido por:
Devemos usar a fórmula :
( x + a )n =
 p
 
 n  n 0  n  n 1 1  n  n  2 2
n
  x  a    x  a   x  a  ...    x 0  a n
0
1
 2
n
n 

n!
  = 

 p   p!(n  p)! 
Exemplo:
(2x + 3)5 =
5
 5
5
 5
5
4
3
2
 0   2x    1   2x   3   2   2x   3   3   2x 
 
 
 
 
5
5




2 3
3     2x   34     35
 4
 5
TRIÂNGULO DE PASCAL
Os números binomiais podem ser dispostos em
linhas e colunas, numa disposição triangular, de
modo que em cada linha fiquem os termos de
ordem “n” e em cada coluna os termos de ordem
“p”.
1.
1. 1
1. 2 1
1331
14641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
(2x + 3)5 = 1.32x5 + 5.16x4.3 + 10 . 8x3.9 + 10 . 4x2.
27 + 5.2x . 81 + 1 . 243
(2x+3)5 = 32x5 + 240x4 + 720x3 + 1.080x2 + 810x +
243

 
  
   
   
     

0
0
1
0
2
0
1
0
2
1
2
2
3
0
3
1
3
2
4
0
4
1
4
2
5
0
5
1
5
2
6
0
6
1
6
2
FÓRMULA DO TERMO GERAL
T p+1 =  n  x n  p a p
p
3
3
5
4
5
3
6
3
 
4
4
4
3
6
4
Exercício:
Calcular
o
5º.
desenvolvimento de ( 3x + 2 )9 .
5
5
6
5
p+1=5
6
6
Observar que :
68
→ p=4
termo
no
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 9  9-4
 (3x)
 4
T5 = 
. 24 → T 5 =
9! (3x)5 . 16 =
4!.5!
489.888 x5
PONTOS E RETAS
69
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INTRODUÇÃO
Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência
biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e
vice-versa.
Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita
(eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u,
unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos
determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:
MEDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO
Fazendo corresponder a dois pontos, A e
B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:
A medida algébrica de um segmento
orientado é o número real que corresponde à
diferença entre as abscissas da extremidade e da
origem desse segmento.
PLANO CARTESIANO
EXEMPLOS
A geometria analítica teve como principal
idealizador o filósofo francês René Descartes (
1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos
associados a um plano, ele faz corresponder a cada
ponto do plano um par ordenado e vice-versa.
Quando os eixos desse sistemas são
perpendiculares na origem, essa correspondência
determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou
plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade
entre o estudo da geometria ( ponto, reta,
circunferência) e da Álgebra ( relações, equações
etc.), podendo-se representar graficamente relações
algébricas
e
expressar
algebricamente
representações gráficas.

A(2, 4) pertence ao 1º quadrante
(xA > 0 e yA > 0)

B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante
( xB < 0 e yB < 0)
Observação: Por convenção, os pontos localizados
sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e
sendo dAB a distância entre eles, temos:
Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:
70
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Como o
Aplicando o teorema de Pitágoras ao
triângulo retângulo ABC, vem:
, podemos escrever:
Vejamos alguns exemplos:
 Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3,
4), a razão em que o ponto P divide
é:
Como exemplo, vamos determinar a
distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):
Se calculássemos rp usando as ordenadas
dos pontos, obteríamos o mesmo resultado:
RAZÃO DE SECÇÃO
Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB),
C(xC, yC) de uma mesma reta (A  B  C), o ponto

C divide AB numa determinada razão, denominada
razão de secção e indicada por:
em que
, pois se
Observe a representação a seguir:
, então A = B.
71
Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2),
temos:
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Assim, para um ponto P qualquer em relação a
um segmento orientado
temos:
, respectivamente. Portanto,
as medianas desse triângulo:
contido em um eixo,

se P é interior a
, então rp > 0

se P é exterior a
, então rp < 0


se P = A, então rp =0
se P = B, então não existe rp (PB = 0)

