Formas indeterminadas e a Regra de L`Hôspital

Formas indeterminadas e a Regra de L’Hôspital Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2010_2.html Regra de L’Hôspital Considere a função F (x) =
Como calcular
ln x
x−1
lim F (x) ? x→1
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a
x→a
f (x)
é denominado forma indeterminada
x→a g(x)
Neste caso, o limite lim
0
0
do tipo x(x − 1)
x
1
x2 − x
= lim
= lim
=
Exemplo: lim 2
x→1 (x + 1)(x − 1)
x→1 x + 1
x→1 x − 1
2
sin x
=1
x→0 x
lim
Regra de L’Hôspital Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que lim f (x) =
x→±∞
lim g(x) = ±∞
x→±∞
f (x)
Neste caso, o limite lim
é denominado forma indeterminada
x→±∞ g(x)
∞
do tipo ∞
Exemplo: ln x
= ? x→∞ x − 1
lim
Regra de L’Hôspital Regra de L’Hôspital: Sejam f e g deriváveis e g’ não nula em um intervalo
aberto I que contém a (exceto possivelmente em a). Suponha que e ou e Então se o limite das derivadas existir. Obs.: A regra também vale para limites laterais e limites no infinito. Regra de L’Hôspital Exemplo: 0
Forma indeterminada do tipo 0
Aplicando a Regra de L’Hôspital: Regra de L’Hôspital Exemplo: ∞
∞
Forma indeterminada do tipo Aplicando a Regra de L’Hôspital: Temos a mesma forma indeterminada novamente. Vamos aplicar a regra novamente: Regra de L’Hôspital Exemplo: Aplicando a Regra de L’Hôspital: Temos a mesma forma indeterminada novamente. Mas podemos simplificar! Regra de L’Hôspital Exemplo: Aplicando a Regra de L’Hôspital: 0
0
Forma indeterminada do tipo Aplicando a Regra de L’Hôspital novamente: d
2 · sec x · dx
[sec x]
2 · sec2 x tan x
lim
= lim
x→0
x→0
6x
6x
1
tan x
1
tan x
2
= lim sec x · lim
= lim
x→0
3 x→0
x
3 x→0 x
Regra de L’Hôspital Exemplo: Aplicando a Regra de L’Hôspital mais uma vez: 1
sec2 x
1
tan x
1
=
lim
= lim
3 x→0 1
3 x→0 x
3
Regra de L’Hôspital Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que lim f (x) = 0
x→a
e lim g(x) = ±∞
x→a
Neste caso, o limite lim f (x) · g(x) é denominado forma
x→a
indeterminada do tipo 0 · ∞
Observe que
lim f (x) · g(x) = lim
x→a
x→a
f (x)
1
g(x)
, onde neste caso teremos uma
0
forma indeterminada do tipo
e podemos usar a Regra de L’Hôspital. 0
Regra de L’Hôspital Exemplo: Forma indeterminada do tipo 0 · ∞
ln x
Regra de L’Hôspital Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que lim f (x) = ∞ e lim g(x) = ∞
x→a
x→a
Neste caso, o limite lim [f (x) − g(x)] é denominado forma
x→a
indeterminada do tipo ∞
− ∞
Estratégia: Tentar transformar a diferença em um quociente. Regra de L’Hôspital Exemplo: Aplicando a Regra de L’Hôspital: Regra de L’Hôspital Definição: Potências indeterminadas: e tipo e tipo e tipo Estratégia: Tome o logaritmo natural:  Regra de L’Hôspital Exemplo: Quando
, e Aplicando a Regra de L’Hôspital: = elimx→0+ ln y