limites fundamental

MATEMATICA APLICADA A NEGÓCIOS
4, 1–?? (2010)
Cálculo
Cálculo Diferencial e Integral I
LIMITES FUNDAMENTAL
Jair Silvério dos Santos*
TEOREMA DO SANDUICHE
Teorema 0.1.
Dadas f, g, h : A ⊂ R → funções e x0 ponto de acumulação de A.
(i) Suponha existe > 0 tal que para cada x ∈ (x0 − ; x0 + ) tem-se f (x) ≤ h(x) ≤ g(x).
(ii) Suponha que lim f (x) = L e lim g(x) = L, onde L é um número real.
x→x0
x→x0
Então lim h(x) = L.
x→x0
1
x
Exemplo 0.1. Seja h : A ⊂ R → R função dada por h(x) = x sen ( ), e x0 = 0. Calcule lim h(x).
x→0
1
Note que, −x ≤ x sen ( ) ≤ x, entã tome f (x) = −x e g(x) = x e teremos f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo
x
1
x ∈ R. Como limx→0 −x = 0 = limx→0 x, o Teorema 0.1 nos garante que limx→0 sen ( ) = 0.
x
Primeiro Limite Fundamental Provemos que
lim
x→0
sen x
= 1.
x
Consideremos o arco de circunferência de raio um AOC na Figura abaixo. Considere também o setor
circular AOC e os triângulos BOC e AOG cujas as áreas são representasdas por ∇s , ∇B e ∇G respectivamente.
6
G
C
O
B
A
É fácil ver que ∇B ≤ ∇s ≤ ∇G . Vamos denotar a medida do arco AC por x, e observar que a medida dos
sen x
segmentos de reta OA, OB, BC, e AG são um, cos x, sen x e
respectivamente. Com estes valores em
cos x
mentevemos que estas áreas satisfazem
1
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1
x
(sen x cos x) ≤
2
2
Invertendo todas as frações teremos
≤
1 sen x
2 cos x
ou seja
sen x cos x ≤ x ≤
sen x
.
cos x
1
1
cos x
≥
≥
.
sen x cos x
x
sen x
Multiplicando todos os membros das inequações acima por sen x (veja que sen x > 0) teremos
1
sen x
≥
≥ cos x.
cos x
x
1
, g(x) = cos x e
Agora estamos em condições de nos valer do Teorema 0.1 com as funções f (x) =
cos x
sen x
1
h(x) =
. Como lim+ f (x) = lim+
= 1 e lim+ g(x) = lim+ cos x = 1, o Teorema 0.1 nos asegura
x
x→0
x→0 cos x
x→0
x→0
que
lim+ h(x) = lim+
x→0
x→0
sen x
= 1.
x
Note que todos os cálculos acima podem ser desenvolvidos para x próximo de zero, mas pela esquerda de
zero, o que nos faz ver que
lim h(x) = lim
x→0−
x→0−
sen x
= 1.
x
Como os limites pela esquerda e pela direita de zero existem e são iguais, teremos
lim
x→0
Exemplo 0.2. Vamos calcular lim
x→0
sen x
= 1.
x
1 − cos
.
x
Veja que a fração dentro do limite pode ser escrita como
1 − cos
1 − cos 1 + cos x
1 − cos2 x
sen x
1
=
·
=
=
· sen x ·
.
x
x
1 + cos x
x[1 + cos x]
x
[1 + cos x]
Veja que lim
x→0
sen x
1
= 1 (limite fundamental), lim sen x = 0 e lim
= 1. Então temos
x→0
x→0 1 + cos x
x
1 − cos
sen x
1
= lim
· sen x ·
= 1 · 0 · 1 = 0.
x→0
x→0 x
x
[1 + cos x]
lim
sen x
sen 3x
; (iii) lim
;
x→0 πx
x→0 sen 5x
f (a + h) − f (a)
(ii) Tome f (x) = cos x e calcule lim
h→0
h
sen πx
sen 17x
(iii) (i) Calcule lim
. (ii) lim
;
x→1 x − 1
x→0 sen πx
sen 3x
;
x→0
x
(i) Calcule (i) lim
OUTROS EXERCÍ CIOS
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(ii) lim
sen 2 11x
.
x→0
5x
(iv) lim
3
PRIMEIRO LIMITE FUNDAMENTAL
(iv) a - Calcule lim
x→−∞
2x2 − x − 3
.
x3 − 2x2 − x + 2
1
b - Seja f : R → R dada por f (x) = x 5 . Se a for um número real fixo não nulo, calcule
f (x) − f (a)
.
x−a
(v) Calcule os limites abaixo :
f (x) − f (a)
. Em
x−a
1
seguida calcule lim (ax)− 5
x→a
√
5
(i) lim
x→0
3 + x2
;
x3
(ii)
lim
x→−1 x3
2x2 − x − 3
; (use o item (i) exercı́cio 3).