se P é o ponto médio de
, então rp =1
Chamamos de baricentro (G) o ponto de
intersecção das medianas de um triângulo.
Esse ponto divide a mediana relativa a um
lado em duas partes: a que vai do vértice até o
baricentro tem o dobro da mediana da que vai do
baricentro até o ponto médio do lado.
PONTO MÉDIO
Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P,
que divide
são
ao meio, temos:
Veja:
Assim:
CÁLCULO DAS COORDENADAS DO
BARICENTRO
x  XB
XP – XA = XB – XP  2XP = XA + XB  A
2
Sendo A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC)
vértices de um triângulo, se N é ponto médio de
(média aritmética de XA e XB)
YP –YA =YB –YP  2YP = YA + YB  YP
Y  YB
= A
2
, temos:
(média aritmética de YA e YB)
Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas
por:
BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO
Observe o triângulo da figura a seguir, em
que M, N e P são os pontos médios dos lados
72
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Mas:
e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são
proporcionais.
c)
Analogamente, determinamos
três pontos numa reta não-paralela aos eixos
. Assim:
CONDIÇÕES DE ALINHAMENTO
DE TRÊS PONTOS
Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC,
yC), estão alinhados, então:
Pela figura, verificamos que os triângulos
ABD e BCE são semelhantes. Então:
Para demonstrar esse teorema podemos
considerar três casos:
a)
Desenvolvendo, vem:
três pontos alinhados horizontalmente
Como:
Neste caso, as ordenadas são iguais:
yA = yB = yC
então
e o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são
proporcionais.
.
Observação: A recíproca da afirmação demonstrada
b) três pontos alinhados verticalmente
é válida, ou seja, se
,
então os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC, yC)
estão alinhados.
EQUAÇÕES DE UMA RETA
EQUAÇÃO GERAL
Podemos estabelecer a equação geral de
uma reta a partir da condição de alinhamento de
três pontos.
Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB,
yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um
ponto genérico, também de r, estando A, B e P
alinhados, podemos escrever:
Neste caso, as abscissas são iguais:
xA = xB = xC
73
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A equação geral de r é dada por:
Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos
, temos:
Dividindo essa equação por pq
,
temos:
ax + by + c = 0
(equação geral da reta r)
Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P
genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):


(equação segmentári a da reta r)
Como exemplo, vamos determinar a
equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e
Q(0, 2), conforme o gráfico:
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;
se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.
Acompanhe os exemplos:
 Vamos considerar a equação geral da reta
r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).
Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1,
2) pertencem à reta r do exemplo anterior.
Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2
= 0, temos:
-3 - (-1) + 2 = 0
-3 + 1 + 2 = 0
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Como a igualdade é verdadeira, então P r.
Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2
= 0, obtemos:
1-2+2 0
Como a igualdade não é verdadeira, então
Q r.
São equações equivalentes à equação geral da
reta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as
coordenadas x e y dos pontos da reta com um
parâmetro t.
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA
Assim, por exemplo,
, são equações
paramétricas de uma reta r.
Para obter a equação geral dessa reta a partir das
paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas
equações:
x=t+2
t = x -2
Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos:
y = -(x - 2) + 1 = -x + 3
x + y - 3 = 0 ( equação
geral de r)
Considere a reta r não paralela a nenhum
dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p,
0) e Q(0, q), com
:
74
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EXEMPLOS
EQUAÇÃO REDUZIDA
Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy:
Isolando y na equação geral ax + by + c =
0, temos:
Fazendo
, vem:
y = mx + q
Chamada equação reduzida da reta, em que
fornece a inclinação da reta em relação ao
eixo Ox.
Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não
existe a equação na forma reduzida.
COEFICIENTE ANGULAR
Chamamos de coeficiente angular da reta r
o número real m tal que:
O ângulo
é orientado no sentido antihorário e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox
até a reta r. Desse modo, temos sempre
DETERMINAÇÃO DO
COEFICIENTE ANGULAR
.
Assim:


