Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas
Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Transformações geométricas nos espaços bidimensional e tridimensional Prof. Dr. Carlos A. Nadal TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 CALIBRAÇÃO DA MESA DIGITALIZADORA pontos homólogos Mesa digitalizadora mapa coordenadas x,y coordenadas N,E afinidade TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Primitivas básicas na transformação geométrica no plano TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Representação geral da afinidade no plano y x’ x’ x o’ y o TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS x Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Novo sistema - oxy é ortogonal Antigo sistema - o’x’y’ não é ortogonal Forma Geral (afinidade) Fórmula para transfomação: x = kx . x’ . cos + ky . y’ . sen + x y = - kx . x’ . sen ( + ) + ky . y’ . cos ( + ) + x 2 parâmetros de escala: kx , ky . 1 parâmetro de rotação: 1 parâmetro de não ortogonalidade: 2 parâmetros de translação: x, y Não mantém a forma nem a escala (tamanho) na Transformação usada na calibração de mesas digitalizadoras TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Transformação ortogonal (de corpo rígido)– ambos os sistemas são ortogonais x = kx . x’ . cos y = - kx . x’ . sen + ky . y’ . sen + ky . y’ . cos + x + y As escalas variam de eixo para eixo tem-se 5 parâmetros. Não mantém o tamanho, nem a escala, mantém os ângulos usada na verificação de escala em direções perpendiculares TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Transformação Isogonal (similaridade) eixos ortogonais e coeficientes de escalas iguais x = k . x’ . cos y = - k . x’ . sen + k . y’ . sen + x + k . y’ . cos + y Tem-se quatro parâmetros. Preserva a forma e não preserva o tamanho usada na qualidade geométrica de dados vetoriais ou matriciais TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Transformação de corpo rígido (ortogonal) x = x’ . cos y = - x’ . sen + y’ . sen + y’ . cos + x + y Três parâmetros Preserva a forma e os tamanhos usada na qualidade geométrica de dados vetoriais TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 TRANSFORMAÇÃO DE HELMERT Aplicação: mais de dois pontos cujas coordenadas são conhecidas em dois sistemas Caso ideal: pontos fazem parte das margens da área na Qual deseja-se transformar coordenadas Sejam os pontos: P1, P2, Pn com coordenadas nos sistemas p,q (sistema antigo) e x, y (novo sistema) TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Cálculo do centro de gravidade dos pontos x s = x/n ys= y/n ps = p/n qs = q/n De acordo com Wolf (1975) tem-se que: dy = y - ys , dx = x - xs dp = p - ps , dq = q - qs como checagem: dy = TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS dx = dp = dq = 0 Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Com: 2 2 a = f cos =( dq.dy + dp.dx ) / ( dp + dq ) b = f sen = ( dq.dx - dp.dy ) / ( dp2 + dq2) f é o fator de escala: f = (a2 + b2 )1/2 ângulo de rotação de um sistema em relação a outro: = arctg b/a = arc cos a/f = arcsen b/f TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 As coordenadas do centro de rotação serão dadas por: xo = xs - a ps - b qs yo = ys + b ps - a qs Para um ponto j do qual se conhece as coordenadas no sistema p,q tem-se: xj = xo + a pj - b qj yj = yo - bpj + a qj TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Dadas as coordenadas de três pontos situados no Estado do Paraná, referidas ao sistema geodésico que se utiliza do elipsóide de Hayford e tem origem no vértice Córrego Alegre (sistema anteriormente utilizado no Brasil): 1 = 25 00 00 S 1 = 49 00 00 W 2 = 23 00 00 S 2 = 50 00 00 W 3 = 24 00 00 S 3 = 53 00 00 W Calcular as coordenadas UTM destes pontos neste sistema geodésico: E1 = 701854.408m N1 = 7233525.719m E2 = 602489.421m N2 = 7456097.476m E3 = 296541.529m N3 = 7344293.513m TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Transformar as coordenadas geodésicas dadas acima para o sistema geodésico brasileiro SAD69: = 24 59 59.686 S 2 = 22 59 59.585 S 3 = 24 59 59.630 S 1 = 48 59 59.887 W 2 = 50 00 00.020 W 3 = 53 00 00.419 W 1 Calcular as coordenadas UTM destes pontos no respectivo sistema geodésico: E1 = 701849.996m E2 = 602485.055m E3 = 296537.271m TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS N1 = 7233563.065m N2 = 7456134.737m N3 = 7344330.830m Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Aplicar a transformação de Helmert as coordenadas UTM nos dois sistemas geodésicos, calculando os parâmetros de transformação: Solução: xj = xo + a pj - b qj yj = yo - bpj + a qj com a = 0.999999625 b = 3.55334E-08 xo = -4.405969878 yo = 40.08440661 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Transformações