− 2x2 − x + 2
(vi) Encontre em R o conjunto solução para as inequações abaixo :
2x2 − x − 3
≥ 0;
− 2x2 − x + 2
3
2
≤
;
9−x
x+2
p
(c) Seja f : A ⊂ R → R dada por f (x) = |2x − 1| − |x + 1|. Descreva o conjunto A.
x2 − 4
(vii) a Calcule as assı́ntotas horizontais e verticais de f (x) = 3
,
x +8
(a)
x3
(b)
b Como sabemos da definição de limite que lim x2 + 2x − 1 = 7 se dado > 0 existir δ > 0 tal que,
x→2
se dist(x; 2) < δ, então dist(f (x), 7) < . Dado = 10−4 , encontre algum δ > 0 adequado que satisfaça a
definição de limite.
Segundo Limite Fundamental
•
Primeiramente vamos mostrar que se n for um número natural maior que dois então
h
1 in
≥2
1+
n
se
n ≥ 2.
Usando o binômio de Newton, vemos facilmente que
n n h
1 in X n n−i 1 i
n n−0 1 0
n n−1 1 1 X n n−i 1 i
1+
1
1
=
=
1
+
1
+
,
i
i
n
n
n
n
n
0
1
i=0
i=2
1 0
1 0 n 1 1
n n−1 1 1
mas veja que 1n−0
=1=
1
. Então 1n−0
+
1n−1
= 1 + 1 = 2, ainda note
n
1
n
n
1
n
que
n X
n n−i 1 i
1
> 0,
i
n
i=2
pois todas as suas parcelas são positivas. Portanto, se n ≥ 2 teremos
h
Proposição 0.1.
então
1+
1 in
≥ 2.
n
Se e for o número irracional neperiano cujo valor aproximado é 2, 718281828459...,
lim
h
t→+∞
1+
h
1 it
1 it
= e = lim 1 +
.
t→−∞
t
t
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A prova da Proposição 0.1 envolve o conceito de Séries de numéricas e será omitida, mas faremos alumas
observações sobre este assunto. Faça t ∈ N, (t assumir apenas números Naturais). Neste caso é fácil ver que
Vamos provar que
i1
lim 1 + s s = e.
(0.1)
h
s→0
Fazendo t =
1
, teremos que s → +∞ se t → 0+ , então
s
h
h
i1
1 it
lim+ 1 + s s = lim 1 +
t→∞
t
s→0
P rop 1
=
e.
Ainda teremos que s → −∞ se t → 0− , então
h
h
i1
1 it
lim 1 + s s = lim 1 +
t→−∞
t
s→0−
P rop
=
e.
Como os limites laterais são iguais, teremos
i1
lim 1 + s s = e.
h
s→0
PROBLEMA DE JURO SIMPLES
Suponha que voce investiu um quantidade P0 de capital a uma taxa de juros de 6% ao ano. Então uma
conta simples mostra que ao final do primeiro perı́odo, o Principal P (valor atualizado), será dado por:
P = P0 (1 + 0.06) se o juro for composto anualmente ao capital inicial P0 .
0.06 2
se o juro for composto semestralmente ao capital inicial P0 .
P = P0 1 +
2
0.06 3
P = P0 1 +
se o juro for composto quadrimestralmente ao capital inicial P0 .
3
(0.2)
4
0.06
P = P0 1 +
se o juro for composto trimestralmente ao capital inicial P0 .
4
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
0.06 12
se o juro for composto mensalmente ao capital inicial P0 .
P = P0 1 +
12
Pode-se ver facilmente que se a taxa anual de juros for um número real r, 0 < r < 1, e o Principal for
composto m vezes ao ano (m ∈ N), ao final de n anos (n ∈ N) será dado por:
r m i n
(0.3)
m
Então, Principal é uma função que relaciona o conjunto dos números naturais com o conjunto do números
reais sob a luz da igualdade (0.3). Observe que no sentido acima a acumulação de capital, em verdade, é
uma maneira de dois conjuntos N e R trocarem informações de acordo com a expressão (0.3).
Podemos ver facilmente que
Pn (m) = P0
h
1+
h
r m in h
r r mr in r mr inr
= 1+
1+
= 1+
m
m
m
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(0.4)
5
PRIMEIRO LIMITE FUNDAMENTAL
Então,
h
h
r m i n
r r mr in
1+
= P0 lim
1+
=
m→∞
m→∞
m→∞
m
m
h
h
r mr inr
r mr inr
1+
= P0 lim 1 +
= P0 ern
P0 lim
m→∞
m→∞
m
m
Após n anos se o Principal for corrigido infinitas vezes a cada ano, teremos
lim Pn (m) = P0 lim
(0.5)
P (n) = P0 ern . Substituindo n por t teremos P (t) = P0 ert .