Vamos considerar três casos:
para 0º  <90º . m > 0 (a tangente é positiva
no 1º quadrante)
para 90º <  < 180º . m < 0 ( a tangente é
negativa no 2º quadrante)
a)
75
o ângulo
é conhecido
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Substituindo esses valores em
,
temos:
b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta
são conhecidas: A(xA, yA) e B(xB, yB)
EQUAÇÃO DE UMA RETA R,
CONHECIDOS O COEFICIENTE ANGULAR
E UM PONTO DE R
Seja r uma reta de coeficiente angular m.
Sendo P(X0, Y0), P
r, e Q(x,y) um ponto
qualquer de r(Q P), podemos escrever:
Como 1 =  ( ângulos correspondentes) temos que
Como exemplo, vamos determinar a
equação geral da reta r que passa por P(1, 2), sendo
m=3. Assim, temos X0=1 e Y0=2. Logo:
.
Mas, m = tg
y-y0 = m(x-x0) = y-2 = 3(x - 1) =
y-2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0
Então:
que é a equação geral de r.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE RETAS
Assim, o coeficiente angular da reta que
passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) é:
Para representar graficamente as retas de
equação ax + by + c = 0 ( b 0), isolamos a
variável y e atribuímos valores a x, obtendo pares
ordenados que são pontos da reta.
Assim, é mais conveniente usar a equação
na forma reduzida, já que ela apresenta o y isolado.
c)
a equação geral da reta é conhecida
Se uma reta passa por dois pontos distintos
A(XA, YA) e B(XB, YB), temos:
COORDENADAS DO PONTO DE
INTERSECÇÃO DE RETAS
A intersecção das retas r e s, quando
existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a
solução do sistema formado pelas equações das
duas retas.
Vamos determinar o ponto de intersecção, por
exemplo, das retas r: 2x +y - 4 =0 e s: x -y +1=0.
Montando o sistema e resolvendo-o, temos:
Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª
linha, vem:
(YA - YB)x + (XB - XA)y + XAYA - XBYB = 0
Da equação geral da reta, temos:
76
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Substituindo esse valor em x -y = -1, temos:
1 - y = -1
y=2
Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s.
PERPENDICULARISMO
Se r e s são duas retas não-verticais, então
r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de
seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se
Graficamente, temos:
. Acompanhe o desenho:
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
PARALELISMO
Sendo r e s duas retas não-verticais e nãoperpendiculares entre si, pelo teorema do ângulo
externo ( =+), temos:
Duas retas, r e s, distintas e não-verticais,
são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes
angulares iguais.
CONCORRÊNCIA
Dadas as retas r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x
+ b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem
coeficientes angulares diferentes:
Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x
- 2y + 1 = 0 e s: 6x + 4y + 3 = 0 são
concorrentes:
77
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Dependendo da posição das duas retas no
plano, o ângulo
pode ser agudo ou obtuso. Logo:
Essa relação nos fornece o ângulo agudo
entre r e s, pois
será o suplemento de
. O ângulo obtuso
.
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Dados um ponto P(x1, y1) e uma reta r:ax + by + c
= 0, a distância entre eles (dpr)é dada por:
Considerando o sinal positivo, obtemos
uma bissetriz; considerando o sinal negativo,
obtemos a outra.
Vejamos um exemplo:
Se r: 3x + 2y - 7 = 0 e s: 2x - 3y + 1 = 0,
então suas bissetrizes são:
Vamos calcular a distância, por exemplo,
do ponto P(-1,2) à reta r: x - 2y + 1 = 0.
Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2 e c=1.
Assim:
BISSETRIZES
Dadas as retas concorrentes r: a1x + b1y + c1 = 0 e
s: a2x + b2y + c2 = 0, o que se interceptam em um
ponto Q, se P(x, y) é um ponto qualquer de uma
das bissetrizes, P Q, então P equidista de r e s:
78
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NÚMEROS COMPLEXOS
A UNIDADE IMAGINÁRIA
RESOLUÇÃO DE ALGUMAS EQUAÇÕES
No século XVI o matemático italiano
Girolamo Cardano, com o auxílio de seu
compatriota Tartáglia, descobriu uma fórmula para
resolver equações cúbicas do tipo x3 + px = q.
A fórmula era:
A partir da criação da unidade imaginária
i, vamos resolver algumas equações cuja solução
era impossível no conjunto universo dos número
reais.
1a) Resolver a equação: x2 + 9 = 0
Resolução
De posse dessa fórmula, Rafael Bombelli,
matemático italiano e da mesma época de Tartáglia
e Cardano, ao resolver a equação:
Como essa é uma equação de segundo
grau incompleta, não há necessidade de
utilizarmos a fórmula de Bhaskara.
x3 – 15x = 4
x2 + 9 = 0
x2 = – 9
x2 = 9 · (–1)
Como i2 = –1, temos: x2 = 9i2
encontrou:
o
que
mostrava que x não deveria ser um número real,
x = ± 3i
pois
2a) Resolva a equação: x2 – 6x + 13 = 0
No entanto, Bombelli percebeu que o
número real x = 4 era raiz da equação, pois 4 3 – 15
· 4 = 4, e isso o intrigou bastante.
Continuando suas pesquisas, Bombelli
descobriu que:
Resolução
= b2 – 4ac = (–6)2 – 4 · 1 · 13 = –16 = 16i2
Assim: x = 3 + 2i ou x = 3 – 2i
Portanto, o valor encontrado com o uso da
fórmula passava a ser:
S = {3 + 2i, 3 – 2i }
O CONJUNTO DOS
NÚMEROS COMPLEXOS
Um valor coerente com as expectativas.
A partir desse momento, começou-se a
trabalhar com raízes quadradas de números
negativos e, mais tarde, já no século XVIII, o
matemático suíço Leonhard Euler passou a
Com a criação da unidade imaginária i,
surgiu um novo conjunto numérico C, o conjunto
dos números complexos, que engloba o conjunto R
dos números reais.
representar 1 por i, convenção que utilizamos
até os dias atuais.
Assim, por meio de um diagrama EulerVenn, temos:
1  i que passamos a denominar
Assim:
unidade imaginária. Normalmente utilizamos a
igualdade:
79
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(2a – b) + 3i = – 2 + (– a + b)i
O surgimento desse novo conjunto
numérico foi de grande utilidade para a superação
de alguns obstáculos na matemática e, por
conseguinte, nas aplicações diretamente ligadas a
ela.
Resolução
Definições
Resolvendo o sistema, temos:
Chamamos de número complexo na
forma algébrica, todo número na forma a + bi, em
que a e b são números reais e i é unidade
imaginária (i2 = –1).
Da mesma forma que, quando nos
referimos a um número natural, usamos a letra n
para representá-lo, a letra z será usada para
representarmos um número complexo.
Assim, no número complexo z = a + bi,
dizemos que a é a parte real de z, e bi é a parte
imaginária de z.
Substituindo a = 1 na equação –a + b = 3, temos:
–1 + b = 3
Assim: a = 1 e b = 4
Representamos:
OPERAÇÕES COM NÚMEROS
COMPLEXOS
a = Re(z)
b = Im(z)
Em particular, temos:
ADIÇÃO
1o) Se Im(z) = 0, dizemos que z é um número
real.
Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c +
di, com a, b, c e d reais, a soma z1 + z2 será um
complexo tal que:
EXEMPLO
– 5 = – 5 + 0i ;
2o) Se Re(z) = 0 e Im(z)
imaginário puro.
2  2  0i
0, dizemos que z é um
EXEMPLO
EXEMPLO
2i = 0 + 2i ;
b=4
Sendo z1 = – 3 + 4i e z2 = 2 – i, calcular z1 + z2
3i  0 3i
Resolução
z1 + z2 = (– 3 + 4i) + (2 – i) = (– 3 + 2) + (4 – 1)i
IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS
Assim: z1 + z2 = – 1 + 3i
SUBTRAÇÃO
Dois números complexos, na forma
algébrica, são iguais quando suas partes reais e
imaginárias forem respectivamente iguais. (As
partes imaginárias são iguais, quando os
coeficientes forem iguais).
Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c +
di, com a, b, c e d reais, a diferença z1 – z2 será um
complexo, tal que:
Assim, sendo z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, com a1,
b1, a2 e b2 reais, dizemos:
EXEMPLO
Sendo z1 = 5 + 3i e z2 = 3 + 2i, calcular z1 – z2
EXEMPLO
Resolução
Calcular a e b de modo que:
z1 – z2 = (5 + 3i) – (3 + 2i) = (5 – 3) + (3 – 2)i
80
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Assim: z1 – z2 = 2 + i
3o) z3 = –3i
4o) z4 = 2
MULTIPLICAÇÃO
= 3i
=2
Propriedade
Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c +
di, com a, b, c e d reais, o produto z 1 · z2 será um
complexo, tal que:
De
fato,
distributiva, temos:
usando
a
O produto de um número complexo pelo
seu conjugado é sempre um número real.
Demonstração
propriedade
Sendo z = a + bi e
= a – bi (a R e b
R) temos:
Como i2 = – 1, temos:
Como a e b são reais, z ·
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci – bd
R.
DIVISÃO
Agrupando a parte real e a parte
imaginária, temos:
Dados dois números complexos z1 e z2,
com z2 0, efetuar a divisão de z1 por z2 é
encontrar um terceiro número complexo z3 tal que
z1 = z2 · z3, ou seja:
z1 · z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
EXEMPLO
Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 2 + 4i, calcule z1 · z2
Resolução
EXEMPLO
z1 · z2 = (3 + 2i) · (2 + 4i)
z1 · z2 = 3 · 2 + 3 · 4i + 2i · 2 + 2i · 4i
z1 · z2 = 6 + 12i + 4i + 8i2
z1 · z2 = 6 + 12i + 4i – 8
z1 · z2 = – 2 + 16i
Efetuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i.
Resolução
Devemos encontrar um número complexo z3 = a +
Observação – As propriedades da adição, subtração e multiplicação válidas para os números reais
continuam válidas para os números complexos.
bi tal que
z3 
z1
. Assim,
z2
2  3i
= a + bi
1  2i
CONJUGADO DE UM NÚMERO
COMPLEXO
2 – 3i = (a + bi) · (1 + 2i)
2 – 3i = a + 2ai + bi + 2bi2
2 – 3i = a + 2ai + bi – 2b
2 – 3i = (a – 2b) + (2a + b)i
Chamamos de conjugado do número
complexo
z = a + bi, com a e b reais,
o número complexo
= a – bi.
EXEMPLOS
1o) z1 = 2 – 3i
2o) z2 = –1 – 4i
= 2 + 3i
= –1 + 4i
Substituindo em a – 2b = 2, temos:
81
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POTÊNCIAS DE I
Calculemos algumas potências de i com
expoente natural:
Assim:
i0 = 1
i1 = i
i2 = – 1
i3 = i2 · i = (– 1) · i = – i
i4 = i2 · i2 = (– 1) · (– 1) = 1
i5 = i4 · i = 1 · i = i
i6 = i4 · i2 = 1 · (– 1) = – 1
i7 = i4 · i3 = 1 · (– i) = – i
Então
REGRA PRÁTICA
Notamos que, a partir de i4 as potências de