por Similaridade Dados: x,y,z (antigo sistema) X,Y,Z (novo sistema) Transformação geral linear afim no espaço (Leick and van Gelder,1975): X = Ax + Ao três parâmetros de translação três parâmetros de rotação três parâmetros de escalas para os três eixos três parâmetros descrevendo orientação dos eixos TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Modelo de transformação BURSA-WOLF X = S RZ( Z)RY( Y)RX( X)x +T TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Modelo R R1 ( x ) R 2 ( y ) R 3 ( z ) R1 ( R2( R3( R sen cos x x cos y cos z sen y cos z cos sen y cos z sen x y z ) 1 0 0 ) cos( y ) 0 0 1 sen( y ) 0 x sen( y ) 0 cos( y ) cos( z ) sen( z ) 0 sen( z ) cos( z ) 0 0 0 1 ) x 0 0 cos( x ) sen( x ) sen( x ) cos( x ) sen sen z z TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS sen cos x x cos y sen z sen y sen z cos sen y sen z sen x x cos cos z z sen y sen x cos cos x cos y y Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Modelo 1 R z y 1 z y x 1 x 1 i Xi Yi Zi x0 y0 z0 r0 (1 ). R . ri 1 1 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS z z y y 1 x x 1 xi yi zi Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Sistemas de equações com as coordenadas de três pontos AX=L X=(ATPA)-1 ATPL P=I X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 0 -Z1 Z1 0 -Y1 X1 0 -Z2 Z2 0 -Y2 X2 0 -Z3 Z3 0 -Y3 X3 Y1 X1 0 Y2 X2 0 Y3 X3 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS 0 0 1 0 0 1 0 0 1 k εx εY εz X0 Y0 Z0 U1 - X1 V1 - Y1 W1 - Z1 U2 – X2 = V2 – Y2 W2 – Z2 U3 – X3 V3 – Y3 W3 – Z3 Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Exercício Prático Ponto Latitude (S) SAD69 Longitude (W) SAD69 Altitude Ortométrica (m) Ondulação Geoidal (m) Curitiba 25º 25’ 58,53740” 49º 20’ 24,61849” 953 2,54 Iretama 24º25’ 12,64874” 52º 07’ 19,12354” 577 3,03 Londrina 23º 19’ 20,05643” 51º 12’ 05,98103” 583 3,44 Ponto Latitude (S) WGS84 Longitude (W) WGS84 Altitude Elipsoidal (m) Curitiba 25º 26’ 00,307198” 49º 20’ 26,331982” 952,6312 Iretama 24º25’ 14,372154” 52º 07’ 20,901858” 578,3287 Londrina 23º 19’ 21,775229” 51º 12’ 07,719026” 582,9934 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Ponto X SAD-69 (m) Y SAD-69 (m) Z SAD-69 (m) Curitiba 3755934,03765507 -4372874,06730675 -2722881,94320635 Iretama 3568104,61755603 -4587061,24412689 -2620978,61374355 Londrina 3672162,00198784 -4567519,61846058 -2509770,52075258 Ponto X WGS84 (m) Y WGS84 (m) Z WGS84 (m) Curitiba 3755867,16008169 -4372869,69888951 -2722920,46934841 Iretama 3568037,74291102 -4587056,87493790 -2621017,13692018 -4567515,24943912 -2509809,04402409 Londrina 3672095,12742608 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Vetor L Matrix A 3755934,038 0,000 2722881,943 -4372874,067 1,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 2620978,614 -4587061,244 1,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 2509770,521 -4567519,618 1,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 1,000 -4372874,067 -2722881,943 0,000 -3755934,038 -2722881,943 4372874,067 3755934,038 3568104,618 -4587061,244 -2620978,614 0,000 -3568104,618 -2620978,614 4587061,244 3568104,618 3672162,002 -4567519,618 -2509770,521 0,000 -3672162,002 -2509770,521 4567519,618 3672162,002 0,000 X= (ATA)-1ATL TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS -66,878 4,368 -38,526 -66,875 4,369 -38,523 -66,875 4,369 -38,523 Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 Parâmetro Fator de escala ( ) Rotação em torno do eixo X ( ) Rotação em torno do eixo Y ( ) Rotação em torno do eixo Z ( ) Translação do eixo X ( x) Translação do eixo Y ( y) Translação do eixo Z ( z) TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Valor 0,999999999 0,0000000062 rad -0,0000000093 rad -0,0000000043 rad -66,867m 4,366m -38,520m Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 EXEMPLO DE GEORREFERENCIAMENTO DE UMA IMAGEM Y ponto x(m) y(m) X(m) Y(m) 1 182 306 0,000 0,000 2 1947 320 0,477 0,000 3 1983 2725 0,477 0,669 X = -0,04765+0,00027x-0,000004y Y = -0,08473-0,000002x+0,00028y TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS 1 2 3 X Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06 MONTAGEM DO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES X = a + bx +cy ponto x(m) y(m) X(m) Y = d + ex +fy 1 182 306 0,000 0,000 = a + 182b + 306c 0,000 = d + 182e +306f 0,477 = a + 1947b +320c 0,000 = d + 1947e + 320f 0,477 = a + 1983b + 2725c 0,669 = d + 1983e + 2725f 0,000 0,000 0,477 0,000 0,477 0,669 = = = = = = 1 182 306 0 0 0 0 0 0 1 182 306 1 1947 320 0 0 0 0 0 0 1 1947 320 1 1983 2725 0 0 0 0 0 0 1 1983 2725 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS a b c d e f Y(m) 0,000 2 1947 320 0,477 0,000 3 1983 2725 0,477 0,669
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