(0.6)
Portanto, ao findar um perı́odo de tempo t a quantidade de capital P0 , quando composta instantaneamente
ou continuamente a uma taxa de juros r por cento ao ano, será dada por
P (t) = P0 ert .
(0.7)
Exemplo 0.3. Quanto tempo será necessário para que Q0 = 1, 00 unidades de moeda dobre o valor
nominal quando aplicado em uma carteira à taxa de juros 4% ao nao?
Resolução
Segue de (0.7) que P (t) = P0 e0,04t ou seja queremos saber para qual valor t0 teremos
P (t0 ) = 2P0 . Isto é P0 e0,04t0 = 2P0 . O valor de t0 deve satisfazer e0,04t0 = 2. Calculando o logarı́tmo m
neperiano em amos os membros teremos. 0, 04t0 = ln 2. Um cálculo relativamente simples nos mostra que
t0 = 17 anos e quatro meses, aproximadamente.
Sabemos da teoria de limite que dadas f, g : [a, b]→ R tais que f é uma função contı́nua em g(x0 ) ∈ [a, b]
e existe lim g(x) = L ∈ R, enão lim f (g(x)) = f
x→x0
x→x0
lim g(x) = f (L). Note que este resultado é útil para
x→x0
se calcular o limite abaixo:
lim ln
x→0
h
i1
1 i
h
x
1+x
= ln
lim 1 + x x = ln e = 1.
(0.8)
x→0
Proposição 0.2. Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1, então
ax − 1
= ln a.
x→0
x
lim
Prova : Fazendo t = ax − 1, teremos ax = t + 1. Calculando Logaritmo Nepariano em ambos os membros
teremos
ln ax = ln(t + 1), então x ln a = ln(t + 1), portanto x =
ln(t + 1)
.
ln a
É fácil ver que se x → 0 (x 6= 0) então t → 0 (t 6= 0), Assim teremos
lim
x→0
ax − 1
t
1
= lim
= ln a lim
= ln a.
x→0 ln(t + 1)
x→0 ln(t + 1)
x
ln a
t
lim 1
ver(0.8)
x→0
ln(t + 1)
x→0
t
=
ln a
lim
Exercı́cios
Use a teoria acima e calcule os limites abaixo:
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ax − bx
1 n+5
a, b ∈ R tal que 0 < a, b 6= 1, (b) lim 1 +
.
n→∞
x→0
x x
2n + 3 n
x 2 x
n
, ( d) lim
, (5) lim
.
(c) lim 1 +
x→∞ x + 1
n→∞ 2n + 1
x→∞
x
? Outros Exercı́cios.
Calcule
sin3 x2
sin(9x)
sin(10x)
1 − cosx
(a) lim
,
(d)
(1)
lim
.
, (b) lim
, (c) lim
x→0
x→0 x3
x→0 sin(9x)
x→0
x
x2
(a) lim
EXERCÍCIOS
(i) Quanto tempo será necessário ara que Q0 = 1, 00 unidades de moeda dobre o valor nominal quando
aplicada em uma carteira a uma taxa de juros 5% ao nao? Rep. 13, 86 anos.
(ii) Quanto tempo será necessário ara que Q0 unidades de moeda dobre o valor nominal quando aplicada
em uma carteira à taxa de juros 3% ao nao?
(iii) Quanto tempo será necessário ara que Q0 unidades de moeda dobre o valor nominal quando aplicada
em uma carteira à taxa de juros 7% ao nao?
(iv) Qual será a taxa r de juros ao ano, para que Q0 unidades de moeda aplicada em uma carteira dobre
o seu valor nominal em 12 meses? Rep. r = 5.78%.
DERIVADA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Agora, se a ∈ R, a > 0 e a 6= 1, podemos calcular facilmente a derivada das funções que
f (x) = ax para todo x ∈ R e g(x) = loga x para todo x > 0 .
Denomine f 0 (x) o seguinte Limite:
h ah − 1 i
h ah − 1 i
a(x+h) − ax
f (x + h) − f (x)
= lim
= lim ax
= ax lim
h→0
h→0
h→0
h→0
h
h
h
h
h ah − 1 i
Veja que a Proposição 0.2 nos diz que lim
= lna. Portanto,
h→0
h
f 0 (x) = lim
f 0 (x) = ax .lna.
Denomine g 0 (x) o seguinte Limite:
i
1h
g(x + h) − g(x)
= lim
loga (x + h) − loga x =
h→0
h→0 h
h
g 0 (x) = lim
h
h
1h
(x + h) i
h i h1
h i hx · x1
loga
= lim loga 1 +
= lim loga 1 +
=
h→0 h
h→0
h→0
x
x
x
lim
h
1
h i hx
· lim loga 1 +
x h→0
x
(faça s= h
x)
=
h
i 1s
1
· lim loga 1 + s
x s→0
Portanto
g 0 (x) =
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1
.
x · lna
(ver
(0.1))
=
1
loga e
x