i vão repetindo os quatro primeiros resultados;
assim, de um modo mais geral, com n N,
podemos afirmar que:
Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c +
di, a, b, c e d reais e z2 0, para efetuarmos a
divisão de z1 por z2, basta multiplicarmos o
i4n = (i4)n = 1n = 1
i4n + 1 = i4n · i1 = 1 · i = i
i4n + 2 = i4n · i2 = 1 · (–1) = –1
i4n + 3 = i4n · i3 = 1 · (– i) = – i
z
numerador e o denominador da fração 1 pelo
z2
conjugado do denominador
z  .
2
Esta conclusão sugere-nos o seguinte:
Assim, temos:
Propriedade
Demonstração
Assim:
Assim:
im = i4q + r = i4q · ir = (i4)q · ir
EXEMPLO
im = 1q · ir
Efetuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i
Observação
Notamos que r {0, 1, 2, 3}, então, com m N, a
potência im é sempre igual a i0 ou i1 ou i2 ou i3, ou
seja, 1, i, – 1, – i, respectivamente.
Resolução
EXEMPLOS
1o) Calcular i359
Resolução
82
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2o) Calcular i130
Resolução
Exercícios Resolvidos
1.
Resolva a equação: x4 – 1 = 0
Resolução
x4 – 1 = 0
x2 + 1 = 0
a) k = t = – 2
b) k = t = 2
c) k = –2 e t = 2
(x2 + 1) (x2 – 1) = 0
x2 = – 1
x2 = i2
x=
i
Resolução
ou
x2 – 1 = 0
Se (1 – i) é raiz, temos:
x2 = 1
x=
1
(1 – i)2 + k(1 – i) + t = 0
S = { + i, + 1, – 1, – i}
2.
d) k = 2 e t = – 2
e) k + t = 1
1 – 2i – 1 + k – ki + t = 0
(k + t) + (–2 – k)i = 0 + 0i
Resolva a equação: x2 – 2x + 10 = 0
Resolução
Logo:
= (–2)2 – 4 · 1 · 10 = – 36
5.
x=1
(UCMG-MG) O número complexo z, tal que
5z + = 12 + 16i, é igual a:
a) – 2 + 2i
d) 2 + 4i
b) 2 – 3i
e) 3 + i
c) 1 + 2i
3i
Resolução
S = {1 – 3i, 1 + 3i}
Fazendo z = a + bi e
5z +
3.
Se Z = 4 + 2i e W = 3 – 5i, então, calcular:
a) Z + W
b) Z – W
c) Z · W
= a – bi, temos:
= 12 + 16i
5(a + bi) + a – bi = 12 + 16i
5a + 5bi + a – bi = 12 + 16i
Resolução
Z + W = (4 + 2 i ) + (3 – 5 i ) = 4 + 2 i + 3 –
5i=7–3i
Logo: z = 2 + 4i
Z – W = (4 + 2 i) – (3 – 5 i) = 4 + 2 i –3 + 5 i
=1+7i
4.
6.
Determine o inverso do número complexo z =
3 – 2i.
Z · W = (4 + 2 i) · (3 – 5 i) = 12 – 20 i + 6 i –
10 i2 =
Resolução
12 – 14 i + 10 = 22 – 14 i
O inverso de z será z–1, tal que z · z–1 = 1, ou
(FCC-BA) O número complexo 1 – i é raiz da
equação x2 + kx + t = 0 (k, t R ) se, e
somente se:
seja,
z 1 
Assim:
83
1
z
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Representaremos cada número complexo
z = a + bi pelo ponto do plano de coordenadas
(a, b).
Dessa forma, o número complexo z = 2 +
3i, por exemplo, será representado pelo ponto
P (2, 3).
Assim,
Resposta:
7.
Determinar m
R para que
z
2  3i
seja
2  mi
um imaginário puro.
Resolução
Quem pela primeira vez fez essa
interpretação geométrica foi Wessel, num artigo
publicado em 1798, mas sua obra ficou quase
desconhecida; por isso, este plano onde
representamos os números complexos é conhecido,
até hoje, como plano de Gauss, embora este tenha
publicado a mesma idéia cerca de trinta anos
depois. No plano de Gauss, os números reais são
representados por pontos que pertencem ao eixo
Ox e, por isso, esse eixo será chamado de eixo
real, enquanto o eixo Oy será chamado de eixo
imaginário. O ponto P(a, b), que representa o
número complexo z = a + bi, será chamado de
afixo ou imagem deste número complexo.
Para que z seja imaginário puro, devemos ter:
Re (z) = 0
Assim:
=0
4 + 3m = 0
m=–
Resposta: m =
8.
MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Calcular: i14 – 3i9 + 2i26
Resolução
Dado um número complexo z = a + bi,
com a e b reais, chamamos de módulo de z e
indicamos |z| ou à distância entre a origem O do
plano de Gauss e o afixo de z.
i2 – 3 i1 + 2 i2 = –1 – 3i – 2 = – 3 – 3i
9.
Calcular i4n – 2
Resolução
Resposta: – 1
O PLANO DE ARGAND-GAUSS
Sendo O (0, 0) e P ( a, b)
Já sabemos que cada número real pode ser
associado a um ponto de uma reta e que cada ponto
da reta é imagem de um único número real. Para
representarmos geometricamente os números
complexos (entre os quais se encontram todos os
números reais), utilizaremos um plano. Assim
sendo, considere um plano no qual se fixou um
sistema de coordenadas retangulares.
Assim:
84
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Centro de Ciências Sociais e Educação
Assim: |z1 · z2| = |z1 · z2|
Observação
A definição de módulo no conjunto dos números
complexos é coerente com a definição dada em R,
ou seja:
3 a)
Demonstração
EXEMPLOS
Observação
Existem outras propriedades que são válidas para
os números complexos e que serão demonstradas
no próximo módulo.
4 a)
Propriedades
5 a)
Sendo z1 = a + bi e z2 = c + di dois números
complexos quaisquer, então:
Importante
Todos os números complexos com módulo r têm
os seus afixos em uma circunferência de centro na
origem e o raio r.
1 ) | z1 |  | z1 |
a
Demonstração
Assim:
2a) |z1 · z2| = |z1 · z2|
ARGUMENTO DE UM
NÚMERO COMPLEXO
Sendo z = a + bi um número complexo
não-nulo e P o afixo de z no plano de Gauss de
origem O, chamamos argumento do número
complexo z a medida do arco com centro em O
tomado a partir do semi-eixo real positivo até a

semi-reta OP no sentido anti-horário.
85
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Assim:
Da trigonometria concluímos que:
em que é o módulo de z.
Em particular quando:
EXEMPLOS
1o) Calcular o argumento do número complexo
z = 2 – 2i.
Resolução
Assim:
= 315º
2o) Calcular o argumento de z = – 1 +
Resolução
3o) Calcular o argumento de z = – 4i.
Resolução
4o) Calcular o argumento de z = – 2.
Resolução
86
.
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Resolução
Assim:
= 180º
Importante
2o) Escreva na forma trigonométrica z = –2i.
Todos os números complexos com argumento
têm os seus afixos em uma semi-reta de origem O.
Resolução
3o) Escreva na forma trigonométrica z = – 4.
Resolução
FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM
NÚMERO COMPLEXO
Podemos determinar um número complexo de dois
modos:
1o) Conhecendo a = Re (z) e
bi = Im (z) e temos:
z = a + bi, que é a forma algébrica de z.
2o) Conhecendo
temos:
= |z| e o
= argumento de z,
Assim:
Então:
que é a forma trigonométrica de z.
EXEMPLOS
1o) Colocar o número complexo z = 1 + i na forma
trigonométrica.
87
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Exercícios Resolvidos
1.
Sendo z1 = 2 + 3i e z2 = 1 – 2i, verificar a
veracidade das sentenças abaixo.
Resolução
2. Obter o argumento dos complexos:
Resolução
a)
b)
88
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OPERAÇÕES NA FORMA
TRIGONOMÉTRICA
ADIÇÃO
Sejam os números complexos z1 e z2 na forma
trigonométrica:
Vamos efetuar a adição de z1 e z2:
O módulo de z1 + z2 será:
3.
Escrever o número
trigonométrica.
z=–1–
na forma
Simplificando, encontramos:
Resolução
Este último resultado mostra-nos que o
módulo de soma é o maior possível quando cos (1
- 2) for máximo, o que se dará para cos (1 - 2) =
1, e neste caso teremos:
ou seja:
Assim, podemos afirmar que
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
DA ADIÇÃO
Consideremos dois números complexos z 1 e z2, na
forma algébrica:
z1 = a 1 + b 1 i
z2 = a 2 + b 2 i
Vamos construir as imagens respectivas de z1 e z2
que representamos por M1 e M2.
89
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Com os pontos O, M1, M2 e M vamos construir o
paralelogramo OM1MM2, cuja diagonal é
Agrupando convenientemente, temos:
.
Assim:
Podemos observar que:
A partir da figura, podemos concluir que:
1o) o módulo de z1 · z2 é igual ao produto dos
módulos de z1 e z2 ;
2o) o argumento de z1 · z2 é igual à soma dos
argumentos de z1 e z2.
Como OP1 = a1 e OP2 = a2, temos que:
EXEMPLO
Calcular o produto dos números complexos
Analogamente, provamos que:
z = 2 (cos 50° + i sen 50°) e
w = 3 (cos 20° + i sen 20°).
Dessa forma, concluímos que o ponto M é o afixo
do número complexo (a1 + a2) + (b1 + b2) i que é a
soma z1 + z2.
Resolução
z · w = 2 · 3 · [cos (50° + 20°) + i sen (50° + 20°)]
Assim: z · w = 6 · (cos 70° + i sen 70°)
Importante – Se tivermos n fatores, será fácil
verificarmos que:
Assim, concluímos que:
A soma de dois números complexos é representada
geometricamente pela diagonal do paralelogramo
construído sobre os vetores correspondentes aos
dois complexos dados.
Escrevemos que:
EXEMPLOS
Calcular o produto dos números complexos:
MULTIPLICAÇÃO
Consideremos os números complexos não-nulos:
A multiplicação de z1 por z2 ficará:
90
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POTENCIAÇÃO
Resolução
Sendo z = r (cos + i sen ) e n um número natural
não-nulo, temos:
DIVISÃO
Consideremos os números complexos não-nulos:
Assim:
A divisão de z1 por z2 ficará:
FÓRMULA DE MOIVRE
Podemos observar que:
1o) o módulo de zn é igual ao módulo de z
elevado ao expoente n;
2o) o argumento de zn é igual ao argumento de z
multiplicado por n.
EXEMPLOS
Logo:
1o) Dado
Resolução
Podemos observar que:
1o) o módulo de
1
3
i, calcular z6.

2 2
z1
é igual ao quociente dos
z2
módulos de z1 e z2;
2o) o argumento de
z1
é igual à diferença dos
z2
argumentos de z1 e z2.
EXEMPLOS
Calcular o quociente dos números complexos
z = 6 (cos 70° + i sen 70°) e
w = 2 (cos 20° i sen 20°).
z6 = 1 · (cos 2 + i sen 2
z6 = 1 · (1 + i · 0)
z6 = 1
Resolução
91
)
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Exercícios Resolvidos
1.
Dados os números complexos:
3.
z = 8 (cos 75° + i sen 75°) e w = 2 (cos 15° + i
sen 15°), pode-se dizer que:
a) zw = 16
d) zw = –16i
b) z  2  2 3i
e) nra
Determinar o menor valor de n


N*, tal que
n
2  2 i seja real.
Resolução
w
c)
z
4
w
(sen 60º + i cos 60º)
Resolução
Para que zn seja real, devemos ter:
Im (zn) = 0
Resposta: B
2.
Dado z = 2  cos   i sen   , calcular


3
3

Resolução
Sabendo que zn = pn · (cos n ·
1
z6
Assim: sen ( n
.
Então n
+ i sen n ·
)
7
)=0
4
7
=k
4
,k
Z
Se n é natural, devemos ter que n seja
múltiplo de 4. Então o menor valor de n é :
4.
Sendo z = cos + i sen , obtenha as fórmulas
de sen (2 ) e cos (2 ) utilizando a fórmula
de Moivre.
Resolução
Sabemos que:
Fazendo n = 2, temos:
92
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Então:
Igualando as partes reais e imaginárias, obtemos
:
e
93
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VETORES
RETA ORIENTADA - EIXO
Observações
Uma reta r é orientada quando fixa nela
um sentido de percurso, considerado positivo e
indicado por uma seta.
a.
Os segmentos nulos têm comprimento igual a
zero
b.
AB = BA
DIREÇÃO E SENTIDO
Dois segmentos orientados não nulos AB e
CD têm a mesma direção se as retas suportes desses
segmentos são paralelas:
SEGMENTO ORIENTADO
Um segmento orientado é determinado por
um par ordenado de pontos, o primeiro chamado
origem do segmento, o segundo chamado
extremidade.
SEGMENTO NULO
Um segmento nulo é aquele
extremidade coincide com a origem.
cuja
SEGMENTOS OPOSTOS
Se AB é um segmento orientado, o
segmento orientado BA é oposto de AB.
MEDIDA DE UM SEGMENTO
ou coincidentes
Fixada uma unidade de comprimento, cada
segmento orientado pode-se associar um número
real, não negativo, que é a medida do segmento em
relação aquela unidade. A medida do segmento
orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O
comprimento do segmento AB é indicado por AB .
Assim, o comprimento do segmento AB
representado na figura abaixo é de 5 unidades de
comprimento:
AB = 5 u.c.
Observações
a. Só se pode comparar os sentidos de dois
segmentos orientados se eles têm mesma
direção.
94
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b.
Dois Segmentos orientados
sentidos contrários.
opostos

têm
Se indicarmos com v este conjunto,
simbolicamente poderemos escrever:

v = {XY/XY ~ AB}
SEGMENTOS EQUIPOLENTES
onde XY é um segmento qualquer do conjunto.
Dois segmentos orientados AB e CD são
equipolentes quando têm a mesma direção, o
mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Se os segmentos orientados AB e CD não
pertencem à mesma reta. Na segunda figura abaixo,
para que AB seja equipolente a CD é necessário
que AB//CD e AC/BD, isto é, ABCD deve ser um
paralelogramo.
O vetor determinado por AB é indicado

por
AB ou B - A ou v .
Um mesmo vetor AB é determinado por
uma infinidade de segmentos orientados, chamados
representantes desse vetor, e todos equipolentes
entre si. Assim, um segmento determina um
conjunto que é o vetor, e qualquer um destes
representantes determina o mesmo vetor. Usando
um pouco mais nossa capacidade de abstração, se
considerarmos todos os infinitos segmentos
orientados de origem comum, estaremos
caracterizando, através de representantes, a
totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um
destes segmentos é um representante de um só
vetor. Conseqüentemente, todos os vetores se
acham representados naquele conjunto que
imaginamos.

As características de um vetor v são as
mesmas de qualquer um de seus representantes, isto
é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o
módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus
representantes.
Observações
a. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.
b. A equipolência dos segmentos AB e CD é
representada por AB ~ CD.

VETORES IGUAIS
PROPRIEDADES DA EQUIPOLÊNCIA
I.
II.
III.
IV.

O módulo de v se indica por | v |.
Dois vetores
AB ~ CD.
AB ~ AB (reflexiva).
Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica).
Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF
(transitiva).
Dado o segmento orientado AB e um
ponto C, existe um único ponto D tal que
AB ~ CD.
 
AB e CD são iguais se, e somente se,
VETOR NULO
Os segmentos nulos, por serem
equipolentes entre si, determinam um único vetor,
chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado

VETOR
por 0 .
VETORES OPOSTOS
Vetor determinado por um segmento
orientado AB é o conjunto de todos os segmentos
orientados equipolentes a AB.
Dado um vetor
de
=
e se indica por
, o vetor
ou por
VETOR UNITÁRIO
Um vetor
95
é unitário se |
| = 1.
é o oposto
.
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VERSOR
Versor de um vetor não nulo
é o vetor
unitário de mesma direção e mesmo sentido de
Por exemplo, tomemos um vetor
.
de módulo 3.
Dois vetores
e
quaisquer são são
sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um
ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os
dois representantes de
e
pertencendo a um
plano p que passa por este ponto.
Três
coplanares.
vetores
poderão
ou
não
ser
Os vetores
e
da figura são vetores
unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto,
apenas
de
tem a mesma direção e o mesmo sentido
. Portanto, este é o versor de
.
VETORES COLINEARES
Dois vetores
e
,
e
são coplanares
são colineares se
tiverem a mesma direção. Em outras palavras:
e
são colineares se tiverem representantes AB e
CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas
paralelas.
,
e
não são coplanares
SOMA DE VETORES
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w,
por:
v + w = (a+c,b+d)
PROPRIEDADES DA SOMA DE VETORES
I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de
R2:
v+w=w+v
VETORES COPLANARES
II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w
de R2:
u + (v + w) = (u + v) + w
Se os vetores não nulos
,
e
(não
importa o número de vetores) possuem
representantes AB, CD e EF pertencentes a um
mesmo plano , diz-se que eles são coplanares.
96
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Existem dois vetores unitários que formam
a base canônica para o espaço R2, que são dados
por:
III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0)
em R2 tal que para todo vetor u de R2, se
tem:
i = (1,0)
O+u=u
j = (0,1)
Para construir um vetor unitário u que
tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor
v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:
IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R2,
existe um vetor -v em R2 tal que:
v + (-v) = O
DIFERENÇA DE VETORES
Se v=(a,b) e w=(c,d),
diferença entre v e w, por:
definimos
Observação:
a
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v,
basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo.
Nesse caso, u e v serão paralelos.
v - w = (a-c,b-d)
PRODUTO DE UM ESCALAR
POR UM VETOR
Se c = 0 então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do
que v.
Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v.
Se v=(a,b) é um vetor e c é um número
real, definimos a multiplicação de c por v, como:
PRODUTO ESCALAR
c.v = (ca,cb)
Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d),
definimos o produto escalar entre os vetores u e v,
como o número real obtido por:
PROPRIEDADES DO PRODUTO DE
ESCALAR POR VETOR





u.v = a.c + b.d
Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w
vetores:
1v=v
(k c) v = k (c v) = c (k v)
k v = c v implica k = c, se v for não nulo
k (v+w) = k v + k w
(k + c)v = k v + c v
EXEMPLOS
O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:
u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14
O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:
MÓDULO DE UM VETOR
u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19
O módulo ou comprimento do vetor
v=(a,b) é um número real não negativo, definido
por:
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:
v.w = w.v
v.v = |v| |v| = |v|2
u.(v+w) = u.v + u.w
(kv).w = v.(kw) = k(v.w)
|kv| = |k| |v|
|u.v|  |u| |v| (desigualdade de Schwarz)
|u+v|  |u| + |v| (desigualdade triangular)
VETOR UNITÁRIO
Vetor unitário é o que tem o módulo igual
a 1.
97
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ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
O produto escalar entre os vetores u e v pode ser
escrito na forma:
u.v = |u| |v| cos(x)
onde x é o ângulo formado entre u e v.
Através desta última definição de produto escalar,
podemos obter o ângulo x entre dois vetores
genéricos u e v, como:
desde que nenhum deles seja nulo.
VETORES ORTOGONAIS
Dois vetores u e v são ortogonais se:
u.v = 0
98

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